Геометрия ЕГЭ [Автор Неизвестен] (pdf) читать онлайн

Виды углов
Острый

Прямой

Тупой

Смежные

Вертикальные

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

°

°

Накрест лежащие

°

Соответственные

Односторонние

°

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

°

Свойство острых углов
прямоугольного треугольника

Синус, косинус, тангенс,
котангенс тупых углов

______________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑠𝑖𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼 = −𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑡𝑔𝛼 = −𝑡𝑔𝛽
𝑐𝑡𝑔𝛼 = −𝑐𝑡𝑔𝛽

𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑡𝑔𝐴 = 𝑐𝑡𝑔𝐵
𝑡𝑔𝐵 = 𝑐𝑡𝑔𝐴

Сумма углов
Треугольник

Четырёхугольник

Пятиугольник

Шестиугольник

n-угольник

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

𝑛−
°

°

°

°

°(𝑛 − 2)

Виды треугольников
Остроугольный

Прямоугольный

Тупоугольный

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

Равнобедренный
(остроугольный)

Равнобедренный
(прямоугольный)

Равнобедренный
(тупоугольный)

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

Равносторонний
_______________________________________________________

Треугольник
Площадь (через высоту)

Площадь (через угол)

Площадь (формула Герона)

Площадь (через радиус)

Площадь (через радиус)

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

1
𝑆 = 𝑎ℎ𝑎
2

1
𝑆 = 𝑎𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼
2

1
𝑆 = 𝑝𝑟
2

𝑆=

Теорема синусов

Теорема косинусов

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

𝑎
𝑏
𝑐
=
=
= 2𝑅
𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛾

𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐),
𝑎+𝑏+𝑐
𝑝=
2
Средняя линия
______________________________________________________________________________

𝑎𝑏𝑐
4𝑅

Соотношение сторон и углов

Неравенство треугольника

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

3+4 >5
3+5 >4
4+5 >3

Признаки равенства треугольников
Равенство треугольников
__________________________________________________________________________________________________

1

2

3

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

По двум сторонам и углу между ними

__________________________________________________________________________________________________

По стороне и двум прилежащим к ней
углам

По трём сторонам

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

𝐴𝐵 = 𝑂𝐷
𝐵𝐶 = 𝑂𝐸
𝐴𝐶 = 𝐷𝐸

∠𝐶 = ∠𝐸
∠𝐴 = ∠𝐷
∠𝐵 = ∠𝑂

Признаки подобия треугольников
Подобие треугольников
__________________________________________________________________________________________________

1

2

3

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

По двум углам

__________________________________________________________________________________________________

По двум пропорциональным сторонам и
углу между ними

по трём пропорциональным сторонам

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

𝑘

9 12 15
=
=
=3
3
4
5

𝑘=3

Отношения в подобных треугольниках
Отношение площадей

Отношение объёмов

Отношение элементов подобных треугольников

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

𝑝большого треугольника

=𝑘

𝑝маленького треугольника

____________________________________________________________________________________________________________________________________

𝑙большого треугольника
𝑙маленького треугольника

=𝑘

____________________________________________________________________________________________________________________________________

𝑚большого треугольника

𝑆большого треугольника
= 𝑘2
𝑆маленького треугольника

𝑉большой фигуры
= 𝑘3
𝑉маленькой фигуры

𝑚маленького треугольника

=𝑘

____________________________________________________________________________________________________________________________________

ℎбольшого треугольника
ℎмаленького треугольника

=𝑘

Биссектриса

Медиана

Высота

Серединный перпендикуляр

Прямоугольный треугольник
Определение

Площадь

Радиус описанной окружности

Теорема Пифагора

Катет напротив угла 30 градусов

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

°
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2

°
𝑆=

𝑎𝑏
2

𝑅=

𝑐
2

Равнобедренный треугольник
Определение

Свойство

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Равносторонний треугольник
Определение

Площадь

Радиус вписанной окружности

Радиус описанной окружности

Высота

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

𝑆=

°

√3𝑎2
4

𝑟=

√3𝑎
6

𝑅=

√3𝑎
3

ℎ=

√3𝑎
2

Квадрат
Определение

Площадь

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

𝑆 = 𝑎2

°

Прямоугольник
Определение

Площадь

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

𝑆 = 𝑎𝑏

°

Параллелограмм
Определение

Площадь (через высоту)

Площадь (через угол)

Свойство

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

𝑆 = 𝑎ℎ𝑎

𝑆 = 𝑎𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼°
°
∠𝐴 + ∠𝐵 = 180°
∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°
∠𝐶 + ∠𝐷 = 180°
∠𝐴 + ∠𝐷 = 180°

Ромб
Определение

Площадь (через диагонали)

Площадь (через высоту)

Площадь (через угол)

Площадь (через радиус)

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

𝑆 = 𝑎ℎ

𝑆 = 𝑎2 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑆 = 2𝑎𝑟

𝑆=

𝑑1 ∙ 𝑑2
2

Трапеция
Определение

Площадь

Средняя линия

Свойство

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

𝑎+𝑏
𝑆=
∙ℎ
2

𝑎+𝑏
𝑀𝑁 =
2

°
∠𝐴 + ∠𝐵 = 180°
∠𝐶 + ∠𝐷 = 180°

Окружность

Определение

Площадь круга

Вписанный угол

_______________________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________________

Угол между
касательной и
радиусом

Теорема об отрезках
касательных

Окружность описана около
четырёхугольника

__________________________________________________

______________________________________________________________________________________

Круговой сектор
_______________________________________________________

_______________________________________

𝑆 = 𝜋𝑅2
_____________________________________________

_______________________________________________________

Длина окружности

𝐶 = 2𝜋𝑅

1

°
∠𝐴 + ∠𝐶 = 180°
∠𝐵 + ∠𝐷 = 180°

_____________________________________________

_____________________________________________________

Центральный угол
_____________________________________________________

_______________________________________________________

2

𝑆=

𝜋𝑅
∙ 𝛼°
360°

_______________________________________________________

______________________________________________________________________________________

Окружность вписана в
четырёхугольник

2
_______________________________________________________

______________________________________________________________________________________

𝑙=

2𝜋𝑅
∙ 𝛼°
360°

_______________________________________________________

3
_______________________________________________________

𝑆сектора =

𝑙сектора ∙ 𝑅
2

_______________________________________________________

4
_______________________________________________________

𝑎+𝑐 =𝑏+𝑑

𝑙сектора =

2𝑆сектора
𝑅

Правильный шестиугольник
Рисунок

Площадь

Радиус вписанной окружности

Площади частей шестиугольника

Диагонали шестиугольника

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

𝑆=

3√3𝑎2
2

√3𝑎
2
Радиус описанной окружности

𝑟=

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

𝑅=𝑎

Куб
Рисунок

Объём

Площадь поверхности

Диагональ

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

𝑉 = 𝑎3

𝑆поверхности = 6𝑎

2

𝑑 = √3𝑎

Прямоугольный параллелепипед
Рисунок

Объём

Площадь поверхности

Диагональ

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

𝑉 = 𝑎𝑏ℎ

2

𝑆поверхности = 2𝑎𝑏 + 2𝑎ℎ + 2𝑏ℎ

2

2

𝑑 =𝑎 +𝑏 +ℎ

2

Призма
Рисунок

Объём

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

𝑉 = 𝑆основания ∙ ℎ

𝑆поверхности = 2𝑆основания + 𝑆боковой поверхности

𝑆боковой поверхности = 𝑃основания ∙ ℎ

Цилиндр
Рисунок

Объём

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

2

2

𝑆поверхности = 2𝜋𝑅 + 2𝜋𝑅ℎ

𝑉 = 𝜋𝑅 ℎ

𝑆боковой поверхности = 2𝜋𝑅ℎ

Конус
Рисунок

Объём

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

1
𝑉 = 𝜋𝑅2 ℎ
3

2

𝑆поверхности = 𝜋𝑅 + 𝜋𝑅𝑙

𝑆боковой поверхности = 𝜋𝑅𝑙

Пирамида
Рисунок

Объём

Площадь поверхности

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

1
𝑉 = 𝑆основания ∙ ℎ
3

𝑆поверхности = 𝑆основания + 𝑆боковой поверхности

Шар
Рисунок

Объём

Площадь поверхности

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

4
𝑉 = 𝜋𝑅3
3

𝑆сферы = 4𝜋𝑅

2