Лекции по специальной теории относительности и классической электродинамике [Эмиль Тофик оглы Ахмедов] (pdf) читать онлайн

Ëåêöèè ïî Ñïåöèàëüíîé Òåîðèè Îòíîñèòåëüíîñòè
è êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå

Àõìåäîâ Ý.Ò.
Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû:

• Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèøèö Å.Ì.

Òåîðèÿ ïîëÿ.  Ì.: Ôèçìàòëèò, 2006.

• Ñîêîëîâ À.À., Òåðíîâ È.Ì., Æóêîâñêèé Â.×., Áîðèñîâ À.Â.

Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäè-

íàìèêà.  Ì.: Èçä-âî Ì Ó, 1983. ŸŸ1, 2, 4, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17.

• Êèñåëåâ Â.Â. Êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà: ó÷åáíîå ïîñîáèå.  Ì.: Èçä-âî ÌÔÒÈÈÔÂÝ, 2004.

• Õðèïëîâè÷ È.Á.

Òåîðåòè÷åñêèé êàëåéäîñêîï  Ì.-Èæåâñê.: Èçä-âî RC Dynami s,

2007. ŸŸ1.1, 1.2, 2.2, 2.3.

• Áåëîóñîâ Þ.Ì., Êóçíåöîâ Â.Ï., Ñìèëãà Â.Ï. Êàòåõåçèñ. óêîâîäñòâî ïî ìàòåìàòèêå

äëÿ íà÷èíàþùèõ èçó÷àòü òåîðåòè÷åñêóþ èçèêó: ó÷åáíîå ïîñîáèå.  Ì., ÌÔÒÈ,
2005.

•

Íåîïóáëèêîâàííûå çàïèñè ëåêöèé

Ñ.Â.Ôîìè÷åâà è Ñ.Ñ. åðøòåéíà.

1

Ìåõàíè÷åñêàÿ àíàëîãèÿ äëÿ ïîëÿ, ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, ïðîñòðàíñòâîâðåìÿ è åãî
ñâîéñòâà, Ëîðåíöåâî ñîêðàùåíèå äëèí, ñîáñòâåííîå âðåìÿ, Àáåððàöèÿ ñâåòà.
Ëåêöèÿ I;

1. Îñíîâíûå ïîñòóëàòû ìåõàíèêè

Íüþòîíà, êàê èçâåñòíî, ñëåäóþò èç ëîãè÷åñêè íåïðîòè-

âîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ ñîâîêóïíîñòè îïûòíûõ àêòîâ:

• Èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà (ÈÑÎ) - ýòî òàêèå ÑÎ , îòíîñèòåëüíî êî-

òîðûõ òåëî, íà êîòîðîå íå äåéñòâóåò íèêàêàÿ ñèëà, äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî
è ïðÿìîëèíåéíî;

• ~x¨ = F~ /m - óñêîðåíèå ñîîáùåííîå òåëó ðàâíî ñèëå, äåéñòâóþùåé íà íåãî,

äåëåííîé íà åãî èíåðöèàëüíóþ ìàññó;

• F~1 = −F~2 - äåéñòâèå ðàâíî ïðîòèâîäåéñòâèþ.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòè çàêîíû íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ

àëèëåÿ:

~x′ = ~x + ~v t
t′ = t,
èçè÷åñêèé ñìûñë êîòîðûõ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî çàêîíû Íüþòîíà íå ìåíÿþòñÿ ïðè
ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî èñõîäíîé ÈÑÎ ñî ñêîðîñòüþ

~v . Ò.å. àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ íå áûâàåò. Äâèæåíèå ñ óñêî-

ðåíèåì àáñîëþòíî. Òîò àêò, ÷òî óðàâíåíèÿ Íüþòîíîâîé ìåõàíèêè íå çàâèñÿò îò âûáîðà
ÈÑÎ íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè

àëèëåÿ.

 ìåõàíèêå Íüòîíà èìååòñÿ îäíî ñóùåñòâåííîå óïðîùåíèå. àññìîòðèì ñèñòåìó ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïî çàêîíó Êóëîíà. Ñìåñòèì îäíó èç ÷àñòèö â íîâîå ïîëîæåíèå.
Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíàìè ìåõàíèêè Íüþòîíà, îñòàëüíûå ÷àñòèöû ìãíîâåííî ïî÷óâñòâóþò ýòî èçìåíåíèå â ïîëîæåíèè ñìåùåííîé ÷àñòèöû. Ò.å. âçàèìîäåéñòâèå â ìåõàíèêå
Íüþòîíà ïåðåíîñèòñÿ ñ áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ.
Èç ýêñïåðèìåíòà ìû çíàåì, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå (ÝÌ) âçàèìîäåéñòâèå ïåðåíîñèòñÿ ñ
8
êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ c ≈ 2, 998 · 10 ì/ñ. Ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî ñêîðîñòåé, ñ êîòîðûìè

ìû èìååì äåëî â ïîâñåäíåâíîé æèçíè, ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ

ñâåòà. Ïîýòîìó âñå äåéñòâèòåëüíî âûãëÿäèò êàê áóäòî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðåäàþòñÿ ìãíîâåííî. Íî íàñ òåïåðü èíòåðåñóþò ÿâëåíèÿ, ïðè êîòîðûõ ñêîðîñòè ÷àñòèö áëèçêè ê ñêîðîñòè
ñâåòà è, ïîýòîìó òàêîå óïðîùåíèå íåäîïóñòèìî.

2.

×òîáû ïîíÿòü, ÷òî ïðîèñõîäèò íà ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ìåõàíè÷åñêóþ ìîäåëü,

êîòîðàÿ î÷åíü áëèçêà ê äåéñòâèòåëüíîñòè. À èìåííî, ðàññìîòðèì îäíîìåðíóþ áåñêîíå÷-

m, ñîåäèíåííûõ ïðóæèíàìè ñ îäèíàêîâûìè
k . Ïóñòü äëÿ ïðîñòîòû âñå øàðèêè íàñàæåíû íà îäèí áåñêîíå÷íûé

íóþ öåïî÷êó øàðèêîâ îäèíàêîâîé ìàññû
êîýèöèåíòàìè

óêà

ñòåðæåíü, ò.å. ìîãóò êîëåáàòüñÿ òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè  âäîëü öåïî÷êè (ñì. ðèñ.

2

èñ. 1:

(1)). Ýòà ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ òàêæå ìåõàíè÷åñêîé èäåàëèçàöèåé îäíîìåðíîé êðèñòàëëè÷åñêîé
ðåøåòêè àòîìîâ.
 ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ âñå øàðèêè íàõîäÿòñÿ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Ïóñòü ÿ ìåäëåííî ïîòÿíó ðóêîé (àäèàáàòè÷åñêè ïðèëîæèâ ïîñòîÿííóþ ñèëó) îäèí èç
øàðèêîâ, ñêàæåì íàëåâî, âîçìóòèâ òåì ñàìûì ðåøåòêó. Óñòàíîâèòñÿ íîâîå ðàâíîâåñèå, â
êîòîðîì î÷åâèäíî âñå ïðóæèíû íàëåâî îò ñìåùåííîãî øàðèêà ñîæìóòñÿ â òîé èëè èíîé
ñòåïåíè, à âñå ïðóæèíû ñïðàâà îò øàðèêà ðàñòÿíóòñÿ. Åñëè çàäàíî ñìåùåíèå êàæäîãî èç
øàðèêîâ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî ìû òåì ñàìûì èìååì íåêîòîðîå ïîëå: íàáîð çíà÷åíèé

φi (t)

âðåìåíè

äëÿ âñåõ

t.

i,

ãäå

φi (t)

- ñìåùåíèå

i-ãî

øàðèêà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ìîìåíò

 ñëó÷àå ïîñòîÿííîé ïðèëîæåííîé ñèëû î÷åâèäíî, ÷òî âñå

φi

íå çàâèñÿò îò

âðåìåíè, è ìû èìååì äåëî ñî ñòàòè÷åñêèì ïîëåì. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñòàòè÷åñêèé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä âîçìóùàåò ÝÌ ïîëå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Àíàëîãèÿ áûëà áû áîëåå ïîëíîé
(íî íå àáñîëþòíîé), åñëè ìû ðàññìàòðèâàëè áû òðåõìåðíóþ, à íå îäíîìåðíóþ ðåøåòêó.
Ïóñòü òåïåðü ìîé êîëëåãà ïîòÿíåò ìåäëåííî (àäèàáàòè÷åñêè) ñâîåé ðóêîé êàêîéíèáóäü
âòîðîé øàðèê. Ìû ñ ìîèì êîëëåãîé ïî÷óâñòâóåì, ÷òî ìåæäó íàøèìè äâóìÿ ðóêàìè âîçíèêíåò ñèëà ïðèòÿæåíèÿ èëè îòòàëêèâàíèÿ, â çàâèñèìîñòè îò òîãî ñ êàêîé ñòîðîíû è â
êàêîì íàïðàâëåíèè ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîìó ñìåùåíèþ áûë ñìåùåí âòîðîé øàðèê. Ïîëó÷åííàÿ ñèëà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì (íå ïîëíûì) ñèëû Êóëîíà, âîçíèêàþùåé ìåæäó äâóìÿ
çàðÿäàìè. Îïÿòü æå àíàëîãèÿ áûëà áû áîëåå ïîëíîé, åñëè áû ìû ðàññìàòðèâàëè òðåõìåðíóþ, à íå îäíîìåðíóþ ðåøåòêó. Ìû óâèäèì ýòî â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
Åñëè òåïåðü ÿ ðåçêî ñìåùó ïîëîæåíèå ñâîåé ðóêè (èçìåíèâ òåì ñàìûì óñèëèå) â òó
èëè èíóþ ñòîðîíó, òî ðóêà êîëëåãè ïî÷óâñòâóåò ýòî èçìåíåíèå â ïîëîæåíèè ìîåé ðóêè íå
ìãíîâåííî, à ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ, ðàâíîå âðåìåíè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû âîçìóùåíèÿ
ïî ðåøåòêå îò îäíîé ðóêè äî äðóãîé. Ýòà âîëíà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ýëåêòðîìàãíèòíîé
âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ îò îäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ê äðóãîìó. Íî åùå áîëåå
ïîëíûì àíàëîãîì îíà ÿâëÿåòñÿ äëÿ çâóêîâîé âîëíû â êðèñòàëëå.
Äàâàéòå ïîïðîáóåì îò÷àñòè îáðàòèòü ýòè íàøè êà÷åñòâåííûå ðàññóæäåíèÿ â îðìóëû,
÷òîáû íå áûòü ãîëîñëîâíûìè. Íàì ïîëó÷åííûå îðìóëû îêàæóòñÿ ïîëåçíûìè â äàëüíåéøåì. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ i-ãî øàðèêà:
3

m φ̈i = k (φi+1 − φi ) − k (φi − φi−1 ).
Ò.å. ìû èìååì áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé  ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî

i.

àññìîòðèì òåïåðü íåïðåðûâíûé ïðåäåë. À èìåííî, áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêèå äëèíû
âîëí êîëåáàíèé ðåøåòêè, ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ, ÷òî îíè áóäóò íàìíîãî áîëüøå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó øàðèêàìè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. Ýåêòèâíûå óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå
ýòè âîëíû íå áóäóò ÷óâñòâîâàòü òîíêóþ ñòðóêòóðó íàøåé ðåøåòêè. Â êîíöå êîíöîâ
ñìûñë íåïðåðûâíîãî ïðåäåëà ìîæíî ïîíÿòü, óÿñíèâ, ÷òî ëþáîé ðåàëüíûé êðèñòàëë ìû
âèäèì êàê îäíîðîäíîå òåëî è âîëíû â íåì îïèñûâàåì êàê êîëåáàíèÿ ïëîòíîñòè, íè÷åãî ïðàêòè÷åñêè íå çíàÿ î åãî êðèñòàëëè÷åñêîé ñòðóêòóðå.  ýòîì ïðåäåëå íàøà ðåøåòêà
áóäåò âûãëÿäåòü êàê îäíîðîäíîå óïðóãîå òåëî. Â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå

φi (t) → φ(t, x),
φ(t, x)  ñìåùåíèå [x, x + dx] ñåãìåíòà íàøåãî
ìîìåíò âðåìåíè t íà âåëè÷èíó |φ|. Äàëåå

ãäå
â

óïðóãîãî òåëà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ

φi+1 (t) − φi (t) → φ(t, x + ∆x) − φ(t, x) ≈ φ′ (t, x) ∆x.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðèíèìàþò âèä:

mφ̈(t, x) ≈ k [φ′ (t, x) − φ′ (t, x − ∆x)] ∆x ≈ k φ′′ (t, x) ∆x2 .
Åñëè â ïðåäåëå

∆x → 0

ìû äåðæèì

m/k ∆x2 ≡ 1/c̄2 = const,

÷òî ñîîòâåòñòâóåò òîìó,

÷òî ìû ïîëó÷èì óïðóãîå òåëî, à íå ïûëü èç íå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö (c̄
àáñîëþòíî æåñòêèé (íå óïðóãèé) ñòåðæåíü (c̄

= ∞),

1 ∂2φ ∂2φ
− 2 = 0,
c̄2 ∂t2
∂x
ãäå

c̄

= 0)

èëè

òî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê

(1)

èìååò ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè è, êàê ìû óâèäèì, èìååò ñìûñë ñêîðîñòè çâóêà â íà-

øåì óïðóãîì òåëå. Ìû òàê æå óâèäèì, ÷òî ÝÌ âîëíû ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè àíàëîãè÷íûõ
óðàâíåíèé  óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà  ãäå âìåñòî

c̄

ñòîèò

c

 ñêîðîñòü ñâåòà.

Íàéäåì ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé è ïîéìåì èõ èçè÷åñêèé ñìûñë. Äëÿ ýòîãî
ïðåäñòàâèì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ â âèäå:



∂2
1 ∂2
−
c̄2 ∂t2 ∂x2



φ(t, x) =



∂
∂
−
c̄ ∂t ∂x



∂
∂
+
c̄ ∂t ∂x



φ(t, x) = 0.

Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñàìîå îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä:

φ(t, x) = f (c̄ t − x) + g(c̄ t + x),
ãäå

f

è

g

ñîâåðøåííî ïðîèçâîëíûå äâàæäû äèåðåíöèðóåìûå óíêöèè. ×òîáû ïîíÿòü

èçè÷åñêèé ñìûñë òàêèõ ðåøåíèé, ðàññìîòðèì óíêöèþ

4

f (s),

íàïðèìåð, èìåþùóþ âèä

êîëîêîëà (ãðåáíÿ âîëíû) ñ âåðøèíîé â êàêîé-òî òî÷êå
öèè îò

x

áóäåò ñìåùàòüñÿ íàïðàâî ïî îñè

âåðøèíû êîëîêîëà

x,

c̄ t1 − x1 = s0 = c̄ t2 − x2 ,

s0 , òîãäà ãðåáåíü f (c̄ t−x) êàê óíê-

ò.ê. â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì ïîëîæåíèÿ

åñëè

t2 > t1

òî

x2 > x1 .

Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ
íàïðàâî ïî îñè

x

ñî ñêîðîñòüþ çâóêà

c̄.

Àíàëîãè÷íî

g(c̄ t + x)

îïèñûâàåò âîëíó, ðàñïðî-

ñòðàíÿþùóþñÿ íàëåâî ñî ñêîðîñòüþ çâóêà. Èìåííî ïîñðåäñòâîì îáìåíà òàêèìè âîëíàìè
è ñîîáùàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì âîçìóùåíèÿ îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà âðîäå òåõ, ÷òî áûëè
ñîçäàíû âûøå íàøèìè ðóêàìè.

t, x.

àññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ (ÏÂ)

Ïðîèçâåäåì ñëåäóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå

ýòîãî ÏÂ:

c̄ t′ = c̄ t cosh α + x sinh α
x′ = c̄ t sinh α + x cosh α,
ãäå

α = const

 ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ. Êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâà-

íèè âîëíîâîå óðàâíåíèå íå èçìåíèò ñâîé âèä:



∂2
1 ∂2
−
c̄2 ∂t2 ∂x2



φ(t, x) =



1 ∂2
∂2
−
c̄2 ∂t′2 ∂x′2



φ(t′ , x′ ) = 0.

×òî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî åãî ðåøåíèå ïðåîáðàçóåòñÿ òðèâèàëüíûì îáðàçîì f (c̄ t −
x) = f (c̄ t′ − x′ ), ò.å. ñêîðîñòü âîëíû ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè íå ìåíÿåòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî
ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè òàê æå íå èçìåíèòñÿ è ñëåäóþùàÿ áèëèíåéíàÿ îðìà:

c̄2 t2 − x2 = c̄2 t′2 − x′2 .

àññìîòðåííîå ïðåîáðàçîâàíèå

t, x

âûäåëåííî òîëüêî òåì, ÷òî íå ìåíÿåò âèäà âîëíîâîãî

óðàâíåíèÿ è ðàññìàòðèâàåìîé áèëèíåéíîé îðìû.

3. Êàêîå îòíîøåíèå

âñå ýòî èìååò ê ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ)?

Ìû óâèäèì äàëåå, ÷òî ìíîãèå èç óðàâíåíèé â ÑÒÎ àíàëîãè÷íû ðàññìîòðåííûì òîëüêî
c̄ ñòîèò c  ñêîðîñòü ñâåòà. Ïðè ýòîì âûøåóïîìÿíóòàÿ çàìåíà t, x íà t′ , x′

÷òî, ãäå âìåñòî

èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë ïåðåõîäà èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ.
Ïðåæäå, ÷åì ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþ ÑÒÎ ñäåëàåì øàã íàçàä îïÿòü ê ìåõàíèêå Íüþòîíà. Çàêîíû ìåõàíèêè Íüþòîíà, â ÷àñòíîñòè, íå èçìåíÿþòñÿ åùå è ïðè âðàùåíèÿõ 3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ñ ïîñëåäíèì ÿâëåíèåì òåñíî ñâÿçàí òîò àêò, ÷òî îòíîñèòåëüíî
âðàùåíèé èíâàðèàíòíà áèëèíåéíàÿ îðìà â 3-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, îïðåäåëÿþùàÿ ðàññòîÿíèå:

dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 ,
ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè

(x, y, z)

è

(x + dx, y + dy, z + dz).

Äëÿ íàñ ñåé÷àñ âàæíî íå òî, ÷òî

ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîîðäèíàò ñîõðàíÿåòñÿ èçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ðàññòîdl2 : ñêàæåì ïðè ïåðåõîäå èç îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (ÑÊ) â ïðî-

ÿíèÿ

èçâîëüíóþ ïåðåêîøåííóþ ÑÊ, äëèíà îòðåçêà îò

(x, y, z)

äî

(x + dx, y + dy, z + dz)

íå

ìåíÿåò ñâîåé âåëè÷èíû. Íàïðèìåð, â 2-ìåðíîì ñëó÷àå ïðè ïîëÿðíîé çàìåíå êîîðäèíàò,
x = x′ cos y ′, y = x′ sin y ′ ìû èìååì:

dl2 = dx2 + dy 2 = dx′2 + x′2 dy ′2 .
5

Äëÿ íàñ ñåé÷àñ âàæíî, ÷òî ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò, îòâå÷àþùèõ âðåùåíèÿì, áèëèíåéíàÿ
îðìà, îïðåäåëÿþùàÿ âèä âûðàæåíèÿ äëÿ äëèíû, íå ìåíÿåò ñâîé âèä. À èìåííî, îïÿòü
æå â 2-ìåðíîì ñëó÷àå ïðè çàìåíå êîîðäèíàò, îòâå÷àþùåé ïîâîðîòó

x′ = x cos ϕ + y sin ϕ
y ′ = −x sin ϕ + y cos ϕ,
ãäå

ϕ = const,

ìû èìååì (ïðè ëþáîì

ϕ)

dl2 = dx2 + dy 2 = dx′2 + dy ′2,
ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî

dx 6= dx′

è

dy 6= dy ′.

×òî åùå áîëåå âàæíî, ïðè âðàùåíèÿõ, êàê è ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ

àëèëåÿ, íå ìåíÿþò

ñâîåãî âèäà óðàâíåíèÿ Íüþòîíîâîé ìåõàíèêè. Ò.å. îíè ñîõðàíÿþò ñâîé âèä â íîâûõ êî′
′ ′
îðäèíàòàõ x , y , z . Íà íàó÷íîì ÿçûêå ýòî óòâåðæäåíèå çâó÷èò òàê: óðàâíåíèÿ ìåõàíèêè
Íüþòîíà ïðåîáðàçóþòñÿ êîâàðèàíòíî ïðè âðàùåíèÿõ. Èëè ïðîñòî êîâàðèàíòíû.

4. Â ÑÒÎ ïîñòóëèðóåòñÿ

(ñëåäóåò èç ëîãè÷åñêè íåïðîòèâîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ ñîâîêóï-

íîñòè îïûòíûõ àêòîâ), ÷òî:

• Ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé ñêîðîñòüþ â

ïðèðîäå.

• Ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ îáðàçóþò åäèíûé 4-ìåðíûé ÏÂ êîíòèíóóì ñ ìåòðèêîé

âèäà:

ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 ≡ c2 dt2 − d~x2 .

(2)

Ïîñëåäíÿÿ âåëè÷èíà èçèêàìè ÷àùå íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì è îïðåäåëÿåò
ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè â Ï ñ êîîðäèíàòàìè (t, x, y, z) è (t+dt, x+
dx, y + dy, z + dz). Çäåñü c  ñêîðîñòü ñâåòà.
Èç âûøå ïðèâåäåííîãî îáñóæäåíèÿ ñðàçó âèäíî, ÷òî èíòåðâàë ñîõðàíÿåò
ñâîé âèä ïðè Ëîðåíöåâñêîì áóñòå:
c t′ = c t cosh α + x sinh α,
x′ = c t sinh α + x cosh α,
y ′ = y, z ′ = z,

(3)

ãäå α = const.
Ò.å. äëèíà ÷åòûðåõìåðíîãî èíòåðâàëà íå ìåíÿåòñÿ ïðè áóñòàõ, íî, êàê ìû óâèäèì, åãî
ïðîåêöèè íà îñè

t è x ìîãóò ìåíÿòüñÿ, ÷òî àíàëîãè÷íî ñèòóàöèè ñ âðàùåíèÿìè òðåõìåðíîé

ñèñòåìû êîîðäèíàò, êîãäà ìåíÿþòñÿ äëèíû ïðîåêöèé âåêòîðà íà îñè êîîðäèíàò.
Åùå îäèí ïîñòóëàò ãëàñèò, ÷òî:

6

• Ëîðåíöåâñêèé áóñò èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë ïåðåõîäà èç îäíîé ÈÑÎ â
äðóãóþ, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîé âäîëü îñè x ñî ñêîðîñòüþ
v , ãäå

cosh α = q

cosh α ≡

1
1

2
− vc2
−α

eα + e
2

,

,

sinh α = q

sinh α ≡

− vc
1

2
− vc2
−α

eα − e
2

,

,

2

v
1
2
− c v2 = 1.
cosh α − sinh α =
v2
1 − c2
1 − c2
2

2

(4)

 ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû óâèäèì, ÷òî ïðè Ëîðåíöåâñêèõ áóñòàõ êîâàðèàíòíû óðàâíåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè. Ñðàçó çàìå÷ó, ÷òî îðìóëû äëÿ áóñòà Ëîðåíöà èìåþò
ñìûñë òîëüêî, êîãäà
îáðàçîâàíèå

v < c. Ïðè÷åì

â ïðåäåëå

v 0, ò.ê.
äëÿ òàêîãî èíòåðâàëà ñìåùåíèå â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè ñâÿçàíû êàê

|∆~x| < c |∆t|.

∆t íå âîçìîæíî ïîëîæèòü ðàâíûì íóëþ âûáîðîì ÑÎ, ò.ê. èíà÷å íàðóøèëîñü
∆s2 > 0. Ïîýòîìó, åñëè ∆t > 0 â îäíîé ÑÎ, òî ∆t > 0 è â ëþáîé äðóãîé ÑÎ.
2
âåðíî è â ñëó÷àå, åñëè ∆t < 0. Èíòåðâàëû, äëÿ êîòîðûõ âåðíî ∆s > 0 íàçûâàþòñÿ

Áîëåå òîãî

áû óñëîâèå
Òîæå

âðåìåíèïîäîáíûìè.
Ëþáàÿ ìèðîâàÿ òî÷êà âíå ñâåòîâîãî êîíóñà ñîåäèíÿåòñÿ ñ åãî âåðøèíîé îòðåçêîì ñ
2
∆s < 0, ò.ê. äëÿ òàêèõ èíòåðâàëîâ |∆~x| > c |∆t|. Ïîýòîìó, äëÿ òàêèõ èíòåðâàëîâ âûáîðîì
ÑÎ ìîæíî ïîëîæèòü

∆t = 0,

ò.å., ìåíÿÿ ñèñòåìó îòñ÷åòà, ìîæíî ñìåíèòü çíàê

∆t.

Ñëåäî-

âàòåëüíî, åñëè ñîáûòèå áûëî â ïðîøëîì ïî îòíîøåíèþ ê âåðøèíå êîíóñà â îäíîé ÑÎ, òî
åãî ìîæíî ïîëîæèòü â áóäóùåå ïî îòíîøåíèþ ê âåðøèíå âûáîðîì äðóãîé ÑÎ. Èíòåðâàëû,
∆s2 < 0, íàçûâàþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûìè.

äëÿ êîòîðûõ âåðíî

È íàêîíåö, ëþáàÿ òî÷êà íà ñâåòîâîì êîíóñå ñîåäèíÿåòñÿ ñ åãî âåðøèíîé èíòåðâàëîì ñ

∆s2 = 0,

ò.ê. äëÿ òàêîãî èíòåðâàëà

|∆~x| = c |∆t|.

Òàêèå èíòåðâàëû íàçûâàþòñÿ íóëåâûìè

èëè ñâåòîïîäîáíûìè. Î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ëè èíòåðâàë ñâåòîïîäîáíûì, ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì èëè âðåìåíèïîäîáíûì íå çàâèñèò îò ÑÎ, ò.ê. âåëè÷èíà èíòåðâàëà íå çàâèñèò îò
ÑÎ.

6.

Èç âûøåóêàçàííûõ ïîñòóëàòîâ èìåþòñÿ è äðóãèå ïðîñòûå ñëåäñòâèÿ. àññìîòðèì

ñòàíäàðòíûé â ÑÒÎ ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Ñòàíöèîííûé ñìîòðèòåëü âèäèò ïðîõîäÿùèé ìèìî íåãî ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ïîåçä (êîíå÷íî ñêîðûé), ñîñòîÿùèé èç îäíîãî âàãîíà. Ïîñåðåäèíå âàãîíà ñòîèò ïàññàæèð. Ïàññàæèð äåðæèò îíàðü â
êàæäîé ðóêå. Ïåðåäíÿÿ è çàäíÿÿ (ïî äâèæåíèþ ïîåçäà) ñòåíêè âàãîíà  çåðêàëà. Êîãäà
ïàññàæèð ðîâíÿåòñÿ ñî ñìîòðèòåëåì, îí ìãíîâåííî âêëþ÷àåò è âûêëþ÷àåò îíàðè, èçëó÷àÿ ñâåò â íàïðàâëåíèè êàæäîãî èç çåðêàë. È â ÈÑÎ ïàññàæèðà è â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ
ñâåò äâèæåòñÿ ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ  ñêîðîñòü ñâåòà. È â ÈÑÎ ïàññàæèðà è â ÈÑÎ
ñìîòðèòåëÿ èñïóñêàíèå îáîèõ ëó÷åé ñâåòà îäíîâðåìåííî.  ÈÑÎ ïàññàæèðà îáà ëó÷à ñâåòà
îäíîâðåìåííî îòðàæàþòñÿ îò çåðêàë è îäíîâðåìåííî âîçâðàùàþòñÿ ê ïàññàæèðó (ñì. ðèñ.
(4)).
Îäíàêî â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ëó÷ ñâåòà, èñïóùåííûé ïî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ âàãîíà,
äîñòèãíåò åãî ïåðåäíåé ñòåíêè ïîçæå, ÷åì ëó÷, èñïóùåííûé ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ

9

èñ. 4:

âàãîíà, äîñòèãíåò åãî çàäíåé ñòåíêè. Ýòî î÷åâèäíî, ò.ê. ñêîðîñòè ñáëèæåíèÿ ñòåíîê è
ëó÷åé ñâåòà ðàçíûå. Îäíàêî îòðàæåííûå ëó÷è ñâåòà âåðíóòñÿ ê ïàññàæèðó îäíîâðåìåííî
òàê æå è â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ. Äåéñòâèòåëüíî ïîñëå îòðàæåíèÿ ëó÷åé îò ñòåíîê èõ ñêîðîñòè
ñáëèæåíèÿ ñ ïàññàæèðîì áóäóò ðàçíûå, íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, ò.ê. îòðàæåííûé
ëó÷ îò ïåðåäíåé ñòåíêè áóäåò òåïåðü äâèãàòüñÿ ïðîòèâ íàïðàâëåíè äâèæåíèÿ ïîçäà, òîãäà
êàê îòðàæåííûé îò çàäíåé ñòåíêè áóäåò, ïîñëå îòðàæåíèÿ, äâèãàòüñÿ ïî íàïðàâëåíèþ
äâèæåíèÿ ïîåçäà.
Èòàê ìîìåíòû îòðàæåíèÿ ëó÷åé ñâåòà îò ñòåíîê âàãîíà, áóäó÷è îäíîâðåìåííûìè â
ÈÑÎ ïàññàæèðà, íå ÿâëÿþòñÿ òàêîâûìè â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ. Ò.å. â ÑÒÎ îäíîâðåìåííîñòü
íåêîòîðûõ ñîáûòèé îòíîñèòåëüíà êàê ìû ïîíÿëè âûøå.

7. Ïîñëå òîãî êàê ñòàëî ïîíÿòíî, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ïðîìåæóòêàìè âðåìåíè ïðè ïåðåõî-

äå èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ, ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè îòðåçêàìè.
Ïóñòü òåïåðü ïàññàæèð âûøåóêàçàííîãî ïîåçäà, äâèãàþùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ

v,

äåðæèò â

ðóêàõ ñòåðæåíü, ïàðàëëåëüíûé äâèæåíèþ âàãîíà. Äëèíà ñòåðæíÿ, êîòîðóþ èçìåðÿåò ïàññàæèð, ðàâíà l0 . Êàêóþ äëèíó ñòåðæíÿ áóäåò âèäåòü ñìîòðèòåëü? Ïóñòü â ÈÑÎ ïàññàæèðà
′
(K') çàäíèé (ïî äâèæåíèþ ïîåçäà) êîíåö ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò x1 = 0,
′
à ïåðåäíèé, ñîîòâåòñòâåííî â x2 = l0 . Ïóñòü òåïåðü â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ â êàêîé-òî ìîìåíò
âðåìåíè

x2 .

t

(ïî åãî ÷àñàì) çàäíèé êîíåö ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ â òî÷êå

Íàøà çàäà÷à íàéòè

ñâÿçàíû ñ

x

è

t:

l = x2 −

x1 ,

à ïåðåäíèé â òî÷êå
x1 . Èç îðìóëû äëÿ áóñòà Ëîðåíöà ìû çíàåì êàê x′ è t′

x′1 ≡ 0 = (x1 − β c t) γ
x′2 ≡ l0 = (x2 − β c t) γ


β x1
′
t1 = t −
γ
c


β x2
′
γ.
t2 = t −
c
10

Çäåñü

β = v/c

 ñêîðîñòü ïîåçäà â åäèíèöàõ ñêîðîñòè ñâåòà, à

íàçûâàåìûé ðåëÿòèâèñòñêèé

γ àêòîð.

p
γ = 1/ 1 − v 2 /c2

 òàê

Èç ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî

γβl
γβ
(x2 − x1 ) ≡
> 0.
c
c

t′2 − t′1 =

Ò.å. åñëè ñìîòðèòåëü âèäèò, ÷òî â åãî ÈÑÎ êîíöû ñòåæíÿ íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ

x1

è

îäíîâðåìåííî, òî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïàññàæèðà ïîïàäàíèå çàäíåãî êîíöà ñòåðæíÿ â òî÷êó
à ïåðåäíåãî  â òî÷êó

x2

x2
x1 ,

â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ íå åñòü îäíîâðåìåííûå ñîáûòèÿ. Íî ïðè ýòîì

èíòåðâàëû â äâóõ ÈÑÎ äîëæíû áûòü ðàâíû:

ds2 = c2 (t − t)2 − (x2 − x1 )2 = −(x2 − x1 )2 ≡ −l2
ds2 = c2 (t′2 − t′1 )2 − (x′2 − x′1 )2 = l2 γ 2 β 2 − l02 .
l2 = −l2 γ 2 β 2 + l02 è, ò.ê. γ 2 − β 2 γ 2 ≡ cosh2 α − sinh2 α ≡ 1/(1 − v 2 /c2 ) − v 2 /c2 /(1 −
v /c ) = 1, òî l0 = l γ . Ñëåäîâàòåëüíî l0 ≥ l, ò.ê. γ ≥ 1. Ïîñëåäíåå ÿâëåíèå â ÑÒÎ

Ïîýòîìó
2 2

íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâûì ñîêðàùåíèåì äëèí.

Êàê âû, íàäåþñü, âèäèòå èç ïðèâåäåííûõ çäåñü ðàññóæäåíèé, áóñò Ëîðåíöà åñòü àíàëîã

1

ïîâîðîòà â ïðîñòðàíñòâå  òî÷íåå ãèïåðáîëè÷åñêèé ïîâîðîò , ò.ê.
ñîâñåì òîæå ñàìîå, ÷òî

cos

è

sin.

cosh

è

sinh

 ýòî íå

Ïîýòîìó ïîñëå Ëîðåíöåâñêîãî áóñòà ìîãóò ìåíÿòüñÿ

âåëè÷èíû ïðèðàùåíèé âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâåííûå ðàçìåðû (ïðîåêöèè èíòåðâàëà íà îñè
êîîðäèíàò), íî ðàçíîñòü èõ êâàäðàòîâ  êâàäðàò äëèíû èíòåðâàëà  îñòàåòñÿ íåèçìåííîé.

8. Íàéäåì òåïåðü

ðîñòüþ

çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. Ïóñòü ïîåçä äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêî-

v , à ïàññàæèð êèäàåò êàìåíü òîæå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ âäîëü äâèæåíèÿ ïîåçäà,
u. Êàêîâà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ êàìíÿ â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ?

êîòîðàÿ â ÈÑÎ ïàññàæèðà ðàâíà

Ñäåëàåì äâà áóñòà Ëîðåíöà ïîäðÿä  ñíà÷àëà äëÿ ïåðåõîäà èç ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ â
ÈÑÎ ïàññàæèðà, à çàòåì èç ÈÑÎ ïàññàæèðà â ÈÑÎ êàìíÿ. Ò.å. ìû äîëæíû ïðèìåíèòü
êîìïîçèöèþ äâóõ Ëîðåíöåâñêèõ áóñòîâ ñ ïàðàìåòðàìè:
è

q
cosh α2 = 1/ 1 −


c t1
x1



=



u2
,
c2

tanh α2 = u/c:

cosh α1 sinh α1
sinh α1 cosh α1



ct
x

q
cosh α1 = 1/ 1 −

v2
,
c2

tanh α1 = v/c

 
 


c t2
cosh α2 sinh α2
c t1
,
=
x2
sinh α2 cosh α2
x1

(5)

 ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì îïÿòü áóñò Ëîðåíöà äëÿ ïåðåõîäà èç ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ïðÿìî â
ÈÑÎ êàìíÿ, à ïàðàìåòð åãî áóäåò ðàâåí

α = α1 + α2 .

Ò.å. ñêîðîñòü êàìíÿ ïî îòíîøåíèþ ê ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ðàâíà

tanh α1 + tanh α2
v/c + u/c
V
= tanh(α1 + α2 ) =
=
.
c
1 + tanh α1 tanh α2
1 + vc2u
Çàìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð áóñòà Ëîðåíöà â

t, x

÷àñòè Ï î÷åíü ïîõîæ íà óãîë ïîâîðîòà ïðè

2ìåðíûõ âðàùåíèÿõ, âåäü åñëè ìû ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíèì äâà 2-ìåðíûõ ïîâîðîòà ñ
1 Êîíåö

âåêòîðà ñ êîîðäèíàòàìè (cos ϕ, sin ϕ) îïèñûâàåò îêðóæíîñòü ïðè èçìåíåíèè ϕ, òàê êàê cos2 ϕ +
sin ϕ = 1. Ïðè ýòîì êîíåö âåêòîðà (cosh α, sinh α) îïèñûâàåò ãèïåðáîëó ïðè èçìåíåíèè α, òàê êàê cosh2 α−
sinh2 α = 1. Ýòîò àêò è îïðåäåëÿåò íàçâàíèå îáñóæäàåìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
2

11

óãëàìè

ϕ1

è

ϕ2

îäèí çà äðóãèì, òî ïîëó÷èì îïÿòü 2-ìåðíûé ïîâîðîò íà óãîë

ϕ = ϕ1 + ϕ2 .

Ò.å. äåéñòâèòåëüíî áóñò Ëîðåíöà ïðàâîìåðíî íàçûâàòü (ãèïåðáîëè÷åñêèì) ïîâîðîòîì.

~u

Ìû ðàññìîòðåëè ñëó÷àé, êîãäà

è

~v

ïàðàëëåëüíû. Íàéäåì òåïåðü ñêîðîñòü êàìíÿ â

~u íå îáÿçàòåëüíî ïàðàëëåëü~v (ìû çàáûâàåì â íàøåì ìûñëåííîì ýêñïåðèìåíòå î íàëè÷èè ñèëû òÿæåñòè). àçîáüåì
âñå âåêòîðû íà äâå ñîñòàâëÿþùèå  âäîëü ñêîðîñòè ïîåçäà ~
v è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ åé, ò.å.,
íàïðèìåð, ~
x  íà ~x|| = (~v|~v,~x| ) |~~vv| è ~x⊥ = ~x − ~x|| . Òîãäà ïðè áóñòå Ëîðåíöà èç ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ â ÈÑÎ ïàññàæèðà ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ êîìïîíåíòà ~
x íå ïðåîáðàçóåòñÿ d~x⊥ = d~x′⊥ ,
ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ, åñëè îí äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ

íîé

ïðîäîëüíàÿ æå êîìïîíåíòà ïðåîáðàçóåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ:

d~x|| = q
dt = q



d~x′|| + ~v dt′ ,

1
1−

1

1−

v2
c2

v2
c2

dt′ +

(~v d~x′|| )
c2

!

,

ãäå øòðèõîâàííûå âåëè÷èíû îòíîñÿòñÿ ê ÈÑÎ ïàññàæèðà, à íå øòðèõîâàííûå  ê ÈÑÎ
ñìîòðèòåëÿ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî:

r
~
u
d~
x
v2
⊥
⊥
=
,
V~⊥ ≡
1
−
dt
c2
1 + (~uc,~2v)
d~x||
~u|| + ~v
.
V~|| ≡
=
dt
1 + (~uc,~2v)

(6)

Òåïåðü, åñëè âìåñòî áðîñàíèÿ êàìíÿ, ïàññàæèð áóäåò ñâåòèòü îíàðåì â ïðîèçâîëüíîì
íàïðàâëåíèè, ò.å. èñïóñêàåìûé ïàññàæèðîì îáúåêò áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà,
ò.÷. |~
u||| = c cos θ′ , ãäå θ′  óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ïîåçäà è íàïðàâëåíèåì
ëó÷à ñâåòà â ÈÑÎ ïàññàæèðà. Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ (6), óãîë

íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ïîåçäà è ëó÷à ñâåòà,

cos θ =

|V~|| | = c cos θ,

cos θ′ + vc
,
1 + vc cos θ′

θ â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ìåæäó

îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëå:

v ≡ |~v|.

(7)

ßâëåíèå èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ðàñïîñòðàíåíèÿ ëó÷à ñâåòà ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ÈÑÎ
â äðóãóþ íàçûâàåòñÿ àáåððàöèåé.

9.

Ò.ê. âðåìÿ îòíîñèòåëüíî, òî äëÿ äàëüíåéøèõ íàøèõ öåëåé óäîáíî ââåñòè èíâàðè-

àíòíóþ õàðàêòåðèñòèêó, èìåþùóþ ñìûñë âðåìåíè  òàê íàçûâàåìîå ñîáñòâåííîå âðåìÿ.
àññìîòðèì ÷àñû, êîòîðûå äâèãàþòñÿ ïðîèçâîëüíûì, íå îáÿçàòåëüíî èíåðöèàëüíûì, îáðàçîì. Ñîáñòâåííûì âðåìåíåì â, âîîáùå ãîâîðÿ, íåèíåðöèàëüíîé ÑÎ, âñåãäà ñîïóòñòâóþùåé
÷àñàì, íàçûâàåòñÿ âðåìÿ, êîòîðîå ïîêàçûâàþò ýòè ÷àñû. Î÷åâèäíî, ÷òî ñêîëüêî íàòèêàþò
÷àñû, äâèãàþùèåñÿ äàííûì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, íå çàâèñèò îò òîãî èç êàêîé ÑÎ ìû
ñìîòðèì íà ýòè ÷àñû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû íàáëþäàåì çà íèìè èç ïðîèçâîëüíîé ÈÑÎ.
 êàæäûé îòäåëüíûé ìîìåíò âðåìåíè äâèæåíèå ÷àñîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàâíîìåðíîå è ïðÿìîëèíåéíîå. Ïîýòîìó â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ââåñòè íåïîäâèæíî
ñâÿçàííóþ ñ äâèæóùèìèñÿ ÷àñàìè, ò.å. ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùóþ, ÈÑÎ.
12

t

x2

x2

èñ. 5:

t

x2

x2

èñ. 6:

 òå÷åíèè ìàëîãî ïðèðàùåíèÿ âðåìåíè dt ïî ëàáîðàòîðíûì ÷àñàì äâèæóùèåñÿ ÷àñû
p
√
ïðîõîäÿò ðàññòîÿíèå
dx2 + dy 2 + dz 2 = d~x2 â ëàáîðàòîðíîé æå ÈÑÎ. Íàñ èíòåðåñóåò
êàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè

dτ

ïîêàæóò ñàìè äâèæóùèåñÿ ÷àñû.  ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþ-

ùåé ÈÑÎ ÷àñû ïîêîÿòñÿ, ïîýòîìó ïðîéäåííîå èìè ðàññòîÿíèå â ýòîé ÈÑÎ ðàâíî, î÷åâèäíî,
dx′ = dy ′ = dz ′ = 0. Â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè èíòåðâàëà, èìååì:

c2 dτ 2 = ds2 = c2 dt2 − d~x2 .
Ïîýòîìó

dτ = dt
ãäå

s

1−

~x˙ 2 (t)
,
c2

(8)

~x˙ (t)  ñêîðîñòü ÷àñîâ â ìîìåíò âðåìåíè t â íàøåé ÈÑÎ. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî

ââåñòè ñîáñòâåííóþ äëèíó.

10.

×òîáû ïîäèòîæèòü âñå âûøå ñêàçàííîå, ïîÿñíèì, â ÷åì çàêëþ÷àþòñÿ ïîíÿòèÿ

ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè, êîîðäèíàòíîé ñåòêè è ñèñòåìû îòñ÷åòà.  ìåõàíèêå Íüþòîíà ó
íàñ áûë ñïîñîá èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèÿ (ìåòðèêà) â ïðîñòðàíñòâå. À èìåííî, ïî òåîðåìå
Ïèàãîðà ìû ìîãëè ïîñ÷èòàòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ áëèçêèìè òî÷êàìè â
ïðîñòðàíñòâå, íàïðèìåð, ~
x=
√
p
dl = d~x2 = dx21 + dx22

ìóëå

(x1 , x2 , x3 )
+ dx23 .

è

~x + d~x = (x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ),

13

ïî îð-

Ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòðèêè ìû ìîãëè

êîëè÷åñòâåííî

îïèñàòü õàðàêòåðèñòèêè òðàåê-

òîðèè: ïðîéäåííûé ïóòü, åå äëèíó, à òàêæå êðèâèçíó â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ. Íàïðèìåð, íå

γ12

òðóäíî ïîíÿòü, ÷òî äëèíà òðàåêòîðèè

dl

âäîëü òàêîé òðàåêòîðèè:

ëîìàííîé. Òîãäà äëèíà,

P

l =

∆li , i-ãî

R

γ12

dl.

ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè 1 è 2  ýòî èíòåãðàë

Äåéñòâèòåëüíî, ïðèáëèçèì ãëàäêóþ òðàåêòîðèþ

ñåãìåíòà ëîìàííîé áóäåò ðàâíà

p

∆~x2i ,

à ïîëíàÿ äëèíà

l = i ∆li .  ïðåäåëå êîãäà ÷èñëî ñåãìåíòîâ ëîìàííîé ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à äëèíà êàæäîãî ñåãìåíòà, ñîîòâåòñòâåííî, ê íóëþ, ëîìàííàÿ âñå ëó÷øå è ëó÷øå

ëîìàííîé 

ïðèáëèæàåò ãëàòêóþ òðàåêòîðèþ, à ñóììà â ïîñëåäíåé îðìóëå ïåðåõîäèò â èíòåãðàë.
Ïîìèìî ýòîãî â ìåõàíèêå Íüþòîíà ó íàñ áûë íåçàâèñèìûé ñïîñîá èçìåðåíèÿ âðåìåíè,
à èìåííî

∆t = t2 − t1 .

Íà ðèñ. (5) èçîáðàæåíû òðàåêòîðèè è ïîâåäåíèå ïîêîÿùåéñÿ è

äâèæóùåéñÿ ÷àñòèö â ïðîìåæóòêå âðåìåíè ìåæäó t1 è t2 .  ìåõàíèêå Íüþòîíà îáå ÷àñòèöû ñòàðåþò îäèíàêîâî  íà

∆t.

 ëþáîì ñëó÷àå âñå ýòî ïîçâîëÿëî íàì

êîëè÷åñòâåííî

îïèñûâàòü äâèæåíèå, à ïîòîìó çàïèñûâàòü çàêîíû äâèæåíèÿ â âèäå îðìóë.
Îäíàêî ñîâîêóïíîñòü îïûòíûõ äàííûõ ïîêàçûâàåò, ÷òî íåò íåçàâèñèìîãî ñïîñîáà èçìåðÿòü ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè, à åñòü åäèíûé ñïîñîá èçìåðåíèÿ ðàññòîíèé
â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè (ñì. ðèñ. (6)). À èìåííî, ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðîèçâîëüíûìè
ñîáûòèÿìè (ìèðîâûìè òî÷êàìè), íàïðèìåð, (t, x1 , x2 , x3 ) è (t+dt, x1 +dx1 , x2 +dx2 , x3 +dx3 )
√
√
âû÷èñëÿåòñÿ ïî îðìóëå ds =
c2 dt2 − dl2 = c2 dt2 − d~x2 .
Âî-ïåðâûõ, ïîìèìî âñåãî ïðî÷åãî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè åñòü òî÷-

êè, ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîòîðûìè ìîãóò áûòü íóëåâûìè èëè äàæå ìíèìûìè. Ýòî ëèøü
îçíà÷àåò, ÷òî çäåñü ìû èìååì äåëî ñ íîâîé ãåîìåòðèåé  ãåîìåòðèåé Ìèíêîâñêîãî, à íå
Åâêëèäà. Âî-âòîðûõ, çàìåòèì, ÷òî òàêîé ñïîñîá èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé äàåò ñóùåñòâåííî
2
2
2
îòëè÷íûé îòâåò îò íüþòîíîâñêîïèàãîðîâñêîãî, òîëüêî êîãäà dl ñðàâíèìî ñ c dt . Òî
åñòü êîãäà ñìåùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ñðàâíèìû ñî ñìåùåíèÿìè âî âðåìåíè ïîìíîæåííûìè
íà ñêîðîñòü ñâåòà. Èëè, èíûìè ñëîâàìè, êîãäà ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ñðàâíèìû ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà.  òðåòüèõ, òåïåðü íàì íàäî âû÷èñëÿòü êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè íå
òðàåêòîðèé, à ìèðîâûõ ëèíèé. Äëèíà ìèðîâîé ëèíèè
îïðåäåëÿåòñÿ êàê èíòåãðàë

ds

âäîëü íåå:

L=

R

ds.
Γ12

Γ12

ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè 1 è 2

Ìû îáñóäèì ïîäðîáíî ýòó îðìóëó

â òðåòüåé ëåêöèè, à ñåé÷àñ çàìåòèì, ÷òî ýòà äëèíà åñòü íè ÷òî èíîå êàê ñîáñòâåííîå âðåìÿ, êîòîðîå "íàòèêàëî"íà ÷àñàõ íàáëþäàòåëÿ, äâèãàþùåãîñÿ âäîëü ýòîé ìèðîâîé ëèíèè,

L=c

R

dτ .
Γ12
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñî ñïåöèàëüíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíî-

ïîìíîæåííîå íà ñêîðîñòü ñâåòà:

ñòè òåïåðü ïîêîÿùàÿñÿ è äâèãàþùàÿñÿ ÷àñòèöû íà ðèñ. (6) "ñîñòàðèëèñü"ïîðàçíîìó, òàê
êàê äëèíû èõ ìèðîâûõ ëèíèé, âîîáùå ãîâîðÿ, îòëè÷àþòñÿ  âîçìîæíî îòëè÷àþòñÿ ñîâñåì íåçíà÷èòåëüíî, ïðè íåáîëüøèõ ñêîðîñòÿõ, íî âñå òàêè íèêîãäà íå ðàâíû äðóã äðóãó.
Ïðè ýòîì òî íàñêîëüêî îíè ñîñòàðèëèñü íå çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷åòà. Òàê êàê ðàçíûå
ñèñòåìû îòñ÷åòà îòâå÷àþò ðàçíûì êîîðäèíàòíûì ñåòêàì â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå
(t, ~x) è (t′ , ~x′ ) â îáîçíà÷åíèÿõ ýòîé ëåêöèè),

âðåìåíè, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. (6) (íàïðèìåð,

à äëèíà òîé èëè èíîé êðèâîé íå ìîæåò çàâèñåòü îò âûáîðà êîîðäèíàòíîé ñåòêè.

Âîïðîñû è çàäà÷è
•

×òîáû îñîçíàòü íàñêîëüêî ãëóáîêî âû ïîíèìàåòå ïðîèñõîæäåíèå çàêîíîâ Íüþòîíà,
ïîïðîáóéòå îòâåòèòü íà ñëåäóþùèå äâà âîïðîñà:
à) Ïðèâåäèòå ïðèìåð ýêñïåðèìåíòà, â êîòîðîì íåçàâèñèìî áû èçìåðÿëîñü óñêîðåíèå
14

òåëà, åãî ìàññà è ñèëà äåéñòâóþùàÿ íà íåãî. À çàòåì ÿâíî áû ïðîâåðÿëîñü, ÷òî

m~a = F~ .

Èëè æå ñèëó è ìàññó ïî îòäåëüíîñòè èçìåðèòü íåëüçÿ?

á) Êàê áû âûãëÿäåëè ïðåîáðàçîâàíèÿ
òîíà ìû èìåëè áû

m ~a˙ = F~ ,

àëèëåÿ, åñëè áû âìåñòî âòîðîãî çàêîíà Íüþ-

~a = ~x¨?

ãäå

Êàê áû ïðè ýòîì èçìåíèëñÿ ïåðâûé çà-

êîí Íüþòîíà? Êàêîå äâèæåíèå òîãäà áûëî áû îòíîñèòåëüíûì, à êàêîå àáñîëþòíûì?
Êàêîâà áóäåò Ëàãðàíæåâà è
âòîðîì çàêîíå âèäà

•

m ~a˙ = F~ ?

àìèëüòîíîâà îðìóëèðîâêà ìåõàíèêè îñíîâàííîé íà
×òî áóäåò âìåñòî àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà?

Êàê áóäåò âûãëÿäåòü âîëíîâîå óðàâíåíèå, åñëè ìû ðàññìîòðèì ìàëûå êîëåáàíèÿ â
2ìåðíîé è 3ìåðíîé ðåøåòêå (ìàòðàñå). Ïîïðîáóéòå ó÷åñòü ïîëÿðèçàöèþ çâóêîâûõ
âîëí â ðåøåòêå, åñëè øàðèêè ìîãóò êîëåáàòüñÿ â ëþáîì íàïðàâëåíèè âäîëü íàïðàâëåíèé, çàïîëíÿåìûõ ðåøåòêîé. ×òî èçìåíèòñÿ â ñëó÷àå 2ìåðíîé ðåøåòêè, âëîæåíîé â
3-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî? Ïîäóìàéòå, êàê èçìåíèòñÿ íåïðåðûâíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå,
åñëè ê îäíîìó èç øàðèêîâ, ñêàæåì

i = 0, ìû

ïðèëîæèì âíåøíþþ ñèëó? Ïîïðîáóéòå

íàéòè ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â îäíî, äâó è òðåõìåðíîì ñëó÷àÿõ. Äëÿ
îòâåòà íà ïîñëåäíèé âîïðîñ íåîáõîäèìû çíàíèÿ èç ïîñëåäóþùèõ ëåêöèé.

•
•

Êàê áóäåò âûãëÿäåòü áóñò Ëîðåíöà âäîëü îñè

y?

Âäîëü

z?

Âäîëü ïðîèçâîëüíîãî

íàïðàâëåíèÿ? Êàê áóäåò âûãëÿäåòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà?
Îáúÿñíèòå ñëåäóþùèå ïàðàäîêñû:
à) ×åëîâåê ñ øåñòîì ñîáñòâåííîé äëèíû 10 ìåòðîâ (â ÈÑÎ ïîêîÿ øåñòà) áåæèò
ñêâîçü ñàðàé ñîáñòâåíîé äëèíû 6 ìåòðîâ (â ÈÑÎ ïîêîÿ ñàðàÿ). Îí äâèæåòñÿ ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî ðåëÿòèâèñòñêèé

γ àêòîð ðàâåí 10/6, ò.÷. äëèíà ñòåðæíÿ â ÈÑÎ

ñàðàÿ ðàâíà 6 ìåòðîâ. Êîãäà ÷åëîâåê âáåãàåò â ñàðàé è íàõîäèòñÿ â åãî öåíòðå, íàáëþäàòåëü, ïîêîÿùèéñÿ â ýòîì ñàðàå, âèäèò, ÷òî øåñò öåëèêîì óìåùàåòñÿ â ñàðàå.
Êàê æå òàêîå ìîæåò áûòü, åñëè äâèæåíèå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ îòíîñèòåëüíî, à
â ÈÑÎ ÷åëîâåêà ñ øåñòîì ñàðàé íàëåòàåò íà íåãî ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî åãî äëèíà
ñîêðàùàåòñÿ äî ðàçìåðîâ ðàâíûõ

6 · 6/10 = 3, 6

ìåòðà?

á) Øåñò ñîáñòâåíîé äëèíû 10 ìåòðîâ ëåòèò ÷åðåç äûðó â ïëîñêîñòè ñîáñòâåíîé äëèíû 6 ìåòðîâ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ïëîñêîñòüþ, øåñò îñòàåòñÿ
âñå âðåìÿ ïàðàëëåëüíûì ýòîé ïëîñêîñòè è äâèæåòñÿ âäîëü íåå ñ òàêîé ñêîðîñòüþ

vx ,

÷òî ðåëÿòèâèñòñêèé

γx àêòîð

øåñòà ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ïëîñêîñòè

íåìíîãî áîëüøå

vy ,

10/6.

Ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè

ìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè

vx

è ïîäîáðàíà òàê,

÷òî øåñò ïðîëåòàåò ñêâîçü äûðó, îñòàâàÿñü âñå âðåìÿ åé ïàðàëëåëüíûì â ÈÑÎ íàáëþäàòåëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ïëîñêîñòüþ. Êàê æå òàêîå ìîæåò áûòü, åñëè äâèæåíèå ñ
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ îòíîñèòåëüíî, à â ÈÑÎ íàáëþäàòåëÿ íà øåñòå îí íèêàê íå
ìîæåò ïîìåñòèòüñÿ â äûðó?
â) Øåñò ñîáñòâåíîé äëèíû 10 ìåòðîâ ñêîëüçèò áåç òðåíèÿ ïî ïëîñêîñòè. Â ýòîé ïëîñêîñòè åñòü äûðà ñîáñòâåíîé äëèíû 6 ìåòðîâ. Øåñò äâèæåòñÿ ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî
ðåëÿòèâèñòñêèé

γ àêòîð

íåìíîãî áîëüøå

10/6.

 ÑÎ íàáëþäàòåëÿ, ñòîÿùåãî íà

ïëîñêîñòè, øåñò ïðîâàëèâàåòñÿ â äûðó. Êàê æå òàêîå ìîæåò áûòü, åñëè â ÑÎ øåñòà
äëèíà ñàðàÿ âðîäå áû äîëæíà ñîêðàùàåòñÿ äî ðàçìåðîâ ðàâíûõ

•

6 · 6/10 = 3, 6 ìåòðà?

Ïðîâåðüòå, ÷òî ðåçóëüòàò êîìïîçèöèè äâóõ áóñòîâ ñ ãèïåðáîëè÷åñêèìè óãëàìè

α2

ÿâëÿåòñÿ áóñò ñ ãèïåðáîëè÷åñêèì óãëîì

15

α = α1 + α2 .

α1

è

Îïðåäåëåíèå òåíçîðîâ è ìåòîäû ðàáîòû ñ íèìè,
ìåòðè÷åñêèé òåíçîð, àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð,
4ãðàäèåíòû è 4äèâåðãåíöèè îò òåíçîðîâ.
Ëåêöèÿ II;

Ýòà ëåêöèÿ äîñòàòî÷íî îðìàëüíàÿ, ò.ê. ñîäåðæèò îñíîâû òåíçîðíîãî àíàëèçà, êîòîðûé
íåîáõîäèì äëÿ àäåêâàòíîãî íàïèñàíèÿ óðàâíåíèé ÑÒÎ è êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè.
ß ïîïûòàëñÿ ñ îäíîé ñòîðîíû ïîäðîáíî îïèñàòü îòêóäà ñëåäóþò òå èëè èíûå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ òåíçîðîâ. Íî ñ äðóãîé ñòîðîíû ïîñòàðàëñÿ íå ñèëüíî îðìàëèçîâûâàòü
èçëîæåíèå.

1.

Ïðåæäå ÷åì îçíàêîìèòüñÿ ñ 4ìåðíûìè òåíçîðàìè, îáñóäèì áîëåå ïðîñòîé ñëó÷àé

òåíçîðîâ â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Êàê èçâåñòíî, âåêòîð

~v = (v1 , v2 ) îïðåäåëÿåò íàïðàâëå-

íèå â ïðîñòðàíòñâå. Ïîýòîìó ýòî íå ïðîñòî íàáîð èç äâóõ ÷èñåë  ñòîëáåö èëè ñòðîêà. Ýòî
âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ëèíåéíûõ çàìåíàõ êîîðäèíàò. È äåëàåò ýòî îïðåäåëåííûì îáðàçîì:

va′
ãäå

va

= Mab vb ≡

2
X

Mab vb ,

b=1

 êîîðäèíàòû âåêòîðà â èñõîäíîé ÑÊ, à

va′

 êîîðäèíàòû â íîâîé ÑÊ. Óäîáíî

â äàëüíåéøåì âñåãäà ïîäðàçóìåâàòü ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó, êàê ýòî
ñäåëàíî â äàííîé îðìóëå äëÿ èíäåêñà

b.

 ëèòåðàòóðå ýòî íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì Ýéí-

øòåéíà.
Âûøåóêàçàííàÿ çàïèñü îçíà÷àåò ïðîñòî

v1′ = M11 v1 + M12 v2
v2′ = M21 v1 + M22 v2
èëè, ÷òî òîæå ñàìîå:



v1′
v2′



=



M11 M12
M21 M22



v1
v2



.

Íå ëþáàÿ ìàòðèöà

M̂ =



M11 M12
M21 M22



îïðåäåëÿåò ïîâîðîò. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îíà îïðåäåëÿëà ïîâîðîò íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà íåêîòîðûì ñîîòíîøåíèÿì, êîòîðûå ìû îïðåäåëèì íèæå.
′
Âûøåóêàçàííûå îðìóëó ìîæíî çàïèñàòü è â äðóãîì âèäå: va =
÷àåò:

v1′

v2′




=

v1 v2




16



M11 M21
M12 M22



vb M T




ba

, ÷òî îçíà-

(9)

Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ 2âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ:

v1 v2

(~v, w)
~ = v1 w1 + v2 w2 =






w1
w2



= va wa ,

ãäå â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè (çàïèñàííîì â òåíçîðíîé îðìå) îïÿòü ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó

a.

Î÷åâèäíî, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ïîâîðîòàõ ÑÊ:
va wa = va′ wa′ . Áîëåå òîãî, âðàùåíèå ÑÊ íå ïðîñòî ñîõðàíÿåò âåëè÷èíó ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íî è íå ìåíÿåò áèëèíåéíóþ îðìó, îïðåäåëÿþùóþ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ÷åðåç
êîìïîíåíòû âåêòîðîâ:

v1 w1 + v2 w2 = v1′ w1′ + v2′ w2′ .
Äàâàéòå ïîñìîòðèì òåïåðü êàêèì óñëîâèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðèöà M̂ , ÷òîáû
′
îïðåäåëÿòü âðàùåíèå, à íå ïðîèçâîëüíóþ çàìåíó êîîðäèíàò. Ò.ê. va = Mab vb , òî

va′ va′ = vb M T
Ïóñòü ìàòðèöà

M̂




ba

Mac vc .

óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ:

MT
ãäå ñèìâîë Êðîíåêåðà

δac




ba

Mac = δac ,

(10)

îïðåäåëåí êàê

δac =



1,
0,

ïðè
ïðè

a=c
,
a 6= c

ò.å. (10) ýêâèâàëåíòíî ìàòðè÷íîìó ðàâåíñòâó âèäà:



M11 M12
M21 M22



M11 M21
M12 M22



=



1 0
0 1



,

T
T
îçíà÷àþùåìó, ÷òî òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà M̂
ðàâíÿåòñÿ îáðàòíîé ê M̂ : M̂ M̂
=
T
−1
ˆ
ˆ
I ⇔ M̂ = M̂ , ãäå I  åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, ïðåäñòàâëåíàÿ âûøå ñèìâîëîì Êðîíåêåðà.
Òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè.
Åñëè ðàâåíñòâî (10) âåðíî, òî

v1′ w1′ + v2′ w2′ ≡ va′ wa′ = va δac wc = vc wc ≡ v1 w1 + v2 w2 ,
ò.å. ñîõðàíÿåòñÿ è âåëè÷èíà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è áèëèíåéíàÿ îðìà, îïðåäåëÿþùàÿ
åãî ÷åðåç êîìïîíåíòû âåêòîðîâ. Èìåííî ðàâåíñòâó (10) è äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðèöà

M̂ , ÷òîáû îïðåäåëÿòü âðàùåíèå, à íå ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ çàìåíó êîîðäèíàò  ïåðåõîä
ê íåîðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó.
T
Ò.ê. det  = det  è det  B̂ =

Iˆ

ñëåäóåò, ÷òî

det M̂ = ±1.

Ïðè

det  det B̂ äëÿ ëþáûõ ìàòðèö  è B̂ , òî èç M̂ M̂ T =
ýòîì det M̂ = −1 îòâå÷àåò ìàòðèöå ïðåîáðàçîâàíèÿ,
17

âêëþ÷àþùåãî èíâåðñèþ êîîðäèíàò, êîòîðóþ ìû íå âêëþ÷àåì â ÷èñëî âðàùåíèé. Ïîòîìó

det M̂ = 1.
ìàòðèöà M̂ ,

äëÿ âðàùåíèé âåðíî, ÷òî
Àíòèñèììåòðè÷íàÿ

óäîâëåòâîðÿþùàÿ ðàâåíñòâó (10) ñ äåòåðìèíàíòîì

ðàâíûì åäèíèöå, âñåãäà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â îáùåèçâåñòíîì âèäå:



M̂ =
ãäå

ϕ



cos ϕ sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ

 óãîë âðàùåíèÿ.

Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ 2ìåðíûõ òåíçîðîâ. Äâóìåðíûì
ëè÷èíà,

Ta1 ...an ,

íåñóùàÿ

n

nòåíçîðîì

íàçûâàåòñÿ âå-

èíäåêñîâ è ïðåîáðàçóþùàÿñÿ ïðè âðàùåíèÿõ êàê:

Ta′ 1 a2 ...an = Ma1 b1 Ma2 b2 . . . Man bn Tb1 b2 ...bn ≡ Tb1 b2 ...bn M T
 ýòîé òåðìèíîëîãèè âåêòîð ÿâëÿåòñÿ

1òåíçîðîì.




b1 a1

MT




b2 a2

. . . MT




bn an

.

Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì 2ìåðíîãî 2òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 2
ìåðíûõ âåêòîðîâ 

||va wb ||.

Ýòó âåëè÷èíó ìîæíî çàïèñàòü êàê ìàòðèöó:

||va wb || =
Àíàëîãè÷íî ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì
êîòîðîé â ñëó÷àå

n≥3



v1 w1 v1 w2
v2 w1 v1 w2

nòåíçîðà



.

ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà

va1 wa2 . . . uan ,

ýëåìåíòû

óæå íåëüçÿ ðàñïîëîæèòü â âèäå êâàäðàòíîé ìàòðèöû.

×òîáû ïîçíàêîìèòüñÿ ñ äðóãèì ïðèìåðîì 2ìåðíîãî òåíçîðà ðàññìîòðèì îäèí èç
óíäàìåíòàëüíûõ ïðèìåðîâ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ  íîðìó èëè äëèíó âåêòîðà. Íà-

(dx, dy) ≡ (dx1 , dx2 )
(x + dx, y + dy) ≡ (x1 + dx1 , x2 + dx2 ) ðàâíà

ïðèìåð, äëèíà 2ìåðíîãî âåêòîðà

2

2

2

dl = dx + dy ≡

dx21

+

dx22

=

2
X
a=1

ñ êîíöàìè

(x, y) ≡ (x1 , x2 )

è

dxa dxa ≡ dxa dxa .

Ýòà îðìóëà îïðåäåëÿåò ìåòðèêó â 2ìåðíîì Åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå  ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå. Ââåäåì ïîíÿòèå 2ìåðíîãî Åâêëèäîâà ìåòðè÷åñêîãî
òåíçîðà, ïåðåïèñàâ âûðàæåíèå äëÿ äëèíû â íåñêîëüêî áîëåå îáùåì âèäå:

2

dl ≡ dxa dxa = δab dxa dxb =
ãäå

δab

dx1 dx2






δ11 δ12
δ21 δ22



dx1
dx2



,

 ýòî ñèìâîë Êðîíåêåðà è â äàííîé îðìóëå êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ Åâêëèäîâûì

ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì. Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ 2òåíçîðîì, ò.ê. ïðàâèëüíî ïðåîáðàçóåòñÿ
ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè 2ìåðíûõ âðàùåíèÿõ äëèíà íå ìåíÿåòñÿ

′
dl2 = δab dxa dxb = δab
dx′a dx′b .
È, ò.ê.

dx′a = Mab dxb ,

òî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ïðè âðàùåíèÿõ ïðåîáðà-

çîâûâàëñÿ êàê
18

δa′ b = Ma c Mb d δc d ,
÷òîáû äëèíà îñòàâàëàñü èíâàðèàíòíîé. Äåéñòâèòåëüíî,

′
δab
dx′a dx′b = δcd M T
Íî, åñëè

M̂




ca

MT




db

 ýòî ìàòðèöà âðàùåíèÿ, òî âåðíî, ÷òî

Ma e dxe Mb g dxg .


M T c a Ma b = δcb .

Òîãäà

′
δab
dx′a dx′b = δcd δce δdg dxe dxg = δab dxa dxb .
Ò.å. äëèíà äåéñòâèòåëüíî èíâàðèàíòíà.

Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îí ñàì èíâàðèàíòåí
ïðè âðàùåíèÿõ, ò.å. ïðåîáðàçîâàííûé ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì:

δa′ b = Ma c Mb d δc d = δab ,
ãäå äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ÿ ïðîñòî ïîäðóãîìó ïåðåïèñàë óðàâíåíèå


M T c a Ma b = δcb :

MT




ca

Ma b = Mc a M T




ab

= Mc a δad M T




db

= Mc a Mb d δad .

Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî îòðàæåíèåì òîãî àêòà, ÷òî áèëèíåéíàÿ îðìà
δab , îïðåäåëÿþùàÿ ìåòðèêó â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, íå ìåíÿåòñÿ ïðè âðàùåíèÿõ: dx2 +
dy 2 = dx′2 + dy ′2 ⇔ δab dxa dxb = δab dx′a dx′b .
Äàëåêî íå âñå òåíçîðû èíâàðèàíòíû ïðè âðàùåíèÿõ. ×èñëî èíâàðèàíòíûõ òåíçîðîâ
îòíîñèòåëüíî 2ìåðíûõ âðàùåíèé îãðàíè÷èâàåòñÿ Åâêëèäîâûì ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì è

ǫab . Ïîñëåäíèé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðèè, ǫab = −ǫba , è òåì, ÷òî ǫ12 = 1. Äåéñòâèòåëüíî, òîãäà ǫ21 = −ǫ12 = −1,
à ǫ11 = −ǫ11 = 0 è ǫ22 = −ǫ22 = 0. Ò.å. ýòîò òåíçîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñëåäóþùåé 2 × 2 ìàòðèöû:

àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì

|| ǫab || =



0 1
−1 0



Äîêàæåì, ÷òî ýòîò òåíçîð èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé. àññìîòðèì äâà âåêòîðà
(1)
(2)
(1)
(2)
dxa è dxb . Ñîñòàâèì èç íèõ âåëè÷èíó ǫab dxa dxb . Íå òðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòà âåëè÷èíà
(1)
åñòü íè ÷òî èíîå êàê ïëîùàäü ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêè, íàòÿíóòîé íà äâà âåêòîðà dxa è
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
dxb : ò.ê. îíà ïðîñòî ðàâíà ǫ12 dx1 dx2 + ǫ21 dx2 dx1 = dx1 dx2 − dx2 dx1 . Ïîñëåäíþþ
(1)
âåëè÷èíó ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê dx1 dx2 = dx dy , åñëè íàïðàâèòü dxa âäîëü ïåðâîé îñè
(1)
(2)
(2)
x (ò.å. ïîëîæèòü dx2 = 0), à dxb âäîëü âòîðîé îñè y (ò.å. ïîëîæèòü dx1 = 0).
Íî ïëîùàäü íå ìåíÿåòñÿ ïðè âðàùåíèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî âðàùåíèå  ýòî ïðîñòî çàìå′
′
íà êîîðäèíàò, ò.å. dx dy = det(M̂ ) dx dy , ãäå det(M̂ )  ýòî ÿêîáèàí çàìåíû. Íî det(M̂ ) = 1,
(1)
(2)
ò.ê. M̂  ýòî ìàòðèöà âðàùåíèÿ. Ò.ê. ïëîùàäü íå ìåíÿåòñÿ ïðè âðàùåíèÿõ, òî ǫab dxa dxb =
′
′
(1)
(2)
ǫab dxa dxb . Ò.å. àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé.
Àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð îáëàäàåò ðÿäîì çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ. Íàïðèìåð, ëåãêî âèäåòü, ÷òî

19



0 1
−1 0



0 1
−1 0



=−



1 0
0 1



.

(11)

Ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â êîìïàêòíîé òåíçîðíîé îðìå êàê

ǫab ǫbc = −δac ,
ãäå, êàê îáû÷íî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó

b.

Íà ñàìîì

äåëå àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð óäîâëåòâîðÿåò è áîëåå îáùåìó òîæäåñòâó:

ǫab ǫdc = det





δad δac
δbd δbc

≡ δad δbc − δac δbd ,

(12)

êîòîðîå äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà  èíâàðèàíòíûé
2ìåðíûé 4òåíçîð  ðåçóëüòàò òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ èíâàðèàíòíûõ 2ìåðíûõ 2
òåíçîðîâ. Îí àíòèñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè âíóòðè ïåðâîé ïàðû è âíóòðè
âòîðîé ïàðû èíäåêñîâ. Ïðè ýòîì îí ñèììåòðè÷åí ïðè ïåðåñòàíîâêå ïåðâîé ïàðû èíäåêñîâ ñî âòîðîé. Åäèíñòâåííûé èíâàðèàíòíûé 4òåíçîð, îáëàäàþùèé òàêèìè ñâîéñòâàìè,
íàïèñàí íà ïðàâîé ñòîðîíå ýòîãî ðàâåíñòâà. (Òðåáóåò

ñòðîãîãî ìàòåìàòè÷åêîãî äîêàçàòåëüñòâà òîò àêò, ÷òî âñå èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé 2ìåðíûå òåíçîðà
ñòðîÿòñÿ èç δab è ǫab . Îäíàêî ýòî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.) Êîýèöèåíò â ðàâåí-

ñòâå èêñèðóåòñÿ èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé. Ñâåðíåì â ýòîì ðàâåíñòâå âòîðîé èíäåêñ
ó ïåðâîãî àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà (èíäåêñ
æèì èíäåê

d

ðàâíûì

b

b)

ñ ïåðâûì èíäåêñîì ó âòîðîãî (ò.å. ïîëî-

è ïðîñóììèðóåì ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó). Â ðåçóëüòàòå ìû

ïîëó÷èì óæå çíàêîìîå íàì ðàâåíñòâî ñ âåðíûì êîýèöèåíòîì:

2. Òåïåðü, êîãäà ìû ïîçíàêîìèëèñü

ǫab ǫbc = −δac .

ñ òåíçîðàìè â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ìû ãîòîâû

ïåðåéòè ê òåíçîðàì â 4ìåðíîì ÏÂ.  òåíçîðíîé îðìå îðìóëû â 4ìåðíîì ñëó÷àå
âûãëÿäÿò ïî÷òè ñòîëü æå ïðîñòî êàê è â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
×åòûðåõìåðíûì âåêòîðîì èëè 4âåêòîðîì ÿâëÿåòñÿ íàáîð èç ÷åòûðåõ âåëè÷èí (ñòðî2 µ
v ≡ (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) ≡ (v 0 , ~v ), êîòîðûé îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå â ÏÂ è,

êà èëè ñòîëáåö)

ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâèëüíûì îáðàçîì ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà (ÏË)

(êîìáèíèðîâàííîì ïðèìåíåíèè 3ìåðíûõ âðàùåíèé âîêðóã ðàçëè÷íûõ îñåé è Ëîðåíöåâñêèõ áóñòîâ âäîëü ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèé):

′µ

v =

Λµν

ν

v ≡

3
X

Λµν v ν .

ν=0

Çäåñü è íèæå, êàê ÿ óæå íåîäíîêðàòíî ïîä÷åðêèâàë, ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî
ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó. Ïðè÷èíó íàëè÷èÿ âåðõíèõ è íèæíèõ èíäåêñîâ ìû îáúÿñíèì
µ
÷óòü íèæå; Λν  ýòî ìàòðèöà ÏË. Íå ëþáàÿ 4 × 4 ìàòðèöà ïîäõîäèò â êà÷åñòâå ìàòðèöû
µ
ÏË. Óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðèöà Λν , ÷òîáû îïðåäåëÿòü ÏË, ìû
âûâåäåì íèæå.
2 Ïîä÷åðêíó,

÷òî ÿ èñïîëüçóþ ãðå÷åñêèå áóêâû µ, ν, α, β äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 4ìåðíûõ èíäåêñîâ, à ëàòèíñêèå áóêâû i, j, k, l, m, n  äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 3ìåðíûõ èíäåêñîâ. Ïðè ýòîì â êíèãå Ëàíäàó è Ëèøèöà, à
òàêæå â çàäàâàëüíèêå íàîáîðîò  ëàòèíñêèå áóêâû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 4ìåðíûõ èíäåêñîâ, à
ãðå÷åñêèå  äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 3ìåðíûõ èíäåêñîâ.
20

Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì 4âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèå èç íà÷àëà îòñ÷åòà ÑÊ â êàêóþ
xµ = (x0 , ~x) = (c t, ~x).  ñëó÷àå âðàùåíèÿ íà óãîë ϕ âîêðóã îñè

íèáóäü ìèðîâóþ òî÷êó 

z,

âðåìÿ

t

è êîîðäèíàòà

z

îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Ïîýòîìó ìàòðèöà ÏË âûãëÿäèò êàê:

 
1
0
0
0
c t′
 x′   0 cos ϕ sin ϕ 0
 ′ =
 y   0 − sin ϕ cos ϕ 0
0
0
0
1
z′


 ñëó÷àå áóñòà Ëîðåíöà ñî ñêîðîñòüþ

y

è

z

v

â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè

x,

êîîðäèíàòû

îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, à ìàòðèöàÏË âûãëÿäèò êàê:

 
γ
−β γ 0
c t′
 x′   −β γ
γ
0
 ′ =
 y   0
0
1
′
0
0
0
z
p
γ = 1/ 1 − β 2  ðåëÿòèâèñòñêèé


ãäå


ct
 x 


 y 
z


β = v/c,

à


ct
0
 x
0 

0  y
z
1

γ àêòîð.




,

Ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà, çà-

äàþùàÿ ÏË, îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ïîäîáíûõ ìàòðèö, îïðåäåëÿþùèõ âðàùåíèÿ è
Ëîðåíöåâñêèå áóñòû âäîëü ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèé.
µ µ ...µn
×åòûðåõìåðíûé nòåíçîð T 1 2
 ýòî âåëè÷èíà, èìåþùàÿ

n

èíäåêñîâ è ïðåîáðàçó-

þùàÿñÿ îòíîñèòåëüíî ÏË êàê:

T ′µ1 ...µn = Λνµ11 . . . Λµνnn T ν1 ...νn ≡ T ν1 ...νn ΛT


µ1
ν1

. . . ΛT


µn
νn

 ýòîì ñìûñëå 4âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî 4ìåðíûì 1òåíçîðîì. Î÷åâèäíî, ýëåìåíòû 4
ìåðíîãî 2òåíçîðà ìîæíî ðàñïîëîæèòü â âèäå

4×4

ìàòðèöû. Îäíàêî â ñëó÷àå, åñëè

òåíçîð èìååò áîëåå ÷åì 2 èíäåêñà, òî åãî ýëåìåíòû óæå íå âîçìîæíî ðàñïîëîæèòü â âèäå
êâàäðàòíîé ìàòðèöû. Åñëè óãîäíî, ýëåìåíòû 4ìåðíîãî
â

nìåðíîì 4 × 4 × · · · × 4

nòåíçîðà

ìîæíî ðàñïîëîæèòü

ãèïåðêóáå. Îäíàêî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íèêîìó íå îáëåã÷èò

æèçíü è íå óïðîñòèò âû÷èñëåíèÿ.

îðàçäî ïðîùå èìåòü äåëî ïðÿìî ñ âåëè÷èíàìè ñ èíäåê-

ñàìè. Ïðîñòåéøèì 4ìåðíûì nòåíçîðîì ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå n 4âåêòîðîâ:
v1µ1 . . . vnµn .
Âàæíûì ïðèìåðîì 2òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèé òåíçîð Ìèíêîâñêîãî ηµν , çàäàþùèé èíòåðâàë â 4ìåðíîì ÏÂ:

ds2 = ηµν dxµ dxν
×òîáû èíòåðâàë ïðèíÿë ñâîþ ïðèâû÷íóþ îðìó
äèìî, ÷òîáû:

21

2

ds2 = (dx0 ) − d~x2 = c2 dt2 − d~x2 ,


1 0
0
0
 0 −1 0
0 

||ηµν || = 
 0 0 −1 0  .
0 0
0 −1


(13)
íåîáõî-

(14)

Ïîêàæåì, ÷òî

ηµν

äåéñòâèòåëüíî òåíçîð, ò.å. ïðåîáðàçóåòñÿ ïðàâèëüíûì îáðàçîì ïðè ÏË.
dx′µ = Λµν dxν . Ïîýòîìó, ÷òîáû áûëî âåðíî ðà-

Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ
âåíñòâî:

′
ds2 = ηµν
dx′µ dx′ν = ηµν dxµ dxν ,
íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ïðåîáðàçîâûâàëñÿ êàê

(15)

η ′µν = Λµα Λνβ η αβ , ò.å. èìåííî

êàê 2òåíçîð, à ìàòðèöà ÏË óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ:


α

Λµα ΛT
ãäå

δνµ

ν

 ýòî ñèìâîë Êðîíåêåðà (åäèíè÷íàÿ

δνµ

=



1,
0,

= δνµ ,

4×4

ïðè
ïðè

(16)

ìàòðèöà):

µ=ν
.
µ 6= ν

Ò.å. ñèòóàöèÿ âïîëíå àíàëîãè÷íà 2ìåðíîìó ñëó÷àþ.  ÷àñòíîñòè, ðàâåíñòâî (16) ìîæíî
µ
ïîíèìàòü êàê òî, ÷òî òåíçîð δν èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ÏË:

δν′µ = Λµα δβα ΛT


β
ν

= Λµα ΛT


α
ν

= δνµ
Λ̂ Λ̂T = Iˆ, ãäå Iˆ  ýòî
det Λ̂ = −1 îòâå÷àåò èíâåðñèÿì

Èç (16), êîòîðîå òàêæå ìîæíî ïîíèìàòü êàê ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå
åäèíè÷íàÿ

4×4

ìàòðèöà, ñëåäóåò, ÷òî

det Λ̂ = ±1.

Íî

êîîðäèíàò, êîòîðûå íå âêëþ÷àþòñÿ â ÷èñëî ÏË. Ïîýòîìó ÏË îòâå÷àþò òîëüêî ìàòðèöû

Λ̂,

óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (16) è èìåþùèå åäèíè÷íûé äåòåðìèíàíò.
µ
µ
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (èëè ñâåðòêà) äâóõ 4âåêòîðîâ v è w îïðåäåëÿåòñÿ ñ èñïîëüµ ν
çîâàíèåì ìåòðèêè â Ï  ηµν v w  àíàëîãè÷íî òîìó êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â 2ìåðíîì
µ
ïðîñòðàíñòâå. ×åòûðåâåêòîðà ñ âåðõíèìè èíäåêñàìè v íàçûâàþòñÿ êîâàðèàíòíûìè. Êàæäîìó êîâàðèàíòíîìó âåêòîðó ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîíòðàâàðèàíòíûé âåêòîð
µ
0
íåñóùèé íèæíèé èíäåêñ. Çàìå÷ó, ÷òî åñëè v = (v , ~
v), òî vµ = (v 0 , −~v ) è

vµ = ηµν v ν ,

êîíòðàâàðèàíòíûå âåêòîðà ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò êîâàðèàíòíûõ. Ïðè ýòîì â ïðîñòðàíñòâå (êàê â 2ìåðíîì òàê è â 3ìåðíîì) ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ñîâïàäàåò ñ åäèíè÷íîé
j
j
ìàòðèöåé, ïîýòîìó vi = δij v = v , ãäå i = 1, 2, 3, è ïîýòîìó â Åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå íèêòî íå îòëè÷àåò íèæíèå (êîíòðàâàðèàíòíûå) è âåðõíèå (êîâàðèàíòíûå) èíäåêñû.  ñâåòå
îïðåäåëåíèÿ êîâàðèàíòíûõ è êîíòðàâàðèàíòíûõ âåêòîðîâ, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî
µ ν
µ
α
çàïèñàòü íåñêîëüêèìè ýêâèâàëåíòíûìè ñïîñîáàìè ηµν v w = vµ w = v wα
Àíàëîãè÷íî, åñëè íàì äàí êîíòðàâàðèàíòíûé âåêòîð, òî èç íåãî ìîæíî ïîñòðîèòü êîv µ = η µν vν âåêòîð ñ èñïîëüçîâàíèåì òåíçîðà η µν , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì

âàðèàòíûé

ê ìåòðè÷åñêîìó òåíçîðó:

ˆ
η µν ηνα = δαµ ⇔ η̂ up η̂down = I.
Âàæíûì ñâîéñòâîì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà è îáðàòíîãî ê íåìó ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ÏË, àíàëîãè÷íî áèëèíåéíîé îðìå, îïðåäåëÿþùåé ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå:
22

′
ηµν
= Λαµ Λβν ηαβ ≡ Λαµ ηαβ ΛT


β
ν

= Λαµ ΛT




αν

= ηµν .

(17)

Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ñ ïðèìåíåíèåì (16), ÷òî ìîæíî óâèäåòü ïîñëå óìíîæåíèÿ
µν
îáåèõ ÷àñòåé (17) íà òåíçîð η . Ôàêòè÷åñêè â èíâàðèàíòíîñòè ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ïî
îòäåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî áóñòîâ Ëîðåíöà è âðàùåíèé ìû óáåäèëèñü, êîãäà ïîêàçàëè, ÷òî
áèëèíåéíàÿ îðìà, îïðåäåëÿþùàÿ ÏÂ èíòåðâàë, îñòàåòñÿ íåèçìåííîé ïðè ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.

η µν

è

ηµν

ìû ìîæåì ïîíèæàòü è ïîâûøàòü èíäåêñû ó 4ìåðíûõ
µ µ ...µn
òåíçîðîâ. Íàïðèìåð, åñëè íàì äàí 4ìåðíûé nòåíçîð T 1 2
ñî âñåìè êîâàðèàíòíûìè
Ïðè ïîìîùè òåíçîðîâ

èíäåêñàìè, òî ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ìû ìîæåì ïîñòðîèòü èç íåãî òåíçîð
α
µ
ñî ñìåøàííûìè èíäåêñàìè. Ñêàæåì: T β
= ηβν T µνα .
Òàêèì îáðàçîì, ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà è îáðàòíîãî ê íåìó ìû ìîæåì
µν
ñòðîèòü âñåâîçìîæíûå ñâåðòêè òåíçîðîâ: íàïðèìåð, T
ηνα v α ≡ T µν vν è ò.ä.. Âàæíî, ÷òî
ðåçóëüòàò ñâåðòêè âñåãäà ïðåîáðàçóåòñÿ ïðàâèëüíûì îáðàçîì ïðè ÏË. Íàïðèìåð, ñêàëÿðηµν v µ w ν = vµ w µ íå íåñåò íèêàêèõ èíäåêñîâ, à ïîòîìó
µ ν
′
′µ ′ν
íå ìåíÿåòñÿ ïðè ÏË (ò.å. ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì): ηµν v w = ηµν v w
= ηµν v ′µ w ′ν , ãäå
øòðèõîâàííûå âåëè÷èíû  êîìïîíåíòû òåíçîðîâ â íîâîé ÑÎ.
µν
Äàëåå, âåëè÷èíà T
ηνα v α = T µν vν ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ÏË êàê êîâàðèàíòíûé 4âåêòîð.
µν
Äåéñòâèòåëüíî, âåðõíèé èíäåêñ ν òåíçîðà T
ïðåîáðàçóåòñÿ òàê, ÷òî êîìïåíñèðóåò ïðå-

íîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 4âåêòîðîâ

îáðàçîâàíèå íèæíåãî èíäåêñà ν âåêòîðà vν . Â ðåçóëüòàòå ÏË äåéñòâóåò òîëüêî íà ïåðâûé
µν
vν . Ïîä÷åðêíó, ÷òî ïðè ýòîì, âåëè÷èíà T µν v ν ïðåîáðàçóåòñÿ íå
èíäåêñ µ âñåé ñâåðòêè T
êàê âåêòîð ïðè ÏË, ò.ê. ïðåîáðàçîâàíèå äâóõ âåðõíèõ èíäåêñîâ ν íå êîìïåíñèðóþò äðóã
T µν v ν áåññìûñëåííà ñ òî÷êè çðåíèÿ òåíçîðíîãî àíàëèçà. Ïî òîé æå
µν
ïðè÷èíå, íå ìåíåå áåññìûñëåííîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ è T
vν wν .

äðóãà. Ò.å. çàïèñü

ß íàäåþñü, ÷òî ýòè äîâîëüíîòàêè ìóòîðíûå ïîÿñíåíèÿ äàäóò âàì âîçìîæíîñòü óõâàòèòü îñíîâíóþ ìûñëü, ìîòèâèðóþùóþ òåíçîðíûå îáîçíà÷åíèÿ è ââåäåíèå âåðõíèõ è íèæíèõ èíäåêñîâ. Äåëî â òîì, ÷òî åñëè íàì äàíà íåêîòîðàÿ ñâåðòêà òåíçîðîâ, òî îäíîãî âçãëÿäà
íà íåå äîñòàòî÷íî, ÷òî áû ïîíÿòü èìååò ëè îíà ñìûñë êàê òåíçîð èëè íåò. È, åñëè èìååò,
òî ìîæíî ñðàçó ïîíÿòü êàê ðåçóëüòàò ñâåðòêè ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ÏË.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî
ñðàçó ïîíÿòü ÿâëÿåòñÿ ëè òà èëè èíàÿ âåëè÷èíà èíâàðèàíòîì èëè íåò.
Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÑÒÎ è
ðåëÿòèâèñòñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè, áóäó÷è çàïèñàíû â òåíçîðíîé îðìå, ÿâëÿþòñÿ Ëîðåíö
êîâàðèàíòíûìè, ò.å. èõ âèä íå ìåíÿåòñÿ ïðè ÏË  ïðè çàìåíå îäíîé ÈÑÎ íà äðóãóþ. Â
ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè.
ν
ν
µν
Ïîìèìî òåíçîðîâ δµ ≡ ηµ , ηµν è η
èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ÏË ÿâëÿåòñÿ 4
ìåðíûé àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ǫµναβ , êîòîðûé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ

3.

ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ëþáîé ïåðåñòàíîâêè ïàðû ñâîèõ èíäåêñîâ:

ǫµναβ = −ǫνµαβ = ǫναµβ = −ǫανµβ = . . .
è îïðåäåëåíèåì

ǫ0123 = 1.

Äåéñòâèòåëüíî, ëþáàÿ åãî êîìïîíåíòà, îòâå÷àþùàÿÿ äâóì ñîâ-

ïàäàþùèì èíäåêñàì, ðàâíà íóëþ: íàïðèìåð,

ǫµ0ν0 = −ǫµ00ν = ǫµ00ν = 0.

Ïîýòîìó ó íåíóëå-

âûõ åãî êîìïîíåíò âñå èíäåêñû äîëæíû áûòü îòëè÷íû äðóã îò äðóãà, ò.å. âñå íåíóëåâûå
êîìïîíåíòû àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà ïîëó÷àþòñÿ èç

ǫ0123

ïåðåñòàíîâêîé

èíäåêñîâ. Åñëè ïåðåñòàíîâêà ÷åòíàÿ, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìïîíåíòà ðàâíà +1, à åñëè

23

íå÷åòíàÿ, òî 1. Òî, ÷òî ýòîò òåíçîð èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ÏË äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê âûøå áûëà äîêàçàíà èíâàðèàíòíîñòü 2ìåðíîãî
àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà: íàäî ïîñòðîèòü èç ðàññìàòðèâàåìîãî òåíçîðà ýëåìåíò 4îáúåìà, êîòîðûé, î÷åâèäíî, èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ÏË, ò.ê. ÿêîáèàí çàìåíû
ïåðåìåííûõ â ýòîì ñëó÷àå ðàâåí åäèíèöå.
Èìååòñÿ òàê æå 3ìåðíûé àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð

ǫijk , i = 1, 2, 3. Îí

òî-

æå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáîé
ïàðû ñîñåäíèõ èíäåêñîâ è òåì, ÷òî

ǫ123 = 1.

Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî òåíçîðà îñîáåííî

ïðîñòî çàïèñûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 3ìåðíûõ âåêòîðîâ:

[~v × w]
~ i = ǫijk vj wk .
Äåéñòâèòåëüíî,

[~v × w]
~ 1 ≡ v2 w3 − v3 w2 .

Ïðè ýòîì

ǫ1jk vj wk = ǫ123 v2 w2 + ǫ132 v3 w2 =

v2 w3 −v3 w2 . Äëÿ 2-é è 3-é êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âûøåóêàçàííîå ðàâåíñòâî

ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.
 ÷àñòíîñòè âåðíî, ÷òî:

h
i
~ × ~v(x) = ǫijk ∂ vk (x).
[rot ~v (x)]i = ∇
∂xj
i

×åòûðåõìåðíûé è òðåõìåðíûé àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íûå òåíçîðà óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðûì òîæäåñòâàì àíàëîãè÷íûì òåì, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿåò 2ìåðíûé òåíçîð. Äîêàçàòåëüñòâî èõ àíàëîãè÷íî. Ýòè òîæäåñòâà ìîæíî íàéòè â íà÷àëå IIãî òîìà Ëàíäàó
Ëèøèöà èëè â çàäàâàëüíèêå.

ǫ0µνα âñå íåíóëåâûå êîìïîíåíòû èìåþò ïðîñòðàíñòâåííûå
èíäåêñû, ò.å. µ 6= 0, ν 6= 0, α 6= 0. Ïîýòîìó ýòè êîìïîíåíòû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
ǫ0ijk = ǫijk , i = 1, 2, 3. Àíàëîãè÷íî ǫ03ab = ǫ3ab = ǫab .
Ïîä÷åðêíó, ÷òî ó âåëè÷èíû

4.

Îïðåäåëèì òåïåðü 4ãðàäèåíò è 4äèâåðãåíöèþ. Êîíòðàâàðèàíòíûì 4ãðàäèåíòîì

ñêàëÿðíîãî ïîëÿ

φ(t, ~x)

ÿâëÿåòñÿ 4âåêòîð ñî ñëåäóþùèìè êîìïîíåíòàìè

∂
∂µ φ ≡ µ φ =
∂x



∂φ ~
, ∇φ
c ∂t



=



∂φ ∂φ ∂φ ∂φ
,
,
,
c ∂t ∂x ∂y ∂z



=




∂φ
, gradφ ,
c ∂t

ãäå êàæäàÿ èç êîìïîíåíò îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïîëÿ â ñîîòâåòñòâóþùåì íàïðàâëåíèè. Â ñâåòå âûøåñêàçàííîãî ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî êîâàðèàíòíûé 4ãðàäèåíò ðàâåí:

µ

∂ φ=η

µν

∂φ
=
∂µ φ =
∂xµ




∂φ
, −gradφ .
c ∂t

Îáðàùàþ âàøå âíèìàíèå íà ðàñïîëîæåíèå èíäåêñîâ â ïðîèçâîäíûõ è äèåðåíöèàëàõ.
µ
Ýòî ðàñïîëîæåíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî, åñëè dx ïðåîáðàçóåòñÿ êàê êîâàðèàíòíûé âåêòîð,
µ
òî ∂/∂x ïðåîáðàçóåòñÿ êàê  êîíòðàâàðèàíòíûé, è íàîáîðîò. Äàëåå ìîæíî îïðåäåëèòü
4-ãðàäèåíò ëþáîãî òåíçîðíîãî ïîëÿ. Ñêàæåì äëÿ 4ìåðíîãî 3òåíçîðíîãî ïîëÿ
ðàâåí

Tµνα

îí

∂β Tµνα

è ÿâëÿåòñÿ óæå 4ìåðíûì 4òåíçîðîì.
µ
x)
×åòûðåäèâåðãåíöèåé 4âåêòîðíîãî ïîëÿ A (t, ~

~ ~x))
= (A0 (t, ~x), A(t,

íàÿ âåëè÷èíà (èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî ÏË), èìåþùàÿ âèä:

ηµν ∂ µ Aν = ∂µ Aµ = ∂ µ Aµ =

∂A0 ~ ~ ∂A0
~
− ∇A =
− div A.
c ∂t
c ∂t

24

ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿð-

Àíàëîãè÷íî 4äèâåðãåíöèþ ìîæíî îïðåäåëèòü è äëÿ òåíçîðíûõ ïîëåé. Ñêàæåì, 4äèâåðãåíöèÿ
Tµνα ðàâíà ∂ µ Tµνα è ïðåîáðàçóåòñÿ, êàê 4ìåðíûé 2òåíçîð

4ìåðíîãî 3òåíçîðíîãî ïîëÿ

îòíîñèòåëüíî ÏË. Ò.å., åñëè 4ãðàäèåíò ïîâûøàåò ÷èñëî èíäåêñîâ, òî 4äèâåðãåíöèÿ óìåíüøàåò èõ ÷èñëî.
Ïðèâåäåì íåñêîëüêî î÷åâèäíûõ ñâîéñòâ 4ãðàäèåíòà è 4äèâåðãåíöèè. Î÷åâèäíî, ÷òî

∂µ xν = ∂xν /∂xµ = δµν .
Òîãäà

∂µ xµ = 4.

Äàëåå,

∂µ xν = ∂µ ηνα xα = ηνα δµα = ηµν .
Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî

∂µ |x|2 ≡ ∂µ (xν xν ) = (∂µ xν ) xν + xν (∂µ xν ) = δµν xν + xν ηµν = 2 xµ .
Äàëåå

1

1

∂µ |x| ≡ ∂µ (xν xν ) 2 =

2 (xν xν )

1
2

xµ
.
|x|

∂µ (xα xα ) =

È, íàêîíåö,

∂µ

1
xµ
1
=−
∂µ (xα xα ) = − 3 .
1
+1
|x|
|x|
2(xν xν ) 2

Âñå îñòàëüíîå ñëåäóåò òðèâèàëüíî. Íàäî òîëüêî óìåòü ïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè (ìíîãèõ ïåðåìåííûõ).

5. Àïïåíäèêñ î ðàçëîæåíèè â ðÿä Òåéëîðà óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.
f (~x) ≡ f (x1 , x2 ). Íàì íåîáõîäèìî ðàçëîæèòü
~a, |~a| ≪ |~x|, ñëåäóþùóþ óíêöèþ f (~x + ~a). Ïîëó-

àññìîòðèì óíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ
ïî ñòåïåíÿì êîìïîíåíò ìàëîãî âåêòîðà
÷àåì âûðàæåíèÿ:

∂f (x1 , x2 )
∂f (x1 , x2 )
a1 +
a2 +
∂x1
∂x2
1 ∂ 2 f (x1 , x2 ) 2 1 ∂ 2 f (x1 , x2 ) 2 ∂ 2 f (x1 , x2 )
a1 +
a2 +
a1 a2 + . . . .
+
2
∂x21
2
∂x22
∂x1 ∂x2

f (x1 + a1 , x2 + a2 ) = f (x1 , x2 ) +

(18)

Îíè ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû â îðìå:

f (~x + ~a) = f (~x) + ∂i f (~x) · ai +

1
∂i ∂j f (~x) · ai aj + · · · =
2

∞
X
1
∂i . . . ∂in f (~x) · ai1 . . . ain ,
=
n! 1
n=1

i = 1, 2, 3.

(19)

Ýòî ðàçëîæåíèå ìîæåò áûòü ñ ëåãêîñòüþ îáîáùåíî íà ñëó÷àé, êîãäà ìû èìååì äåëî ñ
âåêòîðàìè â ïðîñòðàíñòâå áîëüøåé ðàçìåðíîñòè, òî åñòü êîãäà

i = 1, . . . , D

è

D > 3.

Òàê

æå â ýòèõ âûðàæåíèÿõ íèãäå íå èñïîëüçîâàëàñü ñèãíàòóðà ìåòðèêè. Ïîýòîìó îíè âåðíû
êàê â ïðîñòðàíñòâå Åâêëèäà, òàê è â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè Ìèíêîâñêîãî.
25

Âîïðîñû è çàäà÷è
•

Êàê äîëæíû ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ ñòðîêà è ñòîëáåö, îïðåäåëÿþùèå âåêòîðû, ïðè ïðîèçâîëüíîé ëèíåéíîé çàìåíå êîîðäèíàò, ÷òîáû âåëè÷èíà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íå
çàâèñåëà áû îò âûáîðà ÑÊ? Êàê ïðè ýòîì ìåíÿåòñÿ áèëèíåéíàÿ îðìà, îïðåäåëÿþùàÿ âûðàæåíèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÷åðåç êîìïîíåíòû âåêòîðîâ?

•

Ïðîèçâîëüíàÿ íåâûðîæäåííàÿ (ñ íåíóëåâûì äåòåðìèíàíòîì) ïîñòîÿííàÿ (íå çàâèñÿùàÿ îò ÏÂ êîîðäèíàò) áèëèíåéíàÿ îðìà gµν ìîæåò îïðåäåëÿòü ìåòðèêó (èíòåðâàë),
ds2 = gµν dxµ dxν , â ïðîñòðàíñòâå èëè ÏÂ â çàâèñèìîñòè îò åå ñèãíàòóðû. Òàêàÿ áèëèíåéíàÿ îðìà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà, ïîñðåäñòâîì ëèíåéíîé çàìåíû êîîðäèíàò,
ê îäíîìó èç ñòàíäàðòíûõ âèäîâ:



1
 0

 0
0

0
1
0
0

0
0
1
0


0
0 
,
0 
1


1 0
0
0
 0 −1 0
0 


 0 0 −1 0  ,
0 0
0 −1




1
 0

 0
0


0 0
0
1 0
0 

0 −1 0 
0 0 −1

(20)

â çàâèñèìîñòè îò åå ñèãíàòóðû. Ïåðâûé ñëó÷àé îïèñûâàåò 4ìåðíîå Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñ ãåîìåòðèåé àíàëîãè÷íîé 3ìåðíîìó è 2ìåðíîìó ñëó÷àÿì. Ñðåäíèé ñëó÷àé  ýòî óæå õîðîøî èçâåñòíîå íàì Ï Ìèíêîâñêîãî. Ïîñëåäíèé ñëó÷àé îïèñûâàåò
ãèïîòåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ äâóìÿ âðåìåíàìè.
Ñëó÷àé ñ îäíîé ìèíóñ åäèíèöåé è òðåìÿ ïëþñ åäèíèöàìè íà äèàãîíàëè, íå óêàçàíds2 → −ds2 , êîòîðàÿ íå ìåíÿåò

íûé çäåñü, ñâîäèòñÿ ê ÏÂ Ìèíêîâñêîãî çàìåíîé

ãåîìåòðèè Ï (Ïî÷åìó?). Ñëó÷àé ñî âñåìè ìèíóñ åäèíèöàìè íà äèàãîíàëè, òîæå íå

óêàçàííûé çäåñü, ñâîäèòñÿ àíàëîãè÷íîé çàìåíîé ê 4ìåðíîìó Åâêëèäîâó ïðîñòðàíñòâó. Ïîäóìàéòå, êàêîâà áóäåò ãåîìåòðèÿ â ñëó÷àå Ï ñ äâóìÿ âðåìåíàìè: Êàê òàì
áóäåò óñòðîåí ñâåòîâîé êîíóñ? Êàêèå âàðèàíòû äëÿ èíòåðâàëîâ èìåþòñÿ â ýòîì ñëó÷àå? Êàêèå ïðåîáîðàçîâàíèÿ îòâå÷àþò çàìåíå ÑÎ è ò.ä.?
Ïóñòü ìåòðèêà â íàøåì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ íå áèëèíåéíîé îðìîé, à ïîñòî3
µ
ν
α
ÿííîé òðèëèíåéíîé îðìîé: ds = gµνα dx dx dx . Ïîäóìàéòå ê êàêèì ñòàíäàðòíûì
âèäàì òàêèå òðèëèíåéíûå îðìû ìîæíî ïðèâåñòè ïðè ïîìîùè ëèíåéíûõ çàìåí êîîðäèíàò. Êàêèå 4ìåðíûå ãåîìåòðèè îíè îïèñûâàþò? À êàêîâà ñèòóàöèÿ, åñëè ìåòðèêà
îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòûðåëèíåéíîé îðìîé? Ýòî î÷åíü ñëîæíûå âîïðîñû äëÿ íà÷èíàþùèõ èçó÷àòü ÑÒÎ, îñíîâàòåëüíûé îòâåò íà êîòîðûå âïîëíå ìîæíî îïóáëèêîâàòü â
íàó÷íîì æóðíàëå.

•

Âû÷èñëèòå

ǫµναβ ǫαβγσ ∂γ ∂ ν
åñëè 4âåêòîð

•

kδ

xµ |x|
,
kδ xδ

ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé  íå çàâèñèò îò

x.

µ
àçëîæèòå äî âòîðîé ñòåïåíè ïî êîìïîíåíòàì ìàëîãî 4âåêòîðà a ñëåäóþùåå âû1
µ
ðàæåíèå:
. Çäåñü k  íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé 4âåêòîð.
[kµ (xµ +aµ )]2

26

4ñêîðîñòü è 4óñêîðåíèå, äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû, ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ ÷àñòèö,
ñèììåòðèè äåéñòâèÿ è çàêîíû ñëõðàíåíèÿ, ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåìàòèêà, ýåêò Äîïëåðà.
Ëåêöèÿ III,

1.  ÑÒÎ äëÿ óïðîùåíèÿ èçó÷àþò îáúåêòû áåç âíóòðåííåé ñòðóêòóðû  òî÷å÷íûå ýëåìåíòàðíûå
÷àñòèöû, ò.ê. â ÑÒÎ íå áûâàåò àáñîëþòíî æåñòêèõ òåë. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì àáñîëþòíî æåñòêèé, äëèííûé ñòåðæåíü. Ïóñòü åãî óäàðèëè ìîëîòêîì ñ îäíîé ñòîðîíû. Òàê êàê
ñòåðæåíü àáñîëþòíî æåñòêèé, òî ìû ìãíîâåííî ïîëó÷èì îòêëèê ñ äðóãîé åãî ñòîðîíû. À
òàê êàê óäàð ïî ñòåðæíþ è îòêëèê ïðîñòðàíñòâåííî ðàçäåëåííûå ñîáûòèÿ, òî ñóùåñòâóþò
ÈÑÎ, â êîòîðûõ îòêëèê ñî âòîðîé ñòîðîíû ñòåðæíÿ ïðîèñõîäèò

ðàíüøå

óäàðà ìîëîòêîì

ïî åãî ïåðâîé ñòîðîíå.
Ýòî î÷åâèäíîå ïðîòèâîðå÷èå ðàçðåøàåòñÿ, åñëè âñïîìíèòü, ÷òî àáñîëþòíî æåñòêèõ òåë
íå áûâàåò, à ñòåðæåíü èìååò âíóòðåííþþ ñòðóêòóðó è ïî íåìó ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ
çâóêîâûå/óïðóãèå âîëíû, ñêîðîñòü êîòîðûõ ñèëüíî ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòà. À èìåííî, îòêëèê ñî âòîðîé ñòîðîíû ñòåðæíÿ ïðîèçîéäåò òîëüêî ïîñëå òîãî êàê äî íåå äîéòåò óïðóãàÿ
âîëíà âîçáóæäåííàÿ ìîëîòêîì ñ ïåðâîé åãî ñòîðîíû.

2.

Èòàê, çàäà÷åé ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå ìèðîâîé ëèíèè ýëå-

ìåíòàðíîé ÷àñòèöû, ò.å. ðåøåíèå äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðûå áóäóò îïðåäåëåíû
íèæå, ïðè äàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ.
×òîáû ïîñòàâèòü çàäà÷ó ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè, îïðåäåëèì 4âåêòîð ñêîðîñòè. Êàµ
z (t)), ãäå ~z (t)  òðàåêòîðèÿ
çàëîñü áû, åñëè çàäàíà ìèðîâàÿ ëèíèÿ ÷àñòèöû z (t) = (c t, ~
µ
÷àñòèöû, òî íà ýòó ðîëü ïîäõîäèò âåëè÷èíà dz (t)/dt. Îäíàêî îíà ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ÏË
µ
µ
µ
íå êàê 4âåêòîð, à êàê ∂0 z êîìïîíåíòà 2òåíçîðà ∂ν z : dz ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 4âåêòîð,
à

dt

 êàê íóëåâàÿ êîìïîíåíòà 4âåêòîðà.

×òîáû îïðåäåëèòü ïðàâèëüíûì îáðàçîì 4âåêòîð ñêîðîñòè (4ñêîðîñòü), íàäî ïîäåëèòü
dz µ  íà âåëè÷èíó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì

ïðèðàùåíèå âäîëü òðàåêòîðèè 

èíâàðèàíòîì, è, ïðè ýòîì, èìååò ñìûñë âðåìåíè. Òàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò ñîáñòâåííîå
2
2
2
âðåìÿ â ÑÎ, ñîïóòñòâóþùåé ÷àñòèöå  ds = c dτ , ãäå τ  ñîáñòâåííîå âðåìÿ. Òàêèì
îáðàçîì, 4ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê:

uµ =
Ò.ê.

ãäå

dτ = dt

p

1 − v 2 /c2 ,

β~ = ~v /c. Çàìåòèâ,

ãäå

~v = ~z˙ ,


(21)

òî êîìïîíåíòû 4âåêòîðà ñêîðîñòè èìåþò âèä:

1
uµ =  q
1−
÷òî

1 dz µ
dz µ
=
.
ds
c dτ

v2
c2

,

ds2 = dz µ dzµ

~v
q
c 1−

v2
c2





 = γ, γ β~ ,

(22)

 êâàäðàò äëèíû ýëåìåíòàðíîãî ó÷àñòêà òðàåêòî-

ðèè, èìååì:

27

1=

dz µ dzµ
= uµ uµ .
ds ds

(23)

Ò.å. ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë 4ñêîðîñòè  ýòî åäèíè÷íûé 4âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê ìèðîâîé
ëèíèè.
Òåïåðü äîëæíî áûòü î÷åâèäíî, ÷òî 4óñêîðåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê:

wµ ≡
Äèåðåíöèðóÿ ñîîòíîøåíèå

d (uµ uµ )
0=
=
ds



uµ uµ

duµ
ds



ïî

d2 z µ
duµ
≡
.
ds
ds2
d/ds,

uµ + u



µ

(24)

ïîëó÷àåì:

duµ
ds



=2



duµ
ds



uµ = 2 w µ uµ .

(25)

Ò.å. 4âåêòîð ñêîðîñòè è 4âåêòîð óñêîðåíèÿ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû âñåãäà îðòîãîíàëüíû
µ
= 1 > 0, òî uµ  ýòî âðåìåíè ïîäîáíûé âåêòîð. Ïîýòîìó
äðóã äðóãó. Òàê êàê uµ u
µ
µ
îðòîãîíàëüíûé ê íåìó âåêòîð w äîëæåí áûòü ïðîñòðàíñòâåííî ïîäîáíûì, òî åñòü wµ w ≤
µ
µ
0, ïðè ëþáîì äâèæåíèè. Ïðè÷åì wµ w = 0 òîëüêî, åñëè w = 0.

3.

Çàêîíû äâèæåíèÿ ÷àñòèö â ÑÒÎ êàê è â îáû÷íîé ìåõàíèêå ñëåäóþò èç ïðèíöèïà

íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ, êîòîðûé ãëàñèò, ÷òî äëÿ ìèðîâîé ëèíèè, ðåøàþùåé óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ, óíêöèîíàë äåéñòâèÿ ÷àñòèöû ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ  ïîñòóëàò, ñëåäóþùèé èç ëîãè÷åñêè íåïðîòèâîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ ñîâîêóïíîñòè îïûòíûõ àêòîâ. Ò.å. âìåñòî ïîñòóëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé (âðîäå 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà), ìû ìîæåì ïîñòóëèðîâàòü ïðèíöèï
íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Òîãäà äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ áóäóò âûâîäèòüñÿ êàê ñëåäñòâèå.
Äåéñòâèòåëüíî, âñïîìíèì, ÷òî óíêöèîíàë äåéñòâèÿ äëÿ íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû
èìååò âèä:

S [~z (·)] =

Z

t2

dt
t1

(

)
m ~z˙ 2 (t)
− V [~z(t)] ,
2

m  ýòî ìàññà ÷àñòèöû, à V [~z ]  ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
V = 0. Ôóíêöèîíàë ìîæíî ïîíèìàòü êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé óíêöèè áîëüøîãî ÷èñëà
ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, ðàññìîòðè óíêöèþ N âåêòîðíûõ ïåðåìåííûõ:
ãäå

S [~z1 , ~z2 , . . . , ~zN ] ≡
è

m

i=1

(

2

)

m (~zi+1 − ~zi )
− V [~z]
2 ∆t2

∆t,

(26)

N → ∞, ∆t → 0 è zi+1 − zi → 0 ñóììà â ýòîì
îïðåäåëåíèè ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó, à óêöèÿ îò N ïåðåìåííûõ ~
z1 , . . . , ~zN  ëîìàííîé ïðè-

ãäå çäåñü

∆t

N
X

 ïàðàìåòðû. Â ïðåäåëå

áëèæàþùåé òðàåêòîðèþ ÷àñòèöû  ê óíêöîíàëó ("óíêöèè îò êîíòèíóàëüíîãî ÷èñëà
ïåðåìåííûõ")

~z (t)

 òðàåêòîðèè ÷àñòèöû.

Èç àíàëîãèè ñ óíêöèåé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ äîëæíî áûòü ïîíÿòíî, ÷òî ýêñòðåìóì
äåéñòâèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç òîãî, ÷òî åãî ëèíåéíàÿ âàðèàöèÿ ïî
28

~z(t)

ðàâíà íóëþ:

δ S[~z(·)] ≡

n h
i
h
io
S ~z(·) + δ~z (·) − S ~z (·)

linear in δz

= 0.

δz(t1 ) = δz(t2 ) = 0,

Ïðè ýòîì, âàðèàöèè íà êîíöàõ òðàåêòîðèè ðàâíû íóëþ:

ò.å. ïðè

âàðüèðîâàíèè ìû äåðæèì êîíöû òðàåêòîðèè èêñèðîâàííûìè, ñêàæåì, â òî÷êàõ

~x1

è

~z (t2 ) = ~x2 ;

~z(t1 ) =

ýòè äàííûå çàäàþò íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå óñëîâèÿ â íàøåé äèíàìè÷åñêîé

çàäà÷å.
Ïðîâàðüèðóåì äàííîå íàì íåðåëÿòèâèñòñêîå äåéñòâèå ÿâíî:

δS =

Z

t2

t1




2 m
m ˙
2
dt
~z + δ~z˙ − ~z˙ − V [~z + δ~z ] + V [~z]
2
2

=
linear in δz

Z

t2

dt
t1

hm
2

i
~ [~z ] δ~z .
2 ~z˙ δ~z˙ − ∂V

δS = 0 ïðè ëþáîì δ~z , â òî âðåìÿ êàê â ïðàâîé ñòîðîíå
δ~z˙ . ×òîáû èçáàâèòüñÿ îò ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò δ~z ïðîèíòåãðèðóåì ïåðâûé ÷ëåí

Ìû ñîáèðàåìñÿ ïîòðåáîâàòü, ÷òî
ñòîèò

â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ïî ÷àñòÿì:

δS = m ~z˙ δ~z

t2
t1

−

Z

t2

t1

h
i
~
dt m ~z¨ + ∂V
δ~z .

Ïåðâîå âûðàæåíèå ñ ïðàâîé ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà òîæäåñòâåííî çàíóëÿåòñÿ, ò.ê.

δz(t1 ) =

δz(t2 ) = 0. Âòîðîå âûðàæåíèå íà ïðàâîé ñòîðîíå ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ðàâíî íóëþ ïðè
~ . Ò.å., ïîñòóëèðîâàâ óñëîâèå ìèíèìóìà
ëþáîì δz(t) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà m~
z¨ = −∂V

äåéñòâèÿ, ìû ïîëó÷èëè âòîðîé çàêîí Íüþòîíà êàê ñëåäñòâèå. Çàìå÷ó, ÷òî äëÿ êîððåêòíîé

ïîñòàíîâêè çàäà÷è, ìû äîëæíû íàëîæèòü íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå óñëîâèÿ äëÿ äèåðåí-

3

z (t1 ) = ~x1 è ~z (t2 ) = ~x2 .
öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà : ~
m~
z˙ 2 (t)
Ëàãðàíæèàí L =
íå ìîæåò ïîäîéòè äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ðåëÿ2

4.

òèâèñòñêîé ÷àñòèöû, ò.ê. ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ

m~z¨ = 0,

êîòîðûå íå èíâàðè-

àíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, ïîñêîëüêó â íèõ âðåìÿ è ïðîñòðàíñòâåííûå
êîîðäèíàòû âõîäÿò íå ðàâíîïðàâíî.
Äèíàìèêà ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû äîëæíà îïèñûâàòüñÿ Ëîðåíö êîâàðèàíòíûìè óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ, ÷òîáû óâàæàòü ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè. Ïîýòîìó äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû äîëæíî áûòü Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Ïîäõîäÿùèì êàíäèäàòîì íà ðîëü
äåéñòâèÿ äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ äëèíà åå ìèðîâîé ëèíèè. Äåéñòâèòåëüíî:

•
•

Äëèíà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì Ëîðåíö èíâàðèàíòîì, êîòîðûé ìîæíî ïîñòðîèòü ïî
çàäàííîé ìèðîâîé ëèíèè.
Ýêñòðåìàëüíóþ äëèíó èìååò ïðÿìàÿ ëèíèÿ. À ìû è îæèäàåì, ÷òî ñâîáîäíàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ïðÿìîé â ÏÂ.

3 Íà

ñàìîì äåëå åñòü íåñêîëüêî ñïîñîáîâ çàíóëèòü âêëàä m ~z˙ δ~z

t2
t1

â âàðèàöèþ äåéñòâè. Äëÿ îïðåäå-

ëåíèÿ ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, êîèì ÿâëÿåòñÿ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà,
íåîáõîäèìî íàëîæèòü äâà óñëîâíèÿ. Íàïðèìåð, óñëîâèå δz(t1 ) = δz(t2 ) = 0, à ñëåäîâàòåëüíî êîíöû òðàåêòîðèè èêñèðîâàíû, ~z(t1 ) = ~x1 è ~z(t2 ) = ~x2 , íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Äèðèõëå. Âìåñòî ýòîãî
ìîæíî ïîòðåáîâàòü ~z˙ (t1 ) = ~z˙ (t2 ) = 0. Òàêîå óñëîâèå íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ͼéìàíà. Âîçìîæíû
è êîìáèíàöèè èç òàêèõ óñëîâèé íà ðàçíûõ êîíöàõ.

29

Èòàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû

S = α l12 ,

ãäå

α

 íåêîòîðûé

ïàðàìåòð, êîòîðûé ìû íàéäåì íèæå, à l12  äëèíà ìèðîâîé ëèíèè ìåæäó íà÷àëüíîé 1 è
êîíå÷íîé 2 ìèðîâûìè òî÷êàìè.
Âûâåäåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ äëèíû ìèðîâîé ëèíèè. Ïðèáëèçèì ìèðîâóþ ëèíèþ

~z (t)
q→ {~z (tq )} → {~zq } , q = 1, . . . , N. Äëèíà ýòîé ëîìàíîé ðàâíà
P
N
−1
˜l12 =
(zq+1 − zq )µ (zq+1 − zq )µ . Â ïðåäåëå N → ∞ è |zq+1 −zq | → 0 ðàññìàòðèâàåìàÿ
q=1
ëîìàíîé

ëîìàííàÿ ñòðåìèòñÿ ê ìèðîâîé ëèíèè, à ðàññìàòðèâàåìàÿ ñóììà ïðåâðàùàåòñÿ â èíòåãðàë
R2p
R2
l12 = 1 dz µ dzµ = 1 ds âäîëü ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû ìåæäó íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé
ìèðîâîé òî÷êîé. Ýòî áîëåå èëè ìåíåå î÷åâèäíûé îòâåò. Çàìå÷ó, ÷òî äëèíà ìèðîâîé ëèíèè
÷àñòèöû åñòü íè ÷òî èíîå êàê ñêîðîñòü ñâåòà óìíîæåííàÿ íà ñîáñòâåííîå âðåìÿ ïðîøåäøåå
â ÑÎ ñîïóòñòâóþùåé ýòîé ÷àñòèöå ìåæäó ìèðîâûìè òî÷êàìè 1 è 2.

Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû äîëæíî áûòü ðàâíî:

S [z µ (·)] = α

Z

2

ds = α

1

Z

2
1

p

dz µ dzµ = α

Z

t2

t1

p
dt ż µ żµ = α c

 íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå ñêîðîñòü ÷àñòèöû ìàëà

Z

t2

dt

t1

|~z˙ (t)| ≪ c, ∀t,

s

1−

~z˙ 2 (t)
.
c2

(27)

ïîýòîìó êâàäðàòíûé

êîðåíü â âûðàæåíèè äëÿ äåéñòâèÿ ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà:

S≈

Z

t2
t1

"

#
α ~z˙ 2 (t)
dt α c −
.
2c

Ïîñëåäíåå äåéñòâèå ñâîäèòñÿ ê âûøåóêàçàííîìó íåðåëÿòèâèñòñêîìó (ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, íå âëèÿþùåé íà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ), åñëè

α = −m c.

 ðåçóëüòàòå Ëàãðàíæèàí äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ðàâåí:

L (zµ , żµ ) = −m c2

s

1−

p
~z˙ 2 (t)
ż µ żµ .
=
−m
c
c2

(28)

Ïîä÷åðêíó, ÷òî èç-çà íàëè÷èÿ çíàêà ìèíóñ ïåðåä äåéñòâèåì, îíî ïðèíèìàåò ñâîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ òðàåêòîðèè ìàêñèìàëüíîé äëèíû  ïðÿìîé ëèíèè â ÏÂ. Äåéñòâè√
òåëüíî, èíòåðâàë ds =
c2 dt2 − d~x2 ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ ïîêîÿùåéñÿ
÷àñòèöû (èëè äâèãàþùåéñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, êàê ñëåäóåò èç ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè).
Âåðîÿòíî âàæíûì çàìå÷àíèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îáñóæäàåìîå äåéñòâèå (27) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïî êðàéíåé ìåðå åùå îäíîé ñèììåòðèè. À èìåííî, â êà÷åñòâå ïàðàìåòðèçàöèè ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû ìû ìîæåì âçÿòü ëþáîé äðóãîé ïàðàìåòð âìåñòî
êîîðäèíàòíîãî âðåìåíè

t (íàïðèìåð, ñîáñòâåííîå âðåìÿ èëè âðåìÿ â ëþáîé äðóãîé ñèñòåìå

îòñ÷åòà):

S = −mc

Z

1

2

p
dz µ dzµ = −mc

t2

t1

p
dt ż µ żµ = −mc

Z

f2

f1

df

s

dzµ dz µ
.
df df

(29)

t íà äðóãîé ïàðàìåòð f  ýòî òî, ÷òî äîëæíî áûòü
df (t)/dt > 0. Òî åñòü â íîâîé ïàðàìåòðèçàöèè ïîðÿäîê òî÷åê

Åäèíñòâåííîå òðåáîâàíèå íà çàìåíó
âåðíî ñëåäóþùåå óñëîâèå:

Z

30

âäîëü ìèðîâîé ëèíèè äîëæåí áûòü ñîõðàíåí: åñëè íåêîòîðàÿ òî÷êà áûëà ïîçæå äðóãîé â
îäíîé ïàðàìåòðèçàöèè, òî ýòî äîëæíî áûòü âåðíî è â íîâîé ïàðàìåòðèçàöèè.

p

Äàííîå òðåáîâàíèå íåîáõîäèìî äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå
df 2 ≡ |df | = df , êîòîðîå íåîáõîäèìî äëÿ êîððåêòíîãî èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ ïðè

ïåðåõîäå îò ïàðàìåòðà

t ê f . Îáñóæäàåìàÿ ñèììåòðèÿ

íàçûâàåòñÿ ðåïàðàìåòðèçàöèîííîé

èíâàðèàíòíîñòüþ. Êàê ñòàíåò ÿñíî èç ñëåäóþùèõ ëåêöèé, âñå ðåëÿòèâèñòñêèå äåéñòâèÿ
äëÿ ÷àñòèö, ñ êîòîðûìè ìû áóäåì ñòàëêèâàòüñÿ, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ýòîé ñèììåòðèè. Äåéñòâèòåëüíî, î÷åâèäíî, ÷òî çàêîíû äâèæåíèÿ ÷àñòèöû íå äîëæíû çàâèñåòü îò
òîãî, êàê ìû çàïàðàìåòðèçîâàëè åå ìèðîâóþ ëèíèþ. Îíè ìîãóò çàâèñåòü òîëüêî îò òîãî,
êàê îðìà òðàåêòîðèè îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâóþùèìè íà ÷àñòèöó ñèëàìè.

5.

Âûâåäåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû èç óñëîâèÿ
R t2
ìèíèìóìà äåéñòâèÿ. Ñäåëàåì ýòî äëÿ îáùåãî âèäà äåéñòâèÿ S =
dt L(zµ , żµ ) äëÿ ðåëÿt1
µ
òèâèñòñêîé ÷àñòèöû ñ ìèðîâîé ëèíèåé z (t), ãäå L(zµ , żµ )  îáùåãî âèäà óíêöèÿ Ëàãðàíæà.

µ
 ýòîì ñëó÷àå ìû âàðüèðóåì ìèðîâóþ ëèíèþ z (t), à íå òðàåêòîðèþ ~
z (t) ñ èêñèµ
µ
µ
µ
ðîâàííûìè êîíöåâûìè ìèðîâûìè òî÷êàìè z (t1 ) = x1 è z (t2 ) = x2 . Òîãäà, ðàçëàãàÿ
µ
Ëàãðàíæèàí äî ëèíåéíîãî ïîðÿäêà ïî δz (t), ïîëó÷àåì:

0 = δS =

Z

t2

t1

=
dt [L (zµ + δzµ , żµ + δ żµ ) − L (zµ , żµ )]
linear in δz

Z t2 
∂L
∂L
dt
=
δzµ +
δ żµ .
∂zµ ż=const
∂ żµ z=const
t1

(30)

Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì âòîðîé ÷ëåí â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè, ïîëó÷àåì:

∂L
δzµ
0 = δS =
∂ żµ

Z

t2

+

t2

t1

t1



∂L
d ∂L
dt
−
∂zµ dt ∂ żµ



δzµ
4

Ïåðâûé âêëàä ñ ïðàâîé ñòîðîíû ýòîãî âûðàæåíèÿ òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ , ò.ê.

δzµ (t2 ) = 0. Ïîýòîìó, ÷òîáû âñÿ ëèíåéíàÿ âàðèàöèÿ äåéñòâèÿ ðàâíÿëàñü
δzµ , íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óðàâíåíèå ËàãðàíæàÝéëåðà:

íóëþ ïðè ëþáîì

∂L
d ∂L
=
.
dt ∂ żµ
∂zµ
 íàøåì ñëó÷àå

L (zµ , żµ ) = −m c

p

ż µ żµ .

∂L
= 0,
∂zµ

δzµ (t1 ) =

(31)

Ïîýòîìó:

∂L
ż µ
= −m c √ ν ,
∂ żµ
ż żν

ò.ê. ïðîèçâîäíàÿ â ïåðâîì èç ýòèõ ðàâåíñòâ áåðåòñÿ ïî

zµ

ïðè ïîñòîÿííîì

żµ ,

êàê áûëî

óêàçàíî âûøå â îðìóëå (30).
4

ðàíè÷íûå (íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå) óñëîâèÿ, êîòîðûå òðåáóþò, ÷òîáû δzµ (t1,2 ) = 0 íàçûâàþòñÿ óñëî∂L
(t1,2 ) = 0þ Èëè æå êîìâèåìÿ Äèðèõëå. Â ïðèíöèïå, ìîæíî áûëî áû íàëîæèòü óñëîâèÿ Íåéìàíà  ∂z
µ
áèíàöèè òàêèõ óñëîâèÿõ â íà÷àëà è â êîíöå.
31

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû èìåþò
âèä:

d
dz µ
d ż µ
√ ν
√ ν
= −m c
= 0.
dt ż żν
dt dt ż żν
p
p
dt ż µ żµ = ds, è äåëÿ îáå åãî ñòîðîíû íà ż µ żµ ,
−m c

Âñïîìèíàÿ, ÷òî

ýòî óðàâíåíèå ìîæíî

ïåðåïèñàòü â ÿâíî Ëîðåíö èíâàðèàíòíîì âèäå:

d dz µ
≡ w µ = 0.
ds ds

(32)

Ò.å., êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ñâîáîäíàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñ íóëåâûì
4óñêîðåíèåì, ò.å. ñ ïîñòîÿííîé 4ñêîðîñòüþ. Èíûìè ñëîâàìè  âäîëü ïðÿìîé ëèíèè â
ÏÂ (ñ óãëîì íàêëîíà ê îñè

6.

Äåéñòâèå äëÿ

N

ct

ìåíüøèì 45 ãðàäóñîâ).

âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ÷àñòèö ìîæåò èìåòü, íàïðèìåð,

òàêîé âèä:

S=−
ãäå

ż 2 (t) ≡ ż µ (t)żµ (t)

è

N
X
q=1

mq c

Z

V [zq − zq′ ]

N
q
X
2
dt żq (t) +
q=1

N
X

q ′ =1,q ′ 6=q

Z

dt V [zq − zq′ ] ,

ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó

íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ïðèìåðîì

V

q -é

è

q ′ -é

÷àñòèöàìè. Â

ìîæåò áûòü ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Êóëîíà (èëè

Íüþòîíà):

V [~zq − ~zq′ ] =

eq eq′
.
|~zq − ~zq′ |

Ê áîëåå ïîäðîáíîìó îáñóæäåíèþ òîãî êàêèìè ìîãóò áûòü íà ñàìîì äåëå âçàèìîäåéñòâèÿ
ìû ïåðåéäåì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ. Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé â ýòîé ëåêöèè âàæíî
 µ

ëèøü òî, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå äåéñòâèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè òðàíñëÿöèÿõ, S
zq (t) + aµ =


S zqµ (t) , ò.å. ïðè ïåðåíîñå âñåé ñèñòåìû ÷àñòèö íà ïîñòîÿííûé 4âåêòîð aµ . ÎòðàæåPN ∂L
íèåì ýòîãî àêòà ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî
q=1 ∂zqµ = 0, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàçëàãàÿ
ðàâåíñòâî

L

 µ





zq (t) + aµ , żqµ (t) = L zqµ (t) , żqµ (t)

â ðÿä Òåéëîðà äî ëèíåéíîãî ïîðÿäêà ïî

aµ .

Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû ñâîáîäíûõ

÷àñòèö óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà èìåþò âèä:

d ∂L
∂L
.
µ =
dt ∂ żq
∂zqµ
P

 ñëó÷àå òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè, êîãäà
Ýéëåðà ìû ïîëó÷àåì:

q

∂L/∂zqµ = 0, èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà

N
N
X
d X ∂L
∂L
=
= 0.
∂zqµ
dt q=1 ∂ żqµ
q=1

32

Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå óñòàíàâëèâàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñóììàðíîãî 4èìïóëüñà ñèñòåìû
÷àñòèö, ò.ê. äëÿ êàæäîé îòäåëüíîé ÷àñòèöû 4èìïóëüñ ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí:

pµ = −

∂L
.
∂ ż µ

(33)

Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå ïðèâåäåííîãî âûøå Ëàãðàíæèàíà, ïîëó÷àåì:

√
dzµ
dzµ
żµ
∂ ż ν żν
= mc √ ν
= mc
= mc √ ν
= m c uµ .
pµ = m c
µ
∂ ż
ds
ż żν
dt ż żν

(34)

Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ êîìïîíåíò 4ñêîðîñòè, âûïèøåì êîìïîíåíòû êîâàðèàíòíîãî
4èìïóëüñà:





mc
m ~v 
pµ =  q
, q
.
2
2
1 − vc2
1 − vc2

 íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå
ðîñòü ñâåòà, ñâîäèòñÿ ê:

v≪c

(35)

íóëåâàÿ êîìïîíåíòà 4èìïóëüñà, óìíîæåííàÿ íà ñêî-

m c2
m v2
p0 c = q
+ ...
= m c2 +
2
2
1 − vc2

 ñóììå íåðåëÿòèâèñòñêîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè è ýíåðãèè ïîêîÿ

E 0 = m c2 .

Ò.å. íóëå-

âàÿ êîìïîíåíòà 4èìïóëüñà åñòü íè ÷òî èíîå, êàê ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
÷àñòèöû, äåëåííàÿ íà ñêîðîñòü ñâåòà:
òèâèñòñêîì ïðåäåëå ñâîäèòñÿ ê:

~p = q

E/c.

m ~v
1−

v2
c2

Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ÷àñòü 4èìïóëüñà â íåðåëÿ-

=

E ~v
= m ~v + . . . ,
c2

ò.å. ê îáû÷íîìó òðåõìåðíîìó íåðåëÿòèâèñòñêîìó èìïóëüñó.
Òàêèì îáðàçîì, èç òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè Ëàãðàíæèàíà ñëåäóåò çàêîí ñîµ
p), èëè ýíåðãèè è èìïóëüñà. Ýòî óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ
õðàíåíèÿ 4èìïóëüñà p = (E/c, ~
÷àñòíûì ñëó÷àåì áîëåå îáùåé òåîðåìû Íåòåð, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè äåéñòâèå äëÿ
êàêîéíèáóäü ñèñòåìû èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êàêîéòî ñèììåòðèè, èç ýòîãî ñëåäóåò
çàêîí ñîõðàíåíèÿ êàêîéòî âåëè÷èíû. Íàëè÷èå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñèëüíî óïðîùàåò ðåøåíèå äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé.  ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû âûâåäåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèèèìïóëüñà äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì.
Èç 4âåêòîðà èìïóëüñà ëåãêî ïîñòðîèòü Ëîðåíöåâñêèé èíâàðèàíò  åãî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ñàìîãî ñåáÿ (åãî íîðìó):

pµ pµ =

m2 c2
m2 v 2
−
= m2 c2 .
v2
v2
1 − c2
1 − c2
33

Ò.å. ìàññà ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíöåâñêèì èíâàðèàíòîì è íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå èç
îäíîé ÑÎ â äðóãóþ. Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ìåíÿåòñÿ ïðè ñìåíå ÑÎ êàê íóëåâàÿ êîìïîíåíòà 4èìïóëüñà.
 êîìïîíåíòàõ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî èìååò çíàêîìûé âàì âèä:

E2
− ~p2 = m2 c2
c2

(36)

7.

àññìîòðèì îòîí  áåçìàññîâóþ ÷àñòèöó. Åå 4èìïóëüñ óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåµ
2 2
íèþ pµ p = m c = 0. Äëÿ áåçìàññîâîé ÷àñòèöû îáû÷íî èñïîëüçóþò âîëíîâîé 4âåêòîð

kµ ,

pµ = ~ kµ, ãäå ~  ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà. Ïðè ýòîì
µ
k), ãäå ω  ÷àñòîòà îòîíà,
èìåþò âèä: k = (ω/c, ~

âìåñòî èìïóëüñà

íîâîãî 4âåêòîðà

êîìïîíåíòû âîëà

~k

 ïðîñòðàí-

ñòâåííàÿ ÷àñòü âîëíîâîãî 4âåêòîðà.  ÷àñòíîñòè, ïðè ýòîì ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ýíåðãèÿ
îòîíà ðàâíà E = ~ ω . Èòàê, äëÿ îòîíà âîëíîâîé 4âåêòîð óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ
k µ kµ = k02 − ~k 2 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, |~k| = k 0 = ω/c.
v îòíîñèÒåïåðü ðàññìîòðèì èñòî÷íèê ñâåòà, äâèãàþùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ~
òåëüíî íàøåé ÑÎ.  ÑÎ èñòî÷íèêà èñïóñêàåòñÿ îòîí ñ âîëíîâûì âåêòîðîì
âåòñòâóþùåé ÷àñòîòîé

ω0 .

Êàêîâà áóäåò ÷àñòîòà îòîíà

ω = |~k|

~k0

è ñîîò-

â íàøåé ÑÎ? Èñïîëüçóÿ

îðìóëû äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âîëíîâîãî 4-âåêòîðà ïðè Ëîðåíöåâñêîì áóñòå, ïîëó÷àåì:

~

çäåñü

θ

ω
θ
ω
− (~v,ck)
− v ω cos
ω0
2
c
= cq c
,
= q
c
v2
v2
1 − c2
1 − c2

 óãîë (â íàøåé ÑÎ) ìåæäó íàïðàâëåíèåì èñïóñêàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîë-

íû è íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà. Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò îðìóëà äëÿ
èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû ñâåòà îò äâèãàþùåãîñÿ èñòî÷íèêà:

ω = ω0

q

1−

1−

v
c

v2
c2

(37)

cos θ

 ýåêò Äîïëåðà.

8. Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ÷òîáû îòâåòèòü íà ñëåäóþùèé âîïðîñ:

Ìîæåò ëè ñâîáîäíî äâèãàþùàÿñÿ ÷àñòèöà ñ èìïóëüñîì
èìïóëüñîì

~q

è ìàññîé

m

p~

è ìàññîé

è ïðîäîëæèòü äâèãàòüñÿ ñ èìïóëüñîì

~k ,

M

èçëó÷èòü ÷àñòèöó ñ

ñëåäóþùåì èç çàêîíà

ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà?

pµ = qµ + kµ â êâàäðàò: pµ pµ = (q + k)µ (q + k)µ .
µ
µ
2 2
µ
2 2
âîñïîëüçîâàâøèñü pµ p = kµ k = M c è qµ q = m c , ïîëó÷àåì:


Ek Eq ~
2 2
µ
2 2
0 = m c + 2 qµ k = m c + 2
− k ~q .
c2

Âîçâåäåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ 4èìïóëüñà
àñêðûâàÿ ñêîáêè è

Âîñïîëüçîâàâøèñü

p~ =

Ep
c2

~vp ,

âûâîäèì:

Ek Eq
0=m c +2 2
c
2 2

34



~vk ~vq
1− 2
c



.

Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî íå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî, ò.ê. ïðàâàÿ ñòîðîíà ñòðîãî áîëüøå íóëÿ
äàæå, åñëè

m = 0, ò.å. äàæå åñëè èçëó÷àåìàÿ ÷àñòèöà ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, îòîíîì. Òàêèì

îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ íå âîçìîæåí. Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ,
çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà (ñêàæåì ýëåêòðîí) ìîæåò èçëó÷àòü ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû (îòîíû), òîëüêî åñëè äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì, ò.å. íå ñâîáîäíî, à ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû,
ñîâåðøåíèå ðàáîòû êîòîðîé è íåîáõîäèìî äëÿ ðîæäåíèÿ îòîíîâ.

9.

Ìàññà îòîíà ðàâíà íóëþ. À ÷åìó ðàâíà ìàññà äâóõ îòîíîâ? Êàçàëîñü áû òîæå

íóëþ, íî íå âñå òàê ïðîñòî. ×òîáû ïîíÿòü, ÷òî ïðîèñõîäèò, ðàññìîòðèì äâà îòîíà äâè~1 è ~p2 . Òîãäà 4-èìïóëüñû ýòèõ îòîíîâ ðàâíû pµ1 = (|~p1 | , p~1 )
ãàþùèõñÿ ñ èìïóëüñàìè p
µ
è p2 = (|~
p2 | , ~p2 ), òàê êàê (pµ1 )2 ≡ ηµν pµ1 pν1 = 0 è p22 = 0. Íàéäåì êâàäðàò ñóììàðíîãî
4-èìïóëüñà ýòèõ äâóõ îòîíîâ:

(pµ1 + pµ2 )2 = p21 + p22 + 2 p1 · p2 = 2 |~p1 | |~p2 | [1 − cos (θ12 )] ,

ãäå

θ12

θ12  ýòî óãîë ìåæäó ~p1 è p~2 . Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà íå ðàâíà íóëþ, åñëè
6= 0. Îíà íàçûâàåòñÿ ýåêòèâíîé ìàññîé è èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ðåëÿòèâèñòñêîé

êèíåìàòèêå. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü ýåêòèâíóþ ìàññó ïðîèçâîëüíîãî
íàáîðà èç ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö.

Âîïðîñû è çàäà÷è
•

Âåðíåìñÿ îïÿòü ê ñòàíäàðòíîìó â ÑÒÎ ìûñëåííîìó ýêñïåðèìåíòó, êîòîðûé ìû îáñóæàëè íà ïåðâîé ëåêöèè: Ñòàíöèîííûé ñìîòðèòåëü âèäèò ïðîõîäÿùèé ìèìî íåãî
ñ ïîñòîÿííîé ðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòüþ âàãîí. Ïîñåðåäèíå âàãîíà ñòîèò ïàññàæèð.
Êîãäà ïàññàæèð ðàâíÿåòñÿ ñî ñìîòðèòåëåì, îí îäíîâðåìåííî áðîñàåò â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ äâà êàìíÿ ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè. Âìåñòî êàìíåé ìîãóò
áûòü òå æå ëó÷è ñâåòà, íî äëÿ íàãëÿäíîñòè ìû ïðåäïî÷èòàåì îáñóæäàòü êàìíè.
È â ÈÑÎ ïàññàæèðà è â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ áðîñàíèå êàìíåé îäíîâðåìåííî. Â ÈÑÎ
ïàññàæèðà îáà êàìíÿ îäíîâðåìåííî îòðàæàþòñÿ îò ñòåíîê âàãîíà è îäíîâðåìåííî
âîçâðàùàþòñÿ ê ïàññàæèðó.
Îäíàêî â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ êàìåíü, áðîøåííûé ïî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ âàãîíà,
äîñòèãíåò åãî ïåðåäíåé ñòåíêè ïîçæå, ÷åì êàìåíü, áðîøåííûé ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ
äâèæåíèÿ âàãîíà, äîñòèãíåò åãî çàäíåé ñòåíêè. Ýòî î÷åâèäíî, ò.ê. ñêîðîñòè ñáëèæåíèÿ ñòåíîê è êàìíåé ðàçíûå. Îäíàêî îòðàæåííûå êàìíè âåðíóòñÿ ê ïàññàæèðó
îäíîâðåìåííî òàê æå è â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ. Äåéñòâèòåëüíî ïîñëå îòðàæåíèÿ êàìíåé
îò ñòåíîê èõ ñêîðîñòè ñáëèæåíèÿ ñ ïàññàæèðîì áóäóò ðàçíûå, íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì.
Òàêèì îáðàçîì, ìîìåíòû îòðàæåíèÿ êàìíåé îò ñòåíîê âàãîíà, áóäó÷è îäíîâðåìåííûìè â ÈÑÎ ïàññàæèðà, íå ÿâëÿþòñÿ òàêîâûìè â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ. Íî òîãäà ìû èìååì
ñëåäóþùåå êàæóùååñÿ ïðîòèâîðå÷èå. À èìåííî, â ÈÑÎ ïàññàæèðà ïåðåäà÷à èìïóëüñà îò êàìíåé âàãîíó ïðîèñõîäèò îäíîâðåìåííî. Ïîýòîìó âàãîí äâèæåòñÿ ìîíîòîííî
 ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Íî â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ïåðåäà÷à èìïóëüñà íå áóäåò îäíîâðåìåííîé. Ïîýòîìó âàãîí íèêàê íå ìîæåò äâèãàòüñÿ ìîíîòîííî. Îáúÿñíèòå ýòî
êàæóùååñÿ ïðîòèâîðå÷èå.

•

Íàéäèòå êîìïîíåíòû 4âåêòîðà óñêîðåíèÿ. ×åìó ðàâåí êâàäðàò 4óñêîðåíèÿ?
35

•

Íàéäèòå óñëîâèå íà ýêñòðåìóì äëÿ óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ (26).

•

Ïîäóìàéòå, êàê äîëæíî âûãëÿäåòü äåéñòâèå äëÿ áåçìàññîâîé,

•

Âîîðóæèâøèñü ïðèîáðåòåííûìè íà äàííûé ìîìåíò çíàíèÿìè, ïîïðîáóéòå îáúÿñíèòü

m = 0,

÷àñòèöû? Íà-

ïðèìåð, äëÿ îòîíà.

ïàðàäîêñ áëèçíåöîâ, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü îäèí èç áðàòüåâ áëèçíåöîâ, ñêàæåì, Âàíÿ ïîëåòåë íà áëèæàéøóþ çâåçäó è âåðíóëñÿ îáðàòíî íà çåìëþ,
ãäå âñå âðåìÿ îñòàâàëñÿ äðóãîé áëèçíåö,  ñêàæåì, Âàñÿ. Êàêîé èç áðàòüåâ îêàæåòñÿ ñòàðøå/ìëàäøå, åñëè ñ îäíîé ñòîðîíû â ÑÎ Âàñè äâèãàëñÿ Âàíÿ è ïðîèñõîäèëî
ñîêðàùåíèå åãî ñîáñòâåííîãî âðåìåíè, à ñ äðóãîé ñòîðîíû â ÑÎ Âàíè äâèãàëñÿ Âàñÿ
è íàîáîðîò äîëæíî áûëî ñîêðàùàòüñÿ åãî ñîñòâåííîå âðåìÿ.

•

Ïîäóìàéòå, êàêèì äîëæíî áûòü äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ñòðóíû  íå òî÷å÷íîãî, à ïðîòÿæåííîãî îáúåêòà. Ýòî î÷åíü ñëîæíûé âîïðîñ äëÿ ÷åëîâåêà, âïåðâûå
ñòîëêíóâøåãîñÿ ñ òåíçîðíûì àíàëèçîì è äèåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèåé.

•
•

Êàê áóäóò âûãëÿäåòü óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà è íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå óñëîâèÿ
â ñëó÷àå, êîãäà Ëàãðàíæèàí çàâèñèò îò óñêîðåíèÿ:
Âîçìîæåí ëè îáñóæäàåìûé â ñåêöèè

8

S=

ïðîöåññ, åñëè è

ïðè êàêèõ óñëîâíèÿõ?

36

R

dt L(z, ż, z̈)?

M =0

è

m = 0?

Åñëè äà, òî

Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, êàëèáðîâî÷íûå èëè ãðàäèåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, äåéñòâèå è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû â ïîëå, òåíçîð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ëåêöèÿ IV;

1. Íà ïðîøëîé ëåêöèè

ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé

÷àñòèöû. Òåïåðü ìû õîòèì ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî
âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì (ÝÌ) ïîëå. Ìû îæèäàåì, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò
èìåòü âèä

m c wµ = Fµ ,

ãäå

wµ

 4-óñêîðåíèå, à

Fµ

 íåêòîðûé 4âåêòîð ñèëû, ò.å. 4

ìåðíîå îáîáùåíèå îáû÷íîé ñèëû â ìåõàíèêå Íüþòîíà. Ìû îæèäàåì, ÷òî 4ñèëà áóäåò
çàâèñåòü îò âíåøíåãî ÝÌ ïîëÿ è, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò çàâèñåòü îò õàðàêòåðèñòèê ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû.
Òàêîå óðàâíåíè äâèæåíèÿ äëÿ ÷àñòèöû äîëæíî ïîëó÷àòüñÿ èç äåéñòâèÿ, èìåþùåãî âèä
R2
S = −m c 1 ds+∆S , ãäå ∆S  ýòî äîïîëíèòåëüíûé âêëàä çà ñ÷åò íàëè÷èÿ âíåøíåãî ïîëÿ.
Èìåííî ýòîò âêëàä ïðèâîäèò ê íàëè÷èþ 4 ñèëû íà ïðàâîé ñòîðîíå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.

∆S

 äîëæíî áûòü Ëîðåíöñêàëÿðîì è çàâèñåòü îò âíåøíåãî ÝÌ ïîëÿ è îò ìèðîâîé

ëèíèè ÷àñòèöû.
×òîáû ïîñòðîèòü òàêîå äåéñòâèå, ñëåäóåò ïîíÿòü, â êàêèõ òåðìèíàõ ïðàâèëüíî îïèñûâàòü ÝÌ ïîëÿ. Äëÿ ýòîãî îáðàòèìñÿ ê óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà, îïèñûâàþùèì äèíàìèêó
ýòèõ ïîëåé, êîòîðûå, ïî òðàäèöèè, ñëåäóþò èç ëîãè÷åñêè íåïðîòèâîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ
ñëåäóþùèõ îïûòíûõ àêòîâ:

•

Çàêîí Êóëîíà óòâåðæäàåò, ÷òî ñèëà, ñ êîòîðîé îäèí çàðÿä

e2 ,

e1

äåéñòâóåò íà äðóãîé

ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíàì ýòèõ çàðÿäîâ è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó

ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè

~:
|R|

e1 e2 ~
~
f~1→2 =
3 R = −f2→1 .
~
R
 ýòîé îðìóëå ÿ ïîëîæèë ïîñòîÿííóþ Êóëîíà ðàâíîé åäèíèöå, ïåðåîïðåäåëèâ âåëè÷èíû çàðÿäîâ. Ýòà îðìà çàïèñè çàêîíà Êóëîíà íå îòðàæàåò êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè
ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó çàðÿäàìè: èç íåå ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñìåñòèòü
çàðÿä

e1

â íîâîå ïîëîæåíèå, òî çàðÿä

e2

ìãíîâåííî ýòî ïî÷óâñòâóåò.

Ïðàâèëüíûé âçãëÿä íà âåùè ñëåäóåò èç ïîíèìàíèÿ òîãî àêòà, ÷òî ìåæäó çàðÿäàìè

~1 =
åñòü ïîñðåäíèê  ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Ò.÷. ñêàæåì ïåðâûé çàðÿä ñîçäàåò ïîëå E
e1 ~
~
~
3 R, êîòîðîå äåéñòâóåò íà âòîðîé çàðÿä ïî çàêîíó f1→2 = e2 E1 . Èëè íàîáîðîò 
|R~ |

âòîðîé çàðÿä ñîçäàåò ïîëå, êîòîðîå äåéñòâóåò íà ïåðâûé çàðÿä.

Òåïåðü ñìåùåíèå çàðÿäà â íîâîå ïîëîæåíèå áóäåò ïðèâîäèòü ê âîçìóùåíèþ ïîëÿ,
êîòîðîå áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, â ñîîòâåòñòâèè ñ åãî äèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, äî äðóãîãî çàðÿäà. Ñèòóàöèÿ î÷åíü ïîõîæà íà òîò ïðîöåññ,
êîòîðûé ÿ îïèñûâàë â ïåðâîé ëåêöèè. Òàêèì îáðàçîì, êàçàëîñü áû òàâòîëîãè÷åñêàÿ
çàìåíà ïðèâîäèò ê êîíöåïòóàëüíî íîâîìó ïîíèìàíèþ ñèòóàöèè.

•

Çàêîí ÁèîÑàâàðà ãëàñèò, ÷òî ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ýëåìåíò òîêà
ñòîðîíû ýëåìåíòà òîêà

d~l1

ñèëû

J1 ,

ðàâíà
37

d~l2

ñèëû

J2

ñî

ii
J1 J2 h ~ h ~
~
d
l
×
d
l
×
R
= −df~2→1 ,
2
1
3
~
c2 R

df~1→2 =
~
R

ãäå

ðàäèóñâåêòîð îò

d~l1

ê

d~l2 .

Àíàëîãè÷íî çàêîíó Êóëîíà, êîíöåïòóàëüíî áîëåå ïðàâèëüíûé âçãëÿä íà ýòîò çàêîí
ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåíèÿ î òîì, ÷òî ýëåìåíò òîêà

~1 =
dB



d~l1

ñîçäàåò ìàãíèòíîå ïîëå



~ 
J1  ~
R
dl1 ×
3,
c
~
R

êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, äåéñòâóåò íà âòîðîé ýëåìåíò òîêà ñ ñèëîé:

i
J2 h ~
~1 .
d l2 × d B
c

df~1→2 =

Èëè æå íàîáîðîò  ïîëå ñîçäàåò âòîðîé ýëåìåíò òîêà, à îíî óæå äåéñòâóåò íà ïåðâûé
ýëåìåíò òîêà.

•

Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè ãëàñèò, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îò íåñêîëüêèõ çàðÿäîâ åñòü
ñóììà ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé îò êàæäîãî èç íèõ ïî îòäåëüíîñòè. Àíàëîãè÷íî ìàãíèòíîå ïîëå îò íåñêîëüêèõ òîêîâ åñòü ñóììà ìàãíèòíûõ ïîëåé îò êàæäîãî èç íèõ ïî
îòäåëüíîñòè.

•

Çàêîí

S

àóññà ãëàñèò, ÷òî ïîòîê ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü

íå çàâèñèò îò åå îðìû, à ïðîñòî ðàâåí ïîëíîìó çàðÿäó

Q

âíóòðè îáëàñòè

VS

îãðàíè÷åííîé ýòîé ïîâåðõíîñòüþ:

1
4π
Çàðÿä

Q,

ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê

ZZ

~ d~s = Q.
E
RRR
Q=
ρd3 V ,
VS
S

ìåíÿÿ òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî àóññà, ïîëó÷àåì:

RRR

~ d3 V .
divE
VS

ãäå

RR

S

ρ  ïëîòíîñòü çàðÿäà. Ïðè
RRR 
~
~
~
E d~s =
∇, E d3 V =

Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê:

ZZZ

VS



~ − 4 π ρ d3 V = 0.
divE

Ò.ê. ïîñëåäíåå óðàâíåíèå âåðíî äëÿ ëþáîé 3ìåðíîé îáëàñòè
ïîëíÿòüñÿ òîëüêî, åñëè

~ = 4 π ρ.
divE

È ìû ïîëó÷àåì îäíî èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.

•

VS

 ïðèðîäå íåò ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ:

ZZ

~ d~s = 0
B
S

38

VS ,

òî îíî ìîæåò âû-

S

äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè

â ïðîñòðàíñòâå. Àíàëîãè÷íî ðàññìîòðåííîìó

âûøå ñëó÷àþ, èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî

~ =0
divB
 åùå îäíî èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.

•

Çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ ãëàñèò, ÷òî ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà (èëè

C ïðîïîðöèîíàëüíà èçìåíåíèþ ïîòîêà
SC , íàòÿíóòóþ íà êîíòóð C :

öèðêóëÿöèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ) ïî êîíòóðó
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÷åðåç ëþáóþ ïîâåðõíîñòü

I

~ d~l = − 1 d
E
c dt
C

ZZ

~ d~s.
B
SC

Ïðåîáðàçóÿ ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî òåîðåìå Ñòîêñà, ïîëó÷àåì:

ZZ

SC

~
~ + 1 ∂B
rotE
c ∂t

!

d~s = 0.

Ò.ê. ýòî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîé ïîâåðõíîñòè

SC , òî äîëæíî

áûòü âåðíî, ÷òî:

~+
rotE

~
1 ∂B
=0
c ∂t

 î÷åðåäíîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà.

•

È íàêîíåö èç ýêñïåðèìåíòà ñëåäóåò, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî çàìêíóòîìó

C ïðîïîðöèîíàëüíà ñóììå ñèëû òîêà, ïðîòåêàþùåé ÷åðåç ëþáóþ ïëîùàäêó
SC , íàòÿíóòóþ íà êîíòóð C , è ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ïîòîêà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç

êîíòóðó

òó æå ïëîùàäêó:

I
ãäå

~j

~ d~l = 4 π
B
c
C

ZZ

~j d~s + 1 d
c dt
SC

ZZ

~ d~s,
E

SC

 ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé Ñòîêñà ñ ëåâîé

ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì:

~ =
rotB

~
4 π ~ 1 ∂E
j+
c
c ∂t

 ïîñëåäíåå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.

2. Äâà èç ïðèâåäåííûõ

âûøå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà

~ = 4πρ
divE
~
~ = 4 π ~j + 1 ∂ E
rotB
c
c ∂t
39

(38)

íàçûâàþòñÿ

âòîðîé ïàðîé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà

è îïðåäåëÿþò òî, êàê âûãëÿäÿò ÝÌ ïî-

ëÿ, ñîçäàâàåìûå òîé èëè èíîé êîíèãóðàöèåé òîêîâ è çàðÿäîâ. Ìû áóäåì ïîäðîáíî îáñóæäàòü ýòè óðàâíåíèÿ â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
Ñåé÷àñ æå ìû îáðàòèìñÿ ê äðóãîé 

ïåðâîé

ïàðå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:

~ =0
divB
~
~ = − 1 ∂B .
rotE
c ∂t

(39)

Ýòè óðàâíåíèÿ íå çàâèñÿò îò âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ  çàðÿäîâ è òîêîâ. Ò.å. îíè ïðîñòî îïðåäåëÿþò òî êàê ÝÌ ïîëÿ ñâÿçàííû ìåæäó ñîáîé. Ïîýòîìó ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî íàéäåòñÿ
òàêîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ÝÌ ïîëåé, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ áóäóò âûïîëíÿòüñÿ
òîæäåñòâåííî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè

~ = rotA
~
B

(40)

~ ~x), òî ïåðâîå èç ðàññìàòðèâàåìûõ
A(t,
div rot ≡ 0. Ïðè ýòîì âòîðîå èç ðàññìàò-

äëÿ ëþáîãî äèåðåíöèðóåìîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ
çäåñü óðàâíåíèé âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, ò.ê.
ðèâàåìûõ óðàâíåíèé ïðèíèìàåò âèä:

~
~ + 1 ∂A
rot E
c ∂t

!

= 0.

Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè:

~
~ + 1 ∂ A = −gradϕ =⇒
E
c ∂t
~
~ = − 1 ∂ A − gradϕ
E
c ∂t
äëÿ ëþáîãî äèåðåíöèðóåìîãî ïîëÿ

(41)

~ íàçûâàþòñÿ ÝÌ
ϕ(t, ~x), ò.ê. rot grad ≡ 0. Ïîëÿ ϕ è A

ïîòåíöèàëàìè. Èõ âèä, ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé, èêñèðóåòñÿ âòîðîé
ïàðîé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, êàê ìû óâèäèì íà ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
Çàìå÷ó, ÷òî, åñëè ñäåëàòü çàìåíó

~′ = A
~ + gradα
A
1 ∂α
ϕ′ = ϕ −
c ∂t

(42)

~ èB
~ ïî íîâûì
äëÿ ëþáîé äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè α(t, ~
x), òî ïîñòðîåííûå ÝÌ ïîëÿ E
~ ′ è ϕ′ íå áóäóò îòëè÷àòüñÿ îò ÝÌ ïîëåé, ïîñòðîåííûõ ïî ñòàðûì ïîòåíöèàïîòåíöèàëàì A
ëàì

~ è ϕ. Ýòî î÷åíü âàæíîå ñâîéñòâî ïðåäñòàâëåíèÿ ÝÌ ïîëåé ÷åðåç ïîòåíöèàëû íàçûâàA

åòñÿ êàëèáðîâî÷íîé èëè ãðàäèåíòíîé èíâàðèàíòíîñòüþ. Îíà ëåæèò â îñíîâå ñîâðåìåííûõ
ïðåäñòàâëåíèé î óíäàìåíòàëüíûõ ñâîéñòâàõ ïðèðîäû. Â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû óâèäèì
âàæíûå ñëåäñòâèÿ, âûòåêàþùèå èç ýòîé èíâàðèàíòíîñòè.
40

~ ìîæíî âûðàçèòü ñ òî÷íîñòüþ äî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
B
~ . Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ, åñëè îáúåäèíèòü ïî(42), ÷åðåç ïîòåíöèàëû ϕ è A
µ
~
~ (òîãäà Aµ = (ϕ, −A)
~ ), òî óðàâíåíèÿ
òåíöèàëû ϕ è A â îäíî 4âåêòîðíîå ïîëå A ≡ (ϕ, A)
Èòàê, ÝÌ ïîëÿ

~
E

è

Ìàêñâåëëà ïðèîáðåòàþò ÿâíî Ëîðåíö êîâàðèàíòíûé âèä. Ò.å., íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî Ìàêñâåëë íè÷åãî íå çíàë î ÑÒÎ, îí íàïèñàë óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ðåëÿòèâèñòñêè èíâàðèàíòíû.
È ýòî íå ñëó÷àéíî, ò.ê. óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â òîì ÷èñëå îïèñûâàþò ýëåêòðîìàãíèòíûå

âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòüþ.
µ
x) íàçûâàåòñÿ 4âåêòîð ïîòåíöèàëîì ÝÌ ïîëÿ. ßñíî, ÷òî íàçûâàÿ ýòó âåÏîëå A (t, ~
ëè÷èíó 4âåêòîðîì, ìû ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî ïðè çàìåíå îäíîé ÈÑÎ íà äðóãóþ (ïðè ïðå0
~ ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå êîìîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà) ïîòåíöèàëû A ≡ ϕ è A
µ
ïîíåíòû 4âåêòîðà, ò.å. òàê æå êàê è êîìïîíåíòû, ñêàæåì, x .
′
Äëÿ 4âåêòîð ïîòåíöèàëà êàëèáðîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèíèìàþò âèä: Aµ = Aµ −
∂µ α.

3.

Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ, ïðè âûâîäå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èç ïðèí-

öèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ èìåííî 4âåêòîð ïîòåíöèàë

Aµ ,

à íå ÝÌ ïîëÿ

~
E

è

~,
B

èãðàåò

ðîëü îáîáùåííîé êîîðäèíàòû â òåîðèè ÝÌ ïîëåé. Ïîýòîìó íàøà çàäà÷à, ïîñòàâëåííàÿ â
íà÷àëå ýòîé ëåêöèè, ñâîäèòñÿ ê ïðàâèëüíîìó îïèñàíèþ âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû èìåííî ñ 4âåêòîð ïîòåíöèàëîì.
×òîáû ïîëó÷èòü âûøåóêàçàííûé äîïîëíèòåëüíûé âêëàä

∆S

â äåéñòâèå, ìû äîëæíû

ïîñòðîèòü ðåëÿòèâèñòñêèé èíâàðèàíò èç ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû
öèàëà

Aµ (x).

zµ (t)

è 4âåêòîð ïîòåí-

Ïðîñòåéøèé ðåëÿòèâèñòñêèé èíâàðèàíò, êîòîðûé ìîæíî ïîñòðîèòü èç ýòèõ

âåëè÷èí, èìååò ñëåäóþùèé âèä:

Z

2
µ

Aµ [z] dz =

1

Z

2

1

dz µ
Aµ [z(s)]
ds =
ds

ãäå èíòåãðàë âçÿò âäîëü ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû.

Z

2

Aµ [z(s)] uµ ds,
1

Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå äåéñòâèå äëÿ çàðÿæåííîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì
ïîëå äîëæíî âûãëÿäåòü êàê:

S = −m c

Z

ds + κ

Z

2

Aµ [z(s)] uµ ds,

1

ãäå κ  ýòî íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ïîä÷åðêíó, ÷òî ïðè êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè
A′µ = Aµ − ∂µ α ðàññìàòðèâàåìîå çäåñü äåéñòâèå ñäâèãàåòñÿ íà êîíñòàíòó, ò.ê.

Z

1

ãäå

α(1)

è

α(2)

2

A′µ

µ

dz =

Z

2

1

µ

(Aµ − ∂µ α) dz =

 çíà÷åíèÿ óíêöèè

α(t, ~x)

Z

2
1

Aµ dz µ − α(2) − α(1),

â íà÷àëüíîé è â êîíå÷íîé ìèðîâûõ òî÷êàõ

ìèðîâîé ëèíèè, ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìîå íàìè äåéñòâèå äîëæíî
ïðèâåñòè ê êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, ò.ê. ïðè ñäâèãå äåéñòâèÿ
íà êîíñòàíòó, ïîëîæåíèå åãî ìèíèìóìà íå ìåíÿåòñÿ, à ïîòîìó íå ìåíÿþòñÿ è óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ.

R2

Aµ [z(s)] uµ ds èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî
1
óïîìÿíóòûõ â ïðåäûäóùåé ëåêöèè ðåïàðàìåòðèçàöèé ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî êîìïîíåíòà äåéñòâèÿ
Íèæå ìû óâèäèì, ÷òî åñëè

κ = −e/c,

ãäå

e

 ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÷àñòèöû, òî ðàñ-

ñìàòðèâàåìîå äåéñòâèå ïðàâèëüíî âîñïðîèçâîäèò ñèëó Ëîðåíöà  ýêñïåðèìåíòàëüíî íà-

41

áëþäàåìóþ âåëè÷èíó. Èòàê, åñëè ïîäñòàâèòü

z µ (t) = (c t, ~z(t)), òî äåéñòâèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ

â îðìå:

Z



e
µ
S=−
m c + Aµ [z(s)] u ds =
c
1
s


Z t2
˙~z2 (t)
e ~
−m c2 1 −
[t, ~z (t)] ~z˙ (t) dt.
− e ϕ [t, ~z (t)] + A
=
2
c
c
t1
2

(43)

Çäåñü äëÿ ïîëíîòû ÿ âûïèñàë ÿâíî âñå àðãóìåíòû âñåõ óíêöèé â ïîäèíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè. Äàëåå ÿ, êàê ïðàâèëî, ýòîãî äåëàòü íå áóäó.
 ðåçóëüòàòå Ëàãðàíæèàí ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå ðàâåí:

s

L = −m c2

4.

1−

~z˙ 2
e  ~ ˙
A, ~z
−
e
ϕ
+
c2
c

(44)

Èòàê, ìû õîòèì âûâåñòè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì

ïîëå èç ìèíèìóìà äåéñòâèÿ:

S=−

Z

t2

t1



√
e
dt m c ż 2 + Aµ (z) ż µ ,
c

ãäå äëÿ êðàòêîñòè ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
Ýéëåðà äëÿ Ëàãðàíæèàíà îáùåãî âèäà

ż 2 ≡ żµ ż µ . Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ËàãðàíæàL(zµ , żµ ), êîòîðîå ìû âûâåëè íà ïðîøëîé ëåêöèè.

 íàøåì ñëó÷àå:

d ∂L
dt ∂ ż µ

z


∂L
e
= − ∂µ Aν [z(t)] ż ν
∂z µ ż
c


d
żµ
e
=
−m c √ − Aµ [z(t)] .
dt
ż 2 c

∂Aν
. Çàìå÷àÿ, ÷òî ïî ïðàâèëó äèåðåíöèðî∂z µ
âàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ:
 ïåðâîé îðìóëå ìû îáîçíà÷èëè

∂µ Aν ≡

d
∂Aµ dz ν
Aµ [z(t)] =
,
dt
∂z ν dt
ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå ËàãðàíæàÝéëåðà:

e
d żµ
e
√ − (∂ν Aµ ) ż ν ,
− (∂µ Aν ) ż ν = −m c
c
dt ż 2 c
êîòîðîå ýëåìåíòàðíî ïðåîáðàçóåòñÿ â:

mc

d dzµ
e
dz ν
√ = (∂µ Aν − ∂ν Aµ )
.
dt dt ż 2
c
dt

42

√
Fµν = √
∂µ Aν − ∂ν Aµ = −Fνµ , âñïîìèíàÿ, ÷òî dt ż 2 = ds è ðàçäåëèâ îáå
÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà
ż 2 , ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû

Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå

âî âíåøíåì ÝÌ ïîëå:

mc

e
duµ
= Fµν uν .
ds
c

(45)

Òåïåðü âèäíî, ÷òî ïîëó÷åííîå íàìè óðàâíåíèå ÿâíî Ëîðåíö êîâàðèàòíî, òî åñòü óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè. À òàêæå ýòî óðàâíåíèå è ÿâíî êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíî: êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, òåíçîð

Fµν

èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ

ïðåîáðàçîâàíèé.

5. Ââåäåííûé íàìè àíòèñèììåòðè÷íûé

Fµν = −Fνµ

ïðè ïåðåñòàíîâêå èíäåêñîâ 4ìåðíûé 2-òåíçîð

íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ÝÌ ïîëÿ. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò òåíçîð íå ìåíÿåòñÿ ïðè
A′µ = Aµ − ∂µ α. Äåéñòâèòåëüíî:

êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè

′
Fµν
≡ ∂µ A′ν − ∂ν A′µ = ∂µ (Aν − ∂ν α) − ∂ν (Aµ − ∂µ α) =
= ∂µ Aν − ∂ν Aµ − (∂µ ∂ν − ∂ν ∂µ ) α = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ≡ Fµν .
Ïîýòîìó åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî êîìïîíåíòû ýòîãî òåíçîðà äîëæíû âûðàæàòüñÿ ÷åðåç
ÝÌ ïîëÿ

~
E

è

~.
B

Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó àíòèñèììåòðèè òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ èìååì, ÷òî åãî

äèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû ðàâíû íóëþ:

ò.ê.

F00 = −F00

è ò.ä.. Äàëåå,

F00 = F11 = F22 = F33 = 0,
~ , òî
ò.ê. Aµ = (ϕ, −A)

F0i = −Fi0 = −∂0 Ai − ∂i A0 = −
ãäå

Ei

 òðè êîìïîíåíòû âåêòîðà

~.
E

∂Ai
− ∂i ϕ = Ei ,
c∂t

i = 1, 2, 3,

È íàêîíåö:

F12 = −F21 = −∂1 A2 + ∂2 A1 = −

∂Ay ∂Ax
+
= − (rot A)3 = −B3 .
∂x
∂y

F13 = −F31 = B2 è F23 = −F32 = −B1 . Èñïîëüçóÿ 3
àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ǫijk , êîòîðûé ìû ââåëè íà âòîðîé ëåêöèè,

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ìåðíûé àáñîëþòíî

ïîñëåäíèå òðè ðàâåíñòâà ìîæíî ïåðåïèñàòü â óäîáíîé îðìå:

1
Fij = −ǫijk Bk ⇒ Bk = − ǫkij Fij .
2
Òàêèì îáðàçîì, òåíçîð ÝÌ ïîëÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå êâàäðàòíîé


0 −E1 −E2 −E3
 E1
0
−B3 B2 

||F µν || = 
 E2 B3
0
−B1 
E3 −B2 B1
0


43

4×4

ìàòðèöû âèäà:

(46)

6. àçîáðàâ êîìïîíåíòû òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ, çàïèøåì ïîêîìïîíåíòíî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå. Íóëåâàÿ êîìïîíåíòà óðàâíåíèÿ (45) èìååò
âèä:

mc

e
dzi
du0
= F 0i
.
dt
c
dt

×òîáû ïîëó÷èòü ýòî óðàâíåíèå, ìû ïîäíÿëè èíäåêñû â óðàâíåíèè (45), âñïîìíèëè, ÷òî
F 00 = 0 è óìíîæèëè ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè óðàâíåíèÿ (45) íà ds/dt, òåì ñàìûì çàìåíèâ
duµ /ds íà duµ /dt, à uν = dzν /ds íà dzν /dt. Òåïåðü, ò.ê. m c u0 = p0 = Ekin /c  êèíåòè÷åñêàÿ
0i
ýíåðãèÿ ÷àñòèöû äåëåííàÿ íà ñêîðîñòü ñâåòà, F
= −Ei è dzi /dt = −vi , ìû ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå:



dEkin
~ ~v ,
= e E,
dt

(47)

êîòîðîå óòâåðæäàåò, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ðàñòåò çà ñ÷åò ðàáîòû, ñîâåðøàåìîé ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì

~.
E

Ïðîñòðàíñòâåííûå êîìïîíåíòû ðàññìàòðèâàåìîãî 4ìåðíîãî óðàâíåíèÿ èìåþò âèä:

e
dzν
e
dui
= F iν
≡
mc
dt
c
dt
c



i0 dz0
ij dzj
F
.
+F
dt
dt

m c ui = pi , dz0 /dt = c è âûðàæàÿ êîìïîíåíòû
ÝÌ ïîëåé Bi è Ei , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:

Âñïîìèíàÿ, ÷òî
êîìïîíåíòû

òåíçîðà

F 0i

è

F ij

÷åðåç

dpi
e
= e Ei + ǫijk vj Bk ,
dt
c
êîòîðîå â âåêòîðíîé îðìå èìååò âèä:

i
d~p
e h
~
~
~v × B
= eE +
dt
c

(48)

è óòâåðæäàåò, ÷òî 3ìåðíûé èìïóëüñ ÷àñòèöû ìåíÿåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû Ëîðåíöà.
Ïîä÷åðêíó, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå ïðèñóòñòâóåò â ñèëå Ëîðåíöà, íî íå ñîâåðøàåò ðàáîòó ïî
óâåëè÷åíèþ ýíåðãèè ÷àñòèöû, ò.ê. ñîçäàåò ñèëó ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ñêîðîñòè ÷àñòèöû.

7.

Íàéäåì òåïåðü èìïóëüñ, ñëåäóþùèé èç Ëàãðàíæèàíà äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû

âî âíåøíåì ÝÌ ïîëå:

Pµ ≡ −

e
dzµ
dzµ e
e
e
∂L
√
+
=
m
c
A
=
m
c
+
A
=
m
c
u
+
A
=
p
+
Aµ .
µ
µ
µ
µ
µ
∂ ż µ
ds
c
c
c
dt ż 2 c

(49)

Ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì 4èìïóëüñîì â îòëè÷èè îò êèíåìàòè÷åñêîãî
4èìïóëüñà 

pµ ≡ m c u µ .

àññìîòðèì êîìïîíåíòû îáîáùåííîãî 4èìïóëüñà:

e ~
P~ = ~p + A
c
 îáîáùåííûé 3ìåðíûé èìïóëüñ. Äàëåå:
44

P0 = q

mc
1−

v2
c2

+

e
ϕ.
c

Ò.å. ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå åñëü ñóììà êèíåòè÷åñêîé
è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé:

Èíûìè ñëîâàìè

H = Ekin + e ϕ.

ϕ

èãðàåò ðîëü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â ÝÌ ïîëå.
~ è H − e ϕ óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ:
Èç îïðåäåëåíèÿ p
~ è Ekin ñëåäóåò, ÷òî P~ − ec A



Ñëåäîâàòåëüíî óíêöèÿ

H − eϕ
c

2

e ~ 2
~
=m c + P− A .
c
2 2

àìèëüòîíà (èëè



àìèëüòîíèàí) äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû

ðàâíà:

H=

r


e ~ 2
+ eϕ
m2 c4 + c2 P~ − A
c

 íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå, êîãäà
ñâîäÿòñÿ ê:

v ≪ c,

H ≈ m c2 +

(50)

àìèëüòîíèàí è Ëàãðàíæèàí äëÿ ÷àñòèöû


2
e ~
~
P −cA

+ e ϕ,
2m
m v2 e  ~ 
A, ~v − e ϕ.
+
L≈
2
c

Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîëó÷åíî èç (44), ãäå

(51)

~v = ~z˙ .

Äàëåå, ò.ê. ýíåðãèÿ îïðåäåëåíà ñ òî÷2
íîñòüþ äî êîíñòàíòû, òî â ïåðâîé îðìóëå ìîæíî îòáðîñèòü ýíåðãèþ ïîêîÿ m c .

8.

 êà÷åñòâå ïîÿñíÿþùåãî óïðàæíåíèÿ/çàìå÷àíèÿ îáñóäèì âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèöû

ñî ñêàëÿðíûì ïîëåì

φ.

Ïðîñòåéøåå äåéñòâèå, êîòîðîå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîá-

ðàçîâàíèé Ëîðåíöà è ðåïàðàìåòðèçàöèé è, ïðè ýòîì, îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèè ÷àñòèöû
ñ âíåøíèì ñêàëÿðíûì ïîëåì, èìååò ñëåäóþùèé âèä:

S=−
ãäå

Z

1

2

n
o
mc + q φ [z(s)] ds,

(52)

q  êîíñòàíòà, îïðåäåëÿþùàÿ ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöû ñ îáñóæäàåìûì ïîëåì, òî

åñòü çàðÿä ÷àñòèöû ïî ïîëþ. Ôàêòè÷åñêè íàëè÷èå âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöû ñî ñêàëÿðíûì
ïîëåì ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ýåêòèâíî åå ìàññà ñòàíîâèòñÿ çàâèñÿùåé îò ïîëîæåíèÿ:
M = m + qc φ(x).
Ïðè âàðèàöèè ýòîãî äåéñòâèÿ ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:

(mc + q φ) z̈µ = q (∂µ φ − ∂ν φ ż ν żµ )
45

(53)

Çäåñü òî÷êà íàä

zµ

îçíà÷àåò äèåðåíöèðîâàíèå ïî ñîáñòâåííîìó âðåìåíè.

Âèäíî, ÷òî ìåðó èíåðöèè ñ ëåâîé ñòîðîíû ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåò âåëè÷èíà

M.

Ñ

ïðàâîé ñòîðîíû óðàâíåíèÿ ìû èìååì äâà âêëàäà â 4-ñèëó. Ïåðâûé âêëàä ïîêàçûâàåò, ÷òî
ïîëîæèòåëüíûé 4-ãðàäèåò ïîëÿ ðàçãîíÿåò, à îòðèöàòåëüíûé  çàìåäëÿåò ðàññìàòðèâàåìóþ ÷àñòèöó. Âòîðîé âêëàä ìîæíî íàçâàòü "ñèëîé Öèîëêîâñêîãî". Äåéñòâèòåëüíî èççà
òîãî, ÷òî ìàññà ÷àñòèöû ìåíÿåòñÿ (ìîæåò óìåíüøàòüñÿ èëè óâåëè÷èâàòüñÿ â çàâèñèìîñòè
îò çíàêà ãðàäèåíòà ïîëÿ âäîëü 4-ñêîðîñòè), ìû ïîëó÷àåì "ðåàêòèâíûé"âêëàä â ñèëó.
µ
Âîñïîëüçîâàâøèòü òåì, ÷òî żµ = uµ è uµ u = 1, ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü îáñóæäàåìîå
óðàâíåíèå äâèæåíèå ÷àñòèöû â ñëåäóþùåì âèäå:

(mc + q φ) wµ = q (uν ∂µ φ − ∂ν φ uµ ) uν

(54)

Òî åñòü è äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ìîæíî ââåñòè íå÷òî àíàëîãè÷íîå òåíçîðó ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:

Φµν ≡ uν ∂µ φ − ∂ν φ uµ .

Òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå îí çàâèñèò îò 4-ñêîðîñòè ÷àñòèöû.

Âîïðîñû è çàäà÷è
•

Ïîäóìàéòå êàêîé âèä äîëæíî èìåòü äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû, îïèñûâàþùåå åå âçàèìîäåéñòâèå ñî ñêàëÿðíûì ïîëåì

φ(t, ~x), à íå ñ âåêòîðíûì ïîëåì Aµ (t, ~x)?

Ïðåäëîæèòå äðóãèå, ìåíåå ïðîñòûå, âàðèàíòû äåéñòâèé, êîòîðûå èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà è ðåïàðàìåòðèçàöèé.

•

Ïîëó÷èòå óðàâíåíèå (53) èç äåéñòâèÿ (52).

•

Íàéäèòå íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèé (52) è (53).

46

Èíâàðèàíòû ïîëÿ, äâèæåíèå ÷àñòèöû âî âíåøíèõ
ïîñòîÿííûõ, îäíîðîäíûõ è íåîäíîðîäíûõ ïîëÿõ, äðåé ÷àñòèö.

Ëåêöèÿ V;

~
1. Íàéäåì, êàê èçìåíÿþòñÿ ÝÌ ïîëÿ E

è

~
B

ïðè áóñòàõ Ëîðåíöà. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ýòè

âåëè÷èíû ïðåîáðàçóþòñÿ êàê 3âåêòîðû ïðè âðàùåíèÿõ â ïðîñòðàíñòâå, ïðè Ëîðåíöåâñêèõ áóñòàõ â Ï îíè íå ïðåîáðàçóþòñÿ êàê 3ìåðíûå êîìïîíåíòû êàêèõòî 4âåêòîðîâ.
Íàïîìíþ, ÷òî

~
E

~
B

è

ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòàìè 4ìåðíîãî 2òåíçîðà

Fµν .

Ýòî è îïðåäåëÿåò

òî, êàê ýòè ïîëÿ ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè Ëîðåíöåâñêèõ áóñòàõ. À èìåííî:

′
Fµν
= Λαµ Fαβ ΛT


β
ν

,

Λ̂  ìàòðèöà áóñòà Ëîðåíöà, êîòîðàÿ íàì çíàêîìà èç ïðåäûäóùèõ ëåêöèé. Ïîäñòàâëÿÿ
µ
ÿâíî â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ Fµν è Λα , ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé çàêîí
ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé ïðè áóñòå Ëîðåíöà (â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x):

ãäå

Ex′ = Ex ,
Ey′ = γ (Ey − β Bz ) ,
Ez′ = γ (Ez + β By ) ,
Bx′ = Bx ,
By′ = γ (By + β Ez ) ,
Bz′ = γ (Bz − β Ey ) .
ηµν , δµν

Âèäíî, ÷òî â îòëè÷èå îò òåíçîðîâ
ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.
Íàïîìíþ, ÷òî ÝÌ ïîòåíöèàëû

~ .
A = (ϕ, A)

è

ǫµναβ

òåíçîð

(55)

Fµν

íå èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî

~ ïðåîáðàçóþòñÿ, èìåííî êàê êîìïîíåíòû 4âåêòîðà
ϕèA

µ

2. Ïîñòðîèì èç òåíçîðà Fµν

íûé èíâàðèàíò

Fµµ

Ëîðåíöåâñêèå èíâàðèàíòû ÝÌ ïîëÿ. Ïðîñòåéøèé î÷åâèä-

òðèâèàëåí, ò.ê. ðàâåí íóëþ.

Ïðîâåðüòå ýòî.

Ñëåäóþùèé èíâàðèàíò

èìååò òàêîé âèä:

I1 = Fµν F µν ≡ Fµν Fαβ η µα η νβ .
Î÷åâèäíî ýòà âåëè÷èíà íå çàâèñèò îò ÑÎ (ò.å. èíâàðèàíòíà), ò.ê. âñå èíäåêñû ó íåå ñâåðíóòû ïðàâèëüíûì îáðàçîì.
àñïèøåì ýòîò èíâàðèàíò ÷åðåç

Fµν F

µν

= F0i F

0i

i0

+ Fi0 F + Fij F

Òàêèì îáðàçîì:

ij

~
E

è

~:
B





2
2
~
~
~
~
= 2E −E + (−ǫijk Bk ) (−ǫijl Bl ) = −2 E − B .



~2 − B
~2
I1 = Fµν F µν = −2 E

 ïåðâûé èíâàðèàíò ÝÌ ïîëÿ.

47

(56)

Ñ èñïîëüçîâàíèåì 4ìåðíîãî àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà

ǫµναβ

ìîæíî ïî-

ñòðîèòü âòîðîé èíâàðèàíò ÝÌ ïîëÿ:

I2 =

1
ǫµναβ F µν F αβ ≡ F µν Feµν .
2

 ýòîé îðìóëå ìû ââåëè îïðåäåëåíèå äóàëüíîãî òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ:

Çàìåòèì, ÷òî:

1
Feµν ≡ ǫµναβ F αβ ,
2
Fe0i = Bi ,

1
ǫµναβ Fe αβ .
2

Feij = −ǫijk Ek .

àñïèøåì, òåïåðü, âòîðîé èíâàðèàíò ÷åðåç

ò.ê.

Fµν ≡

~
E

è

(57)

(58)

~:
B



µν
0ijk
ij0k
0ijk
e
~
~
Fµν F = F0i ǫ
Fjk + Fij ǫ
F0k = 2F0i ǫ
Fjk = 2Ei ǫijk (−ǫjkl Bl ) = −4 E, B ,
ǫ0ijk = ǫijk = ǫijk .

Òàêèì îáðàçîì:



~ B
~ .
I2 = Fµν Fe µν = −4 E,

(59)

Fµν : I3 = Feµν Feµν . Íî
eµν Feµν = −2 I1 .
èíâàðèàíò: F

Êàçàëîñü áû ìîæíî ïîñòðîèòü åùå îäèí èíâàðèàíò êâàäðàòè÷íûé ïî
ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà âåëè÷èíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïåðâûé

3. Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü ïðèîáðåòåííûìè çíàíèÿìè, ÷òîáû îïðåäåëèòü, êàê áóäåò äâè-

ãàòüñÿ ÷àñòèöà â çàäàííûõ ÝÌ ïîëÿõ. Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîñòîÿííûõ è îäíî-

~ èB
~ (ò.å. íå çàâèñÿùèõ íè îò âðåìåíè, íè îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò),
E
~ ⊥B
~.
E
êîòîðûå ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó, 

~
~
 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå I2 ≡ −4 E, B = 0 è îïèñàíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû çàâèñèò


~2 − B
~ 2 > 0, òî |B|
~ > |E|
~ . Ïîêàæåì, ÷òî
îò òîãî, êàêîâî çíà÷åíèå I1 . Åñëè I1 ≡ −2 E
~ ′ = 0. Âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå êîîðäèíàòíóþ
â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî âûáðàòü ÈÑÎ, ãäå E
~ èB
~ èìåëè âèä:
ñåòêó òàê, ÷òîáû E

ðîäíûõ ïîëåé

~ = (0, E, 0),
E
 ðåçóëüòàòå áóñòà âäîëü îñè

x

~ = (0, 0, B),
B

B > E.

ïîëÿ ïåðåõîäÿò â:

Ex′ = Ex = 0,
Ey′ = γ (Ey − β Bz ) = γ (E − β B) ,
Ez′ = γ (Ez + β By ) = 0,
Bx′ = Bx = 0,
By′ = γ (By + β Ez ) = 0,
Bz′ = γ (Bz − β Ey ) = γ (B − β E) .
48

(60)

Òåïåðü âèäíî, ÷òî åñëè âûáðàòü

β = E/B < 1,

òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ðàâíî íóëþ

~ ′ = 0,
E

à ìîäóëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïåðâûé èíâàðèàíò ïîëÿ

Bz′

=γ



E
B− E
B



1

=q
1−



E 2
B



E2
B−
B



=

√

B 2 − E 2.

Ò.å. â íîâîé ÈÑÎ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê äâèæåíèþ ÷àñòèöû â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ïðè
íóëåâîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå.
Îòáðîñèâ â íîâîé ÈÑÎ øòðèõè ó ïîëåé, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû:

dEkin
= 0,
dt
Ò.ê.

p~ = Ekin ~v /c2 ,

òî:

Åñëè ìàãíèòíîå ïîëå íàïðàâëåíî

i
d~p
e h
~ .
~v × B
=
dt
c

i
e h
Ekin ˙
~
~v × B .
~v =
c2
c
âäîëü îñè z , òî â êîìïîíåíòàõ

ïîñëåäíåå óðàâíåíèå âû-

ãëÿäèò êàê:

v̇x = ω vy ,
ãäå

ω = e c B/Ekin

v̇y = −ω vx ,

v̇z = 0,

 ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå ÷àñòîòû Ëàðìîðà 

äâà óðàâíåíèÿ â ïëîñêîñòè

xy

e B/m c.

Ïîëó÷åííûå

ìîæíî çàïèñàòü êàê îäíî êîìïëåêñíîå óðàâíåíèå:

d
(vx + i vy ) = −i ω (vx + i vy ) ,
dt
ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä:

vx + i vy = v⊥ e−i (ω t+α) ,
ãäå

v⊥

è

α

 ìîäóëü ñêîðîñòè â ïëîñêîñòè

xy ,

ïåðïåíäèêóëÿðíîé ìàãíèòíîìó ïîëþ, è

íà÷àëüíàÿ àçà, ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, ëåãêî ïîëó÷èòü ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ
Re è Im ÷àñòåé ýòîé îðìóëû, ò.å. äëÿ êîìïîíåíò ñêîðîñòè. Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïîëó÷åííûå
çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ñêîðîñòè, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ òðàåêòîðèè ÷àñòèöû:

x(t) = x0 + R sin (ω t + α) ,

y(t) = y0 + R cos (ω t + α) ,

z(t) = z0 + v|| t.

R = v⊥ /ω = v⊥ Ekin /e c B , v||  êîìïîíåíòà ñêîðîñòè ÷àñòèöû âäîëü
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à (x0 , y0 , z0 )  íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ÷àñòèöû. Òàêèì îáðàçîì, â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ñïèðàëè ðàäèóñà R. Åñëè ïåðåéòè â èñõîäíóþ

 ýòèõ óðàâíåíèÿõ

ÈÑÎ, ãäå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íå ðàâíî
h íóëþ,iòî ìû ïîëó÷èì, ÷òî âåäóùèé öåíòð îðáèòû

áóäåò äðåéîâàòü ñî ñêîðîñòüþ

~ ×B
~ c/B 2
~vdr = E

ïåðïåíäèêóëÿðíîé

~
E

è

~.
B

(Ñìîòðèòå

ðàññóæäåíèÿ ïîñëå îðìóëû (60).) Êîíå÷íî æå ïðè ýòîì ñëåäóåò àêêóðàòíî ïðåîáðàçîâàòü
âñå âåêòîðû ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ.

Ïîä÷åðêíó, ÷òî ÷àñòèöà, ñîâåðøàþùàÿ óñêîðåííîå (â íàøåì ñëó÷àå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå), èçëó÷àåò ÝÌ âîëíû, êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ. Íî ïðè ðåøåíèè âûøåóêàçàííîé çàäà÷è ìû ïðåíåáðåãëè ýòèì àêòîì. Ìû âîîáùå ïðåíåáðåãëè ïîëÿìè, ñîçäàâåìûìè ñàìîé ÷àñòèöåé, ñ÷èòàÿ èõ íàìíîãî ìåíüøèìè, ÷åì âíåøíèå

~
E

è

~ . È âîîáùå, äëÿ
B

âñåîáùíîñòè ñëåäóåò îñîçíàâàòü, ÷òî â ýòîé ëåêöèè ìû âåçäå äåëàåì òàêîå ïðåíåáðåæåíèå.
49

~ > |B|
~ . Â ýòîì
4. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà I2 = 0, à I1 < 0, ò.å. |E|

ñëó÷àå ìîæíî âûáðàòü òàêóþ ÈÑÎ, ãäå

~ ′ = 0, à ìîäóëü ýëåêòðè÷åñêîãî
B

ïîëÿ âûðàæàåòñÿ

÷åðåç âåëè÷èíó ïåðâîãî èíâàðèàíòà. Ò.å. çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó òðàåêòîðèè ÷àñòèöû âî
âíåøíåì ïîñòîÿííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Âûáåðåì êîîðäèíàòíóþ ñåòêó â ïðîñòðàíñòâå
òàê, ÷òîáû äâèæåíèå ïðîèñõîäèëî â ïëîñêîñè

xy .

Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû

áóäóò èìåòü âèä:

ṗx = e E,
ãäå

Ekin

ṗy = 0,

dEkin
= e E vx ,
dt

 íóëåâàÿ êîìïîíåíòà êèíåìàòè÷åñêîãî 4èìïóëüñà.

åøàÿ ïåðâûå äâà èç âûïèñàííûõ óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì:

px = e E t,
ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì èìïóëüñå âäîëü îñè

py = p0

x. Òîãäà èç ñâîéñòâ êèíåìàòè÷åñêîãî 4èìïóëüñà

ïîëó÷àåì:

Ekin =
ãäå

E0

q
q
p
m2 c4 + p~2 c2 = m2 c4 + c2 p20 + (c e E t)2 = E02 + (c e E t)2 ,

 ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
îïðåäåëåíèþ ðàâíà ~
v = ~p c2 /Ekin, òî

t = 0.

Ò.ê. ñêîðîñòü ÷àñòèöû ïî

p x c2
c2 e E t
dx
=
=p 2
.
dt
Ekin
E0 + (c e E t)2

vx = dx/dt âñåãäà ìåíüøå, ÷åì
ñêîðîñòü ñâåòà êàê äîëãî áû ìû íå óñêîðÿëè åå. Äåéñòâèòåëüíî dx/dt ≈ c òîëüêî àññèìïòîòè÷åñêè ïðè t → ∞  áåñêîíå÷íî äîëãîì óñêîðåíèè. Ïðè ýòîì, åñëè p0 ≪ m c, â ñàìîì
íà÷àëå ïðîöåññà óñêîðåíèÿ, êîãäà e E t ≪ m c, êâàäðàòíûé êîðåíü â çíàìåíàòåëå îðìóëû
äëÿ vx ìîæíî ðàçëîæèòü. Òîãäà ìû ïîëó÷àåì îðìóëó äëÿ îáû÷íîãî íåðåëÿòèâèñòñêîãî
eE t
óñêîðåíèÿ vx =
.
m
Èíòåãðèðóÿ âûðàæåíèå äëÿ vx (t) ïî t, ïîëó÷àåì:
p
E02 + (c e E t)2
E0
x(t) =
−
eE
eE
ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè x(t). Äëÿ y(t) èìååì:
Çàìå÷ó, ÷òî èç ýòîé îðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü ÷àñòèöû

Èíòåãðèðóÿ ïî

t,

ïîëó÷àåì:

dy
p y c2
p 0 c2
=
=p 2
.
dt
Ekin
E0 + (c e E t)2
p0 c
arcsh
y(t) =
eE

Ñëó÷àé êîãäà

I2 = I1 = 0 ìîæíî íàéòè



ceEt
E0



.

â çàäà÷àõ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïàðàãðààì â êíèãå

Ëàíäàó è Ëèøèöà.

~
B

5.

Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîñòîÿííûõ è îäíîðîäíûõ ñêðåùåííûõ ÝÌ ïîëåé

~
E

è

ïðîèçâîëüíîé îðèåíòàöèè, ò.å. íå îáÿçàòåëüíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äðóã äðóãó. Áóäåì

50

v(t) ≪ c, ∀t. Òîãäà p~ ≈ m ~v .
~ èB
~ , ñîâïàäàåò ñ
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç E

ðåøàòü ýòó çàäà÷ó â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå, ò.å. êîãäà
Ïóñòü ïîëå

yz .

~
B

íàïðàâëåíî âäîëü îñè

z,

à ïëîñêîñòü,

Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû

~+
m ~v˙ = e E
çàïèøóòñÿ â âèäå

i
e h
~
~v × B
c

e
ẏ B,
c
e
m ÿ = e Ey − ẋ B,
c
m z̈ = e Ez .
m ẍ =

e Ez t2
+ v0z t  îáû÷íîå ðàâíîóñêîðåííîå
2m
äâèæåíèå. Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ â ýòîé ñèñòåìå ìîæíî çàïèñàòü êàê îäíî êîìïëåêñíîå:
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ î÷åâèäíî ñëåäóåò

z(t) =

d
e
(ẋ + i ẏ) + i ω (ẋ + i ẏ) = i Ey ,
dt
m
ãäå

ω = e B/m c

 ÷àñòîòà Ëàðìîðà. åøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ åñòü ñóììà îáùåãî
a e−i ω t , ñ àìïëèòóäîé a ñëåäóþùåé èç íà÷àëüíûõ óñëî-

ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

âèé, è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.  êà÷åñòâå ïîñëåäíåãî ìû âûáåðåì

(ẋ + i ẏ)par = e Ey /m ω = c Ey /B .

Ò.å. îáùåå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî êîìïëåêñíîãî

óðàâíåíèÿ åñòü:

ẋ + i ẏ = a e−i ω t +
Âûáåðåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ òàêèìè, ÷òîáû

ẋ = a cos ω t +

a

c Ey
,
B

c Ey
.
B

áûëà äåéñòâèòåëüíîé. Òîãäà:

ẏ = −a sin ω t.

Ïîëó÷åííûå êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ÷àñòèöû ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè óíêöèÿìè. Èõ
ñðåäíèå ïî âðåìåíè çíà÷åíèÿ ðàâíû:

ẋ =

c Ey
,
B

ẏ = 0,

è îïðåäåëÿþò ñðåäíþþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ çàðÿäà â ñêðåùåííûõ ÝÌ ïîëÿõ  ñêîðîñòü
ýëåêòðè÷åñêîãî äðåéà. Åå íàïðàâëåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî îáîèì ïîëÿì è íå çàâèñèò îò
çíàêà çàðÿäà. Â âåêòîðíîì âèäå åå ìîæíî çàïèñàòü êàê

h
i
~ ×B
~ /B 2 .
~vdr = c E

Âñå òðè ðàññìîòðåííûå â ýòîé ëåêöèè çàäà÷è áîëåå ïîäðîáíî îáñóæäàþòñÿ â êíèãå
Ëàíäàó è Ëèøèöà.

6. àññìîòðèì òåïåðü äâèæåíèå ÷àñòèöû â ñëàáîíåîäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì

ïîëå. Ò.å. â òàêîì ïîëå, êîòîðîå íå ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè, à õàðàêòåðíîå ðàññòîÿíèå
êîòîðîì ïîëå

B

L,

íà

ìåíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâåííûì îáðàçîì, íàìíîãî áîëüøå, ÷åì

õàðàêòåðíûé ðàäèóñ âðàùåíèÿ ÷àñòèöû, êîòîðûé áûë áû, åñëè íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ
ìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü:

51

L≫
ãäå

ω = c e B/E ,

à

u⊥

u⊥
,
ω

 ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ÷àñòèöû â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé

~,
B

â

ïèáëèæåíèè, êîãäà íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.

~
~ + ~r⊥ (t), ãäå R(t)
~r(t) = R(t)
 ðàäèóñâåêòîð
óíêöèÿ), à ~
r⊥ (t)  ðàäèóñ âðàùåíèÿ âîêðóã

Ïðåäñòàâèì ðàäèóñâåêòîð ÷àñòèöû êàê
âåäóùåãî öåíòðà (ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ

âåäóùåãî öåíòðà (áûñòðî ìåíÿþùàÿñÿ âåëè÷èíà). À èìåííî, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî â ïðèáëèæå-

~r(t) = ~r⊥ (t), ò.å. â ýòîì ïðèáëèæåíèè
~u⊥ = ~r˙⊥ è íåò äâèæåíèÿ âäîëü ïîëÿ.

íèè êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ,
ïðîèñõîäèò òîëüêî áûñòðîå âðàùåíèå ñî ñêîðîñòüþ

 ïðîèçâîëüíîì íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû èìååò
âèä:

àçëîæèì ìàãíèòíîå


i
d~p
e h
~ R
~ + ~r⊥ .
~v × B
=
dt
c
ïîëå â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì ~
r⊥ :




~ R
~ + ~r⊥ = B
~ (R) + ~r⊥ , ∇
~ B(R).
~
B

Ìû áóäåì ðàáîòàòü â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî íåîäíîðîäíîñòè. Òîãäà

i
h


i
d~p
e h
~ (R) + e ~v × ~r⊥ , ∇
~ B(R)
~
~v × B
.
=
dt
c
c
àçëîæèì ñêîðîñòü íà
ýòîì

~,
~v|| || B

à

~
~v⊥ ⊥ B

~v = ~u⊥ + ~v|| + ~v⊥ ,

ãäå êàê è âûøå

~u⊥ = ~r˙⊥ ,

à

~˙ = ~v|| + ~v⊥ .
R

Ïðè

 ñêîðîñòè äðåéà âåäóùåãî öåíòðà âäîëü ïîëÿ è â íàïðàâëåíèè

ïåðïåíäèêóëÿðíîì åìó, ñîîòâåòñòâåííî. Êàê ìû äîãîâîðèëèñü âûøå,

~u⊥

è

~r⊥

îïèñûâà-

þò äâèæåíèå ÷àñòèöû â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè, ò.å. êîãäà íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü:

i
d~u⊥
e h
~
mγ
~u⊥ × B(R) .
=
dt
c

 ïîñëåäíåé îðìóëå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì àêòîì, ÷òî â ìàãíèòíîì ïîëå

γ = const.

Òàêèì îáðàçîì, âîñïîëüçîâàâøèñü ïîñëåäíèì óðàâíåíèåì è ðàçëîæåíèåì ñêîðîñòè íà
ñîñòàâëÿþùèå, ìû ïîëó÷àåì:

i
h
 i

e h


d
~ + e ~u⊥ + ~v|| + ~v⊥ × ~r⊥ , ∇
~ B
~ ,
~v|| + ~v⊥ =
~v⊥ × B
dt
c
c
~ = 0.
èñïîëüçîâàí òîò àêò, ÷òî [~
v|| × B]
mγ

ãäå òàêæå

×òîáû íàéòè ñêîðîñòü äðåéà, óäîáíî óñðåäíèòü ïî áûñòðîìó âðàùåíèþ ïî ìàëåíüêèì êðóãîâûì îðáèòàì, îïðåäåëÿåìûì áîëüøîé ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëÿ
ìû õîòèì óñðåäíèòü óíêöèè îò
Ëèíåéíûå ïî

~r⊥

~r⊥ (t)

~.
B

Ò.å.

ïî ïåðèîäó âðàùåíèÿ ñ Ëàðìîðîâñêîé ÷àñòîòîé.

÷ëåíû ïðè óñðåäíåíèè äàþò íîëü. Ïîýòîìó ìû ïîëó÷àåì:




 i
i eh
d ~v|| + ~v⊥
e h
˙
~
~ .
~
mγ
~v⊥ × B + ~r⊥ × ~r⊥ , ∇ B
=
dt
c
c

52

Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå íà

2
(r⊥ )i (r⊥ )j = 12 ~r⊥
δij ,

~r⊥

è

h
i
~r˙⊥ , ~r˙⊥ = ω ~r⊥ × ~h ,

ãäå

~h = B/B
~ ,

5

à òàê æå òîò àêò, ÷òî

ïîëó÷àåì:

mγ

i 


e h
d
~ + ~µ, ∇
~ B,
~
~v|| + ~v⊥ =
~v⊥ × B
dt
c

(61)

2

ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèå

p
~µ = −~h 2 m⊥γ B .

Ýòà âåëè÷èíà, êàê ìû óâèäèì èç ñëåäóþùèõ

ëåêöèé, èìååò ñìûñë ìàãíèòíîãî ìîìåíòà, à

p ⊥ = m u ⊥ γ , E = m c2 γ .

Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ïðîâåäåííîãî óñðåäíåíèÿ ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (61), êîòîðîå
îïðåäåëÿåò ìåäëåííîå äâèæåíèå âåäóùåãî öåíòðà. Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò ýåêòèâíîå äâèæåíèå ÷àñòèöû, êîòîðàÿ òåïåðü ïîìèìî çàðÿäà èìååò åùå è ìàãíèòíûé ìîìåíò.
Ïîñëåäíèé ïîÿâèëñÿ èççà áûñòðîãî âðàùåíèÿ èñõîäíîé ÷àñòèöû âîêðóã âåäóùåãî öåíòðà.
 ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðàâàÿ ñòîðîíà (61) èìååò ïîðÿäîê âåëèv⊥ ω ∼ v⊥ ur⊥⊥ . Ïðè ýòîì õàðàêòåðíîå âðåìÿ èçìåíåíèÿ v⊥ , îïðåäåëÿþùåå ïîðÿäîê
âåëè÷èíû dv⊥ /dt, åñòü

÷èíû

τ∼

dv⊥
u⊥
v⊥
v⊥
v⊥ r⊥
v⊥
L
⇒
≪ v⊥
= v⊥ ω.
∼
∼ v⊥
∼ v⊥
≪ v⊥
v⊥
dt
τ
L
r⊥ L
r⊥
r⊥

d~v⊥ /dt.
~v|| = v|| ~h. Ïîýòîìó

Ïîýòîìó ìû ïðåíåáðåæåì â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (61) âåëè÷èíîé
Òåïåðü ðàññìîòðèì

Ïðîèçâîäíàÿ ó

~v˙ || .

Òàê êàê

~v||

íàïðàâëåíî âäîëü

~h,

òî

d~v||
d~h ~
d  ~  ~ dv||
˙
v|| h = h
=
+ v||
= h v̇|| + v|| ~h.
dt
dt
dt
dt
~
h ïîÿâëÿåòñÿ, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ~h = B/B
âåëè÷èíû ~

è

~
B

íå çàâèñèò îò

âðåìåíè, ïîòîìó ÷òî ìû áåðåì ýòîò âåêòîð â òî÷êå òðàåêòîðèè ÷àñòèöû, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ
âäîëü ñèëîâîé ëèíèè ïîëÿ

~.
B

Ò.å.



~
~h˙ = ∂ h Ṙi ≈ v|| ~h, ∇
~ ~h,
∂Ri

Ṙi = v|| hi è ïðåíåáðåãëè äîáàâî÷íîé ñêîðîñòüþ ~v⊥ . Ïîäóìàéòå, ïî÷åìó ìû ìîæåì ýòî ñäåëàòü.


~ ~h. åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðèñóòñòâóþùåé çäåñü
Òàêèì îáðàçîì, ~
v˙ || = ~h v̇|| + v||2 ~h, ∇


~
~
âåëè÷èíû h, ∇ ~
h ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòåí, åñëè ðàññìîòðåòü áåñêîíå÷íî ìàëûé ñäâèã âäîëü
ñèëîâîé ëèíèè íà dl :


~h(~r0 + ~h dl) = ~h(r0 ) + ~h, ∇
~ ~h dl.
ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ðàâåíñòâî

Ýòà âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåíåíèå åäèíè÷íîãî âåêòîðà ñêîðîñòè

~h = ~v|| /v||

ïðè

ñäâèãå âäîëü òðàåêòîðèè, ò.å. ýòî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå

óñêîðåíèå åäèíè÷íîãî âåêòîðà ñêî-

ðîñòè. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü åå êàê
5 Ñìîòðè

~h, ∇
~ ~h =

~
n
, ãäå
ρ

ρ

 ðàäèóñ êðèâèçíû

àïïåíäèêñ â êîíöå ýòîé ëåêöèè. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî çäåñü ~r⊥ ñîâåðøàåò áûñòðûå âðàùåíèÿ
~ . Ïîýòîìó (r⊥ )i (r⊥ )j ≡ h(r⊥ )i (r⊥ )j i = 1 ~r2 δij , à íå
â äâóìåðíîé ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïîëþ B
2 ⊥
1 2
r⊥ δij .
3~
53

òðàåêòîðèè, à

~n

 åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê òðàåêòîðèè,
h
i êîòîðûé íàïðàâëåí ê åå

öåíòðó êðèâèçíû. Ââåäåì òàê æå âåêòîð áèíîðìàëè

~b = ~h × ~n

.

Òåïåðü ïðåîáðàçóåì â óðàâíåíèè (61) ñëåäóþùóþ âåëè÷èíó:












~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~ , ∇ B = −µ h, ∇ B = −µ h, ∇ h B = −µ B h, ∇ h − µ h h, ∇ B.
µ

Òîãäà, ñ ó÷åòîì âñåãî ñêàçàííîãî, óðàâíåíèå (61) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:







h
i
~h v̇|| + v 2 ~h, ∇
~ ~h − µ ~h ~h, ∇
~ B.
~ ~h = ω ~v⊥ × ~h − µ B ~h, ∇
(62)
||
mγ
mγ
h
h
ii
h è ó÷òåì, ÷òî [~h×~h] = 0, ~h × ~v⊥ × ~h =
Óìíîæèì âåêòîðíî îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà íà ~
h
h

i
 i
~
1 ~
~
~
~
~
~v⊥ , è h × h, ∇ h = ρ h × ~n = ρb .  èòîãå ïîëó÷àåì:
v||2 ~b
ρ

= ω ~v⊥ −

Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûøåóêàçàííûå çíà÷åíèÿ

µ

è

µB ~
b.
mγ ρ
p⊥ , íàõîäèì,

÷òî:


~b 
u2⊥
2
v|| +
~v⊥ =
ωρ
2

(63)

äðåéîâàÿ ñêîðîñòü âåäóùåãî öåíòðà íàïðàâëåíà ïî áèíîðìàëè ê ñèëîâîé ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.

~h, íàõîäèì:
µ ~ ~ 
h, ∇ B.
v̇|| = −
mγ

Óìíîæàÿ îáå ñòîðîíû (62) ñêàëÿðíî íà

Âñïîìèíàÿ, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ
 ïîëÿ
 ïî âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ äâèæåíèåì ÷àñòèöû âäîëü

ñèëîâîé ëèíèè, ò.å.

~ B
Ḃ = v|| ~h, ∇
v|| · v̇|| = −

Âåëè÷èíà

u2⊥ /B

è ïîäñòàâëÿÿ ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ

µ,

íàõîäèì, ÷òî

u2
u2⊥
Ḃ ⇒ v|| · dv|| = − ⊥ dB.
2B
2B

ÿâëÿåòñÿ àäèàáàòè÷åñêèì èíâàðèàíòîì: â îäíîé èç çàäà÷ â çàäàíèè òðåáó-

åòñÿ ýòî ïîêàçàòü. Ïîýòîìó èç ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû
â îáëàñòü, ãäå ìàãíèòíîå ïîëå âîçðàñòàåò, åå ïðîäîëüíàÿ ñêîðîñòü ìîíîòîííî óìåíüøàåòñÿ
âïëîòü äî íóëÿ. Óñêîðåíèå íàïðàâëåíî â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ ïîëÿ, ïîýòîìó ïîñëå ýòîãî
÷àñòèöà ïðèîáðåòåò ñêîðîñòü â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ò.å. ÷àñòèöà îòðàæàåòñÿ îò îáëàñòè
ñ áîëüøèì çíà÷åíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì çåðêàëîì.

7.

Äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ ïîâåäåíèÿ ÷àñòèö â ñëàáîíåîäíîðîäíûõ âíåøíèõ

ïîëÿõ íåîáõîäèìî çíàòü, ÷òî âåëè÷èíà

H

p~ d~q, ãäå p~ è ~q  îáîáùåííûå èìïóëüñ è êîîðäèíàòà

÷àñòèöû, ÿâëÿåòñÿ àäèàáàòè÷åñêèì èíâàðèàíòîì. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî àêòà ïðîõîäÿò â
êóðñå òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Îíî, â ÷àñòíîñòè, ñîäåðæèòñÿ â ïåðâîì òîìå êóðñà Ëàíäàó
è Ëèøèöà. Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ïî ýòîé êíèãå.
54

Ïóñòü ìû èìååì äåëî ñ ÷àñòèöåé, ñîâåðøàþùåé ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå ñ ïåðèîäîì

T

âðîäå òîãî, ÷òî ïðîèñõîäèò â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ïóñòü ýòî äâèæåíèå õàðàêòå-

ðèçóåòñÿ íåêîòîðûì ïàðàìåòðîì

λ, îïðåäåëÿþùèì

ñâîéñòâà ëèáî ñàìîé ñèñòåìû, ëèáî æå

âíåøíåãî ïîëÿ. Ò.å. ýòà âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå÷òî âðîäå ÝÌ ïîëåé â ïðåäûäóùèõ çàäà÷àõ. Ïóñòü

λ ìåäëåííî (àäèàáàòè÷åñêè) ìåíÿåòñÿ ïîä âëèÿíèåì êàêèõ-òî âíåøíèõ

óñëîâèé. (Íàïðèìåð, ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ñëàáîíåîäíîðîäíîì ïîëå.) Òàêèì îáðàçîì,

T
 èçìåíåíèå

λ

çà ïåðèîä

T

dλ
≪λ
dt

ìíîãî ìåíüøå ñàìîãî

λ.

Ïóñòü

H(p, q; λ)



àìèëüòîíèàí

÷àñòèöû. Òîãäà

dE
∂H dq ∂H dp ∂H
∂H ∂λ
=
+
+
=
,
dt
∂q dt
∂p dt
∂t
∂λ ∂t
q̇ = ∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂q è ïðîäèåðåíöèðîâàëè ∂H/∂t êàê ñëîæíóþ óíêöèþ îò λ(t). Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ñïðàâà â ïîëó÷åííîé îðìóëå äëÿ dE/dt, çàâèñèò îò ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ λ è áûñòðûõ p è q . Äëÿ

ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü óðàâíåíèÿìè

àìèëüòîíà

âûäåëåíèÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ñèñòåìàòè÷åñêîãî õîäà èçìåíåíèÿ ýíåðãèè ñëåäóåò óñðåäíèòü ýòî ðàâåíñòâî ïî ïåðèîäó äâèæåíèÿ. À èìåííî, ñâåñòè åãî ê óðàâíåíèþ:

dE
∂H
= λ̇
.
dt
∂λ
Âñëåäñòâèå ìåäëåííîñòè

λ

ìû ìîæåì âûíåñòè åå ïðîèçâîäíóþ çà çíàê óñðåäíåíèÿ. Äàëåå

∂H
1
≡
∂λ
T

è ò.ê.

q̇ =

∂H
, òî
∂p

dt =

dq
.
∂H/∂p

T

∂H
dt
∂λ
0
RT
H
Ñëåäîâàòåëüíî T =
dt =
0
H ∂H/∂λ
dE
dλ ∂H/∂p dq
H dq
.
=
dt
dt
∂H/∂p

Ïðè ïåðèîäè÷åñêîì äâèæåíèè

p = p(q; E, λ).

Z

H(p, q; λ) = E = const.

Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî íàéòè

Ñëåäîâàòåëüíî, äèåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî

∂H ∂H ∂p
+
= 0.
∂λ
∂p ∂λ
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

−

∂H/∂λ
∂p
=
.
∂λ
∂H/∂p

Òîãäà

Ñëåäîâàòåëüíî

H
dE
dλ
H
=−
dt
dt
55

∂p
∂λ
∂p
∂E

dq
dq

.

dq
. Ò.å.
∂H/∂p

H =E

ïî

λ,

ïîëó÷àåì:

I 

∂p ∂λ
∂p ∂E
+
∂E ∂t
∂λ ∂t



d
dq =
dt

I

p dq = 0.

Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ñëåäóþùàÿ âåëè÷èíà

8. Àïïåíäèêñ ïðî óñðåäíåíèå ïî óãëàì.
Äîïóñòèì, åäèíè÷íûé âåêòîð

I=

H

p dq

ñîõðàíÿåòñÿ.

~n = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ñîâåðøàåò áûñòðûå âðà-

ùåíèÿ. Äîïóñòèì, äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðîé çàäà÷è íàì òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè óñðåäíåíèå â
òå÷åíèè íåêîòîðîãî ïðîäîëæèòåëüíîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè

1
h~n(t)i ≡
T

Z

T:

T

dt ~n(t).

(64)

0

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå íàïðàâëåíèÿ èãðàþò îäèíàêîâóþ ðîëü ïðè òàêîì óñðåäíåíèè. Òîãäà, ïî àíàëîãèè ñ òåðìîäèíàìèêîé, ìû ìîæåì çàìåíèòü óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè, óñðåäíåíèåì ïî óãëàì. À èìåííî:

hni i ≡
Çäåñü

dΩ = sin θ dθ dϕ

Z

dΩ
ni ,
4π

i = 1, 2, 3.

 ýòî ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà è

(65)

ϕ ∈ [0, 2π), θ ∈ [0, π].

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì äàííîãî èíòåãðàëà ïî òåëåñíîìó óãëó, ÷òî

hni i = 0. Äðóãîé áîëåå
hni i íå ïîìåíÿåòñÿ ïðè

óíèâåðñàëüíûé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îòâåòà ñëåäóþùèé: ßñíî, ÷òî
ïîâîðîòå êîîðäèíàòíîé ñåòêè, òàê êàê â åãî îïðåäåëåíèè äàþò

âêëàä âñå íàïðàâëåíèÿ. Ïîýòîìó

hni i ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíûì åäèíè÷íûì âåêòîðîì, êîòîðûé

èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé. Åäèíñòâåííûé òàêîé âåêòîð  íóëåâîé.
Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñëåäóþùåå ñðåäíåå:

hni nj i ≡

Z

dΩ
ni nj .
4π

(66)

Ìîæíî ïðîñòî âû÷èñëÿòü ýòîò èíòåãðàë, ïîäñòàâëÿÿ â íåãî ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû

ni =

(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). Íî åñòü äðóãîé, áîëåå óíèâåðñàëüíûé, ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îòâåòà. Äåéñòâèòåëüíî, hni nj i äîëæåí áûòü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé òåíçîðîì
ñ äâóìÿ èíäåêñàìè, êîòîðûé ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè åãî èíäåêñîâ. Åäèí-

ñòâåííûì òåíçîðîì â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò ýòèì óñëîâèÿì,
ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèé 

δij .

Òî åñòü èìååì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:

hni nj i = c δij ,
ãäå

c

(67)

 íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, êîòîðóþ íåâîçìîæíî çàèêñèðîâàòü èç ñèììåòðèéíûõ ñî-

îáðàæåíèé. ×òîáû íàéòè ýòó êîíñòàíòó, ñâåðíåì èíäåêñû

i

è

j

(ïîëîæèì èõ ðàâíûìè

è ïðîñóììèðóåì ïî âñåì èõ çíà÷åíèÿì) ñëåâà è ñïðàâà â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè. Òîãäà,
n2 = 1 è h1i = 1, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå: 1 = c · 3.
ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ni ni ≡ ~
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

56

1
δij .
3

hni nj i =
Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû
1
δ .
D ij

~n

áûë áû

D ìåðíûì

(68)

åäèíè÷íûì âåêòîðîì, òî ìû ïîëó÷èëè áû

hni nj i =

Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñëåäóþùåå ñðåäíåå:

hni nj nk i ≡

Z

dΩ
ni nj nk .
4π

(69)

Êàê è âûøå, ìû èìååì äåëî ñ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé òåíçîðîì ñ òðåìÿ
èíäåêñàìè,êîòîðûé ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáîé ïàðû åãî èíäåêñîâ.
Åäèíñòâåííûé òåíçîð, îáëàäàþùèé òàêèìè ñâîéñòâàìè,  ýòî íóëåâîé òåíçîð. Ïîýòîìó

hni nj nk i = 0.

(70)

Àíàëîãè÷íî óñðåäíåíèå ëþáîãî íå÷åòíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

ni1 ni2 . . . ni2k+1 = 0,

n

ðàâíî íóëþ:

k ∈ Z+ .

(71)

dΩ
ni nj nk nl .
4π

(72)

Òåïåðü âû÷èñëèì ñðåäíåå

hni nj nk nl i ≡

Z

Ýòî òåíçîð ñ ÷åòûðüìÿ èíäåêñàìè, êîòîðûé èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé è ëþáîé
ïåðåñòàíîâêè åãî èíäåêñîâ. Èç ýòèõ ñèììåòðèé ñëåäóåò, ÷òî

hni nj nk nl i = c (δij δkl + δik δjl + δil δjk ) ,
ãäå

(73)

c  îïÿòü íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, êîòîðóþ íåâîçìîæíî çàèêñèðîâàòü èç ñèììåòðèéíûõ
k è l. Òîãäà

ñîîáðàæíèé. ×òîáû íàéòè åå, ñâåðíåì ñëåâà è ñïðàâà ýòîãî âûðàæåíèÿ èíäåêñû
ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:

hni nj i = c (δij 3 + δik δkl + δil δjl ) = c 5 δij .
Çíàÿ âû÷èñëåííûé âûøå îòâåò äëÿ

hni nj nk nl i =

hni nj i,

(74)

ïîëó÷àåì, ÷òî

1
(δij δkl + δik δjl + δil δjk ) .
15

Âîïðîñû è çàäà÷è
57

(75)

•

Ïîñòðîéòå äðóãèå èíâàðèàíòû ÝÌ ïîëÿ. Êàê îíè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç
òå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

||Fµν ||

è âûðàçèòå èõ ÷åðåç

ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé èìååò ìàòðèöà
µ
âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùàÿ âåëè÷èíà: Fµ12
ãî n ïîñëåäíÿÿ âåëè÷èíà ðàâíà íóëþ.

•

Ïîëó÷èòå (55).

•

Âû÷èñëèòå ñëåäóþùèå ñðåäíèå:

I1

è

I2 .

~
E

è

~?
B

Íàéäè-

Ñêîëüêî íåçàâèñèìûõ

||Fµν ||? Êàê ÷åðåç ýòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
n
Fµµn1 ? Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ íå÷åòíîFµµ23 . . . Fµµn−1

à)

hni1 ni2 . . . ni2k i =?,

k ∈ Z+ .

(76)

á)

h(~r, ~a) ~ri =?,
ãäå âåêòîð

~a

ïîñòîÿííûé, à óñðåäíåíèå âåäåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì âåòîðà

äóëü êîòîðîãî èêñèðîâàí:

(77)

~r,

ìî-

|~r| = r .

â)

ãäå âåêòîðà

~a

è

~b

D
h iE
[~r, ~a] , ~r, ~b
=?,

ïîñòîÿííû, à óñðåäíåíèå âåäåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì âåòîðà

ìîäóëü êîòîðîãî èêñèðîâàí:

•

Ïîêàæèòå, ÷òî

(78)

u2⊥ /B

|~r| = r .

ÿâëÿåòñÿ àäèàáàòè÷åñêèì èíâàðèàíòîì.

58

~r,

Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ðåëÿòèâèñòñêîé îðìå è
èõ âûâîä èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ ïîëåé, 4âåêòîð
òîêà, δ óíêöèÿ.

Ëåêöèÿ VI;

1. Â 4-é ëåêöèè ìû îáñóäèëè ïðîèñõîæäåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èç ñîâîêóïíîñòè îïûòíûõ äàííûõ:

~ = 0,
div B
~
~ + 1 ∂ B = 0,
rot E
c ∂t
~ = 4 π ρ,
div E
~
~ − 1 ∂ E = 4 π ~j.
rot B
c ∂t
c
Ïåðâàÿ ïàðà ýòèõ óðàâíåíèé âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè

~ = rot A,
~
B
äëÿ íåêîòîðûõ ïîòåíöèàëîâ

~.
ϕ, A

~
~ = −grad ϕ − 1 ∂ A
E
c ∂t

Çàâèñèìîñòü ÝÌ ïîëåé

~
E

è

~
B

îò ïîòåíöèàëîâ îïðåäå-

ëÿåòñÿ ýòèìè îðìóëàìè ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû

ϕ′ = ϕ −

1 ∂α
,
c ∂t

~′ = A
~ + grad α
A

íàçûâàåìîé êàëèáðîâî÷íûì
ïðåîáðàçîâàíèåì. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ââåñòè 4âåêòîð ïî

òåíöèàë

Aµ =

~
ϕ, A

ìåðíûé 2òåíçîð ÝÌ

~ è B
~ îïðåäåëÿþò
µ = 0, 1, 2, 3, òî êîìïîíåíòû 3âåêòîðîâ E
µ
ïîëÿ Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , ãäå ∂µ Aν ≡ ∂Aν /∂x . À èìåííî:
,

Ei = F0i ,
Òàê æå êàê

~
E

è

~ , òåíçîð Fµν
B

Bi = −ǫijk Fjk ,

4

i = 1, 2, 3.

èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé,
′
êîòîðûå â 4ìåðíîé îðìå èìåþò âèä Aµ = Aµ − ∂µ α.
 ýòîé ëåêöèè ìû õîòèì çàïèñàòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ÿâíîé Ëîðåíö êîâàðèàíòíîé
îðìå  ÷åðåç òåíçîð

Fµν

è åãî ïðîèçâîäíûå. àññìîòðèì ñíà÷àëî ïåðâîå óðàâíåíèå:

~ = ∂i Bi = −∂i ǫijk Fjk = −ǫ0ijk ∂i Fjk = ǫ0ναβ ∂ν Fαβ ,
0 = div B

ò.ê.

ǫ0ijk = ǫijk = ǫijk ,

ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî â ñèëó òîãî, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå, â îòëè-

÷èè îò ÏÂ, âåðõíèå èíäåêñû íå îòëè÷àþòñÿ îò íèæíèõ. Òàê æå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì
0ναβ
0ijk
àêòîì, ÷òî íåíóëåâûå êîìïîíåíòû ǫ
ñîâïàäàþò ñ ǫ
. Èòàê, ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
0ναβ
ǫ
∂ν Fαβ = 0 âûãëÿäèò êàê íóëåâàÿ êîìïîíåíòà êàêîãîòî 4ìåðíîãî óðàâíåíèÿ.
Âòîðîå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïåðåïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:

59

0=

~
~ + 1 ∂B
rot E
c ∂t

!

= ǫijk ∂i Ek +
i

1 ∂Bi
= ǫ0ijk ∂i F0k − ǫ0ijk ∂0 Fjk = ǫiναβ ∂ν Fαβ .
c ∂t

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå äîïîëíÿåò òî, ÷òî áûëî âûâåäåíî âûøå äî 4
ìåðíîãî óðàâíåíèÿ:

ǫµναβ ∂ν Fαβ = 0,

(79)

ïðåäñòàâëÿþùåãî ïåðâóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî óðàâíåíèå
âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè â íåãî ïîäñòàâèòü

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ :

ǫµναβ ∂ν Fαβ = ǫµναβ ∂ν (∂α Aβ − ∂β Aα ) = 2 ǫµναβ ∂ν ∂α Aβ = ǫµναβ (∂ν ∂α − ∂α ∂ν ) Aβ = 0.
àññìîòðèì òåïåðü òðåòüå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:

~ = ∂i Ei = ∂i F i0 = ∂µ F µ0 ,
div E
ò.ê.

F 00 = 0.

Äàëåå, ÷åòâåðòîå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïðèíèìàåò âèä:

~
~ − 1 ∂E
rot B
c ∂t

!

i

= ǫijk ∂j Bk + ∂0 F 0i = −∂j F ij + ∂0 F 0i = ∂j F ji + ∂0 F 0i = ∂µ F µi

Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ â

∂µ F µ0 = 4 π ρ,
4π i
∂µ F µi =
j
c
j
Òåïåðü äîëæíî áûòü âèäíî, ÷òî åñëè îáúåäèíèòü ïëîòíîñòü çàðÿäà ρ è ïëîòíîñòü òîêà ~
µ
~
â åäèíûé 4âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà j = (ρ c, j), òî ïîëó÷åííûå äâà 3ìåðíûõ óðàâíåíèÿ
çàïèøóòñÿ êàê îäíî 4ìåðíîå óðàâíåíèå:

∂µ F µν =

4π ν
j,
c

(80)

ïðåäñòàâëÿþùåå âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Èòàê óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà çàïèñûâàþòñÿ â óäèâèòåëüíî êîìïàêòíîé Ëîðåíö êîâàðèàíòíîé îðìå, õîòÿ Ìàêñâåëë íè÷åãî è
íå çíàë î ÑÒÎ. Ïîä÷åðêíó, ÷òî ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ òàêæå ÿâíî êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíû.

2. Èç óðàâíåíèÿ (80), ïðèìåíÿÿ ê îáåèì åãî ñòîðîíàì

4äèâåðãåíöèþ, ïîëó÷àåì:

4π
∂ν j ν = ∂ν ∂µ F µν = ∂ν ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = ∂ν ∂ 2 Aν − ∂µ ∂ 2 Aµ = 0,
c
60

ãäå ìû îáîçíà÷èëè

∂ 2 = ∂α ∂ α . Òàêèì îáðàçîì, èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ñëåäóåò óðàâíåíèå

íåïðåðûâíîñòè:

∂µ j µ =

∂ρ
+ div ~j = 0.
∂t

(81)

Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïî íåêîòîðîé îáëàñòè

Z

M

3

dV



∂ρ
+ div ~j
∂t



d
=
dt

ãäå

QM

M.

Ò.å. ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå

 çàðÿä âíóòðè îáëàñòè

Z

M

3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà:

Z

d
d V ρ+
d V div ~j =
QM +
dt
M
M
3

3

ZZ

~j d~s = 0,

∂M

M , à ∂M  RR
çàìêíóòàÿ 2ìåðíàÿ ãðàíèöà 3ìåðíîé îáëàñòè
d
~j d~s óòâåðæäàåò, ÷òî çàðÿä â îáëàñòè M
Q
=
−
M
dt
∂M

èçìåíÿåòñÿ òîëüêî çà ñ÷åò åãî ïðèòîêà èëè îòòîêà ÷åðåç ãðàíèöó ýòîé îáëàñòè. Åñëè æå
÷åðåç ãðàíèöó îáëàñòè M íå ïðîíèêàåò íèêàêîé òîê, òî çàðÿä âíóòðè ýòîé îáëàñòè âîîáùå
d
íå ìåíÿåòñÿ
QM = 0.
dt
Ìû óæå çíàåì, ÷òî äåéñòâèå, îïèñûâàþùåå âçàèìîäåéñòâèå çàðÿæåííîé òî÷å÷íîé

3.

÷àñòèöû ñ ÝÌ ïîëåì, èìååò âèä:

e
∆S = −
c

Z

τ2

dτ ż µ (τ ) Aµ [z(τ )] .

τ1

dτ =
. Ìû æå õîòèì
R ds/c
R
R
R
R
4
ïðåäñòàâèòü åãî â âèäå èíòåãðàëà ïî 4ìåðíîìó ÏÂ, ò.å. êàê èíòåãðàë
d x ≡ dx0 dx dy dz ≡
R R
R
R
c dt dx dy dz . Èç äàëüíåéøåãî ñòàíåò ÿñíî, çà÷åì ýòî íóæíî.
×òîáû ïðåîáðàçîâàòü 1ìåðíûé èíòåãðàë â 4ìåðíûé, íàì íàäî âîñïîëüçîâàòüñÿ δ óíêöèåé.

Ýòî äåéñòâèå ñîäåðæèò îäèí èíòåãðàë ïî ñîáñòâåííîìó âðåìåíè

 êîíöå ýòîé ëåêöèè ìû îáñóäèì ýòó óíêöèþ áîëåå ïîäðîáíî. Ñåé÷àñ æå íàì ïîíàäî-

δRóíêöèÿ  ýòî òàêàÿ óíêöèÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé äîñòà+∞
òî÷íî õîðîøåé f (x) âåðíî, ÷òî
f (x) δ(x) dx = f (0). Äàëåå ìîæíî òàê æå îïðåäåëèòü
−∞
(4)
0
0
1
1
2
δ (x−y) ≡ δ(x −y ) δ(x −y ) δ(x −y 2 ) δ(x3 −y 3 ). Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîñëåäíåé óíêöèè,
áèòñÿ ïðîñòî åå îïðåäåëåíèå:

ìîæíî çàïèñàòü:

e
c
ãäå

Z

1
dτ ż (τ ) Aµ [z(τ )] = 2
c
µ

µ

j (x) = e c

Z

Z

d4 x j µ (x) Aµ (x),

dτ ż µ (τ ) δ (4) [x − z(τ )] .

Äåéñòâèòåëüíî:

Z
Z
Z
e
1
4
4
µ
d xAµ (x) dτ ż µ (τ ) δ (4) [x − z(τ )] =
d x j (x) Aµ (x) =
c2
c
Z
Z
Z
e
e
µ
4
(4)
=
dτ ż (τ )
d x Aµ (x) δ [x − z(τ )] =
dτ ż µ (τ ) Aµ [z(τ )] .
c
c
61

(82)

Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, (82) ÿâëÿåòñÿ 4âåêòîðîì ïëîòíîñòè òîêà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû.
0
Åãî íóëåâàÿ êîìïîíåíòà èìååò âèä (z = c t):

0

j (x) = e c

Z

dz 0 (4)
δ [x − z(τ )] = e c
dτ
dτ

Z

dz 0 δ(x0 − z 0 ) δ (3) [~x − ~z(t)] = e c δ (3) [~x − ~z(t)] ,

~z (t)  òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû â 3ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ò.å. ðàññìàòðèâàåìàÿ êîìïîíåíòà
j 0 ðàâíà ñêîðîñòè ñâåòà, óìíîæåííîé
çàðÿäà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû ρ(x) =
RRR 3íà ïëîòíîñòü
RRR
(3)
0
e δ [~x − ~z (t)] . Äåéñòâèòåëüíî,
d V j /c = e
d3 V δ (3) [~x − ~z (t)] = e äëÿ ëþáîé 3
M
ìåðíîé îáëàñòè M , âêëþ÷àþùåé çàðÿä â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t.
Àíàëîãè÷íî:

Z



d~z
δ x0 − c t δ (3) [~x − ~z (t)] = e ~z˙ (t) δ (3) [~x − ~z (t)] = ρ(x) ~v (t)
dt
ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ 3ìåðíîãî òîêà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû (~
v = ~z˙ ). Òàêèì îáðàçîì, ðàñR
µ
µ
(4)
ñìàòðèâàåìàÿ âåëè÷èíà j (x) = e c
dτ ż (τ ) δ [x − z(τ )] = (c ρ, ~v ρ) äåéñòâèòåëüíî ÿâ~j = e c

dt

ëÿåòñÿ 4âåêòîðîì ïëîòíîñòè òîêà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû.

4.

Òåïåðü ìû ãîòîâû ñîðìóëèðîâàòü ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ ÝÌ ïîëÿ.

Äëÿ ýòîãî íàäî îïðåäåëèòü äåéñòâèå äëÿ ÝÌ ïîëÿ. Îíî äîëæíî áûòü Ëîðåíö è êàëèáR 4
d x îò íåêîòîðîé ïëîòíîñòè.

ðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì, à òàêæå áûòü èíòåãðàëîì ïî ÏÂ
Ìû çíàåì äâà èíâàðèàíòà ïîëÿ

I1

è

I2

Fµν .

ïîñòðîåííûõ èç

Îíè òàêæå è êàëèáðîâî÷íî

èíâàðèàíòíû, à ïîòîìó âïîëíå ïîäõîäÿò â êà÷åñòâå ïëîòíîñòè äëÿ îïðåäåëåíèÿ äåéñòâèÿ.
Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äåéñòâèå äëÿ ÝÌ ïîëÿ èìååò âèä

SEM =
ãäå

c1,2

Z

h
i
d4 x c1 Fµν F µν + c2 Fµν F̃ µν ,

 íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî

I2

ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé 4äèâåðãåíöèåé:



Fµν F̃ µν = ǫµναβ (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) (∂α Aβ − ∂β Aα ) = 4 ǫµναβ (∂µ Aν ) (∂α Aβ ) = 4 ∂µ ǫµναβ Aν ∂α Aβ .
äå ìû âîñïîëüçîâàëèñü àíòèñèììåòðèåé

Z

d4 x Fµν F̃ µν =

Z

M

ǫµναβ

è òåì, ÷òî



d4 x ∂µ ǫµναβ Aν ∂α Aβ =

I

ǫµναβ ∂ν ∂α Aβ = 0.

Ïîýòîìó

d3 σµ ǫµναβ Aν ∂α Aβ ,

∂M

ãäå ïîñëåäíèé èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî çàìêíóòîé 3ìåðíîé ãðàíèöå

∂M

4ìåðíîãî ÏÂ

M

(ñì. àïïåíäèêñ â êîíöå ýòîé ëåêöèè). Ò.å. åãî ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå çàâèñèò îò
ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ïîëåé, êîòîðûå îáû÷íî îñòàþòñÿ èêñèðîâàííûìè (ðàâíûìè íóëþ
 ïîëÿ â âàêóóìå) â âàðèàöèîííîì èñ÷èñëåíèè äëÿ ïîëåé. Ïîýòîìó âêëàä

I2

â äåéñòâèå

äëÿ ÝÌ ïîëåé ìîæíî îòáðîñèòü, òàê êàê îí íå ìåíÿåò óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
Èòàê, äåéñòâèå, îïèñûâàþùåå ÝÌ ïîëÿ è èõ âçàèìîäåéñòâèå ñ âíåøíèì 4âåêòîðîì
òîêà, èìååò âèä:

1
SEM (Aµ ) = −
16 π c

Z

4

d x Fµν F

µν

62

1
(x) − 2
c

Z

d4 x Aµ (x) j µ (x),

(83)

ãäå ìû çàèêñèðîâàëè êîíñòàíòó

c1 = −1/16 π c,

÷òî ïðèâåäåò ê âåðíûì êîýèöèåíòàì

â óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì.
Ìû õîòèì âûâåñòè èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ðàññìàòðèâàåìîãî äåéñòâèÿ âòîðóþ ïàðó
óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, ò.ê. ïåðâàÿ ïàðà óðàâíåíèé âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè

∂µ Aν − ∂ν Aµ .

Fµν =

Îáîáùåííîé êîîðäèíàòîé â ïîñòàâëåííîé âàðèàöèîííîé çàäà÷å ÿâëÿåòñÿ

ïîëå 4âåêòîð ïîòåíöèàëà

Aµ .

Ïîýòîìó:

Z
Z
1
1
4
µν
0=−
δ
d x Fµν F − 2 δ
d4 x jµ Aµ =
16 πc
c
Z
Z
1
1
4
µν
µν
d x (δFµν F + Fµν δF ) − 2
d4 x jµ δAµ =
=−
16 πc
c
Z
Z
1
1
4
µν
d x 2 Fµν δF − 2
d4 x jµ δAµ =
=−
16 πc
c
Z
Z
1
1
4
µ
ν
ν
µ
d x Fµν (∂ δA − ∂ δA ) − 2
d4 x jµ δAµ =
=−
8 πc
c
Z
Z
1
1
4
µ
ν
d x Fµν 2 ∂ δA − 2
d4 x jµ δAµ =
=−
8 πc
c


Z
1 µ
1
4
= d x
∂ Fµν − 2 jµ δAµ ,
4 πc
c
R 4
R 4 µ
1
1
µ
ν
ãäå íà ïîñëåäíåì øàãå ìû âçÿëè èíòåãðàë ïî ÷àñòÿì, −
d
x
F
∂
δA
=
d x ∂ Fµν δAν ,
µν
4 πc
4 πc
µ
è âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî δA |∂M = 0 íà ãðàíèöå ∂M ÏÂ M . Èòàê, âàðèàöèÿ äîëæíà
áûòü ðàâíà íóëþ ïðè ëþáîì δAµ è ìû ïîëó÷àåì âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â
Ëîðåíö êîâàðèàòíîé îðìå (80).

5. ×òîáû ïîíÿòü êàê âàðüèðîâàòü ïî ïîëÿì âðîäå Aµ (x) (ðàíüøå ìû âàðüèðîâàëè òîëü-

êî ïî òðàåêòîðèÿì

~z(t)

èëè ìèðîâûì ëèíèÿì

zµ (t)),

âåðíåìñÿ ê ìåõàíè÷åñêîìó ïðèìåðó,

êîòîðûé ìû îáñóæäàëè íà ïåðâîé ëåêöèè. À èìåííî, ìû èìåëè äåëî ñ 1ìåðíîé áåñêîíå÷íîé ðåøåòêîé øàðèêîâ, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ êîòîðûõ èìåëè âèä áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé

m φ̈i = k (φi+1 − φi ) − k (φi − φi−1 )
äëÿ êàæäîãî

i ∈ Z.

Çäåñü

φi (t)

îòêëîíåíèå

iãî

øàðèêà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âäîëü

îäíîãî èçìåðåíèÿ (âäîëü ðåøåòêè) â ìîìåíò âðåìåíè

t.

Ýòè óðàâíåíèÿ ñëåäóþò èç äåéñòâèÿ:

S ({φi }) =

Z

t2

t1

dt (T − V ) =

Z

t2

t1

#
2
+∞
+∞
X
X
k (φj+1 − φj )2
m φ̇i
.
−
dt
2
2
j=−∞
i=−∞
"

 ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ïåðâàÿ ñóììà  ýòî ñóììà êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé âñåõ øàðèêîâ,
à âòîðàÿ ñóììà  ýòî ñóììà ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé âñåõ ïðóæèí.
Óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà äëÿ ýòîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû èìåþò âèä:



∂L
{φ
},
{
φ̇
}
j
j
d
dt
∂ φ̇i

=
φ
63



∂L {φj }, {φ̇j }
∂φi

φ̇

i,

äëÿ êàæäîãî

ò.ê. îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñè-

ñòåìû ÿâëÿåòñÿ íàáîð

{φi }.

×òîáû óâèäåòü, ÷òî óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà ñîâïàäàþò

ñ óêàçàííûìè âûøå óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ, ïîñ÷èòàåì:

∂L
= k (φi+1 − φi ) − k (φi − φi−1 ) ,
∂φi

∂L
= m φ̇i .
∂ φ̇i

Ïîñëå ÷åãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñëåäóþò ñ î÷åâèäíîñòüþ.
àññìîòðèì òåïåðü íåïðåðûâíûé ïðåäåë, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàåìàÿ ðåøåòêà äîëæíà ïðåâðàòèòüñÿ â îäíîìåðíîå óïðóãîå òåëî. Â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå

φ(x, t).

Òîãäà äåéñòâèå ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùåì îáðàçîì:

S ({φ}) =
=

Z

t2

dt

t1

è

∆x → 0.

+∞
X

∆x

i=−∞

"

Z

+∞
X

t2

dt
t1

i=−∞

"

2

φi (t) → φ(xi , t) →

k (φi+1 − φi )2
m φ̇i
−
2
2

#

=


2 #
m φ̇2 (xi , t) k ∆x φ(xi + ∆x, t) − φ(xi , t)
−
∆x
2
2
∆x

Òåïåðü åñëè â ýòîì ïðåäåëå äåðæàòü

m/∆x = m̄ = const

è

k ∆x = k̄ = const,

÷òîáû ïîëó÷èòü òåîðèþ îïèñûâàþùóþ óïðóãîå òåëî, à íå ïûëü èç ÷àñòèö èëè æå àáñîëþòíî æåñòêèé ñòåðæåíü, òî ðàññìàòðèâàåìîå ìåõàíè÷åñêîå äåéñòâèå ïåðåõîäèò â äåéñòâèå
2ìåðíîé òåîðèè ïîëÿ:

#
m̄ φ̇2 (t, x) k̄ φ′2 (t, x)
=
−
dt
S [φ(·)] =
dx
2
2
t1
−∞
"  
 2 #
Z
Z
2
k̄
k̄
1 ∂φ
∂φ
2
=
dx 2
=
d2 x ∂a φ ∂ a φ,
−
2
c̄
∂t
∂x
2
Z

ãäå

R

d2 x ≡

R

dt

dx,

à

Z

"

+∞

c̄ = m̄/k̄ = m/k ∆x2

 ñêîðîñòü çâóêà â ðåøåòêå, ââåäåííàÿ åùå íà

′

Äàëåå

Ñëåäîâàòåëüíî

1 2
φ̇
c̄2

ïåðâîé ëåêöèè,

φ.

R

t2

φ ≡ ∂φ/∂x, φ̇ ≡ ∂φ/∂t.

∂a φ ∂ a φ = η ab ∂a φ ∂b φ =

||ηab || =



∂a φ ≡

− φ′2 ,

1 0
0 −1



1
c̄

φ̇, φ

ãäå

′



 2ìåðíûé ãðàäèåíò ïîëÿ



 àíàëîã ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â 2ìåðíîì ÏÂ.
 ðàññìàòðèâàåìîé òåîðèè â êà÷åñòâå îáîáùåííîé êîîðäèíàòû ìû èìååì ïîëå
â êîòîðîå ïåðåøåë â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå áåñêîíå÷íûé íàáîð êîîðäèíàò øàðèêîâ
Ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ äëÿ ïîëÿ

φ(t, x)

φ(t, x),
{φi (t)}.

íåîáõîäèìî âàðüèðîâàòü

ðàññìàòðèâàåìîå äåéñòâèå èìåííî ïî ýòîìó ïîëþ. Âûâåäåì óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà
äëÿ áîëåå îáùåãî äåéñòâèÿ:

S(φ) =

Z

d2 x L (φ, ∂a φ) .
64

L = k̄2 ∂a φ ∂ a φ.
R +∞
L = −∞ dx L.

 íàøåì ñëó÷àå Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü ðàâíà
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç Ëàãðàíæåâó ïëîòíîñòü êàê
Èòàê:

≡

Çàìå÷ó, ÷òî Ëàãðàíæèàí

0 = δS ≡ [S(φ + δφ) − S(φ)]linear in δφ ≡

Z

d2 x {L [φ + δφ, ∂a (φ + δφ)] − L [φ, ∂a φ]}linear in δφ =


Z
∂L
∂L
2
= dx
δφ +
(∂a δφ) .
∂φ
∂(∂a φ)

 ïîñëåäíåì âûðàæåíèè âòîðîé ÷ëåí â ñóììå ïîä èíòåãðàëîì ïðîïîðöèîíàëåí íå
åãî ïðîèçâîäíîé

δφ,

à

∂a δφ. Ìû æå õîòèì íàéòè óñëîâèÿ (óðàâíåíèÿ), ïðè êîòîðûõ âàðèàöèÿ
δS = 0 ïðè ëþáîì δφ. Ïîýòîìó íàäî íåêîòîðûì îáðàçîì èçáàâèòüñÿ
ïðîèçâîäíîé îò δφ. Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, âçÿâ èíòåãðàë ïî ÷àñòÿì,

äåéñòâèÿ ðàâíà íóëþ
â ýòîì ÷ëåíå îò

ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàìåòèì, ÷òî ïî ïðàâèëó Ëåéáíèöà

∂a



∂L
δφ
∂(∂a φ)




= ∂a

∂L
∂(∂a φ)

Ïðîèíòåãðèðóåì îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà ïî
ñ ëåâîé ñòîðîíû ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà:

Z

2

d x ∂a

M



∂L
δφ
∂(∂a φ)



=


R

I

δφ +
d2 x

è âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Ñòîêñà

dla

∂M

∂L
∂a δφ.
∂(∂a φ)

∂L
δφ,
∂(∂a φ)

ãäå èíòåãðàë ñ ïðàâîé ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà áåðåòñÿ ïî çàìêíóòîé 1ìåðíîé ãðàíèöå

∂M

2ìåðíîãî ÏÂ

M.

Çàìå÷ó, ÷òî â âàðèàöèîííîé çàäà÷å â òåîðèè ïîëÿ Ï îáû÷íî

áåðåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèì âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ:

[t1 , t2 ] → (−∞, +∞).

Íà ãðàíèöå ìû èêñèðóåì ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïîëåé, à ïîòîìó èêñèðóåì

δφ

∂M

= 0.

6

Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ . Ñëåäîâàòåëüíî,

Z


d x ∂a
2

∂L
∂(∂a φ)



δφ = −

Z

d2 x

∂L
∂a δφ.
∂(∂a φ)

Âîñïîëüçîâàâøèñü ýòèì ðàâåíñòâîì â âûðàæåíèè äëÿ âàðèàöèè äåéñòâèÿ, ïîëó÷àåì

0 = δS =

Z

  Z




∂L
∂L
∂L
∂L
2
δφ = d x
δφ.
δφ − ∂a
− ∂a
dx
∂φ
∂(∂a φ)
∂φ
∂(∂a φ)
2



Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äîëæíî ðàâíÿòüñÿ íóëþ ïðè ëþáîì çíà÷åíèè

δφ.

Ïîýòîìó ìû

ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ËàãðàíæàÝéëåðà:
6 Àíàëîãè÷íî

òîìó, êàê ýòî áûëî â ñëó÷àå âàðèàöèé äåéñòâèé äëÿ ÷àñòèö, åñòü íåñêîëüêî ñïîñîáîâ
H
∂L
δφ â âàðèàöèþ äåéñòâèÿ. À èìåííî, òðåáîâàíèå δφ
ïîòðåáîâàòü çàíóëåíèÿ âêëàäà dla ∂(∂
=
a φ)
∂M

= 0 íàçûâàåòñÿ
0 íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Äèðèõëå.  òî âðåìÿ êàê òðåáîâàíèå ∂(∂∂L
a φ)
∂M
ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ͼéìàíà. Òî åñòü, êàê è â ñëó÷àå ÷àñòèö, èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ ìû
ïîëó÷àåì è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.
65

∂L
∂L
= ∂a
.
∂φ
∂(∂a φ)
k̄ ab
η ∂a φ ∂b φ, ìû èìååì, ÷òî ∂L
2
∂φ
ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ:

 íàøåì ñëó÷àå, êîãäà

L=

a

∂a ∂ φ =



∂2
1 ∂2
−
c̄2 ∂t2 ∂x2



= 0,

à

∂L
∂(∂a φ)

= k̄ ∂a φ.

Ïîýòîìó

φ = 0,

êîòîðîå íàì óæå äîëæíî áûòü çíàêîìî ïî ïåðâîé ëåêöèè.

6. Òåïåðü Rïåðåéäåì ê âàðüèðîâàíèþ äåéñòâèÿ äëÿ ÝÌ ïîëÿ ïî Aµ . Äëÿ äåéñòâèÿ îáùå-

ãî âèäà

S =

d4 x L (Aµ , ∂µ Aν )

ìû ìîæåì àíàëîãè÷íî òîëüêî ÷òî ïðèâåäåííîìó ñëó÷àþ

âûâåñòè óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà:

∂µ

∂L
∂ (∂µ Aν )

=
A

∂L
∂Aν

(84)

∂A

 íàøåì ñëó÷àå Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü ðàâíà:

LEM = −

1
1
Fµν F µν (x) − 2 Aµ (x) j µ (x).
16 π c
c

(85)

Ïîýòîìó

1
∂LEM
= − 2 jν ,
∂Aν
c
à



∂LEM
1
∂
Fαβ F αβ =
=−
∂ (∂µ Aν )
16 π c ∂ (∂µ Aν )
 αβ γσ

1
4
∂
=−
η η (∂α Aγ − ∂γ Aα ) (∂β Aσ − ∂σ Aβ ) = −
F µν .
16 π c ∂ (∂µ Aν )
16 π c
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî

∂(∂α Aβ )/∂(∂µ Aν ) = δαµ δβν ,

à òàê æå ñâîéñòâàìè ñèìâî-

ëà Êðîíåêåðà è ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà.  ðåçóëüòàòå èç óðàâíåíèé ËàãðàíæàÝéëåðà ìû
ïîëó÷àåì:

∂µ F µν =

4π ν
j
c

 âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.

7. Àïïåíäèêñ. Ñâîéñòâà δ óíêöèè. Áåç ïðåòåíçèé íà ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòðîãîñòü,

ìû çäåñü èçëîæèì íåêîòîðûå îñíîâíûå ñâîéñòâà
ñòàâëåíèåì

δ óíêöèè

δ óíêöèè.

Óäîáíûì íàãëÿäíûì ïðåä-

ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå:

x2
1
δ(x) = lim √ e− ǫ .
ǫ→0
πǫ

66

(86)

ðàèê óíêöèè, ñòîÿùåé ïîä çíàêîì ïðåäåëà èìååò âèä êîëîêîëà ñ âåðøèíîé â
âûñîòîé

√
1/ π ǫ

ǫ,

è øèðèíîé

|x| ≫ ǫ

ò.ê. ïðè

x = 0,

ðàññìàòðèâàåìàÿ óíêöèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî

áûñòðî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ïîýòîìó, åñëè íàì íåîáõîäèìî âçÿòü èíòåãðàë

Z

+∞
−∞

x2
1
dx f (x) √ e− ǫ
πǫ

f (x), òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëåíüêîì ǫ èçìåíåíèåì
|x| < ǫ, ãäå ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ñóùåñòâåííî

äëÿ ëþáîé äîñòàòî÷íî õîðîøåé óíêöèè
óíêöèè âíóòðè ìàëîé îáëàñòè

îòëè÷íî îò íóëÿ, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîýòîìó

Z

+∞

−∞

àçëîæèâ

f (x)

x2
1
dx f (x) √ e− ǫ ≈ f (0)
πǫ

Âîçüìåì òåïåðü èíòåãðàë

I=
ãäå ìû ïåðåîáîçíà÷èëè

1
I =
π

+∞
−∞

x2
1
dx √ e− ǫ .
πǫ

f (x) = f (0) + x f ′ (0) + . . . ,
ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè ǫ → 0.

â ðÿä Òåéëîðà âáëèçè 0,

ïîïðàâêè ê ïîëó÷åííîìó âûðàæåíèþ

2

Z

Z

+∞

dx

−∞

Z

Z

√

+∞

−∞

x2
1
dx √ e− ǫ =
πǫ

x/ ǫ → x.
+∞

Z

+∞
−∞

ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî

1
2
dx √ e−x ,
π

×òîáû âû÷èñëèòü ýòîò èíòåãðàë, çàìåòèì, ÷òî

−x2 −y 2

dy e

−∞

1
=
π

Z

2π

dϕ

0

Z

+∞

−r 2

dr r e

0

=

Z

+∞

0

äå ìû ñäåëàëè çàìåíó ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ ïîä èíòåãðàëîì

r sin ϕ.

Òàêèì îáðàçîì,

I = 1.

ǫ→0

f (x).

x = r cos ϕ,

y =

Ïîýòîìó

lim
äëÿ ëþáîé

2

dr 2 e−r = 1.

Z

+∞

−∞

x2
1
dx f (x) √ e− ǫ = f (0)
πǫ

Ñëåäîâàòåëüíî âûøåóêàçàííîå ïðåäñòàâëåíèå

δ óíêöèè

ïðàâîìåðíî â

2
− xǫ

1
ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäíåé. Çàìå÷ó, ÷òî ãðàèê óíêöèè √
e
â ïðåäåëå ǫ → 0 èìååò
πǫ
ñëåäóþùèé âèä: óíêöèÿ ðàâíà íóëþ âåçäå êðîìå x = 0, à â x = 0 îíà ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè.
Àáñîëþòíî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî

δ óíêöèþ

ìîæíî ïðåäñòàâ-

ëÿòü è äðóãèì îáðàçîì:

ǫ
1
ǫ→0 π x2 + ǫ2

δ(x) = lim

Ïðèâåäåì òåïåðü íåñêîëüêî îñíîâíûõ ñâîéñòâ

•

Z

+∞

−∞

dx f (x) δ(x − x0 ) =

Z

(87)

δ óíêöèè:

+∞

dx f (x + x0 ) δ(x) = f (x0 );
−∞

67

(88)

•

Z
ò.ê. ãðàèê
à â

•

x=0

b

dx f (x) δ(x) =
a



f (0), if 0 ∈ [a, b]
0, if 0 6∈ [a, b]

δ óíêöèè èìååò âûøåóêàçàííûé âèä: îíà ðàâíà íóëþ âåçäå êðîìå x = 0,

îíà ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè;

R +∞



R +∞
f xa δ(x)
dx f (x) δ(a x) = −∞ dx
|a|
−∞
÷òî δ(x) ÷åòíàÿ óíêöèÿ. Ïîýòîìó

f (0)
, ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì àêòîì,
|a|

=

δ(a x) =
•

(89)

δ(x)
;
|a|

(90)

R +∞

Pn R +∞
′
dx
f
(x)
δ
[g(x)]
=
a=1 −∞ dx f (x) δ [g (xa ) (x − xa )] , ãäå xa , a = 1, . . . , n  íóëè
−∞
′
óíêöèè g(x), à g (xa )  ïðîèçâîäíûå ýòîé óíêöèè â åå íóëÿõ. Ìû ïðèðàâíÿëè
P
δ[g(x)] = na=1 δ[g ′ (xa ) (x − xa )], ò.ê. δ[g(x)] íå ðàâíà íóëþ òîëüêî ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ
x, ïðè êîòîðûõ g(x) ðàâíà íóëþ è ðàçëîæèëè ïîñëåäíþþ â ðÿä Òåéëîðà â áëèçè åå
íóëåé. Äàëåå, âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäûäóùèì ñâîéñòâîì, ìû ïîëó÷àåì

Z

+∞

dx f (x) δ [g(x)] =
−∞

n
X
a=1

Ñëåäîâàòåëüíî

1
′
|g (xa )|

+∞

−∞

dx f (x) δ(x − xa ).

n
X
δ(x − xa )

δ [g(x)] =

(91)

|g ′ (xa )|

a=1

•

Z

Ôîðìóëà Ñîõîòñêîãî. àññìîòðèì ïðåäåë

x+ iǫ
x
ǫ
1
= lim
= lim 2
+ i lim 2
=
2
ǫ→0 (x − i ǫ) (x + i ǫ)
ǫ→0 x + ǫ
ǫ→0 x + ǫ2
ǫ→0 x − i ǫ
1
= v.p. + i π δ(x)
x

lim

(92)

ãäå v.p.1/x ðåãóëÿðíàÿ â íóëå óíêöèÿ. Â ýòîé îðìóëå ìû âîñïîëüçâàëèñü ïðåäñòàâëåíèåì

•

δ óíêöèè

Ôóðüå ïðåäñòàâëåíèå

â âèäå (87).

δ óíêöèè:

δ(x) =

Z

+∞

−∞

Äîêàæåì ýòó îðìóëó. Íàèâíî èíòåãðàë
åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
68

dk i k x
e
2π

R +∞

dk
−∞ 2 π

ei k x

(93)

íå áåðåòñÿ. Îäíàêî ïðåäñòàâèì

t

t2
-vt
vx

-vx

x1

x

x2

vt

t1

èñ. 7:

Z

Z

+∞
ikx

dk e

=

−∞

+ lim

ǫ→0

+∞
ikx

dk e

+

0

Z

Z

0
ikx

dk e

−∞

0

dk ei k x+ǫ k

−∞

= lim

ǫ→0

Z

+∞

dk ei k x−ǫ k +
0

i
i
+ lim
= 2 π δ(x).
= lim
ǫ→0 x + i ǫ
ǫ→0 x − i ǫ

(94)

Ïðè âûâîäå ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìû èñïîëüçîâàëè îðìóëó Ñîõîòñêîãî è åå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûé âàðèàíò.

8. Àïïåíäèêñ. Òåîðåìà Ñòîêñà â ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè è ñ ïðîèçâîëüíîé ñèãíàòóðîé ìåòðèêè.
Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì â äâóõ èçìåðåíèÿõ èíòåãðàë ñëåäóþùåãî âèäà:

I=

ZZ

R

Çäåñü îáëàñòü

R

a

dtdx ∂a v (t, x) ≡

Z

t2

dt

Z

x2

x1

t1



dx ∂0 v 0 (t, x) + ∂1 v 1 (t, x) ,


xa ≡ x0 , x1 ≡ (t, x) .

(95)

èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå (7)  ýòî ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ ïðÿ-

ìîóãîëüíèêîì ñî ñòîðîíàìè, äëèíû êîòîðûõ ðàâíû

t2 − t1

è

x2 − x1 .

 ðàññìàòðèâàåìîì

âûðàæåíèè íå âàæíî êàêóþ ñèãíàòóðó èìååò ìåòðèêà: îíî âåðíî è äëÿ ïðîñòàíñòâà Åâêëèäà, è äëÿ ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè Ìèíêîâñêîãî. Ïðîäåëàåì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ
ñ îáñóæäàåìûì âûðàæåíèåì:

Z

x2

Z

t2

Z

t2

Z

x2

dx ∂1 v 1 (t, x) =
dt
dt ∂0 v (t, x) +
x1
t1
t1
x1
Z x2
Z t2




=
dx v 0 (t = t2 , x) − v 0 (t = t1 , x) +
dt v 1 (t, x = x2 ) − v 0 (t, x = x1 ) .
I=

dx

0

x1

t1

69

(96)

M

∂M

èñ. 8:

Íà ïîñëåäíåì øàãå çäåñü â ïåðâîì âûðàæåíèè ìû âçÿëè èíåãðàë ïî
âîäíîé, à âî âòîðîì âûðàæåíèè  èíòåãðàë ïî

x

t

îò ïîëíîé ïðîèç-

îò ïîëíîé ïðîèçâîäíîé. Ïîëó÷åííûé

èòåãðàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:

Z

x2

x1



dx v 0 (t = t2 , x) − v 0 (t = t1 , x) +

Çäåñü

∂R

 ýòî ãðàíèöà îáëàñòè

R,

Z

t2



1

0



dt v (t, x = x2 ) − v (t, x = x1 ) =

t1

òî åñòü ñàì ïðÿìîóãîëüíèê, à

dσa

I

dσa v a .(97)

∂R

 ýòî âåêòîð ïåð-

ïåíäèêóëÿðíûé ãðàíèöå, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà ýëåìåíòó äëèíû ãðàíèöû.
×òîáû îáîáùèòü ðàññìàòðèâàåìûå îðìóëû íà ñëó÷àé îáëàñòåé áîëåå îáùåé îðìû,
ïðèáëèçèì òàêóþ ïðîèçâîëüíóþ îáëàñòü

M

íåêîòîðûì åå ðàçáèåíèåì íà ïðÿìîóãîëüíèêè,

êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå (8). Òîãäà äëÿ êàæäîãî ïðÿìîóãîëüíèêà áóäåò âåðíî ðàññóæäåíèå, ïðèâåäåííîå âûøå. Â ïðåäåëå êîãäà ðàçáèåíèå áóäåò ñòàíîâèòüñÿ áîëåå ìåëêèì,
âêëàäû îò ñîïðÿæåííûõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíèêîâ áóäóò ñîêðàùàòüñÿ. Â ðåçóëüòàòå âñå, ÷òî
îñòàíåòñÿ  ýòî èíòåãðàë ïî ãðàíèöå

ZZ

2

∂M ,
a

òî åñòü:

d x ∂a v =

M

I

dσa v a .

(98)

∂M

Îáîáùåíèå ýòîãî âûâîäà íà ñëó÷àé áîëüøåé ðàçìåðíîñòè î÷åâèäíî. Ýòî çàâåðøàåò ñõåìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ñòîêñà.

Âîïðîñû è çàäà÷è
Fνµ Fαν Fµα = 0.

•

Ïîêàæèòå, ÷òî

•

Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ äåéñòâèÿ

•

Ïîëó÷èòå (84) èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ.

ãäå

a

è

b

 íåêîòîðûå ðàçìåðíûå êîíñòàíòû.

70

S =

R



d4 x a Fµν F µν + b Fνµ Fαν Fβα Fµβ ,

•

àññìîòðèì íå èíâàðèàíòíîå
îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé
Ëîðåíöà, íåëèíåéíîå

h
i2
 h
i2 
R 4
˙~ 2
˙
~ + a A,
~ ∂~ × A
~
d x A − ∂~ × A
, ãäå a  íåêîòîðàÿ ðàçìåðäåéñòâèå S =
íàÿ êîíñòàíòà. Îíî ìîæåò îïèñûâàòü ïîâåäåíèå ÝÌ ïîëåé â êàêîéíèáóäü ñðåäå.
Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñëåäóþùèå èç ýòîãî äåéñòâèÿ.

71

Ñèììåòðèè è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ â ïðèñóòñòâèè
ïîëåé, òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è ÷àñòèö, áàëàíñ ýíåðãèè ÷àñòèö è ïîëÿ.
Ëåêöèÿ VII;

1.

Íà ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû ââåëè äåéñòâèå, êîòîðîå îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ÝÌ

ïîëÿ è ñèñòåìû

N

çàðÿæåííûõ òî÷å÷íûõ ÷àñòèö:



S Aµ (x), zqµ (τ ) = −

−
ãäå

N
X



mq c

q=1

zqµ (τq )

Z

dτq

q

żq2 (τq ),

 ìèðîâàÿ ëèíèÿ

1
16 π c

Z

4

d x Fµν F

µ

j (x) =

N
X

eq c

q=1

q é

÷àñòèöû

µν

Z

1
− 2
c

q = 1, . . . , N ,

Z

d4 xAµ (x) j µ (x) −

dτq żqµ (τq ) δ (4) [x − zq (τq )] ,
à

τq

(99)

 ñîáñòâåííîå âðåìÿ âäîëü åå

ìèðîâîé ëèíèè.
 ýòîì äåéñòâèè îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ÿâëÿþòñÿ êàê Aµ (x), òàê è âåñü íàáîð
µ
zq (τq ), q = 1, . . . , N . Åñëè âàðüèðîâàòü ýòî äåéñòâèå ïî zq̄µ (τq̄ ) ïðè èêñèðîâàííîì Aµ (x) è
µ
âñåõ îñòàëüíûõ zq (τq ), q 6= q̄ , òî ïåðâûé ÷ëåí â ðàññìàòðèâàåìîì äåéñòâèè íå äàåò âêëàäà

âîîáùå, à èç ïîñëåäíèõ äâóõ ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ ÷àñòèöû ïîä íîìåðîì

q̄

âî âíåøíåì ïîëå:

duµq̄
eq̄
= Fνµ uνq̄ ,
mq̄ c
dsq̄
c
Òàê ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ âñåõ

q.
Aµ (x)

Åñëè æå âàðüèðîâàòü äåéñòâèå ïî

sq̄ = c τq̄

ïðè èêñèðîâàííûõ

zqµ (τq ), q = 1, . . . , N ,

òî

òðåòèé ÷ëåí â ðàññìàòðèâàåìîì äåéñòâèè íå äàåò âêëàäà, à èç ïåðâûõ äâóõ ìû ïîëó÷àåì
µ
óðàâíåíèå äëÿ ïîëÿ Aµ (x) ñ òîêîì j (x) â êà÷åñòâå èñòî÷íèêà:

∂ µ Fµν =

4π
jν .
c

Çàäà÷à êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè (ÝÄ) ñîñòîèò èìåííî â ðåøåíèè ïîëó÷åííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ÝÌ ïîëÿ è ñèñòåìû ÷àñòèö.  îáùåé ñèòóàöèè ýòî ÿâëÿåòñÿ î÷åíü
ñëîæíîé çàäà÷åé.  ïîñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû èçó÷èì íåêîòîðûå ïðèìåðû, êîãäà îíà ðåøàåòñÿ òî÷íî è êîãäà åå ìîæíî ðåøèòü â õîðîøåì ïðèáëèæåíèè. Íàïðèìåð, êîãäà ìû
ðàññìàòðèâàëè äðåé ÷àñòèö âî âíåøíè ïîëÿõ, ìû ðåøàëè ýòó çàäà÷ó â ïðèáëèæåíèè,
êîãäà ïîëÿ, ñîçäàâàåìûå ñàìèìè ÷àñòèöàìè áûëè ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ
âíåøíèìè ïîëÿìè.
Ïðè ðåøåíèè ïîäîáíûõ çàäà÷ î÷åíü ïîìîãàåò çíàíèå ðàçëè÷íûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ.
Êàê âû âîçìîæíî óæå ïîíèìàåòå, çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ñëåäóþò èç èíâàðèàíòíîñòåé äåéñòâèÿ. àññìàòðèâàåìîå íàìè äåéñòâèå èíâàðèàíòíî ïî êðàéíåé ìåðå îòíîñèòåëüíî êàëèá′
ðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé Aµ = Aµ − ∂µ α, îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, à òàê
æå  îòíîñèòåëüíî òðàíñëÿöèé â ÏÂ. Ïîñëåäíÿÿ èíâàðèàíòíîñòü ñëåäóåò èç îäíîðîäíîñòè
ÏÂ. À èìåííî, èç òîãî àêòà, ÷òî Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü äëÿ âûøåóêàçàííîãî äåéñòâèÿ
íå çàâèñèò ÿâíî îò

xµ ,

à òîëüêî êàê ñëîæíàÿ óíêöèÿ  ÷åðåç çàâèñèìîñòü

72

Aµ (x):




L = L Aµ (x), ∂µ Aν (x), zqµ (τq ) , 6 xµ .

Íàéäåì çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, ñëåäóþùèå èç ýòèõ èíâàðèàíòíîñòåé Ëàãðàíæèàíà.

2. àññìîòðèì

êàê äåéñòâèå ìåíÿåòñÿ ïðè êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè:

1
S [Aµ − ∂µ α] − S [Aµ ] = 2
c
ò.ê.

Z

d4 x jµ ∂ µ α,

Fµν , zqµ (τq ) è, ñëåäîâàòåëüíî j µ (x) íå èçìåíÿþòñÿ ïðè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.

Ïðè ýòîì:

Z
Èíòåãðàë ïî ãðàíèöå ÏÂ

4

I

µ

d x jµ ∂ α =
H
dV µ . . . ìû

µ

α jµ dV −

Z

d4 x α ∂ µ jµ .
7

êëàäåì ðàâíûì íóëþ , ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íà ïðà-

íèöå ÏÂ íåò íè çàðÿäîâ, íè ïîëåé, à ïîòîìó äëÿ èíâàðèàíòíîñòè äåéñòâèÿ îòíîñèòåëüíî
R 4
êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ íåîáõîäèìî, ÷òîáû íóëþ ðàâíÿëñÿ èíòåãðàë
d x α ∂ µ jµ

ïðè ëþáîì

α(x).

Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû áûë âåðåí

∂ µ jµ = 0
 çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Ò.å. ñëåäñòâèåì êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè
ÿâëÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà. Ýòî î÷åíü âàæíûé àêò, ïîä÷åðêèâàþùèé óíäàìåíòàëüíîñòü êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè.

3. Âûâåäåì òåïåðü êàêîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñëåäóåò èç òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè

â ÏÂ. Åãî ìîæíî âûâåñòè òàêèì æå ñïîñîáîì, êàê áûë âûâåäåí âûøå çàêîí ñîõðàíåíèÿ
çàðÿäà, íî ìû èñïîëüçóåì áîëåå ïðîñòîé ñïîñîá. Â ñèëó âûøåóêàçàííîé íåçàâèñèìîñòè
Ëàãðàíæèàíà îò ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû çàðÿäîâ è ïîëåé â ÏÂ, ìû èìååì, ÷òî:

∂µ L =

∂L
∂L
∂µ Aν +
∂µ ∂α Aν
∂Aν
∂(∂α Aν )

â ñèëó ïðàâèëà äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè
çîâàâøèñü óðàâíåíèåì ËàãðàíæàÝéëåðà

L[Aµ (x), ∂µ Aν (x)]

îò

x.

Âîñïîëü-

∂L
∂L
= ∂α
,
∂Aν
∂(∂α Aν )
ïîëó÷àåì:


∂µ L = ∂α

∂L
∂(∂α Aν )



∂L
∂µ Aν +
∂α ∂µ Aν ⇒ ∂µ L = ∂α
∂(∂α Aν )




∂L
∂µ Aν .
∂(∂α Aν )

Òåïåðü, ïåðåíîñÿ âñå ÷ëåíû â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå íà ïðàâóþ ñòîðîíó, ïîëó÷àåì:

∂α
ò.å. çàêîí ñîõðàíåíèÿ âèäà
7 Ó÷åò

êóðñà.



∂L
∂µ Aν − L δµα
∂(∂α Aν )



= 0,

òàêèõ ãðàíè÷íûõ âêëàäîâ ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíîé èíòåðåñíîé çàäà÷åé, âûõîäÿùåé çà ðàìêè íàøåãî

73

∂α Tµα = 0,

(100)

ãäå

Tµα =

∂L
∂µ Aν − L δµα
∂(∂α Aν )

(101)

 êàíîíè÷åñêèé òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà (ÒÝÈ). Ïîëó÷åííûé çàêîí ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì
µ
òåíçîðíûì îáîáùåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ òîêà ∂µ j = 0. Ìû ýòî óâèäèì ÷óòü ïîçæå.
Äàííîå îïðåäåëåíèå ÒÝÈ èìååò íåîïðåäåëåííîñòü, ñâÿçàííóþ ñ òåì, ÷òî òåíçîð âèäà

∆Tνµ ≡ ∂α Gµα
ν ,

Gµα
ν  ïðîèçâîëüíûé òåíçîð àíòèñèììåòðè÷íûé ïðè ïåðåñòàíîâêå êîâàðèàíòíûõ
µα
αµ
äåêñîâ Gν = −Gν , èìååò 4äèâåðãåíöèþ òîæäåñòâåííî ðàâíóþ íóëþ:

ãäå

∂µ ∆Tνµ = ∂µ ∂α Gµα
ν =

èí-

1
(∂µ ∂α − ∂α ∂µ ) Gµα
ν = 0.
2

Ïîýòîìó ê âûøå îïðåäåëåííîìó êàíîíè÷åñêîìó âûðàæåíèþ ÒÝÈ âñåãäà ìîæíî äîáàâèòü
α
÷ëåí âèäà ∆Tν , íå íàðóøèâ ïðè ýòîì çàêîí ñîõðàíåíèÿ. Îò óêàçàííîé íåîïðåäåëåííîñòè
ìîæíî èçáàâèòüñÿ, åñëè íàëîæèòü íà ÒÝÈ ñ äâóìÿ êîâàðèàíòíûìè èíäåêñàìè óñëîâèå
ñèììåòðè÷íîñòè:

T̂ µν = T µν + ∆T µν = T̂ νµ ,
ïîäîáðàâ ñîîòâåòñòâóþùåãî âèäà âêëàä
µνα
òåíçîð ìîìåíòà ýíåðãèèèìïóëüñà M

∆Tνα . Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, åñëè
≡ xµ T̂ να − xν T̂ µα . Äåéñòâèòåëüíî:

ñîõðàíÿåòñÿ

∂α Mµνα = (∂α xµ ) T̂ να − (∂α xν ) T̂ µα = T̂ νµ − T̂ µν = 0.
Ìû âñåãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèììåòðè÷íûé ÒÝÈ, à íå êàíîíè÷åñêèé (â ñëó÷àå åñëè îíè
îòëè÷àþòñÿ).

4. Íàéäåì ÿâíûé âèä ÒÝÈ äëÿ ÝÌ ïîëÿ â îòñóòñòâèè

ïëîòíîñòü ðàâíà:

L = − 161π Fµν F µν .

çàðÿäîâ, ò.å. êîãäà Ëàãðàíæåâà

Òîãäà íàõîäèì:

∂L
1
1 νµ
=−
2 (F νµ − F µν ) = −
F
∂(∂ν Aµ )
16 π
4π
è êàíîíè÷åñêèé ÒÝÈ ðàâåí:

Tαν = −
ãäå

F 2 ≡ Fµβ F µβ . Ïîëó÷åííûé

1 ν 2
1 νµ
F ∂α Aµ +
δ F ,
4π
16 π α

(102)

êàíîíè÷åñêèé ÒÝÈ íè êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòåí, íè ñèì-

ìåòðè÷åí. Äîáàâèì ê íåìó ÷ëåí âèäà

∆Tαν =

1
∂µ (F νµ Aα ) ,
4π
74

êîòîðûé, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà áåç çàðÿäîâ

∆Tαν =

∂µ F µν = 0, ìîæíî çàïèñàòü

â âèäå:

1 νµ
F ∂µ Aα .
4π

Òîãäà ìû ïîëó÷àåì:

T̂αν

1
=−
4π



F

νµ


1 ν 2
Fαµ − δα F .
4

Çàìå÷ó, ÷òî ñëåä òàêîãî òåíçîðà ðàâåí íóëþ:

T̂νν = 0.

(103)

Ïîìèìî ýòîãî, ïîëó÷åííûé ÒÝÈ

ÿâëÿåòñÿ è êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì è ñèììåòðè÷íûì. Îòíûíå ìû âñåãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü èìåííî ýòîò ÒÝÈ è îïóñòèì êðûøêó â åãî çíàêå.

5. àñïèøåì

T00

ïîêîìïîíåíòíî ïëó÷åííûé ÒÝÈ ÷åðåç ÝÌ ïîëÿ

~
E

è

~:
B





1 0 2
1
1  ~ 2 ~ 2
1  ~ 2 ~ 2
1
0µ
0i
F F0µ − δ0 F = −
F F0i −
B −E
=
E +B
=−
4π
4
4π
2
8π

Âåëè÷èíà

W ≡ T00

(104)

ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ÝÌ ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, Ëàãðàâíæåâà

ïëîòíîñòü ÝÌ ïîëÿ ðàâíà:

ãäå

T ∝ Ei2 ∝ (∂0 Ai − ∂i A0 )2

~2 − B
~ 2 ≡ T − U,
L ∝ Fµν F µν ∝ E
 ýòî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÝÌ ïîëÿ, ò.ê. ñîäåðæèò ïðîèç-

âîäíûå ïî âðåìåíè îò êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ ∂0 Ai , ò.å. çàâèñèò îò ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ
2
2
ýòèõ âåëè÷èí; ïðè ýòîì U ∝ Bi ∝ (ǫijk ∂j Ak ) íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè, à
8
ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé . Ò.ê. Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü ðàâíà L = T − U ,
~2 + B
~ 2 äîëæíà áûòü ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè.
òî âåëè÷èíà W = T + U ∝ E
àññìîòðèì òåïåðü 3âåêòîð:

Si = −c Ti0 =

c 0j
c
c
c 0µ
F Fiµ =
F Fij =
(−Ej ) (−ǫijk Bk ) =
ǫijk Ej Bk .
4π
4π
4π
4π

Âåëè÷èíà

i
c h~
~
~
E
×
B
S=
4π

(105)

 íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ÓìîâàÏîéíòèíãà.

×òîáû ïîíÿòü èçè÷åñêèé ñìûñë âåêòîðà

~,
S

ðàññìîòðèì íóëåâóþ êîìïîíåíòó çàêîíà

ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèèèìïóëüñà óìíîæåííóþ íà ñêîðîñòü ñâåòà:

c ∂µ T0µ = c ∂0 T00 + c ∂i T0i = c ∂0 W + ∂i Si =
8 Íàïîìíþ,

∂
~ = 0.
W + div S
∂t

÷òî âûøå ïðè ðàññìîòðåíèè âîëí â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ìû ïîëó÷èëè Ëàãðàíæåâó
ïëîòíîñòü âèäà L = φ̇2 /c̄2 − φ′2 , ãäå ïðè âçÿòèè íåïðåðûâíîãî ïðåäåëà ÷ëåí φ̇2 , ñîäåðæàùèé ïðîèçâîäíûå
ïî âðåìåíè, ïîëó÷àëñÿ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè øàðèêîâ, à ÷ëåí φ′2 , ñîäåðæàùèé òîëüêî ïðîèçâîäíóþ
ïî ïðîñòðàíñòâåííîìó íàïðàâëåíèþ  èç ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðóæèí.
75

Ò.å. ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè èëè çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ÝÌ ïîëÿ. Ò.å.
âåêòîð

~
S

 ýòî âåêòîð, îïðåäåëÿþùèé ïîòîê ÝÌ ýíåðãèè.

6. Â ïðèñóòñòâèè

çàðÿäîâ ñèòóàöèÿ èçìåíèòñÿ. Óìíîæèì îáå ñòîðîíû óðàâíåíèÿ äâèR
duµ
e
(4)
µν
íà δ
[x
−
z(s)]
è ïðîèíòåãðèðóåì ïî
ds  ñîáñòâåííîìó
æåíèÿ çàðÿäà: m c
=
F
u
ν
ds
c
âðåìåíè. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå:

Z

mc

+∞
−∞

e
duµ (4)
δ [x − z(s)] = F µν
ds
ds
c

Z

+∞
−∞

ds uν δ (4) [x − z(s)] =

1 µν
F jν .
c2

Ïðîèíòåãðèðóåì ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî ÷àñòÿì, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî:


dz ν


d (4)
δ [x − z(s)] = − ∂ν δ (4) [x − z(s)]
= − ∂ν δ (4) [x − z(s)] uν ,
ds
ds

ñëåäóþùåå èç ïðàâèëà äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè. Òîãäà ïîëó÷àåì:

m c ∂ν
èëè ÷òî òîæå ñàìîå

Z

ds uν uµ δ (4) [x − z(s)] =

νµ
∂ν Tpart
=

1 µν
F jν
c2

1 µν
F jν ,
c

(106)

ãäå ìû ââåëè

µν
Tpart

= mc

2

Z

ds uµ uν δ (4) [x − z(s)]

(107)

 ÒÝÈ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû. Äåéñòâèòåëüíî

µν
Tpart

= mc

2

Z

dt

ds µ ν (3)
ds µ ν
u u δ(x0 − c t) δ (3) [~x − ~z (t)] = m c
u u δ [~x − ~z (t)] .
dt
dt

 ÷àñòíîñòè

00
Tpart
= m c2 u0 δ (3) [~x − ~z (t)]
R 3
00
 ïëîòíîñòü ýíåðãèè òî÷å÷íîé ÷àñòèöû, ò.ê.
d V Tpart
= m c2 u0 = p0 c, ãäå M
M
3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, âêëþ÷àþùàÿ ÷àñòèöó â ìîìåíò âðåìåíè t. Äàëåå

îáëàñòü

0i
00
Tpart
= m c2 ui δ (3) [~x − ~z (t)] = Tpart
vi
 ïëîòíîñòü èìïóëüñà òî÷å÷íîé ÷àñòèöû.  ïîñëåäíåé îðìóëå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì,
i
i
i
i
÷òî u = dz /ds, à v = dz /dt.
Êàê ìû âèäèì, â ïðèñóòñòâèè ïîëÿ ÒÝÈ ÷àñòèö íå ñîõðàíÿåòñÿ, ò.ê. â ñèëó (106)
νµ
ìû èìååì ∂ν Tpart 6= 0: ïîëå î÷åâèäíî ìîæåò óíîñèòü ýíåðãèþ â âèäå èçëó÷åíèÿ èëè æå
ïðèâíîñèòü åå ðàçãîíÿÿ ÷àñòèöû. Òàê æå â ïðèñóòñòâèè ÷àñòèö íå áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ ÒÝÈ


µν
1
F µα Fαν − 14 η µν F 2 , ðàññìîòðåííûé íàìè âûøå â ýòîé ëåêöèè. Îäíàêî,
ïîëÿ Tf ield = −
4π
µν
µν
êàê ìû ñå÷àñ óâèäèì, áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ ñóììàðíûé ÒÝÈ äëÿ ÷àñòèö è ïîëÿ T
= Tpart
+
Tfµνield . Äåéñòâèòåëüíî ïîêàæåì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå 
76

1 µν
F jν = −∂ν Tfµνield
c

(108)

 áàëàíñà ýíåðãèè ÷àñòèö è ÝÌ ïîëÿ. Îïðåäåëèì 4âåêòîð

4 π f µ ≡ − 4cπ F µν jν

è ïîä-

ñòàâèì â íåãî âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè 4òîêà, ñëåäóþùåå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà
c
∂ µ Fµν . Òîãäà
4π

jν =

4 π f µ = −F µα ∂ ν Fαν = −∂ ν (F µα Fαν ) + Fαν (∂ ν F µα ) .
Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü óðàâíåíèåì:

∂ ν F µα + ∂ α F νµ + ∂ µ F αν = 0,

(109)

µναβ
êîòîðîå òîæäåñòâåííî ýêâèâàëåíòíî ïåðâîé ïàðå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ǫ
µν
µ ν
ν µ
è, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, òîæäåñòâåííî âûïîëíÿåòñÿ, åñëè F
=∂ A −∂ A .

ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå.

Óìíîæàÿ ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå íà

Fαν

∂ν Fαβ = 0
Ïðîâåðüòå

è ñóììèðóÿ ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì,

ïîëó÷àåì, ÷òî

Òîãäà

4 π fµ



1
1
Fαν ∂ ν F µα = − Fαν ∂ µ F αν = − ∂ µ F 2 .
2
4

 µα
1 µ 2
ν
= −∂ F Fαν + 4 δν F . Ò.å. äåéñòâèòåëüíî f µ = −∂ν Tfνµ
ield

è óðàâíåíèå

áàëàíñà ýíåðãèè ÷àñòèö è ÝÌ ïîëÿ âåðíî.

7.

Ñëåäîâàòåëüíî, ìû èìååì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîãî ÒÝÈ ñèñòåìû ÷àñòèö è ÝÌ

ïîëÿ



νµ
∂ν Tpart
+ Tfνµ
ield = 0.

(110)

àññìîòðèì íóëåâóþ êîìïîíåíòó ýòîãî óðàâíåíèÿ:







µ0
00
00
i0
i0
0 = ∂µ Tpart
+ Tfµ0
ield = ∂0 Tpart + Tf ield + ∂i Tpart + Tf ield

Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî óðàâíåíèå ïî áîëüøîé îáëàñòè

M

3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà â äàííûé

ìîìåíò âðåìåíè. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ãðàíèöó ýòîé îáëàñòè â âûáðàííûé ìîìåíò âðåìåíè
÷àñòèöû íå ïåðåñåêàþò, ìû ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå:

d
dt
ãäå

Eq

 ýíåðãèÿ

"Z

q é ÷àñòèöû,

3

Wd V +

M

à

N
X
q=1

∂M

#

Eq = −

I

 ãðàíèöà îáëàñòè

~ d~s,
S
∂M

M . Ò.å. ýíåðãèÿ

ñèñòåìû ÷àñòèö è

ïîëÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ âñå ÷àñòèöû ñèñòåìû, èçìåíÿåòñÿ òîëüêî, åñëè ñóùåñòâóåò ïîòîê ýíåðãèè ÝÌ ïîëÿ ÷åðåç ãðàíèöó ðàññìàòðèâàåìîé
îáëàñòè.

Âîïðîñû è çàäà÷è
77

•

Ïîäóìàéòå ñàìîñòîÿòåëüíî êàêîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñëåäóåò èç èíâàðèàíòíîñòè
äåéñòâèÿ/Ëàãðàíæèàíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.

•

Óáåäèòåñü, ÷òî ê ÒÝÈ âñåãäà ìîæíî äîáàâèòü è òåíçîð âèäà

•

Ïîäóìàéòå êàêîé èçè÷åñêèé ñìûñë èìåþò êîìïîíåíòû

äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñêàëÿðíîãî

T (x).

∆Tµν ≡ [∂µ ∂ν − ηµν ∂α ∂ α ] T
T ij , i = 1, 2, 3

ÒÝÈ?

T ij

íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàïðÿæåíèé Ìàêñâåëëà. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî

∂ i
S + ∂ j Tji
c ∂t

0 = ∂ µ Tµi = ∂ 0 T0i + ∂ j Tji =
òîæå îïðåäåëÿåò òðè óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè.

•

Ïðîñòåéøåå äåéñòâèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ

φ,

êîòîðîå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî

ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, èìååò ñëåäóþùèé âèä:

S=
ãäå

V (φ)

Z


1
µ
∂µ φ∂ φ − V (φ) ,
dx
2
4



 ïðîèçâîëüíûé ïîëèíîì îò

φ.

Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è òåíçîð

ýíåðãèèèìïóëüñà ñëåäóþùèé èç ýòîãî äåéñòâèÿ. ×òî ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè,
à ÷òî ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì âåêòîðà Ïîéíòèíãà â ýòîì ñëó÷àå?

78

Ýëåêòðî è ìàãíåòîñòàòèêà, äèïîëüíûé è êâàäðóïîëüíûé ìîìåíòû, ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèå, ìàãíèòíûé
äèïîëüíûé ìîìåíò.

Ëåêöèÿ VIII;

1. Íà÷èíàÿ ñ ýòîé ëåêöèè,

ìû áóäåì ðåøàòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà:

∂µ F µν =
îòíîñèòåëüíî

Aµ

ïðè çàäàííîì

jν .

4π ν
j
c

Íà÷íåì ìû ñî ñòàòè÷åñêèõ ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ ëèáî

ñòàòè÷åñêèìè çàðÿäàìè, ëèáî æå ñòàöèîíàðíûìè òîêàìè.
Äëÿ íà÷àëà îáñóäèì îáùèå ñâîéñòâà ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ. Ïîäñòàâèì â íåãî

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ :
4π ν
j .
c
~2 =
− ∆, ãäå ∆ ≡ ∇

∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) ≡ ∂µ ∂ µ Aν − ∂ ν ∂µ Aµ =
~ 2 = 12 ∂ 22
∂µ ∂ µ ≡  = ∂02 − ∇
c ∂t
îïåðàòîð  íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì

 ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè
îïåðàòîð Ëàïëàñà. À

∂2
∂x2

2

2

∂
∂
+ ∂y
2 + ∂z 2



ä'Àëàìáåðà.

Ïîëó÷åíííîå óðàâíåíèå âûãëÿäèò äîâîëüíî ñëîæíî. Îäíàêî ó íàñ åñòü íåêîòîðàÿ ñâî′
áîäà â âûáîðå Aµ , ñâÿçàííàÿ ñ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ Aµ = Aµ − ∂µ α. Ïîäáåðåì
µ ′
µ
µ
µ
µ
óíêöèþ α(t, x, y, z) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ∂ Aµ ≡ ∂ Aµ − ∂ ∂µ α = 0, ò.å. ∂ ∂µ α = ∂ Aµ .
 ðàññìàòðèâàåìûõ çäåñü óñëîâèÿõ, äëÿ ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãî

áðàòü òàêóþ

α.

Aµ

âñåãäà ìîæíî ïîäî-

Íèæå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü âåêòîð ïîòåíöèàë, óäîâëåòâîðÿþùèé ýòîìó

óñëîâèþ, è îïóñòèì øòðèõ â åãî áîçíà÷åíèè.
Óñëîâèå

∂µ Aµ = 0,

(111)

èêñèðóþùåå êàëèáðîâî÷íóþ ñâîáîäó, íàçûâàåòñÿ êàëèáðîâêîé Ëîðåíöà. Åñëè âûáðàòü
âåêòîð ïîòåíöèàë, óäîâëåòâîðÿþùèé ýòîìó óñëîâèþ, òî âòîðàÿ ïàðà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, çàïèñàííàÿ êàê óðàâíåíèå íà

Aµ ,

ñâåäåòñÿ ê:

Aν =

4π ν
j .
c

(112)

Íàïîìíþ, ÷òî â ïåðâîé ëåêöèè ìû ïîëó÷èëè àíàëîãè÷íîå 2ìåðíîå óðàâíåíèå:

φ(t, x) ≡



∂2
1 ∂2
−
c̄2 ∂t2 ∂x2



φ(t, x) = 0,

îïèñûâàþùåå çâóêîâûå âîëíû â êðèñòàëëå.  ñëó÷àå ýëåêòðîäèíàìèêè ìû èìååì äåëî,
âîîáùå ãîâîðÿ, ñ ÷åòûðüìÿ óðàâíåíèÿìè  äëÿ êàæíîãî

ν = 0, 1, 2, 3.

À òàê æå ñ ïðàâîé

ñòîðîíû óðàâíåíèÿ (112) èìååòñÿ èñòî÷íèê, îòâå÷àþùèé ýëåêòðè÷åñêîìó òîêó. Çàìå÷ó,
÷òî äëÿ ïîëÿ

φ(t, x)

òîæå ìîæíî äîáàâèòü èñòî÷íèê ñ ïðàâîé ñòîðîíû ñîîòâåòñòâóþùåãî

óðàâíåíèÿ. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë òàêîãî èñòî÷íèêà ñîñòîèò êàê ðàç â òîì, ÷òî ìû ìîæåì äèñëîöèðîâàòü øàðèêè èç èõ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, äåéñòâèå âíåøíåé ñèëû
79

íà i-é øàðèê  íà

φi (t)

(èëè æå íà

φ(t, x) â íåêòîðîðîé

ñòîðîíå ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ â âèäå èñòî÷íèêà.

2.

x)  ïðîÿâëÿåòñÿ íà ïðàâîé
Ïîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.

òî÷êå

Íàéäåì êàêîå ïîëå ñîçäàåò ïîêîÿùèéñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò òî÷å÷íûé çàðÿä. Åñòü

ìíîãî ñïîñîáîâ ðåøèòü ýòó çàäà÷ó. Ìû âûáåðåì íå ñàìûé ïðîñòîé, íî óíäàìåíòàëüíûé
ñïîñîá. Îí äàñò íàì ìåòîä ðåøåíèÿ àíàëîãè÷íûõ áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷.
Ìèðîâàÿ ëèíèÿ çàðÿäà, êîãäà îí ïîêîèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò, èìååò âèä

(t, 0, 0, 0).

Ïîýòîìó êîìïîíåíòû òîêà ñëåäóþùèå:

0

j = ec
ò.ê.

z µ (t) =

~z(t) ≡ 0.

Ïðè ýòîì

Z

dt

~j = 0



dz 0
δ x0 − z 0 δ (3) [~x − ~z(t)] = e c δ (3) (~x),
dt

îïÿòü æå ïîòîìó ÷òî

÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé:

~z(t) ≡ 0.

Èòàê, ìû äîëæíû íàéòè

A0 = 4 π e δ (3) (~x),
~ = 0.
A
Íàñ èíòåðåñóåò ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì, ÷òî

Aµ

ðàâíî

íóëþ íà ïðîñòðàíñòâåííîé áåñêîíå÷íîñòè. (ßñíî, ÷òî òî÷å÷íûé çàðÿä ñîçäàåò íóëåâîå
ïîëå î÷åíü äàëåêî îò åãî ïîëîæåíèÿ.) Òîãäà âèäíî, ÷òî òî÷å÷íûé ïîêîÿùèéñÿ çàðÿä íå
ñîçäàåò ïîëå

~.
A

Ò.å. ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ 

~ = 0.
A

 ñëåäóþùåé ëåêöèè ìû áóäåì
ν
îáñóæäàòü íåíóëåâûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (ïðè j = 0), íî îíè íå ñîçäàþòñÿ

èñòî÷íèêàìè íà ïðàâîé ñòîðîíå òàêèõ óðàâíåíèé, à ñóùåñòâóþò áåç èñòî÷íèêîâ. È îíè íå
ðàâíû íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè.

~ ≡ rotA
~ = 0  ïîêîÿùèéñÿ
B
0
Óðàâíåíèå æå íà A ≡ ϕ èìååò âèä:

Èòàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå,
ñîçäàåò ìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Èç êàëèáðîâî÷íîãî óñëîâèÿ

1 ∂2ϕ
− ∆ϕ = 4 π e δ (3) (~x).
c2 ∂t2
~ =0
~ =0èA
∂µ Aµ ≡ ∂t ϕ − ∂~ A

ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íå

ñëåäóåò, ÷òî

ϕ

íå çàâèñèò îò

âðåìåíè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîëæíû ðåøàòü óðàâíåíèå Ïóàññîíà:

∆ϕ = −4 π e δ (3) (~x).

(113)

àçëîæèì ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â èíòåãðàë Ôóðüå:

ϕ(~x) =
ãäå

ϕ̃(~k)

 Ôóðüå ãàðìîíèêè ïîëÿ

Z

d3 k i ~k ~x ~
e ϕ̃(k),
(2 π)3

ϕ(~x).

(114)

Ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå

ÿ îáñóæäàþ â êîíöå ýòîé ëåêöèè. Ñåé÷àñ æå òîëüêî çàìå÷ó, ÷òî íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî
~
3
ei k ~x êîìïëåêñíàÿ óíêöèÿ,
 ðåóëüòàò

 åå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî d k ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé
óíêöèåé

ϕ(~x), òàê êàê ϕ̃∗ ~k = ϕ̃ −~k

, êàê ñëåäóåò èç îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.

Äàëåå âñïîìíèì, ÷òî

80

(3)

δ (~x) ≡ δ(x) δ(y) δ(z) =

Z

dkx i kx x
e
2π

Z

dky i ky y
e
2π

Z

dkz i kz z
e
=
2π

Z

d3 k i ~k ~x
e .
(2 π)3

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå Ïóàññîíà ñâîäèòñÿ ê:

Çäåñü
ãðàëà

Z
d3 k i ~k ~x
d3 k i ~k ~x ~
e
ϕ̃(
k)
=
−4
π
e
e .
∆
(2 π)3
(2 π)3
îïåðàòîð Ëàïëàñà äåéñòâóåò òîëüêî íà ~
x, ïîýòîìó åãî ìîæíî
i ~k ~
x
:
è ïðèìåíèòü ïðÿìî ê óíêöèè e

i ~k ~
x

∆e

Z

i kl xl

≡ ∂j ∂j e



âíåñòè ïîä çíàê èíòå-





∂xn i kl xl
e
= ∂j i kn δnj ei kl xl =
∂j (i kn xn ) = ∂j i kn
∂xj
~
~
= i kj ∂j ei kl xl = (i kj i kj ) ei kl xl = −kj kj ei k ~x = −~k 2 ei k ~x .


i kl xl

= ∂j e

Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê

Íî ò.ê. íàáîð ãàðìîíèê

~

ei k ~x

Z


 ~
d3 k k 2 ϕ̃(k) − 4 π e ei k ~x = 0.

ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå óíêöèé, òî ýòî

ðàâåíñòâî ìîæåò áûòü âåðíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

k 2 ϕ̃(k) − 4 π e = 0.
Êàê ìû âèäèì, ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñâåëîñü ê ïðîñòîìó àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ.  ýòîì è áûë ñìûñë ïðèìåíåíèÿ ïðåîáðàçî2
âàíèÿ Ôóðüå. Çíàÿ ðåøåíèå ϕ̃(k) = 4 π e/k ðàññìàòðèâàåìîãî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ,
ìû ìîæåì íàéòè èñêîìîå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ:

φ(x) = 4 π e

Z

~

d3 k ei k ~x
.
(2 π)3 k 2

×òîáû âû÷èñëèòü ïîëó÷åííûé èíòåãðàë, âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå

~k

ñåðè÷åñêóþ ñèñòåìó

êîîðäèíàò:

kx
ky
kz
k
è íàïðàâèì îñü

Z

~

Z

k cos φ sin θ,
k sin φ sin θ
k cos θ
[0, +∞), φ ∈ [0, 2 π),

âäîëü âåêòîðà

Z

~x.

θ ∈ [0, π]

Òîãäà

Z

Z +∞ Z 1
ei k x cos θ
dθ sin θ
dφ
= 2π
dk k
dk
d cos θ ei k x cos θ =
2
k
0
0
0
0
−1
Z +∞
Z
Z +∞

4π
sin k x
sin κ
4 π +∞
1
ikx
−i k x
dk
dκ
e
−e
=
=
,
= 2π
dk
ikx
x 0
k
x 0
κ
0

ei k ~x
dk 2 =
k
3

kz

=
=
=
∈

+∞

2

π

2π

81

ãäå

κ = k x.

 ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû ïîëó÷àåì òàáëè÷íûé èíòåãðàë, èçâåñòíûé âàì
R +∞
dκ sinκ κ = π2 . Ñîáèðàÿ âñå ïîëó÷åííûå
0
îðìóëû âìåñòå, ïîëó÷àåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà èìååò âèä
èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îí ðàâåí

e
|~x|

ϕ(x) =

(115)

è îïðåäåëÿåò ïîòåíöèàë Êóëîíà. Äåéñòâèòåëüíî, ìû çíàåì, ÷òî ïîêîÿùèéñÿ òî÷å÷íûé
çàðÿä äîëæåí ñîçäàâàòü ñòàòè÷åñêîå ïîëå Êóëîíà.  ýòîì ñëó÷àå óðàâåíèÿ Ìàêñâåëëà
èìåþò òî÷íîå ðåøåíèå.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì,

N

çàðÿäîâ, çàèêñèðîâàííûõ â òî÷êàõ

~rq , q = 1, . . . , N

ïðèâî-

äÿò ê óðàâíåíèþ:

∆ϕ = −4 π

N
X
q=1

eq δ (3) (~x − ~rq ),

(116)

ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä

ϕ(~x) =

N
X
q=1

eq
.
|~x − ~rq |

(117)

Çàìå÷ó, ÷òî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå èçè÷åñêè îñìûñëåííî, åñëè çàðÿäû èêñèðîâàííû â
ñâîèõ ïîëîæåíèÿõ êàêèìè-òî âíåøíèìè ñèëàìè. Èíà÷å, ïîä äåéñòâèåì ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ
ìåæäó íèìè, îíè áû íà÷àëè äâèãàòüñÿ. Èõ ìèðîâûå ëèíèè îïðåäåëÿëèñü áû ðåøåíèÿìè
duµ
q
= ecq Fνµ uνq , ãäå Fµν  ÝÌ ïîëå ñîçäàâàåìîå ñàìèìè æå çàðÿäàìè.
óðàâíåíèé: mq c
dsq
åøåíèÿ òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé íå îòâå÷àëè áû ïîêîÿùèìñÿ çàðÿäàì. Ò.å. ïðàâàÿ ÷àñòü
â óðàâíåíèè Ïóàññîíà èìåëà áû íå ñòàòè÷åñêèå èñòî÷íèêè. ß âñå ýòî îòìåòèë äëÿ òîãî,
÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî çàìêíóòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ íåñêîëüêî ÷àñòèö
âìåñòå ñ ÝÌ ïîëåì, íå èìååò òî÷íîãî ðåøåíèÿ â îòëè÷èè îò ñèòóàöèè ñ îäíèì òî÷å÷íûì
çàðÿäîì.

3.

àññìîòðèì êàê âûãëÿäèò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ñèñòåìîé ñòàòè÷åñêèõ

çàðÿäîâ, íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ýòîé ñèñòåìû:

ϕ(R) =

N
X

eq
~ − ~rq
R

q=1

.

Âûáåðåì öåíòð ÑÊ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ. Òîãäà, ò.ê. öåíòð ÑÊ íàõîäèòñÿ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ, à ðàçìåðû ýòîé ñèñòåìû ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ
Ïîýòîìó âñå ÷ëåíû â ñóììå, îïðåäåëÿþùåé
ñòåïåíÿì

~rq .

~ ≡ ∂/∂ R
~.
∇

X  eq
q

~ 1
− eq ~rq ∇
R
R

Ñëåäîâàòåëüíî â ëèíåéíîì ïîðÿäêå
82

òî

R ≫ |~rq |, ∀q .

ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà ïî

Ïðèðàçëîæåíèè äî ëèíåéíîãî ÷ëåíà, ìû èìååì:

ϕ(R) ≈
ãäå

ϕ(R),

~ ≡ R,
|R|



,

ϕ(R) ≈
Çäåñü

P

q

eq = Q

P

X

q eq
−
R

eq ~rq

q

!

~ 1.
∇
R

(118)

 ïîëíûé çàðÿä ñèñòåìû, à

d~ ≡

N
X

eq ~rq

(119)

q=1

 äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû çàðÿäîâ.

~ íå çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëà ÑÊ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
òî âåëè÷èíà d
ñäâèíóòü íà÷àëî ÑÊ ~
rq′ = ~rq +~a, ∀q , òî âåêòîð äèïîëüíîãî ìîìåíòà èçìåíèòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
Åñëè

Q = 0,

d~′ =

X

eq (~rq + ~a) =

q

X

eq ~rq + ~a

q

X

~
eq = d~ + 0 = d.

q

Åñëè ïîëíûé çàðÿä ñèñòåìû ðàâåí íóëþ, òî ïðè áîëüøèõ

~
ϕ(1) (R) = −d~ ∇

1
=
R



~R
~
d,
R3



R

ïîòåíöèàë èìååò âèä

,

(120)

à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ðàâíà

~ = −∇
~
E
ãäå



~ R
~
d,
R3



=



3 ~n, d~ ~n − d~
R3

,

(121)

~ .
~n = R/R
àçëîæèì òåïåðü

ϕ(R)

~rq . Òîãäà
!
X
1
∂2
,
eq xiq xjq
i ∂X j R
∂X
q

äî âòîðîé ñòåïåíè ïî

ϕ(2) (R) =

1
2

~ . Âûðàæåíèå
xiq , i = 1, 2, 3  êîîðäèíàòû âåêòîðà ~rq , à X i  êîîðäèíàòû âåêòîðà R
i j
(2)
q eq xq xq  ñèììåòðè÷íûé 3 × 3 òåíçîð ñ èíäåêñàìè i, j . Ñëåäîâàòåëüíî íàèâíî ϕ (R)
2
3 (3+1)
= 6 íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò ýòîãî òåíçîðà. Îäíàêî, ∆ R1 = δij ∂X∂i ∂X j R1 =
çàâèñèò îò
2
0, âåäü â ñèëó òîãî, ÷òî ìû ñìîòðèì íà ñèñòåìó ñ áîëüøèõ ðàññòîÿíèé R 6= 0. Ïîýòîìó
çäåñü

P

ìîæíî ïðåäñòàâèòü



1 2 ij
∂2
1
1 X
i j
eq xq xq − ~rq δ
,
ϕ (R) =
i
j
2 q
3
∂X ∂X R


P
i j
ãäå òåíçîð Dij =
r 2 δ ij íàçûâàåòñÿ êâàäðóïîëüíûì ìîìåíòîì ñèñòåìû.
q eq 3 xq xq − ~
Èç åãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åãî ñëåä Djj = 0, ò.å. ýòî ñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ 5-þ
(2)

íåçàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè. Òàêèì îáðàçîì:
83

ϕ(2) (R) =

∂2
Dij ni nj
1
Dij
=
.
6 ∂X i ∂X j R
2 R3

Ïðè äàëüíåéøåì ðàçëîæåíèè ïî ñòåïåíÿì

ϕ(R),

4.

~rq

(122)

âûðàæåíèÿ ïîä çíàêîì ñóììû â îïðåäåëåíèè

ìû ïîëó÷àåì ìóëüòèïîëüíûå ìîìåíòû ñèñòåìû çàðÿäîâ.
àññìîòðèì òåïåðü òàêóþ æå ñèñòåìó çàðÿäîâ âî âíåøíåì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Åå

ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà:

U=

X

eq ϕ(rq ).

q

Âûáåðåì íà÷àëî ÑÊ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âíåøíåå ïîëå ñëàáî ìåíÿåòñÿ âíóòðè ñèñòåìû, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñëàáî íåîäíîðîäíûì.
Òîãäà ìîæíî ðàçëîæèòü

U=

X
q

ãäå

ϕ(rq )

ïî ñòåïåíÿì

~
eq ϕ(0) + eq ~rq ∇ϕ(0)
+ ...

~ 0 = −∇ϕ(0)
~
E



~rq

= ϕ(0)

âîêðóã íóëÿ. Ïîëó÷àåì:

X

eq +

q

X
q

eq ~rq

!

~
∇ϕ(0)
+··· =



~
~
= ϕ(0) Q − E0 , d + . . . ,

 ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â íà÷àëå ÑÊ.

Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ñèñòåìó, ðàâíà:



~
~
~
~
~
~
F = −∇U = E0 Q + ∇ d, E0 + . . . ,

(123)

à ïîëíûé ìîìåíò ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ñèñòåìó, ðàâåí

~ ≈
K
Ñëåäóþùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè

i h
i
Xh
~ 0 = d~ × E
~0 .
~rq × eq E
U

ðàâåí:

U (2) =
Ò.ê.

ϕ

(124)

q

∂ 2 ϕ(0)
1 X
eq xiq xjq
.
2 q
∂X i ∂X j

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà, âåäü åãî èñòî÷íèê íàõîäèòñÿ äàëåêî îò íà÷àëà
2ϕ
= 0, òî
∆ϕ = δij ∂X∂i ∂X
j

ÑÊ, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ, ò.å.

U

(2)



1 2
Dij ∂ 2 ϕ(0)
1 ∂ 2 ϕ(0) X
i j
eq xq xq − ~rq δij =
.
=
2 ∂Xi ∂Xj q
3
6 ∂Xi ∂Xj

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îáùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè

rq

ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç ìóëüòèïîëüíûå ìîìåíòû.

84

U =

P

q

eq ϕ(rq )

(125)

ïî ñòåïåíÿì

5. àññìîòðèì òåïåðü äâå ñèñòåìû çàðÿäîâ ñ îáùèìè çàðÿäàìè ðàâíûìè íóëþ Q1,2 = 0,
íî ñ íåíóëåâûìè äèïîëüíûìè ìîìåíòàìè

d~1,2 6= 0.

Ïóñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ñèñòå-

ìàìè âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ðàçìåðàìè. Íàñ èíòåðåñóåò ëèäèðóþùèé âêëàä â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ. Ìîæíî ðàññìîòðåòü ñèòóàöèþ ñ òàêîé òî÷êè çðåíèÿ,
÷òî îäíà èç ñèñòåì çàðÿäîâ íàõîäèòñÿ â ïîëå ñîçäàííîì äðóãîé:
ñîçäàííîå

d~1 .

Ò.å. îòâåò ñëåäóþùèé:

U≈

~ 1,
U = −d~2 E






~
~
d~1 , d~2 R2 − 3 d~1 , R
d~2 , R
R5

ãäå

~1
E

ïîëå,

(126)

 ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ äèïîëåé. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü
ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ ëþáûìè ìóëüòèïîëüíûìè ìîìåíòàìè.

6.

Ïåðåéäåì òåïåðü ê îáñóæäåíèþ ñòàòè÷åñêèõ ìàãíèòíûõ ïîëåé. Íàéäåì ìàãíèòíîå

ïîëå, ñîçäàâàåìîå çàðÿäàìè, ñîâåðøàþùèìè èíèòíîå äâèæåíèå. Òàêîå äâèæåíèå èìååò ñòàöèîíàðíûé Dõàðàêòåð
è ïîýòîìó ìîæíî ðàññìîòðåòü ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå
E

ìàãíèòíîãî ïîëÿ

~
B

. Òîêè, ñîçäàþùèå òàêîå íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè ïîëå, áóäóò óíê-

öèÿìè òîëüêî êîîðäèíàò, íî íå âðåìåíè.

Ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå òîêàìè, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé:

~ = rot A,
~
B
~
~ = 1 ∂ E + 4 π ~j.
rot B
c ∂t
c
Óñðåäíÿÿ èõ ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì:

D E
D E
~
~ ,
B = rot A
D E 4π D E
~ =
~j ,
rot B
c

ò.ê. ñðåäíåå D
ïî âðåìåíè
ïðîèçâîäíîé îò âåëè÷èíû, ìåíÿþùåéñÿ â êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ,
E
~
∂E
ðàâíî íóëþ:
= 0.
∂t
Òîãäà óðàâíåíèå íà ñðåäíåå îò âåêòîð ïîòåíöèàëà èìååò âèä:

~ − ∆A
~ = 4 π ~j.
grad div A
c
Äëÿ óïðîùåíèÿ îðìóë, ìû íå âûïèñûâàåì äàëåå çíàê óñðåäíåíèÿ, èìåÿ åãî ââèäó. Íà
ïðàâîé ñòîðîíå ïîñëåäíåé îðìóëû òîê

~j

íå çàâèñèò îò âðåìåíè.

Äëÿ óïðîùåíèÿ ïîñëåäíåé îðìóëû, èñïîëüçóåì ïðîèçâîë, ñâÿçàííûé ñ êàëèáðîâî÷íîé
èíâàðèàíòíîñòüþ, ÷òîáû çàèêñèðîâàòü Êóëîíîâñêóþ êàëèáðîâêó:

~ = 0.
div A
Òîãäà óðàâíåíèå íà

~
A

óïðîùàåòñÿ äî:
85

(127)

~=−
∆A

4π~
j.
c

Ìû çíàåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà

∆

Ëàïëàñà

äåéñòâóåò òîëüêî íà

~x,

~r

à

èãðàåò

(128)

∆ϕ (~x − ~r) = −4 π δ (3) (~x − ~r), ãäå îïåðàòîð
1
ðîëü ïàðàìåòðà, èìååò âèä ϕ (~
x − ~r) = |~x−~
.
r|

Ýòî çíàíèå ïîìîãàåò íàì íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (128):

1
~
A(x)
=
c

Z

~j(r) 3
d r.
|~x − ~r|

(129)

Äåéñòâèòåëüíî:

1
∆x
c

Z

Z
Z
~j(r) 3
1
1
4π
3
~
~j(r) δ (3) (~x − ~r) d3 r = − 4 π ~j(x),
d r=
j(r) ∆x
d r=−
|~x − ~r|
c
|~x − ~r|
c
c

ãäå ó÷òåíî, ÷òî
ïî

r.

∆x

äåéñòâóåò òîëüêî íà

Çíàÿ âåêòîðíûé ïîòåíöèàë

~ = rot A
~ = rot 1
B
c

~ ,
A(x)
Z

~x è ïîýòîìó

åãî ìîæíî âíåñòè ïîä çíàê èíòåãðàëà

ìû ìîæåì íàéòè ìàãíèòíîå ïîëå

~j(r) 3
1
d r=
|~x − ~r|
c

 çàêîí ÁèîÑàâàðà.

7. Åñëè ìû èìååì N

òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ,

h
i
~j × (~x − ~r)

Z

j(x) =
òî ~

|~x − ~r|

3

DP
N

~:
B

d3 r

(130)

E
(3)
˙
rq (t) δ [~x − ~rq (t)] ,
q=1 eq ~

ãäå ìû

ïîäðàçóìåâàåì óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè. Ñëåäîâàòåëüíî ñîçäàâàåìîå èìè ïîëå ðàâíî:

D

E

1
~
A(x)
=
c

Z

d3 r
|~x − ~r|

* N
X
q=1

eq ~r˙q (t) δ (3) [~r − ~rq (t)]

+

N
1 X
=
c q=1

*

eq ~r˙q (t)
|~x − ~rq (t)|

+

.

àññìîòðèì ñðåäíåå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ñèñòåìîé ñòàöèîíàðíî äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ, íà
áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ýòîé ñèñòåìû:

D

E

1
~
A(R)
=
c

*

eq ~r˙q
~ − ~rq
R

X
q

+

.

Âûáåðåì íà÷àëî ÑÊ âíóòðè ñèñòåìû òîêîâ. Òîãäà âûðàæåíèå ïîä ñóììîé ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì

~rq .

D

 ëèäèðóþùåì ïîðÿäêå èìååì:

E

1
~
A(R)
≈
cR

*

X
q

eq ~r˙q

+

1
−
c

*
X

Ïåðâûé èç ýòèõ âêëàäîâ ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê

+

 1
~
.
eq ~r˙q ~rq , ∇
R
q
DP
E
E
D P
d
˙
rq = dt q eq ~rq .
q eq ~

Íî ñðåäíåå

ïî âðåìåíè çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé îò âåëè÷èíû, êîòîðàÿ ìåíÿåòñÿ â êîíå÷íîì èíòåðâàëå,
ðàâíî íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî:
86

D
Ò.ê.

~
R

E

1
~
A(R)
≈−
c

*

X
q



~ 1
eq ~r˙q ~rq , ∇
R

+

1
=
c R3

*
X
q

+


~
eq ~r˙q ~rq , R
.

íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî

X
q





i


X
X h 
~ +1
~ − ~rq ~r˙q , R
~ .
~ ~rq d~rq = 1 d
eq ~rq ~rq , R
eq ~r˙q ~rq , R
eq R,
dt
2 dt q
2 q

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæèâ

D

hd/dt . . . i = 0,

E
~
A(R)
=

èìååì

E D 
Ei
1 X hD ˙ 
˙
~
~
e
~
r
~
r
,
R
−
~
r
~
r
,
R
.
q
q
q
q
q
2 c R3 q

Ââåäåì âåêòîð ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñèñòåìû:

*
+
h
i
X
1
eq ~rq × ~r˙q
.
m
~ =
2c
q

(131)

h
i


~
D
E
m
~ ×R
1
~ ×m
~
= ∇
~ .
A(R)
=
R3
R

(132)

Òîãäà

Çíàÿ

D

~
A(R)

E

, íåòðóäíî íàéòè ìàãíèòíîå ïîëå:

ãäå, êàê îáû÷íî,

D

~ .
~n = R/R

E 3 ~n (m,
~ ~n) − m
~
~
,
B(R)
=
3
R

(133)

Åñëè äëÿ âñåõ ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó, îòíîøåíèå çàðÿäà ê ìàññå

eq /mq = e/m

îäèíàêîâî, òî

1
m
~ ≡
2c

*
X
q

+
h
i
eq ~rq × ~r˙q
=

Òåïåðü, åñëè ñêîðîñòè âñåõ çàðÿäîâ ìàëû

m
~ =

ãäå

~,
M

~
M

e
2mc

~r˙q ≪ c,

òî

*
X
q

+
h
i
mq ~rq × ~r˙q
.

mq ~r˙q = p~q .

Ñëåäîâàòåëüíî

e ~
e X
h[~rq × p~q ]i =
M,
2mc q
2mc

 ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò ñèñòåìû, à îòíîøåíèå ìîäóëÿ âåêòîðà

ò.å.

e/2 m c

(134)

m
~ ê ìîäóëþ âåêòîðà

â íàøåì ñëó÷àå, íàçûâàåòñÿ ãèðîìàãíèòíûì îòíîøåíèåì.
87

8. àññìîòðèì ñèñòåìó çàðÿäîâ âî âíåøíåì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ñðåäíÿÿ ñèëà,
äåéñòâóþùàÿ íà ñèñòåìó, ðàâíà

iE
D E X e Dh
q
~
~r˙q × B
=
F~ =
c
q

*

+
i
d X eq h
~
~rq × B
= 0.
dt q c

Ïðè ýòîì ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîìåíòà ñèë ðàâíî:

h
iiE
D E X e Dh
q
˙
~
~
~rq × ~rq × B
6= 0.
K =
c
q
Íî

~ =
K
ïîýòîìó




o X e  
 1
X eq n 
d 2
q
˙~rq ~rq , B
˙
~
~ −B
~ ~r˙q , ~rq
~
=
~rq ~rq , B − B ~rq ,
c
c
2 dt
q
q

E
E D 
Eo
D E Xe D 
1 X nD ˙ 
q
~
~
~
~ =
eq ~rq ~rq , B
~r˙q ~rq , B
=
− ~rq ~r˙q , B
,
K
c
2c q
q
ãäå âDïîñëåäíåì
ðàâåíñòâå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì æå òðþêîì, ÷òî è ïðè âûâîäå îðìóëû
E

~
A

äëÿ

âûøå. Òàêèì îáðàçîì:

D E h
i
~
~
K = m
~ ×B .

(135)

àññìîòðèì âðàùåíèå ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà ñèñòåìû ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ìîìåíòà
ñèë:

Ïóñòü òåïåðü îòíîøåíèå çàðÿäà

D E h
i
~
dM
~ = m
~ .
≡ K
~ ×B
dt
ê ìàññå, eq /mq , äëÿ âñåõ

÷àñòèö ñèñòåìû èìååò îäíî è òî

æå çíà÷åíèå. Òîãäà

~ ≡
Ω

h
i
dm
~
~ ×m
=− Ω
~ ,
dt

(136)

e
~  ÷àñòîòà Ëàðìîðà. Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò
B
2mc
ïðåöåññèþ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñèñòåìû âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå.

ãäå

9. Àïïåíäèêñ. Î ìàòåìàòè÷åñêîì ñìûñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.

Íå ïðåòåí-

äóÿ íà ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòðîãîñòü, ïîÿñíèì ñìûñë ðàçëîæåíèÿ Ôóðüå. Îíî ïðåäñòàâëÿåò
3
ñîáîé ðàçëîæåíèå óíêöèè ïî ïîëíîìó áàçèñó óêöèé íà ïðîñòðàíñòâå R (â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå). Äåëî â òîì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî óíêöèé íà íåêîòîðîì ìíîãîîáðàçèè
ÿâëÿåòñÿ (áåñêîíå÷íîìåðíûì è äàæå êîíòèíóàëüíûì) âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, â êîòî3
ðîì ìîæíî ââåñòè áàçèñ. Óäîáíûì áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå óíêöèé íà R ÿâëÿåòñÿ íàáîð
i ~k ~
x
ïëîñêèõ âîëí e
äëÿ âñå âîçìîæíûõ ~
k , êîòîðûå êàê áû íóìåðóþò âåêòîðà â áàçèñå. àññìàòðèâàåìûé áàçèñ îðòîíîðìèðîâàí:

88

Z

d3 x −i ~k ~x i ~k′ ~x
e
e
= δ (3) (~k − ~k ′ )
(2 π)3

Z

d3 k −i ~k ~x i ~k ~x′
e
e
= δ (3) (~x − ~x′ ).
3
(2 π)

è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïîëíîòû:

Ïîÿñíèì âñå ýòî íà ïðèìåðå îáû÷íîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Dìåðíûé Âåêòîð
íî ðàçëîæèòü ïî ïîëíîìó îðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó

~v =

P

~v ìîæ-

~ea , a = 1, . . . D î÷åâèäíûì îáðàçîì

áàçèñ îðòîíîðìèðîâàí, òî (~
ea , ~eb ) = δab , à â ñèëó ñâîåé
P i j
ij
ïîëíîòû, îí óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:
a ea ea = δ . Èç óñëîâèÿ ïîëíîòû ìû ìîæåì íàéòè êîìïîíåíòû âåêòîðà â äàííîì áàçèñå. Äåéñòâèòåëüíî, óìíîæèì îáå ñòîðîíû óñëîâèÿ
P i j
ij
j
ïîëíîòû
a ea ea = δ íà v è ïðîñóììèðóåì ïî j .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì

ea . Ò.ê. ðàññìàòðèâàåìûé
a va ~

X
a

j

va eia = v i ⇐⇒

X

va ~ea = ~v ,

a

j
ãäå va ≡ v ea ≡ (~
v, ~ea )
 ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà óíêöèé ìû èìååì äåëî ñ áåñêîíå÷íîé ðàçìåðíîñòüþ è âìåñòî
âåêòîðíûõ èíäåêñîâ i, j ìû èìååì êîíòèíóàëüíûé èíäåêñ ~
x, ~x′ , à âìåñòî èíäåêñîâ a, b,
k, ~k ′ . Âìåñòî ñóìì  
íóìåðóþùèõ áàçèñíûå âåêòîðà, ìû èìååì ~
èìååì èíòåãðàëû,
à âìåñòî

ñèìâîëîâ Êðîíåêåðà
ïðîåêöèé âåêòîðà

~v

δ ij

è

δab



δ óíêöèè, δ (3) (~x − ~x′ )

è

δ (3) ~k − ~k ′

va  ìû èìååì  Ôóðüå ãàðìîíèêè ϕ̃(~k).
va = (~v , ~ea ), îïðåäåëÿþùåãî ïðîåêöèþ âåêòîðà ~v

íà îñè êîîðäèíàò 

òàê æå, ÷òî âìåñòî óðàâíåíèÿ

. Ïðè ýòîì âìåñòî
Çàìå÷ó
íà

aþ

îñü, è ñëåäóþùåãî èç óðàâíåíèÿ, óòâåðæäàþùåãî ïîëíîòó áàçèñà, èû èìååì óðàâíåíèå
R 3
~
~
ϕ̃(~k) = (2d π)x3 e−i k ~x ϕ(~x), ñëåäóþùåå èç ïîëíîòû íàáîðà ãàðìîíèê ei k ~x .

Âîïðîñû è çàäà÷è
•

åøèòå óðàíåíèå â

ãäå

l

R3 :


1
∆ − 2 G (~x) = −4 π q δ (3) (~x) ,
l

íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü äëèíû, à

q

 áåçðàçìåðíàÿ êîí-

ñòàíòà.

•

åøèòå óðàâíåíèå

â

R2 ,



∂12 + ∂22 G (x1 , x2 ) = −4 π q δ (x1 ) δ (x2 )

â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè è íà äèñêå ðàäèóñà 1 äëÿ ñëó÷àÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé

∂n~1 G(x1 , x2 )|boundary = 0, ãäå ∂~n1 
x1 âäîëü âåêòîðà ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ãðàíèöå. Óñëîâèå Äè∂t~1 G(x1 , x2 ) boundary = 0, ãäå ∂~t1  äèåðåíöèðîâàíèå ïî x1 âäîëü

ͼéìàíà è Äèðèõëå. Óñëîâèå Íåéìàíà ãëàñèò, ÷òî
äèåðåíöèðîâàíèå ïî
ðîõëå ãëàñèò, ÷òî

âåêòîðà êàñàòåëüíîãî ê ãðàíèöå. Èñïîëüçóÿ êîíîðìíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, íàéäèòå
ñâÿçü ìåæäó ðåøåíèÿìè â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè è íà äèñêå.
89

•

Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íà

RD :

∆ G (~x) = −4 π q δ (D) (~x) ,
äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà èçìåðåíèé
â ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè.

2
D , ãäå ∆ = ∂12 +∂22 +· · ·+∂D

90

 îïåðàòîð Ëàïëàñà

Ñâîáîäíûå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, òåíçîð ïîëÿðèçàöèè, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ïîëÿ,
ïîëå êàê áåñêîíå÷íûé íàáîð îñöèëëÿòîðîâ.
Ëåêöèÿ IX;

1. Íà ýòîé ëåêöèè

ìû ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà áåç çàðÿäîâ:

∂µ F µν = 0.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ó òàêîãî óðàâíåíèÿ åñòü íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ. Òàêèå ÝÌ ïîëÿ, êîòîðûå ñóùåñòâóþò â îòñóòñòâèè èñòî÷íèêîâ, íàçûâàþòñÿ ñâîáîäíûìè ÝÌ âîëíàìè.
Çàèêèñèðóåì êàëèáðîâêó Ëîðåíöà. Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñâåäåòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé:



 Aµ = 0
,
∂µ Aµ = 0

(137)

ãäå âòîðîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ
ïðîñòî

 êàëèáðîâî÷íûì óñëîâèåì. Ïåðâîå èç ýòèõ óðàâ-

Aµ = ∂α ∂ α Aµ =


1 ∂2
c2 ∂t2

− ∆ Aµ = 0 ÿâëÿåòñÿ 4ìåðíûì àíàëîãîì 2ìåðíîãî

∂2
1 ∂2
âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
− ∂x2 φ = 0, îïèñûâàþùåãî çâóêîâûå âîëíû â îäíîìåðíîì
c̄2 ∂t2
µ
êðèñòàëëå, êîòîðîå ìû óæå âñòðå÷àëè â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ. Îòëè÷èå ñèòóàöèè äëÿ A
µ
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ÝÌ âîëíû èìåþò ïîëÿðèçàöèþ, ñâÿçàííóþ ñ òåì, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ
íåíèé

4âåêòîðíûì, à íå ñêàëÿðíûì (Ëîðåíö èíâàðèàíòíûì) ïîëåì. Ïðè ýòîì çâóêîâûå âîëíû
â îäíîìåðíîì êðèñòàëëå íå èìåþò ïîëÿðèçàöèè, ò.ê. ðåøåòêà ìîæåò êîëåáàòüñÿ òîëüêî â
îäíîì íàïðàâëåíèè (âäîëü ñàìîé ñåáÿ), è îïèñûâàþòñÿ îäíèì ïîëåì

2. Çàìåòèì, ÷òî â (137) ìû èìååì äåëî ñ ñèñòåìîé

φ.

ëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
µ
µ
µ
µ
Ïîýòîìó åñëè ó íàñ åñòü äâà ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé A1 è A2 , òî A1 + A2 òîæå
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ýòîò àêò ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì ïðèíöèïà
ñóïåðïîçèöèè.
Ïîä÷åðêíó, ÷òî ýòî ñîâåðøåííî íåòðèâèàëüíûé àêò. Íàïðèìåð, åñëè áû âìåñòî âòîðîé
µν
ïàðû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ìû áû èìåëè äåëî, ñêàæåì, ñ óðàâíåíèåì ∂µ F
+a ∂ α F νµ Fµα =

0, ãäå a  íåêîòîðàÿ ðàçìåðíàÿ êîíñòàíòà,

òî ñóììà äâóõ ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ óæå íå

ÿâëÿëàñü áû åãî ðåøåíèåì â ñèëó íåëèíåéíîñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïîäîáíûå íåëèíåéíûå
óðàâíåíèÿ (íå èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà) âîçíèêàþò â íåëèíåéíîé îïòèêå èççà ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ÝÌ âîëíû.
Ìû áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (137) â âèäå


1 
ν
ν
ν
ξµ e−i kν x + ξµ∗ ei kν x ,
Aµ = Re ξµ e−i kν x =
2

(138)

ãäå ξµ  íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé êîìïëåêñíûé 4âåêòîð, íàçûâàåìûé âåêòîðîì ïîëÿðèçàöèè
ÝÌ âîëíû, à

kµ

 íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé âåùåñòâåííûé 4âåêòîð, íàçûâàåìûé âîëíîâûì

4âåêòîðîì ÝÌ âîëíû.

91

 ñèëó ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè ìû ìîæåì îòáðîñèòü çíàê Re â ðàññìàòðèâàåìîì âûν
Aµ è èìåòü äåëî ïðÿìî ñ êîìïëåêñíîé âîëíîé ξµ e−i kν x , êîëü ñêîðî ìû

ðàæåíèè äëÿ

áóäåì âûïîëíÿòü èñêëþ÷èòåëüíî ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä íåé. Òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ
ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíîé. Íàéäåì òåïåðü óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü âåêòîðû

ξµ

kµ ,

è

÷òîáû ðàññìàòðèâàåìàÿ óíêöèÿ ðåøàëà ñèñòåìó óðàâíåíèé

(137). Ò.ê.
ν

ν

ν

∂α ξ µ e−i kν x = ξ µ ∂α e−i kν x = −i kα ξ µ e−i kν x ,
è
ν

ν

 ξ µ e−i kν x = −kα k α ξ µ e−i kν x ,
òî, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (138) â (137), ìû íàéäåì, ÷òî îíî ðåøàåò ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, åñëè åå âîëíîâîé 4âåêòîð è ïîëÿðèçàöèîííûé 4âåêòîð óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå
óðàâíåíèé:


Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ

kµ k µ = 0
.
ξµ k µ = 0

kµ k µ = k02 − ~k 2 = 0

ñëåäóåò, ÷òî

(139)

kµ

 íóëåâîé (ñâåòîïîäîáíûé)

4âåêòîð. Â ñèëó òîãî, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ ïðîñòðàíñòâîì ñ ñèãíàòóðîé Ìèíêîâñêîãî, à
k02 − ~k 2 = 0, à íå k02 + ~k 2 = 0), ýòî óðàâíåíèå èìååò íåíóëåâîå
ðåøåíèå. Ïîýòîìó óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà áåç èñòî÷íèêîâ èìåþò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ.
íå Åâêëèäà (ò.å. èìååì äåëî ñ

Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (139) íå ìåíÿåòñÿ ïðè çàìåíå

α

ξµ

íà

ξ¯µ = ξµ + α kµ ,

ãäå

 ïðîèçâîëüíàÿ êîìïëåêñíàÿ êîíñòàíòà. Äåéñòâèòåëüíî,

kµ ξ¯µ = kµ ξ µ + α kµ k µ = kµ ξ µ .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (139). Ýòà
èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ (139) ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì òîãî àêòà, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé

Aµ → Aµ − ∂µ α, åñëè α = 0.
µ
Òåïåðü ìû õîòèì ÿâíî çàïàðàìåðèçîâàòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (139). Ò.ê. k kµ =
k02 − ~k 2 = 0, òî k0 = |~k| ≡ k . Ïîýòîìó k µ = (k, ~k). Ïîâîðîòîì ÑÊ â ïðîñòðàíñòâå âñåãäà
µ
k íàïðàâëåíìîæíî ïîëîæèòü k = (k, k, 0, 0), ÷òî îòâå÷àåò 3ìåðíîìó âîëíîâîìó âåêòîðó ~
−i kν xν
−i k c t+i k x
−i k (c t−x)
íîìó âäîëü îñè x. Òîãäà Aµ = ξµ e
= ξµ e
= ξµ e
, ÷òî, êàê ìû çíàåì

(137) íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ

èç ïåðâîé ëåêöèè, îïèñûâàåò âîëíó ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè
îñè

x

ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà: Óðîâíè ïîñòîÿííîé àçû ýòîé âîëíû ëåæàò íà ïëîñêîñòÿõ

yz

ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû x. Ïîýòîìó òàêóþ âîëíó íàçûω
âàþò ïëîñêîé. Îáû÷íî k0 îáîçíà÷àþò êàê k0 =
, ãäå ω  ÷àñòîòà âîëíû. Ïðè ýòîì
c
~
ω
2
π
~
n
k
~k = ~n =
, ãäå ~
n = k  åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëc
λ
íû, à λ  åå äëèíà. Ò.å. äàííàÿ ÝÌ âîëíà îòâå÷àåò îäíîé îïðåäåëåííîé ÷àñòîòå. Ïîýòîìó
îíà è íàçûâàåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé. Îáû÷íûå âîëíû, íàáëþäàåìûå â ïðèðîäå, ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèåé íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàçíûìè
ïîëÿðèçàöèÿìè è ÷àñòîòàìè, à ïîòîìó ñàìè íå ÿâëÿþòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèìè.

ξµ , ÷òîáû ðåøàòü óðàâíåíèå kµ ξ µ = 0.
µ
0
1
0
Ïðè íàøåì âûáîðå ÑÊ ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê kµ ξ = k ξ −k ξ = 0. Ñëåäîâàòåëüíî ξ =
Íàéäåì òåïåðü êàêîé âèä äîëæåí èìåòü âåêòîð

92

ξ 1,

µ
0 0 2 3
ìîãóò èìåòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, ò.å. ξ = (ξ , ξ , ξ , ξ ). Âîñïîëüçóåìñÿ
µ
2 3
µ
µ
µ
0
òåïåðü ïðîèçâîëîì ξ → ξ + α k è ïîäáåðåì α = −ξ /k . Òîãäà ξ¯ = (0, 0, ξ , ξ ). Ò.å.
à

ξ2

è

ξ3

4âåêòîð ïîëÿðèçàöèè èìååò òîëüêî äâå íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíòû èç ÷åòûðåõ è òîëüêî

âäîëü ïðîñòðàíñòâåííûõ íàïðàâëåíèé ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ
âîëíû.

3.

Íàéäåì

~
E

è

~
B

äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Ìû ïðîäåëàåì ýòî äëÿ áîëåå îáùåãî

Aµ (x), ÷åì ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, êîòîðûé ðåøàåò óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà.
0
Êàê ìû òîëüêî ÷òî âèäåëè â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü A = ϕ =
~ ìîæíî ñäåëàòü óíêöèåé òîëüêî êîìáèíàöèè t − x/c è íå çàâèñÿùåé îò y è z (â
0, à A
~ íå
ñëó÷àå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè x). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ðàññìîòðåòü A
çàâèñÿùèé îò y è z êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ñâåäåòñÿ ê óðàâíåíèþ


1 ∂2
∂2
~ x) = 0,
−
A(t,
c2 ∂t2 ∂x2

âèäà

îáùèì ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ (â ñëó÷àå, îòâå÷àþùåì âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ
âäîëü îñè

x)

~ − x/c). Ïðè ýòîì êàëèá(t − x/c), ò.å. èìåííî A(t
~ = 0 =⇒ divA
~ = 0, ò.ê. ϕ = 0.
+ divA
∂µ Aµ = 1c ∂ϕ
∂t

ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ îò

ðîâî÷íîå óñëîâèå Ëîðåíöà ñâîäèòñÿ ê

Äàëåå, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ÝÌ ïîëÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç âåêòîð ïîòåíöèàëû
~ = − 1 ∂ A~ , B
~ = rotA
~ . Ò.ê. âåêòîð ïîòåíöèàë ðåøàåò óðàâíåíèå
ñëåäóþùèì îáðàçîì: E
c ∂t

~ = 0,
A

òî ÝÌ ïîëÿ

~
E

è

~
B

òîæå ðåøàþò ýòî óðàâíåíèå, ò.å. èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê:



~ = Re E
~ 0 e−i kν xν ,
E



~ = Re B
~ 0 e−i kν xν ,
B

äëÿ íåêîòîðûõ êîìïëåêñíûõ ïîñòîÿííûõ âåêòîðîâ
Ò.ê.

~
A

~0
E

è

~ 0.
B

ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé òîëüêî ëèíåéíîé êîìáèíàöèè

t − x/c,

òî



~ t− x
∂
A
1
1 ~′
c
~ =−
E
=− A
c
∂t
c
h
i
h
i
1
~′ ,
~ = ∇
~ ×A
~ = − ~n × A
B
c

h
i
~′ =
~′ = i k A
~, à B
~ = −1 A
~ = − 1 ~n × A
~n = ~k/k .( Äëÿ ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû E
c
h
i c
h
i
~ = ~n × E
~ è âåêòîðà ~k , B
~ èE
~  ÿâëÿþòñÿ
~ .) Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÝÌ âîëíû B
i ~k × A

ãäå

âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ÝÌ âîëíà ÿâëÿåòñÿ âñåãäà ïîïåðå÷íî ïîëÿðèçîâàííîé (íåò êîëåáàíèé ïîëÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû), ÷òî ÿâëÿåòñÿ
ξ µ íå èìååò êîìïîíåíò âäîëü 4âåêòîðà k µ .

ïðÿìûì ñëåäñòâèåì òîãî àêòà, ÷òî

4. Íàéäåì âåêòîð ÓìîâàÏîéíòèíãà äëÿ ñîáîäíîé ÝÌ âîëíû:

h
i
h
h
ii
~ ×B
~ = c E
~ × ~n × E
~ = c E
~ 2 ~n = c B
~ 2 ~n,
~= c E
S
4π
4π
4π
4π
~ = 0 è |E|
~ = |B|
~ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïðè ýòîì ðàâíà
ò.ê. (~
n, E)
E 2 +B 2
E2
~ = c W ~n è, ñëåäîâàòåëüíî, W è S
~ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
W = 8 π = 4 π . Ïîýòîìó S
~ 2 = 0. Ò.å. ïëîòíîñòü ýíåðãèè W è ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè S
~ äëÿ ñâîáîäíîé
c2 W 2 − S
93

ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû óäîâëåòâîðÿþò òîìó æå ñîîòíîøåíèþ, ÷òî è 4èìïóëüñ áåçpµ pµ = p20 − p~2 = 0 èëè òîìó æå ñîîòíîøåíèþ, ÷òî è ñâåòîïîäîáíûé
µ
2
k 2 = 0, ò.ê. pµ = ~ kµ .
âîëíîâîé 4âåêòîð kµ k = k0 − ~

ìàññîâîé ÷àñòèöû:

5.

àññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî
âîïðîñ
î ïîëÿðèçàöèè ÝÌ âîëíû íà ïðèìåðå ïîâåäåh
i
i (~k ~
x−ω t)
~
~
~ 0 òîæå ÿâëÿåò. Êâàäðàò êîìïëåêñíîãî âåêòîðà E
íèÿ âåêòîðà E(t, x) = Re E0 e

~ 0 = ~b e−i α
ñÿ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì. Ïîäáåðåì êîìïëåêñíûé âåêòîð ~
b â ïðåäñòàâëåíèè E
~ 0 |2 . Ò.å. ìû õîòèì ïðåäñòàâèòü E
~ =
b2 = |E
òàê, ÷òîáû åãî êâàäðàò áûë äåéñòâèòåëüíûì ~
h
i
~
Re ~b ei (k ~x−ω t−α) , ãäå ~b = ~b1 + i ~b2 , à âåêòîðû ~b1 ~b2 ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè. Ïðè÷åì,

~b2 = ~b2 − ~b2 + 2 i (~b1 , ~b2 ) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, òî (~b1 , ~b2 ) = 0, ò.å. âåêòîðû
1
2
~b1 è ~b2 îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó.
b1 íàïðàâëåí
Ïóñòü x  îñü, âäîëü êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ÝÌ âîëíà è ïóñòü âåêòîð ~
â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè y . Òîãäà êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÝÌ âîëíû
ò.ê.

èìåþò âèä:



Ey = ~b1 cos ω t − ~k ~x + α


Ez = ± ~b2 sin ω t − ~k ~x + α ,
ãäå çíàê

±

çàâèñèò îò òîãî âäîëü èëè ïðîòèâ îñè

z

íàïðàâëåí âåêòîð

~b2 .

Òàêèì îáðàçîì:

Ey2 Ez2
+ 2 =1
b21
b2

(140)

è ìû âèäèì, ÷òî â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà âåêòîð

~
E

âðàùàåòñÿ â ïëîñêîñòè ïåð-

ïåíäèêóëÿðíîé ê íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû. Ïðè÷åì ïðè ïðîèçâîëüíûõ

~b1

è

~b2 ,

êîíåö âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îïèñûâàåò ýëëèïñ. Òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ

ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîé. Åñëè æå

|~b1 | = |~b2 |,

òî êîíåö âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ

îïèñûâàåò îêðóæíîñòü, ÷òî îòâå÷àåò âîëíå ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé. Íàêîíåö, åñëè ñêàæåì

b2 = 0,

òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ÝÌ âîëíû âñåãäà è âåçäå íàïðàâëåííî âäîëü îñè

y.

Â

ýòîì ñëó÷àå âîëíó íàçûâàþò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé.

6.

Êàê ìû âèäèì, ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà èìååò îïðåäåëåííóþ ïîëÿðèçà-

öèþ. Îäíàêî åñòåñòâåííûé ñâåò íå èìååò ïîëÿðèçàöèè, ò.ê. ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàçíîé ÷àñòîòîé è ïîëÿðèçàöèåé.  ÷àñòíîñòè, ýëåêòðè÷å9 ~
~ 0 (t) e−iω t , ãäå ω 
ñêîå ïîëå òàêîé âîëíû â çàäàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà èìååò âèä E
=E
ñðåäíÿÿ ÷àñòîòà âîëíû, à êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà

~ 0 (t)
E

ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ìåäëåííî ìå-

íÿþùåéñÿ óíêöèåé. Äëÿ ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû

~ 0 = const. Ïîñêîëüêó E
~ 0 (t)
E

îïðåäåëÿåò ïîëÿðèçàöèþ âîëíû, òî ýòî çíà÷èò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå âîëíû åå ïîëÿðèçàöèÿ
ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. Òàêóþ âîëíó íàçûâàþò ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííîé.
Ñâîéñòâà ïîëÿðèçàöèè ÝÌ âîëí íàáëþäàþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîñðåäñòâîì ïðîïóñêàíèÿ èõ ÷åðåç ðàçëè÷íûå òåëà è èçìåðåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ïðîøåäøåé âîëíû. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî î ñâîéñòâàõ ïîëÿðèçàöèè ÝÌ âîëíû ñóäÿò, èñõîäÿ
9 Äëÿ

ïðîñòîòû îðìóë ìû îòáðîñèëè çíàê äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè â ýòîé îðìóëå.

94

èç çíà÷åíèé íåêîòîðûõ êâàäðàòè÷íûõ óíêöèé îò ïîëÿ. Ïðè ýòîì, ðàçóìååòñÿ, ðå÷ü èäåò
î ñðåäíèõ ïî âðåìåíè çíà÷åíèÿõ ýòèõ óíêöèé.
Êâàäðàòè÷íàÿ óíêöèÿ ïîëÿ ñîñòîèò èç ÷ëåíîâ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ïðîèçâåäåíèÿì
Ei Ej , Ei∗ Ej∗ è Ei Ej∗ , i = 1, 2, 3. Ïðîèçâåäåíèÿ âèäà Ei Ej = E0i E0j e−2 i ω t è Ei∗ Ej∗ =
∗
∗ 2iωt
±2 i ω t
E0i
E0j
e
ñîäåðæàò áûñòðî îñöèëëèðóþùèå ìíîæèòåëè e
è ïðè óñðåäíåíèè ïî âðå∗
∗
ìåíè äàþò íîëü. Ïðîèçâåäåíèÿ æå Ei Ej = E0i E0j òàêîãî ìíîæèòåëÿ íå ñîäåðæàò, è ïîòîìó
èõ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòëè÷íû îò íóëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ñâîéñòâà ÷àñòè÷íî
ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà âïîëíå õàðàêòåðèçóþòñÿ òåíçîðîì

∗
Jij = E0i E0j
.
Ïîñêîëüêó âåêòîð

~0
E

âñåãäà ëåæèò â ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê íàïðàâëåíèþ ðàñ-

ïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, òî òåíçîð

Jij

èìååò âñåãî ÷åòûðå êîìïîíåíòû.  ýòîé ëåêöèè ìû

âðåìåííî ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî èíäåêñû
ùèå îñÿì

Jij

y

è

z

i, j

ïðîáåãàþò âñåãî äâà çíà÷åíèÿ

i = 1, 2, îòâå÷àþ-

x. Ñóììà äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà
~
~
J ≡ Jii = E0 E0∗ . Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ

â ñëó÷àå âîëíû, áåãóùåé âäîëü

åñòü âåëè÷èíà âåùåñòâåííàÿ

âîëíû è íå èìååò ïðÿìîãî îòíîøåíèÿ ê åå ïîëÿðèçàöèîííûì ñâîéñòâàì. ×òîáû èñêëþ÷èòü
åå èç ðàññìîòðåíèÿ, ââåäåì ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð:

Jij
.
(141)
J
∗
Èç åãî îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî ρii = 1 è ρij = ρji . Â ñèëó ýòèõ ñâîéñòâ äèàãîíàëüíûå
êîìïîíåíòû ïîëÿðèçàöèîííîãî òåíçîðà ρ11 è ρ22 âåùåñòâåííû, ïðè÷åì ρ11 + ρ22 = 1, à
ρ12 = ρ∗21 . Âñåãî, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð õàðàêòåðèçóåòñÿ òðåìÿ âåùåρij ≡

ñòâåííûìè ïàðàìåòðàìè.
Âûÿñíèì óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð äëÿ

~ 0 = const, è ïîýòîìó èìååì ïðîñòî áåç óñðåäíåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà.  ýòîì ñëó÷àå E
∗
íèÿ ïî âðåìåíè ρij = E0i E0j /J . Ò.å. êîìïîíåíòû ðàññìàòðèâàåìîãî òåíçîðà ìîãóò áûòü
√
ïðåäñòàâëåííû â âèäå ïðîèçâåäåíèé êîìïîíåíò ïîñòîÿííîãî âåêòîðà

E0j / J .

Íåîáõîäè-

ìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿ ýòîãî âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì íóëþ îïðåäåëèòåëÿ òåíçîðà
ïîëÿðèçàöèé:

|ρij | ≡ ρ11 ρ22 − ρ12 ρ21 = 0.
Ïðîòèâîïîëîæíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ íåïîëÿðèçîâàííûé, èëè åñòåñòâåííûé, ñâåò. Ïîëíîå
îòñóòñòâèå ïîëÿðèçàöèè îçíà÷àåò, ÷òî âñå íàïðàâëåíèÿ â ïëîñêîñòè

yz

âïîëíå ýêâèâàëåíò-

íû. Ïîýòîìó âçÿòèå ñðåäíåãî ïðèâîäèò ê

ρij =
Ïðè ýòîì îïðåäåëèòåëü ðàâåí

1
δij .
2

|ρij | = 1/4.

 îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé ïîëÿðèçàöèè ýòîò îïðåäåëèòåëü ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
ìåæäó

0

è

1/4.

Ñòåïåíüþ ïîëÿðèçàöèè íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà

P,

îïðåäå-

ëåííàÿ ñîãëàñíî

|ρij | ≡



1
1 − P2 .
4
95

(142)

Îíà ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ îò 0 äëÿ íåïîëÿðèçîâàííîãî äî 1 äëÿ ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà,
ò.ê. ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òåíçîð îáëàäàþùèé òåìè ñâîéñòâàìè, ÷òî è

ρij

èìååò âñåãäà

ïîëîæèòåëüíûé äåòåðìèíàíò.
Ïðîèçâîëüíûé òåíçîð

ρij

ìîæåò áûòü ðàçëîæåí íà äâå ÷àñòè  ñèììåòðè÷íóþ è
Sij ≡ 12 (ρij + ρji ) â ñèëó ρij = ρ∗ji ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåí-

àíòèñèììåòðè÷íóþ. Èç íèõ ïåðâàÿ

íîé. Àíòèñèììåòðè÷íàÿ æå, íàïðîòèâ, ÷èñòî ìíèìà. Âñÿêèé èíâàðèàíòíûé (ÿâëÿþùèéñÿ
ðåçóëüòàòîì óñðåäíåíèÿ) àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ äâóìÿ èíäåêñàìè, ïðèíèìàþùèìè
äâà çíà÷åíèÿ, ïðîïîðöèîíàëåí 2ìåðíîìó àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íîìó òåíçîðó, ò.å.

1
i
(ρij − ρji ) = − ǫij A,
2
2
ãäå

A  âåùåñòâåííûé

ïñåâäîñêàëÿð. Ýòà âåëè÷èíà ïñåâäîñêàëÿð, à íå ñêàëÿð (ò.å. ìåíÿåò

çíàê ïðè èíâåðñèè êîîðäèíàò) ïîòîìó ÷òî òåíçîð

ǫij

ìåíÿåò çíàê ïðè èíâåðñèè, à

ρij

íåò.

Òàêèì îáðàçîì, ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê

ρij = Sij −

i
ǫij A,
2

Sij = Sji .

(143)

Åñòü è äðóãèå óäîáíûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ ïîëÿðèçàöèîííîãî òåíçîðà. Íàïðèìåð, ÷åðåç
êâàòåðíîèîíû. Îäíàêî ìû èõ çäåñü îáñóæäàòü íå áóäåì.

7. Òåïåðü ÿ õî÷ó ðàññêàçàòü î òîì êàê óâèäåòü, ÷òî ïîëå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì íàáîðîì

îñöèëëÿòîðîâ. Ýòîò àêò ìû óæå âñòðå÷àëè íà ïåðâîé ëåêöèè. Ñåé÷àñ æå íàñ èíòåðåñóåò
ïîèñê ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ïîëÿ.
Ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (137) â ñèëó ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàçíûìè âîëíîâûìè 4
α
âåêòîðàìè kµ , óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ kα k = 0, è ðàçíûìè ïîëÿðèçàöèÿìè ξµ (k) ≡
µ
õ (k), óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ k õ (k) = 0:

Aµ (x) =
Ò.ê. ñïåêòð âîçìîæíûõ çíà÷åíèé

Z

d4 k
ν
õ (k) e−i kν x δ (kα k α ) .
4
(2 π)

kµ , óäîâëåòâîðÿþùèõ

óñëîâèþ

kα k α = 0, ÿâëÿåòñÿ íåïðå-

ðûâíûì, òî âìåñòî ñóììû ìû èìååì èíòåãðàë. Ôàêòè÷åñêè ýòà îðìóëà çàäàåò ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå ïðîèçâîëüíîãî ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, à

õ (k)



Ôóðüå ãàðìîíèêè ðàññìàòðèâàåìîãî ïîëÿ, ÷òî è îáúÿñíÿåò çàìåíó èõ îáîçíà÷åíèÿ. Óñëîα
âèå kα k = 0 ó÷òåíî â èíòåãðàëå Ôóðüå â âèäå δ óíêöèè. Ïðè ýòîì, ò.ê. êàëèáðîâî÷íîå
∗
∗
ïîëå ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì Aµ (x) = Aµ (x), òî, êàê íå òðóäíî âèäåòü, õ (k) = õ (−k).
4
Ïîä÷åðêíó, ÷òî d k ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Äåéñòâèòåëüíî, ò.ê. kµ ïðåîáðàçó4
åòñÿ êàê 4âåêòîð, òî ÿêîáèàí çàìåíû d k îò îäíîé ÑÎ ê äðóãîé ÿâëÿåòñÿ äåòåðìèíàíòîì
4
α
ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, êîòîðûé ðàâåí åäèíèöå. Ñëåäîâàòåëüíî, d k δ (kα k )
òîæå ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Ïîýòîìó

Aµ (x),

ïðåäñòàâëåííûé â âèäå âûøåóêàçàí-

íîãî èíòåãðàëà Ôóðüå, äåéñòâèòåëüíî ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 4âåêòîð, åñëè

õ (k)

ïðåîáðàçó-

åòñÿ êàê 4âåêòîð.
Ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ðÿäà Ôóðüå ìîæíî óïðîñòèòü. Îäèí èç ÷åòûðåõ èíòåãðàëîâ
ìîæíî âçÿòü ñ èïîëüçîâàíèåì
øèñü îäíèì èç ñâîéñòâ

δ óíêöèè

δ óíêöèè,

d4 k

ïîä èíòåãðàëîì. Äåéñòâèòåëüíî, âîñïîëüçîâàâ-

ìû ïîëó÷àåì:

96

ZZZZ

Z
Z Z Z 3~
 Z Z Z d3~k



dk
2
2
~
~
d k δ k0 − k · · · = dk0 δ k0 − k ·
··· =
....
~k
~k
4

Èç ýòîãî ðàâåíñòâà â ÷àñòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå

d3~k/|~k|

ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíöè èíâà-

ðèàíòîì, à ïîòîìó ïðåäñòàâëåíèå âåêòîð ïîòåíöèàëà â âèäå ðÿäà Ôóðüå

1
Aµ (t, ~x) =
(2 π)4

Z

d3 k
~
õ (k) e−i k c t+i k ~x ,
k

k ≡ |~k|

(144)

ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 4âåêòîð ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà. Â Ëîðåíö èíâàðèàíòíîñòè êîìd3 k/k ìîæíî óáåäèòüñÿ è ïðÿìûì îáðàçîì, ïîäñòàâèâ â íåå ïðåîáðàçîâàííûå ïî
Ëîðåíöó |~
k| è d3 k .
0
Òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî â ñëó÷àå ñâîáîäíûõ ÝÌ âîëí âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü A (x) = 0,
0
à ïîòîìó è à (k) = 0. Äàëåå, ïåðåîïðåäåëèì âåëè÷èíó Ãi (k) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óáðàòü

áèíàöèè

âñå êîýèöèåíòû è çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïîä èíòåãðàëîì â (144) â åå îïðåäåëåíèå:

~ (t, ~x) =
A

Z

 
~
~
d k à t, ~k ei k ~x .
3

(145)

Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà

Z
Z
 
 
~ (t, ~x)
1 ∂2
1 ∂2A
~
3 ~
i ~k ~
x
3 ~
~
~
− ∆A (t, ~x) = 2 2
d k à t, k e
−∆
d k à t, ~k ei k ~x =
0= 2
2
c
∂t
c ∂t
Z
Z
 
1 ∂ 2 ~  ~  i ~k ~x
~
3 ~
3
− d k à t, ~k ∆ ei k ~x =
= d k 2 2 Ã t, k e
c ∂t
Z
Z
 
1 ∂ 2 ~  ~  i ~k ~x
~
3
3 ~
= d k 2 2 Ã t, k e
+ d k à t, ~k ~k 2 ei k ~x =
c ∂t


Z
1 ∂ 2 ~  ~  ~ 2 ~  ~  i ~k ~x
3
= d k 2 2 à t, k + k à t, k e
c ∂t
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ðàâíÿëîñü íóëþ íåîáõîäèìî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî
óðàâíåíèå

~¨ + c2 ~k 2 Ã
~ = 0,
Ã

(146)

~k ) ÝÌ âîëíû ïðåäñòÿâëÿåò ñîáîé ñâîáîäíûé
k ) îñöèëëÿòîð. Ýòî îçíàäëÿ äðóãèõ çíà÷åíèé ~

ò.å. êàæäàÿ èç ãàðìîíèê Ôóðüå (äëÿ êàæäîãî
(íå âçàèìîäåéñòâóþùèé ñ îñöèëëÿòîðàìè

÷àåò, ÷òî ãàðìîíèêè Ôóðüå (ïëîñêèå ìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû) ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè
êîëåáàíèÿìè ïîëÿ  êîëåáàíèÿìè, â êîòîðûõ ïîëå ðàçáèâàåòñÿ íà íàáîð íåçàâèñèìûõ
îñöèëëÿòîðîâ.
Íå òðóäíî óáåäèòüñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (146) ñëåäóþò èç
ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ
97

Z
  Z
˜
~
S A ∝ dt d3 k

"

2
~
~˙ − c2 ~k 2 Ã
Ã

2

#

,

(147)

à ýíåðãèÿ ïîëÿ çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì

E∝

Z

d3 k

"

2
~
~˙ + c2 ~k 2 Ã
Ã

#

.

(148)

 âåðíîñòè ïîñëåäíèõ äâóõ óòâåðæäåéíèé ìîæíî óáåäèòüñÿ
h
iè ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé
h âûðà-

æåíèÿ (145) â îðìóëû äëÿ äåéñòâèÿ
ãäå

~
E

8.

S∝

R

R

~2 − B
~2
dt d x E
3

è ýíåðãèè

E∝

R

~2 − B
~2
dx E
3

~
~ = rotA
~.
= − 1c ∂∂tA è B
×òîáû ïðîÿñíèòü ñèòóàöèþ âåðíåìñÿ îïÿòü ê îäíîìåðíîé ðåøåòêå øàðèêîâ. Óðàâ-

íåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ òàêîé ðåøåòêè èìåþò âèä:

m φ̈j (t) = k [φj+1(t) − φj (t)] − k [φj (t) − φj−1(t)] ,

∀j ∈ Z

è â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå ïåðåõîäÿò â

1
φ̈(t, x) = φ′′ (t, x).
c̄2
 ïåðâîì ñëó÷àå ìû èìååì ñèñòåìó ñâÿçàííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ âñåõ

Z

(óðàâíåíèå äëÿ

φj

çàâèñèò îò

j∈

φj+1 è φj−1 ). Ìû õîòèì ñäåëàòü òàêóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ,

ïðè êîòîðîé ýòà ñèñòåìà ïåðåéäåò â ñèñòåìó íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ò.å. ìû õîòèì ïåðåéòè
ê ñîáñòâåííûì êîëåáàíèÿì ðåøåòêè.
Ïðåäñòàâèì

φj (t) =

+∞
X

φ̃n (t) ei j n .

n=−∞
Ýòî ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì àíàëîãîì íåïðåðûâíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Ôóðüå:

φ(t, x) =

Z

+∞
−∞

dk
φ̃(t, k) ei k x .
2π

Çàìå÷ó, ÷òî ò.ê. îáîáùåííûå êîîðäèíàòû øàðèêîâ ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè

φj (t),

òî

φ̃∗n (t) = φ̃−n (t).

(149)

φ∗j (t) =

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè äàííîãî äèñêðåòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Ôóðüå â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ,
ìû ïîëó÷àåì:

m

X
X¨


φ̃n ei j n = k
φ̃n ei (j+1) n − 2 ei j n + ei (j−1) n =⇒
n

X
n

n

h

i
¨
ei j n m φ̃n + k φ̃n 2 − ei n − e−i n = 0.
98

i

,

×òîáû ïîñëåäíåå ðàâíåíñòâî áûëî âåðíî, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ

m φ̃¨n + 2 k φ̃n (1 − cos n) = 0.
φ̃n ìû èìååì äåëî ñ ñèñòåìîé íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé (äëÿ êàæäîãî n).
Èíûìè ñëîâàìè φ̃n ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè êîëåáàíèÿìè ðåøåòêè ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòî2k
2
òàìè ωn =
(1 − cos n) = 4mk sin2 n2 .
m

Ò.å. â òåðìèíàõ

 íåïðåðûâíîì ïðåäåëå ïîäîáíîå ïðåîáðàçîâàíèå èìåëî áû âèä:

Z

1 ∂2
c̄2 ∂t2

Z

ikx

dk φ̃(t, k) e

∂2
= 2
∂x

Z
1 ∂2
φ̃(t, k) −
c̄2 ∂t2
Z
dk ei k x

ikx

dk e

Z

dk φ̃(t, k) ei k x =⇒

∂2
dk φ̃(t, k) 2 ei k x = 0 =⇒
∂x
h
i
¨
φ̃(t, k) + k 2 c2 φ̃(t, k) = 0.

Ò.å., ïðîäåëàâ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ìû ïåðåøëè ê ñîáñòâåííûì êîëåáàíèÿì ïîëÿ:

¨
φ̃(t, k) + k 2 c2 φ̃(t, k) = 0
2 2
ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ωk = c k . È ýòî ïðîèçîøëî áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ïëîñêèå âîëíû
~
ei k x èëè ei k ~x ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ñîîòâåòñòâóþùåì
÷èñëå èçìåðåíèé

∂ 2 ei k x /∂x2 = −k 2 ei k x
èëè

i ~k ~
x

∆e

≡



∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2



~

~

ei k ~x = −~k 2 ei k ~x

Âîïðîñû è çàäà÷è
•

Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ äåéñòâèÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè (ñ
ìåòðèêîé

ηij ,

à íå

δij ):

S=
Çäåñü

a

è

b

Z



d3 x a Fij F ij + b ǫijk Ai ∂ j Ak ,

i, j = 1, 2, 3.

 ýòî íåêîòîðûå ðàçìåðíûå êîíñòàíòû. Íàéäèòå ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõ

óðàâíåíèé îòâå÷àþùèå ñâîáîäíûì ïëîñêèì ìîíîõðîìàòè÷åñêèì âîëíàì.

99

Ïîëÿ ñîçäàâàåìûå ðåëÿòèâèñòñêèìè äâèæóùèìèñÿ çàðÿäàìè, óíêöèÿ ðèíà îïåðàòîðà ä'Àëàìáåðà, ïîòåíöèàëû
Ëèåíàðà-Âèõåðòà.
Ëåêöèÿ X;

1. Ýòà ëåêöèÿ äîñòàòî÷íî òåõíè÷åñêàÿ è ñîäåðæèò ìíîãî âû÷èñëåíèé. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë
ïîëó÷åííûõ îðìóë â îñíîâíîì áóäåò îáñóæäàòüñÿ â ñëåäóþùåé ëåêöèè.
µ
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåøàòü óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà â ñëó÷àå òîêà j îáùåãî âèäà


íàì íåîáõîäèìî çíàòü óíêöèþ

Aµ = 4cπ j µ
∂µ Aµ = 0

ðèíà,

G(x, y),

(150)

êîòîðàÿ ïî îïðåäåëåíèþ ðåøàåò ñëåäóþ-

ùåå âîëíîâîå óðàâíåíèå:

x G(x, y) ≡
Ôóíêöèÿ



∂2
− ∆x
∂x20



G(x, y) = δ (4) (x − y) .

(151)

ðèíà èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë çíà÷åíèÿ ïîëÿ â ìèðîâîé òî÷êå

èñòî÷íèêîì, íàõîäÿùèìñÿ â ìèðîâîé òî÷êå

y.

x,

ñîçäàííîãî

Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì óíêöèè

ðèíà,

x−~y |) ∝ 1/|~x−~y |,
êîòîðûé ìû óæå âñòðå÷àëè â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå, ϕ(|~
óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ∆ϕ(|~
x − ~y |) ∝ δ (3) (~x − ~y ). Äåéñòâèòåëüíî, çàêîí Êóëîíà îïðåäåëÿåò
ñòàòè÷åñêîå ïîëå â òî÷êå
Ôóíêöèÿ

~x,

ñîçäàííîå èñòî÷íèêîì íàõîäÿùèìñÿ â òî÷êå

~y .

ðèíà íóæíà ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî åñëè îíà íàì èçâåñòíà, òî ðåøåíèå ñèñòåìû

óðàâíåíèé (150) èìååò âèä:

4π
A (x) =
c
µ

ãäå

Aµ0

Z

d4 y j µ (y) G(x, y) + Aµ0 (x),

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé

Aµ0 = 0,

(152)

∂µ Aµ0 = 0, ò.å.

ÿâëÿ-

åòñÿ êîìïîçèöèåé ÝÌ âîëí ðàçëè÷íîé ïîëÿðèçàöèè è ñ ðàçëè÷íûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè.
Âåçäå íèæå ìû îïóñêàåì òàêîé âêëàä â ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, ò.å.
ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî òàêîãî
R 4 µ
4π
îäíîðîäíîãî âêëàäà. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë æå âêëàäà
d y j (y) G(x, y)  ýòî îïðåäåëåc
íèå ïîëÿ â òî÷êå x êàê ñóììû (êîìïîçèöèè) ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ â ýòîé òî÷êå êàæäîé
µ
ìèðîâîé òî÷êîé, â êîòîðûõ èñòî÷íèê j íå ðàâåí íóëþ.
×òîáû óáåäèòüñÿ, ÷òî (152) ðåøàåò (150), ïîäñòàâèì åãî â ïåðâîå óðàâíåíèå èç (150):

4π
x
A (x) =
c
µ

Z

Z
4π
d4 y j µ (y) x G(x, y) =
d y j (y) G(x, y) =
c
Z
4π
4π µ
=
d4 y j µ (y) δ (4) (x − y) =
j (x).
c
c
4

µ

Ò.å. ïåðâîå óðàâíåíèå â (150) âûïîëíåíî.

100

Ïðåæäå ÷åì äâèãàòüñÿ äàëüøå, îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî óðàâíåíèå (151) íå ìåíÿåò ñâîåãî âèäà ïðè òðàíñëÿöèÿõ â Ï è ïðè âñåâîçìîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà.
Ïîýòîìó åãî ðåøåíèå äîëæíî çàâèñåòü òîëüêî îò èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ýòèõ ïðå-

xµ è yµ . Òàêîé êîìáèíàöèåé
ÿâëÿåòñÿ ìîäóëü ðàçíîñòè ìåæäó
p
G(x, y) = G(|x − y|), ãäå |x − y| ≡ (x − y)µ (x − y)µ . Ïîäñòàâèì òåïåðü (152) âî

îáðàçîâàíèé êîìáèíàöèè
íèìè:

âòîðîå óðàâíåíèå èç (150):

Z
Z
4π
∂
4π
4
µ
∂µ A (x) =
d4 y j µ (y) µ G(|x − y|) =
∂µ
d y j (y) G(|x − y|) =
c
c
∂x


Z
Z
µ
∂
∂j (y)
4π
4π
d4 y j µ (y) − µ G(|x − y|) =
d4 y
G(|x − y|) = 0.
=
c
∂y
c
∂y µ
µ

Ïðåäïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, à ïîñëåäíåå  ïîµ
ñëå ïðèìåíåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà ∂µ j = 0. Ò.å. âòîðîå óðàâíåíèå â (150) òîæå
âûïîëíåíî.

2. ×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå (151), ïðåäñòàâèì óíêöèþ
G(x − y) =

Z

d4 k
µ
G̃(k) ei kµ (x−y) .
4
(2 π)
δ óíêöèè

Äàëåå âñïîìíèì, ÷òî Ôóðüå ïðåäñòàâëåíèå

(4)

δ (x − y) =

ðèíà â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå:

Z

èìååò âèä:

d4 k i kµ (x−y)µ
e
.
(2 π)4

Òîãäà óðàâíåíèå (151) ïðèíèìàåò âèä:

Z

Âñïîìèíàÿ, ÷òî
÷åñêîìó:

µ

i
d4 k h
µ
G̃(k)

−
1
ei kµ (x−y) = 0.
x
4
(2 π)
µ

x ei kµ (x−y) = −kα k α ei kµ (x−y)

, ñâîäèì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ê àëãåáðàè-

kα k α G̃(k) = −1,
îáùèì ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ:

1
+ C(k) δ(k 2 ),
k2
k 2 ≡ kα k α = 0 óíêöèÿ.

G̃(k) = −
ãäå

C(k)

ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïðè

G(x − y) = −
R

Z

Òîãäà

µ

d4 k ei kµ (x−y)
+ G0 (x − y),
(2 π)4
k2

µ
d4 k
ei kµ (x−y) C(k) δ(k 2 ) è ñëåäîâàòåëüíî x G0 (x − y) = 0. Ò.ê. ðåøåíèå
(2 π)4
óðàâíåíèÿ (151), òàê æå êàê è ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (150), â ëþáîì ñëó÷àå îïðå-

ãäå

G0 (x − y) ≡

äåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, òî ìû âñåãäà ìîæåì îòáðîñèòü
G0 (x − y) â îðìóëå äëÿ G(x − y).
Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ óíêöèè

101

ðèíà

G(x − y) = −

Z

µ

d4 k ei kµ (x−y)
=−
(2 π)4 kα k α

Z

d3 k
(2 π)3

Z

+∞

−∞

~

dk0 ei k0 (x−y)0 −i k (~x−~y)
2π
k02 − ~k 2

ÿâëÿåòñÿ îðìàëüíûì, à èìåííî ðàñõîäèòñÿ, ò.ê. íà îñè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî
äâà ïîëþñà

k0

k0 = ±|~k| = ±k .

k0

(153)

ìû èìååì

Íàì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòüñÿ ñ ïðàâèëîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî

(ò.å. ñ ïðàâèëîì îáõîäà ïîëþñîâ), ÷òîáû ïðèäàòü ñìûñë ðàññìàòðèâàåìîìó èíòåãðàëó

 îïðåäåëèòü åãî â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ.
×òîáû èêñèðîâàòü ïðàâèëî îáõîäà ïîëþñîâ íàäî íàëîæèòü îïðåäåëåííûå ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ íà óíêöèþ

ðèíà èç îáùèõ èçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ìû ïîòðåáóåì, ÷òîáû

GR (x − y) = 0,

if

y 0 > x0 .

(154)

Ýòèì óñëîâèåì îïðåäåëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ çàïàçäûâàþùàÿ óíêöèÿ
ãî è âîçíèêàåò èíäåêñ

R

ðèíà. Èç-çà ýòî-

 îò àíãëèéñêîãî ñëîâà retarded (çàïàçäûâàþùèé) ó óíêöèè

ðèíà. Çàïàçäûâàþùàÿ óíêöèÿ

ðèíà óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó ïðè÷èííîñòè  âîçìóxµ = (x0 , ~x) (òî÷êó ãäå ïîëå èçìåðÿåòñÿ)
µ
0
y ), ò.å.
òîëüêî ïîñëå òîãî êàê îíî áûëî ñîçäàíî èñòî÷íèêîì â ìèðîâîé òî÷êå y = (y , ~
µ
0
0
GR (x − y) 6= 0, à ñëåäîâàòåëüíî è A 6= 0, òîëüêî åñëè x ≥ y .
ùåíèå ïîëÿ äîëæíî ïðèõîäèòü â ìèðîâóþ òî÷êó

Òàêèì îáðàçîì:

0

GR (x − y) ≡ −Θ x − y
ãäå

0




Z

µ

d4 k ei kµ (x−y)
=−
(2 π)4 kα k α

0

Θ x −y
à êîíòóð

C

0

â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè




≡

k0



Z

d3 k −i ~k (~x−~y)
e
(2 π)3

Z

C

dk0 ei k0 (x−y)0
,(155)
2 π k02 − ~k 2

1, x0 ≥ y 0
,
0, x0 < y 0

(156)

ïðîõîäèò âäîëü äåéñòâèòåëüíîé îñè Imk0

ñëåâà íàïðàâî è îáõîäèò ïîëþñà ïîäèíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ,

k0 = ±k ,

= 0

ñíèçó ïî íåáîëü-

øèì ïîëóîêðóæíîñòÿì (ñì. ðèñóíîê (9)). Ñåé÷àñ ìû óâèäèì, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè
êîíòóðà, ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ïðèâîäèò ê óíêöèè

ðèíà, óäîâëåòâîðÿþùåé ïðèí-

öèïó ïðè÷èííîñòè. Äðóãèå âîçìîæíîñòè â âûáîðå êîíòóðà ïðèâîäÿò ê äðóãèì óíêöèÿì
ðèíà îòëè÷àþùèìñÿ äðóã îò äðóãà è îò ðàññìàòðèâàåìîé çäåñü óíêöèè íà ïðèáàâëåíèå
ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.
×òîáû âû÷èñëèòü èíòåãðàë ïî

k0

ñ èñïîëüçîâàíèåì îðìóëû Êîøè (ñì. àïïåíäèêñ â

êîíöå ýòîé ëåêöèè), íåîáõîäèìî êàêèì-òî îáðàçîì çàìêíóòü îïðåäåëåííûé âûøå êîíòóð
0
0
â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè k0 . Åñëè (x −y ) < 0, òî êîíòóð C ñëåäóåò çàìêíóòü áåñêîíå÷-

C

íîé ïîëóîêðóæíîñòüþ, èäóùåé ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé
R dk0 ei k0 (x−y)0
ïëîñêîñòè k0 . Äåéñòâèòåëüíî èíòåãðàë
âäîëü ýòîé ïîëóîêðóæíîñòè ðàâåí
2π
k02 −~k 2

íóëþ, ò.ê. íà íåé ìíèìàÿ ÷àñòü k0 ðàâíà ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè (íà ýòîé ïîëóêîðóæíîi k (x−y)0
ñòè e 0
= 0). Ïîýòîìó äîáàâëåíèå ê (155) èíòåãðàëà âäîëü òàêîé ïîëóîêðóæíîñòè
íå ìåíÿåò åãî çíà÷åíèÿ. Íî ðàññìàòðèâàåìûé çàìêíóòûé êîíòóð íå îõâàòûâàåò íèêàêèõ
102

èñ. 9:

ïîëþñîâ, ò.ê.

k0 = ±k

íàõîäÿòñÿ âíå åãî â ñèëó ïðèâåäåííîãî âûøå ñîãëàøåíèÿ. Ïîýòî-

ìó ïî òåîðåìå Êîøè ìû ïîëó÷àåì, ÷òî òàê îïðåäåëåííàÿ óíêöèÿ ðèíà óäîâëåòâîðÿåò
0
0
ïðèíöèïó ïðè÷èííîñòè: GR (x − y) = 0, åñëè x < y .
0
0
Äàëåå, åñëè (x − y ) > 0, òî, ïî òîé æå ïðè÷èíå, êîíòóð C ñëåäóåò çàìêíóòü áåñêîíå÷íîé ïîëóîêðóæíîñòüþ, èäóùåé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè
êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè

k0 .

k0 = ±k , à ïîòî0
0
çíà÷åíèå ïðè x − y > 0

Òàêîé êîíòóð îõâàòûâàåò èìåííî äâà ïîëþñà

ìó ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ïî

k0

íå ðàâåí íóëþ. Íàéäåì åãî

ïî îðìóëå Êîøè, âû÷èñëèâ ñóììó âû÷åòîâ â ïîëþñàõ

k0 = ±k :



Z
1
1
dk0 ei k0 (x−y)0
dk0 ei k0 (x−y)0
=
−
=
2
2k
k0 − k k0 + k
k2
C 2 π k0 − ~
C 2π



ei k (x−y)0


sin [k (x0 − y 0)]
e−i k (x−y)0
0
0
= iΘ x − y
=−
−
Θ x0 − y 0 .
2k
2k
k
Z

Âïîñëåäíåé îðìóëå äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíàêà ðåçóëüòèðóþùåãî âûðàæåíèÿ ìû ó÷ëè, ÷òî
êîíòóð ïðîõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè  â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.
Òàêèì îáðàçîì:

0

GR (x − y) = −Θ ∆x




Z

d3 k −i ~k ∆~x sin [k ∆x0 ]
e
,
(2 π)3
k

∆x0 ≡ x0 −y 0 , à ∆~x ≡ ~x −~y . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ïî d3 k âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå
~k ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ~k = (k, θk , ϕk ), à îñü kz â ýòîì ïðîñòðàíñòâå íàïðàâèì âäîëü ∆~x.
ãäå

Òîãäà:

103

Z

Z

Z

π

2π
sin (k ∆x0 )
dθk sin θk
dϕk e−i k |∆~x| cos θk
=
k
0
0
0
Z
Z 1


Θ (∆x0 ) +∞
−i k |∆~
x| cos θk
0
dk
k
d
cos
θ
e
sin
k
∆x
=
=−
k
(2 π)2
0
−1
Z

i k ∆x0 − e−i k ∆x0
Θ (∆x0 ) +∞ dk k
−i k |∆~
x|
i k |∆~
x| e
e
−e
=
=−
(2 π)2
−i k |∆~x|
2i
0
Z +∞


Θ (∆x0 )
−i k (∆x0 +|∆~
x|)
−i k (∆x0 −|∆~
x| )
i k (∆x0 −|∆~
x|)
i k (∆x0 +|∆~
x|)
=
+
e
−
e
−
e
=
dk
e
2 (2 π)2 |∆~x| 0
Z

Θ (∆x0 ) +∞ dk  i k (∆x0 +|∆~x|)
i k (∆x0 −|∆~
x|)
=
=
−e
e
4 π |∆~x| −∞ 2 π




Θ (∆x0 ) 
=
δ ∆x0 − |∆~x| − δ ∆x0 + |∆~x| (157)
.
4 π |∆~x|

Θ (∆x0 )
G(∆x) = −
(2 π)3

+∞

dk k

2

0
x|) 6= 0, åñëè ∆x0 = − |∆~x| < 0, íî Θ (∆x0 ) 6= 0, åñëè
 ïîñëåäíåì âûðàæåíèè δ (∆x + |∆~
0
0
∆x > 0. Ïîýòîìó δ (∆x + |∆~x|) â ýòîì âûðàæåíèè ìîæíî îòáðîñèòü, ïîëó÷èâ îêîí÷à-

òåëüíûé îòâåò äëÿ çàïàçäûâàþùåé óíêöèè

GR (x − y) =
Âûðàæåíèå (158) äëÿ óíêöèè
íóëþ òîëüêî ïðè

ðèíà:



1
δ ∆x0 − |∆~x| .
4 π |∆~x|

(158)

ðèíà èìååò ïðîçðà÷íûé èçè÷åñêèé ñìûñë. Îíî íå ðàâíî

c (tx − ty ) ≡ ∆x0 = |∆~x| > 0,

ò.å. òîëüêî íà ñâåòîâîì êîíóñå è, áîëåå

òîãî, íà òîé åãî ÷àñòè, êîòîðàÿ èñõîäèò èç ìèðîâîé òî÷êè

y

â áóäóùåå. Äåéñòâèòåëüíî

ðîæäåííàÿ ÝÌ âîëíà äîëæíà ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïîñëå ðîæäåíèÿ â ìèðîâîé òî÷êå

y

ñî

ñêîðîñòüþ ñâåòà âïåðåä â áóäóùåå.
Èç ñâîéñòâà

δ óíêöèè

δ [g(x)] =

N
X
δ (x − xq )
q=1

|g ′ (xq )|

,

g(xq ) = 0,

∀q = 1, . . . , N

(159)

âèäíî, ÷òî

ãäå


 δ (∆x0 − |∆~x|) + δ (∆x0 + |∆~x|)
,
δ (x − y)2 =
2 |∆~x|

(x − y)2 ≡ (x − y)µ (x − y)µ , è ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü çàïàçäûâàþùóþ óíêöèþ

ðèíà

â áîëåå óäîáíîé äëÿ äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèé îðìå:

GR (x − y) =

3.


Θ (x0 − y 0) 
δ (x − y)2
2π

Ïðèìåíèì òåïåðü íàéäåííóþ óíêöèþ

(160)

ðèíà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî

òî÷å÷íîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé, ñîâåðøàþùåé ïðîèçâîëüíîå çàäàííîå äâèæåíèå. Ïóñòü

zµ (s)

 ìèðîâàÿ ëèíèÿ ÷àñòèöû. Ñîîòâåòñòâóþùèé 4âåêòîð òîêà èìååò âèä:
104

µ

j (y) = e c

Z

+∞
−∞

ds uµ (s) δ (4) [y − z(s)] ,

uµ (s) ≡

dz µ (s)
.
ds

Ïîäñòàâèâ ÿâíûé âèä çàïàçäûâàþùåé óíêöèè ðèíà è ýòî âûðàæåíèå äëÿ òîêà â îð4
(4)
ìóëó (152) è âçÿâ èíòåðãàë ïî d y ñ èñïîëüçîâàíèåì δ
[y − z(s)], ìû ïîëó÷èì:

µ

A (x) = 2 e

Z


 
ds Θ x0 − z 0 (s) δ [x − z(s)]2 uµ (s).

(161)

Äàëåå, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî (159), ïðåäñòàâèì


δ(s − sr )
,
δ [x − z(s)]2 =
2
d[x−z(s)]
ds

ãäå

d[x − z(s)]2
d[x − z(s)]µ
dz µ (s)
= 2 [x − z(s)]µ
= −2 [x − z(s)]µ
=
ds
ds
ds
= −2 [x − z(s)]µ uµ (s) ≡ −2 [x − z(s)] · u(s),
à

sr

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ

[x − z(sr )]2 = 0,

x0 > z 0 (sr ).

 òðåõìåðíîé îðìå ýòî óðàâíåíèå èìååò âèä:

t − tr =
tr ≡ z 0 (sr )/c

ãäå

|~x − ~z (tr )|
,
c

 êîîðäèíàòíîå âðåìÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîìó

sr .

Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå íà sr èìååò åäèñòâåííîå ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì
2
óíêöèþ ϕ(s) ≡ [x − z(s)] . Åå ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà:



dϕ(s)
(~v, [~x − ~z ])
µ
0 0
0
< 0,
= −2 [x − z(s)]µ u (s) = −2u [x − z ] 1 −
ds
c (x0 − z 0 )

x0 > z 0 (~v = d~r/dt, u0 = c dt/ds). Ñëåäîâàòåëüíî ϕ(s) ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé
óíêöèåé îò s. Ïîýòîìó ó óðàâíåíèÿ ϕ(sr ) = 0 ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí êîðåíü.
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë tr è sr  ýòî ìîìåíòû êîîðäèíàòíîãî è ñîáñòâåííîãî, ñîîòâåòñòâåí-

ò.ê.

|~v | < c

è

íî, âðåìåíè èçëó÷åíèÿ (radiation) òîé ÝÌ âîëíû, êîòîðàÿ íàáëþäàåòñÿ â ìèðîâîé òî÷êå

x.

Ýòà âîëíà ñîçäàåòñÿ â òî÷êå

zµ (sr )

íà ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû, êîòîðàÿ ñèäèò â
xµ = (t, ~x). Ïðè ýòîì ðàçíîñòü

âåðøèíå ñâåòîâîãî êîíóñà, ñîäåðæàùåãî ìèðîâóþ òî÷êó

t − tr = |~x − ~z(tr )| /c > 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû èç
z(tr ) â òî÷êó x, èçìåðåííîå â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà (ñìîòðèòå ðèñóíîê).

òî÷êè

Òàêèì îáðàçîì:

µ

A (x) = 2 e

Z

ds

δ(s − sr )
d[x−z(s)]2
ds

uµ (s) =

e uµ (sr )
e uµ (s)
=
u(sr ) · [x − z(sr )]
u(s) · X(s)
105

,
s=sr

(162)

èñ. 10:

ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèå

X µ (s) = xµ − z µ (s).

Ïðè ýòîì

sr

ðåøàåò óðàâíåíèå

X 2 (sr ) = 0.

Ïðîñòîé ïîäñòàíîâêîé ïîëó÷àåì, ÷òî â 3ìåðíîé îðìå óðàâíåíèå (162) èìååò âèä:

A0 (t, ~x) = ϕ (t, ~x) =

~ (t, ~x) =
A

e

R 1−


(~
v ,~
n)
c

e ~v

cR 1 −



(~v ,~
n)
c

,
tr



,

(163)

tr

~ ≡ ~x −~z (t)  3ìåðíûé ðàäèóñ âåêòîð âåäóùèé èç òî÷êè èçëó÷åíèÿ â òî÷êó íàáëþäåR
~ è ~n = R/R
~
v = ~z˙ (t), R ≡ R
 åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè èçëó÷åíèÿ
íèÿ ÝÌ âîëíû, ~
ãäå

ÝÌ âîëíû. Ïîòåíöèàëû (162)-(163) íàçûâàþòñÿ ïîòåíöèàëàìè ËèåíàðàÂèõåðòà.

4. Âû÷èñëèì òåïåðü òåíçîð ÝÌ ïîëÿ Fµν . Äëÿ ýòîãî óäîáíåå èñõîäèòü èç èíòåãðàëüíîãî

ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîð ïîòåíöèàëà (161). Òîãäà

∂
∂ A (x) = 2 e
∂xν
ν

µ

Z


 

ds u (s) Θ X 0 (s) δ X 2 (s) = 2 e
µ

Z


 ∂  2 
ds uµ(s) Θ X 0 (s)
δ X (s)
∂xν

 êà÷åñòâå äîìàøíåãî çàäàíèÿ ïîêàæèòå, ÷òî ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ∂/∂xν ê Θ [X 0 (s)]
íå äàåò âêëàäà â ∂ ν Aµ . Ïðè ýòîì èìåéòå ââèäó, ÷òî dΘ(x)/dx = δ(x).
Äàëåå

 2 
 2 
∂  2 
d
ν d
δ X (s) = 2 X ν (s)
δ
X
(s)
=
2
X
δ
X (s)
∂xν
dX 2
ds
Òàêèì îáðàçîì,

106

1
dX 2 (s)
ds

=−

Xν d  2 
δ X (s) .
u · X ds

ν

Z

µ

∂ A = −2 e


 uµ (s) X ν (s) d  2 
δ X (s) .
ds Θ X 0 (s)
u(s) · X(s) ds

Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî ÷àñòÿì â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå, ìû ïîëó÷àåì

ν

µ

∂ A = 2e



 0   2  d uµ (s) X ν (s)
ds Θ X (s) δ X (s)
.
ds u(s) · X(s)

Z

Âû÷èñëèâ ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ñ èñïîëüçîâàíèåì
µ
ñäåëàëè ïðè âû÷èñëåíèè A (x) âûøå, ìû ïîëó÷èì

δ óíêöèè,



e d uµ X ν
∂ A (x) =
u · X ds u · X
ν

µ

òî÷íî òàêæå êàê ìû ýòî

.
sr

Ñëåäîâàòåëüíî òåíçîð ÝÌ ïîëÿ ðàâåí:

F

µν



e d X µ uν − X ν uµ
=
u · X ds
u·X

sr

Äàëåå, âû÷èñëèâ ïðîèçâîäíóþ d/ds, ïðè ýòîì âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâàìè
wµ uµ = 0, ãäå w µ ≡ duµ /ds  4óñêîðåíèå, ìû ïîëó÷àåì

F

µν



e
w·X −1
µ ν
ν µ
µ ν
ν µ
(X u − X u )
=
(X w − X w ) −
u·X
(u · X)2

×òîáû âû÷èñëèòü êîìïîíåíòû

wµ ≡



1
d 
d µ
q
u =
ds
ds
1−

~
E

è

~
B

.

~a ≡ ~x¨.

~ (t, ~x) =
E

(164)

òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ, íàéäåì êîìïîíåíòû 4óñêîðåíèÿ:







1
~v
d 
= q1
=
q
, q
v2 dt
v2
v2
v2
c 1 − c2
1 − c2 c 1 − c2
c2
  
  
˙
~v, ~v
~v ~v , ~v˙
~v˙
1


+
= q

3 , q

3 =
v2 2
v2 2
v2
v2
2
3
c 1 − c2
c 1 − c2
c 1 − c2
c 1 − c2
!
(~v , ~a)
~a
~v (~v, ~a)
=
,
,
2
+
2
2
2
2
c2 1 − vc2
c3 1 − v2
c4 1 − v2
~v
, q
v2
c 1−
c2

Òîãäà ïîñëå ïîäñòàíîâêè êîìïîíåíò 4âåêòîðîâ

~ (t, ~x) =
B

è

sr

c

ãäå

uµ uµ = 1

c

X, u

è

w

â (164), ïîëó÷àåì:



2
e 1 − vc2 [~v × ~n]
e (c [~a × ~n] + [~n × [[~v × ~a] × ~n]])
+

3

3
(~
v ,~
n)
(~
v ,~
n)
2
3
cR 1 − c
c R 1− c
tr




2





~n − ~vc
e 1 − vc2
e ~n × ~n − ~vc × ~a
+
,

3

3
R2 1 − (~vc,~n)
c2 R 1 − (~vc,~n)
tr

107

tr

tr

(165)

ãäå

~n =

~
R
 åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû. ËåãR

êî âèäåòü, ÷òî ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ÝÌ ïîëåé óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ

h
i
~
~n(tr ) × E(t)

è âåêòîðà

~
~n, B

è

~
E

~
B(t)
=

îáðàçóþò îðòîãîíàëüíóþ òðîéêó.

Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé ìû îáñóäèì â ñëåäóþùåé ëåêöèè.

6. Àïïåíäèêñ ñ íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè óíêöèè ðèíà.

•

Ïîìèìî çàïàçäûâàþùåé åñòü åùå è îïåðåæàþùàÿ (advan ed) óíêöèÿ

GA (x − y) =
êîòîðàÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì

•

ðèíà :

 δ (∆x0 + |∆~x|)
Θ (y 0 − x0 ) 
δ (x − y)2 =
,
2π
4 π |∆~x|
GA (x − y) = 0,

åñëè

x0 > y 0

Ñóììà çàïàçäûâàþùåé è îïåðåæàþùåé óíêöèé

ðèíà



δ (x − y)2
G(x − y) = GR (x − y) + GA (x − y) =
2π

òîæå ðåøàåò óðàâíåíèå (151).

•

Óðàâíåíèå íà óíêöèþ

ðèíà èìååò òàê æå è ñëåäóþùåå ðåøåíèå

G(x − y) = −

2 π2

i
.
(x − y)2

 ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, âîñïëüçîâàâøèñü îðìóëîé Ñîõîòñêîãî, êîòîðàÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä:



1
1
= v.p.
+ i π δ (x − y)2 .
2
2
ǫ→0 (x − y) + i ǫ
(x − y)

lim
 ýòîì âûðàæåíèè

1
v.p. (x−y)
2

íå èìååò îñîáåííîñòåé ïðè

(x − y)2 = 0.

Ïîýòîìó îíî

δ[(x−y)2 ]
0
ðåøàåò îäíîðîäíîå óðàâíåíèå G (x − y) = 0, ïîýòîìó óíêöèè
ðèíà
è
2π
i
− 2 π2 (x−y)
ðàâíû
äðóã
äðóãó
ñ
òî÷íîñòüþ
äî
ïðèáàâëåíèÿ
ðåøåíèÿ
îäíîðîäíîãî
óðàâ2

íåíèÿ, ò.å. ðåøàþò îäíî è òîæå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå (151).

7. Àïïåíäèêñ î òåîðåìå Êîøè.
àññìîòðèì èíòåãðàë âèäà:

Im =

I

Cz0 ,R

Çäåñü

Cz0 ,R

dz (z − z0 )m ,
R

 ýòî îêðóæíîñòü ðàäèóñà

m ∈ Z.

ñ öåíòðîì â òî÷êå

(166)

z0 .

×òîáû âû÷èñëèòü ýòîò

z , êîòîðûé ëåæèò íà ýòîé îêðóæíîñòè, â
ϕ ∈ [0, π). Òîãäà îáñóæäàåìûé èíòåãðàë ïðèíèìàåò

èíòåãðàë, ïðåäñòàâèì

ñëåäóþùåì âèäå:

z0 + R ei ϕ ,

ñëåäóþùèé âèä:

ãäå

Im = R

m+1

i

Z

z =

2π

dϕ ei (m+1) ϕ .

0
108

(167)

 ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè ïîäèíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ, ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ
ïðè âñåõ

m,

êðîìå

m = −1.

Òî åñòü:

Im =



0 m 6= −1
2 π i m = −1

(168)

I

(169)

àññìîòðèì òåïåðü èíòåãðàë âèäà:

1
I=
2πi
Çäåñü

f (z)

dz

Cz0 ,R

f (z)
.
z − z0

 àíàëèòè÷åñêàÿ óíêöèÿ âíóòðè îêðóæíîñòè

Cz0 ,R .

Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ðàç-

ëîæåíèè ýòîé óíêöèè â ðÿä Ëîðàíà âíóòðè ýòîé îêðóæíîñòè âîêðóã ëþáîé òî÷êè íå
P
m
ïðèñóòñòâóþò ÷ëåíû îòðèöàòåëüíîé ñòåïåíè: íàïðèìåð, f (z) =
m∈Z fm (z − z0 ) , ãäå

fm = 0

ïðè

m < 0.

Òîãäà, ðàçëàãàÿ

f (z)

â ðàä Ëîðàíà âíóòðè îáñóæäàåìîé îáëàñòè è

âîñïîëüçîâàâøèñü ðàññóæäåíèÿìè ïðèâåäåííûìè âûøå, ïîëó÷àåì:

I = f0 ≡ f (z0 ).

(170)

×òîáû îáîáùèòü âñå ýòè âûêëàäêè íà ñëó÷àé êîíòóðîâ áîëåå îáùåãî âèäà, ÷åì îêðóæíîñòü, ðàññìîòðèì êîíòóð

CR,ǫ ,

êîòîðûé èçîáðàæåí íà ðèñóíêå (11). À èìåííî, ïóñòü èí-

òåãðàë èäåò âäîëü êîíòóðà îêðóæíîñòè ðàäèóñà
îêðóæíîñòü ìàëîãî ðàäèóñà

f (z)

ǫ,

R,

à â íåêîòîðé òî÷êå îòâåòâëÿåòñÿ íà

à çàòåì ïðîäîëæàåò èäòè âäîëü èñõîäíîãî êîíòóðà. Ïóñòü

àíàëèòè÷åñêàÿ â ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòè.  ñèëó àíàëèòè÷íîñòè âñåãî ïîäèíòå-

ãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ âíóòðè ìàëåíüêîãî êîíòóðà ðàäèóñà

ǫ,

ýòîò êîíòóð äàåò íóëåâîé

âêëàä â èíòåãðàë. Òî åñòü,

1
2πi

I

dz

CR,ǫ

f (z)
= f (z0 ).
z − z0

(171)

Èñïîëüçóÿ êîíòóðà ìàëûõ ðàäèóñîâ ðàçëè÷íîãî ðàçìåðà, ìû ìîæåì ïðîäåîðìèðîâàòü
èñõîäíóþ îêðóæíîñòü â êîíòóð ïðîèçâîëüíîé îðìû, êîëü ñêîðî íàì ïîçâîëÿåò ñäåëàòü
ýòî àíàëèòè÷íîñòü óíêöèè

f (z).

Òî åñòü ïðè òàêèõ äåîðìàöèÿõ êîíòóðà îí íå äîëæåí

ïåðåñåêàòü ïîëþñà è ðàçðåçû óíêöèè

f (z),

åñëè îíè èìåþòñÿ. Ýòî çàâåðøàåò ñõåìàòè÷å-

ñêîå äîêàçàòåëüñòâî îðìóëû Êîøè.

Âîïðîñû è çàäà÷è
•

•

Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå:



∆ + k 2 G (~x − ~y ) = δ (3) (~x − ~y ) ,

Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè:

ãäå â ýòîì ñëó÷àå

G(x − y) = δ (3) (x − y),

 ≡ ∂02 − ∂12 − ∂22 .

109

ǫ
R

z0

èñ. 11:

•

Ïîëó÷èòå (163) èç (162).

•

Ïîâòîðèòå âû÷èñëåíèÿ ïðèâåäåííûå â ýòîé ëåêöèè äëÿ ñëó÷àÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ:

ãäå

j(x) = q

R

φ(x) = j(x),
ds δ (4) [x − z(s)],

à

q

 êîíñòàíòà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òî÷å÷íîé

÷àñòèöåé è ñêàëÿðíûì ïîëåì. Âû÷èñëèòå òàêæå

•

∂µ φ.

Âû÷èñëèòå èíòåãðàë

I=

I

C0,1

ãäå

C0,1

dz
√ ,
z

 îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â òî÷êå 0. Ó óíêöèè

åñòü ðàçðåç â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè

z.

Êàê ýòîò èíòåãðàë çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ

ðàçðåçà? Êàê îí çàâèñèò îò âûáîðà ëèñòà?

110

√
1/ z

Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí äâèæóùèìèñÿ
çàðÿäàìè, èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ è ìîùíîñòü ïîòåðü, èçëó÷åíèå â äèïîëüíîì ïðèáëèæåíèè, ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèå â
íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè.
Ëåêöèÿ XI;

1.

Íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè ìû âû÷èñëèëè ÝÌ ïîëÿ, ñîçäàâàåìûå â ìèðîâîé òî÷êå

t, ~x

ðåëÿòèâèñòñêîé òî÷å÷íîé ÷àñòèöåé, ñîâåðøàþùåé ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå âäîëü ìèðîâîé
µ
ëèíèè z (t):



2
e 1 − vc2 [~v × ~n]
e (c [~a × ~n] + [~n × [[~v × ~a] × ~n]])
+
3
3


(~
v ,~
n)
(~
v ,~
n)
2
3
cR 1 − c
c R 1− c
tr




2





e 1 − vc2
~n − ~vc
e ~n × ~n − ~vc × ~a
+
,


3
3
R2 1 − (~vc,~n)
c2 R 1 − (~vc,~n)

~ (t, ~x) =
B

~ (t, ~x) =
E

tr

ãäå

~
R(t)
≡ ~x − ~z(t)

tr

(172)

tr

 3ìåðíûé ðàäèóñ-âåêòîð, âåäóùèé èç òî÷êè èçëó÷åíèÿ â òî÷êó
~ , à ~n = R~  åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü
íàáëþäåíèÿ ÝÌ âîëíû, ~
v = ~z˙ (t), ~a = ~v˙ , R ≡ R
R
÷àñòèöåé ÝÌ ïîëÿ, êîòîðîå íàáëþäàåòñÿ â òî÷êå

~a

t, ~x

~
B

â (172) ñîäåðæèò äâà âêëàäà: ïåðâûé, êîòîðûé íå çàâèñèò îò
2
è ñïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì êàê 1/R , è âòîðîé, êîòîðûé çàâèñèò îò óñêîðåíèÿ è

Êàæäîå èç ïîëåé
óñêîðåíèÿ

~
E

è

tr

 ìîìåíò âðåìåíè ïîðîæäåíèÿ
|~
x−~
z (tr )|
 ðåøàåò óðàâíåíèå t − tr =
.
c

íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû. Ïðè ýòîì

1/R. Ò.å. ïåðâîå ñëàãàåìîå â êàæäîì èç ÝÌ ïîëåé ñîîòâåòñòâóåò
äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà. Äåéñòâèòåëüíî ïðè ~
v = const èìååì:

ñïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì êàê
ïîëþ ðàâíîìåðíî

~ r ) + ~v (t − tr ) = R(t),
~
~ r ) + ~v R(tr ) = R(t
R(t
c
ò.å. ýòî âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé ìåñòîïîëîæåíèå çàðÿäà â ìîìåíò íàáëþäåíèÿ ñ òî÷êîé íàáëþäåíèÿ. Îòêóäà ñëåäóåò



(~n, ~v)
R 1−
c
ãäå

θ

 óãîë ìåæäó

~
R(t)

è

~v .

=R
tr

r

1−

v2
sin2 θ ,
c2
t

 ðåçóëüòàòå ïåðâûé âêëàä ñêàæåì â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå

ñâîäèòñÿ ê
2

~
1 − vc2
~ ~x) = e R
E(t,
R3 1 − v2 sin2 θ
23
c2

t
 èçâåñòíîìó âûðàæåíèþ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíîìåðíî äâèãàþùåãîñÿ çàðÿäà.
Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ ïîëó÷àåòñÿ è äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òàêèå ÝÌ ïîëÿ ïîëó÷àþòñÿ
èç ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Êóëîíà ïîñëå áóñòà Ëîðåíöà. Îíè ïðèâÿçàíû ê çàðÿäó, ò.å. íå
111

ìîãóò ñóùåñòâîâàòü íåçàâèñèìî îò èõ èñòî÷íèêà. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîñ÷èòàòü âåêòîð
ÓìîâàÏîéíòèíãà äëÿ òàêèõ ÝÌ ïîëåé è íàéòè, ÷òî õîòÿ îí è íå íóëåâîé (åñëè ~
a 6= 0),
4
íî ñïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì áûñòðî (êàê 1/R ) è îòâå÷àåò íóëåâîìó ïîòîêó ýíåðãèè ÷åðåç
áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ ïîâåðõíîñòü. Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, ñèòóàöèÿ äëÿ âòîðûõ âêëàäîâ
â ÝÌ ïîëÿ (172) ñèëüíî îòëè÷íà îò ýòîé.
Íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ÷àñòèöû (èñòî÷íèêà),

R ≫ (1 − v 2 /c2 )c2 /a, âûðàæåíèÿ äëÿ

ÝÌ ïîëåé óïðîùàþòñÿ, è îñòàþòñÿ òîëüêî âòîðûå âêëàäû, çàâèñÿùèå îò óñêîðåíèÿ:






~
v
e
~
n
×
~
n
−
×
~
a
c
~ (t, ~x) ≈
E
,
3

(~
v ,~
n)
2
c R 1− c
tr
h
i
~
~
B(t) = ~n(tr ) × E(t) .

(173)

Âû÷èñëèì ïîòîê ýíåðãèè äëÿ òàêèõ ïîëåé âíóòðè òåëåñíîãî óãëà

dΩ

íà áîëüøèõ ðàññòî-

ÿíèÿõ îò ÷àñòèöû:

Ñëåäîâàòåëüíî

i 
c h ~
c ~2 2
~
dI =
E × B , ~n R2 dΩ =
E R dΩ.
4π
4π

dI
e2
=
dΩ
4 π c3





2
~n × ~n − ~vc × ~a

6
1 − (~nc,~v)

Ïîòîê ýíåðãèè â åäèíèöó òåëåñíîãî óãëà,

tr = t −

dI/dΩ,

.

(174)

tr

R

òîëüêî ÷åðåç àðãóìåí
R(tr )/c. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîòîê ýíåðãèè ÷åðåç ïëîùàäêè R2 dΩ âíóòðè âûáðàí-

íîãî òåëåñíîãî óãëà

dΩ,

çàâèñèò îò

íàõîäÿùèåñÿ íà ðàçíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò ÷àñòèöû â ñîîòâåòñòâó-

þùèå ìîìåíòû âðåìåíè (ñ ó÷åòîì êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè ïåðåíîñà ýíåðãèè) áóäåò îäèíàêîâûì. Ò.å. ÝÌ âîçìóùåíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò ãåíåðèðóþùåé åãî çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íà
áåñêîíå÷íîñòü. Îíî îáðàçóåò ïîëå èçëó÷åíèÿ, êîòîðîå, âîçíèêíóâ, îòðûâàåòñÿ îò ñâîåãî
èñòî÷íèêà.  ýòîì è ñîñòîèò ÿâëåíèå èçëó÷åíèÿ. Êâàçèñòàöèîíàðíîå ïîëå, îòâå÷àþùåå
ïåðâûì ñëàãàåìûì â îðìóëå (172), êàê ìû âèäåëè, òàêèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò. Äëÿ
2
íåãî dI/dΩ ∼ 1/R .

2.

Îáðàòèì òåïåðü âíèìàíèå íà óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èçëó÷åíèÿ óëüòðàðåëÿòèâèñò-

ñêîé ÷àñòèöû, äëÿ êîòîðîé

v ≈ c.

Çäåñü â ïåðâóþ î÷åðåäü âàæíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà

çíàìåíàòåëü â îðìóëå äëÿ äèåðåíöèàëüíîé èíòåíñèâíîñòè (174)  ýòî øåñòàÿ ñòå-

1 − (~n, ~v)/c = 1 − v cos θ/c, ãäå θ  óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñêîðîñòè
÷àñòèöû ~
v è íàïðàâëåíèåì èçëó÷åíèÿ ~n â ìîìåíò âðåìåíè èçëó÷åíèÿ tr . Ýòî âûðàæåíèå
áëèçêî ê íóëþ ïðè cos θ ≈ 1 è ê åäèíèöå, ïðè cos θ < 1. Ïîýòîìó âîçíèêàåò ðåçêàÿ àíèçîïåíü âûðàæåíèÿ

òðîïèÿ èçëó÷åíèÿ  ïðàêòè÷åñêè âñå èçëó÷åíèå èäåò â ìàëîé îêðåñòíîñòè óãëîâ âáëèçè
íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè. Ò.å. ÷àñòèöà èçëó÷àåò âïåðåä â îáëàñòè óãëîâ

 õàðàêòåðíàÿ øèðèíà îáëàñòè èçëó÷åíèÿ.
Îöåíèì ýòó øèðèíó (v/c

≈ 1):
112

0 < ∆θ ≪ 1,

ãäå

∆θ



θ2
v v θ2
v
v
1−
=1− +
≈
1 − cos θ ≈ 1 −
c
c
2
c c 2




v 
v  θ2
v2
1
θ2
1 1
1 
2
1+
1−
+
1− 2 +
=
=
+θ ,
≈
2
c
c
2
2
c
2
2 γ2

(175)

ãäå

γ

1/γ

ïîäàâëåíî ñòåïåííûì îáðàçîì  âûñîêîé ñòåïåíüþ ðåëÿòèâèñòñêîãî àêòîðà. Ò.å.

 ðåëÿòèâèñòñêèé àêòîð. Òàêèì îáðàçîì, èçëó÷åíèå â íàïðàâëåíèè óãëîâ

èçëó÷åíèå â îñíîâíîì ñîñðåäîòî÷åíî â êîíóñå ñ óãëîâûì ðàñòâîðîì
óãëîâ

θ . 1/γ ≈ ∆θ.

∼ 1/γ

θ >

 â îáëàñòè

Ýòî ñâîéñòâî èçëó÷åíèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö , õîòÿ è ïîëó÷åíî íàìè ñåé÷àñ èç îðìóëû äëÿ

dI/dΩ, íà ñàìîì äåëå ëåãêî îáúÿñíÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì óãëîâ

â ÑÒÎ, î êîòîðîì óæå ó íàñ áûëà ðå÷ü â íà÷àëå êóðñà. ß èìåþ ââèäó àáåððàöèþ ñâåòà.
′
Âñïîìíèì, ÷òî åñëè äâèãàþùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v èñòî÷íèê èñïóñêàåò ñâåò ïîä óãëîì θ
ê íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòè, òî â ïîêîÿùåéñÿ ÑÎ óãîë

θ

èñïóñêàíèÿ ñâåòà îïðåäåëÿåòñÿ ïî

îðìóëå:

cos θ′ =

cos θ − vc
,
1 − vc cos θ

êîòîðàÿ ñëåäóåò èç çàêîíà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé.
Òîãäà ðàïðåäåëåíèå èñïóùåííûõ ÷àñòèö ïî óãëàì èìååò òàêîé âèä:
2

ãäå

dN

1 − vc2
dN
dN dΩ′
dN d cos θ′
dN
=
=
=

,
dΩ
dΩ′ dΩ
dΩ′ d cos θ
dΩ′ 1 − v cos θ 2
c

 ÷èñëî ÷àñòèö, ëåòÿùèõ â äàííûé òåëåñíûé óãîë.

Òàêèì îáðàçîì, â çíàìåíàòåëå ïîÿâëÿåòñÿ òîò æå ñàìûé àêòîð, ÷òî è âûøå. Äàæå
åñëè ðàñïðåäåëåíèå ïî óãëàì â ÑÎ, ñîïóòñòâóþùåé èñòî÷íèêó, ÿâëÿåòñÿ èçîòðîïíûì, ò.å.

dN/dΩ′ = const,

òî ïî îòíîøåíèþ ê ëàáîðàòîðíîé ÑÎ âûëåò ÷àñòèö ðåçêî àíèçîòðîïåí

è îíè â îñíîâíîì âûëåòàþò âïåðåä. Èìåííî ýòîò ýåêò â ïåðâóþ î÷åðåäü ïðèâîäèò ê
óçêîé íàïðàâëåííîñòè èçëó÷åíèÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè.

3. àññìîòðèì

íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë (v

≪ c)

îðìóëû äëÿ èçëó÷åíèÿ (174):

¨
i2 e2 ~r¨2 sin2 θ
dI
e2
e2 h
d~2 sin2 θ
2
˙
≈
[~n × [~n × ~a]] =
~n × ~v =
=
.
dΩ
4 π c3
4 π c3
4 π c3
4 π c3
~ = e ~r  äèïîëüíûé ìîìåíò çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, d~¨ = e ~r¨ = e ~v˙ = e~a, à θ  çäåñü
Çäåñü d
óãîë ìåæäó óñêîðåíèåì ~
a è íàïðàâëåíèåì íàáëþäåíèÿ èçëó÷åíèÿ ~n, ò.å. íå ñîâïàäàåò ñ òåì
θ, êîòîðûé ìû èñïîëüçîâàëè âûøå. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå îïèñûâàåò èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ â äèïîëüíîì ïðèáëèæåíèè äëÿ îäíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ìû ñåé÷àñ âûâåäåì ýòó
îðìóëó äëÿ ñèñòåìû íåðåëÿòèâèñòñêèõ äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ
ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ñèñòåìû. Ìû çíàåì, ÷òî

4π
A (x) =
c
µ

Ïðè ýòîì

Z

d4 y GR (x − y) j µ (y).

113

GR (x − y) =
j µ (y) = (c ρ(y), ~j(y)). Ïîäñòàâèâ
0
âçÿâ èíòåãðàë ïî y , ïîëó÷àåì:

à

δ (x0 − y 0 − |~x − ~y |)
,
4 π |~x − ~y |

ýòè âûðàæåíèÿ â îðìóëó äëÿ âåêòîðïîòåíöèàëà è

1
A (x) =
c
µ

Z

d3 y

j µ (x0 − |~x − ~y | ; ~y)
|~x − ~y |

 çàïàçäûâàþùèå ïîòåíöèàëû. Âûáåðåì íà÷àëî êîîðäèíàò âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ. Ïóñòü
~n = ~x/x è, ò.ê. â òîé îáëàñòè, ãäå j µ (y) 6= 0 ìû èìååì y ≪ x, òî |~x − ~y | ≈ x − (~n, ~y ). Ïîäµ
ñòàâèì ýòó îðìóëó â ïîëó÷åííîå âûøå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ A (x).  çíàìåµ
íàòåëå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü (~
n, ~y) ïî ñðàâíåíèþ ñ x. Â àðãóìåíòå æå j ýòî ïðåíåáðåæåíèå
ñäåëàòü íåëüçÿ. Âîçìîæíîñòü òàêîãî ïðåíåáðåæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé x è (~
n, ~y ), à òåì, íàñêîëüêî ìåíÿþòñÿ êîìïîíåíòû j µ çà âðåìÿ (~n, ~y )/c. Ìû âåðíåìñÿ
ê îáñóæäåíèþ ýòîãî âîïðîñà íèæå.
Òàêèì îáðàçîì, âîîáùå ãîâîðÿ:

1
A (x) ≈
cx
µ

Z



j µ x0 − x + (~n, ~y); ~y d3 y.

Ïîêà âñå íàøè îðìóëû âåðíû è â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå.
íîå

Íà äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ñèñòåìû çàðÿäîâ  èñòî÷íèêà ïîëÿ  ïîëó÷åíAµ ðåøàåò îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ÝÌ âîëíîé â òîì ñìûñëå, â

êîòîðîì ìû åå îïðåäåëÿëè íà 9-é ëåêöèè. Äëÿ ýòîãî íàäî, ÷òîáû ðàññòîÿíèÿ áûëè âåëèêè
íå òîëüêî ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ñèñòåìû, íî è ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé èçëó÷àåìîé
ñèñòåìîé çàðÿäîâ ÝÌ âîëíû.  òåðìèíàõ íà÷àëà ýòîé ëåêöèè ýòî òà îáëàñòü, ãäå ìîæíî

~ èB
~ , êîòîðûå íå çàâèñÿò îò ~a è ñïàäàþò
ïðåíåáðå÷ü òåìè ÷àñòÿìè â âûðàæåíèÿõ äëÿ E
2
êàê 1/R ïî ñðàâíåíèþ ñ çàâèñÿùèìè îò ~
a ÷ëåíàìè. Îá ýòîé îáëàñòè ïîëÿ ãîâîðÿò êàê î
âîëíîâîé çîíå èçëó÷åíèÿ.
Êàê ìû çíàåì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ

~.
A

Äåéñòâèòåëüíî, â ïëîñêîé âîëíå

~ èB
~ ïîëåé äëÿ ÝÌ âîëíû äîñòàòî÷íî çíàòü òîëüêî
E
h
i
h
i
~ = rotA
~ = 1 A
~ = B
~ × ~n . Çàìåòèì, ÷òî
~˙ × ~n , à E
B
c

x−(~
n,~
y)
îïðåäåëÿåò âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ÝÌ âîëíû îò èñòî÷íèêà â òî÷êå
c
òî÷êå íàáëþäåíèÿ â ~
x.
êàê è ðàíüøå

Îáñóäèì òåïåðü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü
òåãðàëüíîì âûðàæåíèè äëÿ
ìàëî ìåíÿåòñÿ. Ïóñòü

T

~.
A

Âðåìåíåì

(~n, ~y )/c

(~n, ~y ) â àðãóìåíòå ~j

~y

â ïîäûí-

ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, åñëè çà ýòî âðåìÿ

îïðåäåëÿåò ïîðÿäîê âåëè÷èíû âðåìåíè, â òå÷åíèè

ê

êîòðîãî ~
j

~j

ìå-

íÿåòñÿ çàìåòíûì îáðàçîì. Î÷åâèäíî èçëó÷åíèå òàêîé ñèñòåìû áóäåò îáëàäàòü ïåðèîäîì

T . Ïóñòü d  õàðàêòåðíûé ðàçìåð ñèñòåìû. Òîãäà âðåìÿ (~n, ~y )/c ∼ d/c. Äëÿ òîãî,
j â ñèñòåìå íå óñïåë çàìåòíî èçìåíèòüñÿ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû d/c ≪ T .
÷òîáû çà ýòî âðåìÿ ~
Íî c T ≈ λ  õàðàêòåðíàÿ äëèíà èçëó÷àåìîé ñèñòåìîé ÝÌ âîëíû. Ñëåäîâàòåëüíî èñêîìîå
óñëîâèå èìååò âèä: d ≪ λ. Ýòî óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü åùå è â äðóãîì âèäå, çàìåòèâ, ÷òî
T ∼ d/v ⇒ λ ∼ c d/v , ãäå v  ïîðÿäîê âåëè÷èíû ñêîðîñòè çàðÿäîâ â ñèñòåìå. Ïðè ýòîì èç
d ≪ λ ñëåäóåò, ÷òî
ïîðÿäêà

v ≪ c,
114

(176)

ò.å. ïîëó÷àåì íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë äëÿ ñêîðîñòåé çàðÿäîâ, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó. Ýòîé
îðìóëîé è îïðåäåëÿþòñÿ ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè äèïîëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Èòàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè ìû èìååì:

Ïîäñòàâèâ

Íî

P

q

Z 

0
1
~
~j t − x , ~y d3 y, t ≡ x .
A(t, ~x) =
cx
c
c
P
ñþäà ~
j = ρ ~v è ρ = q eq δ (3) (~y − ~rq ), ïîëó÷àåì

eq ~vq =

d
dt

Òàêèì îáðàçîì,
ðåííî

~a 6= 0.

P

~˙
eq ~rq = d,


X
x
~ ~x) = 1
eq~vq t −
.
A(t,
cx q
c

d~  äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû. Ïîýòîìó
i
i
h
i
1 h
1 h ~¨
′
~
~
~
~
B = − ~n × A = 2
d × ~n , E = B × ~n .
c
c x
~¨ 6= 0, ò.å., åñëè îíè äâèãàþòñÿ
çàðÿäû ìîãóò èçëó÷àòü òîëüêî, åñëè d
q

ãäå

Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ
ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà

dΩ,

~
B

â îðìóëó äëÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ â

íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè

dI = c

óñêî-

x

îò ñèñòåìû çàðÿäîâ,

~2
B
x2 dΩ,
4π

ïîëó÷àåì

¨
i2
d~2
1 h ~¨
d × ~n dΩ =
sin2 θ dΩ,
dI =
3
3
4πc
4πc
ãäå

θ

 óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

¨
d~

è

~n = ~x/x.

(177)

Ýòî âûðàæåíèå äëÿ äèåðåíöèàëüíîé

èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ îò ñèñòåìû çàðÿäîâ ñîâïàäàåò ñ òåì, ÷òî áûëî ïîëó÷åíî âûøå
â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè äëÿ îäíîãî çàðÿäà. Ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëÿåò
êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, èçëó÷àåìîé â åäèíèöó âðåìåíè â ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà â äàííîì
íàïðàâëåíèè.
Îòìåòèì, ÷òî óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èçëó÷åíèÿ â ýòîì ñëó÷àå äàåòñÿ ìíîæèòåëåì

sin2 θ,

ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè îäíîðîäíûì. Ïîäñòàâèâ â

è èíòåãðèðóÿ ïî

θ

îò

0

äî

π,

dI

âûðàæåíèå

dΩ = 2 π sin θ dθ

ïîëó÷àåì:

I=

2 ~¨2
d.
3 c3

(178)

 ïîëíóþ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ â äèïîëüíîì ïðèáëèæåíèè.

4.

dI/dΩ

Òåïåðü âåðíåìñÿ ñíîâà ê ðåëÿòèâèñòñêèì ÷àñòèöàì. Âû÷èñëåííàÿ íàìè âåëè÷èíà
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòîê ÝÌ ýíåðãèè, îòíåñåííîé ê åäèíè÷íîìó òåëåñíîìó óãëó,

êîòîðûé ìîæåò èçìåðèòü íåïîäâèæíûé â ËÑÎ íàáëþäàòåëü. Òàêàÿ âåëè÷èíà íå ÿâëÿåòñÿ
Ëîðåíö èíâàðèàíòîì (çàâèñèò îò âûáîðà íàáëþäàòåëÿ), ò.ê. ïðîïîðöèíàëüíà ñêàëÿðíîìó
ïðîèçâåäåíèþ äâóõ 3ìåðíûõ âåêòîðîâ:

I ∼

R

115

~ d~σ ,
S

ãäå

~
S

 âåêòîð ÓìîâàÏîéíòèíãà,

à

d~σ

 âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå, ÷åðåç êîòîðóþ è èçìåðÿåòñÿ

ïîòîê ýíåðãèè. Ìîäóëü ïîñëåäíåãî ðàâåí ïëîùàäè ýòîé ïëîùàäêè.
Îêàçûâàåòñÿ, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, Ëîðåíö èíâàðèàíòîì ÿâëÿòñÿ ìîùíîñòü ïîòåðü
ýíåðãèè ñàìîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé. Âû÷èñëèì ýòó âåëè÷èíó. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîðöèÿ

dΩ

ÝÌ ýíåðãèè, êîòîðóþ âíóòðè òåëåñíîãî óãëà

dI ·dt

èçìåðÿåò íåïîäâèæíûé íàáëþäàòåëü çà

[t, t+dt] èñïóùåíà ÷àñòèöåé â òå÷åíèè èíòåðâàëà âðåìåíè [tr , tr +dtr ].
−d2 E = dI · dt. Èçëó÷åííóþ ÷àñòèöåé ýíåðãèþ íóæíî îòíîñèòü
âðåìåíè dtr  âðåìåíè ðåàëüíîãî èñïóñêàíèÿ ÝÌ âîëíû, à íå åå

ïðîìåæóòîê âðåìåíè

Îáîçíà÷èì ýòó âåëè÷èíó çà
èìåííî ê èíòåðâàëó

èçìåðåíèÿ êàêèì-òî äàëåêèì íàáëþäàòåëåì. Ïîýòîìó èñêîìàÿ ìîùíîñòü ïîòåðü â äàííûé
òåëåñíûé óãîë ðàâíà:

dI · dt
dI dt
d2 E
.
=
=
−
dtr dΩ
dtr dΩ
dΩ dtr
Ýòî ñîîòíîøåíèå óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ïîòåðåé ýíåðãèè ÷àñòèöåé è èíòåíñèâíîñòüþ
èçëó÷åíèÿ, ðåãèñòðèðóåìîãî íàáëþäàòåëåì.
Èíòåðåñóÿñü ïîëíûìè ïîòåðÿìè ýíåðãèè ÷àñòèöû â ïîëíûé òåëåñíûé óãîë

4 π,

ïîëó-

÷àåì, ÷òî

dE
=
−
dtr
Ò.ê.

t − tr = R(tr )/c,

ãäå

R(tr ) = |~x − ~z (tr )|,

d R(tr )
dt
=1+
=1−
dtr
dtr c
ãäå, êàê îáû÷íî,

~ .
~n = R/R

dE
−
=
dtr

Z



dI dt
dΩ.
dΩ dtr
òî

~ r ), R(t
~˙ r )
R(t
R(tr ) c



=



(~n, ~v )
1−
c



,

(179)

tr

Òàêèì îáðàçîì,


Z 
(~n, ~v) dI
1−
dΩ
c
dΩ

tr

⇒I ≡

Z

dE
dI
dΩ 6= − .
dΩ
dtr

(180)

Êàê âèäíî ìîùíîñòü ïîòåðü ýíåðãèè âîâñå íå ñîâïàäàåò ñ ïîëíîé èíòåíñèâíîñòüþ. Êàê
ìû óæå óïîìÿíóëè, âåëè÷èíà

dE/dtr

ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì, à ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ

áîëåå óäîáíîé õàðàêòåðèñòèêîé èçëó÷åíèÿ, ÷åì ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü

I.

×òîáû óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ìîùíîñòü ïîòåðü ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì, ïîñ÷èòàåì
åå â äâóõ ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ: â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ, ãäå ÷àñòèöà â äàííûé ìîìåíò
âðåìåíè ïîêîèòñÿ, è â ËÑÎ. Â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ èìååì:

dE0
−
=
dτr
ãäå âðåìÿ

τr

Z 

dI
dΩ



dΩ =
0

Z

e2 ~v˙ 2
2 e2 ~v˙ 2
2
sin
θ
dΩ
=
,
4 π c3
3 c3

(181)

â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ ñîâïàäàåò ñ ñîáñòâåííûì âðåìåíèì ÷àñòè-

öû.  ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ ÷àñòèöà ïîêîèòñÿ, ïîýòîìó â íåé ìû ìîæåì èñ

dI
. Ñëåäîâàòåëüíî, â êà÷åñòâå îòâåòà äëÿ
dΩ 0

ïîëüçîâàòü íåðåëÿòèâèñòñêóþ îðìóëó äëÿ

116

ìîùíîñòè ïîòåðü ìû è ïîëó÷àåì ïîëíóþ íåðåëÿòèâèñòñêóþ èíòåíñèâíîñòü äèïîëüíîãî èçëó÷åíèÿ. Ýòî âàæíîå íåðåëÿòèâèñòñêîå âûðàæåíèå (181) íàçûâàåòñÿ îðìóëîé Ëàðìîðà.


dI
ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé óíêöèåé îò θ , òî â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþÄàëåå, ïîñêîëüêó
dΩ 0

ùåé ÈÑÎ íå ïðîèñõîäèò ïîòåðè èíïóëüñà ÷àñòèöåé, ò.å.
ýíåðãèèèìïóëüñà ÷àñòèöû çà âðåìÿ

dτr

dP~0 = 0.

Çíà÷èò 4âåêòîð ïîòåðü

â ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ èìååò âèä

(−dE0 /c, 0). Ïå-

ðåéäåì òåïåðü ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà â ËÑÎ. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî 4âåêòîðà
èìååì:

−dE0
.
−dE = q
v2
1 − c2

Ïîýòîìó

−
Íî çàìåòèì, ÷òî
íûì

tr

dtr

p

dE
dE
q 0
=−
dtr
dtr 1 −

1 − v 2 /c2 = dτr

v2
c2

.

ïî îïðåäåëåíèþ ñâÿçè ñîáñòâåííîãî

τr

ñ êîîðäèíàò-

âðåìåíåì. Ïîýòîìó èìååì, ÷òî

−

dE0
dE
=−
,
dtr
dτr

ò.å. ìîùíîñòü ïîòåðü ñîâïàäàåò â äâóõ ÈÑÎ, à ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì.
åëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå îðìóëû Ëàðìîðà äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî: ~
v˙ 2 ñëåäóåò çàìåíèòü ðåëÿòèâèñòñêèì èíâàðèàíòîì, êîòîðûé ïåðåõîäèò â ~
v˙ 2 = a2 , êîãäà v/c → 0. Òàµ
µ
2 µ
2
êîé èíâàðèàíò íàì èçâåñòåí. Ýòî êâàäðàò 4óñêîðåíèÿ w = du /ds = d x /ds . Åñëè
p
µ
2
2
γ ≡ 1/ 1 − v /c , òî, âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì äëÿ êîìïîíåíò w , êîòîðûå ïîëó÷åíû íàìè íà ïðîøëîé ëåêöèè, ìû íàõîäèì, ÷òî îí ðàâåí:

2
2
(~v, ~a)2
v, ~a)2
v, ~a)2
4 a
8 v (~
6 (~
w µ wµ = γ 8
−
γ
−
γ
−
2
γ
=
c6
c4
c8
c6


2
2
v , ~a)2
v, ~a)2
v 2 (~v , ~a)2
6 (~
4 a
4 a
6 (~
−
2
γ
−
γ
=
−γ
−
γ
=
= γ8 1 − 2
c
c6
c6
c4
c4
c6







v2
1
γ6
1
γ6
2
2
2
2 2
1 − 2 a + 2 (~v , ~a) = − 4 a − 2 a v − (~v, ~a) =
=− 4
c
c
c
c
c


γ6
1
2
2
= − 4 a − 2 [~v × ~a] .
c
c
Âèäíî, ÷òî

−c4 w µ wµ → a2

ïðè

v/c → 0.

(182)

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì

dE
2 e2 c
2 e2 γ 6
−
=−
wµ w µ =
dtr
3
3 c3

(

[~v × ~a]2
a2 −
c2

)

(183)

 ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå îðìóëû Ëàðìîðà.

5. Àïïåíäèêñ î êâàäðóïîëüíîì è ìàãíèòíîäèïîëüíîì èçëó÷åíèè. àññìîòðèì

òåïåðü èçëó÷åíèå â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè, îáóñëîâëåííîå ñëåäóþùèìè ÷ëåíàìè
117

ðàçëîæåíèÿ

~
A

ïî ñòåïåíÿì îòíîøåíèÿ

d/λ ≪ 1.

Õîòÿ ýòè ÷ëåíû ìàëû ïî ñðàâíåíèþ

ñ äèïîëüíûì, îíè ñóùåñòâåííû â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû ðàâåí
íóëþ, ò.÷. äèïîëüíîå èçëó÷åíèå îòñóòñòâóåò. àçëàãàÿ âûðàæåíèå

~ ~x) = 1
A(t,
cx
ïî ñòåïåíÿì

(~n, ~y )/c

Z



~j tr + (~n, ~y ) , ~y d3 y,
c

x
tr ≡ t − ,
c

äî ïåðâîé ñòåïåíè, ïîëó÷àåì:

~ ~x) = 1
A(t,
cx

Z

~j(tr , ~y ) d3 y + 1 ∂
c2 x ∂tr

Ïåðåõîäÿ ê òî÷å÷íûì çàðÿäàì, ïîëó÷àåì:

Z

~j(tr , ~y) · (~n, ~y) d3 y.

X
1 ∂ X
~ ~x) = 1
eq ~vq (tr ) + 2
eq ~vq · (~n, ~rq )(tr ).
A(t,
cx q
c x ∂tr q

Ò.ê.

~v · (~r, ~n) =

1
1
1∂
1
1 ∂
~r · (~n, ~r) + ~v · (~n, ~r) − ~r · (~n, ~v) =
~r · (~n, ~r) + [[~r × ~v ] × ~n] ,
2 ∂t
2
2
2 ∂t
2

òî

ãäå

d~ 

˙
i
1 ∂2 X
1 h˙
d~
~
m
~
×
~
n
,
+ 2
e
~
r
(~
n
,
~
r
)
+
A(t, ~x) =
q q
q
c x 2 c x ∂t2 q
cx
äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû, à

m
~ =
 åå ìàãíèòíûé ìîìåíò.

1 X
eq [~rq × ~vq ]
2c q

~ äîáàâèòü ëþáóþ âåëè÷èíó ïðîïîðöèîíàëüíóþ ~n,
A
~ = − 1 [~n × A
~ ìîæíî çàïèñàòü êàê:
~ ′ ]. Ïîýòîìó A
B
c

Çàìåòèì äàëåå ÷òî, åñëè ê
íå èçìåíèò

~ = [~n × B]
~
E

è

˙
i

d~
1 ∂2 X 
1 h˙
2
~
A(t, ~x) =
e
+ 2
3
~
r
(~
n
,
~
r
)
−
~
n
r
+
m
~
×
~
n
.
q
q
q
q
c x 6 c x ∂t2 q
cx

Ñòîÿùåå â ýòîé îðìóëå ïîä çíàêîì

∂ 2 /∂t2

âûðàæåíèå åñòü ïðîèçâåäåíèå

~
~n íà 3ìåðíûé òåíçîð êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòà Dij . Ââîäÿ âåêòîð D
ni Dij , çàïèñûâàåì

ni Dij ,

~ = 1
B
c2 x

h

 hh
i
i
i
1 ...
¨
¨
~
~
d × ~n +
D × ~n + m
~ × ~n × ~n ,
6c
118

âåêòîðà

ñ êîìïîíåíòàìè

˙
i
1 ~¨
1 h˙
d~
~
m
~ × ~n .
+ 2 D
+
A=
cx 6c x
cx

Òîãäà

òî ýòî

Dj ≡

(184)

h
i
~ = B
~ × ~n
E

Äèåðåíöèàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê è âûøå. Ìû íàïèøåì çäåñü îòâåò äëÿ
ïîëíîé èíòåíñèâíîñòè. Äëÿ ýòîãî óñðåäíèì dI ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì ~
n ñ èñïîëüçîâàíèåì
1
2
~
îðìóëû hni nj i =
δ . Ïðè óñðåäíåíèè âûðàæåíèÿ äëÿ B âñå âçàèìíûå ïðîèçâåäåíèÿ
3 ij
ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî âêëàäîâ â

I=

~
B

èñ÷åçàþò, ò.÷. ìû ïîëó÷àåì:

2 ¨2
1 ...2
2 ~¨2
d +
~ .
Dij + 3 m
3
5
3c
180 c
3c

(185)

Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå èçëó÷åíèå ñîñòîèò èç òðåõ íåçàâèñèìûõ ÷àñòåé  äèïîëüíîãî,
êâàäðóïîëüíîãî è ìàãíèòíîäèïîëüíîãî èçëó÷åíèé.

Âîïðîñû è çàäà÷è
•

àññìîòðèì ïîêîÿùèéñÿ çàðÿä â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî. Íàáëþäàòåëü æå äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì äàëåêî îò çàðàäÿ. Èçëó÷àåò ëè çàðÿä â ñèñòåìå îòñ÷åòà íàáëþäàòåëÿ? Ìîòèâèðîâàòü îòâåò.

•

Èäåàëüíàÿ ðàâíîìåðíî çàðÿæåííàÿ ñåðà ñîâåðøàåò ðàäèàëüíûå êîëåáàíèÿ ñ ñîáëþäåíèåì èäåàëüíîé ñåðè÷åñêîé ñèììåòðèè. Èçëó÷àåò ëè òàêàÿ ñåðà? Ìîòèâèðîâàòü
îòâåò.

•

Èñïîëüçóÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ïðåäûäóùèõ ëåêöèé, ïîêàæèòå, ÷òî àíàëîãîì âåêòîðà
Ïîéíòèíãà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ

φ

ÿâëÿåòñÿ âåêòîð

Si = ∂0 φ∂i φ.

Èñïîëüçóÿ ýòî âû-

ðàæåíèå, ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ îðìèðîâàíèÿ èçëó÷åíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ äîñòàòî÷íî
íàëè÷èÿ çàðÿäà (íå íóæåí äèïîëüíûé ìîìåíò êàê äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ) è äâèæåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ (íå íóæíî óñêîðåíèå). Êàê ýòî íàáëþäåíèå
ñîîòíîñèòñÿ ñ ïóíêòîì 8 ëåêöèè III?

•

Íà ñàìîì äåëå ïðè

d~ 6= 0

â âûðàæåíèå (185) äëÿ èíòåíñèâîñòè åñòü åùå îäèí íå ïî-

äàâëåííûé âêëàä, êîòîðûé ìû óïóñòèëè ïðè íàøåì âûâîäå (íàø âûâîä êâàäðóïîëüíîãî è ìàãíèòíîäèïîëüíîãî èçëó÷åíèÿ êîððåêòåí òîëüêî, åñëè
âîññòàíîâèòü óïóùåííûé âêëàä.

119

d~ = 0).

Ïîïðîáóéòå

Ñèíõðîòðîííîå èçëó÷åíèå è åãî ñâîéñòâà, ñèëà ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, Ëîðåíöåâà ëèíèÿ, ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè
êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå.
Ëåêöèÿ XII;

1.

Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè îðìóëû äëÿ àíàëèçà ïîòåðü ýíåðãèè

íà èçëó÷åíèå ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöåé, äâèæóùåéñÿ â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì
ïîëå

~
B

â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé

~.
B

Èçëó÷åíèå ïðè âðàùåíèè â ìàãíèòíîì ïîëå

íàçûâàåòñÿ ñèíõðîòðîííûì èëè ìàãíèòíîòîðìîçíûì.

~,
~v ⊥ ~v˙ ⊥ B

Ïðè äâèæåíèè ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà,
îðìóëå:

2 e2 γ 6
dE
=
−
dtr
3 c3

"

~v 2 ~v˙ 2
~v − 2
c
˙2

#

=

ìîùíîñòü ïîòåðü îïðåäåëÿåòñÿ ïî

2 e2 γ 4 ˙ 2
~v .
3 c3

Äàëåå â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè:

Ñëåäîâàòåëüíî

i
d~p
m ~v˙
e h
~ .
~v × B
=q
= m γ ~v˙ =
2
dt
c
1 − vc2
~v˙ 2 =

e2
v2 B2
m2 c2 γ 2

è

−

dE
2 e4 γ 2 v 2 B 2
=
.
dtr
3 m2 c5

Äëÿ óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû

v≈c
−

(186)

è ïîýòîìó

dE
∼ γ 2 ∼ E 2,
dtr

ò.å. ïîòåðè ýíåðãèè ïðîïîðöèîíàëüíû åå âòîðîé ñòåïåíè (E

= m c2 γ ).

Ñèíõðîòðîííîå èçëó÷åíèå ìîæíî ñ î÷åíü õîðîøåé òî÷íîñòüþ îïèñàòü ñ èñïîëüçîâàíè-

åì àïïàðàòà ñïåöóíêöèé. Ýòî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ
êà÷åñòâåííûìè îáùåèçè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè. Äëÿ íà÷àëà âîñïðîèçâåäåì âûøåóêàçàííûå ñâîéñòâà ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ èç îáùåèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ïðîäåëàåì
ýòî, ïîëîæèâ ñêîðîñòü ñâåòà

c = 1. Â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé

âðàùàþùåìóñÿ ýëåêòðîíó

ÈÑÎ èíòåíñèâíîñòü ðàâíà

W ≡−

e4
dE
∼ e2 (a′ )2 ∼ 2 (E ′ )2 .
dtr
m

Êàê ìû çíàåì èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè, ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé
ÈÑÎ ñîâïàäàåò ñ ìîùíîñòüþ ïîòåðü è ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Çäåñü

120

e è m  çàðÿä

è ìàññà ýëåêòðîíà,

a

 åãî óñêîðåíèå,

E

 íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ;

a

è

E

ñíàáæåíû øòðèõàìè, ÷òîáû óêàçàòü, ÷òî îíè îòíîñÿòñÿ ê ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ.
E ′ ïîëó÷àåòñÿ èç ìàãíèòíîãî ïîëÿ B â ËÑÎ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà

E ′ ∼ B γ.
Ïîýòîìó

W ∼

e4 2 2
B γ ,
m2

÷òî, êàê âèäíî, âîñïðîèçâîäèò ïîëó÷åííûé âûøå ðåçóëüòàò. Åñëè âìåñòî ìàãíèòíîãî ïîëÿ

B

èêñèðîâàòü ðàäèóñ

R

òðàåêòîðèè ýëåêòðîíà (èëè, ÷òî òîæå ñàìîå â ðåëÿòèâèñòñêîì

ïðåäåëå, ÷àñòîòó âðàùåíèÿ), ñâÿçàííûé ñ

B

ñîîòíîøåíèåì

äëÿ ìîùíîñòè ïîòåðü âûãëÿäèò êàê:

W ∼

e B ∼ m γ/R,

òî âûðàæåíèå

e2 γ 4
.
R2

Î÷åâèäíî, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ýëåêòðîí, âðàùàÿñü ñ ÷àñòîòîé Ëàðìîðà
áóäåò èçëó÷àòü äèñêðåòíûé ñïåêòð ÷àñòîò

ωn = n ω0 ,

ãäå

n

ω0 ,

 ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ â íà-

òóðàëüíûõ ÷èñëàõ. Ïðè ýòîì õàðàêòåðíàÿ ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå
áóäåò îòâå÷àòü

n ∼ 1.

 íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ìîæíî ïðèìåíèòü îðìóëû äèïîëü-

íîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ïîýòîìó èçëó÷åíèå â ýòîì ñëó÷àå ïðàêòè÷åñêè îäíîðîäíî ïî óãëàì
dI/dΩ ∼ sin2 θ, â îòëè÷èè îò ðåëÿòèâèñòñêîãî ñëó÷àÿ. Îáùèå õàðàêòåðèñòèêè óãëîâî-

ãî ðàñïðåäåëåíèÿ èçëó÷åíèÿ â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ìû îáñóäèëè íà ïðîøëîé ëåêöèè.

Î÷åâèäíî, ÷òî âñå âûâîäû ñäåëàííûå òàì âåðíû è äëÿ ñëó÷àÿ ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ.
Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü ÷àñòîòíûé ñïåêòð, ò.å. ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïî ÷àñòîòàì, â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå. Äëÿ íà÷àëà îöåíèì õàðàêòåðíóþ ÷àñòîòó ñèíõðîòðîííîãî

R ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà
1/γ .  çàäàííîì íàïðàâëåíèè èçëó÷åíèå ìîæåò èäòè ñ
÷àñòè òðàåêòîðèè, êîòîðàÿ èìååò äëèíó l ∼ R ∆θ ∼ R/γ è íàçûâàåòñÿ äëèíîé îðìèðîâàíèÿ
èçëó÷åíèÿ â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå. Âðàùàþùàÿñÿ ïî ðàäèóñó

èçëó÷àåò âïåðåä ñ ðàññòâîðîì óãëà

èçëó÷åíèÿ èëè äëèíîé êîãåðåíòíîñòè. Âðåìÿ îðìèðîâàíèÿ èçëó÷åíèÿ â äàííîì íàïðàâ-

∆tr ∼ R/γ c. Òîãäà äëèòåëüíîñòü ïðèåìà




R
1
(~n, ~v)
2
∆tr ∼
∆t
∼
+
θ
.
∆t ∼ 1 −
r
c
γ2
c γ3

ëåíèè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî õàðàêòåðíàÿ ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ â

γ3

ñèãíàëà ðàâíà

ðàç áîëüøå, ÷åì ÷àñòîòà îáðàùåíèÿ

÷àñòèöû ïî îêðóæíîñòè:

γ3 c
1
∼
∼ γ 3 ω0 .
∆t
R
3
Ò.å. õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ωc /ω0 ≡ nc ∼ γ ≫ 1. Ïðè ýòîì, òàê êàê ðàññòîÿíèå
ëèíèÿìè ñïåêòðà ïîðÿäêà ω0 , à ωc ≫ ω0 , òî â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ñïåêòð
ωc ∼

ìåæäó
ìîæíî

ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíûì.

ðàèê ðàñïðåäåëåíèÿ ìîùíîñòè ïîòåðü

Wω

ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ ïî ÷àñòîòàì

èçîáðàæåí íà ðèñóíêå (12). Êàê âèäíî ïðè ÷àñòîòå

121

ω > ωc

èíòåíñèâíîñòü î÷åíü áûñòðî

èñ. 12: Ïî âåðòèêàëüíîé îñè ýòîãî ãðàèêà îòëîæåíà ìîùíîñòü ïîòåðü ïðè äàííîé ÷àñòîòå

Wω .

Ïî ãîðèçîíòàëüíîé 

ω.

Ïèê ãðàèêà ïðèõîäèòñÿ íà

ωc .

ñïàäàåò. Ìíå íå èçâåñòíî, êàê ìîæíî âîññòàíîâèòü èç îáùåèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ïîâå−const ω/ωc
ëåãêî
äåíèå ãðàèêà â ýòîé ÷àñòè ñïåêòðà, íî åãî õàðàêòåðíîå ïîâåäåíèå Wω ∼ e
óãàäûâàåòñÿ.

ω < ωc íàáëþäàåòñÿ ìåäëåííûé ðîñò. Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè ìàëûõ
ν
÷àñòîòàõ, ω . ωc , ñïåêòð èìååò ñòåïåííîå ïîâåäåíèå: Wω ∼ ω , ãäå ν íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà.
 ñèëó áûñòðîãî ñïàäà ïðè ω > ωc , îñíîâíîé âêëàä â ïîëíóþ ìîùíîñòü íàáèðàåòñÿ íà ìàR ωc
dω Wω ∼ ωcν+1 ∼ γ 3 (ν+1) . Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûé îòâåò ñ èçâåñòíûì
ëûõ ÷àñòîòàõ W ∼
0
4
1/3
∼ n1/3 ïðè ω < ωc . ×òî
íàì âûðàæåíèåì W ∼ γ , ïîëó÷àåì, ÷òî ν = 1/3, ò.å. Wω ∼ ω
Ïðè

äåéñòâèòåëüíî âåðíî âîñïðîèçâîäèò áîëåå òî÷íîå âû÷èëåíèå.

2. Òåïåðü ìû îáðàòèìñÿ ê èçó÷åíèþ âîïðîñà î ðåàêöèè çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íà ñîçäàí-

íîå åþ èçëó÷åíèå. Äëÿ ïîëíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è áåçóñëîâíî ìû äîëæíû ðåøàòü ñèñòåìó
óðàâíåíèé:


ãäå

F0µ

R
∂µ F µν (x) = 4 π e dτ uν (τ ) δ (4) [x − z(τ )]
m c w µ = ec F µν uν + F0µ ,

(187)

âíåøíÿÿ 4ñèëà (êîòîðàÿ ñàìà íåðåäêî áûâàåò ÝÌ ïðîèñõîæäåíèÿ è, ñëåäîâàòåëü-

íî, ïîðîæäàåòñÿ êàêèìèòî âíåøíèìè çàðÿäàìè), çàñòàâëÿþùàÿ íàøó ÷àñòèöó äâèãàòüñÿ
óñêîðåííî. Íî âñþäó â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû ðåøàëè ëèáî âòîðîå óðàâíåíèå ïðè çàäàííîì âíåøíåì ïîëå, ïðåíåáðåãàÿ ïðè ýòîì ïîëåì, ñîçäàâàåìûì ÷àñòèöåé, ëèáî æå ïåðâîå
óðàâíåíèå ïðè çàäàííîì äâèæåíèè ÷àñòèöû, ïðåíåáðåãàÿ ïðè ýòîì îòêëèêîì èçëó÷åíèÿ
íà äâèæåíèå ÷àñòèöû. Åäèíñòâåííîå òî÷íîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, êîòîðîå èçµ
âåñòíî ìíå  ýòî ñèòóàöèÿ, êîãäà F0 = 0 è åäèíñòâåííàÿ ÷àñòèöà, ïîêîèòñÿ ñîçäàâàÿ ïîëå
Êóëîíà. Åñëè íå îøèáàþñü, âñå îñòàëüíûå òî÷íî ðåøàåìûå çàäà÷è â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ïîëó÷àþòñÿ èç ýòîé ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà
10 Ìîæíî,

10

. Íàïðèìåð, óæå äàæå ñèòóàöèÿ ñ

êîíå÷íî, åùå äîáàâèòü íåñêîëüêî áàíàëüíûõ ïðèìåðîâ âðîäå ñèòóàöèè ñ ãðóïïîé ñòàòè÷åñêèõ
çàðÿäîâ, êîòîðûå äåðæàò âíåøíèè ñèëû, íî òîãäà ñèñòåìà íå çàìêíóòà.
122

äâóìÿ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè èìååò òîëüêî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, ò.ê. ÷àñòèöû, âçàèìîäåéñòâóÿ äðóã ñ äðóãîì, äâèãàþòñÿ óñêîðåííî, à ñëåäîâàòåëüíî, ñîçäàþò ÝÌ èçëó÷åíèå
è ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ ñëîæíåå äàæå çàäà÷è ìíîãèõ òåë, ò.ê. âêëþ÷àåò â
ñåáÿ åùå è ïîëå (ñâåðõ äâóõ ÷àñòèö).
Îäíàêî íåðåäêî ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ïîçâîëÿåò ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ äîñòàòî÷íî õîðîøåé òî÷íîñòüþ. Íàïðèìåð, äâèæåíèå èçëó÷àþùåé ÷àñòèöû ìîæíî ñ÷èòàòü çàäàííûì â òîì ñëó÷àå, êîãäà âëèÿíèå èçëó÷åíèÿ íà äâèæåíèå ìàëî. Êîëè÷åñòâåííûé êðèòåðèé
ìàëîñòè ðåàêöèè èçëó÷åíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, ñðàâíèâàÿ ïîòåðþ ýíåðãèè íà èçëó÷åíèå çà
íåêîòîðîå âðåìÿ

∆t

ñ èçìåíåíèåì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ

ñèë çà òî æå âðåìÿ.
Îöåíèì îáå ýíåðãèè â ÑÎ, â êîòîðîé, ñêîðîñòü ÷àñòèöû ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà:

2 e2 v̇ ∆v
2 e2 v̇ 2 ∆t
=
,
3 c3
3 c3
ãäå ∆v  èçìåíåíèå ñêîðîñòè çà âðåìÿ ∆t. Ïðè ýòîì ∆Ekin = m v ∆v . Íåðàâåíñòâî ∆Erad ≪
∆Ekin äàåò
∆Erad =

2 e2 v̇
≪ m v.
3 c3
Ñëåäîâàòåëüíî

∆t ≈
ãäå

re = e2 /m c2

2 e2
re
v
≫
∼ ,
3
v̇
3mc
c

(188)

 êëàññè÷åñêèé ðàäèóñ ÷àñòèöû (ýëåêòðîíà, íàïðèìåð). Îáúÿñíèì ïðî-

èñõîæäåíèå ýòîé âåëè÷èíû. àâíîìåðíî çàðÿæåííûé øàð ðàäèóñà r è çàðÿäà e èìååò
2
ýëåêòðîñòàòè÷åñêóþ ýíåðãèþ e /r . Ñëåäîâàòåëüíî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òî÷å÷íîé
÷àñòèöû ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè, ò.ê.

r → 0.

Ïðåäïîëàãàÿ æå, ÷òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ýíåð2
2
ãèÿ ÷àñòèöû è îïðåäåëÿåò åå ýíåðãèþ ïîêîÿ e /re = m c , íàõîäèì, ÷òî åå ðàäèóñ ðàâåí
2
2
re = e /m c . Áåçóñëîâíî ýòî î÷åíü ãðóáîå ðàññóæäåíèå.  ÷àñòíîñòè ýëåêòðîí íåñåò çàðÿä
íå òîëüêî ïî ÝÌ ïîëþ, íå ãîâîðÿ óæå î òîì, ÷òî â ñìûñëå êâàíòîâîé òåîðèè åãî íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê òî÷å÷íóþ ÷àñòèöó. Ïîýòîìó âûøåïðèâåäåííîå ðàññóæäåíèå ñëåäóåò
ðàññìàòðèâàòü ëèøü êàê ïðîñòî îïðåäåëåíèå òàêîé âåëè÷èíû êàê êëàññè÷åñêèé ðàäèóñ
÷àñòèöû (ýëåêòðîíà).
Ïîëó÷åííîå æå íàìè óñëîâèå (188) ïîêàçûâàåò, ÷òî õàðàêòåðíûé ìàñøòàá âðåìåíè äëÿ
èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ÷àñòèöû äîëæåí ïðåâûøàòü âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû íà
ðàññòîÿíèå ïîðÿäêà êëàññè÷åñêîãî ðàäèóñà ÷àñòèöû. Äëÿ ýëåêòðîíà ýòî âðåìÿ te ≈ 0, 63 ·
10−23 ñ. Ïðè ïåðèîäè÷åñêîì èëè êâàçèïåðèîäè÷åñêîì äâèæåíèè êðèòåðèé èìååò âèä: T ≫

te

èëè

ω te ≪ 1,

ãäå

T = 2 π/ω

 ïåðèîä äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðåàêöèþ ÷àñòèöû íà

èçëó÷åíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàëûé ýåêò, åñëè äâèæåíèå ÷àñòèöû äîñòàòî÷íî
ïëàâíîå: åå ñîñòîÿíèå ñëàáî ìåíÿåòñÿ çà âðåìÿ

te

èëè íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà

re = c te .

Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ó÷åñòü âëèÿíèå ðåàêöèè èçëó÷åíèÿ íà äâèæåíèå
÷àñòèöû â ðàìêàõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ñ÷èòàÿ åå ìàëîé ïîïðàâêîé.
àññìîòðèì äâèæåíèå íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû

F~0 . Äëÿ

ó÷åòà ðåàêöèè íà èçëó÷åíèå äîáàâèì â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýåêòèâíóþ
ñèëó

F~rad :

123

m ~v˙ = F~0 + F~rad
Ñêîíñòðóèðóåì ýòó ñèëó òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åå ðàáîòà çà åäèíèöó âðåìåíè (ò.å. ìîùíîñòü) áûëà áû ðàâíà ýíåðãèè èçëó÷àåìîé ÷àñòèöåé çà åäèíèöó âðåìåíè:



2 e2
2 e2 d  ˙  2 e2  ¨
dE
~v, ~v + 3 ~v , ~v .
= − 3 ~v˙ 2 = − 3
F~rad , ~v = −
dt
3c
3 c dt
3c

Ñòðîãî ýòî ðàâåíñòâî, êàê âèäíî, óäîâëåòâîðèòü íå âîçìîæíî. Íî, åñëè äâèæåíèå ÷àñòèöû
èíèòíîå, òî ïðè óñðåäíåíèè ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè çàíóëÿåòñÿ, è ìû ìîæåì
çàïèñàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ñðåäíåì:

Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî âûáðàòü



 2 e2  
F~rad , ~v = 3 ~v, ~v¨ .
3c
2 e2
F~rad = 3 ~v¨
3c

(189)

Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâîé ñèëîé ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ. Ïðè ýòîì èíòåãðàëüíî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñîáëþäåí.  èòîãå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû èìååò âèä:

2 e2
m ~v˙ = F~0 + 3 ~v¨.
3c
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå äîâîëüíî íå îáû÷íî è ïðèâîäèò ê ðÿäó ïðîòèâîðå÷èé. Ïðåæäå âñå...
ãî, îíî ñîäåðæèò ~
r . Òàêàÿ ñòðóêòóðà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êàê âû äîëæíû áûëè óñâîèòü
íà ïåðâîé ëåêöèè, íàõîäèòñÿ â ïðîòèâîðå÷èè ñ îñíîâíûìè ïîëîæåíèÿìèêëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, âñÿ ñõåìà êîòîðîé ïðåäïîëàãàåò, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äîëæíû èìåòü âòîðîé
ïîðÿäîê ïî ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè. Ïîýòîìó íåêîòîðûå åãî ðåøåíèÿ îêàçûâàþòñÿ è~0 = 0 óðàâíåíèå ~v˙ = 2 e2 3 ~v¨ èìååò ðåøåíèå
çè÷åñêèìè áåññìûñëåííûìè. Íàïðèìåð, ïðè F
3mc
âèäà ~
v (t) = ~v0 + ~v1 et/τ , ãäå τ = 2 e2 /3 m c3 , à ~v0 è ~v1 íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå âåêòîðà. Ïîëó÷åííîå íàìè ðåøåíèå îïèñûâàåò íåîãðàíè÷åííîå ñàìîóñêîðåíèå ÷àñòèöû â îòñóòñòâèè
âíåøíèõ ñèë. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ðàññìîòðåííîå íàìè ýåêòèâíîå óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ îïèñûâàåò íåçàìêíóòóþ ñèñòåìó, èç êîòîðîé èñêëþ÷åíû ÝÌ ïîëÿ.

3. Ïîÿñíèì ñèòóàöèþ íà ïðèìåðå ïðîñòîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. àññìîòðèì äâà øà-

ðèêà îäèíàêîâîé ìàññû

m,

ñîåäèíåííûõ ïðóæèíàìè æåñòêîñòè

êàìè, êàê èçîáðàæåíî íà ðèñ. (13). Ïóñòü

x1

è

x2

k

äðóã ñ äðóãîì è ñî ñòåí-

ñìåùåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî øàðèêîâ èç

ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ øàðèêîâ èìåþò âèä:



m ẍ1 = −k x1 − k (x1 − x2 ) = −2 k x1 + k x2
m ẍ2 = −k x2 − k (x2 − x1 ) = −2 k x2 + k x1

ß õî÷ó ðåøèòü ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî

x2

(190)

è íàéòè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òîëü-

êî äëÿ ïåðâîãî èç øàðèêîâ  äëÿ x1 . Äâàæäû ïðîäèåðåíöèðîâàâ ïåðâîå óðàâíåíèå,
....
ïîëó÷èì m x 1 = −2 k ẍ1 + k ẍ2 . Ïîäñòàâèì â ïîëó÷åííîå óðàâíåíè ẍ2 èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ:

124

èñ. 13:

....

m x 1 = −2 k ẍ1 +
Ïîäñòàâèì â ýòî óðàâíåíèå

x2 ,

âûðàçèâ åãî

k
(−2 k x2 + k x1 ) .
m
÷åðåç x1 è ẍ1 èç ïåðâîãî

óðàâíåíèÿ ðàññìàò-

ðèâàåìîé ñèñòåìû.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òîëüêî íà

x1 :

....

m x 1 = −4 k ẍ1 − 3 k x1 .
Ò.å., ÿâíî èñêëþ÷èâ èç ðàññìîòðåíèÿ îäíó èç ÷àñòèö, äëÿ äðóãîé ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå,
ñîäåðæàùåå áîëåå âûñîêèå ñòåïåíè ïî ïðîèçâîäíûì, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ïðèâîäèò ê
ñàìîóñêîðÿþùèìñÿ ðåøåíèÿì.
Àíàëîãè÷íî ïðè ïîèñêå ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, ìû ðåøèëè ñèñòåìó óðàâíåíèé
(187) îòíîñèòåëüíî ÝÌ ïîëÿ

Aµ

è ïîäñòàâèëè ýòî ðåøåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå äëÿ ìè-

ðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû. Ïîýòîìó ìû ïîëó÷èëè áîëåå âûñîêóþ, ÷åì âòîðàÿ ñòåïåíü ïî ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè. Áîëåå òîãî, â îòëè÷èè îò ðàññìîòðåííîé òîëüêî ÷òî ìåõàíè÷åñêîé
ñèñòåìû, äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèöàïîëå ìû ýòî ñäåëàëè òîëüêî ïðèáëèæåííî.
 ëþáîì ñëó÷àå, êîãäà ñèëà ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ âõîäèò â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êàê
ìàëàÿ äîáàâêà ê âíåøíèì ñèëàì, îïèñûâàåìàÿ ïî ìåòîäó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé,
òîãäà îíà äàåò èçè÷åñêè îñìûñëåííûå ðåçóëüòàòû. Ýòó ñèëó èñïîëüçóþò, ò.ê. â íåêîòîðûõ
ïðèëîæåíèÿõ îíà î÷åíü óäîáíà, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì.

4.

Ó÷åò ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèâîäèò ê íåêîòîðûì êà÷åñòâåííûì ýåêòàì

ïðè ðàññìîòðåíèè èçëó÷åíèÿ è ðàññåÿíèÿ ÝÌ âîëí àòîìíûìè ñèñòåìàìè. Êîíå÷íî èçëó÷åíèå, ïîãëîùåíèå è ðàññåÿíèå ÝÌ âîëí àòîìíûìè ñèñòåìàìè  ýòî ñóãóáî êâàíòîâûå
ïðîöåññû, ïîñëåäîâàòåëüíîå îïèñàíèå êîòîðûõ âîçìîæíî òîëüêî íà îñíîâå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Íî ìíîãèå êà÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ýòèõ ÿâëåíèé õîðîøî ïåðåäàþòñÿ
ìîäåëüþ âçàèìîäåéñòâèÿ ÝÌ âîëí ñ ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì  çàðÿäîì, êîëåáëþùèìñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû

óêà, êîòîðàÿ ìîäåëèðóåò ðåàëüíóþ ñèëó â àòîìíîé ñèñòåìå.

Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ýëåêòðîíà ïîä äåéñòâèåì óïðóãîé ñèëû ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì:

125

m ~r¨ + m ω02 ~r = 0
Åñëè áû íå áûëî èçëó÷åíèÿ, ýòî óðàâíåíèå òî÷íî îïèñûâàëî áû ïîâåäåíèå ÷àñòèöû, è ìû
èìåëè áû äåëî ñ íåçàòóõàþùèìè ãàðìîíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè ñ ÷àñòîòîé

ω0 .

Íî ðåàê-

öèÿ íà èçëó÷åíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, êîòîðóþ ñëåäóåò
äîáàâèòü â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ:

2 e2 ...
~r .
~r¨ + ω02 ~r =
3 m c3
 ïðèíöèïå ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ðåøèòü òî÷íî, íî ò.ê. ìû â ëþáîì ñëó÷àå ðåøàåì ýòó çàäà÷ó ïðèáëèæåííî, òî áóäåì èñêàòü åå ðåøåíèå ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé,
r¨ = −ω02 ~r, ïîýòîìó
ñ÷èòàÿ ñèëó ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ìàëîé.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ~
...
2˙
~r = −ω0 ~r. Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå óïðîùàåòñÿ äî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ òðåíèåì:

~r¨ + Γ ~r˙ + ω02 ~r = 0,
2 e2 ω02
≪ ω0 , åñëè õàðàêòåðíàÿ äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ
3 m c3
óðàâíåíèÿ èìååò âèä

ãäå

Γ =

λ 0 ≫ re .

åøåíèå ýòîãî

~r(t) = Re ~r0 e−i ω t ,
ãäå

|~r0 |

 íà÷àëüíàÿ àìïëèòóäà îñöèëëÿöèé, à

i
ω 2 − i ω Γ + ω02 = 0 ⇒ ω ≈ − Γ + ω0 ,
2
åñëè

Γ ≪ ω0 .

Òàêèì îáðàçîì,

Γ

~r = Re ~r0 e− 2 t−i ω0 t .

Ïîñêîëüêó ïîëå èçëó÷åíèÿ â âîëíîâîé çîíå ïðîïîðöèîíàëüíî
~ 0 e− Γ2 t−i ω0 t . Ôóðüå êîìïîíåíòû òàêîãî ïîëÿ ðàâíû
E

~ω =
E

Z

+∞

~ ei ω t =
dt E(t)

0

¨
d~ ∼ ~r¨ = −ω02 ~r,

òî

~
E(t)
=

~0
E
.
i (ω − ω0 ) − Γ2

Ò.å. èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ñ äàííîé ÷àñòîòîé èìååò âèä:

~ω
Iω ∼ E

2

Èç òîãî, ÷òî ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü ðàâíà

∼

1
(ω − ω0 )2 +

I0 ,

Γ2
4

íàõîäèì êîýèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè

â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè:

I0 = C

Z

∞
−∞

dω
(ω − ω0 )2 +

Γ2
4

=C

2π
Γ

Ñëåäîâàòåëüíî:

Iω =

I0
Γ
2 π (ω − ω0 )2 +
126

Γ2
4

.

(191)

Òàêàÿ îðìà ñïåêòðà íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâîé ëèíèåé.

Γ → 0, ò.å. ðåàêöèÿ íà èçëó÷åíèå îòñóòñòâóåò, òî Iω = I0 δ(ω −ω0 ), ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü îäíèì èç îïðåäåëåíèé δ óíêöèè, ïðèâåäåííîì íà îäíîé èç ïðîøëûõ ëåêöèé.
Åñëè

Êàê âèäíî, â ýòîì ñëó÷àå îñöèëëÿòîð èçëó÷àåò òîëüêî ñ îäíîé ÷àñòîòîé. À ó÷åò ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííî íîâîìó ýåêòó  êîíå÷íîé øèðèíå ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ïðè ýòîì

Γ íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîé

øèðèíîé ëèíèè.

Íà ñàìîì äåëå â åñòåñòâåííóþ øèðèíó ëèíèè åñòü åùå è äðóãèå âêëàäû, ïîìèìî òîãî,
÷òî ìû ó÷ëè. Íàïðèìåð, çà ñ÷åò ñòîëêíîâåíèé è òåïëîâîãî äâèæåíèÿ. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
áîëåå òî÷íûé êâàíòîâî òåîðåòèêî ïîëåâîé ðàñ÷åò ëèíèè ñïåêòðà äëÿ àòîìíûõ ñèñòåì äàåò
òàêóþ æå îðìó ëèíèè ñïåêòðà, íî ñ äðóãèì çíà÷åíèåì

Γ. Ò.å. íàøè âûêëàäêè êà÷åñòâåííî

âåðíî îòðàæàþò ðåàëüíóþ êàðòèíó.

5.

Òåïåðü ðàññìîòðèì òó æå çàäà÷ó î ãàðìîíè÷åñêîì îñöèëëÿòîðå, íî óæå â äðóãîé

ïîñòàíîâêå, êîãäà íà ýòîò îñöèëëÿòîð äåéñòâóåò âíåøíåå ÝÌ ïîëå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Òîãäà ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû ÷àñòèöà ñòàíåò ñîâåðøàòü âûíóæäåííûå
êîëåáàíèÿ, äâèãàÿñü óñêîðåííî, è òåì ñàìûì, èçëó÷àÿ ÝÌ âîëíû. Ýòè âîëíû íàçûâàþòñÿ
ðàññåÿííûìè âîëíàìè, à ñàì ýòîò ïðîöåññ  ïðîöåññîì ðàññåÿíèÿ ïàäàþùåé ÝÌ âîëíû
îñöèëëÿòîðîì (èëè êàêîé ëèáî äðóãîé àòîìíîé ñèñòåìîé).
àññìàòðèâàÿ ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ÝÌ âîëí, â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íóæíî äîáàâèòü ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ ïîëåì
âîëíû:

~r¨ +

ω02 ~r

e
=
m


h
i
1
2 e2 ...
~
~0 +
~0
~r .
E
~v × B
e−i ω t+i k ~r +
c
3 m c3

 òàêîì âèäå óðàâíåíèå ñëèøêîì ñëîæíî. Âîïåðâûõ ó÷òåì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå âõîäèò ñ
àêòîðîì

v/c ≪ 1,

ò.ê. ìû ðàññìàòðèâàåì íåðåëàòèâèñòñêèé ñëó÷àé, è ÷ëåí ñ ìàãíèòíûì

ïîëåì ìîæíî îòáðîñèòü â ãðóáîì ïðèáëèæåíèè. Äàëåå, áóäåì ñ÷èòàòü àìïëèòóäó êîëåáà-

”a” ýëåêòðîíà ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé ïàäàþùåé ÝÌ âîëíû, ò.å. a ≪ λ, ÷òîáû â
àçå âîëíû ìîæíî áûëî áû ïðåíåáðå÷ü (~
k, ~r) ∼ a/λ ≪ 1 ïî ñðàâíåíèþ ñ ω t. Òîãäà èìååì:

íèé

2 e2 ...
e ~ −i ω t
e
+
~r .
~r¨ + ω02 ~r = E
0
m
3 m c3
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè è â
âèäå ~
r = ~r0 e−i ω t , îòâå÷àþùåì âûíóæäåííûì êîëåáàíèÿì. Ïîëó÷èì:

çäåñü

Γ=



e ~
~r0 −ω 2 + ω02 − i Γ ω = E
0,
m

2 e2 ω 2
è â ïðèíöèïå çàâèñèò îò ÷àñòîòû âíåøíåãî ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì,
3 m c3

~r(t) = Re

~ 0 e−i ω t
eE
.
m (ω02 − ω 2 − i Γ ω)

Äàëåå, âû÷èñëÿÿ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ äèïîëüíîãî ìîìåíòà êîëåáëþùåéñÿ ÷àñòèöû

¨
d~ = −
ïîëó÷àåì

~ 0 e−i ω t
e2 ω 2 E
,
m (ω02 − ω 2 − i Γ ω)

127

¨
d~ = e ~r¨

1
dI
=
dΩ
8 π c3

h
i
¨
d~ × ~n

2

2

~ 0 sin2 θ
e4 ω 4 E
h
i
=
2
8 π c3 m2 (ω02 − ω 2) + Γ2 ω 2

 ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ âîëí îñöèëëÿòîðîì ïî óãëàì.
Ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ îáû÷íî õàðàêòåðèçóåòñÿ ýåêòèâíûì äèåðåíöèàëüíûì ñå÷åíèåì ðàññåÿíèÿ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå ïîòîêà ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ â
äàííûé ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà ê ïîëíîìó ïîòîêó ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ:

dσ
1 dI
=
.
dΩ
~ dΩ
S

(192)

2

Çäåñü

~ = c E
~ 0 /8 π
S

 ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè â ïàäàþùåé âîëíå. Ó÷èòûâàÿ ýòè

îðìóëû, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå

dσ
=
dΩ



e2
m c2

2

ω 4 sin2 θ
2

(ω02 − ω 2 ) + Γ2 ω 2

,

(193)

êîòîðûì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè èçó÷åíèè ðàññåÿíèÿ âîëíû ñ ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèåé.
àññìîòðèì òåïåðü îäèí ÷àñòíûé âàæíûé ñëó÷àé ñâîáîäíîãî çàðÿäà. Ò.å. êîãäà
ê òîìó æå

Γ ≪ ω , ò.å.

ìîæíî ïîëîæèòü

Γ = 0. Äëÿ ñâîáîäíûõ

ω0 = 0 è

çàðÿäîâ äèåðåíöèàëüíîå

ñå÷åíèå èìååò âèä:

dσ
= re2 sin2 θ,
dΩ
à ïîëíîå ñå÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé Òîìñîíà:

σ≡

Z

dσ
dΩ =
dΩ

Z

re2

2

sin θ dΩ =

8π
=
3
3

4
2 π re2



e2
m c2

2

6. Îïðåäåëèì òåïåðü ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè.

(194)

Íåòðóä-

íî ñîðìóëèðîâàòü óñëîâèå ìàëîñòè ðàäèàöèîííîé ñèëû ïî ñðàâíåíèþ ñ âíåøíåé ñèëîé

F~0 ,

êîòîðàÿ òî æå èìååò ÝÌ ïðèðîäó. Çàïèñûâàÿ

íàõîäèì â íóëåâîì

 ìãíîâåííî

i
e h
~
~
~
~v × B0 ,
F0 = e E0 +
c
~rad :
ïðèáëèæåíèè ïî F

˙
i
e h
e ~˙
e h˙ ~ i
F~
˙
¨
~
~v × B0 .
~v × B0 +
=
E0 +
~v =
m
m
mc
mc
~ 0 /m. Ñëåäîâàòåëüíî,
ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ ~
v = 0, à ~v˙ = e E
i
2 e4 h ~
2 e2 ¨
2 e3 ~˙
~
~
~ 0.
E0 +
Frad ≡ 3 ~v =
E0 × B0 ≪ e E
3c
3 m c3
3 m2 c4
128

 ïåðèîäè÷åñêîì âíåøíåì ïîëå ñ ÷àñòîòîé



~˙ 0 = Re −i ω E
~0 .
~ 0 ∼ Re e−iω t , E
ω èìååì, ÷òî E

Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷àåì äâà óñëîâèÿ:
1.

e3 ω/m c3 ≪ e ⇒ e2 /m c2 ≪ c/ω ∼ λ0 ⇒ re ≪ λ0

 äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ ãîðàçäî

áîëüøå êëàññè÷åñêîãî ðàäèóñà ÷àñòèöû.

2.

e3 B0 /m2 c4 ≪ 1 ⇒ B0 ≪ m2 c4 /e3

 îãðàíè÷åíèå íà âåëè÷èíó ïîëÿ.

Îäíàêî êâàíòîâûå ýåêòû îãðàíè÷èâàþò îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé
ýëåêòðîäèíàìèêè çíà÷èòåëüíî ìåíüøèìè ïîëÿìè è çíà÷èòåëüíî áîëüøèìè ðàññòîÿíèÿìè.

Âîïðîñû è çàäà÷è
•
•

Èçëó÷àåò ëè ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî óñêîðÿþùèéñÿ çàðÿä? Ìîòèâèðóéòå ñâîé
îòâåò. ×åìó ðàâíà ñèëà ðàäèàöèííîãî òðåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå? Ïî÷åìó?
 ñèñòåìå óðàâíåíèé (187) èçáàâüòåñü îò ÝÌ ïîëÿ òî÷íî. Èñïîëüçóéòå äëÿ ýòîãî
óíêöèþ

ðèíà äëÿ ïîëÿ. Âûâåäèòå ñèëó ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ èç ïîëó÷åííîãî

âûðàæåíèÿ. Íàéäèòå èçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷àþùèõñÿ ðàñõîäÿùèõñÿ èíòåãðàëîâ.

129