Сборник задач по алгебре. 9 класс [Александр Николаевич Рурукин] (pdf) читать онлайн

firtjrc,

A.H. Рурукин,
H.H. Гусева, Е.А. Шуваева

СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО АЛГЕБРЕ
•[

ик ол ьнгс КП/рс а
••

® «41,а in1ИЯ тр ех УР ов не и сло жн ости
•
[у^
V\
*

\

—j

С )т вв т :

2

ре

\

0

и

и

/л.

X

9
класс

А. Н. РУРУКИН,
Н.Н. ГУСЕВА, Е.А. ШУВАЕВА

СБОРНИ К ЗАДАЧ
ПО АЛГЕБРЕ
9 класс

МОСКВА • «ВАКО» • 2016

Ф

УДК 373.5
ББК 22.14
Р87

Издание допущено к использованию в образовательном процессе
на основании приказа Министерства образования и науки РФ
от 14.12.2009 № 729 (в ред. от 13.01.2011).

Р87

Рурукин А.Н., Гусева Н.Н., Шуваева Е.А.
Сборник задач по алгебре. 9 класс. - М.: ВАКО, 2016. - 80 с.
ISBN 978-5-408-02745-3
Пособие составлено в соответствии с требованиями Федерального государствен­
ного образовательного стандарта и программы по математике для 9 класса общеобра­
зовательной школы. В сборнике приведены задачи трех уровней сложности - от эле­
ментарных и базовых до задач повышенной сложности, конкурсных и олимпиадных.
Ко всем задачам приведены ответы, к наиболее сложным задачам даны и методиче­
ские указания.
Пособие предназначено для учащихся и преподавателей общеобразовательных
школ, подходит для классной и домашней работы, проведения самостоятельных,
контрольных и зачетных работ, подготовки к олимпиадам.
УДК 373.5
ББК 22.14

Учебное издание

Рурукин Александр Николаевич
Гусева Наталья Николаевна
Шуваева Елена Акимовна

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ

9 класс
Налоговая льгота - Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93-953000.
Издательство «ВАКО»
Подписано в печать 29.03.2016. Формат 70x100/16.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Уел. печ. листов 6,48. Тираж 5000 экз. Заказ № 8 055/16.
Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами
в ООО «ИПК Парето-Принт».
170546, Тверская область, Промышленная зона Боровлево-1,
комплекс № ЗА, www.pareto-print.ru
ISBN 978-5-408-02745-3

© ООО «ВАКО», 2016

Предисловие

Пособие составлено в соответствии с требованиями Федерального
государственного образовательного стандарта и программы по алгебре
для 9 класса общеобразовательной школы. В сборник включены зада­
чи по всем разделам алгебры, изучаемым в 9 классе средней школы.
Содержит более 500 задач трех уровней сложности. В уровень А вклю­
чены простые задачи, предназначенные для отработки элементарных
навыков решения задач. В уровне В представлены базовые задачи, со­
ответствующие обязательному уровню программы. В уровень С входят
задачи повышенной сложности, олимпиадные и конкурсные задачи.
Как правило, представлены парные задачи, позволяющие отраба­
тывать пройденный материал в школе и закреплять его дома. В конце
пособия приведены ответы, к наиболее сложным задачам даны и ме­
тодические указания.
Все задачи данного сборника сгруппированы по темам:
I. Квадратичная функция.
1. Функции и их свойства.
2. Квадратный трехчлен.
3. Квадратичная функция и ее график.
4. Степенная функция. Корень п-й степени.
II. Уравнения и неравенства с одной переменной.
5. Уравнения с одной переменной.
6. Неравенства с одной переменной.
III. Уравнения и неравенства с двумя переменными.
7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
8. Неравенства с двумя переменными и их системы.
IV. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
9. Арифметическая прогрессия.
10. Геометрическая прогрессия.
V. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.
11. Элементы комбинаторики.
12. Начальные сведения из теории вероятностей.
Задачник предназначен для учеников и учителей общеобразова­
тельных и профильных школ. Наличие в пособии задач разного уров­
ня сложности позволяет использовать его для классной и домашней
работы, проведения самостоятельных, контрольных и зачетных работ,
подготовки к олимпиадам и ОГЭ. Сборник задач апробирован в обще­
образовательных классах и в классах с углубленным изучением мате­
матики.

3

I. КВАДРАТИЧНАЯ Ф УНКЦИЯ
1. Функции и их свойства
Уровень А

1. Найдите /(-1 ), /(0) и /(2), если:
а) f ix ) = 2х + 3;
б) f{x) = 2 - З х ;

г) fix) = х2 + Зле;
д) f(x) =

в) f i x ) = х2 - 4;

;

е) fix ) =

з

2. а) Даны функции fix ) = --- 4х и Щх) = 2 х - 5. Сравните:

х

1) /(1) и Л(1);

2)

и Л(4);

3) /(-2 ) и Л(1).

б) Даны функции yix) = 2х - ^ иsix) = 4х - 3. Сравните:
1) yi-1) и г(0);

2) г/(2) и

3) р(3) и г(2).

3. а) Найдите значение х> при котором функция, заданная формулой
f(x) = 5 - Зх9 принимает значение:
1 )2 ;
2) -1;
3 )8 .
б) Найдите значение х , при котором функция, заданная формулой
f(x) = ^ х + 3, принимает значение:
3) 0.
2) 3 ;
4. Определите, существует ли значение х, при котором значение функ­
ции равно 2; 1; 0.
1) - 1;

а)г]2 - Зх.
б) Из множества чисел {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} выпишите числа:
1) входящие в область определения функции f(x) = у/Зх + 4;
2) не входящие в область определения функции g(x) = у/-4х - 3.
7. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у = 2х - 4;
4

б) у = 6 - 2х;

г)у = -

3
х'

8. Найдите область определения функции:

в) у = 2х2 + Зх - 1;

2х±г.
Д)У = 2 - х ’
7* + 10 .
е) у =
х+1 ’
ж) у = V * -1 1 ;

г) у = - х 2 + 7х + 2;

з) у = л/10 -

а) у = Зх - 6;
б) у = 1 - 2х;

9. а) Найдите область определения и множество значений функции
у = f{x), график которой изображен на рисунке 1. Чему равно /(1);
/(2); /(4)?
б) Найдите область определения и множество значений функции
У = g(x), график которой изображен на рисунке 2. Чему равно g (l);
g{2); £(4)?

10. Не выполняя построения, найдите точки пересечения графика
функции с осями координат:
&)f(x) = ^ x - 3 ;

в

=

б) fix) = Зх + 15;

Г) / ( * ) = J l i d L .

11. а) Постройте график функции f(x) = 2х - 4 на отрезке [-2; 3]. Поль­
зуясь графиком, найдите:
1) множество значений функции;
2) нули функции;
3) промежутки, в которых функция принимает отрицательные зна­
чения:
4) промежутки, в которых функция принимает положительные
значения;
5) наибольшее и наименьшее значения функции;
6) промежуток возрастания функции.
б) Постройте график функции g(x) = 6 - Зх на отрезке [-1; 3]. Поль­
зуясь графиком, найдите:
1) множество значений функции;
2) нули функции;

5

3) промежутки, в которых функция принимает отрицательные зна­
чения;
4) промежутки, в которых функция принимает положительные
значения;
5) наибольшее и наименьшее значения функции;
6) промежуток убывания функции.
12. а) На рисунке 3 изображен график функции у = f(x) на отрезке
[-5; 5].
Пользуясь графиком, найдите:
1) область определения функции;
2) множество значений функции;
3) наименьшее и наибольшее значения функции;
4) нули функции;
5) промежутки, в которых функция принимает положительные
значения;
6) промежутки, в которых функция принимает отрицательные зна­
чения;
7) промежутки, на которых функция возрастает;
8) промежутки, на которых функция убывает.
б) На рисунке 4 изображен график функции у = h(x) на отрезке
[-1; 4].
Пользуясь графиком, найдите:
1) область определения функции;
2) множество значений функции;
3) наименьшее и наибольшее значения функции;
4) нули функции;
5) промежутки, в которых функция принимает положительные
значения;
6) промежутки, в которых функция принимает отрицательные зна­
чения;
7) промежутки, на которых функция возрастает;
8) промежутки, на которых функция убывает.

6

Рис. 3

Рис. 4

13. а) Из следующего набора функций: у = 2 х - 3 ; у = 3 - 7х; у = —х + 3;
у = 3; у = -10х + 1; у = 0,01л: + 1 выпишите:
1) возрастающие функции;
2) убывающие функции.
б) Из следующего набора функций: у = 5х + 8; у = -2 ; у = 10 - Зх;
у = 0,001л: + 2; у = -1 0 0 л: - 3; у = - х + 1 выпишите:
1) возрастающие функции;
2) убывающие функции.
14. Установите соответствие между функциями и множествами, яв­
ляющимися их областями определения.
a) A )f(x ) = S - 2 x
Б) g(x) = s}2x^2
В) h(x) = ~ J-2 x -2
2 ) (-° о ; +оо)

б)

A) f(x) = 4х - 10

Б) g(x) = siАх +10

В) h(x) = V10 - Ах

2)

3)

+ 00)

-н»)

15. Найдите нули функции (если они существуют):
а ) 1/ = | * - 1 0 ;
г) у = (х - 1)(х - 5);
б) у = -0 ,4 л: + 8;
в) I/ = л:(л: + 2);
16. Опишите свойства функций:
а) у{х) = -0,5л: + 3;
б) у(х) = 0,2л; - 4;
в) у(л:) = ^ ;

д) у = -15;
е) у = 12.
г)у(л:) = - ^ ;
д) у(х) = у /х -1 ;
е) у(х) = sjx + 2.

17. Задайте формулой какую-нибудь функцию, нулями которой явля­
ются числа:
а ) -5;
6 )4 ;
в ) -3; 2;
г ) - 1 ;4 .
18. Задайте формулой какую-нибудь функцию, областью определения
которой является:
а) множество всех чисел;
б) множество всех чисел, кроме -1;
в) множество всех чисел, кроме 3;
г) множество [ 2 ; + о о ) ;
д) множество (- °°; -3].
19. Найдите все значения х , при которых функция f(x):
а) fix) = 2л: - 7;
в) / ( * ) = £ ;
б) fix) = Ьх + 9;

r)f(x) =

1) принимает отрицательные значения;
2) принимает положительные значения.

7

20. а) Дана функция f i x ) = -З а: + 1, где -2 < х < 3. Найдите область
значений функции.
б) Дана функция fix) - 2х - 3, где -3 < х < 2. Найдите область зна­
чений функции.
21. а) Дана функция у - 4х - 3. Найдите зависимость переменной х
от величины у.
б) Дана функция у = -З х + 2. Найдите зависимость переменной х
от величины у.
22. Высота подъема h (м) тела, брошенного вертикально вверх
с начальной скоростью v0 (м/с), вычисляется по формуле h =

V2

(g - 10 м /с2). Определите, при какой скорости v0 высота подъема h
равна:
а) 20 м;
б) 80 м.
Уровень

В

23. Найдите Д1) - /(-2 ), если:
а) fix) = Зх - х 2
х+1 ’
б) f(x) = 2а: + х2 .
а: + 3

’

24. Найдите область
определения функции:
эб
1
.
a) f(x) = 1 +
г) f(x) = 5 +
4-1’
2 *-»’
X
х
л/а: - 5
б) f ( x ) - 2 +
Д) f(x) =
а:2 - 14х + 48
5-2’
х
е) f(x) = л /1 — JC
в) f(x) = 4 +
х-±'
* 2 + 5х + 6
X
25. Найдите нули функций (если они есть):
a)fW =3(" / 5>(7 4>;
в) f(x) = х2 - 2х + 1 .
х -1 6
х2 - 4х + 3 ’
s,

ч

б) f ( x ) =

За:2(1 - х)
Y ;
2а: - 4а:

- 4х + 4
г) f(x) = х2
х-х-2

26. Укажите промежутки возрастания и убывания для следующих
функций:
а) f(x) = 4х - 3 .
в) fix) = 2\х\ - 1;
а:

-1

’

2х + 3.
г) /( * ) = 3 - 2|х|.
х+1 9
27. Найдите множество значений функции:
б) fix) =

8

a) fix) =

6х-2

-3 ;

б) fix) =

2х-Ь

+ 2;

в)/(*) = 3 -

г )/(*) = ! -

X

д) /(л:) = л / 4 - * 2;

X .

е) /(дс) = V 9 - дс2.

г-х'
5 - jc’

28. Найдите наибольшее значение функции:
а) /Ч*) = 5 - |дг - 1|;
в) Ддс) = б - %/дг - 4;
б) /Ч*) = 4 - |* + 3|;
г) / ( * ) = 3 - Vx + 1.
29. Найдите наименьшее значение функции:
а) f(x) = \х-2\ -3 ;
в) f{x) = 3 7 * ^ Т + 5;
б) fix) = 2|х + 1| + 4;
г) fix ) = НК/* + 2 + 15.
30. Найдите значение х , при которых функция:
а) fix) = \х - 1| - 2;
в) /(*) = л/л:—1 - 1;
б) /Ч*) = —|дс + 1| + 3;
г) fix ) = 2 - -Jx T l
1) принимает положительные значения;
2) принимает отрицательные значения.
31. Найдите области определения и значений функции:
а) у = yj2x- 4 + 3;
б) у = y/6- З х - 4.
32. а) Дана функция /(х) = х 2 + 3, где -2 < х < 3. Найдите область зна­
чений функции.
б) Дана функция f(x) = 1 - х2, где -3 < х < 2. Найдите область зна­
чений функции.
33. а) Дана функция у = JC + 3 Найдите зависимость переменной jc
1 — JC *

от величины у .
б) Дана функция у

3 - х

Найдите зависимость jc от величины у .
* +Г
34. а) Поезд сначала ехал 2 ч со скоростью 50 км/ч, а затем еще 3 ч
со скоростью 70 км/ч. Задайте зависимость пройденного пути S (км)
от времени движения t (ч) (где 0 < t < 5).
б) Поезд сначала ехал 3 ч со скоростью 50 км/ч, а затем еще 2 ч
со скоростью 70 км/ч. Задайте зависимость пройденного пути S (км)
от времени движения t (ч) (где 0 < t < 5).
35. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат
и прямой:
а) у = Зх - 6;
б) у = 4 - 2х.
36. Найдите площадь треугольника, ограниченного осью абсцисс
и графиком функции:
а) у = 4 - |*|;
б) у = |*| - 2.
37. Найдите /(/(*)), если:
а) / ( * ) = х + 2;
б) fix) = 3 - х ;

в) /( * ) = 3 - 2х;
г) /( * ) = Зх - 2.

38. Найдите fix), если:
а) fix + 3) = 2х - 1;
б) f i 2 - x ) = 2 - Зх;

в) / ( 2х - 1) = 3 * + 2;
г) /(2 - 3*) = 4 - 5х.

9

39. Постройте график функции:
а ) » - 31 + 2*;

II

-> » -

1
и

W

в ) » » * * " 2* ';

л )» -

* ; _ 4*

4;

* - 8 ,;
Зх-х
Н )у . ? + 2 ;
* *2 + 2 х

д) у = 2х + |х| + 1;
е) у = - 2 х + |*| - 1;

н1 у - дг2_6х + 9 Н,У
|х - 3| ’

Ж) у - * 2 - 9 .
,г/ я + З *

„ч ..
0>

4 х - х 2- 4
|* - Л
■

Уровень С
чтт

-

/ (-6 ) + / (-1 )

40. а) Найдите значение выражения ——

если

если х < -2,
X
/(* ) = 5х - 7, если -2 < х < О,
7 - х 2, если х > 0;
~
g(-2) + g(0)
б) найдите значение выражения ■■■■-; :—тг^у если
0,6
- х 2 - 1, если х < -1,
8(*) =

, если -1 < х < 3,
х г +1
2х - 6,4, если х > 3;

в) найдите значение h(a - 1) при а е (-1; 1), если h(x) = х + |jc|;
W.
г) найдите значение s(a2 - 4а 4- 3) при а g (1; 3), если s(x) = —
х
41. Найдите количество целых чисел, входящих в область определе­
ния функции:
II —|х —3| _
a) f(x) = ^/5 —13 —л:|;
в) f ( x) = |лг + 2 ) - 2 ;
б) f(x) = ^/2 —15 —лс|;

10

г) f ( x) =

Ъ - \ х - 5|

|лс + 1| - 3 ’

42. Найдите множество значений функции:
"2 + 2я - 2.
х2 + х - 5
а) у =
б) у =
x +S
х-2 '

43. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = 'Jx2 -6 л ;+ 9 - yjx2 + 4х + 4 на отрезке [-3; 4];
б) найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = \l4x2 -4 х + 1 + 2J x 2 + Юл + 25 на отрезке [-6; 1].
44. Постройте график функции:

4 - х 2-+ Зх-1;
х+2
У+ х-1
= 3;
ж)
х+2
. 2у - х - 2 ,
з) -------- = 1;
у+х

а) у = х + \х - 2|;

е )р =

б) у = 2х - |дг - 3|;
в ) у = к - 1 | + 1* + 21;
г ) у = |*-1|-|ж + 2|;

и) у = \1х2 - 2х + 1 + 2х;

д) У = - 3 3 ^ + 2Х + 1;

к) у = Зх - J x 2 + 4х + 4.

45. Найдите функцию у(х), если известно значение:
а) у(6 - х) = 5 + х;
г) у (6 -х ) = 2 -\х + 3|;
ч /в
ч 3|дс - 1| + 2
б)у(6-*) = | ^ | ;
д ) у(6 ~ ж) = ^
•
в) У(6 - х) = 2х2 - Здс + 4;
46. Найдите функцию у(х), если известно значение:
а) у(2х - 4) = 3 - 2х;
г) у(2х - 4) = 4х - 2\х + 1|;
2|х + 1| + 3
д) у(2х - 4) =
б) у(2х - 4) = 2 х - 1 .
4л:+ 2*
4М-8 •
в) у(2х - 4) = 4л:2 + 2х - 7;
47. Найдите функцию у(х), если выполнено равенство:
а) 2у(х) + 3у(-х) = 4х2 - 1 х + 5;
б) 3у{х) - 2у(-х) = -х2 + 8д: + 3;
в) 2у(х - 3) - 5у(3 - х) = х2 - Зх + 1;
г) у(х - 5) - 2у(5 - х) = -х2 + 2х - 1;
д) 2у(х) - Зу(^) = 5х2 -

;

е) У(х) + 2у(^) = -х + ^ +1.
48. Найдите f(f(x)), если:
а) f(x) = -Зх + 5;

г) f(x) =

б) f(x) = 2х - 1;

д)f{x) = x2 + x;

®) f(x) = f r y ;

е) f(x) = 3 х - х2.

49. Найдите yl = f(h(x)) и у2 = h(f(x)), если:
а) f(x) = Зх - 2, h(x) = 1 - 2х;
г) f(x) = х - х2, h(x) = х2 + 2х;
б) f(x ) = 2х + 1, h(x) = 2 - Зх;

д) f(x) =

Их) = х2 + х;

в) f(x) = х2 + х, h(x) = 2 х - х2;

е) f(x) = 2х - х2, h(x) =

11

50. Постройте график функции g(x) = /(|х|) и опишите свойства функ­
ции у = g(x), если:
1 - х , если х е [0; 3],
а) f(x ) = • х - 5, если х е (3; 4],
2х - 9, если х е (4; +«>);
х +1, если х € [0; 2],
б) f(x )

• -2 х + 7, если х е (2; 5),
х - 8, если х е [5; +

2 - 2Ту - л/*У + !/Vx

л /^ -2
x>/x - 27
Зл/х ' j . f 1
Д)
x -9
л/х + 3 j ' 1
X\fx - 64
x -1 6

2n+ i.t- 2n_1
10 .2"

‘

8 + 4л/х + 2ул/х + ху
Л +2
1

г)

е)

з)

5n+1 - б -V
2 • 5n

4л/х ^ . f 1
л/х + 4 J ’

{

л/^ + 1
6

\

8

1

Л -з>
Л -4 >

л/х - 18-v/x - 81 - л/х + 18л/х - 81 при х > 165;
/х - 22л/х - 21 - л/х + 22л/х -121 при х > 244.
169. Определите, сколько корней в зависимости от значений параме­
тра а имеет уравнение:
а) х 10 = а - 3;
в) х8 = а 2 - 6с + 5;
б) jc20 = а + 4;
г) х 16 = а? + 7а - 8.
170. Решите уравнение при всех значениях параметра а:
а) (а - 1)у/х = 0;
г) ^(о - 1)х = 0;
б) а%/х - 1 = 0;
в) ^ а (х - 1 ) = 0;

д) (а + 2)л/х = а + 2;
е) а$ 1 х -1 = а.

171. Найдите корни уравнения при всех значениях параметра а:
а) х10 = 49 - о2;
в) ахй = 6;
б) х4 = а 2 + За;
г) (а - 3)х10 = 8.

27

II. УРАВНЕНИ Я И Н ЕР А В ЕН С ТВ А
С ОДНОЙ П ЕРЕМ ЕН Н О Й
5. Уравнения с одной переменной
Уровень А

172. Определите степень уравнения:
а) Зх4 - 6х7 + 2 = 0;
б) -ж + ж4 - 2л;5 + 3 = 0;
в ) 6 х 4 - 2 л:3 - 1 = 0 ;

г) 2 х \х - I)2 2х(х3 + 3) = 0;
д) (Зх - 2) - 27х(х + 2) = 0;
е) (х + 2)5 - (х + I)5 + х3 = 0.

173. Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) ж8 + х 6 + 7 = 0;
б) ж10 + х4 + Зх2 + 5 = 0.
174. Докажите, что уравнение не может иметь отрицательные корни:
а) ж9 + 2х5 + 3х7 + х = 235;
б) И х 7 + Зх5 + 17х = 178.
175. Решите линейные уравнения:
а) (2х - 3)(4х + 1) - 2(2ж - 5)2 = 72;
б) Зх(х - 7) - 3(ж - 4)2 + 12 = 27;
в) 4ж - 1 + 2 - Зж _ g _ 1 - 2ж.

5
10
5
2х + 7 4 - 5ж = 1 + 3 - ж
г)
3
6
2
176. Решите квадратные уравнения:
а) (Зж - 5)(2ж + 7) = 0;
б) (Зж - 5)(2ж + 7) = 1;
в) (Зж - 5)(2ж + 7) = 2ж + 7;

г) (4ж + 3)(2ж - 5) = 0;
д) (4ж + 3)(2х - 5) = 1;
е) (4ж + 3)(2х - 5) = 4х + 3.

177. Решите квадратные уравнения, используя обратную теорему Виета.
д) ж2 + 7ж + 12 = 0;
а) 2х + Зх - 5 = 0;
е) ж2 + 14ж + 33 = 0;
б) ж2 + ж - 6 = 0;
в) ж2 + Зж - 10 = 0;
ж) Зж2 - 7х - 10 = 0;
з) Зж2 - 11х - 14 = 0.
г) 2ж2 + 7х - 9 = 0;
178. Найдите корни уравнения:
а) 2у3 - 14у2 = 0;
б) у4 - 16у2 = 0;
в) 3у7 - 27у5 = 0;

г) 16р6 - у4 - 0;
д) Зуъ - 8у4 - 11у3 = 0;
е) у6 - у ь - 30у* = 0.

179. Определите, в какой системе счисления:
а) число 74 запишется как 134;
б) число 71 запишется как 153;
в) число 73 запишется как 243.

28

180. Решите биквадратные уравнения:
г) ж4 + 2х2 - 63 = 0;
а) ж4 - 6х2 + 8 = 0;
д) ж4 - 8х2 + 1 5 = 0;
б) ж4 - 25х2 + 144 = 0;
в) ж4 - 4х2 - 32 = 0;
е) 2х4 - 11х2 + 5 = 0.

181. Найдите абсциссы точек пересечения с осью Ох графика функции:
в) у = ле4 - Зле3 - 18ле2;
а ) у = х3 - 6х2 - 7х;
г) у = х4 - 13лс2 + 36.
б) у = х4 - 10х2 + 9;
182. Решите уравнение:
а) (2х + 5)3 = (Зле - 7)3;
б) (2х + 5)4 = (Зле - 7)4;

в) (3 * + 2)5 = (5 - 4х)5;
г) (Зх + 2)2 = (5 - 4л:)2.

183. Найдите меньший корень уравнения:
г) (Зх - 5)4 = (Зх - 5)2;

а
9

д
Д)—
)17 х4 = 4 —
17 л:2*’

9’

е ) | х 4 = 5 ± х 2.
7
7
184. Решите уравнение, используя разложение на множители:
а ) лс4 - 4ле2 - 3(ле2 - 2лс) = 0 ;
б) л;4 - 9л;2 - 10(х2 + Зл;) = 0;
в) (2л; + I)4 - 12л:2 - 12л; - 3 = 0;
г) (2л; + З)4 - 20л;2 - 60л: - 45 = 0.
в) (2л: + З)4 = (2л; + З)2;

185. Решите уравнение, используя замену переменной:
а) (лс2 + 2ле)2 - 10(лс2 + 2лс) + 21 = 0;
б) (х2 - Зх)2 - 2(х2 - З х ) - 8 = 0;

в) (2л;2 + 5л;)2 - 5(2х2 + 5л:) - 14 = 0;
г) (Зл;2 + 2л;)2 - 4(3х2 + 2л;) - 5 = 0.
186. Найдите координаты общих точек графиков функций:
а) f{x) = лс3 - 2х и g(x) = 4лс - ле2;
б) fix) = ле3 + 2ле и giле) = Зле2 + бле;
в) f ix ) = - * 3 - лс2 и gi лс) = Зле2 + 4лс;
г) fix) = -2лс3 - 9ле2 и gi ле) = 2ле3 + Зле2 + 9х.
187. Определите, при каких значениях ле равно нулю значение дроби:
. (лс +1)
Зле3 - 12ле .
‘ " 8 - 4ле - 4
а)
В*
Зле2
+ Юле + 3 ’
2х2 - Зле - 1 4 ’
. (лс + 2)4 - 9лс2 - Збле - 36
4л;5 -36л;3 .
б) 2
5л;2 + 18л: - 3 5
ле -Илс + 24
188. Найдите больший корень уравнения:
2дс-3 _ 2 х - 3 .
ле + 5
ле + 5
в) Зх + 8 4 х - 1 ’
а) З х - 2 2х + 7 ’
fi4 х —3 _ лс-3 .
Зх-2 _ Зх-2
; 4х-5
Зх + 2 ’
5х + 11 6х + 4"
189. Решите уравнение:
х+3
а) 2х - 7 = 4;
б)

2х-5
х+4

— 3;

3 \

} 2х + 5
х- 7

= 4-

г) Зх +11

’

=

2;

Д) Зх + 5 = 3;

2х +

2
3’

29

190. Найдите корни уравнения:
ч Зле2 - 11л: + 8 I _ 2
’
Зх-5
5 -3 *’
б) 2ле2 - 1х + 5 _ 1 =
1 .
2х-3
‘ 3-2х’

в ) _ 2 ____ 3__ 1 =0.
’ х + 1 5-х 4
’
г ) 2 + л: + 1

191. Найдите координаты общих точек графиков функций:
а) f(x) = ~ (Хх
+ 4 и g(x) = х б) f(x) = 2(* ~ ^ - 2л: и g(x) =
X
X
192. Определите, при каких значениях х:
ЛГ

б

JC _

6

^

а) сумма дробей - ---- и ------ равна дроби
6-лг х + 6
3 6 -л :2’
4
б) разность дробей ——\ и х + \ равна дроби
х + 4 “ х - 4 * ----- ^ ” ““ 1 6 -л:2 '
193. Докажите, что графики функций не имеют общих точек:
а) fix ) = -гЦ - + ТГТТ и ё(х) =
----- *
х - 3 л; +1
л: - 2л: - 3
2
X
1
б) fix) = ------ Г ---------- Г И g ( x ) = —* -----лс - 1
лг + 1 sv ' х 2 - 1
194. Решите уравнение, используя замену переменной:
^2

1

а) ^ 4 + 6 ^ — 7 - 5 = 0;
д; - 1
ле2 +1

/_

. о \2

6>5(f^f)-3(f^i)-2=0-

Уровень В
195. Решите уравнение:
а) |ле| + 3 = 5лс - 1;

г) \х + 1| = --ле;

б) \х\ - 2 = 2х + 1;

д) |ле - 2| + ле = 2;

в) \х - 1| = |ле;

е) \х + 3| - х = 3.

196. При всех значениях параметра а решите уравнение:
а) (а - 1)х - а - 1
д) х - (а + 3)х + За = 0
б) (а + 2)х = а 2 - 4
е) х2 - (а - 2)х - 2а = 0
в) (а2 - 9)х = а + 3;
ж) х2 - 2ах + а 2 - 1 = 0
г) (16 - а 2)х = а + 4;
з) х2 - 4ах + 4 а2 - 9 = 0.
197. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ре­
шения уравнения (х - 6а)2 + (х - 2d)2 = 128 симметричны относительно
точки х = 12.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ре­
шения уравнения (х - 2а)2 + (х - 4а)2 = 242 симметричны относительно
точки х = -3.

30

198. а) Определите все значения параметра а, при которых отношение
дискриминанта уравнения ах2 - Зх + 1 = 0 к квадрату разности его
корней равно 8а - 7.

б) Определите все значения параметра а, при которых отношение
дискриминанта уравнения ах 2 + Зх + 5 = 0 к квадрату разности его
корней равно 5а + 6.
199. Решите уравнение, используя введение новой переменной:
а) (х + З)4 - 13(х2 + 6х + 7) + 10 = 0;
б) (2х - I)4 - 4х2 + 4х - 13 = 0;
в) (х2 - 2 х + I)2 - х 2 + 2х - 73 = 0;
г) (х2 + 4х + 4)2 + 2х2 + 8 * - 16 = 0.
200. Решите уравнение, используя разложение на множители:
а) х3 + 2х2 + х + 2 = 0;
в) х3 + 2х2 - Зх - 10 = 0;
б) х3 - 7х + 6 = 0;
г) Зх3 - 5х2 - х - 2 = 0.
201. Найдите корни уравнения:
а) 2х5 + х4 - 6х3 - Зх2 + 8х + 4 = 0;
б) Зх5 + 2х4 - 24х3 - 16х2 + 27х + 18 = 0.
202. Найдите абсциссы точек пересечения с осью Ох графика функ­
ции:
а) fix) = х 3 + х2 - 4х - 4;
б) fix) = 2х3 + 7х2 + 7х + 2;
в) f(x) = х 2(х - 8)2 - 2(х2 - 8х) - 63;
г) f(x) = х2(х - 5)2 - 20(х2 - 5х) + 84.
203. Найдите все значения х, при которых:
__ о«
х2 _Зх
а) произведение выражений--- ---- + 3 и ---- ------ 4 равно -10;
Li

Li

б) произведение выражений 2х2 + х - 1 и 2х2 + х - 4 равно -2 ;
в) произведение выражений х2 + 7х - 1 и 2х2 + 14х + 1 равно -1 ;
г) произведение выражений 4х2 + 10х - 7 и 8х2 + 20х - 11 равно -1 .
204. Решите уравнение:
1
8х + 6.
а) 1 +
6х + 5 ’
3+
х+

в)

2х + 1 .
6х + 5 ’

г)

6)1 +

3+

х+1
Х 2
205. Найдите корни уравнения:
х2 - 2 .
X_______ X__________________
а)
х + 1 х + 2 х 2 + Зх + 2 ’
б)

х 2 +1
х —1

Зх + 2
х+5

Зх + 9
х 2 + 4х - 5 ’

в)
г)

1+

1-

45
х2 - 36

1-

х2- 4

х

1+2
X

2 - х 2

(2 -х )2

2

8 -2 х (4 -х )’

3

2 7 -З х (6 -х )'

3 - х 2

(3 -х )2

206. Решите уравнение, используя введение новой переменной:
1
1
9
■+ ■
а)
х 2 - 2х + 2 х 2 - 2х + 3 2(х2 - 2х + 4) ’
1
j
2
6
б)
х2 - Зх + 3 х 2 - Зх + 4 х 2 - Зх + 5

31

207. Решите уравнение, используя введение новой переменной
*

х
й ) 7 (Х + х ) = 9 + 2{ х 2 + ~ ? }

в )* 2 + ^ - - 5 ( * + ±) + 6 = 0;

б) *2 + Дц- - 2^х +

r)jc2 + ^ - - 2 ( x + i ) - l = 0.

- 1 3 = 0;

208. Найдите все значения х, при которых:
_S
_
1
_у _
Зх
а) сумма дробей------------ и
равна -4 ;
* +*- 5
б) разность дробей
^ и Л бх + 3 Л равна
2jc2 + 5* + 2
2
в) разность дробей х -~ и х \ равна разности дробей —— % и х ®■
х +2 * + 3
х +5 х +б
г) разность дробей —Д--- — и ~~~2— Х + ^ равна 1.
х -х-2
х - х +1
209. Решите уравнение:
8
2=6;
а)
= - х;
в)
\х + 2|
х - 2х\ ( х 2 - 2 х )
б)

9
= -х;
\х + 81

г)
( х 2 +2 х )

1
= 3.
\х2 + 2х\

210. При всех значениях параметра а решите уравнение:
а +1
2а = 0 ;
в)
х-а
а +2
а -1
2а
б)
= 2а +1;
= 0.
г)
дг + 1
л: + а а + 2
Уровень С
211. Решите уравнение:
а) \5х - 24| = х 2 + 2х + 6;
б) |3jc - 19| = х 2 - х + 4;
в) |5л;2 - 7х + 3| = 2х - 1;
г) |8дс2 - Юле + 3| = 2 - х;
д) 4|5* + 8| - 25х2 = 80* + 64;
е) 2|4* + 9| - 16*2 = 72* + 81;
ж) |*2 - 8*| = *2 - 8* + 24;

з) |*2 + 10*| = *2 + 10* + 18;
и) 2|* - 3| + |* + 1| = 8;
к) 3 |* - 1 | + 2|х + 3| = 15;
л) |*2 + 5* - 14| = -5 * - х 2 + 14;
м) |*2 - 2* - 15| = 2* - *2 + 15;
н) |*2 - 4| + |*2 - 9| = 2*2 - 13;
о) |*2 - 1| + |*2 - 1б| = 2*2 - 17.

212. При всех значениях параметра а решите уравнение:
а) *2 - (За + 2)* + 2а2 + 7а - 15 = 0;
б) *2 + (а + 2)* - 2а2 + 7а - 3 = 0;
в) *2 - (14а - 9)* + 49а2 - 63а + 20 = 0;
г) *2 - (14а - 3)* + 49а2 - 21а + 2 = 0.

32

213. Найдите все значения параметра а, при которых больший корень
уравнения:
а) *2 - (20а - 3)* + 100а2 - 30а = 0 в 6 раз больше его меньшего корня;
б) х 2 - (8а - 7)* + 16а2 - 28а = 0 в 10 раз больше его меньшего корня.

214. Для каждого значения параметра а найдите число решений урав­
нения:
а) 9 (3 * - 1)а2 - (21* - 19)а + 2 (* - 1) = 0;
б) 2(4* - 1)а2 - (14* - 11)а + 5 (* - 1) = 0.
215. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение:
а) |4лг + 9а + 5| = |10jc + 8а - 3| имеет два различных корня, равно­
удаленных от точки х = 5;
б) |10jc -I- 7а - 5| = \3х + 2а - 1| имеет два различных корня, равно­
удаленных от точки х = —7.
216. Решите уравнение:
а) ( * - 2)3 + ( * - 4)3 = 2 (* - З)3;
б) ( * - З)3 + ( * - 5)3 = 2 (* - 4)3;

в) ( * + З)4 + ( * + 5)4 = 16;
г) ( * + 2)4 + * 4 = 82.

217. Найдите корни уравнения:
а) ( * 2 - 4 * - 12)2 + ( * 2 + 4 * - 12)2 = 2 (*2 - 4 )(*2 - 36);
б) ( * 2 - 2 * - 15)2 + ( * 2 + 2 * - 15)2 = 2 (*2 - 9 )(*2 - 25);
в) ( * 2 - 7 * + 13)2 - ( * - 3)(* - 4) = 1;
г) ( * 2 - 5 * + 7)2 - ( * - 3)(* - 2) = 1;
д) ( * - 2)(* - 1)(* + 2)(* + 3) = 60;
е) * ( * + 1)(* + 2)(* + 3) = 120;
ж) 2 * 4 - * 2( * + 2) - ( * + 2)2 = 0;
з) З *4 + 2 * 2( * - 2) - ( * - 2)2 = 0.
218. Докажите, что уравнение:
а) ( * 2 + 2 * + 2 )(*2 - 4 * + 5) = 1 не имеет корней;
б) (2 *2 - 4 * + 3)(*2 - 2 * + 2) = 1 имеет единственный корень * = 1.
219. Дана функция /(*). Решите уравнение:
а) /(/(*)) = 76, если / ( * ) = 5 * 2 - * ;
б) /(/(*)) = 33, если / ( * ) = 4 * 2 - * ;
в) f(f(x 2)) = - 1 4 *, если / ( * ) = 3 * - 2;
г) / ( / ( * 2)) = - 9 * , если / ( * ) = 2 * - 3;
д) /( /( * ) + 1) = 63, если / ( * ) = З *2 + 4 * - 1;
е) /( /( * ) + 1) = 50, если / ( * ) = З *2 + 8 * - 1.
220. Решите уравнение:
я\
1 *
,
= о( * + 1)(* + 5) (* + 2 )(* + 4 )
’
1
9
б) (* + 1)(* + 3 ) + (* - 1)(* + 5) = “ 1;

ч 2 * +1
Л' * - 3
2* 1
’ * +3
ч

-

5 _ 7
* +9
____ 12_______ .
* +4 * 3 * +4
х3+ х 2 - 12* +12 ’
5
___7
* +1
11
*-4
* + 3 * - 4* 3 —* 2 —12* + 11*

33

221. Решите уравнение, используя введение новой переменной:
а) 18л;2 + \

х2

= 16 - 3* -

X

д) х4 + 5х3 + 2х2 + 5х + 1 = 0;

б) 4х2 + Дг = 2х + 6 х2
X

е) 2л:4 + Зле3 - 4л:2 - Зл: + 2 = 0;

в) х 2 + 4 г

ж ) х4 = П х г 6

X

= х +1 0 - ~ ;

х

’

6л; - 1 1 ’

г ) 7х + 2 1 _ 9 = 2х^ + 18.

з) * 5 = 133* “ 78
Г) 3 + х У
9
х2’
1 3 3 - 78л: ‘
222. Выделяя в левой части уравнения полный квадрат, найдите корни:
а) л:2 + ^ 1х\ 2 = 40;
б) л:2 + —9х „ = 7.
(9 + л;)2
(3 + л:)2
223. Найдите все значения параметра а, при которых не имеет реше­
ний уравнение:
(х - 1)(х - 2) - (а - 1)(о - 2) _
'
(л: - а){х - 3)
(лс + 1)(лс - 3) - (а + 1)(а - 3)
’
(х + 2 ) ( х - а )
224. Решите уравнение относительно переменной х при всех значени­
ях параметра а:
а ) 6 х - З а - а 2 = 1 + о;
б) 5 - х _ 2ах - 3 _ ^
ах
ах- х
ах
225. Определите, при каких значениях а Ф 0 положительны абсциссы
всех общих точек графиков функций:
а) / ( * ) =

2 7 Q и 8(х) = V '
б>f(X) = ~
х +8х
х
х2~
+Т"о
Зх И*(*) =Vх 226. Найдите все значения параметра а, при которых имеют хотя бы
один общий корень уравнения:
6 1
7
1
в) - = ^алс и ------= ±ах;
а) х + 5а^ = 5а и
х + 5а
х 6
х-а
6
о и 6а п = х;
7 = -—
3 ал- и ----8 — = - —ах.
3
б) : Зх0 = 2а
г) —
л: + 2а
л: + 2а
х
7
л: + За
7
227. Найдите все значения параметра а, при которых имеет хотя бы
одно решение уравнение:
х ‘ + 4л: + 9 = а;
х - 2 х - 1 = а.
а)
б)
л:2 + 5л: + 9
х2 - 2 х + 2
V

6. Неравенства с одной переменной
Уровень А

34

228. Решите неравенство:
а) 9л:2 + 30л: + 25 > 0;
б) 25л:2 + 30л; + 9 < 0;
в) 4л:2 - 12л: + 9 < 0;

г) 9л:2 - 12л: + 4 > 0;
д) л:2 - 9х + 14 < 0;
е) л;2 - 9л: + 18 > 0.

229. Найдите множество решений неравенства:
a) Зл2 + 8л - 11 > 0;
д) -2 л 2 + 5л 3 > 0;
б) 5л + 7л - 12 < 0;
е) -Зл + 7л - 4 < 0;
в) 4л:2 - 5л: - 9 < 0;
ж) -Зл:2 + 10л: - 3 < 0;
г) 6л:2 - 19л: - 25 > 0;
з) -2л:2 + 5л: - 2 > 0.
230. Определите, при каких значениях л:
а) трехчлен 2л:2 + 7х - 9 принимает положительные значения;
б) трехчлен -л 2 + 5л: + 24 принимает неотрицательные значения;
в) трехчлен -Зл2 + 8л: - 5 принимает отрицательные значения;
г) трехчлен л2 - 15л: + 36 принимает неположительные значения.
231. Найдите область определения функции:
a) f(x) = \Jx2 + 2л - 24;
в) f(x) =
slbx2 + 7 л -1 2 *
Зл + 2
■715л - 4л2 - 1 4 ’
232. Найдите наименьшее целое решение неравенства:
а) л2 + 4л + 2 < 0;
в) 4л - л2 - 1 > 0;
г) Юл - х - 18 > 0.
б) л - 6л + 4 < 0;
б) f(x) = yj-2x2 + 9л -1 0 ;

г) f(x) =

233. Решите неравенство, используя метод интервалов:
а) (л - 5)(л + 3)(л - 7) > 0;
в) (3 - л)(л + 5)(2л - 7) > 0;
б) (2л - 3)(л + 4)(л - 8) < 0;
г) (4 - л)(л + 9)(3л - 2) < 0.
234. Решите неравенство:
а) л(3л - 8)(л + 2) > 0;
б) (4 - л)(2л + 7)(11 - л) < 0;

в) л(2л + 7)(л - 9) > 0;
г) (2 - л)(5л + 12)(7 - л) < 0.

235. Решите рациональное неравенство, используя метод интервалов:
„ч -Зл - 2 ^ п.
2л ° ;
3.) .
i ^ U)
в)
М л + 17
Зл +14
7 - л >0;
£Z\ 5л 11 —п.
г)
-л - 5
236. Найдите множество решений неравенства:
а)

л+5

)^

6 4

0;
237. Решите неравенство:

г)

4л - 1 0

(л - 1)(л2 + 5)

«>ТгтЫг0!
(л + 2)(л2 + 7)
_____ L < л

’ (jc-8)(2 x + 3)

г) &4
л-2
> 2;
4-х
в \ 5х - 7
В) 2 л - 8 > 4

б)

>0;

> 3;

1.
е)
4 - Зл - л2

Д)

35

238. Определите, при каких значениях х имеет смысл выражение:
J ( x - 2)(3х + 1 8 ).
л/х2 + 4х + 4
а)
г)
х2 - 9
1 > 5х 1
} Зх + З
3 -х ’
х- 3
2-х ’
(х + 1 ) (х - 3 )
> 2х + 3 .
ч 7 х - 5 < 2 < Зх
; Зх + 1 ~ “ х + 3 '
’
х+5
1-х’
244. Решите систему неравенств:
[ ( х - 2 ) ( х + 3)
> О,
2х- 7
а)
х 2 - Зх - 1 0 < 0;

х +1
в)

х- 5

> - 2,

(х - 2)х
0,
2
х 2 + х - 6 > 0;
,2х + 5 5 ’
245. Найдите область определения функции:
a) f(x) = V 3 5 - 2 x - x 2 + . х + 2
■v/x2 + х - 1 2
б) f(x) =

-■у/(11- х )(х + 8).
V(2x + 5)(3х - 22)

246. Установите соответствие меж ду неравенством и множеством его
решений.
Б) лс±1>о
А) х 2 - 2х < 15
В) 2х - х 2 < - 1 5
х- 5
1) ( - « ; - 3 ] U (5; +оо)
3) (-о»; - 3 ) U (5; +~)
2) [-3 ; 5]
4) [-3 ; 5)
247. Установите соответствие меж ду неравенством и множеством его
реш ений.
Зх
х +2- х
0,
б)

х+1
2 - х

l l L z l ;

’

4 - Зле’
б) значения дроби

5 -3 *

больше соответствующих значений дроби

2* + 1 ’
252. Найдите наименьшее целое решение неравенства:
а>
^ < 3 * +4!
в) ®_5* < х + 4е
’ 4 * -3
’
г) Зх + 9 < х + 7
Г)- 2 х - 9 Х

б>ттт< * - «

253. Решите неравенство:
а) х3 - х > х - х2;
б) х3 - х > х2 + х;
в) (х2 - 2 х + 1)(*2 - 2х - 3)(*2 + х + 4) > 0;
г) (*2 + Ах + 4)(*2 + Ах - 5)(*2 - * + 3) < 0.
254. Определите, при каких значениях а:
а) уравнение (а + I)*2 + 2ах + 2 = 0 имеет два различных корня;
б) уравнение (За - I)*2 + 2а* + За - 2 = 0 имеет два различных
корня.
255. Найдите область определения функции:
1
.
»>«*>=,/* т ! +2 +
>/*2 + 2*

-

3

б)Пх) = ' (* ~ 3)(4 - *)
(*-1)(* + 2 )(* -5 )”
256. Найдите множество решений неравенства:
-4 *
a > -£ ^ 2 1 ;
В) , 5-------->1;
* + * - 2
*2- 2* + 3
б)
>1;
*2- 1

257. Решите систему неравенств:
I +J* *2
а)

38

2* + 3 >0;
*-1

*2 - 2*

-

3

* - 3

г)
*

- *

-

*2

б)

> 1.

2

*4

3*
*

- * -

2

’

0;

г) - - л2 - -% < 0.
х
х4
Уровень С

259. Определите, при каких значениях параметра а:
а) все решения неравенства
+ а - х + ^ > 4 принадлежат проме7
о
жутку (16; +°°);
б) все решения неравенства х + ^ + а ~ х < 3 принадлежат проме­
жутку [14; + о о ) ;
в) промежуток (-1; +°°) принадлежит множеству решений неравенства 7х - а х +1 > 0 ;
11

2

г) промежуток (-°°; -19) принадлежит множеству решений нерах+а х—
За >^ 0.
п
венства —---------—
5
4
260. Определите, при каких значениях параметра а :
а) каждое решение неравенства 2(х - 5) < -5 а будет являться реше­
нием неравенства а - 12,5х(1 - 0,5х) < (2,5л - З)2;
б) каждое решение неравенства 4л2(2л + 9) - а > (2х + З)3 будет яв­
ляться решением неравенства а - 2х > 8.
261. Решите неравенство:
л+3
л - 2 7 2;
б)
> 2;
д)
л - 3|
л2 - 5л + 6
Л+ 1
л2 - 5л + 6 < 0.
в)
е)
х - 9 0;
б) (3 - а)х2 - 4л - а > 0;
г) (1 - 2а)х2 + х - а + 0,25 > 0.
—

-

-

264. Определите, при каких значениях а абсциссы всех общих точек
графиков функций:
а) fix) = х2 + 6л + а2 и #(л) = х2 - ах + 36 больше а2 (если а Ф -6);
б) fix) = х2 + 8х + 4а2 и g(x) = х2 + 2ах + 64 не больше а 2 (если а Ф4).

39

265. Найдите значения параметра а, при которых решением неравен­
ства f(x) < 0 является объединение двух непересекающихся интерва­
лов, если:
х 2 (а б)д: 6а #
хг + х - 1 2
в) f(x) =
а) f(x) =
х 2 (а - 3)х - За
х 2 - ( а - 4)х - 4 а ’
х 2 - ( а - 1)х - а
х 2 - 5х - 6
г) / ( * ) =
б) fix) =
х2 - ( а - 5)х 5а
х 2 - ( a - 1)jc- а ’
266. Для каждого значения параметра а решите неравенство:
-

+

+

-

’

-

> а;
в)
ах + а 5 ’
х- а
1
3
5
> 4а;
г)
б)
х - 4а
ах - а 4
267. Найдите все значения параметра а, при которых функция fix)
определена на всей числовой оси и принимает только положительные
значения,если:
12х2 + Зл: + 5
2л:2 + 7х + 7
a) f(x) =
б) f{x) =
12л:2 - ( 9 а - 8 ) * + 12’
2л:2 - (10а - 9)х + 2
а)

III. УРАВНЕНИ Я И Н ЕР А В ЕН С ТВ А
С Д ВУМ Я П ЕРЕМ ЕН Н Ы М И
7. Уравнения с двумя переменными
и их системы
Уровень А

268. а) Из множества пар чисел: (1; 24); (3; -4); (4; 3); (-12; 13);
(-3; -4); (20; 5); (-4; 3) выпишите те, которые являются решениями
уравнения х 2 + у2 - 25.
б) Из множества пар чисел: (100; 69); (12; 5); (-12; -5); (85; -84);
(-12; 5); (160; 9); (5; -12) выпишите те, которые являются решениями
уравнения х2 + у2 = 169.
269. а) Из множества уравнений выпишите те, для которых пара чисел
(3; 4) является решением.
1) Зх + 4у = 25;
4) ху - 4дг - Зу + 12 = 0;
2) х3 - у3 = 37;
5) х 2 + у2 = 25;
3) ху - Зх + у = 0;
6) у3 -л :3 = 37.
б) Из множества уравнений выпишите те, для которых пара чисел
(-2; 5) является решением.
1) ху + х 2 - у2 + 1 = 0;
4) 5х + 2у = 0;
2 ) у3 -л :3 = 117;
5) ху - 5х + 2у - 10 = 0;
3) л:2 + у2 = 29;
6) л:3 + у3 = 117.

40

270. Определите степень уравнения:
а) х + ху + х2у + ху2 = 10;
в) (л: + у)2 - ху - 0;
б) л:3 - 2у2 + Зл: - 4 = 0;
г) (2л: + у)2 + ху + у + 3 = 0.

271. Установите соответствие между уравнением с двумя переменными и парой чисел, являющейся его решением.
А) х 2 - у + 1 = 0
Б) х 2 - у2 - 5 = 0
В) х - у3 = 1
а)
1) (3; 2)
3 )(9 ; 2)
2 )(-2 ; 5)
А) х - у2 + 2 = 0
Б) х2 + у2 - 20 = 0
В) х3 + у3 = 19
3) (14; -4)
2) (-4; -2)
1) (3; -2)
272. Найдите два каких-нибудь решения уравнения:
а) х + Зу = 4;
г) (х + 1)у = 12;
б) Зх + у = 5;
д) (х + l)(i/ - 3) = 0;
в) х(у - 1) = 6;
е) (х - 3)0/ + 2) = 0.
б)

273. Постройте график уравнения:
а) 2х + 0 • у = 6;
б) -Зх + 0 • у - 12 = 0;

в) (х + 1)0/ - 2) = 0;
г) (х + 3)0/ - 4) = О.

274. а) Найдите, какие из данных пар чисел: (-1; 3); (-4; 10); (3; 4);
х 2 - у = 6,
(3; 3); (-4; 5) являются решениями системы
[х + у = 6.
б) Найдите, какие из данных пар чисел: (2; 3); (2; -4); (2; 4); (4; -2);
Iху = 8,
(4; 2) являются решениями системы
[х + у = 6.
275. Установите соответствие между системой и парой чисел, являю­
щейся ее решением.
а)
[х2 - Зу +12 = 0,
х 2 + у2 =100,
\ху + х 2 = 4,
А)
Б)
В)
[у = х + 4
Зх + 2у - 2 = 0
У= х + 2
3)(3
; 7)
2) (6 ; - 8 )
1) ( 1 ; 3 )
б)

А)

[4 у + х = 0,

х 2 + у 2 - 17 = 0
1) ( - 2 ; 0 )

Б)

\ху + 42 = 0,

х 2 - 2у - 61 = 0
2) (7; -6)

В)

\ху + х2 = 4,

У= х + 2
3 )(-4 ; 1)

276. Графически определите число решений системы:
. [ху = 1,
\ у - х 2 = 0,
В 1 *а + J/3 = 4;
а)
[х + у = 1;
у + (х - 1)2 = О,
у - х + 1 = 0;

г)

ху = 6,
х2 + у2 = 25.

277. а) Из данного списка: у = -х ; у - 0; у = х2; у = х выберите второе
[ху = 6,
уравнение для системы <
так, чтобы система имела два решения.
б) Из данного списка: у - 2; у = х2 + 6; у = 1; у = 10 - х выберите
\х2 + у2 = 4,
второе уравнение для системы <
’ так, чтобы система имела
два решения.

41

278. Установите соответствие между системой и количеством ее реше­
ний. Используйте графические представления.
*>
J » - * ■ + !.
\ х2 + у 2 = 1,
Б)
LУ = х

1у = 1

1) нет решений

6>

А ) | ^ 2-Л
l«/ = i
1) нет решений

2) одно решение
В)

Ь =0

2) два решения

3) одно решение

279. Докажите графически, что система не имеет решений:
\ х2 + у 2 = 1,
^ Jy - (х + 1)2 = О,
[Зх + 0 • у = 9;
[0 •х + 2у = -6;
\ х2 + у 2 = 4,

г) \у ~ { x - i f = О,

[о •х -

[О •х + Зу = 12;

4у = 20.

280. Решите систему уравнений способом подстановки:
(х = 2 + у,
\х2 - х у + у = 16,
в)
* [У2 ~ 2ху = 3;
[Зу - х = 14;
\у - 4 - х ,
б)

[х2 + Зху = 18;

г)

\ х 2 + ху - Зу = -1,
[4л: - у = 3.

281. Найдите все решения системы уравнений:
Гл: —5у = 3,
Глг + у = 7,
* [х2 - 2ху - у 2 = -1;
[лгу = 12;
б)

\х + у = -5,
ху = -14;
1у + 4х = 6,
|х 2 + Зху - у2 = 3;

|5 х + у = -7,
{(х + 4)(у - 5) = -4;
J6x + y = 5,
б) {(х - 3)(у + 5) = 2.

282. Найдите сумму х0 + у0, если пара чисел (х0, у0) является решени­
ем системы:
J2х - у = -5,
[2у - х = -1,
б)
Ю [у2 - 2х = -6;
\ х 2 + 4у = 4.
283. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:
а) прямой у = х - 3 и параболы у = х 2 - 4х + 3;
б) прямой у = 1 - 5х и параболы у = х 2 + х - 6;
в) прямой х - 2 у + 5 = 0 и окружности х 2 + (у - I)2 = 5;
г) прямой х - у - 5 = 0 и окружности (х - З)2 + (у + I)2 = 13.
284. Сумма двух чисел равна 17, а их произведение равно 72. Найдите
эти числа.
42

285. Сумма двух чисел равна 15, а их произведение равно 54. Найдите
эти числа.

286. Одно натуральное число на 5 больше другого, а их произведение
равно 66. Найдите эти числа.
287. Одно натуральное число на 8 больше другого, а их произведение
равно 48. Найдите эти числа.
288. Диагональ прямоугольника равна 20, а его периметр равен 56.
Найдите стороны прямоугольника.
289. Диагональ прямоугольника равна 13, а его периметр равен 34.
Найдите стороны прямоугольника.
290. Площадь прямоугольника равна 48, а его периметр равен 28.
Найдите стороны прямоугольника.
291. Периметр прямоугольника равен 34, а его площадь равна 60.
Найдите стороны прямоугольника.
292. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 больше друго­
го. Найдите катеты треугольника, если его гипотенуза равна 10.
293. Один из катетов прямоугольного треугольника на 7 меньше дру­
гого. Найдите катеты треугольника, если его гипотенуза равна 13.
294. Периметр прямоугольного треугольника равен 62, а его гипоте­
нуза равна 25. Найдите площадь этого треугольника.
295. Периметр прямоугольного треугольника равен 60, а его гипоте­
нуза равна 26. Найдите площадь этого треугольника.
296. Периметр прямоугольника равен 14, а сумма площадей квадра­
тов, построенных на его сторонах, равна 50. Найдите стороны прямо­
угольника.
297. Периметр прямоугольника равен 18, а сумма площадей квадра­
тов, построенных на его сторонах, равна 82. Найдите стороны прямо­
угольника.
Уровень
298. Постройте график уравнения:
а) 4х2 - у 2 = 0;
б) х 2 - 4 у 2 = 0;

в) х2 + 7у2 = 0;
г) 2х2 + 5у2 = 0;

В
д) х2 + у + 4х + 3 = 0;
е) х 2 - у - 2х + 2 = 0;
ж) х2 - 2х + у2 + 10у + 10 = 0;
з) х 2 + 4х + у2 - 2у + 1 = 0.

299. Определите графически количество решений системы уравнений:

43

300. Найдите все решения системы уравнений:
\х3 + у 3 = 7,
Jjc2 + 25i/2 = 29,
г)
а) [х2 - ху + у2 = 7;
| * 1/ = 2;
* , У_ 5
\х3 - у 3 =2Ь,
б)
Д) у х ~ 2 ’
| * 2 + ху + у2 = 13;
2 х - 3 у = 3;
[4;е2 + у2 = 13,
в)
[ху = -13;

х _ У 15
4 ’
е) у х
2 х - 5 у = 9.

301. Решите симметрическую систему:
\х + у - ху = 2,
jx2 + у2 + 5(х + у) + 3ху = 15,
а)
в)
|дг1/(дс + у) = 48;
[х2 + у2 + ху = 1 + х + у;
б)

Гдг + у + ху = -19,
[ху(х + у) = -20;

302. Решите однородную систему:
\х2 - Ьху + 6у2 = О,
а)
[Здг + 2ху - у =15;
б)

\х2 + 3ху - 10у2 = О,

г)

в)
г)

2{х2 + у2) + ху + 1 = 3(х + у),
х2 + у2 + 3ху = 1 + 2[х + у).
\3х2 - 2ху - у 2 = 7,
[х2 + х у + 8 у2 = 14;
| 2 *2 + х у - 3у 2 =

3,

[дс2 - 4ху - 3у2 = 9.
[х2 + 2дсу - у 2 = 28;
303. Имеет ли решение система уравнений? В случае, если система
имеет решение, найдите его.
Зх - 2у = 7,
4х + Зу = 1,
а) 4х + Зу = -2,
б) 5х - 4у = -22,
х2 + ху + 2у2 + 4х = 8.
х 2 + Зху - 2у2 - х - 4 у - -6;
304. Катер проходит 66 км по течению реки и 54 км против течения
за 6 ч, а 44 км по течению - на 3 ч быстрее, чем 90 км против течения.
Найдите собственную скорость катера и скорость течения.
305. Чтобы пройти 60 км против течения реки и 54 км в стоячей воде,
пароходу необходимо 4 ч 30 мин. Для преодоления 162 км в стоячей
воде пароходу необходимо времени на 3 ч больше, чем для преодоле­
ния 72 км против течения этой же реки. Найдите собственную ско­
рость парохода и скорость течения.
306. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить заказ за 12 дней.
Проработав вместе 10 дней, один из них заболел. Тогда другой рабочий
закончил заказ через 5 дней, работая один. За сколько дней каждый
рабочий может выполнить данный заказ, работая самостоятельно?

44

307. Две бригады, работая одновременно, могут отремонтировать до­
рогу за 6 ч 40 мин. Если же сначала одна бригада самостоятельно от­
ремонтирует i дороги, а потом другая - оставшуюся часть, то весь
о

ремонт будет выполнен за 14 ч. За какое время может отремонтиро­
вать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно?
308. Если некоторое двузначное число разделить на сумму его цифр,
то в частном получится 7, а если разделить это число на произведе­
ние цифр, то в частном получится 3 и в остатке 9. Найдите данное
число.
309. Если некоторое двузначное число разделить на сумму его цифр,
то в частном получится 4, а в остатке 6. Если разделить это число
на произведение цифр, то в частном получится 1 и в остатке 22. Най­
дите данное число.

Уровень С
310. Постройте график уравнения:
а) |х - 1| + \у + 2| = 4;
б) |* + 2| - 2\у - 1| = 4;
в) Ы = \х2 - 3|х| + 2|;

г) (|х| I)2 + (Ы - 2)2 = 9;
д) \ х - у \ + \х + у\ = 4;
е) \х\ + \у\ + |1 - * - у\ = 1.
-

311. Определите графически количество решений системы уравнений:
у + |х2 + 6л : + в| = 0,
fx + 5у = 4,
а)
в)
| у = л/1* + 2|;
{y + l f = (х + З)2;

б)

у + |х2 + 6х + б| = 0,

1

х 2 + 6х + 9у + 45 = 0;
312. Решите систему уравнений:
[зх2 - 2у2 - 6 х - 4 у = 5;
[Зх2 + 2у2 - З х + 5у = 3,
б)

[4,5х2 + З у2 - Зх + 8у = 7;

г)

[2 + Зу2 =2ху;

8 - х 2 = (x + 2i/)2;

fx3 + x V + y 3 = 12,
Д) [х + ху + у = 0;
(х2 + 1)(г/2 +1) = 10,

Г|х1/ - 2| = 6 - х 2,
в)

| i / - l | = ( х - 1 ) 2.
у 2 - |xi/| + 2 = 0,

|2х2 + у 2 - 4х + 2у = 1,
а)

у + 5х = 12,

е)
(х + у)(ху - 1 ) = 3.

313. Найдите все значения параметра а, при которых система имеет
единственное решение:
\ х - у = а(1 + ху),
\х 2 + ау = 1,
а)
в)
|3х + 2у = 3;
[2 + х + у + х у = 0;
б)

\а ( х + у ) - х у + 1 = 0,
\ х у - х + у = 2;

fax2 + у = 2,
г)
' [х + у = 1.

314. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений имеет два решения:
[х2 + у 2 = 2(1 + а),
_ Г(х - у)2 = 6а - 1 4 ,
а)
б)
(х + у ) 2 = 14;
(х2 + у 2 = 3(2 + а).

45

315. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений имеет бесконечно много решений:

гм+ы»1.

б) П*- и =1.

[\х + у\ = а;
[|х - а\ + |у| = 1.
316. Если двузначное число увеличить на 46, то получится число, про­
изведение цифр которого равно 6. Найдите искомое число при усло­
вии, что сумма его цифр равна 14.
317. Цифры трехзначного числа являются тремя последовательны­
ми членами геометрической прогрессии. Если в его записи поменять
местами цифры сотен и единиц и вычесть новое число из искомого,
то разность будет равна 297. Найдите трехзначное число.

8. Неравенства с двумя переменными
и их системы
Уровень А

318. Определите, является ли пара чисел (1; 2) решением неравенства:
а) 2л; - 3у > -5 ;
г) (х - 2)2 + (у - З)2 < 9;
б) Зле + 4у > 15;
д) ху > 12;
в) ( х + 1 ) 2 + (у + 2)2 < 1 ;
е) ху < 10.
319. а) Из приведенного множества пар чисел: (0; 2); (1; 0); (1; 2);
(-2; 1); (1; 1); (1;
выпишите те, которые являются решением нера­
венства х2 - ху + 2у2 > 3.
б) Из приведенного множества пар чисел: (0; 0); (1; 1); (3; -2);
(2; 0); (0; 3); (4; -1) выпишите те, которые являются решением нера­
венства Зх2 - 2ху - 4у2 < 1.
320. Установите соответствие между неравенством и парой чисел, яв­
ляющейся его решением.
а)
А) ху - 6 > 0
Б) х2 + (у - I)2 < 1 В) х + у + 2 < 0
1) (-1; -1)
2) (0; 1)
3) (4; 2)
б)

А) у - х 2 - 1 > 0 Б) у - 5х + 15 < 0
1) (0; 5)
2) (0; 0)

В) (х - I)2 + (у - I)2 < 2
3) (3; -2)

321. Найдите два каких-нибудь решения неравенства:
а) у > 5 - 2х;
г) у < 2 - х 2;
б) у < Зх + 7;
д) х2 + у2 < 16;
в) у > х2 + 4;
е) х 2 + у2 > 25.

46

322. Изобразите на координатной плоскости множество точек, зада­
ваемое неравенством:
а ) у > х + 1;
д) 1 < х < 2;
б) у < 2х - 4;
е) -3 < х < -2 ;
в )у < х 2- 1 ;
ж) -1 < у < 2;
г) у > х2 + 2;
з) -2 < у < 1.

323. Установите соответствие между неравенством и множеством то­
чек на координатной плоскости, задаваемое этим неравенством.
а)

А) х + у < 1

Б)у > х + 1

В) у > х - 1

324. а) Постройте прямую у = 2х - 4 и определите знак выражения
у - 2х + 4 в каждой из образовавшихся полуплоскостей.
б) Постройте прямую у = 6 - Зх и определите знак выражения
у + Зх - 6 в каждой из образовавшихся полуплоскостей.
325. а) Задайте неравенством полуплоскость, расположенную выше
прямой у = 2х - 1, включая границу.
б) Задайте неравенством полуплоскость, расположенную ниже
прямой у = Зх - 2, включая границу.
326. Определите, является ли пара чисел (2; 3) решением системы не­
равенств:
[у > х - 2 ,
[0 * 1
а) [у > - х + 2;
[у
1):
б)

J jc + 2 < О,
[У + х > -2;

\у > ( х - 2 ) 2,
[2у > х - 1 .

327. а) Из приведенного множества пар чисел: (0; 0); (-1; -1); (2; 3);
(-1; 5); (1; -2); (3; 0) выпишите те, которые являются решением систе\2у + х - 3.
328. Найдите два каких-нибудь решения системы неравенств:
ч \х > -1,
\ х < 1 + у,
\х>у-1,
\х 2 x ;
1г/ ^ —1;
В [у 2, л е JV):
а) а г = 3, ап = ап _ г - 4;
д) аг = 2 ,а п = 3ап _ х;
б) а г = 5, а„ = а „ _ 1 + 3;
е) Oj = 3, а„ = -2 а п_!;
в) а х = 4, а„ = -о„ _ х + 2;
ж) а х = 4, ап = пап _ х;
г) а х = 7, а„ = -а„ _ j - 5;
з) а х = 2, а„ = -ла„ _ х .
354. Определите, является ли последовательность арифметической
прогрессией:
г) 3; 3; 3; 3; 3; ...;
а) 3; 5; 8; 11; 14, .
д) 3; 6; 8; 10; 12; ...;
б) -8 ; -12; -16; -2 0 -24; ...;
е) 1; -2 ; -5 ; -8 ; -1 0 ; ... .
в) -7 ; -7 ; -7 ; -7 ; -7 ...;
355. Напишите формулу л-го члена и найдите десятый член арифме­
тической прогрессии:
а) -6 ; -4 ; -2 ; 0; 2; ...;
г) 8; 4; 0; -4 ; -8 ; ...;
б) 7; 11; 15; 19; 23; ...;
д) 3^2; Зл/2 - 4; Зч/2 - 8;...;
в) 6; 3; 0; —3; —6; ...;
е) 2>/7 + 3; 2>/7 + 6; 2>/7 + 9; ... •
356. Запишите формулу л-го члена и найдите седьмой членарифмети­
ческой прогрессии, если:
а) а х = 8, d = -3 ;
г)г)аахх==55-- 4>/3,
4>/3,dd==-2л/3;
-2л/3;
б) а х = 6, d = 2;
д)
д)аахх==55-- З7б,
З7б, dd==-2
-2; ;
в) а х = 3 + 7s/2, d = 4>/2;
е) а х = -4 + 7\/2, d = 3.

51

357. Найдите разность арифметической прогрессии (а п), если:
а) а х = 4, а 7 = 40;
в) а 7 = -4 0 , а 17 = -50;
б) а х = -20, а 8 = -69;
г) а8 = -2 2 , а 20 = -58.
358. Найдите первый член арифметической прогрессии ( a j , если:
а) а 7 - 9, d - 4;
в) о14 = -6>/5, d = -V5;
б) a 26 = -68, d = -3;
г) a19 = 26\/3, d - 2 ^ .
359. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии
(а„), если:
а) а 3 = 2, а д = 20;
в) а 4 = 16, а 10 - -8;
б) а 5 - 3, а п - 15;
г) а 5 = 13, а 12 = -8.
360. Между числами Aw В вставьте число С таким образом, чтобы эти
три числа (А , С и В) являлись последовательными членами арифме­
тической прогрессии:
а) А = 13 и В = 29;
в) А = 17,1 и В = 28,3;
б) А = -25 и В = -47;
г) А = -21,4 и В = -32,8.
361. Число А является членом арифметической прогрессии (с„). Най­
дите номер этого члена.
а) А = 253, а п - -8 + Зп;
г) А = -665, (а„): 7; -1; -9 ; ...;
б) А = -365, а п = 7 - 4га;
д)А = -544, ап= а п_1- 7 , а 1= 16;
в) А = 457, (о„): -5; 1; 7; ...;
е) А = 388, а п= а п_1+ 5, а г = - 2.
362. Для арифметической прогрессии (а„) найдите число отрицатель­
ных членов:
а) а п = -287 + 3/г;
г) (а„): -391; -386; -381; ...;
б) а„ = -562 + 4га;
д) а п = а п_ х + 6, а х - -423;
в) (а„): -256; -252; -248; ...;
е) а п = а п_ 4 + 7, а 7 = -518.
363. Для арифметической прогрессии (ап) найдите число положитель­
ных членов:
а) а п = 481 - 5га;
г) (а„): 405; 399; 393; ...;
б) а„ = 516 - Зга;
д) а„ = а„_ г - 7, а г = 483;
в) (а„): 317; 313; 309; ...;
е) а п = а п_ х - 4, а х = 372.
364. В арифметической прогрессии (а п) найдите:
а) а 12, если а п = 15 и а 10 = 34;
г) а 13, если а 5 = 31 и а 21 = 19;
б) а 17, если а 18 = 25 и а 19 = 39;
д) а б, если а 9 = 63и а 12 = 28;
в) а 9, если а 3 = 17 и а 15 = 29;
е) а 20, если а 8 = 51 и а 14 = 36.
365. Найдите значения х, при которых числа А, В и С являются тремя
последовательными членами арифметической прогрессии:
а) А = х, В = 4х - 2, С = 4х + 2;
б) А = Зле + 1, В = 5ле, С = 8лс + 2.
366. Найдите сумму S nпервых га членов арифметической прогрессии (an):
а) flj — 1, a 40 87, 8 49,
г) га4 2, d 3, В89,
б) га4 = -3 , с 20 = -57, S 20;
д) а п = 3 + 5га, S 24;
в) a x = 3, d = -4 , S 30;
е) а п = 7 - 4га, S 28.
367. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые:
а) кратны 3;
б) кратны 7.

368. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые:
а) при делении на 5 дают в остатке 3;
б) при делении на 8 дают в остатке 5.
369. В арифметической прогрессии (ал):
а) а3 -I- а 17 = -5 8 , найдите ах + а 19;
б) ах + а 25 = 37, найдите а 10 + а 1б;
в) а9 + ап = 38, а 19 + а 21 = 74, найдите а 10 + а 20;
г) а 14 + а 1б = -1 8 , а 29 + а 31 = -2 8 , найдите а 15 + а 30.
Уровень В

IV

II
to
©
э
1

1
е
СвО
II

370. Напишите первые четыре члена последовательности (ал), задан­
ной рекуррентно (п е N):
2);
а) «п
i - l . аг .= 1
б) «п = 4а п_ 1 + 3, ai := 2
в)
t - а » - 2»а 1 = 1, tt2 = 2 (га > 3);
2а„ - 2»а 1 = 2, а 2 = 1;
=
а
п
1
г) «п
+ 2 а п
2;
д)
=а п - 1
- 2»а 1= 1,
1.
е) «» = 2а„_ 1 + а п- 2’ «1 = 2,
to

&
II

II
п-7
д) Ьп = 5 • Зп“\
В = 395;
е) Ьп = 2,5(л/2)” \ В = 150.

416. Между числами А и Б вставьте три числа так, чтобы получилась
геометрическая прогрессия:
а) А = 2 и В = 18;
б) А = 3, Б = 12.
417. Дана геометрическая прогрессия (6Л). Найдите первые три члена
прогрессии, если:
а) Ьг + &2 = 45, Ъ2 + Ь3 = 30;
б) + &2 = 140, Ъ2 + 63 = 105.
418. В геометрической прогрессии (&д), знаменатель которой положи­
тельное число, найдите первые четыре члена, если:
а ) ^ 1^2 =

27

, Ь3 &4 =

б ) ^ 1^2 = 2 ’ ^ 3^ 4 =

419. Найдите х, если числа А, Б , С в указанном порядке являются
последовательными членами геометрической прогрессии:
а) А = х - 3, В = >/5jc, С = х + 16;
б) А = jc - 2, Б = V6jc, С = л: + 5.
420. Найдите сумму квадратов первых шести членов геометрической
прогрессии (Ъп):
&)bl = b ,q = J2;
г) Ьх = V8, q = -j=;
б)

= у/7, q = л/3;

в)

= 9>/3, q =

д) К =

= 3;
59

421. Найдите сумму чисел:
а) 1 + 2 + 22 + ... + 2^*,
б) 1 - 3 + З2 - ... + З8;

422. Найдите сумму величин:
а) 1 + х + х 2 + ... + х49, х * 1;

г) х - 1 + —-

х * -1 ; 0;

б) * - х3 + х5 - ... + х37;

д)

в)1 + —+ A- + ... + - L - х * 0 ; 1;
* х
х29,

е) х 2 - х4 + х6 - ..., |х| < 1.

х

+1 + х2 + ..., |х| < 1, х

0;

423. Решите уравнение (|х| < 1):
а) 2 х + 1 + х 2 -

х3 + х4

-

х5 + . . . =

±г ;
О

б) — + X + х 2 + X s + х 4 + х 5 + ... =

х
2
424. а) Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменате­
лем \q\ < 1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии
равна 153,6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
б) Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем
|g| < 1 равна 4, а сумма кубов членов этой же прогрессии равна 192.
Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
425. а) Найдите знаменатель q бесконечной геометрической прогрес­
сии (|g| < 1), у которой каждый член в четыре раза больше суммы всех
ее последующих членов.
б) Найдите знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии
(|g| < 1), у которой каждый член в шесть раз больше суммы всех ее по­
следующих членов.

Уровень С
426. Дана возрастающая геометрическая прогрессия ( Ъп). Найдите
знаменатель и первые три члена этой прогрессии, если:
a) bx = V3, &9 = 81>/3;
б) Ьг = 15, &3 = 30.
427. а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если раз­
ность ее шестнадцатого и тринадцатого членов в 12 раз больше суммы
двенадцатого, тринадцатого и четырнадцатого членов.
б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность
ее тридцатого и двадцать седьмого членов в 30 раз больше суммы два­
дцать шестого, двадцать седьмого и двадцать восьмого членов.
428. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение сум­
мы первых четырех членов которой к сумме первых двух членов равно:

60

429. а) Сумма четырнадцатого и второго членов геометрической про­
грессии равна 16, а сумма их квадратов равна 200. Найдите восьмой
член прогрессии.
б) Сумма одиннадцатого и третьего членов геометрической про­
грессии равна 14, а сумма их квадратов равна 130. Найдите седьмой
член прогрессии.
430. а) Разность пятого и третьего членов геометрической прогрессии
равна 4, а разность седьмого и пятого членов равна 12. Найдите раз­
ность девятого и седьмого членов этой прогрессии.
б) Разность седьмого и четвертого членов геометрической прогрес­
сии равна 3, а разность десятого и седьмого членов равна 6. Найдите
разность тринадцатого и десятого членов этой прогрессии.
431. а) Пусть х г и х 2 - корни уравнения х2 - х + а = 0 и х 3 и х 4 —корни
уравнения х2 - 4х + Ъ = 0. Известно, что числа х 19 х 2, х 3, х4 в указан­
ном порядке образуют возрастающую геометрическую прогрессию.
Решите уравнения и найдите числа а и 6.
б) Пусть X} и х 2 —корни уравнения х2 - Зх + а = 0 и х 3 и х 4 - корни
уравнения х2 - 12х + 6 = 0. Известно, что числа х 19 х 29 х39 х 4 в ука­
занном порядке образуют возрастающую геометрическую прогрессию.
Решите уравнения и найдите числа а и 6.
432. а) Решите уравнение х 3 + Зх2 - 6х + а = 0, зная, что оно имеет три
различных корня, образующих геометрическую прогрессию.
б) Решите уравнение jc3 - Зх2 - 6х + а = 0, зная, что оно имеет три
различных корня, образующих геометрическую прогрессию.
433. а) Сумма любых пяти последовательных членов убывающей геометрической прогрессии в 211- раза больше третьего из них. Найдите
36
Ь9 член прогрессии, если 67 = 3.
б) Сумма любых пяти последовательных членов возрастающей геометрической прогрессии в 121 раза больше третьего из них. Найдите
Ь19 член прогрессии, если 621 = 2.
434. а) Найдите знаменатель возрастающей геометрической прогрес­
сии с положительными членами Ьп, которые при п > 1 удовлетворяют
ъ1 + &Я-А +1 -5 Ь,п + 1 75
условию
23*
К-г-ьь^ь,п + 1
б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами Ъп9 которые при п > 1 удовлетворяют условию
V3&n-1 +
1 + 2&д+1 _ 10
2 b * - i + b „ +1

'

в'

435. а) Три числа образуют возрастающую арифметическую прогрес­
сию, а их квадраты составляют геометрическую прогрессию. Найдите
эти числа, если их сумма равна 42.
б) Три числа образуют убывающую арифметическую прогрессию,
а их квадраты составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти
числа, если их сумма равна 36.

61

436. а) Сумма трех чисел, составляющих убывающую арифметиче­
скую прогрессию, равна 60. Если от первого числа отнять 10, от вто­
рого отнять 8, а третье оставить без изменения, то полученные числа
составят геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.
б) Сумма трех чисел, составляющих возрастающую арифмети­
ческую прогрессию, равна 63. Если к первому числу прибавить 10,
ко второму числу прибавить 3, а третье оставить без изменения, то по­
лученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите эти
числа.
437. а) Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если среднее
из них удвоить, то получится арифметическая прогрессия. Чему ра­
вен знаменатель q этой прогрессии, если \q\ < 1?
б) Три положительных числа образуют возрастающую геометри­
ческую прогрессию. Если последнее из них уменьшить вдвое, то по­
лучится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель этой про­
грессии.
438. а) Три различных числа а, & и с образуют геометрическую про­
грессию, а числа а + Ь,& + с ,а + с образуют арифметическую прогрес­
сию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
б) Три положительных числа а, Ъ и с образуют геометрическую
прогрессию, а числа a - b , b + c , b - c образуют арифметическую про­
грессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
439. Три неравных между собой целых числа х, у и z в указанном по­
рядке являются тремя последовательными членами арифметической
прогрессии. Известно, что их можно переставить так, что они станут
последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите
эти числа, если:
а) х2 + 2у2 + 3zz = 480;
б) 2х2 - 3у2 - 4г2 = 117.

V. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
11. Элементы комбинаторики
Уровень А

440. Из четырех юношей и трех девушек надо выбрать двоих (одного
юношу и одну девушку) для участия в смешанной эстафете по биатло­
ну. Сколькими способами это можно сделать?
441. Из пяти девочек-фигуристок и четырех мальчиков-фигуристов
тренер хочет выбрать двоих (одного мальчика и одну девочку) для уча­
стия в показательных выступлениях. Сколькими способами он может
это сделать.
62

442. Из цифр 1; 2; 3 составляются всевозможные двузначные числа.
Сколько всего таких чисел можно составить?

443. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из букв А, Б, О, К, М, Е,
В, Р, Д, У, слова составляются только из двух букв. Сколько всего слов
может быть в языке племени Мумбо-Юмбо?
444. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых встре­
чаются только цифры 3; 5; 7, причем ровно по одному разу?
445. Сколькими способами можно выложить в ряд белый, красный,
синий и зеленый шарики?
446. Сколькими способами можно разместить на полке 10 книг раз­
личных авторов?
447. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «вектор»?
448. В 9 классе в пятницу пять уроков: русский язык, история, алге­
бра, физкультура и химия. Сколькими способами может быть состав­
лено расписание на пятницу?
449. Сколькими способами восемь спортсменов, вышедших в финал
заплыва на 100 м брассом, могут быть распределены по восьми пла­
вательным дорожкам?
450. Сколькими способами пять различных открыток могут быть рас­
пределены по пяти различным конвертам, если в каждый конверт
кладется ровно одна открытка?
451. В турнире участвуют шесть человек. Сколькими способами могут
быть распределены места между ними?
452. Сколькими способами из 30 учеников класса можно выбрать ста­
росту и представителя класса в школьном ученическом совете?
453. Ученики 9 класса изучают 10 различных предметов. Первого сен­
тября в классе должно быть четыре урока. Сколькими способами мож­
но составить расписание уроков для этого класса на 1 сентября, чтобы
в этот день было четыре различных предмета?
454. В конкурсе научных проектов приняли участие 12 девятикласс­
ников. Сколькими способами им может быть присуждены первая, вто­
рая и третья премии?
455. Сколькими способами из семи учеников, увлекающихся работой
на компьютере, учитель информатики может выбрать трех учеников,
из которых одного - для создания алгоритма решения задачи, второго для разработки компьютерной программы, третьего - для набора текста?
456. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг с гори­
зонтальными полосами, если есть ткань пяти цветов?
457. Сколько трехзначных чисел с различными цифрами можно соста­
вить из цифр 1; 3; 5; 7; 9?
458. Сколькими способами из 30 учеников класса можно выбрать двух
дежурных?
459. В секции по теннису 12 человек. Сколькими способами можно
выбрать из них четыре человека для участия в соревнованиях?

63

460. В коробке находятся семь шаров: белый, желтый, красный, си­
ний, зеленый, оранжевый и черный. Сколькими способами можно вы­
брать пять шаров?
461. В вазе лежат девять конфет: «Белочка», «Мишка косолапый»,
«Мишка на севере», «Красная шапочка», «Огни Москвы», «Маска»,
«Ласточка», «Кара-Кум», «Цитрон». Сколькими способами можно
выбрать из них три конфеты?
462. Имеются 11 различных точек: 10 точек лежат на одной прямой,
а еще одна точка не лежит на этой прямой. Сколько существует тре­
угольников с вершинами в этих точках?
463. В латинском алфавите 26 букв. Из них выбирают три для обо­
значения вершин треугольника. Сколько всего треугольников можно
обозначить различным образом?
Уровень

В

464. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску бе­
лую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
465. Сколько диагоналей в выпуклом двадцатиугольнике?
466. Сколько различных бус можно сделать из пятнадцати разноцвет­
ных бусин?
467. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых
есть хотя бы одна четная цифра?
468. У одного школьника шесть марок с олимпийской символикой,
а у другого - восемь. Сколькими способами они могут обменять три
марки одного на три марки другого?
469. Сколькими способами можно разделить 22 человека на две фут­
больные команды по 11 человек в каждой?
470. Труппа театра состоит из 20 артистов. Сколькими способами можно
выбирать из нее в течение двух вечеров по 6 человек для участия в спек­
таклях так, чтобы ни один артист не участвовал в двух спектаклях?
471. Из группы, состоящей из восьми мужчин и четырех женщин,
надо выбрать шесть человек так, чтобы среди них было не менее двух
женщин. Сколькими способами это можно сделать?
472. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы
в слове: а) «парабола», 2) «математика»?
473. Сколькими способами можно поселить шесть студентов в две ком­
наты: двухместную и четырехместную?
Уровень С
474. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать
с помощью цифр 1; 2; 3; 4 (цифры могут повторяться).
64

475. Сколькими способами можно разделить 10 человек на пары?

476. Кузнечик сидит на левом поле клетчатой полоски 1 х 20 и за ход
может сдвинуться на любое количество клеток вправо. Сколькими
способами кузнечик может добраться до крайнего правого поля?
477. Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть
число 7, или остальных?
478. На полке стоят 12 книг. Сколькими способами можно выбрать
из них пять книг, никакие две из которых не стоят рядом?
479. В коробке лежат 10 пар перчаток. Определите, сколькими спосо­
бами можно выбрать восемь перчаток, так, чтобы:
а) среди них не оказалось ни одной пары;
б) среди них оказалась ровно одна пара.

12. Начальные сведения из теории вероятностей
Уровень А

480. В серии из 50 выстрелов стрелок попал в цель 45 раз. Какова от­
носительная частота попадания в цель этим стрелком?
481. Из 30 посаженных семян огурцов проросли 27. Какова всхожесть
семян огурцов?
482. Из 1000 произведенных калькуляторов три оказались бракован­
ными. Какова относительная частота появления бракованных каль­
куляторов?
483. Баскетболист бросал мяч в корзину с линии штрафных бросков
20 раз и попал 17 раз. Какова относительная частота попадания бас­
кетболиста?
484. Определите, какова вероятность того, что при броске игрального
кубика выпадет:
а) одно или два очка;
б) меньше пяти очков.
485. Саша называет произвольное число от 1 до 10. Найдите вероят­
ность того, что он назовет 3, 5 или 7.
486. В конференц-зале 100 мест. Прибывшие на конференцию жур­
налисты рассаживаются произвольным образом. Какова вероятность
попасть в первый ряд, если в нем всего 10 мест?
487. В школьной научной конференции подготовили доклады 3 че­
ловека из девятых классов, 3 человека из 10 «А» класса, 4 человека
из 10 «Б» класса, 6 человек из 11 «А» и 4 человека из 11 «Б» классов.
Школьники выступают с докладами в произвольном порядке. Найди­
те вероятность того, что первым выступит девятиклассник.
488. Из 100 произведенных пар мужских ботинок 92 пары не имеют
дефектов. Найдите вероятность того, что случайно купленная пара
мужских ботинок не имеет дефектов.

65

489. Алексеева, Борисова и Волкова в случайном порядке учитель вы­
зывает к доске. Какова вероятность того, что Волкова вызовут перед
Алексеевым?
490. В ящике лежат 12 белых и 8 красных одинаковых на ощупь
шаров. Вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что он
красный?
491. В ящике лежат 30 деталей первого сорта и 10 деталей второго
сорта. Наугад вынимают одну деталь. Найдите вероятность того, что
она первого сорта.
492. Ученик пытается с помощью калькулятора перемножить два чис­
ла. Однако знаки действий («+», «-», «х», «:») оказались стертыми,
и ученик нажимает кнопку случайным образом. Найдите вероятность
того, что ему действительно удастся перемножить числа.
493. Четырех учеников, Антонова, Богданова, Васильева и Грачева,
учитель случайным образом рассаживает за две парты. Найдите веро­
ятность того, что Васильев и Грачев окажутся за одной партой.
Уровень

В

494. Замок открывается только при наборе шифра - пятизначного но­
мера, который можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Какова
вероятность того, что замок откроется, если шифр набран случайно?
495. Имеются пять отрезков длиной 1; 3; 4; 7 и 9 см. Найдите вероят­
ность того, что из трех наугад взятых отрезков (из этих пяти) можно
построить треугольник.
496. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 равных ку­
биков. Найдите вероятность того, что наугад выбранный кубик имеет
ровно две окрашенные грани.
497. Какова вероятность того, что в августе наугад выбранного года
окажется пять воскресений?
498. При броске двух игральных кубиков вычислите вероятность сле­
дующих событий:
а) разность выпавших очков равна 2;
б) сумма выпавших очков больше произведения.
Уровень С

66

499. В группе спортсменов, едущих на сборы, четыре лыжника, че­
тыре конькобежца, четыре биатлониста и четыре фигуриста. Для них
взяты билеты в четыре купе одного вагона, которые распределяются
случайным образом. Найдите вероятность того, что:
а) в каждом купе едут спортсмены, занимающиеся разными вида­
ми спорта;
б) в каждом купе едут спортсмены, занимающиеся одним видом
спорта.

500. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продали
семь билетов. Найдите вероятность того, что пассажиры попали в два
купе, если:
а) пассажиры покупают билеты в разное время и независимо друг
от друга;
б) пассажиры едут вместе, и один покупает билеты всей группе.
501. Для проведения очередного этапа чемпионата мира по футболу
36 национальных сборных команд разбиты на шесть групп по шесть
команд в каждой. Найдите вероятность того, что команды Франции
и Великобритании окажутся в третьей группе, а команды Германии
и России соответственно в первой и пятой группах.
502. В копилке находятся только двухрублевые монеты. Из копилки
взяли 15 двухрублевых монет и взамен положили 30 рублевых монет.
После этого вероятность вынуть из копилки наудачу двухрублевую
монету стала равна
Сколько монет было в копилке?
26
503. В копилке находятся только двухрублевые монеты. Из копилки
взяли 7 двухрублевых монет и взамен положили 14 рублевых монет.
После этого вероятность вынуть из копилки наудачу двухрублевую
31 . Сколько монет было в копилке?
монету стала равна —
45
504. Среди сотрудников офиса, в котором работают пять мужчин и три
женщины, разыгрывают по жребию два билета в театр. С какой веро­
ятностью в театр пойдут мужчина и женщина?
505. Среди сотрудников офиса, в котором работают шесть мужчин
и четыре женщины, разыгрывают по жребию два билета в театр. С ка­
кой вероятностью в театр пойдут мужчина и женщина?
506. Из цифр 0; 1; 4; 8; 9 случайным образом составляют трехзначное
число (повторения цифр допускаются). Какова вероятность того, что
получится четное число?
507. Из цифр 0; 2; 3; 6; 9 случайным образом составляют трехзначное
число (повторения цифр допускаются). Какова вероятность того, что
получится нечетное число?
508. Номера студенческих дипломов состоят из шести цифр. С какой
вероятностью случайно выбранный номер читается одинаково слева
направо и справа налево (например, 083380)?
509. Номера студенческих дипломов состоят из восьми цифр. С какой
вероятностью случайно выбранный номер читается одинаково слева
направо и справа налево (например, 05311350)?
510. На пяти карточках выписаны буквы слова «гамак». Карточки пе­
ремешивают и выкладывают в ряд случайным образом. Найдите веро­
ятность того, что получится то же самое слово.
511. На пяти карточках выписаны буквы слова «хохот». Карточки пе­
ремешивают и выкладывают в ряд случайным образом. Найдите ве­
роятность того, что получится то же самое слово.

67

512. Мишень представляет собой круг, в который вписан правильный
треугольник. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найди­
те вероятность того, что он не попал в треугольник.
513. Мишень представляет собой правильный треугольник, в который
вписан круг. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите
вероятность того, что он не попал в круг.
514. Центр окружности радиусом 5 находится в точке с координатами
(6; 8). Найдите вероятность того, что случайная прямая, проходящая
через начало координат, пересекает окружность.
515. Центр окружности радиусом 5 находится в точке с координата­
ми (6; 8). Найдите вероятность того, что случайный луч, выходящий
из начала координат, пересекает окружность.
516. Коля и Витя договорились встретиться в парке с 14.00 до 15.00.
Пришедший первым ждет другого в течение 20 мин, после чего ухо­
дит. Какова вероятность того, что они встретятся?
517. Коля и Витя договорились встретиться в парке с 15.00 до 16.00.
Пришедший первым ждет другого в течение 30 мин, после чего ухо­
дит. Какова вероятность того, что они встретятся?

68

ОТВЕТЫ
I. Квадратичная функция
1. а) 1; 3; 7; б) 5; 2; -4 ; в) -3 ; -4 ; 0; г) -2 ; 0; 10; д)
2. а) 1) /(1) > й(1); 2)

0; 2; е) 0; | ;

> й(4); 3) /(-2 ) > ft( 1); б) 1) у(-1) > z(0); 2) у (2) >

3) у(8) < г(2). 3. а) 1) 1; 2) 2; 3) -1; б) 1) -8; 2) 0; 3) -6. 4. а) Да, л: = h да, х = 2; нет;
1
^
б) да, л: = - ; да, л: = 3; нет. 5. а) л: = -1 ; * = 2; б) х = 3; х = 5; в) х = -2; г) де = 2.
6. а) 1) 2; 3; 7; 2) 2; 3; 7; б) 1) -1; 0; 1; 2; 3; 2) 0; 1; 2; 3. 8. а)
+°о); б) (-); г) (-во; +оо); д) х Ф 2; е) х * -1; ж) [11; -н»); з) (-во; 10]. 9. a) D(f) = [0; 4]
E(f) = [0; 4]; /(1) = 1; f ( 2) = 0; f(4) = 4; 6) D(g) = [-1; 8]; E(g) = [0; 2]; g (l) = 2
£(2) = 0; g(3) = 1. 10. a) (6; 0); (0; -3); 6) (-5; 0); (0; 15); в) (2; 0); (0; -2); г) (-3; 0)
(0; 1). 11. a) 1) [-2; 3]; 2) 2; 3) [-2; 2); 4) (2; 3]; 5) /ааим = -8 , fвая6 = 2; 6) [-2; 3]
б) 1) [-1; 3]; 2) 2; 3) [-1; 2); 4) (2; 3]; 5) 8шям = -3; gam6 = 9; 6) [-1; 3]. 12. а) 1) [-5; 5]
2) [-1; 8]; 3) /ааим = -1 ; /наи6 = 8; 4) ±1; ±3; 5) [-5; -3); (-1; 1); (3; 5]; 6) (-3; -1)
(1; 3); 7) [-2; 0]; [2; 5]; 8) [-5; -2]; [0; 2]; б) 1) [-1; 4]; 2) [0; 8]; 3) Лнаим = 0; Лнаи6 = 8
4) 1; 3; 5) [-1 ; 1); (1; 3); (3; 4]; 6) 0 ; 7) [1; 2]; [3; 4]; 8) [-1; 1]; [2; 3]
13. а) 1 )у = 2 х - 3; у = ^ х + 3;у = 0,01дс + 1; 2) у = 3 - 7х; у = -10х + 1; б) 1)у = 5х + 8
у = 0,001л: + 2; 2) у = 10 - Зл:; у - -100л; - 3; у = -х + 1. 14. а) А - 2, Б - 1, В - 3;
б) А - 3, Б - 2, В - 1. 15. а) 20; б) 20; в) 0; -2 ; г) 1; 5; д) нет; е) нет.
16. a) D(y) = (-оо; -и»); Е(у) = (- 0 при
х е (-оо; 6); у(х) < 0 при х е (6; -и»); наименьшего и наибольшего значений нет;
б) D(y) = ( - © о ; -и»); Е(у) = ( - о о ; + о о ) ; нули: х = 20; возрастает на ( - о о ; + © о ) ; у(х) < 0 при
х е (-оо; 20); у(х) > 0 при х е (20; -н»); наименьшего и наибольшего значений нет;
в) D(y) = ( - о о ; 0) U (0; -и»); Е(у) = ( - о о ; 0) (J (0; - к ~ ) ; нулей нет; у(х) < 0 при х е ( - о о ; 0);
у(х) > 0 при х е (0; -и»); убывает на ( - о о ; 0); (0; -и»); наименьшего и наибольшего
значений нет; г) D(y) = ( - о о ; 0) U (0; - К о ) ; Е(у) = ( - о о ; 0) U (0; -н > о ); нулей нет; у(х) < 0
при х е (0; -и»); у(х) > 0 при х е (-о©; 0); возрастает на (-оо; 0); (0; -и»); наименьше­
го и наибольшего значений нет; д) D(y) = [1; -и»); Е(у) = [0; -и»); нули: х = 1; у(х) > 0
при х е (1; -и»); возрастает на [1; - к © ) ; унаим = 0; наибольшего значения нет;
е) D(y) = [-2; -н»); Е(у) = [0; -н»); нули: х = -2 ; у(х) > 0 при х е (-2; -к»); возрастает
на [-2; + ° о ) ; г/наим = 0; наибольшего значения нет. 17. а) у = х + 5; б) у = х - 4;
В) у = (X + 3 )(* - 2); г) у = (х + 1)(* - 4). 18. а) у = х; б) у =

в) у =

г) у = 7 ^ 2 ; д) у = V = 3 ^ . 19. а) 1) (— ; 3,5); 2) (3,5; +~); б) 1) (-~ ; -1 ,8 );
2) (-1,8; +~); в) 1) (-~ ; 0); 2) (0; + »); г) (-~ ; 0); 2) (0; +~). 20. a) E{f) = [-8; 7];
б) E(f) = [-9; 1]. 21. а) * =
б) | ;

В)

- | ; г) - | ±

б) * =

22. а) 20 м /с; б) 40 м/с. 23. а) -9 ;

24. а) (— ; 0) U (о; -|) U ( J ; + ~ ); б) (-~ ; 0) U (о? | ) U ( | ; +»»);

в) (-со; -1) и (-1; 0) и (0; 1) и (1; +~); г) (-во; -2) U (-2; 0) U (0; 2) U (2; +сс);
Д) [5; 6) U (6; 8) U (8; 4 «); е) (-~ ; -3) U (-3; -2) U (-2; 1]. 25. а) -5 ; б) 1; в) 3; г) 2.
26. а) Убывает на (-оо; 1) (J (1; -н»); б) убывает на (-оо; -1) (J (-1; +о»); в) убывает
на (-оо; 0]; возрастает на [0; +°°); г) возрастает на (-оо; 0]; убывает на [0; -н»).
27. а) ( - о о ; -3) U (-3; -ю»); б) (^ »; 2) U (2; -ю»); в) ( - « о ; 3) U (3; + «); г) ( - о о ; 1) U (1; + о о ) ;
д) [0; 2]; е) [0; 3]. 28. а) 5; б) 4; в) 6; г) 3. 29. а) -3 ; б) 4; в) 5; г) 15. 30. а) 1) (-оо; -1);
(3; + ~ ) ; 2) (-1; 3); б) 1) (-4; 2); 2) ( - о о ; -4); (2; + о о ) ; в) 1) (2; - ю » ) ; 2) [1; 2); г) 1) [-1; 3);
2) (3; + о о ) . 31. a) D(y) = [2; -ю»), Е(у) = [3; +~); б) D(y) = ( - о о ; -2], Е(у) = [-4; + о о ) .
32. a) E(f) = [3; 12]; б) E(f) = [-8; 1]. 33. а) * =

б )х =

34. a) S = 50f при

69

t e [0; 2], S = 70* - 40 при t e (2; 5]; 6) S = 50* при t e [0; 3], S = 701 - 60 при
t e (3; 5]. 35. a) 6; 6) 4. 36. a) 16; 6) 4. 37. a) у = x + 4; б) у = дс; в) у = 4х - 3;
г) 2/ = 9лс - 8. 38. а) Дх) = 2х - 7; б) Дх) = 3* - 4; в) Д х) =
; г) Д х) =
40. а) 6,5; б) -3 ; в) 0; г) -1 . 41. а) 6; б) 10; в) 11; г) 5. 42. а) (-~ ; -6] U [-2; +°°);
б) (-«>; 3] U [7; -н»). Указание. Получите квадратное уравнение для нахождения х ,
найдите его дискриминант D и решите неравенство D > 0. 43. а) / наим = -5 ; / наиб = 5;
13 - 2 х ; в) У(х) = 2х2 - 21а; + 58;
б) /найм = Н ; /наиб = 15. 45. а) У(х) = 11 - Х\ б) У(х) =
■
,
1 6 -3 * ’
3Ьс —Я + 2
г) У(х) = 2 - |х - 9|; д) У(х) = 1
— . Указание. Пусть 2 = 6 - я, тогда * = 6 - г
1J. —

у I _Q

и запишем данную функцию для переменной 2 . 46. а) У(х) = - х - 1; б) i/(*) = -----— ;
йХ + 1U
|
л: + б + 3
а) у\*) - л т
т ю , i ; ); нули:
е)
= — 7л— ~ г — * У* = — 7л— 7Г\2— * 5 0 * а)
=V
(1 -х )2
(1 - х):
±1; ±4; /(*) < 0 на | - | ; - l j U (l; | j ; /(х) > 0 на
- | ) U (-1; 1) U
f(x) убыва­
ет на (—°°; - 3 ] U [0; 3 ]; f(x) возрастает на [ - 3 ; 0]; [ 3 ; +«), /наим = -2 ; наибольшего
7

значения нет; б) D(g) = (-«>; +«); E(g) = [-3; + 0 на ( - < « ;- 8 ) u [ - |;|ju ( 8 ;+ o o ) ;

f(x)

убы вает

на (-со; -5] U [-2; 0] U [2; 5]; /(х) возрастает на [-5; -2] (J [0; 2] U [5; -н»), / наим = -3;
наибольшего значения нет. 51. а) х - х2 + 6; - х 2 + 2х; х2 - 5; б) х2 - 6х + 9; 2х + х2;
х2 + 9; Зх + 1 + х2. 52. а) 1; 3; б) 1; 5; в)

2; г) -3 ;

53. а) А - 2, Б - 3, В - 1;

б) А - 3, Б - 2, В - 1. 54. а) 0; б) 0; в) 2; г) 2; д) 1; е) 1. 55. а)

3; б) 2;

в) -1 ; 3;

г) -1 ; 4; д) ±3; е) ±4. 56. а) х2 - 7х + 12; Зх2 + 12х + 12; 2х2 - 2х - 12; б) х2 - 4х + 1;
х2 + 8х + 12; 2х2 + 8х + 8; Зх2 + Зх - 18. 57. а) А - 3, Б - 1, В - 2; б) А - 2, Б - 1,
В - 3. 58. а) (х - 3)(х - 7); б) (х - 3)(х - 6); в) (х + 4)(х - 3); г) (х + 5)(х - 6);
Д) 2(х - |) ( х - 3); е) з(х - |) ( х - 2). 59. а) (х - 3)(х - 5); б) (х - 2)(х - 4); в) (х - |) ( х - 2);
г) (* - 1)(* - 3); д) (х + 2)(х + 3); е) (х + 1)(х + 5); ж) (х + | | | х - 1 |; з) (х + | j | x - |J .
60. а) х - 2; б) х - 3; в) х + 2; г) х + 3; д) х - 2; е) х - 3. 61. а) х - 5; б) х - 3; в) —
г)

62. а) 1000; б) 1000. 63. а) (х - 2)2 + 1; б) (х - З)2 + 1; в) (х + 4)2 - 17;

г) (х + 5)2 - 28. 65. а)

70

б)

в) 1 - V3; 2 - J 3 ; г) 2 -V 5 ; 3 - ^ .

66. a) [ - f ; +«); б) (-о ; § | ]; в) (-о ;0 ) U (о; | ] ; г) (-с ; 0) U (о; | ] . 67. a) f ± ± ; б) | ± | ;

в) f —^-; г)

69. а) При х = 1; -7 ; б) при х = 1; -4 . 70. а) 4; б) 36. 71. а) - 8 ;

б) -4 ; у . 72. а) 3(х - З )2 + 11(х - 3) + 3; б) -2(х - З )2 - 7(х -3). Указание. Пусть
z - x - 3, тогдах = г + 3 и запишем многочлен для переменной г. 73. а) (5 - 2х )2 - 7(5 - 2х) + 11; б) -(5 - 2х )2 + 19(5 - 2х) - 52. 74. а) 6х 2 - * - 2; б) 12х 2 + 5* - 2.
75. а) Зх 2 + 1 0 * - 16; б )х 2 - 5 х - 12 ; в) Зх 2 - х - 6; г) Зх 2 + 17* + 18. 76. а) х = 2,5у,
х = - 4 у; б) х = 4у, х =
в) х = 5у, х = 1,5у; г) х = у, х = | у. 77. а) х 7(х - 2)(х - 3);
б) х 5(х + 4)(х + 5); в) (х - 1)(х + 1)(х - 2)(х + 2); г) (х - 2)(х + 2)(х - 3)(х + 3);
д) (х - а)(5х + За); е) (х - а)(7х + 10а). 78. а) А = 7, х = 2, у = -3 ; б) А = 1, х = 1,
у = -2 ; в) А = 10, х - -2 , у = 3; г) А = 2, х = 1, у = 5. 80. а) 144 см2; б) 196 см2.
81. a)
б) ^ 4 • 82- а) а > 2; б) а < -3 . 83. а) А = 13, х = 2, у = 3; б) А = 29, * = 5,
у = -1 ; в) А = 7, х = 1, у = -1 ; г) А =10, х = 2, у = 2. 84. а) А = 2; б) А = 13,5.
85. а) х = - | , х = 1; б) х =
х = 3 .86. а) 81 см2; б) 121 см2. 88. (х - а + 1)(х - а - 2);
б) ( х - 3 а + 1)(jc + а - 1); в) (а - х)(2а + х - 1); г) (х + а)(х - 2 а - 1); д) (х - 2)(х + За + 6);
е) (х + 3)(х - 2а - 5); ж) (х2 + Зх - 3)(х2 + Зх + 5); з) (х2 + х - 2)(х2 + х - 4); и) (х2 +
+ 2х + 2)(х2 - 2х + 2); к) (2х2 + 2х + 1)(2х2 - 2х + 1). Указание, ж, з) Измените порядок умножения скобок; и, к) Выделите полный квадрат суммы. 89. а) - х - 2у;
б) -2 х - у; в)
г) | | ^ | . 90. а) -1 ; б) 0,2. 91. а) 5 и 1,5; б) 1 и 0,6; в)
г) —j . 92. а-г) 0. 93. а) 1 при х * ±1; ±2; б) 2 при х *■±2; -1 ;

,

4

q

2

94. а) При а = - 7

0 ; при а = 8 х е (-);
а +4
при а * - 8 ; а ф 3 х =
+ *; г) при а = ~ 0 ; при а = 3 х е (-«>; -и»); при а ^
fl + 8;

“ ‘ 3 * ■ i r i ' 95-

2

2

6) г ! в) - 5; rt f ; д)

е) - т :

61

,4 а с . 97. а) Зх 2 - 10х + 4;
_ч Ь. ^ Ь2 - 2а с. _ч Ь2 - 2ас ; е) - А ( Ь 2 - 4ас); ж) ^
в) с г) — аs— » д) — ”ас—
а '
'
щ
б) Зх2 - 17х + 15; в) 9х 2 - 18х + 5. 98. а) ах2 + 25х + 4с; б) ах2 + (Ь - 4а)х +(с - 25 + 4а);
в) а 2х 2 + (Ь - с)ах - 5с. 99. а) -7 ; б) -3 . 100. а) 54; б) -180. 101. а) А > - 8 ;б) А > -12.
102. а) А > б) А > 2. 103. а) 3; б) § .
2
У
104. а) 1/наим = 0; возрастает на [0; +«>); убывает на (-« ; 0].
X

0

У

0

±1
0,2

±2

±3

0,8

1,8

±4
3,2

±5
5

б) г/наиб = 0; возрастает на (- 0 при х е (-=.; -3) и х е (1; -н»); 3) £(/) = [-4; +°°); 4) / иаим = -4 ;

71

наибольшего значения нет; 5) убывает на (-°°; -1]; возрастает на [-1; +°о);
б) 1) -2 ; 6; 2) f(x) < 0 при х е (-2; 6); f(x) > 0 при х е (-«>; -2) и х е (6; +°°);
3) E(f) = (-16; +«>); 4) /наим = -16; наибольшего значения нет; 5) убывает на (-°о; 2];
возрастает на [2; -и»); в) 1) 0; 3; 2) f(x) < 0 при х е (-«>; 0 ) и х е (3; -н»), f(x) > О при
х е (0; 3); 3) E (f) =
на

4) /наиб =

|д; +°°j; возрастает на

наименьшего значения нет; 5) убывает

г) 1) 0; 2; 2) f(x) < 0 при х е (- 0 при х € (0; 2); 3) E(f) = (-°о; 2]; 4) /наиб = 2; наименьшего значения нет;
5) убывает на [1; -и»); возрастает на (-°°; 1]. 115. а) (-3; 0); (1; 0) (0; 3); б) (-3; 0);
(-1; 0); (0; 3); в) (1; 0) ( |; о ) ; (0; 1); г) (2; 0); (3; 0) (0; -6). 116. а) у = Зх2 - 3;
6) у = -2 х 2 + 4. 117. а) 1) у = Зх2 - 6х + 1; 2) у = Зх2 - 6 * + 13; б) 1) у = -2х 2 - 4 х - 7 ;
2)у = -Зх2- 4 * + 5.118. а) {/наим= -6; i/наиб =
б) 1/наим= 2; (/наи6= 6.120. а) 1)[ J ; +°°);
2) (— 5 - ^ ] ; б) 1) [ ^ ; + “ ); 2)

122. а) 9; б) -4 . 123. а) +12; б) ±6.

125. а) а > О, Ъ< 0, с > 0; б) а < О, b < 0, с < 0. 126. а)

1 К

; б)

4К

128. а) Положитель4
ный; б) отрицательный; в, г) положительный. 129. а) у = ^ х 2 - ^ х + ^ г;
4

б) у = 4х2 + 16 * + 12; в )у = 4х2- х - 6; г) у = Зх2 + х - 1. 130. а) (4; 44); б) (-3; -17).
131. а) у = х - 2, у = -7х - 2; б) у = Зх + 2, у = -х + 2. 132. а) (3; 9); б) (-2; 5).
133. а)
б) 4 ; в) 5; г)
д) 5; е) 6; ж) 2; з) -1. Указание. ж, з) Обозначьте корень
3
4
3
новой переменной и выразите х); и) 9; к) 11. Указание, и, к) Избавьтесь от ирра­
циональности в правой части равенства. 134. а) 0; б) 4; в) 4; г) 3. Указание. Рас­
смотрите подкоренные выражения. 135. а) |-); б) |-°°; ^ j U [1; +°°);
в) [0; 2]; г) j^O; ^

j. Указание. Получите квадратное уравнение для нахождения х,

вычислите его дискриминант В и решите неравенство D > 0. 136. а) При а < - 2 две точки; при а = -2 - три точки; при а е (-2; 1) - четыре точки; при а = 1 - три
точки; при а > 1 - две точки; б) при а < 2 - две точки; при а - 2 - одна точка; при
а е (2; 3) - 0 ; при а = 3 - одна точка; при а > 3 - две точки. 137. а)
б) (-°о; -4); в) ( у ; y j ; г)

- 4). 138. а) 1) Больше 0; 2) больше 0; 3) равно 0;

б) 1) больше 0; 2) меньше 0; 3) равно 0.139. а) 1) /(2,4) < /(3,8); 2) /(-8,1) < /(-9,6);
3) /(-9 ,6 ) = /(9,6); 4) /(-0 ,8 ) > /(0,4); б) 1) £(5,8) > £(4,9); 2) £(-12,3) < £(-15,1);
3) £(-0,3) = £(0,3); 4) £(1,4) < £(-2,1); в) 1) А(3,4) < А(5,2); 2) А(-0,35) < А(-0,24);
3) й(4,1) > Л(—4,1); 4) ft(0,6) > А(-5); г) 7,83; е) (-4,7)3 < (-4,2)3. 141. а) 1) Да; 2) нет; 3) да;
4) нет; б) 1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет. 142. а) I и II; б) I и II; в) I и III; г) I и III.
144. а) Да; б) да; в) нет; г) нет. 145. а) Да; б) да; в) нет; г) нет; д) да; е) да. 146. а) 4;
б) 5; в) 2; г) 2; д) 1,1; е) 1,8. 147. а) 2; б) 12; в) 3; г) 5; д) 2; е) 4. 148. а) - Ш ;
б) -Ч/З; в) - ? / Ш ; г) -|/0Д 5; Д) - f i f i е) - ф ± . 149. а) -2; б) -6; в) -2; г) -4; д) -0,1;
е) -0,1. 150. а) 13; б) 21; в) 2; г) 3; д) -4; е) -5. 151. а) А - 2, Б - 1, В - 3; б) А - 3,
Б - 2, В - 1; в) А - 1, Б —3, В —2; г) А - 3, Б - 2, В - 1. 152. a) ymin = -27, i/max = 8;
б) J/mi„ = -27, j/max = 8. 153. а) 12; б) 15. 154. а) -19; б) -43. 155. а) 0; | ; б) 0; | .

72

156. a) ymin = -5 , j/max = 43; б) j/min = -25, £max = 7.157. а) 5; б) 2; в) 10; г) 5. 158. а) 3;
б) 7; в) -2 ; г) 8; д) 5; е) -1. 159. а) 2 и 3; б) 3 и 4; в) 0 и 1; г) 0 и 1; д) 1 и 2; е) 1 и 2.
160. а) 1) 2 < * < 4; 2) -10 < * < 3; б) 1) -8 < * < 216; 2) 16 < * < 256.161. а) 2; б) 2;

в) 9; г) 0; д) 0 и 4; е) 1 и 9; ж) - | и 1; з) - | и -2 . 162. а) 625; б) 1296; в) -729;
г) -216; д) 22; е) 60. 163. а) 4; б) 6 . 164. а) 8 - у/3; б) 8 - S ; в) 4>/3; г) 4^5; д) 10;
е) -18. 165. а) у/х - у/ x - l ; б) у/х - у/х - 2 . 166. а) -81; б) 24; в) 123,7; г) 1,2; д) -24;
е) -44. 167. а) 2у/Ы ; б) 2л/17; в) 8^35 -1 8 ; г) 4>/22 - 6; д) 100; е) 27; ж)

э

з)

4

168. а) 6 ; б) 2; в) фсу + y j x + 2; г) Jx y + у4х + 4; д) 3 - у/х; е) 4 - у/х; ж) -18; з) -22.
169. а) При a < 3 0 ; при a = 3 - один корень; при a > 3 - два корня; б) при a < -4
0 ; при a = - 4 - один корень; при а > -4 - два корня; в) при a е (1; 5) 0 ; при a = 1
или a = 5 - один корень; при a е (-©©; 1 ) U (5; -и») - два корня; г) при а е (- 8; 1) 0 ;
при a = -8 или a = 1 - один корень; при а е (-©©; - 8) U ( 1 ; +°°) - два корня.
170. а) При a = 1 х е [0; +©©); при a * 1 х = 0; б) при a = 0 х е [1; +©©); при а * 0 х = 1;
в) при а = 0 х е (-©©; + о о ) ; при а Ф 0 х = 1; г) при а = 1 х е (-©©; -и»); при а Ф 1 х = 0;
д) при а = -2 х е [0; +оо); при а * -2 х - 1 ; е) при а = 0 jc е [ 1 ; +©©); при а * 0 х = 1 .
171. а) При а е (-°)jc = ±у/а2 + За; в) при
а е (-«>; 0] 0 ; при а е (0; -и») х =

г) при а е (-°о; 3] 0 ; при а е (3; -и»] х = - ^ fl ^ 3 •

II. Уравнения и неравенства с одной переменной
172. а) 7; б) 5; в) 4; г) 3; д) 2; е) 4. 173. Не имеет корней. 174. Не может иметь
отрицательные корни. 175. а) 2,5; б) 21; в) 28; г) у^. 176. а) -3,5;
в) -3 ,5 ; 2; г) - | ; 2,5; д) 7 ± ^

; е) - | ; 3. 177. а) 1; -2 ,5 ; б) -3 ; 2; в) -5 ; 2

г) 1; -4 ,5 ; д) -4 ; 3; е) -3 ; -11; ж) -1;
3; г) “

; 0;

д) -1 ; 0;

б) ^

з) 11;

178. а) 0; 7; б) -4; 0; 4; в) -3; 0

е) -6; 0; 5. 179. В системе счисления с основанием: а) 7

б) 6; в) 5. 180. а) -2 ; -V2; V2; 2; б) -4 ; -3 ; 3; 4; в) -2^2; 2>/2; г) ->/7; ^7
д) - у / 5 ; - у / 3 ; V3; V5; е) - ^ ; --j=; J = ;

у /Е .

181. а) -1 ; 0; 7; б) -3; -1; 1; 3; в) -3; 0; 6

г) -3 ; -2 ; 2; 3. 182. а) 12; б) 12; | ; в) § ; г) § ; 7. 183. а) -7; б) -8; в) -2 ; г) | ; д) -9
5
7
7
6
е) -6. 184. а) -3 ; 0; 1; 2; б) -3; -2; 0; 5; в) - | ; ~ 1 ^ л/3; г) - | ;
185. а) -3
1; -1 + 2 уМ; б) -1 ; 4; 1; 2; в) 1; -7; -2 ;

г) 1; - | . 186. а) (-3; -21); (0; 0); (2; 4)

б) (-1; -3); (0; 0); (4; 72); в) (-2; 4); (0; 0); г) (-1,5; -13,5); (0; 0). 187. а) 0; 2; б) -3
0; в) -1 ; - ^ ; г) -2 ; 1. 188. а) 9; б) 7; в) 9; г) 7. 189. а)
о

Д)

е) 1 Д - 19°- а) 3; б) 3; в) 1; 23; г)

192. а) у-; б)

"2*

7

б) -17; в) -4,2; г) -5,8

191‘ а) (7; ^ ) ; б) (~ 2; 4 (1; -2 )

193. Графики функций не имеют общих точек. 194. a) ±y(S; ±у/2

б) - | . 195. а) 1; б) - 1 ; в) | ; 2; г) - | ; д) (-«>; 2]; е) (-~ ; -3]. 196. а) При а * 1
х = а + 1, при а = 1 х е (-°°; -н»); б) при а * -2 х = а - 2, при а = -2 х е (-©о; + *» = 4 ■(-§)" '•

ь* =

Ь* = Т

4 0 9 . a)ft, = ! , g = |;6 )ft , = ^ , g = 4; в) ft, = 20, q =
е) 6, = § , q = 4; ж ) ft, = J , g = 2; з) ft, =

g=

;

е)

ь*

= 2“~5’ 65 =

г) ft, = J , q = 3; д)Ь, =

х-

q = J;

410. а) п = 6; б) п = 8; в) п = 5;

г) п = 8; д) п = 10; е) п = 12; ж) п = 8; з) п = 5. 411. а) 6; б) 32; в) 3; г) V3. 412. а)
б) ±3; в) | ; г) 7. 413. а) 3; б) 11; в) 1 - V2; г) -Уз - 1 ; д) 2; е) 1,5. 414. a) ft, = ^ , g = 3;
б) ft, = у , g =

В) ft, = | , g =

г) ft, = ~ > q = -3 ; д) ft, = 28; g = 2; е) ft, = 114,

q = 3. 415. a) n = 8; 6) n = 7; в) n = 10; r) n = 8; д) n = 11; e) n = 13. 416. a) 2, ±2>/3,
6, ±6V3, 18; 6) 3, ±3 n/2, 6, ±6^2, 12. 417. a) bx = 27, b2 = 18, b3 = 12; 6) bl = 80,
b2 = 60, b3 = 45. 418. a) bx = ±9, b2 = ±3, b3 = ±1, b4 = ± ^ ; 6) bx = ± ^ , b2 = ±1, b3 = ±2,
bA= ±4. 419. a) * = 4; 6) * = 5. 420. a) 175; 6) 91; в) 351; г) 14; д) 19; e) 76. 421. a) 255;
6) i ( 3 9 + 1 );

г)

2( * 19+ l )

x+1

+ i ) ; r) §§§; д) 4,5; e) | . 422. a)

B)

; e) г й ? - 423, a) * = ~ 9 и

; д)

424. a) ft, = 12, g =

6) ft, = 6, g =

б)

++^ ; в)

’- 1
x29(x - 1)’

X = b б) x = 3 и * = f '

425. a) | ; 6) | . 426. a) g = -Уз, ft, =

&2 = 3, b3 = 3>/3; 6) q = >/2, = 15, 62 = 15%/2, b3 = 30. 427. а)д = - 3 и д = 4; 6 ) g = -5
и g = 6. 428. a) g = ± | ; 6) g = ± | . 429. a) +2>/7; 6) ±V33. 430. a) 36; 6) 12.
431. a) x, = f .

*2

= § . *з = f . * 4 = § . « = §• * = y ? 6) x, = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 8,

a = 2, ft = 32. 432. a) -4 ; -1 ; 2; 6) -2 ; 1; 4. 433. a) | ; 6) | . 434. a) 2; 6) V3.
435. a) 14 - Ыу/2; 14; 14 + 14л/2; б) 12 + 12-У2; 12; 12 - 12-Д. 436. a) 34; 20; 6; б) 6;
21; 36. 437. a) g = 2 -> /3 ; 6) q = 2 + j2 . 438. а) д = -2 ; б) д = | . 439. а) 16,
О

4, -8 ; -16, -4 , 8; б) 12, 3, -6; -12, -3, 6. Указание. Учесть характеристическое
свойство геометрической прогрессии и найти связь между х и разностью арифме­
тической прогрессии.

У. Элементы комбинаторики и теории вероятностей
440. 12. 441. 20. 442. 9. 443. 100. 444. 6. 445. 24. 446. 10! 447. 720. 448. 120.
449. 8! 450. 120. 451. 720. 452. 870. 453. 5040. 454. 1320. 455. 210. 456. 60.
457. 60. 458. С320. 459. С}2. 460. С75. 461. С3. 462. С20. 463. С236. 464. 3136. 465. 170.
Г 11
14!
467. 8375. 468. 1120. 469.
470. С260 Cf4. 471. С2 •
+ С3 • С3 + С\ • С2
2 ' *
~
2
472. a) 3 j; б) 3!2!2! . 473. 2^ у * ^74. 17 760. Указание. На каждом месте каждая

466.

из цифр встречается 42 = 16 раз. 475. 945. 476. 2 18. Указание. Он может побывать
или не побывать на каждом из 18 не крайних полей. 477. Чисел с 7 больше
(8 • 96 < 9 • 106 8 • 96). 478. Cg. Указание. Рассмотрите 7 оставшихся на полке
книг. Между каждыми двумя соседними (справа и слева от крайних) либо есть
пустое место (от одной вынутой книги), либо нет. Набор пустых мест однозначно
определяет комплект вынутых книг. 479. а) 28 • Cf0; б) 10 • 26 • С9.4 8 0 . 0,9. 481. 0,9.
482. 0,003. 483. 0,85. 484. а ) б ) § . 485. 0,3. 486. 0,1. 487. 0,3. 488. 0,92. 489. 0,5.
О

О

490. 0,4. 491. 0,75. 492. 0,25. 493. | . 494.
о

б>1-499-а|т 5 г б,!ш

. 500. а)

495.
7

Ся =
^36

496.
5

497. § . 498. а) § ;
1&Э

*

У

1 ; б) 7 L 5 OI. 63 Л . 321- 502. 37.
36!
28 985 у 15'

503. 38. 504. ^ # = ^ | . 505. ^
= А - 506. | . 507. | . 508. 10~3. 509. 10“4. 510. 1
60'
15
5
С|
28
Cf0
5 U .^ .5 1 2 .

4 n - 3 s l3
4л

0,6. 513.

9-яУз -

0,4. 514. 4 . 515.
о

о

516. 4- 517. § .
У

4

Содержание

Предисловие .................................................................................................................................... 3
I.
1.
2.
3.
4.

К ВА Д РА ТИ Ч Н А Я Ф УН КЦ ИЯ .....................................................................................
Функции и их сво й ст ва..........................................................................................................
Квадратный трехчлен ..........................................................................................................
Квадратичная функция и ее граф ик.............................................................................
Степенная функция. Корень п -й степени..................................................................

4
4
12
18
23

И. У Р А В Н Е Н И Я И Н Е Р А В Е Н С Т В А С ОДНОЙ П Е Р Е М Е Н Н О Й ................... 2 8
5. Уравнения с одной переменной....................................................................................... 28
6 . Неравенства с одной переменной.................................................................................. 34
III. У Р А В Н Е Н И Я И Н ЕРА В ЕН С Т В А С Д ВУМ Я П Е Р Е М Е Н Н Ы М И ...........4 0
7. Уравнения с двумя переменными и их системы .................................................. 4 0
8. Неравенства с двумя переменными и их си стем ы ................................................ 46
IV. А РИ Ф М ЕТИ Ч ЕСК А Я И ГЕО М ЕТ РИ Ч ЕС К А Я П Р О Г Р Е С С И И .................. 50
9. Арифметическая п р о гр е сси я .......................................................................................... 50
10. Геометрическая п р о гр есси я .......................................................................................... 57
V. Э Л ЕМ ЕН Т Ы КОМБИНАТОРИКИ И ТЕО РИ И В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й .......... 62
11. Элементы комбинаторики................................................................................................. 62
12. Начальные сведения из теории вероятностей....................................................... 65
О ТВЕТЫ

........................................................................................................................................... 69

Пособие составлено в соответствии с требованиями Федерального госу­
дарственного образовательного стандарта и программы по математике для
9 класса общеобразовательной школы. В сборнике приведены задачи трех
уровней сложности - от элементарных и базовых до задач повышенной
сложности, конкурсных и олимпиадных. Ко всем задачам приведены ответы,
к наиболее сложным задачам даны и методические указания.
Пособие предназначено для учащихся и преподавателей общ еобразо­
вательных школ, подходит для классной и домашней работы, проведения
самостоятельных, контрольных и зачетных работ, подготовки к олимпиадам.

> пособия