Математика. Учебник-собеседник для 6 класса общеобразовательных учреждений [Лев Наумович Шеврин] (pdf) читать онлайн

М АТЕМ АТИКА^
УЧЕБНИК-СОБЕСЕДНИК

4£s
■''Hitlll#

iMj

Дар Правительства Российской Федерации
ПРОДАЖЕ НЕ ПОДЛЕЖИТ!

МАТЕМАТИКА
УЧЕБНИК-СОБЕСЕДНИК
ДЛЯ 6 КЛ А С С А
О БЩ ЕО БРАЗО ВАТЕЛЬНЫ Х УЧРЕЖДЕНИЙ

Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации
3-е издание, переработанное

МОСКВА .ПРО СВЕЩ ЕНИ Е. 1997

II

УДК 373.167.1:51
ББК 22.1 я72
М34

Авторы:
Л. Н. ШЕВРИН, А. Г. ГЕЙН, И. О. КОРЯКОВ, М. В

Учебник получил премию
на Всесоюзном конкурсе учебников по математике
для средней общеобразовательной школы

Математика: Учеб.-собеседник для 6 кл. общеобразоват.
М34 учреждений / Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И О. Коряков,
М. В. Волков.— 3-е изд., перераб.— М.: Просвещение, 1997.—
223 с.: ил.— ISBN 5-09-007529-8.
ББК 22.1я72

ISBN ■6*0^003529-8

© Издательство «Просвещение». 1997
Все права защищены

волков

ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот учебник — продолжение книги «Математика, 5. Учебниксобеседник», по которой, как мы надеемся, вы занимались в
5-м классе. Помните, как начиналась та книга? Она начиналась
предисловием под названием «Как работать с учебником». Мы не
будем повторять его здесь (хотя вам было бы полезно перечи­
тать его, и мы советуем сделать это). Напомним только, 'что
работу с учебником мы сравнили в том предисловии с долгим
путешествием по стране Математике. Закончились летние кани­
кулы, и эту работу-путешествие нужно продолжать.
В настоящем путешествии редко возвращаются в те места,
которые уже пройдены. При изучении же математики, напротив,
возвращаться к пройденному приходится нередко: ведь оно слу­
жит опорой для новых знаний! Приступая к изучению математики
в б-м классе, надо помнить пройденное в 5-м, а если что-то
забылось — повторить. Для краткого повторения материала 5-го
класса мы включили в учебник особый параграф, который г)омещен перед главой I. И номер ему присвоили особенный — нуле­
вой. В некоторых уроках этого параграфа вы узнаете и кое-что
новое, но в основном новый материал начнется с § 1.
Как и в нашей книге для учеников 5-го класса, каждый пара­
граф в учебнике делится на уроки. Чтобы пройти в классе один
урок из учебника, вам понадобится иногда один школьный урок,
а иногда два или больше. Но, как и раньше, немалая часть ра­
боты с учебником будет проходить дома.
Как и к учебнику для 5-го класса, мы составили специальную
рабочую тетрадь для этого учебника. Она напечатана отдельной
книжкой. В ней продолжаются задания к каждому уроку из учеб­
ника. Не забывайте брать в школу рабочую тетрадь.
На страницах учебника вы снова встретитесь со Смекалкиным
(а изредка и с его младшим братом) и с математическим клоуном.
В таких местах в книге появляются знакомые вам картинки:
когда Смекалкин что-то спрашивает, вклиниваясь в объясни­
тельный текст;
3

когда Смекалкин, поняв объяснение, утверждает нечто;

когда клоун предлагает свои задачки с шутками или подво­
хами.

Перечислим также другие ориентирующие знаки в учебнике
или рабочей тетради. Для тех, кто забыл их смысл, мы напоминаем,
на что указывает каждый из них:
вставленное в объяснительный текст обращение к вам с вопро­
о сом;

О
0

&
7
1
(У)

■
*

▲

вставленное в объяснительный текст небольшое задание;
место в объяснительном тексте, где можно остановиться и
передохнуть, можно отвлечься (если таких мест в уроке несколь­
ко, то число колокольчиков около красной черты растет);
начало группы вопросов (после объяснительного текста урока),
требующих устного ответа;
начало группы заданий к уроку;
устное задание;
задача, ответ к которой надо записать в рабочую тетрадь;
более трудное задание;
необязательный материал в объяснительном тексте или в за­
даниях.
Снова после каждой главы идет очередная большая перемена.
В больших переменах мы как бы отклоняемся от основного марш­
рута в нашем путешествии по стране Математике. Помещенные
в них рассказы можно обсуждать на занятиях математического
кружка. А можно, конечно, и просто читать их дома.
*

*

*

Итак, путешествие по стране Математике продолжается. В
добрый путь!
4

§ 0. ПОВТОРЕНИЕ
В предисловии мы объяснили, зачем нужен такой повтори­
тельный параграф. В нашем учебнике для 5-го класса было
10 параграфов. Здесь материалу каждого из них отводится только
один урок.

Значит, уроков в параграфе — десять.
Да. А их заголовки повторяют заголовки параграфов предыдуще­
го учебника. Понятно, что в объяснительных текстах этих уро­
ков мы можем лишь очень кратко напомнить пройденное в
5-м классе. Поэтому в них можно найти ответы далеко не на все
задаваемые затем вопросы. Тому, кто затруднится с ответом на
какой-нибудь вопрос, мы советуем более подробно повторить нуж­
ный материал, обратившись к учебнику для 5-го класса. Ну и,
конечно, вы всегда можете обратиться к своему учителю.
Урок 1
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Много внимания в 5-м классе было уделено изучению нату­
ральных чисел. Вы узнали прежде всего, что способ записи
чисел с помощью цифр называется нумерацией (или, по-другому,
системой счисления), что наша нумерация позиционная и деся­
тичная.

Что означают эти свойства нумерации?
Вы научились сравнивать многозначные натуральные числа и за­
писывать цепочки равенств и неравенств.

Какое свойство цепочек равенств и неравенств вы помните?
Если все натуральные числа «выстроить по порядку» (так,
что каждое следующее будет на единицу больше предыдущего),
то получится бесконечный ряд. Он называется натуральным рядом.
5

Чтобы было интереснее говорить о
натуральном ряде, давайте представим,
на что он похож. Можно представить
себе бесконечную прямую дорогу, на ко­
торой расставлены метки как будто
километровые столбы. Обычные кило­
метровые столбы вдоль дорог отмечают
по порядку километры, а наши метки
пусть отмечают натуральные числа.

Я вот что придумал: натуральный ряд похож не только на
бесконечную дорогу, но и на бесконечную линейку.
Это — удачное сравнение. Такая бесконечная линейка пригодится
нам позднее, начиная со второй главы.
Расстояние между двумя соседними столбами на обычной
дороге 1 км. А какое расстояние между двумя соседними
натуральными числами на нашей бесконечной дороге?
Ответим так: хотя километрами расстояние между натуральными
числами измерять бессмысленно, можно говорить про удален­
ность чисел друг от друга. Помните, в нашем учебнике для
5-го класса (в уроке 43) есть рассказ о том, как сказочный
волшебник отправился «в поход» по натуральному ряду? Так

6

вот, удаленность натуральных чисел друг от друга можно «из­
мерять» в шагах этого волшебника. Например, соседние нату­
ральные числа удалены друг от друга на 1 — ведь от одного
числа до другого нужно сделать один шаг. Числа 2 и 9 удалены
друг от друга на 7 — ведь от одного числа до другого нужно
сделать семь шагов. Числа 17 и 24, 118 и 111, 118 и 125 также
удалены друг от друга на 7.

Придумайте несколько пар чисел, удаленных друг от друга
на 10; на 222.
Как узнать, на сколько удалены друг от друга два данных
числа? Легко догадаться, что для этого нужно из большего
числа вычесть меньшее.
Это простое правило применяется при решении таких задач,
как, например, следующая: «Одному из братьев 13 лет, а друго­
му 5. Какова разница в возрасте братьев?» Ведь здесь фак­
тически спрашивается про удаленность друг от друга чисел 13
и 5 в натуральном ряде. Каждый сразу вычислит, что они уда­
лены друг от друга на 8.

А я составил обратную задачу: «Разница в возрасте братьев
8 лет, одному брату 5 лет. Сколько лет другому?» Ответ:
другому брату 13 лет.
Верно. Но здесь можно составить не одну обратную задачу.
Ведь как получается задача, обратная к первоначальной? К а­
кое-то из чисел, данных в условии первоначальной задачи, объяв­
ляется неизвестным, а число, которое раньше требовалось найти,
наоборот, дается в условии. В нашей задаче про братьев было
дано два числа. Значит, к ней можно составить две обратные
задачи.

Составьте вторую обратную задачу и решите ее.
Догадались ли вы, что эта обратная задача имеет два ответа?
Ведь если дано, что одному брату 13 лет, а разница в возрас­
те братьев 8 лет, то еще неизвестно, кто из братьев старше. Поэтому
второму брату либо 5 лет, либо 21 год.
Так что будьте внимательны, отыскивая числа, удаленные от
данного числа на какое-то число.

Вопросы и задания
1.1. Что значит сравнить два числа? Какими математически­
ми знаками записывают результат сравнения?
1.2. Как узнать, на сколько удалены друг от друга в нату­
ральном ряде два числа? На сколько удалены друг от друга в
натуральном ряде числа 117 и 203; числа 2304 и 1991?
1.3. а) «Вот какое сложное равенство я составил!» — вос­
кликнул младший брат Смекалкина и показал Смекалкину свою
запись:
1 2 3 + 2 - 7 4 - 1 6 9 = 1 2 0 8 :4 - 5 7 - 1 4 3 .
Проверьте, правильно ли составлено равенство.
б) Смекалкин посмотрел на запись и сказал, что может сра­
зу написать много еще более сложных равенств:
1 2 3 + 2 - 7 4 - 1 6 9 + 1 8 = 1 2 0 8 :4 - 5 7 — 143+18;
1 2 3 + 2 -7 4 — 1 6 9 + 1 0 0 0 = 1 2 0 8 :4 -5 7 -1 4 3 + 1 0 0 0 ;
1 2 3 + 2 -7 4 — 169— 2 9 = 1 2 0 8 :4 — 57— 143— 29;
1 2 3 + 2 -7 4 — 169— 101 = 1 2 0 8 :4 - 5 7 - 1 4 3 — 101;
(1 2 3 + 2 -7 4 — 169) -1 2 = (1 2 0 8 :4 -5 7 -1 4 3 ) -12;
(1 2 3 + 2 -7 4 -1 6 9 ) -1 0 0 = (1 2 0 8 :4 -5 7 -1 4 3 ) • 100.
Проверьте эти равенства.
в) Младший брат удивился, как быстро Смекалкин сумел на­
писать новые равенства. Смекалкин объяснил, что он знает пра­
вило: если к левой и правой частям равенства прибавить одно
и то же число, то снова получится равенство. Пользуясь этим
правилом, он получил первые два равенства из пункта б ). Ос­
тальные четыре равенства из пункта б) тоже получены по каким-то
правилам из равенства пункта а). Догадайтесь, какие это пра­
вила, сформулируйте их и запишите в тетрадь.
1.4. (У ) а) В натуральном ряде число 238 стоит между чис­
лами 139 и 339. От какого из них оно дальше?
б) Туристы вышли из леса на шоссе неподалеку от километ­
рового столба с отметкой 249 и решили пойти на ближайшую ав­
тобусную остановку. Посмотрев на план местности, руководи­
тель группы сказал, что автобусные остановки расположены на
246-м и 251-м километрах. Куда пойдут туристы?
1.5. а) На сколько число 172 удалено в натуральном ряде
от числа 123? Какое еще число удалено от числа 123 на столько
же? б) Какое число в натуральном ряде удалено от числа 48
на столько же, на сколько удалено от него число 33?

1.6. а) Рядом с автобусной остановкой у деревни Сосновки
стоит километровый столб, на котором написано 115. Это озна­
чает, что от города до Сосновки 115 км. А на столбе у Ольховки написано 143. Какое расстояние от Сосновки до Ольховки?
б) Составьте две задачи, обратные к задаче а), и решите их.
1.7. (У) В натуральном ряде у каждого числа, кроме перво­
го, имеются два соседних: число, ему предшествующее, и чис­
ло, за ним следующее. Каковы в натуральном ряде соседи чисел:
а) 136; б) 299; в) 3000; г) 52 011? Если п обозначает натураль­
ное число, большее I, то как должны быть обозначены числа,
соседние с ним в натуральном ряде?
1.8. а) (У) Буквой п обозначено натуральное число, большее
4. Чему равны числа, удаленные от л на 2? А на 3? б) Чему
равны числа, удаленные от п на 2, если п обозначает число 8;
212; 1001; 159999; 1 000002? в) Чему равны числа, удаленные
от 1 000 000 на п, если п обозначает число 8; 212; 1001; 159 999;
1 000 002?

1.9. Один толстяк, весивший 111 кг, решил похудеть. Он
стал соблюдать строгую диету и усиленно заниматься спортом.
Через полгода он весил уже 98 кг. В следующие полгода он по­
худел на столько же килограммов, на сколько в предыдущие.
9

а) Сколько стал весить толстяк через год? б) На сколько кило­
граммов он похудел за год?
1.10. (У) а) В натуральном ряде число 7 одинаково удалено
от чисел 2 и 12. Проверьте это, вычислив, на сколько удалено
число 7 от чисел 2 и 12. б) Какое число одинаково удалено от
чисел 7 и 13?
А 1.Н*. Клоун придумал три ребуса:
а)

ВАГОН б)
+ВАГОН
СОСТАВ

ОДИН
+О ДИ Н
МНОГО

в)

.СИНИЦА
'СИНИЦА
ПТИЧКИ

В каждом из них расшифруйте, какая цифра скрывается за каж­
дой буквой. А

Урок 2
Д Е Й С Т В И Я НА Д Н А Т У Р А Л Ь Н Ы М И Ч И С Л А М И

Решая задачи, приходится выполнять действия над числами.
Значит, надо уметь определять, где и какое действие надо при­
менить, как правильно да побыстрее его выполнить. Вы знаете
такие действия: сложение, вычитание, умножение, деление и воз­
ведение в степень.
Как вы помните, вычитание называют действием, обратным
сложению, а деление — действием, обратным умножению. На этой
связи между действиями основаны правила проверки вычислений.
^
о

Как проверить вычитанием правильность сложения; делением правильность умножения?
Вопросы и задания

2.1. Как называются компоненты сложения; вычитания; умно• жения; деления?
2.2. Какое число получится, если из натурального числа вы­
честь то же самое число; если натуральное число разделить
само на себя?
2.3. Какое число получится, если к данному числу приба­
вить 0; если из данного числа вычесть 0; если данное число
умножить на 0?
2.4. Можно ли разделить натуральное число на 0?
10

2.5. Что получится, если заданное число умножить на 1;
разделить на 1?
2.6. Что называется основанием степени; показателем степени?
2J7. Дано число Ь. Чему равна его первая степень? Как на­
зывается вторая степень числа b ? Что называется кубом числа b ?
2.8. (У) Игорь захотел узнать, сколько воды вмещает
его чайная чашка. Он стал наливать воду чашкой в трехлитро­
вую банку. В нее поместилось ровно 20 чашек воды. Сколько
граммов воды вмещает одна чашка? (Масса 1 л воды 1 кг.)
2.9. Валя и Вера на своем садовом участке собрали 12 кг
клубники. Из них 5 кг собрала Вера. Кто из девочек собрал
клубники больше и на сколько?
2.10. Веревка длиной 1 м весит 100 г. Сколько весила бы
веревка, если бы ею захотели измерить глубину Марианской
впадины в Тихом океане — 11 022 м? Ответ запишите: а) в грам­
мах; б) в килограммах; в) в центнерах; г) в тоннах.
2.11. Расстояние между домами, в которых живут Петя и Ко­
ля, 1200 м. Однажды они вышли каждый из своего дома и напра­
вились навстречу друг другу. Когда Петя прошел 400 м, они
встретились. Во сколько раз расстояние, которое прошел Коля,
больше расстояния, пройденного Петей?
2.12. От станции до озера 15 км. Туристы, направляясь от
станции к озеру, полтора часа шли пешком со скоростью 4 км/ч,
а затем сели на попутную машину, которая ехала со скоростью
72 км/ч. За какое время туристы добрались до озера?
2.13. Из клетчатой бумаги вырезаны квадрат со стороной
8 клеток и прямоугольник со сторонами 7 и 9 клеток, а) Сколько
клеток располагается вдоль границы каждого из четырехуголь­
ников? б) Представьте, что оба четырехугольника разрезали на
клетки, а затем выложили эти клетки в ряд отдельно для пря­
моугольника и для квадрата. Какой ряд будет длиннее и на
сколько клеток?
2.14. а) Самое большое млекопитающее животное — кит —
имеет массу 40 т. Самое маленькое млекопитающее — этрусская
мышь — имеет массу всего 2 г. Во сколько раз кит тяжелее
этрусской мыши?
б) Составьте и решите две обратные задачи к задаче из
пункта а).

11

Урок 3
ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫ Е ВЫ РАЖ ЕНИЯ

Когда люди говорят о математике, они вспоминают не только
числа и фигуры, но также формулы и уравнения. И формулы, и
уравнения обязательно содержат буквенные выражения. Вспом­
ните: буквенным выражением называется запись, в которой числа
и буквы связаны знаками действий.
Приведите два-три примера буквенных выражений.
Если в буквенное выражение вместо букв подставить числа,
то получится числовое выражение. Его значение называют значе­
нием этого буквенного выражения при данных значениях букв.
Подсчитайте значение выражения 2-л —m при п= 3 и т=5.
Конечно, чтобы правильно вычислить значение выражения,
нужно помнить, в каком порядке выполняются действия. В выра­
жении без скобок возведение в степень выполняют до умноже­
ния и деления, а умножение и деление — до сложения и вычита­
ния. В выражении со скобками сначала выполняют действия
в скобках (в том порядке, о котором только что было сказано).
Укажите, в каком порядке надо выполнять действия в сле­
дующих выражениях: 8-6+288:(15—З)2;
(42—(62—(82—9-7)3—7-5)3—5-3)3.
Найдите значения этих выражений.
Поговорим теперь немного о формулах и уравнениях. Форму­
лами записывают зависимости между величинами или различные
свойства действий.
Вспомните формулы, выражающие зависимость площади
прямоугольника от длин его сторон, скорости от пройденно­
го пути и затраченного времени, стоимости от цены и
количества покупаемых изделий. Запишите формулами пере­
местительный закон сложения и сочетательный закон умно­
жения.
Уравнения — незаменимый помощник в решении задач.
Когда с помощью уравнения решают какую-либо задачу, то,
как вы знаете, неизвестное число обозначают буквой. А затем
записывают в виде равенства зависимость между неизвестным

числом и величинами, которые даны в задаче. Уравнением как
раз и называется равенство, содержащее букву, если требуется
найти неизвестное число, обозначенное этой буквой. Решить урав­
нение — значит найти неизвестное число.
Вопросы и задания
3.1. Что такое буквенное выражение?
3.2. Что называют значением буквенного выражения при дан­
ных значениях букв?
3.3. Что такое уравнение? Что значит решить уравнение?
3.4. (У) Найдите значение числового выражения:
а) 53; б) 23+ 3 2; в) (15—2-7 )5; г) 1997'2 3- 5>; д) (3 -4 -6 -2 )10;
е) 8- 104+ 7-103+ 6 - 102+ 5 - 1 0 '+ 4 .
3.5. Выполните действия:
а) (322—999) :5 + (4 3 2—999)2:425;
б) 3072- 7 0 3 - (7 3 0 -7 0 3 )3: 999;
в) (602—593)3: (313—286)2-)- (721—689)2: (9 0 2 -8 9 4 )3.
3.6. Найдите значение буквенного выражения
(134 —* )2: (*—2) + ( 7 + * ) 3 при fc=6; 8; 10; 11; 13; 14.
а)
б)
в)
г)

3.7. Решите уравнение:
х + 157 491:307=703;
199 923:647—1/=281;
(1 1 1 6 -8 7 5 )-z= 9 7 123;
663-851 : и = 897;

д) дг:345 678=425 455—309 406;
е) 383-1+22 22 2 = 101 503;
ж) 2 9 -Z -3 8 718=68 843;
з) 9187—0:409=7819.

3.8. На две машины было погружено 20 ящиков. Когда с од­
ного грузовика на другой переложили 3 ящика, ящиков на маши­
нах стало поровну. Сколько ящиков было первоначально на каж ­
дом грузовике? Решите задачу, составив уравнение.
3.9. Для каждого из неравенств а) — е) напишите по два чис­
ла, которые может обозначать буква п, чтобы неравенство было
верным: а) л< 555; б) п>-1000; в) 659п; д) 2 -л > 1 3 ;
е) 3- п Придумайте приме­
ры таких чисел. А
15.8. Олины родители работают води­
телями трамваев: мама на 2-м маршруте,
папа на 5-м. Один рейс 2-го маршрута
длится 48 мин, а 5-го— 72 мин. У этих
41

маршрутов есть общая конечная станция. Вскоре после начала
работы папин и мамин вагоны подошли к ней одновременно.
Через какое время они снова встретятся на этой станции?
15.9*. Перечитайте условие задачи 9,12. Какое наименьшее
число полных оборотов должна сделать маленькая шестерня,
чтобы большая шестерня также сделала несколько полных обо­
ротов? Сколько оборотов сделает при этом большая шестерня?
15.10. (У) Клоун объявил, что сейчас найдет наибольшее
общее кратное чисел ... . Не успел он назвать числа, как пуб­
лика засмеялась: все поняли, что клоун не сможет этого сделать.
Объясните почему.
Урок 16
ЗАДАНИЯ НА ПОВТОРЕНИЕ К § I

Как вы помните, в нашем учебнике для 5-го класса каждый
параграф заканчивался уроком «Задания на повторение». То же
самое мы решили сделать и в этом учебнике.
Tjj

А в конце § 0 не было урока с таким названием!
Правильно. Это единственное исключение: ведь весь нулевой
параграф называется «Повторение». Так что помещать в нем
еще и специальный урок «Задания на повторение» не было
нужды.
При повторении пройденного в каждом параграфе полезно
перечитать вопросы к урокам этого параграфа и дать на них
ответы. Если вы при этом испытаете затруднения, то стоит пере­
читать объяснительный текст нужного урока. И, вообще, полезно
время от времени перечитывать объяснительные тексты уроков.

|
!

16.1. (У) Вычислите:
а) НОД (14,21);
г) НОК(91,13);

ж)
б) НОД (33,22); д) НОД (27,45);
з)
в) Н О К (7,35); е) НОД(Ю0,40);
16.2. Вычислите:
а) НОД(144,729); в) НОД(91,169);
д)
б) НОД(625,375); г) НОК(144,216); е)

НОК (5,9);
НОК(6,8).

НОК(28,Ю5);
НОК(169,1001).

16.3. Какое натуральное число обозначено буквой х, если:
а) НОД (13,лг) = 1 и
НОК (13,*) = 195;
б) НОД (6,х) = 6
и
НОК (6,х) = 24;
42

[ в) Н О Д(35,*) = 5

и Н О К (35,*)=2Ю ;
и НОК (98,*) = 3 62?
Попытайтесь сформулировать правило, как находить неизвест­
ное натуральное число, если даны его НОД и НОК с одним и
тем же известным числом. Запишите это правило формулой
(Совет: посмотрите вывод, который вы сделали в задании 15 12
в рабочей тетради.)

j г) НОД (98,*) = 14

16.4. (У) а) Смекалкин загадал младшему брату загадку:
«Задуманы два числа. Их НОД равен 6, а их НОК равно 30.
Какие числа задуманы?» Отгадайте эту загадку.
б) Младший брат, отгадав загадку Смекалкина, придумал
похожую загадку: «Задуманы два числа. Их НОД равен 5, а
их НОК равно 30. Какие числа задуманы?» Смекалкин объяснил,
что у этой загадки не одна, а две отгадки. Найдите эти отгадки.
в) Придумайте загадку, у которой было бы четыре отгадки.
16.5. а) Смекалкин придумал еще одну загадку: «Задумано
число. Его НОК с числом 20 равно 60, а с числом 21 равно
105. Что это за число?»
б) Отгадайте похожую загадку, если НОК задуманного числа
и числа 165 равно 495, а его НОК с числом 54 равно 594.
в) * Младший брат тоже придумал похожую загадку: «Заду­
мано число. Его НОК с числом 39 равно 234 и с числом 52 тоже
равно 234. Что это за число?» Смекалкин подумал и сказал, что
у этой загадки несколько отгадок. Найдите все отгадки.
16.6. Найдите значение числового выражения и разложите по­
лучившееся число на простые множители:
а) (1 0 0 0 + 1 ): 11;
в) 122+ 5 2;
д) 29-31 + 196:142;
б) 1 0 2 4 :2 :4 :8 :1 6 + 9 ;
г) 142+ 5 2+ 2 2;
е) 3 3 3 :3 + 6 2 5 :252.
16.7. Число 1000 можно получить, перемножая два числа,
в записи которых нет нуля: 125 и 8. Можно ли получить 1 млн.,
перемножая два числа, в записи которых нет нуля? А 1 млрд.?
16.8. а) В ряде нечетных чисел есть такие три числа, иду­
щие подряд, что каждое из них простое. Найдите эти числа.
б )* Имеется ли в этом ряде еще одна тройка идущих подряд
чисел, каждое из которых простое? Ответ «да» нужно подтвер­
дить, указав такую тройку; ответ «нет» нужно объяснить.
16.9. (У) Может ли среднее арифметическое двух соседних
чисел в ряде простых чисел само быть простым числом?
А 16.10. Перечитайте задание 5.8. Продолжим заниматься кар­
тинками, изображающими делимость натуральных чисел.
43

а) Для числа 10 выпишите все делители и нарисуйте для
этих чисел соответствующую картинку.
б) Выполните то же задание для числа 12.
16.11. (Сказка с заданиями.) а) 28 сентября число 28 решило
пригласить в гости всех своих делителей, меньших, чем оно
само. Первой прибежала единица, за ней двойка, за ней ...
Напишите список всех гостей числа 28.
б) Когда все гости собрались, число 28 увидело, что их
немного. Оно огорчилось и предложило, чтобы каждый из гостей
привел еще и своих делителей. Сколько придет новых гостей?
в) Единица объяснила числу 28, что при таком условии
новые гости к нему не придут: ведь если какое-то число b —
делитель числа а, а число с — делитель числа Ь, то с будет
делителем и числа а. Проверьте это при а= 30: найдите все его
делители и для каждого из них его делители.
г) * Чтобы утешить число 28, его
гости соединились знаком «+ ». И, о
чудо, сумма оказалась равной самому
числу 28. Единица сказала, что всякое
натуральное число, которое равно сум­
ме своих меньших делителей, называет­
ся совершенным. Так что 28 — совер­
шенное число. Число
28 обрадова­
лось и спросило, какие есть еще со­
вершенные числа. Всезнающая единица
объяснила, что совершенные числа
встречаются очень редко: среди чисел
до миллиона только 4 совершенных чис­
ла. Число 28 — единственное двузнач­
ное совершенное число, есть только
одно трехзначное совершенное число —
496 и только одно однозначное. Проверьте, что число 496 совер­
шенное, и найдите однозначное совершенное число.
д) Наступило 29 сентября, и число 29 тоже решило пригла­
сить в этот день в гости своих меньших делителей. Первой,
как всегда, пришла единица. Кто еще пришел в гости? Что мож­
но сказать про число 29? Какое оно?
е) Числам понравилось приглашать в гости своих делителей.
Кто пришел в гости 30 сентября, вы знаете, если выполнили за­
дание в). И в октябре продолжался тот же обычай. Только одно

44

число не дождалось гостей. Что это за число? Сколько раз оно
само побывало в гостях?
ж) У каких чисел был только один гость? Что это за гость? А
16.12*. Клоун объявил, что он придумал два десятизначных
простых числа, сумма которых тоже простое число. Публика
смеялась: всем было ясно, что таких чисел быть не может.
И вообще, сумма двух неоднозначных простых чисел не может
быть простым числом. Объясните почему.
§ 2. ДЕЙСТВИЯ НАД ДРОБНЫМИ ЧИСЛАМИ
В уроках 6, 7 и 8 мы кратко повторили то, что вам было
известно о дробях. Теперь изучение дробей нужно продолжить:
ведь вам пора научиться сравнивать любые дроби, находить
сумму и разность любых двух дробей, умножать и делить дроби.
Всему этому вы и научитесь в этом параграфе.
Урок 17
ЧТО ЗНАЧИТ СОКРАТИТЬ ДРОБЬ

Вспомните формулу, выражающую основное свойство дроби.
Как и в любом равенстве, в ней можно поменять местами левую
и правую части. Тогда получится такая формула:
т •р __т
п- р
п'

Она утверждает равенство двух дробей, вторая из которых по­
лучается, если числитель и знаменатель первой дроби разделить
3-2

3

.

801 -37 ___801

на их общий делитель. Например, ~ ^ 2 = ~5 ' 62-37 — 62 " ‘
Мы видим, что основное свойство дроби можно сформулиро­
вать и «с другого конца»: если у дроби числитель и знамена­
тель разделить на их общий делитель, то получится равная ей
дробь. Если этот общий делитель больше единицы, то числитель
и знаменатель дроби, конечно, уменьшаются. В таком случае
говорят, что дробь сократили.
Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель
на их общий делитель, больший единицы.
При сокращении дробь заменяют равной дробью с меньшим
числителем и меньшим знаменателем. Поэтому сокращение дробей
облегчает вычисления.
45

n

,

\j

л

16-4. 9-12.

Сократите дробь — ,

101

-щ -.

Не всякую дробь можно сократить. Например, дробь — сокра­
тить нельзя: ведь у числителя 4 и знаменателя 7 нет общих
п .
можно
делителей, больших единицы. Дробь, которую н ел ьз я сократить,
сократимой
называют.......... .......... j •
несократимой
Если дробь сократима, то ее обычно сокращают на наиболь­
ший общий делитель числителя и знаменателя. После такого со­
кращения общих делителей уже не остается, поэтому получается
несократимая дробь. Давайте сократим так дробь ^ . Подсчита­
ем НОД (48,84):
48=2-2-2-2-3,
Следовательно,

84=2-2-3-7;

НОД(48,84)=2*2*3=12.

Сокращая

дробь | |

на 12, получаем несократимую дробь -у-.
Итак, всякая дробь равна какой-то несократимой дроби.
Вопросы и задания
17.1. Какое основное свойство дроби вы знаете? Сформули­
руйте его со словом «умножить»; со словом «разделить».
17.2. Что значит сократить дробь? Как называют дробь, ко­
торую можно сократить; которую нельзя сократить?
17.3. Объясните, почему равны дроби:
а) (У) |

и »;

в) -121 и И ;

И

ч 2 3
г> х и тг:
6’

’

б)

(У)

§

99

Ж» Ж
иа
Ж' 200
ОПП “И 20’
9Л’

Д ) |и |;

9’

е)

45 , 24.
30
16’

з > | £ и 1991

987 “ 199Г

17.4. Найдите несократимую дробь, равную дроби:
а) (У)

27’

б) (У )Ц ;

В)

г)

72.

90’
212 .
462 ’

Д) Щ
' 4158’

ж ! 6520
ж ) 755“'

е) i £ ;
1 1000’

з)

'

113’

242 .
121

К)

’

3030

17.5. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби,
а затем сократите. Образец: 0 ,5 = -j^ = y .
46

I a) 0,4;
I б) 0,25;

в) 0,125;
г) 0,0625;

д) 1,5;
е) 6,4;

ж ) 2,56;
з) 3,128;

и ) * 17,3125;
к ) * 101,1024.

17.6. Придумайте сократимую дробь. Запишите ее на листоч­
ке и предложите соседу по парте найти несократимую дробь,
равную исходной. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.
(Совет: придумывая дробь, воспользуйтесь основным свойством
дроби. Чтобы было интереснее, не предлагайте слишком легкое
задание!)
17.7. Сравните дроби, предварительно сократив их:
а)

3

в)

9

4
16

9

625 и 729 ■
125 и “ 8Г-

д)

15
14
18

343
7

и «
20
17.8. Выполните действия над дробями, предварительно со­
кратив их:
б)

а)
'

9 ^12

Г)

е)

б) !£—А ; з) £L— 2_; г)
’

16

12’

28

20’

17.9. Клоун сократил дробь
на дроби

’

4+ 0

18 '2 7

—£

6'

на 5 и объявил, что она рав-

Публика смеялась: всем было видно, что клоун со­

кратил на слагаемое. А на слагаемое не сокращают — это пол­
ная чепуха! Выполните сложение в числителе и в знаменателе
дроби

и сократите ее правильно.
Урок 18

П Р И В О Д И М Д РО Б И К О БЩ ЕМ У З НАМ ЕНАТЕЛЮ .
Т Е П Е Р Ь М О Ж НО С РАВ Н И В АТЬ Л Ю Б Ы Е ДРО БИ

В 5-м классе вы научились сравнивать, складывать и вычи­
тать дроби только с одинаковыми знаменателями. А как быть,
если знаменатели различны? Нельзя ли тогда заменить дроби
равными им дробями с одним и тем же знаменателем? Оказывает­
ся, можно! В таких случаях говорят, что дроби приведены к
общему знаменателю.
Привести дроби к общему знаменателю — значит найти
равные им дроби с одинаковыми знаменателями.
Научившись приводить дроби к общему знаменателю, можно
будет сравнивать, складывать и вычитать любые дроби
47

2

4

,-

Приведем, например, дроби у и у к общему знаменателю 15.
Как найти дробь со знаменателем 15, равную дроби у ? Нетруд­
но догадаться, что нужно воспользоваться основным свойством
дроби: умножить числитель и знаменатель на 5.'
2
3

_

2-5 ___10
3-5
15"

Найдите дробь со знаменателем 15, равную дроби у . До­
гадались, на сколько нужно умножить числитель и знаме­
натель?
Получится

Цель достигнута.

Дроби у и у можно привести и к общему знаменателю 30.
) Ведь
J

а 4 - = ^ (проверьте). Общим знаменателем для
3

j

U

О

OU

дробей у и у могут служить и другие числа, например 45, 60,
75 и вообще любое общее кратное чисел 3 и 5.
Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю.
Для дробей у и у таким наименьшим общим знаменателем будет
число 15. Вообще наименьший общий знаменатель несократимых
дробей равен наименьшему общему кратному их знаменателей.
Чтобы привести данные дроби к наименьшему общему зна­
менателю, можно действовать так:
1) сократимые дроби сократить;
2) у полученных несократимых дробей разложить знаменатели
на простые множители;
3) для каждого знаменателя найти свой дополнительный мно­
житель (о дополнительных множителях говорилось в уроке 15);
4) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на до­
полнительный множитель ее знаменателя.
П р и м е р . Приведем к наименьшему общему знаменателю
дроби —

112

и —.
60

Первую дробь сократим на 2 и получим несократимую дробь
Вторая дробь несократима, поэтому берем ее без изменения.
48

Далее разлагаем знаменатели на простые множители:
5 6 = 2 -2 .2 .7 ; 6 0 = 2 .2 -3 -5 .
Ищем дополнительные множители знаменателей: для 56 он ра­
вен 3-5, т. е. 15; для 60 он равен 2-7, т. е. 14.
Теперь умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на
дополнительный множитель ее знаменателя:
9
56

9-15 _ 135 . 23
56-15
840’ 60

23-14
60-14

322
"ш "'

А Если не задаваться целью приводить дроби обязательно к
наименьшему общему знаменателю, то общим знаменателем дро­
бей у и

можно взять b'd. В итоге исходные дроби заменяются

на равные им дроби
*

ренные дроби

18

и у^-. Например, только что рассмот23

*
и — таким способом
заменятся на

1080

и

2576

Q (проверьте). Указанный способ приведения дробей к общему
о знаменателю хорош тем, что позволяет обходиться без отыска­
ния наименьшего общего кратного. Мы воспользуемся им в уро­
ке 19 при выводе удобных формул суммы и разности любых
двух дробей. А
Давным-давно Смекалкин спрашивал, как сравнить дроби с
разными знаменателями. Теперь нетрудно дать ответ на этот
вопрос и объяснить, как сравнивать любые дроби. Сравним, к
примеру, дроби

и

Сначала приведем их к общему знамена­

телю: —= —, —= -^ . А сейчас можно воспользоваться прави9

18’

6

18

лом сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: из двух
таких дробей больше та, числитель которой больше. Раз 15>14,
значит, 16 > L9.
Обдумывая, что же нам пришлось проделать для достижения
цели, мы можем сформулировать правило сравнения любых дро-

то

бей:
Чтобы сравнить две дроби, нужно привести их к общему зна­
менателю и сравнить числители полученных дробей.

49

Вопросы и задания
?

18.1. Что значит привести дроби к общему знаменателю?
18.2. Чему равен наименьший общий знаменатель двух не­
сократимых дробей?
18.3. Как сравнивать любые дроби?
18.4. (У) Приведите дроби к общему знаменателю 48:
б > я

и &

в)

I

ч

и

3

2

V

7

5_

г> Тб и Т ; д) 72 к 8 '
18.5. Для каких пар дробей а) — д) из задания 18.4 есть
общий знаменатель, меньший чем 48? Каков у них наименьший
общий знаменатель?
18.6. Приведите дроби к общему знаменателю: а) (У) — и -Ь
V

б) ( У ) | и |

7

10

13 76 ," 3712 *

ч

Т

14

И 4

е) Го и 5Г
18.7. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю и

сравните

в) Т и п ; г) ™ и

(у) i3 -и6Ь'

их:

г) & и

д) (У) i

И

i;

Т

V -

И Т

;

в>

Т » Ь

12
22

е)

18.8. (У) Сравните дроби:
а ) Т и h б) 1 и 4 ; в) 1 и Ь, г) 1? и
2Г

'

15

5 ’

7 30

10’

7 60

ч
15

4
7
15 И 3 0 ’

ч

7 , 29
1 2 И 48"

18.9. Придумайте две дроби и предложите соседу по парте
сравнить их. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.
18.10. Расположите в порядке возрастания дроби:
а)

8 • 1L-

5 ’ 1 0 ’ 1 5 ’ 3яп*
0:

61 —• —• —■—
'

12’ 24’

8’

к*

18.11. Клоун высказал такие утверждения: а) — больше, чем
2
13
—:
ведь 3 больше, чем 2, а 7 больше,’ чем 5; б)’ —
больше,
о
40

чем

ведь 13 больше, чем И, а 40 больше, чем 30; в)

больше, чем

ведь 100 больше, чем 1, а 1000 больше 10. Публика

смеялась: всем было ясно, что клоун неверно сравнивает дро­
би. Но один раз оказалось не смешно, потому что клоун неча­
янно высказал верное утверждение. Сравните дроби, названные
клоуном, и разберитесь, где он высказал верное утверждение,
а где нет.
50

Урок 19
КАК НАЙТИ СУММУ И РАЗНОСТЬ ЛЮ БЫХ ДРОБЕЙ

З а д а ч а . Ученики шестых классов пропалывали морковь на
пришкольном участке. 6 -й А класс прополол

га, а 6-й Б — ^ га.

а) Сколько гектаров пропололи оба класса вместе? б) На сколь­
ко гектаров один класс прополол больше, чем другой?
Чтобы ответить на вопрос а), нужно сложить дроби ^ и
Приведем их сначала к общему знаменателю 48:
5 _5-3__ 15. 7 __7-2__ 14
16 16-3 48’ 2 4~ 24-2 48'
Теперь вспомним правило сложения дробей с одинаковыми
знаменателями: чтобы найти сумму дробей с одинаковыми зна­
менателями, нужно сложить их числители и оставить тот же зна­
менатель. Применим это правило:
15 ■ 14_154-14__29
48”' 48
48
48'
Итак, —
Оба класса вместе пропололи
га.
16 24 48
40
Ответим теперь на вопрос б). Каждый видит, что 6-й А про­
полол больше, чем 6-й Б: ведь

Чтобы узнать, на сколь­

ко гектаров больше прополол 6 -й А, нужно найти разность
А _ 2 _ . Заменяя дробь
равной ей дробью ^|, а дробь —
дробью

и применяя правило вычитания дробей с одинаковыми

5 7 15 14_1
знаменателями, получаем ——24= 4g—48~48 '
Обдумывая, что же нам пришлось проделать при сложении и
вычитании дробей А и А, мы можем сделать такой вывод:
Чтобы найти ■Э Т " У- • двух дробей, нужно привести их к образность
щему знаменателю,

-ислителей полученных дробей за­

писать в числитель результата и оставить общий знаменатель.

51

Если знаменатели слагаемых невелики, то общий знаменатель
и дополнительные множители обычно находят в уме. Тогда все
вычисления записывают цепочкой равенств. Для удобства допол­
нительные множители пишут чуть выше и правее слагаемых и
подчеркивают небольшой дужкой. Например:
7&,_ 2 ^ _ 35., 8 __3 5 + 8 __ 43
12 ' 1 5
60+60
60
60'

Так же записывают вычисления и при вычитании. Например:
3

9

—

з
9

2
9

3—2
9

1
9 '

Если в результате получается сократимая дробь, ее сокра­
щают, в неправильной дроби выделяют целую часть. Например:
1^1 l^ j _ 2 ■ 1 _ 2 + 1 _ 1 .
3+ 6
6+ 6
6
2 ’
_ 3 _ t . i L jL_|_ 1 2 = 9 + 1 0 __19__ , 7_
4+ 6
12+12
12
12
12"

Для сложения дробей остаются верными переместительный и
сочетательный законы, а также свойства вычитания (сформу­
лируйте эти законы и свойства!).
А. Если общим знаменателем дробей у и у взять произведение
b ‘d, то (так как
4

о

= ^ 4 - и с-= % '0 их сумма и разность буо -a

а

о-п/

дут выражаться формулами
а

_ a-rf+6-c

Ь 'Ч

~d

а

с

ИТ

Ч

a-d— b'C

~d

‘

Это полезные формулы. Формула суммы дробей позволяет,
например, убедиться, что переместительный закон верен для
сложения дробей. Давайте, глядя на эту формулу, поймем, что
в ней произойдет с правой частью, если в левой части пере­
ставить слагаемые. Ясно, что просто поменяются местами а и с,
bud.

Получим дробь

' а . Но эта дробь равна дроби

так как У них Равны числители и равны знаменатели
(применяем здесь переместительный закон для умножения и

сложения натуральных чисел). Вот и получается (цепочкой ра­
венств) требуемое равенство

Формулу суммы дробей можно применить и при выводе соче­
тательного закона сложения. Только повозиться тут придется
побольше, чем при выводе переместительного закона. Тому, кто
особенно любит заниматься математикой, мы советуем прове­
рить формулу, выражающую сочетательный закон:

Какими законами действий над натуральными числами при­
шлось при этом воспользоваться?
Для вывода совместных свойств вычитания и сложения пово­
зиться придется еще больше. При этом среди прочих понадобит­
ся и формула разности дробей. А
Вопросы и задания
19.1. Как находят сумму дробей; разность дробей?
19.2. (У) Вычислите:

а>т+т;
б> т+т;

т+1;
д)у+т:

в) i + i ;

е> Т + У ;

3> Т - Ь

к! J ___ L3 9'
3 1.
Л) 2 з .

и> 1— г

М) у + Т '

Ж> Т - Т ;

г>

19.3. Вычислите:

в) 1+1;
8—2’
1+1;
г) 36~ 6 ’

з) 1+1;
3 W ’

д) 1+1;
3 ' 9’

к) 1+1;
7 ' 6

и) 1+1;

л)

О

1

о .
6 ’

м) 1+1;
7 ' 9
1 1.
н) 2 8 ’
1 1.
о) 9 27’
7 __ 1_.
п)

р)

6

36’

9

с
W1

2
3

5.
9’

5 __ 1 .
6 ’
7

48 3 .
1/ 49* 7 ’
1 1.
У) 4 5 ’
_1_ 1
(Ь)

2 ’

СЛ

—|——
; е) 48 , 3 .
а) —
49 ' 7 ’
2 ' 8
I—L;
ж) 1+1;
б) J9—'2
4^5’
7

3 .
5 ’

6
7
9

Щ)

2 .
’ 7 ’

1 _ __1_

53

19.4. Вычислите:

±+Ii;
45 '6 0

П .9 .
12 ' 16’

_.

V 13 , 2
В> 24Н
15’
5_.
Г) г48Л1 36’

Д' lg 924’
Л.

Ж) ± — L;

, Н 7_.
е) йГ"
36 24’

3)' ———.
9
12

'

6

15’

В примерах д), е) выполненное вычитание проверьте сложением,
а в примерах ж), з) — вычитанием.
19.5. Придумайте два примера на сложение дробей с разными
знаменателями, запишите их на листочке и предложите соседу
по парте. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.
19.6. Записав смешанное число неправильной дробью, найди­
те значение выражения:
а) 2А + 1| ;

б) l A + 2| ;

в) 3 ^ - 1 А.

19.7. Замените десятичную дробь обыкновенной и выполните
действие: а) 0 ,5 + 4 ,

б ) Т + 1'2'

в) -5--0.6;

г) 2 , 8 - l A .

19.8. Найдите значение выражения:

а)] -L-JL+A;
9
3 ^ 6 ’

г> 8А - А + 1А - 2 4

«бг\> 1114 5 +I д6 4135 ~ i72 '.

%

в)' loA+(A_i.);
28 ' х 7
14 /’

26 А ( 1 39

13 ) ’

е) 6,5 - 4 + А .

19.9. Решите уравнение:

а> *+й“ 5Р

г> Т2~г= Ь

II
о5
ж), ^ :6о ——=3^;

б> TE+y=W

Д) 4 - * + £ - « ;

3>* т - ' + т - ^ т

в) * - £ - &

е) 1-|

и)* З- f - z - l А - г = А .

5 -у = А ;

19.10. Мама поручила Игорю купить полбуханки хлеба. По
просьбе пожилой соседки, которой трудно дойти до магазина, он
купил еще четверть буханки. Сколько всего хлеба купил Игорь?
19.11. Вася подсчитал, какую часть от общего числа его
оценок за месяц составляют пятерки, а какую — четверки. По­
лученные дроби он сократил, и оказалось: пятерок
четвер°к у|. а) Каких оценок у Васи было больше: пятерок или четве-

рок? б) Какую часть Васиных оценок составляют пятерки и
четверки вместе? в)* Сколько оценок получил Вася за месяц,
если известно, что их число больше 40, но меньше 80?
19.12. Туристы в первый день похода прошли -у часть всего
маршрута, а во второй день — на 99 частЬ меньше. Какая часть
маршрута пройдена за 2 дня?
19.13. (У) Вычислите: а)

3<
4; в)
7 ’ 2; б) v

±

:5; г)

'1 : 7 .

А 19.14. Выполните действия:
a) - i - f - l ; б)
У

t

п

в)

а'

'

± > ± .
z
х ’

_ а __ с
1г!) 2- Ь 3-6’ п\ 5vx
6- у

8-х ^
15-г/
Урок 20

УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ

Чтобы найти правило умножения дробей, давайте поразмыш­
ляем, что значит умножить число и на число и.
Что тут размышлять! Всем известно: это значит взять и
слагаемым и раз.
Д а. Но такой ответ годится, если v — число натуральное.
А если v — дробь? Например, и = у . Как понимать слова «взять
слагаемым у раз»?
А можно понимать их так: взять половину числа и?
Это хорошая догадка. В самом деле, давайте порассуждаем:
умножить и на 2 — значит взять и два раза;
умножить и на 1 — значит взять и один раз;
умножить и на
умножить и на

— значит взять половину и, т. е. и :2;
— значит взять треть и, т. е. и:3,

и т. д. для разных долей единицы.
Вот математики и договорились: для любого натурального числа
п будем определять произведение и - — как частное и:п.
Делить на натуральное число вы умеете (нужные формулы
были повторены в уроке 6). Так что следующие вычисления вам
понятны:
. о__ 5 _5
9 3 - 4 - = 9 3 :2 = f ; Т5 ’Т1 _5
—7
7-3 21‘
55

Gj)

Чему равно произведение у - у ?

о

Продолжим рассуждения: можно сказать, что умножить и на
9
_9£— значит взять две третьих от и\ умножить и на —
— значит

взять девять пятых от и и т. д. Надо только договориться о
том, как понимать «две третьих от и» и другие подобные мате­
матические обороты.
Дробь у мы получим, если у возьмем слагаемым 2 раза. По2

1

этому разумно считать, что и у мы получим, если и*у возьмем
слагаемым 2 раза, т. е. умножим на 2. Но ( м - у ) • 2 = (u:3)-2.
Так и договариваются считать
и .| =(« :3 )-2 .
[

Г-

У-

Например,

1U - I

4
4
Ш 4
□
4

□
□

(ТПП

;

ii

у " § - = ( - |- :3 ) - 2 = 77 з - - 2 = - |^ - = ^

(в

предпоследнем равенстве применено правило умно­
жения дроби на натуральное число; вы повторили
его в уроке 6).
Сколько раз надо взять слагаемым у , чтобы
получить у ? Как разумно определить произве­
дение ы -у? Чему тогда

равно произведение

Теперь ясно, как сформулировать правило умно­
жения на любую дробь: чтобы умножить данное
число на дробь у , нужно разделить его на d и
полученное частное умножить на с.
Если данное число является дробью у , то, применяя сформу­

лированное правило, а также правила умножения и деления
дроби на натуральное число, можно записать:
-2

Ь

56

=

d

\Ь

I L

bd

L

Ь- d ’

(Такая цепочка равенств уже была записана выше для конкрет­
ного примера, когда а = 5, 6 = 7 , с = 2, d = 3. Посмотрите-ка.)
Глядя на крайние выражения в этой цепочке равенств, получаем
формулу
а_ с

а-с

b d

b-d

Вот мы и выяснили, как вычислять произведение двух дро­
бей. Искомое правило только что записано формулой- А можно
дать полученному выводу и словесную формулировку. Мы запи­
шем ее «одним ударом», указывая сразу, каковы числитель и
знаменатель произведения.
числитель
которой
знаменатель

Произведение двух дробей — это дробь,
равен произведению

числителей
сомножителей.
знаменателей

Для умножения дробей остаются верными переместительный
и сочетательный законы, а также оба распределительных закона
(относительно сложения и относительно вычитания).
Запишите все эти законы формулами.

А Проверка переместительного и сочетательного законов сво­
дится (с учетом правила перемножения дробей) к применению
тех же законов для умножения натуральных чисел. Смотрите:
а

с __ а - с __ с -а __ с

T '~d ~
(а

с \

е

\~b'~d ' '7

а-с

b-d '7

е

~Td

(а - с ) -е

~~

d -Ь ~

а-(с-е)

(b-d)-f ~ b-(d-f)

а .

~ d‘T '

а

с-е

а

( с

е )

~b‘ ~dTf ~~ T ' \~ d ’T ' '

Объясните, как получается каждое равенство в написанных
цепочках.
А требуемые выводы получаются, если соединить знаками ра­
венства крайние выражения в этих двух цепочках равенств.
Проверка распределительных законов немного труднее. Она
потребует, конечно, применения формул для суммы и разности
дробей (см. конец объяснительного текста урока 19), а также
57

подходящих законов действий над натуральными числами. Мы
надеемся, что особенные любители заниматься
математикой
справятся с такой проверкой. А
Вопросы и задания
20.1. Как найти произведение двух дробей?
20.2. Буквой а обозначено какое-то число. Чему равно про­
изведение а - 1; 1*а; а - 0; 0 *а?
20.3. (У) Вычислите: а) у - - | ; б) у * - | ; в)

г) 11 А
8*3’

20.4. Найдите значение числового выражения:

■> ( т ) '+ г ( гй -й ):

■> ( t - t )'-S+( v ) ‘.

в) Ш

'i

' + I f ( a jb s A ) :

('-

Н

-М

-А

-

20.5. (У) Вычислите удобным способом:
■|

(

f

в\L .± -

4 H

; 12 21 ' 12 2Г

б)

11 41

7

г) _S_.13_iJl3._4_.

’

*
‘7

9
9

’ 28
28_ 1
'

28’ 9
9
28

’’

д) lA.A-A.A;
7 17
7 17
е) 2— *1—
“ 17

‘

6

1—-1 —

* 66

* 17
«7-

20.6. Упростите выражение и найдите его значение:
а) a . i+ a . - i— а-1- при а = 1 ; ±, 1-1; 0;

б) ^ . b + 1 - L . b — L-b при 4 = 7 ; у ; 2± ; 0,6;

в) с . | + с . | _ с . , ^ при C= 2 ; i f ; 3 | ; 0,
20.7. В первый день бригада овощеводов собрала 3-|- т огур­
цов, во второй день — в 1-1- раза больше. Сколько тонн огурцов
собрали овощеводы за 2 дня?
20.8. а) Пешеход идет со скоростью 5 км/ч. Сколько кило­
метров он пройдет за 1 мин? Какова скорость пешехода в метрах
в минуту?
б) Скорость автомобиля а км/ч. Запишите формулой ско­
рость этого автомобиля в метрах в минуту. Найдите эту скорость
при а = 8 0 ; 90; 76.
в) Выразите в метрах в секунду скорость 4 км/ч; 40 км/ч;
90 км/ч; а км/ч.

Урок 21
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ЧИСЛА

Рассмотрим дробь

. Если ее «перевернуть», т. е. поменять

местами числитель и знаменатель, то получится дробь J-. Полу­
ченную дробь называют обратной дроби у . Вообще, обратной дро­
би — называется дробь —.
п

О

т

Н азовите дробь, обратную дроби: а) —; -б) —.
3

4

Каждому понятно, что если из данных двух дробей первая
обратна второй, то вторая обратна первой. Поэтому про та­
кие дроби можно говорить, что они обратны друг другу. Например, дроби у

и

и

и -125L обратны друг другу.

Что получится, если перемножить две дроби, обратные друг
другу? Давайте посмотрим:
т
п

п
т

m -n
П'Ш

1

Вывод:
Произведение дробей, обратных друг другу, равно единице.
Д ва числа, произведение которых равно единице, называются
взаимно обратными числами. Значит, обратные друг другу дро­
би являются взаимно обратными числами. Наоборот, если даны
два взаимно обратных дробных числа, то их можно записать в
О виде обратных друг другу дробей. Например, 1,25 и 0,8 — взаим° но обратные числа (проверьте). Запишем их в виде обыкновенных
дробей:
1 ,2 5 = 4 ; 0,8 = 4 -.
4

5

Всем сразу видно, что эти дроби обратны друг другу.
Каждое из двух взаимно обратных чисел называют по отноше­
нию к другому обратным числом. Например, числом, обратным
4

числу 0,75, будет у ; числом, обратным
О
о

8

7

числу 8—, будет —.

П роверьте оба утверждения. Найдите число,
числу 3-i-.

обратное

z

& -------------------------59

А для всякого ли числа есть обратное ему число?
Хороший вопрос. Чтобы ответить на него, давайте порассуж­
даем. Возьмем какое-нибудь число и. Если v — обратное ему
число, то и • V — 1. Всегда ли найдется такое число v ? Нетрудно
догадаться, что нет, не всегда. Ведь если и= 0, то и произведе­
ние и>и равно нулю и, значит, не может быть равно единице.
Итак, число 0 не имеет обратного себе числа. Еще раз убеди­
лись в том, какое это особенное число нуль!
Вопросы и задания
21.1. Какая дробь называется обратной дроби у ? Почему
можно говорить: «Дроби, обратные друг другу»?
21.2. Чему равно произведение дробей, обратных друг другу?
Как называются числа, произведение которых равно единице?
21.3. Для всякого ли числа есть обратное ему число? Ответ
объясните.
21.4. Если дробь правильная, то правильной или неправильной
будет обратная ей дробь? Ответ объясните.
21.5. (У) Назовите дробь, обратную дроби: а) у ; б)

100 .

3 ’

в) f

21.6. Найдите число, обратное числу: а) 0,2; б) 0,5; в) 3;
г) 10; д) 1,7; е) 3,003; ж)
з)
и) 2-§-; к) 12^.
21.7. Будут ли взаимно обратными числа: а) (У) 0,4 и 2,5;
б) (У) 0,2 и 2; в) (У) 48 и
г) (У) L и l | ; д) (у ) о и 1;
е) 3^
к)

ж) 7-,

з) 1 у и 0,9;

и) 1,234 и § f,

(У) 1 и 1?
21.8. (У) Найдите значение выражения:

в) Ц

б)

3 ,4 .|4 ;

.

И

с с

12

в) Т Т 5 -6 "!?;

г) 5 Г -5 --2 .1 .

21.9. (У) Существует ли число: а) обратное самому себе;
б) не имеющее обратного? Ответ «да» нужно подтвердить, указав
такое число; ответ «нет» нужно объяснить.
21.10. Выполните задание 7.5, используя вместо десятичных
дробей какие-нибудь обыкновенные дроби.
60

Урок 22
ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ

Как разделить дробь на дробь? Найдем, например, частное
—

. Вспомним определение: частное при делении числа и на

число v

это такое число q, что q -v= u . Значит, если q — частное

при делении дроби

А

на дробь

А, то

з_= ±

Q 5

7

'

Умножим обе части этого равенства на дробь, обратную дроби
у , т. е. на дробь у . Получится

Рассмотрим левую часть этого равенства. Произведение взаимно
обратных дробей
и А равно 1. Так что q . l - . l . = q .\= q . Итак,

Но ведь через q мы обозначили частное А :А Значит,

i--JL=±
А
7*5
7 * 3'
Интересно! Деление в умножение превратилось!
Верно подмечено: частное при делении у
равным произведению у на дробь у

на А оказалось

обратную дроби

А. Такой

же вывод можно сделать и для любых чисел:
Чтобы разделить одно число на другое, нужно делимое умно­
жить на число, обратное делителю.

Теперь легко закончить вычисление частного у4 : у3 . ведь умно­
жать дроби вы уже умеете!

±*А=А
5_
7*5
7 * 3

4-5 _20

7-3

21'

61

* Сделанный выше вывод применим для вычисления частного
дробей j

и j . Число, обратное

— это у . Значит, -Z-i-L—

= — .jL=JLlL' (Такая цепочка равенств уже была записана выb с Ь-с
ше для конкретного примера, когда а = 4, Ь = 7, с = 3 , d — 5.
Посмотрите-ка.) Глядя на крайние выражения в этой цепочке
равенств, получаем формулу
а . с _ a-d
b ‘ d

Ь ’С '

Записанное этой формулой правило деления дробей сформу­
лируем «одним ударом», указывая сразу, каковы числитель и
знаменатель частного.
,т
_
_
числитель
Частное двух дробей — это дрооь, ......... ........... котором равен
знаменатель
числителя
знаменатель
произведению............... - - - делимого на ...................
знаменателя
числитель
дел нтел я.
о

И

Вычислите частные —
о

5
У

9

8

6

6

, 777
*7*, ~г:~г1U 1D
и
D

Выше мы объяснили, что с помощью числа, обратного дан­
ному, можно выполнять деление. Оказывается, что и, наоборот,
с помощью деления можно найти число, обратное данному.
Ведь еоди v
число, обратное данному числу и, то u - v = 1 .
А вы давно знаете: чтобы найти один из множителей, надо раз­
делить произведение на другой множитель. Значит, v = l : u .
Итак,

число, обратное данному числу и, равно частному

1 : и.

Вопросы и задания
22.1. Деление на данное число можно заменить умножением
на какое-то число. На какое?
22.2. Как найти частное двух дробей?
22.3. Буквой а'юбозначено какое-то число. Чему равно частное
а: 1; а:а ; 1:а?

22.4. Как с помощью деления найти число, обратное дан­
ному?

22.5 (У) Вычислите: а)
v '
'

7

8_.7_., о« —
И - Ь г) 2_-1°
б)
—
1 ИII *12’
12’ 1 9Q’10in’ ' 7 * 9 '

9’

22 .6. Вычислите частное и сравните его с делимым:
В)

а) А-А' 16' 3 ’
,, 9 .3
б)

А ;1 ;

28 34’

'

Г)

1 6 -Т '

Д)

А :А ;

'

20 22

е)

; 28 7 ’

'

20 5 ’

Ж)
'

3)'

13 -51111 *37’

и);

111 51’

к)* £35*23'
- .1

35 7 ’

22.7. Найдите значение буквенного выражения '^ ’ a-b'j^:a
при а =

4

*

° '6 -

22.8. Решите уравнение: а) (У) х - А = 2 ;

б) (У) х - А = 3 ;

в) л>0,8 = 0,2; г) х -0,2=0,8; д) 2,3-х=0,06.
22.9. Решите уравнение:
а) \ - * =

|_ :x + 2| = 3 l ;

4

д) f x + 1 - H f ;

И)

= _2_.

е>

к>^-НтНтт
л>М+4 :*= 4

б) Х'2у-=

т

* - 2т

= 1Ь

3’

в) х :А8 _ =4

=

* )

4

-

1

-

4

г) 1|:х= __5_.

м > 4 + 4
= 4
з) 4 — 1 - * = 2£
" 8’
Обработка детали на станке-автомате уменьшает массу

в 2— раза по сравнению с обработкой на обычном станке.
Сколько отходов получается при об­
работке детали на станке-автомате,
если при работе на обычном станке
их получается 5 у г?
22.11. Петя и Коля по утрам бе­
гают вокруг дома по дорожке дли­
ной 340 м. Каждый раз они стартуют
одновременно в одном и том же мес­
те. Скорость Пети 5,7 м/с, скорость
Коли 5-ji

м/ с.

а) Через сколько се­

кунд мальчики встретятся, если они
побежали в противоположные сторо­
ны? б )* Через какое время один из
них догонит другого, если они побе­
жали в одну сторону?
63

22.12. (У) а) Во сколько раз меньше своего обратного число - L ; f ;0,3?
А б) Найдите число, которое больше своего обратного в 4 раза;
в 9 раз.
в) Может ли натуральное число быть больше своего обратного
в б раз? Ответ «да» нужно подтвердить, указав такое число;
ответ «нет» нужно объяснить. А
22.13. а) Клоун объявил, что покажет математический фокус.
«Задумайте каждый какую-нибудь дробь и не говорите ее мне.
Прибавьте к ней число 3 и результат умножьте на дробь, обратную
задуманной. Затем вычтите 1 и результат умножьте на задуман­
ную дробь. А я за две секунды объявлю, что у каждого получилось.
Число 3». Объясните, как клоун угадывает ответ. (Совет: запи­
шите задуманную дробь в виде у и выполните требуемые дейст­
вия. Какими свойствами действий над дробями пришлось здесь
воспользоваться?)
б) (У) Какой ответ получится в фокусе клоуна, если вместо
числа 3 взять число 4; число 5; число 1992?
А в)* Придумайте похожий фокус со взаимно обратными чис­
лами. А
Урок 23
РЕШАЕМ ЗАДАЧИ НА ДРОБИ

З а д а ч а 1. Площадь поля 12 га, из них 8 га засеяно пшени­
цей. Какая часть поля засеяна пшеницей?
Чтобы решить задачу, надо 8 разделить на 12. Получится у^,
т. е. у (га).
И вообще, чтобы найти, какую часть одно число составляет
от другого, нужно разделить первое число на второе.
С этим правилом вы на самом деле познакомились давнымдавно, еще в 5-м классе.
З а д а ч а 2. Площадь поля 3 га, у этого поля засеяли рожью.
На какой площади посеяна рожь?
Чтобы решить эту задачу, надо найти -|- от 3 га. Вы уже знаете,
что для этого надо умножить 3 на у . Получится 1 у га.
64

И вообще, чтобы найти дробь от числа, надо это число умно­
жить на данную дробь.
Задача

3. На площади 6 га посеяна гречиха, эта площ адь

составляет у поля

Какова площ адь поля?

Эту задачу очень легко решить уравнением. Обозначим пло­
щ адь всего поля буквой х. Тогда х у — это площадь, на которой
посеяна гречиха, т. е. 6 га. Вот и уравнение получилось: х - у = 6 .
Р еш ая его, получаем * = 6 : у = 1 4 (га).
Конечно, данные в этой задаче могли быть другими, но путь
решения остался бы тем ж е. Значит, можно сформулировать
правило:
Если известна дробь, показывающая, какую часть искомого
числа составляет данное число, то, чтобы найти искомое число,
нужно данное число разделить на эту дробь.
Вопросы и задания

7
»

23.1. К ак
число?
23.2. К ак
23.3. К ак
какую часть

9

найти, какую часть от числа составляет другое
найти дробь от числа?
найти число, если известна дробь, показывающая,
искомого числа составляет данное число?

23.4. (У ) Чему равно:

ф

а) Т

от

б) 4

40;

от 100;

в)

||

от 110;

33
г) 20 от 14?

23.5. Чему равно:
а)

Т

в> If

о т 8 ,7 ;

б) У ОТ 6 ,3 ;

r>

I

д) 2-|- от 6,9;

от 0,8;
от 6,8;

е) 7 | от 8 ,3 ;

ж)

27 0Т 16’
11•

Q10 от 6 - Ь
3) %

23.6. Запиш ите обыкновенной дробью:

3—1729

6Ц % ;

1 О/ .
а) у /о .

в) 2 | % ;

д)

б) у / о .

1% ;
г) 2Л3

е) 102\ % .
65

23.7. Вычислите:
а) | %

от 27;

б) 4 % от И ;

в) 2 -|% от 7,2;

д) 67±|% от 14,3;

г) 24?[% от 55;

е) 102-1% от

4.^

23.8. а) Длина прямоугольника 22,2 см, а его ширина состав­
ляет у от длины. Найдите периметр прямоугольника.
б) Периметр треугольника 37,8 м. Одна его сторона состав­
ляет у

от периметра, д р у га я — у .

Найдите длины сторон.

23.9. Туристы за 3 дня должны пройти 43,35 км. В первый день
4

-

они планируют проити — всего пути, во второй день —

2

—

пути.

Сколько километров должны пройти туристы в первый, во второй
и в третий дни?
23.10. Работники почтамта подсчитали, что за прошедший год
письма составили у

всех почтовых отправлений, обработанных

почтамтом, посылки-----денежные переводы —

а теле­

граммы— — . Постройте круговую диаграмму, показывающую
долю каждого вида почтовых отправлений.
23.11. Чему равно число, если:
а)

2

—

от него равны 3,6;

б) | | от него равны 0,7;

1

в) 2 у от него равны 4,5;
г) З у от него равны 1,25?

23.12. (У ) Чему равно число, если:
а) у от него равно 40;

в) | | от него равно 130;

б) у от него

г) | | от него равно 11?

равно 100;

23.13. Чему равно число, если:
а) -|-% от него равны 5;
о

в) 32-1-% от него равны 72;
5

б) 2 у % от него равны 12,5;

г) 102у% от него равны 92?

23.14. До привала туристы прошли 18 км. По карте они определили, что это

2
—

всего маршрута. Какова длина всего маршру­

та? Сколько километров осталось пройти туристам?

23.15. а) На школьной выставке 220 рисунков выполнены
красками, а остальные — карандашами. Сколько всего рисунков
на выставке, если карандашами выполнено у- всех рисунков?
б) Составьте обратную задачу, в которой требуется найти
количество рисунков, выполненных красками.
23.16. Фермер посадил овощи на площади 3,9 га, что составляет

всей посевной площади фермерского хозяйства. Какова

вся посевная площадь?
23.17. В 1996 г. один российский завод продал | | выпущенных
им спортивных самолетов в России, а остальные 182 самолета
были отправлены за границу. Сколько самолетов было продано в
России?
Урок 24
УЧИМ СЯ РА ССУЖ Д АТЬ ПРИ РЕШ ЕНИИ ЗАДАЧ.
ВАЖ НО ХОРОШО ПРОДУМЫВАТЬ УСЛ О ВИ Е ЗАДАЧИ

Смекалкин предложил младшему брату две задачи:
З а д а ч а 1. Лифт от 1-го до 2-го этажа идет 4 с. Сколько
секунд он будет идти без остановки от 1-го до 6-го этажа?
Младший брат рассуждал так: «Во сколько раз 6-й этаж выше
2-го? Делим 6 на 2, получаем 3. В 3 раза выше! Значит, на подъем
до 6-го этажа лифту потребуется в 3 раза больше времени. Умно­
жаем 4 на 3, получаем 12. Ответ: 12 с».
бт
S - ■

45-

2

/Рис. 8

Ojj
о

Правильно ли рассуждал младший брат Смекалкина? Правильно ли он решил задачу?

Давайте разберемся. Чтобы определить, во сколько раз 6-й
этаж выше 2-го, нарисуем схему этажей от 1-го до 6-го (рис. 8).
Смотрите: от 1-го этажа до 2-го один пролет (на рисунке он
закрашен). А сколько таких пролетов от 1-го этажа до 6-го?
Каждый видит, что их 5. Значит, 6-й этаж не в 3 раза выше 2-го,
как, не подумав, утверждал младший брат, а в 5 раз! Младший
брат не продумал условие как следует и решил задачу непра­
вильно.
О
Решите задачу правильно.
о
З а д а ч а 2. В сельском районе выделили под вишневые сады
два квадратных участка земли. Сторона первого квадрата 100 м,
67

сторона второго— 150 м. В первом саду высадили 600 вишневых
деревьев. Сколько деревьев потребуется для второго сада?
Младший брат Смекалкина, решая эту задачу, рассуждал так:
«Второй сад в 1,5 раза больше первого, значит, и деревьев для
него потребуется в 1,5 раза больше. Умножаем 600 на 1,5, по­
лучаем 900. Ответ: потребуется 900 деревьев».
Смекалкин сказал брату, что тот не продумал условие задачи,
рассуждал неправильно и получил неверный ответ.
О
Объясните, в чем состояла ошибка младшего брата.
о

Давайте задумаемся над такими словами из рассуждений
младшего брата: «Второй сад в 1,5 раза больше первого, значит,
деревьев для него потребуется в 1,5 раза больше». Вот здесь-то
и ошибка! Ведь младший брат вспомнил только о длине стороны
квадрата. А для решения задачи нужно учитывать площадь!
Во сколько раз больше площадь, во столько раз больше потре­
буется деревьев. Ясно, что площадь первого сада 1 км2. А ка­
кова площадь второго?
Q
о

Найдите ее. Определите, во сколько раз она больше площади
первого сада, и завершите решение задачи.
Задания

|
•

24.1. Перечитайте условие задачи I из объяснительного
текста и определите, сколько секунд лифт будет идти без оста­
новки: а) от 1-го до 7-го этажа; б) от 1-го до 10-го этажа; в) от
2-го до 10-го этажа; г) от 3-го до 12-го этажа.
24.2. Младший брат спросил Смекалкина: «Сколько секунд
потребуется тебе на запись чисел от 1 до 20?» Смекалкин засек
время и написал первые пять чисел, потратив на запись 5 с.
«А остальные числа почему не пишешь?» — удивился младший
брат. Смекалкин объяснил, что незачем. Ведь уже можно опре­
делить, с какой скоростью он пишет цифры, и ответить на задан­
ный вопрос. Младший брат определил: одна цифра в секунду.
«Значит, числа от 1 до 20 ты запишешь за 20 с»,— сказал он.
Смекалкин объяснил брату, что тот ошибается. Ведь не каждое
число записывается одной цифрой.
а) Ответьте правильно на заданный вопрос.
б) Сколько секунд потребуется Смекалкину на запись чисел
от 1 до 40, если он будет писать без остановки?

24.3. В журнале в семи номерах подряд публиковалась новая
повесть. Окончание дано в № 11. С какого номера нужно попро­
сить журнал в библиотеке, чтобы прочитать всю повесть?
24.4. Учительница выбирает путевку в санаторий. Срок понра­
вившейся ей путевки 24 дня, начиная с 7 августа. Какого числа
кончается срок путевки? Один день нужен на дорогу. Может ли
учительница поехать по этой путевке и успеть вернуться к началу
учебного года?
24.5. На садовом участке есть два кубических бака для воды.
Ребро первого куба 1 м, ребро второго— 1,5 м. Во сколько раз
больше воды вмещается во второй бак, чем в первый?
24.6. Клоун объявил, что на представлении присутствуют
576 детей и что это составляет

всех зрителей. Чтобы узнать,

сколько всего зрителей на представлении, он умножил 576 на
и получил 224 (зрителя). Публика смеялась: все понимали, что
клоун вместо того, чтобы искать число по дроби, искал дробь
от числа.
а) Сколько всего зрителей было на представлении?
б) Какую часть зрителей составляли взрослые?
в) Проверьте, правильно ли хоть клоун умножил 576 на
Урок 25
ЗАДАНИЯ НА ПОВТОРЕНИЕ К $ 2

25.1. Сократите дробь:
а) (У)

If;

б) (У)

В) | 1 | ;

25.2. Сравните дроби: а) у и Ц;

г )* 2323
3232’
б) 888

25.3. (У) Сократима ли дробь: а)

Д)*

il l ill

„ 8888

45 .
Ill ’

^

2375 .
67830 *

v 37->
^ 98’

25.4. Чему равна дробь, числитель которой: а) в 3 раза меньше
знаменателя; б) в 7 раз меньше знаменателя? (Совет: обозначьте
числитель какой-нибудь буквой.)
25.5. Запишите в порядке возрастания дроби:
5 51
7 ’ 71’

501
5001.
7 0 1 ’ 700Г

]005 J 0 5 . ]5 5_
1 1007’ 107’ 17’ 7

69

25.6. Даны две дроби. Числитель первой дроби в 2 раза меньше
числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби в 3 раза
меньше знаменателя второй, а) Чему равно частное при делении
первой дроби на вторую? (Совет: обозначьте числитель первой
дроби буквой а, знаменатель — буквой Ь.) б) (У) Учитывая
ответ из пункта а), скажите, какая дробь больше: первая или
вторая.
25.7. Винни-Пух съедает банку меда за 3 ч, а его друг Пята­
чок — за 4 ч. За какое время они съедят такую банку меда, если
начнут со своей обычной скоростью есть ее вместе?
25.8. (Старинная задача, XVII в.) Четыре плотника у некоего
купца нанялись двор ставити. И говорит первый плотник так:
«Только бы мне одному тот двор ставити, я бы его поставил
един год». Другой молвил: «Я бы его поставил в два года».
А третий молвил: «Я бы его поставил в три года». Четвертый
так рек: «Я бы его поставил в четыре года» Все те четыре
плотника учали тот двор ставити вместе. Сколько долго они
ставили, сочти.
25.9. Два колхоза строили дорогу. Один построил у дороги,
другой — остальную часть, а) Какую часть дороги построил вто­
рой колхоз? б) Во сколько раз часть дороги, построенная первым
колхозом, больше, чем ее часть, построенная вторым колхо­
зом?
25.10. а) К числителю и знаменателю дроби прибавили по 6.
Большее или меньшее получилось число? б) Из числителя и
знаменателя дроби

вычли по 6. Большее или меньшее полу­

чилось число?
25.11. Сравните дроби: а) (У) |

н

б) |

и

в) ^ и

и
"ПТ и W - Сделайте вывод и сформулируйте пра­
вило сравнения дробей с одинаковыми числителями.
25.12. Запишите все дроби с числителем 2, большие чем у .
25.13. Найдите значение числового выражения:
а) 3 j : 4 + 4 - | : 3 ± ;

в)

2о1 - ( | . 2| : А ) 4;

б) ((‘т),- 1т):8т: г) (21~‘т)Ч ;
70

Д,

2 | : ( l i - l ) + ( 4 + 4 ) :3| ;

е ) ( 4 + 4 ) :24 + 1 | :( 21 _ 4 ) .

25.14. Запишите десятичные дроби в виде обыкновенныхдробей и выполните действия:
a) f - 8 ,7 ;

г) 6,8-

ж) 5,6:1;

к) -Ц: 6,5;

б) 6,3--—;

Д) 21-6,9;

з) 4 :0 ,6 ;

л) 3,3:21;

в) 1 -0 ,3 ;

е) 8,3-3|±;

и)

м) 31:6,3.

7 ,2 :|;

25.15. Найдите число, обратное данному числу:
а)

(У) 0,01;

б) (У) 0,00001;

в) 2-1;

г) 6,25;

д) 2,25.

25.16. Вычислите произведение и сравните его с первым мно­
жителем:
а> г Л ’

S *

Д) 0 .5 5 -f;

* ) Т П - |;

и) 2 .1 ;

б) 1 . 1 ;

г) 1 - 1

е) 0,55-1;

3) Л . М .

К)

'

16 3

’

;

28 34 ’

’

22 *

'

111

13'

2 -у .

Сделайте вывод: увеличивается или уменьшается число при
умножении на дробь, большую единицы; на дробь, меньшую еди­
ницы; на дробь, равную единице?
25.17. Рассмотрите примеры а ) —к) из задания 22.6. Можно ли
утверждать, что в этих примерах вычисления те же самые, что
и в примерах а ) — к) из задания 25.16? (Совет: для объяснения
воспользуйтесь правилом из урока 22.)
Сделайте вывод: увеличивается или уменьшается число при
делении на дробь, большую единицы; на дробь, меньшую едини­
цы; на дробь, равную единице?
25.18. Каждое из семи двухметровых бревен надо распилить на
равные части по

м. Сколько всего распилов надо сделать?

25.19. Для провешивания линии электропередачи установили
100 столбов. Расстояние между каждыми двумя столбами 50 м.
Какова длина провода, соединяющего первый и последний столбы?
А 25.20. (У) а) Не выполняя вычитания, скажите, что больше:
1— 1997

или

1—1998
tttW
s' -

б) Пользуясь ответом к заданию а),

сравните дроби Ц Ц и | | 197
||. ▲
1997

"

1998 '

71

25.21. (У) Клоун утверждал, что всегда дробь, обратная к не­
правильной дроби, будет правильной. Публика смеялась: всем
было ясно, что не всегда. Чему равны те неправильные дроби,
обратные к которым снова неправильные?
§ 3. ПРОПОРЦИИ
Что объединяет между собой движение транспорта и кулина­
рию, изготовление сплавов и малярные работы, вычерчивание
карт и рассматривание микробов в микроскоп? Кому-то такой
вопрос может показаться странным. Но того, кто изучал мате­
матику в 6-м классе, ответ не затруднит: во всех перечислен­
ных делах и процессах нередко возникают пропорции. Что такое
пропорция и как пропорции помогают решать разные задачи,
вы узнаете в этом параграфе.
Урок 26
ЧТО ТАКОЕ ОТНОШЕНИЕ

При сравнении двух значений какой-то величины часто воз­
никает вопрос: а) во сколько раз одно значение больше другого
или б) какую часть по отношению к другому оно составляет?
Вы знаете, что и в случае а), и в случае б) ответ находится
вычислением частного. В таких случаях частное двух чисел
называют их отношением.
Разберем несколько примеров отношений.
П р и м е р 1. Рассмотрим два отрезка длиной 5 см и 2 см
(рис. 9): А В = 5 см, CD= 2 см. Отношение АВ к CD равно у .
Если длины выразить в миллиметрах, то отношение АВ к CD мож­
но записать в виде Щ. Оба отношения у и ^ показывают, во
сколько раз АВ больше CD: в 2,5 раза. Ведь у = ^ = 2 , 5 .

П р и м е р 2. Масса батона 360 г, а масса буханки хлеба 800 г.
Отношение -щ- показывает, какую часть составляет первая мас0 са по отношению ко второй: 0,45. Ведь у у = 0 ,4 5 (проверьте!)72

Если эти массы выразить в килограммах, то их отношение можно
записать в виде
Но ведь дробную черту мы использовали для записи дробей!
А сейчас записана не дробь.
Верно. Но вы давно знаете, что при записи деления натураль­
ных чисел вместо знака деления можно использовать дробную
черту. Так вот, договариваются о том же и при записи деления
любых чисел. Итак, если а и b — любые числа, то
а

,

Т = а :Ь

И записать отношение числа а к числу b можно двумя способа­
ми:

о

и а:Ь.

Придумайте два-три примера, где с помощью отношения
сравниваются значения какой-то величины: длины, массы,
времени и т. п. Запишите возникшие при этом отношения.

Еще один важный случай, когда возникает отношение, пока­
зан в следующем примере:
П р и м е р 3. Если пешеход за 40 с проходит 50 м, то его ско­
рость равна ^ м/с, т. е. 1,25 м/с. Видите, для определения ско­
рости нам пришлось найти отношение пройденного расстояния
к времени движения:

В виде отношений могут быть выражены и другие величины:
производительность труда, урожайность, цена. Например, цена
товара равна отношению стоимости этого товара к его коли­
честву.
73

Вопросы и задания
О
•

26.1. Как найти отношение чисел а и ft? Как записывают это
отношение?
26.2. Каково отношение длины окружности к ее диаметру?
А
26.3. (У) Длина отрезка KL равна 12 м, а длина отрезка MN
• равна 60 м. а) Найдите отношение KL к MN. Что показывает это
отношение? б) Найдите отношение M N к KL. Что показывает это
отношение?
26.4. (У) Найдите отношение: а) числа 12 к числу 4; б) числа
4 к числу 12; в) числа 6,3 к числу 9; г) числа 3 к числу
26.5. Турист за день прошел 32 км. До обеда он шел 4 ч и
прошел 20 км. Еще 3 ч он шел после обеда. Когда скорость ту­
риста была выше: до или после обеда?
26.6. Бегун пробежал 100 м за 10 с. Больше или меньше его
скорость, чем обычная скорость теплохода 35 км/ч?
26.7. Одна бригада маляров за 3 ч покрасила 32 м2 стен, а
другая бригада за 4 ч покрасила 42 м2. У какой бригады произ­
водительность труда выше?
26.8. (У) Найдите отношение площади квадрата к длине его
стороны, если длина стороны равна: а) 3 мм; б) 0,2 мм; в) 14 км.

74

26.9. а) Клоун решил найти отношение массы мышки к массе
слона. Мышка весит 30 г, слон
5 т. «Составляем отношение:

30

у . — сказал клоун.— Мышка в 6 раз тяжелее слона!» Публика
смеялась: все видели, что клоун использовал разные единицы
массы. Составьте правильное отношение и найдите, какую часть
массы слона составляет масса мышки.
б) Затем клоун решил сравнить скорости улитки и космической
ракеты. Скорость ракеты 8 км/с, скорость улитки 320 см/ч.
«Составляем отношение: - А - , - сказал к л о у н ,- Скорость ракеты
составляет 0,025 от скорости улитки». Публика смеялась: все
видели, что клоун опять использовал неодинаковые единицы
скорости. Составьте правильное отношение и найдите, во сколько
раз скорость ракеты больше скорости улитки.
Урок 27
З Н А К О М И М С Я С ПРОПО РЦИ ЕЙ .
ОСН ОВ НОЕ СВОЙСТВО ПРОП ОРЦ ИИ

Дадим главное определение этого параграфа:
Пропорцией называют равенство двух отношений.
В каждом из трех примеров, обсуждавшихся в уроке 26,
можно обнаружить пропорцию. Посмотрите-ка еще раз пооче­
редно эти примеры.
В примере 1 пропорция бросается в глаза:

В приме­

ре 2 оба написанных там отношения означают одно и то же, так
360 0,36 о
что получается пропорция —^-=-^3-. В примере
800

0,8

3о скорость

пешехода можно было бы найти, зная расстояние, которое
Q пешеход проходит за какое-нибудь другое время. Например, при
о той же скорости он за 12 с пройдет 15 м (проверьте!). Значит,
его скорость

(в м/с) можно было выразить отношением

Вспомнив для этой скорости отношение

получаем пропорцию

50__15
40 12'

Пропорцию
равно отношению b к

можно прочитать так: «Отношение а к и
V»,

или «а так относится к

и,

как b отно75

сится к и», или «а, деленное на ы, равно Ь, деленному на и».
Числа а, Ь, и, v называют членами пропорции. При этом члены
а и о, а также и и b называют накрест лежащими.
А почему такое название?
Если соединить а с v отрезком и и с b отрезком, то такие
отрезки образуют крест

Можно заметить, что в пропорции произведения накрест ле­
жащих членов равны. Посмотрите: для пропорции
дения 5-20 и 2-50 равны, для пропорции

произве­
произведения

50-12 и 40-15 равны. И вообще,
если —=
—
, то a - v = u - b
и
V
А Убедиться в том, что это так, можно, рассуждая следующим
образом. Умножим каждое из чисел

—, — на одно и то же
и

V

число uv. Получим равные числа. Но чему равны

и-и и

—-u-v? Так как —• и= (а :и )-и = а , число —-и-и равно a-v.
v
и
'
и
г
Точно так же —-и
-ц = —-и
-и= v(b:v)' -и- u= b • и = и - b.
V
V
Вот мы и убедились, что a-v = u-b, А
Теперь можно сформулировать основное свойство пропорции:
В любой пропорции произведения накрест лежащих членов равны.
Пропорцию -5-=-^- пишут и в виде a:u—b:v. Тогда накрест
лежащие члены а и и называют крайними, а b и и — средними
членами пропорции. Если левую и правую части пропорции по­
менять местами, то крайние члены станут средними и наоборот:
крайние

i

i

а:и—b:v
t t
средние

средние

1 I

b:v=a:u
t „ t
крайние

Для такой записи «с двоеточием» основное свойство пропор
ции нужно сформулировать немного по-другому:
Произведение крайних членов пропорции
равно произведению ее средних членов.
Вопросы и задания
27.1. Что называют пропорцией?
27.2. Каково основное свойство пропорции?
27.3. Прочитайте следующие пропорции и назовите в них
крайние и средние члены. Проверьте, что выполнено основное
свойство пропорции:
а) 2 5 :5 = 5 0 :1 0 ; б) 2 ,4 :0 ,6 = 8 :2 ; в) 3,5:7=1,25:2,5.
27.4. Определите, какие из отношений равны, и составьте из
них пропорции: 28:14; 2 у :2 ; 8:4;

3:10; 2,1:7; 3:0,3.

27.5. Скорость самолета 900 км/ч, скорость автомашины
108 км/ч. Выразите эти скорости в метрах в секунду и допишите
пропорцию 900:108=... .
27.6. Объем одной банки 800 мл, объем другой — 2,5 л. Найди­
те отношение их объемов, выразив оба объема: а) в миллилит­
рах; б) в литрах. Составьте пропорцию.

Урок 28
ПРОДОЛЖАЕМ ИЗУЧАТЬ СВОЙСТВА ПРОПОРЦИЙ

Как проверить, составляют ли пропорцию отношения

и

143 -ч с

-jg^? Ьсли составляют, то произведения накрест лежащих членов
должны быть равны, т. е. 132-182=168-143. Это и в самом деле
так: оба произведения равны числу 24 024 (проверьте!). Оказы­
вается, верно и обратное: из равенства 132-182=168-143 выво­
дится пропорция -J ||= -J ||-. Чтобы увидеть это, разделим число
24 024 на число 168-182 двумя способами, воспользовавшись
сокращением дробей:
24 024
168-182
о

132

Значит, ж

132-182
168-182

132,
168 ’

24 024 _
168-182

168-143
168-182

143
182'

143
182'

77

В этом примере вместо взятых нами конкретных чисел можно
взять любые числа а, Ь, и, v (лишь бы и и v не были равны
нулю). Тогда ясно, что выполняется такое свойство:
если a ‘ V=U'b, то - 2 - = ~
Обратите внимание, что равенство a - v = U ‘ b — это равенство
произведений накрест лежащих членов любой из следующих
четырех пропорций:

- f - = T ’ ТГ= Т ' ТГ=ТГ Спроверьте!).

И наоборот, эти четыре пропорции можно вывести из ра­
венства a - v = U ’ b (конечно, числа а, b, и, и тогда не должны
быть равны нулю). Например, из равенства 132* 182 = 168*143
получаем пропорции:
132
168“

143
1 82’

132 _
143

168
18 2 ’

168 _
132

182
143’

143 _
132

182
168'

Значит, если выполняется одно из следующих пяти равенств,
то выполняются и четыре других:

Задания
28.1. Проверьте, правильно ли составлены пропорции:
ч

,,, 51
з
v 1,25 - 0.25.
ш о ’ б ) Т 8 7 - = Т ; в) - Т Г

5

3 ’ ' 0,6

ч 6,38

д)

v _2__ _7_.
2, Г

125 .

а) Т =

95,7 ~

7 8 2 = 2f 3 -

Л

Ответ объясните.

28.2. Можно ли составить пропорцию из двух отношений:
и

209.

е) — и

16.5 ^

а) f

*9 „ 46

т Г б> У и ТУ’

226
371

14.

94’

ч 266 „ 14. „ч 2,5 u II.

Г'

447

И

94’ Д '

4

1.4’

Ответ объясните.

28.3. Составьте четыре пропорции, используя
3 * 8 = 6 * 4 ; б) 6 *0 ,2 5 = 0 ,5 *3 ; в) a - v = u - b .

равенство:

28.4. Найдите отношение и к о , если:
а) - £ = | i б) £ = . ! ; в) ” - ± .
и

6

Z\

7

и

v

Ш 28-5- Плотностью вещества называют отношение массы ве­

щества к занимаемому им объему. Например, 10 см3 железа
имеют массу 78,8 г; значит, плотность железа равна ~^8=
= 7,88 (г/см 3). Найдите плотность в г/см 3 и в кг/м3 воды,
нефти, воздуха и свинца, если: а) 1 л воды имеет массу 1 кг;
б) 5 м3 нефти имеют массу 4 т; в) у м3 воздуха имеет массу
430 г; г) свинцовый кубик с ребром 5 см имеет массу 1412,5 г.
Ш 28.6. Если плотность тела меньше плотности жидкости, то

это тело будет плавать в жидкости, а) Тело имеет массу 361 г
и объем 380 см3. Будет ли оно плавать в нефти; в воде? (Плот­
ность этих жидкостей вы нашли, выполнив задание 28.5.)
б) 5 л ртути имеют массу 68 кг. Найдите плотность ртути
в кг/м 3. Будет ли плавать в ртути свинцовый кубик из зада­
ния 28.5; золотой кубик с ребром 10 см и массой 19,3 кг?
28.7. Масса чего больше: 1 км3 воздуха или свинцового куба
с ребром 48 м; 59 л нефти или 3,5 л ртути? (Плотность этих
веществ вы узнали, выполнив задания 28.5 и 28.6.)
28.8. а) Какой объем нефти имеет такую же массу, что и
1 л ртути? б) Плотность сибирской пихты 375 кг/м3, а плот­
ность алюминия 2,7 г/см3. Алюминиевый брусок имеет такую же
массу, как пихтовый кубик с ребром 6 см. Найдите объем алю­
миниевого бруска.
28.9. Решите уравнение: а) д:: 12= 2:3; б) j ‘= jiy в) ~Г=
— .?•! - • г) 117:63= 14 3 :д:.
0,105

'

(Совет: воспользуйтесь основным

свойством пропорции.)
Урок 29
РЕШАЕМ ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИИ

Если три члена пропорции известны, а четвертый нужно
найти, то говорят, что это з а д а ч а н а пропорцию . Задачи на про­
порции возникают очень часто. Нужно научиться уверенно ре­
шать их. Вот одна из таких задач:
З а д а ч а 1. Масса железного куба с ребром 5 см равна
985 г. Какова масса железного куба с ребром 10 см?
79

Напомним, что в задании 28.5 мы определили плотность ве­
щества как отношение его массы к занимаемому объему.
Объем первого куба равен 125 см3, а его масса — 985 г.
Вычислим плотность железа: -у||- г/см . Объем второго куба ра­
вен 1000 см3, а его искомую массу обозначим буквой х. Теперь
плотность железа можно записать и отношением у щ . Так как
плотность одна и та же, получаем уравнение в виде пропорции
985 _
х
125
1000 '

Перемножим накрест лежащие члены: 985-10 00= 125• лг. Ре-70 ОЛ Г)
шая это уравнение, находим х = 985-1000
— — — = 78
80. Вот и ответ:
искомая масса равна 7880 г.

С помощью пропорций удобно решать задачи на проценты.
З а д а ч а 2. Бригада трактористов за рабочий день вспахала
117 га, что составило 36% общей площади полей. Найдите общую
площадь полей.
Обозначим буквой х искомую площадь. Тогда условие задачи
можно записать в виде пропорции
117_ 36
х

10 0'

Перемножая накрест лежащие члены, получим 117- 100=х-36.
Отсюда находим искомую площадь: л с = 117' 100= 3 2 5 га.
36

В заданиях к уроку мы предлагаем немало других задач на
пропорции.
Задания
|
•

80

29.1. Из 18 т железной руды выплавляют 10 т железа. Сколько железа выплавят из 35 т руды?
29.2. Чтобы заварить 1,5 л чая, нужно 30 г сухого чая.
Чайник вмещает 0,39 л. Сколько нужно сухого чая для заварки?
29.3. Валя и Вера собрались варить варенье из 2,5 кг смо­
родины. По рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг сахара. Валя ска­
зала, что им потребуется 3,75 кг сахара, а Вера — что 3,25 кг.
Кто из них прав? Ответ объясните.

29А. Дуга окружности имеет длину 785 мм и градусную ме­
ру 30 . Найдите длину дуги той же окружности, если градусная
мера дуги равна 18°; 252°; 96°. (Совет: посмотрите свое реше­
ние задания 27.7 в рабочей тетради и составьте пропорции.)
29.5. Сектор круга имеет площадь 64 см2, а его дуга имеет
градусную меру 48 . Найдите площадь сектора того же круга,
если дуга сектора имеет величину 18°; 240°; 105°. (Совет: по­
смотрите свое решение задания 27.8 в рабочей тетради и составьте
пропорции.)
29.6. В школьном коридоре длиной 56 м нужно выкрасить
пол. Выкрасив часть коридора длиной 22 м, израсходовали
8,25 кг краски. Сколько еще нужно краски, чтобы докрасить
коридор?
29.7. Масса 8 л бензина 5,68 кг. Цистерна имеет объем
500 м3. Хватит ли ее, чтобы вместить 306 т бензина? Ответ
объясните.
29.8. Чтобы сварить 4 порции пшенной каши, нужно взять
220 г пшена, 1 л молока и 30 г сахара. Сколько потребуется
этих продуктов, чтобы сварить 14 порций каши? (Совет: составь­
те три пропорции — для каждого продукта отдельно.)
29.9. Чтобы засеять 2 га пашни, нужно 360 кг пшеницы.
Используя эти данные, придумайте задачу на пропорцию и
предложите решить ее соседу по парте. Проверьте его решение.
29.10. Придумайте задачу, которая решалась бы составлением
пропорции

Предложите соседу по парте решить

ее

и проверьте, правильно ли он решил.
29.11. а) Кофейные зерна при жарении теряют 12% своей
массы. Сколько килограммов свежих зерен надо взять, чтобы
получить 4,4 кг жареных? б) Яблоки при сушке теряют 84%
своей массы. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы пригото­
вить 16 кг сушеных?
29.12. а) Сахарная свекла содержит 14% сахара. С 1 га со­
бирают 30 т сахарной свеклы. Сколько гектаров надо засеять
сахарной свеклой, чтобы получить 100 т сахара? б) Составьте
обратную задачу, в которой требуется найти, сколько сахара
можно получить из сахарной свеклы, посеянной на заданной
площади. Решите составленную задачу.
29.13. Даны два числа. Какое из чисел больше и на сколько,
если: а) 5% от первого числа равны 15, а 8% от второго рав81

ны 16; б) 18% от первого числа равны 72, а 15% от второго
равны 60; в) 28% от первого числа равны 140, а 25% от второ­
го числа равны 35% от первого?
29.14*. (У) Даны два числа. Какое из них больше, если:
а) 25% от первого числа равны 35% от второго; б) 140% от
первого числа равны 110% от второго?
29.15. (У) Клоун сказал, что сейчас решит задачу на про­
порцию. «Отцу 40 лет, а сыну 20. Сколько лет будет сыну,
когда отцу исполнится 60? Составляем пропорцию

и нахо­

дим возраст сына: х=30». Публика смеялась: всем было видно,
что пропорция здесь ни при чем. Решите правильно задачу клоуна.
Урок 30
КАК ЦЕЛОЕ ДЕЛИТЬ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЧАСТИ

Числа а, b называют пропорциональными числам и, v, если
Оба отношения в этой пропорции равны одному и тому
же числу. Обозначим его буквой k. Тогда

~ = ^- Число k

называют коэффициентом пропорциональности.
Решим несколько задач на отыскание чисел, пропорциональ­
ных данным числам.
З а д а ч а 1. Найдите числа а и 6, пропорциональные чис­
лам 4 и 7 с коэффициентом пропорциональности 3.
Это очень легкая задача! В самом деле, условие означает,
что 4 = 3 , 4 = 3. Ясно, что а = 3 -4 = 1 2 , * = 3 -7 = 2 1 ,
4

7

З а д а ч а 2. Найдите числа а и Ь, пропорциональные чис­
лам 4 и 7, если а-\-Ь=25,3.
Как же решать эту задачу, если коэффициент пропорцио­
нальности неизвестен?
А мы сможем его найти, пользуясь условием задачи. Обозна­
чим неизвестный коэффициент пропорциональности буквой k.
В условии задачи говорится, что -|-=&, -=-=£. Тогда a = k ’4,
b = k ‘1. А так как а+ Ь = 25,3, получается уравнение

О
82

k- 4+ Л -7=25,3.
Закончите решение задачи: найдите коэффициент пропор­
циональности k, а затем искомые числа а и Ь.

Задачу 2 можно сформулировать и так: число 25,3 разделить
на две части, пропорциональные числам 4 и 7. Вместо числа
25,3, да и вместо чисел 4 и 7 в такой задаче могли бы быть
другие числа. Но и с другими числами задача решается точно
так же.
Разделите-ка число 20 на части, пропорциональные чис­
лам 2 и 3.
В некоторых задачах приходится делить число не на две про­
порциональные части, а на три или больше. Вот такая задача:
З а д а ч а 3. Для изготовления посуды часто применяют сплав
с красивым названием нейзильбер (в быту его называют мель­
хиором). Это сплав никеля, цинка и меди, массы которых берут
пропорциональными числам 3, 4 и 13. Сколько килограммов этих
металлов требуется для получения 150 кг нейзильбера?
Р е ш е н и е . Обозначим буквами х, у и z неизвестные массы
никеля, цинка и меди. Условие задачи означает, что выполняется
«двойная» пропорция: у = - |- = - ^ . Обозначив буквой k коэффи­
циент пропорциональности, получим:
* = £ •3 , y = k - 4, z = k - \ 3.
Так как сумма х, у и z равна 150, должно выполняться ра­
венство 6 •3+ 6 * 4+6* 13=150. Как и при решениизадачи 2,
получили уравнение. Осталось найти коэффициент пропорцио­
нальности k, а затем искомые части числа 150. Ответ будет та­
кой: потребуется 22,5 кг никеля, 30 кг цинка и 97,5 кг меди
(проверьте!).
Само слово «пропорция» произошло от задач, где приходится
что-то целое делить соответственно долям, частям, порциям.
Ведь латинское «про-порцио» означает «соответственно пор­
циям».
А Вы знаете, что из пропорции

выводится пропорция

_o_= JL и обратно (см. урок 28). Поэтому пропорция a:b—u:v
тоже означает, что числа а, b пропорциональны числам и, v.
Нередко и двойную пропорцию - |= A = - L записывают в виде
a :b :c = u :v :w . Например, условие задачи 3 можно записать
83

в виде x : y :z = 3 :4 : 13. Когда вы встретите такие записи в кни­
гах (например, в учебниках химии и физики), вспомните то,
что мы о них рассказали. А
Вопросы и задания
ЗОЛ. В каком случае числа а, b называют пропорциональ­
ными числам и, v? Какое число называют коэффициентом про­
порциональности?
30.2. Пропорциональны ли числа 3 и 5 числам: а) 537 и 995;
б) 0,513 и 0,855; в) 2,37 и 3,85? Ответ объясните.
30.3. Найдите такие х и у, чтобы числа х , у, 36 были пропор­
циональны числам: а) 3, 1, 1; б) 6, 8, 9; в) —,

у.

30.4. а) Разделите число 451 на части, пропорциональные
числам 5,3 и 2,9. б) Разделите число 93,44 на части, пропорцио­
нальные числам 3,6 и 11.
30.5. Валя и Вера хотят засолить огурцы в двух кадушках,
объемы которых относятся как 2,5:4. Для этого потребуется
1,3 кг соли. Сколько соли придется на каждую кадушку?
30.6*. Периметр прямоугольника равен 64 см. Найдите длины
его сторон, если они пропорциональны числам 3 и 5.
30.7. Длины сторон треугольника пропорциональны числам
4, 9 и 6. Найдите эти длины, если длину 18 см имеет: а) самая ко­
роткая сторона; б) самая длинная сторона; в) средняя сторона.
30.8. Периметр треугольника равен 90 м. Найдите длины его
сторон, если они пропорциональны числам 5, 12 и 13.
30.9. Три машины-цементовоза, сделав одинаковое число
рейсов, привезли на стройплощадку 609 т цемента. Первая ма­
шина за один рейс перевозила 8 т цемента, вторая — 13,5 т,
третья — 22 т. Сколько цемента перевезла каждая машина?
30.10. Три класса должны посадить 24 саженца деревьев.
В 6-м А — 32 ученика, в 6-м Б ^ 28, а в 6-м В — 36 учеников.
Как разделить саженцы по классам пропорционально количеству
учеников в них?
Урок 31
СТРОИМ ДИАГРАММЫ

В разных книгах, чтобы наглядно сравнить какие-то цифро­
вые данные, часто используют диаграммы. При их построении
не обойтись без чисел, пропорциональных данным.

5250

Рассмотрите диаграмму на рисунке 10.
Она показывает, как меняется со временем
население Земли (выраженное в миллионах
человек). Чтобы построить эту диаграмму,
мы изобразили числа 730, 950, ... отрезка­
ми, длины которых пропорциональны этим
числам. При этом отрезок длиной 1 мм
изображает число 100.

Рис. 10

Измерьте отрезки на диаграмме и проверьте их пропорцио­
нальность данным числам. Каков здесь коэффициент про­
порциональности?
Столбчатая диаграмма на рисунке 11 изображает массы ди­
нозавров, вымерших десятки миллионов лет назад. Почему
столбчатая? Потому, что массы изображаются не отрезками, а
прямоугольными столбиками. Столбики заметнее отрезков! Ко­
нечно, и здесь высоты столбиков пропорциональны массам:
столбик высотой 10 мм изображает массу 10 т, 50 мм — 50 т
и т. д. Значит, масса 1 т изобразилась бы столбиком 1 мм.

50т

30т

ТРИЦЕРАТОПС ТИРАНОЗАВР БРАХИОЗАВР АПАТОЗАВР

85

Задания
31.1. В 1-й строке таблицы указаны возрастные группы. Во
2-й строке, составленной по результатам переписи населения
1989 г., указано число жителей России в каждой возрастной
группе. Постройте диаграмму, изображая 1 млн. отрезком 2 мм.
В озр а ст,

0— 9

10—

19 2 0 — 2 9 3 0 — 3 9 4 0 — 4 9 5 0 - 5 9 6 0 — 6 9

Ч исло ж и те ­

70 и
более

го д ы
2 3 ,4

2 0 ,6

2 2 ,3

2 4 ,5

1 5 ,6

18,0

12,9

9 ,7

лей, млн.

31.2. Постройте диаграмму потребления человечеством прес­
ной воды за 1 год (на 2000 г.— прогноз). Изобразите 100 км3
столбиком высотой 1 мм.
Год

1 90 0

1 94 0

1 95 0

1 96 0

1970

1 97 5

1985

2000

400

820

1 10 0

1 90 0

2600

3000

3900

6000

П о требление
воды , км 3

31.3. В таблице для некоторых городов показано годовое
количество осадков (в мм). Постройте столбчатую диаграмму,
изображая 100 мм осадков столбиком высотой 3 мм.
М осква
М ары
Ереван

704

Д онецк

524

Р и га

678

97

Б атум и

2685

О м ск

430

С очи

1 66 4

Баку

247

339

31.4. Части света имеют площади (в млн. квадратных кило­
метров): Европа — 10,5; Азия — 43,4; А ф рика— 30,32; Северная
Америка — 24,25; Ю жная Америка— 18,28; Австралия с Океа­
нией — 8,86; Антарктида — 13,975. Составьте диаграмму, изобра­
жая 1 млн. км2 столбиком высотой 1,5 мм.
31.5. Электроэнергию производят как на атомных электро­
станциях (А Э С ), так и на обычных — гидро-, тепловых и других
электростанциях. Часть всей электроэнергии, вырабатываемой
на АЭС, составляет в Великобритании — 21,7%, в Германии —
34,3%, в России — 12,3%, в С Ш А — 19,1 %, во Франции — 74,6%,
в Японии — 27,8%. Постройте по этим данным диаграмму, изобра­
зив 1% столбиком высотой 1 мм.

Урок 32
ПРЯМО П РОПОРЦ ИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМ ОСТЬ

Возьмем квадрат и обозначим буквой а длину его стороны,
а буквой Р его периметр. Вы давно знаете, что P —4-a. Значит,
для вычисления Р нужно знать величину а. В таких случаях
говорят, что Р зависит от а. Говорят также, что между вели­
чинами а и Р имеется зависимость.
У этой зависимости есть одно замечательное свойство, а
именно: хотя периметр Р зависит от длины и меняется вместе
с ней, их о т н о ш е н и е

остается

постоянным:

—— 4.

Чему здесь равен коэффициент пропорциональности?

^

0 0; б)х

-

м) 0 и —2-1

2! " 2 i ;

н) 4,7 и 5,03;

в) 11 и —13;
и)

21 и - 21;

о) —4,7 и 5,03;

д) —11 и 0;

к)

- 2т

п) 4,7 и —5,03;

е) 0 и - 1 3 ;

л) - 2 1 и 0;

г) — 11 и — 13;

и —2Т :

р) - 4 ,7 и -5,03.

43.9. Вставьте вместо многоточия какое-нибудь число так,
чтобы было верно двойное неравенство:
а) —1 < ...< 2 ;

е) —1 < - < 1 ;

б) 1 > .„ > 0 ;

ж) —4 < „ . < —2;

в) 0 ,3 > ...> — 1,2;
г) —1 < ...< 0 ;

з) —0,К . . . < —0,01;

Д) 0 > . . . > - | ;

и) —4 ,3 7 > ...> —4,38.

43.10. (У) Какое целое число стоит между числами:
а) — 1,1 и —0,6; в)
б) —0,8 и 0,2;
г)

—5,3 и —3; д) —7 и —5; ж) —2 и 0;
—1,8 и 0;
е) —4 и —2,3; з) —1 и 1?

43.11. (У) Сколько целых чисел стоит между числами:
а) —5,4 и —1,2; в)
б) - 7 , 5 и 3,2;
г)

—9,6 и 0;
- 4 ,5 и 8;

д) - 5 и —1,2; ж) —7 и —2;
е) - 3 и 0,75; з) - 4 и 4?

43.12. а) Расположите числа в порядке возрастания: —3;
2,1;

3 -|;

0,6;

—1-1 —2,99;

—з |- ;

0,01;

0,6.

б)

Распо-

ложите числа в порядке убывания: 0,8; —2; —4,2; 3,02; 2;
-2 ,0 2 ; 0; 1,9; - 1 ,9 .
Город
Высота
43.13. В таблице указана высота
(м)
над уровнем моря некоторых горо­
150
Москва
дов.
Санкт-Петербург
5
Запишите эти города в порядке
Астрахань
-2
5
возрастания их высоты над уровнем
1100
Ереван
моря, а затем в порядке убывания
Иркутск
450
этой высоты.
123

43.14. (У) Клоун заявил, что если |а |= |6 |, то | а + 11= _j_1 1
Публика смеялась: все знали, что это не всегда верно.
а) Укажите две пары таких чисел а и b, что |а |= |6 |, но

\а+\\Ф\ь+\\.
б) * Что вообще можно сказать о парах чисел а и b с таким
свойством, что |а|=|& | и |a+l|=jfc|&+l|?
Урок 44
КАК Р А З Н Ы Е З А Д А Ч И П РЕ В Р А Щ А Ю Т С Я
В О Д Н У З А Д А Ч У ПРО Ч И С Л А

п
В объяснительном тексте урока 38 мы обсудили две задачи:
о про портовый кран и про гимнаста. (Прочитайте-ка их еще
раз!) Мы выяснили там, что они имеют одну и ту же схему.
Чтобы разобраться в этой схеме, мы рассказали про точку, ко­
торая перемещается в двух противоположных направлениях.
Теперь вы уже знакомы с координатной прямой и отрицательными
числами, и эту схему можно пересказать легче. А именно: обе
задачи из урока 38 превращаются в одну и ту же задачу про
числа. Вот такую:
З а д а ч а . К числу 300 прибавили: а) число —200; б) число
—400. Сколько получится?
Q
о

Вспомните ответы в задачах 1 и 2 из урока 38 и догадайтесь, как ответить на заданный вопрос.
Легко догадаться, что ответ будет такой: в варианте а) 100;
в варианте б) —100.
Видите, решение о д н о й задачи про числа может дать реше­
ние сразу н е с к о л ь к и х конкретных задач. Тем и хороша
математика, что одна и та же задача про числа может приго­
диться для решения разных конкретных задач. Поэтому надо
учиться видеть в каждой конкретной задаче математическую
задачу. Тогда, разобравшись с одной конкретной задачей, вы
легко сможете решить и другие.

124

f

B задаче, которая сформулирована выше, нужно найти сумму
двух чисел: в варианте а) 3 0 0 + (—200); в варианте б) 300+
+ (—400). Видите, одно из слагаемых — отрицательное число.
А как находить сумму, если среди слагаемых окажутся
отрицательные числа?

Потерпите до следующего параграфа, где мы ответим на этот
вопрос и вообще научим вас выполнять действия над рациональ­
ными числами.
Задания
^
о

и

1

i

1
•rV -< '

щр

J

И

щ
5

\p il|lir

-•
Ж W
*,*
.Л

АК

6

44.1. (У) а) Алеша, Боря и Вася живут в одном доме, в одном
подъезде на разных этажах: Алеша на 5-м, Боря на 8-м. Алеша
пошел к Боре поиграть в шахматы. Борины родители сказали
ему, что Боря ушел к Васе. Алеша помнил, что Борин этаж
от его и от Васиного этажа удален одинаково. До какого этажа
нужно дойти Алеше?
б) Киномеханик приступил к работе в 5 ч вечера. В 8 ч ве­
чера, начав последний сеанс, он заметил, что до конца его ра­
бочей смены осталось столько же, сколько он
уже проработал. До какого времени будет ра­
ботать киномеханик?
в) Перечитайте условия задач а) и б).
т
1
Перескажите каждую из них как задачу про
числа. Можно ли утверждать, что получилась
одна и та же задача?
44.2. (У) а) Счет этажам в шахте ведется
сверху вниз, этажи в шахте называют горизон­
тами. Лифт в шахте с 4-го горизонта опустил­
ся еще на 2 горизонта, а затем поднялся на
W А
3 горизонта. Выше или ниже относительно
первоначального положения оказался лифт
и на сколько горизонтов?
б) Вчера в полдень термометр показывал
Щ 7
ШЩ7
—4°. К вечеру температура еще понизилась
'• У v ' V '
на 2°, а сегодня к полудню она повысилась
на 3°. Повысилась или понизилась полуденная
WPP
температура за сутки и на сколько градусов?
в) Задачи а) и б) можно превратить вот
в какую задачу: Точка А на вертикальной коор­
К
динатной прямой обозначает число —4. Сначала
она переместилась вниз на 2 единицы, а затем
- Т V*
вверх на 3 единицы. Выше или ниже отно­
сительно первоначального положения оказа­
ТОПП7
ШЦШ7
лась точка А и на сколько? Решите эту за­
дачу.
125

г) Перескажите и решите ту же задачу, что и в пункте в),
для случая, когда точка на горизонтальной прямой.
44.3. а) Для приготовления компота из персиков берут са­
хар, персики и воду в пропорции 1:1:3. Сколько граммов каж­
дого продукта надо взять, чтобы сварить 1 кг компота?
б) Для приготовления защитной смеси от жуков-вредителей
берут смолу, нафталин и керосин в пропорции 1:1:3 Какую
массу каждого вещества надо взять, чтобы приготовить 1 кг
смеси?
в) Перескажите условия задач а) и б) как задачу про числа.
Можно ли утверждать, что получилась одна и та же задача?
44.4. а) Школьники собрали за лето 34,2 кг липового цвета
и ромашки. Ромашки собрали на 7,8 кг больше, чем липового
цвета. Сколько килограммов ромашки и сколько килограммов
липового цвета собрали школьники?
б) Перескажите эту задачу как задачу про числа. Придумайте
еще какую-нибудь задачу, которая превратилась бы в ту же за­
дачу про числа.
Урок 45
УЧИМСЯ РАССУЖДАТЬ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ.
КАКИЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МОГУТ
СКРЫВАТЬСЯ ЗА ЗАДАЧАМИ ПРО ЧИСЛА

Зачем нужно уметь решать математические задачи? Ответ
очень прост: многие практические задачи, если над ними поду­
мать, превращаются в задачи математические, например в задачи
про числа.
А если задача про числа появилась просто так,
не из практики, то ее незачем решать?
Это интересный вопрос. А ответить на него можно так. Зада­
чи просто про числа стоит решать уже потому, что они дают хо­
рошую тренировку. Потренируешься хорошенько в их решении
и с практическими задачами легче справишься! Но дело не только
в этом. Очень часто бывает так: задача про числа, а за ней
скрываются всякие практические задачи.
Вспомните-ка, например, задачу из урока 36: сколько всего
двузначных натуральных чисел? Как может возникнуть эта за­
дача на практике? Мы обсудим два примера.
З а д а ч а 1. Построили 100-квартирный дом. На дверях его
квартир нужно прибить номера цифрами, изготовленными из
126

металла. Средняя масса одной цифры 25 г. Сможет ли один
рабочий принести со склада (в мешке или коробке) все нуж­
ные цифры?
Давайте рассуждать. Чтобы решить задачу, надо узнать
массу всех цифр. А для этого надо подсчитать, сколько всего
цифр потребуется на номера квартир. Девять номеров — одно­
значные числа от 1 до 9, на них потребуется девять цифр. Один
номер трехзначный— 100, еще три цифры. Остальные номера
двузначные. Сколько же их? Вот и появилась наша старая
задача про числа! Вы помните, что двузначных чисел 90. Значит,
цифр на них уйдет 2-90, т. е. 180. А всего цифр потребуется
п 9 + 1 8 0 + 3 , т. е. 192. Средняя масса одной цифры дана в условии,
о

^

Вычислите массу всех цифр и дайте ответ на вопрос задачи.

------------------Перечитайте вопрос б) задачи 24.2. Там имелось в виду, что
Смекалкин записывает без остановки числа от 1 до 40 и никакие
другие знаки при этом не пишет. Но в жизни часто приходится
писать и какие-нибудь дополнительные знаки, например запятые.
Тогда получаются задачи потруднее. Вот одна из таких задач.
З а д а ч а 2. Машинистке нужно напечатать на пишущей
машинке ряд чисел от 1 до 100. После каждого числа ставится
127

знак препинания: запятая для чисел от 1 до 99, точка для числа
100. После запятой пробел (т. е. пропуск знака) или переход
в следующую строку. Машинистка печатает со скоростью 2 удара
в секунду. За один удар получается либо цифра, либо знак пре­
пинания, либо пробел, либо переход в другую строку. Успеет ли
машинистка напечатать нужный ряд чисел за 3 мин?
Давайте рассуждать. Ясно, что надо подсчитать число ударов,
необходимых для выполнения работы. Тогда, разделив получен­
ное число ударов на 2, мы узнаем время (в с), за которое маши­
нистка выполнит работу.
Сколько ударов уйдет на зна­
ки препинания?

Ясно, что 100 ударов.

Сколько ударов уйдет
пробелы и переносы?

на

Ясно, что 99 ударов. Ведь меж­
ду числами от 1 до 100 есть
99 промежутков.
3

Сколько ударов уйдет
цифры для всех чисел?

на

9 ударов на однозначные чис­
ла, 3 удара на число 100. Чтобы
узнать число ударов на дву­
значные числа, надо 2 умно­
жить на число двузначных
чисел.

Вот мы и опять встретились с нашей старой задачей про
числа! Число ударов, которое потребуется на цифры, равно 192
(мы уже подсчитывали его при решении задачи 1). Теперь под­
считаем общее число ударов: 100+99+192=391.
За сколько секунд напечатает машинистка нужный ряд
чисел? Каков ответ в задаче?
Задания
Для каждой из задач 45.1—45.6 придумайте какую-нибудь
практическую задачу, которая за ней скрывается.
45 . 1. Одно число равно 47, а другое на 24 больше. Какова
сумма этих двух чисел?
45.2. Одно число равно 36, а другое в 3 раза больше. Какова
разность этих чисел?
45 . 3 . Во сколько раз число 234 больше суммы чисел 36 и 42?

45.4. Сумма трех чисел равна 378. Первое из них в 2
раза
больше второго, но в 3 раза меньше третьего. Найдите
эти
числа.
45.5. Сумма трех чисел 125. Сумма первого и второго равна
93, сумма второго и третьего равна 76. Найдите эти числа
45.6. Разделите число 240 на части в пропорции 3:4:5
45.7. Перечитайте задачу 1 из объяснительного текста. Р а­
бочий за один раз может нести груз до 20 кг. Каков будет ответ
в задаче, если условие изменить так: в доме: а) 200 квартирб) 400 квартир?
45.8. Перечитайте задачу 2 из объяснительного текста. Из­
меним условие так: машинистке нужно напечатать ряд чисел:
а) от 1 до 200; б) от 1 до 300. За какое время она выполнит
эту работу?
Урок 46
ЗАДАНИЯ НА ПОВТОРЕНИЕ К § 4

р
46.1. (У) На рисунке 41, а изображена шкала прибора,
о Стрелка показывает на ней число —2. Прочитайте показания
прибора на рисунке 41, б, в, г, д.

а)

б)

б)

г)

д)

Рис. 41

46.2. Отметьте на координатной прямой точки А {— 1), В ( 3),
С (—2,5), Z)(2,5). Каково расстояние от каждой из этих точек
до начала координат?
46.3. В новогоднюю ночь температура воздуха была: в Архан­
гельске —25°, в Ашхабаде + 6°, в Душанбе + 9°, в Киеве —10°,
в Красноярске —44°, в С.-Петербурге —17°, в Магадане —20°,
в Москве —20°, в Ростове —5°, в Екатеринбурге —18°, в Таш­
кенте —
|—
4°, в Тбилиси —3°, в Хабаровске —29°, в Чите —32°,
в Якутске —45°. Постройте по этим данным столбчатую диаграм­
му. (Совет: выберите масштаб 1° в 1 мм и догадайтесь, какие
столбцы надо чертить вверх, а какие — вниз.)
46.4. При измерении высот и глубин за 0 принимают уровень
Мирового океана. Высоты при этом записываются положи5— 1729

129

тельными числами, а глубины — отрицательными. Рассмотрите
рисунок 42 и запишите с точностью до 1 км указанные на нем
высоты и глубины положительными и отрицательными числами.
46.5. Расположите числа

—3,2;

1;

—у ;

7,4; 0,

—1,5;

а) в порядке убывания; б) в порядке убывания их модулей.
46.6. (У) Младший брат Смекалкина, увидев запись —х,
сказал, что здесь записано отрицательное число. Смекалкин
объяснил брату, что так утверждать нельзя. Какое число —х,
зависит от того, каким числом является х. Каким числом будет
—х, если: a) х > 0 ; б) *< 0; в) х= 0?
46.7. (У) Пусть известно, что |а |< 3 . Такое неравенство
может выполняться и при положительных значениях буквы а,
и при отрицательных. Например, при а= — 1 и при а = 2 (про­
верьте!).
Для каждого из следующих неравенств назовите одно поло­
жительное значение буквы и одно отрицательное, при которых
неравенство будет верным: а) |а| 2 ; в) |£>| 0 .
46.8. (У) Смекалкин задал младшему брату вопрос: «Может
ли быть так, что число меньше трех, а его модуль больше трех?»
Младший брат ответил: «Нет, не может! Что за странный вопрос!

Разве неверно, что если число меньше трех, то и его модуль
меньше трех? Вот, например, 2 < 3 и |2| 4 + ( - 7^ ) ;

Д) ( - 0 , 8 ) + (- 3 ,2 ) ;
е) ( - 6 , 9 ) + ( - 6 ,9 ) ;

л) ( - 2 ,5 ) + 0 ,9 ;
м) ( - 2 ,5 ) + 4 ,9 ;

с) 4,1 + ( — 3,2);
т) 5 ,3 + ( — 6,9).

47.7. (У ) Вычислите;
а) ( - 2 2 ) + 3 5 ;
б) ( — 3,7)+ 2,8;

в) 1 ,5 + ( - 6 ,3 ) ;
г) 8 ,2 + ( — 8,2).

47.8. Сравните значения выражений:
а) 3,87+ (— 2,63) и 5 ,2 9 + (- 3 ,5 9 );
б) ( — 7,35)+4,54 и ( — 4,68)+3,46;

г) (-5 ,б 8 )+ 3 ,9 5 и 2,63-1- (—5,3).
47.9. Смекалкин предложил младшему брату придумать два
числа, сумма которых меньше каждого из них. «Разве так быва­
ет?» — удивился брат. Смекалкин объяснил, что, конечно, бы­
вает. а) Придумайте два таких числа, б)* Может ли одно из
них быть положительным? Ответ объясните, в)* Что можно ска­
зать о знаках чисел, сумма которых больше каждого слагаемого?
47.10. (У) Найдите число, противоположное числу: а) 3,7;
б) -2 ,6 ; в) - 7 - Ь г) 8-Ь д) -1 6 ,0 2 .
Урок 48
ВЫЧИТАНИЕ

Смекалкин предложил младшему брату вычесть из числа 2
число 5. Тот воскликнул: «Но ведь нет такого числа, которое
было бы разностью 2—5!» Смекалкин объяснил, что такого
числа нет среди п о л о ж и т е л ь н ы х чисел. А среди о т р и ­
ц а т е л ь н ы х его найти очень легко: это —3. Почему? Как
в этом убедиться?
Давайте разберемся. Что такое разность чисел с и а? Это
такое число Ь, что выполнено равенство а-\-Ь=с. В примере
Смекалкина с= 2, а = 5, и Смекалкин утверждает, что тогда
Ь = — 3. Проверим: а+ Ь = 5+ (—3 )= 2 = с . Все в порядке!
Итак, 2—5 = —3.
Проверьте, что 1—10 = —9. Найдите разность 3—11.
Теперь, зная отрицательные числа, вы можете находить раз­
ность л ю б ы х чисел. Как это делать? Оказывается, вычитание
можно заменить прибавлением числа, противоположного вычи­
таемому. Так, в примере Смекалкина, чтобы вычесть из числа 2
число 5, можно, наоборот, п р и б а в и т ь к 2 число, противо­
положное 5, т. е. —5. Посмотрите-ка:
2 + (—5) = — (5—2) = —3.
А ведь раньше было проверено, что —3 равно разности 2 и 5.
Значит, 2—5 = 2 + ( —5). Точно так же 1—10=1 + (—10) =
= — (10—1) = —9. И вообще:
137

Чтобы вычесть из одного числа другое, надо к уменьшаемому
прибавить число, противоположное вычитаемому.
То же самое можно записать такой формулой:
с—а = с + (—а)
Этой формулой пользуются, чтобы находить разность любых
чисел. Вот примеры:
6— (—9) = 6 + 9 = 15;
(-7 ) - (-3 ) = ( -7 ) + 3 = - (7 -3 ) = - 4 ;
(—9) —1,5= (—9) + ( —1,5) = — (9+ 1,5) = —10,5.
Итак, сделаем важный вывод, главный в этом уроке:
Для любых двух чисел можно найти число,
которое будет их разностью.
А если одно из чисел — это нуль?
Формула для разности дает ответ в любом случае. Посмотри­
те: при с = 0 получается равенство 0—а = 0 + ( —а ) = —а,
при
а=0
получается
равенство с—0 = с + ( —0) = с + 0 = с .
В этом равенстве вместо с можно писать и букву а. Значит,
верны формулы
0—а = — а; а —0 = а
Вопросы и задания

48.1. Какой главный вывод был сделан в уроке? Как вычи­
тание заменяют сложением?
48.2. Чему равна разность чисел 0 и а; а и 0?
48.3. Замените вычитание сложением:
а) 1 8 -6 ; б) 37— (—7); в) (—17)—9; г) ( - 6 ) — ( — 13).
48.4. Вычислите:
а) 15-18;
е) 4,5— (—3,7);
б) 3 ,8 -6 ,4 ;
ж) ( - 8 ,6 ) — ( - 9 ,5 ) ;
в) ( - 7 ,2 ) - 2 ,8 ;
з) ( —3) —3;

г> ( -

4) - +

л) 9 , 9 3 - ( —4,6);
м) ( - 5 , 3 ) —5,3;
н) 0—5;

д) 12—( — 17);
К ) (—7) — (—7);
п) 0 - 0 .
Выполненное вычитание в примерах г) и е) проверьте сло­
жением, а в примерах и) и л ) — вычитанием.

48.5. (У) Вычислите:
а) 2 2 -2 7 ;
в) 19—(—2);
б) ( —13) —8;
г) (—27) —(—34);
а)
б)
в)
г)
д)

48.6. Решите уравнение:
* + 3 ,7 = —2,6;
е)
* + ( —1,7) =4,5;
ж)
( - 1 ,3 ) + * = - 0 , 4 ;
з)
*—4 ,5 = —6,2;
и)
*— (—1,7) =3,5;

д) (—34) —(—27);
е) 0 - 7 .

( - 2 ,6 ) - * = 4 ;
(—*) + 0 ,6 = —3,7;
( - * ) - ( - 1,7)=2,9;
(—0,4)—(—* )= —1,2.

48.7. (У) Смекалкин предложил младшему брату придумать
такие два числа, чтобы их разность была больше уменьшаемого.
«Разве так бывает?» — удивился брат. Смекалкин объяснил, что,
конечно, бывает, а) Придумайте два таких числа, б)* Может
ли при этом вычитаемое быть положительным? Ответ объясните,
в)* Что можно сказать о знаке вычитаемого, если разность
меньше уменьшаемого?
48.8. Человек за минуту делает в среднем 15 вдохов, по­
глощая за каждый вдох 0,55 л воздуха. Какой объем воздуха он
вдыхает за 1 ч; за 1 сутки? Какой объем воздуха вдыхает ваш
класс за 1 урок? Выразите его в кубических метрах и сравните
с объемом вашей классной комнаты.
48.9. Расстояние от Аниного дома до Катиного 1260 м.
Однажды Аня и Катя одновременно вышли навстречу друг другу
и встретились через 14 мин. Какова скорость Ани, если Катя
шла со скоростью 43-|- м/мин?
Урок 49
СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

Вспомним прежде всего свойство, которое мы сформули­
ровали в конце урока 47 (посмотрите его формулировку). З а ­
пишем это свойство сложения формулами:
а + ( —а )= 0 ; (—а ) + а = 0
А переместительный и сочетательный законы сложения
верны для рациональных чисел?
Разумный вопрос. Вы давно знаете, что они верны для сло­
жения натуральных чисел, а в уроке 19 мы обсудили их для
139

дробей. Оказывается, они остаются верными и для сложения
любых рациональных чисел. Кроме того, выполняется следующее
важное свойство сложения: число, противоположное сумме двух
чисел, равно сумме чисел, противоположных слагаемым. Вот
запись этого утверждения формулой:
-(а+ Ь) = (-а ) + (-Ь)
▲ То, что равенство a-\-b= b-\-a выполняется для любых чисел
а и Ь, можно объяснить, если разобрать все возможные случаи.
Их четыре. 1) а и b положительны-, 2) а и b отрицательны;
3) а и b разных знаков; 4) среди чисел а и b есть нуль. Первый
случай был разобран в уроке 19. В остальных трех случаях
требуемое равенство легко проверить, если воспользоваться
правилами и формулами, найденными в этом уроке.
Q
о

Проверьте
случаях.

равенство

a-\-b= b-\-a

в

остальных

трех

То, что равенство (а-\-Ь)-\-с=а-{-(Ь-\-с) выполняется для
любых чисел а, b и с, можно объяснить (лучше всего с помощью
координатной прямой), тоже разбирая возможные случаи. Только
повозиться тут придется побольше, чем при проверке перемес­
тительного закона. Мы надеемся, что у тех, кто особенно любит
заниматься математикой, хватит настойчивости, чтобы разо­
браться в этих случаях.
То, что выполняется равенство — ( а + 6 ) = ( —а) + ( —Ь),
проверить нетрудно, если вспомнить свойство, которое было
сформулировано в самом конце урока 47 (посмотрите его фор­
мулировку). Если мы убедимся, что (a-J-6) -f- ( ( —a) -f- ( —b) ) = 0 ,
то это и будет означать, что числа а+ b и (—а)
противоQ положны. А убедиться в этом можно как раз воспользовавшись
о сочетательным и переместительным законами (убедитесь!). А
Обсудим теперь свойства вычитания. Давайте вспомним
свойства, о которых мы говорили в пятом классе. Вот как они
записываются формулами:

140

(а—Ь) — с = а — (6 + с)

а— (Ь— с) = ( а —fc)+c

( a + f t ) —c = a + ( f t —с)

(a+fc) — с— (а— с) + 6

То, что все они верны для любых рациональных чисел, можно
объяснить, заменяя вычитаемые противоположными слагаемыми
(и наоборот, если потребуется) и применяя свойства сложения,
обсужденные выше в этом уроке. Например, первая формула
получается такой цепочкой равенств:
( а - Ь ) - с = { а + { - Ь ) ) + ( - с ) = а + ( ( - £ ) + (-Н1М-4);

м) ( - * f ) - i f
н> ( -

7п

К

-

50.8. Замените сложение одинаковых слагаемых умножением
и вычислите значение выражения:
а) a + a + a + a + b + b + b
при а = —1,3 и 6=2,1;
б) х-\-у-\-хА~у-{-х-\-у-\-х-\-у-\-х при дг=3,5 и у = —4,1.
50.9. В холодильной установке первоначальная температура
камеры 0°. Через 1 ч она стала —2° и продолжает понижаться
с той же скоростью. Какой будет температура через 2 ч; 5 ч; 0 ч?
50.10. Найдите значение выражения:
а) (2,3—3,2) • (5,4—4,5);
б) ( 10-5-1— 8.5). ( - 4 4 + 5 J L ) ;

в) ( - 2 ,7 ) . ( ( - 2 , 3 )+ 0 ,8 - ( - 2 ,3 ) ) .
50.11. (У) Клоун заявил, что если а < 6 , то а2 М
‘т ) :
а) ( -8 6 ,1 ) :2,46; д) 0,75: (— 1,5);
(—7,2): 0,036;

б) ( -4 1 ,5 8 ) :5,4;

е)

в) ( -4 9 ,4 4 ) :4,8;

ж) ( - 8 5 ,2 ) : ( - 1 ,2 ) ;

■о ( - 4 №

м> ( ~ 5f s ) :2l
г) 8,01: ( - 9 ) ;
з)
Выполненное деление в примерах е), и) проверьте умножением,
а в примерах а), л) — делением.

(-4К -'1);

51.7. Найдите значение выражения:
) ( — 1,9) -42:3,8;

«) (- 4 № £ :
( —2т ) :1т
г) ((-0 ,5 ): 1,25+1,4: (—3.5)—(—0,3) )*2,2;
д) ( ( —2,75)—0,15—1,32): ((-1,75)4-2,5+0,05);
е)

( ( —3,1)+(1,6)2):( (—2,1)—(—1,2));

ж) ((—0,2)3+ ( —1)3):(—0,03).
51.8. Найдите значение
х = 3 ; —1; 0,3; 1,3; —1,5; 2;

выражения

(х2+ 1 ,1 ) : (х— 1)

при

—;
ч ’ —;
л ’ о.

51.9. Решите уравнение:
а)
б)
в)
г)
д)

х.2,1 = —15,33;
у :3 ,9 = —6,08;
2*3,7— (—2,9) = —6,72;
х:2,4+ 3 ,7 = 2,3;
(—0,37) -у= 11,1;

е) (—1,1) -2= —3,74;

ж)
з)
и)
к)
л)

х: 1 6 ,7 = —0,02;
у. ( —1,72) =0,21;

23,1:2= - 0 ,0 3 3 ;
(—0,312) :х = —2,6;
(—у ) :5 ,7 = 14,2;

3f : ( - Z) = 3i.

51.10. Найдите число, обратное числу —2; —у ;

-0,5; - 2 + .

51.11. (У) Младший брат Смекалкина догадался, что число 1
обратно самому себе, и загадал Смекалкину загадку: «Отгадай
число, которое обратно самому себе». Смекалкин объяснил, что
среди положительных чисел отгадка только одна — число 1.
Но число, обратное самому себе, есть и среди отрицательных
чисел. Что это за число?
51.12. Родители купили Игорю новый аквариум. Его длина
80 см, ширина 52 см и высота 27 см. а) Сколько литров воды

148

вмещает этот аквариум? б) В старом аквариуме, длина которого
60 см, а ширина 58 см, вода налита до высоты 25 см. Д о какой
высоты будет заполнен новый аквариум, если в него перелить
всю воду из старого?
51.13. (У) (Старинная задача. X V II в.) Юноша некий пошел
с Москвы к Вологде и идет на всякий день по 40 верст. А другой
пошел после его на следующий день, а на всякий день идет
по 45 верст. Во сколько дней тот юноша догонит прежнего
юношу, сочти.
Урок 52
СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Для умножения рациональных чисел остаются верными пере­
местительный и сочетательный законы, а также оба распредели­
тельных закона (относительно и сложения, и вычитания).
Запиш ит е все эти законы формулами.

А То, что равенство a * b = b -a выполняется для любых чисел
а и Ь, можно объяснить, если разобрать все возможные случаи.
Их четыре: 1) а и b положительны; 2) а и b отрицательны;
3) а и b разных знаков; 4) среди чисел а и b есть нуль. Первый
случай был разобран в уроке 20. В остальных трех случаях тре­
буемое равенство легко проверить, если воспользоваться пра­
вилами и формулами, найденными в уроке 50.
Проверьте равенство a -b = b -a в остальных трех случаях.
Чтобы убедиться в выполнении сочетательного закона для
любых чисел а, b и с, снова потребуется разобрать все возмож­
ные случаи. Их пять: 1) все три числа положительны; 2) два
числа положительны, одно отрицательно; 3) одно число поло­
жительно, два отрицательны; 4) все три числа отрицательны;
5) хотя бы одно из чисел а, Ь и с равно 0.
Проверьте,

что

(а ‘Ь )'С = а-(Ь ’с),

разобрав все случаи.

Проверка распределительных законов немного труднее. Она
потребует, конечно, применения правил и формул не только из
урока 50, но и из уроков 47 и 48, а также подходящих зако­
нов действий над положительными числами. Мы надеемся, что
большие любители математики справятся с такой проверкой. А

149

Выясним теперь, как ведут себя при умножении и делении
особенные числа 1, —1 и 0.
Свойства нуля при умножении и делении были отмечены
в уроках 50 и 51 (вспомните эти свойства!). Свойства числа 1
вы повторите, выполняя задание 52.3. А сейчас давайте раз­
беремся с числом —1. Нужно выяснить, чему будет равен резуль­
тат, если среди компонентов умножения или деления есть — 1.
Для этого рассмотрим примеры и применим сформулированные
выше правила умножения и деления:
5 - (—1) = — (5-1) = —5; 5 : ( — 1) = — (5:1) = —5;
(_ 1 ):5 = _ (1 :5 ) = - ± .
И вообще, верны такие утверждения:
один из множителей
равен — 1, то результат равен
делитель
другому множителю
делимое
числу, противоположному
делимому
противоположно
числу,
которое
равно — 1, то частное
обратно
обратно
делителю.
противоположно
Если

Вот формулы для этих утверждений:
а - ( — 1) = — а; ( — 1) - а = — а

а : ( — 1) = - а

( — 1 ) :а = — (1 :а) = 1: (—а), а ф 0
Еще одно утверждение, в котором участвует —I, вы сформулируете, выполнив задание 52.4.

Полезно помнить и такие формулы:
а- ( —Ь) = ( —а) • b = — a- Ь

А Их легко объяснить, применяя свойства —1 при умножении
и сочетательный закон. Д ля этого напишем цепочку равенств,
в которой участвуют все три интересующих нас выражения:
a .{-b)= a> { (-\) - b ) = ( a - ( - \ ) ) - b = ( - a ) - b =
= ( ( - 1 ) * а Н = ( - 1 ) .( а .& ) = - а - & . А
Задания
52.1. Упростите выражение и найдите его значение:
а) (—2 ,7 )-а + 3 ,6 -а —(—4,9)-а при а = 1 ,2 ; —3,6; 0,5; —0,1;
б) 6 ,2 .& -М -3 ,7 ).6 -(-5 ,9 )* 6 при Ь= — 1; 0,7; - 2 ,1 ; -3 ,7 .
52.2.
а)
б)
в)
г)

Решите уравнение:

(—3,1)-лг-|-2,6 *л:—0,7- х = —2,7;
2,3 •*/—(—7,2) •#-}-(— 1.5)*jf=—2,4;
(—4 ,6 )-z+ 5 ,2 -z + (—0,8)-z = 5,7;
3,7 -т — 8,4* т —(—2,2)*т = 6,3.

52.3. Вам хорошо известны свойства числа 1, записанные
следующими формулами:
а- 1= а

1 •а = а

а: 1= а

а :а = 1

Эти свойства сохраняются и когда а — отрицательное число.
Сформулируйте утверждения, записанные этими формулами.
Пользуясь правилами умножения и деления рациональных чисел,
объясните каждое из них.
52.4. Вычислите значение выражения ( —а ) : а при а = 3; —2;
0,6; —0,4; -J-; —2 у . Какое правило можно сформулировать?
Запишите его формулой.
52.5. (У) Рассмотрите ряд равенств:
( - ! ) ' = — 1; ( — 1)2=1; ( — 1)3= — 1; (— D 4= l ; ( — 1)5= — 1: - ■

Какое общее правило можно сформулировать? Вычислите:
( ___2 ^ 99

( ___| \ 1997

^

J ^ 1998

^ ___j j 2000

Урок 53
«СЛОЖЕНЧЕСКО-УМНОЖЕНЧЕСКИЙ» СЛОВАРЬ

Изучая действия над числами, вы не раз обнаруживали похо­
жие свойства сложения и умножения. Например, для каждого
из этих действий выполняются переместительный и сочетатель­
ный законы. Д ля каждого из них есть обратное действие: для
151

сложения — вычитание, для умножения — деление. Можно догадаться, что и совместные свойства вычитания со сложением
и деления с умножением похожи.
Вспомним формулы, выражающие совместные свойства вы­
читания и сложения (последний раз вы повторяли их в уроке 49):
(а—Ь)— с = а — ( 6 + с ),

{а+Ь)— с = а + {Ь—с),
а— {Ь—с) = {а— Ь) -f-c,
( а - Н ) —с = ( а — с)+ Ь .
Глядя на них, запишем похожие формулы для деления и умно­
жения: везде вместо знака «плюс» будем писать знак умноже­
ния, а вместо знака «минус» — знак деления. Получатся формулы:
( a :b ) :c = a : (b - c ) ,
(а-Ь) :с= а- {Ь:с),

а: {Ь:с) = (а :Ь )-с,
( а - Ь) :с = (а:с) • Ь.

А Можно представить себе, что мы как бы переводили формулы
с «языка сложения» на «язык умножения». А возможен и обрат­
ный перевод — с языка умножения на язык сложения. Занимаясь
такими переводами, надо применять правило: если в языке
сложения
вычитание
умножения
.................... встретилось ...................., то в языке ..................... слеумножения
деление
сложения
дует заменить его

вычитанием

А как перевести с языка сложения на язык умножения фор­
мулу а-\-0=а? Наверное, и нуль надо чем-то заменить?
Конечно. Нетрудно догадаться, что при таком переводе нуль
следует заменить единицей. Получится известная всем формула
а - \= а . Вот еще пример: если формулу а :а = 1 перевести на
язык сложения, то получится формула а— а = 0.
Интересно! Наверное, можно составить такой словарь для
перевода с языка сложения на язык умножения? «Сложенческо-умноженческий»!
Неплохая идея. И слово придумано подходящее — «сложенческо-умноженческий». Давайте составим такой словарь. Офор­
мим его в виде таблицы из двух столбцов: в левом будем писать
слова, знаки и буквенные выражения, относящиеся к сложению,
в правом столбце — их переводы на язык умножения.
152

Язык сложения

Язык умножения

Сложение
Сумма
а-\-Ь
Вычитание
Разность
а—Ь
Нуль
0
Противоположное число

Умножение
Произведение
а-Ь
Деление
Частное
а:Ь
Единица
1
Обратное число
1
а
Степень
а2
а3

—а
Кратное
а -2
а-3

Наш «сложенческо-умноженческий» словарь немного похож
на словарь для перевода с одного языка на другой. Например,
с английского на русский — вы знаете, что такой словарь назы­
вают англо-русским. Словарь для перевода с русского языка
на английский называют русско-английским. Если в составлен­
ном нами словаре переставить столбцы, то получится «умноженческо-сложенческий» словарь; но переставлять столбцы, конечно,
незачем — можно просто в нашем словаре от записи в правом
столбце переходить к записи в левом столбце.
Запишем, пользуясь словарем, несколько пар формул:
Язык сложения

Язык умножения

a+ b= b+ a
(а+ * )+ с= а+ (Ь + с)
а+0=а
а —0 = а
а—а = 0

а-Ь=Ь-а
(а-Ь)'С=а-{Ь’с)
а- 1= а
а: 1=а
а:а= 1

0—а = —а

1: а = —
а
а‘й=а2
а -а -а = а 3

а+ а = а -2
а+а+ а= а*3

Попытайтесь продолжить этот список. А
153

З адания

53.1. (У) Объясните следующие приемы умножения: а) Что­
бы умножить заданное число на 5, можно умножить его на 10
и результат разделить на 2. б) Чтобы умножить заданное число
на 25, можно умножить его на 100 и результат разделить на 4.
в) Пользуясь этими приемами, вычислите: 18*5; 45*5; 222-5;
2468-5; 325,6-5; 36-25; 168-25; 142-25; 246,8-25.
53.2. (У) Объясните следующие приемы деления: а) Чтобы
разделить заданное число на 5, можно умножить его на 2 и
результат разделить на 10. б) Чтобы разделить заданное число
на 25, можно умножить его на 4 и результат разделить на 100.
в) Пользуясь этими приемами, вычислите: 315:5; 23,5:5; 74:5;
225:25; 425:25; 65:25.
▲ 53.3. Пользуясь «сложенческо-умноженческим» словарем,
переведите следующие формулы:
а) с языка сложения на язык умножения:
b -\-b '2 = b '3 \ а - 2 —а = а ;
б) с языка умножения на язык сложения:
Ь3:Ь=Ь2; с*:с2= с 2.
53.4. Напишите на листке бумаги два буквенных выражения:
первое на языке сложения, второе на языке умножения. Пере­
дайте листок соседу по парте, и пусть он переведет первое
выражение на язык умножения, а второе — на язык сложения.
Проверьте, правильно ли он выполнил задание. А

Урок 54
УЧИМСЯ РАССУЖДАТЬ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ.
КАК ПЛАНИРОВАТЬ СВОИ ДЕЙСТВИЯ

З а д а ч а 1. В воскресенье Коля запланировал сходить в
музей. Расстояние от дома до музея 1 км. Коля знает, что туда
он пойдет со скоростью 4 км/ч, а обратно, усталый,— со ско­
ростью 3 км/ч. В музее он планирует пробыть 2 ч, а вернуться
хочет к 14 ч, чтобы успеть посмотреть мультфильм по телеви­
зору. Когда самое позднее Коля должен выйти из дому?
Давайте рассуждать.

Сколько времени уйдет у Коли

Делим расстояние на скорость:

на дорогу до музея?

■ : 4 = | (ч).

Сколько времени уйдет на об­ Действуем так же: 1 :
ратную дорогу?

(ч).

3 = у

Сколько времени уйдет на до­
рогу туда и обратно?

Складываем: —
4 1

Сколько времени уйдет на весь
поход в музей?

В музее Коля по плану будет
2 ч, значит, всего времени

3

12

(ч).

w

уйдет 2 + ^ , т. е. 2 ^ (ч).
Выразив 2 - ^ ч в минутах, получаем 2 ч 35 мин (проверьте!).
Чтобы вернуться к 14 ч, Коля должен выйти из дому не позже
... (закончите предложение!).
З а д а ч а 2. Москвич Петров отправился в санаторий.
Самолет, на который он взял билет, вылетает в 21 ч 20 мин из
аэропорта Домодедово. Регистрация пассажиров в аэропорту
начинается за 1,5 ч и заканчивается за 40 мин до вылета.
Д о аэропорта Петров будет ехать 1 ч электричкой от Павелец­
кого вокзала. В вечернее время электрички в аэропорт отправ­
ляются в 18 ч 38 мин, 19 ч 15 мин, 19 ч 41 мин и позднее. От своего
дома до Павелецкого вокзала Петров добирается за 30 мин,
на вокзал надо прибыть за 15 мин до отправления электрички.
Когда самое позднее Петров может выйти из дому?
Давайте рассуждать. Прежде всего надо выяснить, какая
электричка годится Петрову. Если он поедет в 19 ч 41 мин,
то прибудет в аэропорт в 20 ч 41 мин. В этот момент до вылета
останется 39 мин, регистрация закончится, т. е. Петров опоздает.
Значит, надо ехать более ранней электричкой. Годится ли та,
что отправляется в 19 ч 15 мин? Если Петров поедет на ней,
то прибудет в аэропорт в 20 ч 15 мин. В этот момент до вылета
останется 1 ч 5 мин, т. е. регистрация еще не закончится. Элек­
тричка в 19 ч 15 мин годится!
Перечитайте конец условия задачи, дайте ответ на вопрос.
155

Конечно, тем более годится электричка в 18 ч 38 мин. Тогда
у Петрова будет дополнительный запас времени.

Сколько времени будет у Петрова от прибытия этой
электрички в аэропорт до начала регистрации?
Задания
54.1. Коля закончил выполнять домашнее задание в 16 ч
10 мин. Вечером у него тренировка в спортзале. Коля обдумы­
вает, успеет ли он сходить в кино. В кинотеатре «Луч» ближай­
ший сеанс в 17 ч 00 мин, в кинотеатре «Мир» — в 16 ч 30 мин.
Фильм идет 1 ч 25 мин. От дома до каждого кинотеатра идти
10 мин, до спортзала — 15 мин. а) Сможет ли Коля посетить
какой-нибудь кинотеатр, вернуться домой и успеть на трени­
ровку, если она начинается в 18 ч 00 мин? Если да, то какой
кинотеатр? б) Ответьте на те же вопросы при условии, что начало
тренировки в 18 ч 30 мин.
54.2. Врач в санатории рекомендовал Петрову проходить
каждый день пешком 10 км. Петров ходит со скоростью 4,5 км/ч
и до обеда на ходьбу тратит 1,5 ч. Чтобы выполнить дневную
норму, он ходит еще перед ужином до 18 ч 00 мин. а) Когда
самое позднее должен Петров начинать ходьбу перед ужином?
(Совет: результат вычисления разумно округлите.) б) Если он
начнет ходьбу в 16 ч 00 мин, то на сколько процентов он пере­
выполнит свою дневную норму? Ответ округлите до 1%.
54.3. Аня и ее родители любят пить чай. За день Анин папа
выпивает 4 стакана чаю, мама — 3 стакана, Аня — 2 стакана.
Воду для чая предварительно отстаивают в банке. Папа пьет
чай без сахара, мама кладет на стакан 1 чайную ложку сахар­
ного песку, Аня — 2 чайные ложки, а) Объем одного стакана
0,25 л. Вместится ли необходимая на день вода для чая в трех­
литровую банку? А в двухлитровую? б) Одна чайная ложка
вмещает 10 г сахарного песку. Сколько сахара для чая надо
купить, чтобы его хватило на 4 недели? в) Ответьте на вопросы
из а) и б) при измененном условии: к Ане приехала погостить
на 4 недели бабушка, которая выпивает за день 5 стаканов чаю
и кладет в стакан 2 чайные ложки сахарного песку.
54.4. а) Группа туристов из 13 мужчин и 8 женщин отправ­
ляется на неделю в поход в горы. Каждый мужчина за день
съедает 400 г хлеба, женщина — 300 г. Масса одной буханки

хлеба 1 кг. Сколько хлеба должна взять с собой группа? б) Ре­
шите такую же задачу, если в группе 7 мужчин и 4 женщины, но
группа идет на 2 недели.
54.5. Экипаж космического корабля состоит из двух мужчин
и одной женщины. Они будут находиться на орбите 40 дней.
Каждому мужчине на день требуется 1,5 л питьевой воды, жен­
щ ине— 1,4 л. Космонавты возьмут полуторный запас питьевой
воды. Сколько литров питьевой воды возьмут космонавты?
54.6. На ежегодный ремонт одного старого станка завод
тратит в среднем 8 000 000 р. Более совершенный новый станок
работает в 2 раза производительней старого и будет работать
без ремонта 5 лет. Но стоит дорого — 75 000 000 р. Что обойдется
заводу дешевле — ремонтировать два старых станка или заме­
нить их одним новым?
54.7*. Отправляясь на месяц на гастроли, клоун объявил,
что приготовил для себя 100 колпаков. Дело в том, что по ходу
каждого представления 3 колпака должны быть подарены пуб­
лике. На гастролях по понедельникам будет выходной, по вос­
кресеньям будет 3 представления, в остальные дни по одному
представлению. Гастроли начнутся первого числа. Хватит ли
клоуну запасенных колпаков? (Исследуйте зависимость ответа
от того, в каком месяце будут проходить гастроли и какой день
недели будет первого числа.)
-

Урок 55

1

МК Б2

10. 38 -1

>

ИД— I

0 0 0 0 0

00000
00000
00000
00000
ЭЛЕКТРОНИКА

Рис. 47

ЗАДАНИЯ НА ПОВТОРЕНИЕ К § 5

Некоторые из предлагаемых ниже заданий вы
по указанию учителя будете выполнять на мик­
рокалькуляторе. Поэтому мы расскажем сейчас,
как набирают на микрокалькуляторе рациональ­
ные числа. Но прежде нужно вспомнить, какие
числа вы уже умеете набирать на микрокальку­
ляторе. Тому, кто забыл, мы советуем перечитать
в уроке 60 учебника 5-го класса ту часть объяс­
нительного текста, около которой нарисован мик­
рокалькулятор.
Вы знаете, что на микрокалькуляторе можно
набирать положительные десятичные дроби и
число нуль. Отрицательные десятичные дроби
тоже можно набирать (рис. 47). Чтобы набрать
157

на микрокалькуляторе отрицательное число, набирают его модуль,
затем нажимают клавишу

1-1

Она

называетсякла­

вишей изменения знака числа. Если, например, набрать число 10,38
то на индикаторе появится число
/- /
—10,38. Правда, на некоторых микрокалькуляторах оно изобра­
зится непривычным для вас образом: знак «минус» будет стоять
не в начале числа, а в конце. Если затем снова нажать кла­
и нажать клавишу

то на индикатор вернется число 10,38. Значит,
/ - /
число на индикаторе микрокальпри нажатии клавиши / - /
кулятора заменяется противоположным ему числом.

вишу

Наберите на микрокалькуляторе число —3,27; —0,571; —2,03.
Пронаблюдайте действие клавиши

/ —/

, нажав ее не­

сколько раз.
Действия над отрицательными числами выполняются на
микрокалькуляторе так же, как и над положительными.
55.1. (У) Вычислите:
а) 2 6 - ( - 5 ) ;
д) (—3) —(—8);
и) (—З)2;
б) (—8) —14;
е) (—4) + ( —18);
к) 54: ( - 9 ) ;
в) 14+ (—6);
ж) 2 -(—8);
л) (-3 6 ) :3;
г) 19-26;
з) ( - 8 ) . ( - 6 ) ;
м) ( - 7 2 ) : ( - 8 ) .
55.2. Найдите значение выражения:

а> ( ^ - т ) : |а | и \а—Ь\10,631846318... (объясните почему).

6— 1729

Давайте отбросим в бесконечной десятичной дроби все цифры,
начиная с некоторого разряда. У нас получится конечная деся­
тичная дробь. Например, из дроби 0,666666... можно получить
конечные дроби 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666; ... . Говорят, что каждая
из них — приближение с недостатком данной бесконечной деся­
тичной дроби. Из этих приближений можно выстроить беско­
нечную цепочку неравенств: 0,6

W

* >

24 4
3 >

в) —0,1845 и —0,184184184...;
г) 7,315315... и 7,315316.

Сравните числа:

а) 0,545545545... и JL;

в) 7-1 и 7,65765765...;

б) - 2 | - и -2,21221221...;

г) 1,2121212... и

56.5.

-

Расположите числа в порядке возрастания: 0,466; —;

0,4636363...; 0,463736; 0,4656565...

56.6. (У) Объясните, с какой закономерностью идут цифры
в бесконечной десятичной дроби:
а) 0,383838383. .;
б) 42,2912912912...;
в) 5,328717717717...;

А г)* 0,1010010001000010...;
д)* 1,252255222555222255..;
е)* 0,410414104141410414... .А

Назовите в каждом примере три последующие цифры.
Урок 57
КАК УЗНАТЬ, КАКОЙ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБЬЮ
МОЖЕТ БЫТЬ ВЫРАЖЕНО РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО

Вы давно знаете, что некоторые обыкновенные дроби записы­
ваются в виде конечных десятичных дробей. Например, -1-=0,5;
2- = 1,75; - ^ - = 0 ,1 1 2 . В уроке 56 выяснилось, что есть обык­
новенные дроби, которые можно выразить только бесконечной
десятичной дробью. Нельзя ли сразу, глядя на дробь, сказать,
какая десятичная дробь из нее получится — конечная или бес­
конечная? Оказывается, можно. Мы сейчас объясним это.
Если знаменатель дроби — степень числа 10, то такую дробь
легко записать в виде десятичной.
Запиш ите десятинными дробями —
н

100

. .

1000

1 000 000

На какие простые множители разлагается степень числа 10?
Ясно, что этими множителями могут быть только числа 5 и 2.
Ведь 1 0 = 2 -5 ; 1 0 0 = 2-2-5-5; 1000= 2 -2 -2 -5 -5 -5 и т. д. З а ­
метьте, что в каждом произведении здесь количество множи­
телей 2 и 5 одинаково. Значит, знаменатель обыкновенной дроби
будет степенью числа 10, если его простые множители — числа
2 и 5, причем их поровну.
А если количество множителей 2 и 5 в знаменателе неодина­
ково? Например, А =
80

—i — . Домножим числитель и знаме-

2 ■2 • 2 •2 • о

натель на 5-5-5. Тогда дробь не изменится (помните основное
свойство дроби?), но в знаменателе двоек и пятерок станет
поровну:
3
_______ 3-5 -5 -5_______
375
Q лпуг
2 - 2- 2- 2- 5 _

2 - 2 - 2 - 2 - 5 -5 - 5 -5 _

10 000 —

’

Точно так же можно поступить с любой дробью, у знамена­
теля которой простые множители — только числа 2 и 5. Вывод:
163

Если в знаменателе обыкновенной дроби
нет простых множителей, кроме 2 и 5,
то она записывается конечной десятичной дробью.

Можно ли дробь

записать конечной десятичной дробью?

Можно: — = 0 ,5 . А ведь у знаменателя б есть простой множиб
тель 3. Но легко заметить, что эту дробь можно сократить;
получится у . Множитель 3 в знаменателе исчез!
А если в знаменателе дроби никаким сокращением нельзя
избавиться от простых множителей, отличных от 2 и 5? Тогда
ясно, что такую дробь не удастся записать конечной десятичной
дробью. Итак:
Если в знаменателе несократимой обыкновенной дроби
имеются простые множители, отличные от 2 и 5,
_ч
то эту дробь можно выразить лишь бесконечной десятичной
дробью.

Вопросы и задания
57.1. Какую обыкновенную дробь можно записать конечной
десятичной дробью?
57.2. Какую несократимую обыкновенную дробь нельзя запи­
сать конечной десятичной дробью? Какой десятичной дробью в
этом случае ее можно выразить?
57.3. (У ) Не выполняя деления, скажите, конечной или бес­
конечной десятичной дробью можно выразить данную обыкно­
венную дробь:
3>

Ь

б> -Г в> £

г> §

Д) 49'
“
w

к>1>; л>w “>-Sp ")

ir ;

о)

21.
31.
3) Ь и)
20' ж)
* '
80’ 3)
75’
'

6’

942
1344 '

57.4. Приведите дробь к знаменателю, являющемуся степенью
числа 10:

а> £ б> М; -> § 7) § д)

w .
125’

Р\ »£•
; 72’

49
245'

57.5. Выполните действия. (Совет: там, где возможно, з а ­
мените обыкновенные дроби десятичными, а в остальных приме­
рах, наоборот, десятичные дроби замените обыкновенными.)
а)

(

4 — 2 |~ 0 , з ) : 0 , 6 ;

б> ( I ” 2 ' 18) : ( 4 + 0'2 ) :

в) 9 , 6 - 2 + - ( 2 . 125—1 ^ ) : ± ;

6 - « . « 6 : £ + 4 .5 - 1 .

57.6. Найдите значение выражения:

а) ( 1 + 0 , 8 - 4 ) . ( 2 ,3 + 4 1 - 1 .2 8 ) ;
б) ( з |+ 0 , 2 5 - 1 А ) : ( з | - 2 | + 0 , 7 5 ) : 1 | ;
в) - 121 + ( - т ) + ( - т ) : ( - ° ' 8) ; ( - 2);

г>5:Н -й )И (-т)+ т:(-2))+1тА 57.7*. Клоун предложил в слове «шалаши» каждую букву з а ­
менить цифрой так, чтобы выполнялось равенство ш :а=л,аш и
(одинаковые буквы заменяются одинаковыми цифрами,' раз­
ные — разными). Сделайте то, что предложил клоун. А
Урок 58
З А Ч Е М Н У Ж Н Ы БЕ С К О Н Е Ч Н Ы Е Д Е С Я Т И Ч Н Ы Е ДРО БИ

Результаты измерений величин часто записывают конечными
десятичными дробями. Но оказывается, что не всегда длина
отрезка выражается конечной десятичной дробью. Чтобы пока­
зать вам, как это может произойти, мы расскажем об одном
знаменитом открытии. Его давным-давно, в VI в. до н. э., сделал
греческий математик Пифагор.
Представьте, что дан квадрат со стороной 1 м и нужно изме­
рить длину d его диагонали АВ (рис. 48, а). Если к диагонали
приложить большую линейку, то сразу будет видно, что
1,4 м.
В действительности точка В попадет между черточками, обо­
значающими 1,4 м и 1,5 м, т. е. выполняется двойное неравенство
1,4 M < r f d ,5 м.
Используя сантиметровые деления, можно увидеть, что выпол­
няется более точное неравенство 1,41 M < d < l,4 2 м. Если же
на линейке есть и миллиметровые деления, то мы обнаружим,
что 1,414 M < rfd ,4 1 5 м. Это видно на рисунке 48, б, где в
165

большом круге показано увеличенное изображение маленького
круга. Давайте представим, что на нашей линейке есть сколь
угодно мелкие деления, т. е. каждый миллиметр разделен на
10 новых равных частей, каждая новая часть— на 10 других
и т. д. без конца.
В каком случае длину отрезка АВ удалось бы записать ко­
нечной десятичной дробью? Вот в каком: если бы отрезок содер­
жал целое число каких-нибудь мелких делений. Тогда точка В
попала бы на черточку, которой заканчивается одно из таких
делений. Но в нашем случае точка В никогда не попадет на чер­
точку, какими бы мелкими ни были деления! До этого и до­
думался когда-то Пифагор.
Продолжая измерять, мы обнаружили бы, что выполняются
такие двойные неравенства:
1,4142 м1(1"-2) - 4(2т"-т) = ^
л)

д) 2,5л—0,2+ 3,8л= 1,06;
е) z —3 ,5 z + 1,2= —0,3;
ж) 0 ,2 -3 ,7 5 = 2 2 + —5,75+4,25;

у+

\ у + \ у + ^ у = 1;

+т(г+т(2+т))=т'

70.2. Участникам школьной викторины было предложено
30 вопросов. За каждый правильный ответ полагалось 12 очков,
а за неправильный 7 очков снималось. Петя набрал в итоге
227 очков. На сколько вопросов Петя ответил правильно?
70.3. Конфета с фантиком весит 15 г, а сам фантик весит
1 г. Смекалкин с младшим братом купили 20 конфет. Младший
брат съел несколько конфет, а пустые фантики от них свернул в
виде конфеты. «Отгадай, не разворачивая фантики, сколько
конфет я съел»,— сказал он. Смекалкин положил на весы кон­
феты и пустые фантики и увидел, что их общая масса 230 г.
Он что-то подсчитал и объявил брату, сколько тот съел конфет.
Найдите и вы это число.
70.4. а) В треугольнике АВС сторона АВ длиннее ВС на
3,2 см и короче АС на 1,6 см. Периметр этого треугольника

205

15,5 см. Найдите длины его сторон, б) В равнобедренном тре­
угольнике боковая сторона больше основания на 0,8 см. Каковы
длины сторон этого треугольника, если его периметр 13,6 см?
▲ в) Длины сторон треугольника относятся как 5:7:9. Най­
дите их, если его периметр 31,5 м. А
70.5. Одно число относится к другому как 9 к 5. Найдите
эти числа, если: а) их сумма равна 98; б) их разность равна 16.
70.6. Площадь озера Байкал на 13 200 км2 больше площади
озера Балхаш, а отношение этих площадей равно 105:51. Най­
дите площадь каждого озера.
70.7. (Старинная задача.) Летела стая гусей, а навстречу
ей летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, 100 гусей!» Вожак
стаи ему отвечает: «Нас не 100 гусей. Если бы нас было столько,
сколько сейчас, да еще столько, да еще полстолько, да еще чет­
верть столько, да еще ты один гусь, тогда нас было бы 100 гусей».
Сколько было гусей в стае?
70.8*. В пятиугольнике 4 стороны имеют одинаковую длину,
а пятая отличается от них на 2,5 см. Какую длину имеет каждая
сторона пятиугольника, если его периметр 8 см? (Совет: заду­
майтесь над тем, в каких двух смыслах можно понимать здесь
слово «отличается».)
70.9. Выполните задание 7.5, используя вместо десятичных
дробей положительные и отрицательные рациональные числа.
Урок 71
КАК РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ, ПЕРЕНОСЯ СЛАГАЕМЫЕ
ИЗ ОДНОЙ ЧАСТИ РАВЕНСТВА В ДРУГУЮ

Решим уравнение 3*4-26=*4-30.
Как же решать такое уравнение? Ведь у него неизвестное
число и в левой части равенства, и в правой!
Давайте разберемся. Напомним, что * обозначает корень
нашего уравнения. Уравнение говорит, что 3*4-26 и jc-f-ЗО —
это одно и то же число. Вычтем из него число х, снова полу­
чим верное равенство:
(3*4-26) —*= 30.
Смотрите, из правой части * исчезло, но зато появилось в левой
части со знаком «минус». Можно сказать, что мы перенесли
слагаемое * из правой части в левую, сменив у него знак на
противоположный. При этом * будет корнем и нового уравнения.
206

Новое уравнение удобно тем, что содержит х только в левой
части: такие уравнения вы умеете решать.
О
Закончите решение и найдите х.
А как решать, например, уравнение 8дс—17=33—2л:?
И здесь легко избавиться от одночлена —2х в правой части.
Нужно прибавить 2х к обеим частям равенства:
(8 х -1 7 )+ 2 * = 3 3 ,
Снова можно сказать, что мы перенесли слагаемое —2 х из
правой части в левую, сменив у него знак. И опять корень
уравнения остался прежним.
О
Закончите решение уравнения.
Итак, мы обнаружили важное свойство:
Корень уравнения не меняется, если перенести какое-либо
слагаемое из одной части уравнения в другую, сменив его знак.
▲ Изложенный здесь способ решения уравнения и является
тем приемом «восполнения и противопоставления» ал-Хорезми,
о котором мы говорили в «Большой перемене II». Напомним,
что арабское название этого правила «ал-джебр вал-мукабала»
дало имя а л г е б р е . А.
Вопросы и задания

7

71.1. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в
другую, чтобы при этом корень уравнения не менялся?
71.2. Перенесите слагаемое из одной части уравнения в дру­
гую так, чтобы в левой части были только слагаемые, содержа­
щие неизвестное число, а в правой — слагаемые, не содержа­
щие неизвестного числа. Затем решите уравнение:
ж) 2z + 4 3 = 4 jc—65;
5 х + 3 = 2 7 —3jc;
з) Зу—35= 7у—28;
б) 2у— 12= 18-4i/;
и) 73—2z=3z+24;
в) 6z+ 24= 2z+ 13;
х+11 = 4 х -1 3 ;
г) 17+ 5*=Зх—9;
к)
д) 14+6;/= 18—у;
л) — 13+7у=13г/—7;
м) г —1= 3г—12.
е) 2 z - 4 = z + 9 ;
71.3. Решите уравнение:
а) 5(х—7) = 3 (лг—4) —13;
б) 4(у—3) = 16—5 (у + 6 );
% t= L =

Зц + 2

L -

8 ’

в) 3 z + 2 (2 z —3 ) = 2 2 - 7 г ;
г)
Ж )

3 (2 m + 7 )+ 4 = 5 (m -3 );

- = 3.
207

71.4. У Пети и Коли одинаковая сумма денег. Петя купил
на все деньги 3 тетради и блокнот за 6000 р., а Коля — 1 тетрадь
и авторучку за 10 000 р. Сколько стоит одна тетрадь^
71.5. Валя и Вера задумали одно и то же число. Затем Валя
умножила это число на 2, а Вера прибавила к нему 2. Валя к
результату прибавила 3, а Вера свой результат умножила на 3.
И у них снова получилось одно и то же число. Какое число было
задумано?
71.6. В двух кусках было поровну шелковой ткани. Когда
от одного куска отрезали 10 м, а от другого — 40 м, то в первом
куске стало вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров
ткани было первоначально в каждом куске?
71.7. Игорю исполнилось 11 лет, а его отцу 35. Через сколько
лет отец будет старше Игоря: а) втрое; б) вдвое; в)* вчетверо?
71.8. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами
за 7 ч. Если бы его скорость была на 10 км/ч больше, то это же
расстояние он проехал бы за 6 ч. а) Какова скорость автомо­
биля? б) Каково расстояние между городами?
71.9. За книгу заплатили 6000 р. и еще
Сколько стоила книга?

у

ее стоимости.

71.10. (Старинная задача.) Летели галки и сели на ветки.
Одна ветка осталась пустая, а на остальных ветках сидят по
2 галки. Если бы на каждую ветку село по одной галке, то одной
галке не хватило бы ветки. Сколько галок и сколько веток?
71.11. а) Дана дробь - у Какое одно и то же число нужно
прибавить к числителю и знаменателю этой дроби, чтобы полу­
чилась дробь, равная

8

равная —?
6

б) Дана дробь Ц . Какое одно и то же число надо вычесть
из числителя и знаменателя этой дроби, чтобы получилась дробь,
равная

равная -у?

71.12. На памятнике древнегреческому математику Дио­
фанту (III в.) имеется надпись: «Прохожий! Под этим камнем
покоится прах Диофанта, умершего в старости. Шестую часть
его жизни заняло детство, двенадцатую — отрочество, седь­
мую
юность. Затем он женился, и через 5 лет у него родился

сын, который прожил вдвое меньше отца Четыре года, до самой
своей кончины, Диофант оплакивал сына». Сколько лет жил
Диофант-*
71.13. (У) Клоун решал уравнение 2 у -\-\= у + 8 . Вот как он
перенес у из правой части в левую, а 1 из левой части в правую:
2*/Н -*/=8+1. Затем он привел подобные слагаемые, получил
уравнение 3 t/= 9 и нашел его корень 3. Чтобы проверить, пра­
вильно ли найден корень, клоун поставил в исходное уравнение
число 3 вместо буквы у. «Вот чудеса! — воскликнул он.—
В левой части получилось 7, а в правой 11. Получается, что 7
равно 11». Объясните, в чем состояла ошибка клоуна при ре­
шении этого уравнения. Решите уравнение правильно.
Урок 72
З А Д А Н И Я НА П О В Т О РЕ Н И Е К § 8

72.1. На двух кустах сидели воробьи, на каждом поровну.
Затем с одного куста на другой перелетели 4 воробья. На сколько
больше стало воробьев на одном кусте, чем на другом? (Совет:
обозначьте буквой первоначальное число воробьев на каждом
кусте.)
72.2. Д ва одинаковых катера отправились по реке — один
вверх по течению, другой вниз по течению. Скорость течения
реки 3,2 км/ч. На сколько километров больше пройдет за 3 ч
катер, плывущий вниз по течению, чем катер, плывущий вверх
по течению?
72.3. Найдите значение числового выражения:
-

а)

0 ,2

- ( 6 ,2 : 0 ,3 1 - -4 - 0 ,9 )

—2,4- з 4-+2-£-4,125
4

- 3 + ± - ( -2 2 ) : ( - 0 ,1)

-

( о , 5 ~ - 0 , 3 7 5 ) • 0 ,4
б)

,

- 'И

11

4-4
- ё К

- ( - ё )

11 ’

( 3 , 0 3 : - ! - 4 , 2 'т )
г |,8:( 4 ) 0,14
' 127
72.4. Найдите числовое значение алгебраического выражения:

a) a :b — ab при а = —, 6 = —0,5;
б)

2а(б+ с)_
— с

а=
к

3
7

*

‘

с = 0 ,1 ;

4

з) - J - X + J при х = —0,6, y = j .
209

72.5. Решите уравнение:
а) 3(х—2) + 5 (7 —х) = 4;
б) 0 ,8 (2 y + 3 )-l,2 (3 i/-4 )= 0 ,6 ;

8—7* _
Зх+2

- I
14

Зу-\

2У-

в) 2 |( 5 г - 1 ) - 3 |( 4 - З г ) = 7 А ;
Ж)
г) 2,3(5—З т ) +7,6 ( т —2) = —1,46;
72.6. Решите уравнение:
а) 3,1 (2—х) + 4,5 = 7 ,2 —4,3(—3,7+*);
б) 2| - 3 | ( 2 - З х ) = 8 | + 4 1 ( - 1 | + 2 д : ) ;

.

8
-2
2 —4

'

в) 5,5( х - 2 , 1)-3,1 (4,5- 2 х ) =7,2 (3 ,5 + х) - 1,2;
г)

* 2 * ( х + 2 ) - 4 ,1 = ( 2 х - 3 ) х +3,7.

72.7. Дано уравнение 2 (З х + 1 )—9 = 3(2*—7 ) + 14. а) Какие
из чисел 3; —1,4; 0; 1-|-; —7 являются его корнями?
А б)* Есть ли такое число, которое не будет корнем данного
уравнения? Ответ объясните. (Совет: преобразуйте отдельно
левую и правую части уравнения.) А
72.8. Дано уравнение 4(7—х)—27=(—2)(3+2х)+1 а) Ка­
кие из чисел 2; —3,6; —1; —у являются его корнями?
А б)* Имеет ли это уравнение корень? Ответ объясните. А
72.9. Для детского сада купили столики. Если в каждую
комнату поставить по 3 столика, то 4 столика останутся. Если в
каждую комнату поставить по 4 столика, то 3 столиков не хва­
тит. Сколько комнат в детском саду и сколько купили столиков?
72.10. В одной пачке было в 2,5 раза больше тетрадей, чем
в другой. Когда из второй пачки переложили в первую 5 тетрадей,
то во второй пачке стало тетрадей в 3 раза меньше, чем в пер­
вой. Сколько тетрадей было в каждой пачке?
72.11. Задуманы два числа, одно из которых на 18 больше
другого. Известно, что 25% одного из этих чисел равны 35%
другого. Что это за числа?
72.12. В городе три пекарни. Первая из них выпекает в 2 раза
больше хлеба, чем вторая, но в 3 раза меньше, чем третья.
Сколько тонн муки должна получить каждая пекарня, если на
выпечку хлеба ежедневно выделяется 21 т муки?
72.13. Картофель в магазине был расфасован в 24 пакета
двух видов: по 5 кг и по 3 кг. Масса всех пакетов по 5 кг оказалась
равной массе всех пакетов по 3 кг. Сколько было тех и других
пакетов?
210

А 72.14. Для каждого из следующих уравнений, в которых не­
известное число обозначено буквой х, число 1 является корнем
уравнения. Найдите, какое число в каждом из уравнений обо­
значает при этом буква а.
а) * + 1 = а;
б) 2х— 3 = 2 + а ;

в) 3 ( х - \ ) = х + а ;
г) (а—х) + 2 = 2 а ;

д) ( 5 - а ) + 7 * = 3 а ;
е) алг+3=5. А

72.15. Клоун назвал число и предложил зрителям, сидящим
четных
на ................ рядах,
__, умножить его на 0,5, а затем прибавить
нечетных
разделить
’ ’ ~
*’* вычесть
число 3. К удивлению публики, результат у всех получился один
и тот же. Какое число назвал клоун?
72.16. Клоун сообщил, что число котят, живущих у него,
3

о

О

равно — этого числа и еще — котенка. Слова про —
звучали смешно. Однако клоун все сказал правильно. Сколько
котят живет у клоуна?
Большая перемена II I
В Е Л И К И Е М А Т Е М А Т И К И Н А Ш Е Й С ТР А Н Ы

В начале XVIII в. Россия развивалась стремительно. Один
за другим возникали новые города, строились заводы, на верфях
Воронежа и Архангельска закладывался флот, в сражениях
мужала армия. Стране как воздух были нужны образованные
люди, ученые. По словам великого русского ученого М. В. Л о­
моносова, Петр I «усмотрел тогда ясно, что ни полков, ни горо­
дов надежно укрепить, ни кораблей построить и безопасно
пустить в море, не употребляя математики... невозможно».
В 1725 г. в Петербурге по указу Петра открылась Академия
наук. Так как своих ученых в России тогда не хватало, для
работы в Академии были приглашены ученые из-за границы.
Среди них был и математик из Швейцарии Леонард Э й л е р
(1707— 1783). Россия, куда Эйлер переехал в 1727 г., стала
для него второй родиной. Здесь он неутомимо вел математичес­
кие исследования и вскоре был признан первым математиком
мира. Эйлер достиг поразительных результатов во всех извест­
ных тогда областях математики, более того, он создал несколько
новых математических дисциплин. За свою долгую жизнь Эйлер
написал почти 900 научных трудов, полное собрание его сочи­
нений насчитывает 72 тома! И это при том, что еще в 1735 г.
211

Эйлер, выполнив всего за 3 дня необычно сложный расчет дви­
жения кометы, от перенапряжения ослеп на один глаз, а в 1766 г.
потерял зрение полностью. Поистине «творчество Эйлера изуми­
тельно и в науке беспримерно», как писал академик А. Н. Крылов.
Из учебника природоведения вы знаете о великом польском
ученом Копернике, открывшем, что Земля вращается вокруг
Солнца. Это открытие произвело переворот в представлениях
человека о Вселенной. А великого русского математика Николая
Ивановича Л о б а ч е в с к о г о (1792— 1856) часто называют
«Коперником геометрии». Кем же был Лобачевский и что он
открыл?
Вся жизнь Лобачевского связана с Казанским университе­
том. Сначала Лобачевский был его студентом, потом работал
в университете, стал профессором, а позднее и ректором (т. е.
руководителем университета). Одновременно с преподаванием
Лобачевский вел исследования в области геометрии. Он поставил
перед собой дерзкую задачу — изобрести геометрию, отличную
от классической геометрии Евклидовых «Начал». А ведь в то
время авторитет Евклида был непререкаем: более двух тысяче­
летий все математики знали только одну геометрию и были
твердо уверены, что другой быть не может. Лобачевский же
смог построить новую геометрию, носящую теперь его имя. Вли­
яние этого открытия на представления человека о пространстве
можно сравнить только с влиянием открытия Коперника.
Идеи Лобачевского не были поняты его современниками.
Их смог оценить по достоинству лишь величайший немецкий
математик XIX века Карл Фридрих Г а у с с (1777— 1855), ко­
торого за многочисленные выдающиеся открытия в математике
назвали «королем математиков». Однако Гаусс побоялся от­
крыто выступить в поддержку Лобачевского. Лобачевский же
проявил себя не только как замечательный ученый, но и как
мужественный человек. На протяжении 30 лет он в одиночестве
боролся за свои идеи и не дожил всего 7 лет до того дня, когда
его геометрия получила всеобщее признание.
Каждому случалось наблюдать за прихотливым вращением
волчка. Но волчок не только детская игрушка. Во многих важ ­
ных приборах используют гироскопы — так в технике называют
212

Эйлер

Лобачевский

Ковалевская

крутящиеся с огромной скоростью волчки. Без них, например,
невозможно управлять движением корабля или полетом само­
лета. Поэтому ясно, как важно уметь математически рассчи­
тывать вращения гироскопа. Первым этой задачей занялся
великий Эйлер, но ее окончательное решение — заслуга нашей
замечательной соотечественницы, первой русской женщины-ма­
тематика Софьи Васильевны К о в а л е в с к о й (1850— 1891).
Когда Соне было 8 лет, стены ее комнаты из-за нехватки
обоев оклеили листами из учебника высшей математики. Как
потом вспоминала Ковалевская, «от долгого ежедневного со­
зерцания внешний вид многих из формул так и врезался в моей
памяти». С 15 лет Ковалевская начала систематически изучать
высшую математику. В то время в России женщины не имели
права учиться в университете. Поэтому, чтобы получить высшее
образование, Ковалевской пришлось уехать в Германию. Однако
и в Берлинском университете ей не было разрешено посещать
лекции. Тогда великий немецкий математик Карл В е й е рш т р а с с (1815— 1897), убедившийся в незаурядных способ­
ностях Ковалевской, стал заниматься с ней индивидуально.
Под руководством Вейерштрасса Ковалевская уже в возрасте
24 лет получила ученую степень доктора философии. Вернув­
шись на родину, она, однако, не смогла найти работу, соответ­
ствующую ее знаниям: в царской России женщины не имели
доступа к научным знаниям. Поэтому в 1883 г. Ковалевская
работала в Швеции в должности профессора Стокгольмского
университета. Именно тогда она решила упоминавшуюся уже
задачу о вращении гироскопа. За это выдающееся достижение
213

Ковалевская была удостоена премии Парижской академии,
а в 1889 г. по предложению передовых ученых Петербургская
академия наук избрала Софью Васильевну членом-корреспондентом. Ковалевская была первой женщиной, чьи научные з а ­
слуги были оценены столь высоко. Ее яркий пример указал
многим женщинам путь в науку.
Огромный вклад в математическую науку внесли отечествен­
ные ученые и в XX веке. Можно было бы назвать очень много
имен выдающихся математиков, прославивших нашу Родину
замечательными открытиями. Мы назовем только имена акаде­
миков Алексея Николаевича
Крылова
(1863— 1945) и
Мстислава Всеволодовича К е л д ы ш а (1911 — 1978). Оба они
успешно применяли математику для решения важных практи­
ческих задач. Так, труды А. Н. Крылова служат основой кораб­
лестроения, его расчеты по непотопляемости судов спасли жйзнь
тысячам моряков. Он же разработал правила действия с округ­
ленными числами, очень важные для практических вычислений.
(С этими правилами вы познакомитесь в 8-м классе.) М. В. Кел­
дыш открыл способ борьбы с флаттером и шимми — грозными
явлениями, разрушавшими скоростные самолеты. Позднее он
руководил всеми расчетами, связанными с космическими по­
летами, был главным теоретиком космонавтики. А с 1961 по
1975 г. М. В. Келдыш возглавлял Академию наук СССР —
был ее президентом.
В заданиях к этой большой перемене мы предлагаем не­
сколько задач из учебников математики, по которым в разные
времена учились дети в нашей стране. Подборки задач чере­
дуются с небольшими рассказами об авторах этих учебников.
Задания
В 1701 г. по указу Петра I в Москве открыта Математиконавигацкая школа. Ее учителем Петр назначил лучшего мате­
матика Москвы Леонтия Филипповича М а г н и ц к о г о (1669—
1739). Магницкий сразу же принялся за составление учебника
для воспитанников школы, и в 1703 г. огромным для того времени
тиражом (2400 экземпляров) был издан первый русский учебник
математики — книга «Арифметика, сиречь наука числительная».
«Арифметика» стала энциклопедией математических знаний
своего времени. На протяжении полувека верой и правдой слу-

жила она, как писал Магницкий, «ради обучения мудролюби­
вых российских отроков и всякого чина и возраста людей».
По «Арифметике» Магницкого учился и М. В. Ломоносов, на­
звавший ее «вратами учености». Задачи I II. 1 —II 1.3 взяты из
«Арифметики» Магницкого.
N1.1. Найти число, такое, что если к нему добавить его
третью часть и от полученной суммы отнять ее шестую часть,
то будет 100.
N1.2. Купил некто сукно трех сортов, а всего 106 аршин.
Первого купил на 12 аршин больше, чем второго, а второго —
на 9 аршин больше, чем третьего. Сколько же сукна каждого
сорта было куплено?
II 1.3. Два человека хотят купить корову. Говорит первый
второму: «Если ты дашь мне

твоих денег, то я один смогу

заплатить ее цену». А второй отвечает первому: «Дай мне
твоих денег, тогда и я заплачу ее цену». Сколько у каждого
из них было денег, если корова стоит 24 р.?
Леонард Эйлер был не только великим математиком, но и
знаменитым педагогом, автором многих учебников как по высшей,
так и по элементарной (школьной) математике. Задачи II 1.4
и II 1.5 взяты из учебника Эйлера «Основания алгебры», а з а ­
дача III.6 — это известная задача Эйлера о кенигсбергских мос­
тах, положившая начало новой математической науке — топологии.
II 1.4. Отец, у которого было трое сыновей, оставил им
1600 крон. Старший сын получил на 200 крон больше среднего,
а средний — на 100 крон больше младшего. Сколько получил
каждый из сыновей?
II 1.5*. Осел, жалуясь на свою судьбу, сказал мулу: «Мне нуж­
но только сто фунтов твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тя­
желее твоей». На это мул ему ответил: «Да, это так, но если бы
ты мне отдал сто фунтов из твоей ноши, то я
был бы нагружен втрое больше тебя». Сколько
фунтов нес осел и сколько фунтов нес мул?
111.6*. В городе Кенигсберге (ныне Кали­
нинград) есть остров, окруженный рекой, че­
рез которую перекинуто семь мостов (рис 82).
Можно ли обойти их все, проходя только
однажды через каждый мост?
215

Долгую жизнь прожил Андрей Петрович
Киселев
(1852— 1940). Долгую жизнь прожили и учебники математики,
написанные им. По ним учились ваши бабушки и дедушки, пра­
бабушки и прадедушки и даже прапрабабушки и прапрадедуш­
ки. Впервые книги Киселева появились в 1880-х гг. А последние
издания киселевских учебников использовались в школе и в совет­
ское время вплоть до начала 70-х гг. Конечно, учебники меня­
лись со временем, Киселев много работал над их усовершен­
ствованием и добился ясности, последовательности и четкости
изложения. Задачи 111.7 — 111.9 взяты из книги А. П Киселева
«Арифметика».
II 1.7. Разделите 125 на такие 4 части, чтобы первая часть
относилась ко второй как 2:3, вторая — к третьей как 4:5, а
третья — к четвертой как 6:11.
111.8 . На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по б ч
ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько хватит
216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч
в день?
Работа с учебником закончена,
но вы не прощаетесь с математикой
Вот и подошла к концу ваша работа с учебником-собеседником. Мы не раз сравнивали ее с путешествием. Можно ска­
зать, что сейчас это двухлетнее путешествие по стране Матема­
тике заканчивается. Мы прощаемся с вами. Но вы не прощаетесь
с этой огромной и богатой страной. Математика настолько нуж ­
на людям, что ее изучают в школе основательно — с 1-го и до
последнего класса. Так что ваше математическое путешествие
продолжится, причем даже одновременно по двум областям:
начиная с 7-го класса у вас будут два математических предме­
та — алгебра и геометрия (и отдельные учебники по каждому
из них). Изучая их, да и другие предметы, не обойтись без зна­
ний по математике, полученных в 5-м и 6-м классах. А узнали
вы немало. Чтобы окинуть пройденное одним взглядом, можно
напоследок рассмотреть оглавление нашего учебника. Так путе­
шественник разглядывает карту пройденных областей, чтобы
вспомнить те места, которые он посетил.
Впереди у вас несколько лет занятий замечательной наукой
математикой. Желаем вам на этом интересном пути успехов!
216

ОТВЕТЫ

1
2.
3.
4.
5.
6.

9.
9.
7.
8.
4.
7.

а) 13 кг; б) 26 кг. 10. б) 10.
Валя, на 2 кг, 13. а) По 28 клеток.
б) 28; г) 629, з) 559 512. 9. 13 и 7 11. б) Успеет.
д) i/= 7 9. б) 0.
в)1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100; д| 1; 97.
б А ; U I i . 9. б, , = 16±2; г) z = 2 & 10. 1 см. 11. |

кг.

7. 2. а) 1,8086; г) 0,09; д) 5,1292. 6. 3 полосы; 4 рулона. 7. 2 мин 30 с.
8. 8. ж 38 м. 9. 19 досок. 10. « 3 ,8 % ; «96,2% .
9. 8. а) «7,85 м. 10. а) « 3 6 °; б) «144°; в) «0,5 °, или « 3 0 '.
11. а) 120°; б) 10°. 12. На 135°. 13. « 78 0 мм.
10. 8. 72-л см2; 36-л см2; 12-л см2. 9. 135°; 6 -л м. 11. а) 2930 кг.
12. 16 м 13. В 4 раза.
11. 5. а) 3. 41, г) 132. 6. а) 2.
13. 3. в) 3. 5. 7; е) 23-З3. 5. в) 3; г) 2; 5; 7.
14. 5. а) 7, в) 1; д) 26. 10. 13 конфет; 5 коробок;
7 коробок.
11. 25 см
15. 4. г)1092;
д) 250 047. 6. д) 1872. 8. 3 ч 24 мин.
16. 2. в) 13; г) 432; е) 13 013. 4. а) 6 и 30; б)5 и 30; 10 и 15.
7. Оба числа можно.
17. 5. ж ) 2±, или 2И ; „) -221, или 17А

7. а) | < - | ; е)

8. г)
18 7 ) 6
* 14

66 - 10
154 ’ 22

70 ■
154 ’ 14< 22‘

19. 3. е) . § ; л) 1 § ; р)

ц) § ; ш) -jfe , 4. г,
36'
7. а) 4 - 8- б) бЦ: е) Н г 9- е> У = Ш ’ и> Х = П ’

20 4. б) 11 , в) |

22- 6-

23.

Ш

ж) ±

4-L

8. а, ± км; 83-д- м/мин.
8- д)

в. б) - р Ь е) 1 ^ . 7. б)

9- ж >

л) ч г -

" • а) 29г т с;

е) з Ц . 14. 45 км; 27 км.

15. 385 рисунков. 16. 21 га. 15. 133 самолета.
24. Т. б) 36 с. 2. б) 31 с.
25. 1. в) i ; д) цдвру. 6. а) 1,5. 7. За 1 у ч. 8. 0,48 года. 9. б) В 2.5 раза.
13. а) 2-рр б) -J^-; д) 3. 14. д) 16,1; л) 1,54. 18. 14 распилов.
19. 4950 м.

217

28.
29
30.
32.
33.
34.
36.
37.

8. а) 17 л. 9. в) 0,03; г) 77.
3. Валя. 6. 12,75 кг. 11. б) 100 кг.
3. в) х=13,5; у = 4. 6. 12 см и 20 см. 7. а) 18 см, 40,5 см; 27 см.
2. б) 86 г/м. 3. а) 240 м.
2. 1420 мл. 3. а) 10 м; б) 400 км.
2. в) 1:40 000 000. 4. 74 см. 7. а) «4247,3 м; б) «2,1 мм; « 2 ,6 мм.
1. Не догонит. 3. б) 250 г. 4. Итальянский.
6. а) 720 г соли, 1120 г моркови, 640 г клюквы, 12,8 г лаврового
листа. 7. Ане — 320 р., Кате — 960 р. 9. б) Обратно пропорциональ­
ная зависимость х - у = 10.
41. 3. б) 0; 1; 2; 3; 4; е) 0. 5. 10 км/ч. 6. ■£- ч.
42. 10. б) б Д 15. в) х=0,7.
44. 3. а) 200 г сахара, 200 г персиков, 600 гводы.
45. 4. 84; 42; 252. 5. 49; 44; 32. 6. 60; 80; 100. 8. а) 7мин 25,5 с.
„ .
,31 .
_ 13 .
073
47. 6. г) - 4 - ; к) - 7 - р) - 3 ^ .
48. 6. е) * = - 6 ,6 ; з) д:=5,8. 9. 46у.
50. 7.

г) 53,326; и) —1; к) —18^-. 8. а) 1,1.

51. 7.

б) —1,4; г)

0,66; ж)

33,6.

9.

в)2= —2,6;

г)jc= —3,36;

л) у = —80,94. 12. б) 2 0 у у « 2 0 ,9 (см).
52. 2. б) у = — 0,3; г) т = —2,52.
54. 1. а) Нет; б) сможет в кинотеатре «Мир>. 2. б) 57%. 5. 264 л.
6. Заменить одним новым.
55. 2. б) -4 ,2 ; в) 19; е) 0,9. 5. г) - ^ г ; д) 0,875.
29

660

57. 5. а) 0,125; г) - l | j . 6. б) 1; в) -1 2 ,5 5 .
60. I. в) 0,3243243... ; з) 0,1231231... . 3. а) —172,01; б) — 1,26; д) 0,232.
6. 7:8=0,875.
63. 7. б) Абсцисса равна 2. 9. в) Т(4; 2).
64. 4. а) 3 мин и 20 км/ч; 2 мин и 30 км/ч. 5. а) 8 км; 0,5 ч; 16 км / ч;
б) 8 км/ч.
65. 3. 20 мин.
66. 5. д) х = —14; и) х=6,2.
69. 4. б) у = 3; д) 4=0,02. 7. 112,5 г сахара, 37,5 г крахмала, 112,5 г
клюквы, 937,5 г воды.
70. 1. е) 2=0,6; л) 4=0,48; м) 2=0,05. 3. 5 конфет. 4. в) 7,5 м, 10,5 м,
13,5 м 7. 36 гусей.
71. 2. ж) х=54; э) у = —1,75; л) у = — 1, 3. д) х = —5; ж) 2=2,5.
7. а) Через год; в) через —3 года, т. е. три года назад. 8. б) 420 км.
11. а) 7; —5; б) 19; —1. 12. 84 года.
72. 2. На 19,2 км. 3. б) -0 ,2 5 ; в) 0. 4. в) 2,36. 5. д) дг=1,2. 6. г) 1^.
9. 7 комнат, 25 столиков. 14. г) о = 1 ; е) а = 2 . 16. 3 котенка.
218

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса точки
алгебраическая сумма

Уроки
63
68

Бесконечная десятичная дробь

56

Взаимно обратные числа
вычитание обыкновенных дробей
— рациональных чисел

21
19
49

График зависимости

64

Деление обыкновенных дробей
— рациональных чисел
делитель
десятичная дробь
дополнительный множитель

22
51
5
7
15

Знаменатель дроби

6

Конечная десятичная дробь
Координата точки на прямой
координатная плоскость
— прямая
координаты точки на плоскости
корень уравнения
коэффициент одночлена
коэффициент обратной пропор­
циональности
— пропорциональности
крайние члены пропорции
кратное

56
39
63
39
63
66
68
33
30
27
5

Масштаб
многочлен
модуль числа

34
68
42

Наибольший общий делитель
(НОД)
наименьшее общее кратное (НОК)
наименьший общий знаменатель
накрест лежащие члены пропорции
натуральный ряд
начало координат
— отсчета
несократимая дробь
нулевая точка
нумерация

14
15
18
27
1
63
39
15
39
1

Обратно пропорциональная
симость
общее кратное
общий делитель
обыкновенная дробь
одночлен
ордината точки
оси координат
основное свойство дроби
------- пропорции
отношение
отрицательное число

Уроки
зави­

33
15
14
6
68
63
63
6,17
27
26
39

Параллельные прямые
62
переместительный закон сложе­
ния
4,19,49
-------умножения
4, 20, 52
перпендикуляр
61
перпендикулярные прямые
61
плотность вещества
28
подобные члены многочлена
69
положительное число
39
приближение с избытком
56
— с недостатком
56
пропорция
27
простое число
11
противоположные числа
40
процент
8
прямо пропорциональная зависи­
мость
32
прямоугольная система коорди­
нат
63
Распределительный закон
жения
рациональное число
ряд кратных
— простых чисел

умно­
4, 20, 52
41
5
12

Система счисления
1
сложение обыкновенных дробей
19
— рациональных чисел
47
совместные свойства
-------сложения и вычитания 4, 19, 49
-------умножения и деления
53

219

сократимая дробь
17
составное число
11
сочетательный закон сложения 4, 19, 49
------- умножения
4, 20, 52
сравнение обыкновенных дробей
18
— рациональных чисел
43
средние члены пропорции
27
Умножение обыкновенных дробей
— рациональных чисел

Целое число

41

Числа, пропорциональные данным
числитель дроби
число, обратное к данному
член многочлена

30
6

20
50

Т А Б Л И Ц А ПРОСТЫ Х ЧИ СЕЛ Д О 1000

2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89

220

97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223

227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
359

367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
431
433
439
443
449
457
461
463
467
479
487
491
499
503

509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659

661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827

829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
983
991
997

21

68

О ГЛА ВЛЕН И Е
Предисловие

..........................................

3

84813 5

§ 0. Повторение
^
Урок 1. Натуральные ч и с л а ............................................................................................
...
Урок 2. Действия над натуральными числами
.........................................................
10
Урок 3. Числовые и буквенные в ы р а ж е н и я ................................................................
12
Урок 4 Свойства действий над натуральными ч и с л а м и ....................
14
Урок 5. Делимость натуральных чисел . .
................................................... .....
17
Урок 6. Обыкновенные дроби и действия над ними
Урок 7. Десятичные дроби и действия над ними
Урок 8. Десятичные дроби в практических вычислениях
Урок 9. Геометрические фигуры
.....................................
Урок 10. Измерение площадей и объемов
. . . .
ГЛАВА I. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА И ПРОПОРЦИИ

§ 1. Разложение натуральных чисел на м н о ж и т е л и ...............................
Урок 11. Простые и составные натуральные ч и с л а .............................................
Урок 12. Ряд простых чисел
........................................
Урок 13. Разлагаем натуральные числа на простыем н о ж и т е л и .......................
Урок 14. Наибольший общий делитель натуральныхч и с е л .................................
Урок 15. Наименьшее общее кратное натуральных ч и с е л ...................................
Урок 16. Задания на повторение к § 1 ......................................................................
§ 2. Действия над дробными ч и с л а м и ........................................................................
Урок 17. Что значит сократить дробь ........................................................................
Урок 18. Приводим дроби к общему знаменателю. Теперь можно сравнивать
любые дроби
..................................................................................................
Урок 19. Как найти сумму и разность любых д р о б е й ........................................
Урок 20. Умножение дробей
.......................................................................................
Урок 21 Взаимно обратные числа
............................................................................
Урок 22. Деление дробей
Урок 23. Решаем задачи на д р о б и .......................................................................
Урок 24. Учимся рассуждать при решении задач. Важно хорошо продумывать
условие задачи
.............................................................................................
Урок 25. Задания на повторение к § 2 ..................................................................
§ 3. Пропорции
Урок 26. Что такое о т н о ш е н и е .......................................................................................
Урок 27. Знакомимся с пропорцией. Основное свойствоп р о п о р ц и и .....................

31
—
32
34
37
39
42
45

—
47
51
55
59
61
64
67
69
72
—
75

221

Урок
Урок
Урок
Урок
Урок
Урок
Урок
Урок
Урок

28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.

Продолжаем изучать свойства пропорций
. . .
. . .
Решаем задачи на пропорции
..............................................
. .
Как целое делить на пропорциональные ч а с т и .....................................
Строим диаграммы
.............................................................................
Прямо пропорциональная з а в и с и м о с т ь ..........................................
Обратно пропорциональная зависимость ...............................
Когда бывает нужен м а с ш т а б .....................
.....................................
Что значит «иметь одинаковую ф о р м у » ....................................................
Учимся рассуждать при решении задач. Могут быть разные способы
решения
............................................................................................................
Урок 37. Задания на повторение к § 3
. . .
Большая перемена I. Как возникли ч и с л а ....................................

77
79
82
84
87
89
91
93
97
100
103

ГЛАВА II. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§ 4. Положительные и отрицательные ч и с л а .............................................................. 106
Урок 38. Как возникают числа вместе с противоположными направлениями . .
—
Урок 39. Знакомимся с координатной прямой
. . .
.109
Урок 40. Числа, противоположные друг д р у г у ..............................................................113
Урок 41. Что такое рациональные ч и с л а .............................................................
116
Урок 42. Модуль числа
..............................................
. .
.......................... 117
Урок 43. Сравнение чисел
..................................................
120
Урок 44. Как разные задачи превращаются в одну задачу про числа .
124
Урок 45. Учимся рассуждать при решении задач. Какие практические задачи
могут скрываться за задачами про ч и с л а ...............................
. . 126
Урок 46. Задания на повторение к § 4 .............................................................
129
§ 5. Действия над рациональными ч и с л а м и .............................................................. 131
Урок 47. С л о ж е н и е ..................................................................................
. . . .
—
Урок 48. Вычитание
......................... .....
. . . . . . .
. . .
137
Урок 49. Свойства сложения и в ы ч и т а н и я ................................................................... 139
Урок 50. Умножение
..................................................................
142
Урок 51. Деление
.................................................................................................................145
Урок 52. Свойства умножения и д е л е н и я ........................................................................ 149
Урок 53. «Сложенческо-умноженческий» словарь
....................................................151
Урок 54. Учимся рассуждать при решении задач. Как планировать свои дей­
..............................
154
ствия
Урок 55. Задания на повторение к § 5 ..............................................................................157
§ 6. Конечные и бесконечные десятичные дроби

160

Урок 57. Как узнать, какой десятичной дробью может быть выражено рацио­
нальное число
...................................................................
153
Урок 58. Зачем нужны бесконечныедесятичные д р о б и .........................................
165
Урок 59. Учимся рассуждать при решении задач. Когда в условии задачи данных
недостаточно
...............................
158
Урок 60. Задания на повторениек §6 ......................................................
.171
Большая перемена II. Великие математики древности и средневековья 172

222

ГЛАВА 111. ПОДГОТОВКА К ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЫ В 7-м КЛАССЕ
§ 7. Координатная п л о с к о с т ь ............................. ....

177

Урок 61. Перпендикуляр — важная вещь в геометрии. Строим перпендикуляр
к прямой
............................. .........................................................
...
Урок 62. Какие прямые называются параллельными
..................................... 180
Урок 63. Прямоугольная система координат на плоскости
.........................183
Урок 64. Как изображают зависимости между в е л и ч и н а м и ............................. 187
Урок 65. Задания на повторение к § 7 . . . . . . . . .
......................... 192
§ 8. Преобразования алгебраических в ы р а ж е н и й .........................................193
Урок
Урок
Урок
Урок
Урок

66
67.
68.
69.
70.

Поговорим об уравнениях и их корнях
............
.................... —
Как раскрывать скобки в алгебраических в ы р а ж е н и я х .................... 195
Одночлен и м н о г о ч л е н ............................. .................................... 198
Приводим подобные члены в м н о го ч л е н е ............................................. 202
Как преобразования алгебраических выражений помогают решать
у р а в н е н и я ............................. .... .
.........................................204
Урок 71. Как решать уравнения, перенося слагаемые из одной части равенства
в другую
...............................................................
206
Урок 72. Задания на повторение к § 8 ....................
209
Большая перемена III. Великие математики нашей страны
. . . .
211
Работа с учебником закончена, но вы непрощаетесь с математикой . . . .
216
Ответы
.
............. ......................................................................... 217
Предметный указатель
.....................................................
219
Таблица простых чисел до 1000
. . . . . .
................................. 220

Учебное

издание

Шеврин Лев Наумович
Гейн Александр Георгиевич
Коряков Игорь Олегович
Волков Михаил Владимирович
М А ТЕ М АТИКА
Учебник-собеседник для 6 класса
общеобразовательных учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Т. Ю. Акимова
Младшие редакторы Л . В. Кузнецова, Н. В. Сидельковская
Художники Е В. Викторов, О. М Шмелев
Художественный редактор Е. Р. Д аш ук
Технические редакторы С. Н. Терехова, Л . М. Абрамова
Корректоры Л. С. Вайтман, И Н. Панкова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции О К 005-93— 953000 Изд лиц.
№ 010001 от 10.10.96. Сдано в набор 22 10.96. Подписано к печати 08 05 97 Формат 70*90'/,,,
Бумага офсетная № I Гарнитура литературная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 16,38 + 0,36 форз.
Уел. кр.-отт 34,74. Уч.-изд. л 11,74 +0 ,53 форз. Тираж 30000 экз. Заказ № 1729.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета
Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи. 41
ООО ПФ «Полиграфист». 160001, г Вологда, ул Челюскинцев, 3.

учебно-методическую, развивающую,
научно-познавательную литературу
по всем школьным предметам
U
U
Q
Q

контейнерную отгрузку во все регионы России и стран СНГ,
книги крупным и мелким оптом со складов издательства,
розничным покупателям — книги из нашего киоска,
«Книгу — почтой».
Телефоны: отдел реализации
книжный киоск
отдел рекламы
факс отдела реализации

289
289
289
289

44
13
52
60

44
36
84
26

E-mail: textbook@glasnet.ru
или

textbook@glas.apc.org

Наши книги оптом и в розницу
можно приобрести в издательстве
по адресу:
127 5 21 , М осква, 3-й проезд М арьиной рощ и, 41.
Проезд: ст. метро «Белорусская», далее трол. 18 до
ост. «Гостиница «Северная»; ст. метро «Рижская», далее
трол. 18, 42, авт. 84 до ост. «Гостиница «Северная».
Торговый дом «Просвещение»:
1 29 6 2 6 , М осква, ул. Новоалексеевская, 8.
Справки по телефону: 2 87 0 86 9
«Книга — почтой»: 117 5 71 , М осква, пр. Вернадского, 88
А О «Учебная литература». Справки по телефону: 4 37 4 69 7

Х |тг

Учебно-методический комплект
по математике для 5— 6 классов
общеобразовательных учреждений
авторов Л. Н. Шеврина и др.
включает в себя:
учебник-собеседник
рабочую тетрадь

По вопросам приобретения учебной литературы по математике
обращайтесь в издательство «Просвещение» в отдел реализации
по адресу: 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Телефоны: 289-60-26, 289-13-36.