Геометрия. 9 класс: контрольные измерительные материалы [Андрей Рафаилович Рязановский] (pdf) читать онлайн

КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
и

Ж

Па

А. Р. РЯЗАНОВСКИЙ
Д. Г. МУХИН

ГЕОМЕТРИЯ
аттестация по всем темам курса
трехуровневый конфигуратор
сложности
диагностические контрольные
задания - комплексная проверка
усвоения темы
вопросы для обязательной устной
аттестации
ответы ко всем заданиям
рекомендации по оцениванию
работ

КЛАСС

J

КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

А. Р. РЯЗАНОВСКИЙ, Д. Г. МУХИН

ГЕОМЕТРИЯ
9 КЛАСС
•
•
•

•
•

аттестация по всем темам курса
трехуровневый конфигуратор
сложности
диагностические контрольные
задачи — комплексная проверка
усвоенности темы
ответы ко всем заданиям
рекомендации по оцениванию
работ

Издательство

«ЭКЗАМЕН»
МОСКВА
2016

УДК 372.8:514
ББК 74.262.21
Р99
Р99

Рязановский А. Р.
Геометрия: 9 класс: контрольные измерительные материалы. ФГОС /
А. Р. Рязановский, Д. Г. Мухин. — М .: Издательство «Экзамен», 2016. —
80 с. (Серия «Контрольные измерительные материалы»)
ISBN 978-5-377-08481-5
Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному
образовательному стандарту (второго поколения).
В данном пособии представлены контрольные измерительные материалы
по геометрии для учащихся 9 класса. Тематика предлагаемых тестов охватыва­
ет все темы геометрии 9 класса, соответствует программе общеобразователь­
ных организаций по геометрии и аналогичным материалам ОГЭ (ГИА-9). Их
использование позволит оценить усвоение учащимися тем курса, а также под­
готовить их к тестовой форме проверки знаний.
В конце пособия предложены диагностические контрольные задачи для
комплексной проверки усвоенности тем и ответы ко всем заданиям.
Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федера­
ции учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в
общеобразовательных организациях.
УДК 372.8:514
ББК 74.262.21

Справочное издание

Рязановский Андрей Рафаилович
Мухин Дмитрий Геннадьевич
ГЕОМЕТРИЯ. 9 к л а с с
КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ
МАТЕРИАЛЫ
Издательство «ЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат
№ РОСС RU. АЕ51. Н 16582 от 08.04.2014 г.
Главный редактор Л. Д. Лаппо. Редактор И. М. Бокова
Технический редактор Л. В. Павлова. Корректоры Е. В. Клокова, А. В. Полякова
Дизайн обложки А. А. Козлова. Компьютерная верстка О. И. Яшкина
107045, Москва, Луков пер., д. 8. www.examen.biz
E-mail: по общим вопросам: info@examen.biz;
по вопросам реализации: sale@examen.biz
тел./факс 8(495)641-00-30 (многоканальный)
Подписано в печать 17.03.2015. Формат 60x90/16. Гарнитура «Школьная».
Бумага газетная. Уч.-изд. л. 1,96. Уел. печ. л. 5. Тираж 10 000 экз. Заказ №496
Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная
Отпечатано в «Красногорская типография» 143405, Московская область,
г Красногорск, Коммунальный квартал, 2
ISBN 978-5-377-08481-5

О Рязановский А. Р., Мухин Д. Г., 2016
О Издательство «ЭКЗАМЕН», 2016

СОДЕРЖАНИЕ
Введение................................................................................... 5
Тест 1. Сложение векторов и умножение вектора
на число в координатной форме (25-30)
Вариант 1 ........................................................................................ 7
Вариант 2 ........................................................................................ 9

Тест 2. Метод координат. Координаты середины
отрезка (25-30)
Вариант 1 .................................................................................... 11
Вариант 2 .................................................................................... 12

Тест 3. Уравнение прямой. Уравнение
окружности (40-45)
Вариант 1 .................................................................................... 14
Вариант 2 .....................................................................................15

Тест 4. Тригонометрические функции острых и тупых
углов. Формулы приведения (25-30)
Вариант 1 .................................................................................... 17
Вариант 2 .................................................................................... 18

Тест 5. Скалярное произведение векторов
в координатной форме (25-30)
Вариант 1 .................................................................................... 19
Вариант 2 ......................................................................................20

Тест 6. Теорема синусов (40-45)
Вариант 1 ......................................................................................22
Вариант 2 ......................................................................................23

Тест 7. Теорема косинусов (40-45)
Вариант 1 ......................................................................................25
Вариант 2 ......................................................................................26

Тест 8. Применение тригонометрии для решения
геометрических задач (40-45)
Вариант 1 ......................................................................................29
Вариант 2 ......................................................................................31
3

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

Тест 9. Правильные многоугольники (40-45)
Вариант 1 ..................................................................................................... 33
Вариант 2 ..................................................................................................... 34
Тест 10. Длина окружности. Площадь круга (40-45)
Вариант 1 .....................................................................................................36
Вариант 2 .....................................................................................................37
Тест 11. (*) Длина дуги окружности. Площадь круга
и его частей. (Продолжение) (40-45)
Вариант 1 ..................................................................................................... 39
Вариант 2 .....................................................................................................40
Тест 12. Движения плоскости (40-45)
Вариант 1 ..................................................................................................... 42
Вариант 2 .....................................................................................................43
Тест 13. Параллельный перенос и осевая
симметрия (40-45)
Вариант 1 ..............................................................................
45
Вариант 2 ..................................................................................................... 47
Тест 14. Поворот и центральная симметрия (40-45)
Вариант 1 .....................................................................................................49
Вариант 2 ..................................................................................................... 51
Тест 15. Итоговый тест для аттестации за курс
геометрии 7 -9 классов
Вариант 1 ..................................................................................................... 54
Вариант 2 ..................................................................................................... 57
Диагностические контрольные задачи..............................61
Ответы к тестам........................................................................ 72
Ответы к диагностическим контрольным задачам........ 77

4

ВВЕДЕНИЕ
Содержание курса геометрии в 9 классе определяется не ка­
ким-либо учебником или учебным пособием. Для этого существуют
специальные документы: Программа изучения курса геомет­

рии, Программа развития и формирования универсаль­
ных учебных действий для основного общего образова­
ния, ФГОС общего образования. Поэтому представленные в
этой книге материалы разработаны так, чтобы ими смогли восполь­
зоваться учителя, работающие по любым учебникам геометрии,
входящим в Федеральный перечень учебников, рекомендованным
Министерством образования и науки Российской Федерации к ис­
пользованию в учебном образовательном процессе общеобразо­
вательных организаций РФ. Вспомогательную роль — определение
последовательности тем тестов, которой мы придерживались, вы­
полняет учебник «Геометрия 7 -9 » под редакцией Л.С. Атанасяна.
В этой книге собраны и расположены в определённом поряд­
ке варианты небольших самостоятельных работ по курсу геомет­
рии для учащихся 9 классов общеобразовательных школ, кото­
рые изучают предмет по учебнику под редакцией Л.С. Атанасяна.
Эти работы представлены в тестовой форме.
Тематика предлагаемых тестов охватывает все без исключе­
ния темы геометрии 9 класса.
Трудность заданий внутри каждого теста постепенно возрас­
тает с возрастанием номера задания, но в то же время вполне по­
сильно учащимся любых общеобразовательных школ.
Время выполнения заданий каждого теста, по нашему мне­
нию, не должно превышать продолжительности одного урока —
4 0 -4 5 минут. Некоторые тесты рассчитаны на меньшее время. Ре­
комендуемое время (в минутах) выполнения каждого теста указа­
но в его заголовке в скобках.
Примерное оценивание работы мы рекомендуем проводить
так, чтобы удовлетворительная оценка была выставлена при усло­
вии выполнения не менее 50% заданий теста с учётом всех вопро­
сов, которых иногда больше, чем самих заданий (в одном задании
может быть несколько вопросов). Таким образом, возможные ва­
рианты оценивания выполнения теста имеют следующий вид.

5

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

Процент

Оценка

менее 50%

два

5 1 % - 60%

три

61% - 7 0 %

четыре

7 1 % -9 0 %

пять

91% -

100%

две пятёрки

В книге — 15 тестов. Один тест — Тест 11. «Длина окружно­
сти. Площадь круга и его частей. (Продолжение)» отмечен «звез­
дочкой» * и является дополнительным (в учебнике этот материал
рассматривается позднее) по тематике рассматриваемых задач.
Однако, в силу особой важности приводимых в нём заданий, мы
рекомендуем выделить на изучение этой темы дополнительные
часы и затем провести тестирование. Как показывает наш много­
летний опыт работы в 9 классах, изучение и в дальнейшем повто­
рение этой темы во многих случаях приводит не только к повыше­
нию интереса к предмету, но и к повышению баллов при
выполнении заданий ОГЭ и ЕГЭ. Это объясняется тем, что эти за­
дачи, имеющие неоднозначный ответ, заставляют школьника за­
думаться при решении любой задачи по геометрии: а нет ли здесь
второго варианта? Такой подход приводит к более глубоким зна­
ниям предмета. Отсюда и более высокие баллы.
Книга заканчивается итоговым тестом, состоящим из 14 зада­
ний, разбитых на три части, и списком диагностических кон­
трольных задач, которые помогут провести комплексные провер­
ки усвоенности тем. Их при желании учитель может рассматривать в
соответствующее время перед тестированием. Отметим, что Часть III
итогового теста содержит задачи олимпиадного характера, причём
трудные задачи олимпиад. Поэтому результаты решения этих задач
мы рекомендуем оценивать только высокими баллами. Это означает,
что ученик может получить итоговую оценку «5», не решив при этом
ни одной задачи из Части III. Здесь учитель должен ориентироваться
на общий уровень подготовки своих учащихся.
В заключение отметим, что наша книга может быть полезна не
только учителям математики, ученикам 8 - 9 классов, студентам
педагогических университетов, но также и родителям учеников,
которые захотят убедиться в успешности своих детей при изуче­
нии геометрии. Ко всем тестам имеются ответы.
Авторы
6

Тест 1

Сложение векторов и умножение
вектора на число в координатной
форме (25-30)
Вариант 1
Часть I

1.

Даны 4 вектора (см. рис.) Какой из них имеет координаты

( - 1; 2 )?

>

тЛ
а ц
V
\

~С

Ч ч,
J

S

S

/

0

>

а»

j
/

i

1-

Варианты ответов

1

2

3

_

_

а

ь

2.

4

5

_

_
d

Ни один из векторов

С

на рисунке

Даны 4 вектора (см. рис.) Один из них равен вектору
-2 /-4 / . Запишите, какой.

7

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

3. Найдите х + у, если (2x + y ) i - ( x - y ) / = l 1 /-4 /. В таблице
ответов указано значение суммы х + у .

НИи
6

2

3

4

3

7

в
10

4. Даны векторы а = / - 2/; Ь =

- 4

i + 6j . Найдите координаты век­

тора а+ З Ь .
Варианты ответов___________________________

1

2

3

4

5

57-7/

-117+16/

-137-20/

117-18/

-57+7/

5. Найдите модуль вектора а + Ь , если a = 5 i - 7 j ;

Ь = -i +10/.

Варианты ответов
,и

2

3

4

5

1

7

3

10

5

Ч а с т ь II
6. При каком значении параметра х векторы р (2; х + 4) и
q(x; - 2 ) коллинеарны?

Ответ:_____________________ .
7. Разложите вектор

р ( - 1 1; 5)

по векторам

а(-4; 2)

и

Ь(3; -1).

Ответ:_____________________.
8. Ромб ABCD задан координатами трёх своих вершин. А (0; 2),
В (1; 0), С (0; -2). Найдите координаты вектора DF, где F —
середина стороны ВС, и его разложение по векторам / и /.

Ответ:_____________________ .
8

Тест 1. Сложение векторов и умножение вектора на число

Вариант 2
Часть I
1.

Даны 4 вектора (см. рис.) Какой из них имеет координаты
(5; -3)?
1

У
с

к

ч ,

тД

ицу
S

J s

i
уN 0

г

.

*

i

(Мг :
Варианты ответов

, .V 2

3

4

ь

С

d

_
а

2.

Ни один из векторов на
рисунке

Даны 4 вектора (см. рис.) Один из них равен вектору
- 2 i + 4 /. Запишите, какой.

9

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

3.

Найдите х у , если (у + х ) / - ( у - х ) / ‘ = 5 i - j . В таблице отве­
тов указано значение произведения х у .
Варианты ответов
1

2

3

4

5

6

-15

-6

15

-9

4.

Даны векторы а = 3/ + /; Ь = -/ - 2/ . Найдите 2а + Ь .

ни

Варианты ответов___________

57 -7/
5.

lu ll
27-7

•4ч ~| Ш
7-27

||

-3 /-/

Найдите модуль вектора а - 2Ь, если a = 8i - 2j;

b = - 2 i - 9/ .

Варианты ответов

m1! 111

5

;Ч З Ч

9

10

14

20

40

Ч а с т ь II
6.

При каком значении параметра

а векторы

р (а ; 3)

и

а ( —1; - 2 )

и

q (-3 ; а - 6 ) коллинеарны?

Ответ:_____________________________ .
7.

Разложите вектор

р (-1 ; 14)

по векторам

Ь (- 2 ; 4 ) .

Ответ:_____________________________ .
8.

Параллелограмм ABCD задан координатами трёх своих вер­
шин А (1; - 4 ), В (-1 ; 6), С (7; 2). Найдите координаты векто­
ра DF , где F — середина стороны AB; и его разложение по
векторам i и / .

Ответ:_____________________________ .
10

Тест 2

Метод координат. Координаты
середины отрезка (25-30)
Вариант 1
Часть I

1.

Даны точки А ( 2 , - 9 ) , В ( - 4 ,6 ) . Найдите координаты х и у
точки М (х ,у ),е с л и А М + 2ВМ = 0 .
Варианты ответов

1

2

3

5
О

CN

(-1,1) (1,1) (-1,-1) ( i,- i)

2. Найдите координаты вершины С параллелограмма A B C D ,
если А ( 0 / 1 )/ 6(1, - 2 ) , 0 ( 5 ,6 ) .
Варианты ответов

1

2

4

3

(6,3) (-6,3) (-6, -3) (6, -3)
3.

Найдите координаты середины отрезка АВ,

А (1 0 , - 1 2 ) ,

В ( - 4 ,1 0 ) .
Варианты ответов

1

2

4

3

CN
1

( - 3 ,- 1 ) (- 3 ,1 ) (3 ,- 1 ) (3 ,1 )

ш ш ш

4. Найдите длину медианы СМ треугольника А ВС, если А ( 0 , 3 ) ,
В (1 0 ,7 ) , С ( 2 ,1 ) .
Варианты ответов

2

2

3

4

5

3

1

6

5

11

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

Ч а с т ь II
5.

Даны точки А (2 /- 1 ) , В( 1 ,5 ). Найдите координаты всех точек
М ( х ,у ) , если сумма произведений одноименных координат
векторов AM и А В равна нулю. В ответ впишите координаты
той точки М, для которой х + у = - 6 .

Ответ:___________________________.

Вариант 2
Часть I
1. Даны точки А ( 5 ,- 1 ) , В ( - 2 ,9 ) . Найдите координаты х и у
точки М ( х ,у ) , если АМ-6ВЛ1 = 0 .
Варианты ответов____________________________________
1

HHI

3

ШИ

5

(-2 ; 1,7) ( 1 ,7 ;- 5 ) (-3 ,4 ; 11) (1 ,5 ;- 2 ) (-3 ,4 ; 6)

2 . Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD,
если А ( - 5 ; 1), В ( 5 ;- 1 ) , С ( 0 ;9 ) .
Варианты ответов
1

2

3

( Ю ; 11)

( - Ю ; 11)

Н О ; -11)

4
( 1 0;

- 1 1)

3 . Найдите координаты середины отрезка АВ,
В ( - 1 6; 5 ) .
Варианты ответов

им

9ШШшш iSli 1Ш1

( - 2 , - 1 ) (-2 ; 1) (2; -1 ) (2; 1) (-4 ; 2)
12

А ( 2 0 ;- 3 ) ,

Тест 2. Метод координат. Координаты середины отрезка

4.

Найдите

длину

медианы

СМ треугольника АВС,

если

А ( 3 0 ;- 3 ) , В (- 4 ; 3 ) , С ( 7 ; - 8 ) .
Варианты ответов

ill

%

3

4

5

10

8

6

4

2

Ч а с т ь II
5.

Даны точки А ( 3 ; - 2 ) / В ( 4 ;- 1 ) . Найдите координаты всех
точек М ( х ,у ) , если сумма произведений одноименных коор­
динат векторов AM и АВ равна нулю. В ответ впишите коор­
динаты той точки М, для которой х - у = 9 .

Ответ:_____________________________ .

13

Тест 3. Уравнение прямой. Уравнение

окружности (40-45)
Вариант 1
Часть I
1.

Найдите уравнение прямой, проходящей через начало коор'
динат и точку (7 ; - 3 ,5 ) .
Варианты ответов__________________________________
1

2

4

3

, , , 5

,

У= - 0 ,5 х У= - 2 х У= 7 х - 3,5 У= -3,5х+ 7 У = 7х

2 . Даны 5 уравнений.
1. х 2 + у 2 = х ;
2. х 2+ у 2 = 0;
3 . х 2 + у 2 = х 2;
4 . х 2 + у 2 = ( х - 1 ) 2 + (у - 1 )2;
5 . х 2 + у 2 = у 2.
Подпишите под каждым множеством точек на плоскости номер того
уравнения, которое ему соответствует.

Горизонтальная Вертикальная

вяишшя 1111в1ШЯ!

Окружность

Наклонная

тШШцц!ig!|jjj

3 . Даны уравнения прямых. Укажите номера уравнений, за­
дающ их параллельные прямые.
1. у = З х - 2;
2. 2 у + З х = 4;
3. х / 2 + у / 3 = 1;
4. З х + 2 у = 0.
Варианты ответов
1 i'

3

4

2,3 2,3,4 1,4 2,4

14

5
Никакие из этих прямых
не параллельны

Тест 3. Уравнение прямой. Уравнение окружности

4. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной
уравнением х 1
23
5+ 2х + у 2 - 2у = 2.
4

Ответ:_____________________ .
Ч а с т ь II
5. Найдите уравнение окружности с центром (1; 1), проходящей
через точку (-2 ; 5).

Ответ:_____________________ .
6.

Найдите уравнение линии, каждая точка которой равноуда­
лена отточек (0; 1) и (-2 ; 5).

Ответ:_____________________ .
7.

Найдите уравнение окружности описанной около треуголь­
ника АВС, координаты вершин которого: (0; 0), (-1 ; 1), (3; 3).

Ответ:_____________________ .
Вариант 2

1.

Найдите уравнение прямой, проходящей через начало коор­
динат и точку (-2 ,5 ; 5).
Варионты ответов________________________

111

®''-

3

4

S

у= -0 ,5 х у = -2 х у = 5 х -2 ,5 у=— 2,5х+5 у = -2 ,5 х

2.

Даны 5 уравнений.
1. х2 + у 2 = 0;
2. х 2 + у 2 = 2х;
3. х 2 + у 2 = у 2;
4. х 2 + у 2 = (х + 2)2 + (у -1 )2;
5. х 2 + у 2 = х 2.
15

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

Подпишите под каждым множеством на плоскости номер того уравнения, которое ему соответствует.

Горизонтальная Вертикальная

Окружность Точка

Наклонная
прямая

3. Даны уравнения прямых. Укажите номера уравнений, за
дающих параллельные прямые.
1. у = -З х + 2;
2. 2у + Зх = 4;
3. х + у /3 = 1;
4. Зх - 2у = 0.

1|

Варианты ответов

;4

2,3 1,2,4 1,3 2,4

4

.

5
Никакие из этих прямых
не параллельны

Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной
уравнением х 2 + 2х + у 2- 2у = 7.

Ответ:______________________ .
Ч а с т ь 11
5.

Найдите уравнение окружности с центром (0; 2), проходящей
через точку (-3 ; 6).

Ответ:______________________ .
6

.

7

.

Найдите уравнение линии, каждая точка которой равноуда­
лена от точек (0; 3) и (2; -5 ).
Найдите уравнение окружности описанной около треугольни­
ка ЛВС, координаты вершин которого: (0; 0), (2; -2 ), (4; 4).

Ответ:______________________ .

16

Тест 4. Тригонометрические функции
острых и тупых углов. Формулы
приведения(25-30)
Вариант 1
1.

Вычислите 8sin30° + 6 c o s l2 0 ° - V 3 tg 6 0 °.
Варианты ответов

1

2

3

4

5

-2

-3

2

3

0

2. Вычислите cos73°sinl 7° + sin2107° .
Варианты ответов

1

2

2

0,5

3

4
1

3 . Упростите s in a c tg a + c o s (9 0 ° - a )- s in (l 8 0 ° - а )
Варианты ответов

1

2

3

4

5

1

cos а

1+ cosa

sin а

1+ sina

4. Найдите косинус тупого угла а , если его синус равен

7з

Варианты ответов

3

4

Л Л

0,5

2

i
-0 ,5

2

2

5
2

Ч а с т ь II
5 . Известно, что в треугольнике ABC sinA = 0 ,5 . Найдите гра­
дусную меру угла А .

Ответ:__________________________ .
17

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

В ар и ан т 2
Часть I
1.

Вычислите 8sin30° + 6 c o s l20 °-л /3tg60°.
Варианты ответов

i l l ; 2
-2

Ж - '4

-3

2

I f '
0

3

2. Вычислите sin74°cos16°+cos2106° .
Варианты ответов

Щ |

2

2

0,5

щ

я

1

3. Упростите cosa tg a + cos(90° + a )-sin (1 8 0 ° -а ).
Варианты ответов

|,1;.

11111 1111111i l l
:\ 3

sin а cosa

- sin а - cosa

2sina

4, Найдите косинус тупого угла а, если его синус равен

2
2

*

Варианты ответов

и и 11!

.; 2
-0,5

_£

_V2

2

2

0,5

7з
2

Ч а с т ь II
5. Известно, что в треугольнике ABC sin А =
дусную меру угла А.

Ответ:____________________ .
18

л/2

. Найдите гра­

Тест 5

Скалярное произведение векторов
в координатной форме (25-30)
Вариант 1
Часть I

1. Даны векторы а ( 2 , - 9 ) , Ь ( - 4 ,6 ) . Найдите скалярное произ­
ведение а-Ь.
Варианты ответов

Ш:

1

3

4

5

-62 -1 7 26 71 -13 7
2 . Даны векторы а(1, —1), Ь ( - 4 ,1 ) . Вычислите а •(а + 2 b ).
Варианты ответов

1

2

3

4

5

-16

-8

4

-1 2

36

3 . Даны векторы 0 (2 ,1 ), Ь ( —2,1) и с (0 ,1 ). Вычислите косинус
угла между векторами а + Ь и а - с .
Варианты ответов

1
_^2

2

|; 2

3

4

-0 ,5

0

0,5

5
^2
2

Ч а с т ь II
4 . Даны векторы а (1, —1), Ь ( - 4 ,1 ) . Найдите все значения х, при
каждом из которых векторы а + xb и а будут перпендику­
лярны.

Ответ:___________________________.
19

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

5.

Найдите все векторы

л, которые образуют с вектором

s ( - 4 ,3) прямой угол и |л| = |s|.

Ответ:_____________________________.
6 . Найдите все векторы единичной длины, которые образуют с
вектором s ( 2 ,- l) угол, равный 4 5 °.

Ответ:____________________________ .
Вариант 2
Часть I
1.

Даны векторы а ( 3 ,- 7 ) , Ь ( 2 , - 4 ) . Найдите скалярное произ­
ведение а Ь .
Варианты ответов

3

2

3

-34 34 0

4

5 ;

17 -1 7

2. Даны векторы а (1 ,- 2 ), Ь (-3 ,1 ). Вычислите b ^ 2 a -b j.
Варианты ответов

1

2

3

4

5

-18 -2 0 18 20

0

3 . Даны векторы а(1 ,2), Ь (2 ,1) и с (1 ,- 2 ). Вычислите косинус
угла между векторами а - Ь и а + с .
Варианты ответов

1
_V2
-0 ,5
2
20

0

4

5

0,5

£
2

Тест 5. Скалярное произведение векторов

4

.

Ч а с т ь II
Даны векторы а ( х - 1 ;- 1 ) / Ь ( - 4 ;3 ) . Найдите все отрица­
тельные значения х, при каждом из которых векторы а + xb и
а будут перпендикулярны.

Ответ:_____________________________ .
5.

Найдите

всевекторы

п, которые образуют с вектором

$ (7 ,2 ) прямой угол и |п| = |$|.

6

.

Ответ:_____________________________ .
Найдите все векторы единичной длины, которые образуют с
вектором s (2 ,1)угол, равный

135°.

Ответ:_____________________________ .

21

Тест 6.щТеорема синусов (40-45)
Вариант 1
Часть I
В треугольнике АВС ZA = 60°, Z C = 45°, AB = V 2 . Найдите

1.

ВС
Варианты ответов

1

2

3

4

5

л/З

Я

2

1,5

3

2.

В треугольнике два угла равны 12 и 18 градусов, а сторона
между ними равна 3. Найдите радиус описанной около этого
треугольника окружности.
Варианты ответов

1 2 3 4
2

3*

3

5

4

5
Нельзя
определить

В треугольнике АВС АВ = 5, ВС

I о, а

13

sin В.
Варианты ответов

г

2

1

0,5

4.

3

4

5

12

Нельзя

13

13

определить

5

В окружность радиуса 3 вписана трапеция. Ее высота равна
2, а боковая сторона 3. Найдите диагональ трапеции.
Варианты ответов

1

2

3

4

5

1,5

2

4

4,5

5

22

Тест 6. Теорема синусов

Ч а с т ь II
В остроугольном треугольнике АВС Н — точка пересечения

5.

высот. Радиус окружности, описанной около треугольника
АВН, равен 4. Найдите радиус окружности, описанной около
треугольника ВСН.

Ответ:____________________________ .
6

.

В треугольнике АВС АВ = 2 ВС, sinA = —. Чему может быть
4
равен угол С?

Ответ:____________________________ .

Вариант 2

1.

В треугольнике ABC Z A = 30°, Z C = 45°, АВ = >/2 . Найдите
ВС
Варианты ответов
1

2.

2

3

4

5

Г2

1,5

1

2

В треугольнике два угла равны 7 и 38 градусов, а сторона
между ними равна л/в . Найдите радиус описанной около
этого треугольника окружности.
Варианты ответов

1

2

2

3

4
5

4

5
Нельзя
определить
23

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

g
3 . В треугольнике АВС АВ = 8, ВС = 17, а sin С = — . Найдите
sin В.
Варианты ответов

.Ж ■2
1

4

.

0,8

3

111

5

15

8

Нельзя

17

17

определить

В окружность радиуса 5 вписана трапеция. Ее высота равна
3, а боковая сторона 4. Найдите диагональ трапеции.
Варианты ответов

1

2

3

4

5

2,5

4

6

7,5

8

Ч а с т ь II
5 . В тупоугольном треугольнике АВС Н — точка пересечения вы­
сот. Радиус окружности, описанной около треугольника АВН,
равен 3. Найдите радиус окружности, описанной около тре­
угольника АВС.

Ответ:
6 . В треугольнике АВС АВ = ЗВС, sin А =
равен угол С?

Ответ:

24

л/З
6

Чему может быть

Тест 7. Теорема косинусов (40-45)
Вариант 1
Часть I
1.

Найдите средний по величине угол треугольника, стороны ко­
торого равны 5 ,7 и 8 см.
Варианты ответов (в градусах)

1 2 3

4

5

30 60 45 arccos(0,4)

Нельзя
определить

2 . Стороны треугольника равны 3 см и 5 см, а косинус угла меж­
ду ними равен 0,3. Найдите третью сторону (в сантиметрах).
Варианты ответов_______

г

2 3 4

2

3

5

5
Нельзя

4

определить

3 . Найдите большую диагональ параллелограмма, соседние
стороны которого равны 1 и 2, а больший угол больше мень­
шего в 2 раза.
Варианты ответов_____________

I

3

4

Г Гв Г

Г5

2

5
Нельзя
определить

4. В треугольнике сторона равна 7, а противолежащий угол ра­
вен 120°. Еще одна сторона равна 5. Найдите третью сторону.
Варианты ответов

§и

2

3 Ц- 5

10

2

3

9

5
25

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

5 . В трапеции ABCD (ВС и AD — основания) АВ = 1, AD = 3,
ZB = 12 0°. Найдите длину диагонали BD.
Варианты ответов__________
i l i p § :* ::
1 2 i l l ";4": ■
2

6

.

4

Нельзя

7^

определить

В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D так, что
BD = 3, DC = 2. Еще известно, что АВ = 4, А С = 6. Найдите
длину AD.
Варианты ответов_______________

111

2

5

722

3

4

. ;5 iii

2л/б

Нельзя
определить

Ч а с т ь II
7 . Определите вид треугольника, если длины его сторон равны
7, 8 и 10.

Ответ:_____________________________•
8.

Стороны четырехугольника, вписанного в окружность, равны
соответственно АВ = 1, ВС = 2, CD = 3 и AD = 1. Найдите диа­
гональ BD.

Ответ:_____________________________•
В ариант 2
1*

Найдите больший угол треугольника, стороны которого равны
3, 5 и 7 см.
Варианты ответов (в градусах)

111 i l i
90
26

3

120 60

4
150

5
Нельзя
определить

Тест 7. Теорема косинусов

2 . Стороны треугольника равны 4 см и 5 см, а косинус угла меж­
ду ними равен 0,4. Найдите третью сторону (в сантиметрах).
Варианты ответов

1

2

3

4

2

3

5

4

5
Нельзя
определить

3 . Найдите меньшую диагональ параллелограмма, соседние
стороны которого равны 1 и 2\/2, а больший угол больше
меньшего в 3 раза.
Варианты ответов

2

1

Г

3

4

Гг Гб

5

75

Нельзя
определить

4 . В треугольнике сторона равна 7, а противолежащий угол ра­
вен 6 0 °. Еще одна сторона равна 5. Найдите третью сторону.
Варианты ответов

г

2

3

4

5

10

2

8

9

5

5 . В трапеции ABCD (ВС и AD — основания) АВ = 1, A D - \ j 2 ,
ZB = 135°. Найдите длину диагонали BD.
Варианты ответов

1

2

3

4

7з

Гг

2

1

5
Нельзя
определить
27

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

6

.

В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка О так, что
BD = 2, DC = 3. Еще известно, что АВ = 4, АС = 6. Найдите
длину АО.
Варианты ответов________________

11!

2

5

4

7

8

.

.

1 1 1 1 1 1

■

ЗТ2

2-Js

S

Нельзя
определить

Ч а с т ь II
Определите вид треугольника, если длины его сторон равны
7, 10 и 13.

Ответ:_____________________________•
Стороны четырехугольника, вписанного в окружность, равны
соответственно АВ = 1, ВС = 2, CD = 3 и AD = 4. Найдите диа­
гональ ВО.

Ответ:_____________________________.

28

Тест 8. Применение тригонометрии для
решения геометрических задач
(

40- 45 )

Вариант 1
Часть I
1. В треугольнике
Найдите АС, если с = 20, а = —. Ответ дайте в общем и част3
ном случаях.
Варианты ответов

2
с siпа = 10л/з

c co sa

4

3
= 10

ctga

= 20л/з

с ctga

2 . В остроугольном треугольнике ABC

5 -\
20

Недостаточно

V3

данных

=—;=

Z A = а, АВ = ВС = а .

Найдите высоту СН, если а = 10, а = — . В ответ запишите об­
щий и частный случаи.
Варианты ответов

г
asin2a = 5\/з

2
2acosa = 5

3
„

4
20

2о'9“ - ^

а 1/ч к
actg —
= 1Octg—
2

12

Недоста­
точно дан­
ных

3

. В тупоугольном треугольнике ABC Z A = а, АВ = ВС = а . Най­

дите биссектрису A t, если а = 12, а = 30° . Ответ дайте в об­
щем и частном случаях.
29

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс
Варианты ответов

lllliii

*11*111
2°'“а=12Л
. За

sin—
2

4.

а sin За л ,
---=
24
cos 2а

°-*'*1=ьГб
. За

a c tg a sin 3 a =

точно

=4л/з

sin—
2

В равнобедренном треугольнике ЛВС

Недоста­

данных

ZB = а, основание

АС = а . Найдите радиус окружности, вписанной в треуголь2л
ник АВС, если а = 2, а = — . Ответ дайте в общем и частном

3

случаях.
Варианты ответов

llllllifllll i l l i i l i i l
2а - я
0 ,5 a s in ----------= 0 ,5
2

л
п-а
я
2actg
= 2ctg
4
12

а Г

2a tg — = 4 v 3
2

я-a
я
0 , 5а t g --------= tg —
4
12

Ч а с т ь II
5.

Основания равнобочной трапеции

а, Ь ( а > Ь ) ,

угол при

большем основании — а . Найдите площадь трапеции, если
а = 10, Ь = 4, а = 60°. Ответ дайте в общем и частном случаях.

Ответ:________________________ .
6.

Дан ромб со стороной равной а и острым углом, равным а .
Найдите диаметр окружности, проходящей через две сосед­
ние вершины этого ромба и середину его третьей стороны,
если о = 1, а = 60° (рассмотрите все возможные случаи). От­
вет дайте в общем и частном случаях.

О твет:_______________________
30

Тест 8. Тригонометрия для геометрических задач

Вариант 2
Часть I
1.

В треугольнике АВС угол С — прямой, угол А равен а и

АВ = с . Найдите АС , если с =

10

,а

= 4 5 ° . Ответ дайте в о б ­

щем и частном случаях.
Варианты ответов

csina = 5>/2

ccosa = 5 \/2

з

4

с tg а = 10

cctga = 10

5

Недостаточно
данных

2.

В остроугольном треугольнике ABC ZA = а, АВ = ВС = а . Най­
дите высоту СН, если а = 50, а = 60 °. В ответ запишите общий
и частный случаи.
Варианты ответов____________________________________________
и ш
и
п и ш
и
4
■
5
1
Недоста­

a sin 2 а = 2 5 \/з

2а cos а = 5 0

2a tg a

= 100у/ з

= 50Тз

a c tg -

точно

2

данных

3.

В тупоугольном треугольнике ABC Z A = а , АВ = ВС = а . Н ай­
дите биссектрису AL, если а = 1 8, а = 2 0 ° . Ответ дайте в о б ­
щем и частном случаях.
Варианты ответов__________________________________________
2

2 а cosа

a sin За

. За

cos 2а

sin—
2

= 7 2 cos20°

4.

9л/з
cos40°

В равнобедренном

3

5

a sin 2а

. За

sin —
2

actg a sin За =

Недостаточно

= 9 c tg 2 0 °V 3

данных

= 36 sin 40°

треугольнике A B C

ZB = a , основание

А С = а . Найдите радиус окружности, вписанной в треуголь31

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

ник АВС, если 0 = 1, а = — . Ответ дайте в общем и частном
случаях.
Варианты ответов
1
2а - я
0 ,5 а sin------ -2

= Гз
4

2
2actg

4

3

л -а

2 atg “ = 0 ,5а tg

“ 2ctg

24

я- а
4

4
я

5

- о2tg 5К
12

= 0,5tg Я
24

Недостаточно
данных

Ч а с т ь II
5.

Основания равнобочной трапеции

а, Ь ( а > Ь ) ,

угол при

большем основании — а . Найдите площадь трапеции, если
а = 8, Ь = 2, а = 30° . Ответ дайте в общем и частном случаях.

Ответ:_____________________________.
6

.

Дан ромб со стороной, равной а и острым углом, равным а .
Найдите диаметр окружности, проходящей через две сосед­
ние вершины этого ромба и середину его третьей стороны,
если а = 1, а = 45° (рассмотрите все возможные случаи). От­
вет дайте в общем и частном случаях.

Ответ:____________________________ .

32

Тест 9. Правильные многоугольники (40-45)
Вариант 1
Часть I
1.

Найдите угол правильного двадцатиугольника.
Варианты ответов______________

1

2

о

О
CN

2.

3

ЩУ-

5

160° 162° 324° 200°

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник,
равен 1. Найдите площадь треугольника.
Варианты ответов___________________
1

2

3

4

4

6

2л/з Зл/з
3.

■

5
Нельзя

определить

Найдите угол между двумя неравными диагоналями правиль­
ного шестиугольника, исходящими из одной вершины.
Варианты ответов________
1

2

4

о

О

72° 60°

5

а-

о

О
СО

45°

3

Найдите, на сколько квадратных метров площадь квадрата,
описанного около окружности диаметра 1 м, больше площа­
ди квадрата, вписанного в эту окружность.

4*

Варианты ответов________
г

2

1,5

2

3

4

0,75 0,5

5
1

Ч а с т ь II
5.

Радиус описанной около правильного шестиугольника ок­
ружности на 1 м больше, чем радиус вписанной в него ок­
ружности. Найдите сторону шестиугольника.

Ответ:_____________________________ •
33

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

6.

В квадрат вписана окружность, в которую вписан правильный
треугольник, в который вписана окружность, в которую впи­
сан еще один квадрат. Найдите отношение площадей боль­
шего и меньшего квадратов.

Ответ:____________________ •

Вар и ан т 2
Часть I
1 . Найдите угол правильного восемнадцатиугольника.

1

2

3

4

5

го
оо

Варианты ответов

160 °

162 °

324 °

200 °

2.

Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной,
равной 1.
Варианты ответов

,,1 ,;

2

3

4

3

7з

2ч/3

Зч/З
2

3.

S
Нельзя
определить

Найдите угол между диагоналями правильного пятиугольни
ка, выходящими из одной вершины.
Варианты ответов

1\ ■■Г *

34

45 °

36 °

54 °

5
0

°

4

О
ю

18

3

Тест 9. Правильные многоугольники

4.

Сторона квадрата, описанного около окружности, на 1 м
больше стороны квадрата, вписанного в эту окружность. Най­
дите диаметр окружности.
Варианты ответов__________

Bill
72 + 1 4

3

4

9

2

72 + 2

3

Ч а с т ь II
5•

Найдите меньшую диагональ правильного восьмиугольника
со стороной, равной 1.

Ответ:_____________________________.
6.

В правильный треугольник вписан круг, в который вписан
квадрат, в который вписан круг, в который вписан еще один
правильный треугольник. Найдите отношение площадей
большего и меньшего треугольников.

Ответ:_____________________________.

35

Тест 10. Длина окружности. Площадь

круга (40-45)
Вариант 1
Часть I
1. Найдите площадь круга, если длина соответствующей окруж­
ности равна 8.

1
16
л

2

3

16

64 л

4 ,5
16л

4
я

2. Найдите площадь круга, вписанного в квадрат площади 20.
Ответ:____________________________ .
3.

Найдите длину окружности, описанной около правильного
треугольника со стороной ч/З .

Ответ:____________________________ .
4. Длины двух концентрических окружностей отличаются на
4л м. Найдите ширину образованного ими кольца.
_____ Варианты ответов__________________

111■-Щ i l l 111 111111111
Л

4

4
я

2

Недостаточно
данных

Ч а с т ь II
5 . Что больше — площадь круга, описанного около правильного
треугольника со стороной 3, или площадь квадрата, описан­
ного около круга с диаметром VTo ?

Ответ:_____________________________ .
36

Тест 10. Длина окружности. Площадь круга

6.

Дан квадрат со стороной 2. В него вписан круг. Другой круг,
меньшего радиуса, касается данного круга и двух соседних
сторон квадрата. Найдите площадь меньшего круга.
Ответ:___________________ .

Найдите площадь кольца, образованного описанной и впи­
санной окружностями правильного шестиугольника со сторо­
ной 2.

7.

Ответ:___________________ .
Вариант 2
Часть I

1. Найдите длину окружности, если площадь соответствующего
ей круга равна ^

ли

.

Варианты ответов

16
я

;2 ;

3

4

5

8

64я

16я

4

2. Найдите площадь круга, описанного около квадрата площа
ди 10.
Ответ:___________________ .

3. Найдите длину окружности, вписанной в правильный тре­
угольник со стороной V3 .
Ответ:___________________ .
4 . Длины двух концентрических окружностей отличаются на

6я м. Найдите ширину образованного ими кольца.
1

2

Я

6

*
6
п

4
3

Недостаточно
данных
37

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

Ч а с т ь II
5.

Что больше — периметр квадрата, вписанного в круг площа­
ди 8л м2, или длина окружности диаметра 5 м?

Ответ:_____________________.
6.

Дан правильный треугольник. В него вписан круг радиуса 1.
Другой круг, меньшего радиуса, касается данного круга и двух
сторон треугольника. Найдите площадь меньшего круга.

Ответ:____________________ .
7.

Найдите площадь кольца, образованного описанной и впи­
санной окружностями правильного шестиугольника со сторо­
ной 3.

Ответ:____________________ .

38

Тест 11. (*) Длина дуги окружности.
Площадь круга и его частей
(Продолжение) (40-45)
Вариант 1
Часть I
1.

Найдите длину дуги окружности, касающейся двух сторон
равностороннего треугольника в его вершинах, если сторона
треугольника равна а. Ответ дайте для случая а=у/3 .
Варианты ответов

1
2

2
2я
3

3
4

4
Зя
4

5
6

2.

Дан квадрат со стороной, равной а. Каждая из четырех ок­
ружностей касается двух противоположных сторон этого
квадрата в его вершинах. Докажите, что эти четыре окружно­
сти имеют единственную общую точку.

3.

(Продолжение задачи 2). Вычислите периметр четырехлистника, образованного этими окружностями.

Ответ:_____________________________ .
Ч а с т ь II
4.

(Продолжение задачи 2). Вычислите площадь четырехлистника, образованного этими окружностями.

Ответ:_____________________________ .
5.

Окружность, проходящая через две соседние вершины пра­
вильного шестиугольника, касается его сторон в этих верши­
нах. Найдите длину дуги этой окружности, лежащей вне дан­
ного шестиугольника, если его сторона равна л/3 .

Ответ:_____________________________ .
39

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

6.

Найдите площадь фигуры, ограниченной четырьмя дугами ок­
ружностей, центры которых лежат в вершинах данного квад­
рата, если площадь квадрата равна 1.

Ответ:
Вариант 2
Часть I
1.

Найдите длину дуги окружности, касающейся двух сторон
равностороннего треугольника в его вершинах, если сторона
треугольника равна а. Ответ дайте для случая а = 6>/3 .
Варианты ответов

i l l
2п

2
8я
3

3
4я

4
17л
4

5
6л

2. Дан квадрат со стороной, равной а. Каждая из четырех ок­
ружностей касается двух сторон этого квадрата, имеющих
общую вершину, в противоположных вершинах этого квадра­
та. Докажите, что эти четыре окружности делят каждую из дуг
на три равные части.
3.

(Продолжение задачи 2). Найдите наибольшее из расстояний
от точки пересечения дуг окружности до сторон квадрата, ес­
ли эта сторона равна 4л/3 .

Ответ:_____________________________ .
40

Тест 11. (*) Длина дуги окружности. Площадь частей круга

4

.

(Продолжение задачи 2). Найдите периметр четырехлистника, образованного дугами данных окружностей, лежащего
внутри квадрата.

Ответ:_____________________ .
Ч а с т ь 11
5.

Окружность, проходящая через две соседние вершины пра­
вильного восьмиугольника, касается его сторон в этих верши­
нах. Найдите длину дуги этой окружности, лежащей внутри
данного восьмиугольника, если его сторона равна 8 Л .

Ответ:_____________________ .
6

.

Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами окружностей
и сторонами квадрата, если центры каждой из окружностей в середине стороны квадрата, и площадь квадрата равна 1.

Ответ:

41

Тест 12. Движения плоскости (40-45)
В ариант 1
Часть I
1.

При некотором движении g точка Л перешла в точку Д ,т о ч '
ка В — в точку В ,. Известно, что А В = 1 0 . Найдите А ,В ,.
Варианты ответов

1

2

10

20

2.

3
Невозможно
определить

При некотором движении g точка А перешла в точку А и точ­
ка В — в точку В1. Известно, что ВВ1= 10 . Найдите А А 1.
Варианты ответов

Шй111
10
3.

20

3

.

Невозможно
определить

Докажите, что при движении угол переходит в равный ему
угол.

Ответ:
4 . При некотором отображении f координатной плоскости про­
извольная

точка

А (х ; у )

отображается

на

точку

Д ( х - 1 ; 2 у ) . Найдите координаты точки, в которую при этом
отображении переходит точка V (3 ; - 6 ) .
Варианты ответов

Ш1|1

3

4

{12; -3 ) (4; -6 ) (2 ;- 1 2 ) (-2 ; 12)
42

5
Невозможно
определить

Тест 12. Движения плоскости

Ч а с т ь II
5.

Дан квадрат ABCD, причём A ( l; 1), В(1; 6) и С ( 6 ; 6 ) . При
движении д вершина А перешла в точку А Д - 1 ;- 2 ) , а вер­
шина В в точку В Д -5 ; - 5 ) . Найдите координаты точки, в ко­
торую при этом движении перешла точка D.

Ответ:____________________________ .
6

.

При некотором отображении f координатной плоскости про­
извольная точка (х ; у ) отображается на точку (х + 1 ; 2 - у ) .
Докажите, что отображение f является движением.

Ответ:____________________________ .
Вариант 2
Часть I
1. При некотором движении д точка А перешла в точку А ], точ­
ка В — в точку B i. Известно, что A A i = 17. Найдите B B i .
Варианты ответов_________________

■т17

34

3

4

10

12

'"v '
Невозможно
определить

2. При некотором движении д точка М перешла в точку К, точка
M l — в точку К]. Известно, что M M i = 20. Найдите КК].
Варианты ответов_________________

10
3.

111 3

4

11

21

20

5
Невозможно
определить

Докажите, что при движении параллельные прямые переходят
в параллельные прямые.
43

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

4

.

При некотором отображении f координатной плоскости про­
извольная
точка
А (х ; у )
отображается
на
точку
Д ( х + 5 ; 4 у ) . Найдите координаты точки, в которую при этом
отображении переходит точка V ( - 7 ; 1 6 ).
Варианты ответов

1

2

3

4

(-2 ; 64) ( 2 ;- 6 4 ) (-2 ; -6 4 ) (-3 5 ; 4)

5
Невозможно
определить

Ч а с т ь II
5. Дан квадрат ABCD, причём А (- 1 ; 2 ), В (-1 ; 7 ) и D ( - 6 ;2 ) .
При движении д вершина А перешла в точку А Д -1; 2 ), а
вершина В в точку ВДЗ; - 1 ). Найдите координаты точки, в ко­
торую при этом движении перешла точка С.

Ответ:____________________________ .
6.

При некотором отображении f координатной плоскости про­
извольная точка (х ; у ) отображается на то ч к у(-2 х; у - 1 ) .
Докажите, что отображение f движением не является.

Ответ:____________________________ .

44

Щ 2Ж Ы Параллельный перенос и осевая
симметрия(40-45)
Вариант 1
Часть I
1.

При параллельном переносе на вектор q точка А перешла в
точку А 1, точка В — в точку В1. Выберите верное утверждение.
а ) Векторы q и А В коллинеарны.
б) Ф и гу р а А В В 1А 1 — параллелограм м .
в) Векторы q и ВВ1 равны.
г) Прямые А В и А 1В 1 параллельны.
д) Прямые А В] и А ]В пересекаю тся или совпадаю т.
Варианты ответов

2.

Д ан а осевая симметрия с осью s и точки А и В , не леж ащ ие
на оси симметрии. И звестно, что при симметрии относительно
s точка А переш ла в точку Д , точка В — в точку В]. Выберите
верное утверж дение.
а) Прямые А В] и А ]В пересекаю тся.

ВВ} параллельны.
в) О трезки А А ] и ВВ} равны.

б) Прямые А А ] и

г) О трезки А В и А ] В] равны.
д) Прямые А В] и А ]В не пересекаю тся.
Варианты ответов________

3.

1

2

3

4

а

б

в

Г

5 .
Д

Прямая а перпендикулярна стороне В С треугольника А В С и
проходит через точку А . Н арисуйте ф игур у, в которую пере45

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

ходит треугольник АВС при симметрии относительно прямой
а и последующим переносом на вектор АВ .

Ответ:______________________ .

4

. На

координатной плоскости дан параллельный перенос
q = i + 5j и точка А (-4 ;1 ), которая отображается на точ­

ку Д ( х - 1 ; 2у ). Найдите х и у.
Варианты ответов_____________________

111118psf-v;;

3

х = -2;

х = 2;

X = -2;

х = 2;

X = -4;

у =з

у =-з

У = -3

У = з

у =6

5. При осевой симметрии относительно прямой f точка А (8; -7 )
перешла в точку А }(2; 11). Найдите координаты точки пере­
сечения прямых А А 1 и f.
Варианты ответов_______________

1

,ф"\

3

Ш:ШМ

5

( 3; 4) (5; 2) (3; - ? ) (2; - 4 ) (5; - 4 )

Ч а с т ь II
6.

Дан квадрат ABCD со стороной, равной 10, и осевая симмет­
рия относительно прямой AM, где М — середина стороны ВС.
При этой симметрии квадрат ABCD перешел в фигу­
ру A 1B1C1D1 (А перешла в А }; В — в В^ С — в
D — в DJ.
Найдите площадь фигуры, содержащей все точки квадрата
ABCD и фигуры A 1B1C1D1.

Ответ:_____________________ .
7.

Заданы два равных отрезка АВ и CD, причём прямые АВ и
CD не параллельны и отрезки не имеют общих точек. Задай­
те параллельный перенос ри осевую симметрию f так, чтобы
их последовательное применение к отрезку АВ давало отре­
зок CD .

Ответ:_____________________ •
46

Тест 13. Параллельный перенос и осевая симметрия

Вариант 2
Часть I
1. При параллельном переносе w точка А перешла в точку Д ,
точка В — в точку В!. Выберите верное утверждение.
а) Векторы w и А А коллинеарны.
б) Фигура АВВ]А] — параллелограмм или точки А, В, В1 ле­
жат на одной прямой.
в) Векторы w и А Д равны.
г) Прямые АВ и А] В] параллельны или совпадают.
д) Прямые А В 1 иА,В пересекаются.
Варианты ответов_____
1

2

3

4

5

а

б

в

Г

Д

2. Дана осевая симметрия с осью т и точки А и В, не лежащие
на оси симметрии. Известно, что при симметрии относительно
т точка А перешла в точку Д , точка В — в точку В,. Выбери­
те верное утверждение.
а) Прямые АВ] и А }В не пересекаются.
б) Прямые АА] и ВВ] параллельны.
в) Отрезки АА] и ВВ] равны.
г) Отрезки АВ и А]В] равны.
д) Прямые АВ] и А]В равны.
Варианты ответов_____

а

2

3

4

б

в

г

А

3. Прямая а перпендикулярна стороне ВС треугольника А В С и
проходит через точку А. Нарисуйте фигуру, в которую пере­
ходит треугольник А В С при симметрии относительно прямой
а и последующим переносом на вектор АВ .

Ответ:___________________.
47

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

4 . На координатной плоскости дан параллельный перенос
q = 5 i- 2 j и точка А (-4 ;1 ), которая отображается на точ­
ку А Д х - у ; 2 - у ) . Найдите х и у.
Варианты ответов

1

3

4

5

х = -2 ;

х = 4;

х = -4 ;

х = 2;

х = -4 ;

У=з

У= з

У = -3

У= з

У=з

5. При осевой симметрии относительно прямой а точка
А (-8 ; - 4 ) перешла в точку А 1(12; - 1 0 ) . Найдите координа­
ты точки пересечения прямых А А 1 и а.
Варианты ответов

1

2

3

4

5

(4 ; 14) ( - 4 ; 14) ( 2 ; - 7 ) ( 2 , 5 ; -7 ,5 ) ( - 5 ; 4 )

Ч а с т ь II

6

.

Дан квадрат ABCD со стороной, равной 10, и осевая симмет­
рия относительно прямой AM, где М - середина стороны ВС.
При этой симметрии квадрат ABCD перешел в фигу­
ру A1B1C1D1. Найдите площадь фигуры, содержащей все точки
фигуры A ^ C jD j, не принадлежащие квадрату ABCD.

Ответ:_____________________ .
7 . Заданы два равных отрезка АВ и CD, причём прямые АВ и
CD не параллельны (но не совпадают) и точки В и С лежат в
разных полуплоскостях относительно прямой, проходящей
через середины отрезков АВ и CD. Задайте параллельный
перенос р и осевую симметрию f так, чтобы их последова­
тельное применение к отрезку АВ давало отрезок CD так,
что точка А перешла в точку D.

Ответ:_____________________ .
48

[ |2 Д Ы Поворот и центральная симметрия
(40 -45 )
Вариант 1
Часть I
1. При повороте R0 относительно точки О на 60° точка А пере­
шла в точку Д , точка В — в точку
Выберите верное утвер­
ждение.
а) Отрезки А А 1 и ВВ1 равны.
б) Отрезки АВ и А 1В1 равны.
в) Угол А О А , равен углу ВОВ1 и равен 60° .
г) Отрезки АВ1 и Д В равны.
д) Угол между прямыми АВ и А Д равен 6 0 °.
Варианты ответов

1

2

3

4

5

а

б

в

г

Д

2 . Дана центральная симметрия ZQ с центром О и точки А и В,
не лежащие на одной прямой с точкой О. Известно, что при
симметрии Zо точка А перешла в точку Д , точка В — в точ­
ку В1. Выберите верное утверждение.
а) Прямые АВ] и А Д параллельны.
б) Прямые А А 1и ВВ^араллельны.
в) Отрезки АА, и ВВ1равны.
г) Отрезки АВ и А 1В1 равны.
д) Угол АО В, равен углу В О А ,.
Варианты ответов

1

2

3

4

5

а

б

В

Г

Д

3 . Докажите, что при повороте углы между прямыми не изменя
ются.
49

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

При повороте R0 относительно точки О на 6 0 ° точка А пе­

4.

решла

в точку Д ,

точка

В

— в точку

Ви

причем

Z A 1OB1= 1 2 0 °. Найдите ZA O B в градусах.
Варианты ответов____________
1

3

2

О

О

СО

о

О

>о

120°

Невозможно
найти

5 . На координатной плоскости задан поворот R0 относительно
начала — точки О на 90° и точка А ( 2; 3 ), которая перешла
в точку Д . Найдите координаты точки Д .
Варианты ответов

1
II

>s

1
II

СО

X

CN

§11111S11I11111ЦI l l 'l l
х=-3; х=3; х=-3;
у =2
У=-2 У = ~2
6 . На координатной плоскости задана центральная симметрия с
центром в начале — точке О и точка А (2 ; 3 ), которая пере­
шла в точку Д . Найдите координаты точки Д .
Варианты ответов_________________

У =2

У = ~2

У =-2

>ч

1

X = -3 ;

II

х = 3;

СО

х = -3;

X

4
1

3

CN

2

II

1

Ч а с т ь II
7 . Дан квадрат ABCD со стороной, равной 10, и центральная
симметрия с центром в точке М — середине стороны В С При
этой симметрии квадрат ABCD перешел в фигуру Д В 1С10 1.
Найдите площадь треугольника А А }С } .

Ответ:_____________________________ .
50

Тест 14. Поворот и центральная симметрия

8

.

Заданы два равных отрезка АВ и CD, причём прямые АВ и
CD не параллельны и точка С не лежит на АВ . Задайте цен­
тральную симметрию ZQ и поворот Rx так, чтобы их последо­
вательное применение к отрезку АВ давало отрезок CD и в
результате точке А соответствовала бы точка С.

Ответ:______________________.
В ариа нт 2
Часть I
1.

При повороте R0 относительно точки О на 3 0 ° точка А пере­
шла в точку А ,, точка В — в точку В,. Выберите верное утвер­
ждение.
а) Отрезки А А 1 и ВВ1 равны.
б) Отрезки АВ и А 1В1 равны.
в) Угол А О А 1 равен углу ВОВ, и равен 30° .
г) Отрезки АВ, и А,В равны.
д) Угол между прямыми АВ и А,В, равен 3 0 °.
Варианты ответов_____
1

2

3

4

5

а

6

в

г

д

2. Дана центральная симметрия ZG с центром О и точки А и В,
не лежащие на одной прямой с точкой О. Известно, что при
симметрии ZQ точка А перешла в точку Д , точка В — в точ­
ку В,. Выберите верное утверждение.
а) Прямые АВ и А,В, параллельны.
б) Прямые АА, и ВВ, параллельны.
в) Отрезки АА, и ВВ, равны.
г) Отрезки ДВ и АВ, равны.
д) Угол А,ОВ, равен углу АОВ .
51

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс
Варианты ответов
Л ц

2

3

4

5

б

в

Г

Д

а

3.

Докажите, что если прямой а при центральной симметрии
соответствует прямая а ', то а||а .

Ответ:______________________.
При повороте R0 относительно точки О на 30° точка А пе­
решла в точку Д , точка В — в точку В^ Найдите угол между

4.

прямыми АВ и ДВ1 в градусах.
Варианты ответов__________
1

2

о

5.

Невозможно

О
со

60° 120°

4

3

найти

На координатной плоскости задан поворот R0 относительно
начала — точки О на 270° и точка А (-5 ; 6), которая пере­
шла в точку Д . Найдите координаты точки Д .

Варианты ответов_______________
11111 i i i i l i ; Щ Ш Ш
4
х = 5;

II

у =6

у = -6

у =6

X

1
II

6

чэ

х = - 5;

X

..
Ю

х = -5 ;

. На координатной плоскости задана центральная симметрия с
центром в начале — точке О и точка А ( 5 ; - 6 ) , которая пе­
решла в точку Д . Найдите координаты точки Д .

52

X

II
1

х = 5;

II
1

у =6

х = 5;

Ч

х = -5 ;

ОК Сл

Варианты ответов_______________
I S t lii 111111
4

у =6

у = -6

Тест 14. Поворот и центральная симметрия

Ч а с т ь II
7.

Дан квадрат ABCD со стороной, равной 16, и центральная
симметрия с центром в точке М — середине стороны CD. При
этой симметрии квадрат ABCD перешел в фигуру A 1B1C1D1.
Найдите площадь треугольника A A 1D1.

Ответ:____________________________ .
8

.

Заданы два равных отрезка АВ и C D , причём прямые АВ и
CD параллельны (но не совпадают) и точки В и С лежат в
разных полуплоскостях относительно прямой, проходящей
через середины отрезков АВ и C D . Задайте центральную
симметрию ZQ и поворот Rx так, чтобы их последовательное
применение к отрезку АВ давало отрезок CD так, что точка
А перешла в точку С.

Ответ:____________________________.

53

Тест 15. Итоговый тест для аттестации за
курс геометрии 7-9 классов
Вариант 1
1. Дан угол АО В, равный 120 °. От луча ОВ отложен угол BOD
так, что луч OD проходит между сторонами угла АО В и
Z A O D : ZBOD = 1:3. Найдите величину Z A O D .
Варианты ответов

60°

120°

4

5

160°

25°

3
о

2

О
со

1

отрезке АВ выбраны две точки М и Г так, что
A M : МВ = 3 :5 и АТ : ТВ = 5:1 9 . Найдите длину отрезка ТМ,
если АВ = 6 м.

2 . На

Варианты ответов

1

2

3

4

5

1

5

3

1,5

0,5

3 . На параллельных прямых а и Ь взяты точки А и В соответст­
венно, причём АВ = 12 м и прямая АВ образует с одной из
параллельных угол 30° . Найдите расстояние в метрах от се­
редины отрезка АВ до каждой из данных параллельных пря­
мых.
Варианты ответов

1

2

3

4

5

2 и 2 3 и 3 4 и 4 5 и 5 3 и4

4 . Дан квадрат ABCD и точка М , лежащая на стороне ВС, втрое
ближе к В, чем к С. В каком отношении прямая AM делит сто­
рону ВС, если считать от точки В?
Варианты ответов

1

2

3

4

5

1 : 1 1 :2 1 :3 1 :4 2 :3
54

Тест 15. Итоговый тест за курс геометрии 7 - 9

5 . Б окружности диаметра 10 м проведена хорда длиной 6 м.
Найдите расстояние в метрах от центра окружности до дан­
ной хорды.
Варианты ответов

3

6

.

2

3

4

5

2

5

4

1

В окружности диаметром 100 см проведены два её диаметра,
которые образуют угол, равный 60° . Найдите длину в санти­
метрах наименьшей стороны четырёхугольника с вершинами
в концах проведённых диаметров.
Варианты ответов

1

2

3

4

5

10

20

30

40

50

7 . Из точки М к окружности радиуса 1 м проведены две каса­
тельные МА и МВ, А и В — точки касания, угол АМВ равен
120°. Найдите АВ.
Варианты ответов

1

2

0,5

1

8

.

3

4

42 4з

5
Найти не­
возможно

Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на
рисунке. Все необходимые размеры указаны на рисунке.

Варианты ответов
1

2

£
CN
1
сч

6+я

3

242п

4

5

8-я

2 n/3
55

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

Ч а с т ь II
9

.

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и CD в
точках Р и Т соответственно. Докажите, что BP = DT.
Ответ:____________________________ .
10. В треугольнике ЛВС проведена средняя линия MN, причём
точки М и N лежат на сторонах АВ и А С соответственно.
Найдите сумму BM + MH +HN +NC +CB длин соответствую­
щих отрезков, если Н — основание высоты АН треугольника
АВС и периметр треугольника АВС равен 10.

Ответ:____________________________ .
11. Окружности с центрами в точках / и J не имеют общих точек.
Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит от­
резок, соединяющий их центры, в отношении 5 : 1 . Найдите
площадь круга, ограниченного большей окружностью, если
площадь меньшего круга равна 10 см2.

Ответ:_____________________________ .
Ч а с т ь III
12. Биссектрисы углов В и С трапеции ABCD пересекаются в точке
О, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка О равно­
удалена от прямых АВ, ВС и CD.

Ответ:_____________________________.
13. Через точку, лежащую во внутренней области прямоугольни­
ка, проведены прямые, параллельные его сторонам. Докажи­
Рз
те, что сумма Р, + Р3 периметров двух малых
прямоугольников, расположенных вдоль
Гг
диагонали данного прямоугольника, равна
периметру данного прямоугольника. Обозначим периметры
любых трёх из четырёх образовавшихся прямоугольников
/>1

56

Тест 15. Итоговый тест за курс геометрии 7 - 9

через Ри Р2, Р3. Выразите через них периметр четвёртого ма­
лого прямоугольника.

Ответ:____________________________ .
14. В круге радиуса г проведена хорда АВ, длиной г>/2 , и на
этой хорде как на диаметре построена полуокружность вне
исходной окружности. Найдите площадь фигуры, ограни­
ченной дугой АВ и полуокружностью, если г = 2.

Ответ:____________________________ .
Вариант 2
Часть I
1. Дан угол АО В, равный 150°. От луча ОВ отложен угол BOD
так, что луч OD проходит между сторонами угла АОВ и
ZA O D : ZBOD = 2 : 3 . Найдите величину ZA O D .
Варианты ответов
'■

Ш

Ё .

о

120°

3
О
СО

о^
оо

1

4

5

160° 25°

отрезке АВ выбраны две точки М и Т так, что
A M : МВ = 5 :7 и А Т : ТВ = 1 :5 . Найдите длину отрезка ГМ,

2 . На

если АВ = 24 м.
Варианты ответов________

1

2

1

3

зm
2

4

5

4

6

3 . На параллельных прямых а и Ь взяты точки А и В соответст­
венно, причём прямая АВ образует с одной из параллельных
угол 30° . Найдите АВ, если расстояние между параллельны­
ми прямыми равно 17.
57

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

Варианты ответов

1

2

3

4

5

17

34

8,5

5,1

1

4 , Дан квадрат ABCD и точка М, лежащая на стороне ВС, в два
раза ближе к С, чем к В. В каком отношении прямая AM делит
диагональ BD, если считать от точки В?
Варианты ответов_______

1

2

3

4

5

1 : 1 1 : 2 1 : 3 2 : 1 2 :3
5 . В окружности диаметром 26 м проведена хорда длиной 10 м.
Найдите расстояние в метрах от центра окружности до дан­
ной хорды.
Варианты ответов________

1

2

3

4

5

11

12

16

5

13

6 . В окружность вписан прямоугольник такой, что угол между
его стороной и диагональю равен 30L. Найдите диаметр ок­
ружности в сантиметрах, если меньшая сторона прямоуголь­
ника равна 100 см.
Варианты ответов

1

2

3

100 150 200

4

5

130

50

7 . Из точки М к окружности радиуса л/3 м проведены две каса­
тельные МА и МВ, А и В — точки касания, угол между кото­
рыми равен 60°. Найдите АВ. Ответ дайте в метрах.
Варианты ответов_____________

1

2

3

4

5

3

2

1

7з

Найти

58

невозможно

Тест 15. Итоговый тест за курс геометрии 7 - 9

8

.

Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на
рисунке. Радиус окружности равен 2, tga = 2 .

Варианты ответов

1

£

1

сч

о

- к

1

6

£

+к

5

CN

5

4

3
00

2

2

Ч а с т ь II
9. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и CD в
точках Р и Т соответственно. Докажите, что ВТ = DP.
Ответ:_____________________________ .
10. В треугольнике А В С проведена средняя линия MN, причём
точки М и N лежат на сторонах АВ и А С соответственно.
Найдите сумму МН + HN + NM длин соответствующих отрез­
ков, если Н — основание высоты АН треугольника А В С и пе­
риметр треугольника А В С равен 12.

Ответ:_____________________________ .
11 . Окружности с центрами в точках / и J не имеют общих точек.
Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит от­
резок, соединяющий их центры, в отношении 3 : 4. Найдите
площадь круга, ограниченного большей окружностью, если
площадь меньшего круга равна 1 8 см2.

Ответ:_____________________________ .
Ч а с т ь 111
12 . Биссектриса внутреннего угла А и внешнего угла при вершине
С треугольника А ВС пересекаются в точке О . Докажите, что
точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и А С .

Ответ:_____________________________ .
59

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

13. Через точку, лежащую во внутренней области прямоугольни
ка, проведены прямые, параллельные его сторонам. Докажи
те, что сумма р +Рз периметров двух малых
л

прямоугольников, расположенных вдоль
р,
р2
диагонали данного прямоугольника, равна
периметру данного прямоугольника. Обо­
значим периметр исходного прямоугольни­
ка за Р, а периметр одного из четырёх образовавшихся пря­
моугольников через Р} . Выразите через них сумму перимет­
ров трех оставшихся малых прямоугольников.

Ответ:_____________________________.
14. В круге радиуса г проведена хорда АВ, длиной rV 2 , и на
этой хорде как на диаметре построена полуокружность
внутрь исходной окружности. Найдите площадь фигуры, ог­
раниченной дугой АВ и полуокружностью, если г= 4.

Ответ:_____________________________.

60

ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ КОНТРОЛЬНЫЕ
ЗАДАЧИ
1.

Дан четырехугольник ABCD. М, N — середины сторон АВ и
CD соответственно. Докажите, что 2 МЫ = AD + ВС.

2.

Дан вектор АВ . Найдите геометрическое место точек С, та­
ких, что АВ АС = 1.

3.

Даны две окружности с центрами О, О] и радиусами R, R]
соответственно. Найдите геометрическое место точек М, та­
ких, что ОМ2-R 2= 0 }М2-R 2.

4*

Докажите, что отрезки прямой, пересекающей две концен­
трические окружности, расположенные между окружностями,
равны между собой.

5.

Две окружности пересекаются в точках А, В. Через эти точки
проведены две параллельные прямые, пересекающие одну
окружность в точках К, L, а другую в точках М , N. Докажите,
что KLMN — параллелограмм.

6.

Две окружности касаются внешним образом в точке А. К ним
проведена общая внешняя касательная ВС. Докажите, что
ABAC — прямой.

7.

Две окружности радиусов 2 и 3 касаются внешним образом.
Так же они вписаны в один и тот же угол. Найдите расстояние
между точками касания меньшей из окружностей со сторона­
ми угла.

8*

Равны ли два треугольника по двум сторонам и радиусу опи­
санной окружности?

9,

Равны ли два треугольника по двум сторонам и радиусу впи­
санной окружности?

10. Найдите сторону треугольника, если биссектриса, проведен­
ная к ней, равна 3V2 , а две другие стороны равны 4 и 6.
61

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

11. Найдите сторону треугольника, если медиана, проведенная к
ней, равна 1, а прилежащие углы — 30° и 4 5 °.
12. Найдите сторону треугольника, если медиана, проведенная к
ней, равна 1, а две другие стороны — 3 и 4.
13. Две окружности пересекаются в точках А и В. На одной из
окружностей взяли точку С. Прямые СА и СВ пересекают вто­
рую окружность в точках М, N. Докажите, что касательная к
первой окружности в точке С параллельна MN.

14. Стороны треугольника равны 6 и 8, а медианы, проведенные
к ним, перпендикулярны. Найдите третью сторону.
15. Отрезок, соединяющий основания высот AN и ВМ треуголь­
ника АВС , виден из середины стороны АВ под прямым углом.
Найдите угол С.
16. ABCDE — правильный пятиугольник. О — его центр. Докажи­
те, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, сим­
метричен точке О относительно АС.

17. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе пря­
моугольного треугольника с катетами 3 и 4.
18. Внутри угла 120° взяли точку, удаленную от сторон угла на
расстояния \/б и 2 у/5 . Найдите расстояние от нее до верши­
ны угла.
19. Даны координаты трех последовательных вершин параллело­
грамма: А (3 ; 4), В(4; - 8 ), С (-2 ; 1). Найдите координаты чет­
вертой вершины и косинус угла между диагоналями.

20 . Угол между векторами а, Ь равен 4 5 °, а их длины равны \[2
и 1 соответственно. Найдите угол между векторами а - Ь и
а +Ь.
2 1 . Через вершины А и В треугольника АВС проходит окружность,
пересекающая стороны А С и ВС в точках Вт и А } соответствен­
но так, что длина Ат В, = 3. Найдите радиус окружности, про­
ходящей через точки А ,, В1и С, если АВ = 6, ВС = 5, СА = 7.
62

Диагностические контрольные задачи

2 2 . В равнобочной трапеции одно основание равно 18 см, а
средняя линия 25 см. Определите расстояние от вершины
острого угла трапеции до ближайшей к ней точки вписанной
окружности.
2 3 . Из точки А проведены две секущие окружности радиуса R
так, что расстояние от центра окружности до каждой из се­
кущих составляет

rV3
. Определите площадь части круга, ко­
2

торая ограничена данной окружностью и расположена между
секущими.
2 4 . Произведение неравных высот параллелограмма равно Л .
а величина его острого угла не больше 60° и не меньше 4 5 °.
Определите наибольшее и наименьшее значение площади
этого параллелограмма.
2 5 . Высота и медиана, проходящие через вершину В треугольни­
ка АВС, лежат на прямых, которые заданы соответственно
уравнениями х + у - 2 = 0 и 2 х - у + 1 =0. Определите коор­
динаты вершины С, если А ( 1; - 2 ).
2 6 . Через вершины А и В треугольника АВС проходит окруж­
ность, пересекающая стороны АС и ВС соответственно в точ­
ках Р и Q так, что длина Q C = 2. Найдите радиус окружности,
проходящей через точки Р, Q, С, если АВ = 9, ВС = 15, СА = 8.
2 7 . В равнобочную трапецию, одно основание которой равно
8 см, а средняя линия — 9 см, вписана окружность. Определи­
те расстояние от вершины тупого угла трапеции до ближай­
шей к ней точки вписанной окружности.
2 8 . Из точки А проведены две секущие окружности радиуса R
так, что расстояние от центра окружности до каждой из се­
кущих составляет

V2 *

Определите площадь той части круга,

которая ограничена данной окружностью и расположена ме­
жду секущими.
63

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

29. Произведение неравных высот параллелограмма равно 12, а
величина его тупого угла не больше 135° и не меньше 120°.
Определите наибольшее и наименьшее значение площади
этого параллелограмма.
30. Высота и медиана, проходящие через вершину А треугольни­
ка АВС, лежат на прямых, заданных соответственно уравне­
ниями х - 2 у + 1 = 0 и 2х - у - 1 = 0 . Определите координаты
вершины В, если С (-4; 4).
31. В четырехугольнике ABCD на сторонах ВС и AD взяли точки Р
и Т соответственно так, что ZBPT + ZBAD = ZCDT + ZCPT = 180 °.
Докажите, что АВ параллельна CD.
32. Через вершину С треугольника АВС параллельно АВ прове­
дена прямая. На этой прямой выбрана точка М так, что пря­
мая, проходящая через точку М параллельно АС, пересекает
продолжение стороны ВС за точку С в точке Р. Докажите, что уг­
лы треугольника АВС равны углам треугольника МСР: ZA = ZM,

ZB = Z C ,Z C = Z P .
33. КМ — средняя линия треугольника АВС и РТЕ, причем точка Е
лежит на АС. Докажите, что:
а) вершина В принадлежит отрезку РТ;
б) АР параллельно СТ.
34. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О,
причем АО = ОС. Точка К — середина AD. Отрезок, соеди­
няющий середины отрезков ВК и ВО, равен 5 см. Найдите
сторону CD.
35. Точка М — середина стороны CD параллелограмма ABCD. В
каком отношении, пересекаясь, делятся отрезки АС и ВЛ4?
36. В трапеции ABCD отношение оснований ВС : AD = а : Ь. На
сторонах АВ и CD соответственно выбраны точки М и N так,
что AM : МВ = DN : CN = m : п. В каком отношении диагональ
BD делит отрезок A4N?
64

Диагностические контрольные задачи

37. Прямая а пересекает стороны АВ, ВС треугольника АВС и
продолжение стороны АС за точку С в точках М, N и Р соотu „
AM BN
АР
ветственно. паидите отношения ----- , ----- и — , если расМВ NC
PC
К
стояния от вершин треугольника до прямой а равны соответ­
ственно с/17 d2 и cf3.
38. На сторонах АВ, ВС, CD и AD четырехугольника ABCD вы­
браны точки М, N, К, L соответственно так, что AM : МВ =
= AL: LD = CN : NB = СК: KD = т : п. Определите периметр че­
тырехугольника MNKL, АС = a, BD = Ь.
39. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол В — тупой,
ВС = а, АС = Ь, диаметр окружности равен с/. Определите
расстояние от вершины С до прямой АВ.
40. Точки М и N лежат на сторонах AD и DC параллелограмма
ABCD так, что AM : MD = т : п, DN : NC = р : q. В каком отно­
шении, считая от точки В, отрезок MN делит диагональ BD?
41. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты А А } и
ВВ}. Известно, что АВ = с, ZABC = 60°. Найдите длину А }В}.
42. Диагональ трапеции делит ее на два равнобедренных тре­
угольника. Угол при основании одного из этих треугольников
равен 40°. Найдите углы трапеции.
4 3. Через точку пересечения диагоналей трапеции ABCD и сере­
дину боковой стороны CD проведена прямая, пересекающая
другую боковую сторону трапеции в точке F. Найдите отно­
шение A F : FB, если отношение оснований трапеции равно X,
причем 0 < X < 1.
4 4. В окружность вписаны трапеции ABCD и МВСК, причем
AD = МК, ZBAD = 40°, ZABM = 30°.
Найдите:
а) углы трапеций; б) гол между BD и МС; в) угол между ВК и МС.
65

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

45 . В трапецию ABCD с основаниями AD = 10, ВС = 5 вписана
окружность с центром в точке 0 }. Точка касания этой окруж­
ности со стороной АВ делит ее на отрезки AF = 4 и FB = 3.
Окружность с центром 0 2 касается отрезка CD и продолже­
ний сторон ВС и AD за точки С и D. Найдите расстояние меж­
ду точками касания этих окружностей со стороной CD.

46 . Основания трапеции равны 1 см и 4 см, а одна из ее диаго­
налей 6 см. Какой может быть длина второй диагонали этой
трапеции?

47 . Отношение углов А и В, прилежащих к боковой стороне АВ
трапеции ABCD, равно 2 : 3. Диагональ АС делит трапецию
на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапе­
ции.

48 . Определите радиус окружности, вписанной в ромб, если сто­
рона ромба 17 см, а одна из его диагоналей 30 см.

49 . Две окружности радиусов г, и г2 [г} < г2) расположены так, что
расстояние между их центрами равно d. Определите длины
их внешней и внутренних касательных, рассмотрев случаи:
а) d >г} +г2;
б) d = r1+r2;
в) r1- r 2