Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1 [Александр Григорьевич Мордкович] (pdf) читать постранично
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя (37) »
2
•...
• • = a —a„_,
О'п - 1 = d
а9- а л—а*—а9=
• •
Ь н Ьп* Ь ‘
1» ^ г » «*3» • • • »
Ь г _ Ъ 3 _
Ь ~ Ь
а х—а, а л = а„_! + d, п > 2
_
~ - ' ~
(bl 5^ 0,
Ь
п
ъ
п- 1
- V
^ О)
-4—4-
ап= а, + (п - l)d
i
п 5=2
Г - l _ I L .- l._ i :
а„ =
rrr
Ь, = ь, bn= bn. t q,
-1 +
+1
О
(рис. 6), а на промежутке (~°°; -1) — не
X
х
-1
1
2
равенство f(x) > 0 (рис. 7).
-1
+
Подведём итоги. Знаки многочлена
M in im u m
jimiwiiL
f(x)
в выделенных промежутках таковы,
"х
1
-1
2
как показано на рис. 8. Нас интересуют
те промежутки, на которых выполняет
ся неравенство f(x) > 0. Оно выполняется на интервале (-1; 1) и на
открытом луче (2; +°о).
-1
X
1
2
X
-
Гис. 8
[ Н Н Н -1 < х <
х > 2.
Решить неравенство (х - 1)(лс + 1)(х - 2) < 0.
/'uc, 9
Воспользуемся геометрической иллюстрацией предыдуще
го примера (см. рис. 8), но внесём в неё два изменения.
Во-первых, поскольку нас интересует, при каких значениях х вы
полняется неравенство f(x) < 0, нам придётся выбрать промежут
ки (-°°; -1) и (1; 2). Во-вторых, нас
тнштнщ ~ ШШШШ '
устраивают и те точки, в которых выД
* 2
полняется равенство f(x) = 0. Это точ
ки -1, 1, 2, отметим их на рисунке тём
ными кружочками. На рис. 9 представлена геометрическая иллю
страция решения, от которой нетрудно перейти к аналитической
записи.
* < - 1; 1 < * < 2 .
ПРИМЕР 7
Решить неравенство 2х - Зх3 - х 2 < 0.
Решение
Удобнее расположить члены неравенства в левой части по
порядку убывания степеней. Кроме того, как показывает
опыт, желательно, чтобы старший коэффициент был положитель
ным. Но для этого нужно обе части неравенства умножить на -1
и изменить знак неравенства: Зх3 + х 2 - 2х > 0 Далее имеем:
х(3х2 + х - 2) > 0. Найдём корни квадратного трёхчлена З*2 + х —2,
ГЛАВА 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ
-1 ± VI + 4 • 2 • 3
; х, = —, х2 = -1 . Теперь этог
О
2 3
трёхчлен можно разложить на множители:
а именно: х12 =
ш
З * 2 + х - 2 = з ( х - | j( x + 1).
Интересующее нас неравенство теперь перепишем в следующем виде
Зх( х - | )(х + 1) > 0.
Отметим на числовой прямой точки 0, —, —1. Знаки выраже
О
ния Зх| х - ^ J(x + 1) на полученных промежутках указаны на
_
+
_____ , g(x), а
множество В — решение неравенства р(х) < h(x). Что явля/(*) > g(x),
ется решением совокупности неравенств
р(х) < h(x)?
f(x) > g{x),
Оказалось, что
р(х) < h(x).
неравенство f(x) > g(х) выполняется при любых значениях
переменной, а решением неравенства р(х) < h(x) является
множество А. Что вы можете сказать о решении заданной
совокупности неравенств?
f(x) > g{х),
4. Дана совокупность неравенств
Оказалось, что
р(х) < h{x).
неравенство f(x) > g(x) не имеет решений, а решением не
равенства р(я) < h(x) является множество А. Что вы може
те сказать о решении заданной совокупности неравенств?
3. Дана совокупность неравенств
Н ЕРА В ЕН СТВ А С М ОДУЛЯМ И
Основные понятия
В курсе алгебры 8-го класса вы решали уравнения с модулями и, на
верное, помните, что главное при решении таких уравнений — уметь
«раскрывать» модули, пользуясь определением: если а > 0, то |а{ = а;
если а < 0, то |а| = -а.
При решении неравенств с модулями, кроме указанного опреде
ления, используются следующие утверждения.
■I
Если с > О, то неравенство |/’(jc)| < с равносильно двойному неравен
ству - с < f(x) < с.
T U ^ ^ T T pABEHCTBA. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ
ТЕОРЕМА 2
Если с > О, то неравенство \f(x)\ > с равносильно совокупности нера'
венств f(x) < -с; f(x) > с.
ТЕОРЕМА 3
Если обе части неравенства f(x) < g(x) принимают только неотрица
тельные значения, то оно равносильно неравенству (fix))2 < (gix)f.
Доказательство
1. Пусть с > 0 и пусть х = а — частное решение нераве**'
ства |Д;с) < с, т. е. верно числовое неравенство |Да)| < СЕсли Да) > 0, то |Да) = Да), и неравенство [Да)| < с можно переписав
так: 0 < Да) < с. Если /(а) < 0, то |Да)| = -/(а), и неравенств
|Да)| < с можно переписать так: -Да) < с, т. е. -с < Да) < 0 .
Итак, в любом случае выполняется двойное неравенство -с < /(а) 1
< с. Значит, х - а — частное решение неравенства -с < f(x) < с.
Пусть, обратно, х = Ь — частное решение неравенства -с < f(x)
т. е. верно числовое неравенство -с < f(b) < с. Умножив все его нас^
на -1, получим -с < -f(b) < с. Поскольку |/(&)| равен либо f(b), ли#>
-f(b), получаем, что -с < \f(b)\ < с. Левую часть этого двойного нер^
венства можно опустить как очевидную.
Итак, верно неравенство | f(b)\ < с, а это значит, что х = Ь — частн^
решение неравенства |f(x)\ < с.
Вывод: при с > 0 неравенства |/(д:)| < с и -с < f(x) < с раВ№г
сильны.
2. Пусть с > 0 и пусть х = а — частное решение неравенств
!f(x)| > с, т. е. верно числовое неравенство |/(а)| > с. Если f(a) > о с можно переписать так: /(а) > (■
Если /(а) < 0, то |Да)| = -/(а) и неравенство \f(a)\ > с можно переписав
так: - f(a) > с, т. е. f(a) < -с.
Итак, в любом случае значение х = а удовлетворяет либо пер5'
венству f(x) > с, либо
- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя (37) »
Последние комментарии
4 часов 22 минут назад
8 часов 3 минут назад
8 часов 24 минут назад
9 часов 18 минут назад
12 часов 17 минут назад
12 часов 18 минут назад