Математика. 6 класс [Евгений Абрамович Бунимович] (pdf) читать онлайн

Математика
© класс
Учебник
для общеобразовательных
организаций

Рекомендовано
Министерством просвещения
Российской Федерации

8-е издание

Москва
«Просвещение»

2019

УДК 373:51+51(075.3)
ББК 22.1я721
М34

Авторы:
Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова,
Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова

На учебник получены положительные заключения
научной (заключение РАО № 422 от 14.11.2016 г.),
педагогической (заключение РАО № 109 от 05.10.2016 г.)
и общественной (заключение РКС № 99-О9Э от 22.12.2016 г.) экспертиз.

Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. организа№М34 ций/ [Г. В. Дорофеев и др.| — 8-е изд. —М.: Просвещение,
2019. — 287 с. : ил. — ЭВМ 978-5-09-071725-0.
Текст учебника разбивается на смысловые фрагменты вопросами, позволя-

ющими проверить, как понято прочитанное. В системе упражнений есть группа
заданий на повторение пройденного ранее. Задания ориентированына отработку
таких видов деятельности, как анализ информации, наблюдение и эксперимент,
конструирование алгоритмов, поиск закономерностей, исследованиеи т. д. Всё
это позволяет учащимся активно и осознанно овладевать универсальными учебными действиями. Каждая глава завершается рубрикой «Чему вы научились»,
помогающей ученику проверить себя на базовом уровне и оценить возможность
выполнения более сложныхзаданий.

УДК 373:51+51(075.3)
ББК 22.1я721

Т5ВМ 978-5-09-071725-0

© Издательство «Просвещение», 2013, 2017
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2013, 2019
Все права защищены

Предисловие

Учебник математики для 6 класса, который вы держите в руках, устроен так же, как и учебник для 5 класса. Вместе эти две

книги составляют единое целое. Надеемся, что вы уже знаете
особенности учебника, научились понимать его язык. Напомним основное.
Оглавление в конце книги знакомит с маршрутом, по которому
вам предстоит пройти в этом году. Он разбит на 12 этапов — 12 глав
курса. Арифметические главы чередуются с геометрическими, вы
узнаете немало нового о числах и фигурах.
Главы делятся на пункты, и у них опять двойная нумерация:
число перед точкой указывает номер главы, к которой относится
данный пункт, а число после точки — номер самого пункта. Такая
нумерация удобна, она часто используется в научной литературе.
А если вы открыли наугад какую-либо страницу учебника, то сориентироваться, где вы сейчас находитесь, поможет специальная
строка вверху этой страницы.
Каждый пункт содержит объяснительный текст и упражнения.
Читать объяснительный текст можно в 2—8 приёма. Как правило,
текст прерывается вопросами и заданиями, которые разбивают его
на небольшие фрагменты. Ответив на вопросы и выполнив задания,
вы сможете осмыслить прочитанное, проверить, хорошо ли его поняли.
Главное, что надо понять и запомнить, выделено в тексте так:

Разностью чисел а и Ь называют такое число, которое в сумме
с числом 6 даёт число а.
Новые термины даны жирным шрифтом, а некоторые слова и
целые фразы, на которые следует обратить внимание, выделены
курсивом.
^

Если вы захотите вспомнить, что означает то или иное слово,
встречавшееся вам в учебнике, содержание какого-либо правила, то
можете обратиться к предметному указателю. В нём в алфавитном
порядке дан перечень наиболее важных сведений и указаныстраницы, на которых можно найти соответствующие разъяснения.
Упражнения в пунктах, как и в учебнике для 5 класса, разделенына группы.
Упражнения, непосредственно относящиеся к изучаемому мате-

риалу, даны в группах, обозначенных буквами

14Предисловие
Конечно, прежде всего следует научиться выполнять задания
группы А. Задания группы Б потруднее, но каждому советуем попытаться разобрать хотя бы некоторые из них. Наверное, вы уже
знаете, как здорово разобраться в чём-то, казавшемся поначалу
трудным, какое победное чувство испытываешь, когда понимаешь,
как решается хитрая задача.
Изучение математики требует повторения, возвращения к пройденному. Откройте, например, п. 1.1. В нём повторяются факты

о дробях, известные вам из курса 5 класса. Этот пункт так и называется — «Что мызнаем о дробях».
Крометого, в конце каждого пункта под буквой в помещены

специальные задания на повторение.

не

При изучении математики необходимо также постоянно контролировать себя. В этом вам поможет раздел Ответы, а также завершающий главы раздел Чему вы научились. Там описаны основные
знания и умения, которыми вы должны были овладеть при изучении данной главы, и приведены задания, позволяющие это проверить. Напоминаем, что это задания, научиться выполнять которые
необходимо, иначе просто нельзя будет двигаться дальше.

С каждым годом вы взрослеете, узнаёте много интересного о мире; о людях, о себе, думаете, сомневаетесь, ставите вопрос «Зачем?».
Возможно, приходит в голову и вопрос: «А зачем нужно учить математику?» В ответ, конечно, можно сослаться на то, что определённого уровня математической подготовки сейчас требует любая сфера

человеческой деятельности, — и это будет правильно.
Но, пожалуй, главный ответ дал наш великий соотечественник Михаил Васильевич Ломоносов: «Математику уже затем учить
следует, что она ум в порядок приводит». Эти слова, сказанные
в ХУШв., сегодня стали ещё более значимыми. Ум — это способ-

ность человека мыслить, рассуждать, анализировать и делать выводы, наблюдать и выявлять закономерности, строить алгоритмы,
искать пути решения проблем.
И точно так же как для здоровья необходима физическая тренировка, постоянная тренировка нужна и уму. Изучая математику,
решая математические задачи, вы тренируете свой ум, развиваете
свои умственные способности. А это необходимо каждому.
Успехов вам!

Авторы

Дроби и проценты
аи день вы произносите слова «минута» и «секунда». А знаете ли вы,
‚что значение этих слов связано с дробями? Пришедшеек нам из латинского
языкаслово «минута» близко по значению словам «маленький», «уменьшать». Это связано с его происхождением — минута появилась тогда, когда
‘сталанеобходимой единица измерения углов, меньшая градуса. А название «секунда» понятно каждому, кто изучает английский или французский
язык. Оно тоже латинского происхождения и означает «второй». Минута —
это первый шаг уменьшения (градус разделили на 60 равных частей),
а секунда — второй (минуту разделили на 60 равных частей).

1.1 что мызнаем о дробях
|

С самых древних времён, наряду с необходимостью считать предметы, у людей появилась потребность в измерении длин, площадей,
углов и других величин. Используемые единицы измерения часто
не укладывались в измеряемой величине целое число раз. Для получения более точных результатов мерыстали делить на части, что
и привело к появлению дробей.
В Древнем Вавилоне за 2000 лет до н. э. при измерении величин
применяли шестидесятые доли. Вавилоняне изобрели систему измерения углов, которая используется и поныне. Учёные в Древнем
Вавилоне понимали, что при измерении углов в астрономии, архитектуре, мореплавании нельзя ограничиваться лишь целым числом
’ градусов, так как при этом расчёты оказываются очень неточными.
' Поэтому они стали использовать более мелкие единицы. Градус раз-

делили на 60 равных частей — минут: в градусе 60 минут, так что
1

ы

1 минута — это 50 часть градуса. Для большей точности минуту
разделили ещё на 60 частей и получили секунды: в минуте 60 се1

кунд, так что 1 секунда — это 50 Часть минуты.
Вообще первыми

в практике людей появились

самые простые

| дроби, составляющие одну долю делого| 1. з. с и т. д. |. И вначале

‘6

Глава 1

люди для вычислений употребляли только такие дроби. Лишьзначительно позже греки, а затем индусы стали использовать в вычислениях и другие дроби.
Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась
в Древней Греции, только греки знаменатель записывали сверху,
а числитель — снизу. В привычном для нас виде дроби впервые стали записываться в Древней Индии около 1500 лет назад, но при

этом индусы обходились без черты между числителем и знаменателем. Общеупотребительной черта дроби стала только с ХУ[в.
В современной записи, как вам известно, дроби выглядят так:
з, те, т. Знаменатель(число, записанное под чертой) показывает, на сколько равных долей делили целое; числитель (число, записанное над чертой) показывает, сколько таких долей взято.
Интересно, что в языках разных народов слова для обозначения
понятия «дробь» происходят от таких глаголов, как «раздроблять»,
«разбивать», «ломать». А в первых русских учебниках математики
дроби так и назывались — «ломаные числа».

]

Назовите числитель и знаменатель каждой дроби и расскажите, что они по1338
казывают: —, =, =.
2'7'5

Какую долю развернутого угла составляет 1°? Какую долю 1`часа составляет
1 минута? Какую долю 1м составляет 1 см? Запишите ответ с помощью дроби.

хр,
Кр
хр
т
|

1]

Какая часть фигурызакрашена (рис. 1.1, а-д)?

М Рис.1.1

Для каждой дроби существует бесконечно много дробей, равных
ей. Например: В
ььа Я =, Преобразовывать дробь в равную поРо
зволяет основное свойство дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить

на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь,
равная данной.
Применяя это свойство, можно приводить дроби к новому зна-

менателю, сокращать дроби.

Дроби и проценты 7
Пример 1. Приведём дробь : к знаменателю 36.
Сначала найдём дополнительный множитель: 36 :3=12. Теперь
| умножим числитель и знаменатель дроби на 12:

1 _ 1-12 _ 12
3

38.12 36°

Заметим, что дробь з можно привести к любому знаменателю,
| кратному3, т.е. к 6, 9, 12 и любому другому числу, делящемуся

| на 3. Однако эту дробь нельзя привести, например, к знаменате| лю 10, так как число 10 на 3 не делится.
Пример 2. Сократим дробь ва
270 `
Будем выполнять сокращение последовательно:

162 _ 81 _9_3
270 185 15 5.

|

Сначала мыразделили числитель и знаменатель на 2. Потом вос| пользовались признаком делимости на 9 и сократили полученную
| дробь на 9. И наконец, разделили числитель и знаменатель на 3.
' Понятно, что можно было выполнить цепочку сокращений иначе:
например, сразу заметить, что числитель и знаменатель делятся на9.

Пример 3. Сравним дроби т и о.
Приведём дроби к общему знаменателю. Вы знаете, что в ка-

честве общего знаменателя дробей можно взять произведение знаменателей 12 и 9, т.е. число 108. Но если мыхотим найти наи| меньший обиий знаменатель, то будем действовать с помощью
известного вам приёма: будем последовательно перебирать числа,
кратные 12 — большему знаменателю, и проверять, делятся ли они
на 9. Число 24 на9 не делится, а 36 уже делится. Дополнительный

й

т.3

21

5

5.4

20

12

12.3

36

9

9.4

36

ен, =,
|.
”]

21

20

т

36

36

12

— >, следовательно,

>

© |<

| множитель для первой дроби равен 36: 12=3, для второй дроби он
| равен 36: 9=4. Получаем

Сформулируйте основное свойство дроби и проиллюстрируйте его примером.
Запишите закрашенную часть фигуры разными способами (см. рис. 1.1).

Объясните на примере дробей т и 5. как привести дроби к наименьшему
общему знаменателю.

Изобразите какую-нибудь геометрическую фигуру
(прямоугольник, круг или отрезок) и закрасьте её часть, которая соответствует дроби:
5

7

а) —;
)

8

6) —;
} 9

8

15

в) ) —;
12.

к
) 25

Й ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ М1) Приведите дроби:
а) & Ей 2. к знаменателю 18;
9.6

6) т — а к знаменателю 80.

2

8

16

40

2) Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:
1

1

5

=и-;

3

5

=и—;

азиз:

6) 5

3

а

в) и —;

16’

и

й

г) и —.

20

5

24

В Древнем Риме при измерении величин применялись дроби со знаменателем 12. Вместо = говорили «одна унция», вместо -> — «пять унций»
и

Т. п.

Выразите

в

унциях:

половину, треть,

четверть,

пять

шестых,

три

четверти.

Сократите дробь:

а) =:

6) =:

в) 55:

г) =

д) а

е) =.

М ИщЕМ СПОСОБ СРАВНЕНИЯ № Сравните дроби и запишите результат
сравнения с помощью знаков >,

20.12

_3
—

2

3.т

9.

4.4

16’

_-1.4 _ 14 _12_2
2

2

3

-

2.3

3

Объясните на примере дробей ди

1.3

_

3’

г как складывают и вычитают дроби
6’

с разными знаменателями.
«8
2
Объясните на примере дробей д И 3, как умножаюти делят дроби.

Дроби и проценты ЧТ
оо

2
8
7_2.
б)0 - 5;
7_5.

9-7:

18

2
7.
318,
3_1.
д) 4 6’
а

8
т.
Ж) 55 +50;
8 1.
3745
30,
том.

5+9!

п, 5.
5+ т;
Там
Л +в!
3_2

И’ 18—12’

а,

Двум дежурным было поручено вымыть партыв классе.
-

о

3

Когда они закончили работу, то первыи сказал, что вымыл 5 всех парт,
5

я

а второй сказал, что вымыл з всех парт. Их товарищ заметил, что кто-то
из них ошибся в расчётах. Как он догадался?
19

20

21

Выполните вычисления:

а) 4+5;

в)12 +25;

д)3-58;

юз=-2;

6)15 +33;

952 -2;

е) 4-15;

341-15.

ИДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ М Найдите произведение или частное:

а) ит:

Па:

ж)15.2;

Ю =: 18;

5:15:

д: Е;

3)1: 5;

л) >. 36;

в). 2:

е) 5:6;

и =. 12;

м) 10: =.

Пирог разделили на 6 равных частей. Одну из них разделили ещё на
3 равные части. Какую часть пирога составляет одна маленькая часть?
Выберите правильный ответ.
1)

22

1

)

—.
3

1

Вычислите:

7.15.

а) 2. 15;

6) 28.13.
4

1

—.

1

—.

2) 9

—.

3) 12

3.21.
25;

4) 18

1.30.

ей

3.101.

д) З- : 30;

(г)з1.3,
8
5

Ж) 11. : 10-5;

85:14
2
3

(2 [.

1)

3.51.8
5
15
[1

23

Найдите значение степени: [3] . [2] з (+ ? [2 1 .

за

Выполните действия:

В.
10.8.6'’

17. 26.8.
6) 13.51.9'

в) 3.3.0.
25
8

6

9’

97.
16

12’

д) 3-2 7.
8

15°20'

4.8 10
о:9

17 `

12

Глава 1 _
Найдите значение выражения:

7.3.1

1

1

а) 25 Е
[2+2 +1]

в) 5 1
+ +7:1=;
5

Ве ч.9.
5[$+1+2]: 5

1,:3.8_3
45 .

Решите задачу и прокомментируйте свои действия (26—27).

а) В субботу Толя покрасил з забора. В воскресенье три друга пришли
ему помочь. Вместе с Толей они разделили непокрашенную часть забора
поровну и докрасили забор. Какую часть забора покрасил каждый из них
в воскресенье?

6) Три школьницы решили написать поздравительные открытки к празднику. Они разделили всю работу поровну. Одна из девочек, Таня, нашла
себе трёх помощниц, с которыми разделила свою часть работы поровну.
Какую часть всей работы выполнила Таня?

27

а) У Андрея два аквариума. Длина, ширина и высота одного из них ь м,
2

1

4

3

З

ЕМИУМ, а другого — = м, ми ем. В какой из аквариумов вмещается больше воды?
6) Сколько потребуется проволоки для изготовления каркасной модели
4

1

2

параллелепипеда с измерениями -. дм, те дм и 1 ДМ?

23

М РЕШАЕМ ЗАДАЧУ ПО ПЛАНУ Ма) Брат может прополоть грядку за 30 мин,

а его младшая сестра — за 60 мин. За сколько минут они могут прополоть
грядку, работая вместе?
1) Какую часть грядки пропалывает каждый из них за 1 мин?
2) Какую часть грядки пропалывают они за 1 мин, работая вместе?
3) За сколько минут брат с сестрой пропалывают грядку, работая вместе?
6) Мама может почистить картофель для обеда за 16 мин, а сыну на эту
работу потребуется 48 мин. За сколько минут они почистят весь карто-

фель, работая вместе?
Сравните задачу с задачей «а» и решите её по такому же плану.

Расположите в порядке возрастания следующие суммы:
1
1
тв

1
1
47

-+-;
зо

—+-:

1
5

1
6

1
2

-+-;

1
9

-+—.

Выполните действия:
п

4

Б

ов...
4

25

5

3

8

16

27

г 12. 21,38 4
6

3

4

5

Дроби и проценты'4
31

Найдите значение выражения:

Поз
2
з
6
22
121
5
) 14

18
35

1
4

5
14

5
12

2

6) — +—+1|1--—|:|—|.
32

На заводе трудятся рабочие разной квалификации. Рабочий
ряда может выполнить заказ за 12 дней, менее опытный
20 дней. Рабочий самой низкой квалификации выполнит
30 дней. За сколько дней выполнит этот заказ бригада из
разной квалификации?

высшего разрабочий -— за
этот заказ за
трёх рабочих

Подсказка. Для составления плана решения посмотрите план, приведённый в упражнении 28.

33

Отец и сын, работая вместе, покрасили заборза 12 ч. Если быотец красил
забор один, он выполнилбыэту работу за 21ч. За сколько часов покрасил
бы этот забор сын?
#! АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

34

(34—35) м

Отрезок ММ сначала разделили точками А и на 3 равные части, а затем
точками С, Ри Ена 4 равные части.
а) На сколько частей разделён отрезок? Есть ли среди них равные?
6) Какую часть длины данного отрезка составляет длина каждой получившейся части?

35

а

ей

1

От верёвки, длина которой 3 М, нужно отрезать - м. Как это сделать, не
производя измерений?

36

Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок, равный
в

2

]

1

1

2 клеткам). Отметьте на координатной прямой числа: 15, 25, 4, 55.

37

На координатной прямой отмечены точки, соответствующие числам

а (рис. 1.4). Определите координату каждой точки.
10

5

100

2

А

В

Ср

0

1

Рис. 1.4

3З&

Сравните

39

Сократите

ри

р

про

др

би: а)

дробь: а)

)

Э

6

14

21

— и —:
24

—;

) 60

6)

4

1

11

—и—:

35 И 50

12

—,
48

в)

ь
20

—;
36

8

и;
20 ^ 15
14

—.

Г 56

гр

5

)

6

=иэт

1741 Глава 1
40

Воспроизведите рисунок 1.5 в тетради. Размерызадайте самостоятельно.

М Рис.1.5

1.3 «Многоэтажные» дроби
Вы

знаете,

что частное

двух

натуральных чисел равно дроби,

` числитель которой — делимое, а знаменатель — делитель.
т

10

5

3

14

Т

Например: 7:3 =-, 10:14 = — =-.,
р

р

Иными словами, такие записи, как т:пи ть обозначают одно
п

и то же. Поэтому черту дроби можно рассматривать как другое
| обозначение действия деления двух натуральных чисел.
|

Замените знак деления чертой дроби и найдите частное: а) 8:5; 6) 6: 15.

В математике принято использовать черту дроби в качестве знака деления и при записи более сложных выражений. Например,
выражение
4 + Е

3

1-4

.
5
является иным способом записи частного

2

4 + з|:

4

1- 5 |

В дальнейшем нам будут встречаться дроби, числители и зна-

менатели которых — любые выражения, а не только натуральные
числа. При вычислении значения такой «многоэтажной» дроби по| следним выполняется действие деления: выражение в числителе де| лится на выражение в знаменателе.

1_1
и

3

5

Пример. Найдём значение дроби эт.

за
Способ 1. Выполним три действия:
Па

3

5

15

15

Ана = „Г,
32

6

6

Зы вене

15

6

15

15

5

Дроби и проценты175
Запись решения можно вести цепочкой:
11

5-3

$5
2_1
3 2
|

2

1

_1щ5_2

4-3
6

1
6

15

6

2.6

1

15

Способ 2. Если вы умеете выполнять устно такие действия, как,
2
например, 30. Вы 20, то сможете преобразовывать «многоэтаж-

| ные» дроби быстрее.
Умножим числитель и знаменатель дроби на 30. Значение дро| би при этом не изменится, а в числителе и знаменателе окажутся
| целые числа. Получим

11
ле
3

11
30.1=--—

5 _

Е

1
ны

1
ее

Е] 30.1

395 10-6 _4

2
1_ 90: =
2
п _ 20.
2 — 80 >
1 20-15 5’
гы
3
2
(2
г
3
2
7]

Найдите значение выражения

5

-——
двумя способами.
1
+

2

зы

3

ее

41

И РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (41—43)№
Замените знак деления чертой дроби и найдите частное:
а) 2:7, 11:15, 8:9;

42

43

а) (21.18): 14;

в) (12.15): 40;

6) 60: (16.25);

г) (4.24): (42.8).

Замените знаком деления черту дроби:
1.

15.31.
6)

100

2’

,

зи,

23.16
ь

1. 41°

Найдите значения выражений:

12
1
а) 2.
3, в.
т, И.
3;
4

аз

в) 14:6, 15:9, 40:5.

Запишите выражение в виде дроби и сократите эту дробь:

а) 5:

44

6) 6:12, 8:28, 10 : 35;

3

6) 1
>, т, 1.
5;

8

3

7

8
2
2
в) 4
=, 3
4, 5
>

2

Вычислите:

1.2

23.

ит
3

5
8

"Г
4 2

Т_.

кт
2 6

т. 1
4_7

тг
2
14

16 Глава 1
46

Найдите значение выражения:

а

)

1_1
5

5:

В

6) —

)

2,1
Е
в

д)

ры1

г)

1- =
3

\.

т
100 10
т

;

1
2
фе

о;

в} ^

2+-—
6

з.

Я
6

+ РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (47—49)

3

47

Что может означать запись =? Примите по очереди каждую дробную черТу за «основную» и запишите соответствующие выражения. Найдите значение каждого из этих выражений.

58

Разделить

некоторое

число

на

2— это

всё

равно

что

умножить

его

1
а =.

на 5. Поэтому

5 Я = [3 - т . 5. Рассуждая таким же образом, пред-

оо

Бы

ставьте в виде произведения выражение:
а

49

)

2.

,

6)

3

т

В

)

10

{

г

)

В

.

Запишите выражение в виде частного, используя черту дроби:
4

4

6

2

2

10

100

Найдите значение выражения:
1

тт

ыы
1
6 + 1
1
---

ры
2
1+

23

ры
1

1
и

1+

1

1+

3

яь
3

51

Найдите значение выражения:
а)

9.5.4

7

——_;

20. в, в,

47

6)

8

:—: =;
9103

в)

9

5

9

10

33

16

т:

100

Дроби и проценты **
52

Вычислите удобным способом:

1.5.4.4

НЕ: ==
)

9
5
9
2
3
4
6
5
6) +-+—-+-+-;
) п т 8
1
11
8

53

54

в

В)

5

7

==: 10

) 27
11
г) —
) 36

7.

ы

8 = —;

.17-5.

27
11
—.
36

Решите задачу:
Корова съедает копну сена за 3 дня, а коза может съесть такую копну за 6 дней. За
сколько дней съедят такую копну короваи
коза вместе?
Подсказка. Сравните с задачей 28.

Назовите многогранник, изображённый на

А

р
Е

Е

№ Рис.1.6

рисунке1.6. Назовите грани, являющиеся ви-

димыми. Перечертите его так, чтобы грань
5ЕЕ была невидимой.

1..4 основные задачи на дроби
Пример 1. Предположим, по радиосообщили, что жители города Синегорска,
возле которого расположен химический завод, активно борются против загрязнения
| окружающей среды и > из них присоединились к экологическому движению Гринпис («Зелёный мир»).
Человек, знакомый с дробями, поймёт,

что к движению Гринпис присоединилось
чуть меньше половины жителей города.
Чтобы подсчитать их число, необходимо
знать, сколько жителей в Синегорске,
ь
2

и уметь наити 5 от этого количества.

Допустим,

в

городе

нроживает

80000 человек.

Найти 2 от

80 000 можно по-разному: опираясь на смысл понятия дроби и по
правилу нахождения части от числа.
Решим задачу первым способом. Найдём пятую часть от 80 000

и результат умножим на2:

(80 000 : 5).2 = 32 000(чел.).

98 Глава 1
Теперь решим эту же задачу, воспользовавшись правилом:

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это
число умножить на данную дробь.
Умножив 80 000 на 2, получим тот же результат:

2 _ 80000.2 = 32000 (чел.).
80 000 =
Может возникнуть обратная задача:
Пример 2. Пусть известно, что 32 000 человек из города Сине| горска присоединились к движению Гринпис и что это составляет
2

2

|; от числа его жителей. Имея такую информацию, нетрудно под| считать, каково население города.
2

|

По условию 32000 — это 5 населения города.
5

е

Так как всё

со

население составляет 5’ Фо 32 000 надо разделить на 2 и результат

умножить на 65:

(32 000 : 2).5=80 000(чел.).

Эту же задачу можно решить вторым способом — по правилу нахождения числа по его части:

Чтобы найти число по его части, нужно эту часть разделить на
дробь, ей соответствующую.

|
|

2

Разделив 32 000 на г получим

|

]

|

|

32 000 : 2 = 0006 50000 (чел.).
Пример 3. Рассмотрим теперь третью ситуацию. Пусть журна-

| листу стало известно, что в городе Синегорске проживает 80 000 че-

| ловек и 32 000 из них присоединились к движению Гринпис. В своём
| сообщении по радио журналист хочет подчеркнуть, что это довольно
большая часть населения города. Для этого он должен сосчитать,
| какую часть 32 000 составляют от 80 000.
Один

человек — это

80 000

часть

населения

города.

Тогда

| 32 000 человек составляют о населения города.
80 000
80
5

Для ответа на вопрос о том, в о составляют 32 000 че| ловек от 80 000, мы записали дробь

80 000

‚ которая выражает част-

Дроби и проценты 91
_| ное от деления 32 000 на 80 000. Таким образом, мы пришли к пра| вилу:

|

Чтобы узнать, какую часть меньшее число составляет от большего, надо первое число разделить на второе.
=

Э

3

Расскажите, как найти: а) 5 ©Т числа 600; 6) число, 5 Которого составляют 18; в) какую часть число 36 составляет от числа 80.

НИ

55

ИИ

Прочитайте предложения и вставьте нужные слова.
а) Чтобы найти половину некоторого числа, нужно это число разделить
на ... или умножить на ....

6) Чтобы найти четверть некоторого числа, нужно это число разделить
на... или умножить на ....
в) Чтобы найти десятую часть некоторого числа, нужно это число разделить на... или умножитьна ....
г) Чтобынайти сотую часть некоторого числа, нужно это число разделить
на ... или умножитьна ....
Найдите часть от величины(56—57).
56
з

7

а) тот8кг;
а)

1

1

— от-г

16

2“

6) 2 от 12 кг;
6)

3

7

—

1

—

в) < от 18 кг;
кг;

4 так!

в)

2

—

1

от — см:

} в отд ом;

Пот 20 кг.
4

3

Г) — от —
73

10 1

дм.

Решите задачу на нахождение части от числа (58—59).

58

а) Стакан вмещает 160г крупы. Крупой наполнили = стакана. Сколько

граммов крупынасыпали в стакан?
6) Общая площадь окон, которые надо вымыть, составляет 24 м2. За час

вымыли = этой площади. Определите площадь окон, вымытыхза час.
59

а) Отленты длиной 2м 40 см отрезали ё её длины. Найдите длину остав-

шейся части.
6) Занятия в школе длятся 5ч 30 мин. Перемены занимают : этого времени. Сколько часов длятся уроки?
60

Составьте задачу, для решения которой нужно выполнить следующее действие: 300. —.
10

20

Глава 1
Решите задачу на

(61—63).
61

нахождение числа по его части

1

а) Размеры макета составляют => реальных размеров дома. Чему равна ширина окна в доме, если
на макете окно имеет ширину 60 мм?
1
6) Размерыучастка земли на плане составляют т

его истинных размеров. Чему равна сторона участка, если её длина на плане равна 16 см?

62

3

О
НИ

в

а) В бак налили 36 л воды и заполнили С его объёма. Сколько водывме-

щает бак?
6) Продали = привезённого в магазин винограда, что составило 180 кг.
Сколько всего винограда привезли в магазин?

63

Андрей набрал на компьютере 2 своего реферата по литературе за 2 ч.
За сколько часов он наберёт весь реферат, если будет печатать с такой
же скоростью? Выберите правильный ответ.

1) За 1ч.
64

2) За 5ч.

3) заб ч.

4) За 24.

Составьте задачу, для решения которой надо выполнить следующее действие: 300: 3.

Расскажите, как найти, какую часть одно число составляет от другого,
и решите задачу (65—67).

65

а) Какую часть часа составляют 30 мин? 15 мин? 10 мин? 6 мин?
1

1

6) Какую часть суток составляет 1ч? 2ч? 2 Ч? 55 ч?
а) Стакан вмещает 200 г молока. Какую часть стакана нужно наполнить,
чтобы в нём оказалось 160 г молока? Какая часть стакана останется незаполненной?

6) Человек спит в среднем 8 в сутки. Какую часть
суток человекспит? Какую часть суток человек бодрствует?

67

а) Скорость товарного поезда 60 км/ч, а скорость
пассажирского 80 км/ч. Какую часть скорости пассажирского поезда составляет скорость товарного
поезда? Во сколько раз скорость пассажирского
поезда больше скорости товарного?

6) Из 20-литрового бидона, наполненного водой,
отлили 8л. Какую часть бидона заполняет оставшаяся в нём вода? Во сколько раз воды в полном
бидоне было больше, чем осталось?

__ дробии проценты121
Решите задачу и прокомментируйте свои действия (68—70).
68

а) Фильм на О\УО, состоящий из двух частей, длится 126 мин. Длитель-

ы
2
:
ность первой части составляет = общей длительности фильма. Сколько минут длится каждая часть фильма?

6) У Тани на приготовление домашних заданий ушло Зч 30 мин, что со3

ь

ставило > времени, потраченного Галей. На сколько минут быстрее вы69

полнила уроки Таня?
В школе 1800 учащихся. В среду на уроках отсутствовало 120 учеников.

Какая часть учащихся школыбыла в этот день на уроках?
70

Первый стрелок сделал 80 выстрелов по летящей мишени и попал в цель
60 раз, второй из 60 выстрелов попал 50 раз. Кто из них показал лучший
результат?

71

мПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ № Представьте себе, что вы выбираете сыр
для бутербродов, которые надо взять с собой на туристский слёт. Вам
поручили купить самый нежирный сорт. В таблице указаны массы имеющихся в магазине упаковок с разным содержанием жира.

Масса жира в упаковке (в граммах)

100

150

200

500

40

45

100

125

Какой сыр вы купите?
Подсказка. Определите, какую часть общей массы упаковки составляет
масса жира.

72

а) В книге 75 страниц. В первый день ученик прочитал : всей книги, во
ИР.

второй — = остатка. Сколько страниц ему осталось прочитать?
6) В доме 100 квартир (одно-, двух- и трёхкомнатных). Однокомнатные
3

квартиры составляют -„, часть всех квартир, а двухкомнатные — =. остав-

шихся квартир. Сколько в этом доме трёхкомнатных квартир?
73

2

2

|

а) Сад занимает = земельного участка, причём -, сада отведена под яблони. Какую площадь занимают яблони, если площадь всего участка 10 соток? Какая часть всего участка занята яблонями?

1

а

6) В шестых классах учится тд всех учащихся школы, причем 5 из них —

девочки. Сколько девочек в шестых классах, если всего в школе 910 учеников? Какую часть всех учеников школы составляют шестиклассницы?

22
74

Глава 1
а) Сергей заполнил = тетради, и у него осталось 36 чистых листов. Сколько листов в тетради?

6) За м ткани заплатили на 20 р. больше, чем за м такой же ткани.
Сколько стоит метр ткани?
75

а) Чтобы распечатать на принтере две рукописи, взяли пачку бумаги. На
одну рукопись ушло = пачки, а на другую — 5, остатка. Сколько листов
бумаги было в пачке, если осталось 24 листа?
4

и

6) Мама и сын собрали у всего урожая клубники, причём на долю сына
пришлось = собранных ими ягод. Каков был урожай клубники, если сын
собрал 6 кг ягод? Какую часть урожая клубники собрала мама?
76

й! ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ 11
Представьте себе, что вы хотите угостить своих друзей молочным кок=

7

тейлем. У вас есть 350 г молока. По рецепту молоко составляет 10 массы
3

1

1

20

10

20

—, — и — массы

коктейля, а сироп, ванилин и какао соответственно

коктейля. Рассчитайте, сколько граммов сиропа, ванилина и какао вам
надо взять.
РАССУЖДАЕМ (77—80)
77

Что больше:
а) 1 от половины или половина от Е

5

6) 3 ОТ 2 или 2 ОТ 3?

5

4

3

3

4

Расскажите, как вы рассуждали.

78

3

ср

В

в

Ученик закрасил 8 круга, причем З этои части он закрасил синим цветом,

а остальное — красным. Какая часть круга закрашена синим цветом? Какая
часть круга закрашена красным?
79

а) В 2010 г. численность населения Пскова состав2

ляла ы численности населения Смоленска. Во сколь-

ко раз больше жителей в Смоленске, чем в Пскове?
6) Высота Шуховской`телебашни в Москве составляет =, высоты Останкинской телебашни. Во сколько раз Останкинская башня выше Шуховской?

80

Сельские жители в России составляют примерно

10

всего населения. Какую часть городского населения
составляет сельское? Во сколько раз городских жителей больше, чем сельских?

Шуховска —

ЩЕ

_Дроби и проценты 123

81

Найдите значение выражения:
.)

3_4=
(3

т_
[:

1).
1]

6) 10

1

в.
411.
ый =:

в)

3

2

82

7

3

10

2

24.
05
т

а) В обеденном меню школьной столовой имеются два первых блюда —
борщ и картофельный суп-и три вторых — сосиски, котлеты и плов.
Составьте все возможные вариантыобеда, состоящего из первого и второго блюд. Сколько всего таких вариантов существует?
6) Из трёх девочек и трёх мальчиков надо
выбрать девочку и мальчика, которые бу-

дут вести школьный праздничный концерт.
Сколькими способами это можно сделать?
Подсказка. Введите коды, например д1, ...,

М1, ..., И запишите все возможные пары.
ри

83

рана"!

РАССУЖДАЕМ№ Прямоугольник разбили

на четыре части: квадрат и три прямоугольника (рис. 1.7). Известны периметры
трёх из четырёх получившихся частей. Найдите периметры четвёртой части и всего
прямоугольника.

1.5

]

Ш Рис. 1.7

Что такое процент

Вам, наверное, не раз приходилось слышать по радио и телевидению или встречать в газетах слово процент. Например:
в выборах приняло участие 67 процентов жителей города;
стоимость проезда в городском транспорте повысиласьна 50 процентов;
рейтинг (показатель популярности) телепередачи составляет
19 процентов.
Что же понимают под словом «процент»?
Процентом от некоторой величины называется одна сотая её
часть.

Поэтому, чтобы найти один процент от величины, нужно раз-

делить эту величину на 100.
Например:
1 процент от 500т равен 5 т, так как 500: 100=5;

1 процент от
а 1000 : 100 = 10.

1км

равен

10м,

так

как

1км=1000м,

241 Глава1
Для слова «процент» в математике есть специальный знак: %.

|

1% — это _1 величины.
100

27

Точно так же 27% — это 106* 33% — оо ит. д.
Что называется процентом? Произнесите без слова «процент» (заменив проценты дробью) следующие фразы: «В математическом кружке занимаются
7% всех учащихся школы»; «В голосовании приняли участие 73% избира-

телей».
Начертите квадрат 10 х10 клеток и закрасьте 18 % квадрата. Сколько про-

центов квадрата не закрашено? Начертите ещё два таких же квадрата и закрасьте 50 % одного из них и 100% другого.
Величина, от которой вычисляются проценты (например, коли-

| чество телевизоров, выпускаемых заводом за год, доход семьи, численность населенияи т. д.), составляет 100 своих сотых долей, т.е.

100%.
Пример 1. Зимняя куртка стоит 1200 р. На весенней распродаже её можно купить на 33% дешевле. Сколько можно сэкономить

денег, если купить куртку на распродаже?
Сначала найдём 1% стоимости куртки:

1200 : 100 = 12 (ф.).
Теперь найдём 338% её стоимости:

12.33=396 (р.).
Значит, купив куртку на распродаже, можно сэкономить 396 р.
Можно было рассуждать иначе: 33% величины — это 33 её сотых доли, т.е. т Чтобы найти то от 1200, нужно 1200 умно|

88.

| жить на ——
100'

1200. _38_ _ 1200. = 396 (р.).
100
100

|
-—]

7

Расскажите, как найти, и найдите 24% от5 тонн; 12% от 2 кг.

Иногда нужное число процентов от величины можно найти ещё
проще. Так бывает, если требуется найти, к примеру, 10%, 25%,
50%. Так, 10% — это о или тс. Поэтому, чтобы найти 10% от

какой-либо величины, достаточно разделить эту величину на 10.
| Например, 10% от 1200р. составляют 120 р.

Дроби и проценты125`
_
В таблице приведены некоторые проценты, которые «легко счи| таются», и соответствующие им дроби.

10%.

№

25%

1
5

1
4

1
10

|

50%

1
2

75%

я
4

Пример 2. В прошлом году в марафоне, посвящённом Дню города,
участвовало 200 горожан. В этом году

число участников марафона увеличилось на 20%. Сколько горожан приняло участие в марафоне в этом году?
Чтобы найти 20% от 200, нужно
200 разделить на 100 и результат ум-

ножить на 20:

(200 : 100) . 20 = 40 (чел.).
и

это 1%

Значит, в этом году число участни| ков марафона увеличилось на 40 чело-

| век, и всего их стало
200 -+ 40 = 240 (чел.).
Понятно, что 20% от 200 можно было найти проще: так как
20% — это > то достаточно было разделить 200 на 5, а именно:

| 200:5=40.
7]
В

Цена товара 800 р. Она понизилась на 25%. На сколько рублей понизилась
цена? Чему равна новая цена?
Пример 3. При рождении ребёнок весил 3 кг. За год его вес

' увеличился на 200%. Сколько весил ребёнок, когда ему исполнился
| один год?
Вес ребёнка при рождении составляет 100%, т.е. Зкг — это
' 100%. Тогда 200% составляют 6 кг. Значит, к одному году ребёнок
стал весить 3+ 6 =9 (кг).
Слово «процент» имеет латинское происхождение: в переводе
| с латыни рго сепфит означает «на сто». Заметим, что в речи ча| сто вместо слова «процент» используют именно это словосочетание.
| Например, фраза «На заводе на каждые 100 человек приходится
|12 имеющих высшее образование» означает, что 12% работников

_| завода имеют высшее образование.

26Глава 1
Вес ребёнка к концу года увеличился на 200% (см. задачу 3). Во сколько

раз увеличился вес ребёнка к одному году?
]

Объясните, используя слово «процент», фразу «Из каждых 100 школьников

65 занимаются в спортивных секциях». Придумайте сами фразу аналогичной
конструкции и объясните её, используя слово «процент».

М РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (84—86) №
84

Прочитайте предложение, заменив проценты соответствующей дробью:
а) Мальчики составляют 60 % класса.

6) В голосовании приняло участие 75 % избирателей.
в) В июле цена автомобиля была повышена на 15%.

г) При покупке большой партии товара покупателю предоставляется скидка в размере 31%.

85

3
60
79
50
е
125
55°
ТЯ: ВБ? -—,
Выразите в процентах —,—,
всех книг библиотеки.
——

86

Выразите проценты дробью и, если можно, сократите её:
а) 37%, 83%, 61%;

87

6) 15%, 50%, 60%;

Ищем ИНФОРМАЦИЮ
вой

информации

в) 49%, 40%, 80%.

Найдите в каких-нибудь средствах массо-

(газеты,

журналы,

Интернет,

телевидение

и т. д.)

несколько предложений, в которых используется слово «процент».
а) 25% учащихся класса соревновались в беге, а 75% учащихся класса

пришли за них болеть. Все ли учащиеся класса пришли на соревнования?
6) За неделю туристы проехали 50 % пути на поезде и 40% пути на ав-

тобусе. Весь ли путь проехали туристыза неделю?
8э

Девочки составляют 65% всех членов драмкружка. Сколько процентов
всех членов драмкружка составляют мальчики?

эо

В классе 40% девочек. Кого в классе больше — мальчиков или девочек —
и на сколько процентов?

91

Найдите 1% от:

а) 100 р., 200 м, 300 км, 600 кг;
6) 1000т, 10 000 р., 10м, 1ц.
Найдите:
а) 1% от1м, 7% от 1м, 25% от 1м;
6) 1% от 1т, 6% от1т, 26% от 1т.

93

В школе 1500 учащихся. Сколько человек от этого количества составляют:

а) 30%;
94

6) 40%;

в) 50%;

Г 55%;

д) 85%;

е) 100%?

Выразите проценты дробью и сократите её: 10%, 20%, 25%, 50%, 60%,
75%, 80%. Запомните результат.

Дроби и проценты127

)

р

_

ные

|

д

РЕРЕЕЕЕЕЕЕТ]

№ Рис.1.8
95

Какая часть прямоугольника закрашена (рис. 1.8, а—г)? Выразите эту часть

в процентах.
96

Начертите круг и закрасьте: а) 50% круга; 6) 25% круга; в) 75 % круга.

97

Для каждой фразыиз левого столбца подберите соответствующую фразу
из правого столбца. (При необходимости воспользуйтесь таблицей, приведёенной на с. 25.)
100 % учащихся школы

98

половина всех учащихся школы

25 % учащихся школы

все учащиеся школы

10 % учащихся школы

четверть всех учащихся школы

50% учащихся школы

десятая часть всех учащихся школы

Как вы понимаете следующие предложения:
«С контрольной работой справились 100 % учащихся класса»;
«С контрольной работой справились 50 % учащихся класса»?

Какая часть учащихся не справилась с контрольной работой во втором
случае?

99
100

Больше или меньше половинысоставляют: а) 70%; 6) 15%; в) 30%; г) 55%?
Что больше:
а) 60% всего класса или половина класса;
6) 20% зарплаты или четверть зарплаты;
в) половина или 45 % всего населения страны?

101

Найдите:

а) 10% от 200 р.; 6) 20% от400 км; в) 25% от800 м; г) 50% от 600кг.
102

В городе 30 000 жителей. Вычислите устно, сколько жителей составляют
10 % всего населения города. Используйте полученный результат для нахождения 30%, 40%, 60% населения города.

Решите задачу и прокомментируйте свои действия (103—104).

103

а) В избирательном округе 25 000 избирателей. В голосовании приняло
участие 60% избирателей. Сколько человек голосовало?
6) Банк начисляет на вклад ежегодно 8% от вложенной суммы. Сколько
рублей будет начислено через год на вклад 5000 р.?

Глава 1 _
104

а) В библиотеке 40 000 книг. Книги на русском языке составляют 75 %
всех книг, а на английском — 10 % всех книг. Сколько в библиотеке книг
на русском языке и сколько на английском?

6) Бригада должна отремонтировать участок дороги длиной 900м. В первый день она отремонтировала 7 % всего участка, а во второй — 12 % всего

участка. Сколько метров дороги отремонтировала бригада в первый день
и сколько во второй?

105

1 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ М На коробке овсяных хлопьев указано: белки — 10%, жиры — 15 %, углеводы — 55%. Рассчитайте содержание бел-

ков, жиров и углеводов в одной порции хлопьев, масса которой 80 г.
106

1) В магазине было 800 кг картофеля. Продали 60% картофеля. Ответьте
на следующие вопросы:
® Сколько килограммов картофеля продано?
з® Сколько процентов составил картофель, оставшийся в магазине?
е Сколько килограммов картофеля осталось в магазине?
Придумайте ещё какой-нибудь вопрос к задаче и ответьте на него.
2) В домашней библиотеке 900 книг. Из них 80% — это книги на русском языке, остальные — на английском. Сформулируйте вопросы, которые можно поставить к задаче, и ответьте на них.

107

@ РЕШАЕМ ЗАДАЧУ ПО ПЛАНУ №
а) Набор стаканов для водыстоил 300 р. На распродаже его цену снизили
на 25%. Какая новая цена набора?

1) На сколько рублей была снижена цена набора?
2) Какая цена набора на распродаже?
6) В сентябре в школу-новостройку пришло 620 учащихся. К концу учебного года в связи с увеличением числа жителей района число учащихся
увеличилось на 40%. Сколько учащихся оказалось в школе к концуучебного года?
Подсказка. Сравните с задачей «а» и решите по такому же плану.

108

Решите задачу по плану, аналогичному плану в упражнении 107.
а) В 2000г. владелец садового участка взял в банке ссуду 140 000 р. для
постройки дома. Он должен был вернуть эти деньги через год с надбавкой 8%. Какую сумму он должен был вернуть банку?
6) Чтобыувеличить число покупателей, магазин первые10 дней после поступления товара продаёт его на 20 % дешевле. За сколько рублей можно
купить вещь в этот период, если её цена 300 р.? 220 р.?

109

Выразите в процентах:
й

.

а) 76 8 всех книг библиотеки составляет 33 3 %. Рассуждая так же, вы112

разите в процентах та всех книг библиотеки.

112

Во время распродажи лимонад стоимостью 15 р. за бутылку продавали на
20% дешевле. Сколько денег сэкономит покупатель, если он купит партию

в 120 бутылок?
113

За Зч поезд прошёл 200 км. В первый час он ‘прошёл 40 % всего пути, во
второй час — 50 % остатка. Сколько километров прошёл поезд за третий
час?

114

1 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ М Магазин принимает вещи для комиссионной продажи по следующим правилам: если вещь не продана в течение
20 дней, то она уценивается на 10%; если она не продана в следую-

щие 20 дней, то она уценивается второй раз на 15 % от её новой цены.

Заполните таблицу для вещей, проданных после второй уценки.

о п Пе
и

_ 3000.

_2600р..
|

800 р.

уценки

реа
т.

Че
аи

'З0Глава 1
1715

Объясните, используя слово «процент», что означают следующие утверждения:
а) 10 горожан из каждых 100 хотят улучшить свои жилищные условия;
6) 43 человека из каждых 100 доверяютгороскопам;
в) из каждых 100 новорождённых 52 — мальчики;
г) из каждых 100 жителей города 25 имеют домашних животных.

й МОоДЕЛИРУЕМ (116—117) №
116

Цена билета для проезда от города

Белогорска до города Черноморска

Стоимость

в купейном вагоне на 100 % выше, чем

РИ

ПЕ

в плацкартном (рис. 1.10). Во сколько

раз проезд в купейном вагоне дороже
проезда в плацкартном?
117

Изобразите условие задачи с помощью
рисунка и решите её:
а) В связи с инфляцией стоимость
проезда в городском автобусе за два

100%

года возросла на 200%. Во сколько
раз повысилась стоимость проезда?

| - пла

6) Квартплата в отдалённых районах

| - купейный вагон

города Северный в 2 раза ниже, чем
в центральных. На сколько процентов квартплата в отдалённых районах
меньше, чем в центральных?
118

[-т
}

картный вагон
вы

а рис. 1.10

Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей. В следующем месяце она увеличила выпуск этих игрушек на 300%. Сколько

игрушечных автомобилей стала выпускать фирма?

Й РАССУЖДАЕМ (119—120) М
119

Во сколько раз меньше стал стоить товар, если его уценили на:
а) 50%; 6) 90%; в) 98%?

120

Сравните 61% от числа 83 и 83% от числа 61.

во

о

1294

Найдите значение выражения (2 _ 8

122

Решите задачу:

+ : . (= - 3]

а) Николай за выполнение некоторой работы должен получить 300 р.

В первый час он выполнил Е всей работы. Сколько денег заплатят ему за
первый час работы?
2
ь
6) Сергей выполнил 3 заказанной ему работы, и ему заплатили 500р.
Сколько ему заплатят за всю работу?

Дроби и проценты13]

6) Запишите все двузначные числа,
которые можно составить, используя
только цифры 8, 6 и 0. Сколько имеется таких чисел?
124

На рисунке 1.11 изображён план первого этажа дачного дома. Пользуясь
данными рисунка, вычислите площадь каждого помещения, расположенного на первом этаже.

| Ам м2 4 Зм—=
—

а) Запишите все двузначные числа,
которые можно составить, используя
только цифры 5, 7 9. Сколько имеется таких чисел?

А4Ам|

Гостиная

о

Кухня |

| Веранда
зм Спальня Холл \

х

——

123

-— Зм—>< 3м —
Рис.1.11

1.6 столбчатые и круговые диаграммы
|
Столбчатые диаграммы удобно использовать в тех случаях,
| когда нужно сравнить полученные данные (например, результаты
| опроса общественного мнения), показать, как меняется со временем
| интересующее нас явление (как говорят иначе — показать тенден' цию), и т. д.
Пример 1. Автосалон ведёт учёт объёма продаж запчастей для

' автомобилей ВАЗ, ГАЗ и УАЗ. Данные о продаже запчастей для
| автомобилей каждого из этих заводов за первые четыре месяца года
представили на диаграммах, которые для наглядности объединили
| в одну (рис. 1.12).
| Число проданных

| запчастей
700
600
500
400
300
200
100
0
Январь

[2 - удв

Февраль

| |- ВАЗ

Март

Апрель

-гАз

Ш Рис. 1.12
|
Из диаграммы ясно, что самыми большими ежемесячно были
' продажи запчастей для автомобилей ВАЗ, причём спрос на них
| оставался примерно одинаковым. Постоянно рос спрос на запчасти

321 Глава 1

|
|

| для автомобилей ГАЗ. Начиная с марта стал падать спрос на запчасти для автомобилей УАЗ. Учитывая выявленные тенденции в изменениях спроса покупателей, автосалон должен уменьшить заказ

на запчасти УАЗ и увеличить заказ на запчасти ГАЗ.
7]

]
и

7]

В каких случаях удобно использовать столбчатые диаграммы?
Используя рисунок 1.12, определите: а) сколько запчастей для автомобилей
ВАЗ, ГАЗ и УАЗ было продано в январе; 6) на сколько выросли в апреле по
сравнению с мартом продажи запчастей ГАЗ.
Придумайте свой вопрос по диаграмме на рисунке1.12.

Круговые диаграммы удобно использовать в тех случаях, когда
нужно представить соотношение между частями целого.
Пример 2. На круговой
За кандидата А
диаграмме показаны результаты выборов в городскую дуЗа кандидата Б
му в одном из районов города.
Голосовали за двух кандидатов
в депутаты — А иБ (рис. 1.13).
Круг изображает всех изНе участвовали
бирателей района,

внесённых

в выборах

в списки для голосования, т.е.
100% избирателей. Их голоса
распределились следующим об-

Недействительные
бюллетени

разом. За кандидата А прого-

лосовало 52% избирателей, поэтому на диаграмме эта часть
составляет чуть больше поло-

2 Рис.1.13

вины круга. За кандидата Б проголосовало 12% избирателей, соот-

ветствующая часть диаграммы составляет примерно восьмую часть
круга. Не участвовал в выборах 31% избирателей, на диаграмме

им отведено около трети круга. И наконец, оставшаяся часть, 5%
избирателей, подала бюллетени, которые были признанынедействи-

тельными (они были заполнены не по форме или каким-либо образом испорчены).

Эта диаграмма позволяет получить некоторую дополнительную
информацию. Например, мы видим, что приняли участие в голосовании большинство избирателей района (около 70%). За победите-

ля проголосовало примернов 4 раза больше, чем за проигравшего.
Почти все избиратели, которые пришли на выборы, проголосовали
за одного из двух претендентов, и только по поводу 5 % голосовавших можно предположительно сказать, что они не определились
с выбором или же были против обоих кандидатов.
В каких случаях обычно используют круговые диаграммы?

Используя диаграмму на рисунке 1.13, определите: а) за кого из кандидатов
было подано большеголосов и на сколько процентов; 6) сколько процентов
избирателей не проголосовало ни за одного из кандидатов.

енты133%
„Дроби и проц
В т ие

125.

п

.

И

Бригада строителей проложила асфальтовую дорогу длиной9 км за четыре месяца. На диаграмме (рис. 1.14) показан объём выполненной работы
по месяцам.
а) В какие месяцы было проложено более 25% дороги? менее 15 % дороги?

Июнь
Май
Апрель
Март

10

20

30

40

50

60

Объём выполненной работы, %

Я Рис.1.14

6) Какая часть дороги была проложена в марте? в апреле? в мае? за
два последних месяца?

в) Сколько метров дороги было проложено в марте? в апреле? в июне?
7126

На диаграмме

(рис. 1.15)

показано

88- суша
Г|- Мировой

соотношение суши и Мирового океана на поверхности Земли.
Сколько примерно процентов по-

океан

верхности Земли занимает Мировой
№ Рис.1.15
океан? суша?
Как вы думаете, почему Землю называют голубой планетой?

127

Среди деревьев парка берёзысоставляли 55 %, осины — 15 %, остальные
деревья были других пород. На какой из диаграмм изображеныэти дан-

ные (рис. 1.16)?

Ш Рис. 1.16

ЗА Глава 1
128

На диаграмме (рис. 1.17) представлены результаты опроса шестиклассников десяти школ города о том, какие виды досуга они предпочитают.
Учащиеся должныбыли указать одно из следующих занятий — чтение, занятия с компьютером, просмотр телепередач, занятия спортом, прогулка
на свежем воздухе.
а) Какое занятие предпочитают шестиклассники больше всего? меньше
всего?
6) Сколько процентов учащихся предпочитают активный отдых?
в) Сколько человек предпочитают чтение, если всего было опрошено
300 учащихся?

Компьютер
Телевизор

Ш Рис.1.17
129

На диаграмме (рис. 1.18) представлены данные о продукции международной фирмы, производящей тёплую одежду из овечьей шерсти. Для

каждого вида одежды приведён процент от общего числа выпускаемых
изделий.
Ответьте на вопросы:
а) Какого вида одежды производится больше всего? меньше всего?
6) Сколько процентов продукции приходится на верхнюю одежду?
в) Сколько процентов всех изделий может предназначаться мужчинам?
женщинам?

г) Сколько всего единиц продукции было выпущено за месяц, если жакетов было выпущено 3000 штук?
Женские куртки
Жакеты

Мужские куртки

Ш Рис.1.18

Дроби и проценты135.

Число учащихся, %

130

На диаграмме (рис. 1.19) показано, как распределились мнения учащихся о прочитанной книге. Изобразите схематично эти данные на круговой
диаграмме.

40
ЕЯ — не понравилась

30

’°
20

°

— не очень понравилась
понравилась

10
ий — очень понравилась

Мнения учащихсяо книге

М Рис.1.19
131

Многие люди имеютдома комнатныерастения. Аналитический центр провёл опрос, чтобы выяснить, насколько популярно среди жителей страны
это увлечение. Результаты опроса представленына диаграмме(рис. 1.20).
от 6 до 10 растений

от 1 до 5 растений

Не имеютрастений

16 и более растений

от 11 до 15 растений

Рис.1.20
Рассмотрите диаграмму и ответьте на следующие вопросы:
а) Сколько процентов людей имеют дома более 10 комнатных растений?
6) Сколько процентов людей имеют дома комнатные растения в количестве менее 16?

в) Сколько процентов людей не имеют дома комнатных растений?

36 Глава1
132

Школьники нескольких стран отвечали на вопросы о том, должны
ли дети 7 лет обслуживать себя сами и выполнять работу по дому.
В таблице приведён процент положительных ответов на каждый из
вопросов. Представьте эти данные на столбчатой диаграмме.
Совет. Используйте в качестве образца диаграмму на рисунке 1.12.

_ Результаты опроа

ы

Самообслуживание, %

Работа по дому, %

Австралия

78

21

|Болгария.

82

33

_Чехия_

85

15

Швеция
|сшао

65
80

т.

133

о

тв

55

10
18

На станции техобслуживания ведут учёт неисправностей поступающих ав-

томобилей. Данные о поломках за последние три месяца свели в таблицу.
_
.
_ Объект поломки _

т.

Месяц

Октябрь

Двигатель

9

Ноябрь

Декабрь

9

18

Подвеска

25

26

15

Кузов

24

50

385

Тормозная система

12

15

22

а) Постройте по данным таблицыстолбчатую диаграмму, взяв за образец
диаграмму на рисунке 1.12. На вертикальной оси возьмите две клеточки
для обозначения 10 неисправностей.

6) Изобразите схематично на круговой диаграмме данные о неисправностях автомобилей за ноябрь.

13а

Решите задачу:

:
._
ы
В первой школе 500 учащихся, во второй — Е этого числа, а в третьей —
3

>

=.

В =: раза больше, чем во второй. Сколько учащихся в третьей школе?

_Дроби и проценты137
135

а) Запишите все двузначные числа, которые

83см

можно составить, используя только цифры
3, 5, 7 9, так, чтобы цифры в числе не

повторялись. Сколько таких чисел-имеется?
6) Запишите все двузначные числа, которые можно составить, используя только цифры8, 6, 4 и 0, так, чтобы цифры
в числе не повторялись. Сколько таких чи-

12 см

р

сел имеется?
136

Куб с ребром 15 см рассекли двумя разрезами, как показано на рисунке1.21. Сколько
получилось частей? Найдите объём каждой

10см

15 см

5 см

М Рис.1.21

части.

Чему вы научились
Обязательные умения
Знаю, в чём состоит основное свойство дроби; умею применять его для приведения дробей к новому знаменателю и сокращения дробей.
1.

а) Приведите дробь = к знаменателю 60.
42

6) Сократите дробь тв:
Умею сравнивать дроби.
2.

11

8.
15

Сравните дроби: а) В И =,

6) и
8

Н1

В)

1

)

12

7

17

д

— М

.

Знаю правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей; умею
выполнять вычисления с дробными числами.

3.

Вычислите:
5

а)

4.

1

5

фе
9
6

6}

4

3

20.5.
7:6,

14

8] ) =7 ж =)
15

2
[2].

Выполните действие:

а) 31Э +12;
5
5.

3

ет.
8
4

6)21-17;
12
12

в) 24

-

Найдите значение выражения:
ан ны

16

8

8

6)

[4-2].

З

111+

2

:
3
д

4:20.
5
1.1
в) 24
6
—+

—

38 Глава 1
Знаю, как найти часть от числа, выраженную дробью; число по его части;
какую часть одно число составляет от другого.
6.

2

В автобусе 54 места. Во время экскурсии было занято 5 всех мест.
Сколько свободных мест оказалось в автобусе?

7.

В школьной секции вольной борьбы занимаются 18 пятиклассников. Это
2

составляет ,
= о
= = 855
10
_= 8518
1 _ 8518
518 _ 518.
851,8 „100
о
с
21000 _ 81000
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д.,

нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево, сколько нулей содержится в делителе.

|

Попробуем теперь разделить дробь 851,3 на 10000. По прави`лу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака, но у нашей дроби перед запятой только 8 знака. Поэтому найдём частное,
перейдя к обыкновенным дробям:

851,3 : 10000 =

8518 .
1
_ 8518.
= 0,085183.
10
10000
100 000

Получившийся ответ подсказывает нам приём, который позволяет в любом случае находить результат деления на 10, 100, 1000
и т.д. с помощью переноса запятой, — к десятичной дроби слева
нужно приписать вспомогательные нули. Например:

851,3 : 10 000 = 00851,3 : 10000 = 0,085183.
]

По какому правилу делят десятичную дробь на «единицу с нулями»? Вычислите: а) 850,4 :100; 6) 3,65 :1000; в) 0,42 : 10.

Так как в метрической системе мер единицы различаются в 10,
| 100, 1000 раз, то переход от одних единиц измерения к другим вы| полняется с помощью умножения и деления на степень10.
Пример 1. Выразим 2,7 кг в граммах.
Так как 1кг = 1000г, то, для того чтобы перейти от килограммов
к граммам, т.е. к более мелким единицам, нужно 2,7 умножить на 1000:

2,1 кг=2,Т. 1000 (г) = 2700 г.

|
|’

Пример 2. Выразим 175 см в метрах.

|
Так как 1м=100см, то, для того чтобы перейти от сантиметров
| к метрам, т.е. к более крупным единицам, нужно 175 разделить на 100:

175 см = 175 : 100 (м) =1,75 м.
т

Объясните, как выразить в килограммах массу: а) 7,5 т; 6) 370 г.

Действия с десятичными дробями "79

274

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ № Выполните умножение:
‚

а)

15,47 .10,
6) 0,75 .10,
в) 13,003 . 10,
) 0,01.10,

275

913,134 .100,
10,28 . 100,

4,8 .1000;
3,7 .1000;

0,0045 .100,

16,14 . 1000;

70,36 .100,

0,0018 . 1000.

Представьте в виде натурального числа:
а) 1,5 тыс.;
г) 2,5 млн;
Ж) 7,5 млрд;
6) 40,7 тыс.;
д) 10,2 млн;
3) 12,55 млрд;
в) 0,6 тыс.;
е) 0,9 млн;
и) 0,785 млрд.

276 | РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ №
1) Разберите, как с помощью сочетательного свойства умножения вычислено произведение 12,3 . 20:

12,3 « 20 = 12,3 › (10-2) = (12,3 . 0} -2=123..2=246,
2) Пользуясь этим приёмом, вычислите:
а) 1,8 . 30;
6) 21,5 20;
в) 3,05 . 300.
277

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ № Выполните деление:
а)
6)
в)
г)

278

27,13 10,
104, Рор
9,28 :
0,36: о

210,36 : 100,
38,5 : 100,
104,7 : 100,
4,931 : 100,

45,56 : 1000;
562,7 : 1000;
36,128 : 1000;
900,5 : 1000.

а) Увеличьте каждое из чисел 0,2; 1,112; 13,0247; 34,05 в 10 раз,в 100 раз,
в 1000 раз.
6) Уменьшите каждоеиз чисел 2500; 1555,01; 4,45; 0,6 в 10 раз, в 100 раз,

в 1000 раз.

279

Выразите:
а) 23 км, 5,127 км, 0,027 км, 0,35 км, 0,4 км в метрах;
6) 16 см, 10,5 см, 0,3 см, 1,7 см, 0,4 см в миллиметрах;
в) 0,356л, 0,012 л, 1,25 л, Ол, 0,8 л в миллилитрах.

280

Выразите:
а) 526 см, 48 см, 20 см, 7,6 см, 5 см в метрах;
6) 3000 мг, 25,6 мг, 15 мг, 4 мг в граммах;
в) 2560 мл, 350 мл, 2,8 мл, 0,05 мл в литрах.

281

а) За 20 компьютеров заплатили 484,5 тыс. р. Сколько надо заплатить за
200 таких же компьютеров?
6) За 100 стиральных машин заплатили 1,26 млнр. Сколько надо заплатить за 10 таких же стиральных машин?

80 Глава4

282

На какое число нужно умножить или разделить число 25,6, чтобыв результате получилось:
а) 25 600;

6) 2,56;

в) 0,0256;

г) 256?

й РАССУЖДАЕМ (283—284) 1
283

Продолжите последовательность чисел 1100, 110, 11, ..., записав ещё три
числа. Какая десятичная дробь должна быть записана на десятом месте?

284

Как изменится положение запятой в десятичной дроби, если эту дробь:
а) уменьшить в 1000 раз и ещё 10 раз;
6) уменьшить в 10 раз, а затем увеличить в 1000 раз?

Для каждого случая приведите примеры.
285

Умножение десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001; ... также
можно выполнять с помощью переноса запятой.

1) Разберите, как выполнено умножение дроби 32,5 на 0,1:

эй5 О Вы
А
= =.
ЗЕ
10
10

а

Сделайте вывод: как можно было бы найти произведение 32,5 . 0,1 с по-

мощью переноса запятой?
2) Сформулируйте правило умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01;
0,001 ит. д.

3) Найдите: а) 23,6.0,1; 6) 37,05 0,01; в) 540 000 0,001.

286

Какое из выражений а 0,01;
25

В + 0,9;
4

И Од:
3

2 + е можно вы10

5

числить только в обыкновенных дробях? Чему равно его значение?
237

На диаграмме(рис. 4.2) представлены результаты контрольной работыпо
математике в шестых классах.
1) Сколько

процентов

учащихся

получило отметку «5»?

2) Сколько учащихся получило
отметку «4», если всего в школе

Отметка «5»

Отметка «4»/(\

50 шестиклассников?
288

а) В одном

пакете 1,85 кг муки,

в другом на 0,5 кг больше. Сколь-

ко муки в двух пакетах? Выразите
ответ в килограммах и граммах.

Отметка «2»

6) В первый день бригада отремонтировала 1,5 км дороги, а во

№ Рис.4.2

Действия с десятичными дробями1817.
второй — на 0,35 км меньше. Чему равна длина
отремонтированного участка дороги? Выразите
ответ в километрах и метрах.
2329

Измерьте

длины

сторон,

четырехугольника

(рис. 4.3). Выразите их в сантиметрах и найдите
периметр этого четырёхугольника.

№ Рис.4.3

4.3 Умножение десятичных дробей
Умножение десятичных дробей, как и сложение, сводится к дей-

ствию над натуральными числами. Но место запятой при умножении определяется иначе, чем при сложении.
Перемножим числа 3,76 и 2,4, заменив их обыкновенными дробями:

3.76.24 316. 24 _ 816.24 _ 9024 ор
100 10
1000
1000

Фактически нам пришлось перемножать натуральные числа
376 и 24, которые получаются, если из данных десятичных дробей

| убрать запятые. В первом множителе две цифры после запятой, во
втором одна, а в произведении оказалось три цифры после запятой. Таким образом, десятичных знаков в произведении столько же,
сколько их в множителях вместе.

Чтобы найти произведение двух десятичных дробей, можно:
® мысленноубрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа;
= в полученном произведении отделить запятой справа столько
° цифр, сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе.
При умножении десятичных дробей в столбик их записывают
одну под другой как натуральные числа, не обращая внимания на
запятые.
Пример 1. Найдём произведение чисел 0,215 и 0,33.

Перемножив числа 215 и 33, мы получили в произведении число
1095. Затем в этом произведении мы отделили запятой справа 5 цифр (для этого нам пришлось слева

| приписать нули).
Таким образом, 0,215 .0,33 = 0,070595.
Аналогичное правило применяюти в том случае,
когда один из множителей — натуральное число:
в произведении отделяют запятой столько десятичных знаков, сколько их содержится в множителе,
являющемся десятичной дробью.

|1

РТ

82 Глава 4
Пример 2. Найдём произведение чисел 0,235

|

| и 120.
|

ыы

|

023

Умножив число 2385 на 120, мы получили в произведении 28 200. Отделив запятой справа три цифры, получили десятичную дробь 28,200, т.е. 28,2.
Таким образом, 0,235 . 120 = 28,2.
—]

Как определяют положение запятой в произведении деся-

тичных дробей? десятичной дроби и натурального числа?
Приведите примеры.

Чтобы перемножить десятичную дробь и обыкновенную, нужно

=

прежде всего привести их к одному виду. Тогда можно будет воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей, ли-

’ бо правилом умножения десятичных дробей.
Пример 3. Найдём произведение = . 0,27.
Дробь 2 нельзя обратить в десятичную, поэтому число 0,27 запишем в виде обыкновенной дроби. Получим О в

6

100

40

Пример 4. Найдём произведение 1,75. 2.
Дробь Е можно представить в виде десятичной: а = 0,4. Поэтому
- выполним умножениев десятичных дробях. Получим 1,75. 0,4 =0,7Т.
]

Объясните, как можно вычислить произведение десятичной и обыкновенной
ы

о

дробей. Вычислите произведение 0,72 5.

290 ИДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ М Выполните умножение:
а) 7,8.2,9;

в) 44.2,2;

д) 1,6-2,5;

6) 0,4. 3,8;

Г) 3,5 . 6,4;

е) 0,8 - 7,5.

291

Одно из трёх равенств неверно. Найдите его.

1) 32,7. 0,3 =9,81.
292

2) 3,27. 0,03 = 0,0981.

3) 3,27. 0,3 = 9,81.

Известно, что 52.47 = 2444. Используя этот результат,

найдите произведение:
а) 5,2. 4,7;
6) 0,52. 4,7;

в) 52.4,7;

г) 0,52 . 0,47.

Действия с десятичными дробями 183`
Вычислите:

294

а) 85,3. 4,1;
6) 6,36 . 2,5;

г) 1,56. 0,2;
д) 2,06. 3,05;

Ж) 10,3 .1,01;
3) 5,08 . 2,05;

к) 103,15. 0,001;
л) 5,56 . 0,01;

в) 27,2.0,06;

е) 1,04. 8,02;

и) 2,35. 0,14;

м) 1,23. 0,02.

Найдите значение степени:

а) 0,6?;

6) 0,32:

в) 1,12;

г} 0,5%

д) 0,23;

е) 0,53.

а) Найдите число, квадрат которого равен: 0,64; 0,01; 0,0009.

6) Найдите число, куб которого равен: 0,064; 0,008; 0,125.
296

Используя таблицу квадратов двузначных чисел, вычислите:

а) 1,8?; 1,32; 1,67;
297

6) 0,112; 0,172; 0,142;

в) 0,0122: 0,0152; 0,0192.

Найдите произведение чисел:

а) 3,55 и 6;
6) 4,77 и 3;

г) 6. Ли 23;
д) 3,02 и 15;

ж) 0,25 и 4;
3) 02 и5;

в) 0,235 и 4:

е) 0,75 и 44:

и) 0,125 и 8.

298 № ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ В Скорость звука в воздухе 0,33 км/с. На каком расстоянии от вас происходит гроза, если вы увидели вспышку молнии, а раскат грома услышали через 5 с? через 10 с? через 24 с?
Велосипедист ехал со скоростью 12,5 км/ч. Какой путь он проехал за 2 ч?
за 0,5 ч? за 1,5 ч? за 2,5 ч?

а) Группа туристов идёт от лагеря к станции, расстояние между которыми 3,5 км, со скоростью 4,7 км/ч. Сколько километров осталось пройти
туристам, если они находятся в пути 0,5 ч?
6) Игорь идёт из дома на стадион со скоростью 5,5 км/ч. Через 0,2 ч после выхода из дома ему осталось пройти 0,4 км. Чему равно расстояние
от дома до стадиона?

301

№ ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ № Коробка конфет весит0,6 кг, а пачка печенья — 0,25 кг. В бандероль
можно упаковать не более2 кг.
1) Можно ли отправить

в одной

бандероли 3 коробки конфет? 4 коробки конфет? 8 пачек печенья?
4 пачки печеньяи 2 коробки конфет?

2) Составьте другие наборы из
конфет и печенья, которые можно упаковать в одну бандероль.

302

Обратите десятичную дробь в обыкновенную и выполните умножение.
Представьте ответ, если возможно, в виде десятичной дроби:

2 о
а) З`

в) 1.01:
3
о

д) 3 3.04:
я вы

6) 0,12. 5!

г) 15. о,

е) 21. 7:

84

Глава 4 ____

303

Найдите значение выражения:

а) 0,4.2,55 - 1,6;
6) (1,34 + 0,9) . 5,4;
в) 40. (7,85 -— 3,9);
304

г) 17- 3,44 . 3,5;
д) 2,15. (3,9+ 0,18) .5;
е) 20,3 — 5,7. (2,4+ 0,43).

Вычислите:

а) 2-21;
в) 2.0,8?;
ду 25" 0,58
6) 0,9- 0,9°;
г) (2.0,8)?;
е) (2,5- 0,5)?.
305 М ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ № Музыканты, давшие благотворительный
концерт, передали городу 4,5 млнр.
1) На строительство спортивных комплексов было выделено 0,7 этой сум-

мы. Сколько денег было выделено на строительство?
2) На закупку лекарств для больниц было потрачено 0,2 этой суммы.
Сколько было потрачено на лекарства?

3) Оставшаяся сумма денег была передана краеведческому музею для его
реконструкции. Сколько денег было передано музею?
306

а) От ленты длиной 15 м отрезали 0,3 её длины. Сколько метров ленты
осталось?
6) Уроки и перемены длятся 6ч. На уроки уходит 0,75 этого времени.
Сколько времени приходится на все перемены?

307

308
309

а) Дорога от станции до посёлка проходит по шоссе, просёлку и лесу. Дорога по шоссе составляет 0,4 всего пути, а по просёлку — 0,5 всего пути.
Какая часть всего пути проходит по лесу? Сколько километров надо идти
лесом, если весь путь от станции до посёлка равен 3,5 км?
6) При ремонте участка шоссе длиной 20 км в первый день отремонтировали 0,35 всего участка, во второй день — 0,4 всего участка, остальное — в третий день. Сколько километров ремонтировали каждый день?

Выполните действия:

а) 0,14.0,35 . 2,2;

в) 44.2,25 .10,2;

д) 32.0,03.1,/1. 0,005;

6) 0,8. 0,375 .1,93;

г) 4.0,15 .3,6.0,001;

е) 1,6.0,375 0,05 .3,3.

и РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ =

1) Разберите, как выполнено умножение числа 48 на 0,5 и на 0,25:

48. 05 = 48.5 =48:2=24; 48. 0,25 = 48.1 = 48:4 = 12.
Вывидите, что умножение свелось к делению на 2 и на 4 соответственно.
2) Вычислите устно:

а) 116 . 0,5;
6) 84.0,25;

в) 780. 0,1;
г) 1008 0,25.

310

Найдите значение выражения:
а)
6)
в)
г)

2,02. 0,45 + 5,0505 . 2+ 391. 0,01;
(6- 1,96). (10,2 - 5,7) + (6,8 + 2,6) . (0,37 + 0,03);
(1- 0,34). (2- 0,75) 1,05 (4,882 + 3,018);
(8—5.0,25) - (4,7+ 5,6. 0,125) . 0/1.

311

Турист шёл пешком полтора часа. Первые полчаса он шёл со скоростью
5,4 км/ч, затем 48 мин — со скоростью 4,5 км/ч, а оставшееся время — со
скоростью 5 км/ч. Какое расстояние прошёл турист за эти полтора часа?

312

На дорогу от дома до стадиона Коля тратит 0,8 ч. На метро он едет
0,5 всего времени, 0,75 оставшегося времени он едет на троллейбусе,
а остальное время идёт пешком. Сколько минут Коля идёт пешком?

313

Сторона квадрата равна 0,4 дм. Найдите сторону квадрата, площадь ко-

торого составляет 0,25 площади данного квадрата. Выразите ответ в сантиметрах.
| РАССУЖДАЕМ (314—315) №

31а

315

316

Вычислите рациональным способом:
а) 1,5.2,2.2;
в) 2.3,8 0,5;
6) 6,54.0,25.4;
г) 2,5.0,061. 4;

д) 13,7.0,2.5;
е) 0,25.0,2.4.5.

Вычислите, используя распределительное свойство умножения относительно сложения:
а) 3,4.2,6+1,3.2,6+ 5,3 . 0,7 + 5,3 .1,9;
6) 3,6 - 3,8 + 3,6 - 1,6 2,7. 4,6 + 0,9. 4,6;
в) 1,7-2,3 -— 1,7 .1,5+ 0,8 -2,2- 0,8 . 0,5;
Г) 2,5.3,5- 1,6 .2,5 + 1,9.0,7+ 0,8 1,9.
Решите задачу, составив выражение, соответствующее условию:

а) Орехи расфасовали в пакеты по 0,7 кг: грецкие —в 20 пакетов, арахис —в 15 пакетов, миндаль — в 10 пакетов. Сколько всего килограммов

орехов расфасовали в пакеты? Выразите ответ в килограммах и граммах.
6) В санаторий привезли по 12 ящиков помидоров, огурцов и лука: помидоров в каждом ящике по 7,5 кг, огурцов — по 12,5 кг, а лука — по 5,5 кг.

Сколько всего килограммов овощей привезли в санаторий?

317

Выразите время в часах и, если возможно, запишите ответ в виде десятичной дроби:
а) 2ч 10 мин;

318

6) Зч 45 мин;

м ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

в) 1ч 20 мин;

г) 4ч 48 мин.

Верно ли, что:

а) 100 г составляют 2% от 5 кг;

6) 10 р. составляют более 1% от 1000 р.:
в) 19 человек составляют менее 2% от 1000 человек?

'86Глава4_
319

И ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ й На плане изобра-

-.
жены две дороги, по которым можно пройти
из
дома в школу: мимо стадиона или мимо детского сада (рис. 4.4). Выполните необходимые
измерения, выразите длины в сантиметрах и
определите, какой путь короче.

Дом

——

Детский
сад

Школа

Стадион

320 № ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ № Выполните сле№ Рис.4.4
дующее построение:
® проведите две пересекающиеся прямые;
® начертите окружность с центром в точке пересечения прямых;
® обозначьте точки пересечения прямых и окружности;
® соедините отрезками каждую пару соседних точек.
Как надо было провести пару прямых, чтобы получился:
а) квадрат; 6) прямоугольник произвольного вида?

4.4 Деление десятичных дробей
Вы видели, что результат сложения, вычитания и умножения
' десятичных дробей выражается десятичной дробью. Иначе обстоит
| дело с делением.
Возьмём, например, частные 0,28: 1,4 и 1,2:0,9 и вычислим
| каждое из них, перейдя к обыкновенным дробям:

|

|
|

0,28 : 1,4 =

28

100

:

14

10

28.10

= = = 0,2;
100.14

200-29 _ №04
10

10

10.9

3

В первом случае мы получили десятичную дробь 0,2, а во вто| ром — обыкновенную дробь -. которая в десятичную не обращается.
Таким образом, частное двух десятичных дробей не всегда можно
выразить десятичной дробью.
Если частное выражается десятичной дробью,
его можно вычислить, используя деление уголком,
так же как при делении натуральных чисел. Рассмотрим сначала случай деления десятичной дроби
на натуральное число. Этот случай можно считать
главным, так как все остальные сводятся к нему.
Пример 1. Найдём частное 7,47 :3.
Разберите, как выполнено деление. Сначала
разделили на 8 целую часть дроби 7,47, после это-

’ го в частном поставили запятую. Остаток от деления раздробили в десятые и разделили 14 десятых

Действияс десятичными дробями
` на 3. Новый остаток раздробили в сотые и разделили 27 сотыхна3.
| Нуль в остатке означает, что деление закончено. Таким образом,
| 71,47 :3=2,49.
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется
так же, как и деление натуральных чисел. Сразу после того,
как закончено деление целой части, в частном ставят запятую.
Пример 2. Найдём частное 1,28 : 4.
В этом случае целая часть делимого меньше делителя. Поэтому в частном записали
0 целых, после чего поставили запятую и продолжили деление. Получили 1,28 :4=0,32.

Пример 3. Найдём частное 93,2 : 16.
Посмотрите, как выполнено деление. Когда все цифры делимого 93,2 были снесены,

| нуль в остатке не получился. Однако мызнаем, что десятичная дробь не изменится, если
к ней приписать справа нули. Поэтому, чтобы продолжить деление, мы последовательно
приписывали к делимому нули и вычисляли
следующие цифрычастного.
Получили, что 93,2 : 16 =5,825.

Заметим, что в подобных случаях нуль
можно приписывать не к делимому, а непосредственно к остатку.
Пример 4. Оксана собрала морковь с
трёх одинаковых грядок: с одной 2,5 кг, с

другой 2,8 кг, с третьей 1,9 кг. Чтобы определить среднюю урожайность с грядки, она
вычислила массу моркови и результат разделилана три:

а = = = 2,4 (кг.

Число 2,4 — это среднее арифметическое чисел 2,5; 2,8; 1,9.
Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.

п]

На примере вычисления частного чисел 11,9 и 5 расскажите, как можно разделить уголком десятичную дробь на натуральное число.

]

Объясните, как найти среднее арифметическое чисел 1,8 и 3,7.

Деление на десятичную дробь легко свести к делению на натуральное число. Возьмём, например, частное 0,126: 0,45. Его значе-

ние не изменится, если делимое и делитель умножить на 100. Поэтому 0,126: 0,45 =12,6 : 45.

88 Глава 4
Обратите внимание: чтобы из первого частного получить второе,
достаточно в делимом и делителе перенести запятую на два знака
| вправо. Это и понятно: ведь умножение десятичной дроби на едини| цу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько
| же цифр вправо.

Чтобыразделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно:
|

® в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр

|

вправо, сколько их содержится после запятой в делителе;
э выполнить деление на натуральное число.
7]

Объясните, как делят десятичную дробь на десятичную. Вычислите:
а) 30,2.:0,4; 6) 3.5: 0,07.
еде

ИИИЕ

Выполните деление (используйте в качестве образца пример1):

322

323

а) 192,6: 9;

в) 17,22 :2;

д) 336,6 : 11;

6) 477,4 14;

г) 30,25 :5;

е) 8,176 : 4;

3). 17,1547.

Вычислите (используйте в качестве образца пример 2):
а) 4,41: 7;

в) 4,88: 8;

д) 10,71: 21;

ж) 0,121: 11;

6) 3,28 9:

г) 4,65 : 15:

е) 5,12: 32,

8). ОБЬ.

Найдите частное (в качестве образца воспользуйтесь примером 3):
а) 5,87:2;
в) 3,42 :4;
д) 13,8 :15;
Ж®): 14.719
6) 10,63 :2;

324

ж) 28,29: 23:

Г) 10,4:5:

е) 24,4: 8;

3) 44,5 :4.

Обратите обыкновенную дробь в десятичную двумя способами:
1) приведя дробь к знаменателю, равному степени 10;
2) разделив уголком числитель дроби на знаменатель:

а) 2;
0 В;
вл;8 п.
40
25
20
325

Найдите среднее арифметическое двух величин:
а) 17ли 19л; 6) 175ги 168 г; в) 9,7 км и 8,9 км.

326

Отметьте на координатной прямой точки А(6), В(11) и точку С, координата которой есть среднее арифметическое координат точек
Аи В. Найдите длины отрезков АВ, АС и СВ. Сделайте вывод о расположении точек А, Ви С.

327

а) Собака весит 20,2 кг. Щенок в 4 раза легче, а кошка в 10 раз легче
собаки. Сколько весит щенок и сколько кошка?
6) В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором, а во втором
в 2 раза больше, чем в третьем. Сколько молока в каждом бидоне, если
в первом 4,5 л молока? Сколько всего литров молока?

__ Действия с десятичными дробями 189`
328 № ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ № Преобразуйте частное так, чтобы делитель
был целым числом, и выполните деление:
а) 1,74: 0,6;

в) 17,28 7,2;

д) 0,343 0,7;

6) 512 0,16;

г) 12,25: 0,005;

е) 81,2 : 0,35;

ж) 3,36 :1,5;
3) 1050: 4,2.

329 М ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ № Вычислите:
а) 3,534 0,5;

в) 1,23: 0,6;

д) 14,23 :0/1;

6) 0,945 : 1,8;

Г) 28,42 : 1,4;

е) 11,1: 0,04;

ж) 0,04: 2,5;
‚

3) 0,24: 0,001.

330 № ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ М а) Ваш шаг равен 0,5 м. Сколько шагов вам
надо сделать, чтобы пройти 6 м?
6) Каждая таблетка содержит 0,25 мг лекарства. Сколько таблеток в день
вы должны принять, если вам назначено 2 мг лекарства в сутки?

331

а) На упаковке некоторого товара указаны его стоимость и масса. Сколько стоит1 кг этого товара, если 1,5 кг стоят 54 р.? А если 0,4 кг стоят 25 р.?
6) Цена некоторого товара 98 р. за 1кг. Сколько купили этого товара,
если за покупку заплатили 34,3 р.? 441 р.?

332

а) Сколько кусков лентыпо 2,5 м получится из мотка длиной 23 м?
6) В бидоне содержится 4,6 л молока. Сколько бутылок вместимостью
0,5 л потребуется, чтобы разлить в них всё молоко из бидона?

333

Найдите неизвестное число: а) х.4=2,4;

334

а) 6,144 : 12 + 1,64;
6) 0,07- 0,1001 : 1,43;

в) (62,1- 61,44) : 1,2;
Г) 48: (73,29 + 46,71).

335

а) 40,28 — 22,5 : 12,5 + 1,7;
6) (4,8 0,42 8,5) : 0,5;

в) 30- 19,56 (4,2 + 3,95);
г) (2,6 1,04) 0,24 . 0,8.

336

Чтобы сшить кухонные полотенца, хозяйка отрезала от куска полотна дли-

6) 4,8: х=б;

в) х: 25 =1,2.

Найдите значение выражения (334—335).

ной 5,5 м несколько кусков по 0,65 м. У неё остался кусок длиной 0,95 м.
Сколько полотенец сшила хозяйка?
337

а) В одном пакете1,5 кг кофе, а в другом 0,9 кг. Сколько кофе надо пере-

сыпать из одного пакета в другой, чтобы кофе в них оказалось поровну?
Сколько кофе будет после этого в каждом пакете?
6) В двух пакетах 1,3 кг семян. Если из одного пакета переложить в другой 0,15 кг семян, то семян в пакетах станет поровну. Сколько семян было
в каждом пакете первоначально?
а) Масса двух кусков сыра 1,4 кг. Один из них в 3 раза тяжелее другого.

Найдите массу большего куска.
6) В двух пакетах 3,75 кг конфет. В одном пакете конфетв 2 раза меньше,
чем в другом. Сколько конфет в большем пакете?

Глава 4 ___

Известно, что 17:8=2,125. Используя этот результат,
найдите частное: 1,7: 0,8; 0,17 : 8; 17: 0,08.
Найдите значение выражения (340—341).

340 а) 3,5 (8,68 +1,136) —135,531 : 33,3;
6) (8,94 -+ 9,39) (7,57 1,4. 2,05);

в) 46,08 : (1,5 —1,116) . 0,04 + 44,8;
г) 8,364 : (8 - 3,92) — 2,05 . 0,4.

зал

а)
6)
в)
Г)

342

Для одинаковых подарков к детскому празднику взяли 4,2 кг шоколадных
конфет, а карамели на 2,4 кг больше. Чему равна масса конфет в подарке, если в каждом из них 0,175 кг шоколадных конфет?

343

Туристическая тропа от станции до лагеря сначала поднимается в гору,
а потом спускается с горы. Расстояние в гору в 4 раза короче, чем с горы,
а весь путь составляет7,5 км. Туристы преодолели путь в гору за 0,6ч,
а остальной путь до лагеря за 1,5 ч. Определите скорость туристов на
подъёме и на спуске.

344

На покраску двух стен дома израсходовали 7,26 кг краски. Сколько килограммов краски было израсходовано на каждую стену, если площадь
одной из них на 6 м? больше, чем площадь другой, а на каждый ква-

3,5:7+ 2,8 :0,4- 0,74 .5;
0,57 :1,9.4,4- 0,68 : 1,7: 0,4;
10,02.5- (44 (34,5 + 7,87)) : 0,05;
3,36 3,2+ (4- (7- 6,3) . 4,2) - 1/1.

дратный метр требуется 0,22 кг краски?

345

Огород имеет форму прямоугольника, длина которого 8 м, ширина 2,5 м.
На 0,4 всей площади огорода посажена морковь, на остальной — лук
и чеснок, причём луком засажена площадь, в 4 раза большая, чем чесноком. Какая площадь засажена морковью, луком и чесноком в отдельности?

346

ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ М Представьте, что вы помогаете родителям
делать ремонт в ванной комнате, которая имеет длину 3,5 м и ширину 2,5 м. Стены высотой 2,5 м требуется обложить плитками, исключая

окно и дверь, которые занимают 0,1 площади стен. Сколько требуется
плиток квадратной формысо стороной 25 см?

347

Столб, врытый в землю, возвышается над землёй на 0,8 своей длины.

Чему равна длина столба, если его надземная часть1,6 м?
348

Под посадку картофеля отвели 0,6 всего участка земли, под посадку моркови — 0,3 этого участка, а на оставшихся 2 сотках (200 м?) посадили лук.

Определите площадь всего участка земли. Выразите её в гектарах.
349

Когда турист прошёл 0,35 всего пути, то до середины пути ему осталось

пройти 6 км. Найдите длину всего пути.

_Действия с десятичными дробями 19

350

Какие цифры можно подставить вместо звёздочки, чтобы полученное

неравенство было верным:
а) 0,566 < 0,5*6;
6) 2*,03 < 23,03;
351

Вычислите, обратив десятичную дробь в обыкновенную:

а) 0,75 + 1+5;
28
7
352

в) 0,*7 < 0,17?

68+1-02.
15
3

Какие натуральные числа заключены между данными десятичными дробями? Запишите ответ в виде цепочки неравенств:
а) 2,75 и 4,05;

6) 1,08 и 5,06;

в) 12,001 и 16,9.

Образец. 11,3 городского бюджета?

Подсказка. Замените приближённо обыкновенную дробь десятичной
дробью с тремя знаками после запятой и округлите результат до сотых.
548

Определите,

какой

примерно

процент

площади

фигуры

закрашен

(рис. 6.11, а-е). Для каждого рисунка выберите подходящий ответ.

а)

6)
А. 20%
Б. 27%
В. 48%

г)

в)
А. 40%
Б. 60%
В. 80%

А. 40%
Б. 60%
В. 90%

д)
А. 25%
Б. 33%
В. 66%

А. 40%
Б. 50%
В. 70%

А. 55%
Б. 25%
В. 45%

Ш Рис.6.11
549

РАССУЖДАЕМ

Не выполняя вычислений, определите, больше или

меньше 50 % получится, если выразить в процентах следующую дробь:

2.
а) 5;

6) 4.
5;

в) 1
5

г) р
3.

уд);
В

е) 7
>.

_ Отношения и проценты $

550 а)

Смешали 160 г какао и 40 г сахара. Сколько процентов всей смеси составляет какао? Сколько процентов всей смеси составляет сахар?
6) Бронза — это сплав железа с оловом и цинком. Брусок бронзынеко-

торой марки содержит1,78 кг железа, 0,1 кг олова, 0,12 кг цинка. Сколько

процентов всего сплава составляет каждое вещество?

551

а) В сентябре акции компании продавали по 250 р., а в октябре их цена
понизилась, и акции стали продаваться по 200 р. На сколько процентов

снизилась цена акций?

6) В 2005 г. дом был куплен за 2,4 млнр., ав 2007г. он был продан за
З млн р. На сколько процентов выросла цена дома?

552 || РЕШАЕМ ЗАДАЧУ ПО ПЛАНУ
а) В школьной библиотеке имеются книги и журналы. Отношение числа книг к числу журналов равно 4:1. Сколько процентов библиотечного
фонда составляют книги?

1) Какую часть библиотечного фонда составляют книги?
2) Представьте полученную дробь десятичной дробью и выразите её
в процентах.
Решите следующую задачу, воспользовавшись планом, представленным
в пункте «а».

6) Толя собирает марки на две темы: «Авиация» и «Автомобили». В его

коллекции марки по этим темам распределеныв отношении 3 : 7. Сколько
процентов коллекции составляют марки по каждой теме?
Разберите пример 3 из объяснительного текста и решите задачу:
а) На первом заводе из 1000 изделий 29 оказались бракованными, а на
втором из 2000 изделий — 42. Найдите примерный процент бракана каж-

дом заводе и определите, какой из двух заводов выпустил продукцию
лучшего качества.
6) В городеА из 21 тыс. избирателей на выборы пришли 13 тыс., а в городе из 19 тыс. избирателей в выборах участвовали 11 тыс. В каком городе

избиратели активнее?
554 | ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ
Представьте,
что вы готовите сообщение о городах России. Все города по численности населения
подразделяются на пять типов: малые,
средние, крупные, крупнейшие и городамиллионеры.
На диаграмме (рис. 6.12) показано количество городов каждого из этих типов.

Глава 6_
Распределение городов
по численности населения
23

11

Малыегорода,

1) Используя данные диа-

до 50 тыс. чел.

граммы,

Средниегорода,

всего

от 50 до 100 тыс. чел.

в России.

определите,

городов

сколько

насчитывается

Крупныегорода,
от 100 до 500 тыс. чел.
Крупнейшиегорода,

Е

до 1 млнчел.
Гораха-нъуосабнаннь
от 1 млнчел.

2) Сколько

процентов

от

общего количества городов составляют города каждого типа?
Ответ округлите до единиц.

М Рис. 6.12

555

а) Для оклейки стен комнаты требуется 80 м обоев. Сколько рулонов обоев надо купить, если длина каждого рулона 10,5 м?
6) Доску, длина которой 6,2 м, надо распилить на куски длиной 0,8 м.
Сколько таких кусков получится?

556

й АНАЛИЗИРУЕМ № Ребро одного куба равно 10 см, а другого — 5 см

(рис. 6.13). Найдите отношение:
1) ребра малого куба к ребру большого куба;
2) площади грани малого куба к площади грани большого куба;
3) объёма малого куба к объёму большого куба.
Есть ли среди этих отношений равные?
557

Чертёж дома выполнен в масштабе 1: 24. Чему равна высота стен дома на

чертеже, если в действительности она равна 6 м? Чему равна длина фасада
этого дома, если на чертеже она изображается отрезком, равным 35 см?
55а

Скопируйте в тетрадь изображения цилиндра, конуса, шара (рис. 6.14).
Закрасьте основания цилиндра и конуса, начертите их высоты. Отметьте
центр шара, начертите его радиус и диаметр.

М Рис.6.13

М Рис. 6.14

Отношения и проценты 143

Чему вы научились
Обязательные умения
Знаю, что показывает отношение чисел и величин; умею находить отношение
чисел и величин.

1.

Отрезок АВ разделён точкой С на две части так, что АС=1,2 дм, ВС= 6см.
АС

ВС

=

Что показывают отношения ВС, ДВ? Найдите эти отношения.

2.

В коробке находятся простые и цветные карандаши в отношении 5: 8.
Какую часть цветных карандашей составляют простые? Во сколько раз
цветных карандашей больше, чем простых?

Знаю, что такое масштаб; умею находить длиныи расстояния, учитывая масштаб изображения.
3.

Масштаб карты1: 200 000. Расстояние между двумя пунктами на этой
карте равно 8,5 см. Чему равно расстояние между этими пунктами на
местности?

Умею решать задачи на деление в данном отношении.

4.

Занятия в школе длятся 5 ч. Время на уроки и переменыраспределяется
в отношении 9 : 1. Сколько времени длятся все уроки и сколько все перемены?

Умею выражать проценты десятичными дробями и наоборот.

5.
6.

Выразите десятичной дробью:
а) 39%;
6) 50%;
в) 6%;

г) 230%.

Выразите в процентах: 0,4 жителей страны вал избирателей округа.

’ 20

Умею решать основные задачи на проценты.

7.
8.
9.

Найдите:

а) 3% от 200 р.;

6) 120% от 200 р.

Магазин снизил цены на компьютеры на 24%. Сколько стал стоить
компьютер, который до снижения цен стоил 18 000 р.?
Посадили 50 семян помидоров. Проросло 45 семян. Определите, какая

часть семян проросла, и выразите её в процентах.
Могу выполнить ещё и другие задания (укажите несколько номеров).

Симметрия*
во «симметрия»греческого› происхождения. Оно, как и слово «гармония», означает.«соразмерноств»,«наличие определённого порядка, закономерности в“расположении частей». "Взгляните на снежинку, бабочку, птицу,
отражающуюся в глади водоёма, — это лишь некоторые примеры проявления симметрии в природе.

.

С давних времён люди использовали симметрию в архитектуре, предметах
быта, орнаментах.

Воскресенские
ворота,
Москва, ХУИв.

Розетка
католического
собора

Чувашский орнамент
поясной подвески

В математике рассматриваются различные виды симметрии, вы же познакомитесь с осевой, центральной, а также с зеркальной симметрией.

т.1 осевая симметрия
Возьмите лист бумаги. Проведите на нём какую-нибудь прямую
| и перегните лист по этой прямой. Проткните сложенный лист иглой

(рис. Т.1, а). Развернув лист, выувидите две точки, расположенныепо
_|| разные стороныот этой прямой (рис. 7.1, 0). Говорят, что эти точки

Симметрия 145
' симметричны относительно
прямой — линии сгиба.

а)

|

б)

ОР

в)
.

о

Проведите через полученные точки прямую и обозначь| те её буквой [. С помощью
‘ инструментов вы можете убе-

| диться, что прямая[ перпенди| кулярна линии сгиба, а точки
| находятся от неё на одинаковом расстоянии (рис. 17.1, в).
Это важное свойство симме-

| тричных точек. С его помо-

1 Рис 71
*

а)

1

6)

М

М

°

°

1

в)

|

М

1

|

К

щью можно строить точки,
симметричные
относительно
некоторой прямой, и без пере-

гибания листа бумаги.

1 Рис.7.2

Проведите описанный эксперимент. Сделайте необходимые обозначения и,
используя их, запишите свойства симметричных точек.
Пусть дана прямая [ и точка М (рис. 7.2, а). Построим точку,
| симметричную точке М относительно прямой [. Для этого:
® проведём через точку М прямую, перпендикулярную [

(рис. 7.2, 6);
® отметим на ней точку К, расположенную на таком же расстоянии от прямой [, что и точка М (рис. 7.2, в).

Точка К симметрична точке М относительно прямой[.
Рассмотрите рисунок 7.3: четырёхугольники АВС и АВ.СО,
' симметричны

относительно

прямой

Е.

Симметричные

вершины

обозначены одной и той же буквой, но с добавлением индекса —
цифры, поставленной внизу. Обратите внимание: называя четырёх‚ угольник АВСО, вы «обходите» его по часовой стрелке, а симметричный ему четырёхугольник АВС), — против часовой стрелки.

Это означает, что осевая симметрия меняет направление обхода на
противоположное.
Если перегнуть рисунок по прямой Ё, то

четырёхугольники АВС, и АВСР совпадут. Иными словами, эти четырёхугольники
равны.

Если фигуры симметричны,то они равны.
По рисунку 7.3 назовите вершину, симметричную
вершине А, вершине С; сторону, симметричную
стороне ВС, стороне ОС; угол, симметричный углу
АВС, углу СРА.
Как построить многоугольник, симметричный
данному относительно некоторой прямой?

Ш Рис.7.3

7146 Глава 7
В пространстве аналогом осевой симметрии является симметрия относительно плоскости — зеркальная симметрия. Отражение в воде — пример зеркальной симметрии
в природе. С этой симметрией мы постоянно
встречаемся, глядя на себя в зеркало.
Зеркальная симметрия, как и осевая, ме| няет ориентацию предмета. Если вы, стоя
перед зеркалом, закружитесь по часовой
стрелке, ваше отражение будет кружиться
против часовой стрелки.
Заметьте ещё один интересный факт: всё

то, что вы делаете правой рукой, ваше отражение делает левой, и наоборот.

Церковь Покрова

на Нерли (ХИв.)

559

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ М На листе бумаги проведите прямую [, отметьте три точки и обозначьте их буквами А, Ви С. Постройте точки,
симметричные этим точкам относительно прямой 1. Обозначьте их соответствующими буквами с индексом Перегнув лист по прямой 1, проверьте, верно ли выполнено построение.

560

Мысленно перегните рисунок по проведённой прямой (рис. 7.4) и выясните, симметричны ли относительно этой прямой изображённые на нём
фигуры.

561

МРАБОТАЕМ с символами № Скопируйте рисунок 7.5 и постройте точки
А,, В и С, симметричные точкам А, В и С относительно прямой К.

562

Скопируйте рисунок 7.6 в тетрадь и постройте фигуры, симметричные

данным относительно прямой К. В каждом четырёхугольнике проведите
диагонали и постройте точку, симметричную точке пересечения диагоналей четырёхугольника.

Ш Рис.7.4

Симметрия
Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно
прямой т (рис. 7.7,а, 6).
еее

1

рот

Я Рис.7.6

564

На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте
её буквой т.
а) Начертите отрезок, не пересекающий прямую т, и постройте отрезок,
симметричный ему относительно прямой т.
|
6) Начертите четырёхугольник, одна из сторон которого лежит на прямой 17, и постройте четырёхугольник, симметричный ему относительно
прямой т.

565

Начертите окружность и постройте окружность, симметричную ей относительно прямой, которая:
а) не пересекает окружность;
6) пересекает окружность, но не проходитчерез её центр;
в) проходит через центр окружности;
г) является касательной к окружности.

Прямые Ки [:
а) параллельны;
6) пересекаются.
Постройте прямую т, симметричную прямой К относительно прямой 1.
567

Как выглядит зеркальное отражение буквыУ (рис. 7.8)? Проверьте себя,
используя зеркало.
Зеркало

М Рис.7.8

У дА\

Глава 7

Скопируйте рисунок 7.9 и постройте прямую [, относительно которой точки Аи В симметричны.

569

1) Постройте прямую, относительно которой прямая 77 симметрична прямой п (рис.7.10). Сколько таких прямых можно
построить?

2) Верно ли утверждение: «Для любых двух прямых а и Б существует
прямая с, относительно которой прямые а и Ь симметричны»? Обоснуйте
свой ответ.

а)

тЫ

Г! Рис. 7.9

570

Квадрат разделён на 16 маленьких квадратов, один
из которых окрашен (рис. 7.11). Будем считать, что краска, которой он
окрашен, не засыхает. Большой квадрат перегибается по какой-либо из
проведённых линий, после чего окрашенная часть увеличивается. Затем
квадрат приводится в исходное положение. Какое число перегибаний
нужно сделать, чтобы окрасить весь квадрат?

571

|| ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ я 1) Возьмите два прямоугольных зеркальца и
какой-нибудь предмет, например карандаш. Поставьте зеркала под углом
120° друг к другу и положите перед ними карандаш (рис. 7.12). Сколько
карандашей вы видите? Повторите опыт, сделав угол между зеркалами
равным 90°, 60°, 45°. Сколько карандашей вывидите в каждом случае?

2) Конструкция из двух зеркал, расположенных под некоторым углом друг
к другу, используется в детской игрушке «Калейдоскоп» — «волшебной»
трубе, образующей из осколков цветных стёкол бесконечное множество
узоров. Возьмите, например, несколько разноцветных пуговиц, фишек
или других мелких предметов и расположите их перед зеркалами. У вас
получится узор.

Г Рис.7.11

Рис. 7.12

Симметрия 149

572

Выполните действия: (8 — 7,6) . (0,33 + 0,7).

573

Турист прошёл 0,9км за 0,2ч, 7км за 2ч 1,7 км за 0,5ч. На каком
участке пути скорость туриста была самой маленькой?

574

В магазин привезли Зт картофеля и 900 кг помидоров. В первый день
продали 30% всего картофеля и 45% всех помидоров. Каких овощей

было продано больше и во сколько раз?
575

За тренировку спортсмен сделал 80 выстрелов по мишени, из них 7 раз

промахнулся. Какой у этого спортсмена процент попадания по мишени?
Ответ округлите до единиц.

7.2 Ось симметрии фигуры
Говорят, что фигура симметрична относительно
| некоторой прямой, если при перегибании фигуры по
| этой прямой две части, на которые прямая разбивает
| фигуру, совпадают. Получить симметричную фигуру
очень просто.
Возьмите лист бумаги и сложите его пополам. На-

| рисуйте на нём какую-нибудь линию с концами на
| сгибе листа, как, например, на рисунке 7.13, а, раз| режьте лист по этой линии (рис. 7.13, 6) и разверните

| вырезанную фигуру (рис. 7.13, в). Фигура, которую вы
получили, симметрична. Линия сгиба — это ось симме| трии фигуры.

Многие известные вам фигуры симметричны: например, у прямоугольника две оси симметрии.
Есть ось симметрии и у равнобедренного треугольника. Перегните его так, чтобы совпали вершины при
основании, линия сгиба и будет его осью симметрии
(рис. 7.14).

Ось

симметрии

' угольник

на

две

разбивает

равные

равнобедренный

части.

Она

делит

тре-

пополам

угол, противолежащий основанию, проходит через се' редину основания и перпендикулярна ему.

2 Рис.7.13

В

Назовите равные элементы треугольников АВО и ВОС, определите их вид(см. рис. 7.14).

7]

Начертите многоугольник, у которого нет осей симметрии.
Сколько осей симметрии может быть у фигуры?

Начнём искать ответ на этот вопрос с многоуголь-

ников.

6

Легко догадаться, что «самый симметричный тре-

угольник» — это равносторонний треугольник, у него

2: Рис.7.14

150' Глава_7_

Ш Рис.7.15
|

|3 оси симметрии (рис. 7.15, а), а «самый симметричный четырёх| угольник» — квадрат, у него 4 оси симметрии (рис. 7.15, 6).
|
Вы, наверное, заметили, что обе эти фигуры — многоугольники
| с равными сторонами и равными углами. Существует и пятиуголь| ник с равными сторонами и равными углами(рис. 7.15, в), и шестиугольник (рис. 7.15,г) ит. д.

|

Многоугольник, у которого равнывсе стороныи
все углы, называют правильным.

Таким образом, равносторонний треугольник —
это правильный треугольник, а квадрат — это пра' вильный четырёхугольник.

№ Рис.7.16

Понятно, что «самым симметричным» среди
всех пятиугольников является правильный пяти| угольник, среди всех шестиугольников — правильный шестиугольник и т. д. Но «самые симметричные» фигуры на плоскости — это окружность,
а также ограниченный ею круг. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью
„ симметрии (рис. 7.16).

№ Рис.7.17

Назовите многоугольник, у которого одна ось симметрии,
две оси симметрии.

1

Сколько осей симметрии у равностороннего треугольни-

-]

ка? у квадрата?
|
Какие многоугольники называют правильными?

В пространстве «самая симметричная» фигура —
| шар: он симметричен относительно любой пло| скости, рассекающей его’ по большой окружности
(рис. 7.17). Но если на плоскости только круг обладает таким интересным свойством, то в пространстве есть и другие тела, имеющие бесконечно много
| плоскостей симметрии. Из уже известных вам тел
_| это цилиндр и конус (рис. 7.18).

М Рис.7.18

Симметрия 151
Симметричными могут быть и многогранники. Например, у параллелепипеда три плоскости симметрии (рис. 7.19).

М Рис.7.19

Какая фигура получится в сечении, если плоскостью симметрии рассечь:
а) шар; 6) параллелепипед; в) цилиндр; г) конус?
Несмотря на всеобщий характер симметрии окружающего нас
мира, мы редко можем встретить примеры математически безукоризненной симметрии. Например, нетрудно указать плоскость, относительно которой тело человека можно считать симметричным.
Но столь же легко указать и отклонения от полной симметрии: родинка, волосы, расчёсанные на косой пробор, или какая-нибудь деталь в одежде,
нарушающая симметрию. Эти небольшие

отклонения от симметрии делают облик
| человека асимметричным, т.е. несимме| тричным.
Симметрия и асимметрия тесно соседствуют друг с другом. Например, в начале шахматной партии расположение фигур
одного цвета асимметрично из-за короля и
королевы, в то же время расстановка чёрных фигур является зеркальным отражением расстановки белых фигур.

Расстановка
шахматных фигур

тиреЕее ИЕеебретоаР

576
‚

577

ть Же

жественной литературе, в Интернете и
фотоальбомах изображения объектов природы или предметов, созданных руками
человека,
которые обладаютосевой симметрией.

Рассмотрите рису-

нок 7.20. Верно ли, что проведённая прямая — ось симметрии многоугольника?

ЕЕ

[2
в)

г)

5 Е
№ Рис.7.20

752 Глава 7
573

Среди фигур, изображённых на рисунке 7.21, найдите симметричные.
Перерисуйте их в тетрадь и проведите оси симметрии.

Ш Рис.7.21
579

ОоооОоооооо

ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

а) Возьмите прямоугольный лист бумаги и най-

дите оси симметрии этого прямоугольника путём перегибания. Начертите
в тетради прямоугольник и проведите его оси симметрии. Является ли
диагональ осью симметрии прямоугольника?
6) У квадрата 4 оси симметрии. -Найдите их с помощью перегибания.

Начертите в тетради квадрат и проведите его оси симметрии.

580

Постройте на нелинованной бумаге два равнобедренных треугольника со
сторонами 3 см, 5 см, 5 см и со сторонами 7 см, 4 см, 4 см. В каждом треугольнике проведите ось симметрии, отметьте равные отрезки и равные
углы.

581

Начертите в тетради равносторонний треугольник и проведите все его оси
симметрии.

582

Й ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ №
Чтобы

построить

правильный

шестиугольник,
можно разделить окружность на шесть
равных частей (пройти по ней

циркулем с шагом, равным её
радиусу) и соединить последовательно все полученные точки.
1) Рассмотрите рисунок 7.22 и

выполните построение.
2) Проведите оси симметрии
построенного правильного шестиугольника.
3) Чему равны углы правильного шестиугольника?
583

Сколько осей симметрии у снежинки (см. с. 144)? Сделайте в тетради схе-

матический рисунок и покажите оси симметрии снежинки.
584

М ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ М Сколько осей симметрии у правильного треугольника? четырехугольника? пятиугольника? шестиугольника
(см. рис. 7.15)? Сколько осей симметрии у правильного девятиугольника?
десятиугольника? Нарисуйте эти фигуры от руки и проведите их оси симметрии. Сколько осей симметрии у правильного п-угольника?

Симметрия 153
А
ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО
рисунок 7.23.

Рассмотрите

Выберите утверждения, которые являются верными.
1) Прямая АВ — ось симметрии фигуры, состоящей из двух окружностей.
2) Треугольник АММ- равносторон-

ний.

Ш Рис.7.23

3) Четырёхугольник МАМВ -— квадрат.

4) Точки А и В симметричныотносительно прямой ММ.

а) Какие из букв русского алфавита
на рисунке 7.24 имеют одну ось симметрии? две оси симметрии?
6) Одно слово на рисунке7.25, а име-

ет горизонтальную ось симметрии,
а другое — вертикальную. Составьте
слово, обладающее горизонтальной
симметрией, и слово, обладающее
вертикальной симметрией. в) Прочитайте слова, отражённые в

АБВГДЕЖЗИКЛ
МНОПРСТУФХЦ
ЧШЩЬЫБЭЮЯ
| Рис.7.24

КОФЕ
5)
С

зеркале (рис. 7.25, 6). Одно из них
читается легко, а другое нет. Составьте сами два таких же слова.
587

№ ПРАКТИЧЕСКАЯ

СИТУАЦИЯ ы

Пред-

ставьте, что вы художник-реставратор. Вам необходимо восстановить
мозаичное панно, из которого вы-

|! Рис.7.25

пали отдельные кусочки (рис. 7.26).

Известно, что узор, изображённый на
панно, имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии. Скопируй-

те рисунок в тетрадь и восстановите
узор.
Начертите в тетради

несколько равнобедренных треугольников с общим основанием, равным
6 см. Где расположены вершиныэтих
треугольников?

589

ЭКСПЕРИ МЕНТИРУЕМ
лист бумаги, постройте
ренный треугольник.

Перегибая
равнобедт Рис.7.26

°

4Глава_7.
1 ИЩЕМ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ № Правильные
многоугольники обладают важным свойством: все вершиныправильного многоугольника лежат на одной окружности (рис. 7.27).
Это свойство можно использовать для по-

строения правильного многоугольника: разделить окружность на соответствующее число
равных частей (равных дуг) и соединить последовательно точки деления.
1) Рассмотрите
рисунок,
сформулируйте
алгоритм построения: а) правильного треугольника; 6) правильного четырёхугольника.
Выполните построения.
2) Выберите один из двух других изображённых на рисунке правильных многоугольников

№ рис.7.27

и постройте его.

591

И ИЩЕМ

ЗАКОНОМЕРНОСТЬ 11

1)

Возьмите

лист тонкой бумаги и перегните его дважды
так, чтобы линии сгиба были перпендикулярны друг другу. Вырежите из сложенного
листа какую-нибудь фигуру (рис. 7.28) и разверните её. Сколько у получившейся фигуры

осей симметрии?
2) Возьмите другой лист бумаги, сложите № Рис.7.28
его таким же образом, а затем перегнитетак,
чтобы совместились стороны прямого угла. Снова вырежите какую-нибудь
фигуру. Сколько у неё осей симметрии?

3) Вырежите третью фигуру, перегнув лист ещё один раз. Сколько осей
симметрии у третьей фигуры? Сколько осей симметрии будет у фигуры,
если перегнуть лист 5 раз?

И сслеДУЕМ
У параллелепипеда три плоскости симметрии (см.
рис.7.19). А сколько плоскостей симметрии у куба?
Указание. Рассмотрите дополнительно плоскости, проходящие через диагонали противоположных граней.

593

594
595

Выполните действия: (10 5,5). (0,6 + 0,44).
От провода длиной 6 м отрезали 0,25 его длины. Сколько метров провода
осталось?
Масса яблока и груши 0,625 кг. Яблоко тяжелее груши на 0,185 кг. Чему

равны масса яблока и масса груши?
596

Библиотечный фонд школыза год увеличилсяна 125 %. Сколько книг стало в школьной библиотеке, если первоначально в ней было: а) 400 книг;

6) 640 книг?

Симметрия 155

7.3 Центральная симметрия
Ещё одним видом симметрии является центральная симметрия.
Отметим на листе бумаги точки О и А (рис. 7.29, а). Будем поворачивать с помощью циркуля точку А вокруг точки О (для этого поставим ножку циркуляв точкуО). След, который оставляет точка А
при повороте, — это дуга окружности (рис. 7.29, 6). При повороте на

180° точка А перешла в диаметрально противоположную ейточкуВ.
Точки А и В называют симметричными относительно точки О.

а)

в)

9

В

и

О
А

М Рис.7.29

5

©

>

©

>

5.

>.

Обратите внимание: если точки А и В симметричныотносительно точки О, то точка О — середина отрезка АВ. На этом основан
способ построения центрально-симметричных точек.

М Рис.7.30
—

Построим точку В, симметричную точке А относительно точки О
(рис. 7.30, а). Для этого:
® проведём прямую АО (рис. 7.30, 6);
« по другую сторону от точки О отложим отрезок ОВ, равный
отрезку ОА (рис. 7.30, в).
=
Точка В симметрична точке А относительно точки О.

156 Глава 7
Из рисунка 7.31 понятно, как построить треугольник АВС, симметричный
треугольнику АВС относительно точки О:
| достаточно построить точки, симметрич-

ные его вершинам.
Вы знаете, что существуют фигуры,
которые имеют ось симметрии, а некоторые — и не одну. Но фигура может
иметь и центр симметрии (правда, толь-

С

ко один).
№ Рис.7.31

Точка является центром симметрии, если при повороте вокруг
этой точки на 180° фигура переходит сама в себя.

-]

7]

Найдите на рисунке 7.31 и назовите отрезки, равные отрезкам ОА, ОВ и ОС,
По рисунку 7.31 назовите центрально-симметричные элементы треугольников
АВС и АВС: вершину, симметричную вершине А; сторону, симметричную
стороне ВС; угол, симметричный углу АВС.

Как построить многоугольник, симметричный данному относительно некоторой точки?

Рассмотрим фигуру, изображённую на рисунке 7.32. Точка О яв| ляется её центром симметрии. Чтобы убедиться в этом, наложите
на рисунок кальку и прикрепите её в точке О булавкой. Перенесите
фигуру на кальку и поверните её на 180°. Фигура на кальке совме-

стится с фигурой на бумаге.
Вы уже встречались с центрально-симметричными фигурами. Это прежде всего окружность (рис. 7.33, а), а также эллипс
(рис. 7.33,.6). Центр симметрии имеет и прямоугольник: это точка
пересечения его диагоналей (рис. 7.33, в).

| М Рис.7.32

М Рис.7.33

Убедитесь, используя кальку, что указанная
рии фигуры(см. рис. 7.33, а-в).

точка является центром симмет-

Симметрия 457

ЙДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (597—598)М
597

Отметьте на листе нелинованной бумаги точки О, А, В и С. Постройте
точки, симметричные точкам А, В, С относительно точки О.

598

Скопируйте рисунок 7.34, а, 6 в тетрадь и постройте фигуру, симметрич-

ную данной фигуре относительно точки О.

В

1

ЗА
И

и

,

_

М Рис.7.34
599

р

|

__

Н

М Рис.7.35

На нелинованной бумаге начертите произвольный треугольник и построй-

те симметричный ему относительно одной из его вершин.
600

Начертите в тетради прямоугольник и постройте его центр симметрии. На
сторонах прямоугольника возьмите какие-нибудь три точки и постройте
симметричные им точки относительно центра симметрии.

501

На рисунке 7.35 изображена часть фигуры, центром симметрии которой
является точка М. Начертите эту фигуру в тетради.

602

Перенесите фигуру (рис. 7.36, а, 6) в тетрадь и найдите

ее центр симметрии.
а)

Ш Рис. 7.36

758 Глава 7

я

АВСОЕЕС „=А—
МОРОВ$Т

.

@®

М Рис.7.37

603

ЧУМХУЙ
№ Рис.7.38

д

7
Ал

22

т

№ Рис.7.39

Какая из фигур, изображённых на рисунке 7.37, имеет центр симметрии?
оси симметрии?

Сделав соответствующий рисунок, определите,

604

верно ли следующее утверждение:
1) Если две окружности симметричны относительно некоторой ТОЧКИ, ТО ОНИ
симметричны также относительно некоторой прямой.
2) Если две окружности симметричны относительно некоторой прямой, то
они симметричны также относительно некоторой точки.

Какие из букв латинского алфавита, изображённых на

605

рисунке7.38, имеют и центр симметрии, и ось симметрии?

606

Центр куба — это точка пересечения его диагоналей (рис. 7.39). Назовите

вершиныкуба, симметричные относительно его центра.

И

те

607

Начертите
а) фигура
6) фигура
в) фигура

фигуру со следующими свойствами:
имеет и центр, и ось симметрии;
имеет центр, но не имеет оси симметрии;
имеет ось, но не имеет центра симметрии.

608

Скопируйте фигуру (рис. 7.40) в тетрадь и отметьте её центр симметрии.

Ш Рис.7.40

М Рис.7.41

Симметрия 159
609

Разрежьте квадрат, как показано на рисунке7.41.
Сложите из четырёх получившихся частей фигуру, у которой:
а) есть центр симметрии, но нет оси симметрии;
6) есть ось симметрии, но нет центра симметрии;
в) есть и центр симметрии, и ось симметрии.
Начертите эти фигуры в тетради.

610

Начертите какую-нибудь развёртку куба, у которой
есть центр симметрии.

611

612

ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Сделав соответствующий рисунок, определите,

верно ли следующее утверждение:
а) Любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника,
делит его на две равныечасти.
6) Любая ломаная, центрально-симметричная относительно центра квадрата, делит его на две равныечасти.
Через точку О требуется провести прямую, которая разбила бы данную фигуру на две равные части (рис. 7.42, а, 6). Как это
сделать?
Указание. Обратите внимание, что фигура имеет центр симметрии.

613 | ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ №" Представьте, что вы с другом играете
в игру. Вы должныпо очереди выкладывать одинаковые кубики на

ГАР РРАТ
а 11| У
О о
|
т
—_

прямоугольный стол. Кто не смо-

ее ыы

жет выложить очередной кубик,
тот проигрывает (кубики имеются
в достаточном количестве). Если
вы догадаетесь, как использовать
знания о центральной симметрии,
то наверняка сможете выиграть
при условии, что будете ходить

|

р

№ Рис.7.42

первым. Как вы должны играть?

0,2. 7.

6) 0,04 . 0,025

614

Выполните действия: а)

615

Собственная скорость лодки 8,5 км/ч, скорость течения реки 1,5 км/ч.

0,42 '

0,9 - 0,88 `

Какое расстояние пройдёт лодка за 0,3 ч, если будет плыть против течения
реки?. по течению реки?

616

Два брата должны были покрасить половину забора, длина которого
128 м. Один из них выполнил 5 их общей работы, а другой — остальную
часть. Сколько метров забора покрасил каждый?

617

В секции дзюдо занимаются 18 школьников. Число девочек относится
к числу мальчиков как 2:7. Во сколько раз число мальчиков больше,
чем число девочек? Есть ли в задаче лишние данные?

160 Глава 7

Чему вы научились
Обязательные умения
Умею распознавать на чертежах, рисунках, находить в окружающем мире
плоские и пространственные симметричные фигуры.

]

|

1.

|

Какие из приведённых на рисунках предметов симметричны относитель-

но некоторой плоскости симметрии?

|

|

2.

На каком из рисунков прямая К не является осью симметрии фигуры?

Ф

@)

|

8)

Ё

&

=

Е

Умею распознавать фигуры, симметричные относительно некоторой прямой.
3.

На каком из рисунков треугольники АВС и АВ,С симметричны относительно данной прямой?

@®

В:

В
В

-

@®

В

®

А:

А

В

В

С:

Ал

А
сс,

у

С1

А

С

А. 1

Симметрия 161
Умею изображать фигуру, симметричную.данной фигуре относительно прямой.
| 4.

Начертите с помощью чертёжных инструментов фигуру, симметричную

|

данной фигуре относительно прямой К.

|

а в

5)

>

А

|
|

®

Е

|

нь

|

#

Умею проводить ось симметрии фигуры.
|

| 5.
|

Изобразите от руки все оси симметрии:
а) квадрата;

|

6) прямоугольника;
в) равностороннего треугольника.

ГуУмею изображать симметричные фигуры.
|

| 6.

Достройте пятиугольник по заданной части и оси симметрии.

|

|
|
|
|

Умею распознавать фигуры, симметричные относительно> некоторой1точки.
|

|7.

Точка О - центр симметрии шестиугольника АВСРЕК. Назовите сторону,
симметричную стороне АК относительно точки О:

1) АВ; 2) ВС; 3) СО; 4) КЕ.

`Умеюизображать фигуру, симметричную даннойй фигуре относительно
о
точки.
|

| 8.

Отметьте две точки и обозначьте их буквами А и О. Постройте точку,
симметричную точке А относительно точки О.

Могу выполнить ещё и другие задания (укажите несколько номеров).

Выражения, формулы, уравнения
Чтобы понимать друг друга, обязательно нужен общий язык. Язык необходим для передачи и хранения информации. В мире существует около
5000 различных языков, на которых говорят, пишут и читают разные на-

роды. Это так называемые. естественные языки — они возникали и развивались вместе с народами.
По мере изучения математики вы постепенно знакомитесь с математиче‚ ским языком. Он относится к искусственным языкам, которые создаются
и развиваются вместе с той или иной наукой. Язык математики — самый
строгий и точный. В нём недопустимы неточности и ошибки. И ещё он
_ самый общий, самый универсальный. Его изучают во всех школах мира.

8.1 О математическом языке
В математическом языке есть свой алфавит. В качестве букв
в нём выступают различные математические знаки. Прежде всего
к ним относятся цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 6, Т, 8, 9. Вызнакомыи

| с другими математическими знаками: =, >, 608,
З
С
5
4
9
25
235. а) Да; да; нет; 6) да; да; да; в) 4; 3. 2836. а) 9; 6) 0; в) 8; 9; г) 0; 1; 2.

237. а) 0,7 < ыы < в 6) 0,125 < 0,13 < Ем 238. а) Можно вычеркнуть
50
4’
200
цифры3, 0 и 1. 6) Можно вычеркнуть цифрыТ, 4, 8, 5 и2. 239. Подсказ-

ка. а) Рассмотрите два случая: 1) обе последние цифры — нули; 2) хотя бы
одна из последних цифр не нуль. 6) Рассмотрите случаи, когда нуль стоял
в конце десятичной дроби и не в конце. 240. 255 р.; 1870р. 241, 90—120 р.
242. а) 0,006;
1
3
6) — кг; — кг;
5
5

6) 0,028; в) 0,045. 243. а) 0,5 кг; 0,75 кг; 0,4 кг; 0,625 кг;
1
8
— кг; — вг.
4
8

Глава 4
246. е) 15,403; ж) 124,834; з) 16,34; и) 2,209. 248. в) 0,28; г) 2,31; д) 0,091;
е) 0,8. 250. г) 0,14; д) 5,29; е) 89,15; ж) 2,955; з) 15,09; и) 1,5. 251. в) 27,96;
г) 39,08. 253. а) 30,457; 6) 8,497; в) 52,38; г) 17,252. 255.в) з: г) т
д) 11; е) 3. 256. в) 2,11; г) 0,17; д) 1,31; е) 1,03. 257. а) 12 кг;
6) 2,8 кг. 259. а) 8кг и 10,5 кг; 0) бл 9,4л. 267. 1,3 км. 268. На га.
269. 20,5 г, 9,4ги 15,7 г. 212. а) 6бкг; 6) 125 газет; в) 0,4. 275.6) 40 700;
д) 10 200 000; и) 785 000 000. 279. в) 356 мл; 12 мл; 1250 мл; 100 мл; 800 мл.
280. в) 2,56 л; 0,35 л; 0,0028 л; 0,00005 л. 288. а) 4кг 200г; 6) 2км 650 м.

279
290. в) 9,68; г) 22,4; д) 4; е6. 293.6) 15,9; д) 6,283; з) 10,414; и) 0,329;
к) 0,10315; л)0, 0556; м) 0,0246. 297.г) 154,33; д) 45,3; е) 33. 300. а) 1,15 км;
6) 1,5 км. 302.г) =: д) 1,5. 3053. а) 1,632; 6) 12,096; в) 158; г) 4,96; д) 43,86;
е) 4,169. 304. а) 2,31; 6) 0,09; в) 1,28; г) 2,56; д) 6; е) 4. 305. 1) 3,15 млнр.;

2) 0,9 млнр.; 3) 0,45 млнр. 306. а) 10,5 м; 6) 1,5 ч. 307. а) 0,35 км; 6) 7 км,
8 км, 5 км. 308. а) 0,1078; 6) 0,579; в) 100,98; г) 0,00216; д) 0,00528;
е) 0,099. 310. а) 11,401; 6) 21,94; в) 9,12; г) 6,21. 311. 7,3 км. 812. 6 мин.

313. 0,2 дм. 315. 6) 36; г) Т,6. 321. 6) 34,1; д) 30,6; ж) 1,23; з) 2,45.
322. 6) 0,92; д) 0,51; ж) 0,011; з) 0,023. 323. 6) 5,315; д) 0,92; ж) 1,225;
з)11,125. 327. 6) Всего 6,75 л. 328. 6) 3200; г) 2450; д) 0,49; е) 232; ж) 2,24;
з) 250. 329. а) 7,068; 6) 0,525; в) 2,05;г) 20,3; д) 142,3;е) 277,5; ж) 0,016;
з) 240. 330. а) 20 шагов; 6) 8 таблеток. 332. а) 9 кусков; 6) 10 бутылок.
334. а) 2,152; 6) 0; в) 0,55; г) 0,4. 335. а) 40,18; 6) 2,46; в) 27,6; г) 5,2.
336. Т полотенец. 337. 60) 0,5 кг и 0,8 кг. 338. а) 1,05 кг; 6) 2,5 кг.
340. а) 30,286; 6) 3,9; в) 49,6; г) 1,23. 341. а) 3,8; 6) 0,32; в) 17,5; г) 1,01.
342. 450 г. 343. 2,5 км/чи 4 км/ч. 344. 2,97 кг 4,29 кг. 345. 8 м?, 9,6 м?
и 2,4 м?. 346. 432 плитки. 3417. 2 м. 348. 0,2 га. 349. 40 км. 351. а) 1,5;

6) =. 354.6) -. г) 10,5. 355.а) 3; 6) 4,9; в) о: г) 1,4; д) 41. 357.303 банки. 359. а) 62,5 км/ч; 6) за 0,25 ч, т.е. за 15 мин. 360. г ц/га.
361. а) 16 км/ч и 16,5 км/ч; 6) 62,5 км/ч. 362. а) 31; 6) 2; в) —
7: г) 0,06.
363. а)
—; 6) 5; в) 1; г) 10. 364. а) 1,5; 6) 15 в) 2,37. 365. а) т 6) 0,25;
в) 0,02; = т. 372. а) = 31 г; 6) =454 г.

371. =10м". 380. г) 0,6; 0,57;

0,571. 381. а) 23,33; 6) 0,31; в) 2,33; г) 1,67. 383. а) 0,233 км; 6) 1,833 км.
387. 90пряников. 388. а) 0,006; 6) 0,575. 390. 3) 13,5 км, 9 км; через 2,5 ч.
391. 75 км/ч. 393. 10 км, 15 км; через 2,5 ч. 394. 60 км/ч и 50 км/ч.
395. 55 км/ч и 15 км/ч. 396. а) 4,25 ч; 6) на 0,5 ч. 397. а) 150 км; 6) 42 км.
398. 2) За 2,4 мин. 399. 13,5 км. 400. 600 м. 401. Через 3,5 ч и через 5,5 ч.
402. Через 2 ч и через3 ч. 403. 3 км/ч и 18 км/ч.

Глава 5
410. 12 см. 412. Когда прямая Ё пройдёт через центр окружности. 413. Бесконечно много; на двух прямых, параллельных данной прямой и расположенных от неё на расстоянии 3 см. 414. На прямой, проходящей через
точку М перпендикулярно данной прямой. 411. 1) 22,1; 2) 85,6; 3) 10,6.
418. 1) Не должен, так как масса покупки меньше5 кг. 2) Красного цвета —
200 г, синего — 800 г, коричневого — 800г. 426. 50 мм. 427.а) 1,5; 5:

428.в) 1,9; г) =. 429. Успеют. 430. Во второй день в 1,5 раза. Лишние данные — 3т. 434. 2) а) Нельзя; 6) можно; в) нельзя. 438. Два треугольника со

280
сторонами 2 см, 5 см, 6 см и 3 см, 5 см, 6 см. 439.а) 4,8; 6) т. 440.0,8.
441. 8,4 м. 442. 0,4 ч. 445. Рисунок в. 448. Куб с ребром 8 см. 449. 64 шара;
8 шаров. 450.2) 65 мм; 195 мм. 451. 10 ядер. 455. а) 16; 6) 0,6. 456. 60 кг.
457. Велосипедист; на 15 мин.

Глава 6
468. а) 4; 6) т: в) 0,7; г) 12,5. 469. а) 55: в) 4,5. 473. а) Результат Бориса;
6) во второй банке. 474. а) 1: 1000000; 6) 1: 2500. 475. 1) 15 м; 120 м;
2) 2 см; 35 см; нельзя, так как оно должно быть равно 0,5 мм. 477. 6) 5:3;

в) 5 :2. 482. За 0,4 ч. 483. 15 см. 485. а) 4,02; 6) 8,51. 486. 250 г шиповника и 350 г боярышника. 487. 7 см. 488. 6,3 см. 490. 40 мин и 50 мин.
491. 880г. 496. 5 — мальчики; а —девочки. 497. Ответ 2. 499. а) 28,8 м?;
6) 12,8 м?. 500. 44 куска мела. 501. 10 карандашей и 18 карандашей.

502. 30 лет, 35 лет и 10 лет. 503. 50 чижей, 40 ужей и 20 ежей. 504.а) з:
6) 0,25. 505. По 3,6 т; осталось 10,8 т. 510. а) 22 л; 6) 204 м. 512. 12 раз,
271 раз, 3 раза, 15 раз. 514. а) Эстонии, в 1,3 раза; 6) США, в 2,1 раза.
516. а) 143 см; 6) 800 заявлений. 518. а) 5450р.; 6) 1265р. 519. а) 138р.;
6) 17р. 522. 220 р. 528. 36 девочек и 44 мальчика. 524. 20 748 справочников. 526. а) 200 лампочек; 6) 300 учащихся. 529.а) 400; 6) 0,3. 530. В первом
случае. 532. На рисунке ®. 541. а) 52% и 48%; 6) 23%; 17%. 542. а) 60%;
6) 10%. 548. а) 108%; 6) 120%. 544. а) На ЗИ; 6) на 12%. 545. а) На 20%;
6) на 4%. 550. а) 80% — какао и 20% — сахар; 6) железо — 89%, олово —
5%, цинк — 6%. 551. а) На 20%; 6) на 25%. 552. 6) «Авиация» — 30%,
«Автомобили» — 70%. 554. 1) 1095 городов. 2) Малые города — 70%, средние — 14%, крупные — 12%, крупнейшие — 2%, города-миллионеры — 1%.
555. а) 8 кусков; 6) 7 кусков. 557. 25 см; 8,4 м.

Глава 7
560. а), 6) Нет. 569. а) Одну; 6) две. 570. 4 перегибания. 572. 0,412.
573. На третьем участке. 574. Картофеля; в 25 раза. 575. 91%. 5771.а), 6) —
неверно; в), г) — верно. 582. 3) 120°. 583. Шесть. 584.3, 4, 5, 6, 9, 10, п.
585. 1 и 4. 588. Третьи вершины треугольников лежат на оси симметрии
этих треугольников. 592. Девять. 593. 4,68. 594. 4,5 м. 595. Масса яблока

0,405 г, масса груши 0,22 г. 596. а) 900; 6) 1440. 603. Фигура Ф — центр
симметрии, фигура @ — оси симметрии. 604. 1), 2) — верно.
611. а), б) — верно. 612. Провести прямую через данную точку и центр
симметрии фигуры. 613. Первый кубик надо положить в центр симметрии
стола, а в каждый из последующих ходов класть кубик симметрично от-

281
носительно

центра

тому

кубику,

который

положил

другой

игрок.

614. а) 3 6) 0,5. 615. 2,1 км; 3 нм. 616. 425 ми 21 м. 617.В 3,5 раза;
лишние данные — 18 школьников.

Глава 8
621. а) Та; 5с; ба + 26; ах + су. 625. пп + ТП; п+ (п | 1). 626.в п-2)х

х(п — пп +1 (п + 2). 681. 60%. 632. 24 р. 633. 93 1 6: 65 . 634. в) 0;

г) 15. 688, 10; 20; 25. 644. 1) олх +7 н де+ 77 р.;

т-

+ (0,1х + Тпр. 646. а - спр. 647. 75%; 20%; 5% УиуиниЯ школы.
648. 75% шестиклассников. 651. а) 2а + 4х. 652. 1) 36 дм?. 655. 3) с =
=Р-а-Ь или с =Р-(а+Ь.. 658. 1) с = 100п + 20. 659. 1) = 0,13С.
2) 1040 р.; 1625 р. 660. ав 2(х+и); 6) Р= 2х +2у+2а

или Р=2(х+у+а). 661. 2) а

Ри дв > —Ь. 662. 2) а = >.
с

663. Г = 2х +2у- 5,5 или Г, = 2(х + у) - 5,5; 154,5 м. 664. 1) Р=25а - 25с или

= в — с). 667. 210 р. 669. 6) = 47 см; = 31 м. 671. 6) = 113 ем;
= 4 м3. 673. = 40 тыс. км. 676. 5 а) 15,7 см; 60) т см; в) 6,3 ыы
2) а) 39,3 см?; 6) 0,8 см?; в) 9,4 см? . 677. 260 м; 4460 м?. 679. = 344 см?.
683. В раза; на 100%. 684. 450 р. 689. 6) 10(х + 15) = 200, где х — неизвестное число; 5. 691. а) 2х + 6 = 30, где х — первоначальная цена; 12 т.

692. а) 8; в} Ти. 693. в) а = 5,9; г) 6 = 8,5. 694. в) х = 15; ух=4
695. а) 150 м? и 50 м2; 6) 12 см и 24 см. 696.6) 37 и 22. 699. а) 3х — х = 8, где
х — возраст Юний: 6) (х+10+(х+5)=20, где х — возраст Серёжи.
700. а) 2х-Т=х+3, где х — количество бензина во втором баке;
6) 3х -30=х+30, где х — число детей во втором детском саду. 701. 630

правильных ответов. 702. 300 р. 708. 600 учащихся.

Глава 9

719. а) 1; 6) -2; в) -8; г) 5; д) 3; е) -3. 720. а) 6; 6) 3,5; в) 5.

730.а) —7, —6, —5, —4, -3, —2, —1; 6) —11, —10; в) —4, -5, —6, -Т, -—8, -9, —10;
г) —16, —17, —18, —19, —20, —21, —22, -23, -24. 7134. а) Т; 6) 14; в) 39;
г) 109. 736. 12 кг. 737. 220 г. 7138. 2) Одну может, две нет. 7483.а) 9; 6) —
в) —19; г) —47. 747.а) -—15; 6) -Т; в) —26; г) -100; д) 60; е) 0; ж) -50;
3) —16. 749. а) —5; 6) -8; в) -—20; г) -39; д) 8; е) -15. 750.а) 8; 6) -9.
751. а) -3; 6) 6. 152. а) -15; 0; 17; 35; 50; 70; 6) 1; 0; -5; 2. 758. а) 11;

6) -11; в) 4; г) 2; д) 30; е) 10. 754. а) 15; 6) -25; в) 56; г) -51. 755. а) 0; 6) 2210;
в) —-555. 765. а) -Т5; 6) -556; в) -106; г) 292; д) —662; е) —211. 766. а) 11;
6) 30; в) 31; г) —29. 7167.а) -—20; 6) -8; в) —2; г) 0; д) —6; е) —21. 768.а) —4; 8;

6) —5; 0; в) -3; г) 10. 771. а) -6; 6) -14; в) 4; г — д 6; е —47.
772. а) 20; 6) —Т; в) —21; г) -100. 773. а) 9; 6) 0. 778. а) 14 см; 60) 23 см;
в) 28 см; г) 19 см. 789. —20, -30, 40. 790. а) -1; 6) 0; в) -1; г) -1; д) -Т;

282
е) —1; ж) 0; з) 1. 791. а) -7Т; 6) 2; в) -8; г) 5. 792. а) 59; 6) -91; в) 8; г) —1;
д) 6; е) -8; ж) 1; з) 18; и) -—2. 7193.а) 16; 6) -8; в) 0; г) -6. 797. а) —45;

6) —405; в) —155. 798. 5$ = аб - хи; 19 см?.

Глава 10
804. а) Бесконечным; 0) конечным; в) бесконечным; г) конечным.
812. А < С. 813. 1) Может; возможны варианты В < С и = В.
2) Может. 814. 8 подмножеств. 815. а) 140; 6) 72. 81Л. а) 8 см; 6) 2 см.
822. а) Наибольший элемент — число 6; наибольший общий делитель
чисел 18 и 24; 6) наименыпий элемент — число 12; наименьшее общее

кратное чисел 4 и 6. 823. а) Множество чисел, кратных 10; 6) множество
натуральных чисел, оканчивающихся цифрой 5; в) множество чисел, кратных 4; г) множество чисел, кратных 3. 826. 1) АПбО=о; АЧОбЗ=А.
2) Свойство нуля при умножении и свойство нуля при сложении: а 0=0;
а + 0 =а. 821. а) А < (АОВ);; 6) (АП В) < А. 830. а) 20; 6) -7Т8.
831. А(-5), С(1). 832. а) 17 см и 3 см; 0) 2 см 8 см. 833. 10 чело-

век. 834. 4 мальчика; в этом случае и тем и другим занимаются 5 человек. 835. У 71 семьи. 837. 7 человек. 838. Нет. 839. а) 16; 6) 20.
846. 10 отрезков. 847. 1) 10; 2) 20. 848. 1) 15; 2) 5. 849. 1) 10 способами; 2) 4 способа; 3) 3 способами. 850. 16. 851. 6 способами.
853. 8 способами. 854.8. 855. 12 словарей. 856.14. 859. 3) а) 17 см; 6) 16 см.

Глава 11
881. (+ -5)°; —7°; +3°; —13°. 883. 10 способами. 896. а) 10; 6) 45; в) 30;

г) 12. 906. а) Верно; 6) неверно, |0| = -|0|. 907. а) Верно; 6) неверно.
909. а) х =2; 6) х = Т,5. 911. а) 20 см; 6) 10 см; в)16 см. 914.а) -7Т,5; 6) >
917.

а)

6,6;

60)

-2

в)

3.

921.

а)

35:

6)

0,19;

в)

-20,4;

г)

з.

924. а) —1,2; 6) 2,4; в) —1; г) —1. 925. Перерасход1,9 р. 929. а) 6; 6) 210;
в) 5. 930. а) —5; —21,2; -8; 6) -30; —4,5; — в) —30; 11; -1,6; 13; г) 24;

0,8; —1,2. 981. а) -2,5; 6) + в) 37; г) =. 933. 6) - (-10)? > (-10)3;

в) —0,3 < -0,52; г) (-0,1)*4 > (-0,1)3. 936. а) —1,5; 6) -38; в) 41; г) 50;
д) —15,3; е) 0. 940, а) 4; 6) -32; в) 2,4; г) 10,2. 941. а) -1,5; 6) 5
в) -95 г) 6. 942. а) 5; 6) —2,5; в) 2,1; г) -9. 943.6) 18°. 944, а) 1 кг 945 г;
6) 1,5 л. 946. а) —1,9; 6) -3,6; в) -14,8; г) Ц д) -4,4; е) 6,13.

949. а) 0,5; 6) 4; в) -110; г) -—4. 958. 3) -(12-14+5-10) = -12+14—5+10. 962. 6 способами. 970. а) 5,5; 6) 5: в) 7,9; г) =. 974. 8 кодов.

992. Цифру 1 — 21 раз, цифру 2 — 20 раз, цифру 0 — 11 раз.

Глава 12
000. а) 30,2 см; 6) 34 см. 1004. 9 см, 60°. 1008. 5 ромбов и 9 параллеломмов. 1010. 1) Квадратов. 1011. 3) Их сумма равна 180°. 1013. а) 0,3;
6) —70. 1 5. 142 млн человек. 1016. Через 12 мин. 1017. 6 юбок.
1018. 60 грибов. 1022. а) 25 кв. ед. 1024. 1) а) 3 см и 4 см, 12 см?; 6) 4 сми
5см,20 см?; 2) $=а.й. 1025. 1) 14 см?; 2) 4,5 см?; 3) 7,5 кв. ед.; 4) 8 кв. ед.

1026. $ = 5 а) 6 см?; 6) 13,5 см?. 1028. 12 кв. ед. 1029. 1) 20 кв. ед.;
2) 12 кв. ед.; 3) 20 кв. ед. 1030. Верно. 1031. 13,5 кв. ед. 1032.а) 25 см?;

6) 6 см". 1033. а) -0,8; 6) 30. 1035. а) х = -8; б) х = 2,2. 1036. = 1,2; ы
1037.99. 1038. Масса сумки — 8 кг, масса чемодана —12 кг. 1039. В клюкве — 5г, в бруснике — Тг. 1040. в
а 100; 13,6%. 1041. а) 5 боковых рёбер,

всего 15 рёбер; 5 боковых граней, всего 7 граней; 10 вершин. 1042. а) 90 см;
6) 90 см. 1047. в) 2п вершин, Зп рёбер, п+2 грань 1049. а) 12-ван
пирамида; 6) 5-угольная призма. 1050. а) 105 смз; б) 1296 смз; в) 2100 смз
1051.

а)

У=хуб+ась;

6)

У=а-ах?;

в)

У = аве

1052.

. 8 частей; 343 см; 27 смз. 1057.5,6 г. 1058. 12 000 р.

Г=4а-+ 86.

284
Предметный указатель
Буквенное выражение 162

Параллелограмм 260
Перебор возможных вариантов 221

Декартова система координат 254

Пересечение множеств 213

Деление в данном отношении 128
Десятичная дробь 54

Подмножество 210
Правила действий с десятичными
дробями:
сложение 73

Диаграмма круговая 32
— столбчатая 31

Допустимые значения букв
в выражении 167
Зеркальная симметрия 146
Касательная к окружности 105
Классификация 215

Конус 114
Конуса вершина 115
— высота 115
— основание 115
Концентрические окружности 109
Координатная плоскость 258

Координатные четверти 253
Координаты точки 254
Круги Эйлера 218
Круглые тела 114
Метрическая система мер 59
Множество 208
— бесконечное 209
— конечное 209

вычитание 73
умножение 81
деление 87
— — с обыкновенными дробями:

сложение 10
вычитание 10
умножение 10
деление 10

— — с рациональными числами:
сложение 238
вычитание 239
умножение 239

деление 240
Правило выражения десятичной

дроби в процентах 137
— — процентов десятичной
дробью 131
— округления десятичных дробей 95

— сравнения десятичных дробей 66
Правильный многоугольник 150
Призма 270
Призмыбоковые грани 270

— пустое 210

— основание 270

— рациональных чисел 228
— целых чисел 186

Признак обратимости обыкновенной
дроби в десятичную 63

Модуль числа 234

Процент 238
Прямые параллельные 43

Начало координат 253
Неравенство треугольника 112
Объединение множеств 213

Обыкновенная дробь 54
Оси координат 253
Ось абсцисс 253
— ординат 253
Ось симметрии фигуры 149
Отношение 122

— пересекающиеся 39
— перпендикулярные 40
— скрещивающиеся 44
Разбиение множества на классы214
Расстояние между двумя точками 47

— — параллельными прямыми 48
— от точки до плоскости 48
— — — до прямой 47
Ромб 261

285
Свойства параллелограмма 261
Свойство симметричных фигур 145

Пентр симметрии фигуры 156
Цилиндр 114

Сфера 115

Цилиндра высота 115
— основание 115

Углы вертикальные 39
Уравнение 179
Уравнения корень 180
Фигуры равновеликие 261
— равносоставленные 262
— центрально-симметричные 156

Формула длины окружности
175, 176
— объёма параллелепипеда 171

— — шара 176

р

— периметра прямоугольника 170

— — треугольника 170
— площади круга 176
— — прямоугольника 170

— пути при движении
с постоянной скоростью 171

Числа отрицательные 185, 228
— положительные 186, 228
— противоположные 185, 228
Числовая подстановка 166

Числовое выражение 166
— значение буквенного выражения
166

Пр 114
Шара большая окружность 114

— диаметр 116
— радиус 116
— центр 116
Элемент множества 209
Эллипс 116, 156

Оглавление
Предисловие: „:.-леьние мик нло нню п вл взаны кн ан мор та рита ьцЕ РЯ ба 55 НБ В

3

Глава 1. Дроби и проценты
О№ 1.1. Что мы знаем о дробях ............. нии ини ни чин и нее нььнннь
3 1.2.. Вычисления ‘© ДРОбЯМИ и... спаек киць екон они каже
№... 10 1.3. «Многоэтажные» дроби ............ нее ненкеннеениееиньены

5
10
14

1.4. Основные задачи на дроби ............ еее ееееекьььье
1.5, ЧТО: ТАКОЕ ПРОЩЕНТ реле ком вул НЕ Е Ето обе О каза Е
1.6. Столбчатые и круговые диаграммы ..... еее ееееееььььь я
Чему вы научиЛиИСЬ и океныеоюженвмныы хана а вать ре Бы Беня В казарме вы

17
23
31
37

Глава 2. Прямые на плоскости и в пространстве
>

\]

2.1. Пересекающиеся прямые ................. ее ьенинияенениныя
| 2.2. Параллельные прямые ...................о:
2.3. Расстояние ........ у... ры
Чему вы научились ....... ее неенье яРе роже зНЬ ИЯ В рав пая ав еаы

39
43
47
51

Глава 3. Десятичные дроби
$ © 3.1. Десятичная запись дробей ............ нь ьньннныныььььььььььь
" 3.2. Десятичные дроби и метрическая система мер ............ннььь
3.3. Перевод обыкновенной дроби в десятичную ........ у ннньнььь
3.4. Сравнение десятичных дробей .............. ее еенннньееььныя
Чему вы научились ......... нение ьнинит

|

53
59
62
65
70

Глава 4. Действия с десятичными дробями
х 1 4.1. Сложение и вычитание десятичных дробей

............. у ьеннье

72

< 4.2. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, ... ..........

77

4.3. Умножение десятичных дробей ....... еее ееееееньнь

81

4.4. Деление десятичных дробей ............ уни ьнзьньньы

86

4.5. Деление десятичных дробей (продолжение) ............. лень,

91

4.6.Округление десятичных дробей .............. ние еееньния

94

4.7. Задачи на движение

99

............. иен ние нньнть я

Чему вы научились ......... нии ннннннянннннннныннныя 103

Глава 5. Окружность
5.1. Окружность и прямая ............. вне ьнняеееаььнинь 105
5.2. Две окружности на плоскости ........... еее еееееееееньнье 108
5.3. Построение треугольника ............... еее ениееееаныннутье 11
22%. Круглые Тала]. зоьони сшила наи аиеныи изменен зе ют 114
ОМИВРЕТ: сольное визирем ОСЕНЬ ПВА ОЗ 120

Глава ©. Отношения и проценты

УД

6.1. Что такое отношение .......... нение льннньнь. 122

о Ч 6.2. Деление в данном отношении ........ анал нннньнны, 129
х

6.3. «Главная» задача на проценты ................. ее аенннньеньня
6.4. Выражение отношения в процентах ............ у енееььня

131
136

Чему Вы научились ... о инаяна каноны ине кора а ака ваяя 143

Глава 7. Симметрия
7:2. ОБЬ сИММетВии: ФИГУВЫ зо оныиныриы зи ооо ри е и а 54А 149
7.3. Центральная симметрия .......... еее еьниееенаннинь 155
Чему вы научились. за ккьзаныея низ ак ные мы нваеа начаснаа 160

Глава 8. Выражения, формулы, уравнения
УЯ