Игорь Фёдорович Шарыгин. К 70-летию со дня рождения [А. А. Заславский] (pdf) читать онлайн

ИГОРЬ ФЕДОРОВИЧ

ШАРЫГИН
К семидесятилетию
со дня рождения

ИГОРЬ ФЁДОРОВИЧ
ШАРЫГИН
к 70-летию со дня рождения

Составители: А.А.Заславский, В.Ю.Протасов,
Д. И. Шарыгин

Москва
Издательство МЦНМО
2007

УДК 51(07)
ББК 22.1
И26

И26

Игорь Фёдорович Шарыгин. К 70-летию со дня рожде-

ния / Сост. А. А. Заславский, В.Ю. Протасов, Д. И. Шар
гин. — М.: МЦНМО, 2007. — 304 с, 8 с. ил.
ISBN 978-5-94057-281-7

В книге собраны различные материалы, связанные с жизнью н
тельностью выдающегося п
е
д
а
г
о
г
а и учёного, популяризатора науки Иг
Фёдоровича Шарыгина (1937-2004), его с
т
а
т
ь
и и воспоминания о нём.
Отдельная часть книги содержит з
а
д
а
ч
и и подробные решения геом
ческих олимпиад им. И. Ф. Шарыгина, проводимых с 2005 года.
Книга п
р
е
д
н
а
з
н
а
ч
е
н
а для всех интересующихся вопросами математичес
го образования, школьных у
ч
и
т
е
л
е
й и р
у
к
о
в
о
д
и
т
е
л
е
й кружков.

ББК 22.1

ИГОРЬ ФЁДОРОВИЧ ШАРЫГИН
К 70-летию со дня рождения

Редактор Быкова М. Г.
Подписано в печать 15.04.2007 г.
Формат 60 X 90 '/i6. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Печ.
Тираж 1000 экз. Заказ JVbi356

Издательство Московского центра
непрерывного м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (495)-241-74-8

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Нау
119099, Москва, Шубинский пер., 6.

Книги и
з
д
а
т
е
л
ь
с
т
в
а МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая кн
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (495) 241-72-85. E-mail: ЫЬНовтссте.ги

ISBN 978-5-94057-281-7

© МЦНМО, 2007.

Оглавление
От с
о
с
т
а
в
и
т
е
л
е
й

4

И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней.
Избранные статьи и выступления

Ос
е
б
е
Ск
л
ё
н
а падают л
и
с
т
ь
я ясеня.. или Н
о
с
т
а
л
ь
г
и
я по 37 г
о
д
у
Г
д
е ошибка?
Откуда б
е
р
у
т
с
яз
а
д
а
ч
и
?
Нужна ли школе XXI в
е
к
а Г
е
о
м
е
т
р
и
я
?
О
б
р
а
з
о
в
а
н
и
еиг
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я
Н
е
с
т
а
н
д
а
р
т
н
ы
йс
т
а
н
д
а
р
т
О реформе образования, к
о
р
р
у
п
ц
и
ииг
е
о
м
е
т
р
и
и
Р
а
с
с
у
ж
д
е
н
и
яок
о
н
ц
е
п
ц
и
и школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и

6
47
52
89
116

1
13

Воспоминания об И.Ф.Шарыгине

Л. Н. Ерганжиева. Г
е
о
м
е
т
р
184
В.Ю. Протасов. Н
е
с
к
о
л
ь
к
о слов об Игоре Ф
ё
д
о
р
о
в
и
ч
е Шарыгине
В.М. Тихомиров. Об И.Ф.Шарыгине (осколки в
о
с
п
о
м
и
н
а
н
и
й
)
190
И. Б. Чернышёва. В
о
с
п
о
м
и
н
а
н
и
я об И. Ф. Шарыгине
19
В. В. Яблонская. Яблоки п
а
х
н
у
т жизнью
201
В. Ю. Протасов, В. М. Тихомиров. Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е шедевры
И.Ф.Шарыгина
202
Олимпиады им. И.Ф.Шарыгина

Первая о
л
и
м
п
и
а
д
а (2005)
Заочный тур
Финальный тур
В
т
о
р
а
яо
л
и
м
п
и
а
д
а (2006)
Заочный тур
Финальный тур
Т
р
е
т
ь
яо
л
и
м
п
и
а
д
а (2007)
Заочный тур

219
219
257
273
273
290
302
302

От составителей

13 февраля 2007 года исполняется 70 лет со дня рождения Иго
доровича Шарыгина (1937—2004). Эта книга является попыткой
дань памяти этому замечательному человеку, талантливому матема
и выдающемуся педагогу.
В первой части книги содержатся воспоминания Игоря Фёдо
ча и некоторые из его с
т
а
т
е
й и выступлений, посвященных п
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования. Особое внимание в этих работах у
элементарной геометрии, которая в
с
е
г
д
а была главной любовью
Фёдоровича.
Во вторую часть вошли воспоминания об Игоре Фёдоровиче е
лег, друзей, учеников. Здесь же приведены наиболее яркие из м
ленных придуманных им задач.
Вт
р
е
т
ь
е
й части собраны материалы г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х олимпиад, к
рые проводятся в память И. Ф. Шарыгина начиная с 2005 года.

о математике
и не только о ней

и.Ф,Шарыгин

Избранные

статьи и

выступления

о себе

Как-то в д
е
т
с
т
в
е я, Шарыгин Игорь Фёдорович, родившийся
раля 1937 года в Москве, отождествив самого себя со своим об
ем, или координатами, был поражён проницательностью своих роди
Каким образом они догадались, что я есть именно Игорь, а н
иной? Происхождение двух других координат было достаточно оче
Далее по анкете. Русский. Ранее беспартийный, ныне невер
Несудимый, а значит, и нереабилитированный.
Отец — уроженец Башкирии (родился под Стерлитамаком), из б
семьи. После 1917 года вступил в комсомол и стал первым се
укома Башкирии, был д
е
л
е
г
и
р
о
в
а
н на III съезд комсомола, тот са
выступал Ленин, вступил в партию и остался в Москве. (Ранее
революции в Уфе был стенд, посвященный моему отцу.)
Мать была седьмым или восьмым ребёнком в бедной ев
семье (всего было 11 детей, но многие умерли в младенческом
кажется, лишь пятеро дожили до зрелого возраста), проживав
революции за чертой оседлости в Гомеле. В начале 1920-х год
приехала в Москву с сестрой, больной раком, где и позна
с отцом.
До революции 1917 года возникновение подобных супружеских
было т
е
о
р
е
т
и
ч
е
с
к
и исключено. У нас дома по воскресеньям г
о
фаршированную щуку и сибирские пельмени. Возможно, главная з
а
большевиков перед Россией, как это ни кощунственно и циничн
или выглядит, как раз и состоит в г
е
н
е
т
и
ч
е
с
к
о
м улучшении ро
нации. Особенно поначалу, когда Россия превратилась в г
и
г
а
н
т
с
к
тёл, или, если угодно, тигель, в котором перемешались и переплав
смешивавшиеся ранее и не смешиваемые породы, т. е. социальны
Поколения, родившиеся в 1920-30-е годы, дали невиданное колич
классных учёных и деятелей искусства. И многие — в первом
К сожалению, и говна много оказалось. Селекционерами больше
оказались скверными. Особенно это ясно сегодня. Впрочем, гл
остальной мир, понимаешь, что с селекцией всюду плохо.

о себе • 7

К началу войны отец занимал о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
ы
й пост в систем
с
т
е
р
с
т
в
а финансов. После начала войны стал з
а
м
е
с
т
и
т
е
л
е
м нач
управления по финансированию с
т
р
о
и
т
е
л
ь
с
т
в
а оборонных объекто
ушёл добровольцем на фронт (лишь после т
р
е
т
ь
е
г
о заявления
сняли бронь) младшим лейтенантом в пехоту. Окончил войну
и демобилизовался.
Сначала снова дали высокую должность, но поругался с ми
Зверевым (послал на... Надо сказать, что отец в
с
е
г
д
а говорил:
можно с начальником, нельзя р
у
г
а
т
ь
с
я с подчинёнными) и был
на курсы повышения квалификации (у него п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и не было
вания), после окончания которых был значительно понижен в до
(переведён в район). До конца жизни был активным коммунисто
и самогонщиком (для личного употребления и тайно). Мать пос
дения (в начале войны) моей младшей сестры (ещё есть стар
нигде не работала. Никто из близких не был репрессирован, и
плакал, узнав о смерти Сталина. В настоящее время я живу
жена, два сына, 1974-го и 1976-го годов рождения. Все четверо
мехмат МГУ.
Математикой увлёкся с пятого класса. Учитель математики,
Илья Терентьевич, отправил меня на районную, а затем на г
олимпиаду, где я успешно выступил. Понравилось решать инте
задачи. В 9-м классе пошёл в кружок при МГУ (руководители
и Крылов). Наибольший успех в математике пришёл именно в
я сумел решить одну очень трудную задачу по элементарной м
(про точку Торричелли). Думал целую неделю. С тех пор пот
деградирую (в смысле математики).
В общем, я вполне самостоятельно (с добавлением кружка, шк
в счёт) занимался математикой и, естественно, пошёл на мехма
шёл собеседование (серебряная медаль) и поступил. Практически
задачи, предлагавшиеся мне во время собеседования, я знал. И
информировал экзаменаторов: «Эту задачу я тоже знаю». Очевидн
п
о
д
г
о
т
о
в
к
е мы пользовались одинаковыми книгами и информацией
правда, задал сам экзаменатор, укорив, что я быстро решил
задачу лишь потому, что знал её. Ошибся один раз на сам
и чисто школьной задаче, почему-то решив, что т
а
н
г
е
н
с — это
делённый на синус (я не понимал логики, почему это — танген
котангенс, а не наоборот), но мне это простили.
Памятные моменты учёбы? Их очень много. Но вылезают ка
пустяки. Как Вадим Аркин в течение пяти минут объяснял по
Блинову, что опоздал на две минуты 17 секунд. Блинов терпели
и подытожил: «Не будем мелочными. Запишем две минуты». Кста

8 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

же Блинов дал Рождественскому исчерпывающую х
а
р
а
к
т
е
р
и
с
т
и
к
у из
букв (!): «Вял».
Или как Стасик Кудрин сдавал на втором курсе зачёт по
с параметром Камынину. Сначала за него решали мы, находяс
ридоре и подсовывая решения под дверь, потом нам, не вед
помог Исаак Аронович Вайнштейн, решив задачу, с которой мы
усилиями не могли справиться. После чего Камынин и вовсе
и дал Стасу неберущийся интеграл. Когда мы указали ему на
красневшийся Камынин вышел в коридор), он заявил: «У меня
всё возьмёт». И тот таки взял интеграл, сделав замену х = \nt.
с удовольствием сообщил нам об этом, после чего поставил за
Или как Кузнецов получил по анализу-3 у Пал Сергеевича А
дрова сначала два, а на пересдаче пять, не сказав ни одного
в первый, ни во второй раз. Как я сам получил три по по
хотя просил поставить мне два и даже требовал задать для это
вопрос. Затем, наученный горьким политэкономическим опытом,
любимым учеником у преподавателя диамата Куроедова. Понимая
нормальным путём мне этот предмет не сдать, совершил ряд г
например, во время перекура притворился болельщиком «Спарт
При этом умудрился не выступить ни на одном семинаре. Прав
каждым семинаром говорил преподавателю: «Я дома подумал и
что Вы были правы». Попытался было на халяву сдать через
же Куроедову истмат. Билет списал. Но тот зачем-то дал допо
ный вопрос: «Когда возникли нации?». Мой ответ — «Давно» —
удовлетворил. С т
р
е
т
ь
е
й попытки я попал в цель — перечислил
нологическом порядке все известные мне общественные строи, п
добрался до капитализма. Преподаватель очень сожалел, что ни
может поставить мне пять и приглашал на пересдачу. Вообще,
сдача з
а
ч
ё
т
о
в и экзаменов по общественным дисциплинам, начина
чёта на первом курсе и кончая госом и даже вступительным в
и кандидатским, — череда курьёзов и пакостей (с моей стороны
Математикой, не считая учебной, во время учёбы практиче
занимался, а после второго курса занимался лишь в сессию.
пару раз на какие-то научные семинары, но, ничего не поняв,
этом сейчас весьма сожалею.
В общественной жизни п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и никакого участия не прин
Не имел нагрузок, не посещал собраний, не ездил ни в колх
раз поехал, но сбежал через два дня, вызвавшись сопровождат
Еремеева), ни на целину. После окончания мехмата был о
с
т
аспирантуре, причём не по той кафедре, которую кончал. По
старой памяти Коля Бахвалов, согласившийся стать моим руководи

о себе • 9

сначала дипломным, а затем и в аспирантуре. Удалось за
оставшийся до защиты месяц с
о
с
т
р
я
п
а
т
ь неплохой диплом. Одну
мне, по сути, подарил Бахвалов, а другую удалось доказать
тельно. Позже, когда я г
о
т
о
в
и
л первую публикацию. Бахвалов
вычеркнул благодарность себе.
После аспирантуры работал в МГУ. Сначала на мехмате,
на ВМК. Сдуру, а точнее спьяну, подписал, не читая, какое-т
в защиту Есенина-Вольпина, которое мне в вестибюле МГУ по
Ира Кристи. (Да ещё з
а
с
т
а
в
и
л подписать Кондратьева — проф
с кафедры дифуров.) В тот же вечер об этом письме сообщ
Америки». (Ира же уверяла, что письмо в родное ЦК, и пр
ничего не говорила.) Когда перечислялись подписи, я оказался
«и другие». Да и Кондратьев тоже. Оказались мелковаты для «
Но было бы нечестно утверждать, что подписание письма стало
причиной моего ухода из МГУ. После ухода из МГУ в 1972 го
начал новую жизнь.
Особых званий нет (кандидат и доцент на нашем курсе н
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
х наград и премий и вовсе никогда не было. Сей
некоторую международную позицию. Являюсь членом Исполкома
дународной комиссии по математическому образованию (1999-2002
В настоящее время числюсь (согласно записи в трудовой) заве
лабораторией геометрии в Московском центре непрерывного мате
ческого образования (вся лаборатория — это я сам). Есть и дру
работы, точнее зарабатывания. Основной источник доходов — авто
гонорары за книги. Всего издал порядка 40 книг. Все после
Рекордным стал 1995 год, когда у меня вышло не то 15, не
Главные — задачники и учебники для средней школы.
Сочинил много оригинальных задач (не одну сотню), публиков
ся в разных журналах и участвовавших в разных олимпиадах
но сказать, вернулся в детство. (Высшее достижение — две не
книжки для 2-го класса.) Раньше было много «хоббей»: собирал
держал э
к
з
о
т
и
ч
е
с
к
и
х животных, был болельщиком, ходил на иппод
в общем, много чего. Ну и конечно, и то самое, и это. Жи
тывая репетиторством. Старался во всём, чем увлекался, быть
сионалом.
Регулярных контактов с кем-то с нашего курса, по сути, нет
т
е
т
о
в не имею. Впрочем, в последние несколько лет увлёкся тво
Бродского. С моей точки зрения, его жизнь — чуть ли не еди
известный мне пример нравственной безупречности среди современн
По большому счёту. «Те, кто не умирают — живут до шестиде
семидесяти, бедствуют, строчат мемуары, путаются в ногах». Это

10 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

сказал Бродский. (Трагедия русского поэта в эмиграции — англ
вытесняет русский.)
Что сбылось? Вот, хотелось дожить до XXI века — это сбылос
можно, мог сделать больше, а может, наоборот, сделал больше,
В начале жизни есть много путей и выбор не в
с
е
г
д
а зависи
Много случайного. Я не верю тем, кто говорит, что, доведись
вновь прожил бы такую же жизнь. Хочется ещё кое-что сделат
много накопилось. Успеть бы отдать.

с клёна падают листья ясеня..
ИЛИ Ностальгия по 37 году

Се вид Отечества, лубок...
Пускай Художник, паразит,
д
р
у
г
о
йп
е
й
з
а
ж изобразит.
Иосиф Бродский

Человек! Это з
в
у
ч
и
т гордо
Из монолога Сатина
в пьесе Горького «.На дне»

Некогда в Никитском ботаническом саду можно было увидет
с табличкой: «Клён, посажен в 1937 году». В этом, 2002 году,
клёну должно исполниться один миллион лет и один год. (Соотве
в 2001 ему исполнился миллион.) А именно, 1 000001 год. В дво
исчислении. Чем не юбилей? Надеюсь, не посмертный.
1937-й год! Год, ставший символом эпохи. Им с
е
г
о
д
н
я пугаю
леньких детей в нашей стране: «Вот будете себя плохо вести
шаться дяденек-демократов не пить кока-колу, не учить английс
заниматься бизнесом, тогда в
е
р
н
у
т
с
я злые коммунисты и настане
год». И вообще, России как-то не везёт с 37-ми годами. Что п
в 2037 году, кроме 200-летия со дня гибели Пушкина и 100-лети
ного 1937 года? Недавно по т
е
л
е
в
и
з
о
р
у «говорил, ломая руки, кра
и баламут», описанный ещё Высоцким (серьёзным учёным досту
телевидение, как всегда, закрыт). Он утверждал, что примерно ле
40 наступит что-то вроде конца света. Может, это как раз в
и произойдёт? Бог любит троицу.
Но не один клён был посажен 1937 году. В том же году (и
раньше, или позднее) появилась на свет новая г
е
н
е
р
а
ц
и
я людей,
первое поколение Настоящих Советских людей. Потомки бедняков
гачей, аристократов и беспородных, героев и стукачей, русских и
и
н
т
е
л
л
и
г
е
н
т
о
в и разнорабочих, тюремщиков и узников. Стремител

12 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

сменившие друг друга эпохи: революция, гражданская война,
и, наконец, эпоха всеобщего единения, апофеозом которой стал
как в г
и
г
а
н
т
с
к
о
м тигле переплавили все эти разные и даже нес
материалы. Ничто так не объединяет людей, как общий страх, ох
все слои: от рабочих и к
р
е
с
т
ь
я
н до министров и маршалов
вс
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
и с законами природы в
о
з
р
а
с
т
а
л по мере приближен
г
о
в
у хищника-людоеда, но тем не менее многие стремились под
к этому логову поближе). Возникло новое этнографическое явле
Советский Народ. Был выведен новый вид млекопитающего: «
sovetiko». Правда, к счастью или сожалению, вид этот оказался
жизнеспособен. И с
е
г
о
д
н
я мы наблюдаем его постепенное вымира
Противоречивая г
е
н
е
т
и
ч
е
с
к
а
я информация, на основе которой с
ционировался «homo sovetiko», и стала в р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е причиной его
разрушения. Возможно, процесс саморазрушения вида «homo soveti
начался одновременно с процессом его формирования. Нынче на
щество болеет тяжёлым психическим недугом. К маниакально-реп
сивному психозу, от которого оно так и не излечилось (похож
и не излечится), добавились раздвоение личности (и не в трад
национальном сочетании мании величия и комплекса неполноценн
«я — царь, я — раб», а на вульгарно-примитивном уровне соци
бытовых и и
д
е
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
и
х рефлексов), расщепление сознания и
с
т
в
е
н
н
о
с
т
и (в р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е оказался разрушенным общественный вес
лярный аппарат), а также тяжёлая н
а
р
к
о
т
и
ч
е
с
к
а
я интоксикация мо
поколения. И это не может не о
т
р
а
з
и
т
ь
с
я на потомстве. Нет
уверенности, что на смену «homo sovetiko» не придёт и вовсе у
монстр, уже даже и не «homo».
И всё же, отбросим чрезмерный и не очень уместный сарк
за явление это — «советский человек»? Если мы попытаемся п
г
е
н
е
т
и
ч
е
с
к
и
й и спектральный анализ поколения 1937 года, то с
увидеть этот вид периода расцвета во всех его самых типичных
проявлениях. А как можно провести этот анализ? Кто может до
полно и объективно написать биографию поколения? Более все
кажают историю именно очевидцы. И дело даже не в том,
стирают память, что-то важное исчезает, а на поверхность вс
второстепенное. Очевидец способен исказить даже событие, случи
еся пять минут назад. Ведь худшая из неправд — это частичн
правда взгляда с одного бока. (Я вижу чёрную козу, говорит о
добавить, с правого бока.) Но знаем-то мы лишь эту, частичную
Нынче все занялись воспоминаниями (возможно, это «нынче»
тывает всю историю цивилизации). Как говорится, «размемуарил
Когда нечего сказать, но очень хочется, пиши мемуары. «Другие

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д

вому следу пройдут твой путь за пядью пядь...» Какая самоуве
Кому, на хрен, и
н
т
е
р
е
с
е
н твой путь? Тем более что путь эт
поражений и состоит. Или почти. Да и не скажешь ты всё
правды. Даже под пыткой. Иная правда унизительна.
Однако. (Можно ли начинать абзац с этого слова и дела
предложение?) Я пытаюсь понять смысл существования поколения
года. Хотя бы потому, что сам к нему принадлежу. Зафиксиро
«смысл» на бумаге. И не для потомков, а для самого себя. «По
и ты станешь...» Уже никем и не станешь, если до сих пор н
Главное — успеть отдать долги. Жизнь состоит из двух половин
половине мы живём в долг, а во второй — отдаём долги. Но
совсем не тем, у кого занимали. Занимали у отцов и матер
детям и внукам, занимали у учителей, отдаём ученикам. Давид
как-то воскликнул: «Благодарю своих учителей за то, что я не
обязан». (Он же добавляет: «Не доверяй ученикам, они испортят
Лучшей похвалы в адрес учителя придумать трудно. Учителя Са
выполнили свой учительский долг. «Не навреди». «Выяви суть».
вовремя».
Поколение 1937 года — уходящая натура. Постепенно, каким
неровными скачками редеют наши ряды. Мы стареем. «Здравс
моё старение», — воскликнул молодой Бродский. «А у старения
и положительные стороны», — говорим мы. Например, ноги пере
п
о
т
е
т
ь и не так воняют. Но ещё хочется чего-то, хочется
весне ухаживаешь за дамами, в душе надеясь получить реши
отказ. Начинаешь писать. И понимаешь, что за поколение ты в
е
о
к
р
е
с
т
н
о
с
т
ь самого себя.
И всё же... Детство моего поколения было озарено всполохом
кой Войны. Эта война задала поначалу и основной вектор раз
слишком сытые, учились мы с удовольствием. Пища духовная
хом компенсировала н
е
х
в
а
т
к
у пищи физической. Окончание школы
чти совпало со смертью Большого Тирана. Правда, о том,
именно Тиран, узнали мы гораздо позднее. А в тот момент мн
кренне, как и я, плакали. Дальше просто: институт-университет, р
Жизнь протекала в трёх измерениях: профессия, водка и анекдо
ещё и ч
е
т
в
ё
р
т
о
е — любовь. Но об этом, прикрываясь маской
мы не любили говорить. Вернее всё же сказать, цинизм был
кой, но защитной раковиной, в которой пряталось тело с
е
н
т
и
м
е
н
т
моллюска-интеллигента.
Нынче мы на каждом шагу сталкиваемся с маской цинизма.
раз это именно маска, пытающаяся скрыть лицо истинного циник
на маскараде, чтобы скрыть свою сущность, лучше всего одеть м

14 • И.Ф.Шарыгин о математике и не только о ней

ка. Нелепо благородному рыцарю маскироваться рыцарскими доспе
Плюс на плюс в жизни может дать минус.
Конечно, были и другие интересы: спорт, искусство. Что к
искусства, то интересовались всем: литературой, живописью, муз
«Советский народ — самый читающий народ в мире» — это п
Помнится странный диспут, наверняка санкционированный Высшим
ководством, — «физики и лирики». Диспут был явно надуман. Нас
лирики, знатоки искусств были как раз среди математиков и
Хочешь знать л
и
т
е
р
а
т
у
р
у — иди на мехмат. Но искусство, ли
образовывали некую общую атмосферу. Конкретными же координа
были отмеченные три. Именно в этих трёх измерениях наиболе
фокусировались и отражались процессы, приведшие к разрушению
в
е
т
с
к
о
г
о Союза.
Военное и научное развитие страны некоторое время после
Сталина продолжалось по инерции. Система, выстроенная при нё
продолжала работать и развиваться. Напрашивается забавная анал
Научные успехи Советского г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
а базировались на достиж
России царской. Научное развитие Советского Союза в послестал
период основывалось на системе, созданной Главным учёным всех
и народов. И лишь через десяток лет, когда Советский Союз
лел пик своего научно-профессионального развития, началась пр
сиональная деградация и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
й элиты, что и стало од
главных причин развала Советского Союза.

Профессиональные дилетанты

Дайте мне «Мою семью»!
Из современной телевизионной

рекламы

«Кадры решают всё», — говаривал Вождь Всех Народов. И эт
поведи верно следовал цепной пёс (приклеивая этот ярлык, я л
дую сложившейся терминологии) Берия, создавая военно-промышленн
комплекс. При этом он даже изредка нарушал другие важней
поведи: «Незаменимых людей нет» и «Нет человека — нет про
Профессионализм мог стать охранной грамотой, если, конечно,
носился к соответствующей, полезной для с
о
в
е
т
с
к
о
г
о государства,
деятельности. После смерти наводившего ужас хозяина, челядь, ка
ложено, быстро осмелела и даже обнаглела. Но страх засел в
Надо было выстроить систему безопас1Юсти для самих себя. Р
сивные устремления «органов» были ограничены сверху. Единствен
критерием отбора на верхних этажах власти стала личная пред

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 год

А КТО может быть более предан лично тебе, чем твои родс
Старый Хозяин не признавал даже самые близкие родственны
Новые признавали только такие. Но всякое общество выстра
сверху вниз по принципу самоподобия. Пробиться наверх только
высокого профессионализма стало почти невозможно.
«Нет, внучек, маршалом ты не станешь, у маршала свои
есть», — так о
т
в
е
ч
а
л на вопрос внука старый г
е
н
е
р
а
л из
анекдота. Страна подобно феодальному княжеству разделилась н
мейные кланы. «Не имей сто рублей, а женись как Аджубей
был девиз для тех, кто хотел сделать карьеру. Если вы по м
не знаете, поясняю: журналист Аджубей, женившись на дочери
Раде, в мгновение ока стал редактором «Известий» и одним
влиятельных людей страны. Его ещё прозвали «околорадский
Справедливости ради (или Рады) следует заметить, что Аджуб
определённо талантливым человеком, чего не скажешь об абсо
большинстве марьяжных карьеристов. Так что если говорить о
явлении, как «семья», то появилось оно ещё при Хрущёве, разв
Брежневе и доведено до крайности уже при Ельцине. Преемств
заметна.
Семейно-клановый строй, возникший в стране, не с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
о
в
а
новной форме собственности. Власть, должность, а с ними и ро
жизнь могли быть в один миг утеряны. Да и по н
а
с
л
е
д
с
т
в
хо передавались (генерал из анекдота выдавал желаемое за
тельное), особенно если наследники были бесталанны. Дядюшка
оставил после себя из личного имущества лишь галифе да т
остальное принадлежало государству, к коему и отошло. Новые
наученные горьким опытом старой номенклатуры, накопили изр
богатства. Но как их сохранить? Нужна была ч
а
с
т
н
а
яс
о
б
с
т
в
е
н
н
о
г
а
р
а
н
т
и
я незыблемости лично-кланового благополучия. А значит,
было менять г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
о
е устройство.
Другим, и основным, способом сделать карьеру было всту
в партию. «Для чего, Вася, ты вступил в партию?» — приставали
к приятелю. «Я вступил в партию для карьеры», — отшучивался
«Ой, врёшь, Вася, ты вступил в партию для карьеры!» Партий
также являлась хорошим средством реализовать себя вне профес
При этом новые партийцы практически полностью отказалис
нравственных принципов, которые свято соблюдали п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
е
л
и
рой гвардии. Возродилась почти забытая (и даже почти невоз
в сталинскую эпоху традиционная российская взятка. Взятка в
тании с партийностью стала необычайно эффективным способом
карьерных скачков. Борьба с партийными взяточниками велась, но

16 • И.Ф.Шарыгин о математике и не только о ней

своеобразный характер. Для каждой должности были свои ра
(в южных республиках, говорят, вплоть до с
е
к
р
е
т
а
р
я обкома
каждого уровня своя норма. Самым страшным преступлением
в
з
я
т
ь не по рангу. Некоторые принципиальные партийцы даже
платить (а может, и платили) партвзносы со взяток. Это, к
также не способствовало повышению профессиональной квалифика
кадров.
Впоследствии, когда наступила перестройка, члены партии с
сделать очередной карьерный рывок, торжественно выйдя из парт
шло даже до публичного сожжения партбилета по телевиден
сути, они использовали партию дважды, вступив в неё и выйд
Коммунисты ещё раз доказали, что партия была и о
с
т
а
ё
т
с
я п
отрядом нашего общества. И когда кто-то говорит, что после
Союза благодаря свободе и рынку все мы получили равные воз
х
о
ч
е
т
с
я сказать: «О каких равных возможностях вы говорите, есл
б
е
г
у
нс
т
а
р
т
о
в
а
л на круг впереди другого, да к тому же он м
сил, а его соперник уже стар и ещё не отдышался от и
з
н
марафона по жизни?» И даже хуже, когда был дан знак для
старта, выяснилось, что призовой фонд уже весь разворован.
Забавно, что все эти карьерные партийцы, отрёкшись от п
отказались ни от должностей, полученных благодаря партии, ни о
ни от учёных степеней. Правы были старые партийные бонзы, н
своих сынков и внуков по научной стезе. Научное звание н
И проводят у нас сегодня рыночные реформы крупные учёные
тившие диссертации, в которых доказывали преимущества колхо
земледелия перед фермерским и плановой экономики перед рын
Профессиональные дилетанты, воспитанные с
о
в
е
т
с
к
о
й властью, пор
дённые ею (здесь я имею в виду также небольшую категори
о которой скажу в следующем абзаце), встали у руля Новой
и приступили к с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
м
у грабежу, в коем всё же прояв
тинный профессионализм.
Ещё об одном мелком, но забавном явлении, развившемся
застоя, следует сказать. Речь идёт о движении диссидентов, т
комыслящих. У диссидентов было две точки опоры, две ноги:
Западе, точнее в США, а другая — в Союзе, в КГБ. С точки
КГБ, если бы диссидентов не было, то их стоило бы придумать
но, так оно и было. С исчезновением «врагов народа» огромная
«специалистов» оказалась не у дел. Представьте себе, у вас
свора свирепых псов. Ведь её надо держать в боевой форме,
тренировать. Наконец, хорошо кормить. А с другой стороны, бо
часть диссидентов подкармливалась с Запада, была ориентирован

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д
у

эмиграцию. И участие в диссидентском движении было удобным
бом набрать очки, чтобы получить хорошие позиции после эмиг
Самые удачливые добились высылки. Но таких было всего не
(Были, конечно, и исключения. Ярчайшим является гениальный
ский.) Диссидентство для большинства инакомыслящих было чут
не единственным средством добиться определённого жизненного ус
поскольку среди них были в основном люди, не достигшие боль
хов в своей профессиональной д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
и или не сумевшие
карьеру иным, более стандартным путём. Помню одного начина
учёного, который не был принят в партию, после чего пошёл в
и эмигрировал. В самом КГБ проблемами диссидентов занималась
шая армия работников, далеко не высшего сорта. (Специалисты
лись внешней разведкой, ловили настоящих шпионов, раскрывали
ры.) Возник своеобразный симбиоз — одна к
а
т
е
г
о
р
и
я непрофессион
оправдывала существование другой. При этом, подобно тому, к
нередко бывает в природе, когда один из симбиотической пары
хищником, сосуществование это было не бесконфликтным. Но, пов
диссиденты и КГБ были нужны друг другу. А также Западу, кот
уникальную возможность за гроши разрушать изнутри своего осн
с
т
р
а
т
е
г
и
ч
е
с
к
о
г
о конкурента.

И сегодня, когда вчерашние диссиденты приезжают к нам «от
в роли духовных пастырей, поучают с экранов т
е
л
е
в
и
з
о
р
о
в и
страниц, как нам жить, принимают премии от восторженной д
тической общественности и лобызаются с властью, когда преста
и несгибаемый лидер Хельсинкской группы с
г
и
б
а
е
т
с
я в подобостра
поклоне перед полковником КГБ, я не удивляюсь, а говорю: чт
бовалось доказать.

А как мы пили молодыми

Всем погибшим в н
е
р
а
в
н
о
й
с
х
в
а
т
к
е с Зелёным Змием

Борьба с пьянством стала ещё одной причиной разрушения со
власти. Мудрый вождь, обладавший абсолютной властью, всё же
мал: нельзя з
а
м
а
х
и
в
а
т
ь
с
я на святое. И его наследники первое
занимались борьбой с пьянством. Ну, вводили о
г
р
а
н
и
ч
е
н
и
я на пр
лишь с одиннадцати утра и до семи вечера. Так это только
пьющую публику. Любой профессиональный алкаш знал, как, где
сколько можно достать водку в любое время суток. Ну, цены п
Народ кряхтел, но держался. Многим пьющим даже удавалось и
что-то донести из получки.

18 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Алкогольная политика в России — важнейший инструмент идео
ческого и экономического управления страной. Здесь важно найт
мальный режим. Слишком закрутишь г
а
й
к
у — может в
з
о
р
в
а
т
ь
с
я
Полностью откроешь клапан — выйдет весь пар и механизм п
е
работать. Разрушая семейный бюджет, пьяницы наполняли дохо
часть бюджета государственного. «Что будет, если все пьяницы
в течение хотя бы недели откажутся от выпивки?» — спрашивал
вокруг молодёжь опытный пьяница, выпив стакан водки. И сам
вечал: «Страна развалится!» И поэтому, когда во второй половин
X годов началась безумная а
н
т
и
а
л
к
о
г
о
л
ь
н
а
я кампания, я понял:
всё, это — агония режима. Создалась революционная ситуация, но
модификации. Весь народ, и верхи и низы, сплотился против н
кучки высших р
у
к
о
в
о
д
и
т
е
л
е
й страны.
Да, конечно, недовольство пьющих народных масс постепенно
За 15 лет, предшествовавших началу а
н
т
и
а
л
к
о
г
о
л
ь
н
о
й кампании, це
водку выросли многократно по сравнению с началом 1970-х годо
цены стабилизировались на отметке 2 р. 87 коп. за пол-литра и
за четвертинку. Это был период расцвета. «Мне 2,87 и одну
в рыбный». (Это за кильки.) Такую просьбу в кассе можно
сматривать как претензию на остроумие. В математическом фоль
появились даже соответствующие задачи. Например. Большая се
и маленькая вместе стоят 2 рубля. Сколько стоит большая с
(Ответ: большая селёдка стоит 51 копейку. Понятно, почему?) К
заметил, что l,49^^'^ = к с большой точностью. Это ли не яв
д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о
м сбалансированности с
о
в
е
т
с
к
о
й экономики того пери
Пол-литра стало основной и вполне свободно конвертируемой в
в стране. Во всяком случае на бытовом уровне. Старички и ста
помощью поддерживали своё существование, расплачиваясь за у
сантехников или даже подторговывая.
Вообще феномен российско-советского пьянства весьма и
н
т
е
р
е
и ещё ждёт своего исследователя. Но, боюсь, так и не дождёт
точно и сдержанно показан этот феномен в т
в
о
р
ч
е
с
т
в
е Высоцког
поэзия. Принято рассматривать произведение В. Ерофеева «Моск
Петушки» чуть ли не как энциклопедию с
о
в
е
т
с
к
о
г
о пьянства п
з
а
с
т
о
я (запоя, з
а
с
т
о
л
ь
я или чего ещё). На мой взгляд, это
но поверхностная и вредная зарисовка (а вот повесть Виля
«Серая мышь» следовало бы и
з
у
ч
а
т
ь в школе), сделанная чело
для которого пьянство — некая р
а
з
н
о
в
и
д
н
о
с
т
ь спорта, развлечени
ловеком, ещё не нырнувшим в его страшные глубины, из котор
кто возвращается живым и в здравом уме. А уж тех, кто смо
долгую жизнь, оставаясь на высоком уровне в пьянстве и пр

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д

И вовсе единицы. Я знаю лишь одного. Конечно, пьянство не
российское явление. На Западе также пьют. Прочитайте хотя бы
Стейнбека «Квартал Тортилья-Флэт» (и сравните с повестью «Мос
Петушки»). Прекрасное произведение и не вредное для нашего
поскольку всё происходящее в п
о
в
е
с
т
и воспринимается как некая
И всё же есть существенная разница между тем, как пьют
и тем, как пьют в России. Главное состоит в том, что на За
лыми дозами и с удовольствием. В России стаканами, но с отв
На Руси пили всегда. Достижением советской власти можно с
ч
и
теллигентное, а вернее, и
н
т
е
л
л
и
г
е
н
т
с
к
о
е пьянство, а ещё точнее, п
научно-технической интеллигенции, поскольку артисты и писатели
издавна и помногу. Для с
о
в
е
т
с
к
о
г
ои
н
т
е
л
л
и
г
е
н
т
а пьянство стало
в
н
у
т
р
е
н
н
е
й эмиграции. Здесь можно выделить несколько стадий.
Обычно и
н
т
е
л
л
и
г
е
н
т
с
к
о
е пьянство н
а
ч
и
н
а
е
т
с
я на с
т
у
д
е
н
ч
е
с
к
о
йс
как забава, бравада, демонстрация сил, которых в избытке, а
некуда, с шутками и приколами. Для выпивки нужен повод? Вели
Покупаем шнурки. Вот и повод. Покупку нужно обмыть. Или
ситуация. Купили в общежитии новый радиоприёмник. Опять же,
надо обмыть. Обмыли. Не хватило выпивки, а денег нет. Загна
приёмник за треть цены и продолжили пьянку-гулянку. Студенты
матики придумали понятие «производная от пьянки». Под этим т
понималась стоимость оставшейся пустой посуды. Пьянка считалас
щественной», если её ч
е
т
в
ё
р
т
а
я производная была положительной
Взрослеем. Пошли на работу. Денег не прибавилось. Основным
общения и пития с
т
а
н
о
в
и
т
с
я в те годы знаменитое «на троих».
из-за н
е
д
о
с
т
а
т
к
а общедоступных питейных заведений. Вопреки за
математики бутылка водки легче всего делилась на три равные
явилось понятие «строить». Впрочем, многие считают, что его п
Владимир Владимирович (Маяковский). Помните его строку: «Я с
ми, кто вышел строить». Притягиваемые друг к другу особым
три личности мужского пола, как мотыльки, сходились в некое
магазина, и один из них произносил сакраментальное чапаевско
рублю!» Или же другой вариант. Входя в магазин, жаждущий нам
в
з
г
л
я
д
о
м находил одиноко стоящего человека, державшего напока
пальца. Он молча становился рядом, уже показывая один палец
появлялся и третий приятель. Зачастую тут же подскакивал и че
но заметив, что является лишним, спокойно занимал освободив
позицию и поднимал руку, демонстрируя два пальца.
Далее события развивались обычным путём. Запасшаяся един
горючего, наша тройка находила в ближайшем сквере «стаканод
теля». Этот человек выдавал напрокат стакан, за что получал

20 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

ИЛИ почти пустую тару, а также «чаевые» в виде оставшейся на
жидкости. Несмотря на то что разливали и пили по очереди,
объёмы совпадали до миллилитра. Так что не было никакой
мости выпускать специальные бутылки с двумя рисками. Как п
один рационализатор.
Пили обычно либо «под мануфактуру» (занюхивали рукавом),
под хлебную корочку, либо под леденец. После распития не п
сразу уходить. И если какой-нибудь спешивший п
о
л
у
и
н
т
е
л
л
и
г
е
н
т
после выпитого стакана разворачивался и пытался уйти, его то
«Куда? А поговорить!» Должность «стаканодержателя» была прест
ной. Почти руководящей. Работа здоровая, весь день на свежем
и вполне доходная. Можно было даже иметь надбавку «за сте
Учёных уважали. Рассказывают, что в церемонии «на троих» о
принял участие Джон Стейнбек. Произошло это в известном мо
районе под названием Марьина роща. (Известный писатель не
в
о
с
х
и
т
и
т
ь
с
я столь романтическим названием.) Об этом писатель
бы рассказал в своих заметках о путешествии в Россию. Не
читал, но охотно верю. Если же возникало более организованное
чивое сообщество граждан, желающих выпить в спокойной и ком
обстановке, то, запасшись «горючим» в гастрономе, компания напр
лась в ближайшую точку общепита. Своеобразный банкет прио
особую пикантность, если над столиком висело объявление: «Прин
и распивать спиртные напитки строго запрещается».
Простое пьянство переходило в более серьёзную стадию, ког
никал устойчивый синдром похмелья (абстиненция, говоря научным
ком). Характерные признаки. Сильное дрожание рук (тремор ил
лельс», в честь и
з
в
е
с
т
н
о
г
о пианиста), иногда сопровождавшееся
сотрясением всего тела (так называемый зусман, точное проис
ние термина мне неизвестно; похоже, был такой джазовый му
Тошнота по утрам. Пьяница начинал регулярно похмеляться и
дил в категорию алкоголиков. Водка становилась уже лекарством
я как-то утром в аптеку», — рассказывал один уважаемый алкаш
кую аптеку?» — и
н
т
е
р
е
с
о
в
а
л
и
с
ь неофиты. «Как в какую? В гастр
Однажды, помнится, продавщица в гастрономе сделала замечание
тому в лохмотья и трясущемуся субъекту, покупавшему на пос
деньги бутылку. Мол, лучше одежонку себе справил бы. На это
субъект резонно ответил, что здоровье дороже.
Процесс похмеления существенно о
т
л
и
ч
а
е
т
с
я от процесса п
Здесь самое главное, чтобы не вылетела, прижилась первая доза
поэтому она должна быть небольшой. Иногда эта первая доза
раз путешествовала от зажатого рукой рта до желудка и обратн

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д
у

з
а
т
и
х
а
л
а в нижней точке. (Помню одного рыдающего алкоголика
рый поутру втайне от коллег выкушал чекушку и не удержал е
с
о
ч
у
в
с
т
в
и
я он, конечно, не дождался. Принцип товарищества в
с
е
г
г
л
а
в
н
о
й чертой с
о
в
е
т
с
к
о
г
о человека, а пьющего — тем более.)
первой дозы можно было уже спокойно продолжать лечение. Д
до нужной кондиции. После чего возникала потребность в очере
опохмелиться. Один пьяница, не просыхавший почти год, говор
выпил он лишь один раз, год назад, а с тех пор только пох
Было известно о существовании и номенклатурного пьянства.
было на уровне слухов. Лишь после того, как Ельцин стал п
стали понятны отличия между народным пьянством и номенк
ным. Главное различие вовсе не в к
а
ч
е
с
т
в
е потребляемых пр
Номенклатурный пьяница не с
т
е
с
н
я
е
т
с
я никого, стоящего ниже
и
е
р
а
р
х
и
ч
е
с
к
о
й лестнице (вспомните рабовладельцев, спокойно сп
лявших е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
у
ю нужду в п
р
и
с
у
т
с
т
в
и
и рабов). А поскольку
занимал высшее положение в стране, то он никого вообще не
(Простой пьяница нередко похмеляется ещё и потому, что ему
перед всем миром.)
Помимо водки к элитным напиткам среди простых людей отн
спирт и одеколон. Самогон в городе был редким зверем, поско
ли его партийцы и беспартийные исключительно для лично в
н
у
потребления. Продавать его было столь же опасно, как и заним
лютными операциями. Молодёжь по недомыслию потребляла также
возможные портвейны и «плодово-выгодные» вина. Спирт пили ме
работники элитных КБ и северяне. Онвходил в категорию с
т
р
а
т
е
продуктов, и достать его было непросто.
По поводу одеколона существовали разные мнения. Были люб
предпочитавшие его водке с точки зрения вкусовых к
а
ч
е
с
т
в и
тивности. Чем меньше величина, полученная после деления сто
продукта в рублях на объём в литрах, умноженный на крепость
сах, тем эффективность напитка выше. Знаменитый «Тройной одек
поступавший в сельпо, разбирался в мгновение. Этот же одекол
важной составной частью северного завоза. Регулярное пьянство —
ка не очень дешёвая, даже если потребляешь одну водку бе
(Закуска лишь ослабляет эффект.)
Понятно, что возможности получения постоянной работы для а
очень ограничены. Хотя и говорят, что мастерство не пропьёш
и не продемонстрируешь в состоянии глубокого опьянения или же
похмелья. Отсутствие fjener вынуждало переходить на всякие сурро
Экспериментальным путём решалась задача линейного (или динам
ского) программирования — максимальный кайф за минимальные де

22 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Пили всё, что льётся. Из политуры путём добавления соли и
ния и
з
г
о
т
о
в
л
я
л
и «болтушку», которая либо полностью сжигала же
либо превращала его в саркофаг На химфаке МГУ, следуя
ям Менделеева, р
а
з
р
а
б
о
т
а
л
и технологию по использованию клея
(Я даже знаю к
о
н
к
р
е
т
н
о
г
о человека, который р
а
з
р
а
б
о
т
а
л эту
технологию, но, по скромности, не з
а
п
а
т
е
н
т
о
в
а
л своё открытие
это крупный учёный.) Потребляли тормозную жидкость, средство
тения ног. Лётчики на Севере, рискуя собственными жизнями и
пассажиров, пили антиобледенитель. Не знаю, как там насчёт
комсомолки», — скорее это фантазия Венички, уж больно сложна
логия, но кружка пива с «тремя пшиками» хлорофоса била нап
Где-то в середине шестидесятых появились первые признаки на
нии. Конечно, и раньше покуривали анашу, «ширялись», но как-т
роне от главных дорог. В уголовной среде был распространён
(50-граммовая пачка чая на стакан воды). Отнести «чифирь» к
рии наркотиков сложно. Ведь чай продавался и продаётся сов
открыто.
Надо прямо сказать, что наркомания и алкоголизм — трудно
емые явления. Да и российскому м
е
н
т
а
л
и
т
е
т
у наркомания плохо
в
е
т
с
т
в
у
е
т ввиду о
т
с
у
т
с
т
в
и
я должного ритуала. Так что за её
распространение среди сегодняшней молодёжи мы должны «благ
рить» прежде всего цивилизованные страны, к числу которых
пока ещё (к счастью?) не относится. Российская наркомафия сфо
валась по западным образцам, после того как стараниями рефор
демократов была уничтожена иммунная система, худо-бедно фун
нировавшая при коммунистах (её составные части: правоохранител
органы, медицина, образование).
Начавшаяся же в шестидесятые годы наркомания имела наи
примитивную и даже безобидную (по сравнению с наблюдаемой с
форму. Алкаши начали и
с
п
о
л
ь
з
о
в
а
т
ь некоторые медицинские препа
жидкие или в виде таблеток («колёса»), в к
а
ч
е
с
т
в
е заменителя
или же для усиления его действия. Один дедуля, моложе меня
него, любил со вкусом закусывать аспиринчиком. Обычно же и
зовались более действенные препараты. В те блаженные годы э
являлся стандартным средством от насморка, кодеин можно было
в аптеке без рецепта. Особо одарённые умудрялись ловить кайф
пургена. А полтаблетки намбутала и полстакана водки по действи
няли литр водки и обеспечивали полную интеллектуальную дегра
в кратчайшие сроки.
Но настоящим лицензированным алкоголиком человек становил
пройдя соответствующий курс лечения. Имелись две возможности

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 году

чения: амбулаторно и стационарно. А также два типа лечения
каментами и психологическим воздействием, внушением. Скажу п
в п
с
и
х
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
и
е методы лечения я не верю, как, впрочем, и
Помню рассказ одного пьяницы, который, пройдя курс гипноза, н
время воздерживался от употребления. Затем он в
с
т
р
е
т
и
л в центр
вы своего гипнотизёра. И на радостях они вдвоём крепко «загу
Где-то в 70-е годы появились и первые специалисты по коди
от алкогольной зависимости. Их методы были ориентированы и в
малограмотных, коих среди с
о
в
е
т
с
к
и
х алкашей не было совсем.
при расцвете демократии такие вроде появились вновь.) При
ментозном лечении было два типа медикаментов. Одни должны
вырабатывать устойчивую рвотную реакцию на алкоголь. Другие
несовместимы с алкоголем. Человек не мог пить под страхом с
В амбулаторном варианте главное действие происходило прим
по следующему сценарию. Небольшая группа алкашей рассажива
вокруг ведра. После чего медперсонал обходил эту группу с д
носами. На одном стояли стаканы с водкой, а на другом — с
под названием «буренковка» (по всей видимости, по фамилии
составившего рецепт этого напитка). Каждый из пациентов брал
руку с
т
а
к
а
н напитка, а в другую — стакан водки. Некоторые
в
з
я
т
ь два стакана водки, но такие попытки пресекались на ко
полагалось выпить сначала стакан «буренковки», затем стакан
и приступить к процедуре заполнения ведра. Те, у кого рвотный
был ослаблен, пили в больших к
о
л
и
ч
е
с
т
в
а
х воду. После несколь
ких сеансов у начинающих алкоголиков развивалось стойкое отвр
к водке (обжегшись на молоке, дуем на воду), и, когда у ни
ной раз появлялось желание в
с
т
у
п
и
т
ь в неравную с
х
в
а
т
к
у с
недугом, они ложились в стационар.
Стационарное лечение было бесплатным (о, славная с
о
в
е
т
с
к
а
я
дицина!) или почти бесплатным, поскольку каждый пациент долже
сдать несколько бутылок водки для обеспечения курса лечения (в
за время лечения не выпивалась и становилась достоянием медп
•ла), продолжалось 30—40 дней и рассматривалось некоторыми вет
нами а
л
к
о
г
о
л
ь
н
о
г
о фронта, успевшими пропить всё что только
включая паркет в квартире соседа, как заслуженный отдых, почти
Работающие и
н
т
е
л
л
и
г
е
н
т
ы при выписке из клиники получали бюл
с загадочным диагнозом: pseudodipsamania (непонятно, почему pseudo
Проходило лечение в два этапа. На первом этапе снималась
кация, возникшая вследствие неумеренного употребления алкоголя.
тем приступали собственно к лечению. По сравнению с амбулато
арсенал методов был более широк. Помимо уже и
з
в
е
с
т
н
о
й «бурен

24 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Вк
а
ч
е
с
т
в
е рвотного использовался также лейкоподий (настой спо
маньчжурского, то ли ещё какого-то плауна). Этим средством по
ещё русских купцов при царе-батюшке, выводя их из запоя.
это считалось более эффективным по сравнению с «буренковко
это и сомнительно, поскольку советский и
н
т
е
л
л
и
г
е
н
т был более
и закалён, чем купец времён проклятого царизма. Главное же, ле
являлся э
к
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
и чистым продуктом. Никакой химии. Использо
также и трихопол (он же метронидазол). Причём по системе и
диных дозах. Так что пациент, имевший в своём букете трихом
многие об этом даже и не подозревали), мог заодно избавитьс
напасти, впрочем не слишком его беспокоящей.
Другой тип медикаментов использовался, чтобы у пациента
ботался страх смерти от употребления алкоголя. В те времен
к
а
ч
е
с
т
в
е использовался антабус (он же тетурам). Процесс лечен
ходил следующим образом. Сначала организм пациента насыщался
чение некоторого периода антабусом. Затем устраивалась «провок
Больному п
р
е
д
л
а
г
а
л
и выпить водочки. Если реакция была осл
устраивали ещё одну «провокацию», а в случае надобности и
пока не доводили испытуемого до кондиции. Например, нижнее
падало почти до нуля, или даже наступала клиническая смерт
приступ купировали (кстати, с помощью обычной синьки, которой
синили бельё) и ч
е
л
о
в
е
к
у объясняли: вот что с тобой будет, есл
а мы, врачи, будем далеко. Но все эти провокации имели еди
следствие. Они губили здоровье пациента, печень и сердце, лу
бого алкоголя. «Потихоньку тает печень, / сердце бег свой т
/ Чем лечить свои увечья? / Кроме водки, вроде нечем. / И о
паразит». Так писал неизвестный поэт на досуге между двумя
циями».
И кроме того, как вывести постепенно накопившийся в орг
антабус, знали все уже на следующий день после поступления
Особо нетерпеливые использовали более суровый способ. Они
выписки подъезжали к родному дому (т. е. клинике) с бутылко
которую выпивали у порога приёмного покоя. В случае чего,
поспевала во время. Были и такие, кого не забирал и антабу
видимости, они попали в алкогольную клинику по ошибке. Их сл
бы взять в отряд космонавтов. Я знавал одного гиганта, испо
шего завалявшуюся в кармане т
а
б
л
е
т
к
у антабуса в к
а
ч
е
с
т
в
е
после приёма стакана (или более профессионально: стаканА; сра
компАс).
Одним словом, эффективность всех средств лечения была в
низкой. Период ремиссии иногда исчислялся лишь временем, за

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д
у

вышедший на свободу с абсолютно чистой совестью человек
д
о
е
х
а
т
ь до обжитых краёв. И всё-таки были и такие, кто с
н
о
в
и
т
ь
с
я и завязать. И даже через длительное время начать п
лизованно. Но не благодаря лечению, а вопреки ему. В больн
у тебя сохранились о
с
т
а
т
к
и интеллекта, можно было, сняв инток
остановиться, передохнуть, обдумать свою жизнь и на самых на
примерах увидеть своё будущее в случае, если не изменить об
Список антиалкогольных учреждений будет неполным, если не
мянуть о так называемых ЛТП (лечебно-трудовых профилакториях
была разновидность тюрьмы, куда следовало направлять по р
суда на несколько лет. На самом деле решение суда определя
вый уполномоченный. ЛТП представляли маленький островок и
з
в
е
с
Архипелага. О том, что там происходило, и
з
в
е
с
т
н
о очень мало
зрения правозащитников они не попали из-за о
т
с
у
т
с
т
в
и
я заказа
Живых же с
в
и
д
е
т
е
л
е
й уже, наверно, и не осталось ввиду пов
смертности среди много пьющего населения.
Для полноты картины о
с
т
а
ё
т
с
я добавить одну деталь. Самым
кальным средством з
а
в
я
з
а
т
ь с пьянством было «зашиться». Че
под кожу зашивали некий препарат. Назывался он, кажется, «эсп
Или попросту «спираль». Насколько я понимаю, это была нека
видность антабуса продлённого действия. Операции «зашивания» п
шествовал настоящий обряд. Больной давал расписку, что предуп
о возможности летального исхода в случае употребления алкогол
Более простым по сравнению со «спиралью» вариантом считала
называемая торпеда. Нужный препарат вводился в кровь. Нередко
ко, некоторым наиболее ненадёжным (а были ли надёжные?) вшива
вводили так называемое плацебо (латинское placebo буквально озн
'понравлюсь'). А именно, под видом а
н
т
и
а
л
к
о
г
о
л
ь
н
о
г
о препарата ис
зовалось какое-нибудь вполне безобидное средство, вроде витамин
только пациенты прознали про возможность «плацебо», а произош
сразу же, эффективность подобных методов значительно снизилась
возникла новая разновидность «русской рулетки».
Сегодня методика «плацебо» широко распространена в эконом
и политике, в р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е последних п
р
е
з
и
д
е
н
т
с
к
и
х выборов мы по
г
и
г
а
н
т
с
к
о
е «плацебо». Это особенно кажется верным, если всп
первоначальное значение этого слова.
Справедливости ради следует сказать, что хотя наркологич
служба и входила в систему советской психиатрии, славящейся
репрессивным характером, по отношению к алкоголикам она выгл
сверхгуманной. И это вполне объяснимо, если вспомнить определ
душевнобольного, данное в вышедшей в 1920-е годы книге П. И.

26 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

«Творчество душевнобольных и его влияние на развитие науки
ки». (Эту книгу, похоже, до сих пор не переиздали. А жаль
определение: «Душевнобольным с
ч
и
т
а
е
т
с
я тот душевнобольной, кото
вступил в конфликт с обществом». (Как говорится, без коммент
И ещё. Один глубоко и вдумчиво пьющий человек решил п
инвалидность с диагнозом шизофрения. Собрали консилиум для в
ния о
к
о
н
ч
а
т
е
л
ь
н
о
г
о приговора. Один из профессоров спросил к
«А как Вы сами считаете. Вы человек нормальный или нет?»
о
т
в
е
т
и
л экспромтом (так он уверял): «Вопрос имеет злую форму.
покажется коварен. / Ведь если Вас принять за норму, / то я
ненормален». Желанное с
в
и
д
е
т
е
л
ь
с
т
в
о было получено. Эту истори
р
а
с
с
к
а
з
а
л её герой. И я ему верю. Главное — что принять
А норма у каждого своя.

Смейся, Паяц!

Жить с
т
а
л
о лучше, жить с
т
а
л
о веселее.
И. В. Сталин

Одной из причин развала Советского Союза стал политически
дот. Вернее было бы говорить о наличии очень сильной обратн
внутреннее гниение режима мгновенно отражалось в анекдоте, а
же ускорял этот процесс гниения, обнажая пороки и освобожда
от накопившегося страха. Нет ничего страшнее для репрессивн
сударства, чем о
т
с
у
т
с
т
в
и
е страха перед ним. Уместно здесь вс
известную притчу о том, как один з
а
в
о
е
в
а
т
е
л
ь собирал дань с
щенных людей. «Как там народ?» — спрашивал он вернувшихся мы
«Плачет», — о
т
в
е
ч
а
л
и ему. Тогда он вновь отправлял своих л
очередной данью. Но когда ему ответили, что люди смеются, о
что больше с них взять нечего.
Период, длившийся почти 40 лет с начала 1950-х, стал период
цвета п
о
л
и
т
и
ч
е
с
к
о
г
о анекдота в нашей стране. Это было по-наст
а
н
е
к
д
о
т
и
ч
е
с
к
о
е время. К известным сериям про евреев, генералов,
рой добавились новые циклы: вопросы армянского радио, анекдот
Чапаева, раскручивалась лениниана. Наверняка были умельцы и
нить и р
а
с
с
к
а
з
а
т
ь анекдот и во времена Сталина. Но они был
на недолгую жизнь. «Раз ГПУ пришло к Эзопу / и хвать его
Смысл этой басни ясен: / не надо басен». Или иначе: «„А" и „Б
на трубе, „А" упало, „Б" пропало, „и" служило в КГБ».
Роль анекдота в сталинскую эпоху отражена в следующем изв
анекдоте. Два человека сидят на нарах. Один спрашивает другог

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д
у

его посадили. «За лень», — о
т
в
е
ч
а
е
т тот. «??» — «Как-то был в
нии. Один человек р
а
с
с
к
а
з
а
л анекдот. Я поленился сразу о нём
Думаю, утром успею. А утром меня и взяли». — «А кто залож
ешь?»— «Трудно сказать. На свободе сейчас из всей компани
Тот, кто рассказал анекдот».
Сам Отец народов обладал своеобразным чувством юмора. Его
с
ч
и
т
а
т
ь также и отцом модного впоследствии чёрного юмора. Пр
т
а
к
о
г
о юмора является, в частности, эпиграф к этому разделу
что именно Сталину принадлежит остроумная идея переименовать
димирский тракт в шоссе Энтузиастов. Как-то Советский Союз
известный французский писатель Андре Жид. Вышедшая потом во
ции книга его в
п
е
ч
а
т
л
е
н
и
й о поездке очень не понравилась во
раз в памятном 1937 году в Москву приехал немецкий писате
Фейхтвангер. Говорят, что Сталин, размышляя о том, пускать ли
Фейхтвангера, мрачно пошутил: «Как бы этот еврей не оказался
Написанная затем Фейхтвангером книга «Москва, 1937 год» показа
вполне безобидной, была переведена на русский и издана. Но
позднее её запретили.
Похоже, что все анекдоты про Сталина были сочинены в пос
ский период. В одних показывалась атмосфера эпохи. Как в сл
классическом анекдоте. Был проведён конкурс проектов на па
Пушкину. Третью премию получил проект: стоит Пушкин и держи
ках книгу «Биография товарища Сталина». Вторую премию получи
ект: стоит Сталин и держит в руках томик стихов Пушкина. И
первую премию получил проект: стоит Сталин и держит в руке
курс истории ВКП(б)».
Но если в анекдоте фигурировал сам Сталин, то он ни
выставлялся в смешном свете. В послевоенных а
н
е
к
д
о
т
а
х действую
лицами нередко были Сталин, Черчилль и Рузвельт. И Стали
и положено былинному русскому (!) молодцу, побеждал инозем
Обычно указанная троица занималась дележом послевоенной добы
Ялтинской конференции. Первый пример. На Ялтинской конферен
Черчилль: «Нам бог обещал после войны полмира». Рузвельт: «К
мог обещать вам полмира, когда он нам обещал весь мир?»
«Не помню, не помню, чтобы я кому-то что-то обещал». Второй
Там же. Черчилль (обращаясь к Сталину): «Великобритания помогл
победить в войне. Не могли бы вы за это подарить нам Крым
«А нам Кавказ?» Сталин (показывает руку с тремя оттопыренн
пальцами: большим, указательным и средним): «Вот угадаете, как
этих трёх пальцев средний, выполню вашу просьбу». Черчилль ук
на средний, потому что он так и называется. Рузвельт указ

28 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

указательный, так как он оказывается средним по отношению
другим. Сталин: «А вот и не угадали». (Складывает известную ф
трёх пальцев, в каковой большой оказывается как раз средним
А далее, как в песне: «Потом Никитушка, он ростом был
но много славного он также совершил». Можно сказать, что
Сергеевич стал по-настоящему Народным артистом Советского
за р
а
з
г
о
в
о
р
н
о
г
о жанра. Говорят, что роль шута он исполнял
дворе Сталина. После смерти Хозяина Хрущёв стал демонстри
свой талант на всесоюзной и даже на мировой арене. Позна
с очередными шедеврами Никиты, к сожалению немного приглаже
удобнее всего было посредством самой читаемой среди интелл
г
а
з
е
т
ы «Советский Спорт». Эта г
а
з
е
т
а публиковала лишь самое
те выжимки из очередного выступления генсека, которые сопровож
комментарием: «оживление в зале», «смех в зале» и даже «хохо
Надо признать, что в редакции г
а
з
е
т
ы «Советский Спорт» р
смелые люди с хорошим чувством юмора. Так, однажды, ещё до
чения личности Сталина, г
а
з
е
т
а в связи с очередным юбилеем С
Армии написала, что под мудрым руководством Верховного Гла
мандующего (пропустить букву «л» в последнем слове — ночной к
военных редакторов) Крым был дважды (!) освобождён от немец
шистских захватчиков. Не помню кто и также к юбилею Совет
мии, написал п
а
т
р
и
о
т
и
ч
е
с
к
и
е стихи и послал их в газету: «Ну-к
ну-ка сунься, ну-ка сунься, подлый враг! / Ну-ка сунься, ну-ка
на поля и на овраг! / Ну, поди, сломай берёзу, / Ну, попробуй,
Ну, воткни-ка нам занозу. / Спереди и позади. / Мы — граждане
данки, мы тебе ответим так: / Ну-ка сунься, ну-ка сунься, ну-к
подлый враг!» К сожалению, стихи не опубликовали.
Никита Сергеевич был человеком импульсивным. Последствия
благородного порыва — взял и подарил Украине Крым — нам ещ
предстоит расхлёбывать. Кроме того, как и положено генсеку, он
циалистом во многих областях ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
о
й деятельности. Но осо
прославился Хрущёв своими новациями в сельском х
о
з
я
й
с
т
в
еиг
пониманием изящных искусств. В своё время Екатерина стала на
на Руси картошку, за что ей всенародное спасибо. Никита
увлёкся кукурузой и даже заслужил прозвище «кукурузник». Хо
что он не з
а
и
н
т
е
р
е
с
о
в
а
л
с
я чем-то более экзотическим.
В области же изящных искусств своё глубокое понимание
Сергеевич продемонстрировал во время и
з
в
е
с
т
н
о
г
о посещения х
жественной выставки в Манеже, на которой впервые более ил
широко были представлены абстракционисты и другие п
р
е
д
с
т
а
в
и
нетрадиционной ориентации в искусстве. Поэтому совершенно спра

с клёна падают л
и
с
т
ь
я ясеня... или Н
о
с
т
а
л
ь
г
и
я по 37 г
о
д
у

п
р
о
з
в
у
ч
а
л в
о
з
г
л
а
с возмущённого Хрущёва: «Пидарас-сы!» Дал
по рассказам очевидцев, Никита стремительно прошёл мимо ряда
вдруг остановился перед особо не понравившейся ему физио
и спросил: «А это что за ж... с ушами?» И ему ответили, что
Кстати о живописи и о ж... (помните того генерала, котор
яснили, что анекдоты следует рассказывать «кстати»; он долго
в компании, потом неожиданно воскликнул «пиф-паф, да, кстати
стрелах...»). Один мой знакомый придумал классификацию разли
«писей». Во-первых, собственно «живо-пись», затем «выжо-» и,
конец, «ВЖО-». Советские люди, воспитанные в основном на и
с
к
т
р
е
т
ь
е
й категории, нередко принимали произведения второй к
а
т
е
г
о
настоящую живопись. Но всё же, как ни странно, именно сред
ведений самого аполитичного и
с
к
у
с
с
т
в
а—и
з
о
б
р
а
з
и
т
е
л
ь
н
о
г
о — возн
работы, разрушающие самые основы с
о
ц
и
а
л
и
с
т
и
ч
е
с
к
о
г
о строя. И в
это быстро заметили.
Место Никиты путём дворцового переворота занял Леонид
Брежнев. Надо отдать должное б
л
а
г
о
р
о
д
с
т
в
у нового царя. В
многовековой русской традиции предшественник остался жив. Его
лишь отправили на пенсию. Новый г
е
н
с
е
к постоянно давал п
анекдотов, являлся объектом насмешек. Высмеивались его чрезм
амбициозность, страсть к наградам, званиям и должностям, стрем
приписать себе несуществующие заслуги.
Например, во время войны Брежнев имел какое-то отноше
боям на Малой земле. Когда он стал главой страны, он
об этом и подумал: «А ведь меня могли там убить!» И вот
эпизодов Великой Войны с
т
а
н
о
в
и
т
с
я чуть ли не центральным сра
изменившим её ход. «Где вы были во время войны? Сражалис
Малой земле или отсиживались в окопах Сталинграда?» Ещё
анекдот на эту тему. Жуков приходит к Сталину и и
з
л
а
г
а
е
т
в
з
я
т
и
я Берлина. Сталин говорит: «План мне нравится, но в
п
о
с
о
в
е
т
у
й
т
е
с
ь с полковником Брежневым».
Через некоторое время после устранения Хрущёва с главной
ной должности Брежнев стал и Председателем Президиума Верх
Совета, убрав с этой должности Н. В. Подгорного. Позднее п
анекдот. К Подгорному, проживающему на даче, приезжает корре
дент. «Здравствуйте, Николай Викторович! Как поживаете? Что д
те?» — «Да вот, собачку прогуливаю». — «Читаете ли Вы газеты?
рите ли Вы телевизор? И вообще, и
н
т
е
р
е
с
у
е
т
е
с
ь ли Вы политик
«Газет я не читаю, телевизор не смотрю и вообще политико
тересуюсь».— «Но Вы хотя бы знаете, кто сейчас Папа Римск
(С изумлением) «Не может быть!!!»
ЛИБО

30 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Манию величия Брежнева обыгрывали по-разному. Издан указ
реименовании Ленинграда в Ленинград. Зовите меня просто Ильи
выступления Брежнева на встрече с трудящимися). Указ о нагр
Ордена Ленина за з
а
с
л
у
г
и в награждении Г
е
н
е
р
а
л
ь
н
о
г
о с
е
к
р
е
т
а
жется, придумал А.Зиновьев).
В эпоху Брежнева возникло много кратких политических ане
и афоризмов. (Возможно, я и ошибаюсь, и многие просто до
меня в тот период.) Некоторые из них оказались пророческими.
небольшой список.
Какая разница между портками и парткомом? В портки в
л
е
з
а
задница, а в партком много. Почему у нас система однопартий
партии не прокормить. (!!! Теперь убедились.) При капитализме
человеку волк, а при социализме — товарищ волк. Урна—твой
плюнь в неё. В артиллерийской академии висит плакат с надпись
цель — коммунизм!» (Цель накрыта!)
Много анекдотов было связано с продовольственными пробле
В дверях своей квартиры стоит и
н
т
е
л
л
и
г
е
н
т с пустой авоськой
т
а
е
т
с
я вспомнить, куда он направляется, в магазин или из
В магазине покупатель обращается к продавцу: «Взвесьте мне,
луйста, 300 грамм еды». Опять же в магазине покупатель обра
к продавцу: «Не могли бы Вы порезать мне 200 грамм колбас
отвечает: «Пожалуйста. Давайте колбаску! Порежу!» Загадка: Длин
хвост, горящие глаза и грязные яйца. Что это такое? Ответ:
куриными яйцами по 90 копеек.
Кстати о еде. Общефилософское настроение той эпохи отражае
дующий известный анекдот. Идут два человека по дороге (иногд
вают их национальность). Лежит куча дерьма. Один спрашивает
может ли он съесть эту кучу за 1000 рублей? Деньги по тем
немалые. Тот съел, получил деньги. Идут дальше. Видят: леж
одна куча. Тому, кто съел первую, стало немного обидно, и
шивает приятеля, сможет ли он сам съесть эту кучу за 10
Приятель пожалел деньги. Съел. Получил 1000 рублей. Идут да
и один другому говорит: «Тебе не кажется, что мы задаром по
съели?»
Затем в конце 70-х годов началась Эпоха Пышных Похорон
за другим уходили наши геронтократы, престарелые члены Поли
Брежнева на год сменил умирающий Андропов, а его, в свою
находящийся при смерти Черненко. Люди шутили, что члены Пол
живут с девизом «Умрём Генсеками».
Мрачноватый анекдот того времени. Вызывает начальник подч
ного и говорит: «На первомайской демонстрации будете нести п

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д
у

Черненко». «Почему?» «А на предыдущей вы несли портрет Андро
У вас рука лёгкая».
Потом появился сравнительно молодой Горбачёв. По этому
даже говорили, что Горбачёв единственный член Политбюро, кото
п
о
л
ь
з
у
е
т
с
я поддержкой в ЦК. Появившийся несколько позднее с
очень точно объяснил причины, почему Горбачёв так и не
с ношей власти: «Бабы стонут, девки плачут. Этак дело не пойд
умеет нАчать, но углУбить не могёт».
Развернулась а
н
т
и
а
л
к
о
г
о
л
ь
н
а
я кампания. Народ настолько опе
что почти забыл об анекдотах. Но кое-что всё же появилось.
одним примером, в некотором смысле протестным. Лежат в кана
пьяных. Один задаёт другому извечный вопрос: «Ты меня ув-важ
«Я т-тобой горжусь!» — о
т
в
е
ч
а
е
т коллега. В воздухе запахло бол
переменами. Появились анекдоты, предсказывающие будущее. Прихо
как-то в конце 80-х годов ко мне приятель. Слегка навеселе
удивлённый. «Что случилось?» — спрашиваю. «Да вот, был в п
ме и р
а
с
с
к
а
з
а
л там анекдот». — «Какой анекдот?» — «Да и не
а сценку. Значит, так. Толчок...» — «Что за толчок?» — не пони
«Ну, рынок. Стоит Надежда Константиновна и т
о
р
г
у
е
т из под п
ками с надписью РСДРП. Мимо бежит Дзержинский и кричит:
атас! Картавый на книжках засыпался"». — «Ну и что они?» —
шиваю. «А ничего, а я вот вышел и на всякий случай вып
Перестройка. Надвигался Рынок. Мы приближались к линии смен

О ветвях власти и об их плодах

Висит Груша, н
е
л
ь
з
я скушать
Загадка не для детей

Главным признаком новой эпохи в России в
с
е
г
д
а было пе
вание истории. Прежде всего переписывается история предшеству
д
е
с
я
т
и
л
е
т
и
й и меняются на прямо противоположные оценки важн
событий. Теперь события октября 1917 года, которые раньше назы
Великой Октябрьской Революцией (всё с большой буквы) назыв
переворотом (с маленькой буквы), совершённым небольшой группой
дей. «Мятеж не может кончиться удачей, / в противном случае
иначе», — сказал поэт. Мы в
с
е
г
д
а свято верим в ярлыки и п
что от них зависит смысл событий. Не буду спорить. Пусть в
произошла не революция, а переворот. Но стоит заметить, что р
могут быть как удачными, так и неудачными, а вот перевор
удачен. В противном случае его зовут попыткой переворота.

32 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Согласившись с таким переименованием событий 1917 года, мы
ем теперь все основания сравнить их с тем, что произошло
1991 года, а также сравнить и последствия. Во-первых, и то, и
переворот, сделанный небольшой группой людей (успешность пе
не п
о
д
в
е
р
г
а
л
а
с
ь сомнению более 70 лет, второй также пока
успешным). Результатом первого и второго переворотов стала экс
ация. Только после первого экспроприации подверглись более
слои населения, а в р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е второго, наоборот, беднейшие.
первого, и после второго переворотов победители не смогли во
в
а
т
ь
с
я награбленными богатствами, поскольку к власти пришли на
профессионально подготовленные люди и началась разруха.
За переворотом 1991 года началась продолжающаяся до си
вереница всевозможных реформ. Рыночных реформ. Показательно
люди, называющие себя рыночниками, совершенно не разбираются
ночных механизмах. Они, в частности, убеждены, что свободный
может что-то отрегулировать, что-то стабилизировать. Сам по себе
только разрушает, причём разрушает важнейшие части г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
механизма: социальную сферу, образование, медицину, а также ок
ющую среду.
Рыночные отношения стремятся максимизировать одну целевую
но линейную, функцию — прибыль. А точнее, прибыль в единиц
мени. И даже весьма упрощённую трёхэтапную марксовскую фор
деньги-товар-деньги рынок стремится заменить на двухшаговую д
ги-деньги (вернее, деньги-Деньги). А более длинные и жизненн
обходимые обществу для развития циклы деньги—образование—наук
производство—товар—деньги и вовсе не рассматриваются в рамках
ночных отношений. Профессионализм с
т
а
н
о
в
и
т
с
я нерентабельным.
Но максимальное значение линейная функция д
о
с
т
и
г
а
е
т на г
своей области существования. И рынок выталкивает общество им
на эту границу, где оно существует на нищенском уровне (тому
сегодня масса). А иногда и за неё, и тогда возникают серь
циальные потрясения (последний пример — Аргентина). Это проис
сг
о
с
у
д
а
р
с
т
в
а
м
и с рыночной экономикой, которые живут в основ
счёт лишь своих внутренних ресурсов. Процветающее же общество
выраженной рыночной структурой, чтобы поддерживать сложивши
высокий уровень потребления основной массы населения, вынуж
и
с
п
о
л
ь
з
о
в
а
т
ь внешние ресурсы во всё больших и больших мас
Именно это и делают нынешние Соединённые Штаты, объявивши
мир зоной своих национальных интересов.
В принципе любое общество, использующее единственную и пр
тивную целевую функцию (рыночную или идеологическую), будет

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 году

зать на границу области существования. Возможно, ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
т
в
у
в
з
я
т
ь за образец китайскую модель, в которой смешаны и
д
е
о
л
о
и рыночные критерии. Может, выход из тупика — в использовани
ского опыта. Не знаю. Во всяком случае, чрезмерная роль
отношений в мире внушает серьёзные опасения за будущее чело
И здесь я выскажу одну крамольную и почти кощунственную
Возможно, ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
т
в
о смогло относительно благополучно преодо
рубеж XX столетия лишь благодаря появлению Советского Союза.
ло не в победе над фашизмом. Хотя и в этом тоже (кстати, н
во внешних ресурсах и толкнула Германию на путь войны).
с возникновением Советского Союза у к
а
п
и
т
а
л
и
с
т
и
ч
е
с
к
о
г
о мира п
ся серьёзный враг, возникла ещё одна целевая функция — борь
мунизмом, которая значительно уменьшила н
е
г
а
т
и
в
н
о
е влияние
рыночных отношений.
Сегодня руководители России надеются, что, двигаясь дорогой
ных реформ, в отдалённом будущем мы сможем догнать по уров
хотя бы Португалию. Не выйдет, в силу всё тех же рыночны
Как только и если только мы на несколько шагов сможем пр
к так называемым цивилизованным странам, нам в очередной раз
на своё место: «Здесь, ребята, и без вас тесновато. Так что
нефть, пока она ещё имеется, ешьте наши окорочка и не рып
Но я немного отвлёкся и увлёкся. Вернёмся к п
е
р
е
в
о
р
о
т
у 1
Зато, говорят нам, обошлось без большой крови. Как отделить
кровь от малой? Кровь была и продолжает литься. Но не тол
дело. Мы видим огромное море «бескровной крови». Это сокра
средней продолжительности жизни, уменьшение численности населе
мучительное умирание стариков, психическое и физическое вырожд
детей. Помнится, святая инквизиция прибегала к сожжению ере
поскольку это была казнь «без пролития крови».
Вообще, между нынешним и вчерашним днём весьма много о
Г
о
р
а
з
д
о больше, чем это кажется на первый взгляд. Например,
Как и прежде, избиратель никакого влияния на них не оказывае
во
т
д
е
л
ь
н
о
с
т
и может быть «против», а все вместе мы всё рав
е
д
и
н
с
т
в
е
н
н
о
г
о включённого в бюллетень — раньше, за того, кого
но — сегодня). Только раньше были выборы без выбора, а нынч
без выборов.
Раньше выборы были днём всенародного праздника. Это был
Единогласия (термин Е.Замятина). Это был день, когда все в
^кители страны одновременно (!) испытывали чувство глубокого
влетворения. Процедура была отлажена до совершенства. Избира
в окружении близких и детей входил в участок (!), получал б
2 — 1356

34 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

С единственным кандидатом от блока коммунистов и беспартийных
улыбкой и стараясь его не испортить, торжественно нёс бюллете
жайшей урне (упаси бог, избирательной!) и, исполнив долг, отпр
в буфет, где было пиво и бутерброды с дефицитными продуктам
явка избирателей и число проголосовавших «за» превышала 10
списочного состава. Тогда соответствующие величины (сейчас ск
бы «цифры») по указанию партийных органов корректировали, чт
нарушались законы математики.
Нынче всё иначе. Во-первых, мы уже не избиратели, а э
При этом совершенно неважно, придём ли мы на участки или
немся дома, проголосуем за кого-то или против всех, р
е
з
у
л
ь
т
а
т
никак не зависит. Я думаю, уже сегодня главный политтехнол
делил р
е
з
у
л
ь
т
а
т
ы ближайших п
р
е
з
и
д
е
н
т
с
к
и
х выборов с точность
1 % . Соответствующие данные уже имеются в его компьютере,
очень трудно узнать. Но это не так интересно, поскольку прин
р
е
з
у
л
ь
т
а
ти
з
в
е
с
т
е
н каждому. Если сегодня выборы кому-то и н
не электорату.
Нынче выборы — это грандиозный бизнес (напомню, бизнес
способ зарабатывания денег, не создающий никакого общественн
лезного продукта), смысл которого состоит в том, что одни р
а другие эти ямы закапывают (от «копать», а не от «капать
ральном уровне объёмы финансовых потоков на выборах сравн
всем бюджетом страны. Кто же от этого откажется? Следует
признать, что на региональном уровне ещё встречаются случаи
тельной неясности в исходе выборов чуть ли не до последнег
Это бывает, когда сталкиваются две равные по силам мафии
не в состоянии уничтожить другую до выборов.
Трудно со стороны р
а
з
о
б
р
а
т
ь
с
я в великом множестве предвыб
и выборных технологий. Я хочу выделить три: метод «от прот
(им иногда даже пользуются математики), уже упоминавшееся «пла
(заимствован из медицины) и «кукла» (изобретение уголовников). М
«от противного» очень прост, как и все настоящие математичес
тоды. Необходимо так очернить своего г
л
а
в
н
о
г
о противника, чт
стал противен самому себе. И кто угодно будет лучше него. В
должен вообще о
т
к
а
з
а
т
ь
с
я от своих притязаний.
Для обеспечения нужного р
е
з
у
л
ь
т
а
т
а существуют высокооплачи
мые мастера заплечных дел, настоящие виртуозы. О методе «пла
('нравлюсь') я уже упоминал. Этим методом п
о
л
ь
з
у
е
т
с
я огромная
высокооплачиваемых (приходится повторяться, поскольку все проф
сии, связанные с выборами, являются высокооплачиваемыми) спе
листов. Широко распространён он и в самых цивилизованных и

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д
у

к
р
а
т
и
ч
е
с
к
и
х г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
а
х (например в США), но, как и положе
совершенства или почти до совершенства доведён в России. О
задача, как в театре, — с
о
з
д
а
т
ь правильный образ кандидата в
ты. Как и в театре, есть узкие специалисты. Драматурги, ре
гримёры, о
с
в
е
т
и
т
е
л
и и прочее и прочее. Называют их, правда,
политтехнологи, имиджмейкеры, спичрайтеры и пр. Но в любом
кандидат и депутат — абсолютно разные фигуры. И избиратель,
с
в
о
е
г
о избранника, с изумлением бормочет: «Позвольте, позвольт
ведь тот был совсем другой. И внешность у него была иная,
он не то и не так». Я думаю, что в недалёком будущем на
датов в депутаты будут просто нанимать артистов. И это стане
рекламы, основным видом заработка для артистов.
И наконец, третий широко распространённый приём, используе
в избирательных кампаниях, — это так называемая кукла. Приём
з
а
и
м
с
т
в
о
в
а
н в уголовной среде и и
с
п
о
л
ь
з
у
е
т
с
я при выборах по п
спискам. В чём смысл мошенничества под названием «кукла» — из
всем. Но всё же напомню схематично одну из наиболее распрост
модификаций. Мошенник передаёт клиенту в уплату за что-то б
пачку. Клиент полагает, что в этой пачке деньги. На самом деле
купюры находятся только сверху, а все остальные листки —
бумага.
Партийные списки — «кукла» в наиболее дистиллированной фо
Избирателю сообщаются лишь первые три фамилии, которые д
быть известными избирателю и вызывать у него доверие. Пр
политические мошенники идут дальше мошенников обычных. После
как «кукла» попала в думу или ещё куда-то, из неё исчезаю
первые три фигуры, о
с
т
а
ё
т
с
я одна резаная бумага. Забавно, чт
и того же человека на один трюк дважды не поймаешь. А во
о
к
а
з
ы
в
а
е
т
с
я гораздо более наивным. Приём «кукла» уже дважды
демонстрировала партия власти. Причём во второй раз даже с
успехом, чем в первый. Интересно, что придумают в следующ
Какая будет ведущая тройка? Могу предложить два варианта
идею даром). Одна тройка: Касьянов, Романцев (или Фетисов
после печальной истории с Карелиным суеверные спортсмены
и отказаться), Акунин. Другая: Пугачёва, Киркоров, Орбакайте.
Широко применяются в период предвыборных кампаний разли
методы устрашения населения и провокации (помните, как лечили
ликов?). Иногда просто невозможно разобраться, кто и что сдела
это выгодно. Взорваны дома. Первым делом обвиняют чеченце
сделали они, чтобы з
а
п
у
г
а
т
ь население. Да нет, объясняют нам, ч
это невыгодно. Их и так не любят и боятся. Эти взрывы ор
2»

36 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

ФСБ, чтобы люди ещё больше в
о
з
н
е
н
а
в
и
д
е
л
и чеченцев. И тут во
третьи, просчитывающие уже на три шага вперед. Как раз имен
и организовали эти взрывы. Ведь умные люди, просчитывающие
хода, сразу же заподозрят ФСБ. И вовсе не так, г
о
р
я
ч
а
т
с
я ч
Эти взрывы о
р
г
а
н
и
з
о
в
а
л Березовский, чтобы шантажировать и че
и ФСБ. И так далее и так далее. И сегодня понять, кто сов
страшные преступления, совсем невозможно. Непонятно также, за
И всё же подчёркиваю, что все эти изящные и преступные
тельные т
е
х
н
о
л
о
г
и
и и приёмы никакого отношения к самим выб
имеют, в некотором роде это искусство в чистом виде, правда,
не ради искусства, а ради больших денег, но всё же. Голосуй
сердцем или другим органом, всё равно получишь результат, пре
ный Глебом Павловским.
Конечно, за последнее время и формально и по сути произо
изменений. Так, например, при коммунистах была лишь одна в
партийная, иногда употреблялся термин «советская власть», но л
инерции. На самом деле была только власть партии, точнее Ц
ещё точнее — Политбюро ЦК. Генеральный секретарь был полноц
диктатором. Партийная диктатура была не только карающим
но и выполняла роль защитника для простого человека. Никт
кроме партии, не имел права обижать простого с
о
в
е
т
с
к
о
г
о
а тем более его кушать. Сидя в камере, советский человек
себя в о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
о
й безопасности. Он даже мог пожаловаться
что его лишили возможности ч
и
т
а
т
ь партийную периодику. Сего
освободили, даже не спросив, хочет ли он этого.
«Свобода — это когда забываешь о
т
ч
е
с
т
в
о у тирана», — любят
цитировать Бродского наши либерал-эстеты. Вернее, цитировали
время, поскольку сегодня есть один (и только один) человек
которого все и в
с
е
г
д
а непременно называют и по имени, и п
Но, цитируя Бродского, наши ценители изящного постоянно забы
второе слагаемое формулы свободы, выведенной Бродским: «А с
во рту слаще халвы Шираза». Отказаться от халвы, причём,
халявной халвы, — это выше сил наших демократов. Да и
сегодня иной. Он не только без о
т
ч
е
с
т
в
а (на Западе, куда мы
вообще нет отчеств), но даже и без фамилии, но зато с клику
Доллар, кличка Бакс. И он гораздо более безжалостен, чем все
и гитлеры вместе взятые.
Рыночная идеология ничем не лучше любой иной идеологии. О
хуже коммунистической по первоначальному посылу. И самая гла
ложь — в утверждении, что качество жизни в
о
з
р
а
с
т
а
е
т с увел
зарабатываемых денег Я лично испытываю скорее чувство злора

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 год

нежели жалости, когда представляю себе образ жизни, а точн
ствования, нащих олигархов. Даже пивка попить не с кем. И
г
о
в
о
р
я уже о...
Прислуживают нынче Доллару несколько так называемых в
е
т
в
е
сти. Три, как говорится, легитимных и ещё несколько не очен
три — законодательная, исполнительная и судебная власти. С лите
ной точки зрения забавно выглядит, что именно исполнительная
руководит нынче двумя другими. Как-то в 1993г
о
д
уз
а
к
о
н
о
д
а
т
е
л
и
тались было получить ведущую роль, но их мягко, но твёрдо п
своё место и даже немного пониже, т.е. опустили. О том, как ф
з
а
к
о
н
о
д
а
т
е
л
ь
н
а
я власть, я уже немного говорил. О её д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
но много сказать. Первое время после введения демократии з
а
к
о
даже восполняли н
е
д
о
с
т
а
т
о
к зрелищ. Заседания Думы были увлек
нее триллеров и имели такое же отнощение к жизни страны,
триллеры. Деятельность сегодняшней Думы проходит в глубокой
Ит
е
л
е
з
р
и
т
е
л
ю стало намного скучнее. Сегодняшние з
а
к
о
н
о
д
а
т
е
л
ии
онального, и федерального уровней — люди бесправные. Но похо
их бесправие неплохо оплачивается, и желающих занять появляю
время от времени вакансии хватает.
Деятельность исполнительной власти, да и сам способ её ф
вания лично для меня является загадкой, р
а
з
г
а
д
ы
в
а
т
ь которую
хочется. Поэтому скажу несколько слов о т
р
е
т
ь
е
й власти — с
С этой т
р
е
т
ь
е
й властью на Руси в
с
е
г
д
а возникали серьёзные
мы. Вероятно потому, что именно через неё две другие ветв
соприкасались с народом. В повседневной жизни простые люди
ются только с чиновниками и милиционерами. Именно они олице
в
л
а
с
т
ь для рядового гражданина, подобно тому, как старшина о
ряет абсолютную власть для рядового. Так что чиновник и мили
определённо власть. Но к какой ветви они относятся, с
к
а
з
а
т
ь
Похоже, что к пятой, о которой несколько позже.
Своё отношение к судебной власти народ выразил в своих п
о
и пословицах. По мнению историков, на Руси исстари вред от
законов уменьшался их всеобщим неисполнением. При с
о
в
е
т
с
к
о
й в
это утверждение перестало быть верным. Основной закон — Сов
Конституция — была образцом для всех демократических государст
всё дело в том, что создавалась она как чисто художественное
ние. Поэтому лозунг «Соблюдайте Советскую Конституцию», с кот
выходили на демонстрации диссиденты, вполне справедливо счит
одним из наиболее а
н
т
и
с
о
в
е
т
с
к
и
х лозунгов.
Сегодня ситуация с судебной властью снова изменилась. М
сказать, что нынче действие дурных законов у
с
и
л
и
в
а
е
т
с
я их ещ

38 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

дурным исполнением. Появление же такой «цивилизованной» фо
освобождения из-под стражи, как выход под денежный залог,
подчёркивает полное бесправие основной массы населения. И
простому человеку предлагают в случае нарушения его прав об
в суд, то это является обычным и
з
д
е
в
а
т
е
л
ь
с
т
в
о
м и ещё одним н
прав. Но кроме трёх уже перечисленных и формально легитимны
власти есть ещё несколько.
Четвёртой властью сегодня называют, а точнее, сами себя
журналисты и другие служители СМИ. Я не буду говорить о
трудна и опасна нынче работа журналиста, особенно ч
е
с
т
н
о
г
о
листа, а таковых, если судить по г
а
з
е
т
а
м и телевидению, сей
не подавляющее большинство. Не в этом дело. При чём здес
Получается, что молодой человек, окончив институт и устроив
работу в печатный орган, сразу с
т
а
н
о
в
и
т
с
я носителем властных
Мягко говоря, это не совсем правильно и совсем несправедливо
чие от п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
е
л
е
й других профессий, журналист имеет возмо
высказывать своё мнение, навязывать свои идеи, и если его во
при этом вдруг начинают ограничивать, то р
а
з
д
а
ё
т
с
я обращени
ществу с призывом защитить свободу слова. А есть ли она
свобода слова? И вообще, что это за зверь такой, «свобода
Советская и
н
т
е
л
л
и
г
е
н
ц
и
я уже в годы правления Брежнева обрела
свободу слова. У себя на кухне. И сегодня у неё этой свобо
больше.
Свобода слова бессмысленна при о
т
с
у
т
с
т
в
и
и слышимости. «Что
случилось со мною? / Говорю я с тобою одною, / а слова мои
повторяются за стеною. / И звучат они в ту же минуту / в бли
и дальних пущах, / в близлежащих людских жилищах / и на в
пепелищах...» Так писал Леонид Мартынов. Удивительно мощное
было при советской власти. Любой шёпот почти мгновенно разно
стране. И первым делом он достигал ушей власти, которая реаг
быстро и решительно.
Сегодня кричи не кричи, тебя никто не услышит. Власть не
внимания на обвинения в самых ужасных преступлениях. Когда
журналисты говорят о свободе слова, они имеют в виду свобо
для себя любимых. Когда они выступают против цензуры, они н
чтобы цензура касалась их творений. Сами же журналисты, реда
зет и телевизионное начальство исполняют обязанности цензоров
профессионально. Только критерии н
е
ц
е
н
з
у
р
н
о
с
т
и у всех свои.
зывают журналисты свою внутреннюю цензуру не цензурой, а по
редакции. Попробуйте, например, в такой сверхоппозиционной га
какой является «Новая газета», обратить внимание на то, что

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д
у

Явлинского не столь уж белоснежна. Редакция такой пассаж н
стит. Но, друзья, чтобы иметь право п
о
л
ь
з
о
в
а
т
ь
с
я своим прав
с
т
р
о
г
о выполнять свои обязанности и не нарушать чужих прав
Возьмём, например, рекламу. Телевизионная реклама постоянно
рушает права т
е
л
е
в
и
з
и
о
н
н
о
г
о зрителя, в ч
а
с
т
н
о
с
т
и его право н
ценный отдых, и даже наносит серьёзный вред здоровью. Нар
права автора в тех редких случаях, когда по т
е
л
е
в
и
з
о
р
у демо
ся Художественное произведение. Нарушаются священные в рыно
экономике права потребителя, который, приобретая телевизор, пол
продукт, не соответствующий его рекламе. Если бы существовал
мальная судебная система, можно было бы подать в суд за
тяжёлого морального и физического вреда. Когда вы смотрите
ресный фильм (такое иногда ещё бывает) и трансляция вдруг
на самом захватывающем месте, прерывается пятиминутным рекла
блоком, это больно бьёт по вашим нервам.
Вспоминаю передачу, посвященную т
р
а
г
е
д
и
и на подлодке «Ку
Вела её Светлана Сорокина, претендующая чуть ли не на роль
ного эталона. И когда она вдруг, мило улыбаясь, сообщила: «А
мы сделаем рекламную паузу», — стало совсем страшно. Я долго
у
с
н
у
т
ь в ту ночь. Следует законодательно з
а
с
т
а
в
и
т
ь телевидение
чить в рекламный блок ещё одну рекламу: «Минздрав предупр
реклама опасна для вашего здоровья».
Забавно также, что телевизионная реклама вовсе не выполняе
рекламных функций. Ни один любитель пива не с
т
а
н
е
т покупать
руемое пиво, поскольку рекламируются именно худшие сорта. Кром
у п
о
т
е
н
ц
и
а
л
ь
н
о
г
о покупателя возникают устойчивые негативные с
Рекламируемый товар прочно связывается с тем раздражением, к
вызвала не к месту возникшая телевизионная реклама. И его н
покупать. Возможно, реклама различных жвачных изделий направ
на наших стариков и старух, лишённых нормальной с
т
о
м
а
т
о
л
о
г
и
помощи вместе с зубами. Ну а реклама роскошных автомобилей
обычным и
з
д
е
в
а
т
е
л
ь
с
т
в
о
м не только в нищей провинции, но и в
столице.
В ряде же случаев вообще непонятно, что рекламирует и ч
чает сюжет, включенный в рекламный блок. Можно высказать п
ложение, что рекламируется вовсе не товар, но некий образ ж
реклама — это средство для промывания мозгов. Похоже, что эт
•< истине. Но мне всё же кажется, что эффективность этого спо
мывки мозгов даже меньше, чем методы, использовавшиеся коммун
ми. Не думаю, что деревенская бабулька, насмотревшись телевизи
рекламы, помчится г
о
л
о
с
о
в
а
т
ь против Зюганова. Скорее наоборот.

40 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Я всё же полагаю, что основная функция рекламы несколь
И об этом служители телеэфира с большой долей лицемерия
ют: мол, реклама — основа нашей финансовой независимости. Вс
но. СМИ — это власть. Наибольшей властью на этой ветке
телевидение. Но власть в России, в рыночной России, — это
Телевидение популярно объясняет производителям и непроизводит
товаров, что они должны проявлять лояльность к власти, пл
отступного. Наиболее удобным способом для этого является р
Благодаря рекламе даже мелкие служители телемельпомены могут
намного лучше, чем оболваниваемое ими население.
Но есть ещё и пятая, пожалуй, самая г
л
а
в
н
а
я сегодня вла
личие от четвёртой, она сама себя властью не называет и
стремится на подмостки под свет юпитеров. Пятая власть — э
криминала. В определённом смысле она сегодня заменила власт
тии. По своей вездесущности и всепроникновенности. Любой ч
постоянно с
т
а
л
к
и
в
а
е
т
с
я с этой властью. Когда пытается о
р
г
а
н
своё мелкое дело. Когда приходит к чиновнику за справкой.
о
с
т
а
н
а
в
л
и
в
а
е
т на улице милиционер. Сотни тысяч матерей по все
в панике начинают г
л
о
т
а
т
ь таблетки, если их ребёнок вовремя
домой. Но хватит. Не буду дальше перечислять возможности с
т
о
л
с властью криминала.
Особенности русской национальной п
р
е
с
т
у
п
н
о
с
т
и уже знают д
за пределами России (признаюсь, что говорю это не без зл
Официальные власти регулярно заявляют о необходимости борьбы
миналом и даже составляют программу этой борьбы, основным
которой является амнистия ворам, обокравшим Россию. Но как
начинать борьбу с преступностью, когда тысячи жутких преступл
сих пор не раскрыты и, похоже, никогда не будут раскрыты
целая армия преступников свободно р
а
з
г
у
л
и
в
а
е
т по стране?
Нам приводят в пример Америку. Практически всё коренное
ние Америки — потомки ссыльных преступников, почти все значит
состояния нажиты преступным путём. Нынче эти потомки, говоря
превратились в законопослушных людей, нисколько не похожих на
предков-преступников. Но, во-первых, это не так, даже если су
продукции американской массовой культуры. Во-вторых, американс
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
о формировалось на пустом месте (аборигены не в счё
расправились даже более жёстко, чем Сталин с чеченцами) и
о
т
с
ч
ё
т своей истории, когда Россия уже имела богатое исто
прошлое, со своими традициями и менталитетом. В-третьих, только
пару столетий своего развития США смогли более или менее и
з
от своего криминального прошлого (может, и нам осталось немн

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д
у

дождать, сотню-другую лет). Но, в основном, в своей в
н
у
т
р
е
н
н
е
й
В своей же внешней политике США демонстрируют методы, харак
для п
р
е
с
т
у
п
н
о
г
о мира.
Нельзя всё же сказать, что с криминалом у нас не борют
борьба на поверку оказывается борьбой самих криминальных ст
друг с другом. В принципе, такой способ возможен. Так, на
заполненном крысами, для борьбы с ними иногда используют сле
способ. Несколько десятков живых крыс сажают в одну клет
кормят. Они начинают пожирать друг друга. В конце концов о
одна, пожравшая всех других, царь-крыса. Её выпускают на вол
д
о
с
т
а
т
о
ч
н
о быстро уничтожает всех оставшихся на корабле крыс
В человеческом сообществе этот эксперимент проделать можно
поскольку «крыс» трудно изолировать, сначала «крысы» уничтожат
кругом, а уж только затем примутся друг за друга. Возможно,
мы придём к такой ситуации. Ну а что потом? Этот способ
истории уже был опробован. В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е мы получили однопар
систему. Стоит ли идти ещё на один виток? Есть и другой,
радикальный, способ и
з
б
а
в
и
т
ь
с
я от крыс на корабле — з
а
т
о
п
и
т
ь
Похоже, что он также и
з
у
ч
а
е
т
с
я нашими демократами.

Россия сегодня: между панелью и папертью

Т
о
л
ь
к
оз
м
е
ис
б
р
а
с
ы
в
а
ю
т кожи,
Чтоб душа с
т
а
р
е
л
а и росла.
Мы, увы, со з
м
е
я
м
и не схожи
Мы м
е
н
я
е
м души, не тела.
Николай Гумилёв

После переворота 1991 года в России началась Эпоха Смены
Возможно, что-то подобное происходило и после октября 1917 го
всё же не в таких масштабах. Герои стали холуями (а може
коммунисты — антикоммунистами, воинствующие атеисты превратилис
в не менее воинствующих христиан, русские оказались евреями,
послушные инженеры — бандитами, бандиты — законодателями. Труд
п
р
и
х
о
д
и
т
с
я тому, кто был беспартийным и стал неверующим.
щее православие с
о
ч
е
т
а
е
т
с
я с не менее всеобщим сквернословием
ковь получает лицензию на беспошлинную торговлю табаком и алк
ис
т
а
р
а
е
т
с
я не замечать Чечни. Грустно становится, когда под
о том, на какие средства и какими средствами в
о
с
с
т
а
н
а
в
л
и
в
а
л
с
Христа Спасителя.
Молодые барышни не только без стеснения, но даже и не
используют непотребную лексику, а телевидение у
с
т
р
а
и
в
а
е
т диску

42 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

на тему «Как правильно р
у
г
а
т
ь
с
я матом». (Возможно, правда, н
было иным, поскольку начало передачи по каналу «Культура»
застал.) «Нам демократия дала / свободу матерного слова. / И
надобно другого, / чтоб описать её дела». (Прошу прощения у
имени которого не знаю.)
Самым любимым занятием наших СМИ во главе с телевидение
сегодня подглядывание в замочную скважину, копание в грязном
и смакование интимных подробностей. Экраны телевидения запол
толпы эксгибиционистов, лиц нетрадициошюй сексуальной ориента
и страдающих от избытка гормонов прыщавых юнцов. Нормальны
чина с
т
а
н
о
в
и
т
с
я редкостью. Получается почти по Чуковскому: «Ш
лесу дровосеки, оказались гомосеки. Ехали педики на велосипеди
ними...» Признаться же в нелюбви к этим самым — значит р
а
с
в том, что ты расист, ч
е
л
о
в
е
к
о
н
е
н
а
в
и
с
т
н
и
к и не достоин жить
зованном обществе.
Какой-то нездоровый ажиотаж вызвала передача «За стеклом
кажется, что этот ажиотаж был раздут самим телевидением. Не
п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
ь психически здорового и и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
ор
а
з
в
и
т
о
г
о чел
способного выдержать эту передачу в течение более чем одн
ты. Правда, организаторы этой передачи почему-то были убежде
все хулители тем не менее тайком смотрели передачу. Лицемер
убеждены, что все вокруг сплошь лицемеры. Нередко авторы
иной порнопередачи в ответ на протесты т
е
л
е
з
р
и
т
е
л
е
й отвечают,
хочешь — не смотри. Есть кнопка для переключения каналов.
ду дальше копаться в дурнопахнущей продукции нашего телев
Сплошной или сплошная связь-инцест. (Встречаются, но очень
интересные программы, прямые спортивные трансляции и даже
передачи, но не буду их называть, поскольку это лишь моё мне
мои политические пристрастия.)
Да, у т
е
л
е
з
р
и
т
е
л
я есть право не смотреть то, что ему не хоч
ли у него право смотреть то, что хочется? Когда по всем к
американские боевики, передачи про то и про это и бесконечная
начинаешь думать, что «Лебединое озеро» по всем программам не
и плохо.
Среди всех СМИ телевидение наиболее эффективно, поскольку
д
е
й
с
т
в
у
е
т непосредственно на безусловные рефлексы обывателя
первую сигнальную систему. Труднее приходится СМИ на бумажно
сителе, которые должны о
р
и
е
н
т
и
р
о
в
а
т
ь
с
я на вторую и даже трет
нальные системы. Им по-настоящему приходится вести борьбу за
вание. Здесь есть, впрочем как и почти для всего населения Р
пути: на панель и на паперть.

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 г
о
д
у

На каждом из этих путей имеются разветвления. Можно пр
(отдаться) в руки (?) какого-нибудь олигарха. Однако олигархи не
ни с кем делиться и при первом подозрении в измене могут д
и под зад, и в пах. Можно избрать более публичный и общ
путь. И в случае удачи... Не стану развивать очевидно возникающ
а
н
а
л
о
г
и
и и ассоциации.
На паперти тоже есть своя иерархия. С одной стороны, эт
венно маргинальные издания, большею частью коммунистического т
с минимальными тиражами, живущие за счёт случайных подаяни
наглые: «Барышня, дай пятак, а то плюну, а у меня сифилис».
ся богатые нищие, точнее, должны быть по закону жанра. Но
их не так просто, поскольку богатые нищие хорошо маскируются
что встречаются на Руси и абсолютно честные газеты. Больше
в провинции. Охотно верю и даже надеюсь.
Очень и
н
т
е
р
е
с
е
н феномен г
а
з
е
т
ы «Московский комсомолец». К
мунисты должны были бы подать на эту г
а
з
е
т
у в суд за ис
принадлежащего им товарного знака. Тем более что сама г
а
последнее время находилась на переднем крае антикоммунистиче
лагеря, нарушая все законы, моральные и даже формальные.
время п
р
е
з
и
д
е
н
т
с
к
и
х выборов 1996 года, когда развернулось по
борьбы за пост президента, в дни проведения первого и втор
эта г
а
з
е
т
а печатала материалы в поддержку Ельцина и против
Но я не об этом.
Я хочу обратить внимание на одну маленькую деталь, которой
быть достаточно, чтобы уважающий себя журналист о
т
к
а
з
а
л
с
я
т
а
т
ь
с
я в этой газете. В каждом номере г
а
з
е
т
ы публикуются об
о, скажем прямо, борделях. Если ещё добавить, что тема «про
е
т
с
я основной темой газеты, то картина становится вполне опред
Похоже, что именно сводническая деятельность и является осно
только независимости газеты, но и её финансового благополучия.
на первой странице этой г
а
з
е
т
ы вдруг появляется сообщение о
милиция раскрыла и накрыла очередной тайный (!) публичный до
но о
т
д
е
л
а
т
ь
с
я от впечатления, что хозяева (здесь можно испо
и
з
в
е
с
т
н
о
е французское слово) наказывают провинившихся. Возмо
даже, что телефон накрытого борделя имеется в том же номер
Ну а то, что проституция является одним из главных источнико
нашей милиции, известно всем.
Да, символами сегодняшней России являются панель и паперть
о тех несчастных людях, которых преступная д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
ь реформа
выкинула на обочину жизни, стоит говорить. Вся Россия сег
обочине. Продажность и нищенство стали сегодня образом жизни

44 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

уровнях. Продаются всё и вся. От чиновника (это, впрочем, н
депутата. Вопрос лишь в цене. Нищенство же стало чуть ли
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
о
й политики.
Ну а что поделывают наши «инженеры ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
и
х душ»
судить по литературе, заполняющей уличные прилавки, издаются
дня большею частью растлители ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
и
х душ. «Кому быть
и хвалимым, / кто должен быть мёртв и хулим, — / известно
халимам / влиятельным только одним», — писал Пастернак. Нынч
миров творят деньги. Появился термин «раскрутка». Вложив дос
большую сумму, можно «раскрутить» любую бездарность.
Недавно я, соблазнённый рекламой на обложке книги (каюсь
книгу одного модного писателя. На обложке было написано,
Агата Кристи, Достоевский, Борхес и Умберто Эко в одном
Меня даже не насторожила истерически-восторженная кампания,
низованная вокруг имени этого писателя. С большим трудом доч
книгу до конца, благо находился в больнице и другого чтени
Согласен, в с
о
в
е
т
с
к
о
е время не писали детективные романы. Н
Аркадий Адамов был интереснее новомодных авторов «криминал
чтива», почему-то убеждённых, что являются писателями.
Вновь р
а
з
д
а
ё
т
с
я вопрос: «С кем вы, мастера искусств?» (Но
ляется и другой вопрос: «Где вы, мастера искусств?») Как и
вопрос этот оказывается чисто риторическим, поскольку ответ н
нился с советских времён. «А мы с властью». Только раньше
лее приближённые к власти становились депутатами Верховного
а нынче депутатами Думы (поэтом ты не можешь быть. А деп
Раньше некоторые бойцы с
а
т
и
р
и
ч
е
с
к
о
г
о фронта исполняли роль
и массажистов в предбанниках партийных саун, нынче звёзды э
охотно выступают на свадьбах криминальных авторитетов. (Присл
в
а
т
ь
с
я рад, служить, однако, тошно.)
Возможно, да нет — наверняка, и сегодня есть прекрасные п
которые могут повторить слова Ахматовой: «Я была тогда с м
родом там, где мой народ, к несчастью, был». Но голос их
в шуме толпы, который заглушает всякое высказывание в раз
дёжнее кляпа. Недавно застал конец телевизионной передачи «У
ли русская литература?». Похоже, участники передачи отождеств
себя и некую писательскую «тусовку», к которой они принадлежа
временной русской литературой. Одна дама не без пафоса зая
русская литература не умерла потому, что существуют.. И зат
назвала длинный список ничего не говорящих мне фамилий.
Русская литература не умерла. Она не может умереть, поскол
бессмертна. Гениальный Бродский поставил г
и
г
а
н
т
с
к
и
й восклицатель

с клёна падают листья ясеня... или Ностальгия по 37 году

знак, подведя итог русской поэзии второго тысячелетия. Мудры
женицын продолжает своё служение Отечеству, подавая нравств
пример новым поколениям. Продолжает тихо писать свои произв
Маканин. 1937-го года рождения. И интерес к настоящей литер
настоящему искусству, несмотря на все усилия растлителей, не
Недавно я смотрел «Вишнёвый сад» в театре Моссовета в аб
к
л
а
с
с
и
ч
е
с
к
о
й и традиционной постановке Л. Хейфеца. Спектакль
самый рядовой. Зал был полон. Половина зала составляла мо
Так что надежды ещё питают нас.

А что же дальше?
Наверно, после смерти пустота —
И вероятнее, и хуже Ада.

Иосиф Бродский
Под крем ораторий идём в крематорий.
Под шорох регалий займём колумбарий.
Из чрева подушно, а в черви колонной.
Законопослушно, коленопреклонно.

Гаврила

Привалов

А может, упомянутый в самом начале «краснобай и балам
так уж и неправ, пугая нас глобальными катаклизмами. Здесь
усмехнуться, мол, старики в
с
е
г
д
а говорят о падении нравов у
поколения, а скорый и неизбежный конец света начали предск
ещё до появления современной цивилизации. Это, конечно, верно
забывайте об экспоненте. Она может в одночасье уничтожить
с
о
з
д
а
в
а
л
о
с
ь веками. И с
е
г
о
д
н
я экспонента раскрутила скорости,
торых движется земная цивилизация, до немыслимых величин, впл
подойдя к световому барьеру.
И здесь одна примитивная мысль не даёт мне покоя. Ведь
р
о
я
т
н
о
с
т
ь появления разумной жизни больше нуля, а она боль
поскольку мы существуем и эту самую разумную жизнь представ
должны быть и другие цивилизации, в том числе и далеко обог
в своём развитии. От них должен бы исходить мощный сигнал
окружающий нас космос молчит, не подаёт признаков цивилизо
жизни. Так, может, эти цивилизации врезались в световой барьер
съедены экспонентой? А может, они смогли решить возникшие про
и
з
б
а
в
и
т
ь
с
я от рыночной и коммунистической идеологий (и религио
п спокойно, погасив скорость, нащупали положение устойчивого р

46 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

весия, где и продолжают развиваться, не претендуя на покорени
ческих пространств? Второй вариант выглядит более привлекатель
...А создать гениальное произведение очень легко. Например
Рождается человек. Запишем крик новорождённого в течение одн
нуты. Через год вновь в течение минуты будем записывать зв
ваемые годовалым ребёнком. На ту же плёнку. И так далее. Ка
будем записывать сначала звуки, затем слова, потом более осмы
речь. До тех пор, пока не закончится земной путь человека. П
еся произведение назовём «...минут из жизни человека». Окончат
название мы узнаём только в конце. В конце жизни. И тут у
повезёт.
Москва, 2002 год

Где ошибка?

Большинство граждан любой страны, Соединённых Штатов или
сии, Японии или Израиля, в том числе и считающиеся хорошо о
ными, имеют весьма смутное представление о математике и с не
воспринимают даже вполне математически обоснованные утвержде
если они не соответствуют сложившимся стереотипам. Причём это
ние и недоверие относится и к самым элементарным вещам. По
например, решить следующую очень простую задачу на чисто шк
тему, на проценты.

1. Фермер собрал 10 т арбузов и отправил их на барже
в ближайший город. Как известно, арбузы почти целиком сос
воды. В момент отправления содержание воды в них равнялос
За время транспортировки арбузы несколько усохли, содержание
уменьшилось на 1 % . (Стало равным 98%.) Чему равна масса а
прибывших в город?
Многие, узнав ответ, даже самостоятельно найдя этот ответ,
ваются в него верить. (Решите эту задачу самостоятельно.) С д
стороны, рядовые граждане зачастую просто неспособны к прост
мыслительным действиям и готовы поверить любому идиотскому ра
дению, особенно если это рассуждение произносится уверенным
и публично. Рассмотрим, например, следующую старинную задачу.

2. Один отставной г
е
н
е
р
а
л решил продать свои сапоги. Он
с
в
о
е
г
о денщика на базар, дал ему пару сапог и велел про
15 руб. Денщик в
с
т
р
е
т
и
л на базаре двух одноногих ветеранов
дал каждому из них по сапогу за 7,5 руб. Когда он рассказ
генералу, тот заявил, что с в
е
т
е
р
а
н
о
в и инвалидов можно было
и поменьше. Генерал дал денщику 5 руб. и велел вернуть их по
По дороге денщик 3 руб. прогулял в трактире и вернул каждому
по 1 руб. А теперь давайте считать. Каждый инвалид заплатил п
Умножаем 6,5 на 2 и получаем 13 руб. Да ещё 3 руб. денщик п

Впервые напечатано в журнале «Quantum» № 7 - 8 , 1998. Печатается в сокращен

48 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

13+3 = 16 руб. Откуда взялся лишний рубль? (Подобным образом
торые политические деятели предлагают добывать деньги на соц
программы.)
Конечно, предыдущий пример достаточно прост, но он вполн
показывает схему получения многих математических парадоксов.
телю навязывается некоторое правдоподобное рассуждение, содерж
ошибку. В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е п
о
л
у
ч
а
е
т
с
я утверждение, противоречащее оч
ным или же известным математическим фактам. (Иногда эта
бывает достаточно тонкой и найти её не так просто.) В к
а
ч
е
с
приведём одну «теорему» по геометрии.

3. Ещё один признак равенства треугольников. Если в треу
ках ABC и AiBiC[ выполняются следующие равенства: АВ =
АС = А\С\, ZABC = ZA\B\C\, то эти треугольники равны.
«Доказательство». Построим треугольник АВ'С как на ри
В этом т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
е /.CAB' = Z.C\A\B\, АВ' = A\Bi. По соответству
щему признаку р
а
в
е
н
с
т
в
а т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и АВ'С и А\В\С\ равны. (Ве
условию АС — А\С\.) Значит, в с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
и с условием,
ААВ'С

= /АВС,

АВ' = АВ.

Проведём отрезок ВВ'. Треугольник ВАВ' равнобедренный. Значит,
/АВВ'

=

/АВ'В.

Далее получаем, что ZC^S' = АСВ'В
Таким образом, треугольник СВВ' так­
же является равнобедренным и СВ =
= СВ'. Итак, треугольник АСВ' равен
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
у АСВ по трём сторонам
т.е. т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и ABC и AiBiC[ равны.
Теорема доказана?
Мы не просим вас о
п
р
о
в
е
р
г
н
у
т
ьу
верждение теоремы. То, что она невер
доказать нетрудно. Вопрос: где ошибк
в «доказательстве»? В математике не­
верность того или иного утвержден
Рис. 1
далеко не в
с
е
г
д
а очевидна. Умение н
ти ошибку, содержащуюся в том или ином рассуждении, п
о
ч
у
в
с
наличие л
о
г
и
ч
е
с
к
о
г
о пробела является одним из важнейших
в профессиональной математической деятельности. В математическо
науке известны случаи, когда через многие годы, через д
е
с
я
т
и
л
е
т
руживались ошибки в считавшихся безукоризненными доказательст

Где ошибка? • 49

более того, оказывалось, что и сами теоремы неверны. Мы р
з
д
е
с
ь ещё несколько чисто учебных примеров. Для каждой из
з
а
д
а
ч будет предложено рещение. Решение это содержит ту
ошибку, которую вы должны обнаружить.

4. Дан параллелограмм ABCD, в котором ZABD = 40°. Извес
также, что центры окружностей, описанных около т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
и CAD, расположены на BD. Чему равен ZABC?

«Решение». Пусть О н Q — центры окружностей, описанных о
ло т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ABC и CAD. Поскольку перпендикуляры из эти
тров к стороне АС делят эту сторону пополам, то прямая 0Q пе
лярна диагонали АС параллелограмма. Теперь из условия задачи
что диагонали параллелограмма перпендикулярны. Значит, данны
ра,плелограмм является ромбом и ZABC = 80°.
Вы удовлетворены этим решением?

5. Известно, что числа ркд удовлетворяют уравнению x^+px+q
Найти р и q.
«Решение». По теореме Виета получаем систему: р + q =
pq = q. Решая эту систему, получим два решения: p = q = Onp
q = -2. Есть ли у Вас какие-нибудь замечания по поводу этого

6. Решить уравнение \g(x + 7t/4) = SctgA: - 1.
«Решение». Левую часть уравнения преобразуем по формуле
г
е
н
с
а суммы и перейдём к новой переменной у = tgx. Получим д
переменной уравнение:
i-y

У

Из э
т
о
г
о уравнения найдём у = 3/5. Значит, х = arctg3/5 -f- nk. И

7. Сколько решений имеет уравнение logj/igX = (1/16)-^?
« Р е ш е н и е ». В левой и правой частях уравнения нахо
рошо известные взаимно обратные функции. Строим графики этих
ций и «видим», что эти графики пересекаются в единственно
расположенной на биссектрисе первого координатного угла. Значит
ное уравнение имеет одно решение. У вас есть возражения?
Следующие две задачи не совсем соответствуют нашей теме. И
вия кажутся невыполнимыми. На это мы и обратим внимание.

8. Через вершину прямого к
р
у
г
о
в
о
г
о конуса проведено сечение
большей площади. Оказалось, что это сечение по площади в
ольше осевого сечения конуса. Найти угол в осевом сечении к

50 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Условие задачи п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т
с
я неверным, поскольку наиболь
площадь имеет именно осевое сечение конуса.

9. На поверхности первого шара расположен центр второго
Известно, что площадь части поверхности первого шара, распо
ной внутри второго, в 5 раз меньше поверхности второго шар
отношение радиусов данных шаров.
Для решения этой задачи нам п
о
т
р
е
б
у
е
т
с
я формула площади
ности шарового сегмента: 5 = 2KRh, где R — радиус шара, h — вы
сегмента.
г
«Решение». Пусть /? и г — с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
о радиусы первого
рого шаров. Проведём сечение плоскостью, проходящей через
шаров (рис.2). Имеем OA = ОВ = R, АВ = г. Опустим из В перпен
куляр ВС на OA. АС есть высота шарового сегмента, представля
собой часть поверхности первого шара, лежащую внутри второго
ЛС = Л. По теореме Пифагора для т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ABC и ОВС с
ляем уравнение: =
- {R Из этого уравнения найдём Л = r^/2R. Теперь по формуле п
поверхности шарового сегмента найдём 5 = лл^. Но вся поверх
второго шара равна 4кг^, т.е. площадь части первого шара внутр
в
с
е
г
д
а в 4 раза меньше площади поверхности второго. А по усл
в 5 раз меньше. Противоречие. Значит, задача не имеет решени
Объяснения

1. Масса арбузов уменьшится ровно в два раза и составит
многих это кажется удивительным.

Где ошибка? • 51

2. Неверно к 13 прибавлять 3 рубля. Тем самым деньги, ко
д
е
н
и
д
и
к прогулял, мы считаем дважды. На самом деле 13 =
где 10 рублей — деньги, полученные генералом, а 3 рубля — потра
денщиком.

3. Если прямая ВВ' пройдёт через точку С, то нащи рассужд
проходят. Углы СВВ' и СВ'В равны, но они равны 0°, а значит
можем в
о
с
п
о
л
ь
з
о
в
а
т
ь
с
я признаком равнобедренного треугольника.

4. Возможен ещё один случай: когда центры указанных в
окружностей совпадают с центром параллелограмма. Тогда этот па
лограмм оказывается прямоугольником. Задача имеет второй ответ

5. В условии не сказано, что р и ^ —два корня уравнения
корней нет. Если р = q, то возможно наличие других корней, и
имеет ещё одно рещение: р = q = -1/2.

6. При таком рещении происходит сужение области определ
функций, входящих в уравнение, и т
е
р
я
е
т
с
я серия х = TI/2 4- к«.

7. Нетрудно убедиться, что числа 1/2 и 1/4 удовлетворяют ур
нию. Но два корня уравнение иметь не может, число решений о
нечётно. На самом деле оба графика очень сильно прижимаютс
координат, и тогда они вполне могут п
е
р
е
с
е
к
а
т
ь
с
я более одного
тодами м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о анализа несложно доказать, что в данном
число решений уравнения равно трём. И вообще, уравнение iog^
имеет не более трёх решений. (Доказательство основано на и
теореме анализа: между любыми двумя нулями функции имеется
один нуль её производной.)

8. Все сечения конуса, проходящие через вершину, представ
собой равнобедренные т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и с одинаковыми боковыми сто
ми. Если а — угол в осевом сечении конуса, а у — угол межд
сторонами в произвольном сечении, то О < у ^ а- Но площадь
пропорциональна sin у. Отсюда следует, что если а < 90°, то наиб
площадь имеет именно осевое сечение. Если же а > 90°, то наи
площадь имеет сечение, для которого у = 90°. Теперь из услови
чаем, что о( > 90° и sina = 1/2, откуда а = 150°.

9. Мы должны сделать вывод, что второй шар содержит перв
целиком и 5 есть просто отношение площади поверхности второг
к площади поверхности первого; отношение радиусов (второго к
му) равно VE. Вот если бы данное в условии отношение было
четырёх, равнялось бы, например, трём, то задача не имела бы

Откуда берутся задачи?

После н
е
к
о
т
о
р
о
г
о размышления я решил начать эту статью
противоречащих друг другу высказываний, которыми следовало б
завершить. Во-первых, не хотелось бы, чтобы каждый школьник
читавший эту статью, а таковые, надеюсь, найдутся, сразу кину
чинять собственные задачи. А во-вторых, я приглашаю всех жел
принять участие в конкурсе по составлению задач (в первую
геометрических)'. Теперь к делу. Я хочу поделиться своим дов
большим опытом в деле составления различных г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х
раскрыть некоторые секреты своей кухни, сформулировать э
с
т
е
т
и
ч
и даже э
т
и
ч
е
с
к
и
е принципы. Начну с того, что задачи удобно
на три группы: учебные, конкурсные и олимпиадные. Можно г
ещё и о творческих задачах, но это скорее подтекст, нежели
ный признак, х
а
р
а
к
т
е
р
и
с
т
и
к
а «творческая» более относится не к
задаче, а к процессу её решения. Впрочем, стоит всё же выде
дельную группу задачи «проблемного» типа. Существует определё
набор характерных т
е
х
н
и
ч
е
с
к
и
х приёмов, достаточно часто использ
при составлении тех или иных видов задач.
Перефразировка

Начну с примера.
Задача 1. Докажите, что для произвольного т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а п
екция диаметра описанной около него окружности, перпендикуля
одной стороне этого треугольника, на другую его сторону равна
стороне.
Решение. За этой изящной словесностью скрывается широко
вестный факт, сопутствующий теореме синусов: а = 2RsmA. (Зде
и далее а, Ь, с — стороны треугольника. А, В, С — противоположны
им вершины, ha, hi,, he — высоты к соответствующим сторонам, R

Впервые опубликовано в журнале «Квант» № 8 , 9, 1991.
''Хотя с момента написания с
т
а
т
ь
и прошло более 15 лет, это приглашение
в силе. Задачи можно присылать по электронной почте (адрес geom_olympfflisa.ru

Откуда берутся задачи? •

53

радиус описанной окружности.) Формулировка этой задачи литера
н
а
с
т
о
л
ь
к
о привлекательна, что перед её чарами не устояли даж
шие виды руководители «Задачника „Кванта"», включившие её
задачник. Задача эта скорее учебная, чем олимпиадная. Её
п
о
к
а
з
а
т
ь известный факт с новой, неожиданной точки зрения.
Весьма распространённым является приём, который можно н
а
«замена опорной фигуры». Я, как ведущий раздела «Задачи» в
«Математика в школе», нередко прибегаю к нему, если мне н
для э
т
о
г
о раздела какой-либо не очень трудной задачи (подо
дачи обычно даются без авторской подписи). Такие задачи вст
довольно часто. Вот пример с XXIV Всесоюзной олимпиады по
тике (1990).
Широко и давно известна следующая теорема.
Теорема. Если на прямых АВ, ВС и СА взяты
произвольно
точки С, А' и В' соответственно,
отличные от веришн
треуголь­
ника ABC, то окружности,
проходя­
щие через А, В', С; А', В, С и А',
В', С, имеют общую точку. (Иногда

э
т
у теорему называют теоремой Микеля, а общую точку п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я окруж­
н
о
с
т
е
й обозначают через М и называют
т
о
ч
к
о
й Микеля.) Доказывается эта теоре­
ма в общем-то несложно. Единственная
трудность, если не прибегать к ориенти­
рованным углам,состоит в необходимости
перебора различных случаев взаимного
расположения точек А', В' и С. В ситу­
ации, изображённой на рис. 1, обозначив
ч
е
р
е
з М точку пересечения окружностей
АВ'С и А'ВС, легко покажем, что точки
'4', В', С, М лежат на одной окружности.
А вот задача Всесоюзной олимпиады.

Рис. 1

Задача 2. На стороне АВ выпуклого ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABCD
в
з
я
т
а точка Е, отличная от точек Ач В. Отрезки АС к DE пересек
в точке F. Докажите, что окружности, описанные около треугол
^оС, CDF и BDE, имеют общую точку.

Решение. Присмотревшись к рис.2 и вдумавшись в условие,
ез труда заметим, что задача 2 совпадает с теоремой, если у
в ней конфигурацию привязать к т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
у AEF (переобозначив
этом буквы Е ^ В, В
С, F
С, С
В', D ^ А'). Конечно,

54 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

В

Е

А

Рис. 2

формулировка задачи 2 менее естественна, а следовательно, мен
тетична, чем формулировка теоремы. Возможно, что я и ошибся
предположениях и неверно «вычислил» происхождение этой задачи
что ж, тем хуже для организаторов олимпиады.
Очень красивые и эффектные задачи могут возникать при
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й задачи с г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о языка на алгебраически
пример, возьмём известную задачу на пост
ние т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а по трём высотам (может
вы решить эту задачу?). Идея состоит в
что т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к со сторонами а, Ь, с подоб
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
у со сторонами l/ha, \/hb, \/hc
по третьему признаку подобия треугольник
Пусть теперь высоты т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а равны
Ь, с, а его стороны х, у, z. Если этот треу
ник остроугольный, легко получаем систе
Рис. 3
уравнений для х, у, z. Итак, имеем з
а
д
(рис.3).
Задача 3. Решите систему уравнений

sjz^ - ft2 + ^/]^2TГp = y_

Зная происхождение этой системы, мы без труда найдём у
при котором она совместна (остроугольность треугольника со сто
1/а, 1/Ь, 1/с), а затем и решим саму систему. (Докажите при
что система, как и задача на построение, не может иметь бо
решения.)
К этому же разделу, хотя и с некоторой натяжкой, можно
изменение формулировки, связанное с переходом от прямого утверж

Откуда берутся задачи? • 55

К обратному. (Стоит заметить, что границы между типами задач
размыты, условны. Одна и та же задача часто может служи
с
т
р
а
ц
и
е
й различных приёмов, тем более что во многих случаях
з
а
д
а
ч
а п
о
л
у
ч
а
е
т
с
я за счёт комбинации различных приёмов.) Здес
можен широкий спектр различных случаев и разновидностей, по
я о
г
р
а
н
и
ч
у
с
ь одним примером, показывающим, как из тривиальн
с
у
т
и прямого утверждения п
о
л
у
ч
а
е
т
с
я вполне б
о
г
а
т
а
я г
е
о
м
е
т
р
и
ч
содержанием задача. Совершенно очевидно, что точка пересечения
сот (точка Н) о
с
т
р
о
у
г
о
л
ь
н
о
г
о треугольника ABC обладает следую
свойством:
ZHAB

= /НСВ,

АН В А = ZHCA,

/НАС

=

/НВС.

В связи с этим вполне е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о возникает задача.

Задача 4. Найдите г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е место таких точек М, дл
торых имеют место равенства
/МАВ

= /МСВ,

/МВА

=

/МСА,

г
д
е ABC —данный остроугольный треугольник.

Решение. Понятно, что искомому месту точек внутри треуго
ка принадлежит точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я его высот. Кстати, здесь в
отнюдь не тривиальная задача: единственна ли такая точка вну
угольника? Мы докажем её единственность. Для этого продолжим
ВМ и СМ до пересечения со сторонами т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а в точках

Рис. 4

56 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

И Ci (рис.4). Точки А, С, А\ а С\ лежат на одной окружности. Зна
ZMA1 С, = ZMCA

= ZMBCi

и ZMA С = ZMC, Л,.

Таким образом, точки М, В, А\ и С| также лежат на одной окр
ZMBAi

^ZMCiAi

=ZMAC.

Обозначив теперь а = ZMCA, р = ZMCB и у = ZMAC, найдём
а + Р+ Y =
из чего следует, что AAi, ВВ\ и СС\ — высоты
треугольника. Однако наше г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е место не исчерпывает
ной точкой п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я высот. В него входит также дуга АВ
около ABC окружности, а также середины дуг ВС и СА (докажит
Конструкции

Чаще всего вз
а
д
а
ч
а
х этого типа «сооружается» некая г
е
о
м
е
т
конструкция, в к
а
ч
е
с
т
в
е деталей которой берутся некие фигур
элементы.
Иллюстрацией здесь могут служить с
т
е
р
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е задачи-«м
стры», встречающиеся на экзаменах в такие вузы, как МФТИ
и ВМК МГУ и некоторые другие. Я не буду приводить пример
ных задач, тем более что за ними не надо далеко ходить
вспомнить с
т
е
р
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е задачи из вступительных вариантов,
ликованные в журнале «Квант», № 1, 2 за 1990 и 1991 годы.
Усложнение г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й конструкции почти наверняка прив
к многоходовости задачи, превращает её в своего рода задачуку» (много полочек и на каждой своя задачка) или задачу-«ма
(несколько задач, одна в другой).
Впрочем, такого рода задачи не обязательно должны иметь
сложную геометрическую конструкцию. Вот простой пример, соста
ный из двух (или из трёх) задач-«полочек».

Задача 5. Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его
четыре треугольника. Докажите, что произведение площадей двух
тивоположных т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в равно произведению площадей двух др
треугольников.

Задача 6. Докажите, что из всех четырёхугольников, вписан
в данную окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.
Решите задачи 5 и 6 самостоятельно, а мы из них сконстр
следующую задачу.

Откуда б
е
р
у
т
с
я задачи? • 57

Задача 7. В окружность единичного радиуса вписан четырёху
ник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М. Найдите
щадь 5 этого четырёхугольника, если
известно, что произведение площадей
В
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в У4ВЛ1 И CDM равно 1 / 4 .
Решение. Чтобы решить эту за­
дачу, достаточно заметить (рис. 5), что
1

SiSs = S254 = ^

(задача 5), а также что
S = 5 i - Ь 5 2 + 5з + 54 ^

^ 2\/ЗД + 2 л / 5 ^ = 2

Рис. 5
(неравенство о среднем арифметиче­
ском).
Кроме того (задача 6), S < 2, так как площадь квадрата, впи
в единичную окружность, равна 2. Из всего э
т
о
г
о следует, что
к
в
а
д
р
а
т и его площадь 2.
Иногда целью конструкции является маскировка основной иде
г
о
в
о
р
я шахматным языком, добавление в
с
т
у
п
и
т
е
л
ь
н
о
й игры. Обычн
приводит к появлению в условии лишних деталей, мало и даже
работающих в решении, что, конечно же, снижает э
с
т
е
т
и
ч
е
с
к
и
й у
з
а
д
а
ч
и («Каждое ружьё должно стрелять!»). В к
а
ч
е
с
т
в
е примера
можно не очень убедительного, поскольку мой анализ основывае
личных домыслах, вновь возьму задачу с XXIV Всесоюзной олимп
Задача 8. На сторонах А\А2 и А2А3 правильного 2«-угольни
А\А2...А^п
так взяты точки К w N соответственно, что
AKAn+2N

= i

.

Докажите, что NAn+2 — биссектриса угла KNA3.
Решение. Вся суть задачи в следующем. Возьмём произвол
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к ЛВС и проведём в нём биссектрису угла В и биссект
лов, смежных с углами Л и С (рис. 6). Эти три прямые, как изв
секаются в одной точке — центре вневписанной окружности т
р
е
у
г
о
ABC. (Если вы этого не знаете, докажите самостоятельно. Рассуж
полностью аналогично д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
у того, что биссектрисы внутре
углов т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а пересекаются в одной точке.) Обозначим эту

58 • И. Ф. Шарыгин о м
а
т
е
м
а
т
и
к
е и не только о ней

через р . Нетрудно доказать, что /АРС равен 90° - (l/2)Zfi.
и обратное утверждение: если на биссектрисе угла В вне т
р
е
у
ABC взята такая точка Р, что
/АРС

= 90° -

^ZB,

то АР и CP будут являться биссект
сами внешних углов этого треугольни
(Докажите.) Вот и всё. Именно в
суть ситуации, описанной в условии
дачи 8. (Роль т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC и
г
р
а
е
т
треугольник KA^N, вместо точки Р — вер
шина Л„+2.) Весь антураж в виде прав
ного 2л-угольника нужен лишь для т
«чтобы вы не догадались».
Многие задачи конструируются авто
рами под понравившуюся им идею ре
ния. Правда, довольно часто «решател
находят другие, отличные от авторско
иногда более простые решения.
В связи с задачей 8 хочу в к
а
ч
е
примера взять одну из своих задач.
з
а
х
о
т
е
л
о
с
ьс
к
о
н
с
т
р
у
и
р
о
в
а
т
ь задачу, в которой рассуждение о том,
биссектрисы пересекаются в одной точке, а вернее, что в треу
через точку пересечения биссектрис двух углов (не обязательно
них, см. рис. 6) проходит третья, повторялось бы дважды, причём
этап существенно опирался бы на первый. Получившуюся задачу
н
а
з
в
а
т
ь очень удачной, поскольку идея была реализована на и
конструкции, но всё же...

Задача 9. В т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
е ABC ZB равен 120°. На стороне
взята точка М, а на прямой АВ точка К так, что ВМ — бис
угла ABC, а С/С — биссектриса угла, смежного с АСВ. Отрезо
п
е
р
е
с
е
к
а
е
т сторону ВС в точке Р. Докажите, что ZAPM = 30°.
Решение. Вот это двухходовое рассуждение. Для т
р
е
у
г
о
л
ь
н
ВМС отрезки ВК и СК — биссектрисы внешних углов В и С (ри
Следовательно, MP — биссектриса угла ВМС, а Р — точка пересече
биссектрис углов, внешних к углам В и М т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а АВМ. Зна
АР — биссектриса угла ВАС.
Окончательно получаем
ZAPM

= ZPMC

- ZPAM

= ^(ZBMC

- ZBAM)

= 30°.

Откуда берутся задачи? • 59

Ну И наконец, задачу можно конструировать «под ответ» (та
сто поступают в учебных задачах) или, более широко, «под ре
Хочу в к
а
ч
е
с
т
в
е примера привести одну задачу-ловушку (весьма
встречающийся тип задач), в которой специально подобранные
вые данные задают непривычную геометрическую ситуацию. Несм
на определённые н
е
д
о
с
т
а
т
к
и (пришлось п
р
и
б
е
г
н
у
т
ь к маленькой хи
в формулировке условия), задача эта мне весьма дорога. Правда
зя о
т
н
е
с
т
и ни к олимпиадным — не принято давать на олимпиад
с числовыми данными, ни к конкурсным задачам — попасться в
могут даже самые сильные, а это не с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т идее конкурс
это всё же учебная задача с воспитательным оттенком.

Задача 10. В основании четырёхугольной пирамиды лежит выпу
лый четырёхугольник, две стороны которого равны 6, а две ос
ся 10, высота пирамиды равна 7, боковые грани наклонены к п
основания под углом 60°. Найдите объём пирамиды.

Решение. Из условия следует, что двугранные углы при осн
равны или 60° или 120° (но не обязательно только 60°, имен
небольшая тонкость в формулировке!), а вершина пирамиды прое
е
т
с
я в точку, равноудалённую от сторон, а вернее, от прямых, об
четырёхугольник. Из последнего следует, что четырёхугольник в о
нии не может быть параллелограммом. Две соседние его стороны
две другие, также соседние, равны 10. Но если для четырёхуг
ABCD имеют место равенства
АВ = ВС(= 10),

AD = DC(= 6),

для него есть две точки 0\ и Ог, равноудалённые от его
1С. 8). Из условия следует, что расстояния от проекции ве

60 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

пирамиды до её сторон равны 7/\/3.
ли вершина п
р
о
е
к
т
и
р
у
е
т
с
я в точку 0
центр вписанной в ABCD окружности
то площадь ABCD должна быть равн
16 •

Но площадь ABCD не пре
v3
восходит 60 (она равна 60, если уг
С

А и С прямые), а 16 • —р= > 60. Знаv3
чит, вершина п
р
о
е
к
т
и
р
у
е
т
с
я в точку
расстояния от которой до прямых, об
зующих четырёхугольник ABCD, равны
7/\/3. Теперь легко найдём
W D

= (10-6)-^,

а затем и объём пирамиды
V =

^ .

Частный случай

Многие общие теоремы, вооружающие нас мощным средством
ния задач, такие как теорема Чевы в геометрии или неравенства
в алгебре, могут выступать и в к
а
ч
е
с
т
в
е инструмента составлени
Возьмём, например, теорему Паскаля: если А, В, С, D, Е и F — ше
точек, расположенных на окружности, то три точки, в которых
каются попарно прямые АВ и DE, ВС и EF, FA и CD, расположен
одной прямой. Рассмотрим также задачу.

Задача 11. Пусть ЛВС£) — вписанный четырёхугольник, прямы
АВ и CD пересекаются в точке М, а прямые ВС и AD — в то
Докажите, что касательные к окружности в точках В и D пересек
на прямой КМ.
Не надо обладать большой наблюдательностью, чтобы заметит
эта задача является частным, а вернее, предельным случаем
Паскаля.
Профессиональные математики, занимающиеся также и организац
математических олимпиад, нередко черпают красивые и интересные
чи из своей научной деятельности, перенося на школьную почву
случаи серьёзных математических теорем, приспосабливая к ней
иные леммы, в большом числе возникающие при д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
е

Откуда берутся задачи? • 61

любой серьёзной математической теоремы. Правда, в геометрии
примеры не слишком часты, с
е
р
ь
ё
з
н
а
я математика всё же очень
школьной геометрии. (Эту фразу ни в коем случае нельзя расс
как упрёк геометрии.) Поэтому я ограничусь одним примером, во
не очень ярким и характерным.
Есть такая теорема «о зигзаге». Даны две окружности
можно, в пространстве). Известно, что существует набор из 2
т
о
ч
е
к А\,...,А2п,
что точки с нечётными номерами расположен
одной окружности, точки с чётными номерами — на другой и
A\A2

= A2Az = ...

=

А2пА\.

Тогда таких наборов из 2п точек существует бесконечно мног
чём в к
а
ч
е
с
т
в
е точки А\ можно взять любую точку первой ок
а расстояние между последовательными точками будет таким ж
у исходного набора точек.
Я не знаю элементарного д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
а этой теоремы. Одна
частные случаи вполне можно использовать в к
а
ч
е
с
т
в
е элемен
задач. Рассмотрим, например, следующую задачу.
Задача 12. На плоскости даны две окружности с радиусами
и расстоянием между центрами а. Найдите сторону ромба, две про
ложные вершины которого лежат на одной окружности, а две ос
на другой.
Задача эта достаточно проста, поэтому я ограничусь лишь ук
ответа: y/R^ + — а^.
Варьирование условий

Простейший пример, достаточно точно иллюстрирующий этот п
даёт такая серия задач: построить треугольник по а) трём
б) трём медианам; в) трём высотам; г) трём биссектрисам. На это
ре видно, сколь сильно может меняться уровень сложности при
варьировании условий. В нашей ч
е
т
в
ё
р
к
е за совершенно элемент
первой з
а
д
а
ч
е
й следует вполне содержательная, не очень, правда
ная, вторая задача. Третья задача уже существенно сложнее, а
тая — и вовсе не решается при помощи циркуля и линейки.
Любопытную идею, с помощью которой можно с
о
з
д
а
в
а
т
ь серии
предложил киевский учитель математики В.Куценок. Возьмём како
будь г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е соотношение, допустим, равенство aha = bhb, и
дадимся вопросом: каковы свойства треугольника, для которого в
н
я
е
т
с
я соотношение, получающееся из рассматриваемого заменой в
на медианы или биссектрисы? В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е можно получить такую

62 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Задача 13. На плоскости даны две точки Л иfi.Найдите г
ческое место таких точек плоскости С, что для т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а AB
место равенство:
а) агпа = Ьгпь {Ша и ть —медианы т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC);
б) ala = Ыь (la, /«,—биссектрисы т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC).
Решение в обоих п
у
н
к
т
а
х весьма сходно. Рассмотрим пункт
Пусть АА\ и ВВ\—высоты треугольника, AAQ И S B Q — меди
Из условия следует подобие т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ЛЛоЛ] и ВВф\. Возм
два случая расположения точек А\, Ло, B | , Во на сторонах тр
ника ЛВС, они изображены на рис.9. В первом случае точки
и Во расположены на одной окружности. Из этого, ввиду п
а
р
а
л
л
ЛоВо и АВ, следует р
а
в
н
о
б
о
к
о
с
т
ь трапеции ЛВоЛоВ, а значит, р
а
АС = ВС. Во втором случае на одной окружности оказываются
С,Л1,Ло, Во. Во вписанном ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
е СЛоМВо диагональ
есть половина АВ и делится диагональю СМ пополам. Диагональ
есть 2тс/3 и делится диагональю ЛоВо в отношении 3 : 1. Из р
п
р
о
и
з
в
е
д
е
н
и
йо
т
р
е
з
к
о
вд
и
а
г
о
н
а
л
е
й найдём
т] = | Л В 2 .

4

Таким образом, искомое г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е место точек состоит из
ного перпендикуляра к о
т
р
е
з
к
у АВ и окружности с центром в
АВ и радиусом ЛВ\/3/2.
В пункте б) точка расположена также или на серединном пе
куляре к АВ, или на дуге окружности, из точек которой о
т
р
е
з
о
к
под углом 60°.
Вообще, при варьировании условий з
а
д
а
ч
и могут в
о
з
н
и
к
а
т
ь люб
ные серии. Приведу пример двух таких серий (не стремясь к и

Рис. 9

Откуда берутся задачи? • 63

Известна к
л
а
с
с
и
ч
е
с
к
а
я теорема, утверждающая, что из р
а
в
е
д
в
у
х в
н
у
т
р
е
н
н
и
х биссектрис т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а с
л
е
д
у
е
т его р
а
в
н
о
б
е
д
р
е
н
(теорема Штейнера—Лемуса). Само по себе утверждение этой т
вполне е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о и ожидаемо, если бы не трудности, с
п
р
и
х
о
д
и
т
с
я с
т
а
л
к
и
в
а
т
ь
с
я при её доказательстве, в отличие от р
ных тривиальных теорем, касающихся медиан или высот. Уже
в
и
д
е
н скверный нрав биссектрис. Но в полной мере он про
в следующей задаче.

Задача 14. Будет ли равнобедренным т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к ABC, есл
у него:
а) равны биссектрисы внещних углов А ц В,
б) равны о
т
р
е
з
к
и КА\ и КВ\, где АА] и BBi —биссектрисы вну
них углов треугольника, а К — точка их пересечения,
в) равны р
а
с
с
т
о
я
н
и
я от точки Ci (CCi—биссектриса угла
с
е
р
е
д
и
н сторон СА и СВ,
г) имеет место р
а
в
е
н
с
т
в
о С]А\ = CiBi,
д) окружность, проходящая через точки Льfi|и Сь к
а
с
а
е
т
с
я
АВ данного треугольника?
Во всех пяти п
у
н
к
т
а
х о
т
в
е
т отрицательный. Наиболее нетрив
э
т
о п
о
л
у
ч
а
е
т
с
я в пунктах г) и д).
Ограничусь рассмотрением п
о
с
л
е
д
н
е
г
о пункта, о котором я
лишь недавно из фольклорных источников. При этом я покажу
как можно п
о
с
т
р
о
и
т
ь пример н
е
р
а
в
н
о
б
е
д
р
е
н
н
о
г
о треугольника, уд
творяющего условию, не объясняя, как до
э
т
о
г
о можно додуматься.
Пусть ЛЛь ВВ\ и СС]—биссектрисы
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC (рис. 10). Возьмём на
продолжениях сторон ЛС и ВС точки Л2 и Вг
так, что СЛг = САи СВ2 = СВь Понятно,
что точки Ль Лг, В\ и Вг расположены на од­
ной окружности. Если при этом окажется, что
ЛС| и BCi равны касательным, проведённым
из Л и В к этой окружности, то она к
а
с
а
е
т
с
я
АВ в точке Сь (Если длина о
т
р
е
з
к
а равна
сумме касательных, проведённых из его кон­
цов к окружности, то этот о
т
р
е
з
о
к к
а
с
а
е
т
с
я
окружности. Докажите это самостоятельно.)
Рис. 10
Следовательно, должны выполняться ра­
в
е
н
с
т
в
а
AC^ = ABi-AA2,

ВС1 =

ВАхВВ2.

64 Ф И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Выражая о
т
р
е
з
к
и сторон треугольника ABC через стороны {A
= bc/(c + а) и т.д.), увидим, что каждое из этих двух равенст
лентно соотношению
(а + Ь + с){а + bf = с{с + а){с + Ь).

Остаётся убедиться, что существует неравнобедренный треугольник
роны которого удовлетворяют этому соотношению. Нетрудно найт
кретный числовой пример. Пусть с = 1,а-|-6 = 1+Х. Тогда получ
аЬ = Х(2 -Ь Х)2.

Если X достаточно мало, то можно найти а иfc,при этом а ф
Ещё одна и
н
т
е
р
е
с
н
а
я серия задач связана с условием р
а
в
н
о
г
тетраэдра. Напомним, что тетраэдр (произвольная т
р
е
у
г
о
л
ь
н
а
я пира
называется равногранным, если все его грани — равные межд
треугольники. Известен целый ряд условий, необходимых и доста
для того, чтобы т
е
т
р
а
э
д
р был равногранным. Не стремясь к полн
более к рекорду, сформулирую следующую многопунктовую задачу
Задача 15. Какие из следующих условий являются необходим
и достаточными для того, чтобы тетраэдр ABCD был равногранн
а) противоположные рёбра попарно равны,
б) периметры всех граней равны между собой,
в) суммы плоских углов при трёх вершинах равны 180°,
г) выполняются равенства /.BAD = Z5CD = /LABC = ZADC,
д) выполняются равенства ZBAC = ZBDC, ZABD = ZACD, ZBAD =
=

ZBCD,

е) все грани имеют равные радиусы описанных окружностей,
ж) все грани имеют равные радиусы вписанных окружностей,
з) все грани имеют равные площади,
и) отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, пер
дикулярны,
к) центр описанной сферы совпадает с центром масс тетраэд
л) центр вписанной сферы совпадает с центром масс тетраэд
м) центры вписанной и описанной сфер совпадают,
н) сумма косинусов двуфанных углов равна 2,
о) на описанной около тетраэдра сфере расположены центры
шаров, каждый из которых к
а
с
а
е
т
с
я одной грани во внутренн
и плоскостей трёх других граней?
Уф!.. Пожалуй, достаточно. В принципе, подобных условий мо
выписать несколько десятков, особенно если учесть, что некоторы
можно смешивать. Так, например, первые 8 условий записываются
трёх равенств, и мы имеем возможность выписывать новые услов

Откуда берутся задачи? • 65

скажем, одно равенство из пункта а) (равны два противоположны
и два р
а
в
е
н
с
т
в
а из пункта в) (суммы плоских углов при дву
равны 180°).
В данной задаче почти все условия являются необходимыми
точными, чтобы тетраэдр был равногранным. Вы уже, наверное
дались, что исключением, скорее всего, является пункт ж) — оп
с
е
к
т
р
и
с
ы безобразничают. Так оно и есть. Попробуйте сами по
пример тетраэдра с неравными гранями, но с равными радиуса
санных в них окружностей. В к
а
ч
е
с
т
в
е граней можно взять д
неравных равнобедренных треугольников, имеющих нужное свойств
Весьма нетривиально доказывается пункт о). Во всяком случ
с
т
а
т
о
ч
н
о элементарного д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
а я не знаю.
Кстати, пункт д) возник уже в процессе работы над стать
интересно, что существенной является «пространственность» тетраэ
Если А, В, С и D лежат в одной плоскости, этого н
е
д
о
с
т
а
т
о
ч
н
р
а
в
е
н
с
т
в
а треугольников.
Обобщение

Всё развитие математики п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т собой путь постоянных
щений. Конечно, при использовании этого приёма для получения
элементарных задач мы, как правило, на многое не претендуем,
менее помнить и понимать его значение необходимо.
Обобщение может идти по различным направлениям. Иногда
в
а
е
т
с
я возможным в рассматриваемой задаче снять некоторые оф
ния и распространить соответствующее утверждение на более ш
множество объектов. Так, однажды в старом математическом жу
я в
с
т
р
е
т
и
л следующую задачу.

Задача 16. Во вписанном четырёхугольнике ABCD сторона AD
я
в
л
я
е
т
с
я диаметром окружности, а биссектрисы углов В и С пе
ются на AD. Докажите, что имеет место равенство АВ + CD = A
Решение этой задачи, приведённое в журнале, мне не понр
После н
е
к
о
т
о
р
о
г
о размышления удалось найти другое решение, в
никак не использовалось то, что AD —диаметр окружности. Это
о
к
а
з
а
л
о
с
ь лишним. В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е возникла вполне новая задача.
Задача 16'. Докажите, что если биссектрисы углов В и С
ного ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABCD пересекаются на стороне AD, то
AD = AB + CD.

Суть упомянутого мною решения (есть много других) состоит
Возьмём точку Р на AD, в которой пересекаются биссектрис

УЮЩем.

3 — 1356

66 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

углов S И С. Опишем около ВСР окружность и обозначим через
рую точку п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я этой окружности с AD. Тогда, учитывая р
соответствующих углов вписанных ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ABCD и ВСР
докажем равнобедренность т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в АВМ (АВ = AM) и CD
(CD — DM). Проделайте эти рассуждения самостоятельно.
Из этого примера также видно, сколь полезно при решен
не о
г
р
а
н
и
ч
и
в
а
т
ь
с
я одним методом, рассматривать различные пути
ния, уделяя особое внимание более геометричным, поскольку они
вскрывают внутренние свойства фигур, позволяют отделить глав
второстепенного. В связи с этим ещё один, более свежий пр
Всероссийской олимпиаде в 1990 году (см.: «Квант» № 10, 1990) б
предложена следующая задача.

Задача 17. Точки D и Е лежат на сторонах АВ и ВС т
р
е
у
г
о
л
ABC. Точки К п М делят отрезок DE на три равные части. Прям
и ВМ пересекают сторону АС в точках Т » Р. Докажите, что
TP < ^АС.

Уже сама формулировка вызвала у меня лёгкое чувство п
Слишком громоздко, много буквенных обозначений, без которых
можно было обойтись. Также не удовлетворило меня и решен
задачи, приведённое в журнале. Оно в некоторой мере против
выработанным мною принципам, выглядело неестественным (для м
Найдя устраивающее меня решение, я сумел также и несколько
мулировать эту задачу, сделать её более общей.
Задача 17'. Из вершины угла выходят два луча, расположе
внутри угла. Некоторая прямая п
е
р
е
с
е
к
а
е
т стороны угла в то
и Е, а лучи — в точках К а М. Докажите, что отношение KM/DE бу
наибольшим, если DK = ME.
Для д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
а рассмотрим какую-то другую прямую, пр
можно считать, что она проходит через Е и п
е
р
е
с
е
к
а
е
т другую
и лучи в точках Di, К\ и М\ (рис. 11). Положим DK = ME = а, КМ
0D\ = \0D. Проведя через D\ прямую параллельно DE, будем имет
D\K2

= \a,

K2M2

=

\b,

DjMx _ Ца + b)
MiE
a

Откуда берутся задачи? • 67
0

D

к

M

E

Рис. 11

Окончательно задача сводится к д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
у несложного алгебр
с
к
о
г
он
е
р
а
в
е
н
с
т
в
а
\(Ь^ + 2аЬ)
b
(Х(а + Ь) + а)(\а + а + 6) ^ 2а + 6'

к
о
т
о
р
о
еп
р
е
о
б
р
а
з
у
е
т
с
я к виду (X - \fa(a -Ьft)^ 0.
Другим возможным направлением обобщения является перенос н
е
г
ог
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о факта с одних объектов на другие, в частно
из плоскости в пространство. Так возникла следующая задача.

Задача 18. К двум сферам проведены две касательные АВ и
А к С находятся на поверхности одной сферы, В и D —на др
Докажите, что проекции ЛС и BD на прямую, проходящую через
сфер, равны.
В плоском варианте эта задача вполне проста. Да и в про
она не слишком сложна. (Всё следует из того, что середин
к
а
с
а
т
е
л
ь
н
ы
х к двум сферам лежат в одной плоскости, перпе
•'•ярной линии центров. Докажите это утверждение.) Здесь, н
взгляд, интереснее то обстоятельство, что пространственный ан
п
л
а
н
и
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о утверждения о
с
т
а
ё
т
с
я верным. Такое с
л
у
ч
а
е
т
с
я
слишком часто. Нередко смысл п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
е
н
н
о
г
о обобщения сос
в п
о
с
т
р
о
е
н
и
и опровергающего примера. Так, простейшее в планим
утверждение: основание хотя бы одной высоты т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а леж
соответствующей стороне, а не на её продолжении, — в пространст
Исполнении т
рансформируется в вопрос.

Задача 19. Верно ли, что для любого тетраэдра основание х
одной высоты принадлежит соответствующей грани этого тетраэдра

68 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Рис. 12

Ответ на этот вопрос отрицательный. Контрпримером являет
раэдр, у которого два двуфанных угла, соответствующие двум
вающимся рёбрам, являются тупыми.
Нередко одна и та же задача может обобщаться в разл
правлениях, порождать целые обобщающие серии. Возьмём широ
в
е
с
т
н
у
ю теорему: сумма расстояний
от произвольной
точки
внут­
ри правильного
треугольника
до его сторон постоянна.
(Для тех,

кто не знаком с этой задачей, обозначим доказательство. Площ
сматриваемого правильного треугольника равна сумме площадей
треугольников, основания которых — стороны правильного треуголь
а общая вершина — какая-то точка внутри этого треугольника.
Утверждение этой теоремы очевидно обобщается на произво
выпуклый равносторонний многоугольник. Менее очевидно, что
обобщается и на равноугольный многоугольник. В самом деле,
А\А2-.-Ап
— равноугольный многоугольник (рис.12, п = 5). Рассмот
рим правильный л-угольник А\А'2...А'„
со сторонами, параллельн
сторонам исходного п-угольника, и содержащий его. Для любой т
внутри Ai . . . А „ сумма расстояний до сторон постоянна. Но расс
до какой-то стороны исходного л-угольника меньше, чем расс
до параллельной ей стороны второго правильного л-угольника,
стоянную величину. Значит, и вся сумма расстояний от М до
л-угольника А\...Ап
о
т
л
и
ч
а
е
т
с
я от суммы расстояний от М до
А\ ...А'„
на постоянную величину, т.е. и сама является постоянно
Можно сделать и ещё один шаг обобщения, объединяющий д
дыдущих (равносторонность и равноугольность). В итоге можно сф
лировать следующую теорему.

Откуда берутся задачи? • 69

Задача 20. На плоскости даны/г различных единичных вект
сумма которых равна нулю. Рассмотрим выпуклый /т-угольник, ст
к
о
т
о
р
о
г
о перпендикулярны соответствующим векторам. Тогда для
в
н
у
т
р
е
н
н
и
х точек этого л-угольника сумма расстояний до его сто
и та же.
Возможны и другие пути обобщения исходной теоремы про п
ный треугольник. Например, выход в пространство. Кстати, воз
вопрос, верна ли в пространстве теорема-задача 20, вернее, её
Открытия и проблемы

Предыдущие примеры иллюстрировали те или иные технические
ёмы. И всё же главный источник новых задач — это любознате
стремление всякий раз докопаться до существа дела, умение увид
вычное с неожиданной точки зрения. Вот тогда-то и появляютс
интересные г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е задачи, задачи-открытия. К этой катег
на мой взгляд, относится одна из наиболее симпатичных олим
з
а
д
а
ч последних лет.

Задача 21. Можно ли из деревянного единичного куба вып
три правильных тетраэдра с единичным ребром?
Задача эта предлагалась на Всероссийской олимпиаде в 198
Здесь интересно то, что во многих олимпиадных сборниках обсу
з
а
д
а
ч
а о выпиливании из единичного куба двух тетраэдров. А ок
ся, можно выпилить целых три! (Возьмём три попарно скрещива
ребра куба. Каждое из них будет ребром одного тетраэдра.
противоположных рёбер каждого тетраэдра совпадают с центром
Докажите теперь, что эти тетраэдры более не имеют общих то
Конечно, вовсе не обязательно красивый факт, обнаруженный
вами, окажется открытием и для всего человечества. Это не
и страшно, тем более что многие старые г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е теоре
ляются откровением для признанных г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х экспертов. Мно
слишком многое из тысячелетней г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й культуры утеряно
Одним из своих любимых г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х открытий я считаю
ющую задачу.

Задача 22. Какое наибольшее число прямых можно провести
какую-то точку в пространстве так, чтобы все попарные углы ме
были бы равны?
Ответ: 6. При этом я прекрасно понимаю, что наверняка это
был и
з
в
е
с
т
е
н в глубокой древности, например Архимеду. То, чт
"Рямых не может быть более шести, несложно доказать. В сам
п
у
с
т
ь /| и /г — две прямые нашего семейства, проходящие чер

70 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

ку О. Тогда все оставшиеся прямые должны принадлежать перес
двух конических поверхностей: осью одной из них является пр
а прямая k является одной из образующих; для второй — наобо
ось, 1\ —образующая. Такие две конические поверхности пересек
не более чем по четырём прямым.
Примером шестёрки прямых, обладающих нужным свойством, м
служить диагонали икосаэдра — правильного двадцатигранника (дв
дцативершииника). Если вы плохо п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т
е себе икосаэдр,
жете построить нужный пример следующим образом. Возьмём
векторов: (а, ±Ь, 0); (±Ь, О, а); (О, а, ±Ь) в к
а
ч
е
с
т
в
е направляющих
торов наших прямых. Поскольку все векторы имеют одну и ту ж
должны быть равными абсолютные величины всех попарных ска
произведений. Считая, что а ^ 6 > О, приходим к р
а
в
е
н
с
т
в
у
a'^-ab-b^

= 0.

Можно взять

в геометрии, как, наверное ни в одном предмете, короток
учебной задачи к нерешённой проблеме. В конце концов, не так
разнятся по постановке задачи: «найти наименьшее значение
ди треугольника, содержащего единичную окружность» и «найти ф
наименьшей площади, которой можно покрыть любую плоскую ф
диаметра 1». Но если первая — простая школьная задача, то в
до сих пор не решённая проблема Лебега о минимальной «по
Но для того, чтобы сформулировать подобную содержательную про
надо обладать хорошей математической к
у
л
ь
т
у
р
о
й и вкусом. Не
забывать пословицу, утверждающую, что один дурак может задать
ко вопросов, что и сотня мудрецов не ответит.
В отличие от других математических дисциплин в геометрии
можен эксперимент в прямом, физическом смысле этого слова
гие г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е открытия древности явились следствием наблю
и эксперимента. Очень возможно, что известный современный ге
Коннели, построивший деформирующийся многогранник (многогранни
который может деформироваться так, что каждая из его граней
неизменной), в процессе своей работы много экспериментировал —
ивал или как-то иначе создавал пространственные модели. Многог
Коннели разрешил одну из старейших математических проблем,
обстоятельство, что решение этой проблемы оказалось вполне э
тарным и полностью было опубликовано в журнале «Квант» (№9,

Откуда б
е
р
у
т
с
я задачи? • 71

учитывая уровень развития современной математики, кажется фан
ческим. Такое возможно только в геометрии, и то крайне редко
Здесь я хочу привести пример другого «маленького» открыти
ланного экспериментальным путём. В элементарной г
е
о
м
е
т
р
и
и есть
дующая проблема: какое наибольшее число единичных к
в
а
д
р
а
т
о
в
в
ы
р
е
з
а
т
ь из квадрата со стороной 4 -Ь а, где О < а < I ? Этой
занимались многие крупные геометры, в частности, известный в
е
н
г
е
о
м
е
т
р Эрдёш. Она послужила поводом дать в журнале «Мат
в школе» ради эксперимента, хотя и в ином
смысле, следующую задачу.
Известно,
что из квадрата
со сто­
роной 4 + а можно вырезать
17 единич­
ных квадратов. Указать как можно мень­
шее а, при котором это можно
сделать.

< >

Возможно, эта задача выглядит не очень
красиво, но всё же некоторый смысл в ней
есть. Понятно, что никто не рассчитывал на
то, что ч
и
т
а
т
е
л
и найдут наименьшее такое а.
Большинство ч
и
т
а
т
е
л
е
й прислали располо­
жение, изображённое на рис. 13, для которого
Рис. 13
а = V2/2.
Неожиданностью оказалось письмо от
у
ч
а
с
т
н
и
к
о
в математической секции «Гори­
зонт» при школе № 51 города Киева (ру­
к
о
в
о
д
и
т
е
л
ь Б. Н. Школьник). В письме было
сказано, что, проделав соответствующий экс­
перимент (!), члены секции пришли к заклю­
чению, что наименьшее а д
о
с
т
и
г
а
е
т
с
я для рас­
положения, указанного на рис. 14. (Проверьте
самостоятельно, что для такого расположе­
ния а на несколько сотых меньше, чем для
рис.13).
Не зная описания эксперимента, трудно Рис. 14
с
у
д
и
т
ь о справедливости этого утверждения.
Кроме того, математическое воспитание не позволяет с полны
в
л
е
т
в
о
р
е
н
и
е
м воспринять подобное «доказательство». (А собствен
Почему?) Очень возможно, что указанное расположение и в само
я
в
л
я
е
т
с
я оптимальным для нашего частного случая. Но самое
эта задача показывает, что г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е открытия доступны бук
•"юбому школьнику, а не только математическим гениям. Дерзайте
с
о
п
у
т
с
т
в
у
е
т вам успех!

Нужна ли школе XXI века Геометрия?
Ни тридцать лет, ни тридцать столетий
не оказывают никакого влияния на ясность
и красоту геометрических истин.
Льюис

Кэрролл

Не знающий Геометрии не допускается.
Надпись при входе в Академию

Платона

Вступление

Развивая мысль Пуанкаре, высказанную ещё в начале XX сто
доводя её в некотором смысле до абсурда, Владимир Арнольд
того же с
т
о
л
е
т
и
я говорит: «Математика — это часть физики». С
ясь с этой формулой, я всё же хотел бы её продолжить: «А
часть Геометрии».
И вновь вернёмся к началу прошлого столетия. Великий франц
а
р
х
и
т
е
к
т
о
р Ле Корбюзье как-то воскликнул: «Всё вокруг геометри
годня, уже в начале XXI столетия, мы можем повторить это вос
с ещё большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг —
геометрия! Современные здания и космические станции, авиалай
и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, дор
р
а
з
в
я
з
к
и и городские парки, микросхемы и даже рекламные рол
истину, современная цивилизация — это Цивилизация Геометрии.
Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е знания и умения, г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я культура и р
а
являются сегодня профессионально значимыми для многих совр
ных специальностей: для дизайнеров и конструкторов, для раб
и учёных. И уже этого достаточно, чтобы о
т
в
е
т
и
т
ь на вопрос
ли в XXI веке геометрия в школе?» И всё же сегодня мы
ливо слышим голоса, призывающие если и не полностью иск
геометрию из школьных программ, то, по крайней мере, з
н
а
ч
и
сократить программу по геометрии. При этом голоса эти раздаю
Впервые напечатано в «Математическом просвещении» № 8 , 2004.

Нужна ли школе XXI века Геометрия? • 73

стороны людей, причисляющих себя (я полагаю, по недоразуме
к профессиональному математическому сообществу. Странным обр
зом самому существенному сокращению подвергаются программы
п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
е
н
н
о
й геометрии, наиболее практически значимому сего
разделу. (Стереометрия полностью исключена из международных м
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
х олимпиад!) И если де-юре Геометрия пока ещё сохра
в (российской) школе, то де-факто она почти исчезла. Знакомс
с материалами ЕГЭ вынуждает нас убрать это самое «почти». И
система тестирования несовместима с геометрией. Поэтому приход
подробно о
т
в
е
ч
а
т
ь на вопрос, зачем нужна школьная геометрия?
Об образовании и устройстве мира

(Двусмысленность в з
а
г
л
а
в
и
и отнюдь не случайна.) Говоря о
которые реализуются при изучении того или иного предмета, мы
и
с
х
о
д
и
т
ь из общих целей системы образования. А здесь главным
ются две: воспроизводство существующей в стране социальной си
и её развитие. И в зависимости от уровня развития страны и д
от к
а
ч
е
с
т
в
а жизни основной массы жителей ведущей целью я
либо первое, либо второе. Понятно, что в этом месте расходятс
цели образования для стран с высоким уровнем р
а
з
в
и
т
и
я и с
стающих. Проще говоря, для богатых и бедных стран. Понятно
что копирование слаборазвитыми странами систем образования с
высокоразвитых приведёт к сохранению сложившейся иерархии ме
странами, а значит, с
т
р
а
т
е
г
и
ч
е
с
к
и полезно именно странам с на
высоким уровнем развития.
Глобализация экономики, создание единой общемировой рыноч
системы привели к резкой поляризации в мировой цивилизации.
з
у
л
ь
т
а
т
е значительной разности потенциалов между полюсами возн
мощные потоки. От одного полюса к другому следуют ресурсы вс
природные, людские, интеллектуальные, а обратно направляется г
о
т
продукция и управляющие сигналы. При этом «добавленная стоим
целиком о
с
т
а
ё
т
с
я на одном из полюсов, увеличивая эту разно
тенциалов. Однако общемировой образовательный ландшафт не со
с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т ландшафту экономическому. Да и система образов
плохо подчиняется рыночному управлению. И в этом таятся опре
ные угрозы существующей иерархии мира.
Что же к
а
с
а
е
т
с
я непосредственно геометрии, то следует зам
что она является очень мощным средством развития личности
'^проком диапазоне. Возможно, именно по этой причине в стра
к
•а
ч
е
с
т
в
о жизни большей части населения высоко, г
е
о
м
е
т
р
и
я обыч
ч
а
е
т
с
я на очень низком уровне. Ведь геометрия развивает свойс

74 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

ности (она с
п
о
с
о
б
с
т
в
у
е
т творческому развитию, нравственному в
танию, независимости суждений и поведения), весьма привлекате
с общечеловеческих позиций, но при широком их распространени
жающие стабильности отдельно взятому даже процветающему со
ству (страшно подумать, что случится, если к власти придут
думающие и высоконравственные люди).
Даже среди дисциплин математического цикла геометрия выд
ся своим вольнодумством, неким особым свободолюбивым характ
нежеланием подчиняться стандартам, нормам, алгоритмам и даже
Поэтому можно понять стремление р
у
к
о
в
о
д
и
т
е
л
е
й разных мастей
ней ограничить программы по геометрии, сузить пространство её
целей. («Целью обучения геометрии является логическое развити
щихся».)
А с другой стороны, само образование является элементом
И при разумном подходе страны, не очень преуспевающие в эк
но с хорошей системой образования могут использовать её эле
внешнем рынке и помочь себе тем самым экономически. В усл
той же глобализации Россия могла бы выступать не только в к
ставщика сырья богатым странам, но и п
р
е
д
о
с
т
а
в
л
я
т
ь услуги по
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования. Российское математическое образова
пока ещё к
о
т
и
р
у
е
т
с
я в мире. И возможно, именно школьная г
е
могла бы здесь сыграть ведущую роль.
Кстати, торговля российским математическим образованием уже
но развернулась по всему миру, но дивиденды получают отдель
кие люди, зачастую просто присвоившие себе не принадлежащ
интеллектуальную собственность. Можно даже у
г
л
я
д
е
т
ь определён
сходство с природными ресурсами (также присвоенными) в виде
ренты. Там природной, здесь интеллектуальной.
В последнее время внимание учёных — математиков и специал
в области м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования — всё больше и больше
влекает элементарная геометрия. И здесь, на мой взгляд, лид
России наиболее заметно. Похоже, именно в геометрии особо
евразийский характер русской культуры. В истории геометрии ярко
две ветви, западная и восточная. Западная геометрия строил
Евклиду, а затем по Декарту. Здесь во г
л
а
в
у угла ставили
логические конструкции, систематичность, общие теории. Восточная
метрия опиралась на наглядность, геометрия была скорей эле
культуры, искусства, даже культа, нежели наукой. И эти две
тесно переплелись в России, г
е
о
г
р
а
ф
и
ч
е
с
к
и и г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и служ
мостом между Западом и Востоком. Само положение России на
благоприятствовало развитию с
и
н
т
е
т
и
ч
е
с
к
о
й геометрии, которая сего

Нужна ли школе XXI века Геометрия? •

особенно привлекает специалистов. И я убеждён, что в области
вания г
е
о
м
е
т
р
и
и мы занимаем лидирующее положение в мире. На
что предложить миру. Пока есть.
И эти два о
б
с
т
о
я
т
е
л
ь
с
т
в
а—н
е
с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
е устройства мирово
стемы образования экономическому у
с
т
р
о
й
с
т
в
у мира и её рын
возможности — и определяют наблюдаемое сегодня стремление
с
т
в
е
н
н
о
й оставшейся супердержавы взять под контроль общемир
с
и
с
т
е
м
у образования. В первую очередь математического, ведь и
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
е образование интернационально в своей основе (и
«ртутный» характер) и оказывает самое большое влияние на р
земной цивилизации. И поэтому не следует удивляться тому, ч
р
у
к
о
в
о
д
с
т
в
о в различных международных структурах, занимающи
проблемами м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования, оказалось в руках
с
т
а
в
и
т
е
л
е
й этой самой супердержавы, в которой, по общему
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
е образование едва ли не худшее в мире. На это
ном образовательном рынке действуют обычные рыночные механ
Более сильные и богатые не пускают на него более слабых
несмотря на то, что и к
а
ч
е
с
т
в
о продукта лучше, да и цен
Ив с
р
е
д
с
т
в
а
х сильные, как всегда, не стесняются.

И в конце этого раздела я хочу сказать, возможно, не
делу, несколько слов в связи с проходящей в Россииреформ
д
е
р
н
и
з
а
ц
и
е
й среднего образования. По мнению многих специали
это не реформы и не модернизация, а разрушение сложившейс
мы образования. Так в чём же дело? Почему реформы продол
и поддерживаются на самом высоком уровне? Неужто там сидят
совсем ничего не понимающие? По этому поводу высказывалось
мнений. Добавлю одно соображение.
В Советском Союзе сложилась хорошая система образования, о
ной целевой установкой которой было творческое развитие уча
(что, признаемся, весьма странно для т
о
т
а
л
и
т
а
р
н
о
г
о режима). Ма
т
и
ч
е
с
к
о
е образование же в Советском Союзе чуть ли не оф
п
р
и
з
н
а
в
а
л
о
с
ь лучшим в мире. И я убеждён, что именно сист
р
а
з
о
в
а
н
и
я была фундаментом всех значимых побед Советского
(индустриализация, война, атомная бомба, выход в космос), и она
'la одной из главных причин, приведших к распаду Советского Со
буду з
а
х
о
д
и
т
ь здесь слишком далеко и вычленять особо роль г
Её сохранение на прежнем уровне может стать источником по
действующей угрозы для новой, а по сути перекрасившейся старой
•^атуры. И дважды повторять не приходится, инстинкт самосохра
У номенклатуры развит посильней, чем у зверя. А возможностей
е
д
и
н
е
н
и
я у номенклатур разных стран гораздо больше, чем у прол

76 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Воспитание геометрией

Целью изучения геометрии, конечно, является знание. Но с
признать, что эта цель по отношению к геометрии второстеп
скольку большинство школьных г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х знаний не востреб
ни в практической жизни человека, ни даже в научной деят
Более важно, что геометрия есть феномен общечеловеческой ку
Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших па
ков мировой культуры. Человек не может по-настоящему р
а
з
в
и
т
ь
с
турно и духовно, если он не изучал в школе геометрию; геомет
ла не только из практических, но и из духовных потребностей
История ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
т
в
а пишется в трёх книгах. Это История
история войн, революций, мятежей и бунтов. Из них большею
складывается История Государства. Это История Любви. Её
Искусство. И это История Мысли человеческой. История Геом
не только отражает историю развития ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
о
й мысли. Г
е
о
издавна является одним из самых мощных моторов, двигающ
мысль. Возникшая несколько тысячелетий тому назад теория кони
сечений, пополненная открытыми Кеплером законами, вымостила д
ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
т
в
а в космос. (Кстати, о прикладном и практическом з
геометрии.)
Геометрия, да и математика в целом, п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т собой оч
ственное средство для н
р
а
в
с
т
в
е
н
н
о
г
о воспитания человека. В
«Война и мир», х
а
р
а
к
т
е
р
и
з
у
я старшего князя Болконского, Ни
Л.Н.Толстой пишет: «Он говорил, что есть только два источни
ских пороков: праздность и суеверие, и что есть только две д
д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
ь и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери
развить в ней обе главные добродетели, давал ей уроки алге
метрии и распределял всю её жизнь в беспрерывных занятиях».
Научной и нравственной основой курса геометрии является п
д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
н
о
с
т
и всех утверждений. И это единственный школьный
мет, включая даже предметы м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о цикла, полностью ос
ный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, пон
щими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно мани
вать. В то время как власть никогда не утруждает себя доказа
(Отсюда совет тем, кто хочет стать политиком, идти во власть
майтесь геометрией.)
Какая геометрия?

Итак, вроде всё ясно. Геометрия — один из важнейших пре
причём не только среди предметов м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о цикла, но

Нужна ли школе XXI века Геометрия? •

ще среди всех школьных предметов. Её целевой потенциал ох
необычайно широкий ареал, включает в себя чуть ли не все
цели о
бразования. Так почему же ешё продолжаются споры о рол
сте г
е
о
м
е
т
р
и
и в школе?
Следует сказать, что спор по поводу школьной геометрии на
порой известный спор из чеховских «Трёх сестёр»: «Черемша
Чехартма — мясо». Спорят о разных предметах. И поэтому, когда
т
а
е
м
с
яо
т
в
е
т
и
т
ь на вопросы: Нужна ли в XXI веке школьная Г
Зачем будет нужна в школе Геометрия? — необходимо пояснять,
Г
е
о
м
е
т
р
и
и идёт речь. Есть Геометрия и геометрия.
Перефразируя и
з
в
е
с
т
н
о
е высказывание Толстого, мы можем ска
«Хорошие курсы Геометрии могут быть построены разными спос
плохие же большею частью очень похожи друг на друга». Есть
ных способа уничтожить Геометрию и с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
о три основны
к
у
р
с
о
в анти- (лже-, псевдо-) геометрии. Причём, несмотря на ра
подходов, соответствующие учебники схожи друг с другом, они
структурированы, написаны на скверном языке (и литературном, и
разительном), изобилуют логическими неувязками.
Самое удивительное, что логические пробелы и проколы хар
ны для курсов, претендующих чуть ли не на абсолютную ло
строгость, концептуально построенных на формально-логической (ак
оматической) основе. Такие курсы весьма распространены в росс
школе. Характерные признаки: множество чисто формальных опре
ний, зачастую делающих определяемое понятие неузнаваемым; длит
ная возня с первоначальными понятиями, в р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е чего в
ч
у
т
ь ли не половины курса школьник не узнает ничего ново
многословных рассуждений, а точнее пустых сочетаний слов, выдав
за рассуждения, доказывающих очевидные факты и делающих это
видный факт абсолютно непонятным, а самое главное, дискредитир
саму идею доказательства. Подобные курсы быстро и надёжно у
в
с
я
к
и
й интерес к предмету. Как говаривал незабвенный Николай
«такой хоккей нам не нужен».
Следующей разновидностью п
с
е
в
д
о
г
е
о
м
е
т
р
и
и являются курсы пр
тическо-прикладного типа. При этом п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
а
я направленность п
м
а
е
т
с
я в узкоутилитарном смысле. Всё содержание сводится к неб
Подборке ф
ормул для вычисления длин, площадей и объёмов. Подо
•^Урсы были распространены в России на заре советской власт
г
о
д
н
я они характерны для западной школы, в ч
а
с
т
н
о
с
т
и америк
(насколько мне известно). Исторически подобные курсы оправды
э
т
и
м
о
л
о
г
и
я слова «геометрия». Но геометрия уже давно вышла
•^не рамки «землемерия». Да и практическая д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
ь людей

78 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

перед ними сегодня совершенно иные практические задачи, в
ле и геометрические. Далеко не «землемерные». И получается, ч
рассмотренные разновидности г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х курсов не с
о
о
т
в
е
т
с
т
заявленной концепции: формально-логические содержат формально-л
г
и
ч
е
с
к
и
е ошибки, а практически-прикладные не дают знаний и
полезных в прикладной и практической деятельности.
И если с этими двумя типами г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х курсов всё по
с т
р
е
т
ь
е
й разновидностью, которую я тоже причисляю к антиге
всё не столь однозначно. Речь идёт о «королевском» пути в
рии, указанном Декартом. Созданный им метод координат поз
как полагал его создатель, среднему и даже посредственному
ку достичь высот, доступных ранее лишь особо одарённым. К
последующих классиков заметит, что «Декарт покрыл Геометрию п
а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
х формул».
Надо признать, что координатный метод позволяет единообраз
шать самые трудные г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е задачи. Даже среди п
о
б
е
д
международных олимпиад встречаются школьники, владеющие, по
ти, лишь одним координатным методом, но владеющие им вир
способные решить этим методом чуть ли не любую из предла
олимпиадах г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач. (И здесь, кстати, следует сдела
рьёзное замечание по поводу к
а
ч
е
с
т
в
аг
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач на с
ных математических олимпиадах.) И всё же я убеждён, метод к
(наряду с тригонометрией) является одним из самых действенных
борьбы с геометрией, и даже уничтожения геометрии. И вреден о
этажах школьного образования, и для слабых школьников и дл
способных.
Что к
а
с
а
е
т
с
я слабых, отстающих или попадающих по тем и
причинам в категорию отстающих по математике школьников, то
опасность чрезмерной алгебраизации достаточно очевидна. Большей
стью в этой группе находятся дети, которые плохо считают,
понимают и запоминают формулы и т.д. Для этих детей Геометр
бы стать предметом, за счёт которого они могли бы повысить
тус в классе, компенсировать н
е
д
о
с
т
а
т
к
и общематематического разв
А вместо этого она ложится на них дополнительным грузом,
на ту же чашу весов, где находится и алгебра, вынуждает з
неинтересной и трудной для них деятельностью.
А чем же опасна подобная алгебраическо-координатная геомет
для одарённых детей? Дело в том, что координатный метод, а
ческий метод оставляют в стороне геометрическую суть изучаем
метрической ситуации. Воспитывается исполнитель, решающий задан
конкретную задачу. Не меньше, но и не больше. Не р
а
з
в
и
в
а
е

Нужна ли школе XXI века Геометрия? • 7

м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я и даже математическая интуиция, столь необходимая
матику-исследователю. Возможно, именно поэтому (отчасти) победит
международных олимпиад не так уж часто с
т
а
н
о
в
я
т
с
я высококла
учёными. Однако координатный метод очень удобен, он униве
е
г
о легко формализовать, тренировать, и прочее и прочее. И
международных олимпиадах сохранится нынешний стиль (качество з
способы проверки и оценки), пока целью ведущих стран будет о
победа любой ценой, учебники по «координатной геометрии» буд
ними из самых востребованных школьных учебников, во всяком
при обучении сильных школьников (одарённых?).
Безусловно, тремя этими разновидностями вовсе не исчерпыв
плохая геометрия. Нередко встречаются всевозможные логическо-п
т
и
ч
е
с
к
и
е смеси, рядом возникают модернистские и даже постмоде
ские интегрированные е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о
н
а
у
ч
н
ы
е курсы. Но ещё раз под
все эти курсы легко узнаваемы. И чтобы их узнать, достаточно
о
г
л
а
в
л
е
н
и
е и пролистать учебник.
Итак, какой не должна быть Геометрия, более или менее
А какой же она должна быть? Не думаю, что возможен полны
э
т
о
т вопрос. Даже представления об идеальном курсе у разных
и простых и великих, различны. Но идеалы, как известно, недо
Да и не следует объяснять другим, каким должен быть этот
бы ты сам его написал, если бы умел. «Сделай сам». И вс
мне кажется бесспорным. Вспоминая изречение Брежнева «Эконо
должна быть экономной» (с моей точки зрения, абсолютно верно
ждение и даже вовсе не бессмысленное), я говорю: «Геометрия
быть геометрической», а не аналитической или алгебраической.
же не с
о
г
л
а
с
е
н с известным определением: «Геометрия — это ис
правильно рассуждать на неправильном чертеже». Какой-то мазо
Всё равно что: «Вокал — это умение правильно петь под фа
музыку». Главным действующим лицом Геометрии должна быть ф
(на плоскости — т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к и окружность), а главным средство
чения— рисунок, картинка. Правильный рисунок и красивая карт
Геометрия,

впрочем,

ного метода познания
цель образования.

как и алгебра,

является

носителем

собствен­

мира. Овладение этим методом — важнейшая

Хочу добавить ещё одно утверждение по этому поводу, впол
видное для меня, но с которым не все, наверное, согласятся
Цо г
е
о
м
е
т
р
и
и не должен сводиться лишь к выстраиванию г
е
о
м
е
т
р
и
ч
теории. Процесс изучения Геометрии включает самые разнообразны
ды деятельности. В том числе, и даже в первую очередь — решен
-Задача — это не только умения, это и элемент знания.

80 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Ученик должен ознакомиться с определённым набором д
о
с
т
а
трудных г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач, освоить некоторые г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е
ды, н
а
у
ч
и
т
ь
с
я решать задачи, следуя известным образцам. Кстати,
в этом и состоит, по сути, процесс обучения алгебре. Мы по
ученику методы, приёмы, сообщаем алгоритмы, которые трудно,
невозможно найти самостоятельно.
В геометрии, в отличие от алгебры, подобных алгоритмов очен
почти нет. Почти каждая задача по геометрии является неста
Поэтому при обучении в
о
з
р
а
с
т
а
е
т значение опорных задач, сообщ
полезный факт либо иллюстрирующих метод или приём. Я полага
пустимым п
р
е
д
л
а
г
а
т
ь задачи на минимальном уровне, на тройку.
должна быть нормальной задачей, а оценивать мы должны, скол
ученик ушёл от полного нуля и приблизился к полному решени
именно так обычно оцениваются задачи на олимпиадах и вступ
экзаменах.)
Геометрия при обучении одарённых и отстающих детей

Одной из важнейших социально-педагогических задач, стоящих
дня перед системой образования, является задача дифференцирова
обучения, обучения детей с разным уровнем развития и различны
собностями. И здесь очень важна роль геометрии. Геометрия с
т
а
одним из немногих (единственным?) универсальных средств, в р
мере работающим на различных этажах образования, включая кр
и даже особенно на крайних: при обучении одарённых детей и
чении отстающих детей.
Следует иметь в виду, что два обозначенных множества (од
и отстающие дети) имеют вовсе не нулевое пересечение. Больш
из нас (я имею в виду не рядовых учителей, а математиков
щихся проблемами образования) большею частью имеют дело и
с одарёнными детьми. Но многие дети попадают в разряд от
(по математике) в
с
л
е
д
с
т
в
и
е плохих программ по математике, неуд
методик и даже конфликта с учителем. И здесь возникает важ
общественно-педагогическая задача: помочь им вовремя избавиться
ярлыка. Ведь среди них нередко встречаются и одарённые де
наверное, ещё более общественно и социально важной задачей я
проблема реабилитации детей действительно отстающих в своём
тии. В определённом смысле при обучении одарённых детей геоме
это спорт, со своими профессионалами и даже рекордсменами
время как для остальных школьников геометрия — это вид д
е
я
т
е
наподобие физкультуры.

Нужна ли школе XXI века Геометрия? • 8

Свои корректирующие и развивающие функции геометрия р
е
а
л
и
различным образом на разных этапах школьного образования. (Я
не из того, что есть на самом деле, а из того, что, по
должно быть. Как сказал Бродский: «Не в том суть жизни, что
но в вере в то, что в ней должно быть».) С 1 -го по 6-й кл
по сути, является разновидностью физкультуры, и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
й
культурой. И включиться в занятия г
е
о
м
е
т
р
и
е
й можно в любой
А это, признаемся, нетипично для математики. Здесь большею ч
даже небольшой пропуск по болезни или по иной причине,
или непонимание одной темы может привести к отставанию, кот
так легко ликвидировать. С 7-го класса в российской школе
диции (и я не вижу причин о
т
к
а
з
ы
в
а
т
ь
с
я от этой традиции) н
с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
й курс геометрии, или курс с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
й геоме
И здесь уже и
с
ч
е
з
а
е
т либерализм, присущий предшествующему э
Курс в
ы
с
т
р
а
и
в
а
е
т
с
я в жёсткой п
о
с
л
е
д
о
в
а
т
е
л
ь
н
о
с
т
и (возможно, раз
ной для разных учебников), и выпадение одного звена разруш
последовательность. (Кстати, курс алгебры, наоборот, р
а
с
п
а
д
а
е
т
с
я
отдельные темы.)

Что надо сделать, чтобы с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
й курс смог охватить
к
а
т
е
г
о
р
и
и учащихся? Здесь, на мой взгляд, необходимо уделить
бое внимание первому, начальному этапу (7-й класс). Хорошо, е
имеем дело с ребёнком, который познакомился с хорошей Гео
в предыдущих классах. Если же нет, то нашей первой задачей
з
а
д
а
ч
а заинтересовать. И эта задача в
с
т
у
п
а
е
т в серьёзное против
с требованием «систематичности»: мы изначально рассматриваем
ника как своего рода «чистый лист» (с точки зрения г
е
о
м
е
т
р
знаний), который следует заполнить в определённой последовательн
Мы не имеем права использовать уже имеющиеся у него знани
«со стороны», и даже апеллировать к здравому смыслу. И во
о
п
а
с
н
о
с
т
ь не то что не развить интерес к Геометрии, но, наобо
в
с
я
к
и
й интерес, привить идиосинкразию к ней.
Но всё же я убеждён, что задача «заинтересовать» на перв
вполне решаемая. Главные инструменты: красивая картинка, хор
з
а
д
а
ч
а и живой язык. Мы должны достаточно долго держать о
дверь в Геометрию, заманивая туда ученика. Надо п
о
с
т
а
р
а
т
ь
с
я в
ром смысле развить в нём зависимость от Геометрии: интеллекту
психологическую, а может, и физиологическую (?). И тогда мы
сумеем решить задачу второго этапа с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о курса — на
На последнем этапе (я имею в виду цикл с 7-го по 9в числе прочих возникает важная методическая задача «повтори
^том этапе мы имеем возможность компенсировать оставшиеся про

82 • И.Ф.Шарыгин о математике и не только о ней

И пропуски и (что самое главное) показать ученику Геометрию
в виде единого и г
о
т
о
в
о
г
о здания, которое мы в течение трёх
Но роль Геометрии при обучении математике не исчерпывает
ственно Геометрией. Широкое использование геометрии в негеом
ческих разделах школьного курса может значительно улучшить
математическую п
о
д
г
о
т
о
в
к
у школьников. Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е и
н
т
е
р
п
р
е
т
а
ц
позволяют лучше понять вывод а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
х формул, правил
нов арифметики, сделать их наглядными, более понятными, зап
их. Психофизиологической основой, позволяющей геометрии в ра
степени и р
а
з
в
и
в
а
т
ь детей одарённых, и реабилитировать детей
ющих, является выявленная физиологами функциональная асиммет
г
о
л
о
в
н
о
г
о мозга человека.
Оказывается, наши полушария по-разному думают. Левое в
е
д
а
е
гическим, алгоритмическим мышлением. Работает левое полушарие
во время бодрствования. Когда человек спит, оно выключаетс
вое о
т
в
е
ч
а
е
т за чувственную, образную сферы нашего сознания.
полушарие функционирует постоянно. Наши сновидения — продукт
т
е
л
ь
н
о
с
т
и правого полушария. Некоторые из известных методик об
математике чрезмерно перегружают левое полушарие. Это очень
именно на ранних ступенях школьного обучения и особенно в
нии детей с доминирующим правополушарным типом мышления, а
детей довольно много, возможно даже, подавляющее большинство.
з
у
л
ь
т
а
т
е мы имеем учебные перегрузки, стрессы и даже неопра
дебилизацию некоторых учеников, которые начинают о
т
с
т
а
в
а
т
ь в
и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
м развитии. Широко известно, что переучивание л
может привести к ослаблению его умственных возможностей. Пе
вание же «интеллектуального левши» может привести и вовсе к
ским последствиям.
Отсюда можно сделать вывод, и этот вывод уже подтверждён
кой, что при широкой г
е
о
м
е
т
р
и
з
а
ц
и
и школьной математики на её
ных ступенях значительно сокращается число отстающих, лучше
ваются и н
е
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е разделы. У детей р
а
з
в
и
в
а
е
т
с
я вообра
а тем самым значительно в
о
з
р
а
с
т
а
е
т творческий потенциал. Г
е
о
м
очень важна для полноценного физиологического (не только инте
ального) развития ребёнка. Уже сам процесс занятий геометрией
большое развивающее значение.
Геометрия является первичным
видом интеллектуальной
тельности как для всего человечества,
так и для отдельного

дея­
чело­

века. Мировая наука начиналась с геометрии. Ребёнок, ещё не
шийся говорить, познаёт г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е свойства окружающего
Многие достижения древних геометров (Архимед, Аполлоний) выз

Нужна ли школе XXI века Геометрия? • 8

ЮТ изумление у современных учёных, и это несмотря на то, ч
полностью о
т
с
у
т
с
т
в
о
в
а
л а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
й аппарат. И замечу, продол
аналогию между общечеловеческим и индивидуальным, что геомет
ские возможности детей младшего и среднего возраста почти н
от уровня их математической подготовки.
И теперь отдельно несколько тезисов о работе с математи
о
д
а
р
ё
н
н
ы
м
и школьниками. Работа с математически
одарёнными
детьми состоит из трёх этапов: заинтересовать,
выявить
{ото­

брать), научить. Здесь я хочу подчеркнуть, что этап «заинтересо
может длиться чуть ли не до окончания школы. Очень ва
г
е
о
м
е
т
р
и
и на первых двух этапах. Посредством г
е
о
м
е
т
р
и
и можн
т
е
р
е
с
о
в
а
т
ь математикой многочисленные к
а
т
е
г
о
р
и
и школьников, д
не очень хорошо обученных (об этом я уже говорил). И опят
с
р
е
д
с
т
в
о
м г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о материала мы можем отбирать детей
талантливых, а не специально обученных.
В основе работы с одарёнными
детьми
ный принцип: демократизм
и элитарность.

должен лежать
пар­
Со
д
н
о
й стороны, мы

должны дать возможность получить полноценное образование детя
социальных слоев, на всех э
т
а
п
а
х обучения оставляя открытыми
для талантливых детей (демократизм). А с другой, обеспечить вы
у
р
о
в
е
н
ь п
о
д
г
о
т
о
в
к
и одарённых детей, чтобы создать подлинную н
элиту. Талантливость и обученность — вот два критерия отбора
элиту. Геометрия прекрасно с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т сформулированному принц
Нередки случаи, когда прекрасно подготовленный олимпиадный пр
сионал не справляется на олимпиаде с г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й задачей, и
э
т
у задачу, чуть ли не единственную, решил не подготовленн
циально школьник. Многие задачи олимпиад высокого уровня
непонятны не только обычным школьникам, но и рядовым уч
Единственное, что ещё с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т на олимпиадах содержанию ш
ных программ, это задачи по геометрии. Кроме того, олимпиада,
в своей г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й части, если, конечно, она разумно выс
н
е
р
е
д
к
о даёт возможность проявить себя и не слишком успева
школьной программе детям.
Следующий

принцип

работы

с одарёнными

детьми —

комфорт­

ность и многоступенчатость.
Система олимпиад, являющаяся важ­
нейшим элементом работы с одарёнными детьми, да и сам проц
ч
е
н
и
я нередко образуют достаточно жёсткую конкурентную среду.
е
р
е
д
а может самым губительным образом в
о
з
д
е
й
с
т
в
о
в
а
т
ь на псих
•^е п
о
д
г
о
т
о
в
л
е
н
н
о
г
о ребёнка. А ведь психика именно одарённых
Особенно р
анима. Поэтому очень важно для каждого одарённого ш
"ика определить ту ступень, на которой он может комфортно

84 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Слишком высокий уровень может о
к
а
з
а
т
ь
с
я для него просто н
ным. В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е ребёнок потеряет уверенность в себе. Однов
не следует одарённому школьнику задерживаться на слишком низ
себя уровне. Он может о
с
т
а
н
о
в
и
т
ь
с
я в развитии. Особенно ч
иерархичность и м
н
о
г
о
с
т
у
п
е
н
ч
а
т
о
с
т
ь видна в системе олимпиад.
Разрыв между школьной и международной олимпиадами необы
велик. Геометрия я
в
л
я
е
т
с
я тем стержневым предметом, который
няет всю эту многоступенчатую систему. Кроме того, геометрия д
можность талантливому ребёнку р
а
з
в
и
в
а
т
ь
с
я постепенно, п
р
е
п
я
т
с
т
искусственным ранним скачкам, форсированию развития, из-за к
о
т
мы нередко теряем талантливую молодёжь. (Куда девались многоч
ные вундеркинды, о которых ещё несколько лет тому назад с
писали наши газеты?)
В области геометрии достигает
расстояние
между математической

своего наименьшего
наукой и школьной

значения
матема­

тикой. Некоторые самые современные достижения профессиональн
математиков-геометров могут быть вполне доступно изложены шко
кам. И сами эти достижения, и соответствующие идеи могут ста
ником олимпиадных задач. Причём не только для старших шко
А с другой стороны, геометрия даёт возможность одарённым дет
на школьной скамье начать заниматься полноценными научными
дованиями, а не их имитацией, что нередко бывает на школьны
конференциях. И здесь могут проявить себя дети не олимпиадно
Геометрия

способствует

полноценному

эмоциональному

разви­

тию ребёнка. Как показывают исследования психологов, эмоционал
ное развитие является основой общеинтеллектуального развития
составной частью является э
с
т
е
т
и
ч
е
с
к
о
е воспитание. Именно г
е
о
м
п
р
е
д
о
с
т
а
в
л
я
е
т огромные возможности для э
с
т
е
т
и
ч
е
с
к
о
г
о развития,
т
и
ч
е
с
к
о
г
о воспитания. В математике мы достаточно чётко можем о
«красивое решение» от просто решения. Но особенно часто п
«красивое решение» мы связываем с геометрическими задачами. Х
ший математик, просто учёный должен обладать достаточно разви
т
е
т
и
ч
е
с
к
и
м чувством. А о том, насколько важно создание хороше
ционального фона при работе с отстающими детьми, можно и не
Я могу привести много примеров, иллюстрирующих сказанное
ограничусь одним. В мае 2001 года мне позвонила учительница и
Чебоксары. Она рассказала следующую историю. В начале учебног
у неё в классе появился второгодник. Новый ученик по геомет
на полном нуле (как и вообще по математике), а упомянутая уч
особое внимание уделяла именно геометрии. (Вынужден признатьс
занималась она по моему учебнику, почему и позвонила мне.)

Нужна ли школе XXI века Геометрия? • 8

ница да-ла ученику учебник и з
а
с
т
а
в
и
л
а того начать и
з
у
ч
а
т
ь
с самого начала. Короче говоря, этот ученик на проходившей
в апреле 2001 года математической олимпиаде получил вторую пр
Геометрия в XXI веке. Что нового?

Человечество вступило в Новый Век. Посмотрим вокруг: что п
дит? Здание земной цивилизации значительно выросло за послед
с
я
т
и
л
е
т
и
я и продолжает стремительно расти. Деятели образования
ных с
т
р
а
н
а
х предпринимают отчаянные, но тщетные попытки у
г
н
а
ростом э
т
о
г
о здания. Заметно выделяются два пути решения п
м
о
д
е
р
н
и
з
а
ц
и
я (в узком смысле) и дифференциация. При этом за
и модернизация, и дифференциация понимаются очень примитивно
В чём смысл предложений «модернизаторов» от образования?
с
к
о
л
ь
к
у сегодня в мире возникло много новых профессий, мног
в
и
д
о
вч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
о
йд
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
и и даже наук, возникли новые и
ционные технологии, следует потеснить в школе старые и тради
предметы, заменив их современными. Что же к
а
с
а
е
т
с
я математ
необходимо сократить прежде всего геометрию (частично или полн
как предмет устаревший, почти не изменившийся за последние н
тысячелетий, мало используемый в практической жизни. А вмест
в
в
е
с
т
и современные разделы: математический анализ, теорию веро
с
т
е
й и прочее. Что здесь плохого?
Дело в том, что образовательные процессы подчиняются строги
л
о
г
и
ч
е
с
к
и
м законам и ускорить их невозможно, подобно тому ка
у
с
к
о
р
и
т
ь процесс вынашивания плода, который в своём развити
ходит этапы, совершенно не нужные с точки зрения взрослой
с
у
щ
е
с
т
в
у
е
т такого скоростного лифта, который мог бы в
о
з
н
е
с
т
и
или даже молодого человека сразу на верхние этажи здания
ции. Такие попытки в образовании, в том числе и математиче
делались, и неоднократно, но все они кончались плачевно.
Чем выше здание, тем прочнее должен быть фундамент. Чело
лучивший хорошее фундаментальное образование, гораздо быстрее
с
п
о
с
о
б
и
т
с
я к условиям современной жизни, сумеет найти в ней
сто, чем тот, кто поверхностно познакомился с многочисленными
менными механизмами, научился нажимать кнопки сложных приборо
понимая сути происходящих в них процессов. Владение же геом
ским методом очень полезно современному человеку, так как по
ему быстро и наглядно понять суть сложного явления, дать е
интерпретацию.
Дифференциация в образовании (в широком смысле модерниза
включает в себя дифференциацию) задаёт несколько иной путь р

86 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

возникшей перед современным обществом проблемы. Школа в
шем звене с
т
а
н
о
в
и
т
с
я специализированной, возникают школы р
а
з
л
и
типа: гуманитарные, физико-математические, биологические, даже му
кально-спортивные и бог знает какие. С одной стороны, это не
Но с другой, чрезмерное дробление может привести к полному
школы. Уже реальностью с
т
а
н
о
в
и
т
с
я дифференциация школы по
нальному принципу. А это для России не просто опасно, но
опасно. Поэтому для России очень важны стержневые школьные
ты, которые должны п
р
о
т
и
в
о
с
т
о
я
т
ь возрастающим центробежным си
Одним из таких предметов является математика.
Чрезмерная дифференциация на школьном уровне может поме
её выпускникам в будущем р
е
а
л
и
з
о
в
а
т
ь свои основные общечелове
права: право на свободное передвижение, право на выбор профес
показывают недавние социологические исследования, человеку в т
е
жизни приходится неоднократно, до 25 раз, менять профессию.
Кроме того, это в муравейнике можно посредством питания
щивать по з
а
к
а
з
у солдат или рабочих, производителей или п
Человечество не муравейник. Кем станет человек в будущем, на
скамье решить трудно. Даже ставить такую задачу безнравствен
И мы вновь приходим к выводу о необходимости усиления
фундаментальной п
о
д
г
о
т
о
в
к
и выпускников наших школ. И этот пр
фундаментальности выдвигает на первое место именно м
а
т
е
м
а
т
и
ч
образование. А внутри этого м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования всё
важную роль должна играть г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я составляющая б
л
а
г
таким качествам, как наглядность и универсальность.
И всё же полностью отказываться от принципов дифференциац
следует. Здесь важно уловить разумную грань, за которой обр
р
а
с
п
а
д
а
е
т
с
я на отдельные феодальные хозяйства. Возможно, для м
тики достаточно обойтись всего лишь двумя разновидностями. Не
ясь в детали, замечу, что математические курсы, основанные на п
наглядности, на г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х идеях, дают возможность дать пол
ное (или достаточное) математическое образование п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
е
л
я
м
мых далёких от математики специальностей (гуманитариям, но не
Заметным явлением сегодняшней цивилизации стал компьютер
здесь особо следует сказать о взаимоотношениях между г
е
о
м
и компьютером. С одной стороны, г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
й тип рассужде
наименее п
о
д
д
а
ё
т
с
я компьютеризации. (А отсюда, в частности, сл
что его сохранение и развитие особенно важно именно в н
время.) Геометрия о
с
т
а
ё
т
с
я одной из немногих сфер и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
деятельности, где человек ещё не проиграл соревнование компь
А с другой, компьютер является очень полезным инструментом

Нужна ли школе XXI века Геометрия? • 8

м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х исследованиях. С его помощью можно экспериментал
обнаруживать новые интересные г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е факты. Человеку
о
с
т
а
ё
т
с
я важнейшая роль — эти факты доказывать (всего лишь
этом в геометрическую д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
ь с использованием компьют
могут включаться школьники и сильные, и слабые (с точки
математики), технари и гуманитарии. И получается, что первона
которой является геометрия, получила новый толчок к
развитию
как образовательный
предмет и как наука благодаря
самым со­
временным компьютерным
технологиям.

Важнейшим фактом и фактором современной жизни является н
т
е
х
н
и
ч
е
с
к
а
я революция, которая, вопреки смыслу слова революция
ла постоянно действующим явлением. Резко возросли психологич
и интеллектуальные н
а
г
р
у
з
к
и на человека, на его мозг, причём
р
а
н
н
е
г
о возраста. И н
а
г
р
у
з
к
и эти не равномерны, они разбаланс
з
н
а
ч
и
т
е
л
ь
н
о перегружается левое полушарие. Отсюда стрессы, не
и психические заболевания, начинающие разрушать организм реб
ещё до его рождения. Скорость изменения окружающей среды
обитания столь велика, что человек как биологический вид п
у
с
п
е
в
а
е
т приспособиться к этим изменениям.
В последнее время всё большее влияние получает в общест
жение в защиту окружающей среды. Люди очень озабочены тем
в
о
з
д
у
х
о
м они дышат, какие продукты питания потребляют, естест
или синтезированные, э
к
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
и чистые или же содержащие х
ские добавки, и прочее и прочее. Но пора с
о
з
д
а
в
а
т
ь и движени
о
б
р
а
з
о
в
а
т
е
л
ь
н
о
й среды, нужны глубокие исследования по экологи
р
а
з
о
в
а
т
е
л
ь
н
о
й среды.
Для нормального развития ребёнку необходимо полноценное пит
Для нормального и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
г
о развития необходима разнооб
ная и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
а
я пища. Сегодня математика, особенно геоме
я
в
л
я
е
т
с
я одним из немногих э
к
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
и чистых и полноценны
дуктов, потребляемых в системе образования. Г
е
о
м
е
т
р
и
я может и
с
т
а
т
ь предметом, с помощью которого мы можем сбалансировать
г
о
л
о
в
н
о
г
о мозга, улучшить функциональное взаимодействие между п
шариями. Геометрия

— витамин

для

мозга.

Но Геометрия — это продукт, который должен быть п
р
и
г
о
т
о
в
л
е
н
умелым кулинаром. Иначе она может не только у
т
р
а
т
и
т
ь свои
ные качества, но и принести вред организму. Мы должны также
что Геометрия, возникшая не только из п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и
х потребносте
века, но и из его духовных потребностей, и сегодня открывает ч
любому человеку — путь в мир чистого и идеального. И именно
Ие х
в
а
т
а
е
т сегодня в нашей орыноченной жизни.

88 • И.Ф.Шарыгин о математике и не только о ней

В мире Геометрии реализуются почти все мыслимые идеалы че
ства. Здесь царит полное равенство и братство. Представители вс
гиозных конфессий, а также атеисты, говорят на одном языке, а
учёный, как с равным, общается с неофитом. Я знаю многих
далёких от математики, на всю жизнь сохранивших любовь к ш
геометрии.
•Мир Геометрии гармоничен и красив. «Красота спасёт мир», —
гениальный Достоевский. Так, может, пора начать спасать мир?
р
у
к
о
в
о
д
с
т
в
у ИКМИ (Международная комиссия по математическому
разованию) стоит подумать о создании какой-нибудь студии, напо
«Геометрия против наркомании» или «Геометрия против терроризм
...И замкнулся круг. То есть может замкнуться. Геометрия, ст
у колыбели ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
о
г
о разума, может помочь сегодня человек
лать ещё один скачок в своём развитии. Интеллектуальном, д
и нравственном. Надо не упустить эту возможность.. Не знающ
метрии не допускается?

Образование и глобализация
Вступление

Встречаются как-то два психиатра, и один спрашивает д
«Скажите, куда исчез ваш больной, который страдал манией пре
ния?» — «Да он уже почти совсем вылечился, но тут его и пр
Нечто подобное может произойти с нашим образованием. Нынче
пытаются его спасти от разрушения. Скоро мы его совсем с
боюсь, к тому моменту российское образование будет оконча
уничтожено.
И ещё одна давняя история вспоминается мне. На заре холод
ны, последовавшей сразу по окончании войны горячей, появился
военный министр по фамилии Форрестол (возможно, я не те бу
фамилии удвоил). Так этот министр сошёл с ума и с крико
идут!» выбросился из окна небоскрёба. Он поспешил, конечно. А
опоздали.
Холодная война закончилась. Горбачёв в компании с Ельциным
мил акт о безоговорочной капитуляции. Советский Союз потерп
ражение и был стёрт с политической карты. На просторах Ро
десной и побеждённой первыми появились мародёры и р
а
с
х
в
а
т
а
что плохо и хорошо лежит. Победители же занялись обычной,
для победителей работой — переделом, управлением и п
е
р
е
у
с
т
р
о
й
с
захваченных территорий. Кстати, а
в
т
о
р
с
т
в
о этой мысли принадлеж
мне. Так думают и говорят в Америке: «А вы чего хотели? Побед
известно, получает всё!» Сейчас, похоже, американцы всерьёз взял
наше образование. Возможно, это последний рубеж обороны, за к
к
о
н
ч
а
е
т
с
я Россия.
Сколько денег нужно образованию?

В декабре 2003 года в России состоялись выборы в Г
о
с
у
д
а
р
с
т
думу. Удивительно, но ни одна из партий в своих программных
в
с
е
р
ь
ё
з не говорила об образовании. (Впрочем, у этих партий
Впервые опубликовано в журнале «Новый мир» № 10, 2004.

90 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

не было вразумительных программ.) И это действительно странно
школьное образование — это то, с чем соприкасается любая р
о
с
семья, непосредственно или косвенно. Население страны, или, в т
избирательной компании, электорат, усвоило (усвоил) основной ка
листический принцип: каждый выживает (и умирает) в одиночку, и
семьи это выживание связывают с хорошим образованием свои
и внуков. (В скобках и некстати, поскольку забегаю вперед, заме
населению вбивают в голову мысль, что хорошее образование
получить лишь за границей.)
Нет, об образовании во время бестолковой избирательной ка
иногда говорили. Но очень узко. Ахали по поводу нищенског
жизни учителя, ужасались бедственному состоянию школьных зд
В стороне остались самые главные и жизненно важные для Ро
просы: цели и содержание образования.
И здесь я хочу высказать одну почти кощунственную мысль:
материальное положение работников системы образования вовсе не
уж бедственное, как об этом продолжают (из укоренившейся пр
ходить с протянутой рукой) говорить. Это относится и к учи
особенно, как и положено, к руководящим работникам, и к
и к провинции. Финансовые потоки, протекающие через систему
вания России, достаточно велики, чтобы наша страна, учитывая т
и опыт, имела к
а
ч
е
с
т
в
е
н
н
о
е и одно из лучших (а может, и луч
школьное образование. Здесь я не говорю о том, как формирует
нутый финансовый поток. Интересно также разобраться и в том
распределяется. Но оставим эти вопросы так называемым компете
органам, которые почему-то в таких случаях оказываются удиви
некомпетентными.
А я же хочу к одной кощунственной мысли добавить другую,
кощунственную. Бедное образование — это беда (нечаянный кала
Но когда в образовании появляются большие деньги, это кат
Данное утверждение я отношу прежде всего к России, но не
что этот закон справедлив и для о
с
т
а
л
ь
н
о
г
о мира. Большие де
влекают малограмотных жуликов и проходимцев, которые быстро
дёжно вытесняют из системы образования истинных профессионал
подвижников и бессребреников. А без них образование существов
может. Но не буду далее р
а
з
в
и
в
а
т
ь эту мысль, тем более что
уже проскочил самое начало размышлений.
Три грани образования

Начнём от печки. Что такое образование, в смысле «систем
зования», а не образование чего-нибудь (например новой парти

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я • 91

какое-то (хорошее или, не дай бог, злокачественное)? Я пытаюсь
мышлять и, похоже, не получив приличного п
е
д
а
г
о
г
и
ч
е
с
к
о
г
о образ
ломлюсь в открытую (неужели ж досих пор закрытую?) дверь.
сами с усами!
В образовании, как известно, есть две основные ступени: сре
р
а
з
о
в
а
н
и
е (школа) и высшее (институт, университет). В среднем
е
с
т
ь в среднем образовании (сплошные каламбуры), в свою
мы различаем три этапа: начальная школа (начальное образован
н
о
в
н
а
я школа (неполное среднее образование), старшая школа (с
образование).
Процесс получения образования, особенно на начальных стад
э
т
о обучение. В некотором смысле образование — это р
е
з
у
л
ь
т
а
т
ния. Этап обучения в своём развитии проходят многие животн
т
и
ч
е
с
к
и все птицы и млекопитающие. Плохо обученное животное
погибает. Так что в животном мире не принято х
а
л
т
у
р
и
т
ь и
Не так у людей. И если в начале обучения все дети учатся
старанием, и р
е
з
у
л
ь
т
а
т
ы этого обучения заметны буквально кажд
и велики, то на более поздних этапах нередко можно в
с
т
р
е
т
и
т
ь
и даже фальсификацию процесса обучения.
Система образования — понятие, которое, опять же в нек
смысле, само себя определяет (наподобие понятия «наибольшего
делителя»). В идеале система образования должна помочь лю
ч
е
л
о
в
е
к
у определить оптимальную траекторию (а иногда и нав
её несмышлёным) развития и получения образования на всём
п
о
п
а
д
а
н
и
я в систему и до выхода из неё.
Г
о
в
о
р
я о системе образования в целом, можно выделить три
видности, или, если угодно, три стороны одной медали, которую
образованием: это реальное, заявленное и потенциальное образов
В пояснении нуждается т
р
е
т
ь
я разновидность, поскольку смысл
первых достаточно ясен. Здесь я имею в виду тот наивысший
образования, который страна может обеспечить, для которого и
соответствующие специалисты, литература и традиции. Так, если
утверждая, что российское математическое образование лучшее в
мы имели в виду его реальный уровень, то с
е
г
о
д
н
я это у
о
т
н
о
с
и
т
с
я скорее к уровню потенциальному, к потенциалу в виде
алистов, литературы и традиций, которые пока ещё не утеряны.
Если же, к примеру, взять образование экономическое, то, скол
Мы ни заявляли о его высоком уровне, этот уровень никак не м
в
е
т
с
т
в
о
в
а
т
ь имеющемуся в стране потенциалу. Ведущими специалист
Рыночниками являются ныне либо (в лучшем случае?) п
р
е
д
с
т
а
в
Советской школы, обосновывавшие в своих диссертациях превосходст

92 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

плановой экономики по сравнению с рыночной и колхозного зе
зования по сравнению с фермерским, либо (в худшем случае
алисты, получившие образование в западных, в первую очеред
риканских, у
н
и
в
е
р
с
и
т
е
т
а
х и не имеющие ни малейшего п
р
е
д
с
т
а
о российской специфике. И пока в России не будет создана с
экономическая школа, нельзя будет говорить о наличии у нас
достойного экономического образования.
Общий же потенциальный уровень системы образования опре
ется потенциалом главных, или стержневых, или системообразу
предметов. Для среднего образования таковыми, на мой взгляд
ются два: родной язык и литература (я объединяю их в оди
что не совсем верно) и математика. Важным достижением с
о
власти, я говорю о периоде расцвета, был высокий уровень
образования, п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и совпадавший с заявленным уровнем. И
утверждение относится не только к математике и е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о
н
предметам. В Советской России было хорошо поставлено и п
р
е
п
о
русского языка и литературы. Советская литература последнего в
хорошая литература, выросла из школьного сочинения.
Сегодня реальный уровень образования резко снизился и прод
снижаться недопустимо быстро. Причин много. Я хочу выделить
одну из самых важных. В нынешней России полностью о
т
с
у
т
с
т
в
у
е
жительная зависимость между качеством образования и личным у
в жизни. Скорее наоборот, эта зависимость отрицательна. Личны
зи и неразборчивость в с
р
е
д
с
т
в
а
х — основные средства для дос
успеха. Что к
а
с
а
е
т
с
я образования, то нужны не знания, а сп
образовании, диплом. Причём не важно какой. Дипломированные
делают карьеру быстрее и успешнее, чем хорошо обученные про
налы. Эта деградация началась уже на исходе с
о
в
е
т
с
к
о
й влас
можно было в
с
т
р
е
т
и
т
ь инженера-электрика, не знающего закон
И сегодня ситуация доведена до абсурда. Человек, окончивший в
е
факультет МАДИ, с
т
а
н
о
в
и
т
с
я премьер-министром. Ну а чтобы с
миллиардером, самое лучшее — не иметь и среднего образования.
а как там у них? Похоже, что самый богатый человек в мире
не имеет нормального образования.
Внимательный ч
и
т
а
т
е
л
ь может усмотреть противоречие между по
ним пассажем и сделанным ранее утверждением о том, что мног
в России сегодня связывают своё будущее с хорошим образовани
детей и внуков. Да, противоречие налицо. И автор не может ег
логически разъяснить. Разве что дело в идеализме русского ч
сохранившего ещё наивную веру в учение. Ученье — свет! Учись
человеком станешь! Это е
д
и
н
с
т
в
е
н
н
а
я надежда вырваться из нищ

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я • 93

О целях образования

Прошло уже почти полтора десятка лет, как в стране сменил
Всё это время система образования России реформируется, и п
радикально. Но до сих пор новые правители (знакомые всё
сформулировали чётко и конкретно, в чём же основная цель обра
Понятно, с их точки зрения... И тут у меня в
о
з
н
и
к
а
е
т одна
мысль, я гоню её прочь. Но она всё время всплывает. А м
цель такова, что её просто нельзя открыто объявить? В чём
цель (цели) системы образования? Прежде всего школьного. Са
общая цель, безотносительно к тому, о какой стране идёт речь
и в масштабе всей Земли)?
Цель образования (как я полагаю) — это воспроизводство и р
социальной системы, системы, которая в этой стране существуе
условно, с точки зрения интересов разных слоев населения эти ц
различаться, и даже значительно. Но, в общем, можно утвержда
в зависимости от качества жизни основной массы населения
целью системы образования является либо первое, либо второе
воспроизводство, либо развитие. Понятно, что в этом месте р
а
с
главные цели образования для стран с высоким уровнем развития
отстающих. Проще говоря, для богатых и бедных стран. Понятно
что копирование слаборазвитыми странами систем образования
высокоразвитых приведёт к сохранению сложившейся иерархии ме
странами, а значит, с
т
р
а
т
е
г
и
ч
е
с
к
и полезно именно странам с н
высоким уровнем развития.
С другой стороны, между обозначенными целями, а вернее подц
с
у
щ
е
с
т
в
у
е
т определённый антагонизм, или, как было принято ране
рить, диалектическое противоречие. Для того чтобы система образ
с
т
а
л
а средством развития социальной системы, нужно сначала
э
т
у систему образования достаточно развить и вывести её на
уровень.
Но в этом случае может возникнуть серьёзная угроза сложив
в обществе равновесию, его социальной структуре. Хорошее все
равно доступное для всех социальных слоев и бесплатное обра
дающее человеку научные знания и творческое развитие, опас
правящих слоев (классов). Социальные волнения и смуты очень
начинаются в с
т
у
д
е
н
ч
е
с
к
о
й среде. В благополучной Франции про
ние творческой инициативы со стороны учащихся п
р
е
с
е
к
а
е
т
с
я
решительным образом. На уроках математики, например, решать з
ученик должен, следуя заданным образцам, а не демонстрировать
сообразительность.

94 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Если же страна (руководство страны) под давлением обстоят
часто внешних, всё-таки ставит задачу развития системы образ
развития личности через эту систему, то здесь очень важно ч
точное направление этого развития, ограничить его чёткими р
Так, например, коммунисты-большевики, начав с разрушения ро
ской буржуазной системы образования, достаточно быстро (быстре
нынешние власти) спохватились и начали активно развивать сист
разования, опираясь именно на лучшие достижения системы о
б
р
а
з
России царской. К этому их принудил враждебный к
а
п
и
т
а
л
и
с
т
и
мир. За что ему, этому миру, надо с
к
а
з
а
т
ь спасибо.
Следует добавить, что и к
а
п
и
т
а
л
и
с
т
и
ч
е
с
к
и
й мир, столкнувши
н
е
п
о
с
р
е
д
с
т
в
е
н
н
о
й угрозой своему существованию в лице Совет
Союза, был вынужден значительно с
к
о
р
р
е
к
т
и
р
о
в
а
т
ь свою социал
политику. При этом западная цивилизация, возможно благодаря
угрозе, избежала другой, более серьёзной и скрытой угрозы или
тастрофы, которая могла бы р
а
з
р
а
з
и
т
ь
с
я уже в XX столетии, есл
продолжал существовать, подчиняясь лишь внутренним законам ка
лизма и рынка. Об этом, кстати, должны подумать те, кто убежд
ли бы не Ленин и большевики, то Россия уже в XX с
т
о
л
е
т
и
иб
цветающей страной, а её жители все сплошь ходили бы в бе
и отдыхали только на Г
а
в
а
й
я
х (именно так, по мнению писател
Ерофеева, высказанному им в одной телевизионной передаче, вы
жизнь в процветающей стране; что ж, какая эпоха — такие и
Я также полагаю, что созданная в Советском Союзе систем
зования не только оказала огромное влияние на весь мир, но
сохранить относительно высокий уровень образования в мире в
Особенно в области математических и е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о
н
а
у
ч
н
ы
х дисци
Следствием же этого стал, в свою очередь, научно-технический пр
точнее, перманентная научно-техническая революция, наблюдаемая
второй половины XX столетия. Так что современные лайнеры, д
ляющие отдыхающих на Гавайи, и компьютеры, на которых пиш
неизвестные мне творения ерофеевы, могли и не быть изобретены
струированы, если бы не было Советского Союза. (Впрочем, да
очевидно, что и
н
т
е
г
р
а
л от благ, даваемых научно-техническим пр
сом, положителен.)
Важно, что коммунисты смогли точно определить и гениально
сформулировать основную цель (направление развития) образования
Советского Союза (30-е годы прошлого столетия): создание армии
нерных работников, соответствующих самым современным требовани
на базе хорошего е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о
н
а
у
ч
н
о
г
о и м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образов
Эта конкретная, но узкая цель, достаточно быстро была д
о
с
т
и
г
н
у
т

Образование и глобализация • 95

именно с в о е й конкретности), и созданная система образования длит
ное время (лучше скажем — некоторое время) способствовала разв
с
о
в
е
т
с
к
о
й системы.
Но подобные узкие и конкретные цели н е м о г у т быть долгов
ными. И когда возникла необходимость сформулировать новую цел
з
а
д
а
ч
а н е была решена. Система продолжала работать в том же
во многом вхолостую, пожирая и самоё себя, и многое вокруг
по моему мнению, состоит одна из главных причин з
а
с
т
о
я и
ния брежневской эпохи. С другой стороны, высвобождающаяся и н
п
о
л
ь
з
у
е
м
а
я творческая энергия, вырабатываемая в системе образов
с
т
а
л
а одним из мощных факторов, приведших к разрушению сов
системы. Но я опять ушёл в сторону и отклонился о т намеченно
К э т о й теме я ещё вернусь. А сейчас о другом.
Новый строй

Что м ы видим сегодня? Сегодня в мире идёт, и весьма инт
п
р
о
ц
е
с
с глобализации. У этого процесса, как и положено, две
Хорошая и н е очень. Этот процесс обусловлен прежде всего со
ными информационными технологиями и средствами сообщения. Са
о
т
д
а
л
ё
н
н
ы
е уголки планеты надёжно связаны друг с другом скор
магистралями, информационными и транспортными, а блага цивил
ции проникают в самые дикие места. Человечество получило огр
возможности для резкого скачка в развитии, для улучшения к
жизни всех людей без исключения. Но чтобы это произошло, на
принципы нравственности, равенства и справедливости стали глав
в отношениях между людьми и г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
а
м
и (всего-то!!).
К сожалению, рыночно-денежные принципы, ставшие сегодня ед
ственным регулятором всех отношений, безнравственны п о определен
(в принципе!). В дальнейшем, говоря о глобализации, я ограничусь
обсуждением н
е
г
а
т
и
в
н
о
й стороны процесса, поскольку многое пол
т
е
л
ь
н
о
ео
с
т
а
ё
т
с
я лишь в потенциале.
Глобализация экономики, создание единой общемировой рыноч
системы привели к резкой поляризации в мировом сообществе.
з
у
л
ь
т
а
т
е значительной разности потенциалов между полюсами возн
Мощные п
отоки; от одного полюса к другому следуют ресурсы
видов: природные, людские, интеллектуальные, а обратно направля
'"отовая продукция и управляющие сигналы. При этом «добавле
стоимость» целиком о
с
т
а
ё
т
с
я на одном из полюсов, увеличивая
р
а
з
н
о
с
т
ь потенциалов.
Мир, к сожалению, устроен та(^, что почти всю прибыль от
^блок получает тот, кто этой продажей занимается. Тем, кто

96 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

посадил и вырастил, достаются крохи. Нередко даже для боль
фективности, чтобы собирать яблоки было удобнее, саму яблон
ливают.
Процесс глобализации происходит не только в экономике. Им
чены все стороны ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
о
й жизни: культура, наука, спорт, п
отношения, преступность. Процесс протекает по единообразной с
Рыночные законы и механизмы вытесняют из межчеловеческих о
ний все прочие законы и механизмы. Деньги с
т
а
н
о
в
я
т
с
я единс
критерием результата. А здесь главным является и
з
в
е
с
т
н
о
е народн
вило: деньги к деньгам. Всё как в покере: победить соперника,
на порядок больший капитал, невозможно. И после каждой иг
разница капиталов будет возрастать.
Система, оптимизирующая единственную линейную целевую фу
цию, всегда скатывается на границу своей области существован
пытки подправить действие рыночного механизма с помощью раз
антимонопольных законов дают локальный и временный результат.
цесс глобализации — это, по сути, возврат к двойному стандарту
действовал во времена существования Советского Союза. Возврат
факто, и де-юре. Только ранее р
а
з
д
е
л
и
т
е
л
ь
н
о
й чертой являлась
гия, а нынче — размеры капитала.
Глобализация сопровождается резким расслоением между стран
и внутри стран. Особенно это внутреннее расслоение заметно в
мически отсталых странах. Развивается своего рода VlP-демокра
а по сути, новый феодальный строй. В мире возникают несм
ющиеся (почти несмешивающиеся) сословия-касты: дворяне, п
р
и
с
л
и чернь. Принципы феодализма распространяются на весь мир —
император, страны-сеньоры, вассалы и прочие.
А может, возникающий строй — это и не феодализм, а вов
новая разновидность р
а
б
о
в
л
а
д
е
л
ь
ч
е
с
к
о
г
о строя? П
о
с
т
к
а
п
и
т
а
л
и
с
т
и
ч
е
с
к
о
рабовладение. Сегодня мы видим очень много явлений, характе
именно для позднего рабовладения. Знать абсолютно не с
т
е
с
проявлять и у
д
о
в
л
е
т
в
о
р
я
т
ь в присутствии рабов и черни свои
венные и п
р
о
т
и
в
о
е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
ы
е потребности. (В новогодней програ
одного из центральных каналов российского телевидения одна и
з
в масштабах России певица исполняла нецензурные частушки, к
подчёркивая это пренебрежение знати к ч
у
в
с
т
в
а
м простых людей
Народу надо дать «хлеба и зрелищ». Хлеба чёрного, а зрели
тивных. Высокое искусство доступно сегодня только самым богат
черни же всё те же бои гладиаторов. И не важно, что нынеш
торы нередко оказываются состоятельными людьми. Их, как и в
века, продают и покупают.

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я • 97

формирующееся общество настолько далеко от идеалов демокр
ц
т
о у меня в
о
з
н
и
к
а
е
т очередная, уже абсолютно кощунственная
Получается, если строго формально проанализировать, что наивы
у
р
о
в
е
н
ь демократии в России был в период сталинской диктатуры
т
о
р
о
е время после смерти тирана. Было всеобщее бесплатное
о
б
р
а
з
о
в
а
н
и
е (дети высших сановников, в том числе и самого... п
те же школы, что и простые смертные), реально осуществлялись
работу, лечение, отдых и жильё. Транспорт был дёшев, и
с
к
у
с
с
т
в
о
с
т
у
п
н
о и учило доброму и вечному. Советский народ — самый ч
народ в мире. Это утверждение не есть измышление коммунист
пропаганды. Даже перед законом, который олицетворял лично
были все равны. Ну да, не было выбора. Зато были выборы. Н
е
с
т
ь выбор (формально), но нет выборов. Это лучше?
Расслоение образования в условиях глобализации

Однако процесс глобализации п
р
о
т
е
к
а
е
т не так гладко, как хо
нынешние правители мира. Самая большая проблема: как создат
ную мировую систему образования, соответствующую новому миро
у
с
т
р
о
й
с
т
в
у
? Речь идёт именно об образовании, поскольку произв
от образования — наука — оказалась глобализованной одной из п
Для э
т
о
г
о не потребовалось даже много денег.
Но не всё так просто с образованием. Здесь две проблемы,
воречия, осложняющие процесс глобализации образования. Первая
блема-противоречие заключается в следующем. Современная техни
создающая комфорт и обеспечивающая безопасность, должна обсл
ваться, п
р
о
и
з
в
о
д
и
т
ь
с
я и разрабатываться. А для обслуживания и
в
о
д
с
т
в
а необходима достаточно большая армия с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
о об
ных и образованных работников и рабочих. Снижение уровня о
в
а
н
н
о
с
т
и этих к
а
т
е
г
о
р
и
й рабочих и служащих приведёт к возра
к
о
л
и
ч
е
с
т
в
а техногенных катастроф, число которых и без того
и быстро увеличивается. Достаточный уровень г
р
а
м
о
т
н
о
с
т
ит
р
е
б
у
е
т
с
р
а
б
о
т
н
и
к
о
в некоторых сфер услуг. Не забудем и про армию. Недос
о
б
р
а
з
о
в
а
н
н
о
м
у солдату нельзя доверить суперсовременное и супер
г
о
е оружие. Это с одной стороны.
А с другой — идеология глобализации включает и расслоение
зования. Для лучшей реализации своей руководящей функции пра
слой должен быть и лучше образован; а чтобы уменьшить риск
ных потрясений необходимо с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
о ограничить образователь
у
р
о
в
е
н
ь основной массы населения. Одним из напрашивающихся
т
с
й разрешения указанного противо|речия является расслоение сис
образования. Образуются две ветви. Двигаясь по одной, вы п
о
"-1356

98 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

широкое, фундаментальное образование. Это образование платное и
весьма дорогое. На другой ветви даётся, возможно, и совсем
но узкоспециализированное образование, строго ограничивающее фу
циональные возможности ученика, определяющее его социальные
и место. При этом отдельные наиболее одарённые дети имеют
ность получить хорошее фундаментальное образование независим
своего социального происхождения. Тем самым и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
е
н
е
т
и
ч
е
с
к
о
е устройство общества приводится в с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
е с ег
альным устройством. Определённое значение имеет и п
р
о
п
а
г
а
н
д
и
с
и
д
е
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
и
й эффект. Создаются новые варианты стандартных ро
с
т
в
е
н
с
к
и
х сказок про Золушку, про Принца и Нищего и др.
Впрочем, если повнимательнее присмотреться к сегодняшним
цессам с точки зрения проблем образования, вырисовываются
а целых четыре ветви. По принципу дихотомии каждая из дв
ченных в предыдущем параграфе, в свою очередь делится на
дихотомически ветвящийся процесс можно продолжить, но я о
г
р
а
двумя верхними (или, в зависимости от того, как растёт на
во, нижними) этажами. На самом верху находятся, и условно
и безусловно, наследные принцы. Они занимают высшее положен
по праву наследия и особо не нуждаются в образовании. А
меченное в предыдущем абзаце хорошее фундаментальное образо
смогут получать дети придворных высшего ранга и достаточно
людей.
Узкоспециализированное образование — это т
р
е
т
ь
я ветка. Здесь
стема обучения выстроена достаточно жёстко, обеспечивая нужно
чество благодаря достаточному демократизму и небольшой пропус
способности. И наконец, на ч
е
т
в
ё
р
т
о
й ветке — образование для в
низшего сословия. Человек низшей касты должен уметь читать,
с
ч
и
т
а
т
ь не обязательно, так как есть калькуляторы и компью
должен понимать приказы начальников (виноват, хозяев), беспреко
но им подчиняться (здесь к
а
п
и
т
а
л
и
с
т
и
ч
е
с
к
а
я система выстроена н
жёстче системы социалистической) и уметь выполнять простейшие
рации (нажимать кнопки, складывать кирпичи, проверять билеты
входе и прочее). И хотя на этой ч
е
т
в
ё
р
т
о
й ветке р
а
с
п
о
л
а
г
а
е
т
с
я
часть населения, обсуждать эту четвёртую разновидность образован
имеет смысла ввиду полного о
т
с
у
т
с
т
в
и
я образования. Поэтому пог
несколько подробнее о трёх высших.
Начнём с самого верха. Тут р
а
с
п
о
л
а
г
а
е
т
с
я даже не элита,
жители. Разделительная черта проходит где-то на уровне одного
арда долларов личного капитала. Таких семей на земле ничтож
Математик сказал бы, что соответствующее множество имеет ну

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я • 99

i^epy. Но совокупный капитал, которым они владеют, соизмерим
оставшимся капиталом. Здесь я хочу сделать одно не совсем л
о
т
с
т
у
п
л
е
н
и
е от темы. Я убеждён, что человек, имеющий в своё
распоряжении миллиард долларов, а тем более десятки миллиард
циально опасен. Никто не может ч
у
в
с
т
в
о
в
а
т
ь себя в б
е
з
о
п
а
с
н
о
вс
л
у
ч
а
е намёка на конфликт с таким человеком (вспомните хо
Кеннеди). И это великое благо, что большинство из нас живёт
п
р
е
д
е
л
а
м
и внимания и зоны ч
у
в
с
т
в
и
т
е
л
ь
н
о
с
т
и подобных людей.
И чтобы закончить отступление, предлагаю читателю решить дв
с
т
е
н
ь
к
и
е арифметические задачи. Какую толщину имеет пачка
д
о
с
т
о
и
н
с
т
в
о
м в 100 долларов, содержащая миллиард? Сколько вре
п
о
т
р
е
б
у
е
т
с
я обычному человеку, чтобы п
е
р
е
с
ч
и
т
а
т
ь указанную су
(Толщина или высота этой пачки должна превышать 500 метр
она выше Останкинской башни. Для получения этой оценки я и
предположения, что пачка из 100 купюр имеет толщину не мене
Чтобы п
е
р
е
с
ч
и
т
а
т
ь указанную сумму, не хватит и месяца.) По
у Маяковского есть строки: «Много ль человеку (даже Форду
Правильнее было бы не «надо», а «можно», «дозволено». Мил
д
о
л
л
а
р
о
в можно. Ну а сто триллионов? Купить футбольную к
можно. А весь земной шар? Похоже, он стоит менее ста три
Иг
д
е проходит черта, отделяющая «можно» от «нельзя»? Но вс
вопросы досужие и риторические. Вернёмся к теме.
Обучение и воспитание на этом верхнем этаже носит штуч
рактер. Этим занимаются многочисленные няни, гувернёры и ча
учителя. Формально для воспитания и обучения своих отпрысков
б
о
г
а
т
ы
е люди планеты могут нанимать лучших в
о
с
п
и
т
а
т
е
л
е
й иу
Но это с формально-рыночной точки зрения. Профессии учителя
к
е
я несовместимы. И какие бы доверительные отношения ни сло
между учителем и обучаемым сановным дитём, лакейский привку
равно останется, а значит, к
а
ч
е
с
т
в
о обучения будет невысоким.
Спустимся немного пониже. На отмеченной под вторым но
в
е
т
к
е расположена очень важная со с
т
р
а
т
е
г
и
ч
е
с
к
о
й точки зрени
образования. Здесь о
б
у
ч
а
е
т
с
я будущая элита общества: политики
менеджеры, банкиры. Здесь же обучается и фундаментальная н
'\онечно, принципы отбора на разные направления различны и (
чению и
деологов) не всегда носят рыночный характер. Кое-что, а
" очень многое, зависит от способностей. И всё же система ст
Выйти н
а единый рыночный механизм платного обучения, сделав
с
о
б
н
о
с
т
и человека элементом ?того рынка. Если ты беден, но
е
с
т
ь способности и ты хочешь получить достойное образовани
спонсора. Им может быть и частное лицо, и государство.
4»

100 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

И наконец, т
р
е
т
ь
я ветка, которой с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
тс
п
е
ц
и
а
л
и
з
и
р
о
в
а
система образования. Здесь получают образование, а точнее, об
ся специалисты узкого профиля: инженеры соответствующих спец
ностей, банковские служащие, программисты. Парадокс сегоднящн
устройства мира заключается в том, что можно быть хорошим
листом в определённой узкой части спектра профессий и о
с
т
а
в
а
этом, по сути, необразованным.
Ярким примером могут служить многие п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
е
л
и огро
армии программистов (не забудем про хакеров). Общаясь с
иногда поражаешься н
е
с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
ю между низкой образованнос
и даже недостаточным интеллектуальным развитием, с одной с
ны, и виртуозным пониманием нюансов компьютерной жизни, с
гой. Хотя компьютер в целом знают и понимают не все, о
ализируются по «железу», другие по «софту» (прошу прощени
жаргон).
Сегодняшнее устройство мира всё более и более начинает на
муравейник. Отдельная особь (не входящая в элиту) выполняет
свои функции, даже не осознавая, какова их взаимосвязь с деят
других особей и полезность для д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
и сообщества. А
образования должна обучать и воспитывать новые поколения, выр
из них посредством соответствующего питания рабочих, солдат, п
р
и прочее, жёстко ограничивая тем самым личную свободу гражд
несмолкаемые крики либералов и демократов о необходимости соб
личную свободу.
Впрочем, виноват, системы образования в том смысле, о к
я говорил ранее, глобализация не предусматривает. Возникает, с
стороны, рынок образовательных (чуть не сказал «интимных»)
а с другой — сеть ночлежек с бесплатными и дешёвыми обеда
условно, изображённая мною картина — это лищь схема, эскиз.
кажется, что есть силы, стремящиеся подогнать под этот эскиз
Я был бы рад ошибиться.
Образование и экономика

Теперь о второй проблеме. Общемировой образовательный ланд
не совсем с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т ландшафту экономическому. Да и систе
разования плохо подчиняется рыночному управлению. И в этом
определённые угрозы существующей иерархии мира. Это вновь с
стороны.
А с другой — образование является элементом рынка. И при р
подходе страны, не очень преуспевающие в экономике, но с
системой образования могут использовать её в целом и по ч

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я • 101

внешнем рынке и помочь себе тем самым экономически. В усл
той же глобализации Россия могла бы выступать не только
поставщика сырья богатым странам, но и п
р
е
д
о
с
т
а
в
л
я
т
ь услуги п
тию образования, например (здесь я пользуюсь возможностью ос
любимого конька — и, как тот вшивый о бане, о своей бане
ч
е
с
к
о
г
о образования, каковое, по мнению многих экспертов, явля
н
е
д
а
в
н
е
г
о времени одним из лучших (даже лучшим) в мире и
п
о
л
ь
з
у
е
т
с
я спросом.
Кстати, торговля российским математическим образованием уже
но р
а
з
в
е
р
н
у
л
а
с
ь по всему миру, но дивиденды получают просто
ловкие люди, зачастую просто присвоившие себе не принадлежа
и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
у
ю собственность. Можно даже у
г
л
я
д
е
т
ь определён
с
х
о
д
с
т
в
о с природными ресурсами (также присвоенными) — в ви
личия ренты. Там природной, здесь интеллектуальной.
В последнее время внимание математиков и специалистов в о
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования всё больше и больше привлекает э
т
а
р
н
а
я геометрия. И здесь, на мой взгляд, лидерство России н
заметно. Похоже, именно в геометрии особо заметен евразийск
р
а
к
т
е
р русской культуры. В истории геометрии ярко видны дв
з
а
п
а
д
н
а
я и восточная. Западная геометрия строилась по Евклиду,
по Декарту. Здесь во главу угла ставились точные логические
ции, систематичность, общие теории. Восточная геометрия опира
на наглядность, геометрия была скорей элементом культуры, иск
даже культа, нежели наукой. И эти две ветви тесно переплели
сии, г
е
о
г
р
а
ф
и
ч
е
с
к
и и г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и служившей мостом между За
и Востоком. Само положение России наиболее б
л
а
г
о
п
р
и
я
т
с
т
в
о
в
а
л
о
витию с
и
н
т
е
т
и
ч
е
с
к
о
й геометрии, которая сегодня особенно привл
специалистов. И я убеждён, что в области преподавания геометр
занимаем лидирующее положение в мире. Нам есть что предложи
Пока есть.
Но рыночные возможности образования не сводятся лишь к т
на рынке его элементами, на рынке внутреннем, но особенно на
В нормальную рыночную схему должно быть включено и образ
в к
а
ч
е
с
т
в
е одного из элементов этой схемы: деньги, образовани
производство, товар, деньги (помните у Маркса: деньги — товар —
ги). Но в этой цепочке образование находится в самом начале
далеко от конечных денег. Глобализация не даёт возможности р
е
а
л
э
т
у схему в полной мере, рынок не может ждать. Основной сего
в
и
т
с
я схема: деньги — деньги, точне^, деньги—Деньги. Рынок в
о
ч
е
р
е
д
ь уничтожает образование, уничтожает не сук, а всё дер
•котором сидит цивилизация.

102 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

И ЭТИ два о
б
с
т
о
я
т
е
л
ь
с
т
в
а—н
е
с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
е устройства мировой
темы образования экономическому у
с
т
р
о
й
с
т
в
у мира и её рыночн
можности — и определяют наблюдаемое сегодня стремление единс
ной оставшейся супердержавы взять под контроль общемировую с
образования. В первую очередь математического, ведь именно мат
ческое образование интернационально в своей основе (имеет «рт
характер) и оказывает самое большое влияние на развитие циви
И поэтому не следует удивляться тому, что всё руководство
личных международных структурах, занимающихся проблемами мате
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования, оказалось в руках п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
е
л
е
й этой
супердержавы, в которой, по общему мнению, математическое обр
ние едва ли не худшее в мире. На этом всемирном образовател
действуют обычные рыночные механизмы. Более сильные и бога
пускают на него более слабых и бедных, несмотря на то чт
продукта лучше, да и цена меньше. И в с
р
е
д
с
т
в
а
х сильные, к
не стесняются.
Идеологическая оккупация. Проблема Вавилонской башни

Есть ещё и третье обстоятельство, относящееся к проблема
бализации и образования, не совсем рыночное, но необычайно
Дело в том, что система образования, и прежде всего школь
зование, выполняет ещё и важнейшую функцию воспитания, в
очередь и
д
е
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
о
г
о воспитания. Хороший раб — убеждённый
осознающий уже на уровне рефлексов полное превосходство х
Такой раб не будет бунтовать. И его надо воспитывать с детс
Идеологическая агрессия, которой сегодня подвергся весь м
стороны последней супердержавы, не имеет аналогов в мировой
Её р
е
з
у
л
ь
т
а
т — почти полная и
д
е
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
а
я оккупация. Тема эт
интересна, но большая её часть находится за рамками заявленн
и поэтому попробую быть кратким и не удаляться от этих рам
Положение в мире вызывает определённые сомнения в том, что
война закончилась, а самое главное — в том, кто выиграл, а
рал. Похоже, победитель один. К нему многие пытаются прима
в том числе и с противоположной стороны. Это не очень удаё
оккупации попал весь остальной мир.
Важнейшие элементы управления оккупированными территориями
доллар и язык. Замечаемое в последнее время противостояние
и евро напоминает попытку младшего брата увеличить свою до
мейном бизнесе, причём попытку не очень подготовленную. Впроч
сфера финансов находится явно вне моей компетенции и наше
поэтому оставим её, эту сферу. А вот языковая экспансия име

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я • 103

н
е
п
о
с
р
е
д
с
т
в
е
н
н
о
е отношение к проблемам образования. Прежде
паб должен з
н
а
т
ь язык хозяина. Желательно на примитивном
п
о
н
и
м
а
т
ь команды, о
т
в
е
ч
а
т
ь на простейшие вопросы и т.д. в эт
Кроме того, единое п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
о — экономическое, интеллекту
ное, технологическое, к
у
л
ь
т
у
р
н
о
е—т
р
е
б
у
е
т и е
д
и
н
о
г
о языка. Нынч
роль и
с
п
о
л
н
я
е
т английский, виноват, американский язык. Хорошо эт
плохо, с
р
а
з
у и не скажешь. В обшем, как и всё масштабное,
и п л о х о . Вавилонская башня р
а
з
в
а
л
и
л
а
с
ь из-за р
а
з
н
о
я
з
ы
к
о
с
т
и её
ителей. Сегодня мы видим Вавилонскую башню, но перевёрнутую
ли э
т
о положение устойчиво.
Большинство людей, проживающих вне а
н
г
л
о
я
з
ы
ч
н
о
г
о мира (ост
ли ещё такой?) и относящих себя в той или иной мере
т
у
а
л
ь
н
о
м
у сообществу, и многие другие социальные группы прин
сложившееся положение как должное и б
е
з
р
о
п
о
т
н
о учат английски
по-настоящему овладевают им немногие. И вот уже великий учён
б
е
л
е
в
с
к
и
й лауреат и прекрасный человек, Виталий Г
и
н
з
б
у
р
г на с
а
н
г
л
и
й
с
к
о
м языке р
а
с
с
к
а
з
ы
в
а
е
тк
о
р
р
е
с
п
о
н
д
е
н
т
а
м историю своей жи
Не з
н
а
т
ь а
н
г
л
и
й
с
к
и
й язык в учёных к
р
у
г
а
х с
ч
и
т
а
е
т
с
я непри
П
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и все международные конференции и к
о
н
г
р
е
с
с
ы в к
а
р
а
б
о
ч
е
г
о языка заявляют а
н
г
л
и
й
с
к
и
й язык. Я с большой симпатие
жением отношусь к китайским коллегам, мне н
р
а
в
и
т
с
я их т
в
ё
р
д
о
с
с
т
а
и
в
а
н
и
и и
н
т
е
р
е
с
о
в своей страны, но я был неприятно удивлё
на о
т
к
р
ы
т
и
и Всемирного к
о
н
г
р
е
с
с
а по математике 2002 года в П
все выступавшие, в том числе и члены п
р
а
в
и
т
е
л
ь
с
т
в
а КНР, г
о
по-английски. Впрочем, об этом можно было лишь догадыватьс
с
к
о
л
ь
к
у понять смысл произносимого было почти невозможно.
И если в математике, которая, по сути, сама я
в
л
я
е
т
с
я междун
языком, д
о
с
т
а
т
о
ч
н
о легко о
в
л
а
д
е
т
ь английским на нужном уровне
о
б
с
у
ж
д
а
т
ь с коллегами профессиональные проблемы, то в гуманит
дисциплинах, в ч
а
с
т
н
о
с
т
и в педагогике, методике преподавания, э
так. В результате, например, на международных конференциях и кон
сах по образованию п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и и
с
ч
е
з
л
и дискуссии. Яркий приме
к
о
н
г
р
е
с
с по м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
м
у образованию, проходивший в Макух
(Япония).
Очень трудно в
ы
с
к
а
з
ы
в
а
т
ь
с
я на неродном языке по тонким в
Методики и п
с
и
х
о
л
о
г
и
и обучения, когда и на родном языке не
"Росто изложить некоторые мысли. Нелегко понять точно устное
^ение на чужом языке, к
о
г
д
а речь идёт о спорных проблемах п
М е т о д и к и . Иные д
аже письменныееексты и на родном языке по э
п
о
н
я
т
ь не просто. Почти невозможно в
е
с
т
и полноценную диск
языке, на котором ты не думаешь, с человеком, который впи

104 • И.Ф.Шарыгин о математике и не только о ней

матери. При этом самое опасное не незнание яз
н
е
д
о
с
т
а
т
о
ч
н
о
е знание. Если ты не понимаешь собеседника — это
Но гораздо хуже, если ты понимаешь его наоборот и приписы
своё мнение.
Каким бы прекрасным специалистом в области преподавания
матики ты ни был, плохое владение английским закрывает те
в международные комитеты и комиссии по проблемам преподаван
тематики. В очередной раз нарушается один из важнейших дем
ческих принципов — принцип равных возможностей. Если ты, нап
родился в России, то должен и
з
у
ч
а
т
ь английский, в противно
ты считаешься некультурным, плохо образованным и твои возмо
карьерного развития очень ограничены. В то время как американ
не утруждать себя изучением никакого иностранного языка, и
этом основании не обвинит его в н
е
д
о
с
т
а
т
о
ч
н
о
м образовании и
турье. Несправедливо!
Кроме того, способности к освоению иностранного языка ра
у разных людей и далеко не в
с
е
г
д
а входят в число профес
значимых способностей. Я, например, полагаю, что профессиона
му литератору не очень полезно хорошо владеть иностранным
В опровержение этого утверждения мне могут привести Набоко
Бродского, считающихся писателями двуязычными. Я же вижу в
раз подтверждение моего тезиса. Набоков к концу жизни п
р
а
перестал писать на русском языке. Те же редкие произведения
поздний Набоков писал на языке предков, по с
т
р
у
к
т
у
р
е языка
листике похожи более на перевод с английского, чем на о
р
и
русское творение. То же у Бродского, который постепенно тер
русский. (Я могу привести конкретные примеры, подтверждающие
Вторжение а
н
г
л
и
й
с
к
о
г
о языка в языковое пространство Росси
глядит уже настоящей катастрофой, и пора принимать решительны
по защите русского языка. Нужен соответствующий закон. Вот
разрабатывать и принимать его некому. Наши министры (в то
и министр образования) и депутаты не владеют русским языком
требований, предъявляемых к ученику начальной школы. И я пре
ляю себе эту сюрреалистическую картину: «Обсуждение в Росси
думе закона о защите русского языка»! (Группа разработчиков
с Черномырдиным и Филипповым.)
Кстати, процесс всемирного распространения английского языка
все не так уж б
л
а
г
о
п
р
и
я
т
е
н для культуры языка английского.
даже не только в том, что р
а
с
п
р
о
с
т
р
а
н
я
е
т
с
я не собственно ан
но его американская разновидность (по сути жаргон), который
ританской Англии не все хорошо понимают. Важнее то, что в
ЯЗЫК С МОЛОКОМ

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я •

105

н
о
в
а
я языковая разновидность — иностранный «инглиш» и даже
азновидностей: «рашен инглиш», «чайна инглиш» и бог знает
Примитивные по смыслу и ужасные по произношению. И этот «як
глийский» оказывает очевидное н
е
г
а
т
и
в
н
о
е влияние на настоящий
Так что же делать? С одной стороны, сегодня в условиях гло
ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
т
в
у жизненно необходим универсальный язык, точнее, уни
с
а
л
ь
н
о
е средство общения между людьми. На Земле проживают
а может, и десятки тысяч народов и народностей, говорящих н
языках. Каждый язык самоценен, он является незаменимым и
полнимым элементом общечеловеческой культуры. Но с точки з
роли в межчеловеческих отношениях эти языки имеют всё же
статус. Равная поддержка всех языков и наречий не только
к
л
а
с
с
и
ч
е
с
к
о
й формой Вавилонской башни. Она невозможна в при
С другой стороны, по моему глубокому убеждению (не знаю
ли я д
о
с
т
а
т
о
ч
н
о аргументированно это убеждение обосновать),
зываемое сегодня миру одноязычие на базе языка английского
нам выхода и также невозможно. Я не знаю, каково оптимальн
ние. Я даже не могу сформулировать соответствующую оптимизаци
задачу. Моя цель — обозначить проблему. Назовём её «проблемой
лонской башни».
По мере в
о
з
р
а
с
т
а
н
и
я уровня глобализации в
о
з
р
а
с
т
а
е
т и иде
ч
е
с
к
о
е давление на мир, точнее, давление на общественное и
сознание. Или ещё точнее, всё изощрённее с
т
а
н
о
в
я
т
с
я методы
р
о
в
а
н
и
я этого сознания. И важнейшая роль здесь о
т
в
о
д
и
т
с
я с
образования. На примере системы образования России мы доста
о
т
ч
ё
т
л
и
в
о видим эти явления. И н
а
ч
и
н
а
е
т
с
я всё уже в начально
Это очень важно.Детский ум ещё не овладел приёмами к
р
и
т
мышления, ребёнку с
в
о
й
с
т
в
е
н инстинкт подражания и всё внушаем
мозг, его сознание не просто воспринимает, но берёт в рост.
борьбу против разрушения образования и с
о
с
р
е
д
о
т
а
ч
и
в
а
я
с
ь на п
школьных этапах, можем прозевать нечто более важное, когда в
школу придёт поколение детей, скверно обученных и утративших
с нашими национальными традициями.
И даже многочисленные примеры возникновения различных церк
но-приходских и приютских школ лишь усугубляют ситуацию, раз
е
д
и
н
с
т
в
о российской школы. Не будучи специалистом в этой о
я не стану р
а
з
в
и
в
а
т
ь эту тему дальше, но ещё раз хочу под
Необычайную важность.
<
На следующих этапах школьного образования картина нескольк
няется. Свою идеологическую н
а
г
р
у
з
к
у получают п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и все
•^еты. Одни выполняют её косвенным образом, как, например, ино

106 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

ный ЯЗЫК и математика, другие непосредственно, как история
ратура. Иностранный язык, а именно английский (напомню, реч
о России) с
т
а
н
о
в
и
т
с
я насильственной н
а
г
р
у
з
к
о
й к образованию,
дение им на минимальном уровне — необходимым условием для
карьерного продвижения. И никакой китайский сегодня не може
нить английский (не знаю, впрочем, что будет лет через пятьд
Математика — предмет вредный и опасный. Человеком, знающи
тематику, владеющим математическим методом, трудно манипулиров
такой человек привык мыслить творчески, он принимает решени
с
т
о
я
т
е
л
ь
н
о и осознанно, а не подчиняясь чужой воле, и также
тельно и осознанно действует. Для общества, существующего в у
глобализации, переизбыток людей такого типа смертельно опасе
этому необходимо сократить школьные программы по математике
рекроить их в пользу тем, посвященных алгоритмам, формальным
пуляциям и утилитарно-прагматическим приложениям.
В отличие от иностранного языка и математики, история
ратура— предметы прямого и
д
е
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
о
г
о действия. Их приход
пересматривать самым коренным образом.
Помнится, с каким удовольствием ёрничали по поводу росс
истории наши либералы и демократы. Мол, Россия — страна с
сказуемым прошлым. Сегодня наше прошлое пересматривается, пр
не только российское, но и общечеловеческое, даже не столь от
а совсем недавнее — ещё очевидцы живы, и не все из них д
в очередной раз, а как раз впервые. Пересматривается нагло
донно под и
д
е
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
и
м руководством нового хозяина мира —
нённых Штатов Америки. Здесь я конкретно имею в виду истори
мировой войны.
Верхом цинизма выглядят появляющиеся в России школьные
ники по истории, в которых о
т
с
у
т
с
т
в
у
е
т упоминание о Сталинг
битве, а главные сражения Второй мировой войны происходят в
В Америке уже сегодня молодёжь убеждена, что во Второй миро
Соединённые Штаты Америки победили Германию, на стороне к
воевал Советский Союз. Уже и в России появляется, пока вн
литература, внушающая молодёжи подобные мысли. Остаётся ждат
явления соответствующих школьных учебников.
Что же к
а
с
а
е
т
с
я литературы, то здесь мы видим два ме
Уродуется содержание и вводятся разрушительные учебные технол
Из школьных программ исключаются лучшие писатели, а у с
выдающихся выбирают наиболее незначительные произведения. З
в программе возникают какие-то малоизвестные и случайные ав
и даже не писатели, а графоманы. А с другой стороны, из

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я •

107

пытаются и
з
г
н
а
т
ь сочинение, а вместо него для оценки знаний (
в
в
о
д
я
т
с
я тестовые технологии, которые просто несовместимы с обу
литературе.
Модернизация образования в России и глобализация

Мы должны признать и признаться, что система образования
сии за последние д
е
с
я
т
и
л
е
т
и
я значительно деградировала и прод
деградировать. Но система образования обладает достаточно хоро
способностями к р
е
г
е
н
е
р
а
ц
и
и и саморазвитию. Если, конечно, не
жен её потенциал. Но для э
т
о
г
о надо п
р
е
д
о
с
т
а
в
и
т
ь ей эту во
не беспокоить частым вмешательством извне. Чтобы рана зажил
с
л
е
д
у
е
т часто тревожить. Даже с самыми благими намерениями
з
р
е
в
а
т
ь же в наличии этих самых благих намерений нынешних
чиновников от образования не приходится.
Нынче в России Министерство образования проводит масшта
мероприятия по реформированию или модернизации системы обра
ния. По мнению многих специалистов, это не реформы и не мод
а разрушение сложившейся системы образования, разрушение са
г
л
а
в
н
о
г
о — потенциала образования. Так в чём же дело? Почему
мы продолжаются и поддерживаются на самом высоком уровне?
п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и все политические силы, правые, левые и центральны
и не поддерживают прямо проходящую модернизацию, то, во
случае, не выступают решительно против? Почему большие кап
д
а
л
ь
н
е
й стороной обходят образование, а если что и финанси
как раз проводимую модернизацию?
В Советском Союзе сложилась хорошая система образования
новной целевой установкой которой было творческое развитие уча
(что, признаемся, весьма странно для т
о
т
а
л
и
т
а
р
н
о
г
о режима). Ма
т
и
ч
е
с
к
о
е же образование в Советском Союзе чуть ли не оф
п
р
и
з
н
а
в
а
л
о
с
ь лучшим в мире. Именно система образования был
даментом всех значимых побед Советского Союза (индустриализ
война, атомная бомба, выход в космос), и она же стала одной
причин, приведших к распаду Советского Союза.
Но с некоторого момента высокий творческий потенциал, ко
р
а
с
п
о
л
а
г
а
л
а система образования Советского Союза, оказался нево
бованным на г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
о
м уровне и нашёл выход в разрушит
деятельности. Этот урок новая номенклатура (по сути, перекраси
старая) усвоила прочно: хорошая система образования является
ником постоянной угрозы, поэтому эту систему надо жёстко огр
Вкладывать деньги в образование не следует уже по этой
И, кроме того, вкладывать деньги в образование просто невы

108 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Слишком ДОЛОГ путь до конечного продукта. Можно и не до
дивидендов.
И наконец, уж совсем примитивное размышление. Период п
е
р
в
и
накопления капитала — так нежно сегодня называют период м
а
грабежа и мародёрства, которыми сопровождалась эпоха Ельцина,
кончен. Собственность и власть захвачены и поделены. Теперь гл
сохранить всё это для себя и своих потомков. И приумножить,
потомки во множественном числе. Хороших мест для кормления
много. Они нужны нашим (понятно, каким «нашим») детям и
Нужное образование при необходимости мы им сможем дать. На
за границей. Мы уже понимаем: чтобы воровать, образование не
Но чтобы много воровать, нужно хорошее образование. Но за
хорошее и бесплатное образование в России? Зачем с
о
з
д
а
в
а
т
ьл
конкуренцию нашим детям и внукам? А то, не дай бог, «кухарки
выучатся и захотят управлять г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
о
м и начнут реальную
с коррупцией.
Это с точки зрения внутренних интересов правящего класса.
ещё и внешний, интернациональный интерес. Классовая теория, с
ная Марксом и р
а
з
в
и
т
а
я его последователями, взята сегодня н
жение правящими элитами. Главный тезис: классовые интересы
национальных. Девиз объединяться, адресованный Марксом пролета
ям, подхвачен и в полной мере реализован сегодня классом п
классом богатых. Похоже, что этот новый — какой по счёту? —
ционал, проводящий свои ежегодные съезды в Давосе, будет д
о
л
г
своих предшественников. Я полагаю, что где-то (примерно где —
но) находится некий с
т
р
а
т
е
г
и
ч
е
с
к
и
й центр, управляющий проходя
в системе российского образования процессами, финансирующий уп
нутую модернизацию.
Тому есть много доказательств, конечно косвенных, поскольку
мыми д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
а
м
и может р
а
с
п
о
л
а
г
а
т
ь лишь разведка. Гла
является обычное в науке рассуждение. Если мы видим много
ных явлений и существует гипотеза, все эти явления объяс
то с большой вероятностью эта г
и
п
о
т
е
з
а справедлива. Палеонто
нередко приходится по отдельным фрагментам конструировать до
рическое животное. И не их вина, если п
о
л
у
ч
а
е
т
с
я страшный
а не грациозная антилопа.
Вот несколько фактов-фрагментов. В России давно д
е
й
с
т
в
у
е
т
называемый Национальный фонд п
о
д
г
о
т
о
в
к
и кадров. Именно в
центр регулярно поступают немалые по российским меркам кред
Всемирного Банка Развития, направляемые в систему образования
кредиты в основной своей части расходуются на оплату з
а
о
к

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я •

109

к
о
н
с
у
л
ь
т
а
н
т
о
в и о
т
е
ч
е
с
т
в
е
н
н
ы
х модернизаторов. Единственная прог
ма которая финансируется НФПК в полном объёме, — это про
с
о
з
д
а
н
и
я сети школ для умственно отсталых детей. Цель —
наших детей в эти школы, которые и оборудованы лучше
и финансируются лучше. (Вот ещё один яркий пример того, к
дело может стать орудием зла.)
Кроме того, НФПК проводит конкурсы школьных учебников, на
рых побеждают упомянутые учебники по истории и неграмотные у
по математике. (Ради полноты картины следует добавить, что а
ные конкурсы учебников проводил также и фонд Сороса.) О том
крышей НФПК процветает абсолютная коррупция, к которой прич
самые высокие руководители Министерства образования и Росси
а
к
а
д
е
м
и
и образования, широко и давно известно. По сути, это и
вается. Выиграть какой-либо тендер или конкурс по линии Н
стороны и без с
е
р
ь
ё
з
н
о
г
о о
т
к
а
т
а (интересно, появилась ли уже
с
л
о
в
а
р
я
х русского языка новая трактовка этого старого русского
нереально. Но Фонд продолжает действовать. Значит, это кому-то
Далее. Во всемирно известном научном и образовательном ц
расположенном в небольшом американском городе Принстоне, со
на специальная структура, занимающаяся разработкой и внедре
т
е
с
т
о
в
ы
х технологий. (Кстати, именно тестовые т
е
х
н
о
л
о
г
и
и чуть
е
д
и
н
с
т
в
е
н
н
ы
й по-настоящему рыночный продукт, потребляемый в
теме образования.) Основная сфера интересов — развивающиеся ст
и, прежде всего, страны п
о
с
т
с
о
в
е
т
с
к
о
г
о пространства, страны
Эта с
т
р
у
к
т
у
р
а занимает большую территорию и её д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
ь
с
е
к
р
е
т
н
ы
й характер. Основная услуга, которую она оказывает
мянутым странам (Прибалтика, Грузия, Казахстан и прочие, вк
даже Белоруссию батьки Лукашенки), — организация проведения
Пока бесплатно (стандартный приём н
а
р
к
о
т
о
р
г
о
в
ц
е
в — первая доза
платная). Россия действует самостоятельно. Но это тоже пока.
И последний пример. Министр образования В.М.Филиппов, под
р
у
к
о
в
о
д
с
т
в
о
м проходит модернизация образования (хотя на роль и
га он никак не тянет), получил орден п
о
ч
ё
т
н
о
г
о Легиона, высш
Франции. Интересно, за что?
И в заключение о том, о чём говорил вначале. Среди партий
ного толка (их всего-то две: «Яблоко» и СПС) наибольшее внима
н
е
к
о
т
о
р
о
е внимание проблемам образования уделяла партия «Ябл
Умеет говорить Григорий Алексеевич, ничего не скажешь! Слуша
х
о
ч
е
т
с
я плакать, и аплодировать, и подписываться под каждым с
ердцем я «за», но мешает знание. Почему-то многие мои знако
поражения «яблочников» на выборах (пусть даже это поражение и

110 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

сифицировано) сочли за благо для образования. Почему? Дело
что политику «яблочников» в сфере образования олицетворяет ч
по фамилии Шишлов, который в течение полутора лет (с осен
декабрь 2003 года) в
о
з
г
л
а
в
л
я
л Комитет думы по науке и образов
вот, этот самый Шишлов оказался самым верным союзником Фил
и других модернизаторов от образования. Филиппов и Шишлов
образовывали также сладкую пару в различных телевизионных
посвященных образованию. Многолетний руководитель Комитета
науке и образованию коммунист Мельников не часто мог появл
телеэкране.
И ещё одна история вспоминается. Во время каких-то давних
вдруг всплыла, т. е. не совсем вдруг, но всё же всплыла ис
как Григорий Алексеевич прочитал лекцию в Америке, получил
гонорар в 20 тысяч долларов и не уплатил с этой суммы
бог с ним, с налогом! Меня удивляет другое. Законодатель,
баллотировавшийся на должность президента России, читает в
стране лекцию, получая за неё гонорар, в десятки раз пре
гонорар, положенный нобелевскому лауреату! А ведь принимаемые
законы могут з
а
т
р
а
г
и
в
а
т
ь интересы и той страны. Например, з
образовании. Пустячок? Потому и противно! Ну и совсем уж в
ние, следуя закону рамки, анекдот. В отличие от анекдота, р
а
с
с
к
в начале, с некоторым душком, но зато точный. Встречаются к
дамы, и одна спрашивает другую: — А вот в первый раз, эт
у тебя как было, по любви или за деньги? — Ну конечно же
Разве ж пять рублей это деньги? Извините! А Явлинский особо
чём. Он даже лучше многих других. Тем и плох.
Приложение. Об утечке мозгов

Несколько лет тому назад меня пригласили на телевидение
участие в какой-то телепередаче. Со стороны тех, кто меня п
это была явная глупость. Но ещё большую глупость совершил
няв это приглашение. Передача называлась, кажется, «Добрый
Программа, в которой я принимал участие, была посвящена дву
Вначале говорили об отъезде наших молодых девушек за рубеж
шем в последнее время массовый характер (эту часть передачи я
за ширмой). Затем обсуждали так называемую утечку мозгов.
Принимавший участие в передаче известный писатель выступал
ч
е
с
т
в
е эксперта по обоим вопросам. Само соединение этих дв
далёких (на первый взгляд) тем, показалось мне забавным. Я д
пытался съязвить, мол, наконец-то проблема утечки мозгов выш
серьёзный уровень и даже поставлена в один ряд с волнующей в

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я • 11 1

КОЙ..- э
т
о
г
о самого» (я не смог подобрать нужного слова, т. е
и приличного).
Конечно, нет ничего глупее, чем принимать участие в телед
ях. При этом чем важнее обсуждаемая тема, тем бессмысленн
д
и
с
к
у
с
с
и
я и ничтожнее результат. В моём случае всё обсужден
происходило в течение десяти (!) минут. Сначала известный пи
заявил, что не видит ничего плохого в означенной «утечке».
даже какие-то слова в к
а
ч
е
с
т
в
е аргумента. Я же настолько о
э
т
о
г
о заявления, что начал выкрикивать что-то нечленораздельно
меня не остановила ведущая.
И вот теперь, по прошествии нескольких лет, я решил ве
к этой теме, которая, к сожалению, всё ещё актуальна. А мо
ещё более актуальной. Наблюдая за многочисленными шоу-дискусс
шоу-конкурсами по телевизору, убеждаешься в том, что утечка
уже даёт конкретные и видимые результаты. Кроме того, озн
тема имеет самое н
е
п
о
с
р
е
д
с
т
в
е
н
н
о
е отношение к статье, к кот
прилагается, иллюстрируя и развивая основные положения статьи
Начну с того, что немного напомню историю. Утечка мозг
процесс, который начался примерно 40 лет назад во времена Со
Союза. Прошла «оттепель», слегка приоткрылся «железный зан
и в образовавшуюся щель не то чтобы хлынул, но потёк небол
из новоэмигрантов. Поток этот направлялся в Израиль. Перевал
п
у
н
к
т
о
м служила Вена. Кому-то удавалось прямо из Вены, мину
иль, попасть в США. Но многие всё же добирались именно д
и либо оседали там, либо позднее перебирались в другую стра
Впрочем, назвать начавшийся процесс утечкой мозгов было бы
вильно. Пропускная способность канала была ничтожно мала. Над
п
о
л
у
ч
и
т
ь приглашение с «той» стороны, т. е. из Израиля, и д
ч
т
о ты еврей в каком-то колене или что твой ближайший
ник— еврей. Некоторые специально, чтобы иметь возможность у
Женились на еврейках. Власти также не раздавали налево и
разрешения на выезд. Стандартным поводом для отказа было
допуска к секретным работам. Возникло целое сообщество так н
мых отказников.
Кроме того, профессиональный уровень большинства отъезжаю
был не столь высок, чтобы о них сожалеть. Очень многие
Не состоялись в профессиональном плане'и пытались придать себ
у
ч
а
с
т
и
е
м в умеренных политических акциях и в движении дисси
''У первую после оттепели волну эмиграции можно определить
Рейско-диссидентскую. Власти иногда использовали образовавшийся
нал, чтобы избавиться от некоторых одиозных личностей (безус

112 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

пользовались им и спецслужбы, но здесь — ничего, кроме
Так, например, руководство страны долго не могло решить
и
з
в
е
с
т
н
о
г
о философа Александра Зиновьева. Одно время ему
гали эмигрировать в Израиль. Александру Александровичу даже
шлось доказывать в райкоме, куда его пригласили, что он
(рассказ самого Зиновьева). Ему поверили и нашли другой
избавиться.
И ещё одно важное обстоятельство. В первое время все уе
должны были оплатить затраты на своё образование. Не могу
поскольку не знаю, как зависела сумма выплаты от учебного
и стажа работы по специальности. Важен факт. Мировая обществ
усмотрела в этом требовании нарушение прав человека, и под
этой самой общественности оно было отменено. Когда это точн
шло, сказать затрудняюсь.
Итак, процесс, который нынче мы называем утечкой мозгов
ся уже примерно четыре десятилетия, целое поколение. «Мозги
всего лишь часть общего эмиграционного потока, исходящего из
С приходом эры «демократии» размеры этой части значительно вы
Уезжают молодые, талантливые и образованные люди. Почему?
Что нужно учёному? По сути, ему нужно очень мало и даже
возможность заниматься любимым делом. Но именно этой возмо
учёные сегодняшней России не имеют. О какой науке может и
если жизнь превращается в сплошную борьбу за существовани
мо как в первобытные времена. Честно говоря, я не слишко
представляю нынешнюю ситуацию в полной мере, а более ил
знаком с тем, что происходит в науках математических, в т
и в математическом образовании.
Особое и выигрышное положение математики состоит в том,
занятий математикой и для обучения ей не нужно дорогостоящее
альное оборудование. Возможно, в этом состоит одна из причин
Россия всё ещё сохраняет высокий уровень и м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о
вания, и математической науки (плюс, конечно, традиции и люди
высокий уровень является, в свою очередь, причиной продолжаю
«утечки» учёных и специалистов, получивших математическое образ
ние в России. Это также доказывает, что, несмотря на очеви
жение уровня м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования в стране, в своей
элитарной части оно по-прежнему является одним из лучших
причём реально, а не только потенциально.
Количество уехавших математиков и учёных смежных специал
стей я боюсь даже оценивать. На любой международной конфе
по математике или математическому образованию вы можете в
с
т

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я «113

«бывший наш народ», причём количество этих «бывших» обычно н
превышает число д
е
л
е
г
а
т
о
в из нынешней России.
В последние д
е
с
я
т
и
л
е
т
и
я (полтора-два) процесс утечки неско
изменился. Во-первых, возраст уезжающих учёных значительно сн
ся. Представители старшего и среднего поколения, пожелавшие
давно уехали. Уезжают теперь выпускники ведущих вузов, не у
о
т
р
а
б
о
т
а
т
ь и одного дня. Уже начали уезжать выпускники шк
чём лучшие, победители различных олимпиад. Убеждён, что из
п
о
б
е
д
и
т
е
л
е
й математических олимпиад самого высокого уровня (
дународных, Всероссийских) последних 15—20 лет уехало из Росс
менее половины.
В условиях глобализации наиболее развитые страны предпочи
размещать некоторые предприятия (заводы, фабрики) в отсталых
нах, где рабочая сила более дешёвая. И г
о
т
о
в
и
т
ь себе высоко
с
п
е
ц
и
а
л
и
с
т
о
в (по некоторым специальностям) они также любят в с
г
д
е уровень жизни невысок, но имеется хорошая система обра
Это намного дешевле, чем г
о
т
о
в
и
т
ь специалистов у себя.
В Москве уже есть учебные заведения, выпускники которых
не поголовно уезжают в США. И это учебные з
а
в
е
д
е
н
и
я именно
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о направления. (Говорят, что один выпуск лучшей ф
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
й школы Москвы, 57-й школы, целиком, хотя и не
п
е
р
е
б
р
а
л
с
я за океан. Независимый московский университет г
о
т
о
в
и
ц
и
а
л
и
с
т
о
в почти исключительно для дальнего зарубежья.)
А во-вторых, большое распространение в последние годы по
ла, если так можно выразиться, полуэмиграция. Здесь имеется
р
а
з
н
о
в
и
д
н
о
с
т
е
й и оттенков, и стричь всех под одну г
р
е
б
ё
н
к
у
ет С одного края находятся учёные, работающие в основном
и время от времени выезжающие за рубеж, причём не только
страны, чтобы немного пополнить семейный бюджет. С другого —
рот, учёные, в основном проживающие с семьями на Западе, раб
и преподающие там, но изредка возвращающиеся на родину, чт
д
о
х
н
у
т
ь и напомнить о себе. Эти последние, как правило, занима
высокие руководящие посты в России и ни в коем случае не
их терять.
t
Продолжающаяся утечка мозгов хорошо иллюстрирует многие те
основной статьи. Хорошее образование п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т собой дорог
ящий рыночный продукт. Впрочем, рыночным продуктом являетс
с
т
о
л
ь
к
о само образование, сколько люди, его получившие (в
нутном истинно рыночном понимании). Прибыль даёт не автомоби
завод, а производимая им продукция. Но если продолжить эту
бильную аналогию, то п
о
л
у
ч
а
е
т
с
я абсолютно бредовая картина.

114 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Предположим, в некоторой стране имеется означенный заво
построен на деньги налогоплательщиков. Все выпускаемые модели
ботаны местными инженерами и и
з
г
о
т
о
в
л
е
н
ы из собственных матер
Все они высокого к
а
ч
е
с
т
в
а (речь идёт не о России). На
рынке выпускаемые заводом автомобили стоят достаточно дорог
ка не важно, кто платит за них), зато на внешний отдают
но. Абсурд! Но именно это происходит в сфере российского
вания.
Мне могут возразить, что сравнение неправомерно. Там авт
ли, а здесь человек со всеми его правами и свободами. И о
ной стандарт. Причём многократно двойной. Возьмём хотя бы ф
стов и прочих спортсменов. Конечно, получаемые ими деньги нес
с зарплатами учёных. Но важно другое. Классный и даже не оч
ный футболист является собственностью хозяина клуба. У него
ч
ё
т
к
а
я рыночная стоимость (у каждого своя), в с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
и с
он продаётся и покупается. Я вовсе не хочу, чтобы в подобном
оказались и учёные. Но всё же, неужели п
о
д
г
о
т
о
в
и
т
ь классного
легче и дешевле, чем хорошего футболиста?
Далее! К своим собственным выпускникам США относятся куд
бережнее и расчётливее. Если ты получил образование за счё
или федерального правительства, то изволь сначала о
т
р
а
б
о
т
а
т
ь
ченные на тебя деньги, можно и просто их вернуть, а уж
где хочешь. Безусловно, внутри страны образование должно быт
платным, точнее, оплачиваться государством. И при этом г
о
с
у
д
а
должно требовать со всех уезжающих полную компенсацию своих
на образование. Если, конечно, к моменту отъезда человек эти з
окупил. Наши западники и демократы любят ссылаться на зару
опыт: во всём мире так, а у нас... Поступлю так же.
Сегодня в России заработная плата учёного или преподавателя
низкая в мире и в относительном, и в абсолютном исчислении.
но, кое-где на п
о
с
т
с
о
в
е
т
с
к
о
м п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
е положение ещё хуже,
там, где уже нет ни образования, ни науки.) Это нельзя объ
экономическими интересами, ни действием рыночных механизмов.
чит, это политика.
Для сравнения можно взять Китай. Это страна бедная. Во
вр
а
с
ч
ё
т
е на душу населения Китай беднее России. Но в К
та бедности о
п
р
е
д
е
л
я
е
т
с
я образованием. Человек, получивший вы
образование, по уровню благосостояния с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т среднему кл
Причём по меркам международным. Заработная плата профессора
тае обеспечивает ему достаточно высокий уровень жизни. В Рос
г
р
у
з
ч
и
к при овощном магазине получает больше профессора. Росс

Образование и г
л
о
б
а
л
и
з
а
ц
и
я «115

учёные выталкиваются за рубеж огромным разрывом в материа
социальном и моральном положении учёного здесь и там.
Я полагаю (и это хорошо вписывается в теорию), что разры
и
с
к
у
с
с
т
в
е
н
н
о и и
с
к
у
с
с
т
в
е
н
н
о же поддерживается. Такая ситуация
в
е
т
с
т
в
у
е
т классовым интересам Всемирного Интернационала Бога
Сегодня положение у
с
у
г
у
б
л
я
е
т
с
я ещё и тем, что н
а
ч
и
н
а
е
т
с
я се
р
а
с
с
л
о
е
н
и
е внутри научного сообщества России. И это также
опасно.
Привести конкретные, как сейчас принято говорить, цифры (в
о
д
и
н распространённый англицизм: в русском языке понятия «ч
и «цифра» строго разграничены, в английском языке слово «пит
о
з
н
а
ч
а
е
т и число, и цифру) я не могу, но полагаю, что интел
п
о
т
е
р
и России сопоставимы с потерями в настоящей г
о
р
я
ч
е
й во
конечно, можно оценить и, как принято, в денежном эквивалент
р
е
ч
ь идёт о сотнях миллиардов, конечно же долларов. Только н
в виду, что, помимо прямых потерь, есть ещё потери и косве
э
т
о
м косвенность может быть разного уровня. Здесь и наши
получившие худшее, чем могли бы, образование, и ученики этих у
Надо не забывать, что наши потери оборачиваются приобретения
США и их партнёров, увеличивая и без того огромную разност
циалов.
И ещё одно, далеко не самое н
е
з
н
а
ч
и
т
е
л
ь
н
о
е обстоятельство. У
молодые люди в расцвете сил и даже просто начинающие жить.
хорошо развитые и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о и физически, как правило неп
Происходит г
е
н
е
т
и
ч
е
с
к
о
е ограбление нации. Так что авторы упом
в начале с
т
а
т
ь
и телевизионной программы, объединившие столь р
темы, похоже, были не так уж и неправы.

Нестандартный стандарт
я первый раз в жизни видел такого
писателя. Он был еле грамотный.
Михаил Зощенко.

Литератор

А за столом, между прочим, семь
человек сидят — три бабы и два мужика.
Михаил Зощенко.

Муж

Представьте, что вы приходите в магазин и видите непонятн
дукт. Какие-то странные серовато-чёрные комочки размером чуть б
крупной фасоли с неприятным запахом. Абсолютно по виду и
несъедобные. Цена, правда, почти символическая. Вы п
р
и
с
м
а
т
р
и
в
а
е
к ценнику и с удивлением узнаёте, что это картофель. «А-а-а,
это нестандарт»,—догадываетесь вы. Но продавец разъясняет, что
как раз именно стандарт. Но это минимальный стандарт. «Поз
позвольте, — соображаете вы, — ведь стандарт — это норма, обр
И опять продавец, терпеливо и ласково улыбаясь, объясняет, ч
неправильное понимание, на самом деле стандарт — это как р
мально допустимый уровень, ниже которого уже ни-ни. «Ну ла
с
д
а
ё
т
е
с
ь вы, не желая в
с
т
у
п
а
т
ь в лингвистическую дискуссию, — а
съедобный картофель у вас имеется?» Продавец указывает на со
отдел. Там продаётся другой, не то чтобы высококачественный, но
съедобный на вид картофель. Но цена п
о
в
е
р
г
а
е
т вас в состоя
Этот картофель явно штучного производства. Вы в панике выска
на улицу и вечером долго не можете заснуть, размышляя о с
т
а
картофель и алкоголь, на жильё и сантехнику, на самолёты и
И наконец осознаёте, что, по всей видимости, ваш уровень жизни
с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т действующему стандарту. Представили?

А теперь п
р
е
д
с
т
а
в
ь
т
е себе, что в военкомат приходит призывн
всем параметрам этот призывник с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т минимально допуст
Впервые напечатано в «Независимой газете» 28.08.2002.

Нестандартный стандарт « 1 1 7

нормам. По зрению, по слуху, по росту, по весу, по умственн
тию и по всему прочему. Это же инвалид! Но, к счастью, на
с
у
б
ъ
е
к
т
а невозможно. Или почти невозможно. Природа в
с
е
г
д
ас
т
к
о
м
п
е
н
с
и
р
о
в
а
т
ьн
е
д
о
с
т
а
т
о
ч
н
о
е развитие одного органа лучшим разв
другого. У плохо видящего человека р
а
з
в
и
в
а
е
т
с
я слух. И наобор
думаю, чтобы военкоматам приходилось в
с
т
р
е
ч
а
т
ь
с
я с призывни
находящимися на минимальном уровне по всем показателям. И
того, наши военные никогда не объявляли свои минимальные тр
стандартом.
А вот деятели нашего образования объявляют, что образов
ный стандарт — это минимальный уровень, на котором в
е
д
ё
т
с
я
ние в школе. По окончанию каждого класса ученик должен
с
т
в
о
в
а
т
ь соответствующему (извините!) с
т
а
н
д
а
р
т
у по каждому пред
И так вплоть до окончания школы. Здесь эталоном должен быть
стандарт.
Существуют и теоретики, обосновывающие этот минималистский
ход к образовательным стандартам. Как, например, было раньш
в
о
р
я
т они. Мы имели представление о высшем балле, пятёрке,
ходя из неё посредством вычитания получали ч
е
т
в
ё
р
к
у и дал
ку. Теперь же мы разрабатываем минимальный уровень, он же
дарт,— тройку и, о
т
т
а
л
к
и
в
а
я
с
ь от него, с помощью операции с
п
о
л
у
ч
а
е
м ч
е
т
в
ё
р
к
у и затем пятёрку. Правда, как показывает о
с
л
е
д
н
и
х лет, никак от этой самой тройки мы не можем о
т
и начинаем расщеплять её на собственно тройку, ч
е
т
в
ё
р
к
у и
по совсем уж неуловимым признакам. В к
а
ч
е
с
т
в
е т
е
о
р
е
т
и
ч
е
с
к
о
г
о
нования выдвигается также забота о нравственном здоровье тр
ка. Оказывается, раньше мы ставили ему незаслуженную тройку
о
с
о
з
н
а
в
а
я это, испытывал адские муки совести. Теперь же на
что ты знаешь, он может ч
и
с
т
о
с
е
р
д
е
ч
н
о ответить, что ничего
и получить уже заслуженную тройку. Вспоминается совет экзамен
«Не смотрите пристально на студента, когда он г
о
т
о
в
и
т
с
я к
ну, ведь тот может подумать, что вы п
о
д
о
з
р
е
в
а
е
т
е его в с
и обидится».
Удивительное понимание столь странное понимание (опять из
те) понятия «стандарт» находит в среде нашей демократической
лигенции. Вот уже известный телеведущий, собрав в своей про
небольшую, как теперь принято говорить, «тусовку» из реформат
м
о
д
е
р
н
и
з
а
т
о
р
о
в от образования во главе с министром, согласно
головой, дескать, ясно, стандарт — это минимальный уровень. Ко
выгодно такое «минимальное» понимание образовательных стандарт
внушаемое, виноват, уже внушённое обществу? Да многим.

118 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Во-первых, это очень удобно и выгодно многочисленным с
листам, этот самый стандарт разрабатывающим. Возьмём, напр
школьную математику. Более 15 лет тому назад в системе РА
сийская академия образования), называвшейся тогда АПН (Акад
п
е
д
а
г
о
г
и
ч
е
с
к
и
х наук, ещё Союзная) были разработаны Обязател
р
е
з
у
л
ь
т
а
т
ы обучения, всё тот же минимальный уровень требова
математике. Эти Обязательные р
е
з
у
л
ь
т
а
т
ы под разными соусами
лагались (продавались!) государству. Нынче они уже претендуют
образовательных стандартов. Но самое смешное здесь то, что о
же стандарты предлагаются уже различными коллективами. Одни
отпочковались от исходной группы. Другие перехватили старую
Третьи дошли своим умом, благо идея уж больно примитивна
Разрабатываются региональные стандарты: московские, с
в
и
н
о
г
о
р
с
к
и прочие. Все объявляют себя авторами идеологии, р
а
з
р
а
б
о
т
ч
этих стандартов, вызывая праведный гнев специалистов из РАО.
пытаются продать свою дурно пахнущую продукцию, поскольку
дарство неплохо платит и постоянно забывает, что однажды уж
этот продукт. Но это понятно, ведь от имени г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
а
покупателей и продавцов выступают одни и те же люди.
Кроме того, по моему мнению, специалисты, разрабатывающие
мальный стандарт, по своему профессиональному уровню с
о
о
т
в
е
т
с
именно этому минимальному стандарту. Но не более. Так что он
ют в школу как раз то, что сами не без труда освоили, допус
на минимальном уровне. При этом д
о
с
т
и
г
а
е
т
с
я ещё один немало
эффект. С помощью подобного занижения образовательной планки
системы образования вытесняются подлинные профессионалы, нес
собные выдержать подобной конкуренции снизу. Серьёзная л
и
т
е
р
не может конкурировать с порнографией. Всякая попытка хоть
приподнять уровень обучения в
с
т
р
е
ч
а
е
т негодующие возгласы типа
не знаете уровень сегодняшних школьников, сегодняшних учителе
С одной стороны, это правда, многие учителя не очень хорош
предметом (кстати, именно они и образуют группу поддержки дл
логов минимального уровня), да и ученики с трудом осваивают
изучаемого предмета. Но ведь, чтобы н
и
з
в
е
с
т
и учителей и учен
нынешнего состояния, немало усилий приложили авторы учебников
дущие методисты, способные превратить в учебную к
а
т
о
р
г
у самый
ресный предмет (например, математику). Да и нищенское существо
у
ч
и
т
е
л
ь
с
к
о
г
о сословия вовсе не с
п
о
с
о
б
с
т
в
у
е
т повышению квалифик
А с другой стороны, это вовсе и неправда. Среди учителей
прекрасных специалистов, разбирающихся в предмете лучше предс
телей п
е
д
а
г
о
г
и
ч
е
с
к
о
й науки и некоторых авторов учебников. Да

Нестандартный стандарт •

119

у
ч
е
н
и
к
о
в ещё встречаются талантливые ребята, способные против
ять оглупляющему обучению. Однако вся наща п
е
д
а
г
о
г
и
к
а и м
о
р
и
е
н
т
и
р
у
е
т
с
я на троечников и даже двоечников.
Кроме того (это во-вторых), понимание образовательных станд
как минимального уровня образования удобно руководящим работ
системы образования и чиновникам, выступающим от имени госуд
Они заявляют, что г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
о берёт на себя обязанность г
а
р
а
н
каждому ученику бесплатное обучение на уровне стандарта. За
высокий уровень придётся платить. И это понятно, на то он ры
Рынок образовательных услуг вместо системы образования. Но ту
н
и
к
а
е
т странность.
Кстати, вы ещё не забыли про картошку? Вы будете ещё
трясены, когда узнаете, что этот картофель выведен и выращива
специальному заказу. И стоит он огромных денег заказчику. А пр
намного ниже себестоимости. (Ау! Рынок!) Более того, выращивать
мальную картошку не то чтобы запрещают, но не рекомендуют
п
о
т
р
е
б
и
т
е
л
я нет) и не платят за неё ни гроша. А как же та
полке? «Так это же бутафория!» — догадываетесь вы. Вот теперь
г
и
я с образованием стала более полной. На р
а
з
р
а
б
о
т
к
у образова
с
т
а
н
д
а
р
т
о
в т
р
а
т
я
т
с
я огромные деньги. Говорят (вынужден п
о
л
ь
з
о
в
слухами ввиду н
е
д
о
с
т
у
п
н
о
с
т
и для меня официальной информации
с
о
з
д
а
н специальный ВНИК по разработке образовательных станда
Напомню. ВНИК (Временный научно-исследовательский коллек­
тив) — изобретение времён с
о
в
е
т
с
к
о
й власти. Создаётся этот
к
о
л
л
е
к
т
и
в якобы для решения некой проблемы. На самом деле ег
«срубить бабки» (извините за жаргон) и разбежаться. Поначалу
ВНИКи были достаточно безобидны. Просто небольшой прираб
для не очень богатых учёных. До предела идея ВНИКа было
в системе образования.
В самом начале новейшей российской истории (в районе 1990
был создан ВНИК под руководством Э. Д. Днепрова. Сейчас ни
и не упомнит толком, для решения каких таких важных проб
к
о
л
л
е
к
т
и
в собрался. Важны результаты. Израсходованы (разворова
огромные средства. К власти в образовании (и в стране), в м
с
т
в
о и в РАО, пришла новая команда из бывших «завлабов» и
сотрудников, старших и младших. Сам Днепров стал и министром
демиком. Началось обвальное разрушение образования.
И вот, по прошествии немногим более 10 лет, мы наблюдае
вое пришествие ВНИКа во главе с Э.Днепровым. Правда, на
он делит бремя р
у
к
о
в
о
д
с
т
в
а с В. Д. Шадриковым. Воистину, дв
'"а пара. Если объявить конкурс на человека, принесшего наиб

120 • И.Ф.Шарыгин о математике и не только о ней

вред российскому образованию, то указанный тандем с большим
занял бы первые два места. Для разработки новых с
т
а
н
д
а
р
т
о
Днепрова—Шадрикова (или Шадрикова—Днепрова) должен получить
то полтора миллиона, не то два миллиона долларов. Безуслов
будут получены, ведь это не бедствующие учителя, и употребле
и добавка. Это очевидно. Очевидно также (для меня), что ста
будут созданы по трём достаточным причинам.
Во-первых, не позволят первопроходцы из системы РАО, о
нутые от разработки стандартов, а заодно и от финансового
Во-вторых, в этом не заинтересованы сами разработчики. Зде
жен процесс, с окончанием которого з
а
к
а
н
ч
и
в
а
е
т
с
я и финансиро
И наконец, в-третьих, образовательные стандарты, основанные на
минимальности, невозможны в принципе. Я, правда, не знаю, во
ли образовательные стандарты вообще, но некоторые разумные п
всё же можно предложить. И главная и очевидная идея — над
батывать именно образовательную норму (условно говоря, четв
А минимальный уровень должен быть не сам по себе, а
из деталей, из которых можно собрать более сложные механ
более высоких уровнях. Школа, выпускающая исключительно тро
ков, п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т огромную общественную опасность.
Но, как говаривал последний генсек, а также первый и п
о
Президент Союза, «процесс пошёл». Ещё не разработанные, н
внедряемые в школу образовательные стандарты обойдутся налог
тельщику в копеечку. Мы получаем самый настоящий «золотой
дарт».
В общем, с образованием на уровне образовательных с
т
а
н
д
а
р
т
о
ясно. Ну а что там с элитарным или просто хорошим обра
Можно ли в сегодняшней России получить хорошее образование
рошие деньги? Убеждён, что нельзя. В тех школах, где офици
полуофициально или же совсем неофициально надо много плат
образование, хорошее образование получить нельзя. Это бутафори
образование. Платить приходится в лучшем случае за условия о
помещения, питание, оборудование и прочее, а в худшем — за
т
е
л
ь
с
т
в
о об образовании, за товарный знак. Но не за само об
И работают там не лучшие учителя. Учительство и холуйство —
щи несовместные. И всё же хорошее образование в России ещ
получить. Есть ещё такие школы, обычные и специализированн
работают хорошие учителя и где не берут денег за обучение.
не здесь. Вернёмся к стандартам.
Получается, что образовательный стандарт, навязываемый школе,
тяжёлая гиря на её шею, с которой уже невозможно будет

Нестандартный стандарт • 121

Сам термин «образовательный стандарт» — чистой воды лицемерие
ц
е
л
ь—в
в
е
с
т
и в заблуждение общество. Слово «стандарт» носит
положительный оттенок. У мужчин может даже в
о
з
н
и
к
н
у
т
ь ассоц
с таким продуктом, как водка «Русский Стандарт». А на сам
п
р
а
в
и
л
ь
н
о
й является аналогия с понятием «минимальная зарплата
минимальную зарплату жить нельзя. Человек, соответствующий обр
в
а
т
е
л
ь
н
о
м
у стандарту, необразован.
И ещё раз п
р
е
д
с
т
а
в
ь
т
е себе. Представьте себе ученика, которы
це н
е
к
о
т
о
р
о
г
о класса оказывается на уровне о
б
р
а
з
о
в
а
т
е
л
ь
н
о
г
о ста
После летних каникул он возвращается в школу отдохнувшим,
н
е
м
н
о
г
о ниже этого с
т
а
н
д
а
р
т
н
о
г
о минимального уровня. И так дал
выпуске мы имеем... Имеем то, что имеем.
В начале июня этого года, когда телевидение ведёт непремен
редачи, посвященные выпускникам средней школы, один выпускник
к
р
о
в
е
н
н
о сказал передтелекамерой, что мечтает написать сочине
«Мёртвым душам» Горького. Это не ускользнуло от бдительного
о
б
о
з
р
е
в
а
т
е
л
я «Новой газеты». А чего, собственно, насмехаться?
в полном с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
и с образовательным стандартом. Мы прибл
емся к вожделенному уровню мировых стандартов, ведь в Амер
«Мёртвых душ», ни Г
о
р
ь
к
о
г
о в школе и вовсе нет.
Но вот в той же г
а
з
е
т
е в номере от 17 июня можно про
дующее: «...никогда ещё рейтинг Рахимова в самой республике
т
а
к низок — его фактически не поддерживают до 70% населения
р
у
с
с
к
и
х и 3 0 % татар)». (И татары, и проценты впечатляют.) Эта
уже посильнее, чем «Фауст» Гоголя, будет.

о реформе образования,
коррупции и геометрии

Однажды Феде п
о
н
а
д
о
б
и
л
о
с
ьп
о
с
т
р
о
и
т
ь
10 р
а
в
н
ы
х углов, да побыстрее. Что вы
п
о
с
о
в
е
т
у
е
т
е
?
Вернер

А.Л.,

Рыжик. В. И., Ходот Т. Г. Геометрия 7.
М:. Просвещение,
1999. С. 88. Задача 8

П
а
р
а
л
л
е
л
ь
н
ы
е линии не п
е
р
е
с
е
к
а
ю
т
с
я
Доказано Евклидом.
Из телевизионной

рекламы

техники

«Занусси»

Утверждение, что система российского образования, как и всё
оставшееся от советской власти, нуждается в серьёзном реформиро
объявляется сегодня аксиомой, а аксиомы, как известно, не
ваются. Вот наши руководители и их советники и не утружд
доказательствами. «Вы, конечно, понимаете, что наше среднее и и
разование необходимо реформировать», — говорят нам. И мы смущ
бормочем: «Да, конечно, понимаем, но...»
А вот я не понимаю, зачем в России надо реформировать
образование и, в частности, его математическую часть. Более то
цессы, происходящие сегодня в школьном образовании, — это во
реформы, а разрушение. Что же к
а
с
а
е
т
с
я конкретно школьного
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования России, то здесь можно сказать, что про
разрушение одного из значимых научно-культурных достижений че
ч
е
с
т
в
а XX столетия, и оно может иметь самые печальные последс
земной цивилизации. Кстати, я не с
о
г
л
а
с
е
н и с тем, что советск
тарное образование было таким уж плохим. За уродливой и
д
е
о
л
о
г
обёрткой пряталось хорошо образованное, культурное общество.
час как раз наоборот. Яркая п
р
и
в
л
е
к
а
т
е
л
ь
н
а
я обёртка скрывае
абсолютно отвратительное. И если что и нужно сегодня образо
так это несколько лет с
т
а
б
и
л
ь
н
о
с
т
и—с
т
а
б
и
л
ь
н
о
с
т
и учебных про
планов и учебников. Стабильного, а попросту соответствующего з

о

реформе образования, коррупции и геометрии • 123

н
а
н
с
и
р
о
в
а
н
и
я и достойного вознаграждения за труд учителя. И
их радикальных реформ. Но реформы уже запущены.
^ Какова же истинная цель реформ нашего образования? Нам
адо с
д
е
л
а
т
ь наше образование таким, как в других, при э
самоуничижительно добавляют, цивилизованных, странах. Во-первы
непонятно, какую из указанных стран следует взять за образец
образования, скажем, во Франции и Германии отличаются з
н
а
ч
и
т
О Японии и говорить нечего. Что же к
а
с
а
е
т
с
я «самой ц
и
в
и
л
и
з
о
(так считают наши руководители) страны, США, то у неё, по мн
г
и
х экспертов, едва ли не худшая в мире система среднего о
(Это, впрочем, не мешает системе американского образования в
быть лучшей в мире, поскольку в неё и
н
т
е
г
р
и
р
о
в
а
н весь м
ч
и
с
л
е и Россия.) И во-вторых, целью реформ не может быть п
о
любым, даже самым лучшим, образцам. И уж тем более целью р
м
о
г
у
т быть ни переход на д
в
е
н
а
д
ц
а
т
и
л
е
т
н
е
е обучение, ни введени
экзамена, ни всеобщее тестирование школьников. Это всё с
р
в лучшем случае — стратегия. И для того чтобы обосновать,
средства, эта с
т
р
а
т
е
г
и
я хороши, а тем более оптимальны, н
е
о
ч
ё
т
к
о сформулировать цели образования, обосновать, что н
ы
н
е
школа этим целям не с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т и, значит, её необходимо ре
вать. После этого сформулировать цели этог
о реформирования и
з
а
т
е
м определить стратегию и тактику реформ. Это азбука такой
дисциплины, как системный анализ, с которой, похоже, плохо з
н
р
у
к
о
в
о
д
и
т
е
л
и нашего образования, и консультирующие их специали

К прописным правилам, которыми надо р
у
к
о
в
о
д
с
т
в
о
в
а
т
ь
с
я при п
д
е
н
и
и реформ, относится и необходимость просчёта всех возможн
с
л
е
д
с
т
в
и
й предлагаемых преобразований, как положительных, так и
бенно, отрицательных. Наши реформаторы так и не научились
д
е
л
а
т
ь и всякий раз удивляются: «Ах! Мы этого не предусмотре
в
а
у
ч
е
р
ы будут продавать за бутылку). И всякий раз после о
ч
п
р
е
о
б
р
а
з
о
в
а
н
и
й ухудшается как раз тот показатель, ради к
о
т
о
р
о
п
р
е
о
б
р
а
з
о
в
а
н
и
я делались: р
а
с
т
ё
т чиновный аппарат, коррупция, у
шается здоровье людей и жизненный уровень населения. И в
с
я
к
выигрывают сами реформаторы.
Итак, необходимость реформ, а тем более кардинальных, с
и
с
о
б
р
а
з
о
в
а
н
и
я в России нигде и никем не обоснована. Забавно так
П
р
о
в
о
д
и
т
ь эти реформы поручено двум ведомствам — Министерству
р
а
з
о
в
а
н
и
я и Академии образования, которые сами нуждаются в г
л
реформировании, поскольку никак не изменились, включая п
е
р
с
о
н
а
ный состав, с самых давних времён. Реформирована должна быт
система управления образованием, система финансирования.

124 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

В цепочке от министерства к школе слишком много п
а
р
а
з
и
т
элементов, пожирающих и так скудные средства, в ы д е л е 1 ш ы е на о
вание, да и направление движения этих средств следовало бы
Те аргументы в поддержку трёх основных линий реформировани
надцатилетка, единый экзамен, тестирование), которые з
в
у
ч
а
т от
в печати, с трибун и с экранов телевидения, не только не
какого отношения к сути дела, но и не выдерживают никако
как аргументы, а иногда даже содержат просто неверные утве
В лучшем случае можно предположить, что руководство страны п
с помощью реформ образования решить имеющиеся и грядущие
социальные проблемы. Это очень опасный путь: борьба в
е
д
ё
т
с
я
лезнью, а с симптомами.
Возможно, есть и иные тайные причины, о которых открыто
рят, и нам приходится п
о
л
ь
з
о
в
а
т
ь
с
я слухами или строить предпо
Так, говорят в кулуарах, переход на д
в
е
н
а
д
ц
а
т
и
л
е
т
н
е
е обучени
держивается военным ведомством. Наше высшее военное р
у
к
о
в
о
обеспокоено уменьшением числа призывников. Утверждают также
в ближайшем будущем нас ждёт демографическая яма (я лично
расчётов относительно глубины этой ямы нигде не встречал), в р
армия может п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и лишиться нового призыва. Поэтому с
продержать юношу лишний год в школе и прямо со школьно
забрать в армию. (Кстати, кто сказал, что вследствие перехода
дцатилетнее обучение в
о
з
р
а
с
т
ё
т возраст выпускников?)
Если такие планы и имеют место, то можно сказать, что
зация даст прямо противоположный эффект. Наиболее талантливые
начнут в массовом порядке уезжать за рубеж. Погибнет и арм
ука. Возможно, осознавая это, руководители министерства образов
предлагают з
н
а
ч
и
т
е
л
ь
н
о
е сокращение программ по математике, фи
и литературе. Это в самом деле может уменьшить волну юн
эмиграции — недоучек на Западе х
в
а
т
а
е
т и своих. Но армия
а точнее, наука и потом армия погибнут всё равно: необразованн
сегодня не может быть полноценным солдатом, без хорошо р
науки невозможна современная армия. Воистину, лучшим средств
насморка является гильотина.
Существует также версия, разделяемая многими компетентными л
ми, что определённые круги на Западе, победившие в холодной
чтобы сделать эту победу окончательной, ставят сегодня в к
а
ч
е
новной с
т
р
а
т
е
г
и
ч
е
с
к
о
й задачи разрушение системы образования Ро
Не следует забывать и об и
з
в
е
с
т
н
о
й теории «золотого милл
Согласно этой теории, ресурсы земного шара не могут обеспеч
сокий жизненный уровень для всех жителей земли. Поэтому не

о реформе образования, коррупции и г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

страны должны выполнять обслуживающую роль по отношению к
нам, жители которых образуют золотой миллиард. Обеспечить н
порядок должны помочь местные элиты, которые за небольшие
но с большим энтузиазмом будут выполнять грязную работу.
Что к
а
с
а
е
т
с
я конкретно России, то полезно лишить её такого
шего с
т
р
а
т
е
г
и
ч
е
с
к
о
г
о ресурса, как образование. Российское образо
до сих пор востребовано на внешнем рынке, о
б
р
а
з
о
в
а
н
н
а
я Рос
неисчерпаемыми природными ресурсами — соперник не просто опа
но непобедимый.
Именно в этом ракурсе нужно рассматривать кредит, выдел
Всемирным банком и энергично расходуемый неким фондом, на
к
о
т
о
р
о
г
о «Национальный фонд по подготовке кадров» плохо ассо
е
т
с
я с проблемами образования. Все известные мне акции это
д
о
с
т
а
т
о
ч
н
о хорошо подтверждают эту версию. Кстати, первая
в эпиграфе взята из учебного пособия для 7 класса, о котором
написано: «Победитель конкурса по созданию учебников нового п
ния для средней школы, проводимого Национальным фондом п
о
д
г
кадров и Министерством образования России». (Непонятно, конк
учебных пособий или учебников или конкурса по созданию оных;
п
р
о
в
е
д
ё
н или всё ещё проводится? Кто там во Всемирном б
Национальном фонде решил, что нам позарез нужны учебники нов
коления? Вообще этот конкурс — сплошная загадка.) Говорят так
р
а
з
р
а
б
о
т
ч
и
к
и проектов реформ нашего образования получают соли
гонорары от упомянутого Национального фонда в
е
р
н
е
е от Всем
банка через этот фонд.
Учёные, как правило, в к
а
ч
е
с
т
в
е наиболее д
о
с
т
о
в
е
р
н
о
й гипоте
бирают ту, которая даёт разумное объяснение рассматриваемым я
ям, даже если эта г
и
п
о
т
е
з
а на первый взгляд выглядит безумн
предположить, что истинной целью предлагаемых в системе образо
реформ является её разрушение, то многие действия наших р
у
к
о
в
о
будут выглядеть вполне логичными. Впрочем, виноват, разрушение
также средство или стратегия. Почему это выгодно определённым
на Западе, понятно. Ну а нашим реформаторам з
а
ч
е
м это нужно
не упустить кредит, выделенный на конкретные мероприятия? Так н
кусок, на всех не хватит.
Сделаю ещё два предположения, носящиеся в воздухе. Идейные
ронники реформ в образовании главной своей целью с
т
а
в
я
т изм
Менталитета русского народа. Такие заявления я сам ч
и
т
а
л в газет
геноцид в чистом виде. Здесь следует заметить, что у любой сис
характеристики, которые в принципе не подлежат изменению, и
попытка их изменить может привести к уничтожению самой си

126 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

При ЭТОМ сами эти х
а
р
а
к
т
е
р
и
с
т
и
к
и могут быть не так уж и
Простейший пример: нельзя России перейти на левостороннее дви
не уничтожив наш автопарк и не потеряв много жизней.
Второе предположение. Рыночники и прагматики видят в образ
огромный лакомый кусок, тут и движимость и недвижимость, земл
ра, люди и интеллект, неограниченные возможности для «пиара»
цвета. И этот кусок о
с
т
а
ё
т
с
я неприватизированным или почти неп
зированным. Чем, рискуя жизнью, заниматься переделом собственн
лучше осваивать новые плодородные земли. А для начала заявит
земли истощены, обесценены и их надо перепахать. Старая схем
чала обанкротить, а затем п
р
и
в
а
т
и
з
и
р
о
в
а
т
ь — может сработать е
В числе других предложений в проекте реформ есть одно, н
взгляд, не очень существенное: учебные заведения (учреждения)
именовать в учебные организации. На деле же это означает сме
собственности. В системе образования начнут плодиться многочисл
акционерные общества с очень ограниченной ответственностью, а
Министерство образования п
р
е
в
р
а
т
и
т
с
я в очередного монстра-мон
листа. Что-то вроде РАО ЕС (Российское акционированное образо
Единая система), а руководящие работники министерства в одн
станут крупными собственниками. Всё это предположения, и я
огорчён, если они не сбудутся. Правда, практика показывает,
с
т
в
и
т
е
л
ь
н
о
с
т
ь часто оказывается хуже любых предсказаний.
В течение последних 30 лет наше среднее образование, особен
математическая часть, находится в состоянии постоянного рефор
вания. Первые реформы в 70-е годы были инициированы выдаю
советским математиком А. Н. Колмогоровым. По моему глубокому
дению, никаких серьёзных причин для этих реформ не было
ма с
о
в
е
т
с
к
о
г
о образования действовала неплохо, а математическ
и вовсе считалось лучшим в мире. Лёгкие признаки недомоган
специалистов были заметны, но они совсем не требовали с
е
р
х
и
р
у
р
г
и
ч
е
с
к
о
г
о вмешательства, каким стали реформы Колмогорова
и сама операция была проведена без должной анестезии, и
осложнения. Следует всё же признать, что проводили колмогор
реформы почти бескорыстные энтузиасты, удовлетворившиеся, в ос
ном, научными званиями.
В начале 1990-х годов начался новый этап реформ средней
Реформаторы днепровской волны, или, если угодно, розлива, оказ
более прагматичными. Был создан специальный ВНИК (Времен
научно-исследовательский коллектив). Сколько было израсходовано
средств на его содержание, является тайной и по сей день. В
дители ВНИКа получили академические звания и различные долж

о реформе образования, коррупции и г
е
о
м
е
т
р
и
и •

Забавно, что, начав с обвинений в адрес загнивающей АПН (А
п
е
д
а
г
о
г
и
ч
е
с
к
и
х наук), руководители ВНИКа с удовольствием стали
нами РАО (Российской академии образования), повторив подвиг
т
е
л
л
и
г
е
н
т
о
в прошлых лет, вступавших в Коммунистическую пар
ч
т
о
б
ы разрушать её изнутри или ради чего-то ещё более бла
Кое-чего они всё же добились: сохранив с
т
р
у
к
т
у
р
у и идеологи
п
е
р
е
и
м
е
н
о
в
а
л
и в РАО. (Аббревиатура выглядит вполне современ
Это только кажется, что переименовать очень просто. Одна
а
н
т
и
к
о
м
м
у
н
и
с
т
и
ч
е
с
к
а
я г
а
з
е
т
а до сих пор не может и
з
б
а
в
и
т
ь
с
я о
н
и
с
т
и
ч
е
с
к
о
г
о названия. Боятся потерять прибыль?
Сейчас р
а
с
к
р
у
ч
и
в
а
е
т
с
я новый этап реформ в образовании, и,
он с
т
а
н
е
т самым жёстким. К пирогу рвутся силы, совсем не
с образованием. Кстати, стихийная приватизация в системе образ
школьного и вузовского, причём не в
с
е
г
д
а законная и на уров
т
о
р
о
в школ и ректоров вузов, уже вовсю идёт.
Но не буду строить дальше предположения, а обращусь к ч
сказываемым утверждениям, которым отводят с
т
а
т
у
с аргументов.
рят, что чуть ли не во всём мире имеет место д
в
е
н
а
д
ц
а
т
и
л
е
т
н
в школе. Но это утверждение и неверно и бессмысленно. Пон
о
б
у
ч
е
н
и
е с пяти до семнадцати лет — это не то же самое,
и до восемнадцати, а тем более с семи до девятнадцати. А д
л
е
т
н
е
е обучение имеет место вовсе не во всём мире. Во мно
с
у
щ
е
с
т
в
у
е
т некоторый промежуточный этап, который с равной о
ванностью можно о
т
н
е
с
т
и как к средней, так и к высшей шко
Очень любят сторонники реформ доводы типа: ни в одной
мира нет такого, как в России, в
с
т
у
п
и
т
е
л
ь
н
о
г
о экзамена или че
Утверждение это абсолютно верно ввиду своей банальности. Он
н
е
т
с
я верным, если вместо России мы подставим любую другую
мира. Кстати, ни в одной стране мира нет такого, как в Рос
Может, и его надо реформировать? Да и по-русски в школе
(пока) только в России.
Предлагается ввести в России единый экзамен для поступ
в высшие учебные заведения и, более того, проводить его
теста. Ссылки на мировой опыт тут уже совсем не проходят
что в Латвии (и, кажется, в Болгарии) есть такой экзамен. В
он есть где-то ещё, я не знаю. Но нелепо нам ссылаться
•Латвии, в которой общее число с
т
у
д
е
н
т
о
в не превышает числа
в Московском университете. И кроме того, в России, раскинувше
д
е
с
я
т
и часовых поясах, при современных информационных т
е
х
н
о
л
о
единый экзамен невозможен в принципе. Да и вообще, единый
Невозможен в принципе нигде (даже в Латвии).

128 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Единый экзамен — это не только общий вариант, но это
условия его написания и проверки. Даже экзамены, проходящие
них аудиториях, могут сильно отличаться. Само по себе поняти
экзамен» бессмысленно — нужны чёткие определения. В некоторых
нах единый экзамен (по математике) проводится по пяти напра
и на пяти уровнях, да ещё в течение нескольких дней, да
альными комиссиями. И по сравнению с таким единым экзамен
экзамена в течение одного лета (что вызывает явно поддельн
щение реформаторского лобби) — лёгкая прогулка. За единый э
выдвигаются порой просто смехотворные доводы: ведь мы же в
единого президента путём единого голосования, почему бы нам
и единый экзамен. Бред, да и только.
Но ведь именно против бредовых аргументов труднее всего во
Некоторые политики это хорошо усвоили. Кстати, а вообще, зач
мен, пусть даже единый? Ведь мы учили ребёнка десять, прост
надцать, т. е. двенадцать лет. И великолепно знаем, что он зн
вообще отменить экзамены, и тогда ученики-спортсмены не станут
в обмороки от умственного переутомления. (Точно не помню,
было школьных выпускных экзаменов в 1953 году (от пяти до
точно помню, что при поступлении в МГУ мы сдавали семь
Особым здоровьем наше поколение не отличалось — детские год
шлись на войну, но жалоб на п
е
р
е
г
р
у
з
к
и не было.)
Причины встречающихся в школе п
е
р
е
г
р
у
з
о
к — не от избыт
объёма содержания по основным образовательным предметам, а
неверных методик, разработанных всё той же РАО. Кроме того
дняшней школе появилось много п
а
р
а
з
и
т
и
ч
е
с
к
и
х предметов, отнима
учебное время и не вносящих никакого вклада в образование.
Единый экзамен, да ещё проводимый в форме теста с выбор
может стать вполне эффективным средством уничтожения р
о
с
с
и
й
образования и науки, которые, несмотря ни на что, проявляют
живучести. О н
е
д
о
с
т
а
т
к
а
хт
е
с
т
о
в
о
г
о экзамена много писали и го
Не буду повторять о
ч
е
в
и
д
н
о
с
т
и и прописи. В настоящее время
в стране, являющейся, по сути, родиной тестовых технологий, где
настоящая т
е
с
т
о
в
а
я индустрия, которая по объёму вложенных сре
уступает автомобилестроению, а по доходности, пожалуй, и превос
в самых популярных изданиях можно увидеть статьи, весьма ре
тикующие тестовые компании. Многие авторитетные специалисты в
стве одной из важнейших причин низкого уровня американского
образования называют именно массовое использование тестов.
Хочу о
с
т
а
н
о
в
и
т
ь
с
я на одном аргументе, который регулярно пр
сторонники единого экзамена и тестов. Они утверждают, что с

о реформе образования, коррупции и г
е
о
м
е
т
р
и
и •

ЭТИХ инструментов можно бороться с коррупцией в нашем образо
п
р
и
ч
ё
м на очень небольшом и вполне конкретном участке — при
лении в высшие учебные заведения. Какое лицемерие! Кому-то
п
о
к
о
я доходы, получаемые репетиторами. Г
а
з
е
т
ы пишут про гонор
в 100 долларов за час. (Олигархи, идите в репетиторы!) Журна
б
е
з
о всяких демократических процедур объявившие себя власт
говорят о размерах гонораров за заказные с
т
а
т
ь
и и репортажи,
без особых усилий можно обнаружить в любой г
а
з
е
т
е или
телеканале, но намекают на какие-то фантастические взятки, к
вымогают приёмные комиссии с абитуриентов и их родителе
этом они проявляют небывалую деликатность в отношении некот
п
а
р
л
а
м
е
н
т
с
к
и
х лидеров, получающих за свои заокеанские лекции
рары, многократно превышающие гонорары, положенные нобелевск
лауреатам. Это не взятки? Это не коррупция?
Было бы, конечно, нелепо говорить, что в системе высших уч
ведений, причём на таком важнейшем этапе, как поступление в
всё абсолютно честно и коррупция отсутствует. Везде есть, а
нет. Но забавно, что под прицел журналистов большею частью по
далеко не самые коррумпированные вузы. Например, МГУ. К сло
заметить, несколько противореча предыдущему, что благодаря МГ
имеем некоторый опыт по проведению единого экзамена. Нескольк
н
а
з
а
д многие вузы охотно принимали абитуриентов, сдававших эк
в МГУ, но не прошедших по конкурсу. Столь велик был ав
МГУ и к
а
ч
е
с
т
в
о в
с
т
у
п
и
т
е
л
ь
н
о
г
о экзамена в университет. Я дум
ис
е
г
о
д
н
я иным вузам следовало бы поступить так же. Качеств
т
о
л
ь
к
о улучшится.
Говоря о коррупции при поступлении в вузы, журналисты по
не замечают другие явные признаки коррупции в системе образ
Вот, например, интересная, но опасная тема: школьные учебники.
з
д
е
с
ь столь огромные, что известны случаи заказных убийств
связанных с изданием учебников. Полезно з
а
г
л
я
н
у
т
ь и в закоу
н в кабинеты Министерства образования и иных учреждений, не
ли там коррупция, а может даже и не прячется.
Или всё тот же Национальный фонд п
о
д
г
о
т
о
в
к
и кадров. Позво
п
р
о
ц
и
т
и
р
о
в
а
т
ь слова Г.Сатарова из интервью «Новой газете» (№61
Ноября 2000 г.): «Как только в законе п
р
е
д
л
а
г
а
е
т
с
я создать как
специализированный внебюджетный фонд— всё, можете п о д 1 т м а т ь зна
мя, на котором крупными буквами написано: здесь будет коррупц
и сама возможность разрабатывать и проводить реформы образо
На что выделены и уже расходуются значительные средства, созда
полнительные условия для коррупции.
5-1356

130 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Очень любят чиновники от образования также различные ч
структуры, точнее, некоторые из них. Так, например, некое ЗА
разование для всех», состоящее из двух мало кому известных
п
о
л
ь
з
у
е
т
с
я давним и открытым покровительством со стороны сраз
крупных ведомств — Московского департамента образования и М
с
т
е
р
с
т
в
а образования — и регулярно получает от них весьма от
ные и выгодные заказы. В настоящий момент это ЗАО по п
высшего руководства Министерства образования занимается разра
кой нового содержания школьного образования. Надо о
т
д
а
т
ь д
м
а
с
т
е
р
с
т
в
у разработчиков этого нового содержания. Если судить
екту, они смогли придумать такое содержание, при котором в п
оказываются абсолютно все предметы.
Милый и наивный Остап Ибрагимович! Создав свою контору
и копыта», он зачем-то стал собирать досье на честнейшего
Какие возможности он упустил! Он мог бы, например, з
а
н
я
т
ь
с
я
гораздо более прибыльным и спокойным бизнесом, виноват, дело
неса в то время ещё не было), как снабжение продовольствие
садов и школ...
Предлагая для борьбы с коррупцией при поступлении в вузы
экзамен в виде теста, руководители нашего образования как раз
вают, что они вовсе не собираются с этой коррупцией бороть
делиться», — говорят они работникам вузов. Ведь когда потенци
преступники локализованы на узком участке во времени и п
р
о
с
т
и разделены по виду д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
и (приёмные комиссии, экзамена
репетиторы), их очень легко выявить и разоблачить. Труднее в
роться с мелкой уличной преступностью и с крупной организова
Введение единого в
с
т
у
п
и
т
е
л
ь
н
о
г
о экзамена в тестовой форме
бежно приведёт к значительному усилению коррупции при посту
в высшие учебные заведения. Новые возможности появятся, с од
роны, у школ (уличная преступность), а с другой — у руководящ
низаций, вплоть до министерства (организованная преступность). И
но не беспокоиться, эти возможности будут полностью использ
Число поборов на пути от школы в вуз значительно выраст
ривузовские же коррупционеры, если таковые были, никуда не
и смогут начать работать уже с первой сессии, а то и с пер
дня, громогласно и справедливо возмущаясь п
о
д
г
о
т
о
в
к
о
й вновь при
студентов.
После обычного письменного экзамена о
с
т
а
ё
т
с
я документ, кот
может быть п
о
д
в
е
р
г
н
у
т графической и иной экспертизе. После т
е
экзамена о
с
т
а
ё
т
с
я бланк с крестиками, который мог быть запол
угодно, когда угодно и где угодно. Общеизвестно, что выпускн

о реформе образования, коррупции и г
е
о
м
е
т
р
и
и •

российской школе — это массовая фальсификация, на ко
м
и
н
и
с
т
е
р
с
т
в
о и школы идут абсолютно сознательно. К этому с
ешё добавить неискоренимую с
т
р
а
с
т
ь к списыванию, являющуюс
р
а
к
т
е
р
н
о
й чертой русской национальной школы с незапамятных в
Р1ри т
е
с
т
о
в
о
й форме экзамена возможности и для фальсификаци
списывания просто неограниченные.
Возникает естественный вопрос: а как же в Америке? Оказы
в Америке, стране, которую вряд ли можно принять за обра
ственности, тем не менее в школах практически полностью о
т
с
списывание, учитель никак не вмешивается в процесс выполнени
своими учениками. Это явление хорошо с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т основной
нальной черте американцев — индивидуализму.
Можно вполне определённо утверждать, что после проведения
н
о
г
о по стране в
с
т
у
п
и
т
е
л
ь
н
о
г
о экзамена в тестовой форме в с
стижные вузы страны хлынет поток абитуриентов, которые предо
в приёмные комиссии документы с самыми высокими баллами. Д
ёмной комиссии, склонной к коррупции, лучшей ситуации и в
нельзя. Можно принять кого угодно и никакой ответственности.
Введение тестовой системы оценки знания создаст ещё один
неса, а с ним и ещё одну разновидность коррупции, с котор
с
т
о
л
к
н
у
л
и
с
ь США. В последнее время, по с
в
и
д
е
т
е
л
ь
с
т
в
у таких га
«Нью-Йорк тайме», «Лос-Анжелес тайме» и других, в США прои
ц
е
л
а
я серия скандалов, связанная с ошибками при и
т
о
г
о
в
о
м тести
школьников. По мнению экспертов, тестовые компании из-за нев
методик занизили оценки одних школьников, отправив их в летни
для дополнительной подготовки, и завысили оценки других, незасл
п
е
р
е
в
е
д
я их в следующий класс. Но благодаря финансовым в
ностям тестовых компаний (например, компания, создавшая школ
т
е
с
т
ы для Нью-Йорка, получила в 1999 году 3,3 миллиона дол
далеко не все подобные случаи стали достоянием гласности. То,
видны признаки коррупции, очевидно, а то, что такая коррупци
Же р
а
з
о
в
ь
ё
т
с
я в России, очевидно вдвойне. Можно п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
ь
к
а
к
а
я борьба р
а
з
в
е
р
н
ё
т
с
я у нас за монопольное право (единый
по определению п
р
е
д
п
о
л
а
г
а
е
т монополию) проводить единый экзам
право проводить общероссийское тестирование.
Кстати, забавно, что некоторые ректоры выступают против е
экзамена, но за тестирование. Причина очевидна, они хотят со
в своих руках такой полезный во всех смыслах инструмент, ка
тельные экзамены, но и
з
б
а
в
и
т
ь
с
я при этом с помощью тестов
фессионалов-предметников, математиков или специалистов по русск
языку, которые могут поставить неверную оценку нужному абитур
1иены В

132 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Короче говоря, единый экзамен и всеобщее тестирование подниму
рупцию в системе образования на такую высоту, что с ней про
будет бороться.
И в заключение я опять хочу в
е
р
н
у
т
ь
с
я к эпиграфу. Две
две стороны одной медали. В новых учебных планах, предлагаем
нистерством, о
т
с
у
т
с
т
в
у
е
т геометрия. Противники геометрии могут
ещё немало цитат из указанного в эпиграфе пособия (а вско
пособия для 8 и 9 классов) для оправдания свой позиции. Сле
очевидным шагом должно быть исключение из программ всей м
а
т
и физики. Так что производителям техники «Занусси» придётся от
ся от своей рекламы, но не потому, что обыватель-рекламоглотате
поймёт, что параллельные не пересекаются не из-за происков Е
а, как говорят математики, по определению. Просто слова «пара
ные», «доказано», «Евклид» потеряют для обывателя, а с
л
е
д
о
в
а
т
е
и для рекламодателя, какой-либо смысл... А Федю жалко!

Рассуждения о концепции школьной
геометрии

Не в том с
у
т
ь жизни, ч
т
ов н
е
й
но в в
е
р
е в то, что в ней долж
Иосиф Бродский

Концепция любого учебного предмета должна о
т
в
е
ч
а
т
ь на т
проса: Зачем (нужна геометрия)? Какая (нужна геометрия)? Как (н
п
р
е
п
о
д
а
в
а
т
ь геометрию)? Соответственно этим трём вопросам мы и
три части.
1.

Цели обучения

В последнее время в различных г
а
з
е
т
а
х и журналах, в р
т
е
л
е
в
и
з
и
о
н
н
ы
х передачах часто встречаются материалы, касающиеся
ложения дел в средней щколе. Однако если судить по этим пу
и передачам, то может с
о
з
д
а
т
ь
с
я впечатление, что в современной
школе почти о
т
с
у
т
с
т
в
у
е
т математика. Нынче школьник и
з
у
ч
а
е
т
разных предметов, тут история и сексуальное воспитание, информ
и Закон Божий, э
с
т
е
т
и
к
а и основы маркетинга, и многое, много
Но математики нет, а если она ещё где-то и существует, то вх
в
т
о
р
о
с
т
е
п
е
н
н
ы
х предметов. Похоже, именно так думают сегодня м
р
у
к
о
в
о
д
и
т
е
л
и нашего государства, а за ними и руководящие об
нием чиновники. И в этом —большая с
т
р
а
т
е
г
и
ч
е
с
к
а
я ошибка. Ро
язык и литература,

физкультура,

математика

— вот т
р
и с
т
е
р
ж
н
я

с
р
е
д
н
е
г
о образования. Среди всех предметов математика охват
самый широкий спектр учебных, образовательных, развивающих и д
самых разных целей. Понятно, что основные цели математич
о
б
р
а
з
о
в
а
н
и
я в той или иной степени относятся и к его г
е
о
м
^оставляющей, хотя некоторые специфичны именно для неё. Но

Публикуется с сокращениями. Полный вариант см.: Шарыгин И. Ф. Рассуждения
к
'о
н
ц
е
п
ц
и
и школьной геометрии. М.: МЦНМО, 2000.

134 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

чем мы'' перейдём к описанию этих целей, зададим и попробуем
ещё на один вопрос.

Кто определяет цели образования? На этот вопрос даётся
дартный ответ: общество, которое формирует так называемый соц
ный заказ. Но тогда возникают другие вопросы: а кто конкретно
пает в к
а
ч
е
с
т
в
е доверенного лица общества и доводит до его
им же сформированный социальный заказ? Как можно быть
ным, что цели образования, сформулированные какими-то крупными
ными или высокопоставленными чиновниками, в самом деле выр
этот социальный заказ? Как меняются цели образования в п
р
о
с
т
и времени?
В западных социологических исследованиях существует теория,
гласно которой развитие общества и его компонент происходит
дующей схеме: накапливающиеся изменения и противоречия форми
социальный вызов (social challenge), на который должен п
о
с
л
е
д
о
в
а
т
ь
соответствующий ответ (response), и если этот ответ в самом д
в
е
т
с
т
в
у
е
т вызову, то общество (общественные институты) развив
Если же данный ответ не с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т вызову, то продолжаю
к
а
п
л
и
в
а
т
ь
с
я внутренние противоречия могут с
т
а
т
ь мощной разруш
силой. (Очевидная аналогия — внутренние болезни человека.) Нетр
у
в
и
д
е
т
ь с
х
о
д
с
т
в
о п
о
н
я
т
и
й социальный

заказ

и социальный

вызов.

Подобная схема справедлива и для системы образования, пр
для школы важен ответ не в виде формулировок общих це
реализация в комплекте у ч е б 1 ш к о в и учебных пособий. Но в любом
очень важно, насколько имеющийся ответ с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т социал
заказу. Похоже, что в первой половине XX столетия российское
ское) общество получило от школьного м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о (и не
математического) образования адекватный ответ на социальный
(социальный вызов). Накопившиеся затем внутренние противоречия
нашли своего а
д
е
к
в
а
т
н
о
г
оо
т
в
е
т
а (конец семидесятых), и математи
(опять же не только) образование начало деградировать. Известн
щественно-политические события конца восьмидесятых резко обостр
ситуацию и в системе образования. Ответ на социальный вызов
лась дать небольшая группа учёных от образования, расположи
в далёких от стола президиума рядах. К сожалению, попытка о
с негодными (если не учитывать деньги) средствами, хотя основн
цели реформаторы всё же достигли, они пересели в кресла пер

"Работа написана от первого лица множественного числа. Это больше с
о
о
т
в
традициям жанра, чем е
д
и
н
с
т
в
е
н
н
о
е число. Этим автор также демонстрирует увер
что его мнение разделяет, по крайней мере, ещё один человек.

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

Ло
т
ч
а
с
т
и в президиум (в смутное время повсеместно всплывают
люди), слегка потеснив старожилов, но процесс деградации образ
ле только продолжился, но и ускорился.

Практическое значение (общематематический аспект). Говоря
о практическом значении математики, надо иметь в виду, что
тическое значение
математики
как науки, и математики
как
образовательного
предмета — это далеко не одно и то же, х
о
т
я

с
х
о
д
с
т
в
о безусловно есть.
Академик В. И. Арнольд, начиная свою лекцию «Зачем нужна
матика?», привёл слова Роджера Бэкона, сказанные более семи
тому назад: «Человек, не знающий математики, неспособен ни
д
р
у
г
и
м наукам. Более того, он даже неспособен оценить уровен
невежества, а потому не ищет от него лекарства». По мнению
нольда, в современном обществе роль математики если и измени
в сторону увеличения её значимости.
Стоит напомнить здесь также высказывание Наполеона: «Процв
ние и соверщенствование математики тесно связано с благосост
государства». Сегодня в западных, или, как у нас любят само
тельно говорить, цивилизованных, г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
а
х резко выросло зна
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования и м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о знания в сфере б
Возникли такие разделы математики, как финансовая математика,
арная математика (если сфера и
н
т
е
р
е
с
о
в первой понятна из наз
по поводу второй поясним: здесь и
с
с
л
е
д
у
е
т
с
я теория с
т
р
а
х
о
в
о
г
об
некоторые достижения математиков, например, полученная ими фор
справедливой цены, произвели настоящий переворот в технике б
вых и вообще коммерческих сделок (именно за это была пр
Нобелевская премия по экономике в 1997 г.), организуются с
ры и конференции, в которых участвуют математики и бизнесм
высокооплачиваемые должности в банки и другие коммерческие
туры приглашаются профессиональные математики. Нам кажется,
уже этих доводов достаточно. Образование вообще и
математическо
в особенности

имеет огромное

экономическое

значение.

Но в нашей

стране трудно убедить общественно-обывательское сознание в пол
сти м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о знания для достижения жизненного успеха
время как со всех сторон— с экранов телевизоров, со стран
из соседних подъездов — видны совершенно противоположные пр
ры. И пока наше общество и его р
у
к
о
в
о
д
и
т
е
л
и не осознают
образования, математического образования, пока это осознание н
дет переведено в конкретную практическую плоскость, мы не выб
с задворок цивилизации, на которых находимся сегодня.

136 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Сегодняшний уровень развития техники и т
е
х
н
о
л
о
г
и
й предъя
особые требования к математической п
о
д
г
о
т
о
в
к
е обслуживающего
сонала. В Японии, например, одним из критериев отбора на
рые рабочие должности является знание высшей математики.
времена и во всех странах (кроме России сегодня) большое
к математическому образованию проявляли военные ведомства и
кие к нему структуры, они же во многом с
о
д
е
й
с
т
в
о
в
а
л
и его
(Хотя математики от этого и не в
с
е
г
д
а в восторге.) Сегодня
справедлив тезис, что от к
а
ч
е
с
т
в
а м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования
обороноспособность страны. Математически н
е
п
о
д
г
о
т
о
в
л
е
н
н
о
м
ус
о
л
д
а
нельзя доверить сверхточную, сверхмоишую и сверхдорогую совреме
военную технику. Практика последних военных конфликтов показал
современные войны, а тем более будущие, выигрываются в шк
аудиториях и научных лабораториях.
Как видно из сказанного, роль м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о знания сегодн
ществе столь велика, что справедливо утверждение: Плохое
мат
тическое образование
ограничивает
свободу личности,
ущемляет
права человека, в частности,
право на свободный выбор
профес­
сии. Плохое математическое
образование
— прямая угроза
нацио­
нальной безопасности,
причём почти всем её аспектам:
военному,
экономическому,
технологическому
и прочим.

Знание. Одним из р
е
з
у
л
ь
т
а
т
о
в любого обучения является зн
Знание основных г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х законов, формул и теорем необ
человеку для нормального функционирования в обыденной жизни
следует всё же признать, что объём этих знаний весьма невели
быть вмещён в очень небольшой курс. Поэтому, как бы мы ни
вали, что геометрия возникла из п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и
хп
о
т
р
е
б
н
о
с
т
е
й челов
п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
а
я значимость сегодня по-прежнему велика, убедить обще
в необходимости выделения большого количества часов в школ
изучения геометрии лишь на этом основании нам вряд ли уд
следует также п
р
е
у
в
е
л
и
ч
и
в
а
т
ь значение знания школьной геометри
продолжения образования. Многие понятия школьной геометрии з
чивают своё существование в школе и никак не используются
математике.
Здесь стоит заметить, что очень часто со стороны многочи
обывателей, в том числе и высокопоставленных обывателей, влия
на принятие важных р е щ е 1 ш й , раздаются обвинения в адрес матем
упрёки в том, что те или иные математические знания не пр
в практической жизни. «А зачем надо уметь решать квадратные
ния, и
з
в
л
е
к
а
т
ь корни? Где в п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
о
й жизни встречаются ло

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

137

МЫ?
чего нужно знать свойства описанного четырёхугольника
с
т
р
о
г
о спрашивают они. И как только математики начинают в
о
т
в
е
ч
а
т
ь на подобные вопросы, о
п
р
о
в
е
р
г
а
т
ь выдвинутые обвинения
т
о
т
ч
а
с попадают в глупое положение, их позиции с
т
а
н
о
в
я
т
с
я очен
мыми. Ответ здесь один: подобные вопросы свидетельствуют о гл
непонимании целей математического образования, его роли и мест
временном обществе. Нельзя говорить отдельно о практическом з
нии того или иного конкретного м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о утверждения, но
и нужно говорить о большом практическом значении математиче
з
н
а
н
и
я в целом. Отдельные теоремы — это звено в цепи, убе
разрушится вся цепь.
Особая роль элементарной геометрии по отношению к серьёзн
уке, причём не только математической, состоит также в том,
(элементарная геометрия) является неисчерпаемым источником интер
ных и оригинальных идей, о
б
л
е
г
ч
а
е
т поиск решения самых раз
научных и т
е
х
н
и
ч
е
с
к
и
х проблем.
Культурное рлзвчтие. Геометрия — это феномен
общечелове­
ческой культуры. Человек, не знающий геометрии, не может счи­

таться культурным.
Можно сказать, что г
е
о
м
е
т
р
и
я являетсясам
гуманитарным из негуманитарных предметов, посредством геометрии
лизуются многие цели, специфичные именно для предметов г
у
м
а
н
и
т
цикла. При этом г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
й критерий к
у
л
ь
т
у
р
н
о
г
о развития
века, в отличие от, скажем, литературного, является общечеловеч
Например, некий человек, живущий в Новой Зеландии, вполне
быть культурным, даже если он не знаком с т
в
о
р
ч
е
с
т
в
о
м Пушк
если он не знает теоремы Пифагора, то его право называться
очень и очень сомнительно. Многие теоремы геометрии предста
собой одни из самых древних памятников мировой культуры. Зде

важно понимать, что история геометрии по сути является
отраже­
нием истории развития
человеческой
мысли, ч
т
о она я
в
л
я
е
т
с
я о
д
н
о
й

из (двух, трёх? а может, вообще единственной?) первонаук, и её
с
о
в
п
а
д
а
е
т с возрастом вида homo sapiens. Знание истории разв
ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
о
г
о общества, необходимое для любого к
у
л
ь
т
у
р
н
о
г
о чело
включает в себя и определённые элементы геометрии.
Не следует, однако, упускать из виду, что г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я к
при всей своей общечеловечности, обладает и национальным коло
отражает национальный менталитет. Курс геометрии, например, во
ц
у
з
с
к
о
й школе достаточно сильно о
т
л
и
ч
а
е
т
с
я от российского кур
Духовное развитие. Геометрия возникла не только из
практи"^^ских потребностей
человека, но, и это очень важно, и из его

138 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

духовных потребностей.
И здесь её можно поставить в один ря
эзией, музыкой и живописью. Геометрия занимает важное мест
ду культовых наук. В к
а
ч
е
с
т
в
е примера можно взять Японию
изм— основная религия Японии — в
с
я
ч
е
с
к
и поощряет занятия г
рией. В средние века в этой стране была сильно развита т
мая храмовая геометрия. Достижения японских геометров, которы
оформляли в виде ярко раскрашенных досок и вывешивали при
ских храмах, во многом опережали достижения европейских геом
Конечно, отделить духовное развитие от к
у
л
ь
т
у
р
н
о
г
о не так
В некотором смысле к
у
л
ь
т
у
р
а есть форма проявления духовности
только. Возможно, что духовное развитие — один из наиболее
ных и труднопроверяемых видов развития. Но его нельзя отриц
нельзя отрицать и то, что геометрия с
п
о
с
о
б
с
т
в
у
е
т духовному р
личности.

Интеллектуальное развитие. То, что математика является одн
самых важных средств и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
г
о развития человека, кото
р
а
с
п
о
л
а
г
а
е
т человечество, общеизвестно и общепризнано. Математ
является также важнейшим средством оценивания уровня интелл
ального развития человека. При этом г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е критерии
значимы для высоких уровней.
Геометрия,

впрочем,

как

и алгебра,

является

носителем

соб­

ственного метода познания мира. Овладение этим методом — важ
нейшая цель образования. Но вклад г
е
о
м
е
т
р
и
и в и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
витие человека этим не исчерпывается. Отдельно следует выдели
геометрии на начальных ступенях школьного образования. Надо по
что не только исторически (для всего человечества), но и генет
(для о
т
д
е
л
ь
н
о
г
о ч
е
л
о
в
е
к
а
) геометрическая
деятельность
является
первичным
видом интеллектуальной
деятельности,
и з
а
н
и
м
а
т
ь
с
я

этой деятельностью человеку приходится буквально с момента рож
Выявленная и доказанная психологами и физиологами функцион
ная асимметрия г
о
л
о
в
н
о
г
о мозга з
а
с
т
а
в
л
я
е
т нас также нескольк
в
з
г
л
я
н
у
т
ь на значение геометрии в развитии человека. Оказываетс
полушария по-раз1юму функционируют. Левое ведает логическим,
горитмическим мышлением. Работает левое полушарие лишь во
бодрствования. Когда человек спит, оно выключается. Правое о
ет за чувственную, образную сферы нашего сознания. Правое п
рие функционирует постоянно. Наши сновидения — продукт д
е
я
т
е
л
ь
н
правого полушария. Некоторые из известных методик обучения м
тике чрезмерно перегружают левое полушарие. Это очень опасно
на ранних ступенях школьного обучения и особенно в отношени

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

(, доминирующим правополущарным типом мышления, а таких дет
в
о
л
ь
н
о много, возможно даже подавляющее большинство. В р
е
з
у
мы имеем учебные перегрузки, стрессы и даже неоправданную д
заиию некоторых учеников, которые начинают о
т
с
т
а
в
а
т
ь в своём
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
м развитии. Широко известно, что переучивание левши
п
р
и
в
е
с
т
и к ослаблению его умственных возможностей. Переучиван
«интеллектуального левши» может привести и вовсе к т
р
а
г
и
ч
е
с
к
следствиям.
Отсюда можно сделать вывод, и этот вывод уже подтверждён
кой, что при широкой г
е
о
м
е
т
р
и
з
а
ц
и
и школьной математики на её
ных с
т
у
п
е
н
я
х значительно сокращается число отстающих, лучше у
в
а
ю
т
с
яин
е
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е разделы. Сам процесс занятий
геометри
уже имеет большое

развивающее

значение.

Творческое развитие. Если декларирование необходимости ин
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
г
о развития в к
а
ч
е
с
т
в
е одной из целей среднего обр
п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т
с
я вполне оправданным, то этого нельзя утверждать
с
и
т
е
л
ь
н
о развития творческого. С точки зрения правящих слоев с
н
о
г
о общества главной целью образования, определяющей все
цели, является воспроизводство социальной системы. Перепроизводс
т
в
о
р
ч
е
с
к
и
х личностей — угроза стабильности общества. Это в
мере верно в отношоши режимов и тоталитарных, и демократ
Но если в стране стабильность режима сопровождается высоким
ным уровнем всего населения, то указанная основная цель обра
с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т интересам общества. Впрочем, наверное, ни в одн
сударстве, будь то КНДР или Франция, в официальных концеп
говорится, что творческое развитие не является важной целью
зования, но на полуофициальном уровне с подобными утвержде
п
р
и
х
о
д
и
т
с
я сталкиваться.
Развитие творческих способностей традиционно является одной
важнейших целей российского образования. Возможно, это как р
тому, что в России никогда не было настоящей стабильности.
с
е
г
о
д
н
я эта цель особо актуальна. Несколько упрощая проблему
сказать, что в основе любого т
в
о
р
ч
е
с
к
о
г
о процесса лежит вооб
Вольтер как-то сказал: «В голове у Архимеда было больше во
ния, чем в голове у Гомера». В литературе по методике пре
г
е
о
м
е
т
р
и
и достаточно часто в
с
т
р
е
ч
а
е
т
с
я термин «геометрическое
ражение». Подобные словосочетания в методиках по другим пред
в том числе и математическим, не встречаются. Уже на этом о
Можно сделать вывод о больших возможностях г
е
о
м
е
т
р
и
и для раз
т
•в
о
р
ч
е
с
к
и
х способностей.

140 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Общая цель — развитие творческих способностей — содержит
конкретную и специальную цель — выявление и о б у ч е 1 ж е одарённы
тей, в частности, математически одарённых, и даже ещё уже- г
чески одарённых детей.

Эстетическое развитие. Вся математика, а геометрия в особен
сти, обладает своеобразной эстетикой. Впрочем, говоря о геометри
рот «своеобразный» можно убрать, поскольку г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я э
с
т
е
видна и понятна любому образованному человеку. Нельзя
проник
в суть геометрии,

если не видеть

красоты

геометрических

форм,

формул и формулировок.
Говоря о решении г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач,
часто используем характеристики: красивое решение и некрасивое
ние. К красивым мы обычно относим короткие, чисто г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
шения, а некрасивыми считаем длинные и счётные. Не как-нибудь
задачу, а решить её красиво — вот цель, которую должен с
т
а
в
собой любой хорошо г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и воспитанный человек; и шко
и профессиональный математик (здесь мы вынуждены сделать оп
лённый упрёк в адрес некоторых победителей олимпиад и их в
лей). Причём не ради каких-то конкретных выгод, а ради самой

Нравственное воспитание. В романе «Война и мир», характер
зуя старшего князя Болконского, Николая, Л. Н. Толстой пише
говорил, что есть только два источника людских пороков: пр
и суеверие, и что есть только две добродетели: д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
ьи
занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развить в ней об
добродетели, давал ей уроки алгебры и геометрии и распределил
жизнь в беспрерывных занятиях». Зная отношение великого пи
к математике, можно предположить, что здесь Толстой высказыва
мнение о воспитательном з н а ч е 1 ш и математики.
Занятия математикой развивают добродетели, обостряют чувс
с
п
р
а
в
е
д
л
и
в
о
с
т
и и собственного достоинства, воспитывают внутрен
ч
е
с
т
н
о
с
т
ь и принципиальность. Замечено, что при тоталитарных ре
нередко в
о
з
р
а
с
т
а
е
т интерес к математике в самых широких слоя
ства. Математика даёт людям отдушину в атмосфере страха и у
возможность выжить, не вступая в конфликт с совестью. В
при любом режиме математика привлекательна полной независимо
от каких-то конъюнктур; тем, что математическое знание абсо
истинно, но в
с
е
г
д
а неполно и потенциально бесконечно разви
и тем, что математическое сообщество являет собой пример иде
д
е
м
о
к
р
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о сообщества.
Несколько лет тому назад российского обывателя вдруг со в
рон начали п
у
г
а
т
ь образом бездушного технократа, который может

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и • 14

ти к власти. При этом на математиков также смотрели, как н
альных технократов. Прошло некоторое время, у власти по-пре
бездушные люди, среди которых много всяких «кратов», старых
но т
е
х
н
о
к
р
а
т
о
в не видно. Хотим п
о
с
о
в
е
т
о
в
а
т
ь всем тем, кто мечт
сти: как можно меньше занимайтесь математикой и особенно ос
т
е
с
ь геометрии. Сама идея д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
а чужда всякой власти
н
а
й
т
и другой такой предмет, чья н
р
а
в
с
т
в
е
н
н
а
я основа столь д
идеи власти, как геометрия.
Нам могут возразить: а Наполеон? Есть даже задача Напо
и именно геометрическая. Скорее всего, это миф, созданный ль
царедворцами. Властители во все времена, начиная с Нерона и д
на, хотели прославиться на поприще и
с
к
у
с
с
т
в
а или науки. Но д
Наполеон и вправду разбирался в геометрии, то это как раз
к
о
г
д
а исключение подтверждает правило. И кроме того, сегодн
наполеонов можно найти только в психбольницах.
Дополнительные локальные цели начального периода. Одной из

важных особенностей настоящего периода ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
о
й истории яв
ся быстрое изменение среды обитания. Настолько быстрое, что
как биологический вид просто не успевает к ним приспособит
этом уже с самого рождения ребёнок попадает в жёсткую и
ную техногенную среду. Возникает необходимость в средствах, ам
зирующих столкновение ребёнка с враждебным миром, компенсиру
н
е
д
о
с
т
а
т
о
к привычных и необходимых для нормального развития
деятельности. Подобные функции, хотя бы частично, может взять
геометрия.
Чтобы нормально развиваться, ребёнку необходимо полноценное
тание. Для нормального и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
г
о р
а
з
в
и
т
и
я ему необхо
полноценная и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
а
я пища. Сегодня геометрия
является
одним из немногих

экологически

чистых продуктов,

потребляемых

в образовании.
А по «потребительским» к
а
ч
е
с
т
в
а
м с геометрией не
жет сравниться никакой другой школьный предмет. Более того, в
именно геометрия должна сыграть важную роль в сохранении в
вида homo sapiens, если, конечно, мы желаем этот вид сохранить
Передоверяя компьютеру многочисленные интеллектуальные фун
ции— память, вычисления, построение изображений, анализ тек
и многое другое, фетишизируя выдаваемые компьютером результ
ч
е
л
о
в
е
к рискует и
с
ч
е
з
н
у
т
ь с лица земли как биологический вид
жать своё существование уже в к
а
ч
е
с
т
в
е homo computeric. Но и
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е мышление пока сопротивляется «всеобщей компью
ризации», именно в области геометрии человек ещё не проиграл

142 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

лектуального соревнования компьютеру. И значит, развитие
геомет
ческого мышления является одной из важнейших задач школы, пр
с первых классов.
Геометрия обладает также уникальными возможностями для п
ценного эмоционального
развития ребёнка. (Здесь очень важны п
вильный отбор содержания и выбор методики.) А как показывают
ние исследования, именно эмоциональное развитие образует фунд
для полноценного интеллектуального, т
в
о
р
ч
е
с
к
о
г
о и иных видов р
а
и даже может с
к
о
р
р
е
к
т
и
р
о
в
а
т
ь о
т
с
т
а
в
а
н
и
е ребёнка в умственно
витии.
2. Характеристика курса геометрии.
Основные идейные и содержательные линии
Главный вопрос математического образования. Опасность аме­

риканизации. Много опасностей угрожает сегодня российскому ма
матическому образованию, но главной из них, по мнению В.И.Арн
является начавшаяся американизация. Казалось бы, об этом ли н
час думать, когда американский дух и образ мыслей проник во
нашей жизни. Здесь стоит напомнить, что с
о
в
е
т
с
к
о
е математичес
разование являлось одним из достижений с
о
в
е
т
с
к
о
й власти и его
уровень признан во всём мире. Сегодня мы наблюдаем относи
падение этого уровня. Однако это падение несравнимо с дегр
которая имеет место в других сферах общественной и культурно
Несмотря на усилия отдельных р
у
к
о
в
о
д
и
т
е
л
е
й нашего образован
внедрению американского стиля, математическая общественность бо
или менее успешно этому сопротивляется. И беда от американ
даже не в том, что американское математическое образование, по
многих экспертов, я
в
л
я
е
т
с
я одним из худших в мире. (Это не
однако, процветанию и совершенствованию математики в американс
обществе. По известному мнению Наполеона математика напрямую
зана с благосостоянием государства.) Оно — иное.

Главным вопросом м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования в России в
с
е
г
д
а
вопрос почему}, в то время как для американского главным я
вопрос как} И здесь мы чётко видим с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
е особенностям
нального характера. Вместо американского «ноу-хау» (know how — зн
как) имеем российское «знаю почему» (ноу вай — know why). Пон
что с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
о этим парадигмам мы получаем совершенно разн
стемы м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования, требующие разных типов учебн
и учебных пособий, подразумевающие совершенно различные мето
ские системы. Понятно также, что п р о 1 ш к н о в е н и е американского с
в наше математическое образование создаст в нём серьёзное вну

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

Противоречие и в р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е может его просто разрушить. Пр
особенно тяжёлые последствия будут именно в области г
е
о
м
е
т
р
и
образования. Американская наука «питается мозгами» всего мир
^е — т
о
л
ь
к
о своими. Снижение уровня математического
ния может окончательно
добить российскую
науку.

образова­

Люди могут сильно заболеть в р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е простой смены пи
ув
с
е
г
о народа резко меняется состав пищи духовной, меняю
стами нравственные ориентиры, то всё общество з
а
б
о
л
е
в
а
е
т т
психическим недугом вроде раздвоения личности. Оно теряет спосо
ориентироваться, а следовательно, развиваться. Вряд ли мы сумее
деть в обозримом будущем наше общество здоровым. Так постара
с
о
х
р
а
н
и
т
ь относительно здоровыми ещё не очень поражённые
например математическое образование.
Одной из важнейших
задач образования
в целом является
со­
хранение национального
генетического
кода, введение этого кода
в личностные
генетические
программы
новых поколений. Именно

с этой точки зрения необходимо оценивать все значимые измен
называемые новации, а тем паче «инновации» (что бы это могло
в педагогике, которые так любит чиновник от педагогики. Умеренн
ционализм и консерватизм
эффективную
систему

входят в число условий,
образования.

определяющих

Хотелось бы здесь сделать ещё одно замечание. Сохранение
ональных традиций в образовании, и не только в нём, полезн
ч
е
с
т
в
у в целом, оно создаёт в человеческом сообществе некую
потенциалов и тем самым с
п
о
с
о
б
с
т
в
у
е
т развитию земной цивили
А посему создание всемирного единого о
б
р
а
з
о
в
а
т
е
л
ь
н
о
г
о пространст
это вовсе не благо. И пусть одни генерируют идеи, а другие
до ума, возвращая авторам в виде «ноу хау». Suum quique''.
Геометризация науки и образования как всеобщая тенденция.

Из предыдущего раздела видно, что ареал геометрии далеко вы
границы собственно математических дисциплин и р
а
с
п
р
о
с
т
р
а
н
я
е
т
с
я
территории, традиционно приписываемые другим предметам, в том ч
таким далёким от математики, как физкультура или рисование
следнее время значительно выросло значение г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й компо
на всех этажах математического здания: и в образовании, и
Причём это является общемировой тенденцией. Сегодня мы наблю
своеобразный г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
й бум. Во многих странах (Япония, Фра1
н др.) дети вовлечены в содержательную геометрическую деятель
уже с д
е
т
с
а
д
о
в
с
к
о
г
о возраста, увеличились по объёму и возрос
Каждому своё (лат.).

144 • И.Ф.Шарыгин о математике и не только о ней

СЛОЖНОСТИ школьные курсы геометрии, варианты вступительных эк
менов в и
н
с
т
и
т
у
т
ы содержат много трудных задач по геометрии
матической науке з
н
а
ч
и
т
е
л
ь
н
а
я часть исследований, конференций
ликаций относятся к геометрии. Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е идеи глубоко пр
в современные исследования по физике, биологии и другим наук
Что к
а
с
а
е
т
с
я м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования, то и здесь умес
ворить о его широкой г
е
о
м
е
т
р
и
з
а
ц
и
и как о характерной особ
Общеизвестен а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
й метод, применяемый в самых разли
науках и разделах математики, в том числе и в геометрии.
гебра помогает геометрии, даёт ей свой инструмент для исследо
явление обычное. Но важно и то, что геометрия может оказать
помощь при обучении алгебре и другим математическим наука
возможные г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е интерпретации и методы д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
помочь в изучении алгебры, помочь понять смысл формул, выв
и прочно запомнить. И эти возможности геометрии необходимо м
мально использовать.

Взгляд в прошлое. Уникальность геометрии, её отличие от в
гих предметов, в том числе и предметов м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о цикла
также и в том, что её содержание существенно не изменилось
ковую и даже тысячелетнюю историю. (Говорят, что в Англии в
учебника до сих пор используются «Начала» Евклида. Скорее вс
не так, но интересно, что в принципе это возможно.)
Но, говоря об истоках геометрии, нельзя всё сводить к эл
культуре. Безусловно, г
р
е
ч
е
с
к
а
я цивилизация оказала огромное вл
на европейскую науку и культуру, а евклидовы «Начала» стали
ществу, первым учебником, по которому училась вся Европа.
«Начала» сформировали взгляд на геометрию как на основное с
р
а
з
в
и
т
и
ял
о
г
и
ч
е
с
к
о
г
о мышления, и именно этот взгляд являлся, д
дня является, господствующим во многих странах, в том числе и
Совсем иной взгляд на геометрию имели древние восточные
В Китае, например, в геометрии запрещались словесные формулир
рассуждения, объяснения. Китайские учёные полагали, что слова
ются причиной противоречий, софизмов, ими нельзя выразить су
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х явлений. И наоборот, рисунок, чертёж считался ист
ком г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х фактов, одновременно показывая и доказывая
Длительное время в Европе геометрия оставалась предметом д
бранных. Она служила своеобразным полигоном для о
т
т
а
ч
и
в
а
н
и
я
ч
е
с
к
о
г
о мастерства, у м е 1 ш я вести научный диспут, входила в числ
ских наук. (Во времена Пушкина вышла даже «Геометрия для
людей».) Получается, что геометрия, в отличие от арифметики и

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

рь1, пришла в школу в некотором смысле сверху. Отсюда и с
п
е
д
а
г
о
г
и
ч
е
с
к
и
е проблемы, которые начались уже с того момен
р
е
о
м
е
т
р
и
я стала общеобразовательным предметом в массовой ш
Прежняя г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я концепция перестала с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
о
в
а
т
ь н
образовательным целям. Возможно, что возникшее н
е
с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
е
явилось с особой силой именно в России. Ведь российское об
формировалось по западным образцам, в то время как нацио
корни з
н
а
ч
и
т
е
л
ь
н
о
й частью располагались на Востоке.
Идея евразийства,
или, точнее, востокозападничества, в кото
в
о
с
т
о
к более отдалён, чем он т
р
а
к
т
у
е
т
с
я обычно (геометриче
графически Россия п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т собой своеобразный магнит с
е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о обозначенными полюсами: восточным и западным), явля
ся важнейшей
составляюи^ей — сознательной
или
подсознатель­
ной — российской духовной и культурной
жизни. Геометрия
явля­
ется именно тем предметом,
в котором эта идея может
быть
и должна быть адекватно
отражена.

В конце XIX с
т
о
л
е
т
и
я в России появилась «Геометрия» А. П
селёва, которая через некоторое время, благодаря поддержке в
ведомства (!), стала основным учебником в царских гимназиях. И
э
т
о
т учебник, подвергшийся нескольким переработкам, просуществ
в России в к
а
ч
е
с
т
в
е е
д
и
н
с
т
в
е
н
н
о
г
о школьного учебника почти
в
е
т
с
к
и
й период, в течение полувека. Случай беспрецедентный в
практике. Вывод очевиден: автор правильно выполнил социальный
Мы не будем анализировать содержание учебника Киселёва и ра
в
а
т
ь о жизненном пути автора, но на одно о
б
с
т
о
я
т
е
л
ь
с
т
в
о хоти
внимание. Киселёв имел в нашем понимании высшее педагогичес
не математическое образование, преподавал в провинциальных гим
ях, в кадетском училище, репетировал купеческих дочек.
В начале 70-х годов началась реформа российского и с
о
в
е
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования, в
о
з
г
л
а
в
и
л которую выдающийся мат
тик А. Н. Колмогоров. Ревизии подверглись все школьные про
и учебники. Конечно же, это не было проявлением простой
в
е
л
и
к
о
г
о человека. Сходные процессы, причём гораздо раньше,
происходить повсеместно. Дело в том, что на фоне бурных и
в науке, начавшихся в конце XIX столетия, система образования
дела застывшей и отсталой, не соответствующей новым научным р
Возникло желание пересмотреть эту систему и привести в с
о
о
т
с достижениями современной науки, причём это желание возникло
крупных и уважаемых учёных.
В области математического образования самым ярким примером
жет служить Франция. Там в середине XX века произошли значи

146 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

изменения, и сделаны они были под влиянием идей группы кру
ных, объединившихся под псевдонимом Бурбаки. Главным итогом
изменений стала всеобъемлющая формализация содержания школ
го м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования. В результате, например, ученик
чальных классов на вопрос «Чему равно 2 + 3?» отвечали: «Поск
сложение является коммутативной операцией, то 2 И- 3 равно 3
(Этот пример взят из лекции В. И. Арнольда.) Печальные п
о
с
бурбакизации французского м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования уже стали
но заметны, когда у нас начались реформы м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о обра
Сейчас-то мы понимаем, ч
т
о образовательные
процессы
ся строгим биологическим
законам и ускорить их нельзя,
тому как нельзя ускорить время вынашивания
плода.

подчиняют
подобно

Что к
а
с
а
е
т
с
я непосредственно геометрии, то справедливости ра
до заметить, что в нашем обществе к тому моменту (начало 197
пилась н
е
у
д
о
в
л
е
т
в
о
р
ё
н
н
о
с
т
ь состоянием преподавания геометрии. Г
ной причиной снижения уровня г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й подготовки, вер
стало решение о всеобщем среднем образовании. Ситуация веков
ности повторилась, с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
й курс геометрии пришлось и
з
всем школьникам Страны Советов и выяснилось, что многие из
му и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о не готовы. Программу по геометрии начали уп
затем возникли некоторые учебники переходного периода, а потом
ле начал д
е
й
с
т
в
о
в
а
т
ь учебник, созданный под руководством А. Н
горова.
Здесь следует также признать, что учебник Киселёва, уже в
длительного времени функционировавший в школе, ко времени
ла реформ значительно морально устарел. Его существенным нед
ком, например, была чрезмерная статичность, о
т
с
у
т
с
т
в
и
е идеи дви
Именно идея движения была взята в к
а
ч
е
с
т
в
е концептуальной
учебника Колмогорова. Однако эта идея в учебнике была реа
с формально-математической точки зрения через теорию преобраз
ний плоскости. А это очень глубокая и труднодоступная для м
школьного сознания теория. Недовольство снизу, жёсткая крити
стороны математиков сверху вытеснили учебник Колмогорова из ш
На смену ему пришёл учебник А. В. Погорелова.
Учебник А. В. Погорелова д
е
й
с
т
в
у
е
т в российской школе и
день и является одним из двух основных учебников. (Второй
ник а
в
т
о
р
с
к
о
г
о коллектива, в
о
з
г
л
а
в
л
я
е
м
о
г
о Л. С. Атанасяном.) Не
анализировать и оценивать эти учебники. По общему мнению си
сг
е
о
м
е
т
р
и
е
й в сегодняшней школе обстоит неблагополучно, наст
неблагополучно, что взоры многих с надеждой обратились к Ки
Но к Киселёву в
о
з
в
р
а
т
а нет и быть не может, он не с
о
о
т
в
е

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

временным требованиям. Выход надо искать в другом направлен
и
д
т
и (вы правильно догадались) вперёд.

Типы геометрических курсов. Возможны различные типы ге
р
и
ч
е
с
к
и
х курсов при формально одном и том же содержании
с того, что геометрия может быть частью единого предмета на
школьного образования. То, что в начальной школе математика п
ляет собой единый предмет, выглядит естественным и даже еди
возможным. Это мы видим во многих школах мира. Выделение
т
о
р
о
г
о момента геометрии в отдельный предмет — явление дос
распространённое, но не повсеместное. Именно так традиционно
курс математики в российской школе. И мы выступаем за сох
э
т
о
й традиции: многие важнейшие общеобразовательные цели реа
ются именно через геометрию и их достижение окажется затруд
включении геометрии в общий курс математики.
Далее, с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
й курс геометрии может основываться н
ных принципах. В нашей стране длительное время мы наблюда
аксиоматический, а вернее, частично аксиоматический. И сегодня
Б основном встречаемся с курсами геометрии на аксиоматической
но именно эта основа у разных курсов разная: одни тяготеют к
ке классической, евклидово-гильбертовой, другие предпочитают сис
аксиом в
е
й
л
е
в
с
к
о
г
о типа, т
р
е
т
ь
и буквально с самого начала в
в курс аксиомы движения. Мы не будем обсуждать здесь сравн
д
о
с
т
о
и
н
с
т
в
аин
е
д
о
с
т
а
т
к
и различных систем, а сразу выскажем ут
ние, обоснованность которого исходит из нашей практики, но н
из неё: логически

строгий

аксиоматический

курс школьной

геомет­

рии невозможен. (В скобках заметим, что сомнение автора по
возможности построения с
т
р
о
г
о
г
оа
к
с
и
о
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о курса геометрии
ходят за рамки школы и переходит в неверие — какое кощу
в существование аксиоматического курса геометрии вообще.) В к
а
одного из доводов приведём следующий: как только у нас в ра
п
о
я
в
л
я
е
т
с
я рисунок, мы теряем логическую строгость. А курс ге
в школе без рисунков — такая же нелепость, как и н
е
с
т
р
о
г
и
й
т
и
ч
е
с
к
и
й курс. Предлагаемый нами курс геометрии мы характе
как наглядно-эмпирический,
при этом в русле этой единой кон
рассматриваются все этапы школьной геометрии, а не только с
тический курс, начинающийся в 7 классе. Уже само название дос
точно указывает на основные особенности этого курса, которы
подробно будут разъяснены позднее.

Следует также заметить, что одним из качеств, которым дол
ладать в той или иной мере школьный курс геометрии (и не

148 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

метрии) — ЭТО эклектичность.
И этим, в частности, школьный у
ч
е
б
должен о
т
л
и
ч
а
т
ь
с
я от учебника вузовского, а тем более от науч
графии. Безусловно, наличие основополагающей концепции — необх
мое условие полноценного курса. И всё же следует познакомить
с различными точками зрения, предъявить различные идеи и иде
чтобы он имел возможность, пусть даже полуфиктивно, р
е
а
л
и
з
о
в
а
право на выбор.
Важнейшей м
е
т
о
д
о
л
о
г
и
ч
е
с
к
о
й и методической проблемой школь
геометрии является также взаимоотношение и п
о
с
л
е
д
о
в
а
т
е
л
ь
н
о
с
т
ь
ложения теорий плоской (двумерной) и п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
е
н
н
о
й (трёхме
геометрий. Эту проблему мы также обсудим несколько позднее.

Геометрия в начальной школе. Специфику г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о м
риала на этом этапе определяют общие и локальные цели, о ко
сказано в предыдущем разделе. При этом уже наличие локальны
выделяет этот этап, п
о
д
ч
ё
р
к
и
в
а
е
т его значимость. Геометрия в н
ных классах является инструментом
развития
в самом
понимании,
вплоть до физиологического
развития.

широком

Содержание г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о материала в начальной школе ра
деляется по следующим направлениям: знакомство со свойствами
стейших г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х фигур, выработка навыков по изображению
фигур, г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
й эксперимент, развитие г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й интуи
Несмотря на огромную важность геометрии в начальной школе,
же формально выполняет вспомогательную роль по отношению к
метике и некоторым другим разделам, арифметический и г
е
о
м
е
т
р
и
материал в учебнике и на уроке очень тесно переплетаются, не
друг от друга. Необходимо выработать прочные ассоциативные
в парах «фигура — число» и «фигура — слово».
В связи с математикой в начальной школе считаем необходим
зать несколько слов по поводу получившей в последнее время
распространение концепции «развивающего обучения». Собственно го
ря, сама концепция, как и большинство общих концепций, п
р
е
д
с
т
а
вполне разумной. Определённое отторжение вызывает разве наз
отдающее саморекламой. Но уже беглое знакомство с программа
математике вызывает чувство недоумения, которое переходит в
сильные чувства, когда видишь м н о г о ч и с л е 1 ш ы е учебники, реализую
эту концепцию. Эти учебники формируют неверное представление
нейших математических понятиях и даже о самой математике. И
же не в многочисленных конкретных н
е
д
о
ч
ё
т
а
х и ошибках, от ни
острый а
н
т
и
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
й дух, они вырабатывают а
н
т
и
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
менталитет. С другой стороны, эти учебники плохо способствуют

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

рованию базовых умений, необходимых на последующих э
т
а
п
а
х м
тического образования. К сожалению, апологеты развивающего обуче
пользуются серьёзной поддержкой как руководящих с
т
р
у
к
т
у
р (неко
из них сами являются руководителями), так и общественного
реагирующего больще на название и учёные звания, чем на со

Начальный этап средней школы. Несмотря на то, ч
т
о математ

ка всё ещё о
с
т
а
ё
т
с
я единым предметом, алгебраические, г
е
о
м
е
т
р
и прочие разделы всё более и более обособляются и приобре
мостоятельность. Геометрия выступает в виде е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о
н
а
у
ч
н
о
г
о
мета. Основные методы получения г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о знания — наб
ние и эксперимент, возможно, умозрительный. В каком-то смысл
э
т
о
м этапе мы имеем аналог доевклидового этапа развития геом
с некоторыми включениями достижений современной науки. На пр
г
е
о
м
е
т
р
и
и учащиеся знакомятся с важнейшими общенаучными ид
понятиями и методами исследования: свойство и признак, класс
ция объектов (отдельно и во взаимодействии), непрерывность и д
ность, перебор вариантов и т.д. Особенно важной на этом этап
у
ч
е
б
н
а
я г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я деятельность, связанная с пространственн
объектами. Это последняя возможность развить п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
е
н
н
о
е
ображение, поставить пространственное мышление. Ведь в течение
следующих лет мы в лучшем случае можем лишь поддерживать
с
т
в
а на некотором уровне, но не развивать, а потом это уже п
Основной курс геометрии. Устойчивость содержания. Уже было

упомянуто, что сегодня в нашей школе действуют различные в с
ц
е
п
т
у
а
л
ь
н
о
й основе курсы геометрии. Но тем не менее эти кур
по своему содержанию, по номенклатуре сообщаемых сведений (в
п
о
ч
т
и едины) и, как говорят, с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
ю
т программе. Каждый
р
а
б
о
т
а
я над учебником, решает своеобразную краевую задачу, у
к
о
т
о
р
о
й задаются действующей программой. И здесь возникает од
прос: насколько вольны авторы учебников или комиссии по вы
программ при отборе содержания? (Вспомните первый пункт в
«Цели обучения».) Многое о
п
р
е
д
е
л
я
е
т
с
я одной важной х
а
р
а
к
т
е
р
и
с
т
у
ч
е
б
н
о
г
о предмета, его внутренней устойчивостью.
Дело в том, что геометрия — учебный предмет со многовеко
торией не только вообще, но и внутри школы, её содержание
Д
л
и
т
е
л
ь
н
о
г
ое
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о
г
о отбора. Она обладает очень высокой вн
ней устойчивостью. Многочисленные д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
а этому мы набл
ем в нашей школе: ряд г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х теорем и фактов, необ
Выброшенных из учебных программ, сегодня практически и стихийно
становлены в реальной школе. Несмотря на внешнюю н
е
з
н
а
ч
и
т
е
л
ь

150 • И.Ф.Шарыгин о математике и не только о ней

некоторых из этих фактов, без них г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е знание было
аг
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е умения недостаточными. Оказалось, что г
е
о
м
е
т
р
это некий единый организм, способный к регенерации, если,
основная часть сохранилась. Так что возможности к волеизъя
и вкусовым решениям у программных комиссий (а также у авто
ников, р
у
к
о
в
о
д
и
т
е
л
е
й образования и пр.) не столь уж велики.
следует знать и помнить.
Необходимо вернуть в школьную геометрию многие разделы,
шенные из неё в последние десятилетия. Следует также в
в
е
с
т
и
некоторые малоизвестные факты из к
л
а
с
с
и
ч
е
с
к
и
х разделов г
е
о
м
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а и окружности, замечательные, незаслуженно забытые
стижения старых мастеров. Некоторые из этих фактов, несмотр
малоизвестность, настолько близко прилегают к курсу, что в
в
е
можно без труда и почти без з
а
т
р
а
т учебного времени. А с дру
их введение может резко повысить развивающий потенциал шк
геометрии и даже странным образом приблизить её к современной
рической науке. (Многие современные достижения математики беру
начало в работах классиков геометрии.) Таким образом, можно
о своего рода курсе в стиле ретроавангарда.
Два раздела геометрии: планиметрия и стереометрия. Одной из

самых важных и трудноразрешимых проблем школьной геометрии
ется проблема взаиморасположения во времени планиметрии и с
метрии. С одной стороны, с точки зрения процесса познания, п
является трёхмерная геометрия, твёрдое тело — вот основа и
объект исследования геометрии. Это — реальный объект, во всяк
чае, не менее реальный, чем объекты, изучаемые в физике, в то
плоские фигуры являются математическими абстракциями и полноц
и
з
у
ч
а
т
ь
с
я они могут при хорошем уровне развития а
б
с
т
р
а
к
т
н
о
г
о
ния. С другой стороны, с точки зрения развития математической
более удобным выглядит путь от плоской геометрии к пространс
Кроме того, большинство методов стереометрии основаны на раз
способах сведения п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
е
н
н
о
й задачи к одной или неск
плоским задачам. А это требует и соответствующей п
о
с
л
е
д
о
в
а
т
е
л
ь
при изучении.
Поиски решения проблемы на пути полного фузионизма — од
менного изучения плоской и п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
е
н
н
о
й геометрий — не пре
ляются нам перспективными. Дело в том, что эти разделы игра
различную роль в образовательном процессе, посредством их пре
ются и достигаются различные цели обучения. Планиметрия п
р
е
д
с
т
собой замкнутую в себе модель науки, внутри которой можно бе

Рассуждения о кошепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и • 1

совершенствоваться. Она даёт нам большие возможности для ра
творческого, интеллектуального. Стереометрия же является предме
инженерного типа, в ней широко используются соответствующие м
она р
а
з
в
и
в
а
е
т такое специфическое качество, как п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
е
н
н
о
е
ражение, профессионально значимое для многих специальностей, да
н от математики, и от науки вообще. Одновременное изучение
д
е
л
о
в может привести к тому, что достижение важнейших целей
окажется сильно затруднено или станет вообще невозможным.
В общем, налицо противоречие, точнее, целый комплекс проти
чий, разрешить их все невозможно, поскольку имеет место неч
соотношения неопределённости: улучшая одну характеристику, мы у
шаем другую. Можно у
к
а
з
а
т
ь и на другую аналогию: в биол
скрещивании близких видов большею частью появляется нежизн
собное потомство (похоже, есть соответствующий закон). Не поэт
в
с
е (известные нам) попытки создания фузионистских курсов гео
о
к
а
з
а
л
и
с
ь безуспешными- в них удивительным образом произошло
имоуничтожение (аннигиляция) планиметрии и стереометрии.
Предлагаемый нами курс — это курс с элементами
фузионизм
В нём вначале и
з
у
ч
а
е
т
с
я теория плоской геометрии, а трёхмерн
с
т
р
а
н
с
т
в
о выступает в к
а
ч
е
с
т
в
е своеобразного интерьера.Неко
простейшие тела используются в к
а
ч
е
с
т
в
е объектов для прим
т
е
о
р
и
и планиметрии.

Две части геометрии: основания геометрии и собственно гео­
метрия. Обсуждение первой части. Необходимо признать, ч
т
о по с
у

мы изучаем (а лучше с
к
а
з
а
т
ь по-школьному — проходим) две
ные геометрии: основания геометрии и собственно геометрию. О
личаются друг от друга как предметом, так и методом иссл
В начале курса предметом исследования являются простейшие г
р
и
ч
е
с
к
и
е формы: прямые, лучи, отрезки, углы и пр. (Здесь мы
о планиметрии. Сказанное почти автоматически р
а
с
п
р
о
с
т
р
а
н
я
е
т
с
я
стереометрию, хотя, конечно, с определёнными изменениями.) В не
ром смысле, мы изучаем свойства плоскости в целом. Во второй
и
з
у
ч
а
е
м свойства г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х фигур, рассматривая понятие фи
в обыденном смысле, т. е. включая в него плоско-протяжённые
треугольники, специальные четырёхугольники, окружности (круги) и
Основным методом исследования при изучении начал геометри
л
я
е
т
с
я аксиоматический метод. Суть его в том, что мы имеем
сг
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
м объектом, а со списком свойств э
т
о
г
о объекта
э
т
о
т расширяется по законам логики, а его начальная часть п
ется. Во второй же части используются два метода: внутренний,

152 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

рический, и внешний, алгебраический. Коротко смысл г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
метода состоит в том, что в процессе решения мы каким-то сп
рестраиваем изучаемую конфигурацию: проводим дополнительные ли
вычленяем отдельные элементы, преобразуем и др.
Различен и уровень доказательности, принятый в выделенных
геометрии: уровень, достигнутый в первой части, является как б
ным во второй. Иными словами, факты, которые мы доказывали
курсе и при решении задач в первой части, во второй считаем
Добраться
до содержательных
геометрических
теорем,
гаясь мелким шагом в соответствии
с аксиоматическим
за разумное время
невозможно.

передви­
методом,

Весьма распространённый тезис — целью обучения геометрии
ется развитие л
о
г
и
ч
е
с
к
о
г
о мышления — индуцирован именно перв
стью, основаниями геометрии. Этот тезис п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т
с
я нам ошиб
и мы заявляем: не л
о
г
и
ч
е
с
к
о
г
о мышления, но логической интуиции,
торая, объединившись с интуицией геометрической, является мощне
инструментом исследования.
Интересно, что многочисленные и достаточно острые дискусс
поводу школьного курса геометрии, происходившие в нашей стран
два д
е
с
я
т
и
л
е
т
и
я тому назад, не выходили за рамки начал геоме
же время оценка к
а
ч
е
с
т
в
а г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й п
о
д
г
о
т
о
в
к
и учащихся
проводится по программе второй части. Безусловно, не следует
нивать роли основ геометрии для и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
г
о развития шко
И здесь очень важно не п
р
о
т
и
в
о
п
о
с
т
а
в
л
я
т
ь различные точки зр
происхождение г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х форм, а показать их во взаимодо
ющем единстве. Так, любой объект, скажем, прямая, может выс
как бы в двух ипостасях: как готовый образ и как траектория
И поэтому возмущение по поводу употребления в связи с п
«прямая линия» оборота «сколько бы её ни продолжали» отр
одну точку зрения (хотя оборот в самом деле неудачен), а ут
что в природе не бывает прямых, а лишь отрезки, которые
продолжать, —другую.
Увлечение основами математических наук характерно для конца
шлого и первой половины нынешнего столетия. Уже из этого
что начинать школьные курсы с этих разделов — значит наруша
нейший принцип историзма. Здесь можно в
о
з
р
а
з
и
т
ь и напомни
подобный подход к построению г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о курса восходит к
ду, именно его «Начала» и послужили образцом для многих совр
учебников. Эту тему мы уже з
а
т
р
а
г
и
в
а
л
и и высказали мнение, ч
так однозначно, а библеизация евклидовых «Начал» принесла обра
нию скорее вред, нежели пользу.

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

Большое в
п
е
ч
а
т
л
е
н
и
е на математиков и научно-педагогическое
щество произвела многовековая борьба с пятым постулатом, а о
неожиданный исход этой борьбы. Возникла иллюзия, что мате
докопались до первооснов своей науки и всё это можно из
щкольном уровне. На наш взгляд, как раз наоборот, история
п
о
с
т
у
л
а
т
а должна была доказать невозможность полноценного в
ния основ г
е
о
м
е
т
р
и
и в школьный курс. Похоже, что с
е
г
о
д
н
я м
о
т
к
а
з
а
л
и
с
ь от иллюзии возможности создания абсолютно прочног
г
и
ч
е
с
к
о
г
о фундамента для своей науки и пришли к заключе
основа надёжности м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о знания та же, что и у б
с
т
в
а других е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
ы
х наук, — здравый смысл и эмпиризм.
матика с
т
а
н
о
в
и
т
с
я математикой начиная с н
е
к
о
т
о
р
о
г
о этажа, а
н
е
ч
н
о
е копание котлована лишь разрушает её основы, создаёт
в здании.
Тем не менее и сегодня мы наблюдаем в школе курсы
заявленные их авторами как курсы «на аксиоматической основе».
нормального усвоения «аксиоматических основ» нужен очень выс
уровень логической подготовки, которой не имеют ни ученики, ни
(продолжим: ни методисты, ни некоторые авторы). В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
имеем полную профанацию. Можно провести аналогию с абстра
искусством: мало кто в нём разбирается, но все дружно делают
и в
о
с
т
о
р
г
а
ю
т
с
я каким-нибудь мотком ржавой проволоки, выставле
наглым жуликом. Бедных учителей, а за ними и учеников за
п
р
о
и
з
н
о
с
и
т
ь бессмысленные с
о
ч
е
т
а
н
и
я слов, выдавая их за умо
чения, з
а
у
ч
и
в
а
т
ь формулировки определений, делающих определяе
понятие абсолютно неузнаваемым. В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е учащиеся получаю
кажённое представление о том, что такое г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е доказате
д
и
с
к
р
е
д
и
т
и
р
у
е
т
с
я сама идея доказательства. К счастью, здравый
у
ч
и
т
е
л
е
й и учеников не позволяют всем этим извращениям про
в сознание, а уж тем более там закрепиться. Однако при этом
и
н
т
е
р
е
с к предмету.
Причиной снижения интереса к геометрии является также и
вт
е
ч
е
н
и
е длительного времени учащиеся, по существу, не получа
ких новых знаний, а то, чем они занимаются на первых уроках
просто н
а
в
е
в
а
е
т скуку и вызывает усталость. И к тому же, как
отмечали, основы геометрии плохо связаны с основной (нечаянны
ламбур) частью школьного курса геометрии. Нелепо, обучая как
ремеслу, сначала долго и
з
у
ч
а
т
ь свойства используемых инструм
По ещё нелепее начинать с изучения свойств инструментов, кот
в дальнейшем не придётся пользоваться. Но именно так с
т
р
о
я
т
с
я
•^Урсы геометрии.

154 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Научность и доступность. Одна из важнейших и трудноразр
шимых задач, возникающих перед авторами, пишущими для с
школы, — это задача разумного и, в некотором смысле, оптим
сочетания научности и доступности курса. Но, наверное, ни в
другом предмете эти проблемы не встают с такой остротой,
метрии. Уже сам термин «научность» понимается разными автора
разному. Но и уяснив для себя, что такое научность, автор с
с огромной массой проблем: от чисто литературных до специф
методических. Как найти ту тропинку, по которой надо провест
ника, не потеряв его в колючих зарослях математических тонкос
утопив в болоте невежества? Ведь упомянутые заросли находятся
на б
е
р
е
г
у упомянутого болота.
Плохо математически образованный автор, конечно же, не с
п
о
создать качественный учебник даже для начальной школы, но б
опасность представляют и математики-профессионалы, рассматрива
щие школьную математику как часть математической науки, смот
на неё сверху вниз. (Школьная математика и математическая н
носятся друг другу примерно как физкультура и спорт.) В к
а
ч
е
с
водства к действию разумно, наверное, взять формулу, которой
следовать свидетель в суде, правда, несколько её урезав: «Говори
ду, только правду и ничего, кроме правды». Как видите, здесь о
о
б
я
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о говорить всю правду.
В этой связи упомянем одну очень важную научно-методическу
блему, связанную с выстраиванием с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о курса геометр
проблему легализации знаний. Эта проблема относится и к содержан
обучения (какая?) и к методике (как?). Не секрет, что к нача
матического курса учащиеся располагают достаточно большим за
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х знаний, полученных как самостоятельно из личного
та, так и в процессе обучения в предыдущих классах.
Логика же с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о курса вынуждает нас в начале с
на ученика как на некую tabula rasa, которая должна постепенно
делённом порядке заполняться. Один разумный школьник, объясня
такое геометрия, заметил, что «в геометрии есть квадрат, но это
но доказать». В результате, с одной стороны, ученик длительное
по существу, не получает никаких новых реальных знаний, а с
многие имеющиеся у него знания остаются невостребованными.
сюда почти неизбежна потеря интереса к предмету. Необходимы
совместные усилия ученых и методистов, чтобы этого не допусти
Две основные фигуры геометрии: треугольник и окружность.

Выделяя этот пункт в концепции, мы тем самым подчёркиваем, ч

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

л
а
г
а
е
м
а
я нами геометрия — это, в первую очередь, г
е
о
м
е
т
р
и
я
Х
а
к
о
й подход может п
о
к
а
з
а
т
ь
с
я малосовременным и даже арха
Куда как современнее выглядят курсы, основанные на идее пре
ния плоскости на координатной или векторной основе.
Но, как ни странно, подобные современные подходы значит
сужают творческое поле геометрии, ряд г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х фактов
у
к
л
а
д
ы
в
а
е
т
с
я в эти теории, за кадром о
с
т
а
ё
т
с
я большинство р
ных приёмов, благодаря которым геометрия и превращается в
рода искусство, которые образуют основной развивающий поте
геометрии. И с этой точки зрения выделяется роль двух фигур:
ника и окружности (правильнее было бы с
к
а
з
а
т
ь «круга», по
окружность — не фигура, а линия).
С одной стороны, т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к и окружность как бы ограни
у
ч
е
б
н
о
е пространство. Треугольник — простейший многоугольник и
же простейшая фигура. Окружность — единственный изучаемый в
п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
е
л
ь класса гладких фигур, она п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т собой илл
цию идеи предельного перехода. Между треугольником и окружно
расположены всевозможные многоугольники, исчерпывая тем самым
изучаемые в школе фигуры.
С другой стороны, окружность в некотором смысле фигура
первичная, чем треугольник. Исторически элементарная геометрия —
г
е
о
м
е
т
р
и
я циркуля и линейки, а здесь важнее циркуль. Ведь
можно рассматривать как окружность бесконечного радиуса (опят
дельный переход, но уже в другом направлении). Также подчё
роль окружности известный факт, что все построения на плоск
полняемые циркулем и линейкой, могут быть выполнены одним ци
Са
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
о
й точки зрения треугольник является достаточно
ным объектом, он описывается уравнением т
р
е
т
ь
е
г
о порядка.
Кроме того, треугольник и окружность задают два важнейших
геометрии. С треугольником связан метод, который можно н
а
з
в
а
т
ь
дом ключевого треугольника». В изучаемом объекте выделяется од
несколько треугольников, к исследованию которых сводится данная
ча. Можно утверждать, что таким образом решается подавляющее
шинство г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач. С окружностью связан ряд т
е
х
н
и
ч
приёмов и методов, в частности, так называемый метод вспомога
окружности. Большинство трудных задач — это задачи про окруж
Уже поверхностное знакомство с олимпиадными задачами показы
что во многих з
а
д
а
ч
а
х в условии упоминается окружность; и оч
о
т
с
у
т
с
т
в
о
в
а
в
ш
а
я в условии окружность появляется в решении.
На наш взгляд, одной из причин снижения уровня г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
Подготовки в сегодняшней школе является н
е
д
о
с
т
а
т
о
ч
н
о
е внимание п

156 • И.Ф.Шарыгин о математике и не только о ней

грамм и учебников к геометрии окружности. Треугольник
геометрии,

окружность

— её

— это кле

душа.

Методы геометрии. Существует традиция, в с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
и с ко
рой в содержание г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х курсов не включаются методы
рии. Исключение делается для двух: в
е
к
т
о
р
н
о
г
о и координатного.
и они изучаются больше как самостоятельные разделы, чем как
рические методы, которые могут быть использованы в задачах, в
которых нет ни векторов, ни координат. Справедливости ради
заметить, что иногда также школьникам внушают, что эти дв
являются универсальными, любая задача может быть с их п
решена. Так, кстати, думают многие победители математических
пиад. И бывает жалко талантливых ребят, когда видишь метры
исписанной ими для решения пустяковой г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й задачи.
Методы геометрии можно разбить на пары двумя способами:
внутренние и внешние, общие и частные. С точки зрения такой
кации векторный и координатный методы являются внешними и о
Наибольший же интерес, на наш взгляд, представляют как раз
внутренние и частные. Именно они дают нам красивые г
е
о
м
е
т
р
решения. И эти методы должны быть включены в содержание
геометрии.

Система задач. За многовековую историю в геометрии образо
лась большая коллекция всевозможных задач. Некоторые из них
в золотой фонд геометрии. Без знакомства с этими задачами ге
ское знание не может быть полным. Кроме того, г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
иг
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е развитие оценивается в первую очередь через
решать задачи. Полноценный г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
й курс — это объеди
теории и соответствующей системы задач.
Большим н
е
д
о
с
т
а
т
к
о
м некоторых современных курсов геометрии
ляется отрыв от системы задач, они не только не знакомят с ж
из г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й коллекции, но и, что уж совсем странно, ока
далёкими от современной г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й практики, например п
р
а
к
конкурсных экзаменов. Эти курсы обслуживают сами себя, из
тической части выкинуты многие важные факты и теоремы, на
взгляд не очень значительные для развития г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й теор
вместе с ними оказалась з
а
ч
ё
р
к
н
у
т
о
й большая и даже больша
к
л
а
с
с
и
ч
е
с
к
и
х задач.
Три этапа систематического курса геометрии. По с
л
о
ж
и
в
ш
е
й
с
я

в нашей школе традиции с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
й курс планиметрии изу
ся в течение трёх учебных лет. И это выглядит настолько пр

Рассуждения о концепции школьной геометрии •

1

И разумным, что никому не приходит в голову эту традицию
(Последнее утверждение уже устаревает, и появились «горячие»
вы, желающие эту традицию пересмотреть.) Похоже, что и по
и по времени параметры курса определены оптимально. Получа
р
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е трёхлетие также естественным образом распадаетс
т
р
и этапа.
Первый этап. Основная методическая задача — з
а
и
н
т
е
р
е
с
о
в
а
т
ь
в
с
т
у
п
а
е
т в противоречие со скудным и, прямо скажем, скучны
т
и
ч
е
с
к
и
м материалом. По сути дела, ученики не узнают никаки
фактов, происходит упорядочение и систематизация уже накопле
и не очень б
о
г
а
т
о
г
о г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о знания. Учёные и методи
ними и учителя попадают в почти патовую ситуацию. Установка
учность» курса (под этим понимался аксиоматический подход, ко
мы уже обсуждали) провалилась. Возможно, одна из причин про
с
т
о
я
л
а в том, что за дело взялись профессиональные математи
знающие щколу и психологию ученика, зато слишком хорошо
ющие, что такое настоящий уровень строгости. В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е м
чили не интерес к геометрии, а аллергию на неё. Но не м
и вульгарно-упрощённый подход к началам геометрии. Не получи
н
о
г
о научного воспитания или, ещё хуже, получив неправильное
воспитание, не смогут с
т
а
т
ь учёными некоторые одарённые де
в избытке расплодятся журналисты, убеждённые в том, что в
рии Лобачевского параллельные прямые пересекаются и с вос
повествующие читателю о том, как очередной народный умелец
к
в
а
д
р
а
т
у
р
у круга.

Нам кажется, что предлагаемая нами наглядно-эмпирическая
цепция позволяет найти выход из этой ситуации. Теоретическа
к
у
р
с
а на первом этапе такова; трёхмерное пространство, повер
и линии в нём; плоскость, линии и фигуры на плоскости; пр
метрия прямой линии, осевая симметрия, углы и многоугольники,
ность; треугольники, равнобедренный треугольник, признаки равенс
треугольников, некоторые свойства окружности; основные задачи н
строение, г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е места точек, неравенство треугольника, ка
окружностей и некоторые другие факты; повторение.
Всё это сопровождается системой задач, которые можно разб
следующие (пересекающиеся) группы: чисто занимательные задачи; у
ные задачи, развивающие некоторые важные в будущем технически
'^'снты; задачи по топологии, не требующие никаких предварите
знаний; задачи на движение, непрерывное и дискретное; задачи, в
описываемая ситуация может реализовываться различными способ
н др. Что к
а
с
а
е
т
с
я собственно планиметрической части, то он

158 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

достаточно серьёзную научную подоплёку: предлагаемый курс — это
абсолютной геометрии. Особо выделять это о
б
с
т
о
я
т
е
л
ь
с
т
в
о не с
но понимать (имеется в виду учитель) необходимо.
Второй этап. Здесь с
о
с
р
е
д
о
т
о
ч
е
н основной т
е
о
р
е
т
и
ч
е
с
к
и
й матер
ал. Девиз — научить. Начало достаточно очевидно: теория паралле
и сумма углов треугольника. И тут же учащиеся получают один
мых важных инструментов решения г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач, использу
свойства окружности, — теорию вписанных углов. Именно на этой
основан метод в
с
п
о
м
о
г
а
т
е
л
ь
н
о
й окружности.
Следующий шаг в развитии теории не столь очевиден. Во
альтернатива: теория подобия или же теория площадей. Историч
аналогии помогают мало, в реальной истории геометрии многие
развивались одновременно, мы же должны эти разделы упорядоч
времени. Мы всё же считаем, что следующим шагом должна быт
подобия, она в некотором роде первичнее. Предваряет же эту
раздел, п о с в я щ ё 1 ш ы й параллелограммам, трапециям и другим спец
лизированным четырёхугольникам, естественным образом связывающи
теорию параллельных прямых с теорией подобия. Затем теория
переходит в метрическую теорию, в
о
з
г
л
а
в
л
я
е
т которую теорема Пи
ра. Как известно, именно метрические теоремы геометрии создают
для применения а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
х методов, а эти методы являются
ным инструментом решения задач конкурсного типа. Таковы осн
вехи развития теории на втором этапе.
Содержание дополняется различными геометрическими фактами
таким классическим темам, как замечательные точки в треугол
вписанные и описанные четырёхугольники. Безусловно, по идейно
г
р
у
з
к
е ко второму этапу относится и теория площадей, но воз
при этом п
е
р
е
г
р
у
з
к
а вынуждает нас о
т
н
е
с
т
и эту тему к треть
Именно на втором этапе мы имеем возможность начать полн
работу с основным массивом г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач.
Третий этап носит, главным образом, повторительный характе
Исключение составляют первые разделы: это уже упомянутая
площадей, которую мы относим к ядру нашего курса, и главы, п
ные правильным многоугольникам и выводу формул длины окруж
и площади круга, имеющие чисто т
е
о
р
е
т
и
ч
е
с
к
о
е значение. Инструм
повторения являются векторный и координатный методы, т
е
о
р
е
т
и
ч
е
основа которых р
а
з
в
и
в
а
е
т
с
я в следующих главах. Эти внешние п
шению к геометрии и весьма общие методы дают возможность
реть предыдущее содержание с иной точки зрения, записать из
факты и теоремы на другом языке. Следует обратить внимание
что векторы и координаты концептуально не очень хорошо соотв

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

ют предлагаемому курсу геометрии, они являются представителями
математики.
Завершает курс теория преобразований плоскости. Без знако
сэ
т
о
й теорией г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е знание является недостаточным.
того, завершая курс именно теорией преобразований, мы в нек
роде следуем известному в драматургии закону рамки: осевая си
была в начале, ею мы и заканчиваем, показывая при этом, ч
о
с
е
в
о
й симметрии являются важнейшими законами планиметрии.
Некоторые особенности стереометрии. В предыдущих р
а
з
д
е
л
а
х

было сказано несколько слов о стереометрии, был п
р
о
и
з
в
е
д
ё
н
шой сравнительный анализ планиметрии и стереометрии. В р
е
з
у
л
ь
мы пришли к следующим рекомендациям: в первой половине шко
периода (начальная школа и первая ступень средней) с
т
е
р
е
о
м
е
т
р
и
я
ниметрия выступают равноправными партнёрами, причём в конце
периода роль стереометрии несколько возрастает; во второй пол
идёт с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
й курс планиметрии с небольшими выходами в
странство, и завершает г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е образование в средней ш
с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
й курс стереометрии.
Каковы же особенности этого с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о курса? Для н
заметим, что, как и в планиметрии, здесь можно выделить две ч
ла (основы) стереометрии и геометрию тел. В первой части посту
основные свойства пространства, изучаются свойства прямых и п
с
т
е
й в пространстве, параллельность и перпендикулярность. Здесь
с
л
е
д
у
е
т выделить теоремы о перпендикулярности, именно они опре
основные отличия трёхмерного пространства от двумерного и в
с
т
а
н
у
т главными рабочими теоремами стереометрии.
Но основное содержание курса стереометрии с
о
с
т
а
в
л
я
е
т геом
тел, в первую очередь многогранников. Как сказал Пуанкаре: «Не
в природе твёрдых тел, не было бы геометрии». При этом п
м
н
о
г
о
г
р
а
н
н
и
к
и появляются в курсе с самого начала, выполняя ф
своеобразных опор для «подвешивания» прямых. Тем самым мы
мого начала реализуем одну из важнейших п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и
хит
е
о
р
е
т
и
установок: надо научиться привязывать рассматриваемую ситуацию
му или иному простейшему, удобному для изображения многогра
Помимо этого мы с самого начала можем решать простейшие
на построение сечений на изображении многогранника и тем сам
лать наш курс более интересным и содержательным. Подчеркнём,
'Построение на изображении, а не просто построение в пространст
Поскольку построения в пространстве опираются на ряд условно
вроде возможности проведения плоскостей, кажущихся нам прот

160 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

естественными. Нам кажется также, что во многих известных у
объём первой части неоправданно велик, его можно сделать с
у
щ
меньшим безо всякого ущерба для полноты и с
т
р
о
г
о
с
т
и изложе
Что к
а
с
а
е
т
с
я специфики методов стереометрии, то здесь след
делить две крайние особенности. С одной стороны, многие д
о
к
а
з
а
опираются на хорошо развитое пространственное воображение.
ное— увидеть, увидел — понял, а затем и доказал. Важную рол
умение делать чертёж. Чертёж с
т
а
н
о
в
и
т
с
я элементом решения и
ной частью доказательства, среди изучаемых методов есть и спец
методы построения чертежа. А с другой стороны, в стереометрии
тает роль общих и внешних методов, таких как векторный мет
координат. Смысл этих методов также и в том, что с их п
можем компенсировать плохое развитие п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
е
н
н
о
г
о воображе
Вопросы уровневой дифференциации в содержании. Програм­

ма обучения, учебники и учебные пособия должны давать возм
каждому ученику в полной мере р
е
а
л
и
з
о
в
а
т
ь свой интеллектуаль
тенциал. Вопрос, для какого к
о
н
т
и
н
г
е
н
т
а учеников с
о
з
д
а
ё
т
с
я прог
и пишется учебник, является очень важным, концептуальным. В
школе мы в
с
т
р
е
ч
а
е
м математические учебники попроще и посл
одни пишутся для сильных школьников, другие для середняков
слабых, причём последних (учебников, но не учеников) значительн
ще. Наверное, в полной мере о
т
в
е
ч
а
т
ь интересам детей с разны
п
о
д
г
о
т
о
в
к
иии
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
г
о развития учебник по математике
ципе не может. И геометрия здесь не является исключением,
специфика даёт возможность сделать «интеллектуальную толщину» у
ника достаточно большой. При этом ocHOBiioe содержание должно
таковым, чтобы о
б
е
с
п
е
ч
и
в
а
т
ь достаточно высокий уровень подгото
Что к
а
с
а
е
т
с
я конкретной реализации идей дифференциации в
нике, то она идёт по двум линиям: теория и задачи. Вначале
ский курс является единым для всех. Затем в нём появляютс
как углубляющие теорию, так и расширяющие её. Но наиболее
и ярко принцип дифференциации виден в системе задач. Ведь
задача является основным инструментом оценки уровня г
е
о
м
е
т
р
и
ч
подготовки. (Более детально вопросы дифференциации будут обсуж
вт
р
е
т
ь
е
й части.)
Содержание геометрии в классах с углублённым обучением ма­

тематики. Одной из реалий сегодня является появление классов,
мающихся по разным программам, причём это может иметь мес
в пределах одной школы. (Используется явно неудачный термин
фильные классы».) Это имеет место на последних этапах средне

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и • 16

зования. Что к
а
с
а
е
т
с
я математики, то, по мнению большинства эк
она должна р
а
з
в
и
в
а
т
ь
с
я по трём направлениям: общий курс, угл
ный курс и курс для гуманитариев. Реальностью с
е
г
о
д
н
я стали
су
г
л
у
б
л
ё
н
н
ы
м и
з
у
ч
е
н
и
е
м математики.
Совершенно очевидно, что программа по м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
м дисц
нам в э
т
и
х к
л
а
с
с
а
х должна о
т
л
и
ч
а
т
ь
с
я от программ в обычных
но в
о
в
с
е не очевидно, что для э
т
и
х классов надо с
о
з
д
а
в
а
т
ь по
а
в
т
о
н
о
м
н
ы
е учебники. П
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т
с
я вполне разумным и возмо
в
е
с
т
и п
р
е
п
о
д
а
в
а
н
и
е г
е
о
м
е
т
р
и
и в э
т
и
х классах по обычным уч
вернее по таким учебникам, в которых реализованы идеи диффер
ации. Конечно, без н
е
к
о
т
о
р
о
г
о дополнения к этим учебникам
обойтись. В первую очередь это к
а
с
а
е
т
с
я задач. Но не только.
н
е
с
к
о
л
ь
к
о у
в
е
л
и
ч
и
т
ь в объёме и т
е
о
р
е
т
и
ч
е
с
к
у
ю часть, с
о
з
д
а
в д
с
п
е
ц
и
а
л
ь
н
ы
е учебные пособия. Не будем п
е
р
е
ч
и
с
л
я
т
ь темы, которы
д
о
в
а
л
о бы включить в эти пособия. Набор этих тем должен учи
в
ы
п
у
с
к
н
и
к
и этих классов в подавляющем большинстве продолжат
о
б
р
а
з
о
в
а
н
и
е в вузах, в которых математика я
в
л
я
е
т
с
я одним из
или просто основным предметом.

Многие с
т
у
д
е
н
т
ы уже после н
е
с
к
о
л
ь
к
и
х месяцев з
а
н
я
т
и
й матем
ви
н
с
т
и
т
у
т
е начинают думать, что г
е
о
м
е
т
р
и
яз
а
к
о
н
ч
и
л
а
с
ь в школе,
в школе. Надо обладать д
о
с
т
а
т
о
ч
н
о хорошим м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
м обр
н
и
е
м и культурой, чтобы понимать, что это не так, что идеи э
г
е
о
м
е
т
р
и
и буквально пронизывают всю математику, обогащают её.
лодые люди о
с
о
з
н
а
т
ь это в полной мере ещё не в состоян
бы о
ч
е
н
ь неплохо в к
л
а
с
с
а
х с углублённым и
з
у
ч
е
н
и
е
мм
а
т
е
м
а
т
и
к
и
в п
р
о
г
р
а
м
м
у темы, показывающие связи школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и с
м
е
н
н
о
й наукой. Именно в г
е
о
м
е
т
р
и
и такие темы есть, и этим
о
т
л
и
ч
а
е
т
с
я от алгебры.

Геометрия в гуманитарных классах. Содержание м
а
т
е
м
а
т
и
к
и в
м
а
н
и
т
а
р
н
ы
х к
л
а
с
с
а
х вызывает с
е
г
о
д
н
я особенно яростные споры.
ного к
рая р
а
с
п
о
л
а
г
а
ю
т
с
я те, кто убеждён, что никакой с
п
е
ц
и
а
л
ь
н
о
т
е
м
а
т
и
к
и для г
у
м
а
н
и
т
а
р
и
е
в нет и быть не может и о
б
у
ч
а
т
ь
с
яг
у
должны по общей программе. Другие считают, что г
у
м
а
н
и
т
а
р
и
и
•"•оди, абсолютно неспособные к математике и даже умственно отс
вМ
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
м смысле, и им, соответственно, и нужна т
а
к
а
я «ум
но-отсталая» математика. С этими последними, безусловно, никак н
е
'^огласиться.
Однако с
е
г
о
д
н
я мы наблюдаем в к
а
ч
е
с
т
в
е массового явления в
н
о
в
е
н
и
е классов, в которых вовсе не и
з
у
ч
а
е
т
с
я м
а
т
е
м
а
т
и
к
а (оди
Неделю н
е
л
ь
з
я принимать в расчёт), в эти классы широкой
^-1356

162 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

ПОШЛИ в
се неуспеваюшие по математике, объявив себя г
у
м
а
н
и
т
а
р
Забавно, что это явление оправдывается с высоких трибун г
словами о свободе личности и о свободе выбора. Утверждают
ученики старших классов имеют право совсем о
т
к
а
з
а
т
ь
с
я от мат
Но на самом деле при этом как раз наоборот о
г
р
а
н
и
ч
и
в
а
е
т
да личности, например свобода выбора профессии. Мало кто м
школьной скамье полностью осознать свои возможности, интересы
более предвидеть возможные жизненные коллизии. Не получив ж
ного м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования, выпускник средней школы ока
профессионально непригодным для многих современных специальнос
А если вспомнить, что истинные гуманитарии в большинстве своё
ше «работают» правым полушарием, то отлучение от геометрии
ухудшить и их гуманитарные возможности.
И всё-таки, если предположить, что специальная математика
гуманитариев нужна, то какой она должна быть? Своё мнение
торые рекомендации по этому вопросу у нас есть. Но высказ
здесь, даже коротко, мы не будем: нет смысла, непонятно, кто
реализовывать в учебниках и учебных пособиях. Здесь нужно с
о
особых и даже противоположных качеств. Но если авторы, обла
нужным спектром качеств, появятся и пожелают з
а
н
я
т
ь
с
я с
о
з
учебников для гуманитариев, то они наверняка предпочтут р
е
а
л
и
з
о
свои собственные идеи, а не следовать чужой концепции.

Внеклассная работа. Роль геометрии в обучении одарённых
тей. Одной из целей м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования является выя
и обучение одарённых детей. (Мы не будем у
с
т
р
а
и
в
а
т
ь здесь д
на тему, что такое одарённость вообще и математическая в ч
Она завела бы нас слишком далеко. Но все же заявляем: опр
ответ на этот вопрос у нас есть и он не очень совпадает с
ответом, даваемым психологами.) Надо иметь в виду, что м
а
т
может помочь в развитии и обучении не только математически о
детей. И здесь мы вновь можем добавить: особенно велики при
можности геометрии. Работа с одарёнными детьми, начавшись в
вз
н
а
ч
и
т
е
л
ь
н
о
й мере выходит за его границы и имеет больше
внеклассный характер. Её основные виды: кружки, олимпиады, спец
ные школы, изучение дополнительной литературы. К сожалению, е
федеральной программы по обучению одарённых детей у нас не
занимаются отдельные энтузиасты, ничем структурно не связанные
другом, кроме личных знакомств.
Обычно более или менее регулярная работа со способными к
тике детьми н
а
ч
и
н
а
е
т
с
я в 5-м или 6-м классе. Основные формы

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

16

деятельности: класс, кружок, математическое соревнование. Цель —
интересовать, привлечь внимание к математике всех потенциально
собных детей. Если угодно, на этом этапе учителя-предметники в
в своеобразную конкурентную борьбу за умы и души детей, ве
рённые дети почти в
с
е
г
д
а разносторонне одарены, надо предъяв
широкий спектр будущих возможностей, чтобы они смогли сделат
выбор. (Не хочется г
о
в
о
р
и
т
ь «правильный».) Г
е
о
м
е
т
р
и
я является к
т
е
м предметом, который может показать математику с самой пр
т
е
л
ь
н
о
й стороны, выполнить роль «зазывалы». Что к
а
с
а
е
т
с
я н
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о материала для этого возраста, то он хорошо
и доступен, более того, некоторые новые учебники содержат спец
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
й материал занимательно-привлекающего характера.
Следующие два этапа учебной д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
и с одарёнными уче
о
п
р
е
д
е
л
я
ю
т
с
я целями: выявить и научить. Здесь необходимо отме
ч
т
оз
а
д
а
ч
а выявить ни в коем случае не должна с
в
о
д
и
т
ь
с
я к
акции, это — процесс, который, вообще говоря, может продолжат
к
о
н
ц
а обучения. Характерной особенностью р
а
з
в
и
т
и
я одарённых д
я
в
л
я
е
т
с
я наличие резкого скачка, который может произойти и
поздно.
в старших классах формы работы с одарёнными с
т
а
н
о
в
я
т
с
я
разнообразными, вплоть до самостоятельной научной деятельности
о
п
я
т
ь лидер — геометрия. В геометрии можно обнаружить новые
и теоремы, имеющие научный интерес, формально не выходя
знаний, очерченный школьной программой. В других разделах ма
т
и
к
и это почти исключено. (Разве что в теории чисел?) Можно
ч
т
о именно в области геометрии
достигает
своего
значения расстояние
между школьной математикой
тической
наукой.

и

наименьшего
матема­

Одним из самых главных принципов, на которых должна с
т
работа с одарёнными детьми, — это принцип демократизма, а точн
пара дополняющих друг друга принципов: демократизм и элитарн
З
а
д
а
ч
и многочисленных математических олимпиад для старших шк
н
и
к
о
в если и похожи на обычные школьные, то лишь в части
При этом нередко оказывается, что единственной задачей, с кот
'^правился отлично подготовленный олимпиадный профессионал, —
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я задача, и именно эту задачу почти в единственно
решил впервые пришедший на олимпиаду школьник. Получается, чт
'^'етрия, с одной стороны, — наиболее демократическая часть шко
"Математики, а с другой, — наиболее элитарная.
Т
е
о
р
е
т
и
ч
е
с
к
и
й материал школьного учебника по геометрии может
жить хорошей базой для работы с одарёнными учениками. Его

164 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

немного расширить, включив такие разделы, как инверсия, элемен
ективной геометрии, теоремы Чевы, Менелая, Карно и т.д. и т.

Взгляд в будущее. Чтобы не опоздать завтра, уже с
е
г
о
д
н
начать обдумывать изменения в содержании м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о обра
ния, возможные в будущем. Что к
а
с
а
е
т
с
я н
е
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х дисц
то здесь можно с
д
е
л
а
т
ь некоторый обоснованный прогноз. Нап
с
т
а
н
о
в
и
т
с
я совершенно нетерпимым о
т
с
у
т
с
т
в
и
е в школьной мате
ке вероятностных идей, без элементарного знания теории в
е
р
о
я
т
в конце XX с
т
о
л
е
т
и
я нельзя с
ч
и
т
а
т
ь
с
я образованным человеком.
введение в школу теории в
е
р
о
я
т
н
о
с
т
е
й совсем не противоречит
пу историзма. А какой будет школьная геометрия? Этим вопрос
и закончим вторую часть.
3. Некоторые вопросы методики

Методику можно коротко определить как сумму образовательны
нологий. В последнее время появилось великое множество новых
зовательных технологий, большинство из которых носит сомнител
характер. В г
е
о
м
е
т
р
и
и с особенно большой осторожностью над
ходить к многочисленным новациям в обучении. Все эти и
с
к
у
с
с
методики могут разрушить экологическую ч
и
с
т
о
т
у геометрии, о
к
а
з
вредными в отдалённой или даже не очень отдалённой перспект
и
з
в
е
с
т
е
н целый ряд примеров, на основании которых можно
вывод, что даже не очень длительное общение школьников с ком
у
г
н
е
т
а
е
т некоторые мыслительные процессы, подавляет г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
мышление, и им т
р
е
б
у
е
т
с
я значительное время для восстановления
можно привести аналогию с технологиями в пищевом и сельск
ственном производстве: продукты, изготовленные по старинным ре
там, овощи, выращенные дедовским способом, оказываются п
и
т
а
т
е
л
и полезнее.
Мы, конечно же, не выступаем против всех новейших т
е
х
н
о
л
о
г
и
разовании, в частности, компьютерных. Мы против н
е
п
о
с
р
е
д
с
т
в
е
н
н
о
общения детей с компьютером, особенно в больших объёмах и
ших классах. Другое дело — компьютерная поддержка образовани
пользование компьютера в к
а
ч
е
с
т
в
е помощника учителя. Вообще
о роли и месте компьютеров в математическом образовании, о
зе и вреде компьютера, о взаимоотношениях между математикой
форматикой, — вопрос особый и требующий специальных исследова
Здесь очень много неизвестного, н
е
д
о
к
а
з
а
н
н
о
г
о и спорного. Во
случае, именно сторонники
безопасность
предлагаемых

компьютеризации
должны
доказывать
ими образовательных
технологий
для

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

здоровья новых поколений. Но, похоже, большие деньги, сопровожда
ющие внедрение компьютеров, мешают трезво посмотреть на сут
Большинство современных методик преподавания математики и
бенно компьютерно-ориентированные методики нацелены на школьни
с доминирующим левым полушарием. Порой они просто подавляю
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е мышление. Многие из них основаны на теории поэ
формирования умственных умений. (Сама по себе теория эта
б
а
н
а
л
ь
н
а и стара, и вряд ли стоит наклеивать на неё э
т
и
к
е
т
к
у
Но интеллектуальные

умения

могут

формироваться

не

только

поэтапно, но и скачкообразно.
Возможно, именно последний тип
х
а
р
а
к
т
е
р
е
н для школьников с доминирующим правым полушарием
этом интересно то, что могут в
о
з
н
и
к
а
т
ь умения, которые спец
не отрабатывались в упражнениях. Так, занятия г
е
о
м
е
т
р
и
е
й могут
с
о
б
с
т
в
о
в
а
т
ь улучшению арифметических умений учеников началь
ис
р
е
д
н
е
й школы.
Обычная жалоба ученика, сталкивающегося с незнакомой зад
«Нас этому не учили», — очень часто вызывает сочувствие. Но
учить делать

то, чему не учили

(не в
ы
х
о
д
я за р
а
м
к
иф
о
р
м
а
л
ь
н
о
г

содержания учебной программы) и есть важнейшая задача образо
во всяком случае образования, ставящего и
н
т
е
л
л
е
к
т
у
а
л
ь
н
о
е и творч
р
а
з
в
и
т
и
е своей целью. А отсюда возникает и частная задача с
ней м
е
т
о
д
и
к
и — разработка

специальных

методик

для

«интеллек­

туальных левихей». И в этой связи один важный вопрос, на п
в
з
г
л
я
д совершенно второстепенный.

Каким должен быть учебник по геометрии? Задавая этот в
мы имеем в виду вовсе не содержание (это обсуждалось во вто
Речь идёт об оформлении. Правильно художественно оформленный
ник может повысить к
а
ч
е
с
т
в
о обучения, плохое оформление мож
г
у
б
и
т
ь самый лучший текст. (Плохое оформление — это не толь
ник на г
а
з
е
т
н
о
й бумаге, нельзя превращать его в рекламный п
Учебник должен и ч
и
т
а
т
ь
с
я (книга для чтения), и смотреться
с картинками). В идеале можно мечтать об учебнике, состоящем
параллельных текстов — словесного и изобразительного, когда кар
ки -— не только иллюстрации, но и, выстраиваясь в последовате
образуют своего рода изотекст, изоконспект учебника.
Упомянем также и проблему языка учебника. Математические
сты часто страдают языковым однообразием, тяжеловесностью и
•косноязычием, они плохо с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
ю
т лучшим образцам русского
р
а
т
у
р
н
о
г
о языка. (В к
а
ч
е
с
т
в
ео
т
р
и
ц
а
т
е
л
ь
н
о
г
о примера можно взять
•"•Обой учебник математики.) Да и математический язык представл

166 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

собой набор штампов. При этом необходимость точно выразить
не забыв все нюансы, приводит к многословию, составленному
же штампов. В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е даже простые утверждения часто с
т
а
малопонятными. С другой стороны, хорошо литературно оформлен
пояснения к математическим текстам обычно неточны математич
И возникает малоприятная альтернатива: либо математически точн
не очень литературно, либо вполне литературно, но не очень точ
бы и то, и другое.
Отступление от темы: Геометрическая задача как главное средство
решения основных задач геометрического образования и,
в частности, её роль при реализации идеи уровневой
дифференциации

Математика о
т
л
и
ч
а
е
т
с
я от большинства других школьных п
р
е
д
также и тем, что на её уроках очень много внимания у
д
е
л
я
е
т
задач. Геометрия, в свою очередь, выделяется среди других ма
ческих дисциплин также и особой ролью г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й задач
заметил один остроумный учитель математики, задачи бывают ст
дартные,

нестандартные

Задача как цель и

и по

геометрии.

средство обучения. Принцип активизации

учебной деятельности. Главная функция методики заключается в оп
делении средств и методов, с помощью которых на базе име
содержания реализуются основные цели обучения. А для начала
этим общим, развивающим целям обучения поставить в с
о
о
т
в
е
конкретные учебные цели. Первый шаг состоит в том, что мы
ем своей целью математическое и, конкретнее, г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е раз
заменяя им одним все перечисленные в целях виды развития, и
такую замену вполне адекватной.
Теперь возникает вопрос о способах измерения уровня геоме
ского развития и методах повышения этого уровня. И тут е
с
т
е
образом мы вспоминаем о таком явлении, как г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я
Постулируется следующее утверждение: уровень г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о р
вития школьника э
к
в
и
в
а
л
е
н
т
е
н уровню сложности решаемых им
Задача с
т
а
н
о
в
и
т
с
я одновременно и целью, и средством обучени
наши проблемы п
е
р
е
в
о
д
я
т
с
я в плоскость задач: мы должны р
а
з
р
а
методы оценки уровня сложности задачи и методики, развивающи
ние решать достаточно сложные задачи.
На роль задачи в математическом образовании можно посмо
и с другой позиции. Виды учебной д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
и можно упорядо
степени а
к
т
и
в
н
о
с
т
и ученика. С одного края располагаются пасси

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

16

ВИДЫ учебной деятельности, а с другого — активные. Можно прин
зксиому, что более активные виды учебной д
е
я
т
е
л
ь
н
о
с
т
и дают
результат. Отсюда следует принцип активизации учебной д
е
я
т
е
л
ь
к
а
к один из ведуших м
е
т
о
д
и
ч
е
с
к
и
х принципов. Что к
а
с
а
е
т
с
я ма
ки, то в ней явно пассивные виды отсутствуют. К наиболее п
следует о
т
н
е
с
т
и следующие виды учебной деятельности: работа с
ником и слушание лекций. Хотя о какой п
а
с
с
и
в
н
о
с
т
и здесь мо
речь, когда перед учеником в процессе чтения м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
оу
слушания лекции возникает проблема понимания, а процесс пони
т
р
е
б
у
е
т активной умственной работы. И всё же процесс работы
ником гораздо менее активен, чем процесс работы над задачей
над з
а
д
а
ч
е
й является самым активным видом учебной математич
деятельности. Таким образом, принцип активизации учебной д
е
я
т
е
л
ь
н
также выводит на первые роли в учебном процессе задачу.
Если считать, что учебник и задачник — это п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
е
л
и кра
с
т
е
п
е
н
иа
к
т
и
в
н
о
с
т
и видов учебной математической деятельности, то
ду ними р
а
с
п
о
л
а
г
а
е
т
с
я так называемая рабочая т
е
т
р
а
д
ь — методи
и
з
о
б
р
е
т
е
н
и
е последнего времени. Рабочая тетрадь — нечто промеж
ное между учебником и задачником.
Такова схема, причём сильно упрощённая. Однако она вполне
т
е
о
р
е
т
и
ч
е
с
к
и и практически. Теоретические удобства вполне очев
Можно также надеяться, что подобный акцент на з
а
д
а
ч
у не
к упрощённому в
з
г
л
я
д
у на учебный процесс. На практике же
димость научить школьников решать г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е задачи вынуди
з
а
н
и
м
а
т
ь
с
я самыми различными видами учебной деятельности, на п
в
з
г
л
я
д далёкими от решения задач. Так, шахматисты в свою п
ку включают игру в футбол, а футболисты — игру в шахматы.
опасения, что при таком сужении целевого множества обучение
однобоким, можно отбросить. Впрочем, любой учитель математики
жет, что никакого упрощения предлагаемая схема не даёт. С
наша г
л
а
в
н
а
я цель — научить решать задачи, согласны многие (х
все), и если бы учителя умели бы это делать (и решать, и учи
то... (Здесь автору не хватило воображения, вместо многоточия по
Можно что угодно, поскольку в с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
и с законами логики из
посылки что угодно и следует.) И кроме того, в процессе обучени
о
г
р
а
н
и
ч
и
в
а
т
ь
с
я лишь задачами определённого уровня сложности, с
в
е
т
с
т
в
у
ю
щ
е
г
о реальным и даже потенциальным возможностям учен
Задана — это не только

умения,

задача

— это также

и

элемент

^чания. Есть целый ряд очень красивых и трудных задач, вх
в з
о
л
о
т
о
й фонд геометрии. Эти задачи должны быть включены
Наравне с важнейшими теоремами. Знание этих задач, умение их (и

168 • И. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

их) решать относится к важнейшим знаниям и умениям, какими
овладеть ученик в процессе обучения.

Вопросы классификации задач. (Содержание этого и н
е
с
к
о
л
следующих пунктов о
т
н
о
с
и
т
с
я главным образом к с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
м
у
су планиметрии.) Мы не будем здесь обсуждать, что такое зад
матическая вообще и г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я в частности, и вовсе не п
на него в методической литературе уже дан ответ, тем более
этот п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т
с
я абсолютно бессмысленным и противоречащим
вому смыслу. (Не хотелось бы этот полунамёк расшифровывать, у
конкретные названия и имена.) Будем считать, что каждый но
развитой человек имеет представление о математической задаче и
бен её отличить от всего иного. Конечно, существуют пограничны
но они большого интереса не представляют. Прежде всего н
и
н
т
е
р
е
с
о
в
а
т
ь вопросы классификации именно г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач
Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е задачи образуют необычайно пёстрое множес
в котором почти о
т
с
у
т
с
т
в
у
ю
т большие однородные участки. Суще
много критериев, по которым можно классифицировать эти
Для наших целей мы вполне можем обойтись несколькими, д
о
с
грубыми и даже немного наивными, классифицирующими признака
Рассмотрим следующие способы классификации задач: по зада
по объекту, по теме, по методу и по сложности. Особенно нас
последний способ классификации, но сначала о первых четырёх.
По заданию задачи можно разделить на типы: задачи на вы
на доказательство, на г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е места точек, на построение
метрические н
е
р
а
в
е
н
с
т
в
а и задачи на максимум и минимум. Вот,
и все типы заданий. Наиболее распространённым типом выглядят
задачи на вычисление, в их условии фигурирует задание «найт
«найдите»). Конечно, провести точную границу между задачами р
типов не очень просто, за счёт простой переформулировки мож
в
с
е
г
д
ап
е
р
е
в
е
с
т
из
а
д
а
ч
у с заданием «доказать» в задачу с задани
ти». Обратное у
д
а
ё
т
с
я сделать гораздо реже. С точки зрения
процесса, возможностей для его интенсификации и контроля, наи
удобными являются задачи на вычисление, в них п
р
и
с
у
т
с
т
в
у
е
т так
ная деталь, как ответ. Они также наиболее привычны для шко
кажутся менее страшными.
Значительная часть задач на вычисление — это задачи с чи
данными. Обучающую и развивающую роль этих задач трудно п
нить, через них в первую очередь происходит взаимодействие г
е
с арифметикой и алгеброй. Серьёзным н
е
д
о
с
т
а
т
к
о
м задач на вычи
является вырабатываемая почти поголовно привычка фетишизиров

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

ответ, особенно ответ, данный в учебнике. Попадая в ситуацию
иные школьники начинают с
т
р
а
д
а
т
ь из-за невозможности сверить
|4 тем не менее задачи на вычисление имеют достаточно высок
ч
е
с
к
и
й потенциал, как правило, перед и
с
с
л
е
д
о
в
а
т
е
л
е
м с
т
а
в
и
т
с
я з
«найти», в том числе и «найти, что надо доказывать».
Для нас важна ешё одна особенность задач на вычисление
можно предложить некую весьма обшую схему решения, схему
решения (что важнее), методику обучения этому поиску и не
формальные признаки, по которым можно оценивать уровень с
с
т
и этих задач. Короче говоря, задачи на вычисление лучше
м
е
т
о
д
и
ч
е
с
к
о
й обработке, и именно их мы выбираем в к
а
ч
е
с
т
в
ео
типа учебных задач. Это, конечно, не означает, что задачи дру
мы из учебного процесса исключаем.
Нормальное г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е развитие немыслимо без усвоения
т
о
р
о
г
о базового объёма задач на построение, на г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
т
о
ч
е
к и других. Просто задачи этих типов вначале остаются н
уровне, и г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е развитие школьников идёт, в основном,
з
а
д
а
ч на вычисление. Полноценное включение в учебный процес
на д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о и иных происходит на достаточно высоком
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о развития. Кроме того, на первом этапе с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
курса геометрии объём решаемых задач на вычисление относи
н
е
в
е
л
и
к из-за о
т
с
у
т
с
т
в
и
я необходимой т
е
о
р
е
т
и
ч
е
с
к
о
й базы и те
ского арсенала.
По рассматриваемому объекту задачи могут быть на треуголь
трапецию, на окружность или иные фигуры, в зависимости от т
из них фигурирует в условии. Это и есть классификация по об
нятно, что такой подход весьма условен, очень часто одну и т
безо всяких изменений можно вполне обоснованно о
т
н
е
с
т
и к
типам. Можно, конечно, предложить более детальную классифика
два треугольника, три окружности, окружность в параллелограмм
это не очень е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о и не с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т содержанию курс
разумным и удобным для учебных целей будет следующий подхо
дачах на т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к выделяется подмножество задач на медиан
Но мы не будем в
д
а
в
а
т
ь
с
я в эти детали, а, о
с
т
а
в
а
я
с
ь на ни
классификационного дерева, объявим, что основными у нас будут
про т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к и окружность. Это с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т нашей концепц
Классификация задач по теме носит чисто учебный характе
ч
а
с
т
и
ч
н
оп
е
р
е
с
е
к
а
е
т
с
я с классификацией по объекту. Например, оп
ный четырёхугольник — это и учебная тема, но это, безусловно,
Но вполне могут быть задачи на теорему косинусов, а это у
тема в чистом виде. Здесь следует иметь в виду, что класси

170 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

теме должна быть привязана к учебной программе, и если тем
и
з
у
ч
а
е
т
с
я раньше темы площади, то в з
а
д
а
ч
а
х на подобие мы
права п
р
е
д
п
о
л
а
г
а
т
ь знания формул для вычисления площади.
Классификация по методу также имеет учебный характер. О
ность здесь состоит в том, что задача классифицируется вместе
её решения. Такой подход правомерен для задач чисто учебно
ня, в которых предлагаемый метод или очевидно единствен, и
п
р
е
д
п
о
ч
т
и
т
е
л
ь
н
е
е других. На наш взгляд, п
е
д
а
г
о
г
и
ч
е
с
к
и неверно
задачу с требованием решить её именно таким способом, если
иной, более короткий и красивый и не очень замаскированный
решения.
Мы уже упоминали, что методы бывают внутренние и внешние
и частные, а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
е и геометрические. Это самая общая кл
кация методов решения. Взаимоотношения различных методов реш
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач, их описание, рекомендации по применению —
для о
т
д
е
л
ь
н
о
г
о и большого исследования. Мы же ограничимся т
заявим некоторые приоритетные методы и коротко объясним наш
Прежде всего, это метод ключевого т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а как общий и в
метод. Этот выбор можно не объяснять. Следующее наше пред
выглядит с точки зрения концепции не очень логичным. Несм
то что нашей главной целью является научить г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
м
у
ду, учить мы начинаем методу алгебраическому. Причина в том
более т
е
х
н
о
л
о
г
и
ч
е
н и более привычен. Он удобен уже тем, ч
ясно выделяются две модификации: прямое вычисление и с
о
с
т
а
уравнений. Эти модификации имеют очевидные аналогии в виде т
е
арифметических задач и текстовых а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
х задач. Как с
л
е
этих особенностей, а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
й метод легче у
с
в
а
и
в
а
е
т
с
я учени
технология обучения этому методу проще. Алгебраическому методу
суще такое качество, как прагматизм. Нельзя сказать, хорошо
плохо. По отношению к слабому ученику это хорошо, поскольку
ляет его веру в себя, развивает, а по отношению к сильному
плохо, поскольку обедняются его возможности и тем самым тор
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е развитие. Среди большого количества внутренних и
ных методов и приёмов мы выделяем несколько видов дополнит
построений: соединить две точки отрезком, продолжить отрезок п
через данную точку провести прямую, параллельную или перпе
лярную данной. Смысл этих приёмов необычайно прост: у
в
е
л
и
ч
и
в
число т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в (метод ключевого треугольника), появляются
вые возможности для применения а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
х методов, поско
большинство метрических теорем о
т
н
о
с
я
т
с
я к геометрии треуголь
Получается достаточно стройная методическая картина.

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и • 1

Теперь мы переходим к проблеме классификации задач по
сти. Для начала необходимо разумно п
о
с
т
а
в
и
т
ь проблему. Даж
т
е
о
р
е
т
и
ч
е
с
к
и множество г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач, пусть даже огра
ное сделанным нами выбором, не может быть упорядочено по
сложности, ведь задача может быть решена разными способам
того, уровень сложности может меняться во времени в процесс
ния, то, что сложно сегодня, может о
к
а
з
а
т
ь
с
я простым завтра
н
и
к
а
к
о
й необходимости пытаться искать способы упорядочения бо
м
а
с
с
и
в
о
в задач. Самым правильным выглядит подход, принятый м
а
в
т
о
р
а
м
и различных задачников. Задачи разбиваются по степени
н
о
с
т
и на несколько групп. Отсюда и первый вопрос: сколько та
сложности следует выделить? Ответив на этот вопрос, мы можем
р
а
з
р
а
б
о
т
к
у технологии, посредством которой з
а
д
а
ч
у надо о
т
н
е
с
т
и
или иной группе по сложности. При этом мы, чтобы не усложня
му, будем и
н
т
е
р
е
с
о
в
а
т
ь
с
я не текушей оценкой задачи, а только
И тут мы плавно п
е
р
е
т
е
к
а
е
м в русло другой методической проб
Уровневая дифференциация и её реализация в системе задач.

Итак, вопрос об оценке уровня г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й п
о
д
г
о
т
о
в
к
и учен
с
в
е
л
и к оценке уровня сложности задач, которые он умеет ре
э
т
о
м мы рассматриваем не всё множество задач, а указанным в
собом отобранное его подмножество, и желаем для рассматриваем
дачи из этого подмножества у
к
а
з
а
т
ь группу сложности, класс сл
к которому эта задача принадлежит. Первый шаг состоит в опр
ч
и
с
л
а этих групп или классов сложности. Наша школа уже давн
о
н
и
р
у
е
т по трёхуровневому принципу: 3, 4, 5 (удовлетворительно, хор
отлично). Таковы уровни знания, поскольку 2 (неудовлетворительно
э
т
о незнание. Мы будем называть наши три уровня: уровни А
По этому принципу мы можем построить дерево уровней. А, Б и
первый слой ypoBtiefl. Второй слой содержит уже 5 уровней: АА, А
БВ и ВВ. В принципе этот процесс может быть продолжен и
это кажется уже бессмысленным.
А теперь мы сформулируем два принципа, а вернее один
принцип, определяюший идеологию уровневой дифференциации: реализм
" динамика. Первая часть нашего принципа требует от нас при
делении х
а
р
а
к
т
е
р
и
с
т
и
к каждого уровня учитывать реальную ситу
в школе, а второй утверждает необходимость к
а
ч
е
с
т
в
е
н
н
о
г
о и как
более з
н
а
ч
и
т
е
л
ь
н
о
г
о в
о
з
р
а
с
т
а
н
и
я сложности задач при переходе
н
о
г
о уровня к следующему. Будем считать, что в
о
з
р
а
с
т
а
н
и
е сло
Происходит в направлении от А к В. Первая часть принципа тян
вниз, к земле, а вторая — вверх. Возрастание сложности от

172 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

уровня К высшему определяет некий уровневый зазор, создаёт сво
разность потенциалов. Этот зазор не может быть слишком ма
тогда развиваюшие возможности геометрии будут невелики. Но
практическое о
т
с
у
т
с
т
в
и
е такого зазора мы часто наблюдали и на
в реальной школе. Этот зазор не должен быть и слишком в
произойдёт разрыв между уровнями и для многих школьников
стимулы для развития.
Следующим шагом будет определение главного, ведущего уровн
ществуют два крайних подхода. Первый: главным является верхн
него идут две ступени вниз. Второй, соответственно, — снизу вв
добно тому как, определяя школьную оценку, мы исходим из
представления либо о пятёрке, либо о тройке. Каждый подхо
свои недостатки. Первый ориентирован на элиту и слабые учени
о
к
а
з
а
т
ь
с
я за бортом математики. Второй же ориентирован име
слабого, здесь в
о
з
н
и
к
а
е
т опасность опускания в
е
р
х
н
е
г
о уровня, е
пания с нижними. В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е потенциал сильных учеников р
е
а
л
недостаточно. С точки зрения социального заказа оба крайних
кажутся неверными. Общество не вправе требовать от школы ма
производства отличников, прекрасно владеющих математикой. Общес
не нужны и троечники, именно они являются виновниками всех с
них катастроф (за исключением природных). Наиболее разумно, по
му мнению, выбрать в к
а
ч
е
с
т
в
е основного средний уровень, соот
ющий оценке «хорошо». От него одна ступенька идёт вверх, а

Указанный выбор уровня т
е
о
р
е
т
и
ч
е
с
к
ио
б
л
е
г
ч
а
е
т нам решение
са об определении параметров, задающих уровень. Если мы опр
границы уровня Б, то тем самым а
в
т
о
м
а
т
и
ч
е
с
к
и определим границ
других уровней. Что же к
а
с
а
е
т
с
я критериев (условий), по которы
определить, какому уровню с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т тот или иной ученик, т
можем говорить о двух типах критериев: о критериях вне рассм
мого уровня и о критериях внутри него. В первом случае речь
о необходимом и достаточном условии с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
я данному уровн
ли ученик не умеет решать хотя бы одну задачу, соответствующ
ной части уровня А, то он не с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т уровню Б (не выпо
ходимое условие с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
я уровню Б). Если же ученик умеет
хотя бы одну задачу основной части уровня В (решает сам, а
шение), то он с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т уровню Б (выполнено достаточное ус
Внутри же самого уровня критерии статистические. Необходимо
решать, скажем, 8 0 % случайной выборки из 10—20% задач уровня
Следующий шаг состоит в заполнении самих уровней. Надо
жить способ или способы, с помощью которых можно у
к
а
з
а
т
ь дл
задачи соответствующий ей уровень. (Напоминаем, что речь идёт

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

г
о
в
о
м уровне сложности.) Способы могут быть формальными и
мальными. Формальными мы считаем способы определения уровня
н
о
с
т
и по некоторым внешним признакам задачи и её решения, п
п
р
и
з
н
а
к
и можно более или менее формализовать.
Неформальные методы сводятся к экспертным оценкам. Но пос
к
у п
о
д
в
е
р
г
н
у
т
ь эксп
ертизе даже большинство существующих зад
п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т
с
я возможным, то сначала с помощью экспертных
с
л
е
д
у
е
тс
о
с
т
а
в
и
т
ь некий задачник-каталог типичных п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
е
л
е
й
ч
а
е
м
о
г
о уровня (прежде всего, уровня Б). В него входят лишь
не поддающиеся формальной оценке. Этот каталог, как подска
практика, может быть вовсе не таким уж большим, задач 200-3
достаточно.
Отбор в этот задачник происходит последовательно, сначала на
о
ч
е
в
и
д
н
о соответствующие рассматриваемому уровню, затем — дру
менее о
чевидные, в конце экспертами внимательно изучаются дв
г
р
а
н
и
ч
н
ы
х слоя. Разработав такой каталог хотя бы для уровн
з
н
а
ч
и
т
е
л
ь
н
о упростим процедуру оценки уровня сложности произво
задачи. Для произвольной задачи возможны четыре случая: она
а
н
а
л
о
г в нашем каталоге, она явно сложнее любой задачи из
она легче этих задач, и последний случай — ни то, ни другое и
В первых трёх случаях всё понятно, а четвёртый требует дополн
экспертизы. После чего задача попадает на свою полку и може
нейшем и
сполнять роль прецедента.
Получившаяся трёхуровневая система задач должна п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
т
п
р
о
с
т
о три группы задач, а быть именно единой системой. А
го она должна реализовывать соответствующие методические прин
Задачи разных уровней должны н
а
х
о
д
и
т
ь
с
я во взаимодействии, пр
функцией нижних уровней является обслуживание верхних, на н
уровне должны быть задачи-детали, из которых на более верхн
с
т
р
у
и
р
у
ю
т
с
я более трудные задачи.
И наоборот, задачи верхнего уровня за счёт каких-то приёмо
реформулировок, выделения отдельных частей — адаптируются к ниж
уровням, растворяются в нём. Это взаимодействие должно происх
как по линии задач, так и по линии идей: на нижнем уро
идейные задачи, на верхнем — многоидейные. Такая система задач
выполнять не только оценочные, но и обучающие функции. Е
но и
н
т
е
г
р
и
р
о
в
а
т
ь в содержание. Таким образом, взаимодействие
содержанием и методикой приобретает новое качество, не только
жание определяет методику, но и методика влияет на содержани
Такова схема, и эта схема п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т
с
я вполне реализуем
Практике.

174 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Элементарные и опорные задачи. На м
н
о
ж
е
с
т
в
е г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х

задач можно выделить два подмножества по другим признакам.
Элементарными мы будем считать задачи, которые могут бы
шены при помощи некоторой формулы в одно действие. То
вид задач о
п
р
е
д
е
л
я
е
т
с
я относительно некоторой формулы, при
одной формуле в
с
е
г
д
а соответствуют несколько элементарных
Например, теорема косинусов определяет три элементарные з
Элементарная задача — не обязательно простая. Всё зависит о
и
з
в
е
с
т
н
а требуемая формула или нет. Иными словами, сложност
ментарной задачи есть к
а
т
е
г
о
р
и
я субъективная. Понятие э
л
е
м
е
н
т
задачи в некоторых случаях можно и
с
п
о
л
ь
з
о
в
а
т
ь для формаль
определения уровня сложности данной задачи, пытаясь разложи
на цепочку элементарных задач, и, в случае такой возможност
висимости от длины этой цепочки определить уровень сложнос
задачи.
Другое полезное в методическом плане множество задач — эт
жество так называемых опорных задач. Дело в том, что умени
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е задачи в большой степени зависит от знания д
о
с
т
количества г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х фактов, в большинстве своём не со
щихся в учебнике, от знакомства с некоторыми частными приё
которых трудно д
о
г
а
д
а
т
ь
с
я самостоятельно. Вот эти факты и
могут быть введены через систему опорных задач. Соответс
у нас будут опорные задачи-факты и опорные задачи-методы.
второго типа иллюстрируют определённый приём решения, причё
иллюстрация должна быть очень ясной и не содержать посторон
месей. Задачу-метод надо запомнить вместе с решением. Как пок
практика, к
о
л
и
ч
е
с
т
в
о опорных задач, нужных хорошему ученику,
не так велико, как это может показаться. Всего за время
ему вполне достаточно накопить 20-30 опорных задач. Повыш
уровня г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
йп
о
д
г
о
т
о
в
к
и школьника требует и увеличения
опорных задач, входящих в его арсенал.
Основная схема решения геометрических задач на вычисление.

Для многих вычислительных задач можно предложить некую схе
шения, опираясь на которую можно о
т
ч
а
с
т
и формализовать проце
шения и даже процесс поиска решения. Схема эта состоит и
этапов:
1. Построение чертежа.
2. Поиск метода решения.
3. Вычисления.
4. Исследование (или анализ).

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

Имеем схему: рисуем, думаем, считаем, снова думаем. Схема э
упрощает в простейших случаях оценку сложности задачи. (Анал
в
а
т
ь э
т
у схему мы будем главным образом для планиметрически
х
о
т
я работает она и в пространстве.) Так, для уровня А х
двухшаговые задачи: рисуем, считаем. Реальное появление других
с
в
и
д
е
т
е
л
ь
с
т
в
у
е
т о повышении уровня сложности. На уровне В во
случаи, когда эта схема «прокручивается» несколько раз. Основны
шей схеме является второй пункт. Его мы обсудим отдельно, а
к
о
р
о
т
к
о об остальных пунктах.
Умение строить правильный чертёж — одно из важнейших б
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х умений. Необходимо выработать у учеников прив
граничащую с инстинктом: начинать решение абсолютно любой г
р
и
ч
е
с
к
о
й задачи с построения чертежа. При этом чертёж долж
«большим и красивым». Подчёркиваем, речь идёт о построении ч
в начале работы над задачей, на черновике, для себя, а не
Как показывает сегодняшняя практика, культура чертежа у совре
школьников находится на очень низком уровне.
И ещё на один вопрос в связи с чертежом считаем нео
ответить. Как лучше строить чертёж, с использованием чертёжн
с
т
р
у
м
е
н
т
о
в или без них? Наш ответ: лучше н
а
у
ч
и
т
ь
с
я обходить
них. Установка на непременное использование чертёжных инструм
закрепощает ученика, сужает оперативное пространство. Очень част
п
о
с
т
р
о
е
н
и
я нужного чертежа т
р
е
б
у
е
т
с
я несколько попыток, но
продолжает работать на заведомо неудачном чертеже, поскольк
жаль потраченных на него усилий. Иногда полезно смотреть на
ч
е
с
к
о
е изображение как на рисунок, а не чертёж. Проблемы, с
с построением чертежа, многократно возрастают в стереометрии.
ние некоторых трудных задач группы В целиком сводится к пос
чертежа.
Отдельно стоит вопрос о методах обучения методам постр
чертежа. Учебники и учебные пособия очень часто просто де
тируют учеников. Они в начале решения задачи, в начале д
о
к
а
з
а
теоремы предлагают чертёж, который может появиться лишь в
конце, они не показывают процесс возникновения этого и
т
о
г
о
в
о
г
тежа, тот своеобразный «мультфильм», который сопровождает э
решения. Кроме того, многие имеющиеся в учебных пособиях
р
и
ч
е
с
к
и
е чертежи сильно усложнены, их не может выполнить
человек.
На этом мы закончим р
а
з
г
о
в
о
р о роли чертежа в геометрии,
очень большая и более или менее полно р
а
с
с
к
а
з
а
т
ь о ней м
в специальной монографии.

176 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

Третий пункт — вычислительный. При его выполнении ученик
рует большею частью н
е
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
м
и знаниями и умениями. Н
же не следует упускать из виду г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е содержание про
мых выкладок, учёт г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о смысла может оказать з
н
а
ч
и
т
помощь в решении. Кроме того, этот этап, связывая алгебру и
требует согласования соответствующих уровней.
Последний, четвёртый пункт далеко не в
с
е
г
д
а возникает в р
з
а
д
а
ч
а
х по существу, но его в
с
е
г
д
а надо делать хотя бы си
Необходимо выработать привычку, закончив решение любой задач
держать паузу, внимательно просмотреть все решение, проверит
подумать, нельзя ли геометрическую ситуацию р
е
а
л
и
з
о
в
а
т
ь иным
зом, и т. п.

Поиск решения — второй этап нашей схемы. Когда мы г
что наша главная цель — научить решать задачи, то мы включ
более общую цель: научить думать. Здесь мы исходим из по
если человек умеет решать достаточно трудные задачи, значит
думать. А для того, чтобы научиться думать, надо именно думат
иногда. Многие школьники, даже неплохо успевающие по математ
самом деле не умеют думать, они лишь думают, что думают,
деле процесс думанья при решении задачи у них заменяется п
оформления решения. Путь решения они или находят сразу ил
ходят вовсе. А если к тому же у них слабые вычислительны
и в процессе вычислений была сделана ошибка, в р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е ко
так и не добрались до конца решения, то они могут о
т
к
а
з
а
т
ь
с
я
идеи. Умение думать при решении задачи проявляется в умени
решение со второй, т
р
е
т
ь
е
й и т.д. попытки, в умении контро
процесс решения, думать в процессе решения, а не только в на
маться трудной з
а
д
а
ч
е
й в течение достаточно продолжительного вр

Нерешённую з
а
д
а
ч
у можно сравнить с запертым замком. Его
открыть, если мы имеем один ключ и ключ этот от данного
иногда могут быть проблемы и в этой ситуации. (Сравните с эле
задачей.) Открыть замок несколько труднее, если ключей несколь
гда же ключей с
т
а
н
о
в
и
т
с
я очень много, открыть замок может
совсем непростым делом. Именно это имеет место в замках с
Первый шаг поиска решения задачи можно сравнить с подборо
из небольшой связки. Но для этого ученик должен эту связку
Поиск решения вычислительной задачи следует начинать с выбо
ной из двух р
а
з
н
о
в
и
д
н
о
с
т
е
й вычислительного метода: прямое вычис
или составление уравнений. Прямое вычисление в г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й
аналогично арифметическому решению т
е
к
с
т
о
в
о
й задачи. Мы дол

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и •

1

п
о
с
т
р
о
и
т
ь цепочку, соединяющую то, что дано, с тем, что нуж
Создавать нужную цепочку можно, не делая сначала никаких в
ний, а построив дерево возможностей, растущее от начальных
Смотрим, что можно найти на первом щагу, затем — на втор
пока не захватим искомую величину. Затем убираем лищнее и пр
к численной реализации. Можно идти и с конца: что нужно зн
вычислить искомую величину, и т.д.
Рещение г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й задачи при помощи с
о
с
т
а
в
л
е
н
и
я урав
абсолютно аналогично такому же методу решения текстовых ал
и
ч
е
с
к
и
х задач. Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я специфика с
к
а
з
ы
в
а
е
т
с
я и на про
выбора неизвестных, и на процессе составления уравнений. В отл
т
е
к
с
т
о
в
ы
х задач многие условия, задающие уравнения, в тексте з
указаны, а следуют из г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х теорем.
Если сразу путь решения не виден, то мы должны попытат
г
о
т
о
в
и
т
ь почву для а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
х методов при помощи известн
дополнительных построений. За счёт этих построений в
о
з
р
а
с
т
а
е
т
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в и тем самым возрастают возможности для использо
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х теорем.
Если путь решения всё ешё не виден, то мы переходим на
более высокий уровень эвристики. Начинаем а
н
а
л
и
з
и
р
о
в
а
т
ь особен
з
а
д
а
н
н
о
йг
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й конфигурации. Возможно, что какие-то пр
перпендикулярны, три точки лежат на одной прямой, а три пря
секаются в одной точке и т.д. Каждая из подобных особенност
о
к
а
з
а
т
ь
с
я полезной для решения задачи. (Найдя такую особенност
лайте новый чертёж.)
4.

Последние штрихи к концепции

Одна проблема календарного планирования. Серьёзным затруд­

нением для овладения г
е
о
м
е
т
р
и
е
й является то обстоятельство, что
чание изучения последней г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й темы совпадает и с око
и
з
у
ч
е
н
и
я всей геометрии. В р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е ученик не имеет возмо
у
в
и
д
е
т
ь всю геометрию в целом, она о
с
т
а
ё
т
с
я для него набором
ных тем. А чтобы по-настоящему овладеть геометрией, необходимо
возможность позаниматься всей геометрией в целом. Улучшить сит
можно за счёт нужной п
о
с
л
е
д
о
в
а
т
е
л
ь
н
о
с
т
и изучения тем, постави
нец курса темы, которые могут быть использованы как инструм
повторения. В планиметрии можно более радикально решить про
либо выделив достаточный объём времени для повторения в конц
либо заняв какое-то время у стереометрии, но уже в следующе
Второй способ не улучшит знания школьников, уже покинувших
Но большинству из них это и не нужно. Нам известно, что нема

178 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

учителей средней школы избирает второй путь. При этом мо
о
р
г
а
н
и
з
о
в
а
т
ь учебный процесс, что стереометрия от подобного уж
никак не пострадает.

Некоторые методические частности. В сегодняшней реальной
тодике можно в
с
т
р
е
т
и
т
ь ряд положений, выполнение которых,
общему убеждению, необходимо при обучении математике. Некот
из этих положений в большей степени относятся именно к г
Например, с
ч
и
т
а
е
т
с
я необходимым иметь в курсе изрядное число
на о
т
р
а
б
о
т
к
у основных понятий и т
е
х
н
и
ч
е
с
к
и
х деталей, встреча
в решениях задач, и посвятить этой отработке достаточно много
О таких упражнениях в нашей работе пока не сказано ни с
представляется, что их роль сильно преувеличена, а выполнени
шого числа однообразных заданий в с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
и с законами физ
может вызвать торможение. Собрать достаточно сложную констру
из слишком мелких деталей за небольшой срок невозможно, р
нельзя научить езде на велосипеде, если сначала отрабатывать
правой ноги, потом — левой и т.д. При чрезмерном дроблении
на этапы может проявиться эффект сороконожки, которая остано
как только задумалась, какая нога должна д
в
и
г
а
т
ь
с
я первой,
второй и т.д. Можно у
к
а
з
а
т
ь и на аналогию с зеноновским п
двигаясь слишком маленькими шагами, мы никогда не доберёмся
держательных задач.

А с другой стороны, закон перехода количества в качество
справедлив, хотя и ассоциируется с марксизмом-ленинизмом. Ва
чтобы перерабатываемое количество содержало необходимое качес
Нельзя в процессе обучения о
г
р
а
н
и
ч
и
в
а
т
ь
с
я уровнем задач, котор
щиеся способны решить самостоятельно. Разобраться в решении т
задачи иногда гораздо полезнее, чем самостоятельно решить пуст
задачу. У нас почему-то нет разработок о методической и об
роли подсказки. А жаль, деликатная и грамотная (математически
гогически) подсказка — очень сильное оружие обучения. (Иногда
простое присутствие доброжелательного учителя, кивок головы
помочь школьнику справиться с задачей, подобно тому как слабы
может переплыть широкую реку, если рядом с ним просто плывё
И ещё одно замечание о ч
а
с
т
н
о
с
т
я
х методики. Большое распр
нение получили у нас уроки некоторых специальных типов, на
урок под девизом «Одна задача — много решений». И это совсе
хо. Только не надо чрезмерно увлекаться. Не стремиться к р
а демонстрировать д
е
й
с
т
в
и
т
е
л
ь
н
о разные методы решений. Кроме
не следует забывать и о другом более традиционном подходе

Рассуждения о концепции школьной геометрии •

1

м
е
т
о
д — много задач». Что лучше, знать поверхностно много мет
хорошо владеть небольшим числом? Ответ нам кажется очевидны
О реализуемости концепции. От учёного — к учителю. Г
л
а
в
н
ы
м

в
о
п
р
о
с
о
м любой концепции является в итоге вопрос о её реал
и реализации. Концепции пишут одни, учебники — другие, у доск
третьи. Между первыми и третьими целых две пропасти. Одна
в данном случае преодолена, поскольку автор этой концепции
также и автором ряда учебников, в которых, по его мнени
к
о
н
ц
е
п
ц
и
я реализована, хотя и не всё обозначенное в концепции
мере отражено в его учебниках. (Концепция — это всегда идеа
в полной мере нельзя р
е
а
л
и
з
о
в
а
т
ь даже собственную концепци
т
о
г
д
а говорить о чужой.)
В системе образования действуют с той или иной степенью
т
и
в
н
о
с
т
и сообшества учёных и учителей. Друг с другом эти со
с
в
я
з
а
н
ы очень слабо, и коэффициент корреляции между ними
отрицателен. Иные новации, вводимые в школу по инициативе
приносят школе объективный вред, а многочисленные исследовани
ляют собой образцы схоластики и пустословия. Чего стоят, на
непомерно длинные и утомительные рассуждения на тему «Что та
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
а
я задача?» Редкие визиты диссертантов-экспериментаторо
в школу просто бессмысленны. Какой объективный вывод можно
ор
е
з
у
л
ь
т
а
т
а
х эксперимента, если экспериментатор кровноз
а
и
н
т
е
р
е
с
вэ
т
и
хр
е
з
у
л
ь
т
а
т
а
х и никем не контролируется?
Но ещё удивительнее выглядит эксперимент, состоящий в следу
В одном классе, экспериментальном, в течение некоторого времен
в
о
д
я
т занятия в с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
и
и с предложенной методикой по об
Д
е
т
е
й и
с
к
у
с
с
т
в
у шевелить ушами. В другом, контрольном, этих з
нет Через некоторое время сравнивают р
е
з
у
л
ь
т
а
т
ы этих классов
Шевелить ушами, после чего делается вывод о достоинствах
женной методики. И смех и грех. Все подобные эксперименты
п
р
о
в
о
д
и
т
ь в кабинетной тиши, но, похоже, там они и проводятс
словом, школа только мешает п
е
д
а
г
о
г
и
ч
е
с
к
о
й науке успешно разв
ся, не будь школы, успехи этой науки были бы более значите
Сообщество учителей п
р
е
д
с
т
а
в
л
я
е
т очень мощную социальную
Именно учитель является главным звеном в системе образовани
нп в коей мере не склонны идеализировать учительское сосло
Во всякой массовой профессии, среди учителей встречаются самые
Hbie люди. Но всё-таки именно они определяют качество образо
^го настоящее и будущее, а в конечном итоге и будущее всей
е
г
о
д
н
я особенно. И тут возникает ряд вопросов. Нужно ли у

180 • И.Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

знать и понимать научные концепции? Должен ли он, отбирая
ния к завтрашнему занятию, думать о том, какой общеобразов
цели с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т та или иная задача? Не р
а
з
о
в
ь
ё
т
с
я ли
этом упомянутый нами комплекс сороконожки или, того хуже,
неполноценности из-за непонимания научных концепций? Но мы
считаем, что учителю необходимо время от времени отрываться
от земной поверхности, чтобы увидеть перспектиру, понять, ради
работает, понять глубинные цели образования.
Одним из самых злободневных вопросов сегодня является
о подготовке учителя, профессиональной и методической. Какая
двух составляющих является наиболее значимой? Говоря о мат
ческом образовании, мы с уверенностью заявляем: самой важно
дня является профессионально-математическая подготовка учителя.
этим мы в первую очередь понимаем знание именно школьной
тики, а не современной математической науки. И главное здесь
что эта современная математика в педвузе обычно вырождается
суррогат. Даже крупные учёные-математики далеко не всегда
владеют школьной элементарной математикой, а геометрией осо
А в наших педвузах очень плохо обучают элементарной геометр
метрии же, концепцию которой мы здесь изложили, в п
е
д
в
у
з
а
х не
И это, возможно, — главное возражение против неё.
Методическая п
о
д
г
о
т
о
в
к
а учителя также очень важна, и всё
вторична. Учитель, плохо знающий математику,
тодикой, представляет
большую общественную

но владеющий
ме­
опасность. Свои

неверные знания, неправильное представление о математике, о г
е
о
он может передать ученику, внушить ему, и тот усвоит их пр
долго. А п
е
р
е
у
ч
и
в
а
т
ьв
с
е
г
д
а труднее!
Заключение первое

Концепция — это система взглядов. Исходя из такого пониман
цепции писал автор эту работу. Может броситься в глаза то,
та плохо структурирована, содержит многочисленные повторы. Но
взгляды на образование, образующие концепцию, существуют одн
менно и охватывают пересекающиеся участки о
б
р
а
з
о
в
а
т
е
л
ь
н
о
г
о пей
Их трудно выстраивать в шеренгу и отделять один от другог
точек зрения, с которых надо было посмотреть на предмет,
автора в некоторых случаях о
г
р
а
н
и
ч
и
т
ь
с
я маловнятной скорогово
а в других и вовсе заявлением о существовании своей точки
Работа непомерно р
а
з
д
у
в
а
л
а
с
ь и автор уже подумывал о том,
о
г
р
а
н
и
ч
и
т
ь
с
я концепцией концепции, но и то, что получилось, лиш
концепции.

Рассуждения о концепции школьной г
е
о
м
е
т
р
и
и * 18

В ЭТОМ раздувании «виновата» также компьютерная технология, к
венно обруганная в тексте, но всё же использовавшаяся авторо
цессе работы. Каждая пришедшая в голову и понравившаяся мы
особого труда, без помарок и подтирок вставлялась в текст. Т
нятно, почему трактаты древних так хорошо выстроены. Преж
п
р
и
с
т
у
п
и
т
ь к непосредственному написанию, древний автор должен
п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
ь в голове весь трактат, и достаточно детально.
К данной работе также трудно приложимо п
р
и
л
а
г
а
т
е
л
ь
н
о
е «нау
Но это же можно с
к
а
з
а
т
ь по поводу любого методико-педагоги
творения.
Автор безо всякой гордости, но и без сожаления, п
р
и
з
н
а
ё
т
с
хом знании методической литературы, а потому все совпадения
щепринятыми в этой литературе тезисами или, наоборот, против
им носят чисто случайный характер. Однако автору посчастли
в своей жизни общаться со многими умными людьми и выслуш
рассуждения об образовании, о математическом образовании, о ге
рии. С некоторыми мыслями автор настолько сжился, что теперь
может отделить, где мысли его личные, а какие он впервые у
В.М.Тихомирова, В.И.Арнольда, Ю.П.Соловьёва или от других ум
людей. Но это не означает, что автор хочет прикрыться этим
и протащить свои далеко не бесспорные мысли.
Автор сознательно использует устаревший термин «школа» вм
современных (?) «лицей», «гимназия», «колледж», поскольку он ни
не может уяснить разницу между этими понятиями, взятыми из
опер. По его мнению здесь мы имеем очередную иллюстрацию
пословицы «Тех же щей, да пожиже влей».
Кому-то может не понравится чрезмерная п
о
л
и
т
и
з
и
р
о
в
а
н
н
о
с
т
ь
труда, постоянный поиск врагов и борьба с ними. Но, создав
цепцию, претендующую на относительную новизну, следует о
з
а
б
о
т
и
привлечением единомышленников, при этом у автора может возникн
В031ШКЛ0) ж
елание не о
г
р
а
н
и
ч
и
в
а
т
ь зону единомыслия узкопредметн
рамками. А как когда-то говорил кто-то из ныне оплёванных
ков, жить в обществе и быть свободным от общества нельзя
наше общество старательно мимикрирует, желая п
о
к
а
з
а
т
ь
с
я своим
вилизованном сообществе. Но в цивилизованных странах очень в
з
н
а
т
ь мнение чемпиона по боксу о классической музыке, а рас
бывалого г
а
н
г
с
т
е
р
а о воспитании молодёжи являются чуть ли н
водством к действию. Автор не является ни тем, ни даже д
в
ы
с
к
а
з
а
т
ь
с
я ему также хочется, тем более, что все имеющиеся
работе утверждения пришли ему в голову в процессе размышле
концепцией, а значит, каким-то образом связаны с темой. Так

182 • и. Ф. Шарыгин о математике и не только о ней

бы ему не в
о
с
п
о
л
ь
з
о
в
а
т
ь
с
я возможностью, даже если это п
р
о
и
з
«ни один театр не будет с
т
а
в
и
т
ь и ни один зритель не буде
Как говорится, dixi et animam levavi''. (Внимательный ч
и
т
а
т
е
л
ь без т
р
заметит логическое противоречие между началом и концом в этом
Кто-то наверняка заявит, что автор — человек «самыхкрайнихвз
дов», а истина, как известно, находится посередине. Но истина
и посередине, что кто-то — на краю, и любая попытка крайнег
с
т
и
т
ь
с
я в сторону (в какую?) п
р
е
д
п
о
л
а
г
а
е
м
о
г
о местонахождения и
может привести к перемещению этой самой середины.
Автор признаёт, что в этом сочинении очень много банальны
альных утверждений. Но это как раз, по его мнению, не так
Следует о
с
т
е
р
е
г
а
т
ь
с
я изящных парадоксов. Они, как правило, л
Банальные высказывания почти в
с
е
г
д
а истинны, а истинные — бан
Именно это и подтверждает ввиду своей банальности последнее
зывание. А может, это как раз парадокс?
Заключение второе (смотри эпиграф)

Всякая концепция — это всего лишь декларация о намерениях
мерения — они в
с
е
г
д
а благие. Сколь бы точно наши концепции н
ли на социальный вызов, никакого толка от них не будет, пока
озабочены лишь личными интересами, борьбой за сохранение лично
сти. Хорошо, если они хотя бы любят своих детей и внуков
что от образования зависит судьба этих детей и внуков. Есл
озабочены и судьбами...
Но это уже из области фантастики!
Москва,

сентябрь

Я сказал и тем о
б
л
е
г
ч
и
л свою душу (лат.).

1996 — ноябрь

1998

Воспоминания
об И.Ф.Шарыгине

Л.Н.

ЕРГАНЖИЕВА

Геометр

Мне посчастливилось в конце восьмидесятых годов быть од
первых аспиранток И. Ф. Шарыгина, и знакомство с этим выд
ся учёным коренным образом изменило моё отнощение и к г
и к преподаванию э
т
о
г
о учебного предмета в школе.
В то время Игоря Фёдоровича з
а
и
н
т
е
р
е
с
о
в
а
л
о сообщение об
довании американскими неврологами функциональной асимметрии го
ного мозга. Считая, что вся система образования строится с
работу левого полушария и апеллирует к словесно-логической сос
ющей мышления, тогда как г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я интуиция наиболее р
у так называемых правополушарных людей, он предложил мне п
над введением в школьную программу особого курса образной, н
а
геометрии. Этот курс должен был основываться на предметной
ности учащихся, опираться на их жизненный опыт и п
р
о
с
т
р
а
н
с
представления, полученные из ближайшей природной и социальной
ды, вовлекать в работу преимущественно наглядно-образное мышле
развивая и обогащая его.
Работа оказалась настолько увлекательной, что полностью мен
хватила, и «ощущение потока» не покидало меня все три а
с
п
и
года. Вникая в проблему, мне пришлось и
з
у
ч
а
т
ь не только и
п
е
д
а
г
о
г
и
ч
е
с
к
у
ю литературу, сколько работы по психологии и физ
гии, и я благодарна своему научному руководителю за то, ч
ограничивал мои поиски рамками методики. Будучи человеком ши
эрудиции, полным всевозможных идей, он с интересом относился
наработкам, а выслушав, продолжал: «Я вот тут интересную з
а
придумал...» И эти моменты общения с Геометром находятся в к
д
р
а
г
о
ц
е
н
н
о
с
т
е
й моей жизни.
«Наглядная геометрия» — появившееся в р
е
з
у
л
ь
т
а
т
е нашей раб
учебное пособие для учащихся 5-6 классов — получила широкое
рение учителей математики. После э
к
с
п
е
р
и
м
е
н
т
а
л
ь
н
о
г
о преподава

Л. Н. Ерганжиева.

Г
е
о
м
е
т
р •

185

какие-то регионы ввели изучение наглядной геометрии в региона
учебный компонент, а в других на основе этой книги с
т
р
о
и
т
с
я
работа. Но в какой бы форме ни происходило это изучение
отмечают улучшение восприятия не только с
и
с
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о курса
метрии, но и курса алгебры, особенно теми детьми, которые,
т
а
к называемыми правополушарными детьми, испытывали труднос
g обучении. По отзывам многих учителей, работа по этой книге п
сформировать, а затем поддерживать и р
а
з
в
и
в
а
т
ь интерес к мате
Любопытно отметить, что и многие учителя стали иначе отн
к преподаванию геометрии: теперь для них она живой и увлека
предмет, а интересные г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е задачи передаются из уст
как интеллектуальный фольклор.
Игорь Фёдорович мне часто говорил, что не знает, что тако
г
и
к
а и методика преподавания математики, что ничего в этом не
Он был неправ. Его статьи, книги, сборники задач, учебники
обратное: он был не только Геометром первой величины, но и ге
Методистом.

В.Ю.

ПРОТАСОВ

Несколько слов
об Игоре Фёдоровиче Шарыгине

Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа — это разум.
проявление разума — это геометрия. Клетка геометрии — треуго
Он так же неисчерпаем, как и вселенная. Окружность — душа ге
Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии,
высите свою душу». Этими словами Игорь Фёдорович Шарыгин
свой курс элементарной геометрии для школы, последний заверш
крупный проект в своей жизни. Потом по с
е
к
р
е
т
у говорил, смеяс
искал эпиграф и не нашёл ничего подходящего. Пришлось зап
себя в мудрецы». Самоирония, за которой на самом деле ск
понимание своей роли и своего истинного масштаба. Через не
лет жизнь всё расставила по местам. Теперь слова «один мудре
можно писать без кавычек. Увы...
Иногда казалось, что он пришёл в нашу жизнь даже не из
а из времён европейского Ренессанса, из итальянского Кватрочен
прекрасного времени энциклопедистов и учёных-универсалов. Казало
что вот сейчас он р
а
з
г
о
в
а
р
и
в
а
е
т с тобой, а минуту назад
просто обсуждал какую-нибудь проблему со Спинозой или с Де
Геометрию он воспринимал не иначе, как составную часть мирово
туры, как главный стержень и фундамент древней и современно
«Дима Арнольд говорит, что математика — это часть физики.
полняю: физика — часть геометрии!» Это его идеям о связи г
и ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
о
й культуры аплодировал недавно к
о
п
е
н
г
а
г
е
н
с
к
и
й к
о
н
г
по математическому образованию: «Геометрия — неотъемлемая часть
ровой сокровищницы ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
к
о
й мысли. Некоторые теоремы г
е
о
м
е
старше, чем Библия. Если человек не слышал о Моне Лизе ил
Впервые опубликовано в журнале «Математическое просвещение» № 9, 2005.

В. Ю. Протасов.

Несколько слов об Игоре Фёдоровиче Шарыгине •

р
д
ен
а
х
о
д
и
т
с
я Парфенон, может ли он с
ч
и
т
а
т
ь
с
я культурным че
д если он не знает теоремы Пифагора или проблемы квадратур
Свои книжки и с
т
а
т
ь
и о таком «сухом» и академичном шк
п
р
е
д
м
е
т
е как геометрия Игорь Фёдорович неизменно наполнял м
в
е
л
и
к
и
х философов прошлого, цитатами из высокой поэзии, реп
циями картин итальянских и голландских живописцев. И это, по
не было ни саморекламой, ни выпячиванием своей эрудиции, в
многие обвиняли, за глаза, естественно. (Рабочая т
е
т
р
а
д
ь по
рии для 6 класса. При чём тут стихи Северянина, Бродского
ны Карамболя?!) Он просто был убеждён, что именно так н
с
а
т
ь о геометрии и по-другому нельзя. Потому что она—те
и картины, только выраженные средствами чертежей и логически
суждений.
Свой текст я честно переписывал трижды. И всё равно п
о
сумбур, набор отрывочных воспоминаний. Наверное, это неизбежн
ли бы вас попросили на одной странице изложить свои вос
о большой и самобытной стране, где вы провели многие годы,
тоже получился бы «сумбур вместо музыки». Поэтому я заране
прощения у ч
и
т
а
т
е
л
я и начну вспоминать.
1997 год. Дискуссия среди учителей и методистов об уче
геометрии. Вопрос — как определять геометрическую фигуру. Шары
«Есть вещи, которые лучше не определять вообще. Потому ч
ни определишь, — всё равно получится не то. Если фигура —
плоскости, ограниченная замкнутой несамопересекающейся кривой,
что такое кривая, и почему она ограничивает только одну часть
а не две? Всё это уведёт слишком далеко в науку о жордано
А если фигура — это множество точек, то получается, что канто
жество — это тоже фигура? И ковёр Серпиньского? Предлагаю л
т
а
к
о
е определение: фигура — это то, что имеет фигуру!»
1996 год, конец мая. Мы стоим на балконе его квартиры, об
какую-то геометрическую задачку. Пятнадцатый этаж, под нами б
раннее лето. Игорь Фёдорович просит меня съездить в издат
п
о
с
м
о
т
р
е
т
ь гранки книги. Работа займёт целый день. Пытаюсь
заться, сославшись на то, что «неожиданно» началась сессия и
п
о
с
л
е
з
а
в
т
р
а экзамен. «Да, — сказал Игорь Фёдорович печально,
в нашей жизни приходит неожиданно. Сессия... Лето... Старость,
болезни...» От этих слов у меня мороз по коже.
1996 год. Подготовка вариантов Соросовской олимпиады. Шар
г
и
н — главный координатор и ответственный за составление вар
Нужны задачи. Отбор у Игоря Фёдоровича был жесточайший. П
гаешь 10 задач, он берёт из них в лучшем случае две—три. Т

188 • Воспоминания об И.Ф.Шарыгине

задача должна быть интересна математически, литературно оформ
а самое главное — должна быть на новую свежую идею, котора
ни в каких олимпиадах не встречалась.
Задачи, решаемые стандартными олимпиадными приёмами, отме
лись сразу. «Ты же учёный! Поройся в своей науке! Лучшие зад
приходят из науки, а не придумываются искусственно». Порылся,
Несу. «По к
р
у
г
у р
а
с
т
у
т 199 деревьев, все разного возраста. Мо
выяснить возраст 12 деревьев так, чтобы наверняка найти дерево,
старше обоих своих соседей (слева и справа)». Шарыгин долг
задачу и решение. Идея оказалась новой и свежей. «Замеча
Но литературная подача никуда не годится! Надо бы придума
поинтереснее».
После целого дня мучений у нас родилась версия про кор
щего в одном слаборазвитом царстве-государстве, который начал
с коррупцией и для этого вздумал наказать одного из своих
стров. Главного коррупционера решили искать так: усадить всех
стров за круглый стол и выяснить, у кого сколько денег на с
Того, кто богаче обоих своих соседей по столу, объявляют гла
точником-«оборотнем». Намёки на известных политиков были н
а
с
т
о
прозрачны, что Игорь Фёдорович шутил, дескать, посадят — не
дят. Но это, кажется, только его раззадоривало. Потом он расс
как в день олимпиады ему звонили из провинции, кто с во
(Молодцы! Смелые люди, так держать!), кто с негодованием (
там в Москве с ума посходили? Других тем для задач не
г
у
б
е
р
н
а
т
о
р узнает, нам олимпиаду ликвидируют на фиг!).
Надо сказать, это было не первое «хулиганство» Шарыгина н
пиадах. За год до того я принёс ему задачу о мальчике, п
в институт. Игорь Фёдорович предложил: «Давай сделаем поинтер
Назовём мальчика Игорь, дадим фамилию, скажем, Иванов. И
он поступает в Дипломатическую академию». Задача так и нач
«Выпускник школы Игорь Иванов мечтал с
т
а
т
ь дипломатом...» Де
души смеялись, причины этого были мне не вполне ясны. Толь
до меня дошло, что Игорь Иванов — министр иностранных д
сии. В следующем туре Игорь Фёдорович придумывает задачу о
в дворовый парламент, где было четыре фракции: «Наш дом»,
улица», «Наш двор» и «Наш подъезд».
Всегда восхищала способность Шарыгина сделать задачу из
жизненной ситуации. Как тут не вспомнить его задачи про ради
шары, про три шкатулки в программе «Поле чудес» или про ми
Тараса Артёмова, который при обмене денег принёс в сберкассу
пюру. По его задачам можно и
з
у
ч
а
т
ь новейшую историю России

В.Ю.Протасов.

Несколько слов об Игоре Фёдоровиче Шарыгине • 1

2000 ГОД. Частная беседа. «Знаешь, в чём главное отличие п
м
е
т
р
и
и от стереометрии? Не в методах и не в объектах иссл
А в духе! Дух планиметрии — эстетический. Главное в ней — и
с
и красота. А дух с
т
е
р
е
о
м
е
т
р
и
и — инженерный. В ней главное —
струкция!»
2001 год. Частная беседа. «Хороший учитель — это не тот,
знает, а тот, кто не с
т
е
с
н
я
е
т
с
я своего незнания. Поэтому у
у
ч
и
т
е
л
е
й ученики их перерастают».
2001 год. Частная беседа. «Я понимаю, что ты хочешь заним
с
е
р
ь
ё
з
н
о
й наукой, и эта школьная ерунда тебе неинтересна. Н
н
а
у
к
а — вещь опасная и жестокая, можно всю жизнь прожить
э
т
о
м
у надо заниматься ещё чем-то, про запас. Чтобы после те
осталось, если не великие теоремы, то хоть книжки для школь

В.М.

ТИХОМИРОВ

Об И.Ф.Шарыгине
(осколки воспоминаний)

...Мы познакомились примерно полвека тому назад, в конце
сятых годов, но сам момент первого знакомства не сохранилс
памяти.
Наши контакты начальной поры были посвящены общим нау
интересам. В ту пору работал на мехмате знаменитый семина
Коль» — Николая Сергеевича Бахвалова, Николая Михайловича К
бова и Николая Николаевича Ченцова. Темы семинара были
с математическими основаниями вычислительной математики. Никол
Михайлович пришёл в эту проблематику из теории чисел, Никола
лаевич — отправляясь от производственных задач Отделения прикла
математики (ныне Институт прикладной математики им. М. В. Кел
где он работал, Николай Сергеевич оказался в ту пору под в
о
идей Андрея Николаевича Колмогорова об £-энтропии и попереч
Я тогда также размышлял над этим. На почве осмысления колм
ских подходов к вычислительной математике и проходили тогда
с Игорем научные беседы.
Закончив университет, Шарыгин поступил в аспирантуру к Н.
хвалову на кафедру _вычислительной математики.

Вс
в
я
з
и с э
т
и
м п
е
р
и
о
д
о
м в
с
п
о
м
и
н
а
е
т
с
я з
а
б
а
в
н
ы
й эпизод. В
вн
а
ч
а
л
е шестидесятых, р
а
з
р
а
с
т
а
л
а
с
ь к
а
м
п
а
н
и
я по б
о
р
ь
б
е с т
у
н
е
Естественно, э
т
о п
р
и
в
е
л
о в в
о
з
б
у
ж
д
е
н
и
е м
н
о
г
и
х доносчиков-люби
и как-то раз в милицию п
о
с
т
у
п
и
л донос на н
е
к
о
е
г
о м
о
л
о
д
о
г
о
к
о
т
о
р
ы
й целый день н
а
п
р
о
л
ё
т во дворе дома г
о
н
я
е
тсм
а
л
ь
ч
и
ш
к
а
м
Милиция п
р
о
в
е
л
а р
а
с
с
л
е
д
о
в
а
н
и
е и выяснила, что э
т
о
т м
о
л
о
д
о
й
по фамилии Шарыгин я
в
л
я
е
т
с
я а
с
п
и
р
а
н
т
о
м м
е
х
а
н
и
к
о
м
-а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о
к
у
л
ь
т
е
т
а МГУ. На ф
а
к
у
л
ь
т
е
т была п
о
с
л
а
н
а «телега» с п
р
о
с
ь
б
о
йр
а
сэ
т
и
м молодым человеком. Но Игоря в о
б
и
д
у не дали: в милици

В.М.Тихомиров.

Об И.Ф.Шарыгине (осколки воспоминаний) • 191

о
т
в
е
т факультета, в к
о
т
о
р
о
м объяснялось, ч
т
оу
с
п
е
ш
н
а
ян
а
у
ч
н
а
яд
е
с
о
в
м
е
с
т
и
м
ас к
а
ж
д
о
д
н
е
в
н
о
йи
г
р
о
йвф
у
т
б
о
лсд
в
о
р
о
в
ы
м
и мальчиш

Игорь успешно завершил своё пребывание в аспирантуре, з
диссертацию, в которой содержались яркие математические р
е
з
у
л
по теории приближений и вычислительной математике. Мне ос
запомнился обнаруженный им (геометрический по сути дела) фа
о
ч
е
н
ь остроумно обобщалась одна моя теорема.
После аспирантуры Шарыгин был о
с
т
а
в
л
е
н вк
а
ч
е
с
т
в
еа
с
с
и
с
т
е
факультете. У него появились первые ученики, которых Игорь на
на р
а
з
в
и
т
и
е тематики, интересовавшей нас обоих, и потому наши
к
о
н
т
а
к
т
ы в ту пору были постоянными и плодотворными.
Но в
с
п
о
м
и
н
а
е
т
с
я не т
о
л
ь
к
о это. Летом 1967 г
о
д
а большая
н
а
у
ч
н
о
т
-у
р
и
с
т
и
ч
е
с
к
а
яг
р
у
п
п
ао
к
а
з
а
л
а
с
ь на б
е
р
е
г
уЧ
ё
р
н
о
г
о моря в
п
р
о
х
о
д
и
л Б
о
л
г
а
р
с
к
и
й м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
й конгресс. В э
т
о
й г
р
у
п
п
е был
моих добрых знакомых. Среди них и Игорь Шарыгин. Эту п
е
п
о
е
з
д
к
у за рубеж я в
с
п
о
м
и
н
а
ю с особым у
д
о
в
о
л
ь
с
т
в
и
е
м
. Чуть
дый в
е
ч
е
р разными г
р
у
п
п
а
м
и мы б
р
о
д
и
л
и в
д
о
л
ь б
е
р
е
г
а моря
п
р
и
м
о
р
с
к
и
е ресторанчики, г
д
е п
р
о
в
о
д
и
л
и в
р
е
м
я о
ч
е
н
ь шумно и в
з
а
р
о
д
и
л
о
с
ь наше с Игорем д
р
у
ж
е
с
к
о
е р
а
с
п
о
л
о
ж
е
н
и
е д
р
у
г к дру
о
т
к
р
ы
л
с
я мне как ч
е
л
о
в
е
к широких г
у
м
а
н
и
т
а
р
н
ы
х интересов, ост
со
с
о
б
е
н
н
о
йс
а
т
и
р
и
ч
е
с
к
о
йн
а
б
л
ю
д
а
т
е
л
ь
н
о
с
т
ь
ю
,г
л
у
б
о
к
о мыслящий, дои
ющийся до с
у
т
и вещей. Т
о
г
д
а мы н
а
ч
а
л
ис
п
о
р
и
т
ьд
р
у
г с другом
единомышленниками, но уважали в с
п
о
р
а
хп
о
з
и
ц
и
ииу
б
е
ж
д
е
н
и
яд
Об э
т
о
м п
р
и
д
ё
т
с
я ещё сказать.
Т
о
г
д
а же, в Болгарии, к
о
г
д
ап
о
с
л
ео
п
у
с
т
о
ш
е
н
и
ян
е
с
к
о
л
ь
к
и
хб
о
к
а
кроваво-красного, чем «золотого терпкого») б
о
л
г
а
р
с
к
о
г
о вина языкам
с
т
в
е
н
н
о раскрепощаться, я п
о
ч
у
в
с
т
в
о
в
а
л
, что Игорь н
а
х
о
д
и
т
с
я на
и не может ещё в
ы
б
р
а
т
ь свою жизненную тропу. Мне показалось,
для н
е
г
оп
е
р
и
о
д тяжёлых переживаний.
Тот п
е
р
и
о
дз
а
к
о
н
ч
и
л
с
я драматически, о
т
н
о
ш
е
н
и
яср
у
к
о
в
о
д
с
т
в
о
мк
ун
е
г
о не сложились, и Игорь шагнул в пустоту. Он вынужден
у
н
и
в
е
р
с
и
т
е
тио
к
а
з
а
л
с
яп
е
р
е
дн
е
о
б
х
о
д
и
м
о
с
т
ь
юи
с
к
а
т
ьс
е
б
е работу.
в
с
т
р
е
ч
а
л
и
с
ь
,р
е
ч
ьом
а
т
е
м
а
т
и
к
е уже не заходила.

Интересы Игоря менялись, и не раз я оказывался свидете
новых увлечений. Одним из них было увлечение книгами. Библ
ство— одна из самых благородных с
т
р
а
с
т
е
й человеческих. Игор
всецело охвачен этой страстью. Ни до ни после мне не доводи
дить равного Игорю собеседника по разнообразным сюжетам, связ
с книгами (мои контакты с одним из величайших библиофилов
то времени — Алексеем Ивановичем Маркушевичем — были слиш
краткими). Игорь владел не только полной информацией о комме
проблематике книжного дела и возможностях книжного рынка (поп

192 • Воспоминания об И.Ф.Шарыгине

говоря, знал, что можно «достать», а что нет), но он сам (ч
с
л
у
ч
а
е
т
с
я с библиофилами) был преисполнен любви к чтению, к
языку, к осмыслению прочитанного. Его и
н
т
е
р
е
с
о
в
а
л
и поэзия,
философская мысль, естествознание, и
з
о
б
р
а
з
и
т
е
л
ь
н
о
е и
с
к
у
с
с
т
в
о—с
вом, всё. Я очень много черпал из общения с Игорем в ту
А потом наступил новый период в его жизни: Игорь стал з
репетиторством.
Где-то в шестидесятые годы дали первые всходы уродливые
засорившие пространство российского образования. Вдруг стала
з
н
а
в
а
т
ь
с
я неизбежность и необходимость р
е
п
е
т
и
т
о
р
с
т
в
а как с
р
е
поступления в отдельные элитарные высшие учебные заведения.
Моё поколение не знало этого явления. Среди моих сокурсников и друзей,
поступавших в университет и различные институты в сороковые и пятидесятые
годы, мне не известен ни один человек, кто перед поступлением в вуз
занимался бы с репетиторами. А в шестидесятые годы занятия с репети­
торами стали всеобщим явлением. Историография этого явления и раскрытие
социологических его причин необходимы, если вдруг всерьёз встанет вопрос
о ликвидации этого монстра.

Игорь Фёдорович Шарыгин стоял у истоков феномена репетит
Очень быстро выделилась небольшая группа репетиторов экстра
са. Игорь Фёдорович сразу стал принадлежать к этой группе,
так сказать, «равный среди первых» р
е
п
е
т
и
т
о
р
о
в по математике
времени, и когда речь заходила о том, кому бы направить реб
немногих в
с
е
г
д
а называлась фамилия Шарыгина.
Он подошёл к этому своему (как мы теперь скажем) бизн
исследователь, тщательно изучая и классифицируя все «извраще
которые стали к
у
л
ь
т
и
в
и
р
о
в
а
т
ь
с
я на вступительных экзаменах. Я
обращался к Шарыгину по инициативе своих приятелей с просьбо
в свою группу п
о
д
г
о
т
о
в
к
и их детей, нацеливавшихся на преод
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о барьера на пути поступления в вуз. По этим
мы нередко общались, и Игорь иногда делился со мной своим
ненными сатиры и сарказма наблюдениями о том, что происхо
экзаменах по математике в различных учебных заведениях. Он
многое поведать о том, что тогда происходило, но, увы, он ушёл
слишком рано. По-видимому, именно в ту пору Игорь Фёдорович
свой несравненный дар г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о композиторства (шарыгинс
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
м шедеврам посвящена наша с В. Ю. Протасовым с
помещаемая в этом сборнике).
Репетиторством Шарыгин занимался до той поры, пока окончат
не осознал истинное назначение своей жизни — быть борцом за
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования не только в нашей стране, но и

С т у д е н т м е х м а т а М Г У . 1953 г.

Н а в о е н н ы х с б о р а х . 1 9 5 0 - е годы

с л ю б и м о й птицей

С д о ч к о й Н а д е й . 1966 г.

Перловка. Кооперативный
институт. 1977 г.

И г о р ь Ф ё д о р о в и ч с с ы н о в ь я м и Г е о р г и е м и Д м и т р и е м . 1977 г.

На учительской конференции.
После заседаний

Н а в с т р е ч е к у р с а . 1978 г.

Встреча выпускников мехмата Д\[\\'

На

шестилссятилегии

Конец 199()-х годов

И|-орь Ф ё д о р о в и ч с

;1С11И|)а11тками

Спетой Кийко н Л а р и с о й

Ергаижисвой

г. !1срм1>. М а т е м а т и ч е с к а я и1кола № 6 . 2002 г.

Н а у р о к е м а т е м а т и к и н о д н о й из м о с к о в с к и х UJKOJI

М а т е м а т и ч е с к и й к о н г р е с с в П е к и н е . 2002 г.

П е к и н с к а я И1к()ла. 2002 г.

В.М.Тихомиров.

Об И. Ф. Шарыгине (осколки воспоминаний) • 1

мире. И где-то в конце восьмидесятых начался фантастический
траченным усилиям и п
л
о
д
о
т
в
о
р
н
о
с
т
и период его жизни.
Этот период сложным образом оказался в его сознании связан с «пере­
стройкой». Перестройка открыла перед И. Ф. Шарыгиным небывалые дотоле
возможности: вещать и быть услышанным, писать и публиковаться, бороз­
дить необъятные просторы нашей страны и всюду ощущать поддержку свого
труда и своих усилий. Весь мир раскрыл перед ним свои двери. В моей
библиотеке десятки книг, учебников, статей Шарыгина, созданных за эти
годы; он разбрасывал семена просвещения на своих семинарах в десятках
городов; он занимал ответственные международные посты, организовывал
плодотворнейшие семинары и школы.
Но мне никогда не доводилось слышать от Шарыгина слова одобрения
новым переменам, переменам, которые сделали возможной реализацию его
замыслов. Чувство удовлетворения от происшедших перемен гасилось траги­
ческим ощущением того, что власть не заинтересована в том. чтобы «сеять
разумное, доброе и вечное», не заинтересована в том, чтобы люди в их странах
были способны думать и адекватно оценивать происходящее. (Он убеждался
в том, что это происходит не только у нас, но и во многих других странах
мира, например в США, и Игорь Фёдорович очень огорчался, узнавая, какие
безумные средства тратятся на постановку нашей системы образования на
американские рельсы.)
Игорь Фёдорович убедил себя в том, что всякая власть враждебна про­
свещению (впрочем, он считал, что некоторым исключением является Япония,
и возлагал определённые надежды на Китай). Он всеми силами стремился
противостоять политике по образованию, проводимой в нашей стране, — гу­
бительной, по его мнению, для математического образования.

У меня хранятся копии его страстных обращений к коллега
ламентариям, президентам о необходимости сберечь наше национал
д
о
с
т
о
я
н
и
е — математическое образование, созданное на протяжении
л
у
т
о
р
а
с
т
а лет усилиями русской интеллиге1щии.
И. Ф. Шарыгин в
т
я
г
и
в
а
л меня в круг своих интересов по
усовершенствование м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о образования. Я выступал на ег
минаре в Независимом московском у
н
и
в
е
р
с
и
т
е
т
е и по материалам
выступления опубликовал статью «Геометрия в школе» (Школьная
ииклопедия. Математика. М.: Большая Российская энциклопедия, 19
^•474—479), вообще немало писал о математическом просвещении. М
г
о
е в этих писаниях было навеяно моими контактами с Шарыги
Игорю Фёдоровичу принадлежала идея организации широкой Все
с
и
й
с
к
о
й конференции, посвященной математическому образованию.
был истинным мотором этой конференции, разработчиком планов, д
чиком средств, собирателем заинтересованных и влиятельных участни
^ старался по мере сил помогать ему.
'-1356

194 • Воспоминания об И.Ф.Шарыгине

Конференция состоялась в сентябре 2000 года в Дубне. Мне
велось по состоянию здоровья принять участие в этой конф
но я слышал множество восторженных отзывов о ней. О том
радостные эмоции испытывал Игорь Фёдорович, когда р
е
а
л
и
з
о
в
а
л
а
идея о проведении дубнинской конференции «Математика и общ
Математическое образование на рубеже веков», можно судить п
надлежащей ему первой фразе обращения, принятого на конфер
«Мы, участники Всероссийской конференции по математическому о
зованию, с у
д
о
в
л
е
т
в
о
р
е
н
и
е
м отмечаем в к
а
ч
е
с
т
в
е одного из важ
достижений нашей конференции сам факт её проведения».
Игорь Фёдорович предпринял большие усилия, чтобы нашей
дали возможность на Международном конгрессе по образованию
п
е
н
г
а
г
е
н
е в 2004 г
о
д
уо
р
г
а
н
и
з
о
в
а
т
ь выставку о математическом о
вании с серией сопровождающих её многочисленных докладов. Н
к
о
н
г
р
е
с
с
е предполагался его доклад о значении геометрии в
тическом образовании. Смерть не дала ему возможность принят
стие в конференции, и доклад был прочитан его учеником и
В. Ю. Протасовым.
Общаясь друг с другом, мы много спорили, ибо не спори
было невозможно. Геометрия была для Игоря Фёдоровича предме
б
е
з
г
р
а
н
и
ч
н
о
й и ревнивой любви, что нередко приводило к выр
этой с
т
р
а
с
т
и в самых крайних формах.
Приведу в к
а
ч
е
с
т
в
е примера цитату из с
т
а
т
ь
и И. Ф. Шар
В. Ю. Протасова «Нужно ли и
з
у
ч
а
т
ь геометрию в XXI веке
опубликована в сборнике «Очерки по математическому образов
в России» (М.: МЦНМО, 2004); этот сборник г
о
т
о
в
и
л
с
я к Междун
ному к
о
н
г
р
е
с
с
у по математическому образованию в Копенгагене
что в этой статье написано о Декарте: «Созданный им метод
позволяет, как писал его создатель, среднему или даже п
о
с
р
е
д
с
т
ч
е
л
о
в
е
к
у достичь высот, доступных ранее лишь особо одарённым.
из последующих классиков сказал, что Декарт „покрыл Геом
паршой а
л
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
х формул"». Услышав или прочитав подобн
яркие и горячие высказывания друга, я старался (обычно в
и шутливой форме) несколько ослабить их огонь. Отголоски
споров можно найти и во многих моих публикациях. Например
минавшейся выше моей энциклопедической с
т
а
т
ь
е о геометрии в
есть такой пассаж: «В наше время большинство крупных учёных
математику единой и рассматривают геометрию как её часть. Но
необходимо сказать, что единство математики проявляется, в част
и в том, что самая что ни на есть „вообразительная" геометрия
„поверку алгеброй", иначе говоря, обычно существуют два ре

В.М.Тихомиров.

Об И.Ф.Шарыгине (осколки воспоминаний) • 195

содержательной г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й задачи — геометрическое, базирующ
е
с
я на воображении, чертеже и тому подобном, и чисто вык
алгебраическое».
И нередко, когда мне хотелось п
р
е
д
с
т
а
в
и
т
ь читателю шедевры
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о композиторского т
в
о
р
ч
е
с
т
в
а Игоря Фёдоровича, его
с
т
а
т
е
л
ь
н
ы
е чисто г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
ед
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
а я поверял «паршо
г
е
б
р
а
и
ч
е
с
к
и
х формул». И выходило тоже красиво. «А где же ист
с
п
р
о
с
и
т
е вы. Пусть она о
с
т
а
н
е
т
с
я «между нами».
Я долго уговаривал Игоря Фёдоровича написать статью для а
ха «Математическое просвещение», а он всё отказывался, ссыла
неимоверную занятость. И всё же он написал её (для восьмого
альманаха, вышедшего в 2004 году). Со многими слишком кра
в
о
з
з
р
е
н
и
я
м
и этой с
т
а
т
ь
и трудно было б
е
з
о
г
о
в
о
р
о
ч
н
о согласитьс
выпуская номер, мы решили ничего в т
е
к
с
т
е не менять. Я ду
поспорим! И как-то в марте 2004 года, оказавшись на даче под
и держа перед собой номер «Математического просвещения» со
Шарыгина, я стал писать ему письмо в защиту Декарта, на
Игорь, по обычаю, горячо нападал. Мне хотелось при этом как
с
е
л
и
т
ь Игоря, который в последнее время был мрачен и угрюм
ч
т
о мир перенасыщен двойственностью — воззрений, подхо
алий. Скажем, люди делятся на мужчин и женщин или: в его
г
е
о
м
е
т
р
и
и задачи можно решать и алгебраически. И как ни о
т
н
к женщинам, писал я, их приходится терпеть, так уж и ты тер
се
г
о алгебраическими формулами.
Дописать письмо я не успел и в
о
з
в
р
а
т
и
л
с
я в Москву. Про
с
к
о
л
ь
к
о дней, и вдруг поздно вечером раздался звонок. Звонил
Г
о
л
о
с его был беспокойный. Он сказал мне, что был у вра
порекомендовали ему операцию на сердце. А он раздумывает: оп
недёшева, и полной уверенности в успехе нет. Я п
о
с
о
в
е
т
о
в
а
л
решиться на операцию. Я привёл ему пример человека, который б
г
о
в
о
р
ё
н к скорой смерти, если не решится сделать операцию н
Операция была сделана, и человек вернулся к активной жизни
р
а
з
г
о
в
о
р перешёл на математическое образование. Обсудив некот
текущие дела, мы пожелали друг другу спокойной ночи.
На следующий день, 12 марта, мне нужно было ненадолго к
выйти. Когда я вернулся, жена сказала мне: кто-то позвонил и
ч
т
о Игорь скончался.
...Игорь как-то п
р
о
ц
и
т
и
р
о
в
а
л мне Бродского: «Религия — п
о
с
л
а
н
и
о
б
р
а
т
н
о
г
о адреса». Когда я в
н
о
в
ь о
к
а
з
а
л
с
я на с
в
о
е
й даче, на
ло н
е
д
о
п
и
с
а
н
н
о
е письмо Игорю. Оно о
к
а
з
а
л
о
с
ь п
о
с
л
а
н
и
е
м «без о
адреса».
7»

196 • Воспоминания об И.Ф.Шарыгине

В своей последней статье Игорь Фёдорович Шарыгин обраща
к каждому человеку, и всё ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
т
в
о выступает в ней как де
лицо. Он пищет: «История ч
е
л
о
в
е
ч
е
с
т
в
а пишется в трёх книг
История вражды — история войн, революций, мятежей и бунтов
История любви. Её пишет Искусство. И это История мысли че
ской. История геометрии не только отражает историю развития
ческой мысли. Геометрия сама является одним из моторов, дви
эту мысль».
Если заменить «Историю вражды» на «Историю борьбы», присо
нив к войнам, революциям, мятежам и бунтам борьбу правды с
и добра со злом, то станет возможным н
а
з
в
а
т
ь Игоря Фёдоро
человеком, который вписал страницы в каждую из книг, в кото
слеживается «История человечества».
Он был страстным Борцом на стороне Правды, Рыцарем, стояв
страже Просвещения. В «Историю любви» вписаны его п
о
р
а
з
и
т
е
л
книги, где г
л
а
в
н
о
й героиней, предметом восхищения и в
о
с
т
о
р
г
а я
Геометрия. В «Историю мысли человеческой» надо включить его к
зиторское и п
е
д
а
г
о
г
и
ч
е
с
к
о
е творчество.
Он любил цитировать слова Бродского: «Не в том суть жи
в ней есть, но в вере в то, что в ней должно быть». Это
наполнена жизнь Игоря Фёдоровича Шарыгина.

и. Б.

ЧЕРНЫШЁВА

Воспоминания
об И.Ф.Шарыгине

с Игорем Шарыгиным мы учились в одной группе. Практическ
н
я
т
и
я по математическому анализу у нас вёл Леонид Иванович
Он начинал занятия с традиционного вопроса: «Есть задача, кот
у
д
а
л
о
с
ь решить?» После дружного ответа большинства студентов
т
а
к
а
я задача среди заданных на дом есть, Леонид Иванович про
«Шарыгин — к доске». И Шарыгин учил группу решать «нереша
ную» задачу. На третьем курсе общая п
о
д
г
о
т
о
в
к
а закончилась. Ст
выбрали себе будущую специальность (кафедру), и состав групп
няли. Мы с Игорем оказались в разных группах, и наши пу
шлись. После окончания у
н
и
в
е
р
с
и
т
е
т
а я, как многие выпускники м
н
а
ч
а
л
а работать программистом. И моей профессией стало сист
программирование. Игорь работал в МГУ, до меня доходили слу
он собирает книги и что он очень хороший репетитор.
В последнее время я работаю в Институте системного анал
(НСА РАН). Круг проблем, решением которых озабочены сотрудн
э
т
о
г
о института, очень широк. Предметом исследования может
любая «большая система». Так в стенах э
т
о
г
о и
н
с
т
и
т
у
т
а я о
в
м
е
с
т
е с моим дядей, известным генетиком А. А. Малиновским.
фессор В. Н. Садовский (философ) привлёк его в свою лабор
как специалиста по проблемам т
е
к
т
о
л
о
г
и
и и системныхисследо
(тектология философа А. А. Богданова — первая попытка постр
Теории систем). Уже после смерти Малиновского я начала актив
т
р
у
д
н
и
ч
а
т
ь с В. Н. Садовским. Меня он привлек к работе по со
э
л
е
к
т
р
о
н
н
о
г
о т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о к
а
т
а
л
о
г
а журнала «Вопросы философ
То, что Малиновский был моим дядей, в истории моего с
о
т
р
у
д
н
и
с лабораторией Садовского — только чудесное совпадение. Хотя,
быть, и не такое уж чудесное — дядя оказал на формирован
и
н
т
е
р
е
с
о
в огромное влияние.

198 • Воспоминания об И.Ф.Шарыгине

А ВОТ ещё одно чудесное совпадение. У дверей и
н
с
т
и
т
у
т
а я
лась с Игорем Шарыгиным. В Институте системного анализа п
е
р
е
пути системного программиста И.Б.Чернышёвой и преподавателя-ме
диста И.Ф.Шарыгина. Правда, системный программист И.Б.Чернышё
стала по с
о
в
м
е
с
т
и
т
е
л
ь
с
т
в
у преподавателем (о зарплатах старших н
сотрудников в Академии наук после перестройки говорить не б
Не являясь профессиональным преподавателем высшей школы,
следние пять лет я преподаю математику будущим бакалаврам в
(или коммерческом) Институте реставрации. Плана курса м
а
т
е
м
а
(утверждённого каким-нибудь министерством) к моему не только
лению, но и радости, не существовало, мне было предложен
определиться с тем, что я буду преподавать. То, что план
са должна была определить я сама, — стиль работы ректора
О.И.Пруцына. Это был (к сожалению, он недавно скончался), ка
рили хорошо знавшие его люди, «человек-глыба» — огромная эру
широта взглядов, глубина. Он собрал коллектив специалистов, ко
предоставил возможность самим выбирать, чему и как они буд
студентов. Именно благодаря этому стилю в и
н
с
т
и
т
у
т
е преподают
асты своего дела, заражающие своим энтузиазмом с
т
у
д
е
н
т
о
в (вся
школа реставрации держится в основном на энтузиазме).
Абитуриенты приносят свои рисунки, как во всех коммерческих
проходят собеседование и приступают к учёбе. Половина с
т
у
д
е
н
т
сеивается, остаются только те, кто действительно хочет учиться
стиль Института реставрации, введённый ректором. Студенты и
н
с
т
умеют рисовать и не умеют думать (у них, наверно, правое
мозга хорошо развито за счёт левого). За 50 часов научить
невозможно. И я остановилась на том, что с
о
с
р
е
д
о
т
о
ч
у
с
ь на и
задач, решения которых используются в архитектуре.
Проценты даются в объёме, необходимом для того, чтобы о
ц
е
точность. Например, разность длин сторон основания пирамиды Х
(длина стороны 230 м) и длин диагоналей подкупольного квадрата
ской Софии (длина 11м) — 20-25 см. Я предлагаю с
т
у
д
е
н
т
а
м с
р
а
д
р
е
в
н
е
е
г
и
п
е
т
с
к
у
ю и древнерусскую строительную точность (выраженн
в процентах). Арифметическую и геометрическую прогрессию с
т
у
д
е
не только вычисляют, но и «рисуют» в виде системы к
о
н
ц
е
н
т
р
окружностей. Это, вместе с алгоритмами деления окружности на
и
с
п
о
л
ь
з
у
е
т
с
я при построении в круге узоров из дуг спиралей (а
вой и логарифмической).
Для освоения принципов симметрии и квантования плоскости
сматриваются алгоритмы построения пчелиных сот, наиболее пло
укладки окружностей (и соответствующей оконной решётки), решётк

И. Б. Чернышёва.

Воспоминания об И. Ф. Шарыгине •

19

крестов, даётся правило искривления сторон клеток паркета. В
^^j,ponopuHH» даются «метод квадрата и диагонали» и, конечно, зо
(•ечение. Не буду перечислять дальше. Г
о
т
о
в
я курс, я была удив
ч
т
о ДДЯ любого раздела математики так легко подобрать пре
иллюстрации из книг по архитектуре. Кстати, для тех, кто з
Р
з
,у
ч
е
н
и
е
м истории развития с
т
р
о
и
т
е
л
ь
н
о
й практики и математик
в
ы
л
и
в
а
е
т
с
я в очень большую проблему, аналогичную проблеме к
и яйца — трудно понять «что раньше?».
Удивившись слабой математической подготовке студентов, я ре
у
т
о
ч
н
и
т
ь для себя, что входит в современный школьный курс.
з
и
н
е учебников я обнаружила, что учителю, в отличие от на
т
е
п
е
р
ь предоставляют на выбор несколько учебников. В разделе
метрия» для 6-9 классов я нашла учебники, которые выбрала
ч
т
о освоить их необходимо и полезно моим студентам, и по
они мне понравились. Это были: «Наглядная геометрия» И.Ф.Шары
и Л. Н. Ерганжиевой (учебник для 5-6 класса), «Курс наглядной
рии» Е.С.Смирновой (методическая разработка для учителей) и
метрия» И. Ф. Шарыгина (учебник для 7-9 классов). Я приношу
занятия, чтобы показать с
т
у
д
е
н
т
а
м иллюстрации (и чтобы напомни
такие-то сведения они изучали ещё в школе в таком-то классе)
рассматривают их с большим интересом.
Когда я представила мой план курса математики ректору, он
рил и прибавил: «А вы не читали книгу К. Н. Афанасьева „По
а
р
х
и
т
е
к
т
у
р
н
о
й формы древнерусскими зодчими"? Почитайте её». Я
н
я
т
и
я не имела, кто такой К. Н. Афанасьев, но книгу купила и
Оказалось, что Афанасьев — известный специалист по древней ар
т
у
р
е и 40 лет назад он составил описание храмов (или их фу
е
с
л
и ничего более не сохранилось), построенных на Руси в домон
период. Так О. И. Пруцын помог рождению ещё одного э
н
т
у
з
и
а
с
т
а
рации. Три года назад изучение древней архитектуры и реконструк
ч
и
с
л
и
т
е
л
ь
н
ы
х методов древних с
т
р
о
и
т
е
л
е
й стали моим любимым д
Я пополнила ряды тех, кто пытается понять, как древние архи
п
р
о
е
к
т
и
р
о
в
а
л
и сооружения, пропорции которых (среди них видное
з
а
н
и
м
а
е
т золотое сечение) в наши дни описывают, привлекая от
д
р
е
в
н
и
й вычислительный аппарат.
Я очень обрадовалась в
с
т
р
е
ч
е с Шарыгиным и высказала ему
в адрес приобретённых мною учебников. Мы стали в
с
т
р
е
ч
а
т
ь
с
я в
туте. Я ему рассказала, как строю своё преподавание на наглядн
Обнаружила очень много прекрасных иллюстраций для задач по
т
а
р
н
о
й математике. Естественно, мы обсуждали, что для препода
О'манитариям нужны такие учебники, которые они способны усвои

200

• Воспоминания об И.Ф.Шарыгине

быть заинтересованы органы образования и т.д. Шары
мне рассказал, что автор «Курса наглядной геометрии» Е. С. Смир
его бывшая аспирантка, что уже очень давно он занимается р
а
и внедрением метода наглядного преподавания математики и что в
тут системного анализа он пришёл, чтобы руководить процессом с
программного комплекса для обучения геометрии по р
а
з
р
а
б
о
т
а
н
н
о
методике с помощью компьютера. Когда я рассказывала Игорю
чем занимаюсь, он сказал фразу, в которой были слова «чудесн
ства V5». Игорь очень точно определил то главное, на чём ст
и практика золотых пропорций. Конечно, мы договорились о сот
честве. Имея большой опыт в издании книг и учебников, он вз
редактором моих лекций (я давно имею компьютерный вариант
курса). Мне казалось, что такая книжка может не только
полезной всем, кто п
р
и
ч
а
с
т
е
н к искусству, но и поможет изм
отношение к математике. Но этим планам уже не суждено было
Игорь умер.
В ЭТОМ ДОЛЖНЫ

в. в.

ЯБЛОНСКАЯ

Яблоки пахнут жизнью

Игоря Шарыгина я в
с
е
г
д
а воспринимала как незаурядную лич
как философа. И началось это ещё на первом курсе. Он част
к моим соседкам по блоку 1533, и однажды, когда Лида Шкитин
Ефременко были в читалке, Игорь зашёл ко мне — узнать «ку
А я в тот момент пыталась открыть посылку от мамы из Винн
сила Игоря помочь мне. Он быстро справился с крышкой, и
ароматно запахло украинскими яблоками. Игорь сел, как-то з
а
г
заулыбался и протянул напевая «Эх, яблочко... Вот твоё настояще
Я возразила, что я Вита, а он продолжал: «Яблоки и жизнь
совместные две вещи». Мы съели с ним несколько яблок, и
А потом во все наши очень редкие и случайные в
с
т
р
е
ч
и то
то в читалке говорил мне, что рядом со мной он в
с
е
г
д
а ч
у
и аромат украинских яблок.
После окончания мы виделись всё реже. И совершенно неож
12 марта 2004 года он позвонил мне впервые за 50 лет и, о
нуясь, сбивчиво говорил о Диме Ботине, который скоропостижно
четыре дня назад 8 марта 2004 года. Я старалась его успокои
и сама была в шоке и все эти дни не отходила от Дим
моей сокурсницы Мальвины, за которую мы все боялись, не пре
себе, как перенести такое горе. Игорь явно был в шоке от с
говорил, что все мы виноваты, что не уберегли, допустили, не с
Рсчь... Я соглашалась и чувствовала, что мы оба плачем. Я тих
Игорю: «Вспомни, как пахнут яблоки». Он вдруг сказал напевно:
Яблоки пахнут жизнью». Попросил передать Мальвине... и недого
«Сама знаешь, что». Я ответила, что всё передам и спросила
сердце. Игорь сказал, что собирается делать операцию на серд
Простились.

Оказалось — навсегда.

В.Ю.

ПРОТАСОВ,

В.М.

ТИХОМИРОВ

Геометрические шедевры
И.Ф.Шарыгина

Творческая жизнь Игоря Фёдоровича Шарыгина складывалась
вполне обычным образом. Он проявил себя очень одарённым сту
Закончив университет в 1959 году, он поступил в аспирантуру и
но завершил её, защитив диссертацию, где им были получен
математические р
е
з
у
л
ь
т
а
т
ы по теории функций и теории прибли
Но вскоре после аспирантуры он оставил «высокую науку» и
посвятил себя школьной математике — исследованиям по э
л
е
м
е
н
т
а
геометрии и развитию м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о просвещения. Он оставил м
ство замечательных книг и статей, но, пожалуй, в наибольшей
талант отразился в его г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
м композиторстве, т. е. в
г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х шедевров. Этой стороне его т
в
о
р
ч
е
с
т
в
а посвящена
статья. Она написана двумя авторами. Первый из них причисл
к ученикам И. Ф. Шарыгина, второй был связан с Игорем Фёдо
почти пятьюдесятью годами дружбы и т
в
о
р
ч
е
с
к
о
г
о взаимодействия
Как отобрать из огромного г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о наследия Игоря Ф
вича несколько задач для небольшой журнальной статьи? Призн
для авторов это было большой проблемой, во многом так и не
ной. Мы решили поступить просто: написать про те задачи и
Шарыгина, которые в наибольшей мере понравились и запомнилис
Это будет, конечно, весьма субъективный взгляд. Хотя, как сказ
замечательный писатель: «Все мнения в
с
е
г
д
а субъективны, а объе
ного мнения не существует вовсе!»
Начнём с красивой шарыгинской миниатюры.

Задача 1. В треугольнике ABC с углом ZB = 120° про
биссектрисы АА', ВВ' и СС. Чему равен ZA'B'C?
Впервые опубликовано в журнале «Квант» № 1, 2006.

В. Ю. Протасов,

В. М. Тихомиров.

Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е шедевры И. Ф. Шарыгина • 203

Задача уникальна тем, что рассчитана на учеников 7 класса
щколы'*, однако вызывает трудности у всех, кто видит её вперв
ч
а
я а
б
и
т
у
р
и
е
н
т
о
в математических факультетов, победителей олимп
н профессиональных математиков. Причина проста: эта задача
вычайно трудно «считается». Желающие могут попробовать реши
с помощью теорем синусов, косинусов и формул тригонометрии
возможно, но совсем не просто. Подобные «крепкие орешки» сам
Фёдорович очень ценил. Называя «киллером» геометрии тригономе
к
о
т
о
р
а
я часто позволяет найти короткое счётное решение и, те
лишить красивую задачу всякой г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й идеи, он стремил
з
д
а
в
а
т
ь такие задачи, в которых тригонометрия была бы бессил
слаба. Задача 1 является одним из таких «антикиллеров». Вот ав
решение задачи, которое мы разбиваем на отдельные пункты,
«логические ходы».
1. Рассмотрим т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к ABB' (!).
2. Угол В равен 120°, следовательно, ZB'BC равен 60°, ибо ВВ
биссектриса.
3. Продолжим сторону АВ и обозначим через BD луч, продол
щий АВ. Тогда ZCBD тоже равен 60°, ибо он дополняет угол
развёрнутого.
4. Следовательно, ВС — это биссектриса внешнего (по отноше
кт
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
у ABB') угла B'BD.
5. Воспользуемся и
з
в
е
с
т
н
о
й теоремой: биссектрисы двух в

и третьего внутреннего углов треугольника пер

ной точке. Из этой теоремы следует, что
6. В'А' — биссектриса (тоже внешнего по отношению к т
р
е
у
г
о
ABB') угла ВВ'С (!).
7. Совершенно аналогично доказывается, что В'С — биссектриса
ла ВВ'А, и, значит,
8. Угол А'В'С равен половине р
а
з
в
ё
р
н
у
т
о
г
о угла АВ'С, т. е
в
е
н 90°.
Задача 1 может быть сформулирована и в сферической геометрии.
Поясним, что это значит. Если вы возьмёте модель сферы — резино­
вый мячик, на котором можете рисовать, и нарисуете три больших круга,
У вас получатся два центрально-симметричных сферических треугольника.
Рассмотрим один из них. Обозначим его вершины Л, В и С. В этом треуголь­
нике величины углов определяются как величины углов между касательными

''Она была включена в рабочие т
е
т
р
а
д
и для седьмого класса (см.: Протасо
Шарыгин И.Ф. Геометрия. Рабочая тетрадь. 7 класс. М.: Дрофа, 1997). Дело в
"Ри решении задачи не и
с
п
о
л
ь
з
у
е
т
с
я ничего, кроме свойства точек биссектрисы н
''а равном расстоянии от сторон угла.

204

• Воспоминания об И. Ф. Шарыгине

к сфере, проведёнными в соответствующей вершине. Поэтому можно понять
что значит «угол В равен ста двадцати градусам». Определение биссектрисы
такое же, как на плоскости,— это дуга большого круга, проходящая через
вершину угла и делящая его пополам. Сохраняется и свойство точек бис­
сектрисы быть равноудалёнными от сторон угла. А потому и формулировка
задачи 1, и её решение, и ответ сохраняются, если ставить задачу на сфере!
А те, кто знают, что такое геометрия Лобачевского, сразу поймут, что
и формулировка задачи 1, и её решение, и ответ сохраняются, если ставить
задачу на плоскости Лобачевского. Все три утверждения вместе объединяет
фраза: задача 1 является фактом абсолютной геометрии (т. е. не зависит от
аксиомы о параллельных).

Обсудим вопрос: насколько трудна решённая нами задача 1?
Давайте на её примере пофилософствуем о том, как оценива
ность математической проблемы и можно ли вообще это делать
В принципе трудность конкретного решения задачи можно о
числом логических ходов, но можно эти логические ходы
по трём к
а
т
е
г
о
р
и
я
м и описывать сложность решения тремя натур
числами (или нулями), характеризующими высоту, ширину и
этого решения.
Высота — это число «простых импликаций» в решении. Выше
выделили восемь логических ходов. Некоторые из них — это п
логические связки. Таков, н
апример, п. 2: ZB = 120°, ВВ'
триса ^ ZB'BC = 60°.
Иные же логические ходы — это отсылки на известны
Таков пункт 5. (При этом, разумеется, список «известных теорем
ходимо как-то заранее фиксировать.) Число отсылок с
о
с
т
а
в
л
я
е
т«
ну» приводимого решения.
И наконец, два хода отмечены восклицательными знаками. Та
символика комментирования шахматной партии: восклицательными з
ками выделяются наиболее замечательные ходы, не вытекающие
в
е
р
х
н
о
с
т
н
о
г
о взгляда на позицию, свидетельствующие об особой
щрённости игрока в данный момент. Так и здесь, ниоткуда не
что разумно рассматривать именно треугольник ABB', но оказыва
что именно в этом рассмотрении ключ к решению задачи. А вт
клицательный знак п
о
с
т
а
в
л
е
н логическому ходу, где обнаруживаетс
В'А' — биссектриса внешнего угла. Тоже напрямую ниоткуда не
что именно в этом суть дела.
Подведём итог: в нашем решении высота равна четырём,
единице, а глубина двум. Отметим сразу, что подавляющее бо
ство г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х задач Шарыгина обладает нетривиальной глуб
в частности, и в только что определённом значении этого слова

В. Ю- Протасов,

В. М. Тихомиров.

Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е шедевры И. Ф. Шарыгина • 20

Но прервём пока наши философские обсуждения, чтобы потом
раз ещё возвращаться.

Задача 2. Про четырёхугольник ABCD
известно, ч
сан в окружность и что существует окружность с
стороне AD, касающаяся трёх других сторон. Дока
(длина AD) равняется АВ + CD.

Эта задача была придумана Шарыгиным для «Задачника К
и с
р
а
з
у стала популярной и известной. А через несколько лет
включена в вариант Международной математической олимпиады, пр
не от России (тогда СССР), а от другой страны, и, конечно же
на автора. Один из близких друзей Игоря Фёдоровича заметил
ч
т
о Шарыгина постоянно обкрадывали.
Снова попробуем оценить сложность приводимого далее решен
1. Проведём окружность через В, С и О, где О € AD — центр
ности, касающейся АВ, ВС и CD (!).
2. Пусть М — точка (может быть, совпадающая с О), в ко
окружность из п. 1 п
е
р
е
с
е
к
а
е
т прямую AD, ZAMB (!) обозначим че
3. Четырёхугольник МВСО вписанный, и потому Z.BCO = а.
4. Стороны СВ и CD касаются (по условию задачи) окружно
с центром О, и потому СО — биссектриса.
5. Из П.4 и 3 следует, что ZBCD = 2а.
6. Четырёхугольник ABCD вписанный (по условию), следовательн
из п. 5 вытекает, что ZBAD = 180° - 2ос.
7. В т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
е АВО известны два угла, ZA и Z0, следовате
ZABO р
а
в
е
н

180° - (180° -2o(-hot) = а.
8. Из п. 7 следует, что треугольник АВО равнобедренный,
АВ=АО.

9. Аналогично доказывается, что CD = DM, откуда и следует у
ждение задачи.
Мы видим, что здесь 9 логических ходов, два восклицательных
(то, что через три точки В, С и О надо проводить окружн
это изобретение, это акт наития или творческой силы, потому
первый восклицательный знак, но то, что важнейшую роль сыгр
тоже очень нестандартно). И широта приведённого решения ве
значительная: п.З — теорема о равенстве углов, опирающихся на
и ту же дугу; п.4 — теорема о биссектрисе; п. 6 — теорема о
противоположных углов вписанного четырёхугольника; п. 7 — теоре
о сумме углов треугольника; наконец, п. 9 — теорема о р
а
в
е
н
с
т
в
р
а
в
н
о
б
е
д
р
е
н
н
о
г
о треугольника.

206 • Воспоминания об И. Ф. Шарыгине

Итак, высота приведённого решения равна двум, ширина
и глубина тоже равна двум.

В 1993 году старшему из авторов этой с
т
а
т
ь
и было поручено
вить жюри очередной (пятьдесят шестой) Московской м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
олимпиады. Естественно было о
б
р
а
т
и
т
ь
с
я к И. Ф. Шарыгину с п
придумать задачи к ней. Вот его задача для 9 класса. Она шла
номером как самая трудная.
Задача 3. Дан четырёхугольник ABCD.
АВАС = Ж,

Известно,

а ZD = 150°

и, кроме того, АВ = BD. Требуется доказать, что А
триса угла С.

Вот авторское решение.
1. Пусть В' — точка, симметричная В относительно АС.
2. В с
илу симметрии АВ = АВ' и ZBAC = ZB'AC.
3. Из п. 2 и условия, что ZBAC = 30°, следует, что т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
равносторонний.
4. Из п.З и условия АВ = BD вытекает, что точки А, В' к
на окружности с центром в В (радиуса АВ) (!).
5. Из п.З и 4 вытекает, что угол ADB' опирается на дугу в
6. Из п.5 следует, что ZADB' = 30°.
7. Из п. 6 получаем, что точка D лежит на одной прямой с
8. Следовательно, прямая CD симметрична СВ, т.е. АС — биссек
са угла BCD, что и требовалось.
Но продолжим наше философствование. А как же всё-таки оце
сложность самой задачи, а не её решения? Можно поступить
часто математики поступают: в к
а
ч
е
с
т
в
е оценки сложности задачи
взять минимум сложности по всем имеющимся решениям. Попр
приложить эту идеологию к задаче 3.
До сих пор мы рассказывали о г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х решениях. А
будет представлено аналитическое решение той же задачи.
Очень старый и глубокий вопрос многими математиками ставил
что лучше — алгебра и анализ или геометрия? Как вы уже, н
поняли, И. Ф. Шарыгин был сторонником именно геометрии, и
автор этой с
т
а
т
ь
и такое мнение в
с
е
г
д
а разделял. Второй автор
обсуждению этого вопроса несколько с
т
а
т
е
й (в ч
а
с
т
н
о
с
т
и в «Кв
стараясь защитить концепцию, что не следует упорядочивать нес
мое, не нужно о
т
д
а
в
а
т
ь предпочтение чему-то одному, неразумно
образом с
т
а
н
о
в
и
т
ь
с
я на одну из двух сторон. Мир наполнен дв
ностью, вещами, которые неразрывно связаны друг с другом, н

в. Ю. Протасов,

В. М. Тихомиров.

Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е шедевры И. Ф. Шарыгина • 207

ВОЗМОЖНОСТЬ п
осмотреть на мир с двух разных сторон. И вот
двумя разными сторонами являются геометрия и алгебра.
Переходим теперь к описанию а
н
а
л
и
т
и
ч
е
с
к
о
г
о решения.
1. Обозначим /.ВСА через ср, а ZDCA через ф, сторону АВ об
ч
е
р
е
з а, а ВС через Ь.
2. Из т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC по теореме синусов получаем

51пф " -sin30° "^^^^

^'^

3. Обозначим ZCAD через х; из условия (ZADC = 150°), п. 1 и
ремы о сумме углов т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а вытекает равенство
Х= 1 8 0 ° - 150°-ф = 30°-ф.

4. Из условий задачи (ZBAC = 30° и АВ — ВС) и п.З следу
/Л =60°-ф =/ВОЛ.
5. Из п. 4 следует, что ZBDC = 90° + ф.
6. По теореме синусов из т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а CBD следует соотношен
5
5|п(ф-Ьф)

=

*

(2)

5Ш(90°+ф)'

^'

7. Из (1) и (2) получаем
sin(9 -Н ф) = 2 sin
то ф = фо- (Здесь мы
переписали текст задачника И. Ф. Шарыгина, читателю п
р
е
д
о
с
т
а
в
возможность найти число л
о
г
и
ч
е
с
к
и
х ходов в этом рассуждении
Так вот, школьники-олимпийцы предложили лектору решить эт
д
а
ч
у с помощью производных. Вот каким оказалось решение.
1. Сначала надо формализовать задачу. Пусть АС = \, OF =
Z.BFC о
бозначим ф.
2. Олимпийцы подсказали, что площадь четырёхугольника, впи
ного в окружность, равна полупроизведению диагоналей на син
между ними.
3. Длина второй диагонали BD равна 2\J 1 - a^sin^cf.
4. Из п. 2 и 3 следует, что надо найти максимум функции
£(ф) = y Ч - a 2 s i п ^ ф 51пф

при условии, что О ^ ф < it/2.
5. Делаем замену {asincpf — z и приходим к задаче о нахожд
максимума функции f{z) = (1 - z)z при условии, что О ^ z ^ а^.
Это — простая задача, и можно о
г
р
а
н
и
ч
и
т
ь
с
я лишь выписыв
ответа: если а ^ 1/\/2, то i = а^, т. е. ф = л/2, если же \/л
то 2 = 1/2, т е. sin ф = 1/(а^2).
Теперь судите сами, какое решение проще — г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
еи
литическое.
С этой з
а
д
а
ч
е
й лектор справился достаточно успешно, и тогда
женные олимпийцы дали ему ещё одну шарыгинскую задачу, про
уже твёрдо были уверены, что лектору её не осилить. И дейс
с ходу у него ничего не получилось, и он вынужден был в
з
я
сказав: «Пойдите-ка попейте чайку». А за время тайм-аута коеже справился. Вот эта задача.

Дан угол Айв нём внутри две точки М и N. Как
прямую ВС {В и С — на сторонах угла) через точку М
площадь четырёхугольника ABNC была минимально

Читателю п
р
е
д
л
а
г
а
е
т
с
я самостоятельно её решить, а о том, к
решается с помощью анализа, он может прочитать в книге «Р
о максимумах и минимумах» (2-е изд. М.: МЦНМО, 2006). Возможн
а
н
а
л
и
т
и
ч
е
с
к
о
г
о решения не может бросить тень на эти задачи
скрыто истинное изящество.
А вот ещё один шедевр И.Ф.Шарыгина. Правда, Игорю Фёдор
он принадлежит лишь отчасти, сама задача довольно старая. Но
порядку.

210 • Воспоминания об И.Ф. Шарыгине

Задача 5 (обобщённая теорема о бабочке). На окружности

да

хорда АВ, на ней — точки М и N, причём AM = BN. Через точки Л}
и N проведены хорды PQ и RS соответственно.
Прямые QS и
пересекают АВ в точках К и L . Доказать,
что АК = BL.

История этой задачи довольно запутанна. Дело в том, что
шествовала не обобщённая, а к
л
а
с
с
и
ч
е
с
к
а
я теорема о бабочке.
с
и
ч
е
с
к
а
я теорема о бабочке с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т случаю Af = УУ. То
то же самое, но изначально берётся только одна точка М —
хорды АВ, через неё проводятся две произвольные хорды PQ
и утверждается, что АК = BL, где К и L—точки п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
мой АВ с прямыми QS и RP соответственно. Классическая тео
о бабочке была очень и
з
в
е
с
т
н
а и популярна. А появилась она
давно, в 1815 году, в английском журнале Gentleman's Diary (тогд
предполагалось, что женщины могут заниматься математикой, п
о
э
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
е задачи были в мужских журналах). И на протяжен
последующих лет «бабочка» доставляла истинное у
д
о
в
о
л
ь
с
т
в
и
е кажд
кому доводилось с ней познакомиться. Интересно, что были пос
публикации, посвященные этой задаче, на протяжении всего э
т
о
мени, число этих публикаций перевалило за несколько сотен. Сущ
огромное количество разных решений этой задачи, например в и
з
книжке Шклярского, Ченцова и Яглома, в з
а
д
а
ч
н
и
к
е В. В. Пра
в знаменитой книге «Новые в
с
т
р
е
ч
и с геометрией» Кокстера и Г
и, естественно, в задачнике Шарыгина.
А как же родилась обобщённая теорема о бабочке? Будучи у
что красивая г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
а
я теорема должна иметь чисто г
е
о
м
е
т
р
доказательство, Игорь Фёдорович придумал такое д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о
к
л
а
с
с
и
ч
е
с
к
о
й теоремы о бабочке. А потом просто заметил, что

R

R'
Рис. 15

В.Ю.Протасов,

В.М.Тихомиров.

Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е шедевры И.Ф.Шарыгина • 21 1

не изменится в доказательстве, если «раздвоить» точку М на па
метричных точек УМ и Л/. Так спустя более чем полтора с
т
о
л
е
т
и
я
е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о
е обобщение теоремы о бабочке! Это ещё раз подтв
совершенно особое положение теорем элементарной геометрии. Ге
р
и
ч
е
с
к
и
е теоремы в
с
е
г
д
а свежи и не устаревают!
Рассмотрим подробнее то самое г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е решение, едино
к
л
а
с
с
и
ч
е
с
к
о
й и для обобщённой теорем о бабочке.

Решение. Сделаем симметрию относительно серединного перпе
дикуляра к хорде АВ. Окружность при этом перейдёт в себ
S,Q,R — в точки М, Q', R' соответственно. Докажем, что прямы
и R'M пересекаются на окружности, из этог
о будет следовать,
метрия перевела точку L в точку К, что и требовалось. Для э
т
о
чим через V вторую точку п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я исходной окружности с о
стью РМК. Так как ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
и PMKV и PQQ'V вписанные,
ZQPV

= 180° - ZMKV

= 180° -

ZQQ'V,

следовательно, ZMKV = ZQQ'V. С учётом того, что прямые QQ' и
параллельны, это влечёт, что точки V, К, Q' лежат на одн
Итак, прямая Q'K проходит через точку V. Точно так же доказ
что прямая R'M проходит через V. Таким образом, Q'K и R'M п
каются на исходной окружности, что и требовалось доказать.
Следующая задача Шарыгина п
р
е
д
л
а
г
а
л
а
с
ь на одной из Всес
олимпиад по математике.

Задача 6. В пространстве дана сфера и две таки
А и В, что прямая АВ не пересекает сферу. Рассм
всевозможные тетраэдры ABMN, для которых данная
ется вписанной. Докажите, что сумма углов прост
четырёхугольника AMBN
{т. е. сумма углов ZAMB, Z
и ZNAM) не зависит от выбора точек М и N.

Эта з
а
м
е
ч
а
т
е
л
ь
н
а
я задача также являет собой пример «антики
Она очень трудно считается, а г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и решается наглядно
ственно, фактически — в один приём.

Решение. Обозначим через Q,S,P н R точки касания вписанн
сферы с гранями АМВ, ANB, BMN и AMN соответственно. Посколь
BQ = BS как расстояния от точки В до точек касания прямы
и BS со сферой и, аналогично, AQ = AS, т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и AQB и
равны по трём сторонам. Далее о
с
т
а
ё
т
с
я лишь аккуратный подсчё
Во-первых, ZABQ = ZABS и ZBAQ = ZBAS. Так же доказываем, ч
ZMBP
= ZMBQ
и ZNBP = ZNBS. Сложив два последних равенств

212

• Воспоминания об И.Ф. Шарыгине

получаем
ZABM

+ ZABN

- ZMBN

= ZABQ

+ ZABS

ZBAM

+ ZBAN

- ZNAM

=

=

2ZABQ.

Аналогично
2ZBAQ.

Таким образом,
ZABM

+ ZBAM

+ ZABN

+ ZBAN

- ZMBN

- ZNAM

=

= 2ZABQ

+

2ZBAQ.

Заметим, что сумма первых двух слагаемых равна 180° - ZAM
ма т
р
е
т
ь
е
г
о и ч
е
т
в
ё
р
т
о
г
о равна 180° - ZBNA, а правая час
360°-2/ЛдВ. Следовательно, сумма ZAMB+ZMBN+
ZBNA + ZNAM
равна 2ZAQB, а значит, не зависит от выбора точек М н N.
Задача эта была предложена на Всесоюзной олимпиаде пос
номером, т. е. как сложная задача. Она и в самом деле сл
не знать решения заранее. А ведь в её решении используютс
признаки р
а
в
е
н
с
т
в
а т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в и теорема о р
а
в
е
н
с
т
в
е касат
проведённых из одной точки к сфере!
В заключение приведём ещё несколько задач и теорем И. Ф. Ш
без разбора их решений и доказательств.
Задача 7 (задача Лебега для треугольника). Найти
минима
но возможную
площадь треугольника,
которым можно
покрыть
любой треугольник
со сторонами,
не превосходящими
единицы.

История этой задачи также занимательна. Автор её — великий
цузский математик Анри Леон Лебег (1875-1941). Свою первую р
он написал в 1899 году, это была первая публикация Лебег
к 1902 г
о
д
у он стал классиком математики. Лебег внёс неоценим
не только в ключевые направления математики XX века, но и
витие российской математики. Так сложилось, что московская м
тическая школа начала развиваться, вдохновлённая в основном
Лебега, а затем разрослась в крупнейшую математическую шко
только в России, но и в мире. Классическая формулировка задач
такова: найти фигуру минимальной площади, покрывающей любую
ру диаметра 1. Шарыгин переносит эту задачу на т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
ки
совершенно элементарное решение (см.: Шарыгин И. Ф. Геометрия 9
М.: Дрофа, 1996. Задача 677). Мы не будем приводить это реше
приведём лишь совершенно удивительный, на наш взгляд, ответ.
мальным является т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к ABC, у которого АВ = 1, ZA = 6
а высота, опущенная на сторону/4В, равна cos 10°. Что здесь необ

В.Ю.Протасов,

В.М.Тихомиров.

Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е шедевры И.Ф.Шарыгина «213

с
п
р
о
с
и
т
е вы? Дело в том, что мы никогда не в
с
т
р
е
ч
а
л
и ни одно
м
а
л
ь
н
о
й задачи (а м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
а
яс
п
е
ц
и
а
л
ь
н
о
с
т
ь авторов этой с
т
т
е
о
р
и
я экстремума), у которой в о
т
в
е
т
е фигурировал бы угол 10°.
«табличные» углы (120°, 90°, 60° и тд.), на худой конец 72°, 36°,
ч
т
о
б
ы угол в 10° возник в совершенно е
с
т
е
с
т
в
е
н
н
о
йз
а
д
а
ч
е на
з
т
о удивительно!
Игорю Фёдоровичу везло на подобные вещи — либо необычн
с
т
а
н
д
а
р
т
н
ы
е задачи, либо совершенно удивительные о
т
в
е
т
ы в ест
ных, к
а
з
а
л
о
с
ь бы, задачах. Приведём здесь ещё один подобный п
Каждый из вас на уроках г
е
о
м
е
т
р
и
и имел дело с р
а
з
в
ё
р
т
к
а
м
и
ников. Развёртка, наряду с сечением, помогает с
в
е
с
т
ис
т
е
р
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
з
а
д
а
ч
у к одной или нескольким планиметрическим. А з
а
д
а
в
а
л
и ли
вопрос: почему р
а
з
в
ё
р
т
к
а вообще существует? Всегда ли м
н
о
г
о
г
р
можно р
а
з
в
е
р
н
у
т
ь на плоскость? Вдруг какие-то грани на р
а
з
в
ё
р
т
к
с
е
к
у
т
с
я
? Тогда фигуру, получающуюся в развёртке, н
е
л
ь
з
я будет в
из одного плоского листа бумаги. Проблема существования по
аномальных р
а
з
в
ё
р
т
о
к долгое время занимала умы геометров. В
т
а
т
е были построены примеры многогранников, р
а
з
в
ё
р
т
к
и которых
уложить на плоскость без самопересечений. Примеры были, конеч
сложные. Но в 1997 г
о
д
у московский математик Алексей Тарасов
в
р
е
м
я он был с
т
у
д
е
н
т
о
м мехмата МГУ) придумал совершенно э
тарный пример: он обнаружил, что существуют правильные треуг
у
с
е
ч
ё
н
н
ы
е пирамиды, р
а
з
в
ё
р
т
к
и которых имеют самопересечения. У
о примере Тарасова, Игорь Фёдорович тут же формулирует его
де з
а
д
а
ч
и и включает в вариант И1 Соросовской олимпиады.
задача.
Задача 8. Пусть ABCD — правильная
треугольная
пирамида
с основанием
ABC и плоскими
углами при вершине
D,
равны­
ми сх. Плоскость,
параллельная
ABC, пересекает
AD, BD и CD
в точках Л],fii,Ci соответственно.
Поверхность
многогранника
ЛВСА[В\С\ разрезана
по пяти рёбрам: А\В\, В\С\, С\С, СА и АВ.
При каких значениях а получившаяся
развёртка
будет
обязатель­
но накрывать сама себя?

Всё-таки у
д
и
в
и
т
е
л
ь
н
а
я вещь — геометрия! В какой ещё науке
вейшие достижения (а пример Тарасова, несомненно, я
в
л
я
е
т
с
я так
Могут быть на следующий день принесены в класс для разбора с
никами или предложены в к
а
ч
е
с
т
в
е задачи на олимпиаде? Интере
з
а
д
а
ч
у эту Игорь Фёдорович п
о
с
т
а
в
и
л под номером 2 (из пят
лагавшихся в первый день олимпиады), т. е. как лёгкую! Но г
о
б
р
а
з
о
м и
н
т
е
р
е
с
е
н и необычен ответ. Ответ такой: при а ^ 100°
Первый автор этой с
т
а
т
ь
и проводил разбор задач после олимпиады

214

• Воспоминания об И.Ф. Шарыгине

несколько человек в зале воскликнули: «А разве может быть в
рической задаче такой ответ? Сто градусов — это ведь относитс
к физике!» (Имелась в виду, видимо, температура кипения воды
мальных условиях.) И ведь они правы. Каждый, кто серьёзно з
а
геометрией, знает, что в нормальной г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
й задаче такого
быть не может! И тем не менее...
Задача 9. Обязательно
ли является
равнобедренным
угольник, если треугольник
с вершинами
в основаниях
его
трис —
равнобедренный}

тре­
биссек­

Решение этой задачи (см.: Шарыгин И.Ф. Геометрия 9-11.
Дрофа, 1996. Задача 500) не столь простое, как может п
о
к
а
з
а
т
первый взгляд. Это один из немногих случаев, когда И. Ф. Ша
нашёл г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о решения задачи и прибег к вычислениям.
всего, чисто г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
г
о решения здесь не существует, что
из ответа. А ответ весьма неожиданный: т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к не о
б
я
з
а
равнобедренный, но только в том случае, когда один из его у

в интервале ^arccos^^-^^—^, arccos^-^^^, т.е. примерно от 102°

104°. Если же т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к не имеет тупых углов или имеет,
угол не лежит в этом узком интервале, то т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к обязате
нобедренный.
Перед формулировкой следующей задачи Шарыгина напомним,
такое прямая Симеона. Даны треугольник ABC и точка М в п
л
э
т
о
г
о треугольника. Три проекции точки М на стороны т
р
е
у
г
о
ABC лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда М
окружности, описанной около т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC. Эта прямая н
а
з
ы
в
прямой Симеона точки М относительно т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC.
Задача 10 (прямая Симеона «-угольника). Дан
четырёхуголь­
ник ABCD, вписанный
в окружность,
и произвольная
точка М
этой окружности.
Точка М проецируется
на прямые
Симеона
этой точки относительно
четырёх треугольников
ABC,
ABD,
ACD, BCD. Тогда четыре получившиеся
проекции лежат на одной
прямой [прямой Симеона точки М относительно
четырёхуголь­
ника
ABCD).

Далее по индукции о
п
р
е
д
е
л
я
е
т
с
я прямая Симеона л-угольника
Пусть дан п-угольник,
вписанный в окружность, и
произвольная
точка М этой окружности.
М проецируется
на прямые
Симеона
этой точки относительно
всех п (п - \)-угольников
с вершинами
в вершинах данного п-угольника.
Тогда п получившихся
проекций
лежат на одной прямой (прямой Симеона точки М
относительно
п-угольника).

В.Ю.Протасов,

В.М.Тихомиров.

Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
е шедевры И.Ф.Шарыгина •215

решение. Смотри в книге Шарыгин И.Ф. «Геометрия 9-11»
Дрофа, 1996), задача 613.
Задача 11. В данном треугольнике
провели медиану к наи­
большей стороне, в каждом из получившихся
двух
треугольников
проделали то же самое, получили
четыре треугольника
и т. д.
Доказать,
что все получаюи^иеся
таким образом
треугольники
можно разбить на конечное число классов подобных между собой
треугольников.

Решение. Смотри в книге Шарыгин И. Ф. «Геометрия 9—11»
Дрофа, 1996), задача 676.
Задача 12. Вокруг окружности радиуса \ описан
многоуголь­
ник площади S\. Точки касания его сторон с окружностью
со­
единили, получив многоугольник
площади 52. Каково
наименьшее
возможное значение суммы Si + S2?

Ответ в задаче: 6. Достигается на квадрате и только на н
авторского, ни какого-либо другого решения этой задачи мы, увы
ем. Сама задача была сообщена Игорем Фёдоровичем в частной
с первым автором этой статьи, было это около 20 лет назад.
был немного р
а
з
о
ч
а
р
о
в
а
н «неинтересным» ответом. Говорил, что во
р
а
с
ч
ё
т
о
вв
о
з
л
а
г
а
л надежды на один пятиугольник, в котором числ
п
о
ч
т
и достигалось, однако потом выяснилось, что он всё рав
квадрата. Насколько нам известно, р
е
з
у
л
ь
т
а
т
а этого он не пуб
возможно из-за громоздкости решения. А может и потому, что, ка
н
а
д
е
я
л
с
я найти красивое г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е решение. Может быть
у
д
а
с
т
с
я вам, дорогой читатель? Тогда присылайте свои решения
авторам с
т
а
т
ь
и — на адрес редакции журнала «Квант». Ждём ва
шений и хотим вас призвать, как в
с
е
г
д
а призывал Игорь Фёдоро
ч
и
т
а
т
е
л
е
й и слушателей: «Занимайтесь геометрией! Польза геометри
в достижении результата, а в самих занятиях! Потому что геом
это витамин для мозга!»

Олимпиады
им, И.Ф.Шарыгина

в память об Игоре Фёдоровиче Шарыгине ряд российских н
организаций и учебных з
а
в
е
д
е
н
и
й решили ежегодно начиная с 20
проводить геометрическую олимпиаду. В оргкомитет и жюри оли
ды вошли известные учёные, педагоги, э
н
т
у
з
и
а
с
т
ы м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
о
г
о
свещения из разных российских регионов. Олимпиада состоит и
туров — заочного и финального. В заочном туре, задачи которого
куются в г
а
з
е
т
е «Математика» и в Интернете, могут принимать
все желающие школьники. Победители заочного тура приглашают
финал. Кроме того, к участию в финальном туре допускаются п
ли региональных г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
х олимпиад. Финальный тур п
р
о
в
о
д
в устной форме.
Ниже приводятся задачи двух первых олимпиад, финальные
которых прошли в Москве в сентябре 2005 года и в г Дубне М
области в июле 2006 года, а также задания заочного тура III ол

Первая олимпиада (2005)
Заочный тур 1)

\. (А. Заславский)
Хорды Л С и BD окружности пересекаются в т
ке Р. Перпендикуляры к АС и BD, восставленные в точках С
соответственно, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые АВ
перпендикулярны. (8 класс)
Решение. Пусть перпендикуляры пересекаются внутри окружнос
(случай внешней точки р
а
с
с
м
а
т
р
и
в
а
е
т
с
я аналогично). Отметим точку
вторую точку п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я прямой DQ с окружностью (рис. 1).
С

А

Рис. 1

Четырёхугольник PDCQ вписан в окружность (он образован дв
прямоугольными треугольниками с общей г
и
п
о
т
е
н
у
з
о
й PQ), поэтому
лы CDQ и CPQ равны как опирающиеся на одну дугу. По
''Решения задач э
т
о
г
о раздела написаны А. Г.Мякишевым.

220

• Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

причине /.CDQ = ZCAR, и, значит, прямые PQ и AR параллельн
(соответственные углы равны). Но BR я
в
л
я
е
т
с
я диаметром, как с
из п
е
р
е
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р
н
о
с
т
и BD и DQ, поэтому Z.BAR = 90°.

2. (JJ. Емельянов)
Разрежьте крест, составленный из пяти одина
вых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и п
(8-9

класс)

Р е щ е н и е. Приведём некоторые из возможных разрезан

(Макарец Александр,
г. Харьков, ФМШ № 27)

Первая олимпиада (2005) • 221

3. {В. Протасов) Дана окружность и точка К внутри неё. Про
в
о
л
ь
н
а
я окружность, равная данной и проходящая через точку К
с данной окружностью общую хорду. Найдите г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е мес
р
е
д
и
н этих хорд (ГМТ). (8-9 класс)

Р е щ е н и е. Искомым г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
м местом будет окру
с центром в середине ОК (где О — центр исходной окружности)
усом R/2 (где R — радиус данной окружности).

Первый способ. Действительно, пусть PQ — общая хорда, М
её середина, а Oi — центр выбранной произвольно окружности. Пос
ку из условия следует, что OPO\Q является ромбом, то М буде
с
е
р
е
д
и
н
о
й OOi. Средняя линия ММ[ т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а 0К0\ равна полов

Рис. 3

222 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

KOi, т.е. половине радиуса. Таким образом, все середины хорд л
окружности с центром в середине ОК и радиусом R/2 (рис. 2).
Несложно также проверить,что любая точка этой окружност
ется серединой некоторой хорды.
Второй способ. Центры окружностей, равных данной и пр
ходящих через точку К, лежат на окружности с центром в
радиуса R. Если 0\ — центр одной из таких окружностей, то, как
ло замечено, М — середина общей хорды — будет также середино
Поэтому искомое ГМТ есть образ окружности, образованной цен
при г
о
м
о
т
е
т
и
и с центром в точке О и коэффициентом 1/2 (рис.

4. (Б. Френкин)
При каком наименьшем п существует выпукл
rt-угольник, у которого синусы всех углов равны, а дл
различны? (9-11 класс)
Решение. Наименьшее значение равно пяти. Очевидно, что
угольников с таким свойством не существует. Покажем, что не с
у
и четырёхугольников. Сделать это можно по-разному. Так как
сы углов равны, то сами углы ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а равны либо
180° - ср. Простым перебором легко убедиться в том, что в эт
мы имеем дело либо с прямоугольником, либо с параллелограмм
с равнобокой трапецией. Или же можно для д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
аи
с
п
о
л
«метод площадей». Рассмотрим выпуклый четырёхугольник, синусы
углов которого равны, и обозначим длины его сторон буквами а
Вычислим его площадь как сумму площадей двух т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в
диагональю по формуле «половина произведения сторон на сину
между ними» двумя способами, затем в полученном равенстве со
на половину синуса и придём к соотношению аЬ + cd = ad + be
(а - c){b - d) = 0. Отсюда вытекает равенство, по крайней мере,
ной пары сторон. Чтобы построить пятиугольник, обладающий иск
свойствами, достаточно о
т
р
е
з
а
т
ь у равнобокой трапеции с углом
большем основании «уголок» (рис.4).

Рис. 4

Первая олимпиада (2005) •

223

Или иначе. Рассмотрим правильный п
я
т
и
у
г
о
л
ь
н
и
к с углами 108
е
г
о помощью построим пятиугольник, все стороны к
о
т
о
р
о
г
о соотве
но параллельны сторонам правильного пяти­
угольника, но не равны между собой (рис.5).
5. (А.Мякишев)
Имеются две параллель­
ные прямые pi и р2. Точки А н В лежат
на а С — на р2. Будем перемещать отрезок
ВС параллельно самому себе и рассмотрим
все т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и ABC, полученные таким об­
разом. Найдите г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е место точек,
являющихся в этих треугольниках: а) точками
п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я высот; б) точками пересечения
медиан; в) центрами описанных окружностей.
(8-10

класс)

Рис. 5

Решение. Получится прямая с выколотой точкой, которая с
в
е
т
с
т
в
у
е
т случаю, когда треугольник вырождается в отрезок (рис.
Pl

Р2

Р2

Ai
Но/
LI

1

\

Со

^

Н

Рис. 6

224 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

В первом случае, очевидно, имеем прямую, перпендикулярную
и проходящую через вершину А. Во втором случае ответом будет
параллельная данным прямым и делящая отрезок с концами
прямых в отношении 1 : 2, считая от п
е
р
в
прямой. В самом деле, если отрезок ВС д
в
и
ж
е
с постоянной скоростью, значит, и его с
е
р
е
д
движется с постоянной скоростью. Точка пере
чения медиа[| делит отрезок, соединяющий в
шину А с серединой ВС, в постоя1Шом отношении
2 : 1, и, следовательно, эта точка также б
у
д
в
и
г
а
т
ь
с
я с постоянной скоростью по н
е
к
о
т
о
р
прямой. В пределыюм случае получаем точку
которая делит отрезок Л Со (равный и па
лельный ВС, но проходящий через вершину
в отношении 1 : 2, поскольку она должна д
е
в отношении 2 : 1 отрезок, соединяющий т
о
ч
к
у
Рис. 7
и середину Л Со.
Можно рассуждать иначе: проведём через точку А\ (середину
перпендикуляр к данным прямым и с концами на этих прямых.
пару равных т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в с общей вершиной в Л ^ Отсюда след
середины будут лежать на прямой т\, равноотстоящей отданных пр
Затем проведём перпендикуляр через М с концами на pi и т. По
пару подобных т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в с общей вершиной М, причём коэффи
подобия равен 2. Значит, центры тяжести лежат на прямой, п
а
р
а
л
Р\ и т, эта прямая делит общий перпендикуляр в отношении 2 : 1

Рис. 8

Первая олимпиада (2005) • 225

Наконец, так как серединные перпендикуляры к отрезкам АС
движутся также с постоянными скоростями, то и точка их п
е
(центр описанной окружности) будет перемещаться по прямой. М
также заметить, что эта прямая я
в
л
я
е
т
с
я серединным перпендик
ко
т
р
е
з
к
у АК, симметричному о
т
р
е
з
к
у Л Со (в который вырождает
у
г
о
л
ь
н
и
к при совпадении точек А и В) относительно перпендикуляр
т
о
ч
к
и А к Р2.
Как известно, если около трапеции можно описать окружно
она равнобокая. Отсюда сразу следует, что все окружности, оп
около т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ABC, будут вторично п
е
р
е
с
е
к
а
т
ь прямую р2 в
и той же точке К, так что АК = В С . Поэтому центры этих окр
должны быть равноудалены от точек А н К (рис. 8). Эти рассуж
дают нам также ещё один способ д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
а того, что иск
е
с
т
ь прямая (с выколотой точкой).

6. (А. Хачатурян)
Сторону АВ треугольника ЛВС разделили на
п равных ч
а
с
т
е
й (точки деления Во = А, Bi, В2,...,
В„ = В), а стор
АС этого т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а разделили на п+\ равных ч
а
с
т
е
й (точки де
Со = А, С\, С2, ••., С„+1 = С). Закрасили т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и C,B,C,+i. Кака
ч
а
с
т
ь площади т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а закрашена? (10—11 класс)

Решение. Покажем, что закрашенная часть с
о
с
т
а
в
л
я
е
т ровно
ловину площади всего треугольника. Для этого из точек В\,...,Вп

Рис.
S-1356

9

226 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

стим перпендикуляры на сторону АС. Эти перпендикуляры являютс
высотами т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в C,B/C,+i с одинаковыми основаниями, прич
как следует из соображений подобия. Л,- = /Л). Отсюда вытекает,
таким же соотношением будут связаны площади закрашенных треу
ников: Si = /Si. (На рис.9 изображён случай п = 4.)
Опустив затем перпендикуляры из точек С\, ...,С„ на сторону
и рассуждая аналогично, получим такое же соотношение для площа
незакрашенных треугольников. Осталось заметить, что площадь п
е
закрашенного т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а равна площади первого незакрашенного
основания равны, а высота h\ общая). Можно было завершить
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о и по-другому, просто сложив площади заштрихованных
угольников.
Отметим, что равенство площадей соответствующих пар треуголь
ков (закрашенного и незакрашенного) можно получить практически
вычислений, воспользовавшись тем, что прямые В,-С,- параллельны др
другу (по теореме, обратной теореме Фалеса). Тогда SS,_|B,C, = 5c,_
(у них общее основание В , С , , а вершины лежат на прямой, парал
основанию) и 5с,_|В,с, = SB,C,C,+i (вершина В,- общая, а C,_iC; = C,C;
по условию).

7. ( В . Протасов) Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общ
центр в точке О. Вершина А правильного т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC лежи
большей окружности, а середина стороны ВС на меньшей. Чему
быть равен ZBOC? (8-9 класс)

Рис. 10

Первая олимпиада (2005) •

227

Решение. Этот угол равен либо 60°, либо 120°.
Первый способ. В данной конструкции окружность, проходящ
ч
е
р
е
з вершины В и С правильного т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а и касающаяся
т
о
ч
к
а
х его сторон, будет также проходить и через общий ц
окружностей (рис. 10).
Из э
т
о
г
о утверждения следует, что в случае
«верхнего» (на рисунке) т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
ZB.OC, = ^ZS,/,C, - 6 0 ° .
так как вписанный угол равен половине цен­
трального. По той же причине для «нижнего»
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а получим Z.B2OC2 = 120°.
Для д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
а самого утверждения
в
о
с
п
о
л
ь
з
у
е
м
с
я следующим легко проверяемым
свойством правильного треугольника. Пусть
/| — центр окружности, касающейся сторон
АВ и АС правильного т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC в
т
о
ч
к
а
х В и С соответственно, а /С — середина
стороны ВС. Тогда точка К делит отрезок А1\
в отношении 3:1, причём 1\К равен половине Рис. 11
радиуса этой окружности (рис. 11).
Теперь докажем основное утверждение (рис. 12)

Рис. 12
8»

228 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

Проведём прямую АО и отметим точки Р и (? её п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
яс
ностью е
д
и
н
и
ч
н
о
г
о радиуса. Точки М, Oi н К делят о
т
р
е
з
о
к А1
четыре одинаковые части, каждая из которых равна R/2, где R —
окружности, касающейся сторон АВ и АС в т
о
ч
к
а
х S и С. Мы
доказать, что 1\0 = R. Из условия следует, что точки Р и О деля
AQ т три равные части, поэтому из теоремы, обратной теореме
следует, что о
т
р
е
з
к
и MP и KQ параллельны. Но угол PKQ — прям
опирающийся на диаметр, поэтому прямым будет и угол МРК.
Медиана п
р
я
м
о
у
г
о
л
ь
н
о
г
о треугольника, п
р
о
в
е
д
ё
н
н
а
я из вершины
мого угла, равна половине гипотенузы, поэтому

Теперь о
с
т
а
л
о
с
ь только заметить, что о
т
р
е
з
о
к 0\Р я
в
л
я
е
т
с
я с
линией т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а А1\0 и, значит, р
а
в
е
н половине 1\0.
Второй способ. (Осечкина Мария, г. Пермь, ФМШ№9) Рас­
смотрим, например, случай, когда точки О и Л лежат в одной
кости о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
о прямой ВС (рис. 13).
А

Рис. 13

Первая олимпиада (2005) •

229

Пусть К — середина ВС, G — точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я медиан треугол
ка ABC. Продолжим отрезок ОК до п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я с большей окружн
в точке Oi. По условию ВК = КС, ОК = К0\, поэтому четырё
у
г
о
л
ь
н
и
к ВОСО\ является параллелограммом. Далее, заметим, что
б
у
д
е
т также центроидом (точкой пересечения медиан) и т
р
е
у
г
о
А00\, поскольку Л/( — медиана этого т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а и ЛО : G/C =
И так как треугольник равнобедренный, то 0G я
в
л
я
е
т
с
я биссектр
о
т
к
у
д
а следует равенство т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в AGO и 0\G0. Следователь
GA = GO) = GB = GC, т.е. точки А, В, С, 0\ лежат на одно
окружности, а значит,
ZBOiC = 180° - /ВАС = 120°.
Аналогично рассматривая и второй случай, получим 60°.
Третий способ. (Лысое Михаил,

г. Москва,

Лицей

«Вторая

школа») Это наиболее, пожалуй, э
л
е
г
а
н
т
н
о
е решение основано на
пользовании следующей классической теоремы элементарной геометр
Пусть имеется некоторый отрезок АВ на плоскости и
некоторое
положительное
число X. Тогда геометрическое
место таких
то­
чек X, что АХ/ВХ = X, есть некоторая
окружность. Если Р и Q —
точки, которые делят отрезок АВ в отношении
X
(внутренним
и внешним образом), то эта окружность
совпадает
с окружно­
стью, построенной
на отрезке PQ как на диаметре. Она н
а
з
ы
в
а
е
т
с
я

окружностью Аполлония (рис. 14).

Рис. 14

230 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

Поскольку из условия нашей задачи сразу следует, что
AG _ АВ _ АС _ АО
KG ~ КВ~ КС ~ К 0

_^
~

'

то отсюда вытекает, что точки В, G, О, С лежат на окружности
ния для отрезка АК и X = 2. Понятно также, что ZBGC = ZBOC
m°-ZBOC).

8. (Д. Терешин) Вокруг выпуклого ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABCD описаны
три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников
р
^
Q ся квадратами. Верно ли, что и третий
зательно является квадратом? (Прямоугольник
описан около ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABCD, если
на каждой стороне прямоугольника лежит
одной вершине четырёхугольника.) (8-9 класс)
Решение. Третий прямоугольник также
будет квадратом. Доказательство основано н
следующем свойстве квадрата. Пусть точки
и С лежат на одной паре противоположн
сторон квадрата, а В и D — на другой. Тогд
Рис. 15
условия АС ± BD и АС = BD являются
равносильными (рис.15).
Это сразу следует из равенства прямоугольных треугольнико
казанных на рисунке. Проведём в нашем четырёхугольнике, впис
в два квадрата, из точки А прямую, перпендикулярную BD, и о

Р2

Рис. 16

Первая олимпиада (2005) «231

её п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я с соответствующими сторонами к
в
а
д
р
а
т
а Ci
(рис. 16).
Из у
к
а
з
а
н
н
о
г
о выше свойства к
в
а
д
р
а
т
а вытекает, что ACi
и ACi = BD, т.е. ACi = АС2 и точки Сь С2 должны совпадать.
у двух сторон квадратов, содержащих эти точки, имеется толь
общая точка — С. Значит, построенный нами перпендикуляр совп
с Л С, и, следовательно, диагонали ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABCD равны
пендикулярны. Очевидно, что если ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к с таким свой
вписан в прямоугольник, то прямоугольник я
в
л
я
е
т
с
я квадратом.
ТОЧКИ

9. (А.Мякишев)
Пусть О — центр правильного т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC
Из произвольной точки Р плоскости опустили перпендикуляры на
ны т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а или их продолжения. Обозначим через М точку
чения медиан т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а с вершинами в основаниях перпендику
Докажите, что М — середина о
т
р
е
з
к
а РО. (9 класс)

Решение. Нам нужно доказать, что 2РМ = РО. Как извест
если О—точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я медиан н
е
к
о
т
о
р
о
г
о т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
для произвольной точки Р выполняется р
а
в
е
н
с
т
в
о
3PG =РА + РВ + PC.

С учётом э
т
о
г
о свойства задачу можно переформулировать следу
образом. Пусть имеется правильный т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к ABC и произвол

точка Р. Рассмотрим векторы РА, РВ, PC, а также три вектора
nt{P) и п^{Р), начало каждого из которых расположено в точке Р

Рис. 17

232 • Олимпиады им. И.Ф.Шарыгина

нец — на основании перпендикуляра, опущенного из точки Р на
треугольника. Тогда
2(я^(Я) + nt{P) + л^(Р)) = РА + РВ + РС.

Для д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
а рассмотрим ещё щесть векторов, каждый из
рых лежит на прямой, параллельной стороне т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а и про
через точку Р (рис. 17).
Начало каждого такого вектора расположено в точке Р, а
на одной из сторон треугольника. (На рисунке изображён случ
точка Р лежит внутри треугольника.) Через эти векторы легко в
как векторы, соединяющие Р с вершинами, так и векторы с
в основаниях перпендикуляров, поскольку параллельные линии ра
вают т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к на правильные т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и и параллелограммы
видим, наше утверждение доказано. Легко также убедиться в т
эти же рассуждения проходят и в случае, когда точка Р распол
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC.

10. (Т.Емельянова)
Разрежьте неравносторонний треугольник на
четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы
(8-9

класс)

Решение. Пусть АВ ф АС. Проведём отрезок В'С так, чтоб
lAC'B'

= ААСВ (рис.18).

Ясно, что т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и ABC и АВ'С подобны, при этом В'С
параллелен ВС. Отметим середину отрезка В'С — точку М — и дост
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к АВ'С до параллелограмма АВ'А'С. Далее найдём точку
п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я AM и ВС и построим параллелограмм АВ\А\С[. Отрезк
А\С\, В\А\ и SiCi осуществляют искомое разрезание.
Замечание. В сущности, п
р
и
в
е
д
ё
н
н
о
е решение и
с
п
о
л
ь
з
у
е
т так н
а
з
ы
в
а
с
и
м
е
д
и
а
н
у треугольника. С
и
м
е
д
и
а
н
о
йн
а
з
ы
в
а
е
т
с
я прямая, с
и
м
м
е
т
р
и
ч
н
а
ям
е

Рис. 18

Первая олимпиада (2005) •

233

о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
об
и
с
с
е
к
т
р
и
с
ыу
г
л
ат
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
,ч
е
р
е
з вершину к
о
т
о
р
о
г
оп
щедиана. Назовём п
а
р
а
л
л
е
л
ь
ю (к с
т
о
р
о
н
е ВС т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
) любой о
т
р
е
з
о
к
о
н
ц
а
м
и на прямых АВ и АС, п
а
р
а
л
л
е
л
ь
н
ы
й ВС. Понятно, ч
т
о ZAPQ =
и /.AQP = ZACB (рис. 19). Назовём а
н
т
и
п
а
р
а
л
л
е
л
ь
ю (к с
т
о
р
о
н
е ВС треуго
ка) любой т
а
к
о
йо
т
р
е
з
о
к RT с к
о
н
ц
а
м
и на прямых АВ и АС, ч
т
о ZAR
^ /.ATR = ZABC. (Как несложно проверить, антипараллелью, в частно
я
в
л
я
е
т
с
я отрезок, о
б
р
а
з
о
в
а
н
н
ы
йо
с
н
о
в
а
н
и
я
м
ис
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
ю
щ
и
х высот тре
ника.) Очевидно, ч
т
о о
т
р
е
з
о
кя
в
л
я
е
т
с
я п
а
р
а
л
л
е
л
ь
ют
о
г
д
а и т
о
л
ь
к
от
с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
ю
щ
а
ям
е
д
и
а
н
ад
е
л
и
те
г
о пополам. П
о
с
к
о
л
ь
к
ус
и
м
м
е
т
р
и
яо
т
н
о
с
п
р
я
м
о
йс
о
х
р
а
н
я
е
ту
г
л
ы и длины отрезков, из э
т
о
г
оу
т
в
е
р
ж
д
е
н
и
яв
ы
т
е
ющая лемма.
Лемма. Отрезок является антипараллелью тогда и только
когда соответствующая симедиана делит его пополам (рис. 19).

В

Л,

Аа

Рис. 19
Теперь осуществим искомое разрезание (рис.20).
А

Рис. 20

тогда,

234 • Олимпиады им. И.Ф.Шарыгина

Допустим, что АВ ф АС. Пусть АА\—симедиана т
р
е
у
г
А[С\ и А]В\—параллели к сторонам АС и АВ соответстве
скольку A\CiABi—параллелограмм, то его диагонали
кой п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я пополам, т.е. середина С\В\ лежит на с
и
м
е
и потому, согласно лемме, о
т
р
е
з
о
к Cifii я
в
л
я
е
т
с
я а
н
т
и
п
а
р
а
л
л
е
л
Легко проверить, что т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и Л1В1С1, ABiC\, CiBA\ и B[AiC
подобны т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
у ABC и не все одинаковы. (Для н
е
р
а
в
н
о
б
е
д
р
е
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а основание симедианы А\ не с
о
в
п
а
д
а
е
т с с
е
р
е
д
и
н
о
й
Можно даже показать, что BAi/CA 1 = АВ^/АС^, — ещё одно и
н
т
е
р
с
в
о
й
с
т
в
о симедианы.)

11. (Л.Емельянов)
Квадрат р
а
з
р
е
з
а
л
и на п прямоугольников а,- х
/=
При каком наименьшем п в наборе а\,..., Оп, bi,..., Ь„
числа могут о
к
а
з
а
т
ь
с
я различными? (8—10 класс)

Решение. Наименьшее значение л = 5. Покажем сначала, ч
т
никакой прямоугольник (в частности, квадрат) нельзя р
а
з
р
е
з
а
т
ь ни
ни на три, ни на четыре прямоугольника с различными сторон
видно, что если прямоугольник р
а
з
р
е
з
а
н на два прямоугольника,
есть общая сторона. Пусть, далее, прямоугольник р
а
з
р
е
з
а
н на т
моугольника. Тогда один из них содержит две вершины и
с
х
о
д
н
у
г
о
л
ь
н
и
к
а (так как три прямоугольника должны накрыть все чет
шины исходного), и мы свели з
а
д
а
ч
у к предыдущему случаю (оста
ч
а
с
т
ь — прямоугольник, который необходимо разбить на два).
Наконец, допустим, что прямоугольник р
а
з
р
е
з
а
н на четыре д
Имеем две возможности: либо один из прямоугольников разбиен
держит две вершины и
с
х
о
д
н
о
г
о (и мы сводим з
а
д
а
ч
у к разреза
моугольника на три части), либо каждый из прямоугольников р
а
содержит по одной вершине исходного. В последнем случае р
а
с
с
два прямоугольника, содержащие соседние вершины (рис.21).

Рис. 21

Первая олимпиада (2005) • 235

5 X 13
7X I

2х 11

1 X12

Рис. 22

Они должны соприкасаться (так как очевидно, что если бы
зор» между ними, то его нельзя было бы покрыть двумя прям
ками, содержащими остальные две вершины исходного). Рассмотри
п
р
я
м
о
у
г
о
л
ь
н
и
к из оставшихся, который содержит точку Р. Он не
содержать вершину С, следовательно, он содержит вершину D и,
и
м
е
е
т общую сторону с первым прямоугольником.
Предъявим теперь одно из подходящих р
а
з
р
е
з
а
н
и
й квадрат
п
я
т
ь прямоугольников (рис.22).

12. (В. Смирнов) Постройте четырёхугольник по заданным сторон
а, с и d и расстоянию / между серединами его диагоналей. (8-10
Решение. Пусть ABCD — искомый четырёхугольник, Р, Q, R, S,
V —середины отрезков АВ, ВС, CD, DA, AC, BD соответственно.
Так как QX, SY — средние линии треугольников ABC и ABD, то
QX = YS = | .

Аналогично
QY = XS =

'^.

Следовательно, зафиксировав точки Х и К и построив т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
^ ^YS, мы найдём точки (? и S. Аналогично находятся точки Р

Проведя теперь через Р, Q, R, S прямые, параллельные QX, РХ, Q
PY соответственно, получим искомый четырёхугольник (рис.23).

13. (А.Заславский)
Дан треугольник ABC и две прямые /ь /2. Ч
произвольную точку D на стороне АВ проводится прямая, паралл
ная 1\, пересекающая АС в точке Е, и прямая, параллельная /2, п
кающая ВС в точке F. Построить точку D, для которой отрезок E
наименьшую длину. (9 класс)

Решение. Пусть Р — точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я перпендикуляров, во
ставленных к Л С в точке £ и к ВС в точке F. Когда D д
в
и
АВ, стороны четырёхугольника DEPF сохраняют направления и, так
три вершины ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а двигаются по прямым, ч
е
т
в
ё
р
т
а
я
движется по прямой. Следовательно, середина отрезка CP, являюща
центром описанной окружности т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а CEF, также д
в
и
г
а
е
т
с
я
прямой (рис. 24). Значит, все эти окружности имеют общую хор
помимо С ещё одну общую точку Q. Поскольку хорда EF с
т
я
г
и
постоянный ZC, то её длина будет минимальной при минимально
усе описанной около CEF окружности. Однако среди всех окружн
содержащих общую хорду, минимальный радиус, очевидно, будет
та из них, для которой эта хорда CQ является диаметром.
Отсюда вытекает, например, следующий способ построения точк
Проведём через А прямую, параллельную /2, и найдём точку U её
сечения с ВС. Через В проведём прямую, параллельную /ь и н
точку V её п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я с АС. Пусть Q — вторая точка п
е
р
е
с
е
окружностей, описанных около ACU и BCV, Е — вторая точка перес

Первая олимпиада (2005) • 237
А

С

В

Рис. 24

н
и
я прямой АС и окружности с диаметром CQ. Тогда прямая, прох
ч
е
р
е
з £ и параллельная /ь п
е
р
е
с
е
к
а
е
т АВ в искомой точке.

14. {Л.Емельянов)
Пусть Р — произвольная точка внутри треуго
н
и
к
а ABC. Обозначим через А\, В\ н С\ точки п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я прямых
BP и CP со сторонами ВС, СА и АВ соответственно. Упорядочим пло
ди т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ABiCi, AiBC\, А]В\С, обозначив меньшую через
среднюю — S2, а большую — S3. Докажите, что

г
д
е S — площадь т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а AiBiC\. (10—11 класс)
Решение.
Первый способ. Назовём т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к Л|B|Ci чевианным тре­
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
м точки Р. Оказывается, любой треугольник ABC можно
ходяшлм аффинным преобразованием п
е
р
е
в
е
с
т
и в некоторый остроуг
ный т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к А'В'С так, что точка Р перейдёт в его ортоцен
вианный т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к Р в о
р
т
о
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к (треугольник, образованн
о
с
н
о
в
а
н
и
я
м
и высот, рис.25).
Действительно, возьмём произвольный отрезок В'С и отметим на
т
а
к
у
ю точку Л',, что
В'А',

BAi

^з
а
т
е
м восставим в этой точке перпендикуляр к В'С. На этом
д
и
к
у
л
я
р
е построим такую точку Ло, что
ZB'. 'АоС =

1

238 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

Рис. 25

(точка пересечения перпендикуляра с окружностью, построенной на
как на диаметре, рис. 26).
Далее, рассмотрим точку А" на этом перпендикуляре и опустим
ту В'В" на А"С'. Если А" расположена близко к точке Ао, то от
С'В['/В\'А"
очень велико, а если >4о удаляе
ся по перпендикуляру на бесконечность, то
отношение стремится к нулю. Из соображен
непрерывности следует, что найдётся такая т
ка А' на перпендикуляре, что
С'В\' ^ CBi^
Б\'А'
BiA'

Соответственное равенство т
р
е
т
ь
е
й пары отн
шений гарантировано теоремой Чевы. Как и
вестно, для любых двух треугольников ЛВС
^,
^, А'В'С существует единственное аффинное пре'
образование, отображающее первый треуголь
ник на второй. Поскольку аффинное преоб
Рис. 26
зование прямые переводит в прямые, а та
сохраняет отношение длин отрезков, мы наш
аффинное преобразование, переводящее чевианный треугольник в н
торый ортотреугольник. Кроме того, аффинное преобразование сохра
и отношение площадей. Сказанное означает, что нам достаточно д
утверждение задачи для о
с
т
р
о
у
г
о
л
ь
н
о
г
от
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а и его ортоц
Не ограничивая общности, будем считать, что площади т
р
е
у
г
о
л
ь
ЛВ1С1, Л1ВС1, Л1В1С с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
о равны S\, S2, и S3. Эти треуголь
ники подобны исходному с коэффициентами созЛ, cosS, cos С соо
ственно, поэтому, поскольку все углы острые, косинусы положит

Первая олимпиада (2005) • 239

^^ убывают. Из последней цепочки н
е
р
а
в
е
н
с
т
в следует, что
ZC < 5 <

/А.

Докажем теперь, что y/S\S2 < S.
После в
о
з
в
е
д
е
н
и
я в квадрат и деления числителя и з
н
а
м
е
н
а
т
е
л
п
о
л
у
ч
и
м неравенство
cos^ А cos^ В

.

(1 - C 0 S 2 ^ - C 0 S 2 S - C 0 S 2 C ) 2

'

Но, как нетрудно проверить, в любом т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
е имеет место р

1 — cos^ Л - cos^5 - cos^C = 2 cos Л cos В cos С,
п
о
э
т
о
м
у наше неравенство равносильно тому, что 1/4 ^ cos2 С
ZC < тг/З- Аналогично доказывается, что ч/ЗгЗ^ ^ S.
Второй способ. Не ограничивая общности, будем считать, ч
площади т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ABiCi, AiBCi, AiBiC с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
о равны Si
$2, И S3 (рис.27).
Пусть точка Р имеет (относительно треугольника ABC) нормиров
ные барицентрические координаты (p,q,r),
т.е. р + q + г = 1. По
с
к
о
л
ь
к
у Р расположена внутри треугольника, то p,q,r — положитель
величины. Выразим через них S\/S. Обозначим через Лг точку пе
ния В\С\ и АА\. Поскольку т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и ABiCi и AiBiCi имеют об
основание, то, очевидно,
§1 =
S
Л1Л2'

Рис. 27

240 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

Далее, понятно, что Лг имеет координаты {2р : q : г) (центр
системы 2рА и (q + r)A\ расположен на прямой АА\, а системы (p+
и (/> + r)Bi — на прямой В\С]), откуда по правилу рычага имеем
АА2 _ д + г _ 1 - р
Л1Л2 ~ 2р ~ 2р '

Совершенно а
н
а
л
о
г
и
ч
н
о
S

S

2q

2г •

Поскольку S| < S2 < S3, отсюда следует, что /? ^ (7 > г. С у
ч
ё
р
а
в
е
н
с
т
в
а р + q + г = 1 имеем также р ^ 1/3 ^ г. Докажем теперь
y/SiS2

^

S.

Подставляя полученные выше з
н
а
ч
е
н
и
я отношений, получаем
(l-p){l-q)^4pq,

т.е. г ^ 3pq. Но

Па­
точно так же доказывается, что V/S2S3 ^ S (с и
с
п
о
л
ь
з
о
в
а
н
и
е
м нер
ства г < 1/3).
Замечание. Идеи, на к
о
т
о
р
ы
хо
с
н
о
в
ы
в
а
л
о
с
ьд
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о
, можно р
зовать, не и
с
п
о
л
ь
з
у
яг
е
о
м
е
т
р
и
ю масс. Например, в
в
е
с
т
ио
т
н
о
ш
е
н
и
я

_ Ml

п - £Ё1

""СЛ,' '^'ABi'

- d^L
^~ВС,

и с помощью т
е
о
р
е
м
ы Фалеса (проводя с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
ю
щ
и
еп
а
р
а
л
л
е
л
и
)
ч
е
р
е
з них о
т
н
о
ш
е
н
и
я площадей.
Третий способ. (Авксентьев

Евгений,

г.

Ростов-на-Дону,

МОУ Гимназия №5) Следующее симпатичное решение основано на
называемой теореме Мёбиуса. Пусть Р — п
р
о
и
з
в
о
л
ь
н
а
я точка в
н
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC. Обозначим через Льfiiи С\ точки п
е
р
е
с
е
ч
прямых АР, BP и СР с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
о со сторонами ВС, СА, АВ
а площади т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ЛВ1С1, Л1ВС1, Л1В1С и AiBiCi—S\,

52-

S3 и 5 соответственно. Тогда
5^ + (5, 4- 52 + 5з)52 - 45, SzSs = 0.

(Это несложно доказать, используя, например, найденные нами от
ния площадей в предыдущих рассуждениях.) Рассмотрим функцию
Ф(х) =х^ + (Si -1-52-1- 5з)л:2 - 4 5 | 5 2 5 з .

Первая олимпиада (2005) • 241

pio теореме Мёбиуса Ф(5) = 0. Кроме того, очевидно, что Ф(д:) в
т
а
е
т на (О, со) (как сумма двух возрастающих функций). Поэт
д
о
с
т
а
т
о
ч
н
о показать, что
Ф(7ЗД) ^ О ^ Ф(ч/ЗД).
Но
а

^
^
Ф(v/ад) = 5 , 5 2 ( У З Д + S, + S2 - 35з),
„
^/ЗД + S, + S 2 - 3 S 3 ^ 2(-5i + 5 2 ) - 3 5 з


углу АХВ в других т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
х могут равняться только угл

Первая олимпиада (2005) •

263

И ВХС. Значит,
ZAXB

= ZAXC = ZBXC

=120°.

Но тогда АХ = ВХ = СХ ч т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к ABC — правильный.
Пусть теперь треугольник р
а
з
р
е
з
а
л
и сначала прямой, проход
ч
е
р
е
з вершину, на два, а затем один из этих двух — ещё на
два последних т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а подобны, они прямоугольные, т. е. п
вом разрезе от исходного т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а отрезали прямоугольный,
оставшийся т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к разделили на два высотой. Перебрав в
можные варианты, нетрудно убедиться, что исходный треугольник
равнобедренный, либо прямоугольный. И в том, и в другом слу
можно р
а
з
р
е
з
а
т
ь на любое число подобных.

3. (А.А.Заславский)
В окружности с центром О проведены дв
параллельные хорды АВ и CD. Окружности с диаметрами АВ и
пересекаются в точке Р. Доказать, что
середина отрезка ОР равноудалена от
прямых АВ и CD.
Решение. Пусть X, Y — середи­
ны АВ и CD, Q — середина ОР. Тогда

2 _ 20Х^ + 2ХР^ - ОР^

XQ'' =

20^2 -f- 2ХА^ - ОР^
20Л^ - ОР^

=

YQ'.

Таким образом, Q равноудалена от то­
чек и К, а значит, и от прямых А В
и CD (рис.50).
4. (BUM Пайлс,

Нидерланды)

На

плоскости даны два отрезка АуВх и
^2^2, причём
Л252 =

Л,В,

Рис. 50

k Г2. Найдите длину АВ. (8—9 класс)
Решение. Если отрезок АВ является диагональю квадрата, то
делит квадрат на два равных т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а w г\ = гг, что проти
Нетрудно убедиться, что случай /АВЕ = ABCF невозможен.

Вторая олимпиада (2006) • 279

условию задачи. Если же одна из ч
а
с
т
е
й являет­
ся четырёхугольником, то сумма его стороны А В
с противоположной больше суммы двух других
сторон (рис. 70), и вписать в него окружность
нельзя. Следовательно, АВ делит квадрат на тре­
угольник и п
я
т
и
у
г
о
л
ь
н
и
к (рис.71).
Окружности с радиусами Г\ и г
г являются
вневписанной и вписанной окружностями прямо­
у
г
о
л
ь
н
о
г
от
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC. Значит,
А
г\ =
И

ЛВ =

ВС+СА-

АВ + ВС + СА
Г2

АВ

=

Рис. 70

Г1 - Г2.

Рис. 71

9. (Л. Канель-Белов)
Пусть прямая Ца) соединяет точки един
ной окружности, отвечающие углам а и т: - 2а. Докажите, чт
а-ьр-Ьу = 27С, то прямые Z.(a), L(P) и Цу) пересекаются в одной
(8-10

класс)

Решение. Пусть А, В, С—точки окружности, соответствую
углам а, р, Y- Перпендикуляр из центра окружности к прямо
п
е
р
е
с
е
к
а
е
т окружность в точке, соответствующей углу (а-|-р)/2 =
а перпендикуляр к прямой Цу) — в точке, соответствующей углу
(y + я - 2у)/2 = л/2 - y/2. Следовательно, Цу) — высота т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
ABC. Аналогично Ца), L(P) — высоты АБС, и, значит, все три пря
Пересекаются в его opтoцeнtpe.
Условие задачи было опубликовано с опечаткой.

280 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

10. (Б.Френкин)
При каких п правильный /г-угольник можно р
резать непересекающимися диагоналями на л - 2 равнобедренных
возможно, равносторонних) треугольников?
(8-11

Рис. 72

Рис.73

класс)

Ответ. Число п должно быть суммой
двух степеней двойки, может быть рав
(в этом случае само п — степень двойки)
Р е щ е н и е. Рассмотрим треугольни
биения ABC, содержащий центр (рис. 7-2). Е
ли сторона АВ не является стороной ис
ного многоугольника, то она о
т
р
е
з
а
е
т от/
многоугольник, в котором наибольш^ рас
стояние между вершинами —длина 1ЛВ. Сл
довательно, АВ должна быть основанием тр
угольника разбиения, и число отрезаемых
сторон четно. Для боковых сторон указан
го т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а можно провести аналогичн
рассуждения, следовательно, число сторон
которые о
т
р
е
з
а
е
т АВ, есть степень двой
(Если АВ — сторона исходного многоуголь
ника, то она о
т
р
е
з
а
е
т 2" сторон.) Это в
и для сторон ВС и АС. Так как в т
р
е
у
г
о
л
ABC хотя бы две стороны равны, то
л = 2* 4-2*+ 2'=2*"*"'-1-2'.

Обратно, пусть л = 2* -|-2', причём /г > 0. Пусть А — одна из
правильного л-угольника, а вершины В и С о
т
с
т
о
я
т от неё на
в двух направлениях. Тогда АВ = АС, и существует разрезание ну
вида, содержащее треугольник ABC (рис.73).

11. {А. Заславский)
В треугольнике ЛВС точка О — центр описанн
окружности; А', В', С—точки, симметричные А, В, С относител
противоположных сторон; Ль Вь С\ —точки пересечения прямых
и ВС, ОВ' и Л С, ОС и АВ. Докажите, что прямые ЛЛь BBi,
пересекаются в одной точке. (9—10 класс)
Решение. Пусть Оа, Оь,Ос — точки, симметричные О относител
но ВС, СА, АВ. Очевидно, что прямые СОс, ОС и АВ пересекают
в одной точке, так что для решения задачи достаточно дока
прямые АОа, ВОь и СОс пересекаются в одной точке.
Так как треугольник ОаОьОс г
о
м
о
т
е
т
и
ч
е
н серединному треуголь
ку ЛВС с центром О и коэффициентом 2, он центрально-симметр

Вторая олимпиада (2006) • 281

т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
у ABC, и прямые, соединяющие соответствующие верш
этих треугольников, проходят через центр симметрии. Нетрудно
убедиться, что эта точка является для каждого из т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
окружности 9 точек.

12. (Б. Френкин)
В т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
е ABC биссектриса угла А равн
полусумме высоты и медианы, проведённых из вершины А. Дока
что если угол А тупой, то АВ = АС. (9—10 класс)

Решение. Предположим, что утверждение задачи неверно. Пу
Н, L , М — основания высоты, биссектрисы и медианы, Р — серед
дуги ВС описанной окружности треугольника, не содержащей точ
(рис.74).

Р

Рис. 74

Если угол А тупой, то РМ > АН. Поскольку L лежит на отрез
отсюда следует, что HL < LM, и, значит, отрезок AL меньше ме
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а АНМ, которая, в свою очередь, меньше полусуммы с
АН и AM — противоречие.

13. (А.Акопян)
Даны две прямые аиЬ,а также точки А и В. Точ
скользит по прямой а, а точка Y по прямой b так, что АХ || BY
ГМТ п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я Л У с ХВ. (9—10 класс)

Решение. Проведём через А прямую, параллельную b и пере
кающую а в точке U. Аналогично проведём через В прямую, па
лельную а и пересекающую b в точке V. Для любых удовлетвор
условию точек X, Y соответствующие стороны т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в AUX н Y
Параллельны. Следовательно, эти т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и гомотетичны, т.е. пр

282 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

AY,BX w UV пересекаются в центре гомотетии. Очевидно, что так
получить любую точку прямой UV.

14. (А.Заславский)
Дана окружность и не лежащая на ней
рованная точка Р. Найдите г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е место ортоцентров тре
ников АВР, где АВ — диаметр окружности. (9-11 класс)
Решение. Пусть О — центр окружности, С — ортоцентр. А',
С — основания высот АВР, проведённых из А, В, Р; Р' — проекция
на прямую ОР (рис.75). Так как
ZCC'O

= ZCP'O

= 90°,

то точки О, С, С, Р' лежат на окружности п CP • Pt' = ОР •
Аналогично CP • PC = BP • PA'. Но A' лежит на исщаной окружно
следовательно,
BP-A'P

=

\R^-OP\

Таким образом, произведение ОР • РР', а значит и точка Р', не за
выбора диаметра АВ, т.е. искомым г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
и
м местом будет п
проходящая через Р' и перпендикулярная ОР.
Р

Рис. 75

15. (В.Протасов)
Около треугольника ABC описана окружность
и в него же вписана окружность, которая к
а
с
а
е
т
с
я сторон ВС,
в точках Л1, Вь С\ соответственно. Прямая BiC\ п
е
р
е
с
е
к
а
е
т пряму
в точке Р, точка М — середина отрезка РА i . Докажите, что отрезк
тельных, проведённых из точки М к вписанной и описанной окруж
равны. (9-11 класс)

Вторая олимпиада (2006) • 283

Решение. Пусть АВ < АС. Так как прямые ААи ВВ\ и СС
пересекаются в одной точке, из теорем Чевы и Менелая получа
РВ_ ^ Л|Д
РС~
АС-

Кроме того.

мв =

'-^^,

мc =

МА, =

'-^^,
'Л^^Р£^.

Следовательно,
MB _ МА^ ^ Л)_8
МА\ " МС ~ Л,С

что равносильно утверждению задачи.

16. (П. Пушкарь)
На сторонах треугольника АБС построены в
внешнюю сторону правильные треугольники. Оказалось, что их ве
образуют правильный треугольник. Верно ли, что исходный тре
ник — правильный? (9— 11 класс)

Ответ. Верно.
Решение. Предположим противное. Тогда один из углов треу
ника АБС, например /.А, больше 60°. Тогда луч В'С лежит вне

Рис. 76

284 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

АВ'С, а так как ZA'B'C
= ZAB'C = 60°, луч В'А' лежит вну
э
т
о
г
о угла, и, значит, луч А'В' лежит внутри угла В'АС (рис.
логично луч А'С лежит внутри э
т
о
г
о угла, что п
р
о
т
и
в
о
р
е
ч
и
т р
ZB'A'C

= ZBA'C

= 60°.

17. (А.Заславский)
В двух окружностях, пересекающихся в точк
А и В, проведены параллельные хорды AiBi и Лг^г- Прямые АА\ и
пересекаются в точке X, а прямые АА2 и ВВ] —в точке Y. Док
ч
т
о ХУ \\AiBi.

(9-11 класс)

Решение. Утверждение задачи равносильно тому, что точки
X, У лежат на одной окружности, т.е. ZXAy = ZXBY. Но
ZXAy

=

ZBAA2

ZXBY

- ZBAX

=

=

-

ZB2BA

ZBAA2

При этом из п
а
р
а
л
л
е
л
ь
н
о
с
т
и А\В\ w
ZABB\

+ ZA,BiB

=

ZBAA2

-

ZBBxAu

ZAA\B\.
А2В2
+

следует, что
ZB2A2A,

откуда, очевидно, и вытекает искомое утверждение (рис.77).

Рис. 77

18. (А.Акопян)
Через ортоцентр Н т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC проведены
две перпендикулярные прямые, одна из которых п
е
р
е
с
е
к
а
е
т ВС
ке X, а другая п
е
р
е
с
е
к
а
е
т АС в точке У. Прямые AZ, BZ паралл
с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
о прямым НХ и HY. Докажите, что точки X, Y, Z лежа
одной прямой. (9—11 класс)
Решение. Рассмотрим для о
п
р
е
д
е
л
ё
н
н
о
с
т
и случай, изображё
ный на рис.78. Пусть U—точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я НХ и BZ, V —
п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я HY и AZ. Тогда утверждение задачи равносильно

Вторая олимпиада (2006) •

285

в
е
н
с
т
в
у

ни
их

^ YV
~ HV

или

ни

НУ

^

YV ~

их-

В прямоугольных т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
х AYV и
вин углы AYV н вин равны, так как их
стороны перпендикулярны. Следовательно,
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и подобны и

ни
YV

Ви

AV

.

Аналогично

HV

их

ви
AV

Другие случаи рассматриваются анало­
гично.

Рис. 78
19. (Л.Емельянов)
Через середины
сторон т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а Г проведены прямые,
перпендикулярные биссектрисам противолежащих углов треугольни
Эти прямые образовали т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к Т\. Докажите, что центр опи
около Т] окружности находится в середине отрезка, образованного
тром вписанной окружности и точкой п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я высот т
р
е
у
г
о
л
ь
(10-11 класс)

Решение. Стороны т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а Г| являются внешними бисс
трисами углов т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а То. образованного средними линия
и, значит, пересекаются в центрах его вневписанных окружносте
этом биссектрисы внутренних углов То
являются высотами Ti, т.е. его центр
вписанной окружности /о совпадает с
ортоцентром Ti, а OQ — центр описан­
ной окружности — является центром
окружности, проходящей через сере­
дины Т\, и, значит, серединой отрезка
IQOI, г
де О] —центр описанной окруж­
ности 7"|. Кроме того, Оо — середина
отрезка ОН, где О, // — центр описан­
ной окружности и ортоцентр треуголь­
ника Т соответственно, аМ — центр тя­
Рис. 79
жести Т — делит отрезок НО в отноше­
нии 2 : 1 (рис.79). Гомотетия с центром /о и коэффициентом 1/3 пер
центр / вписанной окружности 7" в Af, а г
о
м
о
т
е
т
и
я с центром О
эффициентом -3 переводит М в Н. Так как композиция этих гомот
есть центральная симметрия с центром Оь 0\ —середина IH.

286 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

20. (А.Заславский)
Даны четыре точки А, В, С, D. Точки Ль S i ,
Di —ортоцентры т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в BCD, CDA, DAB, ABC. Точки Лг, Вг
Сг, D2 — о
р
т
о
ц
е
н
т
р
ы т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в B i C i D i , С101Л1, 0|Л1В1, Л1В1С1
и т.д. Докажите, что все окружности, проходящие через середин
таких треугольников, п
е
р
е
с
е
к
а
ю
т
с
я в одной точке. (10—11 класс)
Р е щ е и и е. Докажем сначала, что окружности, проходящ
середины с
т
о
р
о
н т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ABC, BCD, CDA и DAB, п
е
р
е
с
е
к
а
ю
т
с
в одной точке. Пусть Л^—точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я окружностей 9точ
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ACD и BCD, о
т
л
и
ч
н
а
я от середины АВ; Y, Z, U — серед
АС, ВС, CD. Тогда
ZYXZ = ZYXU + ZXUZ = ZDCA + ZBDC

=

ZBCD,

т. е. X лежит на окружности 9 точек т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC. Аналог
лежит и на окружности 9 точек т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABD. Далее, так ка
ности 9 точек т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в CDA и АСВу совпадают, точка X л
также на окружностях 9 точек т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в АВВ] и CSBi. Анало
она лежит на окружностях 9 точек т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в ABA \ и SCCi, а
и на окружностях 9 точек т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в Л iSiS, BB[Ci и Л151С1, о
и с
л
е
д
у
е
т утверждение задачи.
Более короткое решение можно получить, и
с
п
о
л
ь
з
у
я следующий
Пусть точки и, V, W лежат на р
а
в
н
о
с
т
о
р
о
н
н
е
й гиперболе.
о
р
т
о
ц
е
н
т
р т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а UVW также лежит на этой гиперболе,
окружность 9 точек проходит через её центр.
Действительно, проведя равностороннюю г
и
п
е
р
б
о
л
у через точки
С, D, получим, что все окружности проходят ч
е
р
е
з её центр.

21. {А. Заславский)
На с
т
о
р
о
н
а
х АВ, ВС, СА т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC
взяты точки С, А', В'. Докажите, что для площадей соответству
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в выполняется н
е
р
а
в
е
н
с
т
в
о
SABC

• SA'B'C

^ ^SAB'C

• SBCA'

• SCA'B',

причём р
а
в
е
н
с
т
в
о д
о
с
т
и
г
а
е
т
с
я т
о
г
д
а и только тогда, когда пря
ВВ', СС п
е
р
е
с
е
к
а
ю
т
с
я в одной точке. (10-11 класс)
Решение. Обозначим Pi = АВ' • ВС • СА', Р2 = ВА' • АС • СВ'.
Нетрудно убедиться, что ЗА'В'С = (Pi +/'2)/4/?, где R — радиус о
ной окружности ABC, и, следовательно,
SAB'C

• ^ВС'А' • ScA'B' _

SABC-iSA'B'C')^

PjPi

1

(/'l+/'2)2 " 4-

причём р
а
в
е
н
с
т
в
о возможно лишь при Pi = Р2, что равносильно п
чению прямых АА', ВВ' и СС в одной точке.

Вторая олимпиада (2006) •

287

22. (А. Заславский)
Дана окружность, точки А, В на ней и
ка Р. Пусть X — произвольная точка окружности, Y — точка пересе
прямых АХ и BP. Найдите г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е место центров окружно
описанных около треугольников PXY. (10—11 класс)

Решение. Пусть Q — отличная от X точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я окру
стей АВХ и PXY. Тогда
ZABQ

= ZAXQ

= ZYXQ = ZYPQ =

ZBQP

= к - (ZBPQ

ZBPQ.

Значит,
+ ZQBP)

= к-

ZABP

и, следовательно, ZBQP не зависит от выбора точки X. Поэто
окружности PXY проходят через (? и их центры лежат на сер
перпендикуляре к PQ.

23. (А.Мякиигев)
Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник, G —
центр тяжести его как однородной пластины (т. е. точка пе
двух прямых, каждая из которых соединяет центроиды треугол
имеющих общую диагональ).
а) Пусть около ABCD можно описать окружность с центро
Точку Н определим аналогично G, взяв вместо центроидов ортоц
Докажите, что точки Н, G, О лежат на одной прямой и HG : GO
(9-10

класс)

б) Пусть в ABCD можно вписать окружность с центром в
кой Нагеля N описанного четырёхугольника назовём точку пересе
двух прямых, каждая из которых проходит через точки на п
ложных сторонах четырёхугольника, симметричные точкам касания
санной окружности относительно середин сторон. (Эти прямые
периметр четырёхугольника пополам.) Докажите, что N, G, / лежат
одной прямой, причём yVG : G/ = 2 : 1. (10-11 класс)

Решение.
а) Пусть МаН На— с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
е
н
н
о центроид и ортоцентр треу
ника BCD. Центроиды и ортоцентры остальных трёх т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в
значим аналогично. Все т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и имеют общую описанную о
ность с центром в О. Рассмотрев прямые Эйлера этих треуго
заметим, что четырёхугольник МаМьМсМа переходит в четырёхуголь
HaHbHcHd при гомотетии с центром в О и коэффициентом 3. Соо
ственно, точки пересечения диагоналей этих ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
о
в пе
дят друг в друга.
б) Обозначим через М\ центр тяжести периметра четырёхуголь
Точка G лежит на отрезке Ш \ и делит его в отношении 2:1. Дей

288 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

НО, УИ 1 — ЭТО центр тяжести четырёх точек, помещённых в середин
рон ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а с массами, пропорциональными их длинам,
центр тяжести четырёх точек, помещённых в центрах тяжести тре
ков IAB, IBC, /CD, IDA с массами, пропорциональными площадям э
треугольников. Очевидно, две этих системы точек г
о
м
о
т
е
т
и
ч
н
ы
тром / и коэффициентом 2/3.
Пусть а, Ь, с, d—длины касательных к вписанной окружно
верщин А, В, С, D. Очевидно, что если поместить в А, В, С, D мас
Ь, с, d, то центром тяжести полученной системы будет точка N,
поместить в вершины массы 2a + b + d, 2b + a + c, 2c + b + d, 2d + c +
то точка М1. Осталось показать, что / — центр тяжести масс b +
b + d,a

+ c.

Точка / у
д
о
в
л
е
т
в
о
р
я
е
т соотношению З/дв - 5/вс + S/CD - SIDA
Этому же соотношению удовлетворяют середины i / и V диагоналей
рёхугольника. Следовательно, эти три точки лежат на одной пря
утверждение называется теоремой Монжа). Пусть теперь X,Y — точ
касания вписанной окружности со сторонами ВС и AD. Тогда пря
образует равные углы с этими сторонами и по теореме Бриан
ходит через точку L п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я диагоналей. Применив теорему с
к т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
м LXB и LYD, получим, что BL/DL = b/d. Аналогич
AL/CL = а/с. Отсюда и из соотношений
SuBc
SuAD

_ ^
DL'

^увс _ CL
SvAo
AL'

S/BC _ b + с
SiAD
a + d

вытекает, что / делит о
т
р
е
з
о
к АС в отношении (а + с)/(Ь + d)
и требуется.
24.

(Фольклор)

а) Через фиксированную точку Р внутри данной окружности
в
о
д
я
т
с
я два перпендикулярных луча, пересекающие окружность в
ках А и В. Найдите г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е место проекций Р на прямы
(9-10

класс)

б) Через фиксированную точку Р внутри данной сферы прово
три попарно перпендикулярных луча, пересекающие сферу в точка
С. Найдите г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е место проекций точки Р на плоскости
(10-11 класс)
Решение.
а) Пусть Р\ —точка, симметричная Р о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
о прямой АВ, Я
точка, симметричная Я о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
о середины о
т
р
е
з
к
а АВ. Тогда
угольники АВР\ и ЛВЯг симметричны о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
о серединного
пендикуляра к АВ, следовательно, 0Р\ = ОЯг. Так как АРВР2 — пря

Вторая олимпиада (2006) •

289

угольник, то ОЛ^ + ОВ^ = ОР"^ + ОР^, т. е. расстояние ОР2 не зави
выбора лучей РА, РВ. Следовательно, точки Р\, Р2 лежат на окруж
с центром О, а проекция Р на АВ — на окружности вдвое м
радиуса с центром в середине отрезка ОР.
б) Достроим пирамиду РАВС до прямоугольного параллелепип
РАС'ВСВ'Р'А'.
Аналогично п. а) получаем, что ОР'^ = 3/?^ _ 20
т.е. точка Р' лежит на сфере с центром О. Так как центр
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABC лежит на отрезке РР' и делит его в отноше
М лежит на сфере, центром которой является точка, лежащая н
ОР и делящая его в отношении 2 : 1 . Далее, проекцией О на п
ABC является центр О' описанной около треугольника ABC окружно
а проекцией Р — его ортоцентр Н. Так как М лежит на отре
и МН = 2М0', то МК = КН, т.е. искомым ГМТ будет сфера с це
и радиусом, равным \/3/?2 — 20Р'^/Ъ.

25. {А.Заславский)
В тетраэдре ABCD двугранные углы при рёб
ВС, CD и DA равны а, а при остальных рёбрах — р. Найдите о
AB/CD.

(11 класс)

Решение. Из условия следует равенство трёхгранных углов в
шинах Л и В, С и D. Следовательно,
ACBD

= АСВА = ZDAC

ZADB

= ZCDB

=

ADAB,

= ZDCA =

ZBCA,

и все грани тетраэдра подобны. При этом
АВ_ _ ВС_ _ BD_ _ smZBAC
ВС ~ BD ~ CD ~ smZBAD

_ sina
~ sinp'

Значит,
AB _ / s i n o t y
CD ~ V^sinp) •

26. (Д. Терешин) Даны четыре конуса с общей вершиной и об
щей одинаковой длины (но, возможно, с разными радиусами осно
Каждый из них к
а
с
а
е
т
с
я двух других. Докажите, что четыре точк
окружностей оснований конусов лежат на одной окружности. (11
Решение. Окружности оснований конусов лежат на сфере с
тром в вершине конусов и радиусом, равным их образующей. И
с центром в любой точке этой сферы переводит её в плоскост
ности— в окружности на этой плоскости, каждая из которых
двух других. Из теоремы об угле между к
а
с
а
т
е
л
ь
н
о
й и хорд
следует, что четыре точки касания лежат на одной окружности
с
о
о
т
в
е
т
с
т
в
у
е
т окружность на сфере.

290

• Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

Финальный тур
8 класс

I. (И.Ященко)
Впишите в данный полукруг правильный треуголь
наибольшего периметра.
Решение. Очевидно, что вписать т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к в полукруг м
двумя способами: либо две вершины треугольника лежат на дуге
на диаметре полукруга, либо, наоборот,
В
вершины на диаметре, а третья на
Рассмотрим первый случай. Пусть верш
ны Л, В лежат на дуге. Тогда середи
перпендикуляр к АВ проходит через цен
полукруга. Следовательно, третья вершина
совпадает с центром, и сторона треуго
ника равна радиусу полукруга (рис.80).
Рис. 80
Во втором случае высота треугольни
не превосходит радиуса полукруга, прич
в случае, изображённом на рис.81, раве
ство достигается. Следовательно, именно
этот треугольник и будет искомым.

Рис. 81

2. (Б.Френкин)
При каком наимень­
шем п существует п-угольник, который
можно р
а
з
р
е
з
а
т
ь на треугольник, четырё
угольник, 2006-угольник?

Ответ, л = 3.
Решение. Из рис.82 видно, что при любом л ^ 3 треуголь
можно р
а
з
р
е
з
а
т
ь на л-угольник и (л-Н 1)-угольник. Следовательно
но лучами, выходящими из одной вершины, р
а
з
р
е
з
а
т
ь треуголь

Рис. 82

Вторая олимпиада (2006) • 291

1002 треугольника, а затем первый из них р
а
з
р
е
з
а
т
ь на тре
и четырёхугольник, второй на п
я
т
и
у
г
о
л
ь
н
и
к и шестиугольник, пос
ний — на 2005-угольник и 2006-угольник.

3. (В. Протасов)
Дан параллелограмм ABCD. Две окружности
с центрами в вершинах А и С проходят через D. Прямая / пр
через D и вторично п
е
р
е
с
е
к
а
е
т окружности в точках X,Y. Докажи
ВХ = BY.

Решение. Рассмотрим, например, случай, изображённый
рис. 83. Имеем АХ = AD = ВС и CY = CD = АВ. Кроме того,
ZBCY

= ZC-

ZDCY

= 2ZCDY
ZBAX

= ZDAX
= ZD-

= ZC-(n-

-ZD

= ZCDY

-ZA=iz2ZADX

2ZCDY)
-

2ZADX
- ZCDY

-

на

=

ZADX,
- ZA =
ZADX.

Значит, т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и ABX и CYB равны, откуда и следует иском
венство. Другие случаи расположения точек X, Y рассматриваются
логично.

Рис. 83

4. (А.Заславский)
Две равные окружности пересекаются в точ
А ц В. Пусть Р — отличная от А н В точка одной из окружностей
Y — вторые точки пересечения прямых РА, РВ с другой окружно
Докажите, что прямая, проходящая через Р и перпендикулярная
делит одну из дуг XY пополам.

292

• Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

Решение. Рассмотрим случай, когда Р лежит внутри второй о
ности (рис.84). Пусть Q — точка пересечения прямой, проходяще
рез Р и перпендикулярной АВ, лежащая вне первой окружности.

Но
^АР-

^ВР

= ZPBA - ZPAB

= ZQPX -

ZQPY,

следовательно, дуги QX и QY равны. Другие случаи рассматрива
аналогично.

Рис. 84

5. (В.Гуровиц, Б. Френкин) Существует ли выпуклый многоугольни
у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а
диагональ — какой-нибудь стороне?

Ответ. Нет.
Решение. Предположим противное,
и пусть АВ — наибольшая сторона мно
гоугольника, CD — наименьшая диагональ
(АВ и CD могут иметь один общий к
нец), £ —вершина, лежащая от CD по
другую сторону, чем А и В (рис.85). То
гда так как АЕ < АВ и fif ^ АВ, то
/.А ЕВ ^ 60°. С другой стороны, так ка
Рис. 85

СЕ ^ CD н DE ^ CD, то ZCED < 60°.
Но ZCED > ZAEB — противоречие.

6. (М. Волчкевич)
Дан т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к ABC и точка Р внутри не
А', В', С —проекции Р на прямые ВС, СА, АВ. Докажите, что це

Вторая олимпиада (2006) • 293
С

С,

Рис. 86

окружности, описанной около т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а А'В'С,
угольника АБС.

лежит внутри

Решение. Пусть А\, Bi, Ci — точки, симметричные Р относитель
но ВС, СА, АВ. Так как CAi = CP = CBi, то серединный пер
дикуляр к о
т
р
е
з
к
у AiBi совпадает с биссектрисой АА\СБ\. Так
ZA\CBi = 2/.АСБ, эта биссектриса проходит внутри /.АСВ (рис.
Аналогично серединные перпендикуляры к отрезкам А[С\ к В\С\ п
ходят внутри соответствующих углов треугольника АБС. Следовате
но, центр Q окружности, описанной около т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а А\Б\С\, ле
внутри т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а АБС. Так как треугольник А'В'С
п
о
л
у
ч
а
е
т
с
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а А\Б\С\ г
о
м
о
т
е
т
и
е
й с центром Р и коэффициентом
то центр окружности, описанной около А'В'С,
совпадает с сер
о
т
р
е
з
к
а PQ и, значит, лежит внутри АБС.
9 класс

1. {Б.Протасов)
Дана окружность радиуса R. Две другие окр
ности, сумма радиусов которых также равна /?, касаются её
Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, проходит чер
из общих точек этих окружностей.

Решение. Пусть О — центр внешней окружности, 0\, Ог —
центры внутренних. А, В—точки касания. Проведём через 0\ п

294

• Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

параллельную ОВ, а через О2 прямую, па
раллельную OA. По теореме Фалеса эт
прямые п
е
р
е
с
е
к
у
т
с
я в точке С, лежащей
отрезке АВ. При этом
OiC = OiA

и

02С

=

02В,

так что точка С принадлежит обеим вн
ренним окружностям (рис.87).

2. {В.Протасов)
Дана окружность,
точка А на ней и точка М внутри неё.
сматриваются хорды ВС, проходящие через М. Докажите, что окружности, проход
щие через середины сторон всех треугольников ABC, касаются нек
фиксированной окружности.
Решение. Пусть О —центр данной окружности, О' —центр
окружности, проходящей через середины сторон ABC, Р — центр т
сти ABC. Поскольку вершины треугольника ABC переходят в сере
его сторон при гомотетии с центром Р и коэффициентом -1
Р лежит на отрезке 00' и делит его в отношении 2 : 1.
того, так как множество середин хорд, проходящих через М
окружность с диаметром ОМ, множество центров тяжести т
р
е
у
г
о
л
ь
н
ABC тоже окружность, получающаяся из неё г
о
м
о
т
е
т
и
е
й с цент
и коэффициентом 2/3. Значит, множество точек О' также окружно
(рис.88).

Рис. 88

Вторая олимпиада (2006) •

295

Поскольку радиусы всех окружностей, проходящих через сер
сторон ABC, равны половине радиуса данной окружности, все эти
ности касаются двух окружностей, концентричных с окружность
которой лежат точки О' (если точка М совпадает с О, одна
окружностей вырождается в точку).

3. (А.Акопян)
Треугольники ABC и AiBiC\ подобны и по-разном
ориентированы. На отрезке АА\ взята такая точка А', что
АА' _ ВС
AiA' ~ S|Ci'

Аналогично строим В' и С. Докажите, что А', В' и С лежат на
прямой.
Решение. Подобие, переводящее ABC в Л1В1С1, можно пре
ставить как композицию симметрии относительно прямой / и гом
с центром в некоторой точке, лежащей на /, и коэффициентом
ным отношению соответствующих сторон треугольников. Очевидно,
отрезки АА\, ВВ\, СС\ делятся / в отношении, равном k, т.е. точк
В', С лежат на /.

4. (С.Маркелов)
В невыпуклом шестиугольнике каждый угол рав
либо 90, либо 270 градусам. Верно ли, что при некоторых длина
его можно р
а
з
р
е
з
а
т
ь на два подобных ему и неравных меж
шестиугольника?
Решение. Пусть t — корень уравнения
t"^ = 1. Возьмём ш
стиугольник ABCDEF, в котором
АВ _ ВС _СР _ AF _ FE _ \
ВС ~ CD ~ AF ~ FE ~ ED ~ f

Рис. 89

296 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

И разрежем его, как на рис.89. Тогда получившиеся шестиуго
подобны ABCDEF
с коэффициентами t и t^.

5. (А. Заславский)
Прямая, проходящая через центр описанн
окружности и точку п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я высот н
е
р
а
в
н
о
с
т
о
р
о
н
н
е
г
от
р
е
у
г
о
л
ABC, делит его периметр и площадь в одном и том же о
Найдите это отношение.
Ответ 1 : 1.
Решение. Прежде всего докажем, что прямая делит пер
и площадь т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а в одном отношении тогда и только то
она проходит через центр вписанной окружности. Действительно
прямая п
е
р
е
с
е
к
а
е
т стороны АС, ВС в точках X, Y, а биссектрису у
в точке /; d[ — расстояние от J до стороны АВ, — расстояние
двух других сторон. Значит,
2ScxY

= {СХ +

CY)d2,

2SAXYB = {AX + BY)d2

+

AB-di,

и отношения равны тогда и только тогда, когда = di, т.е. J —
вписанной окружности.
Пусть теперь центр описанной окружности О, центр вписанно
ружности / и ортоцентр Н лежат на одной прямой. Эта прямая
не более одной вершины треугольника. Пусть она не проходит
шины А н В. Так как А/, BI — биссектрисы углов НАО, НВО, получ
что
АН

_

АО

~ 10 ~

HI _

ВН

ВО-

Так как АО = ВО, то АН = ВН, т.е. треугольник ABC равнобедренн
и искомое отношение равно 1:1.

6. {Я.Ганин, Ф.Ридо)
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.
А', В', С, D'— ортоцентры треугольников BCD, CDA, DAB, ABC.
Докажите, что в ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
х ABCD и A'B'C'D' соответствую
диагонали делятся точками п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я в одном и том же отно
Решение. Используем следующее утверждение.
Пусть KLMN — выпуклый четырёхугольник; точки Л", Y делят отр
KL и NM в отношении а; точки U, V делят отрезки LM и KN в от
нии р. Тогда точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я отрезков XY и UV делит первы
в отношении р, а второй — в отношении а (рис.90).
Доказательство этого утверждения легко получить методом мас
Пусть теперь Ль Вь С\, D\ —центры тяжести треугольников
CDA, DAB, ABC; Лг, Вг, Сг, D2 — центры описанных около них

Вторая олимпиада (2006) • 297

окружностей. Четырёхугольник AiBiCiDi го­
мотетичен ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
у ABCD относи­
тельно его центра тяжести с коэффициентом
— 1/3. Следовательно, соответствующие диаго­
нали этих четырёхугольников делятся точками
пересечения в одинаковых отнощениях. Дока­
жем, что в тех же отношениях делят друг друга
диагонали четырёхугольника A2B2C2D2.
Пусть Р — точка пересечения диагоналей
четырёхугольника ABCD. Тогда
АР ^ АР BP _ sm/.ABD
CP ~ BPCP " sin ZBAC

sin ZACB
sin ZCBD-

Рис. 90

Поскольку стороны и диагонали ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а A2B2C2D2 перп
дикулярны сторонам и диагоналям ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ABCD (наприм
точки Лг. В2 лежат на серединном перпендикуляре к CD), в та
отношении делится и диагональ Л2С2.
Пусть теперь Я|, Р2 — точки п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я диагоналей четырёху
ников AiBiCiD\,
A2B2C2D2;
Р' — т
очка на отрезке А'С\ делящая
в отношении Л2Я2/Р2С2. Так как точки Л), Ci лежат на о
т
р
е
з
к
а
х
С'С2 и делят их в отношении 2 : 1, из сформулированного утве
вытекает, что точка Pi также делит отрезок Р'Р2 в отношении 2
смотрев аналогичную точку на отрезке B'D', получим тот же ре
Отсюда следует, что Р' — точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я диагоналей четырёхуг
ка А'В'CD',
причём диагонали делятся этой точкой в том же от
что и в ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
х A\B\C\D\,
A2B2C2D2
и ABCD.
10 класс

1. (Гиацинты)
Пять прямых проходят через одну точку. Дока
что существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и сер
звеньев которой лежат на этих прямых, причем на каждой прям
ровно по одной вершине.

Решение. Пусть О —точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я прямых. Возьмём на
мой /[ точку Л] и найдём на /3 такую точку Л2, что середина В
Л1Л2 лежит на прямой I2 (рис.91). Применяя теорему синусов к
угольникам 0Л1В и ОА2В, получаем, что
ОЛ2 _
OAi

~

sinZAjOB
sinZA20B'

298

• Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

Аналогично по точке Лг построим на прямой /5 такую точку
середина отрезка А2А3 лежит на Ц и т.д. Перемножив полученны
ношения, получим, что /4б совпадает с А\.

2. (А.Заславский)
Проекции точки X на стороны четырёхугольни
ABCD лежат на одной окружности; Y — точка, симметричная X о
сительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точк
прямые АХ, ХС, СУ, YA также лежат на одной окружности.
Решение. Рассмотрим случай, когда X лежит внутри ABC
остальные разбираются аналогично. Пусть К, L , М, N — проекции X
АВ, ВС, CD, DA; К', L ' , М', N' — точки, симметричные X относительно
этих прямых. Так как К, L , М, N лежат на окружности, то
М', N' также лежат на окружности. Так как ВК' = ВХ =
серединный перпендикуляр к о
т
р
е
з
к
у K ' L ' проходит через В и
ляется биссектрисой угла K'BL', т. е. симметричен ВХ относитель
биссектрисы угла В. Следовательно, четыре прямые, симметрич
прямым, соединяющим X с вершинами ABCD, относительно биссект
соответствующих углов, пересекаются в одной точке X', являюще
центром описанной окружности четырёхугольника K'L'M'N'.
При э
центром окружности KLMN будет середина отрезка XX', и, значи
совпадает с Y. Далее, так как четырёхугольники XKBL, XLCM,
XM
XNAK вписанные, то
ZAXB + ZCXD = ZKXA + ZKXB + ZCXM
= ZKNA + ZBLK
= (к - ZKLM)

+ ZCLM

+ ZDXM

=

+ ZMND

-I- (
т
г - ZMNK)

=

= 7t.

Отсюда следует, что прямые ХВ и DX симметричны относител
биссектрисы угла АХС. Аналогично прямые YB и DY симметрич
относительно биссектрисы угла А YC. Кроме того, как уже было по
совпадают биссектрисы углов BAD и XAY, BCD и XCY. Таким обра

Вторая олимпиада (2006) • 299

N'

Рис. 92

прямые, симметричные ВА, ВХ, ВС, BY относительно биссектрис соо
ветствующих углов AXCY, пересекаются в точке D. Отсюда, рассу
аналогично началу рещения, получаем утверждение задачи (рис.92

3. (П. Кожевников)
Дана окружность и точка Р внутри неё, о
ная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся д
изнутри и друг друга в точке Р. Найдите г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е мес
п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я общих внешних касательных к этим окружностям.

Решение. Пусть X — точка пересечения касательных. Провед
окружность с центром X и радиусом ХР и рассмотрим инверсию
сительно неё. При этой инверсии окружности, касающиеся в т
перейдут друг в друга, так как они касаются окружности инвер
прямых, переходящих в себя. Следовательно, исходная окружность
рейдёт в себя. Значит, окружность инверсии ортогональна исходн
к
а
с
а
т
е
л
ь
н
а
я из Л' к исходной окружности равна ХР, и X лежит
кальной оси точки Р и исходной окружности. Очевидно, что люба
радикальной оси может быть получена таким образом, т. е. иско
совпадает с радикальной осью точки Р и исходной окружности.

300 • Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

4. (А. Заславский)
Прямые, содержащие медианы треугольника
ABC, вторично пересекают его описанную окружность в точках
Сь Прямые, проходящие через Л, 5, С и параллельные противо
ным сторонам, пересекают её же в точках Лг, В2, Сг. Докаж
прямые Л1Л2, В\В2, С\С2 пересекаются в одной точке.
Р е щ е н и е. (М.Илюхина)
Пусть Л' — точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я
ных к описанной окружности ы в точках S и С (аналогично п
точки В' и С). Тогда, как известно, прямая ЛЛ' является сим
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ЛВС (т.е. прямой, симметричной AAi относительно
сектрисы угла Л). Пусть прямая ЛЛ' вторично п
е
р
е
с
е
к
а
е
ты в
Тогда ZA\AB = ZAQAC, откуда дуги ВА\ и СЛо равны.
Так как треугольник А'ВС равнобедренный, а о — его вневпи
окружность, то дуги симметричны относительно биссектрисы / угла
Из равенства дуг следует, что при этой симметрии точки Л] и
ходят друг в друга. Заметим, что / — серединный перпендикуляр
поэтому Л при этой симметрии переходит в Лг (рис.93), а следо
прямая Л1Л2 переходит в прямую ЛЛ'. Поэтому, так как прямые
СС пересекаются в одной точке L как симедианы т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
то прямые Л1Л2, В1В2, С1С2 также пересекаются в точке, изогона
сопряжённой L относительно треугольника А'В'С.
Случай, когда одной из точек Л', В', С не существует, ана

5. (С. Маркелов)
Может ли развёртка тетраэдра о
к
а
з
а
т
ь
с
я треу
ником со сторонами 3, 4 и 5 (тетраэдр можно р
е
з
а
т
ь только по
Ответ. Да.
Р е щ е н и е. Например, можно склеить тетраэдр из разв
занной на рис.94 (меньший катет р
а
з
д
е
л
ё
н на три равные час
потенуза в отношении 4 : 1 ) . Нетрудно убедиться, что каждый и

Вторая олимпиада (2006) • 301

углов, на которые делится меньший угол треугольника,
меньше суммы двух других; следовательно, из такой
р
а
з
в
ё
р
т
к
и действительно можно склеить тетраэдр.
6. {А. Заславский)
На доске был нарисован че­
тырёхугольник, в который можно вписать и около
которого можно описать окружность. В нём отметили
центры этих окружностей и точку п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я прямых,
соединяющих середины противоположных сторон, по­
сле чего сам четырёхугольник стёрли. Восстановите
Рис. 94
его с помощью циркуля и линейки.
Решение. Построение основано на двух леммах.
Лемма 1. Диагонали
всех четырёхугольников,
вписанных в дан­
ную окружность с центром О и описанных около данной
окружно­
сти с центром I , пересекаются
в одной и той же точке L , лежащей
на продолжении
отрезка 01 за точку I .
Лемма 2. Центр вписанной в четырёхугольник
окружности
ле­
жит на прямой, соединяющей
середины его диагоналей
(теорема
Монжа).

Отметим также, что в любом четырёхугольнике точка М п
е
р
е
с
прямых, соединяющих середины противоположных сторон, делит п
лам отрезок между серединами диагоналей.
Из леммы 1 следует, что середины диагоналей искомого че
угольника лежат на окружности с диаметром 0L. Отсюда и из
получаем, что точка М лежит на окружности, диаметрально прот
ложными точками которой являются / и середина 0L. Поэтому, п
через М прямую, перпендикулярную Ш, и найдя точку её п
е
р
е
с
с 01, мы получим середину 0L, а зна­
чит, и саму точку L . Далее, построив
окружность с диаметром 0L и найдя её точ­
ки п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я с прямой Ml, получим се­
редины диагоналей четырёхугольника. Кро­
ме того, рассмотрев четырёхугольник, две
вершины которого лежат на прямой 01,
нетрудно убедиться, что XI — биссектриса
Z.OXL (рис.95). Это даёт возможность вос­
становить описанную окружность четырёх­
угольника и найти его вершины как точ­
ки п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я этой окружности с диа­
гоналями.
р^^_ 95

третья олимпиада (2007)
Заочный тур

1. Треугольник р
а
з
р
е
з
а
н на несколько (не менее двух) треу
ков. Один из них равнобедренный (не равносторонний), а остал
равносторонние. Найдите углы исходного треугольника. (8 класс)

2. Каждая диагональ четырёхугольника разбивает его на два
нобедренных треугольника. Верно ли, что четырёхугольник — ром
(8 класс)

3. Отрезки, соединяющие внутреннюю точку выпуклого неравно
роннего «-угольника с его вершинами, делят л-угольник на п
треугольников. При каком наименьшем л это возможно? (8—9 кла

4. Существует ли такой параллелограмм, что все точки по
п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
й биссектрис его углов лежат вне параллелограмма? (8

5. Невыпуклый л-угольник разрезали прямолинейным разрезом
три части, после чего из двух частей сложили многоугольник
т
р
е
т
ь
е
й части. Может ли л равняться
а) пяти? (8 класс)
б) четырём? (8—10 класс)

6. а) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многоуго
т. е. многоугольник, стороны которого лежат на линиях листа
в клетку? (укажите все возможные значения) (8—9 класс)
б) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многогранн
многогранник, составленный из одинаковых кубиков, примыкающих
к другу фанями? (10—11 класс)

7. Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки кас
его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же
углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что много
правильный? (8-9 класс)

Третья олимпиада (2007) • 303

8. Три окружности проходят через точку Р, а вторые точ
ресечения А, В, С лежат на одной прямой; А\, В\, С\ —
п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я прямых АР, BP, CP с соответствующими окружност
Сг — точка п
е
р
е
с
е
ч
е
н
и
я прямых АВ\ ц ВА\. Точки Лг, Вг
ются аналогично. Докажите, что т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
и Л1В1С1 и ЛгВгСг
(8—9 класс)

9. Два выпуклых ч
е
т
ы
р
ё
х
у
г
о
л
ь
н
и
к
а таковы, что стороны каж
лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найд
углы. (8-9 класс)

10. Найдите г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е место центров правильных треугол
ков, стороны которых проходят через 3 заданные точки Л, В,
на каждой стороне или её продолжении лежит ровно одна из
точек). (8-9 класс)

11. Мальчик с папой стоят на б
е
р
е
г
у моря. Если мальчик в
цыпочки, его глаза будут на высоте 1 м от поверхности моря, а
папе на плечи, то на высоте 2 м. Во сколько раз дальше он б
втором случае? (Найдите ответ с точностью до 0,1, радиус Земли
равным 6000 км.) (8—10 класс)

12. Дан прямоугольник ABCD и точка Р. Прямые, проходящие
Л и В и перпендикулярные, соответственно, PC и PD, пересека
в точке Q. Докажите, что PQ LAB. (9—10 класс)

13. На стороне АВ т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а ЛВС взяты такие точки X,
АХ = BY. Прямые СХ и CY вторично пересекают описанную окру
т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а в точках U н V. Докажите, что все прямые UV п
через одну точку. (9— 10 класс)

14. В трапеции с основаниями AD и ВС, точки Р и Q — се
диагоналей ЛС и BD соответственно. Докажите, что если ZDAQ
= ZCAB, то ZPBA = ZDBC. (9-11 класс)

15. В треугольнике ЛВС проведены биссектрисы АА', ВВ' и
Пусть А'В'пес = Я и А'С'ПВВ' = Q. Докажите, что ZPAC
(9-11

класс)

16. На сторонах угла взяты точки Л, В. Через середину М от
проведены две прямые, одна из которых п
е
р
е
с
е
к
а
е
т стороны угла
Ль Вь другая —в точках Лг, Вг. Прямые Л1В2 и ЛгВ1 пересека
в точках Р и Q. Докажите, что М-середина PQ. (9-11 класс)

17. Какие треугольники можно р
а
з
р
е
з
а
т
ь на три т
р
е
у
г
о
л
ь
н
и
к
а
ными радиусами описанных окружностей? (9-11 класс)

304

• Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина

18. Найдите г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
е место вершин треугольников с зад
ми ортоцентром и центром описанной окружности. (9-11 класс)

19. В угол А, равный ot, вписана окружность, касающаяся его
в точках В и С. Прямая, касающаяся окружности в некоторой
п
е
р
е
с
е
к
а
е
т отрезки АВ и АС в точках Р и ^ соответственно. При
наименьшем а возможно неравенство SPAQ < SBMC^ (10—11 класс)

20. Основанием пирамиды является правильный треугольник со
роной 1. Из трёх углов при вершине пирамиды два — прямые
наибольший объём пирамиды. (11 класс)

21. На плоскости лежат три трубы (круговые цилиндры одног
мера в обхвате 4 м). Две из них лежат параллельно и, кас
друга по общей образующей, образуют над плоскостью тоннель.
перпендикулярная к первым двум, вырезает в тоннеле камеру. Н
площадь границы этой камеры. (11 класс)