КулЛиб электронная библиотека 

Расчет на прочность и жесткость пространственного бруса при сложном сопротивлении в программных продуктах MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005: методические указания [Виталий Жилкин] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


Настройки текста:



Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ
И ОБРАЗОВАНИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АГРОИНЖЕНЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра сопротивления материалов

Утверждаю.
Проректор по УР
А.Патрушев

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО БРУСА
ПРИ СЛОЖНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ
в программных продуктах
MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005
Методические указания

Челябинск
2008

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Методические указания предназначены для студентов 2-го курса специальности
190206 «Сельскохозяйственные машины и оборудование» направления
190200 – «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы», изучающих курс «Сопротивление материалов».
На примере программ MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005
реализуется идея использования уже на младших курсах на факультетах сельскохозяйственного машиностроения современных проектно-вычислительных комплексов, применяемых в инженерной практике для расчетов и проектирования строительных и машиностроительных конструкций. Приведена инструкция по использованию программ
MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005 при решении задач прочности пространственного бруса при сложном сопротивлении.
Методические указания могут быть полезны студентам всех курсов специальности 190206 «Сельскохозяйственные машины и оборудование», аспирантам и инженерно-техническим работникам АПК.

Составитель
Жилкин В.А. - докт.техн.наук, профессор (ЧГАУ)

Рецензенты
Сапожников С.Б. - докт. техн. наук, проф. (ЮУрГУ)
Рахимов Р.С. - докт. техн. наук, проф. (ЧГАУ)

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЧГАУ

© ФГОУ ВПО "Челябинский государственный агроинженерный университет", 2008.

2

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО БРУСА
ПРИ СЛОЖНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ1
1. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ2
Дано:
1) схема пространственного бруса;
2) длины его участков;
3) форма поперечного сечения на каждом участке; основными формами
поперечных сечений являются: круглая, квадратная и прямоугольная;
4) расположение и значение внешних сил;
5) значение допускаемого напряжения [σ ] для материала системы на
растяжение и сжатие.
Требуется:
1) построить эпюры нормальной силы N , крутящего момента Mk и изгибающих моментов M y и Mz относительно главных центральных
осей поперечных сечений;
2) определить положение нейтральной оси в наиболее нагруженном сечении;
3) подобрать размеры указанных форм поперечных сечений на каждом
участке бруса и проверить их прочность;
4) определить перемещения границ участков пространственного бруса.
Примечание
Вычисления выполнить в системах MathCAD, SCAD и MSC.Patran.
Результаты решения, полученные в системах SCAD и MSC.Patran,
использовать как контрольные для проверки правильности решения задачи в системе MathCAD.

Варианты заданий
Необходимые для расчета данные приведены в табл.1. Варианты заданий обозначены двумя цифрами, разделенными точкой. Первая цифра варианта указывает номер расчетной схемы стержневой системы на рис.1.

1

Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1989. – 624 с.; Справочник по
сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. – Киев: Наук. думка, 1988. 736 с.; Тимошенко С.П. Механика материалов. – М.: Мир, 1976. – 670 с; Биргер И.А., Мавлютов Р.Р.
Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986. – 560 с.; Окопный Ю.А., Радин В.П., Чирков В.П. Механика материалов и конструкций. М.: Машиностроение, 2002. – 436 с.; Жилкин В.А. Расчеты на прочность и жесткость элементов сельскохозяйственных машин. Челябинск, ЧГАУ, 2005. – 435 с.; Жилкин
В.А. Элементы прикладной и строительной механики сельхозмашин. Челябинск, ЧГАУ, 2007. – 350 с;
Сборник задач по сопротивлению материалов с теорией и примерами / Под ред. А.Г. Горшкова, Д.В.
Тарлаковского. – М.: Физматлит. 2003. – 632 с.
2
Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов / Ф.З. Алмаметов, С.И. Арсеньев, С.А.
Ергалычев и др. – М.: Высш. шк., 1992. – 320 с.

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

№ варианта
1.1
1.2
1.3
1.4
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1
3.2
3.3
3.4
4.1
4.2
4.3
4.4
5.1
5.2
5.3
5.4
6.1
6.2
6.3
6.4
7.1
7.2
7.3
7.4
8.1
8.2
8.3
8.4
9.1
9.2
9.3
9.4
10.1
10.2
10.3
10.4
11.1
11.2
11.3
11.4
12.1
12.2
12.3

P1 ,
кН
4
5
3
6
2
3
4
6
4
2
3
6
3
4
5
6
2
3
4
6
8
6
8
10
2
4
6
8
4
8
6
8
2
4
6
8
4
6
8
10
2
6
3
4
5
4
6

P2 ,
кН
2
3
1.5
4
3
4
5
10
6
8
4
8
2
3
2
3
6
8
5
10
4
4
6
6
4
6
8
10
4
6
8
10
4
6
8
6
3
2
6
8
4
5
6
8
3
6
4

P3 ,
кН
6
8
3
8

q,
кН/м

1
2
3
4
4
6
8
10
4
5
6
8
2
3
2
4
2
1
2
4
8
6
4
8
6
4
8
6
8
6
8
4
5
4
2
3
8
6
8
10
8
6
8

L1 ,
м
1
1.2
1
1.4
1
1.2
1.5
2
0.5
1
0.8
1
2
3
4
3
1
2
2
4
0.6
1
0.8
1
1
1.5
2
3
1
2
3
2
1
1.5
1
2
0.6
0.4
0.5
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
0.4
0.6
0.8
4

L2 ,
м
1
0.8
1.2
1.4
1.5
2
1.8
2
0.5
1
1
2
2
2
3
2
2
3
4
3
1
2
1
3
1.5
1
1.5
2
0.5
1
2
1
1
2
2
3
0.4
0.5
0.3
0.4
1
1.2
1
0.6
0.6
0.4
0.5

L3 ,
м
1
1
0.8
1.4
2
2.5
3
3
1
2
2
2.2
1
2
2
1
3
2
4
2
2
1
2
4
1
2
1.5
2
1
2
1
3
2
3
3
2
0.8
0.6
0.4
0.5
1.2
0.8
0.6
1
1.2
0.6
1

L4 ,
м
1
0.8
1.2
1.4
3
3
3
4
0.5
1
1.5
3
1
2
3
3
4
5
6
3
4
3
5
6
2
3
3
4
2
3
2
2
3
4
2
4
1
1.2
1
0.8
0.8
1
1.2
1.5
0.5
0.6
0.8

Таблица 1
[σ ], b / h
МПа
100
0.5
120
1/3
100
0.25
160
0.5
100
2
120
1.5
140
3
160
4
100
2
120
3
140
4
160
1.5
100
2
120
1.5
140
3
160
4
100
3
120
2
140
4
160
1.5
100
2
120
3
140
4
160
1.5
100
3
120
2
140
4
160
1.5
100
4
120
3
140
1.5
160
2
100
3
120
2
140
4
160
1.5
100
3
120
2
140
4
160
1.5
100
2
120
1.5
140
4
160
3
100
3
120
4
140
1.5

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

№ варианта
12.4
13.1
13.2
13.3
13.4
14.1
14.2
14.3
14.4
15.1
15.2
15.3
15.4
16.1
16.2
16.3
16.4

P1 ,
кН
5
3
5
4
6
4
6
5
8
3
4
6
8
3
4
6
3

P2 ,
кН
3
4
6
5
8
3
4
5
5
6
8
10
6
6
8
10
8

P3 ,
кН

5
4
6
5
6
5
4
6
8
10
8
5
4
5
3
2

q,
кН/м
6

L1 ,
м
0.5
0.8
0.5
0.6
0.4
1
0.8
0.6
1
1
0.8
0.6
0.5
0.6
0.4
0.5
0.8

Рис. 1

5

L2 ,
м
0.6
0.4
0.6
0.5
0.6
0.5
0.6
0.4
0.8
1.2
1
0.5
1
1.2
1.5
1.4
1.6

L3 ,
м
0.8
0.6
0.8
1
1.2
1
1.2
1
1.4
0.5
0.8
1
0.8
0.5
0.3
0.4
0.5

L4 ,
м
1
0.8
1
1.2
1.5
0.5
1
0.8
0.5
1.5
1.6
0.8
1
0.8
1
1.2
0.6

[σ ],
МПа
160
100
120
140
160
100
120
140
160
100
120
140
160
100
120
140
160

b/h

2
3
2
1.5
2
3
1.5
4
1.5
1.5
4
3
2
1.5
2
3
4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 1 (продолжение)

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 1 (продолжение)

2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
2.1. Напряженное состояние в точке
Напряжения в трех взаимно перпендикулярных
площадках, перпендикулярных осям Ox , Oy и Oz ,
вполне характеризуются тремя нормальными напряжениями σ x , σ y , σ z и тремя касательными напряжениями τ xy , τ yz , τ zx , изображенными на рис.2. Эта
совокупность напряжений называется тензором напряжений.
Площадки, на которых касательных напряжений нет, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках - главными
напряжениями. В каждой точке тела имеются три взаРис.2
имно перпендикулярные главные площадки. Главные
напряжения из всевозможных значений принимают экстремальные значения; их обозначают σ 1,σ 2 ,σ 3 , причем σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . Различные виды напряженного состояния
классифицируются обычно в зависимости от числа не равных нулю напряжений.
Если равны нулю два главных напряжения, то напряженное состояние называется одноосным, или линейным (рис.3, а). Если равно нулю одно из главных напряжений, то напряженное состояние называется двухосным, или плоским (рис.3, б). Если
отличны от нуля все три главных напряжения, то напряженное состояние называется
трехосным, или объемным (рис.3, в).
7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.3
2.1.1. Линейное напряженное состояние
Элементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии, встречаются и в
некоторых точках стержня, работающего на изгиб или сложное сопротивление, но
главным образом в стержнях, испытывающих растяжение или сжатие.
При простом растяжении в нормальных сечениях, достаточно удаленных от точек приложения сосредоточенных сил, нормальные напряжения распределяются равномерно, а касательные напряжения равны нулю. Следовательно, эти сечения являются
главными площадками, а главные напряжения определяются по формуле
N
σx = ,
(1)
F
где F - площадь поперечного сечения бруса.
2.1.2. Плоское напряженное состояние
При исследовании напряженного состояния элементов конструкций наиболее
часто приходится иметь дело с плоским (двухосным) напряженным состоянием. Оно
встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении.
Если малый элемент вырезан двумя парами ортогональных плоскостей, перпендикулярных плоскости xoy , и по его граням действуют напряжения σ x , σ y , τ xy , то
главные напряжения определяются по формуле
2

σx −σy 
2
 + τ xy
σ max =
± 
,
2
2


min
а ориентация площадок, по которым они действуют, по одной из зависимостей
σ
−σx
tgα max = max
;

(3)

tg 2α гл

(4)

σx +σy

τ xy
2τ xy
=
.
σx −σy

(2)

Если одно из главных напряжений, вычисленных по формуле (2), окажется отрицательным, а другое положительным, то их следует обозначать σ 1 и σ 3 . Если же
оба главных напряжения окажутся отрицательными, их обозначают σ 2 и σ 3 .
Отрицательному значению α соответствуют углы, отложенные по часовой
стрелке.

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.1.3. Объёмное напряженное состояние
В задачах сопротивления материалов трехосное, или объемное, напряженное
состояние встречается редко.

2.2. Критерии прочности
Наиболее просто оценка прочности детали по известному напряженному состоянию решается для простых видов деформации, в частности для одноосных напряженных состояний, так как в этом случае значения предельных (опасных) напряжений
легко установить экспериментально. Под опасными напряжениями понимают напряжения, соответствующие началу разрушения (при хрупком состоянии материала) или
появлению остаточных деформаций (в случае пластического состояния материала).
Таким образом, условие прочности для одноосного напряженного состояния
принимает вид
(5)
σ 1 ≤ [σ + ] ; σ 3 ≤ [σ − ] ,
где [σ + ] , [σ − ] - допускаемые напряжения соответственно при растяжении и сжатии.
При сложном напряженном состоянии, когда в точках детали два или все три
главных напряжения не равны нулю, для одного и того же материала опасное состояние может иметь место при различных предельных значениях главных напряжений
σ 1,σ 2 ,σ 3 в зависимости от соотношений между ними. Поэтому экспериментально установить предельные величины главных напряжений очень сложно не только из-за
трудности постановки опытов, но и из-за большого объема испытаний.
В связи с этим для оценки предельных величин главных напряжений вводят
критерии прочности – гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала
того или иного фактора: полагают, что нарушение прочности материала при любом
напряженном состоянии наступит только тогда, когда величина данного фактора достигнет некоторого предельного значения. Предельное значение фактора, определяющего прочность, находят на основании простых, легко осуществимых опытов на растяжение. Иногда пользуются также результатами опытов на кручение. Таким образом,
введение критерия прочности позволяет сопоставить данное сложное напряженное состояние с простым, например, с одноосным растяжением, и установить при этом такое
эквивалентное σ экв (расчетное) напряжение, которое в обоих случаях дает одинаковый коэффициент запаса.
В настоящее время наибольшее распространение получили пять теорий прочности.


Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности).
Согласно этой теории, преимущественное влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения. Предполагается, что нарушение
прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает опасного значения σ пред . Последнее устанавливается при простом растяжении или сжатии на образцах из данного материала. Опытная проверка показывает, что эта теория прочности не отражает условий перехода материала в пластическое состояние и дает при некоторых напряженных состояниях удовлетворительные результаты лишь для весьма
хрупких материалов (например, для камня, кирпича, керамики, инструментальной стали и т. п.).

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



Теория наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности). Согласно этой теории, в качестве критерия прочности принимают наибольшую по
абсолютной величине линейную деформацию. Предполагается, что нарушение
прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая линейная деформация ε max достигает своего опасного значения. Последнее определяется при простом растяжении или сжатии образцов из данного
материала. Опытная проверка этой теории указывает на согласующиеся в ряде
случаев результаты лишь для хрупкого состояния материала (например, для легированного чугуна и высокопрочных сталей после низкого отпуска).



Критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности). Здесь в качестве критерия прочности принята величина наибольшего касательного напряжения. Согласно этой теории предполагается, что предельное состояние в общем случае наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение τ max достигает опасного значения τ пред . Последнее определяется при
достижении предельного состояния в случае простого растяжения.
Условие прочности через главные напряжения записывают так:

σ экв,III = σ 1 − σ 3 ≤ [σ ] .

(6)

Третья теория прочности в общем хорошо подтверждается опытами для
материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения σ 2 , которое, как показывают опыты, оказывает также некоторое, хотя во
многих случаях и незначительное, влияние на прочность материала.


Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (четвертая
теория прочности). В качестве критерия прочности в этом случае принимают
количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной
деформированным элементом. Согласно этой теории, опасное состояние (текучесть) в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда удельная
потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения. Последнее можно легко определить при простом растяжении в момент
текучести.
Условие прочности

[ ]

uф max ≤ uф

(7)

или

σ экв,IV =

[

]

1
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1)2 ≤ [σ ].
2

(8)

Опыты подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов,
одинаково работающих на растяжение и на сжатие. Появление в материале малых пластических деформаций четвертой теорией определяется более точно,
чем третьей.


Критерий Кулона - Мора основан на предположении, что прочность материалов в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от
величины и знака наибольшего σ 1 и наименьшего σ 3 главных напряжений.
Условие прочности записывают в виде

10

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

σ экв,M = σ 1 −

[σ + ]σ ≤ [σ ].
[σ − ] 3

(9)

Основанная целиком на опытных данных, теория Кулона - Мора в общем не
нуждается в дополнительной экспериментальной проверке. Однако построение
предельных огибающих для каждого материала может быть произведено в результате ряда сложных опытов с плоскими и объемными напряженными состояниями, что, собственно, и ограничивает ее применение.
2.3. Сложное сопротивление
Под сложным сопротивлением подразумевают различные комбинации простых
напряженных состояний (растяжения, сжатия, сдвига, кручения, изгиба). В общем случае нагружения бруса в его поперечных сечениях действуют шесть компонентов внутренних усилий: нормальная сила N , поперечные силы Qy и Qz , крутящий момент

M x , изгибающие моменты M y и Mz , связанные с четырьмя простыми деформациями
стержня: растяжением или сжатием, сдвигом, кручением и изгибом.
Принцип суммирования действия сил, или принцип суперпозиции, применим во
всех случаях, когда деформации малы, а материал подчиняется закону Гука. В этом
случае напряженное состояние жесткого стержня определяют путем суммирования напряженных состояний, вызванных каждым видом простого нагружения в отдельности. Аналогично деформации (перемещения) могут быть определены путем сложения
деформаций (перемещений), вызванных каждым компонентом нагрузки в отдельности.
Проверка прочности при сложном напряженном состоянии осуществляется на
основании данных о наибольшем суммарном напряжении.
2.3.1. Косой изгиб
Если все нагрузки, вызывающие изгиб, действуют в одной плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей, то изгиб называется косым. Изогнутая ось
балки в этом случае не является плоской кривой.
Обычно косой изгиб приводят к двум плоским изгибам, для чего нагрузки, действующие в произвольных продольных плоскостях, раскладывают на составляющие,
лежащие в главных плоскостях xoy и xoz . При этом в сечении возникает четыре
компоненты внутренних усилий: Qy , Qz , M y и Mz .

\

Рис.4
11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Напряжения в точках любого сечения, расположенных в первом квадранте системы координат yoz (рис.4, а), при одновременном действии M y и Mz определяются
формулой

σx =

My
Jy

z+

Mz
y,
Jz

(10)

где J y и J z - осевые моменты инерции; в формуле (10) необходимо учитывать знаки
координат y и z .
Уравнение нейтральной линии
My
M
zo + z y o = 0 ,
(11)
Jy
Jz
где zo и y o - координаты точек нейтральной линии.
Уравнение (11) - прямая линия, проходящая через начало координат. Положение нейтральной линии определяется тангенсом угла ее наклона β к главной оси y :
Jy
tgβ = −
tgα .
(12)
Jz
Угол α определяет положение силовой плоскости (линии, см. рис.4). Из зависимости (12) следует, что в общем случае косого изгиба, когда J y ≠ J z , нейтральная
линия не перпендикулярна к силовой линии.
Проверку прочности следует проводить в тех сечениях, где изгибающие моменты My и Mz одновременно велики. Таких сечений в общем случае сложного изгиба
может быть несколько.
Если опасное сечение известно, то в нем нужно отыскать опасные точки. Очевидно, при сложном изгибе σ max будут в точках, наиболее удаленных от нейтральной
линии (точки А и В на рис.4). Так как эти точки лежат на поверхности бруса, то касательные напряжения в них равны нулю, т.е. в этих точках реализуется линейное напряженное состояние. Условие прочности будет иметь вид
My
M
σ x ,max =
z + z y ≤ [σ ] .
(13)
Jy
Jz
Определение размеров сечения в случае неплоского изгиба производят методом
подбора, задаваясь различными отношениями моментов сопротивлений. Касательные
напряжения могут быть определены по формуле Журавского.
Перемещения определяются по принципу независимости действия сил. Если v
- прогиб в направлении главной оси y ; w - прогиб в направлении главной оси z , то
величина полного прогиба в любом сечении балки может быть получена геометрическим суммированием прогибов в разных плоскостях:
f = v2 +w2 .
(14)
Направление полного прогиба перпендикулярно к нейтральной линии (см.

рис.4).
2.3.2. Изгиб с растяжением (сжатием)
Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) имеет место при продольнопоперечном действии нагрузок; при внецентренном растяжении (сжатии).
Если на балку действуют и продольные и поперечные нагрузки, пересекающие
ось бруса, то в общем случае в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты
12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

My и Mz в двух плоскостях, поперечные силы Qy и Qz , а также продольная сила

N . Таким образом, в этом случае будет сложный изгиб с растяжением или сжатием.
Нормальное напряжение в произвольной точке сечения определяется формулой
N My
M
σx = +
z+ z y .
(15)
F Jy
Jz
Изгибающие моменты, продольную силу и координаты точки, в которой вычисляют напряжения, подставляют сюда с их знаками.
Уравнение нейтральной линии
N My
M
+
zn + z y n = 0 ,
(16)
F Jy
Jz
где z n и y n - координаты точек нейтральной линии.
Уравнение (16) - прямая линия, не проходящая через начало координат. Положение нейтральной линии определяется отрезками, отсекаемыми на главных центральных осях поперечного сечения (рис.5):
NJ y
Nh 2 
zn = −
=−
;
FM y
12M y 
(17)

2
NJ z
Nb 
yn = −
=−
.
FM z
12M z 

Рис.5
Пренебрегая касательными напряжениями от поперечных сил, можно считать,
что напряженное состояние в опасной точке линейно. Следовательно, условие прочности имеет простейший вид:
N My Mz
σ x ,max = +
+
≤ [σ ] .
(18)
F Wy Wz
2.3.3. Изгиб с кручением
Силы, действующие на валы (давление на зубья шестерен, натяжение ремней,
собственный вес вала и шкивов и т. п.), вызывают в поперечных сечениях валов следующие внутренние силовые факторы: изгибающие моменты My и Mz в двух плоскостях, крутящий момент Mкр , поперечные силы Qy и Qz . Таким образом, в любом
поперечном сечении одновременно возникают нормальные напряжения от изгиба в
двух плоскостях, а также касательные напряжения от кручения и изгиба.
13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Для расчета вала в первую очередь необходимо установить опасные сечения. С
этой целью все силы, действующие на вал, приводят к оси вала. Затем их разлагают на
составляющие вдоль координатных осей, после чего строят эпюры изгибающих My ,

Mz , результирующего Mизг = My2 + M z2 и крутящего Mкр моментов (рис.6).

Рис.6

Вал круглого поперечного сечения. При изгибе вала круглого
или кольцевого сечения в каждом из его сечений под действием результирующего изгибающего момента Mизг имеет место прямой изгиб ( α = β ). Опасными сечениями
будут те, в которых одновременно велики Mизг и Mкр .
В опасном сечении нужно найти опасные точки. Для этого определяем положение нейтральной линии в сечении и строим эпюру нормальных напряжений σ x от результирующего изгибающего момента M изг , которые изменяются пропорционально
расстоянию точек от нейтральной линии. Опасными будут точки, наиболее удаленные
от нейтральной линии (на рис.7, а точки A и B ) - в них одновременно и нормальные
напряжения от изгиба и касательные напряжения от кручения имеют наибольшие значения:
M
σ x ,max = изг ;
(19)
W
Mкр
τ кр ,max =
.
(20)


14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

При этом Wρ = 2W . В случае сложного напряженного состояния влиянием касательных напряжений от поперечных сил пренебрегают ввиду их малости по сравнению с касательными напряжениями, вызванными кручением.

Рис.7
У наиболее опасных точек A и B выделяем малые элементы (рис.7, б). По четырем их граням действуют касательные напряжения, на основании закона об их парности, а к двум из этих граней приложены еще и нормальные напряжения. Остальные
две грани свободны от напряжений. Таким образом, при изгибе с кручением элементы
в опасных точках находятся в плоском напряженном состоянии.
Главными напряжениями в наиболее опасной точке (точке A ) в соответствии с
формулой (2) являются следующие:
1
1
2 
2
2 
(21)
σ 1 =  σ x + σ x2 + 4τ кр
 ; σ 2 = 0 ; σ 3 =  σ x − σ x + 4τ кр  .
2
2


Для проверки прочности элементов, выделенных у опасных точек, нужно выбрать соответствующую теорию прочности, воспользовавшись одной из формул: (6),
(8) или (9). Подставив в них выражения (21), получим
2
≤ [σ ] ;
σ экв ,III = σ x2 + 4τ кр

(22)

2
≤ [σ ] ;
σ экв ,IV = σ x2 + 3τ кр

(23)

σ экв ,M =

1− m
1+ m
2
≤ [σ ] ,
σx +
σ x2 + 4τ кр
2
2

где
m=

(24)

[σ + ] .
[σ − ]

Формула (24) пригодна при m < 1 для хрупких материалов и при m = 1 для
пластичных материалов.
С учетом зависимостей (19) и (20) условия прочности (22-24) приводятся к виду
1
2
2
Mизг
+ Мкр
≤ [σ ] ;
(25)
σ экв ,III =
W
1
2
2
Mизг
+ 0.75Mкр
≤ [σ ] ;
(26)
σ экв ,IV =
W
1 1− m
1+ m
2
2 
(27)
Mизг +
Mизг
+ Mкр
σ экв ,M = 
 ≤ [σ ] .
W 2
2


15

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Числители этих формул представляют собой приведенные моменты, действие
которых эквивалентно совместному действию трех моментов (согласно принятой теории прочности):
2
2
Mпр ,III = Mизг
+ Мкр
;

(28)

2
2
Мпр ,IV = Mизг
+ 0.75Mкр
;

(29)

Мпр ,M =

1− m
1+ m
2
2
Mизг +
Mизг
+ Mкр
.
2
2

(30)

Теперь условия прочности (25-27) можно заменить одной формулой
Mпр
≤ [σ ] .
σ экв =
W
Отсюда
Mпр
W≥

(32)

и диаметр вала может быть найден из условия
32Mпр
d ≥3
.

(33)

[σ ]

π [σ ]

(31)

Приведенные формулы полностью применимы и к стержням кольцевого сечения.

Вал прямоугольного поперечного сечения. Как и для вала с
круглым поперечным сечением, сначала строят эпюры изгибающих MY , M z , а также
эпюру крутящих Mкр моментов и определяют опасное сечение. Чтобы проверить
прочность бруса, нужно в опасном сечении найти опасную точку, вычислить для нее
эквивалентное напряжение (по одной из теорий прочности) и сопоставить его с допускаемым напряжением.

Рис.8
Для нахождения опасной точки сечения необходимо построить эпюры напряжений от всех силовых факторов: MY , M z , Mкр , Qy , Qz . Так как касательные напряжения от поперечных сил Qy , Qz обычно малы, в большинстве случаев их влиянием
можно пренебречь. Эпюры нормальных напряжений σ x от каждого из изгибающих
16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

моментов MY и M z изменяются пропорционально расстоянию точек от соответствующих главных осей поперечного сечения (рис.8, а), эпюра касательных напряжений
τ кр нелинейна (рис.8, б) и определяется зависимостями, полученными в теории упругости Сен-Венаном, которые показывают, что касательные напряжения в контурных
точках сечения возрастают от нулевых значений в углах к серединам сторон по некоторым кривым; в центре сечения напряжение равно нулю, а максимального значения
напряжения достигают в серединах длинных сторон, причем
Mкр
τ кр ,max,h = 2 .
(34)
αb h
Наибольшие напряжения на короткой стороне прямоугольника

τ кр ,max,b = γτ кр ,max,h .

(35)

В этих формулах b , h - длина короткой и длинной стороны прямоугольника
соответственно; α и γ числовые коэффициенты, зависящие от соотношения сторон h
и b.
Значения этих коэффициентов приведены в табл.2.
Таблица 2
h/b

1,0

1,5

1,75

2,0

3,0

4,0

6,0

8,0

10,0



α

0,208

0,231

0,239

0,246

0,267

0,282

0,299

0,307

0,313

0,333

γ

1,000

0,859

0,820

0,795

0,753

0,745

0,743

0,742

0,742

0,742

В этих случаях гипотеза плоских сечений неприменима, так как сечения искривляются (депланируют). В стержнях произвольного сечения, как и в стержнях круглого сечения, касательные напряжения при кручении направлены по касательной к
контуру.
Эпюры нормальных и касательных напряжений наглядно показывают, что в отличие от круглого сечения в рассматриваемом случае наибольшие нормальные напряжения σ x и наибольшие касательные напряжения τ кр ,max,b и τ кр ,max,h имеют место
не в одной и той же точке. Следовательно, для выявления самой опасной точки в сечении нужно сопоставить эквивалентные напряжения в нескольких опасных точках.
Обычно считают достаточным рассмотреть три точки сечения: одну угловую точку
(например, B ), одну точку посредине длинной стороны прямоугольника (например,
A ) и одну точку посредине короткой стороны прямоугольника (например, C ).
Элемент, выделенный в окрестности точки B (при принятых на рис.8, а направлениях MY и M z ), находится в условиях простого растяжения напряжениями,
равными сумме нормальных напряжений от MY и M z . Поэтому условие прочности
для этой точки должно быть записано как для случая линейного напряженного состояния:
My Mz
σB =
+
≤ [σ ] .
(36)
Wy Wz
Если материал вала имеет разные допускаемые напряжения для растяжения и
для сжатия, то проверять прочность по формуле (36) необходимо и в крайней правой
нижней точке поперечного сечения вала, в которой моменты MY и M z вызывают простое сжатие.

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Элементы в окрестности точек A и C находятся в плоском напряженном состоянии, следовательно, главные напряжения в них, как и для вала круглого поперечного сечения, можно вычислить по формуле (21).
Условия прочности для точек A и C по теории наибольших касательных напряжений и энергетической теории имеют вид:
для точки A

σ экв ,III =

σ экв,IV =

M z2
Wz2

M z2
Wz2

+4

+3

2
Мкр

(αb h)

2

2

≤ [σ ];

(37)

≤ [σ ] ;

(38)

2
Мкр

(αb2h)2

для точки C

σ экв,III =

σ экв,IV =

M y2
Wy2
M y2
Wy2

+ 4γ

2

+ 3γ

2

2
Мкр

(αb h)

2

2

≤ [σ ];

(39)

≤ [σ ] .

(40)

2
Мкр

(αb h)

2

2

Знаки моментов при подстановке их в уравнения (37) - (40) не имеют значения,
так как в эти формулы входят квадраты моментов.
Таким образом, наиболее опасная точка определяется только в результате вычисления эквивалентных напряжений во всех трех точках ( A , B и C ) по формулам
(37) - (40), причем в каждом отдельном случае положение наиболее опасной точки зависит от конкретного соотношения величин моментов MY , M z и Mкр .

Общий случай действия сил на вал. Если в сечении вала действуют осевая сила N , изгибающие моменты в главных плоскостях MY и M z , а также
крутящий момент Mкр , то условия прочности для точек A и C по теории наибольших касательных напряжений и энергетической теории примут вид:
для точки A
2

2
M
Мкр
N 
z

+
+4
≤ [σ ];
σ экв,III =
2
W

 z F
αb 2h

)

(

(41)

2

2
M
Мкр
N 
z

+
+3
≤ [σ ] ;
σ экв,IV =
2
W

 z F
αb 2h

(

)

(42)

для точки C
2

2
M
N 
y
2 М кр

σ экв,III =
+
+ 4γ
≤ [σ ];
W
F
2 2
y
α
b
h



(

)

(43)

2

2
M
Мкр
N
y
σ экв,IV = 
+  + 3γ 2
≤ [σ ] .
2
W

F
2
αb h
 y


(

18

)

(44)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
3.1. Требуется:

1) для расчетной схемы, представленной на рис.9, построить эпюры нормальной силы
N , крутящего момента Mk и изгибающих моментов M y и Mz относительно главных центральных осей поперечных сечений;
2) определить положение нейтральной оси в наиболее нагруженном сечении;
3) подобрать размеры указанных форм поперечных сечений на каждом участке бруса
и проверить их прочность;
4) определить перемещения границ участков пространственного бруса.
Вычисления выполнить в системах MathCAD, SCAD и MSC.Patran.
Результаты решения, полученные в системах SCAD и MSC.Patran,
использовать как контрольные для проверки правильности решения задачи в системе MathCAD.

Рис.9
3.2. Расчет пространственного бруса в программном комплексе
MathCAD

3.2.1. Построение эпюр
Для стержневой системы, жестко заделанной одним из концевых сечений
(рис.9), определение реакций и реактивных моментов в заделке не является обязательным, так как в этом случае внутренние силовые факторы на каждом участке можно определять, рассматривая каждый раз ту отсеченную часть бруса, в которую не входит
заделка.
Используя метод сечений, на каждом участке системы составляют аналитические выражения для нормальной силы N , поперечных сил Qy и Qz крутящего момента Mкр и изгибающих моментов Му и М z относительно главных центральных
осей, произвольно выбранного поперечного сечения как функции абсциссы этого сечения и сил, расположенных по одну сторону от сечения.
Нормальная сила в произвольно выбранном поперечном сечении равна алгебраической сумме проекций на геометрическую ось бруса всех сил, действующих по
одну сторону от этого сечения. Поперечные силы Qy и Qz в произвольно выбранном
поперечном сечении равны алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по
одну сторону от этого сечения, на оси y и z , совпадающие с главными центральными
осями этого сечения. Крутящий момент Mкр = M x равен алгебраической сумме мо19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ментов сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно геометрической
оси участка стержневой системы. Изгибающие моменты моментов Му и М z в произвольном поперечном сечении равны алгебраической сумме моментов сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно каждой из главных центральных
осей этого сечения.
Внутренние силовые факторы считаются положительными, если направления их векторов совпадают с положительными направлениями выбранной системы координат.
По записанным аналитическим выражениям для N , Qy , Qz , Mкр , Му и М z
вычисляют их значения в поперечных сечениях, расположенных в начале и конце каждого участка, а при необходимости их экстремальные величины в пределах участка
бруса.
Ординаты эпюр N , Qy , Qz , M кр , М у и М z откладываются перпендикулярно геометрической оси бруса на каждом участке системы. Эпюру изгибающего
момента рекомендуется строить в плоскости его действия со стороны сжатых волокон
бруса.
При построении эпюр каждый стержень системы исследуется отдельно; удобнее
начинать со стержня, содержащего свободный торец бруса, затем переходить ко второму стержню, непосредственно примыкающему к первому, и т. д., вплоть до последнего стержня, имеющего заделку. В пределах каждого стержня ось x правой системы
координат совмещается с осью стержня. Направление оси x соответствует последовательному переходу от защемлённого торца к свободному. При этом во всяком стержне,
рассматриваемом отдельно, конец, обращенный в сторону локальной оси x i , следует
условно считать свободным, начальным концом; другой конец стержня, обращенный в
сторону заделки, можно условно считать защемленным.
Так как при расчетах на прочность влиянием касательных напряжений τ xy и

τ xz пренебрегают, то в общем случае можно не определять поперечные силы Q y , Qz .
Но MathCAD не позволяет, без написания специальной программы, строить эпюры
для пространственного бруса в глобальной системе координат xyz , поэтому нам придется эти эпюры строить по участкам в правых локальных системах координат x i y i zi
( i = 1...4 ) , начало которых будем помещать на левых концах участков (рис.10), в которых поперечные силы Q y и Qz в рассматриваемых сечениях бруса будут играть
роль внешних сил.
Расчленим пространственный брус на четыре части по границам участков. В
местах разреза приложим внутренние силовые факторы Nij , Qijy , Qijz , Mijx , Мijу и

Мijz , где индекс ij соответствует точке встречи i -го и j -го участков (рис.10). Все
компоненты главного вектора и главного момента будем изображать положительными.
В местах разреза силы взаимодействия между участками равны по величине и обратны
по направлению (третий закон Ньютона). Сначала компонентам главного вектора и
главного момента не будем придавать никакого физического смысла. Если величина
компонента вектора, найденная из уравнений равновесия, получится со знаком плюс,
то это означает, что направление этого компонента вектора мы выбрали правильно, в
противном случае (получился знак минус) – неправильно.
Для каждого из участков построим эпюры Ni , Mкр ,i , М у ,i и М z ,1 с теми знаками, которые получились в результате решения уравнений равновесия, а затем по
этим данным построим эпюры N , Mкр , Му и М z для всего пространственного бруса.
20

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.10

Участок 1. 0 ≤ x1 ≤ L1 (рис.11).
Отсечем правую часть первого участка бруса, к его левому торцу приложим пока неизвестные внутренние силовые факторы, вектора которых направим в положительном направлении координатных осей и составим условия равновесия сил, действующих на выделенный участок бруса.

∑X = 0:
∑Y = 0 :
∑Z = 0 :
∑Mx = 0 :
∑ My = 0 :
∑ Mz = 0 :

Уравнения равновесия
N 1= 0 ;

Решения
N 12= 0

Q1y + P1 = 0 ;

Q12y = −P1

Q1z = 0 ;

Q12z = 0

M1x = 0 ;

M12 x = 0

M1y = 0 ;

M12y = 0

M1z +P 1⋅(L1 − x 1 ) = 0 .

M1z (x 1 ) = −P 1⋅(L1 − x 1 ) ;
M12z = −1.6
21

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Все внутренние силовые факторы на первом участке, за исключением момента
M12z и поперечной силы Q12y , равны нулю. В конце участка N12 = 0 , Q12y = −P1 ,
M12 x = 0 , М12у = 0 , М12z = −1.6 кН.м. Знак минус у величин Q12y и M12z означает, что действительные направления векторов, изображенные на рис.11, обратны.
Эпюра момента M1z (x 1 ) приведена на рис.12.

Участок 2. 0 ≤ x 2 ≤ L2 (рис.13).
К правому торцу бруса будут приложены только два отличных от нуля силовых
фактора: М12z = −1.6 кН.м и Q12y = −4 кН, в пределах участка - равномерно распределенная нагрузка q .
Отсечем правую часть участка и составим условия равновесия внешних и внутренних сил, приложенных к этому участку: q , М12z , Q12y , N2 , Q2y , Q2 z , M2 x ,
М 2 у и М2z .

Рис.13
Уравнения равновесия

∑X = 0:

N 2 − Q12y = 0 ;

∑Y = 0 :

Q2y + N12 = 0 ;

∑Z = 0 :

Q2z − Q12z − q (L2 − x 2 ) = 0 ;

∑Mx = 0 :

M2 x − M12y = 0 ;

∑ My = 0 :

∑ Mz = 0 :

M2y + M12 x +

Решения
N 2 = Q12y = −P1 = −4
N 23 = −4
Q2 y = −N12 = 0
Q23y = 0

Q2 z = Q12z + q (L2 − x 2 )
Q23 z = q ⋅ L2 = 1,6
M2 x = M12y = 0
M23 x = 0

q (L2 − x 2 )2
= 0;
2

M2z − M12z + N 12⋅(L2 − x 3 ) = 0 .

22

M2y =

q (L2 − x 2 )2
2

M23y = −

qL22
2

= −0.72

M2 z = M12z = −1,6 ;
M23z = −1.6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

В конце участка

Эпюры нормальной силы N2 и момента M2y представлены на рис.14.

Рис.14
Знак минус у значений функции N 2 (x 2 ) означает, что направление этого вектора на расчетной схеме
выбрано неверно, т.е. второй участок пространственного
бруса не сжимается, а растягивается, что необходимо
будет учесть при построении эпюр.

Участок 3. 0 ≤ x 3 ≤ L3 (рис.15).
Отсечем правую часть участка и составим условия равновесия внешних и внутренних сил, приложенных к этому участку: P2 , N23 , Q23z , М23у , М23z ,
N3 , Q3y , Q3 z , M3 x , М3у и М3z .

Рис.15
Уравнения равновесия
∑ X = 0 : N3 + Q23z = 0 ;

Решения
N3 = −Q23z

∑Y = 0 :
∑Z = 0 :
∑Mx = 0 :

Q3y = −N 23

Q3 y + N 23 = 0 ;
Q3 z − Q23y − P2 = 0 ;
M3 x + M23z = 0 ;

Q3 z = Q23y + P2
M3 x = −M23z

M3y + M23 x +

M3y = −M23 x − P2 +Q 23y ⋅ (L3 − x 3 )

∑ M y = 0 : (P +Q ) ⋅ (L − x ) = 0 ;
2
23 y
3
3
∑ M z = 0 : M3z − M23y +N 23⋅(L3 − x 3 ) = 0
Вычисления выполним в MathCAD.

23

(

)

M3 z = M23y − N23 (L3 − x 3 )

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Нормальная сила N3 , поперечные силы Q3y и Q3 z , крутящий момент М3 x не
изменяются вдоль оси участка. Эпюры изгибающих моментов M3y (x 3 ) и M3z (x 3 )
представлены на рис.16.

Рис.16
На левой границе участка действуют силы

Участок 4. 0 ≤ x 4 ≤ L4 (рис.17).
Отсечем правую часть участка и составим условия равновесия внешних и внутренних сил, приложенных к этому участку: N34 , Q34 y , Q34 z , M34 x , М34 у , М34 z ,

N 4 , Q4 y , Q4 z , M 4 x , М 4 у и М 4 z .

Рис.17

∑X = 0:
∑Y = 0 :
∑Z = 0 :

Уравнения равновесия
N 4 + Q34 z = 0 ;

Решения
N 4 = −Q34 z

Q4 y + Q34 y = 0 ;

Q4 y = −Q34 y

Q4 z + N 34 = 0 ;

Q4 z = −N 34

24

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Уравнения равновесия
∑ M x = 0 : M 4 x + M34 z = 0 ;

Решения
M 4 x = −M34 z

∑ My = 0 :
∑ Mz = 0 :

M 4 y = −M34 y + N 34 ⋅ (L4 − x 4 )
M 4 z = −M34 x −Q 34 y ⋅(L4 − x 4 )

M 4 y + M34 y − N 34 ⋅ (L4 − x 4 ) = 0 ;
M 4 z + M34 x +Q 34 y ⋅(L4 − x 4 ) = 0

Вычисления выполним в MathCAD.

Эпюры изгибающих моментов M 4 y (x 4 ) и M 4 z (x 4 ) представлены на рис.18.
По полученным данным строим эпюры N , Mкр , Му и М z для всего ломаного бруса (рис.19).

Рис. 18

Рис.19

25

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Разрывы (скачки) ординат на эпюрах изгибающих моментов около узловых точек на эпюрах моментов M y и M z (при отсутствии на системе моментов внешних
пар) не должны вызывать смущения, так как эти ординаты относятся к разным поперечным сечениям.
3.2.2. Расчет на прочность
По эпюрам внутренних силовых факторов на каждом из участков пространственного бруса устанавливаем наиболее нагруженное (опасное) поперечное сечение, в
котором все внутренние силовые факторы одновременно оказываются наибольшими
по величине. Если такого сечения нет, то расчет на прочность производится в нескольких поперечных сечениях.
В опасном сечении находим наиболее напряженную точку и вид напряженного
состояния в этой точке для правильного составления условия прочности по методу допускаемых напряжений. При определении размеров поперечного сечения обычно
влиянием нормальной силы N пренебрегают, затем расчетные размеры округляют с
учетом существующих стандартов на сортовой прокат и производят проверку прочности с учетом влияния нормальной силы.
Участок 1. 0 ≤ x1 ≤ L1 (рис.11, 19).
На первом участке возникает плоский изгиб в плоскости xoy в глобальной системе координат xyz относительно оси z . Наиболее нагруженным является поперечное сечение x1 = 0 в начале участка, опасными точками являются точки A и B , наиболее удаленные от нейтральной оси, в которых реализуется одноосное напряженное
состояние (рис.20). Следовательно, условие прочности будет иметь простой вид:

σ x ,max =

Mz
≤ [σ ] .
Wz

Рис.20
3

В этом сечении M z = 1,6 ⋅ 10 H.M (рис.19). Диаметр поперечного сечения d 1
определяем из расчета на изгиб по методу допускаемых напряжений по формуле (33):

d 1= 3

32 M z

π [σ ]
26

.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Отсюда d 1 = 5 ,46 см.
Принимаем d 1 = 5 ,6 см. Тогда

W1 =

πd13
32

; W1 = 1.7241 × 10

Недонапряжение

η=

−5

;

σ x ,max =

σ x ,max − [σ ]
100 %;
[σ ]

Mz
7
; σ x ,max = 9.2802 × 10 Па.
W1

η = -7.1983 %.

Участок 2. 0 ≤ x2 ≤ L2 (рис.13, 19).
Брус на втором участке испытывает растяжение и изгиб в плоскостях xoy и
xoz относительно осей z и y . Наиболее нагруженным является поперечное сечение

x 2 = 0 в начале участка. В этом сечении N = 4 ⋅ 10 3 Н, M y = 0.72 ⋅ 10 3 H.M и
M z = 1.6 ⋅ 10 3 H.M (рис.21).

Рис.21
Наиболее напряженной точкой в сечении является угловая точка A , в которой
все три внутренних силовых фактора вызывают растяжение. Напряженное состояние в
точке A линейное, а потому условие прочности определяется формулой (5):

σ x ,max =

N M y Mz
+
+
≤ [σ ] .
F W y Wz

Размеры сечения подбираем, используя блок Given – Find, а отрезки, отсекаемые на главных центральных осях поперечного сечения нейтральной линии определяем по формулам (17):

27

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Принимаем a = 6 ,2 см. В этом случае нормальные напряжения в поперечном
сечении равны допускаемым напряжениям.
Участок 3. 0 ≤ x3 ≤ L3 (рис.15, 19).
Брус на этом участке испытывает растяжение, кручение и изгиб в плоскостях
x 3 o3 y3 и x 3 o3 z 3 . Наиболее нагруженным является поперечное сечение x 3 = 0 в
начале

участка.

В

этом

сечении

N = 2.4 ⋅ 10 3

Н,

M y = 5 ⋅ 10 3

H.M

,

M z = 3.28 ⋅ 10 3 H.M, M кр = 1.6 ⋅ 10 3 H.M.
Так как в контурных точках этого сечения возникает сложное, а именно плоское, напряженное состояние, то для определения диаметра d 2 воспользуемся одной из
известных гипотез прочности.
Для стержня круглой формы сечения по теории наибольших касательных напряжений условие прочности определяется формулой, аналогичной формуле (41):
2

σ экв ,III

2
 M изг N 
М кр


=
+
+
≤ [σ ].
2
 W

F
(
)
W
z
 z


(45)

К сожалению, в MathCAD блок Given – Find это неравенство решает некорректно, поэтому сначала примем N = 0 . Тогда

Теперь вычислим эквивалентные напряжения с учетом нормальной силы:

Как следует из расчета, при диаметре d 2 = 86 мм недонапряжение сечения составит 0.47 %, что соответствует точности инженерных расчетов.
Участок 4. 0 ≤ x4 ≤ L4 (рис.17, 19).
Брус на этом участке испытывает растяжение, кручение и изгиб в двух плоскостях: x4 o4 y4 и x4 o4 z4 . Наиболее нагруженным является поперечное сечение

x4 = 0 в начале участка. В этом сечении N = 5 ⋅ 10 3 Н, M y = 2.12 ⋅ 10 3 H.M,
M z = 6.4 ⋅ 10 3 H.M, M кр = 3.28 ⋅ 10 3 H.M (рис.22).
28

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.22
В контурных точках A и C этого сечения возникает плоское напряженное состояние, а в точке B - линейное напряженное состояние. В соответствии с видом напряженного состояния записываем условия прочности для трех точек:
для точки A
2

σ экв ,III

2
 Mz N 
М кр
2
= 
+  + 4γ
≤ [σ ] ;
W

2 2
F
αb h
 z


(

)

(46)

для точки B

σ x ,max =

N M y Mz
+
+
≤ [σ ] ;
F W y Wz

(47)

для точки C
2

σ экв ,III

2
 My N 
М кр


=
+
+4
≤ [σ ] .
 Wy F 
2 2
αb h



(

(48)

)

Для рассматриваемого случая из таблицы 2 для h / b = 2 (в таблице и в формулах (34), (37-40) под величиной h / b понимается отношение длинной стороны сечения
к короткой): α = 0 ,246 , γ = 0 ,795 . С учетом этих величин зависимости (46)-(48)
примут вид
2

σ экв ,III _ A

2
 3Mz

М кр
N
 + 2.5281
= 
+
 2 h3 2 h 2 
0.492h3



(

σ x ,max_ B =

)

2

≤ [σ ] ;

3M y 3Mz
N
+
+
≤ [σ ];
2 h2
h3
2 h3

(49)

(50)

2

σ экв ,III _ C

2
 3M y
М кр
N 

=
+ 2 +4
 h3
2 h 
0.492 h3


(

29

)

2

≤ [σ ] .

(51)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Определим параметр h из трех формул (49-51) и из найденных величин выберем наибольший.
По уже указанной причине сначала предположим, что N = 0 , а затем после вычисления h найдём эквивалентное напряжение в этой точке уже с учетом нормальной
силы N и сопоставим его с допускаемым напряжением:
Точка A

σ экв _ III _ A только на 0 ,62 % превышает допускаемое напряжение 100 МПа. Так что можно считать высоту сечения hA подобранЭквивалентное напряжение

ной.
Точка B

В этом случае мы сразу учли силу N и поэтому эквивалентные напряжения в
точке B по величине в точности совпадают с допускаемыми напряжениями.
Точка C

σ экв _ III _ C только на 0 ,39 % превышает допускаемое напряжение 100 МПа. Так что можно считать высоту сечения hC подобранЭквивалентное напряжение

ной.
Из трех вычисленных величин hA , hB , hC выбираем наибольшую и округляем
ее до значения h = 0.055 м.
30

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Найдем отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях
поперечного сечения. При вычислении длины отрезков по формулам (17) необходимо
учитывать знаки внутренних силовых факторов. При выводе формул (17) предполагалось, что моменты M y и M z вызывают растяжение волокон бруса в первой четверти
(рис.5). В рассматриваемом случае (рис.22) момент M z вызывает сжатие волокон бруса в первой четверти. Поэтому его следует подставить в формулы (17) со знаком минус:

Итак, высота поперечного сечения бруса на четвертом участке составляет 55
мм, отрезки, отсекаемые нейтральной осью: zn = −0 ,59 мм, yn = 0 ,79 мм.
3.3. Расчет пространственного бруса в программном комплексе SCAD3

3.3.1. Построение эпюр
1. Загружаем программный комплекс. В полях ввода панели Новый проект введем
наименование проекта Расч_простр_бруса и название объекта Простр_брус. Из
списка Тип схемы выберем Система общего вида и щелкнем по кнопке Единицы
измерения. Появится одноименная панель. Зададим единицы измерения геометрических и силовых параметров расчета: сосредоточенные силы будем измерять в кН,
равномерно распределённую нагрузку в кН/м, размеры сечений в см. Щелкнем по
кнопке ОК. Сохраним новый проект в файле Расч_простр_бруса. После выполнения этих операций открывается главное окно конечно-элементного пакета SCAD.
2. Работу по созданию нового проекта начнем с формирования расчетной схемы. Для
этого установим курсор на раздел Расчетная схема дерева и нажмем левую
кнопку мыши.
3. Активизируем на инструментальной панели раздел Узлы и элементы и на поя-

вившейся панели, состоящей всего из двух иконок, нажимаем кнопку Узлы
задаем узлы – границы участков пространственного бруса.

и

4. Нажимаем кнопку Элементы
. Вводим стержни, соединяющие границы участков пространственного бруса. В результате в окне отображения графической информации появится изображение пространственного бруса (рис.23).
3

В.С. Карпиловский, Э.З. Криксунов, А.Ф. Маляренко, А.В. Перельмутер, М.А. Перельмутер. Вычислительный комплекс SCAD. - М.: Издательство АСВ, 2007. – 596 с.; А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа (издание 2-е переработанное и дополненное).Киев: Изд-во Сталь, 2002. - 600 с.

31

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.23
5. Разобьем все элементы бруса на восемь частей.
6. Задаём физико-механические характеристики элементов расчетной схемы в разделе

Назначения. Активизируем кнопку
Назначение жесткости стержням. Для
конечно-элементного расчета пространственного бруса мы должны назначить жесткость его элементам. Какую – пока неважно; при построении эпюр внутренних
силовых факторов можно задать произвольную жесткость. Зададим размеры поперечных сечений участков бруса, полученные в MathCAD.
7. Прикладываем к брусу заданную нагрузку и задаём граничные условия – жёстко
защемляем левый его торец. Созданная конечно-элементная модель бруса приведена на рис.24.

Рис.24
8. Выполняем конечно-элементный расчет пространственного бруса.
9. Полученные в результате расчета эпюры внутренних силовых факторов приведены
на рис.25 - 27. Они с точностью до знака совпадают с ранее построенными эпюрами
(рис.19).

32

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.25

Рис.26

Рис.27

33

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.28
Усилия в стержнях выдаются в локальной (местной) прямоугольной системе координат x 1 y 1 z1 .
Усилия определяются на
гибкой части элемента относительно главных осей инерции сечения,
проведённого
перпендикулярно
продольной оси стержня. Положительные направления усилий в
стержнях приняты следующими:
для моментов M x , M y , M z - против часовой стрелки, если смотреть
с конца соответствующей оси x 1 ,
y 1 , z1 ; положительная продольная
сила N всегда растягивает стержень (рис.29).
Рис.29
3.3.2. Расчет на прочность
SCAD имеет постпроцессор
, предназначенный для проверки несущей способности стержневых элементов стальных конструкций в соответствии с требованиями
СНиП II-23-81 «Стальные конструкции» (СНиП - Строительные нормы и правила), инструментальная панель которого представлена на рис.30.

Рис.30
34

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Инструментальная панель постпроцессора включает в себя следующие функции:
– установка параметров;
– назначение конструктивных элементов;
– назначение групп конструктивных элементов;
– подтверждение выбора конструктивных элементов;
– сброс установленного режима;
– назначение групп унификации;
– формирование отчета;
– активизация расчета (режим экспертизы сечений);
– визуализация результатов на схеме;
– визуализация результатов по выбранному конструктивному элементу или унифицированной группе;
– отображение расчетной схемы;
– состав группы конструктивных элементов;
– информация о подобранных сечениях элементов;
– подбор сечений.
Проверка несущей способности сечений выполняется для конструктивных элементов. Конструктивный элемент моделирует физически однородный
элемент конструкции – стойку рамы, подкрановую (надкрановую) часть колонны, ригель, пояс фермы и т. д. Геометрическая длина конструктивного элемента равна сумме
длин конечных элементов, его образующих.
В качестве конструктивного элемента рассматривается непрерывная цепочка
стержневых конечных элементов, обладающая следующими свойствами:
• элементы, входящие в цепочку, лежат на одной прямой без разрывов (точность определяется параметром совпадения узлов);
• у всех элементов цепочки одинаковый тип жесткости;
• все конечные элементы цепочки имеют одинаковый тип;
• у всех элементов цепочки одинаково ориентированы главные оси поперечного сечения;
• элементы цепочки не имеют жестких вставок и шарниров (допускается только в начальном и конечном узлах цепочки);
• элементы цепочки могут входить только в один конструктивный элемент.
Примечание. Для всех элементов, входящих в состав конструктивных элементов, должны быть вычислены расчетные сочетания усилий (РСУ).
По условию задания требовалось подобрать сплошные поперечные сечения участков бруса, которые, как мы знаем, не рациональны по расходу материала. Поэтому в
данном разделе задания мы подберем трубчатые тонкостенные сечения той же формы,
что и заданные сплошные сечения.

35

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.31

36

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1. Нажимаем иконку
Выйти в экран управления проектом.
2. В главном окне конечно-элементного пакета SCAD открываем раздел Специальные исходные данные и активизируем в нем опции Расчетные сочетания усилий и Главные и эквивалентные напряжения. В результате появятся одноименные панели (рис.31). На панели РСУ ничего не вводим, а только нажимаем клавишу ОК, а на второй панели включаем радиокнопку Теория наибольших касательных напряжений и подтверждаем введённую информацию, нажимая на клавишу
ОК.
3. Последовательно из раздела Расчет выполняем Линейный расчет, Расчетные
сочетания усилий и Главные и эквивалентные напряжения.
4. Переходим в раздел Результаты и активизируем опцию Графический анализ.
5. Нажатие клавиши Постпроцессоры приводит к появлению инструментальной
панели,

которая содержит функции анализа результатов работы постпроцессоров подбора
арматуры в элементах железобетонных конструкций
фрагмента схемы

, результатов расчета главных и эквивалентных напряжений

для пластинчатых элементов
ний

, расчета нагрузок от

, проверки несущей способности стальных сече-

, анализа и отображения результатов оценки энергетического вклада эле-

ментов конструкции в процесс потери устойчивости системы
ных в систему проектирования фундаментов

, передачи дан-

, прогрессирующее разрушение

.
6. Нажимаем на иконку
ций. Появится форма

Проверка несущей способности стальных конструк-

на которой следует нажать клавишу Да, после чего инструментальная панель проверки несущей способности стержневых элементов стальных конструкций (рис.30)
станет активной.
7. Активизируем иконку
. Появляется панель Параметры настройки, на которой
выбираем марку стали, ориентируясь на её расчетное сопротивление.

37

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

По условию задания допускаемое напряжение для материала пространственного бруса [σ ] = 100 МПа.
В строительстве при расчетах на прочность используется методика расчета
по предельным состояниям, разработанная под руководством проф. Н.С. Стрелецкого (1885-1967) и применяемая с 1955 года4. СНиП предусматривают две группы
предельных состояний: по потере несущей способности или полной непригодности
к эксплуатации и по непригодности к нормальной эксплуатации. При расчете на
прочность по первой группе предельных состояний в случае растяжения стержня
используется зависимость5

σ max

Niнγ f

i
=
F

R нγ c



γм

;

если γ f = const , то

∑ Niн ≤ R нγ c .
F

(52)

γ мγ f

н

Здесь N i - продольная сила от i -й нормальной нагрузки; γ f - коэффициент
i
н

надёжности по нагрузке для i -й нагрузки; R - нормативное сопротивление, основная характеристика сопротивления материалов силовым воздействиям (для план

н

стичных материалов R = σ Т , для хрупких R = σ В ); γ м - коэффициент надёжности по материалу, отражает статистическую изменчивость свойств материала;
R н / γ м = R - расчетное сопротивление; γ c - коэффициент условий работы, отражающий влияние температуры, агрессивности среды, степени отличия расчетной
схемы от реальной конструкции и др.
Если в условии прочности (52)

γ мγ f
заменить одним коэффициентом n , то
γc

получим условие прочности (5). В большинстве случаев при нормальных условиях
работы γ c = 1 и γ f = 1. Для того чтобы условия прочности по допускаемым напряжениям и предельным состояниям совпали, из ниспадающего списка сталей выберем «Другая», задав R = 100000 кН/м2.
8. Нажимаем иконку
Назначение конструктивных элементов и выбираем на
схеме стержни, входящие в конструктивный элемент. В нашем случае конструктивными элементами являются участки пространственного бруса. Подтверждаем
наш выбор нажатием кнопки ОК в инструментальной панели.
4

Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1995. –
560 с.
5
Ахметзянов М.Х., Лазарев И.Б. Сопротивление материалов. – Новосибирск, НИИЖТ, 1997. – 300 с.

38

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Появляется диалоговое окно Конструктивный элемент. В этом окне задаются характеристики элемента: имя элемента, коэффициенты расчетной длины, а
также данные, задаваемые в окне Параметры настройки. Коэффициенты расчетной длины являются множителями к геометрической длине конструктивного элемента и служат для определения расчетных длин конструктивного элемента (физически однородного стержня) в плоскостях главных осей поперечного сечения. С
выбором некоторых из этих коэффициентов мы познакомимся несколько позднее
при изучении раздела «Устойчивость сжатых стержней». При их назначении следует исходить из расстояния между точками закрепления элемента в реальной конструкции и характера этого закрепления (жесткая или упругая опора, препятствие угловым или линейным перемещениям). Методика определения этих коэффициентов
указана в СНиП II-23-81. Так как с расчетами такого типа мы пока что не знакомы,
коэффициенты расчетной длины принимаем равными: 2 - для участка, жестко заделанного на одном из торцов; 1,5 - для участка с одним свободным торцом; 0.75
- для остальных участков.

После ввода всех данных о конструктивном элементе, включая имя элемента, следует нажать кнопку Добавить новый. Перед включением нового конструктивного элемента в список конструктивных элементов, подлежащих проверке, выполняется контроль корректности назначения. Если в результате контроля обнаружено, что выбранные элементы не соответствуют перечисленным выше требованиям к конечным элементам, составляющим конструктивный элемент, то появляется
диалоговое окно Ошибки.
9. После нажатия иконки
Расчет выполняется проверка несущей способности
конструктивных элементов. Проверка выполняется для всех сечений элементов,
входящих в конструктивный элемент, по каждому фактору РСУ. Результатом является наибольшее значение каждого фактора, определяющего несущую способность
элемента. Реализован весь комплекс проверок по прочности и устойчивости в соответствии с разделом 5 СНиП II-23-81. Набор проверок определяется типом поперечного сечения элемента и комплектом действующих на него нагрузок.

Стержни проверяются по:
• прочности при действии продольной силы N ;
• устойчивости при сжатии в плоскостях xoz и xoy ;
39

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

• прочности при действии изгибающего момента M y или M z ;
• прочности при действии поперечной силы Qz или Q y ;
• прочности при совместном действии N , M y и M z ;
• устойчивости в плоскости xoz или xoy при внецентренном сжатии;
• устойчивости из плоскости xoz или xoy при внецентренном сжатии;
• устойчивости плоской формы изгиба при действии момента M y ;
• устойчивости при сжатии с двухосным эксцентриситетом.

Обратите внимание:
в отличие от нашего предыдущего расчета, в котором мы учитывали
только крутящий и изгибающие моменты, в SCAD реализован весь комплекс проверок по прочности и устойчивости в соответствии с разделом 5 СНиП II-23-81, а потому он более точен по сравнению с предыдущим расчетом.
Нажатие на иконку

Расчет приводит к активизации иконок



формирование отчета;
– визуализация результатов на схеме;
– визуализация результатов по выбранному конструктивному элементу или унифицированной группе;
подбор сечений.

– информация о подобранных сечениях элементов;



10. Проверим несущую способность созданного нами пространственного бруса. Если
конструктивные элементы, отображаются зеленым цветом, то несущая способность
конструктивных элементов достаточна, если красным цветом – то недостаточна.

Нажмем на иконку
рис.32.

. Конструктивные элементы окрасятся, как показано на

Рис.32
40

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Таким образом, на первом, третьем и четвёртом участках бруса его несущая
способность не обеспечена.
По результатам подбора может быть сформирован отчет (иконка
Отчет).
Отчет формируется в виде файла в формате RTF, который автоматически загружается
в ассоциированное с этим форматом приложение. Если нажать иконку
ся панель

, то появит-

Нажимаем клавишу ОК. В результате будет представлен следующий отчет.
Проверка элементов стальных конструкций
Конструктивный элемент Прямоугольник
6,0

2

12,0

0,5

0,5

Расчетное сопротивление стали Ry= 100000,0 кН/м
Коэффициент условий работы -- 1,0
Предельная гибкость -- 150,0
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Y1 -- 2,0
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Z1 -- 2,0
Длина элемента -- 1,2 м

Результаты расчета
Проверено по
СНиП
п.5.12
п.5.12
пп.5.12,5.18
пп.5.12,5.18
пп.5.24,5.25
пп.6.15,6.16
пп.6.15,6.16

Коэффициенты
использования :
1,02
прочность при действии изгибающего момента My
1,96
прочность при действии изгибающего момента Mz
0,14
прочность при действии поперечной силы Qy
0,05
прочность при действии поперечной силы Qz
прочность при совместном действии продольной силы 2,43
и изгибающих моментов без учета пластики
0,66
предельная гибкость в плоскости X1,O,Y1
0,38
предельная гибкость в плоскости X1,O,Z1
Фактор

Коэффициент использования 2,43 - прочность при совместном действии продольной силы и
изгибающих моментов без учета пластики

41

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Конструктивный элемент Круг_3
Z
2

Расчетное сопротивление стали Ry= 100000,0 кН/м
Коэффициент условий работы -- 1,0
Предельная гибкость -- 150,0
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Y1 -- 0,75
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Z1 -- 0,75
Длина элемента -- 1,0 м

0.35
Y

8,9

Сечение
Тpубы стальные бесшовные
горячедеформированные,
ГОСТ 8732-78 89x3.5

Результаты расчета
Проверено по
СНиП
п.5.12
п.5.12
пп.5.12,5.18
пп.5.12,5.18
пп.5.24,5.25
пп.6.15,6.16
пп.6.15,6.16

Коэффициенты
использования :
2,59
прочность при действии изгибающего момента My
1,7
прочность при действии изгибающего момента Mz
0,15
прочность при действии поперечной силы Qy
0,18
прочность при действии поперечной силы Qz
прочность при совместном действии продольной силы 3,12
и изгибающих моментов без учета пластики
0,17
предельная гибкость в плоскости X1,O,Y1
0,17
предельная гибкость в плоскости X1,O,Z1
Фактор

Коэффициент использования 3,12 - прочность при совместном действии продольной силы и
изгибающих моментов без учета пластики

Конструктивный элемент Квадрат
6,5

2

6,5

0,6

0,6

Расчетное сопротивление стали Ry= 100000,0 кН/м
Коэффициент условий работы -- 1,0
Предельная гибкость -- 150,0
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Y1 -- 0,75
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Z1 -- 0,75
Длина элемента -- 0,6 м

Результаты расчета
Проверено по
СНиП
п.5.12
п.5.12
пп.5.12,5.18
пп.5.12,5.18
пп.5.24,5.25
пп.6.15,6.16
пп.6.15,6.16

Коэффициенты
использования :
0,28
прочность при действии изгибающего момента My
0,63
прочность при действии изгибающего момента Mz
0
прочность при действии поперечной силы Qy
0,07
прочность при действии поперечной силы Qz
прочность при совместном действии продольной силы 0,94
и изгибающих моментов без учета пластики
0,12
предельная гибкость в плоскости X1,O,Y1
0,12
предельная гибкость в плоскости X1,O,Z1
Фактор

Коэффициент использования 0,94 - прочность при совместном действии продольной силы и
изгибающих моментов без учета пластики

42

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Конструктивный элемент Круг_1
Z
2

Расчетное сопротивление стали Ry= 100000,0 кН/м
Коэффициент условий работы -- 1,0
Предельная гибкость -- 150,0
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Y1 -- 1,5
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Z1 -- 1,5
Длина элемента -- 0,4 м

0.3
Y

5,7

Сечение
Тpубы стальные бесшовные
горячедеформированные,
ГОСТ 8732-78 57x3

Результаты расчета
Проверено по
СНиП
п.5.12
п.5.12
пп.5.12,5.18
пп.5.12,5.18
пп.5.24,5.25
пп.6.15,6.16
пп.6.15,6.16

Коэффициенты
использования :
0
прочность при действии изгибающего момента My
2,45
прочность при действии изгибающего момента Mz
0,27
прочность при действии поперечной силы Qy
0
прочность при действии поперечной силы Qz
прочность при совместном действии продольной силы 2,45
и изгибающих моментов без учета пластики
0,21
предельная гибкость в плоскости X1,O,Y1
0,21
предельная гибкость в плоскости X1,O,Z1
Фактор

Коэффициент использования 2,45 - прочность при совместном действии продольной силы и
изгибающих моментов без учета пластики

11. Подберем поперечные сечения, обеспечивающие несущую способность пространственного бруса.
Подбор сечений элементов выполняется в тех случаях, когда их поперечные
сечения заданы из одиночных прокатных профилей. Подбор выполняется в рамках
сортамента, принятого при начальном назначении сечений элементов, и только для
указанного вида профиля. Это означает, что если в качестве профиля был выбран
двутавр вида К, то и в результате подбора будет выбран аналогичный профиль (или
будет сообщено, что из таких профилей сечение не удается подобрать).
Результаты подбора отображаются в таблице диалогового окна Результаты
подбора сечений. Если по результатам подбора сортамент оказался исчерпан, а необходимая несущая способность не достигнута, то имя объекта выводится красным
цветом и другая информация в таблице отсутствует.
По результатам подбора может быть принят один из трех вариантов продолжения работы:
• применить подобранные сечения для новой задачи;
• заменить жесткости элементов;
• заменить исходные сечения для экспертизы.
Выбор варианта осуществляется с помощью опций в диалоговом окне Результаты подбора сечений.

Щелкнем по иконке

Подбор сечений. Появится панель

43

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

на которой будут представлены как исходные, так и заново подобранные сечения участков бруса. Анализ содержания колонок «Исходное сечение» и «Результат подбора»
позволяет сделать заключение о их непротиворечивости: они не противоречат здравому смыслу и нашим предыдущим расчетам.
Выполним замену жесткостей элементов. Нажмем клавишу ОК, иконку
иконку

Отчет. Новый отчет о подобранных сечениях будет выглядеть так.
Проверка элементов стальных конструкций
Конструктивный элемент Прямоугольник
12,0

2

14,0

0,6

0,6

Расчетное сопротивление стали Ry= 100000,0 кН/м
Коэффициент условий работы -- 1,0
Предельная гибкость -- 150,0
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Y1 -- 2,0
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Z1 -- 2,0
Длина элемента -- 1,2 м

Результаты расчета
Проверено по
СНиП
п.5.12
п.5.12
пп.5.12,5.18
пп.5.12,5.18
пп.5.24,5.25
пп.6.15,6.16
пп.6.15,6.16

Фактор

Коэффициенты
использования :
0,42
прочность при действии изгибающего момента My
0,59
прочность при действии изгибающего момента Mz
0,06
прочность при действии поперечной силы Qy
0,03
прочность при действии поперечной силы Qz
прочность при совместном действии продольной силы 0,79
и изгибающих моментов без учета пластики
0,34
предельная гибкость в плоскости X1,O,Y1
0,3
предельная гибкость в плоскости X1,O,Z1

Коэффициент использования 0,79 - прочность при совместном действии продольной силы и
изгибающих моментов без учета пластики.

44

и

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Конструктивный элемент Круг_3
Z
2

Расчетное сопротивление стали Ry= 100000,0 кН/м
Коэффициент условий работы -- 1,0
Предельная гибкость -- 150,0
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Y1 -- 0,75
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Z1 -- 0,75
Длина элемента -- 1,0 м

1.8
Y

8,9

Сечение
Тpубы стальные бесшовные
горячедеформированные,
ГОСТ 8732-78 89x18

Результаты расчета
Проверено по
СНиП
п.5.12
п.5.12
пп.5.12,5.18
пп.5.12,5.18
пп.5.24,5.25
пп.6.15,6.16
пп.6.15,6.16

Фактор

Коэффициенты
использования :
0,83
прочность при действии изгибающего момента My
0,54
прочность при действии изгибающего момента Mz
0,03
прочность при действии поперечной силы Qy
0,04
прочность при действии поперечной силы Qz
прочность при совместном действии продольной силы 0,99
и изгибающих моментов без учета пластики
0,19
предельная гибкость в плоскости X1,O,Y1
0,19
предельная гибкость в плоскости X1,O,Z1

Коэффициент использования 0,99 - прочность при совместном действии продольной силы и
изгибающих моментов без учета пластики.

Конструктивный элемент Квадрат
6,0

2

6,0

0,8

0,8

Расчетное сопротивление стали Ry= 100000,0 кН/м
Коэффициент условий работы -- 1,0
Предельная гибкость -- 150,0
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Y1 -- 0,75
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Z1 -- 0,75
Длина элемента -- 0,6 м

Результаты расчета
Проверено по
СНиП
п.5.12
п.5.12
пп.5.12,5.18
пп.5.12,5.18
пп.5.24,5.25
пп.6.15,6.16
пп.6.15,6.16

Фактор

Коэффициенты
использования :
0,28
прочность при действии изгибающего момента My
0,63
прочность при действии изгибающего момента Mz
0
прочность при действии поперечной силы Qy
0,06
прочность при действии поперечной силы Qz
прочность при совместном действии продольной силы 0,93
и изгибающих моментов без учета пластики
0,14
предельная гибкость в плоскости X1,O,Y1
0,14
предельная гибкость в плоскости X1,O,Z1

Коэффициент использования 0,93 - прочность при совместном действии продольной силы и
изгибающих моментов без учета пластики.

45

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Конструктивный элемент Круг_1
Z
2

Расчетное сопротивление стали Ry= 100000,0 кН/м
Коэффициент условий работы -- 1,0
Предельная гибкость -- 150,0
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Y1 -- 1,5
Коэффициент расчетной длины в плоскости X1,Z1 -- 1,5
Длина элемента -- 0,4 м

1.2
Y

5,7

Сечение
Тpубы стальные бесшовные горячедеформированные, ГОСТ 8732-78 57x12

Проверено по
СНиП
п.5.12
п.5.12
пп.5.12,5.18
пп.5.12,5.18
пп.5.24,5.25
пп.6.15,6.16
пп.6.15,6.16

Результаты расчета
Фактор

Коэффициенты
использования :
0
прочность при действии изгибающего момента My
0,99
прочность при действии изгибающего момента Mz
0,08
прочность при действии поперечной силы Qy
0
прочность при действии поперечной силы Qz
прочность при совместном действии продольной силы 0,99
и изгибающих моментов без учета пластики
0,24
предельная гибкость в плоскости X1,O,Y1
0,24
предельная гибкость в плоскости X1,O,Z1

Коэффициент использования 0,99 - прочность при совместном действии продольной силы и
изгибающих моментов без учета пластики.

Информация о результатах подбора доступна лишь во время работы режима
Подбор

. Если после выхода из этого режима для каких-либо целей потребуется

вновь рассмотреть результаты подбора, то следует воспользоваться кнопкой
. Эта
операция позволяет получить сопоставительную информацию о сечении конструктивных элементов или групп до и после подбора. Данные выводятся в таблице в диалоговом окне Сопоставление жесткостей.

46

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3.3.3. Геометрические характеристики подобранных сечений
В разделе Назначение активизируем иконку
Назначение жесткостей
стержням, что приведёт к появлению формы Жесткости стержневых элементов,
в окне Тип жесткости которой выбираем соответствующее сечение и нажимаем клавишу Профили металлопроката.

На изменившей вид форме Жесткости стержневых элементов нажимаем
клавишу Характеристики сечений. Появится панель с изображением сечения и таблицей его геометрических характеристик (рис. 33, 34).
3.3.4. Оценка прочности подобранных сечений по стандартной методике
сопротивления материалов
Используя данные таблиц геометрических характеристик подобранных сечений,
повторим в MathCAD расчеты, выполненные в разделе 3.2.2.

47

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.33

48

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.34

49

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Методика определения напряжений на четвертом участке требует пояснений.
На четвертом участке SCAD подобрал стальную тонкостенную трубу прямоугольного поперечного сечения. Брус считается тонкостенным, если толщина стенки
δ существенно меньше его прочих линейных размеров. Определяющим для учета
влияния тонкостенности профиля является параметр
ν = J min / J k ,
где J min - минимальный момент инерции сечения на изгиб; J k - геометрическая жесткость сечения стержня на кручение.
50

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

При малых ν (ν ≤ 3 ) следует использовать обычную теорию изгиба и кручения,
при больших ν - учитывать дополнительные эффекты, связанные с тонкостенностью
стержня.
Линия, делящая толщину сечения пополам, называется средней линией, или
контуром сечения, размеры сечения задаются по этой линии.
При кручении тонкостенного бруса его поперечные сечения депланируют, т.е.
не остаются плоскими. Если ничто не препятствует свободной депланации сечений,
кручение называется чистым, или свободным. В противном случае кручение называется стесненным. При стесненном кручении в отличие от свободного в поперечных сечениях, кроме касательных напряжений, возникают также нормальные напряжения.
При свободном кручения тонкостенного бруса замкнутого контура касательные
напряжения определяются по формуле

τ=

Mk
,
2 Fkδ

(53)

где Fk - площадь фигуры, ограниченной средней линией сечения.
При постоянной толщине δ сечения τ во всех его точках одинаковы по величине. В сечении переменной толщины наибольшее τ действует там, где сечение тоньше:

τ max =

Mk
.
2 Fkδ min

На четвертом участке касательные напряжения рассчитывались по формуле
(53), в которой Fk = (h − 2δ ) ⋅ (b − 2δ ) .
Как показал расчет, на всех участках пространственного бруса максимальные
напряжения не превышают допускаемых (это первый, второй и четвёртый участки) или
незначительно превышают допускаемые напряжения (третий участок)

103 − 100
⋅ 100% = 3% < 5% ,
100
но это перенапряжение не превышает 5% .
Исследуем распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях, вычисляемых в SCAD. Для этого откроем программный продукт Конструктор сечений, в котором последовательно будем задавать сечения и нагрузки, действующие в
этом сечении (рис.35).
Шаг 1. Нажимаем клавишу Выбор элемента на форме Элемент сечения. Откроется панель Выбор элемента.
Шаг 2. В окне просмотра графической информации выбираем профиль металлопроката из полного каталога профилей ГОСТ. Выбранный профиль появится в окне
просмотра формы Элемент сечения.
Шаг 3. Нажимаем клавишу Поставить. Выбранный профиль появляется в окне
просмотра формы Конструктор сечения. Если возникнет необходимость проверить
геометрические характеристики профиля сечения, то следует активизировать кнопку
. Появится панель Элемент сечения, с помощью которой можно вывести таблицу
геометрических характеристик (клавиша
или посмотреть внешний вид и геометрические размеры сечения.

)

Шаг 4. Активизируем иконку
Поля напряжений. Появится панель Усилия в сечении, в полях ввода которой задаём величины внутренних силовых факторов
и затем нажимаем кнопку ОК. Для того чтобы величины напряжений были удобочи51

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

таемы, в главном меню необходимо выбрать раздел Настройки и на появившейся панели задать соответствующие установки.

Рис.35
На рис. 36 - 39 приведены распределения напряжений в опасных сечениях первого, второго, третьего и четвертого участков.
Максимальные напряжения на первом участке согласуются с ранее вычисленными значениями.
На втором участке мы получили величину максимальных нормальных напряжений

σ x 2 max = 9.3078 ⋅ 107 .

На

рис.37

7

σ x 2 max = 7.807 ⋅ 10 .
52

максимальные

напряжения

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Несовпадение значений максимальных нормальных напряжений вызвано следующим обстоятельством. В расчете мы рассматривали нескругленное поперечное сечение. Прокатный профиль трубы квадратного поперечного сечения имеет скругление
радиусом 16 мм, это легко установить на изображении поперечного сечения, если совместить указатель курсора с точкой, в которой напряжения максимальны. В информационной панели в правом нижнем углу появятся координаты точки в системе координат, изображенной на рисунке.

Рис.36

Рис.37

53

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 38

Рис.39

54

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Следовательно, при вычислении нормальных напряжений от момента M y необходимо в формулу подставить z = 0.03 − 0.016 . В этом случае

Конструктор сечений выдаёт только максимальные нормальные напряжения.
Поэтому на третьем участке можно проверить величину первого слагаемого под радикалом в формуле для σ x 3 max :

Как следует из рис.38, они совпадают, следовательно, можно считать, что численные значения напряжения, вычисленные в MathCAD и SCAD, так же совпадают.
Для того чтобы совместить точки 5 и 3 , образующие контур поперечного сечения бруса на этом участке, определяем направление силовой плоскости
β = arctg( M3 z / M3 y ) = 33,2649 и поворачиваем сечение в направлении хода часовой стрелки на этот угол.
На четвертом участке в точке B для нескруглённого сечения реализуется линейное напряженное состояние; по расчету в MathCAD
рис.38 в начале скругления

σ x 4 max_ B = 7.8649 ⋅ 107 . На

σ x 4 max_ B = 7.557 ⋅ 107 . Учтем скругление углов попе-

речного сечения бруса:

Таким образом, и на этом участке величины вычисленных нормальных напряжений совпадают.
3.3.5. Определение перемещений поперечных сечений бруса
Определим вертикальные перемещения границ участков пространственного
бруса.
Как и в SCAD за положительные направления линейных перемещений u , v и
w примем положительные направления соответствующих осей x , y и z . Для угловых перемещений ϕ x , ϕ y и ϕ z в качестве положительного принят поворот против

55

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

хода часовой стрелки вокруг соответствующей оси, если смотреть с ее конца (рис.40, в
скобках указаны обозначения линейных и угловых перемещений, принятые в SCAD).
В соответствии с методом Мора на границах
участков приложим единичные силовые факторы
Pi = 1 ( i = A, B ,C , D ), направленные в отрицательном направлении оси z , и для каждого из них в
SCAD построим эпюры N1 , M1y , M1z и M1кр (на

Рис.40

рис.41 приведены эпюры для единичной силы,
приложенной в точке A ).
Грузовые эпюры приведены на рис.25-28.
При вычислении интегралов Мора знаки
моментов M1y , M1z , M1кр , MPy , MPz и MPкр

будем брать с эпюр, построенных в SCAD (эти знаки совпадают со знаками аналогичных величин, вычисленных нами в MathCAD).
Все вычисления выполним в системе MathCAD. Так как большинство эпюр
очерчены прямыми линиями, то при вычислении интегралов Мора будем использовать метод Верещагина.
Зададим жесткостные характеристики поперечных сечений участков бруса, вычисленные SCAD (рис.33, 34) и характерные ординаты грузовых и единичных эпюр.
Трапеции представим в виде двух треугольников. Значение внутреннего силового фактора, соответствующего правой стороне трапеции, обозначим буквой p , левой – буквой L .

56

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 41

57

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Знак минус у величины ∆D означает, что перемещение направлено вверх, в сторону, обратную направлению единичной силы.

58

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

На рис.42 приведены недеформированная и деформированная оси бруса, глобальная и локальные системы координат (включены соответствующие фильтры) и
компоненты векторов перемещений границ участков пространственного бруса после
замены жесткостей участков и повторного расчета.
Вертикальные перемещения границ участков бруса, точек A,B ,C ,D соответствуют компоненте w вектора перемещения. Сопоставление значений этой компоненты
со значениями, вычисленными нами в системе MathCAD, позволяет сделать заключение о правильности наших вычислений.

Рис.42
59

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3.4.

Расчет пространственного бруса в программном комплексе
Patran-2005

3.4.1. Создание конечно-элементной модели бруса
1. Запускаем систему MSC.Patran.
2. В главном меню нажимаем кнопку File New, в открывшейся форме New Database
задаём имя новой базы данных и нажимаем клавишу ОК.
3. Одновременно с текущим окном просмотра графических символов MSC.Patran
появится форма New Model Preference, на которой устанавливаются все коды
специфических форм и опций внутри MSC.Patran (рис.43).

Рис.43
На этой форме установите:
Tolerance:
Based on Model
Analysis Code:
MSC.Nastran
Analysis Type:
Structural
ОК
4. Определяем настройки пользователя. Из главного меню выбираем комплект зависимых форм (рис.44).

Рис.44
60

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Preferences / Picking…
Single Picking:
Rectangle / Polygon Picking:
Close

Entity
Enclose entire entity

5. При построении пространственного бруса сначала целесообразно перейти к изометрическому представлению бруса. Для этого на форме Ориентация моделей

активизируем иконку
Iso 2 View.
6. Создаём геометрию пространственного бруса. Щелкаем левой клавишей мыши по
приложению Geometry (рис.45).

Рис.46

Рис.45

7. В открывшейся одноименной панели активизируем команды (рис.46):
Action:
Create
Object:
Point
Method:
XYZ
8. В поле Point Coordinates List вводим координаты первого узла и нажимаем клавишу Apply. Для того чтобы контролировать положение введенных точек, активи-

зируем кнопку
«Положение точек». Операцию повторяем до тех пор, пока не
будут введены координаты всех узлов.
9. На панели Geometry щелкаем по клавише Point и активизируем опцию Curve.
Панель Geometry примет вид, изображенный на рис.46.

61

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

10. Последовательно щелкая по стартовой и конечной точкам, соединяем их линиями.
В результате получим изображение пространственного бруса (рис.47).

Рис.47
11. Для создания конечно-элементной сетки открываем приложение Elements и на
появившейся форме Finite Elements для каждого из участков бруса задаём число
элементов (число элементов на участках принимаем равным одной десятой их длины).
Для первого участка вводим:
Action:
Create
Object:
Mesh Seed
Type:
Uniform
Number:
12
Curve List:
List 1
Если переключатель Auto Execute
включен, то нажимать на клавишу
Apply не надо

Apply

Для всех остальных участков повторяем перечисленные выше действия. В результате в окне отображения графической информации пространственный брус будет выглядеть так, как показано на рис.48.

Рис.48
Создаём конечно-элементную сетку:
Action:
Object:
Type:
Topology:
Curve List:
Apply

62

Create
Mesh
Curve
Bar 2
List 1

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Для всех остальных участков повторяем перечисленные действия.
Для удаления совпадающих узлов выполнить операцию Equivalence.
12. Задаём свойства материала бруса такие же, как в SCAD: модуль продольной упру-

гости 2.0601 ⋅ 10

11

Па, коэффициент Пуассона 0.3 . Открываем форму приложе-

ния Materials, нажимая клавишу

. На форме Materials задаём:
Create
Isotropic
Manual Input
Steel

Action:
Object:
Metod:
Material Name:
Input Properties…
Constitutive Model:
Elastic Modulus:
Poisson’s Ratio:
Density:
ОК
Apply

Linear Elastic
2.0601е11
0.3

13. Определяем свойства элементов. Сечения участков бруса назначаем такие, какие
получились в программном продукте SCAD. Открываем форму приложения Properties, т.е. щелкаем по кнопке
ties задаём:
Action:
Object:
Type:
Property Set Name:

. На появившейся панели Element ProperCreate
1D
Beam
Rectangular
General Section
Standard Formulation

Options:
Input Properties…
Появится форма

63

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Щёлкаем по кнопке
Section Name:

и задаём сечение
Rectangular

Щёлкаем по кнопке
m:steel

Material Name:
Bar Orientation
OK
Select Members:
Add
Apply

Curve 1

Circle_3

Property Set Name:

General Section
Standard Formulation

Options:
Input Properties… Появится форма

64

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Щёлкаем по кнопке
Section Name:

и задаём сечение
Circle_3

Щёлкаем по кнопке
m:steel

Material Name:
Bar Orientation
OK
Select Members:
Add
Apply

Curve 2

Foursquare

Property Set Name:

General Section
Standard Formulation

Options:
Input Properties… Появится форма

65

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Щёлкаем по кнопке
Section Name:

и задаём сечение
Foursquare

Щёлкаем по кнопке
m:steel

Material Name:
Bar Orientation
OK
Select Members:
Add
Apply

Curve 3

Circle_1

Property Set Name:
Options:

General Section
Standard Formulation

Input Properties…

Появится одноименная форма Input Properties, на которой щёлкаем по
кнопке

и задаём сечение

Circle_1

Section Name:
Material Name:

Щёлкаем по кнопке

66

m:steel

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Bar Orientation
OK
Select Members:
Add
Apply

Curve 4

В результате в окне отображения графической информации пространственный
брус будет выглядеть так, как показано на рис.49.

Рис.49
14. Задаём граничные условия: силовые и кинематические. Открываем форму прило-

жения Loads/BCs, щелкая по кнопке
. Появится всплывающая форма
Loads/Boundary Conditions.
Вначале зададим кинематические граничные условия. Для этого в окне New Set
Name задаем имя кинематического условия d1 и щелкаем по кнопке Input Data…
Откроется новая всплывающая панель Input Data, в окнах которой задаём граничные условия. Для абсолютно неподвижной опоры запрещаем все линейные и угловые перемещения.
Loads/BCs
Action:
Object:
Type:
New Set Name:
Input Data…
Translations :
Rotations :
OK
Select Application Region…
Geometry Filter
Select Geometry Entities:
Add
ОК
Apply

Create
Displasement
Nodal
d

FEM
Node 1

67

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Создадим нагрузку на пространственный брус.
Loads/BCs
Action:
Object:
Type:
New Set Name:
Input Data…
Force :
OK
Select Application Region…
Geometry Filter
Select Geometry Entities:
Add
ОК
Apply

Create
Force
Nodal
Р1

FEM
Node 36

Р2

New Set Name:
Input Data…
Force :
OK
Select Application Region…
Geometry Filter
Select Geometry Entities:
Add
ОК
Apply

FEM
Node 24

Равномерно распределённую нагрузку на втором участке заменим сосредоточенными силами, приложенными в узлах участка. Суммарное усилие, приложенное ко
второму участку, равно 2400 Н, к каждому элементу должно быть приложено 400 Н.
Поэтому к внутренним узлам участка прикладываем силы 400 Н, а к узлам, совпадающим с границами участка, 200 Н:
Loads/BCs
Action:
Object:
Type:
New Set Name:
Input Data…
Force :
OK
Select Application Region…
Geometry Filter
Select Geometry Entities:
Add
ОК
Apply

Create
Force
Nodal
q1

FEM
Node 26:30

q2

New Set Name:

68

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Input Data…
Force :
OK
Select Application Region…
Geometry Filter
Select Geometry Entities:
Add
ОК
Apply

FEM
Node 24 31

Равномерно распределённую нагрузку на втором участке можно задать и с помощью опции Distributed Load.
В результате этих действий в окне отображения графической информации пространственный брус будет выглядеть так, как показано на рис.50.

Рис.50
15. Модель готова к анализу. Открываем приложение Analysis.
Analyze
Entire Model
Full Run
MSC.Nastran
Structural
Spatial_bar

Action:
Object:
Method:
Code:
Type:
Job Name:
Apply

16. В результате этих действий запустится вычислительная программа Nastran. После
окончания вычислений необходимо результаты расчета сделать доступными в
MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и нажимаем клавишу Apply:

69

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Access Results
Attach XDB
Result Entities

Action:
Object:
Method:
Apply

Если расчет выполнен правильно, в информационной строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно перейти к анализу результатов расчета.
17. Приложение Results открывается нажатием на клавишу

. MSC.Patran.

При нажатой кнопке

Create
Quick Plot
Окно: Select Results
Default, A1: Static SubCases
case
Окно: Select Fringe
Bar Stresses, Maximum
Results
Combined
Окно: Select DeformaDisplacements, Translation
tion Result
Определяют атрибуты полос

При нажатой кнопке

Определяют атрибуты деформированной модели

Action:
Object:

При нажатой кнопке
Select Results в окнах
выбирают интересующую
информацию, например:

На рис. 51 приведена информация о максимальных напряжениях, на рис.52 информация о перемещениях сечений пространственного бруса.

Рис.51
Как следует из рис.39, величины компонент векторов перемещений в точках
A, B ,C , D , вычисленные в программных комплексах SCAD и Patran, близки. Небольшое различие в величинах объясняется неточностью задания формы прямоугольного и квадратного сечений в Patran – мы не учли закругление углов фигур.

70

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.52

4. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какое напряженное состояние называется пространственным (трехосным), плоским (двухосным) и линейным (одноосным)?
2. Каково правило знаков для нормальных и касательных напряжений?
3. Чему равна сумма нормальных напряжений на любых двух взаимно перпендикулярных площадках ?
4. Что такое главные напряжения и главные площадки?
5. Как расположены главные площадки относительно друг друга?
6. Чему равны касательные напряжения на главных площадках?
7. Как определить главную площадку?
8. Что называется опасным состоянием материала? Чем характеризуется наступление опасного состояния для пластичных и хрупких материалов?
9. Какая точка тела называется опасной?
10. Что называется допускаемым напряженным состоянием?
11. Почему вопрос о том, что является причиной опасного состояния, не имеет значения для расчетов на прочность при одноосном напряженном состоянии?
12. Почему вопрос о прочности в случаях сложного (плоского или пространственного) напряженного состояния приходится решать на основе результатов опытов, проведённых при одноосном напряжённом состоянии?
13. Что такое теории прочности?
14. В чем сущность первой теории прочности? Какие опытные данные находятся в
противоречии с этой теорией? В каких случаях допустимо применение этой теории?
15. В чём сущность второй теории прочности?
16. В чем сущность третьей теории прочности? Напишите условие прочности по
этой теории. Укажите ее недостатки и область применимости.
17. В чем сущность теории прочности удельной потенциальной энергии изменения
формы? Укажите область применения этой теории.
71

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

18. В чем сущность теории прочности Мора?
19. Каковы недостатки теории прочности Мора? Что можно сказать об области ее
применимости?
20. Какой случай изгиба называется косым изгибом?
21. Может ли балка круглого поперечного сечения испытывать косой изгиб?
22. Что такое чистый косой изгиб и поперечный косой изгиб?
23. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?
24. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?
25. Что такое опасные точки в сечении и как определяется их положение при косом
изгибе?
26. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?
27. Какой случай сложного сопротивления называется внецентренным растяжением
(или сжатием)?
28. Какие внецентренно растянутые (или сжатые) брусья называются жесткими и какие гибкими?
29. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра
этих напряжений?
30. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и
сжатии?
31. Чему равно нормальное напряжение в центре тяжести поперечного сечения при
внецентренном растяжении или сжатии?
32. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?
33. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?
34. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с
кручением? Какое напряженное состояние имеет место в этих точках?
35. Как находится величина приведенного момента (по различным теориям прочности) при изгибе с кручением бруса круглого сечения?
36. Какие точки бруса круглого поперечного сечения являются опасными при растяжении (или сжатии) с кручением?
37. Как ведется расчет на прочность бруса круглого сечения при кручении с растяжением (или сжатием)?
38. Как рассчитывается на прочность брус круглого сечения при изгибе с кручением и растяжением (или сжатием)?
39. Какие точки бруса с прямоугольным поперечным сечением являются опасными
при растяжении (или сжатии) с кручением?
40. Как ведется расчет на прочность бруса с прямоугольным поперечным сечением
при кручении с растяжением (или сжатием)?
41. Как рассчитывается на прочность брус с прямоугольным поперечным сечением
при изгибе с кручением и растяжением (или сжатием)?

72




MyBook - читай и слушай по одной подписке