Читаем Тьюринга [Чарльз Петцольд] (pdf) читать постранично, страница - 17
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
очевидно для бесконечных. Теперь этот факт известен как теорема
Кантора, и он был главным результатом его статьи 1891 года, в которой предложен метод диагонализации. Как и то, что множество может
иметь степень множества, a степень множества – свою собственную
степень множества и т. д. Все эти множества имеют разные мощности.
Кантор выяснил, что мощность континуума – это следующее за אּ0
трансфинитное число, которое он назвал אּ1. Это предположение называют континуум-гипотезой Кантора, и оно может быть выражено
математически так:
אּ1 = 2 אּ.
0
Кантор изо всех сил пытался доказать свою гипотезу, но так никогда и не смог этого сделать. Проблема заключалась в том, что между אּ0
и мощностью континуума могло быть какое-то другое трансфинитное число2.
1
2
Может также показаться, что мы наткнулись на метод перечисления всех
вещественных чисел от 0 до 1. Закономерность уже понятна – первая цифра после запятой меняется с 0 на 1, вторая цифра меняется со скоростью,
вдвое меньшей, и т. д. – и мы могли бы легко продолжать этот список настолько долго, насколько пожелаем. Однако ошибка в том, что список никогда не будет содержать трансцендентное число. Каждое число в списке
имеет конечное число ненулевых цифр после запятой.
Существование множества этой промежуточной мощности – это так называмая континуум-гипотеза – первая из 23 проблем Гильберта, о которых
он доложил на II Математическом конгрессе в 1900 году. В 1940 году Гёдель
доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо, а в 1963 году
Коэн доказал недоказуемость континуум-гипотезы. – прим. перев.
Глава 2. Иррациональные и трансцендентные числа
51
Несмотря ни на что, глубокий смысл всего этого состоит в том, что
мощность перечислимых множеств не просто меньше мощности континуума
אּ0 < 2 אּ,
0
а много, много, много, много, много меньше:
אּ0
Последние комментарии
3 часов 56 минут назад
14 часов 16 минут назад
1 день 2 часов назад
1 день 9 часов назад
1 день 11 часов назад
1 день 12 часов назад