КулЛиб электронная библиотека 

Геометрия 8 класс Учебник [Аркадий Мерзляк] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


Настройки текста:



Свойства параллелограмма
В



С

i— /
/77
в

ABCD
А В = CD

Е сли
то

— п арал л ел ограм м ,
и

ВС = AD

с

в

A B C D — парал л ел ограм м ,
АС и ZB = ZD

Е сли

т о /.А =

с

Е сли
то

АО

ABCD
= ОС

п арал л ел ограм м ,



и

В О = OD

Признаки подобия треугольников

П ервы й п р изн а к подобия
(п о д в у м у гл а м )
Е сли

в,

ZA

т о ДA B C

л А

-

ZAtи

=
w

ZB

Z B V

=

Д Л ^С ,

^ с ,
В то рой п р и з н а к по до бия
(п о д в у м с т о р о н а м
и у гл у м е ж д у н и м и )

Е слил д
т о ДА В С

hZA

"

= z^ ’

Д А ,^ ,^

Т ретий п р и з н а к по до бия
(п о т р ё м с т о р о н а м )
F

л ,/

к

.

АВ

ВС

СА

А 1В 1

В,С,

С , Л,

т о А А В С °° А А 1В 1С 1



Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Ф о р м ул а площ ади

а

прям оугольника:

S = ab

ь

Ф о р м ул а площ ади

Zi

параллел ограм м а:

__________/

S = ah

а

Ф о р м ул а площ ади
тр еугольн и ка:
п

\

S = \ aha

/4,5,. Отложим на стороне ВА отрезок S/1,,
равный стороне 5,/4,. Через точку Л , проведём прямую А,С,,, параллель­
ную стороне АС (рис. 140).
Углы А и B A r,Ci — соответственные при параллельных прямых /1,,С,
и АС и секущей А4,. Отсюда АА = АВА,,С,,. Но Z A = Z A V Получаем, что
= ZBA,,CT Следовательно, треугольники Л.2ВС2 и ^4 ,5,0, равны по вто­
рому признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольни­
ках ДА 2ВС2 « ДАВС. Следовательно, Л/1,6 ,0 , ™ААВС. ■*
Задача 1. Средняя линия трапеции A B C D (ВС II A D ) равна 24 см, а
её диагонали пересекаются в точке О, /40 : 0 0 = 5 : 3 . Найдите основания
трапеции.
Решение. Рассмотрим треугольники AO D и СОВ (рис. 141). Углы
AOD и В О С равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест
лежащие при параллельных прямых В С и A D и секущей АС. Следователь­
но, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.

Тогда АР _ АО

5
3'
Пусть В С = Зх см, тогда A D = 5х см.
Так как средняя линия трапеции равна 24 см, то В С + A D = 48 см.
Имеем: З х + 5 х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, В С = 18 см, A D = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см. ■*
ВС

СО

Задача 2 (свойство пересекающихся хорд). Докажите, что если хор­
ды А В и CD окружности пересекаются в точке М , то A M ■M B = D M • МС.
Решение. Рассмотрим треугольники A C M и D B M (рис. 142). Углы 3
и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опи90

рающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники A C M
и D B M подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда
Ж =
Отсюда A M - M B = D M - МС. ■*
DM
МВ
Задача 3 (свойство кэсатвльной и секущей!. Докажите, что если че­
рез точку А к окружности проведены касательная A M (М - точка касания)
и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С, то АМ г =
= АС ■АВ.
Решение. Рассмотрим треугольники А М В и ACM (рис. 143). У них
угол А — общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключе­

вую задачу § 9) ZAM B = ~ иМ В . Угол М СВ — вписанный угол и опирается на дугу М В, поэтому ZM CB = ~иМ В . Отсюда Z A M B = ZMCB. Следо­
вательно, треугольники А М В и A C M подобны по первому признаку подо­
бия треугольников. Тогда
1. Сформулируйте
2. Сформулируйте
3. Сформулируйте
ружности через

• Отсюда A M I2 = АС ■АВ. ◄

первый признак подобия треугольников.
свойство пересекающихся хорд.
свойство касательной и секущей, проведённых к ок­
одну точку.

I Упражнения
449. На рисунке 144 / Я АС = ZBED. Подобны ли треугольники А В С

и ED B? В случае утвердительного ответа укажите пары соответствен­
ных сторон.

91

.

На рисунке 145 D E 1 А В , В С 1 AD . Укажите на этом рисунке все па­
ры подобных треугольников.
451. На рисунке 146 /Л В С = ZBD C. Какие треугольники на этом рисун­
ке подобны? Запишите равенство отношений их соответственных
сторон.

450

Рис. 146

Рис. 145

В

D

А

isX

л\

F
\

И

В
452

.

А

Ь

A D

С

Укажите пары подобных треугольников, изображённых на рисун­
ке 147, найдите длину отрезках (размеры даны в сантиметрах).
Рис. 147

D
£)

в
5

х

ч


X/

ЧУс/

1

18

А



У

15 \

/

в

а

.

В треугольниках А В С и А^В^Су извест­
но, что / А = Z A V / В = / В г А В = 6 см,
ВС = 8 см, Л,В, = 9 см, Л,С, = 18 см.
Найдите неизвестные стороны данных
треугольников.
454 . На стороне CD параллелограмма ABCD
(рис. 148) отмечена точка Е, прямые
BE и A D пересекаются в точке F,

453

92

б

\2 1

455.

456.
457.

458.
459.

460.

461.
462.

СЕ - 8 см, D E 4 см, B E - 10 см, А О = 9 см. Найдите отрезки ЕЕ
и FD.
В трапеции A B C D (ВС || A D ) известно, что A D = 20 см, ВС = 15 см
О - точка пересечения диагоналей, АО = 16 см. Найдите отре­
зок ОС.
Диагонали трапеции A B C D с основаниями В С и A D пересекаются
в точке О, В О : OD = 3 : 7, В С = 18 см. Найдите основание АО.
Подобны ли два прямоугольных треугольника, если среди углов одно­
го из них есть угол, равный 38°, а среди углов другого — угол, рав­
ный 52°?
Докажите, что два равнобедренных треугольника подобны, если углы
при их вершинах равны.
Можно ли утверждать, что два равнобедренных треугольника подоб­
ны, если у них есть: 1) по равному острому углу; 2) по прямому углу;
3) по равному тупому углу?
Угол между боковой стороной и основанием одного равнобедренно­
го треугольника равен углу между боковой стороной и основанием
другого равнобедренного треугольника. Боковая сторона и основа­
ние первого треугольника равны 18 см и 10 см соответственно, а ос­
нование второго — 8 см. Найдите боковую сторону второго тре­
угольника.
Из вершины прямого угла треугольника опущена высота на гипотену­
зу. Сколько подобных треугольников образовалось при этом?
Стороны параллелограмма равны 20 см и 14 см, высота, проведённая
к большей стороне, равна 7 см. Найдите высоту параллелограмма,
проведённую к меньшей стороне.

463. В трапеции A B C D с основаниями В С и A D диагонали пересекаются

464.

465.

466.

467.

в точке О, В О = 4 см, OD = 20 см, АС = 36 см. Найдите отрезки АО
и ОС.
В трапеции A B C D (ВС || AD ) известно, что А О = 18 см, В С = 14 см,
АС = 24 см. Найдите отрезки, на которые диагональ АС делится точ­
кой пересечения диагоналей.
Докажите, что в подобных треугольниках биссектрисы, проведённые
из вершин соответственных углов, относятся как соответственные
стороны.
Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из
вершин соответственных углов, относятся как соответственные сто­
роны.
Основания В С и A D трапеции A B C D равны соответственно 28 см
и 63 см, /Л В С = /A C D . Найдите диагональ АС.
93

468 . На стороне АС треугольника А В С отметили точку D такую, что

AABD = АС, А В = 20 см, В С = 28 см, АС = 40 см. Найдите неизвест­
ные стороны треугольника ABD.
469 . Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а больший ка­
тет _ 16 см. Найдите отрезки, на которые серединный перпендику­
ляр гипотенузы делит больший катет.
470 . Объясните с помощью рисунка 149, как можно найти ширину (ВМ)
реки, используя подобие треугольников.
471 . Изображение дерева, удалённого на 60 м от объектива фотоаппарата,
имеет на плёнке высоту 8 мм (рис. 150). Расстояние от объектива до
изображения равно 40 мм. Какова высота дерева?

472 . Найдите высоту дерева, если длина его тени равна 8,4 м, а длина те­

473 .

474 .

475 .

476 .

ни от вертикального столба высотой 2 м в это же время суток равна
2,4 м (рис. 151).
Может ли прямая пересекать
две стороны равнобедренно­
го треугольника, отсекать от
него треугольник, ему подоб­
ный, и не быть параллель­
ной третьей стороне?
Хорды АВ и CD окружности
пересекаются в точке М,
A M = 6 см, В М = 14 см,
СМ = 1 2 см. Найдите отре­
зок DM.
Хорды М К и N P окружности пересекаются в точке F, M F = 9 см,
K F = 12 см, а отрезок N F в 3 раза длиннее отрезка PF. Найдите хор­
ду NP.
Точка К делит хорду АС окружности пополам, а хорду D E —на отрез­
ки длиной 2 см и 32 см. Найдите хорду АС.

94

477 . Точка Е делит хорду CD окружности на отрезки длиной 15 см

478 .

479 .

480 .

481 .

482 .

483 .

484 .

и 16 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки Е до
центра окружности равно 4 см.
Хорда М К окружности делится точкой Р на два отрезка длиной 8 см
и 12 см. Найдите расстояние от точки Р до центра окружности, если
её радиус равен 11 см.
Через точку А проведены к окружности касательная A M (М - точка
касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках К и Р
(точка К лежит между точками А и Р). Найдите КР, если А М = 12 см,
А Р = 18 см.
Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые, од­
на из которых касается окружности в точке Е, а другая пересекает ок­
ружность в точках С и D (точка С лежит между точками А и D),
А В = 18 см, А С : CD = 4 : 5 . Найдите отрезок AD.
Через точку А , лежащую вне окружности, проведены две прямые, од­
на из которых пересекает окружность в точках В и С (точка В лежит
между точками А и С), а другая —в точках D и Е (точка D лежит ме­
жду точками А и Е).
1) Докажите, что А В ■А С = Л Г) ■АЕ.
2) Найдите А Е , если А В = 18 см, В С = 12 см и A D : D E - 5 : 7.
В окружности, радиус которой равен 8 см, проведена хорда АВ. На пря­
мой А В вне отрезка А В отметили точку С такую, что АС : ВС = 1 : 4 .
Найдите расстояние от точки С до центра окружности, если АВ - 9 см.
В треугольник А В С вписан квадрат так, что две его соседние верши­
ны принадлежат стороне АС, а две другие —сторонам А В и В С соот­
ветственно. Найдите сторону квадрата, если АС = а, а высота, прове­
дённая к стороне АС, равна h.
В треугольнике А В С известно, что В С = 72 см, A D — высота,
A D = 24 см. В данный треугольник вписан прямоугольник M N K P так,
что вершины М и Р принадлежат стороне ВС, а вершины Л’ и К
сторонам А В и АС соответственно. Найдите стороны прямоугольни­
ка, если М Р : M N = 9 : 5.
' Упражнения для повторения

485 . Найдите углы параллелограмма, если угол между его высотами, про­

ведёнными из одной вершины, равен: 1) 20 ; 2) 130 .
и 0 2, радиусы которых равны, пере­
секаются в точках А и В. Отрезок 0 10 2 пересекает данные окружно­
сти в точках C n D . Докажите, что четырёхугольник ACBD - ромб.

486 . Две окружности с центрами

95

487. Один из углов прямоугольной трапеции равен 135 , средняя линия —
21 см, а основания относятся как 5 : 2. Найдите меньшую боковую сто­
рону трапеции.

О Наблюдайте, рисуйте,
конструируйте. Фантазируйте

488. Как два равных выпуклых четырёхугольника разрезать на части, из
которых можно составить параллелограмм?

Г

Когда сделаны уроки

Теорема Менелая
Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными.
Две точки коллинеарны всегда.
В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая слу­
жит критерием коллинеарности трёх точек. Эта теорема носит имя древне­
греческого математика и астронома Менелая Александрийского (I—II вв. н. э.).

0 Теорема МенелаяV
На сторонах АВ и В С треугольника А В С отмечены соот­
ветственно точки С, и А ,, а на продолжении стороны АС —
точка В г Для того чтобы точки A ,, В х, С, лежали на одной
прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
равенство
АС, ВА, СВ,

=1.

~С\В

(*)

Доказательство

Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки А,,
В,, С, лежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника А В С опустим перпендикуляры AM , B N
и СР на прямую С,В, (рис. 152). Поскольку ZMC,A = Z N C XB, то треуголь­
ники А А/С, и B N C X подобны по
первому признаку подобия тре_
АС,
am
угольников. Отсюда
= —С, В BN '
Из подобия треугольников B N A X
и СРА. получаем, что

=

Из подобия треугольников В ХСР
96

СВ.
ВуА М следует равенство & ^

. Перемножив почленно левые и пра-

АС,
AM
---- - =_ —
:.
С, В
BN
АСХ ВАХ cbl = am _ Ш
СР
СХВ ' A f ' ВХА
B N ' C P A M ~ 1'

вые части пропорций

ВА,
A fi

BN
СР ’

СВ.
В,Л

СР
получаем
AM ’

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполня­
ется равенство (*), то точки A l, B v С, лежат на одной прямой.
Пусть прямая С ]В 1 пересекает сторону В С треугольника А В С в некото­
рой точке А 2 (рис. 153). Поскольку точки C v А 2, В j лежат на одной прямой, то
АСХ В \ СВ.
из доказанного выше можно записать:
ь: --- • „ •—— = 1 . Сопоставляя это
С{В Л2С В}А
/*\
ВА.
равенство с равенством (*), приходим к выводу, что — ^

ВАс,

, т. е. точки Л 2

il jl /

и А х делят отрезок В С в одном и том же отношении, а значит, эти точки сов­
падают. Отсюда следует, что прямая С ,В j пересекает сторону В С в точке А •<
Заметим, что теорема остаётся справедливой и тогда, когда точ­
ки y!j и С, лежат не на сторонах треугольника А В С , а на их продолже­
ниях (рис. 154).

1

.

Упражнения
Общие касательные к трём ок­
ружностям пересекаются в точ­
ках А , В и С (рис. 155). Докажи­
те, что эти точки коллинеарны.
Указание. Примените теорему
Менелая к треугольнику О
и точкам А , В , С , которые ле­
жат на продолжениях его сторон.
97

2

3.

4.

Окружность с центром О, касается двух окружностей с центрами О,
и О в точках В и А соответственно (рис. 156). Докажите, что пря­
мой ЛВ принадлежит точка С - точка пересечения общих касатель­
ных к окружностям с центрами Ог и Оу
В точках А , В, С к окружности проведены касательные (рис. 157). До­
кажите, что точки М, N и Р коллинеарны.
Указание. Применяя теорему Менелая к треугольнику А В С , восполь­
зуйтесь ключевой задачей 2 § 13.

Прямая пересекает стороны А В , В С и продолжение стороны АС тре­
угольника А В С соответственно в точках D, Е, F. Докажите, что сере­
дины отрезков DC, АЕ, BF лежат на одной прямой (эту прямую назы­
вают прямой Гаусса).
Указание. Примените теорему Менелая к треугольнику, вершины ко­
торого являются серединами сторон треугольника АВС.

Карл Фридрих Гаусс

(1777- 1855)
Выдающийся немецкий математик, астро­
ном, физик, геодезист.
В его творчестве органически сочетались
исследования по теоретической и прикладной ма­
тематике. Работы Гаусса оказали большое влия­
ние на всё дальнейшее развитие алгебры, теории
чисел, геометрии, теории электричества и магне­
тизма.

98

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)
Д ревнегреческий математик и астроном.
Автор геоцентрической модели мира. Разработал
математическую теорию движения планет, позво­
ляющую вычислять их положение. Создал прооб­
раз современной системы координат.

Теорема Птолемея
fcl Теорема
Птолемея
Произведение диагоналей вписанного в окружность че­
тырёхугольника равно сумме произведений его противо­
лежащих сторон.
Доказательство

На рисунке 158 изображён вписанный
в окружность четырёхугольник A B C D .
Докажем, что А В ■D C + В С ■A D = BD ■АС.
На диагонали А С отметим точку К
так, что Z1 = Z2. Углы 3 и 4 равны как впи­
санные углы, опирающиеся на одну и ту же
дугу. Следовательно, треугольники А В К
и D BC подобны по первому признаку подо,
_
АВ АК
бия треугольников. Отсюда
=
, т. е.
А В • D C = B D ■АК.
(1)
Так как Z1 = Z2, то Z A B D = А КВ С. Углы 5 и 6 равны как вписанные
углы, опирающиеся на одну и ту же дуг)'. Поэтому ЛК В С : AABD. Отсюда
ВС _ КС
BD AD ’ Т- е'
В С ■A D = B D ■КС.
(2)
99

Сложив равенства (1) и (2), получим:
А В • D C + ВС ■A D = B D - A K + B D KC т. е
АВ • -DC + ВС • AD = BD • (АК + КС) - B D ■ АС. ч
Упражнения
1.

2.
3.

Пусть М — произвольная точка окружно­
сти, описанной около равностороннего
треугольника АВС. Докажите, что один
из отрезков М Л. М В, М С равен сумме
двух других.
На окружности отмечены точки А , В, С,
D так, что иАВ = и В С = uC D . Докажите,
что АС- = А В ■(B C + A D ).
На рисунке 159 изображён вписанный
в окружность семиугольник ABCDEFG,
у которого все стороны равны. Докажи-

те’ 4r° J

c +JD = JB'
8 14 . Второй и третий признаки
подобия треугольников

& Теорема 14.1

\ -------------------------

(второй признак подобия треугольников:
по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны одного треугольника пропорциональны
двум сторонам другого треугольника и углы, образован­
ные этими сторонами, равны, то такие треугольники по­
добны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники А В С и A jB j C., в которых

=—- =к

и ZB = ZB,. Докажем, что ДА В С м ААХВ^СГ
Если А = 1, то А В = AjB, и ВС = В ХСХ, а следовательно, треугольники
А В С и AjBjC, равны по первому признаку равенства треугольников, т. е.
эти треугольники подобны.
Пусть, например, k > 1, т. е. А В > А ХВ Х и В С > В ХСУ На сторонах
ВА и В С отметим соответственно точки А„ и С„ так, что В А., = А ХВ Х
и ВС, = В ХСХ(рис. 160). Тогда ~

=~ 100

Покажем, что А 2С2 || АС. Допустим, что это не так. Тогда на сторо­
не В С отметим точку М такую, что А 2М || АС. ИмеемНо
АВ
ВС_
ВС_ _ ВС
Щ
ВМ
ВА, ВС2 ’ тогда ВС2 ВМ ’ Т' е'
~ ВМ. Следовательно, буквами М
и С, обозначена одна и та же точка. Тогда А„С2 II АС.
По лемме о подобных треугольниках получаем, что ААВС ~ AA,fiC„.
Треугольники А 2В С 2 и А 1В 1С1 равны по первому признаку равенства тре­
угольников. Отсюда ААВС Д/4,5,(7,. 4
0

Т еорем а 14 .2

(третий признак подобия треугольников:
по трём сторонам)
Если три стороны одного треугольника пропорциональны
трём сторонам другого треугольника, то такие треуголь­
ники подобны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники А В С и A tB lCl, в которых
ГА

= ут-т- = k. Докажем, что ААВС ™ДА.В .С ..

-^ 5- = - ^ - =

АА

Ц

Если k = 1 , то треугольники А В С и A j B j C , равны по третьему призна­
ку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.
Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответст­
венно точки А 2 и С., такие, что ВА„ = A ]B V ВС,, = В, С, (рис. 161). Тогда
АВ
ВС = А. Отсюда получаем, что Л,,С, || АС (мы установили этот факт
ВА, ВС„
при доказательстве второго признака подобия треугольников). Следователь­
но, по лемме о подобных треугольниках получаем, что А А В С 1X1Д/4,ВС2, при­
СА
,
СА
,
чём коэффициент подобия равен k. Тогда ■ А— Г - = я , НО ПО условию А ■, = я .

101

Отсюда А С , - А„С,- Следовательно, треугольники А 2В С 2 и Л ,J3,С,
равнь! но третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что
д А В С ™А А ^ С 2, получаем: ДА В С ™АА \В ХСГ ■*
Задача Докажите, что отрезок, соединяющий основания двух высот
остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему по­
добный.
Решение. На рисунке 162 отрезки А 4, и СС, - высоты треугольни­
ка АВС. Докажем, что ДA B C P J АА1В С 1.
В прямоугольных треугольниках А В А ] и СВ С, острый угол В - об­
щий. Следовательно, треугольники А В А Хи СВС, подобны по первому при^
АВ Щ
АВ _ ВС v

знаку подобия треугольников. Отсюда
• югда
ВС^ угол£*
общий для треугольников А В С и Д ,В С 1. Следовательно, треугольники
АВС и
подобны по второму признаку подобия треугольников. ■*
1. Сформулируйте второй признак подобия треугольников.
2. Сформулируйте третий признак подобия треугольников.
I Упражнения
489. На одной стороне угла А отложены отрезки А В и A D , а на другой —
отрезки АС и АЕ. Подобны ли треугольники А В С и AD E, если
А В = 4 см, A D = 20 см, АС = 10 см, А Е = 8 см?
490. На сторонах А В и АС треугольника А В С (рис. 163) отметили соот­
ветственно точки D и Е так, что AD = %АС, АЕ = ^ АВ. Найдите от7
7
резок DE, если В С = 21 см.
491. В треугольнике А В С известно, что А В = 21 см, АС = 42 см, В С = 28 см
(рис. 164). На продолжениях отрезков А В и В С за точку В отложены

102

492.

493.

494.

495.
00

соответственно отрезки Ш и В К , В М = 8 см, В К = 6 см. Найдите от­
резок КМ.
Отрезки А В и CD пересекаются в точ­
ке О (рис. 165), АО = 24 см, ВО = 16 см,
СО = 15 см, OD = 10 см, Z.ACO = 72°.
Найдите Z.BDO.
На сторонах АС и В С треугольни­
ка А В С отметили соответственно точ­
ки М и К так, что СМ = 15 см,
СК = 12 см. Найдите МК, если
АС = 20 см, В С = 25 см, А В = 30 см.
Подобны ли треугольники А В С и
A XB XCV если:
1) А В = 6 см, В С = 10 см, АС = 14 см, А.В. = 9 см, В.С. = 15 см,
/ 1 ^ = 21 см;
2) АВ = 1,3 см, В С = 2,5 см, АС = 3,2 см, А ХВ Х= 26 см, В ХСХ= 50 см,
А ХСХ= 60 см?
Подобны ли два треугольника, если стороны одного относятся как
3 : 8 : 9, а стороны другого равны 24 см, 9 см, 27 см?

\ ____
4 9 6 . В треугольниках А ВС и А ХВ ХСХизвестно, что ZA - / A v каждая из

сторон А В и АС составляет 0,6 сторон А ХВ Хи А ]С] соответственно.
Найдите стороны В С и В ХСХ, если их сумма равна 48 см.
4 9 7 . В треугольниках D E F и M K N известно, что /.Е = /.К, а каждая из сто­
рон D E и E F в 2,5 раза больше сторон М К и K N соответственно.
Найдите стороны D F и MN, если их разность равна 30 см.
4 9 8 . На сторонах АВ и АС треугольника А ВС отметили соответственно
точки D и Е так, что AD : DB = АЕ : ЕС = 3 : 5 . Найдите DE, если
В С = 16 см.
4 9 9 . Из деревянных палочек изготовили три подобных разносторонних
треугольника. В каждом из них большую сторону покрасили в си­
ний цвет, а меньшую —в жёлтый. Из синих палочек составили один
треугольник, а из жёлтых —второй. Будут ли эти треугольники по­
добны?
5 0 0 . В треугольнике А ВС известно, что АС = а, АВ = В С = b, A M и СК —

биссектрисы треугольника. Найдите отрезок МК.
5 0 1 . В треугольнике А В С известно, что АВ = 8 см, В С =12 см, АС ~ 16 см.

На стороне АС отметили точку D так, что CD = 9 см. Найдите отре­
зок BD.
103

«ГЛ-----

Из точки А проведены два луча A M и AN. На луче A M отмечены точ­
ки Я и В, а на луче A N — точки С и Я так, что А Н ■А В = АС ■AD.
Докажите, что точки Я , В, С и Я лежат на одной окружности.
503. На медиане В М треугольника А В С отметили точку К так, что
ZM K C = ZBC M . Докажите, что
/А К М = ZBAM .
504. Отрезки А В и CD пересекаются в точ­
ке М. Известно, что A M • М В =
= СМ ■MD. Докажите, что точки А,
В, С и D лежат на одной окружности.
505. На общей хорде двух пересекающихся
окружностей отметили точку М и че­
рез неё провели хорды А В и CD
(рис. 166). Докажите, что Z D A B =
= ZBCD.

502.

--------

Упражнения для повторения

Периметр параллелограмма A B C D равен 46 см. Z B A D = ZADB.
Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольни­
ка BCD равен 32 см.
507. На диагонали B D квадрата A B C D отметили точку Е так, что
D E = AD. Через точку Е проведена прямая, которая перпендикуляр­
на прямой BD и пересекает сторону А В в точке F. Докажите, что
A F = FE = BE.
508. В трапеции A BC D известно, что Z B = 90°, Z C = 150°, В С = 5 см. Най­
дите сторону CD, если высота трапеции, проведённая из вершины С,
разбивает данную трапецию на треугольник и квадрат.

506.

П о в т о р и т е с о д е р ж а н и е п у н к т а 7 н а с. 197 и п у н к т а 17 н а с. 201.

С2Э Наблюдайте, рисуйте.
конструируйте. Фантазируйте
509.

На окружности отметили 999 точек синим карандашом и одну точку
красным карандашом. Каких многоугольников с вершинами в отме­
ченных точках больше: тех, которые содержат красную точку, или
тех, которые её не содержат?

104

Когда сделаны

уроки

Прямая Эйлера
Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольни­
ка —это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту
точку буквой О.
Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной
окружности. Обозначим эту точку буквой J.
Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, назы­
вают ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой II.
Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом тре­
угольника. Обозначим эту точку буквой М.
Точки O .J, Н, М называют замечательными точками треугольника.
Использование такого эмоционального эпитета вполне обоснованно. Ведь
эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно
уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?
Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треуголь­
ника.

В любом треугольнике центр описанной окружности, цент­
роид и ортоцентр леж ат на одной прямой (прямой Эйлера).
Доказательство
Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение оче­
видно.
Если данный треугольник А В С прямоугольный {Z.С = 9 0 ), то его ор­
тоцентр — это точка С, центр описанной окружности
середина гипоте­
нузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идёт речь в теоре­
ме, принадлежат медиане, проведённой к гипотенузе.
Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Если точка Н — ортоцентр треугольника АВС , О М 1 —
перпендикуляр, опущенный из центра О описанной ок­
ружности на сторону ВС, то А Н —2О М х (рис. 167).
Доказательство
Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из реше­
ния ключевой задачи § 2: через каждую вершину треугольника А В С прове105

дём прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник
А В С (см рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ор­
тоцентр Я треугольника А В С является центром описанной окружности
треугольника Л,В,С,. Для этой окружности угол В ,Я С , является централь­
ным, а угол В,Л,С, - вписанным. Так как они опираются на одну и ту же ду­
гу, то ЛВ,ЯС, = 2ЛВ,Л,С,. Углы ВАС и В ,Л ,С , равны как противолежащие
углы параллелограмма ЛВЛ,С, поэтому Z B O C — 2ZBAC — 2ЛВ,Л,С, =
= ZB Н С У Поскольку В,С, = 2ВС, то равнобедренные треугольники В,ЯС,
и СОВ подобны с коэффициентом подобия, равным 2. Поскольку отрезки
А Н и ОМ, — соответственные высоты подобных треугольников, то А Н =
= 2 ОМ,.
Докажем теперь основную теорему.
Поскольку точка М, —середина стороны ВС, то отрезок ЛМ , - ме­
диана треугольника ЛВС (рис. 168). Пусть М - точка пересечения отрез­
ков ЛМ, и НО. Так как А Н || ОМ,, то Z H A M = ЛОМ ,М . Кроме того, уг­
лы А М Н и М ,М О равны как вертикальные. Следовательно, треугольни­
ки Н А М и ОМ ,М подобны по первому признаку подобия треугольников.
Отсюда -г^т— = тггт- = 2. Значит, точка М делит медиану ЛМ, в отношеММ,

СШ,

нии 2 : 1, считая от вершины Л. Тогда точка М — центроид треугольни­
ка ЛВС.

Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично. <
Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принад­
лежности точек О, М, Я одной прямой, но и доказали равенство Я М =
—2МО, которое является ещё одним свойством замечательных точек тре­
угольника.

106

'

Леонард Эйлер(1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик,
астроном.
Уроженец Швейцарии, приехал в Россию
в 19 лет по приглашению Петербургской академии
наук. Большую часть жизни провёл в России, здесь
же создал большинство своих научных трудов.
Сточки зрения математики XVIII век — это
век Эйлера, Если до него достижения в области
математики были разрознены и не всегда согла­
сованны, то Эйлер впервые соединил анализ, ал­
гебру, тригонометрию, теорию чисел и другие
дисциплины в единую систему и добавил немало собственных открытий.
Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».
Кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию,
теорию музыки, множество европейских языков. Свои математические
исследования Эйлер широко применял для решения практических про­
блем механики, баллистики, картографии, кораблестроения.
Двухтомная классическая монография «Универсальная арифмети­
ка» (которая издавалась также под названиями «Начала алгебры» и «Пол­
ный курс алгебры») была переведена на многие языки и переиздавалась
около 30 раз (трижды — на русском языке). Все последующие учебники
алгебры создавались под сильнейшим влиянием Эйлера.
Эйлер воспитал первых российских математиков, ставших членами
Петербургской академии наук.

Упражнения
1.

2.
3.

Даны две точки, лежащие в одной полуплоскости относительно дан­
ной прямой. Постройте треугольник, одна из сторон которого лежит
на данной прямой, а центр описанной окружности и ортоцентр явля­
ются двумя данными точками.
Постройте треугольник А В С по трём данным точкам: вершине А, ор­
тоцентру Н и центру О описанной окружности.
Биссектриса угла А остроугольного треугольника А В С перпендику­
лярна прямой Эйлера этого треугольника. Докажите, что Z«4 = 60°.
Указание. Докажите, что НА = 0/1.

107

Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя»
1. На рисунке 169 /1,В ;

I

А 2В2, А 2В2 I А 3Ву

ДА, = | ДА,- Отсюда следует, что
А) А.А, = В }В 2
В) А ,А , = В ,В а
Б )В ,В 3 = 2 В Д ,
Г) А,А2 = В 2В 3
2. Если медианы АА, и В В , треугольника
А ВС пересекаются в точке М, то какое
из данных равенств является верным?
А) A M : М В 1 = В М : МА,
Б) МА, = |М В
В) МА, = 1 а М
1

2

Г )М В ,= |В В ,
3 . На рисунке 170 А ,С, II АС. Тогда
м

дс,

ВА,

~ ДА
т-ч

Б)

ВА\
АВ

СВ
- ВС,

ВС

в)

АС

Щ

ДС,

АС

ВА,

Г , ЛЕТ ~

АВ

4 . В треугольнике А В С известно, что А В = 8 см, В С = 4 см,

АС = 9 см. В каком отношении центр вписанной окружности де­
лит биссектрису В В ,, считая от вершины В?
А) 2 : 3
Б) 2 : 1
В) 4 : 3
Г) 3 : 4
5. Через точку М стороны В С параллелограмма A BC D проведена
прямая, параллельная стороне CD. Эта прямая пересекает отрез­
ки BD и AD в точках К тл F соответственно. Известно, что
ВМ : FD = 2 : 1 . Чему равно отношение K D : В К?
А) 2 : 1
Б) 1 : 2
В) 1 : 3
Г) 4 : 1
6. В треугольнике А ВС известно, что А В = 14 см, В С = 21 см. На
стороне АВ на расстоянии 4 см от вершины А отмечена точка D,
через которую проведена прямая, параллельная стороне АС. Най­
дите отрезки, на которые эта прямая делит сторону ВС.
А) 12 см, 9 см
В) 15 см, 6 см
Б) 18 см, 3 см
Г) 14 см, 7 см

108

Отрезок M N , проведённый через точку
Рис. 171
пересечения диагоналей неравнобокой
трапеции A B C D , параллелен её основа­
ниям (рис. 171). Сколько пар подобных
треугольников изображено на рисунке^
А) 4
Б) 6
В) 3
Г) 5
8 . Через вершины А и С неравнобедрен­
ного треугольника А В С проведена ок­
ружность, которая пересекает стороны
Рис. 172
В А и В С в точках Е и D соответствен­
но (рис. 172). Какое из данных равенств
является верным?
ВС ВА
DE BD
В)
BD '' ВС
АС ~ ВС
BE BD
BD ВС
Г)
ВС "" ВА
DE ~ АС
9. Хорда А В пересекает хорду CD в её се­
редине и делится точкой пересечения на отрезки, равные 4 см
и 25 см. Чему равна хорда CD?
А) 10 см
Б) 5 см
В) 100 см
Г) 20 см
1 0 . В треугольнике А В С известно, что АВ = 10 см, В С = 4 см,
СА = 8 см. На стороне АС отмечена точка D такая, что A D = 6 см.
Чему равен отрезок BD?
А) 5 см
Б) 4 см
В) 6 см
Г) 7 см
7.

Итоги главы 2
Теорема Фалеса
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла,
отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они от­
секают равные отрезки и на другой его стороне.
Отношение двух отрезков
Отношением двух отрезков называют отношение их длин,
выраженных в одних и тех же единицах измерения.

109

1

Т ео р е м а о п р о п о р ц и о н а л ь н ы х о т р е з к а х
Если п а р а л л е л ь н ы е п р я м ы е п е р е с е к а ю т с т о р о н ы угл а, то
о тр е зк и , о б р а з о в а в ш и е с я на о д н о й с т о р о н е у гл а , п р о п о р ­
циональны соответствую щ им о тр е зк а м , о б р а зо в а в ш и м ся
н а др уго й сто р о н е угла.
С в о й ств о м е д и а н тр е у го л ь н и к а
Три м е д и а н ы тр е у го л ь н и к а п е р е с е к а ю т с я в о д н о й точке,
к о то р а я д е л и т к а ж д у ю и з н и х в о т н о ш е н и и 2 : 1, сч и та я от
в е р ш и н ы тр е у го л ьн и ка .
С в о й ств о б и с с е к т р и с ы тр е у го л ь н и к а
Б и с с е к т р и с а тр е у го л ь н и к а д е л и т сто р о н у , к к о то р о й она
п р о в ед ен а , на о тр е зк и , п р о п о р ц и о н а л ь н ы е п р и л е ж а щ и м
к н и м с то р о н а м .

П о до б ны е тр еуго л ьн и ки
Д в а тр е у го л ь н и к а н а з ы в а ю т п о д о б н ы м и , е сл и и х у гл ы с о ­
о тв е т ст в е н н о р а в н ы и с т о р о н ы о д н о го т р е у г о л ь н и к а п р о ­
п орциональны со о тв е тств е н н ы м сто р о н а м д р уго го тр е­
у го л ь н и к а .
Л е м м а о п о д о б н ы х тр е у го л ь н и к а х
П р я м а я , п а р а л л е л ь н а я с т о р о н е т р е у го л ь н и к а и п е р е с е к а ю ­
щ а я д в е д р у ги е е го сто р о н ы , о т с е к а е т о т д а н н о го тр е у го л ь ­
н и ка е м у п од обн ы й .
П ер вы й п р и зн а к п одоби я тр е у го л ьн и ко в :
по д в ум у гл ам
Если д в а угл а о д н о го тр е у го л ь н и к а р а в н ы д в у м у гл а м дру­
го го тр е у го л ьн и ка , то т а к и е т р е у го л ь н и к и п о д о б н ы .
В торой п р и зн а к п о д о б и я тр еу го л ьн и ко в:
по д в ум с то р о н а м и угл у м е ж д у н и м и
Если д в е сто р о н ы од н о го тр е у го л ь н и к а п р о п о р ц и о н а л ь н ы
д в ум сто р о н а м д р уго го тр е у го л ь н и к а и угл ы , о б р а з о в а н н ы е
эти м и сто р он а м и , р а в н ы , то т а к и е тр е у го л ь н и к и п одобн ы .
Третий п р и зн а к п о доби я тр е у го л ьн и ко в :
по тр ё м сто р о н а м
Если три сто р о н ы о д н о го тр е у го л ь н и к а п р о п о р ц и о н а л ь н ы
тр ё м с то р о н а м д р уго го тр е у го л ь н и к а , то т а к и е тр е у го л ь н и ­
ки п одоб н ы .

но

Глава 3. Решение

п ря м о у го л ь н ы х

треугольников

В этой главе вы познакомитесь со знаменитой теоремой
Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямо­
угольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

5 15. Метрические соотношения
в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольни­
ка А В С (/Л С В = 90°).
Отрезки A D и D B называют проекциями катетов АС и СВ соответ­
ственно на гипотенузу.
0

Лемма
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к ги­
потенузе, делит треугольник на два подобных прямо­
угольных треугольника, каждый из которых подобен дан­
ному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.
В

Теорема 15.1

4-----------------------Квадрат высоты прямоугольного треугольника, прове­
дённой к гипотенузе, равен произведению проекций ка­
тетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведе­
нию гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство

На рисунке 173 отрезок CD — высота
прямоугольного
треугольника
АВС
(ZАСВ = 90°). Докажем, что:
CD- = A D D B , АС- = А В ■AD , ВС- =
= А В ■DB.
CD BD
Так как ДCBD rJ AACD, то

Отсюда CD- = A D ■DB.
Так как ДА В С ^ ДACD, то

Отсюда АС- = А В ■ AD.
111

Так как ДA B C OJ ACBD,

ВС

_

АВ

ЯГ*

:

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так: А С = Ь ,В С = а,
А В - с CD = h A D = b D B = ac, то доказанные соотношения прини­
мают вид:
__________ _________ ____ ____
h 2c = а р с, a 2 = acc, b2 = bcc________
Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.
Задача. Даны два отрезка, длины которых
равны а. и b (рис. 174). Постройте отрезок, длина
которого равна ■Jab.
Решение. Рассмотрим треугольник A D C
(ZAD C = 90°), в котором отрезок D B является
высотой (рис. 175). Имеем: DB = ■JAB ■В С . От­
сюда если А В = а, В С = Ь, то D B = ■Jab.
Проведённый анализ показывает, как про­
вести построение.
На произвольной прямой отметим точку А
и отложим последовательно отрезки А В и В С так,
что АВ = а, ВС= Ь. Построим окружность с диамет­
ром АС. Через точку В проведём прямую, перпен­
дикулярную прямой АС (см. рис. 175). Пусть D —
одна из точек пересечения прямой и окружности.
Докажем, что отрезок D B — искомый. Действительно, Z A D C = 90°
как вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1
D B 2 = А В ■ВС, т. е. D B = Jab. ■*
1. Какой формулой связаны высота прямоугольного треугольника,
проведённая к гипотенузе, и проекции катетов на гипотенузу?
2. Какой формулой связаны катет, гипотенуза и проекция этого катета
на гипотенузу?

510. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вер­
шины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной
2 см и 18 см.
511. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а его проекция на ги­
потенузу —4 см. Найдите гипотенузу.
112

512. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе,

делит её на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треуголь­
ника.
513. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины пря­
мого угла, равна 48 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу —
36 см. Найдите стороны данного треугольника.

оо V
514. Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого де­

515.

516.

517.

518.

лит гипотенузу на отрезки, один из которых на 3 см меньше этой вы­
соты, а другой — на 4 см больше высоты.
Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту,
проведённую к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы
на 10 см и больше своей проекции на гипотенузу на 8 см.
Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба
на его сторону, равен 2 см и делит её на отрезки, относящиеся как
1 : 4. Найдите диагонали ромба.
Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, де­
лит его на два отрезка, один из которых равен 4 см. Найдите радиус
окружности, если длина перпендикуляра равна 10 см.
Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой равны
7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

519. Ц ентр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принад­

520.

521.

522.

523.

524.

лежит её большему основанию. Найдите радиус этой окружности, ес­
ли диагональ трапеции равна 20 см, а проекция диагонали на боль­
шее основание — 16 см.
Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне,
которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус
окружности, описанной около трапеции, равен 10 см.
Найдите высоту равнобокой трапеции, если её диагональ перпенди­
кулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна
25 см2.
В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания де­
лит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Най­
дите периметр трапеции.
В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит
боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 27 см. Найдите высоту тра­
пеции.
П острой те отрезок длиной х, если х = J — , где а и b - длины дан­
ных отрезков.
113

______ ■--------------------- —

-------- ------------------- -

Упражнения для повторения

4------------

525. Периметр параллелограмма больше одной из сторон на 35 см и боль­

ше другой стороны на 28 см. Найдите стороны параллелограмма.
526. На сторонах АВ, ВС, CD и A D квадрата ABCD отметили соответст­

венно точки М, N, К и Е так, что четырёхугольник MNKE является
прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям квад­
рата. Найдите периметр прямоугольника MNKE, если диагональ
квадрата ABCD равна 7 см.
527. В окружность вписана трапеция, диагональ которой делит угол при
большем основании пополам. Найдите дуги, на которые делят окруж­
ность вершины трапеции, если один из её углов равен 74°.
С—

j

Наблюдайте, рисуйте.
конструируйте. Фантазируйте

528. У вписанного в окружность многоугольника выбрали вершину

и провели все диагонали, которым эта вершина принадлежит. До­
кажите, что среди образовавшихся треугольников не более чем
один является остроугольным.

§ 16. Теорема Пифагора
Й Теорема 16.1

\ ________________

(теорема Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы ра­
вен сумме квадратов катетов.
Доказательство

На рисунке 176 изображён прямоугольный
треугольник ABC (ZACB = 90°). Докажем, что
АВ2 = АС- + ВС2.
Проведём высоту CD. Применив теоре­
му 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
АС2 = АВ •AD и ВС 2 = А В •DB.
Сложив почленно эти равенства, получим
АС2 + ВС2 = АВ ■AD + АВ ■DB.
Далее, АС2 + ВС2 = АВ •(AD + DB), АС2 + ВС2 = А В 2. <
114

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b
а д лина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством:
с1234= ar + Ъ2
Теорема Пифагора даёт возможность по двум сторонам прямоуголь­
ного треугольника найти его третью сторону:

с = ^ Т ¥ - , a = Vc2 - 6 2; b = Vc2 - а Из равенства с2 = а- + Ъ- также следует, что с2 > а- и с2 > b отсюда
с > а и с > Ь, т. е, г и п о т е н у з а больш е лю бого из к а т е т о в . Другим спо­
собом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

П иф агор (VI в. до н. э.)
Вы изучили знаменитую теорему, которая
носит имя выдающегося древнегреческого учёно­
го Пифагора.
Исследования древних текстов свидетель­
ствуют о том, что утверждение этой теоремы было
известно задолго до Пифагора. Почему же её при­
писывают Пифагору? Скорее всего потому, что
именно Пифагор нашёл доказательство этого ут­
верждения.
О жизни Пифагора мало что известно дос­
товерно. Он родился на греческом острове Самос.
По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.
Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окру­
жил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифа­
горейский сою з (или кротонское братство). Влияние этого союза было
таким сильным, что даже через столетия после смерти Пифагора многие
выдающиеся математики Древнего мира называли себя пифагорейцами.

1. Сформулируйте теорему Пифагора.
2. Запишите теорем у Пифагора, если катеты прямоугольного тре­
угольника равны а и Ь, а гипотенуза равна с.
3. Как по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его тре­
тью сторону?
4. Какая из сторон прямоугольного треугольника является наибольшей?

115

I Упражнения
529 . Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты

равны: 1) 3 см и 4 см; 2) 6 см и 9 см.

530 . Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза

и второй катет соответственно равны: 1) 15 см и 12 см; 2) 7 см и V13 см.

531 . Пусть а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипоте­
532 .
533 .
534 .
535 .
536 .
537.
538 .
539 .
540 .

по \

нуза. Найдите неизвестную сторону треугольника, если: 1) а = 5 см,
b = 12 см; 2) а = 1 см, с = 2 см; 3) b = 3 см, с = л/90 см.
Стороны прямоугольника равны 9 см и 40 см. Чему равна его AnaroHanb.J
Сторона прямоугольника равна 7 см, а диагональ - 25 см. Найдите со­
седнюю к данной сторону прямоугольника.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29 см, а вы­
сота, проведённая к основанию, - 21 см. Чему равно основание тре­
угольника?
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию,
равна 35 см, а его основание —24 см. Чему равна боковая сторона тре­
угольника?
В окружности, радиус которой равен 10 см, проведена хорда длиной
16 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды.
Найдите периметр ромба, диагонали которого равны 24 см и 32 см.
Сторона ромба равна 26 см, а одна из диагоналей — 48 см. Найдите
другую диагональ ромба.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21 см, а второй
катет на 7 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а катеты отно­
сятся как 5 :1 2 . Найдите катеты этого треугольника.

541 . Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведён­

ная к нему, —5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

542 . В треугольнике А В С известно, что В С —20 см, высота B D делит сто­

рону АС на отрезки A D = 5 см и CD =16 см. Найдите сторону АВ.

543. В треугольнике А В С известно, что А В = 17 см, В С = 9 см, Z C — ту­

пой, высота A D равна 8 см. Найдите сторону АС.

544 . Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной а.
545. Найдите диагональ квадрата со стороной а.
546 . Найдите сторону равностороннего треугольника, высота которого

равна h.
547. Найдите катеты прямоугольного равнобедренного треугольника, ги­
потенуза которого равна с.
116

548. Найдите длину неизвестного отрезка х на рисунке 177 (размеры даны

в сантиметрах).

549. Найдите длину неизвестного отрез­

550.

551.

552.

553.

554.

555.
556.
557.

ка х на рисунке 178 (размеры даны
в сантиметрах).
В равнобедренном треугольнике вы­
сота, проведённая к боковой стороне,
равна 8 см. Она делит боковую сторо­
ну на два отрезка, один из которых,
прилежащий к вершине равнобедрен­
ного треугольника, равен б см. Найди­
те основание треугольника.
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сто­
рону, делит её на отрезки длиной 4 см и 16 см, считая от вершины
угла при основании. Найдите основание равнобедренного тре­
угольника.
Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно
24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см. Найдите
боковую сторону треугольника.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основа­
нию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около него, —5 см.
Найдите боковую сторону треугольника.
Основание равнобедренного треугольника на 2 см больше боковой
стороны. Найдите стороны треугольника, если высота, проведённая
к основанию, равна 8 см.
Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, про­
ведённая к основанию, —15 см. Найдите стороны треугольника.
Стороны тупоугольного треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Най­
дите высоту треугольника, проведённую к меньшей стороне.
Стороны треугольника равны 36 см, 29 см и 25 см. Найдите высот)'
треугольника, проведённую к большей стороне.
117

558. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых отно­

559.

560.

561.
562.
563.

564.

сятся как 5 : 6, а проекции этих наклонных на прямую равны 7 см
и 18 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой.
Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 15 см и 27 см.
Сумма длин проекций этих наклонных на прямую равна 24 см. Найди­
те проекцию каждой наклонной.
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треуголь­
ник, делит один из его катетов на отрезки 2 см и 6 см. Найдите сто­
роны треугольника.
Найдите стороны параллелограмма, диагонали которого равны 16 см
и 20 см, если одна из диагоналей перпендикулярна его стороне.
Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса
прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.
Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса
острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см
и 51 см.
(Старинная арабская задача.) На противоположных берегах реки рас­
тут одна напротив другой две пальмы. Высота одной из них равна
30 локтей, другой — 20 локтей, а расстояние между основаниями
пальм — 50 локтей. На вершине каждой пальмы сидит птица. Вдруг
обе птицы увидели рыбу, которая показалась на поверхности воды
между пальмами. Они взлетели с пальм одновременно и, двигаясь
с одинаковой скоростью, одновременно схватили рыбу. На каком рас­
стоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

-----

565. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ яв­

ляется биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите эту диагональ.
566. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ

является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите эту диагональ.
567. В окружности по разные стороны от её центра проведены две парал­

лельные хорды длиной 16 с ми 3 2с м. Расстояние между хордами рав­
но 16 см. Найдите радиус окружности.
568. В окружности по одну сторону от её центра проведены две парал­
лельные хорды длиной 48 см и 24 см. Расстояние между хордами рав­
но 12 см. Найдите радиус окружности.
569. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен
12 см, а расстояние от вершины равнобедренного треугольника до
центра окружности —20 см. Найдите периметр данного треугольника.
570. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию,
делит её большее основание на отрезки длиной 20 см и 25 см, считая
от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.
118

571. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию,

делит её меньшее основание на отрезки длиной 6 см и 3 см, считая от
вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.
572. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите
биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего ост­
рого угла.
573. Медианы A M и СК треугольника А В С перпендикулярны. Найдите
стороны треугольника, если A M = 9 см и СК= 12 см.
574. В треугольнике А В С медианы В М и СК перпендикулярны и пересе­
каются в точке О. Найдите отрезок АО, если В М = 36 см и СК = 15 см.
575. (Задача Бхаскары*.)

Над озером тихим, с полфута высотой
Высится лотоса цветок.
И ветер порывистый
Отнёс его в сторону. Нет
больше цветка над водой.
Нашёл его рыбак
В двух футах от места, где он рос.
Итак, предлагаю вопрос:
Как глубока здесь озера вода?
Готовимся к изучению
новой темы
576. В треугольнике А В С известно, что ZC = 90°, А В = 13 см, В С = 5 см,

АС =12 см. Найдите отношение:
1) катета, прилежащего к углу Л, и гипотенузы;
2) катета, противолежащего углу Л, и ги­
потенузы;
3) катета, прилежащего к углу В, и гипо­
тенузы;
4) катета, прилежащего к углу В, и кате­
та, противолежащего этому углу.
577. На одной стороне угла Л отметили точ­
ки В, С и D так, что А В = В С = 5 см,
CD = 10 см (рис. 179). Из точек В, С и D
опущены перпендикуляры BE, CF и D M
на другую сторону угла Л, причём АЕ =
* Бхаскара (1114-1185) - индийский математик и астроном.
119

Рис. 179

= 4 см. Найдите отношение катета, прилежащего к углу А , и гипотенузы:
1) в треугольнике ЛЕВ;
3) в треугольнике A M D .
2) в треугольнике AFC\
Наблюдайте, рисуйте,
конструируйте, фантазируйте

578 . В квадрате со стороной 1 м произвольным образом отметили 51 точ­

ку. Докажите, что среди этих точек существуют три, которые можно
накрыть квадратом со стороной 20 см.
S 17 . Тригонометрические Функции острого угла
прямоугольного треугольника
На рисунке 180 изображён прямоугольный треугольник А В С
(ZC = 90°). Напомним, что катет В С называют противолежащ им углу А,
а катет АС —прилежащим к этому углу.
Ь| Определение

\----------------------Синусом острого угла прямоугольного треугольника назы­
вают отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус /1»). Для острых
углов А и В прямоугольного треугольника А В С имеем:
Для прямоугольного треугольника, изображённого на рисунке 181:
sin ос = —, sin В = —.
с
с
Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник А В С
{^■С = 90°), в котором АС = В С = а (рис. 182).

120

И меем: АВ = у/а2 + а 2 = ау/1.
П о оп редел ен и ю sin А =

, отсю да sin Л = -В— = J - = ^ L . Видим,

flv2

v2

2

что синус о строго угла прям оугольного равнобедренного треугольника не
зависит о т разм ер о в треугольника, так как полученное зн ач ени е синуса
одинаково для всех зн ач ен и й а. Поскольку Л Л = 45° то sin 45° = 4 = = —
S
2
Эту запись не связы ваю т с конкретны м прямоугольным равнобедренны м
треугольником.
Вообщ е, если ост ры й уго л одного прям оугольного т реугольника

р авен ост ром у у г л у другого прям оугольного т реугольника, то синусы
э т и х угл о в равн ы .
Д ей стви тельн о, эти прямоугольны е треугольники подобны по перво­
му при знаю ' подобия треугольников. П оэтому отнош ение катета к гипоте­
нузе одного треугольника равно отнош ению соответственного катета к ги­
потенузе другого треугольника.
Н а п р и м е р , за п и с ь sin l7 ° м ож но отн ести ко всем углам, градусны е
м еры к о т о р ы х р а вн ы 17°. З н а ч е н и е синуса эт о го угла м ож но в ы чи сл и ть
один раз, вы б р ав п р о и зв о л ь н ы й прям оугол ьн ы й треугол ьн и к с остры м
углом 17°.
С ледовательно, с и н ус ост рого у г л а зави си т т олько от вел и ч и ­

ны эт ого у гл а .

(sJ Определение

-----------------------—
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника на­
зывают отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначаю т так: cos А (читают: «косинус Л »).
Д ля о с тр ы х углов А и В п рям оугольного треугол ьн и к а А В С
(см. рис. 180) м ож но записать:
,
АС
п ВС
cosA = a b ' cosB = a b -

О тм етим , ч то поскольку катет прямоугольного треугольника меньше
его гипотенузы , т о си нус и косинус острого угл а м еньш е 1.

fcj Определение

----------------------------------Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника на­
зывают отношение противолежащего катета к прилежа­
щему.

Т ангенс угла А обозначаю т так: tg А (читают: «тангенс Л»).
121

Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС
(см. рис. 180) можно записать:
ВС
п АС
ВС'
0 Определение

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника
называют отношение прилежащего катета к противоле­
жащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс Л»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника А В С (см.
рис. 180) можно записать:
.А С
, п ВС
c tg ^ = — , c tg 5 = — .
Для прямоугольного треугольника, изображённого на рисунке 181:
cos « = ~ > cos Р —" , tg a = ~ , tgP = ^ , ctg a = ^ ctS Р = f •
Как было установлено, синус острого угла зависит только от величи­
ны угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: коси­
нус, тангенс и кот ангенс ост рого у г л а зави сят т олько от вели­
чины этого угла.
Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число,
являющееся значением синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла.
Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса)
острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию,
соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так,
у = sin а, у = cos а, у = tg а, у = ctg a —тригонометрические функции, аргу­
ментами которых являются острые углы.
С древних времён люди составляли таблицы приближённых значе­
ний тригонометрических функций с некоторым шагом, один раз вычисляя
значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем
эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.
В наше время значения тригонометрических функций острых углов
удобно находить с помощью микрокалькулятора.
Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и коси­
нус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (см. рис. 181). ЗаПИШем: ^

=fс =f = a'

=

Iс = 3 = ctS a ■Следовательно,
122

tg a =

cos a

c tg a = £2*1*
°
sin a

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла явля­
ются взаимно обратными числами, т. е.
tg a • ctg a = 1
По теореме Пифагора а 2 + Ъ2 = с2. Обе части этого равенства разделим
на с

= 1. Учитывая, что sin a = —, cos a = - , получим
(sin a ) 2 + (cos a ) 2 = 1.
П ринято записывать (sin a ) 2 = sin2 a , (cos a ) 2 = cos2 a. Отсюда
sin2 a + cos2 a = 1

Эту формулу называют осн о вн ы м тр и го н о м етр и ческ и м то ж д е­
ством.
О тметим, что cosp = s in a = ^ , sinp = cos a = ^ , tg p = c tg a = ^ ,
ctg p = tg a =

Так как P = 90° - a,

to

tg (90° - a) = ctg a
ctg (90° - a) = tg a

cos (90° - a ) = sin a
sin (90° - a) = cos a
Мы уже знаем, что sin 45°

А

. Найдём теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

s/2
cos 45° = sin (90° —45°) = sin 45° —

tg45° =

-

A
4 5 ". J L = i, ^
s 45°

45° = ^

= 1-



~Y

Найдём синус, косинус, тангенс и котангенс уг­
лов 30° и 60°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС, в котором А С = 90°, АА = 30 (рис. 183).
Пусть В С = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что А В = 2а. Из теоремы Пифагора следу­
ет, что А С 2 = А В 2 - В С 2.
Получаем АС 2 = 4fl2 - а2 = 3 a2; АС = a S . Отсюда находим:

123

a
sin 30°

2a

1
-

af1" Дл/з _ л/з
cos 30 = ---------—
2a
f

’ Ctg3°°

tg 130-

= Уз.

Так как 60° = 90° - 30°, то получаем:
sin 60° = cos 30° =

s

cos 60° = sin 30° = - ,

tg 60° = ctg 30° = УЗ, ctg 60° = tg 30° =

- j=

=

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45°
и 60° полезно запомнить.
а = 60°

а = 30°

а = 45°

sin а

1
2

2

2

cos а

S
2

л/2
2

1


tg а

S
3

1

ctg а

V5

1

V5

ill.

2

S
3

Что называют синусом острого угла прямоугольного треугольника?
2. Что называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника?
3. Что называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?
4 . Что называют котангенсом острого угла прямоугольного треуголь­
ника?
5. От чего зависят синус, косинус, тангенс и котангенс угла?
6 . Как связаны между собой tg a, sin а и cos а?
7. Как связаны между собой ctg a, sin а и cos а?
8 . Как связаны между собой tg ос и ctg ос?
9 . Как связаны между собой sin а и cos а?
10. Чему равен sin (90° - а)? cos (90° - а)? tg (90° - а)? ctg (90° - а)?
11. Чему равен sin 45°? cos 45°? tg 45°? ctg 45”?
12. Чему равен sin 30°? cos 30°? tg 30°? ctg 30°?
13. Чему равен sin 60°? cos 60"? tg 60°? ctg 60°?
124

Практические задания
579 . Постройте угол:

1) тангенс которого равен —
5
2) синус которого равен - .
3
580 . Постройте угол:
1) косинус которого равен -у
2) котангенс которого равен

1

2

'

Упражнения
581 . Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно

582 .

583 .
584 .
585 .
586 .

равны 8 см и 10 см. Найдите:
1) синус угла, противолежащего меньшему катет)1;
2) косинус угла, прилежащего к большему катету;
3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету;
4) котангенс угла, прилежащего к большему катету.
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 2 см. Найдите:
1) тангенс угла, прилежащего к большему катету;
2) синус угла, противолежащего меньшему катету;
3) косинус угла, прилежащего к большему катету;
4) котангенс угла, противолежащего большему катету.
Найдите значение выражения:
1) cos2 45° + tg2 60°;
2) 2cos260° - sin230° + sin 60° ctg 60°.
Найдите значение выражения:
1) cos2 30° - sin2 45°;
2) 3tg2 30° + 4tg 45° + cos 30° ctg 30°.
В треугольнике A B C известно, что AC = 90°, В С = 77 см, А В = 125 см.
Найдите синусы острых углов треугольника.
В треугольнике А В С известно, что АС —90°, ВС= 41 см, АС = 20 см.
Найдите косинусы острых углов треугольника.

587 . Найдите sin a, tg а и ctg а, если cos а =

.

4

588 . Найдите cos р, tg Р и ctg Р, если sin Р = - .
589 . Синус острого угла прямоугольного треугольника равен з . Найдите

сit нус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла этого тре­
угольника.
125

590 Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а боковая стооона - 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла меж^ боковой стороной треугольника и высотой, проведенной к его ос591 Боков'ая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а высо’ та, проведённая к основанию, - 8 см. Найдите синус, косинус, тан­
генс и котангенс угла при основании треугольника.
592. Найдите углы ромба, диагонали которого равны 4 см и 4V3 см.
593. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами,
длины которых равны л/3 см и 3 см.
594. В трапеции ABCD известно, что А В = CD = 9 см, В С = 10 см,
AD = 14 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла А трапеции.
595. В трапеции ABCD известно, что В С II AD,
= 90°, А В = 4 см,
В С = 8 см, AD = 12 см. Найдите углы трапеции.
596. Докажите, что тангенсы острых углов прямоугольного треугольника
являются взаимно обратными числами.
• 597. Докажите тождество:
1) 1 + tg2 а = — ^— ;
2) 1 + ctg2 а =
—.
'
8
cos2 а
sin- а
598. Найдите значение выражения:
1) sin2 18° + sin2 72°;
2) cos3 36° - sin3 54°.

T V

599. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 см и 40 см. Найдите
синус, косинус, тангенс и котангенс угла между медианой и высотой,
проведёнными к гипотенузе.
600. В треугольнике А ВС известно, что А В = В С , B D и A M —высоты тре­
угольника, BD : AM = 3 : 1 . Найдите cos С.
601. В треугольнике А В С известно, что
АВ = ВС, BD и СК —высоты треугольника,
cos А = —. Найдите отношение СК : BD.
602. Докажите, что углы А ВС и DEF, изобра­
жённые на рисунке 184, равны.
Упражнения для повторения

44--------

603. Биссектрисы углов А к В параллелограмма A BC D пересекаются
в точке М, АВ = 6 см. Найдите радиус окружности, которая проходит
через точки А, В и М.
126

604 . Хорды А В и В С окружности перпендикулярны, а расстояние между

их серединами равно 12 см. Найдите радиус окружности.
605 . В треугольнике А В С известно, что В К —высота, A M —биссектриса,

В К = 26 см, А В : АС = 6 : 7 . Из точки М опущен перпендикуляр М О
на сторону АС. Найдите отрезок MD.

С—
IНаблюдайте,

рисуйте.
конструируйте. Фантазируйте

\ -------------

606 . Даны два круга, которые не имеют общих точек. Существует ли точ­

ка, которая не принадлежит ни одному из кругов, такая, что любая
прямая, проходящая через эту точку', пересекает хотя бы один из
этих кругов?

S 18. Решение п р я м о у г о л ь н ы х треугольников
На рисунке 185 изображён прямоугольный тре­
угольник с острыми углами а и (3, катеты которого равны
а и Ь, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоуголь­
ного треугольника: sin a = ^ , sin (3 = ^ . Отсюда а = с sin а,

Рис. 185

с/

ъ

b = с sin (3.
Хр
Следовательно, кат ет прям оугольного т ре­
а
угольника р авен произведению гипотенузы на си­
нус у гл а , противолеж ащего эт ом у катету.
По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольни­
ка: cos а = —, cos В = —. Отсюда b - с cos а, а = с cos р.
с
с
Следовательно, катет прям оугольного т реугольника р авен
произведению гипотенузы на косинус угл а , прилежащего к эт ому
катету.
По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольниa: tg а = | , tg р = *Ь . Отсюда a = b tg a, b = a tg р.
а'
Следовательно, катет прям оугольного т реугольника равен
произведению другого катета на тангенс угл а , противолежащего
первом у катету.
По определению котангенса острого угла прямоугольного треуголь­
ника: ctg а = —, ctg Р = ^ . Отсюда b = a ctg a, a = b ctg р.
127

Следовательно, кат ет п р я м оугол ьн ого т реуго л ьн и к а равен
произведению другого китпетпи ни котпингенс у гл и , прилелсищего к
первом у китпету.
Из равенств sin а = ^ и cos а = — получаем: с = ^ ^ и с = ^os а ■
Следовательно, гипотенуза прям оугольного т реугольника равна
частному от деления катета на синус противолеж ащ его ем у угла;
гипот енуза прям оугольного т реугольни ка р а в н а частному
от деления катета на косинус прилеж ащ его к н ем у угл а .
Решить прямоугольный треугольник — значит найти его стороны
и углы по известным сторонам и углам.
Задача 1. Решите прямоугольный треугольник по катету и острому
углу: а = 14 см, а = 38°. (Значения тригонометрических функций найдите
с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин
сторон округлите до десятых.)
Решение. Имеем:

Р = 90° - ос, р = 90° - 38° = 52°;
Ь = a tg Р, Ь = 14 tg 52° = 14 ■1,28 = 17,9 (см);
14
14
С = -4 —
sin а
sin 38° 0,62 = 22’6 (СМ)Ответ: с ~• 22,6 см, b ■ 17,9 см, (3 = 52°. ◄
Отметим, что эту задачу можно решить и другим способом: напри­
мер, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.
Задача 2. Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотену­
зе: а = 26 см, с = 34 см.
Решение. Имеем: sin а = - , sin а = — = 0 7647

с
34
'
С помощью микрокалькулятора вычисляем угол а: а ~ 50°.
Тогда Р = 40°.
Ъ= с sin Р, b = 34 sin 40° = 34 ■0,643 = 21,862 = 21,9 (см).
Ответ: Ь = 21,9 см, а = 50°, р = 40°. •*
Задача 3. Высота A D треугольника А В С
(рис. 186) делит его сторону В С на отрезки B D
и CD такие, что BD = 2л/3 см, CD = 8 см. Найди­
те стороны А В и АС, если АВ = 60°.
Решение. В треугольнике A D B (ZAD B = 90°):
A D = BD tg В, AD = 2V3 tg 60° = 2s/3 • V3 =
= 6 (см);
128

В треугольнике A D C (ZA D C = 90°):
AC = JAD'123456+ DC2 , AC = -«Уб2 + 82 = 10 (см).
Ответ: 4 у/ з c m , 10 см. ■*
Задача 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b,
угол при основании равен а. Найдите радиус окружности, вписанной в тре­
угольник.
Решение. В треугольнике А В С (рис. 187)
АВ = В С = b, ABAC = а. Проведём высоту BD.
В треугольнике A D B (Z A D B = 90°) A D =
= А В cos Z B A D = b cos а.
Точка О —центр окружности, вписанной в тре­
угольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит
высоте B D и биссектрисе АО угла ВАС. Так как
OD X АС, то вписанная окружность касается сторо­
ны АС в точке D. Следовательно, OD —радиус впи­
санной окружности. Поскольку АО —биссектриса уг­
ла BAD , то ZOAD = - ZBAD = - .
2

2

В треугольнике A D O (ZAD O = 90°): OD = AD tg ZOAD = b cos a tg ^ .
Ответ: b cos a tg6 —.
2 ■*
1. Как можно найти катет прямоугольного треугольника, если извест­
ны гипотенуза и угол, противолежащий этому катету?
2. Как можно найти катет прямоугольного треугольника, если извест­
ны гипотенуза и угол, прилежащий к этому катету?
3. Как можно найти катет прямоугольного треугольника, если извест­
ны второй катет и угол, противолежащий искомому катету?
4. Как можно найти катет прямоугольного треугольника, если изве­
стны второй катет и угол, прилежащий к искомому катету?
5. Как можно найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если
известны катет и противолежащий этому катету угол?
6. Как можно найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если
известны катет и прилежащий к этому катету угол?

129

I Упражнения
607 . В треугольнике А В С известно, что А С - 90 . Найдите.

- 12 см, sin Л = —;
1) ВС, если А В ■
2) АС, если А В = 21 см, cos А = 0,4;
3) АС, если В С = 4 см, tg А = 1,6;
7

4) АВ, если В С = 14 см, cos В = - ;
5) А В , если АС =3,2 см, sin В = 0,16;
6) ВС, если АС = 2,3 см, tg В = | .
608 . В треугольнике DEF известно, что А Е = 90°. Найдите:

1) DE, если D F = 18 см, cos D = | ;
2) DF, если EF = 3,5 см, cos F= 0,7;
3) EF, если D E = 2,4 см, tg D = ^ .
609 . В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 17 см, а синус одно­

го из острых углов равен — . Найдите катеты треугольника.
610 . Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а косинус од­

ного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты треугольника.
611 . Катет прямоугольного треугольника равен 48 см, а тангенс противо­

лежащего угла равен 3 - . Найдите второй катет и гипотенузу тре­
угольника.
612 . В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12 см, а тан­
генс прилежащего угла — 0,75. Найдите второй катет и гипотенузу
треугольника.
613 . Решите прямоугольный треугольник:
1) по гипотенузе и острому углу: с = 28 см, а = 48°;
2) по катету и острому углу: а = 56 см, р = 74°;
3) по катету и гипотенузе: а = 5 см, с = 9 см;
4) по двум катетам: а = 3 см, b = 7 см.
614 . Решите прямоугольный треугольник:
1) по катету и острому углу: а = 34 см, а = 55°;
2) по гипотенузе и острому углу: с = 16 см, Р = 18°;
3) по катету и гипотенузе: b = 12 см, с = 13 см;
4) по двум катетам: а = 4 см, b = 14 см.
130

615. Используя данные рисунка 188, найдите
высоту дерева.
616. Какой длины должна быть пожарная ле­
стница, чтобы по ней можно было под­
няться на крышу дома высотой 9 м, если
ставить её под углом 70° к поверхности
земли?
617. П роехав от старта по прямолинейному
участку шоссе 300 м, велосипедист оказал­
ся в точке, расположенной на 11 м выше,
чем точка старта. Найдите угол подъёма
шоссе на этом участке.
618. Под каким углом падает на землю солнечный луч, если вертикальный
шест длиной 1,5 м отбрасывает тень длиной 0,7 м?
619. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а высо­
та, проведённая к основанию, — 3-Уз см. Найдите стороны треуголь­
ника.
620. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 12 см, а угол при осно­
вании —45°. Найдите высоту и боковую сторону трапеции.
621. Диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне и равна а.
Найдите стороны параллелограмма, если один из его углов равен 30°.
622. Сторона ромба равна а, а один из его углов —60°. Найдите диагонали
ромба.
623. Сечение траншеи имеет форму равнобокой трапеции (рис. 189). Най­
дите угол, который образуют стенки траншеи с её дном.
624. Ш ирина насыпи шоссейной дороги в нижней её части равна 80 м
(рис. 190), высота насыпи —5 м, а откосы наклонены к горизонту под
углом 20°. Найдите ширину насыпи в верхней её части.

625.

626.

627.

628.

629.

630.
631.

632.
633.

Высота B D треугольника A B C делит сторону АС на отрезки AD
и CD так, что AD = 12 см, CD = 4 см. Найдите сторону ВС, если
/ А —зо°.
Высота A F делит сторону В С треугольника А В С на отрезки B F и CF.
Найдите сторону АС, если CF = V13 см, Z 5 = 60", а сторона ЛД равна 18 см.
Из точки D, лежащей вне прямой п, проведены к этой прямой наклонные D K и D B, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно.
Найдите проекцию наклонной D K на прямую п, если DB = ю Тз см.
Из точки М, лежащей вне прямой /, проведены к этой прямой на­
клонные МЫ и МК, образующие с ней углы 30° и 45° соответственно.
Найдите наклонную МК, если проекция наклонной МЫ на прямую /
равна 4л/3 см.
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен (3, высота,
проведённая к боковой стороне, равна h. Найдите основание тре­
угольника.
Высота, проведённая из вершины прямого угла треугольника, рав­
на h, острый угол равен а. Найдите стороны треугольника.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен а. Угол между
вторым катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла,
равен ф. Найдите неизвестные стороны треугольника и проведённую
высоту.
Большая диагональ ромба равна cL, а острый угол равен а. Найдите
сторону и меньшую диагональ ромба.
Угол ромба равен а, радиус вписанной окружности равен г. Найдите
сторону' и диагонали ромба.

❖ N___
6 3 4 . Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне

и образует с основанием трапеции угол 30°. Найдите высоту трапе­
ции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.
6 3 5 . Одна из сторон треугольника равна а, прилежащие к ней углы рав­
ны 45 и 60°. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной
стороне.
6 3 6 . Основания трапеции равны 7 см и 15 см, а углы при большем основа­
нии —30° и 60°. Найдите высоту и диагонали трапеции.
Упражнения для повторения
6 3 7 . Периметр параллелограмма равен 48 см. Биссектриса тупого угла де­

лит его сторону в отношении 2 : 1 , считая от вершины острого угла.
Может ли меньшая сторона параллелограмма быть равной 7 см?
132

638 . Четырёхугольник A B C D вписан в окружность, ZВАС = 52°, ZD B C =

= 34°, Z-ADB = 17°. Найдите углы четырёхугольника.

639 . Известно, что О — точка пересечения диагоналей АС и BD трапе­

ции A B C D (BC\i AD ). Найдите отрезки ВО и OD, если АО : ОС =
= 7 : 6 и BD = 39 см.

I

f

I Наблюдайте,

рисуйте.
конструируйте. Фантазируйте

640 . Разрежьте ромб на четыре четырёхугольника так, чтобы каждый из

них являлся вписанным в окружность и описанным около окруж­
ности.

Задание № 3 в тестовой форме «Проверьте себя»
1 Диаметр А В окружности с центром О перпендикулярен хорде
' CD (рис. 191). Какое из данных равенств неверно?
А) АС2 = A M ■А В
В) A D 2 = М В ■А В
Б) CM2 = A M ■М В
Г) D M 2 = A M ■M B
2 . На каком рисунке длина отрезка х равна 2а?

3 . Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза

A) равна сумме катетов
Б) равна сумме квадратов катетов
B) больше катета
Г) равна квадрату суммы катетов
4 . Длина отрезка х на рисунке 192 (размеры даны в сантиметрах)
равна
А) 4 см
Б) Зсм
В) 5 см
Г) Зл/2 см
5. Биссектриса равностороннего треугольника со стороной а равна
а\12

А >Т

g,

a j2

а\13

аУз

' 3
3
2
6 . Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной а, равен
В) ^
Б) ал/2
Г) 2а

А) f

2
7. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, прове­

дённая к гипотенузе, равна а. Тогда его катет равен
а

)

«а

Б) aV2

В) 2a

Г)

2
8 . Пусть а и Р — острые углы прямоугольного неравнобедренного
треугольника. Какое из данных равенств верно?
134

9 . Пусть а — острый угол прямоугольного треугольника. Какое из

данных равенств не может выполняться?
A) sin а = Б) sin а = ~
В) sin а = ^
3
4
2
10 . Длина отрезка х на рисунке 193 равна
А) ^

a sin а

Б) ^ ~ - t g a

В) ^ ^ c o s a

Г) sin а = -?=
V3

Г) aV2 t g a

Итоги главы 3
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
К в а д р а т в ы с о т ы п р я м о уго л ьн о го тр еугол ьн и ка , п р о в е д ё н ­
ной к ги п о те н узе, р а в е н п р о и зв е д е н и ю п р ое кц и й катетов
н а ги п о те н узу. К в а д р а т катета ра ве н п р о и зв е д е н и ю ги п о­
т е н у з ы и п р о е к ц и и это го катета на гипотенузу.
Теорема Пифагора
В п р я м о у го л ь н о м тр е у го л ьн и ке к в а д р а т ги п о те н узы ра ве н
с у м м е к в а д р а т о в катетов.

135

Синус острого угла прямоугольного треугольника
Синусом острого угла прямоугольного треугольника назы­
вают отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника на­
зывают отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника назы­
вают отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс острого угла прямоугольного треугольника
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника
называют отношение прилежащего катета к противолежа­
щему.
Тригонометрические формулы
tg a

sin a
cos a

ctg a =

tg a •ctg a = 1
sin2 a + cos2 a = 1 —основное тригонометрическое тождество
cos (90° - a) = sin a

tg (90° - a) = ctg a

sin (90° - a) = cos a

ctg (90° - a) = tg a

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических
функций углов в прямоугольном треугольнике
• Катет прямоугольного треугольника равен произведению
гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
• Катет прямоугольного треугольника равен произведению
гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
• Катет прямоугольного треугольника равен произведению
второго катета на тангенс угла, противолежащего первому
катету.
• Катет прямоугольного треугольника равен произведению
второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому
катету.
• Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному
от деления катета на синус противолежащего ему угла.
• Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному
от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.
136

Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника
Изучив материал этой главы, вы узнаете формулу, с помо­
щью которой можно найти сумму углов выпуклого многоуголь­
ника.
Вы расширите свои представления о такой знакомой вам
величине, как площадь.
Вы научитесь находить площади параллелограмма, тре­
угольника, трапеции.

5 19. М н о го у го л ь н и к и
Рассмотрим фигуру, которая состоит из точек Л,, Л 2, Л„......А п и от­
резков Л ,Л 2, А 2А я, ..., А п_ ,Л„, Л „Л, таких, что никакие два соседних отрез­
ка не лежат на одной прямой и никакие два несоседних отрезка не имеют
общих точек (рис. 194).
Фигура, образованная этими отрезками, ограничивает часть плоско­
сти, выделенную на рисунке 195 зелёным цветом. Эту часть плоскости вме­
сте с отрезками /1,/1,,, A^AV ..., А п_ ,/1,,, Л, Л, называют многоугольником.
Точки Л,, Л 2, Л 3, ..., Л„ называют вершинами многоугольника, а указанные
выше отрезки —сторонами многоугольника.
Стороны, являющиеся соседними отрезками, называют соседними
сторонами многоугольника. Вершины, являющиеся концами одной сторо­
ны, называют соседними вершинами многоугольника.
Две соседние стороны многоугольника образуют угол многоугольни­
ка. Например, на рисунке 196 а, р, у, 8 являются углами многоугольника,
а ф не является углом этого многоугольника.
Многоугольник называют по количеству его углов: треугольник, четы­
рёхугольник, пятиугольник и т. д.

a

'

/4¾

A

/lj
х

A;
У

Рис. 196

Рис. 195

Рис. 194

aJ

J

Л-Ч

\,


7

>

7

137

\ 8/
V

Многоугольник обозначают по его вершинам. Например, на рисун­
ке 197 изображён пятиугольник A BCD E. В обозначении многоугольника
буквы стоящие рядом, соответствуют соседним вершинам. Например, пя­
тиугольник, изображённый на рисунке 197, можно также обозначить сле­
дующим образом: CDEAB, EABCD и т. д.
Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон.
Отрезок, соединяющий несоседние вершины многоугольника, называют диагональю. Например, на рисунке 198 отрезок А Е —диагональ шес­
тиугольника ABCDEF.
На рисунке 199 изображён многоугольник, все углы которого меньше
развёрнутого. Такой многоугольник называют выпуклым. Из сказанного
следует, что любой треугольник является выпуклым многоугольником. За­
метим, что многоугольники, изображённые на рисунках 196-198, не явля­
ются выпуклыми.

Выпуклый многоугольник обладает такими свойствами:
1) выпуклый многоугольник расположен в одной полуплоскости
относительно любой прямой, содержащей его сторон у (рис. 200);
2) выпуклый многоугольник, отличный о т треугольника, содер­
ж и т любую свою диагональ (рис. 201).
Если многоугольник не является выпуклым, то он такими свойствами
не обладает (см. рис. 198, 202).
Рис. 200

О,

Рис. 201

138

>
Рис. 202

Ё Теорема 19.1

“ Л _________________

Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(и - 2).
Доказательство

На рисунке 203 изображён выпуклый гг-угольник
••• ^ п - i^ /г Докажем, что сумма всех его углов
равна 180°(и - 2).
Проведём все его диагонали, выходящие из вер­
шины Л у Диагонали разбивают данный многоуголь­
ник на (гг —2) треугольника. Сумма всех углов этих
треугольников равна сумме углов гг-угольника. Так как
сумма углов каждого треугольника равна 180°, то иско­
мая сумма равна 180°(гг - 2). ◄
Отметим, что эта теорема справедлива и для любого многоугольника,
не являющегося выпуклым.
( Ы Определение

\ ----------------------------------Окружность называют описанной около многоугольника,
если она проходит через все его вершины.

На рисунке 204 изображена окружность, описан­
ная около многоугольника. В этом случае также гово­
рят, что многоугольник в п и с а н в окружность.
Центр окружности, описанной около много­
угольника, точка О, равноудалён от всех его вершин.
Следовательно, точка О принадлежит серединным
перпендикулярам всех сторон многоугольника, впи­
санного в окружность.
Около многоугольника можно описать окружность, если существует
точка, равноудалённая от всех его вершин. Следовательно, если середин­
ные перпендикуляры всех сторон многоугольника пересекаются в одной
точке, то около такого многоугольника можно описать окружность.
Ё О п р е д е л е н и е \ ----------------------------------Окружность называют вписанной
в многоугольник, если она касается
всех его сторон.
На рисунке 205 изображена окружность, вписан­
ная в многоугольник. В этом случае также говорят,
что многоугольник оп и сан около окружности.
139

Центр окружности, вписанной в многоугольник, точка О, равноуда­
лён от всех его сторон. Следовательно, точка О принадлежит биссектри­
сам всех углов многоугольника, описанного около окружности.
В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если сущест­
вует точка равноудалённая от всех его сторон. Следовательно, если биссек­
трисы всех углов выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке,
то в такой многоугольник можно вписать окружность.
г я к ) х . Объясните, какую фигуру называют многоугольником.
2. Что называют периметром многоугольника?
3. Что называют диагональю многоугольника?
4. Какой многоугольник называют выпуклым?
5. Как расположен выпуклый многоугольник относительно любой пря­
мой, содержащей его сторону?
6. Чему равна сумма углов выпуклого п-угольника?
7. Какую окружность называют описанной около многоугольника?
8. Какая точка является центром окружности, описанной около много­
угольника?
9. Какую окружность называют вписанной в многоугольник?
10. Какая точка является центром окружности, вписанной в много­
угольник?

Практические задания
641. Начертите и обозначьте произвольный выпуклый семиугольник, на­

642.

643.

644.

645.

зовите все его вершины и стороны. Проведите из одной вершины все
диагонали, назовите их. На сколько треугольников диагонали разби­
ли семиугольник?
Начертите шестиугольник, каждый угол которого равен 120°, а каж­
дая сторона — 4 см. Опишите около этого шестиугольника окруж­
ность и впишите в него окружность.
Начертите пятиугольник, каждый угол которого равен 108°, а каждая
сторона — 3 см. Опишите около этого пятиугольника окружность
и впишите в него окружность.
Начертите окружность произвольного радиуса, разделите её на 8 рав­
ных дуг. Используя точки деления, постройте восьмиугольник, впи­
санный в окружность.
Начертите окружность произвольного радиуса, разделите её на
12 равных дуг. Используя точки деления, постройте двенадцатиуголь­
ник, вписанный в окружность.

140

646 . Найдите стороны пятиугольника A BC D E , если В С на 1 см больше

647.
648.
649.
650.

А В , CD на 2 см больше А В , D E на 3 см больше А В , А Е на 4 см боль­
ше А В , а периметр пятиугольника равен 100 см.
Найдите сумму углов выпуклого: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольни­
ка; 3) двадцатичетырёхугольника.
Найдите сумму углов выпуклого: 1) девятиугольника; 2) шестнадцати­
угольника.
Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:
1) 1800°; 2) 720°; 3) 1600°?
Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен: 1) 150°;
2 ) 100° ?

6 5 1 . На плане земельного участка, имеющего

652.
653.
654.
655.

?
?

656.
657.

форму пятиугольника (рис. 206), указали
такие величины углов: АА = 116°, АВ = 98°,
А С = 124°, AD = 102°, АЕ - 130°. Верно ли
были выполнены измерения?
Найдите углы выпуклого шестиугольника,
если они относятся как 3 : 3 : 4 : 4 : 5 : 5 .
Найдите углы выпуклого семиугольника,
если они относятся как 6 : 7 : 8 : 9 : 9 : 10 : 11.
Сколько диагоналей можно провести: 1) в девятиугольнике; 2) в два­
дцатиугольнике; 3) в п-угольнике?
В выпуклом многоугольнике 54 диагонали. Найдите количество его
сторон и сумму углов.
Докажите, что если все стороны многоугольника, вписанного в ок­
ружность, равны, то и все его углы также равны.
Докажите, что если все углы многоугольника, описанного около ок­
ружности, равны, то и все его стороны также равны.

___
6 5 8 . Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а углы, прилежащие

к одной из сторон, — прямые. Найдите остальные углы пятиуголь­
ника.
6 5 9 . Три угла выпуклого многоугольника равны по 100°, а остальные —
по 120°. Определите вид многоугольника.
6 6 0 . Докажите, что если углы выпуклого шестиугольника равны, то его
стороны образуют три пары параллельных сторон.

141

661 . Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника равны, то он не

имеет параллельных сторон.
• Упражнения для повторения

662 . В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла

и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 см и 11 см.
Найдите периметр трапеции.
663 . Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведенные к ги­
потенузе, равны соответственно 13 см и 12 см. Найдите периметр
данного треугольника.
С —90 ) делит катет В С на
664 . Биссектриса угла А треугольника A B C
отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, которая
проходит через точку А, точку С и точку пересечения данной биссек­
трисы с катетом ВС.

Г

1 Наблюдайте,

рисуйте.
конструируйте. Фантазируйте

665 . На окружности, радиус которой равен 1, отметили 1000 точек. Дока­

жите, что найдётся точка, принадлежащая данной окружности, сумма
расстояний от которой до отмеченных точек больше 1000.
S 20. Понятие плошади многоугольника.
Площадь прямоугольника
С такой величиной, как площадь, вы часто встречаетесь в повседнев­
ной жизни: площадь квартиры, дачного участка, поля и т. п.
Опыт подсказывает вам, что равные земельные участки имеют рав­
ные площади, что площадь квартиры равна сумме площадей всех её поме­
щений (комнат, кухни, коридора и т. д.).
Вы знаете, что площади земельных участков измеряют в сотках
(арах) и гектарах; площади регионов и государств —в квадратных километ­
рах; площадь квартиры —в квадратных метрах.
На практических знаниях о площади основывается определение пло­
щади многоугольника.
Ы Определение
Площадью многоугольника называют положительную ве­
личину, которая обладает следующими свойствами:
1) равные многоугольники имеют равные площади;
142

2) если многоугольник составлен из нескольких много­
угольников, то его площадь равна сумме площадей этих
многоугольников;
3) за единицу измерения площади принимают единичный
квадрат, т. е. квадрат со стороной, равной единице изме­
рения длины.
Измерить площадь многоугольника — это значит сравнить его пло­
щадь с площадью единичного квадрата. В результате получают ч и сл о в о е
зн а ч е н и е п л о щ а д и данного многоугольника.
Это число показывает, во сколько раз площадь
Рис. 207
данного многоугольника отличается от площа­
ди единичного квадрата.
Например, если клетку принять за единич­
ный квадрат, то площадь многоугольника, изоб­
ражённого на рисунке 207, будет равна 11 квад­
ратным единицам (кратко записывают: 11 ед.2).
Обычно для нахождения площади ис­
пользуют формулы, т. е. вычисляют площадь
многоугольника по определённым его элемен­
там (сторонам, диагоналям, высотам и т. д.). Некоторые из них вы уже
знаете. Например, формулу S = ab, где S — площадь прямоугольника,
а и b —длины его соседних сторон, вы применяли неоднократно. Для до­
казательства этой формулы понадобится следующая лемма.

Г

0 Лемма

\------------------------Площадь квадрата со стороной — ед. (п — натуральное
число) равна Дг ед.2.
и2

Доказательство
Рассмотрим единичный квадрат и разде,
„ 1
лим его на пг равных квадратов со стороной —
(рис. 208).
Из определения площади многоугольника
(свойство 1) следует, что все эти квадраты име­
ют равные площади. По свойству 2 сумма площа­
дей этих квадратов равна площади единичного
квадрата, т. е. равна 1 ед.2. Поэтому площадь ка^*
ждого маленького квадрата равна 1 ед. 2. ■
143

й Теорема 20.1

\ --------------- ----------Площадь прямоугольника равна произведению длин его
соседних сторон.

На рисунке 209 изображён прямо­
угольник ABCD , длины соседних сторон ко­
торого равны а и b: А В = а, В С = Ь. Дока­
жем, что площадь S прямоугольника вычис­
ляется по формуле S = ub для случая, когда
а и b — рациональные числа. Числа а и b
можно представить в виде обыкновенных
дробей с одинаковыми знаменателями:
а = — , b = —, где р, q, п — натуральп
п
ные числа.
Разделим сторону А В нар равных частей, а сторону В С — на q равных
частей. Через точки деления проведём прямые, параллельные сторонам
прямоугольника. Тогда прямоугольник будет разделён на p q равных квадра­
тов со стороной
П

1

Согласно лемме площадь каждого квадрата равна — . Из определения
я2
площади (свойство 2) следует, что площадь прямоугольника равна сумме
+ -i- + ••• + Дг = pq ■- 4 - = — ■- = ab.
п1 п п
п1______ п \
pq слагаемых
Рассмотрение случая, когда хотя бы одно из чисел а или b является
иррациональным, выходит за рамки рассматриваемого курса.
площадей всех квадратов, т. е. S =

Q Определение

гг

\________________
Многоугольники, имеющие равные площади, называют
равновеликими.

Из определения площади (свойство 1)
следует, что все равные фигуры равновели­
ки. Однако не все фигуры, имеющие рав­
ные площади, являются равными. Напри­
мер, на рисунке 210 изображены два много­
угольника, каждый из которых составлен
из семи единичных квадратов. Эти много­
угольники равновелики, но не равны.
144

-irs

1. Что называют площадью многоугольника?
2. Что значит измерить площадь многоугольника?
3. Что показывает числовое значение площади?
4. Чему равна площадь квадрата со стороной - ед„ где п — нату­
ральное число?

5. Чему равна площадь прямоугольника?
6. Какие многоугольники называют равновеликими?
7. Можно ли утверждать, что если две фигуры равны, то они равнове­
лики?
8. Можно ли утверждать, что если две фигуры равновелики, то они
равны?

I Упражнения
666. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них на 5 см больше

другой, а площадь прямоугольника равна 36 смI2*5.
667. Площадь прямоугольника равна 270 см2, а его стороны относятся как
5 : 6. Чему равны стороны прямоугольника?
668. Какие из прямоугольников, изображённых на рисунке 211, равнове­
лики?
Рис. 211

669. Квадрат со стороной 12 см и прямоугольник, одна из сторон которо­
го равна 8 см, равновелики. Найдите периметр данного прямоуголь­
ника.
670. Найдите периметр квадрата, равновеликого прямоугольнику со сто­
ронами 2 см и 32 см.
145

671
672 .

673 .
674 .
675 .

Достаточно ли 5 т гороха, чтобы засеять им поле, имеющее форму
прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м, если на 1 га нужно высе­
ять 260 кг гороха?
Длина стены равна 6 м, а высота - 3 м. Хватит ли пяти ящиков
кафеля, чтобы облицевать им эту стену, если одна плитка имеет
форму квадрата со стороной 15 см, а в один ящик помещается
160 плиток?
Расход эмалевой краски на однослойное покрытие составляет 180 г
на 1 м2. Хватит ли 3 кг эмали, чтобы покрасить стену длиной 6 м и вы­
сотой 3 м?
Давление некоторого газа в сосуде составляет 0,0015 Н /м 2. С какой
силой давит этот газ на стенку сосуда прямоугольной формы разме­
ром 35 X 24 см?
Предел прочности стали некоторой марки равен 60 Н /м м 2. При ка­
кой нагрузке разорвётся стержень, поперечное сечение которого яв­
ляется прямоугольником со сторонами 20 мм и 10 мм?

О О \ ______

676 . Диагональ прямоугольника равна d и образует с одной из сторон

угол а. Найдите площадь прямоугольника.

677 . Сторона прямоугольника равна 15 см и образует с диагональю

угол 30°. Найдите площадь прямоугольника.

678 . Найдите отношение площадей двух квадратов, стороны которых от­

носятся как: 1) 3 : 4; 2) 2 : л/5.

679 . Как относятся стороны двух квадратов, если их площади относятся

как: 1) 25 : 36; 2) 3 : 49?

680 . Одна из сторон прямоугольника равна 28 см. Как изменится площадь

прямоугольника, если соседнюю его сторону уменьшить на 5 см?

681 . Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) две его противолежащие стороны увеличить в 3 раза;
2) все его стороны увеличить в 3 раза;
3) две его противолежащие стороны увеличить в 6 раз, а две другие —
уменьшить в 3 раза?
682 . Как изменится площадь прямоугольника, если:
1) две его противолежащие стороны уменьшить в 4 раза, а две дру­
гие —в 2 раза;
2) две его противолежащие стороны увеличить в 4 раза, а две дру­
гие —уменьшить в 4 раза?
683 . На продолжении стороны A D за точку D параллелограмма A B C D от­
мечена точка М так, что A D = M D. Докажите, что параллелограмм
A B C D и треугольник А В М равновелики.

I

146

6 8 4 . Площадь квадрата A B C D равна 10 см1
2 (рис. 212). Чему равна площадь

прямоугольника B M K D ?
6 8 5 . Докажите, что если точка Е —середина отрезка А К (рис. 213), то тре­

угольник A K D и прямоугольник A B C D равновелики.

686 . Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности,

больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?
6 8 7 . Площадь прямоугольного листа бумаги, длины сторон которого выра­

жаются целыми числами сантиметров, равна 12 см2. Сколько квадра­
тов площадью 4 см2 можно вырезать из этого листа?
6 8 8 . Площадь прямоугольного листа бумаги, длины сторон которого выра­
жаются целыми числами сантиметров, равна 18 см2. Сколько квадра­
тов со стороной 3 см можно вырезать из этого листа?
6 8 9 . Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отноше­
нии 2 : 7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен
108 см.
6 9 0 . Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении
1 : 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см2.
6 9 1 . Постройте квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух

данных квадратов.
6 9 2 . Стороны прямоугольника равны а и Ь. Постройте квадрат, площадь

которого равна площади данного прямоугольника.
1Упражнения для повторения
6 9 3 . Серединный перпендикуляр диагонали B D параллелограмма A B C D

пересекает стороны А В и CD. Продолжения сторон A D и В С он пе­
ресекает в точках М и К соответственно. Определите вид четырёх­
угольника M B K D .
147

694. Продолжения бо.о.ьое сторон А В и СО транец™ Л Л С О „ересеяд
ются в точке М. Найдите A M , если А В - 6 см и В С . A1J —3 . 4 .
695 Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его
' стороны, если острый угол ромба равен 30 , а сторона - 8 см.
Г

J Наблюдайте, рисуйте^.
конструируйте. Фантазируйте

696. Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треуголь­
ника так, что одна из получившихся частей одного треугольника по­
добна одной из частей другого треугольника. Верно ли, что остав­
шиеся части также подобны?
6 21. Плошадь параллелограмма

0 Теорема 21.1

■-------------------------Площадь параллелограмма равна произведению его сто­
роны и высоты, проведённой к этой стороне.

Доказательство

На рисунке 214 изображены парал­
лелограмм A B C D , площадь которого рав­
на S, и его высота ВМ . Докажем, что
S = B C • ВМ.
Проведём высоту CN. Легко дока­
зать (сделайте это самостоятельно), что
четырёхугольник M B C N — прямоуголь­
ник. Покажем, что он равновелик данному
параллелограмму.
Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольника А В М
и трапеции M BCD. Площадь прямоугольника равна сумме площадей трапе­
ции M BC D и треугольника D CN. Однако прямоугольные треугольни­
ки А В М и D C N равны по гипотенузе и острому углу (отрезки А В и CD
равны как противолежащие стороны параллелограмма, углы 1 и 2 равны
как соответственные при параллельных прямых А В и D C и секущей AD).
Значит, эти треугольники равновелики. Отсюда следует, что параллело­
грамм A B C D и прямоугольник M B C N равновелики.
По теореме 20.1 площадь прямоугольника равна произведению длин
сторон В М и ВС. Тогда S = В С ■ ВМ , где S — площадь параллелограм­
ма ABCD.
148

Для завершения доказательства надо рассмотреть случаи, когда осно­
вание М высоты В М не будет принадлежать стороне AD (рис. 215) или
совпадёт с вершиной D (рис. 216). И в этих случаях параллелограмм ABCD
и прямоугольник M B C N равновелики. Докажите этот факт самостоя­
тельно. <

Если обозначить длины стороны параллелограмма и проведённой
к ней высоты соответственно буквами а и h, то площадь 5 параллелограм­
ма вычисляют по формуле
5 = ah

1

1. Чему равна площадь параллелограмма?
2. По какой формуле вычисляют площадь параллелограмма?

I Упражнения

697. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 14 см,
а проведённая к ней высота —6 см.
698. Вычислите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке 217
(размеры даны в сантиметрах).

149

699. Какие из параллелограммов, изображённых на рисунке 218, равнове­
лики?
Рис. 218

700. Площадь параллелограмма A B C D (рис. 219) равна 5. Чему равна пло­
щадь закрашенной фигуры?

150

702. Площадь параллелограмма равна 40 см2, а высоты равны 5 см и 4 см.

Найдите стороны этого параллелограмма.
703. Заполните таблицу, где а —длина стороны параллелограмма, h —дли­

на высоты, проведённой к этой стороне, S —площадь параллелограмма.
а

6,2 см

h

7 см

16 дм
0,9 м

S

64 д м 2

5,4 м 2

704. Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см, а одна из высот рав­

705.
706.
707.

708.
709.

710.

711.
712.
713.
714.
715.

на: 1) 6 см; 2) 12 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколь­
ко решений в каждом случае имеет задача?
Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 15 см
и 25 см, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.
Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 26 см
и 24 см, а одна из них перпендикулярна стороне параллелограмма.
Диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной
из его сторон и образует угол 30° со второй стороной. Найдите пло­
щадь параллелограмма.
Стороны параллелограмма равны а и 6, его острый угол равен а.
Найдите площадь параллелограмма.
Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины
тупого угла, равен 60°. Найдите площадь параллелограмма, если его
высоты равны 8 см и 12 см.
Стороны параллелограмма равны 14 см и 20 см, а угол между его вы­
сотами, проведёнными из вершины тупого угла, —45°. Найдите пло­
щадь параллелограмма.
Найдите площадь ромба, если его высота равна 6 см, а диагональ —
10 см.
Меньшая диагональ ромба равна а, а один из углов — 60 . Найдите
площадь ромба.
Докажите, что высоты параллелограмма обратно пропорциональны
сторонам, к которым они проведены.
Стороны параллелограмма равны 9 см и 12 см, а сумма двух его нерав­
ных высот равна 14 см. Найдите площадь параллелограмма.
Разность двух сторон параллелограмма равна 12 см, а проведённые
к ним высоты равны 15 см и 10 см. Найдите площадь параллело­
грамма.
151



716.

Докажите, что из всех параллелограммов со сторонами, равными а
и b, наибольшую площадь имеет прямоугольник.
4

Упражнения для повторения

В треугольнике А ВС известно, что Z.C = 90°, АС = 7 см, ВС = 24 см,
A M —биссектриса. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс каж­
дого из углов ВАС и АМС.
718. В равнобедренном треугольнике А В С с основанием АС медианы AM
и СК пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный, и найдите его боковые стороны, если A M = 21 см.
719. На медиане A M треугольника А В С отмечена точка D так, что
AD : D M = 1 : 3 . Через точку D проведена прямая, параллельная сто­
роне АС. В каком отношении эта прямая делит сторону ВС, считая от
вершины С?

717.

_ _________ ---------------!

!

t— 3 Наблюдайте, рисуйте.
конструируйте. Фантазируйте
720.

X

Докажите, что в выпуклом девятиугольнике найдутся две диагонали,
угол между которыми меньше 7°.
§ 22. Площадь треугольника

Й Теорема 22.1

\ -------------------------Площадь треугольника равна половине произведения
его стороны и проведённой к ней высоты.

Д оказательство

На рисунке 220 изображены треугольник А В С, площадь которого рав­
на S, и его высота ВМ. Докажем, что S = ~ A C B M .
Через вершины В и С треугольника
проведём прямые, параллельные сторонам АС
и АВ соответственно (рис. 220). Пусть эти
прямые пересекаются в точке N. Четырёх­
угольник ABNC —параллелограмм по опреде­
лению. Треугольники АВС и NCB равны (до­
кажите это самостоятельно). Следовательно,
равны и их площади. Тогда площадь тре152

угольника А В С равна половине площади параллелограмма ABNC. Высо­
та В Ы треугольника А В С является также высотой параллелограм­
ма ABNC. Отсюда S =

АС ■ВМ. ■*

Если воспользоваться обозначениями для длин высот и сторон тре­
угольника АВС, то согласно доказанной теореме имеем:
S = \ aha = \ bhb = \ chcгде S —площадь треугольника.
I

0 Следствие
)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине
произведения его катетов.

>

Докажите эту теорему самостоятельно.
Задача. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения
его диагоналей.
Решение. На рисунке 221 изображён ромб ABCD,
площадь которого равна S. Его диагонали А С и BD
пересекаются в точке О. Докажем, что S = ^ АС ■BD .
Поскольку диагонали ромба перпендикулярны,
то отрезки А О и СО являются высотами треугольни­
ков BA D и BCD соответственно. Можно записать:

5

=

s BAD + s BCD = \ b D A O + \ b D -CO = \ b D {A O +

+ СО) = l;BD ■АС. *
1. Как найти площадь треугольника, если известны его сторона и высо­
та, проведённая к ней?
2. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известны
его катеты?
I Упражнения

'-----

721. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведённая к ней,
2,5 см. Найдите площадь треугольника.
153

722. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого

равны 10 см и 18 см.

723. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 222, равновелики.

724. Вычислите площадь треугольника, изображённого на рисунке 223,

если длина стороны клетки равна единице длины.
Рис. 223

725. Площадь треугольника равна 48 см2. Найдите сторону треугольника,

если высота, проведённая к этой стороне, равна 8 см.
726. Известно, что две стороны треугольника равны 24 см и 9 см, а высо­

та, проведённая к большей из известных сторон, —6 см. Найдите вы­
соту треугольника, проведённую к меньшей из известных сторон.

154

727. З а п ол н и те таблицу, где а - длина стороны треугольника, h - длина
вы соты , проведён н ой к ней, 5 - площ адь треугольника.

а

2,4 см

h

4 см

9 дм


S

81 дм2

65 м2

728. Н ай ди те площ адь равн обедрен ного треугольника, основание которо­
го р авн о 24 см, а боковая сторон а — 13 см.
729. Б ок овая с то р о н а р авн о б ед р ен н о го треугольника равн а 61 см, а вы ­
сота, п ро в е д ё н н а я к основан ию , — 60 см. Н айди те площ адь треуголь­
ника.
730. О дин из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а медиа­
на, проведён н ая к гипотенузе, — 18,5 см. Н айди те площ адь треуголь­
ника.
\ ____
731. Н ай ди те площ адь прямоугольного треугольника, если вы сота, прове­

дённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 3 см и 27 см.
732. В ы сота прям оугольного треугольника, проведённая к гипотенузе,
равн а 8 см, а п роек ц и я одного из катетов на гипотенузу — 6 см. Н ай­
ди те площ адь треугольника.
733. В ы сота B D треугольника А В С делит его сторону АС на отрезки A D
и CD. Н а й д и те площ адь треу го л ьн и к а А В С , если ВС = л/37 см,
ZА = 30°, CD = 5 см.
734. В ы сота А М треугольника А В С делит его сторону В С на отрезки В М
и М С. Н ай д и те площ адь треугольника А В С , если АВ = 1Ол/2 см,
АС = 26 см, Z B = 45°.
735. Н айди те площ адь равн обедрен ного треугольника, боковая сторона
которого равн а Ь, а угол при основании равен а.
736. Вы сота равн обедрен н ого треугольника, проведённая к основанию ,
равн а h, а угол п р и верш ине равен р. Н айдите площ адь треугольника.
737. Н айди те площ адь р авн осторон н его треугольника, сторона которого
равна а.
738. Н айди те площ адь равн обедрен ного прямоугольного треугольника,
гипотенуза к оторого равн а с.
739. Н айди те высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипо­
тенузе, если его катеты равны 10 см и 24 см.
740. Т очка касания окруж ности, вписанной в прямоугольны й треуголь­
ник, д ел и т его гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см. Н айдите
площ адь треугольника.
155

741. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его периметр
равен 54 см, а высота, проведенная к основанию, J см.
742. Основание равнобедренного треугольника относится к его высоте,
опущенной на основание, как 8 : 3, боковая сторона треугольника рав­
на 40 см. Найдите площадь треугольника.
743. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника, диагонали ко­
торого перпендикулярны, равна половине их произведения.
744. Площадь ромба равна 120 см2, а его диагонали относятся как 5 : 12.
Найдите периметр ромба.
745. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диа­
гоналей —62 см.
746. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 39 см, а разность
диагоналей —42 см.
747. Даны прямая / и параллельный ей отрезок АВ. Докажите, что все тре­
угольники А Х В , где X —произвольная точка прямой /. равновелики.
748. Докажите, что если высота одного треугольника равна высоте друго­
го треугольника, то площади данных треугольников относятся как их
стороны, к которым проведены эти высоты.
749. Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равнове­
ликих треугольника.
750. На стороне АС треугольника А В С отмечена точка М так, что
=
т

$
авм
т
= —. Докажите, что - —— = — .
п
Sсвм п
751. В треугольнике проведены три медианы. Докажите, что они разбива­
ют треугольник на шесть равновеликих треугольников.
752. Через вершину В треугольника А В С проведите две прямые так, чтобы
они разбили данный треугольник на три равновеликих треугольника.
753. Через вершину параллелограмма проведите прямые так, чтобы они
разбили данный параллелограмм на: 1) четыре равновеликих много­
угольника; 2) пять равновеликих многоугольников.
754. Через вершину ромба проведите две прямые так, чтобы они разбили
данный ромб на три равновеликих многоугольника.
755. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.
756. В треугольнике проведены три высоты. Докажите, что к наибольшей
стороне треугольника проведена наименьшая высота.

\ ____

757. На стороне АС треугольника А ВС отмечена точка М так, что
тп

,=

Л4С

~ ~ • Пусть X —произвольная внутренняя точка отрезка ВМ. Дока­
жите, что

_m
s cbx

п

156

758. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, один из которых на 14 см больше дру­
гого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окруж­
ности равен 4 см.
759. В прямоугольном треугольнике А В С к гипотенузе А В проведена вы­
сота СМ. Площадь треугольника ACM равна 6 см2, а площадь тре­
угольника В СМ — 54 см2. Найдите стороны треугольника АВС.
760. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса
его острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной
21 см и 35 см.
761. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса
прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 6 см.
762. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит
его высоту, проведённую к основанию, на отрезки, длины которых
равны 34 см и 16 см. Найдите площадь данного треугольника.
763. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания
делит боковую сторону треугольника в отношении 9 : 8 , считая от
вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треуголь­
ника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.
764. На продолжениях сторон А В, ВС, АС равностороннего треугольника
А В С за точки В , С и А соответственно отмечены точки D, Е и .Ртак,
что B D = СЕ = A F - 2АВ. Найдите площадь треугольника DEF, если
площадь треугольника А В С равна 1 см2.
765. В треугольнике А В С отметили точку М так, что площади треуголь­
ников АМ В, В М С и А М С равны. Докажите, что М — точка пересе­
чения медиан треугольника АВС.
766. На стороне АС треугольника А В С отмечена точка D. Проведите че­
рез эту точку прямую так, чтобы она разбила данный треугольник на
два равновеликих многоугольника.
767. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равносто­
роннего треугольника до его сторон является постоянной для данно­
го треугольника.
Упражнения для повторения
768. В равнобедренном треугольнике А В С (АВ = ВС) биссектриса угла А
пересекает сторону В С в точке М. Найдите углы треугольника АВС,
если ZAM B = 117°.
769. В равнобокой трапеции основания равны 18 см и 12 см. Боковая сто­
рона образует с основанием угол 30°. Найдите диагональ трапеции.

157

770 .

Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удалён от
концов её боковой стороны на 12 см и 16 см. Найдите периметр трапеции.

C U Наблюдайте, рисуйте,
конструируйте, фантазируйте

-------------

771. На плоскости даны п точек (п > 3), никакие три из которых не лежат
на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершина­
ми в данных точках, который не содержит ни одной из остальных
(п - 3) точек.

S 23. Плошадь трапеции
Ё Теорема 23.1
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её
оснований и высоты.
Доказательство

На рисунке 224 изображена трапеция
ABCD (A D НДС), площадь которой равна S.
Отрезок CN — высота этой трапеции. Дока­
жем, что 5 =

ВС + A D ) ■CN.

Проведём диагональ А С и высоту A M
трапеции. Отрезки A M и CN являются высо­
тами треугольников А В С и ACD соответ­
ственно.
Имеем:
$ ~ ^авс + SAcd = 2 В С ' AM + i AD ■CN =
= | ВС ■CN + 1 AD ■CN = | (BC + A D ) • CN. /3 см. 567. 2V65 СМ.
547

568. 12V5 см. 569. 128 см. Указание. Воспользуйтесь свойством биссек­
трисы угла треугольника и найдите отношение боковой стороны к полови­
не основания. 570. 162 см. 571. 54 см. 572. 8лЯ0 СМ. 573. 10 СМ, 2752 СМ,

2л/73 см. 574. 26 см. 575.
7

з|

фута. 595. 45°, 135°. 598. 1) 1; 2) 0. 599. 0,28;

1

0,96; — . 600. —. Указание. Из подобия треугольников А М С и B D C следует, что
=

АС

AM 1 . . . 6 „
г,
КС
= -gjj = —• 601. - . Указание. Воспользуйтесь тем, что
=

■602. Указание. Из точки Допустите перпендикуляр на отрезок ED.

Найдите тангенсы углов Е и В. 603. 3 см. 604. 12 см. 605. 14 см. 621. 2а,
а Я . 622. а, а Я . 625. 8 см. 626. 16 см. 627. 15 см. 628. а Я см. 629. 7 l_ .

630.

633.

sin a


sin а

, a sin ф. 632.
cos а ’ sin а cos а . 631. a tg Ф, —2—
гпс m
г

Чг
. а
sin -

Я 81 см. 638.

2га • 6 3 4 ‘ ~

^
cos -

■635. ^ - Я

)

6 3 6 _ 2л/з см;

= 86°, Z.B = 111°, А С = 94°, Z.D = 69°.

639. 18 см, 21 см. 654. 3)

. 655. 12 сторон Ш (Г

659‘ ПятиУгольник- 660. Указание.
H

/

‘ ШеСТИуГОЛЬНИК’ каж Дый угол которого

равен 120 . Если провести секущую M N (рис 247) то
сумма углов пятиугольника A B M N F будет равной 540°.
190

о2 c o sа-

. rftgf-

Тогда сумма углов B M N и F N M равна 180°. 662. 80 см. 663. (26 + ЮхДз) см.
664. 3J b см. 674. 0,000126 Н. 675. 12 000 Н. 676. aГ1 sin a cos а. 677. 75х/3 см2.
686. В 2 раза. 687. Ни одного, или два, или три. 688. Ни одного или два.
689. 504 см2. 690. 30 см. 691. У казание. Постройте прямоугольный треугольник, катеты которого равны сторонам данных квадратов.
692. Указание. Сторона искомого квадрата х = 4 а Ь . 694. 24 см. 695. 2 см.
704. 1) Два решения: 4 см и 9 см; 2) одно решение: 8 см. 705. 300 см2.
706. 120 см2. 707. 108х/3 см2. 708. ab sin а. 709. 64%/Зсм2. 710. 140х/2 см2.
711. 37,5 см2. 712.

^

714. 72 см2. 715. 360 см2. 719. 1 : 7. 732. ^ с м 2.
л

9

733. п Т з см2. 734. 170 см2. 735. Ъ2 sin а cos а. 736. h1 tg | . 737. - ^
739.

I—

3

t

. 738. — .

“ см. 740. 96 см2. 741. 108 см2. 742. 768 см2. 744. 52 см. 745. 336 см2.

746. 1080 см2. 757. У казание. Учтите, что треугольники А В Х и А Х М име­
ют общую высоту. Это лее свойство имеют и треугольники С В Х и СХМ.
758. 120 см2. 759. 20 см, бх/Го см, 2vTo см. 760. 1176 см2. 761. 9,6 см2.
762.

см2 У казание. Воспользовавшись свойством биссектрисы тре­

угольника, найдите отношение боковой стороны и половины основания
треугольника. 763.

см2 734 . jg см2 Указание. Воспользуйтесь резуль3
татами задач 750 и 757. 765. Указание. Проведите прямые AM, В М и СМ
и воспользуйтесь результатами задачи 757. 766. Указание. Проведите ме­
диану АМ. Пусть N —такая точка на стороне ВС , что A N || DM. Докажите,
что прямая D N — искомая. 768. 78°, 78°, 24°. 769. 2%/57 см. 770. 80 см.
782. 108 х/З см2. 783. 195 см2. 784. 840 см2. 785. 132 см2. 786. 600х/3 см2.
787. 1640 см2. 788. (32 + 32х/2) см2. 789. 294 см2. 793. 512 см2. 794. 192 см2.
795. 336 см2. У казание. В данной трапеции A B C D {В С II AD) через верши­
ну С проведите прямую CF, параллельную B D (точка F принадлежит A D ),

и рассмотрите треугольник ACF. 796.

Указание. Докажите, что

угол при большем основании трапеции равен 60 . 797. 156 см-. Указание.
Пусть О — центр окружности, вписанной в трапецию A B C D (В С || AD).
Докажите, что треугольник ЛОВ является прямоугольным, и найдите его
высоту, проведённую из вершины О. 798. 588 см2. 799. 2187 см~. Указание.
Докажите, что диагональ данной трапеции является биссектрисой у1 ла при
основании. Далее воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника.
800. 936 см2. 801.

. Указание. Проведите среднюю линию M N трапеции.

191

Докажите, что высоты треугольников M C N и M N D , п роведённ ы е из вер­
шин С и D, равны половине высоты трапеции. 802. 15 см, 10 см. 803. 60”
120°. 804. 38 см. 806. 64 см или 74 см. 807. 10 см, 18 см. 808. 60”. 809. а - Ъ
811. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) нет; 6) да; 7) да. У казание. Докажите, что
точкой пересечения диагонали делятся пополам. 812. 1) Да; 2) да; 3) нет
813. 30”, 150”. 814. 40”, 70”, 70”. 815. 45”. 816. 18 см. 818. 56 см. 821.

см

823. CD. 824. 70”, 110”. 825. 30”. 828. 80”, 100”, 150°, 30°. 829. 4 см, 10 см
830. 1 : 2. 831. 3 : 4. 832. 2 : 5. 833. 9 см, 3 см, 6 см. 834. 21 см, 35 см.
835. 28 см, 28 см, 16 см. 837.

а+о

.

838. 21 см, 15 см. 840. 25 см. 841 5 см

842. 10 см. 843. 36 см. 844. (1 2 л /5 + 2 0 )

СМ.

845. 18 см. 846. 24 см.

847. 4л/29 см, 10л/29 см. 848. | | см. 849. 2\/То см. 850. 45 см. 851. а) —■

б) Щ-. 852. 256 см2. 853. ~ d ‘. 854.
8
2
4
857. 72%/3 см2. 858. 24 300 см2. 859. 6 см.

192

855.

2 tg р ■856. - с- sin a cos а .

Ответы к заданиям в тестовой Форме
«Проверьте себя»
Номер
задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

Б

Г

А

А

В

В

Г

А

В

в

2

Б

В

В

В

Б

В

Г

Б

Г

А

3

В

Б

В

Б

Г

В

Б

В

Г

Б

4

Б

В

А

Г

А

Г

Г

Б

Г

в

193

г ю д рния

из

курса геометрии 7 класса

прпгтрйшие геометрические фигуры и их свойства
1. Точки и прямые



Основное свойство прямой. Через любые две точки можно провес­
ти прямую, и притом только одну.

✓ Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
✓ Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
2. Отрезок и его длина

✓ Точки А и В прямой а (рис. 248) огра­
ничивают часть прямой, которую вме­
сте с точками А и В называют отрез­
ком, а точки А я В —концами этого от­
резка.

Рис. 248

а

А________В

✓ Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложе­
нием.
✓ Равные отрезки имеют равные длины, и наоборот, если длины отрез­
ков равны, то равны и сами отрезки.
у/

Основное свойство длины, о т р езк а. Если точка С является внутрен­
ней точкой отрезка АВ, то отрезок А В равен сумме отрезков АС
и СВ. т. е. А В = АС + СВ.

у/

Расстоянием между точками А и В называют длину отрезка АВ.

3. Луч. Угол

Точка О прямой А В (рис. 249) разби­
вает прямую на две части, каждую из
которых вместе с точкой О называют
лучом или полупрямой. Точку О назы­
вают началом луча.

Рис. 249

А _____ ______ В
О

* Два луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой, назы­
вают дополнительными.

194

✓ Два луча ОА и ОВ, имеющие общее на­

чало (рис. 250), разбивают плоскость на
две части, каждую из которых вместе с
лучами ОА и ОВ называют углом. Лучи
ОА и ОВ называют сторонами утла, а
точку О —вершиной угла.
✓ Угол, сторонами которого являются до­

полнительные лучи, называют развёр­
нутым.
✓ Два угла называют равными, если их можно совместить наложением.
✓ Биссектрисой угла называют луч с началом в его вершине, делящий

этот угол на два равных угла.
4. Измерение углов

у/ Каждый угол имеет определённую величину (градусную меру).
у/ Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым.
Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым.
Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют
тупым.
у/ Равные углы имеют равные величины,
и наоборот, если величины углов рав­
ны, то равны и сами углы.


Основное свойство величины угла.
Если луч ОС делит угол ЛОВ на два уг­
ла АО С и СОВ (рис. 251), то Z АОВ =
= Z АО С + АСОВ.

5. Смежные и вертикальные углы

у/ Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две
другие являются дополнительными лучами.
Сумма смежных углов равна 180°.
у
/

Два угла, отличных от развёрнутого, называют вертикальными, если
стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон дру
того.
Вертикальные углы равны.
195

6. Перпендикулярные прямые. Серединный перпендикуляр

✓ Две прямые называют перпендикулярными, если при их пересечении
образовался прямой угол.
у/ Неперпендикулярные прямые при пересечении образуют пару рав­
ных острых углов и пару равных тупых углов. Величину острого угла
называют углом между неперпендикулярными прямыми.
у/ Если прямые перпендикулярны, то считают, что угол между ними ра­
вен 90°.
у/ Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на пер­
пендикулярных прямых.
у/ На рисунке 252 изображены прямая а и пер­
пендикулярный ей отрезок ЛВ, конец В кото­
рого принадлежит прямой а. В таком случае
говорят, что из точки А на прямую а опущен
перпендикуляр АВ. Точку В называют основа­
нием перпендикуляра АВ.

Рис. 252

у/ Длин)' перпендикуляра А В называют расстоя­
нием от точки А до прямой а. Если точка А принадлежит прямой а,
то считают, что расстояние от точки А до прямой а равно нулю.
у/ Опустим из точки А на прямую а перпендику­
ляр АВ (рис. 253). Пусть X — произвольная
точка прямой а, отличная от точки В. Отре­
зок А Х называют наклонной, проведённой из
точки А к прямой а.
у/ Через данную точку проходит только одна
прямая, перпендикулярная данной.
у/ Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середи­
ну, называют серединным перпендикуляром отрезка.
у/ Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от
концов этого отрезка.
✓ Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит се­
рединному перпендикуляру этого отрезка.

196

Треугольники
7. Треугольник и его элементы. Равные треугольники
✓ Три точки А , В и С, не лежащие на одной
прямой, соединены отрезками (рис. 254).
Образовавшаяся фигура ограничивает часть
плоскости, которую вместе с отрезками А В ,
В С и СА называют треугольником. Точки
А , В, С называют вершинами, а отрезки
АВ, ВС, С А —сторонами треугольника.
Треугольник называют и обозначают по его
вершинам.
%/ В треугольнике А В С угол В называют углом, противолежащим сторо­
не АС, а углы А и С —углами, прилежащими к стороне АС.
у/ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
%/ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые.
Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов пря­
мой.
Треугольник называют тупоугольным, если один из его углов тупой.
Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому уг­
лу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, —
катетами.
Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше
суммы двух других его сторон.
Два треугольника называют равными, если их можно совместить на­
ложением.
^ Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении тре­
угольников, называют соответственными сторонами и соответствен­
ными углами.
В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и на­
оборот, против большего угла лежит большая сторона.

197

8. Высота, медиана, биссектриса треугольника



Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую,
содержащую противолежащую сторону, называют высотой треуголь­
ника.



Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противо­
лежащей стороны, называют медианой треугольника.



Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершин)' тре­
угольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектри­
сой треугольника.

9. Признаки равенства треугольников

✓ Первый признак р а в е н с т в а треугольников: по двум сторонам

и углу м еж ду ними. Если две стороны и угол между ними одного
треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ни­
ми другого треугольника, то такие треугольники равны.
✓ В т о р о й признак р а в е н с т в а треугольников: по сто р о н е и двум

прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней
угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум
прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треуголь­
ники равны.
✓ Третий признак р а в е н с т в а треугольников: по т р ё м сторонам.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
10. Равнобедренный треугольник и его свойства.
Равносторонний треугольник
у/ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобед­

ренным.
у/ Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми

сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного тре­
угольника.


Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его
боковых сторон.



В равнобедренном треугольнике:
1) углы при основании равны;
2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.
198

|/ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.
\/ В равностороннем треугольнике: 1) все углы равны; 2) биссектриса,
высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают.
11. Признаки равнобедренного тр еуго льни ка

•/ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобед­
ренный.
| / Если медиана треугольника является его высотой, то этот треуголь­
ник равнобедренный.
%/ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот тре­
угольник равнобедренный.
(/ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот тре­
угольник равнобедренный.

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
12. П а р а лле льн ы е прям ы е

%/ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
Если прямые а и Ъ параллельны, то пишут а II b (читают: «прямые а
и b параллельны» или «прямая а параллельна прямой b»).


Основное свой ство параллельных прямы х (аксиом а параллель­
н о с ти п рям ы х). Через точку, не лежащую на данной прямой, прохо­
дит только одна прямая, параллельная данной.

•/ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
• / Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
t/ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют рас­
стояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.
13. Признаки п а р а лле льн о сти д в ух прям ы х

•/ Если две прямые а и b пересечь третьей пря­
мой с, то образуется восемь углов (рис. 255).
Прямую с называют секущей прямых а и Ь.
Углы 3 и б, 4 и 5 называют односторонними.
Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
Углы 6 и 2 , 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соот­
ветственными.
199

\ / Если накрест лежащие углы, образовавшиеся при пересечении двух
прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
/ Если сумма односторонних углов, образовавшихся при пересечении
двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
И Если соответственные углы, образовавшиеся при пересечении двух
прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
14. Свойства параллельных прямых



Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
1) углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
2) углы, образующие пару соответственных углов, равны;
3) сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.

I'' Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых,
то она перпендикулярна и другой.
15. Сумма углов треугольника.
Внешний угол треугольника



Сумма углов треугольника равна 180°.

I/ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого
треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не
смежных с ним.
\/ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника,
не смежных с ним.
16. Признаки равенства прямоугольных треугольников

✓ Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотену­
зе и катету. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного тре­
угольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то та­
кие треугольники равны.
^ Признак равенства прямоугольных треугольников по двум ка­
тетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответ­
ственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

200

Признак р авен ства прямоугольных треугольников по к а т е т у
и прилежащему остром у углу. Если катет и прилежащий к нему
острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катету и прилежащему к нему остром)' углу другого, то такие
треугольники равны.

Признак р ав е н с тв а прямоугольных треугольников по к а т е т у
и противолежащ ему острому углу. Если катет и противолежащий



ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответствен­
но равны катет)' и противолежащему ему острому углу другого, то та­
кие треугольники равны.

Признак р авен с тва прямоугольных треугольников по гипотену­
зе и остром у углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямо­



угольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому
углу другого, то такие треугольники равны.
17. Свойства прямоугольного треугольника



В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.



Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против это­
го катета, равен 30°.
О к р у ж н о с т ь и круг

18. Геометрическое место точек



Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех то­
чек, обладающих определённым свойством.



Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим ме­
стом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.



Биссектриса угла является геометрическим местом точек, которые
принадлежат углу и равноудалены от его сторон.

19. Окружность и круг и их элементы
✓ Окружностью называют



геометрическое место точек, равноудаленЭту точку называют центром окружности.

ных от заданной точки.
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, называют радиусом окружности.
201

✓ Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой ок­
ружности. Хорду, проходящую через центр окружности, называют
диаметром.
✓ Диаметр окружности в два раза больше её радиуса.
✓ Кругом называют геометрическое место точек, расстояние от кото­
рых до заданной точки не больше данного положительного числа. За­
данную точку называют центром окружности, а данное число —радиу­
сом крута. Если X —произвольная точка круга радиуса К с центром О,
то ОХ < R.
Окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.
✓ Хорда и диаметр круга —это хорда и диаметр окружности, ограничи­
вающей круг.
20. Свойства окружности

✓ Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду по­
полам.
✓ Диаметр окружности, который делит хорду, отличную от диаметра,
пополам, перпендикулярен этой хорде.
21. Взаимное расположение прямой и окружности.
Касательная к окружности
у
/

Прямая и окружность могут не иметь общих точек, или иметь две об­
щие точки, или иметь одну общуто точку.

у/ Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называ­
ют касательной к окружности.
у
/

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому
в точку касания.

у
/

Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна
радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касатель­
ной к данной окружности.

у
/

Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно
радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной ок­
ружности.

у
/

Если через данную точку к окружности проведены две касательные,
то отрезки касательных, соединяющие данную точку с точками каса­
ния, равны.
202

22. Описанная и вписанная
окружности треугольника

✓ Окружность называют описанной около
треугольника, если она проходит через
все вершины этого треугольника.
На рисунке 256 изображена окружность,
описанная около треугольника. В этом
случае также говорят, что треугольник
вписан в окружность.
✓ Центр описанной окружности треуголь
ника равноудалён от всех его вершин.
✓ Около любого треугольника молено опи­
сать окружность. Центр окружности, описанной около треугольни­
ка, —это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.
✓ Серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в од­
ной точке.
✓ Окружность называют вписанной в тре­
угольник, если она касается всех его сто­
рон.
На рисунке 257 изображена окружность,
вписанная в треугольник. В этом случае
также говорят, что треугольник описан
около окрулсности.
✓ Центр вписанной окружности треуголь­
ника равноудалён от всех её сторон.
)/ В любой треугольник можно вписать окружность. Центр окружности,
вписанной в треугольник, —это точка пересечения его биссектрис.
| / Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
✓ Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычис­
ляется по формуле г - а + ^—- , где г — радиус вписанной окрулсности,
а и b —длины катетов, с —длина гипотенузы.

203

Алфавитно-пред метный указатель
Параллелограмм 13
Периметр многоугольника 138
— четырёхугольника 6
Площадь многоугольника 142
— квадрата 143
— параллелограмма 149
— прямоугольника 144
—прямоугольного
треугольни­
ка 154
—трапеции 159, 160
—треугольника 153
Подобные треугольники 84
Полуокружность 53
Проекция катета 111
Признаки параллелограмма 21, 22
— подобия треугольников 89, 100,

Боковые стороны трапеции 43
Вершины многоугольника 137
----соседние 137
—четырёхугольника 6
— —противолежащие 6
Высота параллелограмма 14
— трапеции 43
Градусная мера дуги окружности 52
Диагональ многоугольника 138
—четырёхугольника 6
Дуга окружности 52
Квадрат 36
Косинус острого угла прямоуголь­
ного треугольника 121
Котангенс угла 122
Коэффициент подобия 84

101

—ромба 33, 34
—прямоугольника 30
Прямоугольник 29

Лемма о подобных треугольниках 85

Ромб 33

Метрические соотношения в пря­
моугольном треугольнике 111
Многоугольник 137
—выпуклый 138
Многоугольники равновеликие 145

Свойства квадрата 36
—параллелограмма 13, 14
—прямоугольника 29
—ромба 33
—углов, вписанных в окружность 53
Свойство биссектрисы треуголь­
ника 78
—диагоналей параллелограмма 14
прямоугольника 29
----ромба 33
—средней линии трапеции 44
треугольника 40
Синус острого угла прямоугольно­
го треугольника 120
Средняя линия трапеции 44
----треугольника 39

Окружность, вписанная в много­
угольник 139
----в четырёхугольник 62
—описанная около многоугольника
139
------ четырёхугольника 61
Основания трапеции 43
Основное тригонометрическое тож­
дество 123
Отношение двух отрезков 75
204

Стороны многоугольника 137
—соответственные 84
соседние 137
—четырёхугольника 6
__ противолежащие 6
---- соседние 6
Сумма углов выпуклого «-угольни­
ка 139
Тангенс острого угла прямоуголь­
ного треугольника 121
Теорема о пропорциональных от­
резках 75
—Пифагора 114
—Фалеса 74

Трапеция 43
—прямоугольная 44
—равнобокая 44
Угол, вписанный в окружность 53
—многоугольника 137
—центральный 52
—четырёхугольника 6
Углы при основании трапеции 43
Условие достаточное 28
—необходимое 28
Четырёхугольник 6
—невыпуклый 7
—выпуклый 6

Оглавление

От авт оров....................................................................................................

3

Глава 1. Четырёхугольники

§ 1. Четырёхугольник и его элементы................................................
§ 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма............................
§ 3. Признаки параллелограмма .........................................................
Необходимо и достаточно ........................................................
§ 4. Прямоугольник ................................................................................
§ 5. Ромб ..................................................................................................
§ 6. Квадрат ............................................................................................
§ 7. Средняя линия треугольника ........................................................
§ 8. Трапеция...........................................................................................
§ 9. Центральные и вписанные углы ..................................................
§ 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника.........
Задание № 1 в тестовой форме «Проверьте с е б я » .........
Итоги главы 1 ................................................................................

5
13
21
27
29
33
36
39
43
52
61
69
70

Глава 2. Подобие треугольников

§ 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках . . . . 74
§ 12. Подобные треугольники ............................................................... 83
§ 13. Первый признак подобия треугольников................................... 89
Теорема М е н е л а я .......................................................................... 96
Теорема Птолемея ...................................................................... 99
§ 14. Второй и третий признаки подобия треугольников.................. 100
П рямая Эйлера ..............................................................................105
Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте с е б я » ......... 108
Итоги главы 2 ................................................................................. 109
Глава 3. Решение прямоугольных треугольников

§ 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике .. 111
§ 16. Теорема Пифагора..........................................................................114
§ 17. Тригонометрические функции острого угла
прямоугольного треугольника ....................................................... 120
§ 18. Решение прямоугольных треугольников.......................................127
Задание Ns 3 в тестовой форме «Проверьте с е б я » ......... 134
Итоги главы 3 ................................................................................. 135

206

Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника
§ 19. Многоугольники ..................................................................................137
§ 20. Понятие площади многоугольника.
Площадь прямоугольника ................................................................ 142
§21. Площадь параллелограмма .............................................................. 148
§ 22. Площадь треугольника ...................................................................... 152
§ 23. Площадь трапеции............................................................................. 158
Равносоставленные и равновеликие многоугольники ..........162
Теорема Чевы ................................................................................... 163
Задание № 4 в тестовой форме «Проверьте с е б я » ...........166
Итоги главы 4 ...................................................................................167
Дружим с ком пью тером ..................................................................169
П роектная р а б о т а ............................................................................. 174
Упражнения для повторения курса геометрии 8класса . . . . 178
О тветы и указания к упраж нениям ............................................. 185
О тветы к заданиям в тестовой форме
«Проверьте себя» ..........................
193
Сведения из курса геометрии 7 класса ..................................... 194
Алфавитно-предметный указатель.............................................. 204

РО ССИ Й СК И Й УЧЕБНИК

Учебное издание

Мерзляк Аркадий Григорьевич
Полонский Виталий Борисович
Якир Михаил Семёнович

Геометрия
8 класс
Учебник для учащихся
общеобразовательных организаций
Редактор Е.В. Буцко
Художественный редактор Е.В. Чайко
Макет, внешнее оформление Е.В. Чайко
Рисунки Н.К. Вахониной, И.В. П авловой
Компьютерная вёрстка О.Г. Попоновой, О.В. П оповой
Технический редактор Е Л . Урвачева
Корректоры О.Ч. Кохановская, Ю .С. Борисенко
Подписано в печать 15.06.18. Формат 70х90/16
Гарнитура NewBaskerville. Печать офсетная
Печ. л. 13,0. Тираж 15 000 экз. Заказ № 5344.
Отпечатано в ООО «ПИК ОФСЕТ»
660075, г. Красноярск, ул. Республики, д. 51, стр. 1
Тел.: (391) 211-76-59, 211-76-20. E-mail: marketing@pic-ofset.ru
ООО Издательский центр «Вентана-Граф»
123308, г. Москва, ул. Зорге, д. 1, эт. 5
Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги
можно отправлять по электронному адресу: expert@rosuchebnik.ru
По вопросам приобретения продукции издательства обращайтесь:
тел.: 8-800-700-64-83; e-mail: sales@rosuchebnik.ru
Электронные ф ормы учебников, другие электронные материалы и сервисы:
LECTA.ru, тел.: 8-800-555-46-68
В помощь учителю и ученику: регулярно пополняемая библиотека дополнительных
материалов к урокам, конкурсы и акции с поощрением победителей, рабочие программы,
вебинары и видеозаписи открытых уроков росучебник.рф /метоп

Тригонометрические функции острого угла
прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
для углов 30°, 45° и 60°

sin а

cos а

tg a

c tg a

а = 30°

а = 45°

1
2

лЯ
2

2

S

Я

2

2

1
2



3

S
1_______

а = 60°

1

S

1

S
3

Латинский алфавит
П е ч а т н ы е буквы

Н а з в а н и я бу кв

Греческий алфавит
П е ч а т н ы е буквы

Н а з в а н и я букв

А

а

a

А

а

альф а

В

р

бета

В

ь

бэ

С

С

цэ

Г

У

гам м а

D

d

ДЭ

д

5

дельта

Е

е

е

Е

8

эпсилон

F

f

эф

Z

с

дзета

G

g

жэ

н

л

эта

Н

ь

аш

0

е, a

тета

I

i

и

I

1

йота

жи

к

К

каппа

J

j

К

k

ка

А

X

лям бда

L

1

эль

М

р

мю

М

m

эм

N

V

ню

N

n

эн

н

5

кси

О

о

о

О

0

омикрон

Р

p

пэ

п

К

пи

Q

q

ку

р

р

ро

R

r

эр

X

О.?

си гм а

S

s

эс

Т

т

та у

Т

t

тэ

Y

U

ипсилон

и

u

У

Ф

ф .ф

фи

X

X

У

V

V

V

вэ

W

w

д у б л ь -в э

X

X

икс

Y

У

и грек

Z

z

зед

п

ш

хи
пси
о м ега

Z.POM

1 5 0/ДОК

ISBN 978-5-360-10060-7

9 785360 100607




MyBook - читай и слушай по одной подписке