Геометрия [Иван Петрович Егоров] (pdf) читать онлайн

И. П. ЕГОРОВ

ГЕОМЕТРИЯ
СП Е Ц И А Л Ь Н Ы Й КУРС ДЛЯ СТУД ЕНТОВ
Ф И З И К О -М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Х Ф АК УЛ ЬТЕТ О В
П Е Д А Г О Г И Ч Е С К И Х И Н СТ И Т У Т О В
Д о п у щ е н о М и н и с те р с тв о м п р о св е щ е н и я С С С Р
в качестве у ч е б н о го по соб и я
д л я студ ентов ф и зи ко-м ате м атических ф акультетов
пе д агоги ческих институтов

U ИЗ
М О С К В А « П Р О С В Е Щ Е Н И Е » 1979

ОГЛАВЛЕНИЕ

Раздел I
О СИСТЕМАХ АКСИОМ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава I
Аксиоматический метод и математические структуры
Введение
..................................................................................................................
§ 1. Отношения. Отношения эквивалентности и факторизация
................
§ 2. Понятие математической структуры
..........................................................
............................
§ 3. Понятие модели (интерпретации) системы аксиом
§ 4. Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом.
Примеры
.........................................................................................................

7
9
11
18
21

Г л а в а II
Система аксиом школьного курса геометрии
§
§
§
§
§

1. Аксиомы школьного курса геометрии
......................................................
Следствия из аксиом расстояний
..............................................................
3. Следствия из аксиом I—III
......................................................................
......................................................................
4. Следствия из аксиом I— IV
5. Координатный метод. Доказательство некоторых теорем планиметрии.
2.

30
32
41
45
50

Г л а в а III
О системах аксиом Вейля и Гильберта
§ 1. Аксиоматическое определение евклидова пространства по Вейлю.
§ 2. Непротиворечивость системы аксиом Вейля трехмерного евклидова
пространства
.................................................................................................
§ 3. Категоричность аксиоматики Вейля
......................................................
§ 4. Определение некоторых геометрических понятий в аксиоматике
Вейля
..............................................................................................................
§ 5. Система аксиом Гильберта (обзор)
..........................................................

59
67
69
71
78

Г л а в а IV
Длины, площади
§ 1. Длины отрезков, аксиомы
...........................................................................
§ 2. Многоугольные фигуры. Площади на классе многоугольных фигур.
.............................................................. .... .
§ 3. Класс квадрируемых фигур

92
95
103

§
§
§
§

1.
2.
3.
4.

Глава V
О символических исчислениях и формализации геометрии
Примеры символических исчислений
.....................................................
Определение символического исчисления
.............................................
Элементарные и неэлементарные теории
.............................................
О формализованной теории множеств и формализованной геометрии
(обзор)
...............................................................................................................

107
121
125
127

Р а з д е л II
ОБОБЩЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Г л а в а VI
- Неевклидовы геометрии
§ 1. Элементы сферической геометрии
..........................................................
§ 2. Эллиптическая геометрия на плоскости
.............................................
§ 3. Геометрия Лобачевского в системе Вейля
..............................................

132
140
146

Г л а в а V II
Дифференцируемые многообразия, группы и алгебры Ли
§ 1. Топологические пространства. Дифференцируемые многообразия
§ 2. Векторное пространство, касательное в точке многообразия . . .
...........................................................................
§ 3. Группы Ли и алгебры Ли

166
170
178

Г л а в а V III
Римановы пространства и пространства аффинной связности
§
§
I
*
§

1.
2.
3.
4.
5.

Геометрические и дифференциально-геометрические объекты
. . .
Определение производной Л и. Примеры
................................
Римановы пространства
..............................................................
Пространства аффинной связности
..........................................................
Обобщения. Пространства путей. Финслеровы пространства . . . .

203
205
208
220
231

Добавление
Расслоенные пространства и инфинитезимальные с в я з н о с т и ....................
..............................................................................................................
Л итература
Предметный указатель
...............................................................

237
254
255

ПРЕДИСЛО ВИЕ

Книга состоит из двух самостоятельных разделов. Первый раздел
(главы I—V) посвящен расширению и углублению вопросов школь­
ного курса геометрии и объединенного курса геометрии I— II педин­
ститутов; здесь рассматривается аксиоматика А. Н. Колмогорова
школьного курса геометрии, аксиоматика Вейля и обзорно — аксио­
матика Гильберта. Заклю чительная глава первого раздела посвя­
щена дальнейшему развитию аксиоматического метода — символи­
ческим исчислениям и вопросам формализации геометрии.
Второй раздел книги (главы V I—V III) посвящен дальнейшему
развитию теории обобщенных пространств (римановым пространст­
вам, пространствам аффинной связности), имеющим важные при­
ложения в теории относительности. В добавлении кратко рассмат­
риваются расслоенные пространства и инфинитезимальные связ­
ности. Приводятся некоторые понятия из теории касательного и
кокасательного расслоений; определяются лифты функций, вектор­
ных полей и аффинных связностей с базисного многообразия М
на его касательное расслоенное многообразие Т (М).
Автору приходилось читать по спецкурсу «Научные основы
школьного курса геометрии» разные разделы предлагаемого учеб­
ного пособия.
В зависимости от конкретных условий подготовки студентов,
наличия на кафедре специалистов можно рекомендовать в педин­
ститутах один из указанных разделов для спецкурса, а другой для
спецсеминаров и самостоятельной работы студентов.
Об актуальности рассматриваемой тематики убедительно гово­
рит в объяснительной записке к программе «Научных основ школь­
ного курса математики» (НОШКМ)
акад. А. Н . Колмогоров.
«Очень желательно, — указывает он, — чтобы к «Научным основам
школьного курса математики» примыкал спецкурс или спецсеминар
по геометрии, продолжающий общее направление данного курса».
5

Раздел I книги в основном продолжает общее направление
НОШКМ на геометрические дисциплины.
Предлагаемое содержание спецкурса широко обсуждалось на
научно-методическом семинаре МП РСФСР, на семинаре заведую­
щих математическими кафедрами пединститутов Российской Феде­
рации МП СССР и семинаре заведующих математическими кафед­
рами пединститутов союзных республик, конференции препода­
вателей математики Центральной зоны МП РСФСР по заочному
отделению.
В заключение автор приносит искреннюю благодарность
проф. В. Т. Базылеву и проф. Б . Л . Лаптеву за их ценные замеча­
ния по рукописи, которые были учтены при подготовке книги к
опубликованию.
Отзывы и предложения просим направлять по адресу: Москва,
129846, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Издательство «Просвеще­
ние», редакция математики.

РАЗДЕЛ I

О СИСТЕМАХ АКСИОМ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Глава I
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ

Аксиоматический метод впервые был успешно применен при
изложении геометрии Евклидом, греческим ученым, жившим в
III в. до н. э. Его «Начала» построены следующим образом.
Сначала даются определения и перечисляются основные допу­
щения — постулаты и аксиомы.
Затем идут предложения (теоремы), которые Евклид стремился
доказать по правилам логики на основании принятых постулатов
и аксиом.
Аксиоматический метод является в настоящее время основным
методом исследования не только в геометрии, но и во многих дру­
гих разделах современной математики.
Выясним теперь в общих чертах, что же представляет собой
аксиоматический метод построения теории.
С этой целью мы обратим внимание на предложения (теоремы),
рассматриваемые в геометрии. Истинность таких предложений
устанавливается при помощи рассуждений — доказательств, кото­
рые опираются на определения, аксиомы и ранее полученные тео­
ремы. Доказательства последних в свою очередь основываются на
предыдущих теоремах, определениях и положенных в основу ак­
сиомах. В итоге мы приходим к аксиомам как к простейшим от­
правным предложениям геометрии.
Аналогичное положение имеет место при определении понятий.
Всякое понятие определяется через ранее введенные понятия и
аксиомы. В результате указанной редукции мы придем в конце кон­
цов к понятиям, которые уже не сводятся к более простым и пред­
ставляют собой отправные неопределяемые понятия. Эти понятия
называются основными понятиями, и они такж е описываются аксио­
мами.
Например, в аксиоматике школьного курса геометрии в ка­
честве основных понятий принимаются точки, прямые и расстояния
от одной точки до другой. Основные понятия — точки и прямые —
7

в этом случае называются такж е основными образами. Расстояния
при таком построении геомэтрии образуют системы так называемых
неотрицательных величин.
Отметим, что основные понятия при построении теории исполь­
зуются только через посредство аксиом. Поэтому все свойства основ­
ных понятий, необходимые для построения аксиоматической теории,
должны быть перечислены в аксиомах. В этом смысле часто говорят,
что аксиомы неявно определяют основные понятия. Н иж е на кон­
кретных примерах мы убедимся, как с помощью аксиом описыва­
ются свойства основных образов и отношений.
Задача выбора основных понятий и аксиом геометрии является
одной из важных задач оснований геометрии. Эта задача решается
неоднозначно и требует от математика большого внимания и н а­
выка. В сякая аксиоматическая теория строится по следующему
плану:
1. Сначала перечисляются основные понятия — основные обра­
зы и основные отношения.
2. Д алее приводится список аксиом-предложений, в которых
фиксируются некоторые свойства основных понятий, необходимые
для построения теории.
3. Все последующие предложения (теоремы) должны быть полу­
чены из аксиом при помощи лишь одних логических законов.
4. Все понятия, не являющиеся основными, должны быть опре­
делены через основные и понятия, ранее введенные.
Аксиомы при этом должны удовлетворять определенным требо­
ваниям, в первую очередь требованию совместности.
М атематика является одной из самых абстрактных наук. Но ее
понятия отражают свойства реальных вещей и отношений между ни­
ми. Аксиомы не являются продуктом свободного творения матема­
тиков или условными соглашениями. Они выведены из взаимосвя­
зей понятий и в своих предпосылках имеют опытное происхождение.
Усиленное развитие аксиоматического метода было связано с
открытием в прошлом веке неевклидовой геометрии и созданием
теории множеств. Геометрия Лобачевского и теория множеств вы­
звали появление ряда важнейших исследований по общим вопросам
аксиоматики. Они содействовали распространению в математике
метода научного исследования с помощью аксиом.
Если в аксиоматической теории правила вывода явно не пере­
числяются, то она называется содержательной, неформальной ак ­
сиоматической теорией', если ж е система правил вывода явным
образом включается в аксиоматическую теорию, то последняя назы­
вается формальной или дедуктивной аксиоматической теорией. П ри­
мером содержательной аксиоматической теории может служить
теория групп, примером формальной аксиоматической теории —
исчисление высказываний (см. V главу).
Дальнейш ее развитие аксиоматического метода привело мате­
матиков к понятию символического исчисления. Последнее харак­
теризуется заданием на язы ке формул системы аксиом и правил
8

вывода. В теории символических исчислений получен ряд важных
результатов, составляющих новую ступень в развитии аксиомати­
ческого метода исследования.
Прежде чем перейти к математическим структурам, мы остано­
вимся кратко на понятиях отношения, отношения эквивалентности
и факторизации.
§ 1. ОТНОШЕНИЯ. ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ФАКТОРИЗАЦИЯ

Отношения выражают связи между предметами (понятиями).
Предположим, что нам дана какая-нибудь связь (соотношение)
р (х, у) между элементами х, у, принадлежащими соответственно
множествам А и В. Множество всех пар (х, у), таких, что элемент
х £ А находится в данной связи (соотношении) со вторым эле­
ментом у £ В, определяет некоторое подмножество (которое обозна­
чим тем же символом р — {(*, у) |р [ х ,у )) в множестве всех пар
(х, у)). Обратно, задание подмножества р в множестве А X В —
декартовом произведении множеств А , В — выражает некоторую
связь (соотношение) между элементами х € А , у € В, для которой р
будет множеством пар истинности (декартовым произведением
А х В множеств Л и В называется множество всех упорядоченных
пар (х, у), таких, что элемент х принадлежит множеству А , а эле­
мент у — множеству В). Таким образом, утверждения «соотноше­
ние р (х, у) выполнено для х, у» и «пара (х, у) является элементом
множества р» равносильны. Изложенное показывает, что бинарное
отношение целесообразно определить следующим образом.
Бинарным отношением р между элементами х, у двух множеств;
А , В (х € А , у € В) называется всякое подмножество декартова
произведгния А X В этих множеств: р с . А X В.
Отношение р иногда обозначается так: р (х, у), где х (; А , у € В.
Особо отметим бинарные отношения на множестве А . В этом слу­
чае отношение р будет подмножеством декартова произведения
А х А\ р а А х А.
В случаях, если отношение р такое, что р = Л х Л , р = 0 ,
р = Д, где 0 — пустое множество и Л — диагональ множества
Л х Л (А = {(х, х)\ х £ А } , то бинарное отношение называется
соответственно полным, пустым и диагональным.
Если множество р будет подмножеством декартова произве­
дения трех различных или совпадающих множеств, то отношение
называется тернарным.
Если ж е р будет подмножеством декартова произведения п
различных или совпадающих сомножителей, то отношение называ­
ется п-арным или п-местным.
Операция объединения и пересечения множеств позволяет
ввести соответствующие операции над отношениями. В самом деле,
если на множестве Л заданы бинарные отношения р, q, то на том
же множестве, очевидно, можно определить бинарные отношения:
p \ ] q , рЛ 1).

(2.1)

Эта система позволяет образовать другие множества — мно­
жества их подмножеств, декартовы произведения одного из мно­
жеств (2.1) на множество той же системы. Присоединяя получен­
ные множества к исходным множествам (2 . 1), повторим указанные
операции образования совокупностей подмножеств и декартовых
произведений над множествами новой системы и т. д. Полученная
в конечном итоге совокупность множеств называется шкалой
Sh (M j, УИ2, ..., M k) множеств, определенной множествами (2.1).
Нетрудно убедиться, что задание отношений между элемента­
ми множеств шкалы, отображений одного из множеств шкалы в
другое, а такж е задание некоторого числа элементов в множествах
шкалы сводится каждый раз к заданию элемента одного из мно­
жеств этой ж е шкалы. Предположим далее, что между элементами
множеств (2 . 1) и множеств порождаемой ими шкалы определена
система отношений
Ut (I € /),

(2.2)

a, (j

(2.3)

описываемая аксиомами
J),

выраженными на языке теории множеств. В (2.2) символ i пробе­
гает множество индексов / , а символ / в (2.3) пробегает множество
индексов J.
Может оказаться, что для указанных множеств М ъ М 2, ■■■, M k
не существует ни одного набора системы подмножеств U —■ (U. \ i £
£ /), удовлетворяющих вместе с множествами шкалы требованиям
аксиом a.j (/ £ J), или таких систем существует более чем одна.
Таким образом, в общем случае отношения U { (i £ I) между
элементами множеств шкалы не фиксируются до конца аксиомами
a (aj). Каж дая из систем отношений U = (Ut \
I) между эле­
ментами множеств шкалы Sh (М 1( М 2,
M h) называется мате­
матической структурой (короче, структурой), если все аксиомы
(2.3) выполняются на множествах М ъ М 2, ..., M k; множества
М ъ М 2, ..., M h называются базисными множествами структуры;
отношения Ut (i £ /) — основными отношениями.
11

Математическая структура с
М 2, .... M h обозначается так:
S = (М и М 2

базисными

множествами

M k„ U t (i £ /)).

M lf
(2.4)

Здесь и далее в аналогичных обозначениях подчеркивается, что
структура U = (U{ \
/) вводится на базисных множествах M lt
М 2, ..., M h. Отметим, что в структуре некоторые из отношений Ut
могут описывать операции, т. е. отображения вида M s -*■ М , где
s — натуральное число.
Д ля класса структур, встречающихся в настоящей книге, по­
лезно ввести понятия типа отношения и типа структуры. Речь идет
о структурах с отношениями между элементами лишь базисных
множеств, не содержащих других множеств шкалы. Такие струк­
туры иногда называются алгебраическими системами или структу­
рами с отношениями.
Если отношение р есть подмножество декартова произведения
p c z M l 1 X М п2' X ... X Af**,
где M l 1 — декартово произведение пх раз взятых сомножителей
и т. д., то говорят, что это отношение типа tp = (nlt п 2, ..., п к).
Предположим, что каждое основное отношение p t в некоторой
структуре имеет тип tr Совокупность t типов t( отношений pt(i € /)
называется типом структуры', в символической записи t = (t.\ i€ I).
Д ве структуры с отношениями S , S ’ называются структурами
одного и того же типа, если они имеют одинаковое число базисных
множеств (k = k'), общее множество индексов (/ = / ') и наборы t,
? совпадают (покомпонентно): t( = t\ (i € I).
Предполагая, что теории натурального ряда чисел N и множе­
ства Z всех целых чисел уже известны, приведем следующие приме­
ры конкретных математических структур.
П р и м е р 1. Возьмем в качестве базисного множества множе­
ство N натуральных чисел, в роли основного отношения примем
отношение р (л:, у, г) от трех аргументов х, у, г, определенное опе­
рацией сложения, т. е. 1) отношение р (я, у, г) принимает значение И
(истинно), если х + у — z; 2) отношение р (х, у, z) принимает зна­
чение JI (ложно), если х Л - у ф г . Эта структура S x = (N , р) с одним
базисным множеством N и одним основным отношением р. Тип
структуры t = (3).
Аналогичным образом можно построить структуру, в которой
базисным множеством будет такж е натуральный ряд чисел, а ос­
новным отношением — отношение р (х, у, г), которое выполняется
тогда и только тогда, когда х у — г.
П р и м е р 2. Множество Л \ четных чисел натурального ряда
такж е можно принять в качестве базисного множества структуры
с основным отношением ру (х, у, г) «=* х + у = г (т. е. р х (х, у, г)
выполняется тогда и только тогда, когда х + у = z порождает
12

структуру S 2 =* (N l t P i ) , где k =* 1, / = {1}). Тип структуры
t - (3).
П р и м е р 3. Рассмотрим далее множество М , состоящее из
двух чисел 1, — 1. В качестве основного отношения возьмем отноше­
ние, описывающее умножение этих чисел. В этом случае структура
S . такова:
р = {(1, 1, 1), (1, - 1 , - 1 ) , ( - 1 , 1, - 1 ) , ( - 1 , - 1 , - 1 ) } . Тип
структуры t — (3).
П р и м е р 4. Рассмотрим множество целых чисел Z с отноше­
ниями, характеризующими « + » и « + ,
В первом случае
V \ — {(а > Ь, с) \ а + b = с, а, Ь, с £ Z }
есть структура на множестве целых чисел Z ; во втором случае
структура U определяется на том ж е множестве совокупностью двух
множеств:
Ui,

= {(а, Ь) | а < Ь, а, Ъ 6 Z } , < -

(3, 2).

Примеры структур с двумя и более базисными множествами рас­
сматриваются в конце главы I, а такж е в главах II , II I , IV книги.

1. Род структур и ого аксиомы. Йгоморфизм структур
Прежде чем перейти к другим примерам математических струк­
тур, введем еще несколько определений, которые позволят лучш е
усвоить понятие математической структуры.
Мы указывали выше, что аксиомами а ( а {) отношения между
элементами множеств шкалы Sh (M lf М 2, ..., М к) не фиксируются
до конца.
Выбор возможной структуры U f (i 6 П для данных базисных
множеств M lt Af2, ..., Доопределяется так называемой типовой
характеристикой Т (М и М 2, ..., M k, U { \ I 6 I)Обозначим символом 2 совокупность всевозможных структур
S = (М ъ УИ2, ..., M k, U { (i 6 /)). определенных различными ти­
повыми характеристиками на базисных множествах М ъ М 2, ...,
M k аксиомами (2.3).
Если эта совокупность 2 структур не пустая, то говорят, что
каждый ее элемент U = (U, | i 6 /) определяет на М х, М г, ...,
M k математическую ст руктуру рода S (короче, ст руктуру рода
2 ) соответствующей типовой характеристики.
Система аксиом а = (а ; | j £ J) в (2.3) называется системой
аксиом рода структур 2 , Т (М , U) — типовой характеристикой
(типизацией) структуры рода структур 2 . В целях краткости
здесь применяются обозначения:
а = (а , | j е J), М = (M lt М 2

M k), U = (U, \ i € /)•

Отметим, что U есть математическая структура рода 2 на ба­
зисных множествах М ъ М 2, ..., M k, если каждое U. (i 6 /) получе­
но согласно данной типовой характеристике и все аксиомы рода
структур 2 выполняются на множествах М 1у М 2, ..., M k.
Следует помнить, что а . (/ £ У) называются аксиомами рода
структур, а не аксиоматической теории; аксиомы здесь исполь­
зуются лишь для задания некоторой совокупности структур.
Из контекста легко устанавливается смысл употребляемых
слов: «аксиомы», «система аксиом» в зависимости от того, идет ли
речь об аксиомах (системе аксиом) теории или рода структур.
Будем теперь считать, что аксиомы а рода структур 2 (вместе
с аксиомами Г) составляют систему аксиом некоторой аксиомати­
ческой теории. Совокупность предложений Г2, которые можно до­
казать из указанных аксиом, называется теорией рода структур
2 . Мы предполагаем, что теоремы в этой теории выводятся из ак ­
сиом, так же как выводятся теоремы в теории множеств.
Под аксиоматической теорией без каких-либо дополнительных
оговорок мы всегда понимаем аксиоматическую неформальную
теорию.
Часто в структурах некоторые из базисных множеств играют
более важную роль, чем другие, и называются они основными ба­
зисными множествами', остальные базисные множества называются
вспомогательными базисными множествами.
Структурам одного рода при каких угодно базисных множест­
вах обычно приписывается специальное название. Такие известные
читателю понятия, как группа, кольцо, поле и др. являются струк­
турами рода структуры соответственно группы, кольца, поля и др.
Если нам даны два рода структур 2 , 0 , то теории Г2, Г0 все же
могут быть связаны друг с другом. Особого внимания, естественно,
заслуж ивает случай, когда эти роды структур приводят к одной и
той же теории, т. е. случай эквивалентности аксиом теорий Г2, Г0.
Системы аксиом двух теорий называются эквивалентными, если в
каждой из этих теорий можно построить основные понятия другой
теории так, что все ее аксиомы будут теоремами в первой теории.
Изучение структур ведется с точностью до изоморфизма. П ри­
ведем определение этого важнейшего понятия сначала для структур
с одним базисным множеством.
Допустим, что нам даны две математические структуры 5 и S ',
каж дая из которых имеет одно базисное множество М , М ' соответ­
ственно:
S = (М, p t \ i б /),
S ' = (М ', р\ | i 6 /')•
Отображением структуры S в структуру S ' называется отображе­
ние базисного множества М структуры 5 в базисное множество М '
структуры S ' .
Д ве структуры одного и того же типа называются изоморфными,
если можно установить взаимно однозначное отображение элемен­
14

тов базисного множества М на элементы базисного множества М ',
при котором отношение р с (i £ /) выполняется или не выполняется
для аргументов х г, х 2, ..., х П[ тогда и только тогда, когда отноше­
ние р ‘. соответственно выполняется или не выполняется для эле­
ментов / (х j), f (хг)
/ (хП{).
В символическом виде условие изоморфизма записывается так:
pt{xlt x t , ..., х п) р\ (/ (Xj), / (*,), ..., / (*„.)),

(2.5)

где символ, выражающий эквивалентность левой и правой ча­
стей формулы (2.5). Структуры S , S ', допускающие изоморфизм,
называются изоморфными.
Можно убедиться, что структуры S lt S 2 в приведенных выше
примерах 1, 2 изоморфны. В самом деле, взаимно однозначное
отображение ’j(x) — 2х структуры
на S 2 является изоморфизмом.
Отображение / структуры 5 в структуру S ' называется гомо­
морфизмом, если (2.5) выполняется лишь в одну сторону: из вы­
полнимости левой части следует выполнимость правой части. Н а­
пример, структура
гомоморфна структуре S 3 (с. 13) по отображе­
нию / : / ( « ) = 1, если п четное, / (п) — — 1, если п нечетное.
Понятие изоморфизма структур S , S ' общего вида вводится
следующим образом. Пусть нам даны две структуры одного и того
же рода:
S = (М ъ М 2

М к,

Ао, ..., А т, U),

S ' = {М\, М'2......... М ', А ъ Л 2, . . . , А т, U ’)
с основными базисными множествами M lt М 2, ..., М к, соответствен­
но М \, М'2, ..., M'k и вспомогательными базисными множествами
А и А 2, А 3, ..., А т. Пусть далее / ( : М ( -*- М'. (i = 1, 2, ..., k) —
взаимно однозначные отображения М . на М'.. Говорят, что (flt
/ 2, ..., / А) является изоморфизмом множеств M lt М 2, ..., M k, на­
деленных структурой U, на множества М[, М'2, ..., М ’к, наделенные
структурой U', если множество U при таких отображениях (и их
распространениях на множества p t, входящие в типизацию) пере­
ходит на множество \J'-, каждое вспомогательное базисное множе­
ство А ъ А 2, ..., А т подвергается при этом лишь тождественному
отображению на себя.
Следует помнить, что понятие изоморфизма структуры связано
с характером условий, которым должны удовлетворять аксиомы ро­
дов структур — они должны выражать переносимые отношения.
Именно это обстоятельство порождает существование понятия
изоморфизма в структурном плане.
В заключение отметим, что в современной математике роль ак­
сиоматического метода исключительно велика; большую роль
играет и тесно связанное с этим методом понятие математической
1S

структуры. Последнее понятие — одно из важнейших в матема­
тике, и связано оно в основном с систематикой изучаемых объектов
в аксиоматических теориях.

2. Примеры структур рода группы и порядка
Сначала дадим определение группы. Группой называется мно­
жество G элементов любой природы, допускающее операцию умно­
жения ф (х , у) — ху, такую , что выполняются следующие аксиомы
1—4.
А к с и о м ы р о д а с т р у к т у р гр уп п

1. Д ля любых двух элементов х, у данного множества, взятых
в определенном порядке, существует определенный элемент г 6 G,
такой, что г = ху.
2. Операция умножения удовлетворяет ассоциативному закону,
т. е. для любых трех элементов х, у, г, принадлежащих множеству
G, справедливо равенство (ху)г = х (уг).
3. Существует правая единица, т. е. такой элемент е 6 G, что
для любого элемента х, принадлежащего множеству G, имеет место
хе = х.
4. Д ля любого элемента х из множества G существует правый
обратный элемент х', принадлежащий такж е G, т. е. такой элемент
х ' 6 G, что хх' — е.
Аксиомами 1—4 определяется род структур групп на множест­
ве G. Упоминаемая в определении бинарная операция G в предположении, что групповые аксиомы
1—4 выполняются. Приведем примеры групп:
A. Множества целых чисел, а такж е рациональных или веще­
ственных будут группами относительно операции сложения. Еди­
ницей этих групп является число нуль.
Б . Множества рациональных (а такж е действительных) чисел
без нуля составляют группу относительно операции умножения.
Единицей группы является число единица.
B. Множество подстановок из п цифр составляет относительно
операции умножения подстановок группу с п\ элементами.
При п — 3, например, получаем группу подстановок из трех
цифр, содержащую шесть элементов. Существуют другие группы,
такж е содержащие шесть элементов и не изоморфные группе под­
становок из трех цифр. Например, совокупность вращений евкли­
довой плоскости вокруг данной точки О на углы, кратные 60°, обра­
зуют группу. Умножение элементов здесь понимается в смысле
последовательного осуществления данных вращений. Неизоморф­
ность этих групп следует из того, что умножение в группе вращений
коммутативно, т. е. не зависит от порядка сомножителей, а в груп­
пе подстановок — некоммутативно, т. е. произведение элементов,
вообще говоря, зависит от порядка сомножителей.
Совокупность Н элементов из группы G, составляющая относи­
тельно групповой операции в G самостоятельную группу, называ­
ется подгруппой группы G. Например, подгруппами аддитивной
группы вещественных чисел являются множества рациональных
(а такж е целых) чисел.
Множество М элементов какой угодно природы, допускающее
ассоциативную операцию, называется полугруппой. Ясно, что
полугруппа является математической структурой с одним базис­
ным множеством и одним основным отношением р. Очевидно, мно­
жество натуральных чисел допускает структуру полугруппы от­
носительно операции умножения (сложения). Род структур полу­
групп на М определяется первыми двумя аксиомами рода структур
групп.
Переходим к роду структур порядка. Структуры порядка —
структуры
(М , р)
с одним базисным множеством М и одним основным отношением
17