Краткий справочник для инженеров и студентов: Высшая математика. Физика. Теоретическая механика. Сопротивление материалов [Коллектив авторов] (pdf) читать онлайн

А. д. ПОЛЯНИН, В. д. полянин

В. А. ПОПОВ, Б. В. ПУТЯТИН

В. М. САФРАЙ, А. И. ЧЕРНОУЦАН

СПРАВОЧНИК

СПРАВОЧНИК
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
И СТУДЕНТОВ

ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ

КРАТКИЙ

СПРАВОЧНИК
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
И СТУДЕНТОВ
• ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
• ФИЗИКА
• ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
• СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ

МОСКВА
МЕЖДУНАРОДНАЯ ПРОГРАММА ОБРАЗОВАНИЯ
1996

УДК 51+53
К

Краткий справочник для инженеров и студентов: Высшая матема­
тика. Физика. Теоретическая механика. Сопротивление материалов. /
Полянин А. Д., Полянин В. Д., Попов В. А., Путятин Б. В.,
С а ф р а й В. М., Черноуцан А. И. — М.: Международная программа
образования, 1996. — 432 с.

Краткий многопрофильный справочник содержит основные понятия, законы,
формулы, теоремы и методы высшей математики, физики, теоретической меха­
ники и сопротивления материалов. Предельно сжатое и ясное изложение позволяет
читателю быстро найти (или восстановить в памяти) необходимую информацию.
Во всех разделах разобраны примеры, поясняющие существо рассматриваемых
вопросов и методов решения задач.
Книга не имеет аналогов в справочной литературе и окажет неоценимую по­
мощь широкому кругу инженеров и студентов (и будет полезна для преподава­
телей вузов и научных работников). Ее удобно использовать для систематизации
знаний и при подготовке к экзаменам и зачетам.
Табл. 4. Ил. 172. Библиогр. 90 назв.

Рецензенты: доктор фиэико-математичесих наук А. А. Варламов,
доктор физико-математичесих наук А. В. Манжиров,
доктор технических наук В. В. Парцевский

Издание осуществлено при участии фирмы «Левша»

к 1600000000—001 Rm
К---- 5^02^96---- Без объявл-

ISBN 5-7753-OOO1-7

© А. Д. Полянин, В. Д. Полянин,
В. А. Попов, Б. В. Путятин,
В. М. Сафрай, А. И. Черноуцан, 1996

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............................................................................................................

8

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ..........................................................

9
10

1. Аналитическая геометрия на плоскости.................................................
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.

Декартовы и полярные координаты. Расстояние между точками . . 10
Деление отрезка в данном отношении. Плошадь многоугольника . . 11
Различные виды уравнения прямой................................................................
12
Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой......................
13
Окружность, эллипс, гипербола и парабола................................................
14
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к
каноническому виду.....................................................................................
16

2. Аналитическая геометрия в пространстве............................................

17

Системы координат в пространстве...........................................................
Векторы................................................................................................................
Действия над векторами. Скалярное произведение...............................
Векторное и смешанное произведения.......................................................
Плоскость в пространстве..............................................................................
Прямая в пространстве....................................................................................
Прямая и плоскость в пространстве...........................................................
Поверхности второго порядка......................................................................

17
18
19
20
22
23
24
25

3. Линейная алгебра.............................................................................................

28

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.

Определители......................................................................................................
Матрицы...............................................................................................................
Системы линейных уравнений......................................................................
Системы n-мерных векторов. Собственные значения и собственные
векторы матрицы......................................................................................
36

28
30
33

4. Основные понятия математического анализа...................................

38

Числовые множества. Понятие функции...................................................
Элементарные функции и их графики........................................................
Предел последовательности............................................................................
Предел функции.................................................................................................
Бесконечно малые и бесконечно большие функции...............................
Непрерывность...................................................................................................
Асимптоты графика функции.......................................................................

38
39
43
45
47
48
49

5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ...

50

4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.

5.1. Производная и дифференциал, их геометрический и физический
смысл.............................................................................................................
50
5.2. Таблица производных и правила дифференцирования.........................
5.3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя..........
5 4. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула
Тейлора..........................................................................................................
54
5.5. Экстремумы. Точки перегиба........................................................................
5.6. Общая схема исследования функции и построение графика...............

51
52
54
56

6. Функции нескольких переменных...........................................................

57

Точечные множества. Функции. Предел и непрерывность..................
Дифференцирование функций нескольких переменных.......................
Производная по направлению. Геометрические приложения..............
Экстремумы функций нескольких переменных.......................................

57
58
61
62

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.

7. Неопределенный интеграл...........................................................................

64

7.1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.................
7.2. Таблица основных интегралов. Примеры интегрирования.................

64
65

Оглавление

4

8.

Интегрирование
Интегрирование
Интегрирование
Интегрирование

по частям. Метод замены переменной......................
рациональных функций....................
иррациональных функций..............................................
показательных и тригонометрических функций . .

66
68
70
71

Определенный интеграл...............................................................................

72

8.1. Основные определения. Геометрический смысл определенного
интеграла......................................................................................................
72
8.2. Свойства определенного интеграла.............................................................
8.3. Геометрические и физические приложения определенного интеграла
8.4. Несобственные интегралы..............................................................................

73
75
77

7.3.
7.4.
7.5.
7.6.

9. Двойные и тройные интегралы.................................................................

79

Определение и свойства двойного интеграла...........................................
Вычисление двойного интеграла...................................................................
Геометрические и физические приложения двойного интеграла ...
Определение и свойства тройного интеграла...........................................
Вычисление тройного интеграла. Некоторые приложения..................

79
80
81
82
84

10. Криволинейные и поверхностные интегралы..................................

85

Криволинейный интеграл первого рода.....................................................
Криволинейный интеграл второго рода....................................................
Поверхностный интеграл первого рода......................................................
Поверхностный интеграл второго рода...........................................
Дифференциальные операции и интегральные формулы теории поля

85
86
88
89
90

11. Ряды.......................................................................................................................

92

Числовые ряды....................................................................................................
Функциональные ряды.....................................................................................
Степенные ряды..................................................................................................
Ряд Фурье.............................................................................................................
Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.................................................

92
95
97
100
102

9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.

10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.

12. Обыкновенные дифференциальные уравнения..................................
Общие понятия. Уравнения первого порядка...........................................
Дифференциальные уравнения высших порядков.....................................
Линейные уравнения n-го порядка..........................................................
Решение линейных однородных уравнений n-го порядка с
постоянными коэффициентами
............................................... 112
12.5. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка..................................
12.6. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений......................

12.1.
12.2.
12.3.
12.4.

13. Приближенные вычисления.......................................................................
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.

Метод наименьших квадратов.......................................................................
Приближенное решение алгебраических уравнений..............................
Вычисление определенного интеграла........................................................
Численное интегрирование дифференциальных уравнений................

14. Теория вероятностей.....................................................................................

104
104
109
Ill
ИЗ
115

118
118
120
121
122

Правила и формулы комбинаторики...........................................................
Основные понятия теории вероятностей...................................................
Условная вероятность. Теоремы и формулы теории вероятностей .
Математическое ожидание и дисперсия.....................................................
Закон больших чисел.........................................................................................

123
123
124
126
128
131

Список литературы ..............................................................................................

131

14.1.
14.2.
14.3.
14.4.
14.5.

Оглавление

5

ФИЗИКА ...................................................................................................... 133
1. Физические основы механики...................................................................
1.1. Кинематика точки............................................................................................
1.2. Кинематика твердого тела............................................................................
1.3. Динамика..............................................................................................................
1.4. Закон сохранения импульса............................................................................
1.5. Закон сохранения энергии..............................................................................
1.6. Закон сохранения момента импульса..........................................................
1.7. Задача двух тел и движение в центральном поле..................................
1.8. Поле тяготения...................................................................................................
1.9. Неинерциальные системы отсчета...............................................................
1.10. Динамика твердого тела.................................................................................
1.11. Специальная теория относительности.......................................................

135
135
138
140
143
146
151
153
155
158
160
164

2. Молекулярная физика и термодинамика..............................................

170
170
172
176
179
183
188
190
192
194

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.

Основные положения и определения............................................................
Первое начало термодинамики.....................................................................
Второе начало термодинамики.....................................................................
Энтропия. Свободная энергия......................................................................
Кинетическая теория идеального газа.......................................................
Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса............................................
Равновесие фаз. Фазовые переходы............................................................
Поверхностное натяжение..............................................................................
Явления переноса в газах...............................................................................

3. Электродинамика.............................................................................................
3.1. Электрический заряд. Закон Кулона..........................................................
3.2. Электрическое поле. Напряженность поля................................................
3.3. Электростатическое поле. Принцип суперпозиции для
напряженности и потенциала............................................................... 199
3.4. Теорема Гаусса....................................................................................................
3.5. Электростатика проводников.......................................................................
3.6. Электростатика диэлектриков......................................................................
3.7. Конденсаторы.....................................................................................................
3.8. Энергия электростатического поля.............................................................
3.9. Постоянный ток.................................................................................................
3.10. Магнитное поле. Сила Лоренца и законАмпера......................................
3.11. Вычисление магнитной индукции................................................................
3.12. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции..............................
3.13. Магнитное поле в веществе............................................................................
3.14. Электромагнитная индукция.........................................................................
3.15. Уравнения Максвелла.......................................................................................

4. Колебания и волны..........................................................................................
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.

197
197
199
203
206
208
214
215
218
223
224
226
229
234
238

242

Гармонические колебания. Сложение колебаний.....................................
Свободные незатухающие колебания..........................................................
Затухающие и вынужденные колебания....................................................
Упругие волны....................................................................................................
Электромагнитные волны...............................................................................

242
245
249
254
261

5. Оптика...................................................................................................................

267

Геометрическая оптика. Фотометрия........................................................
Интерференция света.......................................................................................
Дифракция............................................................................................................
Поляризация света. Формулы Френеля......................................................
Дисперсия и поглощение света......................................................................
Тепловое излучение..............................................................................
Световые кванты...................................................................... :......................

267
271
277
282
287
290
296

Список литературы .............................................................................................

300

5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.

Оглавление

6

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ................................................301
1. Кинематика..........................................................................................................
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.

Кинематика точки.............................................................................................
Кинематика твердого тела.............................................................................
Плоскопараллельное движение твердого тела..........................................
Произвольное движение твердого тела......................................................
Сложное движение точки......................................................................

302
302
306
308
310
311

иаксиомымеханики................................................

314

2.1. Основные понятия механики..........................................................................
2.2. Аксиомы механики.............................................................................................

314
317

3. Статика..................................................................................................................

318

2. Основные понятия

3.1. Основные законы итеоремы статики..........................................................
3.2. Условия уравновешенности систем сил, приложенных к твердому
телу................................................................................................................. 319
3.3. Решение задач статики....................................................................................
3.4. Центр параллельных сил. Центр тяжести твердого тела.....................
3.5. Распределенные силы........................................................................................
3.6. Законы трения (законы Кулона)...................................................................

318

321
326
327
328

4. Динамика материальной точки.................................................................

329

4.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки ....
4.2. Первая и вторая задачи динамики...............................................................

329
330

5. Общие теоремы динамики механической системы.........................

332
5.1. Основные понятия и определения................................................................. 332
5.2. Теорема о движении центра масс......................................................... 334
5.3. Теорема об изменении количества движения................................... 335
5.4. Теорема об изменении кинетического момента.............................. 338
5.5. Теорема об изменении кинетической энергии.................................. 340

6. Принцип Даламбера. Элементы аналитической механики ....
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.

344

Принцип Даламбера................................................................................... 344
Классификация механических связей. Обобщенные координаты . .. 346
Принцип возможных перемещений....................................................... 349
Общее уравнение динамики (принцип Даламбера—Лагранжа) . . . 350
Уравнения Лагранжа второго рода..................................................... 351

Список литературы ..............................................................................................

353

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ......................................... 355
1. Основные понятия.............................................................................................

356

1.1. Введение. Внешние и внутренние силы......................................................
1.2. Напряжения и деформации в точке.............................................................
1.3. Основные понятия и допущения....................................................................

356
358
359

2. Напряженно-деформированное состояние в точке.........................

360
360
361
361

2.1. Виды напряженного состояния.....................................................................
2.2. Одноосное растяжение и сжатие..................................................................
2.3. Чистый сдвиг.......................................................................................................

3. Центральное растяжение и сжатие.........................................................
3.1. Продольная сила..................................................................................................
3.2. Напряжения и деформации при растяженииили сжатии.....................
3.3. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.................................

363
363
364
365

Оглавление
4.

Кручение.............................................................................................................
4.1. Крутящий момент.............................................................................................
4.2. Напряжения и деформации прикручении..................................................
4.3. Расчеты на прочность при кручении.........................................................

5.

Прямой изгиб....................................................................................................
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.

Изгибающий момент ипоперечная сила.....................................................
Напряжения и деформации при прямом чистом изгибе.......................
Напряжения и деформации при прямом поперечном изгибе.............
Расчет на прочность при прямом изгибе..................................................

6. Сложное сопротивление '................................................................................
6.1. Косой изгиб.........................................................................................................
6.2. Внецентренное растяжение или сжатие.....................................................
6.3. Изгиб с кручением.............................................................................................

7. Устойчивость сжатых стержней..............................................................
7.1. Критическая сила..............................................................................................
7.2. Формула Эйлера.................................................................................................
7.3. Влияние способов закрепления концов стержня на величину
критической силы..................................................................................... 385
7.4. Пределы применимости формулы Эйлера.................................................
7.5. Расчеты сжатых стержней на устойчивость...........................................

Список литературы

...............................................................................................

7
366
366
366
368
369
369
372
374
375

377
377
379
381
383
383
383

385
386

387

ПРИЛОЖЕНИЯ ...................................................................................... 388
1. Элементарные функции и их свойства....................................................
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

Тригонометрические функции......................................................................
Гиперболические функции.........................
Обратные тригонометрические функции..................................................
Обратные гиперболические функции.........................................................

2. Таблица неопределенных интегралов.......................................................
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.

Интегралы,
Интегралы,
Интегралы,
Интегралы,
Интегралы,
Интегралы,
Интегралы,

содержащие алгебраические функции..................................
содержащие иррациональные функции.................................
содержащие тригонометрические функции.....................
содержащие обратные тригонометрические функции .
содержащие показательные функции.................................
содержащие логарифмические функции............................
содержащие гиперболические функции.............................

3. Решения обыкновенных дифференциальных уравнений.............
3.1. Уравнения первого порядка............................................................................
3.2. Линейные уравнения второго порядка.......................................................
3.3. Нелинейные уравнения второго порядка...................................................

4. Ортогональные криволинейные системы координат....................

388
388
391
392
394
395
395
399
401
403
404
405
405

406
406
410
412

4.1. Произвольная ортогональная система координат..................................
4.2. Цилиндрическая система координат р, (р, 2.............................................
4.3. Сферическая система координат г, 0, ср....................................................

413
413
415
415

5. Некоторые физические постоянные.......................................................

416

Предметный указатель

418

......................................................................................

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга представляет собой краткий многопрофильный справоч­
ник для инженеров и студентов. Она состоит из четырех частей:
1) высшая математика, 2) физика, 3) теоретическая меха­
ника, 4) сопротивление материалов, и содержит основные по­
нятия, законы, формулы, теоремы и методы, изучаемые в соответ­
ствующих курсах в высших учебных заведениях (политехнических,
авиационных, транспортных, энергетических, электротехнических,
машиностроительных, химико-технологических, металлургических,
строительных, горных, нефтегазовых, военных, экономических, пи­
щевых, текстильных и др.).
Расположение материала в каждой части книги соответствует
общепринятым программам, используемым в большинстве вузов.
Предельно сжатое и ясное изложение позволяет читателю быстро
получить (или восстановить в памяти) необходимую информацию. Во
всех разделах разобраны примеры, поясняющие существо рассматри­
ваемых понятий и методов решения задач. Особое внимание уделено
вопросам, вызывающим наибольшие трудности у студентов.
Книга не претендует на роль учебника, поэтому доказательства,
как правило, не приводятся. Ее удобно использовать для получения
фактической справки (формулы, закона) и ускоренного повторения
пройденного материала при подготовке к экзаменам и зачетам.
Справочник будет также полезен широкому кругу научных работ­
ников и преподавателей вузов (не являющихся специалистами физикоматематического профиля).
Для удобства всех категорий читателей в приложении книги
приведены таблицы тригонометрических формул, неопределенных
интегралов, решений обыкйовенных дифференциальных уравнений и
другие полезные справочные материалы.
Специальные шрифтовые выделения в тексте и подробное огла­
вление помогут читателю находить нужную информацию.
В конце каждой части книги приведен список рекомендуемых
справочников и учебников, к которым полезно обращаться при не­
обходимости иметь более подробные сведения по интересующим во­
просам.

Авторы

ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
Основные обозначения
det А
£
|а|
|а|

—
—
—
—

определитель матрицы А;
вектор, а = {ар а2> аз)' гДе а1» а2> аз —компоненты вектора;
модуль скаляра: |а| = а при а ^ Ои |а| = —а при а < 0;
модуль вектора, |а| = ^Qj + а^ + а|;

(а, 6)
[а,Ь]
а•b
а X 6
abc
grad а
div 3
rot S

—
—
—
—
—
—
—
—

интервал а < х < Ь;
отрезок а^10;
скалярное произведение векторов;
векторное произведение векторов;
смешанное произведение векторов;
градиент скаляра а;
дивергенция вектора а;
ротор вектора а;

ехрт
shr
ch а;
th г
cthi
n!
y^ Ух> J'W
у", Ухх' ft1)
AUВ
АПВ
А С В
0
=
€
-L
||
=>


ш!
— биномиальные коэффициенты, C^L = — --- - —-;
к\(т — к)!
— экспонента, expi = еж;
— гиперболический синус, shr = у(еж — е-1);
— гиперболический косинус, chi= у(ех + е”1);
— гиперболический тангенс, thr = shi/chi;
— гиперболический котангенс, cthz = chi/shi;
— факториал, n! = n(n — 1).. .2 • 1;
— первая производная функции у = f(x);
— вторая производная функции у = /(□?);
— объединение множеств;
— пересечение множеств;
— А — подмножество В;
— пустое множество;
— тождественно равно;
— принадлежит;
— перпендикулярно;
— параллельно;
— следует, следовательно;
— эквивалентно.

1. Аналитическая геометрия
на плоскости
1.1. Декартовы и полярные координаты.
Расстояние между точками
► Декартова прямоугольная система координат состоит из
двух взаимно перпендикулярных прямых, каждая из которых рассма­
тривается как числовая ось (см. разд. 4.1). Эти прямые называются
осями координат. Точка О их пересечения служит началом отсчета
для обеих осей и называется началом координат. Единицы масштаба
осей координат совпадают. Как правило, одну-из координатных осей
располагают горизонтально и считают положительным направление
вправо. Эту ось называют осью абсцисс
и обозначают буквой х или Ох. На верти­
кальной оси, называемой осью ординат и
обозначаемой у или Оу, положительным
обычно считают направление вверх.
Каждой точке М плоскости вза­
имно однозначно соответствует пара
(я0, 2/о) действительных чисел—коорди­
нат точки М. Эти числа являются ко­
ординатами проекций точки М на оси
х и у соответственно. Первая координа­
та я0 называется абсциссой, а вторая координата yQ — ординатой
точки М. Координатные оси делят плоскость на четыре части, на­
зываемые квадрантами (или четвертями), которые нумеруются, как
показано на рис. 1.

Полярная система координат состоит из точки О, называемой
полюсом, и луча Ох, называемого полярной осью. Положение каждой
точки М на плоскости задается двумя полярными координатами:
полярным радиусом р = \ОМ\ и полярным углом р = LxOM (рис. 1).
Значения угла р определены с точностью до слагаемого 2тгп (п —
целое число).
Декартовы прямоугольные и полярные координаты точки М
связаны соотношениями xQ = pcosp, yQ = psin

Пример 1. Найти полярные координаты точки М(—3; —3).
Решение. Имеем р = у/(-3)2 + (—З)2 = 3\/2, tg ,

z = pcosd.

2.2. Векторы
Вектором называется направленный отрезок АВ, у которого
точка А рассматривается как начало, а точка В — как конец. Вектор
обозначается либо указанием его начала и конца со стрелкой навер­
ху А^, либо одной буквой со стрелкой наверху а. Длина отрезка АВ
называется модулем вектора АЁ и обозначается |А§| (модуль век­
тора а обозначается |а|). Векторы, лежащие на одной прямой или на
параллельных прямых, называются коллинеарными.
Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют оди­
наковые модули и направления. Из этого определения следует, что
каковы бы ни были вектор а и точка Р, существует единственный
вектор Р^ с началом Р, равный вектору а. Поэтому в геометрии век­
торы рассматривают с точностью до их положения (т.е. не различая
векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом). В
этом смысле векторы называют свободными.
Если поместить начало вектора а в начало координат, т.е. пред­
ставить его направленным отрезком оА, то координаты (x,y,z)
точки А называются координатами вектора а. При этом пишут

2.3. Действия над векторами. Скалярное произведение

19

а = {x,y,z}. (Отметим, что ОА называют радиусом-вектором
точки А).
Если вектор а имеет начало Щх^у^ z^, а конец С{х2,у2, z2), то
а = В^ = {г2”г1! У2~~У1^ z2~21}-Обозначим через г, j и к единичные
векторы {орты) координатных осей х, у и z соответственно (т.е.
i — OA, j = ОЁ, к = ОС, где О — начало координат, Д(1,0,0), В(0,1,0),
С(0,0,1)). Тогда каждый вектор а = {я, у, z} единственным образом
представляется в виде а = xi + yj + zk.
Если а = {я, у, z}, то |5| = \/х2 + у2 + z2.

2.3. Действия над векторами.
Скалярное произведение
► Произведение вектора на число. Сумма и разность век­
торов. Произведением вектора а на число к называется вектор ка,
коллинеарный вектору а, имеющий модуль |^||а|и направленный оди­
наково с а, если А: > 0, и противоположно а при А: < 0. Если a — {x,y,z},
то ка = {кх, ку, кг}.
Суммой векторов аиЬ называется вектор а+Ь, который строится
следующим образом. Сначала с помощью параллельного переноса
вектора Ь совмещают его начало с концом вектора а. Сумма векторов
а + Ь— «замыкающий» вектор, начало которого совпадает с началом
вектора а, а конец — с концом вектора b {правило
треугольника, рис. 7).
Разность векторов а — Ь определяется как сумма
векторов а и —Ъ. Если а = {х^у^ zx}, b = {х2, y2,z2},
то а±Ь = {х1 ± х2,уг ± Уг^\ ± ^2)Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется
нулевым и обозначается 0. Очевидно, 0 = {0,0,0} и а + 0 = а для
любого вектора а.
► Скалярным произведением векторов а = {x^^^jZ^ и
Ь = {^г^г^г) называется число, равное произведению их модулей
на косинус угла р между ними: а Ь = |а||6| cos ~х1г2 + zlx2> *12/2 “ 2/1^2}'

Свойства векторного произведения:
1. a xb = — (b х а).
2. ах (b + c) = axb + ax с.
3. (ко) х b = а х (kb) = к(а х 6) (к —число).
4. Векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда а xb = 0.
5. Площадь S параллелограмма, построенного на векторах а и Ь,
равна модулю их векторного произведения: S= |5 xi|.
Пример. Найти площадь треугольника с вершинами А(7,3,4), В(1,0,6),
С(4,5,-2).

Решение. Имеем aS = {—6, —3, 2}, А(5 = {—3, 2, —6}. Вычислим

А^ х

aS

=

г
-6
-3

3
-3
2

к
2
-6

= 7 (18- 4) - J (36+6) + к (-12 - 9) = 14i*- 42j-21k = {14,-42,-21}.
Поэтому S = у|АЙ X A?| = y\/142 + (-42)2 + (-21)2 = у • 49 = 24,5.

►^ Смешанным произведением векторов а, Ьи с называется число
abc, равное скалярному произведению вектора а на вектор b х с, т.е.
abc = a (b х с).
Свойства смешанного произведения:
1) При перестановке двух сомножителей смешанное произведение
меняет знак:

abc = —bac = bca = —cba = cab = —acb.

2) Векторы а, Ь, с компланарны (т.е. параллельны одной плоскости)
тогда и только тогда, когда abc = 0.
3) Если векторы а, Ь, с не компланарны, то на них можно построить
параллелепипед; его объем V = \abc\. Объем пирамиды, построенной
на векторах а, b и с, составляет одну шестую часть объема указан­
ного параллелепипеда: 7пир = -^\аЪс\.
Если а = {а1? а2, а3}, b = {ЬХ,Ь2, Ь3], с — {с1}с2, с3}, то их смешанное
произведение вычисляется как определитель третьего порядка:
а2

abc =

*1

С1

Аналитическая геометрия в пространстве

2.5. Плоскость в пространстве
► Общим уравнением плоскости называется линейное уравне­
ние
Ах + By + Cz + D = О,
(1)
где А2 + В2 + С2 ^ 0.
Любая плоскость в пространстве определяется уравнением ви­
да (1). Если D = 0, то плоскость проходит через начало координат;
если С = 0 (соответственно А = 0 или В = 0), то плоскость парал­
лельна оси z (соответственно оси х или оси у). Уравнение Ах + £) = 0
определяет плоскость, параллельную плоскости yOz.
Положение плоскости Р в пространстве полностью определяется
точкой MQ(xQ} yQ, zQ), лежащей на этой плоскости, и перпендикуляр­
ным ей вектором N = {А, В, С} (который называется нормальным
вектором плоскости). При этом уравнение плоскости имеет вид
Л(* - ^о) +

В(У - й) + ^(г - :о) = °-

(2)

Уравнение плоскости; проходящей через точку MQ(xQ,yQ,zQ) и
параллельной двум неколлинеарным векторам Nr = {Alf BliCl} и
^2 = {^21^21^2}) может быть записано в виде (2), где А, В, С —
координаты вектора N = Nt * N2.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
М^х^Уц z^, ^(^^г^г)» ^3(^3,2/3, гз), не лежащие на одной пря­
мой, имеет вид А(х — xj + В(у — У1) + C(z — zY) = 0, где Af В} С —
координаты вектора N = МГМ2 х МГМ3. Это уравнение можно за­
писать с помощью определителя:
* - *1
^2 “" г1
хз — ^1

У-У1
У2 " У\
Уз ~ У1

Z-Z1

^2 ” *1
*3-*i

= 0.

Пример. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку
Мо(2, —1,1) и перпендикулярной двум плоскостям Р^ '. Зх 4- 2у — z 4- 4 = 0 и
Р2 : ^ + 1/ + * — 3 = 0.
Решение. Нормальные векторы ^ = {3, 2, —1} и ??2 = {1,1,1} к плоскостям
Р^ и Р2 параллельны плоскости Р. Вычислим
ч
г
N = N{ X N2 = 3
1

3
2
1

к
-1
1

= 3t - 4j 4-Ifc.

Плоскость Р описывается уравнением 3(х — 2) — 4(у +1) + (я-1) = О или
Зх — 4у + z — 11 = 0.

Расстояние d от точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах 4- By 44 Cz + ^ = 0 вычисляется по формуле
,

И^о + Дур + С^о + Д|

у/А2 + В2 + С2

2.6. Прямая в пространстве

23

к Взаимное расположение двух плоскостей. Угол ip между
двумя плоскостями

(плоскость PJ,
(плоскость Р2)

Ахх + В^ 4- C\z ^^ = О

А2х + В2у + C2z + D2 = 0

равен углу между их нормальными векторами Nr и N2 и определяется
соотношением
cos

=

N^ • N2

i^h^i

А^А2 -|- В^В2 -f-

= TaT+WTWTW+WTcF'

Условие параллельности плоскостей: Рх || Р2 тогда и только
тогда, когда коллинеарны нормальные векторы Nx^ N2, т.е.
AJA2 = В1/В2 = Сг/С2

(если

Я2 / О, В2ф О, С2 / 0).

Условие перпендикулярности плоскостей: Рх ± Р2 тогда и только
тогда, когда ^ 1^2) т.е.
Л|А2 + ^1^2 + ^1^2 = 0*

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через линию пересече­
ния плоскостей Рг и Р2, имеет вид

р(Агх + Bry + Crz + D^ + q(A2x + В2у + C2z 4- D2) = 0

(при любых конкретных значениях параметров р и q это уравнение
определяет плоскость, проходящую через линию пересечения плоско­
стей Рх и Р2).

2.6. Прямая в пространстве
Каждая прямая в пространстве может быть задана системой двух
линейных уравнений
Avx + Вху 4- Cxz 4-^ = 0,
А2х 4* В2у 4* C2z 4" D2 = 0

(эти уравнения определяют две плоскости, пересечением которых и
служит данная прямая).
Обратно: любая совместная система уравнений вида (3), левые
части которых не пропорциональны, задает некоторую прямую.
Положение прямой L полностью определяется какой-нибудь ее
точкой M0(xQiyQ, zQ) и направляющим вектором I = {т^п.р}^ парал­
лельным прямой. При этом прямая задается следующими параметри­
ческими уравнениями:
x = xQ+tm}

У = Уп+1щ

z = zQ + tp,

24

Аналитическая геометрия в пространстве

где параметр t принимает любые действительные значения.
Если все координаты направляющего вектора не равны нулю, пря­
мая может быть также задана следующими каноническими уравнени­
ями:
х~^о = У-Ур _ *-*0
т
п
Р
Углы а, (3, 7, образуемые прямой L соответственно с осями
координат Ox, Оу, Oz, находятся по формулам
cos а

т.п
\/т2 + п2+р2 у/т2 + п2 + р2

р

= —7=7=т=т ) cos /> = —=====, cos 7 = —=====.

\/т2 + п2+р2

Прямая, проходящая через две данные точки M1(xliyliz1) и
М2(х2, У2^ *2)» представляется уравнениями

х- xr _ y-yY _ z- zY
*2 ” *1 ~ У2~У1 ~ г2 “ :1

($2 ^ Х1>У2 ^ У1*г2 ^ 21)'

Если прямая L задана уравнениями (3), т.е. как линия пересечения
плоскостей Pt и Р2 с нормальными векторами ^ = {ApB^CJ и

N2 — Мг^г’ОзЬ то ее направляющий вектор I может быть найден
как векторное произведение векторов Nx и N2'- I = Nx * N2. Точка
MQ е L находится как одно из решений системы (3).
Пример. Написать канонические уравнения прямой, заданной уравнениями
х + 2у + 3z — 13 = 0, За: + з/ + 42 — 14 = 0.
Решение. Имеем ^ = {1,2,3}, ft2 = {3,1,4}, Т = ^ х ^2 = {5,5, -5}.
Подставив в уравнения прямой значение z = 0, получим систему: а: + 2у — 13 = 0,
За: + у — 14 = 0, из которой найдем а: = 3, у = 5, Af0(3, 5,0). Таким образом,
u
о: — 3
з/ — 5
2—0
канонические уравнения прямой примут вид -------- = -------- = -------- или
5
5
—5
г-3 = у - 5 = —2.

Угол

△ ~ alj^\j + fl2j^2j + a3j^3j-

В частности, разлагая определитель по первой строке (г = 1),
получим

Д — ап

а22

а23

а21

а23

а32

азз

а31

а33

+ а13

а21
а31

а22
а32

2. Определитель не изменится, если его строки заменить столб­
цами, а столбцы — соответствующими строками.
3. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или столб­
ца) может быть вынесен за знак определителя.
4. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответ­
ственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель
равен нулю.
5. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет
знак.
6. Определитель не изменится, если к элементам одной стро­
ки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки
(столбца), умноженные на одно и то же число.
Вычисление определителя удобно проводить, используя свойства
1, 3 и 6.
-13
25
17
26
-34 -26
36
-33 -24
Решение. Вынесем за знак определителя общий множитель 2 элементов
второй строки, после чего прибавим к первой строке вторую, а к третьей -—
вторую, умноженную на —2. В результате имеем

Пример 1. Вычислить определитель △ =

△=2

-13
13
36

25
-17
-33

17
-КЗ =2 13
-24

8
-17
1

4
-13
2

Линейная

30

алгебра

Прибавляя ко второму столбцу последнего определителя третий столбец, умноженный на —2, и записывая после этого разложение по первой строке, получим

О

△ = 2 13
10

О
9
-3

4
-13 = 8 10
2

-3 = 8 Хп + Уп}’ kx = {кхк кх2’ ■••> кхп}Скалярным произведением векторов X и У называется число
*

^ = зд + зд + '-- + Мп-

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное
произведение равно нулю. Модулем вектора X называется число
|Х| = J)TX = У^ + ^+.+а^.

Свойства модуля вектора:
1) |Х| ^ О (|Х| = О тогда и только тогда, когда X = 0),
2) |*Х| = |*||Х|, к — число,
3) |Х + У| ^ |Х| + |У| — неравенство треугольника.

3.4. Системы п-мерных векторов. Собственные векторы матрицы

37

► Системы n-мерных векторов. Система векторов называет­
ся ортонормированной, если векторы этой системы попарно ортого­
нальны и имеют модули, равные единице.
Вектор kyAy+k2A2 + - -+ктАт называется линейной комбинацией
векторов Ау, А2, .. •, Ат с коэффициентами ку, к2, ..., кт.
Вектор В разлагается по системе векторов Ау, А2, ..., Ат,
если выполняется равенство В = куАу + &2А2 + ■" + ктАт. Числа
кх, к2, ..., кт называются коэффициентами разложения.
Векторная форма записи системы линейных уравнений (2) имеет
вид
^1*^1 “^ ^2^2 4" " ’ 4" ^п^п —

В’

где Аг= {а115 а21, • • ’ ami) — m-мерный вектор, координаты которого
равны коэффициентам при неизвестном xj А2 = {а12, а22, • • ’ ат1} —
вектор коэффициентов при z2 и т.д.; В = {61? 62,. .., 6т} —вектор
свободных членов.
Чтобы найти разложение вектора В по системе векторов
Ар А2, ..., Ат, достаточно иметь какое-нибудь решение системы
уравнений (2).
Система векторов Ар А2, ..., Ап называется линейно зависимой,
если существуют такие числа ку, к2, ..., кп, не все равные нулю, что

куАу + к2А2 + • • • + кпАп = 0,

(4)

где 0 = {0, 0,. .., 0} — нулевой вектор.
Если равенство (4) возможно лишь, когда все коэффициенты
ку, к2, ..., кп равны нулю, то система векторов называется линейно
независимой.
Линейно независимая часть By, В2, ..., Вг системы векторов
Ар А2, ..., Ап называется базисом этой системы, если каждый
вектор системы Ау, А2, ..., Ап разлагается по векторам By, В2,
■ 00
п—>оо

4.4. Предел функции
► Определение предела функции. Число b называется пределом
функции f(x) при х, стремящемся к а, если для любого £ > О
существует ^ = J(s) >0 такое, что |/(z) — 6| < £ при 0 < |я — а| < £.
Обозначения: lim f(x) = b или f(x) —> Ь при х —^ а.

х-ьа
Число b называется пределом функции f(x) при х, стремящемся
к +оо, если для любого £ > 0 существует N — N(e) > О такое, что
|/(ж) — Ь\ < е при х > N.
Обозначения: lim f(x) = b или f(x) —> b при x —> 4-oo.

Аналогичным образом определяются пределы при х —> —оо и
х —> оо.

Основные понятия математического анализа

46

Односторонние пределы. Число Ь называется пределом слева
(справа) функции f(x) при х, стремящемся к а, если для любого б > О
существует i = 0 такое, что |/(г) — 6| < е при а — 6 < х < а
(соответственно при а < х < а + 6) •
Обозначения: Нш^Дх) = b или f(a — 0) = b (соответственно
lim f(x) = b или f(a -4- 0) = 6).
х->д+0
► Свойства пределов. Пусть а — число или один из символов оо,
+оо, —оо.
1. Если функция имеет предел, то этот предел единственный.
2. Если с — константа, то lim с = с.
х-^а

3. Если существуют конечные пределы lim/(г) и lim^(z), то
г—►д
х-ьа

a) lim [/(г) + j(i)1 = lim f(x) 4- lim0(x);
X—► Д
X—► Д
X—кД
б) lim f(x) • g(x) = lim f(x) • lim g(x)>
X—► д
X—►д
X—►д
в частности, lim cf(x) = с lim f(x);
х-ьа

x^a

\

lim f(x)
в) lim ;
= ^a
7 x->a g(x)
lim^(z)

(если g(x) ^ 0, lim g(x) / 0).
V
x->a^ 7
7

4. Пусть f(x) ^ g(x) в некоторой окрестности точки а (х ^ а).
Тогда lim f(x) ^ lim^(z), если эти пределы существуют.
1ЧД
г—>д
5. Если f(x) ^ g(x) ^ h(x) в некоторой окрестности точки а и
lim f(x) = lim h(x) = b, то lim g(x) = b.
x~+a

x—ta

x—ta

Указанные свойства верны и для односторонних пределов.
► Пределы некоторых функций.

sinz
1-й замечательный предел: lim-------= 1.
*-►0 х
2-й замечательный предел: lim (14---- ] = е.
Х-ЮО \
х/
Некоторые другие пределы, находящие частое применение:

1 — COS X _ 1
(1 + *)п-1
lim----------- ----- = п, lim
lim----- = 1,
^2 = 2"’
X
х->0
x->0 X
..
arcsinz
_. arctgz
lim----------- = 1,
lim------------ = 1,
х->0
х
x->0
X

х->0

lim —

г—>0

X

- = 1,

lim Hl + xl =
x->0

X

г
^ " 1
i
lim----------- = Ina,
x-+0
X

r log^^1)
1
hm---- 2-------- - = loga e.
r->0
X

4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

47

4.5. Бесконечно малые и бесконечно
большие функции
► Определения. Функция f(x) называется бесконечно малой при
х —> а, если lim f(x) = 0.
х-+а

Функция f(x) называется бесконечно большой при х—^а, если для
любого числа К >0 неравенство |/(х)| > К выполняется для всех х^а
из некоторой окрестности точки а. В этом случае пишут f(x) —> оо
при х —> а или lim fix) = оо. (В данных определениях а — число
х-^а

или один из символов оо, -|-оо, —оо.) Если f(x) — бесконечно большая
функция при х -^ а и f(x) > 0 (/(z) < 0) в некоторой окрестности
точки а (при х ^ а), то пишут lim f(x) = 4-оо (соответственно

lim f(x) = —оо).

х-+а

► Свойства бесконечно малых и бесконечно больших фун­
кций.
1) Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при
х —> а функций являются бесконечно малыми функциями.
2) Произведение бесконечно малой при z —> а функции f(x) на
функцию ^(z), ограниченную в некоторой окрестности U точки а
(т.е. такую, что |^(z)| < М для некоторого числа М > 0 и для всех
х Е U), является бесконечно малой функцией.
3) lim /(z) = b тогда и только тогда, когда /(z) = Ъ + д(х), где
х—^а

д(х) —бесконечно малая при х —> а.
4) Функция f(x) является бесконечно большой тогда и только

бесконечно малая.
/(*)
► Сравнение бесконечно малых. Бесконечно малые при z —> а

тогда, когда функция д(х) =

функции f(x) и д(х) называются эквивалентными, если lim —— = 1.
х^а д(х)
Обозначение: f(x) ~ д(х).
Примеры эквивалентных бесконечно малых:
(1 + е)п - 1 ~ ne,
sine ^ б,

tge~s,

ае - 1 — elna,

1 —cose^-j-e2,

loga(l + е) ~ eloga е,
arcsinf^e,

arctge~e,

где e = e(x) — бесконечно малая при z —> а.
Говорят, что функции f(x) и д(х) — одинакового порядка малости

при z —> а, и пишут f(x) = O(g(x)}, если lim —= К, 0 < |АЧ < оо.*
* Встречается также другое определение символа О. А именно, /(х) = О (д(х)}

при х —Ь а, если в некоторой окрестности точки а (при х ^ а) выполняется
неравенство |/(х)| ^ К4^(х)|, К = const.

48

Основные понятия математического анализа

Функция f(x) называется функцией более высокого порядка ма­
лости по сравнению с функцией д(х) при х —> а, если lim—— = 0.
*->а д(х)
Обозначение: f(x)=o(g(x)).

4.6. Непрерывность
► Непрерывные функции. Функция f(x) называется непрерыв­
ной в точке х = а, если онаопределена в этой точке (и ее окрестно­
сти) и lim f(x) = f(a).
х—^а

У непрерывных функций малому изменению аргумента Ах = х — а
соответствует малое изменение функции Ay = f(x) — /(а), т.е.
Ay -> 0 при Ах —> 0. (Это свойство нередко используют в качестве
определения непрерывной функции.)
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х = а, если
она определена в этой точке (и справа от нее) .и lim f(x) = f(a).
х—ю+0

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х = а, если она
определена в этой точке (и слева от нее) и lim f(x) = f(a).
x-^a — Q

► Свойства непрерывных функций:
1. Если функции f(x) и д(х) непрерывны в точке а, то функции

точке.
2. Если f(x) непрерывна в точке а и f(a) > 0 (f(a) < 0), то
существует такое число 5 > 0, что f(x) > 0 (соответственно f(x) < 0)
при х Е (а — 6, а + 6).
3. Функция f(x), непрерывная в каждой точке отрезка [а,/?],
ограничена на этом отрезке и достигает на нем своего наибольшего
значения М и наименьшего значения т.
4. Непрерывная на отрезке [а, /3] функция f(x) принимает на этом
отрезке любое значение с G [т, М].
5. Если f(x) непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке [а,/?],
то на отрезке [/(а),/(/?)] (соответственно на отрезке [/(/?),/(«)])
определена непрерывная и возрастающая (убывающая) обратная
функция х = д(у).
6. Если функция и(х) непрерывна в точке а, а функция f(u)
непрерывна в точке b = и(а), то сложная функция f(u(x)) непрерывна
в точке а.
Замечание. Любая элементарная функция непрерывна в каждой
точке интервала, входящего в ее область определения.
к Точки разрыва функции. Точка а называется точкой разры­
ва первого рода функции /(z), если существуют конечные односто-

4.7. Асимптоты

ГРАФИКА ФУНКЦИИ

49

ронние пределы f(a + 0) и f(a — 0), но не выполняются соотношения
lim f(x) = lim f(x) = f(a). Величина |/(a+0) —f (a—0)| называется
r—>a+0
r—>a —О
скачком, функции в точке а. В частности, если /(a+0) = f(a — 0) / /(a),
то точка а называется точкой устранимого разрыва.
Примеры функций с точкой разрыва первого рода.
1. Функция f(x) = {

о при z .<
1

равный 1.
2. Функция f(x) = {

при х

О,
Л
~ имеет в точке разрыва т = О скачок,
О

о при г

О,
„
п
при т - 1 имеет устранимый разрыв в точке а; = О.

1

Точка а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы
один из односторонних пределов f(a + 0), f(a — 0) не существует или
равен бесконечности.
Примеры функций с точкой разрыва второго рода.
1. Функция f(x) = sin — имеет разрыв второго рода в точке а; = 0 (так как
х
у этой функции не существует односторонних пределов при х —> ±0).
2. Функция f(x) = 1/х имеет бесконечный разрыв в точке а: = 0.

4.7. Асимптоты графика функции
Асимптота графика функции у = f(x) —это прямая, расстояние
до которой от точки (х,у) на графике функции у = f(x) стремится
к нулю, если хотя бы одна из координат (я, у) стремится к бесконеч­
ности.
Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функ­
ции у = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции
f(x) при х —> а равен +оо или —оо.
Прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика
функции у = f(x), если выполняется хотя бы одно из предельных
соотношений: lim [f(x) — kx — b] = 0 или lim [f(x) — kx — b] = 0.

Если существуют конечные пределы
lim ^ =*,
->+оо

X

lim [f(x) — kx] = b,

(1)

то прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика при
х —> -hoc (аналогично определяется асимптота при х —> —оо).
Пример. Найти асимптоты графика функции у = —- ----- F х.
х— 1

Решение. У графика функции есть вертикальней! асимптота х= 1, так как
имеет место бесконечный предел lim I---------- bi = оо.
х-и \ гг — 1
/
Кроме того, при х —> ±оо существует наклонная асимптота у = kx + Ь,
коэффициенты которой определяются по формулам (1):

В итоге получим уравнение наклонной асимптоты: у = х.

50

Дифференциальное исчисление

5. Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
5.1. Производная и дифференциал,
их геометрический и физический смысл
► Производной f'(x) функции у = f(x) в точке х называется
предел отношения приращения функции Ay = f(x 4- Ах) — f(x) к
приращению аргумента Ах при Ах, стремящемся к нулю:

/W = lim ф» = lim
△т->о Ах
Ах-^о

Л* + Д*) ~ Л*) .
Ах

Используются такие обозначения производной: f{x), у\ у^, у,
dy df(x)
dx ’ dx
Пример 1. Вычислить производную функции f(x) = х2.
Решение. По определению имеем
(х Ах\2 _ X2
f^x) = lim - ---------- ---------- =
△х-+0
Ах

lim (2а; 4- As) = 2z.
Дх-^О

Приращение Ах называют также дифференциалом независимой
переменной и обозначают через dx.
Функция, имеющая производную в точке х, называется диффе­
ренцируемой в данной точке. Дифференцируемость f(x) в точке х
равносильна тому, что приращение функции Ay = f(x 4- dx) — f(x) в
этой точке представимо в виде Ay = f'(x)dx+o(dx) (второе слагаемое
обозначает бесконечно малую более высокого порядка по сравнению
с dx при dx —^ 0).
Если функция дифференцируема в точке х, то она непрерывна
в этой точке. Обратное утверждение неверно: из непрерывности
функции не следует ее дифференцируемость.
Функция f(x) называется дифференцируемой (непрерывно диф­
ференцируемой) на некотором множестве D (интервале, отрезке и
т.п.), если в каждой точке х Е D существует (непрерывная) произ­
водная f^x).
Дифференциал dy функции у = f(x) — это главная часть ff(x)dx
приращения Ау функции в точке х, так что Ay = dy + o(dx).
Приближенное равенство Ay « dy или f(x 4- Аж) « f(x) 4- f' (х)Ах
(при малых Аж) используется в приближенных вычислениях.
Пример 2. Вычислить приближенно ^25,5.
Решение. Пусть f(x) = у/х, х = 25, Ах = 0,5. Тогда ^'(х) = ——, /(25) = 5,
/'(25) = 0,1. Следовательно, ^25,5 а 5 4- 0,1 • 0,5 = 5,05.

5.2. Таблица производных и правила дифференцирования

51

► Физический смысл производной. Пусть функция у = f(x)
описывает путь у, пройденный телом, в зависимости от времени х.
Тогда производная f(x) есть скорость движения тела в момент
времени х.
► Геометрический смысл производной. Касательной к гра­
фику функции у = f(x) в точке M{xQjyQ), где у0 = /(^0), на­
зывается предельное положение секу­
щей MN при стремлении точки N к
точке М по графику функции. Если
а — угол между осью х и касатель­
ной, то f(xQ) = tga — угловой коэф­
фициент касательной (рис. 16).
Уравнение касательной к графику
функции у = f(x) в точке M(xQ,yQ)
имеет вид

У-Уо = Цх- х0),
Рис. 16.

где у0 = /(xq). к = /'(*о)-

5.2. Таблица производных и правила
дифференцирования
Производная любой элементарной функции может быть вычислена
на основе знания производных основных элементарных функций и
правил дифференцирования.
► Таблица производных основных элементарных функций:

(с)' = 0 (с = const),

(х°)' = ах"-1,

(П' = <

(ах)' = ат In а,

(In г)' = —,
X
(sin х)1 = cos х,

(log^)' = -^-,
ж In а
(cos я)' = — sin ж,

(tga;)' = —,
COS2 X

(ctgx)' =---- —
sin

(arcsine) = —- -----

(arccosz) =---- -==,
V1 —

(arctg*) =

(arcctgx) =-———.
1 + я2

Часто встречаются также производные гиперболических функций:

(shz)'= chz,

(ch я)'= sh я,

(th#)7 = —i—,
ch z

(cth a?)'=

i—.
sh a?

Дифференциальное исчисление

52

Пример 1. Вычислить производные степенных функций:
а) (х)' = 1 • г1 1 = г° = 1;

► Правила дифференцирования:

1) [«(х)!!;^)]^^^)!^^);
2) [си(х)]' = си\х\ где с = const;
3) [u(x) • v(x)]' = и'^х) • v(x) + и(х) • v^x);
[«(х)]^ u\x)v(x) — u(x)v'(x)
L v(^x) J
v2(x)
5) производная сложной функции [/(u(x))] = fu(u} • ^(z);
6) если функция f{x) дифференцируема и монотонна на интер­
вале (а, 6), ж0 £ (а, 6) и f(xQ) / 0, то обратная функция х = д(у)
дифференцируема в точке у^ = /(^о) и справедливо равенство

‘'W = ж;
7) производная параметрически заданной функции х = p(t),
у = q(t) вычисляется по формуле ух = —- =

xt

;

Р

8) если функция задана неявно уравнением F(x,y) = 0, то, диффе­
ренцируя по х тождество F(x, f(x)) = 0, для определения производной
f(x) получим выражение ух = —F^/Fy.
Пример 2. Вычислить производную функции ---------- .
2г + 1

Решение. Используя четвертое правило, последовательно получим
/ г2 ^' __ ^г2)^^^^
\2г + 1/ ”
(2г+1)2

_ 2г(2г + 1) - 2г2 _ 2? + 2г
”
(2г+1)2
“ (2г+1)2’

Пример 3. Вычислить производные функций: a) sin 2г и б) In cos г.
Решение. Используя правило дифференцирования сложных функций, имеем
a) (sin 2г)' = cos 2г • (2г)' = 2 cos 2г;
б) (In cos г)' = -^^-(cosг), = — tgг.

Пример 4. Найти производную, если функция у = /(г) задана равенством
еу — е~х + ху = 0.
Решение. Дифференцируя равенство, найдем еу • у' + е~х + у + х • у* =0.
.
е”х + у
Поэтому у =-------------- .
еу -{■ х

5.3. Теоремы о дифференцируемых
функциях. Правило Лопиталя
► Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
Теорема Ролля. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке
[а, 6], дифференцируема на интервале (а, 6) и /(а) = /(Ь), то найдется
хотя бы одна точка с 6 (а, 6) такая, что /'(с) = 0.

5.3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя

53

Теорема Лагранжа. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке
[а, 6] и дифференцируема на интервале (а, 6), то найдется хотя бы одна
точка с 6 (а, Ь) такая, что
/(Ь)-/(а) = Г(с)(Ь-а).
Это равенство называют формулой конечных приращений.
Теорема Коши. Пусть функции f(x) и д(х) непрерывны на отрезке
[а, 6], дифференцируемы на интервале (а, 6) и д'(х) ^ 0 при всех
х 6 (а, 6)- Тогда найдется хотя бы одна точка с Е (о^Ь) такая, что
ЖлЖ=Л1
рО)—5(a)
д'(с)'
► Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Пусть
функции f(x) и д(х) дифференцируемы и д^х) / 0 в некоторой
окрестности точки а (х^а). Если f(x) и д(х) —бесконечно малые или
f(x)
бесконечно большие функции при х —^а, т.е. если ——- представляет
9{х)
О
оо
в точке а неопределенность вида — или —, то
О
оо
lim Ж = llm
х-^а д(х)

х-^а д'ух)

(при условии, что существует конечный или бесконечный предел
отношения производных).
Замечание. Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда а
представляет собой один из символов оо, +оо, —оо.
_
_
sini
Пример 1. Вычислить hm --------- .
х-ю 1 - е*

Решение. Используя правило Лопиталя, последовательно имеем
/ .
lim cosa;
_
sina;
(sina;)
cost
cosO
1
hm --------- — = hm —^----- ^— = hm ------ — = ------------— =
— = —.
i->0 1 — e 2j
x->o (1 — e-21)'
x-^o 2e~2x
lim 2e~2x
2e°
2
i-+0

Неопределенности вида (0 • оо) и (оо — оо) приводятся к неопреде0
оо
ленностям вида — или ---- с помощью алгебраических преобразова0
оо
ний, например и(х) - v{x) =
1/v(x)
Неопределенности вида (1°°), (оо°), (0°) приводятся к неопреде0
оо
ленностям вида — или — с помощью предварительного логарифми0
оо
1
lnu
рования: In u = rlnw = ——.
Пример 2. Вычислить lim (cosa;)1^2.
х—>0

Решение. Здесь имеет место неопределенность вида 1°°, поэтому сначала
1
Z
41/х2 , Z
находим In lim (cosa?)' = lim ln(cosa;) '

Incosa;
(-tgz)
1
= hm ----- ----- = hm -- -------- — =----- .
x—>o
x2
x—>0
2a;
2
Следовательно, lim (cosi)1^ = e”1^2 = ——.
x—>0

x—>0

x->o

^/e

Дифференциальное исчисление

54

5.4. Производные и дифференциалы высших
порядков. Формула Тейлора
► Производной второго порядка или второй производной функ­
ции f(x) называется производная от производной f(x), которая обоd2y
значается у" или -3—5- или f"(x). Производная от производной вто-

рого порядка называется производной третьего порядка у,н = (у")'Производная n-го порядка от функции у = f(x) определяется как про­
d ny
изводная от производной порядка (n —1) и обозначается у^ или ——
dxn
^ИЛИ f(n\x).
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от
дифференциала первого порядка: d2y = d(dy). Если х — независимая
переменная, то справедлива формула d2y = у" • (dx)2. Аналогично
определяются дифференциалы третьего и других порядков.
► Формула Тейлора. Если функция y^f(x) имеет производные до
(п + 1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки а,
то для всех х из этой окрестности справедливо равенство

л*)=/(а)+^^(*-а)+^-^(*-а)2+--+-:Ц^(*-^^
гдеЯп(х) = ^^^^

(0 f(x0) (f(x) < f(x0)), то xo называется точкой минимума
(максимума) функции f(x):
* В отдельных точках интервала производная может обращаться в нуль.

5.5. Экстремумы. Точки перегиба

55

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.
Точки, в которых производная f(x) не существует или обраща­
ется в нуль, называются критическими точками функции f(x).
► Условия существования экстремума. Необходимый признак
экстремума: каждая точка экстремума функции f(x) является кри­

тической точкой этой функции.
Достаточные условия экстремума.
1. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности
(z0 — 0 при х 6 (z0 — i, ж0) и Г(х) < 0 при х G (х0, x0+i),
то г0 — точка максимума функции. Если f'(x) < 0 при х 6 (х0 —£, ж0)
и f(x) > 0 при х 6 (^0) ^о + ^)> то жо —точка минимума.
Если ff(x) сохраняет свой знак при всех х ^ ж0, х 6 (ж0-i, x0 + i),
то точка х^ не является точкой экстремума.
2. Пусть функция f(x) п раз дифференцируема в некоторой
окрестности точки z0 и f'(x0) = /"(х0) = ••• = /^-1\^о) = 0, а
f^^(xo) 7^ 0- Тогда, если п — четное, то при f^(x0) < 0 точка г0
является точкой максимума, а при f^(x0) > 0 — точкой минимума.
Если п — нечетное, то х0 не является точкой экстремума.
► Наибольшее и наименьшее значения функции. Пусть функ­
ция у = f(x) непрерывна на отрезке [а, 6] и дифференцируема во всех
точках этого отрезка за исключением, быть может, конечного чис­
ла точек. Тогда наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на
отрезке [а, 6] находятся среди значений f(a), f(b) и значений f^x^ в
критических точках х{ 6 (а, 6).
► Направление выпуклости графика функции. Говорят, что
график дифференцируемой функции у = f(x) направлен выпуклостью
вверх (выпуклостью вниз) на интервале (а, 6), если этот график
в пределах указанного интервала лежит ниже (выше) любой своей
касательной.
Если функция у = f(x) дважды дифференцируема на интервале
(а,Ь) и f"(x) < 0 (f"(x) > 0), то график этой функции направлен на
рассматриваемом интервале выпуклостью вверх (вниз). (В отдельных
точках интервала вторая производная может обращаться в нуль.)
Таким образом, чтобы найти интервалы, на которых график
дважды дифференцируемой функции направлен выпуклостью вверх
(вниз), нужно решить неравенство f"(x) < 0 (f"(x) > 0).

► Точкой перегиба графика функции у = f(x) называется точка
(я0, f(x0)), в которой график функции переходит с одной стороны
касательной на другую. В точке перегиба график функции меняет

направление выпуклости.

Дифференциальное исчисление

56

Пусть функция у = f(x) имеет непрерывную вторую производную
f"(x) в некоторой окрестности точки х0. Если f^x^ = 0 и f^x)
меняет свой знак при переходе через точку х0, то точка (х0, /(х0))
является точкой перегиба.

5.6. Общая схема исследования функции и
построение графика
Общая схема исследования функции и построение графика:
1. Находим область определения функции.
2. Находим асимптоты графика функции.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.
4. Определяем направление выпуклости графика и точки перегиба.
5. Выясняем, является ли функция четной или нечетной, является
ли она периодической.
6. Находим точки пересечения графика с осями координат.
7. Строим график функции.
Ina?

тт

Пример. Исследовать функцию у = ------ и построить ее график.
х
Решение. Используем общую схему исследования функции.
1. Область определения функции: 0 < а; < +оо.
u
u
In а?
2. Прямая х = 0 является вертикальной асимптотой, так как lim ------ = — оо.
1Ч|0
X
Найдем наклонные асимптоты:

k=

lim

~ = О,

b=

lim (у — kx) = О.

Следовательно, прямая у = 0 является гори­
зонтальной асимптотой графика.
_
.
1 - Ini
3. Производная у = ----- ----- равна нулю
при Inx = 1, следовательно, х = е — критиче­
ская точка. При х Е (0, е) имеем у1 > 0, т.е.
на этом интервале функция возрастает. При
х Е (е, Ч-оо) справедливо неравенство у' < 0,
поэтому здесь функция убывает. При х = е функция достигает максимального
1
значения, равного утах = —.
4. Вторая производная у1

2 In 37 3
3 /2
------------- равна нулю при х = е”' . На интервале

(0,е3/2) имеем у" < 0, поэтому здесь график функции обращен выпуклостью
вверх. При х Е (е3/2,+оо) справедливо неравенство уи > 0, и на этом интервале
график обращен выпуклостью вниз. Значению х = е3/2 соответствует точка
перегиба графика с ординатой у = уе"3/2.
5. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как допустимы лишь
значения а? > 0, и равенства f(—x) = f(x) и f(—x) = — f(x) выполняться не могут.
Очевидно, что функция непериодическая.
6. График не пересекает ось у, так как при х = О функция не определена.
Далее, у = О лишь при х = 1, т.е. график пересекает ось х только в точке (1,0).
7. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 17).

6.1. Точечные множества. Функции. Предел и непрерывность

57

6. Функции нескольких переменных
6.1. Точечные множества. Функции.
Предел и непрерывность
► Множества на плоскости и в пространстве. Окрестностью
радиуса е точки Мо (на плоскости или в пространстве) называется
множество точек М таких, что p(MQ) М) 0. При этом зна­
чения функции f(M) могут стремиться к некоторой константе Ь.

58

Функции нескольких переменных

Число b называется пределом функции f(M) в точке Мо, если
для любого (сколь угодно малого) е > 0 найдется число J > О
такое, что для всех точек М из области определения функции,
удовлетворяющих условию 0 < р(М0,М) < 6, будет выполняться
неравенство \ f(M) — b\ < е. Записывают это так: lim f(M) = b.
р->0

Функция f(M) называется непрерывной в точке MQ, если
lim/(М) = f(M0). Функция называется непрерывной на множе-

р—>о

стве D, если она непрерывна в каждой точке D. Если функция f(M)
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она ограни­
чена на этом множестве и достигает на нем своих наибольшего и
наименьшего значений.

6.2. Дифференцирование функций
нескольких переменных
Для краткости ограничимся случаем функции двух переменных,
однако все утверждения легко обобщаются на случай функций любо­
го числа переменных.
► Приращения и частные производные. Приращением функ­
ции z = f(x,y) в точке (х,у) называется величина

Az = f(x + Ах, у 4- Ay) - f(x, у),
где Ах, Ay — приращения независимых переменных. Частными
приращениями по х и по у называются соответственно величины

△г^ = Л^ + Лх,у) - f(x,y),

Ayz = f{x,y+Sy) - f(x,y).

Частными производными функций z по х и по у в точке (х,у)
A z
Az
называются соответственно величины lim —^— и lim —^— (при
△г->о Ах
Ду-чо Ау
условии, что эти пределы существуют). Для них приняты обозначеdz
dz
,
ния: —, zx
7“) ZA f'Ax>y) (иногда штрихи опускают).
ox
оу
у у
► Дифференцируемые функции. Дифференциал. Функция
z = f(x, у) называется дифференцируемой в точке (х,у), если ее при­
ращение в этой точке представимо в виде

Az = А(х, у)Ах 4- В(х, у)Ау 4- о(р),

р = \/{АхУ~^~(ХуУ,

где о(р) — величина более высокого порядка малости по сравнению с
р при р —> О (т.е. о^р)! р —> 0 при р —> 0). В этом случае в точке (х, у)
существуют частные производные, причем zx = А(х, у), z'y = В(х, у).

6.2. Дифференцирование функций нескольких переменных

59

Обратно, если функция имеет в точке (х, у) непрерывные частные
производные, то она дифференцируема в этой точке.
Дифференциалом функции z = f(x, у) называется величина
dz = f'x(x>y)Ax + f'y(x,y)Ay,
которую (полагая дифференциалы dx и dy независимых перемен­
ных равными соответственно Ах и Ау) записывают также в виде
dz = f'x(x,y) с1х + Щх,у) dy.
Соотношение Az = dz + о(р) при малых Ах и Ау широко исполь­
зуется в приближенных вычислениях, в частности, при подсчете по­
грешности вычисления значений функции.
Пример 1. Пусть значения аргументов функции z = х2у5 известны с
погрешностью: х = 2 ± 0,01, у = 1 ± 0,01. Подсчитаем приближенно значение
функции.
Решение. Имеем в точке т = 2, 3/ = 1: Azttdz = 2-2-15-0,01 + 5-22-14 0,01 = 0,24
(при ^х = Ау = 0,01). Поэтому можно считать z = 4 ± 0,24.

Если функция z = f(x,y) дифференцируема в точке (хд^о), то

f(x, у) = f(x0,y0) + f'x(x0, у0)(х - i0) + fy(x0,y0)(y - J/O) + о(р).

Отсюда при малых р, т.е. при х^х0) у ^у0, получается приближенная
формула
f(x, у) « /(хо>Уо) + ?х(хО’Уо)(х - *о) + /у^о- Уо)(у -Уо)-

Замена функции таким линейным выражением вблизи данной точки
называется линеаризацией.
► Сложная функция. Пусть z = f(x,y), причем х = x(u,v),
у = y(u,v). Пусть для (u.v) Е D функции x(u,v), y(u,v) принимают
значения, при которых функция z = f(x} у) определена. Тем самым на
множестве D задается функция z(u,v) = /(х^и^у^щу)), которая
называется сложной функцией; при этом функция f(x,y) называется
внешней, а х(и, v), у(и, v) — внутренними функциями.
Частные производные сложной функции находятся по формулам

dz _ df dx
df ,dy
du
dx du + dy du ’

^z _ ^f 9x
dv
dx dv

^f ^У
dy dv

Пусть z = z(t,x,y), причем x = x(t), у = y(t). Тогда z, в конечном
dz
счете, зависит только от t. Производная —— вычисляется по формуле
dt

dz _ dz
dz dx
dz dy
dt
dt + dx dt + dy dt
Эта производная (в отличие от частной производной
полной производной.

dz

называется

60

Функции нескольких переменных

► Вторые частные производные и вторые дифференциалы.
Вторыми частными производными функции z = f(x,y) называются
частные производные от ее первых частных производных. Их обо­
значают так:
д2 z
д^z
—
—
= (z1 V
= (z' Y
dx
2 = z"
xx~\x)x<
dxdy = z"
xy-\x)y,
d^ z
дудх

= z" = iz> у
y^-^y^’

c)2 z

dy2

= z>> = iz' у
yy-'y’y

Производные z"y и zyx называются смешанными. Если в рассматри­
ваемой точке смешанные производные непрерывны, то они равны в
этой точке.
Аналогично определяются частные производные более высоких
порядков.
Вторым дифференциалом функции z = f(x,y) называется выра­
жение
d2z = d(dz) = {dzyx^x + (dz)'y^y = z"r(Aa:)2 + 2z”ySx^y + z'yy(^.y)2.

Аналогично определяются d3z, d^z и т.д.
► Формула Тейлора. Если в точке (х,у) функция z = f(x,y)
имеет частные производные до n-го порядка включительно, то ее
приращение Az в данной точке можно записать в виде
А
,
d 2z
d3z
d nz
,
/
/——— 7—
Дг = ^ + -2Г + -зГ+ - +-^- + °(/’ ) (.Р= V^y + fSy)2).
► Неявные функции и их дифференцирование. Уравнение
F(x,y) = 0, имеющее решение (хо>Уо)» определяет в окрестности ж0
переменную у как непрерывную функцию х при условии, что про­
изводная Fy(x,y) ^0 и непрерывна в некоторой окрестности точки
(жо^о)- Если, кроме того, в окрестности этой точки существует не­
прерывная производная Fx, то неявная функция у = у(х) имеет про-

'
dy
F^
изводную, определяемую по формуле —— = —
dx

Fy

Рассмотрим теперь уравнение F(x,y,z) = 0, связывающее пере­
менные х, у, z. Если F(x0, у0, zq) = Q и в окрестности точки (ж0> 2/0, ^0)
существуют непрерывные частные производные Fx, Fy, F*, причем
F^(xQ, Уо^ го) / ^ то уравнение F(x,y,z) = 0 в некоторой окрестно­
сти точки (ж0, ?/0) имеет единственное решение z = 2оХу - Уо) + Ф^с» %> 2оХ2 “ 2о) = °>

а вектор нормали к поверхности в этой точке
"= {Фг^о-Уо^о)- Фу(®О>Уо>*о)> Ф'г(*О,%.2о)}-

Пусть поверхность задается параметрически уравнениями
х = х(иуу)у

z = z(u,v)

y = y(u,v),

или, в векторной записи, г = r(u,v), где г = {хуу,г}, и пусть
M0(z(u0, v0), 3/(u0,v0), z(u0,u0))—точка поверхности, отвечающая
значениям параметров и = uQj v = v0. Тогда вектор нормали к
поверхности в точке MQ можно найти по формуле

_

х

дг

дг

i

j

k

<

j/u

<

/

Xv

/

/

Уу

Zv

где все частные производные вычисляются в точке MQ.

6.4. Экстремумы функций нескольких
переменных
► Необходимое и достаточные условия экстремума функ­
ций двух переменных. Точка (хо,!/о) называется точкой мини­
мума (^максимума) функции z = /(х,у), если в некоторой окрестно­
сти точки (я0>%) Функция определена и удовлетворяет неравенству
f(x,y) > f(xQ,y0) (соответственно f(x^y) < /(^о,Уо))- Точки макси­
мума и минимума называются точками экстремума функции.
Необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума функ­
ция имеет первые частные производные, то они обращаются в этой
точке в нуль. Отсюда следует, что для отыскания точек экстрему­
ма такой функции z = f(x,y) следует решить систему уравнений

f^x.y) = 0, fy(x,y) = 0. Точки, координаты которых удовлетворяют
этой системе, называются критическими точками функции. Среди
них могут быть точки максимума, точки минимума, а также точки,
не являющиеся точками экстремума.
Достаточные условия экстремума используются для выделения
точек экстремума из множества критических точек и перечислены
ниже.
Пусть функция z = fix, у) имеет в критической точке непрерыв­
ные вторые частные производные. Если в этой точке выполняется

63

6.4. Экстремумы функций нескольких переменных

условие △ = fxxfyy “ ^fxyY > 0, то она является точкой минимума
ПРИ fxx > О и точкой максимума при f^ < 0. Если в критической
точке А < 0, то она не является точкой экстремума. В случае А = 0
требуется более тонкое исследование характера критической точки,
которая в этом случае может быть точкой экстремума, а может и не
быть таковой.
► Экстремумы функций трех переменных. В случае функции
трех переменных определения точек экстремума дословно повторяют
соответствующие определения для функции двух переменных. Огра­
ничимся изложением порядка исследования функции и = Ф(х,у,г) на
экстремум. Решая систему уравнений Ф^ = Ф^ = Ф' =0, следует найти
критические точки функции, а затем в каждой из критических точек
вычислить величины

△1 = ф';,

ф"

XX

д2 = ф"

ху

ф"

ф"

ф"

ф"

ф"

ф"

ф"

XX

ф"

‘3 —

ху

XZ

ху

УУ
yz

XZ
У*

zz

Если все три величины положительны, то рассматриваемая критиче­
ская точка является точкой минимума; если Aj < 0, А2 > 0, А3 < 0,
то данная критическая точка является точкой максимума.
► Условный экстремум функции двух переменных. Точка
(^oj^o) называется точкой условного минимума (максимума) функ­
ции z = f(x, у) при условии ^(х^ у) = 0, если существует окрестность
точки (х0, ?/0), в которой функция z = f(x, у) определена и в которой
f(x,y) > f(x0,y0) (соответственно f(x,y) < f(xQjyQ)) для всех точек
(х,у), координаты которых удовлетворяют уравнению ср(х,у) = 0.
Для нахождения точек условного экстремума используют функ­
цию Лагранжа

Ф(я, у, А) = f(x, у) + Х(р(х, у),
где число А называется множителем Лагранжа. Решая систему трех
уравнений
ЗФ
ЗФ
ЗФ
л
-^=
0,
=
0
’
=
0’
ох
оу
ол

находят критические точки функции Лагранжа (а также значение
вспомогательного множителя А). В этих критических точках может
быть условный экстремум. Приведенная система дает лишь необходи­
мые условия экстремума, но не достаточные: ей могут удовлетворять
координаты точек, не являющихся точками условного экстремума.
Однако, исходя из существа задачи, часто удается установить харак­
тер критической точки.

64

Неопределенный интеграл

► Условный экстремум функции многих переменных. Рас­
смотрим функцию п переменных и = /(ях, я2,..., яп) при условии,
что Яр я2, ..., хп связаны т уравнениями (т < п):

' PltZl’^ - ^n) =®>
2 + •■■ + Xmipm

и приравнивают нулю ее частные производные по всем переменным
Яр . • ■, хп и параметрам Лр ..., Аш. Из полученных п^-т уравнений
определяют Яр я2, ..., я^ (а также значения вспомогательных неиз­
вестных Лр ..., Ат — множителей Лагранжа). Как и для функций
двух переменных, вопрос о том, будет ли при найденных значениях
аргументов заданная функция иметь условный экстремум или нет,
требует дополнительного исследования.

7. Неопределенный интеграл
7.1. Первообразная. Неопределенный
интеграл и его свойства
► Первообразной для функции /(я) на данном интервале называ­
ется такая функция ^(я), производная которой равна /(я) (для всех я
из данного интервала):
Н*) = №)■
Пример 1. Пусть f(x) = 2х. Тогда функции F(x) = х2 и Fr(x) = х2 — 3
являются первообразными для функции f(x), так как (х2)' = 2а; и (х2 — 3)' = 2х.

Каждая непрерывная в интервале (а, 6) функция /(я) имеет беско­
нечное множество первообразных на (а, 6). Если ^(я) — одна из них,
то всякая другая имеет вид F(x) + С, где С — постоянная величина.
► Неопределенным интегралом от функции /(я) называется
совокупность F(x) + С всех ее первообразных:

/ f(x) dx = ^(я) + С.

7.2. Таблица основных интегралов. Примеры интегрирования

65

Здесь f(x) dx называется подынтегральным выражением, f(x) — по­
дынтегральной функцией. Вычисление неопределенного интеграла от
данного подынтегрального выражения называется интегрированием.
Дифференциал dx указывает на то, что интегрирование ведется по
переменной х.
Пример 2. f 6х2 dx = 2х3 + С, так как (2а?3)' 7 6т2.

► Свойства неопределенного интеграла:

1.
2.
3.

4.

7.2. Таблица основных интегралов.
Примеры интегрирования
► Таблица основных интегралов. Ниже приведены простейшие
интегралы, знание которых необходимо для интегрирования более
сложных выражений:

f — = In |z| + С,
J х
jех dx = ех -i- С,

Tm+1

/

J sin xdx = — cos x + С,

xmdx =------- - + c (m/-l),
m+1
v
[axdx=~ + C,
J
Ina
J cos x dx = sin x + C,

jtgxdx = — \n\ cos x| 4- C,

Jctg x dx = In I sin z| 4- C,

[

dx

/ —2— = - ctg X 4- C,
J sin X

f dx
/---- = tg z 4- C,
J cos2 x

dx
1
x
2 , 2 = — arctg — 4- C,
a
a
dx
x
, = arcsin — + C,
/ ,
ya2 — x*
a

/
/

Более подробная таблица неопределенных интегралов приведена
в приложении 2.
3 А. Д. Полянин, В. Д. Полянин и др.

66

Неопределенный интеграл

► Примеры непосредственного интегрирования. В отличие
от вычисления производной, не существует общих правил, позволяю­
щих проинтегрировать любую заданную функцию. Многие интегра­
лы вообще не выражаются через элементарные функции, например,
/sinz _
--- ах.
х
Применение свойств 3 и 4 из разд. 7.1 часто позволяет свести
интегрирование к табличным формулам.
Пример 1.

I I
— — —— 4- ------1 dx = — I x 4 dx — I x
J X2^
x3
3 J
2 J
J
1 f i
®~2
X4/3
1
X^fx
+—
X1'3 dx = X*/2 + —- + —— + C = y?+ —- + —¥— + C.
3 J
2
4
2x2
4

dx +

Возможности применения табличных формул связаны также с
тем, что под знаком дифференциала может стоять любая функция
z(x). В этом случае подынтегральная функция должна быть таблич­
ной функцией, зависящей от z{x).
Пример 2. J ez^ dz(x) = ez^ 4- С.
d sin x
. , . , л
—7------= In I sin i| + C.
sinx

/

Преобразование интеграла к табличному часто достигается при
помощи внесения некоторой функции под знак дифференциала.
.
Г sinxdx
/ —dcosx
. ,
.
tgx dx = I ----------- = I ------------- = — In I cosx| 4- (7.
J
COS X
J
COS X

/

Пример 5. J >/2x 4-1 dx = J(2x 4- l)1^2 yd(2x 4- 1) = ^— ^------ h ^-

dx
[
dx
/ —.■ ------ax2 ^bx^c' J y/ax2 + bx + c
при помощи выделения полного квадрата:
2
г
/
b \2
Ь2
ах + Ьх + с = а{х + ■—--------- 1- с.
\
2а /
4а

/

----- - ----- ;----------- ,

ВЫЧИСЛЯЮТСЯ

После этого, заменив dx на равный ему дифференциал d(z 4- ——
X
2а
используют одну из четырех последних формул, приведенных выше в
таблице основных интегралов.
dx
f
d(x — 1)
.
■ =• = / —;
= = arcsinfx — 1) 4- С.
^?
J ^/1 _ (x - 1)2

/

7.3. Интегрирование по частям. Метод
замены переменной
► Интегрирование по частям — это интегрирование по формуле

(1)

7.3. Интегрирование по частям. Метод замены переменной

67

Этот метод позволяет вычислять интегралы следующих видов:
A)

J Р(х)еах dx,

j Р(х) cosfax) dx,

J Р(х) sin(ax) dxy

В)

J P(x)lnx dx,

j P(x)axctgxdx,

J P(x) arcsinz dx,

где P(x) —многочлен.
Для интегралов типа А) в формуле (1) полагаем Р(х) = и, а для
интегралов типа В) полагаем Р(х) dx = dv.
Пример 1. Вычислить интеграл J(Зя + 1)е2х dx.

Решение. Полагая и = Зх 4- 1, dv = е2* dx, находим du = 3dx, v = ye2j.
Поэтому f (Зх + 1)е2х dx = y(3z + 1)е2х — у J е2х dx = у(3х+ 1)е2х — ye2j +С =

= ({х-1)е2ЧС.
Пример 2. Вычислить интеграл

f Inxdx.

dx
Решение. Полагая u = Inz, dv = dx, находим du = ---- , v = х. Поэтому
х
J \пх dx = х\пх — ^ dx = x\nx — x + С.

С помощью интегрирования по частям можно вычислять интегра­
лы вида
j Р(х)еах sin(bx) dx, J Р(х)еах cos(bx) dx,
где P(x) — многочлен, а также ряд других интегралов.
► Метод замены переменной. Замена переменной (иногда назы­
ваемая также подстановкой) состоит в том, что вместо переменной х
в подынтегральное выражение f(x) dx вводится функция х = h(z). В
результате получим

f(x)dx =

f(h(z))h'(z) dz,

причем в случае удачно подобранной замены последний интеграл
проще исходного.
Пример 3. Вычислить интеграл f х\/1 — xdx.
Решение. Сделаем замену Д — х = z. Тогда х = 1 — z2, dx = —2zdz
и f х\/1 — х dx = — §(\ — z2)z2z dz = — yz3 + -|z5 + C .= -уУ(Г^гР +

ЧУ^+с.
е^х dx

/

dz
Решение. Сделаем замену ex = z. Тогда г = Inz, dx = ---- . Поэтому
z
f e3x dx
[ z2 dz
[(
4 \
1 2
_
/ --------- = / -------- = / I z — 2 + -------- ]dz = —z2 - 2z + 41n z + 2 + (7
J ex +2
J z+2
J \
z + 2j
2
= ye2x “ 2eI + 41n(ex + 2) + C.

В разд. 7.4 — 7.6 указаны типичные замены, позволяющие вычи­
слять некоторые более сложные интегралы.

68

Неопределенный интеграл

7.4. Интегрирование рациональных функций
► Описание метода. Рациональной функцией или рациональной
дробью называется отношение многочленов

ад = Mm + -+M + t0
■ + агх + а0

апхп +

(2)

Если т < п, то дробь называется правильной] если т ^ п —
неправильной.
Каждую правильную дробь можно разложить на сумму простей­
ших дробей. Для этого знаменатель дроби следует разложить на про­
стые множители вида

(г-АГ-

к = 1,2,..., К,

(я2+ /V+ ?,)’•>

*=1.2,

-.S,

гдеРк^з — натуральные числа, Д2 — 47, < 0. Каждому такому множи­
телю в разложении рациональной функции (2) на простейшие дроби
отвечает столько слагаемых, какова степень соответствующего мно­
жителя:
^ki
i= 1, 2, ...,pki
BsjX + Dsj
(х2 + Р8х + ч,У ’

j = l,2......... q,.

Для определения неизвестных постоянных Aki> В8^ Ds- прирав­
нивают исходную рациональную дробь сумме указанных простейших
дробей и приводят обе части полученного выражения к общему зна­
менателю. Выделяя затем коэффициенты при одинаковых степенях я,
приходят к системе линейных уравнений относительно Aki, Ba^ Da^.
Интегралы от наиболее часто встречающихся простейших дробей
находятся по формулам (постоянная интегрирования С опускается):
I= А1п [г — А|,
/-—Д— dx = — ------ ———7,
J х-Х
1
”
J (х-Х)р
(р - 1)(х - Л)^-1
Bx+D
2D- В/3
2x^0
dx = — 1п(а?2+Дя+7) + ---/
arctg --- 7--:------ .
х2+/3х+у
У47 - Д2
1/47 - Д2
Для интегрирования неправильной дроби следует при помощи де? ления с остатком выделить правильную часть. В итоге неправильная
дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной дроби,
которые интегрируются"отдельно.
► Примеры интегрирования рациональных функций.
За?2 —Z — 2

/

------ з + 8— ^Х

69

7.4. Интегрирование рациональных функций

Решение. Представив знаменатель подынтегрального выражения в виде
произведения z3+8=(i+2)(i2-2i+4), разложим (правильную) подынтегральную
дробь на сумму простейших:
Зя2 — х — 2
_
А
(х + 2)(х2 - 2г+ 4)
т+2

Вх + D
я2 — 2т + 4

Приведя сумму дробей в правой части этого равенства к общему знаменателю и
приравняв числитель полученной дроби к числителю исходной дроби, имеем

Зх2 - х - 2 = А(х2 - 2х + 4) + (Вх 4- D)(x + 2).

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при х2, х и свободные члены
этого тождества, получим систему уравнений для А, В, D:
А + В = 3,

-2A + 2B + D = -1,

4A + 2D = -2.

Находим ее решение: Л = 1, В = 2, D = —3. Поэтому

Зт2 — х — 2
я3 4- 8

2т- 3
dx =
т2 — 2т 4- 4
2^-2
J
[
1
----------------- dx — I ----------------т2 — 2т + 4
J т2 — 2т 4- 4

d(x2 — 2т 4- 4)
т2 - 2т 4- 4

In |т 4- 2| 4-

f d(x — 1)
J (т- I)2 4-3
т— 1
Уз

= In |т 4- 2| 4- 1п(т2

/ Ь4т4 4- Ъ3х3 4- Ь2х2 4- ^4-Ьо »
.
----- —7--------- dx.
(т — а)3(т2 4* с2)
Решение. Разложим дробь в подынтегральном выражении на сумму про­
стейших дробей

ГГ

О D

Пример 2. Вычислить интеграл / —------ —2

J

Ь4х4 4- Ь3х3 4- Ь2х2 4- Ьгх 4- Ьо _ Ах
А2
А3
Вх + D
(т — а)3(т2 4-с2)
т—а + (т — а)2 "^ (т^а)3 "*" т2 4- с2

Приведем обе части к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях т. В результате получим систему линейных уравнений,
откуда определим постоянные А!, А2, А3, В, D. Вычисление исходного интеграла
сводится к вычислению четырех интегралов от простейших дробей, для чего
используются формулы, указанные перед первым примером.

[ *2

Пример 3. Вычислить интеграл / -------- dx.
I

f

х2

Решение. / --------dx
/

т- 1

я— 1

—5—] dx = ут2 4-^ + 1п|т- 1|4- С.
т— 1 /
z

Некоторые интегралы, приводящиеся к интегралам от рациональ­
ных функций, рассмотрены в разд. 7.5, 7.6.

Неопределенный интеграл

70

7.5. Интегрирование иррациональных
функций
► Интегралы, приводящиеся к интегралам от рациональ­
ных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функ­
ций сводится к интегрированию рациональных функций при помо­
щи подходящей замены. Далее считается, что R(x, у) — рациональная
функция своих аргументов.
1. Интеграл вида j R(x, tfax + b) dx вычисляется с помощью

подстановки z = у/ах + Ь. (Частный случай такого преобразования
использован при решении третьего примера в разд. 7.3.)
ах + b \
\ - г dx вычисляется с помощью
\
у сх + к J
п/ах + Ь
подстановки z = у ------- —.
у сх —{- к
► Применение тригонометрических подстановок. Рассмо­
трим интегралы вида j R(x, у/ах2 + bx + с) dx.

Функция y/ax2 + bx + с при помощи выделения полного квадрата
из подкоренного выражения приводится к одному из следующих
видов (р = — ~Ь/а):
1)

yfay/\x - р)2 4- д2,

а > 0;

2)

у/ау/(х — р)2 — q2,

а > 0;

3)

y/^y/q?^-lj^

а < 0.

В каждом из этих трех случаев применяют различные подстановки:
q dt
1) ar^-p=gtg/,
y/(x-p)2 + q2 = —
cos t
cos2 / ’
q sin t dt
\/(^ -р)2 - 92 = 9 tg Л
2) X — р =2
cos / ’
3) х — р = q sint, \/?2 — (х — р)2 = q cos t, dx = q cos tdt.
Пример. Вычислить интеграл J \/6 + 4x — 2x2dx.
Решение. Здесь a = — 2 и подынтегральное выражение можно представить в
виде: \/в + 4х — 2х2 = \/2\/3 + 2х — x2dx = \/2у4 — (х — I)2. Поэтому рассматри­
ваемый интеграл соответствует случаю 3) при р = 1, д = 2. Делая подстановку
i-l = 2 sin/, dx = 2 cos tdt, последовательно имеем
j у/б + 4х — 2x2dx = 4\/2 J cos2 tdt = 2\/2 ^(14- cos 2^ ^ =

= 2\/2t 4- \/2sin 2t + С = 2>/2arcsin —---- — 4- >/2 sin f2 arcsin —---- —J 4- C =
2
\
2 J
= 2>/2arcsin ~^~ + ^^(^ “ W4 “ (^ ” I)2 + ^-

7.6. Интегрирование тригонометрических функций

71

► Интеграл от дифференциального бинома J xm(a + bxn)pdx

(где а и Ь — постоянные, а п, т, р — рациональные числа) выражается
в элементарных функциях в трех случаях:
1) р — целое число (используется замена х = tr у где г — наимень­
шее общее кратное знаменателей дробей тип);
2) -г----------- целое число (используется замена a + bx = t3, где s —
п
знаменатель дроби р);
3)---------- Ь р — целое число (используется замена ах п + b = t ,
п
где s — знаменатель дроби р).

7.6. Интегрирование показательных
и тригонометрических функций
► Интегрирование
функций.

показательных

и

гиперболических

1. Интеграл вида J R(enx, emx)dx) где R(x,y) —рациональная
функция своих аргументов, п, т — целые числа, вычисляется с по­
мощью подстановки z = ех. (Частный случай такого преобразования
использован при решении четвертого примера в разд. 7.3.)
2. Интеграл вида J R(shax, ch az) dx вычисляется путем перехо­

да от гиперболических функций к показательным по формулам
sh az = -i^-e"^),

ch az = ^(еах -]-е~ах)

с последующей заменой z = еах.
► Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида

У sin az cos bxdx,

J cos ax cos bxdx,

J sin ax sin bx dx

вычисляются при помощи формул

sin a cos ^ = у [sin(a + /3) + sin(a — /3)],
cos a cos /3 = у [cos (a + /3) + cos (a — /3)],
sin a sin /3 = у [cos(a — /3) — cos(a + /3)].
2. Интегралы вида J sinm x cosn x dx (m, n — целые числа) вычи­

сляются следующим образом.
При нечетном т используется замена cos z = z, sinxdx = —dz.

Определенный

72

интеграл

При нечетном п — замена sinх = z, cosxdx = dz.
Если обе степени тип — четные и неотрицательные, то приме­
няются формулы понижения степени:

sin2 х = у (1 — сов2я),

cos2 х = у (1 4- cos 2г),

sin х cos х = у sin 2я.

Пример 1. Вычислить интеграл J sin5 xdx.
Решение. Используя тригонометрические формулы, последовательно имеем:
I sin5 х dx = I (sin2 x)2 sin x dx = — /(1 — cos2 x)2 d cos x =
_2\2 dz _= 2yZ
_3

(1 — Z )

1 _5

— yZ

_

2 ___3 X_ —

— Z 4- G = у COS

1 ___5 X_ —

у COS

i

COSX + U.

Здесь была использована замена z = cosx.

3. Интегралы вида f R(sinx,cosx) dx, где R— рациональная
функция своих аргументов, сводится к интегралам от рациональных
дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

* = tgy,

dx =

2 di

I-/2

Пример 2. Вычислить интеграл J - ^ ---- .
Решение. Используя универсальную тригонометрическую подстановку

х
t = tg —, имеем:

2 + sin х

Если подынтегральное выражение зависит от sin2 я, cos2 х или от
tgя, удобнее применять подстановку t = tgx.

8. Определенный интеграл
8.1. Основные определения. Геометрический
смысл определенного интеграла
► Основные определения. Множество упорядоченных точек
{х0, Яр ..., яп} таких, что а = х0 < хг < • • < хп = Ь, задает раз­
биение отрезка [а, 6] на п отрезков. Разбиение будем обозначать Сп}
а наибольшую из длин Дя,- = я{ — я,.! отрезков fo-^xj — через

8.2. Свойства определенного интеграла

73

Л = А(£п) (эту величину называют диаметром разбиения). Пусть на
[а, 6] задана ограниченная функция у = f(x)- Возьмем на каждом от­
резке fo-ijffJ произвольную «опорную» точку с{ и составим сумму
п

sn = 52 f(ci)△^tj которая называется интегральной суммой.
i=i
Если при А(£п) —> 0 существует конечный предел J интегральных
сумм sn, который не зависит ни от вида разбиений СпУ ни от
выбора «опорных» точек, то такой предел обозначается / f(x)dx
Jа
и называется определенным интегралом от функции у = f(x) по
отрезку [а,Ь]:

/ f(x) dx = lim sn .
n
Эта запись означает, что для любого (сколь угодно малого) б > 0 най­
дется число J >0 такое, что для всех Сп с диаметром А < J и для произ­
вольного множества «опорных» то­
чек будет выполняться неравенство
К - Л < е.
,ь
Если / f(x) dx существует, то
Jа
функция у = f(x) называется инте­
грируемой на отрезке [а, 6].. Функ­
ция, непрерывная на [а, 6], интегри­
руема на этом отрезке.
Если а > b и f(x) интегрируема
Рис. 18.
на отрезке [6, а], то по определению

I f(x) dx. Кроме того, полагают / f{x) dx = 0.
Jb

Ja

► Геометрический смысл определенного интеграла. Если

f(x) ^ 0 на [а, 6], то интеграл / f(x)dx равен площади области
Jа
D = {a ^x^b.^^y^. f(%)} («криволинейной трапеции», рис. 18).

8.2. Свойства определенного интеграла
1. Линейность. Если функции f(x) и д(х) интегрируемы на от­
резке [а, 6], то

[Af(x) ± Вд(х)] dx^Af f(x) dx ± В [
Jа
Jа
для любых чисел А и В.

Определенный интеграл

74

2. Аддитивность. Если с G [а, 6] и функция f(x) интегрируема на
[а, 6], то
/ f(x)dx = I f(x)dx+ / f(x)dx.
Ja
Ja
Jc
3. Теорема об оценке. Если на [a,b] имеют место неравенства
т ^ f(x) ^ М, то

m(b — а) ^ f f(x) dx ^ M(b — а).
Jа

Пример 1. Из неравенств 2 ^ (я2 + 4)1/3 ^ 5, справедливых на отрезке [2, 11],
ВЫТекаеТ оценка 18< Г
J2

4. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на [а, 6], то найдется
(хотя бы одна) точка с 6 (а, 6) такая, что
f(x)dx = f(c)(b-a)
Jа

(число f(c) называется средним значением функции f(x) на [а,Ь]).
5. Теорема об интегрировании неравенств. Если на [а, Ь] функции
о-|-0

Наконец, если f(x) не ограничена в окрестности некоторой точки
с Е (а, Ь) и каждый из интегралов ^ f(x) dx и fb f(x) dx сходится, то
по определению

Геометрический смысл несобственного интеграла от неограни­
ченной функции, а также теоремы типа теорем 1 и 2 (см. выше) для
таких интегралов полностью аналогичны таковым длянесобствен­
ных интегралов с бесконечными пределами. В качестве функций, с
которыми обычно сравнивают функции, стоящие под знаком несоб­
ственного интеграла, в данном случае берут l/(z — а)д; несобствен-

ныи интеграл / —--------— сходится при д < 1 и расходится при /О 1.
Это утверждение относится и к интегралам вида /
Пример 3. Несобственный интеграл
1
превосходит 2, так как - ------- —----- 7===
(х — I)2 4- ух — 1
сходится и равен 2.

dx
(b — х)^

dx

(z-ipWx-l СХ°ДИТСЯ “ Не
1
Г2
dx
...... , а интеграл /
.
х/х — 1
J
ух — 1

9.1. Определение и свойства двойного интеграла

79

9. Двойные и тройные интегралы
9.1. Определение и свойства двойного
интеграла
► Определение и свойства двойного интеграла. Пусть на плос­
кости задано ограниченное множество, которое можно поместить в
некоторый круг минимального диаметра. Диаметр этого круга назы­
вается диаметром множества. Рассмотрим область D на плоскости
х, у. Разобьем D на, п непересекающихся частей (ячеек). Максималь­
ный из диаметров ячеек называется диаметром разбиения и обо­
значается А = А(РП) (Рп —разбиение области D на ячейки). Пусть
в области D задана функция z = /(х^у). Выберем в каждой ячейке
по произвольной «опорной» точке (х^у{) (i = 1, 2, ..., п) и состап
вим интегральную сумму sn = ^ 1(Х^У{) ^Si' где △S',— площадь
t=i
г-й ячейки.
Если существует конечный предел сумм sn при А —> 0 и этот
предел J не зависит ни от вида разбиений Рп, ни от выбора
«опорных» точек, то он обозначается JJ f{x, у) dxdy и называется

D
двойным интегралом от функции f(x, у) по области D:

Ц f(x, у) dx dy = lim sn.
D
Это означает, что для любого б > 0 найдется J > 0 такое, что для
всех разбиений Т)п таких, что А(РП) < 0 (не за­
висящий ни от вида разбиений Т>п, ни от выбора «опорных» точек), то
он называется поверхностным интегралом первого рода от функции
f(x, у, z) и обозначается ff f(x, у, z) dS.
D

► Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
1. Если поверхность D задана уравнением z = z(x, у), (х,у) Е Dr,
то
Ц f(x,y, z)dS = jj /(х,у,г(х,у))ДТ№УЧ^^ dy.
D

Di

2; Если поверхность D задана векторным уравнением г =
= г{ху у, z) = х(и, v) г -|- у(и, v} j + z(u, у) к, (и, у) Е В2, то
JJ f(x,y,z) dS = jj f(x(u,y),y(u)y),z(u,y))ln(u,y)^dudy,

D

D2

10.4. Поверхностный интеграл второго рода

89

где n(u,v) = г^ х ^— вектор нормали к поверхности.
► Приложения поверхностного интеграла первого рода.
1. Масса материальной поверхности D с поверхностной плотно­
стью 7 = 7(я, у, z):
т = ^ У^У, z) dS.
D

2. Координаты центра тяжести материальной поверхности D:
x‘"^lh'idS

v‘=^U’r,dS

D

D

‘‘=^!i‘'iis
D

Постоянной поверхностной плотности соответствует 7 = const.

10.4. Поверхностный интеграл второго рода
► Определение. Пусть D — ориентированная поверхность, задан­
ная уравнением r = г (и, v) = х(и, v) i Ч- у(и, v) j Ч- z(u, v)k (и и v — па­
раметры). Ориентированность означает, что в каждой точке М Е D
к поверхности восставлена нормаль п(М) = n(u,v), непрерывно за­
висящая от М. Возможны два случая: а) поверхность ориентирова­
на нормалью n(u,v) — ^ х г^; б) поверхность ориентирована норма­
лью, противоположной указанной. (Поверхность, заданную уравнени­
ем z = z(x, у), можно записать в векторном виде следующим образом:
r = r(x,y) = xi + yj + z(x,y) к.)
Пусть векторное поле a(x,y,z) = Pi + Qj Ч- Rk задано на глад­
кой ориентированной поверхности D. Произведем разбиение Dn по­
верхности D на п частей (ячеек), не имеющих общих внутренних
точек. Выберем в каждой из ячеек произвольную «опорную» точ­
ку M^x^y^z^ (i = 1,2,...,п) и составим интегральную сумму
п
sn = 52 d(x{, у{, z^) • п^ ASi} где AS{ — площадь г-й ячейки, а п^ —
1=1
единичный вектор нормали к поверхности в точке М{, направленный
в соответствии с выбранной ориентацией поверхности.
Если существует конечный предел сумм sn при А(РП) —> 0 (не
зависящий ни от вида разбиений Рп, ни от выбора «опорных» точек),
то он называется поверхностным интегралом второго рода (или
потоком векторного поля а через ориентированную поверхность D)
и обозначается

а(х,у, z)d§ или

D

JJ Р dydz + Q dx dz + Rdx dy.
D

Отметим, что при изменении ориентации поверхности поверхност­
ный интеграл второго рода меняет знак.

90

Криволинейные

и поверхностные интегралы

► Вычисление поверхностного интеграла второго рода.
1. Если поверхность D задана векторным уравнением г = г (и, и),
(и, у) € Dr, то

$ а(х, y,z) • d$ = ± JJ а(х(и, v), у(и, v), z(u, и)) • n(u, v) du dv.

Знак плюс берется в случае, когда поверхность ориентирована нор­
малью п(и, у) = г^ х г^, знак минус — в противоположном случае.
2. Если поверхность D задана уравнением z = z(x, у), (х^у) Е D2)
то нормаль п^х, у) = rfxxffy = —zxi—zyj+k ориентирует поверхность D
«вверх», в направлении оси z. Тогда
a d$ = ± // (~z'xP - zyQ + R) dx dy,

где P = P(x, y, z(x,y)), Q = Q(x,y, z(x,y)), R = R(x,y, z(x,y)). Знак
плюс берется в случае ориентации поверхности «вверх», знак минус —
в противоположном случае.

10.5. Дифференциальные операции
и интегральные формулы теории поля
► Формула Остроградского — Гаусса. Пусть векторное поле
а(х, у, z) = Р(х, у, z) i + Q(x, у, z) j + R(x, у, z) к непрерывно дифферен­
цируемо в пространственной области U, a. D — граница этой обла­
сти, ориентированная внешней нормалью. Тогда справедлива форму­
ла Остроградского — Гаусса

где дивергенция вектора а определяется следующим образом:

Таким образом, поток векторного поля через замкнутую поверхность
наружу равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему,
ограниченному этой поверхностью. В координатной форме формула
Остроградского — Гаусса имеет вид
Р dydz + Q dx dz + Rdx dy = JJJ ^^ + ^~ + ^~) ^X dydz.

10.5. Дифференциальные операции и интегральные формулы

91

► Формула Стокса. Пусть поле a(xyy,z) непрерывно дифферен­
цируемо в некоторой области пространства, содержащей ориентиро­
ванную поверхность D. Ориентация поверхности однозначно опреде­
ляет направление обхода границы С этой поверхности: если смотреть
с конца выбранного вектора нормали к D, то обход границы С дол­
жен казаться происходящим против хода часовой стрелки. При этом
циркуляция поля вдоль С равна потоку вектора rot а через D:

с

D

В координатной форме формула Стокса имеет вид
£ Р dx + Q dy + Rdz =
с
dx dy.
D

► Формула Гарина. Для плоского поля а(х, у) = Р(х, у) i + Q(x, у) j
из формулы Стокса получается формула Грина:

др_\,
1 dx dy,
ду )

£ Р dx + Q dy = J
c

D

где контур С области D на плоскости х, у проходится против часовой
стрелки.
► Оператор Гамильтона и дифференциальные операции
первого порядка. Оператором Гамильтона или набла-вектором на­

зывается символический вектор
д
дх

^ д
ду

г

д
dz

С его помощью можно кратко записать следующие дифференциаль­
ные операции:
1) градиент скалярной функции u(x,y,z):
.
-г ди
-г ди
т ди
grad и = г — + j — + k— = Vu;
дх
ду
dz

2) дивергенцию векторного поля а = Р i + Q j + Rk :
_
dP
dQ
dR
div a = —
1- —---- F — = V • a
dx------ dy------ dz
(скалярное произведение набла-вектора на вектор a);

92

Ряды

3) ротор векторного поля а = Р i + Q j + Rk \

г
rot а, =

j
д
ду
Q

_д_
дх

Р

к
д
dz
R

=Vх а

(векторное произведение набла-вектора на вектор а).
Каждое скалярное поле u(x,y,z) порождает векторное поле
grad и. Векторное поле a(x,y,z) порождает два поля: скалярное diva
и векторное rot а.
► Векторные дифференциальные операции второго поряд­
ка. Имеют место следующие дифференциальные соотношения:
J

л

^и

^и

^и

л

1) div grad и = &и = тт+тт + тт» где △— оператор Лапласа
ох*
оу1
oz*
(Ди = V-(Vu) = V2u);
2) rot grad гл = б (или (V х V) и = б);
3) div rot а = 0 (или V • (V х а) = 0);
4) rot rot а = grad div а — Да.

11. Ряды
11.1. Числовые ряды
► Основные определения. Пусть {un}—последовательность чи­
сел. Выражение

14 + u2 + •
называется числовым рядом, ип — общим членом ряда, а сумма
sn = 14 +и2 Ч------ }-ип — п-й частичной суммой ряда. Если существует
конечный предел lim sn = S, то ряд называется сходящимся, aS —
п-юо

оо

суммой ряда. При этом пишут £2 ип~^' Если lim sn не существует
п=1

п-^°°

(или равен бесконечности), то ряд называется расходящимся. Ряд
in+2 + ип+з + ” ’ называется п-м остатком ряда.
Пример 1. Ряд У^ aqn~1 = а + ад + ад2 + • • •, члены которого образуют
п= 1
геометрическую прогрессию со знаменателем д, сходится, если |д| < 1 (при этом
его сумма S = -^), и расходится, если |д| ^ 1.
оо

► Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд ^2 Ч
п=1

сходится, то lim un = О (если lim ип ^ 0, то ряд расходится).

93

11.1. Числовые ряды
ОО

Пример 2. Ряд J2 cos ^ расходится, так как его общий член un = cos -J- не
n=l
стремится к нулю при п -> оо.

Необходимый признак сходимости не является достаточным.
ОО

Пример 3. Рассмотрим ряд ^ Т^Г* Хотя его общий член стремится к
П=1
1
00
lim —=г = 0, но ряд V —^ расходится, так как его частичные суммы
^-*~ vn
п=1 П
11
11^
не ограничены: sn = —= 4- —=■ + ■ —|- —— > п—^ = уп —> оо при п —> оо.
у1
у2
уП
у71
нулю:

► Свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток. Отбра­
сывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не

влияет на его сходимость.
2. Если все члены ряда умножить на некоторое число, то сходи­
мость ряда не нарушится (а сумма ряда умножится на это число).
оо

оо

3. Если ряды 52 un и ^ vn сходятся и имеют суммы Sx и S2
П=1

П=1
оо

соответственно, то сходятся и ряды ^ [ип ± vn), а их суммы равны
п=1
^1 ^ ^2 '

4. Члены сходящегося ряда можно группировать в порядке сле­
дования; получающийся ряд сходится и имеет ту же сумму. Иными
словами, в сходящемся ряде можно произвольным образом расста­
влять скобки; обратное действие — раскрытие скобок — допустимо
не всегда: так, ряд (1 — 1) + (1 — 1) + -- - сходится (и имеет сумму,
равную нулю), но если раскрыть скобки, то получится расходящийся
ряд 1—1+1—1+-- (его общий член не стремится к нулю).
оо

► Критерий Коши сходимости ряда. Чтобы ряд ^ ип сходилп=1

ся, необходимо и достаточно, чтобы для любого € > 0 нашелся такой
номер N = N{e\ что для всех п> N и любого натурального к выпол­
нялось неравенство |un+1 + • • • + un^k\ < е.
► Признаки сходимости рядов с положительными членами.
1. Первый признак сравнения. Если 0^unOn (начиная с некотооо

рого номера п), то из сходимости ряда ^ vn следует сходимость ряда
п=1
оо

оо

оо

52 нп, а из расходимости ряда 52 un — расходимость ряда 52 vn•
П=1

П=1

П=1

2. Второй признак сравнения. Если существует конечный предел
оо

оо

lim (un/vn), отличный от нуля, ТО ряды 52 Un И 12 Un СХОДЯТСЯ или
П'4О°
П=1
П=1
расходятся одновременно.

94

Ряды

3. Признак Даламбера. Если существует lim (ип,Дип) = D. то
П-ЮО

оо

при D < 1 ряд £2 ип сходится, а при D > 1 —расходится. При D = 1
п—1
признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости данного
ряда.
4. Признак Коши. Если существует lim г/йТ = К, то при К < 1
пчоо v

оо

ряд 52 ип сходится, а при А" > 1 — расходится. При А' = 1 признак
п=1

Коши не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда.
5. Интегральный признак Маклорена —Коши. Пусть f(x)—нео­
трицательная невозрастающая функция, непрерывная на интервале
1 ^ х < 4-оо и такая, что /(1) = u15 /(2) = и2, ..., f(n) = ип, ...
оо

Тогда для сходимости ряда 52 ип необходимо и достаточно, чтобы
п=1

оо

сходился несобственный интеграл f f(x) dx.
i

оо

Пример 4. Ряд* 52 ^ = Ч’ i ^ з" "^ "‘ расходится, так как расходится
п= 1
оо

несобственный интеграл J°° -~ dx. Аналогично устанавливается, что ряд 52 ‘Jp’
П=1

сходится при о > 1 и расходится при а ^ 1.

► Ряды с произвольными членами. Признак сходимости
оо

Лейбница. Пусть знаки членов ряда 52 ип чередуются, абсодютП=1

ные величины членов не возрастают с ростом п и lim и = 0. Тогп—юо

да данный «знакочередующийся» ряд сходится (признак Лейбница).
Если при подсчете суммы S такого ряда ограничиться частичной
суммой sn, а остальные члены ряда отбросить, то погрешность, воз­
никающая при замене S на sn, не превосходит по абсолютной вели­
чине модуля первого из отброшенных членов (и имеет одинаковый с
ним знак).
„
1
1
1
Пример 5. Ряд 1----- — 4------------ — 4- —------- • сходится по признаку Лейбница.
22
З3
44
55
1
1
1
Если положить S
—т- 4 ;------ —, то допущенная при этом погрешность
22 З3
44
положительна и не превосходит и5 = -р- = 0,00032.
оо

► Абсолютная и условная сходимость. Ряд 52 un с произвольп=1

ным чередованием знаков его членов называется абсолютно сходяоо

щимся, если сходится ряд 52 lunl- (Абсолютно сходящийся ряд схоП=1

дится.)
* Этот ряд называется гармоническим.

95

11.2. Функциональные ряды

„

11111
22
З2
42
52
62

Пример 6. Ряд 1 4---- --------- ---------— 4- —z- 4--- z— • • • сходится абсолютно,
00 1
так как ряд, составленный из модулей членов данного ряда, У^ ——, сходится
п=1 п2
(см. ряд примера 4 при а = 2).
оо

Сходящийся ряд ^ ип называется условно сходящимся, если ряд
п=1
оо

^2 |un| расходится.
п=1

Пример 7. Ряд 1 — — 4- —— — 4* • • • СХОДИТСЯ условно, так как он сходится
(по признаку Лейбница), а ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
расходится (это гармонический ряд, см. пример 4).

При произвольной перестановке членов абсолютно сходящегося
ряда (в частности, сходящегося ряда с положительными членами) аб­
солютная сходимость не нарушается и сумма ряда не меняется. Услов­
но сходящиеся ряды этим свойством не обладают: если ряд сходится
условно, то можно так переставить его члены, что сумма нового ряда
станет равной любому наперед заданному числу (можно так переста­
вить члены, что получающийся ряд окажется расходящимся).

11.2. Функциональные ряды
► Основные определения? Функциональным рядом называется
оо

ряд 52 unW> членами которого являются функции, определенные
П=1
оо

на некотором множестве X. Ряд 52 иЛх) называется сходящимся в
П=1
оо

точке х0 £ X, если сходится числовой ряд 52 ^(^о)- Совокупность
П=1
х Е X, для которых функциональный ряд сходится, называется обла­
стью сходимости. Сумма ряда является функцией х, определенной в
области сходимости.
оо

Ряд

52 ип(х) называется абсолютно сходящимся на множеп=1

оо

стве X, если на этом множестве сходится ряд 52 l^nWI1
п=1

Пример 1. Функциональный ряд 1 4- ^ 4- я2 4- ^3 4* • • • сходится при — 1 < г < 1
(см. пример 1 из разд. 11.1). На этом интервале определена его сумма S = -------- .
1 —г
оо

Ряд

52 ик(х) называется остатком функционального ряда
к=п4-1

оо

52 ип(х)- В случае сходимости ряда на множестве X из равенства
П=1

96

Ряды

S(x) = sn(i) + rn(x) (sn(x) —частичная сумма ряда, rn(x) —сумма
его остатка) следует, что lim гп(х) = 0 для х Е X.
► Равномерно сходящиеся ряды. Функциональный ряд называ­
ется равномерно сходящимся на множестве X, если для любого б > О
найдется такой номер X (зависящий от б, но не от я), что при всех

п> N выполняется неравенство

I

00

I

52 ик(х) < £ для всех х Е X:

^=п+1

1

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Функциональоо

ный ряд 52 ипй сходится на множестве X равномерно, если сущеп=1
оо

ствует сходящийся числовой ряд 52 ап с положительными членами
п=1

такой, что |un(z)| ^ ап для всех п (начиная с некоторого номера) и
ОО

ОО

для всех х Е X. РяД 52 ап называется мажорантой ряда 52 ип(х)'
П=1
П=1
_

.

Пример 2. Ряд

.

> .

. _

—Ч

п=1

П2

э— сходится равномерно при —оо < х < +оо,

П

1
v
——, а числовой ряд >

I
sin nr I
так как ( — 1)
—
1

Sin 7137

'

П2

п= 1

1
—— сходится (см. пример 4 из

1 п2

разд. 11.1).

► Свойства равномерно сходящихся рядов. Пусть функциоОО

нальный ряд 52 unW равномерно сходится на отрезке х Е [а, 6] и
п=1

имеет сумму S(z). Тогда справедливы теоремы:
1. Если в точке х0 6 [а, 6] непрерывны члены ряда ип(х), то в этой
точке непрерывна функция S(z).
2. Если ип(х) непрерывны на [а, 6], то ряд можно почленно инте­
грировать:

3. Если члены ряда имеют непрерывные производные, а функциоо

опальный ряд 52 ип(х) сходится равномерно на [а,^^© сумма 5(г)
п=1
имеет на [а, 6] непрерывную производную, причем

(т.е. ряд можно почленно дифференцировать).

11.3. Степенные ряды

97

11.3. Степенные ряды
► Интервал сходимости степенного ряда. Степенным рядом

называется функциональный ряд вида
оо

апхП = а0 + а1Х + а2х2 + аЗх3 + • • •
п=0

(постоянные а0, аь ... называются коэффициентами степенного
ряда), а также ряд более общего вида
оо

^“п^-^о)” = ао + а1(я-го) + а2(1-а;())2 + аз(;Г-;Го)3+

-- >

п=0

где г0 — постоянное число. Ниже рассматриваются только степенные
ряды первого вида, поскольку второй ряд преобразуется в первый
заменой х = х — х0.
оо

Теорема Абеля. Если степенной ряд ^ апхП сходится при некоп=0

тором х = хг, то он абсолютно сходится при всех х, удовлетворяющих
неравенству |х| < IzJ. Если ряд расходится при ж = ж2, то он расхо­
дится при всех х, для которых |ж| > |z2|.
Существуют степенные ряды, которые сходятся при всех значениях х (напри00 хп
00
мер, ряд У^ ---- ). Есть ряды, сходящиеся только при 1 = 0 (например, У^ п\хп).
П=1 п!
П=1

Если степенной ряд при некоторых х ф^ сходится, а при осталь­
ных расходится, то из теоремы Абеля вытекает существование числа
Я > 0 такого, что при |х| < Л степенной ряд сходится (причем абсо­
лютно), а при |х| > R — расходится. Это число R называется радиусом
сходимости степенного ряда, а интервал (—R,R) — интервалом схо­
димости. На концах интервала сходимости вопрос о сходимости ряда
исследуется отдельно в каждом конкретном случае. Если степенной
ряд сходится только при х = 0, то интервал сходимости вырождается
в точку (при этом Я = 0); если ряд сходится при всех х, то R = оо.
Для нахождения радиуса сходимости можно применять признаки
Даламбера и Коши.
9П
l^n+iWl
.
I 9п
2|
2
---- х имеем lim
= lim -------- ? =9z\
n
n->oo| un(x) | п-юо|п+1
|
и по признаку Даламбера ряд сходится абсолютно при 9а;2 < 1, т.е. в интервале
— -|- < г < -у, и расходится вне этого интерната (радиус сходимости Н = у). На
00 1
концах интервала при х = ±4" получаем расходящийся числовой ряд У^ —.
п= 1 П

Пример. Для ряда

™

Свойства степенных рядов. На всяком отрезке, целиком лежащем
внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно.
4 А. Д. Полянин, В. Д. Полянин и др.

98

Ряды

Поэтому степенные ряды в интервале сходимости обладают всеми пе­
речисленными в разд. 11.2 свойствами равномерно сходящихся функ­
циональных рядов. Особо отметим, что степенной ряд внутри его ин­
тервала сходимости можно дифференцировать почленно любое число
раз; сумма степенного ряда — функция, имеющая внутри интервала
сходимости производные любого порядка.
► Степенные ряды Тейлора и Маклорена. Пусть функция f(x)
бесконечно дифференцируема в окрестности точки г0 - Рядом Тейлора
для этой функции называется степенной ряд вида

00 1
^-/ММх-^)^
^о п '

= Л^о) + /'Ы^ - *о) + уЛ^о)^ - ^о)2 + • • • >
где использованы обозначения 0! = 1, /(°)(я0) — /(^о)Частным случаем ряда Тейлора (при z0 = 0) является ряд Макло­
рена:

00 1
1
£ —/("W” = ЛО) + /ш + ^Л(0)х2 + • • • .
^о п 2
Формально записанный ряд Тейлора (Маклорена) для функ­
ции f(x) может:
1) расходиться при х ф xQ,
2) сходиться в некоторой окрестности точки х0 к функции, не
совпадающей с f(x),
3) сходиться в некоторой окрестности точки я0 к функции f(x).
В последнем случае говорят, что f(x) разлагается в ряд Тейлора в
упомянутой окрестности, и пишут

л^Е^Л”’^-^)"п=0
Необходимое и достаточное условие разложимости функции
f(x) в ряд Тейлора состоит в том, чтобы остаточный член форму­
лы Тейлора стремился к нулю при п ^ оо в рассматриваемой окрест­
ности.
Для разложимости функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности х0
достаточно, чтобы в этой окрестности все производные по абсо­
лютной величине были ограничены одной и той же постоянной, т.е.
I/^WI ^ М для всех п, где М — некоторое число.
Единственность разложения функции в степенной ряд. Если
функция f(x) представляется в виде суммы степенного ряда, то его

99

11.3. Степенные ряды

коэффициенты определяются единственным образом (поскольку этот
ряд является рядом Тейлора для /(ж), так что его коэффициенты равf(n4x )
ны------где п = 0, 1, 2,...). Поэтому в задачах о представлении
функции степенным рядом ответ не зависит от выбранного метода
решения.
► Разложения некоторых функций в ряды Маклорена. При
решении различных задач часто используются следующие разложения
элементарных функций в ряды Маклорена:

х
х2
х3
хп
" -1 + ^ + ^- + -зГ+-+тг+--;
m3

~2п

™» = ’-^г+-5Г- ■ +(-!)

1

р^-Щ+ - '

,hl = l+- + - + ... + _ + ..1
я3

я2п-1

ж5

chx = 1 + ^- + ^-+ - +-^ур+ -- ;

1п(1 + х) = х-^ + ^--.. + (-1)"+1^ + ...;
4
0 72
гт»3

„5

_,2n—1

„CtgI = I-_+_-^ ^ + (-1)»«—— + ^..;
и
“(““Л _2 ,
, а(а-1) - .(а-п + 1)
,
(14-я) =1 + атН------ —---- х 4------ 1----------------- т------------- х +••■

Первые пять рядов сходятся при всех значениях —оо < я < +оо
(R = оо), а остальные имеют радиус сходимости Я = 1. Ряд, стоя­
щий в правой части последней формулы, называется биномиальным.
Приведем один частный случай этого ряда:
- ------ = 1 — я + z2 — z34---- + (—1)пхп 4- • • • •
При применении вышеприведенных формул для получения разло­
жения заданной функции в ряд легко выясняется область сходимости
ряда, отпадает необходимость привлечения признаков разложимости
и автоматически получается выражение для общего члена ряда. Так,
для получения разложения функции (14-я3)”1 в ряд по степеням х
нужно лишь заменить в последнем разложении аргумент я на я3.

Ряды

100

11.4. Ряд Фурье
► Основные определения. Функция f(x) удовлетворяет условиям
Дирихле на интервале (а, 6),
1) если этот интервал можно разбить на конечное число интерва­
лов, в каждом из которых f(x) непрерывна и монотонна;
2) если х0 — точка разрыва, то существуют конечные односто­
ронние пределы f(x0 4- 0) и f(x0 — 0).
Периодическая функция с периодом 2тг, удовлетворяющая на ин­
тервале (—7г, 7г) условиям Дирихле, может быть представлена рядом
Фурье:
ОО

+ 52 (an COS пх + ^п siR ПХ) >
п=1
коэффициенты которого находятся по формулам
f(x) =

7Г

п = 0, 1, 2,...,

ап = — J f(x) cos пх dx,
— 7Г

7Г

bn = — j f(x) sin пх dx,

п = 1, 2, 3,...

— 7Г

В точках х0 непрерывности функции f(x) ряд Фурье сходится
к f(xQ), а в точках разрыва — к |[/(х0 + 0) + f(xQ — 0)].
Разложение в ряд Фурье периодической функции f(x) с перио­
дом 21 имеет вид
ОО

\

f(x) = J

\ л(

ПТ^Х

_

ПТТX \

cos —4- bn sin —j ,

п=1

где
ап = у У Л*) cos ^- dx,

-I

bn = ±- j f(x) sin ^- dx.
-I

Непериодическую функцию f(x), определенную на интервале
(-/,/), также можно представить в виде суммы ряда Фурье, одна­
ко вне указанного интервала сумма этого ряда S{x} будет отлична
от f(x)*
* Сумма 5(х) представляет собой всюду определенную периодическую функ­
цию с периодом 2/, хотя f(x) может быть непериодической или даже не опреде­
ленной вне интервала (—/,/).

101

11.4. Ряд Фурье

► Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Если f(x) —четная функция, то коэффициенты ряда Фурье нахо­
дятся по формулам
i

2 [
\
п*х 1
ап = J J f(x)cos
dx>
о

i
л
bn = 0)

и разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид (разложение в ряд по
косинусам):
оо

г \ ^О \ '
П7ГХ
f(x) = ~^ + 2^ап cos “/“■
П=1

Если f(x) — нечетная функция, то коэффициенты ряда Фурье
находятся по формулам
I

ап

Л
= °,

1
Ьп

2 Г
= ТJ
о

\ ' ППХ ,
sm ~Г dx'

и разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид (разложение в ряд по
синусам):
оо

/w = ZMin7'
П=1

Если функция f(x) задана на интервале (0,/) (и удовлетворяет
условиям Дирихле), то ее можно разложить как в ряд по косинусам,
так и в ряд по синусам (по формулам, приведенным выше). Оба
ряда в интервале (0,/) дадут значения f(x) в точках непрерывности
функции и величину |[/(х0 + 0) + f(xQ — 0)] в точках разрыва; вне
интервала (0,/) указанные разложения описывают разные функции.
Ряд Фурье в комплексной форме. Разложение функции f(x) в ряд Фурье
в комплексной форме имеет вид
+ оо

/М= £ с"е’“л1'

П7Г
1 /
_•
где wn = —j—, сп = — / f(x)e tu>nX dx\

п = 0, ±1, ±2, ... Выражения

е1ШпХ называются гармониками, коэффициенты сп — комплексными амплитудами,
числа шп — волновыми числами функции f(x), совокупность всех волновых чисел
{шп} — дискретным спектром функции.

Ряды

102

11.5. Интеграл Фурье.
Преобразование Фурье
► Интеграл Фурье. Пусть функция f(x) определена на всей число­
вой оси, удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интер­
вале и абсолютно интегрируема по всей оси (т.е. сходится несобствен­
ный интеграл f^ \f(x)\dx). Тогда справедливо следующее предста­
вление функции f(x) интегралом Фурье:

Эту формулу можно записать в виде
4-оо

f(x)= J [a(w)coswi4-6(w)sinwT](/W)
о

где использованы обозначения
4-оо

а(ш) = — I f (t) cos wtdt,

Ь(и) = — I f(t) sin cut dt.

Как и при разложении функции в ряд Фурье, в точках непрерывно­
сти х0 функции f(x) интеграл Фурье дает значение /(х0), а в точках
разрыва — значение у [/(я0 4- 0) + f(x0 — 0)].
Интеграл Фурье можно записать в комплексной форме:
либо в виде
4-оог 4-оо

У /Ще^-Ч dt du,

f№ =

— ОС *-—оо

либо в виде
4-00

У C(u)eiwxdu,

4-оо

С{ш) = ^ У f{i)e~iu,t dt.

► Разложение в интеграл Фурье четных и нечетных функ­
ций.

Если f(x) — четная функция, то

cos a>a: duj =

f(t) cos wt dt I cosa^xduj.

11.5. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

103

Если f(x) —нечетная функция, то

Если f(x) задана в интервале (0,+оо), то ее можно представить
в любой из двух приведенных выше форм — смотря по тому, четным
или нечетным образом она продолжена на отрицательную полуось.
► Преобразование Фурье. Представление функции f(x) интегра­
лом Фурье в комплексной форме можно записать в виде

Полагая

получим

/« =
Функция ^(ш) называется преобразованием Фурье функции f{t)
(последняя формула задает обратное преобразование Фурье).
► Косинус-преобразование Фурье. Если f(x) — четная функ­
ция, то ее представление интегралом Фурье может быть переписано
в виде

f(t) cos art dt cosojx dw.
Полагая
.----- +oo

F(u) =

— / f (t) cos art dt,
о

получим

ГТ 4-00
f^x) — d— I F(oj) cosatx das.
о

Функция F(a>) называется косинус-преобразованием Фурье функ­
ции f(t). Приведенная пара формул устанавливает закон взаимности:
если F(^) — косинус-преобразование Фурье четной функции f(x), то
f(x) есть косинус-преобразование Фурье функции F(oj).

104

Обыкновенные дифференциальные уравнения

► Синус-преобразование Фурье, Если f(x) — нечетная функ­
ция, то ее представление интегралом Фурье может быть переписано
в виде

/(a:)=v^ /
о

№ J ws™^ sin их du.
о

Полагая
ф(и) = у— i f^sinutdt,

о

получим

f(x) = \— I Ф(и)81пих du.
о
Функция Ф(о>) называется синус-пре образованием Фурье функ­
ции /(/). Приведенная пара формул устанавливает закон взаимности:
если Ф(и) —синус-преобразование Фурье нечетной функции f(x), то
f(x) есть синус-преобразование Фурье функции Ф(о;).

12. Обыкновенные
дифференциальные уравнения
12.1. Общие понятия. Уравнения первого
порядка
Обыкновенным дифференциальным
уравнением (кратко ДУ) называется уравнение, связывающее незави­
симую переменную х, неизвестную функцию у(х) и ее производные:
► Некоторые определение»

F(x, у, у1, у",

у^ = 0.

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входя*щей в уравнение. Решением ДУ называется функция у(х\ которая
при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Соотноше­
ние Ф(х,1/) = 0, определяющее решение у(х) неявным образом, назы­
вается интегралом ДУ.
Пример 1. Функция у = 2х является одним из решений ДУ первого порядка
ху1 — у = 0. Решениями этого ДУ являются также функции у = —х, у = 4гх и др.,
а соотношения х + у = 0, 2з/ = хи т.п. являются интегралами данного ДУ.

Понятие интеграла ДУ несколько шире понятия решения, так ка)с
во многих случаях в ходе решения (или, как говорят, интегрирования)
ДУ удается получить лишь соотношение между х и у, которое не

12.1. Общие понятия. Уравнения первого порядка

105

всегда можно разрешить относительно у, чтобы записать решение в
явном виде.
► Уравнения первого порядка. В общем случае дифференциаль­
ное уравнение первого порядка записывается так: F(x)y)y/) = 0. ДУ,
разрешенное относительно производной, имеет вид у' = f{x, у). Ино­
гда последнее уравнение записывают с помощью дифференциалов:
dy = f{x,y) dx.
Теорема существования и единственности: если функция f(x,y)
непрерывна в некоторой области, содержащей точку (ж0, з/0), и имеет
там ограниченную частную производную по у, то существует един­
ственное решение уравнения у1 = f(x,y), удовлетворяющее условию
2/ = t/о при z = х0.
Последнее условие, которое записывают в виде j/(z0) = у0 или
у\х=т0 — Уо> называется начальным условием. Геометрический смысл
сформулированной теоремы состоит в том, что существует един­
ственная функция, которая удовлетворяет ДУ и график которой про­
ходит через точку (хо>%)- Задача отыскания решения, удовлетворя­
ющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

► Общим решением ДУ называется совокупность всех его реше­
ний. Как правило, общее решение удается записать в виде функции
у = (Дх,С)) зависящей от одной произвольной постоянной С] при
конкретных значениях С эта функция, определяет конкретные реше­
ния уравнения {частные решения). Иногда общее решение задается
неявным образом в виде соотношения Ф(я, ?/, С) = 0, называемого об­
щим интегралом ДУ; при конкретном значении постоянной С — CQ
отсюда получается соотношение Ф(х, у, Со) = 0, называемое частным
интегралом.
При соответствующем выборе постоянной С из общего решения
может быть получено любое однозначно определяемое начальными
данными частное решение. Например, общим решением ДУ ху' — у = 0
является функция у = Сх; при С = 2f получаем отсюда частное решение
у = 2х, удовлетворяющее начальному условию 1/(1) = 2.
Геометрически общее решение .(общий интеграл) представляет со­
бой семейство кривых на плоскости х, у, зависящих от одного параме­
тра С; эти кривые называются инщегралъными кривыми данного ДУ.
Частному решению (частному интегралу) соответствует одна кривая
семейства, проходящая через заданную точку плоскости.
Уравнение у1 = f(x, у) для каждой точки {х, у) определяет значение
у', т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой,
проходящей через эту точку (задает поле направлений на плоскости
х, у). Задача решения ДУ первого порядка с геометрической точки
зрения состоит в нахождении кривых, направление касательных к
которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

106

Обыкновенные

дифференциальные уравнения

► Дифференциальные уравнения, допускающие точное ана­
литическое решение (решение в замкнутой форме).
1. Уравнение с разделенными переменными: f(y)dy = g(x)dx.

Эквивалентная запись уравнения:
f(y)y'x = g(xY

Функции f(y), g^x) и другие функции, встречающиеся в дальнейшем,
предполагаются непрерывными в рассматриваемых областях измене­
ния своих аргументов.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
У f(y) dy = j У^ dx + с-

Здесь и далее С — произвольная постоянная.
Для выделения частного решения (интеграла), удовлетворяющего
условию 2/(^0) = yOf можно использовать соотношение
у

X

j f(y) dy = j з^ dxУо

*o

Пример 2. Решить уравнение (у 4- 1) dy = —х dx.
Решение. Общий интеграл этого ДУГ имеет вид: J(у 4- 1) ^3/ = — / xdx -I- С
или (у4-1)24-^2 = 2С. В правой части последнего равенства для краткости часто
вводят новую произвольную постоянную С = 2С.

2. Уравнение с разделяющимися переменными:

fdy)gdx)yx = f2(y)92(xY
Делим обе части на f2(y)yi(x)’ В результате получим уравнение
с разделенными переменными. После интегрирования имеем

f7rTJ^/^^ + a
J /2(Ю
j 91^)
Пример 3. Решить уравнение х(у2 — 1) dx = (х2 4- l)ydy.
Решение. После деления обеих частей на (х2 4-1)(1/2 — 1) получим уравнение
xdx
У dy u
с разделенными переменными: —------ = —------ . Решая его, находим общий
4- 1
у2 — 1
интеграл: х2 4- 1 = С(у2 — 1).

Уравнение вида

у1 = f(ax + by)
с помощью замены z = ах + by, где z = z(x) — новая неизвестная
функция (при этом z1 = а +by'), приводится к ДУ с разделяющимися
переменными: z1 = bf(z) 4- а.

107

12.1. Общие понятия. Уравнения первого порядка

3. Однородное уравнение:

Правая часть этого уравнения зависит от отношения аргументов у
и X, Вводя новую неизвестную функцию z = у/х, получим ДУ с
разделяющимися переменными: xzfx = f(z) — z. Решив его и заменив
z на у/х, находим общий интеграл исходного однородного ДУ.
Пример 4. Решить уравнение ху1 — у = xcos2(y/x).
Решение. Записав уравнение в виде у1 = ylx 4- cos2(y/x), имеем однородное
ДУ. Замена z = у/х приводит к уравнению с разделяющимися переменными
для новой неизвестной функции z(x): xz' = cos2 z. Решая его, находим общий
интеграл: tg^ = ln|r| 4- С. Возвращаясь к старым переменным, получим общий
интеграл исходного ДУ : tgy/x = 1Л |т| + С.

К однородному ДУ приводится уравнение вида

ах + by + с
ах + (Зу +у

Для этого нужно перейти к новым переменным х = х - х0, у = у —yQ,
где значения постоянных х0 и yQ находят, решая линейную алгебраическую систему

axQ -Ь byQ 4- с = 0,
otxQ + /Зу0+ч = 0.

_

_,_ч

В результате для функции у = у(х)

получим уравнение yf = f^-^^gY Последнее после деления числите­
ля и знаменателя аргумента функции / на ж принимает вид одно­
родного ДУ, правая часть которого зависит только от отношения
переменных: У^ЛД^).
4. Линейное дифференциальное уравнение:
у' + f(x)v = д(х).

Решение ищем в виде произведения у = uv, где функция v = v{x) удо­
влетворяет «укороченному» уравнению с разделяющимися переменны­
ми: v' + f(x)v = 0 (в качестве такой функции можно взять любое част­
ное решение этого уравнения, например, v = e~F, где F = f f(x) dx).
Для функции и = и(х) получим уравнение с разделяющимися пере­
менными v(x)u' = g(x). Интегрируя уравнение для и, находим общее
решение:

Пример 5. Решить уравнение у1 — ctgxy = 2isini.
Решение. Положив у = uvt получим vu1 4- Ду' — ctgxv) = 2zsinx. В ка­
честве функции v(x) возьмем какое-нибудь частное решение уравнения с раз­
деляющимися переменными v1 — ctgiv = 0, например v = sin г. После этого
функцию и(х) найдем из уравнения vu' = 2isini или и' = 2х. Интегрируя, име­
ем и =
2х dx 4- С = х2 4- С. В итоге получим общее решение исходного ДУ :
у = uv = (х2 4- С) sin х.

108

Обыкновенные дифференциальные уравнения

5. Уравнение Бернулли:

(а / 0, а / 1).

у' + f(x)y = д(х)уа

Частные случаи а = 0 и а = 1 соответствуют линейному уравнению
(см. выше п. 4). Замена z = у1 ~а приводит к линейному уравнению:
/ + (1 — a)f(x)z = (1 — а)д(х\ Общий интеграл уравнения Бернулли
имеет вид
у1 а = Се F + (l — a)e F I eFg(x)dx)

где F(z) = (l —a) I f(x)dx.

6. Уравнение в полных дифференциалах:

f(x,y) dy + g(x,y) dx = 0,

где

д£_ дд
дх
ду ‘

Левая часть этого уравнения представляет собой полный дифферен­
циал некоторой функции двух переменных U(x,y).
Общий интеграл: U^x^y) = С, где функция U определяется из
системы

d£

dU -

ду
’
дх
Интегрируя первое уравнение, имеем U — ^ f (х, у) dy + ^(х) (при ин­
тегрировании переменная х рассматривается как параметр). Подста­
новка этого выражения во второе уравнение позволяет найти функ­
цию Ф (а затем функцию U). В итоге общий интеграл уравнения в
полных дифференциалах можно представить в виде
у

х

У f(x0,t)dt + j g((,y)d( = C,
r0
где Zq и 1/0 — произвольные числа.
Уо

► Интегрирование дифференциальных уравнений при по­
мощи рядов. Частное решение у = у(х) уравнения первого порядка,

удовлетворяющее заданному начальному условию 2/(х0) = у0, можно
искать в виде ряда Тейлора по степеням разности х — xQ:
у(х) = у0 + у’(х0)(х - i0) + - ^ (х - 10)2 + • • •

(если начальное условие задается при х0 = 0, получится ряд по
степеням х).
Для нахождения коэффициентов этого ряда заданное ДУ диффе­
ренцируют по х нужное число раз, принимая во внимание начальное
условие. На практике х берут достаточно близким к х0, чтобы оста­
точным членом можно было пренебречь (по сравнению с удержанны­
ми членами).

12.2. Дифференциальные уравнения высших порядков

109

Пример 6. Найти первые три члена разложения в ряд частного решения
уравнения j/z = еу+ cosz, удовлетворяющего начгшьному условию у(0) = 0.
Решение. Так как начальное условие задано при т0 = 0, будем получать ряд
по степеням х. Из уравнения имеем т/^0) = е° +cosO = 2. Дифференцируя обе части
исходного ДУ, найдем у'1 = еуу' — sinz, откуда с учетом заданного начального
условия и найденного значения у'(0) = 2 получим ^^(О) = е°-2—sin 0 = 2. Продолжая
аналогично, найдем ут = еууп + еу (У)2 —cosx, откудаут(0) = е° -2+е0-22 — cos 0 = 5.
Подставляя полученные значения производных в ряд Маклорена для j/(x),
приходим к искомому представлению частного решения в виде степенного ряда:
J/ = 2l + ? + у^3 + • • • .

12.2. Дифференциальные уравнения
высших порядков
► Теорема существования и единственности для ДУ п-го
порядка, разрешенного относительно старшей производной

у^ = f^x, у, у', у",

у*"'1)),

формулируется следующим образом. Если функция / непрерывна,
а ее частные производные по аргументам у^ у/, у", ..., у^п~^
ограничены в некоторой области, содержащей значения я0, у = у0,
у' = у^ ... ^ у^п~^ = у^~1\ ^о существует единственное решение у(х)
данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

2/(*о) = %> У'^о) = Ус» г/'^о) = Уо> • • •> ^""^о) = УоП-1)-

Задача отыскания такого решения называется задачей Коши для ДУ
n-го порядка.
Для уравнения второго порядка у11 = f(x, у, у') с начальными усло­
виями t/(z0) = у0, ^(^о) = Уо (Уо И Уо — заданные числа) геометриче­
ский смысл этой теоремы состоит в следующем: через точку (я0, ?/0)
плоскости х, у проходит единственная интегральная кривая уравне­
ния с заданным угловым коэффициентом касательной yfQ.
► Общее решение дифференциального уравнения n-го по­
рядка имеет вид
у = Лх, с^Сц • • • > GJ>
где С15 С2, ..., Сп —произвольные постоянные. Задавая значения
искомых функций при некотором значении х, можно поставить для
системы ДУ задачу о нахождении частного решения, удовлетворяю­
щего заданным начальным условиям (задачу Коши). Как и в случае
одного ДУу для системы (4) имеет место теорема, гарантирующая
существование и единственность частного решения при непрерывно­
сти правых частей вместе с их частными производными. ,
В приложениях наиболее часто встречаются нормальные системы
линейных ДУ. Для краткости ограничимся системой двух линейных
уравнений с постоянными коэффициентами:

у{= аУ1 + Ьу2 +f^x),

^

_ У2 = СУ1 + dy2 + f2(x)-

Такие системы обычно решают, не сводя их к одному ДУ. Если
fr(x) = fz(x) = 0, то система называется однородной. Общее реше­
ние неоднородной системы (5) складывается из общего решения со­
ответствующей однородной системы и какого-нибудь частного реше­
ния неоднородной системы (как и в случае одного линейного ДУ).
Для построения общего решения однородной системы сначала
находят ее частное решение, имеющее вид
У1(*) = «1^

У2{х) = О12екх,

где к — собственное значение матрицы системы, т.е. корень харак­
теристического уравнения
а—к
b
= (a — k)(d—k) — bc = 0,
(6)
с
d—к
а координаты собственного вектора {а15 а2} находят из системы
линейных однородных алгебраических уравнений

(а - к)аг + Ьа2 = О,
саг + (d — i)a2 = 0.

12.6. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

117

После этого строят общее решение однородной системы. Возможны
следующие случаи.
► 1. Характеристическое уравнение (6) имеет два действи­
тельных различных корня k^ и ^2« Этим корням отвечают два
собственных вектора с координатами {an, а21} и {Qi2> ^22) (коор­
динаты определяются с точностью до числовых множителей). Общее
решение исходной однородной системы ДУ определяется линейной
комбинацией частных решений

% = ^ia2ie^1X + ^2а22е 2 ’

У1 — Q^n^11 + ^^хг6^1’

где С\ и С2—произвольные постоянные.
у^ = у^ 4- 4у2 — 4,

{

У2 = У1 + У2 ~ ь

Решение. Характеристическое уравнение

I1/ Лр2-^-з = о
имеет корни А^ = 3, А:2 = — 1. Система уравнений (7) для нахождения координат
собственных векторов записывается в виде
J
л

(1 - А:)^ + 4а2 = О,
1 • cq + (1 — к}а2 — 0.

При

= 3:

Г-2а1+4а2 = 0,
<
(
а1 “ 2а2 = 0.

Отсюда cq = 2а2. Взяв, например, а2 = 1, получим о^ = 2. Таким образом,
первым частным решением однородной системы ДУ является (с точностью до
постоянного множителя) i/j = 2е3х, у2 = е3х.
При к = —1 аналогичным образом находим второе частное решение:
уг = —2е“х, у2 = е“х. Линейная комбинация двух найденных частных решений
дает общее решение однородной системы:

у2 - Схе3х + С2е~х.

У! = 2С1е31 - 2С2е-1,

В этом примере легко усматривается частное решение полной (неоднородной)
системы: уг = 0, ^2 = 1. Поэтому общее решение исходной неоднородной системы
ДУ имеет вид
У1 = 2Cie3x - 2С2е~х,

у2 = Cie3x + С2е~х + 1.

► 2. Характеристическое уравнение (6). имеет пару ком­
плексно сопряженных корней /3 ± г^. В этом .случае следует най­

ти комплексное частное решение однородной системы ДУ (аналогич­
но тому, как это делалось выше при отыскании частного решения, от­
вечающего действительному корню). Отделяя затем действительную
и мнимую части комплексного решения, получим два действительных
линейно независимых частных решения, линейная комбинация кото­
рых даст общее решение однородной системы ДУ.
у^ = ~У2’

{

У2 = 23/1 + 2У2'

118

Приближенные вычисления
Решение. Характеристическое уравнение
|?

2-Д| = *2-2* + 2 = О

имеет корни кг 2 = lit- Система (7) для нахождения координат (комплексного)
собственного вектора (5lt 52) имеет вид
— к8^ — 52 — 0, *

2^ 4- (2 - А:)52 = 0.

Из этой системы при fc = 1 + i находим одно из ненулевых решений: ^ = 1,
52 = — 1 — t. Соответствующее комплексное решение системы дается формулами
yY = 1 •е(1 + *)х, j/2 = ( —1 —г)е(1+*)х. Отделяя здесь действительные и мнимые части
и составляя их линейную комбинацию, получим общее решение системы:
^(х) = С\ех cosr 4- С2ех sin г,
Уз (г) = С ^ех (sin х — cos х) — С2 ех (sin х 4- cos х).

► 3. Характеристическое уравнение (6) имеет один дей­
ствительный двукратный корень к^ = кз = к. Полный анализ
этого случая проводится методами линейной алгебры. На практике
решение системы удобно искать методом неопределенных коэффици­
ентов в виде

у2 = (у + 6х)ек\

У1 = (а + 13х)екх,

(8)

!/1 =У1 “ ^2/2»

{

У? =У2-

Решение. Характеристическое уравнение
|V

гЛН1-^0

имеет двукратный корень Aq = fc2 = 1. Решение системы ищем в виде (8) при
/с = 1. Подставляя эти выражения в исходную систему и сокращая на ех, получим
/3 = —7(7 4- ^), 5 = 0. Отсюда видно, что а и 7 можно считать произвольными
числами (которые обозначим соответствен© чепез Ci и (72) и что S = 0, /3 = — 7С2.
Таким образом, общее решение исходнойоднородной системы ДУ запишется в
виде
2/1 = (0\ — 7С2х)ех ^
у2 = (72ех.

13. Приближенные вычисления
13.1. Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов служит для приближенного опре­
деления функции, заданной таблично по результатам измерений. Об­
щий вид искомой функциональной зависимости задают априорно с
помощью набора параметров (неопределенных коэффициентов) исхо­
дя из различных соображений.‘Наиболее часто используют линейную,

13.1. Метод наименьших квадратов

119

степенную и экспоненциальную зависимости. Неопределенные коэф­
фициенты определяются путем минимизации суммы квадратов раз­
ностей между результатами измерений и искомой зависимостью при
тех же значениях аргумента.
Далее будем считать, что z1? ж2) ..., хп —табличные значения
аргумента, a i^, у2, ..., уп —соответствующие значения функции.
► Линейная функция. Пусть в качестве искомой зависимости
выбрана линейная функция у = ах+Ь. Для вычисления неопределенных
коэффициентов а и Ь необходимо минимизировать сумму
п
S = Е(й “ аХ< “ Е

i= l

Используя необходимые условия минимума функции S = S(a,b) (т.е.
приравнивая нулю частные производные S по параметрам а и Ь),
получим систему двух линейных уравнений для а и Ь:

z П
п
п
“ЕХ+^Ел- = ЕхЛ’
1=1

1=1
п

1=1

п
a^2xi +bn = ^Vi1=1

1=1

Значения хг, х2, ..., хп и уг, у2, ..., уп здесь считаются заданными.
► Квадратичная функция. Если в качестве искомой зависимости
взять квадратичную функцию у = ах2 + Ьх + с, то для определения
коэффициентов а, b и с приходим к системе трех линейных уравнений

“Е^+Е^+Е1.2 = £д>.
1=1

1=1

1=1

1=1

< а^х^ 4- b У^ х2 4- c^^i —
i=l

i=l

п

п

i=l

i=l

п

У %> Ел
i=i 2 + Е
i=i х> +сп = i=i
► Общий случай. Рассмотрим общий случай функциональной за­
висимости
У = f^a^a^.. ,,ат),
где а1} а2, ..., ат —параметры, которые подлежат определению
методом наименьших квадратов.
Составим сумму
п

5 = Е^' “^«’“^^-•• ’“т)]21=1

120

Приближенные вычисления

Необходимые условия минимума этого выражения приводят к следу­
ющей системе т алгебраических (или трансцендентных) уравнений
для нахождения неопределенных параметров:

|=«.

г = 1, 2, ..., т,

которая в общем случае будет нелинейной.

13.2. Приближенное решение
алгебраических уравнений
► Предварительные замечания. Для большинства алгебраиче­
ских (трансцендентных) уравнений вида

/(*) = 0,
где f(x) — непрерывно дифференцируемая функция, не существует
точных аналитических формул, позволяющих найти его корни.
Приближенное решение данного уравнения на первом этапе со­
стоит в отделении корней, т.е. определении промежутков (по возмож­
ности более узких), внутри которых находится только один корень.
Такой промежуток [а, Ь] обычно отыскивают графически, числа а и b
удовлетворяют условию f(a)f(b) < 0.
На втором этапе вычисляют последовательные приближения
хп £ [а, 6] (n = 1, 2, ...) искомого корня с: с = lim хп, для чего чаще
п-юо
всего применяют следующие методы.
► Метод касательных (метод Ньютона). Пусть на промежут­
ке [а,Ь] существуют и непрерывны производные Г(х), fff(x) и выпол­
няются неравенства f(x) / 0, f"(x) ^ 0 при всех х Е [а, Ъ].
Если f(a)f"(a) > 0, то в качестве первого приближения берем
хг = а; если f(b)f"(b) > 0, то хг = Ь.
Последующие приближения вычисляются по формулам
/(^n-l)
Хп = *п-1

•’ = 2, 3, ...

Практически погрешность приближения хп
формуле

оценивается по

|c-*nl < 0-5kn-i-*n-2l>

где с —точное значение корня.
► Метод хорд. Обозначим а = х^, b = х^. Приближение х*
вычисляется по формуле

13.3. Вычисление определенного интеграла

121

Вместо отрезка [x[,xf] рассматривается отрезок [^j^iL если
f(xi)f(xi) < О? или отрезок [^pxf]) если f(xi)f(x*) < 0. В любом
случае обозначим левый конец нового отрезка через х^^ а правый
конец — через х^, и вычислим следующее приближение по формуле

Рассуждая далее аналогично тому, как это делалось раньше, будем
рассматривать отрезок [хз,Хз] и вычислим следующее приближе­
ние xj и т.д.
Будем считать, что после п итераций вычислены приближения х”,
х+, х*. Тогда рассмотрим отрезок [х“,х*], если /(х“)/(х*) < 0, или
отрезок [х*,х+], если /(^)/(х*) < 0- Обозначим левый конец нового
отрезка через х”.,.!, а правый конец — через х^+1. Вычислим (п + 1)-е
приближение по формуле

Погрешность этого приближения можно оценить с помощью нера­
венства
Iе~ ^n+il < о>$ kn+i “ zn+il>
где с — точное значение корня.

13.3. Вычисление определенного интеграла
[ь
Для приближенного вычисления интеграла / /(х) dx разделим
аb
отрезок [а, 6] на п равных частей длиной h = ------- . Обозначим
п
х0 = а, х15 ..., хп = b — точки деления, у{ = /(х:), * = 0, 1, ..., п.
к Формулы прямоугольников:

/ /(а:) 2)
применяется формула
^А2 ■ ■■Ап) = Р(А1)Р(А2/А1)Р(А3/А1А2). ■Р{Ап/А1А2 • -А^).

События Ах, А2, ..., Ап называются независимыми в совокупно­
сти, если вероятность любого из них не изменяется при наступлении
какого угодно числа событий из остальных; для таких событий спра­
ведлива формула
p(A^2->i„) = m)^2)-m)► Теорема сложения вероятностей:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
Для несовместных событий А и В эта формула упрощается:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Отсюда следует формула для нахождения вероятности противополож­
ного события: Р(А) = 1 — Р(А).
Для п попарно несовместных событий Ах, А2, ..., Ап теорема
сложения имеет вид

Р(А, + А2 + .; + Л„) = Р(А) + Р(А2) + • • • + Р(ЛП).
Часто удобно вычислять вероятность суммы событий, сводя дело
к вычислению вероятности произведения противоположных событий:

Р(Л1 + Д2+.. + 4Л = 1-Р(Л1А2.Лп)-

14.3. Условная вероятность. Формулы теории вероятностей

127

Пример 2. Из двух орудий производят (независимо) по одному выстрелу
по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия составляет 0,8, для
второго — 0,9. Требуется найти:
ia) вероятность только одного попадания в цель;
б) вероятность хотя бы одного попадания.
Решение, а) Пусть событие А — попадание в цель из первого орудия, В — из
второго. Тогда вероятность только одного попадания в цель равна Р(АВ + АВ) =
= Р(АВ) + Р(АВ) = Р(А)Р(В) + Р(А)Р(В) = 0,8 (1 - 0,9) + (1 - 0,8) 0,9 = 0,26.
б) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна Р(А + В) = Р(А) +
+ Р(В) - Р(А)Р(В) = 0,8 + 0,9 - 0,8 • 0,9 = 0,98.
Заметим, что последний результат обычно предпочитают получать так:
Р(А + В)=1- Р(АВ) = 1 - Р(А)Р(В) = 1 - 0,2 • 0,1 = 0,98.

Пусть событие А может произойти только вместе с одним из п по­
парно несовместных событий Нх, Н2,
Нп. В этом случае вероят­
ность события А определяется по формуле полной вероятности:
Р^^Р^РШН,).
1=1

События Н{ по отношению к событию А называются гипотезами.
Если в результате опыта событие А произошло, то вероятности
гипотез Н{ можно «переоценить», т.е. найти условные вероятности
гипотез Р(Н{/А) (при условии, что событие А произошло). Эти
«новые» вероятности вычисляются по формуле Бейеса:

JA^^A^Ld

Р(Н{/А) =

(г = 1,2,..., п).

£ Р(Н()Р(А/Н{)
£=1

Пример 3. В ящике содержатся одинаковые изделия, изготовленные двумя
автоматами: 40% изделий изготовлено первым автоматом, остальные — вторым.
Брак в продукции первого автомата составляет 3%, второго— 2%. Требуется
найти:
а) вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется бракован­
ным;
б) вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым
автоматом, если оно оказалось бракованным.
Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно
выбранное изделие— бракованное, а через Н^ и Н2 —события, состоящие в том,
что это изделие изготовлено соответственно первым и вторым автоматами. Тогда
а) по формуле полной вероятности
Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = 0,4 • 0,03 + (1 - 0,4) • 0,02 = 0,024;

б) по формуле Бейеса

= ZWfW^ll
= М^оз
= 21’
Р(А)
0,024

Р(Н /А)
' 17 7

Вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А
(«успех») наступит ровно к раз, определяется по формуле Бернулли:

Рп(к)=^рк(1-р)п~к,

где

С^-г^^-г^,

Теория вероятностей

128

р — вероятность успеха в одном испытании, С„ — число сочетаний из
п элементов по к.
Вероятности Рп(к) в последней формуле называются биномиаль­

ными. Для них выполняется равенство ^ Рп(к) = 1.
*=0

Пример 4. Найти вероятность того, что при 10 бросаниях монеты «орел*
выпадет 5 раз.

Решение. Имеем п = 10, к = 5, р = у. Тогда по формуле Бернулли искомая
вероятность равна Р10(5) = Сто (f)5 (f) ^ 5 = ^Т^Г ' Т^Г = ^

Если п велико, а р мало, то справедлива приближенная формула
Пуассона (для подсчета вероятностей, относящихся к редким собы­
тиям) :

в которой Л = пр — среднее число успехов в п испытаниях.
Для приближенного вычисления Рп(к) при больших п можно
применять локальную формулу Муавра —Лапласа:
(к - пр)2
^nW ^2ор(1 -р) ехр[- 2пр(1 — р)

Вероятность того, что в п независимых испытаниях число успе­
хов к находится между кг и к2, приближенно вычисляется по инте­
гральной формуле Муавра —Лапласа:
•

dt — функция Лапласа, для которой
имеются таблицы.

14.4. Математическое ожидание
и дисперсия
► Случайные величины и их числовые характеристики.
Пусть й = {w} — пространство элементарных событий. Случайной
величиной X называется числовая функция Х(ш), определенная на
множестве Q, такая, что для любого х определена вероятность
Р{Х < х} = Р{ш : Х(ш) < х}. Эта вероятность Р{Х < х} = F(x)
называется функцией распределения случайной величины X; она
имеет следующие свойства:
1) 0 ^ F(x) ^ 1,
2) F(-oo) = 0, F(+oo) = 1,

3)
4)

FfxJ ^ F^) при Xj < Z2,
F{a ^ X < 6} = F(6) - F(a).

14.4. Математическое ожидание и дисперсия

129

Если X — дискретная случайная величина, принимающая значе­
ния х,, х2, ..., хп,... с вероятностейрр p2i • ••,₽„,•••, т-е' имеющая
ряд (закон) распределения, задаваемый таблицей
*1

х2

Pi

Р?

(1>Ч
i

Рп

то функция распределения имеет вид

F(x) = Р{Х < х} = ^ РпХп2 - Гi)

равна скалярному произведению силы на полное перемещение и не зависит от
траектории точки приложения.

Пример 2. Работа центральной силы (силы со стороны центрального поля,
см. разд. 1.3) равна
А= / (F-dr) = I
Jr!

F(r)dr

(проекция dr на радиальное направление равна изменению расстояния г до
центра). Она зависит только от начального гх и конечного г2 расстояний до
силового центра и не зависит от траектории.

147

1.5. Закон сохранения энергии

► Мощность. Средняя мощность — отношение работы к интервалу
времени. Мгновенная механическая мощность равна
n
dA
^dr)
г
Р = ~^~ =---- In
= (F -^ = Рт^dt
dt
Мощность измеряется в ваттах (Вт = Дж/с).
► Кинетической энергией называется энергия, связанная с дви­
жением точки и зависящая от ее скорости. Скорость тела изменяется
под действием результирующей силы ^, работа которой равна
/*2

А= / FT\df\ = m I arvdt = m

f2 dy
[^
-^-vdt = m
v dv = ^mv^ —-^mv2.

(13)
Видно, что в соответствии с общим принципом (12) кинетическую
энергию надо определить как Ек = mv2/2. Полученное тождество,
утверждающее, что изменение кинетической энергии равно работе
результирующей силы, называют теоремой о кинетической энергии.
Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма
кинетических энергий всех точек системы. Изменение кинетической
энергии системы равно работе всех сил, действующих на ее точки.
Кинетическая энергия системы равна:
mv2
Як = ^ + £оТН)

/

х

(14)

где т — масса системы, иц — скорость ее центра масс, ^отн —
кинетическая энергия в системе центра масс (теорема Кёнига).
► Консервативные силы. Потенциальное поле. Сила взаимо­
действия между точками называется консервативной, если работа
этой силы зависит только от начального и конечного положения то­
чек, но не зависит от траектории их перемещения. Внеп/нее стацио­
нарное поле называется потенциальным, если работа поля при пере­
мещении точки зависит только от ее начального и конечного положе­
ния, но не зависит от ее траектории. (Эквивалентное утверждение —
работа поля при перемещении точки по замкнутой траектории рав­
на нулю.) Потенциальное поле — это поле консервативных сил взаи­
модействия, создаваемое неподвижными внешними источниками. Из
примера 1 следует, что однородное поле потенциально (пример — по­
ле тяжести). Из примера 2 следует, что любое центральное поле по­
тенциально. Потенциальным будет также поле, являющееся суперпо­
зицией нескольких центральных полей (создаваемое несколькими ис­
точниками). Значит, электростатическое поле и стационарное поле
тяготения являются потенциальными. Из примера 2 также следует,
что сила упругости, создаваемая легкой пружиной, является консер­
вативной. Система точек, между которыми действуют только кон­
сервативные силы, называется консервативной системой.

148

Физические основы механики

► Потенциальная энергия. Потенциальная энергия характеризу­
ет взаимодействие между точками и зависит от их взаимного распо­
ложения. Потенциальная энергия точки во внешнем потенциальном
поле определяется следующим образом. Сначала определим разность
потенциальных энергий для двух положений точки как работу поля
по ее переносу из одного положения в другое:

Яп(Л)-Яп(г2) = А2

(15)

(эта работа не зависит от траектории). Значит, изменение потенци­
альной энергии Е2 — Ех равно работе сил поля, взятой с обратным
знаком. Если перемещение частицы в поле осуществляется очень мед­
ленно с помощью внешней силы, то работа внешней силы будет равна
по величине и противоположна по знаку работе поля, т.е. Л®2 = Е2—Е1
в соответствии с общим принципом (12). Равенство (15) определяет
потенциальную энергию с точностью до константы. Чтобы сделать
определение однозначным, надо задать значение потенциальной энер­
гии в какой-то точке пространства (обычно задают точку, в которой
потенциальная энергия равна нулю).
Пример 3. Работа силы тяжести т^ при перемещении точки массой т с
высоты h^ на высоту h2 равна mgh^ — mgh2. Значит, потенциальная энергия
точки в поле тяжести равна Еа = mgh, где высота отсчитывается от оговоренного
нулевого уровня. Потенциальная энергия системы точек в поле тяжести равна
m^gh.
Е„ = ^J j = mg^^L = mgh
где т — масса системы, h^ — высота ее центра масс.

Пример 4. Работа силы упругости равна J( — kx)dx = ybj — ^kx2^ где
Гр s2 — начальная и конечная деформация пружины. Значит, потенциальная
энергия упругой пружины равна Еи = уЛя2, где за нуль принята энергия
недеформированной пружины.
Пример 5. Работа сил трения, сопротивления отрицательна как на каждом
участке пути, так и вдоль замкнутой траектории. Значит, эти силы не являются
консервативными.

Потенциальную энергию консервативного взаимодействия двух
частиц можно определить как потенциальную энергию одной части­
цы в поле другой частицы. Ответ не зависит от того, какую из частиц
выбрать в качестве источника поля.
► Связь силы с потенциальной энергией. Записав равен­
ство (15) для двух близких точек, лежащих на некоторой оси I, полу­
чим ЕП(1) — En(l + dl) = Ft dl. Значит, проекция силы на произвольное
направление выражается через производную от потенциальной энер­
гии:

149

1.5. Закон сохранения энергии

(частная производная означает, что Еп рассматривается как функция
одной переменной /). Вектор силы получается равным градиенту
потенциальной энергии:
^ = - (^i + ^-j + ^к} = -grad Еп.
\ №
оу
dz /
п

(17)

Для центрального поля формула (16) принимает вид
dEn(r)

р _

► Механическая энергия системы определяется как сумма ее
кинетической энергии, потенциальной энергии взаимодействия меж­
ду ее частицами и потенциальной энергии во внешнем поле:
2
Ямех = Е

3

+ Е ^n + Е

З^п

El

П9)

j

Первые две суммы образуют собственную механическую энергию
системы.
► Изменение механической энергии. Изменение кинетической
энергии равно работе всех сил, приложенных к точкам системы
(уравнение (13)). Изменение потенциальной энергии равно работе
всех консервативных сил (внутренних и внешних, включая работу
потенциальных полей), взятой с обратным знаком. Значит, изменение
механической энергии равно работе всех неконсервативных сил, как
внешних, так и внутренних:
△^мех = ^неконс-

(20)

► Закон сохранения механической энергии: механическая
энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной.
Это утверждение является частным проявлением общего фунда­
ментального принципа сохранения энергии: полная энергия замкну­
той системы сохраняется. Полная энергия, кроме механической,
включает в себя также различные виды внутренней энергии: тепло­
вую, химическую, ядерную. Общий принцип сохранения энергии вы­
ходит далеко за пределы ньютоновской механики, в рамках которой
мы получили закон сохранения механической энергии. Этот прин­
цип тесно связан с фундаментальным условием однородности време­
ни (равноправием всех моментов времени), он является основанием
всего здания современной физики.
Условие консервативности эквивалентно требованию независимо­
го сохранения двух слагаемых полной энергии: механической и вну­
тренней. Если, например, внутри системы действуют силы трения,

150

Физические основы механики

работа которых отрицательна, то механическая энергия уменьшает­
ся (уравнение (20)), переходя во внутреннюю (в этом случае говорят,
что в системе выделяется тепло). Механическая энергия может также
изменяться в том случае, если в системе присутствует какой-нибудь
механизм, способный производить работу за счет внутренней энер­
гии (топлива): двигатель внутреннего сгорания, человек.
Пример 6. Упругий удар. При центральном ударе упругих шаров сохра­
няется и импульс системы, и ее механическая энергия:

mlvls + m2v2x - mlulx + m2u2x’

---

2---- + ---- 2---- " ---- 2---- + ---- 2---- ’

Вместо второго уравнения удобно использовать условие, что относительная ско­
рость шаров не меняется по величине, но изменяет свой знак: vlx — v2j = u2x — ulx.
Это уравнение можно вывести из первых двух, но оно становится очевидным при
переходе в инерциальную систему центра масс (относительная скорость при та­
ком переходе не меняется). В этой системе отсчета полный импульс системы ра­
вен нулю, и после удара скорости шаров просто меняются на противоположные
(оба закона сохранения при этом выполняются). Решая два линейных уравнения,
находим конечные скорости шаров:
(m2 - тп, )v2l + 2m,

(mi -m2)vll + 2m2v2l
11 “ ------------------ »
771 j

2x - ------------------- _
----------------------•
7711 "Г 7712

--------------------- ’
7712

При упругом ударе о движущуюся стенку (ттг2 )> mj) получим
ulx * -^ + 2^2®'

“2х * ^2х>

Пример 7. Неупругий удар. После абсолютно неупругого удара шары
движутся поступательно с одинаковой скоростью, т.е. как одно составное тело
(вращения не возникнет, если в системе центра масс удар центральный). Скорости
сравниваются в результате действия неконсервативных сил, т.е. при неупругом
ударе обязательно выделяется тепло. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью
закона сохранения импульса конечную скорость шаров: тт^ ^ +?n2tf2 = (тт^ +?712)й,
после чего вычислим уменьшение механической энергии:
тп^2

2

,

^2v2

+ ~2

(774 + m2)u2

2

”1 ”2

(W

т1 +^2

2

Еще проще получить этот ответ в системе координат, связанной с центром масс,
где шары после удара покоятся.

► Потенциальные

Рис. 5.

кривые.

Устойчивость. Если известна
потенциальная энергия одномерно­
го движения в потенциальном по­
ле Еп(г) (рис. 5), то, опираясь на со­
отношение (16) между силой и энер­
гией, можно выяснить:
а) Направление силы (F > 0 при
о < г < rmin и при г > rmax).
б) Точки равновесия (F = 0 при
г = ’’min и г = ’’max)'

151

1.6. Закон сохранения момента импульса

в) Устойчивость равновесия. В окрестности точки rmin сила на­
правлена в сторону этой точки, т.е. равновесие устойчиво. В точке rmax равновесие неустойчиво. Устойчивое равновесие соответству­
ет минимуму потенциальной энергии.
г) По значению механической энергии Е можно установить ха­
рактер движения. Движение может происходить только в области,
где Е > Еп (кинетическая энергия неотрицательна). При Е < ^(оо)
(для рис. 5 ^(оо) = 0) движение финитное, т.е. происходит в огра­
ниченной области г. На рис. 5 движение происходит между точка­
ми поворота г2, г3. При Е > 0 движение либо инфинитно, т.е. точ­
ка после отражения от точки поворота г5 уходит на бесконечность
с кинетической энергией Е, либо заперто потенциальным барьером
и движется между точками поворота гр г4. В классической меха­
нике потенциальный барьер непреодолим; в квантовой механике су­
ществует вероятность проникновения сквозь потенциальный барьер
(туннельный эффект).

1.6. Закон сохранения момента импульса
► Момент силы. Равнодействующая. Момент силы ? относи-

тельно точки О определяется равенством

Й = гх Ё,

(21)

где г — радиус-вектор точки приложения силы. Момент силы не ме­
няется при перемещении силы вдоль линии ее действия. Модуль мо­
мента равен М = Fr sin а = Fd, где а —
угол между силой и радиусом-вектором,
-►
d — расстояние между точкой О и ли­
нией действия силы, которое называют
।
плечом силы (рис. 6). Важнейшее свойст;
во момента силы заключается в том, что d\
xF^
для любой системы точек сумма момен!
тов внутренних сил равна нулю. Справедливость этого утверждения основана О
на том, что по третьему закону Ньютона
Рис. 6.
(см. разд. 1.3) силы взаимодействия между точками не только рав­
ны по величине и противоположны по направлению, но и направлены
вдоль соединяющей эти точки прямой. Отметим еще одно свойства
момента сил: если сумма сил равна нулю, то они создают одинаковый
суммарный момент относительно любой точки пространства.
Равнодействующей системы сил называют силу, равную их век­
торной сумме и приложенную таким образом, что ее момент относи­
тельно любой точки пространства равен суммарному моменту этой
системы сил.

f

152

Физические

основы механики

Пример 1. Вычислим суммарный момент сил тяжести, действующих на
точки системы:

Л? = y^j X ™^ = (у m/j^ х £ = ?ц х (т^),
где т — масса системы, ^ц — радиус-вектор центра масс. Видно, что равнодей­
ствующая сил тяжести проходит через центр масс, т.е. центр масс является
также центром тяжести.

Моментом сиды относительно оси z называют проекцию Mz на
эту ось момента сил относительно любой точки на этой оси. Если
разложить как г, так и ? в (21) на две составляющих, параллельную
оси и перпендикулярную к ней, f = fj| + г±, 7^ = ?у + fj., то соста­
вляющие, параллельные оси, не дадут вклада в проекцию момента на
ось. Следовательно, Mz = (г± х ?1)г В плоскости, перпендикуляр­
ной оси, получим такую же картинку, как на рис. 6, только вместо
ги^ надо обозначить г± и F±. Соответственно модуль момента
относительно оси также равен произведению силы на плечо, а выбор
положительного направления вдоль оси можно заменить выбором бо­
лее наглядного положительного направления вращения вокруг оси.
► Моментом импульса материальной точки относительно точ­
ки О называют величину

ZT = г х р,

(22)

где г — радиус-вектор материальной точки, проведенный из точки О,
р— ее импульс. При движении с постоянной скоростью момент им­
пульса не меняется. Модуль момента импульса равен произведению
импульса на плечо. Моментом импульса относительно оси z называет­
ся проекция Lz на эту ось момента импульса L относительно любой
точки на этой оси. Момент импульса относительно оси определяется
проекцией движения точки на плоскость, перпендикулярную к оси:
Lz = (rL х Pi_)2. Все эти свойства абсолютно аналогичны соответ­
ствующим свойствам момента силы.
Производная по времени от момента импульса материальной
точки относительно точки О
dL
dr
_ _ dp
ч н
—г— = — xp+rx — = vxp+rx F = м
dt dt
dt

(23)

равна моменту результирующей силы относительно точки О (член
v х р = 0 в силу параллельности векторов v и р.)
Пример 2. Движение в центральном поле. Так как на частицу в цен­
тральном поле действует сила, направленная в сторону центра поля, то момент
этой силы относительно центра тождественно равен нулю. Значит, вектор L мо­
мента импульса относительно центра сохраняется. Из определения (22) следует,
что движение происходит в одной плоскости, перпендикулярной L , и что сохра­
няется величина L = mvr sin а. Эта величина пропорциональна скорости «заме­
тания* площади радиусом-вектором г: ds/dt = ^r(vdt) sin a/dt = L/2m, так что

1.7. Задача двух тел и движение в центральном поле

153

утверждение о сохранении момента импульса при движении в центральном поле
оказывается эквивалентным знаменитому второму закону Кеплера.

Моментом импульса системы относительно точки О называется
сумма моментов импульса материальных точек, составляющих эту
систему. Момент импульса системы равен
^ = Гц X р+ tOTH.

(24)

Одно из следствий этого равенства: если импульс системы равен ну­
лю, то L не зависит от выбора точки О. Суммируя уравнение (23) по
всем точкам системы и учитывая, что суммарный момент внутрен­
них сил равен нулю, получим
^г = ^е>

(25)

т.е. производная по времени от момента импульса системы равна
суммарному моменту внешних сил.
► Закон сохранения момента импульса. Из уравнения (25) сле­
дует, что момент импульса замкнутой системы сохраняется. Закон
сохранения момента импульса является фундаментальным законом,
отражающим изотропность пространства, т.е. равноправие всех его
направлений. Как и в случае законов сохранения импульса и энергии,
действие закона сохранения момента импульса выходит за пределы
ньютоновской механики, в рамках которой он был выведен.
Момент импульса незамкнутой системы сохраняется в следую­
щих случаях:
1. Если суммарный момент внешних сил Ме равен нулю. (Пример:
движение частицы в центральном поле.)
2. Если равен нулю момент импульса внешних сил относительно
некоторой оси, то сохраняется момент импульса относительно этой
оси.
Пример 3. Если грузик на конце невесомой нити движется по горизонталь­
ной окружности, то момент импульса относительно любой точки на оси вращения
(кроме центра окружности) не сохраняется, а момент импульса относительно оси
вращения сохраняется, так как моменты сил тяжести и натяжения нити относи­
тельно этой оси равны нулю.

3. Если^ внешние силы ограничены, то изменением момента им­
пульса △ L = Й*№ за время удара △/ можно пренебречь.

1.7. Задача двух тел и движение
в центральном поле
► Приведенная масса. Рассмотрим замкнутую систему двух вза­
имодействующих между собой частиц. Решить задачу об их движе­
нии (задачу двух тел) — значит определить положение точек во все

154

Физические основы механики

моменты времени исходя из заданных начальных условий. Положение
точек выражается через положение центра масс гц(
^ = “7—•

Напряженность и потенциал поля, создаваемого несколькими масса­
ми, вычисляются с помощью принципа суперпозиции. Запись урав­
нения аналогична (31), для разнообразия запишем ответ для случая
распределенной массы:
i^dr,
Iг — г |

^ = - ^-^bdV.
J |г — г |

(33)

Пример 1. Показать, что напряженность поля
тяготения внутри тонкого сферического слоя равна
нулю.
Решение. Для доказательства рассмотрим вклад
в напряженность поля в точке А небольших участков
В и С сферы, отсекаемых от нее тонким конусом с
вершиной в точке А (рис. 9). Отношение площадей
этих участков, а значит, и отношение их масс, равно
отношению квадратов расстояний от этих участков
до точки А. Следовательно, напряженности, создава­
емые этими участками в точке А, равны по величине.

157

1.8. Поле тяготения

Напряженность поля, создаваемого тонкой сферой массой М вне ее, оказы­
вается равной напряженности, создаваемой точечной массой М, помещенной в
центр сферы. Доказательство этого результата требует громоздкого интегриро­
вания (первым его проделал Ньютон). В гл. 3 это утверждение будет доказано
с помощью теоремы Гаусса. Такой же ответ годится для любой сферически рас­
пределенной массы, в частности, для любой сферической планеты.
Пример 2. Пусть масса М распределена по отрезку длиной I. Вычислить
напряженность и потенциал на продолжении отрезка, на расстоянии х от его
центра.
Решение. Масса dm, заключенная на отрезке длиной dy, равна Mdy/l.
Интегрируя, получим

, ч

х+1/2
[ Mdy
x-l/2

М

z ч

х+1/2
Г Mdy

М .

x + l/2

x-l/2

Видно, что симметричное, но несферическое тело нельзя заменить точечной
массой, помещенной в ее центр. Этот пример является также иллюстрацией
того, что напряженность и потенциал связаны соотношением дх = — ду/Эх,
аналогичным соотношению (16).

► Движение в центральном поле тяготения. Законы Кеп­
лера. Движение в центральном поле тяготения подчиняется общим
законам движения в центральном поле. Однако оно обладает некото­
рыми особенностями, отраженными в первом и третьем из законов
Кеплера, сформулированных им для планет Солнечной системы.
Первый закон Кеплера утверждает, что финитное движение
(Е < 0) материальной точки в центральном поле тяготения проис­
ходит по замкнутой траектории — эллипсу, в одном из фокусов кото­
рого находится центр силы притяжения (Солнце).
Второй закон Кеплера фиксирует постоянство секторной скоро­
сти, т.е. скорости «заметания» площади радиусом-вектором движу­
щейся точки. Он относится к любому центральному полю и является
прямым следствием закона сохранения момента импульса (см. при­
мер 2 из разд. 1.6).
Третий закон Кеплера утверждает, что квадраты периодов дви­
жения относятся как кубы больших полуосей эллиптических орбит:
ПШ = а?/4
Дополним первый закон Кеплера утверждением, что инфинитное
движение в центральном поле тяготения происходит либо по параболе
(Е = 0), либо по гиперболе (Е > 0). В качестве дополнения к третьему
закону Кеплера приведем связь между удельной энергией движения
и большой полуосью: \Е\/т = уМ/(2а). Видно, что период движения
однозначно определяется удельной энергией движущегося тела.

► Космические скорости. Первой космической скоростью на­
зывают скорость движения по круговой орбите вблизи поверхно­
сти планеты. Она определяется изуравнения движения спутника
mg = mvl/R и равна vT = y/gR = у/^М/ R. (Для Земли vT « 7,9 км/с.)

158

Физические основы механики

Вторая космическая скорость — минимальная скорость, которую
надо сообщить телу на поверхности планеты, чтобы оно преодолело
силу тяготения и ушло на бесконечность. Как видно из разд. 1.7, усло­
вием инфинитности движения является неравенство £^0, т.е. вторая
космическая скорость находится из уравнения mv^/2 — ^тМ/R = О
и равна vn = \/2^MjR = y/2gR. (Для Земли vn « 11,2 км/с.)

1.9. Неинерциальные системы отсчета
► Определение сил инерции. Во многих случаях удобно решать
задачу динамики непосредственно в неинерциальной системе отсчета
(НСО), а не пересчитывать ответ, полученный сначала в инерциаль­
ной системе отсчета. Для этого вводят силы инерции, определенные
следующим образом. Во втором законе Ньютона выделяют из ускоре­
ния точки а в виде отдельного слагаемого ее ускорение относительно
НСО аотн, а все остальное переносят в другую часть равенства и на­
зывают силой инерции:

^2^ = та =>
=> S

К = m(%™ + г’) =>
+ (~mS") = т“оти => S^+ 4 = Чтн-

Приходим к следующему определению сил инерции:
^н = -т?.

(34)

где а* определяется кинематическим соотношением

“ = %тн + а*

(35)

и зависит от параметров НСО и положения и скорости частицы в
НСО. Разберем конкретные случаи.
► Поступательно движущиеся НСО. В этом случае а* равняет­
ся ускорению системы отсчета (см. формулу (1)), т.е. для силы инер­
ции получим выражение
^ин =

~т^К‘

Видно, что сила инерции полностью эквивалентна силе тяжести.
При решении задач их удобно объединять вместе, т.е. введение
силы инерции оказывается эквивалентным замене напряженности
поля тяготения (т.е. ускорения свободного падения, см. разд. 1.8):
9 => д* =д + а* =д-ак.
Пример 1. Сосуд с жидкостью движется с постоянным горизонтальным
ускорением а. Найти угол /3 между поверхностью жидкости и горизонталью.

1.9. Неинерциальные системы отсчета

159

Решение. Перейдем в систему отсчета, связанную с сосудом, где неподвиж­
ная поверхность жидкости должна быть ♦горизонтальна», т.е. перпендикулярна
вектору д* = д + а* = д — а. Отсюда следует, что tg/? = а/д.

Принцип эквивалентности сил инерции и сил тяготения был
положен Эйнштейном в основу общей теории относительности,
которая является релятивистской теорией гравитации и объясняет
возникновение гравитационных сил искривлением пространственновременного континуума в присутствии внешних масс.
► Равномерно вращающаяся система отсчета. В этом слу­
чае кинематическое соотношение для ускорения (35) имеет вид:
° = %н+^хРх^+^х?отн (см. разд. 1.2). Второй член связан с пово­
ротом вектора переносной скорости ш хг вместе с системой отсчета,
направлен в сторону оси вращения и равен w2R (R— расстояние до
оси), т.е. представляет собой центростремительное ускорение данной
точки системы отсчета. Третий член (ускорение Кориолиса) связан,
во-первых, с поворотом относительной скорости частицы вместе с
системой отсчета и, во-вторых, с изменением переносной скорости
за счет перемещения частицы из одной точки вращающейся НСО в
другую. Соответственно сила инерции (34) представляет собой сум­
му двух членов, первый из которых называют центробежной силой,
а второй— силой Кориолиса:
Кн = ^цб + Яор = ^^ + 2п™отн Х Д-

(36)

Центробежная сила инерции направлена от оси вращения (R напра­
влен от оси вращения перпендикулярно к ней). Так как она не зави­
сит от скорости частицы, то ее действие неотличимо от (неоднород­
ного) поля тяготения. Например, на поверхности Земли измеряемая
сила тяжести представляет собой сумму силы тяготения и центро­
бежной силы инерции. Сила Кориолиса направлена перпендикулярно
скорости. В северном полушарии для движения вдоль поверхности
горизонтальная составляющая силы Кориолиса направлена вправо,
что проявляется в образовании циклонов, размывании правого бере­
га рек и др.
Пример 2. Требуется найти отклоняющее действие силы Кориолиса на тело,
свободно падающее с высоты h на экваторе Земли.
Решение. Так как отклонение маленькое, то в первом приближении можно
подставлять в силу Кориолиса (36) скорость ♦невозмущенного» падения v = ^t. Так
как вектор w перпендикулярен Г, то сила Кориолиса направлена в сторону восто­
ка, равна 2mvo/ и сообщает горизонтальное ускорение авост = 2wgt. Интегрируя,
находим горизонтальную скорость vBOCT = gut2 и горизонтальное перемещение
sBOCT = ^д^3 • Подставив сюда время падения t = \^2Н/д, найдем конечное от­
клонение. Например, для h = 300 м отклонение составляет й 10 см.

160

Физические основы механики

1.10. Динамика твердого тела
► Вращение вокруг неподвижной оси. Момент импульса твер­
дого тела относительно неподвижной оси вращения z (см. разд. 1.6)
равен

\Lz\ = YlRjmjVj =Ш^т^1 = ^Ш>

(37)

где Rj —расстояние от точки т^ до оси вращения, и мы использова­
ли соотношение Vj = uRj> Направление проекции совпадает с напра­
влением Д, т.е. определяется по правилу буравчика. Величина
1г=^™^ = j R2dm

(38)

называется моментом инерции твердого тела относительно оси z.
Продифференцировав (37) по времени и учтя, что dL2/dt = Mz,
где Mz — момент внешних сил относительно оси вращения (уравне­
ние (25)), получим
М2 = 12е,
(39)
где е = du/dt— угловое ускорение. Это уравнение называют основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела
вокруг неподвижной оси. Вычислим еще кинетическую энергию вра­
щающегося твердого тела:
2

^к = L ^~ = i"2 S nrf = Т7^

(40)

и работу внешней силы при повороте тела:
А = J dr ^ = J {J dt х г) • ^ = J (ш dt) • (г х ^) = J $ ' ^) ’

где d
мы сможем вычислить момент импульса: L = Цй^ + ^^ + ^з^з- (Ана­
логично, разложив вектор L , мы найдем вектор ал) Если главные оси
проведены через центр масс (центр инерции) тела, то их называют
свободными осями. При вращении вокруг любой из свободных осей
сохраняются как импульс, так и момент импульса тела, т.е. для под­
держания вращения к телу не надо прикладывать ни внешнюю силу,
ни внешний момент сил. (В примере 5 результирующая сила равна
нулю, но в точках крепления оси возникает пара сил, момент кото­
рых обеспечивает изменение L со временем.) При свободном вра­
щении устойчивым оказывается только вращение относительно двух
свободных осей — с минимальным и максимальным главными момен­
тами инерции.
► Гироскопы. Гироскопом называют твердое тело, быстро враща­
ющееся относительно своей оси симметрии. Задачу о движении оси
гироскопа можно решать в гироскопическом приближении: L = U,
оба вектора направлены вдоль
оси симметрии. Уравновешенный
гироскоп (закрепленный в центре
масс) обладает свойством безынерционности: его ось переста­
ет двигаться, как только исчеза­
ет внешнее воздействие (Й обра­
щается в нуль). Это позволяет ис­
пользовать гироскоп для сохране­
ния ориентации в пространстве.
На тяжелый гироскоп (рис. 12),
у которого центр масс смещен на
расстояние d от точки закрепле­
ния действует момент силы тяжести, направленный перпендикуляр­
но L . Так как dL /dt L L , то L и ось гироскопа совершают ре­
гулярное вращение вокруг вертикальной оси (прецессия гироскопа).

164

Физические основы механики

Конец вектора L вращается по горизонтальной окружности радиу­
сом L sin а с угловой скоростью
q _ |^М1 _ mgdsina _ mgd

L sin а

1ш sin а

lu

Угловая скорость прецессии не зависит от угла наклона оси а.

1.11. Специальная теория относительности
Специальная теория относительности Эйнштейна (СТО) рас­
ширяет границы классической ньютоновской физики, действующей в
области нерелятивистских скоростей, малых по сравнению со скоро­
стью света с, на любые, в том числе релятивистские, т.е. сравнимые
с с, скорости. Все результаты релятивистской теории при v/c-+0 пе­
реходят в результаты классической нерелятивистской физики (прин­
цип соответствия).
► Постулаты СТО. Специальная теория относительности опира­
ется на два постулата:
Первый постулат (принцип относительности Эйнштейна): все
физические законы — как механические, так и электромагнит­
ные — имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах от­
счета (ИСО). Иными словами, никакими опытами нельзя выделить
какую-то одну систему отсчета и назвать именно ее покоящейся.
Этот постулат является расширением принципа относительности Га­
лилея (см. разд. 1.3) на электромагнитные»процессы.
Второй постулат Эйнштейна: скорость света в вакууме одина­
кова для всех ИСО и равна с « 3108м/с. Этот постулат содержит
сразу два утверждения:
а) скорость света не зависит от скорости источника,
б) скорость света не зависит от того, в какой ИСО находится
наблюдатель с приборами, т.е. не зависит от скорости приемника.
Постоянство скорости света и независимость ее от движения источника сле­
дуют из уравнений электромагнитного поля Максвелла. Казалось очевидным, что
такое утверждение может быть верным только в одной системе отсчета. С точ­
ки зрения классических представлений о пространстве — времени, любой другой
наблюдатель, двигаясь со скоростью v, должен для встречного луча получить ско­
рость с + v, а для испущенного вперед луча — скорость с — v. Такой результат
означал бы, что уравнения Максвелла выполняются только в одной ИСО, запол­
ненной неподвижным «эфиром*, относительно которого и распространяются све­
товые волны. Однако попытка обнаружить изменение скорости света, связанное
с движением Земли относительно эфира, дала отрицательный результат (опыт
Майкельсона— Морли). Эйнштейн предположил, что уравнения Максвелла, как
и все законы физики, имеют один и тот же вид во всех ИСО, т.е. что скорость
света в любой ИСО равна с (второй постулат). Это предположение привело к
пересмотру основных представлений о пространстве— времени.

1.11. Специальная теория относительности

165

► Преобразования Лоренца. Преобразования Лоренца связыва­
ют между собой координаты и время события, измеренные в двух
ИСО, одна из которых (70, то интервал между событиями называют
времениподобным, так как в этом случае существует ИСО, в которой
Дг = 0, т.е. события происходят в одном месте, но в разное время.
Ъжие события могут быть причинно связанными. Если, наоборот,
$22 < 0, то интервал между событиями называют пространственно­
подобным, так как в этом случае существует ИСО, в которой Д/ = 0,
т.е. события происходят одновременно в разных точках простран­
ства. Между такими событиями не может существовать причинной
связи. Условие с|Д/| < |Дг] означает, что луч света, испущенный в мо­
мент более раннего события (например, /х) из точки г^ не успевает
достигнуть точки г2 к моменту времени /2. События, отделенные от
события 1 времениподобным интервалом, представляют по отноше­
нию к нему или абсолютное прошлое (/2 — tr < 0), или абсолютное
будущее (t2 —^ > 0); порядок следования этих событий одинаковый во
всех ИСО. Порядок следования событий, отделенных пространствен­
ноподобным интервалом, может быть разным в разных ИСО.
► Лоренцовы 4-векторы. Четверка величин (Ах, Ау, Az, АТ)=
=(А, Ат), которые при переходе из системы К в систему К' пре­
образуются так же, как (х, у, z, ct), т.е. (см. (42)):

*

yrn72/c2 ’

Ау' = Ау,

Аг' = Аг,

А^-(У/с^

(50)
называется лоренцовым четырехмерным вектором (или, коротко, лоренцовым 4-вектором). Величины Ах, Ау, Az называются простран­
ственными компонентами 4-вектора, Аг — его временной компонен­
той. Сумма двух 4-векторов и произведение 4-вектора на число —
тоже 4-векторы. При изменении ИСО сохраняется величина, анало­
гичная интервалу: А2 = А2 — (А)2, а также скалярное произведение
(АТВТ — А • В). Физическое равенство, записанное в виде равенства
двух 4-векторов, остается верным во всех ИСО.
► Импульс и энергия в СТО. Компоненты скорости преобра­
зуются не так, как компоненты 4-вектора (сравните уравнения (48)
и (50)), потому что в выражении v = dr/dt преобразуются как числи­
тель, так и знаменатель. Поэтому величина ^тп^, соответствую­
щая классическому определению импульса, не может сохраняться во

Физические основы механики

168

всех ИСО. Релятивистский 4-вектор импульса определяют как
_
Р

dr
т dr

т
df
У1 - v2/c2 dt '

Рт

d(ct)
mdr

с
^/1 - v2/c2 ’

где dr = dt yl — v2/c2 — бесконечно малое изменение собственного
времени частицы (см. (47)), т.е. измеренное в ИСО, скорость кото­
рой равна скорости частицы в данный момент (dr не зависит от того,
из какой ИСО мы наблюдаем за частицей.) Пространственные ком­
поненты 4-вектора образуют релятивистский импульс

mv
^/1 — v2/c2 ’

_
Р

(51)

а временная компонента рТ оказывается равной Е/с, где Е — реля­
тивистская энергия частицы:
Е=

тс2
0- v2/c2 ’

(52)

поэтому 4-вектор (р, Е/с) называют J-вектором энергии — импульса.
Отметим, что релятивистские энергия и импульс связаны простым
соотношением:
_
Ev
В соответствии с (50), энергия и импульс при переходе в другую ИСО
преобразуются по закону

Рх

P^VE/^
у/V^V^'

Ру'

Ру

Рг

Pz'

_£-_^_
0 - V^ '

^

Релятивистская энергия частицы не равна нулю при и = 0, т.е.
она состоит из энергии покоя тс2 и кинетической энергии:

_
Е=

Л

тс2

а

2/ 2 = тС + Е*>

(55)

причем релятивистская кинетическая энергия при и/с 0, то говорят, что жидкость смачивает поверхность.

Если правая часть последнего равенства больше или равна +1, то
на поверхности твердого тела образуется молекулярная пленка жид­
кости {полное смачивание жидкостью твердого тела); в сосуде жид­
кость образует со стенкой нулевой угол. Если правая часть равенства
меньше или равна —1, то имеет место полное несмачивание.
► Капиллярные явления. Если жидкость смачивает поверхность
тонкого капилляра, то она поднимется по нему на высоту Л, опреде­
ляемую условием механического равновесия.
В случае капилляра круглого сечения радиуса г радиус кривизны
мениска равен R = r/cos0, и давление под мениском (см. (52))
должно быть меньше атмосферного на величину 2а/R = 2а cos 0/г.
_
.
2а cos 0
Приравнивая к pgh, находим высоту подъема жидкости: п =-----------.
Р9Г

2.9. Явления переноса в газах
► Средняя длина свободного пробега. Среднее число столкно­
вений в единицу времени выделенной молекулы с другими молекулами
газа:
z = na{v)V2)
(53)

где п — концентрация молекул, (v) —средняя скорость движения мо­
лекул, а а — эффективное сечение для упругих соударений молекул.
В модели твердых шариков а = 7vd2, где d — диаметр шарика. Мно­
житель у^ учитывает движение встречных молекул; в качественной
теории явлений переноса его обычно опускают.
Для определения числа столкновений траекторию молекулы, имеющую вид
ломаной линии, окружают цилиндрической поверхностью радиуса d. Движущаяся
молекула столкнется с любой неподвижной молекулой, центр которой окажется
внутри этого цилиндра. За единицу времени молекула проходит расстояние (v),
объем цилиндра равен 7rd2(v), число попавших в него молекул равно z = 7rd2(v)n.

Полное число соударений между молекулами в единице объема в
единицу времени равно:

_ zn _ n?/2
2
'

(54)

Средняя длина свободного пробега молекулы равна

a=

# = -L.
z

п 2) — работа поля при переносе пробного заряда q
из точки гг в точку r2, Wg(r) = g2)
Лтор =

------ -- = ^12

(46)

(работа сторонних сил над всеми зарядами проводника за время dt
равна работе по переносу заряда I dt с одного конца проводника на
другой).
► Закон Ома для неоднородного участка цепи. На неоднород­
ном участке цепи действуют как электростатические, так и сторон­
ние силы. Дифференциальный закон Ома (42) принимает вид
i = у(^кул + ^стор)>

(47)

а закон Ома для участка цепи записывается так:
/•2
Г^
1 Ji р^=л ^^+^^-d‘ ^ ™=(?i-^m12- (48)

Если / < 0, то ток протекает от 2 к 1. Величину U12 = (^х -^2)+^i2)
равную работе полной силы по переносу единичного заряда между
сечениями 1 и 2, называют напряжением на участке цепи; для
однородного участка напряжение равно разности потенциалов. Закон
Ома утверждает, что на любом участке цепи IR = U12-

221

3.9. Постоянный ток

► Закон Джоуля — Ленца для участка цепи. Тепловую мощ­
ность тока на участке цепи можно найти с помощью формулы (43):
dl

/•2

Ртепл =

wSdl =

p?Sdl = I2

p~s=I2R.

(49)

► Закон Ома для неразветвленной цепи. В неразветвленной
замкнутой цепи I = const; сложив уравнения (48) для всех участков
цепи, получим:
^^ = ^а-

(50)

В случае источника с внутренним сопротивлением г, замкнутого на
внешнее сопротивление R, имеем: I = $/(R+r) \ разность потенциалов
на клеммах источника равна ^ - ^_ = IR = ^ — 1г, ток короткого
замыкания источника (R = 0) равен /к 3 — ^/г. Закон Ома (50) выра­
жает закон сохранения энергии для неразветвленной цепи: мощность
сторонних сил равна мощности тепловых потерь на сопротивлениях
цепи.
Полезная мощность источника тока. Если источник служит для пере­
дачи энергии во внешнюю цепь, то полная (затраченная) мощность равна мощ­
ности сторонних сил: Рполн = $1, потерянная мощность — тепловым потерям
на внутреннем сопротивлении: Рпотер = 12г. Для полезной мощности получим:
Рпал^и=^1-12г = 1^,где Дер — разность потенциалов на клеммах источника,
^полезн максимальна при I = ^/(2г).
Если на участок цепи подается разность потенциалов (^ — у>2 и на
участке включено устройство, совершающее работу против внешних сил
(мотор), то полная мощность: Рполн = (с^ — 2)Д потерянная мощность:
^потер = ^2^ (Л — сопротивление обмотки мотора), полезная мощность:
^полеэн = (^1 — ^г)^- ^2^ = “^121 = %!• Величины ^и / зависят от скорости вра­
щения ротора мотора; максимальная Рполезн достигается при I = (с^ — у>2)/(2Я).

► Расчет разветвленной цепи. Правила Кирхгофа. Для нахо­
ждения токов в различных участках разветвленной цепи надо произ­
вольным образом обозначить неизвестные токи и придать им произ­
вольные направления, после чего воспользоваться одним из следую­
щих методов:
1. Метод узловых потенциалов. В качестве неизвестных прини­
мают потенциалы узлов цепи (один из потенциалов принимают рав­
ным нулю). С помощью (48) выражают токи через потенциалы, затем
для ^ — 1 узла записывают закон сохранения заряда: ^/, = 0 (алге­
браическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю). Найдя

}=УРоЩ

_

7

1
\/1- v2/c2

Сравнивая с 4-вектором энергии-импульса, видим, что (j,pc) образу­
ют 4-вектор, т.е. преобразуются друг через друга так же, как (г, с/),
по формулам преобразования Лоренца. Зная, как преобразуются ис­
точники поля, можно найти формулы для преобразования Е , ^. Они
выглядят так:

^1 = ^ц,

^ = У(^+\?хЩ,

з> = 4

^(i^-^,^

т

Здесь 17 — скорость системы отсчета К' относительно системы К,
преобразования записаны для компонент полей, параллельных и пер­
пендикулярных V. Инвариантами этих преобразований являются
скалярные величины В ■ В и Е2- с2В2:
Ё-Ё^'Ё',

Е2-с2В2 = (Е'}2-с\В')2.

(93)

При V оо имеем А -> 0 и 9Р —> —7г. Графики A(Q) и ^(Q)
приведены на рис. 52.

Рис. 52.

► Резонанс. Максимальное значение амплитуды установившихся
колебаний достигается при резонансной частоте Qp = ycvg — 2f32 =
= \/w2 - /?2 и равно Лтах = Л(Пр) = F0/(2m/?w), где ш = у/^^ —

252

Колебания и волны

циклическая частота затухающих колебаний. При fl / — kx + nJ фаза колебаний сменяется на противоположную (точнее,
к фазе добавляется тг).
Отношение отраженной энергии к энергии падающей называется
коэффициентом отражения. При нормальном падении он равен
R . (^i — ^г)2
Коэффициент пропускания равен D = 1 — R. Коэффициенты R и D
зависят только от относительного показателя преломления двух сред.
Пример. Просветление оптики. Коэффициент отражения стекол в опти­
ческих приборах невелик (несколько процентов). Тем не менее важной задачей

5.4. Поляризация света. Формулы Френеля

285

является уменьшение отражения для определенных длин волн. Для этого на по­
верхность наносят прозрачную пленку с показателем преломления п' = у/ri (п —
показатель преломления стекла) и толщиной А/(4п')- Оптическая разность хо­
да между лучами, отраженными от поверхностей пленки, равна А/2 (изменение
фазы при отражении учитывать не надо, так как оно происходит у каждого из
лучей), а коэффициенты отражения на этих поверхностях будут близки друг к
ДРУГУ (см. формулу (15)). В результате произойдет почти полное гашение отра­
женного света.

► Оптически анизотропные среды. В случае сред, обладающих
анизотропией, векторы 13 и D в общем случае уже не параллельны
друг другу. Линейная связь между ними носит тензорный характер,
т.е. каждая из компонент вектора 5 выражается в виде линейной
комбинации всех трех компонент вектора 13. Существуют три вза­
имно перпендикулярные оси, называемые диэлектрическими осями
кристалла, для которых D{ = е{Е{ (г = 1,2,3). Значения £• называ­
ются главными диэлектрическими проницаемостями кристалла. Мы
рассмотрим только случай одноосных кристаллов, у которых две из
трех е{ равны друг другу (s = Q )• Выделенная ось (б = €ц) называется
оптической осью кристалла.
При распространении в одноосном кристалле плоской волны вво­
дят главное сечение кристалла — плоскость, проходящую через
оптическую ось и вектор нормали п к фронту волны. Оказывается,
что распространение линейно поляризованной световой волны зави­
сит от направления ее поляризации. Волна, поляризованная перпенди­
кулярно главному сечению, называется обыкновенной. Скорость рас­
пространения такой волны vL = с/у/ё^ не зависит от направления;
колебания векторов 13 и D направлены одинаково; направление рас­
пространения энергии (т.е. вектора Пойнтинга ^ =^ х 13) перпенди­
кулярно фронту волны. Волна, поляризованная параллельно главному
сечению, называется необыкновенной. Скорость ее распространения
зависит от угла между п и оптической осью (при угле тг/2 между ни­
ми она равна иц = с/^). Колебания векторов 13 и 13 происходят в
разных направлениях, вектор Пойнтинга $ = 13 х 13 не перпендику­
лярен к фронту волны (нормаль к фронту волны параллельна D х Н).
Разница между обыкновенным и необыкновенным лучами исчезает
только при распространении света параллельно оптической оси.
При падении света на поверхность кристалла он разделяется на
обыкновенный и необыкновенный лучи, линейно поляризованные пер­
пендикулярно друг другу и имеющие разные показатели преломле­
ния. Закону преломления (см. разд. 5.1) подчиняется направление
распространения фронта необыкновенной волны, сам же луч мо­
жет выйти из плоскости падения. Даже’при нормальном падении
луча на кристалл, вырезанный под углом к оптической оси, про­
исходит пространственное разделение лучей (рис. 76). Положения

286

Оптика

фронтов указаны черточками, положение оптической оси — стрел­
кой. Необыкновенный луч поляризован
в плоскости чертежа, обыкновенный перпендикулярно ей.
Для получения и анализа поляризован­
ного света используют поляризационные
призмы (николи), разрезанные под углом
к распространению лучей таким обра­
зом, что обыкновенный луч испытывает
на плоскости разреза полное отражение и
уходит в сторону, а необыкновенный луч
проходит прямо. Другой способ получения поляризованного света
основан на различии в поглощении обыкновенного и необыкновен­
ного лучей в некоторых веществах. При пропускании света через
дихроичную пластину (пластинку турмалина, поляроид) обыкновен­
ный луч поглощается, и наружу выходит линейно поляризованный
необыкновенный луч.
Для анализа характера поляризации света изучают зависимость
интенсивности от ориентации николя. Если интенсивность не меня­
ется, то свет либо естественный, либо поляризован по кругу. Что­
бы различить эти случаи, используют пластинку в четверть волны,
или компенсатор. Толщина пластинки d подобрана так, чтобы раз­
ность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами △ = Ди d
равнялась А/4. Сдвиг фаз между взаимно перпендикулярными коле­
баниями станет равным либо нулю, либо тг, и круговая поляризация
превратится в линейную.

I I I I I

► Вращение плоскости поляризации. При распространении в
некоторых веществах (их называют оптически активными) линей­
но поляризованного света происходит вращение плоскости поляри­
зации. Угол поворота пропорционален толщине пластины: х — аЦ где
а — вращение на единицу длины. В зависимости от направления по­
ворота различают право- и левовращающие вещества. Пример — пла­
стинка кварца, вырезанная перпендикулярно оптической оси (кварц
бывает как лево-, так и правовращающим). В растворах оптически
активного вещества в неактивном растворителе а пропорционально
концентрации. Молекулы активных веществ обладают асимметрией
по отношению к правому и левому вращению по типу спирали. Явле­
ние вращения плоскости поляризации можно охарактеризовать как
круговое двойное лучепреломление. Волны, поляризованные по кру­
гу в разные стороны, распространяются* с разными скоростями, т.е.
разность фаз между ними меняется. Сумма двух таких колебаний
представляет собой линейное колебание, направление которого зави­
сит от разности фаз.

5.5. Дисперсия и поглощение света

287

► Искусственная анизотропия. При помещении многих изотроп­
ных тел в однородное электрическое поле у них возникает одноос­
ная анизотропия с оптической осью, ориентированной параллельно
напряженности поля (электрооптический эффект Керра). Разность
хода между обыкновенным и необыкновенным лучами при распро­
странении света перпендикулярно ^ пропорциональна квадрату на­
пряженности:
△^ = 2тгВ1Е2,

где I — толщина слоя вещества, а В называется постоянной Керра.
Искусственная анизотропия возникает в тех случаях, когда поляри­
зуемость молекул вещества зависит от их ориентации по отношению
к полю. Аналогичный эффект возникает при помещении некоторых
веществ в магнитное поле (эффект Коттона — Мутона). Он опи­
сывается соотношением S(p = 2тгС1В2.
При помещении неактивных веществ в сильное магнитное поле
может возникнуть оптическая активность для света, распространя­
ющегося параллельно вектору В (магнитное вращение плоскости
поляризации). Вращение на единицу длины в этом случае (для диаи парамагнетиков) пропорционально величине магнитной индукции:
а = RB, где R называется постоянной Верде.

5.5. Дисперсия и поглощение света
► Классическая модель диспергирующей среды. При распространении в веществе электромагнитной волны заряженные частицы
среды приходят в вынужденное колебательное движение. Амплитуда
этих колебаний и их сдвиг по фазе по отношению к колебаниям на­
пряженности зависят от соотношения частоты волны и и частоты
собственных колебаний частиц ш0 (см. разд. 4.3). Результирующее
волновое возмущение можно рассматривать как результат интерфе­
ренции исходной волны и волн, излученных частицами среды (такой
подход называют молекулярной оптикой). Однако в случае однород­
ной среды можно получить частотные характеристики волны полуфе­
номенологически, учитывая возникающую при смещении частиц поляризованность, вводя зависящие от частоты диэлектрическую вос­
приимчивость и проницаемость и вычисляя показатель преломления.
Затухание волны, т.е. преобразование энергии колебаний в тепловую
энергию, учитывается введением полуэМпирических коэффициентов
затухания осцилляторов; диэлектрическая проницаемость и показа­
тель преломления становятся при этом комплексными числами.
Рассмотрим сначала среду из одинаковых осцилляторов. Уравне­
ние движения заряженной частицы имеет вид

(+2/^+^= —Я,
т

288

Оптика

где Ё — поле, действующее на частицу (в оптическом диапазоне
играют роль только электроны). В неплотных газах можно не учитывать отличие локального поля от среднего, т.е. считать, что на элек­
троны действует непосредственно поле волны ^ = ^0 exp[i(wt-i'£)].
Решение уравнения движения ищем в виде £ = £0 ехр(гсЛ), и после под­
становки получим
m(wo - w2 + 2i/3w)
(в комплексной записи автоматически учитывается сдвиг фаз). Сме­
щение частиц приводит к появлению у молекул дипольных моментов
р = е^, т.е. к появлению поляризованности ? = Np (N — концентра­
ция). Из соотношения ? =£0(б- 1)^ находим комплексную диэлек­
трическую проницаемость

_ I

Ne2
+ б0т(и2 - w2 + 2г/?о;)

(16)

Показатель преломления тоже будет мнимый: yfe = п — in, причем
через действительную часть выражается фазовая скорость волны, а
через х — коэффициент затухания:
xw \
------- я) ехр[г(ш/ — h)].
(17)
с /
Чтобы найти п(ш) и x(w), надо в равенстве с = (п — гх)2 приравнять
действительные и мнимые части. Вдали от собственной частоты (при
lw-wol ^/^) получим
^g2
6 = n2 = 1 +
£от(шо - w2) '
Графики зависимостей n(w) и x(w) представлены на рис. 77. Там, где
поглощение невелико, показатель преломления возрастает с частотой
(нормальная дисперсия). В узкой области сильного поглощения на­
блюдается аномальная дисперсия.

(

5.5. Дисперсия и поглощение света

289

Аналогичная ситуация возникает возле каждой собственной ча­
стоты. Например, в инфракрасной области спектра наблюдаются по­
лосы поглощения и аномальной дисперсии, связанные с колебаниями
ионов. Полосы поглощения в ультрафиолетовой (иногда — в видимой)
областях спектра объясняются колебаниями электронов на внепших
оболочках атомов (оптических электронов). В рентгеновской области
спектра частота волны ш велика по сравнению со всеми собственны­
ми частотами и зависимость n(w) определяется колебаниями электро­
нов, которые можно считать свободными:
п2 = 1-

^e2
те0ш2

(18)

Коэффициент преломления рентгеновских лучей мало отличается от
единицы. Такая же формула верна для волны, распространяющейся в
разреженной плазме, содержащей свободные электроны.
Фазовая скорость волны в плазме (а также справа от полосы поглощения
в диэлектрике) оказывается больше скорости света в вакууме (n < 1). Однако
здесь не содержится противоречия с теорией относительности, так как групповая
скорость волны и = dw/dk (см. разд. 4.4) будет при этом меньше с. Убедимся в этом
для волны в плазме. Используя соотношение к2 = u2n2(w)/c? и уравнение (18),
получим:
С2 к dk = wdw

=>---------= с2.
к dk

Значит, в этом случае и = пс < с.

У полярных молекул (например, воды) широкая полоса аномаль­
ной дисперсии находится в области сантиметровых радиоволн, где
амплитуда вращательных колебаний диполей, стремящихся повер­
нуться вслед за напряженностью поля, сильно зависит от частоты.
Именно в этой области происходит уменьшение п = у/ё от большого
статического значения (для воды п0 « 9) к высокочастотному значе­
нию (для воды п « 1,3).
Формула (16) верна только при п, близких к единице, когда можно
пренебречь отличием поля, действующего на молекулу, от среднего
поля в веществе. Обобщением на случай плотных газов и жидкостей
является формула Лорентц — Лоренца:
п2 — 1 _
Ne2
п2 + 2
Збот(шд — о;2)

При изменении плотности вещества величина

1 п2 — 1
р п2 + 2 ’
которая называется удельной рефракцией, должна оставаться посто­
янной.

Ю А. Д. Полянин, В. Д. Полянин и др.

290

Оптика

► Рассеяние света. Ослабление волны. Интенсивность волны
в среде уменьшается не только из-за поглощения света, но и вслед­
ствие его рассеяния. Рассеяние объясняется излучением света атом­
ными осцилляторами, которое происходит по всем направлениям (см.
разд. 4.5). Однако в идеально однородной среде свет, рассеянный мо­
лекулами, находящимися на расстоянии Л/2 друг от друга, испыты­
вал бы полное интерференционное гашение, и ослабление за счет рас­
сеяния в этом случае отсутствовало бы. Рассеяние наблюдается на ма­
лых инородных частицах (тиндалевское рассеяние в мутных средах)
и на неоднородностях, возникающих вследствие флуктуаций плотно­
сти (рэлеевское рассеяние).
Интенсивность света, рассеянного на неоднородностях, размеры
которых малы по сравнению с длиной волны, пропорциональна А”4
(закон Рэлея, см. также разд. 4.5). Этим объясняется голубой цвет не­
ба (рассеянный солнечный свет) и желто-красный цвет солнца (прохо­
дящий свет). Степень поляризации рассеянного естественного света
зависит от угла рассеяния; свет, рассеянный под углом тг/2, оказыва­
ется полностью поляризованным. Качественное объяснение состоит
в том, что в этом направлении излучают только осцилляторы, напра­
вление колебаний которых перпендикулярно направлению рассеяния.
Рассеяние на неоднородностях, больших по сравнению с длиной вол­
ны, слабо зависит от частоты; этим объясняется белый цвет облаков.
Рэлеевское рассеяние на флуктуациях плотности или концентра­
ции зависит от температуры. При приближении к критической точке
средние размеры флуктуаций резко возрастают и наблюдается белое
помутнение жидкости, называемое критической опалесценцией.
Ослабление пучка света при не очень большой интенсивности
происходит по экспоненциальному закону (закону Бугера):

I = IQe-«x,

где коэффициент ослабления а равен сумме коэффициента поглоще­
ния, который выражается через мнимую часть показателя преломле­
ния (см. формулу (17)), и коэффициента рассеяния, который описы­
вает ослабление волны из-за рассеяния.

5.6г Тепловое излучение
► Равновесное тепловое излучение. Излучение электромагнит­
ной (лучистой) энергии телом за счет энергии хаотического (те­
плового) движения его молекул называется тепловым излучением.
Свойства теплового излучения определяются материалом тела и его
температурой. Бели из любого материала сделать замкнутую по­
лость и поддерживать температуру ее стенок постоянной, то система

5.6. Тепловое излучение

291

(стенка + излучение) придет в состояние термодинамического рав­
новесия, и в объеме полости установится равновесное тепловое из­
лучение. Важнейшая особенность равновесного излучения состоит в
том, что его свойства полностью определяются температурой стенок
и не зависят от их материала. Это утверждение является следствием
второго начала термодинамики. Кроме того, равновесное излучение
однородно и изотропно.
Основные характеристики как излучения с поверхности тела, так
и излучения в объеме были введены в разд. 5.1. Излучение с поверх­
ности характеризуется энергетической яркостью В и энергетической
светимостью R, равной количеству лучистой энергии, излученной с
единицы поверхности за единицу времени по всем направлениям (т.е.
в телесный угол 2тг). Вводятся также спектральные разложения энероо
гетической светимости гх, гш, ги, например, R = f rxdXt величины г
о
называются излучательными способностями тела. Излучение в объ­
еме характеризуется интенсивностью лучистого потока I и объемной
плотностью лучистой энергии и, а также их спектральными разложе­
ниями. В случае изотропного излучения они связаны соотношением
и = ^Ijс. Освещенность Е определяется как полный лучистый по­
ток через единичную площадку со всех направлений (из телесного
угла 2тг); в случае изотропного излучения выполняются соотношения

Е = 7г1 = ^-си.
4

Спектральные плотности освещенности Е обозначим eXi еу и ёш. Пе­
ресчет от одной спектральной характеристики к другой обсуждается
в разд. 5.1.
► Поглощательная способность. Закон Кирхгофа. Поглоща­

тельной способностью тела называется доля падающей лучистой
энергии, поглощенная телом (для узкого интервала длин волн или
частот):
_ ^^погл
А _
пад
Тело, для которого ал = 1 во всем спектральном интервале, называ­
ется абсолютно черным телом. Моделью черного тела может слу­
жить замкнутая полость с небольшим отверстием; почти все лучи,
попадающие в полость через отверстие, в результате многократных
отражений от внутренних стенок оказываются поглощенными. Тело,
у которого ах = const < 1, называют серым.
Так как равновесное излучение находится в равновесии с поверх­
ностью, то для любого спектрального интервала количество погло­
щенной лучистой энергии, равное ехах dX, должно быть равно количе­
ству излученной энергии, равному rx dX. Поскольку характеристики

292

Оптика

равновесного объемного излучения не зависят от свойств конкретно­
го тела, то отношение излучательной способности любого тела к его
поглощательной способности оказывается универсальной функцией
длины волны и температуры (закон Кирхгофа):

^ = ех(Т) = ±сих(Г).
ах
4

(19)

Поскольку для абсолютно черного тела поглощательная способность
равна единице, то стоящая справа функция есть не что иное, как
излучательная способность абсолютно черного тела, которую обо­
значим г^:
^ = г№У
ах
Видно, что излучательная способность абсолютно черного тела и его
энергетическая светимость не зависят от способа его изготовления;
они связаны с объемной плотностью энергии соотношениями

rJ(T) = iCuA(T),

Н*(Т) = ±си(Т).

(20)

При одной и той же температуре абсолютно черное тело обладает
самой большой излучательной способностью и энергетической свети­
мостью. Например, для серого тела Л = аЛ*. Отметим, что поскольку
равновесное излучение изотропно, черное тела является ламбертов­
ским источником (см. разд. 5.1).
► Законы Стефана — Больцмана и Вина. Излучательная спо­
собность абсолютно черного тела при данной температуре стремит­
ся к нулю при малых и больших А и достигает максимального значе­
ния при некоторой длине волны Ат, которая зависит от температу­
ры. Площадь под кривой rj равна энергетической светимости R*(T).
Применение к равновесному излучению в полости общих соотноше­
ний термодинамики позволило получить для него ряд общих соот­
ношений. (Температура равновесного теплового излучения считается
равной температуре стенок.) Закон Стефана — Больцмана утвер­
ждает, что энергетическая светимость абсолютно черного тела про­
порциональна четвертой степени температуры:

Я* = аТ4,

(21)

где а = 5,67 • 10-8 Вт • м-2К-4 — постоянная Стефана — Больцмана.
Для вывода (21) надо воспользоваться выражением для давления изотропного
излучения р ^ в/3 (см. разд. 2.5) и формулой (у^-)т = ('^)v — Р, которая
является следствием второго начала термодинамики (разд. 2.3). Подставляя
U = u(T)V, придем к уравнению 4u = du/dT, откуда получим и~Т. Кроме того,
из формулы для давления и из первого начала термодинамики (о = d(uV) + у u dV)

5.6. Тепловое излучение

293

можно для равновесного излучения вывести уравнение адиабатического процесса:
uV4/3 = const. Отсюда с учетом и ~ Т4 получим VT3 — const.

Если рассмотреть медленное адиабатическое изменение объема
излучения, заключенного в сосуд с зеркальными стенками, и приме­
нить к отражению света от движущегося зеркала формулу эффекта
Доплера (см. разд. 4.4, 4.5), то удается доказать формулу Вина:

r*x = X~5f1(XT)

r; = T5f2(XT),

или

(22)

где f^x) — неизвестные функции, вид которых не может быть
установлен в рамках термодинамики. Аналогичные выражения для г*
имеют вид
Г*ш = ш3Р1(и/Т)

или

г‘ш-Т3(р2(ш/Т).

(23)

Из формулы Вина (22) (или (23)) иш
можно вывести закон Стефана —
Больцмана (21). Кроме того, из
этих формул следует закон смеще­
ния Вина, выражающий зависимость
положения максимума функции г\
(или г*) от температуры:
ХтТ = Ь

^т/Т = Ь,У

(24)

где b = 2,9 • 10—3 м • К — постоян­
ная Вина. Например, при уменьше­
нии температуры в два раза положе­
в два паза ближе
ние максимума функции г* (или иш) ст
к началу координат, а сам максимум становится в восемь раз ниже
(рис. 78); площадь под графиком уменьшается при этом в 16 раз.
► Формула Рэлея — Джинса. Рэлей и Джинс предприняли по­
пытку получить вид функции иш в рамках классической статистиче­
ской физики. Они рассмотрели излучение в полости как ансамбль сто­
ячих электромагнитных волн, случайным образом обменивающихся
энергией со стенками и между собой. С точки зрения статистики,
каждая независимая стоячая волна, имеющая некоторую частоту ко­
лебаний, эквивалентна осциллятору с такой же частотой. Вычисление
энергии сводится к двум независимым вопросам:
1) Какое число dN осцилляторов (стоячих волн) приходится на
интервал частот du? Ответ должен выражаться в виде функции G(w),
которую называют плотностью состояний: dN = VG(u) du, где V —
объем сосуда.
Для вычисления G(u) можно рассмотреть сосуд в форме прямоугольного па­
раллелепипеда cq сторонами Lx, Ly, Lz. Граничные условия (например, требо­
вание, чтобы на границах находились узлы стоячих волн) приводят к условиям

294

Оптика

k^L^ = т^тг (^ = x,y,z). Значит, в пространстве волновых векторов допустимые
состояния соответствуют узлам решетки со сторонами л/Ь^ и объемом ячейки
8 = ir3/(LxLyLz) = 7r3/V. Объем ^-пространства, соответствующий изменению ве­
личины волнового вектора от к до к + dk, равен. y(4?rfc2 dk) (объем сферического
слоя, отсекаемый первым квадрантом). Разделив на объем ячейки, получим число
к2 dk
пространственно различных колебаний в интервале dk: dN = V---- —. Необходи2тг2
мо также учесть дополнительные степени свободы (в случае электромагнитных
волн — два возможных состояния поляризации), которые для общности учтем
дополнительным множителем д.

Найдем число состояний на единицу объема:

dN _ к2 dk
V ~9 2^ '
Эта формула получена из граничных условий и имеет очень общий
характер и многочисленные применения. Для перехода к ш надо
учесть» соотношение к — ^/с. Окончательно получим
GM

(2) = —0,37 м/с2,

lacl = \Л?Г+^Г = 1141 M/c2’

(8)

. = X£^±^Cy = _10M/c2t

°c = \/^^ЛЬУ = 1,0 м/с2,
p = —= 1,0 m,
ac
причем последний результат очевиден заранее, исходя из полученного уравнения
траектории.

1.2. Кинематика твердого тела
Теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на пря­
мую, их соединяющую, равны (рис. 4).
Эта теорема справедлива для про­
извольного движения тела и утвержда­
ет, что проекции должны быть равны
и по величине, и по направлению.
Простейшие движения твердого те­
ла: поступательное и вращение вокруг
неподвижной оси.
► Поступательное движение. Движение твердого тела называ­
ется поступательным, если любая прямая, проведенная в нем, при
движении остается параллельной своему первоначальному направле­
нию. Свойства поступательного движения: траектории всех точек
твердого тела при наложении совпадают, скорости и ускорения всех
точек тела одинаковы в каждый момент времени:

^А = ^в = V,

аА=ав = а,

где А и В — любые точки.
► Вращение вокруг неподвижной оси. При вращении твердого
тела вокруг неподвижной оси, называемой осью вращения, его точ­
ки, лежащие на оси, остаются неподвижными. Через ось проведем две
плоскости — неподвижную и подвижную, в которой находится точ­
ка тела, скорость и ускорение которой необходимо найти. Двугран­
ный угол р между подвижной и неподвижной плоскостями называ­
ется углом поворота тела, он измеряется в радианах. Угол поворота

1.2. Кинематика твердого тела

307

считают положительным, когда он отсчитывается от неподвижной
плоскости к подвижной против хода часовой стрелки, если смотреть
навстречу положительному направлению оси вращения. Чтобы было
известно положение тела (и каждой его точки) в любой момент вре­
мени, необходимо знать зависимость угла ^ от времени t:

у = ^).
Это уравнение выражает закон вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси.
Вместе с функцией (p(t) ее первая и вторая производные по
времени характеризуют кинематическое состояние твердого тела в
рассматриваемый момент времени

Ш = ф,

Е = W = ф,

где cj —угловая скорость тела, £ — его угловое ускорение.
Траекторией произвольной точки М твердого тела является окру­
жность, радиус которой R называется радиусом вращения точки.
На рис. 5 эта окружность изображена
со стороны положительного направле­
ния оси вращения. Знак ш указывает на­
правление вращения: если он положите­
лен, то вращение происходит против хо­
да часовой стрелки. Угловую скорость
и угловое ускорение удобно изображать
при помощи дуговых стрелок с учетом
их знаков. Если знаки w и 6 одинаковы,
то говорят, что вращение ускоренное,
если знаки разные — замедленное.
Вращение твердого тела называется
равнопеременным, когда е = е0 = const.
В этом случае зависимости угла поворота и угловой скорости от вре­
мени даются формулами
и

= ^0 + е0(/ -/0).

¥=> = V’o + ыо(< - =

При
при

X — 2п7Г
-х 4- 2(п 4- 1)тг

393

при
при

2птг ^х^ (2п 4- 1)тг,
(2п 4- 1)7г ^х ^ 2(п + 1)тг,

arctg(tgl) = I-ПТГ

при

П7Г — у- < Z < П7Г 4- -|-,

arcctg(ctgz) = х — nir

при

птг < т< (п4- 1)тг.

► Соотношения между обратными тригонометрическими
функциями.
arcsin а; 4- arccosх = —,
2

arctg а; 4- arcctg а? = —;
2

f arccos \/l — a;2
— arccos \/i — a;2
а?
arcsin а; = < arctg х/п^

k

arccos a? =

arctg a: =

arcctgг =

при
при

0 ^ a; ^ 1,
-1 ^ a; ^ 0,

при

—1 < a? < 1,

\/1 - г2
arcctg--------------- тт
X

при

-1 ^ a; < 0;

arcsin \/i-r2
7Г — arcsin У1-12

при
при

0 ^ z ^ 1,
-Цх ^0,

arctg-----------x

при

0 < a; ^ 1,

при

-1 < x < 1;

arcsin —7===VI 4- x2
1
arccos —===■
’/l 4-12
1
— arccos —-==
уг+т7
1
arcctg —

1
arcsin —=
х/1 4- ^
1
7Г — arcsin —===
a/TTJ7
1
arctg —
x
7Г 4- arctg ~

x — любое,
при

x ^ 0,

при

z ^ 0,

при

x > 0.

при

^ > 0,

при

^ < 0,

при

^ > 0,

при

а; < 0.

394

Элементарные

функции и их свойства

► Суммы и разности обратных тригонометрических
функций.
arcsinz 4- arcsiny = arcsin(x\/l - у2 + у\/ 1-х2)

при

arccosz + arccosy = arccos [zy —

при x + у ^ О,

arccosz — arccosy = — arccos [zy + ^(1 —*’)(l-v2)]

при z - у ^ 0,

x+у
arctg z + arctg у = arctg---------1 - zy
x—у
arctg x — arctg у = arctg---------1 + xy

при

zy < 1,

при

zy > — 1.

я2 + у2 ( 1-,

1.4. Обратные гиперболические функции
► Связь с логарифмической функцией, простейшие
соотношения.
Arsh z = ln(z + \/z2 + 1),
A

1 1

Arch z = ± In (z + x/z2 — 1),

1 + *

Arth z = — In
,
Arcth z = — In-------- :
2
1—z
2
z- 1
Arsh(—z) = — Arshz, Arch(—z) = Archz,
Arth(—z) = — Arthz,

Arcth (—z) = — Arcth z.

► Соотношения между обратными гиперболическими
функциями.
. ■ . ...
X
Arshz = Arch ух2 + 1 = Arth —=^=,
Arch х = Arsh Tr^T = Arth ^^^
,
z
X
11
Arth x = Arsh —===- = Arch —_____ _ x = Arcth —.
x/1 - x2
У1 -z2
z

► Суммы и разности обратных гиперболических
функций.
Arshх ± Arsh у = Arsh (z\/1 4- у2 ± у\/1 + z2 ),
Arch х ± Arch у = Arch [zy ± ^/(z2 — 1)(у2 — 1) ]
Arsh z ± Arch у = Arsh [zy ± ^(z2 4- l)(y2 - 1) ]

Arth z ± Arth у = Arth---------- ,
1 ± zy

Arthz ± Arcthу = Arth ^ ^ 1 .
y±x

395

2.1. Интегралы, содержащие алгебраические функции

2. Таблица неопределенных
интегралов
2.1. Интегралы, содержащие
алгебраические функции
► Интегралы, содержащие целые степени а + Ьх.*
1 а + Ьх- 61п|“ + ^-

1..

/(a + bx^dx-^ ь(п^1}

2.

,

п#-1.

/ , l =l2(“ + il aln|a + 6x|).
J а + bx
'
Г х_^х = 1 Г 1 (a + ^^2 _ 2a(a + ^ + a2 |n |a _|_ ^П
/ a 4- ox
L2
J
/-±- = .lin|^±|.
/ x(a + ox)
a
|
x
|

3.
4.
5.

^x
_
x2(a + bx)
1
1f (a x+dx
bxp = *
/

1

6.

7.

f

8.

1 + k in| a + &Т I
ax
a2
|
x
|
/^
, + ^+a +a bx)\

h

/ (a + ox)2 = b№6 (
\ а + ЬХ
f
dx
_
1
1 x(a 4- bx)2
a(a 4- bx)

9.
10.

у

J

xdx
_ 1 Г
(a 4-bx)3
b2 L

^’"I^H

I a 4- Ьх I
|
x
|

1
a2

1
a 4-bx '

. /)•
a +, bx

a
1
2(a4-bx)2]

► Интегралы, содержащие а + х и Ь + х.
11.

12.

/
= x 4-(a b)ln|b4-z|.
j b+x
/
dx
1
1 b 4" ^ 1
«
/ - ------- —------ г = --------In --------- , a^b b. Для a = b см. интеграл 2, n = —2.
J (a + x)(b + x)
a-b
| a+т |

14.

fl j. wi. X =
, (aln|a + a:| Mn |fr+r|).
j (a + x)(b + x)
a—b v
'
/
dx
_
1
1
I a 4- s I
J (a 4- x)(b 4- x)2
(b —a)(b4-z) ’ (a — b)2
|b + x|

15.

[
x dx
_
b
J (a 4-z)(b 4-z)2
(a-b)(b4-z)

a
(a-b)2

16.

(
x2 dx
»b2
J (a + i)(b + x)2 ” (b-a)(b4-r) *

a2
(a - b)2 1П й *

17.

Г
dx
_
J (a 4- x)2(b 4- r)2

13.

1 a 4- ^ I
|b4-z|
*

b2 — 2ab
(b - a)2 П

1/1
1 \
2
(a — b)2 \ a 4- z * b 4- ^ / * (a — b)3

I a 4- x I
| b 4- 1

* Здесь и далее постоянная интегрирования С для краткости опускается.

X '

Таблица неопределенных интегралов

396
18.

f
xdx
_
1
/а
Ь \
1 (а + х)2(Ь + х)2
(а - Ь)2 \ а + я ' Ь + х/

19.

f
х2 dx
_
1 (а 4- х)2(Ъ 4- z)2

1
/ а2
(а — Ь)2 \ а 4-

*

а+6
I а+® I
(а — 6)3 П| Ь + а; |

1 а+х 1
| Hi 1

Ь2 \
2ab
Ь + х ) ' (а — Ь)3

► Интегралы, содержащие а2 + ж2.

21.

dx
1
х
2± 2 =
аГС‘8 •
a
fl
f
dx
_
x
1
F (a2+x2)2
2a2(a24-z2) "*" 2a3

22.

[
dx
_
x
F (a2+x2)3 - 4a2(a2 + r2)2

23.

f
dx
__
x
2n — 1 f
dx
I (a2 4-s2)n+1
2na2(a2 4- x2)n ' 2na2 J (a24-^2)n’

20.

24.
24.
25.

f
1

f а^ 4- a?z

x
$ a

3x
3
x
1 8a«(a2+r2) + 8а» аГС‘5 a ’

f
x dx
_
1 (a24-r2)3 “

27.

f x2 dx
J1 a2+x2=X

28.

Jf

f
f

x2 dx

_

30.

f (a24-s2)n+1 •

Г

______ 1______
_
2n(a2+x2)n - n -..................

x2 dx

x
^a

x
1
2(a24-^2) "^ 2a

x2 dx
__
(a2+^2)2

f (а24-т2)3

x
4(a24-x2)2

_

x
* 8a2(a2 4-^2)

x
2n(a24-£2)n

32.
33.

f
x3 dx
_
/ (a24-^2)n+1

f

dx

_

f x(a24-x2)
Г

dx

__________ 1__________
2(n-l)(a2 4-x2)n"1

^
2a2

_

]n

x
$ a

’

’

1

x2

x(a2 4-x2)2
2a2(a2 4-я2)
2a4
a2 4-®2
f
dx
_
1
1
l
f x(a2 4-x2)3
4a2(a2 4- z2)2 * 2a4(a24-^2) * 2o6
F

f dx
_ 1
I a 4- я 1
' a2 -x2 ” 2a П| a — г Г

’

_____ a2______ — 2 3 4
2n(a2 4-s2)n ’ П
’ ’

x2
a2 4-я2
1

► Интегралы, содержащие а2 — ®2.
37.

1
8a3

If
dx
' 2n J (a2 4-z2)n ’

f X3 dx
X2
“2 . / 2 .
2\
1 a2+x2
2
2
v
'
[
x3 dx
a2
. 1 , , 2 .
2\
1 (a2+®2)2 - 2(a2 + x2) + 2 n(“ +x

36.

’

x
oarct8 a •

29.

35.

’

1
4(a24r2)2 ’

f
xdx
_
JF (a2+x2)"+l “

34.

’

f _^L^=Lln(a2+x2y
1 a2+ x2
2 '
'
f
x dx
_
1
1 (o2fx2)2 “ 2(a24-*2) ’

26.

31.

._

x2
a2 + x2

’

397

2.1. Интегралы, содержащие алгебраические функции

1 а4х 1
| а—я |

38.

7
dx
_
х
1
J (а2 — х2)2
2а2(а2 — х2) ' 4а3

39.

f
dx
_
х
J (а2 — х2)3
4а2(а2 — х2)2

40.

/
dx
х
2п — 1 f
dx
. „ „
/ ------------------- = ---------------------- 4- ----------- / ----------------: n = 1, 2. 3, ...
J (а2—x2)n+1
2па2(а2 — r2)n
2na2 J (а2 — x2)n

41.

42.
43.
44.

J a2 - ®2
f
xdx
J (a2 -x2)2
f
xdx
j (a2-x2)3

Зх
' 8а4(а2 — х2) ‘

I а+х I
|а —х|

3
16а5

2 V
'
_
1
” 2(a2 -x2) ’
_
1
~ 4(a2-x2)2 *

-i

Г
xdx
_ ______ 1______
J (a2 — x2)”*1
2n(a2 — x2)n ’

a , I a+z I
In
2
1 a—x |
x
1
2(a2 — x2)
4a

о q

46.

f x2 dx
1
9 =
J a* — x*
(
x2 dx
j (a2 — x2)2

47.

[
x2 dx
_
x
j (a2 — x2)3
4(a2 — x2)2

48.

f
x2 dx
J (a2—x2)n+1

49.

[ x3 dx
J a?-x*

50.

/
x3 dx
/ / 2
212
J (a2—x2)2

51.

f
x3 dx
_
J (a2—x2)n+1

52.

/ __dx_________ 1_ |
i2
1
J x(a2 -x2)
2a2 П| a2 - x2 Г

53.

/
^x
_
1
1
J x(a2 — x2)2
2a2(a2 — x2) ' 2a4

54.

f
dx
_
1
1
1 1 1
x2
1
J x(a2 — x2)3
4a2(a2 — x2)2 ' 2a4(a2 — x2) ' 2a6
| a2 — x2 |

45.

►

55.

56.

*+

x
8a2(a2 — x2)

a2
2
a2
2

|a + x|
|a —x|

1 , । 2
21 + Jn /2 4- я2

73.

(
dx
_
1
J a4 4- x4
4a3\/2

74.

J a4 4- x4 ~ 2a2 arct® a2 ’

75.

f x2 dx _
J a4 4- a?4

76.

/ dx
J a4 — x4

77.

/ xdx _ 1
1 a2 4" x2 1
J a4 -x4 “ 4a2 П a2 -x2 Г

78.

f x2 dx
1 , 1 a 4- x 1
1
x
I
:------ T = ---- ln --------- “ ’—arctg—.
J a* — x*
4a
| a—я |
2a
a

79.

/
dg
= 1 hl|
тШ
1
J x(a 4- bxm)
am
| a 4- bxm |

f

xdx

1

1
4a\/2

1
' 2a3\/2

ax\/2
$ a2 — x 2

1
' 2a\/2

ax\/2
$ a2 — x2

x2

a2 4- axy/2 4- x2
a2 — ax\/2 4- x2

1 . 1 a 4- x 1
4a3
1 a—x |

1
2a3

x
a

2.2. Интегралы, содержащие иррациональные функции

2.2. Интегралы, содержащие
иррациональные функции
► Интегралы, содержащие ж1/2.
2а
Ьх1^2
Ьзагс‘8.а •

80.

[ x^dx
2
J а*+ Ь*х= Ь**

81.

/ x3/2dx
2х3/2
J а* + Ъ2х “ ЗЬ2

82.

f
x^dx
J (a2+b2x)2

83.

/
x^dx
_
2x^_
За2*1/2
_ За_
J (a2 + b2x)2
b2(a2 + b2x) * M(a2 + 62z)
b5

84.

Г
dx
_ 2
J (a2 + Ь2х)хх^2
ab

85.

F
dx
__
J (a2 + b2x)x3/2

$

bx1^2
a

86.

f
dx
_
x1/2
1
J (a2 + b2!)2!1/2
a2(a2 + b2x) ' a3b

^

87.

f xY/2dx _
J a2 — b2x

2
b2

88.

f x3^2dx _
J a2 — b2x

2т3/2
3b2

89.

f
x^dx
_
x1/2
J (a2 — b2x)2
b2(a2 — b2x)

90.

/
x3l2dx
_ 2a2x1^2 — 2b2x3^2
J (a?-Vx)2 ~
b*(a2-b2x)

91.

J

92.

f______ dx______ _
J (a2 — b2x)x3^2

93.

[
dx
_
x1!2
1
J (a2 — ^x^x1!2
a2(a2 — b2x) ‘ 2a3b

►

t

2а2х{/2
2а3
Ьх1/2
М
* 6s arCtS а ’

х1/2
1
b2(a2+b2x) ' ab3

^

bx1!2
a

2
a2^1/2

2b
a3

j/2

$

$

t?/2
a

bx1^2
a

2° I I a+^1^2 I
b2
I a — bx^2 |

1 a + bxlf2 1
I a - bx1^2 |

2a2x^2
a3
b4
‘ Ь5

dx
_ 1
(a2 — b2x)x!/2
ab

bx1^2
а

1
2ab3

I a + bz1/2 I
la-br1/2 |

За
1 a + br1/2 1
J5 П|а-Ь?/2Г

1 a + bx1!2 1
I a — bx^l2 |

2
alx1/2

b
* a3

I a + bz1/2 I
1 a — bx1^2 |
I a-j-kr1/2 I
| a — bx1^2 |

Интегралы, содержащие (a + b®)1/2.

94.

^(а + bx)p^2dx = ^ + — (а + Ьх}^р^2^2.

96.

j ^ + Ь,у1Ч^ ^[^^^- ^^^-].

%. yI>(a + lI)6/>Jl = A[t±S^_^2ji>^
+

а2(а 4- bx)(p+2^2 1
р+2

399

Таблица неопределенных интегралов

400

► Интегралы, содержащие (а:3 4- a3)V2.
97.

У (z2 + а2)^2(/т = у1!®2 + я2)1/2 + ~~ 1п[х + (х2 + а2)1/2].

98.

jx(x2^a2)^2dx=^(a2^x2)^2.

99.

У(r2+a2)3/2 dx = ±х(а2+х2)3'2 + 1а2х(^

\п\х+(х2+а2

у ±(*2 + а2)1/2 ix = (а2 + *2)1/2 _ а |n|ij±!l^

100.
101.

I^Jt^

=|Ф+1»].

/^Т? = ('1 + -,)'"

102.
103.

I(х2 + a2)”3/2 dx = а~2х(х2 + а2)"1/2.

► Интегралы, содержащие (ж2 — а2)1/2.
104.

У^2 “ а2)1 /2 dx = ^х(х2 - а2)1/2 — ^- 1п|х 4- (z2 — а2)1/21.

105.

^ х(х2 - a2)1/2 dx = у(х2 - а2)3^2.

106.

У(z2-a2)3/2dx= |х(х2 - а2)3/2_|а2х(х2 - а2)1^-^4 1п|х + (*2 - а2

107.

У — (х2 — а2)1 ^2 dx = (х2 — а2)1/2 — a arccos| — |.

1М-

1^^’‘,,'\Х*^-^'12У

“■

li^^-^11'

110.

У(х2 - a2)"3/2 dx = -а-2х(х2 - а2)-1/2.

► Интегралы, содержащие (а2 — ж2)1/2.
111.

112.
113.

а2 — a;2)1/2 dx = -т(а2 - а;2)1 ^2 4- -— arcsin —.
22
а
У т(а2 - х2)1/2 dx = -|(а2 - X2)3/2.
/(а2 — х2)3^2 dx = —х(а2 — х2)3^2 + —а2х(а2 — х2)1^2 + —а4 arcsin
J
4
8
8
У 1(О2 _ *2)1/2 dx = (о2 _ *2)1/2 _a|n|i±£z^|.

114.

115.
116.

117.

dx
х
—== = arcsin —.
уа2 - x2
a
x dx ■ _ . 2
z2)1/2.
\/a^ — x2

/

(a2 — x2)-3/2 dx =

a-2^2-^)"1/2.

2.3. Интегралы, содержащие тригонометрические функции

401

► Формулы приведения. Ниже параметры а, Ь, р, т, п могут
быть любыми, лишь бы не обращались в нуль знаменатели при
последовательном применении формулы. Обозначение: w = ахп 4- Ь.
118.

/ хт(ахп 4- b)p dx = ------- ---------Lm+1wp + npb f x™^ 1 Интегралы, содержащие sins. Обозначения: n = 1, 2, 3, ...
122.

У sin(a + bx) dx = — — cos(a + bx).

Г23.

х sin x dx = sin x — x cos x.

124.

x2 sin x dx = 2x sin x — (x2 — 2) cos x.

125.
126.

sin x dx = —xm cos x + mxm 1 sin x — m\

sin2 xdx = 4?x — ±- sin 2x.

127.
128.

— cos x + у cos3 x.
/ sin2n x dx = -4—C?nx + ЫЦП+1_11*Г* sin[(2n-2fc)x]
J
22" 2n
З2”-1
2n
2n-2k
где

129.

^ 2 sin x dx.

Cm = ——----- —------ биномиальные коэффициенты (О! =
kl (тп — л)!

/ sin2n+1 xdx= У (~1)fc+1 Ск
J
^ 21+1
п

2*+1

130.
131.

132.
133.
134.

f dx
/ —у— = -ctgx.
J sin2 X
dx
cosx
1.1
x I
sin3 x 2sin2x + 2 n|tg 2 |

/
/

dx _
sinn x

cosx
(n — 1) sinn—1 x

n—2 [
dx
n — 1 J sinn—2 x ’ ” >

f .
. L j
sin[(b-a)xl
sin[(b + a)xl
/ sin ax sin bx dx = ----------------- ----------- ------------ —, a ^ ±6.
J
2(b-a)
2(b + a)

14 А. Д. Полянин, В. Д. Полянин и др.

1).

Таблица неопределенных интегралов

402

6 4-a tgx/2

2

при

;- To arCt8--- / o ' -io

5 _ ^£2 _ a2 _|_ a tgx/2
при
| b 4- y/b2 — a2 4- a tg x/2
bcosx
(a2 — 62)(a 4- 6sinx)
a2 — b2 J a + b sin x

а + 6 sinx

y/b? — a2

(a 4- 6sinx)2

1

dx

У=Г=ГТ ^K
arctg

а2 — Ь2 sin2 х

при а2 > 62,

y/b2 — a2 tg x4- a

2ay/b2 — а2

a2.

y/b2 — a2 tg x — a

► Интегралы, содержащие cos ж. Обозначения: n = 1, 2, 3, ...
139.
xcosxdx = cosx + xsinx.
x2 cosxdx = 2xcosx+ (x2 — 2)sinx.
sin х + тх'

143.

cosx — ml

■m 2 cosxdx.

±x + у sin 2x.
cos3 xdx = — sin ® — у sin3 x.

145.

^k sin[(2n — 2fc)x]
2n
2n-2k

E -^-C^sin2^1
*=o2*+l ”

146.
147.

1
22n-‘

22n

/ --------- = In

J cosx

148.
149.

150.
151.

cos"

sinx
1 . I
-----;— 4
ln|
cos2 x 2
I
sinx
n — l)cosn—1 x

sin |(6 — <
cosax cosbxdx = --------------2(6-a)

(
152.

153.

n-2 Г
dx
n — 1 J cos’1-2 X

dx

2

arctg

sin
h“2(l + «)
(a - 0 tgx/2

’а*±Ь-

при

VP - a2 ,П|‘Vb? — a2 + (b — a) tgx/2
при
ч/б2 — a2 — (b — a) tgx/2
6 sinx
dx
(& — a2)(a + bcosx)
& — a2 J a 4- 6cosx

2.4. Интегралы с обратными тригонометрическими функциями

dx
1
a tg х
----- г---- -— = ----- ^=arctg— ______ •.
а2 + b2 cos2 х
а\/а2 4- Ь2
\/а2 + Р
'
1
atgx
---- .
arctg —.
dx
ах/а2 — Ь2
х/а2 — Ь2
а2 — b2 cos2 х
1
। I x/b2 — а2 — а tg х
к 2ax/b2 — а2
| х/b2 — а2 -|- а tgx

при а2 > Ь2,
при Ь2 > а2.

► Интегралы, содержащие tg ж и ctg z.
156.

— In | cosx|.

157.
157.

(-iHtgx£22^j.
2n - 21 + 1

158.
159.

160.

r2n+1 х dx = ( —l)n+1 In | cosx| —

dx
a + b tg x

(-l)fc(tgx)2"-2*+2
2n - 2i + 2

1
(ax + b In |a cosx + b sin x|
a2 + b2

161.
162.

r2

x dx = — ctgx — x.

163.

r3

x dx = — — ctg2 x — in | sin x|.

164.

165.
166.

-^м-п-н^нЁ!^^
[
dx
1
,
x
/ ——j—---- = —r—z-(ax - bln asinx + 6cosx| ).
J a + bctgx
a2 + b2 v
'

2.4. Интегралы, содержащие обратные
тригонометрические функции
167.

168.
169.
170.

171.

403

Таблица неопределенных интегралов

404

x\2

/
XV
dx = x I arccos —1 — 2x — 2\

172.

arccos —I
(

173.

X
^ /л 2
2\
X
x arccos — dx = —(2x — а ) arccos
а
4V
7
а

174.

x arccos — dx = ---- I arccos — 1------- (x

175.

® i / 2
2\
ln(a 4- x ).
2
1/2
x
ax
= — (* +a )arctg
—
a
a
Z

2

X J

^

/

xarctg

176.

.3

^ ^

179.

180.

X
4
1/2

i2 — X2.

X
a

2

177.
178.

7 arccos —
x .
а

ах2
а3
2
2\
------- — + — На +* )•
о
о

X t
X
а ■
/ 9
arcctg — dx = хarcctg — 4- — ln(az 4- x ).
а
а
2
t
1 z о
2\
X
ОХ
ах = —(х 4-а ) arcctg—4------ .
2
а
2
/2
x
x3 f
x \2
J x arcctg — dx = -j- I arcctg —1
-- — ln(a24-x2).
;
6
'
7

/

2.5. Интегралы, содержащие показательные
функции
181.

182.
183.
184.

185.

J eaxdx=

le“.

Ixe“dx = e“(
J
\a
a2 J
f^“^-^-^^)P'-^,'--^-^^ ‘’^-...H-O-i.-F

7 a^1 J
[
dx
x
1
,
_
/
=--------In |a 4-6ep .
J a 4- bePx
a
ap
[ ax

186.

/e
J

187.

/ e
J

sin xdx =

fe
J
/
I e
/

sin xdx =

/e

cos xdx=

188.

189.
190.
191.

[ ax

sinxdx =
2

,

eax

a2 4- 1

(a sin x — cosx).

e°X f
2
2 \
I a sin x — 2 sin x cos x 4----- 1.
a2 + 4 \
a)

(asmx-ncosx)4-—-------- / еал sinn“2 x dx.
a2 4 n2
a2 4- n2 J
eax
cosxdx =
(acosx 4-sinx).
a2 4 1
f ax
2 j
e*x f
2
2 \
/ e cos x dx =
I a cos x 4- 2 sin x cos x 4----- 1.
/
a2 + 4 \
a)
(acosx4-nsmx)4--4------ [ eax cosn~2 x dx.

2.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции

2.6. Интегралы, содержащие
логарифмические функции
192.

j \п(ах) dx — х 1п(ах) — х.

193.

[xlnxdx =—г2 In а;---- -г2.
J
2
4
/ i₽ln(aT)dz = -------- r^1 ln(ai)
J
Р+1
V 7

194.
195.

——х^1, р
(р+1)2

—1.

j r(lnr)2 dx = yz2(lnx)2 ——x2 Inz + -^-t2.

xp+A
~
2TP+1
2tP+!
IP(lnI) Й=_(1П1) ___lnl+__.^_1.
197.

j(\nx)4 dx = x(\nx)4 — q j(\nx)4~x dx, q^—I.

198.

/ ^(In®)2 dx = J-lP+'(]nI)«
L- / ^(tasW-l dx, p,q±J
p+ 1
p+1 J
J ln(a + bx) dx = ~^(ax + ^) ln(ax + 6) — x.

199.
200.

I ln(x2 + a2) dx = x ln(x2 + a2) - 2x + 2a arctg —.

2.7. Интегралы, содержащие
гиперболические функции
► Интегралы, содержащие sh ж.
201.

У sh(a + bx) dx = — ch(a +- bx).

202.

J x sh x dx = x ch x — sh x.

203.

У x2 shx dx = (x2 +- 2) ch x — 2x sh x.

204.

У xm shx dx = xm ch x — mxrn~1 shx + m(m — 1) J xm~2 shx dx.

205.

I sh2 xdx = - у x + -|- sh 2x.

206.

i3 xdx = — chx +- -j- ch3 x.

207.

J shp x dx = — shp 1 x ch x — —---- — J shp 2 x dx.

► Интегралы, содержащие ch x.
208.

У ch(a +- bx) dx = ^ sh(a + bx).

209.

У x ch x dx = x sh x — ch x.

210.

У x2 chx dx = (x2 +- 2) shx — 2x chx.

405

406

Решения

211.

У imchrdx = xmsha; - mi”1"1 cha; 4- т(т ~ ^ j хт~2 chxdx.

212.

! ch2 х dx = ±х + ^ sh2x.

213.

У ch3 da; = sh а; 4- -|- sh3 x.

214.

У chp xdx = — shi chp-1 x 4- —------ У chp-2 x dx.

обыкновенных дифференциальных уравнений

> Интегралы, содержащие thx и cth ж.
215.

У tha; dx = In | chr|.

216.

j th2 x dx = x — thx.

217.

У th3 a; da; =-у th2 a; 4-In | ch a;|.

218.

j thp xdx =-—^-ЬЬР~1 x + Jthp~2xdx.

219.

У cth dx = ln|sha;|.

220.

У cth2 x dx = x — cth x.

221.

У cth3 x dx = — у cth2 x 4- In | sha;|.

222.

Jcthpxdx =

^-y cth1’'"1 a; 4- Jcthp~2xdx.

3. Решения обыкновенных
дифференциальных уравнений
3.1. Уравнения первого порядка*
1- у'х = /О)Решение:

у = ^ /(г) dx + С.

2- Ух = f(y)Решение:

Г dy
х = I —-— 4- СJ

Ну)

Частные решения: у = Ак, где Ак — корни алгебраического (или трансцен­
дентного) уравнения f(Ak) = 0.

* В этом приложении приведены решения обыкновенных дифференциальных
уравнений, коэффициенты которых зависят от произвольных функций. Для крат­
кости вместо слов «общее решение* или «общий интеграл* будем писать «реше­
ние».

3.1. Уравнения первого порядка

407

3. у'х = f(x)g(y).
Уравнение с разделяющимися переменными. Решение:

1~тт = Ьи^ + с.
J д(у)
J
Частные решения: у = Ак, где Ак — корни алгебраического (или трансцен­
дентного) уравнения д(Ак) = 0.

4- д(х)у'х = fl(x)y + /о(ж).
Линейное уравнение. Решение:
у = Се'F +, е'F

[ е —F' —
fo(—
x) dx,
j

J

g(z)

АС37-) dx.
>
F(x)\ = /f —
J д(х)

где

5- д(х)Ух = fl(x)y + fo(x)ya.
Уравнение Бернулли. Здесь а — любое (при а = 0 и а = 1 см. линейное
уравнение 4). При а ^ 1 замена w(r) = у1 “° приводит к линейному уравнению:
^i = (1- a)fdx)w + С1 “ а)/ойРешение:

У1"'1 = CeF 4- (1 — a)eF / e~F — ^~ dx,
J
g(z)
J

где
дух)

F(x) = (1 - а) /

^Т"

dx.

6- У^ = f(y/x).
Однородное уравнение. Замена u(x) = y/x приводит к уравнению с
разделяющимися переменными: хих = f(u) — и.
du
——------ = In а; + С.
fw - и

/

Частные решения: у = Акх, где Ак — корни алгебраического (или трансцен­
дентного) уравнения Ак — f(Ak) = O-

7- 9^)ух = f2(x)y2 + fl(x)y 4- fo(x).
Уравнение Риккати.
1. Если известно частное решение уравнения Риккати у0 = З/о^)» то
общее решение находится по формуле

AW
где
Ф(®) = ехр/ /[г/гСФоС®) + AW] —ГТ

L-/
Jl1)
Частному решению j/0(t) соответствует значение С = оо.
2. Преобразование

и(х) = ехр| — / ---- ydx
\
д
приводит общее уравнение Риккати к линейному уравнению второго порядка
92f2uxx + 9[f29x ~ Э^Ух ~

/1/2]“^ + /0/2“ = °'

которое часто решается проще, чем исходное уравнение Риккати.
►

В уравнениях 8 — 17 принятр о бозначение: / = f(x).

8- У = У2 + fy — а2 — af.
Частное решение: у0 = а. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.

408 Решения обыкновенных дифференциальных уравнений
9. у = fy2 + ay — ab — b2f.
Частное решение: у0 = Ь. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.

10. Ух=у2 + xfy + f.
Частное решение: у0 = — 1/х. Общее решение получается с помощью форму­
лы, приведенной после уравнения 7.

11. ух = fy2 — axkfy + акх*-1.
Частное решение: у0 = ахк. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.

12. у^ = fy2 + акх*"1 — a2x2kf.
Частное решение: у0 = ахк. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.

13. у'х = -(к + 1)хку2 + хк+*?у - f.
Частное решение: у0 = т"*"1. Общее решение получается с помощью форму­
лы, приведенной после уравнения 7.

14. ху* = fy2 + ку + ax2kf.
Решение при а > 0:

у = >/ахк tg^Va jхк~^ j dx + С^ .

Решение при а < 0:

у = \^\а\хк th (-У)а| j хк-1 f dx + С^.

15- ху'* = x2kfy2 + (axkf — к)у + bf.
Замена z = хк у приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
z^ = xk"’1f(x)(z2 + аг + Ь).

18. Ух = fy2 + ду- a2f - ад.
Частное решение: j/0 = а. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.

17. у'х = fy2 + ду + акхк~г — ахкд — a2fx2k.
Частное решение: у0 = ахк. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.
►

В уравнениях 18 — 33 приняты о бозначения: f, д, h — произвольные функ­
ции сложного аргумента, который указан в круглых скобках после знака
функции и может зависеть от обеих переменных х и у.

18- Ух = f(ax + Ьу + с).
При 6 = 0 это уравнение вида 1. При Ь^О замена и(х) = ах + by + с приводит
к уравнению вида 2: и^ = bf(u).

19. Ух = f(y +