Вход в систему

Написано хорошо. Но сама тема не моя. Становление мафиози! Не люблю ворьё. Вор на воре сидит и вором погоняет и о ворах книжки сочиняет! Любой вор всегда себя считает жертвой обстоятельств, мол не сам, а жизнь такая! А жизнь кругом такая, потому, что сам ты такой! С арифметикой у автора тоже всё печально, как и у ГГ. Простая задачка. Есть игроки, сдающие определённую сумму для участия в игре и получающие определённое количество фишек. Если в

подробнее ...

полуфинале на кону стояло 5000, то финалист выиграл 20 000, а в банке воры взяли чуть больше 7 тысяч. А где деньги? При этом игрок заявил, что его денег, которые надо вернуть 4000, а не на порядок меньше. Сравните с сумой полуфинала. Да уж если ГГ присутствовал на игре, то не мог знать сумму фишек для участия. ГГ полный лох.Тем более его как лоха разводят за чужие грехи, типо играл один, а отвечают свидетели. Тащить на ограбление женщину с открытым лицом? Сравним с дебилизмом террористов крокуса, которым спланировали идеально время нападения,но их заставили приехать на своей машине, стрелять с открытыми лицами, записывать на видео своих преступлений для следователя, уезжать на засвеченной машине по дальнему маршруту до границы, обеспечивая полную базу доказательств своих преступлений и все условия для поимки. Даже группу Игил организовали, взявшую на себя данное преступление. Я понимаю, что у нас народ поглупел, но не на столько же!? Если кто-то считает, что интернет не отслеживает трафик прохождения сообщения, то пусть ознакомится с протоколами данной связи. Если кто-то передаёт через чужой прокси сервер, то сравнить исходящящйю с чужого адреса с входящим на чужой адрес с вашего реального адреса технически не сложно для специалистов. Все официальные анонимные серверы и сайты "террористов" давно под контролем спецслужб, а скорей всего ими и организованы, как оффшорные зоны для лохов, поревевших в банковские тайны. А то что аффшорные зоны как правило своёй твёрдой валюты в золоте не имеют и мировой банковской сети связи - тоже. Украл, вывел рубли в доллары в оффшорную зону и ты на крючке у хозяев фантиков МВФ. Хочешь ими попользоваться - служи хозяевам МВФ. И так любой воришка или взяточник превращаеится агента МВФ. Как сейчас любят клеить ярлыки -иноогенты, а такими являются все банки в России и все, кто переводит рубли в иную валюту (вывоз капиталов и превращение фантиков МВФ в реальные деньги). Дебилизм в нашей стране зашкаливает! Например - Биткоины, являются деньгами, пока лохи готовы отдавать за них реальные деньги! Все равно, что я завтра начну в интернете толкать свои фантики, но кто мне даст без "крыши". Книги о том как отжимать деньги мне интересны с начала 90х лишь как опыт не быть жертвой. Потому я сравнительно легко отличаю схему реально рабочего развода мошенников, от выдуманного авторами. Мне конечно попадались дебилы по разводам в жизни, но они как правило сами становились жертвами своих разводов. Мошенничество = это актерское искусство на 99%, большая часть которого относится к пониманию психологии жертвы и контроля поведения. Нет универсальных способов разводов, действующих на всех. Меня как то пытались развести на деньги за вход с товаром на Казанский вокзал, а вместо этого я их с ходу огорошил, всучил им в руки груз и они добровольно бежали и грузили в пассажирский поезд за спасибо. При отходе поезда, они разве что не ржали в голос над собой с ответом на вопрос, а что это было. Всего то надо было срисовать их психопрофиль,выругаться матом, всучить им в руки сумки и крикнуть бежать за мной, не пытаясь их слушать и не давать им думать, подбадривая командами быстрей, опоздаем. А я действительно опаздывал и садился в двигающийся вагон с двумя системными блоками с мониторами. Браткам спасибо за помощь. И таких приключений у меня в Москве были почти раз в неделю до 1995 года. И не разу я никому ничего не платил и взяток не давал. Имея мозги и 2 годичный опыт нештаного КРСника, на улице всегда можно найти выход из любой ситуации. КРС - это проверка билетов и посажирского автотранспорта. Через год по реакции пассажира на вас, вы чувствуете не только безбилетника, но и примерно сколько денег у того в карманах. Вы представьте какой опыт приобретает продавец, мент или вор? При этом получив такой опыт, вы можете своей мимикой стать не видимым для опыта подобных лиц. Контролёры вас не замечают, кассиры по 3 раза пытаются вам сдать сдачу. Менты к вам не подходят, а воры не видят в вас жертву и т.д. Важен опыт работы с людьми и вы всегда увидите в толпе прохожих тех, кто ищет себе жертву. Как правило хищники друг друга не едят, если не требуется делить добычу. Строите рожу по ситуации и вас не трогают или не видят, а бывает и прогибаются под вас - опыт КРС по отъёму денег у не желающих платить разной категории людей - хороший опыт, если сумеешь вовремя бросить это адреналиновое занятие, так как развитие этой работы приводит часто к мошенничеству. Опыт хищника в меру полезен. Без меры - вас просто уничтожают конкуренты. Может по этому многие рассуждения и примеры авторов мне представляются глупостью и по жизни не работают даже на беглый взгляд на ситуацию, а это очень портит впечатление о книге. Вроде получил созвучие души читателя с ГГ, а тут ляп автора опускающий ГГ на два уровня ниже плинтуса вашего восприятия ГГ и пипец всем впечатлениям и все шишки автору.

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).

DXBCKT про Дамиров: Курсант: Назад в СССР (Детективная фантастика)

Месяца 3-4 назад прочел (а вернее прослушал в аудиоверсии) данную книгу - а руки (прокомментировать ее) все никак не доходили)) Ну а вот на выходных, появилось время - за сим, я наконец-таки сподобился это сделать))

С одной стороны - казалось бы вполне «знакомая и местами изьезженная» тема (чуть не сказал - пластинка)) С другой же, именно нюансы порой позволяют отличить очередной «шаблон», от действительно интересной вещи...

В начале

подробнее ...

(терпеливого читателя) ждет некая интрига в стиле фильма «Обратная сторона Луны» (битый жизнью опер и кровавый маньяк, случайная раборка и раз!!! и ты уже в прошлом)). Далее... ОЧЕНЬ ДОЛГАЯ (и местами яб таки сказал немного нудная) инфильтрация героя (который с большим для себя удивлением узнает, что стать рядовым бойцом милиции ему просто не светит — при том что «опыта у него как у дурака махорки»))

Далее начинается (ох как) не простая инфильтрация и поиски выхода «на нужное решение». Параллельно с этим — появляется некий «криминальный Дон» местного разлива (с которым у ГГ разумеется сразу начинаются «терки»))

Вообще-то сразу хочу предупредить — если Вы ищете чего-то «светлого» в стиле «Квинт Лециний» (Королюка) или «Спортсменки, комсомолки» (Арсеньева), то «это Вам не здесь»)) Нет... определенная атмосфера того времени разумеется «имеет место быть», однако (матерая) личность ГГ мгновенно перевешивает все эти «розовые нюни в стиле — снова в школу, УРА товариСчи!!!)) ГГ же «сходу» начинает путь вверх (что впрочем все же не влечет молниеносного взлета как в Поселягинском «Дитё»)), да и описание криминального мира (того времени) преподнесено явно на уровне.

С другой же стороны, именно «данная отмороженность» позволит понравиться именно «настоящим знатокам» милицейской тематики — ее то автор раскрыл почти на отлично)) Правда меня (как и героя данной книги) немного удивила сложность выбора данной профессии (в то время) и все требуемые (к этому) «ингридиенты» (прям конкурс не на должность рядового ПэПса или опера, а вдумчивый отбор на космонавта покорителя Луны)) Впрочем — автору вероятно виднее...

В остальном — каждая новая часть напоминает «дело №» - в котором ГГ (в очередной раз) проявляет себя (приобретая авторитет и статус) решая ту или иную «задачу на повестке дня»

P.S Да и если есть выбор между аудиоверсией и книгой, советую именно аудиоверсию)) Книгу то я прочел дня за 2, а аудиоверсию слушал недели две)) А так и восприятие лучше и плотность изложения... А то прочитал так часть третью (в отсутсвии аудиоверсии на тот момент), а теперь хочу прослушать заново (уже по ней)) Но это все же - субьективно)) Как говорится — кому как))

Рейтинг: +1 ( 1 за, 0 против).

DXBCKT про Стариков: Геополитика: Как это делается (Политика и дипломатия)

Вообще-то если честно, то я даже не собирался брать эту книгу... Однако - отсутствие иного выбора и низкая цена (после 3 или 4-го захода в книжный) все таки "сделали свое черное дело" и книга была куплена))

Не собирался же ее брать изначально поскольку (давным давно до этого) после прочтения одной "явно неудавшейся" книги автора, навсегда зарекся это делать... Но потом до меня все-таки дошло что (это все же) не "очередная злободневная" (читай

подробнее ...

политизированная) тема, а просто экскурс по (давным давно напрочь, забытой мной) истории... а чисто исторические книги (у автора) получались всегда отменно. Так что я окончательно решил сделать исключение и купить данную книгу (о чем я впоследствии не пожалел). И да... поначалу мне (конечно) было несколько трудновато различать все эти "Бургундии" (и прочие давным-давно забытые лимитрофы), но потом "процесс все же пошел" и книга затянула не на шутку...

Вообще - пересказывать историю можно по разному. Можно сыпать сухими фактами и заставить читателя дремать (уже) на второй странице... А можно (как автор) излагать все вмолне доступно и весьма интересно. По стилю данных хроник мне это все сдорово напомнило Гумилева, с его "от Руси, до России" (хотя это сравнение все же весьма весьма субьективно)) В общем "окончательный вердикт" таков - если Вы все же "продеретесь сквозь начало и втянетесь", книга обязательно должна Вас порадовать...

И конечно (кто-то здесь) обязательно начнет "нудный бубнеж" про: "жонглирование фактами" и почти детективный стиль подачи материала... Но на то и нужна такая подача - ибо как еще заинтересовать "в подобных веСчах", не "узколобую профессуру" (сыпящую датами и ссылками на научные труды очередного "заслуженного и всепризнанного..."), а простого и нескушенного читателя (по типу меня) который что-то документальное читает от раз к разу, да и то "по большим праздникам"?)) За сим и откланиваюсь (блин вот же прицепилось))

P.s самое забавное что читая "походу пьесы" (параллельно) совсем другую веСчь (уже художественного плана, а именно цикл "Аз есмь Софья") как ни странно - смог разобраться в данной (географии) эпохи, как раз с помощью книги тов.Старикова))

Рейтинг: +1 ( 1 за, 0 против).

DXBCKT про Москаленко: Малой. Книга 3 (Боевая фантастика)

Третья часть делает еще более явный уклон в экзотерику и несмотря на все стсндартные шаблоны Eve-вселенной (базы знаний, нейросети и прочие девайсы) все сводится к очередной "ступени самосознания" и общения "в Астралях")) А уж почти каждодневные "глюки-подключения-беседы" с "проснувшейся планетой" (в виде галлюцинации - в образе симпатичной девчонки) так и вообще...))

В общем герою (лишь формально вникающему в разные железки и нейросети)

подробнее ...

Рейтинг: +1 ( 1 за, 0 против).

Влад и мир про Черепанов: Собиратель 4 (Боевая фантастика)

В принципе хорошая РПГ. Читается хорошо.Есть много нелогичности в механике условий, заданных самим же автором. Ну например: Зачем наделять мечи с поглощением душ и забыть об этом. Как у игрока вообще можно отнять душу, если после перерождении он снова с душой в своём теле игрока. Я так и не понял как ГГ не набирал опыта занимаясь ремеслом, особенно когда служба якобы только за репутацию закончилась и групповое перераспределение опыта

подробнее ...

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).

Все впечатления

Авторы : [А] [Б] [В] [Г] [Д] [Е] [Ж] [З] [И] [Й] [К] [Л] [М] [Н] [О] [П] [Р] [С] [Т] [У] [Ф] [Х] [Ц] [Ч] [Ш] [Щ] [Э] [Ю] [Я]
[Все] [A] [B] [C] [D] [E] [F] [G] [H] [I] [J] [K] [L] [M] [N] [O] [P] [Q] [R] [S] [T] [U] [V] [W] [X] [Y] [Z] [Прочее] [І] [Є] [Ґ]

Основы высшей математики для филологов [Валерий Александрович Еровенко] (pdf) читать онлайн

- Основы высшей математики для филологов 1.91 Мб, 175с. скачать: (pdf) - (pdf+fbd) читать: (полностью) - (постранично) - Валерий Александрович Еровенко

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!

[Настройки текста] [Cбросить фильтры]

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
Е76

Печатается по решению
Редакционно-издательского совета
Белорусского государственного университета

Р е ц е н з е н т ы:
доктор филологических наук,
профессор А. А. Гируцкий;
доктор физико-математических наук,
профессор В. И. Янчевский

Еровенко, В. А.
Е76
Основы высшей математики для филологов : методические замечания и примеры : курс лекций / В. А. Еровенко. — Минск : БГУ,
2006. — 175 с. : ил.
ISBN 985-485-608-9.
Курс лекций по основам высшей математики предназначен для студентовфилологов классического университета, изучающих основы высшей математики в течение одного семестра. Состоит из введения «Математика в филологическом образовании», глав «Элементы теории множеств», «Комбинаторика и вероятность» и дополнения «Вероятность случайного события». В пособии, ориентированном на современные стандарты университетского математического
образования гуманитариев, приводится большое количество математических
примеров и задач с лингвистическим содержанием.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

ISBN 985-485-608-9

© Еровенко В. А., 2006
© БГУ, 2006

ÂÂÅÄÅÍÈÅ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÔÈËÎËÎÃÈ×ÅÑÊÎÌ
ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ
… Äîêàçàííàÿ ïðàâäà
åñòü, ñîáñòâåííî, íå ïðàâäà, à âñåãî
ëèøü ñóììà äîêàçàòåëüñòâ. Íî òåïåðü
íå ãîâîðÿò «ÿ âåðþ», à «ñîãëàñåí».
Èîñèô Áðîäñêèé

Â

ñîâðåìåííîì óíèâåðñèòåòñêîì îáðàçîâàíèè ïðèñóòñòâóåò åñòåñòâåííîíàó÷íàÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ â ó÷åáíûõ ïðîãðàììàõ
ãóìàíèòàðíûõ ôàêóëüòåòîâ. Òðàäèöèîííîå ïðåäñòàâëåíèå îá îáùåé êóëüòóðå íàðÿäó ñ ãóìàíèòàðíûìè öåííîñòÿìè âêëþ÷àåò â ñåáÿ îïðåäåëåííûé óðîâåíü åñòåñòâåííîíàó÷íîãî è ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ãîñóäàðñòâåííûì îáðàçîâàòåëüíûì ñòàíäàðòîì âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè ìàòåìàòèêà — íåîáõîäèìûé
êîìïîíåíò âûñøåãî ãóìàíèòàðíîãî îáðàçîâàíèÿ. Â êîíòåêñòå ôîðìèðîâàíèÿ åäèíîãî îáðàçîâàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà â Áåëîðóññêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå íà âñåõ ãóìàíèòàðíûõ ôàêóëüòåòàõ ÷èòàþòñÿ â ðàçíûõ
îáúåìàõ ñîîòâåòñòâóþùèå êóðñû ïî ìàòåìàòèêå. ×òî æå èçó÷àåò ìàòåìàòèêà? Ñòàíäàðòíûé îòâåò: «ìíîæåñòâà ñ çàäàííûìè â íèõ îòíîøåíèÿìè
è ñòðóêòóðàìè» âðÿä ëè ìîæíî ïðèçíàòü óäîâëåòâîðèòåëüíûì äàæå äëÿ
ïðîôåññèîíàëüíûõ ìàòåìàòèêîâ. Ñðåäè êîíòèíóóìà ìûñëèìûõ ìíîæåñòâ ìàòåìàòèêîâ ðåàëüíî ïðèâëåêàþò î÷åíü ðåäêèå ïîäìíîæåñòâà ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòðóêòóðàìè è çàäàííûìè â íèõ îòíîøåíèÿìè. Ñìûñë
âîïðîñà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïîíÿòü, ÷åì òàê öåííà äëÿ ïîçíàíèÿ â öåëîì ýòà ìàëàÿ ÷àñòü íàó÷íîãî çíàíèÿ. Äàííîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî êóðñó
«Îñíîâû âûñøåé ìàòåìàòèêè» ïîäãîòîâëåíî íà îñíîâå îäíîñåìåñòðîâîãî
êóðñà ëåêöèé, ÷èòàåìîãî â òå÷åíèå ðÿäà ëåò äëÿ ñòóäåíòîâ ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Áåëîðóññêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.
Çà÷åì ôèëîëîãó íóæíà ìàòåìàòèêà? Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ÿçûêîçíàíèè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ñîçäàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, îáúÿñíÿþùèõ êàê ìîæíî áîëüøåå êîëè÷åñòâî ÿçûêîâûõ ÿâëåíèé è ôàêòîâ, à òàêæå
äàþùèõ âîçìîæíîñòü ïðåäñêàçûâàòü òàêèå ÿâëåíèÿ. Ïðèìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â ÿçûêîçíàíèè ïîçâîëÿåò èíîãäà çàìåíèòü èíòóèòèâíî
ñôîðìóëèðîâàííóþ ëèíãâèñòè÷åñêóþ çàäà÷ó îäíîé èëè íåñêîëüêèìè áîëåå ïðîñòûìè è ÷åòêî ëîãè÷åñêè ñôîðìóëèðîâàííûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè
çàäà÷àìè, èìåþùèìè àëãîðèòìè÷åñêîå ðåøåíèå. Òàêîé ïîäõîä íåîáõîäèì
3

ïðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ âîïðîñîâ ÿçûêîçíàíèÿ, ñâÿçàííûõ ñ àâòîìàòè÷åñêèì àíàëèçîì è ñèíòåçîì óñòíîé ðå÷è, èíôîðìàöèîííîé ïåðåðàáîòêîé
òåêñòà èëè ñîçäàíèåì ñèñòåì ìàøèííîãî ïåðåâîäà, ñ ïîìîùüþ ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðîâ. Òàêîãî ðîäà çàäà÷è âîçíèêàþò â îáëàñòè ïðèêëàäíîé
ëèíãâèñòèêè, êîòîðóþ òàêæå íàçûâàþò ìàòåìàòè÷åñêîé, èíôîðìàöèîííîé
è êîìïüþòåðíîé. Â îñåííåì ñåìåñòðå 1960 ãîäà âûäàþùèéñÿ ìàòåìàòèê
àêàäåìèê Àíäðåé Íèêîëàåâè÷ Êîëìîãîðîâ ïðî÷åë íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà öèêë äîêëàäîâ, îçàãëàâëåííûé «Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è àíàëèç ðèòìà ðóññêîãî
ñòèõà», ñëóøàòåëÿìè êîòîðîãî áûëè áóäóùèå àêàäåìèêè, ëèòåðàòóðîâåäû
À. À. Çàëèçíÿê, Â. Â. Èâàíîâ, Â. Í. Òîïîðîâ è ìíîãèå äðóãèå. Âñïîìèíàÿ
ñîâìåñòíóþ ðàáîòó íà ýòîì ñåìèíàðå ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëèíãâèñòèêå, îí
ãîâîðèë, ÷òî íå óëîâèë âî ìíåíèÿõ ëèòåðàòóðîâåäîâ íè÷åãî ïðîòèâîðå÷àùåãî åãî óñòàíîâêàì â îòíîøåíèè ìàòåìàòè÷åñêîãî, ñòàòèñòè÷åñêîãî è âîîáùå «ôîðìàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ñòèõà», èçëîæåííûì â åãî äîêëàäàõ.
Ïðîôåññèîíàëüíûé ðàçãîâîð î ïîýçèè íåâîçìîæåí áåç ñòèõîâåä÷åñêèõ
çíàíèé â îáëàñòè ôîðì ñòèõà — ìåòðèêè, ðèôìîâêè, ñòðîôèêè, ÷òî ÿâëÿåòñÿ âàæíûì êîìïîíåíòîì óíèâåðñèòåòñêîãî ôèëîëîãè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ.
Òóò ÿâíî íåäîñòàòî÷íî ïðîñòîé àðèôìåòèêè — çäåñü íóæíà «àëãåáðà» ñëîãîèñ÷èñëåíèÿ è «êîìáèíàòîðèêà» êîíôèãóðàöèé ðèôì. Ìàòåìàòèêà —
ýòî îñîáûé òèï óíèâåðñàëüíîãî çíàíèÿ, â êîòîðîì «ìûñëü äâèæåòñÿ äåäóêòèâíî», îñâîáîæäàÿñü îò íåèñ÷åðïàåìûõ îñîáåííîñòåé êîíêðåòíûõ
ÿâëåíèé. Â òàêîì äâèæåíèè ìûñëè ìàòåìàòèêè îïèðàþòñÿ íà ñâîè ñëîâà-ñèìâîëû, ïîýòîìó íàó÷íîå çíàíèå âî âñå áîëüøåé ìåðå îñâàèâàåò ñîâðåìåííûé ìàòåìàòè÷åñêèé ÿçûê.
Èçâåñòíîãî ñïåöèàëèñòà ïî îáùåé ïîýòèêå àêàäåìèêà Ìèõàèëà Ëåîíîâè÷à Ãàñïàðîâà ñïðàøèâàëè, íå óáèâàþò ëè ïîäñ÷åòû àëãåáðîé ãàðìîíèþ, íå ìåøàþò ëè îíè íåïîñðåäñòâåííîìó íàñëàæäåíèþ ïîýçèåé. Îí íåèçìåííî îòâå÷àë: íåò, ïîìîãàþò, ïîñêîëüêó «ìíîãèå ìåëî÷è, èç êîòîðûõ
ñêëàäûâàåòñÿ ãàðìîíèÿ, ëåæàò íèæå óðîâíÿ ñîçíàíèÿ è íåïîñðåäñòâåííî
ñëóõîì íå îòìå÷àþòñÿ, òîëüêî êîãäà íàùóïàåøü èõ ïîäñ÷åòàìè, íà÷èíàåøü
èõ çàìå÷àòü». Ïðèìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â ñòèõîâåäåíèè òàê æå
ñòðîãî, êàê è ñàìà íàóêà î ñòèõå, ïîñêîëüêó åùå àíòè÷íûå ñòèõîâåäû óñòàíàâëèâàëè êîëè÷åñòâåííûå îòíîøåíèÿ äëÿ äîëãèõ è êðàòêèõ ñëîãîâ, íàõîäèëè ïðîñòåéøèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ — ñòîïû, à òàêæå áîëåå ñëîæíûå
åäèíèöû — ñòèõè è ñòðîôû. Â ðàçíîå âðåìÿ è â ðàçíûõ ÿçûêàõ ñî÷åòàíèÿ
äîëãèõ è êðàòêèõ ñëîãîâ èëè óäàðíûõ è áåçóäàðíûõ ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì, íî ñóòü îò ýòîãî íå ìåíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó âñå ýòî — ìàòåìàòèêà. Ïîäñ÷åòû òðåáóþò ìåäëåííîãî ÷òåíèÿ è ïåðå÷èòûâàíèÿ ñòèõîâ, êðîìå òîãî,
÷àñòü ïîäñ÷åòîâ ìîãóò îêàçàòüñÿ èçëèøíèìè, íî âñå ðàâíî ýòî ïîëåçíî. «ß
õîðîøî ïîíèìàþ, — ïèñàë Ãàñïàðîâ, — ÷òî ýòî — ÷åðòà ëè÷íàÿ: äðóãèì
4

(è ìíîãèì) àíàëèçèðîâàòü ïîýçèþ, ïîâåðÿòü àëãåáðîé ãàðìîíèþ çíà÷èò
óáèâàòü õóäîæåñòâåííîå íàñëàæäåíèå îò íåå. Íè÷åãî ïëîõîãî â òàêîì
îòíîøåíèè íåò, ïðîñòî ýòî çíà÷èò, ÷òî òàêîìó ÷åëîâåêó ïðîòèâîïîêàçàíî çàíèìàòüñÿ ôèëîëîãèåé — êàê áëèçîðóêîìó âîäèòü ìàøèíó è ò. ï.»1.
Ñîøëåìñÿ òàêæå íà ìíåíèå äðóãîãî âûäàþùåãîñÿ ôèëîëîãà Ñ. Ñ. Àâåðèíöåâà, êîòîðûé ãîâîðèë, ÷òî «ïîâåðÿòü àëãåáðîé ãàðìîíèþ — íå âûäóìêà
÷åëîâåêîíåíàâèñòíèêîâ èç êîìïàíèè Ñàëüåðè, à çàêîí íàóêè. Íî ñâåñòè
ãàðìîíèþ ê àëãåáðå íåëüçÿ». Íà îäíîé àëãåáðå îáùåêóëüòóðíî çíà÷èìîé
âåùè íå ñäåëàåøü, íî áåç çàêîíà, õîðîøåé ìîäåëè èëè ôîðìóëû íèêàêîé
ñîçäàòåëü çíà÷èìûõ è ñîäåðæàòåëüíûõ âåùåé îáîéòèñü íå ìîæåò.
Ýìîöèîíàëüíûå äîâîäû â ïîëüçó òîãî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû íå
äàþò äîïîëíèòåëüíîãî èíñòðóìåíòà ïîçíàíèÿ, ïî îòíîøåíèþ ê ôèëîëîãè÷åñêîìó çíàíèþ, îñíîâàíû íà òîì, ÷òî íàó÷íîå èçó÷åíèå ðèòìèêè ñòèõîòâîðåíèÿ îòíîñèòñÿ ê åãî âíóòðåííåìó ñìûñëó, êàê ëèíãâèñòè÷åñêèé àíàëèç òåêñòà
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòüè ê îöåíêå åå ñîäåðæàòåëüíîñòè, èñòèííîñòè è óáåäèòåëüíîñòè. Íåñìîòðÿ íà ýòî, òðóäíî ïîâåðèòü â òî, ÷òî ñîâðåìåííûé îáðàçîâàííûé ÷åëîâåê ìîæåò îòêàçàòüñÿ îò âåðû â îáùåçíà÷èìîå ìàòåìàòè÷åñêîå
çíàíèå. Îïàñíà âåðà, íå èìåþùàÿ äëÿ ñåáÿ îñíîâàíèé. Îòêóäà îíà ó ìàòåìàòèêîâ? È, âîîáùå, êòî ìîæåò íàçûâàòü ñåáÿ ìàòåìàòèêîì? Âîò êàê îòâåòèë íà
ýòîò âîïðîñ, âûäàþùèéñÿ ìàòåìàòèê XX âåêà, îäèí èç îñíîâîïîëîæíèêîâ
ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà Ñòåôàí Áàíàõ: «Ìàòåìàòèê — ýòî òîò, êòî
óìååò íàõîäèòü àíàëîãèè ìåæäó óòâåðæäåíèÿìè; ëó÷øèé ìàòåìàòèê
òîò, êòî óñòàíàâëèâàåò àíàëîãèè äîêàçàòåëüñòâ; áîëåå ñèëüíûé ìàòåìàòèê òîò, êòî çàìå÷àåò àíàëîãèè òåîðèé; íî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå è
òàêîãî, êòî ìåæäó àíàëîãèÿìè âèäèò àíàëîãèè». Ñàì Áàíàõ ñ ïîìîùüþ
ÿçûêà ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà áëåñòÿùå âûÿâëÿë àíàëîãèè ìåæäó ðàçëè÷íûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè òåîðèÿìè, ïîýòîìó åãî âåðà â ìàòåìàòè÷åñêîå çíàíèå
ïîêîèëàñü íà áîëåå ñåðüåçíûõ îñíîâàíèÿõ. Ìûñëü, âûðàæåííàÿ ãåíèàëüíûì
ïîýòîì, ìíîãîçíà÷íà è òðóäíî óëîâèìà, à ñôåðà åå ïðèìåíèìîñòè î÷åð÷åíà
íåÿñíî, â îòëè÷èå îò ÿñíîé è íåäâóñìûñëåííîé ìûñëè, èçëîæåííîé â îðäèíàðíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ðàáîòå. Ïîýòîìó ñòîëü åñòåñòâåííûì âûãëÿäèò æåëàíèå ìàòåìàòèêîâ ðàñøèðèòü ñôåðó ïîçíàíèÿ, ÷òîáû ïîëó÷èòü âñå çíàíèÿ î
ìèðå, â òîì ÷èñëå è ãóìàíèòàðíûå, ñ òîé æå ñòåïåíüþ ÿñíîñòè, êîòîðàÿ ñâîéñòâåííà ìàòåìàòè÷åñêèì íàóêàì.
Ìàòåìàòèêà íå îòëè÷àåòñÿ îò äðóãèõ ôîðì êóëüòóðíîé äåÿòåëüíîñòè,
õîòÿ îíà ñòàëà âàæíåéøèì ïðèíöèïîì íàó÷íîãî çíàíèÿ. Îáðàçîâàííûå
ëþäè äîëæíû óìåòü ëîãè÷åñêè ãðàìîòíî ôîðìèðîâàòü íîâûå ïîíÿòèÿ,
ñòðîèòü íåïðîòèâîðå÷èâûå êëàññèôèêàöèè, èìåòü ïðåäñòàâëåíèå î íåêîòîðûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ, îòäåëÿòü ñóùåñòâåííûå ïðèçíàêè îò íå1

Ãàñïàðîâ Ì. Ë. Çàïèñè è âûïèñêè. — Ì.: Íîâîå ëèòåðàòóðíîå îáîçðåíèå, 2000. — Ñ. 316.

5

ñóùåñòâåííûõ, êàê ýòî äåëàåòñÿ â àêñèîìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ. Óìåñòíî çàìåòèòü, ÷òî ñìûñë ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîíÿòèÿ íå ñîäåðæèòñÿ òîëüêî â åãî
ôîðìàëüíîì îïðåäåëåíèè. Êàê ñêàçàë èçâåñòíûé ìàòåìàòèê àêàäåìèê
Â. È. Àðíîëüä: «Ìàòåìàòèêà ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ ôîðìàëüíûõ ñëåäñòâèé èç àêñèîì íå áîëåå ÷åì ñòèõîñëîæåíèå — ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó âû
ïèñûâàíèþ áóêâ àëôàâèòà». Âûäåëåíèå ìàòåìàòèêè èç äðóãèõ íàóê ïðîèçîøëî ïî ñïîñîáó êîíñòðóèðîâàíèÿ îáúåêòîâ. Õîòÿ ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû äîâîëüíî àáñòðàêòíû, ñ÷èòàòü, ÷òî áóäóùåìó ôèëîëîãó èëè ëèíãâèñòó
òðóäíî îïåðèðîâàòü ñ òàêèìè êàòåãîðèÿìè, ÿâíîå ïðåóâåëè÷åíèå, ïîñêîëüêó ñ àáñòðàêòíûìè êàòåãîðèÿìè â ãóìàíèòàðíûõ íàóêàõ ïðèõîäèòñÿ èìåòü
äåëî íå ìåíüøå, ÷åì â åñòåñòâåííûõ íàóêàõ. Íå òîëüêî èíòåëëåêòóàëüíîå,
íî è ÷óâñòâåííîå ïîçíàíèå íîðìàëüíî ïðîòåêàåò êàê äâèæåíèå îò àáñòðàêòíîãî ê êîíêðåòíîìó, êàê ïîñëåäîâàòåëüíàÿ êîíêðåòèçàöèÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî îáùåãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Â ìàòåìàòèêå òàê æå, êàê è â ëþáîì ãóìàíèòàðíîì çíàíèè, åñòü íåäîêàçóåìûå è íåðàçðåøèìûå óòâåðæäåíèÿ, êîòîðûå
òðóäíî ñ÷èòàòü èñòèííûìè èëè ëîæíûìè, ÷òî òåì íå ìåíåå íå ïîðòèò ðåïóòàöèþ ìàòåìàòèêè êàê ïðîâåðåííîãî ìåòîäà äîñòèæåíèÿ äîñòîâåðíîãî
çíàíèÿ. Ìåòîäîëîãè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè ñîñòîèò â
òîì, ÷òî äàæå ñòóäåíòû-íåìàòåìàòèêè èìåþò óíèêàëüíóþ âîçìîæíîñòü
îñîçíàòü è ïîíÿòü, ÷òî ìîæíî ñ÷èòàòü îñíîâàíèåì õîðîøî ôîðìàëèçîâàííîé
òåîðèè, íåîáõîäèìûì äëÿ àðãóìåíòèðîâàííîãî èññëåäîâàíèÿ.
Öåëüþ îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå ñòóäåíòîâ-ôèëîëîãîâ ÿâëÿåòñÿ ôîðìèðîâàíèå ïîíèìàíèÿ èìè ñóùíîñòè ðÿäà ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, ïîëåçíûõ â
ÿçûêîçíàíèè è ñòèõîâåäåíèè, è âîñïèòàíèå ó íèõ îïðåäåëåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé êóëüòóðû, ò. å. óìåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêè èññëåäîâàòü ãóìàíèòàðíûå
ÿâëåíèÿ ðåàëüíîñòè. Îäíîé èç îáúåêòèâíûõ òðóäíîñòåé ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè ãóìàíèòàðèÿì ÿâëÿåòñÿ ïðåäóáåæäåíèå ÷àñòè ñòóäåíòîâ-ãóìàíèòàðèåâ ïðîòèâ ìàòåìàòèêè, ñëîæèâøååñÿ ïîä âëèÿíèåì îòñóòñòâèÿ îùóùåíèÿ öåëåñîîáðàçíîñòè. «Ìàòåìàòèêà èìååò çàäà÷åé íå îáó÷åíèå èñ÷èñëåíèþ, — ãîâîðèë Ëåâ Òîëñòîé, — íî îáó÷åíèå ïðèåìàì ÷åëîâå÷åñêîé ìûñëè
ïðè èñ÷èñëåíèè». Ê ñîæàëåíèþ, ìíîãèå îòîæäåñòâëÿþò ìàòåìàòèêó ñ ñîáñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèåì î íåé èëè íåóäà÷íûì øêîëüíûì îïûòîì åå èçó÷åíèÿ. Ê ñóáúåêòèâíûì òðóäíîñòÿì ìîæíî îòíåñòè îòñóòñòâèå ïîòðåáíîñòè ó ìíîãèõ ëþäåé ñ ãóìàíèòàðíûì ñòèëåì ìûøëåíèÿ â ëîãè÷åñêè ïîëíîöåííîé àðãóìåíòàöèè è ñëàáîé ëè÷íîé ìîòèâàöèåé ìèðîâîççðåí÷åñêèõ
ôóíêöèé îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå. Ñòèõîâåä ñ ìèðîâûì èìåíåì, ïðîôåññîð
Â. Å. Õîëøåâíèêîâ ïèñàë: «Íåìóäðÿùåé àðèôìåòèêîé ìû ïîëüçóåìñÿ
îõîòíî, ìèðèìñÿ ñ íåìíîãî áîëåå ñëîæíîé ýëåìåíòàðíîé ñòàòèñòèêîé, íî
îáðàáîòêà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ ìåòîäàìè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé âûçûâàåò ó íåêîòîðûõ èç íàñ ïðîòåñò è ïîäîçðåíèÿ â ôîðìàëèçìå. Ïî÷åìó? Íå ïîòîìó ëè, ïîïðîñòó, ÷òî ìû, ôèëîëîãè, íå çíàåì âûñøåé ìàòåìàòèêè, íå ïî6

íèìàåì åå ÿçûêà?»2. Ó ïðîòèâíèêîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ àíàëèçà ïîä
ïîâåðõíîñòüþ èõ ìîëüáû çà «ãóìàíèçì» è «÷èñòîòó» èõ íàóêè èíîãäà áåññîçíàòåëüíî, à èíîãäà è àãðåññèâíî îò÷åòëèâî ñêðûâàåòñÿ ñòðåìëåíèå
ïðåäîõðàíèòü «äóøó» îò ñîâðåìåííûõ ìåòîäîâ íàó÷íîãî ïîçíàíèÿ.
«Ìû æèâåì â òàêèå âðåìåíà, êîãäà, íåíàó÷íî âûðàæàÿñü, âñå ñëîâà
óæå ñêàçàíû», — ïèñàë Ñåðãåé Àâåðèíöåâ. Äàæå îòòàëêèâàíèå îò «êîñíîñòè» ñëîâà è åãî íåäîñòàòî÷íîñòè, ñîãëàñíî òþò÷åâñêîé ôîðìóëå «ìûñëü èçðå÷åííàÿ åñòü ëîæü», ñëóæèò äëÿ ìûñëè êîíñòðóêòèâíûì ñòèìóëîì. Â ìàòåìàòèêå îáúåêòû ñîçäàþòñÿ èç èíòåðïðåòàöèè ñëîâ è èõ ñî÷åòàíèé, âõîäÿùèõ
â ñëîâåñíîå îïðåäåëåíèå òåðìèíà, îïèñûâàþùåãî èññëåäóåìûé îáúåêò. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ êóëüòóðà ìûøëåíèÿ âîñïèòûâàåòñÿ íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ, êîòîðûìè ñòîëü áîãàòà ìàòåìàòèêà, ïîêàçûâàþùèõ, êàê íåñîáëþäåíèå
ëîãè÷åñêèõ ïðàâèë ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäèò ê îøèáêàì è íåñîîòâåòñòâèÿì. Íå
ñëåäóåò äóìàòü, ÷òî çíàíèå ñòàíäàðòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòðóêòóð èñ÷åðïûâàåò ìàòåìàòèêó. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âñå êàê ðàç íàîáîðîò: ýòè ñòðóêòóðû
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëèøü íàèáîëåå ïîâåðõíîñòíûå àñïåêòû ñîâðåìåííîé
ìàòåìàòèêè. Îáûêíîâåííî ïîíÿòèå «ñòðóêòóðà» îòíîñèòñÿ ê ðàñïîçíàíèþ
íåêîòîðîãî åäèíñòâà è âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòåé, îáðàçóþùèõ öåëîå, â ïðèìåíåíèè ê ðåàëüíûì îáúåêòàì ïîçíàíèÿ. ×åòêîå îñîçíàíèå êîíêðåòíîãî òèïà
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðóêòóðû êàê ýôôåêòèâíîãî ñðåäñòâà îðèåíòàöèè íà «áåçáðåæíûõ ïðîñòîðàõ ìàòåìàòèêè» â äóõå ìåòîäîëîãè÷åñêîãî ïðèíöèïà
«áðèòâû Îêêàìà» ïðîèçîøëî ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî. Óíèâåðñàëüíîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòðóêòóð ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî îíè ñîñòàâëÿþò îñíîâó ÿçûêà è
àïïàðàòà ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè è ôóíäàìåíòàëüíîãî çíàíèÿ. Êëàññè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, â ñîîòâåòñòâèè ñ åãî ïðåäíàçíà÷åíèåì, äîëæåí âûïóñêàòü õîðîøî îáðàçîâàííûõ ôèëîëîãîâ ñ ôóíäàìåíòàëüíîé ïîäãîòîâêîé, íå
ïîçâîëÿþùåé çàìûêàòüñÿ íà ñâîåé ïðîôåññèè.
Ïðèíöèïèàëüíàÿ âîçìîæíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ìàøèííîãî ïåðåâîäà
äîêàçûâàåò, ÷òî çàêîíû ëèíãâèñòèêè â îñíîâíîì äîñòàòî÷íî ïðîñòû äëÿ
òîãî, ÷òîáû äîïóñòèòü èõ ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå. Áîëüøèíñòâî ÿâëåíèé
ëèíãâèñòèêè è ñòèõîâåäåíèÿ èìååò ïî ñóùåñòâó äèñêðåòíûé õàðàêòåð, ïîýòîìó äëÿ èõ èññëåäîâàíèÿ íóæíî ïðèìåíÿòü â ïåðâóþ î÷åðåäü ìåòîäû
äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Çàìåòèì, ÷òî ñòðåìëåíèå ê ñòðîãîñòè, ëîãè÷åñêîé óáåäèòåëüíîñòè äîêàçàòåëüñòâ è îäíîçíà÷íîñòè òåðìèíîâ íåçàâèñèìî âîçíèêëè â ñàìîì ÿçûêîçíàíèè è òåîðèè ñòèõà, à ñîòðóäíè÷åñòâî ñ ìàòåìàòèêîé â ëþáîé îáëàñòè çíàíèÿ òîëüêî ñòèìóëèðóåò ýòîò ïðîöåññ. Íà
ýòîì îñíîâàíèè ñòàëî âîçìîæíûì ãîâîðèòü î «ìàòåìàòè÷åñêîé ëèíãâèñòèêå». ×òî òàêîå ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëèíãâèñòèêà? Ìàòåìàòè÷åñêóþ ëèíãâèñòèêó îïðåäåëÿþò, êàê ïðèìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â èññëåäîâà2

Õîëøåâíèêîâ Â. Ñòèõîâåäåíèå è ìàòåìàòèêà // Ñîäðóæåñòâî íàóê è òàéíû òâîð÷åñòâà. — Ì.: Èñêóññòâî, 1968. — Ñ. 385.

7

íèè ÿçûêà èëè êàê îïèñàíèå ÿçûêîâûõ ôàêòîâ òî÷íûìè ìåòîäàìè, ÷òî ñâÿçàíî ñ äâóìÿ òî÷êàìè çðåíèÿ íà âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ êîíêðåòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà è ñïåöèôè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ê ÿçûêó. Ñ îäíîé ñòîðîíû, âûðàçèòü ìàòåìàòè÷åñêèì ÿçûêîì íàó÷íûå äàííûå,
ñôîðìóëèðîâàííûå íà ÿçûêå ëèíãâèñòèêè, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçó÷èòü ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè ëèíãâèñòè÷åñêèå îáúåêòû äëÿ óñòàíîâëåíèÿ íîâûõ ñâîéñòâ ýòèõ îáúåêòîâ, êîòîðûå íå ïîääàþòñÿ èçó÷åíèþ íåìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Â ëèíãâèñòèêå ïîêà ðå÷ü èäåò î ïåðâûõ øàãàõ ïðèìåíåíèÿ ìàòåìàòèêè, ïîýòîìó íåëüçÿ ñðàâíèâàòü, íàïðèìåð, òåðìèí «ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëèíãâèñòèêà» ñ àíàëîãè÷íûì òåðìèíîì «ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà». Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà — ýòî ðàçäåë ìàòåìàòèêè, íàöåëåííûé íà
ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ, êîòîðûé ïî ñâîèì ìåòîäàì íå ìåíåå ñëîæåí, ÷åì
ëþáîé äðóãîé ðàçäåë ìàòåìàòèêè. Âûäåëèòñÿ ëè ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëèíãâèñòèêà â êà÷åñòâå ïðîìåæóòî÷íîé èëè ñàìîñòîÿòåëüíîé äèñöèïëèíû, êàê
ýòî ïðîèçîøëî ñ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêîé, è êàêîå âëèÿíèå îíà îêàæåò íà
ëèíãâèñòèêó? Ðåøåíèå ýòîãî âîïðîñà çàâèñèò îò òî÷åê çðåíèÿ íà ïðîáëåìó
åäèíñòâà íàó÷íîãî çíàíèÿ.
Êóðñû âûñøåé ìàòåìàòèêè äëÿ ãóìàíèòàðèåâ ïûòàþòñÿ ëèêâèäèðîâàòü «îðåîë íåïîçíàâàåìîñòè», ñîçäàííûé âîêðóã ìàòåìàòèêè ñàìèìè ìàòåìàòèêàìè äåäóêòèâíî-àêñèîìàòè÷åñêèì èçëîæåíèåì. Âåðà â àäåêâàòíîñòü ôîðìàëèçìà è çíàíèå îòäåëüíûõ ÷åðò ñëîæíîãî ÿâëåíèÿ ïîçâîëÿåò
ïðåäâîñõèùàòü ìàòåìàòè÷åñêèå èñòèíû, íå äîñòóïíûå ÷èñòîé èíòóèöèè.
Èíòóèòèâíûå è ëîãè÷åñêèå êîìïîíåíòû òâîð÷åñòâà íåîáõîäèìû êàê â ïðîöåññå ìàòåìàòè÷åñêîãî, òàê è ãóìàíèòàðíîãî ïîçíàíèÿ. Âîò ÷òî ïèñàë ïî
ýòîìó ïîâîäó âûäàþùèéñÿ ìàòåìàòèê XX âåêà Ðèõàðä Êóðàíò: «Ìàòåìàòèêà ñîäåðæèò â ñåáå ÷åðòû âîëåâîé äåÿòåëüíîñòè, óìîçðèòåëüíîãî ðàññóæäåíèÿ è ñòðåìëåíèÿ ê åñòåñòâåííîìó ñîâåðøåíñòâó. Åå îñíîâíûå è
âçàèìíî ïðîòèâîïîëîæíûå ýëåìåíòû — ëîãèêà è èíòóèöèÿ, àíàëèç è êîíñòðóêöèÿ, îáùíîñòü è êîíêðåòíîñòü. Êàê áû íè áûëè ðàçëè÷íû òî÷êè
çðåíèÿ, ïèòàåìûå òåìè èëè èíûìè òðàäèöèÿìè, òîëüêî ñîâìåñòíîå äåéñòâèå ýòèõ ïîëÿðíûõ íà÷àë è áîðüáà çà èõ ñèíòåç îáåñïå÷èâàþò æèçíåííîñòü, ïîëåçíîñòü è âûñîêóþ öåííîñòü ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè»3. Ãóìàíèòàðíûå àñïåêòû ðàçâèòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ â êîíòåêñòå åäèíñòâà
íàóêè è êóëüòóðû äîïîëíÿþò è ïðîÿñíÿþò ðàçëè÷íûå åñòåñòâåííîíàó÷íûå
ïîäõîäû. Ïîòðåáíîñòü â öåëîñòíîì îñìûñëåíèè äåéñòâèòåëüíîñòè ñïîñîáñòâóþò âûÿâëåíèþ âëèÿíèÿ ñîöèàëüíûõ è êóëüòóðíûõ ôàêòîðîâ íà ñòàíîâëåíèå íàó÷íûõ òåîðèé. Ðàññìàòðèâàÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îáðàçîâàíèå ñòóäåíòîâ-ôèëîëîãîâ ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ, ìîæíî ãîâîðèòü îá îáùíîñòè èíòåëëåêòóàëüíûõ çàäà÷ ãóìàíèòàðíîãî è ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ.
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ìîðàëüíûå íàâûêè, ïðèîáðåòåííûå â êàêîé-ëèáî
îáëàñòè çíàíèÿ, â çíà÷èòåëüíîé ìåðå ïåðåíîñÿòñÿ è íà áîëåå øèðîêèå ñôåðû
3

Êóðàíò Ð., Ðîááèíñ Ã. ×òî òàêîå ìàòåìàòèêà? — Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2004. — Ñ. 20.

8

ìûøëåíèÿ è ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè. Â ýòîì ñìûñëå ïîëíîòà àðãóìåíòàöèè, èíòåëëåêòóàëüíàÿ ÷åñòíîñòü è ïðàâäèâîñòü, ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ
íàó÷íîãî ìûøëåíèÿ ÷åëîâåêà, çàíèìàþùåãîñÿ ìàòåìàòèêîé, è äîâëåþò íàä
íèì â æèçíåííûõ ñèòóàöèÿõ ïðàêòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ. Ïåäàãîãè÷åñêàÿ ñòîðîíà àêñèîìàòè÷åñêîãî ìåòîäà äëÿ ñòóäåíòîâ-ãóìàíèòàðèåâ ñîñòîèò â òîì,
÷òî áîëüøîå âîñïèòàòåëüíîå çíà÷åíèå äëÿ ìûøëåíèÿ èìååò ïîèñê ýêîíîìèè
ñðåäñòâ è àðãóìåíòàöèÿ ñâÿçè ãèïîòåç ñ çàêëþ÷åíèÿìè. Â ìàòåìàòèêå íåò
«íàïîëîâèíó äîêàçàííûõ» èëè «ïî÷òè äîêàçàííûõ» óòâåðæäåíèé. Îäíà èç
ãëàâíûõ ôóíêöèé ìàòåìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà — ñîçäàíèå íàäåæíîé
îñíîâû äëÿ ïðîíèêíîâåíèÿ â ñóòü âåùåé. Ñîâðåìåííîå òðåáîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè îñíîâàíî íà òîì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî äîëæíî îïèðàòüñÿ íà
ìàòåìàòè÷åñêèå àêñèîìû è íå èñïîëüçîâàòü íè÷åãî òàêîãî, ïóñòü äàæå èíòóèòèâíî î÷åâèäíîãî, ÷òî íå ñîäåðæèòñÿ â àêñèîìàõ, à òàêæå âûâîäèòü ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ èç àêñèîì è óæå äîêàçàííûõ òåîðåì ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåííûõ ëîãè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé. Òðóäíîñòè â ñîîòâåòñòâîâàíèè ñòàíäàðòàì ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè âîçíèêàþò èíîãäà íå çà ñ÷åò íåäîñòàòêà àêñèîì, à èç-çà îãðàíè÷åííîñòè ïðèíÿòûõ ñðåäñòâ ëîãè÷åñêîãî âûâîäà èëè ñïîñîáîâ äîêàçàòåëüñòâà.
Òî÷íîñòü ìàòåìàòèêè ñëóæèëà ìîäåëüþ äëÿ ðàçìûøëåíèÿ â äðóãèõ
ñôåðàõ æèçíè, âêëþ÷àÿ ýòèêó è ïîëèòèêó. Ôèëîëîã òîæå íå èìååò «ïðàâà íà
ñóáúåêòèâíîñòü», íà êóëüòèâèðîâàíèå ñóáúåêòèâíîñòè, íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû,
îí íå ìîæåò îãðàäèòüñÿ íàäåæíîé ñòåíîé òî÷íûõ ìåòîäîâ, õîòÿ â îáû÷íîì
ÿçûêå ïîâåðõíîñòíûå ëèíãâèñòè÷åñêèå ñòðóêòóðû ïîñòîÿííî íàðóøàþòñÿ,
«îáñòðåëèâàþòñÿ» ñî ñòîðîíû áîëåå ãëóáîêèõ ñìûñëîâûõ ñòðóêòóð. Âûäàþùèéñÿ ñïåöèàëèñò íå òîëüêî ïî ïðîáëåìàì ëèòåðàòóðû, íî è ãóìàíèòàðíîé
êóëüòóðû â öåëîì Ñåðãåé Àâåðèíöåâ â «Ïîõâàëüíîì ñëîâå ôèëîëîãèè» ïèñàë: «Ôèëîëîãèÿ åñòü “ñòðîãàÿ” íàóêà, íî íå “òî÷íàÿ” íàóêà. Åå ñòðîãîñòü
ñîñòîèò íå â èñêóññòâåííîé òî÷íîñòè ìàòåìàòèçèðîâàííîãî ìûñëèòåëüíîãî àïïàðàòà, íî â ïîñòîÿííîì íðàâñòâåííî-èíòåëëåêòóàëüíîì óñèëèè, ïðåîäîëåâàþùåì ïðîèçâîë è âûñâîáîæäàþùåì âîçìîæíîñòè ÷åëîâå÷åñêîãî ïîíèìàíèÿ». À íàñêîëüêî ïðàâèëåí òåðìèí «òî÷íûå íàóêè»? Ìîæåò áûòü, â äåéñòâèòåëüíîñòè âñå íàóêè äîëæíû áûòü òî÷íûìè, à íåòî÷íîñòü — ýòî ïðèâèëåãèÿ èñêóññòâà? ×òîáû èçáåæàòü ñóáúåêòèâíûõ îöåíîê, ôèëîëîãó íåîáõîäèìî ñî÷åòàòü â ñåáå èíòóèöèþ õóäîæíèêà, íå âñåãäà íàäåæíóþ è ïðàâèëüíóþ, è ëîãè÷íîñòü ó÷åíîãî, ñòðåìÿùåãîñÿ ê òî÷íîìó îáúåêòèâíîìó çíàíèþ.
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî Àëåêñàíäðó Ñåðãååâè÷ó Ïóøêèíó ìàòåìàòèêà íå
äàâàëàñü ñ äåòñòâà, è ïîýòîìó îí åå íå ëþáèë íàðÿäó ñ ïîëèòè÷åñêèìè íàóêàìè. Îäíàêî óæå â ïåðâîì íîìåðå æóðíàëà «Ñîâðåìåííèê», èçäàâàâøåãîñÿ
Ïóøêèíûì, áûëà íàïå÷àòàíà ñòàòüÿ äèïëîìàòà è ïîïóëÿðèçàòîðà íàóêè êíÿçÿ Ï. Á. Êîçëîâñêîãî «Ðàçáîð Ïàðèæñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî åæåãîäíèêà»,
à â òðåòüåì íîìåðå æóðíàëà — ñòàòüÿ î òåîðèè âåðîÿòíîñòåé òîãî æå àâòîðà
9

ïîä êðàñíîðå÷èâûì íàçâàíèåì «Î íàäåæäå» (Ñîâðåìåííèê. 1836. Ò. 3) Ïî
ìíåíèþ ñîâðåìåííèêîâ, ýòè ñòàòüè óêðàøàëè ñòðàíèöû æóðíàëà. Ïîñëåäíÿÿ
ñòàòüÿ ïðåäñòàâëÿëà ñîáîé ïåðâîå ïîïóëÿðíîå èçëîæåíèå íà ðóññêîì ÿçûêå
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Îíà áûëà íàïèñàíà ñòîëü èñêóñíî, ÷òî ïîçâîëÿëà âïîëíå óñïåøíî ðåøàòü ïðîñòåéøèå âåðîÿòíîñòíûå çàäà÷è, íå ïðåäïîëàãàÿ â ÷èòàòåëå íèêàêîãî ïîçíàíèÿ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Â ïóøêèíñêóþ ýïîõó âåðèëè
â âîçìîæíîñòü íàéòè íàäåæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ôîðìóëû ïîðÿäêà âûïàäåíèÿ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, îòíîñÿùèõñÿ ê êàðòàì èëè ðóëåòêå, è èçó÷àëè ñ ýòîé
òî÷êè çðåíèÿ òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé. Ñðåäñòâîì îõðàíåíèÿ îò ïàãóáíûõ è ãîðüêèõ ñëåäñòâèé îáìàí÷èâûõ íàäåæä Ïåòð Êîçëîâñêèé ñ÷èòàë ðàñïðîñòðàíåíèå «ôèëîñîôñêîé ìàòåìàòèêè, íàçûâàåìîé èñ÷èñëåíèåì âåðîÿòíîñòåé» èëè
«íàóêîé èñ÷èñëåíèÿ óäîáîñáûòíîñòåé», ÷òîáû «ñ ïåðâûìè àëãåáðàè÷åñêèìè
ïîíÿòèÿìè îíà â ñàìûõ ñðåäíèõ óìàõ ÿñíî è ãëóáîêî âïå÷àòëåâàëàñü». Ýòî íå
êàçàëîñü åìó ñòîëü òðóäíûì, «êàê ìíîãèå âîîáðàæàþò îò ñòðàõà àëãåáðàè÷åñêèõ ôîðìóë». Áîëåå òîãî, îí ïîëàãàë, ÷òî «ïîñòåïåííîå ïåðåõîæäåíèå îò
îäíîãî óìîçàêëþ÷åíèÿ ê äðóãîìó åñòü ñàìî ïî ñåáå óæå óìñòâåííîå äâèæåíèå, íåáåñïîëåçíîå äëÿ çäðàâèÿ ðàññóäêà». Ïî÷åìó æå Ïóøêèí, íå ïîíèìàâøèé ìàòåìàòèêó, ïå÷àòàë «èçëèøíå óìíûå» ðàáîòû î íåé â ñâîåì æóðíàëå?
Ìîæåò áûòü, ïîýò õîòåë «â ïðîñâåùåíèè ñòàòü ñ âåêîì íàðàâíå»? Ýòî áûë åãî
ïîñèëüíûé âêëàä â ìèðîâîççðåí÷åñêèé óðîâåíü îáðàçîâàííîñòè ñîâðåìåííîãî îáùåñòâà. Ìîäà íà ìàòåìàòèêó è ïðåäñòàâëåíèå î òîì, ÷òî ìàòåìàòèêà
ñòîèò íàðàâíå ñ ïðîñâåùåíèåì âåêà è äàæå îïðåäåëÿåò åãî, áûëî øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíî â òî âðåìÿ íå òîëüêî â íàó÷íûõ, íî è â ëèòåðàòóðíûõ êðóãàõ.
«Ïîâåðêà àëãåáðîé ãàðìîíèè» — äåëî íåîáû÷àéíî òðóäíîå è ñëîæíîå, íî òåì íå ìåíåå íåîáõîäèìîå äëÿ íàó÷íîãî àíàëèçà òâîð÷åñêîãî ïðîöåññà. Âî-ïåðâûõ, îòðèöàíèå êàêîé áû òî íè áûëî áëèçîñòè ìåæäó õóäîæåñòâåííûì è ìàòåìàòè÷åñêèì ìûøëåíèåì îçíà÷àëî áû îòðèöàíèå åäèíñòâà
ãíîñåîëîãè÷åñêèõ îñíîâ âñåõ ôîðì ïîçíàíèÿ è ìûøëåíèÿ. Âî-âòîðûõ, ïîìèìî ãëîáàëüíîé òåîðåòèêî-ïîçíàâàòåëüíîé, ãíîñåîëîãè÷åñêîé öåëè, «ïîâåðêà àëãåáðîé» èìååò è áîëåå êîíêðåòíûå öåëè. Ñëåäóåò ðàçëè÷àòü ôîðìàëèçì êàê ìåòîä îòðûâà ôîðìû îò ñîäåðæàíèÿ è ôîðìàëèçàöèþ, ñïîñîáñòâóþùóþ áîëåå ãëóáîêîìó ïîíèìàíèþ ñîäåðæàíèÿ íà îñíîâå èçó÷åíèÿ
ñòðóêòóðû è ñîîòíîøåíèé èññëåäóåìûõ ÿâëåíèé. Ôîðìàëèçàöèÿ â ñôåðå
ÿçûêà ïîëåçíà è íåîáõîäèìà, ïîñêîëüêó óæå äîêàçàëà ñâîþ ïîëüçó è íóæíîñòü, õîòÿ íå ñëåäóåò çàáûâàòü î òîì, ÷òî ëþáàÿ óñïåøíàÿ ôîðìàëèçàöèÿ
â ãóìàíèòàðíîé ñôåðå ñ ïîìîùüþ ëîãèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî óïîðÿäî÷èâàíèÿ âûÿâëÿåò ëèøü ñòðóêòóðû «íèçøèõ ñëîåâ áûòèÿ». Èç âûøåñêàçàííîãî
ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî «ïðèìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ íå ïðåâðàùàåò ëèíãâèñòèêó â ÷èñòî äåäóêòèâíóþ íàóêó»4. ×åëîâå÷åñêîå ïîçíà4

Ìà÷àâàðèàíè Ì. Â. Î âçàèìîîòíîøåíèè ìàòåìàòèêè è ëèíãâèñòèêè // Âîïð. ÿçûêîçíàíèÿ. — 1963. — ¹ 3. — Ñ. 91.

10

íèå íåâîçìîæíî îãðàíè÷èòü çàäàííûìè äåäóêòèâíûìè ïðîöåäóðàìè â
ðàìêàõ íåêîòîðîé ôîðìàëüíîé ñèñòåìû. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû âçàèìîäåéñòâóþò ñ ýìïèðè÷åñêèì èçó÷åíèåì ôàêòîðîâ, ÷òî òðåáóåò îò èññëåäîâàòåëÿ â ðàâíîé ìåðå ðàçáèðàòüñÿ â ëèíãâèñòè÷åñêîé ïðîáëåìàòèêå è âëàäåòü ñîîòâåòñòâóþùèì ìàòåìàòè÷åñêèì àïïàðàòîì.
Ó ìàòåìàòèêè ñ ëþáîé íàóêîé ìîæíî îáíàðóæèòü ñîäåðæàòåëüíûå
ñâÿçè. Íà ñàìîì äåëå, ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåòîäîëîãèè èññëåäîâàíèÿ, ìàòåìàòèêà è ôèëîëîãèÿ ñîïðèêàñàëèñü äàâíî. Íàïðèìåð, â ñòèõîòâîðíîé ðå÷è ñ áîëüøåé èëè ìåíüøåé ñòåïåíüþ ðåãóëÿðíîñòè ïîâòîðÿþòñÿ è ñòðîÿòñÿ â
ðÿäû ÷åì-òî ïîäîáíûå ýëåìåíòû. Ïîýòîìó, îïðåäåëÿÿ îñíîâíûå êàòåãîðèè
ñòèõîòâîðíîé ðå÷è, íåëüçÿ îáîéòèñü áåç ìàòåìàòèêè. Â ïàðå ìàòåìàòèêà
è ôèëîëîãèÿ â êà÷åñòâå îñíîâíîé ñâÿçè âûñòóïàåò ÿçûê, ïîñêîëüêó èìåííî
ôèëîëîãè è ìàòåìàòèêè ðàáîòàþò ñî ñëîâîì ñ îñîáîé òùàòåëüíîñòüþ.
Ìàòåìàòèêà — ýòî îäèí èç ÿçûêîâ, òî÷íåå ìåæäóíàðîäíûé ÿçûê, ïîýòîìó
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêîé áóäåò ðåçóëüòàò, åñëè, íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè
èíîñòðàííîãî ÿçûêà ñòóäåíòû òîëüêî ñëóøàþò ïðåïîäàâàòåëÿ, íå ðàçãîâàðèâàÿ íà íåì. Ìàòåìàòèêà íå ïðîñòî îäèí èç ÿçûêîâ, à åùå è ðàññóæäåíèå
èëè ñïîñîá ðàçìûøëåíèÿ, ò. å. êàê áû ÿçûê è ëîãèêà âìåñòå. Îñíîâíàÿ çàäà÷à ÿçûêà ìàòåìàòèêè — äàòü òî÷íîå è óäîáíîå îïðåäåëåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ñóæäåíèÿ, ò. å. äàòü òàêîé ÿçûê, íà êîòîðûé ìîæíî áûëî áû ïåðåâåñòè ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ, äîïóñêàþùèé ñðàâíèòåëüíî ëåãêèé ïåðåâîä íà åñòåñòâåííûé ÿçûê. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ìàòåìàòèêè,
ñàìîå îïàñíîå ïðè ýòîì íå íåçíàíèå ÿçûêà, à íåäîñòàòî÷íîå çíàíèå. Îñíîâíûå ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó åñòåñòâåííûì ÿçûêîì è ÿçûêîì ìàòåìàòèêè ñâÿçàíû ñ ðàçëè÷íûì ïîñòðîåíèåì ÿçûêîâîãî çíàêà è çíàêà ìàòåìàòè÷åñêîãî
â ñèñòåìàõ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. ßçûê ìàòåìàòèêè îêàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíûì èìåííî ïîòîìó, ÷òî ìàòåìàòèêà òîëüêî ê íåìó íå ñâîäèòñÿ.
Àâñòðèéñêèé ôèëîñîô è ëîãèê Ëþäâèã Âèòãåíøòåéí ñðàâíèâàë ÿçûê
ñî ñòàðèííûì ãîðîäîì, â êîòîðîì ëàáèðèíòû ìàëåíüêèõ óëî÷åê è ïëîùàäåé îêðóæåíû ìíîæåñòâîì íîâûõ ðàéîíîâ ñ ïðÿìûìè óëèöàìè ðåãóëÿðíîé
ïëàíèðîâêè. Ðàçâèòèå âíóòðè ñàìîé ìàòåìàòèêè ïðèâîäèò ê òåðìèíîëîãè÷åñêèì èçìåíåíèÿì ÿçûêà íàóêè, õîòÿ âñåãäà îñòàåòñÿ íåêîòîðîå ðàñõîæäåíèå ìåæäó èíòóèòèâíîé èäååé è òî÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì ÿçûêîì, îïèñûâàþùèì åå â íàó÷íûõ è ëîãè÷åñêèõ òåðìèíàõ. Ïåðåõîä íà ëàêîíè÷íûé
ñòèëü ÿçûêà ìàòåìàòèêè îñâîáîæäàåò îò òàâòîëîãè÷åñêîãî ìíîãîñëîâèÿ, à
ñóììàðíûé ýôôåêò îò òàêîãî ìàíèïóëèðîâàíèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ â ñâîáîäå
ìûøëåíèÿ. Ïðè ýòîì ñëåäóåò ïîìíèòü î òîì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå îáîçíà÷åíèÿ è ÿçûêîâûå îáîçíà÷åíèÿ â êàêèõ-òî îòíîøåíèÿõ ñõîäíû, íî çàòî â
äðóãèõ îòíîøåíèÿõ, ñîâåðøåííî ðàçëè÷íû. Ïîýòîìó åñëè ÿçûêîâûå ÿâëåíèÿ îáîçíà÷àòü òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêè, òî ìîæíî ëèøèòü ÿçûê âñÿêîãî ñîäåðæàíèÿ, è îí ïåðåñòàíåò áûòü ÿçûêîì. Âèòãåíøòåéí ñ÷èòàë, ÷òî ñëåäóåò
11

ãîâîðèòü òîëüêî î òîì, ÷òî ïîääàåòñÿ âûñêàçûâàíèþ, è ìîë÷àòü îá
îñòàëüíîì. Â ìûøëåíèè ìíîãîå çàâèñèò îò ñëîâà, êîòîðîå ñòîèò íà ãðàíèöå âûñêàçûâàåìîãî. Ìûñëü âûÿâëÿåò ñåáÿ, ïîâåðÿåò ñåáÿ è óòâåðæäàåò
ñåáÿ, ñîîòíîñÿñü ñî ñëîâîì. Öåëü ÿçûêîâîé äåÿòåëüíîñòè — ýòî äîñòèæåíèå âçàèìîïîíèìàíèÿ. Ïîëíàÿ ôîðìàëèçàöèÿ åñòåñòâåííûõ ÿçûêîâ ïðåäñòàâëÿåòñÿ àïðèîðè íåâîçìîæíîé, ïîñêîëüêó æåñòêîå ðàçãðàíè÷åíèå ñèíòàêñè÷åñêèõ è ñåìàíòè÷åñêèõ íåïðàâèëüíîñòåé ìîæåò áûòü òîëüêî óñëîâíûì. Ïðèìåðû ïîäîáíîãî ðîäà ìîæíî âñòðåòèòü ñðåäè ïàðàäîêñîâ òåîðèè
ìíîæåñòâ, îïèñàííûõ íà åñòåñòâåííîì ÿçûêå. Íàñòàèâàÿ íà èñêëþ÷åíèè èç
òåîðèè ìíîæåñòâ òàêèõ ïðîòèâîðå÷èé, íå ñëåäóåò âñÿêèé ðàç «ïîâåðÿòü àëãåáðîé ãàðìîíèþ» è ïûòàòüñÿ âòèñíóòü âñå ìíîãîîáðàçèå ïðîòèâîðå÷èé â
óçêîå ëîæå èñòèíû.
Ïðè èçó÷åíèè êîëè÷åñòâåííûõ çàêîíîìåðíîñòåé ÿçûêà ïðèõîäèòñÿ
âñòðå÷àòüñÿ ñ òàêèìè ëèíãâèñòè÷åñêèìè ÿâëåíèÿìè, êàê óïîòðåáèòåëüíîñòü ñëîâà, äëèíà áóêâîñî÷åòàíèÿ, èíôîðìàöèîííûé âåñ ñëîâà è ò. ï., ÷òî
ìîæåò áûòü âûðàæåíî ñ ïîìîùüþ ÷èñëà è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîé âåëè÷èíû. Îïðåäåëåíèå öåëåé è êîíêðåòíîãî ñîäåðæàíèÿ êóðñà «Îñíîâû âûñøåé ìàòåìàòèêè» äëÿ ñòóäåíòîâôèëîëîãîâ ñâÿçàíî ñ îòâåòîì íà âîïðîñ î òîì, çà÷åì âîîáùå ëþäè ìíîãèõ
ïîêîëåíèé âîò óæå áîëåå äâóõ ñ ïîëîâèíîé òûñÿ÷ ëåò çàíèìàþòñÿ ìàòåìàòèêîé. Âîò ÷òî ñêàçàë ïî ýòîìó ïîâîäó â ýññå «Ìàòåìàòè÷åñêèé ÷åëîâåê»
âûäàþùèéñÿ ìûñëèòåëü íåìåöêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðû ïðîøëîãî âåêà Ðîáåðò Ìóçèëü: «Ìàòåìàòèêà åñòü ðîñêîøü, êîòîðóþ ïîçâîëÿåò ñåáå ÷èñòûé ðàçóì, — ðîñêîøü áðîñèòüñÿ âïåðåä î÷åðòÿ ãîëîâó. Îäíà èç íåìíîãèõ,
êàêèå åùå îñòàëèñü. Íåêîòîðûå ôèëîëîãè òîæå çàíÿòû ïðåäìåòàìè, ïîëüçà êîòîðûõ ñîìíèòåëüíà äëÿ íèõ ñàìèõ… À âîò ìàòåìàòèêè ïðåäàþòñÿ
ñàìîìó îòâàæíîìó è âîñõèòèòåëüíîìó àâàíòþðèçìó, êàêîé äîñòóïåí ÷åëîâåêó, èìåííî ïîñðåäè ýòèõ ïðîáëåì, â èõ ñðåäîòî÷èè»5. Ìàòåìàòèêà
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êóëüòóðíóþ öåííîñòü íå òîëüêî â ëîíå îáùå÷åëîâå÷åñêîé êóëüòóðû, íî è ñàìà ïî ñåáå, êàê âàæíåéøàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ãóìàíèòàðíî-îðèåíòèðîâàííîãî íàó÷íîãî ìèðîâîççðåíèÿ. Çíàêîìñòâî ñ îñíîâàìè òàêèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè XX âåêà, êàê òåîðèÿ ìíîæåñòâ è èõ îòîáðàæåíèé, êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè, ôèíàíñîâàÿ ìàòåìàòèêà è äð.,
ïðè ñîçäàíèè ñïåöèàëüíîé ñîäåðæàòåëüíî-ìåòîäè÷åñêîé ëèíèè, âîñïèòûâàåò ó ñòóäåíòîâ-ôèëîëîãîâ âûñîêóþ òðåáîâàòåëüíîñòü ê ïîëíîöåííîé àðãóìåíòàöèè, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ñïîñîáñòâóåò ôîðìèðîâàíèþ óñòîé÷èâûõ ìîðàëüíûõ ïðèíöèïîâ.
Â ïðåäåëàõ îãðàíè÷åííîãî ïî îáúåìó êóðñà «Îñíîâû âûñøåé ìàòåìàòèêè», íåëüçÿ îïðåäåëèòü è äîêàçàòü âñå íåîáõîäèìîå ñ ó÷åòîì ìàòåìàòè5

Ìóçèëü Ð. Ìàëàÿ ïðîçà. — Ì.: Êàíîí-ïðåññ-Ö, 1999. — Ò. 2. — Ñ. 302.

12

÷åñêèõ ñëîæíîñòåé îñíîâíûõ åå ïðèíöèïîâ. Â òàêèõ óñëîâèÿõ îñíîâíàÿ
ìåòîäè÷åñêàÿ çàäà÷à ìàòåìàòèêè äëÿ ôèëîëîãîâ — ýòî çàèíòåðåñîâàòü â
ðàñøèðåííîì óíèâåðñèòåòñêîì îáðàçîâàíèè, ïðåîäîëåâ àêàäåìèçì òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà. Íàïðèìåð, «íåïîñòèæèìàÿ ýôôåêòèâíîñòü ìàòåìàòèêè» â ñîâðåìåííûõ íàóêàõ — ýòî ðàñøèðåíèå ïîíÿòèÿ ðåàëüíîñòè, ëåæàùåå â îñíîâå ïñèõîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî òâîð÷åñòâà, îáåñïå÷èâàþùåå
åìó ïîäëèííóþ ñâîáîäó. Öåíèâøèé «ïðîñòîòó» è «ÿñíîñòü» Ñòåíäàëü ãîâîðèë: «ß ëþáèë è òåïåðü åùå ëþáëþ ìàòåìàòèêó ðàäè íåå ñàìîé, êàê íå
äîïóñêàþùóþ ëèöåìåðèÿ è íåÿñíîñòè — äâóõ ñâîéñòâ, êîòîðûå ìíå îòâðàòèòåëüíû äî êðàéíîñòè». Äëÿ óíèâåðñèòåòñêîãî îáðàçîâàíèÿ õàðàêòåðíî òî, ÷òî ñòóäåíòû ó÷àòñÿ áëàãîäàðÿ ñâîåé àêòèâíîñòè. Ïîëíîöåííîå
îáó÷åíèå ìàòåìàòèêå íå èíäóêòèâíî, îíî âêëþ÷àåò â ñåáÿ «ïðîõîä ÷åðåç
îøèáêè è çàáëóæäåíèÿ». Íà ïåðâûõ æå çàíÿòèÿõ ïî ìàòåìàòèêå ñëåäóåò
ïðèó÷àòü ñòóäåíòîâ-ãóìàíèòàðèåâ íå ñòåñíÿòüñÿ îøèáîê. Îøèáêè èãðàþò
â ìàòåìàòèêå íå ìåíüøóþ ðîëü, ÷åì äîêàçàòåëüñòâà. Îøèáêà â èçó÷åíèè
íîâîé òåîðèè âïîëíå äåìîêðàòè÷íà, õîòÿ íåêîòîðûì «ó÷åáíûì» çàáëóæäåíèÿì âïîëíå ìîæíî ïðèäàòü ìåòîäè÷åñêóþ óïîðÿäî÷åííîñòü. Òåì íå ìåíåå ýòè îøèáêè ïîëåçíî «ïåðåæèòü», ÷òîáû çíàòü, «êóäà õîäèòü íå íàäî».
Äàæå íåãàòèâíûå ðåçóëüòàòû â îáó÷åíèè ìàòåìàòèêå ñòóäåíòîâ-ãóìàíèòàðèåâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê îäèí èç âàæíûõ ìåòîäè÷åñêèõ ïðèåìîâ óíèâåðñèòåòñêîãî îáðàçîâàíèÿ. Àíàëèçèðóÿ èõ ïðè÷èíû è ïóòè èõ ïðåîäîëåíèÿ ìîæíî áîëåå îñîçíàííî èäòè âïåðåä. Ïîýòîìó îòäåëüíûå ïðèìåðû è
óïðàæíåíèÿ êóðñà «ìàòåìàòèêè äëÿ ôèëîëîãîâ» îðèåíòèðîâàíû íà âûðàáîòêó íàâûêîâ èñïðàâëåíèÿ íåòî÷íîñòåé â ôîðìóëèðîâêàõ, ðàññóæäåíèÿõ
è äîêàçàòåëüñòâàõ.
Ãîòîâàÿ èñòèíà íå ñïîñîáñòâóåò ðàçâèòèþ òâîð÷åñêîãî ìûøëåíèÿ.
Äàæå â ñàìîé ìàòåìàòèêå íåâîçìîæíî ïîëíîñòüþ âûòåñíèòü ýëåìåíò ÷åëîâå÷åñêîãî ïîíèìàíèÿ, çàìåíèâ åãî àëãîðèòìè÷åñêèìè ïðîöåäóðàìè. Ïîýòîìó ôèëîëîãè÷åñêàÿ îðèåíòàöèÿ ýòîãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ îáóñëîâèëà
îñîáîå âíèìàíèå ê åñòåñòâåííîìó ÿçûêó, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ â ðàññìîòðåííûõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè. Âàæíåéøàÿ ìåòîäè÷åñêàÿ ïðîáëåìà ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè äëÿ ôèëîëîãîâ — ýòî íå ïðîáëåìà óðîâíÿ ñòðîãîñòè
èçëîæåíèÿ, à ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ñìûñëà. Àáñîëþòíàÿ ñòðîãîñòü, óòâåðæäàë èçâåñòíûé ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê è ëèíãâèñò Ðåíå Òîì, âîçìîæíà
òîëüêî áëàãîäàðÿ îòñóòñòâèþ ñìûñëà, ïîýòîìó ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîíÿòèÿ
«ñòðîãîñòè» è «ñìûñëà» äîïîëíèòåëüíû äðóã ê äðóãó. Åñòåñòâåííûé ÿçûê
ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ôóíäàìåíòàëüíîé è óíèâåðñàëüíîé çíàêîâîé ñèñòåìîé.
Â ÿçûêîçíàíèè òàêæå ãîâîðÿò î äîïîëíèòåëüíîñòè ñìûñëà íåêîòîðîãî âûñêàçûâàíèÿ è åãî ôîðìàëüíîé ñòðóêòóðû. Îáðàçíî ãîâîðÿ, èçëèøíå àêöåíòèðîâàííîå âíèìàíèå ê àíàëèçó ñòðóêòóðû âûñêàçûâàíèÿ ìîæåò îòäàëèòü
ïîíèìàíèå åãî ñìûñëà, ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî ïðîèñõîäèò ïðè ÷òåíèè ïî
13

ñëîãàì. Äàæå â ìàòåìàòèêå ïîíÿòèå «ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðóêòóðû» íå ïðåòåíäóåò íà îáúÿñíåíèå óñïåõîâ ìàòåìàòèçèðîâàííîãî ìûøëåíèÿ. Îíî âîçíèêëî èç ñòðåìëåíèÿ ê îáúåäèíåíèþ ìàòåìàòèêè, ñèñòåìàòèçàöèè åå ïðèåìîâ è ê óñòàíîâëåíèþ îáùèõ çàêîíîìåðíîñòåé, ïîä÷èíÿþùèõ ñåáå äðóãèå
ñôåðû äåÿòåëüíîñòè, ïîñêîëüêó âûñøåå íàçíà÷åíèå ìàòåìàòèêè — «íàõîäèòü ïîðÿäîê â õàîñå, êîòîðûé íàñ îêðóæàåò».
Êàêîé äîëæíà áûòü íàó÷íàÿ îñâåäîìëåííîñòü ëþáîãî ÷åëîâåêà ñ óíèâåðñèòåòñêèì ãóìàíèòàðíûì îáðàçîâàíèåì? Èçâåñòíûé ëèòåðàòóðîâåä Þ. Ì. Ëîòìàí äîêàçûâàë â ñâîèõ ðàáîòàõ, ÷òî õóäîæåñòâåííûé òåêñò ñî ñâîéñòâåííûìè åìó îáðàçàìè, ìåòàôîðàìè è ðèòìèêîé, íåñåò â ñåáå ãîðàçäî áîëüøóþ èíôîðìàöèþ, ÷åì îáû÷íûé òåêñò,
ïîýòîìó âíå õóäîæåñòâåííîé ñòðóêòóðû, ñîçäàííîé äëÿ ýòîãî ïðîèçâåäåíèÿ àâòîðîì,
òðóäíî ïåðåäàòü ïðèñóùåå åìó ñîäåðæàíèå. Íå ñëèøêîì ëè äàëåêî çàøëà ãóìàíèòàðíàÿ ñïåöèàëèçàöèÿ â êëàññè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå? Íå îãðàíè÷èâàåò ëè îíà âîçìîæíîñòè ñáëèæåíèÿ «äâóõ êóëüòóð» ×àðëüçà Ñíîó? Íàêîíåö, äîëæíû ëè êëàññè÷åñêèå óíèâåðñèòåòû ñòðåìèòüñÿ ê âîñïèòàíèþ óòðà÷åííîé ãàðìîíè÷íîñòè? Íàóêà îáðåòàåò òî÷íîñòü íà òàêîì ýòàïå ñâîåãî ðàçâèòèÿ, êîãäà îáíàðóæåíû çàêîíû, êîòîðûì ïîä÷èíÿþòñÿ èçó÷àåìûå ÿâëåíèÿ, äîïóñêàþùèå ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó. Èìåííî
ïîýòîìó â ìåòîäîëîãèè ÿçûêîçíàíèÿ è ëèòåðàòóðîâåäåíèÿ äîëæåí çàêðåïèòüñÿ «ñðàâíèòåëüíî-ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä» èññëåäîâàíèÿ â ðàçëè÷íûõ òâîð÷åñêèõ ïðîÿâëåíèÿõ.
Â îäíîì èç ñâîèõ ïîñëåäíèõ èíòåðâüþ ïðîôåññîð Þ. Ì. Ëîòìàí ïðèçíàë, ÷òî «äëÿ íàñ
ãîðàçäî àêòóàëüíåå ââåäåíèå â ó÷åáíûå ïëàíû ãóìàíèòàðíûõ ôàêóëüòåòîâ êóðñîâ íîâåéøåé ëèíãâèñòèêè, ñåìèîòèêè, òåîðèè êóëüòóðû, à òàêæå ðàçðàáîòêà ñïåöèàëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè äëÿ ãóìàíèòàðèåâ». Êîðåííûå âîïðîñû æèçíè îáùåñòâà, ñ÷èòàë
îí, áóäóò ðåøàòüñÿ â ñôåðå ñèíòåòè÷åñêîé íàóêè î ÷åëîâåêå, êîòîðàÿ ïîòðåáóåò ñëîæíîãî ñèíòåçà ãóìàíèòàðíîãî è ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêîìó òâîð÷åñòâó âñåãäà ñîïóòñòâóåò âûñîêîå ýìîöèîíàëüíîå íàïðÿæåíèå è, êàê âñÿêîìó òâîð÷åñòâó, ñâîéñòâåííî ñòðåìëåíèå ê ñîâåðøåíñòâó. Ýòè äâå
÷åðòû ðîäíÿò ìàòåìàòèêó ñ ïîýçèåé, ïîýòîìó íåóäèâèòåëüíî, ÷òî ìàòåìàòèêà ìîæåò
ñòàòü èñòî÷íèêîì ïîýòè÷åñêîãî âäîõíîâåíèÿ. Ñâèäåòåëüñòâîì òîìó ÿâëÿåòñÿ ôèíàëüíîå ñòèõîòâîðåíèå çàãàäî÷íîãî öèêëà «Âîñüìèñòèøèé» Îñèïà Ìàíäåëüøòàìà «È ÿ âûõîæó èç ïðîñòðàíñòâà…». Îíî ïîðàæàåò ãëóáîêèìè, âîçìîæíî, íå âñåãäà îñîçíàííûìè ñâÿçÿìè ìàòåìàòè÷åñêèõ îáðàçîâ è ïîýòè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ Ìàíäåëüøòàìà. Íå
çíàë æå îí ñîâðåìåííóþ ìàòåìàòèêó, â êîòîðîé çàìåòíóþ ðîëü èãðàþò «áåñêîíå÷íî
ìåðíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà» è «íåàðõèìåäîâû âåëè÷èíû». Íå îá îòêàçå ëè îò ïîâåðõíîñòíûõ ïðåäñòàâëåíèé î ðåàëüíîñòè ãîâîðèò Îñèï Ìàíäåëüøòàì ñ ïîìîùüþ âîâëå÷åíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîýçèþ:
È ÿ âûõîæó èç ïðîñòðàíñòâà
Â çàïóùåííûé ñàä âåëè÷èí
È ìíèìîå ðâó ïîñòîÿíñòâî
È ñàìîñîãëàñüå ïðè÷èí.

È òâîé, áåñêîíå÷íîñòü, ó÷åáíèê
×èòàþ îäèí, áåç ëþäåé —
Áåçëèñòâåííûé, äèêèé ëå÷åáíèê,
Çàäà÷íèê îãðîìíûõ êîðíåé.

Ãëàâà

1

ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ
Ìûñëü î ïðîñòðàíñòâå ðîæäàåò «àõ»,
îïåðó, âçãëÿä â ëîðíåò.
Â öèôðàõ åñòü íå÷òî, ÷åãî â ñëîâàõ,
äàæå êðèêíóâ èõ, íåò.
Èîñèô Áðîäñêèé

Í

àèáîëåå âàæíûì õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè
ÿâëÿåòñÿ òåíäåíöèÿ ê ôîðìèðîâàíèþ áîëåå âûñîêîé ñòåïåíè àáñòðàêöèè ÿçûêà ìàòåìàòèêè. ßçûê ìàòåìàòèêè íå òîëüêî îêàçûâàåò âëèÿíèå íà
ïîçíàíèå, íî è ñàì ôîðìèðóåòñÿ â ïðîöåññå èçó÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè
êàê ñðåäñòâî åå àäåêâàòíîãî îòîáðàæåíèÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ
ýôôåêòèâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòðóêòóð. ßçûê ìàòåìàòèêè îïèðàåòñÿ íà
ïîíÿòèÿ, èìåþùèå îòíîñèòåëüíî ÿñíîå è óñòîé÷èâîå ñîäåðæàíèå, èñïîëüçóåìîå â åñòåñòâåííîì ÿçûêå.
Ñëåäóåò ïîìíèòü î òîì, ÷òî ïîíÿòèÿ, ëåæàùèå â îñíîâàíèè îòäåëüíûõ íàó÷íûõ òåîðèé, âêëþ÷àÿ ìàòåìàòè÷åñêèå, ïî íåîáõîäèìîñòè îñòàþòñÿ ñîäåðæàòåëüíî íåÿñíûìè äî òåõ ïîð, ïîêà ýòè òåîðèè ñïîñîáíû
ðàçâèâàòüñÿ. Êàæäîå ñîäåðæàòåëüíîå ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå îõâàòûâàåò
ìíîãî îáúåêòîâ, èìåþùèõ êàêîå-íèáóäü îáùåå ñâîéñòâî. Ñëåäñòâèÿ, âûâîäèìûå èç ýòîãî ñâîéñòâà â ðàìêàõ íåêîòîðîé àáñòðàêòíîé òåîðèè, ìîæíî
ïðèìåíèòü ê ëþáîìó èç óêàçàííûõ âûøå îáúåêòîâ. Â êà÷åñòâå íàèáîëåå
ïîïóëÿðíîãî ïðèìåðà îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò ïîíÿòèå «ìíîæåñòâà». Ïî
ìíåíèþ àêàäåìèêà À. Í. Êîëìîãîðîâà, ïîä ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêîé
ïîíèìàåòñÿ òàêàÿ êîíöåïöèÿ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíà ñëåäóþùèìè äâóìÿ òåçèñàìè:
À. Â îñíîâå âñåé ñîâðåìåííîé òåîðåòè÷åñêîé (àáñòðàêòíîé) ìàòåìàòèêè ëåæèò ÷èñòàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ.
Á. Ñïåöèàëüíûå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè çàíèìàþòñÿ ñòðóêòóðàìè,
ïðè÷åì êàæäûé ðîä ñòðóêòóð îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìîé
àêñèîì, âûðàæåííîé íà ÿçûêå òåîðèè ìíîæåñòâ.
Õîòÿ ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ ôîðìàëüíûõ
àêñèîìàòè÷åñêèõ ñèñòåì, îáëàäàþò ñàìè ïî ñåáå äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ è
íàäåæíîñòüþ, îíè îãðàíè÷åíû ïðèíÿòûìè ñðåäñòâàìè ëîãè÷åñêîãî âûâîäà, ò. å. ñïîñîáàìè äîêàçàòåëüñòâà. ×òîáû ëó÷øèå êà÷åñòâà ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé ýôôåêòèâíî ïðîÿâèëèñü â ëèíãâèñòèêå è ëèòåðàòóðîâåäåíèè
íóæíî òî÷íî îïðåäåëèòü ñôåðó èõ ïðèëîæåíèé, à èìåííî íàéòè òàêóþ
15

àäåêâàòíóþ îáëàñòü, ãäå ðàáîòà ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà èìåëà áû ñìûñë
è äàâàëà êîíêðåòíûå ðåçóëüòàòû. Âîïðîñ î âûáîðå íàèëó÷øåãî âàðèàíòà
àêñèîìàòèêè òåîðèè ìíîæåñòâ áóäåò ðåøàòüñÿ èñõîäÿ èç ñîîáðàæåíèÿ —
íàñêîëüêî ñîäåðæàòåëüíîé â ïðèêëàäíîì ïëàíå îêàæåòñÿ ìàòåìàòèêà, ïîñòðîåííàÿ íà äàííîé òåîðèè ìíîæåñòâ. Îäíà èç ïåðâûõ ïîïûòîê òàêîãî
ðîäà áûëà ïðåäïðèíÿòà ìàòåìàòèêîì Î. Ñ. Êóëàãèíîé â ðàáîòå «Îá îäíîì
ñïîñîáå îïðåäåëåíèÿ ãðàììàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé íà áàçå òåîðèè ìíîæåñòâ» (Ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè. Ì., 1958), â êîòîðîé îñíîâíàÿ èäåÿ ïîñòðîåíèÿ ñâÿçàíà ñ ïîíÿòèåì ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ. Ýòî ñëîæíàÿ çàäà÷à,
òðåáóþùàÿ ñîâìåñòíûõ òâîð÷åñêèõ óñèëèé ìàòåìàòèêîâ è ëèíãâèñòîâ èëè
áóäóùèõ ëèíãâèñòîâ-ìàòåìàòèêîâ.
Îòíîñèòåëüíóþ ìåäëåííîñòü ðàçâèòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëèíãâèñòèêè ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî îáëàñòü ïðèëîæåíèÿ ëèíãâèñòèêè îïðåäåëèëàñü î÷åíü äàâíî è áûëà ñòàáèëüíà â òå÷åíèå ñòîëåòèé, ïîñêîëüêó â íåé íå
áûëî «ðåâîëþöèîííûõ îòêðûòèé», ñûãðàâøèõ çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ÷åëîâå÷åñòâà. Íî âî âòîðîé ïîëîâèíå ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ ïîëîæåíèå êîðåííûì îáðàçîì èçìåíèëîñü, ïîñêîëüêó òðåáîâàíèÿ, êîòîðûå ïðåäúÿâëÿþò ê
ëèíãâèñòèêå êîìïüþòåðû è ëþäè, ñîâåðøåííî ðàçíûå. Â ÷åì òðóäíîñòü âçàèìîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðàäèöèîííîé ëèíãâèñòèêîé è âíîâü âòîðãàþùèìèñÿ â
ëèíãâèñòèêó èäåÿìè? Êàê ñêàçàë èçâåñòíûé ìàòåìàòèê Ð. Ë. Äîáðóøèí: «Áîëüøèíñòâî ñîâðåìåííûõ ëèíãâèñòîâ ïîëàãàåò, ÷òî íîâûìè ïðèëîæåíèÿìè,
íîâûìè çàäà÷àìè è ìåòîäàìè ìîãóò çàíèìàòüñÿ ìàòåìàòèêè, òåõíèêè,
ôèçèêè — âñå, êòî õî÷åò, ëèøü áû òîëüêî îñòàâèëè â ïîêîå ñàìèõ ëèíãâèñòîâ è èõ íàóêó»6. Ñðåäè ëèíãâèñòîâ, ñåòóåò îí, èìåþòñÿ ëèøü îòäåëüíûå ãîðÿ÷èå ïðèâåðæåíöû íîâûõ èäåé, õîòÿ îòíîøåíèå ê ýòèì èäåÿì áîëüøèíñòâà
ëèíãâèñòîâ íàïîìèíàåò èñïóã. Â ðåçóëüòàòå íîâûìè îáëàñòÿìè ëèíãâèñòèêè
êàê ïîáî÷íûì äåëîì çàíèìàþòñÿ â îñíîâíîì ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè,
õîòÿ â íîâîé ëèíãâèñòèêå, îñíîâàííîé íå òîëüêî íà êà÷åñòâåííûõ ìåòîäàõ
ðàññóæäåíèÿ, íî è íà ãëóáîêîì êîëè÷åñòâåííîì èçó÷åíèè, ìíîãî íåðåøåííûõ ïðîáëåì òåîðåòè÷åñêîãî õàðàêòåðà.
Äëÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè õàðàêòåðíî èñïîëüçîâàíèå ÿçûêà òåîðèè ìíîæåñòâ, îïèðàþùåãîñÿ íà çäðàâûé ñìûñë, îáëå÷åííûé â ìàòåìàòè÷åñêèå ñèìâîëû. Íå ïîëüçóþùàÿñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè ñèìâîëàìè ÷åëîâå÷åñêàÿ ëîãèêà ìîæåò çàïóòàòüñÿ â ñëîâåñíûõ îïðåäåëåíèÿõ ñëîæíûõ ÿâëåíèé
ðåàëüíîãî ìèðà è ñäåëàòü âñëåäñòâèå ýòîãî îøèáî÷íûå âûâîäû. Âî âòîðîé
ïîëîâèíå XIX âåêà â ìàòåìàòè÷åñêîì ìûøëåíèè îïðåäåëèëñÿ ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, à èìåííî «ìíîæåñòâî», çàíÿâøèé öåíòðàëüíîå ïîëîæåíèå
â èåðàðõèè ðàññìàòðèâàåìûõ ìàòåìàòèêàìè ñóùíîñòåé. Íàñòóïèëà ýïîõà
6

Äîáðóøèí Ð. Ë. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ëèíãâèñòèêå // Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîñâåùåíèå. — 1961. — Âûï. 6. — Ñ. 50.

16

òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé ìàòåìàòèêè. Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ â
ìàòåìàòèêå ïåðâè÷íûì, íå ñâîäèìûì ê áîëåå ïðîñòûì ïîíÿòèÿì.
Ñ òàêîãî ðîäà ñèòóàöèåé ìîæíî âñòðåòèòüñÿ è â äðóãèõ îáëàñòÿõ çíàíèÿ. Íàïðèìåð, â ëèíãâèñòèêå íå ñóùåñòâóåò óäîâëåòâîðèòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ «ñëîâà». Ïîíÿòèå ñëîâà äî ñèõ ïîð îñòàåòñÿ îäíèì èç ñëîæíåéøèõ â íàóêå î ÿçûêå, ïîñêîëüêó, íåñìîòðÿ íà òðóäíîñòè ñ îïðåäåëåíèåì
ýòîãî ïîíÿòèÿ, ñëîâî çàíèìàåò öåíòðàëüíîå ìåñòî âî âñåì «ìåõàíèçìå ÿçûêà». Îòìå÷àÿ ðàçëè÷èå ñëîâ â ðàçíûõ ÿçûêàõ, àêàäåìèê Ë. Â. Ùåðáà ñ÷èòàë, ÷òî ïîíÿòèÿ «ñëîâî âîîáùå» íå ñóùåñòâóåò. Îáùåå ïîíÿòèå ñëîâà
äðîáèòñÿ íà ìíîæåñòâî ýìïèðè÷åñêèõ ðàçíîâèäíîñòåé ñëîâ: «ñëîâà ôîíåòè÷åñêèå», «ñëîâà ãðàììàòè÷åñêèå», «ñëîâà ëåêñè÷åñêèå». Âàæíåéøèìè
ïðèçíàêàìè ñëîâà ÿâëÿþòñÿ åãî ôîðìà, çíà÷åíèå, ñìûñë è ñîäåðæàíèå.

1.1. ÏÎÍßÒÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
Ëþáàÿ òåîðèÿ íà÷èíàåòñÿ ñ ââåäåíèÿ îñíîâíûõ íà÷àëüíûõ ïîíÿòèé,
ò. å. ìèíèìàëüíîãî ñïèñêà íåîïðåäåëÿåìûõ òåðìèíîâ è ïîíÿòèé, êîòîðûå
íàçûâàþòñÿ íåîïðåäåëÿåìûìè ïîòîìó, ÷òî ëþáàÿ ïîïûòêà îïðåäåëèòü èõ
÷åðåç äðóãèå òåðìèíû ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ äðóãèõ ïîíÿòèé, êîòîðûå òàêæå íóæäàþòñÿ â îïðåäåëåíèè. Íå âñÿêàÿ íàóêà åñòü äîêàçûâàþùàÿ íàóêà,
íî çíàíèå íåîïîñðåäîâàííûõ íà÷àë íåäîêàçóåìî. Âñåãäà ïðè ïîñòðîåíèè
íîâîé òåîðèè åñòü ñîáëàçí «âñå îïðåäåëèòü». Äàæå Åâêëèä ïûòàëñÿ äàòü
îïðåäåëåíèÿ íåîïðåäåëÿåìûì ïîíÿòèÿì: «òî÷êà åñòü òî, ÷òî íå èìååò ÷àñòåé», «ëèíèÿ — äëèíà áåç øèðèíû», «ïðÿìàÿ ëèíèÿ åñòü òà, êîòîðàÿ ðàâíî
ðàñïîëîæåíà ïî îòíîøåíèþ ê òî÷êàì íà íåé». Èçó÷èòü êàêóþ-ëèáî íàóêó
òîëüêî ïî îïðåäåëåíèÿì íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó ñîäåðæàùàÿñÿ â îïðåäåëåíèè èíôîðìàöèÿ î ïðåäìåòå íå ìîæåò äàòü äîñòàòî÷íî ïîëíîãî çíàíèÿ î
íåì. Òàê, íàïðèìåð, â ìàòåìàòèêå èñïîëüçóþòñÿ ðàçíûå îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ «ëèíèÿ», ãëóáèíà îïðåäåëåíèÿ êîòîðûõ çàâèñèò îò óðîâíÿ çíàíèé îá
îïðåäåëÿåìîì ïðåäìåòå.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñâîéñòâî âûïóêëîñòè, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåò
ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû êàê îòäåëüíóþ ñîâîêóïíîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ
îáúåêòîâ. Èçâåñòíûé ïîïóëÿðèçàòîð ìàòåìàòèêè À. Ï. Ñàâèí â êíèãå «Ìàòåìàòè÷åñêèå ìèíèàòþðû» ïðîàíàëèçèðîâàë êàê ïîíÿòèå âûïóêëûé
îïðåäåëÿåòñÿ â «Ñëîâàðå ðóññêîãî ÿçûêà» Ñ. È. Îæåãîâà. «Âûïóêëûé —
èìåþùèé äóãîîáðàçíóþ ïîâåðõíîñòü, îáðàùåííóþ íàðóæó». À ÷òî çíà÷èò
äóãîîáðàçíóþ? Òàì æå ÷èòàåì: «Äóãîîáðàçíûé — èìåþùèé ôîðìó äóãè».
À ÷òî òàêîå äóãà? «Äóãà — ÷àñòü îêðóæíîñòè, êðóãà èëè äðóãîé êðèâîé ëèíèè». Âî-ïåðâûõ, êðèâûå ëèíèè äîâîëüíî ðàçíîîáðàçíû, à âî-âòîðûõ,
êðóã — ýòî íå ëèíèÿ. Ìîæíî ëè, èñõîäÿ èç òàêîãî îïðåäåëåíèÿ, ÷òî-íèáóäü
17

óòâåðæäàòü î âûïóêëîñòè (èëè íåâûïóêëîñòè) êóáà? Òàêîå «îïðåäåëåíèå»
ïîíÿòèÿ âûïóêëîñòè íåêîððåêòíî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè. Êàê áû íè
ïåðåîñìûñëÿëèñü òåðìèíû â ÿçûêîâîì îáèõîäå, â íàó÷íîì ÿçûêå òåðìèíû
ìîãóòóïîòðåáëÿòüñÿ òîëüêî òåðìèíîëîãè÷åñêè, íåñìîòðÿ íà ýòó òàâòîëîãèþ. Â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî âñÿêàÿ íàóêà âûíóæäåíà ðàáîòàòü ñ íåîïðåäåëÿåìûìè ïîíÿòèÿìè èëè íåäîêàçàííûìè äîïóùåíèÿìè, ïîýòîìó åñòü íå òîëüêî ñàìà íàóêà, íî òàêæå è íåêîòîðîå «íà÷àëî íàóêè».
Îñíîâîïîëîæíèê òåîðèè ìíîæåñòâ íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ãåîðã Êàíòîð ïîä ìíîæåñòâîì ïîíèìàë «âñÿêîå ìíîãîå, ìûñëèìîå, êàê åäèíîå». Îí
âïåðâûå â ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêå èçó÷èë ñâîéñòâà àáñòðàêòíûõ ìíîæåñòâ è
îñóùåñòâèë èõ êëàññèôèêàöèþ, îòâëåêàÿñü îò êîíêðåòíîé ïðèðîäû ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâ. Â ìàòåìàòèêå ïîä ìíîæåñòâîì ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü íåêîòîðûõ îáúåêòîâ, îáúåäèíÿåìûõ ïî îáùèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâàì è ìûñëèìûõ â êà÷åñòâå «åäèíîãî».
Â ñîâðåìåííîé íàóêå ïîíÿòèå ìíîæåñòâà îêóòàíî íàèáîëüøèì ÷èñëîì ïðåäðàññóäêîâ. Â ìàòåìàòèêå ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ óäîáíûì ñðåäñòâîì ïðåâðàùàòü âûñêàçûâàíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû, à îïåðàöèè íàä
âûñêàçûâàíèÿìè â îòîáðàæåíèÿ èëè ôóíêöèè. Ìíîæåñòâî ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê «åäèíîå èìÿ äëÿ ñîâîêóïíîñòè âñåõ îáúåêòîâ, îáëàäàþùèõ
äàííûì ñâîéñòâîì». Ýòî ïðåäëîæåíèå, êàê è ïðåäûäóùèå, ñ òî÷êè çðåíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè, íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ îïðåäåëåíèåì.
Äàòü õîðîøåå îïðåäåëåíèå — çíà÷èò ðàñêðûòü ñóùíîñòü îïðåäåëÿåìîãî îáúåêòà. Íî ñóùíîñòü, êàê ïðàâèëî, íå ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè. Âîçìîæíîñòü íåîãðàíè÷åííîãî óãëóáëåíèÿ â ñóùíîñòü äàæå ñàìîãî ïðîñòîãî
ïåðâè÷íîãî îáúåêòà äåëàåò ïîíÿòíûìè òå òðóäíîñòè, êîòîðûå âñòàþò íà
ïóòè èõ îïðåäåëåíèÿ. Êðîìå òîãî, óãëóáëåíèå çíàíèé î ïðîòèâîðå÷èâûõ
ñâîéñòâàõ ýòèõ îáúåêòîâ âåäåò ê èçìåíåíèþ ïðåäñòàâëåíèé îá èõ ñóùíîñòè, à çíà÷èò è èõ îïðåäåëåíèé. Àêàäåìèê Í. Í. Ëóçèí ïîä÷åðêèâàë, ÷òî
«ñàìîå ñóùåñòâåííîå â ïîíÿòèè ìíîæåñòâà — ýòî àêò îáúåäèíåíèÿ ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ â îäíî öåëîå». Ñ ïîíÿòèåì ìíîæåñòâî ëèíãâèñòè÷åñêèõ îáúåêòîâ ìû âñòðå÷àåìñÿ äîâîëüíî ÷àñòî, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî îáðàçóþò áóêâû ðóññêîãî àëôàâèòà, ìíîæåñòâîì ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü íåêîòîðûõ ñëîâ, îïèñàííûõ â êîíêðåòíîì ñëîâàðå è ò. ä.
Êàíòîðîâñêîå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà ïîòðåáîâàëî ââåäåíèÿ ñëåäóþùèõ òðåõ ñèìâîëîâ.
Ïåðâûé ñèìâîë äîëæåí ïðåäñòàâëÿòü ìíîæåñòâî êàê «åäèíîå», ò. å.
ïðåäñòàâëÿòü ñàìî ìíîæåñòâî. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ èñïîëüçóþòñÿ
ïðîïèñíûå áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà A, B, C, …, X, Y, Z èëè êàêîãî-ëèáî
äðóãîãî ïî ñîãëàøåíèþ.
Âòîðîé ñèìâîë äîëæåí ïðåäñòàâëÿòü «ìíîãîå», ò. å. ðàññìàòðèâàòüñÿ
êàê «ýëåìåíò ìíîæåñòâà». Ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ îáúåê18

òû, ñîñòàâëÿþùèå ìíîæåñòâî. Íàïðèìåð, åñëè ìíîæåñòâî ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñëîâ íåêîòîðîãî ðåàëüíîãî ÿçûêà, ïåðå÷èñëåííûõ â àêàäåìè÷åñêîì ñëîâàðå, òî åãî ýëåìåíòàìè áóäóò ñëîâà. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ èñïîëüçóþòñÿ ñòðî÷íûå áóêâû òîãî æå àëôàâèòà, íàïðèìåð, a, b, c, …, x, y, z.
Òðåòèé ñèìâîë äîëæåí «ñîîòíîñèòü» ýëåìåíò ìíîæåñòâó. Òîò ôàêò,
÷òî «x ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà M» çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
x Î M.
Ýòî âûñêàçûâàíèå ìîæíî òàêæå ïðî÷åñòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: «x
ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó M» èëè «x ñîäåðæèòñÿ â ìíîæåñòâå M». Ñèìâîë «Î» íàçûâàåòñÿ ñèìâîëîì ïðèíàäëåæíîñòè. Îí ïðîèñõîäèò îò ïåðâîé áóêâû ãðå÷åñêîãî ñëîâà esti — áûòü. Åñëè «x íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì
ìíîæåñòâà M», òî ïèøóò
x Ï M,
à ÷èòàþò, êàê «x íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó M», «x íå ñîäåðæèòñÿ â ìíîæåñòâå M».
Ìíîæåñòâî ïðåäïîëàãàåòñÿ çàäàííûì, åñëè î êàæäîì îáúåêòå
ìîæíî ñêàçàòü, ïðèíàäëåæèò îí ýòîìó ìíîæåñòâó èëè íåò. Íàïðèìåð,
íåëüçÿ ãîâîðèòü î «ìíîæåñòâå ñëîâ ðóññêîãî ÿçûêà», òàê êàê ðóññêèé ÿçûê
íåïðåðûâíî îáîãàùàåòñÿ íîâûìè ñëîâàìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, «ìíîæåñòâî
âñåõ ðóññêèõ ñëîâ», ñîäåðæàùèõñÿ â êîíêðåòíîì èçäàíèè «Ñëîâàðÿ ðóññêîãî ÿçûêà Ñ. È. Îæåãîâà», îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó î êàæäîì
ñëîâå ìîæíî ñêàçàòü, åñòü îíî â ýòîì èçäàíèè èëè íåò.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì, êàêèå èç ñëåäóþùèõ ñîâîêóïíîñòåé çàäàþò
ìíîæåñòâà, à êàêèå íåò.
1. Ñîâîêóïíîñòü ñòóäåíòîâ-ôèëîëîãîâ íà ïîòîêå.
2. Ñîâîêóïíîñòü äèíîçàâðîâ â Ìèíñêîì çîîïàðêå.
3. Ñîâîêóïíîñòü âåëèêèõ ðóññêèõ ïèñàòåëåé.
Ïåðâûé ïðèìåð íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé — ýòî ìíîæåñòâî, ïîñêîëüêó ïðî êàæäîãî ñòóäåíòà ìîæíî îäíîçíà÷íî ñêàçàòü, ÷èñëèòñÿ ëè îí íà äàííîì ïîòîêå èëè íåò.
Äëÿ ïîíèìàíèÿ âòîðîãî ïðèìåðà çàìåòèì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, â «îïðåäåëåíèè» ìíîæåñòâà íè÷åãî íå ñêàçàíî î ÷èñëå ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà, â ÷àñòíîñòè ýëåìåíòîâ ìîæåò íå áûòü âîîáùå, õîòÿ ñàìî íàçâàíèå «ìíîæåñòâî»
âûçûâàåò àññîöèàöèè, ÷òî êàæäîå ìíîæåñòâî äîëæíî ñîäåðæàòü ìíîãî
ýëåìåíòîâ. Âî-âòîðûõ, âòîðóþ ñîâîêóïíîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü çàäàííîé —
ïðî êàæäûé îáúåêò ìîæíî òî÷íî ñêàçàòü ïðèíàäëåæèò îí ýòîé ñîâîêóïíîñòè èëè íåò. Åñëè ìíîæåñòâî íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ýëåìåíòà, åãî íàçûâàþò ïóñòûì ìíîæåñòâîì è îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì « Æ ». Ïî ñóùåñòâó,
19

ìû ðàñøèðÿåì ïîíÿòèå ìíîæåñòâà, ââîäÿ îáúåêò «ïóñòîå ìíîæåñòâî», êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâàì, íå îïðåäåëÿþùèì
íèêàêîå ìíîæåñòâî â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ Êàíòîðà.
Âòîðîé ïðèìåð — ýòî ïðèìåð ïóñòîãî ìíîæåñòâà. Íåëüçÿ ñêàçàòü, ÷òî
ïóñòîå ìíîæåñòâî — ýòî «íè÷òî» èëè ÷òî îíî íå ñóùåñòâóåò. Îíî ñóùåñòâóåò òî÷íî òàê æå, êàê ëþáîå äðóãîå ìíîæåñòâî, íå ñóùåñòâóþò åãî
ýëåìåíòû, à àáñòðàêòíîå ïîíÿòèå «íè÷òî» âïåðâûå îáðåëî ñâîé îñÿçàåìûé
ñèìâîë, íàïðèìåð, â òåîðèè ÷èñåë â âèäå íóëÿ.
Ïðèìåðîì ïóñòîãî ìíîæåñòâà ìîæåò ñëóæèòü ìíîæåñòâî ãðàììàòè÷åñêèõ ôîðì, âûðàæàþùèõ êàòåãîðèþ «îïðåäåëåííîñòü — íåîïðåäåëåííîñòü», ò. å. àðòèêëåé, â ðóññêîì è áåëîðóññêîì ÿçûêàõ. Õîòÿ, íàïðèìåð, â áîëãàðñêîì ÿçûêå, â êîòîðîì óïîòðåáëÿþòñÿ îïðåäåëåííûé, íåîïðåäåëåííûé è íóëåâîé àðòèêëè, ìíîæåñòâî àðòèêëåé íå ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì
ìíîæåñòâîì.
Çàìå÷àíèå. Ñèìâîë äëÿ ïóñòîãî ìíîæåñòâà òîëüêî îäèí, ïîòîìó
÷òî ïóñòîå ìíîæåñòâî åäèíñòâåííî.
Â ñàìîì äåëå ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ðàçíûõ ïóñòûõ ìíîæåñòâà. ×òî çíà÷èò, ÷òî ìíîæåñòâà ðàçíûå? Ýòî çíà÷èò, ÷òî â îäíîì èç íèõ
íàéäåòñÿ ýëåìåíò, êîòîðûé íå ïðèíàäëåæèò äðóãîìó. Íî â ïóñòûõ ìíîæåñòâàõ âîîáùå íåò ýëåìåíòîâ, ïîýòîìó ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïóñòîå ìíîæåñòâî åäèíñòâåííî.
Ðàçáåðåì òðåòèé ïðèìåð. Êòî ÿâëÿåòñÿ âåëèêèì ðóññêèì ïèñàòåëåì?
Íàïðèìåð, Ë. Í. Òîëñòîé îïðåäåëåííî âåëèêèé, Ô. Ì. Äîñòîåâñêèé òîæå,
È. Ñ. Òóðãåíåâ è åùå íåñêîëüêî íå âûçûâàþùèõ ñîìíåíèÿ èìåí. À êàê
íàñ÷åò Ì. Å. Ñàëòûêîâà-Ùåäðèíà? Çäåñü, âîçìîæíî, åäèíîãëàñèÿ óæå
íåò. Íå÷åòîê ñàì êðèòåðèé îòíåñåíèÿ ê ñîíìó âåëèêèõ. Ïîýòîìó òðåòüþ
ñîâîêóïíîñòü íåëüçÿ ñ÷èòàòü ìíîæåñòâîì. Ïîäîáíûõ ïðèìåðîâ äîâîëüíî
ìíîãî, ÷òî ïîñëóæèëî îñíîâàíèåì äëÿ ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ «íå÷åòêîãî
ìíîæåñòâà». Ìíîæåñòâà, âêëþ÷àþùèå òîëüêî òàêèå îáúåêòû, ïðèíàäëåæíîñòü èëè íå ïðèíàäëåæíîñòü êîòîðûõ ê òîìó èëè èíîìó ìíîæåñòâó
íå âûçûâàåò ñîìíåíèÿ, íàçûâàþòñÿ «÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè». Òàêèì
ìíîæåñòâîì ïðîòèâîïîñòàâëåíû íå÷åòêèå, èëè ëèíãâèñòè÷åñêèå, ìíîæåñòâà, âêëþ÷àþùèå îáúåêòû, êîòîðûå ìîãóò áûòü îòíåñåíû ê òîìó
èëè èíîìó ìíîæåñòâó ëèøü ñ îïðåäåëåííîé äîëåé äîñòîâåðíîñòè.
Òðåòèé ïðèìåð — ýòî ïðèìåð íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà. Ïîíÿòèå íå÷åòêîãî
ìíîæåñòâà ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü íà ïðèìåðå ñåìàíòè÷åñêèõ ïîëåé
ïðèëàãàòåëüíûõ ìëàäåí÷åñêèé, äåòñêèé, îòðî÷åñêèé, þíîøåñêèé, ìîëîäîé,
çðåëûé, ñòàðûé. Íàïðèìåð, 20-ëåòíèé ìóæ÷èíà ìîæåò áûòü ñ äîñòîâåðíîñòüþ 50 % îòíåñåí ê ìíîæåñòâó þíîøåé, è ñ òîé æå äîñòîâåðíîñòüþ ìîæåò
áûòü îòíåñåí ê ìíîæåñòâó ìîëîäûõ ëþäåé. Àïïàðàò íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ ïðè20

ìåíÿåòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ íå òîëüêî ëèíãâèñòè÷åñêèõ ÿâëåíèé, íî è äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ òàêèõ àñïåêòîâ ÷åëîâå÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ, êîòîðûå íå ïîääàþòñÿ
ñòðîãîìó è îäíîçíà÷íîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó îïèñàíèþ.
À ÷òî òàêîå ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå? Èëè âîîáùå, ÷òî äàëà ìàòåìàòèêà ëþäÿì? Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ìàòåìàòèêà âîçíèêëà â ãëóáîêîé äðåâíîñòè èç
ïðàêòè÷åñêèõ ïîòðåáíîñòåé ëþäåé. Ïî ïîâîäó äðåâíîñòè ìàòåìàòèêè íèêòî íå ñïîðèò,
à âîò ïî ïîâîäó òîãî, ÷òî ïîáóäèëî ëþäåé åþ çàíèìàòüñÿ, ñóùåñòâóåò è äðóãîå ìíåíèå.
Ñîãëàñíî åìó, ìàòåìàòèêà, òàê æå êàê ïîýçèÿ è âîîáùå — èñêóññòâî, áûëà âûçâàíà
ê æèçíè äóõîâíûìè ïîòðåáíîñòÿìè ÷åëîâåêà, åãî ñòðåìëåíèåì ê ïîçíàíèþ è êðàñîòå.
Îäíèõ âäîõíîâëÿåò ïðèêëàäíîé àñïåêò ìàòåìàòèêè, äðóãèõ — åå âíóòðåííÿÿ êðàñîòà è
ãàðìîíèÿ, à òðåòüèõ ïðèâëåêàåò è òî è äðóãîå. Âñå ýòî íàêëàäûâàåò îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ êàê íà ÿçûê ìàòåìàòèêè, òàê è íà åå ëîãè÷åñêóþ àðãóìåíòàöèþ, êîãäà èç âåðíûõ èñõîäíûõ ïîëîæåíèé ïîëó÷àþòñÿ âåðíûå ðåçóëüòàòû.
Îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè ñâÿçàíû òàêæå ñ òåì, ÷òî ñëîæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå
óòâåðæäåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ íà îáû÷íîì ÿçûêå ñ «âêðàïëåíèåì» ôîðìóë. ×åì äàëüøå
ðàçâèâàëàñü ìàòåìàòèêà, è ÷åì áîëüøå ïîíÿòèé âõîäèëî â åå ñëîâàðü, òåì áëèæå ê ãðàíèöå ìåæäó ìàòåìàòèêîé è åñòåñòâåííûì ÿçûêîì ïðîäâèãàëèñü ïàðàäîêñû, ñâÿçàííûå
ñ íåîäíîçíà÷íîñòüþ è íåäîîïðåäåëåííîñòüþ ïðåäëîæåíèé åñòåñòâåííîãî ÿçûêà. Ðàññìîòðèì îäíó èç ñàìûõ ÿðêèõ è ýëåìåíòàðíûõ ôðàç, êîíñòðóêöèÿ êîòîðîé âñòðå÷àåòñÿ
â îïðåäåëåíèè íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ.
Ïàðàäîêñ Áåððè. Íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå íåëüçÿ îïðåäåëèòü
ïðåäëîæåíèåì ðóññêîãî ÿçûêà, ñîäåðæàùèì ìåíåå ñòà áóêâ.
Ñ îäíîé ñòîðîíû, òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó â ðóññêîì ÿçûêå ïðåäëîæåíèé, «ñîäåðæàùèõ ìåíåå ñòà áóêâ» êîíå÷íîå ÷èñëî, à íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî
ìíîãî, ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäè íèõ åñòü íàèìåíüøåå, êîòîðîå íåëüçÿ îïðåäåëèòü óêàçàííîé ôðàçîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàêîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò, òàê êàê îíî îïðåäåëåíî
ôðàçîé, ñîñòîÿùåé ìåíåå ÷åì èç ñòà áóêâ, ò. å. ýòî ïàðàäîêñ, ïîñêîëüêó ïðåäïîëîæåíèå
ïðîòèâîðå÷èò ñàìîìó ñåáå.
Äëÿ èçáåæàíèÿ ïàðàäîêñîâ ñëåäóåò ïðèäåðæèâàòüñÿ ýìïèðè÷åñêîãî ïðàâèëà, êîòîðîå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ëó÷øå íå ãîâîðèòü î ñëèøêîì áîëüøèõ èëè ñëèøêîì ðàñïëûâ÷àòî çàäàííûõ ìíîæåñòâàõ. Íàïðèìåð, çàïðåùàåòñÿ ãîâîðèòü î «ìíîæåñòâå âñåõ
ìíîæåñòâ, äëÿ çàäàíèÿ êîòîðûõ òðåáóåòñÿ íå áîëåå ñòà ñëîâ ðóññêîãî ÿçûêà».

Â çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ñôîðìóëèðóåì çàäà÷ó î òðåõ ÿçûêàõ, äëÿ
ðåøåíèÿ êîòîðîé ïîòðåáóåòñÿ íå òîëüêî ïîíÿòèå ìíîæåñòâà, íî è çíàíèå
îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè. Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ íàïðàâèëî â ãóìàíèòàðíûé ëèöåé èíñïåêòîðà äëÿ ïðîâåðêè ïðåïîäàâàíèÿ èíîñòðàííûõ
ÿçûêîâ. Îí ïðåäñòàâèë â ìèíèñòåðñòâî ñëåäóþùèé îò÷åò.
Îò÷åò èíñïåêòîðà: «Â ëèöåå 100 ó÷àùèõñÿ, êàæäûé èç êîòîðûõ
èçó÷àåò, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí èç òðåõ ÿçûêîâ: àíãëèéñêèé, íåìåöêèé èëè
ôðàíöóçñêèé. Ïðè÷åì âñå òðè ÿçûêà èçó÷àþò 5 ÷åëîâåê, àíãëèéñêèé è
ôðàíöóçñêèé — 8, íåìåöêèé è ôðàíöóçñêèé — 10, àíãëèéñêèé è íåìåöêèé —
20, íåìåöêèé — 23, ôðàíöóçñêèé — 30, àíãëèéñêèé — 50 ÷åëîâåê».
Èíñïåêòîð, ïðåäñòàâèâøèé ýòîò îò÷åò, áûë óâîëåí. Ïî÷åìó?
21

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ
1. Ìîæíî ëè ãîâîðèòü î «ìíîæåñòâå âñåõ ñòèõîòâîðåíèé, îïóáëèêîâàííûõ â Ðåñïóáëèêå Áåëàðóñü»?
2. Ìîæíî ëè ãîâîðèòü î «ìíîæåñòâå êîðîòêèõ ðàññêàçîâ, ñîäåðæàùèõ
íå áîëåå òûñÿ÷è ñëîâ»?
3. Ìîæíî ëè ãîâîðèòü î «ìíîæåñòâå ôýíòåçè â ñîöèàëüíîé ïîñòñîâåòñêîé ôàíòàñòèêå»?

1.2. ÑÏÎÑÎÁÛ ÇÀÄÀÍÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
Îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè ïðè çàäàíèè ìíîæåñòâ âîçíèêàþò èç-çà
íåäîñòàòî÷íîé ÷åòêîñòè îáûäåííîãî ÿçûêà, à òàêæå íåîäíîçíà÷íîñòè
÷åëîâå÷åñêîé ðå÷è. Êðîìå òîãî, ðàçëè÷íûå «ïðîìåæóòî÷íûå ôîðìû» çàòðóäíÿþò èäåíòèôèêàöèþ îáúåêòîâ íà èõ ïðèíàäëåæíîñòü òîìó èëè
èíîìó ìíîæåñòâó.
Ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ çàäàííûì, åñëè åãî ýëåìåíòû ìîæíî îïèñàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïðè êàæäîì åãî ðàññìîòðåíèè èìååòñÿ â âèäó
îäíà è òà æå ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ.
Âîçìîæíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâà. Îäèí èç íèõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äàåòñÿ ïîëíûé ñïèñîê ýëåìåíòîâ, âõîäÿùèõ â ýòî ìíîæåñòâî. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî áóêâ àëôàâèòà áåëîðóññêîãî ÿçûêà, ìíîæåñòâî
ñòóäåíòîâ äàííîé ó÷åáíîé ãðóïïû îïðåäåëÿåòñÿ èõ ñïèñêîì â ýêçàìåíàöèîííîé âåäîìîñòè, ìíîæåñòâî âñåõ ñòðàí íà çåìíîì øàðå — èõ ñïèñêîì â
ïîñëåäíåì èçäàíèè ãåîãðàôè÷åñêîãî àòëàñà, ìíîæåñòâî ïðîèçâåäåíèé âûäàþùåãîñÿ ïèñàòåëÿ — îãëàâëåíèåì ïîëíîãî ñîáðàíèÿ åãî ñî÷èíåíèé.
Ñðàâíèòåëüíî ïðîñòû êîíå÷íûå ìíîæåñòâà. Ñìûñë ýòîãî òåðìèíà
ÿñåí — ýòî ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Êîíå÷íîå
ìíîæåñòâî ìîæíî çàäàòü, ïåðå÷èñëÿÿ åãî ýëåìåíòû. Ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå êîíå÷íîìó ìíîæåñòâó, çàïèñûâàþò ìåæäó äâóìÿ ôèãóðíûìè
ñêîáêàìè è ðàçäåëÿþò èõ çàïÿòûìè.
Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà, îáîçíà÷àþùèõ ãëàñíûå çâóêè, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå {à, å, ¸, è, î, ó, û, ý, þ, ÿ}, à ìíîæåñòâî
ïåðâûõ n ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë êàê {1, 2, 3, …, n}, ãäå ìíîãîòî÷èå
îçíà÷àåò ïðîäîëæåíèå ïåðå÷èñëåíèÿ ýòèõ ýëåìåíòîâ.
Çàìå÷àíèå. Ôèãóðíûå ñêîáêè ââîäÿò èñêóññòâåííûé ïîðÿäîê, ïîñêîëüêó ìû ÷èòàåì ñëåâà íàïðàâî, íî ìíîæåñòâî {x, y} ñîñòîèò èç òåõ æå ñàìûõ ýëåìåíòîâ, ÷òî è {y, x}, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî òî æå ñàìîå ìíîæåñòâî,
ò. å. ïîðÿäîê âíóòðè ôèãóðíûõ ñêîáîê íå èìååò íèêàêîãî çíà÷åíèÿ.
Ñêàçàííîå ìîæíî ïîÿñíèòü ñ ïîìîùüþ ñïèñêà èçáèðàòåëåé. Ïîðÿäîê â
ýòîì ñïèñêå íå ïðåäïîëàãàåò êàêèõ-íèáóäü ïðèâèëåãèé.
22

Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà, «áåçîáèäíîå» íà ïåðâûé âçãëÿä, ïîðîæäàåò ðàçëè÷íûå ïðîáëåìû. Ðàçáåðåì îäíó èç íèõ íà ïðèìåðå ìíîæåñòâà áóêâ ñëîâà
ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ. Ïåðå÷èñëèì ýëåìåíòû, èç êîòîðûõ ñîñòîèò ýòî ìíîæåñòâî:
{Ì, Í, Î, Æ, Å, Ñ, Ò, Â}.
Ïðîáëåìà, êîòîðóþ ìû õîòèì îáñóäèòü, ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ðóññêîì
àëôàâèòå îäíà áóêâà Î, à â ñëîâå ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ èõ äâå. Ïî÷åìó ìû íå çàïèñàëè â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ âòîðóþ áóêâó Î? Ìû ìîãëè áû ãîâîðèòü î ïàðå
«áóêâ-áëèçíåöîâ» Î, íî åñëè ó íàñ íåò ñïîñîáà èõ ðàçëè÷àòü, òî íà ñàìîì
äåëå â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè íåò íè÷åãî, êðîìå îäíîé áóêâû Î. Ìíîæåñòâî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ýëåìåíòàìè, ò. å. êàæäûé ýëåìåíò â ìíîæåñòâå
äîñòàòî÷íî óêàçàòü îäèí ðàç. Ñëåäîâàòåëüíî, âòîðàÿ áóêâà Î íå íóæíà,
ïîñêîëüêó áóêâà Î â íàøåì ìíîæåñòâå óæå åñòü.
Íî êàê òîãäà áûòü â ñèòóàöèè, êîãäà íàì âñå-òàêè íóæíû äâå áóêâû Î,
íàïðèìåð, åñëè ìû ñîñòàâëÿåì ñëîâà èç áóêâ ñëîâà ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ. Âåäü
åñëè áóêâó Î ìîæíî èñïîëüçîâàòü äâà ðàçà, òî ìû ñîñòàâèì áîëüøå ñëîâ.
Âûõîä â òîì, ÷òîáû ðàçëè÷àòü ýòè äâå íåîáõîäèìûå íàì áóêâû, íàïðèìåð,
íàçâàòü èõ Î1 è Î2. Òîãäà ïåðå÷èñëÿÿ ýëåìåíòû, èç êîòîðûõ ñîñòîèò íóæíîå
íàì ìíîæåñòâî, ïîëó÷èì
{Ì, Í, Î1, Æ, Å, Ñ, Ò, Â, Î2}.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ, ïðîáëåìà ðåøåíà, ïîñêîëüêó äâóõ
îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ â îäíîì ìíîæåñòâå íåò. Òàêèå òîíêîñòè, ñâÿçàííûå
ñ íåòî÷íîñòüþ è íåñîâåðøåíñòâîì îáû÷íîãî ÿçûêà, èñïîëüçóåìîãî â ìàòåìàòè÷åñêèõ òåðìèíàõ, âîçíèêàþò, êàê ïðàâèëî, â ñàìûõ ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà åùå îäíîì ïðèìåðå.
Ïðèìåð. Ïóñòü À — ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïåðâûõ n íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ò. å. À = {1, 2, 3, …, n}, ãäå n — ÷èñëî áóêâ ïåðâîé ñòðîêè îñíîâíîãî ñòèõîòâîðíîãî òåêñòà ðîìàíà «Åâãåíèé Îíåãèí». Îïðåäåëèì ÷åìó
ðàâíî n.
Ñ îäíîé ñòîðîíû, ïîä ÷èñëîì n ìîæíî ïîíèìàòü îáùåå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ
áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà, âñòðå÷àþùèõñÿ â ïåðâîé ñòðîêå:
Ì, Î, É, Ä, ß, Ñ, À, Û, Õ, ×, Å, Ò, Í, Ï, Ð, Â, È, Ë.
Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî n = 18 è À = {1, 2, 3, …, 18}. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîä
÷èñëîì n ìîæíî ïîíèìàòü êîëè÷åñòâî âñåõ âõîæäåíèé â ïåðâóþ ñòðîêó, êàê
êîëè÷åñòâî òèïîãðàôñêèõ çíàêîâ:
Ì1, Î1, É1, Ä1, ß1, Ä2, ß2, Ñ1, À1, Ì2, Û1, Õ1,
×1, Å1, Ñ2, Ò1, Í1, Û2, Õ2 Ï1, Ð1, À2, Â1, È1, Ë1.
Òîãäà ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî n = 25 è À = {1, 2, 3, …, 25}. Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ñ êàêîé òùàòåëüíîñòüþ íóæíî ôîðìóëèðîâàòü è ïîäðîáíî ðàçúÿñ23

íÿòü ïîíÿòèå ìíîæåñòâà, ÷òîáû èçáåæàòü íåÿñíîñòè è äâóñìûñëåííîñòè,
ñâîéñòâåííîé íàøåìó åñòåñòâåííîìó ÿçûêó.
Çàìåòèì, ÷òî ìíîãîòî÷èå, êàê ïðîäîëæåíèå ïåðå÷èñëåíèÿ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü è
äëÿ íåêîòîðûõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Â ìàòåìàòèêå áåñêîíå÷íîìó ìíîæåñòâó ÷àùå
âñåãî äàþò íåãàòèâíîå îïðåäåëåíèå, ò.å. áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî — ýòî ìíîæåñòâî,
íå ÿâëÿþùååñÿ êîíå÷íûì. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë ìîæíî
îáîçíà÷èòü êàê {1, 2, 3, 4, 5, …}. Ïðè ïåðå÷èñëåíèè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùèå ýòè ýëåìåíòû,
ò. å. ñâîéñòâà, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò ýëåìåíòû äàííîãî ìíîæåñòâà, è òîëüêî îíè. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî êâàäðàòîâ âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìåíüøå èëè
ðàâíû n, ìîæíî îïèñàòü êàê {1, 4, 9, …, n2}, à áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî êóáîâ âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë ìîæíî çàïèñàòü êàê {1, 8, 27, …, k3, …}. Î÷åâèäíî, ÷òî çàäàíèå
ìíîæåñòâà ñ ïîìîùüþ ïåðå÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ óäîáíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà ìàëî èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà
ëåãêî îïèñàòü.
×ëåíû Ëàïóòÿíñêîé àêàäåìèè, î êîòîðûõ ïèñàë Äæîíàòàí Ñâèôò â ðîìàíå
«Ïóòåøåñòâèå Ãóëëèâåðà», ñ÷èòàëè, ÷òî ãîâîðèòü âðåäíî, ïîñêîëüêó «êàæäîå ïðîèçíîñèìîå íàìè ñëîâî ñîïðÿæåíî ñ èçíàøèâàíèåì ëåãêèõ». Ïîýòîìó îíè òàñêàëè ñ ñîáîé
ìåøêè ñ ðàçíîîáðàçíûìè ïðåäìåòàìè, «íåîáõîäèìûìè äëÿ âûðàæåíèÿ íàøèõ ìûñëåé
è æåëàíèé». Âìåñòî òîãî ÷òîáû íàçâàòü òó èëè èíóþ âåùü, «àêàäåìèê» âûíèìàë åå èç
ìåøêà è ïîêàçûâàë íà íåå. Ýòà ïðîöåäóðà î÷åíü ïîõîæà íà çàäàíèå íóæíûõ ýëåìåíòîâ
ìíîæåñòâà, ò. å. ïðåäìåòîâ èç ìåøêà, ñ ïîìîùüþ ïåðå÷èñëåíèÿ. Â äàííîì ñëó÷àå íåëåïîñòü òàêîãî îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà î÷åâèäíà — ìåøêè ñ ïðåäìåòàìè ìîãóò ñòàòü íåïîäúåìíûìè.

Â îáùåì ñëó÷àå ìíîæåñòâî çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ óêàçàíèÿ õàðàêòå
ðèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ åãî ýëåìåíòîâ, ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ôèãóðíûå
ñêîáêè, à âíóòðè íèõ ïðèâîäÿòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà, îïèñûâàþùèå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà. Òàê, çàïèñü
{x : x îáëàäàåò ñâîéñòâîì P}
çàäàåò ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òîëüêî òå îáúåêòû, êîòîðûå èìåþò ñâîéñòâî Ð. Äâîåòî÷èå â ýòîé çàïèñè ìîæíî ÷èòàòü êàê «òàêîé, ÷òî». Íàïðèìåð, ñîâîêóïíîñòü ÷èñåë {n : n — öåëîå ÷èñëî è 1 £ n £ 1 000 000} çàäàåò
ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë îò 1 äî 1 000 000, à ñîâîêóïíîñòü ëþäåé
{x : x — ãðàæäàíèí Ðåñïóáëèêè Áåëàðóñü} îïèñûâàåò ìíîæåñòâî âñåõ
ãðàæäàí Ðåñïóáëèêè Áåëàðóñü.
Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî äâà ðàçíûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâà
çàäàþò îäíî è òî æå ìíîæåñòâî. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî À = {11, 22, 33,
44, 55, 66, 77, 88, 99} — ýòî «ìíîæåñòâî äâóçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,
îáå öèôðû êîòîðûõ îäèíàêîâû» è «ìíîæåñòâî äâóçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 11». Çàäàíèå ìíîæåñòâ èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè
ñâîéñòâàìè ìîæåò ïðèâåñòè ê îñëîæíåíèÿì, êîãäà äâà ðàçëè÷íûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâà çàäàþò îäíî è òî æå ìíîæåñòâî. Íàïðèìåð, «ìíîæå24

ñòâî òîëñòîêîæèõ ñóõîïóòíûõ æèâîòíûõ, èìåþùèõ äâà áèâíÿ» è «ìíîæåñòâî òîëñòîêîæèõ æèâîòíûõ, èìåþùèõ õîáîò» — ýòî îäíî è òî æå ìíîæåñòâî ñëîíîâ.
Çàìå÷àíèå. Ñïîñîá çàäàíèÿ ìíîæåñòâà ïóòåì óêàçàíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ñâîéñòâà äîëæåí áûòü àäåêâàòíûì, ò. å. äîëæåí ïîëíîñòüþ
îïðåäåëÿòü ìíîæåñòâî.
Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñîâîêóïíîñòè:
A = {x : x — âûñîêèé ñòóäåíò äàííîé ãðóïïû};
B = {x : x — õîðîøèé ñòóäåíò äàííîé ãðóïïû};
Ñ = {x : x — ïðèâëåêàòåëüíàÿ ñòóäåíòêà ãðóïïû}.
Åñëè ñîâîêóïíîñòè À è B îïðåäåëåíû íåîäíîçíà÷íî, ò. å. â êà÷åñòâå
ýëåìåíòîâ êàê èç À, òàê è èç B ðàçíûå ëþäè ìîãóò ðàññìàòðèâàòü, âîîáùå
ãîâîðÿ, ðàçíûõ ñòóäåíòîâ, òî îïðåäåëèòü ñòóäåíòîê ñîâîêóïíîñòè Ñ íàñòîëüêî òðóäíî, ÷òî äàæå íå ñòîèò ïûòàòüñÿ ýòî äåëàòü.
Çàìå÷àíèå. Ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîãî ýëåìåíòà {x} íå ñëåäóåò ïóòàòü ñ ñàìèì ýòèì ýëåìåíòîì x.
Ýòî ìîæíî ïîÿñíèòü èñõîäÿ èç ñëåäóþùåãî ñîîáðàæåíèÿ. Ìíîæåñòâî
{x}, êîòîðîå ìîæíî îïðåäåëèòü êàê {z : z = x}, ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîãî ýëåìåíòà x, à ýëåìåíò x ñàì ìîæåò îêàçàòüñÿ ìíîæåñòâîì, ñîäåðæàùèì ñêîëüêî
óãîäíî ýëåìåíòîâ èëè âîîáùå áåç ýëåìåíòîâ, ò. å. ïóñòûì ìíîæåñòâîì Æ.
Íàïðèìåð, åñëè ðàññìîòðåòü ìíîæåñòâî ãðóïï ñòóäåíòîâ íà ôèëîëîãè÷åñêîì ôàêóëüòåòå, òî ýëåìåíòàìè òàêîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ äðóãèå ìíîæåñòâà, à èìåííî ìíîæåñòâà, ñîñòàâëåííûå èç ñòóäåíòîâ êîíêðåòíûõ ãðóïï.
Â ÷àñòíîñòè, {{1, 2}, {2, 3}} — ýòî äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, ñîñòàâëåííîå
èç äâóõ ðàçíûõ ýëåìåíòîâ {1, 2} è {2, 3}, ïîýòîìó ìíîæåñòâî {{1, 2}, {2, 3}}
íå ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì {1, 2, 3}. Â ñèëó ñäåëàííîãî çàìå÷àíèÿ, ïóñòîå
ìíîæåñòâî Æ, êîòîðîå ìîæíî, íàïðèìåð, îïðåäåëèòü êàê {x : x ¹ x}, è ìíîæåñòâî âèäà {Æ} — ýòî ñîâåðøåííî ðàçíûå ìíîæåñòâà. Ïåðâîå — ýòî ïóñòîå
ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà, à âòîðîå — íå ïóñòî, åãî
åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì ÿâëÿåòñÿ ñàìî ïóñòîå ìíîæåñòâî, ò. å. Æ Î {Æ}. Â
÷àñòíîñòè, {Æ} — ýòî åäèíñòâåííûé ýëåìåíò íåïóñòîãî ìíîæåñòâà âèäà
{{Æ}}, ò. å. {Æ} Î {{Æ}}.
Äðàìàòè÷åñêèå ñîìíåíèÿ, ñîñòàâèâøèå ãëàâíóþ òåìó òþò÷åâñêîãî «Silentium!» (Ìîë÷àíèå!) — ýòî, ïî ñóùåñòâó, ôèëîñîôñêàÿ ðåôëåêñèÿ íàä ñëîâîì: «Äðóãîìó êàê ïîíÿòü òåáÿ?» Äàæå åñëè íå÷òî è ñóùåñòâóåò, òî êàê ïåðåäàòü èëè ðàñòîëêîâàòü ýòî äðóãîìó? Íàïðèìåð, ìîæíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå
ïóñòîå ñëîâî, ñîâñåì íå ñîäåðæàùåå áóêâ, ðàññóæäàÿ î íåì òàê, êàê åñëè áû
äëÿ åãî îñóùåñòâëåíèÿ íå ñóùåñòâîâàëî áû íèêàêèõ ïðåïÿòñòâèé. Òàêóþ ìàíåðó ðàññóæäåíèé íàçûâàþò àáñòðàêöèåé ïîòåíöèàëüíîé îñóùåñòâèìîñòè,
25

ãäå ñëîâî «àáñòðàêöèÿ» îçíà÷àåò îòâëå÷åíèå. Âñÿ ñëîæíîñòü â òîì, ÷òî àáñòðàêòíûå è îòâëå÷åííûå ìåòîäû ïðèìåíÿþòñÿ ê æèâûì, åñòåñòâåííûì ÿçûêàì. Ïîýòîìó òàêèå ìåòîäû ïðèìåíÿþòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà êîíêðåòíûå
ôàêòû è õàðàêòåðèñòèêè ÿçûêà ïîääàþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé îáðàáîòêå è
âûÿâëÿþò íåÿâíûå àñïåêòû ñàìîãî ÿçûêà.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ
1. Âåðíî ëè, ÷òî â ÷èñëîâîì ìíîæåñòâå {9, 9, 10} íå òðè, à òîëüêî äâà
ýëåìåíòà?
2. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü äëÿ çàäàííîãî ìíîæåñòâà Ì = {{5, 6, 7}}, ÷òî
5ÏÌ?
3. Âåðíî ëè, ÷òî ìíîæåñòâà Æ, {Æ} è {Æ, {Æ}} — ýòî òðè ðàçíûõ ìíîæåñòâà?

1.3. ÎÏÅÐÀÖÈÈ ÍÀÄ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÌÈ
Ââåäåíèå ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà â ìàòåìàòèêó îêàçàëîñü î÷åíü ïîëåçíûì
è ïëîäîòâîðíûì. Ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ ìîãóò áûòü îáúåêòû ðàçëè÷íîé ïðèðîäû, ïîýòîìó îäíè è òå æå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ ìíîæåñòâ, ìîæíî èñòîëêîâûâàòü, íàïðèìåð, è êàê óòâåðæäåíèÿ î ÷èñëàõ, è êàê óòâåðæäåíèÿ î
ëèíãâèñòè÷åñêèõ îáúåêòàõ.
Èç ìíîæåñòâ ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåííûõ îïåðàöèé, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûìè îïåðàöèÿìè, ìîæíî îáðàçîâûâàòü íîâûå ìíîæåñòâà, ïîäîáíî òîìó, êàê èç ÷èñåë ïîñðåäñòâîì îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ íîâûå ÷èñëà. Çàäàòü îïåðàöèþ íàä ìíîæåñòâàìè — ýòî, ïðåæäå âñåãî, çíà÷èò óêàçàòü ñïîñîá êàê ïî äâóì çàäàííûì
ìíîæåñòâàì A è B ñòðîèòü òðåòüå ìíîæåñòâî. Âî âñåõ îïåðàöèÿõ, êîòîðûå
ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü, âîïðîñ î òîì, âõîäèò ëè êàêîé-ëèáî ýëåìåíò â
ïîñòðîåííîå íîâîå ìíîæåñòâî, ïîëíîñòüþ ðåøàåòñÿ èñõîäÿ òîëüêî èç òîãî,
â êàêèå èç ìíîæåñòâ A è B îí âõîäèò, à â êàêèå — íåò. Ýòî òðåáîâàíèå âõîäèò â îïðåäåëåíèå âñåõ, ðàññìàòðèâàåìûõ â ýòîì ðàçäåëå îïåðàöèé.
Èçó÷åíèå îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò àëãåáðû
ìíîæåñòâ, ò. å. ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðóêòóðû, â êîòîðîé îïðåäåëåíû íåêîòîðûå îòíîøåíèÿ è îïåðàöèè. Àëãåáðà ìíîæåñòâ èìååò ìíîãî îáùåãî ñ
îáûêíîâåííîé ÷èñëîâîé àëãåáðîé, õîòÿ êîå â ÷åì ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ
îò íåå. Â ÷àñòíîñòè, òîò ôàêò, ÷òî àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû ìîãóò áûòü
ïðèìåíåíû ê èçó÷åíèþ íå÷èñëîâûõ îáúåêòîâ, óêàçûâàåò íà îáùíîñòü èäåé
ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Çàìåòèì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû òåîðèè ìíîæåñòâ îáëàäàþò áîëüøîé îáùíîñòüþ. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ.
26

Ïðåæäå ÷åì äàâàòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè çàìåòèì,
÷òî îïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü áîëåå ãëóáîêèì èëè ìåíåå ãëóáîêèì, è åãî ãëóáèíà çàâèñèò, ïðåæäå âñåãî, îò îáùåãî óðîâíÿ òåõ, äëÿ êîãî îíî ïðåäíàçíà÷àåòñÿ, è îò óðîâíÿ çíàíèé îá îïðåäåëÿåìîì ìàòåìàòè÷åñêîì îáúåêòå èëè
îïåðàöèè íàä íèì. ×åì áîëüøå ìû ñàìè çíàåì è ÷åì ëó÷øå çíàåì îïðåäåëÿåìûé ïðåäìåò, òåì áîëüøå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàì óäàñòñÿ íàéòè óäîâëåòâîðÿþùåå âñåõ îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B, îáîçíà÷àåòñÿ A Ì B (èëè B É A), åñëè êàæäûé ýëåìåíò
ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B.
A Ì B Û (" x ) ( x Î A Þ x Î B ).
Â ýòîé ñèìâîëè÷åñêîé çàïèñè èñïîëüçîâàíû ëîãè÷åñêèå îáîçíà÷åíèÿ:
ñèìâîë " — êâàíòîð âñåîáùíîñòè («äëÿ âñåõ», «äëÿ ëþáîãî»), çíàê Þ —
èìïëèêàöèÿ (ò. å. X Þ Y îçíà÷àåò: «åñëè X, òî Y», «â ñëó÷àå X âûïîëíÿåòñÿ
Y»), íàêîíåö, ëîãè÷åñêàÿ ñâÿçêà Û — ýêâèâàëåíòíîñòü («åñëè è òîëüêî
åñëè», èëè ðèòóàëüíîå âûðàæåíèå «òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà»), íàçûâàåìàÿ èíîãäà «äâîéíîé èìïëèêàöèåé».
Íàøè ðàññóæäåíèÿ ñëàãàþòñÿ èç âûñêàçûâàíèé. Ïîíÿòèå âûñêàçûâàíèÿ — îäíî èç èñõîäíûõ, êëþ÷åâûõ ïîíÿòèé ëîãèêè. Â òàêîì êà÷åñòâå, êàê
è ïîíÿòèå ìíîæåñòâà, îíî íå äîïóñêàåò òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ, â ðàâíîé
ìåðå ïðèëîæèìîãî â ðàçíûõ åå ðàçäåëàõ. Òåì íå ìåíåå ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî
âûñêàçûâàíèå — ýòî ãðàììàòè÷åñêè ïðàâèëüíîå ïðåäëîæåíèå, âçÿòîå
âìåñòå ñ âûðàæàåìûì èì ñìûñëîì, äàþùèì ïðåäñòàâëåíèå î òîì, â êàêîé
ñèòóàöèè îíî áóäåò èñòèííûì, à â êàêîé ëîæíûì. Õîòÿ ñ èñòèíîé áûâàåò
ïî-ðàçíîìó. Ìû âñå ñòðåìèìñÿ ê íåé, íî ðåäêî åå äîñòèãàåì, ïîýòîìó õîðîøî áûòü ìàòåìàòèêîì ëèáî òåì, êòî «çíàåò ÿâëåííóþ åìó èñòèíó».
Âûñêàçûâàíèå «ìíîæåñòâî A åñòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B», ò. å.
A Ì B, ìîæíî òàêæå ïðî÷åñòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: «ìíîæåñòâî A âêëþ÷åíî â ìíîæåñòâî B», èëè «ìíîæåñòâî B âêëþ÷àåò ìíîæåñòâî A», à ñèìâîë
Ì íàçûâàåòñÿ ñèìâîëîì âêëþ÷åíèÿ.
Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî M = {âñåõ êíèã ðóññêèõ àâòîðîâ íåêîòîðîé
áèáëèîòåêè} åñòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà N = {âñå êíèãè ýòîé áèáëèîòåêè}, ò. å. M Ì N. Ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ òðåòüåãî êóðñà ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà óíèâåðñèòåòà ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì â ìíîæåñòâå âñåõ ñòóäåíòîâ äàííîãî ôàêóëüòåòà. Â ñâîþ î÷åðåäü, ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì â ìíîæåñòâå âñåõ ñòóäåíòîâ
óíèâåðñèòåòà.
Çàìå÷àíèå. Â ÷èñëî «ïîäìíîæåñòâ» íåïóñòîãî ìíîæåñòâà A óäîáíî
âêëþ÷èòü ñàìî A è ïóñòîå ìíîæåñòâî Æ, ò.å. A Ì A è Æ Ì A.
27

Òàêèì îáðàçîì, âñÿêîå ìíîæåñòâî åñòü ïîäìíîæåñòâî ñàìîãî ñåáÿ.
Âòîðîå âêëþ÷åíèå ìîæíî ìîòèâèðîâàòü èñõîäÿ èç ñëåäóþùåãî ðàññóæäåíèÿ. Åñëè áû ïóñòîå ìíîæåñòâî Æ íå áûëî ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà A,
òî îíî ñîäåðæàëî áû ýëåìåíò, ïðèíàäëåæàùèé ìíîæåñòâó Æ, íî íå ïðèíàäëåæàùèé ìíîæåñòâó A, à ïîñêîëüêó ïóñòîå ìíîæåñòâî íå ñîäåðæèò
ýëåìåíòîâ, òî ýòî íåâîçìîæíî. Ýòè äâà ïîäìíîæåñòâà, ò.å. Æ è A, íàçûâàþòñÿ íåñîáñòâåííûìè ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà A. Îñòàëüíûå ïîäìíîæåñòâà, åñëè òàêîâûå åñòü, íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà A. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî áóêâ, îáîçíà÷àþùèõ ãëàñíûå
çâóêè, ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà áóêâ ðóññêîãî
àëôàâèòà.
Ïðèìåð. Ïîñ÷èòàåì ÷èñëî ïîäìíîæåñòâ ñëåäóþùèõ òðåõ êîíå÷íûõ
ìíîæåñòâ.
1. Ïîäìíîæåñòâàìè äâóõýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà {0, 1} ÿâëÿþòñÿ ÷åòûðå ìíîæåñòâà: Æ, {0}, {1}, {0, 1}.
2. Ïîäìíîæåñòâàìè òðåõýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà {0, 1, 2} ÿâëÿþòñÿ
âîñåìü ìíîæåñòâ: Æ, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}.
3. Íàêîíåö, ó êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî èç n ýëåìåíòîâ, áóäåò
ðîâíî 2n ïîäìíîæåñòâ, âêëþ÷àÿ ïóñòîå è åãî ñàìîãî.
Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì ïðèÿòíîå ñâîéñòâî ïîäìíîæåñòâ: ïîäìíîæåñòâî ïîäìíîæåñòâà ñàìî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì, ò. å. åñëè
C Ì B è B Ì A, òî C Ì A.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà C ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B, à êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà B ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A, òî êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà C åñòü ýëåìåíò ìíîæåñòâà A.
×òîáû èçáåæàòü íåêîòîðûõ ïðîòèâîðå÷èé îãðàíè÷èì êðóã ðàññìàòðèâàåìûõ ìíîæåñòâ, ò. å. áóäåì ðàáîòàòü ñ ìíîæåñòâàìè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ìíîæåñòâ, âñòðå÷àþùèõñÿ â «ïðèðîäå» èëè êîíêðåòíîé îáëàñòè
çíàíèÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé. Îáû÷íî âñå ìíîæåñòâà, ñ êîòîðûìè èìåþò äåëî â ìàòåìàòè÷åñêîì ðàññóæäåíèè, ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ìíîæåñòâà. Ïîýòîìó áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìíîæåñòâà, ðàññìàòðèâàåìûå â ðàìêàõ êàêîé-ëèáî òåîðèè, ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè îäíîãî ìíîæåñòâà, íàçûâàåìîãî óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì. Áóäåì îáîçíà÷àòü åãî ÷åðåç U. Êðàéíå ðåäêî âñòðå÷àþòñÿ ðàññóæäåíèÿ, â êîòîðûõ èäåò ðå÷ü, íàïðèìåð, î ìíîæåñòâå âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è ìíîæåñòâå âñåõ êíèã â óíèâåðñèòåòñêîé áèáëèîòåêå. Â äàëüíåéøåì ñëîâî «ìíîæåñòâî» âñåãäà áóäåò îçíà÷àòü
ïîäìíîæåñòâî íåêîòîðîãî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà.
28

Ñóùåñòâóåò î÷åíü óäîáíûé ïðèåì íàãëÿäíîãî èçîáðàæåíèÿ âçàèìîîòíîøåíèé ìåæäó ìíîæåñòâàìè, ïîçâîëÿþùèé èëëþñòðèðîâàòü îïåðàöèè íàä íèìè, — òàê íàçûâàåìûå äèàãðàììû Ýéëåðà – Âåííà. Ìíîæåñòâà
â ýòèõ äèàãðàììàõ ÷àùå âñåãî èçîáðàæàþòñÿ êðóãàìè, òî÷íåå âíóòðåííîñòüþ ýòèõ êðóãîâ, à ïðÿìîóãîëüíèê èçîáðàæàåò óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U. Äîñòàòî÷íî îñíîâàòåëüíî «ìåòîä êðóãîâ» ðàçâèë øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê Ëåîíàðä Ýéëåð, õîòÿ ýòèì ìåòîäîì ìàòåìàòèêè ïîëüçîâàëèñü è äî
íåãî. Èäåÿ ãðàôè÷åñêèõ ìåòîäîâ ñòàëà îñîáåííî ïîïóëÿðíîé ïîñëå òîãî,
êàê àíãëèéñêèé ëîãèê Äæîí Âåíí ïîäðîáíî èçëîæèë èõ â êíèãå «Ñèìâîëè÷åñêàÿ ëîãèêà».

Â äèàãðàììàõ Ýéëåðà – Âåííà íå èìååò çíà÷åíèÿ îòíîñèòåëüíûé ðàçìåð êðóãîâ, à òîëüêî èõ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå. Íà ðèñ. 1.1 äâà ìíîæåñòâà
A è B èçîáðàæåíû êðóãàìè, ïðè÷åì âèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî A âêëþ÷åíî â
ìíîæåñòâî B, ò. å. A Ì B, è A — ñîáñòâåííîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B,
êîòîðîå íå ñîâïàäàåò ñ íèì. Íà ðèñ. 1.2 òàêæå èçîáðàæåíî âêëþ÷åíèå
A Ì B, íî ïðè ýòîì ìíîæåñòâà A è B ñîâïàäàþò. Âîîáùå ãîâîðÿ, äèàãðàììû
Ýéëåðà – Âåííà ñàìè íè÷åãî íå äîêàçûâàþò, à òîëüêî èëëþñòðèðóþò è ïîìîãàþò äîêàçàòü.
Äâà ìíîæåñòâà ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå
ñâîéñòâà ýêâèâàëåíòíû. Åñëè ìàòåìàòèêè óñëîâëèâàþòñÿ ñ÷èòàòü íåêîòîðûå ìíîæåñòâà ðàâíûìè, òî òåì ñàìûì îíè îòêàçûâàþòñÿ ðàññìàòðèâàòü
òå ñâîéñòâà ýòèõ îáúåêòîâ, êîòîðûå íàðóøàþò ðàâåíñòâî.
Çàìå÷àíèå. Îòîæäåñòâëÿÿ ìíîæåñòâà, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà êîòîðûõ ýêâèâàëåíòíû, òåì ñàìûì êîñâåííî çàÿâëÿåòñÿ, ÷òî,
âî-ïåðâûõ, ýëåìåíòû â ìíîæåñòâàõ ðàâíîïðàâíû, ïîñêîëüêó òîëüêî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ýëåìåíòà ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå ïðè îáðàçîâàíèè ìíîæåñòâà, à, âî-âòîðûõ, ýëåìåíòû íå ïîâòîðÿþòñÿ.
Èç îïðåäåëåíèÿ ïîäìíîæåñòâà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî A âêëþ÷åíî
â ìíîæåñòâî B, ò. å. A Ì B, åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà B {õ. ñ. B}
ñëåäóþò èç õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ A {õ. ñ. A}, ò. å. ñïðàâåäëèâà èìïëèêàöèÿ {õ. ñ. A} Þ {õ. ñ. B}. Ñâîéñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè {õ. ñ. A} è {õ. ñ. B}
29

÷åðåç ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè èìïëèêàöèè ìîæíî ñèìâîëè÷åñêè çàïèñàòü â
âèäå:
({õ. ñ. A} Û {õ. ñ. B}) Û ({õ. ñ. A} Þ {õ. ñ. B} è {õ. ñ. B} Þ {õ. ñ. A}).
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ðàâåíñòâà ìíîæåñòâ ìîæíî äàòü ñëåäóþùåå ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå ðàâåíñòâà ìíîæåñòâ. Ìíîæåñòâà A è B ðàâíû, îáîçíà÷àåòñÿ A = B, åñëè âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A ïðèíàäëåæàò òàêæå
ìíîæåñòâó B, à âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà B ïðèíàäëåæàò òàêæå ìíîæåñòâó A:
A = B Û A Ì B è B Ì A.
Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ A = B, åñëè êàæäîå èç äâóõ ìíîæåñòâ
åñòü ïîäìíîæåñòâî äðóãîãî ìíîæåñòâà, ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü, ÷òî
ìíîæåñòâà A è B «ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ».
Íàïðèìåð, ñðàâíèâàÿ ìíîæåñòâî A, ñîñòîÿùåå èç ñëîâîôîðì âû, âàñ,
âàì, âàìè ñ ìíîæåñòâîì B, ñîñòîÿùèì èç ôîðì ñêëîíåíèÿ ìåñòîèìåíèÿ âû,
óáåæäàåìñÿ, ÷òî A Ì B è B Ì A, ò. å. ÷òî ýòè ìíîæåñòâà ðàâíû, A = B.
Îïðåäåëåíèå ðàâåíñòâà ìíîæåñòâ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà òó ñèòóàöèþ, êîãäà ýòè ìíîæåñòâà âîîáùå íå ñîäåðæàò ýëåìåíòîâ.
Çàìå÷àíèå. Âñå ïóñòûå ìíîæåñòâà ðàâíû ìåæäó ñîáîé, ò. å. ñóùåñòâóåò òîëüêî îäíî ïóñòîå ìíîæåñòâî Æ.
Ïîñêîëüêó ïóñòîå ìíîæåñòâî çàäàåòñÿ òîæäåñòâåííî ëîæíûì õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì âñå ïóñòûå ìíîæåñòâà
äîëæíû áûòü ðàâíû.
Òðèâèàëüíûå èäåè èíîãäà òðóäíî îñîçíàòü. Ëþáûå äâà ïóñòûõ ìíîæåñòâà ðàâíû, ïîòîìó ÷òî íåò ýëåìåíòîâ, ïî êîòîðûì èõ ìîæíî áûëî áû
ðàçëè÷àòü.
Ïîýòîìó, íàïðèìåð, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî «ìíîæåñòâî äèíîçàâðîâ â
Ìèíñêîì çîîïàðêå» ðàâíî «ìíîæåñòâó êâàäðàòíûõ êðóãîâ». Êîãäà ìàòåìàòèêà ðàñõîäèòñÿ ñî çäðàâûì ñìûñëîì, âñòóïàåò â ñâîè ïðàâà êîíòåêñò,
ò. å. íåêîòîðûå òîíêîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ðàññìàòðèâàåìûõ ìíîæåñòâ.
Íåðàâåíñòâî ìíîæåñòâ A è B, îáîçíà÷àåòñÿ A ¹ B, óêàçûâàåò íà òî,
÷òî, ïî êðàéíåé ìåðå, â îäíîì èç ýòèõ ìíîæåñòâ åñòü òàêîé ýëåìåíò, êîòîðîãî íåò â äðóãîì ìíîæåñòâå. Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà A è
B íå ðàâíû äðóã äðóãó, íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî îäíî èç âêëþ÷åíèé A Ì B èëè
B Ì A íåâåðíî. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðåäúÿâèòü õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò,
30

ïðèíàäëåæàùèé îäíîìó ìíîæåñòâó, íî íå ÿâëÿþùèéñÿ ýëåìåíòîì äðóãîãî
ìíîæåñòâà.
Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî óäàðíûõ ãëàñíûõ ôîíåì ïî êëàññèôèêàöèè
Ë. Â. Ùåðáû íå ðàâíî ìíîæåñòâó òåõ æå ôîíåì â êëàññèôèêàöèîííîé ñõåìå
Ð. È. Àâàíåñîâà (ñì.: Ïèîòðîâñêèé Ð. Ã., Áåêòàåâ Ê. Á., Ïèîòðîâñêàÿ À. À.
«Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëèíãâèñòèêà». Ì., 1977).
Ïðèìåð. Ïóñòü ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ A è B ÿâëÿþòñÿ òîìà ñîáðàíèÿ ñî÷èíåíèé îäíîãî è òîãî æå êëàññèêà, ïðåäñòàâëåííûå íîìåðàìè òîìîâ: A = {1, 2, 3} è B = {1, 2, 3}. Âûÿñíèì, ðàâíû ëè ìíîæåñòâà A è B.
Âîîáùå ãîâîðÿ, èç ïîïàðíîãî ðàâåíñòâà ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé ýëåìåíòîâ äâóõ ðàçëè÷íûõ ìíîæåñòâ åùå íå ñëåäóåò èõ âçàèìíîå âêëþ÷åíèå.
Åñëè ïðèíàäëåæíîñòü ýëåìåíòîâ îäíîãî ìíîæåñòâà äðóãîìó ìíîæåñòâó
íå îïðåäåëåíà ïî óñëîâèþ çàäà÷è, òî òîãäà ìîæíî ïîïûòàòüñÿ óñòàíîâèòü åå íà îñíîâàíèè äîïîëíèòåëüíûõ ñâîéñòâ ýëåìåíòîâ. Ðàññìîòðèì,
íàïðèìåð, ñëåäóþùèå äâà ñëó÷àÿ.
Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî ìíîæåñòâî êíèã A — ÷àñòü äîìàøíåé áèáëèîòåêè, à ìíîæåñòâî êíèã B — ÷àñòü óíèâåðñèòåòñêîé áèáëèîòåêè. Ïîñêîëüêó
îäíè è òå æå òîìà äàííîãî êëàññèêà ïðèíàäëåæàò ðàçíûì áèáëèîòåêàì, òî
ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ íåëüçÿ ñêàçàòü, ÷òî A = B, ò. å. ýòè ìíîæåñòâà ðàçëè÷íû.
Ïóñòü òåïåðü â ìíîæåñòâàõ A è B ýëåìåíòû 1, 2, 3 — òîìà äàííîãî
êëàññèêà èç óíèâåðñèòåòñêîé áèáëèîòåêè, âûäàâàåìûå â ðàçíîå âðåìÿ
äâóì ðàçëè÷íûì ÷èòàòåëÿì: ïåðâûé ÷èòàòåëü ïîëó÷èë òîìà ìíîæåñòâà A,
à âòîðîé — ìíîæåñòâà B. Â òàêîì êîíòåêñòå ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî A = B,
ò. å. ýòè ìíîæåñòâà ðàâíû.
Çàìå÷àíèå. Åñëè ïîðÿäîê ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà ñïåöèàëüíî íå îãîâîðåí, òî ëþáîå ìíîæåñòâî ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íåóïîðÿäî÷åííîå.
Íàïðèìåð, åñëè x è y ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû, òî äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî {x, y} ìîæíî îïðåäåëèòü êàê íåóïîðÿäî÷åííóþ ïàðó ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
{z : z = x èëè z = y}.
Ïðè ýòîì ìû èñõîäèì èç ñóùåñòâîâàíèÿ â åñòåñòâåííîì ÿçûêå îáúåêòèâíî çàäàííîãî ðàçäåëåíèÿ ôðàç íà ãðàììàòè÷åñêè äîïóñòèìûå è ãðàììàòè÷åñêè íåäîïóñòèìûå, òàê ÷òî î êàæäîé ôðàçå ìû ìîæåì ñäåëàòü îäèí
èç äâóõ âçàèìíî èñêëþ÷àþùèõ äðóã äðóãà âûâîäîâ: ýòà ôðàçà äîïóñòèìà
èëè íåäîïóñòèìà. Äåéñòâèòåëüíî, èç îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà ìíîæåñòâ
ñëåäóåò, ÷òî åñëè, íàïðèìåð, M = {a, b}, ò. å. äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, òî
M = {b, a}, ïîñêîëüêó êàê a, b Î M, òàê è b, a Î M, â ÷àñòíîñòè, ìîæíî çàïèñàòü ðàâåíñòâî {a, b} = {b, a}.
31

Ïðèìåðîì óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðåäëîæåíèå, åñëè
ïîä íèì ïîíèìàòü ñîâîêóïíîñòü êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëîâ, ðàññòàâëåííûõ â
îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå. Íàïðèìåð:
1. Ýòà þíîøà ìîëîäàÿ.
2. Ýòà äåâóøêà ïðåêðàñíà.
Îïðåäåëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ. Ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ìíîæåñòâ
A è B, îáîçíà÷àåòñÿ A Ç B, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, êîòîðîå ñîñòîèò èç
âñåõ ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ êàæäîìó èç ìíîæåñòâ A è B:
def

A Ç B = {x : x Î A è x Î B}.
Ñèìâîë «ðàâåíñòâà ñ def» â ýòîé ôîðìóëå îçíà÷àåò «ðàâåíñòâî ïî
îïðåäåëåíèþ», ò.å. òî, ÷òî ñòîèò ñëåâà îò ýòîãî ñèìâîëà, îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç
òî, ÷òî ñòîèò ñïðàâà, à def — ýòî ñîêðàùåíèå îò ëàòèíñêîãî ñëîâà definito —
îïðåäåëåíèå.
Íàïðèìåð, åñëè A — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ 3-ãî êóðñà ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà», à B — «ìíîæåñòâî äåâóøåê, êîòîðûå ó÷àòñÿ íà ôèëîëîãè÷åñêîì ôàêóëüòåòå», òî A Ç B — «ìíîæåñòâî äåâóøåê-ñòóäåíòîê 3-ãî
êóðñà, êîòîðûå ó÷àòñÿ íà ôèëîëîãè÷åñêîì ôàêóëüòåòå». Åñëè A — «ìíîæåñòâî ÷åòíûõ ÷èñåë», à B — «ìíîæåñòâî äâóçíà÷íûõ ÷èñåë», òî A Ç B —
«ìíîæåñòâî ÷åòíûõ äâóçíà÷íûõ ÷èñåë».
Îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîé ïðàêòèêå, â ÷àñòíîñòè, ïðè ñîñòàâëåíèè äâóÿçû÷íûõ è ìíîãîÿçû÷íûõ ñëîâàðåé.
Åñëè ìíîæåñòâà A è B íå èìåþò îáùèõ ýëåìåíòîâ, òî èõ ïåðåñå÷åíèå
ïóñòî, A Ç B = Æ, è â òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâà A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ. Íà ðèñ. 1.3 è 1.4 ïðèâåäåíû äèàãðàììû Ýéëåðà–Âåííà äëÿ äâóõ
ìíîæåñòâ A è B â ñëó÷àÿõ, êîãäà ñîîòâåòñòâåííî A Ç B ¹ Æ è A Ì B. Ìíîæåñòâó A Ç B íà ýòèõ ðèñóíêàõ ñîîòâåòñòâóåò çàøòðèõîâàííàÿ ÷àñòü äèàãðàìì.

Îïåðàöèÿ «ïåðåñå÷åíèå» ìíîæåñòâ îáëàäàåò ðÿäîì ñâîéñòâ, íàïîìèíàþùèõ ñâîéñòâà îïåðàöèè «óìíîæåíèÿ» ÷èñåë. Îäíàêî íåêîòîðûå ñâîé32

ñòâà ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ
óìíîæåíèÿ.
Åñëè A ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B, ò. å. A Ì B, òî A Ç B = A
(ñì. ðèñ. 1.4), ïîñêîëüêó îáùèìè äëÿ ìíîæåñòâ A è B áóäóò âñå ýëåìåíòû
ìíîæåñòâà A è òîëüêî îíè. Îòìåòèì ñâîéñòâà ïåðåñå÷åíèÿ ñïðàâåäëèâûå äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A, B è C:
A Ç B Ì A è A Ç B Ì B.
Êðîìå òîãî, èç âêëþ÷åíèÿ A Ì B ñëåäóåò âêëþ÷åíèå A Ç C Ì B Ç C. Â
÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî A Ç Æ = Æ. Òàêæå âåðíî ðàâåíñòâî A Ç A = A (èäåìïîòåíòíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ), ïîýòîìó
íåò ñìûñëà ãîâîðèòü, íàïðèìåð, î «ñòåïåíè» ìíîæåñòâà â òîì ñìûñëå, â êàêîì ãîâîðÿò î ñòåïåíè ÷èñëà. Ýòè ñâîéñòâà îòëè÷àþò îïåðàöèþ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ îò îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ÷èñåë è ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ íà ðàçëè÷íûõ ìíîæåñòâàõ.
Ïðèìåð. Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà, âõîäÿùèõ â ïåðâóþ ñòðîêó “Åâãåíèÿ Îíåãèíà”», B —
«ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ áóêâ, âõîäÿùèõ âî âòîðóþ ñòðîêó
ýòîãî ðîìàíà â ñòèõàõ». Íàéäåì ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ìíîæåñòâ A Ç B.
Ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç 18 ðàçëè÷íûõ áóêâ:
A = {Ì, Î, É, Ä, ß, Ñ, À, Û, Õ, ×, Å, Ò, Í, Ï, Ð, Â, È, Ë},
à ìíîæåñòâî B ñîñòîèò èç äðóãîé ñîâîêóïíîñòè 13 áóêâ:
B = {Ê, Î, Ã, Ä, À, Í, Å, Â, Ø, Ó, Ò, Ç, Ì}.
Ïåðåñå÷åíèåì ýòèõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé íàáîð èç 8 áóêâ:
A Ç B = {Ì, Î, Ä, À, Å, Ò, Í, Â},
êîòîðûé ñîäåðæèòñÿ êàê âî ìíîæåñòâå A, òàê è âî ìíîæåñòâå B.
Çàìå÷àíèå. Â ïðåäëîæåíèÿõ åñòåñòâåííîãî ÿçûêà âîçìîæíû îòíîñÿùèåñÿ ê ïîäëåæàùåìó îïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå íå îãðàíè÷èâàþò åãî çíà÷åíèÿ è ÿâëÿþòñÿ îòäåëüíûìè ìíîæåñòâàìè, çàäàâàåìûìè õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.
Íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ èìåþùèõñÿ ó íàñ ïîíÿòèé «ïîäìíîæåñòâî» è
«ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ» çàïèøåì íà ÿçûêå òåîðèè ìíîæåñòâ ìàòåìàòè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó ïðåäëîæåíèÿ: «Îíåãèí, äîáðûé ìîé ïðèÿòåëü, ðîäèëñÿ íà áðåãàõ Íåâû».
Ïóñòü óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì áóäåò âñå ìíîæåñòâî ëþäåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A — «îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç Îíåãèíà», B —
«ìíîæåñòâî äîáðûõ ïðèÿòåëåé àâòîðà», C — «ìíîæåñòâî ëþäåé, ðîäèâøèõ33

ñÿ íà áðåãàõ Íåâû». Òîãäà ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëîé äàííîé ñòðîêè èç «Åâãåíèÿ Îíåãèíà» â òåðìèíàõ òåîðèè ìíîæåñòâ áóäåò âêëþ÷åíèå:
A Ì (B Ç C).
Íàïîìíèì, ÷òî â ïåðåñå÷åíèè ìíîæåñòâ èñïîëüçîâàíà ñâÿçêà « è ».
Îïðåäåëåíèå îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ. Îáúåäèíåíèåì äâóõ ìíîæåñòâ
A è B, îáîçíà÷àåòñÿ A È B, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, êîòîðîå ñîñòîèò èç
âñåõ ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ A è B:
def

A È B = {x : x Î A èëè x Î B}.
Íàïðèìåð, åñëè A — «ìíîæåñòâî âñåõ äåâóøåê, êîòîðûå ó÷àòñÿ íà ôèëîëîãè÷åñêîì ôàêóëüòåòå», à B — «ìíîæåñòâî âñåõ þíîøåé, êîòîðûå
ó÷àòñÿ íà òîì æå ôàêóëüòåòå», òî A È B — «ìíîæåñòâî âñåõ ñòóäåíòîâ ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà». Åñëè A — «ìíîæåñòâî âñåõ íå÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë», à B — «ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë», òî
A È B — «ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë».
Â ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ îáúåäèíÿåìûå ìíîæåñòâà íå èìåëè îáùèõ ýëåìåíòîâ, ò. å. èõ ïåðåñå÷åíèå áûëî ïóñòî. Åñëè êàêîé-íèáóäü ýëåìåíò âõîäèò â ìíîæåñòâî A è â ìíîæåñòâî B, ò. å. A Ç B ¹ Æ, òî â èõ îáúåäèíåíèå A È B îí âõîäèò îäèí ðàç. Íà ðèñ. 1.5—1.7 ïðèâåäåíû äèàãðàììû
Ýéëåðà – Âåííà äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ A è B â ñëó÷àÿõ, êîãäà A Ç B ¹ Æ, A Ì B è
A Ç B = Æ. Ìíîæåñòâó A È B íà ýòèõ ðèñóíêàõ ñîîòâåòñòâóåò çàøòðèõîâàííàÿ ÷àñòü äèàãðàìì.

Îïåðàöèÿ «îáúåäèíåíèå» ìíîæåñòâ îáëàäàåò ðÿäîì ñâîéñòâ, íàïîìèíàþùèõ ñâîéñòâà îïåðàöèè «ñëîæåíèÿ» ÷èñåë. Îäíàêî íåêîòîðûå ñâîéñòâà îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ñëîæåíèÿ ÷èñåë.
Åñëè A ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B, ò.å. A Ì B, òî A È B = B
(ñì. ðèñ. 1.6), òàê êàê ýëåìåíòû èç ìíîæåñòâà A ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó B
è âòîðîé ðàç âêëþ÷àòü èõ â îáúåäèíåíèå íå íàäî. Îòìåòèì ñâîéñòâà îáúåäèíåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A, B è C:
34

A Ì A È B è B Ì A È B.
Êðîìå òîãî, èç âêëþ÷åíèÿ A Ì B ñëåäóåò âêëþ÷åíèå A È C Ì B È C. Â
÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà: A È A = A
(èäåìïîòåíòíîñòü îáúåäèíåíèÿ), à òàêæå A È Æ = A.
Ïðèìåð. Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà, âõîäÿùèõ â ïåðâóþ ñòðîêó “Åâãåíèÿ Îíåãèíà”», B —
«ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ áóêâ, âõîäÿùèõ âî âòîðóþ ñòðîêó
ýòîãî ðîìàíà â ñòèõàõ». Íàéäåì îáúåäèíåíèå ýòèõ ìíîæåñòâ A È B.
Ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç 18 ðàçëè÷íûõ áóêâ:
A = {Ì, Î, É, Ä, ß, Ñ, À, Û, Õ, ×, Å, Ò, Í, Ï, Ð, Â, È, Ë},
à ìíîæåñòâî B ñîñòîèò èç äðóãîé ñîâîêóïíîñòè 13 áóêâ:
B = {Ê, Î, Ã, Ä, À, Í, Å, Â, Ø, Ó, Ò, Ç, Ì}.
Îáúåäèíåíèåì ýòèõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé íàáîð èç 23 áóêâ:
A È B = {Ì, Î, É, Ä, ß, Ñ, À, Û, Õ, ×, Å, Ò, Í, Ï, Ð, Â, È, Ë, Ê, Ã, Ø, Ó, Ç}.
Ïîñêîëüêó 8 áóêâ Ì, Î, Ä, À, Å, Ò, Í, Â, ïðèíàäëåæàùèõ ïåðåñå÷åíèþ ìíîæåñòâ A è B, âîøëè â îáúåäèíåíèå ýòèõ ìíîæåñòâ òîëüêî îäèí ðàç, òî ïîýòîìó ìû ïîëó÷èëè òîëüêî 23 áóêâû, à íå 18 + 13 = 31 áóêâó, ò. å.
(18 + 13) – 8 = 23.
Çàìå÷àíèå. Ñîþç «èëè» â ðóññêîì ÿçûêå ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â
äâóõ ñìûñëàõ: èñêëþ÷àþùåì è íåèñêëþ÷àþùåì. Â îïðåäåëåíèè îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ñîþç «èëè» èñïîëüçóåòñÿ â íåèñêëþ÷àþùåì ñìûñëå.
Â åñòåñòâåííîì ÿçûêå ñîþç «èëè» ïîðîþ èñïîëüçóåòñÿ êàê ðàçäåëè
òåëüíàÿ ñâÿçêà: «òî èëè äðóãîå, íî íå îáà âìåñòå». Èñïîëüçóÿ ñîþç èëè, ìû
ìîæåì èìåòü â âèäó èñêëþ÷àþùåå èëè. Íàïðèìåð, êîãäà ìû ãîâîðèì: «ñòóäåíò ñäàñò çà÷åò ïî ìàòåìàòèêå èëè îí íå ñäàñò ýòîò çà÷åò», òî, êîíå÷íî,
ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îí ñäåëàåò ÷òî-òî îäíî. Â ëîãèêå èñêëþ÷àþùåå èëè èñïîëüçóåòñÿ äîâîëüíî ðåäêî, è ìû, çà ðåäêèì èñêëþ÷åíèåì, áóäåì îáõîäèòüñÿ áåç íåãî. Äëÿ õîçÿåâ áûë äîâîëüíî íåîæèäàííûì âïîëíå ëîãè÷íûé îòâåò Õîäæè Íàñðåääèíà íà âîïðîñ: «×òî æåëàåòå ïîåñòü: ïëîâà èëè áåøáàðìàêà?» — «À ðàçâå ó âàñ âñåãî îäèí êîòåë?» Íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå
ïðîèëëþñòðèðóåì åùå îäíó òîíêîñòü â îïðåäåëåíèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ.
Ïðèìåð. Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ ôèëôàêà, ïðîãóëèâàþùèõ çàíÿòèÿ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå», B — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ ôèëôàêà, íàäåþùèõñÿ ïîëó÷èòü “çà÷åò” ïî ìàòåìàòèêå». Íàéäåì îáúåäèíåíèå A È B è ïåðåñå÷åíèå A Ç B ýòèõ ìíîæåñòâ A è B.
35

Íàïîìíèì, ÷òî ôîðìàëüíî îïðåäåëåíèÿ äëÿ îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ñîþçàìè « èëè » è « è », ñîåäèíÿþùèìè
óñëîâèÿ x Î A è x Î B. Â ôîðìàëüíîì îïðåäåëåíèè âàæíóþ ñìûñëîâóþ íàãðóçêó èìååò ñëîâîñî÷åòàíèå «ñîåäèíÿþùèå óñëîâèÿ». Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà A è B îïèñàíû íå â âèäå {x : x îáëàäàåò ñâîéñòâîì Ð}, òî ñîþç « è » áåç
«ñîåäèíÿþùèõ óñëîâèé» ìîæåò îêàçàòüñÿ äâóñìûñëåííûì. Ðàññìîòðèì,
íàïðèìåð, ñëåäóþùèå äâà ìíîæåñòâà:
C — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ ôèëôàêà, ïðîãóëèâàþùèõ çàíÿòèÿ ïî ìàòåìàòèêå èëè íàäåþùèõñÿ ïîëó÷èòü “çà÷åò” ïî ìàòåìàòèêå».
D — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ ôèëôàêà, ïðîãóëèâàþùèõ çàíÿòèÿ ïî ìàòåìàòèêå è íàäåþùèõñÿ ïîëó÷èòü “çà÷åò” ïî ìàòåìàòèêå».
Î÷åâèäíî, ÷òî C = A È B, íî òàê êàê â ìíîæåñòâå D ïåðå÷èñëÿþòñÿ èëè
ðàçëè÷íûå ñòóäåíòû èç ìíîæåñòâ A è B, èëè îäíè è òå æå ñòóäåíòû èç ýòèõ
ìíîæåñòâ, òî, ïî ñóùåñòâó, ýòî òîæå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ A è B, ò. å.
D = A È B. Ðàññìîòðèì åùå îäíî ìíîæåñòâî.
E — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ ôèëôàêà, ïðîãóëèâàþùèõ çàíÿòèÿ ïî ìàòåìàòèêå, êîòîðûå íàäåþòñÿ ïîëó÷èòü “çà÷åò” ïî ìàòåìàòèêå».
Ñòóäåíòû èç ìíîæåñòâà E ïðèíàäëåæàò êàæäîìó èç ìíîæåñòâ A è B,
ïîýòîìó E = A Ç B.
Ñîîòâåòñòâóþùèé âûâîä: Ïðè ðàáîòå ñ íåôîðìàëüíî îïèñàííûìè ìíîæåñòâàìè ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ íåôîðìàëüíîé, íî ñîäåðæàòåëüíîé ÷àñòüþ îïðåäåëåíèé îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè.
Çàìå÷àíèå. Âûðàæåíèå «A è B» â åñòåñòâåííîì ÿçûêå ïðè ïåðå÷èñëåíèè îäíîðîäíûõ ÷ëåíîâ ÷àñòî îçíà÷àåò ñîâîêóïíîñòü, â êîòîðóþ âêëþ÷àþòñÿ îáúåêòû ìíîæåñòâ A è B. Íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå ïðèíàäëåæíîñòü ê òàêîé ñîâîêóïíîñòè âûðàæàåòñÿ ÷åðåç A È B.
Â åñòåñòâåííîì ÿçûêå ïðàêòè÷åñêè âñå ñëîâà ìíîãîçíà÷íû. Ñìûñë
ñëîâà çà÷àñòóþ íåâîçìîæíî ïîíÿòü, âûðâàâåãî èç êîíòåêñòà ïðåäëîæåíèÿ,
â êîòîðîå îíî âõîäèò. Ïîýòîìó ïðè ïåðåâîäå ñ åñòåñòâåííîãî ÿçûêà íà ÿçûê
ìàòåìàòè÷åñêîãî ôîðìàëèçìà íóæíî ïûòàòüñÿ ïîíÿòü ñìûñë ïåðåâîäèìîãî ïðåäëîæåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå ðàçíîñòè ìíîæåñòâ. Ðàçíîñòüþ äâóõ ìíîæåñòâ A è B,
îáîçíà÷àåòñÿ A \ B (èëè A – B), íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, êîòîðîå ñîñòîèò
èç âñåõ ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó A, íî íå ïðèíàäëåæàùèõ
ìíîæåñòâó B:
def

A / B = {x : x Î A è x Ï B}.
Â îïðåäåëåíèè ðàçíîñòè ìíîæåñòâ íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâî B ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà A. Íàïðèìåð, åñëè A è B —
36

«ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, èçó÷àþùèõ ñîîòâåòñòâåííî àíãëèéñêèé è íåìåöêèé ÿçûêè», òî A \ B — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ
ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, êîòîðûå èçó÷àþò àíãëèéñêèé ÿçûê, íî íå
èçó÷àþò íåìåöêèé ÿçûê». Åñëè ìíîæåñòâî A = {x : |x| £ 1} è ìíîæåñòâî
B = {x : x < 0}, òîãäà ðàçíîñòü A \ B = {x : 0 £ x £ 1}.
Åñëè A ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B, ò. å. A Ì B, òî òîãäà A \ B = Æ. Íà ðèñ.
1.8–1.10 ïðèâåäåíû äèàãðàììû Ýéëåðà – Âåííà äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ A è B â
ñëó÷àÿõ, êîãäà ñîîòâåòñòâåííî A Ç B ¹ Æ, B Ì A è A Ç B = Æ. Ìíîæåñòâó
A \ B íà ýòèõ ðèñóíêàõ ñîîòâåòñòâóåò çàøòðèõîâàííàÿ ÷àñòü äèàãðàìì.

Îïåðàöèÿ «ðàçíîñòü» ìíîæåñòâ îáëàäàåò ðÿäîì ñâîéñòâ íàïîìèíàþùèõ ñâîéñòâà îïåðàöèè «âû÷èòàíèÿ» èëè «ðàçíîñòè» ÷èñåë. Íî ñëåäóåò
îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ðàçíîñòü ìíîæåñòâ íå ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèåé,
îáðàòíîé îáúåäèíåíèþ ìíîæåñòâ, êîòîðóþ èíîãäà íàçûâàþò «ñëîæåíèåì» ìíîæåñòâ. Â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, äîêàçàâ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ
(ñì. äëÿ íàãëÿäíîñòè ðèñ. 1.8—1.10):
(A \ B) È B = A È B è (A \ B) È (A Ç B) = A.
Â ÷àñòíîñòè, åñëè B Ì A, òî A Ç B = B è èç ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî (A \ B) È B = A (ñì. ðèñ. 1.9). Åñëè ìíîæåñòâà A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ, ò. å. A Ç B = Æ, òî A \ B = A, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî A íå ñîäåðæèò ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà B (ñì. ðèñ. 1.10). Îòìåòèì ñâîéñòâî ðàçíîñòè, ñïðàâåäëèâîå äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A, B è C:
A \ B Ì A.
Êðîìå òîãî, èç âêëþ÷åíèÿ A Ì B ñëåäóþò âêëþ÷åíèÿ (A \ C) Ì (B \ C) è
(C \ B) Ì (C \ A). Â ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà:
A \ A = Æ, A \ Æ = A è Æ \ A = Æ.
Ïðèìåð. Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà, âõîäÿùèõ â ïåðâóþ ñòðîêó “Åâãåíèÿ Îíåãèíà”», B —
«ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ áóêâ, âõîäÿùèõ âî âòîðóþ ñòðîêó
ýòîãî ðîìàíà â ñòèõàõ». Íàéäåì ðàçíîñòü ýòèõ ìíîæåñòâ A \ B.
37

Ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç 18 ðàçëè÷íûõ áóêâ:
A = {Ì, Î, É, Ä, ß, Ñ, À, Û, Õ, ×, Å, Ò, Í, Ï, Ð, Â, È, Ë},
à ìíîæåñòâî B ñîñòîèò èç äðóãîé ñîâîêóïíîñòè 13 áóêâ:
B = {Ê, Î, Ã, Ä, À, Í, Å, Â, Ø, Ó, Ò, Ç, Ì}.
Ðàçíîñòüþ ýòèõ ìíîæåñòâ âèäà A \ B ÿâëÿåòñÿ íàáîð èç 10 áóêâ:
A \ B = {É, ß, Ñ, Û, Õ, ×, Ï, Ð, È, Ë},
êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó A, íî íå ñîäåðæàòñÿ â ìíîæåñòâå B. Òàê
êàê òîëüêî 8 áóêâ Ì, Î, Ä, À, Å, Ò, Í, Â ïðèíàäëåæàò ïåðåñå÷åíèþ A Ç B,
ò. å. ñîäåðæàòñÿ â ìíîæåñòâå A è ìíîæåñòâå B, òî ìíîæåñòâî A \ B ñîäåðæèò
18 – 8 = 10 áóêâ, à íå 18 – 13 = 5 áóêâ.
Çàìå÷àíèå. Îïåðàöèÿ ðàçíîñòè ìíîæåñòâ «íåñèììåòðè÷íà» îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâ A è B, â òîì ñìûñëå, ÷òî
A \ B ¹ B \ A, êðîìå òîãî (A \ B) Ç (B \ A) = Æ.
Íàïðèìåð, â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå ðàçíîñòü A \ B = {É, ß, Ñ, Û, Õ, ×,
Ï, Ð, È, Ë}, à ðàçíîñòü B \ A = {Ê, Ã, Ø, Ó, Ç}. Óáåäèìñÿ â ýòîì íà åùå îäíîì
ïðèìåðå.
Åñëè â îïåðàöèÿõ îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ îáà ìíîæåñòâà ó÷àñòâóþò ðàâíîïðàâíî, òî îïåðàöèÿ ðàçíîñòè, êàê ãîâîðÿò ìàòåìàòèêè, íåêîììóòàòèâíà. Íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî çäåñü íåò, òàê êàê àðèôìåòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ÷èñåë òîæå íåêîììóòàòèâíà.
Ïðèìåð. Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ-ôèëîëîãîâ, ñëóøàâøèõ
ëåêöèè ïî êóðñó “Îñíîâû âûñøåé ìàòåìàòèêè”», à B — «ìíîæåñòâî ëþäåé, èçó÷àâøèõ ìåäèöèíñêóþ ëàòûíü». Íàéäåì ñëåäóþùèå ðàçíîñòè ìíîæåñòâ A \ B è B \ A.
Òîãäà A \ B — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ-ôèëîëîãîâ, ñëóøàâøèõ ëåêöèè ïî
“Îñíîâàì âûñøåé ìàòåìàòèêè”, íî íå èçó÷àâøèõ ìåäèöèíñêóþ ëàòûíü», à
B \ A — «ìíîæåñòâî ëþäåé, èçó÷àâøèõ ìåäèöèíñêóþ ëàòûíü, íå ÿâëÿþùèåñÿ
ñòóäåíòàìè-ôèëîëîãàìè, êîòîðûå ñëóøàëè ëåêöèè ïî “Îñíîâàì âûñøåé ìàòåìàòèêè”».
Çàìå÷àíèå. «Âû÷èòàíèå» èç ìíîæåñòâà A ìíîæåñòâà B ñâîäèòñÿ ê
«óäàëåíèþ» èç ìíîæåñòâà A îáùåé ÷àñòè A è B, ò. å. ìíîæåñòâà A Ç B:
A \ B = A \ (A Ç B).
Ñ òàêîé îïåðàöèåé íàä ìíîæåñòâàìè ìû ÷àñòî ñòàëêèâàåìñÿ â ðåàëüíîé æèçíè. Ïðîàíàëèçèðóåì ñëåäóþùèé ýïèçîä èç ðàáîòû èíñïåêòîðà
Âàðíèêå.
38

Ïîëèöåéñêèé èíñïåêòîð Âàðíèêå îñìîòðåë ñåéô, çàêóðèë ñâîþ òðóáêó è ñêàçàë: «Ýëåêòðîäðåëüþ âñêðûâàþò ñåéôû òîëüêî ïÿòü âçëîìùèêîâ:
Àëåê Êóíöå, Ôðèö Øìèäò, Ãóñòàâ Õîéãåð, Ãåíðèõ Êóíòöìàí è Òîìàñ
Ìþëëåð. Íî Àëåê, Ôðèö è Ãóñòàâ ñåé÷àñ íàõîäÿòñÿ â òþðüìå Ìîàáèò.
Ïðèäåòñÿ ñïðîñèòü Ãåíðèõà è Òîìàñà, ãäå îíè ïðîâåëè ïðîøëóþ
íî÷ü…»
Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç A — «ìíîæåñòâî ïîäîçðåâàåìûõ âçëîìùèêîâ,
ïîëüçóþùèõñÿ ýëåêòðîäðåëüþ», à ÷åðåç B — «ìíîæåñòâî ïîäîçðåâàåìûõ,
íàõîäèâøèõñÿ â òþðüìå Ìîàáèò», òî, óäàëèâ èç ìíîæåñòâà A âñå ýëåìåíòû
ìíîæåñòâà B, èíñïåêòîð Âàðíèêå ñóçèë êðóã ïîäîçðåâàåìûõ â îãðàáëåíèè
ïðåñòóïíèêîâ. Åãî ìåòîä ðàññóæäåíèÿ îñíîâàí íà ïðèìåíåíèè îïåðàöèè
ðàçíîñòè ìíîæåñòâ.
Îïðåäåëåíèå äîïîëíåíèÿ ìíîæåñòâ. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç U —
óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ìíîæåñòâî A, òî ðàçíîñòü U \ A
íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àåòñÿ A:
def

A = {x : x Î U è x Ï A}.
Äîïîëíåíèå A ìíîæåñòâà A — ýòî ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ôèêñèðîâàííîãî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U, íå âõîäÿùèõ â A. Íàïðèìåð, åñëè U —
ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R, òî äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà âñåõ
ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë â ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë áóäåò ìíîæåñòâî
âñåõ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ãðàôè÷åñêîé èëëþñòðàöèè óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî ïðåäñòàâëÿåòñÿ îáû÷íî ïðÿìîóãîëüíèêîì íà ïëîñêîñòè, à ìíîæåñòâà — êðóãàìè, ëåæàùèìè âíóòðè ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 1.11). Íà
ðèñ. 1.12 äîïîëíåíèþ ìíîæåñòâà A, ò. å. A, ñîîòâåòñòâóåò çàøòðèõîâàííàÿ
÷àñòü ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà.

×òîáû èçáåæàòü òðóäíîñòåé ïðè èçîáðàæåíèè äîïîëíåíèÿ ìíîæåñòâà áóäåì ñëåäîâàòü ïðàâèëó Äæîíà Âåííà: «Íå ñëåäóåò ñòàðàòüñÿ
çàøòðèõîâàòü âñþ âíåøíþþ ÷àñòü äèàãðàììû». Òåì áîëåå ÷òî â ðåàëüíûõ ñèòóàöèÿõ äîïîëíåíèå ìîæåò îêàçàòüñÿ íå òàêèì óæ «áîëüøèì»
ìíîæåñòâîì.
39

Íàïðèìåð, Ìàðèíà Öâåòàåâà â «Çàïèñíûõ êíèæêàõ» ïèñàëà:
«Ìåíÿ ïðåçèðàþò — (è â ïðàâå ïðåçèðàòü) — âñå.
Ñëóæàùèå — çà òî, ÷òî íå ñëóæó, ïèñàòåëè — çà òî, ÷òî íå ïå÷àòàþ,
ïðèñëóãà — çà òî, ÷òî íå áàðûíÿ, áàðûíè — çà òî, ÷òî â ìóæèöêèõ ñàïîãàõ
(ïðèñëóãè è áàðûíè!).
Êðîìå òîãî — âñå — çà áåçäåíåæüå.
1/4 ïðåçèðàþò, 1/4 ïðåçèðàåò è æàëååò, 1/2 — æàëååò.
(1/2 + 1/4 + 1/4 = 1)
À òî, ÷òî óæå âíå åäèíèöû — Ïîýòû! — âîñòîðãàþòñÿ».
Çàìåòèì, ÷òî òàêàÿ îïåðàöèÿ, êàê äîïîëíåíèå, îòñóòñòâóåò â îáû÷íîé àëãåáðå. Âîîáùå ãîâîðÿ, â òåîðèè ìíîæåñòâ äîïîëíåíèé ó ìíîæåñòâ
òîæå íåò, íî î íèõ òåì íå ìåíåå ãîâîðÿò, èìåÿ â âèäó äîïîëíåíèå äî ôèêñèðîâàííîãî ïîäðàçóìåâàåìîãî ìíîæåñòâà U.
Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà äîïîëíåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ëþáîãî
ìíîæåñòâà A, è ñîäåðæàùåãî åãî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U:
A È A = U è A Ç A = Æ.
Êðîìå òîãî, äîïîëíåíèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà ñîâïàäàåò ñ óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì, à äîïîëíåíèå óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà — ñ ïóñòûì
ìíîæåñòâîì.
Ïðèìåð. Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà, âõîäÿùèõ â ïåðâóþ ñòðîêó “Åâãåíèÿ Îíåãèíà”», à óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U — «ìíîæåñòâî âñåõ áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà».
Íàéäåì äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà A, ò. å. ìíîæåñòâî A = U \ A.
Ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç 18 ðàçëè÷íûõ áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà:
A = {Ì, Î, É, Ä, ß, Ñ, À, Û, Õ, ×, Å, Ò, Í, Ï, Ð, Â, È, Ë}.
Ïîñêîëüêó â ðóññêîì àëôàâèòå 33 áóêâû, òî äîïîëíåíèåì ÿâëÿåòñÿ
ñëåäóþùåå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç 15 áóêâ:
A = {Á, Ã, ¨, Æ, Ç, Ê, Ó, Ô, Ö, Ø, Ù, Ú, Ü, Ý, Þ}.
Çàìå÷àíèå. Äëÿ ðàçíîñòè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A è B ñïðàâåäëèâî
ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
A \ B = A Ç B,
ò. å. ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A \ B åñòü ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâà A è äîïîëíåíèÿ ìíîæåñòâà B.
Ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ «äîïîëíåíèå» è èìåþùèõñÿ ó íàñ ïîíÿòèé «ïîäìíîæåñòâî» è «ïåðåñå÷åíèå ïîäìíîæåñòâ» äàäèì íà ÿçûêå òåîðèè ìíîæåñòâ ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå õîðîøåãî ïîñòóïêà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
«õîðîøèé ïîñòóïîê — ýòî òàêîé ïîñòóïîê, êîòîðûé ïðèíîñèò äîáðî
õîòÿ áû íåêîòîðûì ëþäÿì è íå ïðèíîñèò çëà íèêîìó».
40

Ïóñòü óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì U áóäåò ìíîæåñòâî âñåõ ïîñòóïêîâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A — «ìíîæåñòâî õîðîøèõ ïîñòóïêîâ», B — «ìíîæåñòâî ïîñòóïêîâ, ïðèíîñÿùèõ äîáðî õîòÿ áû îäíîìó ÷åëîâåêó», à ÷åðåç C —
«ìíîæåñòâî ïîñòóïêîâ, ïðèíîñÿùèõ çëî õîòÿ áû îäíîìó ÷åëîâåêó». Òîãäà
ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëîé äàííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ õîðîøåãî ïîñòóïêà
áóäåò ñîîòíîøåíèå:
A Ì B \ C.
Çàìå÷àíèå. ×åì «áîëüøå» ñàìî ìíîæåñòâî, òåì «ìåíüøå» ýëåìåíòîâ îñòàåòñÿ â åãî äîïîëíåíèè, ò. å.
A Ì B Þ B Ì A.
Äëÿ ïîíèìàíèÿ ýòîãî óòâåðæäåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ãðàôè÷åñêîé èëëþñòðàöèåé äèàãðàììû Ýéëåðà – Âåííà. Íà ðèñ. 1.13 óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U èçîáðàæåíî â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêà, à ìíîæåñòâà A è B
â âèäå êðóãîâ, ãäå A Ì B.

Äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó A ñîñòîèò èç òî÷åê ïðÿìîóãîëüíèêà, ëåæàùèõ âíå ìåíüøåãî êðóãà (îáîçíà÷åíî âåðòèêàëüíîé øòðèõîâêîé), à äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó B ñîñòîèò èç òî÷åê ïðÿìîóãîëüíèêà, ëåæàùèõ âíå áîëüøåãî êðóãà (îáîçíà÷åíî ãîðèçîíòàëüíîé øòðèõîâêîé). ßñíî, ÷òî äëÿ ýòèõ
äîïîëíåíèé ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå B Ì A.
Îïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâ. Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ äâóõ ìíîæåñòâ A è B, îáîçíà÷àåòñÿ A D B, íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî, êîòîðîå ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ðîâíî
îäíîìó èç ìíîæåñòâ A è B:
def

A D B = (A \ B) È (B \ A).
Íàïðèìåð, åñëè A è B — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, èçó÷àþùèõ ñîîòâåòñòâåííî àíãëèéñêèé è íåìåöêèé ÿçûêè», òî
A D B — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, êîòîðûå èçó÷àþò àíãëèéñêèé, íî íå èçó÷àþò íåìåöêèé ÿçûê, èëè èçó÷àþò íåìåöêèé ÿçûê,
41

íî íå èçó÷àþò àíãëèéñêèé ÿçûê». Åñëè A = {x : 0 £ x £ 2} è ìíîæåñòâî B = {x :
1 £ x £ 3}, òî òîãäà ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü A D B = {x : 0 £ x < 1 èëè
2 < x £ 3}.
Åñëè A ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B, ò. å. A Ì B, òî òîãäà â îòëè÷èå îò
ðàçíîñòè A \ B ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü A D B ¹ Æ. Íà ðèñ. 1.14—1.16 ïðèâåäåíû äèàãðàììû Ýéëåðà – Âåííà äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ A è B â ñëó÷àÿõ, êîãäà ñîîòâåòñòâåííî A Ç B ¹ Æ, A Ì B è A Ç B = Æ. Ìíîæåñòâó A D B íà ýòèõ
ðèñóíêàõ ñîîòâåòñòâóåò çàøòðèõîâàííàÿ ÷àñòü äèàãðàìì.

Äëÿ îïåðàöèè ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè, èñõîäÿ èç åå îïðåäåëåíèÿ,
ìîæíî äàòü äðóãîå ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå â âèäå
A D B = (A È B) \ (A Ç B).
Äðóãèìè ñëîâàìè ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è B åñòü
ðàçíîñòü ìåæäó îáúåäèíåíèåì è ïåðåñå÷åíèåì äàííûõ ìíîæåñòâ.
Åñëè ìíîæåñòâà A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ, ò. å. A Ç B = Æ, òî A D B =
A È B (ñì. ðèñ. 1.16). Îòìåòèì ñâîéñòâî ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè
ñïðàâåäëèâîå äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A è B: A D B = Æ Û A = B. Â ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà:
A D A = Æ, A D Æ = A è Æ D A = A.
Ïðèìåð. Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà, âõîäÿùèõ â ïåðâóþ ñòðîêó “Åâãåíèÿ Îíåãèíà”», B —
«ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ áóêâ, âõîäÿùèõ âî âòîðóþ ñòðîêó
ýòîãî ðîìàíà â ñòèõàõ». Íàéäåì ñèììåòðè÷åñêóþ ðàçíîñòü ýòèõ ìíîæåñòâ A D B.
Ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç 18 ðàçëè÷íûõ áóêâ:
A = {Ì, Î, É, Ä, ß, Ñ, À, Û, Õ, ×, Å, Ò, Í, Ï, Ð, Â, È, Ë},
à ìíîæåñòâî B ñîñòîèò èç äðóãîé ñîâîêóïíîñòè 13 áóêâ:
B = {Ê, Î, Ã, Ä, À, Í, Å, Â, Ø, Ó, Ò, Ç, Ì}.
42

Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ ýòèõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé íàáîð èç
15 áóêâ:
A D B = {É, ß, Ñ, Û, Õ, ×, Ï, Ð, È, Ë, Ê, Ã, Ø, Ó, Ç},
êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ðàçíîñòÿì ìíîæåñòâ A \ B è B \ A èëè, ïî äðóãîìó
îïðåäåëåíèþ, ïðèíàäëåæàò îáúåäèíåíèþ ìíîæåñòâ A È B, íî íå ïðèíàäëåæàò ïåðåñå÷åíèþ çàäàííûõ ìíîæåñòâ A Ç B, ïîýòîìó êîëè÷åñòâî áóêâ â
ìíîæåñòâå A D B ðàâíî 23 – 8 = 15.
Çàìå÷àíèå. Äëÿ ðàçíîñòè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A è B ñïðàâåäëèâû
ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
A \ B = A Ç (A D B), A \ B = A D (A Ç B).
Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è B ñîñòîèò èç òåõ ýëåìåíòîâ,
êîòîðûå ïðèíàäëåæàò â òî÷íîñòè îäíîìó èç ýòèõ ìíîæåñòâ. Â îïðåäåëåíèè
ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè, ïî ñóùåñòâó, èñïîëüçóåòñÿ ñâÿçêà «èñêëþ÷àþùåå èëè».
Èçâåñòíûé àíãëèéñêèé ïèñàòåëü è ó÷åíûé ×àðëç Ñíîó â çíàìåíèòîé
ëåêöèè «Äâå êóëüòóðû è íàó÷íàÿ ðåâîëþöèÿ» óòâåðæäàë, ÷òî äóõîâíûé
ìèð, â êîòîðûé îí âêëþ÷àë è ïðàêòè÷åñêóþ äåÿòåëüíîñòü, âñå ÿâñòâåííåå
ïîëÿðèçóåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå ÷àñòè. Íà îäíîì èç ïîëþñîâ — õóäîæåñòâåííàÿ èíòåëëèãåíöèÿ, êîòîðàÿ ñòàëà íàçûâàòü ñåáÿ ïðîñòî èíòåëëèãåíöèåé, à íà äðóãîì — ïðåäñòàâèòåëè åñòåñòâåííîíàó÷íîãî çíàíèÿ, ëó÷øèìè
èç êîòîðûõ îí ñ÷èòàë ôèçèêîâ.
Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî ëþäåé, èìåþùèõ ïðåäñòàâëåíèå î ãóìàíèòàðíîì çíàíèè», à B — «ìíîæåñòâî ëþäåé, èìåþùèõ ïðåäñòàâëåíèå î åñòåñòâåííîíàó÷íîì çíàíèè», òîãäà A D B — «ìíîæåñòâî ëþäåé, èìåþùèõ ïðåäñòàâëåíèå òîëüêî î ãóìàíèòàðíîì çíàíèè èëè òîëüêî î åñòåñòâåííîíàó÷íîì çíàíèè». Ïðîáëåìà «äâóõ êóëüòóð» ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ñäåëàòü
ìíîæåñòâî A D B ïðåíåáðåæèìî ìàëûì. Ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî äëÿ ëèòåðàòóðíîé êóëüòóðû â öåëîì õàðàêòåðíà ïîä÷åðêíóòàÿ íåîñâåäîìëåííîñòü â îáëàñòè åñòåñòâåííûõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, åãî îñîáåííî áåñïîêîèëà ñîñòàâëÿþùàÿ A \ B ìíîæåñòâà A D B.
Â çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ «ñòèëÿ» ïðîèëëþñòðèðóåì âñå ÷åòûðå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè: ïåðåñå÷åíèå, îáúåäèíåíèå,
ðàçíîñòü è ñèììåòðè÷åñêóþ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ.
Ïðèìåð. Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî ñòèëèñòè÷åñêèõ ïðèåìîâ ïèñàòåëÿ
N», à B — «ìíîæåñòâî ñòèëèñòè÷åñêèõ ïðèåìîâ ïèñàòåëÿ P». Îïèøåì
ñëåäóþùèå ïÿòü ìíîæåñòâ: A Ç B, A È B, A \ B, B \ A, A D B.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñòèëü — ýòî ñîâîêóïíîñòü àáñîëþòíî ñïåöèôè÷åñêèõ åäèíèö ÿçûêà, èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, ñóììà ÷åðò, îòëè÷àþùàÿ åãî îò
43

âñåõ äðóãèõ, âûäåëåííûõ êîíêðåòíûì èññëåäîâàòåëåì. Êðàò÷àéøåå îïðåäåëåíèå: ñòèëü åñòü ñïåöèôèêà ÿçûêà äàííîãî ïèñàòåëÿ.
Òîãäà ïåðåñå÷åíèå A Ç B — «ìíîæåñòâî îáùèõ ñòèëèñòè÷åñêèõ ïðèåìîâ
ïèñàòåëåé N è P»; îáúåäèíåíèå A È B — ýòî «âñå ìíîãîîáðàçèå ñòèëèñòè÷åñêèõ
ïðèåìîâ ïèñàòåëåé N è P»; ðàçíîñòü A \ B — «ìíîæåñòâî ñòèëèñòè÷åñêèõ ïðèåìîâ, îòëè÷àþùèõ ïèñàòåëÿ N îò ïèñàòåëÿ P», ñîîòâåòñòâåííî ðàçíîñòü B \ A —
«ìíîæåñòâî ñòèëèñòè÷åñêèõ ïðèåìîâ, îòëè÷àþùèõ ïèñàòåëÿ P îò ïèñàòåëÿ N»;
íàêîíåö, ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü A D B — ýòî «ìíîæåñòâî âñåõ íåïîâòîðèìûõ
ñòèëèñòè÷åñêèõ ïðèåìîâ ïèñàòåëåé N è P».
Â ýññå «Êàòàñòðîôû â âîçäóõå» Èîñèô Áðîäñêèé ïèñàë: «Ïðè÷èíà,
ïî êîòîðîé ðóññêàÿ ïðîçà ïîøëà çà Òîëñòûì, çàêëþ÷àåòñÿ, êîíå÷íî, â
ñòèëèñòèêå åãî âûðàçèòåëüíûõ ñðåäñòâ, ñîáëàçíèòåëüíîé äëÿ ëþáîãî ïîäðàæàòåëÿ. … Â êàêîì-òî ñìûñëå Òîëñòîé áûë íåèçáåæåí, ïîòîìó ÷òî
Äîñòîåâñêèé áûë íåïîâòîðèì».
Ñòèëü êàæäîãî áîëüøîãî ïèñàòåëÿ èëè ïîýòà èìååò ñâîè íåïîâòîðèìûå êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè. Ýòè õàðàêòåðèñòèêè ñëóæàò,
ïðåæäå âñåãî, ïðîôåññèîíàëüíûì ëèíãâèñòàì è ëèòåðàòóðîâåäàì, ïîçâîëÿÿ èì ðåøàòü ñïîðíûå âîïðîñû îá àâòîðñòâå ñ ïîìîùüþ ÷èñåë.
Çàìå÷àíèå. Èç äâóõ îïðåäåëåíèé ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
A È B = (A D B) È (A Ç B) = (A \ B) È (A Ç B) È (B \ A).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç n(S) — ÷èñëî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà S.
Èñïîëüçóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî äëÿ A È B ìîæíî ïîñ÷èòàòü ÷èñëî ýëåìåíòîâ n(A È B) îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ A è B, êîãäà èõ ïåðåñå÷åíèå íå ïóñòî,
ò. å. A Ç B ¹ Æ. Çàìåòèì, ÷òî êîãäà ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A ñóììèðóåòñÿ ñ ÷èñëîì ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà B, òî ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå ìíîæåñòâó A Ç B, ó÷èòûâàþòñÿ äâàæäû.
Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ A è B ÷èñëî ýëåìåíòîâ îáúåäèíåíèÿ ýòèõ ìíîæåñòâ n(A È B) ðàâíî
n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó A \ B, B \ A è A Ç B — ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà, òî èç ïðåäñòàâëåíèÿ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ A è B â
âèäå A È B = (A \ B) È (A Ç B) È (B \ A) ñëåäóåò, ÷òî n(A È B) =
= n(A \ B) + n(A Ç B) + n(B \ A). Èç ïðåäñòàâëåíèé ìíîæåñòâ A è B â âèäå îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ âèäà A = (A \ B) È (A Ç B) è
44

B = (B \ A) È (A Ç B) ñëåäóåò, ÷òî n(A) = n(A \ B) + n(A Ç B) è n(B) =
= n(B \ A) + n(A Ç B). Ïîýòîìó
n(A) + n(B) – n(A Ç B) = n(A \ B) + n(A Ç B) + n(B \ A) + n(A Ç B) –
– n(A Ç B) = n(A \ B) + n(A Ç B) + + n(B \ A) = n(A È B),
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ïðèìåð. Íà ïîòîêå èç 100 ñòóäåíòîâ 75 ÷åëîâåê èçó÷àþò àíãëèéñêèé
ÿçûê, 60 — íåìåöêèé ÿçûê, à 45 ÷åëîâåê — îäíîâðåìåííî àíãëèéñêèé è íåìåöêèé ÿçûêè. Ñêîëüêî ñòóäåíòîâ èçó÷àþò àíãëèéñêèé èëè íåìåöêèé ÿçûê?
Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ, èçó÷àþùèõ àíãëèéñêèé ÿçûê», B —
«ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ, èçó÷àþùèõ íåìåöêèé ÿçûê». Òîãäà â ñèëó ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ êîëè÷åñòâî ñòóäåíòîâ, èçó÷àþùèõ àíãëèéñêèé èëè íåìåöêèé ÿçûê, ðàâíî
n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B) = 75 + 60 – 45 = 90.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ
1. Âåðíî ëè, ÷òî ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâà ñîãëàñíûõ çâóêîâ ðóññêîãî
ÿçûêà è ìíîæåñòâà ãëàñíûõ çâóêîâ ðóññêîãî ÿçûêà áóäåò ìíîæåñòâî âñåõ
ñëîãîâ?
2. Âåðíî ëè, ÷òî îïåðàöèþ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ ìîæíî îïðåäåëèòü
ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ðàçíîñòè ìíîæåñòâ ïî ôîðìóëå A Ç B = = A \ (A \ B) ?
3. Ìîæíî ëè ñêàçàòü, ÷òî äîïîëíåíèå ê äîïîëíåíèþ ìíîæåñòâà ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì ìíîæåñòâîì?
4. Âåðíî ëè, ÷òî èç ðàâåíñòâà îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ
A è B, ò. å. A È B = A Ç B, ñëåäóåò ðàâåíñòâî ýòèõ ìíîæåñòâ A = B ?
5. Âåðíî ëè, ÷òî ñîîòíîøåíèå A Ì B ýêâèâàëåíòíî êàæäîìó èç ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ: A È B = B, A Ç B = A, A \ B = Æ ?

1.4. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÎÏÅÐÀÖÈÉ
ÍÀÄ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÌÈ
Ðàññìîòðåííûå âûøå îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ, ðàçíîñòè è
ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâ ñîñòàâëÿþò îñíîâíîé àðñåíàë îïåðàöèé
òåîðèè ìíîæåñòâ. Çàìåòèì, ÷òî âñÿêèé êîíòåêñò, â êîòîðîì âñòðå÷àåòñÿ èíòåðåñóþùåå íàñ ïîíÿòèå ìíîæåñòâà, ÿâëÿåòñÿ â íåêîòîðîì ñìûñëå åãî íåÿâíûì
îïðåäåëåíèåì. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êîíòåêñò ñòàâèò ïîíÿòèå ìíîæåñòâà
â ñâÿçü ñ äðóãèìè ïîíÿòèÿìè è òåì ñàìûì êîñâåííî ðàñêðûâàåò åãî ñîäåðæàíèå. Ïîýòîìó âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ î áîëåå ïîäðîáíîì èññëå45

äîâàíèè èõ ñâîéñòâ, ðàñïðîñòðàíÿÿ ýòè îïåðàöèè íà áîëüøåå ÷èñëî ìíîæåñòâ.
Â êà÷åñòâå ìîäåëüíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì îñíîâíûå ñâîéñòâà îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ÷èñåë. Ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íàçûâàþò èíîãäà àðèôìåòèêîé. Ñôîðìóëèðóåì ïÿòü îñíîâíûõ çàêîíîâ àðèôìåòèêè, èçâåñòíûõ âñåì ñòóäåíòàì, îêîí÷èâøèì ñðåäíþþ øêîëó, à èìåííî ñîîòíîøåíèÿ:
1) a + b = b + a; 2) a×b = b×a; 3) a + (b + c) = (a + b) + c;
4) a (b×c) = (a×b)×c; 5) a×(b + c) = a×b + a×c,
ñïðàâåäëèâûå äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, îáîçíà÷åííûõ ñèìâîëè÷åñêèìè áóêâàìè a, b, c. Äâà ïåðâûõ çàêîíà — êîììóòàòèâíûé (ïåðåìåñòèòåëüíûé) çàêîí ñëîæåíèÿ è êîììóòàòèâíûé çàêîí óìíîæåíèÿ, êîòîðûå ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ïðè ñëîæåíèè è ïðè óìíîæåíèè ìîæíî ìåíÿòü ïîðÿäîê ÷èñåë, íàä êîòîðûìè ñîâåðøàåòñÿ ýòî äåéñòâèå. Äâà ñëåäóþùèõ çàêîíà — àññîöèàòèâíûé (ñî÷åòàòåëüíûé) çàêîí ñëîæåíèÿ è àññîöèàòèâíûé çàêîí óìíîæåíèÿ, êîòîðûå óòâåðæäàþò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ
îïåðàöèé äëÿ òðåõ ÷èñåë ïîëó÷àåòñÿ îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò, íåçàâèñèìî
îò òîãî, â êàêîì ïîðÿäêå ñîâåðøàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå äåéñòâèÿ. Ïÿòûé
çàêîí — äèñòðèáóòèâíûé (ðàñïðåäåëèòåëüíûé) çàêîí — óñòàíàâëèâàåò,
÷òî ïðè óìíîæåíèè ñóììû äâóõ ÷èñåë íà íåêîòîðîå òðåòüå ÷èñëî ìîæíî
óìíîæèòü íà ýòî ÷èñëî êàæäîå ñëàãàåìîå è ïîëó÷åííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñëîæèòü.
Ýòè àðèôìåòè÷åñêèå çàêîíû ìîãóò îêàçàòüñÿ íåïðèìåíèìûìè ê íå÷èñëîâûì îáúåêòàì. Íàïðèìåð, åñëè a è b îáîçíà÷àþò íå ÷èñëà, à õèìè÷åñêèå âåùåñòâà è ïîä «ñëîæåíèåì» èëè «îáúåäèíåíèåì» ïîíèìàåòñÿ ïðèáàâëåíèå ê
îäíîìó õèìè÷åñêîìó âåùåñòâó äðóãîãî, òî êîììóòàòèâíîñòü òàêîé îïåðàöèè
ìîæåò íå âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáûõ õèìè÷åñêèõ âåùåñòâ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
ê âîäå ïðèáàâëÿòü ñåðíóþ êèñëîòó, òî ïîëó÷èòñÿ ðàçáàâëåííûé ðàñòâîð, òîãäà êàê ïðèáàâëåíèå âîäû ê ÷èñòîé êèñëîòå ìîæåò çàêîí÷èòüñÿ íåïðèÿòíîñòÿìè äëÿ ýêñïåðèìåíòà. Â òàêîé «õèìè÷åñêîé àðèôìåòèêå» èíîãäà íàðóøàåòñÿ è àññîöèàòèâíîñòü.
Ðàññìîòðèì òåïåðü îñíîâíûå ñâîéñòâà îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ, àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâàì îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ÷èñåë.
1. Çàêîíû êîììóòàòèâíîñòè. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîæåñòâ A è B âûïîëíÿþòñÿ ñâîéñòâà êîììóòàòèâíîñòè îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå
÷åíèÿ:
A È B = B È A, A Ç B = B Ç A.
46

Êîììóòàòèâíûé çàêîí ïîêàçûâàåò, ÷òî ìîæíî êàê óãîäíî ìåíÿòü ïîðÿäîê ìíîæåñòâ â óêàçàííûõ îïåðàöèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî, ìíîæåñòâà A È B
è B È A ñîñòîÿò èç ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ A èëè B, è íå ñîäåðæàò íèêàêèõ äðóãèõ ýëåìåíòîâ, à ìíîæåñòâà
A Ç B è B Ç A ñîñòîÿò èç âñåõ ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ êàæäîìó èç ìíîæåñòâ A è B.
Óìåñòíî îòìåòèòü, ÷òî â åñòåñòâåííîì ÿçûêå ñèíòàêñèñ, èçó÷àþùèé
ñîîòíîøåíèÿ çíàêîâ äðóã ñ äðóãîì, ñâÿçàí ñ ñåìàíòèêîé, èçó÷àþùåé îòíîøåíèå ìåæäó çíàêîì è ñìûñëîì, ïîýòîìó äàæå â íåêîòîðûõ ïðîñòåéøèõ
ñèòóàöèÿõ ïåðåñòàíîâêà ñëîâ ìîæåò èçìåíèòü ñìûñë ïðåäëîæåíèÿ, ò. å.
ñâîéñòâî «êîììóòàòèâíîñòè» âûïîëíÿåòñÿ íå âñåãäà.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì êîìáèíàöèè «êðàñíûé + æåëòûé» è «æåëòûé + êðàñíûé» ïðîñòåéøåé çíàêîâîé ñèñòåìû — ñâåòîôîðà. Ïîêàæåì, ÷òî ýòè êîìáèíàöèè íå ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîì.
Äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü ñèíòàêñèñ óêàçàííûõ êîìáèíàöèé ñ ñåìàíòèêîé
ñâåòîôîðà. Êîìáèíàöèè «êðàñíûé + æåëòûé» ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèå «ñòîÿòü + ïðèãîòîâèòüñÿ ê äâèæåíèþ», à êîìáèíàöèè «æåëòûé + êðàñíûé» ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèå «ïðèãîòîâèòüñÿ ê îñòàíîâêå + îñòàíîâèòüñÿ».
Çàìå÷àíèå. Îïåðàöèÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè êîììóòàòèâíà:
A D B = B D A,
à îïåðàöèÿ ðàçíîñòè íåêîììóòàòèâíà, ò. å.
A \ B ¹ B \ A.
Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè,
à âòîðîå ïîêàçàíî íà ïðèìåðàõ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå 1.3. Êðîìå òîãî, íà
ðèñ. 1.17, 1.18 ïðèâåäåíû äèàãðàììû Ýéëåðà – Âåííà äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ A è
B, íà êîòîðûõ ìíîæåñòâàì A \ B è B \ A ñîîòâåòñòâóåò çàøòðèõîâàííàÿ ÷àñòü
äèàãðàìì.

2. Çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè. Äëÿ ëþáûõ òðåõ ìíîæåñòâ A, B è C âûïîëíÿþòñÿ ñâîéñòâà àññîöèàòèâíîñòè äëÿ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ:
A È (B È C) = (A È B) È C,
47

A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C.

Àññîöèàòèâíîñòü óêàçàííûõ îïåðàöèé ïîçâîëÿåò íå ôèêñèðîâàòü ïðè
ïîìîùè ñêîáîê ïîðÿäîê, â êîòîðîì ïðîâîäÿòñÿ îïåðàöèè. Äåéñòâèòåëüíî,
ìíîæåñòâà A È (B È C) è (A È B) È C ñîñòîÿò èõ âñåõ ýëåìåíòîâ, âõîäÿùèõ
õîòÿ áû â îäíî èç ìíîæåñòâ A, B è C (çàøòðèõîâàííàÿ ÷àñòü äèàãðàììû íà
ðèñ. 1.19) è íå ñîäåðæàò íèêàêèõ äðóãèõ ýëåìåíòîâ, à ìíîæåñòâà
A Ç (B Ç C) è (A Ç B) Ç C ñîñòîÿò òîëüêî èç îáùèõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâ A,
B è C (çàøòðèõîâàííàÿ ÷àñòü äèàãðàììû íà ðèñ. 1.20).

Çàìåòèì, ÷òî ïî çàêîíó àññîöèàòèâíîñòè, ðåçóëüòàò íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà äåéñòâèé. Íî ïðîìåæóòî÷íûå ðåçóëüòàòû — çàâèñÿò! Ïðîèçâåäåíèå abc ìîæíî ïîíèìàòü äâîÿêî: (ab)c è a(bc). Ïðîèçâåäåíèå abcd ìîæíî
ïîíèìàòü 5 ñïîñîáàìè: ((ab)c)d, (a(bc)d), a((bc)d), a(b(cd)) è (ab)(cd). Ïðîèçâåäåíèå abcde — 14 ñïîñîáàìè. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, íå îáÿçàòåëüíî
èõ âñå âûïèñûâàòü. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî åñòü 5 ñïîñîáîâ âèäà a(bcde),
2 ñïîñîáà âèäà (ab)(cde), 2 ñïîñîáà âèäà (abc)(de) è 5 ñïîñîáîâ âèäà
(abcd)e. Â ìàòåìàòèêå åñòü ñïåöèàëüíûå ÷èñëà, ïîçâîëÿþùèå ïîñ÷èòàòü
êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàññòàíîâêè ñêîáîê â ïðîèçâåäåíèè n ìíîæèòåëåé —
ýòî ÷èñëà Êàòàëàíà.
Ïðèìåð. Â åñòåñòâåííîì ÿçûêå, â íåêîòîðûõ ñèòóàöèÿõ, ðîëü ñêîáîê
èãðàþò çàïÿòûå. Ðàññìîòðèì õîðîøî èçâåñòíûé íàáîð ñëîâ {êàçíèòü,
íåëüçÿ, ïîìèëîâàòü}.
Ìåñòî çàïÿòîé (ñêîáîê) â ôðàçå èç ýòèõ òðåõ ñëîâ îïðåäåëÿåò ñìûñë
ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåäëîæåíèÿ: «êàçíèòü, íåëüçÿ ïîìèëîâàòü», à ñ ïîìîùüþ ñêîáîê «êàçíèòü (íåëüçÿ ïîìèëîâàòü)», èëè «êàçíèòü íåëüçÿ, ïîìèëîâàòü», ñîîòâåòñòâåííî «(êàçíèòü íåëüçÿ) ïîìèëîâàòü». Î÷åâèäíî, ÷òî
ñìûñë ýòèõ ïðåäëîæåíèé ñîâåðøåííî ïðîòèâîïîëîæåí.
Ïîíÿòèå ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ èñïîëüçóåòñÿ íå òîëüêî â ìàòåìàòèêå. Â
ðàññêàçå Àðòóðà Êîíàí Äîéëÿ «Ïÿòü àïåëüñèíîâûõ çåðíûøåê» â ñåíòÿáðå
1887 ãîäà çíàìåíèòîìó ñûùèêó Øåðëîêó Õîëìñó ïîíàäîáèëîñü âûÿñíèòü
íàçâàíèå îäíîãî ïàðóñíîãî ñóäíà.
Îí çíàë îá ýòîì êîðàáëå íå ñëèøêîì ìíîãî: â ÿíâàðå èëè ôåâðàëå 1883
ãîäà îíî áûëî â Ïîíäèøåðè, â ÿíâàðå 1885 ãîäà — â Äàíäè, à ñåé÷àñ ñòîÿëî
â Ëîíäîíñêîì ïîðòó. Îí ñðàâíèë òðè ìíîæåñòâà: «ìíîæåñòâî ïàðóñíè48

êîâ, áûâøèõ â óêàçàííîå âðåìÿ â Ïîíäèøåðè», «ìíîæåñòâî ïàðóñíèêîâ,
áûâøèõ â óêàçàííîå âðåìÿ â Äàíäè» è «ìíîæåñòâî ïàðóñíèêîâ, íàõîäèâøèõñÿ ñåé÷àñ â Ëîíäîíå». Òîëüêî îäíî ñóäíî âõîäèëî âî âñå òðè ìíîæåñòâà — êîðàáëü «Îäèíîêàÿ çâåçäà».
Çàìå÷àíèå. Îïåðàöèÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè àññîöèàòèâíà:
A D (B D C) = (A D B) D C,
à îïåðàöèÿ ðàçíîñòè íåàññîöèàòèâíà, ò. å.
A \ (B \ C) ¹ (A \ B) \ C.
Àññîöèàòèâíîñòü ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè íå î÷åâèäíà. Äîêàçàòåëüñòâî àññîöèàòèâíîñòè ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ïðèâåäåíî, íàïðèìåð, â
êíèãå ïîëüñêèõ ìàòåìàòèêîâ Ê. Êóðàòîâñêîãî è À. Ìîñòîâñêîãî «Òåîðèÿ
ìíîæåñòâ».
Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü òðåõ ìíîæåñòâ A, B è C
ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ èëè âñåì òðåì ìíîæåñòâàì A, B è C,
èëè òîëüêî îäíîìó èç íèõ (ñì. íèæå äèàãðàììó ðèñ. 1.23), ò. å.
A D B D C = (A Ç B Ç C) È [(A \ (B È C)) È (B \ (C È A)) È (C \ (A È B))].
Óòâåðæäåíèå î íåàññîöèàòèâíîñòè îïåðàöèè ðàçíîñòè ìíîæåñòâ â
îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïðîâåðèòü íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ. Íà ðèñ. 1.21
è 1.22 ïðèâåäåíû äèàãðàììû Ýéëåðà – Âåííà äëÿ òðåõ ìíîæåñòâ A, B è
C, íà êîòîðûõ ìíîæåñòâàì A \ (B \ C) è (A \ B) \ C ñîîòâåòñòâóþò çàøòðèõîâàííàÿ ÷àñòü äèàãðàìì.

Â äåéñòâèòåëüíîñòè äëÿ âòîðîãî ìíîæåñòâà, èçîáðàæåííîãî íà
ðèñ. 1.22, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (A \ B) \ C = A \ (B È C).
Â ÷àñòíîñòè, íàïðèìåð, èç àññîöèàòèâíîñòè îïåðàöèè ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè è ñâîéñòâà ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè A D A = Æ ñëåäóåò,
÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A è B âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî:
A D (A D B) = B.
49

Îòìåòèì åùå ðàç, ÷òî äèàãðàììû Ýéëåðà – Âåííà èëëþñòðèðóþò, ïîìîãàþò ïðåäñòàâèòü è äîêàçàòü, íî ñàìè íè÷åãî íå äîêàçûâàþò. Ïîêàæåì ýòî íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Âûÿñíèì, ñïðàâåäëèâî ëè ðàâåíñòâî:
A D B D C = (A È B È C) \ [(A Ç B) È (A Ç C) È (B Ç C)].

(*)

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî äèàãðàìì Ýéëåðà – Âåííà äëÿ ëåâîé è ïðàâîé
÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà. Êðîìå òîãî, îòäåëüíî ðàññìîòðèì äèàãðàììó äëÿ
ñëó÷àÿ A Ç B Ç C = Æ.

Íà ðèñ. 1.23 è 1.24 çàøòðèõîâàííàÿ ÷àñòü äèàãðàìì ñîîòâåòñòâóåò ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè èññëåäóåìîãî ðàâåíñòâà (*), ò. å. ýòè äâå äèàãðàììû ïîêàçûâàþò, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî äëÿ óêàçàííûõ ìíîæåñòâ A, B è C íå âûïîëíåíî. Åñëè ðàññìîòðåòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ìíîæåñòâ A, B è C, êîãäà, íàïðèìåð,
íà äèàãðàììå ïðîïàäàåò âíóòðåííÿÿ îáëàñòü, ò. å. A Ç B Ç C = Æ, êàê íà
ðèñ. 1.25, òî òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå ðàâåíñòâî (*) âûïîëíåíî. Â îáùåì
ñëó÷àå ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
(A D B D C) \ (A Ç B Ç C) = (A È B È C) \ [(A Ç B) È (A Ç C) È (B Ç C)].
Ìîðàëü ïðîñòà: ïðè èñïîëüçîâàíèè äèàãðàìì Ýéëåðà – Âåííà íåîáõîäèìî ñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû âñå ñîñòàâëÿþùèå ðàññìàòðèâàåìûõ ìíîæåñòâ áûëè íå ïóñòû.
Ðàññìîòðèì, êàê â ñëó÷àå ïåðåñå÷åíèÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ A, B è C
ïîñ÷èòàòü ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A È B È C. Åñëè ïðîñóììèðîâàòü
êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â êàæäîì ìíîæåñòâå A, B è C, òî ñîãëàñíî äèàãðàììå Ýéëåðà — Âåííà (ñì. ðèñ. 1.19), íåêîòîðûå ïîäìíîæåñòâà ïðè ïîäñ÷åòå
áóäóò ó÷òåíû äâàæäû. Åñëè âû÷åñòü ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâ A Ç B,
A Ç C è B Ç C, ò. å. â íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ n(A Ç B), n(A Ç C) è n(B Ç C), ñîîòâåòñòâåííî èç ÷èñëà ýëåìåíòîâ n(A È B È Ñ), òî êàê âèäíî èç äèàãðàììû
Ýéëåðà – Âåííà (ñì. ðèñ. 1.20) ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A Ç B Ç Ñ ñîâñåì íå áóäåò ó÷òåíî. Ïîýòîìó åñëè ê óêàçàííîé ðàçíîñòè äîáàâèòü
n(A Ç B Ç Ñ), òî êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A È B È Ñ áóäåò ó÷òåí ðîâíî
îäèí ðàç. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:
n(A È B È Ñ) = n(A) + n(B) + n(Ñ) – n(A Ç B) – n(A Ç Ñ) – n(B Ç Ñ) + n(A Ç B Ç Ñ).
50

Â ÷àñòíîñòè, ïîëüçóÿñü ýòîé ôîðìóëîé, ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó î òðåõ
ÿçûêàõ, ñôîðìóëèðîâàííóþ â êîíöå ðàçäåëà 1.1.
Íà÷íåì êàê âñåãäà ñ îáîçíà÷åíèé. Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî ó÷àùèõñÿ,
èçó÷àþùèõ àíãëèéñêèé ÿçûê», B — «ìíîæåñòâî ó÷àùèõñÿ, èçó÷àþùèõ íåìåöêèé ÿçûê», C — «ìíîæåñòâî ó÷àùèõñÿ, èçó÷àþùèõ ôðàíöóçñêèé ÿçûê» è
U — «ìíîæåñòâî âñåõ ó÷àùèõñÿ ëèöåÿ». Íàïîìíèì, ÷òî n(U) = 100, n(A) = 50,
n(B) = 23, n(C) = 30, n(A Ç B) = 20, n(A Ç C) = 8, n(B Ç C) = 10, n(A Ç B Ç C) = 5.
Ïî ïðåäûäóùåé ôîðìóëå äëÿ ÷èñëà ýëåìåíòîâ n(A È B È Ñ) èìååì:
n(A È B È Ñ) = 50 + 23 + 30 – 20 – 8 – 10 + 5 = 70.
Íàïîìíèì, ÷òî â îò÷åòå èíñïåêòîðà ñêàçàíî, ÷òî êàæäûé èç 100
ó÷àùèõñÿ èçó÷àåò õîòÿ áû îäèí èç òðåõ ÿçûêîâ. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå
100 ¹ 70. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî ó÷àùèõñÿ ñîãëàñíî
îò÷åòó èíñïåêòîðà èçó÷àþò òîëüêî îäèí íåìåöêèé ÿçûê?
n(B) – n(A Ç B) – n(B Ç C) + n(A Ç B Ç C) = 23 – 20 – 10 + 5 = –2.
Îïÿòü íåëåïîñòü!
Åñòåñòâåííûé âûâîä. Ïðîâåðêà áûëà ïðîâåäåíà ïëîõî èëè ñîâñåì íå
ïðîâîäèëàñü, âîçìîæíî, èíñïåêòîð íåóäà÷íî âçÿë ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà.
Ïîýòîìó áûëè âñå îñíîâàíèÿ äëÿ åãî óâîëüíåíèÿ, êàê «ìàòåìàòè÷åñêè ìàëîãðàìîòíîãî» è ïðîôåññèîíàëüíî íåïðèãîäíîãî ñïåöèàëèñòà.
3. Çàêîíû äèñòðèáóòèâíîñòè. Ïðè ÷åðåäîâàíèè îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ äëÿ ëþáûõ òðåõ ìíîæåñòâ A, B è C âûïîëíÿþòñÿ ñâîéñòâà äèñòðèáóòèâíîñòè îäíîé îïåðàöèè îòíîñèòåëüíî äðóãîé:
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C), A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
Íàïîìíèì, ÷òî â ÷èñëîâîì ñëó÷àå äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ ïîçâîëÿåò âûíîñèòü îáùèé ìíîæèòåëü çà ñêîáêó è ðàñêðûâàòü
ñêîáêè. Â ñëó÷àå ìíîæåñòâ ñîîòíîøåíèé òàêîãî ðîäà áîëüøå. Íà ðèñ. 1.26
ïðèâåäåíà äèàãðàììà Ýéëåðà – Âåííà äëÿ òðåõ ìíîæåñòâ A, B è C, íà êîòîðîé
ìíîæåñòâî A È (B Ç C) èçîáðàæåíî çàøòðèõîâàííîé ÷àñòüþ ñîîòâåòñòâåííî
íà ðèñ. 1.27 äàíà ãðàôè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ äëÿ ìíîæåñòâà A Ç (B È C).

51

Äèàãðàììû Ýéëåðà – Âåííà ïîäâîäÿò íàñ ê ñëåäóþùåìó ôóíäàìåíòàëüíîìó âîïðîñó: ×òî òàêîå äîêàçàòåëüñòâî ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ? Ðàññóæäåíèÿ,
èñïîëüçóþùèå ñëîâà, ïîäîáíûå «çíà÷èò», «òàêèì îáðàçîì», «ñëåäîâàòåëüíî», íà ñàìîì äåëå íå ÿâëÿþòñÿ äîêàçàòåëüñòâàìè, ïîñêîëüêó ëîãè÷åñêèå ñâÿçè ïîäìåíÿþòñÿ â
íèõ ïîâåðõíîñòíûìè, ÷èñòî ïñèõîëîãè÷åñêèìè àññîöèàöèÿìè. Äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ óêàçàííûõ ñëîâ íå íà ìåòàôîðè÷åñêîì óðîâíå, à íà óðîâíå îïåðàöèîíàëüíîì íóæíî õîðîøåå çíàíèå õîòÿ áû íåêîòîðûõ, äîñòóïíûõ äëÿ âñåõ, ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Åñëè ñóäåíòû-ãóìàíèòàðèè îòêàçûâàþòñÿ îò ýòîãî, òî òåì ñàìûì îíè îòêàçûâàþòñÿ îò ìíîãèõ âîçìîæíîñòåé ðàçâèòèÿ è îáîñíîâàíèÿ ñâîèõ èäåé. Ïîýòîìó îäíà èç öåëåé îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå ãóìàíèòàðèåâ — ÷èñòî ïñèõîëîãè÷åñêàÿ, ñîñòîÿùàÿ â ñîçäàíèè íîâîé ïñèõîëîãèè îáó÷åíèÿ, ïàðàëëåëüíîé îáû÷íîé, ãóìàíèòàðíîé, ñ öåëüþ ôîðìèðîâàíèÿ äèñöèïëèíû ìûøëåíèÿ. Îòâåòîì íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ äëÿ ôèëîëîãîâ ìîæåò áûòü ñëåäóþùàÿ õàðàêòåðèñòèêà äîêàçàòåëüñòâà:
«Äîêàçàòåëüñòâî — ýòî òàêàÿ êîíñòðóêöèÿ, ñèíòàêñè÷åñêàÿ ïðàâèëüíîñòü êîòîðîé ãàðàíòèðóåò ñåìàíòè÷åñêóþ».
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ëþáîãî ãóìàíèòàðíîãî è åñòåñòâåííîíàó÷íîãî çíàíèÿ, êðîìå ìà
òåìàòèêè, ýòî íå ïðîñòî õàðàêòåðèñòèêà, à âïîëíå ïðèåìëåìîå îïðåäåëåíèå. Ãðóïïà ìàòåìàòèêîâ, âûñòóïàâøàÿ ïîä îáùèì ïñåâäîíèìîì Íèêîëà Áóðáàêè, íà÷èíàëà ñâîè
«Íà÷àëà ìàòåìàòèêè» ñëîâàìè: «Ñî âðåìåí ãðåêîâ ãîâîðèòü ìàòåìàòèêà — çíà÷èò
ãîâîðèòü äîêàçàòåëüñòâî». Õîòÿ òåðìèí «äîêàçàòåëüñòâî» ÿâëÿåòñÿ åäâà ëè íå ñàìûì
ãëàâíûì â ìàòåìàòèêå, îí íå èìååò òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ. Âòîðãàÿñü â îáëàñòü ïñèõîëîãèè, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî «äîêàçàòåëüñòâî» — ýòî òàêîå ðàññóæäåíèå, êîòîðîå óáåæäàåò íàñ íàñòîëüêî, ÷òî ñ åãî ïîìîùüþ ìû ãîòîâû óáåæäàòü äðóãèõ.
Àíãëèéñêèé ïèñàòåëü è ïðîïàãàíäèñò íàóêè ×àðëç Ñíîó â ïîëó÷èâøåé øèðîêèé
îòêëèê ëåêöèè «Äâå êóëüòóðû è íàó÷íàÿ ðåâîëþöèÿ» óòâåðæäàë, ÷òî ñóùåñòâóþò äâå
îòäåëüíûå êóëüòóðû: îäíà — êóëüòóðà åñòåñòâåííèêîâ è ìàòåìàòèêîâ, äðóãàÿ — ëèòåðàòóðíàÿ è òðàäèöèîííàÿ, êîòîðàÿ ïðèíàäëåæèò ãóìàíèòàðèÿì. Èçâåñòíûé ëîãèê è
ìàòåìàòèê ïðîôåññîð Â. À. Óñïåíñêèé ñ÷èòàåò, ÷òî «ïîä âèäîì ìàòåìàòèêè ìû íà ñàìîì äåëå ïðåïîäàåì … ðóññêèé ÿçûê, íî ñî ñìûñëîì, ñ ñåìàíòèêîé». Â øêîëå èçó÷àþò
ìîðôîëîãèþ è ñèíòàêñèñ, à ñåìàíòèêå íå ó÷àò, ïîñêîëüêó ýòî ãîðàçäî òðóäíåå.
Ñëîæíûå äîêàçàòåëüñòâà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äëèííóþ öåïî÷êó ïðàâèëüíûõ
óìîçàêëþ÷åíèé, ïîýòîìó äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óòâåðæäåíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ â ñèëó îäíîé èç ñëåäóþùèõ ïðè÷èí:
à) ïî ïðåäïîëîæåíèþ;
á) ïî àêñèîìå èëè îïðåäåëåíèþ;
â) ïî ðàíåå äîêàçàííîé ëåììå èëè òåîðåìå;
ã) ïî ñïîñîáó âûâîäà èç ïðåäûäóùèõ óòâåðæäåíèé;
ä) ïî ëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè ïðåäûäóùåìó óòâåðæäåíèþ.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè ïîçíàíèÿ, öåííîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå ñîîáùåñòâî îáëàäàåò óíèêàëüíîé ñïîñîáíîñòüþ
îòäåëÿòü ïðàâèëüíûå äîêàçàòåëüñòâà îò îøèáî÷íûõ. Îíî òàêæå ñïîñîáíî óñòàíàâëèâàòü îêîí÷àòåëüíîñòü äîêàçàòåëüñòâà, ó÷èòûâàÿ ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ î äîïóñòèìîì è íåäîïóñòèìîì â ìàòåìàòèêå.

Äîêàæåì äèñòðèáóòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ äëÿ ìíîæåñòâ, ò. å. ðàâåíñòâî:
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C).
52

Ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåíñòâà ìíîæåñòâ íàäî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü
ñëåäóþùèõ äâóõ âêëþ÷åíèé:
A È (B Ç C) Ì (A È B) Ç (A È C) è (A È B) Ç (A È C) Ì A È (B Ç C).
Ïî îïðåäåëåíèþ ïîäìíîæåñòâà íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò ëåâîé ÷àñòè âêëþ÷åíèÿ, òî îí ïðèíàäëåæèò ïðàâîé ÷àñòè âêëþ÷åíèÿ.
Íà÷íåì ñ ïåðâîãî âêëþ÷åíèÿ. Ïóñòü x Î A È (B Ç C). Ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x Î A èëè x Î B Ç C.
Åñëè x Î A, òî òîãäà ïî ñâîéñòâó îáúåäèíåíèÿ x Î A È B è x Î A È C. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ èìååì, ÷òî
x Î (A È B) Ç (A È C). Åñëè x Î B Ç C, òî ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ
ìíîæåñòâ x Î B è x Î C, îòñþäà ïî ñâîéñòâó îáúåäèíåíèÿ ïîëó÷èì
x Î A È B è x Î A È C. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ èìååì, ÷òî x Î (A È B) Ç (A È C), ò. å. âêëþ÷åíèå äîêàçàíî.
Ðàññìîòðèì âòîðîå âêëþ÷åíèå. Ïóñòü x Î (A È B) Ç (A È C). Ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x Î A È B è
x Î A È C. Âîçìîæíû ñëåäóþùèå âàðèàíòû äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ýëåìåíòà x, à èìåííî x Î A èëè x Ï A. Åñëè x Î A, òî ïî ñâîéñòâó îáúåäèíåíèÿ èìååì x Î A È (B Ç C). Åñëè x Ï A è îäíîâðåìåííî x Î A È B è x Î A È C, òî èç
ýòèõ òðåõ ñîîòíîøåíèé è èç îïðåäåëåíèÿ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ïîëó÷èì,
÷òî x Î B è x Î C. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ
x Î B Ç C è ïî ñâîéñòâó îáúåäèíåíèÿ ïîëó÷èì, ÷òî x Î A È (B Ç C). Âòîðîå
âêëþ÷åíèå äîêàçàíî.
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà äèñòðèáóòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ äëÿ ìíîæåñòâ.
Îòìåòèì, ÷òî â ÷èñëîâîì ñëó÷àå äîêàçàííîå ñîîòíîøåíèå, ò. å.
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C), èìåëî áû âèä a + (b × c) = (a + b) × (a + c), ÷òî
ðàçóìååòñÿ íåâåðíî, ò. å. äëÿ ÷èñåë íå âûïîëíÿåòñÿ çàêîí «äèñòðèáóòèâíîñòè ñëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ». Îäíàêî äëÿ ÷èñåë âûïîëíÿåòñÿ
çàêîí «äèñòðèáóòèâíîñòè óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ», ò. å.
a×(b + c) = a×b + a×c, àíàëîã êîòîðîãî äëÿ îïåðàöèé íà ìíîæåñòâàõ èìååò
âèä: A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C). Íåòðóäíî ïðèâåñòè ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðàâåíñòâà.
Äîêàæåì äèñòðèáóòèâíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ äëÿ ìíîæåñòâ, ò. å. ðàâåíñòâî:
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
53

Ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåíñòâà ìíîæåñòâ íàäî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü
ñëåäóþùèõ äâóõ âêëþ÷åíèé:
A Ç (B È C) Ì (A Ç B) È (A Ç C) è (A Ç B) È (A Ç C) Ì A Ç (B È C).
Íà÷íåì ñ ïåðâîãî âêëþ÷åíèÿ. Ïóñòü x Î A Ç (B È C). Ïî îïðåäåëåíèþ
ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x Î A è x Î B È C. Èòàê, âñåãäà
x Î A, êðîìå òîãî, äëÿ íåãî ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ âîçìîæíû ñëåäóþùèå âàðèàíòû: x Î B èëè x Î C. Åñëè x Î B, òî òîãäà, ïîñêîëüêó îí åùå ñîäåðæèòñÿ â ìíîæåñòâå A, ïîëó÷èì x Î A Ç B, ïîýòîìó ïî
ñâîéñòâó îáúåäèíåíèÿ x Î (A Ç B) È (A Ç C). Åñëè x Î C è òàê êàê x Î A, òî
ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî x Î A Ç C, ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó îáúåäèíåíèÿ
x Î (A Ç B) È (A Ç C). Ïåðâîå âêëþ÷åíèå äîêàçàíî.
Ðàññìîòðèì âòîðîå âêëþ÷åíèå. Ïóñòü x Î (A Ç B) È (A Ç C). Ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x Î A Ç B èëè
x Î A Ç C. Åñëè x Î A Ç B, òî ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ x Î A
è x Î B. Åñëè x Î A Ç C, òî àíàëîãè÷íî x Î A è x Î C. Îòñþäà ïîëó÷èì, ÷òî â
ëþáîì ñëó÷àå x Î A è x Î B èëè x Î C, ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî x Î B È C.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ x Î A Ç (B È C).
Âòîðîå âêëþ÷åíèå äîêàçàíî.
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà äèñòðèáóòèâíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ äëÿ ìíîæåñòâ.
Ïðèìåð. Ìíîæåñòâî âñåõ ñòóäåíòîâ ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà
ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ñëåäóþùèõ òðåõ ìíîæåñòâ: A — «ìíîæåñòâî
âñåõ óñïåâàþùèõ ñòóäåíòîâ»; B — «ìíîæåñòâî âñåõ äåâóøåê»; C — «ìíîæåñòâî âñåõ íåóñïåâàþùèõ þíîøåé». Îïèøåì ìíîæåñòâà, âõîäÿùèå â
ðàâåíñòâà çàêîíîâ äèñòðèáóòèâíîñòè.
ßñíî, ÷òî êàæäûé ñòóäåíò ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ïðèíàäëåæèò
õîòÿ áû îäíîìó èç óêàçàííûõ ìíîæåñòâ. Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâà A è B
èìåþò îáùèå ýëåìåíòû — óñïåâàþùèå äåâóøêè âõîäÿò è â ïåðâîå, è âî
âòîðîå ìíîæåñòâî.
Ñ îäíîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó B Ç C = Æ, òî A È (B Ç C) = A È Æ = A. Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, A È B — «ìíîæåñòâî âñåõ óñïåâàþùèõ ñòóäåíòîâ è âñåõ
äåâóøåê», A È C — «ìíîæåñòâî âñåõ óñïåâàþùèõ ñòóäåíòîâ è âñåõ íåóñïåâàþùèõ þíîøåé», ñëåäîâàòåëüíî, (A È B) Ç (A È C) — «ìíîæåñòâî âñåõ
óñïåâàþùèõ ñòóäåíòîâ», ò. å. ýòî îïÿòü ìíîæåñòâî A. Â ýòîì ïðèìåðå äëÿ
ìíîæåñòâ A, B è C ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
A È (B Ç C) = A = (A È B) Ç (A È C).
54

Àíàëîãè÷íî, ïîñêîëüêó B È C — «ìíîæåñòâî âñåõ äåâóøåê è âñåõ íåóñïåâàþùèõ þíîøåé», òî A Ç (B È C) — «ìíîæåñòâî âñåõ óñïåâàþùèõ äåâóøåê», à òàê êàê A Ç C = Æ, òî (A Ç B) È (A Ç C) = A Ç B — ýòî òîæå «ìíîæåñòâî âñåõ óñïåâàþùèõ äåâóøåê». Â ýòîì ïðèìåðå äëÿ ìíîæåñòâ A, B è C
ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
A Ç (B È C) = A Ç B = (A Ç B) È (A Ç C).
Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ïðèìåðà ìû åùå ðàç óáåäèëèñü â ñïðàâåäëèâîñòè
äîêàçàííûõ âûøå çàêîíîâ äèñòðèáóòèâíîñòè.
Â áîëüøèíñòâå ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ ëîãèêà «ñêðûòà» â òîì ñìûñëå,
÷òî î íåé ñïåöèàëüíî íå óïîìèíàåòñÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êàæäûé ìîæåò ñàìîñòîÿòåëüíî
îòñëåæèâàòü ëîãèêó áåç ïîñòîðîííåé ïîìîùè, òàê êàê åå ñïåöèàëüíîå ðàññìîòðåíèå
ìîæåò, íà ïåðâûé âçãëÿä, óñëîæíèòü ñàì ïðîöåññ äîêàçàòåëüñòâà. Â äîêàçàòåëüñòâàõ çàêîíîâ äèñòðèáóòèâíîñòè äëÿ îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ íåÿâíî èñïîëüçîâàíû ëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà äèñòðèáóòèâíîñòè äëÿ äèçúþíêöèè è êîíúþíêöèè.
Îáîçíà÷èì âûñêàçûâàíèÿ áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà p, q, r. Âûðàæåíèå p Ú q
íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèåé âûñêàçûâàíèé p è q, ãäå ñèìâîë « Ú » îáîçíà÷àåò ñëîâî « èëè »
â ïåðåâîäå íà ñèìâîëè÷åñêèé ÿçûê. Âûðàæåíèå p Ù q íàçûâàåòñÿ êîíúþíêöèåé âûñêàçûâàíèé p è q, ãäå ñèìâîë « Ù » îáîçíà÷àåò ñëîâî « è » íà ÿçûêå ñèìâîëè÷åñêèõ âûðàæåíèé. Èñïîëüçóÿ òàáëèöû èñòèííîñòè, ïåðå÷èñëÿþùèå âñå âîçìîæíûå êîìáèíàöèè èñòèííîñòè è ëîæíîñòè ñëîæíûõ âûñêàçûâàíèé, ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå ëîãè÷åñêèå
çàêîíû äèñòðèáóòèâíîñòè:
p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r),
p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r).
Öåíòðàëüíàÿ çàäà÷à ëîãèêè — îòäåëåíèå ïðàâèëüíûõ ñõåì ðàññóæäåíèÿ, ïðàâèëüíîñòü êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ëîãè÷åñêîé ôîðìîé îò íåïðàâèëüíûõ ðàññóæäåíèé.
Îòñþäà èíòåðåñ ôîðìàëüíîé ëîãèêè ê òàêèì îáû÷íî íå ïðèâëåêàþùèì âíèìàíèÿ ñëîâàì åñòåñòâåííîãî ÿçûêà, êàê «è», «èëè», «åñëè, òî», «òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà» è
ò. ï. Î òîì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, ãîâîðèò âñåì çíàêîìàÿ ñ äåòñòâà çàãàäêà-øóòêà:
«A è B ñèäåëè íà òðóáå, A óïàëî, B ïðîïàëî, ÷òî îñòàëîñü íà òðóáå?» îñòàëîñü «è».
Ïîêàæåì, êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå çàêîíîâ äèñòðèáóòèâíîñòè â òåîðèè ìíîæåñòâ
ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñèìâîëû äèçúþíêöèè, êîíúþíêöèè, ýêâèâàëåíòíîñòè è ñîîòâåòñòâóþùèå ëîãè÷åñêèå çàêîíû äèñòðèáóòèâíîñòè.
Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A, B è C ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì îäíîâðåìåííî ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêîé ñâÿçêè ýêâèâàëåíòíîñòè, ÷òî êàæäîå èç ìíîæåñòâ, âõîäÿùèõ â ýòî ðàâåíñòâî, åñòü ïîäìíîæåñòâî äðóãîãî ìíîæåñòâà. Íàïîìíèì, ÷òî ìû èñïîëüçóåì ëîãè÷åñêèé çíàê « Û » âìåñòî âûðàæåíèÿ «òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà».
x Î A È (B Ç C) Û (x Î A) Ú (x Î B Ç C)
Û (x Î A) Ú ((x Î B) Ù (x Î C))

îïðåäåëåíèå îáúåäèíåíèÿ
îïðåäåëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ

55

Û ((x Î A) Ú (x Î B)) Ù ((x Î A) Ú (x Î C))
Û (x Î A È B) Ù (x Î A È C)
Û x Î (A È B) Ç (A È C)

ëîãè÷åñêèé çàêîí äèñòðèáóòèâíîñòè
îïðåäåëåíèå îáúåäèíåíèÿ
îïðåäåëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ

Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A, B è C ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
Äîêàçàòåëüñòâî. Îïÿòü ïîêàæåì ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêîãî ðàññóæäåíèÿ, èñïîëüçóÿ ëîãè÷åñêèé çíàê « Û », ÷òî êàæäîå èç ìíîæåñòâ, âõîäÿùèõ â ýòî ðàâåíñòâî, ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äðóãîãî ìíîæåñòâà.
x Î A Ç (B È C) Û (x Î A) Ù (x Î B Ç C)
Û (x Î A) Ù ((x Î B) Ú (x Î C))
Û ((x Î A) Ù (x Î B)) Ú ((x Î A) Ù (x Î C))
Û (x Î A Ç B) Ú (x Î A Ç C)
Û x Î (A Ç B) È (A Ç C).

îïðåäåëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ
îïðåäåëåíèå îáúåäèíåíèÿ
ëîãè÷åñêèé çàêîí äèñòðèáóòèâíîñòè
îïðåäåëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ
îïðåäåëåíèå îáúåäèíåíèÿ

Ñâîéñòâà äèñòðèáóòèâíîñòè, äîêàçàííûå â òåîðèè ìíîæåñòâ, èìåþò àíàëîãè â ëîãèêå. Òàêîãî ðîäà ñâÿçü, à èìåííî îäèí èç çàêîíîâ ëîãèêè — çàêîí äå Ìîðãàíà — ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîîòâåòñòâóþùåãî àíàëîãà ñâîéñòâà äå Ìîðãàíà äëÿ îïåðàöèè äîïîëíåíèÿ â òåîðèè ìíîæåñòâ.
Îòðèöàíèå (èëè îïðîâåðæåíèå) âûñêàçûâàíèÿ p îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ÷åðåç
« ~p ». Íàïðèìåð, åñëè p åñòü âûñêàçûâàíèå «x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Ì», òî ~ p —
ýòî âûñêàçûâàíèå «x íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Ì». Èñïîëüçóÿ òàáëèöû èñòèííîñòè,
ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå ëîãè÷åñêèå çàêîíû äå Ìîðãàíà:
~ (p Ú q) Û ~ p Ù ~ q,
~ (p Ù q) Û ~ p Ú ~ q.
Ýòè çàêîíû, íàçâàííûå èìåíåì øîòëàíäñêîãî ìàòåìàòèêà è ëîãèêà Àâãóñòà äå
Ìîðãàíà, øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â åñòåñòâåííîì ÿçûêå è ïîçâîëÿò ïåðåõîäèòü îò óòâåðæäåíèé ñ ñîþçîì è ê óòâåðæäåíèÿì ñ ñîþçîì èëè, è íàîáîðîò.
Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ýòè çàêîíû îò âûñêàçûâàíèÿ «Íåâåðíî, ÷òî èçó÷åíèå ìà
òåìàòèêè äëÿ ñòóäåíòîâ-ôèëîëîãîâ òðóäíî è áåñïîëåçíî», ìîæíî ïåðåéòè ê ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíîìó âûñêàçûâàíèþ «Èçó÷åíèå ìàòåìàòèêè ñòóäåíòàìè-ôèëîëîãàìè íå ÿâëÿåòñÿ òðóäíûì èëè æå îíî íå áåñïîëåçíî».
Íà îñíîâå çàêîíîâ äå Ìîðãàíà ñâÿçêó è ìîæíî îïðåäåëèòü, èñïîëüçóÿ îòðèöàíèå,
÷åðåç ñâÿçêó èëè, è íàîáîðîò:
«p è q» îçíà÷àåò «íåâåðíî, ÷òî íå-p èëè íå-q»,
«p èëè q» îçíà÷àåò «íåâåðíî, ÷òî íå-p è íå-q».
Íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèå «Ñòóäåíòû ôèëôàêà èçó÷àþò êîíöåïöèè ñîâðåìåííîãî
åñòåñòâîçíàíèÿ è îñíîâû âûñøåé ìàòåìàòèêè» îçíà÷àåò «Íåâåðíî, ÷òî ñòóäåíòû ôèëôàêà íå èçó÷àþò êîíöåïöèé ñîâðåìåííîãî åñòåñòâîçíàíèÿ èëè íå èçó÷àþò îñíîâû âûñøåé ìàòåìàòèêè».
Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A è B ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû äå
Ìîðãàíà â òåîðèè ìíîæåñòâ, ò. å. èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà:

56

U \ (A È B) = (U \ A) Ç (U \ B),
U \ (A Ç B) = (U \ A) È (U \ B),
ãäå U — óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ìíîæåñòâà A è B.
Äëÿ ïîíèìàíèÿ ýòèõ ðàâåíñòâ âîñïîëüçóåìñÿ ãðàôè÷åñêèìè èëëþñòðàöèÿìè äèàãðàìì Ýéëåðà – Âåííà. Íà ðèñ. 1.28–1.30 óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U èçîáðàæåíî â
âèäå ïðÿìîóãîëüíèêà. Ìíîæåñòâó U \ (A È B) íà ðèñ. 1.28 è ìíîæåñòâó U \ (A Ç B) íà
ðèñ. 1.30 ñîîòâåòñòâóåò çàøòðèõîâàííàÿ ÷àñòü äèàãðàììû. Íà ðèñ. 1.29 âåðòèêàëüíîé
øòðèõîâêîé èçîáðàæåíî ìíîæåñòâî U \ A, à ãîðèçîíòàëüíîé øòðèõîâêîé — ìíîæåñòâî U \ B.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì îäíîâðåìåííî, ÷òî êàæäîå èç ìíîæåñòâ, âõîäÿùèõ â
ðàâåíñòâî, åñòü ïîäìíîæåñòâî äðóãîãî ìíîæåñòâà. Íà÷íåì ñ ïåðâîãî ðàâåíñòâà.
x Î U \ (A È B) Û x Ï A È B
Û ~ ( x Î A È B)
Û ~ ((x Î A) Ú (x Î B))
Û ~ (x Î A) Ù ~ (x Î B)
Û (x Ï A) Ù (x Ï B)
Û (x Î U \ A) Ù (x Î U \ B)
Û x Î (U \ A) Ç (U \ B)

îïðåäåëåíèå äîïîëíåíèÿ
îïðåäåëåíèå Ï è îòðèöàíèÿ
îïðåäåëåíèå îáúåäèíåíèÿ
çàêîí äå Ìîðãàíà
îïðåäåëåíèå Ï è îòðèöàíèÿ
îïðåäåëåíèå äîïîëíåíèÿ
îïðåäåëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ

Àíàëîãè÷íî ñ ïîìîùüþ îáùåãî ðàññóæäåíèÿ äîêàçûâàåòñÿ âòîðîå ðàâåíñòâî.
x Î U \ (A Ç B) Û x Ï A Ç B
Û ~ ( x Î A Ç B)
Û ~ ((x Î A) Ù (x Î B))
Û ~ (x Î A) Ú ~ (x Î B)
Û (x Ï A) Ú (x Ï B)
Û (x Î U \ A) Ú (x Î U \ B)
Û x Î (U \ A) È (U \ B)

îïðåäåëåíèå äîïîëíåíèÿ
îïðåäåëåíèå Ï è îòðèöàíèÿ
îïðåäåëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ
çàêîí äå Ìîðãàíà
îïðåäåëåíèå Ï è îòðèöàíèÿ
îïðåäåëåíèå äîïîëíåíèÿ
îïðåäåëåíèå îáúåäèíåíèÿ

Ïðèìåð. Íà ïîòîêå èç 100 ñòóäåíòîâ 75 ÷åëîâåê èçó÷àþò àíãëèéñêèé ÿçûê, 60 —
íåìåöêèé, à 45 ÷åëîâåê — îäíîâðåìåííî àíãëèéñêèé è íåìåöêèé ÿçûêè. Ñêîëüêî ñòóäåíòîâ íå èçó÷àþò íè àíãëèéñêèé, íè íåìåöêèé ÿçûê?
Ïóñòü A — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ, èçó÷àþùèõ àíãëèéñêèé ÿçûê», B — «ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ, èçó÷àþùèõ íåìåöêèé ÿçûê», à óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U —
ýòî ïîòîê èç 100 ñòóäåíòîâ. Òîãäà ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ, íå èçó÷àþùèõ íè àíãëèé-

57

ñêèé, íè íåìåöêèé ÿçûê ðàâíî ïåðåñå÷åíèþ äîïîëíåíèé (U \A) Ç (U \ B). Â ñèëó ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ (U \ A) Ç (U \ B) = U \ (A È B). Íàïîìíèì, ÷òî ÷èñëî ñòóäåíòîâ,
èçó÷àþùèõ àíãëèéñêèé èëè íåìåöêèé ÿçûê, ðàâíî n(A È B)=90, ïîýòîìó
n((U \ A) Ç (U \ B)) = n(U \ (A È B)) = 100 – 90 = 10,
ò. å. âñåãî 10 ñòóäåíòîâ íå èçó÷àþò ýòè èíîñòðàííûå ÿçûêè.
Çàìå÷àíèå. Èç äîêàçàííûõ â ïðåäûäóùåì óòâåðæäåíèè ðàâåíñòâ, ñëåäóþò âàæíûå äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé óòâåðæäåíèÿ:
« x Ï A È B » ýêâèâàëåíòíî « x Ï A è x Ï B »,
« x Ï A Ç B » ýêâèâàëåíòíî « x Ï A èëè x Ï B ».
Ïðèìåð. Èñïîëüçóÿ ýòî çàìå÷àíèå, äîêàæåì åùå ðàç ôîðìóëû äå Ìîðãàíà íà
ÿçûêå òåîðèè ìíîæåñòâ.
Íà÷íåì ñ ðàâåíñòâà âèäà U \ (A È B) = (U \ A) Ç (U \ B). Åñëè x Î U \ (A È B), òî ïî
îïðåäåëåíèþ äîïîëíåíèÿ x Ï A È B, çíà÷èò â ñèëó ïðåäûäóùåãî çàìå÷àíèÿ x Ï A è
x Ï B, ò. å. x Î U \ A è x Î U \ B. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ x Î (U \ A) Ç (U \ B). Åñëè x Î (U \ A) Ç (U \ B), òî x Î U \ A è x Î U \ B, çíà÷èò ïî îïðåäåëåíèþ äîïîëíåíèÿ x Ï A è x Ï B. Òîãäà â ñèëó ïðåäûäóùåãî çàìå÷àíèÿ îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x Ï A È B, ò. å. x Î U \ (A È B), è íóæíîå ðàâåíñòâî äëÿ ìíîæåñòâ äîêàçàíî.
Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî U \ (A Ç B) = (U \ A) È (U \ B). Åñëè x Î U \ (A Ç B), òî ïî
îïðåäåëåíèþ äîïîëíåíèÿ x Ï A Ç B, çíà÷èò â ñèëó ïðåäûäóùåãî çàìå÷àíèÿ x Ï A èëè
x Ï B, ò. å. x Î U \ A èëè x Î U \ B. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ x Î (U \ A) È (U \ B). Åñëè x Î (U \ A) È (U \ B), òî x Î U \ A èëè x Î U \ B, çíà÷èò ïî
îïðåäåëåíèþ äîïîëíåíèÿ x Ï A èëè x Ï B. Òîãäà â ñèëó ïðåäûäóùåãî çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî x Ï A Ç B, ò. å. x Î U \ (A Ç B), è, òàêèì îáðàçîì, âòîðîå ðàâåíñòâî äîêàçàíî.
Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáûõ òðåõ ìíîæåñòâ A, B è C âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè äëÿ ìíîæåñòâ:
A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ðàâåíñòâà ïðîâåðèì ñïðàâåäëèâîñòü
âêëþ÷åíèé:
A Ç (B D C) Ì (A Ç B) D (A Ç C) è (A Ç B) D (A Ç C) Ì A Ç (B D C).
Íà÷íåì ñ ïåðâîãî âêëþ÷åíèÿ. Ïóñòü x Î A Ç (B D C). Ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ ñëåäóåò, ÷òî x Î A è x Î B D C. Èòàê, x âñåãäà ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A,
è, êðîìå òîãî, ïî îïðåäåëåíèþ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè äëÿ íåãî âîçìîæíû ñëåäóþùèå âàðèàíòû: x Î B \ C èëè xÎ C \ B, ò. å. ïî îïðåäåëåíèþ ðàçíîñòè ìíîæåñòâ x Î B, íî
x Ï C, èëè x Î C, íî x Ï B. Òîãäà èç ïðåäûäóùåãî ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî x Î A, èìååì
x Î A Ç B, íî x Ï A Ç C, òàê êàê ïî ñâîéñòâó ïåðåñå÷åíèÿ A Ç C Ì C, èëè x Î A Ç C, íî
x Ï A Ç B, òàê êàê ïî ñâîéñòâó ïåðåñå÷åíèÿ A Ç B Ì B. Òàêèì îáðàçîì,
x Î (A Ç B) \ (A Ç C) èëè x Î (A Ç C) \ (A Ç B) è ïî îïðåäåëåíèþ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâ x Î (A Ç B) D (A Ç C). Ïåðâîå âêëþ÷åíèå äîêàçàíî.
Ðàññìîòðèì âòîðîå âêëþ÷åíèå. Ïóñòü x Î (A Ç B) D (A Ç C). Ïî îïðåäåëåíèþ
ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâ âîçìîæíû âàðèàíòû: x Î (A Ç B) \ (A Ç C) èëè
x Î (A Ç C) \ (A Ç B), ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ðàçíîñòè ìíîæåñòâ îçíà÷àåò x Î A Ç B, íî

58

x Ï A Ç C, èëè x Î A Ç C, íî x Ï A Ç B. Åñëè x Î A Ç B, íî x Ï A Ç C, òî ïî îïðåäåëåíèþ
ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ è ïðåäûäóùåìó çàìå÷àíèþ èìååì x Î A è x Î B, íî x Ï A èëè
x Ï C. Ñëåäîâàòåëüíî, x Î A è x Î B, íî x Ï C, ò. å. x Î A Ç (B \ C). Çíà÷èò ïî îïðåäåëåíèþ
ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâ è îäíîìó èç ñâîéñòâ ïåðåñå÷åíèÿ èç ïîñëåäíåé
ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòà x ïîëó÷èì, ÷òî x Î A Ç (B D C). Åñëè x Î A Ç C, íî x Ï A Ç B,
òî ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì ðàññóæäåíèåì áóäåì èìåòü x Î A è x Î C, íî x Ï B,
ò. å. x Î A Ç (C \ B), îòêóäà ñëåäóåò x Î A Ç (B D C). Òàêèì îáðàçîì, âòîðîå âêëþ÷åíèå
äîêàçàíî.
Îòìåòèì, ÷òî â äîêàçàííîì ðàâåíñòâå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿ ïîìåíÿòü ìåñòàìè
îïåðàöèè « Ç » è « D » òåì íå ìåíåå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç âêëþ÷åíèé âèäà
A D (B Ç C) É (A D B) Ç (A D C).
Çàìå÷àíèå. Äëÿ ëþáûõ òðåõ ìíîæåñòâ A, B è C âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî ðàçíîñòè äëÿ ìíîæåñòâ:
A Ç (B \ C) = (A Ç B) \ (A Ç C).
Äëÿ ñâîèõ îòêðûòèé ìàòåìàòèêà ïîëüçóåòñÿ àíàëîãèÿìè, ìîäåëÿìè, ïðèìåðàìè,
íî ìàòåìàòè÷åñêîå óòâåðæäåíèå âõîäèò â ìàòåìàòè÷åñêóþ ñèñòåìó çíàíèé òîëüêî ïîñëå
òîãî, êàê îíî äîêàçàíî ëîãè÷åñêèì ðàññóæäåíèåì.

Ìàòåìàòè÷åñêîå óòâåðæäåíèå — ýòî, ïðåæäå âñåãî, ñòðîãîå ëîãè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî. Èõ îáðàçöû áûëè ïðîäåìîíñòðèðîâàíû â ýòîì ðàçäåëå íà ïðèìåðå îñíîâíûõ ñâîéñòâ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè. Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîÿëî â âûâîäå èõ ñ ïîìîùüþ ñòðîãî ëîãè÷åñêè îáîñíîâàííûõ è íà
êàæäîé ñòóïåíè äîêàçàòåëüñòâà ÿâíî ñôîðìóëèðîâàííûõ ïðàâèë èç íà÷àëüíûõ ïîëîæåíèé, êîòîðûå ôèãóðèðóþò â äàííûõ óòâåðæäåíèÿõ.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ
1. Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A, B è C ñïðàâåäëèâû
ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: A È (B È C) = (A È B) È (A È C) è A Ç (B Ç C) =
= (A Ç B) Ç (A Ç C) ?
2. Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A, B âûïîëíÿåòñÿ çàêîí
ïîãëîùåíèÿ äëÿ îáúåäèíåíèÿ A È (A Ç B) = A è çàêîí ïîãëîùåíèÿ äëÿ ïåðåñå÷åíèÿ A Ç (A È B) = A ?
3. Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A, B è C â ñèëó çàêîíà äèñòðèáóòèâíîñòè ðàâåíñòâî A Ç (B È C) = (A Ç B) È C ýêâèâàëåíòíî âêëþ÷åíèþ C Ì A ?

1.5. ÏÎÍßÒÈÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
Ñîäåðæàíèåì ðå÷åâîé äåÿòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ïåðåäà÷à ðàçëè÷íûõ æåëàíèé, ìûñëåé, ÷óâñòâ è ò. ï., êîòîðûå ìîæíî íàçâàòü «ñìûñëàìè». Ñîãëàñíî Ñåðãåþ Àâåðèíöåâó, «ôèëîëîãèÿ çàíèìàåòñÿ “ñìûñëîì” — ñìûñëîì
59

÷åëîâå÷åñêîãî ñëîâà è ÷åëîâå÷åñêîé ìûñëè, ñìûñëîì êóëüòóðû, — íî íå íàãèì ñìûñëîì, êàê ýòî äåëàåò ôèëîñîôèÿ, à ñìûñëîì, æèâóùèì âíóòðè
ñëîâà è îäóøåâëÿþùèì ñëîâî». Ýâîëþöèè ïîíÿòèÿ «ñìûñë» ïîñâÿùåíî íåñêîëüêî êíèã è ìíîæåñòâî ñïåöèàëüíûõ ñòàòåé, íî îïðåäåëèòü åãî îêàçàëîñü ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíî. Ïåðåáèðàÿ áëèçêèå ïî çíà÷åíèþ ñëîâà, òàêèå
êàê èäåÿ, ñóùíîñòü, öåëîñòíîå ñîäåðæàíèå è ò. ï., ìîæíî óâèäåòü ãëóáîêóþ
ñâÿçü ñìûñëà ñ öåëîñòíîñòüþ. Êàê ñêàçàëà Íàäåæäà Ìàíäåëüøòàì: «Ñòèõîòâîðåíèå âîñïðèíèìàåòñÿ êàê öåëîå, êîãäà ñìûñë è ñëîâà íåðàçäåëèìû,
à ïîçæå ðàñêðûâàþòñÿ ìåëêèå ïîäðîáíîñòè, äåòàëè, óãëóáëÿþùèå îñíîâíîé ñìûñë».
Èñòèííûìè èëè ëîæíûìè áûâàþò òîëüêî îñìûñëåííûå âûñêàçûâàíèÿ. Íå îá
ýòîì ëè çíàìåíèòûå ïîýòè÷åñêèå ñòðîêè: «ß ïîíÿòü òåáÿ õî÷ó Ñìûñëà ÿ â òåáå èùó»
(À. Ñ. Ïóøêèí), «Òàê ñîâðåìåííûõ ïðîÿâëåíèé Ñìûñë èíîãäà è áåñòîëêîâ» (Ô. È. Òþò÷åâ), «Èõ òüìà, èì íåò ÷èñëà è ñìåòû, Èõ ñìûñë äîñåëü åùå íå ïîëí» (Á. Ë. Ïàñòåðíàê).
Ñðåäñòâîì ïåðåäà÷è ñîäåðæàíèÿ ñìûñëîâ ñëóæàò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çâóêîâûõ, ìèìè÷åñêèõ èëè ãðàôè÷åñêèõ âçàèìîñâÿçàííûõ çíàêîâ è ñèãíàëîâ, êîòîðûå ìîæíî íàçâàòü òåêñòàìè. Â äóõå êîíöåïöèè äîïîëíèòåëüíîñòè Áîðà ìîæíî ãîâîðèòü î òîì, ÷òî
ïîíèìàÿ òî, ÷òî íàì ãîâîðÿò, ìû, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âîñïðèíèìàåì, èç êàêèõ èìåííî îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ (ñëîâ, ìîðôåì, ôîíåì) ñîñòîèò òî, ÷òî ïðîèçíîñèòñÿ. Íî òàêîé ïîäõîä íå îêàçàë íèêàêîãî âëèÿíèÿ íà ÿçûêîçíàíèå, ïîñêîëüêó äîìèíèðîâàâøåé èäååé â
íàóêå î ÿçûêå â ïðîøëîì ñòîëåòèè áûëî ïðåäñòàâëåíèå î ñîîòâåòñòâèè ìåæäó «ñìûñëîì» è «òåêñòîì», òî÷íåå ìåæäó «îçíà÷àåìûì» è «îçíà÷àþùèì». Â ñîïîñòàâëåíèè
ýòèõ äâóõ ýëåìåíòîâ âûäàþùèéñÿ ÿçûêîâåä èç Æåíåâû Ôåðäèíàíä äå Ñîññþð âèäåë
îñíîâíóþ ôóíêöèþ ÿçûêà êàê çíàêîâîé ñèñòåìû. Ñ ïîìîùüþ ñìûñëà çíàíèå âõîäèò â
ñîçíàíèå, ïîýòîìó ñìûñë ðàññìàòðèâàþò êàê èíòóèòèâíóþ êîìïîíåíòó ñîçíàíèÿ, íàðÿäó ñ òåêñòîì (ðàöèî) è ÿçûêîì (ýìîöèî).
Äàæå ñîáëþäåíèå ïðàâèë ñèíòàêñèñà íå âñåãäà ãàðàíòèðóåò îñìûñëåííîñòü.
Ïðåäëîæåíèå «Êâàäðàòè÷íîñòü ïüåò âîîáðàæåíèå» ÿâëÿåòñÿ, ñóäÿ ïî âñåìó, áåññìûñëåííûì, õîòÿ è íå íàðóøàåò íè îäíîãî ïðàâèëà ñèíòàêñèñà ðóññêîãî ÿçûêà. Â ðàçíûõ êíèãàõ ìîæíî âñòðåòèòü çíàìåíèòóþ ôðàçó àêàäåìèêà Ë. Â. Ùåðáû: «Ãëîêàÿ êóçäðà øòåêî áóäëàíóëà áîêðà è êóäðÿ÷èò áîêðåíêà». Ãðàììàòè÷åñêèå îêîí÷àíèÿ â ýòîì
ïðåäëîæåíèè ðóññêèå, õîòÿ êîðíè ñëîâ — íåò. Òåì íå ìåíåå íîñèòåëè ðóññêîãî ÿçûêà
íàõîäÿò â ïðåäëîæåíèè ïîäëåæàùåå, ñêàçóåìîå è âòîðîñòåïåííûå ÷ëåíû ïðåäëîæåíèÿ,
òîëêóÿ åãî ïðèáëèçèòåëüíî òàê: «Íåêàÿ ñàìêà ñèëüíî óäàðèëà êàêîãî-òî ñàìöà è íàíîñèò óäàðû åãî äåòåíûøó». Ëîãèêà ìàòåìàòèêè è êîìïüþòåðíûõ «ñèñòåì ïîíèìàíèÿ»
îòëè÷àåòñÿ îò ëîãèêè ÿçûêà, äîïóñêàþùåãî êðîìå ïðÿìîãî ñìûñëà åùå è ïåðåíîñíûé.
Åñëè êàêîé-òî âîïðîñ îáñóæäàåòñÿ çà «êðóãëûì ñòîëîì», òî ñèäåòü, îáñóæäàÿ åãî,
ìîæíî çà ñòîëîì ëþáîé ôîðìû — êðóãëîé, ïðÿìîóãîëüíîé, êâàäðàòíîé. Òîãäà ôðàçà
«Ýòîò êðóãëûé ñòîë — ÷åòûðåõóãîëüíûé» ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðàâèëüíîé íå òîëüêî
ãðàììàòè÷åñêè, íî è ñåìàíòè÷åñêè. Íàïðèìåð, äëÿ ïÿòèëåòíåãî ðåáåíêà âïîëíå îñìûñëåííîé ìîæåò îêàçàòüñÿ ôðàçà «áóìñèê íåóòîëñòÿë» (Ïîëèíà Ìèõàéëîâà), ÷òî îçíà÷àåò
«íà òåáÿ âñå êàøòàíû ïîïàäàëè». Îñìûñëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëîâ âñåãäà îçíà÷àåò ÷òî-òî, îïèñûâàåò èëè îöåíèâàåò íåêîòîðóþ ñèòóàöèþ. Ïðàâèëà, îïðåäåëÿþùèå,
êàêèå òåêñòû ñîîòâåòñòâóþò êàêèì ñìûñëàì (èëè «ñãóñòêàì ñëîâîñìûñëîâ») ïðèíÿòî
èíîãäà íàçûâàòü ÿçûêîì. Ñîïîñòàâëåíèå ìíîæåñòâ ïðèâîäèò ê ïîíÿòèþ ñîîòâåòñò-

60

âèå, êîòîðîå ïîäîáíî ïîíÿòèþ ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé ìàòåìàòè÷åñêîé ëèíãâèñòèêè.
Ôîðìàëüíàÿ íàóêà, íàïðèìåð, ìàòåìàòèêà èëè ëîãèêà, îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî îíà
ïðîâåðÿåò ïðåæäå âñåãî ôîðìó è ïîýòîìó ìîæåò ðàññóæäàòü ïðî ëèøåííóþ ñìûñëà â
åñòåñòâåííîì ÿçûêå «ãëîêóþ êóçäðó» ñòîëü æå óâåðåííî, êàê ïðî «êðóãëûé êâàäðàò». Ñ
òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè, ñèñòåìó ïðàâèë èëè ôîðìàëüíûé ÿçûê ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé âàæíåéøåãî ïîíÿòèÿ ìàòåìàòèêè îòîáðàæåíèÿ (èëè ôóíêöèè), êîòîðîå, ñòðîãî ãîâîðÿ, íå ïîäëåæèò ôîðìàëüíîìó îïðåäåëåíèþ.

Îïðåäåëåíèå îòîáðàæåíèÿ. Ïóñòü X è Y — çàäàííûå ìíîæåñòâà.
Åñëè óêàçàíî íåêîòîðîå ïðàâèëî (ñïîñîá, çàêîí), ñîãëàñíî êîòîðîìó
êàæäîìó ýëåìåíòó x Î X ñîîòâåòñòâóåò îäèí-åäèíñòâåííûé ýëåìåíò
y Î Y, òî òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå f (èëè ôóíêöèÿ f)
èç ìíîæåñòâà X â ìíîæåñòâî Y, îáîçíà÷àåòñÿ f : X ® Y.
Çàìåòèì, ÷òî â îïðåäåëåíèè îòîáðàæåíèÿ èñïîëüçîâàí ñèìâîë f îò
«function» (ôóíêöèÿ), õîòÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ îòîáðàæåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ è
äðóãèå ñèìâîëû g, h è ò. ï.
Ïðèìåð. Ïóñòü X — ìíîæåñòâî íàñåëåííûõ ïóíêòîâ Ðåñïóáëèêè Áåëàðóñü, Y = N — ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Îòîáðàæåíèå f :
X ® Y — ïðàâèëî, óêàçûâàþùåå äëÿ êàæäîãî íàñåëåííîãî ïóíêòà x Î X åãî
ðàññòîÿíèå y = f(x) Î Y îò Îêòÿáðüñêîé ïëîùàäè ãîðîäà Ìèíñêà.
Åñëè âûøåóïîìÿíóòîå ïðàâèëî (ñïîñîá, çàêîí) îáîçíà÷åíî áóêâîé f,
òî òîãäà ýëåìåíò y Î Y, ñîîòâåòñòâóþùèé êàêîìó-íèáóäü ýëåìåíòó x Î X,
ìîæåò áûòü çàïèñàí êàê y = f(x). Çàïèñü f : X ® Y ÷èòàåòñÿ: «îòîáðàæåíèå f
äåéñòâóåò èç ìíîæåñòâà X â ìíîæåñòâî Y». Îòìåòèì, ÷òî óïîìÿíóòîå
ïðàâèëî èëè ñîîòâåòñòâèå íå áóäåò çàäàâàòü îòîáðàæåíèå, åñëè:
íàéäåòñÿ ýëåìåíò x Î X òàêîé, ÷òî åìó íå ñîîòâåòñòâóåò íè îäèí ýëåìåíò y Î Y, ò. å. íè äëÿ êàêîãî y Î Y, y ¹ f(x);
íàéäåòñÿ ýëåìåíò x Î X òàêîé, ÷òî åìó ñîîòâåòñòâóåò áîëåå îäíîãî
ýëåìåíòà èç Y, ò. å. íàéäåòñÿ, íàïðèìåð, y1, y2 Î Y òàêèå, ÷òî äëÿ ýòèõ ýëåìåíòîâ y1 = f(x), y2 = f(x).
Íàïðèìåð, ïóñòü X — «ìíîæåñòâî ïàëüòî, âèñÿùèõ â óíèâåðñèòåòñêîì ãàðäåðîáå», Y — «ìíîæåñòâî êðþ÷êîâ íà âåøàëêàõ â ýòîì ãàðäåðîáå». Åñëè êàæäîìó ïàëüòî x Î X ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êðþ÷îê y Î Y, íà
êîòîðîì ýòî ïàëüòî âèñèò, òî ïîëó÷èì îòîáðàæåíèå f : X®Y. Ïîñêîëüêó
êàæäîå ïàëüòî âèñèò íà êðþ÷êå è íèêàêîå ïàëüòî íå âèñèò íà íåñêîëüêèõ
êðþ÷êàõ, òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî çàäàíî îòîáðàæåíèå.
Çàìå÷àíèå. Îòîáðàæåíèå f : X ® Y õàðàêòåðèçóåòñÿ: ìíîæåñòâîì
X, èç êîòîðîãî îíî äåéñòâóåò, åãî òàêæå íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ f è îáîçíà÷àþò D( f ); ìíîæåñòâîì Y, â êîòîðîå îíî
äåéñòâóåò, åãî òàêæå íàçûâàþò îáëàñòüþ çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ f è
61

îáîçíà÷àþò R( f ); ïðàâèëîì (ñïîñîáîì), îïðåäåëÿþùèì äåéñòâèå ýòîãî
îòîáðàæåíèÿ.
Îòìåòèì åùå ðàç, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : X ® Y êàæäîìó
x Î D( f ) ñîîòâåòñòâóåò òîëüêî îäèí ýëåìåíò y ìíîæåñòâà R( f ), ò. å. y = f(x),
êîòîðûé íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ýëåìåíòà x. Âñïîìíèì, íàïðèìåð, «È îáðàç
ìèðà, â ñëîâå ÿâëåííûé» (Áîðèñ Ïàñòåðíàê). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îäèí è òîò
æå ýëåìåíò ìíîæåñòâà R( f ) ìîæåò áûòü îáðàçîì íåñêîëüêèõ ýëåìåíòîâ
èç D( f ).
Ïðèìåð. Ïóñòü X = {k, m, n, p, q} — àíãëèéñêèå ñîãëàñíûå, Y = {ê, ì,
í, ï} — áóêâû ðóññêîãî àëôàâèòà, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðè ÷òåíèè óêàçàííûì àíãëèéñêèì ñîãëàñíûì, è ýòî ñîîòâåòñòâèå f : X ® Y çàäàíî ïî
ïðàâèëó: f(k) = ê, f(m) = ì, f(n) = í, f(p) = ï, f(q) = ê. Ïîêàæåì, ÷òî f —
îòîáðàæåíèå.
Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà X, ò. å. êàæäîé èç óêàçàííûõ àíãëèéñêèõ ñîãëàñíûõ ïî çàäàííîìó ïðàâèëó f, ñîîòâåòñòâóåò
åäèíñòâåííûé ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà Y, à èìåííî âàðèàíò èõ ÷òåíèÿ, çàïèñàííûé ðóññêèìè áóêâàìè.
Ïðèìåðàìè îòîáðàæåíèé ÿâëÿþòñÿ ÷èñëîâûå ôóíêöèè, êîòîðûå âñå
èçó÷àëè â øêîëå, ò. å. ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ òàêæå â ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë. Ïðè÷åì ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü y = f(x) çàäàâàëàñü, êàê ïðàâèëî, â ÿâíîì âèäå, íàïðèìåð, y = x2, y = x3 + 1, y = x è ò. ä. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïåðâîé è âòîðîé ôóíêöèè — ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
R, à òðåòüåé ôóíêöèè — ìíîæåñòâî âñåõ íåîòðèöàòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R+. Îáëàñòü çíà÷åíèé ïåðâîé è òðåòüåé ôóíêöèè — ìíîæåñòâî
R+, à âòîðîé ôóíêöèè — ìíîæåñòâî R.
Ïðîñòûå ïðèìåðû îòîáðàæåíèé, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ÷èñëîâûìè ôóíêöèÿìè,
âñòðå÷àþòñÿ â ãåîìåòðèè. Âñå ãåîìåòðè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, èãðàþùèå âàæíóþ
ðîëü â ýòîì ðàçäåëå ìàòåìàòèêè, ÿâëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿìè. Äîâîëüíî ÷àñòî ïîíÿòèå
ôóíêöèè èñïîëüçóåòñÿ â êà÷åñòâå ñèíîíèìà ïîíÿòèÿ îòîáðàæåíèÿ.
Çàìåòèâ âíà÷àëå, ÷òî íåìöû áîëüøå âñåõ äðóãèõ íàðîäîâ ìèðà çíàþò î õóäîæåñòâåííûõ ñòèëÿõ ïðîøëûõ âðåìåí, õîòÿ èõ ñîáñòâåííîå èñêóññòâî ñåãîäíÿ áåçíàäåæíî ñêó÷íî, êëàññèê àíãëèéñêîé ëèòåðàòóðû Îëäîñ Õàêñëè ñêàçàë: «Åñëè ïðèáåãíóòü ê ìàòåìàòè÷åñêèì òåðìèíàì, òî èõ óíûëîå èñêóññòâî — ýòî ôóíêöèÿ îò èõ
ïðîñâåùåííîñòè». Òàê êàê ÿçûê — ýòî ñèñòåìà, ò. å. óïîðÿäî÷åííîå îïðåäåëåííûì
îáðàçîì ìíîæåñòâî, òî îòäåëüíûå ýëåìåíòû ýòîé ñèñòåìû âçàèìîñâÿçàíû, ÷òî
ïðåäïîëàãàåò ýôôåêòèâíîñòü ïðèìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîíÿòèÿ îòîáðàæåíèÿ
è ôóíêöèè.
Â êëàññè÷åñêîé ëèíãâèñòèêå çíàêîì íàçûâàåòñÿ ñîïîñòàâëåíèå äâóõ ýëåìåíòîâ:
íåêîòîðîãî «îçíà÷àþùåãî» — ôîðìû è íåêîòîðîãî «îçíà÷àåìîãî», èëè «ñìûñëà», êîòîðûé ïðèïèñûâàåòñÿ ïðîèçíåñåííîìó èëè íàïèñàííîìó âûðàæåíèþ. Â ñîññþðîâñêîé

62

ñõåìå «îçíà÷àåìîå ® îçíà÷àþùåå» äëÿ îáúÿñíåíèÿ ñòðóêòóðû ÿçûêà «îçíà÷àåìîå»
îïðåäåëÿåò «îçíà÷àþùåå» è íàîáîðîò. Îòîáðàæåíèÿ (èëè ôóíêöèè), îïèñûâàþùèå
ëèíãâèñòè÷åñêèå ïðîöåññû, ìîãóò çàäàâàòüñÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè.

Îñíîâíûå ñïîñîáû çàäàíèÿ îòîáðàæåíèé:
òàáëè÷íûé;
àíàëèòè÷åñêèé;
àëãîðèòìè÷åñêèé.
Ðàññìîòðèì íà ïðèìåðàõ ýòè ñïîñîáû çàäàíèÿ îòîáðàæåíèé:
1. Ïóñòü X = Y = {a, b}. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèÿ, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ êîòîðûõ ñîñòîèò èõ äâóõ áóêâ {a, b}, à îáëàñòü çíà÷åíèé ïðèíàäëåæèò
òîìó æå ìíîæåñòâó. Òàêèõ îòîáðàæåíèé âñåãî ÷åòûðå, fi, i = 1, 2, 3, 4. Èõ
ìîæíî çàäàòü òàáëè÷íûì ñïîñîáîì:
x

f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x)

a

a

a

b

b

b

a

b

a

b

Îáëàñòü çíà÷åíèé îòîáðàæåíèé f1 è f4 ñîñòîèò èç îäíîãî (åäèíñòâåííîãî) ýëåìåíòà, à èìåííî R( f1 ) = {a} è R( f2 ) = {b}. Ýòî îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà X â ñåáÿ, à f2 è f3 — ýòî îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà X íà ñåáÿ, ïðè÷åì
f2(x) = x äëÿ âñåõ x Î X, ò. å. ýòî òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå.
Îñíîâíîå äîñòîèíñòâî òàáëè÷íîãî ñïîñîáà çàäàíèÿ îòîáðàæåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíî íåïîñðåäñòâåííî ñîîòíîñèò çíà÷åíèå àðãóìåíòà x Î X
è îòâå÷àþùåå åìó çíà÷åíèå îòîáðàæåíèÿ (ôóíêöèè) f(x) Î Y. Ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê ýòîãî ñïîñîáà â òîì, ÷òî îí èñïîëüçóåòñÿ â îñíîâíîì äëÿ
«íåáîëüøèõ» êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ èëè äëÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà x Î X.
2. Ïîä àíàëèòè÷åñêèì ñïîñîáîì çàäàíèÿ îòîáðàæåíèÿ ïîíèìàåòñÿ
ñïîñîá çàäàíèÿ îòîáðàæåíèÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû, ñîäåðæàùåé «èçâåñòíûå» ôóíêöèè, âêëþ÷àÿ èíîãäà «ïðåäåëüíûé ïåðåõîä».
Ïóñòü äëÿ x Î R — ìíîæåñòâó äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñèìâîë [x] — öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà, îïðåäåëÿåìàÿ êàê íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå x. Íàïðèìåð, [0] = 0, [1] = 1, [–2] = – 2, [3,4] = 3, [–3,4] = –4, [ 2] = 1. È
ïóñòü äëÿ x Î R, ñèìâîë {x} — äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà, îïðåäåëÿåìàÿ êàê ðàçíîñòü ìåæäó x è [x], ò. å. {x} = x – [x]. Íàïðèìåð, {0} = 0, {3} = 0, {–5} = 0,
{0,3} = 0,3, {–0,3} = 0,7, { 2} = 2 – 1. Òîãäà ñëåäóþùåå îòîáðàæåíèå, òî÷íåå
÷èñëîâóþ ôóíêöèþ, ìîæíî çàäàòü àíàëèòè÷åñêèì ñïîñîáîì ïî ôîðìóëå:
1
f(x) = [x] + {x} (1 + (–1)[x]).
2
63

Íå ñëåäóåò áîÿòüñÿ ýòîé ôóíêöèè! Èñïîëüçóÿ äàííûå âûøå îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé öåëîé è äðîáíîé ÷àñòè ÷èñëà, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî f(x) = x,
äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì âèäà 2n £ x £ 2n + 1, ãäå n — öåëîå ÷èñëî è ÷òî f(x) = [x], äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì âèäà
2n + 1 £ x £ 2n + 2, ãäå n — öåëîå ÷èñëî.
Äîñòîèíñòâî àíàëèòè÷åñêîãî ñïîñîáà çàäàíèÿ ôóíêöèé ñîñòîèò â òîì,
÷òî îí äàåò âîçìîæíîñòü «âû÷èñëÿòü» çíà÷åíèÿ ôóíêöèé f(x) Î Y ïðè ëþáîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà x Î X, ÷òî ïîçâîëÿåò àíàëèçèðîâàòü ñ ïîìîùüþ
ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà ôóíêöèè, íåäîñòóïíûå ïðè
ïðÿìîì íàáëþäåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé.
Íåäîñòàòîê ýòîãî ñïîñîáà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñîñòàâèòü ôîðìóëó ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè, îïèñûâàþùóþ ëèíãâèñòè÷åñêîå ÿâëåíèå, ìîæíî ëèøü
òîãäà, êîãäà çàðàíåå èçâåñòåí «âíóòðåííèé ìåõàíèçì» èíòåðåñóþùåãî íàñ
ÿâëåíèÿ.
3. Ïîä àëãîðèòìè÷åñêèì ñïîñîáîì çàäàíèÿ îòîáðàæåíèÿ ïîíèìàåòñÿ
ñïîñîá çàäàíèÿ ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåííûõ ïðàâèë ïîñëåäîâàòåëüíûõ äåéñòâèé, ò. å. àëãîðèòìà, ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèé «ñëîâåñíîãî îïèñàíèÿ»,
íàïðèìåð, òàê çàäàåòñÿ ôóíêöèÿ Äèðèõëå:
ì 1, êîãäà x ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî,
D( x) = í
î 0, êîãäà x èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî.
Íåêîòîðûå òåêñòû, â ÷àñòíîñòè, òåêñòû íà ðóññêîì ÿçûêå, ÿâëÿþòñÿ àëãîðèòìàìè — ïðåäïèñàíèÿìè, êîòîðûå ìîæíî âûïîëíèòü. Ðàññìîòðèì ýòî ïîíÿòèå íà ïðèìåðå óâëåêàòåëüíîé èãðû, êîòîðóþ ïðèäóìàë Ëüþèñ Êýððîëë, àâòîð «Ïðèêëþ÷åíèÿ Àëèñû â ñòðàíå ×óäåñ». ×àðëç Äîäãñîí — òàêîâî ïîäëèííîå èìÿ Êýððîëëà, êîòîðûì îí
ïîäïèñûâàë ñâîè ìàòåìàòè÷åñêèå ðàáîòû. Ñî÷åòàíèå áåçóïðå÷íîé ëîãèêè ìàòåìàòèêà
ñ áåñïðåäåëüíîé ôàíòàçèåé ëèòåðàòîðà ñîçäàëî íåïîâòîðèìîå ñâîåîáðàçèå êýððîëëîâñêîãî ñòèëÿ, ïîýòîìó â äèàäå «ìàòåìàòèêà è ëèòåðàòóðà» Ëüþèñ Êýððîëë îêàçàëñÿ íå
òîëüêî áîëåå ÿðêèì, íî è áîëåå óäà÷ëèâûì, ÷åì Äîäãñîí-ìàòåìàòèê.
«Ëþáîïûòíî, ÷òî âû ïðîäåëûâàëè ñî ñâîèì ðàçóìîì â ïîñëåäíåå âðåìÿ. Õâàòàëî
ëè åìó ïèùè? Îí î÷åíü áëåäåí, è ïóëüñ ó íåãî ÷ðåçâû÷àéíî çàìåäëåí», — âîëíîâàëñÿ
Êýððîëë. Èãðà «öåïî÷êà ñëîâ», îñíîâàííàÿ íà «ñëîâàõ-ìåòàãðàììàõ», áûëà ïðèäóìàíà
èì äëÿ «äâóõ þíûõ ëåäè, èçíûâàþùèõ îò ïðàçäíîñòè». Ïðåäëàãàþòñÿ äâà ñëîâà, ñîñòîÿùèå èç îäèíàêîâîãî ÷èñëà áóêâ. Ìåòàãðàììà äàííîãî ñëîâà ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé îäíîé èç åãî áóêâ íà äðóãóþ, áåç ïåðåñòàíîâêè áóêâ. Àëãîðèòì èãðû çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè öåïî÷êè ìåòàãðàìì, ñîåäèíÿþùåé äâà çàäàííûõ ñëîâà. Íàïðèìåð,
ÊÎÇÀ ® ËÎÇÀ ® ËÓÇÀ ® ËÓÏÀ ® ËÈÏÀ ® ËÈÑÀ.

64

Ïîáåæäàåò òîò, êòî ïîñòðîèò öåïî÷êó èç íàèìåíüøåãî êîëè÷åñòâà ÷èñëà çâåíüåâ.
Áîëåå ïðîñòàÿ èãðà ñîñòîèò â íàõîæäåíèè íàèáîëüøåãî êîëè÷åñòâà ìåòàãðàìì äëÿ îäíîãî ñëîâà. Òàê, íàïðèìåð, ñëîâî ÄÎÌ ïîðîæäàåò äåâÿòü ìåòàãðàìì:
ÊÎÌ, ËÎÌ, ÐÎÌ, ÑÎÌ, ÒÎÌ, ÄÛÌ, ÄÎÃ, ÄÎÊ, ÄÎË.
Ðåêîðä ÷èñëà ìåòàãðàìì, îáðàçîâàííûõ èç îäíîãî ñëîâà, íåèçâåñòåí. Â ñàìûõ ïîïóëÿðíûõ öåïî÷êàõ ìåòàãðàìì ÌÓÕÓ ìîæíî ïðåâðàòèòü â ÑËÎÍÀ. Âîò îäíà èç
íèõ, ãäå öåëü äîñòèãàåòñÿ çà 16 õîäîâ:
ÌÓÕÀ ® ÌÓÐÀ ® ÒÓÐÀ ® ÒÀÐÀ ® ÊÀÐÀ ® ÊÀÐÅ ® ÊÀÔÅ ®
® ÊÀÔÐ ® ÊÀÞÐ ® ÊÀÞÊ ® ÊÐÞÊ ® ÓÐÞÊ ® ÓÐÎÊ ® ÑÐÎÊ ®
® ÑÒÎÊ ® ÑÒÎÍ ® ÑËÎÍ.
Ìíîãèå êîðîòêèå ñëîâà íå èìåþò ìåòàãðàìì. Åñëè ðàçðåøèòü ïðîèçâîëüíî ìåíÿòü ïîðÿäîê âñåõ áóêâ, òî â òàêîé «ìîäèôèöèðîâàííîé öåïî÷êå ñëîâ» èç ÌÓÕÈ ìîæíî ñäåëàòü ÑËÎÍÀ çà ÷åòûðå õîäà:
ÌÓÕÀ ® ÕËÀÌ ® ÕÎËÌ ® ÑËÎÌ ® ÑËÎÍ.
Ìàòåìàòèêè îãðàíè÷èâàþòñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî òåõ àëãîðèòìîâ, â êîòîðûõ
èñõîäíûìè äàííûìè ÿâëÿþòñÿ êîíñòðóêòèâíûå îáúåêòû, ò. å. îáúåêòû, çàäàâàåìûå
êîíå÷íûìè, êîíñòðóêòèâíûì îáðàçîì ñ ïîìîùüþ ýôôåêòèâíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð, êîòîðûå â óñëîâèÿõ èíòåíñèâíîãî ðàçâèòèÿ âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè, ìîãóò
ñëóæèòü âõîäíûìè äàííûìè äëÿ êîìïüþòåðîâ.

Çàìå÷àíèå. Ñóòü ïîíÿòèÿ îòîáðàæåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòî äåéñòâèÿ, à íå îáúåêòû èõ ïðèëîæåíèÿ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ëèíãâèñòèêè, ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèé èçó÷àþòñÿ ãëàãîëû â îòðûâå îò ñóùåñòâèòåëüíûõ.
Â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà
ñìåñòèëî àêöåíòû è äàëî íîâîå íàïðàâëåíèå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îòîáðàæåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ — ýòî «îòîáðàæåíèÿ
îòîáðàæåíèé (ôóíêöèé)», ïîäîáíî «ãëàãîëàì íàä ãëàãîëàìè» — «èäè ó÷è».
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî, êðîìå óêàçàííûõ îñíîâíûõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿ
îòîáðàæåíèé, íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè äàåò ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá. Åãî ïðåèìóùåñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îí äàåò âîçìîæíîñòü îõâàòèòü ðàññìàòðèâàåìóþ ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü «â öåëîì», ïîýòîìó
ïðîñòåéøèå ãðàôèêè, íàðÿäó ñ òàáëèöàìè, ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì ïîëó÷åíèÿ ëèíãâèñòè÷åñêèõ âûâîäîâ íà îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà êîëè÷åñòâåííûõ ìåòîäîâ. Ïðèâåäåííàÿ êëàññèôèêàöèÿ îñíîâíûõ
ñïîñîáîâ çàäàíèÿ îòîáðàæåíèé âåñüìà óñëîâíà, òàê êàê íåêîòîðûå îòîáðàæåíèÿ ìîæíî çàäàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè.
Îïðåäåëåíèå îáðàçà ìíîæåñòâà. Ïóñòü îòîáðàæåíèå f äåéñòâóåò
èç ìíîæåñòâà X â ìíîæåñòâî Y. Îáðàçîì ìíîæåñòâà A Ì X ïðè îòîáðàæåíèè f : X ® Y, îáîçíà÷àåòñÿ f(A), íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ îáðàçîâ
f(x) Î Y ýëåìåíòîâ x Î A:
def

f(A) = {y : y = f(x), x Î A}.
65

Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ôðàçó «ß âàñ ëþáëþ». Ïî ìíåíèþ èçâåñòíîãî
ôèëîëîãà è ôèëîñîôà À. Ô. Ëîñåâà, â ýòîé ïðîñòîé ôðàçå ìîæíî íàéòè, ïî
ìåíüøåé ìåðå, òðè, à íà ñàìîì äåëå ãîðàçäî áîëüøå ïðåäëîæåíèé, îòëè÷àþùèõñÿ ïî ñìûñëó: «ß, è èìåííî ÿ, âàñ ëþáëþ», «ß ëþáëþ èìåííî âàñ», «ß íà
ñàìîì äåëå ëþáëþ âàñ».
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ÿçûêà — ýòî òðè ðàçíûå ôðàçû â îáëàñòè ñìûñëîâûõ
èíòîíàöèé è ôîðìàëüíûõ òðàíñôîðìàöèé, à ñ òî÷êè çðåíèÿ ÷èñòîé ëîãèêè — çäåñü òîëüêî îäíî ñóæäåíèå. Ïîýòîìó ìîæíî çàäàòü îòîáðàæåíèå f,
ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé èç ïåðå÷èñëåííûõ òðåõ ôðàç, îòëè÷àþùèõñÿ ñìûñëîâûìè óäàðåíèÿìè, îäíó è òó æå ôðàçó «ß âàñ ëþáëþ». Ýòà
åäèíñòâåííàÿ ôðàçà áóäåò îáðàçîì ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî èç òðåõ ðàçíûõ
ñóæäåíèé ïðè óêàçàííîì îòîáðàæåíèè.
Ïðèìåð. Ïóñòü X = {k, m, n, p, q} — àíãëèéñêèå ñîãëàñíûå, Y = {ê, ì,
í, ï} — áóêâû ðóññêîãî àëôàâèòà, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðè ÷òåíèè óêàçàííûì àíãëèéñêèì ñîãëàñíûì, è îòîáðàæåíèå f : X ® Y çàäàíî ïî ïðàâèëó:
f(k) = ê, f(m) = ì, f(n) = í, f(p) = ï, f(q) = ê. Íàéäåì îáðàçû ìíîæåñòâ
A = {k, m, n, p}, B = {m, p, q} è C = {k, q}.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îáðàçû óêàçàííûõ ìíîæåñòâ ñîîòâåòñòâåííî
ðàâíû: f(A) = {ê, ì, í, ï}, f(B) = {ê, ì, ï} è f(C) = {ê}.
Çàìå÷àíèå. Ïóñòü f : X ® Y è A Ì X. Åñëè y Î f(A), òî òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò x Î A, îáîçíà÷àåòñÿ $ x Î A, äëÿ êîòîðîãî y = f(x):
y Î f(A) Þ $ x Î A, y = f(x).
Ýòî óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ îáðàçà
ìíîæåñòâà. Îòìåòèì ñëåäóþùåå ïðîñòîå ñâîéñòâî îáðàçîâ ìíîæåñòâ:
A Ì B Þ f(A) Ì f(B).
Êðîìå òîãî,
f(A) = Æ Û A Ç D( f ) = Æ,
ãäå D( f ) — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ f.
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà îáðàçîâ îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ.
Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : X ® Y è ìíîæåñòâ A,
B Ì X ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî è âêëþ÷åíèå:
f(A È B) = f(A) È f(B) è f(A Ç B) Ì f(A) Ç f(B).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïåðâîå ðàâåíñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî
f(A È B) Ì f(A) È f(B). Ïóñòü yÎ f(A È B), òîãäà â ñèëó ïîñëåäíåãî çàìå÷àíèÿ
$ x Î A È B òàêîé, ÷òî y = f(x). Îòñþäà ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ x Î A èëè x Î B, ïðè÷åì y = f(x). Çíà÷èò ïî îïðåäåëåíèþ îáðàçà ìíî66

æåñòâà y Î f(A) èëè y Î f(B). Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ y Î f(A) È f(B).
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî f(A) Ç f(B) Ì f(A Ç B). Ïóñòü y Î f(A) È f(B), òîãäà
ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ y Î f(A) èëè y Î f(B). Îòñþäà, ïî
ïðåäûäóùåìó çàìå÷àíèþ, ó÷èòûâàÿ òàêæå òî, ÷òî ìíîæåñòâà A è B, âîîáùå
ãîâîðÿ, ðàçíûå, ïîëó÷èì $ x1 Î A òàêîé, ÷òî y = f(x1) èëè $ x2 Î B òàêîé, ÷òî
y = f(x2). Ïîýòîìó â ñèëó ñâîéñòâà îáúåäèíåíèÿ x1 Î A È B, à y = f(x1), èëè
x2 Î A È B, à y = f(x2). Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ îáðàçà ìíîæåñòâà
y Î f(A È B). Òàêèì îáðàçîì, ïåðâîå ðàâåíñòâî äîêàçàíî.
Äîêàçàòåëüñòâî âêëþ÷åíèÿ äëÿ îáðàçà ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ
f(A Ç B) Ì f(A) Ç (B) ïðîâîäèòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ àíàëîãè÷íîãî âêëþ÷åíèÿ
îáðàçà îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ, òîëüêî â ñîîòâåòñòâóþùåì ðàññóæäåíèè âìåñòî ñëîâ «îáúåäèíåíèå» íàäî çàïèñàòü «ïåðåñå÷åíèå», à âìåñòî ñîþçà «èëè»
íàäî ïîñòàâèòü ñîþç «è».
Ïîêàæåì íà êîíòðïðèìåðå, ÷òî f(A Ç B) ¹ f(A) Ç f(B). Ïóñòü
X = {a, b, c}, Y = {d, e}. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà A = {a, b}, B = {b, c} è çàäàäèì îòîáðàæåíèå f : X®Y ïî ïðàâèëó: f(a) = d, f(b) = e, f(c) = d. Òîãäà,
òàê êàê A Ç B = {b}, òî f(A Ç B) = {e}. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, f(A) = {d, e}
è f(B) = {e, d}, ñëåäîâàòåëüíî, f(A) Ç f(B) = {d, e}, ò. å.
{e} = f(A Ç B) ¹ f(A) Ç f(B) = {d, e},
õîòÿ âñåãäà òåì íå ìåíåå ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå f(A Ç B) Ì f(A) Ç f(B).
Ñäåëàåì îäíî ïîëåçíîå çàìå÷àíèå äëÿ òåõ, êòî ñîáèðàåòñÿ çàíèìàòüñÿ
ñðàâíèòåëüíûì ëèòåðàòóðîâåäåíèåì. Ïóñòü, íàïðèìåð, A — «ìíîæåñòâî
îïðåäåëåííûõ ëèòåðàòóðíûõ ñòèëåé, îïèñàííûõ â êëàññè÷åñêîé òåðìèíîëîãèè», B — «ìíîæåñòâî îïðåäåëåííûõ ëèòåðàòóðíûõ òðàäèöèé, îïèñàííûõ â
êëàññè÷åñêîé òåðìèíîëîãèè». Åñëè f — îòîáðàæåíèå ýòèõ ñòèëåé è òðàäèöèé
â ñîîòâåòñòâóþùèå èì ëèòåðàòóðíûå ñòèëè è òðàäèöèè â ïîñòêëàññè÷åñêîé
òåðìèíîëîãèè, òî îáðàç ïåðåñå÷åíèÿ ñòèëåé è òðàäèöèé ïðîøëîãî, ò. å.
f(A Ç B), âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñîâïàäàåò ñ ïåðåñå÷åíèåì îáðàçîâ ñòèëåé è òðàäèöèé íàñòîÿùåãî, ò. å. ñ f(A) Ç f(B). Ìîæíî ëèøü óòâåðæäàòü, ÷òî ïåðâîå
ìíîæåñòâî ñîäåðæèòñÿ âî âòîðîì.
Çàìå÷àíèå. Äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : X ® Y è ìíîæåñòâ A, B Ì X
ñïðàâåäëèâû âêëþ÷åíèÿ:
f(A D B) É f(A) D f(B) è f(A \ B) É f(A) \ f(B).
Íà êîíòðïðèìåðàõ ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îáðàòíûå âêëþ÷åíèÿ äëÿ îáðàçîâ ðàçíîñòè è ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâ, âîîáùå ãîâîðÿ, íå
âûïîëíÿþòñÿ.
67

Îïðåäåëåíèå ïðîîáðàçà ìíîæåñòâà. Ïóñòü îòîáðàæåíèå f äåéñòâóåò èç ìíîæåñòâà X â ìíîæåñòâî Y. Ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà B Ì Y ïðè
îòîáðàæåíèè f : X ® Y, îáîçíà÷àåòñÿ f –1(B), íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ
ýëåìåíòîâ x Î X, îáðàçû êîòîðûõ f(x) Î B:
def

f –1(B) = {x : f(x) Î B}.
Íàïðèìåð, ïðîîáðàçîì îäíîýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî èç
ôðàçû «ß âàñ ëþáëþ» ïðè îòîáðàæåíèè f, ïîñòðîåííîì ïîñëå îïðåäåëåíèÿ
îáðàçà ìíîæåñòâà, ÿâëÿåòñÿ òðåõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç
ôðàç: «ß, è èìåííî ÿ, ëþáëþ âàñ», «ß ëþáëþ èìåííî âàñ», «ß íà ñàìîì äåëå
ëþáëþ âàñ». Íàïîìíèì, ÷òî ñ òî÷êè çðåíèÿ ÿçûêà, ýòî òðè ðàçíûå ôðàçû â
îáëàñòè ñìûñëîâûõ èíòîíàöèé è ôîðìàëüíûõ òðàíñôîðìàöèé.
Ïðèìåð. Ïóñòü X = {k, m, n, p, q} — àíãëèéñêèå ñîãëàñíûå, Y = {ê, ì,
í, ï} — áóêâû ðóññêîãî àëôàâèòà, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðè ÷òåíèè óêàçàííûì àíãëèéñêèì ñîãëàñíûì, è îòîáðàæåíèå f : X ® Y çàäàíî ïî ïðàâèëó:
f(k) = ê, f(m) = ì, f(n) = í, f(p) = ï, f(q) = ê. Íàéäåì ïðîîáðàçû ìíîæåñòâ
B = {ê}, C = {ì, í, ï} è D = {ê, ì, í, ï}.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðîîáðàçû óêàçàííûõ ìíîæåñòâ ñîîòâåòñòâåííî
ðàâíû:
f –1(B) = {k, q}, f –1(C) = {m, n, p}, f –1(D) = {k, m, n, p, q}.
Çàìå÷àíèå. Ïóñòü f : X®Y è B Ì Y. Ýëåìåíò x Î f –1(B) òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îáðàç ýòîãî ýëåìåíòà f(x) Î B:
x Î f –1(B) Û f(x) Î B.
Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ïðîîáðàçà ìíîæåñòâà. Îòìåòèì ñëåäóþùåå ïðîñòîå ñâîéñòâî ïðîîáðàçîâ ìíîæåñòâ:
C Ì D Û f –1(C) Ì f –1(D).
Êðîìå òîãî, f –1(B) = Æ Û B Ç R( f ) = Æ, ãäå R( f ) — îáëàñòü çíà÷åíèé
îòîáðàæåíèÿ f.
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ïðîîáðàçîâ îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ.
Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : X ® Y è ìíîæåñòâ
B, D Ì Y ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
f –1(B È D) = f –1(B) È f –1(D),
f –1(B Ç D) = f –1(B) Ç f –1(D).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïåðâîå ðàâåíñòâî. Ïîêàæåì âûïîëíåíèå âêëþ÷åíèÿ f –1(B È D) Ì f –1(B) È f –1(D). Ïóñòü x Î f –1(B È D), òîãäà â
68

ñèëó ïîñëåäíåãî çàìå÷àíèÿ f(x) Î B È D. Îòñþäà ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ f(x) Î B èëè f(x) Î D. Çíà÷èò â ñèëó ïîñëåäíåãî çàìå÷àíèÿ
x Î f –1(B) èëè x Î f –1(D). Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ
ìíîæåñòâ x Î f –1(B) È f –1(D).
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî f –1(B) È f –1 (D) Ì f –1(B È D). Ïóñòü
x Î f –1(B) È f –1(D), òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ
x Î f –1(B) èëè x Î f –1(D). Îòñþäà â ñèëó ïîñëåäíåãî çàìå÷àíèÿ f(x) Î B
èëè f(x) Î D, à ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ f(x) Î B È D.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðåäûäóùåìó çàìå÷àíèþ x Î f –1(B È D). Òàêèì îáðàçîì, ïåðâîå ðàâåíñòâî äîêàçàíî.
Äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà äëÿ ïðîîáðàçîâ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ
–1
f (B Ç D) = f –1(B) Ç f –1(D) ïðîâîäèòñÿ òàê æå, êàê è â ñëó÷àå àíàëîãè÷íîãî
ðàâåíñòâà äëÿ ïðîîáðàçà îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ, òîëüêî â ñîîòâåòñòâóþùåì ðàññóæäåíèè âìåñòî ñëîâ «îáúåäèíåíèå» íàäî çàïèñàòü «ïåðåñå÷åíèå», à âìåñòî ñîþçà «èëè» íàäî ïîñòàâèòü ñîþç «è».
Çàìå÷àíèå. Äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : X ® Y è ìíîæåñòâ B, D Ì Y
ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
f –1(B \ D) = f –1(B) \ f –1(D) è f –1(B D D) = f –1(B) D f –1(D).
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îòîáðàæåíèÿ f : X ® Y ñïðàâåäëèâû âêëþ÷åíèÿ A Ì f –1(f(A)), äëÿ ìíîæåñòâà A Ì X è f(f –1(B)) Ì B äëÿ
ìíîæåñòâà B Ì Y. Â ÷àñòíîñòè, åñëè ìíîæåñòâî B ñîäåðæèòñÿ â îáëàñòè
çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ f, ò. å. B Ì R( f ), òî òîãäà f ( f –1(B)) = B.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ
1. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè X — «ìíîæåñòâî ñëîâ ðóññêîãî ÿçûêà», Y —
«ìíîæåñòâî ñëîâ àíãëèéñêîãî ÿçûêà», òî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó X è Y, çàäàâàåìîå ñ ïîìîùüþ ñëîâàðåé ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì èç ìíîæåñòâà X â ìíîæåñòâî Y ?
2. Âåðíî ëè, ÷òî íà ìíîæåñòâå ïàëèíäðîìîâ (ïåðåâåðòûøåé), ò. å.
ñëîâ, êîòîðûå âûãëÿäÿò îäèíàêîâî ïðè ÷òåíèè êàê ñëåâà íàïðàâî, òàê è
ñïðàâà íàëåâî, îòîáðàæåíèå, êîòîðîå êàæäîìó ñëîâó ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå
ñëîâî, çàïèñàííîå òåìè æå áóêâàìè, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì?
3. Âåðíî ëè, ÷òî íà ìíîæåñòâå N, ñîñòàâëåííîãî èç n ðàçëè÷íûõ áóêâ
n-áóêâåííîãî ñëîâà, ìîæíî îïðåäåëèòü mn îòîáðàæåíèé â ìíîæåñòâî M,
ñîñòàâëåííîãî èç m ðàçëè÷íûõ áóêâ m-áóêâåííîãî ñëîâà?
69

×åì ìàòåìàòèêà ìîæåò áûòü ïîëåçíà ãóìàíèòàðèþ? Ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàöèîíàëèñòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íàó÷íîé ïðîáëåìû, ìàòåìàòèêà —
ýòî êóëüòóðà èññëåäîâàíèé. Ðàçëè÷èå ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèì è íåïîñðåäñòâåííûì ïîçíàíèåì îïðåäåëÿåò çàäà÷ó ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ
ãóìàíèòàðèåâ: äëÿ ïîíèìàíèÿ ñêðûòîé ãàðìîíèè ìèðà, êðîìå ýìîöèîíàëüíûõ ñðåäñòâ, íóæíû êîíöåïòóàëüíûå ñîãëàøåíèÿ, âûðàæàþùèåñÿ â âèäå
ïðîñòûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàêîíîâ. Ïîñêîëüêó òðàäèöèè ïðåïîäàâàíèÿ êóðñà «Îñíîâû âûñøåé ìàòåìàòèêè äëÿ ôèëîëîãîâ» òîëüêî ñêëàäûâàþòñÿ, òî
íàèáîëåå èíòåðåñíû ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ «ìàòåìàòè÷åñêîãî äèàëåêòà»
ó êëàññèêîâ.
Â ðîìàíå Ëüâà Òîëñòîãî «Âîéíà è ìèð» èìååòñÿ ðàññóæäåíèå Ïüåðà
Áåçóõîâà íà èíòåðåñóþùóþ íàñ òåìó: «Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà áóêâ
ôðàíöóçñêîãî ÿçûêà â ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë». Ôðàíöóçñêèå áóêâû â ñîîòâåòñòâèè ñ îäíèì èç èçâåñòíûõ ñïîñîáîâ ÷èñëîèçîáðàæåíèé, ïî
êîòîðîìó ïåðâûå äåñÿòü áóêâ îáîçíà÷àþòñÿ öèôðàìè îò åäèíèöû äî äåñÿòè, à ïðî÷èå áóêâû — äåñÿòêàìè, èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:
abcde f ghi k l m n o p q r s t u v w x y z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Íàïèñàâ íà ýòîé àçáóêå ñëîâà L’empereur Napoléon (èìïåðàòîð Íàïîëåîí), âûõîäèò, ÷òî ñóììà ýòèõ ÷èñåë ðàâíà 666 è ÷òî ïîýòîìó Íàïîëåîí
åñòü òîò çâåðü, î êîòîðîì ïðåäñêàçàíî â Àïîêàëèïñèñå. Ýòà àðãóìåíòàöèÿ,
êîòîðàÿ åñòü â ñîáðàíèè ñî÷èíåíèé ãðàôà Ë. Í. Òîëñòîãî, èçäàííîì â Ìîñêâå â 1886 ãîäó, è ïðèâåäåíà â çàìåòêå Á. Ñ. Ñòå÷êèíà «Àðèôìåòè÷åñêàÿ
îøèáêà â “Âîéíå è ìèðå”». ×òî ìîæíî ñêàçàòü ïî ïîâîäó ýòîé ëèòåðàòóðíî-÷èñëîâîé èíòåðïðåòàöèè èñòîðè÷åñêîãî ïåðñîíàæà?
Âî-ïåðâûõ, ëþáîãî ãðàìîòíîãî ÷åëîâåêà ìîæåò ñìóòèòü íåïîñðåäñòâåííàÿ ÷èñëîâàÿ ïðîâåðêà âûíåñåííîãî çàêëþ÷åíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî,
âîñïîëüçîâàâøèñü çàäàííûì îòîáðàæåíèåì, ïîëó÷èì, ÷òî 20 + 5 + 30 +
60 + 5 + 80 + 5 + 110 + 80 + 40 + + 1 + 60 + 50 + 20 + 5 + 50 + 40 = 661 ¹ 666.
Êóäà äåëàñü íåäîñòàþùàÿ ïÿòåðêà? Íà ýòîò âîïðîñ ñòðàíèöåé íèæå îòâå÷àåò ñàì Ëåâ Íèêîëàåâè÷: «5 îçíà÷àåò «å», òî ñàìîå «å», êîòîðîå áûëî îòêèíóòî â article ïåðåä ñëîâîì l’empereur». Âî-âòîðûõ, è ýòî ñàìîå ãëàâíîå,
ïðîáëåìà â çàäàííîì îòîáðàæåíèè.
Îøèáêà Áåçóõîâà. Â ðÿäó «î÷èñëîâàííûõ» áóêâ îòñóòñòâóåò îäíà
áóêâà ôðàíöóçñêîãî àëôàâèòà, à èìåííî áóêâà j.
Áåçóñëîâíî, â êîíòåêñòå ëèòåðàòóðíî-õóäîæåñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêè Íàïîëåîíà, ãèïîòåçà Ïüåðà Áåçóõîâà âïå÷àòëÿåò, íî ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ôîðìàëèçìà ñëåäóåò ïðèçíàòü, ÷òî ýòî âñåãî ëèøü õóäîæåñòâåííûé âûìûñåë àâòîðà.
70

Â ìàòåìàòèêå íàøà ñïîñîáíîñòü ê ñîîòíåñåíèþ äàííîñòåé ôîðìàëèçîâàíà â ïîíÿòèè îòîáðàæåíèÿ, à â ëèòåðàòóðå — ïðèâåëà ê ôîðìèðîâàíèþ
àíàëîãèé. Èìåííî àíàëîãèè ëåæàò â îñíîâå ëîãèêè îáðàçîâàíèÿ ìåòàôîð è
àëëåãîðèé. Àìåðèêàíñêèé ëèíãâèñò Íîàì Õîìñêèé ïðèäóìàë ôðàçó «Áåñöâåòíûå çåëåíûå èäåè ÿðîñòíî ñïÿò». Âòîðàÿ ôðàçà, êîòîðóþ îí ïðèâîäèë
âìåñòå ñ ïåðâîé, áûëà ïðèáëèçèòåëüíî òàêîé: «Áåñöâåòíîå çåëåíàÿ èäåÿ
ÿðîñòíà ñïÿò». Îíè îáå îäèíàêîâî áåññìûñëåííû, íî ïåðâàÿ èç íèõ ïðàâèëüíà, òàê êàê çàêîíû ãðàììàòèêè â íåé íå íàðóøåíû, à âòîðàÿ — íåïðàâèëüíà, òàê êàê â íåé íàðóøåíî ñîãëàñîâàíèå ñëîâ. Ê ôðàçå Õîìñêîãî î «çåëåíîé èäåå», ïðèâîäèìîé êàê õðåñòîìàòèéíûé îáðàçåö áåññìûñëèöû,
ìîæíî ïîäûñêàòü êîíòåêñò, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó îíà ñòàíåò áîëåå èëè ìåíåå
îñìûñëåííîé. Òîæå ìîæíî ñêàçàòü è î «áóäåòëÿíàõ» Âåëèìèðà Õëåáíèêîâà
èëè «êèíòóðóëÿòîðå» Ïîëèíû Ìèõàéëîâîé.
Ñâîèì çíàìåíèòûì ïðèìåðîì Õîìñêèé õîòåë ïîêàçàòü, ÷òî ãðàììàòèêó íàäî èçó÷àòü îòäåëüíî îò ñåìàíòèêè, îñòàâèâ âðåìåííî ïðîáëåìû
ñìûñëà, êîòîðûå ñëîæíû è íåîäíîçíà÷íû. Â îòëè÷èå îò âîïðîñîâ ñåìàíòèêè, ãðàììàòèêà îáëàäàåò íàñòîëüêî ÷åòêèìè ëîãè÷åñêèìè ïðàâèëàìè,
÷òî åå ìîæíî ñâåñòè ê ìàòåìàòèêå. Êàê çàìå÷àòåëüíî ñêàçàë äèïëîìàò è
ïîýò Ôåäîð Òþò÷åâ:
Ìíîãîçíà÷èòåëüíîå ñëîâî
Òîáîþ îïðàâäàëîñü âíîâü:
Â êðóøåíèè âñåãî çåìíîãî
Áûëà òû — êðîòîñòü è ëþáîâü.
Îðèãèíàëüíûå ðàáîòû Íîàìà Õîìñêîãî, ñâÿçàííûå ñ ïîðîæäàþùèìè
ãðàììàòèêàìè, ñïîñîáñòâîâàëè ðàñêðûòèþ ìåõàíèçìà ñîçäàíèÿ ðå÷åâûõ
ïðîèçâåäåíèé. Â ìàòåìàòèêå «ïîðîæäàþùèå ñèñòåìû» — ýòî ôîðìàëüíûå
èñ÷èñëåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ñ ïîìîùüþ ïðàâèë ïîñòðîåíèÿ ôîðìóë è âûâîäà îäíèõ óòâåðæäåíèé èç äðóãèõ, èñõîäÿ èç îïðåäåëåííîãî íàáîðà àêñèîì,
ñòðîèòü ñ ïîìîùüþ ýòèõ ñèñòåì ïðàâèëüíûå è õîðîøî àðãóìåíòèðîâàííûå
âûñêàçûâàíèÿ. Õîìñêèé ïðîâåë ñìåëóþ àíàëîãèþ ìåæäó ìàòåìàòèêîé è
ÿçûêîì, ñîñòîÿùèì èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ-ñëîâ è ãðàììàòè÷åñêèõ
êàòåãîðèé.
«Èçó÷åíèå ïîòîêà ðå÷è áåç ãèïîòåç î ìåõàíèçìå åãî ïîðîæäåíèÿ íå
òîëüêî ìàëîïðîäóêòèâíî, íî è íåèíòåðåñíî», — ãîâîðèë àêàäåìèê
À. Í. Êîëìîãîðîâ. Ìàòåìàòèêà ñëó÷àéíîãî è ñòàòèñòèêà, à òàêæå êîìáèíàòîðèêà, ðàññìàòðèâàåìûå â ñëåäóþùåé ãëàâå, äàþò âîçìîæíîñòü ñ ïîìîùüþ àíàëèçà ÷àñòîòû óïîòðåáëåíèÿ ñëîâ, ñëîãîâ, áóêâ, òèïîâ ðèôì è ðàçëè÷íûõ ãðàììàòè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé óëàâëèâàòü îáùèå çàêîíîìåðíîñòè
ìåõàíèçìà ïîðîæäåíèÿ ÿçûêà.

Ãëàâà

2

ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÀ È ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÜ
Âçÿòàÿ â öèôðàõ, âåùü ìîæåò äàòü
òàìåðëàíîâó òüìó,
ðîä àñòðîíîìèè. ×òî ïîä ñòàòü
âîçäóõó ñàìîìó.
Èîñèô Áðîäñêèé

Ñ

òðåìëåíèå óâèäåòü çà ñëîâîì öèôðû (÷èñëî), ïðåäñòàâèòü èñêóññòâî
êàê îïðåäåëåííîãî âèäà ìàòåìàòèêó èëè îïèñàòü åãî ÷åðåç íåå áåðåò
íà÷àëî â ïðèíöèïå ìàòåìàòè÷åñêîé ýñòåòèêè ïèôàãîðåéöåâ, ñîãëàñíî
êîòîðîìó «ñóùíîñòü êðàñîòû êðîåòñÿ âî âíóòðåííèõ ÷èñëîâûõ îòíîøåíèÿõ». Çàìåòèì, ÷òî ñèíòàêñè÷åñêèå îïðåäåëåíèÿ, çíàêè êîòîðûõ èìåþò ñîäåðæàòåëüíûé ñìûñë, ìîãóò ïðåâðàùàòüñÿ â ñåìàíòè÷åñêèå. Ïîýòîìó íà
âîïðîñ î «ñîõðàíåíèè ãàðìîíèè» íóæíî îòâå÷àòü ñ ó÷åòîì ïîñòîÿííîãî ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â ñòîðîíó âñå áîëåå ïîëíîãî è
âñåñòîðîííåãî îõâàòà «ïîâåðÿåìîé ãàðìîíèè».
Ìàòåìàòèêó êàê îëèöåòâîðåíèå ðàññóäî÷íîñòè îáû÷íî ïðîòèâîïîñòàâëÿþò ïîýçèè, ïîñòèãàþùåé ìèð «èíûìè ïóòÿìè». Òåì íå ìåíåå èìåííî
â àíàëèçå ïîýòè÷åñêîãî ÿçûêà ñîäåðæàòñÿ íàèáîëåå îïðàâäàííûå ñîïîñòàâëåíèÿ ýëåìåíòîâ ëîãèêè õóäîæåñòâåííîãî è ìàòåìàòè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ. Â
ñòðåìëåíèè ê ìíîãîîõâàòíîìó àíàëèçó ìîæåò èñ÷åçíóòü ñàìà ïðîáëåìà
«ïîýçèÿ è ìàòåìàòèêà». Âûäåëåíèå àñïåêòîâ, äëÿ àíàëèçà êîòîðûõ íåîáõîäèì ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ìåòîäîëîãè÷åñêè äîïóñòèìî, åñëè îíè íå
îòðèöàþò èíûõ ïîñòàíîâîê âîïðîñîâ, ñâÿçàííûõ ñ ïðîáëåìàìè ýñòåòè÷åñêîé öåííîñòè è ìíîãîçíà÷íîñòè ïîýòè÷åñêîãî ÿçûêà. Â íà÷àëå ïðîøëîãî
âåêà áûëè ïðåäïðèíÿòû ïîïûòêè «ïîâåðèòü àëãåáðîé ãàðìîíèþ». Ðóññêèé
ìàòåìàòèê àêàäåìèê À. À. Ìàðêîâ â ðàáîòå «Ïðèìåð ñòàòèñòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ íàä òåêñòîì “Åâãåíèÿ Îíåãèíà” èëëþñòðèðóþùèé ñâÿçü èñïûòàíèé â öåïü» (Èçâåñòèÿ Èìïåðàòîðñêîé àêàäåìèè íàóê. ÑÏá., 1913) ïðîâåë ñòàòèñòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ÷åðåäîâàíèÿ ãëàñíûõ è ñîãëàñíûõ áóêâ, â
êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ê ñîçäàííîé èì ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè «ìàðêîâñêèõ öåïåé». Ýòî áûë íåñëó÷àéíûé ôàêò. Ïîñêîëüêó â ÿçûêå ìîæíî íàáëþäàòü ðåãóëÿðíûå îòíîøåíèÿ è, êðîìå òîãî, òàê êàê ÿçûê ñîäåðæèò ïîääàþùèåñÿ ñ÷åòó äèñêðåòíûå åäèíèöû, òî îí äîïóñêàåò âîçìîæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ. Äî ñèõ ïîð ýòè ôàêòû íå îêàçûâàëè ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà ìåòîäîëîãèþ ëèíãâèñòèêè. Çà èñêëþ÷åíèåì ñòðóêòóðíîé ëèíãâèñòèêè îíà îñòàâàëàñü ýìïèðè÷åñêîé íàóêîé.
72

Äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåì, êàñàþùèõñÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿçûêà, ïðèìåíåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â èçó÷åíèè ÿçûêà, ïîñòðîåíèÿ ÿçûêîâ-ïîñðåäíèêîâ ìàøèííîãî ïåðåâîäà íåîáõîäèìà íîðìàëèçàöèÿ ñèñòåìû ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè ñïåöèàëèñòîâ-ôèëîëîãîâ è èçäàíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû äëÿ ñòóäåíòîâ-ôèëîëîãîâ. Íåîáõîäèìî
òàêæå ïîíèìàíèå ïðèêëàäíîé ëèíãâèñòèêè, êàê ïðîâåäåíèå øèðîêèõ ýêñïåðèìåíòîâ íà ñîâðåìåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèíàõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ëèíãâèñòè÷åñêèì è ìàòåìàòè÷åñêèì àíàëèçîì. Ãðàíèöû ìåæäó íàóêàìè ñîçäàþòñÿ íåçàâèñèìî îò èõ ôîðìàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ. Îäíàêî åñëè
îòíîñèòü ê ëèíãâèñòèêå ëèøü òî, ÷åì áîëüøèíñòâî èç ëèíãâèñòîâ çàíèìàëîñü íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò, è òî, ÷åì îíè ìîãëè áû çàíèìàòüñÿ â äàëüíåéøåì íà îñíîâå óæå èìåþùèõñÿ çíàíèé, áåç îñâîåíèÿ âûñøåé ìàòåìàòèêè, ôèçèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè, òî ïðè òàêîì óçêîóòèëèòàðíîì ïîäõîäå îïèñàííûå âûøå ïðîáëåìû ê ëèíãâèñòèêå, êîíå÷íî, íå îòíîñÿòñÿ. Ïîýòîìó ïîëíîöåííîå óíèâåðñèòåòñêîå ôèëîëîãè÷åñêîå îáðàçîâàíèå äîëæíî
ñïîñîáñòâîâàòü óñòðàíåíèþ äâóõ íåæåëàòåëüíûõ êðàéíîñòåé: óçêîãî ýìïèðèçìà è îòîðâàííîñòè îò êîíêðåòíûõ ëèíãâèñòè÷åñêèõ çàäà÷, äëÿ ïîíèìàíèÿ êîòîðûõ íåîáõîäèì ïîíÿòèéíûé àïïàðàò ñîâðåìåííûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ.
Ïàðàäîêñàëüíîñòü ñèòóàöèè ñ ðàáîòîé, âûïîëíÿåìîé íà ñòûêå èíòåðåñîâ ìàòåìàòèêîâ è ëèíãâèñòîâ, â òîì, ÷òî îíà ðèñêóåò îêàçàòüñÿ íå ïðèíÿòîé íè òåìè íè äðóãèìè. Â æóðíàëå «Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê» áûëà
îïóáëèêîâàíà ðàáîòà ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà Ðåíå Òîìà «Òîïîëîãèÿ è
ëèíãâèñòèêà», õîòÿ åå âïîëíå ìîæíî áûëî áû íàïå÷àòàòü, íàïðèìåð, â «Âîïðîñàõ ÿçûêîçíàíèÿ». Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ýòîé ðàáîòû ñîñòîèò â îáíàðóæåíèè «òåñíîãî ñòðóêòóðíîãî ïàðàëëåëèçìà ìåæäó ôðàãìåíòàìè äâóõ
ÿçûêîâ: «÷åëîâå÷åñêîãî» ÿçûêà îáûäåííîé æèçíè è ÿçûêà íüþòîíîâñêîé
ìåõàíèêè â åãî êðàéíå ñõåìàòèçèðîâàííîì è òîïîëîãèçèðîâàííîì âàðèàíòå»7. Â ýòîé ðàáîòå Òîì îïèðàëñÿ íà ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ, êîòîðîé îí
äàë ðåêëàìíûé âàðèàíò íàçâàíèÿ — «òåîðèÿ êàòàñòðîô». Â ÷àñòíîñòè,
îí îòìå÷àë, ÷òî ïîëíàÿ ôîðìàëèçàöèÿ åñòåñòâåííûõ ÿçûêîâ ïðåäñòàâëÿåòñÿ íåâîçìîæíîé ïî ñëåäóþùèì ïðè÷èíàì:
À. Åñëè áû îäíîâðåìåííàÿ ôîðìàëèçàöèÿ äàííîãî ÿçûêà è ìåòàÿçûêà,
åãî îïèñûâàþùåãî, îêàçàëàñü âîçìîæíîé, òî êàê è â ìàòåìàòèêå ïîÿâèëèñü
áû ïàðàäîêñû, ïðåïÿòñòâóþùèå ïîëíîé ôîðìàëèçàöèè àðèôìåòèêè.
Á. Äàæå åñëè íå òðåáîâàòü îäíîâðåìåííîé ôîðìàëèçàöèè ìåòàÿçûêà,
íåâîçìîæíî èçáåæàòü àêñèîì «îáðàìëåíèÿ», êîòîðûå ïîçâîëÿþò íåîãðàíè÷åííî óäëèíÿòü ïðàâèëüíî ñîñòàâëåííûå âûðàæåíèÿ.
7

Òîì Ð. Òîïîëîãèÿ è ëèíãâèñòèêà // Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. — 1975. — Ò. 30,
âûï. 1. — Ñ. 199.

73

Â. Íàêîíåö, ñàìî ïîíÿòèå «ïðàâèëüíîé ñîñòàâëåííîñòè» â åñòåñòâåííîì ÿçûêå íå ÿâëÿåòñÿ íè æåñòêî îïðåäåëåííûì, íè ÷åòêî îãðàíè÷åííûì.
Ýòî â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíîñèòñÿ ê òåì ñëó÷àÿì, êîãäà ñ ÿçûêîì ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíå. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû
îêàçûâàþòñÿ â ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìûìè èç-çà òîãî, ÷òî ñîâðåìåííûå ìàøèíû ïîêà åùå ïëîõî ïðèñïîñîáëåíû, äëÿ òîãî ÷òîáû íåïîñðåäñòâåííî
«ïîíèìàòü» ÿçûê ëèíãâèñòîâ, êîòîðûå ñàìè ïîíèìàþò äðóã äðóãà äàëåêî
íå îäíîçíà÷íî. Íàïðèìåð, êàê ãîâîðèë àêàäåìèê À. Í. Êîëìîãîðîâ: «Ñòèõîâåäåíèå âìåñòå ñî âñåìè ôèëîëîãè÷åñêèìè äèñöèïëèíàìè ïåðåæèâàåò
ñåé÷àñ çàêîíîìåðíûé ýòàï óñòðåìëåíèÿ ê áîëåå òî÷íûì è îáúåêòèâíûì
ìåòîäàì èññëåäîâàíèé, îïèðàþùèìñÿ ëèøü íà ôàêòû, íåïîñðåäñòâåííî
äàííûå â èçó÷àåìîì ìàòåðèàëå». Â ñâîå âðåìÿ îí îðãàíèçîâàë ñåìèíàð ïî
èçó÷åíèþ ðóññêîé ïîýçèè ïðè ñòàòèñòè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè ÌÃÓ. Èñõîäíàÿ ïîçèöèÿ Êîëìîãîðîâà ñîñòîÿëà â òîì, ÷òî â ïîýòè÷åñêèõ ïðîèçâåäåíèÿõ èìåþòñÿ êîëè÷åñòâåííûå çàêîíîìåðíîñòè, êîòîðûå ìîãóò áûòü âîñïðèíÿòû â îòðûâå îò èõ ñîäåðæàíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, íåîáõîäèìûé
äëÿ èçó÷åíèÿ ýòèõ çàêîíîìåðíîñòåé, âêëþ÷àåò â ñåáÿ êîìáèíàòîðèêó, òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó.

2.1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÐÈÍÖÈÏÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
Êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðåäøåñòâóþò ðàçäåëû êîìáèíàòîðèêè. Â çíàìåíèòîé áàñíå È. À. Êðûëîâà «Êâàðòåò» ãðóïïà ìóçûêàíòîâ
«ïðîêàçíèöà Ìàðòûøêà, Îñ¸ë, Êîç¸ë äà êîñîëàïûé Ìèøêà» óñòðîèëè ëþáîïûòíûé ýêñïåðèìåíò — îíè èññëåäîâàëè âëèÿíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ìóçûêàíòîâ íà êà÷åñòâî èñïîëíåíèÿ. Åñëè áû íå âìåøàëñÿ Ñîëîâåé,
ó÷àñòíèêè êâàðòåòà, íàâåðíîå, ïåðåïðîáîâàëè áû âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû. Ïåðâè÷íàÿ ìîòèâàöèÿ: Ñêîëüêî âñåãî ñïîñîáîâ èìååòñÿ äëÿ òîãî,
÷òîáû ðàññàäèòü â îäèí ðÿä ýòèõ ÷åòûðåõ «ìóçûêàíòîâ»? Òàêîãî ðîäà çàäà÷àìè çàíèìàåòñÿ îòäåëüíàÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ
«êîìáèíàòîðèêîé».
Êîìáèíàòîðèêà — ýòî ðàçäåë ìàòåìàòèêè, èçó÷àþùèé ðàñïîëîæåíèÿ îáúåêòîâ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñïåöèàëüíûìè ïðàâèëàìè è ìåòîäû ïîäñ÷åòà ÷èñëà âñåõ âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ýòè ðàñïîëîæåíèÿ ìîãóò áûòü ñäåëàíû.
Íåêîòîðûå êîìáèíàòîðíûå çàäà÷è ðåøàëè åùå â Äðåâíåì Êèòàå, à
ïîçäíåå — â Ðèìñêîé èìïåðèè, îäíàêî êàê ñàìîñòîÿòåëüíûé ðàçäåë ìàòåìàòèêè êîìáèíàòîðèêà îôîðìèëàñü â Åâðîïå ëèøü â XIII âåêå â ñâÿçè ñ
ðàçâèòèåì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Â XX âåêå êîìáèíàòîðèêó ñòàëè ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòü òåîðèè ìíîæåñòâ, èçó÷àþùåé ðàçëè÷íûå ïðîáëåìû,
âîçíèêàþùèå ïðè èçó÷åíèè êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ, ïîñêîëüêó ëþáóþ êîì74

áèíàòîðíóþ çàäà÷ó ìîæíî ñâåñòè ê çàäà÷å î êîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ èëè èõ
îòîáðàæåíèé. Òàêàÿ òî÷êà çðåíèÿ áîëåå åñòåñòâåííà ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññèôèêàöèè îñíîâíûõ ïîíÿòèé è çàäà÷ êîìáèíàòîðèêè.
Èíîãäà ïî ñìûñëó çàäà÷è, î÷åâèäíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ëèøü êîíå÷íîå
÷èñëî èíòåðåñóþùèõ íàñ îáúåêòîâ. Îíè, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿþòñÿ îïðåäåëåííûìè êîìáèíàöèÿìè äðóãèõ îáúåêòîâ, íàïðèìåð, áóêâ, ÷èñåë, ñëîâ è
ò. ä. Îòñþäà è ñîîòâåòñòâóþùåå íàçâàíèå — êîìáèíàòîðèêà (îò ëàòèíñêîãî ñëîâà combinatio — ñîåäèíåíèå). Èç ñêàçàííîãî ÿñíî, ÷òî êîìáèíàòîðèêà èìååò äåëî ëèøü ñ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè è ïîýòîìó ìîæåò ïîêàçàòüñÿ,
÷òî îíà áîëåå «ýëåìåíòàðíà», ÷åì äðóãèå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè. Òàêîå âïå÷àòëåíèå îáìàí÷èâî. Êàê ãîâîðèë Àëüáåðò Ýéíøòåéí: «Íå âñå, ÷òî ìîæíî ñîñ÷èòàòü, ñîñ÷èòàíî, è íå âñå, ÷òî ñîñ÷èòàíî, ìîæíî ñîñ÷èòàòü». Â
ïîñëåäíåå âðåìÿ ðîëü êîìáèíàòîðèêè âîçðîñëà â ñâÿçè ñ áóðíûì ðàçâèòèåì âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè è ïîòðåáíîñòÿìè òåîðèè èíôîðìàöèè, èçó÷àþùåé ìåòîäû îïòèìàëüíîãî êîäèðîâàíèÿ, äåêîäèðîâàíèÿ è ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè.
Êðîìå òîãî, êîìáèíàòîðíûé ïîäñ÷åò ÷èñëà ñëó÷àåâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ òîìó èëè èíîìó ñîáûòèþ, ñëóæèò õîðîøåé ïñèõîëîãè÷åñêîé ïîäãîòîâêîé ê ââåäåíèþ ïîíÿòèÿ âåðîÿòíîñòè. Ëó÷øèé ñïîñîá îñâîåíèÿ êîìáèíàòîðèêè — ðåøåíèå çàäà÷. Î ïðîñòûõ è òèïîâûõ, íî â òî æå âðåìÿ âàæíûõ çàäà÷àõ ïîéäåò ðå÷ü íèæå. Íà÷íåì ñ îñíîâíûõ ïðèíöèïîâ êîìáèíàòîðèêè — ïðèíöèïà ñëîæåíèÿ è ïðèíöèïà óìíîæåíèÿ, êîòîðûå ðàññìîòðèì ñíà÷àëà íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.
Ïðèìåð. Ïóñòü â ìàãàçèíå èìåþòñÿ 7 ðàçëè÷íûõ âèäîâ êîðîáîê êîíôåò è 5 ðàçëè÷íûõ êîðîáîê ïå÷åíüÿ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü â ïîäàðîê êîðîáêó êîíôåò èëè êîðîáêó ïå÷åíüÿ? Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ñîñòàâèòü íàáîð, ñîñòîÿùèé èç êîðîáêè êîíôåò è êîðîáêè ïå÷åíüÿ?
Îòâåò íà ïåðâûé âîïðîñ î÷åâèäåí. Êîðîáêó êîíôåò ìîæíî âûáðàòü
7 ñïîñîáàìè, êîðîáêó ïå÷åíüÿ — 5 ñïîñîáàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, êîðîáêó
êîíôåò èëè êîðîáêó ïå÷åíüÿ ìîæíî âûáðàòü 7 + 5 = 12 ñïîñîáàìè.
Äëÿ îòâåòà íà âòîðîé âîïðîñ çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû ñîñòàâëÿåìíàáîð
èç êîðîáêè êîíôåò è êîðîáêè ïå÷åíüÿ, òî ê êàæäîé èç 7 ðàçëè÷íûõ êîðîáîê
êîíôåò ìîæíî ïîäîáðàòü êîðîáêó ïå÷åíüÿ 5 ñïîñîáàìè, à èìåííî ê ïåðâîé
êîðîáêå êîíôåò ìîæíî ïîäîáðàòü 5 ðàçëè÷íûõ êîðîáîê ïå÷åíüÿ, íî âòîðîé
êîðîáêå êîíôåò — îïÿòü 5 ðàçëè÷íûõ êîðîáîê ïå÷åíüÿ è ò. ä. Òàêèì îáðàçîì, íàáîð, ñîñòîÿùèé èç êîðîáêè êîíôåò è êîðîáêè ïå÷åíüÿ, ìîæíî âûáðàòü 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 × 5 = 35 ñïîñîáàìè.
Íà ýòîì ïðîñòåéøåì ïðèìåðå ìû ïðîäåìîíñòðèðîâàëè ïðèìåíåíèå
ïðèíöèïîâ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ. Âûøå ãîâîðèëîñü, ÷òî êîìáèíàòîðèêà
75

òåñíî ñâÿçàíà ñ òåîðèåé êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Òàêèå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ, êàê ïîäìíîæåñòâî, îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ, ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ, ðàññìîòðåííûå â ïåðâîé ãëàâå, îêàçûâàþòñÿ âåñüìà ïîëåçíûìè
ïðè ðåøåíèè êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷. Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü îñíîâíûå
ïðèíöèïû êîìáèíàòîðèêè â ñàìîì îáùåì âèäå.
Êîìáèíàòîðíûé ïðèíöèï ñëîæåíèÿ. Åñëè ìíîæåñòâî A ñîäåðæèò
n ðàçíûõ ýëåìåíòîâ, à ìíîæåñòâî B — m ðàçíûõ ýëåìåíòîâ è A Ç B = Æ,
òî ìíîæåñòâî A È B ñîäåðæèò n + m ýëåìåíòîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåñ÷èòàåì ýëåìåíòû îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ A è B, ò. å. A È B. Ñíà÷àëà ïåðåñ÷èòàåì âñå ýëåìåíòû,
âõîäÿùèå â ìíîæåñòâî A, è äàäèì èì íîìåðà îò 1 äî n, ïîñêîëüêó â ìíîæåñòâå A ïî óñëîâèþ n ýëåìåíòîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ñðåäè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A íåò ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà B, òàê êàê ïî óñëîâèþ A Ç B = Æ. Ïîýòîìó, êîãäà ìû ïåðåéäåì ê ïåðåñ÷åòó ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó B, òî ïðèäåòñÿ íà÷àòü ñ íîìåðà n + 1, çàòåì áóäóò íîìåðà n + 2,
n + 3 è ò. ä. äî íîìåðà n + m, ïîñêîëüêó â ìíîæåñòâå B ïî óñëîâèþ m ýëåìåíòîâ. Ñ ïîìîùüþ ýòîé ïðîöåäóðû ïîäñ÷åòà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà
A È B âñå îíè áóäóò èñ÷åðïàíû, à òàê êàê îíè ïîëó÷èëè íîìåðà îò 1 äî
n + m, òî, ñëåäîâàòåëüíî, çàäàííîå ìíîæåñòâî A È B ñîäåðæèò n + m ýëåìåíòîâ.
Çàìå÷àíèå. Åñëè íåêîòîðûé îáúåêò «A» ìîæíî âûáðàòü n ñïîñîáàìè, à äðóãîé îáúåêò «B», îòëè÷íûé îò «A», — m ñïîñîáàìè, òî ñîãëàñíî
êîìáèíàòîðíîìó ïðèíöèïó ñëîæåíèÿ îáúåêò «A èëè B» ìîæíî âûáðàòü
n + m ñïîñîáàìè.
Ïîÿñíèì ñêàçàííîå íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ñòóäåíòó ôèëôàêà
ìîæíî âûáðàòü îäíó êíèãó, êîãäà íà ïîëêå íàõîäÿòñÿ 15 êíèã ïî ôèëîñîôèè, 10 êíèã ïî èíôîðìàòèêå è 5 êíèã ïî «ìàòåìàòèêå äëÿ ãóìàíèòàðèåâ».
Çàìåòèì, ÷òî êíèãó ïî ôèëîñîôèè ìîæíî âûáðàòü 15 ñïîñîáàìè, êíèãó ïî èíôîðìàòèêå — 10 ñïîñîáàìè, à êíèãó ïî «ìàòåìàòèêå äëÿ ãóìàíèòàðèåâ» — 5 ñïîñîáàìè. Ñîãëàñíî êîìáèíàòîðíîìó ïðèíöèïó ñëîæåíèÿ è â
ñèëó ïðåäûäóùåãî çàìå÷àíèÿ ñòóäåíò ôèëôàêà ìîæåò âûáðàòü îäíó
êíèãó íà ïîëêå 15 + 10 + 5 = 30 ñïîñîáàìè.
Êîìáèíàòîðíûé ïðèíöèï ñëîæåíèÿ ïî èíäóêöèè ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà îáúåäèíåíèå k ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ.
Åñëè âñå âàðèàíòû âûáîðà äåëÿòñÿ íà k âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ òèïîâ,
ïðè÷åì èìååòñÿ n1 âàðèàíòîâ 1-ãî òèïà, n2 âàðèàíòîâ 2-ãî òèïà, …, nk âàðèàíòîâ k-ãî òèïà, òî îáùåå ÷èñëî âàðèàíòîâ ðàâíî n1 + n2 + … + nk.
76

Ðàññìîòðèì ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé êîìáèíàòîðíûé ïðèíöèï óìíîæåíèÿ.
Ïðèìåð. Èç ãîðîäà A â ãîðîä B âåäåò n ïóòåé, à èç ãîðîäà B â ãîðîä C
âåäåò m ïóòåé. Êàêîâî ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïóòåé, êîòîðûìè ìîæíî ñîâåðøèòü ïóòåøåñòâèå èç ãîðîäà A â ãîðîä C ÷åðåç ãîðîä B?
Âûáðàâ îäèí èç n âîçìîæíûõ ïóòåé èç A â B, äàëüøå ìîæíî ïðîäîëæèòü ïóòåøåñòâèå m ñïîñîáàìè, ïîýòîìó îáùåå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïóòåé èç
ãîðîäà A â ãîðîä C ðàâíî n×m.
Êîìáèíàòîðíûé ïðèíöèï óìíîæåíèÿ. Åñëè ìíîæåñòâî A ñîäåðæèò n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ, ò. å. A = {ai : i =1, 2, …, n}, à ìíîæåñòâî
B — m ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ, ò. å. B = {bj : j =1, 2, …, m}, òî òîãäà ìíîæåñòâî C, ñîñòàâëåííîå èç âñåõ âîçìîæíûõ ïàð, ò. å. C = {(ai, bj) : i =
= 1, 2, …, n; j =1, 2, …, m}, ñîäåðæèò n×m ýëåìåíòîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî C ìîæíî ðàçáèòü íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà âèäà:
C1 = {(a1, bj): j = 1, 2, …, m},
C2 = {(a2, bj): j = 1, 2, …, m},
…….…………………………
Ci = {(ai, bj): j = 1, 2, …, m},
……….………………………
Cn = {(an, bj): j = 1, 2, …, m}.
Çàìåòèì, ÷òî C1 Ç C2 = Æ, ïîñêîëüêó ïîäìíîæåñòâî C1 ñîñòîèò èç ïàð,
ñîäåðæàùèõ a1, à ïîäìíîæåñòâî C2 — òîëüêî èç ïàð, ñîäåðæàùèõ a2. Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî Ci Ç Ck = Æ ïðè i ¹ k.
Óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ìíîæåñòâî C ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ Ci, i = 1, 2, …, n, ò. å. C = C1 È C2 È…È Cn. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü (ai, bj) — ëþáàÿ âîçìîæíàÿ ïàðà, òîãäà îíà ïî îïðåäåëåíèþ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó C, ò. å. (ai, bj) Î Ñ, íî òàê êàê ïàðà (ai, bj) Î Ñi,
òî (ai, bj) Î C1 È C2 È … È Cn.
Ïîñêîëüêó êàæäîå ïîäìíîæåñòâî Ci , i =1, 2, …, n, ñîäåðæèò m ýëåìåíòîâ, òî â ñèëó êîìáèíàòîðíîãî ïðèíöèïà ñëîæåíèÿ ÷èñëî ýëåìåíòîâ â èõ
îáúåäèíåíèè ðàâíî n×m, ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
Çàìå÷àíèå. Åñëè íåêîòîðûé îáúåêò «A» ìîæíî âûáðàòü n ñïîñîáàìè, à äðóãîé îáúåêò «B» ìîæíî íåçàâèñèìî îò âûáîðà «A» âûáðàòü m
ñïîñîáàìè, òî ñîãëàñíî êîìáèíàòîðíîìó ïðèíöèïó óìíîæåíèÿ îáúåêò «A è
B» ìîæíî âûáðàòü n×m ñïîñîáàìè.
Ïîÿñíèì ñêàçàííîå íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü ãëàñíóþ è ñîãëàñíóþ áóêâû èç ñëîâà ÏÐÎÖÅÍÒ.
77

Ãëàñíóþ áóêâó ìîæíî âûáðàòü äâóìÿ ñïîñîáàìè (Î èëè Å), à ñîãëàñíóþ — ïÿòüþ ñïîñîáàìè (Ï, Ð, Ö, Í èëè Ò). Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî êîìáèíàòîðíîìó ïðèíöèïó óìíîæåíèÿ è â ñèëó ñäåëàííîãî çàìå÷àíèÿ ãëàñíóþ è ñîãëàñíóþ áóêâû ìîæíî âûáðàòü 2×5 = 10 ñïîñîáàìè.
Êîìáèíàòîðíûé ïðèíöèï óìíîæåíèÿ ïî èíäóêöèè ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà ëþáîå ÷èñëî ìíîæåñòâ. Â ÷àñòíîñòè, åñëè òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü îäíî çà äðóãèì k äåéñòâèé è ïåðâîå äåéñòâèå ìîæíî âûïîëíèòü n1
ñïîñîáàìè, âòîðîå — n2 ñïîñîáàìè è òàê äàëåå äî k-ãî äåéñòâèÿ, êîòîðîå
ìîæíî âûïîëíèòü nk ñïîñîáàìè, òî âñå k äåéñòâèé âìåñòå ìîãóò áûòü
âûïîëíåíû n1×n2× … ×nk ñïîñîáàìè.
Ïðèíöèï óìíîæåíèÿ äîñòàòî÷íî î÷åâèäåí, õîòÿ è íå â òàêîé ñòåïåíè, êàê
ïðèíöèï ñëîæåíèÿ. «Ñêëàäûâàòü èëè óìíîæàòü — âîò â ÷åì âîïðîñ». Â òàêîé
«ãàìëåòîâñêîé ñèòóàöèè» èíîãäà îêàçûâàþòñÿ ìíîãèå ñòóäåíòû, èçó÷àþùèå êîìáèíàòîðèêó. Êîìáèíàòîðíûé ïðèíöèï óìíîæåíèÿ ìîæíî îáúÿñíèòü
íà àðèôìåòè÷åñêèõ çàäà÷àõ ñëåäóþùåãî òèïà: «ñêîëüêî âñåãî ëèñòîâ â
5 ñòîïêàõ òåòðàäåé, åñëè â êàæäîé ñòîïêå ïî 20 òåòðàäåé, à â êàæäîé òåòðàäè
ïî 12 ëèñòîâ?». Áåç óïîìèíàíèÿ êîìáèíàòîðèêè èëè èíäóêöèè øêîëüíèê
äàñò ïðàâèëüíûé îòâåò 5×20×12 = 1200 ëèñòîâ. Íèêòî âåäü íå ñòàíåò ïîäñ÷èòûâàòü ÷èñëî ëèñòîâ, íàïðèìåð, òàê: «åñòü 5 ñòîï, äà â êàæäîé ïî 20 òåòðàäåé,
äà åùå â êàæäîé ïî 12 ëèñòîâ — èòîãî 5 + 20 + 12 = 37 ëèñòîâ».
Ðàññìîòðèì ïðèìåð åùå îäíîé çàäà÷è, ïðè ðåøåíèè êîòîðîé èñïîëüçóþòñÿ îáà ïðèíöèïà êîìáèíàòîðèêè.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ñòóäåíòó ôèëôàêà ìîæíî âûáðàòü äâå êíèãè ïî ðàçíûì íàóêàì, êîãäà íà ïîëêå íàõîäÿòñÿ 15 êíèã
ïî ôèëîñîôèè, 10 êíèã ïî èíôîðìàòèêå è 5 êíèã ïî «ìàòåìàòèêå äëÿ ãóìàíèòàðèåâ».
Åñëè âûáèðàòü êíèãó ïî ôèëîñîôèè è êíèãó ïî èíôîðìàòèêå, òî ñóùåñòâóåò 15 âàðèàíòîâ âûáîðà êíèãè ïî ôèëîñîôèè è 10 âàðèàíòîâ âûáîðà êíèãè ïî èíôîðìàòèêå, ïîýòîìó ïî êîìáèíàòîðíîìó ïðèíöèïó óìíîæåíèÿ äëÿ
ýòîãî âûáîðà ñóùåñòâóåò 15×10 = 150 âîçìîæíîñòåé. Åñëè âûáèðàòü êíèãó ïî
ôèëîñîôèè è êíèãó ïî «ìàòåìàòèêå äëÿ ãóìàíèòàðèåâ», òî èìååòñÿ 15 âàðèàíòîâ âûáîðà êíèãè ïî ôèëîñîôèè è 5 — êíèãè ïî «ìàòåìàòèêå äëÿ ãóìàíèòàðèåâ», ïîýòîìó ïî êîìáèíàòîðíîìó ïðèíöèïó óìíîæåíèÿ äëÿ óêàçàííîãî
âûáîðà èìååòñÿ 15×5 = 75 âîçìîæíîñòåé. Åñëè âûáèðàåòñÿ êíèãà ïî èíôîðìàòèêå è êíèãà ïî «ìàòåìàòèêå äëÿ ãóìàíèòàðèåâ», òî ñóùåñòâóþò 10 ñïîñîáîâ
âûáîðà êíèãè ïî èíôîðìàòèêå è 5 — êíèãè ïî «ìàòåìàòèêå äëÿ ãóìàíèòàðèåâ», ïîýòîìó ïî êîìáèíàòîðíîìó ïðèíöèïó óìíîæåíèÿ äëÿ òàêîãî âûáîðà
ñóùåñòâóåò 10×5 = 50 âîçìîæíîñòåé. Íàêîíåö, ïîñêîëüêó óêàçàííûõ òðè
âûáîðà ðàçíûõ ïàð êíèã îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà, òî ñîãëàñíî
êîìáèíàòîðíîìó
ïðèíöèïó
ñëîæåíèÿ
âñåãî
ñóùåñòâóåò
150 + 75 + 50 = 275 ñïîñîáîâ âûáîðà äâóõ êíèã.
78

Â çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà íåîáõîäèìî ñêàçàòü åùå î òîì, ÷òî â ñâÿçè
ñ ðàçâèòèåì ýëåêòðîííîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè, âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ðàçóìíî èçó÷åíèå ðåàëüíûõ ÿâëåíèé âåñòè áåç ïðîìåæóòî÷íîãî ýòàïà íà ÿçûêå áåñêîíå÷íûõ è íåïðåðûâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ, ïåðåõîäÿ ïðÿìî
ê äèñêðåòíûì ìîäåëÿì, ïîñêîëüêó ÷åëîâå÷åñêèé ìîçã ðàáîòàåò â ñóùåñòâåííîì ïî äèñêðåòíîìó ïðèíöèïó.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ
1. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâà A, ñîñòîÿùåãî èç n ðàçíûõ ýëåìåíòîâ, è ìíîæåñòâà B, ñîñòîÿùåãî èç m ðàçíûõ ýëåìåíòîâ, íå ïóñòî, ò. å. A Ç B ¹ Æ, òî òîãäà ìíîæåñòâî A È B ñîäåðæèò ìåíüøå ÷åì n + m
ýëåìåíòîâ?
2. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè â áèáëèîòåêå èìåþòñÿ îòäåëüíûå èçäàíèÿ ðàçíûõ ëåò ïüåñ À. Ï. ×åõîâà: «Äÿäÿ Âàíÿ» — 5 ýêçåìïëÿðîâ, «Òðè ñåñòðû» — 4 ýêçåìïëÿðà, «×àéêà» — 3 ýêçåìïëÿðà, òî âûáîð ïî îäíîìó ýêçåìïëÿðó êàæäîé èç ýòèõ ïüåñ ìîæíî ñäåëàòü 60 ñïîñîáàìè?
3. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè â ìàãàçèíå îäåæäû ïðîäàåòñÿ 5 ðàçíûõ ðóáàøåê,
4 ðàçíûõ ãàëñòóêà è 3 ðàçíûõ ïàð íîñêîâ íóæíîãî ðàçìåðà, òî â ïîäàðîê
ìîæíî êóïèòü äâà ïðåäìåòà ñ ðàçíûìè íàçâàíèÿìè 47 ñïîñîáàìè?

2.2. ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÀ:
ÂÛÁÎÐ ÁÅÇ ÏÎÂÒÎÐÅÍÈÉ
Õàðàêòåðíîé ÷åðòîé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ àáñòðàãèðîâàíèå, ò. å. îòâëå÷åíèå îò êîíêðåòíûõ ÷åðò â
öåëÿõ âûÿâëåíèÿ ãëóáèííîãî ñîäåðæàíèÿ, îáùåãî äëÿ çàäà÷, âíåøíå îòëè÷àþùèõñÿ äðóã îò äðóãà. Ïîëüçóÿñü ñâîèì ìîçãîì, êàê èçíà÷àëüíî
äàííûì, ìàòåìàòèê, ïñèõîëîã è ëèíãâèñò ìîãëè íå èíòåðåñîâàòüñÿ êîìáèíàòîðíûìè îñíîâàìè åãî ðàáîòû, òåì íå ìåíåå, êàê ñêàçàë àêàäåìèê
À. Í. Êîëìîãîðîâ â ðàáîòå «Êîìáèíàòîðíûå îñíîâàíèÿ òåîðèè èíôîðìàöèè è èñ÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé» (Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. Ì.,
1983), «èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò ìàøèí äîëæåí áûòü ñîçäàí ÷åëîâåêîì, è ÷åëîâåêó ïðèõîäèòñÿ ïîãðóçèòüñÿ â íåèçáåæíóþ ïðè ýòîì êîìáèíàòîðíóþ ìàòåìàòèêó».
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷ áóäåì èñïîëüçîâàòü ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò òåîðèè ìíîæåñòâ. Åñëè ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ a, b è c, òî íàì áåçðàçëè÷åí
ïîðÿäîê, â êîòîðîì óêàçàíû ýëåìåíòû, íàïðèìåð:
{a, b, c} = {b, a, c} = {c, b, a}.
79

Íî åñòü çàäà÷è, â êîòîðûõ âàæåí ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ. Ïðè
ýòîì óêàçûâàåòñÿ, êàêîé ýëåìåíò ñ÷èòàåòñÿ ïåðâûì, êàêîé — âòîðûì, êàêîé — òðåòüèì è ò. ä.
Ïîðÿäîê â ìíîæåñòâå M èç n ýëåìåíòîâ — ýòî íóìåðàöèÿ åãî ýëåìåíòîâ ïåðâûìè n íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè, ò. å. îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà M íà ìíîæåñòâî {1, 2, …, n}.
Íàïðèìåð, 33 áóêâû ðóññêîãî àëôàâèòà ïðèíÿòî ðàñïîëàãàòü â òàêîì
ïîðÿäêå:
À, Á, Â, Ã, Ä, Å, ¨, Æ, Ç, È, É, Ê, Ë, Ì, Î, Ï,
Ð, Ñ, Ò, Ó, Ô, Õ, Ö, ×, Ø, Ù, Ú, Ü, Ý, Þ, ß.
Ïðè òàêîì ïîðÿäêå ðàñïîëîæåíèÿ áóêâà À ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé, áóêâà
Á — âòîðîé, áóêâà Â — òðåòüåé è ò. ä., âïëîòü äî ïîñëåäíåé òðèäöàòü òðåòüåé áóêâû ß. Íî ìîæíî òå æå áóêâû ðàñïîëîæèòü, íàïðèìåð, â îáðàòíîì
ïîðÿäêå, òîãäà áóêâà ß áóäåò ñ÷èòàòüñÿ ïåðâîé, áóêâà Þ — âòîðîé è ò. ä.,
âïëîòü äî ïîñëåäíåé òðèäöàòü òðåòüåé áóêâû À.
Ìíîæåñòâî âìåñòå ñ çàäàííûì â íåì ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ åãî
ýëåìåíòîâ íàçûâàþò óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì.
Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå áîëåå îäíîãî ýëåìåíòà, ìîæíî óïîðÿäî÷èòü íå åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì. Óïîðÿäî÷åííûå
ìíîæåñòâà çàïèñûâàþò, ðàñïîëàãàÿ ïî ïîðÿäêó èõ ýëåìåíòû, â êðóãëûõ ñêîáêàõ:
(a, b, c), (b, a, c), (c, b, a).
Íàïðèìåð, èç äâóõ áóêâ À è Á ìîæíî ïîñòðîèòü óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè:
(À, Á), (Á, À).
Òðè áóêâû À, Á è Â ìîæíî ðàñïîëîæèòü â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
óæå øåñòüþ ñïîñîáàìè. Ðàçóìååòñÿ, êîãäà ìû ãîâîðèì î ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òî èìååì â âèäó óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ, òàê ÷òî ïåðåñòàíîâêè ýëåìåíòîâ íå äîïóñêàþòñÿ. Íàïðèìåð, ÀÁ è ÁÀ — ýòî ðàçíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ê êàæäîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäà ÀÁ è ÁÀ ìîæíî
ïîäñòàâèòü áóêâó Â òðåìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè: ïîñòàâèòü åå ñïåðåäè,
ìåæäó áóêâàìè èëè ñçàäè. Òîãäà èç ÀÁ ïîëó÷èì: ÂÀÁ, ÀÂÁ, ÀÁÂ, à èç ÁÀ
ïîëó÷èì: ÂÁÀ, ÁÂÀ è ÁÀÂ. Âñå ïîëó÷èâøèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçíûå è èõ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñëåäóþùèõ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ:
(À, Á, Â), (À, Â, Á), (Á, À, Â), (Á, Â, À), (Â, À, Á), (Â, Á, À).
Íåðåäêî ïîäñ÷åò âàðèàíòîâ îáëåã÷àþò ãðàôû. Òàê íàçûâàþò ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû, ñîñòîÿùèå èç òî÷åê, íàçûâàåìûõ âåðøèíàìè, è ëèíèé,
80

èõ ñîåäèíÿþùèõ, íàçûâàåìûõ ðåáðàìè ãðàôà. Ñ ïîìîùüþ âåðøèí èçîáðàæàþò ýëåìåíòû íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, à ñ ïîìîùüþ ðåáåð — îïðåäåëåííûå ñâÿçè ìåæäó ýòèìè ýëåìåíòàìè. Òåîðèÿ ãðàôîâ äàåò ïðîñòîé, äîñòóïíûé è ìîùíûé èíñòðóìåíò äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé è ðåøåíèÿ çàäà÷ óïîðÿäî÷åíèÿ îáúåêòîâ. Îñíîâàòåëåì òåîðèè ãðàôîâ ñ÷èòàåòñÿ Ëåîíàðä
Ýéëåð, êîòîðûé ðåøèë ïîçíàâàòåëüíóþ è ðàçâëåêàòåëüíóþ çàäà÷ó î êåíèãñáåðãñêèõ ìîñòàõ, çàêëþ÷àþùóþñÿ â îïðåäåëåíèè ìàðøðóòà îáõîäà 4 ÷àñòåé ñóøè ïî 7 ìîñòàì ñ âîçâðàòîì â èñõîäíûé ïóíêò áåç ïîâòîðåíèé ïðîõîäîâ ïî êàæäîìó ìîñòó.
Äëÿ óäîáñòâà èëëþñòðàöèè óñëîâèÿ çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ãðàôà åãî âåðøèíû-òî÷êè ìîãóò áûòü çàìåíåíû, íàïðèìåð, êðóãàìè èëè ïðÿìîóãîëüíèêàìè. Ïðîèëëþñòðèðóåì ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó î ñïîñîáàõ óïîðÿäî÷èâàíèÿ
òðåõýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà íà ìîäåëüíîì ïðèìåðå ñïîñîáîâ ðàññàæèâàíèÿ òðîèõ äðóçåé íà òðåõ ìåñòàõ âî âðåìÿ ôóòáîëüíîãî ìàò÷à ñ ïîìîùüþ
ãðàôà, íàçûâàåìîãî äåðåâîì çà âíåøíåå ñõîäñòâî ñ äåðåâîì.
Ïðèìåð. Àíòîí, Áîðèñ è Âëàäèìèð êóïèëè 3 áèëåòà íà 1-å, 2-å è 3-å
ìåñòà ïåðâîãî ðÿäà öåíòðàëüíîãî ñåêòîðà íà ôóòáîëüíûé ìàò÷. Ðàññìîòðèì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè îíè ìîãóò çàíÿòü èìåþùèåñÿ ìåñòà.
Íà 1-å ìåñòî ìîæåò ñåñòü ëþáîé èç òðåõ äðóçåé, ò. å. èìååòñÿ 3 âàðèàíòà èõ ðàññàäêè, íà 2-å ìåñòî ìîæåò ñåñòü ëþáîé èç äâóõ îñòàâøèõñÿ, ò. å. íà
êàæäûé èç ïðåäûäóùèõ âàðèàíòîâ ïðèõîäèòñÿ åùå 2 âàðèàíòà, íà 3-å ìåñòî ñàäèòñÿ ïîñëåäíèé, ò. å. ýòî åäèíñòâåííûé îñòàâøèéñÿ ÷åëîâåê. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî êîìáèíàòîðíîìó ïðèçíàêó óìíîæåíèÿ òðåõ äðóçåé ìîæíî
ðàññàäèòü 3 × 2 × 1 = 6 ñïîñîáàìè. Èçîáðàçèì ýòè âàðèàíòû ñ ïîìîùüþ äåðåâà (ðèñ. 2.1), ïîìåùàÿ â âåðøèíû ãðàôà (êðóãè) ïåðâûå áóêâû èìåí òðåõ
äðóçåé À, Á è Â.

81

Äëÿ ÷åòûðåõ áóêâ À, Á, Â è Ã, äîáàâëÿÿ áóêâó Ã ëèáî ñïåðåäè, ëèáî ñçàäè, ëèáî ìåæäó èìåþùèìèñÿ áóêâàìè, ïîëó÷èì 24 ðàçíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòèõ áóêâ, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñëåäóþùèõ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ:
(À, Á, Â, Ã), (À, Á, Ã, Â), (À, Â, Á, Ã), (À, Â, Ã, Á), (À, Ã, Á, Â), (À, Ã, Â, Á),
(Á, À, Â, Ã), (Á, À, Ã, Â), (Á, Â, À, Ã), (Á, Â, Ã, À), (Á, Ã, À, Â), (Á, Ã, Â, À),
(Â, À, Á, Ã), (Â, À, Ã, Á), (Â, Á, À, Ã), (Â, Á, Ã, À), (Â, Ã, À, Á), (Â, Ã, Á, À),
(Ã, À, Á, Â), (Ã, À, Â, Á), (Ã, Á, À, Â), (Ã, Á, Â, À), (Ã, Â, À, Á), (Ã, Â, Á, À).
Çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííûé àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ðàçëè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé çàäàííûõ áóêâ íå åäèíñòâåííûé. Íàïðèìåð, âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóêâ ìîæíî ïîëó÷èòü èç íà÷àëüíîé, ïîî÷åðåäíî ìåíÿÿ ìåñòàìè ñîñåäíèå áóêâû:
ÀÁÂ®ÀÂÁ®ÂÀÁ®ÂÁÀ®ÁÂÀ®ÁÀÂ.
Îïðåäåëåíèå ïåðåñòàíîâêè. Óñòàíîâëåííûé â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå
ïîðÿäîê íàçûâàþò ïåðåñòàíîâêîé åãî ýëåìåíòîâ.
Óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà ñ÷èòàþòñÿ ðàçëè÷íûìè, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ ëèáî ñâîèìè ýëåìåíòàìè, ëèáî èõ ïîðÿäêîì.
Çàìå÷àíèå. Ðàçëè÷íûå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ ëèøü ïîðÿäêîì ýëåìåíòîâ, ò. å. ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç îäíîãî è
òîãî æå ìíîæåñòâà, íàçûâàþòñÿ ïåðåñòàíîâêàìè ýòîãî ìíîæåñòâà.
Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ïðîèçâåäåíèÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n â
ìàòåìàòèêå èñïîëüçóåòñÿ n-ôàêòîðèàë, êîòîðûé îáîçíà÷àþò n! (÷èòàþò
def

«ýí-ôàêòîðèàë»), ò. å. n! = 1×2×3×(n–1)×n.
Â êîìáèíàòîðèêå ôàêòîðèàë íå ãîñòü, à õîçÿèí. Íî íà êàëüêóëÿòîðå ôóíêöèÿ «ôàêòîðèàë» îáû÷íî îòñóòñòâóåò, ïîýòîìó ïðè ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ ïðèõîäèòñÿ èíîãäà ïîñëåäîâàòåëüíî óìíîæàòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
×èñëî âñåâîçìîæíûõ ïåðåñòàíîâîê ìíîæåñòâà èç n ýëåìåíòîâ îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì Pn (P — ïåðâàÿ áóêâà ôðàíöóçñêîãî ñëîâà permutation —
ïåðåñòàíîâêà). ×èòàåòñÿ: «×èñëî ïåðåñòàíîâîê èç ýí ýëåìåíòîâ» èëè «Ïý
èç ýí».
Óòâåðæäåíèå. ×èñëî ïåðåñòàíîâîê Pn ìíîæåñòâà èç n ýëåìåíòîâ
ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå:
Pn = n×(n – 1)× … ×3×2×1 = n!
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî èç n ýëåìåíòîâ. Íà ïåðâîå
ìåñòî ìîæíî ïîñòàâèòü ëþáîé èç n ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà. Åñëè îí óæå âûáðàí, òî îñòàíåòñÿ n – 1 ýëåìåíòîâ. Îñòàâøèåñÿ n – 1 ìåñò çàíèìàåò íåêîòî82

ðàÿ ïåðåñòàíîâêà èç îñòàâøèõñÿ n–1 ýëåìåíòîâ. ×èñëî òàêèõ ïåðåñòàíîâîê
ðàâíî Pn–1 (ïî îïðåäåëåíèþ Pn–1). Òàêèì îáðàçîì, ïåðåñòàíîâêó èç n ýëåìåíòîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïàðó, ñîñòîÿùóþ èç îäíîãî ýëåìåíòà, âûáðàííîãî èç n ýëåìåíòîâ çàäàííîãî ìíîæåñòâà, è ïåðåñòàíîâêè n–1 ýëåìåíòîâ, îñòàâøèõñÿ ïîñëå âûáîðà ïåðâîãî ýëåìåíòà. Â ñèëó êîìáèíàòîðíîãî
ïðèíöèïà óìíîæåíèÿ ÷èñëî âñåõ òàêèõ ïàð èëè âñåõ ïåðåñòàíîâîê ðàâíî
n×Pn–1, ò. å. ìû äîêàçàëè ðàâåíñòâî âèäà
Pn = n × Pn–1.
Èç ýòîé ôîðìóëû ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷èì:
Pn = n × Pn–1 = n × (n – 1) × Pn–2 = … = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1.
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà äëÿ ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê äîêàçàíà.
Â ÷àñòíîñòè, èç îïðåäåëåíèÿ n! âèäíî, ÷òî ôàêòîðèàëû äâóõ íàòóðàëüíûõ áëèæàéøèõ ÷èñåë n + 1 è n ñâÿçàíû ôîðìóëîé
(n + 1)! = n! × (n + 1).
Ïðè ïîìîùè ýòîé ôîðìóëû ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:
1!= 1, 2!=1!×2 = 2, 3!=2!×3 = 6, 4!=3!×4 = 24, 5!=4!×5 = 120, 6!=5!×6 = 720,
7!=6!×7 = 5040, 8!=7!×8 = 40 320, 9!=8!×9 = 362 880, 10!=9!×10 = 3 628 800.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñóììû ïåðâûõ n íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðîñòîé ôîðìóëîé ñóììû ïåðâûõ n ÷ëåíîâ àðèôn( n + 1)
ìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ò. å. 1 + 2 + 3 + … + n =
. Äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ
2
ïåðâûõ n íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàêîé ïðîñòîé ôîðìóëû íåò, õîòÿ ýòà âåëè÷èíà ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ íå òîëüêî â êîìáèíàòîðèêå, íî è â äðóãèõ ðàçäåëàõ
ìàòåìàòèêè.
Çàìå÷àíèå. Âûáîð äëÿ îáîçíà÷åíèÿ n! âîñêëèöàòåëüíîãî çíàêà, âîçìîæíî, ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî äàæå äëÿ ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèõ çíà÷åíèé n
÷èñëî n! î÷åíü âåëèêî!
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè â ðàâåíñòâî (n + 1)! = n!×(n + 1) ïîäñòàâèòü
n = 0, òî ïîëó÷èòñÿ 1! = 0!×1. Ïîýòîìó ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî 0! = 1, ïîñêîëüêó ýòî ñîãëàøåíèå ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì â ðàçëè÷íûõ îáùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôîðìóëàõ.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðåàëèçîâàòü ïåðåñòàíîâêó ñëîâ çíàìåíèòîé ôðàçû Áîðèñà Ïàñòåðíàêà «áûòü çíàìåíèòûì íåêðàñèâî».
83

×èñëî ïåðåñòàíîâîê ôðàçû, ñîñòîÿùåé èç òðåõ ðàçëè÷íûõ ñëîâ, ðàâíî
P3 = 3! = 1×2×3 = 6. Çàïèøåì ýòè øåñòü âàðèàíòîâ:
áûòü çíàìåíèòûì íåêðàñèâî,
áûòü íåêðàñèâî çíàìåíèòûì,
çíàìåíèòûì áûòü íåêðàñèâî,
çíàìåíèòûì íåêðàñèâî áûòü,
íåêðàñèâî áûòü çíàìåíèòûì,
íåêðàñèâî çíàìåíèòûì áûòü.
Êîëè÷åñòâî êîìáèíàöèé áûñòðî ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà ñîñòàâëÿþùèõ ôðàçó ñëîâ. Íàïðèìåð, ôðàçà èç ÷åòûðåõ ñëîâ «áûòü î÷åíü çíàìåíèòûì íåêðàñèâî» äàåò 24 êîìáèíàöèè ïåðåñòàíîâîê ñëîâ, ôðàçà èç ïÿòè
ñëîâ «áûòü î÷åíü çíàìåíèòûì ñîâñåì íåêðàñèâî» ïîðîæäàåò 120 êîìáèíàöèé ïåðåñòàíîâîê ýòèõ ñëîâ.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì, ñêîëüêî âñåãî ñóùåñòâóåò ñïîñîáîâ, ÷òîáû
ðàññàäèòü â îäèí ðÿä èëè ïî êðóãó ÷åòûðåõ ãîðå-ìóçûêàíòîâ èç áàñíè
«Êâàðòåò».
Íàïîìíèì, ÷òî â õîäå ýòîãî òâîð÷åñêîãî ïîèñêà Îñ¸ë âíåñ ïðåäëîæåíèå: «Ìû, âåðíî, óæ ïîëàäèì, êîëü ðÿäîì ñÿäåì». Âñå ðàâíî ýòî èì íå ïîìîãëî, õîòÿ â ðÿä ìîæíî ñåñòü ïî-ðàçíîìó. Ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ «óñåñòüñÿ
÷èííî â ðÿä» ïî ôîðìóëå äëÿ ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê èìååòñÿ P4 = 4! =
= 1×2×3×4 = 24. Íîâûå âàðèàíòû, áåçóñëîâíî, ìîãëè áû óêðàñèòü ïîïóëÿðíóþ áàñíþ Êðûëîâà.
Òåïåðü ïðåäñòàâèì, ÷òî «ìóçûêàíòû» ñåëè íå â ðÿä, à ïî êðóãó. Â ýòîì
ñëó÷àå ìîæíî ðàññóæäàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü, íàïðèìåð, Îñ¸ë ñàäèòñÿ êóäà óãîäíî, ïîíÿòíî ïî÷åìó. Åñëè ñ÷èòàòü îäèíàêîâûìè îñòàëüíûå
ðàñïîëîæåíèÿ «ìóçûêàíòîâ» ïðè âðàùåíèè èõ ïî êðóãó, òî òîãäà ÷èñëî
îñòàâøèõñÿ ïåðåñàäîê îòíîñèòåëüíî Îñëà ðàâíî P3 = 3! = 6. Ïîýòîìó ÷èñëî
ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ ðàññàäêè íàøèõ «ìóçûêàíòîâ» ïî êðóãó ðàâíî øåñòè,
íî ÷òî ýòî äîáàâèò ê çâó÷àíèþ êâàðòåòà?
Çàìå÷àíèå. Åñëè ðàññìàòðèâàòü ïåðåñòàíîâêè n ïðåäìåòîâ, ðàñïîëîæåííûõ íå â ðÿä, à ïî êðóãó, è ñ÷èòàòü îäèíàêîâûìè ðàñïîëîæåíèÿ, ïåðåõîäÿùèå äðóã â äðóãà ïðè âðàùåíèè, òî ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïåðåñòàíîâîê
ðàâíî Pn–1 = (n – 1)!.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè 7 äåâóøåê ìîãóò îðãàíèçîâàòü õîðîâîä? Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îòìåòèì îäíó èç äåâóøåê, ñêàæåì
ñàìóþ êðàñèâóþ. Òåïåðü íàäî óêàçàòü, ãäå áóäóò ðàñïîëàãàòüñÿ îñòàëüíûå
äåâóøêè: êòî áóäåò ïåðâîé ïî êðóãó îò ñàìîé êðàñèâîé, êòî âòîðîé, òðåòüåé, …, øåñòîé. Çàäà÷à ñâåëàñü ê ïåðåñ÷åòó ñïîñîáîâ ðàñïîëîæåíèÿ øåñòè îñòàâøèõñÿ äåâóøåê â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ïî ñóùåñòâó ðå÷ü èäåò îáî
âñåõ ïåðåñòàíîâêàõ èç n – 1 ýëåìåíòà, ãäå n = 7. ×èñëî òàêèõ ïåðåñòàíîâîê
ðàâíî (n – 1)! = 6! = 1×2×3×4×5×6 = 720.
84

Ïåðåñòàíîâêè áóêâ íåêîòîðîãî ñëîâà íàçûâàþò àíàãðàììàìè.
Îòêðûòûå åùå â III âåêå äî íàøåé ýðû ãðå÷åñêèì ãðàììàòèêîì è ïîýòîì Ëèêîôðîíîì àíàãðàììû äî ñèõ ïîð ïðèâëåêàþò âíèìàíèå ÿçûêîâåäîâ,
ïîýòîâ è ëþáèòåëåé ñëîâåñíîñòè. Ìàñòåðà ñëîâåñíûõ èãð ïîìèìî ýðóäèöèè è áîëüøîãî çàïàñà ñëîâ çíàþò ìíîãî ñåêðåòîâ, ñâÿçàííûõ ñ êîìáèíàòîðíûìè íàâûêàìè, îäèí èç êîòîðûõ — àíàãðàììû. ×àñòî òðåáóåòñÿ ñðåäè
âñåõ ïåðåñòàíîâîê âûáðàòü òå, êîòîðûå îáëàäàþò îïðåäåëåííûì ñâîéñòâîì. Íàïðèìåð, ñðåäè àíàãðàìì ñëîâà ÊÎÐÒ, êîòîðûõ âñåãî P4 = 4! = 24,
òîëüêî îäíà, íå ñ÷èòàÿ ñàìîãî ñëîâà ÊÎÐÒ, èìååò ñìûñë â ðóññêîì ÿçûêå —
ÊÐÎÒ.
Ïðèâåäåì ðåêîðäíûé ïðèìåð ïÿòèáóêâåííûõ àíàãðàìì, èìåþùèõ
ñìûñë â ðóññêîì ÿçûêå, ñîäåðæàùèé øåñòü ñëîâ:
ÀÂÒÎÐ – Â[Ô]ÒÎÐÀ – ÎÒÂÀÐ – ÐÂÎÒÀ – ÒÀÂÐÎ – ÒÎÂÀÐ.
Çàìåòèì, ÷òî òóò âñåãî 6 èç 120 àíàãðàìì äëÿ ñëîâà ÀÂÒÎÐ. Ëþáîïûòíî, ÷òî îäíî èç ñëîâ ñ íàèáîëüøèì ÷èñëîì ðàçëè÷íûõ áóêâ, íàéäåííîå ýëåêòðîííîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíîé, ÐÀÇÃÈËÜÄßÉÑÒÂÎ ñîäåðæèò ÷åòûðíàäöàòü áóêâ.
Èçâåñòíà ñòàðèííàÿ ãîëîâîëîìêà, â êîòîðîé íàäî íàéòè íàáîð ñëîâ,
èñïîëüçóþùèé âñå 33 áóêâû àëôàâèòà, ïðè÷åì ïî îäíîìó ðàçó êàæäóþ.
Âîò, íàïðèìåð, íàáîð èç äåâÿòè ñëîâ:
ÁÛÊ, ÂßÇ, ÃÍÎÉ, ÄÈ×Ü, ÏËÞÙ, ÑÚÅÌ, ÖÅÕ, ØÓÐÔ, ÝÒÀÆ.
Íåèçâåñòíî ñóùåñòâóåò ëè íàáîð, ñîñòîÿùèé èç ìåíüøåãî ÷èñëà
ñëîâ. Åñëè ïîä «ñëîâîì-ãîëîâîëîìêîé» ïîíèìàòü ëþáóþ êîìáèíàöèþ èç
33 íå ïîâòîðÿþùèõñÿ áóêâ, òî òîãäà òåîðåòè÷åñêè âîçìîæíî 33! âàðèàíòîâ
ðåøåíèÿ ýòîé ãîëîâîëîìêè. Ýòó ñòàðèííóþ ãîëîâîëîìêó ìîæíî óñëîæíèòü, åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ñëîâà îáðàçîâûâàëè îñìûñëåííóþ ôðàçó.
Çàìåòèì, ÷òî â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ÷èñëî 10!, êîòîðîå ïðèìåðíî
ðàâíî 3,6 ìèëëèîíà, ïî ìíåíèþ àâòîðà òðåõòîìíîãî òðóäà «Èñêóññòâî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ ÝÂÌ» àìåðèêàíñêîãî ìàòåìàòèêà Äîíàëüäà Êíóòà, ÿâëÿåòñÿ «ãðàíèöåé ìåæäó òåì, ÷òî ìîæíî ñîñ÷èòàòü íà êîìïüþòåðå, è òåì, ÷òî íåëüçÿ». Åñëè àëãîðèòì òðåáóåò ïåðåáîðà áîëåå ÷åì 10!
âàðèàíòîâ, òî òàêîé ñ÷åò ìîæåò çàíÿòü ñëèøêîì ìíîãî ìàøèííîãî âðåìåíè, ÷òîáû áûòü ïðàêòè÷åñêè îñóùåñòâèìûì. Ïîýòîìó âàæíî óìåòü
íàõîäèòü òàêèå ñîîáðàæåíèÿ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü ïåðåáîð âàðèàíòîâ.
Èíîãäà áûâàåò íóæíî èç n èìåþùèõñÿ ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ îòîáðàòü ïðîèçâîëüíûå m øòóê (m £ n) è ðàñïîëîæèòü èõ â íåêîòîðîì ïîðÿäêå. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò óïîðÿäî÷åííûõ ðàñïîëîæåíèé ïðè çàäàííûõ ÷èñëàõ n è m?
85

Íàïðèìåð, ïóñòü äàíû ÷åòûðå áóêâû À, Á, Â, Ã. Òðåáóåòñÿ âûäåëèòü
èç íèõ äâå áóêâû è ýòè äâå áóêâû ðàñïîëîæèòü â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå.
Òàêèõ ñïîñîáîâ 12. Äåéñòâèòåëüíî, ïåðâóþ áóêâó ìîæíî âûáðàòü ÷åòûðüìÿ ñïîñîáàìè, à âòîðóþ ïðèäåòñÿ âûáèðàòü èç îñòàâøèõñÿ òðåõ, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó êîìáèíàòîðíîãî ïðèíöèïà óìíîæåíèÿ âñåãî ïîëó÷àåòñÿ 4×3 = 12 ñïîñîáîâ. Çàïèøåì èõ â âèäå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ:
(À, Á),
(Á, À),
(Â, À),
(Ã, À),

(À, Â),
(Á, Â),
(Â, Á),
(Ã, Á),

(À, Ã),
(Á, Ã),
(Â, Ã),
(Ã, Â).

Â êîìáèíàòîðèêå âàæíî íàó÷èòüñÿ ñ÷èòàòü ÷èñëî âàðèàíòîâ âûáîðà, êàê áû âåëèêî îíî íå áûëî. Ïîýòîìó íàäî íà÷èíàòü ñ ïðîñòûõ ìîäåëüíûõ ïðèìåðîâ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ åùå îäíîãî ïðèìåðà, ÷àñòíûé ñëó÷àé êîòîðîãî ñâÿçàí ñ íåé.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàçëîæèòü m
ïðîíóìåðîâàííûõ øàðîâ â n ïðîíóìåðîâàííûõ êîðçèí (m £ n), òàê, ÷òîáû â
êàæäîé êîðçèíå îêàçàëîñü íå áîëüøå îäíîãî øàðà.
Ðåøèì ñíà÷àëà ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòîé çàäà÷è äëÿ n = 4 è m = 2. Ïåðâûé
øàð ìû ìîæåì ïîëîæèòü â ëþáóþ èç ÷åòûðåõ èìåþùèõñÿ êîðçèí, ïîñëå
÷åãî âòîðîé øàð ìîæåò áûòü ðàçìåùåí â ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ òðåõ êîðçèí. Ïîýòîìó ïî êîìáèíàòîðíîìó ïðèíöèïó óìíîæåíèÿ 2 øàðà ìîæíî
ðàçëîæèòü â 4 êîðçèíàõ 4×3 = 12 ñïîñîáàìè. Ïðåäñòàâèì ýòè âàðèàíòû âûáîðà ñ ïîìîùüþ äåðåâà, êàæäàÿ âåòêà êîòîðîãî îêàí÷èâàåòñÿ îäíèì èç
âàðèàíòîâ ðàçìåùåíèÿ, ïîýòîìó òàêîé ãðàô íàçûâàþò åùå äåðåâîì âàðèàíòîâ.
Äëÿ áîëüøåé íàãëÿäíîñòè ìû îáîçíà÷èëè êîðçèíû ïî ïîðÿäêó áóêâàìè À, Á, Â, Ã, à øàðû — ÷èñëàìè 1 è 2. Â âåðøèíû ãðàôà-äåðåâà (ðèñ. 2.2)
ïîìåñòèëè îáîçíà÷åíèÿ êîðçèí ñîîòâåòñòâóþùèìè áóêâàìè À, Á, Â è Ã.
Ýòî ðàññóæäåíèå ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ n è
m ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïåðâûé øàð ìîæåò áûòü ïîëîæåí â ëþáóþ èç n êîðçèí;
âòîðîé øàð ìîæåò áûòü ïîëîæåí â ëþáóþ èç îñòàâøèõñÿ n – 1 êîðçèí;
……………………………………………………………………………..
m-é øàð ìîæåò áûòü ïîëîæåí â ëþáóþ èç îñòàâøèõñÿ n – (m – 1) êîðçèí.
Òàêèì îáðàçîì, âñåãî ïîëó÷àåòñÿ n×(n – 1)× … ×(n – (m – 1)) ñïîñîáîâ.
Îïðåäåëåíèå ðàçìåùåíèÿ. Êîíå÷íûå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà íàçûâàþò ðàçìåùåíèÿìè.
Íàïîìíèì, ÷òî íàñ èíòåðåñóåò ñëåäóþùèé âîïðîñ: ñêîëüêî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ ïî m ýëåìåíòîâ â êàæäîì ìîæíî ïîëó÷èòü èç çàäàííî86

ãî ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùåãî n ýëåìåíòîâ? Ñåé÷àñ ìû ìîæåì çàïèñàòü åå
êîðî÷å: ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçìåùåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî m?
×èñëî âñåâîçìîæíûõ ðàçìåùåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî m îáîçíà÷àþò
ñèìâîëîì Anm (A — ïåðâàÿ áóêâà ôðàíöóçñêîãî ñëîâà arrangement — ðàçìåùåíèå). ×èòàåòñÿ: «×èñëî ðàçìåùåíèé èç ýí ýëåìåíòîâ ïî ýì» èëè «À èç ýí
ïî ýì».
Óòâåðæäåíèå. ×èñëî ðàçìåùåíèé Anm , ãäå m £ n, ìîæíî âû÷èñëèòü ïî
ôîðìóëå:
n!
Anm = n × ( n - 1) × ... × ( n - m + 1) =
( n - m)!
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî èç n ýëåìåíòîâ. Ïåðâîå
ìåñòî â ðàçìåùåíèè, ñîñòîÿùåì èç m ýëåìåíòîâ, ìîæíî çàíÿòü ëþáûì èç n
ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà. Îñòàâøèåñÿ m–1 ìåñò óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà
ìîæíî çàíÿòü íåêîòîðûì ðàçìåùåíèåì èç îñòàâøèõñÿ n–1 ýëåìåíòîâ ïî
m–1 ýëåìåíòîâ. ×èñëî òàêèõ ðàçìåùåíèé ðàâíî Anm--11 (ïî îïðåäåëåíèþ
Anm--11). Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåùåíèå èç n ïî m ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ïàðó, ñîñòîÿùóþ èç îäíîãî ýëåìåíòà, âûáðàííîãî èç n ýëåìåíòîâ çàäàííîãî ìíîæåñòâà, è ðàçìåùåíèÿ èç n–1 ýëåìåíòîâ ïî m–1, îñòàâøèõñÿ ïîñëå
âûáîðà ïåðâîãî ýëåìåíòà. Â ñèëó êîìáèíàòîðíîãî ïðèíöèïà óìíîæåíèÿ
87

÷èñëî âñåõ òàêèõ ïàð èëè ÷èñëî âñåõ ðàçìåùåíèé èç n ïî m ðàâíî n × Anm--11,
ò. å. ìû äîêàçàëè ðàâåíñòâî âèäà
Anm = n × Anm--11 .
Èç ýòîé ôîðìóëû ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷èì:
Anm = n × Anm--11 = n × (n – 1) × Anm--22 =
= n × (n – 1) × (n – 2) × Anm--33 = … = n × (n – 1) × (n – 2)× … ×(n – m + 1).
Íî ïðîèçâåäåíèå m ïîñëåäîâàòåëüíûõ óáûâàþùèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò n
äî n – m + 1 ðàâíî îòíîøåíèþ ôàêòîðèàëîâ ÷èñåë n è n – m, ò. å.
n!
n×(n – 1)×(n – 2)×…×(n – m + 1) =
.
( n - m)!
Ïîýòîìó ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíóþ, èñêîìóþ íàìè ôîðìóëó äëÿ ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê èç n ïî m:
n!
.
Anm =
( n - m)!
Î÷åâèäíî, ÷òî äðîáü, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû, ñîêðàùàåòñÿ è ðàâíà öåëîìó ÷èñëó. Â ÷àñòíîñòè, èç ôîðìóëû ÷èñëà ðàçìåùåíèé
ñëåäóåò:
An1 = n, An2 = n×(n – 1), An3 = n×(n – 1)×(n – 2),
A32 = 3×2 = 6, A43 = 4×3×2 = 24, A54 = 5×4×3×2 = 120.
Åñëè â íàéäåííîé ôîðìóëå äëÿ Anm ïîëîæèòü m = 0, òî ïîëó÷èì, ÷òî
n!
= 1, ïîýòîìó ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî An0 = 1. Ýòî âåðíî, ïîñêîëüAn0 =
( n - 0)!
êó ñóùåñòâóåò òîëüêî îäíî ïóñòîå ìíîæåñòâî Æ è ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
îíî ìîæåò áûòü óïîðÿäî÷åíî îäíèì-åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Êðîìå òîãî,
ýòî ëîãè÷íî: åñòü åäèíñòâåííûé ñïîñîá íå âûáèðàòü íè îäíîãî îáúåêòà èç
n èìåþùèõñÿ — íè÷åãî íå äåëàòü.
Çàìå÷àíèå. Ïåðåñòàíîâêè — ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ðàçìåùåíèé ïðè
m = n, ò. å. Ann = Pn = n!. Êðîìå òîãî, äëÿ m = n–1 â ôîðìóëå äëÿ ÷èñëà ðàçìåùåíèé èìååì Ann-1 = Ann = n!.
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî òîëüêî íà ïåðâûé âçãëÿä óäèâèòåëüíî. Â äåéñòâèòåëüíîñòè, åñëè èç n ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ âûáðàíû n–1 è ðàñïîëîæåíû â íåêîòîðîì ïîðÿäêå, òî íà îñòàâøååñÿ ìåñòî ìîæåò ïðåòåíäîâàòü òîëüêî îäèí îñòàâøèéñÿ ýëåìåíò, êîòîðûé ìîæíî è íå âûáèðàòü, ò. å. äåéñòâèòåëüíî Ann = Ann-1.
88

Ïðèìåð. Ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò â n-áóêâåííîì àëôàâèòå
m-áóêâåííûõ ñëîâ, ñîñòîÿùèõ èç ðàçëè÷íûõ áóêâ. Ïî ôîðìóëå äëÿ ðàçìåùån!
íèé èñêîìîå ÷èñëî ðàâíî Anm =
.
( n - m)!
Â ýòîé ôîðìóëèðîâêå ìû äëÿ êðàòêîñòè ãîâîðèì «n-áóêâåííûé àëôàâèò» âìåñòî ñëîâ «ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå n ýëåìåíòîâ» è «m-áóêâåííîå
ñëîâî» âìåñòî ñëîâ «óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî èç m ýëåìåíòîâ». Êðîìå
òîãî, ñëîâà çäåñü èìåþò èíîé ñìûñë, ÷åì â ôèëîëîãèè, — äîïóñêàþòñÿ, íàïðèìåð, òàêèå «ñëîâà», êàê àáâãä, ò. å. ìû áóäåì èìåòü äåëî ñî «ñëîâàìè» â
íåêîòîðîì ôèêñèðîâàííîì «àëôàâèòå». Íàïðèìåð, â êà÷åñòâå «áóêâ» òàêîãî
àëôàâèòà ìîãóò âûñòóïàòü ÷èñëà, íàïðèìåð, 1, 2, …, n. Óäîáíàÿ àëôàâèòíî-áóêâåííàÿ òåðìèíîëîãèÿ íå ìåíÿåò ñóòè äåëà â êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷àõ,
òàê êàê ýëåìåíòû êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà âñåãäà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü.
Íàïðèìåð, èç 33 áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà ìîæíî ñîñòàâèòü âñåãî
33!
2
A33
=
= 33 × 32 = 1056
( 33 - 2)!
ðàçëè÷íûõ äâóõáóêâåííûõ ñëîâ, íå ñîäåðæàùèõ ïîâòîðåíèé áóêâ.
Ïðèìåð. Ñòóäåíòó íåîáõîäèìî ïåðåñäàòü 3 ýêçàìåíà íà ïðîòÿæåíèè 6 äíåé. Ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî òåîðåòè÷åñêè ñóùåñòâóåò âàðèàíòîâ äëÿ
äíåé ñäà÷è ýòèõ ýêçàìåíîâ.
Èñêîìîå ÷èñëî ñïîñîáîâ ðàâíî ÷èñëó 3-ýëåìåíòíûõ óïîðÿäî÷åííûõ
ïîäìíîæåñòâ, ò. å. äíè ñäà÷è ýêçàìåíîâ, 6-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà. Ïî ôîð6!
ìóëå ÷èñëà ðàçìåùåíèé ýòî ÷èñëî ðàâíî A63 =
= 6 × 5 × 4 = 120.
( 6 - 3)!
Â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ ïî êîìáèíàòîðèêå íå èìååò çíà÷åíèÿ ïîðÿäîê
ðàñïîëîæåíèÿ îáúåêòîâ â òîé èëè èíîé ñîâîêóïíîñòè. Âàæíî ëèøü òî, êàêèå èìåííî ýëåìåíòû åå ñîñòàâëÿþò. Âîò èíòåðåñóþùèé íàñ ñåé÷àñ âîïðîñ: ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü èç n ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ m
øòóê (m £ n)?
Íàïðèìåð, ïóñòü èç ÷åòûðåõ êîðçèí, îáîçíà÷åííûõ áóêâàìè À, Á, Â, Ã
íóæíî âûáðàòü äâå. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü? Ñâÿæåì
ýòîò ïðèìåð ñ ïðèìåðîì, ðàññìîòðåííûì âûøå, à èìåííî âûáðàííûå êîðçèíû áóäåì îòìå÷àòü òåì, ÷òî ïîëîæèì â íèõ øàðû. Òîãäà äåðåâî âàðèàíòîâ, èçîáðàæåííîå íà ðèñ. 2.2, äàåò ïåðâûé øàã ðåøåíèÿ. Îäíàêî ìîæíî
çàìåòèòü, ÷òî êàæäûé âûáîð ïàðû êîðçèí âñòðå÷àåòñÿ â ñïèñêå èç 12 ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåùåíèé äâàæäû, íàïðèìåð, ÀÁ è ÁÀ. Ñåé÷àñ äëÿ íàñ íå
ñóùåñòâåííî, êàêîé øàð, ïåðâûé èëè âòîðîé îêàçàëñÿ â êîðçèíå, èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, â êàêîì ïîðÿäêå îñóùåñòâëÿëñÿ âûáîð êîðçèí. Ïîñêîëüêó â
íàøåì ñëó÷àå ïåðåìåí ìåñò äâóõ âûáðàííûõ êîðçèí, ò. å. ïåðåñòàíîâîê,
âñåãî äâå, òî äâå êîðçèíû èç ÷åòûðåõ ìîæíî âûáðàòü 12:2 = 6 ñïîñîáàìè.
89

Ïðèìåð. Ïóñòü èìååòñÿ äâå ãëàñíûå è òðè ñîãëàñíûå ôîíåìû. Ðàññìîòðèì, ñêîëüêî ìîæíî ïîñòðîèòü ïÿòèôîíåìíûõ «ñëîâ», îòëè÷àþùèõñÿ
äðóã îò äðóãà òîëüêî ðàñïîëîæåíèåì ãëàñíûõ è ñîãëàñíûõ ôîíåì.
Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê âûáîðó, íàïðèìåð, äâóõ ïîçèöèé èç ïÿòè, íà êîòîðûõ ìîãóò íàõîäèòüñÿ ãëàñíûå ôîíåìû. Ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà ÷èñëî òàêèõ ðàçìåùåíèé ðàâíî 4×5 = 20, à òàê êàê íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî, íà êàêèõ ïîçèöèÿõ ðàñïîëîæåíû äâå ãëàñíûå ôîíåìû áåç ó÷åòà èõ ïîðÿäêà, òî îêîí÷àòåëüíî èìååì 20:2 = 10 ïÿòèôîíåìíûõ «ñëîâ».
Îïðåäåëåíèå ñî÷åòàíèÿ. Êîíå÷íûå (íåóïîðÿäî÷åííûå) ìíîæåñòâà
íàçûâàþò ñî÷åòàíèÿìè.
Îòìåòèì, ÷òî ïåðåñòàíîâêè è ðàçìåùåíèÿ — ýòî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, à ñî÷åòàíèå — ýòî íåóïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Ñî÷åòàíèÿ — ýòî
òàêàÿ âûáîðêà ýëåìåíòîâ, ïðè êîòîðîé èõ ïîðÿäîê ñîâåðøåííî íå âàæåí.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, âñå ïîäìíîæåñòâà òðåõáóêâåííîãî ìíîæåñòâà
{À, Á, Â}. Òàêèõ ïîäìíîæåñòâ çàäàííîãî ìíîæåñòâà âñåãî âîñåìü. Ïåðå÷èñëèì èõ: Æ — ïóñòîå ìíîæåñòâî; {À}, {Á}, {Â} — òðè ìíîæåñòâà ïî
1 ýëåìåíòó â êàæäîì; {À, Á}, {À, Â}, {Á, Â} — òðè ìíîæåñòâà ïî 2 ýëåìåíòà
â êàæäîì; ìíîæåñòâî {À, Á, Â}, ñîñòîÿùåå èç 3 ýëåìåíòîâ.
×èñëî âñåâîçìîæíûõ ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî m îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì C nm (Ñ — ïåðâàÿ áóêâà ôðàíöóçñêîãî ñëîâà combinaison — ñî÷åòàíèå).
×èòàåòñÿ: «×èñëî ñî÷åòàíèé èç ýí ýëåìåíòîâ ïî ýì» èëè «Öý èç ýí ïî ýì».
Óòâåðæäåíèå. ×èñëî ñî÷åòàíèé C nm , ãäå m £ n, ìîæíî âû÷èñëèòü ïî
ôîðìóëå
n × ( n - 1) × ... × ( n - m + 1)
n!
C nm =
=
m!
m!( n - m)!
Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì îñíîâûâàòüñÿ íà òîì, ÷òî íàì èçâåñòíî î ïåðåñòàíîâêàõ è ðàçìåùåíèÿõ. Áóäåì äëÿ êðàòêîñòè ïèñàòü «k-ýëåìåíòíîå
ìíîæåñòâî (ïîäìíîæåñòâî)» âìåñòî ñëîâ «ìíîæåñòâî (ïîäìíîæåñòâî), ñîäåðæàùåå k ýëåìåíòîâ». Èç êàæäîãî m-ýëåìåíòíîãî ïîäìíîæåñòâà
(ñî÷åòàíèÿ) n-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà ïîëó÷àåòñÿ Pm óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ, ñîñòîÿùèõ èç òåõ æå ýëåìåíòîâ, èç êîòîðûõ ñîñòîèò âçÿòîå ïîäìíîæåñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî Anm âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ m-ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ n-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà è ÷èñëî C nm âñåõ m-ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ òîãî æå ìíîæåñòâà ñâÿçàíû ðàâåíñòâîì Pm × C nm = Anm , îòêóäà, òàê
êàê Pm = m!, Anm = n × ( n - 1) ×...× ( n - m + 1), èìååì
C nm

Anm n × ( n - 1) ×...× ( n - m + 1)
n!
=
=
=
Pm
m!
m!( n - m)!
90

Дадим другое, непосредственное, доказательство последней
формулы этого равенства. Если из n-элементного множества отобраны m элементов, то их можно занумеровать номерами 1, 2, 3, …, m
всего m! способами. Оставшиеся n–m элементов можно занумеровать
номерами m+1, m+2, …, n всего (n – m)! способами. Кроме того, сам
отбор m элементов из n можно произвести Cnm способами. Таким образом, мы получили m!(n – m)!· Cnm вариантов нумераций полного множества из n элементов, которых всего n!. Поэтому m!(n – m)!· Cnm = n!
или
Cnm =

n!
,
m! (n − m)!

что и требовалось доказать.
Формула числа сочетаний интересна уже тем, что дробь, стоящая в
ее правой части, равна целому числу, т. е. все числа, стоящие в знаменателе, сократятся с числами, стоящими в числителе. В частности, из формулы числа сочетаний следует:
Cn1 = n, Cn2 = n(n −1) , Cn3 = n(n −1)(n − 2) ,
2
6
2
3
4
C3 = 3⋅ 2 =3, C4 = 4 ⋅ 3⋅ 2 =4, C5 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 =5.
2!
3!
4!

Если в этой формуле для сочетаний Cnm положить m = 0, то получим,
n!
что Cn0 =
= 1, поэтому принято считать, что Cn0 = 1. Это ра0! (n − 0)!
венство имеет содержательный смысл, состоящий в том, что есть только один способ не выбирать ни один элемент (или выбрать 0 элементов)
из n-элементного множества. В частности, отметим, что Cnn = 1.
Замечание. Обратим внимание на своеобразную симметричность
формулы для числа сочетаний: если заменить m на m–n, то получится
то же самое выражение, только факториалы в знаменателе поменяются местами:
Cnm = Cnn −m .

Например, пусть в группе из n студентов надо выбрать m студентов
для участия в литературном конкурсе. Выбор m участников конкурса
равносилен выбору n–m студентов группы, не участвующих в конкурсе.
91

Поэтому число способов, которым можно выбрать m человек из n, равно
числу способов, которым можно выбрать n – m человек из n. Это означает, что Cnm = Cnn −m или непосредственно имеем
n!
n!
=
.
m! (n − m)! (n − m)! (n − n + m)!

В частности, C50 = C55 = 1, C51 = C54 = 5, C52 = C53 = 10.
Замечание. Укажем на важную зависимость между сочетаниями
для 0 ≤ m < n, которую называют иногда тождеством Паскаля:
Cnm+1 = Cnm + Cnm −1 .

Например, пусть в группе учится n+1 студентов. Отметим старосту
группы. Разобьем всевозможные подгруппы по m человек на два множества, а именно на те, в которые староста входит, и на те, в которые староста не входит. Посчитаем, сколько подгрупп в первом множестве. Так
как один человек в них зафиксирован, то к нему добавляется разными
способами еще m–1 человек из оставшихся n. Значит в первом множестве Cnm −1 подгрупп. Во втором множестве выбираются подгруппы по m
человек из n человек группы, так как староста не рассматривается. Их
число равно Cnm . Но Cnm+1 — это общее число подгрупп тех, в которые
староста входит, и тех, в которые староста не входит. Следовательно,
n!
n!
Cnm + Cnm −1 = Cnm+1 или, непосредственно,
+
=
m! (n − m)! (m − 1)! (n − m + 1)!
(n + 1)!
=
. В частности, C54 + C53 = C64 , C75 + C74 = C85 , C96 + C95 = C106 .
m! (n − m + 1)!
Числа Cnm возникают в самых разных задачах комбинаторики и теории вероятностей. Например, из тождества Паскаля Cnm+1 + Cnm = Cnm++11
следует, что для всех натуральных чисел n и m, 0 ≤ m < n, справедливо
равенство
Cmm + Cmm+1 + … + Cnm = Cnm++11 .

Для m = 1 это известная формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
1+2+…+n=
92

n(n + 1)
.
2

Замечание. Для любых подмножеств A1, A2, …, Am справедливо общее правило подсчета числа элементов объединения множеств
A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Am, называемое формулой включений и исключений:
n(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Am) = n(A1) + n(A2) + … + n(Am) – n(A1 ∩ A2) –
– n(A1 ∩ A3) – … – n(Am-1 ∩ Am) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3) + n(A1 ∩ A2 ∩ A4) + … +
+ n(Am-2 ∩ Am-1 ∩ Am) + … + (–1)m–1n(A1 ∩ A2 … ∩ Am).
В частности, если n(A1) = n(A2) = … = n(Am) = n1, n(A1 ∩ A2) = … =
= n(Am-1 ∩ Am) = n2, …, n(A1 ∩ A2 … ∩ Am) = nm, то по этому замечанию из
формулы включений и исключений получим, что
n(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Am) =

m

∑ (−1)

k −1 k
Cm

nk .

k =1

Замечание. Отметим еще одно использование числа сочетаний.
Для произвольных чисел a и b и произвольного натурального числа n
справедлива формула бинома Ньютона:
(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an–1b + … + Cnm an–mbm + … + Cnn −1 abn–1 + Cnn bn =
=

n

∑C
k =0

k
n

a n-k b k .

Само название «бином Ньютона» многим знакомо благодаря роману Михаила
Булгакова «Мастер и Маргарита». Небезызвестный Коровьев говаривал: «Подумаешь, бином Ньютона». Он, возможно, имел в виду, что для него это не проблема. Но
что же, собственно, это такое?

Биномом (или в переводе с латыни двучленом) называют сумму
двух слагаемых, например, a + b. Хорошо известна формула для квадратного бинома: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Аналогичная формула для (a + b)n в
случае произвольного натурального n называется биномом Ньютона и
имеет прямое отношение к комбинаторике. Эта формула носит имя английского физика и математика Исаака Ньютона, хотя она была известна
задолго до него, например, в Европе ее знал французский математик и
философ Блез Паскаль. Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел
обобщение этой формулы на случай нецелых показателей. Тем не менее
приведенное выше разложение называют обычно биномом Ньютона, а
коэффициенты Cnm называются биномиальными коэффициентами. На93

пример, если положить в этой формуле n = 3, 4 и 5, то получим следующие разложения:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4,
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.
В частности, если положить в формуле бинома Ньютона a = b = 1,
то получим равенство
Cn0 + Cn1 + Cn2 + … + Cnn = 2n.
Укажем на некоторые следствия из формулы бинома Ньютона:
1. Сумма показателей степени при a и b в любом слагаемом разложения равна n.
2. Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов разложения, равны
m
n−m
между собой, так как Cn = Cn .
3. Биномиальные коэффициенты сначала возрастают, а затем убывают.

Пример. Рассмотрим, сколькими способами из четырех слов быть,
очень, знаменитым, некрасиво можно выбрать три слова, которые
отличаются, по крайней мере, одним словом.
Чтобы определить число интересующих нас вариантов, можно посчитать число сочетаний C43 или C41 . Напомним, что сочетания считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом. Всего
4!
C43 = C41 =
= 4 способами можно выбрать эти три слова:
3! 1!
быть очень знаменитым,
быть очень некрасиво,
быть знаменитым некрасиво,
очень знаменитым некрасиво.
Пример. Посчитаем, сколько карточек лотто-миллион нужно
купить и заполнить, чтобы на них оказались все комбинации по 6 номеров из 49 возможных.
Нужное количество карточек равно числу сочетаний из 49 элементов по 6, т. е. всего их
49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44
49!
C496 =
=
,
6! 43!
6!
а это составляет почти 49 млн карточек. Мораль проста: для реализации
подобной идеи уже надо быть миллионером.
94

Заметим, что если на карточке угадано 5 номеров, то это значит, что
из 6 выпавших номеров могут быть вычеркнуты любые 5 из них, а из остальных 43 номеров — только 1. Поэтому в силу комбинаторного принципа умножения число способов угадать 5 номеров выигрышного тиража равно C65 ⋅ C431 . Точно также карточек с совпавшими 4 номерами теоретически может быть C64 ⋅ C432 .
Большинство задач этого раздела содержит слова сколько. Одна из
причин, по которой мы затрудняемся ответить на вопросы, начинающиеся с этого слова, состоит в отсутствии универсальной схемы, с
помощью которой на них всегда можно было бы точно ответить. В
этом разделе были рассмотрены некоторые общие формулы для подсчета вариантов, использованные при решении отдельных задач.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ
1. Верно ли, что вершины нарисованного на плоскости правильного
пятиугольника можно буквами А, Б, С, Д, Е обозначить 120 способами?
2. Верно ли, что если есть материи шести различных цветов, то
трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины
можно сделать 120 способами?
3. Верно ли, что если 5 ≤ n < 9, то для сочетаний справедливо неравенство Cn5 < Cn4 , если n = 9, то справедливо равенство Cn5 = Cn4 , наконец,
если n > 9, то справедливо неравенство Cn5 > Cn4 ?

2.3. КОМБИНАТОРИКА:
ВЫБОР С ПОВТОРЕНИЯМИ
Одна из особенностей комбинаторики заключается в том, что в ней
исключительно большую роль играет точная формулировка задачи.
Большинство ошибок связано с некорректными постановками задач изза неопределенности формулировок. Когда речь идет о подсчете числа
студентов в группе никакой неопределенности не возникает. Менее определенная ситуация возникает, когда посчитать нужно число вариантов
или способов. Некоторая расплывчатость понятия: «о числе вариантов»
связана с тем, что варианты — это умозрительные понятия и их нельзя
увидеть непосредственно, если нет полного перечня различных вариан95

тов, описанных с помощью математических символов. Рассмотрим следующий вопрос:
Сколькими способами можно распределить три шоколадки между
тремя девушками?
Решение зависит от выбранного способа понимания этой задачи. В
зависимости от этого возможны, например, пять разных ответов на поставленный вопрос, а именно 1, 3, 6, 10, 27.
Один из источников неопределенности заключается в слове «распределить». Пусть, например, все шоколадки одинаковые. Социальносправедливый вариант распределения дает 1 вариант типа (1,1,1), т. е.
когда каждой девушке достается шоколадка. Если все шоколадки отданы
одной девушке, то получим 3 варианта типа (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3). Наконец, если понимать «распределить» в широком смысле, то можно добавить еще 6 вариантов типа (2,1,0), (2,0,1), (1,2,0), (1,0,2), (0,2,1), (0,1,2).
Таким образом, «распределения» дают 10 различных вариантов. Если
дополнительно предположить, что все шоколадки различные, то можно
получить максимальное число «распределения» — 27 вариантов.
Главное правило комбинаторики: прежде чем подсчитывать число различных вариантов, необходимо точно выяснить смысл слов «различные варианты».
Заметим, что если число вариантов не слишком велико, то его можно найти прямым перебором этих вариантов. Сцилла и Харибда комбинаторных подсчетов — не пропустить ни один вариант и ни один из
них не посчитать дважды. Рассмотрим модельную задачу на тему «перестановки с повторениями», которую нельзя непосредственно решить
с помощью формул подсчета вариантов «перестановки без повторений»,
рассмотренных в предыдущем разделе.
Пример. Посчитаем число анаграмм слова БАОБАБ.
Напомним, что комбинаторика позволяет считать словом любую
комбинацию букв. Математики любят сводить новые задачи к уже решенным задачам. Для того чтобы воспользоваться способом подсчета
числа перестановок, применим новый для нас прием растождествления. Он показывает, как можно переходить от одного понятия «различия» к другому. При точном понимании терминов, т. е. при соблюдении
главного правила комбинаторики, можно открыть дополнительные возможности решения комбинаторных задач. Слово растождествление
вряд ли есть в словарях, но оно достаточно точно передает суть дела.
Суть его в том, чтобы рассматривать одинаковые буквы слова как различные, например, с помощью их индексации.
96

После индексации букв слова БАОБАБ, в котором 3 буквы Б, 2 буквы А и 1 буква О, получим 6=3+2+1 различных букв Б1, А1, О1, Б2, А2, Б3.
Из них можно составить P6 = 6! различных 6-буквенных слов, т. е. перестановок из 6 различных букв. Это вспомогательный перечень.
Не трогая остальных букв и меняя местами лишь три буквы Б всеми
возможными способами, а их будет по числу перестановок из трех букв Б1,
Б2, Б3 всего 3!, получим вроде быновые перестановки, но без индексации
букв они будут неразличимы. Поэтому общее число перестановок уменьшится в 3! раз. Аналогичные рассуждения верны и для двух букв А, и лишь
буква О одна. В итоге количество анаграмм слова БАОБАБ, без учета повторов слов, пересчитанных с помощью комбинаторного принципа умно6!
жения, окажется равным числу
= 60. Чтобы не нарушать единообра3! 2!
зия поделим указанное выражение на 1! = 1, соответствующее числу перестановок одной буквы О в указанных анаграммах, поскольку полученное
6!
число анаграмм принято записывать в общем виде
= 60.
3! 2! 1!
Для того чтобы частный случай подсчета анаграмм не стал, как сказал бы Козьма Прутков «пустою забавою», рассмотрим эту задачу в более общей постановке.
Определение перестановок с повторениями. Слова, составленные
из n букв, которые можно получить из повторяющихся n1 букв а1, n2
букв а2, …, nk букв аk , где n1 + n2 + … + nk = n, называют перестановками с повторениями.
Число всевозможных перестановок с повторениями, а именно выборов n объектов с n1, n2, …, nk повторяющимися элементами, где
n1 + n2 + … + nk = n, обозначают P n ,n ,...,n . С помощью горизонтальной
черты над буквой P отличают случай с повторениями от обычных перестановок. Читается: «Число перестановок с повторениями из эн-один,
эн-два и т. д. до эн-ка» или «Пэ с чертой из эн-один, эн-два и до эн-ка».
1

2

k

Утверждение. Число перестановок с повторениями P n ,n ,...,n , где
n1 + n2 + … + nk = n, можно вычислить по формуле
1

P n ,n ,...,n =
1

2

k

2

k

(n1 + n2 + ... + n k )!
n!
=
n1! n2! ... nk !
n1! n2! ... nk !

Доказательство. Воспользуемся рассуждением, проведенным выше с использованием приема растождествления, который переносится
на общий случай практически без изменений. Сначала предположим, что
97

все n объектов различны. Если это так, то имеется n! способов переставить или упорядочить его элементы. Заметим, что ni объектов для каждого i =1, 2, …, k является неразличимыми. Поэтому и способы расположения таких объектов, при которых остальные объекты остаются на своих
местах, неразличимы. Поскольку имеется всего ni! для каждого
i =1, 2, …, k таких расположений, то для нахождения общего количества
различных перестановок с повторениями, когда все ni объектов для каждого i являются неразличимыми, необходимо n! разделить на ni! для
каждого i =1, 2, …, k. В результате получим следующее число:
n!
, где n = n1 + n2 + … + nk ,
n1! n2! ... nk !
что и требовалось доказать.
В частности, из доказанного утверждения следует, что эта дробь
всегда является целым числом. С помощью формулы числа перестановок
с повторениями число анаграмм слова БАОБАБ, подсчитанное выше,
6!
можно записать в виде P 3,2,1 =
= 60. Другой пример: число ана3! 2! 1!
грамм слова ФИЛОЛОГИЯ, составленного из 9 букв, а именно 1-й буквы
Ф, 2 букв И, 2 букв Л, 2 букв О, 1-й буквы Г и 1-й буквы Я, равно
9!
P 1,2,2,2,1,1 =
= 45 360.
1! 2! 2! 2! 1! 1!
Заметим также, что в силу принятого соглашения 0! = 1 в формуле
числа перестановок с повторениями P n1 ,n2 ,...,nk , где n1 + n2 + … + nk = n,
некоторые ni ≥ 0 могут быть равны 0. Например, если n1 = 3, n2 = 0, n3 = 2,
5!
= 10.
то n = 3 + 0 + 2 = 5 и P 3,0,2 =
3! 0! 2!
Пример. Предположим, что, не поверив Соловью, горе-музыканты
из «Квартета» решили создать вместо квартета камерный оркестр.
Для этого Мартышка привела с собой еще трех таких же Мартышек,
Осёл — еще двух Ослов, а Козёл — еще одного Козла и лишь Мишка поленился и остался в одиночестве. Рассмотрим, сколькими способами
можно рассадить их в один ряд.
Музыкантов стало 4 + 3 + 2 + 1 = 10, из них 4 Мартышки, 3 Осла,
2 Козла и 1 Мишка. Полагая n1 = 4, n2 = 3, n3 = 2, n4 = 1 и n = 10, по формуле для числа перестановок с повторениями получим
10!
5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
P 4,3,2,1 =
=
= 4·5·7·9·10 = 12 600.
4! 3! 2! 1!
3! 2!
Вариантов много, но заиграет ли когда-нибудь такой оркестр?
98

Замечание. Формула для числа перестановок с повторением как
частный случай содержит формулу для числа обычных перестановок
(при k=n) и формулу для числа сочетаний (при k=2): P m,n −m = C nm .
Действительно, если k = n, то тогда n1 = 1, n2 = 1, …, nn = 1 и
n!
n1 + n2 + … + nn = n, а P 1,1,…,1 =
= n! = Pn , т. е. обычные переста1! 1! ... 1!
новки Pn — это частный случай перестановок с повторениями P n ,n ,...,n
для n1 = n2 = … = nn = 1. Если k = 2, то n1 + n2 = n или n2 = n – n1, тогда по
n!
определению P n ,n и Cnn имеем, P n ,n = P n ,n −n =
= Cnn . Таким
n1! (n−n1 )!
образом, мы показали, что если положить n1 = m, то последнее равенство
примет более естественный для формулы числа сочетаний вид:
n!
P m,n −m =
= C nm .
m! (n − m)!
1

1

1

2

2

n

1

1

2

1

1

Замечание. Число перестановок с повторяющимися m и n–m объектами, т. е. P m,n −m , равно числу сочетаний C nm .
Пример. Докажем формулу бинома Ньютона воспользовавшись
последним замечанием.
Запишем (a + b)n в виде произведения n сомножителей (a + b):
(a + b)n = (a + b) ⋅ (a + b) ⋅ K ⋅ (a + b).
14444
4244444
3
n раз

Теперь раскроем скобки, выписывая множители в порядке их появления, а именно (a + b)2 запишем в виде
(a + b)2 = (a + b)⋅(a + b) = aa + ab + ba + bb,
а выражение (a + b)3 запишем в виде
(a + b)3 = (a + b)⋅(a + b)⋅(a + b) = aaa + aab + aba + baa + abb + bab + bba + bbb.
Продолжая подобным образом, получим (a + b)n в виде представления n
сомножителей, т. е. (a + b)⋅(a + b)⋅ … ⋅(a + b), в правой части которого
будут всевозможные перестановки с повторениями, составленные из n
букв с повторяющимися буквами a и b. Чтобы привести подобные члены, достаточно посчитать число перестановок с повторениями, имеющих фиксированный набор букв a и b, т. е. число анаграмм слов, составленных из фиксированного набора букв a и b. По последнему замечанию число перестановок с повторениями P m,n−m = Cnm , поэтому слагае99

мое an–mbm входит в правую часть с коэффициентом Cnm . Таким образом,
получаем искомую формулу бинома Ньютона:
(a + b)n = P 0,n an + P1,n−1 an–1b +…+ P m,n−m an–mbm +…+ P n−1,1 abn–1+ P n,0 bn =
= Cn0 an + Cn1 an–1b + … + Cnm an–mbm + … + Cnn −1 abn–1 + Cnn bn.
Заметим, что, делая повторяющиеся объекты неразличимыми, мы
игнорируем их порядок, как это было в сочетаниях, поэтому можно получить аналог равенства для перестановок с повторениями и сочетаний в
общем случае. Обозначим символом Cnn1 ,n2 ,...,nk , где n1 + n2 + … + nk = n,
n

n

n

произведения следующих k сочетаний Cn 1 , Cn−2 n1 , …, Cn−k n 1 −...− nk −1 , т. е.
def

Cnn1 ,n2 ,...,nk = Cnn1 · Cnn−2 n1 · … · Cnn−k n 1 −...−nk −1 .

Замечание. Для формулы числа перестановок с повторениями
P n1 ,n2 ,...,nk справедливо равенство
P n1 ,n2 ,...,nk = Cnn1 ,n2 ,...,nk .

Действительно, пусть имеется совокупность из n объектов, в которую входит n1 неразличимых объектов 1-го типа, n2 неразличимых объектов 2-го типа и вообще ni неразличимых объектов i-го типа для
i =1, 2, …, k. Рассмотрим, как можно заполнить n мест объектами заданной совокупности. Существует Cnn1 способов выбрать места для n1 неразличимых объектов 1-го типа. Если эти все места выбраны, то для заполнения остается n–n1 мест, поэтому имеется Cnn−2 n1 способов выбрать
места для n2 неразличимых объектов 2-го типа. Если места для объектов
1-го и 2-го типов выбраны, то для заполнения останется n–n1–n2 мест,
поэтому объекты 3-го типа можно разместить Cnn−3 n1 − n2 способами.
Рассуждая аналогичным образом и используя комбинаторный
принцип умножения, получим
Cnn1 · Cnn−2 n1 · Cnn−3 n1 − n2 · … · Cnn−k n 1 −...−nk −1 =

=

(n − n1 )!
(n − n1 − n 2 )!
n!
…
n1 ! (n − n1 )! n2 !(n − n1 − n2 )! n3 !(n − n1 − n2 − n3 )!
(n − n1 − n 2 −... − nk −1 )!
n!
=
,
...
n
n
!
nk !(n − n1 − n2 − ... − nk )!
1
2 ! ... nk !

а это и есть число способов перестановок с повторениями.
100

Это удивительно: хотя мы не рассматривали никаких перестановок, тем не
менее выведена формула, повторяющая формулу для числа перестановок с повторениями. Дело в том, что поставленную задачу о подсчете вариантов можно трактовать
двояко. Например, попытаемся ответить на следующий вопрос: сколькими способами
n студентов можно распределить по k мероприятиям так, чтобы на первом мероприятии оказалось n1 студентов, на втором — n2 студентов и т. д., где
n1 + n2 + … + nk = n ? С одной стороны, мы распределяем отличающихся друг от друга студентов по разным мероприятиям. В этой трактовке задачи получаются сочетания. С другой стороны, если бы мы распределяли среди студентов, например, n билетов на k мероприятий, причем сами билеты были бы неотличимы друг от друга, то в
такой интерпретации задачи получаются перестановки с повторениями билетов на
одно и то же мероприятие, предназначенных для n студентов.

Анаграммы, т. е. комбинации фиксированного числа букв, естественно возникают при получении формул n-й степени суммы трех и
большего числа слагаемых. Приведенное доказательство для формулы
бинома Ньютона без изменений переносится на несколько слагаемых.
Рассуждая точно также, получим
(a1 + a2 + … + ak)n =

∑ Pn n

1 , 2 ,..., nk

a1n a2n ... akn ,
1

k

2

где суммирование распространено на все наборы (n1, n2, …, nk), для которых n1 + n2 + … + nk = n и n1 ≥ 0, n2 ≥ 0, …, nk ≥ 0.
Замечание. Коэффициент при a1n a2n ... akn , получающийся при
возведении в n-ю степень суммы из k слагаемых a1+a2+…+ak (здесь
n = n1 + n2 + … + nk и ni ≥ 0, для i =1, 2, …, k), равен числу анаграмм слоn!
.
ва из n1 букв a1, n2 букв a2, …, nk букв ak , т. е. P n ,n ,...,n =
n1! n2! ... nk !
1

2

k

1

2

k

Следует иметь в виду, что если некоторое число ni = 0, то тогда
= ai0 = 1 , т. е. буква ai в соответствующем одночлене отсутствует, и,
кроме того, напомним, что ni! = 0! = 1 в формуле для коэффициента при
таком одночлене.
Например, если для n = 3, k = 3 аккуратно перемножить (a + b + c)
три раза на себя получится формула вида
aini

(a + b + c)3 = (a + b + c)⋅(a + b + c)⋅(a + b + c) =
= a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc.
Коэффициенты 1, 3 и 6 — это известные нам количества анаграмм.
Напомним, что одночленом называется произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых есть либо число, либо буква,
либо степень буквы. Одночлен a3 получается только одним способом
P 3,0,0 = 3!/(3!0!0!) = 1, аналогично b3 — P 0,3,0 = 3!/(0!3!0!) = 1 и c3 —
P 0,0,3 = 3!/(0!0!3!) = 1. Одночлену a2b соответствуют aab, aba, baa, т. е.
101

анаграммы слова из двух букв a и одной буквы b, их количество равно
P 2,1,0 = 3!/(2!1!0!) = 3. Для других одночленов подобного вида получим
такой же коэффициент, например, для b2c — это P 0,2,1 = 3!/(0!2!1!) = 3.
Наконец, коэффициент при одночлене abc равен P 1,1,1 = 3!/(1!1!1!) = 6,
т. е. числу анаграмм слова из трех букв a, b, c.
Аналогичная формула получится и для куба суммы большего числа
слагаемых, например, если n = 3 и k = 5, то
(a + b + c + d + e)3 = (a3 + … ) + 3(a2b + … ) + 6(abc + … ),
где многоточием в каждой скобке обозначены одночлены, получаемые
из первого, записанного в скобке, всевозможными заменами из имеющихся пяти букв.
Пример. Посчитаем, сколько одночленов будет в каждой скобке
правой части равенства:
(a + b + c + d + e)3 = (a3 +…+ e3) + 3(a2b +…+ e2d) + 6(abc +…+ edc).
Эта задача тоже сводится к подсчету перестановок с повторениями.
Выпишем в строчку все 5 букв: abcde и под каждой буквой будем писать
показатель, с которым она входит в соответствующий одночлен, а если
она не входит в одночлен, то будем писать показатель 0. Тогда каждому
одночлену в скобке (a3 +…+ e3) соответствует «слово из 5 чисел»: одной
3 и четырех 0, поэтому в этой скобке будет столько же одночленов,
сколько анаграмм слова «30 000», т. е. 5!/(1!4!) = 5. Каждому одночлену
в скобке (a2b +…+ e2d) соответствует «слово из 5 чисел»: одной 2, одной
1 и трех 0, поэтому их общее количество равно числу анаграмм слова
«21 000», т. е. 5!/(1!1!3!) = 20. Наконец, каждому одночлену в скобке
(abc +…+ edc) соответствует «слово из 5 чисел»: трех 1 и двух 0, поэтому
их число равно количеству анаграмм слова «11 100», т. е. 5!/(3!2!) = 10.
Для проверки этих подсчетов положим a = b = c = d = e = 1. Тогда в
правой части равенства получим число 53=125, а в левой части с учетом
найденного количества одночленов получим число 5 + 3·20 + 6·10 = 125,
что подтверждает правильность наших рассуждений.
***
Что можно сказать о словосочетании: математика и поэзия? «Стих только тогда убедителен , когда проверен математической (или музыкальной, что то
же) формулой. Проверять буду не я», — писала Марина Цветаева. Одним из самых заметных элементов стиха, его средством организации и средством фонетического украшения является рифма. Ей посвящено одно из стихотворений Александра Сергеевича Пушкина:

102

Рифма, звучная подруга
Вдохновенного досуга,
Вдохновенного труда…
Рифма — звуковые повторы, несущие организующую функцию в композиции
стихотворения, т. е. это звукосочетание, как правило, включающее в себя ударный
слог, систематически повторяющийся на определенном месте стиха, обычно на конце. Концевое созвучие — это самый простой из множества способов связывать строки. Рифма — явление историческое, органически связанное с природой языка и литературной традицией. Рифмующиеся строки могут сочетаться между собой различным образом.
Вопрос: Сколькими способами могут сочетаться между собой рифмующиеся
строчки катрена с двумя парами рифм?
Катрены — это четверостишия. Рифмующиеся строчки принято обозначать
одинаковыми буквами алфавита. Пусть одна пара рифмующихся строк обозначена
aa, а другая bb. Заметим, что поскольку буквы a и b равноправны, то достаточно рассмотреть четырехбуквенные «слова», составленные из двух букв a и двух букв b, начинающиеся на букву a. Так как первая буква во всех интересующих нас «словах» a,
то ее можно в комбинаторном выборе не рассматривать, поэтому задача свелась к
подсчету числа перестановок с повторениями 1-й буквы a и 2 букв b, т. е. это
3!
P 1,2 =
= 3, а именно: abb, bab и bba. Им отвечают следующие способы рифмовки:
1! 2!
смежная рифмовка — схема сочетания рифм aabb,
перекрестная рифмовка — схема сочетания рифм abab,
опоясывающая рифмовка — схема сочетания рифм abba.

Комбинирование смежной, перекрестной и опоясывающей рифмовок приводило к выработке более сложных конфигураций. Стихотворный текст, рассчитанный на
запоминание, достигает этой цели тем, что делит речь на определенные, легко охватываемые сознанием, части. Это членение подчеркивается графически. Низшей смысловой единицей стихотворной речи является стих — объединение слогов в слова и
объединения слов в промодулированные строками высказывания. Стих печатается
отдельной строкой. Стихи объединяются в замкнутую группу высшего единства, образуя строфу, графически выделенную пробелом.
Основные признаки строфы — это интонационно-синтаксическая завершенность и определенное чередование рифмующихся стихов. Строение строфы могут
определять и другие признаки. Первый из них — упорядоченное чередование клаузул, т. е. ритмических окончаний. Клаузулы различают по месту ударения. Окончания
с ударением на последнем слоге называются мужскими и обозначают строчными
буквами (a, b, c, …), а с ударением на предпоследнем слоге — женскими и обозначают прописными буквами (A, B, C, …). Так как в стихах с рифмами созвучны чаще
всего клаузулы, то именно поэтому употребляют термины мужская рифма, женская
рифма и т. д.
Вопрос: Сколько упорядоченных чередований клаузул допустимо по правилу
альтернанса в катрене с парой мужских и женских рифм?

103

Правило альтернанса (от французского слова alternance — чередование) запрещает ставить рядом нерифмующиеся слова с однотипными клаузами. Например,
при перекрестной рифмовке допускались схемы AbAb или aBaB, но не abab или
ABAB. Чтобы учесть правило альтернанса, обозначим мужскую пару рифм aa, а женскую через AA. Задача свелась к подсчету числа перестановок с повторениями 2 букв
4!
a и 2 букв A, т. е. это P 2,2 =
= 6, а именно:
2! 2!
aaAA, AAaa — смежная рифмовка,
aAaA, AaAa — перекрестная рифмовка,
aAAa, AaaA — опоясывающая рифмовка.

Заметим, что по правилу альтернанса не допустимы схемы, рифмовки aabb и
AABB, abab и ABAB, abba и ABBA. Главное свойство стихотворной речи, отличающее
ее от прозы, — это ритмичность, т. е. повторяемость, создаваемая упорядоченным
расположением звуков речи. Можно ли говорить о математической теории стихосложения ? Ведь научное изучение ритмики стихотворения относится к его внутреннему смыслу, как лингвистический анализ текста математической статьи к оценке
ее истинности и содержательности. Тем не менее современному филологу, даже не
знающему основ высшей математики, трудно отказаться от веры в «кредитоспособность» науки, основанной на строгом знании.
Благодаря таланту и мастерству поэта иногда кажется, что речь в строфе льется,
совершено непринужденно, не скованная никакими рамками. Особым характером
отличаются строфы, состоящие из нечетного количества стихов. Они несимметричны, это «беспокойные» строфы. Самые распространенные среди них — пятистишия
с удвоенным третьим или четвертым стихом, создающие впечатление неожиданного
нарушения равновесия.
Вопрос: Сколькими способами могут сочетаться строчки пятистишия с двумя и тремя рифмующимися стихами?

Пусть одна пара рифмующихся строк обозначена aa, а три другие рифмующиеся строки — bbb. Задача сводится к подсчету числа перестановок с повторениями
5!
P 2,3 =
= 10, а именно:
2! 3!
aabbb, ababb, abbab, abbba,
baabb, babab, babba,
bbaab, bbaba,
bbbaa.
Самые распространенные среди пятистиший: ababb и babba. Заметим, что хотя смежная тройная рифмовка, bbb, появилась три века назад, в целом нечетность
стихов в строфе в русском стихосложении не успела сложиться в систему.
Возвращаясь к вопросу о «математической теории стихосложения», обратим
внимание на статью Б. Г. Каца «О программе, сочиняющей стихи», в которой на основе информации о мужской и женской рифме, количества слогов в соответствующей строке стихотворения, метрического и грамматического анализа стиха предлага-

104

ется некоторый алгоритм «сочинения» стихов с помощью компьютера. Целью этой
работы было желание «узнать, какие минимальные средства позволяют добиться
иллюстрации осмысленного стихосложения»8. Оказалось, что такой иллюзии можно
добиться «очень малыми средствами». Компьютер, игнорируя семантику, сочинял,
например, такие стихи:
Добрый воздух равнодушный
Добрый мир иной ненужный
Вновь печальна реет радость
Только в опьяненьи сладость.

Помимо обычных размещений бывают и размещения с повторениями точно так же, как и перестановки с повторениями. Рассмотрим
модельную задачу на тему: «размещения с повторениями», решение которой отличается от способов подсчета вариантов «размещений без
повторений», рассмотренных в предыдущем разделе.
Пример. Посчитаем число двухбуквенных слов, составленных из
алфавита, содержащего три буквы: А, Б и В.
На первое место мы можем поставить любую из трех букв А, Б, В,
независимо от этого на второе место опять можно поставить любую из
трех букв А, Б, В, откуда получается 3·3 = 9 вариантов двухбуквенных
слов:
АА, АБ, АВ, БА, ББ, БВ, ВА, ВБ, ВВ.
Если алфавит содержит n букв, например, {a1, a2, …, an}, то тогда
можно составить n·n = n2 двухбуквенных слов.
Действительно, каждое двухбуквенное слово представляет собой
пару (ai, aj) из двух элементов ai, aj ∈{a1, a2, …, an}, поэтому по комбинаторному принципу умножения число таких двухбуквенных слов n2.
Далее из алфавита {a1, а2, …, an} можно составить n3 трехбуквенных
слов, поскольку каждому из n2 двухбуквенных слов можно приписать на
третьем месте любую из n букв заданного алфавита, т. е. по комбинаторному принципу умножения получается n2·n = n3 трехбуквенных слов.
Определение размещений с повторениями. Слова, составленные
из k букв, которые можно получить из повторяющихся n букв, называют размещениями с повторениями.
Число всевозможных размещений с повторениями, а именно выборов
k объектов из повторяющихся n элементов, обозначают символом Ank .
8

Кац Б. Г. О программе, сочиняющей стихи // Автоматика и телемеханика. —
1978. — № 2. — С. 151.

105

С помощью горизонтальной черты над буквой A отличают случай с повторениями от обычных размещений. Читается: «Число размещений с
повторениями из эн по ка» или «A с чертой из эн по ка». Первое название излишне длинное и «торжественное», но в ясности ему не откажешь.
Утверждение. Число размещений с повторениями Ank можно вычислить по формуле:
Ank = n k

Доказательство. Если имеется k упорядоченных мест, для каждого
из которых можно выбрать любой из n объектов, то по комбинаторному
принципу умножения существует nk способов выбора объектов. Таким
образом, число перестановок с повторением, когда k объектов выбираются из n объектов, равно nk, что и требовалось доказать.
В частности, с помощью формулы числа размещений с повторениями, подсчитанное выше число двухбуквенных слов, составленных из
трех букв алфавита {А, Б, В}, можно записать в виде A32 = 32 = 9. При
этом мы, по-прежнему, не обращаем внимания на семантическую значимость этих «слов».
Отличие между размещениями с повторениями и размещениями
без повторений можно пояснить следующим образом. Допустим, у нас
имеется набор «образцов» букв, входящих в выбранный алфавит. При
использовании какой-нибудь буквы мы изготавливаем ее копию, поэтому можно считать, что каждая буква при наборе слова может быть использована во многих экземплярах. Тогда слова получаются с возможными повторениями букв, т. е. получаются размещения с повторениями.
Если каждый элемент алфавита имеется лишь в единственном числе, то
тогда повторно использовать его в наборе слова нельзя. Это уже случай
размещения без повторений или «обычного» размещения.
Пример. Посчитаем, сколько k-буквенных слов, содержащих хотя
бы одну букву А, существует в русском алфавите.
Всего k-буквенных слов в русском алфавите, содержащем 33 буквы,
включая ё, й, ъ, ь, согласно формуле числа размещений с повторениями,
равно числу A33k = 33k. Попробуем подсчитать, сколько среди них нужных, т. е. содержащих букву А. На 1-м, 2-м, …, (k–1)-м месте могут стоять любые из 33 букв, независимо от того, какие буквы стояли на предыдущих местах. На последнем шаге возникает альтернатива: если среди
106

предыдущих букв была буква А, то для k-го места имеем 33 варианта, а
если нет, то всего 1 вариант — буква А.
Можно выбрать прямой, но трудный способ подсчета нужных объектов. Например, разбить нужные слова на k типов: содержащих ровно
одну букву А, ровно две буквы А и т. д. до содержащих ровно k букв А.
Затем попытаться подсчитать число слов каждого типа и после этого
сложить полученные результаты. Опишем другой способ. Когда в условии задачи есть выражение «хотя бы один», часто удобно перейти к
дополнению искомого множества вариантов, где таких вариантов нет.
Переход к дополнительному множеству вариантов в этом примере
дает компактный ответ почти что сразу. В нашем примере — это всевозможные k-буквенные слова в алфавите, содержащем 32 буквы, кроме буквы А, число которых равно A32k = 32k. Поэтому число k-буквенных слов
равно A33k – A32k = 33k – 32k.
К сожалению, довольно часто ни множество нужных объектов, ни
дополнительное к нему множество не обладают простой структурой.
Сейчас у нас уже есть возможность дать более содержательный
комментарий парадоксу Берри, рассмотренному в разделе 1.1. Хорошо
известно, что некоторые фразы служат определениями натуральных чисел, например: «десять в степени десять в степени десять», «наименьшее простое число, больше миллиона». Заметим, что в русском языке
33 буквы, а предложений, состоящих не более чем из ста букв, конечное
число, которое с помощью формулы числа размещений с повторениями
можно оценить как не превосходящее A33100 = 33100. Поскольку натуральных чисел бесконечно много, то среди них должны быть такие, которые
нельзя описать (определить) с помощью «фразы, состоящей менее чем
из ста букв». Тогда есть и наименьшее такое число. Его можно определить с помощью следующей фразы:
«Наименьшее натуральное число, которое нельзя определить предложением русского языка, содержащим менее ста букв».
Это предложение содержит 96 букв. Это и есть знаменитый парадокс Берри, поскольку предыдущая фраза противоречит самой себе. Несмотря на то что, казалось бы, рассуждение из парадокса Берри явно нематематическое, подобного рода конструкции встречались и в теории
множеств. В частности, подобная идея лежит в основе знаменитой теоремы Гёделя о неполноте любой достаточно сильной непротиворечивой
формальной теории, содержащей арифметику.
107

Замечание. Обратим внимание на то, что в формуле числа размещений с повторениями Ank = nk допустим случай, когда k > n.
Например, число размещений с повторениями четырехбуквенных
слов, составленных из алфавита, содержащего всего две буквы А и М,
равно A24 = 24 = 16. Среди этих размещений с повторениями есть, например, слова: АААА, АААМ, АММА, МАМА, МААМ, МААА, ММММ.
Пример. Шестизначный велосипедный номер считается «счастливым», если в нем нет ни одной цифры 8, поскольку «восьмерка» —
один из дефектов велосипедного колеса. Посчитаем, каких номеров
больше «счастливых» или «несчастливых».
На первый взгляд кажется, что поскольку 8 — это лишь одна цифра
из десяти возможных, то счастливых номеров должно быть в несколько
раз больше. Счастливый номер — это шестибуквенное слово в «алфавите, содержащем девять цифр», т. е. все цифры, кроме восьмерки:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Число таких «слов», по формуле числа размещений
с повторениями, равно A96 = 96 = 531441. Если отбросить слово «000000»,
непригодное в качестве велосипедного номера, то счастливых номеров
будет 531440. Всего шестизначных номеров, за вычетом непригодного,
равно A106 – 1 = 1 000 000 – 1 = 999 999. Поэтому несчастливых номеров
999 999 – 531 440 = 468 559, т. е. ненамного меньше, чем счастливых.
Любопытно то, что если бы номера были бы семизначными, то тогда счастливых номеров было бы меньше, чем несчастливых.
Напомним, что перестановки — частный случай размещений и
формула для числа перестановок — частный случай формулы для числа
размещений. А как обстоит дело для перестановок и размещений с повторениями? Являются ли перестановки с повторениями частным случаем размещений с повторениями?
Замечание. Формула для числа перестановок с повторениями не является частным случаем формулы для числа размещений с повторениями.
Разберем в чем тут дело. Когда речь идет о повторениях в упорядоченном или неупорядоченном наборе объектов, то возможны две противоположные ситуации:
а) каждый объект должен повторяться в наборе строго заданное
число раз;
б) нет никаких ограничений на число повторений объектов, кроме
общего их числа в наборе.
108

В этом отличие перестановок с повторениями и размещений с повторениями. Объединяет их другое — это упорядоченные наборы. Отметим, что для неупорядоченных наборов ситуация с фиксированным
набором каждого объекта бессодержательна, поскольку в таком случае это один вариант.
***
Мы воспринимаем поэзию не только «поверяя алгеброй», но и всей своей духовной сущностью. «Надо всегда помнить, что русская поэзия, как и русская музыка, есть самое высшее достижение нашей культуры», — писал Дмитрий Лихачев.
Среди поэтических размеров по количеству стихов, им написанных, лидирует четырехстопный ямб. Этому стихотворному размеру посвящено специальное стихотворение Владислава Ходасевича:
Не ямбом ли четырехстопным,
Заветным ямбом, допотопным,
О чем, как не о нем самом —
О благодатном ямбе том?
Античный метрический стих строился на упорядоченном чередовании долгих
и кратких слогов. Напомним, что слог — это «согласная + гласная», либо «гласная +
согласная», либо «согласная + гласная + согласная», либо «одна гласная», например,
«а + та + ман». Комбинации долгих и кратных слогов назывались стопами и каждая
стопа имела свое название. В стихосложении, введенном М. В. Ломоносовым, как и в
античном метрическом стихе, каждый стих состоит из повторяющихся однообразных
«стоп». Каждая стопа состоит из одного ударного и одного или двух безударных
слогов. Порядок слогов в стопе играет существенную роль. Слова могут иметь разное количество слогов, а стопы всегда одинаковы, поэтому стопа не является реальной словесной единицей — это чисто ритмическое понятие. Теперь принято делить
стих на сильные слоги, на которых стоят метрические ударения, слышимые при
скандировке, и на слабые слоги. Реальные словесные ударения стоят на сильных слогах, но не обязательно на всех, только последний сильный слог всегда ударен.
Названия стоп были по аналогии заимствованы из античного греческого стиха.
Если условно обозначить сильный слог знаком « – » , а слабый слог знаком « ∪ », то в
двусложных размерах стопа с первым ударным слогом называется хореем (графически можно обозначить « – ∪ »), а со вторым сильным — ямбом (графическое обозначение « ∪ – »). Это определение недостаточно точно, так как довольно часто на
месте, где должен стоять сильный слог, оказывается слабый.
Вопрос: Сколько комбинаций ритмических форм с реальными ударениями теоретически возможно в четырехстопном ямбе?

Говоря здесь о реальном ударении, мы имеем в виду не искусственное скандирование стиха, а ударность слога в соответствии с нормальным для русского языка
внестиховым произношениям. Заметим, что последний слог в ямбе всегда ударен,
т. е. графически общая схема четырехстопного ямба имеет вид ∪ – ∪ – ∪ – ∪ –′, где
знаком « –′ » обозначено ударение на сильном слоге. Таким образом, только на трех

109

оставшихся сильных слогах может стоять или не стоять реальное ударение. Поэтому
задача свелась к подсчету числа размещений с повторениями A2 = 23 = 8, а именно:
3

∪ –′ ∪ –′ ∪ –′ ∪ –′,
∪ – ∪ –′ ∪ –′ ∪ –′,
∪ –′ ∪ – ∪ –′ ∪ –′,
∪ –′ ∪ –′ ∪ – ∪ –′,

∪ – ∪ – ∪ –′ ∪ –′,
∪ – ∪ –′ ∪ – ∪ –′,
∪ –′ ∪ – ∪ – ∪ –′,
∪ – ∪ – ∪ – ∪ –′.

Среди этих восьми ритмических форм практически употребляются шесть, редчайшая ∪ – ∪ – ∪ –′ ∪ –′ и неупотребительна ∪ – ∪ – ∪ – ∪ –′. Например, «Евгений
Онегин» написан четырехстопным ямбом:
Мой д'ядя с'амых ч'естных пр'авил,
Когд'а не в ш'утку занем'ог…

(∪ –′ ∪ –′ ∪ –′ ∪ –′)
(∪ –′ ∪ –′ ∪ – ∪ –′)

Однако главный герой этого романа так и не научился различать стихотворные
размеры: «Не мог он ямба от хорея, Как мы ни бились, отличить». Первые теоретические исследования четырехстопного ямба с применением математических методов
принадлежат известному поэту и теоретику символизма Андрею Белому. Он изучал
математику в Московском университете, где читал лекции его отец, известный профессор математики Н. В. Бугаев. В стихах он сумел интуитивно воплотить то, что
доказывали комбинаторные формулы: возможно, такое ритмическое разнообразие форм ямба, которого не было ни в стихах поэтов пушкинской поры, ни в стихах
его современников.
Современные филологи поколебали представление о том, что сильный слог в
ямбе «преимущественно» ударный. Можно лишь сказать, как отмечает стиховед
М. И. Шапир, что «ударения неодносложных слов в ямбической строке падают на
четные слоги»9. Четырехстопный ямб заверен классиками, но так ли сильны были его
позиции в прошлом веке? В «Очерках истории русского стиха» академик
М. Л. Гаспаров утверждает, что во второй половине XX века пятистопный ямб теснил четырехстопный, а «передовитость» русского стиха того времени определялась
долей неклассических стихотворных размеров.
Основными признаками, определяющими деление стихотворного текста на
строфы, являются чередование различных клаузул и упорядоченность рифмовки. Характер ритмических окончаний, или клаузул, оказывает влияние на ритм стиха. Наряду с мужскими и женскими окончаниями встречаются еще и дактилические окончания с ударением на третьем от конца слоге. Сочетания всех этих признаков может
быть разнообразным.
Вопрос: Сколько комбинаций мужских, женских и дактилических клаузул дают две пары рифм, расположенных перекрестно?

9

Шапир М. И. Нечто о «механизме российских стихов», или Почему Онегин не мог
отличить ямб от хорея // Известия РАН. Сер. лит. и яз. — 2002. — Т. 61, № 5. — С. 42.

110

Напомним, что если в схеме строфы хотят показать не только порядок следования рифм, но и характер клаузул, то мужские обозначают строчными буквами
(а, в, …), а женские — прописными (А, Б, …). Дактилические обозначают прописными буквами со штрихом (А′, Б′, …). Поскольку схема сочетания рифм, расположенных перекрестно, имеет вид авав, то достаточно рассмотреть только первые две
строфы с различными комбинациями клаузул. Поэтому задача свелась к подсчету
числа размещений с повторениями A3 = 32 = 9, а именно:
2

авав,
аВаВ,
аВ′аВ′,

АвАв,
АВАВ,
АВ′АВ′,

А′вА′в,
А′ВА′В,
А′В′А′В′.

Стихотворения пишутся разными размерами, поэтому строфических вариантов
даже из четырех стихов может быть огромное количество, и каждый вариант будет
иметь собственное звучание. Например, приступая к работе над «Евгением Онегиным» Пушкин создавал весьма своеобразную крупную строфу, называемую онегинской строфой. Она содержит четырнадцать стихов и ее схема — АвАвССddEffEgg.
Внутренняя структура строфы состоит из четырех подструктур. Первое четверостишие имеет перекрестную рифмовку, второе — смежную, третье — опоясывающую,
плюс двустишие смежной рифмовки.
В античном метрическом стихосложении были распространены трехсложные
стопы, состоящие из одного краткого и двух долгих слогов. Кроме того, были возможны замены долгих слогов краткими и наоборот. Целый ряд таких стоп не имеет
аналогов в русском стихосложении.
Вопрос: Сколько всего трехсложных стоп существовало в античном метрическом стихосложении?

Обозначим долгий слог знаком « – », а краткий — знаком « ∪ » и посчитаем
всевозможные упорядоченные комбинации, составленные из трех таких знаков. Задача свелась к подсчету числа размещений с повторениями A2 = 23 = 8, а именно:
3

дактиль – ∪ ∪, амфибрахий ∪ – ∪, анапест ∪ ∪ –,
бакхий ∪ – –, амфимакр – ∪ –, палимбакхий – – ∪,
трибрахий ∪ ∪ ∪, молосс или тримарк – – –.
Классическими размерами русской поэзии считаются два двусложных и три
трехсложных размера с названиями, позаимствованными из античного греческого
стиха. Вот как их охарактеризовал Николай Гумилев, считавший, что у каждого из
них свои особенности и задачи. Ямб, как бы спускающийся по ступеням, свободен,
ясен, тверд и прекрасно передает человеческую речь. Хорей, поднимающийся, окрыленный, всегда взволнован и то растроган, то смешлив, его область — пение. Дактиль, опираясь на первый ударяемый слог и качая два неударяемые, как пальма
свою верхушку, мощен, торжественен, говорит о стихиях в их покое. Анапест ,
его противоположность, стремителен, порывист, это стихии в движенье. Амфибрахий, их синтез, баюкающий и прозрачный, говорит о покое божественно легкого и мудрого бытия.

111

Трехсложный размер придает стихам некоторую торжественность и роднит
стихотворение с задушевной песней. Чтобы побороть тягучее однообразие трехсложного размера нужно не следовать ему строго, а систематически нарушать его ритм.
Существование в русском стихе более длинных стоп — вопрос спорный, но как замечательно сказал Борис Пастернак:
Есть в опыте больших поэтов
Черты естественности той,
Что невозможно, их изведав,
Не кончить полной немотой.

Размещение с повторениями термин достаточно явный и удобный.
В случае «сочетаний с повторениями» с ясностью не все благополучно.
Хотя если перестановки и размещения могут быть с повторениями, имеет смысл поговорить и о сочетаниях с повторениями. Такое название
связано с классом задач, типичным представителем которых является
следующая модельная задача о наборе пирожных.
Пример. В магазине продаются пирожные 4 сортов: бисквитные,
песочные, слоеные и эклеры. Рассмотрим, сколькими способами можно
составить набор из 8 пирожных.
Эта простенькая на вид задача сама по себе не так уж и проста. В
духе главного правила комбинаторики сделаем следующее уточнение:
пирожные одного сорта естественно считать неразличимыми. Кроме того, надо уточнить, какие наборы пирожных допустимы. Рассмотрим два
варианта.
Вариант I. Все пирожные хороши, надо взять хотя бы по одному
каждого сорта. Допускается любой способ набора пирожных, при котором каждый сорт пирожного берется, по крайней мере, один раз.
На первый взгляд неясно, при чем тут сочетания. Математики
знают, что пока задача не формализована, первый взгляд часто обманчив. Поэтому перейдем сразу ко второму, направив его на 8 пирожных,
обозначенных «кружками», отделенными вертикальными палочками,
т. е. «разделителями» (или «перегородками»), на соответствующей графической иллюстрации (рис. 2.3), указывающей конкретный способ набора пирожных.
QQ

|

Q

|

QQQ

|

QQ

Рис. 2.3

Символически разделители означают, что выбрано 2 бисквитных
пирожных, 1 песочное, 3 слоеных и 2 эклера. Три разделителя делят пирожные на четыре группы по соответствующим сортам. Заметим, что в
112

рассматриваемом варианте разделители могут находиться только в промежутках между кружками, но не слева ни справа от них, и в каждом
промежутке должно быть не более одного разделителя, поскольку в наборе должно быть хотя бы по одному пирожному каждого сорта.
Теперь ситуация по поводу сочетаний проясняется. В построенной
«модели» задачи речь идет о выборе 3 мест для разделителей из 7 возможных мест (промежутков), т. е. способов выбора пирожных столько
же, сколько существует 3-элементных подмножеств в 7-элементном
множестве. Это число сочетаний C73 = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 35. В частности, если
3!
n = 4, m = 8, заметим, что m ≥ n, то полученный результат способов набора из n сортов пирожных m пирожных, когда каждый сорт встречается
хотя бы один раз, можно записать в виде Cnm−−11 .
Вариант II. Пирожные не так хороши, как показалось вначале. Допускается любой способ набора, вплоть до того, что все они могут оказаться одного сорта.
Теперь возможны любые расположения 8 кружков и 3 разделителей
в графической иллюстрации, использованной выше. Рассмотрим, например, их расположение, отвечающее случаю (рис. 2.4), когда в наборе пирожных 3 бисквитных, ни одного песочного, 5 слоеных и ни одного эклера.
QQQ

||

QQQQQ

|

Рис. 2.4

В рассматриваемом варианте нет ограничений на расположение
разделителей, они могут стоять на любых трех местах из 8 + 3 = 11 мест,
занимаемых 8 кружками и 3 разделителями. В этой «модели» задачи надо выбрать 3 места для разделителей из 11 мест или 8 мест для кружков
из 11 мест, т. е. способов выбора пирожных столько же, сколько существует 3-элементных подмножеств в 11-элементном множестве. Это число
сочетаний C113 = 11⋅10⋅9 = 165. В частности, если n = 4, m = 8, то полу3!
ченный результат произвольных способов набора из n сортов пирожных
m пирожных можно записать в виде Cmn −+1n −1 = Cmm+ n −1 .
Таким образом, мы получили формулу для способов выбора m объектов из n типов объектов с неограниченным повторением. Такие выборки принято называть «сочетания с повторениями».
Определение сочетаний с повторениями. Группы, составленные
из m объектов, которые принадлежат одному из n типов элементов,
называют сочетаниями с повторениями.
113

Число всевозможных сочетаний с повторениями, а именно выборов
m объектов из повторяющихся n элементов, обозначают символом C nm .
С помощью горизонтальной черты над буквой C отличают случай с повторениями от обычных сочетаний. Читается: «Число сочетаний из эн по
эм» или «Цэ с чертой из эн по эм». Для нахождения числа C nm сочетаний
с повторениями из n элементов по m приходится проявить определенную
изобретательность.
Утверждение. Число сочетаний с повторениями C nm можно вычислить по формуле:
C nm = Cmn −+1n −1 = Cmm+ n −1 =

(m + n − 1)!
m! (n − 1)!

Доказательство. Пронумеруем элементы исходного множества
числами от 1 до n. Пусть в одно из сочетаний с повторениями вошло m1
элементов под номером 1, m2 элементов под номером 2, …, mn элементов
под номером n. Поскольку составляются группы m из объектов, то ясно,
что m1 + m2 + … + mn = m.
Изобразим это сочетание с повторениями в виде последовательности чисел из 1 и 0. Единица будет обозначать каждый отдельный объект
сочетания, а нуль — символическую «границу» между соседними группами. Если, например, некоторое mi = 0, т. е. элементов под номером i в
сочетании нет, то в соответствующем месте последовательности окажется два «граничных» нуля подряд. Например, для n = 4 и m = 8, как в предыдущем примере, последовательность 11100111110 означает, что в
этом сочетании 3 элемента под номером 1, ни одного элемента под номером 2, 5 элементов под номером 3 и ни одного элемента под номером
4. Поскольку сумма всех mi равна m, то в построенной последовательности содержится m единиц, а так как различных по составу элементов
групп n, то нулей n – 1. Верно обратное: каждой такой последовательности соответствует сочетание с определенными повторениями.
Таким образом, задача свелась к поиску ответа на вопрос: сколько
различных последовательностей длиной m+n–1 можно составить из
m единиц и n–1 нулей? Это число перестановок с повторениями из
(m + n − 1)!
m единиц и n–1 нулей, т. е. P m ,n−1 =
, а так как
m! (n − 1)!
P m ,n−1 = Cmn −+1n −1 = Cmm+ n −1 , получим искомую формулу, в частности
C nm = P m ,n−1 =

(m + n − 1)!
,
m! (n − 1)!

что и требовалось доказать.
114

Заметим, что в предыдущем модельном примере вместо единиц мы
рисовали кружки, а вместо нулей разделители, т. е. вертикальные черточки. Рассмотрим модельную задачу о голосовании.
Пример. При принятии решения члены комитета из 7 человек голосуют: «за», «против», «воздержался». Посчитаем, сколько может
быть возможных исходов голосования по данному решению.
Если нас интересует, кто и как голосовал, т. е. открытое поименное
голосование, то тогда речь идет о размещениях с повторениями, что даст
A37 = 37 = 2187 возможных исходов голосования.
Если нас не интересует, кто и как голосовал, а только общий результат голосования или, например, голосование тайное, то тогда речь
идет о сочетаниях с повторениями. В этом случае подсчитывается число
всевозможных сочетаний m = 7 голосований членов комитета из
повторяющихся n = 3 видов голосования: «за», «против», «воздержался»,
что даст C nm = C37 = C77+3−1 = C97 = 9! / (7!·2!) = (9·8) / 2 = 36 возможных
исходов голосования.
Замечание. Сочетания с повторениями и размещения с повторениями объединяет то, что нет никаких ограничений на число повторений элементов, кроме общего их числа в наборе, поэтому в формуле чис(m + n − 1)!
ла сочетаний с повторениями C nm =
допустим случай, когда
m! (n − 1)!
выполняется неравенство m > n.
Например, так было в задаче о «наборе пирожных» и в задаче о «голосовании». Но может быть и наоборот, т. е. в C nm , m < n или m = n. Например, «костяшки» домино можно рассматривать как сочетания с повторениями из 7 по 2 цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Их число равно
C72 = C22+ 7 −1 = C82 = 8! / (2! 6!) = ( 8 ⋅ 7 ) / 2 = 28,

т. е. в домино всего 28 различных «костяшек».
Замечание. Сочетания (с повторениями или без) отличаются от
размещений (сповторениями или без) прежде всего тем, что первые —
неупорядоченные наборы, а вторые — упорядоченные.
Разбивать на отдельные части можно не только множества, но даже
числа. Натуральное число n можно представить в виде суммы натуральных чисел разными способами, например:
4 = 1+1+1+1 = 1+2+1 = 1+1+2 = 2+1+1 = 2+2 = 1+3 = 3+1.
115

Сколькими способами можно представить произвольное натуральное число m в виде суммы из n натуральных слагаемых? Эта задача
сводится к решению уравнения в целых неотрицательных числах.
Пример. Посчитаем, сколько решений в целых неотрицательных
числах для натурального числа m имеет уравнение:
x1 + x2 + … + xn = m, где xi ≥ 0, i = 1, 2, …, n.
Воспользуемся подсказкой древнегреческого математика Диофанта
Александрийского. Одна из его книг начинается фразой: «Ты, конечно,
знаешь, что каждое целое есть просто некоторое количество единиц».
Как и при доказательстве формулы числа сочетаний с повторениями, изобразим число m в виде последовательности m единиц и расставим
n–1 нулей, обозначающих «границу» между соседними n группами единиц, в каждой из которых содержится некоторое натуральное число единиц xi, i = 1, 2, …, n. Заметим, что если единиц в некоторой группе нет,
то соответствующее число единиц xi = 0. Поэтому число решений в целых неотрицательных числах заданного уравнения равно числу сочета(m + n − 1)!
.
ний с повторениями C nm = Cmm+ n −1 =
m! (n − 1)!
Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, у которых
ищутся решения в целых числах, называются диофантовы уравнения по
имени Диофанта, изучавшего такие уравнения. Мы нашли число решений диофантова уравнения x1 + x2 + … + xn = m при предположении xi ≥ 0.
Число решений этого уравнения при предположении xi >0 (заметим, что
тогда m ≥ n)находится, как и в случае варианта I модельного примера о
«наборе пирожных», по формуле Cmn −−11 .
Рассмотрим еще раз модельную задачу о «наборе пирожных», переформулировав ее в виде следующей задачи о дележе монет.
Пример. Рассмотрим, сколькими способами могут 4 пирата разделить между собой 8 одинаковых монет.
Вариант I — пираты с признаками морали, т. е. допускается любой
способ дележа монет, при котором каждый пират получает хотя бы одну
монету. Воспользовавшись графической иллюстрацией на рис. 2.3, где
«кружки» — это монеты, разделенные «перегородками», указывающими
конкретный способ дележа монет среди пиратов, а именно первому пирату — 2 монеты, второму — 1 монету, третьему — 3 монеты и четвертому — 2 монеты, получим с помощью аналогичных рассуждений, что
способов дележа в этом варианте равно C84−−11 = C73 = 35.
116

Вариант II — пираты без признаков морали, т. е. допускаются любые способы дележа, когда, например, некоторые пираты могут остаться
без монет или все монеты достанутся одному пирату. Воспользовавшись
графической иллюстрацией на рис. 2.4, где указан конкретный способ
дележа монет среди аморальных пиратов, а именно первому пирату —
3 монеты, второму — ни одной, третьему — 5 монет и четвертому — ни
одной, получим с помощью соответствующих рассуждений, что способов дележа во втором варианте ровно C84+−41−1 = C113 = 165, т. е. это сочетания с повторениями C48 .
А что, собственно, повторяется в варианте II? Это не монеты, поскольку, несмотря на их идентичность, они были и в варианте I. Каждый пират представлен на дележе монет в единственном экземпляре. Что
же тогда? Если забыть о способе решения этой задачи и сосредоточиться
на ее аналогии с выбором наборов пирожных, то придется признать, что
«повторяются» все-таки пираты!
Мораль проста: без особой надобности не следует связываться с
термином «сочетания с повторениями».
***
Математик прав, подходя ко всему со своими методами исследования, но прав и
филолог, ставящий под сомнения математические методы познания в тот момент,
когда математик облекает эстетические ценности и «горячку рифм» (Пушкин) в число. «Формы познания — это способы определений природы существующего, т. е.
методы, образующие точное знание», — писал Андрей Белый. Поэзия утверждает
жизнь как творчество. Как сказал об этом Андрей Белый:
В строфах — рифмы, в рифмах — мысли
Созидают бытие:
Смысли, сформулируй, счисли, —
Стань во царствие твое!

Приступая к исследованию ритма русского четырехстопного ямба, он, с присущим поэту пристрастием, сосредоточивал свое внимание не на частоте ритмических
вариаций, а на их сочетании в тексте. «Числа, рифмы, сочетанья образов и слов» для
него лишь символ, но, углубляя и расширяя любой природный символ, художник
осознает относительность образа, от которого он исходит. Слово — это незаменимый образ действительности.
Пусть в некотором языке имеется два типа фонем: гласные и согласные. Предположим, что слово может быть образовано из гласных и согласных, а также одних
гласных или согласных, как, например, в чешском и сербско-хорватском языках.

117

Вопрос: Сколькими способами можно образовать трехфонемное слово?

При построении трехфонемного слова из двух типов фонем возможны следующие случаи: в слово входят гласные и согласные, а также слово составлено из фонем
одного типа. Поэтому задача свелась к подсчету числа сочетаний с повторениями
4!
C23 = C33+ 2−1 = C 43 =
= 4. Действительно, слово может быть образовано из одной
3! 1!
гласной и двух согласных фонем, либо из двух гласных и одной согласной фонем,
либо оно состоит из гласных, либо из согласных фонем. Поэтому существует только
четыре способа образования трехфонемных слов.
Глубокий интерес к естественной истории и истории отдельной личности стал
истоком ведущего мотива Велимира Хлебникова: феномена времени. На формирование этого мотива сильное влияние оказал его преподаватель в Казанском университете известный профессор математики А. В. Васильев. Свою мысль об отношениях
времени с пространством Хлебников выражает через понятия симбиоза и метабиоза.
Понятие «симбиоз» возникло как вспомогательное средство для описания некоторых
частных явлений растительного мира. Можно условно считать, что следствием сосуществования одной жизни с другой жизнью является «польза», «безразличие» и
«вред».
Вопрос: Сколько возможно случаев отношений, как следствий сосуществования двух жизней?

Следует уточнить, что речь идет об отношениях между обеими жизнями, протекающими в одно и то же время и на соседних, но разных, частях пространства. Обозначим следствия, испытываемые одной жизнью от сосуществования с ней другой
жизни, через знаки: « + », что означает пользу, « · », что означает безразличное состояние, и « – », что означает вред. Тогда задача сводится к подсчету числа сочета4!
= 4, а именно получим шесть пар следний с повторениями C32 = C22+3−1 = C42 =
2! 2!
ствий сосуществования двух жизней:
(+, +), (+, ·), (+, –), (·, ·), (·, –), (–, –).
По аналогии с понятием «симбиоз» Велимир Хлебников вводит симметричное
понятие «метабиоз» для описания «отношений двух жизней, протекающих в одном и
том же месте, но в последовательные промежутки времени»10. Время связано в
нашем сознании с жизнью, поэтому в определении метабиоза «время живого» необратимо. Областью приложения понятия «метабиоз» является представление о биосфере, играющее ключевую роль в современном естествознании и в жизни современного человека. Как сказал Велимир Хлебников в поэме «Гибель Атлантиды»:
И уважение к числу
Растет, ручьи ведя к руслу.

10

Бабков В. В. Между наукой и поэзией: «метабиоз» Велимира Хлебникова //
ВИЕТ. — 1987. — № 2. — С. 139.

118

Каждый язык имеет свою собственную динамику и свои самопорождающие
приемы. Алфавит языка молекул ДНК, содержащих генетическую информацию, —
это «слова из четырех букв А, Г, Т, Ц», которым соответствуют первые буквы названий азотистых оснований, входящих в состав нуклеиновых кислот: аденин, гуанин,
тимин, цитозин. Наследственная информация, содержащаяся в каждом гене, записывается в виде слова из различных комбинаций букв этого алфавита. В процессе
эволюции или в результате мутаций слова, состоящие из этих четырех букв, меняются. Одна буква может замениться на другую, может выпасть, а может добавиться новая, которой в «слове» не было, что указывает на комбинаторную природу генетического кода. Сформулируем вопрос, имеющий отношение к теории белкового кода.
Вопрос: Сколькими способами можно выбрать без учета порядка следования
три буквы из повторяющегося набора четырех букв А, Г, Т, Ц ?

Число троек нуклеотидов равно числу стандартных аминокислот, на которые
разлагаются молекулы белка. Для нахождения нужного числа надо посчитать число
сочетаний с повторениями Cnm . В рассматриваемом случае имеем n = 4 вида повторяющихся объектов А, Г, Т, Ц, из которых надо составить трехбуквенный объект,
6!
т. е. m = 3. Следовательно, C43 = C33+ 4−1 = C63 =
= 20 — это и есть искомое число
3! 3!
стандартных аминокислот.
Возвращаясь к Ноаму Хомскому, заметим, что когда один из слушателей доклада, который он иллюстрировал фразой «бесцветные зеленые идеи яростно спят»,
крикнул: «Это не бессмыслица, а современная поэзия», то Хомский отшутился: «Это
хорошая современная поэзия!» Есть различные варианты поэтического осмысления
«зеленой идеи», хотя ее можно понять, не прибегая к поэзии. «Поэзия такая же
наука, как скажем, математика», — говорил Николай Гумилев. Поэтому, не учив
эти науки, нельзя стать не только поэтом, но и понимающим читателем. Вот оригинальный пример поэтического осмысления одного из контекстов знаменитой фразы
Хомского:
Идеи зеленые яростно спят,
Ворочаются в голове,
Бесцветные, скачут опять и опять
Кузнечиками по траве.

Мы рассмотрели в этом разделе размещения и сочетания с повторениями, когда каждый элемент может повторяться любое число раз, но
могут встретиться и различные промежуточные случаи, рассмотрение
которых оказывается более сложным. Например, если каждая «буква»
может копироваться не более трех раз, то тогда в качестве «размещений
с ограниченными повторениями» можно рассматривать только те последовательности букв, в каждой из которых любая заданная буква может
встретиться не более трех раз. В комбинаторике много трудных задач,
но есть и такие, решения которых еще никому не удалось найти.
119

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ
1. Верно ли, что число анаграмм слова баллада равно 210 ?
2. Верно ли, что число классических трехсложных размеров в русском стихосложении можно посчитать по формуле P 1,2 = 3 ?
3. Верно ли, что число белорусских паспортов, отличающихся по
номерам, только первыми семью арабскими цифрами, равно A107 = 107 ?
4. Верно ли, что число теоретически возможных комбинаций ритмических форм с реальными ударениями в пятистопном ямбе равно
A24 = 16 ?
5. Верно ли, что для участия в студенческом конкурсе красоты пять
девушек с 16 факультетов БГУ, без ограничения представителей от одного факультета, можно отобрать C165 = 15 504 способами?

2.4. ВЕРОЯТНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНОГО СОБЫТИЯ
Стихотворная речь — категория двуединая. С одной стороны, она
эстетическое явление, а с другой — только на основе строгого научного
описания многообразных явлений возможен ее научный анализ. Статистические методы исследования при изучении стиха, без которых
современное стиховедение в ряде случаев не может обойтись, впервые
широко применил Андрей Белый. Статистический метод позволил ему
показать историческую эволюцию четырехстопного ямба. «То, что ныне
доказано, некогда только воображалось», — утверждал английский поэт Уильям Блейк. Превращая талантливые предположения в доказанный
факт, исследователи стиха давали также критерии, с помощью которых
можно было бы отличать субъективно-вкусовые оценки от объективного
анализа.
Основой всех точных исследований в языкознании является наблюдение за поведением и признаками изучаемых лингвистических объектов, которое может осуществляться с помощью соответствующего опыта
или эксперимента. Осуществление такого опыта или эксперимента называется испытанием. Понятие «вероятности» зависит от того, что мы
понимаем под испытанием. Оставив термин «испытание» неопределенным, будем предполагать, что он отвечает следующим условиям:
а) исход (результат) испытания точно неизвестен, т. е. испытание даст более одного исхода;
120

б) конечное множество всех исходов может быть определено до
начала испытания;
в) испытание можно повторить неограниченное число раз при тех
же условиях.
Многие задачи теории вероятностей сконцентрированы вокруг
азартных игр, поскольку они служат замечательным наглядным примером использования вероятности. Французский математик Пьер Лаплас в
своей основополагающей работе «Аналитическая теория вероятностей»,
опубликованной в 1812 г., писал: «Замечательно, что наука, которая
начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь большей частью важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из
теории вероятностей». Любопытно, что Наполеон, утверждавший, что
«усовершенствование математических наук тесно связано с благоденствием государства», назначил Лапласа на должность министра внутренних дел. Сам термин вероятность стал центральным в «математике случайного» после упомянутого классического труда, и с этого времени соответствующая наука называется «теория вероятностей».
Однако и сейчас при изложении основных понятий теории вероятности ситуации с бросанием игральных костей, подбрасыванием монет и
выбором карт из колоды служат наглядным материалом для примеров и
иллюстраций. Почему? Потому что в азартных играх главную роль играет случай — от него, например, зависит, какие именно карты окажутся у
партнеров. Поэтому игры, в которых источник неопределенности —
случайность, называются азартными (от французского hazard — случай). Заметим, что в русском языке слово «азарт» имеет совсем другой
смысл. Такие игровые модели очень удобны для первоначального рассмотрения элементарной теории вероятностей. Напомним, что игральная кость — это кубик с округленными углами, на гранях которого нанесены точки, изображающие числа от 1 до 6. Опыт, состоящий в бросании кости, представляет собой испытание, а его результат (выпавшее
число очков) — исход этого испытания. В этом случае исходами являются числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6. При бросании монеты могут быть два исхода:
О — выпадение «орла» (герба) и Р — выпадение «решки» (цифры).
Определение события. Множество всех исходов испытания называется множеством (пространством) элементарных событий, а событием — подмножество множества элементарных событий.
Например, студент филологического факультета отвечает на вопросы по курсу «Основы высшей математики» — это испытание, и получает «зачет» — это событие.
121

Юрий Лотман в своей книге «Структура художественного текста»
(М., 1972) утверждает, что любые события происходят только на границе: «Событием в тексте является перемещение персонажа через границу семантического поля». Чем резче проведена граница, тем сильнее
событийность ее пересечения, тем напряженнее сюжет. Под событием в
математической лингвистике понимается не конкретный лингвистический факт, а лишь возможный исход лингвистического опыта или наблюдения.
Рассмотрим другие модельные примеры испытаний. Пусть опыт состоит в бросании двух костей, которые будем считать различными, например, одна синяя, а другая — красная (или одну кость бросим дважды:
первое бросание, второе бросание). В этом случае исходами являются
пары (1, 2), (3, 5), (6, 4), (3, 3) и т. д. — всего A62 = 62 = 36 элементарных
событий. Если мы три раза подбрасываем монету, то в этом случае исходами испытания будут упорядоченные тройки: ООО, ООР, ОРО, РОО,
ОРР, РОР, РРО, РРР — всего A23 = 23 = 8 элементарных событий. Наконец, если из колоды в 36 игральных карт вытаскивается наудачу (не глядя) 6 любых карт, то тогда множество элементарных событий содержит
C366 элементов.
Элементарное событие характеризуется тем, что при каждом испытании наступает одно и только одно из них. Любое событие, связанное с данным испытанием, распадается на элементарные, т. е. представляется в виде объединения множества элементарных событий. Например, событие, связанное с бросанием кости, —
«число очков четное» или «число очков превосходит 2».
В теории вероятностей не рассматривается техническая сторона испытания, а
только то, какие события в нем могут наблюдаться, и что в результате проведенного
эксперимента действительно наблюдалось. В каждой области знания точные законы
регулировали отнюдь не все. Они намечали лишь границы, в пределах которых возможна «игра случая». С этой точки зрения слово случайность приобретает объективный смысл, так как то, что было случайностью для одного, должно быть случайностью и для других.

Определение случайного события. Событие, наступление или ненаступление которого в некотором испытании зависит от ряда случайных факторов, называется случайным событием.
Результатом лингвистического испытания является лингвистическое событие. Например, пусть испытание (опыт, эксперимент) состоит
в угадывании буквы, которой предшествует последовательность букв
КОТОРО. Множество всех исходов (результатов) этого испытания — это
событие, состоящее в появлении букв: Г (которого), Е (которое), Й (ко122

торой), М (которым, которому). Каждое из этих событий может произойти, а может и не произойти, т. е. это случайные события.
Реальную лингвистическую задачу в качестве иллюстрации понятия случайного сформулировал и решил замечательный венгерский математик Дьердь Пойа: «С каким языком теснее всего связан английский
язык — с венгерским или польским?»
Эту задачу можно решить, найдя закономерности, присущие этим
языкам, а чтобы они носили общий характер, Пойа рассмотрел не 3,
а 10 европейских языков: английский, шведский, датский, голландский,
немецкий, французский, испанский, итальянский, польский и венгерский. Он сравнил наименования чисел (от одного до десяти) на этих
10 языках, как наиболее устойчивые на протяжении многолетней истории объекты, и воспользовался критерием похожести языков, основанном на сравнении первых букв в соответствующих словах. Это позволило ему обосновать статистическую гипотезу о том, что английский
язык теснее связан с польским языком, чем с венгерским.
Источником случайных лингвистических событий может, например,
служить то, что из-за недостаточности сведений о начальном состоянии
лингвистического объекта (явления) оно описывается лишь в основных
своих чертах. Перечисление или классификация лингвистических событий, принадлежащих лингвистическому испытанию, имеет сравнительно
ограниченный познавательный интерес. Гораздо важнее оценить степень
возможности появления того или иного случайного события.
Определение вероятности. Числовая характеристика степени
возможности наступления какого-либо определенного случайного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз, испытаниях, называется вероятностью.
Для случайного события постулируется мера возможности его появления, т. е. определенная вероятность его наступления при данных условиях. Каждому случайному событию ставится в соответствие, характеризующее его, число р, 0 ≤ р ≤ 1 (от первой буквы французского слова
probabilite — вероятность), которое и называется вероятностью этого
события. Цель математики случайного, которую принято называть теорией вероятностей, состоит в том, чтобы давать определенное знание о
случайных, неопределенных событиях с помощью исчисления вероятностей. Для лингвистики и филологии особый интерес представляют
«классическое» и «статистическое» определения вероятности.
Поясним теперь смысл выражения «степень возможности появления случайного события в данном испытании» и каким образом она характеризуется числом р. Это означает следующее: если испытание повторили n раз, то интересующее нас событие при этом произойдет
123

приблизительно n⋅ р раз. Можно сказать и по другому: если при
n-кратном повторении испытания событие произошло m раз, то частота появления события, а именно число m/n приблизительно равно числу р и чем больше n, тем выше точность этого утверждения. Поэтому
связь между испытанием и событием, которая характеризуется вероятностью события в этом испытании, т. е. числом р, выявляется только при
многократном повторении этого испытания. При этом теория оперирует вероятностями, а практика — статистическими данными исходов
испытаний.
Рассмотрим сначала статистическое определение вероятности, поскольку в лингвистической практике статистические исследования являются основным способом оценки вероятностей событий. Даже стилистическое отличие каждого большого поэта и писателя имеет свои
количественные статистические характеристики литературного языка.
Если в одних и тех же условиях при n испытаниях случайное событие А
произошло m раз, то отношение m
n называется относительной
частотой события А в n испытаниях. Частота может быть вычислена
лишь после того, как проведена серия испытаний (экспериментов), и,
вообще говоря, частота изменяется, если провести другую серию из n
испытаний или если изменить n.
Например, как ответить на вопрос, какие звуки встречаются в русских литературных текстах чаще: гласные или согласные?
Для этого надо исследовать различные литературные тексты, подсчитывая в них число гласных и число согласных. Может быть, удастся
заметить, что, например, буква «а» встречается в 5 раз чаще, чем буква
«ч», а буква «о» встречается в 55 раз чаще, чем буква «ф». В результате
дальнейших исследований можно придти к выводу, что, например, событие «встретить в литературном тексте букву е» является более вероятным, чем событие «встретить в литературном тексте букву а». Это и есть
на данном этапе качественная оценка вероятности по частоте.
Определение статистической вероятности. При достаточно
больших значениях n относительная частота m
n случайного события A
мало отличается от некоторого числа р(А), которое называют статистической вероятностью события А, т. е. справедливо приближенное равенство:
р(А) ≈ m
n.
Заметим, что «статистика» (от немецкого слова statistik) — это
функция от результатов наблюдений.
124

Приведенное эмпирическое определение статистической устойчивости относительных частот случайного события характеризует естественнонаучное содержание понятия вероятности, но не является его формальным определением, так как опирается на такие понятия, как «достаточно большие», «случайного события», «мало отличается». Однако, вопервых, мы не собираемся строить теорию, исходя из этого определения,
а во-вторых, для определения вероятности случайного события на основе аксиоматической теории требуется глубокое знание ряда разделов
высшей математики. С точки зрения реального смысла, вкладываемого в
понятие вероятности: вероятность случайного события А — это число близкое к относительной частоте наступления события А в длинной
серии тождественных испытаний.
Часто в процессе совершенствования экспериментов возникает такое положение дел, когда полной устойчивости исходов испытания добиться не удается, но возникает явление статистической устойчивости, которая характеризуется устойчивостью частот наступления различных событий, связанных с исходом эксперимента. Исчерпывающая
проверка устойчивости частот невозможна, хотя в некоторых случаях
наличие статистической устойчивости достаточно достоверно. Поэтому следует обратить внимание на то, что точное численное значение
статистической вероятности остается, вообще говоря, неизвестным.
Рассмотрим, например, статистическую вероятность глагола «быть»
в русском литературном языке. Текст «Капитанской дочки» Пушкина
состоит из 29 343 словоупотреблений. Формы слова «быть» встречаются
здесь 430 раз. Отсюда следует, что статистическая вероятность события
А1 = {появления в тексте «Капитанской дочки» форм слова БЫТЬ} равна
430
=
≈ 0,0147.
р(А1) = m
n
29343

Всем известны двуязычные словари (например, англо-русский),
толковые и энциклопедические словари. Но существуют еще и особые — так называемые «частотные словари». Частотный словарь указывает, сколько раз употребляется то или иное слово в тексте. Наряду со
«словарем языка писателя» он необходим для анализа литературоведческой стилистики. Согласно данным «Материалов к частотному словарю А. С. Пушкина», все произведения Пушкина содержат 544 777 словоупотреблений, из них формы слова «быть» употреблены автором 8771
раз. Поэтому статистическая вероятность события А2 = {появления в
любом произведении Пушкина форм слова БЫТЬ} равна
8771
=
≈ 0,0161.
р(А2) = m
n
544 777

125

При небольшом числе испытаний относительные частоты события могут изменяться от одной группы событий к другой. Например, в
случайно выбранном куске текста из произведений Пушкина длиной в
100 слов формы глагола «быть» может не появиться ни разу, поэтому
относительная частота равна 0, а в другом отрывке той же длины формы
этого глагола могут появиться три раза и соответственно относительная
частота возрастет до 0,03. Однако при последовательном увеличении
объема выбираемых текстов разных авторов относительная частота глагола «быть» колеблется около величины 0,01, которая равна статистической вероятности в этом случае.
Почти любая лингвистическая работа использует иногда неосознанно статистические методы, поскольку в языке есть частые и редкие
явления, поэтому без выделения частых явлений невозможны какиелибо лингвистические выводы. Количественные оценки частот лингвистических явлений на «языке цифр», которого, к сожалению, боятся некоторые филологи, помогают не только выдвигать гипотезы и иллюстрировать выводы, но и делать их более доказательными. По мнению
профессора Б. И. Ярхо, одного из пионеров успешного применения статистических методов в области стиховедения, «сила статистического
доказательства заключается, конечно, в максимальной объективности
категории числа». Но «математический акт» не должен совершаться до
тех пор, пока не будет вложен литературоведческий смысл в соответствующие статистические операции.
В любом осмысленном тексте не все буквы появляются одинаково
часто, т. е. они отличаются своей относительной частотой. Например, человеку, получившему шифрованное достаточно длинное сообщение, достаточно подсчитать частоту появления в нем шифровальных знаков и сопоставить ее с относительной частотой появления букв русского алфавита, с
которой они приблизительно встречаются в длинных текстах:
Буква

А
Б
В
Г
Д
Е

Частота

0,075
0,017
0,046
0,016
0,030
0,087

Буква

Частота

Буква

Частота

Буква

Частота

Буква

Ж
З
И
Й
К
Л

0,009
0,018
0,075
0,012
0,034
0,042

М
Н
О
П
Р
С

0,031
0,065
0,110
0,023
0,048
0,055

Т
У
Ф
Х
Ц
Ч

0,065
0,025
0,002
0,011
0,005
0,015

Ш
Щ
Ы
Э
Ю
Я

126

Частота

0,007
0,004
0,019
0,003
0,007
0,022

Для чего все это нужно? Законы словообразования, если они действительно законы и выражены количественно, помогают формировать ту
научную базу данных, которая необходима для создания и совершенствования новых информационных технологий, в частности, кодирования и
декодирования соотношений, переводов, распознавания образов слов и
слогов. Для этого нужны сведения о частотности слов в разговорном
языке и литературе различных стилей.
В частности, этими проблемами занимались сотрудники группы
«Статистика речи» под руководством профессора Р. Г. Пиотровского
из Санкт-Петербурга. Даже в не слишком длинном тексте можно отделить знаки для согласных от знаков для гласных. Знание относительных
частот букв алфавита облегчает разгадку кодов, основанных на простой
замене букв знаками. Заметим, что буквосочетания по две, три, четыре и
т. д. буквы также имеют свой закон распределения.
Хотя статистическую вероятность точно определить невозможно, поскольку
нельзя реализовать неограниченную серию испытаний, главное — это уверенность в
том, что вероятность р(А) существует. В связи с этим попытаемся ответить на вопрос:
«Всегда ли неограниченное повторение условий неизбежно влечет наличие вероятности?» Разумеется, нет, тут дело в конкретном опыте или реальной «практике». Например, возьмем наугад несколько русских книг и подсчитаем частоту употребления
каждого слова в каждой книге — частоты редких слов будут различны. Можно
взять очень много книг, но частоты редких слов не станут приблизительно одинаковыми, а наоборот не так уж редко будут появляться все новые слова.
Заметим, что частотные словари языка нужны не только специалистам по машинному переводу или теории информации, но и лингвистам, составляющим учебник языка. Известный российский математик Р. Л. Добрушин в упоминавшейся статье «Математические методы в лингвистике» писал: «Невнимание к частотным
характеристикам языка (идущее от пренебрежения ко всему тому, что связано с
математикой) приводит к тому, что многие элементарные учебники иностранного
языка содержат на первых страницах очень редкие слова и не содержат широко
распространенных». В действительности сравнительно небольшое количество слов
«покрывает» большую часть текста. Именно на этом основан своеобразный язык Basic English, представляющий собой упрощенный вариант реального английского языка, содержащий всего около 1000 слов, и тем не менее их оказывается достаточно для
общения.
Составление частотных словарей — это не такое простое дело, как может, на
первый взгляд, показаться. Во-первых, невозможно использовать все тексты, напечатанные, например, по-русски, — необходим отбор. Во-вторых, интересно сравнить
частоту употребления различных слов в литературе и в обыденной речи, что очень
затруднительно. Существующие частотные словари языка далеки от совершенства,
поскольку в них приводятся частоты слов, которые подвержены случайным отклонениям и не делается оценок для их вероятностей. Лингвистический смысл имеют
именно вероятности, а не частоты.

127

Долгое время устойчивость относительных частот была первична по отношению к понятию вероятности, затем точка зрения изменилась на противоположную,
оставив близость относительных частот, при увеличении числа испытаний, в арсенале математики в виде строго доказанных теорем. Для случаев, когда есть симметрия
исходов испытаний, можно определить классическую вероятность, которая взаимодополнительна статистической вероятности, поскольку первая — абстракция, а
вторая — опыт. Классическое определение вероятности связано с понятием «равновозможных» событий.

Понятие равновозможных (или равновероятных) событий в математике не определяется, оно считается интуитивно ясным и лишь поясняется примерами. Обычно понятие классической вероятности иллюстрируется на азартных играх, потому что здесь равновозможность прямо
задана внешней или геометрической симметрией объекта — монеты,
игральной кости, колоды карт и т. д. Если монета ровная, неизогнутая,
то можно ожидать, что при ее многократном бросании орел и решка будут выпадать одинаково часто, т. е. примерно в половине случаев будет
выпадать орел, а в половине случаев — решка. Поэтому в условиях этого
эксперимента принято считать, что для такой монеты вероятность выпадения орла или решки равна 1/2.
Даже если мы не знаем, что такое равновозможность, но если она
имеет смысл, то ею должны обладать грани симметричной кости. Естественно ожидать, что при многократном бросании идеально правильной игральной кости на долю каждого из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 будет приходиться примерно шестая часть общего числа испытаний, т. е. бросаний
кости. Поэтому считают, что вероятность выпадения каждой грани, соответствующей числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, равна 1/6.
Какова в таком случае вероятность события А = «выпадение нечетного числа очков»? Поскольку имеется шесть одинаково возможных
исходов, причем три из них (выпадение чисел 1, 3, 5) «благоприятствуют» событию А, то вероятность р(А) можно считать равной 3/6 = 1/2.
Один из первых исследователей случайного французский математик
и философ Блез Паскаль противопоставлял задачи теории вероятностей
задачам статистического эксперимента: «Колебания счастья и удачи
подчиняются рассуждениям, опирающимся на справедливость… Это в
тем большей мере должно определяться усилиями разума, чем в меньшей мере может быть найдено из опыта». Естественно, что «справедливость» в этом контексте понималась как «равновозможность», а сама
равновозможность имела более чем широкий смысл. Равновозможность (или равновероятность) исходов элементарных событий означает, что если все эти исходы равноправны, то любой из них должен встречаться одинаково часто.
128

Определение классической вероятности. В условиях равновозможности исходов элементарных событий классическая вероятность
события А равна р(А) = m
n , где n — число всех равновозможных исходов

испытания, а m — число исходов, составляющих событие А.
Иначе говоря, классическая вероятность события равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события,
к общему числу всех равновозможных исходов. Центральной фигурой
периода становления «теории вероятностей» был швейцарский математик Якоб Бернулли, которому принадлежит заслуга введения в науку
«классического» понятия «вероятность события» как отношения числа
возможных исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию,
к общему числу всех мыслимых исходов, которые предполагаются равновозможными. Согласно Бернулли, вероятность есть «степень уверенности и относится к достоверности как часть к целому». Трудность правильного формирования вероятностного представления связана
с тем, что довольно сложно указать разбиение на равновозможные случаи, если результаты испытаний не принадлежат к азартным играм.
Замечание. Существенный недостаток классической вероятности
заключается в том, что новое понятие «вероятности» определяется с
помощью неопределенного понятия «равновозможный исход события».
Однако было бы ошибкой полагать, что есть какая-то альтернатива
равновозможности. По-видимому, без равновозможности нет и классической вероятности, т. е. стоит нам принять элементарные исходы не
равновозможными, как мы вынуждены будем изменить определение вероятности. Для понимания сути этой проблемы рассмотрим следующий
модельный пример.
Задача о трех картонках. На каждой из трех одинаковых картонках с обеих
сторон нарисованы буквы: на первой — А, А; на второй — Б, Б; на третьей, с одной
стороны, А, с другой — Б. Одна из картонок выбирается наугад и кладется на стол.
Пусть на ней нарисована буква А. Какова вероятность, что на другой стороне будет буква А?
В условиях этого испытания случайно выбрана первая картонка с буквами А и
А или третья картонка с буквами А и Б с разных сторон. Заметим, что в первом случае вторая буква будет А, во втором — Б. Интуиция подсказывает, что искомая вероятность равна 1/2, но это заключение неверно и причина заблуждения не очевидна.
Дело в том, что два рассмотренных исхода испытания, а именно событие
АА = {выбрана первая картонка} и событие АБ = {выбрана третья картонка} не были
равновозможными. В действительности в событии АА два исхода благоприятны для
обнаружения буквы А, а в событии АБ — только один исход. Поэтому вероятность
того, что на столе лежит картонка с буквами А и А с разных сторон, равна 2/3.

129

Реальных прикладных задач, где здравый смысл противоречит логике рассуждений, довольно много. Слабое место интуиции вероятностного мышления в том,
что смесь различных комбинаторных вариантов с наглядностью в теории вероятностей такова, что как сказал автор современных пособий по математике В. Босс «все
время искрит». Тем не менее при указании равновозможных событий основную роль
играют конкретные условия рассматриваемого опыта и здравый смысл. В этом могут
помочь и соображения симметрии, понятые в широком смысле, т. е. условия проводимого испытания симметричны относительно рассматриваемых событий.

Пример. Четыре буквы-кубика А, А, М, М положены в мешок, откуда их вынимают наудачу и располагают один за другим в порядке, в
котором они появляются. Какова вероятность получить при таком извлечении слово МАМА?
Число всех равновозможных исходов этого испытания — это число
перестановок с повторениями (2 буквы А и 2 — М), P 1,2 = 4!/(2!⋅2!) = 6,
а именно: ААММ, АМАМ, АММА, МААМ, МАМА, ММАА. Среди всех
исходов данного испытания есть только один благоприятный для слова
МАМА случай, поэтому
р(МАМА) = 1/ P 2,2 = 1/6.
Пример. Пусть четыре одинаковые картонки со словами «быть»,
«очень», «знаменитым», «некрасиво» сложены в черном ящике и затем
наугад извлекаются три карточки одна за другой, составляя в порядке
их появления предложение. Какова вероятность получения пастернаковской строки «быть знаменитым некрасиво» ?
Число всех равновозможных исходов этого испытания — это число
размещений A43 = 4⋅3⋅2 = 24. Среди этих исходов есть единственный благоприятный для поэтической строки Пастернака вариант, который для
простоты обозначим первыми буквами соответствующих слов «б. з. к.»,
следовательно, р(«б. з. к.») = 1/ A43 = 1/24.
Пример. Допустим, что в некотором языке имеется 2 типа фонем: гласные и
согласные, которые, так же как и гласные, являются слогообразующими, и любые
трехфонемные слова равновозможны. Какова вероятность выбрать случайным образом из множества указанного типа трехфонемных слов такое слово, которое составлено из фонем следующего типа — 1-й гласной и 2 согласных фонем, без учета
порядка их следования?

Число всех равновозможных исходов этого испытания — это число сочетаний
с повторениями C23 = C23+3−1 = 4!/(3!⋅1!) = 4. Среди исходов данного испытания толь-

130

ко один благоприятствует трехфонемному слову указанного типа, т. е. составленному
из одной гласной и двух согласных фонем без учета порядка их следования. Обозначим это событие символом «такое слово», тогда
р(«такое слово») = 1/ C23 = 1/4.
Замечание. Классическое определение вероятности не является строго математическим определением, а дает лишь метод ее вычисления в простейших случаях.

Одним из первых, кто стал математически анализировать игровые шансы, был
итальянский математик Джироламо Кардано, известный, так же как изобретатель
«карданного вала». В его манускрипте «Книга об азартных играх» впервые была высказана идея комбинаций, с помощью которых удобно описывать множество всех
возможных исходов испытания, например, при бросании игральных костей в разном
числе. Он также обнаружил, что для правильной игральной кости «отношение числа
благоприятных комбинаций к общему числу возможных комбинаций находится в
хорошем согласии с игровой практикой».
В теории вероятностей классическим является эксперимент с урной, из которой надо не глядя извлекать одинаковые шары разных окрасок. Вероятность при этом
вводится просто: если в урне находится 30 шаров, 10 из которых — белые, то вероятность извлечь белый шар равна 10/30 = 1/3. Схема опыта настолько проста, что кажется очевидной, хотя, в сущности, все проблемы, относящиеся к случайным событиям, связанным с экспериментами с подбрасыванием игральной кости или монеты,
упрятаны «во тьму урны». Хотя классики науки «математики случайного» довольно
широко пользовались урновой схемой, смысл из нее они извлекали различный. Рассмотрим, например, задачу о выборке, имеющую практические применения в разных
областях знания.
Пример. В урне имеется всего n шаров, из них m белых и n–m черных шаров. Из
урны наудачу вынимается k шаров. Какова вероятность того, что среди вынутых k
шаров окажется l белых?

Исход этого испытания состоит в появлении любых k шаров из общего числа n
шаров. В данном примере событие А = {среди вынутых k шаров окажется l белых}.
Поскольку нас не интересует порядок появления этих шаров, то число всех исходов
равно числу сочетаний Cnk . Заметим, что мы извлекаем не только l белых шаров, но
и оставшиеся k – l черных. Очевидно, что 0 ≤ l ≤ m и 0 ≤ k – l ≤ n – m в противном случае вероятность появления интересующего нас события равна 0. Извлечь l белых
шаров из имеющихся в урне m белых шаров можно Cml способами. Соответственно
извлечь k – l черных шаров из n – m черных шаров можно Cnk−−ml способами. По комбинаторному принципу умножения число благоприятных исходов для события А
равно произведению Cml ⋅ Cnk−−ml . Следовательно, искомая вероятность в задаче о выборке равна
Cml ⋅ Cnk−−ml
р(А) =
⋅.
Cnk

131

Пример. В группе студентов из 17 девушек и 3 юношей выбирают по жребию
3 человек в оргкомитет «Дней филфака». Какова вероятность того, что в составе
выбранных окажется 2 девушки и 1 юноша?

Это типичная задача о выборке, где в условиях предыдущего примера «шары» — это студенты, «белые шары» — девушки, «черные шары» — юноши. Тогда
n = 20, m = 17, n – m = 3, k = 3, l = 2, k – l = 1. Следовательно, вероятность события
А = {среди выбранных студентов окажется 2 девушки и 1 юноша} равна
17 ⋅ 16 3
C172 ⋅ C31
20 ⋅ 19 ⋅ 18
р(А) =
=(
⋅ )/(
) ≈ 0,35.
3
C20
1!
3!
2!

Пример. Из колоды, состоящей из 36 карт, наудачу вытаскивается 6 карт.
Какова вероятность того, что среди них окажется 1 король и 2 дамы?

Для решения этого примера можно применить общую схему задачи о выборке.
Общее число всех исходов события А = {среди вытянутых 6 карт окажется 1 король
и 2 дамы} равно числу сочетаний C366 . Вытянуть 1 короля из 4, имеющихся в колоде,
можно C41 способами, а 2 дам из 4 соответственно C42 способами. Кроме того, вытягиваются еще 3 карты из 36 – 4 – 4 = 28 карт, не содержащих ни королей, ни дам, что
3
способами. Таким образом, согласно комбинаторному принципу
можно сделать C28
умножения число благоприятных исходов для события А равно произведению
3
C41 ⋅ C42 ⋅ C28
. Следовательно, искомая вероятность равна
р(А) =

3
36 ⋅ 35 ⋅ 34 ⋅ 33 ⋅ 32 ⋅ 31
4 4 ⋅ 3 28 ⋅ 27 ⋅ 26
C41 ⋅ C42 ⋅ C28
=( ⋅
⋅
)/(
) ≈ 0,04.
6
C36
6!
1! 2!
3!

Замечание. Все рассмотренные примеры являются частными случаями урновой схемы.
Например, бросание монеты можно заменить урновой схемой с 2 шарами, которые обозначены буквами О и Р. Вынимание из колоды карт одной карты можно
заменить урной с 36 шарами, обозначенной парой знаков (а, в), где а — буквы П (пики), Т (трефы), Б(бубны), Ч (червы), а в — достоинства карты: 6 — шестерка, …,
10 — десятка, 11 — валет, …, 14 — туз. Например, событию А = {вынут туз} соответствует вынимание из урны шара, принадлежащего подмножеству А = {(П, 14),
(Т, 14), (Б, 14), (Ч, 14)}, а событию В = {вынута карта червовой масти} соответствует
подмножество В = {(Ч, 6), (Ч, 7), …, (Ч, 14)}.
Замечание. Статистическое понимание вероятности состоит в том, что постулируется не симметрия условий проводимого испытания (равновозможность), а
беспорядочность.
Например, во многих естественных явлениях мы вообще не находим симметрии
подобной правильной кости, т. е. не все события в мире равновозможны. Кроме того,
статистический подход к пониманию вероятности в отличие от классического исходит из предположения, что испытание, в котором может появиться данное случайное событие, можно идентично воспроизвести хотя бы теоретически любое число раз.

132

Предположение равновозможности позволяет нам использовать комбинаторные принципы, поскольку подсчет вероятностей — это одно из основных приложений комбинаторики. С учетом этого предположения рассмотрим еще несколько
примеров нахождения классической вероятности.
Пример. Монету бросают 10 раз. Какова вероятность события А = {орел выпадет ровно 3 раза}?

Десятикратное бросание монеты можно рассматривать как упорядоченную последовательность букв, составленную из 10 повторяющихся элементов множества
{О, Р}. Поэтому число всех исходов испытания равно числу размещений с повторениями A210 = 210. Благоприятными для события А исходами будут последовательности, в которых буква О встречается 3 раза, соответственно буква Р — 7 раз. Их
число равно числу сочетаний C103 = C107 = 10! / (3!⋅7!) = (10⋅9⋅8) / 3! = 120. В частности, число благоприятных исходов в этом испытании можно посчитать с помощью
формулы числа перестановок с повторениями P 3,7 = 10! / (3!⋅7!) = C103 . Таким образом, искомая вероятность:
р(А) = C103 / A210 = 120 / 210 = (15⋅23) / ( 210) = 15 / 128 ≈ 0,12.
Пример. Игральную кость бросают 10 раз. Какова вероятность события
В = {грани, отвечающие числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, выпадут соответственно 0, 1, 2, 4,
2, 1 раз}?

Число всех исходов испытания равно числу всех упорядоченных последовательностей цифр, составленных из 10 повторяющихся элементов множества
{1, 2, 3, 4, 5, 6} — это число размещений с повторениями A610 = 610. Благоприятными
для события В исходами будут последовательности, в которых число 1 ни разу не
встречается, а числа 2, 3, 4, 5, 6 встречаются соответственно 1, 2, 4, 2, 1 раз. Их число
(0 + 1 + 2 + 4 + 2 + 1)!
=
равно числу перестановок с повторениями P 0,1,2,4,2,1 =
0! 1! 2! 4! 2! 1!
= 10! / (2!⋅4!⋅2!) = 3⋅4⋅5⋅7⋅9⋅10. Поэтому искомая вероятность:
р(В) = P 0,1,2,4,2,1 / A610 =

3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ 10
10

6

=

175
≈ 0,0006.
67

Пример. Пусть из совокупности, состоящей из n предметов, извлекаются с
возвращением k предметов. Какова вероятность события S = {все предметы, составляющие выборку, окажутся различными}?

В данной модели число всех исходов испытания равно числу размещений с повторениями Ank = nk, а число благоприятных исходов для события S равно числу размещений Ank . Отсюда искомая вероятность:
р(S) = Ank / Ank =

n (n − 1)( n − 2) ... (n − k + 1)
.
nk

133

Например, вероятность того, что наугад взятый телефонный номер, состоящий
из пяти различных цифр, в том числе и начинающий с цифры 0, равна
A105 / A105 =

10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
≈ 0,3.
105

Замечание. Парадоксально, что весьма легкое определение классической вероятности, вызывающее ассоциацию «вероятность — это дробь» вызывает определенную трудность его понимания, когда начинают действовать с «дробямивероятностями», совершенно не задумываясь о смысле этой «дроби».

Рассмотрим, например, простейший вопрос: Чему равна вероятность одновременного выпадения «орлов» или «решки» при подбрасывании двух монет?
Множество всех исходов этого испытания {(О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р)}. Вместо
двукратного бросания монет можно было рассмотреть случайный выбор с возвращением двух элементов из множества {О, Р}. Благоприятных исходов для события
А = {обе монеты выпадают одинаково — {О, О}, {Р, Р}}, поэтому искомая вероятность р(А) = 2/4 = 1/2. Означает ли это, что если мы подбросим две монеты четыре
раза, то на двух монетах выпадут одновременно «орлы» и «решки» точно два раза?
Конечно, нет! Найденная вероятность означает, что если мы подбросим две монеты,
например 1000 раз, то можно лишь ожидать, что монеты приблизительно в половине
случаев выпадут интересующим нас образом.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ
1. Верно ли, что вероятность появления слова ДВА, если наугад
выбираются три карточки из пяти с буквами А, Б, В, Г, Д и располагаются в ряд в порядке появления, равна 1/ A53 = 1/(5⋅4⋅3) = 1/60 ?
2. Верно ли, что вероятность доставания наудачу двух кубиков с
гласными из ящика, в котором находится 15 одинаковых кубиков с
5 гласными и 10 согласными, равна C52 / C152 = ((5⋅4)/2) / ((15⋅14)/2) = 2/21?
3. Верно ли, что вероятность появления всех граней при шестикратном бросании игральной кости, равна P6 / A66 = 6! / 66 = 10/648 ?
Знакомство с основами вероятностного мышления необходимо каждому грамотному специалисту-филологу, но, прежде всего, будущему
исследователю. Возможностям и путям использования точных методов в
литературоведении посвящена книга главы «смоленской филологической школы», профессора В. С. Баевского «Лингвистические, математические, семиотические и компьютерные модели в истории и теории
литературы» (М., 2001). Подводя итог истории литературы XX столетия
и открывая перспективы исследований в XXI веке, автор исходит из
убеждения, что нет такой сложной проблемы, в которой невозможно продвинуться с помощью математических методов, прежде всего
теории вероятностей и математической статистики, а также логики и
компьютерного моделирования.
134

ДОПОЛНЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ
В будущем цифры рассеют мрак.
Цифры не умира.
Только меняют порядок, как
телефонные номера.
Иосиф Бродский

В

нашей жизни достаточно примеров вероятностных предрассудков,
обусловленных вероятностной безграмотностью. Например, миллионы людей совершенно серьезно однозначно соотносят себя с одним
из 12 знаков зодиака, произвольно толкуя предсказания астрологов, забывая при этом ошибочные и фиксируя в памяти лишь сбывшиеся. Примеры подобного рода можно многократно умножить, поскольку они каким-то образом связаны с ожиданиями и человеческой психологией.
Вполне традиционно представление о том, что «случайность» состоит, прежде всего, в отсутствии «закономерности». Создатель логического обоснования теории вероятностей на базе теории множеств и теории меры академик А. Н. Колмогоров писал: «Применяя теорию вероятностей, мы не ограничиваемся отрицанием закономерности, а делаем из гипотез о случайности наблюдаемых явлений определенные положительные выводы». Теория вероятностей обычно определяется как
математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных
событий находить вероятность других случайных событий, связанных
каким-либо образом с первыми.
Классическое определение вероятности исходит из предположения о
равновозможности (или равновероятности) элементарных событий. Однако это предположение оправдывается не всегда. Теория вероятностей
в самом широком смысле как математическая дисциплина имеет дело с
задачами вычисления вероятностей случайных событий, состоящих из
совокупностей «элементарных» событий, вероятности которых известны или постулируются. Правила вычисления вероятностей сложных событий подобны тем, которые употребляются для вычисления
площадей и объемов в геометрии. Если вместо слова «событие» подставить слово «множество» и вместо слова «вероятность» — слово «площадь», то тогда задача сводится к сопоставлению множествам подходящих площадей, а это уже раздел теории меры, где слово «мера» означает
площадь в применении к довольно сложным множествам.
135

Определение несовместных событий. События, которые не могут произойти одновременно в рассматриваемом испытании, называются несовместными. События, которые в рассматриваемом испытании могут произойти одновременно, называют совместными.
Заметим, что если A ∩ B = ∅, то события A и B несовместны. Рассмотрим теперь утверждения, при помощи которых по вероятности одних случайных событий вычисляются вероятности других случайных
событий. Простейшие из этих утверждений можно объединить в группу
теорем сложения.
Утверждение. Для несовместных событий A и B имеет место
теорема сложения вероятностей
р(A ∪ B) = p(A) + p(B).
Доказательство. Проведем его для случая классической вероятности. Пусть рассматриваемое испытание имеет n равновозможных исходов. Если событию A благоприятствует m исходов, а событию B — k исходов, то р(A) = m/n и р(B) = k/n. Поскольку события A и B несовместны,
т. е. A ∩ B = ∅, то нет исходов, благоприятствующих одновременно событию A и событию B. Следовательно, по комбинаторному принципу
сложения событию A ∪ B благоприятствует m + k исходов и поэтому
р(A ∪ B) =

m+k
m k
=
+ = p(A) + p(B),
n
n n

т. е. вероятность объединения (суммы) двух несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий.
Например, при бросании двух игральных костей событие
A = {выпало 5 очков} и событие B = {выпало 10 очков} несовместны,
т. е. A ∩ B = ∅. Поэтому вероятность события A ∪ B = {выпало число
очков, кратное 5} можно вычислить в силу предыдущего утверждения
по формуле р(A ∪ B) = p(A) + p(B). Всего исходов в этом испытании —
это число размещений с повторениями A62 = 36. Благоприятных исходов
для события А четыре — это выпадение в двух бросаниях следующих
очков (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), а для события B три благоприятных исхода — это (4, 6), (6, 4), (5, 5). Поэтому р(A ∪ B) = 4/36 + 3/36 = 7/36.
Когда мы говорим, что задачей математической теории вероятностей является нахождение одних случайных событий по вероятностям
других случайных событий, то при этом предполагается, что имеются
некоторые исходные события, вероятности которых уже известны. Но
136

откуда берутся вероятности исходных событий? Они берутся из тех наук, в рамках которых возникают решаемые задачи, и на этом этапе постановки задачи важны не математические, а профессиональные знания
в той области науки, к которой относится вероятностная задача.
Сформулируем теперь более общее понимание вероятности чем-то,
которое содержится в классическом определении. Поясним сущность
проблемы определения вероятности. Речь идет о том, чтобы приписать
каждому событию, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания, число, т. е. его вероятность. С помощью этого числа должны характеризоваться шансы события быть
реализованы при проведении испытания. Еще Цицерон говорил: «Жизнью правит случай, а не мудрость». Попробуем формализовать это понимание происходящих событий с помощью следующей модели.
Проводится некоторое испытание, имеющее n случайных исходов,
т. е. допускающее n элементарных событий A1, A2, …, An. По каким-либо
соображениям, например, лингвистическим, физическим или даже чисто
субъективным, каждому элементарному событию Ai поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число р(Ai), называемое вероятностью элементарного события Ai, причем эти числа выбраны так, что
для их суммы выполняется равенство:
р(A1) + р(A2) + … + р(An) = 1.
Вероятностью события А, составленного из некоторых элементарных событий Ai, называется сумма вероятностей этих элементарных событий:
р(A) =

∑

р(Ai),

i

где суммирование распространяется на все элементарные события, содержащиеся в событии А. В частности, для достоверного события
U = A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An его вероятность в силу данного определения равна
р(U) = р(A1) + р(A2) + … + р(An) = 1, а невозможное событие ∅ имеет
вероятность 0, р(∅) = 0, поскольку такое событие не содержит ни одного
элементарного события.
Советский математик Андрей Николаевич Колмогоров показал, что
теорию вероятностей можно развивать на основе аксиом подобно обычной математической теории. В общем случае основные свойства вероятности случайного события, которые принимаются в качестве аксиоматики Колмогорова таковы.
137

1. Аксиома неотрицательности. Для любого события А его вероятность р(А) есть неотрицательное число:
р(А) ≥ 0.
2. Аксиома нормированности. Вероятность достоверного события U
равна 1:
р(U) = 1.
3. Аксиома аддитивности. Вероятность объединения (суммы) двух
несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей:
р(A ∪ B) = p(A) + p(B).
Заслуга академика А. Н. Колмогорова состоит не только в том, что
он внес «полную ясность в формальное строение теории вероятностей»,
но и в том, что для этого не понадобилось конструировать какую-либо
новую систему формальных понятий, определяемых с помощью аксиом,
как это пытались сделать его предшественники. Он сумел использовать
для аксиоматизации теории вероятностей готовый раздел математики,
называемый «теория меры».
Замечание. Из основных свойств вероятности следует, что если
A ⊂ B, то p(A) ≤ p(B) и для каждого события A имеем 0 ≤ p(A) ≤ 1.
Действительно, если A ⊂ B, то тогда B = A ∪ (B \ A) (см. раздел 1.3),
где события A и B \ A несовместны, так как A ∩ (B \ A) = ∅. Поэтому в
силу аксиомы аддитивности p(B) = p(A ∪ (B \ A)) = p(A) + p(B \ A), откуда p(B) – p(A) = p(B \ A). А так как вероятность любого события неотрицательна, то p(B \ A) ≥ 0 и, следовательно, p(B) – p(A) ≥ 0 или p(A) ≤ p(B).
Второе утверждение следует из первого и того, что A ⊂ U, тогда
p(A) ≤ p(U). Поскольку p(U) = 1 и p(A) ≥ 0, то из предыдущего неравенства получаем 0 ≤ p(A) ≤ p(U) = 1, т. е. 0 ≤ p(A) ≤ 1.
Напомним, что в теории вероятности два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе и тогда вероятность объединения (суммы) несовместных событий равна сумме вероятностей.
Немецкий математик Рихард Мизес придумал следующий парадокс с
теннисистом.
Парадокс Мизеса. Пусть некий теннисист может поехать на
турнир либо в Москву, либо в Лондон, причем турниры происходят одновременно. Вероятность того, что он займет первое место в Москве,
равна 9/10, а в Лондоне — 6/10, конечно, если он туда поедет. Чему равна вероятность того, что он займет где-либо первое место?
138

Решение: поскольку событие A = {выигрыш турнира в Москве} и
событие B = {выигрыш в Лондоне} несовместны, то вероятность события A ∪ B = {выигрыш турнира в Москве или Лондоне} равна
р(A ∪ B) = p(A) + p(B) = 9/10 + 6/10 = 15/10 = 3/2.
Это противоречит согласно предыдущему замечанию тому, что вероятность любого события, в том числе и события A ∪ B, не превосходит числа 1, т. е. 0 ≤ p(A ∪ B) ≤ 1. Почему?
Несмотря на очевидную нелепость этого рассуждения, в рамках аксиоматики Колмогорова парадокс с теннисистом решается просто:
вероятности 0,9 и 0,6 относятся к разным пространствам элементарных
событий, поэтому сложение вероятностей в данном случае не имеет
смысла.
Пример. Студент филологического факультета сдаст зачет по
курсу «Основы высшей математики», если по пятибалльной системе
получит оценку не ниже 4 баллов. Какова вероятность сдачи зачета,
если известно, что студент филфака получает оценку 5 с вероятностью 1/3 и оценку 4 с вероятностью 1/2 ?
Вероятности получения оценок 5 и 4 по курсу «Основы высшей математики» определены из опыта проведения зачетов в предыдущие годы.
В этом испытании событие А = {на зачете студент филфака получил
оценку 5} и событие B = {на зачете студент филфака получил оценку 4}
несовместны. Поэтому в силу аксиомы аддитивности вероятность интересующего нас события A ∪ B = {зачет студент филфака сдал} равна:
р(A ∪ B) = p(A) + p(B) = 1/3 + 1/2 = 5/6.
Формулу для вероятности объединения двух несовместных событий
можно обобщить на любое число попарно несовместных событий.
Замечание. Если события A1, A2, …, An попарно несовместны, т. е.
любые два события не могут произойти одновременно, то тогда для
них справедливо равенство:
р(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = р(A1) + р(A2) + … + р(An).
Покажем, например, как доказать это равенство для n = 3. Напомним, что оно верно для двух событий, т. е. р(A ∪ B) = p(A) + p(B). В силу
свойства ассоциативности операции объединения множеств (см. раздел 1.4)
объединение трех событий A, B и C можно записать в виде объединения двух событий, т. е. A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C. По свойству дистрибутивности (см. раздел 1.4) имеем (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)=
= ∅ ∪ ∅ = ∅, так как события A, B, C попарно несовместны и их пересе139

чения равны A ∩ C = ∅, B ∩ C = ∅. Следовательно, события A ∪ B и C
несовместны и поэтому, применяя дважды формулу для вероятности
объединения событий, получим
р(A ∪ B ∪ C) = р((A ∪ B) ∪ C) = р(A ∪ B) + р(C) = p(A) + p(B) + р(C),
т. е.
р(A ∪ B ∪ C) = p(A) + p(B) + р(C).
Пример. В лотерее 10 000 билетов и установлено 10 выигрышей по
100 000 рублей, 40 выигрышей по 50 000 рублей и 1000 выигрышей по
500 рублей. Какова вероятность выигрыша наудачу по одному билету?
Пусть событие A1 = {выигрыш составил 100 000 рублей}, событие
A2 = {выигрыш равен 50 000 рублей} и событие A3 = {выигрыш всего
лишь 500 рублей}. Выигрыш по одному билету — событие A1 ∪ A2 ∪ A3,
причем события Ai попарно несовместны. Воспользовавшись классической вероятностью этих событий p(A1) = 10/10 000, p(A2) = 40/10 000 и
p(A3) = 1000/10 000, получим в силу последнего замечания, что
p(A1 ∪ A2 ∪ A3) = p(A1) + p(A2) + p(A3) = 0,001 + 0,004 + 0,1 = 0,105.
С античных времен известны слова и предложения, которые читаются одинаково как слева направо, так и справа налево. Это палиндромы (или перевертыши), что в переводе с греческого означает «бегущие
назад», «возвращающиеся». Они породили особый литературный
жанр — палиндроматику. Каждый палиндромист, переворачивая слова,
неизбежно делает множество «открытий», приходя к таким палинромамоднострокам, как «город дорог», «лапоть топал», «искать такси». Палиндрому отдавали дань Гаврила Державин, Афанасий Фет, Валерий
Брюсов, а увлекавшийся математикой поэт Велимир Хлебников написал
целое стихотворение «Перевертень», где все строчки можно прочитать в
обратном порядке. Но палиндромы — это не только «урна жанру» и не
просто литературное развлечение. Понимание законов их образования
способствует появлению новых идей в информационных технологиях.
Первый неожиданный результат был получен при частотном анализе
распределения слов по числу букв. Оказалось, что почти все словапалиндромы русского языка насчитывают нечетное число букв, от 1
до 11. Ничего подобного нет среди обычных, т. е. «несимметричных»,
слов. «Закон нечетности числа букв» распространяется исключительно
на буквенно-симметричные словоформы, т. е. на палиндромы. Однако,
как утверждает Б. Горобец в статье «Закон нечетности числа букв в русских палиндромах» (Наука и жизнь. М., 2004), это утверждение требует
140

более строгой математико-лингвистической проверки путем подсчета
слов со сдвоенным центром, имеющих как четное, так и нечетное число
букв.
Простейшее лингвистическое, хотя и явно недостаточное, объяснение события A = {частота симметричных слов с четным и нечетным числом букв в данной выборке разного порядка} можно дать, рассмотрев
противоположное событие A = {частота симметричных слов с четным
и нечетным числом букв в данной выборке одного порядка}. Однако
статистическая вероятность противоположного события A очень мала,
так как среди симметричных слов с четным числом букв существовали
бы слова со сдвоенным центром в виде двух одинаковых гласных или
согласных, но палиндромов среди них почти нет, хотя таких слов довольно много: веер, леер, пиит, баллон, галлон, зуммер, перрон и т. д.
Установим теперь полезную для приложений связь между вероятностями исходного и противоположного события, т. е. между событием А и его дополнением A = U \ A. Например, при бросании игральной
кости сумма вероятностей события A = {выпадет шестерка} и противоположного события A = {шестерка не выпадет} равна единице.
Замечание. Из основных свойств вероятности следует, что для
каждого события A верно равенство
p(A) = 1 – p( A ).
Действительно, так как A ∪ A = U, A ∩ A = ∅, т. е. события A и A
несовместны, и p(U) = 1, то 1 = p(U) = p(A ∪ A ) = p(A) + p( A ). Из этого
равенства следует, что p(A) = 1 – p( A ). В частности, так как дополнение
пустого множества совпадает с универсальным множеством U, то тогда
р(∅) = 1 – p(U) = 1 – 1 = 0.
Рассмотрим частный случай последнего примера из раздела 2.4, известный как задача о днях рождения.
Пример. В группе обучается 23 студента. Какова вероятность того, что хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают?
Определение дней рождения у 23 случайно объединенных в группу
студентов можно заменить случайным выбором с возвращением 23 элементов из множества дней в году, т. е. множества {1, 2, …, 365}. Пусть
событие В = {хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают}. Будем
искать вероятность противоположного события, состоящего в том, что в
группе нет студентов, у которых дни рождения совпадают. Противоположное событие В , т. е. все дни рождения студентов группы различны,
141

обозначим через S. Так как по предыдущему замечанию р(В) = 1 – р( В )
и В = S, то р(В) = 1 – р(S). Из упомянутого выше примера следует, что
р(S) = Ank / Ank для n = 365 и k = 23, поэтому
р(S) =

365 ⋅ 364 ⋅ ... ⋅ 341 364 ⋅ ... ⋅ 341
= (1– 1 )⋅(1– 2 )⋅…⋅(1– 22 ),
=
23
22
365
365
365
365
365

откуда следует, что вероятность искомого события В равна:
р(В) = 1 – (1– 1 )⋅(1– 2 )⋅ … ⋅(1– 22 ) ≈ 0,507.
365
365
365
Заметим, что у группы из 22 студентов вероятность того, что, по
крайней мере, у двух студентов дни рождения совпадают, равна 0,475,
т. е. меньше 1/2, а для 23 студентов уже больше 1/2.
Пример. Рассмотрим испытание, в котором бросается две монеты. Чему равна вероятность выпадения хотя бы одного орла?
Пусть событие A = {выпал орел при подбрасывании первой монеты}, а событие B = {выпал орел при подбрасывании второй монеты}.
Требуется найти вероятность события A ∪ B = {выпал хотя бы один
орел при подбрасывании двух монет}. Легко видеть, что p(A) = 1/2,
p(B) = 1/2, но p(A ∪ B) ≠ 1, так как событие A ∪ B не является достоверным. В рассматриваемом случае p(A ∪ B) ≠ p(A) + p(B), поскольку события A и B не являются несовместными, т. е. они совместны и A ∩ B ≠ ∅.
При бросании двух монет могут произойти следующие 4 события:
(О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р). Благоприятными для события A ∪ B являются 3 события, следовательно, p(A ∪ B) = 3/4.
Опишем эту ситуацию в общем случае. Пусть n — число всех равновозможных элементарных событий, которые попарно несовместны в
данном испытании, m — число элементарных событий, благоприятных
событию A, а k — число элементарных событий, благоприятных событию B. Допустим, что события A и B совместны, т. е. могут происходить
одновременно, и среди m + k событий содержится l событий, благоприятных событию A и событию B. По определению классической вероятности p(A) = m/n, p(B) = k/n и p(A ∩ B) = l/n. Нетрудно видеть, что событию A ∪ B благоприятствует m + k – l равновозможных элементарных
событий, поэтому
p(A ∪ B) =

m+k −l
m k l
= + − = p(A) + p(B) – p(A ∩ B).
n
n n n

142

В частности, в рассмотренном примере с монетами, где p(A) = 1/2,
p(B) = 1/2, p(A ∩ B) = 1/4, имеем p(A ∪ B) = 1/2 + 1/2 – 1/4 = 3/4.
Для полноты изложения выведем формулу для вероятности объединения двух событий в общем случае, т. е. не обязательно несовместных.
При этом мы будем опираться на некоторые соотношения из теории
множеств.
Утверждение. Для любых событий A и B справедлива формула для
вероятности объединения (суммы) событий вида:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B).
Доказательство. Если события A и B несовместны, т. е. A ∩ B = ∅,
то тогда p(A ∩ B) = p(∅) = 0 и доказываемое равенство примет вид
p(A ∪ B) = p(A) + p(B). Поэтому необходимо исследовать случай совместных событий A и B, т. е. когда A ∩ B ≠ ∅. Рассмотрим равенства для
множеств A, B и A ∪ B (рис. 2.5) следующего вида:
A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), B = (B \ A) ∪ (A ∩ B),
A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A).
Они были рассмотрены в разделе 1.3 «Операции над множествами»
первой главы.

Напомним, что пересечение множеств A \ B и B \ A равно пустому
множеству (см. раздел 1.3). Покажем, что пересечение множеств A ∩ B и
A \ B, а также A ∩ B и B \ A, тоже равно пустому множеству. Для этого
воспользуемся свойством дистрибутивности пересечения относительно
разности для множеств, рассмотренным в разделе 1.4 «Основные свойства операций над множествами», а именно:
C ∩ (D \ E) = (C ∩ D) \ (C ∩ E).
Полагая C = A ∩ B, D = A и E = B, получим следующее равенство
(A ∩ B) ∩ (A \ B) = (A ∩ B ∩ A) \ (A ∩ B ∩ B) = (A ∩ B) \ (A ∩ B) = ∅.
143

Аналогично, полагая C = A ∩ B, D = B и E = A, получим, что
(A ∩ B) ∩ (B \ A ) = ∅. Таким образом, A \ B, A ∩ B и B \ A — попарно непересекающиеся множества. Поэтому по аксиоме аддитивности имеем:
p(A) = p((A \ B) ∪ (A ∩ B)) = p(A \ B) + p(A ∩ B),
p(B) = p((B \ A) ∪ (A ∩ B)) = p(B \ A) + p(A ∩ B),
наконец
p(A ∪ B) = p((A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A)) =
p(A \ B) + p(A ∩ B) + p(B \ A).
Непосредственно из этих равенств следует, что
p(A) + p(B) = (p(A \ B) + p(A ∩ B)) + (p(B \ A) + p(A ∩ B)) =
= (p(A \ B) + p(A ∩ B) + p(B \ A)) + p(A ∩ B) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B).
Откуда получаем искомое равенство вида p(A ∩ B) = p(A) + p(B) –
– p(A ∩ B), т. е. вероятность объединения (суммы) любых двух событий
равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.
Пример. Бросают две игральные кости. Какова вероятность выпадения хотя бы одной шестерки?
Пусть событие A = {выпадение 6 на первой кости} и событие
B = {выпадение 6 на второй кости}. Вероятность p(A ∪ B) можно вычислить в силу предыдущего утверждения по формуле p(A ∪ B) = p(A) +
+ p(B) – p(A ∩ B). Очевидно, что p(A) = 1/6, p(B) = 1/6, p(A ∩ B) = 1/62 =
= 1/36, поэтому p(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36.
Например, для построения алгоритма работы вероятностного автомата, распознающего устную речь, приходится вычислять вероятность совпадения хотя бы одной из словоформ обрабатываемого текста с
соответствующей лексемой, заданной в словаре автомата.
Чему равна вероятность того, что хотя бы одно из двух выбранных
слов текста будет местоимением ОН? Обозначим через событие A =
{первое появление местоимения ОН}, а через событие B = {второе появление местоимения ОН}. События A и B совместны, так как можно одновременно извлечь слово ОН из первого и второго отрывков. Согласно
данным частотного словаря статистическая вероятность местоимения
ОН равна 0,0099. Следовательно, в силу последнего утверждения
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) =
= 0,0099 + 0,0099 – 0,0099⋅0,0099 ≈ 0,02.
144

Формулу для вероятности объединения двух совместных событий можно обобщить на объединение любого числа событий.
Замечание. Для случайных событий A1, A2, …, An справедлива следующая формула для вероятности объединения (суммы) событий:
р(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = ∑ p( Ai ) –
1≤i≤n

+

∑

1≤i< j 0, p(B) = > 0,
n
n

r
. Если произошло событие B, то произошло одно из l элеn

ментарных событий, событие А произойдет только тогда, когда произойдет одно из элементарных событий, составляющих событие A ∩ B.
Поэтому
p(A B) =

r r n p( A ∩ B )
=
=
.
l ln
p( B )

Аналогично показывается, что
p(B A) =

r r n p( A ∩ B )
=
=
.
m mn
p( A)

В частности, на основании последних формул можно записать, что
(A ∩ B) = p(В)p(A B) = p(А)p(В А).
В этом примере рассмотрен промежуточный случай, когда A ∩ B ≠ ∅, т. е. когда
события совместны. Рассмотрим более простые случаи. Когда A ∩ B = ∅, т. е. события несовместны, то ясно, что если событие В произошло, то тогда событие A
произойти не может, следовательно, его условная вероятность равна 0, так как
p(A B) = p(A ∩ B) / p(В) = 0 / p(В) = 0.
Другой простой случай. Когда справедливо включение В ⊂ A, тогда если событие В произошло, то событие A тоже произошло, т. е. в этой ситуации событие A играет роль достоверного события и его условная вероятность равна 1, так как
p(A B) = p(A ∩ B) / p(В) = p(В) / p(В) = 1.

147

Пример. Грани игральной кости 1, 2, 3 заклеены красной бумагой, а грани
4, 5, 6 — черной. При бросании кости выпала черная грань. Какова вероятность того, что на этой грани стоит четное число?
Пусть в этом испытании событие А = {выпало четное число очков} и событие
В = {выпало более чем 3 очка}. Тогда p(В) = 3/6 = 1/2 и p(A ∩ B) = 2/6 = 1/3. Поэтому
в силу предыдущего примера условная вероятность p(A B) равна p(A B) =
= (1/3)/(1/2) = 2/3. Для сравнения отметим, что безусловная вероятность события А
равна p(А) = 3/6 = 1/2.

Определение условной вероятности. Если вероятность события В
не нулевая, р(В) > 0, то условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называют число
p(A B) =

p( A ∩ B )
.
p( B )

Отметим, что поскольку вероятность случайного события В величина неотрицательная, т. е. p(В) ≥ 0, то в определении условной вероятности p(A B) условие p(В) > 0 означает, что p(В) ≠ 0.
В частности, из этого определения следует, что
p(А  B ) = p(A ∩ B ) / p( B ).
Например, при бросании игральной кости событие А = {выпало
простое число очков} и событие В = {число выпавших очков четно} совместны, A ∩ B ≠ ∅ и p(В) > 0. Поэтому можно вычислить условную вероятность p(A B). Так как событию В благоприятствуют три равновозможных исхода опыта, т. е. выпадение трех чисел 2, 4, 6, из них событию
А благоприятствует только выпадение числа 2, т. е. событие A ∩ B —
это выпадение одного числа 2, то тогда условная вероятность
p(A B) = 1/3. Кроме того, так как событию B благоприятствует выпадение трех нечетных чисел 1, 3, 5, а из этих выпадений событию А благоприятствует только выпадение чисел 3 и 5, т. е. событие A ∩ B — это
выпадение чисел 3 и 5, поэтому условная вероятность равна
p(A  B ) = 2/3.
Замечание. Если событию В благоприятствуют l равновозможных
исходов испытания и r из них благоприятствуют событию А, то тогда
условную вероятность p(A B) можно вычислить по формуле
r
p(A B) = .
l
148

Это равенство, по существу, было получено в примере перед определением условной вероятности. Действительно, если в рассматриваемом испытании n равновозможных исходов, то в силу заданных условий
p(В) = l/n и p(A ∩ B) = r/n. Тогда по определению условной вероятности
справедливо равенство p(A B) = (r/n) / (l/n) = r/l.
Пример. Из колоды игральных карт вынимают наугад одну карту,
которая оказалась черной масти. Чему равна вероятность того, что
вынута карта туз?
Пусть в этом испытании событие А = {вынут туз}, а событие
В = {вынута карта черной масти}. Событию В благоприятствуют 18 исходов этого испытания, из них событию А благоприятствуют 2 исхода.
Следовательно, искомая вероятность равна p(A B) = 2/18 = 1/9.
Для большей ясности укажем, что p(А) и p(A B) определяют вероятности события А по отношению к двум разным пространствам элементарных событий. Если в
первом испытании это, например, универсальное множество U, то во втором испытании таким пространством является множество В, т. е. подмножество множества U,
так как В ⊂ U. Событиями во втором испытании служат пересечения событий из первого испытания с множеством В, а соответствующая им вероятность находится путем
деления вероятности события A ∩ B в первом испытании, т. е. p(A ∩ B), на вероятность p(В). В принципе условная вероятность не отличается от понятия вероятность. На самом деле, вероятность любого события зависит от некоторых условий,
при которых рассматривается его наступление или не наступление, а если условия
испытания изменились, то, естественно, меняется и вероятность. Поэтому все аксиомы вероятностей будут справедливы и для условных вероятностей p(A B).

Замечание. В формуле p(A B) выражение, стоящее в скобках, то
есть символ A B, не обозначает какого-либо события и отдельно не
употребляется.
Из определения условной вероятности и основных свойств вероятности случайного события непосредственно следуют основные свойства условной вероятности:
1. p(A B) ≥ 0 для любого события А при условии, что произошло
событие В;
2. р(U B) = 1 для достоверного события U при условии, что произошло событие В ⊂ U;
3. p((А ∪ В) D) = p(A D) + p(B D) для любых несовместных событий А и В, т. е. А ∩ В = ∅, при условии, что произошло событие D.
Всегда 0 ≤ p(A B) ≤ 1, в частности, p(A B) = 0, если A ∩ B = ∅, т. е.
A ∩ B — невозможное событие, и p(A B) = 1, если В ⊂ A.
149

Замечание. Если события А1, А2, …, Аn попарно несовместны, т. е.
Аi ∩ Аj = ∅ при i ≠ j, то тогда для них справедлива формула для условной вероятности объединения (суммы) событий:
p((А1 ∪ А2 ∪ … ∪ Аn) D) = p(А1 D) + p(А2 D) +…+ p(Аn D).
Покажем, например, как проверить равенство для n = 2, т. е. докажем третье свойство условной вероятности:
p((А ∪ В) D) = p(A D) + p(B D)
при условии, что А ∩ В = ∅. Из последнего условия следует, что
(А ∩ D) ∩ (B ∩ D) = ∅. В силу свойства дистрибутивности операции пересечения относительно операции объединения множеств (см. раздел
1.4), (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D) ∪ (B ∩ D), а так как события A ∩ D и B ∩ D
несовместны, то p((A ∩ D) ∪ (B ∩ D)) = p(A ∩ D) + p(B ∩ D). Поэтому по
определению условной вероятности имеем

p(( A ∪ B) ∩ D) p(( A ∩ D) ∪ ( B ∩ D))
=
=
p( D)
p( D)
p( A ∩ D) + p( B ∩ D)
= p (A D) + p(B D).
=
p( D)

p(( A ∪ B) D) =

Рассмотрим, как связаны условные вероятности противоположных
событий, т. е. между событием А и его дополнением A = U \ A.
Замечание. Из основных свойств условной вероятности следует,
что для каждого события А при условии, что произошло событие В ⊂ U
с вероятностью p(В) > 0, верно равенство:
p(A B) = 1 – p( A B).
Действительно, A ∪ A = U и А ∩ A = ∅. Из последнего равенства
следует, что ((A ∩ В) ∩ ( A ∩ В)) = ∅. Кроме того, для достоверного события U условная вероятность p(U B) = 1. Поэтому по определению условной вероятности и в силу свойства дистрибутивности операций пересечения относительно операции объединения (см. раздел 1.4) имеем
1 = р(U B) = р((A ∪ A ) B) = р((A ∪ A ) ∩ B) / р(B) =
= p((A ∩ B) ∪ р( A ∩ B)) / р(B) = (p(A ∩ B) + р( A ∩ B)) / р(B) =
= p(A B) + p( A B).
Из этого равенства следует искомое равенство p(A B) = 1 – p( A B).
Формулу определения условной вероятности для p(A B), где
р(B) > 0 можно записать в виде р(А ∩ В) = p(B)p(A B) соответственно,
150

если р(A) > 0, формулу определения условной вероятности p(B A) можно записать в виде р(A ∩ B) = p(A)p(B A). Таким образом, имеет место
следующее утверждение, относящееся к группе теорем умножения.
Утверждение. Если р(B) > 0 или р(A) > 0, то тогда справедлива
формула для вероятности пересечения (произведения) событий вида:
р(A ∩ B) = р(B)p(A B) или р(A ∩ B) = р(A)p(B A).
Способ вычисления вероятности пересечения двух событий получен
с помощью формулы условной вероятности, т. е. вероятность пересечения (произведения) двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии,
что первое событие произошло.
На практике теорему умножения (или формулу для вероятности пересечения
событий) применяют чаще всего вместе с теоремой сложения (или формулой для
вероятности объединения событий). При этом событие, вероятность которого требуется найти, стараются представить в виде суммы нескольких попарно несовместных
событий. Заметим, что первым систематическим исследованием по «исчислению вероятностей», в котором приводятся правила сложения и умножения вероятностей,
был трактат нидерландского механика и математика Христиана Гюйгенса «О расчетах при игре в кости или о расчетах при азартной игре». Долгое время эта книга
была основным пособием по «элементарной теории вероятности». Рассмотрим на
примере одновременное применение указанных теорем.
Пример. Пусть из колоды карт одну за другой наудачу вытягивают две карты.
Какова вероятность того, что хотя бы одна из карт будет пиковой масти?
Обозначим через событие A = {первой вытянута карта пиковой масти} и событие B = {второй вытянута карта пиковой масти}. Надо посчитать вероятность события A ∪ B = {хотя бы одна из вытянутых карт пиковой масти}. Заметим, что
A ∩ B ≠ ∅, т. е. события A и B совместные, поэтому
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B), где p(A ∩ B) = p(A)p(B A).
Пусть в колоде 36 карт. Очевидно, что p(A) = 9/36 = 1/4, поскольку 9 из 36
карт — пиковой масти. Для нахождения условной вероятности p(B A) заметим, что
одну пиковую карту вытянули, но не вернули, теперь в колоде 35 карт и из них 8 —
пиковой масти, поэтому p(B A) = 8/35. Следовательно, вероятность того, что вытянуты две карты пиковой масти, равна p(A ∩ B) = p(A)p(B A) = (1/4)(8/35) = 2/35.
Этот результат можно получить с помощью формулы задачи о выборке:

 9 ⋅ 8   36 ⋅ 35  2
 /
= .
 2!   2!  35

p(A ∩ B) = ( C 92 ⋅ C 360 − 9 ) / C362 = 

Найдем теперь вероятность p(B). Так как B = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ B), то p(B) =
= p(A ∩ B) + p( A ∩ B), где A = {первой вытянута карта не пиковой масти}. Очевид-

151

но, что p( A ) = 27/36, поскольку из 36 карт 27 = 36 – 9 карт — не пиковой масти.
27 9
27
Кроме того, p(B  A ) = 9/35, поэтому p( A ∩ B) = p( A )p(B  A ) =
. Для
⋅ =
36 35 4 ⋅ 35
нахождения вероятности p( A ∩ B) с помощью формулы задачи о выборке необходимо учесть, что в этой схеме учтен вариант, когда первая карта пиковой масти, а
вторая не пиковой, т. е.
p( A ∩ B) =

1 1
1  27  9   36 ⋅ 35 
27
.
(C 27 ⋅ C 91 ) / C 362 =    / 
=
2
2  1!  1!   2!  4 ⋅ 35

2
27
1
+
= . В частности, те35 4 ⋅ 35 4
перь видно, что вероятность доставания второй карты такая же, как если бы это происходило без реализации события A. Теперь можно найти искомую вероятность:

Следовательно, p(B) = p(A ∩ B) + p( A ∩ B) =

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) =

1
4

+

1
4

−

2
35

=

31
70

.

В связи с примерами подобного рода уместно отметить, что как сказал в своем
трактате Христиан Гюйгенс, «при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы
очень интересной и глубокой теории».
Полученная для двух случайных событий формула допускает следующее обобщение. Пусть А1, А2, …, Аn — случайные события и p(А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn-1) > 0. Поскольку
А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn ⊂ А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn-1 ⊂ … ⊂ А1 ∩ А2 ⊂ А1,
то из замечания после основных свойств вероятности, т. е. из того, что А ⊂ B ⇒
р(A) ≤ р(B), и условия p(А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn-1) > 0 следует p(А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аk) > 0 для
любого k = 1, 2, …, n–1. Следовательно, различные условные вероятности вида
р(Ak А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аk-1) определены. Поэтому можно рассмотреть следующее
обобщение предыдущего утверждения для n событий.
Замечание. Если для случайных событий А1, А2, …, Аn вероятность
p(А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn-1) > 0, то тогда справедлива следующая формула для вероятности пересечения (произведения) событий:
p(А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn) = p(А1)p(А2 A1)p(А3 А1 ∩ А2) … p(An А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn-1).
Смысл этой формулы в том, что вероятность пересечения (произведения) нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.
Покажем, как доказать это равенство для n = 3, например, для A, B и D. Пусть
p(A ∩ B)>0. Напомним, что для событий A и B верна формула р(A ∩ B) = р(A)p(B A).
Пользуясь свойством ассоциативности операции пересечения множеств (см. раздел 1.4)

152

пересечение трех событий можно записать в виде A ∩ B ∩ D = (A ∩ B) ∩ D. Применяя дважды формулу для вероятности пересечения событий, получим
p(A ∩ B ∩ D) = p((A ∩ B) ∩ D) = p(A ∩ B)p(D A ∩ B) = p(A)p(B A)p(D A ∩ B),
т. е.
p(A ∩ B ∩ D) = p(A)p(B A)p(D A ∩ B).

В языкознании сравнительно редко встречаются безусловные вероятности. Даже вероятности букв, слогов, слов и т. д. являются условными, так как зависят от позиции этих лингвистических объектов в слове, словосочетании и предложении.
Пример. Слово ЛОТОС, составленное из букв-кубиков, рассыпано
на отдельные кубики, сложенные в коробке, из которой наугад произвольно извлекаются один за другим три буквы-кубика. Какова вероятность того, что при этом сложится слово СТО?
Ведем обозначения для следующих событий: A = {первой извлечена
буква С}, B = {второй извлечена буква Т}, D = {третьей извлечена буква
О}. Надо посчитать вероятность события A ∩ B ∩ D. Очевидно, что
p(A) = 1/5, а условные вероятности p(B A) = 1/4 и p(D A ∩ B) = 2/3. Поэтому по формуле для вероятности пересечения трех событий имеем
p(A ∩ B ∩ D) = p(A)p(B A)p(D A ∩ B) =

1 1 2 1
.
⋅ ⋅ =
5 4 3 30

Этот пример можно решить другим способом с помощью приема
растождествления, описанного в разделе 2.3. После индексации букв
слова ЛОТОС получим 5 различных букв Л1,О1,Т1,О2,С1. Из них можно
составить A53 = 5⋅4⋅3 различных 3-буквенных «слов», т. е. упорядоченных выборок или размещений. Они составляют все равновозможные исходы интересующего нас испытания в новом контексте «растождествления букв». Благоприятными исходами для появления слова СТО являются для буквы С — A11 = 1, т. е. одно размещение; для буквы T — A11 = 1
тоже одно размещение; для буквы O — A21 = 2⋅1 = 2 размещения. По комбинаторному принципу умножения число благоприятных исходов для
появления слова СТО равно A11 ⋅ A11 ⋅ A21 = 1⋅1⋅2 = 2, поэтому
A11 ⋅ A11 ⋅ A21 1 ⋅ 1 ⋅ 2
1
p(«СТО») =
.
=
=
A53
5 ⋅ 4 ⋅ 3 30

По существу, это аналог задачи о выборке, который можно назвать
задача об упорядоченной выборке. В отличие от задачи о выборке мы
153

сейчас рассматриваем упорядоченные подмножества, поэтому в задаче
об упорядоченной выборке вместо сочетаний рассматриваются размещения. Продемонстрируем это еще на одном примере.
Пример. Из урны с шарами, на которых написаны буквы, составляющие слово МАТЕМАТИКА, выбираются наугад последовательно
четыре шара и укладываются в порядке их появления. Какова вероятность того, что при этом сложится слово ТАТА?
Число всех равновозможных исходов этого испытания — это число
всех 4-буквенных «слов», составленных из 10 «растождествленных»
букв А1, А2, А3, Е1, И1, К1, М1, М2, Т1, Т2, число которых равно числу размещений A104 =10⋅9⋅8⋅7. Число благоприятных исходов составления слова
ТАТА равно числу A22 ⋅ A32 , где A22 = 2⋅1 — число размещений для двух из
двух букв Т и A32 = 3⋅2 — число размещений для двух из трех букв А.
Следовательно, искомая вероятность равна
p(«ТАТА») =

A22 ⋅ A32
2 ⋅1 ⋅ 3 ⋅ 2
1
.
=
=
A104
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 420

Из формулы вероятности пересечения (произведения) событий и определения
условной вероятности можно получить формулу для условной вероятности пересечения (произведения) событий.
Замечание. Для случайного события C, где p(C) > 0, и для случайных событий
А1, А2, …, Аn справедлива формула для условной вероятности пересечения (произведения) событий вида:
p(А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn C) = p(А1 C)p(А2 C ∩ А1) … p(Аn C ∩ А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn-1).
Напомним, что в силу свойства коммутативности А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn ∩ C =
= C ∩ А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn. Тогда по определению условной вероятности и по формуле
вероятности для полученного пересечения из предыдущего замечания получим
p(А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn C) =

p( A1 ∩ A2 ∩ K ∩ An ∩ C )

=

p(C ∩ A1 ∩ A2 ∩ K ∩ An )

p (C )
p (C )
= p(А1 C)p(А2 C ∩ А1)…p(Аn C ∩ А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn-1).

=

Совместные испытания разделяются на независимые и зависимые. Это можно
пояснить на простых примерах с помощью урновой схемы.
Например, в урне три шара: белый, черный и красный, из которой последовательно извлекают два шара. Пусть первое испытание состоит в том, что извлекают
первый шар, запоминают его, а затем кладут обратно в урну. Второе испытание состоит в том, что после перемешивания шаров извлекается второй шар. В этом случае
результаты испытаний никак не влияют друг на друга, и такие испытания называются
независимыми. Пусть теперь после извлечения первого шара его в урну невозвраща-

154

ют, а сразу за ним извлекают второй шар. В этом случае исходы второго испытания
зависят от того, какой исход имел место в первом испытании, так как во втором испытании этот шар появиться уже не может, поэтому такие испытания называют зависимыми.
Определение независимых событий. Событие A называется независимым от
события В, если условная вероятность p(A B) равна безусловной вероятности p(A),
т. е. выполняется равенство
p(A B) = p(A).
Например, из колоды игральных карт вынимают наудачу одну карту. Чему равна
вероятность события A = {вынута карта туз}? Если в колоде 36 карт, то вероятность
этого события p(A) = 4/36 = 1/9. Предположим, что событие B = {вынута карта черной масти}. Условная вероятность события A при условии, что произошло событие B,
равна p(B A) = 2/18 = 1/9. Таким образом, условная вероятность p(B A) равна безусловной вероятности p(A) и, следовательно, событие A не зависит от события B.
Если вероятность события A принимает разные значения в зависимости от
того, произошло событие B или не произошло, то говорят, что событие A зависит
от события B.
Например, при подготовке к экзамену две студентки успели выучить только
первые 10 билетов («счастливых» для них) из 20 экзаменационных билетов. Пусть
событие B = {первая студентка вытянула «счастливый» билет}, а событие
A = {вторая студентка вытянула «счастливый» билет}. Если событие B произошло, то
среди оставшихся 19 билетов окажется только 9 «счастливых» и значит p(A) = 9/19.
Если событие B не произошло, т. е. первая студентка вытянула «несчастливый» билет, то число «счастливых» билетов среди оставшихся 19 билетов не изменится, и
значит p(A) = 10/19. Поэтому событие A зависит от события B.
В частности, из формулы для вероятности пересечения двух событий следует,
что если p(A B) = p(A), т. е. если событие A не зависит от события B и p(A) > 0, то по
определению условной вероятности p(B A) имеем
p(B A) =

p ( B ∩ A)
p ( A)

=

p ( B )p( A B )
p( A)

=

p ( B )p ( A)
p ( A)

= p(B),

т. е. тогда событие B также будет независимо от события A.
Замечание. Если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A, поэтому вполне допустимо говорить просто о независимых событиях A и B.
Если события A и B независимы, то наступление одного из них никак не влияет
на шансы наступления другого. Из этого замечания и формулы для вероятности пересечения (произведения) событий вытекает важное следствие.
Утверждение. Для независимых событий A и B имеет место теорема умножения вероятностей:

p(A ∩ B) = p(A)p(B).

155

Например, пусть два игрока бросают по одной игральной кости. Рассмотрим
следующие события: A = {на 1-й кости выпадает шестерка}, B = {на 2-й кости выпадает шестерка}, тогда событие A ∩ B = {выпадают две шестерки}. Поскольку события A и B независимы, то p(A ∩ B) = p(A)p(B) = 1/6⋅1/6 = 1/36.
Справедливо также утверждение, в известном смысле, обратное к предыдущему.
Утверждение. Если выполняется равенство p(A ∩ B) = p(A)p(B), причем
p(B) > 0, то событие A не зависит от события B.
Доказательство. Из имеющегося равенства следует, что p(A) = p(A ∩ B) / p(B),
которое по определению равно p(B A), поэтому p(B A) = p(A), т. е. получили независимость событий A и B.
Согласно определению данному выше, говорить о независимости события A от
B имеет смысл лишь при условии p(B) > 0, т. е. когда p(B) ≠ 0. В некоторых случаях
такое ограничение представляется ненужным. Поэтому вводится более широкое понятие независимости событий.
Замечание. События A и B называются независимыми, если
p(A ∩ B) = p(A)p(B).
В дальнейшем независимость событий A и B будет пониматься как выполнение
этого равенства.
Например, игральная кость бросается дважды. Рассмотрим событие A = {при
первом бросании выпало 6 очков} и событие B = { при втором бросании выпало нечетное число очков}. Покажем, что события A и B независимы.
В этом испытании всего 62 = 36 различных элементарных событий (i, j), где
i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Из них 6 благоприятствуют событию A, т. е. (6, j), где j = 1, 2, 3,
4, 5, 6, и 18 благоприятствуют событию B, т. е. (i, 1), (i, 3), (i, 5), где i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Событие A ∩ B cодержит только 3 элементарных события: (6, 1), (6, 3), (6, 5). Таким
образом,
p(A) = 6/36 = 1/6, p(B) = 18/36 = 1/2 и p(A ∩ B) = 3/36 = 1/12 = 1/6⋅1/2 = p(A)p(B),
что и требовалось доказать.
В случае, когда, например, p(B) = 0, то равенство p(A ∩ B) = p(A)p(B) выполняется автоматически. Действительно, в силу свойства дистрибутивности операции
пересечения относительно операции объединения множеств (см. раздел 1.4) имеем
B = B ∩ U = B ∩ (A ∪ A ) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A ),
а так как пересечение (B ∩ A) ∩ (B ∩ A ) = ∅, то по теореме сложения вероятностей
p(B) = (B ∩ A) + p(B ∩ A ). Если p(B) = 0 получим, что сумма двух неотрицательных
чисел p(B ∩ A) и p(B ∩ A ) равна 0. Следовательно, каждое из них равно 0 в отдельности. Таким образом, если p(B) = 0, то p(B ∩ A) = 0 соответственно p(A ∩ B) = 0, и
выполняется равенство 0 = p(A ∩ B) = p(A)p(B) = 0.
Пример. Из колоды игральных карт наугад выбирают одну карту. Пусть событие A = {вынута карта туз}, а событие B = {вынута карта красной масти}. Являются ли события A и B независимыми?

156

Интуитивно ясно, что событие A не зависит от события B, так как «цена» карты
не зависит от масти. Проверим эту гипотезу вычислением вероятностей. Так как
p(A) = 4/36 = 1/9, p(B) = 18/36 = 1/2 и p(A ∩ B) = 2/36 = 1/18, то 1/18 = 1/9⋅1/2, т. е. равенство p(A ∩ B) = p(A)p(B) выполняется. Следовательно, события A и B независимы.
Вполне естественно, что событие A = {вынута карта туз} и событие B =
= {вынута карта красной масти} независимы. Но согласно принятому определению
независимости событие B и событие C = {вынуты четыре карты: дама и король червей, семерка пик и треф} также будут независимы, так как p(B) = 18/36 = 1/2,
p(C) = 4/36 = 1/9, p(B ∩ C) = 2/36 = 1/18 и 1/18 = p(B ∩ C) = p(B)p(C) = 1/9⋅1/2 = 1/18.
В чем естественность независимости событий A и B? Множество элементарных
событий является согласно комбинаторному принципу умножения произведением
двух множеств: мастей и значений карты, поэтому вполне естественно считать, что
выбор масти и значения карты происходит независимо. Во взаимодействии событий
B и C таких аргументов нет — их независимость определяется игрой чисел.
Замечание. Независимость случайных событий, определяемая равенством
p(A ∩ B) = p(A)p(B), является результатом численного совпадения, однако арифметическое понимание независимости не всегда отвечает интуитивному пониманию независимости.

Тем не менее именно «арифметическое» равенство определяет независимость в
теории вероятности. Поскольку понятие независимости играет фундаментальную
роль в теории вероятности, поясним сказанное в этом замечании на следующем примере. Это, по существу, аналог одного из контрпримеров российского математика
академика С. Н. Бернштейна, которому принадлежит первая попытка аксиоматического построения теории вероятности.
Парадокс Бернштейна. Бросаются две монеты. Пусть выпадение первой монеты орлом — это событие A, второй — событие B. Наконец, только одна монета
выпала орлом — событие C. Какие события попарно независимы?
Для симметричных монет пространство элементарных событий U = {(О, О),
(О, Р), (Р, О), (Р, Р)}. Тогда A = {(О, О), (О, Р)}, B = {(О, О), (Р, О)}, C = {(О, Р),
(Р, О)}, пересечение событий A ∩ B = {(О, О)}, A ∩ C = {(О, Р)}, B ∩ C = {(Р, О)}, а
соответствующие вероятности равны
p(A) = p(B) = p(C) = 2/4 = 1/2, p(A ∩ B) = p(A ∩ C) = p(B ∩ C) = 1/4
и, следовательно,
1/4 = p(A ∩ B) = p(A)p(B) = 1/2⋅1/2,
1/4 = p(A ∩ C) = p(A)p(C) = 1/2⋅1/2, 1/4 = p(B ∩ C) = p(B)p(C) = 1/2⋅1/2.
Поэтому все три события попарно независимы. Независимость A и B отвечает и
интуитивному пониманию независимости, однако с независимостью событий A и C
или событий B и C ситуация сложнее.
Качественные отличия взаимосвязей этих событий выявляются при нарушении
симметрии монет. Например, для несимметричных монет с вероятностью выпадения орла не равной 1/2 свойство независимости событий A и B сохраняется, а равенства p(A ∩ C) = p(A)p(C) и p(B ∩ C) = p(B)p(C) нарушаются.

157

События А1, А2, …, Аn называются независимыми, независимыми в совокупности или взаимно независимыми, если вероятность любого из них, например, Аi не
меняется при наступлении какого угодно числа других событий Аj, j ≠ i из той же совокупности, т. е. любое из этих событий независимо от любого набора остальных.
Это означает, что события А1, А2, …, Аn независимы, если для любого набора
Ai1 , Ai2 , ..., Aik этих событий, где {i1, i2, …, ik} подмножество множества {1, 2, …, n},

событие Ai1 не зависит от события Ai2 ∩ Ai3 ∩ ... ∩ Aik .
Утверждение. Если события А1, А2, …, Аn независимы, то для любого набора
Ai1 , Ai2 ,..., Ai k этих событий справедливо равенство

p( Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik ) = p( Ai1 )p( Ai2 )…p( Aik ).
Доказательство. Из определения независимости событий А1, А2, …, Аn, в частности, следует независимость Ai1 от Ai2 ∩ Ai3 ∩ ... ∩ Aik , что можно записать в виде

p( Ai1 ∩ ( Ai2 ∩ Ai3 ∩ ... ∩ Aik )) = p( Ai1 )p( Ai2 ∩ Ai3 ∩ ... ∩ Aik ).

Если такое же соотношение записать для набора событий Ai2 , Ai 3 ,..., Aik , то получим
p( Ai2 ∩ ( Ai3 ∩ ... ∩ Aik )) = p( Ai2 )p( Ai3 ∩ ... ∩ Aik ).

Из этих двух равенств непосредственно следует:
p( Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ∩ ... ∩ Aik ) = p( Ai1 )p( Ai2 )p( Ai3 ∩ ... ∩ Aik ).

Рассуждая дальше аналогичным образом, получим нужное равенство:
p( Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik ) = p( Ai1 )p( Ai2 )…p( Aik ),

т. е. вероятность пересечения (произведения) независимых событий равна произведению вероятностей.
Это утверждение называется теоремой умножения вероятностей для n событий. Заметим, что определение независимости для n событий можно сформулировать по-другому: события А1, А2, …, Аn независимы, если для них справедливы соотношения:
p(Аi ∩ Аj) = p(Аi)p(Аj), если 1 ≤ i < j ≤ n,
p(Аi ∩ Аj ∩ Аk) = p(Аi)p(Аj)p(Аk), если 1 ≤ i < j < k ≤ n,
………………………………………………………
p(А1 ∩ А2 ∩ … ∩ Аn) = p(А1)p(А2)…p(Аn).
В частности, из независимости в совокупности следует попарная независимость, т. е. если j≠i, то p(Аi ∩ Аj) = p(Аi)p(Аj), хотя попарная независимость не гарантирует независимости.
Замечание. Для n > 2 из попарной независимости событий А1, А2, …, Аn, вообще
говоря, не следует их независимость.

158

Например, в примере парадокс Бернштейна при ненулевых вероятностях
p(А) = 1/2, p(B) = 1/2, p(C) = 1/2 из попарной независимости событий A, B, C, т. е.
p(A ∩ B) = p(A)p(B), p(A ∩ C) = p(A)p(C) и p(B ∩ C) = p(B)p(C) не следует их независимость, т. к. не выполняется равенство p(A ∩ B ∩ C) = p(A)p(B)p(C), поскольку
A ∩ B ∩ C = ∅ и p(A ∩ B ∩ C) = 0, а p(A)p(B)p(C) = 1/8 в этом примере.
Этот контпример можно подправить так, чтобы пересечение трех событий было
возможное событие, т. е. чтобы A ∩ B ∩ C ≠ ∅.
Пример. Бросаются две монеты. Рассмотрим следующие события: A = {на
первой монете выпал орел}, B = {на второй монете выпал орел}, C = {обе монеты
упали на одну сторону}. Являются ли эти события независимыми в совокупности?
В отличие от примера парадокс Бернштейна событие C = {(O, O), (P, P)}. Тогда пересечение двух событий A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {(O, O)}, а пересечение трех
событий A ∩ B ∩ C = {(O, O)}. Следовательно, соответствующие вероятности равны
p(А) = p(B) = p(C) = 1/2, p(A ∩ B) = p(A ∩ C) = p(B ∩ C) = 1/4, т. е. события А, В, С
попарно независимы. Но, с другой стороны, 1/4 = p(A ∩ B ∩ C) ≠ p(A)p(B)p(C) =
= 1/2⋅1/2⋅1/2 = 1/8, поэтому события A, B, C не являются независимыми.
Следовательно, когда рассматривается большое число событий, скажем
А1, А2, …, Аn, где n > 2, следует различать попарную независимость этих событий и
их независимость (или независимость в совокупности). Рассмотрим некоторые простые, но важные свойства независимых событий и их противоположных, т. е. дополнительных событий, которые хорошо согласуются с интуицией.
Замечание. Если события А1, А2, …, Аn независимы, то при замене хотя бы одного из них противоположным независимость события не нарушается, в частности, события A1 , A2 , …, An независимы.
Покажем сначала, что если события A и B независимы, то независимы также
пары событий A и B , A и B .
Действительно, так как A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ) и (A ∩ B) ∩ (A ∩ B ) = ∅, то по
теореме сложения вероятностей для указанных несовместных событий имеем
p(A) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B ). Откуда по теореме умножения вероятностей для независимых событий и из равенства p( B ) = 1 – p(B) получим

p(A ∩ B ) = p(A) – p(A ∩ B) = p(A) – p(A)p(B) = p(A)(1 – p(B)) = p(A)p( B ).

Следовательно, события A и B независимы. Повторяя эти рассуждения для независимых событий A и B получим, что события A и B также независимы. Аналогичным образом показывается, например, что если события A, B и C независимы, то независимы и тройки событий A , B, C, а также A , B ,С и A , B , C .
Воспользуемся этим замечанием для нахождения вероятности объединения независимых событий с помощью вероятностей противоположных событий.
Утверждение. Если события А1, А2, …, Аn независимы, то для вероятности
объединения (суммы) событий справедлива формула

p(А1 ∪ А2 ∪ … ∪Аn) = 1 – p( A1 )p( A2 )…p( An ).

159

Доказательство. Обозначим через B = А1 ∪ А2 ∪ … ∪ Аn, тогда, так как
B ∪ B = U, т. е. достоверное событие, то p( B ) + p(B) = p(U) = 1 или p(B) = 1 – p( B ).
Напомним, что по формулам де Моргана для дополнений множеств (см. раздел 1.4)
B = A1 ∪ A2 ∪ K ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An . Кроме того, из независимости событий

А1, А2, …, Аn в силу предыдущего замечания следует, что события A1 , A2 , …, An
также независимы. Поэтому в силу сказанного, а также по теореме умножения вероятностей для n событий получим: p(А1 ∪ А2 ∪ … ∪ Аn) = 1 – p( A1 ∪ A2 ∪ K ∪ An ) =
= 1 – p( A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An ) = 1 – p( A1 )p( A2 )…p( An ), что и требовалось доказать.
В частности, если события А1, А2, …, Аn независимы и p(A1) = p1, p(A2) = p2, …
p(An) = pn, то p(А1 ∪ А2 ∪ … ∪ Аn) = 1 – q1q2…qn, где qi = 1 – pi для i = 1, 2, …, n.
Пример. Проводится n независимых повторных испытаний, в которых событие A происходит с вероятностью p. Какова вероятность того, что при этом событие A произойдет хотя бы один раз?
Рассмотрим события Аk = {событие A произошло при k-м испытании}, где
k=1, 2, …, n. То, что испытание повторяли независимо, означает, что n событий
А1, А2, …, Аn независимы. По условию задачи p(Ak) = p и p( An ) = 1 – p = q для всех k.
Нам надо посчитать вероятность события А1 ∪ А2 ∪ … ∪ Аn = {событие A произошло хотя бы один раз при n независимых испытаниях}. А что означает противоположное событие A1 ∪ A2 ∪ K ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An ? Оно означает, что ни
разу не произошло событие A при этих испытаниях.
По предыдущему утверждению в силу независимости событий и, следовательно,
независимости противоположных им событий, имеем для q = 1 – p, что
p(А1 ∪ А2 ∪ … ∪ Аn) = 1 – p( A1 )p( A2 )…p( An ) = 1 – qn.

Отметим, что поскольку 0 < q < 1, то при достаточно больших n эта вероятность
близка к 1, т. е. при достаточно большом числе испытаний событие A почти наверняка (с вероятностью близкой к 1) произойдет хотя бы один раз.
Пример. Предположим, что автоматическая система, распознающая устную
речь, анализирует 10 взятых наугад словоформ. Чему равна вероятность того, что
хотя бы одна из этих словоформ окажется местоимением ОН?
Поскольку значение статистической вероятности местоимения ОН согласно
данным частотного словаря p = 0,0099, то q = 1 – 0,0099 ≈ 0,99. Поэтому в силу предыдущего примера, искомая вероятность равна (для n = 10)
1 – qn = 1 – (0,99)10 ≈ 0,095.
Рассмотрим некоторые типичные задачи, связанные с серией независимых повторных испытаний.
Если вероятность успеха при каждом из n независимых испытаний равна p, то
вероятность наступления успеха во всех n испытаниях, т. е. вероятность пересечения этих независимых событий по теореме умножения для n событий, равна произведению их вероятностей pn.
Если вероятность неуспеха при каждом из n независимых испытаний равна
q = 1 – p, то, рассуждая аналогично, получим, что вероятность того что при всех n

160

независимых испытаниях нас будет преследовать неудача, как показано в предыдущем примере равна qn. Тогда вероятность дополнительного события равна 1 – qn.
Замечание. Вероятность наступления хотя бы одного успеха с вероятностью
p при n независимых испытаниях равна 1 – qn, где q = 1 – p.

Например, при бросании игральной кости, где успех — выпадение шестерки при одном бросании и его вероятность p = 1/6, а неуспех — выпадение остальных граней и его вероятность q = 1 – p = 5/6, вероятность наступления успеха при всех n испытаниях (каждый
раз выпадала шестерка) равна pn = (1/6)n. Вероятность неудачи при всех n испытаниях (ни
разу не выпала шестерка) равна qn. Вероятность дополнительного события (при n испытаниях хотя бы один раз выпала шестерка) равна 1 – qn = 1 – (5/6)n.
Принято считать, что развитие теории вероятностей как самостоятельной науки
начинается в 1654 году знаменитой перепиской французов: математика и философа
Блеза Паскаля и математика и юриста Пьера Ферма. Поводом для нее послужили
два вопроса, заданные Паскалю французским писателем и моралистом кавалером де
Мере, который был к тому же азартным игроком. Благодаря этим вопросам имя этого
аристократа вошло в историю науки, что еще раз подтверждает популярный тезис о
роли случайности в нашей жизни.
Денежный выигрыш при игре в кости зависит от комбинации выпавших чисел,
на которую делается ставка. Одна из таких комбинаций — выпадение хотя бы одной
шестерки, т. е. 6 очков, при четырех бросаниях игральной кости. Де Мере смог подсчитать число шансов этой комбинации. Более сложные комбинации возникали, если
бросала сразу 2 игральные кости. Де Мере пытался самостоятельно определить,
сколько раз надо бросать пару костей, чтобы вероятность хотя бы одного появления
двух шестерок (6, 6), т. е. 12 очков, было больше 1/2. По его подсчетам было достаточно 24 бросаний, однако игровой опыт заставил его усомниться в правильности
своих вычислений. Тогда он обратился со своей проблемой к Блезу Паскалю, который предложил правильное решение.
Проблема де Мере. Что вероятнее: при 4 бросаниях одной игральной кости
хотя бы один раз получить 6 очков или при 24 бросаниях двух костей хотя бы один
раз получить 12 очков?
Как было показано выше, вероятность выпадения хотя бы один раз 6 очков при
n = 4 бросаниях одной кости (для q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6) равна
4

625
671
5
1–q =1–   =1–
=
≈ 0,518,
1296 1296
6
т. е. немного больше половины, а значит чаще происходит, чем не происходит. Поэтому при четырех бросаниях выгоднее делать ставку на то, что выпадет хотя бы одна шестерка, чем на то, что не выпадет ни одной.
Аналогично, вероятность выпадения хотя бы один раз 12 очков при 24 бросаниях пары костей (для q = 1 – p = 1 – 1/62 = 35/36) равна
4

 35 
1 – q24 = 1 –  
 36 

24

≈ 0,491,

т. е. немного меньше половины. Поэтому вероятность получить при 4 бросаниях одной игральной кости хотя бы один раз 6 очков больше, чем при 24 бросаниях двух
игральных костей хотя бы один раз получить 12 очков.

161

Заметим, что во второй игре при 25 бросаниях пары костей две шестерки, т. е.
12 очков, появляются хотя бы один раз с вероятностью 1 – (35/36)25 ≈ 0,505. Поэтому
игрок, делающий ставку на успех этого события при 25 бросаниях, выигрывает примерно в 50,5 % игр, а игрок, делающий ставку на успех этого события при 24 бросаниях, выигрывает примерно в 49,1 % игр.
Важным примером применения теоремы умножения вероятностей являются повторные независимые испытания, рассмотренные Якобом Бернулли. Испытания
проводятся при одинаковых условиях, причем в серии из n испытаний результаты
каждого из них никак не сказываются на последующих результатах. Особенно интересна при рассмотрении испытаний Бернулли задача о том, с какой вероятностью
при n независимых испытаниях успех осуществится ровно k раз. Заметим, что случаи
k = 0 или k = n были рассмотрены выше и сейчас мы приступаем к рассмотрению
случая при произвольном k, где 0 ≤ k ≤ n.
Утверждение. В эксперименте с n повторными независимыми испытаниями,
называемыми испытаниями Бернулли, где каждое из них имеет два исхода (успех с
вероятностью p и неудачу с вероятностью q = 1 – p), вероятность получения ровно
k успехов при n испытаниях называется формулой Бернулли и равна
C nk p k q n−k =

n!
p k q n −k .
k! (n − k )!

Доказательство. В заданном эксперименте с повторением n независимых испытаний для нахождения вероятности k успехов предположим сначала, что первыми
реализуются k успехов, а вторыми n–k неудач. Так как успех или неудача при каждом
испытании представляют собой события, независимые от результатов других испытаний, то согласно теореме умножения вероятностей вероятность осуществления k
успехов с последующей реализацией n–k неудач равна pkqn-k. Фактически каждое
осуществление k успехов, соответственно n–k неудач, независимо от порядка их наступления будет иметь вероятность pkqn-k. Общее событие, состоящее в k успехах при
n испытаниях, есть объединение элементарных событий рассмотренного типа, которые несовместны. Поскольку существует C nk способов получения k успехов в n испытаниях, то по теореме сложения вероятностей, вероятность получить ровно k успехов при n испытаниях равна Cnk p k q n− k , что и требовалось доказать.
Например, пусть все различные наиболее употребительные слова пронумерованы и для каждого слова указана вероятность его появления. Если говорить о каком-то
определенном, ограниченном «участке» языка, то более или менее точное количество
слов известно. Так, в разных стилях и жанрах наиболее употребительно по данным
«Частотного словаря русского языка» (М., 1977) около 40 тысяч слов. На фоне данных о лексических богатствах всего русского языка представляет интерес объем
«личного словника», или, как говорят лингвисты, объем активного словаря, т. е. количество слов, употребляемых одним человеком, которое у образованных людей оценивается в среднем в 5—10 тысяч слов.
Обозначим общее число различных наиболее употребительных слов через N,
номер слова в списке через i, а вероятность появления i-го слова — через pi. При
проведении численных расчетов в качестве вероятности можно использовать отно-

162

шение указанной частоты появления слова в выборке к объему выборки, т. е. статистическую вероятность.
Тогда в лингвистической трактовке испытаний Бернулли вероятность использования i-го слова k раз в тексте из n слов определяется формулой Бернулли:
Cnk p ik (1 − p i ) n−k =

n!
p ik (1 − p i ) n−k .
k! ( n − k )!

Говорят также, что такой эксперимент с испытаниями Бернулли имеет биномиk k n− k
альное распределение, а вероятности Cn p q называются биномиальными вероятностями, поскольку согласно формуле бинома Ньютона (см. раздел 2.2) справедливо равенство
n

∑C p q
k =0

k
n

k

n−k

= (q + p)n = 1n = 1.

Последнее равенство означает, что объединение всех событий в испытании Бернулли, т. е. для всех k = 0, 1, …, n, является достоверным событием и согласно колмогоровской аксиоматике имеем
0

n

1

Cn q + Cnpq

n −1

2

2

+ Cn p q

n−2

n −1 n −1

+…+ Cn p

n

n

q + Cn p = 1.

Каждому одночлену, возникающему при возведении суммы, не только двух слагаемых в степень, можно придать вероятностный смысл. Напомним, что коэффициент при a1n1 a2n2 … arnr в выражении (a1 + a2 + … + ar)n из суммы r слагаемых, где n =
= n1 + n2 + … + nr равен числу анаграмм слова, составленного из n1 букв a1 , n2 букв
n!
a2, …, nr букв ar, т. е. это число перестановок с повторением Pn1 ,n2 ,K,nr =
n1! n2 ! K n r !
(см. раздел 2.3). Рассмотрим в заключение этого раздела несколько примеров, использующих схему испытаний Бернулли, а затем решим задачу, обобщающую эту
схему с помощью филологического понятия анаграмма.
Пример. Игральная кость бросается не четыре, а шесть раз. Больше или
меньше половины вероятность выпадения одного очка ровно один раз?
В этом эксперименте с шестью независимыми испытаниями «успех», т. е. выпадение 1-го очка, имеет вероятность p = 1/6, тогда как «неудача», т. е. выпадение не
менее 2 очков, имеет вероятность q = 1–p = 1 – 1/6 = 5/6. Поэтому согласно схеме испытаний Бернулли вероятность одного успеха при шести бросаниях, т. е. для k = 1 и
1

5

1

5

5

6!  1   5   5 
1  5
n = 6 в формуле Бернулли C p q
равна C     =
    =   ≈ 0,4.
 6   6  1! 5!  6   6   6 
Искомая вероятность примерно равна 2/5, т. е. меньше 1/2 — половины.
k
n

k

n− k

1
6

Пример. Пусть вероятность падения бутерброда маслом вниз равна 3/4. Произошла досадная неприятность: поднос с пятью бутербродами опрокинулся. Что
более вероятно: два или три бутерброда упадут маслом вниз?
Надо рассмотреть пять независимых испытаний с падением бутербродов. Поскольку p = 3/4, q = 1/4 и n = 5, то в схеме испытаний Бернулли надо сравнить соот-

163

ветствующие биномиальные вероятности двух экспериментов для k = 2 и k = 3, т. е.
2

2

3

3

3

3

2

2

5!  3   1 
5!  3   1 
45
135
 3  1
 3  1
C     =
и C53     =
. Таким об    =
    =
312
3! 2!  4   4 
312
4 4
 4   4  2! 3!  4   4 
разом, вероятнее, что все же три, а не два бутерброда упадут маслом вниз.
2
5

Пример. В корзине лежит много красивых перцев, причем 1/3 часть из них —
красные, 1/2 — желтые и 1/6 — зеленые. Какова вероятность того, что продавец,
не глядя, выбирает 6 перцев, среди которых 2 красных, 3 желтых и 1 зеленый?
Если продавец, не глядя, выбирает из корзины один перец, то мы полагаем вероятность того, что он окажется красным (к) равной 1/3, желтым (ж) — 1/2, зеленым
(з) — 1/6. Посчитаем сначала вероятность появления слова ккжжжз, т. е. события,
состоящего в последовательном выборе двух красных, затем трех желтых и, наконец,
одного зеленого перцев. Поскольку перцы выбираются независимо от результатов
других испытаний, то по теореме умножения вероятностей, соответствующая веро2

3

1

1  1  1
ятность равна       . Так как число анаграмм слова ккжжжз равно числу
 3  2   6 
6!
перестановок с повторениями
(см. раздел 2.3), то по теореме сложения веро2! 3! 1!
2

ятностей, искомая вероятность равна

3

1

6!  1   1   1 
5
.
      =
2! 3! 1!  3   2   6  36

Сосчитать абсолютно все слова «живого» русского языка никто не
может, поэтому языковеды и пришли к выводу: язык в количественном
отношении неисчислим. Однако любой язык обладает любопытным
свойством, которое называется избыточностью языка. Имеется в виду
тот факт, что не все элементы, из которых состоит текст или устная речь,
являются необходимыми для восприятия этого текста или речи. Как поясняет математик и лингвист Ю. И. Левин в работе «Математика и лингвистика» (М., 1964), избыточность языка вредна в одних отношениях и
полезна — даже необходима — в других. С одной стороны, благодаря
этому свойству языка нам, например, не слишком мешают опечатки или
описки в книгах, а с другой стороны, благодаря этой избыточности приходится передавать, например, по линиям связи много лишнего, что приводит к их перегрузке. Количественная оценка избыточности языка
оценивается с помощью математического понятия количества информации, приходящейся на букву текста, для определения которого
нужны различные вероятностные и комбинаторные характеристики локальных лингвистических событий, рассмотренные в этой главе.
Компьютерная революция и новые информационные технологии
необычайно расширили оттенки смысла, передаваемого числами с помощью цифровых устройств. Нельзя не восхищаться красотой, поэтому
эстетическое начало, заложенное в математическое знание, всегда
164

вызывало ответные ассоциации у выдающихся поэтов. У поэтов начала
прошлого века Николая Гумилева, Максимилиана Волошина, Велимира
Хлебникова и др. есть замечательные стихи о числах и формулах с неожиданными прозрениями для каждого, кому не чужда научная тематика. В этом проявляется естественная потребность каждого образованного
человека ощутить себя носителем культуры как общего процесса духовного, интеллектуального и эстетического развития. Вот достойный образец поэтического осмысления Валерием Брюсовым классического дифференциального и интегрального исчисления:
Здесь что? Мысль роль мечты играла,
Металл ей дал пустой рельеф;
Смысл — там, где змеи интеграла
Меж цифр и букв, меж d и f.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ
1. Верно ли, что вероятность того, что из рассыпанных кубиков с
буквами слова ФИЛОЛОГИЯ, выбранные последовательно наудачу пять
A22 A22 A11
1
2 2 1 1 1
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
?
кубиков составят слово ЛИЛИЯ, равна
5
9 8 7 6 5 3780
A9
2. Верно ли, что если симметричная монета подбрасывается 10 раз,
то вероятность того, что орел выпадет при этом ровно 3 раза равна
1
C103  
2

3

7

10

15
10 ⋅ 9 ⋅ 8  1 
1
?
⋅  =
  =
1⋅ 2 ⋅ 3  2 
128
2

3. Верно ли, что вероятность того, что нужное слово угадано, если
два студента одновременно и независимо друг от друга угадывают слова
с вероятностью 0,6 и 0,5, равна 0,6 + 0,5 – 0,6⋅0,5 = 0,8?
***
Можно ли считать, что в гуманитарных науках новое знание — область исследовательская, а новые смыслы — область творческая. Замечательный филолог Михаил Гаспаров в одной из своих последних книг
«Записи и выписки» (М., 2000), в которой равно сочетается талант ученого и талант писателя, спрашивал: «Способна ли филология производить
новые смыслы, новое знание или только устанавливать уже существующие смыслы текстов?». Вспомним в связи с этим две строки «Стихов, сочиненных ночью во время бессонницы» А. С. Пушкина:
Я понять тебя хочу,
Смысла я в тебе ищу…
165

Последняя строка допускает несколько толкований: «Смысла в жизни я ищу…» и «Смысла в сне твоем ищу…». К этим личностным смыслам нужно добавить вариант Василия Жуковского, который в силу политических соображений заменил пушкинскую строку на «Темный твой
язык учу…». Юрий Лотман объяснял возможность такой подмены оригинала следующим образом: «Чтобы понять смысл жизни, нужно выучить ее темный язык…». Готовая истина не способствует развитию
творческого мышления.
В чем заключается ценность математического языка и математической методологии в лингвистике и литературоведении? Ценность их в
том, что при помощи математического языка и соответствующих методов, направленных на изучение лингвистических объектов, удается раскрыть механизмы действия определенных структур, наполненных лингвистическим содержанием, задавая определенный уровень строгости и
точности исследования. В одном из номеров американского журнала
«Scientific American», когда его математический раздел редактировал
профессор Даглас Хофштадтер, автор имевшей заслуженный успех книги «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда» (Самара, 2001), было
опубликовано «честное» предложение, статистически строго и точно говорящее о самом себе.
В этой фразе два раза встречается слово «в», два раза встречается слово «этой», два раза встречается слово «фразе», четырнадцать
раз встречается слово «встречается», четырнадцать раз встречается
слово «слово», шесть раз встречается слово «раз», девять раз встречается слово «раза», семь раз встречается слово «два», три раза встречается слово «четырнадцать», три раза встречается слово «три», два
раза встречается слово «девять», два раза встречается слово «семь»,
два раза встречается слово «шесть».
Хотя читать его нелегко, и оно утверждает «чистую» самодостаточную правду, для научной истины оно бесполезно. Как говорил английский писатель Олдос Хаксли, «истина — понятие бесконечное: каждая
часть ее, однажды открытая, требует открытия других частей». В
классический период развития сравнительного языкознания требования
логической строгости не достаточно широко применялись языковедами,
что было отчасти обусловлено уровнем исследовательской практики и
недостаточностью собранных лингвистических фактов. Поэтому классическое языкознание отставало, например, от классической математики
по точности и объективности аргументации. Под влиянием лингвистических идей, отображающих свойства языковой структуры, математиче166

ских методов дискретной математики и практических запросов прикладной лингвистики в современном языкознании делаются позитивные шаги к созданию подлинно научной, в математическом смысле, теории.
Языкознание в отличие от математики имеет дело не с абстрактными системами отношений, а с реально действующей системой языка.
Причиной существования различных литературных стилей является то,
что в естественном языке одинаковое содержание может быть выражено
различными художественными средствами. Понятие стиля не ограничено соотношением средств выражения и выражаемого содержания,
поскольку оно содержит количественные характеристики, не имеющие
непосредственного отношения к содержанию и смыслу, которые наиболее объективно характеризуют авторские стили индивидуальных
языков. Даже размышления над случайными закономерностями азартных игр способны погрузить думающего человека в мир мышления. Исследования математических задач оказали на кавалера де Мере самое
положительное влияние. Он не только сам поставил математические задачи, связанные с игрой в кости, но даже нашел решение наиболее простой из них. Кроме познаваемого мира мышления есть мир чувств и мир
человечества, поэтому тем, кто стремится узнавать новое, трудно пресытиться в этих «трех» мирах, поскольку новому нет конца.
Главная проблема, с которой сталкивается исследователь, — это
проблема контекста осмысления в расколотом мире «двух культур»
Чарльза Сноу с его установкой на несовместимость гуманитарного и естественнонаучного взгляда на мир. Как предсказал профессор Б. И. Ярхо
в «Методологии точного литературоведения» своему более счастливому
продолжателю: «Тот, кто сумеет путем математической аргументации
развернуть перед нами грандиозную картину литературного потока в виде тысяч отдельных волн, набегающих друг на друга, то текущих рядом,
то вновь расходящихся в бесконечном движении, — тот завершит закладку фундамента точного литературоведения». Отвечая на вопрос академика М. Л. Гаспарова о новых смыслах и новом знании, можно сказать, что филологическая наука в отличие от литературной критики,
опираясь на строгие математические методы, может объяснить, какие
смыслы вычитываются у автора с большей, меньшей или наименьшей
вероятностью. Хотя Пушкин начинает пятую строфу «Евгения Онегина»
ироничными стихами «Мы все учились понемногу Чему-нибудь и какнибудь…» не следует это принимать всерьез: учились не «чему-нибудь» и
не «как-нибудь», а многим полезным наукам. В домашней библиотеке
Пушкина были, например, книги по математике, в частности, по теории
167

вероятностей. Он не исследовал случай как математическое понятие или
как философскую категорию, а как художник показывал всевластие случая.
В хрестоматийном отрывке 1829 года «О, сколько нам открытий
чудных…», перечисляя благословенные силы, готовящие «просвещенья
дух», Александр Сергеевич Пушкин в один ряд с «опытом» и «гением»
поставил «случай». Вникая в заложенные в это незавершенное пятистишие перекрещивающиеся житейские, художественные и философские
смыслы, нельзя не обратить внимание на внутреннее сходство пушкинского поэтического дискурса и принципов современного научного мышления. Особенно восхищают и ошеломляют последние две строчки пятистишия, показывающие нам не только пушкинскую концепцию случая,
но и акт самопознания культуры, неотъемлемой частью которой является научное знание:
О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух,
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог-изобретатель…
В заключение считаю своим приятным долгом выразить искреннюю признательность рецензентам профессору А. А. Гируцкому и профессору В. И. Янчевскому за доброжелательное отношение и конструктивные замечания, а также
поблагодарить преподавателей кафедры общей математики и информатики механико-математического факультета БГУ М. В. Мартон, Т. С. Петрушину и
Т. И. Рабцевич за помощь в компьютерном наборе рукописи.

168

ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ
1. Воронов, М. В. Математика для студентов гуманитарных факультетов: учебник /
М. В. Воронов, Г. П. Мещерякова. — Ростов н/Д: Феникс, 2002. — 384 с.
2. Грес, П. В. Математика для гуманитариев: учеб. пособие / П. В. Грес. — М.: Логос, 2003. — 120 с.
3. Дорофеева, А. В. Высшая математика. Гуманитарные специальности: учеб. пособие для вузов / А. В. Дорофеева. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Дрофа,
2003. — 384 с.
4. Жолков, С. Ю. Математика и информатика для гуманитариев: учебник /
С. Ю. Жолков. — М.: Гардарики, 2002. — 531 с.
5. Пиотровский, Р. Г. Математическая лингвистика: учеб. пособие для педагогических институтов / Р. Г. Пиотровский, К. Б. Бектаев, А. А. Пиотровская. — М.:
Высш. шк., 1977. — 383 с.
6. Турецкий, В. Я. Математика и информатика: учеб. пособие для гуманитарных
специальностей / В. Я. Турецкий. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: ИНФРА-М,
2002. — 560 с.
7. Шикин, Е. В. Гуманитариям о математике: учебник / Е. В. Шикин, Г. Е. Шикина. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 272 с.
СБОРНИКИ ЗАДАЧ
8. Вентцель, Е. С. Прикладные задачи теории вероятностей / Е. С. Вентцель,
Л. А. Овчаров. — М.: Радио и связь, 1983. — 416 с.
9. Виленкин, Н. Я. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики: учеб. пособие / Н. Я. Виленкин,
В. Г. Потапов. — М.: Просвещение, 1979. — 111 с.
10. Гаврилов, Г. П. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики: учеб. пособие / Г. П. Гаврилов, А. А. Сапоженко. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1992. — 408 с.
11. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. — 7-е изд., доп. — М.:
Высш. шк., 2003. — 405 с.
12. Лавров, И. А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов / И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. — 4-е изд. — М.: Физматлит, 2001. —
256 с.
13. Мельников, В. Н. Логические задачи / В. Н. Мельников. — Киев; Одесса: Выща
шк., 1989. — 344 с.
14. Очан, Ю. С. Сборник задач по математическому анализу: Общая теория множеств и
функций: учеб. пособие / Ю. С. Очан. — М.: Просвещение, 1981. — 271 с.

169

СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
15. Андерсон, Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика / Дж. А. Андерсон. —
М.: Изд. дом «Вильямс», 2003. — 960 с.
16. Баевский, В. С. Лингвистические, математические, семиотические и компьютерные модели в истории и теории литературы / В. С. Баевский. — М.: Языки современных культур, 2001. — 336 с.
17. Бектаев, К. Б. Математические методы в языкознании. Ч. 1: Теория вероятностей
и моделирование нормы языка / К. Б. Бектаев, Р. Г. Пиотровский. — Алма-Ата:
Изд-во КГУ, 1973. — 281 с.
18. Бектаев, К. Б. Математические методы в языкознании. Ч. 2: Математическая
статистика и моделирование текста / К. Б. Бектаев, Р. Г. Пиотровский. — АлмаАта: Изд-во КГУ, 1974. — 334 с.
19. Болтянский, В. Г. Беседы о математике. Кн. 1: Дискретные объекты /
В. Г. Болтянский, А. П. Савин. — М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. — 368 с.
20. Виленкин, Н. Я. Рассказы о множествах / Н. Я. Виленкин. — 3-е изд. — М.:
МЦНМО, 2004. — 162 с.
21. Гладкий, А. В. Элементы математической лингвистики / А. В. Гладкий,
И. А. Мельчук . — М.: Наука, 1969. — 192 с.
22. Кононов, С. Г. Введение в математику: в 3 ч. / С. Г. Кононов, Р. И. Тышкевич,
В. И. Янчевский. — Минск: БГУ, 2003. — Ч. 1: Множества и функции. — 171 с.
23. Кононов, С. Г. Введение в математику: в 3 ч. / С. Г. Кононов, Р. И. Тышкевич,
В. И. Янчевский. — Минск: БГУ, 2003. — Ч. 2: Числа и координаты. — 126 с.
24. Кононов, С. Г. Введение в математику: в 3 ч. / С. Г. Кононов, Р. И. Тышкевич,
В. И. Янчевский. — Минск: БГУ, 2003. — Ч. 3: Множества и порядки. — 74 с.
25. Курант, Р. Что такое математика? / Р. Курант, Г. Роббинс. — 3-е изд., испр. и
доп. — М.: МЦНМО, 2004. — 568 с.
26. Куратовский, К. Теория множеств / К. Куратовский, А. Мостовский. — М.: Мир,
1970. — 416 с.
27. Лесохин, М. М. Введение в математическую лингвистику: Лингвистические приложения основ математики / М. М. Лесохин, К. Ф. Лукьяненков, Р. Г. Пиотровский. — Минск: Наука и техника, 1982. — 263 с.
28. Маковский, М. М. Лингвистическая комбинаторика: опыт топологической стратификации языковых структур / М. М. Маковский. — М.: Наука, 1988. — 321 с.
29. Маркус, С. Теоретико-множественные модели языков / С. Маркус. — М.: Наука,
1970. — 332 с.
30. Пиотровский, Р. Г. Инженерная лингвистика и теория языка / Р. Г. Пиотровский. — Л.: Наука, 1979. — 112 с.
31. Семенов, А. Л. Математика текстов / А. Л. Семенов. — М.: Изд-во МЦНМО,
2002. — 16 с.
32. Солодовников, А. С. Теория вероятностей: учеб. пособие / А. С. Солодовников. —
2-е изд., испр. и доп. — М.: Вербум-М, 1999. — 208 с.
33. Стюарт, Я. Концепции современной математики / Я. Стюарт. — Минск: Вышэйш. шк., 1980. — 384 с.

170

34. Фрумкина, Р. М. Вероятность элементов текста и речевое поведение /
Р. М. Фрумкина. — М.: Наука, 1971. — 168 с.
35. Холшевников, В. Е. Основы стихосложения: Русское стихосложение: учеб. пособие / В. Е. Холшевников. — 4-е изд., испр. и доп. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос.
ун-та; М.: Академия, 2002. — 208 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
36. Алексеев, П. М. Статистическая лексикография / П. М. Алексеев. — Л.: Изд-во
ЛГУ, 1975. — 120 с.
37. Арапов, М. В. Математические методы в исторической лингвистике / М. В. Арапов, М. М. Херц. — М.: Наука, 1974. — 167 с.
38. Гаспаров, М. Л. Записки и выписки / М. Л. Гаспаров. — М.: Новое литературное
обозрение, 2000. — 416 с.
39. Гинзбург, С. Математическая теория контекстно свободных языков / С. Гинзбург. — М.: Мир, 1970. — 326 с.
40. Гируцкий, А. А. Общее языкознание: учеб. пособие для студентов вузов /
А. А. Гируцкий. — 2-е изд., стереотип. — Минск: ТетраСистемс, 2001. — 304 с.
41. Гладкий, А. В. Формальные грамматики и языки / А. В. Гладкий. — М.: Наука,
1973. — 230 с.
42. Доксиадис, А. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха / А. Доксиадис. — М.: Изд-во
АСТ, 2002. — 208 с.
43. Илюшин, А. А. Русское стихосложение: учеб. пособие для филологических специальностей вузов / А. А. Илюшин. — М.: Высш. шк., 2004. — 239 с.
44. Кондратов, А. М. Математика и поэзия / А. М. Кондратов.— М.: Знание, 1962. —
48 с.
45. Крейдлин, Г. Е. Математика помогает лингвистике / Г. Е. Крейдлин,
А. Д. Шмелев. — М.: Просвещение, 1994. — 176 с.
46. Курбатов, В. И. Логика в вопросах и ответах: учеб. пособие / В. И. Курбатов. —
Ростов н/Д: Феникс, 1997. — 384 с.
47. Левин, Ю. И. Математика и языкознание / Ю. И. Левин. — М.: Знание, 1964. —
48 с.
48. Марчук, Ю. Н. Математические методы в языкознании: Обзор материалов конференции COLING—88 / Ю. Н. Марчук. — М.: ИНИОН АН СССР, 1990. — 45 с.
49. Мельчук, И. А. Опыт теории лингвистических моделей «смысл—текст»: Семантика, синтаксис / И. А. Мельчук. — М.: Языки русской культуры, 1999. —367 с.
50. Налимов, В. В. Вероятностная модель языка. О соотношении естественных и искусственных языков / В. В. Налимов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука,
1979. — 303 с.
51. Никитина, С. Е. Тезаурус по теоретической и прикладной лингвистике (Автоматическая обработка текста) / С. Е. Никитина. — М.: Наука, 1978. — 375 с.
52. Петров, В. М. Количественные методы в искусствознании / В. М. Петров. — М.:
Смысл, 2000. — Вып. 1: Пространство и время художественного мира. 204 с.
53. Пиотровский, Р. Г. Текст, машина, человек / Р. Г. Пиотровский. — Л.: Наука,
1975. — 327 с.
54. Пиотровский, Р. Г. Лингвистический автомат и его речемыслительное обоснование: учеб. пособие для языковых вузов / Р. Г. Пиотровский. — Минск: МГЛУ,
1999. — 195 с.

171

55 Фрумкина, Р. М. Статистические методы изучения лексики / Р. М. Фрумкина. —
М.: Наука, 1964. — 115 с.
56. Хофштадтер, Д. Гёдель,Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда /
Д. Хофштадтер. — Самара: Изд. дом «Бахлах-М», 2001. —752 с.
ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ
57. Азгальдов, Г. Г. Поверить алгеброй гармонию… Можно ли? Нужно ли? /
Г. Г. Азгальдов // Число и мысль. — М.: Знание, 1980. — Вып. 3. — С. 24—43.
58. Башмаков, М. И. Математические образы в поэзии / М. И. Башмаков // Квант. —
1988. — № 2. — С. 14—16.
59. Будагов, Р. А. Понятие точности в филологии (к его истории и теории) /
Р. А. Будагов // Изв. АН СССР. Сер. лит. и яз. — 1977. — Т. 36, № 2. — С. 123—
134; Т. 36, № 3. — С. 201—212.
60. Гаспаров, М. Л. Статистическое обследование русского трехударного дольника /
М. Л. Гаспаров // Теория вероятности и ее применение. — 1963. — Т. 8,
вып. 1. — С. 102—108.
61. Гольштейн, Б. Н. О поэзии генетического языка / Б. Н. Гольштейн // Химия и
жизнь. — 1978. — № 2. — С. 66—76.
62. Горобец, Б. Закон нечетности числа букв в русских палиндромах / Б. Горобец //
Наука и жизнь. — 2004. — № 11. — С. 97—100.
63. Добрушин, Р. Л. Математические методы в лингвистике. Приложение: опыт определения элементарной грамматической категории / Р. Л. Добрушин // Математическое просвещение. — 1961. — № 6. — С. 37—60.
64. Дорофеев, Г. В. О некоторых особенностях реального языка математики /
Г. В. Дорофеев // Математика в школе. — 1999. — № 6. — С. 41—43.
65. Егоров, Б. Литературоведение и математические методы / Б. Егоров // Содружество наук и тайны творчества: сб. ст. — М.: Искусство, 1968. — С. 327—347.
66. Ермилова, Е. Поэзия и математика / Е. Ермилова // Вопр. литературы. — 1962. —
№ 3. — С. 71—82.
67. Еровенко, В. «И сладок нам лишь узнаванья миг»: Метафизические мотивы поэзии Осипа Мандельштама / В. Еровенко // Всемирная литература. — 2001. —
№ 12. — С. 139—150.
68. Еровенко-Риттер, В. А. Две культуры Чарлза Сноу в проблеме интуитивного познания / В. А. Еровенко-Риттер // Вышэйш. шк. — 2001. — № 5. — С. 47—52.
69. Еровенко-Риттер, В. Феномен «Пигмалиона» в социологии современного языка
математики / В. Еровенко-Риттер // Alma mater. — 2002. — № 6. — С. 26—31.
70. Еровенко-Риттер, В. А. Интеллектуальная сущность «бритвы Оккама», или иллюзия знаний / В. А. Еровенко-Риттер // Вышэйш. шк. — 2002. — № 3. — С. 24—29.
71. Еровенко-Риттер, В. Ненаглядность мыслимого или искусство понимания в облике реальности / В. Еровенко-Риттер // Неман. — 2003. — № 12. — С. 138—156.
72. Еровенко-Риттер, В. А. Дорога Картезия — пройден ли путь? В поисках новой
философии познания / В. А. Еровенко-Риттер // Народная асвета. — 2003. —
№ 12. — С. 8—12.
73. Еровенко-Риттер, В. Парадокс Олдоса Хаксли: к философии математического познания / В. Еровенко-Риттер // Беларуская думка. — 2003. — № 12. — С. 35—39.

172

74. Еровенко-Риттер, В. А. Проблема познания по Гераклиту Эфесскому /
В. А. Еровенко-Риттер // Вышэйш. шк. — 2003. — № 3. — С. 58—61.
75. Еровенко-Риттер, В. «Подводный камень веры» / В. Еровенко-Риттер // Свободная мысль-XXI. — 2004. — № 2. — С. 112—129.
76. Еровенко-Риттер, В. А. Философско-образовательное значение математики /
В. А. Еровенко-Риттер // Педагогика. — 2004. — № 5. — С. 35—39.
77 Еровенко, В. Математика для гуманитариев: диалог в культуре / В. Еровенко //
Беларуская думка. — 2005. — № 9. — С. 98—103.
78. Зиновьев, А. А. О математической лингвистике / А. А. Зиновьев // Вопр. философии. — 1959. — № 9. — С. 132—140.
79. Калинин, В. М. Некоторые статистические законы математической лингвистики /
В. М. Калинин // Проблемы кибернетики. — М.: Наука, 1964. — Вып. 11. —
С. 245—255.
80. Кац, Б. Г. О программе, сочиняющей стихи / Б. Г. Кац // Автоматика и телемеханика. — 1978. — № 2. — С. 151—156.
81. Кийко, Е. И. Восприятие Достоевским неевклидовой геометрии / Е. И. Кийко // Достоевский. Материалы и исследования. — Л.: Наука, 1985. —
Вып. 6. — С. 120—128.
82. Колмогоров, А. Н. Пример изучения метра и его ритмических вариантов /
А. Н. Колмогоров // Теория стиха. — Л.: Наука, 1968. — С. 145—167.
83. Колмогоров, А. Н. К основам русской классической метрики / А. Н. Колмогоров,
А. В. Прохоров // Содружество наук и тайны творчества: сб. ст. — М.: Искусство,
1968. — С. 397—432.
84. Колмогоров, А. Н. Модель ритмического строения русской речи, приспособленная к изучению метрики классического русского стиха / А. Н. Колмогоров,
А. В. Прохоров // Русское стихосложение. Традиции и проблемы развития. — М.:
Наука, 1985. — С. 113—134.
85. Кондратов, А. М. Теория информации и поэтика (Энтропия ритма русской речи) /
А. М. Кондратов // Проблемы кибернетики. — 1963. — Вып. 9. — С. 279—286.
86. Кулагина, О. С. Об одном способе определения грамматических понятий на базе
теории множеств / О. С. Кулагина // Проблемы кибернетики. — 1958. —
Вып. 1. — С. 203—214.
87. Ламбек, Дж. Математическое исследование структуры предложений /
Дж. Ламбек // Математическая лингвистика. — М.: Мир, 1964. — С. 47—69.
88. Левин, Ю. И. Знаки, язык, математика / Ю. И. Левин // О некоторых вопросах современной математики и кибернетики. — М.: Просвещение, 1965. — С. 428—467.
89. Мачавариани, М. В. О взаимоотношении математики и лингвистики /
М. В. Мачавариани // Вопр. языкознания. — 1963. — № 3. — С. 85—91.
90. Мицкевич, А. Поэты и математика / А. Мицкевич // Молодая гвардия. — 1961. —
№ 7. — С. 277—281.
91. Новотный, М. Об алгебраизации теоретико-множественной модели языка /
М. Новотный // Проблемы кибернетики. — М.: Наука, 1965. — Вып. 15. —
С. 235—244.
92. Орлов, Ю. К. Модель частотной структуры лексики / Ю. К. Орлов // Исследования в области вычислительной лингвистики и лингвостатистики. — М.: Изд-во
МГУ, 1978. — С. 59—118.

173

93. Пиотровская, А. А. Математические модели диахронии и текстообразования /
А. А. Пиотровская, Р. Г. Пиотровский // Статистика речи и автоматический анализ текста. — Л.: Наука, 1974. — С. 361—400.
94. Том, Р. Топология и лингвистика / Р. Том // Успехи математических наук. —
1975. — Т. 30, вып. 1. — С. 199—221.
95. Успенский, В. А. К определению части речи в теоретико-множественной системе
языка / В. А. Успенский // Бюл. Объединения по проблемам машинного перевода. — 1957. — № 5. — С. 22—26.
96. Фрумкина, Р. М. Соотношение точных методов и гуманитарного подхода: лингвистика, психология, психолингвистика / Р. М. Фрумкина // Известия АН СССР.
Сер. лит. и яз. — 1978. — Т. 37, № 4. — С. 318—332.
97. Холшевников, В. Стиховедение и математика / В. Холшевников // Содружество
наук и тайны творчества: сб. ст. — М.: Искусство, 1968. — С. 384—396.
98. Хомский, Н. Введение в формальный анализ естественных языков / Н. Хомский,
Дж. Миллер // Кибернетический сб. Новая сер. — М.: Мир, 1965. — Вып. 1. —
С. 229—297.
99. Шикин, Е. Стихи и фигуры / Е. Шикин, Г. Шикина // Квант. — 2001. — № 4. —
С. 8—11.
100. Эпштейн, М. Русский язык в свете творческой филологии / М. Эпштейн // Знамя. — 2006. — № 1. — С. 192—207.

174

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ....................................................................... 3
Математика в филологическом образовании..................... 3
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.................. 15
1.1. Понятие множества...................................................... 17
1.2. Способы задания множества ...................................... 22
1.3. Операции над множествами ....................................... 26
1.4. Основные свойства операций над множествами...... 45
1.5. Понятие отображения множеств ................................ 59
Глава 2. КОМБИНАТОРИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ ........... 72
2.1. Основные принципы комбинаторики ........................ 74
2.2. Комбинаторика: выбор без повторений .................... 79
2.3. Комбинаторика: выбор с повторениями.................... 95
2.4. Вероятность элементарного события ...................... 120
ДОПОЛНЕНИЕ ..............................................................135
Вероятность случайного события ................................... 135
ЛИТЕРАТУРА......................................................................... 169

На обложке картина
Ж. Абелье «Исследование планеты», 1961 г.

Учебное издание

Еровенко Валерий Александрович

ОСНОВЫ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ФИЛОЛОГОВ
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
И ПРИМЕРЫ

Курс лекций
В авторской редакции
Художник обложки Е. П. Протасеня
Технический редактор Г. М. Романчук
Корректор Н. П. Ракицкая
Ответственный за выпуск А. Г. Купцова
Подписано в печать 26.04.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,23. Уч.-изд. л. 11,18. Тираж 200 экз. Зак.
Белорусский государственный университет.
Лицензия на осуществление издательской деятельности
№ 02330/0056804 от 02.03.2004.
220050, Минск, проспект Независимости, 4.
Отпечатано с оригинала-макета заказчика.
Республиканское унитарное предприятие
«Издательский центр Белорусского государственного университета».
Лицензия на осуществление полиграфической деятельности
№ 02330/0056850 от 30.04.2004.
220030, Минск, ул. Красноармейская, 6.

Навигация

Вход в систему

Последние комментарии

Новое на форуме

Последние записи в блогах

Впечатления

Основы высшей математики для филологов [Валерий Александрович Еровенко] (pdf) читать онлайн