Математический анализ [Андрей Андреевич Никитин] (pdf) читать онлайн
- Математический анализ 7.86 Мб, 198с. скачать: (pdf) - (pdf+fbd) читать: (полностью) - (постранично) - Андрей Андреевич Никитин
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
Version
0.0.1
17.08.2023
Ââåäåíèå. Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ.
1
Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç îáúåêòîâ, íàçûâàåìûõ åãî ýëåìåíòàìè. Çàïèñü x ∈ A îçíà÷àåò,
÷òî îáúåêò x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A; ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A. Çàïèñü
x ∉ A îçíà÷àåò, ÷òî x íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A; íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà
A.
Ìíîæåñòâî ìîæåò çàäàâàòüñÿ ïåðå÷èñëåíèåì ñâîèõ ýëåìåíòîâ:
{1, 5, 14, 100},
à òàêæå óêàçàíèåì ñâîéñòâà (ïðèíöèï
òâîðÿþùèõ ñâîéñòâó
P,
{a, á, è, î},
ñåëåêöèè ): ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, óäîâëå-
îáîçíà÷åíèå:
A = {x ∈ M ∣ x − óäîâëåòâîðÿåò
ñâîéñòâó P }.
Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå íåêîòîðîìó îñíîâíîìó ìíîæåñòâó M (îáú¼ìëþùåìó ìíîæåñòâó, ìíîæåñòâó äîïóñòèìûõ ýëåìåíòîâ). Ìíîæåñòâî M ëèáî ÿñíî èç êîíòåêñòà, ëèáî ÿâíî óêàçûâàåòñÿ. Íàïðèìåð, â ïëàíèìåòðèè M ýòî ïëîñêîñòü.
Ïðèìåð 1.1.
A = {x ∈ R ∣ x2 > 4} = (−∞, −2) ∪ (2, +∞).
Ïðèìåð 1.2.
F = {n ∈ N, n > 2 ∣ íàéäóòñÿ x, y, z ∈ N,
äëÿ êîòîðûõ
xn + y n = z n }.
Ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà ìîãóò áûòü ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, âî ìíîæåñòâå
{1, {1}, {2, 3}}
òðè ýëåìåíòà: ÷èñëî
1,
1,
ìíîæåñòâî, åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî
è ìíîæåñòâî èç äâóõ ýëåìåíòîâ ÷èñåë
2
è
3.
?
Äàéòå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà. Ìîæíî ëè ââåñòè òàêîå ïîíÿòèå?
×òî îçíà÷àåò, ÷òî ¾ìíîæåñòâî ìîæåò çàäàâàòüñÿ ïåðå÷èñëåíèåì ñâîèõ ýëåìåíòîâ¿?
3
ÃËÀÂÀ
I
Ñåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Ñåêöèÿ 2. Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ
ìíîæåñòâ
Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Óäîáíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå
îäíîãî ýëåìåíòà. Îáîçíà÷åíèå:
4
ïóñòîå ìíîæåñòâî ìíîæåñòâî, â êîòîðîì íåò íè
Îáùåïðèíÿòûå ñîêðàùåíèÿ çàïèñè.
∅.
Q äâà óòâåðæäåíèÿ, òî çàïèñü P ⇒ Q íàçûâàåòñÿ èìïëèêàöèåé è îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âåðíî P , òî âåðíî è Q (èç P ñëåäóåò Q, P âëå÷¼ò Q) èëè P äîñòàòî÷íî
äëÿ Q (Q íåîáõîäèìî äëÿ P ).
Åñëè
P
Åñëè
P ⇒ Q
è
è
ýêâèâàëåíòíû ) èëè
Q ⇒ P , òî ãîâîðÿò, ÷òî óòâåðæäåíèÿ P è Q ðàâíîñèëüíû
P íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî äëÿ Q. Îáîçíà÷åíèå: P ⇔ Q.
(èëè
∀ êâàíòîð âñåîáùíîñòè ;
∃ êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ ;
∃! ¾ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííûé¿;
def
∶= èëè = ¾ðàâåíñòâî ïî îïðåäåëåíèþ¿;
Îïðåäåëåíèå. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà
òî ãîâîðÿò, ÷òî
Îáîçíà÷åíèå:
A ñîäåðæèòñÿ â B
(èëè
A
A
ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó
ïîäìíîæåñòâî
Ba ,
B).
A ⊂ B.
a Ò.å. ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ìíîæåñòâà
èõ íàçûâàþò
òîãäà, êîãäà
A
è
è
ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, òî
= B.
ðàâíûìè è ïèøóò A
A⊂B
B
Äðóãèìè ñëîâàìè
A=B
B ⊂ A:
(∀x ∈ A ⇒ x ∈ B)
òîãäà è òîëüêî
Ðèñ. 1.
è
Ðèñ. 2.
(∀y ∈ B ⇒ y ∈ A) ⇐⇒ A = B.
Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ
Âêëþ÷åíèå ìíîæåñòâ
Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
5
Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè.
1.
Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ â
A
èëè â
B.
Îáîçíà÷åíèå:
A ∪ B.
A ∪ B ∶= {x ∈ M ∣ x ∈ A èëè x ∈ B}.
Ðèñ. 3.
2.
Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ
Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ
è â
A,
è â
B.
Îáîçíà÷åíèå:
A ∩ B.
A ∩ B ∶= {x ∈ M ∣ x ∈ A è x ∈ B}.
Ðèñ. 4.
3.
Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ
Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ
â
A,
íî íå ëåæàùèõ â
B.
Îáîçíà÷åíèå:
A ∖ B.
A ∖ B ∶= {x ∈ M ∣ x ∈ A è x ∉ B}.
Ðèñ. 5.
Ðàçíîñòü ìíîæåñòâ
Áèíàðíûå îïåðàöèè.
Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
4.
6
Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è B.
A △ B ∶= {x ∈ M ∣ (x ∈ A è x ∉ B)
èëè
(x ∈ B è x ∉ A) } =
= (A ∪ B) ∖ (A ∩ B) = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A).
Ðèñ. 6.
Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ
Ïðèìåð 1.3. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ.
Ïóñòü
èëè
x ∈ C)
äèñòðèáóòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ
x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇒ (x ∈ A èëè x ∈ B) è x ∈ C ⇒
(x ∈ B è x ∈ C) ⇒ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Äîêàçàòåëüñòâî.
⇒ (x ∈ A
è
(A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A ∩ C èëè x ∈ B ∩ C ⇒
⇒ (x ∈ A è x ∈ C) èëè (x ∈ B è x ∈ C) ⇒ x ∈ A ∪ B è x ∈ C ⇒
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ C.
(A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ C.
Ïóñòü
Çàäà÷à 1.
Äîêàæèòå ðàâåíñòâî:
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
5. Ïóñòü ìû ðàáîòàåì ñ ïîäìíîæåñòâîì íåêîåãî îáú¼ìëþùåãî ìíîæåñòâà
ïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A
⊂ M (äîïîëíåíèå A äî M)
AC = {x ∈ M ∣ x ∉ A}1 .
Ðèñ. 7.
1 C compliment.
Äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà
M. Äî-
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
Óíàðíàÿ îïåðàöèÿ.
Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Ïðèìåð 1.4.
QC = I
Ïðèìåð 1.5.
(A ∪ B)C = AC ∩ BC .
Äîêàçàòåëüñòâî.
ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë;
ïðàâèëà äâîéñòâåííîñòè èëè
ôîðìóëû äå Ìîðãàíà
x ∈ (A ∪ B)C ⇔ x ∉ (A ∪ B) ⇔ x ∉ A
⇔ x ∈ AC
Çàäà÷à 2.
è
x∉B⇔
x ∈ BC ⇔ x ∈ AC ∩ BC .
è
Äîêàæèòå ðàâåíñòâî:
Îïðåäåëåíèå.
7
(A ∩ B)C = AC ∪ BC .
(a, b)
Óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà
äâà ýëåìåíòà (âîçìîæíî, ñîâïàäàþ-
ùèå), äëÿ êîòîðûõ óêàçàíî, êàêîé èç ýòèõ ýëåìåíòîâ ïåðâûé, êàêîé âòîðîé. Ïðè
ýòîì,
6.
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c
è
b = d.
Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A × B âñåõ
óïîðÿäî÷åííûõ ïàð
(a, b),
ãäå
a ∈ A, b ∈ B.
Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ n ìíîæåñòâ,
A1 ×. . .× An .
Ïðèìåð 1.6.
R × R = R2
Ïðèìåð 1.7.
R × . . . × R = Rn = {(x1 , . . . , xn ) ∣ xi ∈ R}
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
ïëîñêîñòü;
n-ìåðíîå
ïðîñòðàíñòâî.
n
Çàäà÷à 3.
Ìàäåìóàçåëü Òàòüÿíà Ïàê ëþáèò äîìàøíèõ æèâîòíûõ. Èçâåñòíî,
÷òî ó íå¼ íå ìåíåå òð¼õ æèâîòíûõ. Âñå å¼ æèâîòíûå, êðîìå äâóõ ñîáàêè; âñå
êðîìå äâóõ êîøêè; âñå êðîìå äâóõ ïîïóãàè; âñå, êðîìå ñîáàê, êîøåê è ïîïóãàåâ òàðàêàíû. Îïèøèòå ìíîæåñòâî æèâîòíûõ ó ìàäåìóàçåëü Òàòüÿíû Ïàê;
Çàäà÷à 4.
Ïðîâåðüòå, ÷òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî:
A ∩ B = A ∖ (A ∖ B).
Ìîæíî ëè âûðàçèòü ðàçíîñòü ÷åðåç ïåðåñå÷åíèå è îáúåäèíåíèå?
A ∩ B = C,
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ B) ∩ C;
Çàäà÷à 5.
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè
Çàäà÷à 6.
Îïèøèòå ìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ
îêðóæíîñòåé;
òî
(a, b) = {a, {a, b}}.
Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ
2
8
Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ.
Ïóñòü çàäàíû íåêîòîðûå íåïóñòûå ìíîæåñòâà
A
è
B.
Ãîâîðÿò, ÷òî
f
îòîáðàæåíèå
ìíîæåñòâà A âî ìíîæåñòâî B, èëè ôóíêöèÿ, äåéñòâóþùàÿ èç A â B, åñëè óêàçàíî
ïðàâèëî, ñîïîñòàâëÿþùåå (êàæäîìó) ýëåìåíòó ìíîæåñòâà
èç ìíîæåñòâà
x
B.
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
f (x)2 .
Îáîçíà÷åíèå:
Ðèñ. 8.
Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî
æåñòâî
B
A åäèíñòâåííûé
Òîò ýëåìåíò, êîòîðûé, ïîñðåäñòâîì îòîáðàæåíèÿ
A
f,
ýëåìåíò
ñîïîñòàâëÿåòñÿ
f ∶ A → B.
Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ A è B
íàçûâàåòñÿ
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ
f , à ìíî-
îáëàñòüþ çíà÷åíèé.
Îïðåäåëåíèå.
Îáðàçîì ìíîæåñòâà E
⊂A
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
f (E) = {y ∈ B ∣ ∃x ∈ E, y = f (x)}.
Îïðåäåëåíèå.
Ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà C
⊂B
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
f −1 (C) = {x ∈ A ∣ f (x) ∈ C}.
Ïðèìåð 2.1. Ïóñòü
A = B = R, f (x) = x2 Ô⇒ f −1 (1) = {1, −1}, f −1 (−1) = ∅.
Ïðèìåð 2.2. Ïóñòü
A = B = R+ , f (x) = x2 Ô⇒ f −1 (1) = {1}.
Ïðèìåðû ôóíêöèé.
Ïóñòü f ∶ A → B.
1. A ⊂ R, B ⊂ R. f íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâîé ôóíêöèåé ;
2. A ïðîèçâîëüíî, B ⊂ R. f íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëîì ;
3. A = N, B ïðîèçâîëüíî. f íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, à ïðè
B ⊂ R ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.
Îáîçíà÷åíèå:
fn , {fn }∞
n=1 âìåñòî f (n).
2 Äàëåå ôóíêöèè îáîçíà÷àþòñÿ áåç àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f . Îáîçíà÷åíèå f(x) áóäåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ óêàçàíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f íà ýëåìåíòå(â òî÷êå) x.
Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ
Îïðåäåëåíèå.
ìíîæåñòâà
9
Ãðàôèêîì îòîáðàæåíèÿ
A × B,
f ∶A→B
íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî
Γf
òàêîå ÷òî:
Γf = {(a, b) ∈ A × B ∣ a ∈ A, b = f (a)}.
Îïðåäåëåíèå. Îòîáðàæåíèå
A → C,
ïîëó÷àþùååñÿ â ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëü-
íîãî âûïîëíåíèÿ äâóõ îòîáðàæåíèé
f
g
A ÐÐ→ B ÐÐ→ C
íàçûâàåòñÿ
êîìïîçèöèåé îòîáðàæåíèé
g è f . Îáîçíà÷åíèå: g ○f . Òàêèì îáðàçîì,
∀x ∈ A (g ○ f )(x) ∶= g(f (x)).
Ðèñ. 9.
Êîìïîçèöèÿ
g○f
Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé f è g
îïðåäåëåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îáðàç
ìíîæåñòâå, íà êîòîðîì îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå
Çàäà÷à 1.
f ○g
f
ñîäåðæèòñÿ â
g.
Ïðèâåäèòå ïðèìåð ñèòóàöèè, êîãäà êîìïîçèöèÿ
g○f
îïðåäåëåíà, à
íåò. Ýòèì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî îïåðàöèÿ êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé, âîîáùå
ãîâîðÿ, íå êîììóòàòèâíà.
Êîìïîçèöèþ òð¼õ îòîáðàæåíèé
f
g
h
A ÐÐ→ B ÐÐ→ C ÐÐ→ D
ìîæíî âû÷èñëÿòü äâóìÿ ñïîñîáàìè: êàê
(h ○ g) ○ f èëè h ○ (g ○ f ).  îáîèõ ñëó÷àÿõ
x ∈ A â òî÷êó h(g(f (x))) ∈ D. Èíà÷å
ïîëó÷èòñÿ îòîáðàæåíèå, ïåðåâîäÿùåå òî÷êó
ãîâîðÿ, êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé àññîöèàòèâíà:
(h ○ g) ○ f = h ○ (g ○ f ).
Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ
?
10
Çàâèñèò ëè êîìïîçèöèÿ íåñêîëüêèõ îòîáðàæåíèé
f1 ○ f2 ○ . . . ○ fn
(åñëè îíà îïðåäåëåíà) îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê?
?
Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ.
Êàêèå èç îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè íå ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè? Ò.å. íå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
A ∗ B = B ∗ A.
Ìîæåò ëè ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A ∖ B áûòü ïóñòûì?
Êàêèå îáúåêòû ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ A è B?
ÃËÀÂÀ
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Ïðèíöèïû
II
ïîëíîòû.
1
Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
Áóäåì ñ÷èòàòü ìíîæåñòâà N íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, Z öåëûõ ÷èñåë è Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë èçâåñòíûìè.
Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ (äåéñòâèòåëüíûõ) ÷èñåë, R.
Ñåêöèÿ 1. Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ
÷èñåë
Ñåêöèÿ 2. Îãðàíè÷åííûå è
íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Ñåêöèÿ 3. Ïðèíöèï âëîæåííûõ
îòðåçêîâ
Ñåêöèÿ 4. Ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé
Ñåêöèÿ 5. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà
?
Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò âåùåñòâåííûå ÷èñëà ïî
ñðàâíåíèþ ñ ðàöèîíàëüíûìè?
×òî ó íèõ îáùåãî? ×òî ðàçëè÷íîãî?
Êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ýëåìåíòû
ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë?
I. Ïðàâèëà ñëîæåíèÿ.
Àêñèîìàòèêà âåùåñòâåííûõ
÷èñåë
Íà ìíîæåñòâå R îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå (îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ)
+ ∶ R × R ↦ R,
ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðå (x, y) ýëåìåíòîâ x, y ∈ R
íåêîòîðûé ýëåìåíò x + y ∈ R, íàçûâàåìûé ñóììîé x è y . Ïðè ýòîì,
âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
I1 . ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò 0 ∈ R (íàçûâàåìûé â ñëó÷àå
ñëîæåíèÿ íóë¼ì ), ÷òî ∀x ∈ R âûïîëíåíî:
x + 0 = 0 + x = x;
I2 . ∀x ∈ R èìååòñÿ ýëåìåíò −x ∈ R, íàçûâàåìûé ïðîòèâîïîëîæíûì ê
x, òàêîé ÷òî
x + (−x) = (−x) + x = 0;
I3 . îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ àññîöèàòèâíà, ò.å. ∀x, y, z ∈ R âûïîëíåíî:
x + (y + z) = (x + y) + z;
I4 . îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ êîììóòàòèâíà, ò.å. ∀x, y ∈ R âûïîëíåíî:
x + y = y + x.
Åñëè íà ìíîæåñòâå
11
G
îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì
I1 , I2 ,
Àêñèîìàòè÷åñêèé
ìåòîä îáëàäàåò òåìè æå
ïðåèìóùåñòâàìè, ÷òî è
âîðîâñòâî ïåðåä ÷åñòíûì
òðóäîì.
Á. Ðàññåë
Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
I3 ,
G
òî ãîâîðÿò, ÷òî íà
12
çàäàíà
ñòðóêòóðà ãðóïïû èëè, ÷òî
îïåðàöèþ íàçûâàþò ñëîæåíèåì, òî ãðóïïà íàçûâàåòñÿ
âûïîëíåíî óñëîâèå
Îïðåäåëåíèå.
I4 ,
òî ãðóïïó íàçûâàþò
Ðàçíîñòü ÷èñåë
bè a
Óòâåðæäåíèå 1.1. Ðàçíîñòü ÷èñåë
G
åñòü
ãðóïïà. Åñëè
àääèòèâíîé. Åñëè, êðîìå òîãî,
êîììóòàòèâíîé èëè àáåëåâîé.
ýòî òàêîå ÷èñëî
x,
÷òî
b = a + x.
b è a ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííà è ðàâíà b +(−a).
+(−a)
Äîêàçàòåëüñòâî.
b = a + x ⇐⇒ b + (−a) = x.
II. Ïðàâèëà óìíîæåíèÿ.
Íà ìíîæåñòâå R îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå (îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ)
⋅ ∶ R × R ↦ R,
ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðå (x, y) ýëåìåíòîâ x, y ∈ R
íåêîòîðûé ýëåìåíò x ⋅ y ∈ R, íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì x è y , äëÿ
êîòîðîãî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
II1 . ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò 1 ∈ R (íàçûâàåìûé â ñëó÷àå
a
óìíîæåíèÿ åäèíèöåé ), ÷òî ∀x ∈ R âûïîëíåíî:
x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x;
II2 . ∀x ∈ R ∖ {0} èìååòñÿ ýëåìåíò x−1 ∈ R, íàçûâàåìûé îáðàòíûì ê x,
òàêîé ÷òî
x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1;
II3 . îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ àññîöèàòèâíà, ò.å. ∀x, y, z ∈ R âûïîëíåíî:
x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z;
II4 . îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ êîììóòàòèâíà, ò.å. ∀x, y ∈ R âûïîëíåíî:
x ⋅ y = y ⋅ x.
Çàìåòèì, ÷òî ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìíîæåñòâî R ∖ {0}
ÿâëÿåòñÿ (ìóëüòèïëèêàòèâíîé) ãðóïïîé.
a Òðåáóåì, ÷òîáû 1 ≠ 0, ò.å., ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà íå ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà.
Ñâÿçü ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.
(I, II) Óìíîæåíèå äèñòðèáóòèâíî ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþ, ò.å. ∀x, y, z ∈ R
âûïîëíåíî:
(x+y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z.
Åñëè íà ìíîæåñòâå G äåéñòâóþò äâå îïåðàöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå âñåì ïåðå÷èñëåííûì ïðàâèëàì (àêñèîìàì), òî G íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì (÷èñëî-
âûì) ïîëåì, èëè ïðîñòî ïîëåì.
Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
13
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî îáðàòíûé ýëåìåíò åäèíñòâåíåí êàê äëÿ îïåðàöèè ñëî-
æåíèÿ, òàê è äëÿ óìíîæåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì ðàññóæäåíèÿ äëÿ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ. Ïóñòü
è äâà åìó ïðîòèâîïîëîæíûõ
x1
è
x2
:
x + x1 = 0 , x + x2 = 0 .
∃x ∈ R
Òîãäà, èñïîëüçóÿ
àññîöèàòèâíîñòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì:
x2 = 0 + x2 = (x1 + x) + x2 = x1 + (x + x2 ) = x1 + 0 = x1 .
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî
Äîêàçàòåëüñòâî.
∀x ∈ R
Ïîëó÷àåì,
âûïîëíåíî
0 ⋅ x = 0.
0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x.
Ïðèáàâèì ê îáåèì ÷àñòÿì ýòîãî ðàâåíñòâà îáðàòíûé ýëåìåíò
−(0 ⋅ x):
−(0 ⋅ x) + 0 ⋅ x = −(0 ⋅ x) + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x ⇔ 0 = 0 ⋅ x.
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî
Äîêàçàòåëüñòâî.
∀x ∈ R
âûïîëíåíî
−x = (−1) ⋅ x.
(−1)
Ïîëó÷àåì,
óïð.
x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0.
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî
Äîêàçàòåëüñòâî.
ñòâà:
(−1) ⋅ 0 = 0
è
(−1) ⋅ (−1) = 1.
Èñïîëüçóÿ, äîêàçàííûå â ïðåäûäóùèõ óïðàæíåíèÿõ ðàâåí-
(−1) ⋅ 1 = −1,
ïîëó÷àåì:
∣⋅(−1)
∣+1
1 + (−1) = 0 ⇐⇒ −1 + (−1) ⋅ (−1) = 0 ⇐⇒ (−1) ⋅ (−1) = 1
III. Ïðàâèëà ïîðÿäêà.
Ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ýëåìåíòàìè èç R èìååòñÿ îòíîøåíèå íåðàâåí-
ñòâà a ½ ⩽“ , êîòîðîå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îòîáðàæåíèå
R × R ↦ {èñòèíà, ëîæü},
ò.å. ∀x, y ∈ R óñòàíîâëåíî, âûïîëíÿåòñÿ ëè îòíîøåíèå x ⩽ y èëè íåò. Ïðè
ýòîì äîëæíû áûòü ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
III1 . ∀x ∈ R âûïîëíåíî x ⩽ x
(ðåôëåêñèâíîñòü) ;
III2 . èç x ⩽ y è y ⩽ x ñëåäóåò x = y
(àíòèñèììåòðè÷íîñòü) ;
îáðàòíûé ýëåìåíò ê
1
Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
14
III3 . èç x ⩽ y è y ⩽ z ñëåäóåò x ⩽ z
(òðàíçèòèâíîñòü) ;
III4 . ∀x, y ∈ R âûïîëíåíî èëè x ⩽ y , èëè y ⩽ x.
íåêîòîðûìè ýëåìåíòàìè êîòîðîãî èìååòñÿ îòíîøåíèå íåðàâåíñòâà, óäîâëåòâîðÿþùåå ñâîéñòâàì III1 , III2 , III3 íàçûâàþò
÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì, à åñëè êðîìå òîãî, âûïîëíåíî ñâîéñòâî III4 ,
Ìíîæåñòâî, ìåæäó
ò.å. ëþáûå äâà ýëåìåíòà ìíîæåñòâà ñðàâíèìû, òî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì.
a Áèíàðíîå îòíîøåíèå.
Çàäà÷à 1.
Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîåãî îáú¼ìëþùå-
ãî ìíîæåñòâà
÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åíî, åñëè îïðåäåëèòü
M1 ⩽ M2 , åñëè M1 ⊂ M2 .
ìåæäó íèìè ñëåäóþùåå
îòíîøåíèå ïîðÿäêà:
Çàäà÷à
2.
óïîðÿäî÷åíî
Äîêàæèòå,
(íî
íå
ñëåäóþùåå îòíîøåíèå
÷òî
ìíîæåñòâî
âïîëíå óïîðÿäî÷åíî),
ïîðÿäêà: n ⩽ m, åñëè n
íàòóðàëüíûõ
åñëè
÷èñåë
îïðåäåëèòü
÷àñòè÷íî
ìåæäó
äåëèòñÿ áåç îñòàòêà íà
íèìè
m.
(I, III) Ñâÿçü ñëîæåíèÿ è ïîðÿäêà â R:
∀x, y ∈ R, x ⩽ y è ∀z ∈ R Ô⇒ x + z ⩽ y + z;
(II, III) Ñâÿçü óìíîæåíèÿ è ïîðÿäêà â R:
Äëÿ x, y, z ∈ R, òàêèõ ÷òî x ⩽ y è 0 ⩽ z âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:
x ⋅ z ⩽ y ⋅ z.
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî
0 < 1a .
a Ïîä îáîçíà÷åíèåì ¾x < y ¿ ïîíèìàåòñÿ x ⩽ y è x ≠ y .
1≠0
II1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
1 < 0, è ïðèáàâèì ê îáåèì ÷àñòÿì äàííîãî íåðàâåíñòâà (−1). Ïîëó÷àåì: 0 < −1.
a
Ïåðåìíîæàÿ äàííîå íåðàâåíñòâî ñ ñàìèì ñîáîé , è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî (II,III),
óïð.
èìååì 0 < (−1) ⋅ (−1) = 1. Ïðîòèâîðå÷èå!
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òî, ÷òî
áûëî ïîñòóëèðîâàíî â
a Ò.å. äîìíîæàÿ îáå ÷àñòè íà (−1), è èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî 0 < −1.
NB !
Çàìåòèì, ÷òî âñåì óæå ïåðå÷èñëåííûì óñëîâèÿì (àêñèîìàì) óäîâëåòâîðÿåò è ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q, íî âîò ñëåäóþùåìó òðåáîâàíèþ ìíîæåñòâî Q óæå íå îòâå÷àåò.
Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
15
a
IV. Ïðèíöèï ïîëíîòû Êàíòîðà-Äåäåêèíäà .
Åñëè X è Y íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà R, îáëàäàþùèå òåì ñâîéñòâîì,
â âåùåñòâåííûõ ÷èñëàõ íåò
¾äûðîê¿.
b
÷òî äëÿ ∀x ∈ X è ∀y ∈ Y âûïîëíåíî x ⩽ y , òî ∃c ∈ R (íàçûâàåìûé ðàçäå-
ëÿþùèì ýëåìåíòîì ), ÷òî x ⩽ c ⩽ y äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x ∈ X è y ∈ Y.
a Àêñèîìà ïîëíîòû/íåïðåðûâíîñòè.
b  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî
æåñòâî
NB !
X ëåæèò
ëåâåå ìíîæåñòâà
Y
Y
ëåæèò ïðàâåå ìíîæåñòâà
X, èëè ÷òî
ìíî-
Âàæíûì ôàêòîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ýëåìåíò c íàéä¼òñÿ íå äëÿ êàæäîé
ïàðû x è y â îòäåëüíîñòè, à îí îäèí è òîò æå äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ
èç äàííûõ ìíîæåñòâ.
Ïðèìåð 1.1.
x=
√
Ñóùåñòâîâàíèå
√
2.
2 ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå â êâàäðàòå ðàâíî 2.
?
Ñóùåñòâóåò ëè ó óðàâíåíèÿ x
2
= 2
êîðåíü âî ìíîæå-
ñòâå R?
Ðèñ. 10.
êâàäðàòà
Âîïðîñ àêòóàëåí, ò.ê., íàïðèìåð, âî ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q ýòî
óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ñóùåñòâóåò
äðîáü
p
,
q
p
p2
q2
íåñîêðàòèìàÿ
p−÷¼òíîå
p2 =2q 2
= 2 ⇔ p2 = 2q 2 Ô⇒ p = 2k Ô⇒ p2 = 4k2 Ô⇒ q 2 = 2k2 .
Òî åñòü, q òàêæå ÷¼òíî, à çíà÷èò äðîáü
?
2
äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ( q ) = 2
p
q
ñîêðàòèìà.
Ïðîòèâîðå÷èå(!)
Ìîæåò áûòü, óðàâíåíèå x = 2 âîîáùå íå èìååò ðåøåíèé?
2
Äîêàæåì, ÷òî ýòî íå òàê.
Ðàññìîòðèì äâà ìíîæåñòâà A = {x > 0 ∣ x < 2} è B = {x > 0 ∣ x > 2}. Èìååì 1 ∈ A,
2
2
2 ∈ B, ïîýòîìó äàííûå ìíîæåñòâà íå ïóñòû.
Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî A ëåæèò ëåâåå ìíîæåñòâà B. ∀a ∈ A è ∀b ∈ B ïîëó>0
³¹¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ µ
÷àåì: 0 < b − a = (b − a) (b + a) ⇒ b − a > 0 ⇔ a < b. Ïî ïðèíöèïó Êàíòîðà-Äåäåêèíäà
a
ïîëó÷àåì, ÷òî ∃c ∈ R : ∀a ∈ A è ∀b ∈ B âûïîëíåíî a ⩽ c ⩽ b . Äîêàæåì, ÷òî
2
2
2
c = 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî c < 2 (ñëó÷àé c > 2 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî).
2
Íàéä¼ì δ ∈ (0, 1) : c + δ > 0 è (c + δ) < 2.
2
2
Åñëè ìû íàéä¼ì òàêîå δ , òî ïîëó÷èòñÿ, ÷òî c + δ ∈ A, íî c + δ > c, ò.å. c íå
ðàçäåëÿþùèé ýëåìåíò.
Çàìåòèì, ÷òî
(c + δ)2 = c2 + δ(2c + δ) < b < c2 + 5δ.
Äèàãîíàëü åäèíè÷íîãî
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Ïîëîæèì δ =
2−c2
5
16
> 0, äëÿ íåãî (c + δ)2 < 2.
a Ðàçäåëÿþùèé ýëåìåíò c è åñòü ¾êàíäèäàò¿ íà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ x2 = 2. Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, 1 < c < 2.
b c < 2, δ < 1
Çàì.
Ïðè àêñèîìàòè÷åñêîì îïðåäåëåíèè îáúåêòà âîçíèêàþò òðè âîïðîñà.
?
ßâëÿåòñÿ ëè ïîñòðîåííàÿ ñèñòåìà àêñèîì
íåïðîòèâîðå÷èâîé (ò.å. íå ñëåäóåò ëè èç íå¼
1.
îäíîâðåìåííî íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå è
åãî îòðèöàíèå)?
íåçàâèñèìîé (ò.å. íå ÿâëÿåòñÿ ëè îäíà èç
2.
àêñèîì ñëåäñòâèåì îñòàëüíûõ)?
ïîëíîé (ò.å. åäèíñòâåííûé ëè îáúåêò îïè-
3.
ñûâàåòñÿ ñèñòåìîé àêñèîì)?
Ìû íå áóäåì îáñóæäàòü ýòè âîïðîñû è ïðèìåì íà âåðó, ÷òî äëÿ ïðèâåä¼ííîé àêñèîìàòèêè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë îòâåò íà íèõ, ïîñëå íåêîòîðûõ
óòî÷íåíèé, ïîëîæèòåëåí.
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî
R, ýëåìåíòû êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò âñåì ïåðå÷èñëåí-
íûì óñëîâèÿì (àêñèîìàì) íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ (èëè âå-
ùåñòâåííûõ ) ÷èñåë.
Çàäà÷à 3.
Äëÿ êàæäîãî èç ìíîæåñòâ
N, Z, Q, C
óêàæèòå, êàêèå èç àêñèîì äåé-
ñòâèòåëüíûõ ÷èñåë â íèõ íå âûïîëíÿþòñÿ.
2
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî
ìíîæåñòâî X
⊂ R îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ñíèçó),
åñëè
∃M ∈ R ∶ ∀x ∈ X Ô⇒ x ⩽ M (M ⩽ x).
×èñëî
M,
èëè òàêæå
â ýòîì ñëó÷àå, íàçûâàþò
âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíèöåé ìíîæåñòâà X
ìàæîðàíòîé (ìèíîðàíòîé) ìíîæåñòâà X.
Îòðèöàíèå. Ìíîæåñòâî
X ⊂ R íå îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ñíèçó), åñëè
∀M ∈ R ∃x ∈ X ∶ x > M (x < M ).
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî, îãðàíè÷åííîå è ñâåðõó, è ñíèçó, íàçûâàåòñÿ
îãðàíè÷åí-
íûì.
Çàì.
Åñëè M (m) âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíèöà ìíîæåñòâà X, òî âñÿêîå ÷èñëî
áîëüøåå M (ìåíüøåå m) òîæå âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíèöà ìíîæåñòâà X.
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Çàì.
17
Îãðàíè÷åííîñòü ìíîæåñòâà X ðàâíîñèëüíà ¾îãðàíè÷åííîñòè ïî ìîäóëþ¿,
ò.å.
X − îãðàíè÷åíî ⇐⇒ ∃L > 0 ∶ ∀x ∈ X Ô⇒ ∣x∣ ⩽ L.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ∃m, M ∈ R : ∀x ∈ X ⇒ m ⩽ x ⩽ M . Áåð¼ì â
êà÷åñòâå L = max{∣m∣, ∣M ∣}.
Îáðàòíî, âûáèðàåì m = −∣L∣, M = ∣L∣.
Îïðåäåëåíèå. ×èñëî
a
íàçûâàåòñÿ
ìàêñèìóìîì èëè íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì
(ìèíèìóìîì èëè íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì) ìíîæåñòâà X
a∈X
Îáîçíà÷åíèå:
NB !
è
⊂ R,
åñëè
∀x ∈ X Ô⇒ x ⩽ a (a ⩽ x).
a = max X (a = min X)
Èç óñëîâèÿ III2 ïîðÿäêà ñëåäóåò, ÷òî åñëè â ÷èñëîâîì ìíîæåñòâå åñòü
ìàêñèìàëüíûé (ìèíèìàëüíûé) ýëåìåíò, òî îí òîëüêî îäèí. Îäíàêî, íå
âî âñÿêîì, äàæå îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå èìååòñÿ ìàêñèìàëüíûé èëè
ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò.
Çàäà÷à 1.
Äîêàæèòå, ÷òî âî ìíîæåñòâå
{x ∈ R ∣ 0 < x < 1} = (0, 1)
íåò, íè ìèíèìàëüíîãî, íè ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà.
?
 êàêèõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâàõ âñåãäà åñòü íàèáîëüøèé è
íàèìåíüøèé ýëåìåíòû?
Òåîðåìà 1. (ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà). Âî âñÿêîì
êîíå÷íîì íåïóñòîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà
R
åñòü íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé
ýëåìåíòû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðîâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî èíäóêöèåé ïî ÷èñëó
ìíîæåñòâà. Áàçà èíäóêöèè
n = 1.
n
ýëåìåíòîâ
Åñëè âî ìíîæåñòâå âñåãî îäèí ýëåìåíò, òî îí
íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé.
Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä ïðîâåä¼ì äëÿ ìàêñèìóìà. Ïóñòü âñÿêîå
ïîäìíîæåñòâî
R
èìååò ìàêñèìóì, à
X
(n + 1)-ýëåìåíòíîå
n-ýëåìåíòíîå
ïîäìíîæåñòâî:
X = {x1 , . . . , xn , xn+1 }.
Îáîçíà÷èì
c = max{x1 , . . . , xn }. Åñëè c ⩽ xn+1 , òî xn+1 = max X, èíà÷å c = max X.
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Ñëåäñòâèå
Z
1.
18
Âî âñÿêîì íåïóñòîì îãðàíè÷åííîì ñâåðõó (ñíèçó) ïîäìíîæåñòâå
åñòü íàèáîëüøèé (íàèìåíüøèé) ýëåìåíò.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, äîêàæåì äàííîå óòâåðæäåíèå äëÿ
îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ìíîæåñòâà. Ïóñòü
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò
n0 ∈ E,
E ⊂ Z, E ≠ ∅, E îãðàíè÷åíî
E1 = {n ∈ E ∣ n ⩾ n0 }.
ñâåðõó.
è ïîëîæèì
E îãðàíè÷åíî ñâåðõó, ìíîæåñòâî E1 êîíå÷íî. Åñëè M ∈ N
îäíà èç âåðõíèõ ãðàíèö ìíîæåñòâà E, òî â ìíîæåñòâå E1 íå áîëåå (M − n0 + 1)
ýëåìåíòîâ. Ïî òåîðåìå 1 â ìíîæåñòâå E1 åñòü íàèáîëüøèé ýëåìåíò. ßñíî, ÷òî
îí è áóäåò íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì E.
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî
Íà ñàìîì äåëå, äàííîå óòâåðæäåíèå ðàâíîñèëüíî ïðèíöèïó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü òåîðåìà 1 âåðíà. Äîêàæåì, ÷òî: íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî n, åñëè:
1. îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ n = 1 è
2. èç ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ äëÿ êàêîãî-ëèáî ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî n = k ñëåäóåò åãî ñïðàâåäëèâîñòü äëÿ n = k + 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò.å. ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåð-
æäåíèå ñïðàâåäëèâî íå äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî n. Òîãäà ñóùåñòâóåò
òàêîå íàòóðàëüíîå m, ÷òî:
1. óòâåðæäåíèå äëÿ n=m íåñïðàâåäëèâî,
2. äëÿ âñÿêîãî n, ìåíüøåãî m, óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî (èíûìè
ñëîâàìè, m åñòü ïåðâîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî óòâåðæäåíèå íåñïðàâåäëèâî).
Î÷åâèäíî, ÷òî m > 1, òàê êàê äëÿ n = 1 óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî
(óñëîâèå 1.). Ñëåäîâàòåëüíî, m - 1 íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Âûõîäèò, ÷òî
äëÿ
íàòóðàëüíîãî
÷èñëà m - 1 óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, à äëÿ ñëåäó-
þùåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m îíî íåñïðàâåäëèâî. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò
óñëîâèþ 2.
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî â ëþáîé ñîâîêóïíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñîäåðæèòñÿ íàèìåíüøåå. Ïîýòîìó, ëþáîå èç ýòèõ óòâåðæäåíèé ìîæíî
ïðèíÿòü çà îäíó èç àêñèîì, îïðåäåëÿþùèõ íàòóðàëüíûé ðÿä, òîãäà äðóãîå
áóäåò òåîðåìîé. Îáû÷íî çà àêñèîìó ïðèíèìàþò ñàì ïðèíöèï ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, íàçûâàÿ åãî àêñèîìîé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
x ∈ R. Íàèáîëüøåå öåëîå
öåëîé ÷àñòüþ x. Îáîçíà÷åíèå: [x].
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü
âàåòñÿ
÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå
x,
íàçû-
Ñóùåñòâîâàíèå öåëîé ÷àñòè îáåñïå÷èâàåòñÿ ñëåäñòâèåì èç òåîðåìû 1; åäèíñòâåííîñòü
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
19
ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ, è åäèíñòâåííîñòè ìàêñèìóìà. Ñëåäîâàòåëüíî
îïðåäåëåíèå
êîððåêòíî.
Çàì.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
[x] ⩽ x < [x] + 1,
x − 1 < [x] ⩽ x.
Îáðàòíî, åñëè y ∈ Z è x − 1 < y ⩽ x, òî y = [x].
Îïðåäåëåíèå. Íàèìåíüøåå èç ÷èñåë, îãðàíè÷èâàþùèõ ìíîæåñòâî
íàçûâàåòñÿ
òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà
X.
Îáîçíà÷åíèå:
X ⊂ R
sup X.
ñâåðõó
Ñóïðåìóì.
β = sup X ⇐⇒ 1) ∀x ∈ X ⇒ x ⩽ β; 2) ∀β ′ < β ∃x ∈ X ∶ x > β ′ ⇐⇒
⇐⇒ 1) ∀x ∈ X ⇒ x ⩽ β; 2) ∀ε > 0 ∃x′ ∈ X ∶ x′ > β − ε.
Ðèñ. 11.
Ñóïðåìóì ìíîæåñòâà
Îïðåäåëåíèå. Íàèáîëüøåå èç ÷èñåë, îãðàíè÷èâàþùèõ ìíîæåñòâî
íàçûâàåòñÿ
òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà
X.
Îáîçíà÷åíèå:
X ⊂ R
inf X.
ñíèçó
Èíôèìóì.
α = inf X ⇐⇒ 1) ∀x ∈ X ⇒ x ⩾ α; 2) ∀α′ > α ∃x ∈ X ∶ x < α′ ⇐⇒
⇐⇒ 1) ∀x ∈ X ⇒ x ⩾ α; 2) ∀ε > 0 ∃x′ ∈ X ∶ x′ < α + ε.
Âûøå ãîâîðèëîñü, ÷òî íå âñÿêîå (äàæå îãðàíè÷åííîå) ìíîæåñòâî îáëàäàåò ìèíèìàëüíûì è ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòàìè. Âûÿñíèì âîïðîñ: âñåãäà ëè ó ÷èñëîâîãî
ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò åãî âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíü? Åñëè ìíîæåñòâî íå îãðàíè÷åíî
ñâåðõó (ñíèçó), òî íå ñóùåñòâóåò ÷èñåë, êîòîðûå áû îãðàíè÷èâàëè åãî ñâåðõó (ñíèçó).
Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå ó ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà íåò âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíè.
Åñëè æå ìíîæåñòâî îãðàíè÷åíî, îòâåò äà¼ò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
a
Òåîðåìà 2. (ïðèíöèï ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ).
íè÷åííîå ñâåðõó ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî
X
Âñÿêîå íåïóñòîå îãðà-
èìååò, è ïðèòîì åäèíñòâåííóþ, òî÷íóþ
âåðõíþþ ãðàíü.
a Ïðèíöèï ïîëíîòû Âåéåðøòðàññà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åäèíñòâåííîñòü òî÷íîé ãðàíè ìîìåíòàëüíî ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà, íî äîêàæåì å¼ íåïîñðåäñòâåííî.
Âòîðîé ïðèíöèï ïîëíîòû
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
20
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäîå èç ÷èñåë b è b′ (b ≠ b′ ) ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ
X. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî b > b′ . Òîãäà, â ñèëó òîãî, ÷òî b =
sup X, èç îïðåäåëåíèÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ÷èñëà b′ íàéä¼òñÿ
x ∈ X, ÷òî x > b′ . Ñëåäîâàòåëüíî, b′ íå ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíèöåé. Ïðîòèâîðå÷èå,
äîêàçûâàþùåå, ÷òî òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü åäèíñòâåííà.
ñóùåñòâîâàíèå âåðõíåé ãðàíè. Ïóñòü X ⊂ R íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå
ñâåðõó ìíîæåñòâî, à Y = {y ∈ R ∣ ∀x ∈ X ⇒ x ⩽ y} ìíîæåñòâî âåðõíèõ ãðàíèö
ìíîæåñòâà X. Ïî óñëîâèþ, X ≠ ∅ è Y ≠ ∅. Òîãäà â ñèëó ïðèíöèïà ïîëíîòû
Êàíòîðà-Äåäåêèíäà íàéä¼òñÿ ÷èñëî γ ∈ R òàêîå, ÷òî ∀x ∈ X è ∀y ∈ Y âûïîëíåíî:
Äîêàæåì
x ⩽ γ ⩽ y.
γ , òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿåòñÿ ìàæîðàíòîé X, è ìèíîðàíòîé Y. Êàê ìàæîðàíòà X, ÷èñëî γ ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà Y, íî êàê ìèíîðàíòà Y, ÷èñëî
γ ÿâëÿåòñÿ åãî ìèíèìàëüíûì ýëåìåíòîì. Èòàê, γ = min Y = sup X.
×èñëî
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü òî÷íîé
íèæíåé
ãðàíè
ó îãðàíè÷åííîãî ñíèçó ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà, ò.å. âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
2∗ . (ïðèíöèï ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíè) Âñÿêîå íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå ñíèçó ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî èìååò, è ïðèòîì åäèíñòâåííóþ, òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü.
Òåîðåìà
NB !
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî îáëàäàåò ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì, òî îí âñåãäà ñîâïàäàåò ñ åãî òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ. Îáðàòíîå
íåâåðíî. Íàïðèìåð, ó ìíîæåñòâà X = (0, 1) íåò ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà,
íî ∃ sup X = 1.
Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ èìåþò ìåñòî è äëÿ inf / min.
Òåîðåìà 3. (ïðèíöèï Àðõèìåäà). Êàêîâî áû íè áûëî äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî
ùåñòâóåò òàêîå
íàòóðàëüíîå n,
÷òî
a,
ñó-
n > a.
Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ∃a ∈ R, ÷òî ∀n ∈ N âûïîëíåíî n ⩽ a.
Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî N îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Òîãäà ïî òåîðåìå 2 ∃ sup N = γ .
∗
∗
∗
∗
Äàëåå, ò.ê. γ − 1 < γ , òî ∃n ∈ N, ÷òî n > γ − 1, ò.å. n + 1 > γ , íî (n + 1) ∈ N.
Ïîýòîìó γ ≠ sup N. Ïðîòèâîðå÷èå!
Äîêàçàòåëüñòâî.
ãåîìåòðè÷åñêè : ëþñîèçìåðèìû. Ò.å. êàêèìè áû íè áûëè îòðåçêè, îäèí ìîæíî
Ó äðåâíèõ ãðåêîâ äàííîå óòâåðæäåíèå ôîðìóëèðîâàëîñü
áûå äâà îòðåçêà
îòëîæèòü íåñêîëüêî ðàç, òàê ÷òîáû ýòà ñóììà ñòàëà áîëüøå äðóãîãî.
Òåîðåìà 4. (ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë). Âî âñÿêîì èíòåðâàëå äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé åñòü ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî.
Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
Ðèñ. 12.
21
Ñîèçìåðèìîñòü îòðåçêîâ
1
a, b ∈ R è a < b. Òîãäà b−a
> 0, è ïî ïðèíöèïó Àðõèìåäà
[na]+1
∃n ∈ N, ÷òî n >
< b − a. Ïîëîæèì c = n . Òîãäà c ∈ Q è c > na−1+1
= a,
n
na+1
1
c ⩽ n = a + n < a + b − a = b Ô⇒ c ∈ (a, b).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
1
1
, ò.å.
b−a
n
Ñâîéñòâî, âûðàæåííîå â òåîðåìå 4, íàçûâàþò
ìíîæåñòâå
(âñþäó) ïëîòíîñòüþ ìíîæåñòâà
Q âî
R.
Ñëåäñòâèå
1.
Âî âñÿêîì èíòåðâàëå
Äîêàçàòåëüñòâî.
Îò ïðîòèâíîãî.
áåñêîíå÷íî ìíîãî
Ïóñòü â íåêîòîðîì èíòåðâàëå
ñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë êîíå÷íî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
ãäà â èíòåðâàëå
(a, x1 )
ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
x1
(a, b)
êîëè÷å-
íàèìåíüøåå èç íèõ. Òî-
íåò íè îäíîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà, ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò
òåîðåìå 4.
3
Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà
÷èñëîâûõ îòðåçêîâ
{[an , bn ]}n=1
∞
íàçûâàåòñÿ
ñèñòåìîé
an , bn ∈ R.
âëîæåííûõ îòðåçêîâ, åñëè
a1 ⩽ a2 ⩽ . . . ⩽ an ⩽ . . . ⩽ bn ⩽ . . . ⩽ b2 ⩽ b1 ,
ò.å. êàæäûé ñëåäóþùèé îòðåçîê
[an+1 , bn+1 ]
ñîäåðæèòñÿ â ïðåäûäóùåì
(∗)
[an , bn ]:
[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . .
Ðèñ. 13.
Âëîæåííûå îòðåçêè
Òåîðåìà 5. (ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ Êàíòîðà). Âñÿêèé íàáîð âëîæåííûõ îòðåçêîâ èìååò õîòÿ áû îäíó îáùóþ òî÷êó. Áîëåå òîãî, åñëè ñðåäè ýòèõ îòðåçêîâ âñòðå÷àþòñÿ
îòðåçêè ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíûa ,
òî òàêàÿ îáùàÿ òî÷êà
åäèíñòâåííàÿ.
a Ò.å. ∀ε > 0 ∃[a, b] ∈ {[an , bn ]}∞ ∶ b − a < ε.
n=1
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
A = {an }
ìíîæåñòâî ëåâûõ êîíöîâ îòðåçêîâ, à
B = {bn } ìíîæåñòâî ïðàâûõ êîíöîâ. Äàííûå ìíîæåñòâà íåïóñòûå. Â ñèëó íåðà-
Òðåòèé ïðèíöèï ïîëíîòû
Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
âåíñòâ
(∗)
æåñòâî
B
ïîëó÷àåì, ÷òî ìíîæåñòâî
îãðàíè÷åíî ñíèçó (ëþáûì
ãðàíåé ñóùåñòâóþò
Ò.ê.
α
22
sup A
è
inf B,
îãðàíè÷èâàåò ìíîæåñòâî
âàþùèõ ìíîæåñòâî
B
A
îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ëþáûì
an ).
à ìíî-
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèíöèïó òî÷íûõ
êîòîðûå ìû îáîçíà÷èì
B ñíèçóa ,
bn ),
à
ñíèçó, òî âûïîëíåíî
α
β íàèáîëüøåå
α ⩽ β . Ïîýòîìó,
è
β
ñîîòâåòñòâåííî.
èç ÷èñåë, îãðàíè÷è-
∞
∀n ∈ N Ô⇒ an ⩽ α ⩽ β ⩽ bn Ô⇒ [α, β]b ⊂ ⋂ [an , bn ].
n=1
bn − an ⩾ β − α, ∀n ∈ N.
> 0) :
∃ε0 > 0 (íàïðèìåð, ε0 = β−α
2
Êðîìå òîãî, èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà âûòåêàåò, ÷òî
Îòêóäà, åñëè
α ≠ β,
ò.å.
β > α,
òî
∀n ∈ N Ô⇒ bn − an > ε0 ,
èëè ñðåäè âëîæåííûõ îòðåçêîâ íå âñòðå÷àþòñÿ îòðåçêè ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíû.
a Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ∃n ∈ N ∶ bn < α. Ò.ê. α = sup A, òî ∃m ∈ N ∶ am ∈ (bn , α), ò.å bn < am ,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâàì (∗).
b Äàííûé îòðåçîê ìîæåò ïåðåðîäèòüñÿ â òî÷êó.
Âèäíî, ÷òî ìû äîêàçàëè áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå, à èìåííî, ÷òî ëþáîé
íàáîð ïîïàðíî ïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêîâ èìååò õîòÿ áû îäíó îáùóþ òî÷êó
(ò.ê. âëîæåííîñòü îòðåçêîâ íàìè íèãäå íå èñïîëüçîâàëàñü).
Îïðåäåëåíèå. Åñëè äëÿ ñèñòåìû âëîæåííûõ îòðåçêîâ
{[an , bn ]}
âûïîëíåíî, ÷òî
∀ε > 0 ∃[a, b] ∈ {[an , bn ]}n=1 ∶ b − a < ε,
∞
òî äàííàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ
íèå:
ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìîé îòðåçêîâ a . Îáîçíà÷å-
bn − an ÐÐÐ→ 0.
a Èëè
n→∞
ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìîé ñåãìåíòîâ
(ñ.ñ.ñ.).
Óïðàæíåíèå. Äîêàæèòå ñïðàâåäëèâîñòü îáðàòíîãî óòâåðæäåíèÿ ê ïðèíöèïó âëî-
æåííûõ îòðåçêîâ Êàíòîðà. Ò.å., åñëè ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííàÿ
òî÷êà
ξ,
ïðè-
íàäëåæàùàÿ âñåì îòðåçêàì ñèñòåìû, òî äàííàÿ ñèñòåìà îòðåçêîâ ÿâëÿåòñÿ
ñòÿãèâàþùåéñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó âëîæåííûõ ñåãìåíòîâ
a
òî÷êè ,
sup{an } è inf{bn } çàâåäîìî îáùèå
ξ = sup{an } = inf{bn }. Ïî îïðåäåëåíèþ
íàéäóòñÿ òàêèå íîìåðà n1 è n2 , ÷òî:
ε
an1 > ξ − ,
2
òî
îíè
{[an , bn ]},
ñîâïàäàþò.
ò.ê.
Îáîçíà÷èì
òî÷íûõ ãðàíåé äëÿ çàäàííîãî
ε > 0
ε
bn2 < ξ + .
2
n1 < n2 , òîãäà ïîëó÷àåì: [an2 , bn2 ] ⊂
ε
ε
. Îòêóäà, bn2 − an2 < ξ +
− ξ + 2ε = ε. Èñïîëüçóÿ òî,
2
2
÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà ñåãìåíòîâ - âëîæåííàÿ, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî
[an1 , bn1 ],
è
an2 ⩾ an1 > ξ −
a Ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì îòðåçêàì ñè-
Òåîðåìà Õåëëè.
Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
23
ñòåìû
NB !
Äëÿ ñèñòåìû äðóãèõ òèïîâ ìíîæåñòâ äàííûé ôàêò óæå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò íå èìåòü ìåñòî. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñèñòåìó ïîëóèíòåð∞
1
], ∀n ∈ N, íî îáùåé òî÷êè ó
âàëîâ: {(0, n1 ]}n=1 . Èìååì (0, n1 ] ⊃ (0, n+1
a
äàííûõ ïîëóèíòåðâàëîâ íåò .
a Ñì. òàêæå ëåììó ïðè èçó÷åíèè ìîäåëè ìíîæåñòâà áåñêîíå÷íûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé äàëåå.
?
Ñóùåñòâóþò ëè ñèñòåìû ñòÿãèâàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ
(ïîëóèíòåðâàëîâ), èìåþùèå íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå?
Óòâåðæäåíèå
3.1. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî
ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ Êàíòîðà.
Êàíòîðà-Äåäåêèíäà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
èìååò
Òîãäà
ìåñòî
ïðèíöèï Àðõèìåäà è
ïðèíöèï ïîëíîòû
âûïîëíÿåòñÿ
Ïóñòü äëÿ âñÿêîé ñèñòåìû âëîæåííûõ îòðåçêîâ
íàéä¼òñÿ õîòÿ áû îäíà îáùàÿ òî÷êà
ξ,
{[an , bn ]}
à òàêæå ïóñòü êàêîâî áû íè áûëî äåé-
n ∈ N : n > a. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà X è Y,
îáëàäàþùèå òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y Ô⇒ x ⩽ y . Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò c ∈ R, ÷òî x ⩽ c ⩽ y äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x ∈ X è y ∈ Y.
ñòâèòåëüíîå ÷èñëî
a
íàéä¼òñÿ
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå
x1 ∈ X , y1 ∈ Y .
òî÷êà
x1 + y1
2
óæå ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâà
ìåíòîâ èç ìíîæåñòâà
ýëåìåíò
c
X,
x1 = y1 , òî c = x1 = y1 ðàçäå[x1 , y1 ] ïîïîëàì. Åñëè åãî ñåðåäèíà,
Åñëè
ëÿþùèé ýëåìåíò. Èíà÷å, ïîäåëèì îòðåçîê
X
è
Y,
ò.å. ïðàâåå ýòîé òî÷êè íåò ýëå-
à ëåâåå å¼ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà
Y,
òî ðàçäåëÿþùèé
íàìè íàéäåí.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ñ îäíîé èç ñòîðîí ñðåäíåé òî÷êè
íàéäóòñÿ ýëåìåíòû è èç ìíîæåñòâà
ýòó ïîëîâèíó ÷åðåç
[x2 , y2 ]a .
X,
è ýëåìåíòû èç ìíîæåñòâà
Y.
Îáîçíà÷èì
Ïîâòîðÿåì îïèñàííóþ ïðîöåäóðó åù¼ ðàç, è ò.ä.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå. Åñëè íàøå ïîñòðîåíèå çàêàí÷èâàåòñÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ, òî ðàçäåëÿþùèé ýëåìåíò áûë íàìè ïîñòðîåí. Åñëè æå íåò,
òî ìû ïîëó÷àåì ñòÿãèâàþùóþñÿ ñèñòåìó ñåãìåíòîâ, â êàæäîì èç êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû è èç ìíîæåñòâà
îòðåçêîâ, ñóùåñòâóåò òî÷êà
c,
X, è èç ìíîæåñòâà Y. Ïî ïðèíöèïó âëîæåííûõ
ïðèíàäëåæàùàÿ êàæäîìó îòðåçêó
[xn , yn ].
Äîêà-
æåì, ÷òî äàííàÿ òî÷êà è ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðàçäåëÿþùèì ýëåìåíòîì. Åñëè
Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
∃y ∈ Y
y < xn
24
y < c, òî ïî àêñèîìå Àðõèìåäà
yn − xn < c − y b ). Íî â ýòîì ñëó÷àå â
òàêîé, ÷òî
(ò.å.
X,
ýëåìåíòû ìíîæåñòâà
íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð
îòðåçêå
[xn , yn ]
n,
÷òî
îòñóòñòâóþò
÷òî ïðîòèâîðå÷èò íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ.
Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà
∃x ∈ X
è
x > c.
a Áåçóñëîâíî, íàìè íå óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî x ∈ X, à y ∈ Y, íî ýòî â äàííîì ñëó÷àå íå âàæíî.
2
2
b  ñèëó òîãî, ÷òî yn − xn = l < c − y = const, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî n.
2n
Çàì.
Çàì.
Îò ïðèíöèïà (àêñèîìû) Àðõèìåäà â óñëîâèÿõ òåîðåìû îòêàçàòüñÿ íåëüçÿ.
Ñóùåñòâóþò óïîðÿäî÷åííûå ïîëÿ (íåàðõèìåäîâû), â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ, íî íå âûïîëíåí ïðèíöèï Àðõèìåäà.
Íàìè áûëî äîêàçàíî, ÷òî â àðõèìåäîâûõ ïîëÿõ âñå òðè ¾ïðèíöèïà ïîëíîòû¿: ïðèíöèï Êàíòîðà-Äåäåêèíäà, ïðèíöèï òî÷íûõ ãðàíåé è ïðèíöèï
âëîæåííûõ îòðåçêîâ, âûâîäÿòñÿ îäèí èç äðóãîãî, à çíà÷èò ýêâèâàëåíòíû
äðóã äðóãó.
Èçîáðàçèì âñå âûøåñêàçàííîå â âèäå äèàãðàììû.
Ðèñ. 14.
Çàäà÷à 1.
a 0, ñòðîèì â í¼ì îòðåçîê In+1 , òàê ÷òî
Âîçüì¼ì
ñîäåðæàùèé
óæå
xn+1 ∉ In+1
c ∈ I0 =
xk .
è
∣In+1 ∣ > 0.
∞
Ïî ëåììå î âëîæåííûõ îòðåçêàõ
∃c ∈ ⋂ In ,
ïîýòîìó
n=0
[0, 1], è ïî ïîñòðîåíèþ îíî íå ìîæåò ñîâïàäàòü íè ñ îäíîé èç òî÷åê
Îïðåäåëåíèå. Ìîùíîñòü îòðåçêà
çíà÷åíèå:
[0, 1]
íàçûâàþò
ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà. Îáî-
c.
Óòâåðæäåíèå 5.3. Ìíîæåñòâî
an ∈ {0, 1, 2, 3}a ,
A
âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âèäà
{an }∞
n=1 ,
îò ëàò. continuum - íåïðåðûâíîå,
ñïëîøíîå.
ãäå
íåñ÷¼òíî.
a Ìíîæåñòâî ÷åòâåðè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Ïóñòü ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòâåðè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Äîêàçàòåëüñòâî.
ìîæíî ïðîíóìåðîâàòü.  ýòîì ñëó÷àå âñå îíè ìîãóò áûòü ðàñïîëîæåíû ïî ñòðîêàì áåñêîíå÷íîé ìàòðèöû. Âûäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç öèôð
{0, 1, 2, 3},
ñòîÿùóþ íà äèàãîíàëè è ½èíâåðòèðóåì“ å¼ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â
ìåíò
n-îé
n-îé
ïîçèöèè êîòîðîé ñòîèò íå
0,
íå
3,
è íå äèàãîíàëüíûé ýëå-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñòðîåííàÿ ÷åòâåðè÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íå ëåæèò â ðàññìàòðèâàåìîé ìàòðèöå. Ò.ê. îíà îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâîé ñòðîêè â
ïåðâîì ýëåìåíòå, îò âòîðîé âî âòîðîì, è ò.ä.
Ïîñòðîèì ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè îòðåçêà [0, 1] è ïîäìíîæåñòâîì äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì
ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî x ∈ [0, 1], è ðàçáèâàåì äàííûé îòðåçîê íà äâå ðàâíûå
÷àñòè: [0, 21 ] è [ 21 , 1]. Åñëè x ëåæèò â ëåâîì ñåãìåíòå, ïîëîæèì x1 = 0, åñëè
a
â ïðàâîì - x1 = 1 . Äàëåå, ðàçáèâàåì ñåãìåíò, â êîòîðîì ëåæèò x íà äâå
ðàâíûå ÷àñòè, åñëè x ëåæèò â ëåâîé - ïîëîæèì x2 = 0, èíà÷å - x2 = 1. È òàê
êàíòîðîâñêèé äèàãîíàëüíûé
ïðîöåññ.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà
32
äàëåå, ïðîäîëæàåì ïðîöåññ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Åñëè ÷èñëî x ëåæèò íà
ãðàíèöå ñåãìåíòà, ò.å. ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ÷èñëî âèäà:
m
,
2n
m = 1, . . . 2n , òî
êëàä¼ì â êà÷åñòâå xn åäèíèöó. Ýòèì ìû ñòðîèì ñîîòâåòñòâèå âåùåñòâåííûõ
÷èñåë îòðåçêà [0, 1] è äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, çà èñêëþ÷åíèåì òåõ,
ó êîòîðûõ íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà ñòîÿò íóëè, ò.å. ìîùíîñòü îòðåçêà
[0, 1] íå áîëüøå, ÷åì ìîùíîñòü ìíîæåñòâà äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
a Ñëó÷àé x =
1
2
áóäåò ðàññìîòðåí íèæå
Îáðàòíî, êàæäîé äâîè÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå
äâîè÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ó êîòîðîé íà âñåõ ÷¼òíûõ ìåñòàõ ñòîÿò íóëè,
à íà íå÷¼òíûõ - ýëåìåíòû ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ò.å.
{0, 1, 1, 0, . . . } ←→ {0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, . . . }.
Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîé äâîè÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ïîñòàâèòü
åäèíñòâåííîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî èç îòðåçêà [0, 1]. È, ò.ê. ìû èçáàâèëèñü
îò ñëó÷àÿ ïåðèîäà èç åäèíèö, êàæäîìó èç ïîñòàâëåííûõ â ñîîòâåòñòâèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (áåçóñëîâíî, ýòî áóäóò íå âñå ÷èñëà îòðåçêà [0, 1]), áóäåò
ñîîòâåòñòâîâàòü òîëüêî îäíà äâîè÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ò.å. ìîùíîñòü
ñåãìåíòà [0, 1] íå ìåíüøå, ÷åì ìîùíîñòü ìíîæåñòâà äâîè÷íûõ ïîñëåäîâà-
a
òåëüíîñòåé. Îñòà¼òñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà .
a Åñëè ìíîæåñòâî A ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîé ÷àñòè B′ ìíîæåñòâà B, à B ýêâèâàëåíòíî
íåêîòîðîé ÷àñòè A′ ìíîæåñòâà A, òî A ∼ B.
2X ìíîæåñòâî âñåõ
åãî ïîäìíîæåñòâ, âêëþ÷àÿ ∅ è X. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà X (ñòðîãî) ìåíüøå, ÷åì
X
ìîùíîñòü 2 .
Òåîðåìà 7. (Êàíòîð). Ïóñòü X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, à
Ïîñòàâèì êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà
Äîêàçàòåëüñòâî.
X
â ñîîòâåòñòâèå
îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òîëüêî ýòîò ýëåìåíò.  îáùåì ñëó÷àå êðîìå íèõ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è äðóãèå ïîäìíîæåñòâà. Ïîýòîìó, âûïîëíåíî
X ⩾ card X.
X
X
Äîêàæåì, ÷òî X ≁ 2 . Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü X ∼ 2 , è ïóñòü φ áèåêöèÿ ìåæäó
X
X
ýòèìè ìíîæåñòâàìè, ò.å. ∀x ∈ X ∃φ(x) ∈ 2 , è êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà 2
íåðàâåíñòâî card 2
åñòü
φ(x)
äëÿ îäíîãî è òîëüêî îäíîãî
Íàçîâ¼ì ýëåìåíò
x∈X
ïðàâèëüíûì,
x ∈ X.
åñëè
x ∈ φ(x)a ,
è
íåïðàâèëüíûì â ïðîòèâX, î÷åâèäíî,
íîì ñëó÷àå. Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíò, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò âñåìó
ïðàâèëüíûé, à òîò, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ïóñòîìó ìíîæåñòâó íåïðàâèëüíûé.
Ò.å. äàííûå ìíîæåñòâà íå ïóñòû, è
∀x ∈ X
ëåæèò â îäíîì, è òîëüêî îäíîì èç
äàííûõ ìíîæåñòâ.
Îáîçíà÷èì äàëåå ÷åðåç
B
ìíîæåñòâî âñåõ íåïðàâèëüíûõ (è òîëüêî íåïðàâèëü-
X. Ò.ê. B ⊂ 2X , òî â ñîîòâåòñòâèè φ ýòîìó ìíîæåñòâó
îòâå÷àåò íåêîòîðûé ýëåìåíò x0 ∈ X, ò.å. B = φ(x0 ). Êàêîâ æå ýòîò ýëåìåíò x0 ?
ßñíî, ÷òî îí íå ìîæåò áûòü íè ïðàâèëüíûì, íè íåïðàâèëüíûì. Ïðîòèâîðå÷èå.
X
Ñëåäîâàòåëüíî, X ≁ 2 .
íûõ) ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà
a Ò.å. ýëåìåíò x ëåæèò âî ìíîæåñòâå, êîòîðîìó îí ñîîòâåòñòâóåò.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà
Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà : âñÿêîå áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî îòðåçêà [0, 1] ðàâ-
íîìîùíî N èëè [0, 1]. Ýòà ãèïîòåçà áûëà ñôîðìóëèðîâàíà Ã.Êàíòîðîì: ñó-
ùåñòâóþò ëè ìíîæåñòâà ïðîìåæóòî÷íîé ìîùíîñòè ìåæäó ñ÷¼òíûìè
è êîíòèíóàëüíûìè? Áûëî âûñêàçàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ïðîìåæóòî÷íûå
ìîùíîñòè îòñóòñòâóþò.
 1934ã. àâñòðèéñêèé ìàòåìàòèê Ê.üäåëü äîêàçàë, ÷òî Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà
íå ïðîòèâîðå÷èò îñòàëüíûì àêñèîìàì òåîðèè ìíîæåñòâ. Îêîí÷àòåëüíî äàííûé âîïðîñ áûë ðåø¼í â 1963ã., êîãäà àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê Ï. Êîýí
äîêàçàë, ÷òî è å¼ îòðèöàíèå òàêæå íå ïðîòèâîðå÷èò îñòàëüíûì àêñèîìàì
òåîðèè ìíîæåñòâ, è ïîýòîìó, Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà íå ìîæåò áûòü íè äîêàçàíà, íè îïðîâåðãíóòà â ðàìêàõ ýòîé àêñèîìàòèêè.
33
ÃËÀÂÀ
Òåîðèÿ ÷èñëîâûõ
III
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
1
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ
f ∶ N ↦ X,
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíî-
æåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íàçûâàåòñÿ
Îïðåäåëåíèå. Çíà÷åíèÿ
f (n)
ôóíêöèè
f
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.
íàçûâàþòñÿ
÷ëåíàìè ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòè. Èõ ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì ýëåìåíòà òîãî ìíîæåñòâà, â êîòîðîå èä¼ò
îòîáðàæåíèå, íàäåëÿÿ ñèìâîë ñîîòâåòñòâóþùèì èíäåêñîì àðãóìåíòà,
Ñàìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáîçíà÷àþò
xn ,
è íàçûâàþò
xn = f (n).
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X.
Ðèñ. 19.
×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Âñþäó äàëüøå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
f ∶N↦X⊂R
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (÷èñëîâûå
Ïðèìåð 1.1.
34
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ).
Äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå âåùåñòâåííîãî ÷èñëà ïðèáëèæ¼ííîå
Ñåêöèÿ 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.
Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñåêöèÿ 2. Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñåêöèÿ 3. Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñåêöèÿ 4. Ïðèíöèïû ïîëíîòû.
Ïðîäîëæåíèå
Ñåêöèÿ 5. Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ÷àñòè÷íûå ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñåêöèÿ 6. Âåðõíèé è íèæíèé
ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñåêöèÿ 7. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
èçîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ:
3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592; 3,1415926; . . .
Ïðèìåð 1.2.
Àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäà
a1 , a1 + d, a1 + 2d, . . . , a1 + (n − 1)d, . . . ,
òî åñòüïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë
(÷ëåíîâ ïðîãðåññèè), â êîòîðîé êàæäûé ÷ëåí,
íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî äîáàâëåíèåì ê íåìó ïîñòîÿííîãî
÷èñëà
d (øàãà,
Ïðèìåð 1.3.
èëè
ðàçíîñòè ïðîãðåññèè).
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â êîòî-
ðîé ïåðâûé ÷ëåí
b1 ≠ 0,
à êàæäûé ïîñëåäóþùèé ÷ëåí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ïîëó-
÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî óìíîæåíèåì åãî íà îïðåäåë¼ííîå ÷èñëî
q ≠ 0 (çíàìåíà-
òåëü ïðîãðåññèè) :
b1 , b1 q, b1 q 2 , b1 q 3 , b1 q 4 , . . .
?
Ìîæíî ëè ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ (âåùåñòâåííûõ) ÷èñåë, êàê ïðèìåð ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè?
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
íàçûâàåòñÿ
îãðàíè÷åííîé ñâåðõó (ñíèçó),
åñëè:
∃M ∈ R ∶ ∀n ∈ N Ô⇒ xn ⩽ M (xn ⩾ M ).
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
íàçûâàåòñÿ
îãðàíè÷åííîé, åñëè îíà îãðàíè-
÷åíà ñâåðõó è ñíèçó îäíîâðåìåííî, ò.å.
∃m, M ∈ R ∶ ∀n ∈ N ⇒ m ⩽ xn ⩽ M ⇐⇒ ∃A > 0 ∶ ∀n ∈ N ⇒ ∣xn ∣ ⩽ Aa .
a A = max{∣m∣, ∣M ∣}.
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
íàçûâàåòñÿ
íåîãðàíè÷åííîé, åñëè
∀M ∈ R ∃n(M ) ∈ N ∶ ∣xn(M ) ∣ > M.
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
íàçûâàåòñÿ
áåñêîíå÷íî áîëüøîé, åñëè
∀A > 0 ∃n0 (A)a ∈ N ∶ ∀n ⩾ n0 Ô⇒ ∣xn ∣ > A.
a Íå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ýòîò íîìåð áûë íàèìåíüøèì.
Ïðèìåð 1.4.
xn = (−1)n ⋅ n;
35
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðèñ. 20. xn = (−1) ⋅ n
n
Ïðèìåð 1.5.
?
Çàì.
xn = n!;
Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = n! ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé. Ò.å. ∀A > 0 óêàæèòå íîìåð n0 (A), òàêîé ÷òî
∀n ⩾ n0 Ô⇒ ∣xn ∣ > A.
Èíîãäà òðåáóåòñÿ çíàêîïîñòîÿíñòâî áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.  ýòîì ñëó÷àå ðàçëè÷àþò ïîëîæèòåëüíûå áåñêîíå÷íî áîëüøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, è îòðèöàòåëüíûå áåñêîíå÷íî áîëüøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòèa .
a Îïðåäåëåíèÿ äàííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé áåðóòñÿ áåç ìîäóëåé.
Óòâåðæäåíèå 1.1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ, òî îíà
íåîãðàíè÷åíà. Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïåðâàÿ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ ñðàçó âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ
áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âòîðàÿ ÷àñòü äîêàçûâàåòñÿ ïðèìåðîì
íåîãðàíè÷åííîé, íî íå áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
n
Ïðèìåð 1.6.
xn = n(−1) = {1, 2, 13 , 4, 15 , . . .};
Ïðèìåð 1.7.
xn = n ⋅ sin n;
Ïðèìåð 1.8.
xn = n + (−1)n ⋅ n.
36
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðèñ. 21.
37
Ïðèìåð íåîãðàíè÷åííîé, íî íå áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
íàçûâàåòñÿ
áåñêîíå÷íî ìàëîé, åñëè
∀ε > 0 ∃N0 (ε) ∈ N ∶ ∀n ⩾ N0 (ε) Ô⇒ ∣xn ∣ < ε,
ò.å. âíå èíòåðâàëà
(−ε, ε)
íàõîäèòñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè.
Îòðèöàíèå:
xn íå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé,
åñëè
∃ε0 > 0 ∶ ∀n ∈ N ∃n0 > n Ô⇒ ∣xn0 ∣ ⩾ ε0 .
Çàì.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû çàïèñàòü îòðèöàíèå ê âûðàæåíèþ, çàïèñàííîìó â êâàíòîðàõ, îáû÷íî, òðåáóåòñÿ
çàìåíèòü êâàíòîð ∀ íà ∃;
çàìåíèòü êâàíòîð ∃ íà ∀;
çàìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûå.
1
1
1
. Ðàññìîòðèì ∀ε > 0 íåðàâåíñòâî ∣ ∣ =
< ε. Òàêîå
n
n
n
1
íàéä¼òñÿ ïî ïðèíöèïó Àðõèìåäà. Ïîëîæèì N (ε) = [ ]+1. Òîãäà ∀n ⩾
ε
1
< ε.
n
Ïðèìåð 1.9.
xn =
Ïðèìåð 1.10.
xn =
1
,
qn
n ∈ N, n > 1ε
N (ε) èìååì
q > 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåðèì, ÷òî ìíîæåñòâî
A = {q n ∣ n ∈ N} íå îãðàíè÷åíî ñâåð-
Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü A îãðàíè÷åíî. Òîãäà ïî ïðèíöèïó òî÷íûõ ãðàíåé
∃ sup A = ℓ. Ïî îïðåäåëåíèþ sup ∃n0 ∈ N : qℓ < q n0 < ℓ, èëè ℓ < q n0 +1 . Íî, ò.ê.
n0 + 1 ∈ N, òî ℓ ≠ sup A. Ïðîòèâîðå÷èå, äîêàçûâàþùåå, ÷òî A íå îãðàíè÷åíî,
N (M )
ïîýòîìó ∀M > 0 ∃N (M ) ∶ q
> M.
õó.
Äàëåå, ò.ê.
q > 1,
òî
q n > q N (M )
ïðè
n > N (M ).
Ñëåäîâàòåëüíî,
∀M > 0 ∃N (M ) ∶ ∀n ⩾ N (M ) ⇒ q n > M ⇐⇒
1
qn
<
1
.
M
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îòêóäà, ò.ê.
∀ε > 0 ∃M > 0 ∶
1
M
< ε,
òî
̂ (ε) ∶ ∀n ⩾ N
̂ (ε) ⇒
∀ε > 0 ∃N
è
1
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðè
qn
Ðèñ. 22. xn =
1
qn
< ε,
q > 1.
1
(5/4)n
Òåîðåìà 8. (ñâîéñòâà áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé).
êîíå÷íî ìàëàÿ, òî
2. Åñëè
xn
xn
38
1. Åñëè
xn
áåñ-
îãðàíè÷åíà;
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ,
yn
îãðàíè÷åííàÿ, òî
xn ⋅ yn
áåñêîíå÷íî
ìàëàÿ;
3. Åñëè
xn , yn
áåñêîíå÷íî ìàëûå, òî è
xn ± yn , xn ⋅ yn
áåñêîíå÷íî ìàëûå.
Äîêàçàòåëüñòâî.
xn áåñêîíå÷íî ìàëàÿ. Ôèêñèðóåì ∀ε > 0
n0 (ε) : ∀n ⩾ n0 ⇒ ∣xn ∣ < ε. Òåïåðü, åñëè âûáðàòü
M = max{ε, ∣x1 ∣, ∣x2 ∣, . . . , ∣xn0 −1 ∣}, òî
1. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ïî íåìó íàõîäèì
∀n ∈ N Ô⇒ ∣xn ∣ ⩽ M.
2. Ïóñòü
∃A > 0 ∶ ∀n ∈ N ⇒ ∣yn ∣ ⩽ A
è
∀ε > 0 ∃n0 (ε) ∶ ∀n ⩾ n0 ⇒ ∣xn ∣ <
ε
.
A
Òîãäà
∀ε > 0 ∃n0 (ε) ∶ ∀n ⩾ n0 (ε) ⇒ ∣xn ⋅ yn ∣ = ∣xn ∣ ⋅ ∣yn ∣ <
ε
⋅ A = ε,
A
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
3. Ïóñòü
xn ⋅ yn
∀ε > 0 ∃n1 (ε), n2 (ε),
39
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.
òàêèå ÷òî:
ε
∀n ⩾ n1 (ε) Ô⇒ ∣xn ∣ < ,
2
ε
∀n ⩾ n2 (ε) Ô⇒ ∣yn ∣ < .
2
∀ε > 0 ∃n0 = max{n1 , n2 } : ∀n ⩾ n0 Ô⇒
Ñëåäîâàòåëüíî,
∣xn ± yn ∣ ⩽ ∣xn ∣ + ∣yn ∣ <
ò.å.
xn ± yn
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ. Òî, ÷òî
èç ïóíêòîâ
1.
è
ε ε
+ = ε,
2 2
xn ⋅ yn
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âûòåêàåò
2.
Òåîðåìà 9. (ñâÿçü áåñêîíå÷íî ìàëûõ è áåñêîíå÷íî áîëüøèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé).
Ïóñòü
∀n ∈ N ⇒ xn ≠ 0.
Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ,
1
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
xn
íåîáõîäèìîñòüa . Ïóñòü xn áåñêîíå÷íî
1
áîëüøàÿ. Òîãäà çàäàâàÿ ïðîèçâîëüíîå ε > 0, ïîëîæèì A = . Ïî ýòîìó A íàõîäèì
ε
1
íîìåð n0 (A), ÷òî ∀n ⩾ n0 (A) ⇒ ∣xn ∣ > A. Ýòî ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ ∣
∣ < A1 =
xn
ε.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæåì, íàïðèìåð,
a Äîñòàòî÷íîñòü äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
2
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îïðåäåëåíèå 1. ×èñëî
a
íàçûâàåòñÿ
åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn − a
ïðåäåëîì ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn ,
ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé, ò.å.
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N (ε) ⇒ ∣xn − a∣ < ε ⇐⇒ a − ε < xn < a + ε.
Îáîçíà÷åíèå:
a = lim xn
èëè
n→∞
xn ÐÐÐ→ a.
n→∞
Îïðåäåëåíèå. Èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé òî÷êó
x ∈ R, áóäåì íàçûâàòü îêðåñòíîñòüþ
ýòîé òî÷êè. Îáîçíà÷åíèå: U(x) èëè B(x).
Îïðåäåëåíèå. Ïðè
δ >0
èíòåðâàë
(x − δ, x + δ)
umgebungen (íåì.)
íàçûâàåòñÿ
δ -îêðåñòíîñòüþ òî÷êè
○
x. Îáîçíà÷åíèå: Uδ (x). U (x) = (x − δ, x) ∪ (x, x + δ) = Uδ (x)∖{x}
δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè x.
Îïðåäåëåíèå 2. ×èñëî
a
íàçûâàåòñÿ
åñëè äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè
ïðîêîëîòàÿ
ïðåäåëîì ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
U(a) òî÷êè a ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð N
xn ,
(âûáèðàå-
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðèñ. 23.
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1
U(a)), ÷òî âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íîìåðà êîòîðûõ
N , ñîäåðæàòñÿ â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a.
ìûé â çàâèñèìîñòè îò
áîëüøå
lim xn = a,
n→∞
åñëè
Ðèñ. 24.
Çàì.
∀U(a) ∃N ∈ N ∶ ∀n ⩾ N ⇒ xn ∈ U(a).
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 2
Ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé 1 è 2 ëåãêî ïðîâåðèòü, åñëè çàìåòèòü, ÷òî â
ëþáîé îêðåñòíîñòè U(a) ñîäåðæèòñÿ íåêîòîðàÿ ε - îêðåñòíîñòü ýòîé æå
òî÷êè.
lim xn = a, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿ
n→∞
ê ÷èñëó a. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìåþùàÿ êîíå÷íûé ïðåäåë, íàçûâàåòñÿ ñõîäÿ-
Îïðåäåëåíèå. Åñëè
ùåéñÿ. Îáîçíà÷åíèå:
x n →.
40
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
41
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íå èìåþùàÿ
ðàñõîäÿùåéñÿ. Îáîçíà÷åíèå:
xn →,
/
Ïðèìåð 2.1.
xn =
åñëè
xn =
∀a ∈ R ∃ε0 (a) ∶ ∀n ∈ N ∃n0 ⩾ n, ∣xn0 − a∣ ⩾ ε0 .
sin n
;
n
1
n
< ε,
ïðè
n ⩾ N (ε) = [ 1ε ] + 1.
n
;
n+1
n
∣=
∣xn − 1∣ = ∣ n+1
− 1∣ = ∣ n−n−1
n+1
Ïðèìåð 2.3.
ïðåäåëà íàçûâàåòñÿ
xn →
/.
∣xn − 0∣ = ∣ sinn n ∣ ⩽
Ïðèìåð 2.2.
êîíå÷íîãî
xn = (−1)n ;
1
n+1
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî
< ε,
ïðè
n ⩾ N (ε) = [ 1ε − 1] + 1.
lim (−1)n = a,
n→∞
ïîëó÷àåì:
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N (ε) ⇒ ∣(−1)n − a∣ ⩽ ε.
Ïóñòü
ε=
1
, òîãäà äëÿ ÷¼òíûõ è íå÷¼òíûõ
2
⎧
⎪
⎪∣1 + a∣ ⩽ 1/2,
n: ⎨
⎪
⎪
⎩∣1 − a∣ ⩽ 1/2.
2 = ∣1 + 1∣ = ∣(1 + a) + (1 − a)∣ ⩽ ∣1 + a∣ + ∣1 − a∣ ⩽
Ïðîòèâîðå÷èå(!)
Ñèñòåìà
(∗)
(∗)
1 1
+ = 1.
2 2
íå ñîâìåñòíà.
Ðèñ. 25. xn = (−1)
n
Òåîðåìà 10. (ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé).
1. Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò òîëüêî îäèí ïðåäåë;
2. Âñÿêàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé;
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
3. Ïóñòü
lim xn = a, lim yn = b.
n→∞
42
Òîãäà
n→∞
lim (xn ± yn ) = a ± b;
lim (xn ⋅ yn ) = a ⋅ b;
n→∞
lim
n→∞
n→∞
xn a a
= .
yn b
a  ñëó÷àå ÷àñòíîãî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî b ≠ 0. Òîãäà (êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå), íà÷èíàÿ ñ
íåêîòîðîãî íîìåðà è yn ≠ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1.
Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü lim xn = a1 , lim xn = a2 , è a1 ≠ a2 . Ïî îïðåäåëåíèþ
n→∞
n→∞
a
ïðåäåëà: xn = a1 + αn , xn = a2 + βn . Îòêóäà, 0 ≠ a1 − a2 = αn − βn Ð
ÐÐ→ 0.
n→∞
Ïðîòèâîðå÷èå(!)
xn
2. Ïóñòü
lim xn = a. Ôèêñèn→∞
âûïîëíåíî ∣xn − a∣ < ε
ñõîäÿùàÿñÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è
∀ε > 0 è íàõîäèì ïî íåìó N (ε),
⇔ a − ε < xn < a + ε. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
ðóåì
÷òî
∀n ⩾ N (ε)
M = max {∣x1 ∣, . . . , ∣xN −1 ∣, ∣a − ε∣, ∣a + ε∣}.
Òîãäà
NB !
∀n ∈ N ⇒ ∣xn ∣ ⩽ M .
Íî íå âñÿêàÿ îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ (ñì.
2.3 âûøå).
Ïðèìåð
3. Ïóñòü
xn = a + αn , yn = b + βá.ì.
n . Òîãäà
á.ì.
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
xn ± yn = (a ± b) + (αn ± βn ); xn ⋅ yn = ab + (aβn + bαn + αn βn );
n
n
− ab ∣=∣ ab+αnyb−ab−aβ
∣= ∣yn1 b∣ ⋅ ∣αn b − aβn ∣ .
∣ xynn − ab ∣=∣ a+α
b+βn
nb
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî
b > 0.
Òîãäà
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N (ε) Ô⇒ b − ε < yn < b + ε ⇔ {ε =
îãð.
⇔0<
b
2
Ñëåäîâàòåëüíî,
lim xn
n→∞ yn
=
a
b
< yn <
xn
yn
−
3b
2
a
b
⇒
1
yn
<
áåñêîíå÷íî
2
b
⇒
1
yn b
<
2
b2
b
> 0} ⇔
2
á.ì.
« ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹· ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
⇒ yn1 b ⋅ ∣αn b − βn a∣ .
ìàëàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ò.å.
a Çäåñü è äàëåå αn , βn áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Òåîðåìà 11. Ïóñòü
∃ lim xn = a, ∃ lim yn = b.
n→∞
n→∞
xn < yn .
íåêîòîðîãî íîìåðà, âûïîëíåíî:
Ïðè÷¼ì
a < b.
Òîãäà, íà÷èíàÿ ñ
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîçüì¼ì ÷èñëî
ïðåäåëà íàéä¼ì íîìåðà
N1
è
N2
c∈R
43
òàêîå, ÷òî
a < c < b.
Ïî îïðåäåëåíèþ
, ÷òî ïðè
∀n ⩾ N1 ⇒ ∣xn − a∣ < c − a ⇐⇒ a − c + a < xn < c − a + a.
∀n ⩾ N2 ⇒ ∣yn − b∣ < b − c ⇐⇒ c − b + b < yn < b − c + b.
Îòêóäà, ïðè
∀n ⩾ max{N1 , N2 } ⇒ xn < c − a + a = c = c − b + b < yn .
Ñëåäñòâèå
1
b.
Åñëè
∃N
(ïðåäåëüíûé ïåðåõîä è íåðàâåíñòâà). Ïóñòü
∀n ⩾ N
:
n→∞
âûïîëíåíî:
1)
xn > yn ,
òî
a ⩾ b;
2)
xn ⩾ yn ,
òî
a ⩾ b;
3)
x n > b,
òî
a ⩾ b;
4)
x n ⩾ b,
òî
a ⩾ b;
Äîêàçàòåëüñòâî.
lim xn = a è lim yn =
n→∞
Óòâåðæäåíèÿ
òåëüñòâîì îò ïðîòèâíîãî.
3)
è
4)
1)
è
2)
çàêëþ÷àþòñÿ èç òåîðåìû 11 äîêàçà-
÷àñòíûå ñëó÷àè
1)
è
2),
ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè
yn ≡ b.
Ñëåäñòâèå
2 (ïðèíöèï äâóñòîðîííåãî îãðàíè÷åíèÿ ).
ùåéñÿ) ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ñÿ íà ñåãìåíòå
[a, b],
òî è ïðåäåë
x
Åñëè âñå ýëåìåíòû (ñõîäÿ-
xn , íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, íàõîäÿò[a, b].
ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåæèò íà
Òåîðåìà 12. (òåîðåìà î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ). Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn , yn , zn
̃
òàêîâû, ÷òî ∀n ⩾ N ∈ N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî xn ⩽ yn ⩽ zn . Åñëè ïðè ýòîì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn è zn ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ïðåäåëó, òî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn òàêæå ñõîäèòñÿ ê òîìó æå ïðåäåëó.
Äîêàçàòåëüñòâî.
òàê, ÷òîáû ïðè
zn < a + ε.
lim xn = lim zn = a. Ïî ∀ε > 0 íàéä¼ì ÷èñëà N1 è N2
n→∞
n→∞
N1 âûïîëíÿëîñü a − ε < xn ,a à ïðè ∀n ⩾ N2 âûïîëíÿëîñü
Ïóñòü
∀n ⩾
Òîãäà ïðè
̃ , N1 , N2 }
∀n ⩾ N = max{N
a − ε < xn ⩽ yn ⩽ zn < a + ε,
ò.å.
lim yn = a.
n→∞
a ∣xn − a∣ < ε ⇔ a − ε < xn < a + ε.
ïîëó÷àåì:
èëè
∣yn − a∣ < ε,
Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
3
44
Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ùåé), åñëè äëÿ
∀n ∈ N
xn
íåóáûâàþùåé (íåâîçðàñòàþ-
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
xn ⩽ xn+1
Îáîçíà÷åíèå:
íàçûâàåòñÿ
(xn ⩾ xn+1 ).
xn↗ (xn↘ ).
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ
ëèáî íåóáûâàþùåé, ëèáî íåâîçðàñòàþùåé.
Çàì.
Åñëè ýëåìåíòû íåóáûâàþùåé (íåâîçðàñòàþùåé) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ
âñåõ íîìåðîâ óäîâëåòâîðÿþò ñòðîãîìó íåðàâåíñòâó xn < xn+1 (xn > xn+1 ),
òî ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàþò ñòðîãî âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé).
Îáîçíà÷åíèå: xn ↑ (xn ↓ ).
a
Òåîðåìà 13. (òåîðåìà Âåéåðøòðàññà ). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìåëà ïðåäåë, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà îãðàíè÷åíà.
a Êðèòåðèé
ñõîäèìîñòè ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî ëþáàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îãðà-
íè÷åííîé, áûëî äîêàçàíî âûøå, ïîýòîìó èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò òîëüêî âòîðîå
óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Ðàññìîòðèì íåóáûâàþùóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
a
xn ,
îãðàíè÷åííóþ
ñâåðõó . Ïî ïðèíöèïó Âåéåðøòðàññà (ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷íûõ ãðàíåé) ó ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü
Ïî îïðåäåëåíèþ
òî÷íàÿ
âåðõíÿÿ ãðàíü
ñóïðåìóìà
s = sup xn .
n
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∶ s − ε < xN ⩽ s.
Äàëåå ïîñêîëüêó
xn ↗,
òî ïðè
∀n > N
ïîëó÷àåì:
s − ε < xN ⩽ xn ⩽ s < s + ε,
Ò.î. äîêàçàíî, ÷òî
ò.å.
∣s − xn ∣ = s − xn < ε.
lim xn = s = sup xn .
n→∞
n
a Îãðàíè÷åííîñòü íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñíèçó î÷åâèäíà.
Çàì.
Äëÿ íåâîçðàñòàþùåé, îãðàíè÷åííîé ñíèçó ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
yn ïîëó÷àåì:
lim yn = ℓ = inf yn .
n→∞
n
Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Çàì.
45
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âîçðàñòàåò è íå îãðàíè÷åíà ñâåðõó, òî îíà ñòðåìèòñÿ ê +∞. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óáûâàåò è íå îãðàíè÷åíà ñíèçó, òî
îíà ñòðåìèòñÿ ê −∞.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü xn ↑ è íå îãðàíè÷åíà. Òîãäà
∀E > 0 ∃N (E) ∶ xN (E) > E.
Ò.ê. xn ↑, òî ∀n > N (E) òåì áîëåå âûïîëíåíî xn > E .
 ýòîì ñëó÷àå, sup xn = +∞.
n
Óòâåðæäåíèå 3.1. (Íåðàâåíñòâî ß. Áåðíóëëè). Ïóñòü
n ∈ Z+ , −1 < α ∈ R,
òîãäà
(1 + α)n ⩾ 1 + αn.
Äîêàçàòåëüñòâî.
ëèâî íåðàâåíñòâî
Ïðè n = 0 èëè n = 1 èìååì
(1 + α)n ⩾ 1 + αn. Òîãäà
âåðíûå ðàâåíñòâà. Ïóñòü ñïðàâåä-
(1 + α)n+1 = (1 + α)n (1 + α) ⩾ (1 + αn)(1 + α) = 1 + (n + 1)α + nα2 ⩾ 1 + (n + 1)α.
Ïðèìåð 3.1.
(÷èñëî
e)
Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà
âàòåëüíîñòü
yn = (1 +
yn−1
yn
= (1 +
n
lim (1 + n1 )
n→∞
. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïîñëåäî-
1 n+1
)
è èçó÷èì îòíîøåíèå:
n
=
n
1
(1+ n−1
)
1
(1+ n
)
n
1
n
) ⋅ n+1
n2 −1
n+1
=
nn ⋅nn+1
(n−1)n ⋅(n+1)n+1
⩾ {a } ⩾ (1 +
yn ↓. Êðîìå òîãî, ÿñíî,
∃ lim yn , à òîãäà ïî òåîðåìå î
=
n2n
(n2 −1)n
n
n
) ⋅ n+1
n2 −1
⋅
n
n+1
> (1 + n1) ⋅
yn ⩾ 1.
=
n
n+1
= 1.
Ñëåäîâàòåëüíî,
÷òî
øòðàññà,
ïðåäåëå ÷àñòíîãî, è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
n
(1 + n1 ) =
Ïîýòîìó, ïî òåîðåìå Âåéåð-
n→∞
yn
ñõîäèòñÿ ê òîìó æå ïðåäåëó.
1+1/n
a Íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè.
Îïðåäåëåíèå. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
n
(1 + n1 )
íàçûâàþò
÷èñëîì Ýéëåðà (èëè
÷èñëîì Íåïåðà ), èëè îñíîâàíèåì íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ. Îáîçíà÷åíèå: e.
n
Çàì.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1 + n1 ) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò,
à ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ ê ñâîåìó ïðåäåëó ñíèçó.
Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî ê ÷èñëó
n
sn = ∑
1
k!
e
46
ñõîäèòñÿ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
=1+1+
1
2!
+ ... +
1
.
n!
k=0
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçîâàâøèñü áèíîìîì Íüþòîíà, ïîëó÷àåì:
n
en =(1 + n1) = 1 + n ⋅
1
n
+
n(n−1)
2!
n1 .
∣xnk − x∣ <
1
,
k
∀k ∈ N
è
1
ÐÐÐ→
k k→∞
x n1 .
Â
Â
U 1/3(x) xn3 , n3 > n2
xnk , êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ
0.
∃xnk ÐÐÐ→ x.
Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîk→∞
ñòè â êàæäîé îêðåñòíîñòè U(x) ëåæèò áåñêîíå÷íî ìíîãî ýëåìåíòîâ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè
x nk
(âñå, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà). Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî
êàæäûé ýëåìåíò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn .
a Ýòîò ïðîöåññ ìîæíî ïðîäîëæàòü áåñêîíå÷íî, ò.ê. â ëþáîé îêðåñòíîñòè íàéä¼òñÿ áåñêîíå÷-
íî ìíîãî ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn .
Ëåììà. Êàæäàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò òîëüêî îäíó
ïðåäåëüíóþ òî÷êó, ñîâïàäàþùóþ ñ ïðåäåëîì ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
xn → a.
Òîãäà (ïî ôîðìóëèðîâêå
á)),
òî÷êà
a
ÿâëÿåòñÿ
xn . Èç Óòâåðæäåíèÿ 5.1 âûòåêàåò ñõîäèa ëþáîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn . Ñëåäîâàòåëüíî,
ïðåäåëüíîé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ìîñòü ê
äðóãèõ ïðåäåëüíûõ òî÷åê ó ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåò.
Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå (åñëè ó îãðàíè÷åííîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
òîëüêî îäíà ïðåäåëüíàÿ òî÷êà, òî îíà ñõîäèòñÿ), áåçóñëîâíî, òàêæå âåðíî.
Çàì.
Îäíàêî ïðåäåëüíûõ òî÷åê ó ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæåò áûòü
áîëüøå îäíîé, ïðè÷¼ì êàê ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî, òàê è áåñêîíå÷íî ìíîãî.
Òåîðåìà 16. (òåîðåìà Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà). Êàæäàÿ îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîäåðæèò ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
X ìíîæåñòâî çíà÷åíèé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn . Åñëè X êîíå÷íî, òî ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà òî÷êà x ∈ X è ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xnk (ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ) òàêàÿ, ÷òî
xn1 = xn2 = . . . = x. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xnk ïîñòîÿííà, à çíà÷èò ñõîäèòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
X
Ïóñòü
áåñêîíå÷íî.
Òîãäà ïî ëåììå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà îíî îáëàäàåò
x (êîòîðîå
xn ). Èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëüíîé
ñõîäÿùåéñÿ ê x ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
ïî êðàéíåé ìåðå îäíîé ïðåäåëüíîé òî÷êîé
áóäåò ïðåäåëüíîé òî÷êîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
òî÷êè
ñòâîâàíèå,
a Ñì. òàêæå Óòâåðæäåíèå 5.2.
a) ⇒ á).
○
 ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ò.ê.
Ïóñòü
x n2 ,
50
a
çàêëþ÷àåì ñóùå-
á) ⇒ à).
Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ÷àñòè÷íûå ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
51
Çàìåòèì, ÷òî íà ìíîæåñòâå Q òåîðåìà Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà íå èìååò
ìåñòà.
Çàì.
Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèa (è áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåë¼ííîãî çíàêà):
xn → +∞, åñëè ∀E ∈ R ∃N (E) : ∀n ⩾ N (E) Ô⇒ xn > E ;
xn → −∞, åñëè ∀E ∈ R ∃N (E) : ∀n ⩾ N (E) Ô⇒ xn < E ;
xn → ∞, åñëè ∀E ∈ R ∃N (E) : ∀n ⩾ N (E) Ô⇒ ∣xn ∣ > E ;
ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü òåîðåìó Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
a Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñòðåìÿùèåñÿ ê ∞ ìû íå ïðè÷èñëÿåì ê ñõîäÿùèìñÿ.
16∗ . Èç êàæäîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ
ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü èëè áåñêîíå÷íî áîëüøóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Òåîðåìà
Íîâûì, ïî ñðàâíåíèþ ñ òåîðåìîé Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà,
Äîêàçàòåëüñòâî.
xn íå îãðàíè÷åíà.
∣xnk ∣ > k è nk > nk−1 .
ÿâëÿåòñÿ òîëüêî òîò ñëó÷àé, êîãäà
âûáèðàòü íîìåð
òåëüíîñòü
xnk ,
nk ∈ N
òàêîé, ÷òî
Òîãäà ïî
∀k ∈ N
áóäåì
Ïîëó÷èì ïîäïîñëåäîâà-
êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
X∗n
ìíîæåñòâî ïðåäåëüíûõ òî÷åê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn ,
è ðàñ-
ñìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.
Ïðèìåð 5.2. Ðàññìîòðèì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî
A = {a1 , a2 , . . . , an , . . .}
è ïî íåìó ñî-
ñòàâèì ñëåäóþùóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü:
xn = {a1 , a1 , a2 , a1 , a2 , a3 , . . . , a1 , . . . , an , . . .}.
X∗n âêëþ÷àåò â ñåáÿ çàäàí∗
íîå ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî A. Îäíàêî, ðàâåíñòâî Xn = A ìîæåò è íå âûïîëíÿòüñÿ:
∗
ìíîæåñòâî Xn ñîäåðæèò òàêæå âñå ïðåäåëüíûå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ,
êîòîðûå ìîãóò è íå ïðèíàäëåæàòü ñàìîé xn .
Äëÿ íå¼, î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî ïðåäåëüíûõ òî÷åê
Ïðèìåð 5.3. Ïóñòü
A = { n1 ∣ n ∈ N}.
Ñîñòàâèì ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
1
1 1
1
xn = {1, 1, , 1, , , . . . , 1, . . . , , . . .} .
2
2 3
n
Òîãäà
X∗n = A ∪ {0},
ïðè÷¼ì
0 ∉ A.
Ïðèìåð 5.4. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
âñåõ ðàöèîíàëüíûõ òî÷åê èíòåðâàëà
∀x ∈ [0, 1]
â
∀U(x),
xn = { 12 , 31 , 23 , 14 , 42 , 34 , 15 , . . .} ñîñòîèò èç
(0, 1).  ýòîì ñëó÷àå, X∗n = [0, 1]. Ò.ê.
íàéä¼òñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, ýëåìåí-
òîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn .
Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðèñ. 27.
52
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë
∗
Îòìåòèì, ÷òî â ïîñëåäíåì ïðèìåðå ìîùíîñòü Xn êîíòèíóóì, õîòÿ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn , {xn } ñ÷¼òíî.
Çàäà÷à 2.
Ïóñòü
̃ ïðåäåëüíàÿ
x
6
X∗n
ìíîæåñòâî ïðåäåëüíûõ òî÷åê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
òî÷êà ìíîæåñòâà
X∗n .
Äîêàæèòå, ÷òî
xn ,
à
̃ ∈ X∗n .
x
Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn . Â ýòîì ñëó∗
1
÷àå, î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî å¼ ïðåäåëüíûõ òî÷åê Xn òàêæå îãðàíè÷åíî è íå ïóñòî .
∗
∗
∗
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåãî ñóùåñòâóþò x = sup Xn è x = inf Xn . Ïîêàæåì, ÷òî x, x ∈ Xn .
Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ îãðàíè÷åííóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
∀ε > 0 ∃x0 ∈ X∗n : x − ε < x0 ⩽ x. x0 ∈ X∗n ⇒ x0 ïðåäåëüíàÿ
òî÷êà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn . Ïîýòîìó, â ëþáîé å¼ îêðåñòíîñòè íàõîäèòñÿ áåñêîíå÷íî
′
ìíîãî ýëåìåíòîâ xn . Âûáåðåì ε > 0 äîñòàòî÷íî ìàëûì, òàê ÷òîáû Uε′ (x0 ) ⊂ Uε (x).
Òîãäà â ïðîèçâîëüíîé îêðåñòíîñòè Uε (x) íàõîäèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ýëåìåíòîâ xn ,
∗
ò.å. x ∈ Xn .
Ò.ê.
x = sup X∗n ,
òî
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
x ∈ X∗n .
Ñëåäîâàòåëüíî, ó îãðàíè÷åííîé ÷èñëî-
âîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñåãäà åñòü íàèìåíüøàÿ è íàèáîëüøàÿ ïðåäåëüíûå òî÷êè.
Èõ íàçûâàþò
íèæíèì è âåðõíèì ïðåäåëàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Îáîçíà÷åíèå:
lim xn , x = lim xn
n→∞
n→∞
Èç âûøå ñêàçàííîãî è îïðåäåëåíèé âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå
1 Â ñèëó òåîðåìû Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà.
x=
â îáùåì ñëó÷àå, sup è inf ìîãóò
íå ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó.
Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
53
Óòâåðæäåíèå 6.1. (êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ñîâïàäàþò.
Ñëåäñòâèå
1.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõî-
äèòñÿ ëþáàÿ å¼ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
 ñëó÷àå íåîãðàíè÷åííîé ñíèçó (ñâåðõó) ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç íå¼ ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ê
−∞ (+∞).
Ïîýòîìó â òàêèõ ñëó-
÷àÿõ ñ÷èòàþò, ÷òî:
lim xn = −∞,
n→∞
Ò.î., äëÿ
ëþáîé
( lim xn = +∞)
n→∞
÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåëåíû
4
îáúåêòà, ñâÿçàííûå ñëå-
äóþùèìè íåðàâåíñòâàìè:
inf xn ⩽ lim xn ⩽ lim xn ⩽ sup xn .
n
n→∞
n→∞
(∗)
n
lim xn sup ìíîæåñòâà X∗n , ïðåäåëüíûõ òî÷åê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
n→∞
sup xn sup ìíîæåñòâà, ñîñòàâëåííîãî èç çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn .
n
Äëÿ îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòî êîíå÷íûå ÷èñëà. Ïðè ýòîì, â ñîîòíîøåíèè
(∗)
ìîãóò ñòîÿòü êàê ðàâåíñòâà, òàê è ñòðîãèå íåðàâåíñòâà.
Çàäà÷à 1.
Ïîñòðîéòå ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ñîîòíîøåíèè ñòîÿò
xn ,
äëÿ êîòîðîé â äàííîì
ñòðîãèå íåðàâåíñòâà.
Èç ýòîãî æå ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè âñå ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
∗
ëåæàò íà íåêîòîðîì îòðåçêå [a, b], òî è Xn
[−1, 1]
(−1)n
. Èìååì,
n
Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.
lim xn = −1, lim xn
n→∞
n→∞
íåò íè îäíîãî ýëåìåíòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn .
Ïðèìåð 6.1.
xn = (−1)n +
⊂ [a, b].
= 1,
íî íà îòðåçêå
Îäíàêî, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Óòâåðæäåíèå 6.2. Ïóñòü
x = lim xn , x = lim xn .
n→∞
xn
xn
îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Òîãäà
n→∞
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N (ε) Ô⇒ xn ∈ (x − ε, x + ε).
Ò.å. âíå èíòåðâàëà (x − ε, x + ε) ëåæèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ xn .
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðèñ. 28. xn = (−1) +
n
Äîêàçàòåëüñòâî.
54
(−1)n
n
Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî, èñïîëüçóÿ òåîðåìó
Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà è îïðåäåëåíèÿ âåðõíåãî/íèæíåãî ïðåäåëîâ.
Çàäà÷à 2.
Ïîëüçóÿñü ââåä¼ííûìè âûøå îïðåäåëåíèÿìè âåðõíåãî è íèæíåãî
ïðåäåëîâ, äîêàæèòå ðàâåíñòâà:
lim xk = lim inf xk ,
k→∞
7
n→∞ k⩾n
lim xk = lim sup xk .
k→∞
n→∞ k⩾n
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé a (èëè ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòüþ Êîøè ), åñëè
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N (ε) è ∀p ∈ N Ô⇒ ∣xn+p − xn ∣ < ε.
Àíàëîãè÷íî:
xn
ôóíäàìåíòàëüíà, åñëè
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n, m ⩾ N (ε) Ô⇒ ∣xn − xm ∣ < ε.
a Èëè
ñõîäÿùåéñÿ â ñåáå
Ëåììà. Ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
÷òî
∀n, m ⩾ N
ε = 1 > 0. Äëÿ ýòîãî ε
∣xn − xm ∣ < 1.  ÷àñòíîñòè,
Çàôèêñèðóåì
âûïîëíåíî:
N òàêîé,
∣xn − xN ∣ < 1 äëÿ
íàéä¼ì íîìåð
òîãäà
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
∀n ⩾ N .
Ñëåäîâàòåëüíî äëÿ òàêèõ
55
n:
∣xn ∣ = ∣xn − xN + xN ∣ ⩽ ∣xn − xN ∣ + ∣xN ∣ < 1 + ∣xN ∣.
M =max {∣x1 ∣, . . . , ∣xN −1 ∣, 1 + ∣xN ∣} Ô⇒ ∣xn ∣⩽M
Ïîëîæèì
∀n ∈ N.
äëÿ
êðèòåðèé Áîëüöàíî-Êîøè.
Òåîðåìà 17. (êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Äëÿ òîãî,
÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìåëà ïðåäåë,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,
÷òîáû îíà áûëà ôóíäàìåíòàëüíîé.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íåîáõîäèìîñòü.
Ïóñòü
xn ÐÐÐ→ x.
n→∞
Òîãäà
ε
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N Ô⇒ ∣xn − x∣ < .
2
Ïîýòîìó,
∀m, n ⩾ N (ε) ⇒ ∣xn − xm ∣ ⩽ ∣xn − x∣ + ∣x − xm ∣ <
Äîñòàòî÷íîñòü.
ε
2
+
ε
2
= ε.
Ïî ïðåäûäóùåé ëåììå, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü îãðàíè÷åíà. Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà ó íå¼ íàéä¼òñÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïóñòü
Äëÿ ýòîãî
xnk ÐÐÐ→ x.
âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0.
Äîêàæåì, ÷òî è
k→∞
xn ÐÐÐ→ x.
n→∞
ε
∃ lim xnk =x Ô⇒ ∃K(ε) ∶ ∀k ⩾ K(ε) ⇒ ∣xnk − x∣ < .
k→∞
2
ε
xn − ôóíäàìåíòàëüíà Ô⇒ ∃N (ε) ∶ ∀n, m ⩾ N (ε) ⇒ ∣xn − xm ∣ < .
2
M (ε) = max {K(ε), N (ε)}.
∀n ⩾ M (ε) âûïîëíåíî:
Ïîëîæèì
òåëüíî,
Òîãäà
nM ⩾ nN ⩾ N , nM ⩾ nK ⩾ K .
∣xn − x∣ ⩽ ∣xn − xnM ∣ + ∣xnM − x∣ <
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
ε>0
ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî
Ñëåäîâà-
ε ε
+ = ε.
2 2
xn ÐÐÐ→ x.
n→∞
Êðèòåðèé Êîøè ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ çíà÷åíèÿ áåçãðàíè÷íî ñáëèæàþòñÿ ìåæäó ñîáîé ïî ìåðå âîçðàñòàíèÿ èõ íîìåðîâ. Òî åñòü, ÷èñëîâàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ìîæåò ¾ïîïàñòü¿
â ε− òðóáêó c ¾íåñáëèçèâøèìèñÿ¿
÷ëåíàìè. È, íàîáîðîò, åñëè ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ¾ïîïàëà¿
â ε−
òðóáêó, òî å¼ ÷ëåíû çàâåäîìî ñáëèçèëèñü ìåæäó ñîáîé.
xn ⊂ R ôóíäàìåíòàëüíîñòü ýêñëó÷àå xn èç êàêîãî-òî äðóãîãî
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
âèâàëåíòíà ñõîäèìîñòè. Íî â îáùåì ñëó÷àå (ò.å. â
ìíîæåñòâà) ýòî íå âñåãäà òàê. Íàïðèìåð, åñëè
√
xn
ðàöèîíàëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ÷èñ-
∀n ∈ N ⇒ xn ∈ Q, xn ôóíäàìåíòàëüíà2 ,
√
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â Q, ò.ê.
2 ∉ Q.
ëà
2,
òî
Çàìåòèì, ÷òî èç ñõîäèìîñòè
2 Ñì. ïðèìåð íèæå.
xn
íî íå ñóùåñòâóåò ïðåäåëà ýòîé
â ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå (â òîì ÷èñëå è â
Q)
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
3
ñëåäóåò å¼ ôóíäàìåíòàëüíîñòü . Ò.î.
56
ôóíäàìåíòàëüíîñòü ñëàáåå ñõîäèìîñòè.
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâà, â êîòîðûõ ôóíäàìåíòàëüíîñòü âëå÷¼ò çà ñîáîé ñõîäè-
ìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íàçûâàþò
äåíèé ìíîæåñòâî
R
ïîëíîå, à
Q
ïîëíûìè. Èç ïðèâåä¼ííûõ âûøå ðàññóæ-
íåò.
äåñÿòè÷íîå ðàçëîæåíèå
âåùåñòâåííîãî ÷èñëà.
Ïðèìåð 7.1. Ïóñòü
rn = ε0 + ε1 ⋅
∀ε > 0
è
∀p ∈ N
1
1
1
+ ε2 ⋅ 2 + . . . + εn ⋅ n ,
10
10
10
ε0 ∈ Z, εk ∈ {0, 1, . . . , 9}, k = 1, n;
ïîëó÷èì:
n+p
∣rn − rn+p ∣ = ∑ εk ⋅
k=n+1
ïðè
ãäå
n+p
∞
1
1
1
⩽
9
⋅
<
9
⋅
=9⋅
∑
∑
k
10
10k
10k
k=n+1
k=n+1
1
9⋅10n
=
1
10n
< ε,
ε
n ⩾ N (ε) = [ lnln0,1
] + 1.
Ïðèìåð 7.2.
Íàïèøåì
Hn = 1 +
1
2
+ . . . + n1 .
÷àñòè÷íàÿ ñóììà ãàðìîíè÷åñêîãî
ðÿäà.
îòðèöàíèå ôóíäàìåíòàëüíîñòè:
∃ε0 > 0 ∶ ∀n ∈ N ∃p ∈ N âûïîëíåíî ∣xn − xn+p ∣ ⩾ ε0 .
Ò.å. íàéä¼òñÿ òàêîé ÷ëåí, êîòîðûé âûéäåò èç
∣Hn − Hn+p ∣ =
1
n+1
+ ... +
1
n+p
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ε-òðóáêè.
1
={p = n}= n+1
+ ... +
Hn
1
2n
n
> 2n
= 21 =ε0 .
íå ôóíäàìåíòàëüíà, ò.å.
∄ lim Hn .
n→∞
Ò.ê. Hn ↑, òî Hn → +∞. Îäíàêî îòìåòèì, ÷òî Hn ñòðåìèòñÿ ê +∞ î÷åíü ìåäëåííî (÷òîáû âûðàñòè íà
a
ãàåìûõ ).
1
2
òðåáóåòñÿ âçÿòü åù¼ ïðèìåðíî ñòîëüêî æå ñëà-
a Äàëåå áóäåò äîêàçàíî, ÷òî Hn ðàñò¼ò ñî ñêîðîñòüþ ëîãàðèôìà.
Ïðèìåð 7.3.
γn = 1 +
∣γn −γn+p ∣ =
=
ïðè
+ ... +
1
22
1
;
n2
Äçåòà-ôóíêöèÿ â òî÷êå 2.
1
1
1
1
+ ... +
<
+ ... +
=
2
2
(n+1)
(n+p)
n (n+1)
(n+p−1) (n+p)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ... +
−
= −
< < ε,
n n+1 n+1 n+2
n+p−1 n+p n n+p n
n ⩾ N (ε) = [ 1ε ] + 1.
Ñëåäîâàòåëüíî,
a Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî lim γn =
n→∞
2
π
6
∃ lim γn a .
n→∞
.
3 Äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè îïèðàëîñü ëèøü íà îïðåäåëåíèå ñõîäèìîñòè è ôóíäàìåíòàëüíîñòè, íî íå íà ñâîéñòâà ìíîæåñòâà R.
1
k(k+1)
=
1
k
−
1
.
k+1
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ïðèìåð 7.4.
●
Äëÿ
Hnα = 1 +
α ⩽ 1,
ïîëó÷àåì
Äëÿ
α ⩾ 2,
1
;
nα
α
∣Hnα − Hn+p
∣=
1
(n+1)α
α
∣Hnα − Hn+p
∣ ⩾ ∣Hn − Hn+p ∣ >
+ ... +
1
.
(n+p)α
Äçåòà-ôóíêöèÿ, ζ(α).
1
2
n→∞
ïîëó÷àåì
α
2
∣Hnα − Hn+p
∣ ⩽ ∣Hn2 − Hn+p
∣ = ∣γn −γn+p ∣ < ε
Ô⇒ ∃ lim Hnα .
(ñì. Ïðèìåð 7.3.)
?
+ ... +
Ô⇒ ∄ lim Hnα .
(ñì. Ïðèìåð 7.2.)
●
1
2α
57
n→∞
×òî ïðîèñõîäèò ïðè α ∈ (1, 2)?
a
Óòâåðæäåíèå 7.1. (òåëåñêîïè÷åñêèé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ). Ïóñòü
âûïîëíåíî
an > 0b .
an ↘
è
∀n ∈ N
Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn = a1 + . . . + an
ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
yn = a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + 2n a2n .
a Èëè òåîðåìà Êîøè î ïðîðåæèâàíèè.
b Ò.å. a ⩾ a ⩾ a ⩾ . . . > 0.
1
2
3
Äîêàçàòåëüñòâî.
åì, ÷òî
xn ↗
è
 ñèëó íå îòðèöàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
yn↗.
an
çàêëþ÷à-
Ñëîæèì íåðàâåíñòâà, âûòåêàþùèå èç ìîíîòîííîñòè
a2 ⩽ a2 ⩽ a1 ,
2a4 ⩽ a3 + a4 ⩽ 2a2 ,
an :
4a8 ⩽ a5 + a6 + a7 + a8 ⩽ 4a4 , . . . ,
2n a2n+1 ⩽ a2n +1 + . . . + a2n+1 ⩽ 2n a2n ,
yn+1 −a1
⩽ x2n+1 − a1 ⩽ yn . Îòêóäà, è èç êðèòåðèÿ ñõîäèìîñòè ìîíîòîí2
a
íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé , âûòåêàåò òðåáóåìîå.
ïîëó÷àåì:
a Ñõîäèìîñòü ìîíîòîííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýêâèâàëåíòíà èõ îãðàíè÷åííîñòè.
1
+ . . . + n1α . Ïî ïðåäûäó2α
α
ùåìó óòâåðæäåíèþ, Hn ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ ïîñëåäî-
Ïðèìåð 7.5. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Hnα = 1 +
âàòåëüíîñòü
1+
2
+
2α
4
22α
+ ... +
2n
2nα
= 1 + 21−α + 22(1−α) + . . . + 2n(1−α) .
Ýòî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòåëåì
êî òîãäà, êîãäà
1−α
2
< 1,
ò.å.
1 − α < 0 ⇔ α > 1.
21−α , îíà ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëü-
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Çàäà÷à 1.
58
Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn =
1
1
1
+
+ ... +
p
p
2 (ln 2)
3 (ln 3)
n (ln n)p
p > 1.
ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
Óòâåðæäåíèå 7.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååò ìåñòî ïðèíöèï Àðõèìåäà è êðèòåðèé Êîøè. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷íûõ ãðàíåé.
Ïóñòü
Äîêàçàòåëüñòâî.
S
íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. Ïîñòðîèì óáû-
âàþùóþ ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ñîñòàâëåííóþ èç ýëåìåíòîâ,
S
îãðàíè÷èâàþùèõ
ñâåðõó), ñõîäÿùóþñÿ ê
sup S.
b îäíà èç âåðõíèõ ãðàíèö ìíîæåñòâà S (áóäåì ïèñàòü b ∈ UB(S)), è a ∈ S.
Ïî ïðèíöèïó Àðõèìåäà íàéäóòñÿ òàêèå íàòóðàëüíûå M è −m, ÷òî m < a ⩽ b < M .
Äëÿ ∀p ∈ N îïðåäåëèì ìíîæåñòâî
Ïóñòü
Sp = {k ∈ Z ∣
k
∈ UB(S)a
2p
k
⩽ M }.
2p
è
b
k = 2p M ∈ Sp c . Ñëåäîâàòåëüíî,∀p ∈ N Sp
êîíå÷íîå ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë. Ïîýòîìó, ∃ min Sp , êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì
kp
÷åðåç kp . Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ap ∶= p .
2
Òîãäà
2p m
îãðàíè÷èâàåò
Sp
ñíèçó , à
Ïîñòàðàåìñÿ âûÿñíèòü, ÷åìó ðàâíî ap+1 =
Ïîëó÷àåì,
2kp
2p+1
=
kp
2p
∈ UB(S),
ëèáî
à
2kp −2
kp+1
=
kp+1 = 2kp ,
kp −1
2p
kp+1
.
2p+1
∉ UB(S)d .
Ïîýòîìó,
kp+1 = 2kp − 1e .
ëèáî
k
p+1
ap+1 = 2p+1
2kp − 1 kp
1
1
= p − p+1 =ap − p+1 .
p+1
2
2
2
2
1
Ô⇒ ap − ap+1 = 0, ëèáî ap − ap+1 = p+1 .
2
q > p ⩾ 1, òî
2kp kp
¬
Ô⇒ ap+1 = p+1 = p =ap ,
2
2
Òåïåðü, åñëè
ëèáî
ap+1 =
0 ⩽ ap − aq = (ap − ap+1 ) + (ap+1 − ap+2 ) + . . . + (aq−1 − aq ) ⩽
<
1
1
+ . . . + q+1 + . . . =
2p+1
2
1
2p+1
⋅
1
1−1/2
=
1
1
+ . . . + q+1 <
2p+1
2
1
.
2p
Îòêóäà, è èç ïðèíöèïà Àðõèìåäà âûòåêàåò ôóíäàìåíòàëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
L,
{ap },
à çíà÷èò è å¼ ñõîäèìîñòü, ò.å.
è çàìåòèì, ÷òî
÷òî
p→∞
Îáîçíà÷èì äàííûé ïðåäåë
L = sup S. Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü L ∉ UB(S), òîãäà ∃x ∈ S : x > L.
x − L > 0 è ap↘ L, òî ∃p ∈ N : ap − L < x − L ⇒ ap < x ∈ S. Ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì,
k
ap = 2pp ∈ UB(S) (!)
Äîêàæåì, ÷òî
Ò.ê.
ap↘ L.
∃ lim ap .
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî
L′ < L.
Âûáåðåì
p∈N
L íå íàèìåíüøàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü, ò.å. ∃L′ ∈ UB(S), ÷òî
:
ap⩾L
1
1 ©
1
< L − L′ ⇒ ap − p ⩾ L − p > L′ ,
p
2
2
2
k −1
ap − 21p = p2p ∈ UB(S), ÷òî âõîäèò â ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî kp = min Sp .
Ñëåäîâàòåëüíî, L = sup S. Ñóùåñòâîâàíèå inf S äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
íî òîãäà
a Ò.å. îãðàíè÷èâàåò S ñâåðõó.
b Ò.ê. 2p m = m < a ∈ S.
2p
c 2p M + 1 ∉ Sp , ò.ê. 2p M +1 = M + 1 > M .
2p
2p
d Èíà÷å, kp − 1 ∈ Sp ⇒ kp ≠ min Sp .
e 2kp − 2 óæå íå ïîäõîäèò (ñì. âûøå), 2kp + 1 ≠ min S
p+1 ,
Íàìè áûëî äîêàçàíî, ÷òî Êðèòåðèé Êîøè (â
ò.ê. 2kp ∈ Sp+1
àðõèìåäîâîì ïîëå) ýêâèâàëåí-
òåí êàæäîìó èç øåñòè îñíîâíûõ ïðèíöèïîâ ïîëíîòû, à çíà÷èò ìîæåò áûòü
âûáðàí â êà÷åñòâå ïåðâîíà÷àëüíîé àêñèîìû.
Ðèñ. 29.
Îñíîâíûå ïðèíöèïû ïîëíîòû
Îòìåòèì, ÷òî ïðèíöèï Àðõèìåäà íå ìîæåò áûòü âûâåäåí èç àêñèîì R,
ìèíóÿ ïðèíöèï ïîëíîòû, ñì. [Çîðè÷ I, ñ.66].
59
ÃËÀÂÀ
Òåîðèÿ ÷èñëîâûõ ôóíêöèé
1
IV
Ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè
Ïóñòü
E⊂R
íåêîòîðîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî è
a
ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà
E1 .
Ðàññìîòðèì äàëåå âåùåñòâåííîçíà÷íóþ ôóíêöèþ
f ∶ E ↦ R.
Ñåêöèÿ 1. Ïîíÿòèå ïðåäåëà
ôóíêöèè
Ñåêöèÿ 2. Îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ òåîðèè ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 3. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè
Ñåêöèÿ 4. Ñðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé
x ∈ E ê òî÷êå a çíà÷åíèå
f (x) ôóíêöèè f ïðèáëèæàåòñÿ ê íåêîòîðîìó ÷èñëó b, êîòîðîå ìû áóäåì íàçûâàòü
ïðåäåëîì ôóíêöèè f ïðè x, ñòðåìÿùåìñÿ ê a. lim f (x) = b.
Ìû õîòèì ñêàçàòü, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ïðèáëèæåíèè òî÷êè
x→a
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî íàâîäÿùèõ íà ðàçìûøëåíèå ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð 1.1.
Ïðèìåð 1.2.
⎧
⎪
⎪
−1,
⎪
⎪
⎪
⎪
y = sgnx = ⎨0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩1,
⎧
1
⎪
⎪sin x ,
y=⎨
⎪
⎪
⎩0,
x < 0,
x = 0,
x > 0.
x ≠ 0,
x = 0.
Ðàññìîòðèì òàêæå è ôóíêöèþ Äèðèõëå
Ïðèìåð 1.3.
Ôóíêöèÿ Äèðèõëå
⎧
⎪
⎪1,
y = D(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
Îïðåäåëåíèå. Êîøè
íàéä¼òñÿ òàêîå
x ∈ Q,
E∋x→a
÷òî
∀x ∈ E, 0 < ∣x − a∣ < δ(ε),
åñëè äëÿ
Ðèñ. 31.
Ïðèìåð 2
∀ε > 0
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
∣f (x) − b∣ 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x ∈ E ∩ Uδ (a) Ô⇒ ∣f (x) − b∣ < ε.
1 Òî÷êà a ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ìíîæåñòâà E, åñëè â ëþáîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè íàéä¼òñÿ
áåñêîíå÷íî ìíîãî òî÷åê ìíîæåñòâà E, èëè, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } òî÷åê ìíîæåñòâà E, îòëè÷íûõ îò a, ñòðåìÿùèõñÿ ê a.
60
Ïðèìåð 1
x ∈ R ∖ Q.
îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå ε − δ lim f (x) = b,
δ(ε) > 0,
Ðèñ. 30.
Ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè
61
Îïðåäåëåíèå. Çàïèøåì ýòî îïðåäåëåíèå, èñïîëüçóÿ òîëüêî ïîíÿòèå îêðåñòíîñòè:
lim f (x) = b,
E∋x→a
∀ Vε (b) ∃ Uδ (a) ∶ f ( Uδ (a) ∩ E) ⊂ Vε (b)a .
○
åñëè
○
○
○
af ( U
δ (a) ∩ E) ⊂ Vε (b) ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ∀x ∈Uδ (a) ∩ E ⇒ f (x) ∈ Vε (b).
Ýòà çàïèñü ãîâîðèò î òîì, ÷òî ÷èñëî
ïðè
x → a
ïî ìíîæåñòâó
E,
b
ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè
åñëè äëÿ ëþáîé
ε-îêðåñòíîñòè Vε (b)
òî÷êè
○
f ∶ E ↦ R
b íàéä¼òñÿ
○
δ -îêðåñòíîñòü Uδ (a) òî÷êè a âî ìíîæåñòâå E, îáðàç êîòîðîé f ( Uδ (a) ∩ E)
îòîáðàæåíèè f ïîëíîñòüþ ñîäåðæèòñÿ â Vε (b).
ïðîêîëîòàÿ
ïðè
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ÷èñëîâîé îñè ñîäåðæèòñÿ òàêæå íåêîòîðàÿ ñèììåòðè÷íàÿ îêðåñòíîñòü (δ -îêðåñòíîñòü) ýòîé æå òî÷êè, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ôîðìå çàïèñè îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà:
lim f (x) = b,
E∋x→a
○
åñëè
○
∀ V (b) ∃ U(a) ∶ f ( U(a) ∩ E) ⊂ V (b).
Åñëè áóäåò ïîíÿòíî ïî êàêîìó ìíîæåñòâó E áåð¼òñÿ ïðåäåë, áóäåì ïðîñòî
ïèñàòü: lim f (x).
x→a
Çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êå a íå ó÷àñòâóåò â îïðåäåëåíèè ïðåäåëà â
òî÷êå a. Ïîýòîìó, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è çíà÷åíèÿ ïðåäåëà â ýòîé òî÷êå
íåñóùåñòâåííî, çàäàíà ëè f â òî÷êå a è, åñëè çàäàíà, òî êàê èìåííî.
Ïðèìåð 1.4.
⎧
⎪
⎪1,
y=⎨
⎪
⎪
⎩0,
x ≠ 0,
x = 0.
Ðèñ. 32.
Ïðèìåð 4
Ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè
62
Ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ïîíÿòèå ïðåäåëà îòîáðàæåíèÿ
f ∶ X ↦ Y,
åñëè íàì áóäåò ñêàçàíî,
÷òî òàêîå îêðåñòíîñòü òî÷êè â X è â Y, èëè, êàê ãî-
âîðÿò, åñëè â X è â Y áóäåò çàäàíà òîïîëîãèÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ãåéíå. Îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
äëÿ ëþáîé
lim f (x) = b,
E∋x→a
òî÷åê ìíîæåñòâà E, îòëè÷íûõ îò
{xn }
a,
ñòðåìÿùåéñÿ ê ýòîé òî÷êå ïðè n → ∞, ñîîòâåòñòâóþùàÿ èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
çíà÷åíèé ôóíêöèè {f (xn )} ñõîäèòñÿ, ïðè n → ∞, ê ÷èñëó b:
åñëè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
∀ {xn } ∶ xn ∈ E ∖ {a}, xn → a Ô⇒ f (xn ) ÐÐÐ→ b.
n→∞
Ìíîæåñòâî E, íà êîòîðîì çàäàíà ôóíêöèÿ f , íå îáÿçàíà öåëèêîì ïîêðû○
âàòü âñþ îêðåñòíîñòü U(a).
Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé, êîãäà a èëè b ðàâíû −∞,
+∞ èëè ∞. Îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå îêðåñòíîñòåé âîîáùå íå ìåíÿåòñÿ. Îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íå ìåíÿåòñÿ, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî,
÷òî íåçà÷åì ïèñàòü xn ≠ (±)∞. Îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå ½ ε − δ“ çàïèñûâàåòñÿ â
ýòèõ ñëó÷àÿõ ïî-ðàçíîìó.
lim f (x) = ∞ ⇔ ∀M > 0 ∃∆ > 0 ∶ ∀x ∈ E, x > ∆ ⇒ ∣f (x)∣ > M ;
x→+∞
lim f (x) = −∞ ⇔ ∀M > 0 ∃δ > 0 ∶ ∀x ∈ E, 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) < −M ;
x→a
lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0 ∃∆ > 0 ∶ ∀x ∈ E, ∣x∣ > ∆ ⇒ ∣f (x) − A∣ < ε.
x→∞
Åñëè äëÿ ∀{xn } (xn ∈ E, xn ≠ a, xn → a) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (xn )} èìååò
ïðåäåë, òî âñå ýòè ïðåäåëû ðàâíû ìåæäó ñîáîé, è òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ
èìååò ïðåäåë â òî÷êå a.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
xn , yn ∈ E ∖ {a}, xn → a, yn → a, f (xn ) → x, f (yn ) → y .
Ïîñòðîèì íîâóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{zn } ∶ z2n−1 = xn , z2n = yn .
Òîãäà
äåëó,
zn ∈ E ∖ {a}, zn → a. Ñëåäîâàòåëüíî, {f (zn )} ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåè x = y , êàê ïðåäåëû ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, èìåþ-
ùåé ïðåäåë.
Ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè
63
Òåîðåìà 18. Îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Êîøè è ïî Ãåéíå ðàâíîñèëüíû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ñ÷èòàåì
b = lim f (x) (ïî Êîøè ).
x→a
a, b ∈ Ra .
Èç ïî Êîøè âûâîäèì ïî Ãåéíå Ñëåäîâàòåëüíî,
○
äëÿ ëþáîé
ε-îêðåñòíîñòè Vε (b) òî÷êè b íàéäåòñÿ ïðîêîëîòàÿ δ -îêðåñòíîñòü U(a)
○
E, ÷òî f ( Uδ (a) ∩ E) ⊂ Vε (b). Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } òî÷åê
ìíîæåñòâà E ∖ {a} ñõîäèòñÿ ê a, òî ∀δ > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N (δ) ∈ N, íà÷èíàÿ
òî÷êè
a
â
○
ñ êîòîðîãî áóäåò
xn ∈Uδ (a)
è, çíà÷èò
f (xn ) ∈ Vε (b).
Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ
ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàêëþ÷àåì, ÷òî
Ïóñòü
lim f (xn ) = b.
n→∞
b = lim f (x) (ïî Ãåéíå ). Èç ïî Ãåéíå âûâîäèì ïî Êîøè Îò ïðîòèâíîãî.
x→a
b íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f ïî Êîøè ïðè E ∋
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî
x → a.
Òîãäà
○
∃ε0 ∶ ∀δ > 0 ∃x ∈ E ∩ Uδ (a) ∶ ∣f (x) − b∣ ⩾ ε0 .
δn =
1
è óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî å¼
n
ýëåìåíòà íàéä¼òñÿ õîòÿ áû îäíî çíà÷åíèå àðãóìåíòà xn òàêîå, ÷òî
Ò.î. ìîæíî âçÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
0 < ∣xn − a∣ < n1 ,
Ëåâîå èç íåðàâåíñòâ
(∗)
íî
îçíà÷àåò, ÷òî
∣f (x) − b∣ ⩾ ε0 .
{xn } → a
è
(∗)
xn ≠ a, ∀n ∈ N.
Íî â òà-
êîì ñëó÷àå, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ïî Ãåéíå ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè
ïðîòèâîðå÷èò
{f (xn )} îáÿçàíà ñõîäèòñÿ ê
(∗), ñïðàâåäëèâîå ∀n ∈ N.
÷èñëó
b,
à ýòîìó
ïðàâîå èç íåðàâåíñòâ
a Ò.å. a è b êîíå÷íû.
Äîêàçàííàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ìîæåò èìåòü â òî÷êå a
òîëüêî îäèí ïðåäåë. Â ñàìîì äåëå, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî
Ãåéíå ýòî âûòåêàåò èç åäèíñòâåííîñòè ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f (xn )}, à äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïî Êîøè èç óñòàíîâëåííîé ýêâèâàëåíòíîñòè ýòîãî ïðåäåëà ïðåäåëó ôóíêöèè ïî Ãåéíå.
Îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ òåîðèè ôóíêöèé
2
64
Îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ òåîðèè ôóíêöèé
Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ
f
îãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå
X, åñëè
∃M > 0 ∶ ∀x ∈ X Ô⇒ ∣f (x)∣ ⩽ M.
Óòâåðæäåíèå 2.1. (ôèíàëüíàÿ îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè, èìåþùåé ïðåäåë). Åñëè
∃lim f (x),
x→a
òî
f îãðàíè÷åíà
a Èëè, êàê ãîâîðèòñÿ,
íà
Uδ (a) ∩ E
äëÿ íåêîòîðîãî
ôèíàëüíî îãðàíè÷åíà ïðè
δ >0a .
x → a.
Äîêàçàòåëüñòâî.
○
∃ lim f (x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x ∈Uδ (a) ⇒ ∣f (x) − b∣ < ε ⇐⇒
x→a
⇐⇒ b − ε < f (x) < b + ε.
Åñëè
a ∈ E,
òî îáîçíà÷èì
m = min{b − ε, f (a)}, M = max{b + ε, f (a)}.
Òîãäà
∀x ∈ Uδ (a) ∩ E Ô⇒ m ⩽ f (x) ⩽ M.
îäíîñòîðîííåãî ïðåäåëà ôóíêöèè f ∶ E ↦ R â òî÷êå a. Äëÿ ýòîãî
E äëÿ ∀δ >0 èìåëî õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò, ïðèíàäëåæàùèé
(a, a + δ) (èíòåðâàëó (a − δ, a)).
Ââåä¼ì ïîíÿòèå
ïîòðåáóåì, ÷òîáû ìíîæåñòâî
èíòåðâàëó
Îïðåäåëåíèå. ×èñëî
a ïî Êîøè,
b
íàçûâàåòñÿ
ïðàâûì (ëåâûì ) ïðåäåëîì ôóíêöèè
f â òî÷êå
åñëè
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x ∈ E, a < x < a + δ (a − δ < x < a) Ô⇒ ∣f (x) − b∣ < ε.
f (a + 0) = lim f (x) = b (f (a − 0) = lim f (x) = b)
x→a+0
x→a−0
b íàçûâàåòñÿ ïðàâûì (ëåâûì ) ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå a
∀{xn } → a è xn > a (xn < a), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ôóíêöèè {f (xn )} ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó b.
Îïðåäåëåíèå. ×èñëî
ïî Ãåéíå, åñëè
çíà÷åíèé
Ïðèìåð 2.1.
⎧
⎪
−1,
⎪
⎪
⎪
⎪
y = sgnx = ⎨0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩1,
Ýòà ôóíêöèÿ èìååò â òî÷êå
a = 0
x < 0,
x = 0,
x > 0.
êàê ïðàâûé, òàê è ëåâûé ïðåäåëû,ïðè÷¼ì
Îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ òåîðèè ôóíêöèé
sgn(0 + 0)
= 1,
sgn(0 − 0)
= −1.
∀ε > 0 ∃δ = 1 (ê
65
Äåéñòâèòåëüíî,
ïðèìåðó)
∶ ∀x, 0 g(x),
2)f (x) ⩾ g(x),
òî ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå:
3)f (x) > C,
4)f (x) ⩾ C,
B ⩾ C.
○
a Ò.å. ∀x ∈U (a).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñëåäîâàíèÿ èç íåðàâåíñòâ
1) è 2) ïîëó÷àþòñÿ èç òåîðåìû 4
3), 4) ÷àñòíûå ñëó÷àè 1) è 2),
äîêàçàòåëüñòâîì îò ïðîòèâíîãî. Ñëåäîâàíèÿ èç
ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè
g(x) ≡ C .
Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè
3
68
Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî
ôóíêöèÿ
f ∶ E ↦ R óäîâëåòâîðÿåò â òî÷êå a
óñëîâèþ Êîøè, åñëè
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x′ , x′′ ∈ E ∩ Uδ (a)a Ô⇒ ∣f (x′ ) − f (x′′ )∣ < ε.
○
a Ò.å. ∀x′ , x′′ ∈ E, 0 < ∣x′ − a∣ < δ(ε), 0 < ∣x′′ − a∣ < δ(ε).
Òåîðåìà 22. (Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå a). Äëÿ òîãî,
÷òîáû ôóíêöèÿ
f
èìåëà â òî÷êå
a
êîíå÷íûé ïðåäåë,
÷òîáû ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿëà â òî÷êå
Äîêàçàòåëüñòâî.
a
íåîáõîäèìî
äîñòàòî÷íî,
è
óñëîâèþ Êîøè.
Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ∃ lim f (x) = b. Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. Ïî
x→a
îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè íàéä¼òñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü
○
∀x ∈Uδ (a) ∩ E ⇒ ∣f (x) − b∣ <
U(a)
òî÷êè
a,
÷òî
ε
.
2
○
Òîãäà, åñëè
x′ , x′′ ∈Uδ (a) ∩ E,
òî
∣f (x′ ) − f (x′′ )∣ ⩽ ∣f (x′ ) − b∣ + ∣b − f (x′′ )∣ <
Äîñòàòî÷íîñòü.
Âîçüì¼ì
Ïóñòü ôóíêöèÿ
ïðîèçâîëüíóþ
f
ε
2
+
ε
2
= ε.
a.
{xn } ÐÐÐ→ a, E ∋ xn ≠ a.
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Êîøè â òî÷êå
÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
n→∞
○
∀ε > 0 ïîäáåð¼ì îêðåñòíîñòü Uδ (a) èç óñëîâèÿ Êîøè äëÿ ôóíêöèè. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N = N (δ), ÷òî
Ïî
○
○
∀n ⩾ N ⇒ xn ∈Uδ (a). Ïî âûáîðó Uδ (a) äëÿ âñåõ n, m ⩾ N áóäåò âûïîëíåíî: ∣f (xn ) − f (xm )∣ < ε, ò.å ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (xn )} ôóíäàìåíòàëüíà.
ïðè
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî êðèòåðèþ Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,
∃ lim f (xn ).
n→∞
3a ê îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Ãåéíå, çàêëþ÷àåì ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà lim f (x).
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
{xn } (xn ≠ a, xn → a, xn ∈ E)
è çàìå÷àíèÿ
x→a
a Åñëè äëÿ ∀{xn } (xn ∈ E, xn ≠ a, xn → a) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (xn )} èìååò ïðåäåë, òî âñå
ýòè ïðåäåëû ðàâíû ìåæäó ñîáîé
Àíàëîãè÷íî ôîðìóëèðóåòñÿ è äîêàçûâàåòñÿ êðèòåðèé Êîøè äëÿ ñëó÷àåâ
îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ â òî÷êå a è ïðåäåëà ïðè x → (±)∞.
f ∶E↦R
ω(f, A) = sup ∣f (x ) − f (x′′ )∣.
Îïðåäåëåíèå. Êîëåáàíèåì ôóíêöèè
âåëè÷èíà
íà ìíîæåñòâå
A⊂E
íàçûâàåòñÿ
′
x′ ,x′′ ∈A
22∗ . Ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî ïðåäåëà ôóíêöèè f ∶ E ↦ R ïðè x → a ∈ E
ðàâíîñèëüíî âûïîëíåíèþ óñëîâèÿ:
Òåîðåìà
∀ε > 0 ∃U(a) ∶ ω(f, U(a) ∩ E) < ε.
Ñðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé
4
69
Ñðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé
Öåëü ñëåäóþùèõ îïðåäåëåíèé ïðèäàòü ÷¼òêèé ñìûñë âûñêàçûâàíèÿì òèïà: ¾îäíà ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ê 0 (èëè ∞) áûñòðåå äðóãîé¿; ¾äâå ôóíêöèè
ñòðåìÿòñÿ ê 0 (èëè ∞) ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ¿ è ò.ï.
f, g ∶ E ↦ R, a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåφ ∶ E↦R è îêðåñòíîñòü U(a) òî÷êè a òàêèå, ÷òî
Îïðåäåëåíèå. Ñèìâîëû Ëàíäàó Ïóñòü
ñòâà
E
è ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ
○
f (x) = φ(x) ⋅ g(x), ∀x ∈Uδ (a) ∩ E.
Òîãäà:
1. åñëè
φ
○
îãðàíè÷åíà íà Uδ (a) ∩ E, òî ãîâîðÿò,
íåíèþ ñ g ïðè x → a. f = O(g), x → a.
Ýòî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó:
2. åñëè
ñ
∃C > 0
è
÷òî
○
Uδ (a)
φ ÐÐ→ 0, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f
x→a
ôóíêöèÿ
f îãðàíè÷åíà ïî ñðàâ○
∣f (x)∣ ⩽ C∣g(x)∣, ∀x ∈Uδ (a) ∩ E.
:
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïî ñðàâíåíèþ
g ïðè x → a. f = o(g), x → a.
○
òî
○
∃ Uδ (a) : ∀x ∈Uδ (a) ∩ E âûïîëíåíî g(x) ≠ 0, à â ñëó÷àå a ∈ E,
f (x)
= 0.
óñëîâèå f = o(g), x → a ðàâíîñèëüíî lim
g(x)
Åñëè
3. åñëè
φ(a) = 0,
x→a
φ ÐÐ→ 1,
x→a
òî ãîâîðÿò, ÷òî
òè÷åñêè ðàâíû ïðè
Åñëè
êðîìå òîãî,
○
∃ Uδ (a)
ðàâíîñèëüíî
ôóíêöèè
f è g ýêâèâàëåíòíû èëè àñèìïòî-
x → a. f ∼ g , x → a.
○
∀x ∈Uδ (a) ∩ E âûïîëíåíî f (x) ≠ 0, g(x) ≠ 0,
g(x)
f (x)
lim g(x) = lim f (x) = 1.
:
òî óñëîâèå
f ∼ g, x → a
x→a
x→a
f = O(g), g = O(f ) ïðè x → a (èëè x ∈ D), òî
f è g ñðàâíèìû èëè ôóíêöèè îäíîãî ïîðÿäêà ïðè x → a
(íà ìíîæåñòâå D). f ≍g , x→a (x∈D).
Îïðåäåëåíèå. Åñëè âûïîëíåíî:
ãîâîðÿò, ÷òî
ôóíêöèè
= O ( x12 ) , x → 0,
∣ x1 ∣ ≤ ∣ x12 ∣
Ïðèìåð 4.1.
1
x
Ïðèìåð 4.2.
1
x2
Ïðèìåð 4.3.
f (x) = x (2 + sin x1 ), g(x) = x, x → 0;
ò.ê.
= O ( x1 ) , x → ∞,
ò.ê.
ïðè
∣ x12 ∣ ≤ ∣ x1 ∣
ïðè
1
∣ fg ∣=∣2+sin x1 ∣⩽3⇒∣f ∣⩽3∣g∣, ∣ fg ∣= ∣2+sin
1 ⩽1⇒∣g∣⩽∣f ∣.
∣
x
Ïðèìåð 4.4.
x6
1+x4
∼ x6 ,
ïðè
x → 0;
∣x∣ ≤ 1;
∣x∣ ≥ 1;
Ò.å.
f ≍g , x→ 0.
Ñðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé
Ïðèìåð 4.5.
x6
1+x4
∼ x2 ,
ïðè
Óòâåðæäåíèå 4.1. Åñëè
Äîêàçàòåëüñòâî.
70
x → ∞.
f ∼ g, g ∼ h
ïðè
x → a,
òî
f ∼h
ïðè
Èç óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî
φ, ψ ∶ E ∩ U(a) ↦ R, lim φ(x) = lim ψ(x) = 1,
x→a
x→a
x → a.
∃U(a)
è ôóíêöèè
÷òî
∀x ∈ E ∩ U(a) ⇒ f (x) = φ(x) g(x), g(x) = ψ(x) h(x) ⇒ f (x) = φ(x)ψ(x) h(x)
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Ðx→a
Ð→1
Ñëåäîâàòåëüíî, f ∼ h ïðè x → a.
Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ.
Ïóñòü
f ∶E↦R
îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè
Îïèñàòåëüíî ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ f
a ∈ E.
íåïðåðûâíà â òî÷êå a, åñëè å¼ çíà÷åíèÿ f (x) ïî
ìåðå ïðèáëèæåíèÿ x ê a ïðèáëèæàþòñÿ ê f (a), èëè ÷òî ïðè ìàëûõ èçìåíåíèÿõ
àðãóìåíòà, ôóíêöèÿ òàêæå èçìåíÿåòñÿ íå ñèëüíî. Äàëåå ìû óòî÷íèì ýòî ïîíÿòèå.
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå a ∈ E, åñëè äëÿ ëþáîé
îêðåñòíîñòè V(f (a)) çíà÷åíèÿ f (a) ôóíêöèè ïðèíèìàåìîãî åþ â òî÷êå a, íàéä¼òñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü U(a) òî÷êè a âî ìíîæåñòâå E (ò.å. U(a)∩E), îáðàç êîòîðîé f (U(a)∩E)
ñîäåðæèòñÿ â V(f (a)).
f ∈ C(a) ⇐⇒ ∀ V(f (a)) ∃U(a) ∶ f (U(a) ∩ E) ⊂ V(f (a)) ⇐⇒
⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x ∈ E, ∣x − a∣ < δ(ε) ⇒ ∣f (x) − f (a)∣ < ε.
Îòìåòèì, ÷òî ìû íå ïèøåì 0 < ∣x − a∣ < δ , ò.ê. ôóíêöèÿ f äîëæíà áûòü
îïðåäåëåíà â òî÷êå a.
Ïóñòü a èçîëèðîâàííàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà E. Òîãäà íàéä¼òñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü U(a) òî÷êè a, â êîòîðîé íåò äðóãèõ òî÷åê ìíîæåñòâà E, êðîìå ñàìîé òî÷êè a. Â
ýòîì ñëó÷àå
f (U(a) ∩ E) = f (a) ⊂ V(f (a)),
Ïðèìåð 1.1.
êàêîâà áû íè áûëà îêðåñòíîñòü V(f (a)). Ò.î., â ëþáîé èçîëèðîâàííîé òî÷êå îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèÿ, î÷åâèäíî, íåïðåðûâíà. Íî ýòî âûðîæäåííûé ñëó÷àé. Çàìåòèì,
÷òî ïîíÿòèå ïðåäåëà â èçîëèðîâàííîé òî÷êå íå îïðåäåëåíî.
Ïóñòü äàëåå a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà E. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R
íåïðåðûâíà â òî÷êå a, åñëè lim f (x) = f (a). Ýòî òîæäåñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
E∋x→a
lim f (x) = f ( lim x),
x→a
x→a
ò.å. íåïðåðûâíûå â òî÷êå ôóíêöèè, è òîëüêî îíè, ïåðåñòàíîâî÷íû ñ îïåðàöèåé
ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà.
Ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ìíîæåñòâå X ⊂ E, åñëè
îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà X. Îáîçíà÷åíèå: f ∈ C(X).
Îïðåäåëåíèå.
Ïðèìåð 1.2.
f (x) = x ∈ C(R). ∀a ∈ R èìååì:
∣f (x) − f (a)∣ = ∣x − a∣ < δ = ε.
Ïðèìåð 1.3.
f (x) = sin x ∈ (C)(R). ∀a ∈ R èìååì:
∣⩽
∣f (x) − f (a)∣ = ∣ sin x − sin a∣ = ∣2 cos x+a
⋅ sin x−a
2
2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¶
⩽1
71
⩽
x−a
2
ÃËÀÂÀ
V
Ñåêöèÿ 1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ
Ñåêöèÿ 2. Ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 3. Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü
Ñåêöèÿ 4. Îáðàòíûå ôóíêöèè
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ
72
∣ = ∣x − a∣ < δ = ε.
⩽ 2 ∣ x−a
2
Ïóñòü íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå çàäàíû ôóíêöèè f è g , íåïðåðûâíûå â òî÷êå a. Òîãäà ôóíêöèè
f ± g , f ⋅ g è fg òàêæå íåïðåðûâíû â òî÷êå aa .
Òåîðåìà 23. (Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè).
a  ñëó÷àå ÷àñòíîãî íóæíî äîïîëíèòåëüíî òðåáîâàòü g(a) ≠ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âûòåêàåò èç òåîðåìû îá àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä
ôóíêöèÿìè, èìåþùèìè ïðåäåë.
Åñëè f ∶ X ↦ R, g ∶ Y ↦ R, f (X) ⊂
Y è ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ∈ X, à ôóíêöèÿ g íåïðåðûâíà â òî÷êå y0 = f (x0 ),
òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ g(f (x)) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 .
Òåîðåìà 24. (Íåïðåðûâíîñòü êîìïîçèöèè ôóíêöèé).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû î ïðå-
äåëå êîìïîçèöèè ôóíêöèé.
Ïðèìåð 1.4.
f (x) = x sin x1 ∈ C(0) è f (0) = 0; g(y) = ∣sgny∣ ∉ C(0) è g(f (x)) =
∣sgn (x sin x1 ) ∣ ∉ C(0).
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå a ñïðàâà (ñëåâà ), åñëè ïðàâûé (ëåâûé) ïðåäåë ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå a ñóùåñòâóåò è ðàâåí ÷àñòíîìó çíà÷åíèþ
f (a) ôóíêöèè f â òî÷êå a.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â íåêîòîðîé òî÷êå
ìíîæåñòâà E, òî ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ôóíêöèè f , ò.å. a ∈ E òî÷êà
ðàçðûâà ôóíêöèè f , åñëè:
∃V (f (a)) ∀U(a) ∃x ∈ U(a) ∩ E ∶ f (x) ∉ V (f (a)) ⇐⇒
⇐⇒ ∃ε0 > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ E, ∣x − a∣ < δ ∶ ∣f (x) − f (a)∣ ⩾ ε0 .
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïðèìåðû
ðàçðûâíûõ ôóíêöèé:
1. f (x) = ∣ sgn x ∣; ∃ lim f (x) = 1, íî f (0) = 0 ≠ 1 = lim f (x).
x→0
2. f (x) =
x→0
sgn x; ∃ lim f (x) = −1 ≠ 1 = lim f (x).
⎧
1
⎪
⎪sin x ,
3. f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 0,
x→0−0
x ≠ 0,
x = 0;
x→0+0
∄ lim f (x).
x→0
Äàííûå ïðèìåðû îáúÿñíÿþò ñëåäóþùóþ òåðìèíîëîãèþ.
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ
73
Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ òî÷êîé óñòðàíèìîãî ðàçðûâà ôóíêöèè f , åñëè ïðåäåë ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå a ñóùåñòâóåò, íî â äàííîé òî÷êå ôóíêöèÿ f ëèáî íå îïðåäåëåíà, ëèáî èìååò ÷àñòíîå çíà÷åíèå f(a) ≠ lim f(x).
x→a
Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà äëÿ ôóíêöèè f , åñëè
ñóùåñòâóþò, íå ðàâíûå ìåæäó ñîáîé, îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû:
Îïðåäåëåíèå.
lim f (x) = f (a − 0) ≠ f (a + 0) = lim f (x).
x→a−0
x→a+0
Åñëè âñå òî÷êè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò
òî÷êè a, ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî îäèí èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ.  òàêèõ
a
ñëó÷àÿõ ìû íå áóäåì ïðèìåíÿòü òåðìèí ¾îäíîñòîðîííèé ïðåäåë¿
a Õîòÿ íåêîòîðûå àâòîðû è óïîòðåáëÿþò â äàííîì ñëó÷àå ýòîò òåðìèí.
Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà äëÿ ôóíêöèè f , åñëè
â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ f íå èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ,
èëè åñëè õîòÿ áû îäèí èç íèõ áåñêîíå÷åí.
Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], åñëè îíà
íåïðåðûâíà âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ ýòîãî ñåãìåíòà (ò.å. â òî÷êàõ (a, b)) è, êðîìå
òîãî, íåïðåðûâíà â òî÷êå a ñïðàâà è íåïðåðûâíà â òî÷êå b ñëåâà.
Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [a, b], åñëè ýòà
ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà âñþäó íà [a, b], íåïðåðûâíà âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ ýòîãî ñåãìåíòà, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê, â êîòîðûõ îíà èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà. È, êðîìå òîãî, ∃f (a + 0), f (b − 0).
Îïðåäåëåíèå.
Ïðèìåð 1.5. Ôóíêöèÿ Äèðèõëå.
⎧
⎪
⎪1,
D(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
x ∈ Q,
x ∈ R ∖ Q;
Äëÿ ∀x ∈ R ïîäáåð¼ì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë {xn } è èððàöèîíàëüíûõ
{yn }, òàêèå ÷òî xn , yn > x0 , xn → x0 , yn → y0 . Íàïðèìåð, âîçüì¼ì
xn =
[x0 ⋅n]+1
,
n
yn = xn +
√
2
.
n
Òîãäà D(xn ) ≡ 1 → 1, D(yn ) ≡ 0 → 0. Ïîýòîìó, ∄ lim D(x). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
x→x0 +0
∄ lim D(x). Ñëåäîâàòåëüíî, D ðàçðûâíà â êàæäîé òî÷êå. Âñå ðàçðûâû âòîðîãî ðîäà.
x→x0 −0
Êëàññèôèêàöèÿ òî÷åê ðàçðûâà.
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ
74
Ïðèìåð 1.6. Ôóíêöèÿ Ðèìàíà èëè ôóíêöèÿ Òîìà.
⎧
1
⎪
⎪ ,
R(x) = ⎨ n
⎪
⎪
⎩0,
x=
m
n
∈ Q,
x ∈ (R ∖ Q) ∪ {0};
Äîêàæåì, ÷òî ∀x0 ∈ R ∃ lim R(x) = 0. Äåéñòâèòåëüíî, âûáåðåì ∀ε > 0 è ïîäáåð¼ì òàêîé íîìåð
x→x0
N , ÷òî N1 < ε. Êîëè÷åñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñî çíàìåíàòåëÿìè, ìåíüøèìè N , â ïðîêîëîòîé
1-îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 êîíå÷íî; Îáîçíà÷èì ÷åðåç r ðàññòîÿíèå îò x0 äî áëèæàéøåãî èç
○
íèõ. Òîãäà â Ur/2 (x0 ) íåò ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñî çíàìåíàòåëÿìè, ìåíüøèìè N . Ò.å. ïðè
○
∀x ∈Ur/2 (x0 ) áóäåò ëè x ðàöèîíàëüíî èëè èððàöèîíàëüíî, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ∣R(x)∣ <
ε ⇒ lim R(x) = 0. Ò.å. ôóíêöèÿ R íåïðåðûâíà âî âñåõ èððàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ, è ðàçðûâíà
x→x0
âî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ1 (òåðïèò òàì óñòðàíèìûé ðàçðûâ).
Òåîðåìà 25. (î òî÷êàõ ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè). Åñëè ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà
ñåãìåíòå [a, b] è ÿâëÿåòñÿ íà í¼ì ìîíîòîííîé, òî íà èíòåðâàëå (a, b) îíà ìîæåò èìåòü
òîëüêî òî÷êè ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà.
Ëåììà. Åñëè ôóíêöèÿ f ìîíîòîííà íà [a,b], òî ∀c ∈ (a,b) ñóùåñòâóþò ïðåäåëû f (c − 0)
è f (c + 0). È, êðîìå òîãî, ∃f (a + 0), f (b − 0). Ïóñòü f↗ íà [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âûáåðåì ∀c ∈ [a, b). Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
F ∗ = {f (x) ∣ x ∈ (c, b]}.
F ∗ ≠ ∅, ò.ê. f (b) ∈ F ∗ è îãðàíè÷åíî ñíèçó, íàïðèìåð, ÷èñëîì f (c)a . Ïî ïðèíöèïó
òî÷íûõ ãðàíåé ∃ inf F ∗ , êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç γ . Äîêàæåì, ÷òî γ = f (c +
0).
Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. Ò.ê. γ = inf F ∗ , òî ∃δ ∈ (0, b − c)b : f (c + δ) < γ + ε. Ò.ê. f↗, òî
∀x ∈ (c, c + δ) è ïîäàâíî áóäåò f (x) < γ + ε. Íî f (x) ⩾ γ . Ïîýòîìó,
γ − ε < γ ⩽ f (x) < γ + ε ⇐⇒ ∣f (x) − γ∣ < ε, ∀x ∈ (c, c + δ).
Îòêóäà, lim f (x) = γ . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ∃f (c − 0) äëÿ ∀c ∈ (a, b].
x→c+0
a Ò.ê. f↗.
b Îãðàíè÷åíèå íà âåëè÷èíó δ íàêëàäûâàåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû c + δ íå âûëåçëî çà
ãðàíèöû îòðåçêà [a, b].
(òåîðåìû î òî÷êàõ ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè) Ïóñòü äàëåå, f ↗
è x0 ∈ [a, b) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Äëÿ ∀x ∈ (x0 , b] âûïîëíåíî f (x) ⩾ f (x0 ). Ïî ëåììå
∃f (x0 + 0) è f (x0 + 0) ⩾ f (x0 ). Àíàëîãè÷íî, ∀x0 ∈ (a, b] è ∀x ∈ [a, x0 ) âûïîëíåíî f (x) ⩽
f (x0 ). Ïî ëåììå ∃f (x0 − 0) è f (x0 − 0) ⩽ f (x0 ).
Åñëè äàííûå ïðåäåëû ñîâïàäàþò ñ f (x0 ), òî f ∈ C(x0 ). Èíà÷å, ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñëåäñòâèå 1 (êðèòåðèé íåïðåðûâíîñòè ìîíîòîííîé ôóíêöèè). Ìîíîòîííàÿ ôóíê-
öèÿ íåïðåðûâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïðèíèìàåò âñå ñâîè ïðîìåæóòî÷íûå
çíà÷åíèÿa .
a Ò.å. ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ f ∶ E = [a, b] ↦ R íåïðåðûâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ìíîæåñòâî f (E) å¼ çíà÷åíèé ñàìî ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì ñ êîíöàìè f (a) è f (b).
1 Îïðåäåë¼ííàÿ âûøå ôóíêöèÿ R íåïðåðûâíà òàêæå â òî÷êå x = 0.
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ
75
Ñëåäñòâèå 2. Ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíîå.
Ïóñòü f↗ è x0 òî÷êà ðàçðûâà ôóíêöèè f . Ñëåäîâàòåëüíî, f (x0 −0) <
f (x0 + 0), è ∃r(x0 ) ∈ Q : f (x0 − 0) < r(x0 ) < f (x0 + 0). Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî ðàçíûì
òî÷êàì ðàçðûâà x1 è x2 áóäóò ñîïîñòàâëåíû ðàçëè÷íûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà r(x1 ) è
r(x2 ). Ýòî âûòåêàåò èç ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè f , ò.ê., åñëè x1 < x2 , òî
Äîêàçàòåëüñòâî.
f (x1 + 0) = inf
f (x′ ) ≤ f (x′ ) ≤ sup f (x′ ) = f (x2 − 0), ∀x′ ∈ (x1 , x2 ),
′
x >x1
x′ 0 äëÿ ∀x ∈ U(a) ∩ Ea .
a Ò.å. ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü, â êîòîðîé ôóíêöèÿ f ñîõðàíÿåò ñâîé çíàê.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ò.ê. f ∈ C(a), òî
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x ∈ Uδ (a) ∩ E ⇒ ∣f (x) − f (a)∣ < ε ⇔ f (a) − ε < f (x) < f (a) + ε.
Åñëè â êà÷åñòâå ε âçÿòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ∣f (a)∣
, òî îáà ÷èñëà f (a) − ε è f (a) + ε
2
áóäóò ïîëîæèòåëüíû ïðè f (a) > 0 è îòðèöàòåëüíû ïðè f (a) < 0. Îòêóäà è âûòåêàåò
òðåáóåìîå.
Àíàëîãè÷íóþ òåîðåìó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü äëÿ ôóíêöèè f íåïðåðûâíîé â òî÷êå a ñïðàâà (ñëåâà).  ýòîì ñëó÷àå íàéä¼òñÿ ïðàâàÿ (ëåâàÿ) ïîëóîêðåñòíîñòü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ òåì æå ñâîéñòâàì.
76
Ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
77
Òåîðåìà 27. (Î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç íóëü ïðè ñìåíå çíàêîâ).
Ïóñòü f ∈ C[a, b], è ïóñòü f (a) ⋅ f (b) < 0 (ò.å. å¼ çíà÷åíèÿ íà êîíöàõ åñòü ÷èñëà ðàçíûõ çíàêîâ). Òîãäà ∃ξ ∈ (a, b) : f (ξ) = 0.
) ≠ 0, òî íà êîíöàõ
Äåëèì îòðåçîê [a, b] = I0 ïîïîëàì Åñëè f ( a+b
2
îäíîãî èç äâóõ, ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå äåëåíèÿ îòðåçêîâ, ôóíêöèÿ ñíîâà ïðèíèìàåò
çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ. Äåëèì äàííûé îòðåçîê, I1 ïîïîëàì è ò.ä.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ìåòîä áèñåêöèè.
Òîãäà ìû ëèáî íà êàêîì-òî øàãå ïîïàä¼ì â òî÷êó ξ ∈ (a, b) : f (ξ) = 0, ëèáî ïîëó÷èì ñòÿãèâàþùóþñÿ ñèñòåìó ñåãìåíòîâ {In } íà êîíöàõ êîòîðûõ ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå, íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà âëîæåííûõ
∞
ñåãìåíòîâ, ∃!ξ ∈ ⋂ In . Ïî ïîñòðîåíèþ ∃{an }, {bn } äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîíöîâ
n=1
îòðåçêîâ In òàêèå, ÷òî f (an ) < 0, f (bn ) > 0 è lim an = lim bn = ξ . Ïî ñâîéñòâàì ïðåäåëà
n→∞
n→∞
è îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîñòè, ïîëó÷àåì:
lim f (an ) = f (ξ) ⩽ 0,
n→∞
lim f (bn ) = f (ξ) ⩾ 0 ⇒ f (ξ) = 0.
n→∞
Ñëåäñòâèå 1 (Î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè). Ïóñòü f ∈ C[a, b],
ïðè÷¼ì f (a) = α, f (b) = β , à γ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, çàêëþ÷¼ííîå ìåæäó α è β . Òîãäà
∃c ∈ [a, b] : f (c) = γ .
Åñëè α = β = γ , òî â êà÷åñòâå c áåð¼ì a èëè b. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå
î÷åâèäåí ñëó÷àé, êîãäà γ = α èëè γ = β .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü α ≠ β . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî α < γ < β . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
g(x) = f (x) − γ . Êàê ðàçíîñòüþ äâóõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ôóíêöèÿ g íåïðåðûâíà
íà [a, b], è ïðèíèìàåò íà êîíöàõ ýòîãî ñåãìåíòà çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ:
g(a) = f (a) − γ = α − γ < 0;
g(b) = f (b) − γ = β − γ > 0.
Ïî òåîðåìå 5 ∃ξ ∈ (a, b) ∶ g(ξ) = 0 ⇒ f (ξ) = γ .
Áåçóñëîâíî, ìîæíî ïîñòðîèòü ïðèìåð ðàçðûâíîé ôóíêöèè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç âñå ñâîè ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ.
Ïðèìåð 2.1.
f (x) = sin x1 íà [−1, 1].
ñâÿçíûì ìíîæåñòâîì.
íåñâÿçíîãî ìíîæåñòâà, íà êîòîðîì óòâåðæäåíèå ïîñëåäíåé
Ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ ôàêò, ÷òî îòðåçîê ÿâëÿåòñÿ
Ïîñòðîèì ïðèìåð
òåîðåìû (äëÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì ìíîæåñòâå ôóíêöèè) íå èìåþò ñìûñëà.
Ïðèìåð 2.2.
⎧
⎪
⎪−1,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 1,
x ∈ [0, 1];
x ∈ [2, 3].
òåîðåìà Áîëüöàíî-Êîøè.
Ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
Òåîðåìà 28. (Ïåðâàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà).
ôóíêöèÿ, òî îíà îãðàíè÷åíà íà í¼ì.
78
Åñëè f íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a, b]
 ñèëó óòâåðæäåíèÿ î ôèíàëüíîé îãðàíè÷åííîñòè íåïðåðûâíîé
ôóíêöèè, äëÿ ∀x ∈ [a, b] íàéä¼òñÿ îêðåñòíîñòü U(x), ÷òî íà ìíîæåñòâå [a, b] ∩ U(x)
ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà. Ñîâîêóïíîñòü {U(x)} òàêèõ îêðåñòíîñòåé, ïîñòðîåííûõ äëÿ
êàæäîé òî÷êè îòðåçêà, îáðàçóþò ïîêðûòèå [a, b] èíòåðâàëàìè. Ïî ëåììå Ãåéíå-Áîðåëÿ
èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå {U(x1 ), . . . , U(xn )}. Ïî ïîñòðîåíèþ,
∀k = 1, n ∃mk , Mk ∈ R ∶ ∀x ∈ U(xk ) ⇒ mk ⩽ f (x) ⩽ Mk .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîýòîìó, ∀x ∈ [a, b] ⇒ min{m1 , . . . , mn } ⩽ f (x) ⩽ max{M1 , . . . , Mn }.
Äëÿ èíòåðâàëà (êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî) äàííîå óòâåðæäåíèå óæå íå
èìååò ìåñòà.
Ïðèìåð 2.3.
f (x) =
Ïðèìåð 2.4.
f (x) = x ∈ C(R).
Îïðåäåëåíèå.
∈ C(0, 1);
1
x
×èñëî M (÷èñëî m) íàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé (òî÷íîé íèæíåé ) ãðàåñëè âûïîëíåíû äâà òðåáîâàíèÿ:
íüþ ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå E,
1. ∀x ∈ E ⇒ f (x) ⩽ M
′
(f (x) ⩾ m);
′
2. ∀ε > 0 ∃x ∈ E ∶ f (x ) > M − ε
(f (x′ ) < m + ε).
Îáîçíà÷åíèå: M = sup f (x), m = inf f (x);
E
E
Óòâåðæäåíèå 2.2.
Åñëè ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà E ñâåðõó (ñíèçó), òî ∃ sup f (x)
E
(∃ inf f (x)).
E
⎧
2
⎪
⎪x , x ∈ (0, 1);
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩1/2, x = 0, x = 1.
Âåðõíÿÿ ãðàíü (M = 1) è íèæíÿÿ ãðàíü (m = 0) ýòîé ôóíêöèè íå äîñòèæèìû, ò.å.
Ïðèìåð 2.5.
∄x ∈ [0, 1] ∶ f (x) = 1, f (x) = 0.
Ñëåäñòâèå 1 (âòîðàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà
[a, b], òî îíà äîñòèãàåò íà í¼ì ñâîèõ òî÷íûõ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíåé. Ò.å. ∃x1 , x2 ∈ [a, b]
: f (x1 ) = sup f (x), f (x2 ) = inf f (x).
[a,b]
[a,b]
Ïî ïåðâîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà [a, b].
Ñëåäîâàòåëüíî ∃ sup f (x), inf f (x). Îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç M è m ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåä-
Äîêàçàòåëüñòâî.
[a,b]
[a,b]
ïîëîæèì, ÷òî òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü íå äîñòèæèìà, ò.å. ∀x ∈ [a, b] ⇒ f (x) < M . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ F (x) = M −f1 (x) . Ò.ê. M − f (x) > 0, òî F ∈ C[a, b]. Òîãäà ïî ïåðâîé
Ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ôóíêöèÿ F îãðàíè÷åíà íà [a, b]:
M −f (x)>0
∃A > 0 ∶
1
M −f (x)
¬
⩽ A ⇐⇒ f (x) ⩽ M −
1
,
A
∀x ∈ [a, b].
Ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî M = sup f (x). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ äîñòèæèìîñòü
inf f (x).
[a,b]
[a,b]
Ïîñëå òîãî, êàê äîêàçàíà äîñòèæèìîñòü sup f (x) è inf f (x), ìû ìîæåì íà[a,b]
[a,b]
ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì, à òî÷íóþ íèæíþþ
ãðàíü m ìèíèìàëüíûì çíà÷åíèåì ôóíêöèè f íà [a, b].
çûâàòü òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü M
79
Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü
3
80
Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü.
Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé íà ìíîæåñòâå.
f ∈ C(E) ⇐⇒ ∀̃
x ∈ E f ∈ C(̃
x) ⇐⇒
̃∣ < δ(⋅) ⇒ ∣f (x) − f (̃
⇐⇒ ∀̃
x ∈ E ∀ε > 0 ∃δ(⋅) ∶ ∀x ∈ E, ∣x − x
x)∣ < ε.
̃. Âîçíèêàåò
 ýòîì îïðåäåëåíèè ÷èñëî δ(⋅) çàâèñèò íå òîëüêî îò ε, íî è îò x
âîïðîñ: ìîæíî ëè îïðåäåëåíèè íåïðåðûâíîñòè ïîäîáðàòü ÷èñëî δ , çàâèñÿ-
̃ ∈ E?
ùåå òîëüêî îò ε, ïîäõîäÿùåå äëÿ âñåõ x
Îïðåäåëåíèå.
E, åñëè
Ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà ìíîæåñòâå
̃ ∈ E, ∣x − x
̃∣ < δ(ε) ⇒ ∣f (x) − f (̃
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x, x
x)∣ < ε.
 äàííîì îïðåäåëåíèè òðåáóåòñÿ, ÷òîáû íåðàâåíñòâî ∣f (x) − f (̃
x)∣ < ε âûïîëíÿëîñü äëÿ âñåõ ïàð òî÷åê èç E , ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ìåíüøå
δ.
̃, òî ïîëó÷àåì îïðåÅñëè ìû çàôèêñèðóåì â îïðåäåëåíèè, íàïðèìåð, òî÷êó x
äåëåíèå íåïðåðûâíîñòè â ýòîé òî÷êå. Ò.î., ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Óòâåðæäåíèå: Åñëè ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå E, òî îíà íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ ýòîãî ìíîæåñòâà.
Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî (ñì. ïðèìåðû íèæå).
Ïðèìåð 3.1.
f (x) = x ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà R. Â îïðåäåëåíèè âûáèðàåì δ(ε) = ε.
f (x) = x2 íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà R. Íàïèøåì îòðèöàíèå
ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå E:
Ïðèìåð 3.2.
∃ε0 > 0 ∶ ∀δ > 0 ∃x1 , x2 ∈ E, ∣x1 − x2 ∣ < δ, íî ∣f (x1 ) − f (x2 )∣ ⩾ ε0 .
Äëÿ f (x) = x2 âûáèðàåì ∀δ > 0, x1 = 1δ , x2 = 1δ + 2δ . Òîãäà ∣x1 −x2 ∣ = 2δ < δ , íî
∣f (x1 ) − f (x2 )∣ = ∣(x1 − x2 )(x1 + x2 )∣ =
Ïðèìåð 3.3.
f (x) =
1
x
δ
2
⋅ ( 2δ + 2δ ) = 1 +
δ2
4
> 1 = ε0 .
íà (0, 1] íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé:
∣f (x1 ) − f (x2 )∣ = ∣ x11 −
1
∣
x2
=
∣x2 −x1 ∣
x1 ⋅x2
Ð→ +∞,
åñëè ïðè ñêîëü óãîäíî ìàëîé, íî ôèêñèðîâàííîé ðàçíîñòè ∣x2 − x1 ∣ ïðèáëèæàòü ìåíüøåå
èç x1 èëè x2 ê íóëþ.
Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü
81
Áîëåå ñòðîãî:
δ
Ïóñòü x1 = 1+δ
< 1 (è x1 < δ ), x2 =
x1
2
δ
δ
= 2(1+δ)
< 1 ⇒ ∣x2 −x1 ∣ = 2(1+δ)
< δ.
∣f (x1 ) − f (x2 )∣ = ∣ x11 −
Ïðèìåð 3.4.
(2)
xn
=
2
∣
x1
=
1
x1
=
1+δ
δ
> 1 = ε0 .
(1)
f (x) = sin x1 íà (0, π2 ] íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé. Ïóñòü xn =
n ∈ N.
2
,
(4n+1)π
1
,
πn
(2)
(1)
(2)
Òîãäà f (x(1)
ÐÐ→ 0.
n ) ≡ 0, f (xn ) ≡ 1, íî ∣xn − xn ∣ Ð
n→∞
Îòìåòèì, ÷òî âñå ðàññìîòðåííûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè íà èçó÷åííûõ ìíîæåñòâàõ.
Òåîðåìà 29.
òåîðåìà Êàíòîðà Íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå ôóíêöèÿ ðàâíîìåðíî íåïðå-
ðûâíà íà í¼ì.
Ïóñòüa f ∈ C[a, b]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà [a, b]. Òîãäà ∃ε0 > 0 :
Äîêàçàòåëüñòâî.
(1) (2)
(1)
(2)
∀n ∈ N ∃xn
, xn ∈ [a, b], ∣xn
− xn
∣<
1
,
n
(2)
íî ∣f (x(1)
n ) − f (xn )∣ ⩾ ε0 .
(∗)
Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà, âûäåëèì èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {x(1)
n } ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x(1)
nk }, ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó c ∈ R. Ïî ñâîéñòâó çàìêíóòîñòè îòðåçêàb c ∈ [a, b].
Òîãäà è {x(2)
ÐÐ→ c, ò.ê.
nk } Ð
k→∞
(2)
(1)
(1)
∣x(2)
nk − c∣ ⩽ ∣xnk − xnk ∣ + ∣xnk − c∣ <
1
nk
+ ∣x(1)
ÐÐ→ 0.
nk − c∣ Ð
k→∞
Ïî íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â òî÷êå c ∈ [a, b] ïîëó÷àåì:
(1)
) ÐÐÐ→ f (c),
f (xn
k
k→∞
(2)
) ÐÐÐ→ f (c).
f (xn
k
k→∞
(2)
) − f (xn
) ÐÐÐ→ 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó (∗).
Ñëåäîâàòåëüíî, f (xn(1)
k
k
k→∞
I].
a Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñ ïîìîùüþ ëåììû Ãåéíå-Áîðåëÿ ñì., íàïðèìåð, â
[Çîðè÷,
b Ò.å. îòðåçîê ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè.
Âìåñòî îòðåçêà [a, b] ìû ìîãëè ðàññìàòðèâàòü ïðîèçâîëüíîå çàìêíóòîå è
îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. Äàííûå ïîíÿòèÿ èãðàþò â òåîðåìå Êàíòîðà âåñüìà ñóùåñòâåííóþ ðîëü. Äëÿ ìíîæåñòâ äðóãîãî òèïà óòâåðæäåíèå òåîðåìû,
âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî (ñì. ïðèìåðû âûøå).
Óòâåðæäåíèå: Ïóñòü èíòåðâàë (a, b) êîíå÷åí. Ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà
(a, b) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f ∈ C(a, b) è ∃ lim f (x), lim f (x).
x→a+0
x→b−0
òåîðåìà Ãåéíå-Êàíòîðà.
Îáðàòíûå ôóíêöèè
4
82
Îáðàòíûå ôóíêöèè.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f ∶ R ⊃ X ↦ Yf ⊂ R, çàäàííóþ íà ìíîæåñòâå X, à Yf ìíîæåñòâî å¼
çíà÷åíèé Ïóñòü ïðè x1 , x2 ∈ X, x1 ≠ x2 âûïîëíåíî: f (x1 ) ≠ f (x2 )2 . Òîãäà ôóíêöèÿ f çàäà¼ò
âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå: X ↔ Yf . Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó y ∈ Yf èìåííî
òî (åäèíñòâåííîå) çíà÷åíèå x ∈ X, äëÿ êîòîðîãî f (x) = y , è îáîçíà÷èì ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ
ñèìâîëîì f −1 ∶ Yf ↦ X.
Âçàèìíî îáðàòíûå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ f −1 íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé ïî îò−1
íîøåíèþ ê f . Â ñèëó å¼ îïðåäåëåíèÿ: y = f (x) ⇐⇒ x = f (y);
Îïðåäåëåíèå.
f −1 (f (x)) = x, ∀x ∈ X;
f (f −1 (y)) = y, ∀y ∈ Yf .
Ãðàôèêè ôóíêöèé f è f −1 ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé y = x.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî (x, f (x)) = (x, y), (y, f −1 (y)) = (y, x).
Âûÿñíèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå ôóíêöèÿ èìååò
îáðàòíóþ, è â êàêèõ ñëó÷àÿõ f
−1
íåïðåðûâíà.
Ëåììà 1: Íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f ∶ [a, b] ↦ R èíúåêòèâíî òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ f ñòðîãî ìîíîòîííà íà [a, b].
Åñëè f ñòðîãî ìîíîòîííà íà [a, b], òî îòîáðàæåíèå
f ∶ [a, b] ↦ R, î÷åâèäíî, èíúåêòèâíîa .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæåì, ÷òî âñÿêîå èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå îòðåçêà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííîé ôóíêöèåé. Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ∃ x1 < x2 < x3
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
òàêèå, ÷òî f (x2 ) íå ëåæèò ìåæäó f (x1 ) è f (x3 ).
∈[a,b]
Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ,
b
c
ëèáî f (x1 ) < f (x3 ) < f (x2 ) , ëèáî f (x2 ) < f (x1 ) < f (x3 ) .
Íåðàâåíñòâà ñòðîãèå â ñèëó èíúåêòèâíîñòè.
Ðàññìîòðèì, äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè âòîðîé ñëó÷àé.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f íà [x2 , x3 ] è òåîðåìû î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç ëþáîå ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå, íàéä¼ò-
ñÿ x′1 ∈ (x2 , x3 )d , ÷òî f (x′1 ) = f (x1 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f íå
èíúåêòèâíà. Ïðîòèâîðå÷èå.
Äðóãîé ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
a Ò.ê. â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ [a, b] ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ.
b èëè f (x ) < f (x ) < f (x ), ÷òî íåâàæíî.
2
3
1
c èëè f (x ) < f (x ) < f (x ), ÷òî íåâàæíî.
3
1
2
d Ò.ê. x < x , òî x < x′ .
1
2
1
1
Ëåììà 2. Ëþáàÿ ñòðîãî ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ f ∶ X ↦ Yf = f (X) îáëàäàåò îáðàòíîé
ôóíêöèåé f −1 ∶ Yf ↦ X, êîòîðàÿ èìååò íà Yf òîò æå õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè, ÷òî è f íà X.
2 Ôóíêöèÿ f èíúåêòèâíà.
Îáðàòíûå ôóíêöèè
Äîêàçàòåëüñòâî.
83
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî f ↑ íà X:
∀x1 , x2 ∈ X, x1 < x2 ⇐⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
(∗)
Ïîýòîìó, f èíúåêòèâíî, à f ∶ X ↦ Yf áèåêòèâíî. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ, ∃f −1 ∶
Yf ↦ Xa . Ñîïîñòàâëÿÿ îïðåäåëåíèå îòîáðàæåíèå f −1 ñ ñîîòíîøåíèåì (∗) ïðèõîäèì ê
âûðàæåíèþ:
∀y1 , y2 ∈ Yf , f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ) ⇐⇒ y1 < y2 ,
Ò.å. f −1 ñòðîãî âîçðàñòàåò íà Yf .
a x = f −1 (y), åñëè y = f (x).
Òåîðåìà 30. òåîðåìà îá îáðàòíîé ôóíêöèè Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∶ [a, b] ↦ R ñòðîãî
âîçðàñòàåòa è íåïðåðûâíà. Òîãäà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f −1 çàäàíà íà îòðåçêå [f (a), f (b)] =
[ min f (x), max f (x)], ñòðîãî âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà.
[a,b]
[a,b]
Ñóùåñòâîâàíèå è ìîíîòîííîñòü ôóíêöèè f −1 äîêàçàíà â Ëåììå
2. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû î òîì, ÷òî ìíîæåñòâî f ([a, b]) åñòü îòðåçîê [f (a), f (b)]
ñëåäóåò èç êðèòåðèÿ íåïðåðûâíîñòè ìîíîòîííîé ôóíêöèè. Îñòà¼òñÿ ïðîâåðèòü,
÷òî ôóíêöèÿ f −1 ∶ [f (a), f (b)] ↦ R íåïðåðûâíà, íî ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî f −1 ↑
Äîêàçàòåëüñòâî.
è f −1 ([f (a), f (b)]) = [a, b].
a Ñëó÷àé ñòðîãîãî óáûâàíèÿ àíàëîãè÷åí.
Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè è íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè íå
ÿâëÿþòñÿ
íåîáõîäèìûìè äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ å¼ îáðàòíîé. Ðàññìîòðèì ñëåäó-
þùèé ïðèìåð:
⎧
⎪
⎪x + 1, x ∈ Q,
y = f (x) = x + D(x) = ⎨
⎪
⎪
x ∈ R ∖ Q.
⎩ x,
Äàííàÿ ôóíêöèÿ íèãäå íå ìîíîòîííà è âñþäó ðàçðûâíà. Îäíàêî, åñëè x ∈ Q, òî
y = x + 1 ∈ Q, à åñëè x ∈ R ∖ Q, òî y = x ∈ R ∖ Q. Ñëåäîâàòåëüíî,
⎧
⎪
⎪y − 1,
x = f −1 (y) = ⎨
⎪
⎪
⎩ y,
y ∈ Q,
y ∈R∖Q
= y − D(y).
= f (x) = sin x âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [− π2 , π2 ]. Çíà÷èò ñóæåíèå
ýòîé ôóíêöèè íà äàííûé îòðåçîê èìååò îáðàòíóþ ôóíêöèþ x = f −1 (y), îáîçíà÷àåìóþ
x = arcsin y , îïðåäåë¼ííóþ íà
Ïðèìåð 4.1.y
[sin (− π2 ), sin ( π2 )] = [−1, 1],
âîçðàñòàþùóþ îò − π2 äî
π
2
è íåïðåðûâíóþ íà [−1, 1].
Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∶ (a, b)a ↦ R ñòðîãî âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà. Òîãäà
, çàäàííàÿ íà (A, B) = ( inf f (x), sup f (x)), êîòîðàÿ òàêæå ñòðîãî âîçðàñòàåò è
Òåîðåìà 31.
∃f
−1
íåïðåðûâíà.
(a,b)
(a,b)
Îáðàòíûå ôóíêöèè
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå è ìîíîòîííîñòü îáðàòíîé ôóíêöèè äîêàçàíî â
ëåììå 2. Äîêàæåì å¼ íåïðåðûâíîñòü íà èíòåðâàëå.
Ïóñòü y0 ∈ (A, B), òàê ÷òî x0 = f −1 (y0 ) ∈ (a, b). Ïóñòü ε > 0 ñòîëü ìàëî, ÷òî
[x0 −ε, x0 +ε] ⊂ [a, b]. Îáîçíà÷èì: y1 = f (x0 − ε), y2 = f (x0 + ε)a .
Ïî ëåììå 1, ôóíêöèÿ f óñòàíàâëèâàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå îòðåçêà [x0 − ε, x0 + ε] è îòðåçêà [y1 , y2 ] ⊂ [A, B].  ñèëó âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè f ,
ïîëó÷àåì: y1 < y0 < y2 . Âîçüì¼ì δ > 0 ñòîëü ìàëûì, ÷òî (y0 −δ, y0 +δ) ⊂ (y1 , y2 ).
Òîãäà f (Uδ (y0 )) ⊂ f −1 ((y1 , y2 )) = Uε (x0 ). Ò.å. f −1 íåïðåðûâíà â òî÷êå y0 ïî
îïðåäåëåíèþ.
a Ò.ê. f ↑, òî y < y .
1
2
a Èíòåðâàë (a, b) êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé.
84
Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå.
ÃËÀÂÀ
VI
Îñíîâíûìè (ïðîñòåéøèìè) ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè íàçûâàþò ñëå-
äóþùèå:
Ïîêàçàòåëüíàÿ: x ↦ a , a > 0, a ≠ 1;
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ: x ↦ log x, a > 0, a ≠ 1;
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå: sin, cos, tg, ctg;
Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå: arcsin, arccos, arctg, arcctg.
Ñòåïåííàÿ: x ↦ x , α ∈ Ra ;
α
x
a
a Ïðè α = 0 ïîñòîÿííàÿ.
Ñåêöèÿ 1. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
Ñåêöèÿ 2. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ è
ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ
Ñåêöèÿ 3. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
ôóíêöèè
Ñåêöèÿ 4. Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè
Ñåêöèÿ 5. Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ñðàâíåíèå ôóíêöèé
Ôóíêöèè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî
÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è îïåðàöèé êîìïîçèöèè, íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè.
1
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Ïóñòü 0 < a ≠ 1. Áóäåì ñ÷èòàòü èçâåñòíûìè ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè
ar = am/n =
√
n
am ,
r=
m
n
∈Q
1. Åñëè r1 < r2 , òî ar1 < ar2 ïðè a > 1 è ar1 > ar2 ïðè 0 < a < 1;
> 0 ñïðàâåäëèâî ar > 1. Îò
Äîêàæåì, ÷òî ïðè a > 1 è r = m
n
m/n
ïðîòèâíîãî. Ïóñòü a
⩽ 1, òîãäà, ïåðåìíîæèâ n òàêèõ íåðàâåíñòâ, ïîëó÷èì
m
a ⩽ 1, íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó am > 1, ïîëó÷åííîìó ïî÷ëåííûì ïåðåìíîæåíèåì m íåðàâåíñòâ âèäà a > 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
>0
r2
−a
1
a
> 1.
Äàëåå ïîëó÷àåì: a
ïåðâîãî çàìåíîé
b=
r1
>0
« ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
1
= ar (ar2 −r1 − 1) > 0.
Âòîðîå íåðàâåíñòâî ñëåäóåò èç
2. ar1 ⋅ ar2 = ar1 +r2 ;
3. (ar1 )r2 = ar1 r2 ;
4. a0 = 1;
5. (a b)r = ar ⋅ br .
Ñëåäñòâèå 1. ar ⋅ a−r = a0 = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, a−r =
ar > 0,
85
∀r ∈ R.
1
ar
> 0, ò.å.
Áóêâàìè r è ρ áóäåì îáîçíà÷àòü
ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà.
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
Ëåììà (Áåðíóëëè).
86
Ïóñòü a > 1, r ∈ Q, ∣r∣ ⩽ 1. Òîãäà
∣ar − 1∣ ⩽ 2 ∣r∣ (a − 1).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü ñíà÷àëà r =
1
,
n
n ∈ N. Ïîëîæèì
λ ∶= a1/n − 1 > 0 Ô⇒ a1/n = λ + 1 ⇒ a ⇒ a ⩾ 1 + nλ.
Îòêóäà,
λ⩽
a−1
,
n
ò.å. a1/n − 1 ⩽
1
n
(a − 1) < 2 n1 (a − 1).
1. Ïóñòü 0 < r ⩽ 1. Òîãäà ïðè íåêîòîðîì n ∈ N âûïîëíåíî
íåðàâåíñòâà (∗) è ìîíîòîííîñòè ar èìååì:
ar − 1 < a1/n − 1 ⩽
1
n
(a − 1) ⩽
2
(a
n+1
1
n+1
(∗)
< r <
1
.
n
Ñ ïîìîùüþ
− 1) < 2r(a − 1).
2. Ïóñòü −1 ⩽ r < 0. Òîãäà
ar 0 è ∀n ∈ N, rn ∈ Q, à lim rn = x ∈ R. Òîãäà
n→∞
ax ∶= lim arn .
n→∞
Ôóíêöèÿ x ↦ ax , x ∈ R íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëüíîé ñ îñíîâàíèåì a.
Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî â ñëåäóþùåì ñìûñëå:
1. lim arn ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí;
n→∞
2. lim arn íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {rn };
n→∞
3. â ñëó÷àå x = r ∈ Q çíà÷åíèå ar ïî ýòîìó îïðåäåëåíèþ ñîâïàäàåò ñ ïðåæíèì.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. Ïóñòü a > 1, rn → x. Òîãäà ïî êðèòåðèþ Êîøè:
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n, m ⩾ N (ε) ⇒ ∣rn − rm ∣ < ε.
(1)
Êðîìå òîãî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn } îãðàíè÷åíà (êàê ñõîäÿùàÿñÿ). Ïîýòîìó,
∃M > 0 : arm ⩽ M , ∀m ∈ N.
Îòñþäà, âûáèðàÿ ε èç (1) òàê, ÷òîáû 0 < ε ⩽ 1 ñ ïîìîùüþ ëåììû Áåðíóëëè
ïîëó÷àåì:
∣arn − arm ∣ = arm ∣arn −rm − 1∣ ⩽ arm 2 ∣rn − rm ∣ (a − 1) < 2M ε(a − 1) < ε′ .
Ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {arn } ôóíäàìåíòàëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî,
∃ lim arn > 0a .
n→∞
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
87
rn
1
âûòåêàåò èç óæå
Ïóñòü 0 < a < 1. Òîãäà arn = (1/a)
rn è ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà a
1 rn
äîêàçàííîãî ñóùåñòâîâàíèÿ ïîëîæèòåëüíîãî ïðåäåëà lim ( a ) .
n→∞
Ñëó÷àé a = 1 òðèâèàëåí.
2. Ïóñòü a > 1, rn → x, rn′ → x. Òîãäà rn − rn′ → 0. Ñ ïîìîùüþ ëåììû Áåðíóëëè
⩽M
ïîëó÷èì:
«
′
′
′
rn
rn
∣a − a ∣ = arn ∣arn −rn − 1∣ ⩽ M ⋅ 2 ⋅ ∣rn − rn′ ∣ (a − 1) ÐÐÐ→ 0.
n→∞
Ñëåäîâàòåëüíî, lim a
rn
n→∞
− lim a
′
rn
n→∞
′
= b = lim (arn − arn ) = 0.
n→∞
Ñëó÷àé 0 < a < 1 ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåííîìó ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà
arn =
1
(1/a)
rn
.
3. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{rn } ≡ r.
a Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó ìîíîòîíîñòè è ñòðîãîé ïîëîæèòåëüíîñòè
ôóíêöèè arn .
b Ò.ê. îáà ýòèõ ïðåäåëà ñóùåñòâóþò (ñì. 1.)
Òåîðåìà 32. (ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè).
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ îáëàäàåò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. Ïðè a > 1 ôóíêöèÿ ax âîçðàñòàåò, ïðè 0 < a < 1 óáûâàåò;
Ïóñòü a > 1, x < y , r, ρ ∈ Q : x < r < ρ < y . Ïóñòü äàëåå
rn → x, ρn → y , ïðè÷¼ì rn ⩽ r, ρn ⩾ ρ. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ìîíîòîííîñòü ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ïðè ðàöèîíàëüíûõ ñòåïåíÿõ è ïðåäåëüíûé ïåðåõîä
â íåðàâåíñòâàõ, ïîëó÷èì:
Äîêàçàòåëüñòâî.
ax = lim arn ⩽ ar < aρ ⩽ lim aρn = ay ⇒ ax < ay .
n→∞
n→∞
Ñëó÷àé 0 < a < 1 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
2. ax > 0, ∀x ∈ R;
Ïóñòü x ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Íàéä¼ì r ∈ Q, r < x. Ïî ñâîéñòâó ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè, íà ìíîæåñòâå
ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ar > 0. Ïî ñâîéñòâó 1.:
Äîêàçàòåëüñòâî.
ax > ar > 0a .
a Âåðíî ïðè a > 1. Ñëó÷àé 0 < a < 1 ïðèâîäèòñÿ ê äàííîìó, ïåðåõîäîì ê
3. Ïðè a > 1 ïîëó÷àåì: lim ax = 0, lim ax = +∞.
x→−∞
x→+∞
1
.
a
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ è ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ
88
>0
Äîêàçàòåëüñòâî.
©
Ò.ê. a > 1, òî a = 1 + δ è an = (1 + δ)n > n δ ÐÐÐ→ +∞. Ïîýòîìó,
n→∞
â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè y = ax ïîëó÷àåì, ÷òî
lim ax = +∞.
x→+∞
Äàëåå, ò.ê. a−n =
1
,
an
òî lim a−n = 0 ⇒ lim ax = 0a .
n→∞
x→−∞
a Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî E[ax ] = (0, +∞).
y
4. ax ⋅ ay = ax+y ; (a ⋅ b)x = ax ⋅ bx ; (ax ) = axy ;
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü r
n
→ x, ρn → y . Òîãäà
ax ⋅ ay = lim arn ⋅ lim aρn = lim (arn ⋅ aρn ) = lim (arn +ρn ) = ax+y a .
Ïóñòü r
n
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
→ x. Òîãäà
(ab)x = lim (ab)rn = lim arn ⋅ lim brn = ax bx .
n→∞
n→∞
n→∞
Ïóñòü a > 1, x > 0, y > 0, r ↑ x, r ↓ x, , ρ ↑ y, ρ ↓ y. Òîãäà
′
n
′
′
′
′
′′
n
′
n
′
′′
n
′′
′′
′′
′′ ′′
axy ← arn ρn = (arn )ρn ⩽ (ax )ρn ⩽ (ax )y ⩽ (ax )ρn ⩽ (arn )ρn = arn ρn → axy .
Ñëåäîâàòåëüíî, (ax )y = axy . Ñëó÷àè äðóãèõ çíàêîâ x è y ðàññìàòðè1
âàþòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïðè 0 < a < 1 ïîëó÷àåì, ax = (1/a)
x.
a Îòñþäà ïîëó÷àåì, ax ⋅ a−x = a0 = 1 ⇒ a−x =
1
.
ax
5. Ôóíêöèÿ ax íåïðåðûâíà íà R.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàïèøåì íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè â âèäå:
∣arn − 1∣ ⩽ 2 ∣rn ∣ (a − 1), ãäå rn ÐÐÐ→ x, ∣x∣ ⩽ 1.
n→∞
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ýòîì ðàâåíñòâå, ïîëó÷èì:
∣ax − 1∣ ⩽ 2 ∣x∣ (a − 1), a > 1, ∣x∣ ⩽ 1.
Èòàê, ïóñòü a > 1 è x0 ∈ R ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Òîãäà
∣ax0 +∆x − ax0 ∣ = ax0 ∣a∆x − 1∣ ⩽ ax0 2 ∣∆x∣ (a − 1) ÐÐÐ→ 0.
∆x→0
Ñëó÷àé 0 < a < 1 ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ a > 1 ñòàíäàðòíûì îáðàçîì.
2
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ è ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ.
Ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè y = ax (0 < a ≠ 1), íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé.
Îáîçíà÷åíèå: loga x.  ñëó÷àå a = e îáîçíà÷åíèå: ln x.
Îïðåäåëåíèå.
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ è ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ
89
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ loga x ∶ (0, +∞) ↦ (−∞, +∞) ñòðîãî ìîíîòîííà è íåïðåðûâíà íà (0, +∞). Îáëàñòü å¼ çíà÷åíèé åñòü (−∞, +∞).
Òåîðåìà 33.
Óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè
(òåîðåìà 1) è òåîðåìû îá îáðàòíîé ôóíêöèè. Èç ýòèõ òåîðåì òàêæå âûòåêàåò, ÷òî
ôóíêöèÿ loga x ñòðîãî óáûâàåò îò +∞ äî −∞, ïðè 0 < a < 1; è ñòðîãî âîçðàñòàåò îò −∞
äî +∞, ïðè a > 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç òîãî, ÷òî ïîêàçàòåëüíàÿ è ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè,
âûòåêàþò òîæäåñòâà:
aloga x = x, loga ax = x.
Ïóñòü 0 < a ≠ 1. Ïî îïðåäåëåíèþ îáðàòíîé ôóíêöèè loga x ýòî òàêîå ÷èñëî y , ÷òî ay = x.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷òîáû äîêàçàòü ðàâåíñòâî loga x = y , ñëåäóåò ïðîâåðèòü, ÷òî ay = x.
Ïóñòü 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1 òîãäà
Òåîðåìà 34. (ñâîéñòâà ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè).
âûïîëíåíû òîæäåñòâà:
1. loga (xy) = loga x + loga y , ∀x, y > 0;
Äîêàçàòåëüñòâî.
aloga x+loga y = aloga x ⋅ aloga y = xy.
2. loga xα = α loga x, ∀x > 0, α ∈ R;
Äîêàçàòåëüñòâî.
α
aα loga x = (aloga x ) = xα .
 ÷àñòíîñòè,
3. loga x =
logb x
,
logb a
loga
1
x
= − loga x.
∀x > 0;
Äîêàçàòåëüñòâî.
loga x
bloga x⋅logb a = (blogb a )
ò.å. logb a ⋅ loga x = logb x.
 ÷àñòíîñòè,
= aloga x = x,
loga b =
1
.
logb a
Ïóñòü α ∈ R. Ôóíêöèÿ x ↦ xα : (0, +∞) ↦ (0, +∞) íàçûâàåòñÿ ñòåïåííîé
ôóíêöèåé ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè α.
Îïðåäåëåíèå.
Ñòåïåííóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
α
xα = (eln x ) = eα ln x .
Ïî òåîðåìå î íåïðåðûâíîñòè êîìïîçèöèè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (0, +∞).
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè
90
Ïðè α > 0 ñòåïåííóþ ôóíêöèþ äîîïðåäåëÿþò íóë¼ì â òî÷êå 01 . Òîãäà îíà ñòàíîâèòñÿ íåïðåðûâíîé íà [0, +∞).
Ôóíêöèÿ xα ìîæåò îêàçàòüñÿ îïðåäåë¼ííîé ïðè íåêîòîðûõ α ≠ 0 è äëÿ x < 0. Íàïðèìåð, x±n ,
1
x± 2n−1 , n ∈ N.
3
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè.
Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ øêîëüíûì îïðåäåëåíèåì êîñèíóñà è ñèíóñà êàê àáñöèññû è îðäèíàòû
òî÷êè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, à òàêæå âñåìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôîðìóëàìè, âûâåäåííûìè íà åãî îñíîâå.
Ïîëíîòà ýòîãî îïðåäåëåíèÿ çàâèñèò îò òîãî, íàñêîëüêî ñòðîãî îïðåäåëåíî
ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè (òî÷êàìè ÷èñëîâîé ïðÿìîé) è
òî÷êàìè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè (¾óãëàìè¿, ¾ïîâîðîòàìè¿ è ò.ï.). Îáðàòèâ
âíèìàíèå íà èìåþùèéñÿ â øêîëüíîì îïðåäåëåíèè ¾ïðîáåë¿, ìû íå áóäåì
î÷åíü ãëóáîêî èçó÷àòü äàííûé âîïðîñ, è òîëüêî îòìåòèì, ÷òî åñòü íåñêîëüêî
ïðèíöèïèàëüíûõ âîçìîæíîñòåé åãî ëèêâèäèðîâàòü (íå îïèðàÿñü, ðàçóìååòñÿ íà ñëåäñòâèÿ ¾øêîëüíîãî¿ îïðåäåëåíèÿ, ÷òîáû íå ïîïàñòü â ïîðî÷íûé
êðóã). Ýòî âîçìîæíîñòè äàþòñÿ ïîíÿòèÿìè
Ëåììà.
Åñëè 0 < x <
Äîêàçàòåëüñòâî.
π
,
2
èíòåãðàëîâ è ðÿäîâ.
òî sin x < x < tg x.
Èçîáðàçèì åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü è óãîë â x ðàäèàí. Èç ðèñóíêà
âèäíî:
△OAD ⊂ ÂOAD ⊂ △OCD Ô⇒ S△OAD ⩽ SÂOAD ⩽ S△OCD
S△OAD =
1
2
∣OD∣ ⋅ ∣AB∣ =
² ±
=1
1
2
sin x; SÂOAD =
=sin x
1
2
∣OA∣2 x = 12 x; S△OCD =
²
=1
1
2
∣OD∣ ∣CD∣ =
²²
=1
(∗)
1
2
tg x.
=tg x
Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé è íåðàâåíñòâà (∗) âûòåêàåò òðåáóåìîå.
Ñëåäñòâèå 1. Íåðàâåíñòâî ∣ sin x∣ ⩽ ∣x∣ âûïîëíÿåòñÿ ïðè ∀x ∈ R, ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî
èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè x = 0.
Ïðè x ∈ (0, π2 ) ñòðîãîå íåðàâåíñòâî äîêàçàíî â ëåììå. Åñëè x ⩾ π2 , òî
⩽ x. Åñëè æå x < 0, òî −x > 0, è ïî äîêàçàííîìó ∣ sin x∣ = ∣ sin (−x)∣ < ∣ − x∣ =
Äîêàçàòåëüñòâî.
∣ sin x∣ ⩽ 1 <
∣x∣.
π
2
Ñëåäñòâèå 2. Ôóíêöèè ñèíóñ è êîñèíóñ íåïðåðûâíû íà R.
Äîêàçàòåëüñòâî.
∀x0 ∈ R èìååì:
0
0
∣⩽2⋅
∣ sin x − sin x0 ∣ = ∣2 ⋅ sin x−x
⋅ cos x+x
2
2
1 lim ln x = −∞, e−∞ = 0.
x→0+0
∣x−x0 ∣
2
⋅ 1 = ∣x − x0 ∣ ÐÐÐ→ 0.
x→x0
Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè
91
Íåïðåðûâíîñòü cos äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî, èëè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ
cos x = sin ( π2 − x) è òåîðåìû î íåïðåðûâíîñòè êîìïîçèöèè.
Ñëåäñòâèå 3. Ôóíêöèè
tg x ∶=
sin x
,
cos x
x ∈ R ∖ { π2 + πn, n ∈ Z} è ctg x ∶=
cos x
,
sin x
x ∈ R ∖ {πn, n ∈ Z}
íåïðåðûâíû íà ñâîèõ îáëàñòÿõ îïðåäåëåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
4
Ïî òåîðåìå î íåïðåðûâíîñòè ÷àñòíîãî.
Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè.
Ôóíêöèÿ sin : R ↦ [−1, 1] íå ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìîé, ò.ê. ïðèíèìàåò âñå ñâîè çíà÷åíèÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Íî ñóæåíèå ñèíóñà íà îòðåçîê [− π2 , π2 ]:
sin ∣
[−
π π
, ]
2 2
∶ [− π2 , π2 ] ↦ [−1, 1]
ñòðîãî âîçðàñòàåò, è ïîýòîìó îáðàòèìî.
Îïðåäåëåíèå.
Ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê ñóæåíèþ ñèíóñà íà îòðåçîê [− π2 , π2 ] íàçûâàåòñÿ
àðêñèíóñîì
−1
arcsin ∶= (sin ∣
π π )
[− , ]
2 2
,
arcsin ∶ [−1, 1] ↦ [− π2 , π2 ] .
Ïî òåîðåìå î ñóùåñòâîâàíèè è íåïðåðûâíîñòè îáðàòíîé ôóíêöèè, ôóíêöèÿ àðêñèíóñ
ñòðîãî âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà íà [−1, 1]2 .
Îïðåäåëåíèå.
Ïåðå÷èñëèì îñòàâøèåñÿ îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè:
arccos ∶= (cos ∣
[0,π]
)
−1
,
arccos ∶ [−1, 1] ↦ [0, π] ;
−1
arctg ∶= (tg ∣
π π )
(− , )
2 2
arcctg ∶= (ctg ∣
,
arctg ∶ (−∞, +∞) ↦ (− π2 , π2 ) ;
,
arcctg ∶ (−∞, +∞) ↦ (0, π) .
−1
(0,π)
)
Ïî òåîðåìå î ñóùåñòâîâàíèè è íåïðåðûâíîñòè îáðàòíîé ôóíêöèè, âñå ýòè ôóíêöèè íåïðåðûâíû
âî âñåõ òî÷êàõ ñâîèõ îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿ.
arccos è arcctg ñòðîãî óáûâàþò, à arctg, ñòðîãî âîçðàñòàåò.
Èçîáðàçèòå â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè sin,
cos, tg, ctg è îáðàòíûå ê íèì.
Óïðàæíåíèå.
Óïðàæíåíèå.
arctg y íà R.
Ïðîâåä¼ì íåçàâèñèìîå äîêàçàòåëüñòâî íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè x =
2  òî÷êàõ x = −1 è x = 1 íåïðåðûâíîñòü ïîíèìàåòñÿ êàê îäíîñòîðîííÿÿ.
Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè
Ïóñòü y0 ∈ (−∞, +∞) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, à x0 = arctg y0 . Âûáåðåì
∀ε > 0 : [x0 − ε, x0 + ε] ⊂ (− π2 , π2 ).
Äàëåå, åñëè x0 −ε = arctg (y0 − δ1 ) è x0 +ε = arctg (y0 + δ2 ), òî ââèäó âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè
x = arctg y ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè ∀y ∈ (y0 − δ1 , y0 + δ2 ) áóäåì èìåòü:
Äîêàçàòåëüñòâî.
x0 − ε < arctgy < x0 + ε.
Èòàê, âûïîëíÿåòñÿ ∣arctgy − arctgy0 ∣ < ε, åñëè −δ1 < y − y0 < δ2 , è òåì áîëåå, åñëè
∣y − y0 ∣ < δ = min{δ1 , δ2 }, ÷òî è ïðîâåðÿåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè x = arctgy â òî÷êå
y0 ∈ R.
Èòàê, ìû îïðåäåëèëè 11 îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, è äîêàçàëè èõ íåïðåðûâíîñòü.
Ââèäó òîãî, ÷òî àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè è êîìïîçèöèÿ íå âûâîäÿò èç êëàññà íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé, âåðíà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 35.
Âñå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû íà ñâîèõ îáëàñòÿõ îïðåäåëåíèÿ.
92
Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ñðàâíåíèå ôóíêöèé
5
93
Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ñðàâíåíèå ôóíêöèé.
Ç1. lim
x→0
sin x
x
= 1;
Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó ëåììû ïðè x ∈ (0, π2 ) ïîëó÷àåì:
cos x <
sin x
x
< 1.
 ñèëó ÷¼òíîñòè âñåõ ýòèõ ôóíêöèé, çàêëþ÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü äàííîãî íåðàâåíñòâà
íà (− π2 , π2 ) ∖ {0}. Îòêóäà, è èç òåîðåìû î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ, âûòåêàåò òðåáóåìîå.
Ñëåäñòâèå 1. Âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
lim
x→0
Ç2. lim (1 + x)
1/x
x→0
1−cos x
x2
= 21 ;
lim
x→0
tg x
x
= 1;
lim
x→0
arcsin x
x
x
lim arctg
= 1.
x
= 1;
x→0
= e;
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } : lim xk = 0 + 0a . Ïîêàæåì, ÷òî
k→∞
lim (1 + xk )1/xk = e. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî xk < 1. Ïî òåîðåìå
k→∞
Àðõèìåäà:
∃nk ∈ N ∶ nk ⩽
Îòêóäà, (1 +
(1 +
nk
1
)
nk +1
nk
1
)
nk +1
(1 +
1
xk
< nk + 1 ⇐⇒
< (1 + xk )1/xk < (1 +
1
nk +1
< xk ⩽
1
.
nk
nk +1
1
).
nk
nk +1
−1
1
)
(1 + n 1+1 ) ÐÐÐ→
nk +1
k
k→∞
nk +1
nk
1
1
1
)
=
(1
+
)
(1
+
)
Ð
ÐÐ→
nk
nk
nk
k→∞
= (1 +
e
e
Ô⇒ lim (1 + xk )1/xk = e.
î→∞
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè xk → 0 + 0, çàêëþ÷àåì, ÷òî lim (1 + x)1/x = e.
x→0+0
Ïóñòü òåïåðü xk → 0 − 0. Ïîëîæèì yk = −xk , òîãäà yk → 0 + 0. Áóäåì ñ÷èòàòü 0 < yk < 1.
Òîãäà:
1/yk
1
(1 + xk )1/xk = (1 − yk )−1/yk = ( 1−y
)
k
= (1 +
yk
)1/yk
1−yk
1
= b = (1 + zk ) zk
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè xk → 0 − 0, çàêëþ÷àåì, ÷òî lim (1 + x)1/x = e.
x→0−0
a Ò.å. lim x = 0 è x > 0.
k
k
k→∞
b Ïóñòü z = yk > 0 ⇒ z ÐÐÐ→ 0 + 0.
k
k
1−y
k
k→∞
1
zk
=
1−yk
yk
=
1
yk
−1⇒
1
yk
=
1
zk
+ 1.
+1
→e.
Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ñðàâíåíèå ôóíêöèé
x
Ñëåäñòâèå 2. lim (1 + x1 ) = {y =
x→∞
Ç3. lim
x→0
ln (1+x)
x
1
x
94
→ 0} = lim (1 + y)1/y = e.
y→0
= 1;
Äîêàçàòåëüñòâî.
lim
x→0
ln (1+x)
x
= lim ln (1 + x)1/x = a = ln (lim (1 + x)1/x ) = ln e = 1.
x→0
x→0
a Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè ln â òî÷êå e è òåîðåìà î ïðåäåëå êîìïîçèöèè.
Óïðàæíåíèå.
Óñòàíîâèòå ïðåäåë Ç3, íå èñïîëüçóÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè ln.
Ñëåäñòâèå 3. Ò.ê.
Ç4. lim
x→0
ax −1
x
loga (x+1)
x
ln (1+x)
,
x⋅ln a
=
òî lim
x→0
loga (x+1)
x
=
1
,
ln a
0 < a ≠ 1;
= ln a, 0 < a ≠ 13 ;
Äîêàçàòåëüñòâî.
lim
x→0
Çàì.
Ç5. lim
x→0
ax −1
x
x→0
ex −1
x
t→0
a
t
(t+1)
= {Ç3} = ln a.
= 1.
= a, a ∈ R.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðè x → 0:
x→0
 ÷àñòíîñòè, lim
(1+x)a −1
x
Çàì.
= {ax − 1 = t ÐÐ→ 0, x = loga (t + 1)} = lim log
(1+x)a −1
x
=
ea ln (1+x) −1
a ln (1+x)
Íàéäåííûå çàìå÷àòåëüíûå
àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàâåíñòâ:
⋅
a ln (1+x)
ÐÐ→
x
x→0
ïðåäåëû
1 ⋅ a = a.
ìîæíî
çàïèñàòü
â
âèäå
sin x ∼ tg x ∼ arcsin x ∼ arctgx ∼ ln (1 + x) ∼ x;
1 − cos x ∼
x2
,
2
ex − 1 ∼ x,
(1 + x)a − 1 ∼ a x.
Èëè, ò.ê. ñîîòíîøåíèÿ f ∼ g , f = g + o(g) è f = g + o(f ) ðàâíîñèëüíû, ïîëó÷àåì:
sin x = x + o(x); tg x = x + o(x); arcsin x = x + o(x); arctgx = x + o(x);
3 Ïðè a = 1 äîêàçûâàåìîå òîæäåñòâî òðèâèàëüíî.
Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ñðàâíåíèå ôóíêöèé
ln (1 + x) = x + o(x); cos x = 1 −
x2
2
+ o(x); ex = 1 + x + o(x);
(1 + x)a = 1 + ax + o(x).
95
Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå
1
Ïîíÿòèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïðîèçâîäíîé.
 îñíîâå äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ è åãî ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé
ëåæèò èäåÿ ïðèáëèæ¼ííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x + ∆x) (îò ïðèðà-
ùåíèÿ ∆x) ëèíåéíîé ôóíêöèåé y = A∆x + B èëè áîëåå îáùî, ìíîãî÷ëåíîì îò
∆x. Äëÿ øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðàçóìíî îïðåäåëèòü òàêèå ïðèáëèæåíèÿ, è íà ýòîé îñíîâå ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå âàæíûå
ðåçóëüòàòû.
Ïóñòü f ∶ (a, b) ↦ R, x0 ∈ (a, b) ïðîèçâîëüíàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, à ∆x ïðîèçâîëüíîå
÷èñëî (ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà) òàêîå, ÷òî x0 + ∆x ∈ (a, b).
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå x0 , åñëè ñóùåñòâóåò
òàêîå A ∈ R, ÷òî ïðèðàùåíèå ôóíêöèè f â òî÷êå x0 , ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A ∆x + o(∆x), ïðè ∆x → 0.
(∗)
(∗) ⇐⇒ f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A ∆x + α(∆x) ∆x,
ãäå lim α(∆x) = 0.
∆x→0
Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 , åñëè èçìåíåíèå å¼
çíà÷åíèÿ â îêðåñòíîñòè äàííîé òî÷êè ëèíåéíî ñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íî
ìàëîé ïîïðàâêè.
×èñëî f (x0 +∆x)−f (x0 ) íàçûâàåòñÿ ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè f â òî÷êå x0 , ñîîòâåòñòâóþùèì
ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà ∆x. Îáîçíà÷åíèå: ∆x0 f (∆x).
Îïðåäåëåíèå. Äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè f â òî÷êå x0 íàçûâàåòñÿ, âõîäÿùàÿ â ðàâåíñòâî (∗) ëèíåéíàÿ îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ A ∆x îò ïåðåìåííîãî ïðèðàùåíèÿ ∆x. Îáîçíà÷åíèå: dx0 f (∆x).
Äèôôåðåíöèàë íàèëó÷øàÿ ëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè.
Çàì.
Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè â òî÷êå îïðåäåë¼í îäíîçíà÷íî, èáî èç (∗) ñëåäóåò
(x0 )
lim f (x0 +∆x)−f
= lim (A + o(∆x)
) = A,
∆x
∆x
∆x→0
∆x→0
è îäíîçíà÷íîñòü äèôôåðåíöèàëàa ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè ïðåäåëà.
a Ôàêòè÷åñêè, îäíîçíà÷íîñòü êîíñòàíòû A.
96
ÃËÀÂÀ
VII
Ñåêöèÿ 1. Ïîíÿòèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïðîèçâîäíîé
Ñåêöèÿ
2.
Ãåîìåòðè÷åñêèé
ñìûñë ïðîèçâîäíîé
Ñåêöèÿ 3. Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
Ñåêöèÿ 4. Äèôôåðåíöèðîâàíèå
ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè
Ñåêöèÿ 5. Ïðîèçâîäíûå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 6. Îñíîâíûå òåîðåìû
äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ
Ñåêöèÿ 7. Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
Ñåêöèÿ 8. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ
ïîðÿäêîâ
Ñåêöèÿ 9. Ôîðìóëà Òåéëîðà
Ïîíÿòèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïðîèçâîäíîé
Îïðåäåëåíèå.
Âåëè÷èíà f ′ (x0 ) = lim
∆x→0
f â òî÷êå x0 a .
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
97
íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
a Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè f â òî÷êå x .
0
Âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé ìîæíî ïåðåïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå:
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
= f ′ (x0 ) + α(∆x),
ãäå α(∆x) ÐÐÐ→ 0, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ðàâíîñèëüíî ñîîòíîøåíèþ
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f ′ (x0 )∆x + o(∆x),
∆x → 0.
(∗∗)
Ñîïîñòàâëÿÿ ðàâåíñòâà (∗) è (∗∗) çàêëþ÷àåì, ÷òî äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè â òî÷êå x0
ðàâíîñèëüíà íàëè÷èþ ó íå¼ ïðîèçâîäíîé â ýòîé òî÷êå. Äèôôåðåíöèàë ïðè ýòîì çàïèñûâàåòñÿ
â âèäå:
dx0 f (∆x) = f ′ (x0 )∆x.
Êðèòåðèé äèôôåðåíöèðóåìîñòè.
 ñèëó òîãî, ÷òî ïðè f ′ (x0 ) = A ≠ 0, ïîëó÷àåì:
¾Êîíñòàíòà¿ A ýòî ôàêòè÷åñêè
ôóíêöèÿ îò x0 .
lim
∆x→0
o(∆x)
o(∆x)
= lim
= 1 = 0.
dx0 f (∆x) ∆x→0 f ′ (x0 ) ∆x
Ñëåäîâàòåëüíî, o(∆x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì dx0 f (∆x), è ñëàãàåìîå
f ′ (x0 ) ∆x ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé ÷àñòüþ, à o(∆x) áåñêîíå÷íî ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ íèì. Íà ýòîì
îñíîâàíèè äèôôåðåíöèàë dx0 f (∆x) îïðåäåëÿþò êàê ãëàâíóþ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè f â
òî÷êå x0 , ëèíåéíóþ îòíîñèòåëüíî ∆x.
Ïðèìåð 1.1.
Ïóñòü f (x) = x. Òîãäà
f ′ (x) = lim
∆x→0
x+∆x−x
∆x
= 1 è dx f (∆x) = 1 ⋅ ∆x = ∆x,
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=dx(∆x)=dx
ò.å. äèôôåðåíöèàë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, x ñîâïàäàåò ñ åãî ïðèðàùåíèåì (dx = ∆x).
Ñëåäîâàòåëüíî,
df
dx f (∆x) = f ′ (x) dx èëè f ′ (x) = dx
.
Òåîðåìà 36. (íåîáõîäèìîå óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè).
f ′ (x) îáîçíà÷åíèå Ëàãðàíæà,
df
dx
îáîçíà÷åíèå Ëåéáíèöà.
Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåí-
öèðóåìà â òî÷êå x0 , òî îíà íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 , òî
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f ′ (x0 )∆x + o(∆x) ÐÐÐ→ 0.
∆x→0
Ñëåäîâàòåëüíî, lim f (x0 + ∆x) = f (x0 ), ò.å. f ∈ C(x0 ).
∆x→0
Ïðèìåð 1.2.
f (x) = ∣x∣ ∈ C(R). Îäíàêî,
lim
∆x→0±0
∣∆x∣−0
∆x
a Èç êðèòåðèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà.
1 lim o(∆x) = 0, f ′ (x ) ≠ 0.
0
∆x
∆x→0
= ±1 Ô⇒ ∄f ′ (0)a .
Ðàçíîñòíàÿ ôîðìà óñëîâèÿ
íåïðåðûâíîñòè.
Ïîíÿòèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïðîèçâîäíîé
Ïðèìåð 1.3.
98
f (x) = x ⋅ sin x1 ∈ C(R). Îäíàêî,
f ′ (0) = lim
∆x→0
1
−0
∆x
∆x
∆x sin
1
= lim sin ∆x
Ô⇒ ∄f ′ (0).
∆x→0
Äàííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî èç íåïðåðûâíîñòè íå ñëåäóåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü.
Áîëåå òîãî, åñòü ïðèìåðû íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íå äèôôåðåíöèðóåìûõ íè â îäíîé òî÷êå
ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ïðàâîé
(ëåâîé ) ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå x0 íàçûâàåòñÿ ïðàâûé
f (∆x)
(x0 )
(ëåâûé) ïðåäåë ïðè ∆x → 0 ðàçíîñòíîãî îòíîøåíèÿ x0∆x
= f (x0 +∆x)−f
(ïðè
∆x
′
′
óñëîâèè, ÷òî äàííûé ïðåäåë ñóùåñòâóåò). Îáîçíà÷åíèå: f+ (x0 ) (f− (x0 )).
∆
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå:
Óòâåðæäåíèå 1.1.
1. Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå x0 ïðîèçâîäíóþ f ′ (x0 ), òî ∃f+′ (x0 ) è ∃f−′ (x0 ),
ïðè÷¼ì: f ′ (x0 ) = f−′ (x0 ) = f+′ (x0 );
2. Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå x0 îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå f+′ (x0 ) è f−′ (x0 ),
ðàâíûå äðóã äðóãó, òî ∃f ′ (x0 ), è f ′ (x0 ) = f−′ (x0 ) = f+′ (x0 ). Åñëè æå f−′ (x0 ) ≠ f+′ (x0 ),
òî ∄f ′ (x0 ).
Îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé
2
99
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé.
Ïóñòü
f ∶ (a, b) ↦ R,
x0 ∈ (a, b) è y0 = f (x0 ).
Ïóñòü òàêæå f ∈ C(x0 ) è M0 = (x0 , y0 ). Âîçüì¼ì íà ãðàôèêå ôóíêöèè f òî÷êó
M1 = (x1 ; y1 ), ãäå (a, b) ∋ x1 ≠ x0 , y1 = f (x1 ). Ïðîâåä¼ì ïðÿìóþ M0 M1 , êîòîðóþ
áóäåì íàçûâàòü ñåêóùåé. Óðàâíåíèå ïðÿìîé M0 M1 :
y = y0 + kñåê (x − x0 ),
ãäå kñåê =
y1 −y0
x1 −x0
= tg αñåê
óãëîâîé êîýôôèöèåíòa ñåêóùåé.
Ïðè ïðèáëèæåíèè òî÷êè M1 ê M0 ñåêóùàÿ ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã òî÷êè
M0 . Ðàññìîòðèì ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé ïðè M1 → M0 b .
a tg óãëà íàêëîíà
b Èëè, ÷òî òîæå ñàìîå, ïðè x → x .
1
0
Îïðåäåëåíèå.
Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë kêàñ = lim kñåê , òî ïðÿìóþ, ïðîõîäÿx1 →x0
ùóþ ÷åðåç òî÷êó M0 è èìåþùóþ óãëîâîé êîýôôèöèåíò kêàñ , íàçûâàþò êàñàòåëüíîé ê
ãðàôèêó ôóíêöèè f â òî÷êå M0 = (x0 , y0 ).
Åñëè f ∈ C(x0 ) è ïðåäåë kêàñ = ±∞, òî âåðòèêàëüíîé êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f â
òî÷êå M0 íàçûâàþò ïðÿìóþ x = x0
Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ y = sgnx ⋅
êàñàòåëüíóþ x = 0.
Çàäà÷à 1.
√
∣x∣ èìååò â òî÷êå (0, 0) âåðòèêàëüíóþ
Ïî îïðåäåëåíèþ è ñêàçàííîìó âûøå ñóùåñòâîâàíèå íå âåðòèêàëüíîé êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f â òî÷êå M0 (ò.å. ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî
ïðåäåëà kêàñ ) ðàâíîñèëüíî äèôôåðåíöèðóåìîñòè f â òî÷êå x0 . Ïðè ýòîì:
y1 −y0
x1 →x0 x1 −x0
kêàñ = tg αêàñ = lim
= f ′ (x0 ).
Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðîèçâîäíàÿ åñòü óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé,
èëè òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé.
óðàâíåíèå íå âåðòèêàëüíîé êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f â òî÷êå
M0 = (x0 , y0 ) èìååò âèä:
y = y0 + f ′ (x0 )(x − x0 ).
Ïîýòîìó,
′
′
Åñëè x0 ∈ (a, b), à f− (x0 ) è f+ (x0 ) ñóùåñòâóþò è ðàçëè÷íû, òî ðàçëè÷íû è
a
îäíîñòîðîííèå êàñàòåëüíûå , à ãðàôèê ôóíêöèè f â òî÷êå x0 èìååò èçëîì.
Ðàññìîòðèòå, íàïðèìåð, ôóíêöèþ
y = ∣x∣.
 ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç îäíîñòîðîííèõ ïðîèçâîäíûõ ðàâíà −∞, à äðóãàÿ
Ðàññìîòðèòå, íàïðèìåð, ôóíêöèþ
b
ðàâíà +∞, òîãäà îáå îäíîñòîðîííèå êàñàòåëüíûå âåðòèêàëüíû , íî èçëîì íà
ãðàôèêå âñ¼ ðàâíî åñòü, ïîýòîìó ìû ñ÷èòàåì, ÷òî
ãðàôèê íå èìååò êàñàòåëüíîé
â òî÷êå x0 .
a Ëåâàÿ è ïðàâàÿ êàñàòåëüíûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëó÷è, èìåþùèå óðàâíåíèÿ:
y = y0 + f±′ (x0 )(x − x0 )
ïðèáëèæ¼ííî ïðåäñòàâëÿþùèå f â ïðàâîé è ëåâîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .
b È ôàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîì
y=
√
∣x∣.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé
100
Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 . Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî
ôóíêöèé
ℓk (x) = f (x0 ) + k ⋅ (x − x0 ),
ãäå ïàðàìåòð k ïðèíèìàåò ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Èõ ãðàôèêè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó (x0 , f (x0 )).
Ò.ê. ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 , òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) ⋅ (x − x0 ) + o(x − x0 ),
x → x0 .
Ïîýòîìó ïîëó÷àåì:
f (x) − ℓk (x) = (f ′ (x0 ) − k) ⋅ (x − x0 ) + o(x − x0 ),
x → x0 .
′
Åñëè k = f (x0 ), òî ðàçíîñòü f (x) − ℓk (x) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ áûñòðåå ðàçíîñòè
x − x0 ïðè x → x0 a , à äëÿ äðóãèõ k ∈ R îíà èìååò òîò æå ïîðÿäîê ìàëîñòè, ÷òî
è (x − x0 ). Ïîýòîìó, ïðÿìàÿ
y = f (x0 ) + f ′ (x0 ) ⋅ (x − x0 )
äà¼ò
íàèìåíüøåå îòêëîíåíèå îò ãðàôèêà ôóíêöèè f âáëèçè òî÷êè x0 . Äàííîå ñâîé-
b èíîãäà ïðèíèìàþò çà îïðåäåëåíèå êàñàòåëüíîé (íå âåðòèêàëüíîé) ê
ñòâî
ãðàôèêó ôóíêöèè. Ïðè ýòîì ãîâîðÿò: êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ
÷åðåç òî÷êó êðèâîé è ñîâïàäàþùàÿ ñ íåé â ýòîé òî÷êå ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðâîãî ïîðÿäêà.
a Ò.å. f (x) − ℓ (x) = o(x − x ), x → x , åñëè ℓ (x) = f (x ) + f ′ (x ) ⋅ (x − x ).
0
0
0
0
0
k
k
b f (x) − ℓ(x) = o(x − x ), x → x
0
0
Ãåîìåòðè÷åñêèì ñìûñëîì äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè f â òî÷êå x0 ÿâëÿåòñÿ
òî, ÷òî îí ðàâåí ïðèðàùåíèþ, êîòîðîå ïîëó÷àåò êàñàòåëüíàÿ ïðè ïåðåõîäå
èç òî÷êè x0 â òî÷êó x0 + ∆x.
Äðóãàÿ òî÷êà çðåíèÿ íà
êàñàòåëüíûå.
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
3
101
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Ïðîèçâîäíóþ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ìîæíî íàõîäèòü, âû÷èñëÿÿ
ïðåäåë ðàçíîñòíîãî îòíîøåíèÿ. Îäíàêî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ
äàííûé ìåòîä íåóäîáåí. Óñòàíîâèì ñâÿçü îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñ
äðóãèìè îïåðàöèÿìè, ïðîèçâîäèìûìè íàä ôóíêöèÿìè: àðèôìåòè÷åñêèìè
è êîìïîçèöèåé, à òàêæå âûâåäåì ôîðìóëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îáðàòíîé
ôóíêöèè.
Òåîðåìà 37. (äèôôåðåíöèðîâàíèå è àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè).
Ïóñòü ôóíêöèè
f, g ∶ E → R
äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå x ∈ E, à α, β ∈ R íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Òîãäà ëèíåéíàÿ
êîìáèíàöèÿ, ïðîèçâåäåíèå è ÷àñòíîå ýòèõ ôóíêöèé (ïðè óñëîâèè g(x) ≠ 0) òàêæå äèôôåðåíöèðóåìû â äàííîé òî÷êå. Ïðè÷¼ì ñïðàâåäëèâî:
1. (αf ± βg)′ (x) = αf ′ (x) ± βg ′ (x);
2. (f ⋅ g)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x);
′
f ′ (x)g(x)−f (x)g ′ (x)
,
g 2 (x)
3. ( fg ) (x) =
g(x) ≠ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1.
(αf ± βg)′ (x) = lim
(αf (x+∆x)±βg(x+∆x))−(αf (x)±βg(x))
∆x
∆x→0
= α lim
∆x→0
2.
f (x+∆x)−f (x)
∆x
± β lim
∆x→0
(f ⋅ g)′ (x) = lim
∆x→0
g(x+∆x)−g(x)
∆x
=
= αf ′ (x) ± βg ′ (x).
f (x+∆x)⋅g(x+∆x)−f (x)⋅g(x)
∆x
=
±f (x) ⋅ g(x + ∆x).
(x)
= lim ( f (x+∆x)−f
⋅ g(x + ∆x) + f (x) ⋅
∆x
∆x→0
g(x+∆x)−g(x)
)
∆x
=
= f ′ (x) ⋅ g(x) + f (x) ⋅ g ′ (x)a ;
3.
′
f (x+∆x) f (x)
−
g(x+∆x) g(x)
∆x
∆x→0
( fg ) (x) = lim
= lim
f (x+∆x)⋅g(x)−g(x+∆x)⋅f (x)
(g(x+∆x)⋅g(x))∆x
∆x→0
=
±f (x) ⋅ g(x).
=
1
lim
∆x→0 g(x+∆x)⋅g(x)
(x)
( f (x+∆x)−f
g(x)
∆x
=
−
g(x+∆x)−g(x)
f (x))
∆x
=
f ′ (x)g(x)−f (x)g ′ (x)
.
g 2 (x)
a Èñïîëüçîâàíî òî, ÷òî ôóíêöèÿ g áóäó÷è äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå x ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â ýòîé òî÷êå.
Òåîðåìà 38. (äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè).
f ∶ (a, b) ↦ (c, d),
g ∶ (c, d) ↦ R,
Ïóñòü
x ∈ (a, b).
Öåïíîå ïðàâèëî (chain rule).
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
102
Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, à g äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå f (x), òî
èõ êîìïîçèöèÿ g ○ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, è
′
(g(f (x))) = (g ○ f )′ (x) = g ′ (f (x)) ⋅ f ′ (x).
Ïðèäàäèì àðãóìåíòó ôóíêöèè f äàííîé òî÷êå x ïðèðàùåíèå ∆x ≠ 0.
Ýòîìó ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà îòâå÷àåò ïðèðàùåíèå ∆f = f (x + ∆x) − f (x) ôóíêöèè
f . Ïðèðàùåíèþ ∆f , â ñâîþ î÷åðåäü, ñîîòâåòñòâóåò ïðèðàùåíèå ∆g = g(f + ∆f ) − g(f ).
Ò.ê. ôóíêöèÿ g äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå f , òî ∆g ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå:
Äîêàçàòåëüñòâî.
∶∆x
¬ ∆g
∆g = g (f )∆f + o(∆f ) ⇐⇒ ∆x
= g ′ (f ) ∆f
+
∆x
′
∆f
∆x→0 ∆x
= α(∆f ) ⋅
(∗)
= f ′ (x). Äàëåå,
Ò.ê. f äèôôåðåíöèðóåìà, òî ∃ lim
o(∆f )
∆x
o(∆f )
.
∆x
∆f
∆x
→ 0, ïðè ∆x → 0a .
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ∆x → 0 èç (∗) ïîëó÷àåì:
′
gx′ = (g(f (x))) = g ′ (f (x)) ⋅ f ′ (x).
a Ò.ê. f ∈ C(x), òî ∆f = f (x + ∆x) − f (x) ÐÐÐÐ→ 0 Ô⇒ α(∆f ) ÐÐÐÐ→ 0.
∆x→0
Çàì.
∆x→0
Ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ êîìïîçèöèè ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé
íåñêîëüêèõ ôóíêöèé. Íàïðèìåð:
′
(h ○ g ○ f ) = h′ ((g ○ f )(x)) ⋅ g ′ (f (x)) ⋅ f ′ (x).
Ïóñòü ôóíêöèè f ∶ X ↦ Y
è f −1 ∶ Y ↦ X âçàèìíî îáðàòíû è íåïðåðûâíû â òî÷êàõ x0 ∈ X è f (x0 ) = y0 ∈ Y
ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 è f ′ (x0 ) ≠ 0, òî f −1
äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå y0 , ïðè÷¼ì
Òåîðåìà 39. (äèôôåðåíöèðîâàíèå îáðàòíîé ôóíêöèè).
′
(f −1 ) (y0 ) =
Ðèñ. 34. (a)
1
.
f ′ (x0 )
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû ÿñåí èç ðèñ. (a). Ò.ê. ãðàôèê f
−1
ïîëó÷à-
åòñÿ èç ãðàôèêà f ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé y = x, òî
′
(f −1 ) (f (x0 )) = tg β = tg ( π2 − α) = ctg α =
′
1
.
f ′ (x0 )
Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå f (x0 ) = 0 êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó f
−1
â òî÷êå f (x0 )
íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íîé ïðîèçâîäíîé f
−1
â
òî÷êå f (x0 ) (ñì. ðèñ. (b) ).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ò.ê. ôóíêöèè
f ∶ X ↦ Y è f −1 ∶ Y ↦ X
âçàèìíî îáðàòíû, òî âåëè÷èíû f (x0 + ∆x) − f (x0 ) è f −1 (y0 + ∆y) − f −1 (y0 ) ïðè y = f (x)
Ðèñ. 35. (b)
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè
103
îäíîâðåìåííî íå îáðàùàþòñÿ â íóëü, åñëè ∆x ≠ 0. Èç íåïðåðûâíîñòè f â òî÷êå x0 è
f −1 â òî÷êå y0 = f (x0 ) ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ∆x → 0 ⇔ ∆y → 0.
Äàëåå èìååì,
′
(f −1 ) (y0 ) = lim
∆y→0
f −1 (y0 +∆y)−f −1 (y0 )
∆y
= a = lim
∆x
∆x→0 f (x0 +∆x)−f (x0 )
=
= lim
′
Ñëåäîâàòåëüíî, ∃(f −1 ) (y0 ) =
1
1
= f ′ (x
0)
∆x→0 f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
′
1
(f −1 ) (f (x0 )) = f ′ (x
.
0)
a f −1 (y + ∆y) − f −1 (y ) = f −1 (f (x ) + f (x + ∆x) − f (x )) − f −1 (f (x )) = x + ∆x − x = ∆x.
0
0
0
0
0
0
0
0
4
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè.
Îïðåäåëåíèå.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïåðåìåííàÿ y êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòà x çàäàíà ïàåñëè îáå ïåðåìåííûå x è y çàäàíû êàê ôóíêöèè íåêîòîðîé òðåòüåé
ðàìåòðè÷åñêè,
ïåðåìåííîé t:
⎧
⎪
⎪x = φ(t),
⎨
⎪
⎪
⎩y = ψ(t),
Ïåðåìåííàÿ t íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì.
t ∈ T.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ φ íåïðåðûâíà è ñòðîãî ìîíîòîííà íà U(t0 )a , è ñóùå′
′
ñòâóþò ïðîèçâîäíûå φ (t0 ), ψ (t0 ). Òîãäà
∃t = φ−1 (x) Ô⇒ y = ψ(t) = ψ(φ−1 (x)) = (ψ ○ φ−1 )(x).
Ïóñòü x0 = φ(t0 ). Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé è îáðàòíîé ôóíêöèè, ïîëó÷àåì:
′
yx′ (x0 ) = (ψ ○ φ−1 ) (x0 ) = ψ ′ (t0 ) ⋅
1
φ′ (t0 )
=
ψ ′ (t0 )
.
φ′ (t0 )
a Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü y êàê ôóíêöèþ îò x.
Ïóñòü äàëåå x = x(t), y = y(x) = y(x(t)). Òîãäà
′
dy = (y ○ x) (t) dt = y ′ (x(t)) x′ (t) dt = y ′ (x) dx.
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=dx
Äàííîå ðàâåíñòâî ïðèíÿòî íàçûâàòü èíâàðèàíòíîñòüþ ôîðìû ïåðâîãî
äèôôåðåíöèàëà. Ïðè ýòîì èìååòñÿ ââèäó ñëåäóþùåå: äèôôåðåíöèàë êîìïîçèöèè y = y(x(t)) ìîæíî çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå:
dy = y ′ (x) dx,
ò.å. òàê, êàê åñëè áû ïåðåìåííàÿ x áûëà íåçàâèñèìîé.
Ïðîèçâîäíûå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé
5
104
Ïðîèçâîäíûå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
1. f (x) = c =
f ′ (x) = 0;
const, x ∈ R.
f ′ (x) = lim
●
c−c
∆x→0 ∆x
f ′ (x) = ax ⋅ ln a;
2. f (x) = a , a > 0, x ∈ R.
x
Ç4.
f ′ (x) = lim
ax+∆x −ax
∆x
∆x→0
●
x ′
= 0;
a∆x −1
∆x→0 ∆x
= ax lim
© x
= a ⋅ ln a;
 ÷àñòíîñòè, (e ) = e .
x
f ′ (x) =
3. f (x) = loga x, 0 < a ≠ 1, x > 0.
loga (x+∆x)−loga x
∆x
∆x→0
∣∆x∣ f (c) ïðè ∀x ∈U+ (c)a
Îñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ
○
106
○
(f (x) > f (c) ïðè ∀x ∈U− (c), f (x) < f (c) ïðè ∀x ∈U+ (c)).
○
a Ïîä U
− (c) áóäåì ïîíèìàòü ìíîæåñòâî {x ∈ R ∣ x ∈ U(c), x < c}, ëåâóþ ïîëóîêðåñòíîñòü
○
òî÷êè c. Àíàëîãè÷íî, U+ (c) = {x ∈ R ∣ x ∈ U(c), x > c}ïðàâàÿ ïîëóîêðåñòíîñòü.
Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå c ëîêàëüíûé ìàêñèìóì
(ëîêàëüíûé ìèíèìóì ), åñëè íàéä¼òñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü U(c) òî÷êè c, â ïðåäåëàõ
êîòîðîé âûïîëíåíî:
○
∀x ∈U (c) ⇒ f (x) < f (c)
○
(∀x ∈U (c) ⇒ f (x) > f (c))a .
a Ò.å. íàéä¼òñÿ îêðåñòíîñòü, â ïðåäåëàõ êîòîðîé çíà÷åíèå f (c) ÿâëÿåòñÿ íàáîëüøèì (íàèìåíüøèì) ñðåäè âñåõ çíà÷åíèé f (x) ýòîé ôóíêöèè.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå c ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì,
åñëè ýòà ôóíêöèÿ èìååò â óêàçàííîé òî÷êå ëèáî ëîêàëüíûé ìàêñèìóì, ëèáî ëîêàëüíûé
ìèíèìóì.
Îïðåäåëåíèå.
Åñëè
ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå c è f ′ (c) > 0 (f ′ (c) < 0), òî ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò
(óáûâàåò) â òî÷êå c.
Òåîðåìà 40. (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå âîçðàñòàíèÿ/óáûâàíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå).
Äîêàçàòåëüñòâî.
′
f (c) =
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî f ′ (c) > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ:
Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî
(c)
lim f (x)−f
.
x−c
x→c
äëÿ ε = f ′ (c) ∃δ(ε) > 0 ∶ ïðè 0 < ∣x − c∣ < δ ⇒
(c)
⇒ ∣ f (x)−f
− f ′ (c)∣ < f ′ (c) ⇐⇒ 0 <
x−c
f (x)−f (c)
x−c
< 2f ′ (c), 0 < ∣x − c∣ < δ.
○
Ò.î. âñþäó â Uδ (c) èìååì:
f (x)−f (c)
x−c
> 0 Ô⇒ f (x) > f (c) ïðè x > c, f (x) < f (c) ïðè x < c.
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò â òî÷êå c.
Çàì.
Ïîëîæèòåëüíîñòü (îòðèöàòåëüíîñòü) ïðîèçâîäíîé f ′ (c) íå ÿâëÿåòñÿ
íåîáõîäèìûì óñëîâèåì âîçðàñòàíèÿ (óáûâàíèÿ) äèôôåðåíöèðóåìîé â
òî÷êå c ôóíêöèè f .
Ïðèìåð 6.1.
Ôóíêöèÿ y = x3 âîçðàñòàåò â òî÷êå c = 0, â òî âðåìÿ êàê y ′ = 3x2 ∣
x=0
= 0.
Ðàññìîòðèì òåîðåìû, ñâÿçûâàþùèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé íà êîíöàõ îòðåçêà
òåîðåìû î ñðåäíåì.
ñî çíà÷åíèÿìè èõ ïðîèçâîäíûõ â íåêîòîðûõ ñðåäíèõ òî÷êàõ, ëåæàùèõ
âíóòðè.
Òåîðåìà 41. (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíê-
öèè). f îïðåäåëåíà â U(c)a . Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå c è èìååò â
Ïóñòü
òåîðåìà Ôåðìà.
Îñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ
107
íåé ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì, òî f ′ (c) = 0.
a Ò.å. c âíóòðåííÿÿ òî÷êà äëÿ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f .
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ∃f ′ (c). Ò.ê. ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå c ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì, òî îíà íå ìîæåò íè âîçðàñòàòü, íè óáûâàòü â ýòîé òî÷êå. Çíà÷èò, â
ñèëó Òåîðåìû 5 ïðîèçâîäíàÿ f ′ (c) íå ìîæåò áûòü íè ïîëîæèòåëüíà, íè îòðèöàòåëüíà.
Ñëåäîâàòåëüíî, f ′ (c) = 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàì.
Çàì.
Äàííàÿ òåîðåìà èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: åñëè â òî÷êå ãðàôèêà ôóíêöèè, â êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì, ñóùåñòâóåò
êàñàòåëüíàÿ ê ýòîìó ãðàôèêó, òî îíà îáÿçàòåëüíî ïàðàëëåëüíà îñè Ox.
Îáðàùåíèå â íóëü ïðîèçâîäíîé íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì
ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà, ñì. íàïðèìåð, y = x3 â òî÷êå x = 0.
Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a, b]a ,
òî å¼ ïðîèçâîäíàÿ f ïðèíèìàåò â êà÷åñòâå çíà÷åíèÿ, êàæäîå ïðîìåæóòî÷íîå ÷èñëî
ìåæäó f ′ (a + 0) è f ′ (b − 0)b .
Òåîðåìà 42. (òåîðåìà Äàðáó).
′
a Ò.å. ∀x ∈ (a, b) ∃f ′ (x), à òàêæå ∃f ′ (a + 0) è ∃f ′ (b − 0).
b Äàëåå ïèøåì f ′ (a) è f ′ (b) âìåñòî f ′ (a + 0) è f ′ (b − 0).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ′ (a) ⋅ f ′ (b) < 0a . Íàïðèìåð,
f ′ (a) < 0 < f ′ (b).
Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè ξ ∈ (a, b) : f ′ (ξ) = 0. Äåéñòâèòåëüíî, ò.ê. f äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b], òî îíà íåïðåðûâíà íà [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî âòîðîé òåîðåìå
Âåéåðøòðàññà, ýòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò â íåêîòîðîé òî÷êå ξ ñâî¼ ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå. Ýòî íå ìîæåò áûòü òî÷êà a, ò.ê. â íåé, ïî òåîðåìå 5 ôóíêöèÿ f óáûâàåò, è íå
ìîæåò áûòü òî÷êà b, ò.ê. â íåé ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåòb . Ïîýòîìó ξ ∈ (a, b), íî òîãäà ïî
òåîðåìå Ôåðìà f ′ (ξ) = 0.
Èñêëþ÷èì òåïåðü ñäåëàííîå âûøå ïðåäïîëîæåíèå î çíàêàõ ïðîèçâîäíûõ. Ïóñòü äëÿ
îïðåäåë¼ííîñòè f ′ (a) < f ′ (b). Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå γ ∈ (f ′ (a), f ′ (b)) è ðàññìîòðèì
âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ F (x) ∶= f (x) − γ x. Îíà äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b], ïðè÷¼ì
F ′ (a) = f ′ (a) − γ < 0,
F ′ (b) = f ′ (b) − γ > 0.
Èç äîêàçàííîãî âûøå ∃ξ ∈ (a, b) : F ′ (ξ) = f ′ (ξ) − γ = 0. Îòêóäà, f ′ (ξ) = γ .
a Ò.å. ÷èñëà f ′ (a) è f ′ (b) èìåþò ðàçíûå çíàêè.
b Ïóñòü ∆x > 0, ò.ê. f - äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b], òî
f (a + ∆x) = f (a) + f ′ (a)∆x +o(∆x) < f (a), f (b − ∆x) = f (b) + f ′ (b)(−∆x) +o(∆x) < f (b).
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
0
Òåì ñàìûì, çíàê ðàçíîñòè f (x2 ) − f (x1 ), ñîâïàäàåò ñî çíàêîì f ′ (ξ).
Ñëåäñòâèå 2 (êðèòåðèé ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè). Íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèÿ ïîñòîÿííà íà í¼ì, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ â ëþáîé
òî÷êå ýòîãî îòðåçêà (èëè õîòÿ áû èíòåðâàëà (a, b)).
Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû Ëàãðàíæà.
Îñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ
110
Íåîáõîäèìîñòü
ðàâåíñòâà íóëþ ïðîèçâîäíîé äëÿ ïîñòîÿíñòâà
ôóíêöèè, óæå áûëà äîêàçàíà ïðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíîé ïîñòîÿííîé ôóíêöèè.
Äîêàæåì
. Ïóñòü f ′ ≡ 0 íà (a, b). Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà ∀x1 , x2 ∈ [a, b]
ïîëó÷àåì:
Äîêàçàòåëüñòâî.
äîñòàòî÷íîñòü
=0
f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (ξ) (x2 − x1 ) = 0, ò.ê. ξ ∈ (a, b).
 ýòîì óòâåðæäåíèè ñóùåñòâåííî, ÷òî îáëàñòü çàäàíèÿ îòðåçîê (ñâÿçíîå
ìíîæåñòâî). Äëÿ íåñâÿçíîãî ìíîæåñòâà ýòî, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.
⎧
⎪
⎪1,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩2,
x ∈ [0, 1],
x ∈ [2, 3]
≠ const,
′
íî f ≡ 0 íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Ñëåäñòâèå 3. Èç ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ äåëàåì âàæíûé âûâîä: åñëè ïðîèçâîäíûå
F1′ , F2′ äâóõ ôóíêöèé F1 è F2 ñîâïàäàþò íà íåêîòîðîì ñâÿçíîì ïðîìåæóòêå, òî íà í¼ì
ðàçíîñòü F1 − F2 åñòü ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ.
Ñëåäñòâèå 4. Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà íà (a, b) è ∃M > 0 : ∣f ′ (x)∣ ⩽ M ,
∀x ∈ (a, b). Òîãäà ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà (a, b).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 : ∀x1 , x2 ∈ (a, b)
∣f (x1 ) − f (x2 )∣ = ∣f ′ (ξ)∣ ⋅ ∣x2 − x1 ∣ < M ⋅ δ = ε, ïðè δ(ε) =
ε
M
,
÷òî è ãàðàíòèðóåò ðàâíîìåðíóþ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f íà (a, b).
Òåîðåìà 45. (òåîðåìà Êîøè î êîíå÷íîì ïðèðàùåíèè). Ïóñòü x = x(t), y = y(t) ôóíêöèè íåïðåðûâíûå íà îòðåçêå [α, β] è äèôôåðåíöèðóåìûå íà (α, β). Òîãäà
∃τ ∈ (α, β) ∶ x′ (τ )(y(β) − y(α)) = y ′ (τ )(x(β) − x(α)).
Åñëè, ê òîìó æå, x′ (t) ≠ 0 ïðè ∀t ∈ (α, β), òî x(α) ≠ x(β) è ñïðàâåäëèâî:
y(β)−y(α)
x(β)−x(α)
Äîêàçàòåëüñòâî.
=
y ′ (τ )
.
x′ (τ )
Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ:
F (t) = x(t)(y(β) − y(α)) − y(t)(x(β) − x(α)).
Îíà íåïðåðûâíà íà [α, β] è äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β). Êðîìå òîãî:
F (α) = x(α)y(β) − y(α)x(β),
F (β) = −x(β)y(α) + y(β)x(α).
Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé
íåïðåðûâíîñòè.
Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
111
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ýòîé ôóíêöèè íà [α, β] âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Ðîëëÿ.
Ïîýòîìó, ∃τ ∈ (α, β), â êîòîðîé
F ′ (τ ) = 0 ⇐⇒ x′ (τ )(y(β) − y(α)) = y ′ (τ )(x(β) − x(α)).
×òîáû ïîëó÷èòü âòîðîå ñîîòíîøåíèå, îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî åñëè x′ (t) ≠ 0 íà (α, β),
òî ïî òåîðåìå Ðîëëÿ x(α) ≠ x(β).
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé:
⎧
⎪
⎪x = φ(t),
⎨
⎪
⎪
⎩y = ψ(t),
t ∈ [α, β];
Ïðè óñëîâèÿõ ïåðå÷èñëåííûõ â òåîðåìå 10 ýòè óðàâíåíèÿ çàäàþò íåêîòîðóþ
′
ôóíêöèþ y = y(x), ò.ê. èç φ (t) ≠ 0 âûòåêàåò ñòðîãàÿ ìîíîòîííîñòü ôóíêöèè
−1
φ. Ñëåäîâàòåëüíî, ∃φ , è y(x) = y(φ−1 (x)).
Ïóñòü A = (x(α), y(α)), B = (x(β), y(β)), C = (x(τ ), y(τ )). Óãëîâîé êîýôôèöèåíò
õîðäû AB ðàâåí:
y(β)−y(α)
.
x(β)−x(α)
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé â òî÷êå C =
(x(τ ), y(τ )), íà îñíîâàíèè òåîðåìû î ïðîèçâîäíîé ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîé
ôóíêöèè, ðàâåí
7
y ′ (τ )
.
x′ (τ )
Ïîëó÷àåì ïàðàëëåëüíîñòü êàñàòåëüíîé è õîðäû.
Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ.
Ïóñòü â çàäà÷å î íàõîæäåíèè ïðåäåëà îòíîøåíèÿ
f (x)
g(x)
ïðè x → a è ÷èñëè-
òåëü, è çíàìåíàòåëü ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, èëè îáà ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.
 ýòèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ íåîïðåäåë¼ííîñòüþ
∞
.
∞
Íàõîæäåíèå ýòîãî ïðåäåëà (åñëè îí ñóùåñòâóåò) íàçûâàþò
0
0
èëè
ðàñêðûòèåì
íåîïðåäåë¼ííîñòè.
Òåîðåìà 46. (ïåðâîå ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ).
ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
Ïóñòü íàéä¼òñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî âûïîëíåíû
○
1. Ôóíêöèè f è g äèôôåðåíöèðóåìû íà Uδ (a);
○
2. g ′ (x) ≠ 0 â Uδ (a);
3. lim f (x) = lim g(x) = 0;
4.
x→a
x→a
′
(x)
∃ lim fg′ (x)
x→a
= L ∈ R (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé);
f (x)
,
x→a g(x)
Òîãäà ∃ lim
f (x)
x→a g(x)
ïðè÷¼ì: lim
f ′ (x)
′
x→a g (x)
= lim
= L.
Äîîïðåäåëèì ôóíêöèè f è g â òî÷êå a ïî íåïðåðûâíîñòè, ïîëîæèâ
f (a) = g(a) = 0. Ïóñòü a ≠ {xn } → a. Íà [a, xn ] ( èëè [xn , a]) äëÿ ôóíêöèé f è g
âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Êîøè, ïîýòîìó, ∃ξn ∈ (a, xn ) ( èëè (xn , a)):
Äîêàçàòåëüñòâî.
=0
f (xn )− f (a)
g(xn )−g(a)
²
=
f ′ (ξn )
g ′ (ξn )
(∗)
=0
Ïðè n → ∞ ïîëó÷àåì: xn → a è ξn → a. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ðàâåíñòâå (∗) ïîëó÷àåì
òðåáóåìîå.
ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ äëÿ
áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé.
Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
Òåîðåìà
112
46∗ Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
1. ôóíêöèè f è g äèôôåðåíöèðóåìû ïðè x > c > 0;
2. g ′ (x) ≠ 0 íà (c, +∞);
3. lim f (x) = lim g(x) = 0;
4.
x→+∞
x→+∞
′
(x)
∃ lim fg′ (x)
x→+∞
= L ∈ R.
f (x)
,
x→+∞ g(x)
Òîãäà ∃ lim
Äîêàçàòåëüñòâî.
÷òî:
f (x)
x→+∞ g(x)
ïðè÷¼ì: lim
f ′ (x)
′
x→+∞ g (x)
= lim
= L.
Ðàññìîòðèì ñëîæíûå ôóíêöèè f ( 1t ), g ( 1t ) ïðè t ∈ (0, 1c ). Çàìåòèì,
d
(f (1/t))
dt
t→0+0 d (g(1/t))
dt
lim
= lim
f ′ (1/t) (− t12 )
t→0+0 g ′ (1/t) (− 1 )
t2
f ′ (1/t)
f ′ (x)
= lim ′
= L.
′
t→0+0 g (1/t)
x→+∞ g (x)
= lim
(1/t)
(x)
Íî òîãäà â ñèëó òåîðåìû 11 ñóùåñòâóåò è ïðåäåë lim fg(1/t)
= lim fg(x)
. Ïðè÷¼ì ñïðàt→0+0
x→+∞
âåäëèâî:
Ò.11
f (x)
f (1/t) ©
= lim
= lim
x→+∞ g(x)
t→0+0
t→0+0 g(1/t)
lim
d
(f (1/t))
dt
d
(g(1/t))
dt
= lim
x→+∞
f ′ (x)
= L.
g ′ (x)
Ôîðìàëüíîå ïðèìåíåíèå ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê îøèáêàì.
Ïðèìåð 7.1.
f (x) = x2 sin x1 ÐÐ→ 0, g(x) = sin x ÐÐ→ 0.
x→0
x→0
f (x)
x→0 g(x)
∃ lim
f ′ (x)
′
x→0 g (x)
íî lim
= lim
x→0
1 −cos 1
2x sin x
x
cos x
1
x
x→0 x+o(x)
= lim
x2 sin
= 0,
, è äàííûé ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò.
Òåîðåìà 47. (âòîðîå ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ).
óñëîâèÿ:
Ïóñòü íàéä¼òñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî âûïîëíåíû
○
1. Ôóíêöèè f è g äèôôåðåíöèðóåìû íà Uδ (a);
○
2. g ′ (x) ≠ 0 â Uδ (a);
3. lim g(x) = ∞;
x→a
f ′ (x)
′
x→a g (x)
4. ∃ lim
= L ∈ R (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé);
f (x)
,
x→a g(x)
Òîãäà ∃ lim
f (x)
x→a g(x)
ïðè÷¼ì: lim
f ′ (x)
′
x→a g (x)
= lim
Îòìåòèì, ÷òî â äàííîé òåîðåìå
= L.
íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî lim f (x) = ∞. Õîòÿ íà ïðàêx→a
òèêå ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ïðèìåíÿþò ïðè íàëè÷èè íåîïðåäåë¼ííîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî.
○
Ðàçáåð¼ì ñëó÷àé êîíå÷íîãî L. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå x è
y èç Uδ (a) òàêèå, ÷òî: a < x < y < a + δ . Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Êîøè î êîíå÷íîì
ïðèðàùåíèè, ïîëó÷àåì, ÷òî íàéä¼òñÿ ξ = ξ(x; y) ∈ (x, y) òàêîå, ÷òî ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî:
f (x)−f (y)
g(x)−g(y)
=
f ′ (ξ)
.
g ′ (ξ)
ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ äëÿ
áåñêîíå÷íî áîëüøèõ ôóíêöèé.
Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
113
Îòêóäà,
1 f (x)−f (y)
g(x) 1− g(y)
g(x)
=
f ′ (ξ)
g ′ (ξ)
⇐⇒
f (x)−f (y)
g(x)
=
f ′ (ξ)
g ′ (ξ)
(1 −
g(y)
)
g(x)
⇐⇒
f (x)
g(x)
=
f (y)
g(x)
f ′ (ξ)
g ′ (ξ)
+
(1 −
g(y)
).
g(x)
Âû÷èòàÿ èç îáåèõ ÷àñòåé ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà L, ïîëó÷àåì:
(y)
(ξ)
(ξ)
g(y)
(x)
− L∣ ⩽ ∣ fg(x)
∣ + ∣ fg′ (ξ)
− L∣ + ∣ fg′ (ξ)
∣ ⋅ ∣ g(x)
∣.
∣ fg(x)
′
′
(∗∗)
Çàôèêñèðóåì âûáðàííûé ðàíåå y , è óñòðåìèì x ê a. Â ñèëó óñëîâèé:
f ′ (x)
′
x→a g (x)
lim
= L è lim g(x) = ∞ äëÿ ∀ε > 0 ìîæåì çàïèñàòü:
x→a
f ′ (ξ(x;y))
1. ôèêñèðóåì y òàêîå, ÷òî: ∣x − a∣ < ∣y − a∣ è ∣
g ′ (ξ(x;y))
− L∣ < 4ε ;
f (y)
2. ôèêñèðóåì δ1 òàêîå, ÷òî: ïðè ∣x − a∣ < δ1 âûïîëíÿëîñü ∣ g(x) ∣ <
ε
;
2
3. ôèêñèðóåì δ2 òàêîå, ÷òî: ïðè ∣x − a∣ < δ2 âûïîëíÿëîñü ∣ g(x) ∣ <
ε/4
.
∣L∣+ε/4
g(y)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ∣x − a∣ < min{∣y − a∣; δ1 ; δ2 } èç (∗∗) ïîëó÷àåì:
(x)
− L∣ <
∣ fg(x)
Çàì.
ε
2
+
ε
4
+
ε
4
= ε.
○
′
 ñèëó óñëîâèÿ g (x) ≠ 0 â Uδ (a) ïîëó÷àåì, ÷òî â äàííîé îêðåñòíî′
ñòè ôóíêöèÿ g ìîíîòîííàÿ, ò.ê. èíà÷å ïðîèçâîäíàÿ g äîëæíà
a
áûëà ïîìåíÿòü çíàê, è â ñèëó òåîðåìû Äàðáó, ïðîéòè ÷åðåç 0 .
a Ñð. ñ òåîðåìîé Øòîëüöà.
Ïðèìåð 7.2.
Åñëè α > 0, òî ln x = o(xα ), x → +∞;
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü f (x) = ln x, g(x) = x . Èìååì:
α
lim g(x) = +∞ = lim f (x);
x→+∞
′
lim f ′ (x)
x→+∞ g (x)
Ïðèìåð 7.3.
x→+∞
= lim
1/x
α−1
x→+∞ α⋅x
f (x)
x→+∞ g(x)
= 0 Ô⇒ lim
= 0.
Åñëè α > 0, b > 1 òî xα = o(bx ), x → +∞;
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. α = 1. Ïóñòü f (x) = x, g(x) = b . Èìååì:
x
lim f (x)
x→+∞ g(x)
2. α > 0. Ïîëîæèì C = b
1/α
f ′ (x)
′
x→+∞ g (x)
= lim
, ò.ê. C > 1, òî
= lim
1
x
x→+∞ b ln b
xα
bx
= 0;
α
= ( Cxx ) ÐÐÐ→ 0.
x→+∞
Ïðèìåðû 1 è 2 ïîêàçûâàþò, ÷òî ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ðàñò¼ò íà +∞ áûñòðåå ëîãàðèôìà, íî ìåäëåííåå ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè.
Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
Çàì.
Êðîìå èçó÷åííûõ íåîïðåäåë¼ííîñòåé âèäà:
∞
114
0
0
0
èëè
∞
∞
áûâàþò
íåîïðåäåë¼ííîñòè âèäîâ: 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, 1 , 0 , ∞ . Âñå ýòè íåîïðå0
äåë¼ííîñòè ñâîäÿòñÿ ê èçó÷åííûì, ïóò¼ì àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé:
f (x)g(x) = eg(x)⋅ln f (x) ⇐⇒ 0 ⋅ ∞ =
0
1/∞
= 00 .
Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ
8
115
Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ.
a
Åñëè ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R äèôôåðåíöèðóåìà â ëþáîé òî÷êå x ∈ E , òî íà ýòîì
̃ ↦ R, çíà÷åíèÿ êîòîðîé â òî÷êå
ìíîæåñòâå âîçíèêàåò íîâàÿ ôóíêöèÿ f ∶ E
′
̃ ðàâíî çíà÷åíèþ ïðîèçâîäíîé f ′ â ýòîé òî÷êå. Ýòà ôóíêöèÿ ñàìà ìîæåò
x∈E
′ ′ ̂
èìåòü ïðîèçâîäíóþ (f ) ∶ E
↦ R, êîòîðàÿ ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîé ôóíêöèè
f íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé îò f .
a Ìíîæåñòâî E ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ìîæåò èçìåíÿòüñÿ.
f ′′ èëè
Îáîçíà÷åíèå:
d2 f a
.
dx2
a Åñëè õîòÿò ÿâíî óêàçàòü ïåðåìåííûå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, â ïåðâîì ñëó÷àå ïèøóò: f ′′ .
xx
Ïî èíäóêöèè, åñëè îïðåäåëåíà ïðîèçâîäíàÿ f (n−1) ïîðÿäêà (n − 1) îò f ,
òî ïðîèçâîäíàÿ ïîðÿäêà n îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
Îïðåäåëåíèå.
′
f (n) ∶= (f (n−1) ) .
Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî f (0) ∶= f .
Îáîçíà÷åíèå: Ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé
f ∶ E ↦ R, èìåþùèõ íà E íåïðå-
ðûâíûå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà n âêëþ÷èòåëüíî, îáîçíà÷àåòñÿ C (E). Â
n
÷àñòíîñòè, C (E) = C(E).
0
Èç îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî êëàññû C
n
óìåíüøàþòñÿ ñ ðîñòîì n:
C n+1 (E) ⊂ C n (E), ∀n ∈ Z,
C ∞ ⊂ C m , ∀m ∈ Z+ .
Çàìåòèì, ÷òî ýòè âêëþ÷åíèÿ ñòðîãèå.
(n)
fn (x) = xn+1/3 Ô⇒ fn
äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x = 0.
Ïðèìåð 8.1.
= (n + 1/3) ⋅ . . . ⋅ 4/3 ⋅ x1/3 íåïðåðûâíà íà R, íî íå
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî êëàññ äèôôåðåíöèðóåìûõ íà E ôóíêöèé ñòðîãî øèðå
êëàññà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà E ôóíêöèé.
Ïðèìåð 8.2.
f (x) = xℓ ⋅ sin 1/x, ℓ ∈ N.
îñíîâíûå ïðèìåðû.
Ïðèìåð 8.3.
f (x) = sin x, f ′ (x) = cos x = sin ( π2 + x), f ′′ (x) = − sin x = sin (π + x), . . .
f (n) (x) = sin ( πn
+ x);
2
Ïðèìåð 8.4.
f (x) = cos x, f ′ (x) = − sin x = cos ( π2 + x), . . . , f (n) (x) = cos ( πn
+ x);
2
Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ
116
Ïðèìåð 8.5.
f (x) = ax , f ′ (x) = ax ⋅ ln a, . . . , f (n) (x) = ax ⋅ (ln a)n ;
Ïðèìåð 8.6.
f (x) = xm , f ′ (x) = mxm−1 , . . . , f (n) = m(m − 1) . . . (m − n + 1)xm−n ;
Ïðèìåð 8.7.
f (x) = ln x, f ′ (x) = x1 , . . . , f (n) (x) =
(−1)n−1 (n−1)!
.
xn
Äîêàæèòå ïðèâåä¼ííûå âûðàæåíèÿ äëÿ n-ûõ ïðîèçâîäíûõ, èñïîëüçóÿ ìåòîä
ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Çàäà÷à 1.
Ïóñòü u è v ôóíêöèè, èìåþùèå íà ìíîæåñòâå E
ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà n âêëþ÷èòåëüíî. Òîãäà äëÿ n-îé ïðîèçâîäíîé îò èõ ïðîèçâåäåíèÿ
ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Ëåéáíèöà :
Òåîðåìà 48. (ôîðìóëà Ëåéáíèöà).
n
(u ⋅ v)(n) = ∑ Cnk u(n−k) v (k) .
(∗)
k=0
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðè
n = 1 ôîð-
ìóëà (∗) ñîâïàäàåò ñ ïðàâèëîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ. Ïóñòü
ïðè n = n äîêàçûâàåìàÿ ôîðìóëà âåðíà. Åñëè u, v ∈ C
n+1
ðóÿ ôîðìóëó (∗), ïîëó÷àåì:
′
n
n
n
k=0
k=0
(E), òî äèôôåðåíöè-
(u ⋅ v)n+1 = ( ∑ Cnk u(n−k) v (k) ) = ∑ Cnk u(n−k+1) v (k) + ∑ Cnk u(n−k) v (k+1) =
k=0
n
n+1
k=1
k=0
k
= u(n+1) v (0) + ∑ (Cnk + Cnk−1 )u(n−k+1) v (k) + u(0) v (n+1) = ∑ Cn+1
u(n−k+1) v (k) .
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = y(x) çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè:
⎧
⎪
⎪x = φ(t),
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩y = ψ(t),
t ∈ T;
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ôóíêöèè φ è ψ äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû íà
′
ìíîæåñòâå T, φ (t)
≠ 0. Èç ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿ φ
−1
(x) è y = ψ(φ−1 (x)). Ðàíåå íàìè áûëà ïî-
ìîíîòîííà íà T. Ïîýòîìó ∃t = φ
′
ëó÷åíà ôîðìóëà: yx =
ψ ′ (t)
.
φ′ (t)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíîé ÷àñòíîãî,
ïðîèçâîäíîé êîìïîçèöèè è ïðîèçâîäíîé îáðàòíîé ôóíêöèè ïîëó÷àåì:
′′
yxx
=
′
(yx′ )x
=(
ψ ′ (φ−1 (x))
φ′ (φ−1 (x))
′
) =
′
′
(ψ′ (φ−1 (x))) ⋅φ′ (φ−1 (x))−ψ′ (φ−1 (x))⋅(φ′ (φ−1 (x)))
2
(φ′ (φ−1 (x)))
x
ψ ′′ (φ−1 (x))⋅(φ−1 ) (x)⋅φ′ (φ−1 (x))−ψ ′ (φ−1 (x))⋅φ′′ (φ−1 (x))⋅(φ−1 ) (x)
′
=
′
(φ′ (φ−1 (x)))
′
= {(φ−1 ) (x) =
1
φ′ (t)
2
, φ−1 (x) = t} =
=
=
Ôîðìóëà Òåéëîðà
=
ψ ′′ (t)⋅
117
1
1
⋅φ′ (t)−ψ ′ (t)⋅φ′′ (t)⋅ ′
φ′ (t)
φ (t)
2
(φ′ (t))
ψ ′ (t)
=
ψ ′′ (t)⋅φ′ (t)−ψ ′ (t)⋅φ′′ (t)
3
(φ′ (t))
=
)
( ′
φ (t)
φ′ (t)
′
(yx′ )t
′
t
=
φ′ (t)
.
Äàííàÿ ôîðìóëà ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäíîé
yx′ âûðàæåíèå yx′ =
ψ ′ (t)
φ′ (t)
âìåñòî ψ(t) = y . Äàëåå ïîëó÷àåì:
yx′′′3 =
9
(y ′′2 )′t
x
φ′ (t)
(y ′′′3 )′t
(4)
y x4 =
,
è ò.ä.
x
φ′ (t)
Ôîðìóëà Òåéëîðà.
Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí
Pn (x) = c0 + c1 x + . . . + cn xn .
?
Âûðàçèòü êîýôôèöèåíòû ýòîãî ìíîãî÷ëåíà â òåðìèíàõ ôóíêöèè Pn è å¼ ïðîèçâîäíûõ.
Ïîëó÷àåì:
c0 = Pn (0);
Pn′ (x)
= c1 + 2c2 x + . . . + ncn xn−1 ⇒ c1 = Pn′ (0);
′′
(0)
Pn
;
2!
Pn′′ (x) = 2c2 + 3 ⋅ 2c3 x + . . . + n(n − 1)cn xn−2 ⇒ c2 =
...
Pn(n) (x)
= n ⋅ (n − 1) ⋅ . . . ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ cn ⇒ cn =
(0)
;
n!
(n)
Pn
Pn(k) (x) ≡ 0 ïðè k > n;
Îòêóäà,
Pn (x) = Pn (0) +
′
(0)
Pn
1!
x+
′′
(0)
Pn
2!
x2 + . . . +
(0)
n!
(n)
Pn
n
xn = ∑
(0) k
x .
k!
(k)
Pn
k=0
Ïóñòü Pn (x) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n îò x, à x0 ∈ R ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà.
Äîêàæèòå, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî:
Çàäà÷à 1.
Pn (x) = Pn (x0 ) +
′
(x0 )
Pn
1!
(x − x0 ) +
′′
(x0 )
Pn
2!
(x − x0 )2 + . . . +
(x0 )
n!
(n)
Pn
(x − x0 )n .
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè x0 ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà
Pn (x) = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + . . . + cn (x − x0 )n .
Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå x0 âñå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà n
âêëþ÷èòåëüíî. Âûïèøåì ïîëèíîì
Pn (x) = f (x0 ) +
f ′ (x0 )
1!
(x − x0 ) +
f ′′ (x0 )
2!
(x − x0 )2 + . . . +
f (n) (x0 )
n!
(x − x0 )n ,
ïðîèçâîäíûå êîòîðîãî äî n-ãî ïîðÿäêà ñîâïàäàþò â òî÷êå x0 ñ ïðîèçâîäíûìè ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f â òî÷êå x0 :
Pn (x0 ) = f (x0 ), Pn′ (x0 ) = f ′ (x0 ), . . . , Pn(n) (x0 ) = f (n) (x0 ).
ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ìíîãî÷ëåíà.
Ôîðìóëà Òåéëîðà
118
Íàïèøåì ðàâåíñòâî:
n
f (x) = ∑
f (k) (x0 )
(x
k!
− x0 )k + rn (f, x),
(1)
k=0
êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà ôóíêöèè f â òî÷êå x0 .
n
Pn (x) = ∑
k=0
f (k) (x0 )
(x
k!
f (k) (x0 )
(x
k!
− x0 )k ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà ;
− x0 )k k-ûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà ;
rn (f, x) n-ûé îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà. Äëÿ íåãî èìååì:
rn (f, x) = f (x) − Pn (x) ⇒ rn (f, x0 ) = rn′ (f, x0 ) = . . . = rn(n) (f, x0 ) = 0.
(2)
Âàæíûì ñâîéñòâîì ìíîãî÷ëåíà Òåéëîðà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðè x → x0 êàæäûé
ñëåäóþùèé åãî ÷ëåí áåñêîíå÷íî ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñî âñåìè ïðåäûäóùèìè (îòëè÷íûìè îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ), ÷òî óäîáíî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèáëèæ¼ííûõ
âû÷èñëåíèé.  ñâÿçè ñ ýòèì ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ ðàçëè÷íûå îöåíêè äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà rn (f, x).
Òåîðåìà 49. (ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî).
Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ f (n) (x0 ), n ∈ N, òî äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ôîðìóëû Òåéëîðà (1) ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ îöåíêà:
rn (f, x) = o((x − x0 )n ), x → x0 .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç óñëîâèé (2) ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ ïîëó÷àåì:
lim rn (f,x)n
x→x0 (x−x0 )
= lim
′
rn
(f,x)
n−1
x→x0 n(x−x0 )
= lim
(n−1)
rn
x→x0
(f,x)−rn
n!(x−x0 )
Ïîýòîìó, rn (f, x) = o((x − x0 ) ),
n
(n−1)
= . . . = lim
x→x0
(f,x0 )
=a=
(n)
rn
rn
(f,x)
n!(x−x0 )
(n−1)
(f,x0 )
n!
=
= 0.
x → x0 .
a Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé.
Çàì.
Ïîñêîëüêó
′
f (k) (x0 ) = (f (k−1) ) (x0 ) = lim
x→x0
f (k−1) (x)−f (k−1) (x0 )
,
x−x0
ñóùåñòâîâàíèå f (k) (x0 ) ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ôóíêöèÿ f (k−1) îïðåäåëåíà
â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .
òî
n
Çàì.
Ïðè x0 = 0 ðàâåíñòâî f (x) = ∑
k=0
f (k) (0) k
x
k!
+ o(xn ), íå ñîâñåì ïðàâèëü-
íî, íàçûâàþò ôîðìóëîé Ìàêëîðåíà.
Çàì.
Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî óòâåðæäàåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà ¾õîðîøî ïðèáëèæàåò¿ ôóíêöèþ f ïðè x ≈ x0 . Îäíàêî ýòà ôîðìóëà íå äà¼ò íèêàêîé îöåíêè
ïîãðåøíîñòè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà, rn (f, x) òàêîé àïïðîêñèìàöèè
ïðè êîíêðåòíîì x, ÷òî äåëàåò ýòó ôîðìóëó íåïðèãîäíîé äëÿ
ëîêàëüíàÿ ôîðìóëà Òåéëîðà.
Ôîðìóëà Òåéëîðà
119
ïðèáëèæ¼ííûõ âû÷èñëåíèé ôóíêöèé.
Ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ rn (f, x), èç êîòîðîé ìîæíî áóäåò ñóäèòü î ìàëîñòè îñòàòêà.
Ïóñòü x > x0
(x < x0 ), n ∈ Z+ ; f (n) ∈ C([x0 , x]) (f (n) ∈ C([x, x0 ])), ∃f (n+1) íà (x0 , x) (íà (x, x0 )). Òîãäà
ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Òåéëîðà (1), â êîòîðîé:
Òåîðåìà 50. (ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà).
rn (f, x) =
f (n+1) (x0 +θ(x−x0 ))
(x
(n+1)!
− x0 )n+1 =
f (n+1) (ξ)
(x
(n+1)!
− x0 )n+1,
ãäå 0 < θ < 1, ξ ∈ (x0 , x).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ:
φ(t) = f (t) − Pn (t) − M ⋅ (t − x0 )n+1 , ãäå M =
′
Èç ôîðìóëû (2) ïîëó÷èì: φ(x0 ) = φ (x0 ) = . . . = φ
(n)
f (x)−Pn (x)
.
(x−x0 )n+1
(3)
(x0 ) = 0.
Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà:
∃x1 ∈ (x0 , x) ∶ 0 = φ(x) − φ(x0 ) = φ′ (x1 )(x − x0 ) ⇒ φ′ (x1 ) = 0.
′′
Äàëåå, ∃x2 ∈ (x0 , x1 ) ∶ φ (x2 ) = 0 è ò.ä., äîéä¼ì äî òî÷êè xn+1 , òàêîé ÷òî
(n+1)
φ
(xn+1 ) = 0.
(n+1)
Ïîëàãàÿ ξ = xn+1 , ïîëó÷èì: 0 = φ
Îòêóäà M =
(ξ) = f (n+1) (ξ) − 0 − M ⋅ (n + 1)!
f (n+1) (ξ)
(n+1)!
⇒ f (x) − Pn (x) = rn (f, x) =
= {(3)} =
f (n+1) (ξ)
(x
(n+1)!
f (x)−Pn (x)
(x−x0 )n+1
⇒
− x0 )n+1 , ξ ∈ (x0 , x).
Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
àñèìïòîòè÷åñêóþ îöåíêó âèäà:
n
f (x) = ∑ ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ),
x → x0 ,
k=0
ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ ak .
(4)
Ôîðìóëà Òåéëîðà
120
Ïîêàæåì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñïðàâåäëèâà îöåíêà (4), òî
êîýôôèöèåíòû ak â íåé îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè íàðÿäó ñ (4) èìååì:
n
f (x) = ∑ bk (x − x0 )k + o((x − x0 )n ),
x → x0 ,
k=0
òî âû÷èòàÿ îäíî èç äðóãîãî, ïîëó÷èì:
n
f (x) = ∑ (ak − bk )(x − x0 )k + o((x − x0 )n ),
x → x0 ,
k=0
Îòêóäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè x → x0 , ïîëó÷èì: a0 − b0 = 0, ò.å. a0 = b0 .
Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïîäåëèì äàííîå ðàâåíñòâî ïî÷ëåííî íà (x − x0 ):
n
f (x) = ∑ (ak − bk )(x − x0 )k−1 + o((x − x0 )n−1 ),
x → x0 .
k=1
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó çäåñü, çàêëþ÷àåì: a1 − b1 = 0, ò.å. a1 = b1 . Àíàëîãè÷íî
ïîêàçûâàåì, ÷òî a2 = b2 , . . . , an = bn .
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü ∃f (n) (x0 ) è
n
f (x) = ∑ ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ),
x → x0 .
(5)
k=0
Òîãäà (5) ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèåì ôóíêöèè f ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì
â ôîðìå Ïåàíî, ò.å. ak =
Äîêàçàòåëüñòâî.
f (k) (x0 )
.
k!
Ïî òåîðåìå î ðàçëîæåíèè ôóíêöèè f ïî ôîðìóëå Òåéëîðà
ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (1).  ñèëó
òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè, (5) ñîâïàäàåò ñ (1).
ïðèìåð Êîøè.
Ïðèìåð 9.1.
Ïðèìåð áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè, íåðàçëîæèìîé ïî ôîðìóëå Òåéëîðà.
⎧
−1/x2
⎪
,
⎪e
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 0,
Ïóñòü Pn ( x1 ) = ̂
a0 + ̂
a1 ⋅
1
x
+ ... +̂
an ⋅
1
.
xn
x ≠ 0,
x = 0.
Ïî èíäóêöèè ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî
2
f (n) (x) = e−1/x ⋅ P3n ( x1 )
Ô⇒ lim f (n) (x) = lim
x→0
x→0
P3n (1/x)
e1/x
2
= lim
y→∞
P3n (y)
ey
2
= 0 Ô⇒ f (n) (0) = 0, ∀n ∈ N.
Ò.å. ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà ôóíêöèè f ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó íóëåé:
f (x) = 0 + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x2 + . . . + 0 ⋅ xn + o(xn ).
Íî ýòî ðàçëîæåíèå òîæäåñòâåííîãî íóëÿ, â íóëå, à f (x) ≠ 0, ∀x ≠ 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
äàííàÿ ôóíêöèÿ íå ðàçëîæèìà ïî ôîðìóëå Òåéëîðà â òî÷êå x = 0.
1. f (x) = ex ,
f (n) (x) = ex Ô⇒ f (n) (0) = 1,
n ∈ Z+ ;
Ðàçëîæåíèå ïî ôîðìóëå Òåéëîðà
ïðè x = 0 íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé.
Ôîðìóëà Òåéëîðà
121
ex = 1 + x +
x2
2!
2.f (x) = sin x, f (n) (x) = sin (x +
sin x = x −
xn
n!
+ ... +
πn
)
2
x
+ . . . + (−1)n−1 (2n−1)!
+ o(x2n ),
rnëãð =
x2n+1
(2n+1)!
3.f (x) = cos x, f (n) (x) = cos (x +
x2
2!
rnëãð =
⎧
⎪
⎪ 0, n = 2k,
⇒ f (n) (0) = sin πn
=⎨
2
k
⎪
⎪
⎩(−1) , n = 2k + 1;
2n−1
x3
3!
cos x = 1 −
xn+1 θx
e ;
(n+1)!
rnëãð =
+ o(xn ),
πn
)
2
sin (θx +
πn
2
+ π);
⎧
⎪
⎪ 0, n = 2k + 1,
⇒ f (n) (0) = cos πn
=
⎨
2
k
⎪
⎪
⎩(−1) , n = 2k;
2n
x
+ . . . + (−1)n (2n)!
+ o(x2n+1 ),
x2n+2
(2n+2)!
cos (θx +
πn
2
+ π);
(n)
(n−1)!
4.f (x) = ln (1 + x), f (n) (x) = (−1)n−1 (1+x)
(0) = (−1)n−1 (n − 1)!;
n ⇒ f
ln (1 + x) = x −
x2
2
+
x3
3
rnëãð =
n
− . . . + (−1)n−1 xn + o(xn ),
(−1)n xn+1
;
(n+1) (1+θx)n+1
5.f (x) = (1 + x)α , α ∈ R; f (n) (x) = α ⋅ (α − 1) ⋅ . . . ⋅ (α − n + 1)(1 + x)α−n ,
f (0) = α ⋅ (α − 1) ⋅ . . . ⋅ (α − n + 1),
(1 + x) = 1 +
α
α
x
1!
rnëãð =
+
α(α−1) 2
x
2!
+ ... +
α(α−1)...(α−n)
(n+1)!
α(α−1)...(α−n+1) n
x
n!
+ o(xn ),
(1 + θx)α−n−1 xn+1 .
Ïóñòü â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå α = m ∈ N.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ (1 + x)
α
ÿâëÿåòñÿ
ïîëèíîìîì ñòåïåíè α, è ïîýòîìó âñå å¼ ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà âûøå, ÷åì α ðàâíû
íóëþ. Òàêèì îáðàçîì èìååì:
(1 + x)α = 1 +
α
x
1!
+
α(α−1) 2
x
2!
+ ... +
α⋅(α−1)⋅...2⋅1 α
x
n!
(Áèíîì
Íüþòîíà).
Ò.å. Áèíîì Íüþòîíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîñëåäíåãî ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìóëå Òåéëîðà.
Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ
è íåîïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë
1
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñâîéñòâà
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó,
îáðàòíóþ ê çàäà÷å äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, â êîòîðîé ïðî-
èçâîäíàÿ èçâåñòíà, à ôóíêöèþ, êîòîðóþ äèôôåðåíöèðîâàëè, òðåáóåòñÿ íàéòè.
Ñèìâîëîì ⟨a, b⟩ áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîìåæóòîê, êîòîðûé îãðàíè÷èâàþò òî÷êè
a è b, ò.å. ëèáî [a, b], ëèáî [a, b), ëèáî (a, b], ëèáî èíòåðâàë (a, b), êîíå÷íûé èëè
áåñêîíå÷íûé.
Ïóñòü f ∶ ⟨a, b⟩ ↦ R. Ôóíêöèÿ F ∶ ⟨a, b⟩ ↦ R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé
åñëè F äèôôåðåíöèðóåìà íà ýòîì ïðîìåæóòêå è F ′ (x) =
f (x), ∀x ∈ ⟨a, b⟩. Ïðè ýòîì, â ñëó÷àå a ∈ ⟨a, b⟩ èëè b ∈ ⟨a, b⟩, ïðîèçâîäíûå F ′ (a) è F ′ (b)
ïîíèìàþòñÿ êàê îäíîñòîðîííèå.
Îïðåäåëåíèå.
ôóíêöèåé äëÿ f íà ⟨a, b⟩,
?
ÃËÀÂÀ
VIII
Ñåêöèÿ 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñâîéñòâà
Ñåêöèÿ 2. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè
Ñåêöèÿ
3.
Ðàçëîæåíèå
ïðàâèëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ
äðîáåé íàïðîñòåéøèå
Ñåêöèÿ 4. Èíòåãðèðîâàíèå
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
Ñåêöèÿ 5. Èíòåãðèðîâàíèå
íåêîòîðûõ êëàññîâ ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 6. Ðàçëè÷íûå ïðèìåðû èç òåîðèè íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
Åñëè çàäàíà ôóíêöèÿ f ∶ ⟨a, b⟩ ↦ R, òî âîçíèêàþò òðè âîïðîñà:
1. Ñóùåñòâóåò ëè ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà ⟨a, b⟩ ?
2. Åñëè ïåðâîîáðàçíàÿ ñóùåñòâóåò, òî êàê îïèñàòü
âñå å¼ ïåð-
âîîáðàçíûå?
3. Êàê íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ?
Îòâåò íà ïåðâûé âîïðîñ î÷åíü ñëîæåí. Îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ âûñêàçûâàíèÿìè:
à. Íå ëþáàÿ ôóíêöèÿ èìååò ïåðâîîáðàçíóþ. Íàïðèìåð, èñõîäÿ èç òåîðå-
íåîáõîäèìîå óñëîâèå.
ìû Äàðáó, èõ íåò ó ôóíêöèé, èìåþùèõ ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà. Íàïðèìåð,
⎧
⎪
⎪ 1,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩−1,
x ⩾ 0,
x 0;
C1 , C2 ∈ R.
 çàïèñè
∫
1
x
dx = ln ∣x∣ + C
ïîä C ïîíèìàåòñÿ íå êîíñòàíòà, à êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ.
a ( ln ∣x∣)′ =
1
∣x∣
⋅ sgnx =
1
,
x
x ≠ 0.
Ïåðåéä¼ì ê òðåòüåìó âîïðîñó
ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ.
Òåîðåìà 51. (èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì).
Ïóñòü íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèè u è v äèôôåðåíöèðóåìû è ñóùåñòâóåò îäèí
èç èíòåãðàëîâ ∫ u′ (x) v(x) dx èëè ∫ u(x) v ′ (x) dx. Òîãäà íà ýòîì ïðîìåæóòêå ñóùåñòâóåò
è äðóãîé. Ïðè÷¼ì:
′
′
∫ u(x) v (x) dx = u(x) v(x) − ∫ u (x) v(x) dx.
Äîêàçàòåëüñòâî.
′
(u v − ∫ u′ v dx) = u′ v + u v ′ − u′ v = u v ′
′
′
Îòêóäà, ïî ñâîéñòâó 2., ïîëó÷àåì: ∫ u v dx = u v − ∫ u v dx + C .
Òåîðåìà 52. (çàìåíà ïåðåìåííîé â íåîïðåäåë¼ííîì èíòåãðàëå). Åñëè íà íåêîòîðîì
ïðîìåæóòêå Ix âûïîëíåíî: ∫ f (x) dx = F (x) + C , à φ ∶ It ↦ Ix äèôôåðåíöèðóåìàÿ
ôóíêöèÿ. Òîãäà íà It âûïîëíåíî ðàâåíñòâî:
′
a
∫ (f ○ φ)(t) φ (t) dt = (F ○ φ)(t) + C .
a Èëè
′
∫ f (φ(t)) ⋅ φ (t) dt = F (φ(t)) + C .
Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè
Äîêàçàòåëüñòâî.
125
Ïî òåîðåìå î ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè:
((F ○ φ)(t) + C) = (F ′ ○ φ)(t) ⋅ φ′ (t) = (f ○ φ)(t) ⋅ φ′ (t)a .
′
Îòêóäà, ïî ñâîéñòâó 2. ïåðâîîáðàçíîé âûòåêàåò òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.
a Ò.å. (F (φ(t)) + C)′ = F ′ (φ(t)) ⋅ φ′ (t) = f (φ(t)) ⋅ φ′ (t).
Åñëè òðàêòîâàòü dx êàê äèôôåðåíöèàë, óòâåðæäåíèå ïîñëåäíåé òåîðåìû
′
ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì x = φ(t). Òîãäà dx = φ (t) dt.
′
Ôîðìàëüíûé ïåðåõîä îò t ê x â èíòåãðàëå ∫ f (φ(t)) ⋅ φ (t) dt äà¼ò ∫ f (x) dx.
Âû÷èñëÿÿ ýòîò èíòåãðàë ïî ïåðåìåííîé x, ïîëó÷èì F (x) + C , ò.å. F (φ(t)) + C .
Ýòè ðàññóæäåíèÿ îáúÿñíÿþò ñìûñë òåðìèíà ¾çàìåíà
ïåðåìåííîé¿ è ïîçâîëÿ-
þò óïðîñòèòü ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ôîðìóëû, õîòÿ îíè îñíîâàíû ëèøü
íà èíòóèòèâíîì ïîíèìàíèè dx êàê äèôôåðåíöèàëà.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2 ôóíêöèÿ φ èìååò îáðàòíóþ, òî, ïîëàãàÿ â
èíòåãðàëå ∫ f (x) dx : x = φ(t), dx = φ′ (t) dt, ïîëó÷àåì:
′
∫ f (x) dx = ∫ f (φ(t)) φ (t) dt.
Âû÷èñëÿÿ ýòîò èíòåãðàë ïî ïåðåìåííîé t, ïîëó÷èì G(t) + C , ò.å. G(φ−1 (x)) + C .
Ïðèìåð 1.1.
∫ ln x dx = x ⋅ ln x − ∫
x
x
dx = x ⋅ ln x − x + C.
Ïðèìåð 1.2.
∫
2
t dt
t2 +a2
dt = 12∫
d(t2 +a2 )
t2 +a2
dt = 12∫
dx
∣
x
x=t2 +a2
=
1
2
ln ∣x∣∣
x=t2 +a2
+C =
1
2
ln (t2 + a2 ) + C.
Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè
Îïðåäåëåíèå. Êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè
íàçûâàþòñÿ âûðàæåíèÿ âèäà:
z = x + iy,
ãäå
x = Rez, y = Imz ∈ R, i2 = −1.
z1 = z2 ⇐⇒ Rez1 = Rez2 è Imz1 = Imz2 Íà ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (C) íåò
îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà.
z = x+i y íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñ√
ëî ∣z∣ = x2 + y 2 . Äëÿ êàæäîãî z = x + i y ∈ C îïðåäåëåíî ñîïðÿæ¼ííîå åìó êîìïëåêñíîå
÷èñëî : z = x − i y .
Îïðåäåëåíèå. Ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
a
Âûïîëíåíû ðàâåíñòâà : z = z ;
a Óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðîâåðêîé.
z1 ± z2 = z 1 ± z 2 ;
z1 ⋅ z2 = z 1 ⋅ z 2 ;
z ⋅ z = ∣z∣2 .
Ñâîéñòâà ñîïðÿæåíèÿ.
Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè
126
Ïóñòü z1 = x1 + i y1 , z2 = x2 + i y2 . Òîãäà:
Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè.
z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i (y1 ± y2 );
z1 ⋅ z2 = (x1 ⋅ x2 − y1 ⋅ y2 ) + i (x1 ⋅ y2 + x2 ⋅ y1 );
z1
z2
=
z1 ⋅ z 2
z2 ⋅ z 2
=
(x1 +iy1 ) ⋅ (x2 −iy2 )
2
x2
2 +y2
=
x1 x2 +y1 y2
2
x2
2 +y2
+x2 y1
+ i −x1xy22+y
.
2
2
2
Ôàêòè÷åñêè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè íàçûâàþòñÿ óïîðÿäî÷åííûå ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (x, y), íà ìíîæåñòâå êîòîðûõ ââåäåíû ïðàâèëà ñðàâíåíèÿ,
ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, à ÷èñëà âèäà (x, 0) îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè.
Îïðåäåëåíèå. Êîìïëåêñíûì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè
Pn (z) = A0 + A1 z + . . . + An z n ,
Êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Pn (z)
n ∈ Z+ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ
z ∈ C, Ak ∈ C, k = 0, n, An ≠ 0
íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî z0 òàêîå, ÷òî Pn (z0 ) = 0.
Ìíîãî÷ëåí Pn (z) ìîæíî ðàçäåëèòü íà îäíî÷ëåí (z − z0 ), ò.å. ïðåäñòàâèòü
Pn (z) â âèäå:
Pn (x) = (z − z0 ) Qn−1 (z) + r,
ãäå ÷àñòíîå Qn−1 ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n − 1, à r ∈ Z îñòàòîê.
Òåîðåìà 53. (Òåîðåìà Áåçó). ×èñëî z0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Pn (z) òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà Pn (z) äåëèòñÿ íà (z − z0 ) áåç îñòàòêà.
Åñëè ìíîãî÷ëåí Pn (z) ïðè íåêîòîðîì k ∈ N, k ⩽ n ïðåäñòàâ
èì â âèäå:
Pn (z) = (z − z0 )k Qn−k (z), è íå ïðåäñòàâ
èì â âèäå
Îïðåäåëåíèå.
Pn (z) = (z − z0 )k+1 Qn−k−1 (z)a ,
òî z0 íàçûâàþò êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Pn (z) êðàòíîñòè k. Ïðè k = 1 ÷èñëî z0 íàçûâàþò
ïðîñòûì êîðíåì.
a Ò.å. Q
n−k (z0 ) ≠ 0
Òåîðåìà 54. (îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû). Âñÿêèé îòëè÷íûé îò êîíñòàíòû ìíîãî÷ëåí
èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí êîðåíü â ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò
ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè ìíîãî÷ëåíà Pn (z):
Pn (z) = An (z − z1 )k1 ⋅ (z − z2 )k2 ⋅ . . . ⋅ (z − zℓ )kℓ ,
ℓ
∑ ki = n,
i=1
ãäå z1 , . . . , zℓ êîðíè ìíîãî÷ëåíà Pn (z), êðàòíîñòè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííî
ðàâíû: k1 , . . . , kℓ .
Ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íà ïðîñòåéøèå
127
Ïóñòü Pn (z) ìíîãî÷ëåí ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, è z0 = a + i b,
b ≠ 0, åãî êîðåíü êðàòíîñòè k. Òîãäà z 0 = a − i b òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè k.
Ëåììà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èìååì,
Pn (z) = (z − z0 )k Qn−k (z) ⇔ a ⇔ Pn (z) = (z − z0 )k Qn−k (z) ⇔ b ⇔
⇔ Pn (z) = (z − z 0 )k Qn−k (z),
ãäå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà Qn−k ÿâëÿþòñÿ ñîïðÿæ¼ííûìè ê êîýôôèöèåíòàìè ìíîãî÷ëåíà Qn−k . Çàìåíèâ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå z íà z , ïîëó÷àåì,
÷òî Pn (z) = (z − z 0 ) Qn−k (z). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî z 0 êîðåíü Pn , êðàòíîñòè
k
ìåíüøå k (êðàòíîñòè z0 )c .
íå
Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè z 0 êîðåíü ìíîãî÷ëåíà Pn êðàòíîñòè
k, òî z 0 = z0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì Pn êðàòíîñòè íå ìåíüøå k. Ñëåäîâàòåëüíî,
êðàòíîñòè z0 è z 0 ñîâïàäàþò.
a Ìíîãî÷ëåí Q
n−k (z) ìîæåò èìåòü óæå íåäåéñòâèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû.
b Ñâîéñòâà ñîïðÿæåíèÿ.
c Âîçìîæíî, ìíîãî÷ëåí Q
n−k èìååò êîðåíü z 0 .
Ïðè z0 = a + ı b èìååì:
(z − z0 ) (z − z 0 ) = (z − a − ı b) (z − a + ı b) = (z − a)2 + b2 = z 2 − 2az + a2 + b2 = z 2 + pz + q,
ãäå D =
p2
4
− q = a2 − (a2 + b2 ) = −b2 < 0.
Ó÷èòûâàÿ ëåììó 1 è ïîñëåäíåå çàìå÷àíèå, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî äëÿ
ìíîãî÷ëåíà Pn ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè:
Pn (z) = An (z − a1 )α1 ⋅ . . . ⋅ (z − aℓ )αℓ ⋅ (z 2 + p1 z + q1 )β1 ⋅ . . . ⋅ (z 2 + ps z + qs )βs ,
ℓ
s
i=1
j=1
ãäå ∑ αi + 2 ∑ βj = n, An ∈ R, ai äåéñòâèòåëüíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà Pn , αi ∈ N
èõ êðàòíîñòè; z + pj z + qj = (z − zj ) (z − z j ),
2
βj ∈ N èõ êðàòíîñòè.
3
Imzj ≠ 0 êîìïëåêñíûå êîðíè Pn ,
Ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íà
ïðîñòåéøèå
Âñå ìíîãî÷ëåíû äàëåå èìåþò ëèøü âåùåñòâåííûå êîýôôèöèåíòû.
Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü
åñëè degP < degQa .
Îïðåäåëåíèå.
P
Q
(P , Q ìíîãî÷ëåíû) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé,
a Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà P ìåíüøå ñòåïåíè Q.
Ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íà ïðîñòåéøèå
128
Íåïðàâèëüíóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü (äåëåíèåì) â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà
è ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè (âîçìîæíî íóëåâîé, åñëè äåëåíèå ïðîøëî áåç
îñòàòêà).
Ïóñòü äàëåå
P
Q
ïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü, êðàòíîñòè α ⩾ 1 ìíîãî÷ëåíà
̃ , è Q(a)
̃
Q, ò.å. Q = (z − a)α ⋅ Q(z)
≠ 0.
̃(z)
P (z)
P
A
Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå: Q(z)
= (z−a)
, ãäå A ∈ R, à äðîáü
α + (z−a)α−1 Q(z)
̃
Ëåììà.
̃(z)
P
̃
(z−a)α−1 Q(z)
ïðàâèëüíàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðè ∀A ∈ R èìååì:
P (z)
Q(z)
−
A
(z−a)α
=
̃
P (z)−A Q(z)
.
̃
(z−a)α ⋅Q(z)
(1)
Âûáåðåì A èç óñëîâèÿ, ÷òîáû a áûëî êîðíåì ÷èñëèòåëÿ ïðàâîé ÷àñòè, ò.å.
A=
P (a)
.
̃
Q(a)
̃
Òîãäà ïî òåîðåìå Áåçó: P (z)−A Q(z)
= (z −a) P̃(z). Ïîäñòàâëÿÿ äàííîå
ðàâåíñòâî â ôîðìóëó (1), è ñîêðàùàÿ ïîñëåäíþþ äðîáü íà (z − a), ïîëó÷àåì
òðåáóåìîå.
Ëåììà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî z0 = a + ı b, b ≠ 0 êîðåíü, êðàòíîñòè β ⩾ 1 ìíîãî÷ëåíà Q,
ò.å. ïðè z 2 + pz + q = (z − z0 )(z − z 0 ) âûïîëíåíî:
̃
Q(z) = (z 2 + pz + q)β Q(z),
Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå:
ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü
Äîêàçàòåëüñòâî.
P (z)
Q(z)
̃(z)
P
̃
(z 2 +pz+q)β−1 Q(z)
=
̃ + ı b) ≠ 0.
Q(a
M z+N
(z 2 +pz+q)β
+
̃(z)
P
,
̃
(z 2 +pz+q)β−1 Q(z)
ãäå M, N ∈ R, à
ïðàâèëüíàÿ.
Ïðè ∀M, N ∈ R èìååì:
P (z)
Q(z)
−
M z+N
(z 2 +pz+q)β
=
̃
P (z)−(M z+N ) Q(z)
.
̃
(z 2 +pz+q)β Q(z)
(2)
Âûáåðåì M è N òàê, ÷òîáû ÷èñëèòåëü ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2) äåëèëñÿ
íà (z + pz + q), ò.å., ÷òîáû a + ı b ÿâëÿëîñü åãî êîðíåì. Èìååì,
2
̃ + ı b) = 0 ⇐⇒ M (a + ı b) + N =
P (a + ı b) − (M (a + ı b) + N ) Q(a
P (a+ı b)
.
̃
Q(a+ı
b)
Îòêóäà, ñîïîñòàâëÿÿ äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè, ïîëó÷àåì:
M=
1
b
P (a+ı b)
⋅ Im [ Q(a+ı
],
̃
b)
P (a+ı b)
N = Re [ Q(a+ı
] − M a;
̃
b)
Ïóñòü P è Q ìíîãî÷ëåíû ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè;
âèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü.
Ëåììà.
Q(z) = (z − a1 )α1 ⋅ . . . ⋅ (z − aℓ )αℓ ⋅ (z 2 + p1 z + q1 )β1 ⋅ . . . ⋅ (z 2 + ps z + qs )βs
P
Q
ïðà-
Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
Òîãäà
P (z)
Q(z)
ℓ αi −1
=∑ ∑
i=1 k=0
129
s βj −1
+∑ ∑
Aik
(z−ai )αi −k
j=1 m=0
Mjm z+Njm
β −m ,
(z 2 +pj z+qj ) j
(3)
Aik , Mjm , Njm ∈ R.
Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì ìíîãîêðàòíîì
Äîêàçàòåëüñòâî.
ïðèìåíåíèè ëåìì 2, 3. Èìåííî, ïðèìåíÿåì ñíà÷àëà ëåììó 2 ïî îòíîøåíèþ
ê êîðíþ a1 , α1 ðàç, çàòåì ëåììó 2 ïî îòíîøåíèþ ê êîðíþ a2 , α2 ðàç è ò.ä.
Îïðåäåëåíèå.
Ðàöèîíàëüíûå äðîáè âèäà:
a, p, q, A, M, N ∈ R;
p2
4
A
,
(z−a)n
A≠0 è
M z+N
,
(z 2 +pz+q)n
M 2 + N 2 ≠ 0; n ∈ N,
− q < 0, íàçûâàþòñÿ ïðîñòåéøèìè ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè.
Ïðè íàõîæäåíèè êîýôôèöèåíòîâ Aik , Mjm , Njm â ðàçëîæåíèè (3) ïðàâèëüíîé
ðàöèîíàëüíîé äðîáè íà ïðîñòåéøèå, â ñëó÷àå êîíêðåòíîé äðîáè
P
Q
îáû÷íî ïðèìå-
ìåòîä íåîïðåäåë¼ííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Îí ñîñòîèò â òîì, ÷òî çàïèñûâàþò ðàçëîæåíèå (3) ñ íåîïðåäåë¼ííûìè êîýôôèöèåíòàìè Aik , Mjm , Njm , ïðèâîäÿò âñå äðîáè
íÿþò
ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, è îòáðàñûâàþò åãî. Èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ íàõîäÿò âñå íóæíûå êîýôôèöèåíòû, ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ.
4
Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
Êàê ìû âèäåëè âûøå, âîïðîñ èíòåãðèðîâàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñâîäèòñÿ ê
âîïðîñó èíòåãðèðîâàíèÿ ïðîñòåéøèõ äðîáåé.
1. Èíòåãðàë ∫
ëè÷íîìó.
dx ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè t = x − a ñâîäèòñÿ ê òàá-
A
(x−a)n
2.
I=∫
=
M
2
M x+N
x2 +px+q
∫
dt
t2 +a2
=
Iλ=∫
M x+N
(x2 +px+q)λ
1
a2
∫
(2x+p) dx
x2 +px+q
ln (x + px + q) + (N −
2
=
a
dx = M
2 ∫
dt
(t/a)2 +1
M
2
=
1
a
ln (x2 + px + q) +
∫
d(t/a)
(t/a)2 +1
=
1
a
+ (N −
Mp
)∫
2
Mp
)∫
2
dx
x2 +px+q
p
d(x+ )
2
√
2
p 2 ⎛
p2 ⎞
⎟
(x+ ) +⎜ q−
2
4 ⎠
⎝
N −(M p)/2
√
p2
q−
4
x+
arctg √
p
2
q−
p2
4
=
q−
=a=
+ C.
arctg at .
3.
dx = M
2 ∫
= −M
2
2x+p
dx
(x2 +px+q)λ
1
1
λ−1 (x2 +px+q)λ−1
+ (N −
+ (N −
Mp
)∫
2
Mp
)∫
2
dx
√
2 λ
⎛
p 2 ⎛
p2 ⎞ ⎞
⎜(x+ ) +⎜ q−
⎟ ⎟
2
4
⎝
⎝
⎠ ⎠
p
d(x+ )
2
√
2 λ
⎛
p 2 ⎛
p2 ⎞ ⎞
⎟ ⎟
⎜(x+ ) +⎜ q−
2
4
⎝
⎠ ⎠
⎝
=
p2
4
> 0.
Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ êëàññîâ ôóíêöèé
130
dt
Îñòà¼òñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàë Jλ =∫ (t2 +a
2 )λ . Äëÿ íåãî èìååì:
Jλ =∫
t2 +a2 −t2
(t2 +a2 )λ
dt
=1
(t2 +a2 )λ a2 ∫
=
1
J
a2 λ−1
+
=
−
1
J
a2 λ−1
t
2a2 (λ−1)(t2 +a2 )λ−1
−
1
2a2
d(t +a )
a
∫ t (t2 +a2 )λ = =
2
2
1
J .
2a2 (λ−1) λ−1
Îòêóäà,
Jλ =
t
2a2 (λ−1)(t2 +a2 )λ−1
Êðîìå òîãî, J1 = ∫
+
2λ−3
J ;
2a2 (λ−1) λ−1
dt
t2 +a2
=
1
a
arctg at + C.
Äàëåå òðåáóåòñÿ ñäåëàòü îáðàòíóþ ïîäñòàíîâêó: t = x +
p
,
2
a=
√
q−
p2
.
4
a d(t2 +a2 ) = d ( (t2 +a2 )−λ+1 )
−λ+1
(t2 +a2 )λ
Èòàê, èíòåãðàëû îò âñåõ ïðîñòåéøèõ äðîáåé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè. Òåì ñàìûì ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé òåîðåìå, èñ÷åðïûâàþùåé ïðîáëåìó èíòåãðèðîâàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé.
Òåîðåìà 55.
5
Âñÿêàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü èíòåãðèðóåìà â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.
Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ êëàññîâ ôóíêöèé
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðèðóåìîñòè â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ íåêîòîðûõ âûðàæåíèé ìû áóäåì ïîñðåäñòâîì ñïåöèàëüíî ïîäîáðàííîé çàìåíû ñâîäèòü èíòåãðàë îò ðàññìàòðèâàåìûõ âûðàæåíèé ê èíòåãðàëó îò ðàöèîíàëüíîé äðîáè (èíòåãðèðóåìîñòü êîòîðûõ äîêàçàíà). Ïðè ýòîì, ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ óêàçàííîé ñïåöèàëüíîé ïîäñòàíîâêîé.
1.
Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé;
Ðàññìîòðèì ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ âèäà:
R(sin x, cos x) =
Pn (sin x, cos x)
.
Qm (sin x, cos x)
Èíòåãðàë îò ýòîé ôóíêöèè ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ñëåäóþùåé ïîäñòàíîâêîé t = tg
x
2
sin x =
(óíèâåðñàëüíàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ çàìåíà ):
x
x
2 sin cos
2
2
x
x
2
2
cos
+sin
2
2
=
2 tg
x
2
x
2
1+tg2
=
2t
;
1+t2
cos x =
x = 2 arctg t, dx =
cos2
cos2
x
−sin2
2
x
+sin2
2
x
2
x
2
=
1−tg2
1+tg2
x
2
x
2
=
1−t2
;
1+t2
2 dt
.
1+t2
Ñëåäîâàòåëüíî,
2
2t
1−t
∫ R(sin x, cos x) = ∫ R ( 1+t2 , 1+t2 )
2 dt
.
1+t2
Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ îò îäíîé ïåðåìåííîé.
2.
Èíòåãðèðîâàíèå äðîáíî-ëèíåéíûõ èððàöèîíàëüíîñòåé;
Ðàçëè÷íûå ïðèìåðû èç òåîðèè íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
131
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ âèäà:
R (x,
Èíòåãðàë
√
t =
n
îò
√
n
òàêîé
ãäå a, b, c, d ∈ R, ad − bc ≠ 0.
ôóíêöèè
ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ
ïîäñòàíîâêîé
ax+b
:
cx+d
tn =
x=
ax+b
;
cx+d
Ïîýòîìó:
∫ R (x,
3.
ax+b
),
cx+d
√
n
ax+b
)
cx+d
dtn −b
,
a−ctn
dx =
(ad−bc)ntn−1
(a−ctn )2
n
dt −b
= ∫ R ( a−ct
n , t)
dt.
(ad−bc)ntn−1
(a−ctn )2
dt.
Èíòåãðèðîâàíèå êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé;
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ âèäà:
R (x,
√
ax2 + bx + c) , ãäå a, b, c ∈ R, è ax2 + bx + c > 0 ∀x ∈ R.
Ñäåëàåì ñëåäóþùóþ ïîäñòàíîâêó:
t=
√
√
ax2 + bx + c + x a
(ïåðâàÿ ïîäñòàíîâêà Ýéëåðà)
√
√
√
ax2 + bx + c = t − x a ⇐⇒ bx + c = t2 − 2 a tx ⇒
√ 2
√ 2
√
√
√
2
a t +bt+c a
a
√
⇒ x = 2√t a−c
, dx = 2 (2
ax2 + bx + c = a2t√+bt+c
,
dt,
t+b
a t+b)2
a t+b
√
√
√
√
√
2
2
a t +bt+c a
a t +bt+c a
t2 −c
2
∫ R (x, ax + bx + c) dx = ∫ R ( 2√a t+b , 2√a t+b ) 2 (2√a t+b)2 dt
Ïóñòü òåïåðü âûïîëíåíî
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ), x1 ≠ x2 .
Ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó
t=
√
√
ax2 +bx+c
x−x1
=
√
√
x−x
a √x−x21 (âòîðàÿ ïîäñòàíîâêà Ýéëåðà)
ax2 + bx + c = t (x − x1 ) ⇔ ax2 + bx + c = t2 (x − x1 )2 ⇐⇒
±
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
∶(x−x1 )
=a(x−x1 )(x−x2 )
⇐⇒ a(x − x2 ) = t (x − x1 ) ⇒ x =
2
Ô⇒ ∫ R (x,
6
√
dx =
−ax2 +x1 t2
,
t2 −a
2a (x1 −x2 ) t
(t2 −a)2
√
ax2 + bx + c =
a (x1 −x2 )
t2 −a
t,
dt.
2
−x2 )
1t
ax2 + bx + c) dx = ∫ R ( −axt22+x
, a (xt21−a
t)
−a
2a (x1 −x2 ) t
(t2 −a)2
dt.
Ðàçëè÷íûå ïðèìåðû èç òåîðèè íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
Ïðèìåð 6.1. (ïðèìåð ôóíêöèè ñ ðàçðûâîì ïåðâîãî ðîäà, íå èìåþùåé ïåðâîîáðàçíîé)
⎧
⎪
⎪−1,
⎪
⎪
⎩ 1,
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = ⎨
x ⩽ 0,
x > 0.
Ðàçëè÷íûå ïðèìåðû èç òåîðèè íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
132
Îíà èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (−∞, 0) è (0, +∞):
⎧
⎪
⎪−x + C1 ,
F (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ x + C2 ,
x 0.
Ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ êîíñòàíò C1 è C2 ôóíêöèÿ F íå áóäåò èìåòü ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x = 0. Ò.ê. ýòî áóäåò òî÷êà ðàçðûâà (ïåðâîãî ðîäà) äëÿ
ôóíêöèè F (ïðè C1 ≠ C2 ), èëè òî÷êà íåñóùåñòâîâàíèÿ ïðîèçâîäíîé (èçëîìà) ôóíêöèè F (ïðè C1 = C2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè
f íå ñóùåñòâóåò íà íà îäíîì èíòåðâàëå, ñîäåðæàùåì òî÷êó x = 0.
Ïðèìåð 6.2. (ïðèìåð ôóíêöèè ñ ðàçðûâîì âòîðîãî ðîäà, íå èìåþùåé ïåðâîîáðàçíîé)
Ðàññìîòðèì íà îòðåçêå ôóíêöèþ:
⎧
1
⎪
⎪
⎪ ,
x
f (x) = ⎨
⎪
⎪ 0,
⎪
⎩
åñëè
x ≠ 0,
åñëè
x = 0.
Âî âñåõ òî÷êàõ ñåãìåíòà ïðÿìîé R, êðîìå x = 0 âûïîëíÿåòñÿ:
′
( ln ∣x∣ + C) =
1
.
x
 òî÷êå æå x = 0 ôóíêöèÿ ln ∣x∣ íå îïðåäåëåíà è ïðîèçâîäíîé â íóëå ó íå¼ íåò.
Äîîïðåäåëèòü ôóíêöèþ â òî÷êå x = 0 òàê, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà ïðîèçâîäíàÿ
äîîïðåäåë¼ííîé ôóíêöèè
⎧
⎪
⎪ln ∣x∣ + C1 ,
F (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ln x + C2 ,
åñëè x < 0,
åñëè x > 0.
íåëüçÿ, ò.ê. ïðè ëþáûõ âåùåñòâåííûõ C1 è C2 ôóíêöèÿ F îêàçûâàåòñÿ ðàçðûâíîé â íóëå è íå èìååò ïðîèçâîäíîé.
Ïðèìåð 6.3. (ïðèìåð ôóíêöèè ñ ðàçðûâîì âòîðîãî ðîäà, èìåþùåé ïåðâîîáðàçíóþ)
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
⎧
1
1
⎪
⎪
⎪2x sin − cos ,
x
x
f (x) = ⎨
⎪
⎪
0,
⎪
⎩
åñëè x ≠ 0,
åñëè x = 0,
èìåþùóþ â íóëå ðàçðûâ âòîðîãî ðîäà. Äëÿ íå¼ ïåðâîîáðàçíîé áóäåò ôóíêöèÿ
⎧
1
2
⎪
⎪
⎪x sin + C,
x
F (x) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩ C,
åñëè x ≠ 0,
åñëè x = 0.
, ãäå C = const.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî F ∈ C((a, b)), è c ∈ (a, b), à ôóíêöèÿ f ∶ (a, b) ↦
R íåïðåðûâíà â òî÷êå c. Ïóñòü òàêæå, F åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ f íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ
(a, c) è (c, b). Òîãäà F åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f è íà âñ¼ì èíòåðâàëå (a, b).
Óòâåðæäåíèå 6.1.
Èäåÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèìåðà:
âçÿòü ôóíêöèþ x2 sin x1 è
ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü å¼.
Ðàçëè÷íûå ïðèìåðû èç òåîðèè íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïî óñëîâèþ èìååì, ÷òî
F ′ (x) = f (x) ïðè x ∈ (a, c) ∪ (c, b).
Ñëåäîâàòåëüíî, îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷′
êå c è ÷òî F (c) = f (c).
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } → c − 0. Íà îòðåçêå [xn , c] äëÿ F âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Ëàãðàíæà î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ. Ïî ýòîé
òåîðåìå ∃ξn ∈ (xn , c):
F (xn ) − F (c)
= F ′ (ξn ) = f (ξn ).
xn − c
Ò.ê. xn < ξn < c, òî ïðè xn → c − 0 ïîëó÷àåì, ÷òî ξn → c − 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â
′
ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â òî÷êå c, ïîëó÷àåì F− (c) = f (c). Àíàëîãè÷íî,
′
′
áåðÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } → c + 0, ïîëó÷àåì F+ (c) = f (c). Îòêóäà, ∃F (c) è
′
F (c) = f (c).
Äîêàçàííîå óòâåðæäåíèå, áåçóñëîâíî, ýëåìåíòàðíî îáîáùàåòñÿ íà ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç îáúåäèíåíèÿ íåñêîëüêèõ èíòåðâàëîâ.
Ïðèìåð 6.4.
Ðåøåíèå.
Âû÷èñëèì èíòåãðàë ∫ ∣x∣ dx;
Äåéñòâèòåëüíî,
⎧
⎪
⎪− ∫ x dx,
∫ ∣x∣ dx = ⎨
⎪
⎪
⎩ ∫ x dx,
⎧
2
⎪
⎪−x /2 + C1 ,
= ⎨ 2
⎪
⎪
x≥0
⎩ x /2 + C2 ,
x 0 çäåñü èìååòñÿ ââèäó f ′ (x) > 0 äëÿ ∀x ∈ (a, b)
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ëåâûé ñòîëáåö (äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ) è òðåòüÿ ñòðîêà óæå
îáñóæäàëèñü ïðè ðàññìîòðåíèè òåîðåìû Ëàãðàíæà:
f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (ξ) ⋅ (x2 − x1 ) , ãäå x1 , x2 ∈ (a, b), ξ ∈ (x1 , x2 ).
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
>0 ïðè x1 0, òî f (x+∆x)−f (x)>0, à åñëè ∆x < 0, òî f (x+∆x)−f (x) 0 ïðè x ∈
U− (x0 )a è f ′ (x) < 0 ïðè x ∈ U+ (x0 ). Òîãäà èç òåîðåìû Ëàãðàíæà:
f (x) − f (x0 ) = f ′ (ξ)(x − x0 ) < 0.
○
Îòêóäà, f (x) − f (x0 ) < 0 äëÿ ∀x ∈U(x0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, x0 òî÷êà
ñòðîãîãî
ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà.
a U− (x ) = {x ∈ U(x ) ∣ x < x }, U+ (x ) = {x ∈ U(x ) ∣ x > x }.
0
0
0
0
0
0
Çàì.
Åñëè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó x0 ïðîèçâîäíàÿ f
′
çíàê íå ìå-
íÿåò, òî ó ôóíêöèè f â x0 ýêñòðåìóìà íåò (ñì. óòâåðæäåíèå îá
óñëîâèÿõ ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè).
Óñëîâèÿ ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè óñëî-
âèÿìè ýêñòðåìóìà.
Ïðèìåð 1.1.
Ò.ê. 2 + sin
1
x
⎧
2
1
⎪
⎪1 − x (2 + sin x )
f (x) = ⎨
⎪
⎪
1
⎩
, x ≠ 0,
, x = 0.
> 0, òî f (0) = fmax = 1. Îäíàêî,
f ′ (x) = −2x (2 + sin
1
1
1
1
) − x2 cos (− 2 ) = cos + O(x),
x
x
x
x
ò.å. çíàê f ′ ñîâïàäàåò ñî çíàêîì cos x1 . Ïîýòîìó, f íå âîçðàñòàåò è íå óáûâàåò â ëþáîé
ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 = 0 ñëåâà è ñïðàâà.
Óñëîâèÿ ìîíîòîííîñòè. Òî÷êè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà
138
Ïðèìåð 1.2.
⎧
2
1
⎪
⎪x sin x , x ≠ 0,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
0
, x = 0.
⎩
Òî÷êà x0 = 0 íå ÿâëÿåòñÿ íè òî÷êîé ýêñòðåìóìà, íè òî÷êîé âîçðàñòàíèÿ, íè òî÷êîé
óáûâàíèÿ ôóíêöèè f .
Óòâåðæäåíèå 1.4. (äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òî÷åê ñòðîãîãî ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà, òî÷åê
âîçðàñòàíèÿ/óáûâàíèÿ â òåðìèíàõ ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ).
f ′ (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0,
Ïóñòü
f (n) (x0 ) ≠ 0.
Òîãäà
1. ïðè ÷¼òíîì n = 2k, x0 òî÷êà ñòðîãîãî ýêñòðåìóìà (ñòðîãîãî ìèíèìóìà ïðè
f (2k) (x0 ) > 0, ñòðîãîãî ìàêñèìóìà ïðè f (2k) < 0);
2. ïðè íå÷¼òíîì n = 2k + 1, x0 òî÷êà âîçðàñòàíèÿ (òî÷êà óáûâàíèÿ)a ïðè
f (2k+1) (x0 ) > 0 (f (2k+1) (x0 ) < 0).
a òî÷íåå, äàæå òî÷êà ïåðåãèáà, ñì. äàëåå
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå
Ïåàíî, ïîëó÷àåì:
f (x)−f (x0 ) =
Ïîñêîëüêó f
(n)
f (n) (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )n + o((x − x0 )n )a=(
+α(x))(x − x0 )n .
n!
n!
(x0 ) ≠ 0, à α(x) ÐÐÐ→ 0, òî ñóììà
x→x0
(∗)
f (n) (x0 )
+ α(x) èìååò çíàê
n!
f (n) (x0 ), êîãäà x äîñòàòî÷íî áëèçêî ê x0 . Åñëè n íå÷¼òíî, òî ïðè ïåðåõîäå
n
÷åðåç x0 ñîìíîæèòåëü (x − x0 ) ìåíÿåò çíàê (ñ - íà +), è òîãäà èçìåíèòñÿ
çíàê âñåé ïðàâîé, à çíà÷èò è ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (∗). Çíà÷èò ïðè n =
2k + 1 ïîëó÷àåì: x0 òî÷êà âîçðàñòàíèÿ ïðè f (2k+1) (x0 ) > 0 è óáûâàíèÿ ïðè
f (2k+1) (x0 ) < 0. Ýêñòðåìóìà íåò.
Åñëè n ÷¼òíî, òî (x − x0 ) > 0 ïðè x ≠ x0 è, ñëåäîâàòåëüíî, â ìàëîé îêðåñòíîn
ñòè òî÷êè x0 çíàê ðàçíîñòè f (x)−f (x0 ), êàê âèäíî èç ðàâåíñòâà (∗) ñîâïàäàåò
ñî çíàêîì f
(n)
(x0 ).
a o((x − x )n ) = α(x) ⋅ (x − x )n , ãäå α(x) ÐÐÐ→ 0
0
0
x→x0
Óñëîâèÿ ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè. Ïóñòü
⎧
−1/x2
⎪
, x ≠ 0,
⎪e
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 0, x = 0.
−1/x2
Ò.ê. e
,
> 0 = f (0), òî x = 0 òî÷êà ìèíèìóìà, íî f (k) (0) = 0 äëÿ ∀k ∈ N.
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà
2
139
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà.
Ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé ââåðõ íà èíòåðâàëå (a, b) ⊂ E,
åñëè ∀x1 , x2 ∈ (a, b) è ∀λ ∈ (0, 1), âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:
Îïðåäåëåíèå.
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ⩾ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
Åñëè äàííîå íåðàâåíñòâî, ïðè x1 ≠ x2 ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì, òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ
ñòðîãî âûïóêëîé ââåðõ íà (a, b).
Ãåîìåòðè÷åñêè óñëîâèå f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ⩾ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) âûïóêëîñòè ââåðõ
ôóíêöèè f îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè ëþáîé äóãè ãðàôèêà ôóíêöèè ëåæàò íàä
õîðäîé, ñòÿãèâàþùåé ýòó äóãó.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè äëÿ ôóíêöèè f ∶ E ↦ R èìååò ìåñòî îáðàòíîå íåðàâåíñòâî, ò.å.
∀x1 , x2 ∈ (a, b) è ∀λ ∈ (0, 1), âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ⩽ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ),
òî f íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé âíèç íà èíòåðâàëå (a, b).a
a Èíîãäà âûïóêëûå ââåðõ ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ âîãíóòûìè, à âûïóêëûå âíèç âûïóêëûìè.
Äëÿ âûïóêëîé âíèç ôóíêöèè ñïðàâåäëèâû âñå çàìå÷àíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåä¼ííûì âûøå. Ïîñêîëüêó âñå äàëüíåéøèå ïîñòðîåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ îäèíàêî-
ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì âûïóêëûõ
âíèç ôóíêöèé. Êðîìå òîãî, åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç, òî −f âûïóêëà ââåðõ.
âî äëÿ ôóíêöèé, âûïóêëûõ ââåðõ èëè âíèç,
1
Ïóñòü äàëåå x1 < x2 . Ïîëîæèì x = λ x1 + (1 − λ) x2 . Ðåøèâ äàííîå óðàâíåíèå
îòíîñèòåëüíî λ ïîëó÷àåì:
λ=
x2 − x
,
x2 − x1
(1 − λ) =
x − x1
.
x2 − x1
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ⩽ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) ⇔ f (x) ⩽
x2 − x
x − x1
f (x1 ) +
f (x2 ) ⇔
x2 − x1
x2 − x1
Ãðàôèê ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà õîðäà, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè
(x1 , f (x1 )) è (x2 , f (x2 )).
⋅(x2 −x1 )
⇐⇒ (x2 − x1 )f (x) ⩽ (x2 − x)f (x1 ) + (x − x1 )f (x2 ) ⇔ 2
1
⋅ (x −x)(x−x
2
1)
⇐⇒
f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x)
⩽
,
x − x1
x2 − x
ïðè x1 < x < x2 , ∀x1 , x2 ∈ (a, b).
Íåðàâåíñòâî (○) ÿâëÿåòñÿ èíîé ôîðìîé çàïèñè îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîñòè
Ãåîìåòðè÷åñêè äàííîå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî óãëîâîé êîýôôèöèåíò õîðäû, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè (x1 , f (x1 )) è
(x, f (x)) íå áîëüøå óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà õîðäû, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè
(x, f (x)) è (x2 , f (x2 )).
âíèç ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b).
Ïîêàæåì, ÷òî âûïóêëûå ôóíêöèè äîëæíû áûòü äîñòàòî÷íî õîðîøèìè.
1 êîãäà λ ïðîáåãàåò èíòåðâàë (0, 1), x ïðîáåãàåò âñå òî÷êè (x , x ).
1 2
2x − x = x − x + x − x .
2
1
2
1
(○)
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà
140
Ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç íà èíòåðâàëå (a, b) òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà ∀x1 , x, x2 ∈ (a, b), x1 < x < x2 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
Ëåììà (î òð¼õ õîðäàõ).
O
O
f (x) − f (x1 ) 1 f (x2 ) − f (x1 ) 2 f (x2 ) − f (x)
⩽
⩽
.
x − x1
x2 − x1
x2 − x
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íåîáõîäèìîñòü. Îáúåäèíÿÿ íåðàâåíñòâà
O1 O2
è
ïîëó÷èì
íåðàâåíñòâî (○), êîòîðîå, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, ýêâèâàëåíòíî âûïóêëîñòè âíèç.
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç, λ ∈ (0, 1), è
x1 < x = λ x1 + (1 − λ) x2 < x2 .
Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîé âíèç ôóíêöèè:
f (x) ⩽ λ f (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ).
Îòêóäà, f (x) − f (x2 ) ⩽ λ (f (x1 ) − f (x2 )), è ïðè λ =
f (x2 ) − f (x) ⩾
x2 − x
:
x2 − x1
O
O1
f (x2 )−f (x1 ) f (x2 )−f (x)
x2 − x
(f (x2 ) − f (x1 )) ⇔
⩽
⇒ 2.
x2 − x1
x2 − x1
x2 − x
x−x1
Àíàëîãè÷íî, èç òîãî æå íåðàâåíñòâà
(x) ⩽ λ f (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ïîëó÷àåì:
1−λ= f
x −x
f (x) − f (x1 ) ⩽ (1 − λ)(f (x2 ) − f (x1 ))
⇐⇒
2
1
f (x)−f (x1 ) f (x2 )−f (x1 )
⩽
⇒
x − x1
x2 − x1
.
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü f ∶ (a, b) ↦ R, x0 ∈ (a, b) ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà,
F (x) =
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Òîãäà, åñëè f âûïóêëàÿ âíèç ôóíêöèÿ, òî F íå óáûâàåò íà (a, b) ∖ {x0 }. Ïðè÷¼ì
ñòðîãàÿ âûïóêëîñòü âëå÷¼ò çà ñîáîé ñòðîãîå âîçðàñòàíèå F .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü x, y ∈ (a, b) ∖ {x0 }, x < y . Äîêàæåì íåðàâåíñòâî
F (x) ⩽ F (y).
Ïîëüçóÿñü ëåììîé î òð¼õ õîðäàõ, ïîëó÷èì:
O1
O1
O2
Ô⇒
f (x) − f (x0 ) f (y) − f (x0 )
⩽
ïðè x0 < x < y;
x − x0
y − x0
Ô⇒
f (x0 ) − f (x) f (y) − f (x0 )
⩽
ïðè x < x0 < y;
x0 − x
y − x0
Ô⇒
f (x0 ) − f (x) f (x0 ) − f (y)
⩽
ïðè x < y < x0 .
x0 − x
x0 − y
Êàæäîå èç ýòèõ íåðàâåíñòâ ýêâèâàëåíòíî F (x) ⩽ F (y).
Òåîðåìà 56. (îá îäíîñòîðîííèõ ïðîèçâîäíûõ âûïóêëîé ôóíêöèè). Ïóñòü ôóíêöèÿ f
âûïóêëà âíèç íà îòðåçêå [a, b]. Òîãäà ∀x0 ∈ (a, b) ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå
ïðîèçâîäíûå f−′ (x0 ) è f+′ (x0 ). Ïðè÷¼ì, f−′ (x0 ) ⩽ f+′ (x0 ).
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà
141
F ∶ [a, b]∖{x0 } ↦ R, îïðåäåf (x) − f (x0 )
ë¼ííóþ ôîðìóëîé F (x) =
. Ò.ê. ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç íà [a, b],
x − x0
òî F ïî ñëåäñòâèþ èç ëåììû î òð¼õ õîðäàõ íå óáûâàåò. Â ñèëó ëåììû èç
òåîðåìû î òî÷êàõ ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè ∀x0 ∈ (a, b) ∃ lim F (x) è
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è âûøå, ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
x→x0 +0
∃ lim F (x), êîòîðûå è åñòü f+′ (x0 ) è f−′ (x0 ) ñîîòâåòñòâåííî.
x→x0 −0
Ïóñòü x, y ∈ [a, b], x < x0 < y . Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ èç ëåììû î òð¼õ õîðäàõ,
F (x) ⩽ F (y). Óñòðåìëÿÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå x è y ê x0 ñîîòâåòñòâåííî ñëåâà
′
′
è ñïðàâà, ïîëó÷èì f− (x0 ) ⩽ f+ (x0 ).
Àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ è äëÿ âûïóêëûõ ââåðõ ôóíêöèé.
Ñëåäñòâèå 1 (íåïðåðûâíîñòü âûïóêëûõ ôóíêöèé). Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà ïðîìåæóòêå , òî îíà íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (a, b).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x0 ∈ (a, b). Èç ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íûõ ïðîèçâîäíûõ
f±′ (x0 ) ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå x0 ñïðàâà è ñëåâà. Ïîýòîìó
f íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 .
√
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = 1 − 1 − x2 íà (−1, 1)a . Ïîëó÷àåì f ′ (x) =
Ô⇒ f+′ (−1) = −∞, f−′ (1) = +∞, x ∈ (−1, 1).
Ïðèìåð 2.1.
x
√
1 − x2
a èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç íà èíòåðâàëå
(−1, 1).
√
⎧
⎪
⎪1 − 1 − x2 ,
Ïðèìåð 2.2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = ⎨
⎪
⎪
2,
⎩
Ïîëó÷àåì, f ∈ C(−1, 1), íî f (x) ∉ C[−1, 1].
x ∈ (−1, 1),
x = −1 èëè x = 1.
Ïîëó÷åííûå ðàíåå óñëîâèÿ âûïóêëîñòè óäîáíû ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè
çðåíèÿ, íî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ íåîáõîäèìî èìåòü àíàëèòè÷åñêèé êðèòåðèé.
Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî
ôóíêöèÿ f ∶ (a, b) ↦ R äèôôåðåíöèðóåìà íà (a, b) è âûïóêëà
âíèç. Âûïèøåì íåðàâåíñòâî (○) (óñëîâèå âûïóêëîñòè âíèç), óñòàíîâëåííîå ðàíåå:
f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x)
,
⩽
x − x1
x2 − x
x1 < x < x2 .
Óñòðåìëÿÿ â í¼ì ïåðåìåííóþ x ïîî÷åð¼äíî ê x1 è x2 , ïîëó÷àåì:
f ′ (x1 ) ⩽
÷òî óñòàíàâëèâàåò
f (x2 ) − f (x1 )
⩽ f ′ (x2 ),
x2 − x1
ìîíîòîííîñòü ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ ñòðîãî âûïóêëîé ôóíêöèè íåðàâåíñòâî (○) ñòðîãîå, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Ëàãðàíæà, íàõîäèì:
f ′↗
f ′ (x1 ) ⩽ f ′ (ξ1 )
Ëàãð.
=
f (x) − f (x1 ) (○) f (x2 ) − f (x)
<
x − x1
x2 − x
Ëàãð.
=
x1 < ξ1 < x < ξ2 < x2 ,
ò.å.
f ′↗
f ′ (ξ2 ) ⩽ f ′ (x2 ),
ñòðîãàÿ âûïóêëîñòü âëå÷¼ò ñòðîãóþ ìîíîòîííîñòü ïðîèçâîäíîé.
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà
142
Èòàê, åñëè äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç íà èíòåðâàëå
(a, b), òî å¼ ïðîèçâîäíàÿ f ′ íå óáûâàåò íà (a, b), à â ñëó÷àå ñòðîãîé âûïóêëî′
ñòè âíèç å¼ ïðîèçâîäíàÿ f âîçðàñòàåò íà (a, b).
Äîêàæåì, ÷òî ýòî íå òîëüêî íåîáõîäèìîå, íî è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå âûïóêëîñòè
äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè. Â ñàìîì äåëå, äëÿ
a < x1 < x < x2 < b
ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà, ïîëó÷àåì:
f (x) − f (x1 )
= f ′ (ξ1 ),
x − x1
′
f (x2 ) − f (x)
= f ′ (ξ2 ), ãäå x1 < ξ1 < x < ξ2 < x2 ,
x2 − x
′
è åñëè f (ξ1 ) ⩽ f (ξ2 ), òî âûïîëíåíî óñëîâèå âûïóêëîñòè (○) (èëè ñòðîãîé âûïóê′
′
ëîñòè, åñëè f (ξ1 ) < f (ξ2 )). Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Óòâåðæäåíèå 2.1. (êðèòåðèé âûïóêëîñòè). Äëÿ òîãî, ÷òîáû äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà
èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèÿ f áûëà âûïóêëà âíèç íà ýòîì èíòåðâàëå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû å¼ ïðîèçâîäíàÿ f ′ íå óáûâàëà íà (a, b). Ïðè ýòîì ñòðîãîìó âîçðàñòàíèþ
f ′ ñîîòâåòñòâóåò ñòðîãàÿ âûïóêëîñòü âíèç ôóíêöèè f .
Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f ∶ (a, b) ↦ R, èìåþùàÿ íà (a, b) âòîðóþ
ïðîèçâîäíóþ, áûëà âûïóêëîé âíèç íà ýòîì èíòåðâàëå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
íà (a, b) âûïîëíÿëîñü f ′′ (x) ⩾ 0. Åñëè æå f ′′ (x) > 0 íà (a, b), òî ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
ãàðàíòèðîâàòü ñòðîãóþ âûïóêëîñòü âíèç ôóíêöèè f .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äàííîå ñëåäñòâèå ïîëó÷àåòñÿ ñîïîñòàâëåíèåì óòâåðæäåíèé
5 è 1.
Àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ
âûïóêëûõ ââåðõ ôóíêöèé.
Äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà
èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç íà ýòîì èíòåðâàëå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ ãðàôèê âñåìè ñâîèìè òî÷êàìè ëåæèò íå íèæå ëþáîé ïðîâåä¼ííîé ê íåìó
êàñàòåëüíîé. Ïðè ýòîì äëÿ ñòðîãî âûïóêëîñòè ôóíêöèè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå òî÷êè ãðàôèêà, çà èñêëþ÷åíèåì ñàìîé òî÷êè êàñàíèÿ, ëåæàëè ñòðîãî âûøå ýòîé
êàñàòåëüíîé.
Óòâåðæäåíèå 2.2. (ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ âûïóêëîñòè).
Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà íà
(a, b) è âûïóêëà âíèç. Âûáèðàåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x0 ∈ (a, b). Óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé ê Γf â òî÷êå (x0 , f (x0 )) èìååò âèä:
Äîêàçàòåëüñòâî.
yêàñ (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) Ô⇒
f ′ (ξ)(x−x0 )
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
⇒ f (x) − yêàñ (x) = f (x) − f (x0 ) −f ′ (x0 )(x − x0 ) = (f ′ (ξ) − f ′ (x0 ))(x − x0 ),
ãäå òî÷êà ξ ëåæèò ìåæäó x è x0 . Ò.ê. f âûïóêëà âíèç, òî çíàê ðàçíîñòè
f ′ (ξ) − f ′ (x0 ) ñîâïàäàåò ñî çíàêîì ðàçíîñòè x − x0 , ïîýòîìó f (x)−yêàñ (x) ⩾ 0 äëÿ
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà
143
∀x ∈ (a, b). Åñëè æå f ñòðîãî âûïóêëà, òî f ′ ↑ íà (a, b) è, çíà÷èò, f (x)−yêàñ (x) > 0
ïðè ∀x ∈ (a, b) ∖ {x0 }.
Äîñòàòî÷íîñòü. Åñëè äëÿ ∀t, x0 ∈ (a, b) âûïîëíåíî
f (t) − yêàñ (t) = f (t) − f (x0 ) − f ′ (x0 )(t − x0 ) ⩾ 0,
(∗)
f (t) − f (x0 )
f (t) − f (x0 )
⩽ f ′ (x0 )a ïðè t < x0 , è
⩾ f ′ (x0 ) ïðè t > x0 .
t − x0
t − x0
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ∀x1 , x0 , x2 ∈ (a, b) : x1 < x0 < x2 , ïîëó÷àåì:
òî
f (x0 ) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x0 )
⩽
,
x0 − x1
x2 − x0
Ïðè÷¼ì ñòðîãîå íåðàâåíñòâî â (∗) âëå÷¼ò ñòðîãîå íåðàâåíñòâî â ïîñëåäíåì
ñîîòíîøåíèè, êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ çàïèñüþ îïðåäåëåíèÿ ñòðîãî âûïóêëîé
âíèç ôóíêöèè.
a çíàê ìåíÿåòñÿ ïðè äåëåíèè íà (t − x ).
0
Îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü f ∶ ↦ R, x0 ∈ (a, b). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
○
○
1. ∃U(x0 ) ⊂ (a, b), òàêàÿ ÷òî íà ïîëóîêðåñòíîñòÿõ U− (x0 ) è U+ (x0 ) ôóíêöèÿ f
èìååò ðàçíûå íàïðàâëåíèÿ âûïóêëîñòè;
2. f ∈ C(x0 );
3. ∃f ′ (x0 ) ∈ R.
Òîãäà òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà ôóíêöèè f (èëè, ÷òî (x0 , f (x0 )) òî÷êà
ïåðåãèáà å¼ ãðàôèêà ).
Ò.î. â òî÷êå ïåðåãèáà ãðàôèê ôóíêöèè ìåíÿåò õàðàêòåð âûïóêëîñòè è ïåðåõîäèò ñ îäíîé ñòîðîíû êàñàòåëüíîé íà äðóãóþ.
Òî÷êè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ ìåíÿåò íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè, íî ãðàôèê íå
èìååò êàñàòåëüíîé (êàê â ñëó÷àå ðàçðûâà èëè èçëîìà), ê òî÷êàì ïåðåãèáà
íå îòíîñÿòñÿ.
Ïðèìåð 2.3.
f (x) = x3 , x = 0 òî÷êà ïåðåãèáà;
Óòâåðæäåíèå 2.3. (íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ òî÷êè ïåðåãèáà). Åñëè x0 òî÷êà ïåðåãèáà
ôóíêöèè f , òî ëèáî f ′ (x0 ) = ±∞, ëèáî êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ f ′′ (x0 ) íå ñóùåñòâóåò, ëèáî
f ′′ (x0 ) = 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òî÷êè ïåðåãèáà, ∃U(x0 ), òàêàÿ ÷òî
○
○
íà ïîëóîêðåñòíîñòÿõ U− (x0 ) è U+ (x0 ) íàïðàâëåíèÿ âûïóêëîñòè ðàçíûå.
Ïî êðèòåðèþ âûïóêëîñòè (Óòâ.5) ïðîèçâîäíàÿ f
′
ìîíîòîííà íà êàæäîì
èç ýòèõ èíòåðâàëîâ, ïðè÷¼ì õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè ïðîòèâîïîëîæíûé.
′
Çíà÷èò, åñëè â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà, òî îíà òàì èìååò ýêñòðåìóì.
a
Âîçìîæíî òàêæå, ÷òî f (x0 ) = ±∞.
′
′
Åñëè ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè f ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì, òî â ñèëó íåîá-
Àñèìïòîòû
144
õîäèìîãî óñëîâèÿ âíóòðåííåãî ýêñòðåìóìà, äîëæíî áûòü: ëèáî êîíå÷íîãî
′′
′′
çíà÷åíèÿ f (x0 ) íå ñóùåñòâóåò, ëèáî f (x0 ) = 0.
a Ò.å. ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íûì.
Óñëîâèÿ ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íûìè äëÿ òîãî,
÷òîáû x0 ÿâëÿëîñü òî÷êîé ïåðåãèáà.
Ïðèìåð 2.4.
f (x) = x4 ; f ′′ (0) = 12x2 ∣
x=0
= 0, íî x = 0 òî÷êà ìèíèìóìà.
Óòâåðæäåíèå 2.4. (äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òî÷êè ïåðåãèáà).
Åñëè:
○
1. ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 , äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà â U (x0 );
2. f ′′ (x0 ) = 0 èëè ∄f ′′ (x0 );
3. f ′′ (x1 ) ⋅ f ′′ (x2 ) < 0, x0 − δ < x1 < x0 < x2 < x0 + δ .a
Òîãäà x0 òî÷êà ïåðåãèáà ôóíêöèè f .
a Ò.å. f ′′ ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó x .
0
Äîêàçàòåëüñòâî.
○
Åñëè ∃f
′′
○
○
â U (x0 ), è âñþäó â U− (x0 ) îíà èìååò îäèí çíàê,
à âñþäó â U+ (x0 ) ïðîòèâîïîëîæíûé çíàê, òî ýòîãî
÷òîáû f
′
○
○
äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî,
â U− (x0 ) è U+ (x0 ) áûëà ìîíîòîííà, íî èìåëà ðàçíûé å¼ õàðàê-
òåð. Òîãäà â ñèëó êðèòåðèÿ âûïóêëîñòè â òî÷êå x0 ïðîèçîéä¼ò èçìåíåíèå
íàïðàâëåíèÿ âûïóêëîñòè, ò.å. x0 òî÷êà ïåðåãèáà.
Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü f ′′ (x0 ) = 0, f ′′′ (x0 ) ≠ 0. Òîãäà x0 òî÷êà ïåðåãèáà ôóíêöèè f .
3
Àñèìïòîòû.
○
○
Ïóñòü x0 ∈ R, ôóíêöèÿ f çàäàíà ïî êðàéíåé ìåðå íà U− (x0 ) èëè U+ (x0 ),
è äåéñòâóåò â R. Ïðÿìàÿ x = x0 íàçûâàåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ôóíêöèè f , a
åñëè ïðåäåëû f (x0 − 0) èëè f (x0 + 0) ðàâíû −∞ èëè +∞.
Îïðåäåëåíèå.
a Èëè âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà Γ .
f
Ïðèìåð 3.1.
f (x) = tg x, x =
π
+ πn, n ∈ Z âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû.
2
Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà ∀x > a (∀x < a). Åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå
÷èñëà k è b, ÷òî
(1)
f (x) = k x + b + o(1), x → +∞ (x → −∞),
Îïðåäåëåíèå.
òî ïðÿìàÿ y = k x + b íàçûâàåòñÿ íàêëîííîé àñèìïòîòîé ôóíêöèè f ïðè x → +∞ (ïðè
x → −∞).
Ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ÷àñòíûé ñëó÷àé íàêëîííîé ïðè k = 0, ò.å. ïðÿìàÿ
y = b ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ôóíêöèè f ïðè x → ±∞ òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà lim f (x) = b.
x→±∞
Àñèìïòîòû
145
sin x
f (x) = x +
. Ãðàôèê ôóíêöèè Γf ïåðåñåêàåò ñâîþ àñèìïòîòó y = x
x
áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç, ñêîëü óãîäíî äàëåêî.
Ïðèìåð 3.2.
Ñóùåñòâîâàíèå àñèìïòîòû ôóíêöèè f îçíà÷àåò, ÷òî ïðè x → +∞ (èëè x →
−∞) ôóíêöèÿ âåä¼ò ñåáÿ ¾ïî÷òè êàê ëèíåéíàÿ¿, ò.å. îòëè÷àåòñÿ îò ëèíåéíîé
íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ.
Òåîðåìà 57. (óðàâíåíèå íàêëîííîé àñèìïòîòû). Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà
(a, +∞). Ïðÿìàÿ y = kx + b (íàêëîííàÿ) àñèìïòîòà f ïðè x → +∞, òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà
f (x)
k = lim
, b = lim (f (x) − kx).
(∗)
x→+∞
x→+∞
x
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü y = kx + b àñèìïòîòà f , òîãäà
f (x) = kx + b + o(1),
x → +∞.
∣ ∶x
f (x)
b + o(1)
= k+
ÐÐÐ→ k. Äàëåå, f (x) − kx = b + o(1) ÐÐÐ→ b.
x→+∞
x→+∞
x
x
Îáðàòíî, åñëè âûïîëíåíû ðàâåíñòâà (∗), òî, îáîçíà÷èâ
Îòêóäà,
α(x) = f (x) − kx − b,
ïîëó÷èì, ÷òî α(x) ÐÐÐ→ 0 è f (x) = kx + b + o(1), x → +∞, ò.å. ïðÿìàÿ y = kx + b
x→+∞
àñèìïòîòà ôóíêöèè f .
Ìû ïîêàçàëè, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè f â âèäå:
f (x) = kx + b + o(1), x → +∞,
òî k è b âûðàæàþòñÿ ïî ôîðìóëàì (∗). Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè íàêëîííàÿ àñèìïòîòà
ïðè x → +∞ ñóùåñòâóåò, òî îíà
åäèíñòâåííàÿ.
Âñå àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è ïðè x → −∞.
Âûïóêëîñòü ââåðõ è âíèç èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ ôóíêöèé, èìåþùèõ íàêëîííûå àñèìïòîòû. Íàðèñîâàâ òàêèå ãðàôèêè, ìîæíî
ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âûïóêëàÿ ââåðõ ôóíêöèÿ ïðèáëèæàåòñÿ ê ñâîåé àñèìïòîòå ñíèçó, à âûïóêëàÿ âíèç ñâåðõó.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∶ (a, +∞) ↦ R èìååò ïðè
x → +∞ àñèìïòîòó y = kx + b. Òîãäà, åñëè f âûïóêëà (ñòðîãî âûïóêëà) âíèç íà (a, +∞),
òî f (x) ⩾ kx + b (f (x) > kx + b) ïðè ∀x > a.
Òåîðåìà 58. (âûïóêëîñòü è àñèìïòîòà).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ
ñòðîãîé âûïóêëîñòè.
äîêàæåì ñòðîãîå
óáûâàíèå ôóíêöèè g íà (a, +∞), òî ïî òåîðåìå î ïðåäåëå ìîíîòîííîé ôóíêöèè
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ g(x) = f (x) − kx íà (a, +∞). Åñëè ìû
Ðàâåíñòâà (∗) ðàâíîñèëüíû
ðàâåíñòâó (1).
Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ñ ïîìîùüþ âûïóêëîñòè
146
∀x ∈ (a, +∞) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
g(x) > lim g(t) = b, îòêóäà áóäåò ñëåäîâàòü, f (x) > kx + b.
t→+∞
Ïóñòü a < x < y . Ïîëîæèì F (t) =
f (t) − f (x)
, è çàìåòèì, ÷òî â ñèëó òåîðåìû 2:
t−x
f (t)
lim F (t) = lim
= k.
t→+∞
t→+∞
t
 ñèëó ñëåäñòâèÿ èç ëåììû î òð¼õ õîðäàõ, ôóíêöèÿ F ñòðîãî âîçðàñòàåò
íà (x, +∞). Òîãäà ïî òåîðåìå î ïðåäåëå ìîíîòîííîé ôóíêöèè èìååì: F (t) < k
ïðè ∀t > x, è â ÷àñòíîñòè F (y) < k. Îòêóäà,
f (y) − f (x)
< k ⇐⇒ f (y) − ky < f (x) − kx,
y−x
÷òî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó g(y) < g(x), ò.å. g ↓.
Äàííîå ñâîéñòâî âûïóêëûõ ôóíêöèé áûâàåò î÷åíü ïîëåçíûì ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôèêà ôóíêöèè.
Çàì.
4
Óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû âåðíû è ïðè x → −∞.
Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ñ ïîìîùüþ âûïóêëîñòè.
1. Èçó÷èì ôóíêöèþ f (x) = sin x íà (0,
π
);
2
f ′′ (x) = − sin x < 0 ïðè x ∈ (0, π2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f ñòðîãî âûïóê).
ëà ââåðõ íà èíòåðâàëå (0, π
2
x, ñîåäèíÿþùóþ òî÷êè (0, 0) è ( π2 , 1). Âñå âíóòðåííèå òî÷êè ýòîé õîðäû ëåæàò ñòðîãî íèæå ãðàôèêà f . Ïîýòîìó,
Ðàññìîòðèì õîðäó y =
2
π
sin x >
π
x,
2
x ∈ (0,
2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = (1 + x)
α
π
).
2
ïðè x ⩾ −1, x ≠ 0, α > 1;
f ′′ (x) = α(α − 1)(1 + x)α−2 > 0, ∀x > −1. Ïîýòîìó, f âûïóêëà âíèç ïðè x > −1
âñå å¼ òî÷êè ëåæàò (ñòðîãî) âûøå òî÷êè ëþáîé êàñàòåëüíîé, ïðîâåä¼ííîé â ëþáîé òî÷êå.
Ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ, ïðîâåä¼ííóþ â òî÷êå x = 0 : yêàñ = 1 + αx. Ïî
ñêàçàííîìó âûøå:
(1 + x)α = f (x) > yêàñ = 1 + αx,
Ïðè x = −1 íåðàâåíñòâî (1 + x)
α
ïðè x ∈ (−1, +∞) ∖ {0}.
> 1 + αx âûïîëíÿåòñÿ, ò.ê. α > 1. Ñëåäîâà-
òåëüíî, íàìè ïîëó÷åíî íåðàâåíñòâî:
(1 + x)α > 1 + α x,
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ
x ⩾ −1, x ≠ 0, α > 1.
îáîáùåíèåì íåðàâåíñòâà Áåðíóëëè íà ñëó-
Òðåáóåòñÿ ëè îòäåëüíî
ðàññìîòðåòü ñëó÷àé k = 0?
Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ñ ïîìîùüþ âûïóêëîñòè
147
÷àé íåöåëûõ α > 1.
3. Ïóñòü f âûïóêëàÿ âíèç íà èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèÿ. Òîãäà ∀n∈ N,
Íåðàâåíñòâî Éåíñåíà
∀x1 , . . . , xn ∈ (a, b), ∀0 ⩽ α1 , . . . , αn ⩽ 1; α1 + . . . + αn = 1, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
Éåíñåíà:
f (α1 x1 + . . . + αn xn ) ⩽ α1 f (x1 ) + . . . + αn f (xn ).
(∗∗)
Äëÿ ñòðîãî âûïóêëîé âíèç ôóíêöèè íåðàâåíñòâî (∗∗) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì, åñëè íå âñå ÷èñëà x1 , . . . , xn îäèíàêîâû, à ÷èñëà αi ñòðîãî ïîëîæèòåëüíû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ n = 2 íåðàâåíñòâî (∗∗) ñîâïàäàåò ñ íåðàâåíñòâîì èç
îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîé âíèç ôóíêöèè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äàííîå íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî íàáîðà n ⩾ 0
òî÷åê. Ðàññìîòðèì ÷èñëà:
x1 , . . . , xn+1 ∈ (a, b),
0 ⩽ α1 , . . . , αn+1 ⩽ 1,
α1 + . . . + αn+1 = 1.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî αn+1 < 1.
n
Îáîçíà÷èì y = ∑
k=1
αk xk
. Ò.ê.
1 − αn+1
n
n
n
αk a
αk xk
αk b
αk xk
>∑
= a = a, ∑
0, p > 1. Òîãäà f (x) = p(p − 1)x
> 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
f âûïóêëàÿ âíèç ôóíêöèÿ. Òîãäà èç íåðàâåíñòâà Éåíñåíà ïîëó÷àåì:
p
n
p
p−2
n
n
n
k=1
k=1
k=1
1/p
( ∑ αk xk ) ⩽ ∑ αk xpk ⇐⇒ ∑ αk xk ⩽ ( ∑ αk xpk )
k=1
.
n
Ïîëàãàÿ çäåñü q =
p
1 1
⇔ + = 1, αk =
p−1
q p
n
k=1
k=1
∑
k=1
êëàññè÷åñêîå íåðàâåíñòâî üëüäåðà:
n
bqk
n
1/p
n
bqk
, xk =
1/q
p
q
∑ ak bk ⩽ ( ∑ ak ) ⋅ ( ∑ bk )
k=1
ak ⋅ ∑ bqk
k=1
1/(p−1)
bk
, ïîëó÷àåì
Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë Ðèìàíà
1
Îïðåäåëåíèÿ. Îñíîâíûå ôàêòû.
Çàäà÷à î âû÷èñëåíèè ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè.
Îïðåäåëåíèå. Ðàçáèåíèåì îòðåçêà
[a, b] íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê
τ = {xk }n
k=0 ∶ a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
∆xk = xk − xk−1 äëèíà k-ãî îòðåçêà ðàçáèåíèÿ ; dτ ∶= max ∆xk äèàìåòð (ìåëêîñòü )
k
ðàçáèåíèÿ τ .
[a, b] íàçûâàåòñÿ ïàðà (τ, ξ), ãäå ξ =
(ξ1 , . . . , ξn ) ìíîæåñòâî ïðîèçâîëüíî çàôèêñèðîâàííûõ òî÷åê ξk ∈ [xk−1 , xk ].
Îïðåäåëåíèå. Ðàçìå÷åííûì ðàçáèåíèåì îòðåçêà
Îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü f ∶ [a, b] → R. Ñóììà
n
σ = στ (f, ξ) = ∑ f (ξk )∆xk
k=1
íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé Ðèìàíà ôóíêöèè f , îòâå÷àþùåé ðàçáèåíèþ (τ, ξ)
îòðåçêà [a, b].
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f ∶ [a, b] → R. ×èñëî I íàçûâàþò ïðåäåëîì èíòåãðàëüíûõ ñóìì ïðè
äèàìåòðå ðàçáèåíèÿ ñòðåìÿùåìñÿ ê íóëþ, è ïèøóò: I = lim στ (f, ξ), åñëè:
dτ →0
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) è ∀ξ Ô⇒ ∣στ (f, ξ) − I∣ < ε.
Ò.å., åñëè ∀ε > 0 ∃δ(ε), ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçìå÷åííîãî ðàçáèåíèÿ (τ, ξ),
äèàìåòð êîòîðîãî ìåíüøå, ÷åì δ , âíå çàâèñèìîñòè îò âûáîðà òî÷åê ξ ,
èíòåãðàëüíàÿ ñóììà στ (f, ξ) îòëè÷àåòñÿ îò I ìåíüøå, ÷åì íà ε.
 ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ïî Ðèìàíó íà [a, b], à ÷èñëî
I íàçûâàåòñÿ îïðåäåë¼ííûì èíòåãðàëîì (Ðèìàíà ) îò ôóíêöèè f ïî îòðåçêó [a, b].
Îáîçíà÷åíèå:
b
∫ f (x)dx; R[a, b] ìíîæåñòâî èíòåãðèðóåìûõ íà [a, b] ôóíêöèé.
a
Ïîíÿòèå ïðåäåëà èíòåãðàëüíûõ ñóìì íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîíÿòèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè, ò.ê. èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò ðàçìå÷åííîãî ðàçáèåíèÿ, à íå åãî äèàìåòðà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàññìàòðèâàòü
åãî, êàê ïðåäåë â ñòàðîì ïîíèìàíèè ýòîãî ñëîâà, òðåáóåòñÿ ââåñòè áîëåå
îáùåå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà, à èìåííî ïðåäåë ïî áàçå.
149
ÃËÀÂÀ
X
Ñåêöèÿ 1. Îïðåäåëåíèÿ. Îñíîâíûå ôàêòû.
Ñåêöèÿ 2. Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó
Ñåêöèÿ 3. Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 4. Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 5. Òåîðåìû î ñðåäíåì. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå
ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì
Ñåêöèÿ
6.
Ôîðìóëà
Íüþòîíà-Ëåéáíèöà. Îáîáùåíèÿ
Ñåêöèÿ 7. Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
Ñåêöèÿ 8. Èíòåãðàëüíûé
÷ëåí â ôîðìóëå Òåéëîðà
Îïðåäåëåíèÿ. Îñíîâíûå ôàêòû
150
Ïîñòàâèì ðÿä âîïðîñîâ:
1. Êàêèå ôóíêöèè èíòåãðèðóåìû ïî Ðèìàíó?
2. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò èíòåãðàë?
3. Êàê âû÷èñëèòü èíòåãðàë?
Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì στ (f, ξ) ïðè dτ → 0, òî ýòîò ïðåäåë åäèíñòâåíåí.
Òåîðåìà 59. (åäèíñòâåííîñòü îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà).
Äîêàçàòåëüñòâî. Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ñóùåñòâóþò äâà ïðåäåëà
I1 ≠ I2 . Òîãäà
ïî îïðåäåëåíèþ èìååì:
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) Ô⇒ ∣στ (f, ξ) − I1 ∣ <
Òîãäà:
∣I1 − I2 ∣ ⩽ ∣I1 − στ (f, ξ)∣ + ∣στ (f, ξ) − I2 ∣ <
ε
ε
, ∣στ (f, ξ) − I2 ∣ < .
2
2
ε ε
+ = ε.
2 2
Îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî I1 = I2 .
Òåîðåìà 60. (íåîáõîäèìîå óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè).
Åñëè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà
ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå [a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà í¼ì.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ôóíêöèÿ f íå îãðàíè÷åíà íà îòðåç-
êå [xk−1 , xk ] ⊂ [a, b]. Äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî ðàçáèåíèÿ τ îòðåçêà [a, b] ïðåäñòàâèì
ñóììó Ðèìàíà äàííîé ôóíêöèè â âèäå:
στ (f, ξ) = f (ξk )∆xk + ∑ f (ξi )∆xi , ãäå ξk ∈ [xk−1 , xk ].
1≤i≤n
i≠k
Âûáåðåì òàêæå ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì âñå îòìå÷åííûå òî÷êè ξi , êðîìå
ξk . Òîãäà ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî
áîëüøîé ïî ìîäóëþ çà ñ÷¼ò âûáîðà ξk . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè τ ñóììà στ (f, ξ) ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî áîëüøîé (ïî ìîäóëþ). Íà1
ïðèìåð, ∣στ (f, ξ)∣ >
. Ïîýòîìó, íå ñóùåñòâóåò ïðåäåëà lim στ (f, ξ), òî åñòü,
dτ →0
dτ
fíå èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
(óñëîâèå òåîðåìû
íà îòðåçêå [0, 1]:
íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì) Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Äèðèõëå
⎧
⎪
⎪1,
D(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
x ∈ [0, 1] ∩ Q,
x ∈ [0, 1] ∖ Q;
Äëÿ ýòîé ôóíêöèè è ïðîèçâîëüíîãî ðàçáèåíèÿ τ , ò.ê. â êàæäîì îòðåçêå íàéäóòñÿ è ðàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå òî÷êè, âûïîëíåíî: στ (D, ξ) ≡ 1, åñ-
ëè âñå îòìå÷åííûå òî÷êè ðàöèîíàëüíûå, è στ (D, ξ) ≡ 0, åñëè âñå îòìå÷åííûå
òî÷êè èððàöèîíàëüíûå. Îòêóäà ∄ lim στ (D, ξ), è ôóíêöèÿ D íå èíòåãðèðóåìà.
dτ →0
Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó
2
151
Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó.
Èç íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà íà êàæäîì îòðåçêå [xk−1 , xk ]. Îòêóäà,
∃ mk =
inf
[xk−1 ,xk ]
f (x),
Mk =
sup
[xk−1 ,xk ]
f (x).
(íèæíåé ) ñóììîé Äàðáó ôóíêöèè f
ðàçáèåíèè τ = {xk }nk=0 íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñóììà:
Îïðåäåëåíèå. Âåðõíåé
n
ïðè äàííîì
n
S τ (f ) = ∑ Mk ∆xk
(sτ (f ) = ∑ mk ∆xk )
k=1
Çàì.
íà [a, b],
k=1
Íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî ñóììû Äàðáó Sτ (f ) è sτ (f ) âî âñåõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëüíûìè ñóììàìè (ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå òî÷åê ξ ).  ñàìîì äåëå, äëÿ ïðîèçâîëüíîé îãðàíè÷åííîé
1
2
ôóíêöèè f ìîæåò íå íàéòèñü òî÷åê ξk , ξk òàêèõ, ÷òî
mk = f (ξk1 ),
Mk = f (ξk2 ),
k = 1, n.
Îäíàêî, åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà [a, b], òî ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà òàêèå òî÷êè íàéäóòñÿ è îáå ñóììû Äàðáó ÿâëÿþòñÿ
èíòåãðàëüíûìè ñóììàìè. Òåì íå ìåíåå, ñóììû Äàðáó óñòðîåíû ïðîùå ïðîèçâîëüíûõ ñóìì Ðèìàíà, ò.ê. â èõ îïðåäåëåíèè íå
ó÷àñòâóåò ðàçìåòêà ðàçáèåíèÿ.
Òåîðåìà 61. (ñâîéñòâà ñóìì Äàðáó). Ä1.
îòðåçêà [a, b] ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
Äëÿ ëþáîãî ðàçìå÷åííîãî ðàçáèåíèÿ (τ, ξ)
sτ (f ) ⩽ στ (f, ξ) ⩽ S τ (f ),
ïðè÷¼ì sτ (f ) = inf στ (f, ξ), S τ (f ) = sup στ (f, ξ).a
ξ
ξ
a inf è sup áåðóòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì ñîâîêóïíîñòÿì îòìå÷åííûõ òî÷åê.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ âåðõíèõ ñóìì.
∀k = 1, n è ∀ξk ∈ [xk−1 , xk ] âûïîëíåíî f (ξk ) ⩽ Mk . Óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî íà
∆xk è ñóììèðóÿ ïî k, ïîëó÷èì:
n
n
k=1
k=1
στ (f, ξ) = ∑ f (ξk )∆xk ≤ ∑ Mk ∆xk = S τ (f ).
∗
∗
Äàëåå, ïî îïðåäåëåíèþ sup : ∀ε > 0 ∃ξk ∈ [xk−1 , xk ] ∶ f (ξk ) > Mk −
n
στ (f, ξ ∗ ) = ∑ f (ξk∗ )∆xk > S τ (f ) −
k=1
ε
. Îòêóäà,
b−a
n
ε
⋅ ∑ ∆xk = S τ (f ) − ε.
b − a k=1
Ä2. Ïðè äîáàâëåíèè íîâûõ òî÷åê ðàçáèåíèÿ (ïðè èçìåëü÷åíèè ðàçáèåíèÿ )
âåðõíÿÿ ñóììà íå óâåëè÷èâàåòñÿ, à íèæíÿÿ íå óìåíüøàåòñÿ.
Äàëåå ìû ðàññìàòðèâàåì ôóíêöèè,
óäîâëåòâîðÿþùèå äàííîìó
ñâîéñòâó.
Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó
Äîêàçàòåëüñòâî.
152
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ âåðõíèõ ñóìì.
Ïî ïðèíöèïó ìàòåìà-
òè÷åñêîé èíäóêöèè äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî âåðõíÿÿ ñóììà íå óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè äîáàâëåíèè îäíîé òî÷êè c ∈ (xq−1 , xq ).
′
Ïóñòü τ = τ ∪ {c}. Òîãäà:
q−1
n
k=1
k=q+1
S τ (f ) = ∑ Mk ∆xk + Mq ∆xq + ∑ Mk ∆xk .
q−1
n
k=1
k=q+1
S τ ′ (f ) = ∑ Mk ∆xk + Mq′ (c − xq−1 ) + Mq′′ (xq − c) + ∑ Mk ∆xk ,
′
ãäå Mq =
sup f (x), Mq′′ = sup f (x). Îòêóäà:
[xq−1 ,c]
[c,xq ]
S τ (f ) − S τ ′ (f ) = Mq (xq − xq−1 ) − Mq′ (c − xq−1 ) − Mq′′ (xq − c) = a
= (Mq − Mq′ )(c − xq−1 ) + (Mq − Mq′′ )(xq − c) ⩾ 0.b
a xq − x
q−1 = xq − c + c − xq−1
b ò.ê. ïðè ñóæåíèè ìíîæåñòâà sup íå óâåëè÷èâàåòñÿ.
′
Ä3. Åñëè ðàçáèåíèå τ ïîëó÷åíî èç τ äîáàâëåíèåì ℓ íîâûõ òî÷åê, òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
0 ⩽ sτ ′ (f ) − sτ (f ) ⩽ (M − m) ℓ dτ , 0 ⩽ S τ (f ) − S τ ′ (f ) ⩽ (M − m) ℓ dτ ,
ãäå M = sup f (x),
[a,b]
Äîêàçàòåëüñòâî.
m = inf f (x)
[a,b]
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ âåðõíèõ ñóìì.
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå
èç Ä2, ïîëó÷åííîå ïîñëå äîáàâëåíèÿ îäíîé òî÷êè, ïîëó÷àåì:
0 ⩽ S τ (f ) − S τ ′ (f ) = (Mq − Mq′ )(c − xq−1 ) + (Mq − Mq′′ )(xq − c) ⩽
⩽ (M − m)(c − xq−1 + xq − c) = (M − m) ⋅ 1 ⋅ ∆xq ⩽ (M − m) ⋅ 1 ⋅ dτ .
ßñíî, ÷òî ïîñëå äîáàâëåíèÿ ℓ íîâûõ òî÷åê, ïðàâàÿ ÷àñòü óìíîæàåòñÿ íà ℓ.
Ä4. Êàæäàÿ íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó íå ïðåâîñõîäèò êàæäîé âåðõíåé ñóììû
(äàæå îòâå÷àþùåé äðóãîìó ðàçáèåíèþ).
Ïóñòü τ1 è τ2 äâà ïðîèçâîëüíûõ ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b],
τ = τ1 ∪ τ2 . Òîãäà ïî ñâîéñòâàì Ä1 è Ä2:
Äîêàçàòåëüñòâî.
sτ1 (f ) ⩽ sτ (f ) ⩽ S τ (f ) ⩽ S τ2 (f ).
Èç ñâîéñòâà Ä4 ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî íèæíèõ è âåðõíèõ ñóìì Äàðáó (îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ðàçáèåíèÿì îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ)
îãðàíè÷åíî ñîîòâåò-
ñòâåííî ñâåðõó è ñíèçó. Èñõîäÿ èç ýòîãî, è ïðèíöèïà òî÷íûõ ãðàíåé äàäèì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå:
Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó
153
Íèæíèé èíòåãðàë Äàðáó (÷èñëî I∗ ) è âåðõíèé èíòåãðàë Äàðáó (÷èñëî
I ∗ ) ôóíêöèè f ïî îòðåçêó [a, b] îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè:
Îïðåäåëåíèå.
I∗ = sup sτ (f ),
τ
I ∗ = inf S τ (f ).a
τ
a ãäå òî÷íûå ãðàíè áåðóòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì ðàçáèåíèÿì τ îòðåçêà [a, b]
∗
Ä5. Íèæíèé è âåðõíèé èíòåãðàëû Äàðáó ñâÿçàíû íåðàâåíñòâîì: I∗ ⩽ I .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü I∗ > I ∗ , ò.å. ∃ε > 0 ∶ I∗ = I ∗ + ε. Òîãäà äëÿ
óêàçàííîãî ε > 0 :
ε
ε
ε
ε
∃τ1 , τ2 ∶ sτ1 (f ) > I∗ − , S τ2 (f ) < I ∗ + ⇒ sτ1 (f ) − S τ2 (f ) > I∗ − − I ∗ − = 0.
2
2
2
2
Òî åñòü, sτ1 (f ) > S τ2 (f ), ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò ñâîéñòâó Ä4.
Èç ñâîéñòâà Ä5 è îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëîâ Äàðáó, äëÿ
íåðàâåíñòâî:
sτ (f ) ⩽ I∗ ⩽ I ∗ ⩽ S τ (f ).
Òåîðåìà 62. (îñíîâíàÿ ëåììà Äàðáó).
ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
Äëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè f ∶ [a, b] → R
I∗ = lim sτ (f ),
dτ →0
Äîêàçàòåëüñòâî.
ëþáîãî ðàçáèåíèÿ τ , ïîëó÷àåì
I ∗ = lim S τ (f ).
dτ →0
Äîêàæåì âòîðîå ðàâåíñòâî. Ïåðâîå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
f ≡ c = const, òî
Åñëè
∀τ ⇒ sτ (f ) = S τ (f ) = c ⋅ (b − a) = I∗ = I ∗ ,
è óòâåðæäåíèå òåîðåìû âûïîëíåíî, ò.ê. ïðåäåë êîíñòàíòû ðàâåí åé ñàìîé.
Ïóñòü äàëåå m = inf f (x), M = sup f (x). Åñëè f ≠
[a,b]
[a,b]
const, òî M > m. Ôèêñèðóåì
∀ε > 0. Ò.ê. I ∗ = inf S τ (f ), òî ∃τ0 ∶ S τ0 (f ) < I ∗ + 2ε .
τ
Ïóñòü ðàçáèåíèå τ0 ñîäåðæèò ℓ òî÷åê. Ïîëîæèì δ(ε) =
ε
,
2(M −m)ℓ
è ðàññìîòðèì
τ ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå ñ äèàìåòðîì dτ < δ(ε). Âçÿâ îáúåäèíåíèå ðàçáè′
′
′
åíèé τ = τ0 ∪ τ , èìååì: τ ⊂ τ , τ0 ⊂ τ . Îòêóäà, ïî ñâîéñòâó Ä2, S τ ′ (f ) ⩽ S τ0 (f ) è
S τ ′ (f ) ⩽ S τ (f ).
′
Ðàçáèåíèå τ ïîëó÷àåòñÿ èç τ äîáàâëåíèåì íå áîëåå ℓ íîâûõ òî÷åê (åñëè âñå
òî÷êè ðàçáèåíèÿ τ0 íîâûå). Ïî ñâîéñòâó Ä3 ïîëó÷àåì:
S τ (f ) − S τ ′ (f ) ⩽ (M − m) ℓ dτ < (M − m) ℓ δ =
Ô⇒ S τ (f ) < S τ ′ (f ) +
Îòêóäà,
ε
.
2
ε
ε
⩽ S τ0 (f ) + < I ∗ + ε.
2
2
∀ε > 0 ∃δ(ε) ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) Ô⇒ 0 ⩽ S τ (f ) − I ∗ < ε.
Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó
Òåîðåìà 63. (êðèòåðèè èíòåãðèðóåìîñòè).
154
Äëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè
f ∶ [a, b] → R
ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû:
à) f èíòåãðèðóåìà íà [a, b];
á) I∗ = I ∗ (êðèòåðèé Äàðáó );
â) lim (S τ (f ) − sτ (f )) = 0a (êðèòåðèé Ðèìàíà );
dτ →0
a ò.å. ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) âûïîëíåíî S τ (f ) − s (f ) < ε.
τ
à) ⇒ á)
Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òîãäà
Äîêàçàòåëüñòâî.
∃I ∈ R ∶ ∀ε > 0 ∃δ(ε) ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) è ∀ξ Ô⇒ ∣στ (f, ξ) − I∣ < ε.
Áåðÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå sup è inf ïî âñåì ξ , ïîëó÷àåì:
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) Ô⇒ [
∣S τ (f ) − I∣ ⩽ ε
Ô⇒
∣sτ (f ) − I∣ ⩽ ε
Ô⇒ lim S τ (f ) = lim sτ (f ) = I.
dτ →0
dτ →0
∗
∗
Ïî îñíîâíîé ëåììå Äàðáó: lim S τ (f ) = I , lim sτ (f ) = I∗ ⇒ I∗ = I .
dτ →0
dτ →0
∗
Ïóñòü I∗ = I , òîãäà ïî îñíîâíîé ëåììå Äàðáó ïîëó÷èì:
á) ⇒ â)
lim sτ (f ) = lim S τ (f ) Ô⇒ lim (S τ (f ) − sτ (f )) = 0.
dτ →0
dτ →0
dτ →0
Ïóñòü lim (S τ (f ) − sτ (f )) = 0. Ò.ê. äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ τ :
dτ →0
â) ⇒ à)
sτ (f ) ⩽ I∗ ⩽ I ∗ ⩽ S τ (f ), òî 0 ⩽ I ∗ − I∗ ⩽ S τ (f ) − sτ (f ) ÐÐÐ→ 0 ⇒ I∗ = I ∗ = I.
dτ →0
Ïîêàæåì, ÷òî lim στ (f, ξ) = I . Ïî ñâîéñòâó Ä1:
dτ →0
sτ (f ) ⩽ στ (f, ξ) ⩽ S τ (f ); sτ (f ) ⩽ I ⩽ S τ (f ) Ô⇒
Ô⇒ ∣στ (f, ξ) − I∣ ⩽ S τ (f ) − sτ (f ) < ε.
Ïîëó÷àåì, ÷òî:
∀ε > 0 ∃δ(ε) ∶ ∀τ, dτ < δ(ε), ∀ξ ⇒ ∣στ (f, ξ) − I∣ < ε.
Ñëåäñòâèå 1. Êðèòåðèé Ðèìàíà ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïóñòü ôóíêöèÿ f ∶ [a, b] → R îãðàíè÷åíà. Òîãäà f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà
∀ε > 0 ∃τ ∶ S τ (f ) − sτ (f ) < ε.
Äàííîå óòâåðæäåíèå óñèëèâàåò
êðèòåðèé Ðèìàíà â ïëàíå
äîñòàòî÷íîñòè: äëÿ óñòàíîâëåíèÿ
èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè
äîñòàòî÷íî ïî ∀ε > 0 íàéòè õîòÿ
áû îäíî ðàçáèåíèå, äëÿ êîòîðîãî
âûïîëíåíî S τ (f ) − sτ (f ) < ε, à
íå äîáèâàòüñÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî
íåðàâåíñòâà äëÿ âñåõ ðàçáèåíèé
äîñòàòî÷íî ìàëîãî äèàìåòðà.
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
Äîêàçàòåëüñòâî.
155
Íåîáõîäèìîñòü äàííîãî óñëîâèÿ äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè
ôóíêöèè f áûëà äîêàçàíà â êðèòåðèè èíòåãðèðóåìîñòè Ðèìàíà.
Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ∀ε > 0 ∃τ : S τ (f ) − sτ (f ) < ε. Ò.ê. sτ (f ) ⩽ I∗ ⩽
I ∗ ⩽ S τ (f ), òî
I ∗ − I∗ ⩽ S τ (f ) − sτ (f ) < ε, ò.å. I ∗ = I∗ .
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b] ïî êðèòåðèþ Äàðáó.
Íàïîìíèì, ÷òî âåëè÷èíà
ω(f, [a, b]) =
íàçûâàåòñÿ
sup (f (x) − f (y))
x,y∈[a,b]
êîëåáàíèåì ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a, b]. Ïîíÿòíî, ÷òî:
ω(f, [a, b]) = sup f (x) − inf f (x).
[a,b]
[a,b]
Äëÿ çàäàííîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b] τ = {xk }k=0 îáîçíà÷èì ÷åðåç ωk (f )
n
êîëåáàíèå f íà [xk−1 , xk ].
Ñëåäñòâèå 2. Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè Ðèìàíà ìîæåò áûòü ïåðåôîðìóëèðîâàí
òàê: åñëè ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà, òî îíà èíòåãðèðóåìà, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
n
lim ∑ ωk (f ) ∆xk = 0a .
dτ →0 k=1
n
a Ò.å. ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀τ = {x }, dτ < δ ⇒ ∑ ω (f ) ∆x < ε.
k
k
k
k=1
Äîêàçàòåëüñòâî.
n
n
k=1
k=1
∑ ωk (f )∆xk = ∑ (Mk − mk )∆xk = S τ (f ) − sτ (f ).
3
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
Åñëè ôóíêöèÿ f ∶ [a, b] → R íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà íà í¼ì.
Òåîðåìà 64.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ò.ê. ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà [a, b], òî ïî ïåðâîé òåîðåìå
Âåéåðøòðàññà îíà îãðàíè÷åíà, à ïî òåîðåìå Êàíòîðà ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ýòîì îòðåçêå. Îòêóäà,
∀ε > 0 ∃δ(ε) ∶ ∀x1 , x2 ∈ [a, b], ∣x1 − x2 ∣ < δ(ε) Ô⇒ ∣f (x1 ) − f (x2 )∣ <
ε
.
2(b − a)
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ τ ñ äèàìåòðîì dτ < δ(ε) âûïîëíåíî
Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè
èíòåãðèðóåìîñòè.
C[a, b] ⊂ R[a, b].
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
Mk − mk ⩽
156
ε
, ò.å.
2(b − a)
n
S τ (f ) − sτ (f ) = ∑ (Mk − mk )∆xk ⩽
k=1
n
ε
ε
⋅ ∑ ∆xk = < ε.
2(b − a) k=1
2
Ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
Òåîðåìà 65.
í¼ì.
Åñëè ôóíêöèÿ f ∶ [a, b] → R ìîíîòîííà íà [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà íà
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî f íå óáûâàåò íà îòðåçêå
[a, b]. Òîãäà Mk = mk+1 è
n
n
k=1
k=1
S τ (f ) − sτ (f ) = ∑ (Mk − mk )∆xk ⩽ dτ ⋅ ∑ (Mk − mk ) = dτ (f (b) − f (a)) < ε,
ïðè dτ < δ(ε) =
ò.å. f ≡
const.
ε
, åñëè f (b) ≠ f (a), èëè ïðè ëþáîì δ > 0, åñëè f (a) = f (b),
f (b) − f (a)
 ñèëó ìîíîòîííîñòè, âñå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f çàêëþ÷åíû ìåæäó f (a) è
f (b), ò.å. ìîíîòîííàÿ íà [a, b] ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà íà í¼ì.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà [a, b] è âñå å¼ òî÷êè ðàçðûâà ìîæíî ïîìåñòèòü â êîíå÷íûé íàáîð èíòåðâàëîâ, ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíû.a Òîãäà f
èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
Òåîðåìà 66.
a Ò.å. ∀ε > 0 ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé íàáîð èíòåðâàëîâ, ñîäåðæàùèé âñå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f , ñóììà äëèí êîòîðûõ ìåíüøå ε.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Îáîçíà÷èì M = sup f (x), m = inf f (x). Åñëè m = M , òî f =
[a,b]
[a,b]
èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
const
Ïóñòü äàëåå M > m, è {(xj , xj )}j=1 êîíå÷íûé íàáîð èíòåðâàëîâ, ïîêðûâàþ1
2
q
ùèé âñå òî÷êè ðàçðûâà, ñóììà äëèí êîòîðûõ ℓ <
èíòåðâàëîâ äî [a, b] êîíå÷íîå ÷èñëî îòðåçêîâ:
q
r
j=1
k=1
ε
. Äîïîëíåíèå ýòèõ
2(M − m)
I = [a, b] ∖ ⋃ (x1j , x2j ) = ⋃ Ik ,
ãäå Ik îòðåçîê, à r ⩽ q + 1.
Ïî òåîðåìå Êàíòîðà ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà êàæäîì èç Ik ,
ò.å.
∀ε > 0 ∃δk (ε) ∶ ∀x′ , x′′ ∈ Ik , ∣x′ − x′′ ∣ < δk Ô⇒ ∣f (x′ ) − f (x′′ )∣ <
ε
.
2(b − a)
Åñëè âçÿòü 0 < δ < min δk , δ < ℓ, òî
k
r
∀x′ , x′′ ∈ ⋃ Ik , ∣x′ − x′′ ∣ < δ âûïîëíåíî ∶ ∣f (x′ ) − f (x′′ )∣ <
k=1
ε
.
2(b − a)
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
157
a Òîãäà äëÿ åãî ñóìì Äàðáó:
Çàäàäèì òåïåðü ðàçáèåíèå τ îòðåçêîâ Ik , dτ < δ.
ε
< 2(b−a)
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
∑1 (Mk − mk ) ∆xk
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
S τ (f ) − sτ (f ) =
0. Äëÿ ýòîãî ε ñóùåñòâóåò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî n(ε) òî÷åê ηi
ε
. Êðîìå òîãî, äëÿ ôóíêöèè Ðèìàíà, î÷åâèäíî, ñïðàâåä2
ëèâà îöåíêà: ∣R(x)∣ ≤ 1, ∀x.
ε
Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå τ ñ äèàìåòðîì dτ < δ(ε) =
. Ñîñòàâèì äëÿ íåãî
4n(ε)
òàêèõ, ÷òî f (ηi ) >
èíòåãðàëüíóþ ñóììó:
N
∣στ (R, ξ)∣ = ∣∑ R(ξi )∆xi ∣ ≤ ∣∑1 R(ξi )∆xi ∣ + ∣∑2 R(ξi )∆xi ∣ ,
i=1
ãäå ïåðâàÿ ñóììà ñîîòâåòñòâóåò ñåãìåíòàì ðàçáèåíèÿ, â êîòîðûõ ïðèñóò-
Ìîæíî ëè â ýòîì óòâåðæäåíèè
êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê
ïîìåíÿòü íà ñ÷¼òíîå?
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
158
ñòâóþò òî÷êè ηi , à âòîðàÿ ëèøåíà èõ. ßñíî, ÷òî â ïåðâîé ñóììå íå áîëåå
2n(ε) ñëàãàåìûõa . Ïîýòîìó äëÿ ïåðâîé ñóììû ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
∣∑1 R(ξi )∆xi ∣ ≤ 1 ⋅ 2n(ε) ⋅ δ(ε) =
ε
.
2
Âî âòîðîé ñóììå âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè R íå ïðåâîñõî-
ε
, à ñóììà âñåõ îòðåçêîâ ðàçáèåíèÿ, çàâåäîìî, íå ïðåâîñõîäèò 1. Îòêóäà
2
ïîëó÷àåì, îöåíêó:
ε
ε
∣∑2 R(ξi )∆xi ∣ ≤ ⋅ ∑2 ∆xi < .
2
2
ε ε
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè d < δ(ε) ñïðàâåäëèâî: ∣στ (R, ξ)∣ < + = ε, ò.å.
2 2
äÿò
1
∫ R(x) dx = 0.
0
a Ñëó÷àé, êîãäà âñå òî÷êè η ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ðàçáèåíèÿ, ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòi
ðåçêîâ.
Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî E ⊂ R èìååò ëåáåãîâó ìåðó íóëü, åñëè ∀ε >
0 ìíîæåñòâî E ìîæíî çàêëþ÷èòü â íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèå èíòåðâàëîâ,
ñóììàðíàÿ äëèíà êîòîðûõ ìåíüøå ε.
Îïðåäåëåíèå.
Òåîðåìà 67. (êðèòåðèé Ëåáåãà èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè ïî Ðèìàíó). Ïóñòü f ∶ [a, b] →
R. Òîãäà äàííàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà îãðàíè÷åíà è
ìíîæåñòâî å¼ òî÷åê ðàçðûâà èìååò ëåáåãîâó ìåðó íóëü.
èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ðèìàíó
ôóíêöèÿ íå ìîæåò áûòü ñëèøêîì
ðàçðûâíîé
Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
4
159
Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
1○ . (èíòåãðèðóåìîñòü ñóæåíèÿ ) Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b] è [a∗ , b∗ ] ⊂
[a, b]. Òîãäà f èíòåãðèðóåìà è íà [a∗ , b∗ ].
= {x∗i } ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà [a∗ , b∗ ].
Äîïîëíèì åãî äî ðàçáèåíèÿ τ = {xi } âñåãî îòðåçêà [a, b] ñ äèàìåòðîì dτ = dτ ∗ .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òîãäà:
Ïóñòü τ
∗
∗
∗
∗
∗
∗
a
∑ ωi (f )∆xi ⩽ ∑ ωi (f )∆xi , ãäå ωi (f ) = ω(f, [xi−1 , xi ]).
xi ∈τ
x∗
∈τ ∗
i
Äëÿ ïðàâîé ÷àñòè, ïóò¼ì âûáîðà íàäëåæàùåãî äèàìåòðà dτ , ïîñëåäíåãî
íåðàâåíñòâà âûïîëíåíî óñëîâèå óñëîâèå èç êðèòåðèÿ èíòåãðèðóåìîñòè (ò.ê.
f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]), è ñëåäîâàòåëüíî îíî âûïîëíåíî è äëÿ ëåâîé ÷àñòè.
∗
∗
Ïîýòîìó f èíòåãðèðóåìà íà [a , b ].
a Ñóììà èçìåíÿåòñÿ ïóò¼ì äîáàâëåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íåîòðèöàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ.
2○ . (àääèòèâíîñòü èíòåãðàëà îòíîñèòåëüíî îòðåçêîâ èíòåãðèðîâàíèÿ )
Ïóñòü a < c < b, f ∶ [a, b] → R, f èíòåãðèðóåìà ïî îòðåçêàì [a, c] è [c, b]. Òîãäà f
èíòåãðèðóåìà íà [a, b], ïðè÷¼ì
b
c
b
∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx.
a
Äîêàçàòåëüñòâî.
a
(∗)
c
′
Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. Ïóñòü τ , τ
′′
òàêèå ðàçáèåíèÿ îòðåçêîâ
[a, c] è [c, b], ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
S τ ′ (f ) − sτ ′ (f ) <
′
Ïóñòü äàëåå τ = τ ∪ τ
′′
ε
,
2
S τ ′′ (f ) − sτ ′′ (f ) <
ε
.
2
ðàçáèåíèå [a, b]. Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ íåãî:
S τ (f ) − sτ (f ) = (S τ ′ (f ) − sτ ′ (f )) + (S τ ′′ (f ) − sτ ′′ (f )) <
ε ε
+ = ε.
2 2
ñëåäñòâèþ 1 èç êðèòåðèÿ èíòåãðèðóåìîñòè, ïîëó÷àåì, ÷òî f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]
Ïóñòü òåïåðü τ ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå [a, b], ñîäåðæàùåå òî÷êó c. Òîãäà
Ïî
n
∑ f (ξk ) ∆xk =
k=1
∑
[xk−1 ,xk ]⊂[a,c]
f (ξk ) ∆xk +
∑
[xk−1 ,xk ]⊂[c,b]
f (ξk ) ∆xk
Ïðè ïåðåõîäå ê ïðåäåëó ïðè dτ → 0, ïîëó÷èì (∗).
a
Çàì.
a
b
Ïîëîæèâ ∫ f (x) dx ∶= 0 è ∫ f (x) dx ∶= − ∫ f (x) dx óáåæäàåìñÿ, ÷òî ðàa
b
âåíñòâî (∗) ñïðàâåäëèâî
a
ïðè ëþáîì ðàñïîëîæåíèè òî÷åê a, b, c äëÿ
ôóíêöèè f , èíòåãðèðóåìîé íà îòðåçêå, ñîäåðæàùåì ýòè òî÷êè.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå, ñîäåðæàùåì òî÷êè a0 , a1 ,
Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
. . . ,an , òî
a1
160
a2
a0
Äîêàçàòåëüñòâî.
a0
an
∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx + . . . + ∫
a1
f (x) dx + ∫ f (x) dx = 0.
an−1
an
Äîêàçàòåëüñòâî èíäóêöèåé ïî ÷èñëó n.
3○ . (ëèíåéíîñòü èíòåãðàëà ) Åñëè f è g èíòåãðèðóåìû íà [a, b], λ, µ ∈ R, òî
ôóíêöèÿ λ f ± µ g òàêæå èíòåãðèðóåìà íà [a, b], ïðè÷¼ì
b
b
b
∫ (λ f (x) ± µ g(x)) dx = λ ∫ f (x) dx ± µ ∫ g(x) dx.
a
Äîêàçàòåëüñòâî.
a
a
Ïîëó÷àåòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì ïðè dτ → 0 â ðàâåíñòâå
äëÿ èíòåãðàëüíûõ ñóìì:
στ (λ f ± µ g, ξ) = λ στ (f, ξ) ± µ στ (g, ξ).a
a ïðåäåë ïðàâîé ÷àñòè ñóùåñòâóåò ïî óñëîâèþ óòâåðæäåíèÿ.
4○ . (èíòåãðèðóåìîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ) Åñëè f è g èíòåãðèðóåìû íà [a, b],
òî è èõ ïðîèçâåäåíèå f ⋅ g òàêæå èíòåãðèðóåìî íà [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ò.ê.
f è g èíòåãðèðóåìû íà [a, b], òî îíè îãðàíè÷åíû íà í¼ì.
Ïîýòîìó, ∃M > 0 ∶ ∣f (x)∣ ⩽ M, ∣g(x)∣ ⩽ M, ∀x ∈ [a, b]. Òîãäà
∣(f ⋅ g)(x) − (f ⋅ g)(y)∣ = ∣f (x)g(x) − f (y)g(x) + f (y)g(x) − f (y)g(y)∣ ⩽
⩽ M ⋅ ∣f (x) − f (y)∣ + M ⋅ ∣g(x) − g(y)∣.
Ñëåäîâàòåëüíî, ωk (f ⋅ g) ⩽ M ⋅ ωk (f ) + M ⋅ ωk (g), è
n
n
n
k=1
k=1
k=1
∑ ωk (f ⋅ g)∆xk ⩽ M ⋅ ∑ ωk (f )∆xk +M ⋅ ∑ ωk (g)∆xk ÐÐÐ→ 0.
dτ →0
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Ð
ÐÐ→0
d →0
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
Ð
ÐÐ→0
d →0
τ
τ
Òî åñòü, ïðîèçâåäåíèå f ⋅ g èíòåãðèðóåìî íà [a, b].
5○ . (ìîíîòîííîñòü èíòåãðàëà ) Åñëè a < b, à ôóíêöèè f è g èíòåãðèðóåìû
b
b
íà [a, b] è f (x) ⩽ g(x), ∀x ∈ [a, b] òî ∫ f (x) dx ⩽ ∫ g(x) dx.
a
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íóæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó â íåðàâåíñòâå
στ (f, ξ) ⩽ στ (g, ξ).
Äðóãèìè ñëîâàìè, íåðàâåíñòâà
ìîæíî èíòåãðèðîâàòü.
Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
161
b
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ∀x ∈ [a, b] âûïîëíåíî: f (x) ⩾ 0, òî è ∫ f (x) dx ⩾ 0.
a
Óòâåðæäåíèå 4.1.
Ïóñòü f ∈ C[a, b] è f ⩾ 0 íà [a, b]a è ∃x0 ∈ [a, b], òàêîå ÷òî f (x0 ) > 0.
b
Òîãäà ∫ f (x) dx > 0.
a
a ò.å. f (x) ⩾ 0 äëÿ ∀x ∈ [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
f (x0 ) = γ > 0. Òîãäà ∃[α, β] ⊂ [a, b], β > α, íà êîòîðîì f ⩾
 ñèëó ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà:
⩾0
⩾0
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
b
γ
.
2
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
β
α
b
γ
∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx ⩾ 0 + 2 (β − α) + 0 > 0
a
a
α
β
6○ . (èíòåãðèðóåìîñòü ìîäóëÿ ) Åñëè f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî è ∣f ∣
èíòåãðèðóåì íà [a, b]. Ïðè÷¼ì ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
RRR
RRR b
b
R
RRR
RRR∫ f (x) dxRRRRR ⩽ ∫ ∣f (x)∣ dx.a
RRR
RRR
R a
Ra
(∗∗)
a Íåðàâåíñòâî (∗∗) âåðíî ïðè a < b. Åñëè îò ýòîãî òðåáîâàíèÿ îòêàçàòüñÿ, íàäî çàïèñàòü:
b
b
∣∫ f (x) dx∣ ⩽ ∣∫ ∣f (x)∣ dx∣
a
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóåì îöåíêó:
ωk (f ) è
∣∣f (x)∣−∣f (y)∣∣ ⩽ ∣f (x)−f (y)∣, îòêóäà ωk (∣f ∣) ⩽
n
n
k=1
k=1
∑ ωk (∣f ∣)∆xk ⩽ ∑ ωk (f )∆xk ÐÐÐ→ 0,
dτ →0
ò.ê. f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Ïîýòîìó ∣f ∣ èíòåãðèðóåì íà [a, b].
Îöåíêà (∗∗) ïîëó÷àåòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì èç ñîîòâåòñòâóþùåé îöåíêè
äëÿ èíòåãðàëüíûõ ñóìì Ðèìàíà:
n
n
k=1
k=1
∣στ (f, ξ)∣ = ∣ ∑ f (ξk )∆xk ∣ ⩽ ∑ ∣f (ξk )∣ ∆xk .
Èíòåãðèðóåìîñòü ∣f ∣ íà [a, b], âîîáùå ãîâîðÿ, íå âëå÷¼ò èíòåãðèðóåìîñòü
ñàìîé ôóíêöèè f íà ýòîì îòðåçêå. Íàïðèìåð,
⎧
⎪
⎪1,
̃
D(x)
=⎨
⎪
⎪
⎩−1,
x ∈ R ∩ Q,
x ∈ R ∖ Q;
b
b
b
̃
̃
Ô⇒ ∫ ∣D(x)∣
dx = ∫ 1 dx = b − a, íî ∄ ∫ D(x)
dx.
a
a
a
Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
162
Èíòåãðèðóåìîñòü êîìïîçèöèè.
Ðàññìîòðèì äàëåå ñëåäóþùèé ïðèìåð:
⎧
⎪
⎪1/n,
R(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
åñëè x ∈ (R ∖ Q) ∪ {0};
⎧
⎪
⎪1,
Ô⇒ f ○ R(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
Òî
åñòü,
⎧
⎪
⎪1,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
åñëè x = m/n ∈ Q,
êîìïîçèöèÿ
äâóõ
åñëè x ∈ Q,
åñëè x ∈ (R ∖ Q) ∪ {0};
èíòåãðèðóåìûõ
åñëè x ≠ 0,
åñëè x = 0.
Ô⇒
= D(x) ∉ R.
ôóíêöèé
ìîæåò
áûòü
íå
èíòåãðèðóåìîé.
Îïðåäåëåíèå.
[a, b], åñëè
Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà íà îòðåçêå
∃C a > 0 ∶ ∀x1 , x2 ∈ [a, b] Ô⇒ ∣f (x1 ) − f (x2 )∣ ⩽ C ∣x1 − x2 ∣.
a C íàçûâàåòñÿ
êîíñòàíòîé Ëèïøèöà.
Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
M = sup f (x), m = inf f (x), à ôóíêöèÿ g óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà (ñ êîíñòàí-
Òåîðåìà 68. (èíòåãðèðóåìîñòü êîìïîçèöèè ôóíêöèé).
[a,b]
[a,b]
òîé C > 0) íà îòðåçêå [m, M ]. Òîãäà g ○ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
∀ε > 0. Ò.ê. f ∈ R[a, b], òî ∃τ = {xk }n
k=0 ðàçáèåíèå
ε
îòðåçêà [a, b] òàêîå, ÷òî S τ (f ) − sτ (f ) <
.
C
∗
∗
Ïóñòü äàëåå Mk , mk , Mk , mk òî÷íûå ãðàíè íà îòðåçêå [xk−1 , xk ] ôóíêöèé f è
g ○ f ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ∀ξ1 , ξ2 ∈ [xk−1 , xk ] âûïîëíåíî
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì
g(f (ξ1 )) − g(f (ξ2 )) ⩽ ∣g(f (ξ1 )) − g(f (ξ2 ))∣ ⩽ C ∣f (ξ1 ) − f (ξ2 )∣ ⩽ C (Mk − mk ).
Ïîñêîëüêó ξ1 è ξ2 âûáèðàþòñÿ ïðîèçâîëüíî, òî ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ãà∗
∗
ðàíòèðóåò âûïîëíèìîñòü ñîîòíîøåíèÿ Mk − mk ⩽ C (Mk − mk ), îòêóäà:
n
n
k=1
k=1
S τ (g ○ f ) − sτ (g ○ f ) = ∑ (Mk∗ − m∗k )∆xk ⩽ C ⋅ ∑ (Mk − mk )∆xk < C ⋅
ε
= ε.
C
Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ Ëèïøèöà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé. Îáðàòíîå íåâåðíî. Ôóíêöèÿ
√
3
x ∈ C[0, 1]. Îäíàêî îíà íå óäîâëåòâîðÿåò
íà ýòîì îòðåçêå óñëîâèþ Ëèïøèöà (ñì. [ÍÔ], ñ.344). Òåì íå ìåíåå ñïðàâåäëèâî
ñëåäóþùåå:
Óòâåðæäåíèå 4.2.
Ïóñòü: f ∈ R[a, b],
M = sup f (x),
[a,b]
m = inf f (x),
[a,b]
g ∈ C[m, M ]. Òîãäà g ○ f ∈ R[a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [ÑÕ], ñ.29-30, èëè [ÍÔ], ñ.345;
Òåîðåìû î ñðåäíåì. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì
163
Åñëè æå g ∈ R, f ∈ C , òî êîìïîçèöèÿ g ○ f ìîæåò áûòü íå èíòåãðèðóåìîé. Ñì.
ôàéë Is the Composite Function Integrable. pdf
5
Òåîðåìû î ñðåäíåì. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì.
Òåîðåìà 69. (ïåðâàÿ òåîðåìà î ñðåäíåì).
Ïóñòü ôóíêöèè f, g ∈ R[a, b], M = sup f (x),
x∈[a,b]
m = inf f (x). Ôóíêöèÿ g íå ìåíÿåò íà äàííîì îòðåçêå ñâîé çíàê. Òîãäà ∃µ ∈ [m, M ] ∶
x∈[a,b]
b
b
∫ f (x) g(x) dx = µ ∫ g(x) dx.
a
a
Åñëè f ∈ C[a, b], òî ∃ξ ∈ [a, b] ∶ µ = f (ξ).
Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè, g ⩾ 0 íà [a, b]. Òîãäà äëÿ ∀x ∈
[a, b] âûïîëíåíî: m ⋅ g(x) ⩽ f (x) g(x) ⩽ M ⋅ g(x). Îòñþäà, â ñèëó ìîíîòîííîñòè
Äîêàçàòåëüñòâî.
èíòåãðàëà:
b
b
b
m ∫ g(x) dx ⩽ ∫ f (x) g(x) dx ⩽ M ∫ g(x) dx.
a
a
a
b
b
Ïóñòü ñíà÷àëà ∫ g(x)dx = 0. Òîãäà èç âåðõíåãî íåðàâåíñòâà ∫ f (x)g(x)dx = 0, è
a
a
b
ïîäõîäèò ëþáîå µ. Åñëè æå ∫ g(x) dx > 0, òî èç òîãî æå íåðàâåíñòâà:
a
b
m⩽
∫ f (x) g(x) dx
a
b
⩽ M.
∫ g(x) dx
a
b
Ïîýòîìó, âçÿâ µ =
∫ f (x) g(x) dx
a
b
, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.
∫ g(x) dx
a
Ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè ξ ∈ [a, b] ∶ f (ξ) = µ âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî íåïðåðûâíàÿ
íà îòðåçêå ôóíêöèÿ äîñòèãàåò min è max çíà÷åíèÿ, òàê è ëþáîãî ïðîìåæóòî÷íîãî çíà÷åíèÿ ìåæäó íèìè (m < µ < M ).
Çàì.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû òî÷êà ξ íàéä¼òñÿ íà
èíòåðâàëå (a, b). Ñì., íàïðèìåð, [Áåñîâ], òîì I.
Îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Òîãäà íà ýòîì îòðåçêå îïðåäåx
ëåíà ôóíêöèÿ F (x) = ∫ f (t) dt, a < x ⩽ b, íàçûâàåìàÿ èíòåãðàëîì ñ ïåðåìåííûì âåðõa
íèì ïðåäåëîì.
b
Àíàëîãè÷íî ìîæåò áûòü ââåäåíà ôóíêöèÿ G(x) = ∫ f (t) dt, a ⩽ x < b,
íàçûâàåìàÿ èíòåãðàëîì ñ ïåðåìåííûì íèæíèì ïðåäåëîì.
x
Çàéì¼ìñÿ äàëåå óñòàíîâëåíèåì
ñâÿçè ìåæäó îïðåäåë¼ííûì è
íåîïðåäåë¼ííûì èíòåãðàëàìè.
Òåîðåìû î ñðåäíåì. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì
Òåîðåìà 70. (îá èíòåãðàëå ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì).
Ïóñòü ôóíêöèÿ f èíòå-
x
ãðèðóåìà íà [a, b], F (x) = ∫ f (t) dt. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
a
1. ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíà íà [a, b];
2. åñëè, êðîìå òîãî, f íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ∈ [a, b], òî F äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå
x0 , è F ′ (x0 ) = f (x0 )a .
a Åñëè x = a èëè x = b, òî ïîä ïðîèçâîäíîé F ′ (x ) ïîíèìàåòñÿ îäíîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíàÿ.
0
0
0
1. Ïîñêîëüêó f ∈ R[a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà [a, b], ò.å. ∃M >
0 ∶ ∀t ∈ [a, b] ⇒ ∣f (t)∣ ⩽ M . Ïóñòü x0 , x0 + ∆x ∈ [a, b]. Òîãäà
Äîêàçàòåëüñòâî.
RRR
RRR x0 +∆x
RRR RRR x0 +∆x
x0
R
R
R R
∣F (x0 + ∆x) − F (x0 )∣ = RRRR ∫ f (t) dt − ∫ f (t) dtRRRR = RRRR ∫ f (t) dtRRRR ⩽
RRR
RRR
RRR RRR
RR
RR a
RR RR x0
a
RRR
RRR x0 +∆x
RRR x0 +∆x RRR
R
R
R
R
⩽ RRRRR ∫ ∣f (t)∣ dtRRRRR a ⩽ M ⋅ RRRRR ∫ dtRRRRR = M ⋅ ∣∆x∣ ÐÐÐ→ 0.
∆x→0
RRR
RRR
RRR
RRR
R
R x0
R
R x0
2. Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. Ò.ê. f ∈ C(x0 ), òî
∃δ(ε) ∶ ∀t ∈ [a, b], ∣t − x0 ∣ < δ(ε) Ô⇒ ∣f (t) − f (x0 )∣ < ε.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ∣∆x∣ < δ(ε) è x0 + ∆x ∈ [a, b], ïîëó÷àåì:
∣
RRR x0 +∆x
RRR
x0 +∆x
x0 +∆x
R 1
RRR 1
∆F (x0 )
ε
(f
⩽
R
−f (x0 )∣ = RRRRR
(t)−f
(x
))dt
∣f
(t)
−
f
(x
)∣dt
<
dt = ε.
0
0
∫
RRR ∆x ∫
∆x
∆x∫
RRR ∆x
R
R
x
x
x
0
0
0
R
R
′
Ïîýòîìó, F (x0 ) = lim
∆x→0
∆F (x0 )
= f (x0 ).
∆x
a åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ∆x > 0, òî âíåøíèé ìîäóëü ìîæíî íå ïèñàòü.
′
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì: G (x0 ) = −f (x0 )
Ñëåäñòâèå 1. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà ïðîìåæóòêå, èìååò íà í¼ì ïåðâîîáðàçíóþ.
x
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü f ∈ C(< a, b >), F (x) = ∫ f (t)dt, ãäå x0 ∈ < a, b >. Òîãäà,
x0
′
åñëè x ∈< a, b >, x ⩾ x0 , òî F (x) = f (x) ïî òåîðåìå Áàððîó äëÿ èíòåãðàëà ñ
x0
ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì, à åñëè x ⩽ x0 , òî F (x) = − ∫ f (t) dt è
x
′
F (x) = f (x)
ïî ôîðìóëå äëÿ èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì íèæíèì ïðåäåëîì.
164
òåîðåìà Áàððîó
Òåîðåìû î ñðåäíåì. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì
Òåîðåìà 71. (âòîðàÿ òåîðåìà î ñðåäíåì).
Ïóñòü f, φ ∈ R[a, b], åñëè
165
ôîðìóëû Áîííå.
1. φ ìîíîòîííàÿ íà [a, b], òî ∃ξ ∈ [a, b] :
ξ
b
b
∫ f (x)φ(x)dx = φ(a) ∫ f (x) dx + φ(b) ∫ f (x) dx;
a
a
ξ
2. φ íå âîçðàñòàåò íà [a, b] è φ ⩾ 0 íà [a, b], òî ∃ξ1 ∈ [a, b] :
ξ1
b
∫ f (x)φ(x)dx = φ(a) ∫ f (x) dx;
a
a
3. φ íå óáûâàåò íà [a, b] è φ ⩾ 0 íà [a, b], òî ∃ξ2 ∈ [a, b] :
b
b
∫ f (x)φ(x)dx = φ(b) ∫ f (x) dx.
a
ξ2
φ ↘ íà [a, b] è φ ⩾ 0 íà [a, b]. Åñëè φ(a) = 0, òî
φ ≡ 0 íà [a, b] è óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïóñòü φ(a) > 0. Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå
τ = {xk }n
k=0 îòðåçêà [a, b] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì 2. Ïóñòü
xk
n
Îáîçíà÷èì: M = sup f (x), σn = ∑ φ(xk−1 ) ⋅ ∫
[a,b]
k=1
xk−1
f (x) dx. Òîãäà:
RRR
RRR RRR n
RRR
xk
xk
b
n
RR
RRR RRR
RRR
R
RRRσn − ∫ f (x)φ(x)dxRRR = RR ∑ φ(xk−1 ) ⋅ ∫ f (x) dx − ∑ ∫ f (x)φ(x)dxRRRR =
RRR
RRR RRRk=1
RRR
k=1x
xk−1
a
RR
k−1
R RR
R
RRR
RRR
xk
xk
RR n
RR n
= RRRR ∑ ∫ (φ(xk−1 ) − φ(x))f (x)dxRRRR ⩽ ∑ ∫ ∣φ(xk−1 ) − φ(x)∣ ⋅ ∣f (x)∣ dx ⩽
RRR k=1
RRRk=1
´¹¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¶
xk−1
RR
RR xk−1
⩽M
xk
n
⩽ ∑M⋅
k=1
sup
[xk−1 ,xk ]
∣φ(xk−1 ) − φ(x)∣ ⋅ ∫ dx = {φ ↘} =
xk−1
´¹¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¶
=(b−a)/n
=M
b−a n
b−a
(φ(a) − φ(b)) ÐÐÐ→ 0.
∑ (φ(xk−1 ) − φ(xk )) = M
n→∞
n k=1
n
b
ò.å. lim σn = ∫ f (x)φ(x)dx.
x
n→∞
Ïóñòü òåïåðü F (x) = ∫ f (t)dt. f ∈ R[a, b] Ô⇒ F ∈ C[a, b] Ô⇒
a
a
Ô⇒ ∃α, β ∈ [a, b] : inf F (x) = F (α), sup F (x) = F (β). Äàëåå ïîëó÷àåì:
[a,b]
[a,b]
xk
xk−1
n
⎛
⎞ n
σn = ∑ φ(xk−1 ) ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx = ∑ φ(xk−1 )(F (xk ) − F (xk−1 )) =
⎝
⎠ k=1
k=1
a
a
Ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ.
n
n
n
n−1
k=1
k=1
k=1
k=0
= ∑ φ(xk−1 )F (xk ) − ∑ φ(xk−1 )F (xk−1 ) = ∑ φ(xk−1 )F (xk ) − ∑ φ(xk )F (xk ) =
n−1
= φ(xn−1 )F (b) + ∑ F (xk )(φ(xk−1 ) − φ(xk )) ⩽
k=1
F (x0 ) = F (a) = 0,
F (b).
F (xn ) =
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
166
n−1
⩽ φ(xn−1 )F (β) + ∑ F (β)(φ(xk−1 ) − φ(xk )) = φ(x0 )F (β) = φ(a)F (β).
k=1
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî σn ⩾ φ(a)F (α). Îòêóäà, ò.ê. φ(a) > 0 ïîëó÷èì:
σn
⩽ F (β). Ïåðåéä¼ì ê ïðåäåëó ïðè n → ∞ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå:
φ(a)
1 b
F (α) ⩽
f (x)φ(x)dx ⩽ F (β). Äàëåå, ò.ê. F ∈ C[a, b], òî ∃ξ ∈ [a, b] :
φ(a) ∫a
F (α) ⩽
ξ
b
b
F (ξ) =
1
f (x)φ(x)dx ⇐⇒ ∫ f (x)φ(x)dx = φ(a) ∫ f (t)dt ⇐⇒ 2.
φ(a) ∫
a
a
a
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïóíêòà 3. ñäåëàåì â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå çàìåíó f1 (x) =
f (−x), φ1 (x) = φ(−x), è çàìåòèì, ÷òî åñëè φ(x)↗, òî φ(−x)↘:
−ξ
−a
b
b
∫ f (x)φ(x)dx = ∫ f (−x)φ(−x)dx = {2.} = φ(b) ∫ f (−x)dx = φ(b)∫ f (x)dx.
−b
a
−b
ξ
⩾0
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 1. ïîëîæèì â 2. φ(x) = φ(x) − φ(b), åñëè φ↘ èëè ïîëîæèì
⩾0
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
â 3. φ(x) = φ(x) − φ(a), åñëè φ↗. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü φ↘, òîãäà:
ξ
b
b
b
2.
(φ(a) − φ(b))∫ f (x)dx = ∫ f (x)(φ(x) − φ(b))dx = ∫ f (x)φ(x)dx − φ(b)∫ f (x)dx.
a
a
a
a
Îòêóäà ïîëó÷àåì:
ξ
ξ
b
b
∫ f (x)φ(x)dx = φ(a) ∫ f (x)dx − φ(b) ∫ f (x)dx + φ(b) ∫ f (x)dx =
a
a
a
a
ξ
b
= φ(a) ∫ f (x)dx + φ(b) ∫ f (x)dx.
a
6
ξ
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà. Îáîáùåíèÿ
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà îäíî èç âàæíåéøèõ óòâåðæäåíèé âî âñåì êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îíà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà ñ íåîïðåäåë¼ííûì è ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü îïðåäåë¼ííûé
èíòåãðàë îò ôóíêöèè, ïåðâîîáðàçíàÿ êîòîðîé èçâåñòíà.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïóñòü òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàë
2
2
∫ x dx. Èíòåãðèðóåìîñòü ýòîé ôóíêöèè âûòåêàåò èç å¼ íåïðåðûâíîñòè íà
−1
îòðåçêå [−1, 2]. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëà èíòåãðàëüíûõ ñóìì
ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé ñ äèàìåòðîì ñòðåìÿùèìñÿ ê íóëþ, è ëþáûå îòìå÷åííûå òî÷êè ξk . Áóäåì äåëèòü îòðåçîê [−1, 2]
íà n ðàâíûõ ÷àñòåé, à â êà÷åñòâå òî÷åê ξk âûáèðàòü ïðàâûå òî÷êè ðàçáèåíèÿ.
Êàê ìû âèäèì, âû÷èñëåíèå
îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ ¾ïî
îïðåäåëåíèþ¿ âåñüìà òðóäî¼ìêî.
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
167
Èìååì:
2
n
3
3k
2
2
, k = 1, . . . , n} =
∑ ξk ⋅ ∆xk = {∆xk = ; ξk = xk = −1 +
∫ x dx = dlim
→0
n
n
τ
k=1
−1
n
= lim ∑ (−1 +
n→∞
k=1
lim (3 −
n→∞
n
6k 9k2
3
3k 2 3
) ⋅ = lim ∑ (1 −
+ 2 )⋅ =
n
n n→∞ k=1
n
n
n
18 (n + 1)n 27 n(n + 1)(2n + 1)
⋅
+ 3⋅
) = 3.
n2
2
n
6
Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a, b], F
Òåîðåìà 72. (ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà).
ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà [a, b]. Òîãäà
b
b
∫ f (x) dx = F (b) − F (a) = F ∣a .
(Í-Ë)
a
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü τ = {xk }k=0
n
ðàâíîìåðíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà [a, b]. Ïðå-
îáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (Í-Ë):
F (b) − F (a) = F (xn ) − F (x0 ) =
n
= F (xn ) − F (xn−1 ) + F (xn−1 ) − . . . + F (x1 ) − F (x0 ) = ∑(F (xk ) − F (xk−1 )).
k=1
a
Ò.ê. ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b] , òî ê êàæäîìó ñëàãàåìîìó èç
ïîñëåäíåé ñóììû ïðèìåíèìà ôîðìóëà Ëàãðàíæà î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ:
(n)
(n)
(n)
∃ξk ∈ (xk−1 , xk ) ∶ F (xk ) − F (xk−1 ) = F ′ (ξk )(xk − xk−1 ) = f (ξk )∆xk .
n
(n)
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî F (b) − F (a) = ∑ f (ξk
k=1
b
n
)∆xk . Ò.ê. f ∈ R[a, b], òî
(n)
lim ∑ f (ξk )∆xk = lim (F (b) − F (a)) = F (b) − F (a).
∫ f (x)dx = n→∞
n→∞
a
k=1
a Ýòî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî F ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà [a, b].
Òåîðåìà
Òîãäà
72∗ . Ïóñòü f ∈ C[a, b] è Φ å¼ ïðîèçâîëüíàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ íà ýòîì îòðåçêå.
b
∫ f (x)dx = Φ(b) − Φ(a).
a
x
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ôóíêöèÿ F (x) = ∫ f (t)dt ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè f
a
íà [a, b]. Ïîýòîìó, F (x) = Φ(x) + C , a ⩽ x ⩽ b, ò.å.
x
∫ f (t)dt = Φ(x) + C.
a
Îòñþäà, ïðè x = a ïîëó÷àåì: 0 = Φ(a) + C ⇒ C = −Φ(a). Ïðè x = b:
b
∫ f (t)dt = Φ(b) + C = Φ(b) − Φ(a).
a
Âîçìîæíî, áîëåå ïðàâèëüíîå
íàçâàíèå äàííîé òåîðåìû
ôîðìóëà Áàððîó. Ñì. [Àðíîëüä].
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
168
2
Ïîïðîáóåì ïðèìåíèòü ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ê èíòåãðàëó ∫
−1
dx
:
x2
2
dx
1 2
∫ x2 = − x ∣−1 = −1/2 − 1 = −3/2.
−1
Î÷åâèäíî, ÷òî äàííûé ðåçóëüòàò íåâåðíûé, ò.ê. ïîëó÷åíî îòðèöàòåëüíîå
1
ñòðîãî ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè f (x) = 2 . Ïî÷åìó?
x
 ýòîì ïðèìåðå áûëè íàðóøåíû äâà óñëîâèÿ òåîðåìû 13:
÷èñëî ïðè èíòåãðèðîâàíèè
1. f ∉ R[−1, 2], ò.ê. îíà íå îãðàíè÷åíà íà ýòîì îòðåçêå;
2. Ðàâåíñòâî (−
1 ′
1
) = 2 íå èìååò ñìûñëà â òî÷êå x = 0.
x
x
Óòâåðæäåíèå 6.1. (îáîáùåíèÿ ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà).
1.
Ïóñòü f ∈ R[a, b], F ∈ C[a, b], F ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà [a, b] çà èñêëþ÷åíèåì
b
êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òî÷åê. Òîãäà ∫ f (x) dx = F (b) − F (a).
a
< t2 < . . . < tm−1 âñå òî÷êè èíòåðâàëà (a, b), â êîòîðûõ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü t1
′
íàðóøàåòñÿ ðàâåíñòâî F = f . Ïóñòü òàêæå t0 = a, tm = b. Ïîëó÷àåì:
tk
∫
f (x) dx = a = lim
tk −ε
∫
ε→0+0
tk−1 +ε
tk−1
f (x)dx =
= lim (F (tk − ε) − F (tk−1 + ε)) = b = F (tk ) − F (tk−1 ).
ε→0+0
Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ àääèòèâíîñòüþ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà
b
m
tk
m
∫ f (x) dx = ∑ ∫ f (x) dx = ∑ (F (tk ) − F (tk−1 )) = F (b) − F (a).
k=1t
k−1
a
k=1
a íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûìè ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ.
b Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè F .
Óñëîâèå F ∈ C[a, b] ñóùåñòâåííî. Äëÿ ôóíêöèé f (x) = 0, F (x) =
′
sgnx ðàâåí-
ñòâî F (x) = f (x) âûïîëíåíî âåçäå, êðîìå òî÷êè x = 0, íî ôîðìóëà Íüþòîíà
Ëåéáíèöà íà îòðåçêå [−1, 1] íåâåðíà:
1
1
0 = ∫ 0dx = ∫ f (x)dx ≠ F (x)∣
−1
−1
1
−1
=2
Ïóñòü èíòåãðèðóåìàÿ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèÿ f òåðïèò ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà âî
âíóòðåííèõ òî÷êàõ ci ∈ (a, b), i = 1, p, è, ìîæåò áûòü, â òî÷êàõ a è b. Ïóñòü, êðîìå òîãî,
ðàâåíñòâî F ′ (x) = f (x) çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê ðàçðûâà. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:
2.
b
p
∫ f (x) dx = F (b − 0) − F (a + 0) − ∑ (F (ck − 0) − F (ck + 0)).
a
k=1
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
Çàì.
169
Ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê.
′
Ïóñòü F äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b]. F ∈ R[a, b]. Òîãäà
 ýòîé ôîðìóëèðîâêå òàêæå ìîæíî
ðàçðåøèòü ôóíêöèè F ∈ C[a, b] íå
èìåòü ïðîèçâîäíîé íà êîíå÷íîì
ìíîæåñòâå òî÷åê.
b
′
∫ F (x) dx = F (b) − F (a).
a
Çàì.
Óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè íà [a, b] ôóíêöèè F
′
â ïðåäûäóùåì
çàìå÷àíèè îïóñòèòü íåëüçÿ, ò.ê. ïðîèçâîäíàÿ ìîæåò áûòü è íå
èíòåãðèðóåìîé, è òîãäà èíòåãðàë Ðèìàíà îò íå¼ íå èìååò ñìûñëà.
Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî âñÿêàÿ
ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ïåðâîîáðàçíóþ
íà îòðåçêå, îáÿçàòåëüíî äîëæíà
áûòü èíòåãðèðóåìà íà í¼ì?
Âîçüì¼ì â êà÷åñòâå ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèþ:
⎧
2
1
⎪
⎪x sin x2 ,
F (x) = ⎨
⎪
⎪
0,
⎩
x ≠ 0,
x = 0;
⎧
2
1
1
⎪
⎪
⎪2x sin x2 − cos x2 ,
x
äëÿ íå¼ F (x) = ⎨
⎪
⎪
0,
⎪
⎩
′
x ≠ 0,
x = 0;
Ôóíêöèÿ F ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â êà÷åñòâå ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ñâîåé ïðîèçâîäíîé íà êàêîì-ëèáî îòðåçêå, ñîäåðæàùåì òî÷êó 0 (ñêàæåì, íà
[−1, 1]). Ïîëó÷åííàÿ íà [−1, 1] ïðîèçâîäíàÿ F ′ = f íåîãðàíè÷åíà â ëþáîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè 0. Ñëåäîâàòåëüíî, îíà íå èíòåãðèðóåìà íà [−1, 1], è ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà äëÿ íå¼ íå âûïîëíåíà. Äàííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî èíòåãðàë Ðèìàíà íå âñåãäà ðåøàåò çàäà÷ó âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèè
ïî å¼ ïðîèçâîäíîé.
Ôóíêöèÿ Ðèìàíà R èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì êîíå÷íîì îòðåçêå. Ðàññìîòðèì
x
ôóíêöèþ Φ(x) = ∫ R(t) dt, ãäå x ∈ (a, b]. Â ñèëó èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè
a
R çàêëþ÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ Φ îïðåäåëåíà íà [a, b], è ò.ê. ∀x ∈ (a, b] èìååì
x
′
∫ R(t)dt = 0, òî Φ ≡ 0. Ñëåäîâàòåëüíî, Φ ≡ 0 ≠ R. Ò.å. ïîñòðîåííàÿ ôóíêöèÿ Φ
a
íå åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè R íà [a, b]. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî
ôóíêöèÿ Ðèìàíà íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà [a, b].
Áîëåå ïðîñòûì ïðèìåðîì èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè, íå èìåþùåé ïåðâîîáðàçíóþ, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ f (x) =
sgnx.
1
Ïîïðîáóåì âû÷èñëèòü èíòåãðàë: ∫
−1
1
+1
x2
dx
1
+
x2
x2
1 + x2 x≠0
∫ 1 + x4 dx = ∫
=∫
1 + x2
dx. Íàéä¼ì ïåðâîîáðàçíóþ:
1 + x4
d (x − x1 )
2 − (x −
1 2
)
x
1
x2 − 1
= √ arctg √ + C, x ≠ 0.
2
x 2
Åñëè ïîäñòàâèòü ýòó ïåðâîîáðàçíóþ â ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, ïîëó÷èì:
1
1
x2 − 1 1
1 + x2
∫ 1 + x4 dx = √ arctg √ ∣−1 = 0 − 0 = 0.
2
x 2
−1
×òî, ïîíÿòíîå äåëî, íåâåðíî, ò.ê. ïîëó÷åííàÿ íàìè ïåðâîîáðàçíàÿ ðàçðûâíà
Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî âñÿêàÿ
ôóíêöèÿ, èíòåãðèðóåìàÿ íà
îòðåçêå, îáÿçàòåëüíî äîëæíà
èìåòü ïåðâîîáðàçíóþ íà í¼ì?
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
170
â íóëå. Òðåáîâàëîñü, ëèáî íàéòè íåïðåðûâíóþ ïåðâîîáðàçíóþ
√
√
1
F (x) = √ ( arctg (1 + x 2) + arctg (1 − x 2)),
2
1
0
−1
−1
1
π
2
ëèáî ðàçáèòü èñõîäíûé èíòåãðàë íà äâà: ∫ = ∫ + ∫ = . . . = √ .
0
Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
7
171
Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
Ïóñòü ôóíêöèè u, v äèôôåðåíöèðóåìû íà
[a, b], à u , v ∈ R[a, b]. Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
Òåîðåìà 73. (èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì).
′
′
b
b
b
′
′
∫ u(x) v (x) dx = u(x) v(x)∣a − ∫ u (x) v(x) dx.
a
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî èç óñëîâèé òåîðåìû, è ñîîòâåòñòâóþùèõ óòâåð′
′
æäåíèé èç ïðåäûäóùèõ ïóíêòîâ, ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè u v è uv èíòåãðè′
′
′
ðóåìû íà [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî è ïðîèçâîäíàÿ (u v) = u v + uv èíòåãðèðóåìà
íà [a, b]. Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà:
b
b
b
b
′
′
′
∫ u(x) v (x) dx + ∫ u (x) v(x) dx = ∫ (u(x) v(x)) dx = u(x)v(x)∣a .
a
a
a
Îñòà¼òñÿ ïåðåíåñòè âòîðîå ñëàãàåìîå èç ëåâîé ÷àñòè â ïðàâóþ.
Èíîãäà ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì çàïèñûâàþò â âèäå:
b
b
b
∫ u dv = u v∣a − ∫ v du,
a
′
a
′
òðàêòóÿ u (x)dx è v (x)dx êàê äèôôåðåíöèàëû.
⎧
2
u = ln x, dv = dx⎫
⎪
⎪
2
⎪
⎪
x
⎪
⎪
=
x
ln
x∣
−
⎬
ln
x
dx
=
⎨
∫ x dx = 2 ln 2 − 1.
∫
dx
⎪
⎪
1
⎪
⎪
du
=
,
v
=
x
⎪
⎪
1
1
⎭
⎩
x
2
Ïóñòü f ∈ C[a, b]; φ ∶
[α, β] → [a, b], φ äèôôåðåíöèðóåìà íà [α, β], φ′ ∈ R[α, β]. Òîãäà
Òåîðåìà 74. (çàìåíà ïåðåìåííîé â îïðåäåë¼ííîì èíòåãðàëå).
φ(β)
β
a ′
∫ (f ○ φ)(t) φ (t) dt = ∫ f (x) dx.
α
(ÇÏ)
φ(α)
a (f ○ φ)(t) = f (φ(t))
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñêîëüêó, ïî òåîðåìå î íåïðåðûâíîñòè êîìïîçèöèè ôóíê′
′
öèé, f ○ φ ∈ C[α, β] ⊂ R[α, β], φ ∈ R[α, β], òî (f ○ φ) φ ∈ R[α, β], êðîìå òîãî
f ∈ R[φ(α), φ(β)].
f ∈ C ñëåäîâàòåëüíî ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ F òàêàÿ, ÷òî F ′ = f íà [a, b].
(F ○ φ)′ = a = (F ′ ○ φ) ⋅ φ′ = (f ○ φ) ⋅ φ′ íà [α, β].
′
Ïîýòîìó, F ○ φ ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ (f ○ φ) ⋅ φ . Ïðèìåíÿÿ ê íèì ôîðìóëó
Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, ïîëó÷èì:
β
t=β
x=φ(β)
φ(β)
′
∫ (f ○ φ)(t) ⋅ φ (t) dt = (F ○ φ)(t)∣t=α = F (x)∣x=φ(α) = ∫ f (x) dx.
α
φ(α)
Èíòåãðàëüíûé ÷ëåí â ôîðìóëå Òåéëîðà
172
a (F (φ(t)))′ = F ′ (φ(t)) ⋅ φ′ (t) = f (φ(t)) ⋅ φ′ (t)
Çàìåíà ïåðåìåííîé â èíòåãðàëå ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ, êàê ñëåâà íàïðàâî,
òàê è ñïðàâà íàëåâî.
b
Çàì.
Ïóñòü â èíòåãðàëå ∫ f (x) dx ïðîèçâîäèòñÿ çàìåíà x = φ(t). Â ýòîì
a
äèôôåðåíöèàë: dx = φ′ (t)dt. Òðåáóåòñÿ
ïîìåíÿòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ a → α, b → β , ãäå φ(α) = a,
φ(β) = b. Ïîëó÷àåì:
ñëó÷àå, dx òðàêòóåòñÿ êàê
β
b
′
∫ f (x)dx = ∫ (f ○ φ)(t) ⋅ φ (t) dt
a
α
 îòëè÷èè îò íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà, ïðè âû÷èñëåíèè îïðåäåë¼ííîãî, íå
íàäî âîçâðàùàòüñÿ ê ñòàðîé ïåðåìåííîé, íî íóæíî ïîìåíÿòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ.
Çàì.
 óñëîâèÿõ òåîðåìû íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ φ(t) ìîãóò íå ïðèíàäëåæàòü îòðåçêó [φ(α), φ(β)], íî âàæíî, ÷òîáû âñå îíè ïðèíàäëå-
æàëè îòðåçêó [a, b], íà êîòîðîì îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f . Êðîìå
òîãî, íèæíèé ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ íå îáÿçàòåëüíî ìåíüøå
âåðõíåãî. Íàïðèìåð, åñëè φ ↓ , α < β , òî φ(α) > φ(β).
Çàì.
 òåîðåìå î çàìåíå ïåðåìåííîé íà ôóíêöèè f è φ ìîæíî íàêëàäûâàòü äðóãèå îãðàíè÷åíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè ôóíêöèÿ φ
′
äèôôåðåíöèðóåìà è ñòðîãî ìîíîòîííà íà [α, β], è φ èíòåãðèðó-
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ
ñì., íàïðèìåð, â [Çâåðîâè÷ II],
ñ.74-76.
åìà íà [α, β], à f èíòåãðèðóåìà íà [φ(α), φ(β)] (èëè íà [φ(β), φ(α)],
åñëè φ(α) > φ(β)), òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (ÇÏ)
 ýòîé ôîðìóëèðîâêå íà ôóíêöèþ f íàêëàäûâàþòñÿ áîëåå ìÿãêèå óñëîâèÿ, à íà
ôóíêöèþ φ áîëåå ñòðîãèå.
⎧
⎫
⎪
⎪
1 + x2 = t,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
4
⎪
⎪
⎪
√
⎪
⎪
√
2xdx = dt, ⎪
⎪
⎪ 1
3
2 dx = ⎨
x
1
+
x
⎬
=
∫
∫ (t − 1) t dt =
⎪
⎪
2
⎪
⎪
x
=
0
→
1
=
t,
⎪
⎪
0
1
⎪
⎪
⎪
⎪
√
⎪
⎪
⎪
⎪x = 3 → 4 = t ⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
1 2 5/2 2 3/2 4 58
= ( t − t )∣ =
.
2 5
3
15
1
√
3
8
Èíòåãðàëüíûé ÷ëåí â ôîðìóëå Òåéëîðà.
Òåîðåìà 75. (ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòêîì â èíòåãðàëüíîé ôîðìå).
Ïóñòü n = 0, 1, 2, . . .,
îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ê.
ßêîáè.
Èíòåãðàëüíûé ÷ëåí â ôîðìóëå Òåéëîðà
173
f ∈ C (n+1) (), x0 , x ∈. Òîãäà
x
f (k) (x0 )
1
(x − x0 )k +
f (n+1) (t) ⋅ (x − t)n dt.
k!
n! ∫
k=0
n
f (x) = ∑
x0
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçóåìñÿ
ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
x
′
Ïðè n = 0 ïîëó÷àåì: f (x) = f (x0 ) + ∫ f (t)dt ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà.
x0
Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ íåêîòîðîãî (n − 1) ⩾ 0. Ò.å. âûïîëíåíî:
n−1
f (x) = ∑
k=0
x
f (k) (x0 )
1
(x − x0 )k +
f (n) (t) ⋅ (x − t)n−1 dt.
k!
(n − 1)! ∫
x0
Äîêàæåì åãî äëÿ n:
x
x
∫ f
(n)
x0
x
(x − t)n−1
(x − t)n
1
(t)
dt = − ∫ f (n) (t)d (
) = − f (n) (t)(x − t)n ∣ +
(n − 1)!
n!
n!
x0
x0
x
+
x
f (n) (x0 )
1
1
f (n+1) (t) (x − t)n dt =
f (n+1) (t) (x − t)n dt.
(x − x0 )n +
∫
n!
n!
n! ∫
x0
x0
Îòêóäà,
n−1
f (x) = ∑
k=0
x
f (n) (x0 )
f (k) (x0 )
1
(x − x0 )k +
(x − x0 )n +
f (n+1) (t) (x − t)n dt =
k!
n!
n! ∫
x0
x
f (k) (x0 )
1
(x − x0 )k +
f (n+1) (t) (x − t)n dt.
k!
n! ∫
k=0
n
=∑
x0
Çàì.
(n+1)
∈ C , (x − t)n ⩾ 0, t ∈ [x0 , x]) â
óñëîâèÿõ òåîðåìû Òåéëîðà ñ îñòàòêîì â èíòåãðàëüíîé ôîðìå íàéä¼òñÿ ξ ∈ (x0 , x) :
Ïî ïåðâîé òåîðåìå î ñðåäíåì (f
x
x
f (n+1) (ξ)
f (n+1) (ξ)
1
f (n+1) (t) (x − t)n dt =
(x − t)n dt =
(x − x0 )n+1 .
∫
∫
n!
n!
(n + 1)!
x0
ïîëó÷èëè
x0
îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà.
Ëàãðàíæåâà ôîðìà îñòàòêà ñëåäóåò èç èíòåãðàëüíîé (ïðàâäà ïðè áîëåå æ¼ñòêèõ
óñëîâèÿõ íà ôóíêöèþ f ). Ãëàâíîå ïðåèìóùåñòâî èíòåãðàëüíîé ôîðìû ýòî òî, ÷òî
îíà íå ñîäåðæèò íåèçâåñòíîé òî÷êè ξ .
ÃËÀÂÀ
Íåñîáñòâåííûå
XI
èíòåãðàëû
1
Îïðåäåëåíèÿ. Ââîäíûå ñîîáðàæåíèÿ
Ïðè ïîñòðîåíèè îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà (èëè ñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà)
b
∫ f (x)dx áûëî ñóùåñòâåííî âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
a
1. îòðåçîê [a, b] êîíå÷åí, ò.å. −∞ < a < b < +∞;
2. ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà [a, b];
3. ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà ïî÷òè âñþäó íà [a, b].
Åñëè íå âûïîëíåíî óñëîâèå 1., òî ïî ìåíüøåé ìåðå îäèí èç îòðåçêîâ ðàçáèåíèÿ [a, b] áóäåò áåñêîíå÷íûì, è ïîýòîìó òåðÿåò ñìûñë èíòåãðàëüíàÿ ñóììà στ (f, ξ) =
n
∑ f (ξk )∆xk . Ïðè íåâûïîëíåíèè óñëîâèÿ 2., íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå
k=1
èíòåãðèðóåìîñòè ïî Ðèìàíó. Åñëè íå âûïîëíåíî 3., òî íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
èç êðèòåðèÿ Ëåáåãà.
Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî óñëîâèå 3. âûïîëíåíî.
Èíòåãðàëû, äëÿ êîòîðûõ íå âûïîëíåíî óñëîâèå 1. èëè 2. íàçûâàþòñÿ
íåñîáñòâåííûìè èíòåãðàëàìè. Îáîçíà÷åíèå òàêîå æå, êàê è äëÿ èíòåãðàëîâ Ðèìàíà.
Îïðåäåëåíèå.
b
Îïðåäåëåíèå. Îñîáûìè òî÷êàìè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà
∫ f (x)dx áóäåì íàçûâàòü
a
âñå òî÷êè îòðåçêà [a, b], â îêðåñòíîñòÿõ êîòîðûõ ôóíêöèÿ f íå îãðàíè÷åíà. Ê îñîáûì
òî÷êàì ïðè÷èñëÿþò òàêæå òî÷êè ±∞.
Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìîé (ïî Ðèìàíó) íà ïðîåñëè f èíòåãðèðóåìà (ïî Ðèìàíó) íà êàæäîì îòðåçêå, ñîäåðæàùåìñÿ â
E. Îáîçíà÷åíèå f ∈ Rℓoc (E).
Îïðåäåëåíèå 3.
ìåæóòêå E,
Îïðåäåëåíèå 4.
ñòè÷íîãî )
Ïóñòü f ∈ Rℓoc ([a, +∞)) (ò.å. f ∈ R([a, A), ∀ A > a). Ïðåäåë (÷àA
èíòåãðàëà ∫ f (x) dx (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé) ïðè A → +∞ íàçûâàþò
a
íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f ïî ëó÷ó [a, +∞). Îáîçíà÷åíèå:
+∞
A
a
a
lim ∫ f (x) dx.
∫ f (x)dx = A→∞
Åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí, ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
+∞
∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ, à ôóíêöèþ f íàçûâàþò èíòåãðèðóåìîé íà [a, +∞) (â íåñîáa
174
Ñåêöèÿ 1. Îïðåäåëåíèÿ.
Ââîäíûå ñîîáðàæåíèÿ
Ñåêöèÿ 2. Èññëåäîâàíèå
ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ
èíòåãðàëîâ
Ñåêöèÿ 3. Cïåöèàëüíûå
ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
Ñåêöèÿ 4. Ñõîäèìîñòü â
ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ
(ïî Êîøè)
Îïðåäåëåíèÿ. Ââîäíûå ñîîáðàæåíèÿ
ñòâåííîì ñìûñëå ).
175
+∞
Îáîçíà÷åíèå:
∫ f (x)dx →.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïðî èíòåãðàë ãîa
+∞
âîðÿò, ÷òî îí ðàñõîäèòñÿ, à ôóíêöèÿ f íå èíòåãðèðóåìà. Îáîçíà÷åíèå: ∫ f (x)dx Ð→
/ .
a
Èíòåãðàë îò ôóíêöèè f ïî áåñêîíå÷íîìó ïðîìåæóòêó (−∞, +∞) îïðåäåëÿåòñÿ
+∞
êàê: ∫ f (x)dx =
−∞
A
lim ∫ f (x) dx, ïðè íåçàâèñèìîì ñòðåìëåíèè A → +∞, A′ → −∞.
Ïóñòü f ∈ Rℓoc ([a, b)) (ò.å. f ∈ R[a, b − ε], ∀ε > 0). Ïðåäåë èíòåãðà-
B
ëà ∫ f (x) dx (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé), ïðè B → b − 0 íàçûâàþò íåñîáñòâåía
íûì èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäà îò ôóíêöèè f ïî ïðîìåæóòêó [a, b). Îáîçíà÷åíèå:
b
B
lim ∫ f (x)dx.
∫ f (x)dx =B→b−0
a
a
Ñóòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ëþáîé îêðåñòíîñòè êîíå÷íîé
òî÷êè ôóíêöèÿ f ìîæåò îêàçàòüñÿ
íåîãðàíè÷åííîé.
Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ñ îñîáåííîñòüþ íà
b
b
ëåâîé ãðàíèöå èíòåãðèðîâàíèÿ: ∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx.
A→a+0
a
A
 ñëó÷àå, êîãäà ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí, ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåíb
íûé èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ, à (íåîãðàíè÷åííóþ) ôóíêöèþ f íàçûâàþò èíòåa
ãðèðóåìîé íà [a, b] (â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå )  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïðî èíòåãðàë
ãîâîðÿò, ÷òî îí ðàñõîäèòñÿ, à ôóíêöèÿ f íå èíòåãðèðóåìà.
Åñëè òî÷êà c, â êîòîðîé ôóíêöèÿ f íå îãðàíè÷åíà íàõîäèòñÿ âíóòðè îòðåçêà
b
b
⎛ c−ε1
⎞
⎜ ∫ f (x) dx + ∫ f (x)dx⎟ ,
∫ f (x)dx = ε lim
1 →0+0
⎠
ε2 →0+0 ⎝ a
a
c+ε2
ïðè îäíîâðåìåííîì, íî
íåçàâèñèìîì ñòðåìëåíèè ê íóëþ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ε1
è ε2 .
+∞ dx
Ïðè êàêèõ α ∈ R ñõîäèòñÿ èíòåãðàë ∫
1
xα
?
⎧
⎧ 1
x1−α A
⎪
A
⎪
⎪
, åñëè α > 1,
∣ , α ≠ 1,
dx ⎪
dx ⎪
⎪
⎪
1−α 1
Ô⇒ lim ∫ α = ⎨ α − 1
∫ xα = ⎨
A→+∞
⎪
⎪
x
⎪
⎪
A
⎪
⎪
1
1
⎪
ln
x∣
,
α
=
1
⎩ +∞ , åñëè α ⩽ 1.
1
⎩
A
1
Ïðè êàêèõ α ∈ R ñõîäèòñÿ èíòåãðàë ∫
0
dx
xα
?
⎧
⎧ 1
x1−α 1
⎪
1
⎪
⎪
⎪
, åñëè α < 1,
∣ , α ≠ 1,
dx ⎪
dx ⎪
⎪
1−α A
Ô⇒ lim ∫ α = ⎨ 1 − α
∫ xα = ⎨
A→0+0
⎪
⎪
x
⎪
⎪
1
⎪
⎪
A
A
⎪
ln
x∣
,
α
=
1
⎩ +∞ , åñëè α ⩾ 1.
A
⎩
1
−∞
A→+∞ A′
A′ →−∞
Îïðåäåëåíèå 5.
[a, b], òîãäà:
+∞
Îïðåäåëåíèå ∫ f (x)dx.
b−ε
Èíîãäà ïèøóò: ∫ f (x)dx ïðè ε →
a
0 + 0.
Îïðåäåëåíèÿ. Ââîäíûå ñîîáðàæåíèÿ
176
Ò.ê. èññëåäîâàíèå íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäîâ ïðîõîäèò ïî àíàëîãè÷íûì ñõåìàì, òî ââåä¼ì îáùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 6.
→ω
Ïóñòü −∞ < a < ω ⩽ +∞, f ∈ Rℓoc ([a, ω)). Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
→ω
∫ f (x) dx íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ∫ f (x) dx ∶=
a
a
lim ∫a f (x) dx, è ýòîò ïðåäåë êëàä¼ì ðàâíûì äàííîìó èíòåãðàëó.
A→ω
A
A∈[a,ω)
Åñëè −∞ ⩽ ω1 < ω2 ⩽ +∞, f ∈ Rℓoc ((ω1 , ω2 )), òî
→ω2
→ω2
c
a
∫ f (x) dx ∶= ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx.
→ω1
→ω1
c
Åñëè îáà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëà ïðàâîé ÷àñòè ñõîäÿòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è
íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
→ω2
∫ f (x) dx. Åñëè õîòÿ áû îäèí èç ýòèõ èíòåãðàëîâ
→ω1
ðàñõîäèòñÿ, òî ðàñõîäèòñÿ è ëåâûé èíòåãðàë.
a Âûáîð òî÷êè c ïðîèçâîëåí.
Ïóñòü −∞ ⩽ ω0 < ω1 < . . . < ωn ⩽ +∞ ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê íåñîáñòâåííîãî
èíòåãðàëà
→ωn
∫ f (x) dx. Òîãäà:
→ω0
→ω1
→ωn
→ω2
→ωn
∫ f (x) dx ∶= ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx + . . . + ∫
→ω0
→ω0
→ω1
f (x) dx,
→ωn−1
îí ñ÷èòàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ (ðàñõîäÿùèìñÿ), åñëè ñõîäèòñÿ âñå (íå âñå) íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïðàâîé ÷àñòè.
Óòâåðæäåíèå 1.1. (ñâîéñòâà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ).
f ∈ Rℓoc ([a, ω)), òîãäà
Ïóñòü −∞ < a < ω ⩽ +∞ è
ω
1. åñëè ω ∈ R, òî çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà ∫ f (x)dx, ïîíèìàåìîãî, êàê â ñîáñòâåííîì, òàê
a
è â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå ñîâïàäàþò, ò.å.
→ω
lim ∫
∫ f (x) dx = A→ω
A∈[a,ω)
a
→ω
c
a
A
ω
f (x) dx = ∫ f (x) dx
a
→ω
2. åñëè c ∈ [a, ω), òî ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx.
a
3. (çàìåíà
a
c
ïåðåìåííîé â íåñîáñòâåííîì èíòåãðàëå):
åñëè
φ ∶ [α, γ) ↦ [a, ω)
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå, ñòðîãî ìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå. Ïðè÷¼ì,
φ(α) = a, φ(β) → ω , ïðè β → γ , β ∈ [α, γ). Òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè
Ñèìâîë →
ω óïîòðåáëÿåòñÿ
äëÿ òîãî, ÷òîáû âûäåëèòü
(åäèíñòâåííóþ) îñîáåííîñòü.
Îïðåäåëåíèÿ. Ââîäíûå ñîîáðàæåíèÿ
177
(f ○ φ) φ′ íà [α, γ) ñóùåñòâóåò, è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
→γ
→ω
′
∫ (f ○ φ)(t) ⋅ φ (t) dt = ∫ f (x)dx.
α
a
Çàìåíà ïåðåìåííîé â ñîáñòâåííîì èíòåãðàëå ìîæåò ïðèâåñòè ê
íåñîáñòâåííîìó èíòåãðàëó, è îáðàòíî.
+∞
π
+∞
dx
1
2 dt
x
2 dt
=∫
=
∫ 2 + cos x = {t = tg 2 } = ∫
1−t2 1 + t2
3 + t2
2 + 1+t2
0
0
0
t +∞ π
2
= √ arctg √ ∣ = √ .
3
30
3
4. (èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì â íåñîáñòâåííîì èíòåãðàëå): Åñëè ôóíêöèè f è g
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà ïðîìåæóòêå [a, ω) è ∃ x→ω
lim (f g)(x), òî ôóíêx∈[a,ω)
öèè f g ′ è f ′ g îäíîâðåìåííî èíòåãðèðóåìû èëè íå èíòåãðèðóåìû â íåñîáñòâåííîì
ñìûñëå íà [a, ω), è â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
→ω
→ω
′
∫ (f g )(x)dx = (f g)(x)∣a
→ω
− ∫ (f ′ g)(x)dx,
a
ãäå (f g)(x)∣
→ω
a
a
= x→ω
lim (f g)(x) − (f g)(a)
x∈[a,ω)
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. Cëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì
A
F (A) = ∫ f (x)dx íà îòðåçêå [a, ω], íà êîòîðîì ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà.
a
c
A
A
a òî f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. Ïðè A → ω , A ∈ [a, ω)
∫
∫
∫
2. Åñëè A ∈ (c, ω),
a
a
c
ïðåäåë îáåèõ ÷àñòåé ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñóùåñòâóåò èëè íåò îäíî→ω
→ω
a
c
âðåìåííî, ò.å. íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ∫ f (x) dx è ∫ f (x) dx ñõîäÿòñÿ
èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.
b=φ(β)
3. Ñëåäóåò èç ôîðìóëû
∫
β
f (x)dx = ∫ (f ○ φ)(t)φ′ (t)dt çàìåíû ïåðåìåííîé
a=φ(α)
α
â îïðåäåë¼ííîì èíòåãðàëå.
4. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íóæíî óñòðåìèòü A → ω , A ∈ [a, ω) â ôîðìóëå
A
A
A
′
′
∫ (f g )(x) dx = (f g)(x)∣a − ∫ (f g)(x) dx
a
a
èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â ñîáñòâåííîì èíòåãðàëå.
a ðàíî èëè ïîçäíî ýòî ïðîèçîéäåò, ò.ê. A → ω , A ∈ [a, ω), à c ôèêñèðîâàíî.
Çàì.
1
íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë âòîω−x
ðîãî ðîäà ñ îñîáåííîñòüþ â òî÷êå ω ïðèâîäèòñÿ ê íåñîáñòâåííîìó èíòåãðàëó ïåðâîãî ðîäà. Ïðè ýòîì îñîáåííîñòü âòîðîãî ðîäà
Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè t =
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
178
ïðåîáðàçóåòñÿ â îñîáåííîñòü ïåðâîãî ðîäà.
2
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
Òåîðåìà 76. (Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà).
+∞
Äëÿ
ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ∫ f (x) dx íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûa
ïîëíÿëîñü óñëîâèå Êîøè a :
RRR A1
RRR
A2
RRRR RRRR A2
R
R
∀ε > 0 ∃A0 (ε) > a ∶ ∀A1 , A2 ⩾ A0 (ε) ⇒ RRRRR∫ f (x)dx −∫ f (x)dxRRRRR = RRRRR∫ f (x)dxRRRRR < ε.
RRR
RRR
RRR RRR
a
R
Ra
R RA1
a Óñëîâèå Êîøè äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ âòîðîãî ðîäà èìååò âèä:
RRR
RRR b2
RR
RRR
R
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀b1 , b2 , b − δ < b1 < b2 < b ⇒ RR∫ f (x)dxRRRR < ε.
RRR
RRR
RR
RRb1
A
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü F (A) = ∫ f (x)dx. Òîãäà ïî êðèòåðèþ Êîøè ñóùåñòâîa
âàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè íà áåñêîíå÷íîñòè,
∃ lim F (A) < ∞ ⇐⇒
A→+∞
RRR
RRR A2
R
R
⇔ ∀ε > 0∃A0 (ε) > a ∶ ∀A1 , A2 ⩾ A0 (ε) ⇒ ∣F (A1 ) − F (A2 )∣ = RRRRR∫ f (x)dxRRRRR < ε.
RRR
RRR
R
RA1
∞
Îòðèöàíèå: (óñëîâèÿ Êîøè ): ∫ f (x)dx Ð→
/ ⇐⇒
RRR
RRR A2
R
R
⇐⇒ ∃ε0 > 0 ∶ ∀A0 > a ∃A1 , A2 ⩾ A0 , äëÿ êîòîðûõ RRRRR∫ f (x)dxRRRRR ⩾ ε0 .
RRR
RRR
R
RA1
a
Êðèòåðèé Êîøè ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ðàñõîäèìîñòè èíòåãðàëîâ. Åñëè ñóùåñòâóþò ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An } è {Bn }, ÷òî
Bn
/ 0, òî íåñîáAn , Bn > a è An ÐÐÐ→ ∞, Bn ÐÐÐ→ ∞. Äëÿ êîòîðûõ ∫ f (x)dx Ð→
n→∞
n→∞
An
∞
ñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x)dx ðàñõîäèòñÿ.
a
Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè äëÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà.
Ïóñòü
f ∶ [a, +∞) ↦ R,
f ⩾ 0 è f ∈ Rℓoc ([a, +∞)).
A
(∗)
 ýòîì ñëó÷àå, (÷àñòè÷íûé) èíòåãðàë F (A) = ∫ f (x)dx ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé àðãóìåíòà A.
a
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
Ëåììà.
179
Ïóñòü äëÿ ôóíêöèè f âûïîëíåíû óñëîâèÿ (∗). Äëÿ ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî
+∞
A
èíòåãðàëà ∫ f (x)dx íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ F (A) = ∫ f (x)dx áûëà
a
a
îãðàíè÷åíà ñâåðõó.
 ñèëó çàìå÷àíèÿ, ñäåëàííîãî âûøå (F ↗), óòâåðæäåíèå
Äîêàçàòåëüñòâî.
ëåììû âûòåêàåò èç êðèòåðèÿ ñõîäèìîñòè ìîíîòîííîé ôóíêöèè.
Òåîðåìà 77. (ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ).
Ïóñòü
f, g ∈ Rℓoc ([a, +∞)) è ∀x ⩾ a Ô⇒ 0 ⩽ f (x) ⩽ g(x).
+∞
Òîãäà èç ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ∫ g(x)dx âûòåêàåò ñõîäèìîñòü èíòåãðà+∞
+∞
a
+∞
+∞
ëà ∫ f (x)dx, è ∫ f (x)dx ⩽ ∫ g(x)dx, à èç ðàñõîäèìîñòè èíòåãðàëà ∫ f (x)dx âûòåêàåò
a
a
+∞
a
a
ðàñõîäèìîñòü ∫ g(x)dx.
a
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç óñëîâèé òåîðåìû è íåðàâåíñòâ äëÿ ñîáñòâåííîãî èíòå-
ãðàëà Ðèìàíà ïðè ∀A ⩾ a âûïîëíåíî:
A
A
F (A) = ∫ f (x)dx ⩽ ∫ g(x)dx = G(A).
a
a
Ïîñêîëüêó F ↗ è G ↗, òî òåîðåìà ñëåäóåò èç íàïèñàííîãî íåðàâåíñòâà è
ëåììû.
Ñëåäñòâèå 1.Ïóñòü f, g ∈ Rℓoc ([a, +∞)); f, g ⩾ 0, f = O(g), x → +∞. Òîãäà
+∞
+∞
a
a
1. åñëè ∫ g(x)dx →, òî è ∫ f (x)dx →;
+∞
+∞
a
a
2. åñëè ∫ f (x)dx Ð→
/ , òî è ∫ g(x)dx Ð→
/ .
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. Ò.ê. f = O(g), x → +∞, òî ∃∆ > a, ∃C > 0, ÷òî:
A
A
f (x) ⩽ C g(x), ïðè ∀x > ∆ Ô⇒ ∫ f (x)dx ⩽ C ⋅ ∫ g(x)dx,
∆
A
∆
A
ò.å. îñòàòîê èíòåãðàëà ∫ f (x)dx îãðàíè÷åí, åñëè îñòàòîê èíòåãðàëà ∫ g(x)dx
îãðàíè÷åí.
a
a
+∞
2. Åñëè áû íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ g(x)dx ñõîäèëñÿ, òî ïî 1. ñõîäèëñÿ áû
+∞
è ∫ f (x)dx, ÷òî íåâåðíî.
a
a
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
180
Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü f, g ∈ Rℓoc ([a, +∞)); f, g ⩾ 0, f ≍ g.a Òîãäà íåñîáñòâåííûå èíòå+∞
+∞
a
a
ãðàëû ∫ f (x)dx è ∫ g(x)dx ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.
a Ò.å. ∃C , C > 0, ∃∆ > a : C f (x) ⩽ g(x) ⩽ C f (x), ∀x > ∆ > a.
1
2
1
2
Òåîðåìà 78. (ïðèçíàê ñõîäèìîñòè â ïðåäåëüíîé ôîðìå).
f (x)
f, g ⩾ 0; ∃ lim
= k. Òîãäà ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ:
x→+∞ g(x)
+∞
+∞
a
a
Ïóñòü f, g ∈ Rℓoc ([a, +∞));
1. åñëè 0 < k < +∞, òî ∫ f (x)dx → ⇐⇒ ∫ g(x)dx →;
+∞
+∞
a
a
2. åñëè k = 0, òî åñëè ∫ g(x)dx →, òî è ∫ f (x)dx →;
+∞
+∞
a
a
3. åñëè k = +∞, òî åñëè ∫ g(x)dx Ð→
/ , òî è ∫ f (x)dx Ð→
/ ;
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. Ò.ê. lim
x→+∞
f (x)
= k ∈ (0, +∞), òî
g(x)
∀ε > 0 ∃∆(ε) ∶ ∀x ⩾ ∆(ε) Ô⇒ ∣
⇐⇒
ε= k
>0
f (x)
2
− k∣ < ε ⇐⇒
g(x)
k f (x) 3k
k
3k
⩽
⩽
⇐⇒ ⋅ g(x) ⩽ f (x) ⩽
⋅ g(x).
2 g(x)
2
2
2
Äàëåå ñì. ñëåäñòâèå 2.
2. åñëè
lim
x→+∞
f (x)
= 0, òî f = o(g), x → +∞ è f (x) ⩽ g(x), ∀x ⩾ ∆. Äàëåå ñì.
g(x)
òåîðåìó 2.
3. åñëè
lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= +∞, òî lim
= 0 è f (x) ⩾ g(x), ∀x ⩾ ∆. Äàëåå ñì.
x→+∞ f (x)
g(x)
òåîðåìó 2.
Ïóñòü a > 0, f ∶ [a, +∞) ↦ R+ , f (x) ⩾ 0,
1
∃p ∈ R è ∃k, 0 < k < +∞, ÷òî lim (x f (x)) = k, ò.å. f = O∗ ( p ) , x → +∞. Òîãäà ïðè p > 1
x→+∞
x
Òåîðåìà 79. (÷àñòíûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ). 1.
p
+∞
íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ, à ïðè p ⩽ 1 ðàñõîäèòñÿ.
a
2.
Ïóñòü −∞ < a < b < +∞, è f ∶ [a, b) ↦ R+ , f (x)⩾0, ∃p ∈ R è ∃k, 0 < k < +∞, ÷òî lim (b −
x→b−0
→b
1
) , x → b−0. Òîãäà ïðè p < 1 èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ,
x) f (x) = k, ò.å. f = O (
(b − x)p
a
à ïðè p ⩾ 1 ðàñõîäèòñÿ.
∗
p
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç òåîðåìû
3 è ïîâåäåíèÿ èíòåãðàb
1
1
ëîâ ∫
dx è ∫
dx, êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ ÿâíî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ
p
p
a x
a (b − x)
ïàðàìåòðà p.
+∞
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
Çàì.
181
Ïîñëåäíèé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ îòíîñèòñÿ ê íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèÿì ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà. Îí
äà¼ò îòâåò î ñõîäèìîñòè (ðàñõîäèìîñòè) èíòåãðàëà âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðèìåíèì.
1
1
), ïðè x → +∞, f (x) = O∗ ( 1/2 ), ïðè
x3/2
x
x → 0 + 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f íåñîáñòâåííî èíòåãðèðóåìà íà [0, +∞).
Îäíàêî f íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà ýòîì ïðîìåæóòêå.
1) f (x) = √
1
∗
x3 + x
2)
. Èìååì, f (x) = O (
⎧
⎪
⎪n,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
åñëè x = n ∈ N,
åñëè x ∉ N
A
Ô⇒ ∫ f (x)dx = 0, ∀A > 1 Ô⇒
1
+∞
A
Ô⇒ ∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx = 0.
A→+∞
1
Ìîæíî ïîñòðîèòü ïðèìåð
1
íåïðåðûâíîé íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè f òàêîé,
+∞
÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ, ñì. [Âèíîãðàäîâ].
1
Ðàññìîòðèì äàëåå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû îò ôóíêöèé
Çàì.
ïðîèçâîëüíîãî
çíàêà.
 ýòîì ñëó÷àå, îãðàíè÷åííîñòü ÷àñòè÷íûõ èíòåãðàëîâ ÿâëÿåòñÿ
íåîáõîäèìûì, íî íå äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè. Íàïðè+∞
ìåð, íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ cos x dx ðàñõîäèòñÿ, ò.ê. ÷àñòè÷0
A
íûå èíòåãðàëû ∫ cos x dx = sin A íå èìåþò ïðåäåëà ïðè A → +∞.
0
Ïóñòü −∞ < a < b ⩽ +∞, f ∈ Rℓoc ([a, b)).
→b
Îïðåäåëåíèå 7.
Ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, åñëè ñõîäèòñÿ
→b
a
→b
a
a
àáñ
èíòåãðàë ∫ ∣f (x)∣ dx. Îáîçíà÷åíèå: ∫ f (x) dx ÐÐ→ .
→b
Îïðåäåëåíèå 8.
Ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ óñëîâíî, åñëè ñàì îí ñõîäèòa
→b
→b
a
a
óñë
ñÿ, íî èíòåãðàë ∫ ∣f (x)∣ dx ðàñõîäèòñÿ. Îáîçíà÷åíèå: ∫ f (x) dx ÐÐ→.
Òåîðåìà 80.
+∞
Åñëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî îí ñõîa
Ñïåöèàëüíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
182
äèòñÿ. Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
RRR +∞
RRR +∞
RRR
RRR
f
(x)dx
RRR ⩽ ∫ ∣f (x)∣dx.
RRR∫
RRR a
RRR a
Äîêàçàòåëüñòâî.
òåãðàëà ê
Ïðèìåíèì êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èí+∞
ñõîäÿùåìóñÿ èíòåãðàëó ∫ ∣f (x)∣ dx:
a
A2
∀ε > 0 ∃A0 (ε) > a ∶ ∀A2 > A1 ⩾ A0 (ε) Ô⇒ ∫ ∣f (x)∣dx < ε.
A1
A2
A2
Äàëåå, ò.ê. âûïîëíÿåòñÿ: ∣ ∫ f (x)dx∣ ⩽ ∫ ∣f (x)∣dx, òî äëÿ òåõ æå A1 , A2 òåì
A1
A1
A2
áîëåå ñïðàâåäëèâî: ∣ ∫ f (x)dx∣ < ε. Îòêóäà, â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè, âûòåêàåò
A1
+∞
ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà ∫ f (x)dx.
a
Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà. Äëÿ ∀A > a èìååì:
A
A
A
− ∫ ∣f (x)∣dx ⩽ ∫ f (x)dx ⩽ ∫ ∣f (x)∣dx.
a
a
a
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè A → +∞ â ýòîì äâîéíîì íåðàâåíñòâå, ïîëó÷àåì
òðåáóåìîå.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà îòëè÷èå ýòîãî ñâîéñòâà îò àíàëîãè÷íîãî ñâîéñòâà
èíòåãðàëîâ Ðèìàíà. Òàì èç èíòåãðèðóåìîñòè íà ñåãìåíòå [a, b] ôóíêöèè ∣f ∣
íå âûòåêàëà, âîîáùå ãîâîðÿ, èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f .
3
Ñïåöèàëüíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
Ïóñòü ôóíêöèè f, g ∈ Rℓoc ([a, +∞)). Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà:
+∞
∫ f (x) g(x) dx.
(∗)
a
Òåîðåìà 81. (ïðèçíàê Äèðèõëå).
Ïóñòü äëÿ ôóíêöèé f è g âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
x
1. ∃M > 0 ∶ ∀x > a ⇒ ∣∫ f (t)dt∣ ⩽ M ;
a
2. ôóíêöèÿ g ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè x → +∞.
Òîãäà èíòåãðàë (∗) ñõîäèòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî g ↘ 0 ïðè x → +∞.
Òîãäà
∀ε > 0 ∃A0 (ε) > a ∶ ∀x ⩾ A0 (ε) Ô⇒ 0 ⩽ g(x) <
ε
.
M
Ñïåöèàëüíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
183
Äëÿ ∀A2 > A1 ⩾ A0 (ε) ïðèìåíèì âòîðóþ òåîðåìó î ñðåäíåì:
RR ξ
RRR A2
RRR
RRR
RRR RRR
ξ
RRR
R
RRR RRR
RRR
ε RRRR
⋅ RRR∫ f (x) dxRRRRR ⩽ ε.
∃ξ ∈ [A1 , A2 ] ∶ RRR∫ f (x) g(x) dxRRR = RRRg(A1 )∫ f (x)dxRRR <
M
RRR
RRR
RRR RRR
RRR
RRR
A1
R
R
R R
RA1
RA1
Îñòà¼òñÿ ïðèìåíèòü êðèòåðèé Êîøè.
Ïðèçíàê Äèðèõëå ÿâëÿåòñÿ ëèøü
äîñòàòî÷íûì, è ïîýòîìó íå äà¼ò îòâåòà íà âî-
ïðîñ î ñõîäèìîñòè/ðàñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
åãî óñëîâèÿ íå âûïîëíÿþòñÿ.
Ïóñòü äëÿ ôóíêöèé f è g âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
Òåîðåìà 82. (ïðèçíàê Àáåëÿ).
+∞
1. èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ;
a
2. ôóíêöèÿ g ìîíîòîííàÿ è îãðàíè÷åíà.
Òîãäà èíòåãðàë (∗) ñõîäèòñÿ.
Ò.ê. ôóíêöèÿ g ìîíîòîííàÿ è îãðàíè÷åííàÿ, òî:
∃ lim g(x) = α < +∞. Ôóíêöèè f è (g − α) óäîâëåòâîðÿþò âñåì óñëîâèÿì ïðè-
Äîêàçàòåëüñòâî.
x→+∞
+∞
çíàêà Äèðèõëå. Ñëåäîâàòåëüíî, íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x)(g(x) − α)dx
a
ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë
+∞
+∞
+∞
∫ f (x) g(x) dx = ∫ f (x)(g(x) − α)dx + α ∫ f (x)dx,
a
a
a
êàê ñóììà äâóõ ñõîäÿùèõñÿ èíòåãðàëîâ.
Ïðèçíàê Àáåëÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ëèøü
äîñòàòî÷íûì.
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ R ôóíêöèè f è g íåïðåðûâíû íà ëó÷å [a, +∞),
à íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû
+∞
+∞
I1 = ∫ f (x)g(x) dx
è
I2 = ∫ f (x) dx
a
a
èìåþò åäèíñòâåííóþ îñîáåííîñòü +∞. Åñëè, êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ g ìîíîòîííà íà
[a, +∞) è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé è íå ðàâíûé íóëþ ïðåäåë
lim g(x) = k ≠ 0.
x→+∞
Òîãäà èíòåãðàëû I1 è I2 ëèáî îáà ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî, ëèáî îáà ñõîäÿòñÿ óñëîâíî, ëèáî
îáà ðàñõîäÿòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó òîãî, ÷òî k ≠ 0, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè +∞ ñïðà-
âåäëèâî íåðàâåíñòâî:
0<
1
3
⋅ ∣k∣ ⩽ ∣g(x)∣ ⩽ ⋅ ∣k∣.
2
2
Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé îêðåñòíîñòè ôóíêöèè
g(x), ∣g(x)∣,
1
1
è
g(x)
∣g(x)∣
Ñïåöèàëüíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
184
îãðàíè÷åíû, íåïðåðûâíû è ìîíîòîííû. Âîñïîëüçîâàâøèñü ýëåìåíòàðíûì
ðàâåíñòâîì
1
,
g(x)
f (x) = (f (x) ⋅ g(x)) ⋅
ïî ïðèçíàêó Àáåëÿ ïîëó÷àåì âûïîëíèìîñòü óòâåðæäåíèÿ.
Ïðèìåð 3.1.
+∞ sin x
Èññëåäóåì íà ñõîäèìîñòü èíòåãðàë ∫
xp
1
dx.
+∞
Èññëåäîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x, p) dx, çàâèñÿùèé îò ïàðà1
ìåòðà p íà ñõîäèìîñòü, îçíà÷àåò îïðåäåëèòü òðè ìíîæåñòâà A1 , A2 è
A3 òàêèõ, ÷òî:
A1 ⊔ A2 ⊔ A3 = R;
+∞
+∞
àáñ
óñë
∫ f (x, p) dx ÐÐ→ ïðè p ∈ A1 ,
∫ f (x, p) dx ÐÐ→ ïðè p ∈ A2 ,
1
1
+∞
/ ïðè p ∈ A3 .
∫ f (x, p) dx Ð→
1
1. p > 1.
+∞
∞
+∞
sin x
dx
sin x
àáñ
∫ ∣ xp ∣ dx ⩽ ∫ xp Ð→ Ô⇒ ∫ xp dx ÐÐ→ ïðè p > 1.
1
1
1
2. 0 < p ⩽ 1. Ïîëîæèì f (x) = sin x, g(x) =
+∞ sin x
Îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî: ∫
1
xp
A
1
. Òîãäà ∣∫ f (x)dx∣ ⩽ 2, g(x)↘ 0 ïðè p > 0.
p
x
1
dx ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå.
+∞ dx
sin x
sin2 x
1
cos 2x
∣⩾
= p−
, è ò.ê. èíòåãðàë ∫
ðàñõîäèòñÿ ïðè p ⩽ 1,
p
p
p
p
x
x
2x
2x
1 2x
+∞ cos 2x
à èíòåãðàë ∫
dx ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ
2xp
1
Äàëåå, ∣
+∞
+∞
+∞
1
1
1
óñë
sin2 x
sin2 x
sin2 x
/ Ô⇒∫ ∣ p ∣ dx Ð→
/ Ô⇒∫
dx ÐÐ→, ïðè 0 < p ⩽ 1.
∫ xp dx Ð→
x
xp
3. p ⩽ 0. Èñïîëüçóåì îòðèöàíèå êðèòåðèÿ Êîøèa .
b
Äëÿ ∀A0 > 1 âîçüì¼ì n ∈ N ∶ n >
⇐⇒ 2πn > A0 , è ïîëîæèì
2π
A1 = 2πn,
A2 = 2πn + π.
Òîãäà, ïîñêîëüêó íà îòðåçêå [A1 , A2 ] âûïîëíåíî: sin x ⩾ 0, 0 < xα ⩽ 1 (α ⩽ 0), èìååì:
RRR A2
RR 2πn+π
2πn+π
2πn+π
RRR
sin x RRRR
sin x
dx
R
dx
⩾
sin xdx = − cos x∣
= 2 = ε0 .
RRR∫
=
∫
∫
R
p
p
R
x
x
2πn
RRR
RRR
2πn
2πn
A
1
R
R
+∞ sin x
Îòâåò: ∫
1
a
xp
àáñ
dx ÐÐ→ ïðè p > 1;
+∞
óñë
∫ ÐÐ→ ïðè 0 < p ⩽ 1;
1
+∞
/ ïðè p ⩽ 0.
∫ Ð→
1
RRR A2
RRR
∞
/ ⇐⇒ ∃ε0 > 0 ∶ ∀A0 > a ∃A1 , A2 ⩾ A0 , äëÿ êîòîðûõ RRRRR ∫ f (x)dxRRRRR ⩾ ε0 .
∫ f (x)dx Ð→
RRRA1
RRR
a
Ìîäåëüíûé èíòåãðàë.
Ñïåöèàëüíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
Çàì.
185
+∞
+∞
a
a
Åñëè íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ∫ f (x)dx è ∫ g(x)dx ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî, òî â ñèëó íåðàâåíñòâà ∣αf + βg∣ ⩽ ∣α∣∣f ∣ + ∣β∣∣g∣ è ïðèçíàêà
+∞
ñðàâíåíèÿ, èíòåãðàë ∫ (αf (x) + βg(x))dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.
a
+∞
óñë
+∞
àáñ
Åñëè ∫ f (x)dx ÐÐ→, à ∫ g(x)dx ÐÐ→, òî èíòåãðàë
a
a
+∞
∫ (αf (x) + βg(x))dx
a
ñõîäèòñÿ óñëîâíî, ò.ê., åñëè áû îí ñõîäèëñÿ àáñîëþòíî, òî ïî ñêàçàííîìó
âûøå è èíòåãðàë îò f = (f + g) − g ñõîäèëñÿ áû àáñîëþòíî, ÷òî íåâåðíî.
Ñõîäèìîñòü â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ
4
186
Ñõîäèìîñòü â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ
+∞
a
Ïóñòü f ∈ Rℓoc (R) . Ïîä íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ∫ f (x) dx ïîíèìàåòñÿ
−∞
A
ïðåäåë:
lim
′
∫ f (x) dx, ïðè íåçàâèñèìîì ñòðåìëåíèè A è A ê +∞. Ìîæåò òàê
A→+∞ −A′
A′ →+∞
ñëó÷èòñÿ, ÷òî â ýòîì ñìûñëå ïðåäåëà íåò, íî ñóùåñòâóåò ïðåäåë, îòâå÷àþ′
ùèé ÷àñòíîìó ïðåäïîëîæåíèþ −A = −A. Åãî íàçûâàþò ãëàâíûì çíà÷åíèåì
+∞
èíòåãðàëà ∫ f (x)dx (â ñìûñëå Êîøè ).
−∞
+∞
A
Îáîçíà÷åíèå: v.p. ∫ f (x)dx ∶= lim ∫ f (x)dx.
A→+∞
−∞
−A
( valeur
principale, ôð.)
a ò.å. ó ôóíêöèè f íåò îñîáûõ òî÷åê, êðîìå ±∞.
Àíàëîãè÷íî âîäèòñÿ ïîíÿòèå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà
âòîðîãî ðîäà:
b
b
⎞
⎛ c−ε
v.p.∫ f (x)dx ∶= lim ⎜∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx⎟ .
ε→0+0
⎠
⎝a
c+ε
a
b
Çàì.
Åñëè èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñóùåñòâóåò êàê íåñîáñòâåííûé, òî îí
a
ñóùåñòâóåò è â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ. Îáðàòíîå, âîîáùå
ãîâîðÿ, íåâåðíî.
+∞
Ïðèìåð 4.1.
Èíòåãðàë ∫ sin x dx ðàñõîäèòñÿ. Îäíàêî,
−∞
+∞
A
A
v.p.∫ sin x dx = lim ∫ sin x dx = lim (− cos x)∣ = 0.
A→+∞
A→+∞
−A
−∞
Ïðèìåð 4.2.
−A
1 dx
ðàñõîäèòñÿ. Îäíàêî,
Èíòåãðàë ∫
−1 x
1
1
⎛ −ε dx
−ε
1
dx
dx ⎞
⎟ = lim (ln ∣x∣∣ + ln ∣x∣∣ ) = 0.
v.p.∫
= lim ⎜∫
+∫
ε→0+0
ε→0+0
x
x⎠
−1
ε
⎝−1 x
−1
ε
Ñõîäèìîñòü ïî Êîøè.
Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ
èíòåãðàëà
1 Rn åâêëèäîâî, íîðìèðîâàííîå è ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
Ìàòåðèàë äàííîé ñåêöèè áóäåò îñîáåííî âàæåí äëÿ íàñ, íà÷èíàÿ ñ ãëàâû Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, íî áóäåò ïîëåçíî íàïîìíèòü åãî óæå ñåé÷àñ, ò.ê. ïîíÿòèÿ, êîòîðûå ìû çäåñü ââåä¼ì èñïîëüçóþòñÿ è â òåêóùåé ãëàâå.
ÃËÀÂÀ
XII
Ñåêöèÿ 1. Rn åâêëèäîâî,
íîðìèðîâàííîå è ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
Ñåêöèÿ 2. Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé.
Ñåêöèÿ 3. Ìåðà Æîðäàíà
Ñåêöèÿ 4. Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð.
n
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
Îïðåäåëåíèå. R = R × . . . × R n-ìåðíîå âåùåñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî, ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ èç n äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
n
Rn = {(x1 , . . . , xn ) ∣ xk ∈ R, k = 1, n},
x = (x , . . . , x ).
n
1
Çäåñü è äàëåå, ïîëóæèðíûì
øðèôòîì â ôîðìóëàõ îáîçíà÷àþòñÿ
âåêòîðà.
n
Îïåðàöèè íà R .
Ïóñòü x = (x , . . . , x ), y = (y , . . . , y ), α ∈ R. Òîãäà
n
1
n
1
x ± y = (x ± y , . . . , x ± y ),
1
n
1
α x = (α x1 , . . . , α xn )
n
Rn ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì R. Âåêòîðà
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)
îáðàçóþò (åñòåñòâåííûé ) áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå R . Âñÿêèé âåêòîð x åäèín
ñòâåííûì îáðàçîì ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî áàçèñó {ek }:
Ok Ok
x = x e1 + x e2 + . . . + x en = x
1
n
2
a Îáîçíà÷åíèå Ýéíøòåéíà.
e
a
n
Âîïðîñ: êàê ââåñòè ðàññòîÿíèå ρ ìåæäó òî÷êàìè (âåêòîðàìè) èç R ?
Èäåÿ: åñëè x, y ∈ R, òî
ρ(x, y) = ∣x − y∣ =
√
(x − y)2 .
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ⟨⋅, ⋅⟩ : R × R → R, çàäàííóþ ôîðìóëîé:
n
n
⟨x, y⟩ = x1 y 1 + x2 y 2 + . . . + xn y n .
Îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
n
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
1○ . ⟨x, x⟩ ⩾ 0 è ⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = θn = (0, . . . , 0);
2○ . ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩;
3○ . ⟨α x + β y, z⟩ = α ⟨x, z⟩ + β ⟨y, z⟩.
187
∀x, y, z ∈ Rn , α, β ∈ R
Rn åâêëèäîâî, íîðìèðîâàííîå è ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
188
Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ Rn × Rn ↦ R íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå, óäîâëåòâîðÿþùàÿ äàííûì ñâîéñòâàì, íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
Îïðåäåëåíèå.
Óòâåðæäåíèå 1.1. ∀x, y ∈ R
n
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
∣⟨x, y⟩∣ ⩽
íåðàâåíñòâî
Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî-Øâàðöà
√
√
⟨x, x⟩ ⋅ ⟨y, y⟩,
ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè x è y.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðè y = θn óòâåðæäåíèå âûïîëíåíî. Ïóñòü äàëåå y ≠ θn .
Ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ
f (t) = ⟨x − ty, x − ty⟩ = ⟨x, x⟩ − 2t⟨x, y⟩ + t2 ⟨y, y⟩.
Ò.ê. f (t) ⩾ 0, ∀t ∈ R,
a òî
√
√
D
2
= ∣⟨x, y⟩∣ − ⟨x, x⟩ ⋅ ⟨y, y⟩ ⩽ 0 ↔ ∣⟨x, y⟩∣ ⩽ ⟨x, x⟩ ⋅ ⟨y, y⟩.
4
Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî D = 0 ⇐⇒ x − ty = θn äëÿ íåêîòîðîãî t ≠ 0.
b
a Ïî ñâîéñòâó 1○ .
b ò.å. âåêòîðà x è y êîëëèíåàðíû.
Îïðåäåëåíèå.
√
Âåëè÷èíà ∥x∥ = ⟨x, x⟩ íàçûâàåòñÿ íîðìîé (èëè äëèíîé ) âåêòîðà x.
Ôóíêöèÿ ∥ ⋅ ∥ ∶ R → [0, +∞) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
n
1○ . ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = θn ;
2○ . ∥α x∥ = ∣α∣ ⋅ ∥x∥;
3○ . ∥x + y∥ ⩽ ∥x∥ + ∥y∥.
Äîêàçàòåëüñòâî.
(íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà )
Ïåðâûå äâà ñâîéñòâà âûòåêàþò èç ñâîéñòâ ñêàëÿðíîãî ïðî-
èçâåäåíèÿ, òðåòüå èç íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî-Øâàðöà:
2
∥x + y∥2 = ∥x∥2 +2⟨x, y⟩+∥y∥2 ⩽ ∥x∥2 +2 ∥x∥ ∥y∥+∥y∥2 = (∥x∥+∥y∥) .
Îïðåäåëåíèå. Âñÿêàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñâîéñòâàì (àêñèîìàì) 1○ , 2○ , 3○ íàçûâàåòñÿ íîðìîé. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ
íîðìîé íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì.
Rn åâêëèäîâî, íîðìèðîâàííîå è ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
189
Ðàññìîòðèì äàëåå ôóíêöèþ ρ(⋅, ⋅) : R × R
→ [0, +∞), çàäàííóþ ôîðìóëîé ρ(x, y) =
∥x − y∥. Äëÿ äàííîé ôóíêöèè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
n
n
1○ . ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
2○ . ρ(x, y) = ρ(y, x);
∥x − y∥ = ∣ − 1∣ ∥y − x∥ = ∥y − x∥.
3○ . ρ(x, y) ⩽ ρ(x, z) + ρ(z, y).
∥x − y∥ = ∥x − z + z − y∥ ⩽ ∥x − z∥ + ∥z − y∥
Îïðåäåëåíèå. Íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ρ(⋅, ⋅) íà íåïóñòîì ìíîæåñòâå X, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñâîéñòâàì (àêñèîìàì) 1○ , 2○ , 3○ íàçûâàåòñÿ ìåòðèêîé, à ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
X ñ çàäàííîé íà í¼ì ìåòðèêîé íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Îáîçíà÷åíèå:
ïðîñòðàíñòâî (X, ρ).
Ìíîæåñòâî Ur (a) = {x ∈ Rn ∣ ρ(a, x) < r} íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì øàðîì
n
ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå a ; ìíîæåñòâî Ur (a) = {x ∈ R ∣ ρ(a, x) ⩽ r} çàìêíóòûì
Îïðåäåëåíèå.
○
ìíîæåñòâî Ur (a) = Ur (a) ∖ {a} ïðîêîëîòûì øàðîì ; ìíîæåñòâî Sr (a) = {x ∈
n
R ∣ ρ(a, x) = r} íàçûâàåòñÿ ñôåðîé ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå a.
øàðîì ;
Îïðåäåëåíèå.
Ur (0)
Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè ∃r > 0, òàêîå ÷òî A ⊂
Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé äëÿ ìíîæåñòâà A, åñëè ∃r > 0, ÷òî
Ur (x0 ) ⊂ A. Ìíîæåñòâî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç int(A).
Îïðåäåëåíèå.
Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè A = int(A), ò.å. êàæäàÿ åãî
òî÷êà ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé.
Îïðåäåëåíèå.
Òî÷êà x0 ∈ Rn íàçûâàåòñÿ âíåøíåé äëÿ ìíîæåñòâà A, åñëè ∃r > 0, ÷òî
A ⋂ Ur (x0 ) = ∅.
Îïðåäåëåíèå.
Òî÷êà x0 ∈ Rn íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé äëÿ ìíîæåñòâà A, åñëè x0 íå ÿâëÿåòñÿ íè âíóòðåííåé, íè âíåøíåé òî÷êîé A, ò.å.
Îïðåäåëåíèå.
∀r > 0
∃x1 , x2 ∈ Ur (x0 ) ∶ x1 ∈ A, x2 ∉ A.
Ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ òî÷åê ìíîæåñòâà A îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ∂ A.
Òî÷êà x0 ∈ Rn íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ìíîæåñòâà A, åñëè ∀r > 0
A ⋂ Ur (x0 ) ≠ ∅. Òî÷êè x0 ∈ A, íå ÿâëÿþùèåñÿ ïðåäåëüíûìè äëÿ ìíîæåñòâà A, íàçûâàþòñÿ èçîëèðîâàííûìè.
Îïðåäåëåíèå.
○
Ïóñòü A′ ìíîæåñòâî âñåõ ïðåäåëüíûõ òî÷åê ìíîæåñòâà A. Òîãäà ìíîæåñòâî A ∶= A ⋃ A′ íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà A.
Îïðåäåëåíèå.
 êà÷åñòâå öåíòðà
îãðàíè÷èâàþùåãî øàðà íå
îáÿçàòåëüíî áðàòü òî÷êó 0.
Ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ òî÷êó
ïðîñòðàíñòâà Rn .
Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé
190
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îíî ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè, ò.å. åñëè A = A.
Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî A çàìêíóòî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà AC ,
äîïîëíåíèå äî A îòêðûòî.
Óïðàæíåíèå.
2
Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé.
Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì êðèâîé íà ïëîñêîñòè.
R2 (ïëîñêèì ïóò¼ì èëè ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé (êðèâîé
2
Æîðäàíà ) â R ) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îòðåçêà [a, b] â R , ò.å. íåïðåa
ðûâíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ:
Îïðåäåëåíèå. Ïóò¼ì â
2
r(t) = (x(t), y(t)) ∶ [a, b] ↦ R2 ,
t ∈ [a, b].
a Íåïðåðûâíîñòü, äèôôåðåíöèðóåìîñòü è ò.ï. âåêòîð-ôóíêöèè ïîíèìàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî,
êàê íåïðåðûâíîñòü è äèôôåðåíöèðóåìîñòü îáåèõ ôóíêöèé x è y .
Îïðåäåëåíèå.
Òî÷êà r(a) = (x(a), y(a)) íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì ïóòè r; r(b) = (x(b), y(b))
êîíöîì ïóòè r .
Åñëè r(a) = r(b), òî ïóòü r íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì. Åñëè ðàâåíñòâî
r(t1 ) = r(t2 ) èìååò ìåñòî ëèøü ïðè t1 = t2 èëè t1 , t2 ∈ {a, b}, òî ïóòü r íàçûâàåòñÿ
ïðîñòûì èëè íå ñàìîïåðåñåêàþùèìñÿ.
Îïðåäåëåíèå.
Ïëîñêèé ïóòü r ∶ [a, b] ↦ R2 íàçûâàåòñÿ ãëàäêèì, åñëè âåêòîð-ôóíêöèÿ r
èìååò íà îòðåçêå [a, b] íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ âåêòîð-ôóíêöèþ r′ , íèãäå íå îáðàùàþùóþñÿ â íóëü-âåêòîð.
Îïðåäåëåíèå.
Âû÷èñëåíèå äëèíû ïëîñêîãî ïóòè
Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå îáðàç îòðåçêà [a, b] (íîñèòåëü ïóòè r ) íà ïëîñêîñòè
R2 ïðè îòîáðàæåíèè r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. Óïîðÿäî÷èì òî÷êè îáðàçà òàê,
n
êàê óïîðÿäî÷åíû òî÷êè [a, b]. Çàòåì ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå τ = {xk }k=0 ∶ a =
t0 < t1 < . . . < tn = b, è îáîçíà÷èì ∆tk = tk − tk−1 .
Ëîìàíóþ ëèíèþ, âïèñàííóþ â äàííûé ïóòü, ïîëó÷èì, ñîåäèíÿÿ îòðåçêàìè ïðÿìûõ âñå ïàðû ñîñåäíèõ òî÷åê ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
A0 (x(t0 ), y(t0 )), A1 (x(t1 ), y(t1 )), . . . , An (x(tn ), y(tn )).
Çà äëèíó ëîìàíîé ëèíèè ïðèíèìàåì ñóììó äëèí âñåõ å¼ çâåíüåâ:
n
ℓ(τ ) = ∑
√
∆x2k + ∆yk2 , ãäå ∆xk = x(tk ) − x(tk−1 ), ∆yk = y(tk ) − y(tk−1 ).
k=1
Ïëîñêèé ïóòü r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] íàçûâàåòñÿ ñïðÿìëÿåìûì, åñëè
ìíîæåñòâî {ℓ(τ ) ∣ τ − ðàçáèåíèå [a, b]} äëèí âïèñàííûõ ëîìàíûõ ëèíèé, îãðàíè÷åíî
Îïðåäåëåíèå.
Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé
191
ñâåðõó.  ýòîì ñëó÷àå sup ýòîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ äëèíîé ïóòè r(t).
n
ℓ = sup ℓ(τ )a , ãäå ℓ(τ ) = ∑
τ
√
∆x2k + ∆yk2 .
k=1
a sup áåð¼òñÿ ïî äëèíàì âñåõ ëîìàíûõ, âïèñàííûõ â r.
Òåîðåìà 83. Åñëè ïóòü r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] ãëàäêèé, òî îí ñïðÿìëÿåìûé, à
äëÿ åãî äëèíû ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
√
b
ℓ=∫
2
2
(x′ (t)) + (y ′ (t)) dt.
(∗)
a
Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàäàâàÿ
ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå τ îòðåçêà [a, b], è èñïîëüçóÿ
òåîðåìó Ëàãðàíæà, ïîëó÷àåì:
∆xk = x(tk ) − x(tk−1 ) = x′ (θk ) ∆tk ,
∆yk = y(tk ) − y(tk−1 ) = y ′ (ξk ) ∆tk .
Çäåñü θk è ξk , âîîáùå ãîâîðÿ,
ðàçëè÷íûå òî÷êè èç èíòåðâàëà
a
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ∆xk , ∆yk â ôîðìóëó äëÿ äëèíû ëîìàíîé , ïîëó÷èì:
n
ℓ(τ ) = ∑
√
2
2
(x′ (θk )) + (y ′ (ξk )) ∆tk .
(1)
k=1
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé x è y îãðàíè÷åíû, ò.å. ∃M > 0
′
′
: ∀t ∈ [a, b] ñïðàâåäëèâî: ∣x (t)∣ ⩽ M , ∣y (t)∣ ⩽ M . Ïîýòîìó èç (1),
n
0 < ℓ(τ ) ⩽ ∑
√
M 2 + M 2 ∆tk = M
√
2 (b − a).
k=1
Ò.å. ìíîæåñòâî {ℓ(τ )} äëèí âïèñàííûõ â êðèâóþ r(t) ëîìàíûõ, îòâå÷àþùèõ
âñåâîçìîæíûì ðàçáèåíèÿì τ îòðåçêà [a, b], îãðàíè÷åíî ñâåðõó, è ñëåäîâàòåëüíî ïóòü r(t) ñïðÿìëÿåì.
Ïîñòðîèì äëÿ òîãî æå ðàçáèåíèÿ τ èíòåãðàëüíóþ ñóììó èíòåãðàëà (∗), áåðÿ
θk â êà÷åñòâå îòìå÷åííûõ òî÷åê:
√
n
2
2
στ (∣r′ ∣, θ) = ∑ (x′ (θk )) + (y ′ (θk )) ∆tk .
(2)
k=1
b
Îöåíèì ñâåðõó ìîäóëü ðàçíîñòè ñóìì (1) è (2):
√
√
n
2
2
2
2
0 ⩽ ∣ℓ(τ ) − στ (∣r′ ∣, θ)∣ ⩽ ∑ ∣ (x′ (θk )) +(y ′ (θk )) − (x′ (θk )) +(y ′ (ξk )) ∣ ∆tk ⩽ c
k=1
n
n
k=1
k=1
n
⩽ ∑ ∣∣y ′ (θk )∣ − ∣y ′ (ξk )∣∣ ∆tk ⩽ ∑ ω(∣y ′ ∣, [tk−1 , tk ]) ∆tk = ∑ ωk (∣y ′ ∣) ∆tk .
′
k=1
n
′
′
Íî, ò.ê. ∣y ∣ ∈ C([a, b]) Ô⇒ ∣y ∣ ∈ R([a, b]) Ô⇒ lim ∑ ωk (∣y ∣) ∆tk = 0. Îòêóäà ïîëób
÷àåì: ∃ℓ̃ ∶= lim ℓ(τ ) = ∫
d →0
τ
a
√
dτ →0 k=1
2
2
(x′ (t)) + (y ′ (t)) dt.
Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ôîðìóëû (∗) îñòà¼òñÿ ïîêàçàòü, ÷òî
ℓ̃ ∶= lim ℓ(τ ) = sup ℓ(τ ) = ℓ.
dτ →0
τ
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè dτ → 0 â íåðàâåíñòâå ℓ(τ ) ⩽ sup ℓ(τ ) = ℓ, ïîëó÷àåì:
τ
(tk−1 , tk )
Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé
192
ℓ̃ ⩽ ℓ. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíîãî íåðàâåíñòâà, çàäàäèì ∀ε ∈ (0, ℓ).
Ïîëó÷àåì: 0 < ℓ − ε < ℓ = sup ℓ(τ ). Ïî îïðåäåëåíèþ sup íàéä¼òñÿ ðàçáèåíèå τε
τ
òàêîå, ÷òî ℓ − ε < ℓ(τε ) ⩽ sup ℓ(τ ). Êðîìå òîãî, åñëè τε ⊂ τ , òî (ïî íåðàâåíñòâó
τ
òðåóãîëüíèêà) ℓ(τε ) ⩽ ℓ(τ ). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â íåðàâåíñòâå ℓ − ε < ℓ(τ ) ïðè
dτ → 0, τε ⊂ τ , ïîëó÷èì ℓ − ε ⩽ ℓ̃. Îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε, íàõîäèì
ℓ ⩽ ℓ̃.
b√
2
2
(x′ (t)) + (y ′ (t)) dt.
Ñëåäîâàòåëüíî, ℓ = sup ℓ(τ ) = ℓ̃ = lim ℓ(τ ) = ∫
dτ →0
τ
n
a ℓ(τ ) = ∑
√
k=1
a
∆x2k + ∆yk2 .
2
2
√
√
b ∣ a2 + b2 − a2 + c2 ∣ ⩽ ∣b − c ∣ ⩽ ∣b − c∣(∣b∣ + ∣c∣) = ∣b − c∣
∣b∣ + ∣c∣
∣b∣ + ∣c∣
c a = ∣x′ (θ )∣, b = ∣y ′ (θ )∣, c = ∣y ′ (ξ )∣.
k
k
k
Çàì.
 ñëó÷àå, êîãäà ãëàäêèé ïóòü ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèåì y = f (x),
x ∈ [a, b], âîñïîëüçóåìñÿ ïàðàìåòðèçàöèåé:
√
2
Ô⇒ ℓ = ∫
1 + (f ′ (x)) dx.
⎧
⎪
⎪x = x,
⎨
⎪
⎪
⎩y = f (x).
Çàì.
b
a
Ïîíÿòèå ïðîñòðàíñòâåííîãî ïóòè ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãè÷íî
ïîíÿòèþ ïëîñêîãî ïóòè, êàê íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∶ [a, b] ↦ R3 .
Äëÿ äëèíû òàêîãî ïóòè ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:
b
ℓ=∫
√
2
2
2
(x′ (t)) + (y ′ (t)) + (z ′ (t)) dt.
a
Çàì.
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ r = r(φ), α ⩽ φ ⩽
β , ïðè÷¼ì r ∈ C 1 [α, β], òî äàííàÿ êðèâàÿ ñïðÿìëÿåìà, è äëÿ å¼
äëèíû ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:
β
ℓ=∫
√
2
r2 (φ) + (r′ (φ)) dφ.
α
Äîêàçàòåëüñòâî.
x = x(φ) = r(φ) cos φ, y = y(φ) = r(φ) sin φ. Ïîýòîìó,
(x′ (φ)) + (y ′ (φ)) = (r′ (φ) cos φ − r(φ) sin φ) + (r′ (φ) sin φ + r(φ) cos φ) =
2
2
2
= r2 (φ) + (r′ (φ)) .
2
2
Ìåðà Æîðäàíà
3
193
Ìåðà Æîðäàíà.
(èëè îäíîìåðíûì îáú¼ìîì ) êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà I = ⟨a, b⟩ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ∣I∣ ∶= b − a.
Îïðåäåëåíèå. Äëèíîé
Åñëè I1 ,. . ., Imêîíå÷íûå ïðîìåæóòêè, òî ìíîæåñòâî P = I1 ×. . .× Im íàçûâàåòñÿ (m-ìåðíûì ) ïàðàëëåëåïèïåäîì èëè (m-ìåðíûì ) áðóñîì, à ÷èñëî ∣P ∣ = ∣I1 ∣⋅. . .⋅∣Im ∣
îáú¼ìîì áðóñà P .
Îïðåäåëåíèå.
m
Îïðåäåëåíèå.
Ìíîæåñòâî E = ⊔ Pk , ÿâëÿþùååñÿ êîíå÷íûì îáúåäèíåíèåì íåïåðåñåêàk=1
þùèõñÿ áðóñîâ Pk , íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé (èëè ìíîãîóãîëüíîé ) ôèãóðîé. Ìíîæåñòâî (êëàññ) âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ôèãóð â Rn îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç E(Rn ).
Ëåììà 1.
Ïóñòü E, F ∈ E(Rn ). Òîãäà E ⋃ F, E ⋂ F, E ∖ F ∈ E(Rn ).
Ëåììà 2.
Ïóñòü E = ⊔ Pk = ⊔ Pk′ äâà ïðåäñòàâëåíèÿ ýëåìåíòàðíîé ôèãóðû E â âèäå
m
m′
k=1
k=1
îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ n-ìåðíûõ áðóñîâ. Òîãäà
m
m′
k=1
k=1
′
∑ ∣Pk ∣ = ∑ ∣Pk ∣.
m
Îïðåäåëåíèå.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ýëåìåíòàðíîé ôèãóðû E = ⊔ Pk îïðåäåëèì å¼ ìåðó
k=1
m
Æîðäàíà, êàê: µ(E) = ∑ ∣Pk ∣.
k=1
Çàì.
Êîððåêòíîñòü ïîñëåäíåãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò èç ëåììû 2.
Æîðäàíîâà ìåðà n-ìåðíûõ áðóñîâ ñîâïàäàåò ñ èõ îáú¼ìîì, ïîíÿòèå êîòîðîãî áûëî ââåäåíî âûøå.
Ñâîéñòâà ìåðû Æîðäàíà ýëåìåíòàðíûõ ôèãóð. Ïóñòü E, F ∈ E(R ), òîãäà:
n
1. µ(E) ⩾ 0 (íåîòðèöàòåëüíîñòü );
2. µ(E ⊔ F) = µ(E) + µ(F) (àääèòèâíîñòü );
3. Åñëè E ⊂ F, òî µ(E) ⩽ µ(F) (ìîíîòîííîñòü ).
Ïóñòü Ω ⊂ Rn îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå
ìíîãîóãîëüíûå ôèãóðû E, öåëèêîì ñîäåðæàùèåñÿ â Ω, è ìíîãîóãîëüíûå ôèãóðû F,
öåëèêîì ñîäåðæàùèå Ω. Ôèãóðû E áóäåì íàçûâàòü âïèñàííûìè â Ω, à ôèãóðû F
îïèñàííûìè îêîëî Ω. ×èñëîâîå ìíîæåñòâî {µ(E)} ïëîùàäåé âñåõ âïèñàííûõ ýëåìåíòàðíûõ ôèãóð îãðàíè÷åíî ñâåðõó, íàïðèìåð ïëîùàäüþ ëþáîé îïèñàííîé ìíîãîóãîëüíîé ôèãóðû F, à ìíîæåñòâî {µ(F)} îãðàíè÷åíî ñíèçó, íàïðèìåð, íóë¼ì. Ñëåäîâàòåëüíî,îïðåäåëåíû ÷èñëà
Îïðåäåëåíèå.
µ∗ (Ω) ∶=
sup
Ω⊃E∈E(Rn )
µ(E) è µ∗ (Ω) ∶=
inf
Ω⊂F∈E(Rn )
íàçûâàåìûå íèæíèì è âåðõíèì îáú¼ìàìè ìíîæåñòâà Ω.
µ(F),
Òðåáîâàíèå, ÷òîáû áðóñû
áûëè íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìîæíî
îïóñòèòü. Òîãäà ìîæíî äîêàçàòü,
÷òî äëÿ ëþáîé ýëåìåíòàðíîé
ôèãóðû íàéä¼òñÿ å¼ ïðåäñòàâëåíèå
â âèäå íåïåðåñåêàþùèõñÿ áðóñîâ
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
Çàì.
Äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà Ω ⊂ R
n
194
âûïîëíåíî:
0 ⩽ µ∗ (Ω) ⩽ µ∗ (Ω) < +∞.
Îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî Ω ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïî Æîðäàíó,
åñëè µ∗ (Ω) = µ∗ (Ω). Ïðè ýòîì ÷èñëî µ(Ω) = µ∗ (Ω) = µ∗ (Ω) íàçûâàåòñÿ ìåðîé Æîðäàíà ìíîæåñòâà Ω. Ìíîæåñòâî (êëàññ) âñåõ èçìåðèìûõ ïî Æîðäàíó ìíîæåñòâ â Rn
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç J(Rn ).
Îïðåäåëåíèå.
Çàì.
µ(Ω) = 0 ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃E ∈ E(Rn ) : Ω ⊂ E, µ(E) < ε.
Çàì.
ßñíî, ÷òî E(R ) ⊂ J(R ). Êðîìå òîãî, ∀E ∈ E(R ) îïðåäåëåíèÿ ìåð
n
n
n
Æîðäàíà (íîâîå è ñòàðîå) ýêâèâàëåíòíû. Ò.î. äàííîå îïðåäåëåíèå ðàñïðîñòðàíÿåò ïîíÿòèå ïëîùàäè íà áîëåå îáùèå êëàññû
îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ.
Çàì.
Çàì.
Âñå ïåðå÷èñëåííûå âûøå ñâîéñòâà ìåðû Æîðäàíà ýëåìåíòàðíûõ ôèãóð ñîõðàíÿþòñÿ è äëÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.
Ïðèìåð íåêâàäðèðóåìîé ôèãóðû
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
A = Q[0,1]×[0,1] = {(x, y) ∈ Q × Q ∣ 0 ⩽ x ⩽ 1, 0 ⩽ y ⩽ 1}.
A ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèå êâàäðèðóåìûõ ôè∗
ãóð (òî÷åê). S (A) = 1, ò.ê. íàèìåíüøåé ìíîãîóãîëüíîé ôèãóðîé,
ñîäåðæàùåé A, ÿâëÿåòñÿ ñàì êâàäðàò [0, 1] × [0, 1]. S∗ (A) = 0, ò.ê.
âî ìíîæåñòâî A íåëüçÿ âïèñàòü íèêàêóþ ìíîãîóãîëüíóþ ôèãóa
ðó íåíóëåâîé ïëîùàäè .
a Ëþáàÿ òàêàÿ ôèãóðà áóäåò ñîäåðæàòü è èððàöèîíàëüíûå òî÷êè.
4
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð.
Ω ∈ J(Rn ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∀ε > 0 ∃E, F ∈ E(Rn ), òàêèå ÷òî E ⊂ Ω ⊂ F
è µ(F) − µ(E) < ε.
Ëåììà 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
∗
Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü Ω ∈ J(R ), ò.å. µ(Ω) = µ∗ (Ω) = µ (Ω).
n
Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íûõ ãðàíåé ∃E, F ∈ E(R ), òàêèå ÷òî E ⊂ Ω ⊂ F è
n
µ(F) − µ(Ω) <
ε
,
2
µ(Ω) − µ(E) <
Îòêóäà, 0 ⩽ µ(F) − µ(E) = µ(F) − µ(Ω) + µ(Ω) − µ(E) <
ε
.
2
ε ε
+ = ε.
2 2
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ∀ε > 0 ∃E, F ∶ E ⊂ Ω ⊂ F, µ(F) − µ(E) < ε. Ò.ê. µ(E) ⩽
µ∗ (Ω) ⩽ µ∗ (Ω) ⩽ µ(F), òî 0 ⩽ µ∗ (Ω)−µ∗ (Ω) ⩽ µ(F)−µ(E) < ε. Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
ε > 0, ïîëó÷àåì µ∗ (Ω) = µ∗ (Ω).
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
195
Ω ∈ J(Rn ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∀ε > 0 ∃Ω1 , Ω2 ∈ J(Rn ), òàêèå ÷òî
Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 è µ(Ω2 )−µ(Ω1 ) < ε.
Ëåììà 2.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íåîáõîäèìîñòü. Ñëåäóåò èç Ëåììû 1, ò.ê. ëþáàÿ ýëåìåí-
òàðíàÿ ôèãóðà èçìåðèìà.
Äîñòàòî÷íîñòü. Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. Ïóñòü
∃Ω1 , Ω2 ∶ Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 è µ(Ω2 ) − µ(Ω1 ) <
ε
.
2
Ò.ê. Ω1 , Ω2 èçìåðèìû, òî ïî Ëåììå 1 íàõîäèì ýëåìåíòàðíûå ôèãóðû E è
F, òàêèå ÷òî:
E ⊂ Ω1 , Ω2 ⊂ F
µ(Ω1 ) − µ(E) <
è
ε
ε
, µ(F) − µ(Ω2 ) < .
4
4
Ïîýòîìó, E ⊂ Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 ⊂ F, è
µ(F) − µ(E) = µ(F) − µ(Ω2 ) + µ(Ω2 ) − µ(Ω1 ) + µ(Ω1 ) − µ(E) <
ε ε ε
+ + = ε.
4 2 4
Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 1.
Çàì.
Îòìåòèì, ÷òî ïåðâàÿ ëåììà (êðèòåðèé èçìåðèìîñòè) ñèëüíåå
âòîðîé â ïëàíå íåîáõîäèìîñòè, à âòîðàÿ ñèëüíåå â ïëàíå äîñòàòî÷íîñòè.
Ñôîðìóëèðóåì äàëåå äâà óäîáíûõ â èñïîëüçîâàíèè êðèòåðèÿ èçìåðèìîñòè,
íî ïðèìåì èõ áåç äîêàçàòåëüñòâà.
Óòâåðæäåíèå 4.1. Ω ∈ J
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà µ(∂Ω) = 0.
Óòâåðæäåíèå 4.2. Ω ∈ J òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò ìíîãîóãîëüíûå
ôèãóðû {An }, {Bn }, òàêèå ÷òî An ⊂ Ω ⊂ Bn è lim µ(Bn ) = lim µ(An ).
n→∞
Äîêàçàòåëüñòâî.
n→∞
Ñì., íàïðèìåð, [ÔII], ñ.188-190.
Ïóñòü f ∈ C[a, b], f (x) ⩾ 0, ∀x ∈ [a, b]. Ðàññìîòðèì ôèãóðó
Tx = {(x, y) ∣ a ⩽ x ⩽ b, 0 ⩽ y ⩽ f (x)}
(êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ )
Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
1
Òåîðåìà 84. Êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåðèìóþ ôèãóðó, ìåðà
Æîðäàíà êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
b
µ(Tx ) = ∫ f (x) dx.
a
1 Êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ ïðèëåãàþùàÿ ê îñè Ox
(1)
Âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
Äîêàçàòåëüñòâî.
196
Ò.ê. f ∈ C[a, b], òî f ∈ R[a, b]. ∀ε > 0 ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå τ
îòðåçêà [a, b], òàêîå ÷òî S τ (f ) − sτ (f ) < ε, ñóùåñòâóþùåå ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè. Çàìåòèì, ÷òî
∃E, F ∈ E(R2 ) ∶ µ(E) = sτ (f ), µ(F) = S τ (f ) è E ⊂ Tx ⊂ F.
Ïî êðèòåðèþ èçìåðèìîñòè ïîëó÷àåì, ÷òî Tx ∈ J(R ), ïðè÷¼ì
2
sτ (f ) ⩽ µ(Tx ) ⩽ S τ (f ).
Äàëåå, ò.ê. ïî îñíîâíîé ëåììå Äàðáó
b
b
lim s(f ) = lim S(f ) = ∫ f (x) dx, òî µ(Tx ) = ∫ f (x) dx.
dτ →0
dτ →0
a
a
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î êâàäðèðóåìîñòè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ïðèëåãàþùåé ê îñè Oy :
d
Ty = {(x, y) ∣ c ⩽ y ⩽ d, 0 ⩽ x ⩽ g(y)},
(2)
µ(Ty ) = ∫ g(y) dy.
c
Åñëè ôóíêöèÿ f íà ñåãìåíòå [a, b] íå ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîãî çíà-
Çàì.
êà, òî ïëîùàäü, ëåæàùàÿ ïîä îñüþ Ox áåð¼òñÿ ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿.
Åñëè êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ îãðàíè÷åíà ñâåðõó íåïðåðûâíîé
Çàì.
ôóíêöèåé f2 , à ñíèçó íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé f1 :
b
T12 = {(x, y) ∣ a ⩽ x ⩽ b, f1 (x) ⩽ y ⩽ f2 (x)},
µ(T12 ) = ∫ (f2 (x)−f1 (x)) dx.
a
Ôîðìóëû (1) è (2) ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â òîì ñëó÷àå, êîãäà êðèâàÿ,
îãðàíè÷èâàþùàÿ ôèãóðó T, çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè, óðàâíåíèÿìè:
x = x(t),
y = y(t),
t ∈ [t1 , t2 ],
ãäå x, y ∈ C [t1 , t2 ]. Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà:
1
dx(t) = x′ (t) dt, a = x(t2 ), b = x(t1 );
èìååì:
t2
S(T) = − ∫ y(t) x′ (t) dt,
t1
dy(t) = y ′ (t) dt, c = y(t1 ), d = y(t2 ),
t2
S(T) = ∫ x(t) y ′ (t) dt.
(3)
t1
Cêëàäûâàÿ ôîðìóëû (3), ïîëó÷àåì:
t2
S(T) =
t2
y(t)
1
1
(x(t)y ′ (t) − y(t)x′ (t)) dt = ∫ x2 (t) d (
).
2∫
2
x(t)
t1
t1
(3′ )
Äâèæåíèå ïî êðèâîé ïðîèñõîäèò
òàê, ÷òîáû ôèãóðà îñòàâàëàñü
ñëåâà
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
197
Ïóñòü r = r(φ) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êî-
[α, β] ⊂ [0, 2π].
îðäèíàò. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
Tφ = {(r, φ) ∣ α ⩽ φ ⩽ β, 0 ⩽ r ⩽ r(φ)}.
Äîêàæåì, ÷òî Tφ ∈ J(R ), è åãî ìåðà Æîðäàíà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî
2
ôîðìóëå
β
µ(Tφ ) =
1
r2 (φ) dφ.
2∫
α
Äåéñòâèòåëüíî, ò.ê. r ∈ C[α, β], òî r ∈ R[α, β] è r
∈ R[α, β]. Ïîýòîìó, ∀ε >
0 íàéä¼òñÿ òàêîå ðàçáèåíèå τ îòðåçêà [α, β], ÷òî S τ ( 12 r2 ) − sτ ( 12 r2 ) < ε. Äëÿ
2
äàííîãî ðàçáèåíèÿ ðàññìîòðèì ôèãóðû (îáúåäèíåíèå ñåêòîðîâ)
n
T∗ (τ ) = ⋃ {(r, φ) ∣ αk−1 ⩽ φ ⩽ αk , 0 ⩽ r ⩽ mk };
k=1
n
T∗ (τ ) = ⋃ {(r, φ) ∣ αk−1 ⩽ φ ⩽ αk , 0 ⩽ r ⩽ Mk }.
k=1
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå øêîëüíóþ ôîðìóëó äëÿ ïëîùàäè ñåêòîðà, ïîëó÷àåì
1 n
1
1
1 n
sτ ( r2 ) = ∑ m2k ∆αk = µ(T∗ ) ⩽ µ(Tφ ) ⩽ µ(T∗ ) = ∑ Mk2 ∆αk = S τ ( r2 ) .
2
2 k=1
2 k=1
2
Îòêóäà, ïî êðèòåðèþ èçìåðèìîñòè, ïîëó÷àåì èçìåðèìîñòü ìíîæåñòâà Tφ .
Äàëåå, óñòðåìëÿÿ çäåñü dτ → 0 è ïðèìåíÿÿ îñíîâíóþ ëåììó Äàðáó, çàêëþ÷àåì:
β
µ(Tφ ) =
1
r2 (φ) dφ.
2∫
α
Îïðåäåëåíèå. Öèëèíäðè÷åñêèì òåëîì (öèëèíäðîì ) íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå C = H × [z1 , z2 ], ãäå R2 ⊃ H îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî; [z1 , z2 ] îòðåçîê îñè Oz ;
h = z2 − z1 âûñîòà öèëèíäðà.
Åñëè H ∈ J(R2 ), òî öèëèíäðè÷åñêîå òåëî C = H × [z1 , z2 ] ∈ J(R3 ) è
ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà µ(C) = µ(H) ⋅ h.
Òåîðåìà 85.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. H ∈ J(R ) Ô⇒ ∃E, F ∈ E(R ), òàêèå ÷òî
2
E ⊂ H ⊂ F è µ(F) − µ(E) <
2
ε
.
h
Ïóñòü CE = E×[z1 , z2 ], CF = F×[z1 , z2 ]. Òîãäà CE , CF ∈ E(R ), CE ⊂ C ⊂ CF , ïðè÷¼ì
3
µ(CE ) = µ(E) h, µ(CF ) = µ(F) h Ô⇒ µ(CF ) − µ(CE ) < ε
Ò. å., C ∈ J(R ), è, â ñèëó ìîíîòîííîñòè ìåðû Æîðäàíà
3
µ(CE ) ⩽ µ(C) ⩽ µ(CF ),
µ(CE ) = µ(E) h ⩽ µ(H) h ⩽ µ(F) h = µ(CF ) Ô⇒
Ô⇒ ∣µ(C) − µ(H) h∣ < µ(CF ) − µ(CE ) < ε Ô⇒ µ(C) = µ(H) h.
Âû÷èñëåíèå îáú¼ìîâ
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
198
Ïóñòü f ∶ [a, b] → R, f ⩾ 0 íà [a, b]. Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ìíîæåñòâî Ω, ïîëó÷åííîå âðàùåíèåì ôóíêöèè f âîêðóã îñè Ox:
Ω = {(x, y, z) ∈ R3 ∣ x ∈ [a, b], y 2 + z 2 ⩽ f 2 (x)}.
b
Òåîðåìà 86.
Åñëè f ∈ R[a, b], òî Ω ∈ J(R3 ), è µ(Ω) = π ∫ f 2 (x) dx.
Îáú¼ì òåëà âðàùåíèÿ.
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ñâîéñòâ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî
ïîýòîìó, ∃τ ðàçáèåíèå [a, b], òàêîå ÷òî
πf 2 ∈ R[a, b],
∀ε > 0 S τ (πf 2 ) − sτ (πf 2 ) < ε.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò, ñîñòàâëåííûå èç öèëèíäðîâ, èçìåðèìûå
a ôè-
ãóðû E è F, òàêèå ÷òî:
µ(E) = sτ (πf 2 ),
µ(F) = S τ (πf 2 ).
Ïîëó÷àåì: E ⊂ Ω ⊂ F, è ∀ε > 0 µ(F) − µ(E) < ε. Èç êðèòåðèÿ èçìåðèìîñòè
ñëåäóåò, ÷òî Ω ∈ J(R ), ïðè÷¼ì ïî îñíîâíîé ëåììå Äàðáó:
3
b
b
π ∫ f 2 (x)dx ← sτ (πf 2 ) ⩽ µ(Ω) ⩽ S τ (πf 2 ) → π ∫ f 2 (x)dx, dτ → 0.
a
a Ñì. ïðåäûäóùóþ òåîðåìó.
a
0.0.1
17.08.2023
Ââåäåíèå. Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ.
1
Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç îáúåêòîâ, íàçûâàåìûõ åãî ýëåìåíòàìè. Çàïèñü x ∈ A îçíà÷àåò,
÷òî îáúåêò x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A; ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A. Çàïèñü
x ∉ A îçíà÷àåò, ÷òî x íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A; íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà
A.
Ìíîæåñòâî ìîæåò çàäàâàòüñÿ ïåðå÷èñëåíèåì ñâîèõ ýëåìåíòîâ:
{1, 5, 14, 100},
à òàêæå óêàçàíèåì ñâîéñòâà (ïðèíöèï
òâîðÿþùèõ ñâîéñòâó
P,
{a, á, è, î},
ñåëåêöèè ): ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, óäîâëå-
îáîçíà÷åíèå:
A = {x ∈ M ∣ x − óäîâëåòâîðÿåò
ñâîéñòâó P }.
Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå íåêîòîðîìó îñíîâíîìó ìíîæåñòâó M (îáú¼ìëþùåìó ìíîæåñòâó, ìíîæåñòâó äîïóñòèìûõ ýëåìåíòîâ). Ìíîæåñòâî M ëèáî ÿñíî èç êîíòåêñòà, ëèáî ÿâíî óêàçûâàåòñÿ. Íàïðèìåð, â ïëàíèìåòðèè M ýòî ïëîñêîñòü.
Ïðèìåð 1.1.
A = {x ∈ R ∣ x2 > 4} = (−∞, −2) ∪ (2, +∞).
Ïðèìåð 1.2.
F = {n ∈ N, n > 2 ∣ íàéäóòñÿ x, y, z ∈ N,
äëÿ êîòîðûõ
xn + y n = z n }.
Ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà ìîãóò áûòü ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, âî ìíîæåñòâå
{1, {1}, {2, 3}}
òðè ýëåìåíòà: ÷èñëî
1,
1,
ìíîæåñòâî, åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî
è ìíîæåñòâî èç äâóõ ýëåìåíòîâ ÷èñåë
2
è
3.
?
Äàéòå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà. Ìîæíî ëè ââåñòè òàêîå ïîíÿòèå?
×òî îçíà÷àåò, ÷òî ¾ìíîæåñòâî ìîæåò çàäàâàòüñÿ ïåðå÷èñëåíèåì ñâîèõ ýëåìåíòîâ¿?
3
ÃËÀÂÀ
I
Ñåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Ñåêöèÿ 2. Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ
ìíîæåñòâ
Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Óäîáíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå
îäíîãî ýëåìåíòà. Îáîçíà÷åíèå:
4
ïóñòîå ìíîæåñòâî ìíîæåñòâî, â êîòîðîì íåò íè
Îáùåïðèíÿòûå ñîêðàùåíèÿ çàïèñè.
∅.
Q äâà óòâåðæäåíèÿ, òî çàïèñü P ⇒ Q íàçûâàåòñÿ èìïëèêàöèåé è îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âåðíî P , òî âåðíî è Q (èç P ñëåäóåò Q, P âëå÷¼ò Q) èëè P äîñòàòî÷íî
äëÿ Q (Q íåîáõîäèìî äëÿ P ).
Åñëè
P
Åñëè
P ⇒ Q
è
è
ýêâèâàëåíòíû ) èëè
Q ⇒ P , òî ãîâîðÿò, ÷òî óòâåðæäåíèÿ P è Q ðàâíîñèëüíû
P íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî äëÿ Q. Îáîçíà÷åíèå: P ⇔ Q.
(èëè
∀ êâàíòîð âñåîáùíîñòè ;
∃ êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ ;
∃! ¾ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííûé¿;
def
∶= èëè = ¾ðàâåíñòâî ïî îïðåäåëåíèþ¿;
Îïðåäåëåíèå. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà
òî ãîâîðÿò, ÷òî
Îáîçíà÷åíèå:
A ñîäåðæèòñÿ â B
(èëè
A
A
ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó
ïîäìíîæåñòâî
Ba ,
B).
A ⊂ B.
a Ò.å. ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ìíîæåñòâà
èõ íàçûâàþò
òîãäà, êîãäà
A
è
è
ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, òî
= B.
ðàâíûìè è ïèøóò A
A⊂B
B
Äðóãèìè ñëîâàìè
A=B
B ⊂ A:
(∀x ∈ A ⇒ x ∈ B)
òîãäà è òîëüêî
Ðèñ. 1.
è
Ðèñ. 2.
(∀y ∈ B ⇒ y ∈ A) ⇐⇒ A = B.
Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ
Âêëþ÷åíèå ìíîæåñòâ
Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
5
Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè.
1.
Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ â
A
èëè â
B.
Îáîçíà÷åíèå:
A ∪ B.
A ∪ B ∶= {x ∈ M ∣ x ∈ A èëè x ∈ B}.
Ðèñ. 3.
2.
Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ
Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ
è â
A,
è â
B.
Îáîçíà÷åíèå:
A ∩ B.
A ∩ B ∶= {x ∈ M ∣ x ∈ A è x ∈ B}.
Ðèñ. 4.
3.
Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ
Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ
â
A,
íî íå ëåæàùèõ â
B.
Îáîçíà÷åíèå:
A ∖ B.
A ∖ B ∶= {x ∈ M ∣ x ∈ A è x ∉ B}.
Ðèñ. 5.
Ðàçíîñòü ìíîæåñòâ
Áèíàðíûå îïåðàöèè.
Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
4.
6
Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è B.
A △ B ∶= {x ∈ M ∣ (x ∈ A è x ∉ B)
èëè
(x ∈ B è x ∉ A) } =
= (A ∪ B) ∖ (A ∩ B) = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A).
Ðèñ. 6.
Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ
Ïðèìåð 1.3. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ.
Ïóñòü
èëè
x ∈ C)
äèñòðèáóòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ
x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇒ (x ∈ A èëè x ∈ B) è x ∈ C ⇒
(x ∈ B è x ∈ C) ⇒ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Äîêàçàòåëüñòâî.
⇒ (x ∈ A
è
(A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A ∩ C èëè x ∈ B ∩ C ⇒
⇒ (x ∈ A è x ∈ C) èëè (x ∈ B è x ∈ C) ⇒ x ∈ A ∪ B è x ∈ C ⇒
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ C.
(A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ C.
Ïóñòü
Çàäà÷à 1.
Äîêàæèòå ðàâåíñòâî:
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
5. Ïóñòü ìû ðàáîòàåì ñ ïîäìíîæåñòâîì íåêîåãî îáú¼ìëþùåãî ìíîæåñòâà
ïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A
⊂ M (äîïîëíåíèå A äî M)
AC = {x ∈ M ∣ x ∉ A}1 .
Ðèñ. 7.
1 C compliment.
Äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà
M. Äî-
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
Óíàðíàÿ îïåðàöèÿ.
Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Ïðèìåð 1.4.
QC = I
Ïðèìåð 1.5.
(A ∪ B)C = AC ∩ BC .
Äîêàçàòåëüñòâî.
ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë;
ïðàâèëà äâîéñòâåííîñòè èëè
ôîðìóëû äå Ìîðãàíà
x ∈ (A ∪ B)C ⇔ x ∉ (A ∪ B) ⇔ x ∉ A
⇔ x ∈ AC
Çàäà÷à 2.
è
x∉B⇔
x ∈ BC ⇔ x ∈ AC ∩ BC .
è
Äîêàæèòå ðàâåíñòâî:
Îïðåäåëåíèå.
7
(A ∩ B)C = AC ∪ BC .
(a, b)
Óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà
äâà ýëåìåíòà (âîçìîæíî, ñîâïàäàþ-
ùèå), äëÿ êîòîðûõ óêàçàíî, êàêîé èç ýòèõ ýëåìåíòîâ ïåðâûé, êàêîé âòîðîé. Ïðè
ýòîì,
6.
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c
è
b = d.
Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A × B âñåõ
óïîðÿäî÷åííûõ ïàð
(a, b),
ãäå
a ∈ A, b ∈ B.
Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ n ìíîæåñòâ,
A1 ×. . .× An .
Ïðèìåð 1.6.
R × R = R2
Ïðèìåð 1.7.
R × . . . × R = Rn = {(x1 , . . . , xn ) ∣ xi ∈ R}
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
ïëîñêîñòü;
n-ìåðíîå
ïðîñòðàíñòâî.
n
Çàäà÷à 3.
Ìàäåìóàçåëü Òàòüÿíà Ïàê ëþáèò äîìàøíèõ æèâîòíûõ. Èçâåñòíî,
÷òî ó íå¼ íå ìåíåå òð¼õ æèâîòíûõ. Âñå å¼ æèâîòíûå, êðîìå äâóõ ñîáàêè; âñå
êðîìå äâóõ êîøêè; âñå êðîìå äâóõ ïîïóãàè; âñå, êðîìå ñîáàê, êîøåê è ïîïóãàåâ òàðàêàíû. Îïèøèòå ìíîæåñòâî æèâîòíûõ ó ìàäåìóàçåëü Òàòüÿíû Ïàê;
Çàäà÷à 4.
Ïðîâåðüòå, ÷òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî:
A ∩ B = A ∖ (A ∖ B).
Ìîæíî ëè âûðàçèòü ðàçíîñòü ÷åðåç ïåðåñå÷åíèå è îáúåäèíåíèå?
A ∩ B = C,
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ B) ∩ C;
Çàäà÷à 5.
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè
Çàäà÷à 6.
Îïèøèòå ìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ
îêðóæíîñòåé;
òî
(a, b) = {a, {a, b}}.
Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ
2
8
Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ.
Ïóñòü çàäàíû íåêîòîðûå íåïóñòûå ìíîæåñòâà
A
è
B.
Ãîâîðÿò, ÷òî
f
îòîáðàæåíèå
ìíîæåñòâà A âî ìíîæåñòâî B, èëè ôóíêöèÿ, äåéñòâóþùàÿ èç A â B, åñëè óêàçàíî
ïðàâèëî, ñîïîñòàâëÿþùåå (êàæäîìó) ýëåìåíòó ìíîæåñòâà
èç ìíîæåñòâà
x
B.
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
f (x)2 .
Îáîçíà÷åíèå:
Ðèñ. 8.
Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî
æåñòâî
B
A åäèíñòâåííûé
Òîò ýëåìåíò, êîòîðûé, ïîñðåäñòâîì îòîáðàæåíèÿ
A
f,
ýëåìåíò
ñîïîñòàâëÿåòñÿ
f ∶ A → B.
Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ A è B
íàçûâàåòñÿ
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ
f , à ìíî-
îáëàñòüþ çíà÷åíèé.
Îïðåäåëåíèå.
Îáðàçîì ìíîæåñòâà E
⊂A
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
f (E) = {y ∈ B ∣ ∃x ∈ E, y = f (x)}.
Îïðåäåëåíèå.
Ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà C
⊂B
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
f −1 (C) = {x ∈ A ∣ f (x) ∈ C}.
Ïðèìåð 2.1. Ïóñòü
A = B = R, f (x) = x2 Ô⇒ f −1 (1) = {1, −1}, f −1 (−1) = ∅.
Ïðèìåð 2.2. Ïóñòü
A = B = R+ , f (x) = x2 Ô⇒ f −1 (1) = {1}.
Ïðèìåðû ôóíêöèé.
Ïóñòü f ∶ A → B.
1. A ⊂ R, B ⊂ R. f íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâîé ôóíêöèåé ;
2. A ïðîèçâîëüíî, B ⊂ R. f íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëîì ;
3. A = N, B ïðîèçâîëüíî. f íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, à ïðè
B ⊂ R ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.
Îáîçíà÷åíèå:
fn , {fn }∞
n=1 âìåñòî f (n).
2 Äàëåå ôóíêöèè îáîçíà÷àþòñÿ áåç àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f . Îáîçíà÷åíèå f(x) áóäåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ óêàçàíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f íà ýëåìåíòå(â òî÷êå) x.
Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ
Îïðåäåëåíèå.
ìíîæåñòâà
9
Ãðàôèêîì îòîáðàæåíèÿ
A × B,
f ∶A→B
íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî
Γf
òàêîå ÷òî:
Γf = {(a, b) ∈ A × B ∣ a ∈ A, b = f (a)}.
Îïðåäåëåíèå. Îòîáðàæåíèå
A → C,
ïîëó÷àþùååñÿ â ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëü-
íîãî âûïîëíåíèÿ äâóõ îòîáðàæåíèé
f
g
A ÐÐ→ B ÐÐ→ C
íàçûâàåòñÿ
êîìïîçèöèåé îòîáðàæåíèé
g è f . Îáîçíà÷åíèå: g ○f . Òàêèì îáðàçîì,
∀x ∈ A (g ○ f )(x) ∶= g(f (x)).
Ðèñ. 9.
Êîìïîçèöèÿ
g○f
Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé f è g
îïðåäåëåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îáðàç
ìíîæåñòâå, íà êîòîðîì îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå
Çàäà÷à 1.
f ○g
f
ñîäåðæèòñÿ â
g.
Ïðèâåäèòå ïðèìåð ñèòóàöèè, êîãäà êîìïîçèöèÿ
g○f
îïðåäåëåíà, à
íåò. Ýòèì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî îïåðàöèÿ êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé, âîîáùå
ãîâîðÿ, íå êîììóòàòèâíà.
Êîìïîçèöèþ òð¼õ îòîáðàæåíèé
f
g
h
A ÐÐ→ B ÐÐ→ C ÐÐ→ D
ìîæíî âû÷èñëÿòü äâóìÿ ñïîñîáàìè: êàê
(h ○ g) ○ f èëè h ○ (g ○ f ).  îáîèõ ñëó÷àÿõ
x ∈ A â òî÷êó h(g(f (x))) ∈ D. Èíà÷å
ïîëó÷èòñÿ îòîáðàæåíèå, ïåðåâîäÿùåå òî÷êó
ãîâîðÿ, êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé àññîöèàòèâíà:
(h ○ g) ○ f = h ○ (g ○ f ).
Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ
?
10
Çàâèñèò ëè êîìïîçèöèÿ íåñêîëüêèõ îòîáðàæåíèé
f1 ○ f2 ○ . . . ○ fn
(åñëè îíà îïðåäåëåíà) îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê?
?
Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ.
Êàêèå èç îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè íå ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè? Ò.å. íå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
A ∗ B = B ∗ A.
Ìîæåò ëè ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A ∖ B áûòü ïóñòûì?
Êàêèå îáúåêòû ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ A è B?
ÃËÀÂÀ
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Ïðèíöèïû
II
ïîëíîòû.
1
Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
Áóäåì ñ÷èòàòü ìíîæåñòâà N íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, Z öåëûõ ÷èñåë è Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë èçâåñòíûìè.
Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ (äåéñòâèòåëüíûõ) ÷èñåë, R.
Ñåêöèÿ 1. Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ
÷èñåë
Ñåêöèÿ 2. Îãðàíè÷åííûå è
íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Ñåêöèÿ 3. Ïðèíöèï âëîæåííûõ
îòðåçêîâ
Ñåêöèÿ 4. Ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé
Ñåêöèÿ 5. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà
?
Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò âåùåñòâåííûå ÷èñëà ïî
ñðàâíåíèþ ñ ðàöèîíàëüíûìè?
×òî ó íèõ îáùåãî? ×òî ðàçëè÷íîãî?
Êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ýëåìåíòû
ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë?
I. Ïðàâèëà ñëîæåíèÿ.
Àêñèîìàòèêà âåùåñòâåííûõ
÷èñåë
Íà ìíîæåñòâå R îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå (îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ)
+ ∶ R × R ↦ R,
ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðå (x, y) ýëåìåíòîâ x, y ∈ R
íåêîòîðûé ýëåìåíò x + y ∈ R, íàçûâàåìûé ñóììîé x è y . Ïðè ýòîì,
âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
I1 . ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò 0 ∈ R (íàçûâàåìûé â ñëó÷àå
ñëîæåíèÿ íóë¼ì ), ÷òî ∀x ∈ R âûïîëíåíî:
x + 0 = 0 + x = x;
I2 . ∀x ∈ R èìååòñÿ ýëåìåíò −x ∈ R, íàçûâàåìûé ïðîòèâîïîëîæíûì ê
x, òàêîé ÷òî
x + (−x) = (−x) + x = 0;
I3 . îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ àññîöèàòèâíà, ò.å. ∀x, y, z ∈ R âûïîëíåíî:
x + (y + z) = (x + y) + z;
I4 . îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ êîììóòàòèâíà, ò.å. ∀x, y ∈ R âûïîëíåíî:
x + y = y + x.
Åñëè íà ìíîæåñòâå
11
G
îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì
I1 , I2 ,
Àêñèîìàòè÷åñêèé
ìåòîä îáëàäàåò òåìè æå
ïðåèìóùåñòâàìè, ÷òî è
âîðîâñòâî ïåðåä ÷åñòíûì
òðóäîì.
Á. Ðàññåë
Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
I3 ,
G
òî ãîâîðÿò, ÷òî íà
12
çàäàíà
ñòðóêòóðà ãðóïïû èëè, ÷òî
îïåðàöèþ íàçûâàþò ñëîæåíèåì, òî ãðóïïà íàçûâàåòñÿ
âûïîëíåíî óñëîâèå
Îïðåäåëåíèå.
I4 ,
òî ãðóïïó íàçûâàþò
Ðàçíîñòü ÷èñåë
bè a
Óòâåðæäåíèå 1.1. Ðàçíîñòü ÷èñåë
G
åñòü
ãðóïïà. Åñëè
àääèòèâíîé. Åñëè, êðîìå òîãî,
êîììóòàòèâíîé èëè àáåëåâîé.
ýòî òàêîå ÷èñëî
x,
÷òî
b = a + x.
b è a ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííà è ðàâíà b +(−a).
+(−a)
Äîêàçàòåëüñòâî.
b = a + x ⇐⇒ b + (−a) = x.
II. Ïðàâèëà óìíîæåíèÿ.
Íà ìíîæåñòâå R îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå (îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ)
⋅ ∶ R × R ↦ R,
ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðå (x, y) ýëåìåíòîâ x, y ∈ R
íåêîòîðûé ýëåìåíò x ⋅ y ∈ R, íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì x è y , äëÿ
êîòîðîãî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
II1 . ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò 1 ∈ R (íàçûâàåìûé â ñëó÷àå
a
óìíîæåíèÿ åäèíèöåé ), ÷òî ∀x ∈ R âûïîëíåíî:
x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x;
II2 . ∀x ∈ R ∖ {0} èìååòñÿ ýëåìåíò x−1 ∈ R, íàçûâàåìûé îáðàòíûì ê x,
òàêîé ÷òî
x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1;
II3 . îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ àññîöèàòèâíà, ò.å. ∀x, y, z ∈ R âûïîëíåíî:
x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z;
II4 . îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ êîììóòàòèâíà, ò.å. ∀x, y ∈ R âûïîëíåíî:
x ⋅ y = y ⋅ x.
Çàìåòèì, ÷òî ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìíîæåñòâî R ∖ {0}
ÿâëÿåòñÿ (ìóëüòèïëèêàòèâíîé) ãðóïïîé.
a Òðåáóåì, ÷òîáû 1 ≠ 0, ò.å., ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà íå ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà.
Ñâÿçü ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.
(I, II) Óìíîæåíèå äèñòðèáóòèâíî ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþ, ò.å. ∀x, y, z ∈ R
âûïîëíåíî:
(x+y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z.
Åñëè íà ìíîæåñòâå G äåéñòâóþò äâå îïåðàöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå âñåì ïåðå÷èñëåííûì ïðàâèëàì (àêñèîìàì), òî G íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì (÷èñëî-
âûì) ïîëåì, èëè ïðîñòî ïîëåì.
Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
13
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî îáðàòíûé ýëåìåíò åäèíñòâåíåí êàê äëÿ îïåðàöèè ñëî-
æåíèÿ, òàê è äëÿ óìíîæåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì ðàññóæäåíèÿ äëÿ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ. Ïóñòü
è äâà åìó ïðîòèâîïîëîæíûõ
x1
è
x2
:
x + x1 = 0 , x + x2 = 0 .
∃x ∈ R
Òîãäà, èñïîëüçóÿ
àññîöèàòèâíîñòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì:
x2 = 0 + x2 = (x1 + x) + x2 = x1 + (x + x2 ) = x1 + 0 = x1 .
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî
Äîêàçàòåëüñòâî.
∀x ∈ R
Ïîëó÷àåì,
âûïîëíåíî
0 ⋅ x = 0.
0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x.
Ïðèáàâèì ê îáåèì ÷àñòÿì ýòîãî ðàâåíñòâà îáðàòíûé ýëåìåíò
−(0 ⋅ x):
−(0 ⋅ x) + 0 ⋅ x = −(0 ⋅ x) + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x ⇔ 0 = 0 ⋅ x.
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî
Äîêàçàòåëüñòâî.
∀x ∈ R
âûïîëíåíî
−x = (−1) ⋅ x.
(−1)
Ïîëó÷àåì,
óïð.
x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0.
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî
Äîêàçàòåëüñòâî.
ñòâà:
(−1) ⋅ 0 = 0
è
(−1) ⋅ (−1) = 1.
Èñïîëüçóÿ, äîêàçàííûå â ïðåäûäóùèõ óïðàæíåíèÿõ ðàâåí-
(−1) ⋅ 1 = −1,
ïîëó÷àåì:
∣⋅(−1)
∣+1
1 + (−1) = 0 ⇐⇒ −1 + (−1) ⋅ (−1) = 0 ⇐⇒ (−1) ⋅ (−1) = 1
III. Ïðàâèëà ïîðÿäêà.
Ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ýëåìåíòàìè èç R èìååòñÿ îòíîøåíèå íåðàâåí-
ñòâà a ½ ⩽“ , êîòîðîå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îòîáðàæåíèå
R × R ↦ {èñòèíà, ëîæü},
ò.å. ∀x, y ∈ R óñòàíîâëåíî, âûïîëíÿåòñÿ ëè îòíîøåíèå x ⩽ y èëè íåò. Ïðè
ýòîì äîëæíû áûòü ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
III1 . ∀x ∈ R âûïîëíåíî x ⩽ x
(ðåôëåêñèâíîñòü) ;
III2 . èç x ⩽ y è y ⩽ x ñëåäóåò x = y
(àíòèñèììåòðè÷íîñòü) ;
îáðàòíûé ýëåìåíò ê
1
Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
14
III3 . èç x ⩽ y è y ⩽ z ñëåäóåò x ⩽ z
(òðàíçèòèâíîñòü) ;
III4 . ∀x, y ∈ R âûïîëíåíî èëè x ⩽ y , èëè y ⩽ x.
íåêîòîðûìè ýëåìåíòàìè êîòîðîãî èìååòñÿ îòíîøåíèå íåðàâåíñòâà, óäîâëåòâîðÿþùåå ñâîéñòâàì III1 , III2 , III3 íàçûâàþò
÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì, à åñëè êðîìå òîãî, âûïîëíåíî ñâîéñòâî III4 ,
Ìíîæåñòâî, ìåæäó
ò.å. ëþáûå äâà ýëåìåíòà ìíîæåñòâà ñðàâíèìû, òî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì.
a Áèíàðíîå îòíîøåíèå.
Çàäà÷à 1.
Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîåãî îáú¼ìëþùå-
ãî ìíîæåñòâà
÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åíî, åñëè îïðåäåëèòü
M1 ⩽ M2 , åñëè M1 ⊂ M2 .
ìåæäó íèìè ñëåäóþùåå
îòíîøåíèå ïîðÿäêà:
Çàäà÷à
2.
óïîðÿäî÷åíî
Äîêàæèòå,
(íî
íå
ñëåäóþùåå îòíîøåíèå
÷òî
ìíîæåñòâî
âïîëíå óïîðÿäî÷åíî),
ïîðÿäêà: n ⩽ m, åñëè n
íàòóðàëüíûõ
åñëè
÷èñåë
îïðåäåëèòü
÷àñòè÷íî
ìåæäó
äåëèòñÿ áåç îñòàòêà íà
íèìè
m.
(I, III) Ñâÿçü ñëîæåíèÿ è ïîðÿäêà â R:
∀x, y ∈ R, x ⩽ y è ∀z ∈ R Ô⇒ x + z ⩽ y + z;
(II, III) Ñâÿçü óìíîæåíèÿ è ïîðÿäêà â R:
Äëÿ x, y, z ∈ R, òàêèõ ÷òî x ⩽ y è 0 ⩽ z âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:
x ⋅ z ⩽ y ⋅ z.
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî
0 < 1a .
a Ïîä îáîçíà÷åíèåì ¾x < y ¿ ïîíèìàåòñÿ x ⩽ y è x ≠ y .
1≠0
II1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
1 < 0, è ïðèáàâèì ê îáåèì ÷àñòÿì äàííîãî íåðàâåíñòâà (−1). Ïîëó÷àåì: 0 < −1.
a
Ïåðåìíîæàÿ äàííîå íåðàâåíñòâî ñ ñàìèì ñîáîé , è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî (II,III),
óïð.
èìååì 0 < (−1) ⋅ (−1) = 1. Ïðîòèâîðå÷èå!
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òî, ÷òî
áûëî ïîñòóëèðîâàíî â
a Ò.å. äîìíîæàÿ îáå ÷àñòè íà (−1), è èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî 0 < −1.
NB !
Çàìåòèì, ÷òî âñåì óæå ïåðå÷èñëåííûì óñëîâèÿì (àêñèîìàì) óäîâëåòâîðÿåò è ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q, íî âîò ñëåäóþùåìó òðåáîâàíèþ ìíîæåñòâî Q óæå íå îòâå÷àåò.
Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
15
a
IV. Ïðèíöèï ïîëíîòû Êàíòîðà-Äåäåêèíäà .
Åñëè X è Y íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà R, îáëàäàþùèå òåì ñâîéñòâîì,
â âåùåñòâåííûõ ÷èñëàõ íåò
¾äûðîê¿.
b
÷òî äëÿ ∀x ∈ X è ∀y ∈ Y âûïîëíåíî x ⩽ y , òî ∃c ∈ R (íàçûâàåìûé ðàçäå-
ëÿþùèì ýëåìåíòîì ), ÷òî x ⩽ c ⩽ y äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x ∈ X è y ∈ Y.
a Àêñèîìà ïîëíîòû/íåïðåðûâíîñòè.
b  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî
æåñòâî
NB !
X ëåæèò
ëåâåå ìíîæåñòâà
Y
Y
ëåæèò ïðàâåå ìíîæåñòâà
X, èëè ÷òî
ìíî-
Âàæíûì ôàêòîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ýëåìåíò c íàéä¼òñÿ íå äëÿ êàæäîé
ïàðû x è y â îòäåëüíîñòè, à îí îäèí è òîò æå äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ
èç äàííûõ ìíîæåñòâ.
Ïðèìåð 1.1.
x=
√
Ñóùåñòâîâàíèå
√
2.
2 ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå â êâàäðàòå ðàâíî 2.
?
Ñóùåñòâóåò ëè ó óðàâíåíèÿ x
2
= 2
êîðåíü âî ìíîæå-
ñòâå R?
Ðèñ. 10.
êâàäðàòà
Âîïðîñ àêòóàëåí, ò.ê., íàïðèìåð, âî ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q ýòî
óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ñóùåñòâóåò
äðîáü
p
,
q
p
p2
q2
íåñîêðàòèìàÿ
p−÷¼òíîå
p2 =2q 2
= 2 ⇔ p2 = 2q 2 Ô⇒ p = 2k Ô⇒ p2 = 4k2 Ô⇒ q 2 = 2k2 .
Òî åñòü, q òàêæå ÷¼òíî, à çíà÷èò äðîáü
?
2
äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ( q ) = 2
p
q
ñîêðàòèìà.
Ïðîòèâîðå÷èå(!)
Ìîæåò áûòü, óðàâíåíèå x = 2 âîîáùå íå èìååò ðåøåíèé?
2
Äîêàæåì, ÷òî ýòî íå òàê.
Ðàññìîòðèì äâà ìíîæåñòâà A = {x > 0 ∣ x < 2} è B = {x > 0 ∣ x > 2}. Èìååì 1 ∈ A,
2
2
2 ∈ B, ïîýòîìó äàííûå ìíîæåñòâà íå ïóñòû.
Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî A ëåæèò ëåâåå ìíîæåñòâà B. ∀a ∈ A è ∀b ∈ B ïîëó>0
³¹¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ µ
÷àåì: 0 < b − a = (b − a) (b + a) ⇒ b − a > 0 ⇔ a < b. Ïî ïðèíöèïó Êàíòîðà-Äåäåêèíäà
a
ïîëó÷àåì, ÷òî ∃c ∈ R : ∀a ∈ A è ∀b ∈ B âûïîëíåíî a ⩽ c ⩽ b . Äîêàæåì, ÷òî
2
2
2
c = 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî c < 2 (ñëó÷àé c > 2 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî).
2
Íàéä¼ì δ ∈ (0, 1) : c + δ > 0 è (c + δ) < 2.
2
2
Åñëè ìû íàéä¼ì òàêîå δ , òî ïîëó÷èòñÿ, ÷òî c + δ ∈ A, íî c + δ > c, ò.å. c íå
ðàçäåëÿþùèé ýëåìåíò.
Çàìåòèì, ÷òî
(c + δ)2 = c2 + δ(2c + δ) < b < c2 + 5δ.
Äèàãîíàëü åäèíè÷íîãî
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Ïîëîæèì δ =
2−c2
5
16
> 0, äëÿ íåãî (c + δ)2 < 2.
a Ðàçäåëÿþùèé ýëåìåíò c è åñòü ¾êàíäèäàò¿ íà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ x2 = 2. Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, 1 < c < 2.
b c < 2, δ < 1
Çàì.
Ïðè àêñèîìàòè÷åñêîì îïðåäåëåíèè îáúåêòà âîçíèêàþò òðè âîïðîñà.
?
ßâëÿåòñÿ ëè ïîñòðîåííàÿ ñèñòåìà àêñèîì
íåïðîòèâîðå÷èâîé (ò.å. íå ñëåäóåò ëè èç íå¼
1.
îäíîâðåìåííî íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå è
åãî îòðèöàíèå)?
íåçàâèñèìîé (ò.å. íå ÿâëÿåòñÿ ëè îäíà èç
2.
àêñèîì ñëåäñòâèåì îñòàëüíûõ)?
ïîëíîé (ò.å. åäèíñòâåííûé ëè îáúåêò îïè-
3.
ñûâàåòñÿ ñèñòåìîé àêñèîì)?
Ìû íå áóäåì îáñóæäàòü ýòè âîïðîñû è ïðèìåì íà âåðó, ÷òî äëÿ ïðèâåä¼ííîé àêñèîìàòèêè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë îòâåò íà íèõ, ïîñëå íåêîòîðûõ
óòî÷íåíèé, ïîëîæèòåëåí.
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî
R, ýëåìåíòû êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò âñåì ïåðå÷èñëåí-
íûì óñëîâèÿì (àêñèîìàì) íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ (èëè âå-
ùåñòâåííûõ ) ÷èñåë.
Çàäà÷à 3.
Äëÿ êàæäîãî èç ìíîæåñòâ
N, Z, Q, C
óêàæèòå, êàêèå èç àêñèîì äåé-
ñòâèòåëüíûõ ÷èñåë â íèõ íå âûïîëíÿþòñÿ.
2
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî
ìíîæåñòâî X
⊂ R îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ñíèçó),
åñëè
∃M ∈ R ∶ ∀x ∈ X Ô⇒ x ⩽ M (M ⩽ x).
×èñëî
M,
èëè òàêæå
â ýòîì ñëó÷àå, íàçûâàþò
âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíèöåé ìíîæåñòâà X
ìàæîðàíòîé (ìèíîðàíòîé) ìíîæåñòâà X.
Îòðèöàíèå. Ìíîæåñòâî
X ⊂ R íå îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ñíèçó), åñëè
∀M ∈ R ∃x ∈ X ∶ x > M (x < M ).
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî, îãðàíè÷åííîå è ñâåðõó, è ñíèçó, íàçûâàåòñÿ
îãðàíè÷åí-
íûì.
Çàì.
Åñëè M (m) âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíèöà ìíîæåñòâà X, òî âñÿêîå ÷èñëî
áîëüøåå M (ìåíüøåå m) òîæå âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíèöà ìíîæåñòâà X.
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Çàì.
17
Îãðàíè÷åííîñòü ìíîæåñòâà X ðàâíîñèëüíà ¾îãðàíè÷åííîñòè ïî ìîäóëþ¿,
ò.å.
X − îãðàíè÷åíî ⇐⇒ ∃L > 0 ∶ ∀x ∈ X Ô⇒ ∣x∣ ⩽ L.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ∃m, M ∈ R : ∀x ∈ X ⇒ m ⩽ x ⩽ M . Áåð¼ì â
êà÷åñòâå L = max{∣m∣, ∣M ∣}.
Îáðàòíî, âûáèðàåì m = −∣L∣, M = ∣L∣.
Îïðåäåëåíèå. ×èñëî
a
íàçûâàåòñÿ
ìàêñèìóìîì èëè íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì
(ìèíèìóìîì èëè íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì) ìíîæåñòâà X
a∈X
Îáîçíà÷åíèå:
NB !
è
⊂ R,
åñëè
∀x ∈ X Ô⇒ x ⩽ a (a ⩽ x).
a = max X (a = min X)
Èç óñëîâèÿ III2 ïîðÿäêà ñëåäóåò, ÷òî åñëè â ÷èñëîâîì ìíîæåñòâå åñòü
ìàêñèìàëüíûé (ìèíèìàëüíûé) ýëåìåíò, òî îí òîëüêî îäèí. Îäíàêî, íå
âî âñÿêîì, äàæå îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå èìååòñÿ ìàêñèìàëüíûé èëè
ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò.
Çàäà÷à 1.
Äîêàæèòå, ÷òî âî ìíîæåñòâå
{x ∈ R ∣ 0 < x < 1} = (0, 1)
íåò, íè ìèíèìàëüíîãî, íè ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà.
?
 êàêèõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâàõ âñåãäà åñòü íàèáîëüøèé è
íàèìåíüøèé ýëåìåíòû?
Òåîðåìà 1. (ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà). Âî âñÿêîì
êîíå÷íîì íåïóñòîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà
R
åñòü íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé
ýëåìåíòû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðîâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî èíäóêöèåé ïî ÷èñëó
ìíîæåñòâà. Áàçà èíäóêöèè
n = 1.
n
ýëåìåíòîâ
Åñëè âî ìíîæåñòâå âñåãî îäèí ýëåìåíò, òî îí
íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé.
Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä ïðîâåä¼ì äëÿ ìàêñèìóìà. Ïóñòü âñÿêîå
ïîäìíîæåñòâî
R
èìååò ìàêñèìóì, à
X
(n + 1)-ýëåìåíòíîå
n-ýëåìåíòíîå
ïîäìíîæåñòâî:
X = {x1 , . . . , xn , xn+1 }.
Îáîçíà÷èì
c = max{x1 , . . . , xn }. Åñëè c ⩽ xn+1 , òî xn+1 = max X, èíà÷å c = max X.
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Ñëåäñòâèå
Z
1.
18
Âî âñÿêîì íåïóñòîì îãðàíè÷åííîì ñâåðõó (ñíèçó) ïîäìíîæåñòâå
åñòü íàèáîëüøèé (íàèìåíüøèé) ýëåìåíò.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, äîêàæåì äàííîå óòâåðæäåíèå äëÿ
îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ìíîæåñòâà. Ïóñòü
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò
n0 ∈ E,
E ⊂ Z, E ≠ ∅, E îãðàíè÷åíî
E1 = {n ∈ E ∣ n ⩾ n0 }.
ñâåðõó.
è ïîëîæèì
E îãðàíè÷åíî ñâåðõó, ìíîæåñòâî E1 êîíå÷íî. Åñëè M ∈ N
îäíà èç âåðõíèõ ãðàíèö ìíîæåñòâà E, òî â ìíîæåñòâå E1 íå áîëåå (M − n0 + 1)
ýëåìåíòîâ. Ïî òåîðåìå 1 â ìíîæåñòâå E1 åñòü íàèáîëüøèé ýëåìåíò. ßñíî, ÷òî
îí è áóäåò íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì E.
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî
Íà ñàìîì äåëå, äàííîå óòâåðæäåíèå ðàâíîñèëüíî ïðèíöèïó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü òåîðåìà 1 âåðíà. Äîêàæåì, ÷òî: íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî n, åñëè:
1. îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ n = 1 è
2. èç ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ äëÿ êàêîãî-ëèáî ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî n = k ñëåäóåò åãî ñïðàâåäëèâîñòü äëÿ n = k + 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò.å. ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåð-
æäåíèå ñïðàâåäëèâî íå äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî n. Òîãäà ñóùåñòâóåò
òàêîå íàòóðàëüíîå m, ÷òî:
1. óòâåðæäåíèå äëÿ n=m íåñïðàâåäëèâî,
2. äëÿ âñÿêîãî n, ìåíüøåãî m, óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî (èíûìè
ñëîâàìè, m åñòü ïåðâîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî óòâåðæäåíèå íåñïðàâåäëèâî).
Î÷åâèäíî, ÷òî m > 1, òàê êàê äëÿ n = 1 óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî
(óñëîâèå 1.). Ñëåäîâàòåëüíî, m - 1 íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Âûõîäèò, ÷òî
äëÿ
íàòóðàëüíîãî
÷èñëà m - 1 óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, à äëÿ ñëåäó-
þùåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m îíî íåñïðàâåäëèâî. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò
óñëîâèþ 2.
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî â ëþáîé ñîâîêóïíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñîäåðæèòñÿ íàèìåíüøåå. Ïîýòîìó, ëþáîå èç ýòèõ óòâåðæäåíèé ìîæíî
ïðèíÿòü çà îäíó èç àêñèîì, îïðåäåëÿþùèõ íàòóðàëüíûé ðÿä, òîãäà äðóãîå
áóäåò òåîðåìîé. Îáû÷íî çà àêñèîìó ïðèíèìàþò ñàì ïðèíöèï ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, íàçûâàÿ åãî àêñèîìîé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
x ∈ R. Íàèáîëüøåå öåëîå
öåëîé ÷àñòüþ x. Îáîçíà÷åíèå: [x].
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü
âàåòñÿ
÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå
x,
íàçû-
Ñóùåñòâîâàíèå öåëîé ÷àñòè îáåñïå÷èâàåòñÿ ñëåäñòâèåì èç òåîðåìû 1; åäèíñòâåííîñòü
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
19
ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ, è åäèíñòâåííîñòè ìàêñèìóìà. Ñëåäîâàòåëüíî
îïðåäåëåíèå
êîððåêòíî.
Çàì.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
[x] ⩽ x < [x] + 1,
x − 1 < [x] ⩽ x.
Îáðàòíî, åñëè y ∈ Z è x − 1 < y ⩽ x, òî y = [x].
Îïðåäåëåíèå. Íàèìåíüøåå èç ÷èñåë, îãðàíè÷èâàþùèõ ìíîæåñòâî
íàçûâàåòñÿ
òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà
X.
Îáîçíà÷åíèå:
X ⊂ R
sup X.
ñâåðõó
Ñóïðåìóì.
β = sup X ⇐⇒ 1) ∀x ∈ X ⇒ x ⩽ β; 2) ∀β ′ < β ∃x ∈ X ∶ x > β ′ ⇐⇒
⇐⇒ 1) ∀x ∈ X ⇒ x ⩽ β; 2) ∀ε > 0 ∃x′ ∈ X ∶ x′ > β − ε.
Ðèñ. 11.
Ñóïðåìóì ìíîæåñòâà
Îïðåäåëåíèå. Íàèáîëüøåå èç ÷èñåë, îãðàíè÷èâàþùèõ ìíîæåñòâî
íàçûâàåòñÿ
òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà
X.
Îáîçíà÷åíèå:
X ⊂ R
inf X.
ñíèçó
Èíôèìóì.
α = inf X ⇐⇒ 1) ∀x ∈ X ⇒ x ⩾ α; 2) ∀α′ > α ∃x ∈ X ∶ x < α′ ⇐⇒
⇐⇒ 1) ∀x ∈ X ⇒ x ⩾ α; 2) ∀ε > 0 ∃x′ ∈ X ∶ x′ < α + ε.
Âûøå ãîâîðèëîñü, ÷òî íå âñÿêîå (äàæå îãðàíè÷åííîå) ìíîæåñòâî îáëàäàåò ìèíèìàëüíûì è ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòàìè. Âûÿñíèì âîïðîñ: âñåãäà ëè ó ÷èñëîâîãî
ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò åãî âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíü? Åñëè ìíîæåñòâî íå îãðàíè÷åíî
ñâåðõó (ñíèçó), òî íå ñóùåñòâóåò ÷èñåë, êîòîðûå áû îãðàíè÷èâàëè åãî ñâåðõó (ñíèçó).
Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå ó ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà íåò âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíè.
Åñëè æå ìíîæåñòâî îãðàíè÷åíî, îòâåò äà¼ò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
a
Òåîðåìà 2. (ïðèíöèï ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ).
íè÷åííîå ñâåðõó ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî
X
Âñÿêîå íåïóñòîå îãðà-
èìååò, è ïðèòîì åäèíñòâåííóþ, òî÷íóþ
âåðõíþþ ãðàíü.
a Ïðèíöèï ïîëíîòû Âåéåðøòðàññà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åäèíñòâåííîñòü òî÷íîé ãðàíè ìîìåíòàëüíî ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà, íî äîêàæåì å¼ íåïîñðåäñòâåííî.
Âòîðîé ïðèíöèï ïîëíîòû
Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
20
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäîå èç ÷èñåë b è b′ (b ≠ b′ ) ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ
X. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî b > b′ . Òîãäà, â ñèëó òîãî, ÷òî b =
sup X, èç îïðåäåëåíèÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ÷èñëà b′ íàéä¼òñÿ
x ∈ X, ÷òî x > b′ . Ñëåäîâàòåëüíî, b′ íå ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíèöåé. Ïðîòèâîðå÷èå,
äîêàçûâàþùåå, ÷òî òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü åäèíñòâåííà.
ñóùåñòâîâàíèå âåðõíåé ãðàíè. Ïóñòü X ⊂ R íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå
ñâåðõó ìíîæåñòâî, à Y = {y ∈ R ∣ ∀x ∈ X ⇒ x ⩽ y} ìíîæåñòâî âåðõíèõ ãðàíèö
ìíîæåñòâà X. Ïî óñëîâèþ, X ≠ ∅ è Y ≠ ∅. Òîãäà â ñèëó ïðèíöèïà ïîëíîòû
Êàíòîðà-Äåäåêèíäà íàéä¼òñÿ ÷èñëî γ ∈ R òàêîå, ÷òî ∀x ∈ X è ∀y ∈ Y âûïîëíåíî:
Äîêàæåì
x ⩽ γ ⩽ y.
γ , òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿåòñÿ ìàæîðàíòîé X, è ìèíîðàíòîé Y. Êàê ìàæîðàíòà X, ÷èñëî γ ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà Y, íî êàê ìèíîðàíòà Y, ÷èñëî
γ ÿâëÿåòñÿ åãî ìèíèìàëüíûì ýëåìåíòîì. Èòàê, γ = min Y = sup X.
×èñëî
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü òî÷íîé
íèæíåé
ãðàíè
ó îãðàíè÷åííîãî ñíèçó ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà, ò.å. âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
2∗ . (ïðèíöèï ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíè) Âñÿêîå íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå ñíèçó ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî èìååò, è ïðèòîì åäèíñòâåííóþ, òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü.
Òåîðåìà
NB !
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî îáëàäàåò ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì, òî îí âñåãäà ñîâïàäàåò ñ åãî òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ. Îáðàòíîå
íåâåðíî. Íàïðèìåð, ó ìíîæåñòâà X = (0, 1) íåò ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà,
íî ∃ sup X = 1.
Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ èìåþò ìåñòî è äëÿ inf / min.
Òåîðåìà 3. (ïðèíöèï Àðõèìåäà). Êàêîâî áû íè áûëî äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî
ùåñòâóåò òàêîå
íàòóðàëüíîå n,
÷òî
a,
ñó-
n > a.
Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ∃a ∈ R, ÷òî ∀n ∈ N âûïîëíåíî n ⩽ a.
Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî N îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Òîãäà ïî òåîðåìå 2 ∃ sup N = γ .
∗
∗
∗
∗
Äàëåå, ò.ê. γ − 1 < γ , òî ∃n ∈ N, ÷òî n > γ − 1, ò.å. n + 1 > γ , íî (n + 1) ∈ N.
Ïîýòîìó γ ≠ sup N. Ïðîòèâîðå÷èå!
Äîêàçàòåëüñòâî.
ãåîìåòðè÷åñêè : ëþñîèçìåðèìû. Ò.å. êàêèìè áû íè áûëè îòðåçêè, îäèí ìîæíî
Ó äðåâíèõ ãðåêîâ äàííîå óòâåðæäåíèå ôîðìóëèðîâàëîñü
áûå äâà îòðåçêà
îòëîæèòü íåñêîëüêî ðàç, òàê ÷òîáû ýòà ñóììà ñòàëà áîëüøå äðóãîãî.
Òåîðåìà 4. (ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë). Âî âñÿêîì èíòåðâàëå äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé åñòü ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî.
Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
Ðèñ. 12.
21
Ñîèçìåðèìîñòü îòðåçêîâ
1
a, b ∈ R è a < b. Òîãäà b−a
> 0, è ïî ïðèíöèïó Àðõèìåäà
[na]+1
∃n ∈ N, ÷òî n >
< b − a. Ïîëîæèì c = n . Òîãäà c ∈ Q è c > na−1+1
= a,
n
na+1
1
c ⩽ n = a + n < a + b − a = b Ô⇒ c ∈ (a, b).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
1
1
, ò.å.
b−a
n
Ñâîéñòâî, âûðàæåííîå â òåîðåìå 4, íàçûâàþò
ìíîæåñòâå
(âñþäó) ïëîòíîñòüþ ìíîæåñòâà
Q âî
R.
Ñëåäñòâèå
1.
Âî âñÿêîì èíòåðâàëå
Äîêàçàòåëüñòâî.
Îò ïðîòèâíîãî.
áåñêîíå÷íî ìíîãî
Ïóñòü â íåêîòîðîì èíòåðâàëå
ñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë êîíå÷íî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
ãäà â èíòåðâàëå
(a, x1 )
ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
x1
(a, b)
êîëè÷å-
íàèìåíüøåå èç íèõ. Òî-
íåò íè îäíîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà, ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò
òåîðåìå 4.
3
Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà
÷èñëîâûõ îòðåçêîâ
{[an , bn ]}n=1
∞
íàçûâàåòñÿ
ñèñòåìîé
an , bn ∈ R.
âëîæåííûõ îòðåçêîâ, åñëè
a1 ⩽ a2 ⩽ . . . ⩽ an ⩽ . . . ⩽ bn ⩽ . . . ⩽ b2 ⩽ b1 ,
ò.å. êàæäûé ñëåäóþùèé îòðåçîê
[an+1 , bn+1 ]
ñîäåðæèòñÿ â ïðåäûäóùåì
(∗)
[an , bn ]:
[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . .
Ðèñ. 13.
Âëîæåííûå îòðåçêè
Òåîðåìà 5. (ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ Êàíòîðà). Âñÿêèé íàáîð âëîæåííûõ îòðåçêîâ èìååò õîòÿ áû îäíó îáùóþ òî÷êó. Áîëåå òîãî, åñëè ñðåäè ýòèõ îòðåçêîâ âñòðå÷àþòñÿ
îòðåçêè ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíûa ,
òî òàêàÿ îáùàÿ òî÷êà
åäèíñòâåííàÿ.
a Ò.å. ∀ε > 0 ∃[a, b] ∈ {[an , bn ]}∞ ∶ b − a < ε.
n=1
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
A = {an }
ìíîæåñòâî ëåâûõ êîíöîâ îòðåçêîâ, à
B = {bn } ìíîæåñòâî ïðàâûõ êîíöîâ. Äàííûå ìíîæåñòâà íåïóñòûå. Â ñèëó íåðà-
Òðåòèé ïðèíöèï ïîëíîòû
Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
âåíñòâ
(∗)
æåñòâî
B
ïîëó÷àåì, ÷òî ìíîæåñòâî
îãðàíè÷åíî ñíèçó (ëþáûì
ãðàíåé ñóùåñòâóþò
Ò.ê.
α
22
sup A
è
inf B,
îãðàíè÷èâàåò ìíîæåñòâî
âàþùèõ ìíîæåñòâî
B
A
îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ëþáûì
an ).
à ìíî-
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèíöèïó òî÷íûõ
êîòîðûå ìû îáîçíà÷èì
B ñíèçóa ,
bn ),
à
ñíèçó, òî âûïîëíåíî
α
β íàèáîëüøåå
α ⩽ β . Ïîýòîìó,
è
β
ñîîòâåòñòâåííî.
èç ÷èñåë, îãðàíè÷è-
∞
∀n ∈ N Ô⇒ an ⩽ α ⩽ β ⩽ bn Ô⇒ [α, β]b ⊂ ⋂ [an , bn ].
n=1
bn − an ⩾ β − α, ∀n ∈ N.
> 0) :
∃ε0 > 0 (íàïðèìåð, ε0 = β−α
2
Êðîìå òîãî, èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà âûòåêàåò, ÷òî
Îòêóäà, åñëè
α ≠ β,
ò.å.
β > α,
òî
∀n ∈ N Ô⇒ bn − an > ε0 ,
èëè ñðåäè âëîæåííûõ îòðåçêîâ íå âñòðå÷àþòñÿ îòðåçêè ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíû.
a Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ∃n ∈ N ∶ bn < α. Ò.ê. α = sup A, òî ∃m ∈ N ∶ am ∈ (bn , α), ò.å bn < am ,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâàì (∗).
b Äàííûé îòðåçîê ìîæåò ïåðåðîäèòüñÿ â òî÷êó.
Âèäíî, ÷òî ìû äîêàçàëè áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå, à èìåííî, ÷òî ëþáîé
íàáîð ïîïàðíî ïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêîâ èìååò õîòÿ áû îäíó îáùóþ òî÷êó
(ò.ê. âëîæåííîñòü îòðåçêîâ íàìè íèãäå íå èñïîëüçîâàëàñü).
Îïðåäåëåíèå. Åñëè äëÿ ñèñòåìû âëîæåííûõ îòðåçêîâ
{[an , bn ]}
âûïîëíåíî, ÷òî
∀ε > 0 ∃[a, b] ∈ {[an , bn ]}n=1 ∶ b − a < ε,
∞
òî äàííàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ
íèå:
ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìîé îòðåçêîâ a . Îáîçíà÷å-
bn − an ÐÐÐ→ 0.
a Èëè
n→∞
ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìîé ñåãìåíòîâ
(ñ.ñ.ñ.).
Óïðàæíåíèå. Äîêàæèòå ñïðàâåäëèâîñòü îáðàòíîãî óòâåðæäåíèÿ ê ïðèíöèïó âëî-
æåííûõ îòðåçêîâ Êàíòîðà. Ò.å., åñëè ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííàÿ
òî÷êà
ξ,
ïðè-
íàäëåæàùàÿ âñåì îòðåçêàì ñèñòåìû, òî äàííàÿ ñèñòåìà îòðåçêîâ ÿâëÿåòñÿ
ñòÿãèâàþùåéñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó âëîæåííûõ ñåãìåíòîâ
a
òî÷êè ,
sup{an } è inf{bn } çàâåäîìî îáùèå
ξ = sup{an } = inf{bn }. Ïî îïðåäåëåíèþ
íàéäóòñÿ òàêèå íîìåðà n1 è n2 , ÷òî:
ε
an1 > ξ − ,
2
òî
îíè
{[an , bn ]},
ñîâïàäàþò.
ò.ê.
Îáîçíà÷èì
òî÷íûõ ãðàíåé äëÿ çàäàííîãî
ε > 0
ε
bn2 < ξ + .
2
n1 < n2 , òîãäà ïîëó÷àåì: [an2 , bn2 ] ⊂
ε
ε
. Îòêóäà, bn2 − an2 < ξ +
− ξ + 2ε = ε. Èñïîëüçóÿ òî,
2
2
÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà ñåãìåíòîâ - âëîæåííàÿ, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî
[an1 , bn1 ],
è
an2 ⩾ an1 > ξ −
a Ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì îòðåçêàì ñè-
Òåîðåìà Õåëëè.
Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
23
ñòåìû
NB !
Äëÿ ñèñòåìû äðóãèõ òèïîâ ìíîæåñòâ äàííûé ôàêò óæå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò íå èìåòü ìåñòî. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñèñòåìó ïîëóèíòåð∞
1
], ∀n ∈ N, íî îáùåé òî÷êè ó
âàëîâ: {(0, n1 ]}n=1 . Èìååì (0, n1 ] ⊃ (0, n+1
a
äàííûõ ïîëóèíòåðâàëîâ íåò .
a Ñì. òàêæå ëåììó ïðè èçó÷åíèè ìîäåëè ìíîæåñòâà áåñêîíå÷íûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé äàëåå.
?
Ñóùåñòâóþò ëè ñèñòåìû ñòÿãèâàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ
(ïîëóèíòåðâàëîâ), èìåþùèå íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå?
Óòâåðæäåíèå
3.1. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî
ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ Êàíòîðà.
Êàíòîðà-Äåäåêèíäà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
èìååò
Òîãäà
ìåñòî
ïðèíöèï Àðõèìåäà è
ïðèíöèï ïîëíîòû
âûïîëíÿåòñÿ
Ïóñòü äëÿ âñÿêîé ñèñòåìû âëîæåííûõ îòðåçêîâ
íàéä¼òñÿ õîòÿ áû îäíà îáùàÿ òî÷êà
ξ,
{[an , bn ]}
à òàêæå ïóñòü êàêîâî áû íè áûëî äåé-
n ∈ N : n > a. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà X è Y,
îáëàäàþùèå òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y Ô⇒ x ⩽ y . Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò c ∈ R, ÷òî x ⩽ c ⩽ y äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x ∈ X è y ∈ Y.
ñòâèòåëüíîå ÷èñëî
a
íàéä¼òñÿ
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå
x1 ∈ X , y1 ∈ Y .
òî÷êà
x1 + y1
2
óæå ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâà
ìåíòîâ èç ìíîæåñòâà
ýëåìåíò
c
X,
x1 = y1 , òî c = x1 = y1 ðàçäå[x1 , y1 ] ïîïîëàì. Åñëè åãî ñåðåäèíà,
Åñëè
ëÿþùèé ýëåìåíò. Èíà÷å, ïîäåëèì îòðåçîê
X
è
Y,
ò.å. ïðàâåå ýòîé òî÷êè íåò ýëå-
à ëåâåå å¼ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà
Y,
òî ðàçäåëÿþùèé
íàìè íàéäåí.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ñ îäíîé èç ñòîðîí ñðåäíåé òî÷êè
íàéäóòñÿ ýëåìåíòû è èç ìíîæåñòâà
ýòó ïîëîâèíó ÷åðåç
[x2 , y2 ]a .
X,
è ýëåìåíòû èç ìíîæåñòâà
Y.
Îáîçíà÷èì
Ïîâòîðÿåì îïèñàííóþ ïðîöåäóðó åù¼ ðàç, è ò.ä.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå. Åñëè íàøå ïîñòðîåíèå çàêàí÷èâàåòñÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ, òî ðàçäåëÿþùèé ýëåìåíò áûë íàìè ïîñòðîåí. Åñëè æå íåò,
òî ìû ïîëó÷àåì ñòÿãèâàþùóþñÿ ñèñòåìó ñåãìåíòîâ, â êàæäîì èç êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû è èç ìíîæåñòâà
îòðåçêîâ, ñóùåñòâóåò òî÷êà
c,
X, è èç ìíîæåñòâà Y. Ïî ïðèíöèïó âëîæåííûõ
ïðèíàäëåæàùàÿ êàæäîìó îòðåçêó
[xn , yn ].
Äîêà-
æåì, ÷òî äàííàÿ òî÷êà è ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðàçäåëÿþùèì ýëåìåíòîì. Åñëè
Ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ
∃y ∈ Y
y < xn
24
y < c, òî ïî àêñèîìå Àðõèìåäà
yn − xn < c − y b ). Íî â ýòîì ñëó÷àå â
òàêîé, ÷òî
(ò.å.
X,
ýëåìåíòû ìíîæåñòâà
íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð
îòðåçêå
[xn , yn ]
n,
÷òî
îòñóòñòâóþò
÷òî ïðîòèâîðå÷èò íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ.
Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà
∃x ∈ X
è
x > c.
a Áåçóñëîâíî, íàìè íå óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî x ∈ X, à y ∈ Y, íî ýòî â äàííîì ñëó÷àå íå âàæíî.
2
2
b  ñèëó òîãî, ÷òî yn − xn = l < c − y = const, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî n.
2n
Çàì.
Çàì.
Îò ïðèíöèïà (àêñèîìû) Àðõèìåäà â óñëîâèÿõ òåîðåìû îòêàçàòüñÿ íåëüçÿ.
Ñóùåñòâóþò óïîðÿäî÷åííûå ïîëÿ (íåàðõèìåäîâû), â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ, íî íå âûïîëíåí ïðèíöèï Àðõèìåäà.
Íàìè áûëî äîêàçàíî, ÷òî â àðõèìåäîâûõ ïîëÿõ âñå òðè ¾ïðèíöèïà ïîëíîòû¿: ïðèíöèï Êàíòîðà-Äåäåêèíäà, ïðèíöèï òî÷íûõ ãðàíåé è ïðèíöèï
âëîæåííûõ îòðåçêîâ, âûâîäÿòñÿ îäèí èç äðóãîãî, à çíà÷èò ýêâèâàëåíòíû
äðóã äðóãó.
Èçîáðàçèì âñå âûøåñêàçàííîå â âèäå äèàãðàììû.
Ðèñ. 14.
Çàäà÷à 1.
a 0, ñòðîèì â í¼ì îòðåçîê In+1 , òàê ÷òî
Âîçüì¼ì
ñîäåðæàùèé
óæå
xn+1 ∉ In+1
c ∈ I0 =
xk .
è
∣In+1 ∣ > 0.
∞
Ïî ëåììå î âëîæåííûõ îòðåçêàõ
∃c ∈ ⋂ In ,
ïîýòîìó
n=0
[0, 1], è ïî ïîñòðîåíèþ îíî íå ìîæåò ñîâïàäàòü íè ñ îäíîé èç òî÷åê
Îïðåäåëåíèå. Ìîùíîñòü îòðåçêà
çíà÷åíèå:
[0, 1]
íàçûâàþò
ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà. Îáî-
c.
Óòâåðæäåíèå 5.3. Ìíîæåñòâî
an ∈ {0, 1, 2, 3}a ,
A
âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âèäà
{an }∞
n=1 ,
îò ëàò. continuum - íåïðåðûâíîå,
ñïëîøíîå.
ãäå
íåñ÷¼òíî.
a Ìíîæåñòâî ÷åòâåðè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Ïóñòü ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòâåðè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Äîêàçàòåëüñòâî.
ìîæíî ïðîíóìåðîâàòü.  ýòîì ñëó÷àå âñå îíè ìîãóò áûòü ðàñïîëîæåíû ïî ñòðîêàì áåñêîíå÷íîé ìàòðèöû. Âûäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç öèôð
{0, 1, 2, 3},
ñòîÿùóþ íà äèàãîíàëè è ½èíâåðòèðóåì“ å¼ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â
ìåíò
n-îé
n-îé
ïîçèöèè êîòîðîé ñòîèò íå
0,
íå
3,
è íå äèàãîíàëüíûé ýëå-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñòðîåííàÿ ÷åòâåðè÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íå ëåæèò â ðàññìàòðèâàåìîé ìàòðèöå. Ò.ê. îíà îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâîé ñòðîêè â
ïåðâîì ýëåìåíòå, îò âòîðîé âî âòîðîì, è ò.ä.
Ïîñòðîèì ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè îòðåçêà [0, 1] è ïîäìíîæåñòâîì äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì
ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî x ∈ [0, 1], è ðàçáèâàåì äàííûé îòðåçîê íà äâå ðàâíûå
÷àñòè: [0, 21 ] è [ 21 , 1]. Åñëè x ëåæèò â ëåâîì ñåãìåíòå, ïîëîæèì x1 = 0, åñëè
a
â ïðàâîì - x1 = 1 . Äàëåå, ðàçáèâàåì ñåãìåíò, â êîòîðîì ëåæèò x íà äâå
ðàâíûå ÷àñòè, åñëè x ëåæèò â ëåâîé - ïîëîæèì x2 = 0, èíà÷å - x2 = 1. È òàê
êàíòîðîâñêèé äèàãîíàëüíûé
ïðîöåññ.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà
32
äàëåå, ïðîäîëæàåì ïðîöåññ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Åñëè ÷èñëî x ëåæèò íà
ãðàíèöå ñåãìåíòà, ò.å. ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ÷èñëî âèäà:
m
,
2n
m = 1, . . . 2n , òî
êëàä¼ì â êà÷åñòâå xn åäèíèöó. Ýòèì ìû ñòðîèì ñîîòâåòñòâèå âåùåñòâåííûõ
÷èñåë îòðåçêà [0, 1] è äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, çà èñêëþ÷åíèåì òåõ,
ó êîòîðûõ íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà ñòîÿò íóëè, ò.å. ìîùíîñòü îòðåçêà
[0, 1] íå áîëüøå, ÷åì ìîùíîñòü ìíîæåñòâà äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
a Ñëó÷àé x =
1
2
áóäåò ðàññìîòðåí íèæå
Îáðàòíî, êàæäîé äâîè÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå
äâîè÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ó êîòîðîé íà âñåõ ÷¼òíûõ ìåñòàõ ñòîÿò íóëè,
à íà íå÷¼òíûõ - ýëåìåíòû ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ò.å.
{0, 1, 1, 0, . . . } ←→ {0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, . . . }.
Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîé äâîè÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ïîñòàâèòü
åäèíñòâåííîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî èç îòðåçêà [0, 1]. È, ò.ê. ìû èçáàâèëèñü
îò ñëó÷àÿ ïåðèîäà èç åäèíèö, êàæäîìó èç ïîñòàâëåííûõ â ñîîòâåòñòâèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (áåçóñëîâíî, ýòî áóäóò íå âñå ÷èñëà îòðåçêà [0, 1]), áóäåò
ñîîòâåòñòâîâàòü òîëüêî îäíà äâîè÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ò.å. ìîùíîñòü
ñåãìåíòà [0, 1] íå ìåíüøå, ÷åì ìîùíîñòü ìíîæåñòâà äâîè÷íûõ ïîñëåäîâà-
a
òåëüíîñòåé. Îñòà¼òñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà .
a Åñëè ìíîæåñòâî A ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîé ÷àñòè B′ ìíîæåñòâà B, à B ýêâèâàëåíòíî
íåêîòîðîé ÷àñòè A′ ìíîæåñòâà A, òî A ∼ B.
2X ìíîæåñòâî âñåõ
åãî ïîäìíîæåñòâ, âêëþ÷àÿ ∅ è X. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà X (ñòðîãî) ìåíüøå, ÷åì
X
ìîùíîñòü 2 .
Òåîðåìà 7. (Êàíòîð). Ïóñòü X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, à
Ïîñòàâèì êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà
Äîêàçàòåëüñòâî.
X
â ñîîòâåòñòâèå
îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òîëüêî ýòîò ýëåìåíò.  îáùåì ñëó÷àå êðîìå íèõ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è äðóãèå ïîäìíîæåñòâà. Ïîýòîìó, âûïîëíåíî
X ⩾ card X.
X
X
Äîêàæåì, ÷òî X ≁ 2 . Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü X ∼ 2 , è ïóñòü φ áèåêöèÿ ìåæäó
X
X
ýòèìè ìíîæåñòâàìè, ò.å. ∀x ∈ X ∃φ(x) ∈ 2 , è êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà 2
íåðàâåíñòâî card 2
åñòü
φ(x)
äëÿ îäíîãî è òîëüêî îäíîãî
Íàçîâ¼ì ýëåìåíò
x∈X
ïðàâèëüíûì,
x ∈ X.
åñëè
x ∈ φ(x)a ,
è
íåïðàâèëüíûì â ïðîòèâX, î÷åâèäíî,
íîì ñëó÷àå. Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíò, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò âñåìó
ïðàâèëüíûé, à òîò, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ïóñòîìó ìíîæåñòâó íåïðàâèëüíûé.
Ò.å. äàííûå ìíîæåñòâà íå ïóñòû, è
∀x ∈ X
ëåæèò â îäíîì, è òîëüêî îäíîì èç
äàííûõ ìíîæåñòâ.
Îáîçíà÷èì äàëåå ÷åðåç
B
ìíîæåñòâî âñåõ íåïðàâèëüíûõ (è òîëüêî íåïðàâèëü-
X. Ò.ê. B ⊂ 2X , òî â ñîîòâåòñòâèè φ ýòîìó ìíîæåñòâó
îòâå÷àåò íåêîòîðûé ýëåìåíò x0 ∈ X, ò.å. B = φ(x0 ). Êàêîâ æå ýòîò ýëåìåíò x0 ?
ßñíî, ÷òî îí íå ìîæåò áûòü íè ïðàâèëüíûì, íè íåïðàâèëüíûì. Ïðîòèâîðå÷èå.
X
Ñëåäîâàòåëüíî, X ≁ 2 .
íûõ) ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà
a Ò.å. ýëåìåíò x ëåæèò âî ìíîæåñòâå, êîòîðîìó îí ñîîòâåòñòâóåò.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà
Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà : âñÿêîå áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî îòðåçêà [0, 1] ðàâ-
íîìîùíî N èëè [0, 1]. Ýòà ãèïîòåçà áûëà ñôîðìóëèðîâàíà Ã.Êàíòîðîì: ñó-
ùåñòâóþò ëè ìíîæåñòâà ïðîìåæóòî÷íîé ìîùíîñòè ìåæäó ñ÷¼òíûìè
è êîíòèíóàëüíûìè? Áûëî âûñêàçàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ïðîìåæóòî÷íûå
ìîùíîñòè îòñóòñòâóþò.
 1934ã. àâñòðèéñêèé ìàòåìàòèê Ê.üäåëü äîêàçàë, ÷òî Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà
íå ïðîòèâîðå÷èò îñòàëüíûì àêñèîìàì òåîðèè ìíîæåñòâ. Îêîí÷àòåëüíî äàííûé âîïðîñ áûë ðåø¼í â 1963ã., êîãäà àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê Ï. Êîýí
äîêàçàë, ÷òî è å¼ îòðèöàíèå òàêæå íå ïðîòèâîðå÷èò îñòàëüíûì àêñèîìàì
òåîðèè ìíîæåñòâ, è ïîýòîìó, Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà íå ìîæåò áûòü íè äîêàçàíà, íè îïðîâåðãíóòà â ðàìêàõ ýòîé àêñèîìàòèêè.
33
ÃËÀÂÀ
Òåîðèÿ ÷èñëîâûõ
III
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
1
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ
f ∶ N ↦ X,
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíî-
æåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íàçûâàåòñÿ
Îïðåäåëåíèå. Çíà÷åíèÿ
f (n)
ôóíêöèè
f
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.
íàçûâàþòñÿ
÷ëåíàìè ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòè. Èõ ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì ýëåìåíòà òîãî ìíîæåñòâà, â êîòîðîå èä¼ò
îòîáðàæåíèå, íàäåëÿÿ ñèìâîë ñîîòâåòñòâóþùèì èíäåêñîì àðãóìåíòà,
Ñàìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáîçíà÷àþò
xn ,
è íàçûâàþò
xn = f (n).
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X.
Ðèñ. 19.
×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Âñþäó äàëüøå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
f ∶N↦X⊂R
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (÷èñëîâûå
Ïðèìåð 1.1.
34
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ).
Äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå âåùåñòâåííîãî ÷èñëà ïðèáëèæ¼ííîå
Ñåêöèÿ 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.
Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñåêöèÿ 2. Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñåêöèÿ 3. Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñåêöèÿ 4. Ïðèíöèïû ïîëíîòû.
Ïðîäîëæåíèå
Ñåêöèÿ 5. Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ÷àñòè÷íûå ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñåêöèÿ 6. Âåðõíèé è íèæíèé
ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñåêöèÿ 7. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
èçîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ:
3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592; 3,1415926; . . .
Ïðèìåð 1.2.
Àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäà
a1 , a1 + d, a1 + 2d, . . . , a1 + (n − 1)d, . . . ,
òî åñòüïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë
(÷ëåíîâ ïðîãðåññèè), â êîòîðîé êàæäûé ÷ëåí,
íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî äîáàâëåíèåì ê íåìó ïîñòîÿííîãî
÷èñëà
d (øàãà,
Ïðèìåð 1.3.
èëè
ðàçíîñòè ïðîãðåññèè).
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â êîòî-
ðîé ïåðâûé ÷ëåí
b1 ≠ 0,
à êàæäûé ïîñëåäóþùèé ÷ëåí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ïîëó-
÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî óìíîæåíèåì åãî íà îïðåäåë¼ííîå ÷èñëî
q ≠ 0 (çíàìåíà-
òåëü ïðîãðåññèè) :
b1 , b1 q, b1 q 2 , b1 q 3 , b1 q 4 , . . .
?
Ìîæíî ëè ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ (âåùåñòâåííûõ) ÷èñåë, êàê ïðèìåð ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè?
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
íàçûâàåòñÿ
îãðàíè÷åííîé ñâåðõó (ñíèçó),
åñëè:
∃M ∈ R ∶ ∀n ∈ N Ô⇒ xn ⩽ M (xn ⩾ M ).
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
íàçûâàåòñÿ
îãðàíè÷åííîé, åñëè îíà îãðàíè-
÷åíà ñâåðõó è ñíèçó îäíîâðåìåííî, ò.å.
∃m, M ∈ R ∶ ∀n ∈ N ⇒ m ⩽ xn ⩽ M ⇐⇒ ∃A > 0 ∶ ∀n ∈ N ⇒ ∣xn ∣ ⩽ Aa .
a A = max{∣m∣, ∣M ∣}.
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
íàçûâàåòñÿ
íåîãðàíè÷åííîé, åñëè
∀M ∈ R ∃n(M ) ∈ N ∶ ∣xn(M ) ∣ > M.
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
íàçûâàåòñÿ
áåñêîíå÷íî áîëüøîé, åñëè
∀A > 0 ∃n0 (A)a ∈ N ∶ ∀n ⩾ n0 Ô⇒ ∣xn ∣ > A.
a Íå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ýòîò íîìåð áûë íàèìåíüøèì.
Ïðèìåð 1.4.
xn = (−1)n ⋅ n;
35
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðèñ. 20. xn = (−1) ⋅ n
n
Ïðèìåð 1.5.
?
Çàì.
xn = n!;
Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = n! ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé. Ò.å. ∀A > 0 óêàæèòå íîìåð n0 (A), òàêîé ÷òî
∀n ⩾ n0 Ô⇒ ∣xn ∣ > A.
Èíîãäà òðåáóåòñÿ çíàêîïîñòîÿíñòâî áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.  ýòîì ñëó÷àå ðàçëè÷àþò ïîëîæèòåëüíûå áåñêîíå÷íî áîëüøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, è îòðèöàòåëüíûå áåñêîíå÷íî áîëüøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòèa .
a Îïðåäåëåíèÿ äàííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé áåðóòñÿ áåç ìîäóëåé.
Óòâåðæäåíèå 1.1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ, òî îíà
íåîãðàíè÷åíà. Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïåðâàÿ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ ñðàçó âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ
áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âòîðàÿ ÷àñòü äîêàçûâàåòñÿ ïðèìåðîì
íåîãðàíè÷åííîé, íî íå áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
n
Ïðèìåð 1.6.
xn = n(−1) = {1, 2, 13 , 4, 15 , . . .};
Ïðèìåð 1.7.
xn = n ⋅ sin n;
Ïðèìåð 1.8.
xn = n + (−1)n ⋅ n.
36
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðèñ. 21.
37
Ïðèìåð íåîãðàíè÷åííîé, íî íå áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
íàçûâàåòñÿ
áåñêîíå÷íî ìàëîé, åñëè
∀ε > 0 ∃N0 (ε) ∈ N ∶ ∀n ⩾ N0 (ε) Ô⇒ ∣xn ∣ < ε,
ò.å. âíå èíòåðâàëà
(−ε, ε)
íàõîäèòñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè.
Îòðèöàíèå:
xn íå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé,
åñëè
∃ε0 > 0 ∶ ∀n ∈ N ∃n0 > n Ô⇒ ∣xn0 ∣ ⩾ ε0 .
Çàì.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû çàïèñàòü îòðèöàíèå ê âûðàæåíèþ, çàïèñàííîìó â êâàíòîðàõ, îáû÷íî, òðåáóåòñÿ
çàìåíèòü êâàíòîð ∀ íà ∃;
çàìåíèòü êâàíòîð ∃ íà ∀;
çàìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûå.
1
1
1
. Ðàññìîòðèì ∀ε > 0 íåðàâåíñòâî ∣ ∣ =
< ε. Òàêîå
n
n
n
1
íàéä¼òñÿ ïî ïðèíöèïó Àðõèìåäà. Ïîëîæèì N (ε) = [ ]+1. Òîãäà ∀n ⩾
ε
1
< ε.
n
Ïðèìåð 1.9.
xn =
Ïðèìåð 1.10.
xn =
1
,
qn
n ∈ N, n > 1ε
N (ε) èìååì
q > 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåðèì, ÷òî ìíîæåñòâî
A = {q n ∣ n ∈ N} íå îãðàíè÷åíî ñâåð-
Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü A îãðàíè÷åíî. Òîãäà ïî ïðèíöèïó òî÷íûõ ãðàíåé
∃ sup A = ℓ. Ïî îïðåäåëåíèþ sup ∃n0 ∈ N : qℓ < q n0 < ℓ, èëè ℓ < q n0 +1 . Íî, ò.ê.
n0 + 1 ∈ N, òî ℓ ≠ sup A. Ïðîòèâîðå÷èå, äîêàçûâàþùåå, ÷òî A íå îãðàíè÷åíî,
N (M )
ïîýòîìó ∀M > 0 ∃N (M ) ∶ q
> M.
õó.
Äàëåå, ò.ê.
q > 1,
òî
q n > q N (M )
ïðè
n > N (M ).
Ñëåäîâàòåëüíî,
∀M > 0 ∃N (M ) ∶ ∀n ⩾ N (M ) ⇒ q n > M ⇐⇒
1
qn
<
1
.
M
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îòêóäà, ò.ê.
∀ε > 0 ∃M > 0 ∶
1
M
< ε,
òî
̂ (ε) ∶ ∀n ⩾ N
̂ (ε) ⇒
∀ε > 0 ∃N
è
1
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðè
qn
Ðèñ. 22. xn =
1
qn
< ε,
q > 1.
1
(5/4)n
Òåîðåìà 8. (ñâîéñòâà áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé).
êîíå÷íî ìàëàÿ, òî
2. Åñëè
xn
xn
38
1. Åñëè
xn
áåñ-
îãðàíè÷åíà;
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ,
yn
îãðàíè÷åííàÿ, òî
xn ⋅ yn
áåñêîíå÷íî
ìàëàÿ;
3. Åñëè
xn , yn
áåñêîíå÷íî ìàëûå, òî è
xn ± yn , xn ⋅ yn
áåñêîíå÷íî ìàëûå.
Äîêàçàòåëüñòâî.
xn áåñêîíå÷íî ìàëàÿ. Ôèêñèðóåì ∀ε > 0
n0 (ε) : ∀n ⩾ n0 ⇒ ∣xn ∣ < ε. Òåïåðü, åñëè âûáðàòü
M = max{ε, ∣x1 ∣, ∣x2 ∣, . . . , ∣xn0 −1 ∣}, òî
1. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ïî íåìó íàõîäèì
∀n ∈ N Ô⇒ ∣xn ∣ ⩽ M.
2. Ïóñòü
∃A > 0 ∶ ∀n ∈ N ⇒ ∣yn ∣ ⩽ A
è
∀ε > 0 ∃n0 (ε) ∶ ∀n ⩾ n0 ⇒ ∣xn ∣ <
ε
.
A
Òîãäà
∀ε > 0 ∃n0 (ε) ∶ ∀n ⩾ n0 (ε) ⇒ ∣xn ⋅ yn ∣ = ∣xn ∣ ⋅ ∣yn ∣ <
ε
⋅ A = ε,
A
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
3. Ïóñòü
xn ⋅ yn
∀ε > 0 ∃n1 (ε), n2 (ε),
39
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.
òàêèå ÷òî:
ε
∀n ⩾ n1 (ε) Ô⇒ ∣xn ∣ < ,
2
ε
∀n ⩾ n2 (ε) Ô⇒ ∣yn ∣ < .
2
∀ε > 0 ∃n0 = max{n1 , n2 } : ∀n ⩾ n0 Ô⇒
Ñëåäîâàòåëüíî,
∣xn ± yn ∣ ⩽ ∣xn ∣ + ∣yn ∣ <
ò.å.
xn ± yn
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ. Òî, ÷òî
èç ïóíêòîâ
1.
è
ε ε
+ = ε,
2 2
xn ⋅ yn
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âûòåêàåò
2.
Òåîðåìà 9. (ñâÿçü áåñêîíå÷íî ìàëûõ è áåñêîíå÷íî áîëüøèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé).
Ïóñòü
∀n ∈ N ⇒ xn ≠ 0.
Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn
áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ,
1
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
xn
íåîáõîäèìîñòüa . Ïóñòü xn áåñêîíå÷íî
1
áîëüøàÿ. Òîãäà çàäàâàÿ ïðîèçâîëüíîå ε > 0, ïîëîæèì A = . Ïî ýòîìó A íàõîäèì
ε
1
íîìåð n0 (A), ÷òî ∀n ⩾ n0 (A) ⇒ ∣xn ∣ > A. Ýòî ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ ∣
∣ < A1 =
xn
ε.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæåì, íàïðèìåð,
a Äîñòàòî÷íîñòü äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
2
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îïðåäåëåíèå 1. ×èñëî
a
íàçûâàåòñÿ
åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn − a
ïðåäåëîì ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn ,
ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé, ò.å.
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N (ε) ⇒ ∣xn − a∣ < ε ⇐⇒ a − ε < xn < a + ε.
Îáîçíà÷åíèå:
a = lim xn
èëè
n→∞
xn ÐÐÐ→ a.
n→∞
Îïðåäåëåíèå. Èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé òî÷êó
x ∈ R, áóäåì íàçûâàòü îêðåñòíîñòüþ
ýòîé òî÷êè. Îáîçíà÷åíèå: U(x) èëè B(x).
Îïðåäåëåíèå. Ïðè
δ >0
èíòåðâàë
(x − δ, x + δ)
umgebungen (íåì.)
íàçûâàåòñÿ
δ -îêðåñòíîñòüþ òî÷êè
○
x. Îáîçíà÷åíèå: Uδ (x). U (x) = (x − δ, x) ∪ (x, x + δ) = Uδ (x)∖{x}
δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè x.
Îïðåäåëåíèå 2. ×èñëî
a
íàçûâàåòñÿ
åñëè äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè
ïðîêîëîòàÿ
ïðåäåëîì ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
U(a) òî÷êè a ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð N
xn ,
(âûáèðàå-
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðèñ. 23.
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1
U(a)), ÷òî âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íîìåðà êîòîðûõ
N , ñîäåðæàòñÿ â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a.
ìûé â çàâèñèìîñòè îò
áîëüøå
lim xn = a,
n→∞
åñëè
Ðèñ. 24.
Çàì.
∀U(a) ∃N ∈ N ∶ ∀n ⩾ N ⇒ xn ∈ U(a).
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 2
Ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé 1 è 2 ëåãêî ïðîâåðèòü, åñëè çàìåòèòü, ÷òî â
ëþáîé îêðåñòíîñòè U(a) ñîäåðæèòñÿ íåêîòîðàÿ ε - îêðåñòíîñòü ýòîé æå
òî÷êè.
lim xn = a, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿ
n→∞
ê ÷èñëó a. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìåþùàÿ êîíå÷íûé ïðåäåë, íàçûâàåòñÿ ñõîäÿ-
Îïðåäåëåíèå. Åñëè
ùåéñÿ. Îáîçíà÷åíèå:
x n →.
40
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
41
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íå èìåþùàÿ
ðàñõîäÿùåéñÿ. Îáîçíà÷åíèå:
xn →,
/
Ïðèìåð 2.1.
xn =
åñëè
xn =
∀a ∈ R ∃ε0 (a) ∶ ∀n ∈ N ∃n0 ⩾ n, ∣xn0 − a∣ ⩾ ε0 .
sin n
;
n
1
n
< ε,
ïðè
n ⩾ N (ε) = [ 1ε ] + 1.
n
;
n+1
n
∣=
∣xn − 1∣ = ∣ n+1
− 1∣ = ∣ n−n−1
n+1
Ïðèìåð 2.3.
ïðåäåëà íàçûâàåòñÿ
xn →
/.
∣xn − 0∣ = ∣ sinn n ∣ ⩽
Ïðèìåð 2.2.
êîíå÷íîãî
xn = (−1)n ;
1
n+1
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî
< ε,
ïðè
n ⩾ N (ε) = [ 1ε − 1] + 1.
lim (−1)n = a,
n→∞
ïîëó÷àåì:
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N (ε) ⇒ ∣(−1)n − a∣ ⩽ ε.
Ïóñòü
ε=
1
, òîãäà äëÿ ÷¼òíûõ è íå÷¼òíûõ
2
⎧
⎪
⎪∣1 + a∣ ⩽ 1/2,
n: ⎨
⎪
⎪
⎩∣1 − a∣ ⩽ 1/2.
2 = ∣1 + 1∣ = ∣(1 + a) + (1 − a)∣ ⩽ ∣1 + a∣ + ∣1 − a∣ ⩽
Ïðîòèâîðå÷èå(!)
Ñèñòåìà
(∗)
(∗)
1 1
+ = 1.
2 2
íå ñîâìåñòíà.
Ðèñ. 25. xn = (−1)
n
Òåîðåìà 10. (ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé).
1. Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò òîëüêî îäèí ïðåäåë;
2. Âñÿêàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé;
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
3. Ïóñòü
lim xn = a, lim yn = b.
n→∞
42
Òîãäà
n→∞
lim (xn ± yn ) = a ± b;
lim (xn ⋅ yn ) = a ⋅ b;
n→∞
lim
n→∞
n→∞
xn a a
= .
yn b
a  ñëó÷àå ÷àñòíîãî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî b ≠ 0. Òîãäà (êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå), íà÷èíàÿ ñ
íåêîòîðîãî íîìåðà è yn ≠ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1.
Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü lim xn = a1 , lim xn = a2 , è a1 ≠ a2 . Ïî îïðåäåëåíèþ
n→∞
n→∞
a
ïðåäåëà: xn = a1 + αn , xn = a2 + βn . Îòêóäà, 0 ≠ a1 − a2 = αn − βn Ð
ÐÐ→ 0.
n→∞
Ïðîòèâîðå÷èå(!)
xn
2. Ïóñòü
lim xn = a. Ôèêñèn→∞
âûïîëíåíî ∣xn − a∣ < ε
ñõîäÿùàÿñÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è
∀ε > 0 è íàõîäèì ïî íåìó N (ε),
⇔ a − ε < xn < a + ε. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
ðóåì
÷òî
∀n ⩾ N (ε)
M = max {∣x1 ∣, . . . , ∣xN −1 ∣, ∣a − ε∣, ∣a + ε∣}.
Òîãäà
NB !
∀n ∈ N ⇒ ∣xn ∣ ⩽ M .
Íî íå âñÿêàÿ îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ (ñì.
2.3 âûøå).
Ïðèìåð
3. Ïóñòü
xn = a + αn , yn = b + βá.ì.
n . Òîãäà
á.ì.
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
xn ± yn = (a ± b) + (αn ± βn ); xn ⋅ yn = ab + (aβn + bαn + αn βn );
n
n
− ab ∣=∣ ab+αnyb−ab−aβ
∣= ∣yn1 b∣ ⋅ ∣αn b − aβn ∣ .
∣ xynn − ab ∣=∣ a+α
b+βn
nb
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî
b > 0.
Òîãäà
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N (ε) Ô⇒ b − ε < yn < b + ε ⇔ {ε =
îãð.
⇔0<
b
2
Ñëåäîâàòåëüíî,
lim xn
n→∞ yn
=
a
b
< yn <
xn
yn
−
3b
2
a
b
⇒
1
yn
<
áåñêîíå÷íî
2
b
⇒
1
yn b
<
2
b2
b
> 0} ⇔
2
á.ì.
« ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹· ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
⇒ yn1 b ⋅ ∣αn b − βn a∣ .
ìàëàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ò.å.
a Çäåñü è äàëåå αn , βn áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Òåîðåìà 11. Ïóñòü
∃ lim xn = a, ∃ lim yn = b.
n→∞
n→∞
xn < yn .
íåêîòîðîãî íîìåðà, âûïîëíåíî:
Ïðè÷¼ì
a < b.
Òîãäà, íà÷èíàÿ ñ
Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîçüì¼ì ÷èñëî
ïðåäåëà íàéä¼ì íîìåðà
N1
è
N2
c∈R
43
òàêîå, ÷òî
a < c < b.
Ïî îïðåäåëåíèþ
, ÷òî ïðè
∀n ⩾ N1 ⇒ ∣xn − a∣ < c − a ⇐⇒ a − c + a < xn < c − a + a.
∀n ⩾ N2 ⇒ ∣yn − b∣ < b − c ⇐⇒ c − b + b < yn < b − c + b.
Îòêóäà, ïðè
∀n ⩾ max{N1 , N2 } ⇒ xn < c − a + a = c = c − b + b < yn .
Ñëåäñòâèå
1
b.
Åñëè
∃N
(ïðåäåëüíûé ïåðåõîä è íåðàâåíñòâà). Ïóñòü
∀n ⩾ N
:
n→∞
âûïîëíåíî:
1)
xn > yn ,
òî
a ⩾ b;
2)
xn ⩾ yn ,
òî
a ⩾ b;
3)
x n > b,
òî
a ⩾ b;
4)
x n ⩾ b,
òî
a ⩾ b;
Äîêàçàòåëüñòâî.
lim xn = a è lim yn =
n→∞
Óòâåðæäåíèÿ
òåëüñòâîì îò ïðîòèâíîãî.
3)
è
4)
1)
è
2)
çàêëþ÷àþòñÿ èç òåîðåìû 11 äîêàçà-
÷àñòíûå ñëó÷àè
1)
è
2),
ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè
yn ≡ b.
Ñëåäñòâèå
2 (ïðèíöèï äâóñòîðîííåãî îãðàíè÷åíèÿ ).
ùåéñÿ) ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ñÿ íà ñåãìåíòå
[a, b],
òî è ïðåäåë
x
Åñëè âñå ýëåìåíòû (ñõîäÿ-
xn , íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, íàõîäÿò[a, b].
ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåæèò íà
Òåîðåìà 12. (òåîðåìà î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ). Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn , yn , zn
̃
òàêîâû, ÷òî ∀n ⩾ N ∈ N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî xn ⩽ yn ⩽ zn . Åñëè ïðè ýòîì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn è zn ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ïðåäåëó, òî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn òàêæå ñõîäèòñÿ ê òîìó æå ïðåäåëó.
Äîêàçàòåëüñòâî.
òàê, ÷òîáû ïðè
zn < a + ε.
lim xn = lim zn = a. Ïî ∀ε > 0 íàéä¼ì ÷èñëà N1 è N2
n→∞
n→∞
N1 âûïîëíÿëîñü a − ε < xn ,a à ïðè ∀n ⩾ N2 âûïîëíÿëîñü
Ïóñòü
∀n ⩾
Òîãäà ïðè
̃ , N1 , N2 }
∀n ⩾ N = max{N
a − ε < xn ⩽ yn ⩽ zn < a + ε,
ò.å.
lim yn = a.
n→∞
a ∣xn − a∣ < ε ⇔ a − ε < xn < a + ε.
ïîëó÷àåì:
èëè
∣yn − a∣ < ε,
Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
3
44
Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ùåé), åñëè äëÿ
∀n ∈ N
xn
íåóáûâàþùåé (íåâîçðàñòàþ-
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
xn ⩽ xn+1
Îáîçíà÷åíèå:
íàçûâàåòñÿ
(xn ⩾ xn+1 ).
xn↗ (xn↘ ).
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ
ëèáî íåóáûâàþùåé, ëèáî íåâîçðàñòàþùåé.
Çàì.
Åñëè ýëåìåíòû íåóáûâàþùåé (íåâîçðàñòàþùåé) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ
âñåõ íîìåðîâ óäîâëåòâîðÿþò ñòðîãîìó íåðàâåíñòâó xn < xn+1 (xn > xn+1 ),
òî ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàþò ñòðîãî âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé).
Îáîçíà÷åíèå: xn ↑ (xn ↓ ).
a
Òåîðåìà 13. (òåîðåìà Âåéåðøòðàññà ). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìåëà ïðåäåë, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà îãðàíè÷åíà.
a Êðèòåðèé
ñõîäèìîñòè ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî ëþáàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îãðà-
íè÷åííîé, áûëî äîêàçàíî âûøå, ïîýòîìó èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò òîëüêî âòîðîå
óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Ðàññìîòðèì íåóáûâàþùóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
a
xn ,
îãðàíè÷åííóþ
ñâåðõó . Ïî ïðèíöèïó Âåéåðøòðàññà (ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷íûõ ãðàíåé) ó ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü
Ïî îïðåäåëåíèþ
òî÷íàÿ
âåðõíÿÿ ãðàíü
ñóïðåìóìà
s = sup xn .
n
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∶ s − ε < xN ⩽ s.
Äàëåå ïîñêîëüêó
xn ↗,
òî ïðè
∀n > N
ïîëó÷àåì:
s − ε < xN ⩽ xn ⩽ s < s + ε,
Ò.î. äîêàçàíî, ÷òî
ò.å.
∣s − xn ∣ = s − xn < ε.
lim xn = s = sup xn .
n→∞
n
a Îãðàíè÷åííîñòü íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñíèçó î÷åâèäíà.
Çàì.
Äëÿ íåâîçðàñòàþùåé, îãðàíè÷åííîé ñíèçó ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
yn ïîëó÷àåì:
lim yn = ℓ = inf yn .
n→∞
n
Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Çàì.
45
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âîçðàñòàåò è íå îãðàíè÷åíà ñâåðõó, òî îíà ñòðåìèòñÿ ê +∞. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óáûâàåò è íå îãðàíè÷åíà ñíèçó, òî
îíà ñòðåìèòñÿ ê −∞.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü xn ↑ è íå îãðàíè÷åíà. Òîãäà
∀E > 0 ∃N (E) ∶ xN (E) > E.
Ò.ê. xn ↑, òî ∀n > N (E) òåì áîëåå âûïîëíåíî xn > E .
 ýòîì ñëó÷àå, sup xn = +∞.
n
Óòâåðæäåíèå 3.1. (Íåðàâåíñòâî ß. Áåðíóëëè). Ïóñòü
n ∈ Z+ , −1 < α ∈ R,
òîãäà
(1 + α)n ⩾ 1 + αn.
Äîêàçàòåëüñòâî.
ëèâî íåðàâåíñòâî
Ïðè n = 0 èëè n = 1 èìååì
(1 + α)n ⩾ 1 + αn. Òîãäà
âåðíûå ðàâåíñòâà. Ïóñòü ñïðàâåä-
(1 + α)n+1 = (1 + α)n (1 + α) ⩾ (1 + αn)(1 + α) = 1 + (n + 1)α + nα2 ⩾ 1 + (n + 1)α.
Ïðèìåð 3.1.
(÷èñëî
e)
Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà
âàòåëüíîñòü
yn = (1 +
yn−1
yn
= (1 +
n
lim (1 + n1 )
n→∞
. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïîñëåäî-
1 n+1
)
è èçó÷èì îòíîøåíèå:
n
=
n
1
(1+ n−1
)
1
(1+ n
)
n
1
n
) ⋅ n+1
n2 −1
n+1
=
nn ⋅nn+1
(n−1)n ⋅(n+1)n+1
⩾ {a } ⩾ (1 +
yn ↓. Êðîìå òîãî, ÿñíî,
∃ lim yn , à òîãäà ïî òåîðåìå î
=
n2n
(n2 −1)n
n
n
) ⋅ n+1
n2 −1
⋅
n
n+1
> (1 + n1) ⋅
yn ⩾ 1.
=
n
n+1
= 1.
Ñëåäîâàòåëüíî,
÷òî
øòðàññà,
ïðåäåëå ÷àñòíîãî, è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
n
(1 + n1 ) =
Ïîýòîìó, ïî òåîðåìå Âåéåð-
n→∞
yn
ñõîäèòñÿ ê òîìó æå ïðåäåëó.
1+1/n
a Íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè.
Îïðåäåëåíèå. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
n
(1 + n1 )
íàçûâàþò
÷èñëîì Ýéëåðà (èëè
÷èñëîì Íåïåðà ), èëè îñíîâàíèåì íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ. Îáîçíà÷åíèå: e.
n
Çàì.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1 + n1 ) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò,
à ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ ê ñâîåìó ïðåäåëó ñíèçó.
Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî ê ÷èñëó
n
sn = ∑
1
k!
e
46
ñõîäèòñÿ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
=1+1+
1
2!
+ ... +
1
.
n!
k=0
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçîâàâøèñü áèíîìîì Íüþòîíà, ïîëó÷àåì:
n
en =(1 + n1) = 1 + n ⋅
1
n
+
n(n−1)
2!
n1 .
∣xnk − x∣ <
1
,
k
∀k ∈ N
è
1
ÐÐÐ→
k k→∞
x n1 .
Â
Â
U 1/3(x) xn3 , n3 > n2
xnk , êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ
0.
∃xnk ÐÐÐ→ x.
Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîk→∞
ñòè â êàæäîé îêðåñòíîñòè U(x) ëåæèò áåñêîíå÷íî ìíîãî ýëåìåíòîâ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè
x nk
(âñå, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà). Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî
êàæäûé ýëåìåíò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn .
a Ýòîò ïðîöåññ ìîæíî ïðîäîëæàòü áåñêîíå÷íî, ò.ê. â ëþáîé îêðåñòíîñòè íàéä¼òñÿ áåñêîíå÷-
íî ìíîãî ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn .
Ëåììà. Êàæäàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò òîëüêî îäíó
ïðåäåëüíóþ òî÷êó, ñîâïàäàþùóþ ñ ïðåäåëîì ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
xn → a.
Òîãäà (ïî ôîðìóëèðîâêå
á)),
òî÷êà
a
ÿâëÿåòñÿ
xn . Èç Óòâåðæäåíèÿ 5.1 âûòåêàåò ñõîäèa ëþáîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn . Ñëåäîâàòåëüíî,
ïðåäåëüíîé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ìîñòü ê
äðóãèõ ïðåäåëüíûõ òî÷åê ó ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåò.
Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå (åñëè ó îãðàíè÷åííîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
òîëüêî îäíà ïðåäåëüíàÿ òî÷êà, òî îíà ñõîäèòñÿ), áåçóñëîâíî, òàêæå âåðíî.
Çàì.
Îäíàêî ïðåäåëüíûõ òî÷åê ó ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæåò áûòü
áîëüøå îäíîé, ïðè÷¼ì êàê ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî, òàê è áåñêîíå÷íî ìíîãî.
Òåîðåìà 16. (òåîðåìà Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà). Êàæäàÿ îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîäåðæèò ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
X ìíîæåñòâî çíà÷åíèé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn . Åñëè X êîíå÷íî, òî ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà òî÷êà x ∈ X è ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xnk (ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ) òàêàÿ, ÷òî
xn1 = xn2 = . . . = x. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xnk ïîñòîÿííà, à çíà÷èò ñõîäèòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
X
Ïóñòü
áåñêîíå÷íî.
Òîãäà ïî ëåììå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà îíî îáëàäàåò
x (êîòîðîå
xn ). Èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëüíîé
ñõîäÿùåéñÿ ê x ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
ïî êðàéíåé ìåðå îäíîé ïðåäåëüíîé òî÷êîé
áóäåò ïðåäåëüíîé òî÷êîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
òî÷êè
ñòâîâàíèå,
a Ñì. òàêæå Óòâåðæäåíèå 5.2.
a) ⇒ á).
○
 ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ò.ê.
Ïóñòü
x n2 ,
50
a
çàêëþ÷àåì ñóùå-
á) ⇒ à).
Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ÷àñòè÷íûå ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
51
Çàìåòèì, ÷òî íà ìíîæåñòâå Q òåîðåìà Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà íå èìååò
ìåñòà.
Çàì.
Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèa (è áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåë¼ííîãî çíàêà):
xn → +∞, åñëè ∀E ∈ R ∃N (E) : ∀n ⩾ N (E) Ô⇒ xn > E ;
xn → −∞, åñëè ∀E ∈ R ∃N (E) : ∀n ⩾ N (E) Ô⇒ xn < E ;
xn → ∞, åñëè ∀E ∈ R ∃N (E) : ∀n ⩾ N (E) Ô⇒ ∣xn ∣ > E ;
ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü òåîðåìó Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
a Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñòðåìÿùèåñÿ ê ∞ ìû íå ïðè÷èñëÿåì ê ñõîäÿùèìñÿ.
16∗ . Èç êàæäîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ
ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü èëè áåñêîíå÷íî áîëüøóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Òåîðåìà
Íîâûì, ïî ñðàâíåíèþ ñ òåîðåìîé Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà,
Äîêàçàòåëüñòâî.
xn íå îãðàíè÷åíà.
∣xnk ∣ > k è nk > nk−1 .
ÿâëÿåòñÿ òîëüêî òîò ñëó÷àé, êîãäà
âûáèðàòü íîìåð
òåëüíîñòü
xnk ,
nk ∈ N
òàêîé, ÷òî
Òîãäà ïî
∀k ∈ N
áóäåì
Ïîëó÷èì ïîäïîñëåäîâà-
êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
X∗n
ìíîæåñòâî ïðåäåëüíûõ òî÷åê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn ,
è ðàñ-
ñìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.
Ïðèìåð 5.2. Ðàññìîòðèì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî
A = {a1 , a2 , . . . , an , . . .}
è ïî íåìó ñî-
ñòàâèì ñëåäóþùóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü:
xn = {a1 , a1 , a2 , a1 , a2 , a3 , . . . , a1 , . . . , an , . . .}.
X∗n âêëþ÷àåò â ñåáÿ çàäàí∗
íîå ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî A. Îäíàêî, ðàâåíñòâî Xn = A ìîæåò è íå âûïîëíÿòüñÿ:
∗
ìíîæåñòâî Xn ñîäåðæèò òàêæå âñå ïðåäåëüíûå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ,
êîòîðûå ìîãóò è íå ïðèíàäëåæàòü ñàìîé xn .
Äëÿ íå¼, î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî ïðåäåëüíûõ òî÷åê
Ïðèìåð 5.3. Ïóñòü
A = { n1 ∣ n ∈ N}.
Ñîñòàâèì ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
1
1 1
1
xn = {1, 1, , 1, , , . . . , 1, . . . , , . . .} .
2
2 3
n
Òîãäà
X∗n = A ∪ {0},
ïðè÷¼ì
0 ∉ A.
Ïðèìåð 5.4. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
âñåõ ðàöèîíàëüíûõ òî÷åê èíòåðâàëà
∀x ∈ [0, 1]
â
∀U(x),
xn = { 12 , 31 , 23 , 14 , 42 , 34 , 15 , . . .} ñîñòîèò èç
(0, 1).  ýòîì ñëó÷àå, X∗n = [0, 1]. Ò.ê.
íàéä¼òñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, ýëåìåí-
òîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn .
Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðèñ. 27.
52
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë
∗
Îòìåòèì, ÷òî â ïîñëåäíåì ïðèìåðå ìîùíîñòü Xn êîíòèíóóì, õîòÿ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn , {xn } ñ÷¼òíî.
Çàäà÷à 2.
Ïóñòü
̃ ïðåäåëüíàÿ
x
6
X∗n
ìíîæåñòâî ïðåäåëüíûõ òî÷åê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
òî÷êà ìíîæåñòâà
X∗n .
Äîêàæèòå, ÷òî
xn ,
à
̃ ∈ X∗n .
x
Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn . Â ýòîì ñëó∗
1
÷àå, î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî å¼ ïðåäåëüíûõ òî÷åê Xn òàêæå îãðàíè÷åíî è íå ïóñòî .
∗
∗
∗
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåãî ñóùåñòâóþò x = sup Xn è x = inf Xn . Ïîêàæåì, ÷òî x, x ∈ Xn .
Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ îãðàíè÷åííóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
∀ε > 0 ∃x0 ∈ X∗n : x − ε < x0 ⩽ x. x0 ∈ X∗n ⇒ x0 ïðåäåëüíàÿ
òî÷êà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn . Ïîýòîìó, â ëþáîé å¼ îêðåñòíîñòè íàõîäèòñÿ áåñêîíå÷íî
′
ìíîãî ýëåìåíòîâ xn . Âûáåðåì ε > 0 äîñòàòî÷íî ìàëûì, òàê ÷òîáû Uε′ (x0 ) ⊂ Uε (x).
Òîãäà â ïðîèçâîëüíîé îêðåñòíîñòè Uε (x) íàõîäèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ýëåìåíòîâ xn ,
∗
ò.å. x ∈ Xn .
Ò.ê.
x = sup X∗n ,
òî
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
x ∈ X∗n .
Ñëåäîâàòåëüíî, ó îãðàíè÷åííîé ÷èñëî-
âîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñåãäà åñòü íàèìåíüøàÿ è íàèáîëüøàÿ ïðåäåëüíûå òî÷êè.
Èõ íàçûâàþò
íèæíèì è âåðõíèì ïðåäåëàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Îáîçíà÷åíèå:
lim xn , x = lim xn
n→∞
n→∞
Èç âûøå ñêàçàííîãî è îïðåäåëåíèé âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå
1 Â ñèëó òåîðåìû Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà.
x=
â îáùåì ñëó÷àå, sup è inf ìîãóò
íå ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó.
Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
53
Óòâåðæäåíèå 6.1. (êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ñîâïàäàþò.
Ñëåäñòâèå
1.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõî-
äèòñÿ ëþáàÿ å¼ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
 ñëó÷àå íåîãðàíè÷åííîé ñíèçó (ñâåðõó) ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç íå¼ ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ê
−∞ (+∞).
Ïîýòîìó â òàêèõ ñëó-
÷àÿõ ñ÷èòàþò, ÷òî:
lim xn = −∞,
n→∞
Ò.î., äëÿ
ëþáîé
( lim xn = +∞)
n→∞
÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåëåíû
4
îáúåêòà, ñâÿçàííûå ñëå-
äóþùèìè íåðàâåíñòâàìè:
inf xn ⩽ lim xn ⩽ lim xn ⩽ sup xn .
n
n→∞
n→∞
(∗)
n
lim xn sup ìíîæåñòâà X∗n , ïðåäåëüíûõ òî÷åê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
n→∞
sup xn sup ìíîæåñòâà, ñîñòàâëåííîãî èç çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn .
n
Äëÿ îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòî êîíå÷íûå ÷èñëà. Ïðè ýòîì, â ñîîòíîøåíèè
(∗)
ìîãóò ñòîÿòü êàê ðàâåíñòâà, òàê è ñòðîãèå íåðàâåíñòâà.
Çàäà÷à 1.
Ïîñòðîéòå ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ñîîòíîøåíèè ñòîÿò
xn ,
äëÿ êîòîðîé â äàííîì
ñòðîãèå íåðàâåíñòâà.
Èç ýòîãî æå ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè âñå ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
∗
ëåæàò íà íåêîòîðîì îòðåçêå [a, b], òî è Xn
[−1, 1]
(−1)n
. Èìååì,
n
Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.
lim xn = −1, lim xn
n→∞
n→∞
íåò íè îäíîãî ýëåìåíòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn .
Ïðèìåð 6.1.
xn = (−1)n +
⊂ [a, b].
= 1,
íî íà îòðåçêå
Îäíàêî, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Óòâåðæäåíèå 6.2. Ïóñòü
x = lim xn , x = lim xn .
n→∞
xn
xn
îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Òîãäà
n→∞
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N (ε) Ô⇒ xn ∈ (x − ε, x + ε).
Ò.å. âíå èíòåðâàëà (x − ε, x + ε) ëåæèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ xn .
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðèñ. 28. xn = (−1) +
n
Äîêàçàòåëüñòâî.
54
(−1)n
n
Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî, èñïîëüçóÿ òåîðåìó
Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà è îïðåäåëåíèÿ âåðõíåãî/íèæíåãî ïðåäåëîâ.
Çàäà÷à 2.
Ïîëüçóÿñü ââåä¼ííûìè âûøå îïðåäåëåíèÿìè âåðõíåãî è íèæíåãî
ïðåäåëîâ, äîêàæèòå ðàâåíñòâà:
lim xk = lim inf xk ,
k→∞
7
n→∞ k⩾n
lim xk = lim sup xk .
k→∞
n→∞ k⩾n
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé a (èëè ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòüþ Êîøè ), åñëè
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N (ε) è ∀p ∈ N Ô⇒ ∣xn+p − xn ∣ < ε.
Àíàëîãè÷íî:
xn
ôóíäàìåíòàëüíà, åñëè
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n, m ⩾ N (ε) Ô⇒ ∣xn − xm ∣ < ε.
a Èëè
ñõîäÿùåéñÿ â ñåáå
Ëåììà. Ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
÷òî
∀n, m ⩾ N
ε = 1 > 0. Äëÿ ýòîãî ε
∣xn − xm ∣ < 1.  ÷àñòíîñòè,
Çàôèêñèðóåì
âûïîëíåíî:
N òàêîé,
∣xn − xN ∣ < 1 äëÿ
íàéä¼ì íîìåð
òîãäà
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
∀n ⩾ N .
Ñëåäîâàòåëüíî äëÿ òàêèõ
55
n:
∣xn ∣ = ∣xn − xN + xN ∣ ⩽ ∣xn − xN ∣ + ∣xN ∣ < 1 + ∣xN ∣.
M =max {∣x1 ∣, . . . , ∣xN −1 ∣, 1 + ∣xN ∣} Ô⇒ ∣xn ∣⩽M
Ïîëîæèì
∀n ∈ N.
äëÿ
êðèòåðèé Áîëüöàíî-Êîøè.
Òåîðåìà 17. (êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Äëÿ òîãî,
÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìåëà ïðåäåë,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,
÷òîáû îíà áûëà ôóíäàìåíòàëüíîé.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íåîáõîäèìîñòü.
Ïóñòü
xn ÐÐÐ→ x.
n→∞
Òîãäà
ε
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n ⩾ N Ô⇒ ∣xn − x∣ < .
2
Ïîýòîìó,
∀m, n ⩾ N (ε) ⇒ ∣xn − xm ∣ ⩽ ∣xn − x∣ + ∣x − xm ∣ <
Äîñòàòî÷íîñòü.
ε
2
+
ε
2
= ε.
Ïî ïðåäûäóùåé ëåììå, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü îãðàíè÷åíà. Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà ó íå¼ íàéä¼òñÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïóñòü
Äëÿ ýòîãî
xnk ÐÐÐ→ x.
âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0.
Äîêàæåì, ÷òî è
k→∞
xn ÐÐÐ→ x.
n→∞
ε
∃ lim xnk =x Ô⇒ ∃K(ε) ∶ ∀k ⩾ K(ε) ⇒ ∣xnk − x∣ < .
k→∞
2
ε
xn − ôóíäàìåíòàëüíà Ô⇒ ∃N (ε) ∶ ∀n, m ⩾ N (ε) ⇒ ∣xn − xm ∣ < .
2
M (ε) = max {K(ε), N (ε)}.
∀n ⩾ M (ε) âûïîëíåíî:
Ïîëîæèì
òåëüíî,
Òîãäà
nM ⩾ nN ⩾ N , nM ⩾ nK ⩾ K .
∣xn − x∣ ⩽ ∣xn − xnM ∣ + ∣xnM − x∣ <
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
ε>0
ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî
Ñëåäîâà-
ε ε
+ = ε.
2 2
xn ÐÐÐ→ x.
n→∞
Êðèòåðèé Êîøè ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ çíà÷åíèÿ áåçãðàíè÷íî ñáëèæàþòñÿ ìåæäó ñîáîé ïî ìåðå âîçðàñòàíèÿ èõ íîìåðîâ. Òî åñòü, ÷èñëîâàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ìîæåò ¾ïîïàñòü¿
â ε− òðóáêó c ¾íåñáëèçèâøèìèñÿ¿
÷ëåíàìè. È, íàîáîðîò, åñëè ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ¾ïîïàëà¿
â ε−
òðóáêó, òî å¼ ÷ëåíû çàâåäîìî ñáëèçèëèñü ìåæäó ñîáîé.
xn ⊂ R ôóíäàìåíòàëüíîñòü ýêñëó÷àå xn èç êàêîãî-òî äðóãîãî
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
âèâàëåíòíà ñõîäèìîñòè. Íî â îáùåì ñëó÷àå (ò.å. â
ìíîæåñòâà) ýòî íå âñåãäà òàê. Íàïðèìåð, åñëè
√
xn
ðàöèîíàëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ÷èñ-
∀n ∈ N ⇒ xn ∈ Q, xn ôóíäàìåíòàëüíà2 ,
√
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â Q, ò.ê.
2 ∉ Q.
ëà
2,
òî
Çàìåòèì, ÷òî èç ñõîäèìîñòè
2 Ñì. ïðèìåð íèæå.
xn
íî íå ñóùåñòâóåò ïðåäåëà ýòîé
â ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå (â òîì ÷èñëå è â
Q)
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
3
ñëåäóåò å¼ ôóíäàìåíòàëüíîñòü . Ò.î.
56
ôóíäàìåíòàëüíîñòü ñëàáåå ñõîäèìîñòè.
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâà, â êîòîðûõ ôóíäàìåíòàëüíîñòü âëå÷¼ò çà ñîáîé ñõîäè-
ìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íàçûâàþò
äåíèé ìíîæåñòâî
R
ïîëíîå, à
Q
ïîëíûìè. Èç ïðèâåä¼ííûõ âûøå ðàññóæ-
íåò.
äåñÿòè÷íîå ðàçëîæåíèå
âåùåñòâåííîãî ÷èñëà.
Ïðèìåð 7.1. Ïóñòü
rn = ε0 + ε1 ⋅
∀ε > 0
è
∀p ∈ N
1
1
1
+ ε2 ⋅ 2 + . . . + εn ⋅ n ,
10
10
10
ε0 ∈ Z, εk ∈ {0, 1, . . . , 9}, k = 1, n;
ïîëó÷èì:
n+p
∣rn − rn+p ∣ = ∑ εk ⋅
k=n+1
ïðè
ãäå
n+p
∞
1
1
1
⩽
9
⋅
<
9
⋅
=9⋅
∑
∑
k
10
10k
10k
k=n+1
k=n+1
1
9⋅10n
=
1
10n
< ε,
ε
n ⩾ N (ε) = [ lnln0,1
] + 1.
Ïðèìåð 7.2.
Íàïèøåì
Hn = 1 +
1
2
+ . . . + n1 .
÷àñòè÷íàÿ ñóììà ãàðìîíè÷åñêîãî
ðÿäà.
îòðèöàíèå ôóíäàìåíòàëüíîñòè:
∃ε0 > 0 ∶ ∀n ∈ N ∃p ∈ N âûïîëíåíî ∣xn − xn+p ∣ ⩾ ε0 .
Ò.å. íàéä¼òñÿ òàêîé ÷ëåí, êîòîðûé âûéäåò èç
∣Hn − Hn+p ∣ =
1
n+1
+ ... +
1
n+p
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ε-òðóáêè.
1
={p = n}= n+1
+ ... +
Hn
1
2n
n
> 2n
= 21 =ε0 .
íå ôóíäàìåíòàëüíà, ò.å.
∄ lim Hn .
n→∞
Ò.ê. Hn ↑, òî Hn → +∞. Îäíàêî îòìåòèì, ÷òî Hn ñòðåìèòñÿ ê +∞ î÷åíü ìåäëåííî (÷òîáû âûðàñòè íà
a
ãàåìûõ ).
1
2
òðåáóåòñÿ âçÿòü åù¼ ïðèìåðíî ñòîëüêî æå ñëà-
a Äàëåå áóäåò äîêàçàíî, ÷òî Hn ðàñò¼ò ñî ñêîðîñòüþ ëîãàðèôìà.
Ïðèìåð 7.3.
γn = 1 +
∣γn −γn+p ∣ =
=
ïðè
+ ... +
1
22
1
;
n2
Äçåòà-ôóíêöèÿ â òî÷êå 2.
1
1
1
1
+ ... +
<
+ ... +
=
2
2
(n+1)
(n+p)
n (n+1)
(n+p−1) (n+p)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ... +
−
= −
< < ε,
n n+1 n+1 n+2
n+p−1 n+p n n+p n
n ⩾ N (ε) = [ 1ε ] + 1.
Ñëåäîâàòåëüíî,
a Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî lim γn =
n→∞
2
π
6
∃ lim γn a .
n→∞
.
3 Äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè îïèðàëîñü ëèøü íà îïðåäåëåíèå ñõîäèìîñòè è ôóíäàìåíòàëüíîñòè, íî íå íà ñâîéñòâà ìíîæåñòâà R.
1
k(k+1)
=
1
k
−
1
.
k+1
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ïðèìåð 7.4.
●
Äëÿ
Hnα = 1 +
α ⩽ 1,
ïîëó÷àåì
Äëÿ
α ⩾ 2,
1
;
nα
α
∣Hnα − Hn+p
∣=
1
(n+1)α
α
∣Hnα − Hn+p
∣ ⩾ ∣Hn − Hn+p ∣ >
+ ... +
1
.
(n+p)α
Äçåòà-ôóíêöèÿ, ζ(α).
1
2
n→∞
ïîëó÷àåì
α
2
∣Hnα − Hn+p
∣ ⩽ ∣Hn2 − Hn+p
∣ = ∣γn −γn+p ∣ < ε
Ô⇒ ∃ lim Hnα .
(ñì. Ïðèìåð 7.3.)
?
+ ... +
Ô⇒ ∄ lim Hnα .
(ñì. Ïðèìåð 7.2.)
●
1
2α
57
n→∞
×òî ïðîèñõîäèò ïðè α ∈ (1, 2)?
a
Óòâåðæäåíèå 7.1. (òåëåñêîïè÷åñêèé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ). Ïóñòü
âûïîëíåíî
an > 0b .
an ↘
è
∀n ∈ N
Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn = a1 + . . . + an
ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
yn = a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + 2n a2n .
a Èëè òåîðåìà Êîøè î ïðîðåæèâàíèè.
b Ò.å. a ⩾ a ⩾ a ⩾ . . . > 0.
1
2
3
Äîêàçàòåëüñòâî.
åì, ÷òî
xn ↗
è
 ñèëó íå îòðèöàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
yn↗.
an
çàêëþ÷à-
Ñëîæèì íåðàâåíñòâà, âûòåêàþùèå èç ìîíîòîííîñòè
a2 ⩽ a2 ⩽ a1 ,
2a4 ⩽ a3 + a4 ⩽ 2a2 ,
an :
4a8 ⩽ a5 + a6 + a7 + a8 ⩽ 4a4 , . . . ,
2n a2n+1 ⩽ a2n +1 + . . . + a2n+1 ⩽ 2n a2n ,
yn+1 −a1
⩽ x2n+1 − a1 ⩽ yn . Îòêóäà, è èç êðèòåðèÿ ñõîäèìîñòè ìîíîòîí2
a
íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé , âûòåêàåò òðåáóåìîå.
ïîëó÷àåì:
a Ñõîäèìîñòü ìîíîòîííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýêâèâàëåíòíà èõ îãðàíè÷åííîñòè.
1
+ . . . + n1α . Ïî ïðåäûäó2α
α
ùåìó óòâåðæäåíèþ, Hn ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ ïîñëåäî-
Ïðèìåð 7.5. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Hnα = 1 +
âàòåëüíîñòü
1+
2
+
2α
4
22α
+ ... +
2n
2nα
= 1 + 21−α + 22(1−α) + . . . + 2n(1−α) .
Ýòî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòåëåì
êî òîãäà, êîãäà
1−α
2
< 1,
ò.å.
1 − α < 0 ⇔ α > 1.
21−α , îíà ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëü-
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Çàäà÷à 1.
58
Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn =
1
1
1
+
+ ... +
p
p
2 (ln 2)
3 (ln 3)
n (ln n)p
p > 1.
ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
Óòâåðæäåíèå 7.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååò ìåñòî ïðèíöèï Àðõèìåäà è êðèòåðèé Êîøè. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷íûõ ãðàíåé.
Ïóñòü
Äîêàçàòåëüñòâî.
S
íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. Ïîñòðîèì óáû-
âàþùóþ ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ñîñòàâëåííóþ èç ýëåìåíòîâ,
S
îãðàíè÷èâàþùèõ
ñâåðõó), ñõîäÿùóþñÿ ê
sup S.
b îäíà èç âåðõíèõ ãðàíèö ìíîæåñòâà S (áóäåì ïèñàòü b ∈ UB(S)), è a ∈ S.
Ïî ïðèíöèïó Àðõèìåäà íàéäóòñÿ òàêèå íàòóðàëüíûå M è −m, ÷òî m < a ⩽ b < M .
Äëÿ ∀p ∈ N îïðåäåëèì ìíîæåñòâî
Ïóñòü
Sp = {k ∈ Z ∣
k
∈ UB(S)a
2p
k
⩽ M }.
2p
è
b
k = 2p M ∈ Sp c . Ñëåäîâàòåëüíî,∀p ∈ N Sp
êîíå÷íîå ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë. Ïîýòîìó, ∃ min Sp , êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì
kp
÷åðåç kp . Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ap ∶= p .
2
Òîãäà
2p m
îãðàíè÷èâàåò
Sp
ñíèçó , à
Ïîñòàðàåìñÿ âûÿñíèòü, ÷åìó ðàâíî ap+1 =
Ïîëó÷àåì,
2kp
2p+1
=
kp
2p
∈ UB(S),
ëèáî
à
2kp −2
kp+1
=
kp+1 = 2kp ,
kp −1
2p
kp+1
.
2p+1
∉ UB(S)d .
Ïîýòîìó,
kp+1 = 2kp − 1e .
ëèáî
k
p+1
ap+1 = 2p+1
2kp − 1 kp
1
1
= p − p+1 =ap − p+1 .
p+1
2
2
2
2
1
Ô⇒ ap − ap+1 = 0, ëèáî ap − ap+1 = p+1 .
2
q > p ⩾ 1, òî
2kp kp
¬
Ô⇒ ap+1 = p+1 = p =ap ,
2
2
Òåïåðü, åñëè
ëèáî
ap+1 =
0 ⩽ ap − aq = (ap − ap+1 ) + (ap+1 − ap+2 ) + . . . + (aq−1 − aq ) ⩽
<
1
1
+ . . . + q+1 + . . . =
2p+1
2
1
2p+1
⋅
1
1−1/2
=
1
1
+ . . . + q+1 <
2p+1
2
1
.
2p
Îòêóäà, è èç ïðèíöèïà Àðõèìåäà âûòåêàåò ôóíäàìåíòàëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
L,
{ap },
à çíà÷èò è å¼ ñõîäèìîñòü, ò.å.
è çàìåòèì, ÷òî
÷òî
p→∞
Îáîçíà÷èì äàííûé ïðåäåë
L = sup S. Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü L ∉ UB(S), òîãäà ∃x ∈ S : x > L.
x − L > 0 è ap↘ L, òî ∃p ∈ N : ap − L < x − L ⇒ ap < x ∈ S. Ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì,
k
ap = 2pp ∈ UB(S) (!)
Äîêàæåì, ÷òî
Ò.ê.
ap↘ L.
∃ lim ap .
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî
L′ < L.
Âûáåðåì
p∈N
L íå íàèìåíüøàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü, ò.å. ∃L′ ∈ UB(S), ÷òî
:
ap⩾L
1
1 ©
1
< L − L′ ⇒ ap − p ⩾ L − p > L′ ,
p
2
2
2
k −1
ap − 21p = p2p ∈ UB(S), ÷òî âõîäèò â ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî kp = min Sp .
Ñëåäîâàòåëüíî, L = sup S. Ñóùåñòâîâàíèå inf S äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
íî òîãäà
a Ò.å. îãðàíè÷èâàåò S ñâåðõó.
b Ò.ê. 2p m = m < a ∈ S.
2p
c 2p M + 1 ∉ Sp , ò.ê. 2p M +1 = M + 1 > M .
2p
2p
d Èíà÷å, kp − 1 ∈ Sp ⇒ kp ≠ min Sp .
e 2kp − 2 óæå íå ïîäõîäèò (ñì. âûøå), 2kp + 1 ≠ min S
p+1 ,
Íàìè áûëî äîêàçàíî, ÷òî Êðèòåðèé Êîøè (â
ò.ê. 2kp ∈ Sp+1
àðõèìåäîâîì ïîëå) ýêâèâàëåí-
òåí êàæäîìó èç øåñòè îñíîâíûõ ïðèíöèïîâ ïîëíîòû, à çíà÷èò ìîæåò áûòü
âûáðàí â êà÷åñòâå ïåðâîíà÷àëüíîé àêñèîìû.
Ðèñ. 29.
Îñíîâíûå ïðèíöèïû ïîëíîòû
Îòìåòèì, ÷òî ïðèíöèï Àðõèìåäà íå ìîæåò áûòü âûâåäåí èç àêñèîì R,
ìèíóÿ ïðèíöèï ïîëíîòû, ñì. [Çîðè÷ I, ñ.66].
59
ÃËÀÂÀ
Òåîðèÿ ÷èñëîâûõ ôóíêöèé
1
IV
Ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè
Ïóñòü
E⊂R
íåêîòîðîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî è
a
ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà
E1 .
Ðàññìîòðèì äàëåå âåùåñòâåííîçíà÷íóþ ôóíêöèþ
f ∶ E ↦ R.
Ñåêöèÿ 1. Ïîíÿòèå ïðåäåëà
ôóíêöèè
Ñåêöèÿ 2. Îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ òåîðèè ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 3. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè
Ñåêöèÿ 4. Ñðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé
x ∈ E ê òî÷êå a çíà÷åíèå
f (x) ôóíêöèè f ïðèáëèæàåòñÿ ê íåêîòîðîìó ÷èñëó b, êîòîðîå ìû áóäåì íàçûâàòü
ïðåäåëîì ôóíêöèè f ïðè x, ñòðåìÿùåìñÿ ê a. lim f (x) = b.
Ìû õîòèì ñêàçàòü, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ïðèáëèæåíèè òî÷êè
x→a
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî íàâîäÿùèõ íà ðàçìûøëåíèå ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð 1.1.
Ïðèìåð 1.2.
⎧
⎪
⎪
−1,
⎪
⎪
⎪
⎪
y = sgnx = ⎨0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩1,
⎧
1
⎪
⎪sin x ,
y=⎨
⎪
⎪
⎩0,
x < 0,
x = 0,
x > 0.
x ≠ 0,
x = 0.
Ðàññìîòðèì òàêæå è ôóíêöèþ Äèðèõëå
Ïðèìåð 1.3.
Ôóíêöèÿ Äèðèõëå
⎧
⎪
⎪1,
y = D(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
Îïðåäåëåíèå. Êîøè
íàéä¼òñÿ òàêîå
x ∈ Q,
E∋x→a
÷òî
∀x ∈ E, 0 < ∣x − a∣ < δ(ε),
åñëè äëÿ
Ðèñ. 31.
Ïðèìåð 2
∀ε > 0
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
∣f (x) − b∣ 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x ∈ E ∩ Uδ (a) Ô⇒ ∣f (x) − b∣ < ε.
1 Òî÷êà a ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ìíîæåñòâà E, åñëè â ëþáîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè íàéä¼òñÿ
áåñêîíå÷íî ìíîãî òî÷åê ìíîæåñòâà E, èëè, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } òî÷åê ìíîæåñòâà E, îòëè÷íûõ îò a, ñòðåìÿùèõñÿ ê a.
60
Ïðèìåð 1
x ∈ R ∖ Q.
îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå ε − δ lim f (x) = b,
δ(ε) > 0,
Ðèñ. 30.
Ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè
61
Îïðåäåëåíèå. Çàïèøåì ýòî îïðåäåëåíèå, èñïîëüçóÿ òîëüêî ïîíÿòèå îêðåñòíîñòè:
lim f (x) = b,
E∋x→a
∀ Vε (b) ∃ Uδ (a) ∶ f ( Uδ (a) ∩ E) ⊂ Vε (b)a .
○
åñëè
○
○
○
af ( U
δ (a) ∩ E) ⊂ Vε (b) ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ∀x ∈Uδ (a) ∩ E ⇒ f (x) ∈ Vε (b).
Ýòà çàïèñü ãîâîðèò î òîì, ÷òî ÷èñëî
ïðè
x → a
ïî ìíîæåñòâó
E,
b
ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè
åñëè äëÿ ëþáîé
ε-îêðåñòíîñòè Vε (b)
òî÷êè
○
f ∶ E ↦ R
b íàéä¼òñÿ
○
δ -îêðåñòíîñòü Uδ (a) òî÷êè a âî ìíîæåñòâå E, îáðàç êîòîðîé f ( Uδ (a) ∩ E)
îòîáðàæåíèè f ïîëíîñòüþ ñîäåðæèòñÿ â Vε (b).
ïðîêîëîòàÿ
ïðè
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ÷èñëîâîé îñè ñîäåðæèòñÿ òàêæå íåêîòîðàÿ ñèììåòðè÷íàÿ îêðåñòíîñòü (δ -îêðåñòíîñòü) ýòîé æå òî÷êè, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ôîðìå çàïèñè îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà:
lim f (x) = b,
E∋x→a
○
åñëè
○
∀ V (b) ∃ U(a) ∶ f ( U(a) ∩ E) ⊂ V (b).
Åñëè áóäåò ïîíÿòíî ïî êàêîìó ìíîæåñòâó E áåð¼òñÿ ïðåäåë, áóäåì ïðîñòî
ïèñàòü: lim f (x).
x→a
Çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êå a íå ó÷àñòâóåò â îïðåäåëåíèè ïðåäåëà â
òî÷êå a. Ïîýòîìó, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è çíà÷åíèÿ ïðåäåëà â ýòîé òî÷êå
íåñóùåñòâåííî, çàäàíà ëè f â òî÷êå a è, åñëè çàäàíà, òî êàê èìåííî.
Ïðèìåð 1.4.
⎧
⎪
⎪1,
y=⎨
⎪
⎪
⎩0,
x ≠ 0,
x = 0.
Ðèñ. 32.
Ïðèìåð 4
Ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè
62
Ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ïîíÿòèå ïðåäåëà îòîáðàæåíèÿ
f ∶ X ↦ Y,
åñëè íàì áóäåò ñêàçàíî,
÷òî òàêîå îêðåñòíîñòü òî÷êè â X è â Y, èëè, êàê ãî-
âîðÿò, åñëè â X è â Y áóäåò çàäàíà òîïîëîãèÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ãåéíå. Îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
äëÿ ëþáîé
lim f (x) = b,
E∋x→a
òî÷åê ìíîæåñòâà E, îòëè÷íûõ îò
{xn }
a,
ñòðåìÿùåéñÿ ê ýòîé òî÷êå ïðè n → ∞, ñîîòâåòñòâóþùàÿ èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
çíà÷åíèé ôóíêöèè {f (xn )} ñõîäèòñÿ, ïðè n → ∞, ê ÷èñëó b:
åñëè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
∀ {xn } ∶ xn ∈ E ∖ {a}, xn → a Ô⇒ f (xn ) ÐÐÐ→ b.
n→∞
Ìíîæåñòâî E, íà êîòîðîì çàäàíà ôóíêöèÿ f , íå îáÿçàíà öåëèêîì ïîêðû○
âàòü âñþ îêðåñòíîñòü U(a).
Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé, êîãäà a èëè b ðàâíû −∞,
+∞ èëè ∞. Îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå îêðåñòíîñòåé âîîáùå íå ìåíÿåòñÿ. Îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íå ìåíÿåòñÿ, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî,
÷òî íåçà÷åì ïèñàòü xn ≠ (±)∞. Îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå ½ ε − δ“ çàïèñûâàåòñÿ â
ýòèõ ñëó÷àÿõ ïî-ðàçíîìó.
lim f (x) = ∞ ⇔ ∀M > 0 ∃∆ > 0 ∶ ∀x ∈ E, x > ∆ ⇒ ∣f (x)∣ > M ;
x→+∞
lim f (x) = −∞ ⇔ ∀M > 0 ∃δ > 0 ∶ ∀x ∈ E, 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) < −M ;
x→a
lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0 ∃∆ > 0 ∶ ∀x ∈ E, ∣x∣ > ∆ ⇒ ∣f (x) − A∣ < ε.
x→∞
Åñëè äëÿ ∀{xn } (xn ∈ E, xn ≠ a, xn → a) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (xn )} èìååò
ïðåäåë, òî âñå ýòè ïðåäåëû ðàâíû ìåæäó ñîáîé, è òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ
èìååò ïðåäåë â òî÷êå a.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
xn , yn ∈ E ∖ {a}, xn → a, yn → a, f (xn ) → x, f (yn ) → y .
Ïîñòðîèì íîâóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{zn } ∶ z2n−1 = xn , z2n = yn .
Òîãäà
äåëó,
zn ∈ E ∖ {a}, zn → a. Ñëåäîâàòåëüíî, {f (zn )} ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåè x = y , êàê ïðåäåëû ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, èìåþ-
ùåé ïðåäåë.
Ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè
63
Òåîðåìà 18. Îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Êîøè è ïî Ãåéíå ðàâíîñèëüíû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ñ÷èòàåì
b = lim f (x) (ïî Êîøè ).
x→a
a, b ∈ Ra .
Èç ïî Êîøè âûâîäèì ïî Ãåéíå Ñëåäîâàòåëüíî,
○
äëÿ ëþáîé
ε-îêðåñòíîñòè Vε (b) òî÷êè b íàéäåòñÿ ïðîêîëîòàÿ δ -îêðåñòíîñòü U(a)
○
E, ÷òî f ( Uδ (a) ∩ E) ⊂ Vε (b). Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } òî÷åê
ìíîæåñòâà E ∖ {a} ñõîäèòñÿ ê a, òî ∀δ > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N (δ) ∈ N, íà÷èíàÿ
òî÷êè
a
â
○
ñ êîòîðîãî áóäåò
xn ∈Uδ (a)
è, çíà÷èò
f (xn ) ∈ Vε (b).
Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ
ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàêëþ÷àåì, ÷òî
Ïóñòü
lim f (xn ) = b.
n→∞
b = lim f (x) (ïî Ãåéíå ). Èç ïî Ãåéíå âûâîäèì ïî Êîøè Îò ïðîòèâíîãî.
x→a
b íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f ïî Êîøè ïðè E ∋
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî
x → a.
Òîãäà
○
∃ε0 ∶ ∀δ > 0 ∃x ∈ E ∩ Uδ (a) ∶ ∣f (x) − b∣ ⩾ ε0 .
δn =
1
è óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî å¼
n
ýëåìåíòà íàéä¼òñÿ õîòÿ áû îäíî çíà÷åíèå àðãóìåíòà xn òàêîå, ÷òî
Ò.î. ìîæíî âçÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
0 < ∣xn − a∣ < n1 ,
Ëåâîå èç íåðàâåíñòâ
(∗)
íî
îçíà÷àåò, ÷òî
∣f (x) − b∣ ⩾ ε0 .
{xn } → a
è
(∗)
xn ≠ a, ∀n ∈ N.
Íî â òà-
êîì ñëó÷àå, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ïî Ãåéíå ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè
ïðîòèâîðå÷èò
{f (xn )} îáÿçàíà ñõîäèòñÿ ê
(∗), ñïðàâåäëèâîå ∀n ∈ N.
÷èñëó
b,
à ýòîìó
ïðàâîå èç íåðàâåíñòâ
a Ò.å. a è b êîíå÷íû.
Äîêàçàííàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ìîæåò èìåòü â òî÷êå a
òîëüêî îäèí ïðåäåë. Â ñàìîì äåëå, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî
Ãåéíå ýòî âûòåêàåò èç åäèíñòâåííîñòè ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f (xn )}, à äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïî Êîøè èç óñòàíîâëåííîé ýêâèâàëåíòíîñòè ýòîãî ïðåäåëà ïðåäåëó ôóíêöèè ïî Ãåéíå.
Îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ òåîðèè ôóíêöèé
2
64
Îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ òåîðèè ôóíêöèé
Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ
f
îãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå
X, åñëè
∃M > 0 ∶ ∀x ∈ X Ô⇒ ∣f (x)∣ ⩽ M.
Óòâåðæäåíèå 2.1. (ôèíàëüíàÿ îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè, èìåþùåé ïðåäåë). Åñëè
∃lim f (x),
x→a
òî
f îãðàíè÷åíà
a Èëè, êàê ãîâîðèòñÿ,
íà
Uδ (a) ∩ E
äëÿ íåêîòîðîãî
ôèíàëüíî îãðàíè÷åíà ïðè
δ >0a .
x → a.
Äîêàçàòåëüñòâî.
○
∃ lim f (x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x ∈Uδ (a) ⇒ ∣f (x) − b∣ < ε ⇐⇒
x→a
⇐⇒ b − ε < f (x) < b + ε.
Åñëè
a ∈ E,
òî îáîçíà÷èì
m = min{b − ε, f (a)}, M = max{b + ε, f (a)}.
Òîãäà
∀x ∈ Uδ (a) ∩ E Ô⇒ m ⩽ f (x) ⩽ M.
îäíîñòîðîííåãî ïðåäåëà ôóíêöèè f ∶ E ↦ R â òî÷êå a. Äëÿ ýòîãî
E äëÿ ∀δ >0 èìåëî õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò, ïðèíàäëåæàùèé
(a, a + δ) (èíòåðâàëó (a − δ, a)).
Ââåä¼ì ïîíÿòèå
ïîòðåáóåì, ÷òîáû ìíîæåñòâî
èíòåðâàëó
Îïðåäåëåíèå. ×èñëî
a ïî Êîøè,
b
íàçûâàåòñÿ
ïðàâûì (ëåâûì ) ïðåäåëîì ôóíêöèè
f â òî÷êå
åñëè
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x ∈ E, a < x < a + δ (a − δ < x < a) Ô⇒ ∣f (x) − b∣ < ε.
f (a + 0) = lim f (x) = b (f (a − 0) = lim f (x) = b)
x→a+0
x→a−0
b íàçûâàåòñÿ ïðàâûì (ëåâûì ) ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå a
∀{xn } → a è xn > a (xn < a), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ôóíêöèè {f (xn )} ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó b.
Îïðåäåëåíèå. ×èñëî
ïî Ãåéíå, åñëè
çíà÷åíèé
Ïðèìåð 2.1.
⎧
⎪
−1,
⎪
⎪
⎪
⎪
y = sgnx = ⎨0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩1,
Ýòà ôóíêöèÿ èìååò â òî÷êå
a = 0
x < 0,
x = 0,
x > 0.
êàê ïðàâûé, òàê è ëåâûé ïðåäåëû,ïðè÷¼ì
Îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ òåîðèè ôóíêöèé
sgn(0 + 0)
= 1,
sgn(0 − 0)
= −1.
∀ε > 0 ∃δ = 1 (ê
65
Äåéñòâèòåëüíî,
ïðèìåðó)
∶ ∀x, 0 g(x),
2)f (x) ⩾ g(x),
òî ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå:
3)f (x) > C,
4)f (x) ⩾ C,
B ⩾ C.
○
a Ò.å. ∀x ∈U (a).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñëåäîâàíèÿ èç íåðàâåíñòâ
1) è 2) ïîëó÷àþòñÿ èç òåîðåìû 4
3), 4) ÷àñòíûå ñëó÷àè 1) è 2),
äîêàçàòåëüñòâîì îò ïðîòèâíîãî. Ñëåäîâàíèÿ èç
ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè
g(x) ≡ C .
Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè
3
68
Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî
ôóíêöèÿ
f ∶ E ↦ R óäîâëåòâîðÿåò â òî÷êå a
óñëîâèþ Êîøè, åñëè
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x′ , x′′ ∈ E ∩ Uδ (a)a Ô⇒ ∣f (x′ ) − f (x′′ )∣ < ε.
○
a Ò.å. ∀x′ , x′′ ∈ E, 0 < ∣x′ − a∣ < δ(ε), 0 < ∣x′′ − a∣ < δ(ε).
Òåîðåìà 22. (Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå a). Äëÿ òîãî,
÷òîáû ôóíêöèÿ
f
èìåëà â òî÷êå
a
êîíå÷íûé ïðåäåë,
÷òîáû ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿëà â òî÷êå
Äîêàçàòåëüñòâî.
a
íåîáõîäèìî
äîñòàòî÷íî,
è
óñëîâèþ Êîøè.
Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ∃ lim f (x) = b. Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. Ïî
x→a
îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè íàéä¼òñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü
○
∀x ∈Uδ (a) ∩ E ⇒ ∣f (x) − b∣ <
U(a)
òî÷êè
a,
÷òî
ε
.
2
○
Òîãäà, åñëè
x′ , x′′ ∈Uδ (a) ∩ E,
òî
∣f (x′ ) − f (x′′ )∣ ⩽ ∣f (x′ ) − b∣ + ∣b − f (x′′ )∣ <
Äîñòàòî÷íîñòü.
Âîçüì¼ì
Ïóñòü ôóíêöèÿ
ïðîèçâîëüíóþ
f
ε
2
+
ε
2
= ε.
a.
{xn } ÐÐÐ→ a, E ∋ xn ≠ a.
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Êîøè â òî÷êå
÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
n→∞
○
∀ε > 0 ïîäáåð¼ì îêðåñòíîñòü Uδ (a) èç óñëîâèÿ Êîøè äëÿ ôóíêöèè. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N = N (δ), ÷òî
Ïî
○
○
∀n ⩾ N ⇒ xn ∈Uδ (a). Ïî âûáîðó Uδ (a) äëÿ âñåõ n, m ⩾ N áóäåò âûïîëíåíî: ∣f (xn ) − f (xm )∣ < ε, ò.å ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (xn )} ôóíäàìåíòàëüíà.
ïðè
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî êðèòåðèþ Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,
∃ lim f (xn ).
n→∞
3a ê îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Ãåéíå, çàêëþ÷àåì ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà lim f (x).
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
{xn } (xn ≠ a, xn → a, xn ∈ E)
è çàìå÷àíèÿ
x→a
a Åñëè äëÿ ∀{xn } (xn ∈ E, xn ≠ a, xn → a) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (xn )} èìååò ïðåäåë, òî âñå
ýòè ïðåäåëû ðàâíû ìåæäó ñîáîé
Àíàëîãè÷íî ôîðìóëèðóåòñÿ è äîêàçûâàåòñÿ êðèòåðèé Êîøè äëÿ ñëó÷àåâ
îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ â òî÷êå a è ïðåäåëà ïðè x → (±)∞.
f ∶E↦R
ω(f, A) = sup ∣f (x ) − f (x′′ )∣.
Îïðåäåëåíèå. Êîëåáàíèåì ôóíêöèè
âåëè÷èíà
íà ìíîæåñòâå
A⊂E
íàçûâàåòñÿ
′
x′ ,x′′ ∈A
22∗ . Ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî ïðåäåëà ôóíêöèè f ∶ E ↦ R ïðè x → a ∈ E
ðàâíîñèëüíî âûïîëíåíèþ óñëîâèÿ:
Òåîðåìà
∀ε > 0 ∃U(a) ∶ ω(f, U(a) ∩ E) < ε.
Ñðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé
4
69
Ñðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé
Öåëü ñëåäóþùèõ îïðåäåëåíèé ïðèäàòü ÷¼òêèé ñìûñë âûñêàçûâàíèÿì òèïà: ¾îäíà ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ê 0 (èëè ∞) áûñòðåå äðóãîé¿; ¾äâå ôóíêöèè
ñòðåìÿòñÿ ê 0 (èëè ∞) ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ¿ è ò.ï.
f, g ∶ E ↦ R, a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåφ ∶ E↦R è îêðåñòíîñòü U(a) òî÷êè a òàêèå, ÷òî
Îïðåäåëåíèå. Ñèìâîëû Ëàíäàó Ïóñòü
ñòâà
E
è ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ
○
f (x) = φ(x) ⋅ g(x), ∀x ∈Uδ (a) ∩ E.
Òîãäà:
1. åñëè
φ
○
îãðàíè÷åíà íà Uδ (a) ∩ E, òî ãîâîðÿò,
íåíèþ ñ g ïðè x → a. f = O(g), x → a.
Ýòî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó:
2. åñëè
ñ
∃C > 0
è
÷òî
○
Uδ (a)
φ ÐÐ→ 0, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f
x→a
ôóíêöèÿ
f îãðàíè÷åíà ïî ñðàâ○
∣f (x)∣ ⩽ C∣g(x)∣, ∀x ∈Uδ (a) ∩ E.
:
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïî ñðàâíåíèþ
g ïðè x → a. f = o(g), x → a.
○
òî
○
∃ Uδ (a) : ∀x ∈Uδ (a) ∩ E âûïîëíåíî g(x) ≠ 0, à â ñëó÷àå a ∈ E,
f (x)
= 0.
óñëîâèå f = o(g), x → a ðàâíîñèëüíî lim
g(x)
Åñëè
3. åñëè
φ(a) = 0,
x→a
φ ÐÐ→ 1,
x→a
òî ãîâîðÿò, ÷òî
òè÷åñêè ðàâíû ïðè
Åñëè
êðîìå òîãî,
○
∃ Uδ (a)
ðàâíîñèëüíî
ôóíêöèè
f è g ýêâèâàëåíòíû èëè àñèìïòî-
x → a. f ∼ g , x → a.
○
∀x ∈Uδ (a) ∩ E âûïîëíåíî f (x) ≠ 0, g(x) ≠ 0,
g(x)
f (x)
lim g(x) = lim f (x) = 1.
:
òî óñëîâèå
f ∼ g, x → a
x→a
x→a
f = O(g), g = O(f ) ïðè x → a (èëè x ∈ D), òî
f è g ñðàâíèìû èëè ôóíêöèè îäíîãî ïîðÿäêà ïðè x → a
(íà ìíîæåñòâå D). f ≍g , x→a (x∈D).
Îïðåäåëåíèå. Åñëè âûïîëíåíî:
ãîâîðÿò, ÷òî
ôóíêöèè
= O ( x12 ) , x → 0,
∣ x1 ∣ ≤ ∣ x12 ∣
Ïðèìåð 4.1.
1
x
Ïðèìåð 4.2.
1
x2
Ïðèìåð 4.3.
f (x) = x (2 + sin x1 ), g(x) = x, x → 0;
ò.ê.
= O ( x1 ) , x → ∞,
ò.ê.
ïðè
∣ x12 ∣ ≤ ∣ x1 ∣
ïðè
1
∣ fg ∣=∣2+sin x1 ∣⩽3⇒∣f ∣⩽3∣g∣, ∣ fg ∣= ∣2+sin
1 ⩽1⇒∣g∣⩽∣f ∣.
∣
x
Ïðèìåð 4.4.
x6
1+x4
∼ x6 ,
ïðè
x → 0;
∣x∣ ≤ 1;
∣x∣ ≥ 1;
Ò.å.
f ≍g , x→ 0.
Ñðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé
Ïðèìåð 4.5.
x6
1+x4
∼ x2 ,
ïðè
Óòâåðæäåíèå 4.1. Åñëè
Äîêàçàòåëüñòâî.
70
x → ∞.
f ∼ g, g ∼ h
ïðè
x → a,
òî
f ∼h
ïðè
Èç óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî
φ, ψ ∶ E ∩ U(a) ↦ R, lim φ(x) = lim ψ(x) = 1,
x→a
x→a
x → a.
∃U(a)
è ôóíêöèè
÷òî
∀x ∈ E ∩ U(a) ⇒ f (x) = φ(x) g(x), g(x) = ψ(x) h(x) ⇒ f (x) = φ(x)ψ(x) h(x)
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Ðx→a
Ð→1
Ñëåäîâàòåëüíî, f ∼ h ïðè x → a.
Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ.
Ïóñòü
f ∶E↦R
îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè
Îïèñàòåëüíî ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ f
a ∈ E.
íåïðåðûâíà â òî÷êå a, åñëè å¼ çíà÷åíèÿ f (x) ïî
ìåðå ïðèáëèæåíèÿ x ê a ïðèáëèæàþòñÿ ê f (a), èëè ÷òî ïðè ìàëûõ èçìåíåíèÿõ
àðãóìåíòà, ôóíêöèÿ òàêæå èçìåíÿåòñÿ íå ñèëüíî. Äàëåå ìû óòî÷íèì ýòî ïîíÿòèå.
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå a ∈ E, åñëè äëÿ ëþáîé
îêðåñòíîñòè V(f (a)) çíà÷åíèÿ f (a) ôóíêöèè ïðèíèìàåìîãî åþ â òî÷êå a, íàéä¼òñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü U(a) òî÷êè a âî ìíîæåñòâå E (ò.å. U(a)∩E), îáðàç êîòîðîé f (U(a)∩E)
ñîäåðæèòñÿ â V(f (a)).
f ∈ C(a) ⇐⇒ ∀ V(f (a)) ∃U(a) ∶ f (U(a) ∩ E) ⊂ V(f (a)) ⇐⇒
⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x ∈ E, ∣x − a∣ < δ(ε) ⇒ ∣f (x) − f (a)∣ < ε.
Îòìåòèì, ÷òî ìû íå ïèøåì 0 < ∣x − a∣ < δ , ò.ê. ôóíêöèÿ f äîëæíà áûòü
îïðåäåëåíà â òî÷êå a.
Ïóñòü a èçîëèðîâàííàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà E. Òîãäà íàéä¼òñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü U(a) òî÷êè a, â êîòîðîé íåò äðóãèõ òî÷åê ìíîæåñòâà E, êðîìå ñàìîé òî÷êè a. Â
ýòîì ñëó÷àå
f (U(a) ∩ E) = f (a) ⊂ V(f (a)),
Ïðèìåð 1.1.
êàêîâà áû íè áûëà îêðåñòíîñòü V(f (a)). Ò.î., â ëþáîé èçîëèðîâàííîé òî÷êå îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèÿ, î÷åâèäíî, íåïðåðûâíà. Íî ýòî âûðîæäåííûé ñëó÷àé. Çàìåòèì,
÷òî ïîíÿòèå ïðåäåëà â èçîëèðîâàííîé òî÷êå íå îïðåäåëåíî.
Ïóñòü äàëåå a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà E. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R
íåïðåðûâíà â òî÷êå a, åñëè lim f (x) = f (a). Ýòî òîæäåñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
E∋x→a
lim f (x) = f ( lim x),
x→a
x→a
ò.å. íåïðåðûâíûå â òî÷êå ôóíêöèè, è òîëüêî îíè, ïåðåñòàíîâî÷íû ñ îïåðàöèåé
ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà.
Ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ìíîæåñòâå X ⊂ E, åñëè
îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà X. Îáîçíà÷åíèå: f ∈ C(X).
Îïðåäåëåíèå.
Ïðèìåð 1.2.
f (x) = x ∈ C(R). ∀a ∈ R èìååì:
∣f (x) − f (a)∣ = ∣x − a∣ < δ = ε.
Ïðèìåð 1.3.
f (x) = sin x ∈ (C)(R). ∀a ∈ R èìååì:
∣⩽
∣f (x) − f (a)∣ = ∣ sin x − sin a∣ = ∣2 cos x+a
⋅ sin x−a
2
2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¶
⩽1
71
⩽
x−a
2
ÃËÀÂÀ
V
Ñåêöèÿ 1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ
Ñåêöèÿ 2. Ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 3. Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü
Ñåêöèÿ 4. Îáðàòíûå ôóíêöèè
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ
72
∣ = ∣x − a∣ < δ = ε.
⩽ 2 ∣ x−a
2
Ïóñòü íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå çàäàíû ôóíêöèè f è g , íåïðåðûâíûå â òî÷êå a. Òîãäà ôóíêöèè
f ± g , f ⋅ g è fg òàêæå íåïðåðûâíû â òî÷êå aa .
Òåîðåìà 23. (Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè).
a  ñëó÷àå ÷àñòíîãî íóæíî äîïîëíèòåëüíî òðåáîâàòü g(a) ≠ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âûòåêàåò èç òåîðåìû îá àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä
ôóíêöèÿìè, èìåþùèìè ïðåäåë.
Åñëè f ∶ X ↦ R, g ∶ Y ↦ R, f (X) ⊂
Y è ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ∈ X, à ôóíêöèÿ g íåïðåðûâíà â òî÷êå y0 = f (x0 ),
òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ g(f (x)) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 .
Òåîðåìà 24. (Íåïðåðûâíîñòü êîìïîçèöèè ôóíêöèé).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû î ïðå-
äåëå êîìïîçèöèè ôóíêöèé.
Ïðèìåð 1.4.
f (x) = x sin x1 ∈ C(0) è f (0) = 0; g(y) = ∣sgny∣ ∉ C(0) è g(f (x)) =
∣sgn (x sin x1 ) ∣ ∉ C(0).
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå a ñïðàâà (ñëåâà ), åñëè ïðàâûé (ëåâûé) ïðåäåë ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå a ñóùåñòâóåò è ðàâåí ÷àñòíîìó çíà÷åíèþ
f (a) ôóíêöèè f â òî÷êå a.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â íåêîòîðîé òî÷êå
ìíîæåñòâà E, òî ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ôóíêöèè f , ò.å. a ∈ E òî÷êà
ðàçðûâà ôóíêöèè f , åñëè:
∃V (f (a)) ∀U(a) ∃x ∈ U(a) ∩ E ∶ f (x) ∉ V (f (a)) ⇐⇒
⇐⇒ ∃ε0 > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ E, ∣x − a∣ < δ ∶ ∣f (x) − f (a)∣ ⩾ ε0 .
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïðèìåðû
ðàçðûâíûõ ôóíêöèé:
1. f (x) = ∣ sgn x ∣; ∃ lim f (x) = 1, íî f (0) = 0 ≠ 1 = lim f (x).
x→0
2. f (x) =
x→0
sgn x; ∃ lim f (x) = −1 ≠ 1 = lim f (x).
⎧
1
⎪
⎪sin x ,
3. f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 0,
x→0−0
x ≠ 0,
x = 0;
x→0+0
∄ lim f (x).
x→0
Äàííûå ïðèìåðû îáúÿñíÿþò ñëåäóþùóþ òåðìèíîëîãèþ.
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ
73
Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ òî÷êîé óñòðàíèìîãî ðàçðûâà ôóíêöèè f , åñëè ïðåäåë ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå a ñóùåñòâóåò, íî â äàííîé òî÷êå ôóíêöèÿ f ëèáî íå îïðåäåëåíà, ëèáî èìååò ÷àñòíîå çíà÷åíèå f(a) ≠ lim f(x).
x→a
Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà äëÿ ôóíêöèè f , åñëè
ñóùåñòâóþò, íå ðàâíûå ìåæäó ñîáîé, îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû:
Îïðåäåëåíèå.
lim f (x) = f (a − 0) ≠ f (a + 0) = lim f (x).
x→a−0
x→a+0
Åñëè âñå òî÷êè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò
òî÷êè a, ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî îäèí èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ.  òàêèõ
a
ñëó÷àÿõ ìû íå áóäåì ïðèìåíÿòü òåðìèí ¾îäíîñòîðîííèé ïðåäåë¿
a Õîòÿ íåêîòîðûå àâòîðû è óïîòðåáëÿþò â äàííîì ñëó÷àå ýòîò òåðìèí.
Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà äëÿ ôóíêöèè f , åñëè
â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ f íå èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ,
èëè åñëè õîòÿ áû îäèí èç íèõ áåñêîíå÷åí.
Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], åñëè îíà
íåïðåðûâíà âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ ýòîãî ñåãìåíòà (ò.å. â òî÷êàõ (a, b)) è, êðîìå
òîãî, íåïðåðûâíà â òî÷êå a ñïðàâà è íåïðåðûâíà â òî÷êå b ñëåâà.
Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [a, b], åñëè ýòà
ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà âñþäó íà [a, b], íåïðåðûâíà âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ ýòîãî ñåãìåíòà, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê, â êîòîðûõ îíà èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà. È, êðîìå òîãî, ∃f (a + 0), f (b − 0).
Îïðåäåëåíèå.
Ïðèìåð 1.5. Ôóíêöèÿ Äèðèõëå.
⎧
⎪
⎪1,
D(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
x ∈ Q,
x ∈ R ∖ Q;
Äëÿ ∀x ∈ R ïîäáåð¼ì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë {xn } è èððàöèîíàëüíûõ
{yn }, òàêèå ÷òî xn , yn > x0 , xn → x0 , yn → y0 . Íàïðèìåð, âîçüì¼ì
xn =
[x0 ⋅n]+1
,
n
yn = xn +
√
2
.
n
Òîãäà D(xn ) ≡ 1 → 1, D(yn ) ≡ 0 → 0. Ïîýòîìó, ∄ lim D(x). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
x→x0 +0
∄ lim D(x). Ñëåäîâàòåëüíî, D ðàçðûâíà â êàæäîé òî÷êå. Âñå ðàçðûâû âòîðîãî ðîäà.
x→x0 −0
Êëàññèôèêàöèÿ òî÷åê ðàçðûâà.
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ
74
Ïðèìåð 1.6. Ôóíêöèÿ Ðèìàíà èëè ôóíêöèÿ Òîìà.
⎧
1
⎪
⎪ ,
R(x) = ⎨ n
⎪
⎪
⎩0,
x=
m
n
∈ Q,
x ∈ (R ∖ Q) ∪ {0};
Äîêàæåì, ÷òî ∀x0 ∈ R ∃ lim R(x) = 0. Äåéñòâèòåëüíî, âûáåðåì ∀ε > 0 è ïîäáåð¼ì òàêîé íîìåð
x→x0
N , ÷òî N1 < ε. Êîëè÷åñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñî çíàìåíàòåëÿìè, ìåíüøèìè N , â ïðîêîëîòîé
1-îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 êîíå÷íî; Îáîçíà÷èì ÷åðåç r ðàññòîÿíèå îò x0 äî áëèæàéøåãî èç
○
íèõ. Òîãäà â Ur/2 (x0 ) íåò ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñî çíàìåíàòåëÿìè, ìåíüøèìè N . Ò.å. ïðè
○
∀x ∈Ur/2 (x0 ) áóäåò ëè x ðàöèîíàëüíî èëè èððàöèîíàëüíî, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ∣R(x)∣ <
ε ⇒ lim R(x) = 0. Ò.å. ôóíêöèÿ R íåïðåðûâíà âî âñåõ èððàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ, è ðàçðûâíà
x→x0
âî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ1 (òåðïèò òàì óñòðàíèìûé ðàçðûâ).
Òåîðåìà 25. (î òî÷êàõ ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè). Åñëè ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà
ñåãìåíòå [a, b] è ÿâëÿåòñÿ íà í¼ì ìîíîòîííîé, òî íà èíòåðâàëå (a, b) îíà ìîæåò èìåòü
òîëüêî òî÷êè ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà.
Ëåììà. Åñëè ôóíêöèÿ f ìîíîòîííà íà [a,b], òî ∀c ∈ (a,b) ñóùåñòâóþò ïðåäåëû f (c − 0)
è f (c + 0). È, êðîìå òîãî, ∃f (a + 0), f (b − 0). Ïóñòü f↗ íà [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âûáåðåì ∀c ∈ [a, b). Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
F ∗ = {f (x) ∣ x ∈ (c, b]}.
F ∗ ≠ ∅, ò.ê. f (b) ∈ F ∗ è îãðàíè÷åíî ñíèçó, íàïðèìåð, ÷èñëîì f (c)a . Ïî ïðèíöèïó
òî÷íûõ ãðàíåé ∃ inf F ∗ , êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç γ . Äîêàæåì, ÷òî γ = f (c +
0).
Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. Ò.ê. γ = inf F ∗ , òî ∃δ ∈ (0, b − c)b : f (c + δ) < γ + ε. Ò.ê. f↗, òî
∀x ∈ (c, c + δ) è ïîäàâíî áóäåò f (x) < γ + ε. Íî f (x) ⩾ γ . Ïîýòîìó,
γ − ε < γ ⩽ f (x) < γ + ε ⇐⇒ ∣f (x) − γ∣ < ε, ∀x ∈ (c, c + δ).
Îòêóäà, lim f (x) = γ . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ∃f (c − 0) äëÿ ∀c ∈ (a, b].
x→c+0
a Ò.ê. f↗.
b Îãðàíè÷åíèå íà âåëè÷èíó δ íàêëàäûâàåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû c + δ íå âûëåçëî çà
ãðàíèöû îòðåçêà [a, b].
(òåîðåìû î òî÷êàõ ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè) Ïóñòü äàëåå, f ↗
è x0 ∈ [a, b) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Äëÿ ∀x ∈ (x0 , b] âûïîëíåíî f (x) ⩾ f (x0 ). Ïî ëåììå
∃f (x0 + 0) è f (x0 + 0) ⩾ f (x0 ). Àíàëîãè÷íî, ∀x0 ∈ (a, b] è ∀x ∈ [a, x0 ) âûïîëíåíî f (x) ⩽
f (x0 ). Ïî ëåììå ∃f (x0 − 0) è f (x0 − 0) ⩽ f (x0 ).
Åñëè äàííûå ïðåäåëû ñîâïàäàþò ñ f (x0 ), òî f ∈ C(x0 ). Èíà÷å, ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñëåäñòâèå 1 (êðèòåðèé íåïðåðûâíîñòè ìîíîòîííîé ôóíêöèè). Ìîíîòîííàÿ ôóíê-
öèÿ íåïðåðûâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïðèíèìàåò âñå ñâîè ïðîìåæóòî÷íûå
çíà÷åíèÿa .
a Ò.å. ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ f ∶ E = [a, b] ↦ R íåïðåðûâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ìíîæåñòâî f (E) å¼ çíà÷åíèé ñàìî ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì ñ êîíöàìè f (a) è f (b).
1 Îïðåäåë¼ííàÿ âûøå ôóíêöèÿ R íåïðåðûâíà òàêæå â òî÷êå x = 0.
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ
75
Ñëåäñòâèå 2. Ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíîå.
Ïóñòü f↗ è x0 òî÷êà ðàçðûâà ôóíêöèè f . Ñëåäîâàòåëüíî, f (x0 −0) <
f (x0 + 0), è ∃r(x0 ) ∈ Q : f (x0 − 0) < r(x0 ) < f (x0 + 0). Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî ðàçíûì
òî÷êàì ðàçðûâà x1 è x2 áóäóò ñîïîñòàâëåíû ðàçëè÷íûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà r(x1 ) è
r(x2 ). Ýòî âûòåêàåò èç ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè f , ò.ê., åñëè x1 < x2 , òî
Äîêàçàòåëüñòâî.
f (x1 + 0) = inf
f (x′ ) ≤ f (x′ ) ≤ sup f (x′ ) = f (x2 − 0), ∀x′ ∈ (x1 , x2 ),
′
x >x1
x′ 0 äëÿ ∀x ∈ U(a) ∩ Ea .
a Ò.å. ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü, â êîòîðîé ôóíêöèÿ f ñîõðàíÿåò ñâîé çíàê.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ò.ê. f ∈ C(a), òî
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x ∈ Uδ (a) ∩ E ⇒ ∣f (x) − f (a)∣ < ε ⇔ f (a) − ε < f (x) < f (a) + ε.
Åñëè â êà÷åñòâå ε âçÿòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ∣f (a)∣
, òî îáà ÷èñëà f (a) − ε è f (a) + ε
2
áóäóò ïîëîæèòåëüíû ïðè f (a) > 0 è îòðèöàòåëüíû ïðè f (a) < 0. Îòêóäà è âûòåêàåò
òðåáóåìîå.
Àíàëîãè÷íóþ òåîðåìó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü äëÿ ôóíêöèè f íåïðåðûâíîé â òî÷êå a ñïðàâà (ñëåâà).  ýòîì ñëó÷àå íàéä¼òñÿ ïðàâàÿ (ëåâàÿ) ïîëóîêðåñòíîñòü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ òåì æå ñâîéñòâàì.
76
Ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
77
Òåîðåìà 27. (Î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç íóëü ïðè ñìåíå çíàêîâ).
Ïóñòü f ∈ C[a, b], è ïóñòü f (a) ⋅ f (b) < 0 (ò.å. å¼ çíà÷åíèÿ íà êîíöàõ åñòü ÷èñëà ðàçíûõ çíàêîâ). Òîãäà ∃ξ ∈ (a, b) : f (ξ) = 0.
) ≠ 0, òî íà êîíöàõ
Äåëèì îòðåçîê [a, b] = I0 ïîïîëàì Åñëè f ( a+b
2
îäíîãî èç äâóõ, ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå äåëåíèÿ îòðåçêîâ, ôóíêöèÿ ñíîâà ïðèíèìàåò
çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ. Äåëèì äàííûé îòðåçîê, I1 ïîïîëàì è ò.ä.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ìåòîä áèñåêöèè.
Òîãäà ìû ëèáî íà êàêîì-òî øàãå ïîïàä¼ì â òî÷êó ξ ∈ (a, b) : f (ξ) = 0, ëèáî ïîëó÷èì ñòÿãèâàþùóþñÿ ñèñòåìó ñåãìåíòîâ {In } íà êîíöàõ êîòîðûõ ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå, íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà âëîæåííûõ
∞
ñåãìåíòîâ, ∃!ξ ∈ ⋂ In . Ïî ïîñòðîåíèþ ∃{an }, {bn } äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîíöîâ
n=1
îòðåçêîâ In òàêèå, ÷òî f (an ) < 0, f (bn ) > 0 è lim an = lim bn = ξ . Ïî ñâîéñòâàì ïðåäåëà
n→∞
n→∞
è îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîñòè, ïîëó÷àåì:
lim f (an ) = f (ξ) ⩽ 0,
n→∞
lim f (bn ) = f (ξ) ⩾ 0 ⇒ f (ξ) = 0.
n→∞
Ñëåäñòâèå 1 (Î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè). Ïóñòü f ∈ C[a, b],
ïðè÷¼ì f (a) = α, f (b) = β , à γ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, çàêëþ÷¼ííîå ìåæäó α è β . Òîãäà
∃c ∈ [a, b] : f (c) = γ .
Åñëè α = β = γ , òî â êà÷åñòâå c áåð¼ì a èëè b. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå
î÷åâèäåí ñëó÷àé, êîãäà γ = α èëè γ = β .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü α ≠ β . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî α < γ < β . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
g(x) = f (x) − γ . Êàê ðàçíîñòüþ äâóõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ôóíêöèÿ g íåïðåðûâíà
íà [a, b], è ïðèíèìàåò íà êîíöàõ ýòîãî ñåãìåíòà çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ:
g(a) = f (a) − γ = α − γ < 0;
g(b) = f (b) − γ = β − γ > 0.
Ïî òåîðåìå 5 ∃ξ ∈ (a, b) ∶ g(ξ) = 0 ⇒ f (ξ) = γ .
Áåçóñëîâíî, ìîæíî ïîñòðîèòü ïðèìåð ðàçðûâíîé ôóíêöèè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç âñå ñâîè ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ.
Ïðèìåð 2.1.
f (x) = sin x1 íà [−1, 1].
ñâÿçíûì ìíîæåñòâîì.
íåñâÿçíîãî ìíîæåñòâà, íà êîòîðîì óòâåðæäåíèå ïîñëåäíåé
Ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ ôàêò, ÷òî îòðåçîê ÿâëÿåòñÿ
Ïîñòðîèì ïðèìåð
òåîðåìû (äëÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì ìíîæåñòâå ôóíêöèè) íå èìåþò ñìûñëà.
Ïðèìåð 2.2.
⎧
⎪
⎪−1,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 1,
x ∈ [0, 1];
x ∈ [2, 3].
òåîðåìà Áîëüöàíî-Êîøè.
Ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
Òåîðåìà 28. (Ïåðâàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà).
ôóíêöèÿ, òî îíà îãðàíè÷åíà íà í¼ì.
78
Åñëè f íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a, b]
 ñèëó óòâåðæäåíèÿ î ôèíàëüíîé îãðàíè÷åííîñòè íåïðåðûâíîé
ôóíêöèè, äëÿ ∀x ∈ [a, b] íàéä¼òñÿ îêðåñòíîñòü U(x), ÷òî íà ìíîæåñòâå [a, b] ∩ U(x)
ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà. Ñîâîêóïíîñòü {U(x)} òàêèõ îêðåñòíîñòåé, ïîñòðîåííûõ äëÿ
êàæäîé òî÷êè îòðåçêà, îáðàçóþò ïîêðûòèå [a, b] èíòåðâàëàìè. Ïî ëåììå Ãåéíå-Áîðåëÿ
èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå {U(x1 ), . . . , U(xn )}. Ïî ïîñòðîåíèþ,
∀k = 1, n ∃mk , Mk ∈ R ∶ ∀x ∈ U(xk ) ⇒ mk ⩽ f (x) ⩽ Mk .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîýòîìó, ∀x ∈ [a, b] ⇒ min{m1 , . . . , mn } ⩽ f (x) ⩽ max{M1 , . . . , Mn }.
Äëÿ èíòåðâàëà (êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî) äàííîå óòâåðæäåíèå óæå íå
èìååò ìåñòà.
Ïðèìåð 2.3.
f (x) =
Ïðèìåð 2.4.
f (x) = x ∈ C(R).
Îïðåäåëåíèå.
∈ C(0, 1);
1
x
×èñëî M (÷èñëî m) íàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé (òî÷íîé íèæíåé ) ãðàåñëè âûïîëíåíû äâà òðåáîâàíèÿ:
íüþ ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå E,
1. ∀x ∈ E ⇒ f (x) ⩽ M
′
(f (x) ⩾ m);
′
2. ∀ε > 0 ∃x ∈ E ∶ f (x ) > M − ε
(f (x′ ) < m + ε).
Îáîçíà÷åíèå: M = sup f (x), m = inf f (x);
E
E
Óòâåðæäåíèå 2.2.
Åñëè ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà E ñâåðõó (ñíèçó), òî ∃ sup f (x)
E
(∃ inf f (x)).
E
⎧
2
⎪
⎪x , x ∈ (0, 1);
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩1/2, x = 0, x = 1.
Âåðõíÿÿ ãðàíü (M = 1) è íèæíÿÿ ãðàíü (m = 0) ýòîé ôóíêöèè íå äîñòèæèìû, ò.å.
Ïðèìåð 2.5.
∄x ∈ [0, 1] ∶ f (x) = 1, f (x) = 0.
Ñëåäñòâèå 1 (âòîðàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà
[a, b], òî îíà äîñòèãàåò íà í¼ì ñâîèõ òî÷íûõ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíåé. Ò.å. ∃x1 , x2 ∈ [a, b]
: f (x1 ) = sup f (x), f (x2 ) = inf f (x).
[a,b]
[a,b]
Ïî ïåðâîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà [a, b].
Ñëåäîâàòåëüíî ∃ sup f (x), inf f (x). Îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç M è m ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåä-
Äîêàçàòåëüñòâî.
[a,b]
[a,b]
ïîëîæèì, ÷òî òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü íå äîñòèæèìà, ò.å. ∀x ∈ [a, b] ⇒ f (x) < M . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ F (x) = M −f1 (x) . Ò.ê. M − f (x) > 0, òî F ∈ C[a, b]. Òîãäà ïî ïåðâîé
Ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ôóíêöèÿ F îãðàíè÷åíà íà [a, b]:
M −f (x)>0
∃A > 0 ∶
1
M −f (x)
¬
⩽ A ⇐⇒ f (x) ⩽ M −
1
,
A
∀x ∈ [a, b].
Ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî M = sup f (x). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ äîñòèæèìîñòü
inf f (x).
[a,b]
[a,b]
Ïîñëå òîãî, êàê äîêàçàíà äîñòèæèìîñòü sup f (x) è inf f (x), ìû ìîæåì íà[a,b]
[a,b]
ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì, à òî÷íóþ íèæíþþ
ãðàíü m ìèíèìàëüíûì çíà÷åíèåì ôóíêöèè f íà [a, b].
çûâàòü òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü M
79
Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü
3
80
Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü.
Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé íà ìíîæåñòâå.
f ∈ C(E) ⇐⇒ ∀̃
x ∈ E f ∈ C(̃
x) ⇐⇒
̃∣ < δ(⋅) ⇒ ∣f (x) − f (̃
⇐⇒ ∀̃
x ∈ E ∀ε > 0 ∃δ(⋅) ∶ ∀x ∈ E, ∣x − x
x)∣ < ε.
̃. Âîçíèêàåò
 ýòîì îïðåäåëåíèè ÷èñëî δ(⋅) çàâèñèò íå òîëüêî îò ε, íî è îò x
âîïðîñ: ìîæíî ëè îïðåäåëåíèè íåïðåðûâíîñòè ïîäîáðàòü ÷èñëî δ , çàâèñÿ-
̃ ∈ E?
ùåå òîëüêî îò ε, ïîäõîäÿùåå äëÿ âñåõ x
Îïðåäåëåíèå.
E, åñëè
Ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà ìíîæåñòâå
̃ ∈ E, ∣x − x
̃∣ < δ(ε) ⇒ ∣f (x) − f (̃
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀x, x
x)∣ < ε.
 äàííîì îïðåäåëåíèè òðåáóåòñÿ, ÷òîáû íåðàâåíñòâî ∣f (x) − f (̃
x)∣ < ε âûïîëíÿëîñü äëÿ âñåõ ïàð òî÷åê èç E , ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ìåíüøå
δ.
̃, òî ïîëó÷àåì îïðåÅñëè ìû çàôèêñèðóåì â îïðåäåëåíèè, íàïðèìåð, òî÷êó x
äåëåíèå íåïðåðûâíîñòè â ýòîé òî÷êå. Ò.î., ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Óòâåðæäåíèå: Åñëè ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå E, òî îíà íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ ýòîãî ìíîæåñòâà.
Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî (ñì. ïðèìåðû íèæå).
Ïðèìåð 3.1.
f (x) = x ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà R. Â îïðåäåëåíèè âûáèðàåì δ(ε) = ε.
f (x) = x2 íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà R. Íàïèøåì îòðèöàíèå
ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå E:
Ïðèìåð 3.2.
∃ε0 > 0 ∶ ∀δ > 0 ∃x1 , x2 ∈ E, ∣x1 − x2 ∣ < δ, íî ∣f (x1 ) − f (x2 )∣ ⩾ ε0 .
Äëÿ f (x) = x2 âûáèðàåì ∀δ > 0, x1 = 1δ , x2 = 1δ + 2δ . Òîãäà ∣x1 −x2 ∣ = 2δ < δ , íî
∣f (x1 ) − f (x2 )∣ = ∣(x1 − x2 )(x1 + x2 )∣ =
Ïðèìåð 3.3.
f (x) =
1
x
δ
2
⋅ ( 2δ + 2δ ) = 1 +
δ2
4
> 1 = ε0 .
íà (0, 1] íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé:
∣f (x1 ) − f (x2 )∣ = ∣ x11 −
1
∣
x2
=
∣x2 −x1 ∣
x1 ⋅x2
Ð→ +∞,
åñëè ïðè ñêîëü óãîäíî ìàëîé, íî ôèêñèðîâàííîé ðàçíîñòè ∣x2 − x1 ∣ ïðèáëèæàòü ìåíüøåå
èç x1 èëè x2 ê íóëþ.
Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü
81
Áîëåå ñòðîãî:
δ
Ïóñòü x1 = 1+δ
< 1 (è x1 < δ ), x2 =
x1
2
δ
δ
= 2(1+δ)
< 1 ⇒ ∣x2 −x1 ∣ = 2(1+δ)
< δ.
∣f (x1 ) − f (x2 )∣ = ∣ x11 −
Ïðèìåð 3.4.
(2)
xn
=
2
∣
x1
=
1
x1
=
1+δ
δ
> 1 = ε0 .
(1)
f (x) = sin x1 íà (0, π2 ] íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé. Ïóñòü xn =
n ∈ N.
2
,
(4n+1)π
1
,
πn
(2)
(1)
(2)
Òîãäà f (x(1)
ÐÐ→ 0.
n ) ≡ 0, f (xn ) ≡ 1, íî ∣xn − xn ∣ Ð
n→∞
Îòìåòèì, ÷òî âñå ðàññìîòðåííûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè íà èçó÷åííûõ ìíîæåñòâàõ.
Òåîðåìà 29.
òåîðåìà Êàíòîðà Íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå ôóíêöèÿ ðàâíîìåðíî íåïðå-
ðûâíà íà í¼ì.
Ïóñòüa f ∈ C[a, b]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà [a, b]. Òîãäà ∃ε0 > 0 :
Äîêàçàòåëüñòâî.
(1) (2)
(1)
(2)
∀n ∈ N ∃xn
, xn ∈ [a, b], ∣xn
− xn
∣<
1
,
n
(2)
íî ∣f (x(1)
n ) − f (xn )∣ ⩾ ε0 .
(∗)
Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà, âûäåëèì èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {x(1)
n } ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x(1)
nk }, ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó c ∈ R. Ïî ñâîéñòâó çàìêíóòîñòè îòðåçêàb c ∈ [a, b].
Òîãäà è {x(2)
ÐÐ→ c, ò.ê.
nk } Ð
k→∞
(2)
(1)
(1)
∣x(2)
nk − c∣ ⩽ ∣xnk − xnk ∣ + ∣xnk − c∣ <
1
nk
+ ∣x(1)
ÐÐ→ 0.
nk − c∣ Ð
k→∞
Ïî íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â òî÷êå c ∈ [a, b] ïîëó÷àåì:
(1)
) ÐÐÐ→ f (c),
f (xn
k
k→∞
(2)
) ÐÐÐ→ f (c).
f (xn
k
k→∞
(2)
) − f (xn
) ÐÐÐ→ 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó (∗).
Ñëåäîâàòåëüíî, f (xn(1)
k
k
k→∞
I].
a Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñ ïîìîùüþ ëåììû Ãåéíå-Áîðåëÿ ñì., íàïðèìåð, â
[Çîðè÷,
b Ò.å. îòðåçîê ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè.
Âìåñòî îòðåçêà [a, b] ìû ìîãëè ðàññìàòðèâàòü ïðîèçâîëüíîå çàìêíóòîå è
îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. Äàííûå ïîíÿòèÿ èãðàþò â òåîðåìå Êàíòîðà âåñüìà ñóùåñòâåííóþ ðîëü. Äëÿ ìíîæåñòâ äðóãîãî òèïà óòâåðæäåíèå òåîðåìû,
âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî (ñì. ïðèìåðû âûøå).
Óòâåðæäåíèå: Ïóñòü èíòåðâàë (a, b) êîíå÷åí. Ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà
(a, b) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f ∈ C(a, b) è ∃ lim f (x), lim f (x).
x→a+0
x→b−0
òåîðåìà Ãåéíå-Êàíòîðà.
Îáðàòíûå ôóíêöèè
4
82
Îáðàòíûå ôóíêöèè.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f ∶ R ⊃ X ↦ Yf ⊂ R, çàäàííóþ íà ìíîæåñòâå X, à Yf ìíîæåñòâî å¼
çíà÷åíèé Ïóñòü ïðè x1 , x2 ∈ X, x1 ≠ x2 âûïîëíåíî: f (x1 ) ≠ f (x2 )2 . Òîãäà ôóíêöèÿ f çàäà¼ò
âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå: X ↔ Yf . Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó y ∈ Yf èìåííî
òî (åäèíñòâåííîå) çíà÷åíèå x ∈ X, äëÿ êîòîðîãî f (x) = y , è îáîçíà÷èì ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ
ñèìâîëîì f −1 ∶ Yf ↦ X.
Âçàèìíî îáðàòíûå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ f −1 íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé ïî îò−1
íîøåíèþ ê f . Â ñèëó å¼ îïðåäåëåíèÿ: y = f (x) ⇐⇒ x = f (y);
Îïðåäåëåíèå.
f −1 (f (x)) = x, ∀x ∈ X;
f (f −1 (y)) = y, ∀y ∈ Yf .
Ãðàôèêè ôóíêöèé f è f −1 ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé y = x.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî (x, f (x)) = (x, y), (y, f −1 (y)) = (y, x).
Âûÿñíèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå ôóíêöèÿ èìååò
îáðàòíóþ, è â êàêèõ ñëó÷àÿõ f
−1
íåïðåðûâíà.
Ëåììà 1: Íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f ∶ [a, b] ↦ R èíúåêòèâíî òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ f ñòðîãî ìîíîòîííà íà [a, b].
Åñëè f ñòðîãî ìîíîòîííà íà [a, b], òî îòîáðàæåíèå
f ∶ [a, b] ↦ R, î÷åâèäíî, èíúåêòèâíîa .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæåì, ÷òî âñÿêîå èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå îòðåçêà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííîé ôóíêöèåé. Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ∃ x1 < x2 < x3
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
òàêèå, ÷òî f (x2 ) íå ëåæèò ìåæäó f (x1 ) è f (x3 ).
∈[a,b]
Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ,
b
c
ëèáî f (x1 ) < f (x3 ) < f (x2 ) , ëèáî f (x2 ) < f (x1 ) < f (x3 ) .
Íåðàâåíñòâà ñòðîãèå â ñèëó èíúåêòèâíîñòè.
Ðàññìîòðèì, äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè âòîðîé ñëó÷àé.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f íà [x2 , x3 ] è òåîðåìû î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç ëþáîå ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå, íàéä¼ò-
ñÿ x′1 ∈ (x2 , x3 )d , ÷òî f (x′1 ) = f (x1 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f íå
èíúåêòèâíà. Ïðîòèâîðå÷èå.
Äðóãîé ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
a Ò.ê. â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ [a, b] ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ.
b èëè f (x ) < f (x ) < f (x ), ÷òî íåâàæíî.
2
3
1
c èëè f (x ) < f (x ) < f (x ), ÷òî íåâàæíî.
3
1
2
d Ò.ê. x < x , òî x < x′ .
1
2
1
1
Ëåììà 2. Ëþáàÿ ñòðîãî ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ f ∶ X ↦ Yf = f (X) îáëàäàåò îáðàòíîé
ôóíêöèåé f −1 ∶ Yf ↦ X, êîòîðàÿ èìååò íà Yf òîò æå õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè, ÷òî è f íà X.
2 Ôóíêöèÿ f èíúåêòèâíà.
Îáðàòíûå ôóíêöèè
Äîêàçàòåëüñòâî.
83
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî f ↑ íà X:
∀x1 , x2 ∈ X, x1 < x2 ⇐⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
(∗)
Ïîýòîìó, f èíúåêòèâíî, à f ∶ X ↦ Yf áèåêòèâíî. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ, ∃f −1 ∶
Yf ↦ Xa . Ñîïîñòàâëÿÿ îïðåäåëåíèå îòîáðàæåíèå f −1 ñ ñîîòíîøåíèåì (∗) ïðèõîäèì ê
âûðàæåíèþ:
∀y1 , y2 ∈ Yf , f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ) ⇐⇒ y1 < y2 ,
Ò.å. f −1 ñòðîãî âîçðàñòàåò íà Yf .
a x = f −1 (y), åñëè y = f (x).
Òåîðåìà 30. òåîðåìà îá îáðàòíîé ôóíêöèè Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∶ [a, b] ↦ R ñòðîãî
âîçðàñòàåòa è íåïðåðûâíà. Òîãäà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f −1 çàäàíà íà îòðåçêå [f (a), f (b)] =
[ min f (x), max f (x)], ñòðîãî âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà.
[a,b]
[a,b]
Ñóùåñòâîâàíèå è ìîíîòîííîñòü ôóíêöèè f −1 äîêàçàíà â Ëåììå
2. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû î òîì, ÷òî ìíîæåñòâî f ([a, b]) åñòü îòðåçîê [f (a), f (b)]
ñëåäóåò èç êðèòåðèÿ íåïðåðûâíîñòè ìîíîòîííîé ôóíêöèè. Îñòà¼òñÿ ïðîâåðèòü,
÷òî ôóíêöèÿ f −1 ∶ [f (a), f (b)] ↦ R íåïðåðûâíà, íî ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî f −1 ↑
Äîêàçàòåëüñòâî.
è f −1 ([f (a), f (b)]) = [a, b].
a Ñëó÷àé ñòðîãîãî óáûâàíèÿ àíàëîãè÷åí.
Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè è íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè íå
ÿâëÿþòñÿ
íåîáõîäèìûìè äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ å¼ îáðàòíîé. Ðàññìîòðèì ñëåäó-
þùèé ïðèìåð:
⎧
⎪
⎪x + 1, x ∈ Q,
y = f (x) = x + D(x) = ⎨
⎪
⎪
x ∈ R ∖ Q.
⎩ x,
Äàííàÿ ôóíêöèÿ íèãäå íå ìîíîòîííà è âñþäó ðàçðûâíà. Îäíàêî, åñëè x ∈ Q, òî
y = x + 1 ∈ Q, à åñëè x ∈ R ∖ Q, òî y = x ∈ R ∖ Q. Ñëåäîâàòåëüíî,
⎧
⎪
⎪y − 1,
x = f −1 (y) = ⎨
⎪
⎪
⎩ y,
y ∈ Q,
y ∈R∖Q
= y − D(y).
= f (x) = sin x âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [− π2 , π2 ]. Çíà÷èò ñóæåíèå
ýòîé ôóíêöèè íà äàííûé îòðåçîê èìååò îáðàòíóþ ôóíêöèþ x = f −1 (y), îáîçíà÷àåìóþ
x = arcsin y , îïðåäåë¼ííóþ íà
Ïðèìåð 4.1.y
[sin (− π2 ), sin ( π2 )] = [−1, 1],
âîçðàñòàþùóþ îò − π2 äî
π
2
è íåïðåðûâíóþ íà [−1, 1].
Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∶ (a, b)a ↦ R ñòðîãî âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà. Òîãäà
, çàäàííàÿ íà (A, B) = ( inf f (x), sup f (x)), êîòîðàÿ òàêæå ñòðîãî âîçðàñòàåò è
Òåîðåìà 31.
∃f
−1
íåïðåðûâíà.
(a,b)
(a,b)
Îáðàòíûå ôóíêöèè
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå è ìîíîòîííîñòü îáðàòíîé ôóíêöèè äîêàçàíî â
ëåììå 2. Äîêàæåì å¼ íåïðåðûâíîñòü íà èíòåðâàëå.
Ïóñòü y0 ∈ (A, B), òàê ÷òî x0 = f −1 (y0 ) ∈ (a, b). Ïóñòü ε > 0 ñòîëü ìàëî, ÷òî
[x0 −ε, x0 +ε] ⊂ [a, b]. Îáîçíà÷èì: y1 = f (x0 − ε), y2 = f (x0 + ε)a .
Ïî ëåììå 1, ôóíêöèÿ f óñòàíàâëèâàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå îòðåçêà [x0 − ε, x0 + ε] è îòðåçêà [y1 , y2 ] ⊂ [A, B].  ñèëó âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè f ,
ïîëó÷àåì: y1 < y0 < y2 . Âîçüì¼ì δ > 0 ñòîëü ìàëûì, ÷òî (y0 −δ, y0 +δ) ⊂ (y1 , y2 ).
Òîãäà f (Uδ (y0 )) ⊂ f −1 ((y1 , y2 )) = Uε (x0 ). Ò.å. f −1 íåïðåðûâíà â òî÷êå y0 ïî
îïðåäåëåíèþ.
a Ò.ê. f ↑, òî y < y .
1
2
a Èíòåðâàë (a, b) êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé.
84
Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå.
ÃËÀÂÀ
VI
Îñíîâíûìè (ïðîñòåéøèìè) ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè íàçûâàþò ñëå-
äóþùèå:
Ïîêàçàòåëüíàÿ: x ↦ a , a > 0, a ≠ 1;
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ: x ↦ log x, a > 0, a ≠ 1;
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå: sin, cos, tg, ctg;
Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå: arcsin, arccos, arctg, arcctg.
Ñòåïåííàÿ: x ↦ x , α ∈ Ra ;
α
x
a
a Ïðè α = 0 ïîñòîÿííàÿ.
Ñåêöèÿ 1. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
Ñåêöèÿ 2. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ è
ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ
Ñåêöèÿ 3. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
ôóíêöèè
Ñåêöèÿ 4. Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè
Ñåêöèÿ 5. Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ñðàâíåíèå ôóíêöèé
Ôóíêöèè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî
÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è îïåðàöèé êîìïîçèöèè, íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè.
1
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Ïóñòü 0 < a ≠ 1. Áóäåì ñ÷èòàòü èçâåñòíûìè ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè
ar = am/n =
√
n
am ,
r=
m
n
∈Q
1. Åñëè r1 < r2 , òî ar1 < ar2 ïðè a > 1 è ar1 > ar2 ïðè 0 < a < 1;
> 0 ñïðàâåäëèâî ar > 1. Îò
Äîêàæåì, ÷òî ïðè a > 1 è r = m
n
m/n
ïðîòèâíîãî. Ïóñòü a
⩽ 1, òîãäà, ïåðåìíîæèâ n òàêèõ íåðàâåíñòâ, ïîëó÷èì
m
a ⩽ 1, íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó am > 1, ïîëó÷åííîìó ïî÷ëåííûì ïåðåìíîæåíèåì m íåðàâåíñòâ âèäà a > 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
>0
r2
−a
1
a
> 1.
Äàëåå ïîëó÷àåì: a
ïåðâîãî çàìåíîé
b=
r1
>0
« ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
1
= ar (ar2 −r1 − 1) > 0.
Âòîðîå íåðàâåíñòâî ñëåäóåò èç
2. ar1 ⋅ ar2 = ar1 +r2 ;
3. (ar1 )r2 = ar1 r2 ;
4. a0 = 1;
5. (a b)r = ar ⋅ br .
Ñëåäñòâèå 1. ar ⋅ a−r = a0 = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, a−r =
ar > 0,
85
∀r ∈ R.
1
ar
> 0, ò.å.
Áóêâàìè r è ρ áóäåì îáîçíà÷àòü
ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà.
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
Ëåììà (Áåðíóëëè).
86
Ïóñòü a > 1, r ∈ Q, ∣r∣ ⩽ 1. Òîãäà
∣ar − 1∣ ⩽ 2 ∣r∣ (a − 1).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü ñíà÷àëà r =
1
,
n
n ∈ N. Ïîëîæèì
λ ∶= a1/n − 1 > 0 Ô⇒ a1/n = λ + 1 ⇒ a ⇒ a ⩾ 1 + nλ.
Îòêóäà,
λ⩽
a−1
,
n
ò.å. a1/n − 1 ⩽
1
n
(a − 1) < 2 n1 (a − 1).
1. Ïóñòü 0 < r ⩽ 1. Òîãäà ïðè íåêîòîðîì n ∈ N âûïîëíåíî
íåðàâåíñòâà (∗) è ìîíîòîííîñòè ar èìååì:
ar − 1 < a1/n − 1 ⩽
1
n
(a − 1) ⩽
2
(a
n+1
1
n+1
(∗)
< r <
1
.
n
Ñ ïîìîùüþ
− 1) < 2r(a − 1).
2. Ïóñòü −1 ⩽ r < 0. Òîãäà
ar 0 è ∀n ∈ N, rn ∈ Q, à lim rn = x ∈ R. Òîãäà
n→∞
ax ∶= lim arn .
n→∞
Ôóíêöèÿ x ↦ ax , x ∈ R íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëüíîé ñ îñíîâàíèåì a.
Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî â ñëåäóþùåì ñìûñëå:
1. lim arn ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí;
n→∞
2. lim arn íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {rn };
n→∞
3. â ñëó÷àå x = r ∈ Q çíà÷åíèå ar ïî ýòîìó îïðåäåëåíèþ ñîâïàäàåò ñ ïðåæíèì.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. Ïóñòü a > 1, rn → x. Òîãäà ïî êðèòåðèþ Êîøè:
∀ε > 0 ∃N (ε) ∶ ∀n, m ⩾ N (ε) ⇒ ∣rn − rm ∣ < ε.
(1)
Êðîìå òîãî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn } îãðàíè÷åíà (êàê ñõîäÿùàÿñÿ). Ïîýòîìó,
∃M > 0 : arm ⩽ M , ∀m ∈ N.
Îòñþäà, âûáèðàÿ ε èç (1) òàê, ÷òîáû 0 < ε ⩽ 1 ñ ïîìîùüþ ëåììû Áåðíóëëè
ïîëó÷àåì:
∣arn − arm ∣ = arm ∣arn −rm − 1∣ ⩽ arm 2 ∣rn − rm ∣ (a − 1) < 2M ε(a − 1) < ε′ .
Ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {arn } ôóíäàìåíòàëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî,
∃ lim arn > 0a .
n→∞
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
87
rn
1
âûòåêàåò èç óæå
Ïóñòü 0 < a < 1. Òîãäà arn = (1/a)
rn è ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà a
1 rn
äîêàçàííîãî ñóùåñòâîâàíèÿ ïîëîæèòåëüíîãî ïðåäåëà lim ( a ) .
n→∞
Ñëó÷àé a = 1 òðèâèàëåí.
2. Ïóñòü a > 1, rn → x, rn′ → x. Òîãäà rn − rn′ → 0. Ñ ïîìîùüþ ëåììû Áåðíóëëè
⩽M
ïîëó÷èì:
«
′
′
′
rn
rn
∣a − a ∣ = arn ∣arn −rn − 1∣ ⩽ M ⋅ 2 ⋅ ∣rn − rn′ ∣ (a − 1) ÐÐÐ→ 0.
n→∞
Ñëåäîâàòåëüíî, lim a
rn
n→∞
− lim a
′
rn
n→∞
′
= b = lim (arn − arn ) = 0.
n→∞
Ñëó÷àé 0 < a < 1 ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåííîìó ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà
arn =
1
(1/a)
rn
.
3. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{rn } ≡ r.
a Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó ìîíîòîíîñòè è ñòðîãîé ïîëîæèòåëüíîñòè
ôóíêöèè arn .
b Ò.ê. îáà ýòèõ ïðåäåëà ñóùåñòâóþò (ñì. 1.)
Òåîðåìà 32. (ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè).
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ îáëàäàåò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. Ïðè a > 1 ôóíêöèÿ ax âîçðàñòàåò, ïðè 0 < a < 1 óáûâàåò;
Ïóñòü a > 1, x < y , r, ρ ∈ Q : x < r < ρ < y . Ïóñòü äàëåå
rn → x, ρn → y , ïðè÷¼ì rn ⩽ r, ρn ⩾ ρ. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ìîíîòîííîñòü ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ïðè ðàöèîíàëüíûõ ñòåïåíÿõ è ïðåäåëüíûé ïåðåõîä
â íåðàâåíñòâàõ, ïîëó÷èì:
Äîêàçàòåëüñòâî.
ax = lim arn ⩽ ar < aρ ⩽ lim aρn = ay ⇒ ax < ay .
n→∞
n→∞
Ñëó÷àé 0 < a < 1 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
2. ax > 0, ∀x ∈ R;
Ïóñòü x ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Íàéä¼ì r ∈ Q, r < x. Ïî ñâîéñòâó ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè, íà ìíîæåñòâå
ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ar > 0. Ïî ñâîéñòâó 1.:
Äîêàçàòåëüñòâî.
ax > ar > 0a .
a Âåðíî ïðè a > 1. Ñëó÷àé 0 < a < 1 ïðèâîäèòñÿ ê äàííîìó, ïåðåõîäîì ê
3. Ïðè a > 1 ïîëó÷àåì: lim ax = 0, lim ax = +∞.
x→−∞
x→+∞
1
.
a
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ è ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ
88
>0
Äîêàçàòåëüñòâî.
©
Ò.ê. a > 1, òî a = 1 + δ è an = (1 + δ)n > n δ ÐÐÐ→ +∞. Ïîýòîìó,
n→∞
â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè y = ax ïîëó÷àåì, ÷òî
lim ax = +∞.
x→+∞
Äàëåå, ò.ê. a−n =
1
,
an
òî lim a−n = 0 ⇒ lim ax = 0a .
n→∞
x→−∞
a Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî E[ax ] = (0, +∞).
y
4. ax ⋅ ay = ax+y ; (a ⋅ b)x = ax ⋅ bx ; (ax ) = axy ;
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü r
n
→ x, ρn → y . Òîãäà
ax ⋅ ay = lim arn ⋅ lim aρn = lim (arn ⋅ aρn ) = lim (arn +ρn ) = ax+y a .
Ïóñòü r
n
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
→ x. Òîãäà
(ab)x = lim (ab)rn = lim arn ⋅ lim brn = ax bx .
n→∞
n→∞
n→∞
Ïóñòü a > 1, x > 0, y > 0, r ↑ x, r ↓ x, , ρ ↑ y, ρ ↓ y. Òîãäà
′
n
′
′
′
′
′′
n
′
n
′
′′
n
′′
′′
′′
′′ ′′
axy ← arn ρn = (arn )ρn ⩽ (ax )ρn ⩽ (ax )y ⩽ (ax )ρn ⩽ (arn )ρn = arn ρn → axy .
Ñëåäîâàòåëüíî, (ax )y = axy . Ñëó÷àè äðóãèõ çíàêîâ x è y ðàññìàòðè1
âàþòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïðè 0 < a < 1 ïîëó÷àåì, ax = (1/a)
x.
a Îòñþäà ïîëó÷àåì, ax ⋅ a−x = a0 = 1 ⇒ a−x =
1
.
ax
5. Ôóíêöèÿ ax íåïðåðûâíà íà R.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàïèøåì íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè â âèäå:
∣arn − 1∣ ⩽ 2 ∣rn ∣ (a − 1), ãäå rn ÐÐÐ→ x, ∣x∣ ⩽ 1.
n→∞
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ýòîì ðàâåíñòâå, ïîëó÷èì:
∣ax − 1∣ ⩽ 2 ∣x∣ (a − 1), a > 1, ∣x∣ ⩽ 1.
Èòàê, ïóñòü a > 1 è x0 ∈ R ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Òîãäà
∣ax0 +∆x − ax0 ∣ = ax0 ∣a∆x − 1∣ ⩽ ax0 2 ∣∆x∣ (a − 1) ÐÐÐ→ 0.
∆x→0
Ñëó÷àé 0 < a < 1 ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ a > 1 ñòàíäàðòíûì îáðàçîì.
2
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ è ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ.
Ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè y = ax (0 < a ≠ 1), íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé.
Îáîçíà÷åíèå: loga x.  ñëó÷àå a = e îáîçíà÷åíèå: ln x.
Îïðåäåëåíèå.
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ è ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ
89
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ loga x ∶ (0, +∞) ↦ (−∞, +∞) ñòðîãî ìîíîòîííà è íåïðåðûâíà íà (0, +∞). Îáëàñòü å¼ çíà÷åíèé åñòü (−∞, +∞).
Òåîðåìà 33.
Óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè
(òåîðåìà 1) è òåîðåìû îá îáðàòíîé ôóíêöèè. Èç ýòèõ òåîðåì òàêæå âûòåêàåò, ÷òî
ôóíêöèÿ loga x ñòðîãî óáûâàåò îò +∞ äî −∞, ïðè 0 < a < 1; è ñòðîãî âîçðàñòàåò îò −∞
äî +∞, ïðè a > 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç òîãî, ÷òî ïîêàçàòåëüíàÿ è ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè,
âûòåêàþò òîæäåñòâà:
aloga x = x, loga ax = x.
Ïóñòü 0 < a ≠ 1. Ïî îïðåäåëåíèþ îáðàòíîé ôóíêöèè loga x ýòî òàêîå ÷èñëî y , ÷òî ay = x.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷òîáû äîêàçàòü ðàâåíñòâî loga x = y , ñëåäóåò ïðîâåðèòü, ÷òî ay = x.
Ïóñòü 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1 òîãäà
Òåîðåìà 34. (ñâîéñòâà ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè).
âûïîëíåíû òîæäåñòâà:
1. loga (xy) = loga x + loga y , ∀x, y > 0;
Äîêàçàòåëüñòâî.
aloga x+loga y = aloga x ⋅ aloga y = xy.
2. loga xα = α loga x, ∀x > 0, α ∈ R;
Äîêàçàòåëüñòâî.
α
aα loga x = (aloga x ) = xα .
 ÷àñòíîñòè,
3. loga x =
logb x
,
logb a
loga
1
x
= − loga x.
∀x > 0;
Äîêàçàòåëüñòâî.
loga x
bloga x⋅logb a = (blogb a )
ò.å. logb a ⋅ loga x = logb x.
 ÷àñòíîñòè,
= aloga x = x,
loga b =
1
.
logb a
Ïóñòü α ∈ R. Ôóíêöèÿ x ↦ xα : (0, +∞) ↦ (0, +∞) íàçûâàåòñÿ ñòåïåííîé
ôóíêöèåé ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè α.
Îïðåäåëåíèå.
Ñòåïåííóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
α
xα = (eln x ) = eα ln x .
Ïî òåîðåìå î íåïðåðûâíîñòè êîìïîçèöèè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (0, +∞).
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè
90
Ïðè α > 0 ñòåïåííóþ ôóíêöèþ äîîïðåäåëÿþò íóë¼ì â òî÷êå 01 . Òîãäà îíà ñòàíîâèòñÿ íåïðåðûâíîé íà [0, +∞).
Ôóíêöèÿ xα ìîæåò îêàçàòüñÿ îïðåäåë¼ííîé ïðè íåêîòîðûõ α ≠ 0 è äëÿ x < 0. Íàïðèìåð, x±n ,
1
x± 2n−1 , n ∈ N.
3
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè.
Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ øêîëüíûì îïðåäåëåíèåì êîñèíóñà è ñèíóñà êàê àáñöèññû è îðäèíàòû
òî÷êè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, à òàêæå âñåìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôîðìóëàìè, âûâåäåííûìè íà åãî îñíîâå.
Ïîëíîòà ýòîãî îïðåäåëåíèÿ çàâèñèò îò òîãî, íàñêîëüêî ñòðîãî îïðåäåëåíî
ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè (òî÷êàìè ÷èñëîâîé ïðÿìîé) è
òî÷êàìè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè (¾óãëàìè¿, ¾ïîâîðîòàìè¿ è ò.ï.). Îáðàòèâ
âíèìàíèå íà èìåþùèéñÿ â øêîëüíîì îïðåäåëåíèè ¾ïðîáåë¿, ìû íå áóäåì
î÷åíü ãëóáîêî èçó÷àòü äàííûé âîïðîñ, è òîëüêî îòìåòèì, ÷òî åñòü íåñêîëüêî
ïðèíöèïèàëüíûõ âîçìîæíîñòåé åãî ëèêâèäèðîâàòü (íå îïèðàÿñü, ðàçóìååòñÿ íà ñëåäñòâèÿ ¾øêîëüíîãî¿ îïðåäåëåíèÿ, ÷òîáû íå ïîïàñòü â ïîðî÷íûé
êðóã). Ýòî âîçìîæíîñòè äàþòñÿ ïîíÿòèÿìè
Ëåììà.
Åñëè 0 < x <
Äîêàçàòåëüñòâî.
π
,
2
èíòåãðàëîâ è ðÿäîâ.
òî sin x < x < tg x.
Èçîáðàçèì åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü è óãîë â x ðàäèàí. Èç ðèñóíêà
âèäíî:
△OAD ⊂ ÂOAD ⊂ △OCD Ô⇒ S△OAD ⩽ SÂOAD ⩽ S△OCD
S△OAD =
1
2
∣OD∣ ⋅ ∣AB∣ =
² ±
=1
1
2
sin x; SÂOAD =
=sin x
1
2
∣OA∣2 x = 12 x; S△OCD =
²
=1
1
2
∣OD∣ ∣CD∣ =
²²
=1
(∗)
1
2
tg x.
=tg x
Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé è íåðàâåíñòâà (∗) âûòåêàåò òðåáóåìîå.
Ñëåäñòâèå 1. Íåðàâåíñòâî ∣ sin x∣ ⩽ ∣x∣ âûïîëíÿåòñÿ ïðè ∀x ∈ R, ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî
èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè x = 0.
Ïðè x ∈ (0, π2 ) ñòðîãîå íåðàâåíñòâî äîêàçàíî â ëåììå. Åñëè x ⩾ π2 , òî
⩽ x. Åñëè æå x < 0, òî −x > 0, è ïî äîêàçàííîìó ∣ sin x∣ = ∣ sin (−x)∣ < ∣ − x∣ =
Äîêàçàòåëüñòâî.
∣ sin x∣ ⩽ 1 <
∣x∣.
π
2
Ñëåäñòâèå 2. Ôóíêöèè ñèíóñ è êîñèíóñ íåïðåðûâíû íà R.
Äîêàçàòåëüñòâî.
∀x0 ∈ R èìååì:
0
0
∣⩽2⋅
∣ sin x − sin x0 ∣ = ∣2 ⋅ sin x−x
⋅ cos x+x
2
2
1 lim ln x = −∞, e−∞ = 0.
x→0+0
∣x−x0 ∣
2
⋅ 1 = ∣x − x0 ∣ ÐÐÐ→ 0.
x→x0
Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè
91
Íåïðåðûâíîñòü cos äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî, èëè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ
cos x = sin ( π2 − x) è òåîðåìû î íåïðåðûâíîñòè êîìïîçèöèè.
Ñëåäñòâèå 3. Ôóíêöèè
tg x ∶=
sin x
,
cos x
x ∈ R ∖ { π2 + πn, n ∈ Z} è ctg x ∶=
cos x
,
sin x
x ∈ R ∖ {πn, n ∈ Z}
íåïðåðûâíû íà ñâîèõ îáëàñòÿõ îïðåäåëåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
4
Ïî òåîðåìå î íåïðåðûâíîñòè ÷àñòíîãî.
Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè.
Ôóíêöèÿ sin : R ↦ [−1, 1] íå ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìîé, ò.ê. ïðèíèìàåò âñå ñâîè çíà÷åíèÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Íî ñóæåíèå ñèíóñà íà îòðåçîê [− π2 , π2 ]:
sin ∣
[−
π π
, ]
2 2
∶ [− π2 , π2 ] ↦ [−1, 1]
ñòðîãî âîçðàñòàåò, è ïîýòîìó îáðàòèìî.
Îïðåäåëåíèå.
Ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê ñóæåíèþ ñèíóñà íà îòðåçîê [− π2 , π2 ] íàçûâàåòñÿ
àðêñèíóñîì
−1
arcsin ∶= (sin ∣
π π )
[− , ]
2 2
,
arcsin ∶ [−1, 1] ↦ [− π2 , π2 ] .
Ïî òåîðåìå î ñóùåñòâîâàíèè è íåïðåðûâíîñòè îáðàòíîé ôóíêöèè, ôóíêöèÿ àðêñèíóñ
ñòðîãî âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà íà [−1, 1]2 .
Îïðåäåëåíèå.
Ïåðå÷èñëèì îñòàâøèåñÿ îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè:
arccos ∶= (cos ∣
[0,π]
)
−1
,
arccos ∶ [−1, 1] ↦ [0, π] ;
−1
arctg ∶= (tg ∣
π π )
(− , )
2 2
arcctg ∶= (ctg ∣
,
arctg ∶ (−∞, +∞) ↦ (− π2 , π2 ) ;
,
arcctg ∶ (−∞, +∞) ↦ (0, π) .
−1
(0,π)
)
Ïî òåîðåìå î ñóùåñòâîâàíèè è íåïðåðûâíîñòè îáðàòíîé ôóíêöèè, âñå ýòè ôóíêöèè íåïðåðûâíû
âî âñåõ òî÷êàõ ñâîèõ îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿ.
arccos è arcctg ñòðîãî óáûâàþò, à arctg, ñòðîãî âîçðàñòàåò.
Èçîáðàçèòå â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè sin,
cos, tg, ctg è îáðàòíûå ê íèì.
Óïðàæíåíèå.
Óïðàæíåíèå.
arctg y íà R.
Ïðîâåä¼ì íåçàâèñèìîå äîêàçàòåëüñòâî íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè x =
2  òî÷êàõ x = −1 è x = 1 íåïðåðûâíîñòü ïîíèìàåòñÿ êàê îäíîñòîðîííÿÿ.
Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè
Ïóñòü y0 ∈ (−∞, +∞) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, à x0 = arctg y0 . Âûáåðåì
∀ε > 0 : [x0 − ε, x0 + ε] ⊂ (− π2 , π2 ).
Äàëåå, åñëè x0 −ε = arctg (y0 − δ1 ) è x0 +ε = arctg (y0 + δ2 ), òî ââèäó âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè
x = arctg y ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè ∀y ∈ (y0 − δ1 , y0 + δ2 ) áóäåì èìåòü:
Äîêàçàòåëüñòâî.
x0 − ε < arctgy < x0 + ε.
Èòàê, âûïîëíÿåòñÿ ∣arctgy − arctgy0 ∣ < ε, åñëè −δ1 < y − y0 < δ2 , è òåì áîëåå, åñëè
∣y − y0 ∣ < δ = min{δ1 , δ2 }, ÷òî è ïðîâåðÿåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè x = arctgy â òî÷êå
y0 ∈ R.
Èòàê, ìû îïðåäåëèëè 11 îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, è äîêàçàëè èõ íåïðåðûâíîñòü.
Ââèäó òîãî, ÷òî àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè è êîìïîçèöèÿ íå âûâîäÿò èç êëàññà íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé, âåðíà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 35.
Âñå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû íà ñâîèõ îáëàñòÿõ îïðåäåëåíèÿ.
92
Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ñðàâíåíèå ôóíêöèé
5
93
Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ñðàâíåíèå ôóíêöèé.
Ç1. lim
x→0
sin x
x
= 1;
Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó ëåììû ïðè x ∈ (0, π2 ) ïîëó÷àåì:
cos x <
sin x
x
< 1.
 ñèëó ÷¼òíîñòè âñåõ ýòèõ ôóíêöèé, çàêëþ÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü äàííîãî íåðàâåíñòâà
íà (− π2 , π2 ) ∖ {0}. Îòêóäà, è èç òåîðåìû î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ, âûòåêàåò òðåáóåìîå.
Ñëåäñòâèå 1. Âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
lim
x→0
Ç2. lim (1 + x)
1/x
x→0
1−cos x
x2
= 21 ;
lim
x→0
tg x
x
= 1;
lim
x→0
arcsin x
x
x
lim arctg
= 1.
x
= 1;
x→0
= e;
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } : lim xk = 0 + 0a . Ïîêàæåì, ÷òî
k→∞
lim (1 + xk )1/xk = e. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî xk < 1. Ïî òåîðåìå
k→∞
Àðõèìåäà:
∃nk ∈ N ∶ nk ⩽
Îòêóäà, (1 +
(1 +
nk
1
)
nk +1
nk
1
)
nk +1
(1 +
1
xk
< nk + 1 ⇐⇒
< (1 + xk )1/xk < (1 +
1
nk +1
< xk ⩽
1
.
nk
nk +1
1
).
nk
nk +1
−1
1
)
(1 + n 1+1 ) ÐÐÐ→
nk +1
k
k→∞
nk +1
nk
1
1
1
)
=
(1
+
)
(1
+
)
Ð
ÐÐ→
nk
nk
nk
k→∞
= (1 +
e
e
Ô⇒ lim (1 + xk )1/xk = e.
î→∞
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè xk → 0 + 0, çàêëþ÷àåì, ÷òî lim (1 + x)1/x = e.
x→0+0
Ïóñòü òåïåðü xk → 0 − 0. Ïîëîæèì yk = −xk , òîãäà yk → 0 + 0. Áóäåì ñ÷èòàòü 0 < yk < 1.
Òîãäà:
1/yk
1
(1 + xk )1/xk = (1 − yk )−1/yk = ( 1−y
)
k
= (1 +
yk
)1/yk
1−yk
1
= b = (1 + zk ) zk
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè xk → 0 − 0, çàêëþ÷àåì, ÷òî lim (1 + x)1/x = e.
x→0−0
a Ò.å. lim x = 0 è x > 0.
k
k
k→∞
b Ïóñòü z = yk > 0 ⇒ z ÐÐÐ→ 0 + 0.
k
k
1−y
k
k→∞
1
zk
=
1−yk
yk
=
1
yk
−1⇒
1
yk
=
1
zk
+ 1.
+1
→e.
Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ñðàâíåíèå ôóíêöèé
x
Ñëåäñòâèå 2. lim (1 + x1 ) = {y =
x→∞
Ç3. lim
x→0
ln (1+x)
x
1
x
94
→ 0} = lim (1 + y)1/y = e.
y→0
= 1;
Äîêàçàòåëüñòâî.
lim
x→0
ln (1+x)
x
= lim ln (1 + x)1/x = a = ln (lim (1 + x)1/x ) = ln e = 1.
x→0
x→0
a Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè ln â òî÷êå e è òåîðåìà î ïðåäåëå êîìïîçèöèè.
Óïðàæíåíèå.
Óñòàíîâèòå ïðåäåë Ç3, íå èñïîëüçóÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè ln.
Ñëåäñòâèå 3. Ò.ê.
Ç4. lim
x→0
ax −1
x
loga (x+1)
x
ln (1+x)
,
x⋅ln a
=
òî lim
x→0
loga (x+1)
x
=
1
,
ln a
0 < a ≠ 1;
= ln a, 0 < a ≠ 13 ;
Äîêàçàòåëüñòâî.
lim
x→0
Çàì.
Ç5. lim
x→0
ax −1
x
x→0
ex −1
x
t→0
a
t
(t+1)
= {Ç3} = ln a.
= 1.
= a, a ∈ R.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðè x → 0:
x→0
 ÷àñòíîñòè, lim
(1+x)a −1
x
Çàì.
= {ax − 1 = t ÐÐ→ 0, x = loga (t + 1)} = lim log
(1+x)a −1
x
=
ea ln (1+x) −1
a ln (1+x)
Íàéäåííûå çàìå÷àòåëüíûå
àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàâåíñòâ:
⋅
a ln (1+x)
ÐÐ→
x
x→0
ïðåäåëû
1 ⋅ a = a.
ìîæíî
çàïèñàòü
â
âèäå
sin x ∼ tg x ∼ arcsin x ∼ arctgx ∼ ln (1 + x) ∼ x;
1 − cos x ∼
x2
,
2
ex − 1 ∼ x,
(1 + x)a − 1 ∼ a x.
Èëè, ò.ê. ñîîòíîøåíèÿ f ∼ g , f = g + o(g) è f = g + o(f ) ðàâíîñèëüíû, ïîëó÷àåì:
sin x = x + o(x); tg x = x + o(x); arcsin x = x + o(x); arctgx = x + o(x);
3 Ïðè a = 1 äîêàçûâàåìîå òîæäåñòâî òðèâèàëüíî.
Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ñðàâíåíèå ôóíêöèé
ln (1 + x) = x + o(x); cos x = 1 −
x2
2
+ o(x); ex = 1 + x + o(x);
(1 + x)a = 1 + ax + o(x).
95
Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå
1
Ïîíÿòèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïðîèçâîäíîé.
 îñíîâå äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ è åãî ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé
ëåæèò èäåÿ ïðèáëèæ¼ííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x + ∆x) (îò ïðèðà-
ùåíèÿ ∆x) ëèíåéíîé ôóíêöèåé y = A∆x + B èëè áîëåå îáùî, ìíîãî÷ëåíîì îò
∆x. Äëÿ øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðàçóìíî îïðåäåëèòü òàêèå ïðèáëèæåíèÿ, è íà ýòîé îñíîâå ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå âàæíûå
ðåçóëüòàòû.
Ïóñòü f ∶ (a, b) ↦ R, x0 ∈ (a, b) ïðîèçâîëüíàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, à ∆x ïðîèçâîëüíîå
÷èñëî (ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà) òàêîå, ÷òî x0 + ∆x ∈ (a, b).
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå x0 , åñëè ñóùåñòâóåò
òàêîå A ∈ R, ÷òî ïðèðàùåíèå ôóíêöèè f â òî÷êå x0 , ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A ∆x + o(∆x), ïðè ∆x → 0.
(∗)
(∗) ⇐⇒ f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A ∆x + α(∆x) ∆x,
ãäå lim α(∆x) = 0.
∆x→0
Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 , åñëè èçìåíåíèå å¼
çíà÷åíèÿ â îêðåñòíîñòè äàííîé òî÷êè ëèíåéíî ñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íî
ìàëîé ïîïðàâêè.
×èñëî f (x0 +∆x)−f (x0 ) íàçûâàåòñÿ ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè f â òî÷êå x0 , ñîîòâåòñòâóþùèì
ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà ∆x. Îáîçíà÷åíèå: ∆x0 f (∆x).
Îïðåäåëåíèå. Äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè f â òî÷êå x0 íàçûâàåòñÿ, âõîäÿùàÿ â ðàâåíñòâî (∗) ëèíåéíàÿ îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ A ∆x îò ïåðåìåííîãî ïðèðàùåíèÿ ∆x. Îáîçíà÷åíèå: dx0 f (∆x).
Äèôôåðåíöèàë íàèëó÷øàÿ ëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè.
Çàì.
Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè â òî÷êå îïðåäåë¼í îäíîçíà÷íî, èáî èç (∗) ñëåäóåò
(x0 )
lim f (x0 +∆x)−f
= lim (A + o(∆x)
) = A,
∆x
∆x
∆x→0
∆x→0
è îäíîçíà÷íîñòü äèôôåðåíöèàëàa ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè ïðåäåëà.
a Ôàêòè÷åñêè, îäíîçíà÷íîñòü êîíñòàíòû A.
96
ÃËÀÂÀ
VII
Ñåêöèÿ 1. Ïîíÿòèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïðîèçâîäíîé
Ñåêöèÿ
2.
Ãåîìåòðè÷åñêèé
ñìûñë ïðîèçâîäíîé
Ñåêöèÿ 3. Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
Ñåêöèÿ 4. Äèôôåðåíöèðîâàíèå
ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè
Ñåêöèÿ 5. Ïðîèçâîäíûå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 6. Îñíîâíûå òåîðåìû
äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ
Ñåêöèÿ 7. Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
Ñåêöèÿ 8. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ
ïîðÿäêîâ
Ñåêöèÿ 9. Ôîðìóëà Òåéëîðà
Ïîíÿòèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïðîèçâîäíîé
Îïðåäåëåíèå.
Âåëè÷èíà f ′ (x0 ) = lim
∆x→0
f â òî÷êå x0 a .
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
97
íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
a Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè f â òî÷êå x .
0
Âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé ìîæíî ïåðåïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå:
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
= f ′ (x0 ) + α(∆x),
ãäå α(∆x) ÐÐÐ→ 0, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ðàâíîñèëüíî ñîîòíîøåíèþ
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f ′ (x0 )∆x + o(∆x),
∆x → 0.
(∗∗)
Ñîïîñòàâëÿÿ ðàâåíñòâà (∗) è (∗∗) çàêëþ÷àåì, ÷òî äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè â òî÷êå x0
ðàâíîñèëüíà íàëè÷èþ ó íå¼ ïðîèçâîäíîé â ýòîé òî÷êå. Äèôôåðåíöèàë ïðè ýòîì çàïèñûâàåòñÿ
â âèäå:
dx0 f (∆x) = f ′ (x0 )∆x.
Êðèòåðèé äèôôåðåíöèðóåìîñòè.
 ñèëó òîãî, ÷òî ïðè f ′ (x0 ) = A ≠ 0, ïîëó÷àåì:
¾Êîíñòàíòà¿ A ýòî ôàêòè÷åñêè
ôóíêöèÿ îò x0 .
lim
∆x→0
o(∆x)
o(∆x)
= lim
= 1 = 0.
dx0 f (∆x) ∆x→0 f ′ (x0 ) ∆x
Ñëåäîâàòåëüíî, o(∆x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì dx0 f (∆x), è ñëàãàåìîå
f ′ (x0 ) ∆x ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé ÷àñòüþ, à o(∆x) áåñêîíå÷íî ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ íèì. Íà ýòîì
îñíîâàíèè äèôôåðåíöèàë dx0 f (∆x) îïðåäåëÿþò êàê ãëàâíóþ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè f â
òî÷êå x0 , ëèíåéíóþ îòíîñèòåëüíî ∆x.
Ïðèìåð 1.1.
Ïóñòü f (x) = x. Òîãäà
f ′ (x) = lim
∆x→0
x+∆x−x
∆x
= 1 è dx f (∆x) = 1 ⋅ ∆x = ∆x,
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=dx(∆x)=dx
ò.å. äèôôåðåíöèàë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, x ñîâïàäàåò ñ åãî ïðèðàùåíèåì (dx = ∆x).
Ñëåäîâàòåëüíî,
df
dx f (∆x) = f ′ (x) dx èëè f ′ (x) = dx
.
Òåîðåìà 36. (íåîáõîäèìîå óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè).
f ′ (x) îáîçíà÷åíèå Ëàãðàíæà,
df
dx
îáîçíà÷åíèå Ëåéáíèöà.
Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåí-
öèðóåìà â òî÷êå x0 , òî îíà íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 , òî
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f ′ (x0 )∆x + o(∆x) ÐÐÐ→ 0.
∆x→0
Ñëåäîâàòåëüíî, lim f (x0 + ∆x) = f (x0 ), ò.å. f ∈ C(x0 ).
∆x→0
Ïðèìåð 1.2.
f (x) = ∣x∣ ∈ C(R). Îäíàêî,
lim
∆x→0±0
∣∆x∣−0
∆x
a Èç êðèòåðèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà.
1 lim o(∆x) = 0, f ′ (x ) ≠ 0.
0
∆x
∆x→0
= ±1 Ô⇒ ∄f ′ (0)a .
Ðàçíîñòíàÿ ôîðìà óñëîâèÿ
íåïðåðûâíîñòè.
Ïîíÿòèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïðîèçâîäíîé
Ïðèìåð 1.3.
98
f (x) = x ⋅ sin x1 ∈ C(R). Îäíàêî,
f ′ (0) = lim
∆x→0
1
−0
∆x
∆x
∆x sin
1
= lim sin ∆x
Ô⇒ ∄f ′ (0).
∆x→0
Äàííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî èç íåïðåðûâíîñòè íå ñëåäóåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü.
Áîëåå òîãî, åñòü ïðèìåðû íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íå äèôôåðåíöèðóåìûõ íè â îäíîé òî÷êå
ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ïðàâîé
(ëåâîé ) ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå x0 íàçûâàåòñÿ ïðàâûé
f (∆x)
(x0 )
(ëåâûé) ïðåäåë ïðè ∆x → 0 ðàçíîñòíîãî îòíîøåíèÿ x0∆x
= f (x0 +∆x)−f
(ïðè
∆x
′
′
óñëîâèè, ÷òî äàííûé ïðåäåë ñóùåñòâóåò). Îáîçíà÷åíèå: f+ (x0 ) (f− (x0 )).
∆
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå:
Óòâåðæäåíèå 1.1.
1. Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå x0 ïðîèçâîäíóþ f ′ (x0 ), òî ∃f+′ (x0 ) è ∃f−′ (x0 ),
ïðè÷¼ì: f ′ (x0 ) = f−′ (x0 ) = f+′ (x0 );
2. Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå x0 îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå f+′ (x0 ) è f−′ (x0 ),
ðàâíûå äðóã äðóãó, òî ∃f ′ (x0 ), è f ′ (x0 ) = f−′ (x0 ) = f+′ (x0 ). Åñëè æå f−′ (x0 ) ≠ f+′ (x0 ),
òî ∄f ′ (x0 ).
Îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé
2
99
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé.
Ïóñòü
f ∶ (a, b) ↦ R,
x0 ∈ (a, b) è y0 = f (x0 ).
Ïóñòü òàêæå f ∈ C(x0 ) è M0 = (x0 , y0 ). Âîçüì¼ì íà ãðàôèêå ôóíêöèè f òî÷êó
M1 = (x1 ; y1 ), ãäå (a, b) ∋ x1 ≠ x0 , y1 = f (x1 ). Ïðîâåä¼ì ïðÿìóþ M0 M1 , êîòîðóþ
áóäåì íàçûâàòü ñåêóùåé. Óðàâíåíèå ïðÿìîé M0 M1 :
y = y0 + kñåê (x − x0 ),
ãäå kñåê =
y1 −y0
x1 −x0
= tg αñåê
óãëîâîé êîýôôèöèåíòa ñåêóùåé.
Ïðè ïðèáëèæåíèè òî÷êè M1 ê M0 ñåêóùàÿ ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã òî÷êè
M0 . Ðàññìîòðèì ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé ïðè M1 → M0 b .
a tg óãëà íàêëîíà
b Èëè, ÷òî òîæå ñàìîå, ïðè x → x .
1
0
Îïðåäåëåíèå.
Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë kêàñ = lim kñåê , òî ïðÿìóþ, ïðîõîäÿx1 →x0
ùóþ ÷åðåç òî÷êó M0 è èìåþùóþ óãëîâîé êîýôôèöèåíò kêàñ , íàçûâàþò êàñàòåëüíîé ê
ãðàôèêó ôóíêöèè f â òî÷êå M0 = (x0 , y0 ).
Åñëè f ∈ C(x0 ) è ïðåäåë kêàñ = ±∞, òî âåðòèêàëüíîé êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f â
òî÷êå M0 íàçûâàþò ïðÿìóþ x = x0
Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ y = sgnx ⋅
êàñàòåëüíóþ x = 0.
Çàäà÷à 1.
√
∣x∣ èìååò â òî÷êå (0, 0) âåðòèêàëüíóþ
Ïî îïðåäåëåíèþ è ñêàçàííîìó âûøå ñóùåñòâîâàíèå íå âåðòèêàëüíîé êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f â òî÷êå M0 (ò.å. ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî
ïðåäåëà kêàñ ) ðàâíîñèëüíî äèôôåðåíöèðóåìîñòè f â òî÷êå x0 . Ïðè ýòîì:
y1 −y0
x1 →x0 x1 −x0
kêàñ = tg αêàñ = lim
= f ′ (x0 ).
Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðîèçâîäíàÿ åñòü óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé,
èëè òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé.
óðàâíåíèå íå âåðòèêàëüíîé êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f â òî÷êå
M0 = (x0 , y0 ) èìååò âèä:
y = y0 + f ′ (x0 )(x − x0 ).
Ïîýòîìó,
′
′
Åñëè x0 ∈ (a, b), à f− (x0 ) è f+ (x0 ) ñóùåñòâóþò è ðàçëè÷íû, òî ðàçëè÷íû è
a
îäíîñòîðîííèå êàñàòåëüíûå , à ãðàôèê ôóíêöèè f â òî÷êå x0 èìååò èçëîì.
Ðàññìîòðèòå, íàïðèìåð, ôóíêöèþ
y = ∣x∣.
 ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç îäíîñòîðîííèõ ïðîèçâîäíûõ ðàâíà −∞, à äðóãàÿ
Ðàññìîòðèòå, íàïðèìåð, ôóíêöèþ
b
ðàâíà +∞, òîãäà îáå îäíîñòîðîííèå êàñàòåëüíûå âåðòèêàëüíû , íî èçëîì íà
ãðàôèêå âñ¼ ðàâíî åñòü, ïîýòîìó ìû ñ÷èòàåì, ÷òî
ãðàôèê íå èìååò êàñàòåëüíîé
â òî÷êå x0 .
a Ëåâàÿ è ïðàâàÿ êàñàòåëüíûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëó÷è, èìåþùèå óðàâíåíèÿ:
y = y0 + f±′ (x0 )(x − x0 )
ïðèáëèæ¼ííî ïðåäñòàâëÿþùèå f â ïðàâîé è ëåâîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .
b È ôàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîì
y=
√
∣x∣.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé
100
Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 . Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî
ôóíêöèé
ℓk (x) = f (x0 ) + k ⋅ (x − x0 ),
ãäå ïàðàìåòð k ïðèíèìàåò ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Èõ ãðàôèêè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó (x0 , f (x0 )).
Ò.ê. ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 , òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) ⋅ (x − x0 ) + o(x − x0 ),
x → x0 .
Ïîýòîìó ïîëó÷àåì:
f (x) − ℓk (x) = (f ′ (x0 ) − k) ⋅ (x − x0 ) + o(x − x0 ),
x → x0 .
′
Åñëè k = f (x0 ), òî ðàçíîñòü f (x) − ℓk (x) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ áûñòðåå ðàçíîñòè
x − x0 ïðè x → x0 a , à äëÿ äðóãèõ k ∈ R îíà èìååò òîò æå ïîðÿäîê ìàëîñòè, ÷òî
è (x − x0 ). Ïîýòîìó, ïðÿìàÿ
y = f (x0 ) + f ′ (x0 ) ⋅ (x − x0 )
äà¼ò
íàèìåíüøåå îòêëîíåíèå îò ãðàôèêà ôóíêöèè f âáëèçè òî÷êè x0 . Äàííîå ñâîé-
b èíîãäà ïðèíèìàþò çà îïðåäåëåíèå êàñàòåëüíîé (íå âåðòèêàëüíîé) ê
ñòâî
ãðàôèêó ôóíêöèè. Ïðè ýòîì ãîâîðÿò: êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ
÷åðåç òî÷êó êðèâîé è ñîâïàäàþùàÿ ñ íåé â ýòîé òî÷êå ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðâîãî ïîðÿäêà.
a Ò.å. f (x) − ℓ (x) = o(x − x ), x → x , åñëè ℓ (x) = f (x ) + f ′ (x ) ⋅ (x − x ).
0
0
0
0
0
k
k
b f (x) − ℓ(x) = o(x − x ), x → x
0
0
Ãåîìåòðè÷åñêèì ñìûñëîì äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè f â òî÷êå x0 ÿâëÿåòñÿ
òî, ÷òî îí ðàâåí ïðèðàùåíèþ, êîòîðîå ïîëó÷àåò êàñàòåëüíàÿ ïðè ïåðåõîäå
èç òî÷êè x0 â òî÷êó x0 + ∆x.
Äðóãàÿ òî÷êà çðåíèÿ íà
êàñàòåëüíûå.
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
3
101
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Ïðîèçâîäíóþ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ìîæíî íàõîäèòü, âû÷èñëÿÿ
ïðåäåë ðàçíîñòíîãî îòíîøåíèÿ. Îäíàêî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ
äàííûé ìåòîä íåóäîáåí. Óñòàíîâèì ñâÿçü îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñ
äðóãèìè îïåðàöèÿìè, ïðîèçâîäèìûìè íàä ôóíêöèÿìè: àðèôìåòè÷åñêèìè
è êîìïîçèöèåé, à òàêæå âûâåäåì ôîðìóëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îáðàòíîé
ôóíêöèè.
Òåîðåìà 37. (äèôôåðåíöèðîâàíèå è àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè).
Ïóñòü ôóíêöèè
f, g ∶ E → R
äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå x ∈ E, à α, β ∈ R íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Òîãäà ëèíåéíàÿ
êîìáèíàöèÿ, ïðîèçâåäåíèå è ÷àñòíîå ýòèõ ôóíêöèé (ïðè óñëîâèè g(x) ≠ 0) òàêæå äèôôåðåíöèðóåìû â äàííîé òî÷êå. Ïðè÷¼ì ñïðàâåäëèâî:
1. (αf ± βg)′ (x) = αf ′ (x) ± βg ′ (x);
2. (f ⋅ g)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x);
′
f ′ (x)g(x)−f (x)g ′ (x)
,
g 2 (x)
3. ( fg ) (x) =
g(x) ≠ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1.
(αf ± βg)′ (x) = lim
(αf (x+∆x)±βg(x+∆x))−(αf (x)±βg(x))
∆x
∆x→0
= α lim
∆x→0
2.
f (x+∆x)−f (x)
∆x
± β lim
∆x→0
(f ⋅ g)′ (x) = lim
∆x→0
g(x+∆x)−g(x)
∆x
=
= αf ′ (x) ± βg ′ (x).
f (x+∆x)⋅g(x+∆x)−f (x)⋅g(x)
∆x
=
±f (x) ⋅ g(x + ∆x).
(x)
= lim ( f (x+∆x)−f
⋅ g(x + ∆x) + f (x) ⋅
∆x
∆x→0
g(x+∆x)−g(x)
)
∆x
=
= f ′ (x) ⋅ g(x) + f (x) ⋅ g ′ (x)a ;
3.
′
f (x+∆x) f (x)
−
g(x+∆x) g(x)
∆x
∆x→0
( fg ) (x) = lim
= lim
f (x+∆x)⋅g(x)−g(x+∆x)⋅f (x)
(g(x+∆x)⋅g(x))∆x
∆x→0
=
±f (x) ⋅ g(x).
=
1
lim
∆x→0 g(x+∆x)⋅g(x)
(x)
( f (x+∆x)−f
g(x)
∆x
=
−
g(x+∆x)−g(x)
f (x))
∆x
=
f ′ (x)g(x)−f (x)g ′ (x)
.
g 2 (x)
a Èñïîëüçîâàíî òî, ÷òî ôóíêöèÿ g áóäó÷è äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå x ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â ýòîé òî÷êå.
Òåîðåìà 38. (äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè).
f ∶ (a, b) ↦ (c, d),
g ∶ (c, d) ↦ R,
Ïóñòü
x ∈ (a, b).
Öåïíîå ïðàâèëî (chain rule).
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
102
Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, à g äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå f (x), òî
èõ êîìïîçèöèÿ g ○ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, è
′
(g(f (x))) = (g ○ f )′ (x) = g ′ (f (x)) ⋅ f ′ (x).
Ïðèäàäèì àðãóìåíòó ôóíêöèè f äàííîé òî÷êå x ïðèðàùåíèå ∆x ≠ 0.
Ýòîìó ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà îòâå÷àåò ïðèðàùåíèå ∆f = f (x + ∆x) − f (x) ôóíêöèè
f . Ïðèðàùåíèþ ∆f , â ñâîþ î÷åðåäü, ñîîòâåòñòâóåò ïðèðàùåíèå ∆g = g(f + ∆f ) − g(f ).
Ò.ê. ôóíêöèÿ g äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå f , òî ∆g ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå:
Äîêàçàòåëüñòâî.
∶∆x
¬ ∆g
∆g = g (f )∆f + o(∆f ) ⇐⇒ ∆x
= g ′ (f ) ∆f
+
∆x
′
∆f
∆x→0 ∆x
= α(∆f ) ⋅
(∗)
= f ′ (x). Äàëåå,
Ò.ê. f äèôôåðåíöèðóåìà, òî ∃ lim
o(∆f )
∆x
o(∆f )
.
∆x
∆f
∆x
→ 0, ïðè ∆x → 0a .
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ∆x → 0 èç (∗) ïîëó÷àåì:
′
gx′ = (g(f (x))) = g ′ (f (x)) ⋅ f ′ (x).
a Ò.ê. f ∈ C(x), òî ∆f = f (x + ∆x) − f (x) ÐÐÐÐ→ 0 Ô⇒ α(∆f ) ÐÐÐÐ→ 0.
∆x→0
Çàì.
∆x→0
Ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ êîìïîçèöèè ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé
íåñêîëüêèõ ôóíêöèé. Íàïðèìåð:
′
(h ○ g ○ f ) = h′ ((g ○ f )(x)) ⋅ g ′ (f (x)) ⋅ f ′ (x).
Ïóñòü ôóíêöèè f ∶ X ↦ Y
è f −1 ∶ Y ↦ X âçàèìíî îáðàòíû è íåïðåðûâíû â òî÷êàõ x0 ∈ X è f (x0 ) = y0 ∈ Y
ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 è f ′ (x0 ) ≠ 0, òî f −1
äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå y0 , ïðè÷¼ì
Òåîðåìà 39. (äèôôåðåíöèðîâàíèå îáðàòíîé ôóíêöèè).
′
(f −1 ) (y0 ) =
Ðèñ. 34. (a)
1
.
f ′ (x0 )
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû ÿñåí èç ðèñ. (a). Ò.ê. ãðàôèê f
−1
ïîëó÷à-
åòñÿ èç ãðàôèêà f ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé y = x, òî
′
(f −1 ) (f (x0 )) = tg β = tg ( π2 − α) = ctg α =
′
1
.
f ′ (x0 )
Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå f (x0 ) = 0 êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó f
−1
â òî÷êå f (x0 )
íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íîé ïðîèçâîäíîé f
−1
â
òî÷êå f (x0 ) (ñì. ðèñ. (b) ).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ò.ê. ôóíêöèè
f ∶ X ↦ Y è f −1 ∶ Y ↦ X
âçàèìíî îáðàòíû, òî âåëè÷èíû f (x0 + ∆x) − f (x0 ) è f −1 (y0 + ∆y) − f −1 (y0 ) ïðè y = f (x)
Ðèñ. 35. (b)
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè
103
îäíîâðåìåííî íå îáðàùàþòñÿ â íóëü, åñëè ∆x ≠ 0. Èç íåïðåðûâíîñòè f â òî÷êå x0 è
f −1 â òî÷êå y0 = f (x0 ) ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ∆x → 0 ⇔ ∆y → 0.
Äàëåå èìååì,
′
(f −1 ) (y0 ) = lim
∆y→0
f −1 (y0 +∆y)−f −1 (y0 )
∆y
= a = lim
∆x
∆x→0 f (x0 +∆x)−f (x0 )
=
= lim
′
Ñëåäîâàòåëüíî, ∃(f −1 ) (y0 ) =
1
1
= f ′ (x
0)
∆x→0 f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
′
1
(f −1 ) (f (x0 )) = f ′ (x
.
0)
a f −1 (y + ∆y) − f −1 (y ) = f −1 (f (x ) + f (x + ∆x) − f (x )) − f −1 (f (x )) = x + ∆x − x = ∆x.
0
0
0
0
0
0
0
0
4
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè.
Îïðåäåëåíèå.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïåðåìåííàÿ y êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòà x çàäàíà ïàåñëè îáå ïåðåìåííûå x è y çàäàíû êàê ôóíêöèè íåêîòîðîé òðåòüåé
ðàìåòðè÷åñêè,
ïåðåìåííîé t:
⎧
⎪
⎪x = φ(t),
⎨
⎪
⎪
⎩y = ψ(t),
Ïåðåìåííàÿ t íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì.
t ∈ T.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ φ íåïðåðûâíà è ñòðîãî ìîíîòîííà íà U(t0 )a , è ñóùå′
′
ñòâóþò ïðîèçâîäíûå φ (t0 ), ψ (t0 ). Òîãäà
∃t = φ−1 (x) Ô⇒ y = ψ(t) = ψ(φ−1 (x)) = (ψ ○ φ−1 )(x).
Ïóñòü x0 = φ(t0 ). Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé è îáðàòíîé ôóíêöèè, ïîëó÷àåì:
′
yx′ (x0 ) = (ψ ○ φ−1 ) (x0 ) = ψ ′ (t0 ) ⋅
1
φ′ (t0 )
=
ψ ′ (t0 )
.
φ′ (t0 )
a Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü y êàê ôóíêöèþ îò x.
Ïóñòü äàëåå x = x(t), y = y(x) = y(x(t)). Òîãäà
′
dy = (y ○ x) (t) dt = y ′ (x(t)) x′ (t) dt = y ′ (x) dx.
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=dx
Äàííîå ðàâåíñòâî ïðèíÿòî íàçûâàòü èíâàðèàíòíîñòüþ ôîðìû ïåðâîãî
äèôôåðåíöèàëà. Ïðè ýòîì èìååòñÿ ââèäó ñëåäóþùåå: äèôôåðåíöèàë êîìïîçèöèè y = y(x(t)) ìîæíî çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå:
dy = y ′ (x) dx,
ò.å. òàê, êàê åñëè áû ïåðåìåííàÿ x áûëà íåçàâèñèìîé.
Ïðîèçâîäíûå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé
5
104
Ïðîèçâîäíûå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
1. f (x) = c =
f ′ (x) = 0;
const, x ∈ R.
f ′ (x) = lim
●
c−c
∆x→0 ∆x
f ′ (x) = ax ⋅ ln a;
2. f (x) = a , a > 0, x ∈ R.
x
Ç4.
f ′ (x) = lim
ax+∆x −ax
∆x
∆x→0
●
x ′
= 0;
a∆x −1
∆x→0 ∆x
= ax lim
© x
= a ⋅ ln a;
 ÷àñòíîñòè, (e ) = e .
x
f ′ (x) =
3. f (x) = loga x, 0 < a ≠ 1, x > 0.
loga (x+∆x)−loga x
∆x
∆x→0
∣∆x∣ f (c) ïðè ∀x ∈U+ (c)a
Îñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ
○
106
○
(f (x) > f (c) ïðè ∀x ∈U− (c), f (x) < f (c) ïðè ∀x ∈U+ (c)).
○
a Ïîä U
− (c) áóäåì ïîíèìàòü ìíîæåñòâî {x ∈ R ∣ x ∈ U(c), x < c}, ëåâóþ ïîëóîêðåñòíîñòü
○
òî÷êè c. Àíàëîãè÷íî, U+ (c) = {x ∈ R ∣ x ∈ U(c), x > c}ïðàâàÿ ïîëóîêðåñòíîñòü.
Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå c ëîêàëüíûé ìàêñèìóì
(ëîêàëüíûé ìèíèìóì ), åñëè íàéä¼òñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü U(c) òî÷êè c, â ïðåäåëàõ
êîòîðîé âûïîëíåíî:
○
∀x ∈U (c) ⇒ f (x) < f (c)
○
(∀x ∈U (c) ⇒ f (x) > f (c))a .
a Ò.å. íàéä¼òñÿ îêðåñòíîñòü, â ïðåäåëàõ êîòîðîé çíà÷åíèå f (c) ÿâëÿåòñÿ íàáîëüøèì (íàèìåíüøèì) ñðåäè âñåõ çíà÷åíèé f (x) ýòîé ôóíêöèè.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå c ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì,
åñëè ýòà ôóíêöèÿ èìååò â óêàçàííîé òî÷êå ëèáî ëîêàëüíûé ìàêñèìóì, ëèáî ëîêàëüíûé
ìèíèìóì.
Îïðåäåëåíèå.
Åñëè
ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå c è f ′ (c) > 0 (f ′ (c) < 0), òî ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò
(óáûâàåò) â òî÷êå c.
Òåîðåìà 40. (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå âîçðàñòàíèÿ/óáûâàíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå).
Äîêàçàòåëüñòâî.
′
f (c) =
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî f ′ (c) > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ:
Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî
(c)
lim f (x)−f
.
x−c
x→c
äëÿ ε = f ′ (c) ∃δ(ε) > 0 ∶ ïðè 0 < ∣x − c∣ < δ ⇒
(c)
⇒ ∣ f (x)−f
− f ′ (c)∣ < f ′ (c) ⇐⇒ 0 <
x−c
f (x)−f (c)
x−c
< 2f ′ (c), 0 < ∣x − c∣ < δ.
○
Ò.î. âñþäó â Uδ (c) èìååì:
f (x)−f (c)
x−c
> 0 Ô⇒ f (x) > f (c) ïðè x > c, f (x) < f (c) ïðè x < c.
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò â òî÷êå c.
Çàì.
Ïîëîæèòåëüíîñòü (îòðèöàòåëüíîñòü) ïðîèçâîäíîé f ′ (c) íå ÿâëÿåòñÿ
íåîáõîäèìûì óñëîâèåì âîçðàñòàíèÿ (óáûâàíèÿ) äèôôåðåíöèðóåìîé â
òî÷êå c ôóíêöèè f .
Ïðèìåð 6.1.
Ôóíêöèÿ y = x3 âîçðàñòàåò â òî÷êå c = 0, â òî âðåìÿ êàê y ′ = 3x2 ∣
x=0
= 0.
Ðàññìîòðèì òåîðåìû, ñâÿçûâàþùèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé íà êîíöàõ îòðåçêà
òåîðåìû î ñðåäíåì.
ñî çíà÷åíèÿìè èõ ïðîèçâîäíûõ â íåêîòîðûõ ñðåäíèõ òî÷êàõ, ëåæàùèõ
âíóòðè.
Òåîðåìà 41. (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíê-
öèè). f îïðåäåëåíà â U(c)a . Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå c è èìååò â
Ïóñòü
òåîðåìà Ôåðìà.
Îñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ
107
íåé ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì, òî f ′ (c) = 0.
a Ò.å. c âíóòðåííÿÿ òî÷êà äëÿ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f .
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ∃f ′ (c). Ò.ê. ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå c ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì, òî îíà íå ìîæåò íè âîçðàñòàòü, íè óáûâàòü â ýòîé òî÷êå. Çíà÷èò, â
ñèëó Òåîðåìû 5 ïðîèçâîäíàÿ f ′ (c) íå ìîæåò áûòü íè ïîëîæèòåëüíà, íè îòðèöàòåëüíà.
Ñëåäîâàòåëüíî, f ′ (c) = 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàì.
Çàì.
Äàííàÿ òåîðåìà èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: åñëè â òî÷êå ãðàôèêà ôóíêöèè, â êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì, ñóùåñòâóåò
êàñàòåëüíàÿ ê ýòîìó ãðàôèêó, òî îíà îáÿçàòåëüíî ïàðàëëåëüíà îñè Ox.
Îáðàùåíèå â íóëü ïðîèçâîäíîé íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì
ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà, ñì. íàïðèìåð, y = x3 â òî÷êå x = 0.
Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a, b]a ,
òî å¼ ïðîèçâîäíàÿ f ïðèíèìàåò â êà÷åñòâå çíà÷åíèÿ, êàæäîå ïðîìåæóòî÷íîå ÷èñëî
ìåæäó f ′ (a + 0) è f ′ (b − 0)b .
Òåîðåìà 42. (òåîðåìà Äàðáó).
′
a Ò.å. ∀x ∈ (a, b) ∃f ′ (x), à òàêæå ∃f ′ (a + 0) è ∃f ′ (b − 0).
b Äàëåå ïèøåì f ′ (a) è f ′ (b) âìåñòî f ′ (a + 0) è f ′ (b − 0).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ′ (a) ⋅ f ′ (b) < 0a . Íàïðèìåð,
f ′ (a) < 0 < f ′ (b).
Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè ξ ∈ (a, b) : f ′ (ξ) = 0. Äåéñòâèòåëüíî, ò.ê. f äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b], òî îíà íåïðåðûâíà íà [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî âòîðîé òåîðåìå
Âåéåðøòðàññà, ýòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò â íåêîòîðîé òî÷êå ξ ñâî¼ ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå. Ýòî íå ìîæåò áûòü òî÷êà a, ò.ê. â íåé, ïî òåîðåìå 5 ôóíêöèÿ f óáûâàåò, è íå
ìîæåò áûòü òî÷êà b, ò.ê. â íåé ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåòb . Ïîýòîìó ξ ∈ (a, b), íî òîãäà ïî
òåîðåìå Ôåðìà f ′ (ξ) = 0.
Èñêëþ÷èì òåïåðü ñäåëàííîå âûøå ïðåäïîëîæåíèå î çíàêàõ ïðîèçâîäíûõ. Ïóñòü äëÿ
îïðåäåë¼ííîñòè f ′ (a) < f ′ (b). Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå γ ∈ (f ′ (a), f ′ (b)) è ðàññìîòðèì
âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ F (x) ∶= f (x) − γ x. Îíà äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b], ïðè÷¼ì
F ′ (a) = f ′ (a) − γ < 0,
F ′ (b) = f ′ (b) − γ > 0.
Èç äîêàçàííîãî âûøå ∃ξ ∈ (a, b) : F ′ (ξ) = f ′ (ξ) − γ = 0. Îòêóäà, f ′ (ξ) = γ .
a Ò.å. ÷èñëà f ′ (a) è f ′ (b) èìåþò ðàçíûå çíàêè.
b Ïóñòü ∆x > 0, ò.ê. f - äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b], òî
f (a + ∆x) = f (a) + f ′ (a)∆x +o(∆x) < f (a), f (b − ∆x) = f (b) + f ′ (b)(−∆x) +o(∆x) < f (b).
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
0
Òåì ñàìûì, çíàê ðàçíîñòè f (x2 ) − f (x1 ), ñîâïàäàåò ñî çíàêîì f ′ (ξ).
Ñëåäñòâèå 2 (êðèòåðèé ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè). Íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèÿ ïîñòîÿííà íà í¼ì, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ â ëþáîé
òî÷êå ýòîãî îòðåçêà (èëè õîòÿ áû èíòåðâàëà (a, b)).
Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû Ëàãðàíæà.
Îñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ
110
Íåîáõîäèìîñòü
ðàâåíñòâà íóëþ ïðîèçâîäíîé äëÿ ïîñòîÿíñòâà
ôóíêöèè, óæå áûëà äîêàçàíà ïðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíîé ïîñòîÿííîé ôóíêöèè.
Äîêàæåì
. Ïóñòü f ′ ≡ 0 íà (a, b). Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà ∀x1 , x2 ∈ [a, b]
ïîëó÷àåì:
Äîêàçàòåëüñòâî.
äîñòàòî÷íîñòü
=0
f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (ξ) (x2 − x1 ) = 0, ò.ê. ξ ∈ (a, b).
 ýòîì óòâåðæäåíèè ñóùåñòâåííî, ÷òî îáëàñòü çàäàíèÿ îòðåçîê (ñâÿçíîå
ìíîæåñòâî). Äëÿ íåñâÿçíîãî ìíîæåñòâà ýòî, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.
⎧
⎪
⎪1,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩2,
x ∈ [0, 1],
x ∈ [2, 3]
≠ const,
′
íî f ≡ 0 íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Ñëåäñòâèå 3. Èç ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ äåëàåì âàæíûé âûâîä: åñëè ïðîèçâîäíûå
F1′ , F2′ äâóõ ôóíêöèé F1 è F2 ñîâïàäàþò íà íåêîòîðîì ñâÿçíîì ïðîìåæóòêå, òî íà í¼ì
ðàçíîñòü F1 − F2 åñòü ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ.
Ñëåäñòâèå 4. Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà íà (a, b) è ∃M > 0 : ∣f ′ (x)∣ ⩽ M ,
∀x ∈ (a, b). Òîãäà ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà (a, b).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 : ∀x1 , x2 ∈ (a, b)
∣f (x1 ) − f (x2 )∣ = ∣f ′ (ξ)∣ ⋅ ∣x2 − x1 ∣ < M ⋅ δ = ε, ïðè δ(ε) =
ε
M
,
÷òî è ãàðàíòèðóåò ðàâíîìåðíóþ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f íà (a, b).
Òåîðåìà 45. (òåîðåìà Êîøè î êîíå÷íîì ïðèðàùåíèè). Ïóñòü x = x(t), y = y(t) ôóíêöèè íåïðåðûâíûå íà îòðåçêå [α, β] è äèôôåðåíöèðóåìûå íà (α, β). Òîãäà
∃τ ∈ (α, β) ∶ x′ (τ )(y(β) − y(α)) = y ′ (τ )(x(β) − x(α)).
Åñëè, ê òîìó æå, x′ (t) ≠ 0 ïðè ∀t ∈ (α, β), òî x(α) ≠ x(β) è ñïðàâåäëèâî:
y(β)−y(α)
x(β)−x(α)
Äîêàçàòåëüñòâî.
=
y ′ (τ )
.
x′ (τ )
Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ:
F (t) = x(t)(y(β) − y(α)) − y(t)(x(β) − x(α)).
Îíà íåïðåðûâíà íà [α, β] è äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β). Êðîìå òîãî:
F (α) = x(α)y(β) − y(α)x(β),
F (β) = −x(β)y(α) + y(β)x(α).
Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé
íåïðåðûâíîñòè.
Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
111
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ýòîé ôóíêöèè íà [α, β] âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Ðîëëÿ.
Ïîýòîìó, ∃τ ∈ (α, β), â êîòîðîé
F ′ (τ ) = 0 ⇐⇒ x′ (τ )(y(β) − y(α)) = y ′ (τ )(x(β) − x(α)).
×òîáû ïîëó÷èòü âòîðîå ñîîòíîøåíèå, îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî åñëè x′ (t) ≠ 0 íà (α, β),
òî ïî òåîðåìå Ðîëëÿ x(α) ≠ x(β).
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé:
⎧
⎪
⎪x = φ(t),
⎨
⎪
⎪
⎩y = ψ(t),
t ∈ [α, β];
Ïðè óñëîâèÿõ ïåðå÷èñëåííûõ â òåîðåìå 10 ýòè óðàâíåíèÿ çàäàþò íåêîòîðóþ
′
ôóíêöèþ y = y(x), ò.ê. èç φ (t) ≠ 0 âûòåêàåò ñòðîãàÿ ìîíîòîííîñòü ôóíêöèè
−1
φ. Ñëåäîâàòåëüíî, ∃φ , è y(x) = y(φ−1 (x)).
Ïóñòü A = (x(α), y(α)), B = (x(β), y(β)), C = (x(τ ), y(τ )). Óãëîâîé êîýôôèöèåíò
õîðäû AB ðàâåí:
y(β)−y(α)
.
x(β)−x(α)
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé â òî÷êå C =
(x(τ ), y(τ )), íà îñíîâàíèè òåîðåìû î ïðîèçâîäíîé ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîé
ôóíêöèè, ðàâåí
7
y ′ (τ )
.
x′ (τ )
Ïîëó÷àåì ïàðàëëåëüíîñòü êàñàòåëüíîé è õîðäû.
Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ.
Ïóñòü â çàäà÷å î íàõîæäåíèè ïðåäåëà îòíîøåíèÿ
f (x)
g(x)
ïðè x → a è ÷èñëè-
òåëü, è çíàìåíàòåëü ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, èëè îáà ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.
 ýòèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ íåîïðåäåë¼ííîñòüþ
∞
.
∞
Íàõîæäåíèå ýòîãî ïðåäåëà (åñëè îí ñóùåñòâóåò) íàçûâàþò
0
0
èëè
ðàñêðûòèåì
íåîïðåäåë¼ííîñòè.
Òåîðåìà 46. (ïåðâîå ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ).
ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
Ïóñòü íàéä¼òñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî âûïîëíåíû
○
1. Ôóíêöèè f è g äèôôåðåíöèðóåìû íà Uδ (a);
○
2. g ′ (x) ≠ 0 â Uδ (a);
3. lim f (x) = lim g(x) = 0;
4.
x→a
x→a
′
(x)
∃ lim fg′ (x)
x→a
= L ∈ R (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé);
f (x)
,
x→a g(x)
Òîãäà ∃ lim
f (x)
x→a g(x)
ïðè÷¼ì: lim
f ′ (x)
′
x→a g (x)
= lim
= L.
Äîîïðåäåëèì ôóíêöèè f è g â òî÷êå a ïî íåïðåðûâíîñòè, ïîëîæèâ
f (a) = g(a) = 0. Ïóñòü a ≠ {xn } → a. Íà [a, xn ] ( èëè [xn , a]) äëÿ ôóíêöèé f è g
âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Êîøè, ïîýòîìó, ∃ξn ∈ (a, xn ) ( èëè (xn , a)):
Äîêàçàòåëüñòâî.
=0
f (xn )− f (a)
g(xn )−g(a)
²
=
f ′ (ξn )
g ′ (ξn )
(∗)
=0
Ïðè n → ∞ ïîëó÷àåì: xn → a è ξn → a. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ðàâåíñòâå (∗) ïîëó÷àåì
òðåáóåìîå.
ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ äëÿ
áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé.
Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
Òåîðåìà
112
46∗ Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
1. ôóíêöèè f è g äèôôåðåíöèðóåìû ïðè x > c > 0;
2. g ′ (x) ≠ 0 íà (c, +∞);
3. lim f (x) = lim g(x) = 0;
4.
x→+∞
x→+∞
′
(x)
∃ lim fg′ (x)
x→+∞
= L ∈ R.
f (x)
,
x→+∞ g(x)
Òîãäà ∃ lim
Äîêàçàòåëüñòâî.
÷òî:
f (x)
x→+∞ g(x)
ïðè÷¼ì: lim
f ′ (x)
′
x→+∞ g (x)
= lim
= L.
Ðàññìîòðèì ñëîæíûå ôóíêöèè f ( 1t ), g ( 1t ) ïðè t ∈ (0, 1c ). Çàìåòèì,
d
(f (1/t))
dt
t→0+0 d (g(1/t))
dt
lim
= lim
f ′ (1/t) (− t12 )
t→0+0 g ′ (1/t) (− 1 )
t2
f ′ (1/t)
f ′ (x)
= lim ′
= L.
′
t→0+0 g (1/t)
x→+∞ g (x)
= lim
(1/t)
(x)
Íî òîãäà â ñèëó òåîðåìû 11 ñóùåñòâóåò è ïðåäåë lim fg(1/t)
= lim fg(x)
. Ïðè÷¼ì ñïðàt→0+0
x→+∞
âåäëèâî:
Ò.11
f (x)
f (1/t) ©
= lim
= lim
x→+∞ g(x)
t→0+0
t→0+0 g(1/t)
lim
d
(f (1/t))
dt
d
(g(1/t))
dt
= lim
x→+∞
f ′ (x)
= L.
g ′ (x)
Ôîðìàëüíîå ïðèìåíåíèå ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê îøèáêàì.
Ïðèìåð 7.1.
f (x) = x2 sin x1 ÐÐ→ 0, g(x) = sin x ÐÐ→ 0.
x→0
x→0
f (x)
x→0 g(x)
∃ lim
f ′ (x)
′
x→0 g (x)
íî lim
= lim
x→0
1 −cos 1
2x sin x
x
cos x
1
x
x→0 x+o(x)
= lim
x2 sin
= 0,
, è äàííûé ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò.
Òåîðåìà 47. (âòîðîå ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ).
óñëîâèÿ:
Ïóñòü íàéä¼òñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî âûïîëíåíû
○
1. Ôóíêöèè f è g äèôôåðåíöèðóåìû íà Uδ (a);
○
2. g ′ (x) ≠ 0 â Uδ (a);
3. lim g(x) = ∞;
x→a
f ′ (x)
′
x→a g (x)
4. ∃ lim
= L ∈ R (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé);
f (x)
,
x→a g(x)
Òîãäà ∃ lim
f (x)
x→a g(x)
ïðè÷¼ì: lim
f ′ (x)
′
x→a g (x)
= lim
Îòìåòèì, ÷òî â äàííîé òåîðåìå
= L.
íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî lim f (x) = ∞. Õîòÿ íà ïðàêx→a
òèêå ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ïðèìåíÿþò ïðè íàëè÷èè íåîïðåäåë¼ííîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî.
○
Ðàçáåð¼ì ñëó÷àé êîíå÷íîãî L. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå x è
y èç Uδ (a) òàêèå, ÷òî: a < x < y < a + δ . Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Êîøè î êîíå÷íîì
ïðèðàùåíèè, ïîëó÷àåì, ÷òî íàéä¼òñÿ ξ = ξ(x; y) ∈ (x, y) òàêîå, ÷òî ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî:
f (x)−f (y)
g(x)−g(y)
=
f ′ (ξ)
.
g ′ (ξ)
ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ äëÿ
áåñêîíå÷íî áîëüøèõ ôóíêöèé.
Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
113
Îòêóäà,
1 f (x)−f (y)
g(x) 1− g(y)
g(x)
=
f ′ (ξ)
g ′ (ξ)
⇐⇒
f (x)−f (y)
g(x)
=
f ′ (ξ)
g ′ (ξ)
(1 −
g(y)
)
g(x)
⇐⇒
f (x)
g(x)
=
f (y)
g(x)
f ′ (ξ)
g ′ (ξ)
+
(1 −
g(y)
).
g(x)
Âû÷èòàÿ èç îáåèõ ÷àñòåé ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà L, ïîëó÷àåì:
(y)
(ξ)
(ξ)
g(y)
(x)
− L∣ ⩽ ∣ fg(x)
∣ + ∣ fg′ (ξ)
− L∣ + ∣ fg′ (ξ)
∣ ⋅ ∣ g(x)
∣.
∣ fg(x)
′
′
(∗∗)
Çàôèêñèðóåì âûáðàííûé ðàíåå y , è óñòðåìèì x ê a. Â ñèëó óñëîâèé:
f ′ (x)
′
x→a g (x)
lim
= L è lim g(x) = ∞ äëÿ ∀ε > 0 ìîæåì çàïèñàòü:
x→a
f ′ (ξ(x;y))
1. ôèêñèðóåì y òàêîå, ÷òî: ∣x − a∣ < ∣y − a∣ è ∣
g ′ (ξ(x;y))
− L∣ < 4ε ;
f (y)
2. ôèêñèðóåì δ1 òàêîå, ÷òî: ïðè ∣x − a∣ < δ1 âûïîëíÿëîñü ∣ g(x) ∣ <
ε
;
2
3. ôèêñèðóåì δ2 òàêîå, ÷òî: ïðè ∣x − a∣ < δ2 âûïîëíÿëîñü ∣ g(x) ∣ <
ε/4
.
∣L∣+ε/4
g(y)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ∣x − a∣ < min{∣y − a∣; δ1 ; δ2 } èç (∗∗) ïîëó÷àåì:
(x)
− L∣ <
∣ fg(x)
Çàì.
ε
2
+
ε
4
+
ε
4
= ε.
○
′
 ñèëó óñëîâèÿ g (x) ≠ 0 â Uδ (a) ïîëó÷àåì, ÷òî â äàííîé îêðåñòíî′
ñòè ôóíêöèÿ g ìîíîòîííàÿ, ò.ê. èíà÷å ïðîèçâîäíàÿ g äîëæíà
a
áûëà ïîìåíÿòü çíàê, è â ñèëó òåîðåìû Äàðáó, ïðîéòè ÷åðåç 0 .
a Ñð. ñ òåîðåìîé Øòîëüöà.
Ïðèìåð 7.2.
Åñëè α > 0, òî ln x = o(xα ), x → +∞;
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü f (x) = ln x, g(x) = x . Èìååì:
α
lim g(x) = +∞ = lim f (x);
x→+∞
′
lim f ′ (x)
x→+∞ g (x)
Ïðèìåð 7.3.
x→+∞
= lim
1/x
α−1
x→+∞ α⋅x
f (x)
x→+∞ g(x)
= 0 Ô⇒ lim
= 0.
Åñëè α > 0, b > 1 òî xα = o(bx ), x → +∞;
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. α = 1. Ïóñòü f (x) = x, g(x) = b . Èìååì:
x
lim f (x)
x→+∞ g(x)
2. α > 0. Ïîëîæèì C = b
1/α
f ′ (x)
′
x→+∞ g (x)
= lim
, ò.ê. C > 1, òî
= lim
1
x
x→+∞ b ln b
xα
bx
= 0;
α
= ( Cxx ) ÐÐÐ→ 0.
x→+∞
Ïðèìåðû 1 è 2 ïîêàçûâàþò, ÷òî ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ðàñò¼ò íà +∞ áûñòðåå ëîãàðèôìà, íî ìåäëåííåå ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè.
Ðàñêðûòèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
Çàì.
Êðîìå èçó÷åííûõ íåîïðåäåë¼ííîñòåé âèäà:
∞
114
0
0
0
èëè
∞
∞
áûâàþò
íåîïðåäåë¼ííîñòè âèäîâ: 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, 1 , 0 , ∞ . Âñå ýòè íåîïðå0
äåë¼ííîñòè ñâîäÿòñÿ ê èçó÷åííûì, ïóò¼ì àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé:
f (x)g(x) = eg(x)⋅ln f (x) ⇐⇒ 0 ⋅ ∞ =
0
1/∞
= 00 .
Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ
8
115
Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ.
a
Åñëè ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R äèôôåðåíöèðóåìà â ëþáîé òî÷êå x ∈ E , òî íà ýòîì
̃ ↦ R, çíà÷åíèÿ êîòîðîé â òî÷êå
ìíîæåñòâå âîçíèêàåò íîâàÿ ôóíêöèÿ f ∶ E
′
̃ ðàâíî çíà÷åíèþ ïðîèçâîäíîé f ′ â ýòîé òî÷êå. Ýòà ôóíêöèÿ ñàìà ìîæåò
x∈E
′ ′ ̂
èìåòü ïðîèçâîäíóþ (f ) ∶ E
↦ R, êîòîðàÿ ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîé ôóíêöèè
f íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé îò f .
a Ìíîæåñòâî E ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ìîæåò èçìåíÿòüñÿ.
f ′′ èëè
Îáîçíà÷åíèå:
d2 f a
.
dx2
a Åñëè õîòÿò ÿâíî óêàçàòü ïåðåìåííûå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, â ïåðâîì ñëó÷àå ïèøóò: f ′′ .
xx
Ïî èíäóêöèè, åñëè îïðåäåëåíà ïðîèçâîäíàÿ f (n−1) ïîðÿäêà (n − 1) îò f ,
òî ïðîèçâîäíàÿ ïîðÿäêà n îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
Îïðåäåëåíèå.
′
f (n) ∶= (f (n−1) ) .
Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî f (0) ∶= f .
Îáîçíà÷åíèå: Ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé
f ∶ E ↦ R, èìåþùèõ íà E íåïðå-
ðûâíûå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà n âêëþ÷èòåëüíî, îáîçíà÷àåòñÿ C (E). Â
n
÷àñòíîñòè, C (E) = C(E).
0
Èç îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî êëàññû C
n
óìåíüøàþòñÿ ñ ðîñòîì n:
C n+1 (E) ⊂ C n (E), ∀n ∈ Z,
C ∞ ⊂ C m , ∀m ∈ Z+ .
Çàìåòèì, ÷òî ýòè âêëþ÷åíèÿ ñòðîãèå.
(n)
fn (x) = xn+1/3 Ô⇒ fn
äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x = 0.
Ïðèìåð 8.1.
= (n + 1/3) ⋅ . . . ⋅ 4/3 ⋅ x1/3 íåïðåðûâíà íà R, íî íå
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî êëàññ äèôôåðåíöèðóåìûõ íà E ôóíêöèé ñòðîãî øèðå
êëàññà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà E ôóíêöèé.
Ïðèìåð 8.2.
f (x) = xℓ ⋅ sin 1/x, ℓ ∈ N.
îñíîâíûå ïðèìåðû.
Ïðèìåð 8.3.
f (x) = sin x, f ′ (x) = cos x = sin ( π2 + x), f ′′ (x) = − sin x = sin (π + x), . . .
f (n) (x) = sin ( πn
+ x);
2
Ïðèìåð 8.4.
f (x) = cos x, f ′ (x) = − sin x = cos ( π2 + x), . . . , f (n) (x) = cos ( πn
+ x);
2
Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ
116
Ïðèìåð 8.5.
f (x) = ax , f ′ (x) = ax ⋅ ln a, . . . , f (n) (x) = ax ⋅ (ln a)n ;
Ïðèìåð 8.6.
f (x) = xm , f ′ (x) = mxm−1 , . . . , f (n) = m(m − 1) . . . (m − n + 1)xm−n ;
Ïðèìåð 8.7.
f (x) = ln x, f ′ (x) = x1 , . . . , f (n) (x) =
(−1)n−1 (n−1)!
.
xn
Äîêàæèòå ïðèâåä¼ííûå âûðàæåíèÿ äëÿ n-ûõ ïðîèçâîäíûõ, èñïîëüçóÿ ìåòîä
ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Çàäà÷à 1.
Ïóñòü u è v ôóíêöèè, èìåþùèå íà ìíîæåñòâå E
ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà n âêëþ÷èòåëüíî. Òîãäà äëÿ n-îé ïðîèçâîäíîé îò èõ ïðîèçâåäåíèÿ
ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Ëåéáíèöà :
Òåîðåìà 48. (ôîðìóëà Ëåéáíèöà).
n
(u ⋅ v)(n) = ∑ Cnk u(n−k) v (k) .
(∗)
k=0
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðè
n = 1 ôîð-
ìóëà (∗) ñîâïàäàåò ñ ïðàâèëîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ. Ïóñòü
ïðè n = n äîêàçûâàåìàÿ ôîðìóëà âåðíà. Åñëè u, v ∈ C
n+1
ðóÿ ôîðìóëó (∗), ïîëó÷àåì:
′
n
n
n
k=0
k=0
(E), òî äèôôåðåíöè-
(u ⋅ v)n+1 = ( ∑ Cnk u(n−k) v (k) ) = ∑ Cnk u(n−k+1) v (k) + ∑ Cnk u(n−k) v (k+1) =
k=0
n
n+1
k=1
k=0
k
= u(n+1) v (0) + ∑ (Cnk + Cnk−1 )u(n−k+1) v (k) + u(0) v (n+1) = ∑ Cn+1
u(n−k+1) v (k) .
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = y(x) çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè:
⎧
⎪
⎪x = φ(t),
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩y = ψ(t),
t ∈ T;
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ôóíêöèè φ è ψ äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû íà
′
ìíîæåñòâå T, φ (t)
≠ 0. Èç ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿ φ
−1
(x) è y = ψ(φ−1 (x)). Ðàíåå íàìè áûëà ïî-
ìîíîòîííà íà T. Ïîýòîìó ∃t = φ
′
ëó÷åíà ôîðìóëà: yx =
ψ ′ (t)
.
φ′ (t)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíîé ÷àñòíîãî,
ïðîèçâîäíîé êîìïîçèöèè è ïðîèçâîäíîé îáðàòíîé ôóíêöèè ïîëó÷àåì:
′′
yxx
=
′
(yx′ )x
=(
ψ ′ (φ−1 (x))
φ′ (φ−1 (x))
′
) =
′
′
(ψ′ (φ−1 (x))) ⋅φ′ (φ−1 (x))−ψ′ (φ−1 (x))⋅(φ′ (φ−1 (x)))
2
(φ′ (φ−1 (x)))
x
ψ ′′ (φ−1 (x))⋅(φ−1 ) (x)⋅φ′ (φ−1 (x))−ψ ′ (φ−1 (x))⋅φ′′ (φ−1 (x))⋅(φ−1 ) (x)
′
=
′
(φ′ (φ−1 (x)))
′
= {(φ−1 ) (x) =
1
φ′ (t)
2
, φ−1 (x) = t} =
=
=
Ôîðìóëà Òåéëîðà
=
ψ ′′ (t)⋅
117
1
1
⋅φ′ (t)−ψ ′ (t)⋅φ′′ (t)⋅ ′
φ′ (t)
φ (t)
2
(φ′ (t))
ψ ′ (t)
=
ψ ′′ (t)⋅φ′ (t)−ψ ′ (t)⋅φ′′ (t)
3
(φ′ (t))
=
)
( ′
φ (t)
φ′ (t)
′
(yx′ )t
′
t
=
φ′ (t)
.
Äàííàÿ ôîðìóëà ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäíîé
yx′ âûðàæåíèå yx′ =
ψ ′ (t)
φ′ (t)
âìåñòî ψ(t) = y . Äàëåå ïîëó÷àåì:
yx′′′3 =
9
(y ′′2 )′t
x
φ′ (t)
(y ′′′3 )′t
(4)
y x4 =
,
è ò.ä.
x
φ′ (t)
Ôîðìóëà Òåéëîðà.
Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí
Pn (x) = c0 + c1 x + . . . + cn xn .
?
Âûðàçèòü êîýôôèöèåíòû ýòîãî ìíîãî÷ëåíà â òåðìèíàõ ôóíêöèè Pn è å¼ ïðîèçâîäíûõ.
Ïîëó÷àåì:
c0 = Pn (0);
Pn′ (x)
= c1 + 2c2 x + . . . + ncn xn−1 ⇒ c1 = Pn′ (0);
′′
(0)
Pn
;
2!
Pn′′ (x) = 2c2 + 3 ⋅ 2c3 x + . . . + n(n − 1)cn xn−2 ⇒ c2 =
...
Pn(n) (x)
= n ⋅ (n − 1) ⋅ . . . ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ cn ⇒ cn =
(0)
;
n!
(n)
Pn
Pn(k) (x) ≡ 0 ïðè k > n;
Îòêóäà,
Pn (x) = Pn (0) +
′
(0)
Pn
1!
x+
′′
(0)
Pn
2!
x2 + . . . +
(0)
n!
(n)
Pn
n
xn = ∑
(0) k
x .
k!
(k)
Pn
k=0
Ïóñòü Pn (x) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n îò x, à x0 ∈ R ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà.
Äîêàæèòå, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî:
Çàäà÷à 1.
Pn (x) = Pn (x0 ) +
′
(x0 )
Pn
1!
(x − x0 ) +
′′
(x0 )
Pn
2!
(x − x0 )2 + . . . +
(x0 )
n!
(n)
Pn
(x − x0 )n .
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè x0 ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà
Pn (x) = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + . . . + cn (x − x0 )n .
Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå x0 âñå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà n
âêëþ÷èòåëüíî. Âûïèøåì ïîëèíîì
Pn (x) = f (x0 ) +
f ′ (x0 )
1!
(x − x0 ) +
f ′′ (x0 )
2!
(x − x0 )2 + . . . +
f (n) (x0 )
n!
(x − x0 )n ,
ïðîèçâîäíûå êîòîðîãî äî n-ãî ïîðÿäêà ñîâïàäàþò â òî÷êå x0 ñ ïðîèçâîäíûìè ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f â òî÷êå x0 :
Pn (x0 ) = f (x0 ), Pn′ (x0 ) = f ′ (x0 ), . . . , Pn(n) (x0 ) = f (n) (x0 ).
ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ìíîãî÷ëåíà.
Ôîðìóëà Òåéëîðà
118
Íàïèøåì ðàâåíñòâî:
n
f (x) = ∑
f (k) (x0 )
(x
k!
− x0 )k + rn (f, x),
(1)
k=0
êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà ôóíêöèè f â òî÷êå x0 .
n
Pn (x) = ∑
k=0
f (k) (x0 )
(x
k!
f (k) (x0 )
(x
k!
− x0 )k ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà ;
− x0 )k k-ûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà ;
rn (f, x) n-ûé îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà. Äëÿ íåãî èìååì:
rn (f, x) = f (x) − Pn (x) ⇒ rn (f, x0 ) = rn′ (f, x0 ) = . . . = rn(n) (f, x0 ) = 0.
(2)
Âàæíûì ñâîéñòâîì ìíîãî÷ëåíà Òåéëîðà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðè x → x0 êàæäûé
ñëåäóþùèé åãî ÷ëåí áåñêîíå÷íî ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñî âñåìè ïðåäûäóùèìè (îòëè÷íûìè îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ), ÷òî óäîáíî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèáëèæ¼ííûõ
âû÷èñëåíèé.  ñâÿçè ñ ýòèì ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ ðàçëè÷íûå îöåíêè äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà rn (f, x).
Òåîðåìà 49. (ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî).
Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ f (n) (x0 ), n ∈ N, òî äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ôîðìóëû Òåéëîðà (1) ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ îöåíêà:
rn (f, x) = o((x − x0 )n ), x → x0 .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç óñëîâèé (2) ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ ïîëó÷àåì:
lim rn (f,x)n
x→x0 (x−x0 )
= lim
′
rn
(f,x)
n−1
x→x0 n(x−x0 )
= lim
(n−1)
rn
x→x0
(f,x)−rn
n!(x−x0 )
Ïîýòîìó, rn (f, x) = o((x − x0 ) ),
n
(n−1)
= . . . = lim
x→x0
(f,x0 )
=a=
(n)
rn
rn
(f,x)
n!(x−x0 )
(n−1)
(f,x0 )
n!
=
= 0.
x → x0 .
a Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé.
Çàì.
Ïîñêîëüêó
′
f (k) (x0 ) = (f (k−1) ) (x0 ) = lim
x→x0
f (k−1) (x)−f (k−1) (x0 )
,
x−x0
ñóùåñòâîâàíèå f (k) (x0 ) ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ôóíêöèÿ f (k−1) îïðåäåëåíà
â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .
òî
n
Çàì.
Ïðè x0 = 0 ðàâåíñòâî f (x) = ∑
k=0
f (k) (0) k
x
k!
+ o(xn ), íå ñîâñåì ïðàâèëü-
íî, íàçûâàþò ôîðìóëîé Ìàêëîðåíà.
Çàì.
Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî óòâåðæäàåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà ¾õîðîøî ïðèáëèæàåò¿ ôóíêöèþ f ïðè x ≈ x0 . Îäíàêî ýòà ôîðìóëà íå äà¼ò íèêàêîé îöåíêè
ïîãðåøíîñòè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà, rn (f, x) òàêîé àïïðîêñèìàöèè
ïðè êîíêðåòíîì x, ÷òî äåëàåò ýòó ôîðìóëó íåïðèãîäíîé äëÿ
ëîêàëüíàÿ ôîðìóëà Òåéëîðà.
Ôîðìóëà Òåéëîðà
119
ïðèáëèæ¼ííûõ âû÷èñëåíèé ôóíêöèé.
Ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ rn (f, x), èç êîòîðîé ìîæíî áóäåò ñóäèòü î ìàëîñòè îñòàòêà.
Ïóñòü x > x0
(x < x0 ), n ∈ Z+ ; f (n) ∈ C([x0 , x]) (f (n) ∈ C([x, x0 ])), ∃f (n+1) íà (x0 , x) (íà (x, x0 )). Òîãäà
ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Òåéëîðà (1), â êîòîðîé:
Òåîðåìà 50. (ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà).
rn (f, x) =
f (n+1) (x0 +θ(x−x0 ))
(x
(n+1)!
− x0 )n+1 =
f (n+1) (ξ)
(x
(n+1)!
− x0 )n+1,
ãäå 0 < θ < 1, ξ ∈ (x0 , x).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ:
φ(t) = f (t) − Pn (t) − M ⋅ (t − x0 )n+1 , ãäå M =
′
Èç ôîðìóëû (2) ïîëó÷èì: φ(x0 ) = φ (x0 ) = . . . = φ
(n)
f (x)−Pn (x)
.
(x−x0 )n+1
(3)
(x0 ) = 0.
Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà:
∃x1 ∈ (x0 , x) ∶ 0 = φ(x) − φ(x0 ) = φ′ (x1 )(x − x0 ) ⇒ φ′ (x1 ) = 0.
′′
Äàëåå, ∃x2 ∈ (x0 , x1 ) ∶ φ (x2 ) = 0 è ò.ä., äîéä¼ì äî òî÷êè xn+1 , òàêîé ÷òî
(n+1)
φ
(xn+1 ) = 0.
(n+1)
Ïîëàãàÿ ξ = xn+1 , ïîëó÷èì: 0 = φ
Îòêóäà M =
(ξ) = f (n+1) (ξ) − 0 − M ⋅ (n + 1)!
f (n+1) (ξ)
(n+1)!
⇒ f (x) − Pn (x) = rn (f, x) =
= {(3)} =
f (n+1) (ξ)
(x
(n+1)!
f (x)−Pn (x)
(x−x0 )n+1
⇒
− x0 )n+1 , ξ ∈ (x0 , x).
Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
àñèìïòîòè÷åñêóþ îöåíêó âèäà:
n
f (x) = ∑ ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ),
x → x0 ,
k=0
ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ ak .
(4)
Ôîðìóëà Òåéëîðà
120
Ïîêàæåì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñïðàâåäëèâà îöåíêà (4), òî
êîýôôèöèåíòû ak â íåé îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè íàðÿäó ñ (4) èìååì:
n
f (x) = ∑ bk (x − x0 )k + o((x − x0 )n ),
x → x0 ,
k=0
òî âû÷èòàÿ îäíî èç äðóãîãî, ïîëó÷èì:
n
f (x) = ∑ (ak − bk )(x − x0 )k + o((x − x0 )n ),
x → x0 ,
k=0
Îòêóäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè x → x0 , ïîëó÷èì: a0 − b0 = 0, ò.å. a0 = b0 .
Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïîäåëèì äàííîå ðàâåíñòâî ïî÷ëåííî íà (x − x0 ):
n
f (x) = ∑ (ak − bk )(x − x0 )k−1 + o((x − x0 )n−1 ),
x → x0 .
k=1
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó çäåñü, çàêëþ÷àåì: a1 − b1 = 0, ò.å. a1 = b1 . Àíàëîãè÷íî
ïîêàçûâàåì, ÷òî a2 = b2 , . . . , an = bn .
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü ∃f (n) (x0 ) è
n
f (x) = ∑ ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ),
x → x0 .
(5)
k=0
Òîãäà (5) ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèåì ôóíêöèè f ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì
â ôîðìå Ïåàíî, ò.å. ak =
Äîêàçàòåëüñòâî.
f (k) (x0 )
.
k!
Ïî òåîðåìå î ðàçëîæåíèè ôóíêöèè f ïî ôîðìóëå Òåéëîðà
ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (1).  ñèëó
òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè, (5) ñîâïàäàåò ñ (1).
ïðèìåð Êîøè.
Ïðèìåð 9.1.
Ïðèìåð áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè, íåðàçëîæèìîé ïî ôîðìóëå Òåéëîðà.
⎧
−1/x2
⎪
,
⎪e
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 0,
Ïóñòü Pn ( x1 ) = ̂
a0 + ̂
a1 ⋅
1
x
+ ... +̂
an ⋅
1
.
xn
x ≠ 0,
x = 0.
Ïî èíäóêöèè ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî
2
f (n) (x) = e−1/x ⋅ P3n ( x1 )
Ô⇒ lim f (n) (x) = lim
x→0
x→0
P3n (1/x)
e1/x
2
= lim
y→∞
P3n (y)
ey
2
= 0 Ô⇒ f (n) (0) = 0, ∀n ∈ N.
Ò.å. ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà ôóíêöèè f ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó íóëåé:
f (x) = 0 + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x2 + . . . + 0 ⋅ xn + o(xn ).
Íî ýòî ðàçëîæåíèå òîæäåñòâåííîãî íóëÿ, â íóëå, à f (x) ≠ 0, ∀x ≠ 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
äàííàÿ ôóíêöèÿ íå ðàçëîæèìà ïî ôîðìóëå Òåéëîðà â òî÷êå x = 0.
1. f (x) = ex ,
f (n) (x) = ex Ô⇒ f (n) (0) = 1,
n ∈ Z+ ;
Ðàçëîæåíèå ïî ôîðìóëå Òåéëîðà
ïðè x = 0 íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé.
Ôîðìóëà Òåéëîðà
121
ex = 1 + x +
x2
2!
2.f (x) = sin x, f (n) (x) = sin (x +
sin x = x −
xn
n!
+ ... +
πn
)
2
x
+ . . . + (−1)n−1 (2n−1)!
+ o(x2n ),
rnëãð =
x2n+1
(2n+1)!
3.f (x) = cos x, f (n) (x) = cos (x +
x2
2!
rnëãð =
⎧
⎪
⎪ 0, n = 2k,
⇒ f (n) (0) = sin πn
=⎨
2
k
⎪
⎪
⎩(−1) , n = 2k + 1;
2n−1
x3
3!
cos x = 1 −
xn+1 θx
e ;
(n+1)!
rnëãð =
+ o(xn ),
πn
)
2
sin (θx +
πn
2
+ π);
⎧
⎪
⎪ 0, n = 2k + 1,
⇒ f (n) (0) = cos πn
=
⎨
2
k
⎪
⎪
⎩(−1) , n = 2k;
2n
x
+ . . . + (−1)n (2n)!
+ o(x2n+1 ),
x2n+2
(2n+2)!
cos (θx +
πn
2
+ π);
(n)
(n−1)!
4.f (x) = ln (1 + x), f (n) (x) = (−1)n−1 (1+x)
(0) = (−1)n−1 (n − 1)!;
n ⇒ f
ln (1 + x) = x −
x2
2
+
x3
3
rnëãð =
n
− . . . + (−1)n−1 xn + o(xn ),
(−1)n xn+1
;
(n+1) (1+θx)n+1
5.f (x) = (1 + x)α , α ∈ R; f (n) (x) = α ⋅ (α − 1) ⋅ . . . ⋅ (α − n + 1)(1 + x)α−n ,
f (0) = α ⋅ (α − 1) ⋅ . . . ⋅ (α − n + 1),
(1 + x) = 1 +
α
α
x
1!
rnëãð =
+
α(α−1) 2
x
2!
+ ... +
α(α−1)...(α−n)
(n+1)!
α(α−1)...(α−n+1) n
x
n!
+ o(xn ),
(1 + θx)α−n−1 xn+1 .
Ïóñòü â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå α = m ∈ N.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ (1 + x)
α
ÿâëÿåòñÿ
ïîëèíîìîì ñòåïåíè α, è ïîýòîìó âñå å¼ ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà âûøå, ÷åì α ðàâíû
íóëþ. Òàêèì îáðàçîì èìååì:
(1 + x)α = 1 +
α
x
1!
+
α(α−1) 2
x
2!
+ ... +
α⋅(α−1)⋅...2⋅1 α
x
n!
(Áèíîì
Íüþòîíà).
Ò.å. Áèíîì Íüþòîíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîñëåäíåãî ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìóëå Òåéëîðà.
Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ
è íåîïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë
1
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñâîéñòâà
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó,
îáðàòíóþ ê çàäà÷å äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, â êîòîðîé ïðî-
èçâîäíàÿ èçâåñòíà, à ôóíêöèþ, êîòîðóþ äèôôåðåíöèðîâàëè, òðåáóåòñÿ íàéòè.
Ñèìâîëîì ⟨a, b⟩ áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîìåæóòîê, êîòîðûé îãðàíè÷èâàþò òî÷êè
a è b, ò.å. ëèáî [a, b], ëèáî [a, b), ëèáî (a, b], ëèáî èíòåðâàë (a, b), êîíå÷íûé èëè
áåñêîíå÷íûé.
Ïóñòü f ∶ ⟨a, b⟩ ↦ R. Ôóíêöèÿ F ∶ ⟨a, b⟩ ↦ R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé
åñëè F äèôôåðåíöèðóåìà íà ýòîì ïðîìåæóòêå è F ′ (x) =
f (x), ∀x ∈ ⟨a, b⟩. Ïðè ýòîì, â ñëó÷àå a ∈ ⟨a, b⟩ èëè b ∈ ⟨a, b⟩, ïðîèçâîäíûå F ′ (a) è F ′ (b)
ïîíèìàþòñÿ êàê îäíîñòîðîííèå.
Îïðåäåëåíèå.
ôóíêöèåé äëÿ f íà ⟨a, b⟩,
?
ÃËÀÂÀ
VIII
Ñåêöèÿ 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñâîéñòâà
Ñåêöèÿ 2. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè
Ñåêöèÿ
3.
Ðàçëîæåíèå
ïðàâèëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ
äðîáåé íàïðîñòåéøèå
Ñåêöèÿ 4. Èíòåãðèðîâàíèå
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
Ñåêöèÿ 5. Èíòåãðèðîâàíèå
íåêîòîðûõ êëàññîâ ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 6. Ðàçëè÷íûå ïðèìåðû èç òåîðèè íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
Åñëè çàäàíà ôóíêöèÿ f ∶ ⟨a, b⟩ ↦ R, òî âîçíèêàþò òðè âîïðîñà:
1. Ñóùåñòâóåò ëè ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà ⟨a, b⟩ ?
2. Åñëè ïåðâîîáðàçíàÿ ñóùåñòâóåò, òî êàê îïèñàòü
âñå å¼ ïåð-
âîîáðàçíûå?
3. Êàê íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ?
Îòâåò íà ïåðâûé âîïðîñ î÷åíü ñëîæåí. Îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ âûñêàçûâàíèÿìè:
à. Íå ëþáàÿ ôóíêöèÿ èìååò ïåðâîîáðàçíóþ. Íàïðèìåð, èñõîäÿ èç òåîðå-
íåîáõîäèìîå óñëîâèå.
ìû Äàðáó, èõ íåò ó ôóíêöèé, èìåþùèõ ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà. Íàïðèìåð,
⎧
⎪
⎪ 1,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩−1,
x ⩾ 0,
x 0;
C1 , C2 ∈ R.
 çàïèñè
∫
1
x
dx = ln ∣x∣ + C
ïîä C ïîíèìàåòñÿ íå êîíñòàíòà, à êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ.
a ( ln ∣x∣)′ =
1
∣x∣
⋅ sgnx =
1
,
x
x ≠ 0.
Ïåðåéä¼ì ê òðåòüåìó âîïðîñó
ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ.
Òåîðåìà 51. (èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì).
Ïóñòü íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèè u è v äèôôåðåíöèðóåìû è ñóùåñòâóåò îäèí
èç èíòåãðàëîâ ∫ u′ (x) v(x) dx èëè ∫ u(x) v ′ (x) dx. Òîãäà íà ýòîì ïðîìåæóòêå ñóùåñòâóåò
è äðóãîé. Ïðè÷¼ì:
′
′
∫ u(x) v (x) dx = u(x) v(x) − ∫ u (x) v(x) dx.
Äîêàçàòåëüñòâî.
′
(u v − ∫ u′ v dx) = u′ v + u v ′ − u′ v = u v ′
′
′
Îòêóäà, ïî ñâîéñòâó 2., ïîëó÷àåì: ∫ u v dx = u v − ∫ u v dx + C .
Òåîðåìà 52. (çàìåíà ïåðåìåííîé â íåîïðåäåë¼ííîì èíòåãðàëå). Åñëè íà íåêîòîðîì
ïðîìåæóòêå Ix âûïîëíåíî: ∫ f (x) dx = F (x) + C , à φ ∶ It ↦ Ix äèôôåðåíöèðóåìàÿ
ôóíêöèÿ. Òîãäà íà It âûïîëíåíî ðàâåíñòâî:
′
a
∫ (f ○ φ)(t) φ (t) dt = (F ○ φ)(t) + C .
a Èëè
′
∫ f (φ(t)) ⋅ φ (t) dt = F (φ(t)) + C .
Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè
Äîêàçàòåëüñòâî.
125
Ïî òåîðåìå î ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè:
((F ○ φ)(t) + C) = (F ′ ○ φ)(t) ⋅ φ′ (t) = (f ○ φ)(t) ⋅ φ′ (t)a .
′
Îòêóäà, ïî ñâîéñòâó 2. ïåðâîîáðàçíîé âûòåêàåò òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.
a Ò.å. (F (φ(t)) + C)′ = F ′ (φ(t)) ⋅ φ′ (t) = f (φ(t)) ⋅ φ′ (t).
Åñëè òðàêòîâàòü dx êàê äèôôåðåíöèàë, óòâåðæäåíèå ïîñëåäíåé òåîðåìû
′
ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì x = φ(t). Òîãäà dx = φ (t) dt.
′
Ôîðìàëüíûé ïåðåõîä îò t ê x â èíòåãðàëå ∫ f (φ(t)) ⋅ φ (t) dt äà¼ò ∫ f (x) dx.
Âû÷èñëÿÿ ýòîò èíòåãðàë ïî ïåðåìåííîé x, ïîëó÷èì F (x) + C , ò.å. F (φ(t)) + C .
Ýòè ðàññóæäåíèÿ îáúÿñíÿþò ñìûñë òåðìèíà ¾çàìåíà
ïåðåìåííîé¿ è ïîçâîëÿ-
þò óïðîñòèòü ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ôîðìóëû, õîòÿ îíè îñíîâàíû ëèøü
íà èíòóèòèâíîì ïîíèìàíèè dx êàê äèôôåðåíöèàëà.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2 ôóíêöèÿ φ èìååò îáðàòíóþ, òî, ïîëàãàÿ â
èíòåãðàëå ∫ f (x) dx : x = φ(t), dx = φ′ (t) dt, ïîëó÷àåì:
′
∫ f (x) dx = ∫ f (φ(t)) φ (t) dt.
Âû÷èñëÿÿ ýòîò èíòåãðàë ïî ïåðåìåííîé t, ïîëó÷èì G(t) + C , ò.å. G(φ−1 (x)) + C .
Ïðèìåð 1.1.
∫ ln x dx = x ⋅ ln x − ∫
x
x
dx = x ⋅ ln x − x + C.
Ïðèìåð 1.2.
∫
2
t dt
t2 +a2
dt = 12∫
d(t2 +a2 )
t2 +a2
dt = 12∫
dx
∣
x
x=t2 +a2
=
1
2
ln ∣x∣∣
x=t2 +a2
+C =
1
2
ln (t2 + a2 ) + C.
Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè
Îïðåäåëåíèå. Êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè
íàçûâàþòñÿ âûðàæåíèÿ âèäà:
z = x + iy,
ãäå
x = Rez, y = Imz ∈ R, i2 = −1.
z1 = z2 ⇐⇒ Rez1 = Rez2 è Imz1 = Imz2 Íà ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (C) íåò
îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà.
z = x+i y íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñ√
ëî ∣z∣ = x2 + y 2 . Äëÿ êàæäîãî z = x + i y ∈ C îïðåäåëåíî ñîïðÿæ¼ííîå åìó êîìïëåêñíîå
÷èñëî : z = x − i y .
Îïðåäåëåíèå. Ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
a
Âûïîëíåíû ðàâåíñòâà : z = z ;
a Óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðîâåðêîé.
z1 ± z2 = z 1 ± z 2 ;
z1 ⋅ z2 = z 1 ⋅ z 2 ;
z ⋅ z = ∣z∣2 .
Ñâîéñòâà ñîïðÿæåíèÿ.
Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè
126
Ïóñòü z1 = x1 + i y1 , z2 = x2 + i y2 . Òîãäà:
Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè.
z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i (y1 ± y2 );
z1 ⋅ z2 = (x1 ⋅ x2 − y1 ⋅ y2 ) + i (x1 ⋅ y2 + x2 ⋅ y1 );
z1
z2
=
z1 ⋅ z 2
z2 ⋅ z 2
=
(x1 +iy1 ) ⋅ (x2 −iy2 )
2
x2
2 +y2
=
x1 x2 +y1 y2
2
x2
2 +y2
+x2 y1
+ i −x1xy22+y
.
2
2
2
Ôàêòè÷åñêè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè íàçûâàþòñÿ óïîðÿäî÷åííûå ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (x, y), íà ìíîæåñòâå êîòîðûõ ââåäåíû ïðàâèëà ñðàâíåíèÿ,
ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, à ÷èñëà âèäà (x, 0) îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè.
Îïðåäåëåíèå. Êîìïëåêñíûì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè
Pn (z) = A0 + A1 z + . . . + An z n ,
Êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Pn (z)
n ∈ Z+ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ
z ∈ C, Ak ∈ C, k = 0, n, An ≠ 0
íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî z0 òàêîå, ÷òî Pn (z0 ) = 0.
Ìíîãî÷ëåí Pn (z) ìîæíî ðàçäåëèòü íà îäíî÷ëåí (z − z0 ), ò.å. ïðåäñòàâèòü
Pn (z) â âèäå:
Pn (x) = (z − z0 ) Qn−1 (z) + r,
ãäå ÷àñòíîå Qn−1 ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n − 1, à r ∈ Z îñòàòîê.
Òåîðåìà 53. (Òåîðåìà Áåçó). ×èñëî z0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Pn (z) òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà Pn (z) äåëèòñÿ íà (z − z0 ) áåç îñòàòêà.
Åñëè ìíîãî÷ëåí Pn (z) ïðè íåêîòîðîì k ∈ N, k ⩽ n ïðåäñòàâ
èì â âèäå:
Pn (z) = (z − z0 )k Qn−k (z), è íå ïðåäñòàâ
èì â âèäå
Îïðåäåëåíèå.
Pn (z) = (z − z0 )k+1 Qn−k−1 (z)a ,
òî z0 íàçûâàþò êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Pn (z) êðàòíîñòè k. Ïðè k = 1 ÷èñëî z0 íàçûâàþò
ïðîñòûì êîðíåì.
a Ò.å. Q
n−k (z0 ) ≠ 0
Òåîðåìà 54. (îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû). Âñÿêèé îòëè÷íûé îò êîíñòàíòû ìíîãî÷ëåí
èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí êîðåíü â ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò
ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè ìíîãî÷ëåíà Pn (z):
Pn (z) = An (z − z1 )k1 ⋅ (z − z2 )k2 ⋅ . . . ⋅ (z − zℓ )kℓ ,
ℓ
∑ ki = n,
i=1
ãäå z1 , . . . , zℓ êîðíè ìíîãî÷ëåíà Pn (z), êðàòíîñòè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííî
ðàâíû: k1 , . . . , kℓ .
Ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íà ïðîñòåéøèå
127
Ïóñòü Pn (z) ìíîãî÷ëåí ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, è z0 = a + i b,
b ≠ 0, åãî êîðåíü êðàòíîñòè k. Òîãäà z 0 = a − i b òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè k.
Ëåììà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èìååì,
Pn (z) = (z − z0 )k Qn−k (z) ⇔ a ⇔ Pn (z) = (z − z0 )k Qn−k (z) ⇔ b ⇔
⇔ Pn (z) = (z − z 0 )k Qn−k (z),
ãäå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà Qn−k ÿâëÿþòñÿ ñîïðÿæ¼ííûìè ê êîýôôèöèåíòàìè ìíîãî÷ëåíà Qn−k . Çàìåíèâ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå z íà z , ïîëó÷àåì,
÷òî Pn (z) = (z − z 0 ) Qn−k (z). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî z 0 êîðåíü Pn , êðàòíîñòè
k
ìåíüøå k (êðàòíîñòè z0 )c .
íå
Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè z 0 êîðåíü ìíîãî÷ëåíà Pn êðàòíîñòè
k, òî z 0 = z0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì Pn êðàòíîñòè íå ìåíüøå k. Ñëåäîâàòåëüíî,
êðàòíîñòè z0 è z 0 ñîâïàäàþò.
a Ìíîãî÷ëåí Q
n−k (z) ìîæåò èìåòü óæå íåäåéñòâèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû.
b Ñâîéñòâà ñîïðÿæåíèÿ.
c Âîçìîæíî, ìíîãî÷ëåí Q
n−k èìååò êîðåíü z 0 .
Ïðè z0 = a + ı b èìååì:
(z − z0 ) (z − z 0 ) = (z − a − ı b) (z − a + ı b) = (z − a)2 + b2 = z 2 − 2az + a2 + b2 = z 2 + pz + q,
ãäå D =
p2
4
− q = a2 − (a2 + b2 ) = −b2 < 0.
Ó÷èòûâàÿ ëåììó 1 è ïîñëåäíåå çàìå÷àíèå, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî äëÿ
ìíîãî÷ëåíà Pn ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè:
Pn (z) = An (z − a1 )α1 ⋅ . . . ⋅ (z − aℓ )αℓ ⋅ (z 2 + p1 z + q1 )β1 ⋅ . . . ⋅ (z 2 + ps z + qs )βs ,
ℓ
s
i=1
j=1
ãäå ∑ αi + 2 ∑ βj = n, An ∈ R, ai äåéñòâèòåëüíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà Pn , αi ∈ N
èõ êðàòíîñòè; z + pj z + qj = (z − zj ) (z − z j ),
2
βj ∈ N èõ êðàòíîñòè.
3
Imzj ≠ 0 êîìïëåêñíûå êîðíè Pn ,
Ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íà
ïðîñòåéøèå
Âñå ìíîãî÷ëåíû äàëåå èìåþò ëèøü âåùåñòâåííûå êîýôôèöèåíòû.
Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü
åñëè degP < degQa .
Îïðåäåëåíèå.
P
Q
(P , Q ìíîãî÷ëåíû) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé,
a Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà P ìåíüøå ñòåïåíè Q.
Ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íà ïðîñòåéøèå
128
Íåïðàâèëüíóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü (äåëåíèåì) â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà
è ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè (âîçìîæíî íóëåâîé, åñëè äåëåíèå ïðîøëî áåç
îñòàòêà).
Ïóñòü äàëåå
P
Q
ïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü, êðàòíîñòè α ⩾ 1 ìíîãî÷ëåíà
̃ , è Q(a)
̃
Q, ò.å. Q = (z − a)α ⋅ Q(z)
≠ 0.
̃(z)
P (z)
P
A
Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå: Q(z)
= (z−a)
, ãäå A ∈ R, à äðîáü
α + (z−a)α−1 Q(z)
̃
Ëåììà.
̃(z)
P
̃
(z−a)α−1 Q(z)
ïðàâèëüíàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðè ∀A ∈ R èìååì:
P (z)
Q(z)
−
A
(z−a)α
=
̃
P (z)−A Q(z)
.
̃
(z−a)α ⋅Q(z)
(1)
Âûáåðåì A èç óñëîâèÿ, ÷òîáû a áûëî êîðíåì ÷èñëèòåëÿ ïðàâîé ÷àñòè, ò.å.
A=
P (a)
.
̃
Q(a)
̃
Òîãäà ïî òåîðåìå Áåçó: P (z)−A Q(z)
= (z −a) P̃(z). Ïîäñòàâëÿÿ äàííîå
ðàâåíñòâî â ôîðìóëó (1), è ñîêðàùàÿ ïîñëåäíþþ äðîáü íà (z − a), ïîëó÷àåì
òðåáóåìîå.
Ëåììà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî z0 = a + ı b, b ≠ 0 êîðåíü, êðàòíîñòè β ⩾ 1 ìíîãî÷ëåíà Q,
ò.å. ïðè z 2 + pz + q = (z − z0 )(z − z 0 ) âûïîëíåíî:
̃
Q(z) = (z 2 + pz + q)β Q(z),
Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå:
ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü
Äîêàçàòåëüñòâî.
P (z)
Q(z)
̃(z)
P
̃
(z 2 +pz+q)β−1 Q(z)
=
̃ + ı b) ≠ 0.
Q(a
M z+N
(z 2 +pz+q)β
+
̃(z)
P
,
̃
(z 2 +pz+q)β−1 Q(z)
ãäå M, N ∈ R, à
ïðàâèëüíàÿ.
Ïðè ∀M, N ∈ R èìååì:
P (z)
Q(z)
−
M z+N
(z 2 +pz+q)β
=
̃
P (z)−(M z+N ) Q(z)
.
̃
(z 2 +pz+q)β Q(z)
(2)
Âûáåðåì M è N òàê, ÷òîáû ÷èñëèòåëü ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2) äåëèëñÿ
íà (z + pz + q), ò.å., ÷òîáû a + ı b ÿâëÿëîñü åãî êîðíåì. Èìååì,
2
̃ + ı b) = 0 ⇐⇒ M (a + ı b) + N =
P (a + ı b) − (M (a + ı b) + N ) Q(a
P (a+ı b)
.
̃
Q(a+ı
b)
Îòêóäà, ñîïîñòàâëÿÿ äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè, ïîëó÷àåì:
M=
1
b
P (a+ı b)
⋅ Im [ Q(a+ı
],
̃
b)
P (a+ı b)
N = Re [ Q(a+ı
] − M a;
̃
b)
Ïóñòü P è Q ìíîãî÷ëåíû ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè;
âèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü.
Ëåììà.
Q(z) = (z − a1 )α1 ⋅ . . . ⋅ (z − aℓ )αℓ ⋅ (z 2 + p1 z + q1 )β1 ⋅ . . . ⋅ (z 2 + ps z + qs )βs
P
Q
ïðà-
Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
Òîãäà
P (z)
Q(z)
ℓ αi −1
=∑ ∑
i=1 k=0
129
s βj −1
+∑ ∑
Aik
(z−ai )αi −k
j=1 m=0
Mjm z+Njm
β −m ,
(z 2 +pj z+qj ) j
(3)
Aik , Mjm , Njm ∈ R.
Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì ìíîãîêðàòíîì
Äîêàçàòåëüñòâî.
ïðèìåíåíèè ëåìì 2, 3. Èìåííî, ïðèìåíÿåì ñíà÷àëà ëåììó 2 ïî îòíîøåíèþ
ê êîðíþ a1 , α1 ðàç, çàòåì ëåììó 2 ïî îòíîøåíèþ ê êîðíþ a2 , α2 ðàç è ò.ä.
Îïðåäåëåíèå.
Ðàöèîíàëüíûå äðîáè âèäà:
a, p, q, A, M, N ∈ R;
p2
4
A
,
(z−a)n
A≠0 è
M z+N
,
(z 2 +pz+q)n
M 2 + N 2 ≠ 0; n ∈ N,
− q < 0, íàçûâàþòñÿ ïðîñòåéøèìè ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè.
Ïðè íàõîæäåíèè êîýôôèöèåíòîâ Aik , Mjm , Njm â ðàçëîæåíèè (3) ïðàâèëüíîé
ðàöèîíàëüíîé äðîáè íà ïðîñòåéøèå, â ñëó÷àå êîíêðåòíîé äðîáè
P
Q
îáû÷íî ïðèìå-
ìåòîä íåîïðåäåë¼ííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Îí ñîñòîèò â òîì, ÷òî çàïèñûâàþò ðàçëîæåíèå (3) ñ íåîïðåäåë¼ííûìè êîýôôèöèåíòàìè Aik , Mjm , Njm , ïðèâîäÿò âñå äðîáè
íÿþò
ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, è îòáðàñûâàþò åãî. Èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ íàõîäÿò âñå íóæíûå êîýôôèöèåíòû, ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ.
4
Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
Êàê ìû âèäåëè âûøå, âîïðîñ èíòåãðèðîâàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñâîäèòñÿ ê
âîïðîñó èíòåãðèðîâàíèÿ ïðîñòåéøèõ äðîáåé.
1. Èíòåãðàë ∫
ëè÷íîìó.
dx ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè t = x − a ñâîäèòñÿ ê òàá-
A
(x−a)n
2.
I=∫
=
M
2
M x+N
x2 +px+q
∫
dt
t2 +a2
=
Iλ=∫
M x+N
(x2 +px+q)λ
1
a2
∫
(2x+p) dx
x2 +px+q
ln (x + px + q) + (N −
2
=
a
dx = M
2 ∫
dt
(t/a)2 +1
M
2
=
1
a
ln (x2 + px + q) +
∫
d(t/a)
(t/a)2 +1
=
1
a
+ (N −
Mp
)∫
2
Mp
)∫
2
dx
x2 +px+q
p
d(x+ )
2
√
2
p 2 ⎛
p2 ⎞
⎟
(x+ ) +⎜ q−
2
4 ⎠
⎝
N −(M p)/2
√
p2
q−
4
x+
arctg √
p
2
q−
p2
4
=
q−
=a=
+ C.
arctg at .
3.
dx = M
2 ∫
= −M
2
2x+p
dx
(x2 +px+q)λ
1
1
λ−1 (x2 +px+q)λ−1
+ (N −
+ (N −
Mp
)∫
2
Mp
)∫
2
dx
√
2 λ
⎛
p 2 ⎛
p2 ⎞ ⎞
⎜(x+ ) +⎜ q−
⎟ ⎟
2
4
⎝
⎝
⎠ ⎠
p
d(x+ )
2
√
2 λ
⎛
p 2 ⎛
p2 ⎞ ⎞
⎟ ⎟
⎜(x+ ) +⎜ q−
2
4
⎝
⎠ ⎠
⎝
=
p2
4
> 0.
Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ êëàññîâ ôóíêöèé
130
dt
Îñòà¼òñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàë Jλ =∫ (t2 +a
2 )λ . Äëÿ íåãî èìååì:
Jλ =∫
t2 +a2 −t2
(t2 +a2 )λ
dt
=1
(t2 +a2 )λ a2 ∫
=
1
J
a2 λ−1
+
=
−
1
J
a2 λ−1
t
2a2 (λ−1)(t2 +a2 )λ−1
−
1
2a2
d(t +a )
a
∫ t (t2 +a2 )λ = =
2
2
1
J .
2a2 (λ−1) λ−1
Îòêóäà,
Jλ =
t
2a2 (λ−1)(t2 +a2 )λ−1
Êðîìå òîãî, J1 = ∫
+
2λ−3
J ;
2a2 (λ−1) λ−1
dt
t2 +a2
=
1
a
arctg at + C.
Äàëåå òðåáóåòñÿ ñäåëàòü îáðàòíóþ ïîäñòàíîâêó: t = x +
p
,
2
a=
√
q−
p2
.
4
a d(t2 +a2 ) = d ( (t2 +a2 )−λ+1 )
−λ+1
(t2 +a2 )λ
Èòàê, èíòåãðàëû îò âñåõ ïðîñòåéøèõ äðîáåé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè. Òåì ñàìûì ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé òåîðåìå, èñ÷åðïûâàþùåé ïðîáëåìó èíòåãðèðîâàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé.
Òåîðåìà 55.
5
Âñÿêàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü èíòåãðèðóåìà â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.
Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ êëàññîâ ôóíêöèé
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðèðóåìîñòè â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ íåêîòîðûõ âûðàæåíèé ìû áóäåì ïîñðåäñòâîì ñïåöèàëüíî ïîäîáðàííîé çàìåíû ñâîäèòü èíòåãðàë îò ðàññìàòðèâàåìûõ âûðàæåíèé ê èíòåãðàëó îò ðàöèîíàëüíîé äðîáè (èíòåãðèðóåìîñòü êîòîðûõ äîêàçàíà). Ïðè ýòîì, ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ óêàçàííîé ñïåöèàëüíîé ïîäñòàíîâêîé.
1.
Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé;
Ðàññìîòðèì ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ âèäà:
R(sin x, cos x) =
Pn (sin x, cos x)
.
Qm (sin x, cos x)
Èíòåãðàë îò ýòîé ôóíêöèè ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ñëåäóþùåé ïîäñòàíîâêîé t = tg
x
2
sin x =
(óíèâåðñàëüíàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ çàìåíà ):
x
x
2 sin cos
2
2
x
x
2
2
cos
+sin
2
2
=
2 tg
x
2
x
2
1+tg2
=
2t
;
1+t2
cos x =
x = 2 arctg t, dx =
cos2
cos2
x
−sin2
2
x
+sin2
2
x
2
x
2
=
1−tg2
1+tg2
x
2
x
2
=
1−t2
;
1+t2
2 dt
.
1+t2
Ñëåäîâàòåëüíî,
2
2t
1−t
∫ R(sin x, cos x) = ∫ R ( 1+t2 , 1+t2 )
2 dt
.
1+t2
Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ îò îäíîé ïåðåìåííîé.
2.
Èíòåãðèðîâàíèå äðîáíî-ëèíåéíûõ èððàöèîíàëüíîñòåé;
Ðàçëè÷íûå ïðèìåðû èç òåîðèè íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
131
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ âèäà:
R (x,
Èíòåãðàë
√
t =
n
îò
√
n
òàêîé
ãäå a, b, c, d ∈ R, ad − bc ≠ 0.
ôóíêöèè
ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ
ïîäñòàíîâêîé
ax+b
:
cx+d
tn =
x=
ax+b
;
cx+d
Ïîýòîìó:
∫ R (x,
3.
ax+b
),
cx+d
√
n
ax+b
)
cx+d
dtn −b
,
a−ctn
dx =
(ad−bc)ntn−1
(a−ctn )2
n
dt −b
= ∫ R ( a−ct
n , t)
dt.
(ad−bc)ntn−1
(a−ctn )2
dt.
Èíòåãðèðîâàíèå êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé;
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ âèäà:
R (x,
√
ax2 + bx + c) , ãäå a, b, c ∈ R, è ax2 + bx + c > 0 ∀x ∈ R.
Ñäåëàåì ñëåäóþùóþ ïîäñòàíîâêó:
t=
√
√
ax2 + bx + c + x a
(ïåðâàÿ ïîäñòàíîâêà Ýéëåðà)
√
√
√
ax2 + bx + c = t − x a ⇐⇒ bx + c = t2 − 2 a tx ⇒
√ 2
√ 2
√
√
√
2
a t +bt+c a
a
√
⇒ x = 2√t a−c
, dx = 2 (2
ax2 + bx + c = a2t√+bt+c
,
dt,
t+b
a t+b)2
a t+b
√
√
√
√
√
2
2
a t +bt+c a
a t +bt+c a
t2 −c
2
∫ R (x, ax + bx + c) dx = ∫ R ( 2√a t+b , 2√a t+b ) 2 (2√a t+b)2 dt
Ïóñòü òåïåðü âûïîëíåíî
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ), x1 ≠ x2 .
Ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó
t=
√
√
ax2 +bx+c
x−x1
=
√
√
x−x
a √x−x21 (âòîðàÿ ïîäñòàíîâêà Ýéëåðà)
ax2 + bx + c = t (x − x1 ) ⇔ ax2 + bx + c = t2 (x − x1 )2 ⇐⇒
±
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
∶(x−x1 )
=a(x−x1 )(x−x2 )
⇐⇒ a(x − x2 ) = t (x − x1 ) ⇒ x =
2
Ô⇒ ∫ R (x,
6
√
dx =
−ax2 +x1 t2
,
t2 −a
2a (x1 −x2 ) t
(t2 −a)2
√
ax2 + bx + c =
a (x1 −x2 )
t2 −a
t,
dt.
2
−x2 )
1t
ax2 + bx + c) dx = ∫ R ( −axt22+x
, a (xt21−a
t)
−a
2a (x1 −x2 ) t
(t2 −a)2
dt.
Ðàçëè÷íûå ïðèìåðû èç òåîðèè íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
Ïðèìåð 6.1. (ïðèìåð ôóíêöèè ñ ðàçðûâîì ïåðâîãî ðîäà, íå èìåþùåé ïåðâîîáðàçíîé)
⎧
⎪
⎪−1,
⎪
⎪
⎩ 1,
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = ⎨
x ⩽ 0,
x > 0.
Ðàçëè÷íûå ïðèìåðû èç òåîðèè íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
132
Îíà èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (−∞, 0) è (0, +∞):
⎧
⎪
⎪−x + C1 ,
F (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ x + C2 ,
x 0.
Ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ êîíñòàíò C1 è C2 ôóíêöèÿ F íå áóäåò èìåòü ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x = 0. Ò.ê. ýòî áóäåò òî÷êà ðàçðûâà (ïåðâîãî ðîäà) äëÿ
ôóíêöèè F (ïðè C1 ≠ C2 ), èëè òî÷êà íåñóùåñòâîâàíèÿ ïðîèçâîäíîé (èçëîìà) ôóíêöèè F (ïðè C1 = C2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè
f íå ñóùåñòâóåò íà íà îäíîì èíòåðâàëå, ñîäåðæàùåì òî÷êó x = 0.
Ïðèìåð 6.2. (ïðèìåð ôóíêöèè ñ ðàçðûâîì âòîðîãî ðîäà, íå èìåþùåé ïåðâîîáðàçíîé)
Ðàññìîòðèì íà îòðåçêå ôóíêöèþ:
⎧
1
⎪
⎪
⎪ ,
x
f (x) = ⎨
⎪
⎪ 0,
⎪
⎩
åñëè
x ≠ 0,
åñëè
x = 0.
Âî âñåõ òî÷êàõ ñåãìåíòà ïðÿìîé R, êðîìå x = 0 âûïîëíÿåòñÿ:
′
( ln ∣x∣ + C) =
1
.
x
 òî÷êå æå x = 0 ôóíêöèÿ ln ∣x∣ íå îïðåäåëåíà è ïðîèçâîäíîé â íóëå ó íå¼ íåò.
Äîîïðåäåëèòü ôóíêöèþ â òî÷êå x = 0 òàê, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà ïðîèçâîäíàÿ
äîîïðåäåë¼ííîé ôóíêöèè
⎧
⎪
⎪ln ∣x∣ + C1 ,
F (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ln x + C2 ,
åñëè x < 0,
åñëè x > 0.
íåëüçÿ, ò.ê. ïðè ëþáûõ âåùåñòâåííûõ C1 è C2 ôóíêöèÿ F îêàçûâàåòñÿ ðàçðûâíîé â íóëå è íå èìååò ïðîèçâîäíîé.
Ïðèìåð 6.3. (ïðèìåð ôóíêöèè ñ ðàçðûâîì âòîðîãî ðîäà, èìåþùåé ïåðâîîáðàçíóþ)
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
⎧
1
1
⎪
⎪
⎪2x sin − cos ,
x
x
f (x) = ⎨
⎪
⎪
0,
⎪
⎩
åñëè x ≠ 0,
åñëè x = 0,
èìåþùóþ â íóëå ðàçðûâ âòîðîãî ðîäà. Äëÿ íå¼ ïåðâîîáðàçíîé áóäåò ôóíêöèÿ
⎧
1
2
⎪
⎪
⎪x sin + C,
x
F (x) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩ C,
åñëè x ≠ 0,
åñëè x = 0.
, ãäå C = const.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî F ∈ C((a, b)), è c ∈ (a, b), à ôóíêöèÿ f ∶ (a, b) ↦
R íåïðåðûâíà â òî÷êå c. Ïóñòü òàêæå, F åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ f íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ
(a, c) è (c, b). Òîãäà F åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f è íà âñ¼ì èíòåðâàëå (a, b).
Óòâåðæäåíèå 6.1.
Èäåÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèìåðà:
âçÿòü ôóíêöèþ x2 sin x1 è
ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü å¼.
Ðàçëè÷íûå ïðèìåðû èç òåîðèè íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïî óñëîâèþ èìååì, ÷òî
F ′ (x) = f (x) ïðè x ∈ (a, c) ∪ (c, b).
Ñëåäîâàòåëüíî, îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷′
êå c è ÷òî F (c) = f (c).
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } → c − 0. Íà îòðåçêå [xn , c] äëÿ F âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Ëàãðàíæà î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ. Ïî ýòîé
òåîðåìå ∃ξn ∈ (xn , c):
F (xn ) − F (c)
= F ′ (ξn ) = f (ξn ).
xn − c
Ò.ê. xn < ξn < c, òî ïðè xn → c − 0 ïîëó÷àåì, ÷òî ξn → c − 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â
′
ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â òî÷êå c, ïîëó÷àåì F− (c) = f (c). Àíàëîãè÷íî,
′
′
áåðÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } → c + 0, ïîëó÷àåì F+ (c) = f (c). Îòêóäà, ∃F (c) è
′
F (c) = f (c).
Äîêàçàííîå óòâåðæäåíèå, áåçóñëîâíî, ýëåìåíòàðíî îáîáùàåòñÿ íà ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç îáúåäèíåíèÿ íåñêîëüêèõ èíòåðâàëîâ.
Ïðèìåð 6.4.
Ðåøåíèå.
Âû÷èñëèì èíòåãðàë ∫ ∣x∣ dx;
Äåéñòâèòåëüíî,
⎧
⎪
⎪− ∫ x dx,
∫ ∣x∣ dx = ⎨
⎪
⎪
⎩ ∫ x dx,
⎧
2
⎪
⎪−x /2 + C1 ,
= ⎨ 2
⎪
⎪
x≥0
⎩ x /2 + C2 ,
x 0 çäåñü èìååòñÿ ââèäó f ′ (x) > 0 äëÿ ∀x ∈ (a, b)
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ëåâûé ñòîëáåö (äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ) è òðåòüÿ ñòðîêà óæå
îáñóæäàëèñü ïðè ðàññìîòðåíèè òåîðåìû Ëàãðàíæà:
f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (ξ) ⋅ (x2 − x1 ) , ãäå x1 , x2 ∈ (a, b), ξ ∈ (x1 , x2 ).
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
>0 ïðè x1 0, òî f (x+∆x)−f (x)>0, à åñëè ∆x < 0, òî f (x+∆x)−f (x) 0 ïðè x ∈
U− (x0 )a è f ′ (x) < 0 ïðè x ∈ U+ (x0 ). Òîãäà èç òåîðåìû Ëàãðàíæà:
f (x) − f (x0 ) = f ′ (ξ)(x − x0 ) < 0.
○
Îòêóäà, f (x) − f (x0 ) < 0 äëÿ ∀x ∈U(x0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, x0 òî÷êà
ñòðîãîãî
ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà.
a U− (x ) = {x ∈ U(x ) ∣ x < x }, U+ (x ) = {x ∈ U(x ) ∣ x > x }.
0
0
0
0
0
0
Çàì.
Åñëè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó x0 ïðîèçâîäíàÿ f
′
çíàê íå ìå-
íÿåò, òî ó ôóíêöèè f â x0 ýêñòðåìóìà íåò (ñì. óòâåðæäåíèå îá
óñëîâèÿõ ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè).
Óñëîâèÿ ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè óñëî-
âèÿìè ýêñòðåìóìà.
Ïðèìåð 1.1.
Ò.ê. 2 + sin
1
x
⎧
2
1
⎪
⎪1 − x (2 + sin x )
f (x) = ⎨
⎪
⎪
1
⎩
, x ≠ 0,
, x = 0.
> 0, òî f (0) = fmax = 1. Îäíàêî,
f ′ (x) = −2x (2 + sin
1
1
1
1
) − x2 cos (− 2 ) = cos + O(x),
x
x
x
x
ò.å. çíàê f ′ ñîâïàäàåò ñî çíàêîì cos x1 . Ïîýòîìó, f íå âîçðàñòàåò è íå óáûâàåò â ëþáîé
ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 = 0 ñëåâà è ñïðàâà.
Óñëîâèÿ ìîíîòîííîñòè. Òî÷êè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà
138
Ïðèìåð 1.2.
⎧
2
1
⎪
⎪x sin x , x ≠ 0,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
0
, x = 0.
⎩
Òî÷êà x0 = 0 íå ÿâëÿåòñÿ íè òî÷êîé ýêñòðåìóìà, íè òî÷êîé âîçðàñòàíèÿ, íè òî÷êîé
óáûâàíèÿ ôóíêöèè f .
Óòâåðæäåíèå 1.4. (äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òî÷åê ñòðîãîãî ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà, òî÷åê
âîçðàñòàíèÿ/óáûâàíèÿ â òåðìèíàõ ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ).
f ′ (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0,
Ïóñòü
f (n) (x0 ) ≠ 0.
Òîãäà
1. ïðè ÷¼òíîì n = 2k, x0 òî÷êà ñòðîãîãî ýêñòðåìóìà (ñòðîãîãî ìèíèìóìà ïðè
f (2k) (x0 ) > 0, ñòðîãîãî ìàêñèìóìà ïðè f (2k) < 0);
2. ïðè íå÷¼òíîì n = 2k + 1, x0 òî÷êà âîçðàñòàíèÿ (òî÷êà óáûâàíèÿ)a ïðè
f (2k+1) (x0 ) > 0 (f (2k+1) (x0 ) < 0).
a òî÷íåå, äàæå òî÷êà ïåðåãèáà, ñì. äàëåå
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå
Ïåàíî, ïîëó÷àåì:
f (x)−f (x0 ) =
Ïîñêîëüêó f
(n)
f (n) (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )n + o((x − x0 )n )a=(
+α(x))(x − x0 )n .
n!
n!
(x0 ) ≠ 0, à α(x) ÐÐÐ→ 0, òî ñóììà
x→x0
(∗)
f (n) (x0 )
+ α(x) èìååò çíàê
n!
f (n) (x0 ), êîãäà x äîñòàòî÷íî áëèçêî ê x0 . Åñëè n íå÷¼òíî, òî ïðè ïåðåõîäå
n
÷åðåç x0 ñîìíîæèòåëü (x − x0 ) ìåíÿåò çíàê (ñ - íà +), è òîãäà èçìåíèòñÿ
çíàê âñåé ïðàâîé, à çíà÷èò è ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (∗). Çíà÷èò ïðè n =
2k + 1 ïîëó÷àåì: x0 òî÷êà âîçðàñòàíèÿ ïðè f (2k+1) (x0 ) > 0 è óáûâàíèÿ ïðè
f (2k+1) (x0 ) < 0. Ýêñòðåìóìà íåò.
Åñëè n ÷¼òíî, òî (x − x0 ) > 0 ïðè x ≠ x0 è, ñëåäîâàòåëüíî, â ìàëîé îêðåñòíîn
ñòè òî÷êè x0 çíàê ðàçíîñòè f (x)−f (x0 ), êàê âèäíî èç ðàâåíñòâà (∗) ñîâïàäàåò
ñî çíàêîì f
(n)
(x0 ).
a o((x − x )n ) = α(x) ⋅ (x − x )n , ãäå α(x) ÐÐÐ→ 0
0
0
x→x0
Óñëîâèÿ ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè. Ïóñòü
⎧
−1/x2
⎪
, x ≠ 0,
⎪e
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 0, x = 0.
−1/x2
Ò.ê. e
,
> 0 = f (0), òî x = 0 òî÷êà ìèíèìóìà, íî f (k) (0) = 0 äëÿ ∀k ∈ N.
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà
2
139
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà.
Ôóíêöèÿ f ∶ E ↦ R íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé ââåðõ íà èíòåðâàëå (a, b) ⊂ E,
åñëè ∀x1 , x2 ∈ (a, b) è ∀λ ∈ (0, 1), âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:
Îïðåäåëåíèå.
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ⩾ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
Åñëè äàííîå íåðàâåíñòâî, ïðè x1 ≠ x2 ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì, òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ
ñòðîãî âûïóêëîé ââåðõ íà (a, b).
Ãåîìåòðè÷åñêè óñëîâèå f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ⩾ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) âûïóêëîñòè ââåðõ
ôóíêöèè f îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè ëþáîé äóãè ãðàôèêà ôóíêöèè ëåæàò íàä
õîðäîé, ñòÿãèâàþùåé ýòó äóãó.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè äëÿ ôóíêöèè f ∶ E ↦ R èìååò ìåñòî îáðàòíîå íåðàâåíñòâî, ò.å.
∀x1 , x2 ∈ (a, b) è ∀λ ∈ (0, 1), âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ⩽ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ),
òî f íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé âíèç íà èíòåðâàëå (a, b).a
a Èíîãäà âûïóêëûå ââåðõ ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ âîãíóòûìè, à âûïóêëûå âíèç âûïóêëûìè.
Äëÿ âûïóêëîé âíèç ôóíêöèè ñïðàâåäëèâû âñå çàìå÷àíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåä¼ííûì âûøå. Ïîñêîëüêó âñå äàëüíåéøèå ïîñòðîåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ îäèíàêî-
ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì âûïóêëûõ
âíèç ôóíêöèé. Êðîìå òîãî, åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç, òî −f âûïóêëà ââåðõ.
âî äëÿ ôóíêöèé, âûïóêëûõ ââåðõ èëè âíèç,
1
Ïóñòü äàëåå x1 < x2 . Ïîëîæèì x = λ x1 + (1 − λ) x2 . Ðåøèâ äàííîå óðàâíåíèå
îòíîñèòåëüíî λ ïîëó÷àåì:
λ=
x2 − x
,
x2 − x1
(1 − λ) =
x − x1
.
x2 − x1
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ⩽ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) ⇔ f (x) ⩽
x2 − x
x − x1
f (x1 ) +
f (x2 ) ⇔
x2 − x1
x2 − x1
Ãðàôèê ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà õîðäà, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè
(x1 , f (x1 )) è (x2 , f (x2 )).
⋅(x2 −x1 )
⇐⇒ (x2 − x1 )f (x) ⩽ (x2 − x)f (x1 ) + (x − x1 )f (x2 ) ⇔ 2
1
⋅ (x −x)(x−x
2
1)
⇐⇒
f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x)
⩽
,
x − x1
x2 − x
ïðè x1 < x < x2 , ∀x1 , x2 ∈ (a, b).
Íåðàâåíñòâî (○) ÿâëÿåòñÿ èíîé ôîðìîé çàïèñè îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîñòè
Ãåîìåòðè÷åñêè äàííîå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî óãëîâîé êîýôôèöèåíò õîðäû, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè (x1 , f (x1 )) è
(x, f (x)) íå áîëüøå óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà õîðäû, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè
(x, f (x)) è (x2 , f (x2 )).
âíèç ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b).
Ïîêàæåì, ÷òî âûïóêëûå ôóíêöèè äîëæíû áûòü äîñòàòî÷íî õîðîøèìè.
1 êîãäà λ ïðîáåãàåò èíòåðâàë (0, 1), x ïðîáåãàåò âñå òî÷êè (x , x ).
1 2
2x − x = x − x + x − x .
2
1
2
1
(○)
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà
140
Ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç íà èíòåðâàëå (a, b) òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà ∀x1 , x, x2 ∈ (a, b), x1 < x < x2 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
Ëåììà (î òð¼õ õîðäàõ).
O
O
f (x) − f (x1 ) 1 f (x2 ) − f (x1 ) 2 f (x2 ) − f (x)
⩽
⩽
.
x − x1
x2 − x1
x2 − x
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íåîáõîäèìîñòü. Îáúåäèíÿÿ íåðàâåíñòâà
O1 O2
è
ïîëó÷èì
íåðàâåíñòâî (○), êîòîðîå, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, ýêâèâàëåíòíî âûïóêëîñòè âíèç.
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç, λ ∈ (0, 1), è
x1 < x = λ x1 + (1 − λ) x2 < x2 .
Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîé âíèç ôóíêöèè:
f (x) ⩽ λ f (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ).
Îòêóäà, f (x) − f (x2 ) ⩽ λ (f (x1 ) − f (x2 )), è ïðè λ =
f (x2 ) − f (x) ⩾
x2 − x
:
x2 − x1
O
O1
f (x2 )−f (x1 ) f (x2 )−f (x)
x2 − x
(f (x2 ) − f (x1 )) ⇔
⩽
⇒ 2.
x2 − x1
x2 − x1
x2 − x
x−x1
Àíàëîãè÷íî, èç òîãî æå íåðàâåíñòâà
(x) ⩽ λ f (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ïîëó÷àåì:
1−λ= f
x −x
f (x) − f (x1 ) ⩽ (1 − λ)(f (x2 ) − f (x1 ))
⇐⇒
2
1
f (x)−f (x1 ) f (x2 )−f (x1 )
⩽
⇒
x − x1
x2 − x1
.
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü f ∶ (a, b) ↦ R, x0 ∈ (a, b) ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà,
F (x) =
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Òîãäà, åñëè f âûïóêëàÿ âíèç ôóíêöèÿ, òî F íå óáûâàåò íà (a, b) ∖ {x0 }. Ïðè÷¼ì
ñòðîãàÿ âûïóêëîñòü âëå÷¼ò çà ñîáîé ñòðîãîå âîçðàñòàíèå F .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü x, y ∈ (a, b) ∖ {x0 }, x < y . Äîêàæåì íåðàâåíñòâî
F (x) ⩽ F (y).
Ïîëüçóÿñü ëåììîé î òð¼õ õîðäàõ, ïîëó÷èì:
O1
O1
O2
Ô⇒
f (x) − f (x0 ) f (y) − f (x0 )
⩽
ïðè x0 < x < y;
x − x0
y − x0
Ô⇒
f (x0 ) − f (x) f (y) − f (x0 )
⩽
ïðè x < x0 < y;
x0 − x
y − x0
Ô⇒
f (x0 ) − f (x) f (x0 ) − f (y)
⩽
ïðè x < y < x0 .
x0 − x
x0 − y
Êàæäîå èç ýòèõ íåðàâåíñòâ ýêâèâàëåíòíî F (x) ⩽ F (y).
Òåîðåìà 56. (îá îäíîñòîðîííèõ ïðîèçâîäíûõ âûïóêëîé ôóíêöèè). Ïóñòü ôóíêöèÿ f
âûïóêëà âíèç íà îòðåçêå [a, b]. Òîãäà ∀x0 ∈ (a, b) ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå
ïðîèçâîäíûå f−′ (x0 ) è f+′ (x0 ). Ïðè÷¼ì, f−′ (x0 ) ⩽ f+′ (x0 ).
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà
141
F ∶ [a, b]∖{x0 } ↦ R, îïðåäåf (x) − f (x0 )
ë¼ííóþ ôîðìóëîé F (x) =
. Ò.ê. ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç íà [a, b],
x − x0
òî F ïî ñëåäñòâèþ èç ëåììû î òð¼õ õîðäàõ íå óáûâàåò. Â ñèëó ëåììû èç
òåîðåìû î òî÷êàõ ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè ∀x0 ∈ (a, b) ∃ lim F (x) è
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è âûøå, ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
x→x0 +0
∃ lim F (x), êîòîðûå è åñòü f+′ (x0 ) è f−′ (x0 ) ñîîòâåòñòâåííî.
x→x0 −0
Ïóñòü x, y ∈ [a, b], x < x0 < y . Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ èç ëåììû î òð¼õ õîðäàõ,
F (x) ⩽ F (y). Óñòðåìëÿÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå x è y ê x0 ñîîòâåòñòâåííî ñëåâà
′
′
è ñïðàâà, ïîëó÷èì f− (x0 ) ⩽ f+ (x0 ).
Àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ è äëÿ âûïóêëûõ ââåðõ ôóíêöèé.
Ñëåäñòâèå 1 (íåïðåðûâíîñòü âûïóêëûõ ôóíêöèé). Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà ïðîìåæóòêå , òî îíà íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (a, b).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x0 ∈ (a, b). Èç ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íûõ ïðîèçâîäíûõ
f±′ (x0 ) ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå x0 ñïðàâà è ñëåâà. Ïîýòîìó
f íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 .
√
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = 1 − 1 − x2 íà (−1, 1)a . Ïîëó÷àåì f ′ (x) =
Ô⇒ f+′ (−1) = −∞, f−′ (1) = +∞, x ∈ (−1, 1).
Ïðèìåð 2.1.
x
√
1 − x2
a èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç íà èíòåðâàëå
(−1, 1).
√
⎧
⎪
⎪1 − 1 − x2 ,
Ïðèìåð 2.2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = ⎨
⎪
⎪
2,
⎩
Ïîëó÷àåì, f ∈ C(−1, 1), íî f (x) ∉ C[−1, 1].
x ∈ (−1, 1),
x = −1 èëè x = 1.
Ïîëó÷åííûå ðàíåå óñëîâèÿ âûïóêëîñòè óäîáíû ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè
çðåíèÿ, íî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ íåîáõîäèìî èìåòü àíàëèòè÷åñêèé êðèòåðèé.
Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî
ôóíêöèÿ f ∶ (a, b) ↦ R äèôôåðåíöèðóåìà íà (a, b) è âûïóêëà
âíèç. Âûïèøåì íåðàâåíñòâî (○) (óñëîâèå âûïóêëîñòè âíèç), óñòàíîâëåííîå ðàíåå:
f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x)
,
⩽
x − x1
x2 − x
x1 < x < x2 .
Óñòðåìëÿÿ â í¼ì ïåðåìåííóþ x ïîî÷åð¼äíî ê x1 è x2 , ïîëó÷àåì:
f ′ (x1 ) ⩽
÷òî óñòàíàâëèâàåò
f (x2 ) − f (x1 )
⩽ f ′ (x2 ),
x2 − x1
ìîíîòîííîñòü ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ ñòðîãî âûïóêëîé ôóíêöèè íåðàâåíñòâî (○) ñòðîãîå, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Ëàãðàíæà, íàõîäèì:
f ′↗
f ′ (x1 ) ⩽ f ′ (ξ1 )
Ëàãð.
=
f (x) − f (x1 ) (○) f (x2 ) − f (x)
<
x − x1
x2 − x
Ëàãð.
=
x1 < ξ1 < x < ξ2 < x2 ,
ò.å.
f ′↗
f ′ (ξ2 ) ⩽ f ′ (x2 ),
ñòðîãàÿ âûïóêëîñòü âëå÷¼ò ñòðîãóþ ìîíîòîííîñòü ïðîèçâîäíîé.
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà
142
Èòàê, åñëè äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç íà èíòåðâàëå
(a, b), òî å¼ ïðîèçâîäíàÿ f ′ íå óáûâàåò íà (a, b), à â ñëó÷àå ñòðîãîé âûïóêëî′
ñòè âíèç å¼ ïðîèçâîäíàÿ f âîçðàñòàåò íà (a, b).
Äîêàæåì, ÷òî ýòî íå òîëüêî íåîáõîäèìîå, íî è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå âûïóêëîñòè
äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè. Â ñàìîì äåëå, äëÿ
a < x1 < x < x2 < b
ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà, ïîëó÷àåì:
f (x) − f (x1 )
= f ′ (ξ1 ),
x − x1
′
f (x2 ) − f (x)
= f ′ (ξ2 ), ãäå x1 < ξ1 < x < ξ2 < x2 ,
x2 − x
′
è åñëè f (ξ1 ) ⩽ f (ξ2 ), òî âûïîëíåíî óñëîâèå âûïóêëîñòè (○) (èëè ñòðîãîé âûïóê′
′
ëîñòè, åñëè f (ξ1 ) < f (ξ2 )). Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Óòâåðæäåíèå 2.1. (êðèòåðèé âûïóêëîñòè). Äëÿ òîãî, ÷òîáû äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà
èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèÿ f áûëà âûïóêëà âíèç íà ýòîì èíòåðâàëå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû å¼ ïðîèçâîäíàÿ f ′ íå óáûâàëà íà (a, b). Ïðè ýòîì ñòðîãîìó âîçðàñòàíèþ
f ′ ñîîòâåòñòâóåò ñòðîãàÿ âûïóêëîñòü âíèç ôóíêöèè f .
Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f ∶ (a, b) ↦ R, èìåþùàÿ íà (a, b) âòîðóþ
ïðîèçâîäíóþ, áûëà âûïóêëîé âíèç íà ýòîì èíòåðâàëå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
íà (a, b) âûïîëíÿëîñü f ′′ (x) ⩾ 0. Åñëè æå f ′′ (x) > 0 íà (a, b), òî ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
ãàðàíòèðîâàòü ñòðîãóþ âûïóêëîñòü âíèç ôóíêöèè f .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äàííîå ñëåäñòâèå ïîëó÷àåòñÿ ñîïîñòàâëåíèåì óòâåðæäåíèé
5 è 1.
Àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ
âûïóêëûõ ââåðõ ôóíêöèé.
Äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà
èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç íà ýòîì èíòåðâàëå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ ãðàôèê âñåìè ñâîèìè òî÷êàìè ëåæèò íå íèæå ëþáîé ïðîâåä¼ííîé ê íåìó
êàñàòåëüíîé. Ïðè ýòîì äëÿ ñòðîãî âûïóêëîñòè ôóíêöèè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå òî÷êè ãðàôèêà, çà èñêëþ÷åíèåì ñàìîé òî÷êè êàñàíèÿ, ëåæàëè ñòðîãî âûøå ýòîé
êàñàòåëüíîé.
Óòâåðæäåíèå 2.2. (ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ âûïóêëîñòè).
Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà íà
(a, b) è âûïóêëà âíèç. Âûáèðàåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x0 ∈ (a, b). Óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé ê Γf â òî÷êå (x0 , f (x0 )) èìååò âèä:
Äîêàçàòåëüñòâî.
yêàñ (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) Ô⇒
f ′ (ξ)(x−x0 )
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
⇒ f (x) − yêàñ (x) = f (x) − f (x0 ) −f ′ (x0 )(x − x0 ) = (f ′ (ξ) − f ′ (x0 ))(x − x0 ),
ãäå òî÷êà ξ ëåæèò ìåæäó x è x0 . Ò.ê. f âûïóêëà âíèç, òî çíàê ðàçíîñòè
f ′ (ξ) − f ′ (x0 ) ñîâïàäàåò ñî çíàêîì ðàçíîñòè x − x0 , ïîýòîìó f (x)−yêàñ (x) ⩾ 0 äëÿ
Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà
143
∀x ∈ (a, b). Åñëè æå f ñòðîãî âûïóêëà, òî f ′ ↑ íà (a, b) è, çíà÷èò, f (x)−yêàñ (x) > 0
ïðè ∀x ∈ (a, b) ∖ {x0 }.
Äîñòàòî÷íîñòü. Åñëè äëÿ ∀t, x0 ∈ (a, b) âûïîëíåíî
f (t) − yêàñ (t) = f (t) − f (x0 ) − f ′ (x0 )(t − x0 ) ⩾ 0,
(∗)
f (t) − f (x0 )
f (t) − f (x0 )
⩽ f ′ (x0 )a ïðè t < x0 , è
⩾ f ′ (x0 ) ïðè t > x0 .
t − x0
t − x0
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ∀x1 , x0 , x2 ∈ (a, b) : x1 < x0 < x2 , ïîëó÷àåì:
òî
f (x0 ) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x0 )
⩽
,
x0 − x1
x2 − x0
Ïðè÷¼ì ñòðîãîå íåðàâåíñòâî â (∗) âëå÷¼ò ñòðîãîå íåðàâåíñòâî â ïîñëåäíåì
ñîîòíîøåíèè, êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ çàïèñüþ îïðåäåëåíèÿ ñòðîãî âûïóêëîé
âíèç ôóíêöèè.
a çíàê ìåíÿåòñÿ ïðè äåëåíèè íà (t − x ).
0
Îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü f ∶ ↦ R, x0 ∈ (a, b). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
○
○
1. ∃U(x0 ) ⊂ (a, b), òàêàÿ ÷òî íà ïîëóîêðåñòíîñòÿõ U− (x0 ) è U+ (x0 ) ôóíêöèÿ f
èìååò ðàçíûå íàïðàâëåíèÿ âûïóêëîñòè;
2. f ∈ C(x0 );
3. ∃f ′ (x0 ) ∈ R.
Òîãäà òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà ôóíêöèè f (èëè, ÷òî (x0 , f (x0 )) òî÷êà
ïåðåãèáà å¼ ãðàôèêà ).
Ò.î. â òî÷êå ïåðåãèáà ãðàôèê ôóíêöèè ìåíÿåò õàðàêòåð âûïóêëîñòè è ïåðåõîäèò ñ îäíîé ñòîðîíû êàñàòåëüíîé íà äðóãóþ.
Òî÷êè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ ìåíÿåò íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè, íî ãðàôèê íå
èìååò êàñàòåëüíîé (êàê â ñëó÷àå ðàçðûâà èëè èçëîìà), ê òî÷êàì ïåðåãèáà
íå îòíîñÿòñÿ.
Ïðèìåð 2.3.
f (x) = x3 , x = 0 òî÷êà ïåðåãèáà;
Óòâåðæäåíèå 2.3. (íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ òî÷êè ïåðåãèáà). Åñëè x0 òî÷êà ïåðåãèáà
ôóíêöèè f , òî ëèáî f ′ (x0 ) = ±∞, ëèáî êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ f ′′ (x0 ) íå ñóùåñòâóåò, ëèáî
f ′′ (x0 ) = 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òî÷êè ïåðåãèáà, ∃U(x0 ), òàêàÿ ÷òî
○
○
íà ïîëóîêðåñòíîñòÿõ U− (x0 ) è U+ (x0 ) íàïðàâëåíèÿ âûïóêëîñòè ðàçíûå.
Ïî êðèòåðèþ âûïóêëîñòè (Óòâ.5) ïðîèçâîäíàÿ f
′
ìîíîòîííà íà êàæäîì
èç ýòèõ èíòåðâàëîâ, ïðè÷¼ì õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè ïðîòèâîïîëîæíûé.
′
Çíà÷èò, åñëè â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà, òî îíà òàì èìååò ýêñòðåìóì.
a
Âîçìîæíî òàêæå, ÷òî f (x0 ) = ±∞.
′
′
Åñëè ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè f ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì, òî â ñèëó íåîá-
Àñèìïòîòû
144
õîäèìîãî óñëîâèÿ âíóòðåííåãî ýêñòðåìóìà, äîëæíî áûòü: ëèáî êîíå÷íîãî
′′
′′
çíà÷åíèÿ f (x0 ) íå ñóùåñòâóåò, ëèáî f (x0 ) = 0.
a Ò.å. ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íûì.
Óñëîâèÿ ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íûìè äëÿ òîãî,
÷òîáû x0 ÿâëÿëîñü òî÷êîé ïåðåãèáà.
Ïðèìåð 2.4.
f (x) = x4 ; f ′′ (0) = 12x2 ∣
x=0
= 0, íî x = 0 òî÷êà ìèíèìóìà.
Óòâåðæäåíèå 2.4. (äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òî÷êè ïåðåãèáà).
Åñëè:
○
1. ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 , äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà â U (x0 );
2. f ′′ (x0 ) = 0 èëè ∄f ′′ (x0 );
3. f ′′ (x1 ) ⋅ f ′′ (x2 ) < 0, x0 − δ < x1 < x0 < x2 < x0 + δ .a
Òîãäà x0 òî÷êà ïåðåãèáà ôóíêöèè f .
a Ò.å. f ′′ ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó x .
0
Äîêàçàòåëüñòâî.
○
Åñëè ∃f
′′
○
○
â U (x0 ), è âñþäó â U− (x0 ) îíà èìååò îäèí çíàê,
à âñþäó â U+ (x0 ) ïðîòèâîïîëîæíûé çíàê, òî ýòîãî
÷òîáû f
′
○
○
äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî,
â U− (x0 ) è U+ (x0 ) áûëà ìîíîòîííà, íî èìåëà ðàçíûé å¼ õàðàê-
òåð. Òîãäà â ñèëó êðèòåðèÿ âûïóêëîñòè â òî÷êå x0 ïðîèçîéä¼ò èçìåíåíèå
íàïðàâëåíèÿ âûïóêëîñòè, ò.å. x0 òî÷êà ïåðåãèáà.
Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü f ′′ (x0 ) = 0, f ′′′ (x0 ) ≠ 0. Òîãäà x0 òî÷êà ïåðåãèáà ôóíêöèè f .
3
Àñèìïòîòû.
○
○
Ïóñòü x0 ∈ R, ôóíêöèÿ f çàäàíà ïî êðàéíåé ìåðå íà U− (x0 ) èëè U+ (x0 ),
è äåéñòâóåò â R. Ïðÿìàÿ x = x0 íàçûâàåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ôóíêöèè f , a
åñëè ïðåäåëû f (x0 − 0) èëè f (x0 + 0) ðàâíû −∞ èëè +∞.
Îïðåäåëåíèå.
a Èëè âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà Γ .
f
Ïðèìåð 3.1.
f (x) = tg x, x =
π
+ πn, n ∈ Z âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû.
2
Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà ∀x > a (∀x < a). Åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå
÷èñëà k è b, ÷òî
(1)
f (x) = k x + b + o(1), x → +∞ (x → −∞),
Îïðåäåëåíèå.
òî ïðÿìàÿ y = k x + b íàçûâàåòñÿ íàêëîííîé àñèìïòîòîé ôóíêöèè f ïðè x → +∞ (ïðè
x → −∞).
Ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ÷àñòíûé ñëó÷àé íàêëîííîé ïðè k = 0, ò.å. ïðÿìàÿ
y = b ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ôóíêöèè f ïðè x → ±∞ òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà lim f (x) = b.
x→±∞
Àñèìïòîòû
145
sin x
f (x) = x +
. Ãðàôèê ôóíêöèè Γf ïåðåñåêàåò ñâîþ àñèìïòîòó y = x
x
áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç, ñêîëü óãîäíî äàëåêî.
Ïðèìåð 3.2.
Ñóùåñòâîâàíèå àñèìïòîòû ôóíêöèè f îçíà÷àåò, ÷òî ïðè x → +∞ (èëè x →
−∞) ôóíêöèÿ âåä¼ò ñåáÿ ¾ïî÷òè êàê ëèíåéíàÿ¿, ò.å. îòëè÷àåòñÿ îò ëèíåéíîé
íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ.
Òåîðåìà 57. (óðàâíåíèå íàêëîííîé àñèìïòîòû). Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà
(a, +∞). Ïðÿìàÿ y = kx + b (íàêëîííàÿ) àñèìïòîòà f ïðè x → +∞, òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà
f (x)
k = lim
, b = lim (f (x) − kx).
(∗)
x→+∞
x→+∞
x
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü y = kx + b àñèìïòîòà f , òîãäà
f (x) = kx + b + o(1),
x → +∞.
∣ ∶x
f (x)
b + o(1)
= k+
ÐÐÐ→ k. Äàëåå, f (x) − kx = b + o(1) ÐÐÐ→ b.
x→+∞
x→+∞
x
x
Îáðàòíî, åñëè âûïîëíåíû ðàâåíñòâà (∗), òî, îáîçíà÷èâ
Îòêóäà,
α(x) = f (x) − kx − b,
ïîëó÷èì, ÷òî α(x) ÐÐÐ→ 0 è f (x) = kx + b + o(1), x → +∞, ò.å. ïðÿìàÿ y = kx + b
x→+∞
àñèìïòîòà ôóíêöèè f .
Ìû ïîêàçàëè, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè f â âèäå:
f (x) = kx + b + o(1), x → +∞,
òî k è b âûðàæàþòñÿ ïî ôîðìóëàì (∗). Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè íàêëîííàÿ àñèìïòîòà
ïðè x → +∞ ñóùåñòâóåò, òî îíà
åäèíñòâåííàÿ.
Âñå àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è ïðè x → −∞.
Âûïóêëîñòü ââåðõ è âíèç èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ ôóíêöèé, èìåþùèõ íàêëîííûå àñèìïòîòû. Íàðèñîâàâ òàêèå ãðàôèêè, ìîæíî
ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âûïóêëàÿ ââåðõ ôóíêöèÿ ïðèáëèæàåòñÿ ê ñâîåé àñèìïòîòå ñíèçó, à âûïóêëàÿ âíèç ñâåðõó.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∶ (a, +∞) ↦ R èìååò ïðè
x → +∞ àñèìïòîòó y = kx + b. Òîãäà, åñëè f âûïóêëà (ñòðîãî âûïóêëà) âíèç íà (a, +∞),
òî f (x) ⩾ kx + b (f (x) > kx + b) ïðè ∀x > a.
Òåîðåìà 58. (âûïóêëîñòü è àñèìïòîòà).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ
ñòðîãîé âûïóêëîñòè.
äîêàæåì ñòðîãîå
óáûâàíèå ôóíêöèè g íà (a, +∞), òî ïî òåîðåìå î ïðåäåëå ìîíîòîííîé ôóíêöèè
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ g(x) = f (x) − kx íà (a, +∞). Åñëè ìû
Ðàâåíñòâà (∗) ðàâíîñèëüíû
ðàâåíñòâó (1).
Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ñ ïîìîùüþ âûïóêëîñòè
146
∀x ∈ (a, +∞) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
g(x) > lim g(t) = b, îòêóäà áóäåò ñëåäîâàòü, f (x) > kx + b.
t→+∞
Ïóñòü a < x < y . Ïîëîæèì F (t) =
f (t) − f (x)
, è çàìåòèì, ÷òî â ñèëó òåîðåìû 2:
t−x
f (t)
lim F (t) = lim
= k.
t→+∞
t→+∞
t
 ñèëó ñëåäñòâèÿ èç ëåììû î òð¼õ õîðäàõ, ôóíêöèÿ F ñòðîãî âîçðàñòàåò
íà (x, +∞). Òîãäà ïî òåîðåìå î ïðåäåëå ìîíîòîííîé ôóíêöèè èìååì: F (t) < k
ïðè ∀t > x, è â ÷àñòíîñòè F (y) < k. Îòêóäà,
f (y) − f (x)
< k ⇐⇒ f (y) − ky < f (x) − kx,
y−x
÷òî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó g(y) < g(x), ò.å. g ↓.
Äàííîå ñâîéñòâî âûïóêëûõ ôóíêöèé áûâàåò î÷åíü ïîëåçíûì ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôèêà ôóíêöèè.
Çàì.
4
Óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû âåðíû è ïðè x → −∞.
Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ñ ïîìîùüþ âûïóêëîñòè.
1. Èçó÷èì ôóíêöèþ f (x) = sin x íà (0,
π
);
2
f ′′ (x) = − sin x < 0 ïðè x ∈ (0, π2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f ñòðîãî âûïóê).
ëà ââåðõ íà èíòåðâàëå (0, π
2
x, ñîåäèíÿþùóþ òî÷êè (0, 0) è ( π2 , 1). Âñå âíóòðåííèå òî÷êè ýòîé õîðäû ëåæàò ñòðîãî íèæå ãðàôèêà f . Ïîýòîìó,
Ðàññìîòðèì õîðäó y =
2
π
sin x >
π
x,
2
x ∈ (0,
2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = (1 + x)
α
π
).
2
ïðè x ⩾ −1, x ≠ 0, α > 1;
f ′′ (x) = α(α − 1)(1 + x)α−2 > 0, ∀x > −1. Ïîýòîìó, f âûïóêëà âíèç ïðè x > −1
âñå å¼ òî÷êè ëåæàò (ñòðîãî) âûøå òî÷êè ëþáîé êàñàòåëüíîé, ïðîâåä¼ííîé â ëþáîé òî÷êå.
Ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ, ïðîâåä¼ííóþ â òî÷êå x = 0 : yêàñ = 1 + αx. Ïî
ñêàçàííîìó âûøå:
(1 + x)α = f (x) > yêàñ = 1 + αx,
Ïðè x = −1 íåðàâåíñòâî (1 + x)
α
ïðè x ∈ (−1, +∞) ∖ {0}.
> 1 + αx âûïîëíÿåòñÿ, ò.ê. α > 1. Ñëåäîâà-
òåëüíî, íàìè ïîëó÷åíî íåðàâåíñòâî:
(1 + x)α > 1 + α x,
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ
x ⩾ −1, x ≠ 0, α > 1.
îáîáùåíèåì íåðàâåíñòâà Áåðíóëëè íà ñëó-
Òðåáóåòñÿ ëè îòäåëüíî
ðàññìîòðåòü ñëó÷àé k = 0?
Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ñ ïîìîùüþ âûïóêëîñòè
147
÷àé íåöåëûõ α > 1.
3. Ïóñòü f âûïóêëàÿ âíèç íà èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèÿ. Òîãäà ∀n∈ N,
Íåðàâåíñòâî Éåíñåíà
∀x1 , . . . , xn ∈ (a, b), ∀0 ⩽ α1 , . . . , αn ⩽ 1; α1 + . . . + αn = 1, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
Éåíñåíà:
f (α1 x1 + . . . + αn xn ) ⩽ α1 f (x1 ) + . . . + αn f (xn ).
(∗∗)
Äëÿ ñòðîãî âûïóêëîé âíèç ôóíêöèè íåðàâåíñòâî (∗∗) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì, åñëè íå âñå ÷èñëà x1 , . . . , xn îäèíàêîâû, à ÷èñëà αi ñòðîãî ïîëîæèòåëüíû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ n = 2 íåðàâåíñòâî (∗∗) ñîâïàäàåò ñ íåðàâåíñòâîì èç
îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîé âíèç ôóíêöèè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äàííîå íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî íàáîðà n ⩾ 0
òî÷åê. Ðàññìîòðèì ÷èñëà:
x1 , . . . , xn+1 ∈ (a, b),
0 ⩽ α1 , . . . , αn+1 ⩽ 1,
α1 + . . . + αn+1 = 1.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî αn+1 < 1.
n
Îáîçíà÷èì y = ∑
k=1
αk xk
. Ò.ê.
1 − αn+1
n
n
n
αk a
αk xk
αk b
αk xk
>∑
= a = a, ∑
0, p > 1. Òîãäà f (x) = p(p − 1)x
> 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
f âûïóêëàÿ âíèç ôóíêöèÿ. Òîãäà èç íåðàâåíñòâà Éåíñåíà ïîëó÷àåì:
p
n
p
p−2
n
n
n
k=1
k=1
k=1
1/p
( ∑ αk xk ) ⩽ ∑ αk xpk ⇐⇒ ∑ αk xk ⩽ ( ∑ αk xpk )
k=1
.
n
Ïîëàãàÿ çäåñü q =
p
1 1
⇔ + = 1, αk =
p−1
q p
n
k=1
k=1
∑
k=1
êëàññè÷åñêîå íåðàâåíñòâî üëüäåðà:
n
bqk
n
1/p
n
bqk
, xk =
1/q
p
q
∑ ak bk ⩽ ( ∑ ak ) ⋅ ( ∑ bk )
k=1
ak ⋅ ∑ bqk
k=1
1/(p−1)
bk
, ïîëó÷àåì
Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë Ðèìàíà
1
Îïðåäåëåíèÿ. Îñíîâíûå ôàêòû.
Çàäà÷à î âû÷èñëåíèè ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè.
Îïðåäåëåíèå. Ðàçáèåíèåì îòðåçêà
[a, b] íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê
τ = {xk }n
k=0 ∶ a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
∆xk = xk − xk−1 äëèíà k-ãî îòðåçêà ðàçáèåíèÿ ; dτ ∶= max ∆xk äèàìåòð (ìåëêîñòü )
k
ðàçáèåíèÿ τ .
[a, b] íàçûâàåòñÿ ïàðà (τ, ξ), ãäå ξ =
(ξ1 , . . . , ξn ) ìíîæåñòâî ïðîèçâîëüíî çàôèêñèðîâàííûõ òî÷åê ξk ∈ [xk−1 , xk ].
Îïðåäåëåíèå. Ðàçìå÷åííûì ðàçáèåíèåì îòðåçêà
Îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü f ∶ [a, b] → R. Ñóììà
n
σ = στ (f, ξ) = ∑ f (ξk )∆xk
k=1
íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé Ðèìàíà ôóíêöèè f , îòâå÷àþùåé ðàçáèåíèþ (τ, ξ)
îòðåçêà [a, b].
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f ∶ [a, b] → R. ×èñëî I íàçûâàþò ïðåäåëîì èíòåãðàëüíûõ ñóìì ïðè
äèàìåòðå ðàçáèåíèÿ ñòðåìÿùåìñÿ ê íóëþ, è ïèøóò: I = lim στ (f, ξ), åñëè:
dτ →0
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) è ∀ξ Ô⇒ ∣στ (f, ξ) − I∣ < ε.
Ò.å., åñëè ∀ε > 0 ∃δ(ε), ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçìå÷åííîãî ðàçáèåíèÿ (τ, ξ),
äèàìåòð êîòîðîãî ìåíüøå, ÷åì δ , âíå çàâèñèìîñòè îò âûáîðà òî÷åê ξ ,
èíòåãðàëüíàÿ ñóììà στ (f, ξ) îòëè÷àåòñÿ îò I ìåíüøå, ÷åì íà ε.
 ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ïî Ðèìàíó íà [a, b], à ÷èñëî
I íàçûâàåòñÿ îïðåäåë¼ííûì èíòåãðàëîì (Ðèìàíà ) îò ôóíêöèè f ïî îòðåçêó [a, b].
Îáîçíà÷åíèå:
b
∫ f (x)dx; R[a, b] ìíîæåñòâî èíòåãðèðóåìûõ íà [a, b] ôóíêöèé.
a
Ïîíÿòèå ïðåäåëà èíòåãðàëüíûõ ñóìì íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîíÿòèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè, ò.ê. èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò ðàçìå÷åííîãî ðàçáèåíèÿ, à íå åãî äèàìåòðà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàññìàòðèâàòü
åãî, êàê ïðåäåë â ñòàðîì ïîíèìàíèè ýòîãî ñëîâà, òðåáóåòñÿ ââåñòè áîëåå
îáùåå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà, à èìåííî ïðåäåë ïî áàçå.
149
ÃËÀÂÀ
X
Ñåêöèÿ 1. Îïðåäåëåíèÿ. Îñíîâíûå ôàêòû.
Ñåêöèÿ 2. Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó
Ñåêöèÿ 3. Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 4. Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
Ñåêöèÿ 5. Òåîðåìû î ñðåäíåì. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå
ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì
Ñåêöèÿ
6.
Ôîðìóëà
Íüþòîíà-Ëåéáíèöà. Îáîáùåíèÿ
Ñåêöèÿ 7. Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
Ñåêöèÿ 8. Èíòåãðàëüíûé
÷ëåí â ôîðìóëå Òåéëîðà
Îïðåäåëåíèÿ. Îñíîâíûå ôàêòû
150
Ïîñòàâèì ðÿä âîïðîñîâ:
1. Êàêèå ôóíêöèè èíòåãðèðóåìû ïî Ðèìàíó?
2. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò èíòåãðàë?
3. Êàê âû÷èñëèòü èíòåãðàë?
Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì στ (f, ξ) ïðè dτ → 0, òî ýòîò ïðåäåë åäèíñòâåíåí.
Òåîðåìà 59. (åäèíñòâåííîñòü îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà).
Äîêàçàòåëüñòâî. Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ñóùåñòâóþò äâà ïðåäåëà
I1 ≠ I2 . Òîãäà
ïî îïðåäåëåíèþ èìååì:
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) Ô⇒ ∣στ (f, ξ) − I1 ∣ <
Òîãäà:
∣I1 − I2 ∣ ⩽ ∣I1 − στ (f, ξ)∣ + ∣στ (f, ξ) − I2 ∣ <
ε
ε
, ∣στ (f, ξ) − I2 ∣ < .
2
2
ε ε
+ = ε.
2 2
Îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî I1 = I2 .
Òåîðåìà 60. (íåîáõîäèìîå óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè).
Åñëè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà
ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå [a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà í¼ì.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ôóíêöèÿ f íå îãðàíè÷åíà íà îòðåç-
êå [xk−1 , xk ] ⊂ [a, b]. Äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî ðàçáèåíèÿ τ îòðåçêà [a, b] ïðåäñòàâèì
ñóììó Ðèìàíà äàííîé ôóíêöèè â âèäå:
στ (f, ξ) = f (ξk )∆xk + ∑ f (ξi )∆xi , ãäå ξk ∈ [xk−1 , xk ].
1≤i≤n
i≠k
Âûáåðåì òàêæå ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì âñå îòìå÷åííûå òî÷êè ξi , êðîìå
ξk . Òîãäà ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî
áîëüøîé ïî ìîäóëþ çà ñ÷¼ò âûáîðà ξk . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè τ ñóììà στ (f, ξ) ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî áîëüøîé (ïî ìîäóëþ). Íà1
ïðèìåð, ∣στ (f, ξ)∣ >
. Ïîýòîìó, íå ñóùåñòâóåò ïðåäåëà lim στ (f, ξ), òî åñòü,
dτ →0
dτ
fíå èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
(óñëîâèå òåîðåìû
íà îòðåçêå [0, 1]:
íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì) Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Äèðèõëå
⎧
⎪
⎪1,
D(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
x ∈ [0, 1] ∩ Q,
x ∈ [0, 1] ∖ Q;
Äëÿ ýòîé ôóíêöèè è ïðîèçâîëüíîãî ðàçáèåíèÿ τ , ò.ê. â êàæäîì îòðåçêå íàéäóòñÿ è ðàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå òî÷êè, âûïîëíåíî: στ (D, ξ) ≡ 1, åñ-
ëè âñå îòìå÷åííûå òî÷êè ðàöèîíàëüíûå, è στ (D, ξ) ≡ 0, åñëè âñå îòìå÷åííûå
òî÷êè èððàöèîíàëüíûå. Îòêóäà ∄ lim στ (D, ξ), è ôóíêöèÿ D íå èíòåãðèðóåìà.
dτ →0
Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó
2
151
Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó.
Èç íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà íà êàæäîì îòðåçêå [xk−1 , xk ]. Îòêóäà,
∃ mk =
inf
[xk−1 ,xk ]
f (x),
Mk =
sup
[xk−1 ,xk ]
f (x).
(íèæíåé ) ñóììîé Äàðáó ôóíêöèè f
ðàçáèåíèè τ = {xk }nk=0 íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñóììà:
Îïðåäåëåíèå. Âåðõíåé
n
ïðè äàííîì
n
S τ (f ) = ∑ Mk ∆xk
(sτ (f ) = ∑ mk ∆xk )
k=1
Çàì.
íà [a, b],
k=1
Íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî ñóììû Äàðáó Sτ (f ) è sτ (f ) âî âñåõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëüíûìè ñóììàìè (ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå òî÷åê ξ ).  ñàìîì äåëå, äëÿ ïðîèçâîëüíîé îãðàíè÷åííîé
1
2
ôóíêöèè f ìîæåò íå íàéòèñü òî÷åê ξk , ξk òàêèõ, ÷òî
mk = f (ξk1 ),
Mk = f (ξk2 ),
k = 1, n.
Îäíàêî, åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà [a, b], òî ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà òàêèå òî÷êè íàéäóòñÿ è îáå ñóììû Äàðáó ÿâëÿþòñÿ
èíòåãðàëüíûìè ñóììàìè. Òåì íå ìåíåå, ñóììû Äàðáó óñòðîåíû ïðîùå ïðîèçâîëüíûõ ñóìì Ðèìàíà, ò.ê. â èõ îïðåäåëåíèè íå
ó÷àñòâóåò ðàçìåòêà ðàçáèåíèÿ.
Òåîðåìà 61. (ñâîéñòâà ñóìì Äàðáó). Ä1.
îòðåçêà [a, b] ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
Äëÿ ëþáîãî ðàçìå÷åííîãî ðàçáèåíèÿ (τ, ξ)
sτ (f ) ⩽ στ (f, ξ) ⩽ S τ (f ),
ïðè÷¼ì sτ (f ) = inf στ (f, ξ), S τ (f ) = sup στ (f, ξ).a
ξ
ξ
a inf è sup áåðóòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì ñîâîêóïíîñòÿì îòìå÷åííûõ òî÷åê.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ âåðõíèõ ñóìì.
∀k = 1, n è ∀ξk ∈ [xk−1 , xk ] âûïîëíåíî f (ξk ) ⩽ Mk . Óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî íà
∆xk è ñóììèðóÿ ïî k, ïîëó÷èì:
n
n
k=1
k=1
στ (f, ξ) = ∑ f (ξk )∆xk ≤ ∑ Mk ∆xk = S τ (f ).
∗
∗
Äàëåå, ïî îïðåäåëåíèþ sup : ∀ε > 0 ∃ξk ∈ [xk−1 , xk ] ∶ f (ξk ) > Mk −
n
στ (f, ξ ∗ ) = ∑ f (ξk∗ )∆xk > S τ (f ) −
k=1
ε
. Îòêóäà,
b−a
n
ε
⋅ ∑ ∆xk = S τ (f ) − ε.
b − a k=1
Ä2. Ïðè äîáàâëåíèè íîâûõ òî÷åê ðàçáèåíèÿ (ïðè èçìåëü÷åíèè ðàçáèåíèÿ )
âåðõíÿÿ ñóììà íå óâåëè÷èâàåòñÿ, à íèæíÿÿ íå óìåíüøàåòñÿ.
Äàëåå ìû ðàññìàòðèâàåì ôóíêöèè,
óäîâëåòâîðÿþùèå äàííîìó
ñâîéñòâó.
Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó
Äîêàçàòåëüñòâî.
152
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ âåðõíèõ ñóìì.
Ïî ïðèíöèïó ìàòåìà-
òè÷åñêîé èíäóêöèè äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî âåðõíÿÿ ñóììà íå óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè äîáàâëåíèè îäíîé òî÷êè c ∈ (xq−1 , xq ).
′
Ïóñòü τ = τ ∪ {c}. Òîãäà:
q−1
n
k=1
k=q+1
S τ (f ) = ∑ Mk ∆xk + Mq ∆xq + ∑ Mk ∆xk .
q−1
n
k=1
k=q+1
S τ ′ (f ) = ∑ Mk ∆xk + Mq′ (c − xq−1 ) + Mq′′ (xq − c) + ∑ Mk ∆xk ,
′
ãäå Mq =
sup f (x), Mq′′ = sup f (x). Îòêóäà:
[xq−1 ,c]
[c,xq ]
S τ (f ) − S τ ′ (f ) = Mq (xq − xq−1 ) − Mq′ (c − xq−1 ) − Mq′′ (xq − c) = a
= (Mq − Mq′ )(c − xq−1 ) + (Mq − Mq′′ )(xq − c) ⩾ 0.b
a xq − x
q−1 = xq − c + c − xq−1
b ò.ê. ïðè ñóæåíèè ìíîæåñòâà sup íå óâåëè÷èâàåòñÿ.
′
Ä3. Åñëè ðàçáèåíèå τ ïîëó÷åíî èç τ äîáàâëåíèåì ℓ íîâûõ òî÷åê, òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
0 ⩽ sτ ′ (f ) − sτ (f ) ⩽ (M − m) ℓ dτ , 0 ⩽ S τ (f ) − S τ ′ (f ) ⩽ (M − m) ℓ dτ ,
ãäå M = sup f (x),
[a,b]
Äîêàçàòåëüñòâî.
m = inf f (x)
[a,b]
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ âåðõíèõ ñóìì.
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå
èç Ä2, ïîëó÷åííîå ïîñëå äîáàâëåíèÿ îäíîé òî÷êè, ïîëó÷àåì:
0 ⩽ S τ (f ) − S τ ′ (f ) = (Mq − Mq′ )(c − xq−1 ) + (Mq − Mq′′ )(xq − c) ⩽
⩽ (M − m)(c − xq−1 + xq − c) = (M − m) ⋅ 1 ⋅ ∆xq ⩽ (M − m) ⋅ 1 ⋅ dτ .
ßñíî, ÷òî ïîñëå äîáàâëåíèÿ ℓ íîâûõ òî÷åê, ïðàâàÿ ÷àñòü óìíîæàåòñÿ íà ℓ.
Ä4. Êàæäàÿ íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó íå ïðåâîñõîäèò êàæäîé âåðõíåé ñóììû
(äàæå îòâå÷àþùåé äðóãîìó ðàçáèåíèþ).
Ïóñòü τ1 è τ2 äâà ïðîèçâîëüíûõ ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b],
τ = τ1 ∪ τ2 . Òîãäà ïî ñâîéñòâàì Ä1 è Ä2:
Äîêàçàòåëüñòâî.
sτ1 (f ) ⩽ sτ (f ) ⩽ S τ (f ) ⩽ S τ2 (f ).
Èç ñâîéñòâà Ä4 ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî íèæíèõ è âåðõíèõ ñóìì Äàðáó (îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ðàçáèåíèÿì îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ)
îãðàíè÷åíî ñîîòâåò-
ñòâåííî ñâåðõó è ñíèçó. Èñõîäÿ èç ýòîãî, è ïðèíöèïà òî÷íûõ ãðàíåé äàäèì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå:
Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó
153
Íèæíèé èíòåãðàë Äàðáó (÷èñëî I∗ ) è âåðõíèé èíòåãðàë Äàðáó (÷èñëî
I ∗ ) ôóíêöèè f ïî îòðåçêó [a, b] îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè:
Îïðåäåëåíèå.
I∗ = sup sτ (f ),
τ
I ∗ = inf S τ (f ).a
τ
a ãäå òî÷íûå ãðàíè áåðóòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì ðàçáèåíèÿì τ îòðåçêà [a, b]
∗
Ä5. Íèæíèé è âåðõíèé èíòåãðàëû Äàðáó ñâÿçàíû íåðàâåíñòâîì: I∗ ⩽ I .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü I∗ > I ∗ , ò.å. ∃ε > 0 ∶ I∗ = I ∗ + ε. Òîãäà äëÿ
óêàçàííîãî ε > 0 :
ε
ε
ε
ε
∃τ1 , τ2 ∶ sτ1 (f ) > I∗ − , S τ2 (f ) < I ∗ + ⇒ sτ1 (f ) − S τ2 (f ) > I∗ − − I ∗ − = 0.
2
2
2
2
Òî åñòü, sτ1 (f ) > S τ2 (f ), ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò ñâîéñòâó Ä4.
Èç ñâîéñòâà Ä5 è îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëîâ Äàðáó, äëÿ
íåðàâåíñòâî:
sτ (f ) ⩽ I∗ ⩽ I ∗ ⩽ S τ (f ).
Òåîðåìà 62. (îñíîâíàÿ ëåììà Äàðáó).
ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
Äëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè f ∶ [a, b] → R
I∗ = lim sτ (f ),
dτ →0
Äîêàçàòåëüñòâî.
ëþáîãî ðàçáèåíèÿ τ , ïîëó÷àåì
I ∗ = lim S τ (f ).
dτ →0
Äîêàæåì âòîðîå ðàâåíñòâî. Ïåðâîå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
f ≡ c = const, òî
Åñëè
∀τ ⇒ sτ (f ) = S τ (f ) = c ⋅ (b − a) = I∗ = I ∗ ,
è óòâåðæäåíèå òåîðåìû âûïîëíåíî, ò.ê. ïðåäåë êîíñòàíòû ðàâåí åé ñàìîé.
Ïóñòü äàëåå m = inf f (x), M = sup f (x). Åñëè f ≠
[a,b]
[a,b]
const, òî M > m. Ôèêñèðóåì
∀ε > 0. Ò.ê. I ∗ = inf S τ (f ), òî ∃τ0 ∶ S τ0 (f ) < I ∗ + 2ε .
τ
Ïóñòü ðàçáèåíèå τ0 ñîäåðæèò ℓ òî÷åê. Ïîëîæèì δ(ε) =
ε
,
2(M −m)ℓ
è ðàññìîòðèì
τ ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå ñ äèàìåòðîì dτ < δ(ε). Âçÿâ îáúåäèíåíèå ðàçáè′
′
′
åíèé τ = τ0 ∪ τ , èìååì: τ ⊂ τ , τ0 ⊂ τ . Îòêóäà, ïî ñâîéñòâó Ä2, S τ ′ (f ) ⩽ S τ0 (f ) è
S τ ′ (f ) ⩽ S τ (f ).
′
Ðàçáèåíèå τ ïîëó÷àåòñÿ èç τ äîáàâëåíèåì íå áîëåå ℓ íîâûõ òî÷åê (åñëè âñå
òî÷êè ðàçáèåíèÿ τ0 íîâûå). Ïî ñâîéñòâó Ä3 ïîëó÷àåì:
S τ (f ) − S τ ′ (f ) ⩽ (M − m) ℓ dτ < (M − m) ℓ δ =
Ô⇒ S τ (f ) < S τ ′ (f ) +
Îòêóäà,
ε
.
2
ε
ε
⩽ S τ0 (f ) + < I ∗ + ε.
2
2
∀ε > 0 ∃δ(ε) ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) Ô⇒ 0 ⩽ S τ (f ) − I ∗ < ε.
Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó
Òåîðåìà 63. (êðèòåðèè èíòåãðèðóåìîñòè).
154
Äëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè
f ∶ [a, b] → R
ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû:
à) f èíòåãðèðóåìà íà [a, b];
á) I∗ = I ∗ (êðèòåðèé Äàðáó );
â) lim (S τ (f ) − sτ (f )) = 0a (êðèòåðèé Ðèìàíà );
dτ →0
a ò.å. ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) âûïîëíåíî S τ (f ) − s (f ) < ε.
τ
à) ⇒ á)
Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òîãäà
Äîêàçàòåëüñòâî.
∃I ∈ R ∶ ∀ε > 0 ∃δ(ε) ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) è ∀ξ Ô⇒ ∣στ (f, ξ) − I∣ < ε.
Áåðÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå sup è inf ïî âñåì ξ , ïîëó÷àåì:
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀τ, dτ < δ(ε) Ô⇒ [
∣S τ (f ) − I∣ ⩽ ε
Ô⇒
∣sτ (f ) − I∣ ⩽ ε
Ô⇒ lim S τ (f ) = lim sτ (f ) = I.
dτ →0
dτ →0
∗
∗
Ïî îñíîâíîé ëåììå Äàðáó: lim S τ (f ) = I , lim sτ (f ) = I∗ ⇒ I∗ = I .
dτ →0
dτ →0
∗
Ïóñòü I∗ = I , òîãäà ïî îñíîâíîé ëåììå Äàðáó ïîëó÷èì:
á) ⇒ â)
lim sτ (f ) = lim S τ (f ) Ô⇒ lim (S τ (f ) − sτ (f )) = 0.
dτ →0
dτ →0
dτ →0
Ïóñòü lim (S τ (f ) − sτ (f )) = 0. Ò.ê. äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ τ :
dτ →0
â) ⇒ à)
sτ (f ) ⩽ I∗ ⩽ I ∗ ⩽ S τ (f ), òî 0 ⩽ I ∗ − I∗ ⩽ S τ (f ) − sτ (f ) ÐÐÐ→ 0 ⇒ I∗ = I ∗ = I.
dτ →0
Ïîêàæåì, ÷òî lim στ (f, ξ) = I . Ïî ñâîéñòâó Ä1:
dτ →0
sτ (f ) ⩽ στ (f, ξ) ⩽ S τ (f ); sτ (f ) ⩽ I ⩽ S τ (f ) Ô⇒
Ô⇒ ∣στ (f, ξ) − I∣ ⩽ S τ (f ) − sτ (f ) < ε.
Ïîëó÷àåì, ÷òî:
∀ε > 0 ∃δ(ε) ∶ ∀τ, dτ < δ(ε), ∀ξ ⇒ ∣στ (f, ξ) − I∣ < ε.
Ñëåäñòâèå 1. Êðèòåðèé Ðèìàíà ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïóñòü ôóíêöèÿ f ∶ [a, b] → R îãðàíè÷åíà. Òîãäà f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà
∀ε > 0 ∃τ ∶ S τ (f ) − sτ (f ) < ε.
Äàííîå óòâåðæäåíèå óñèëèâàåò
êðèòåðèé Ðèìàíà â ïëàíå
äîñòàòî÷íîñòè: äëÿ óñòàíîâëåíèÿ
èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè
äîñòàòî÷íî ïî ∀ε > 0 íàéòè õîòÿ
áû îäíî ðàçáèåíèå, äëÿ êîòîðîãî
âûïîëíåíî S τ (f ) − sτ (f ) < ε, à
íå äîáèâàòüñÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî
íåðàâåíñòâà äëÿ âñåõ ðàçáèåíèé
äîñòàòî÷íî ìàëîãî äèàìåòðà.
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
Äîêàçàòåëüñòâî.
155
Íåîáõîäèìîñòü äàííîãî óñëîâèÿ äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè
ôóíêöèè f áûëà äîêàçàíà â êðèòåðèè èíòåãðèðóåìîñòè Ðèìàíà.
Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ∀ε > 0 ∃τ : S τ (f ) − sτ (f ) < ε. Ò.ê. sτ (f ) ⩽ I∗ ⩽
I ∗ ⩽ S τ (f ), òî
I ∗ − I∗ ⩽ S τ (f ) − sτ (f ) < ε, ò.å. I ∗ = I∗ .
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b] ïî êðèòåðèþ Äàðáó.
Íàïîìíèì, ÷òî âåëè÷èíà
ω(f, [a, b]) =
íàçûâàåòñÿ
sup (f (x) − f (y))
x,y∈[a,b]
êîëåáàíèåì ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a, b]. Ïîíÿòíî, ÷òî:
ω(f, [a, b]) = sup f (x) − inf f (x).
[a,b]
[a,b]
Äëÿ çàäàííîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b] τ = {xk }k=0 îáîçíà÷èì ÷åðåç ωk (f )
n
êîëåáàíèå f íà [xk−1 , xk ].
Ñëåäñòâèå 2. Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè Ðèìàíà ìîæåò áûòü ïåðåôîðìóëèðîâàí
òàê: åñëè ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà, òî îíà èíòåãðèðóåìà, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
n
lim ∑ ωk (f ) ∆xk = 0a .
dτ →0 k=1
n
a Ò.å. ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀τ = {x }, dτ < δ ⇒ ∑ ω (f ) ∆x < ε.
k
k
k
k=1
Äîêàçàòåëüñòâî.
n
n
k=1
k=1
∑ ωk (f )∆xk = ∑ (Mk − mk )∆xk = S τ (f ) − sτ (f ).
3
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
Åñëè ôóíêöèÿ f ∶ [a, b] → R íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà íà í¼ì.
Òåîðåìà 64.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ò.ê. ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà [a, b], òî ïî ïåðâîé òåîðåìå
Âåéåðøòðàññà îíà îãðàíè÷åíà, à ïî òåîðåìå Êàíòîðà ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ýòîì îòðåçêå. Îòêóäà,
∀ε > 0 ∃δ(ε) ∶ ∀x1 , x2 ∈ [a, b], ∣x1 − x2 ∣ < δ(ε) Ô⇒ ∣f (x1 ) − f (x2 )∣ <
ε
.
2(b − a)
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ τ ñ äèàìåòðîì dτ < δ(ε) âûïîëíåíî
Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè
èíòåãðèðóåìîñòè.
C[a, b] ⊂ R[a, b].
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
Mk − mk ⩽
156
ε
, ò.å.
2(b − a)
n
S τ (f ) − sτ (f ) = ∑ (Mk − mk )∆xk ⩽
k=1
n
ε
ε
⋅ ∑ ∆xk = < ε.
2(b − a) k=1
2
Ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
Òåîðåìà 65.
í¼ì.
Åñëè ôóíêöèÿ f ∶ [a, b] → R ìîíîòîííà íà [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà íà
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî f íå óáûâàåò íà îòðåçêå
[a, b]. Òîãäà Mk = mk+1 è
n
n
k=1
k=1
S τ (f ) − sτ (f ) = ∑ (Mk − mk )∆xk ⩽ dτ ⋅ ∑ (Mk − mk ) = dτ (f (b) − f (a)) < ε,
ïðè dτ < δ(ε) =
ò.å. f ≡
const.
ε
, åñëè f (b) ≠ f (a), èëè ïðè ëþáîì δ > 0, åñëè f (a) = f (b),
f (b) − f (a)
 ñèëó ìîíîòîííîñòè, âñå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f çàêëþ÷åíû ìåæäó f (a) è
f (b), ò.å. ìîíîòîííàÿ íà [a, b] ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà íà í¼ì.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà [a, b] è âñå å¼ òî÷êè ðàçðûâà ìîæíî ïîìåñòèòü â êîíå÷íûé íàáîð èíòåðâàëîâ, ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíû.a Òîãäà f
èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
Òåîðåìà 66.
a Ò.å. ∀ε > 0 ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé íàáîð èíòåðâàëîâ, ñîäåðæàùèé âñå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f , ñóììà äëèí êîòîðûõ ìåíüøå ε.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Îáîçíà÷èì M = sup f (x), m = inf f (x). Åñëè m = M , òî f =
[a,b]
[a,b]
èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
const
Ïóñòü äàëåå M > m, è {(xj , xj )}j=1 êîíå÷íûé íàáîð èíòåðâàëîâ, ïîêðûâàþ1
2
q
ùèé âñå òî÷êè ðàçðûâà, ñóììà äëèí êîòîðûõ ℓ <
èíòåðâàëîâ äî [a, b] êîíå÷íîå ÷èñëî îòðåçêîâ:
q
r
j=1
k=1
ε
. Äîïîëíåíèå ýòèõ
2(M − m)
I = [a, b] ∖ ⋃ (x1j , x2j ) = ⋃ Ik ,
ãäå Ik îòðåçîê, à r ⩽ q + 1.
Ïî òåîðåìå Êàíòîðà ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà êàæäîì èç Ik ,
ò.å.
∀ε > 0 ∃δk (ε) ∶ ∀x′ , x′′ ∈ Ik , ∣x′ − x′′ ∣ < δk Ô⇒ ∣f (x′ ) − f (x′′ )∣ <
ε
.
2(b − a)
Åñëè âçÿòü 0 < δ < min δk , δ < ℓ, òî
k
r
∀x′ , x′′ ∈ ⋃ Ik , ∣x′ − x′′ ∣ < δ âûïîëíåíî ∶ ∣f (x′ ) − f (x′′ )∣ <
k=1
ε
.
2(b − a)
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
157
a Òîãäà äëÿ åãî ñóìì Äàðáó:
Çàäàäèì òåïåðü ðàçáèåíèå τ îòðåçêîâ Ik , dτ < δ.
ε
< 2(b−a)
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
∑1 (Mk − mk ) ∆xk
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
S τ (f ) − sτ (f ) =
0. Äëÿ ýòîãî ε ñóùåñòâóåò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî n(ε) òî÷åê ηi
ε
. Êðîìå òîãî, äëÿ ôóíêöèè Ðèìàíà, î÷åâèäíî, ñïðàâåä2
ëèâà îöåíêà: ∣R(x)∣ ≤ 1, ∀x.
ε
Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå τ ñ äèàìåòðîì dτ < δ(ε) =
. Ñîñòàâèì äëÿ íåãî
4n(ε)
òàêèõ, ÷òî f (ηi ) >
èíòåãðàëüíóþ ñóììó:
N
∣στ (R, ξ)∣ = ∣∑ R(ξi )∆xi ∣ ≤ ∣∑1 R(ξi )∆xi ∣ + ∣∑2 R(ξi )∆xi ∣ ,
i=1
ãäå ïåðâàÿ ñóììà ñîîòâåòñòâóåò ñåãìåíòàì ðàçáèåíèÿ, â êîòîðûõ ïðèñóò-
Ìîæíî ëè â ýòîì óòâåðæäåíèè
êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê
ïîìåíÿòü íà ñ÷¼òíîå?
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
158
ñòâóþò òî÷êè ηi , à âòîðàÿ ëèøåíà èõ. ßñíî, ÷òî â ïåðâîé ñóììå íå áîëåå
2n(ε) ñëàãàåìûõa . Ïîýòîìó äëÿ ïåðâîé ñóììû ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
∣∑1 R(ξi )∆xi ∣ ≤ 1 ⋅ 2n(ε) ⋅ δ(ε) =
ε
.
2
Âî âòîðîé ñóììå âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè R íå ïðåâîñõî-
ε
, à ñóììà âñåõ îòðåçêîâ ðàçáèåíèÿ, çàâåäîìî, íå ïðåâîñõîäèò 1. Îòêóäà
2
ïîëó÷àåì, îöåíêó:
ε
ε
∣∑2 R(ξi )∆xi ∣ ≤ ⋅ ∑2 ∆xi < .
2
2
ε ε
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè d < δ(ε) ñïðàâåäëèâî: ∣στ (R, ξ)∣ < + = ε, ò.å.
2 2
äÿò
1
∫ R(x) dx = 0.
0
a Ñëó÷àé, êîãäà âñå òî÷êè η ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ðàçáèåíèÿ, ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòi
ðåçêîâ.
Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî E ⊂ R èìååò ëåáåãîâó ìåðó íóëü, åñëè ∀ε >
0 ìíîæåñòâî E ìîæíî çàêëþ÷èòü â íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèå èíòåðâàëîâ,
ñóììàðíàÿ äëèíà êîòîðûõ ìåíüøå ε.
Îïðåäåëåíèå.
Òåîðåìà 67. (êðèòåðèé Ëåáåãà èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè ïî Ðèìàíó). Ïóñòü f ∶ [a, b] →
R. Òîãäà äàííàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà îãðàíè÷åíà è
ìíîæåñòâî å¼ òî÷åê ðàçðûâà èìååò ëåáåãîâó ìåðó íóëü.
èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ðèìàíó
ôóíêöèÿ íå ìîæåò áûòü ñëèøêîì
ðàçðûâíîé
Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
4
159
Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
1○ . (èíòåãðèðóåìîñòü ñóæåíèÿ ) Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b] è [a∗ , b∗ ] ⊂
[a, b]. Òîãäà f èíòåãðèðóåìà è íà [a∗ , b∗ ].
= {x∗i } ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà [a∗ , b∗ ].
Äîïîëíèì åãî äî ðàçáèåíèÿ τ = {xi } âñåãî îòðåçêà [a, b] ñ äèàìåòðîì dτ = dτ ∗ .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òîãäà:
Ïóñòü τ
∗
∗
∗
∗
∗
∗
a
∑ ωi (f )∆xi ⩽ ∑ ωi (f )∆xi , ãäå ωi (f ) = ω(f, [xi−1 , xi ]).
xi ∈τ
x∗
∈τ ∗
i
Äëÿ ïðàâîé ÷àñòè, ïóò¼ì âûáîðà íàäëåæàùåãî äèàìåòðà dτ , ïîñëåäíåãî
íåðàâåíñòâà âûïîëíåíî óñëîâèå óñëîâèå èç êðèòåðèÿ èíòåãðèðóåìîñòè (ò.ê.
f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]), è ñëåäîâàòåëüíî îíî âûïîëíåíî è äëÿ ëåâîé ÷àñòè.
∗
∗
Ïîýòîìó f èíòåãðèðóåìà íà [a , b ].
a Ñóììà èçìåíÿåòñÿ ïóò¼ì äîáàâëåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íåîòðèöàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ.
2○ . (àääèòèâíîñòü èíòåãðàëà îòíîñèòåëüíî îòðåçêîâ èíòåãðèðîâàíèÿ )
Ïóñòü a < c < b, f ∶ [a, b] → R, f èíòåãðèðóåìà ïî îòðåçêàì [a, c] è [c, b]. Òîãäà f
èíòåãðèðóåìà íà [a, b], ïðè÷¼ì
b
c
b
∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx.
a
Äîêàçàòåëüñòâî.
a
(∗)
c
′
Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. Ïóñòü τ , τ
′′
òàêèå ðàçáèåíèÿ îòðåçêîâ
[a, c] è [c, b], ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
S τ ′ (f ) − sτ ′ (f ) <
′
Ïóñòü äàëåå τ = τ ∪ τ
′′
ε
,
2
S τ ′′ (f ) − sτ ′′ (f ) <
ε
.
2
ðàçáèåíèå [a, b]. Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ íåãî:
S τ (f ) − sτ (f ) = (S τ ′ (f ) − sτ ′ (f )) + (S τ ′′ (f ) − sτ ′′ (f )) <
ε ε
+ = ε.
2 2
ñëåäñòâèþ 1 èç êðèòåðèÿ èíòåãðèðóåìîñòè, ïîëó÷àåì, ÷òî f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]
Ïóñòü òåïåðü τ ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå [a, b], ñîäåðæàùåå òî÷êó c. Òîãäà
Ïî
n
∑ f (ξk ) ∆xk =
k=1
∑
[xk−1 ,xk ]⊂[a,c]
f (ξk ) ∆xk +
∑
[xk−1 ,xk ]⊂[c,b]
f (ξk ) ∆xk
Ïðè ïåðåõîäå ê ïðåäåëó ïðè dτ → 0, ïîëó÷èì (∗).
a
Çàì.
a
b
Ïîëîæèâ ∫ f (x) dx ∶= 0 è ∫ f (x) dx ∶= − ∫ f (x) dx óáåæäàåìñÿ, ÷òî ðàa
b
âåíñòâî (∗) ñïðàâåäëèâî
a
ïðè ëþáîì ðàñïîëîæåíèè òî÷åê a, b, c äëÿ
ôóíêöèè f , èíòåãðèðóåìîé íà îòðåçêå, ñîäåðæàùåì ýòè òî÷êè.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå, ñîäåðæàùåì òî÷êè a0 , a1 ,
Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
. . . ,an , òî
a1
160
a2
a0
Äîêàçàòåëüñòâî.
a0
an
∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx + . . . + ∫
a1
f (x) dx + ∫ f (x) dx = 0.
an−1
an
Äîêàçàòåëüñòâî èíäóêöèåé ïî ÷èñëó n.
3○ . (ëèíåéíîñòü èíòåãðàëà ) Åñëè f è g èíòåãðèðóåìû íà [a, b], λ, µ ∈ R, òî
ôóíêöèÿ λ f ± µ g òàêæå èíòåãðèðóåìà íà [a, b], ïðè÷¼ì
b
b
b
∫ (λ f (x) ± µ g(x)) dx = λ ∫ f (x) dx ± µ ∫ g(x) dx.
a
Äîêàçàòåëüñòâî.
a
a
Ïîëó÷àåòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì ïðè dτ → 0 â ðàâåíñòâå
äëÿ èíòåãðàëüíûõ ñóìì:
στ (λ f ± µ g, ξ) = λ στ (f, ξ) ± µ στ (g, ξ).a
a ïðåäåë ïðàâîé ÷àñòè ñóùåñòâóåò ïî óñëîâèþ óòâåðæäåíèÿ.
4○ . (èíòåãðèðóåìîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ) Åñëè f è g èíòåãðèðóåìû íà [a, b],
òî è èõ ïðîèçâåäåíèå f ⋅ g òàêæå èíòåãðèðóåìî íà [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ò.ê.
f è g èíòåãðèðóåìû íà [a, b], òî îíè îãðàíè÷åíû íà í¼ì.
Ïîýòîìó, ∃M > 0 ∶ ∣f (x)∣ ⩽ M, ∣g(x)∣ ⩽ M, ∀x ∈ [a, b]. Òîãäà
∣(f ⋅ g)(x) − (f ⋅ g)(y)∣ = ∣f (x)g(x) − f (y)g(x) + f (y)g(x) − f (y)g(y)∣ ⩽
⩽ M ⋅ ∣f (x) − f (y)∣ + M ⋅ ∣g(x) − g(y)∣.
Ñëåäîâàòåëüíî, ωk (f ⋅ g) ⩽ M ⋅ ωk (f ) + M ⋅ ωk (g), è
n
n
n
k=1
k=1
k=1
∑ ωk (f ⋅ g)∆xk ⩽ M ⋅ ∑ ωk (f )∆xk +M ⋅ ∑ ωk (g)∆xk ÐÐÐ→ 0.
dτ →0
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Ð
ÐÐ→0
d →0
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
Ð
ÐÐ→0
d →0
τ
τ
Òî åñòü, ïðîèçâåäåíèå f ⋅ g èíòåãðèðóåìî íà [a, b].
5○ . (ìîíîòîííîñòü èíòåãðàëà ) Åñëè a < b, à ôóíêöèè f è g èíòåãðèðóåìû
b
b
íà [a, b] è f (x) ⩽ g(x), ∀x ∈ [a, b] òî ∫ f (x) dx ⩽ ∫ g(x) dx.
a
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íóæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó â íåðàâåíñòâå
στ (f, ξ) ⩽ στ (g, ξ).
Äðóãèìè ñëîâàìè, íåðàâåíñòâà
ìîæíî èíòåãðèðîâàòü.
Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
161
b
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ∀x ∈ [a, b] âûïîëíåíî: f (x) ⩾ 0, òî è ∫ f (x) dx ⩾ 0.
a
Óòâåðæäåíèå 4.1.
Ïóñòü f ∈ C[a, b] è f ⩾ 0 íà [a, b]a è ∃x0 ∈ [a, b], òàêîå ÷òî f (x0 ) > 0.
b
Òîãäà ∫ f (x) dx > 0.
a
a ò.å. f (x) ⩾ 0 äëÿ ∀x ∈ [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
f (x0 ) = γ > 0. Òîãäà ∃[α, β] ⊂ [a, b], β > α, íà êîòîðîì f ⩾
 ñèëó ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà:
⩾0
⩾0
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
b
γ
.
2
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
β
α
b
γ
∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx ⩾ 0 + 2 (β − α) + 0 > 0
a
a
α
β
6○ . (èíòåãðèðóåìîñòü ìîäóëÿ ) Åñëè f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî è ∣f ∣
èíòåãðèðóåì íà [a, b]. Ïðè÷¼ì ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
RRR
RRR b
b
R
RRR
RRR∫ f (x) dxRRRRR ⩽ ∫ ∣f (x)∣ dx.a
RRR
RRR
R a
Ra
(∗∗)
a Íåðàâåíñòâî (∗∗) âåðíî ïðè a < b. Åñëè îò ýòîãî òðåáîâàíèÿ îòêàçàòüñÿ, íàäî çàïèñàòü:
b
b
∣∫ f (x) dx∣ ⩽ ∣∫ ∣f (x)∣ dx∣
a
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóåì îöåíêó:
ωk (f ) è
∣∣f (x)∣−∣f (y)∣∣ ⩽ ∣f (x)−f (y)∣, îòêóäà ωk (∣f ∣) ⩽
n
n
k=1
k=1
∑ ωk (∣f ∣)∆xk ⩽ ∑ ωk (f )∆xk ÐÐÐ→ 0,
dτ →0
ò.ê. f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Ïîýòîìó ∣f ∣ èíòåãðèðóåì íà [a, b].
Îöåíêà (∗∗) ïîëó÷àåòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì èç ñîîòâåòñòâóþùåé îöåíêè
äëÿ èíòåãðàëüíûõ ñóìì Ðèìàíà:
n
n
k=1
k=1
∣στ (f, ξ)∣ = ∣ ∑ f (ξk )∆xk ∣ ⩽ ∑ ∣f (ξk )∣ ∆xk .
Èíòåãðèðóåìîñòü ∣f ∣ íà [a, b], âîîáùå ãîâîðÿ, íå âëå÷¼ò èíòåãðèðóåìîñòü
ñàìîé ôóíêöèè f íà ýòîì îòðåçêå. Íàïðèìåð,
⎧
⎪
⎪1,
̃
D(x)
=⎨
⎪
⎪
⎩−1,
x ∈ R ∩ Q,
x ∈ R ∖ Q;
b
b
b
̃
̃
Ô⇒ ∫ ∣D(x)∣
dx = ∫ 1 dx = b − a, íî ∄ ∫ D(x)
dx.
a
a
a
Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
162
Èíòåãðèðóåìîñòü êîìïîçèöèè.
Ðàññìîòðèì äàëåå ñëåäóþùèé ïðèìåð:
⎧
⎪
⎪1/n,
R(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
åñëè x ∈ (R ∖ Q) ∪ {0};
⎧
⎪
⎪1,
Ô⇒ f ○ R(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
Òî
åñòü,
⎧
⎪
⎪1,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
åñëè x = m/n ∈ Q,
êîìïîçèöèÿ
äâóõ
åñëè x ∈ Q,
åñëè x ∈ (R ∖ Q) ∪ {0};
èíòåãðèðóåìûõ
åñëè x ≠ 0,
åñëè x = 0.
Ô⇒
= D(x) ∉ R.
ôóíêöèé
ìîæåò
áûòü
íå
èíòåãðèðóåìîé.
Îïðåäåëåíèå.
[a, b], åñëè
Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà íà îòðåçêå
∃C a > 0 ∶ ∀x1 , x2 ∈ [a, b] Ô⇒ ∣f (x1 ) − f (x2 )∣ ⩽ C ∣x1 − x2 ∣.
a C íàçûâàåòñÿ
êîíñòàíòîé Ëèïøèöà.
Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
M = sup f (x), m = inf f (x), à ôóíêöèÿ g óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà (ñ êîíñòàí-
Òåîðåìà 68. (èíòåãðèðóåìîñòü êîìïîçèöèè ôóíêöèé).
[a,b]
[a,b]
òîé C > 0) íà îòðåçêå [m, M ]. Òîãäà g ○ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
∀ε > 0. Ò.ê. f ∈ R[a, b], òî ∃τ = {xk }n
k=0 ðàçáèåíèå
ε
îòðåçêà [a, b] òàêîå, ÷òî S τ (f ) − sτ (f ) <
.
C
∗
∗
Ïóñòü äàëåå Mk , mk , Mk , mk òî÷íûå ãðàíè íà îòðåçêå [xk−1 , xk ] ôóíêöèé f è
g ○ f ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ∀ξ1 , ξ2 ∈ [xk−1 , xk ] âûïîëíåíî
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì
g(f (ξ1 )) − g(f (ξ2 )) ⩽ ∣g(f (ξ1 )) − g(f (ξ2 ))∣ ⩽ C ∣f (ξ1 ) − f (ξ2 )∣ ⩽ C (Mk − mk ).
Ïîñêîëüêó ξ1 è ξ2 âûáèðàþòñÿ ïðîèçâîëüíî, òî ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ãà∗
∗
ðàíòèðóåò âûïîëíèìîñòü ñîîòíîøåíèÿ Mk − mk ⩽ C (Mk − mk ), îòêóäà:
n
n
k=1
k=1
S τ (g ○ f ) − sτ (g ○ f ) = ∑ (Mk∗ − m∗k )∆xk ⩽ C ⋅ ∑ (Mk − mk )∆xk < C ⋅
ε
= ε.
C
Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ Ëèïøèöà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé. Îáðàòíîå íåâåðíî. Ôóíêöèÿ
√
3
x ∈ C[0, 1]. Îäíàêî îíà íå óäîâëåòâîðÿåò
íà ýòîì îòðåçêå óñëîâèþ Ëèïøèöà (ñì. [ÍÔ], ñ.344). Òåì íå ìåíåå ñïðàâåäëèâî
ñëåäóþùåå:
Óòâåðæäåíèå 4.2.
Ïóñòü: f ∈ R[a, b],
M = sup f (x),
[a,b]
m = inf f (x),
[a,b]
g ∈ C[m, M ]. Òîãäà g ○ f ∈ R[a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [ÑÕ], ñ.29-30, èëè [ÍÔ], ñ.345;
Òåîðåìû î ñðåäíåì. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì
163
Åñëè æå g ∈ R, f ∈ C , òî êîìïîçèöèÿ g ○ f ìîæåò áûòü íå èíòåãðèðóåìîé. Ñì.
ôàéë Is the Composite Function Integrable. pdf
5
Òåîðåìû î ñðåäíåì. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì.
Òåîðåìà 69. (ïåðâàÿ òåîðåìà î ñðåäíåì).
Ïóñòü ôóíêöèè f, g ∈ R[a, b], M = sup f (x),
x∈[a,b]
m = inf f (x). Ôóíêöèÿ g íå ìåíÿåò íà äàííîì îòðåçêå ñâîé çíàê. Òîãäà ∃µ ∈ [m, M ] ∶
x∈[a,b]
b
b
∫ f (x) g(x) dx = µ ∫ g(x) dx.
a
a
Åñëè f ∈ C[a, b], òî ∃ξ ∈ [a, b] ∶ µ = f (ξ).
Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè, g ⩾ 0 íà [a, b]. Òîãäà äëÿ ∀x ∈
[a, b] âûïîëíåíî: m ⋅ g(x) ⩽ f (x) g(x) ⩽ M ⋅ g(x). Îòñþäà, â ñèëó ìîíîòîííîñòè
Äîêàçàòåëüñòâî.
èíòåãðàëà:
b
b
b
m ∫ g(x) dx ⩽ ∫ f (x) g(x) dx ⩽ M ∫ g(x) dx.
a
a
a
b
b
Ïóñòü ñíà÷àëà ∫ g(x)dx = 0. Òîãäà èç âåðõíåãî íåðàâåíñòâà ∫ f (x)g(x)dx = 0, è
a
a
b
ïîäõîäèò ëþáîå µ. Åñëè æå ∫ g(x) dx > 0, òî èç òîãî æå íåðàâåíñòâà:
a
b
m⩽
∫ f (x) g(x) dx
a
b
⩽ M.
∫ g(x) dx
a
b
Ïîýòîìó, âçÿâ µ =
∫ f (x) g(x) dx
a
b
, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.
∫ g(x) dx
a
Ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè ξ ∈ [a, b] ∶ f (ξ) = µ âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî íåïðåðûâíàÿ
íà îòðåçêå ôóíêöèÿ äîñòèãàåò min è max çíà÷åíèÿ, òàê è ëþáîãî ïðîìåæóòî÷íîãî çíà÷åíèÿ ìåæäó íèìè (m < µ < M ).
Çàì.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû òî÷êà ξ íàéä¼òñÿ íà
èíòåðâàëå (a, b). Ñì., íàïðèìåð, [Áåñîâ], òîì I.
Îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Òîãäà íà ýòîì îòðåçêå îïðåäåx
ëåíà ôóíêöèÿ F (x) = ∫ f (t) dt, a < x ⩽ b, íàçûâàåìàÿ èíòåãðàëîì ñ ïåðåìåííûì âåðõa
íèì ïðåäåëîì.
b
Àíàëîãè÷íî ìîæåò áûòü ââåäåíà ôóíêöèÿ G(x) = ∫ f (t) dt, a ⩽ x < b,
íàçûâàåìàÿ èíòåãðàëîì ñ ïåðåìåííûì íèæíèì ïðåäåëîì.
x
Çàéì¼ìñÿ äàëåå óñòàíîâëåíèåì
ñâÿçè ìåæäó îïðåäåë¼ííûì è
íåîïðåäåë¼ííûì èíòåãðàëàìè.
Òåîðåìû î ñðåäíåì. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì
Òåîðåìà 70. (îá èíòåãðàëå ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì).
Ïóñòü ôóíêöèÿ f èíòå-
x
ãðèðóåìà íà [a, b], F (x) = ∫ f (t) dt. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
a
1. ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíà íà [a, b];
2. åñëè, êðîìå òîãî, f íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ∈ [a, b], òî F äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå
x0 , è F ′ (x0 ) = f (x0 )a .
a Åñëè x = a èëè x = b, òî ïîä ïðîèçâîäíîé F ′ (x ) ïîíèìàåòñÿ îäíîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíàÿ.
0
0
0
1. Ïîñêîëüêó f ∈ R[a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà [a, b], ò.å. ∃M >
0 ∶ ∀t ∈ [a, b] ⇒ ∣f (t)∣ ⩽ M . Ïóñòü x0 , x0 + ∆x ∈ [a, b]. Òîãäà
Äîêàçàòåëüñòâî.
RRR
RRR x0 +∆x
RRR RRR x0 +∆x
x0
R
R
R R
∣F (x0 + ∆x) − F (x0 )∣ = RRRR ∫ f (t) dt − ∫ f (t) dtRRRR = RRRR ∫ f (t) dtRRRR ⩽
RRR
RRR
RRR RRR
RR
RR a
RR RR x0
a
RRR
RRR x0 +∆x
RRR x0 +∆x RRR
R
R
R
R
⩽ RRRRR ∫ ∣f (t)∣ dtRRRRR a ⩽ M ⋅ RRRRR ∫ dtRRRRR = M ⋅ ∣∆x∣ ÐÐÐ→ 0.
∆x→0
RRR
RRR
RRR
RRR
R
R x0
R
R x0
2. Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. Ò.ê. f ∈ C(x0 ), òî
∃δ(ε) ∶ ∀t ∈ [a, b], ∣t − x0 ∣ < δ(ε) Ô⇒ ∣f (t) − f (x0 )∣ < ε.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ∣∆x∣ < δ(ε) è x0 + ∆x ∈ [a, b], ïîëó÷àåì:
∣
RRR x0 +∆x
RRR
x0 +∆x
x0 +∆x
R 1
RRR 1
∆F (x0 )
ε
(f
⩽
R
−f (x0 )∣ = RRRRR
(t)−f
(x
))dt
∣f
(t)
−
f
(x
)∣dt
<
dt = ε.
0
0
∫
RRR ∆x ∫
∆x
∆x∫
RRR ∆x
R
R
x
x
x
0
0
0
R
R
′
Ïîýòîìó, F (x0 ) = lim
∆x→0
∆F (x0 )
= f (x0 ).
∆x
a åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ∆x > 0, òî âíåøíèé ìîäóëü ìîæíî íå ïèñàòü.
′
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì: G (x0 ) = −f (x0 )
Ñëåäñòâèå 1. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà ïðîìåæóòêå, èìååò íà í¼ì ïåðâîîáðàçíóþ.
x
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü f ∈ C(< a, b >), F (x) = ∫ f (t)dt, ãäå x0 ∈ < a, b >. Òîãäà,
x0
′
åñëè x ∈< a, b >, x ⩾ x0 , òî F (x) = f (x) ïî òåîðåìå Áàððîó äëÿ èíòåãðàëà ñ
x0
ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì, à åñëè x ⩽ x0 , òî F (x) = − ∫ f (t) dt è
x
′
F (x) = f (x)
ïî ôîðìóëå äëÿ èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì íèæíèì ïðåäåëîì.
164
òåîðåìà Áàððîó
Òåîðåìû î ñðåäíåì. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì
Òåîðåìà 71. (âòîðàÿ òåîðåìà î ñðåäíåì).
Ïóñòü f, φ ∈ R[a, b], åñëè
165
ôîðìóëû Áîííå.
1. φ ìîíîòîííàÿ íà [a, b], òî ∃ξ ∈ [a, b] :
ξ
b
b
∫ f (x)φ(x)dx = φ(a) ∫ f (x) dx + φ(b) ∫ f (x) dx;
a
a
ξ
2. φ íå âîçðàñòàåò íà [a, b] è φ ⩾ 0 íà [a, b], òî ∃ξ1 ∈ [a, b] :
ξ1
b
∫ f (x)φ(x)dx = φ(a) ∫ f (x) dx;
a
a
3. φ íå óáûâàåò íà [a, b] è φ ⩾ 0 íà [a, b], òî ∃ξ2 ∈ [a, b] :
b
b
∫ f (x)φ(x)dx = φ(b) ∫ f (x) dx.
a
ξ2
φ ↘ íà [a, b] è φ ⩾ 0 íà [a, b]. Åñëè φ(a) = 0, òî
φ ≡ 0 íà [a, b] è óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïóñòü φ(a) > 0. Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå
τ = {xk }n
k=0 îòðåçêà [a, b] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì 2. Ïóñòü
xk
n
Îáîçíà÷èì: M = sup f (x), σn = ∑ φ(xk−1 ) ⋅ ∫
[a,b]
k=1
xk−1
f (x) dx. Òîãäà:
RRR
RRR RRR n
RRR
xk
xk
b
n
RR
RRR RRR
RRR
R
RRRσn − ∫ f (x)φ(x)dxRRR = RR ∑ φ(xk−1 ) ⋅ ∫ f (x) dx − ∑ ∫ f (x)φ(x)dxRRRR =
RRR
RRR RRRk=1
RRR
k=1x
xk−1
a
RR
k−1
R RR
R
RRR
RRR
xk
xk
RR n
RR n
= RRRR ∑ ∫ (φ(xk−1 ) − φ(x))f (x)dxRRRR ⩽ ∑ ∫ ∣φ(xk−1 ) − φ(x)∣ ⋅ ∣f (x)∣ dx ⩽
RRR k=1
RRRk=1
´¹¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¶
xk−1
RR
RR xk−1
⩽M
xk
n
⩽ ∑M⋅
k=1
sup
[xk−1 ,xk ]
∣φ(xk−1 ) − φ(x)∣ ⋅ ∫ dx = {φ ↘} =
xk−1
´¹¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¶
=(b−a)/n
=M
b−a n
b−a
(φ(a) − φ(b)) ÐÐÐ→ 0.
∑ (φ(xk−1 ) − φ(xk )) = M
n→∞
n k=1
n
b
ò.å. lim σn = ∫ f (x)φ(x)dx.
x
n→∞
Ïóñòü òåïåðü F (x) = ∫ f (t)dt. f ∈ R[a, b] Ô⇒ F ∈ C[a, b] Ô⇒
a
a
Ô⇒ ∃α, β ∈ [a, b] : inf F (x) = F (α), sup F (x) = F (β). Äàëåå ïîëó÷àåì:
[a,b]
[a,b]
xk
xk−1
n
⎛
⎞ n
σn = ∑ φ(xk−1 ) ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx = ∑ φ(xk−1 )(F (xk ) − F (xk−1 )) =
⎝
⎠ k=1
k=1
a
a
Ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ.
n
n
n
n−1
k=1
k=1
k=1
k=0
= ∑ φ(xk−1 )F (xk ) − ∑ φ(xk−1 )F (xk−1 ) = ∑ φ(xk−1 )F (xk ) − ∑ φ(xk )F (xk ) =
n−1
= φ(xn−1 )F (b) + ∑ F (xk )(φ(xk−1 ) − φ(xk )) ⩽
k=1
F (x0 ) = F (a) = 0,
F (b).
F (xn ) =
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
166
n−1
⩽ φ(xn−1 )F (β) + ∑ F (β)(φ(xk−1 ) − φ(xk )) = φ(x0 )F (β) = φ(a)F (β).
k=1
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî σn ⩾ φ(a)F (α). Îòêóäà, ò.ê. φ(a) > 0 ïîëó÷èì:
σn
⩽ F (β). Ïåðåéä¼ì ê ïðåäåëó ïðè n → ∞ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå:
φ(a)
1 b
F (α) ⩽
f (x)φ(x)dx ⩽ F (β). Äàëåå, ò.ê. F ∈ C[a, b], òî ∃ξ ∈ [a, b] :
φ(a) ∫a
F (α) ⩽
ξ
b
b
F (ξ) =
1
f (x)φ(x)dx ⇐⇒ ∫ f (x)φ(x)dx = φ(a) ∫ f (t)dt ⇐⇒ 2.
φ(a) ∫
a
a
a
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïóíêòà 3. ñäåëàåì â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå çàìåíó f1 (x) =
f (−x), φ1 (x) = φ(−x), è çàìåòèì, ÷òî åñëè φ(x)↗, òî φ(−x)↘:
−ξ
−a
b
b
∫ f (x)φ(x)dx = ∫ f (−x)φ(−x)dx = {2.} = φ(b) ∫ f (−x)dx = φ(b)∫ f (x)dx.
−b
a
−b
ξ
⩾0
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 1. ïîëîæèì â 2. φ(x) = φ(x) − φ(b), åñëè φ↘ èëè ïîëîæèì
⩾0
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
â 3. φ(x) = φ(x) − φ(a), åñëè φ↗. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü φ↘, òîãäà:
ξ
b
b
b
2.
(φ(a) − φ(b))∫ f (x)dx = ∫ f (x)(φ(x) − φ(b))dx = ∫ f (x)φ(x)dx − φ(b)∫ f (x)dx.
a
a
a
a
Îòêóäà ïîëó÷àåì:
ξ
ξ
b
b
∫ f (x)φ(x)dx = φ(a) ∫ f (x)dx − φ(b) ∫ f (x)dx + φ(b) ∫ f (x)dx =
a
a
a
a
ξ
b
= φ(a) ∫ f (x)dx + φ(b) ∫ f (x)dx.
a
6
ξ
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà. Îáîáùåíèÿ
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà îäíî èç âàæíåéøèõ óòâåðæäåíèé âî âñåì êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îíà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà ñ íåîïðåäåë¼ííûì è ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü îïðåäåë¼ííûé
èíòåãðàë îò ôóíêöèè, ïåðâîîáðàçíàÿ êîòîðîé èçâåñòíà.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïóñòü òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàë
2
2
∫ x dx. Èíòåãðèðóåìîñòü ýòîé ôóíêöèè âûòåêàåò èç å¼ íåïðåðûâíîñòè íà
−1
îòðåçêå [−1, 2]. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëà èíòåãðàëüíûõ ñóìì
ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé ñ äèàìåòðîì ñòðåìÿùèìñÿ ê íóëþ, è ëþáûå îòìå÷åííûå òî÷êè ξk . Áóäåì äåëèòü îòðåçîê [−1, 2]
íà n ðàâíûõ ÷àñòåé, à â êà÷åñòâå òî÷åê ξk âûáèðàòü ïðàâûå òî÷êè ðàçáèåíèÿ.
Êàê ìû âèäèì, âû÷èñëåíèå
îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ ¾ïî
îïðåäåëåíèþ¿ âåñüìà òðóäî¼ìêî.
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
167
Èìååì:
2
n
3
3k
2
2
, k = 1, . . . , n} =
∑ ξk ⋅ ∆xk = {∆xk = ; ξk = xk = −1 +
∫ x dx = dlim
→0
n
n
τ
k=1
−1
n
= lim ∑ (−1 +
n→∞
k=1
lim (3 −
n→∞
n
6k 9k2
3
3k 2 3
) ⋅ = lim ∑ (1 −
+ 2 )⋅ =
n
n n→∞ k=1
n
n
n
18 (n + 1)n 27 n(n + 1)(2n + 1)
⋅
+ 3⋅
) = 3.
n2
2
n
6
Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a, b], F
Òåîðåìà 72. (ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà).
ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà [a, b]. Òîãäà
b
b
∫ f (x) dx = F (b) − F (a) = F ∣a .
(Í-Ë)
a
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü τ = {xk }k=0
n
ðàâíîìåðíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà [a, b]. Ïðå-
îáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (Í-Ë):
F (b) − F (a) = F (xn ) − F (x0 ) =
n
= F (xn ) − F (xn−1 ) + F (xn−1 ) − . . . + F (x1 ) − F (x0 ) = ∑(F (xk ) − F (xk−1 )).
k=1
a
Ò.ê. ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b] , òî ê êàæäîìó ñëàãàåìîìó èç
ïîñëåäíåé ñóììû ïðèìåíèìà ôîðìóëà Ëàãðàíæà î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ:
(n)
(n)
(n)
∃ξk ∈ (xk−1 , xk ) ∶ F (xk ) − F (xk−1 ) = F ′ (ξk )(xk − xk−1 ) = f (ξk )∆xk .
n
(n)
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî F (b) − F (a) = ∑ f (ξk
k=1
b
n
)∆xk . Ò.ê. f ∈ R[a, b], òî
(n)
lim ∑ f (ξk )∆xk = lim (F (b) − F (a)) = F (b) − F (a).
∫ f (x)dx = n→∞
n→∞
a
k=1
a Ýòî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî F ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà [a, b].
Òåîðåìà
Òîãäà
72∗ . Ïóñòü f ∈ C[a, b] è Φ å¼ ïðîèçâîëüíàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ íà ýòîì îòðåçêå.
b
∫ f (x)dx = Φ(b) − Φ(a).
a
x
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ôóíêöèÿ F (x) = ∫ f (t)dt ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè f
a
íà [a, b]. Ïîýòîìó, F (x) = Φ(x) + C , a ⩽ x ⩽ b, ò.å.
x
∫ f (t)dt = Φ(x) + C.
a
Îòñþäà, ïðè x = a ïîëó÷àåì: 0 = Φ(a) + C ⇒ C = −Φ(a). Ïðè x = b:
b
∫ f (t)dt = Φ(b) + C = Φ(b) − Φ(a).
a
Âîçìîæíî, áîëåå ïðàâèëüíîå
íàçâàíèå äàííîé òåîðåìû
ôîðìóëà Áàððîó. Ñì. [Àðíîëüä].
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
168
2
Ïîïðîáóåì ïðèìåíèòü ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ê èíòåãðàëó ∫
−1
dx
:
x2
2
dx
1 2
∫ x2 = − x ∣−1 = −1/2 − 1 = −3/2.
−1
Î÷åâèäíî, ÷òî äàííûé ðåçóëüòàò íåâåðíûé, ò.ê. ïîëó÷åíî îòðèöàòåëüíîå
1
ñòðîãî ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè f (x) = 2 . Ïî÷åìó?
x
 ýòîì ïðèìåðå áûëè íàðóøåíû äâà óñëîâèÿ òåîðåìû 13:
÷èñëî ïðè èíòåãðèðîâàíèè
1. f ∉ R[−1, 2], ò.ê. îíà íå îãðàíè÷åíà íà ýòîì îòðåçêå;
2. Ðàâåíñòâî (−
1 ′
1
) = 2 íå èìååò ñìûñëà â òî÷êå x = 0.
x
x
Óòâåðæäåíèå 6.1. (îáîáùåíèÿ ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà).
1.
Ïóñòü f ∈ R[a, b], F ∈ C[a, b], F ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà [a, b] çà èñêëþ÷åíèåì
b
êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òî÷åê. Òîãäà ∫ f (x) dx = F (b) − F (a).
a
< t2 < . . . < tm−1 âñå òî÷êè èíòåðâàëà (a, b), â êîòîðûõ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü t1
′
íàðóøàåòñÿ ðàâåíñòâî F = f . Ïóñòü òàêæå t0 = a, tm = b. Ïîëó÷àåì:
tk
∫
f (x) dx = a = lim
tk −ε
∫
ε→0+0
tk−1 +ε
tk−1
f (x)dx =
= lim (F (tk − ε) − F (tk−1 + ε)) = b = F (tk ) − F (tk−1 ).
ε→0+0
Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ àääèòèâíîñòüþ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà
b
m
tk
m
∫ f (x) dx = ∑ ∫ f (x) dx = ∑ (F (tk ) − F (tk−1 )) = F (b) − F (a).
k=1t
k−1
a
k=1
a íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûìè ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ.
b Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè F .
Óñëîâèå F ∈ C[a, b] ñóùåñòâåííî. Äëÿ ôóíêöèé f (x) = 0, F (x) =
′
sgnx ðàâåí-
ñòâî F (x) = f (x) âûïîëíåíî âåçäå, êðîìå òî÷êè x = 0, íî ôîðìóëà Íüþòîíà
Ëåéáíèöà íà îòðåçêå [−1, 1] íåâåðíà:
1
1
0 = ∫ 0dx = ∫ f (x)dx ≠ F (x)∣
−1
−1
1
−1
=2
Ïóñòü èíòåãðèðóåìàÿ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèÿ f òåðïèò ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà âî
âíóòðåííèõ òî÷êàõ ci ∈ (a, b), i = 1, p, è, ìîæåò áûòü, â òî÷êàõ a è b. Ïóñòü, êðîìå òîãî,
ðàâåíñòâî F ′ (x) = f (x) çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê ðàçðûâà. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:
2.
b
p
∫ f (x) dx = F (b − 0) − F (a + 0) − ∑ (F (ck − 0) − F (ck + 0)).
a
k=1
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
Çàì.
169
Ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê.
′
Ïóñòü F äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b]. F ∈ R[a, b]. Òîãäà
 ýòîé ôîðìóëèðîâêå òàêæå ìîæíî
ðàçðåøèòü ôóíêöèè F ∈ C[a, b] íå
èìåòü ïðîèçâîäíîé íà êîíå÷íîì
ìíîæåñòâå òî÷åê.
b
′
∫ F (x) dx = F (b) − F (a).
a
Çàì.
Óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè íà [a, b] ôóíêöèè F
′
â ïðåäûäóùåì
çàìå÷àíèè îïóñòèòü íåëüçÿ, ò.ê. ïðîèçâîäíàÿ ìîæåò áûòü è íå
èíòåãðèðóåìîé, è òîãäà èíòåãðàë Ðèìàíà îò íå¼ íå èìååò ñìûñëà.
Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî âñÿêàÿ
ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ïåðâîîáðàçíóþ
íà îòðåçêå, îáÿçàòåëüíî äîëæíà
áûòü èíòåãðèðóåìà íà í¼ì?
Âîçüì¼ì â êà÷åñòâå ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèþ:
⎧
2
1
⎪
⎪x sin x2 ,
F (x) = ⎨
⎪
⎪
0,
⎩
x ≠ 0,
x = 0;
⎧
2
1
1
⎪
⎪
⎪2x sin x2 − cos x2 ,
x
äëÿ íå¼ F (x) = ⎨
⎪
⎪
0,
⎪
⎩
′
x ≠ 0,
x = 0;
Ôóíêöèÿ F ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â êà÷åñòâå ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ñâîåé ïðîèçâîäíîé íà êàêîì-ëèáî îòðåçêå, ñîäåðæàùåì òî÷êó 0 (ñêàæåì, íà
[−1, 1]). Ïîëó÷åííàÿ íà [−1, 1] ïðîèçâîäíàÿ F ′ = f íåîãðàíè÷åíà â ëþáîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè 0. Ñëåäîâàòåëüíî, îíà íå èíòåãðèðóåìà íà [−1, 1], è ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà äëÿ íå¼ íå âûïîëíåíà. Äàííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî èíòåãðàë Ðèìàíà íå âñåãäà ðåøàåò çàäà÷ó âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèè
ïî å¼ ïðîèçâîäíîé.
Ôóíêöèÿ Ðèìàíà R èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì êîíå÷íîì îòðåçêå. Ðàññìîòðèì
x
ôóíêöèþ Φ(x) = ∫ R(t) dt, ãäå x ∈ (a, b]. Â ñèëó èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè
a
R çàêëþ÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ Φ îïðåäåëåíà íà [a, b], è ò.ê. ∀x ∈ (a, b] èìååì
x
′
∫ R(t)dt = 0, òî Φ ≡ 0. Ñëåäîâàòåëüíî, Φ ≡ 0 ≠ R. Ò.å. ïîñòðîåííàÿ ôóíêöèÿ Φ
a
íå åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè R íà [a, b]. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî
ôóíêöèÿ Ðèìàíà íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà [a, b].
Áîëåå ïðîñòûì ïðèìåðîì èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè, íå èìåþùåé ïåðâîîáðàçíóþ, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ f (x) =
sgnx.
1
Ïîïðîáóåì âû÷èñëèòü èíòåãðàë: ∫
−1
1
+1
x2
dx
1
+
x2
x2
1 + x2 x≠0
∫ 1 + x4 dx = ∫
=∫
1 + x2
dx. Íàéä¼ì ïåðâîîáðàçíóþ:
1 + x4
d (x − x1 )
2 − (x −
1 2
)
x
1
x2 − 1
= √ arctg √ + C, x ≠ 0.
2
x 2
Åñëè ïîäñòàâèòü ýòó ïåðâîîáðàçíóþ â ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, ïîëó÷èì:
1
1
x2 − 1 1
1 + x2
∫ 1 + x4 dx = √ arctg √ ∣−1 = 0 − 0 = 0.
2
x 2
−1
×òî, ïîíÿòíîå äåëî, íåâåðíî, ò.ê. ïîëó÷åííàÿ íàìè ïåðâîîáðàçíàÿ ðàçðûâíà
Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî âñÿêàÿ
ôóíêöèÿ, èíòåãðèðóåìàÿ íà
îòðåçêå, îáÿçàòåëüíî äîëæíà
èìåòü ïåðâîîáðàçíóþ íà í¼ì?
Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
170
â íóëå. Òðåáîâàëîñü, ëèáî íàéòè íåïðåðûâíóþ ïåðâîîáðàçíóþ
√
√
1
F (x) = √ ( arctg (1 + x 2) + arctg (1 − x 2)),
2
1
0
−1
−1
1
π
2
ëèáî ðàçáèòü èñõîäíûé èíòåãðàë íà äâà: ∫ = ∫ + ∫ = . . . = √ .
0
Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
7
171
Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
Ïóñòü ôóíêöèè u, v äèôôåðåíöèðóåìû íà
[a, b], à u , v ∈ R[a, b]. Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
Òåîðåìà 73. (èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì).
′
′
b
b
b
′
′
∫ u(x) v (x) dx = u(x) v(x)∣a − ∫ u (x) v(x) dx.
a
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî èç óñëîâèé òåîðåìû, è ñîîòâåòñòâóþùèõ óòâåð′
′
æäåíèé èç ïðåäûäóùèõ ïóíêòîâ, ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè u v è uv èíòåãðè′
′
′
ðóåìû íà [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî è ïðîèçâîäíàÿ (u v) = u v + uv èíòåãðèðóåìà
íà [a, b]. Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà:
b
b
b
b
′
′
′
∫ u(x) v (x) dx + ∫ u (x) v(x) dx = ∫ (u(x) v(x)) dx = u(x)v(x)∣a .
a
a
a
Îñòà¼òñÿ ïåðåíåñòè âòîðîå ñëàãàåìîå èç ëåâîé ÷àñòè â ïðàâóþ.
Èíîãäà ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì çàïèñûâàþò â âèäå:
b
b
b
∫ u dv = u v∣a − ∫ v du,
a
′
a
′
òðàêòóÿ u (x)dx è v (x)dx êàê äèôôåðåíöèàëû.
⎧
2
u = ln x, dv = dx⎫
⎪
⎪
2
⎪
⎪
x
⎪
⎪
=
x
ln
x∣
−
⎬
ln
x
dx
=
⎨
∫ x dx = 2 ln 2 − 1.
∫
dx
⎪
⎪
1
⎪
⎪
du
=
,
v
=
x
⎪
⎪
1
1
⎭
⎩
x
2
Ïóñòü f ∈ C[a, b]; φ ∶
[α, β] → [a, b], φ äèôôåðåíöèðóåìà íà [α, β], φ′ ∈ R[α, β]. Òîãäà
Òåîðåìà 74. (çàìåíà ïåðåìåííîé â îïðåäåë¼ííîì èíòåãðàëå).
φ(β)
β
a ′
∫ (f ○ φ)(t) φ (t) dt = ∫ f (x) dx.
α
(ÇÏ)
φ(α)
a (f ○ φ)(t) = f (φ(t))
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñêîëüêó, ïî òåîðåìå î íåïðåðûâíîñòè êîìïîçèöèè ôóíê′
′
öèé, f ○ φ ∈ C[α, β] ⊂ R[α, β], φ ∈ R[α, β], òî (f ○ φ) φ ∈ R[α, β], êðîìå òîãî
f ∈ R[φ(α), φ(β)].
f ∈ C ñëåäîâàòåëüíî ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ F òàêàÿ, ÷òî F ′ = f íà [a, b].
(F ○ φ)′ = a = (F ′ ○ φ) ⋅ φ′ = (f ○ φ) ⋅ φ′ íà [α, β].
′
Ïîýòîìó, F ○ φ ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ (f ○ φ) ⋅ φ . Ïðèìåíÿÿ ê íèì ôîðìóëó
Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, ïîëó÷èì:
β
t=β
x=φ(β)
φ(β)
′
∫ (f ○ φ)(t) ⋅ φ (t) dt = (F ○ φ)(t)∣t=α = F (x)∣x=φ(α) = ∫ f (x) dx.
α
φ(α)
Èíòåãðàëüíûé ÷ëåí â ôîðìóëå Òåéëîðà
172
a (F (φ(t)))′ = F ′ (φ(t)) ⋅ φ′ (t) = f (φ(t)) ⋅ φ′ (t)
Çàìåíà ïåðåìåííîé â èíòåãðàëå ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ, êàê ñëåâà íàïðàâî,
òàê è ñïðàâà íàëåâî.
b
Çàì.
Ïóñòü â èíòåãðàëå ∫ f (x) dx ïðîèçâîäèòñÿ çàìåíà x = φ(t). Â ýòîì
a
äèôôåðåíöèàë: dx = φ′ (t)dt. Òðåáóåòñÿ
ïîìåíÿòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ a → α, b → β , ãäå φ(α) = a,
φ(β) = b. Ïîëó÷àåì:
ñëó÷àå, dx òðàêòóåòñÿ êàê
β
b
′
∫ f (x)dx = ∫ (f ○ φ)(t) ⋅ φ (t) dt
a
α
 îòëè÷èè îò íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà, ïðè âû÷èñëåíèè îïðåäåë¼ííîãî, íå
íàäî âîçâðàùàòüñÿ ê ñòàðîé ïåðåìåííîé, íî íóæíî ïîìåíÿòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ.
Çàì.
 óñëîâèÿõ òåîðåìû íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ φ(t) ìîãóò íå ïðèíàäëåæàòü îòðåçêó [φ(α), φ(β)], íî âàæíî, ÷òîáû âñå îíè ïðèíàäëå-
æàëè îòðåçêó [a, b], íà êîòîðîì îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f . Êðîìå
òîãî, íèæíèé ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ íå îáÿçàòåëüíî ìåíüøå
âåðõíåãî. Íàïðèìåð, åñëè φ ↓ , α < β , òî φ(α) > φ(β).
Çàì.
 òåîðåìå î çàìåíå ïåðåìåííîé íà ôóíêöèè f è φ ìîæíî íàêëàäûâàòü äðóãèå îãðàíè÷åíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè ôóíêöèÿ φ
′
äèôôåðåíöèðóåìà è ñòðîãî ìîíîòîííà íà [α, β], è φ èíòåãðèðó-
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ
ñì., íàïðèìåð, â [Çâåðîâè÷ II],
ñ.74-76.
åìà íà [α, β], à f èíòåãðèðóåìà íà [φ(α), φ(β)] (èëè íà [φ(β), φ(α)],
åñëè φ(α) > φ(β)), òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (ÇÏ)
 ýòîé ôîðìóëèðîâêå íà ôóíêöèþ f íàêëàäûâàþòñÿ áîëåå ìÿãêèå óñëîâèÿ, à íà
ôóíêöèþ φ áîëåå ñòðîãèå.
⎧
⎫
⎪
⎪
1 + x2 = t,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
4
⎪
⎪
⎪
√
⎪
⎪
√
2xdx = dt, ⎪
⎪
⎪ 1
3
2 dx = ⎨
x
1
+
x
⎬
=
∫
∫ (t − 1) t dt =
⎪
⎪
2
⎪
⎪
x
=
0
→
1
=
t,
⎪
⎪
0
1
⎪
⎪
⎪
⎪
√
⎪
⎪
⎪
⎪x = 3 → 4 = t ⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
1 2 5/2 2 3/2 4 58
= ( t − t )∣ =
.
2 5
3
15
1
√
3
8
Èíòåãðàëüíûé ÷ëåí â ôîðìóëå Òåéëîðà.
Òåîðåìà 75. (ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòêîì â èíòåãðàëüíîé ôîðìå).
Ïóñòü n = 0, 1, 2, . . .,
îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ê.
ßêîáè.
Èíòåãðàëüíûé ÷ëåí â ôîðìóëå Òåéëîðà
173
f ∈ C (n+1) (), x0 , x ∈. Òîãäà
x
f (k) (x0 )
1
(x − x0 )k +
f (n+1) (t) ⋅ (x − t)n dt.
k!
n! ∫
k=0
n
f (x) = ∑
x0
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçóåìñÿ
ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
x
′
Ïðè n = 0 ïîëó÷àåì: f (x) = f (x0 ) + ∫ f (t)dt ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà.
x0
Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ íåêîòîðîãî (n − 1) ⩾ 0. Ò.å. âûïîëíåíî:
n−1
f (x) = ∑
k=0
x
f (k) (x0 )
1
(x − x0 )k +
f (n) (t) ⋅ (x − t)n−1 dt.
k!
(n − 1)! ∫
x0
Äîêàæåì åãî äëÿ n:
x
x
∫ f
(n)
x0
x
(x − t)n−1
(x − t)n
1
(t)
dt = − ∫ f (n) (t)d (
) = − f (n) (t)(x − t)n ∣ +
(n − 1)!
n!
n!
x0
x0
x
+
x
f (n) (x0 )
1
1
f (n+1) (t) (x − t)n dt =
f (n+1) (t) (x − t)n dt.
(x − x0 )n +
∫
n!
n!
n! ∫
x0
x0
Îòêóäà,
n−1
f (x) = ∑
k=0
x
f (n) (x0 )
f (k) (x0 )
1
(x − x0 )k +
(x − x0 )n +
f (n+1) (t) (x − t)n dt =
k!
n!
n! ∫
x0
x
f (k) (x0 )
1
(x − x0 )k +
f (n+1) (t) (x − t)n dt.
k!
n! ∫
k=0
n
=∑
x0
Çàì.
(n+1)
∈ C , (x − t)n ⩾ 0, t ∈ [x0 , x]) â
óñëîâèÿõ òåîðåìû Òåéëîðà ñ îñòàòêîì â èíòåãðàëüíîé ôîðìå íàéä¼òñÿ ξ ∈ (x0 , x) :
Ïî ïåðâîé òåîðåìå î ñðåäíåì (f
x
x
f (n+1) (ξ)
f (n+1) (ξ)
1
f (n+1) (t) (x − t)n dt =
(x − t)n dt =
(x − x0 )n+1 .
∫
∫
n!
n!
(n + 1)!
x0
ïîëó÷èëè
x0
îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà.
Ëàãðàíæåâà ôîðìà îñòàòêà ñëåäóåò èç èíòåãðàëüíîé (ïðàâäà ïðè áîëåå æ¼ñòêèõ
óñëîâèÿõ íà ôóíêöèþ f ). Ãëàâíîå ïðåèìóùåñòâî èíòåãðàëüíîé ôîðìû ýòî òî, ÷òî
îíà íå ñîäåðæèò íåèçâåñòíîé òî÷êè ξ .
ÃËÀÂÀ
Íåñîáñòâåííûå
XI
èíòåãðàëû
1
Îïðåäåëåíèÿ. Ââîäíûå ñîîáðàæåíèÿ
Ïðè ïîñòðîåíèè îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà (èëè ñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà)
b
∫ f (x)dx áûëî ñóùåñòâåííî âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
a
1. îòðåçîê [a, b] êîíå÷åí, ò.å. −∞ < a < b < +∞;
2. ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà [a, b];
3. ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà ïî÷òè âñþäó íà [a, b].
Åñëè íå âûïîëíåíî óñëîâèå 1., òî ïî ìåíüøåé ìåðå îäèí èç îòðåçêîâ ðàçáèåíèÿ [a, b] áóäåò áåñêîíå÷íûì, è ïîýòîìó òåðÿåò ñìûñë èíòåãðàëüíàÿ ñóììà στ (f, ξ) =
n
∑ f (ξk )∆xk . Ïðè íåâûïîëíåíèè óñëîâèÿ 2., íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå
k=1
èíòåãðèðóåìîñòè ïî Ðèìàíó. Åñëè íå âûïîëíåíî 3., òî íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
èç êðèòåðèÿ Ëåáåãà.
Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî óñëîâèå 3. âûïîëíåíî.
Èíòåãðàëû, äëÿ êîòîðûõ íå âûïîëíåíî óñëîâèå 1. èëè 2. íàçûâàþòñÿ
íåñîáñòâåííûìè èíòåãðàëàìè. Îáîçíà÷åíèå òàêîå æå, êàê è äëÿ èíòåãðàëîâ Ðèìàíà.
Îïðåäåëåíèå.
b
Îïðåäåëåíèå. Îñîáûìè òî÷êàìè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà
∫ f (x)dx áóäåì íàçûâàòü
a
âñå òî÷êè îòðåçêà [a, b], â îêðåñòíîñòÿõ êîòîðûõ ôóíêöèÿ f íå îãðàíè÷åíà. Ê îñîáûì
òî÷êàì ïðè÷èñëÿþò òàêæå òî÷êè ±∞.
Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìîé (ïî Ðèìàíó) íà ïðîåñëè f èíòåãðèðóåìà (ïî Ðèìàíó) íà êàæäîì îòðåçêå, ñîäåðæàùåìñÿ â
E. Îáîçíà÷åíèå f ∈ Rℓoc (E).
Îïðåäåëåíèå 3.
ìåæóòêå E,
Îïðåäåëåíèå 4.
ñòè÷íîãî )
Ïóñòü f ∈ Rℓoc ([a, +∞)) (ò.å. f ∈ R([a, A), ∀ A > a). Ïðåäåë (÷àA
èíòåãðàëà ∫ f (x) dx (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé) ïðè A → +∞ íàçûâàþò
a
íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f ïî ëó÷ó [a, +∞). Îáîçíà÷åíèå:
+∞
A
a
a
lim ∫ f (x) dx.
∫ f (x)dx = A→∞
Åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí, ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
+∞
∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ, à ôóíêöèþ f íàçûâàþò èíòåãðèðóåìîé íà [a, +∞) (â íåñîáa
174
Ñåêöèÿ 1. Îïðåäåëåíèÿ.
Ââîäíûå ñîîáðàæåíèÿ
Ñåêöèÿ 2. Èññëåäîâàíèå
ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ
èíòåãðàëîâ
Ñåêöèÿ 3. Cïåöèàëüíûå
ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
Ñåêöèÿ 4. Ñõîäèìîñòü â
ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ
(ïî Êîøè)
Îïðåäåëåíèÿ. Ââîäíûå ñîîáðàæåíèÿ
ñòâåííîì ñìûñëå ).
175
+∞
Îáîçíà÷åíèå:
∫ f (x)dx →.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïðî èíòåãðàë ãîa
+∞
âîðÿò, ÷òî îí ðàñõîäèòñÿ, à ôóíêöèÿ f íå èíòåãðèðóåìà. Îáîçíà÷åíèå: ∫ f (x)dx Ð→
/ .
a
Èíòåãðàë îò ôóíêöèè f ïî áåñêîíå÷íîìó ïðîìåæóòêó (−∞, +∞) îïðåäåëÿåòñÿ
+∞
êàê: ∫ f (x)dx =
−∞
A
lim ∫ f (x) dx, ïðè íåçàâèñèìîì ñòðåìëåíèè A → +∞, A′ → −∞.
Ïóñòü f ∈ Rℓoc ([a, b)) (ò.å. f ∈ R[a, b − ε], ∀ε > 0). Ïðåäåë èíòåãðà-
B
ëà ∫ f (x) dx (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé), ïðè B → b − 0 íàçûâàþò íåñîáñòâåía
íûì èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäà îò ôóíêöèè f ïî ïðîìåæóòêó [a, b). Îáîçíà÷åíèå:
b
B
lim ∫ f (x)dx.
∫ f (x)dx =B→b−0
a
a
Ñóòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ëþáîé îêðåñòíîñòè êîíå÷íîé
òî÷êè ôóíêöèÿ f ìîæåò îêàçàòüñÿ
íåîãðàíè÷åííîé.
Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ñ îñîáåííîñòüþ íà
b
b
ëåâîé ãðàíèöå èíòåãðèðîâàíèÿ: ∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx.
A→a+0
a
A
 ñëó÷àå, êîãäà ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí, ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåíb
íûé èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ, à (íåîãðàíè÷åííóþ) ôóíêöèþ f íàçûâàþò èíòåa
ãðèðóåìîé íà [a, b] (â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå )  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïðî èíòåãðàë
ãîâîðÿò, ÷òî îí ðàñõîäèòñÿ, à ôóíêöèÿ f íå èíòåãðèðóåìà.
Åñëè òî÷êà c, â êîòîðîé ôóíêöèÿ f íå îãðàíè÷åíà íàõîäèòñÿ âíóòðè îòðåçêà
b
b
⎛ c−ε1
⎞
⎜ ∫ f (x) dx + ∫ f (x)dx⎟ ,
∫ f (x)dx = ε lim
1 →0+0
⎠
ε2 →0+0 ⎝ a
a
c+ε2
ïðè îäíîâðåìåííîì, íî
íåçàâèñèìîì ñòðåìëåíèè ê íóëþ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ε1
è ε2 .
+∞ dx
Ïðè êàêèõ α ∈ R ñõîäèòñÿ èíòåãðàë ∫
1
xα
?
⎧
⎧ 1
x1−α A
⎪
A
⎪
⎪
, åñëè α > 1,
∣ , α ≠ 1,
dx ⎪
dx ⎪
⎪
⎪
1−α 1
Ô⇒ lim ∫ α = ⎨ α − 1
∫ xα = ⎨
A→+∞
⎪
⎪
x
⎪
⎪
A
⎪
⎪
1
1
⎪
ln
x∣
,
α
=
1
⎩ +∞ , åñëè α ⩽ 1.
1
⎩
A
1
Ïðè êàêèõ α ∈ R ñõîäèòñÿ èíòåãðàë ∫
0
dx
xα
?
⎧
⎧ 1
x1−α 1
⎪
1
⎪
⎪
⎪
, åñëè α < 1,
∣ , α ≠ 1,
dx ⎪
dx ⎪
⎪
1−α A
Ô⇒ lim ∫ α = ⎨ 1 − α
∫ xα = ⎨
A→0+0
⎪
⎪
x
⎪
⎪
1
⎪
⎪
A
A
⎪
ln
x∣
,
α
=
1
⎩ +∞ , åñëè α ⩾ 1.
A
⎩
1
−∞
A→+∞ A′
A′ →−∞
Îïðåäåëåíèå 5.
[a, b], òîãäà:
+∞
Îïðåäåëåíèå ∫ f (x)dx.
b−ε
Èíîãäà ïèøóò: ∫ f (x)dx ïðè ε →
a
0 + 0.
Îïðåäåëåíèÿ. Ââîäíûå ñîîáðàæåíèÿ
176
Ò.ê. èññëåäîâàíèå íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäîâ ïðîõîäèò ïî àíàëîãè÷íûì ñõåìàì, òî ââåä¼ì îáùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 6.
→ω
Ïóñòü −∞ < a < ω ⩽ +∞, f ∈ Rℓoc ([a, ω)). Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
→ω
∫ f (x) dx íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ∫ f (x) dx ∶=
a
a
lim ∫a f (x) dx, è ýòîò ïðåäåë êëàä¼ì ðàâíûì äàííîìó èíòåãðàëó.
A→ω
A
A∈[a,ω)
Åñëè −∞ ⩽ ω1 < ω2 ⩽ +∞, f ∈ Rℓoc ((ω1 , ω2 )), òî
→ω2
→ω2
c
a
∫ f (x) dx ∶= ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx.
→ω1
→ω1
c
Åñëè îáà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëà ïðàâîé ÷àñòè ñõîäÿòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è
íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
→ω2
∫ f (x) dx. Åñëè õîòÿ áû îäèí èç ýòèõ èíòåãðàëîâ
→ω1
ðàñõîäèòñÿ, òî ðàñõîäèòñÿ è ëåâûé èíòåãðàë.
a Âûáîð òî÷êè c ïðîèçâîëåí.
Ïóñòü −∞ ⩽ ω0 < ω1 < . . . < ωn ⩽ +∞ ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê íåñîáñòâåííîãî
èíòåãðàëà
→ωn
∫ f (x) dx. Òîãäà:
→ω0
→ω1
→ωn
→ω2
→ωn
∫ f (x) dx ∶= ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx + . . . + ∫
→ω0
→ω0
→ω1
f (x) dx,
→ωn−1
îí ñ÷èòàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ (ðàñõîäÿùèìñÿ), åñëè ñõîäèòñÿ âñå (íå âñå) íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïðàâîé ÷àñòè.
Óòâåðæäåíèå 1.1. (ñâîéñòâà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ).
f ∈ Rℓoc ([a, ω)), òîãäà
Ïóñòü −∞ < a < ω ⩽ +∞ è
ω
1. åñëè ω ∈ R, òî çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà ∫ f (x)dx, ïîíèìàåìîãî, êàê â ñîáñòâåííîì, òàê
a
è â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå ñîâïàäàþò, ò.å.
→ω
lim ∫
∫ f (x) dx = A→ω
A∈[a,ω)
a
→ω
c
a
A
ω
f (x) dx = ∫ f (x) dx
a
→ω
2. åñëè c ∈ [a, ω), òî ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx.
a
3. (çàìåíà
a
c
ïåðåìåííîé â íåñîáñòâåííîì èíòåãðàëå):
åñëè
φ ∶ [α, γ) ↦ [a, ω)
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå, ñòðîãî ìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå. Ïðè÷¼ì,
φ(α) = a, φ(β) → ω , ïðè β → γ , β ∈ [α, γ). Òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè
Ñèìâîë →
ω óïîòðåáëÿåòñÿ
äëÿ òîãî, ÷òîáû âûäåëèòü
(åäèíñòâåííóþ) îñîáåííîñòü.
Îïðåäåëåíèÿ. Ââîäíûå ñîîáðàæåíèÿ
177
(f ○ φ) φ′ íà [α, γ) ñóùåñòâóåò, è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
→γ
→ω
′
∫ (f ○ φ)(t) ⋅ φ (t) dt = ∫ f (x)dx.
α
a
Çàìåíà ïåðåìåííîé â ñîáñòâåííîì èíòåãðàëå ìîæåò ïðèâåñòè ê
íåñîáñòâåííîìó èíòåãðàëó, è îáðàòíî.
+∞
π
+∞
dx
1
2 dt
x
2 dt
=∫
=
∫ 2 + cos x = {t = tg 2 } = ∫
1−t2 1 + t2
3 + t2
2 + 1+t2
0
0
0
t +∞ π
2
= √ arctg √ ∣ = √ .
3
30
3
4. (èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì â íåñîáñòâåííîì èíòåãðàëå): Åñëè ôóíêöèè f è g
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà ïðîìåæóòêå [a, ω) è ∃ x→ω
lim (f g)(x), òî ôóíêx∈[a,ω)
öèè f g ′ è f ′ g îäíîâðåìåííî èíòåãðèðóåìû èëè íå èíòåãðèðóåìû â íåñîáñòâåííîì
ñìûñëå íà [a, ω), è â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
→ω
→ω
′
∫ (f g )(x)dx = (f g)(x)∣a
→ω
− ∫ (f ′ g)(x)dx,
a
ãäå (f g)(x)∣
→ω
a
a
= x→ω
lim (f g)(x) − (f g)(a)
x∈[a,ω)
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. Cëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì
A
F (A) = ∫ f (x)dx íà îòðåçêå [a, ω], íà êîòîðîì ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà.
a
c
A
A
a òî f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. Ïðè A → ω , A ∈ [a, ω)
∫
∫
∫
2. Åñëè A ∈ (c, ω),
a
a
c
ïðåäåë îáåèõ ÷àñòåé ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñóùåñòâóåò èëè íåò îäíî→ω
→ω
a
c
âðåìåííî, ò.å. íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ∫ f (x) dx è ∫ f (x) dx ñõîäÿòñÿ
èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.
b=φ(β)
3. Ñëåäóåò èç ôîðìóëû
∫
β
f (x)dx = ∫ (f ○ φ)(t)φ′ (t)dt çàìåíû ïåðåìåííîé
a=φ(α)
α
â îïðåäåë¼ííîì èíòåãðàëå.
4. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íóæíî óñòðåìèòü A → ω , A ∈ [a, ω) â ôîðìóëå
A
A
A
′
′
∫ (f g )(x) dx = (f g)(x)∣a − ∫ (f g)(x) dx
a
a
èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â ñîáñòâåííîì èíòåãðàëå.
a ðàíî èëè ïîçäíî ýòî ïðîèçîéäåò, ò.ê. A → ω , A ∈ [a, ω), à c ôèêñèðîâàíî.
Çàì.
1
íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë âòîω−x
ðîãî ðîäà ñ îñîáåííîñòüþ â òî÷êå ω ïðèâîäèòñÿ ê íåñîáñòâåííîìó èíòåãðàëó ïåðâîãî ðîäà. Ïðè ýòîì îñîáåííîñòü âòîðîãî ðîäà
Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè t =
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
178
ïðåîáðàçóåòñÿ â îñîáåííîñòü ïåðâîãî ðîäà.
2
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
Òåîðåìà 76. (Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà).
+∞
Äëÿ
ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ∫ f (x) dx íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûa
ïîëíÿëîñü óñëîâèå Êîøè a :
RRR A1
RRR
A2
RRRR RRRR A2
R
R
∀ε > 0 ∃A0 (ε) > a ∶ ∀A1 , A2 ⩾ A0 (ε) ⇒ RRRRR∫ f (x)dx −∫ f (x)dxRRRRR = RRRRR∫ f (x)dxRRRRR < ε.
RRR
RRR
RRR RRR
a
R
Ra
R RA1
a Óñëîâèå Êîøè äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ âòîðîãî ðîäà èìååò âèä:
RRR
RRR b2
RR
RRR
R
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∶ ∀b1 , b2 , b − δ < b1 < b2 < b ⇒ RR∫ f (x)dxRRRR < ε.
RRR
RRR
RR
RRb1
A
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü F (A) = ∫ f (x)dx. Òîãäà ïî êðèòåðèþ Êîøè ñóùåñòâîa
âàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè íà áåñêîíå÷íîñòè,
∃ lim F (A) < ∞ ⇐⇒
A→+∞
RRR
RRR A2
R
R
⇔ ∀ε > 0∃A0 (ε) > a ∶ ∀A1 , A2 ⩾ A0 (ε) ⇒ ∣F (A1 ) − F (A2 )∣ = RRRRR∫ f (x)dxRRRRR < ε.
RRR
RRR
R
RA1
∞
Îòðèöàíèå: (óñëîâèÿ Êîøè ): ∫ f (x)dx Ð→
/ ⇐⇒
RRR
RRR A2
R
R
⇐⇒ ∃ε0 > 0 ∶ ∀A0 > a ∃A1 , A2 ⩾ A0 , äëÿ êîòîðûõ RRRRR∫ f (x)dxRRRRR ⩾ ε0 .
RRR
RRR
R
RA1
a
Êðèòåðèé Êîøè ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ðàñõîäèìîñòè èíòåãðàëîâ. Åñëè ñóùåñòâóþò ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An } è {Bn }, ÷òî
Bn
/ 0, òî íåñîáAn , Bn > a è An ÐÐÐ→ ∞, Bn ÐÐÐ→ ∞. Äëÿ êîòîðûõ ∫ f (x)dx Ð→
n→∞
n→∞
An
∞
ñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x)dx ðàñõîäèòñÿ.
a
Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè äëÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà.
Ïóñòü
f ∶ [a, +∞) ↦ R,
f ⩾ 0 è f ∈ Rℓoc ([a, +∞)).
A
(∗)
 ýòîì ñëó÷àå, (÷àñòè÷íûé) èíòåãðàë F (A) = ∫ f (x)dx ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé àðãóìåíòà A.
a
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
Ëåììà.
179
Ïóñòü äëÿ ôóíêöèè f âûïîëíåíû óñëîâèÿ (∗). Äëÿ ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî
+∞
A
èíòåãðàëà ∫ f (x)dx íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ F (A) = ∫ f (x)dx áûëà
a
a
îãðàíè÷åíà ñâåðõó.
 ñèëó çàìå÷àíèÿ, ñäåëàííîãî âûøå (F ↗), óòâåðæäåíèå
Äîêàçàòåëüñòâî.
ëåììû âûòåêàåò èç êðèòåðèÿ ñõîäèìîñòè ìîíîòîííîé ôóíêöèè.
Òåîðåìà 77. (ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ).
Ïóñòü
f, g ∈ Rℓoc ([a, +∞)) è ∀x ⩾ a Ô⇒ 0 ⩽ f (x) ⩽ g(x).
+∞
Òîãäà èç ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ∫ g(x)dx âûòåêàåò ñõîäèìîñòü èíòåãðà+∞
+∞
a
+∞
+∞
ëà ∫ f (x)dx, è ∫ f (x)dx ⩽ ∫ g(x)dx, à èç ðàñõîäèìîñòè èíòåãðàëà ∫ f (x)dx âûòåêàåò
a
a
+∞
a
a
ðàñõîäèìîñòü ∫ g(x)dx.
a
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç óñëîâèé òåîðåìû è íåðàâåíñòâ äëÿ ñîáñòâåííîãî èíòå-
ãðàëà Ðèìàíà ïðè ∀A ⩾ a âûïîëíåíî:
A
A
F (A) = ∫ f (x)dx ⩽ ∫ g(x)dx = G(A).
a
a
Ïîñêîëüêó F ↗ è G ↗, òî òåîðåìà ñëåäóåò èç íàïèñàííîãî íåðàâåíñòâà è
ëåììû.
Ñëåäñòâèå 1.Ïóñòü f, g ∈ Rℓoc ([a, +∞)); f, g ⩾ 0, f = O(g), x → +∞. Òîãäà
+∞
+∞
a
a
1. åñëè ∫ g(x)dx →, òî è ∫ f (x)dx →;
+∞
+∞
a
a
2. åñëè ∫ f (x)dx Ð→
/ , òî è ∫ g(x)dx Ð→
/ .
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. Ò.ê. f = O(g), x → +∞, òî ∃∆ > a, ∃C > 0, ÷òî:
A
A
f (x) ⩽ C g(x), ïðè ∀x > ∆ Ô⇒ ∫ f (x)dx ⩽ C ⋅ ∫ g(x)dx,
∆
A
∆
A
ò.å. îñòàòîê èíòåãðàëà ∫ f (x)dx îãðàíè÷åí, åñëè îñòàòîê èíòåãðàëà ∫ g(x)dx
îãðàíè÷åí.
a
a
+∞
2. Åñëè áû íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ g(x)dx ñõîäèëñÿ, òî ïî 1. ñõîäèëñÿ áû
+∞
è ∫ f (x)dx, ÷òî íåâåðíî.
a
a
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
180
Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü f, g ∈ Rℓoc ([a, +∞)); f, g ⩾ 0, f ≍ g.a Òîãäà íåñîáñòâåííûå èíòå+∞
+∞
a
a
ãðàëû ∫ f (x)dx è ∫ g(x)dx ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.
a Ò.å. ∃C , C > 0, ∃∆ > a : C f (x) ⩽ g(x) ⩽ C f (x), ∀x > ∆ > a.
1
2
1
2
Òåîðåìà 78. (ïðèçíàê ñõîäèìîñòè â ïðåäåëüíîé ôîðìå).
f (x)
f, g ⩾ 0; ∃ lim
= k. Òîãäà ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ:
x→+∞ g(x)
+∞
+∞
a
a
Ïóñòü f, g ∈ Rℓoc ([a, +∞));
1. åñëè 0 < k < +∞, òî ∫ f (x)dx → ⇐⇒ ∫ g(x)dx →;
+∞
+∞
a
a
2. åñëè k = 0, òî åñëè ∫ g(x)dx →, òî è ∫ f (x)dx →;
+∞
+∞
a
a
3. åñëè k = +∞, òî åñëè ∫ g(x)dx Ð→
/ , òî è ∫ f (x)dx Ð→
/ ;
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. Ò.ê. lim
x→+∞
f (x)
= k ∈ (0, +∞), òî
g(x)
∀ε > 0 ∃∆(ε) ∶ ∀x ⩾ ∆(ε) Ô⇒ ∣
⇐⇒
ε= k
>0
f (x)
2
− k∣ < ε ⇐⇒
g(x)
k f (x) 3k
k
3k
⩽
⩽
⇐⇒ ⋅ g(x) ⩽ f (x) ⩽
⋅ g(x).
2 g(x)
2
2
2
Äàëåå ñì. ñëåäñòâèå 2.
2. åñëè
lim
x→+∞
f (x)
= 0, òî f = o(g), x → +∞ è f (x) ⩽ g(x), ∀x ⩾ ∆. Äàëåå ñì.
g(x)
òåîðåìó 2.
3. åñëè
lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= +∞, òî lim
= 0 è f (x) ⩾ g(x), ∀x ⩾ ∆. Äàëåå ñì.
x→+∞ f (x)
g(x)
òåîðåìó 2.
Ïóñòü a > 0, f ∶ [a, +∞) ↦ R+ , f (x) ⩾ 0,
1
∃p ∈ R è ∃k, 0 < k < +∞, ÷òî lim (x f (x)) = k, ò.å. f = O∗ ( p ) , x → +∞. Òîãäà ïðè p > 1
x→+∞
x
Òåîðåìà 79. (÷àñòíûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ). 1.
p
+∞
íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ, à ïðè p ⩽ 1 ðàñõîäèòñÿ.
a
2.
Ïóñòü −∞ < a < b < +∞, è f ∶ [a, b) ↦ R+ , f (x)⩾0, ∃p ∈ R è ∃k, 0 < k < +∞, ÷òî lim (b −
x→b−0
→b
1
) , x → b−0. Òîãäà ïðè p < 1 èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ,
x) f (x) = k, ò.å. f = O (
(b − x)p
a
à ïðè p ⩾ 1 ðàñõîäèòñÿ.
∗
p
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç òåîðåìû
3 è ïîâåäåíèÿ èíòåãðàb
1
1
ëîâ ∫
dx è ∫
dx, êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ ÿâíî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ
p
p
a x
a (b − x)
ïàðàìåòðà p.
+∞
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
Çàì.
181
Ïîñëåäíèé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ îòíîñèòñÿ ê íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèÿì ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà. Îí
äà¼ò îòâåò î ñõîäèìîñòè (ðàñõîäèìîñòè) èíòåãðàëà âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðèìåíèì.
1
1
), ïðè x → +∞, f (x) = O∗ ( 1/2 ), ïðè
x3/2
x
x → 0 + 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f íåñîáñòâåííî èíòåãðèðóåìà íà [0, +∞).
Îäíàêî f íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà ýòîì ïðîìåæóòêå.
1) f (x) = √
1
∗
x3 + x
2)
. Èìååì, f (x) = O (
⎧
⎪
⎪n,
f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩0,
åñëè x = n ∈ N,
åñëè x ∉ N
A
Ô⇒ ∫ f (x)dx = 0, ∀A > 1 Ô⇒
1
+∞
A
Ô⇒ ∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx = 0.
A→+∞
1
Ìîæíî ïîñòðîèòü ïðèìåð
1
íåïðåðûâíîé íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè f òàêîé,
+∞
÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ, ñì. [Âèíîãðàäîâ].
1
Ðàññìîòðèì äàëåå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû îò ôóíêöèé
Çàì.
ïðîèçâîëüíîãî
çíàêà.
 ýòîì ñëó÷àå, îãðàíè÷åííîñòü ÷àñòè÷íûõ èíòåãðàëîâ ÿâëÿåòñÿ
íåîáõîäèìûì, íî íå äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè. Íàïðè+∞
ìåð, íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ cos x dx ðàñõîäèòñÿ, ò.ê. ÷àñòè÷0
A
íûå èíòåãðàëû ∫ cos x dx = sin A íå èìåþò ïðåäåëà ïðè A → +∞.
0
Ïóñòü −∞ < a < b ⩽ +∞, f ∈ Rℓoc ([a, b)).
→b
Îïðåäåëåíèå 7.
Ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, åñëè ñõîäèòñÿ
→b
a
→b
a
a
àáñ
èíòåãðàë ∫ ∣f (x)∣ dx. Îáîçíà÷åíèå: ∫ f (x) dx ÐÐ→ .
→b
Îïðåäåëåíèå 8.
Ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ óñëîâíî, åñëè ñàì îí ñõîäèòa
→b
→b
a
a
óñë
ñÿ, íî èíòåãðàë ∫ ∣f (x)∣ dx ðàñõîäèòñÿ. Îáîçíà÷åíèå: ∫ f (x) dx ÐÐ→.
Òåîðåìà 80.
+∞
Åñëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî îí ñõîa
Ñïåöèàëüíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
182
äèòñÿ. Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
RRR +∞
RRR +∞
RRR
RRR
f
(x)dx
RRR ⩽ ∫ ∣f (x)∣dx.
RRR∫
RRR a
RRR a
Äîêàçàòåëüñòâî.
òåãðàëà ê
Ïðèìåíèì êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èí+∞
ñõîäÿùåìóñÿ èíòåãðàëó ∫ ∣f (x)∣ dx:
a
A2
∀ε > 0 ∃A0 (ε) > a ∶ ∀A2 > A1 ⩾ A0 (ε) Ô⇒ ∫ ∣f (x)∣dx < ε.
A1
A2
A2
Äàëåå, ò.ê. âûïîëíÿåòñÿ: ∣ ∫ f (x)dx∣ ⩽ ∫ ∣f (x)∣dx, òî äëÿ òåõ æå A1 , A2 òåì
A1
A1
A2
áîëåå ñïðàâåäëèâî: ∣ ∫ f (x)dx∣ < ε. Îòêóäà, â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè, âûòåêàåò
A1
+∞
ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà ∫ f (x)dx.
a
Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà. Äëÿ ∀A > a èìååì:
A
A
A
− ∫ ∣f (x)∣dx ⩽ ∫ f (x)dx ⩽ ∫ ∣f (x)∣dx.
a
a
a
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè A → +∞ â ýòîì äâîéíîì íåðàâåíñòâå, ïîëó÷àåì
òðåáóåìîå.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà îòëè÷èå ýòîãî ñâîéñòâà îò àíàëîãè÷íîãî ñâîéñòâà
èíòåãðàëîâ Ðèìàíà. Òàì èç èíòåãðèðóåìîñòè íà ñåãìåíòå [a, b] ôóíêöèè ∣f ∣
íå âûòåêàëà, âîîáùå ãîâîðÿ, èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f .
3
Ñïåöèàëüíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
Ïóñòü ôóíêöèè f, g ∈ Rℓoc ([a, +∞)). Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà:
+∞
∫ f (x) g(x) dx.
(∗)
a
Òåîðåìà 81. (ïðèçíàê Äèðèõëå).
Ïóñòü äëÿ ôóíêöèé f è g âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
x
1. ∃M > 0 ∶ ∀x > a ⇒ ∣∫ f (t)dt∣ ⩽ M ;
a
2. ôóíêöèÿ g ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè x → +∞.
Òîãäà èíòåãðàë (∗) ñõîäèòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî g ↘ 0 ïðè x → +∞.
Òîãäà
∀ε > 0 ∃A0 (ε) > a ∶ ∀x ⩾ A0 (ε) Ô⇒ 0 ⩽ g(x) <
ε
.
M
Ñïåöèàëüíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
183
Äëÿ ∀A2 > A1 ⩾ A0 (ε) ïðèìåíèì âòîðóþ òåîðåìó î ñðåäíåì:
RR ξ
RRR A2
RRR
RRR
RRR RRR
ξ
RRR
R
RRR RRR
RRR
ε RRRR
⋅ RRR∫ f (x) dxRRRRR ⩽ ε.
∃ξ ∈ [A1 , A2 ] ∶ RRR∫ f (x) g(x) dxRRR = RRRg(A1 )∫ f (x)dxRRR <
M
RRR
RRR
RRR RRR
RRR
RRR
A1
R
R
R R
RA1
RA1
Îñòà¼òñÿ ïðèìåíèòü êðèòåðèé Êîøè.
Ïðèçíàê Äèðèõëå ÿâëÿåòñÿ ëèøü
äîñòàòî÷íûì, è ïîýòîìó íå äà¼ò îòâåòà íà âî-
ïðîñ î ñõîäèìîñòè/ðàñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
åãî óñëîâèÿ íå âûïîëíÿþòñÿ.
Ïóñòü äëÿ ôóíêöèé f è g âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
Òåîðåìà 82. (ïðèçíàê Àáåëÿ).
+∞
1. èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñõîäèòñÿ;
a
2. ôóíêöèÿ g ìîíîòîííàÿ è îãðàíè÷åíà.
Òîãäà èíòåãðàë (∗) ñõîäèòñÿ.
Ò.ê. ôóíêöèÿ g ìîíîòîííàÿ è îãðàíè÷åííàÿ, òî:
∃ lim g(x) = α < +∞. Ôóíêöèè f è (g − α) óäîâëåòâîðÿþò âñåì óñëîâèÿì ïðè-
Äîêàçàòåëüñòâî.
x→+∞
+∞
çíàêà Äèðèõëå. Ñëåäîâàòåëüíî, íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x)(g(x) − α)dx
a
ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë
+∞
+∞
+∞
∫ f (x) g(x) dx = ∫ f (x)(g(x) − α)dx + α ∫ f (x)dx,
a
a
a
êàê ñóììà äâóõ ñõîäÿùèõñÿ èíòåãðàëîâ.
Ïðèçíàê Àáåëÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ëèøü
äîñòàòî÷íûì.
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ R ôóíêöèè f è g íåïðåðûâíû íà ëó÷å [a, +∞),
à íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû
+∞
+∞
I1 = ∫ f (x)g(x) dx
è
I2 = ∫ f (x) dx
a
a
èìåþò åäèíñòâåííóþ îñîáåííîñòü +∞. Åñëè, êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ g ìîíîòîííà íà
[a, +∞) è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé è íå ðàâíûé íóëþ ïðåäåë
lim g(x) = k ≠ 0.
x→+∞
Òîãäà èíòåãðàëû I1 è I2 ëèáî îáà ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî, ëèáî îáà ñõîäÿòñÿ óñëîâíî, ëèáî
îáà ðàñõîäÿòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó òîãî, ÷òî k ≠ 0, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè +∞ ñïðà-
âåäëèâî íåðàâåíñòâî:
0<
1
3
⋅ ∣k∣ ⩽ ∣g(x)∣ ⩽ ⋅ ∣k∣.
2
2
Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé îêðåñòíîñòè ôóíêöèè
g(x), ∣g(x)∣,
1
1
è
g(x)
∣g(x)∣
Ñïåöèàëüíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
184
îãðàíè÷åíû, íåïðåðûâíû è ìîíîòîííû. Âîñïîëüçîâàâøèñü ýëåìåíòàðíûì
ðàâåíñòâîì
1
,
g(x)
f (x) = (f (x) ⋅ g(x)) ⋅
ïî ïðèçíàêó Àáåëÿ ïîëó÷àåì âûïîëíèìîñòü óòâåðæäåíèÿ.
Ïðèìåð 3.1.
+∞ sin x
Èññëåäóåì íà ñõîäèìîñòü èíòåãðàë ∫
xp
1
dx.
+∞
Èññëåäîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ f (x, p) dx, çàâèñÿùèé îò ïàðà1
ìåòðà p íà ñõîäèìîñòü, îçíà÷àåò îïðåäåëèòü òðè ìíîæåñòâà A1 , A2 è
A3 òàêèõ, ÷òî:
A1 ⊔ A2 ⊔ A3 = R;
+∞
+∞
àáñ
óñë
∫ f (x, p) dx ÐÐ→ ïðè p ∈ A1 ,
∫ f (x, p) dx ÐÐ→ ïðè p ∈ A2 ,
1
1
+∞
/ ïðè p ∈ A3 .
∫ f (x, p) dx Ð→
1
1. p > 1.
+∞
∞
+∞
sin x
dx
sin x
àáñ
∫ ∣ xp ∣ dx ⩽ ∫ xp Ð→ Ô⇒ ∫ xp dx ÐÐ→ ïðè p > 1.
1
1
1
2. 0 < p ⩽ 1. Ïîëîæèì f (x) = sin x, g(x) =
+∞ sin x
Îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî: ∫
1
xp
A
1
. Òîãäà ∣∫ f (x)dx∣ ⩽ 2, g(x)↘ 0 ïðè p > 0.
p
x
1
dx ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå.
+∞ dx
sin x
sin2 x
1
cos 2x
∣⩾
= p−
, è ò.ê. èíòåãðàë ∫
ðàñõîäèòñÿ ïðè p ⩽ 1,
p
p
p
p
x
x
2x
2x
1 2x
+∞ cos 2x
à èíòåãðàë ∫
dx ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ
2xp
1
Äàëåå, ∣
+∞
+∞
+∞
1
1
1
óñë
sin2 x
sin2 x
sin2 x
/ Ô⇒∫ ∣ p ∣ dx Ð→
/ Ô⇒∫
dx ÐÐ→, ïðè 0 < p ⩽ 1.
∫ xp dx Ð→
x
xp
3. p ⩽ 0. Èñïîëüçóåì îòðèöàíèå êðèòåðèÿ Êîøèa .
b
Äëÿ ∀A0 > 1 âîçüì¼ì n ∈ N ∶ n >
⇐⇒ 2πn > A0 , è ïîëîæèì
2π
A1 = 2πn,
A2 = 2πn + π.
Òîãäà, ïîñêîëüêó íà îòðåçêå [A1 , A2 ] âûïîëíåíî: sin x ⩾ 0, 0 < xα ⩽ 1 (α ⩽ 0), èìååì:
RRR A2
RR 2πn+π
2πn+π
2πn+π
RRR
sin x RRRR
sin x
dx
R
dx
⩾
sin xdx = − cos x∣
= 2 = ε0 .
RRR∫
=
∫
∫
R
p
p
R
x
x
2πn
RRR
RRR
2πn
2πn
A
1
R
R
+∞ sin x
Îòâåò: ∫
1
a
xp
àáñ
dx ÐÐ→ ïðè p > 1;
+∞
óñë
∫ ÐÐ→ ïðè 0 < p ⩽ 1;
1
+∞
/ ïðè p ⩽ 0.
∫ Ð→
1
RRR A2
RRR
∞
/ ⇐⇒ ∃ε0 > 0 ∶ ∀A0 > a ∃A1 , A2 ⩾ A0 , äëÿ êîòîðûõ RRRRR ∫ f (x)dxRRRRR ⩾ ε0 .
∫ f (x)dx Ð→
RRRA1
RRR
a
Ìîäåëüíûé èíòåãðàë.
Ñïåöèàëüíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè
Çàì.
185
+∞
+∞
a
a
Åñëè íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ∫ f (x)dx è ∫ g(x)dx ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî, òî â ñèëó íåðàâåíñòâà ∣αf + βg∣ ⩽ ∣α∣∣f ∣ + ∣β∣∣g∣ è ïðèçíàêà
+∞
ñðàâíåíèÿ, èíòåãðàë ∫ (αf (x) + βg(x))dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.
a
+∞
óñë
+∞
àáñ
Åñëè ∫ f (x)dx ÐÐ→, à ∫ g(x)dx ÐÐ→, òî èíòåãðàë
a
a
+∞
∫ (αf (x) + βg(x))dx
a
ñõîäèòñÿ óñëîâíî, ò.ê., åñëè áû îí ñõîäèëñÿ àáñîëþòíî, òî ïî ñêàçàííîìó
âûøå è èíòåãðàë îò f = (f + g) − g ñõîäèëñÿ áû àáñîëþòíî, ÷òî íåâåðíî.
Ñõîäèìîñòü â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ
4
186
Ñõîäèìîñòü â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ
+∞
a
Ïóñòü f ∈ Rℓoc (R) . Ïîä íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ∫ f (x) dx ïîíèìàåòñÿ
−∞
A
ïðåäåë:
lim
′
∫ f (x) dx, ïðè íåçàâèñèìîì ñòðåìëåíèè A è A ê +∞. Ìîæåò òàê
A→+∞ −A′
A′ →+∞
ñëó÷èòñÿ, ÷òî â ýòîì ñìûñëå ïðåäåëà íåò, íî ñóùåñòâóåò ïðåäåë, îòâå÷àþ′
ùèé ÷àñòíîìó ïðåäïîëîæåíèþ −A = −A. Åãî íàçûâàþò ãëàâíûì çíà÷åíèåì
+∞
èíòåãðàëà ∫ f (x)dx (â ñìûñëå Êîøè ).
−∞
+∞
A
Îáîçíà÷åíèå: v.p. ∫ f (x)dx ∶= lim ∫ f (x)dx.
A→+∞
−∞
−A
( valeur
principale, ôð.)
a ò.å. ó ôóíêöèè f íåò îñîáûõ òî÷åê, êðîìå ±∞.
Àíàëîãè÷íî âîäèòñÿ ïîíÿòèå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà
âòîðîãî ðîäà:
b
b
⎞
⎛ c−ε
v.p.∫ f (x)dx ∶= lim ⎜∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx⎟ .
ε→0+0
⎠
⎝a
c+ε
a
b
Çàì.
Åñëè èíòåãðàë ∫ f (x)dx ñóùåñòâóåò êàê íåñîáñòâåííûé, òî îí
a
ñóùåñòâóåò è â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ. Îáðàòíîå, âîîáùå
ãîâîðÿ, íåâåðíî.
+∞
Ïðèìåð 4.1.
Èíòåãðàë ∫ sin x dx ðàñõîäèòñÿ. Îäíàêî,
−∞
+∞
A
A
v.p.∫ sin x dx = lim ∫ sin x dx = lim (− cos x)∣ = 0.
A→+∞
A→+∞
−A
−∞
Ïðèìåð 4.2.
−A
1 dx
ðàñõîäèòñÿ. Îäíàêî,
Èíòåãðàë ∫
−1 x
1
1
⎛ −ε dx
−ε
1
dx
dx ⎞
⎟ = lim (ln ∣x∣∣ + ln ∣x∣∣ ) = 0.
v.p.∫
= lim ⎜∫
+∫
ε→0+0
ε→0+0
x
x⎠
−1
ε
⎝−1 x
−1
ε
Ñõîäèìîñòü ïî Êîøè.
Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ
èíòåãðàëà
1 Rn åâêëèäîâî, íîðìèðîâàííîå è ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
Ìàòåðèàë äàííîé ñåêöèè áóäåò îñîáåííî âàæåí äëÿ íàñ, íà÷èíàÿ ñ ãëàâû Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, íî áóäåò ïîëåçíî íàïîìíèòü åãî óæå ñåé÷àñ, ò.ê. ïîíÿòèÿ, êîòîðûå ìû çäåñü ââåä¼ì èñïîëüçóþòñÿ è â òåêóùåé ãëàâå.
ÃËÀÂÀ
XII
Ñåêöèÿ 1. Rn åâêëèäîâî,
íîðìèðîâàííîå è ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
Ñåêöèÿ 2. Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé.
Ñåêöèÿ 3. Ìåðà Æîðäàíà
Ñåêöèÿ 4. Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð.
n
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
Îïðåäåëåíèå. R = R × . . . × R n-ìåðíîå âåùåñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî, ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ èç n äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
n
Rn = {(x1 , . . . , xn ) ∣ xk ∈ R, k = 1, n},
x = (x , . . . , x ).
n
1
Çäåñü è äàëåå, ïîëóæèðíûì
øðèôòîì â ôîðìóëàõ îáîçíà÷àþòñÿ
âåêòîðà.
n
Îïåðàöèè íà R .
Ïóñòü x = (x , . . . , x ), y = (y , . . . , y ), α ∈ R. Òîãäà
n
1
n
1
x ± y = (x ± y , . . . , x ± y ),
1
n
1
α x = (α x1 , . . . , α xn )
n
Rn ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì R. Âåêòîðà
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)
îáðàçóþò (åñòåñòâåííûé ) áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå R . Âñÿêèé âåêòîð x åäèín
ñòâåííûì îáðàçîì ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî áàçèñó {ek }:
Ok Ok
x = x e1 + x e2 + . . . + x en = x
1
n
2
a Îáîçíà÷åíèå Ýéíøòåéíà.
e
a
n
Âîïðîñ: êàê ââåñòè ðàññòîÿíèå ρ ìåæäó òî÷êàìè (âåêòîðàìè) èç R ?
Èäåÿ: åñëè x, y ∈ R, òî
ρ(x, y) = ∣x − y∣ =
√
(x − y)2 .
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ⟨⋅, ⋅⟩ : R × R → R, çàäàííóþ ôîðìóëîé:
n
n
⟨x, y⟩ = x1 y 1 + x2 y 2 + . . . + xn y n .
Îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
n
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
1○ . ⟨x, x⟩ ⩾ 0 è ⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = θn = (0, . . . , 0);
2○ . ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩;
3○ . ⟨α x + β y, z⟩ = α ⟨x, z⟩ + β ⟨y, z⟩.
187
∀x, y, z ∈ Rn , α, β ∈ R
Rn åâêëèäîâî, íîðìèðîâàííîå è ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
188
Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ Rn × Rn ↦ R íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå, óäîâëåòâîðÿþùàÿ äàííûì ñâîéñòâàì, íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
Îïðåäåëåíèå.
Óòâåðæäåíèå 1.1. ∀x, y ∈ R
n
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
∣⟨x, y⟩∣ ⩽
íåðàâåíñòâî
Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî-Øâàðöà
√
√
⟨x, x⟩ ⋅ ⟨y, y⟩,
ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè x è y.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðè y = θn óòâåðæäåíèå âûïîëíåíî. Ïóñòü äàëåå y ≠ θn .
Ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ
f (t) = ⟨x − ty, x − ty⟩ = ⟨x, x⟩ − 2t⟨x, y⟩ + t2 ⟨y, y⟩.
Ò.ê. f (t) ⩾ 0, ∀t ∈ R,
a òî
√
√
D
2
= ∣⟨x, y⟩∣ − ⟨x, x⟩ ⋅ ⟨y, y⟩ ⩽ 0 ↔ ∣⟨x, y⟩∣ ⩽ ⟨x, x⟩ ⋅ ⟨y, y⟩.
4
Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî D = 0 ⇐⇒ x − ty = θn äëÿ íåêîòîðîãî t ≠ 0.
b
a Ïî ñâîéñòâó 1○ .
b ò.å. âåêòîðà x è y êîëëèíåàðíû.
Îïðåäåëåíèå.
√
Âåëè÷èíà ∥x∥ = ⟨x, x⟩ íàçûâàåòñÿ íîðìîé (èëè äëèíîé ) âåêòîðà x.
Ôóíêöèÿ ∥ ⋅ ∥ ∶ R → [0, +∞) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
n
1○ . ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = θn ;
2○ . ∥α x∥ = ∣α∣ ⋅ ∥x∥;
3○ . ∥x + y∥ ⩽ ∥x∥ + ∥y∥.
Äîêàçàòåëüñòâî.
(íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà )
Ïåðâûå äâà ñâîéñòâà âûòåêàþò èç ñâîéñòâ ñêàëÿðíîãî ïðî-
èçâåäåíèÿ, òðåòüå èç íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî-Øâàðöà:
2
∥x + y∥2 = ∥x∥2 +2⟨x, y⟩+∥y∥2 ⩽ ∥x∥2 +2 ∥x∥ ∥y∥+∥y∥2 = (∥x∥+∥y∥) .
Îïðåäåëåíèå. Âñÿêàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñâîéñòâàì (àêñèîìàì) 1○ , 2○ , 3○ íàçûâàåòñÿ íîðìîé. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ
íîðìîé íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì.
Rn åâêëèäîâî, íîðìèðîâàííîå è ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
189
Ðàññìîòðèì äàëåå ôóíêöèþ ρ(⋅, ⋅) : R × R
→ [0, +∞), çàäàííóþ ôîðìóëîé ρ(x, y) =
∥x − y∥. Äëÿ äàííîé ôóíêöèè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
n
n
1○ . ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
2○ . ρ(x, y) = ρ(y, x);
∥x − y∥ = ∣ − 1∣ ∥y − x∥ = ∥y − x∥.
3○ . ρ(x, y) ⩽ ρ(x, z) + ρ(z, y).
∥x − y∥ = ∥x − z + z − y∥ ⩽ ∥x − z∥ + ∥z − y∥
Îïðåäåëåíèå. Íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ρ(⋅, ⋅) íà íåïóñòîì ìíîæåñòâå X, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñâîéñòâàì (àêñèîìàì) 1○ , 2○ , 3○ íàçûâàåòñÿ ìåòðèêîé, à ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
X ñ çàäàííîé íà í¼ì ìåòðèêîé íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Îáîçíà÷åíèå:
ïðîñòðàíñòâî (X, ρ).
Ìíîæåñòâî Ur (a) = {x ∈ Rn ∣ ρ(a, x) < r} íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì øàðîì
n
ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå a ; ìíîæåñòâî Ur (a) = {x ∈ R ∣ ρ(a, x) ⩽ r} çàìêíóòûì
Îïðåäåëåíèå.
○
ìíîæåñòâî Ur (a) = Ur (a) ∖ {a} ïðîêîëîòûì øàðîì ; ìíîæåñòâî Sr (a) = {x ∈
n
R ∣ ρ(a, x) = r} íàçûâàåòñÿ ñôåðîé ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå a.
øàðîì ;
Îïðåäåëåíèå.
Ur (0)
Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè ∃r > 0, òàêîå ÷òî A ⊂
Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé äëÿ ìíîæåñòâà A, åñëè ∃r > 0, ÷òî
Ur (x0 ) ⊂ A. Ìíîæåñòâî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç int(A).
Îïðåäåëåíèå.
Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè A = int(A), ò.å. êàæäàÿ åãî
òî÷êà ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé.
Îïðåäåëåíèå.
Òî÷êà x0 ∈ Rn íàçûâàåòñÿ âíåøíåé äëÿ ìíîæåñòâà A, åñëè ∃r > 0, ÷òî
A ⋂ Ur (x0 ) = ∅.
Îïðåäåëåíèå.
Òî÷êà x0 ∈ Rn íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé äëÿ ìíîæåñòâà A, åñëè x0 íå ÿâëÿåòñÿ íè âíóòðåííåé, íè âíåøíåé òî÷êîé A, ò.å.
Îïðåäåëåíèå.
∀r > 0
∃x1 , x2 ∈ Ur (x0 ) ∶ x1 ∈ A, x2 ∉ A.
Ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ òî÷åê ìíîæåñòâà A îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ∂ A.
Òî÷êà x0 ∈ Rn íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ìíîæåñòâà A, åñëè ∀r > 0
A ⋂ Ur (x0 ) ≠ ∅. Òî÷êè x0 ∈ A, íå ÿâëÿþùèåñÿ ïðåäåëüíûìè äëÿ ìíîæåñòâà A, íàçûâàþòñÿ èçîëèðîâàííûìè.
Îïðåäåëåíèå.
○
Ïóñòü A′ ìíîæåñòâî âñåõ ïðåäåëüíûõ òî÷åê ìíîæåñòâà A. Òîãäà ìíîæåñòâî A ∶= A ⋃ A′ íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà A.
Îïðåäåëåíèå.
 êà÷åñòâå öåíòðà
îãðàíè÷èâàþùåãî øàðà íå
îáÿçàòåëüíî áðàòü òî÷êó 0.
Ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ òî÷êó
ïðîñòðàíñòâà Rn .
Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé
190
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îíî ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè, ò.å. åñëè A = A.
Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî A çàìêíóòî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà AC ,
äîïîëíåíèå äî A îòêðûòî.
Óïðàæíåíèå.
2
Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé.
Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì êðèâîé íà ïëîñêîñòè.
R2 (ïëîñêèì ïóò¼ì èëè ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé (êðèâîé
2
Æîðäàíà ) â R ) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îòðåçêà [a, b] â R , ò.å. íåïðåa
ðûâíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ:
Îïðåäåëåíèå. Ïóò¼ì â
2
r(t) = (x(t), y(t)) ∶ [a, b] ↦ R2 ,
t ∈ [a, b].
a Íåïðåðûâíîñòü, äèôôåðåíöèðóåìîñòü è ò.ï. âåêòîð-ôóíêöèè ïîíèìàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî,
êàê íåïðåðûâíîñòü è äèôôåðåíöèðóåìîñòü îáåèõ ôóíêöèé x è y .
Îïðåäåëåíèå.
Òî÷êà r(a) = (x(a), y(a)) íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì ïóòè r; r(b) = (x(b), y(b))
êîíöîì ïóòè r .
Åñëè r(a) = r(b), òî ïóòü r íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì. Åñëè ðàâåíñòâî
r(t1 ) = r(t2 ) èìååò ìåñòî ëèøü ïðè t1 = t2 èëè t1 , t2 ∈ {a, b}, òî ïóòü r íàçûâàåòñÿ
ïðîñòûì èëè íå ñàìîïåðåñåêàþùèìñÿ.
Îïðåäåëåíèå.
Ïëîñêèé ïóòü r ∶ [a, b] ↦ R2 íàçûâàåòñÿ ãëàäêèì, åñëè âåêòîð-ôóíêöèÿ r
èìååò íà îòðåçêå [a, b] íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ âåêòîð-ôóíêöèþ r′ , íèãäå íå îáðàùàþùóþñÿ â íóëü-âåêòîð.
Îïðåäåëåíèå.
Âû÷èñëåíèå äëèíû ïëîñêîãî ïóòè
Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå îáðàç îòðåçêà [a, b] (íîñèòåëü ïóòè r ) íà ïëîñêîñòè
R2 ïðè îòîáðàæåíèè r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. Óïîðÿäî÷èì òî÷êè îáðàçà òàê,
n
êàê óïîðÿäî÷åíû òî÷êè [a, b]. Çàòåì ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå τ = {xk }k=0 ∶ a =
t0 < t1 < . . . < tn = b, è îáîçíà÷èì ∆tk = tk − tk−1 .
Ëîìàíóþ ëèíèþ, âïèñàííóþ â äàííûé ïóòü, ïîëó÷èì, ñîåäèíÿÿ îòðåçêàìè ïðÿìûõ âñå ïàðû ñîñåäíèõ òî÷åê ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
A0 (x(t0 ), y(t0 )), A1 (x(t1 ), y(t1 )), . . . , An (x(tn ), y(tn )).
Çà äëèíó ëîìàíîé ëèíèè ïðèíèìàåì ñóììó äëèí âñåõ å¼ çâåíüåâ:
n
ℓ(τ ) = ∑
√
∆x2k + ∆yk2 , ãäå ∆xk = x(tk ) − x(tk−1 ), ∆yk = y(tk ) − y(tk−1 ).
k=1
Ïëîñêèé ïóòü r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] íàçûâàåòñÿ ñïðÿìëÿåìûì, åñëè
ìíîæåñòâî {ℓ(τ ) ∣ τ − ðàçáèåíèå [a, b]} äëèí âïèñàííûõ ëîìàíûõ ëèíèé, îãðàíè÷åíî
Îïðåäåëåíèå.
Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé
191
ñâåðõó.  ýòîì ñëó÷àå sup ýòîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ äëèíîé ïóòè r(t).
n
ℓ = sup ℓ(τ )a , ãäå ℓ(τ ) = ∑
τ
√
∆x2k + ∆yk2 .
k=1
a sup áåð¼òñÿ ïî äëèíàì âñåõ ëîìàíûõ, âïèñàííûõ â r.
Òåîðåìà 83. Åñëè ïóòü r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] ãëàäêèé, òî îí ñïðÿìëÿåìûé, à
äëÿ åãî äëèíû ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
√
b
ℓ=∫
2
2
(x′ (t)) + (y ′ (t)) dt.
(∗)
a
Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàäàâàÿ
ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå τ îòðåçêà [a, b], è èñïîëüçóÿ
òåîðåìó Ëàãðàíæà, ïîëó÷àåì:
∆xk = x(tk ) − x(tk−1 ) = x′ (θk ) ∆tk ,
∆yk = y(tk ) − y(tk−1 ) = y ′ (ξk ) ∆tk .
Çäåñü θk è ξk , âîîáùå ãîâîðÿ,
ðàçëè÷íûå òî÷êè èç èíòåðâàëà
a
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ∆xk , ∆yk â ôîðìóëó äëÿ äëèíû ëîìàíîé , ïîëó÷èì:
n
ℓ(τ ) = ∑
√
2
2
(x′ (θk )) + (y ′ (ξk )) ∆tk .
(1)
k=1
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé x è y îãðàíè÷åíû, ò.å. ∃M > 0
′
′
: ∀t ∈ [a, b] ñïðàâåäëèâî: ∣x (t)∣ ⩽ M , ∣y (t)∣ ⩽ M . Ïîýòîìó èç (1),
n
0 < ℓ(τ ) ⩽ ∑
√
M 2 + M 2 ∆tk = M
√
2 (b − a).
k=1
Ò.å. ìíîæåñòâî {ℓ(τ )} äëèí âïèñàííûõ â êðèâóþ r(t) ëîìàíûõ, îòâå÷àþùèõ
âñåâîçìîæíûì ðàçáèåíèÿì τ îòðåçêà [a, b], îãðàíè÷åíî ñâåðõó, è ñëåäîâàòåëüíî ïóòü r(t) ñïðÿìëÿåì.
Ïîñòðîèì äëÿ òîãî æå ðàçáèåíèÿ τ èíòåãðàëüíóþ ñóììó èíòåãðàëà (∗), áåðÿ
θk â êà÷åñòâå îòìå÷åííûõ òî÷åê:
√
n
2
2
στ (∣r′ ∣, θ) = ∑ (x′ (θk )) + (y ′ (θk )) ∆tk .
(2)
k=1
b
Îöåíèì ñâåðõó ìîäóëü ðàçíîñòè ñóìì (1) è (2):
√
√
n
2
2
2
2
0 ⩽ ∣ℓ(τ ) − στ (∣r′ ∣, θ)∣ ⩽ ∑ ∣ (x′ (θk )) +(y ′ (θk )) − (x′ (θk )) +(y ′ (ξk )) ∣ ∆tk ⩽ c
k=1
n
n
k=1
k=1
n
⩽ ∑ ∣∣y ′ (θk )∣ − ∣y ′ (ξk )∣∣ ∆tk ⩽ ∑ ω(∣y ′ ∣, [tk−1 , tk ]) ∆tk = ∑ ωk (∣y ′ ∣) ∆tk .
′
k=1
n
′
′
Íî, ò.ê. ∣y ∣ ∈ C([a, b]) Ô⇒ ∣y ∣ ∈ R([a, b]) Ô⇒ lim ∑ ωk (∣y ∣) ∆tk = 0. Îòêóäà ïîëób
÷àåì: ∃ℓ̃ ∶= lim ℓ(τ ) = ∫
d →0
τ
a
√
dτ →0 k=1
2
2
(x′ (t)) + (y ′ (t)) dt.
Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ôîðìóëû (∗) îñòà¼òñÿ ïîêàçàòü, ÷òî
ℓ̃ ∶= lim ℓ(τ ) = sup ℓ(τ ) = ℓ.
dτ →0
τ
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè dτ → 0 â íåðàâåíñòâå ℓ(τ ) ⩽ sup ℓ(τ ) = ℓ, ïîëó÷àåì:
τ
(tk−1 , tk )
Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé
192
ℓ̃ ⩽ ℓ. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíîãî íåðàâåíñòâà, çàäàäèì ∀ε ∈ (0, ℓ).
Ïîëó÷àåì: 0 < ℓ − ε < ℓ = sup ℓ(τ ). Ïî îïðåäåëåíèþ sup íàéä¼òñÿ ðàçáèåíèå τε
τ
òàêîå, ÷òî ℓ − ε < ℓ(τε ) ⩽ sup ℓ(τ ). Êðîìå òîãî, åñëè τε ⊂ τ , òî (ïî íåðàâåíñòâó
τ
òðåóãîëüíèêà) ℓ(τε ) ⩽ ℓ(τ ). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â íåðàâåíñòâå ℓ − ε < ℓ(τ ) ïðè
dτ → 0, τε ⊂ τ , ïîëó÷èì ℓ − ε ⩽ ℓ̃. Îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε, íàõîäèì
ℓ ⩽ ℓ̃.
b√
2
2
(x′ (t)) + (y ′ (t)) dt.
Ñëåäîâàòåëüíî, ℓ = sup ℓ(τ ) = ℓ̃ = lim ℓ(τ ) = ∫
dτ →0
τ
n
a ℓ(τ ) = ∑
√
k=1
a
∆x2k + ∆yk2 .
2
2
√
√
b ∣ a2 + b2 − a2 + c2 ∣ ⩽ ∣b − c ∣ ⩽ ∣b − c∣(∣b∣ + ∣c∣) = ∣b − c∣
∣b∣ + ∣c∣
∣b∣ + ∣c∣
c a = ∣x′ (θ )∣, b = ∣y ′ (θ )∣, c = ∣y ′ (ξ )∣.
k
k
k
Çàì.
 ñëó÷àå, êîãäà ãëàäêèé ïóòü ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèåì y = f (x),
x ∈ [a, b], âîñïîëüçóåìñÿ ïàðàìåòðèçàöèåé:
√
2
Ô⇒ ℓ = ∫
1 + (f ′ (x)) dx.
⎧
⎪
⎪x = x,
⎨
⎪
⎪
⎩y = f (x).
Çàì.
b
a
Ïîíÿòèå ïðîñòðàíñòâåííîãî ïóòè ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãè÷íî
ïîíÿòèþ ïëîñêîãî ïóòè, êàê íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∶ [a, b] ↦ R3 .
Äëÿ äëèíû òàêîãî ïóòè ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:
b
ℓ=∫
√
2
2
2
(x′ (t)) + (y ′ (t)) + (z ′ (t)) dt.
a
Çàì.
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ r = r(φ), α ⩽ φ ⩽
β , ïðè÷¼ì r ∈ C 1 [α, β], òî äàííàÿ êðèâàÿ ñïðÿìëÿåìà, è äëÿ å¼
äëèíû ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:
β
ℓ=∫
√
2
r2 (φ) + (r′ (φ)) dφ.
α
Äîêàçàòåëüñòâî.
x = x(φ) = r(φ) cos φ, y = y(φ) = r(φ) sin φ. Ïîýòîìó,
(x′ (φ)) + (y ′ (φ)) = (r′ (φ) cos φ − r(φ) sin φ) + (r′ (φ) sin φ + r(φ) cos φ) =
2
2
2
= r2 (φ) + (r′ (φ)) .
2
2
Ìåðà Æîðäàíà
3
193
Ìåðà Æîðäàíà.
(èëè îäíîìåðíûì îáú¼ìîì ) êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà I = ⟨a, b⟩ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ∣I∣ ∶= b − a.
Îïðåäåëåíèå. Äëèíîé
Åñëè I1 ,. . ., Imêîíå÷íûå ïðîìåæóòêè, òî ìíîæåñòâî P = I1 ×. . .× Im íàçûâàåòñÿ (m-ìåðíûì ) ïàðàëëåëåïèïåäîì èëè (m-ìåðíûì ) áðóñîì, à ÷èñëî ∣P ∣ = ∣I1 ∣⋅. . .⋅∣Im ∣
îáú¼ìîì áðóñà P .
Îïðåäåëåíèå.
m
Îïðåäåëåíèå.
Ìíîæåñòâî E = ⊔ Pk , ÿâëÿþùååñÿ êîíå÷íûì îáúåäèíåíèåì íåïåðåñåêàk=1
þùèõñÿ áðóñîâ Pk , íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé (èëè ìíîãîóãîëüíîé ) ôèãóðîé. Ìíîæåñòâî (êëàññ) âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ôèãóð â Rn îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç E(Rn ).
Ëåììà 1.
Ïóñòü E, F ∈ E(Rn ). Òîãäà E ⋃ F, E ⋂ F, E ∖ F ∈ E(Rn ).
Ëåììà 2.
Ïóñòü E = ⊔ Pk = ⊔ Pk′ äâà ïðåäñòàâëåíèÿ ýëåìåíòàðíîé ôèãóðû E â âèäå
m
m′
k=1
k=1
îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ n-ìåðíûõ áðóñîâ. Òîãäà
m
m′
k=1
k=1
′
∑ ∣Pk ∣ = ∑ ∣Pk ∣.
m
Îïðåäåëåíèå.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ýëåìåíòàðíîé ôèãóðû E = ⊔ Pk îïðåäåëèì å¼ ìåðó
k=1
m
Æîðäàíà, êàê: µ(E) = ∑ ∣Pk ∣.
k=1
Çàì.
Êîððåêòíîñòü ïîñëåäíåãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò èç ëåììû 2.
Æîðäàíîâà ìåðà n-ìåðíûõ áðóñîâ ñîâïàäàåò ñ èõ îáú¼ìîì, ïîíÿòèå êîòîðîãî áûëî ââåäåíî âûøå.
Ñâîéñòâà ìåðû Æîðäàíà ýëåìåíòàðíûõ ôèãóð. Ïóñòü E, F ∈ E(R ), òîãäà:
n
1. µ(E) ⩾ 0 (íåîòðèöàòåëüíîñòü );
2. µ(E ⊔ F) = µ(E) + µ(F) (àääèòèâíîñòü );
3. Åñëè E ⊂ F, òî µ(E) ⩽ µ(F) (ìîíîòîííîñòü ).
Ïóñòü Ω ⊂ Rn îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå
ìíîãîóãîëüíûå ôèãóðû E, öåëèêîì ñîäåðæàùèåñÿ â Ω, è ìíîãîóãîëüíûå ôèãóðû F,
öåëèêîì ñîäåðæàùèå Ω. Ôèãóðû E áóäåì íàçûâàòü âïèñàííûìè â Ω, à ôèãóðû F
îïèñàííûìè îêîëî Ω. ×èñëîâîå ìíîæåñòâî {µ(E)} ïëîùàäåé âñåõ âïèñàííûõ ýëåìåíòàðíûõ ôèãóð îãðàíè÷åíî ñâåðõó, íàïðèìåð ïëîùàäüþ ëþáîé îïèñàííîé ìíîãîóãîëüíîé ôèãóðû F, à ìíîæåñòâî {µ(F)} îãðàíè÷åíî ñíèçó, íàïðèìåð, íóë¼ì. Ñëåäîâàòåëüíî,îïðåäåëåíû ÷èñëà
Îïðåäåëåíèå.
µ∗ (Ω) ∶=
sup
Ω⊃E∈E(Rn )
µ(E) è µ∗ (Ω) ∶=
inf
Ω⊂F∈E(Rn )
íàçûâàåìûå íèæíèì è âåðõíèì îáú¼ìàìè ìíîæåñòâà Ω.
µ(F),
Òðåáîâàíèå, ÷òîáû áðóñû
áûëè íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìîæíî
îïóñòèòü. Òîãäà ìîæíî äîêàçàòü,
÷òî äëÿ ëþáîé ýëåìåíòàðíîé
ôèãóðû íàéä¼òñÿ å¼ ïðåäñòàâëåíèå
â âèäå íåïåðåñåêàþùèõñÿ áðóñîâ
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
Çàì.
Äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà Ω ⊂ R
n
194
âûïîëíåíî:
0 ⩽ µ∗ (Ω) ⩽ µ∗ (Ω) < +∞.
Îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî Ω ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïî Æîðäàíó,
åñëè µ∗ (Ω) = µ∗ (Ω). Ïðè ýòîì ÷èñëî µ(Ω) = µ∗ (Ω) = µ∗ (Ω) íàçûâàåòñÿ ìåðîé Æîðäàíà ìíîæåñòâà Ω. Ìíîæåñòâî (êëàññ) âñåõ èçìåðèìûõ ïî Æîðäàíó ìíîæåñòâ â Rn
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç J(Rn ).
Îïðåäåëåíèå.
Çàì.
µ(Ω) = 0 ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃E ∈ E(Rn ) : Ω ⊂ E, µ(E) < ε.
Çàì.
ßñíî, ÷òî E(R ) ⊂ J(R ). Êðîìå òîãî, ∀E ∈ E(R ) îïðåäåëåíèÿ ìåð
n
n
n
Æîðäàíà (íîâîå è ñòàðîå) ýêâèâàëåíòíû. Ò.î. äàííîå îïðåäåëåíèå ðàñïðîñòðàíÿåò ïîíÿòèå ïëîùàäè íà áîëåå îáùèå êëàññû
îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ.
Çàì.
Çàì.
Âñå ïåðå÷èñëåííûå âûøå ñâîéñòâà ìåðû Æîðäàíà ýëåìåíòàðíûõ ôèãóð ñîõðàíÿþòñÿ è äëÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.
Ïðèìåð íåêâàäðèðóåìîé ôèãóðû
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
A = Q[0,1]×[0,1] = {(x, y) ∈ Q × Q ∣ 0 ⩽ x ⩽ 1, 0 ⩽ y ⩽ 1}.
A ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèå êâàäðèðóåìûõ ôè∗
ãóð (òî÷åê). S (A) = 1, ò.ê. íàèìåíüøåé ìíîãîóãîëüíîé ôèãóðîé,
ñîäåðæàùåé A, ÿâëÿåòñÿ ñàì êâàäðàò [0, 1] × [0, 1]. S∗ (A) = 0, ò.ê.
âî ìíîæåñòâî A íåëüçÿ âïèñàòü íèêàêóþ ìíîãîóãîëüíóþ ôèãóa
ðó íåíóëåâîé ïëîùàäè .
a Ëþáàÿ òàêàÿ ôèãóðà áóäåò ñîäåðæàòü è èððàöèîíàëüíûå òî÷êè.
4
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð.
Ω ∈ J(Rn ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∀ε > 0 ∃E, F ∈ E(Rn ), òàêèå ÷òî E ⊂ Ω ⊂ F
è µ(F) − µ(E) < ε.
Ëåììà 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
∗
Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü Ω ∈ J(R ), ò.å. µ(Ω) = µ∗ (Ω) = µ (Ω).
n
Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íûõ ãðàíåé ∃E, F ∈ E(R ), òàêèå ÷òî E ⊂ Ω ⊂ F è
n
µ(F) − µ(Ω) <
ε
,
2
µ(Ω) − µ(E) <
Îòêóäà, 0 ⩽ µ(F) − µ(E) = µ(F) − µ(Ω) + µ(Ω) − µ(E) <
ε
.
2
ε ε
+ = ε.
2 2
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ∀ε > 0 ∃E, F ∶ E ⊂ Ω ⊂ F, µ(F) − µ(E) < ε. Ò.ê. µ(E) ⩽
µ∗ (Ω) ⩽ µ∗ (Ω) ⩽ µ(F), òî 0 ⩽ µ∗ (Ω)−µ∗ (Ω) ⩽ µ(F)−µ(E) < ε. Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
ε > 0, ïîëó÷àåì µ∗ (Ω) = µ∗ (Ω).
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
195
Ω ∈ J(Rn ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∀ε > 0 ∃Ω1 , Ω2 ∈ J(Rn ), òàêèå ÷òî
Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 è µ(Ω2 )−µ(Ω1 ) < ε.
Ëåììà 2.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íåîáõîäèìîñòü. Ñëåäóåò èç Ëåììû 1, ò.ê. ëþáàÿ ýëåìåí-
òàðíàÿ ôèãóðà èçìåðèìà.
Äîñòàòî÷íîñòü. Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. Ïóñòü
∃Ω1 , Ω2 ∶ Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 è µ(Ω2 ) − µ(Ω1 ) <
ε
.
2
Ò.ê. Ω1 , Ω2 èçìåðèìû, òî ïî Ëåììå 1 íàõîäèì ýëåìåíòàðíûå ôèãóðû E è
F, òàêèå ÷òî:
E ⊂ Ω1 , Ω2 ⊂ F
µ(Ω1 ) − µ(E) <
è
ε
ε
, µ(F) − µ(Ω2 ) < .
4
4
Ïîýòîìó, E ⊂ Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 ⊂ F, è
µ(F) − µ(E) = µ(F) − µ(Ω2 ) + µ(Ω2 ) − µ(Ω1 ) + µ(Ω1 ) − µ(E) <
ε ε ε
+ + = ε.
4 2 4
Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 1.
Çàì.
Îòìåòèì, ÷òî ïåðâàÿ ëåììà (êðèòåðèé èçìåðèìîñòè) ñèëüíåå
âòîðîé â ïëàíå íåîáõîäèìîñòè, à âòîðàÿ ñèëüíåå â ïëàíå äîñòàòî÷íîñòè.
Ñôîðìóëèðóåì äàëåå äâà óäîáíûõ â èñïîëüçîâàíèè êðèòåðèÿ èçìåðèìîñòè,
íî ïðèìåì èõ áåç äîêàçàòåëüñòâà.
Óòâåðæäåíèå 4.1. Ω ∈ J
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà µ(∂Ω) = 0.
Óòâåðæäåíèå 4.2. Ω ∈ J òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò ìíîãîóãîëüíûå
ôèãóðû {An }, {Bn }, òàêèå ÷òî An ⊂ Ω ⊂ Bn è lim µ(Bn ) = lim µ(An ).
n→∞
Äîêàçàòåëüñòâî.
n→∞
Ñì., íàïðèìåð, [ÔII], ñ.188-190.
Ïóñòü f ∈ C[a, b], f (x) ⩾ 0, ∀x ∈ [a, b]. Ðàññìîòðèì ôèãóðó
Tx = {(x, y) ∣ a ⩽ x ⩽ b, 0 ⩽ y ⩽ f (x)}
(êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ )
Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
1
Òåîðåìà 84. Êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåðèìóþ ôèãóðó, ìåðà
Æîðäàíà êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
b
µ(Tx ) = ∫ f (x) dx.
a
1 Êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ ïðèëåãàþùàÿ ê îñè Ox
(1)
Âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
Äîêàçàòåëüñòâî.
196
Ò.ê. f ∈ C[a, b], òî f ∈ R[a, b]. ∀ε > 0 ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå τ
îòðåçêà [a, b], òàêîå ÷òî S τ (f ) − sτ (f ) < ε, ñóùåñòâóþùåå ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè. Çàìåòèì, ÷òî
∃E, F ∈ E(R2 ) ∶ µ(E) = sτ (f ), µ(F) = S τ (f ) è E ⊂ Tx ⊂ F.
Ïî êðèòåðèþ èçìåðèìîñòè ïîëó÷àåì, ÷òî Tx ∈ J(R ), ïðè÷¼ì
2
sτ (f ) ⩽ µ(Tx ) ⩽ S τ (f ).
Äàëåå, ò.ê. ïî îñíîâíîé ëåììå Äàðáó
b
b
lim s(f ) = lim S(f ) = ∫ f (x) dx, òî µ(Tx ) = ∫ f (x) dx.
dτ →0
dτ →0
a
a
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î êâàäðèðóåìîñòè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ïðèëåãàþùåé ê îñè Oy :
d
Ty = {(x, y) ∣ c ⩽ y ⩽ d, 0 ⩽ x ⩽ g(y)},
(2)
µ(Ty ) = ∫ g(y) dy.
c
Åñëè ôóíêöèÿ f íà ñåãìåíòå [a, b] íå ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîãî çíà-
Çàì.
êà, òî ïëîùàäü, ëåæàùàÿ ïîä îñüþ Ox áåð¼òñÿ ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿.
Åñëè êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ îãðàíè÷åíà ñâåðõó íåïðåðûâíîé
Çàì.
ôóíêöèåé f2 , à ñíèçó íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé f1 :
b
T12 = {(x, y) ∣ a ⩽ x ⩽ b, f1 (x) ⩽ y ⩽ f2 (x)},
µ(T12 ) = ∫ (f2 (x)−f1 (x)) dx.
a
Ôîðìóëû (1) è (2) ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â òîì ñëó÷àå, êîãäà êðèâàÿ,
îãðàíè÷èâàþùàÿ ôèãóðó T, çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè, óðàâíåíèÿìè:
x = x(t),
y = y(t),
t ∈ [t1 , t2 ],
ãäå x, y ∈ C [t1 , t2 ]. Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà:
1
dx(t) = x′ (t) dt, a = x(t2 ), b = x(t1 );
èìååì:
t2
S(T) = − ∫ y(t) x′ (t) dt,
t1
dy(t) = y ′ (t) dt, c = y(t1 ), d = y(t2 ),
t2
S(T) = ∫ x(t) y ′ (t) dt.
(3)
t1
Cêëàäûâàÿ ôîðìóëû (3), ïîëó÷àåì:
t2
S(T) =
t2
y(t)
1
1
(x(t)y ′ (t) − y(t)x′ (t)) dt = ∫ x2 (t) d (
).
2∫
2
x(t)
t1
t1
(3′ )
Äâèæåíèå ïî êðèâîé ïðîèñõîäèò
òàê, ÷òîáû ôèãóðà îñòàâàëàñü
ñëåâà
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
197
Ïóñòü r = r(φ) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êî-
[α, β] ⊂ [0, 2π].
îðäèíàò. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
Tφ = {(r, φ) ∣ α ⩽ φ ⩽ β, 0 ⩽ r ⩽ r(φ)}.
Äîêàæåì, ÷òî Tφ ∈ J(R ), è åãî ìåðà Æîðäàíà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî
2
ôîðìóëå
β
µ(Tφ ) =
1
r2 (φ) dφ.
2∫
α
Äåéñòâèòåëüíî, ò.ê. r ∈ C[α, β], òî r ∈ R[α, β] è r
∈ R[α, β]. Ïîýòîìó, ∀ε >
0 íàéä¼òñÿ òàêîå ðàçáèåíèå τ îòðåçêà [α, β], ÷òî S τ ( 12 r2 ) − sτ ( 12 r2 ) < ε. Äëÿ
2
äàííîãî ðàçáèåíèÿ ðàññìîòðèì ôèãóðû (îáúåäèíåíèå ñåêòîðîâ)
n
T∗ (τ ) = ⋃ {(r, φ) ∣ αk−1 ⩽ φ ⩽ αk , 0 ⩽ r ⩽ mk };
k=1
n
T∗ (τ ) = ⋃ {(r, φ) ∣ αk−1 ⩽ φ ⩽ αk , 0 ⩽ r ⩽ Mk }.
k=1
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå øêîëüíóþ ôîðìóëó äëÿ ïëîùàäè ñåêòîðà, ïîëó÷àåì
1 n
1
1
1 n
sτ ( r2 ) = ∑ m2k ∆αk = µ(T∗ ) ⩽ µ(Tφ ) ⩽ µ(T∗ ) = ∑ Mk2 ∆αk = S τ ( r2 ) .
2
2 k=1
2 k=1
2
Îòêóäà, ïî êðèòåðèþ èçìåðèìîñòè, ïîëó÷àåì èçìåðèìîñòü ìíîæåñòâà Tφ .
Äàëåå, óñòðåìëÿÿ çäåñü dτ → 0 è ïðèìåíÿÿ îñíîâíóþ ëåììó Äàðáó, çàêëþ÷àåì:
β
µ(Tφ ) =
1
r2 (φ) dφ.
2∫
α
Îïðåäåëåíèå. Öèëèíäðè÷åñêèì òåëîì (öèëèíäðîì ) íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå C = H × [z1 , z2 ], ãäå R2 ⊃ H îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî; [z1 , z2 ] îòðåçîê îñè Oz ;
h = z2 − z1 âûñîòà öèëèíäðà.
Åñëè H ∈ J(R2 ), òî öèëèíäðè÷åñêîå òåëî C = H × [z1 , z2 ] ∈ J(R3 ) è
ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà µ(C) = µ(H) ⋅ h.
Òåîðåìà 85.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ôèêñèðóåì ∀ε > 0. H ∈ J(R ) Ô⇒ ∃E, F ∈ E(R ), òàêèå ÷òî
2
E ⊂ H ⊂ F è µ(F) − µ(E) <
2
ε
.
h
Ïóñòü CE = E×[z1 , z2 ], CF = F×[z1 , z2 ]. Òîãäà CE , CF ∈ E(R ), CE ⊂ C ⊂ CF , ïðè÷¼ì
3
µ(CE ) = µ(E) h, µ(CF ) = µ(F) h Ô⇒ µ(CF ) − µ(CE ) < ε
Ò. å., C ∈ J(R ), è, â ñèëó ìîíîòîííîñòè ìåðû Æîðäàíà
3
µ(CE ) ⩽ µ(C) ⩽ µ(CF ),
µ(CE ) = µ(E) h ⩽ µ(H) h ⩽ µ(F) h = µ(CF ) Ô⇒
Ô⇒ ∣µ(C) − µ(H) h∣ < µ(CF ) − µ(CE ) < ε Ô⇒ µ(C) = µ(H) h.
Âû÷èñëåíèå îáú¼ìîâ
Êðèòåðèè èçìåðèìîñòè. Êëàññû èçìåðèìûõ ôèãóð
198
Ïóñòü f ∶ [a, b] → R, f ⩾ 0 íà [a, b]. Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ìíîæåñòâî Ω, ïîëó÷åííîå âðàùåíèåì ôóíêöèè f âîêðóã îñè Ox:
Ω = {(x, y, z) ∈ R3 ∣ x ∈ [a, b], y 2 + z 2 ⩽ f 2 (x)}.
b
Òåîðåìà 86.
Åñëè f ∈ R[a, b], òî Ω ∈ J(R3 ), è µ(Ω) = π ∫ f 2 (x) dx.
Îáú¼ì òåëà âðàùåíèÿ.
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ñâîéñòâ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî
ïîýòîìó, ∃τ ðàçáèåíèå [a, b], òàêîå ÷òî
πf 2 ∈ R[a, b],
∀ε > 0 S τ (πf 2 ) − sτ (πf 2 ) < ε.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò, ñîñòàâëåííûå èç öèëèíäðîâ, èçìåðèìûå
a ôè-
ãóðû E è F, òàêèå ÷òî:
µ(E) = sτ (πf 2 ),
µ(F) = S τ (πf 2 ).
Ïîëó÷àåì: E ⊂ Ω ⊂ F, è ∀ε > 0 µ(F) − µ(E) < ε. Èç êðèòåðèÿ èçìåðèìîñòè
ñëåäóåò, ÷òî Ω ∈ J(R ), ïðè÷¼ì ïî îñíîâíîé ëåììå Äàðáó:
3
b
b
π ∫ f 2 (x)dx ← sτ (πf 2 ) ⩽ µ(Ω) ⩽ S τ (πf 2 ) → π ∫ f 2 (x)dx, dτ → 0.
a
a Ñì. ïðåäûäóùóþ òåîðåìó.
a
Последние комментарии
2 часов 53 минут назад
5 часов 24 минут назад
5 часов 32 минут назад
1 день 16 часов назад
1 день 21 часов назад
1 день 23 часов назад