Алгебра. 7 класс. Дидактические материалы [Лариса Петровна Евстафьева] (pdf) читать онлайн

-  Алгебра. 7 класс. Дидактические материалы  [учебное пособие для общеобразовательных организаций (14-е издание)] 13.05 Мб, 162с. скачать: (pdf) - (pdf+fbd)  читать: (полностью) - (постранично) - Лариса Петровна Евстафьева - Александр Поэлевич Карп

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

Дидактические
материалы

Л. П. Евстафьева

А. П. Карп

Алгебра
Дидактические
материалы

7

класс

Учебное пособие
для общеобразовательных
организаций

14-е издание

Москва
«Просвещение»
2019

УДК 373:512+512(075.3)
ББК 22.14я721
Е26

Е26

6+

Евстафьева Л. П.
Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс : учеб,
пособие для общеобразоват. организаций / Л. П. Евста­
фьева, А. П. Карп. — 14-е изд. — М. : Просвещение,
2019. — 159 с. : ил. — ISBN 978-5-09-070950-7.
Книга содержит упражнения по алгебре, функциям и анализу
данных к учебнику «Алгебра. 7 класс» Г. В. Дорофеева и др. Ди­
дактические материалы включают обучающие работы с заданиями
разного уровня сложности, проверочные работы для организации
текущего оперативного контроля, а также материалы для матема­
тического кружка.
УДК 373:512+512(075.3)
Б Б К 22.14я721

ISB N 978-5-09-070950-7

© Издательство «Просвещение», 2006
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2006, 2019
Все права защищены

Предисловие

Дидактические материалы предназначены для организации
самостоятельной дифференцированной работы учащихся и содер­
жат разнообразный материал, который может быть использован
на различных этапах изучения темы и для разных групп уча­
щихся.
Книга состоит из трех разделов:
I. Обучающие работы.
II. Проверочные работы.
III. Материалы для математического кружка.
В разделах I и II работы распределены по девяти главам, на­
звания которых совпадают. Внутри глав все работы имеют сквоз­
ную нумерацию.
Обучающие работы (0-1, 0-2 и т. д.) нацелены на формиро­
вание важнейших умений и навыков, связанных с материалом
7 класса. Они предназначены для организации обучения в теку­
щем учебном процессе и используются, когда упражнений учеб­
ника не хватает для отработки навыков, для дополнительной ра­
боты с отстающими учениками, для развития математических
знаний и умений школьников. Тематика каждой работы указана
в ее названии.
Большинство обучающих работ содержат опорные сведения,
в которых приводятся образцы решения основных задач, прави­
ла, некоторые термины и т. д. Далее следуют задания разного
уровня сложности, разбитые на две части горизонтальной чертой.
Задания первой части направлены прежде всего на достижение
уровня обязательной подготовки. Задания второй части предназ­
начены для овладения изучаемым материалом на более высоком
уровне. Наиболее трудные задачи отмечены звездочкой. Обучаю­
щие работы не регламентированы по времени и могут использо­
ваться отдельными фрагментами на различных этапах формиро­
вания конкретного умения как для самостоятельной дифференци­
рованной работы, так и для фронтальной работы с классом.
Работы рубрики «Проверь себя!» содержат задания с выбо­
ром ответа и снабжены «ключом* — перечнем верных ответов.
Они предназначены для самостоятельного обзора и повторения за­
конченных фрагментов учебного материала.

П роверочны е работы (П -1, П-2 и т. д.) о х в аты ваю т весь м ате­
риал курса. Они предназначены д л я орган и зац и и т ек у щ его о п ера­
тивного контроля и рассчитаны на 10— 15 м ин. Эти работы пред­
ставлены в двух вари ан тах одного уровня слож ности . М ногие из
ни х содерж ат по одному заданию более вы сокой слож н ости , отм е­
ченному звездочкой. Эти задан и я могут бы ть опущ ен ы и л и в к л ю ­
чены в состав работы в зависимости от ситуаци и по усмотрению
учи теля.
В конце сборника помещ ены м ат е р и ал ы для м а т е м а т и ч е с к о ­
го к р у ж к а (М-1, М-2 и т. д.). К а ж д ая работа содерж и т о б ъ я сн и ­
тельн ы й текст и систему задач. Они рассчитаны на в ы п ол н ен и е в
течение достаточно длительного времени и могут бы ть и сп о л ьзо ­
ваны к а к на за н ят и ях к р у ж к а , т ак и при ин диви д уал ьн ой работе
с сильны м и учащ им ися (для подготовки к олим пи адам и т. п.).
П ри составлении этих работ использованы м атери ал ы п етербург­
ски х м атем атически х к руж ков и олимпиад.
Главы 1, 2, 3, 4, 7 из разделов I и II (кроме работ 0 -8 и П -12)
написаны Л . П . Евстафьевой. Главы 5, 6, 8, 9 и работы 0 -8 и П -12
из разделов I и II, а так ж е раздел III написаны А . П . К арпом .

Раздел I. О Б У Ч А Ю Щ Е Е Р А Б О Т Ы

Глава 1. Дроби и проценты
С М Л Ъ вторени е.
Вычисления с обыкновенными
и десятичными дробями
1. Выполните действия и сравните результат с указанным
числом:
. 1 , 3
15
4) а ) 16 + 4 И 1 6 ’

,, 2 , 3
14
б) 5 + Т 5 И 2 5 ;

. 7 , 1
23
В) 9 + 2 И Т7-

. 9
3
4
2) 8) 10 _ 4 И 2 5 ’

,, 8
5
2
б) 9 _ 6 И 3 6 ’

в) Тб _ з и ТУ’

,

7

1

4

, 3 , , 1
к 7
В) U + 5 2 И 5 П -

3> а> 1
21 +3т и 4ш ;

б)
3О -1 +, 5С 3- И о8 1- 3;

, 3
2222
и 4, -----.
в) 6 1 —
5
5555

, .3
5
11
4) а) 1 4 _ 6 И Тз
,, „ 1
- 3
33.
2 15
1 20
37’

2. Выполните действия и расположите результаты, полу­
ченные в пунктах «а», «б», «в», в порядке возрастания:
в) 0,012 + 0,08.
б) 0,04 + 0,6;
1) а) 0 ,3 + 0,07;
в) 0,24 - 0,024.
б) 0,57 -0,057;
2) а) 0,43 - 0,043;
в) 4 + 5,6.
б) 2,37 + 10,063;
3) а) 4,24 + 2,76;
в) 5 ,1 -4 ,5 1 .
б) 12,3 - 1,23;
4) а) 4 ,2 4 -2 ,7 6 ;
3. Выполните действия и сравните результат с первым
числом:
ч 3

7.

^
5 ' 8’
2) a) 2 : l | ;

б) i f - - 1 &
R4

8 • 1® .

9 ‘ 27’

4

5

1 11

в) 18 1 Тб '

*>34
г:4

3) а) 3,5 • 0,24;
4) а) 3,2 : 4;
5) а) 3,56 • 0;

в) 0 ,54 • 2,5.
в) 0 ,24 : 1,5.
в) 2 j - 0 .

б) 0 ,2 0 5 • 3800;
б) 12 : 1,5;

4. Вычислите, выбрав удобный порядок действий:
1 ) а) 5,64 + (2,7 + 2,36 + 4,3);
б) 5,32 + 3,875 + (4,68 + 6,125);
в) 5,867 + 4,9 - 4,867;
г) 1 3 - 6 , 8 4 - 2 , 1 6 .
2! +5М 6? +40 ») 5 j L + 3 А _ 4Х;
2 ) а)
19
12’
б)

Ф ( Ф 41 ) + 61

r ) 5 i - 3 i -

1 *.
9
9
■> 5 i H - - 12 3* И

3) а)

г) б | : 3 - 8 f 4 .

б)

5. Вычислите, применяя свойства ум нож ения и деления,
а такж е некоторые «удобные» произведения:
Ъ
с

а ■Ъ — Ъ • а
( а ■ Ь) ■ с = а ■ ( Ь ■ с )
a - b + a - c = a - ( b + c)

а: -

=

с
Ъ

а •-

2 • 5 = 10; 4 • 2 5 = 100;
8 • 125 = 1 0 0 0

1) а) 0 ,4 ■ 7 ,6 5 • 2 ,5 ;
2) a) l f : 2 : § ;

б) 3 ,5 • (0 ,8 • 4) • 1 ,2 5 .
б) 2 f : 3 : f .

3) a ) l f 5 f + 1 f . l § ;

б)

5



4)

а) 7 ,2 9 - 2 , 5 - 0 - 0 ,4 ;

I.1A _
3

3

13

б)

6. В ы п о л н и те д ей ств и я :
1) a) 5 | - l A ( l 2 | : 5 - | - 3 ) ;

б>2t+2H7i:6-iH-

2) а) 8 ,5 + 1,5 • (0 ,8 : 0 ,1 6 - 0 ,1 6 • 0,5 );
б) 12,5 - 2 ,5 ■(0 ,9 : 0 ,1 8 - 0 ,1 8 • 0 ,5 ).

I.jA .
3

13

3) а)
б)
4) а) (1 5 ,4 - 7,2 - 6,2) • 0,5 : 0,1;
б) (1 4 ,6 - 6 ,8 - 5,8) • 0,05 ; 0,1.
7. М иш а попал в баскетбольное кольцо 6 раз из 10 брос­
ков, а Коля — 9 раз из 15 бросков. Сравните резу л ьта­
тивность попаданий.

0 -2 . Повторение.
Действия с рациональными числами
1. Вы полните действия:
1 ) а) - 3 7 + (-15);
б) - 3 7 - (-1 5 );
2 ) а) - 3 , 6 + 4 ,8 ;
б) - 3 , 6 - 4,8;
3) а)
в)

2i +

в)
г)
в)
г)

- 3 7 - (-15);
- 3 7 : (-15);
- 3 ,6 • 4,8;
- 3 ,6 : (-4 ,8 );

Д) 0 • (-2 ,5 ).
Д) 0 : (-2 ,5 ).

в)
-5

д) - 3 7 + 0.

г)

2. Реш ите уравнение, используя связи между компонентами действий:
в) - 5 ,6 + х = 0;
1) а) - 7 , 6 + х = 3;
г) - 3 ,4 + х = —7,8.
б) 3 ! + х = —2;
2) а) - 2 , 5 • х = 10;
б) 1,2 • ж = - 1 2 ,2 4 ;
3) а) 8 : ж = - 1 6 ;
б)

x : 2 j = ~5b

3. Вы полните действия:
а) ( - 3 ,6 - 1,6 - 4,8) : (-2 );

в)
г)
в)
г)

0,4 8 • ж = - 0 ,2 4 ;
- 2 • ж = 0.
ж : (-2 ) = 0;
ж - 2 = -2 .

в) -0 ,1 2 5 • (-6 ,7 ) • (-8 );
г) - 3 ,6 • 7,4 - 3,6 • 2,6;
д) (-5 ,6 + 5,6) • 2,69 : 134,5.
4 . Реш ите уравнение и сделайте проверку:

а) (х - 5) : 2,5 = - 4 ;
б) 2х - 0,4 = 0,6;



в) (х + 4,6) • 2,4 = - 9 ,6 ;
г) (х - 3,2) • 5,6 = 0.

Проверь себя!

1. Вычислите значение вы раж ения 7,2 - 2,6 - 2,6.
А. 3.
Б. 7,2.
В. 2.
2 . Найдите произведение 3,5 • (-0 ,0 2 ) • (-0 ,1 ).

А. 0,007.

Б. -0 ,0 0 7 .

В. 0,0007.

3. Чему равна разность 2 ^ - 1 ^ ?

Л. 4

в. 4

в. §.

4 . Найдите значение вы раж ения - 8 ,4 - 6,4.

Б. 2.

В. -1 4 ,8 .

5. Найдите х, если - х = 2,3.
А. - 2 ,3 .
Б. Не существует.
6. Вычислите —
А. -0 ,0 1 .

В. 2,3.

■ ’ .

0,01

Б. -0 ,1 .

В. -1 0 .

7. Решите уравнение 17х = 8,5.
А. х = 8,5.
Б. х ~ \ -

.

В. х = 2.

8 Сравните числа а и Ь, если а = - —-16, Ъ = -1 6 :
4

А. а > Ь.

.

Б. а = Ъ.

В. а < Ь.

9 Сравните числа а и Ь, если а = -3 ,2 - 2,6 - 0,4,

Ь = —3,2 - (2,6 - 0,4).
А. а > Ъ.
Б . а = Ь.

В. а Ь.
• '

Б . а = Ь.

В . а < Ь.

В А В В А В Б Б В В

0 -3 . Обыкновенные и десятичные дроби
П ом ните: 2 • 5 = 10; 4 • 25 = 100; 8 ■ 125 = 1000.
1. П редставьте десятичны е дроби в виде обы кновенны х,
н есократи м ы х дробей:
а) 0 ,3; 0 ,0 3 ; - 0 ,0 0 3 ; 0,00003;
б) - 0 ,0 5 6 ; 0,6 4 ; - 0 ,0 0 8 8 ; 0,039.
2. П редставьте обы кновенны е дроби в виде десяти чн ы х:
9
5 . _ 1 7 . _47_.
100 ;
4’
20 ’ 500’
19
7 . 19.
7 .
Ь) 10 0 0 0 ’
25’ 8 ’
125 ’
__ 3_. _9_. 1 3 7 . 127
В)
4 0 ’ 12 ’
200’
50 '

3. В ы числите:
1) а) 2 ! + 0,5;

в) - I f + 0,4;

е) 2 , 7 8 - 3 X .

б) з | —0,64;
2) а) 1 1 - ( - 0 , 14);
б) - 5 ,6 : 1

■)

д) - 0,64 •

г) - 0 , 6 5 : 1;

е) 8 ,3 2 : |

7’

4. В ы числите удобны м д л я вас способом.
1
0 ,4 --

в)

1) а)


1,2

О

б)

2Н .
-

5’

, 1 7 , 13.
1 30 + 1 5 ’

1-1 - 0,42
14

3’2:f

г) 0,8 0,7 ‘

8’

-2,3 + i
2) а)

°,4 + 3 .

—+ 1,2
6
2,5 - f
5.
б)
3’
1,6
4

В)

2

- i f * 0 -6

-3,75 +



з
-

г ) -----------3
- 2,88 25

5. Сравните числа удобным для вас способом:
н) ЗУ и -0 ,8 7 5 ;
1) a) - i f и - | ;
. 13
14
11 х 17г) 15 и 17'
лТ
б) 18 19’
в) - 0 ,8 и
2) а) 1,2309 и 1,2312;
. 13
11
б) 0,00931 и 0,01011;
г> "ТУ И ~Т53) а) - 0 ,3 и
б) -0 ,5 6 и -

.

11

11.

21И

г) "

20’

и - 0 ,6 7 .

6. Найдите значение выражения при данных значениях
букв а = 3,6, b = -2 ,6 :
За .
в> И л ь '
б) УТб’
а) 2 (а + Ь)’
в) 2а - Ь.
2) а) а + 2Ь;
б) а - 25;
7. Посчитайте, выбрав удобный порядок выполнения дей­
ствий:
а) 3,6 • \ l | - 9,91 + 7,91 j + ( - 9,55 + A j . 3
б) 5,6 • 1

в)

- 4,6 : i i ;

1 5 ,7 -2 |-4 |Ц ;

20,4-0,7

З з - 0 ’2

г) — ------- + — —

Д)

т;

1^ 0,51
0,3 —2^
6
2
0,084-2,56-700
4,9-0,32-2,4

'

8. Решите уравнение:
а) ^ - 2 | - l | = 4,5;

в) Зх + 5 л: - 4,7 л: = 0;

б) л; • 2,5 • (-0,4) = -Ю ;

г) (л: - 3,2) • 3,4 = 0.

П роверь себя!
1. К а к а я и з дроб ей о б р а щ а е т с я в к о н еч н у ю д е с я т и ч н у ю ?
А. -

Б. - 1 1 .
60

15'

В.

15'

2. К а к о й о б ы к н о в ен н о й дроби р а в н а дробь 0 ,0 1 6 ?
А.

Б.

25'

125'

В.

525'

3. Н ай д и те су м м у --= -+ 0,5.
О

А
- 56 .
А.

Б.

2

_ _

15'

В

'

1
'

4. Ч е м у р ав ен х , есл и - 8 • х = —?
А. - + .

Б. -1 6 .

В. - 4 .

5. В ы ч и сл и те 0 ,0 7 6 :
А. 1 5 ,2 .

Б . 0 ,1 5 2 .

6. В ы ч и сл и те 1 —• 0,125 • 0,8.
А. 1 .
Б. 0 ,9 .

В. 0 ,0 1 5 2 .

В.

90'

7. П о ставьте зн а к >, < и л и = вм есто м н оготочи я в в ы р а ж е ­
н и и 0 ,3 0 3 ... 1.
О

Б. .

В. = .

8. К акое из чи сел больш е, чем —у ?

А. -§.

Б. - А

в. -0,2.
17

9. К ако й десяти чн ой дроби р авн а дробь — ?
А. 0 ,9 2 5 .

Б . 0,4 2 5 .

В. 0 ,0 4 2 5 .

i10.
n П
ттри к а к о м из д ан н ы х значен ии- х неравенство —
24 > —
12

верно?
А. 9.

х

Б. 10.

В Б В А Б А Б В Б А

В. 11.

5

0 -4 . Решение задач
З ад ач а. Поезд «С.-П етербург — М осква» вы ш ел из
С.-Петербурга в 0 ч 05 м ин и прибы л в М оскву в
8 ч 25 м ин. Расстояние от С .-П етербурга до М осквы
650 км . К акова скорость д в и ж ен и я поезда?
1) 8 ч 25 мин - 0 ч 05 м ин = 8 ч 20 м ин = 8 | ч;
2) 6 5 0 : 8 | = ^ ^ = 7 8 (к м /ч ).
Эту скорость принято назы вать средней скорост ью дви ­
ж ен и я поезда, так к ак во врем я д в и ж е н и я скорость его
не бы ла одной и той ж е. П оезд то увел и ч и вал скорость,
то ум еньш ал. Н а остановках он вообщ е не дв и гал ся.
Весь пройденный путь
С редняя скорост ь = —-------------------------------.
г
Все затраченное время

1. П оезд за 2,5 ч прош ел 135 км . К акова ср ед н я я скорость
д в и ж ен и я поезда?
2. Автобус вы ш ел из п ун к та А в 8 ч у тра и, сделав в пути
несколько остановок, прибы л в п у н к т В в 12 ч 30 мин.
Расстояние от А до В 162 км . К акова сред н яя скорость
автобуса?
3. П еш еход два часа дви гал ся со скоростью 4,5 к м /ч , а за­
тем ещ е один час со скоростью 5,4 к м /ч . К а к о в а сред­
н я я скорость д ви ж ен и я пеш ехода?
4. 1 см3 ж ел еза им еет массу 7,8 г. К акую м ассу имеет
кусок ж ел еза прям оугольной ф орм ы и размером
5 х 3,2 х 2,4 см? Ответ округлите до ц ел ы х.
5. А втом обиль проехал 43 к м за 35 м ин. К ако в а средняя
скорость его д в и ж ен и я в к м /ч ? Ответ дайте в д есяти ч­
н ы х дробях и округлите до десяты х.
6. М отоциклист за первые 2 ч проехал 83 к м , а затем еще
40 м ин двигался со скоростью 51 к м /ч . К акое рассто я­
ние проехал автомобиль и к ак о ва средн яя скорость его
дви ж ен и я? Ответ округлите до целы х.
7. С редняя скорость д в и ж ен и я автом обиля 75 к м /ч . За
сколько секунд он переедет мост длиной 800 м? Ответ

о к р угл и те до ц ел ы х. Совет: узнайте сн ачал а, ск о л ьк о
м етров проезж ает автом обиль за одну секунду.
8. Собственная скорость лодки 8,1 к м /ч . Скорость течен и я
р ек и 1,5 к м /ч . Л одка п л ы л а 2 ч 10 м ин по течению р е­
к и и 40 м ин против течения. К акое расстояние п р о п л ы ­
л а л одка? С колько времени она потратила на весь п уть?
К акова ср ед н я я скорость ее д в и ж ен и я? С равните сред­
нюю скорость с собственной.
9. П л ас ти н к а
прям оугольной
ф орм ы
им еет
р азм ер
15 х 2 х 0 ,5 см и м ассу 400 г. Сделана п л ас ти н к а из
ал ю м и н и я. К акую м ассу им еет 1 см 3 ал ю м и н и я? О твет
о к р у гл и те до десяты х.

0 -5 . Степень
с натуральным показателем
1. З а п и ш и т е короче, не в ы ч и сл я я результата:
1) a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3:
б) 3 • 3 • 3 • 3 • 3;
в) З - З - З - З + З - З - З - З - З ;
г) (3 • 3 • 3) • (3 • 3 • 3 • 3);
д) - (3 • 3 • 3 • 3).
2 ) a) ( - 2 ) + ( - 2 ) + ( - 2 ) + ( - 2 ):
б) ( - 2 ) ■( - 2 ) • ( - 2 ) ■(-2 );
в) ( - 2 ) • ( - 2 ) • ( - 2 ) + ( - 2 ) • (-2 );
г) ( - 2 • ( - 2 ) • (-2 ) ) • ( - 2 • (-2 ));
д) - ( 2 - 2 - 2 - 2 - 2 ) .
3) а) т + т + т + т + т;
б) т ■т ■т • пг • пг;
в) m ■ m + m ■ m ■ m;
г) ( m + m + m) - (m ■m • m );
д) - (m • m).
2. Вычислите степень чисел:
б) ( - 7 ) 3;

») ( § ) \

г)

2) а) ( - 1 2 ) 2;

б) 6 3;

00

(- 1).,

1) а) 1 3 2;

а) 2 5 2;

б) ( - 3 ) 5;

в) ( - 0 ,3 ) 3;
в) [ - 2 i J ;

г) О73,
г) I 115.

4) а) (1,Т )2;

б) (—2 )6;

») ( l § ) ' ;

г) (-!)■•

3 . Сравните числа:
1) а) З2 и 23;
2) a) (-0 ,2 )2 и
б) (-0 ,1 )4 и

30’
1
9999’

б) З5 и 53;
в) 24 и 4 2.
в) - 2 • ( - 3 ) 3 и - 3 • ( - 2 )г>.

3) а) (- 4 ) 3 и - 6 2 ,3 ;
б) (- 5 ) 3 и - I I 2;
4) а) (- 3 ) 2 и - З 2;
б)
5) а)
б)
6) а)

- 5 3 и (- 5 ) 3;
0,2537 и О56;
2100 и ( - 2 ) 100;
З2 и З3;

в) - 2 • (-0 ,7 )4 и - 3 • ( -0 ,7 )3.
б) ( | )

7) а) З2 + 22 и (3 + 2)2;
б) З2 - 22 и (3 - 2)2;

и (± ) ;

в) I 3 и 1«.

в) З2 • 22 и (3 • 2)2.

4. Сравните с нулем:
а) (- 5Г
б) ( - 2 ) 24;

в) - 2 24;

г) ( - 2 ) 24 - 224.

о)

5. Вычислите:
1) а) З2 + 23;
б) (- 3 ) 2 + 23;
2) а) (0,7 - 1,3)2;
б) 0,7 - 1,32;
3) а) - 5 + 0 ,2 2;
б) (-5 + 0,2)2;

в)
г)
в)
г)
в)
г)

З2 + ( - 2 ) 3;
( - 3 ) 2 + (—2)3.
0 ,7 2 - 1,3;
0 ,7 2 - 1,3 2.
(—5)2 + 0,2;
5 - 0 ,2 2.

6. Р азлож ите на простые м нож ители и запиш ите, где мож ­
но, используя степень:
б) 45;
в) 81;
г) 120;
1) а) 32;
д) 289.
б) 56;
2) а) 25;
в) 160;
г) 49;
д) 169.
б) 50;
в) 80;
3) а) 27;
г) 180;
д) 121.
7. Н айдите х , если:
1) а) х = 23 ■ 52;
б) х = 2г ■ 53;
2) а) я: = 24 • 53;
б) х = 22 • З2 • 52;

в)
г)
в)
г)

х =
зе =
х =
х =

25 • 3 • 54;
З2 • 7.
2 • 72;
З2 • 11.

3) а) х = 2“ • 5Г’;
б) х = 2123 • З2 • 5:!;

в) х = 3 ■52;
г) х = 7 ■ I I 2.

8. О бъясните, не возводя чисел в степень, почему н и одно
из равенств не м ож ет быть верны м. О братите вн и м ан и е
на образец.
О бразец.
Ю З2 = 10 087 — неверно, та к к а к Ю З2 ок ан ч ивается
на 9.
322 = 894 — неверно, та к к а к 32 > 30, а 302 = 900.
1) а)
б)
2) а)
б)

1772 = 3 7 8 7 7;
1042 = 9816;
( - 1 3 ) 3 = 2197;
( - 0 , 7 ) 1 = -0 ,2 4 0 1 ;



в)
г)
в)
г)

6 703 = 27 6 4 9 0 0 00;
0 ,545= 0,03 1 25.
( - 1 ) 75 = - 7 5 ;
( - 1 ) 32 = - 1 .

П роверь себя!

1. К ак о м у ч и сл у равен к вад р ат ч и сл а 0,3?
А. 0 ,9 .
Б. 0 ,0 0 0 9 .
В. 0,09.
2. П оставьте зн а к > , < и л и = м еж д у ч и сл ам и З2 + 42 и 52.
А. = .
Б. >.
В. < .
3. П о сч и тай те - 3 , 2 2.
А. 1 0 ,2 4 .
Б . 12,4.

В. - 1 0 ,2 4 .

4. К ак о е и з ч и сел больш е ч и с л а 1 2 ,3 2?
А. 169.
Б. 121.
В. 123.
5. З н ач ен и е к ак о го и з в ы р а ж е н и й равно нулю ?
А. ( - 1 ) 16- ( - 1 ) 16. Б . ( - 1 ) 8 + ( - 1 ) 9. В. - 1 4 - ( 1 ) 2.
6. К а к о е и з утв ер ж д ен и й верно, если а =
А. а > Ъ.

Б . а = Ъ.

В. а , < или = вместо многоточия в выраже-

А. > .

Б. = .

В.

9. Назовите наибольшее из чисел:
А. (-1 5 )34.
Б. (-1 7 )5.
10. Назовите наименьшее из чисел:
А. - 3 ,5 2.
Б. - З 2.
• -

В. (-1 4 )7.
В. - ( - 2 , 7 ) 2.

В А В А Б А Б А А В

0 -6 . Решение задач (повторение)
Задача 1:
Найти ^ от
4
24.

Задача 2, обрат­
ная задаче 1:
Найти число, 4
4

которого равны 18.
3 , г,
х • — — 18.

Задача 3, обрат­
ная задаче 1:
Какую часть
составляет 18
от 24?
24 • .г = 18.

4

Решается
умножением:
2 4 - | = 18.
4

Решается
делением:
18 : 4 = 24.
4

Решается
делением:
18 : 24 = 4 4

Определите, каким действием решаются задачи 1—2, и
решите их. Составьте и решите две обратные к ним за­
дачи.
1. Скорость волка 18 м/с, а скорость лисы составляет
2
—скорости волка. Какова скорость лисы?
2. В классе 30 учеников, i i всего класса приняли участие


в туристском походе. Сколько учеников было в походе?
2

3. В кастрюлю налили 1 л воды, и кастрюля лишь на —заО
полнилась водой. Какова вместимость кастрюли?
4. Из 96 листов тетради ученик исписал 64 листа. Какую
часть тетради исписал ученик?

5. В 200 г первого раствора 50 г соли, а в 300 г второго
раствора 75 г соли. К акой раствор более солены й?
6. Р асстоян и е м еж д у пеш еходом и велосипедистом 4 км
500 м. Д огонит л и велосипедист пеш ехода за 30 м ин,
если скорость велосипедиста 12 к м /ч , а скорость пеш е7 скорости велосипедиста/о
хода составляет —
2

7. В ш к о л ь н ы х к р у ж к а х зан и м ается — у ч ащ и х ся класса,
О

причем — из них — в м атем атическом к р у ж к е . С колько
учен и ков в классе, если в м атем атическом к р у ж к е 4 ч е ­
ловека?
2

8. И з к астрю л и отлили — им евш ейся в ней воды, а потом
ещ е

\ оставш егося количества. П осле этого в кастрю ле
О

о стался 1 л воды. С колько воды было в кастрю ле п ерво­
начально?

0-7. Задачи на проценты
1. З а день рабочему надо сделать 80 деталей. До обеда он
вы п ол н и л 60% норм ы . С колько деталей он сделал до
обеда?
2. До обеда рабочий обработал 18 деталей, что составляло
45% дневной норм ы . К акова дневная норм а рабочего?
3. С колько процентов дневной норм ы вы полнил рабочий
до обеда, если он сделал 22 детали, а дн евн ая н орм а
55 деталей?
4. Стоимость у п ак о в к и составляет обычно 2% стоим ости
товара. С колько будет стоить товар с уп ак о вк о й , если
сам товар стоит 400 р.?
5. З а год число учеников в ш кол е вы росло на 4 % . С колько
стало учен и ков в ш кол е к кон ц у года, если в н а ч е т е года
их бы ло 650?
6. К оличество Д Т П сократилось в 2004 г. по сравнению с
2003 г. н а 5 % . С колько было Д ТП в 2004 г ., если в
2003 г. и х бы ло 160?

7. Начертите в тетради отрезок длиной 20 клеток.
а) Увеличьте его на 10%.
б) Уменьшите его на 20% .
8. В школьном туристском слете приняли участие 35%
всех учащихся школы, это 224 ученика. Сколько уче­
ников в школе?
9. Мужчины на заводе составляют 65% всего количества
рабочих завода. Женщин — 175 человек. Сколько все­
го рабочих на этом заводе?
10. Стоимость упаковки составляет обычно 2% стоимости
товара. Товар с упаковкой стоит 367,2 р. Найдите сто­
имость товара.
11. Начертите квадрат со стороной 10 клеток. Закрась­
те 1% этого квадрата. Теперь увеличьте каждую сторо­
ну квадрата на 10% . Получился новый квадрат. За­
красьте ту часть большего квадрата, на которую
увеличился меньший квадрат. Сколько процентов со­
ставляет закрашенная часть от старого квадрата? На
сколько процентов произошло увеличение площади
квадрата?
12. Какую сумму следует положить в банк, начисляю­
щий 12% годовых, чтобы через год получить 800 р.?
Ответ округлите до 1 р. Подумайте, как сделать округ­
ление.
13. Один человек получил зарплату 9000 р. За квартиру он
заплатил 1080 р. Какую часть своей зарплаты он тра­
тит на оплату квартиры? Сколько процентов от своей
зарплаты он тратит на оплату квартиры?
14. Из 28 учеников класса 10 человек учатся без троек. Ка­
кую часть класса они составляют? Сколько процентов
от численности класса они составляют? Ответ округли­
те до 0,1%.
15. В январе 1 кг мяса стоил 120 р., а в феврале — 132 р.
На сколько процентов поднялась цена?
16. В справке о заработной плате написано:
— зарплата: 9000 р.;
— вычеты: подоходный налог 1170 р.; в пенсионный
фонд 90 р.
Сколько процентов от зарплаты получает владелец
справки на руки?

17. П о л ож и в в один банк 8000 р., вк л ад ч и к к концу года
п олучи л 8240 р. П олож ив в другой банк 60 000 р ., он к
к о н ц у года получил 62 400 р. В к ак ом банке выш е про­
ц ен тн ая ставк а?
18. Есть та к и е п о н яти я: «золото 750-й пробы» и «золото
9 00-й пробы ». Ч исло в пробе показы вает, сколько
грам м ов чистого золота содерж ится в 1 к г сплава.
а) К аково процентное содерж ание чистого золота в
сп лаве 750-й пробы ? в сплаве 900-й пробы?
б) С п лави ли два к у ск а золота: 56 г 750-й пробы и
124 г 900-й пробы.
О пределите пробу полученного сплава.
19. С м еш али 6 л 15% -ного раствора соляной кислоты и
10 л 10% -ного раствора. О пределите процентное содер­
ж а н и е к и сл о ты в полученном растворе. Ответ о к р у гл и ­
те до 0 ,1 % .


П роверь себя!

1. К а к а я из дробей р авн а 1 2,5% ?

2. С равните 20% от 40 с 8% от 100.
А. < .
Б. = .
В. >.
3. 20% к ак о го чи сл а равны 40?
А.

200.

Б. 8.

В.

4. К а к а я и з вели чи н больш е 110% цены ?
А. 1,02 ц ен ы .
Б. 0,11 цены .
В. 1,2 цены .
5. У величьте число 25 на 1 2 % .
А. 37.
Б. 28.

В. 25,12.

6. В ы числите 10% от разности (8,7 —4,9 —3,2).
А. 0 ,7 .
Б. 0 ,0 0 6 .
В. 0,06.
7. С колько процентов от ч и сл а 80 составляет число 160?
А.

200% .

Б. 5 0 % .

В. 8 0 % .

8. П ал ьто стоило 4 0 0 0 р ., его ц ен у с н а ч а л а п о д н я л и на
1 0 % , а потом сн и зи л и н а 1 0 % . С к о л ьк о стал о стоить
п ал ьто в итоге?
А. 4000 р.
Б . 3960 р.
В. 4 2 0 0 р.
9. Н ай д и те число, если 20% его р ав н ы зн а ч е н и ю в ы р а ж е ­
н и я - 2 , 4 • ( - 1 ,6 + 0 ,6 ).
А. 12.
Б. 48.
В. 120.
10. С колько процентов со с та в л яет зн а ч е н и е в ы р а ж е н и я
( - 2 ) 2 - ( - 3 ) 3 от зн а ч е н и я в ы р а ж е н и я - 3 , 1 • ( -2 0 ) ?
А. 2 0 0 % .
Б. 100% .
В. 5 0 % .
0

' "Д

А Б А В Б В А Б А В

0 -8 . Статистические х ар актер истики
1. Н ай д и те среднее ари ф м ети ч еск о е, м оду и р а зм а х р яд а:
а) 11, 11, 11, 11, 11, 11;
б) 12, 11, 12, 11, 12, 11;
в) 11, 11, 11, 12, 12, 12;
г) 11, - 1 2 , 11, - 1 2 , 11, - 1 2 ;
д) 15, 121, 121, - 6 1 , 0, 20;
е) 35, - 2 3 , 121, - 5 5 , 35, - 3 5 .
2. П риведите прим ер р я д а чи сел, среднее ари ф м ети ческ о е
которы х равно нулю . М огут л и в та к о м р я д у б ы ть н ен у­
левы е числа? М ож ет л и м ода тако го р я д а бы ть отличной
от н уля?
3. Один человек зараб отал за я н в а р ь 5500 р ., за ф евраль
8500 р. и за м арт 7200 р. С колько он в среднем за р аб а­
ты вал еж ем есячно за этот период? К а к о й бы л р азм ах
ко лебан и й его зараб отка за этот период?
4. В таблице п о к азан а чи сленность
с 1993 по 1996 г.

н ас ел е н и я

России

Год

1993

1994

1995

1996

Ч и сл ен н ость н а ­
сел ен и я, м лн чел.

148,7

148,4

148,3

1 48,0

О пределите средню ю численность н асел ен и я за эти годы
(результат ок р у гл и те до десяты х).

5. П р ивед ите прим ер ряд а чисел, разм ах которого равен
нулю . К ак св язан ы в таком ряд у мода и среднее ар и ф ­
м етическое?
6. П р ивед ите прим ер ряд а чисел, мода которого равн а н у ­
лю , а среднее ариф м етическое не равно нулю.
7 . М ож ет л и среднее ариф м етическое ряд а чисел совпа­
дать с его наибольш им числом? К аки м при этом будет
р азм а х ряд а?
8. Р еб я та стр ел ял и в тире (каж д ы й по разу): 6 человек
вы били 10 очков, 8 человек — 9 очков, 7 человек —
8 очков и 3 человека — 7 очков. Сколько в среднем оч­
ков вы бил один человек?
9 . В табл и ц е п о к азан а заработная плата в 1995 г. на
одном п р ед п р и яти и у некоторы х категорий работ­
н и ков.
К атегории
работников

Слесари

Т окари

П лотн и ки

З а р п л а та , р.

558

611

490

а) Один у ч ащ и й ся, реш ив определить среднюю за р ­
п л ату по всем к атегориям , наш ел среднее ари ф м е­
ти ч еское этого р яд а чисел. П равильно ли он рассу ж ­
дал?
б) Д ругой у ч ащ и й ся утверж дал, что разм ах заработ­
ной п л ат ы у эти х категорий работников на данном
п р ед п р и яти и равен 121 р. П рав ли он?
10 . У Ж ен и в ж у р н ал е ш есть оценок по алгебре. Про одну
и з н и х он говорит, что ее не помнит, а остальные: 5, 2,
4, 2, 3. Н а родительском собрании учитель ск азал , что
в среднем у ЗКени точно вы ходит тройка. К а к а я оц ен ка
бы ла забы та?

Глава 2. Отношения и пропорции
0 -9 . Что такое отношение
Ч астное 7 н азы вается отнош ением а к Ъ.
о
Д л я полож и тел ьн ы х чисел а и b отнош ение а к b позво­
л яет сравнивать а с Ь. (Первое число со вторы м .)
Е сли —> 1, то —показы вает, во скол ько раз а больш е Ь.
0

0

Е сли 7 < 1, то г п ок азы вает, к ак у ю часть а составляет
о
о
от Ъ.
Е сли 7 = 1, то 7 показы вает, что а = Ь.
о
О
Примеры:
20

2 0 : 5 = — = 4 п ок азы вает, что 20 больш е 5 в 4 раза;
5
1
5 : 2 0 = - = - показы вает, что 5 составляет от 20 одну
четверть;
2
2
0,4 : ^ = 1 показы вает, что 0,4 = —.
5
5
1. М агазин
ш и хся в
тк ан ь от
продано,

продал 90 м ш ерстяной тк ан и и з 150 м, им ев­
м агазине. К акую часть составляет проданная
всей им евш ейся? Во сколько раз больш е ткани
чем осталось?

2. Н айдите следую щ ие отнош ения и н ап и ш и те, что п о к а­
зы вает каж дое из отнош ений:
а) 8 : 12; б) 12 : 8 ; в) 5,6 : 2,1; г) 2,1 : 5,6; д) 0 ,7 5 : | .
3. Н азовите по 2 пары чисел, отнош ение к оторы х равно:
а) 2;
б) §;
в) 0,4;
г) 1.
4. Н а рисунке 1 ш есть равны х отрезков. Н айд ите отнош е­
н и я и зап и ш и те, что они показы ваю т:

а)
А

АР.
р е ’

АК.

AF.

в) А Р ’
В

Р

FP

г) А К ’
Е

д) С Е'
F

-Н--------------------Н

Рис. 1

— IК

5. Во ск о л ьк о раз больш е:
1) а) 6 см, чем 4 см;
б) 2 дм , чем 15 см;
в) 300 г, чем 180 г;
г) 1 к г, чем 250 г;
д) 2 д м *2, чем 40 см 2?

2) а)
б)
в)
г)
д)

8 дм, чем 5 дм;
3 м, чем 6 дм;
2 кг, чем 400 г;
350 г, чем 100 г;
1 м2, чем 50 см 2?

6. К акую часть составляю т:
1) а) 60 г от 90 г;
б) 2 дм от 2 м;
в) 120 км от 200 км;
г) 400 г от 0,8 кг;
д) 400 см 2 от 1 м 2?

2) а)
б)
в)
г)
д)

70 г от 105 г;
30 см от 3 м;
20 к. от 2 р.;
500 г от 0 ,7 кг;
25 см 2 от 2 дм 2?

7 . Ч то больш е и во сколько раз:
а) 3 т и л и 4500 кг;
в) 1,5 м 3*б
) или 10 000 см 3;
б) 3 м 2 или 60 дм 2;
г) 0,4 дм 3 или 300 см 3?
8. Н а ол им пиаде по м атем атике ш естиклассникам было
п редлож ено 15 задач, а восьм иклассникам — 20 задач.
Ш ести кл ассн и к реш ил 9 задач, а восьм иклассник —
14 задач. У кого результат лучш е: у ш ести классн и ка
и л и у восьм иклассника?
9 . Н ачертите два к вад рата со сторонами соответственно
2 см и 5 см. Во сколько раз сторона одного к вад р ата
больш е стороны другого? П окаж и те ответ на чертеж е.
Во ск о л ьк о раз площ адь одного квад рата больш е п л о щ а­
ди другого? П опробуйте увидеть это на чертеж е.

0 -1 0 . Деление в данном отношении
1. В к ак о м отнош ении точ ка С делит отрезок А В н а к а ж ­
дом из рисунков 2, а —г?
С

а) А I------------1------------1------------- •---------t----------- I B
Q
б) А \ ------------- 1------------- 1------------- 1----------------•--------- '------------- 1 в
в)

А \ ------------ 1-------------1--------------- *■--------- 1--------------11----------- 1--------------- 1В

Q
г) А I------------ 1------------- 1--------------- •-----------1 в

Рис. 2

2

Отпезок А В длиной 3,6 см разделен точкой С на части в
отношении 4 : 5. К акова длина каж д ой части ?

о В комнате площадью 42 м 2 поставили перегородку которая разделила ком нату на части в отнош ении 4 : 3.
Какую площадь имеет к аж д ая из полученны х частей
комнаты?
4 Отрезок А В разделили точкой С на две части в отнош е­
нии 3 : 8. К акова была длина о тр езка А В , если длина
меньшей части этого отрезка 0 ,6 см?
5. В каком отношении точки С и D делят отрезок А В на
каждом из рисунков 3, а —в?
С

D

а) AI--------1--------1------- + ■-------1-------- 1-------- 1-------- 1-------- *-------- 1В
ЧВ

б) A h
D

в) Л Н

-ч—

чв

Рис. 3
6. Отрезок длиной 7,2 см разделен двум я точкам и в отно­
шении 2 : 3 : 4 . К акова длина каж дой части ?
7. Угол А ВС разделен лучами B D и B E в отношении
3 : 1 : 2 . К акова величина угла А В С , если Z D B C = 40°?
Сделайте рисунок.
8. Две машинистки разделили меж ду собой рукопись в от­
ношении 3 : 5. Сколько денег получит к а ж д а я , если в
рукописи 160 страниц, а за каж дую страницу м аш ини­
сткам платят по 2 р .?
9. В состав серной кислоты входят водород, сера и кисло­
род в отношении 2 : 32 : 64. Сколько потребуется кисло­
рода и водорода для получения серной кислоты , если
взять 1,6 кг серы? А сколько получится при этом сер­
ной кислоты?

.

10 Изобразите треугольник, отношение сторон которого
о : 5 : Ь, а периметр равен 6,4 см.

11 . Для трех призеров соревнований по бегу бы ла выделена
некоторая сумма денег. Причем победителю соревнова­
нии было выдано 50% всей суммы, а остальны е деньги
Г 1 Г ДеЛеНЫ между Участниками, зан явш и м и II и
побеггитепт.89 ° тношении 3 : 2. Сколько денег получил
лучил 24 000 р ? участник’ зан явш и й третье место, по-

0-11. Ф ормулы и зависимости
1. Одна сторона прямоугольника равна а см, а другая —
4 см. Составьте формулу зависимости площади S прямо­
угольника от а. Начертите прямоугольник при а = i ;
cl —I. & —3 и вычислите его площадь.
2. На р рублей купили 1,5 кг конфет. Составьте формулу
зависимости цены конфет с от р. Вычислите цену кон­
фет при р = 75; р = 90; р = 150.
3. Сколько километров (S) можно проехать за 45 мин, если
ехать со скоростью v км/ч? Вычислите при v = 12;
v = 40; v = 120.
4. За какое время 1 можно проехать 400 км, если ехать со
скоростью v км/ч? Вычислите при v = 80; v = 20;
v = 100.
5. Расстояние по шоссе между двумя пунктами А и В рав­
но 10 км. Из пункта В выехал велосипедист и едет со
скоростью 12 км/ч в сторону, противоположную пункту
А. Составьте формулу зависимости расстояния S от ве­
лосипедиста до пункта А от времени t (ч). Вычислите
при 1 = 2; t = 2,5; 1 = 3.
6. Сторона квадрата равна 4 см. Каждую сторону квадрата
увеличили на х см. Составьте формулу зависимости пло­
щади S нового квадрата от х. Вычислите при х = 1;
х = 2; х = 10.
7. Поезд шел со скоростью v км/ч, а затем он увеличил
скорость на 6 км/ч. Какое расстояние S он пройдет при
новой скорости за 5 ч? Вычислите при v = 60; о =74;
о = 90.
8. Стоимость телеграммы (с) определяется количеством
слов (п ) и оплатой за услуги (а). За каждое слово платят
р рублей. Составьте формулу зависимости с от перемен­
ных р, а, п.
9. На огонь поставили котел с водой. Температура воды
была 18 °С. Каждую минуту температура повышалась
на 4 °С. Составьте формулы зависимости температуры
воды (Г °С) от времени (1). Какие значения может при­
нимать 1, если воду надо довести до кипения (температу­
ра кипения воды 100 °С)?

0 -12. Прямая и обратная
пропорциональность
1. Составьте формулу зависимости одной переменной от
другой. Заполните таблицу. Прочитайте предложения,
вставляя вместо многоточия слова «прямо пропорцио­
нально», «обратно пропорционально»,
а) Пешеход, велосипедист и мотоциклист находятся в
пути по 2 ч каждый. Пройденное расстояние (S) ... ско­
рости (п).
V,

км/ч

4

12

24

S, км
б) Площадь прямоугольника равна 36 см2. Длина одной
из сторон прямоугольника (а) ... длине другой сторо­
ны (b).

2. Прочитайте предложения, вставляя вместо многоточия
слова «прямо пропорционально», «обратно пропорцио­
нально». Составьте формулу, выражающую указанную
зависимость (обратите внимание на размерность вели­
чин, входящих в формулу).
а) Требуется купить по 400 г конфет разных сортов.
Стоимость конфет в рублях (С) ... их цене в рублях за
килограмм (с).
б) У покупателя есть 40 р. для покупки конфет. Коли­
чество купленных конфет в граммах (т) ... их цене в
рублях за килограмм (с).
3. Формула объема пирамиды V =

где S — площадь
О

основания пирамиды, h — ее высота. Прочитайте пред-

л о ж е н и я , вс тав л я я вместо м ноготочия слова «прямо
пропорционально», «обратно пропорционально»:
а) объем п и рам иды (V ) ... высоте пирам иды (/г) при по­
стоянной площ ади основания (S);
б) объем пирам иды (V) ... площ ади ее основания (S) при
постоянной высоте /г;
в) п лощ адь основания пирам иды (S) ... ее высоте (h)
при постоянном объеме (V );
г ) вы сота п и рам иды (/г) ... ее объему (У) при постоянной
площ ади основания (S).
4. Ф орм ула площ ади треугольника S =

где а — основа­

ние треугол ьн и ка, h — высота, проведенная к основа­
нию . П рочитайте предлож ения, вставл яя вместо м ного­
то ч и я слова «прям о пропорционально», «обратно про­
п орционально»:
а) п лощ ад ь треугольника (S) ... высоте (h ) при
постоянном основании (а);
б) основание треугольника (а) ... высоте (h ) при посто­
ян н ой п лощ ад и (S);
в) вы сота треугол ьн и ка (h ) ... площ ади треугольн и ка
(S) при постоянном основании (а);
г) основание треугол ьн и ка (а) ... его площ ади (S) при
постоянной высоте (К).

0-13. Пропорции
С редние чле н ы

■Г I
—= —, и л и а : оТ = с : а.
b d.
i
i
а с

К р а й н и е члены

а

П омните, что
а \с _ а - с
b — -г и ~Ь~ ~ ~ К с ’
о

т. е. а : Ъ = (ас) : (Ьс).

1. Вы берите из дан н ы х отнош ений таки е пары , из которы х
м ож но составить пропорцию :
1) 8 : 4; 6 : 12; 9 : 4,5; 12 : 4;
2) 6 : 8; 2 : 3; | : | ; 12 : 18; 6 : 4;
3) 8 : 4; 9 : 6; 4 : 2.
2. Зап олн и те пропуски в пропорции:
1) 6 : 3 = 2 : ...;
3) ... : 10 = 6 : 12;
4) 20 : ... = 35 : 7.
2) 12 : 4 = ... : 5;

3. Заполните пропуски и составьте пропорции:
1) а) 12 больше 6 во столько же раз, во сколько 50
больше
б) 20 составляет от 80 такую же часть, какую 5 со­
ставляет от ....
2) а) 36 больше 9 во столько же раз, во сколько ...
больше 6 ;
б) 9 составляет от 27 такую же часть, какую ... со­
ставляет от 12 .
4. Составьте пропорции из данных чисел
1) 15; 5; 6 ; 18;
3) 0,6; 0,7; 7; 6 ;
2) 3; 21; 28; 4;
4) 4; 100; 20; 20;

5) 5; 25; 125;
яч 1. 2. 4
^ 3’ 3’ 3'

5. Найдите а, если:
1 ) 1 0 : о = 4 : 2;

2) о : 5 = 1,6 : i f ;

3) 9 : 3 = а : 6.

5

о
с bd
Заметьте,
что еслиа- с= —, то иa-—bd
—= —
• — , т. е.
b d
b 1
а 1
а •pd с -b(f
_
~~rp I = —7 - , или ad = be.
р -1

d •1

6 . Используя свойство пропорции, найдите неизвестный

член пропорции:

1) а) х : 15 = 0,3 : 1,5;
б) 20 : л: = 35 : 175;


3
8

=

. 17

2)

2 _ 5. 1.
’ 3 6 '2’
0,4 : х = 5 : 6 ;

У__.
8 ,8 ’

102

г) 6ЛГТ~-

4,2’
19 _ 76
4,5
у'
6

7. Решите задачу, составив пропорции с неизвестным чле­
ном:
1) Ширина прямоугольника 4 см, а отношение ширины
к длине прямоугольника равно отношению чисел 0,8
и 1,2. Найдите длину прямоугольника, а затем его
периметр и площадь.
2) Мама купила карамель и шоколадные конфеты в от­
ношении 3 : 2 . Карамели было куплено 450 г. Сколь­
ко было куплено шоколадных конфет?

3) Н а к ар те отрезок длиной 3 ем и зоб раж ает дорогу
дл и н ой 12 км . Дорогу к ак о й дли н ы и зоб раж ает о тр е­
зок дл и н ой 4,5 см?

8. Ш и р и н а п р ям о у го л ь н и ка на 3 см м еньш е его д л и н ы , а
1
2
и х отнош ение равно отнош ению чисел 1 — и 2 —. Убедиу

О

тесь, что этот п рям оугол ьн и к м ож но разбить н а два
квад р ата.
9. Н ач ерти те какой -н и б удь равнобедренны й тр еу го л ьн и к,
отнош ение боковой стороны которого к основанию р а в ­
но 6 : 10. У бедитесь путем и зм ерен и я, что его больш и й
угол сод ерж и т прим ерно 113°.
10. П ерим етр тр еу го л ьн и ка относится к перим етру к в а д р а ­
та к а к 3 : 4 . Н ай д и те дли н у стороны к вад р ата, если сто­
роны тр еу го л ь н и к а равны 3,3 см, 4,2 см, 4 ,8 см.

Проверь себя!
1. Во ск о л ьк о раз 24 м еньш е 36?
А. § .
Б. 2,5.

В. 1,5.

О

2. Н ай д и те отнош ение А Е
к CF, если А В = В С = CD =
= D E = E F (рис. 4).

В

С

D

Е

А I------1
------- 1-------I-------1-------1F

Рис. 4

3. К ако м у и з чи сел равно отнош ение 4 дм к 40 см?
А. 0 ,1 .
Б. 1.
В. 10.
4. П оставьте зн а к
1 6 ,1 6 : 16 и 101 : 100.
А. = .
Б. > .

или

=

м еж д у

отн ош ен и ям и

В. , < или = м еж ду зн ачен иям и в ы р а ж е­
ний 2 а 2 и (2 а)2 при а = —.
А. .
3. К акое из вы раж ен и й соответствует предлож ению «сум­
м а квад р ата числа а и числа 6»?
А. (а + 6)2.
Б. а 2 + 6.
В. а + 62.

.

4. К акое из вы раж ен и й равно вы раж ению а - 6 - с?
А. а - (6 - с).
Б. а + (6 - с).
В. а - (6 + с).
5. П ри к ак о м из дан н ы х значений а вы раж ени е 1 + —
равно нулю ?
а
А. -2 0 9 7 .
Б. 834.
В. 0.
с

тт

2т - 9

о. П ри к ак о м значении т вы раж ен и е
неотрица­
тельно?
т
А. - 4 ,5 .
Б. 1,099.
В. 0,001.
7. К акое
из дан н ы х вы раж ен и й
- З а —2 Ъ — 4а?
А. - 2 6 - 7а.
Б. - 5 аЪ - 4а.

равно

вы раж ению

В.- З а + 8аЪ.

8. К акое
из дан н ы х вы раж ен и й равно вы раж ен и ю
- З а • (-2 6 ) • (-4 а )?
А. - 2 4 а 26.
Б. - 4 8 а 6 .
В. - 2 4 а 6 .
9. П риведите подобные слагаем ы е 2п - 3т - Зп + 5лг.
А. т.
Б. т п .
В. 2т - п.
10. У простите а (а - 2) - (а 2 - 3).
А. - 2 а - 3.
Б. 3 - 2а.
В А Б В А А А А В Б

В. - 2 а 2 + 3.

Глава 4. Уравнения
0 -1 8 . Составление уравнений
Составьте, если возможно, несколько уравнений по
условию задачи:
1. Брат младше сестры на 3 года, а вместе им 21 год.
Сколько лет брату и сколько лет сестре?
2. Брат старше сестры в 1,5 раза, а вместе им 15 лет.
Сколько лет брату и сколько лет сестре?
3. Машина двигалась несколько часов со скоростью
65 км /ч, а со скоростью 53 км /ч — на 2 ч меньше.
Сколько времени она двигалась со скоростью 65 км/ч,
если за все время она прошла 602 км?

0 -1 9 . Корни уравнения
1. Докажите, что число —1 является корнем уравнения:
а) - 2 х + 3 = 5;
г) (2х - 5) (х + 1) = 0;
оv + 2

б) - х = Зх + 4;

д) х 5 = 0 ;

в) у2 - 5 = Зу - 1;

е) 0 • у = 0.

2. Проверьте, является ли число 2 корнем уравнения:
а) 3 - х = 2х - 3;
г) х • (х - 2) = 2;
б) х - 5 = х 2 - 1;
д) ^
= 0;
в) (у - 2) • (2у + 3) = 0;

е) | у \ = 2.

3. Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) х 2 + 1 = 0;

г) ^

= 2;

б) |г/| + 4 = - 5 ;
в) х 2 + \х \ = - 2 ;

д) 0 • х = 3.

4. Докажите, что корнем уравнения является любое число:
а) х + 3 = 3 + х;
г) - 2 • (-З х ) = 6х;
б) -2 у + 5у = 3у;
д) 0 • х = 0.
в) 2х - (х - 5) = 2х - х + 5;

5. Назовите не менее двух корней уравнения:

IхI

а) — = 1;

в) .г + |* | = 0;

б) ^

г)

= -1 ;

jc

д) Зх = 2х + х.

— |jc | = 0;

0-20. Решение уравнений
1. Решите уравнение, воспользовавшись свойствами урав­
нений:
1) а) х - 2,5 = 6,5;
в) 2,3 + х = -5,3;
б) 5,6 + у = -4 ,5;
г) у - 4,9 = 2,9.
2) а) - 2 х = 0,8;
г) - 1,20 = 0 , 6 ;
б) 2 ,5i/= -10;
Д) Т - 1 0 ;
в) Зх = 2;
3) а) Щ- = -4 ;
2. Решите уравнение:
1) а) 2х - 5 = 27;
б) -3 + 4// = -5 ;
в) 2х - 1 = 4х + 3;
г) |г/ +2 = - i y +5;
2) а) 4 - З х = 16;
б) 5у - 7 = -12;
в) 7х - 1 = 2х - 11;

г) Ь ~ 3=- Ь ~ 7;

е)

б)

Зх

а

д)
е)
ж)
з)

2х - (5х - 6) = 7 + (х - 1);
Зх - 1 = 2х - (4 - х);
2 (х - 3) = -3 (х + 2);
2 (х - 5) - 7(х + 2) = 1.

д)
е)
ж)
з)

5х - (2х - 9) = 6 + (х + 3);
7х - 8 = 4х - (1 - Зх);
3 (х + 4) = -4 (х - 3);
3 (х + 2) - 8 (х - 4) = -2.

3. Составьте уравнение по условию задачи и решите его;
1) Задумано число. Сумма задуманного числа и 11 рав­
на разности 15 и задуманного числа. Какое число
задумано?
2) Задумано число. Если от 15 отнять удвоенное заду­
манное число, то получится столько же, сколько по­
лучилось бы, если к половине задуманного числа
прибавить 5. Какое
з число задумано?
3) Задумано число. —этого числа равны разности числа
35 и задуманного числа. Какое число задумано?

4) Задум анное число у ве л и ч и л и на 20% и получили
число, которое м огли пол учи ть, п ри бави в к половине
задум анного ч и сл а 2 ,1 . К акое числ о задум ан о?
5) Е сли сл ож и ть п ятую часть задум ан н ого ч и сл а, два­
дцатую часть этого ч и сл а и треть этого ч и сл а, то по­
л учи тся 70. К акое число задум ано?
4. Р еш и те уравнение, п ред вари тельн о р азд ел и в обе части
н а общ ий числовой м нож итель:
а) 4 • (х - 1) = 8 • (2 - х);
б) - 6 • (2х - 5) = 9 - (х + 1);
в) 0 ,6 • (х - 9) = 0,2 ■(23 - 2х);
г) 6 • (ж - 3) = 3 • (15 - х);
д) - 8 • ( 2х - 3) = 12 • (* + 4);
е) 0 ,2 • (х - 8) = 0,4 • ( х - 3).
5. Р еш ите уравнение, ум нож ив обе части на общ ий знам е­
натель всех дробей:
а) | • (х + 5) = | • (х + 3);
б) 1

■(Зу - 1) = - § • (9 - 8у);

в) 0 ,7 • (х - 3) = 0,5 • (х + 1);
г) i . ( 5 - * ) = - | - ( 2 * - 1 5 ) ;
д) l | -(2 (/+ 5 ) = ± .( 3 г / + 25);

6.

е) - 0 ,2 • (х - 2) = 0,5 • (х - 5).
Н айдите значения перем енны х, при которы х значени:
вы раж ений 1 - 5 х и д : —13:
а) равны;
б) противополож ны;
в) первое больш е второго на 3.

7. Р еш ите уравнение относительно х или у :

а)
б)
в)
г)
д)
е)

- а + х = 3;
2 + у = - 3 у + 4а;
5л: - 4а = а;
с - х = -3 ;
3 + у = - 5 с + 2у;
Зл: - 7с = 2с.

0-2 1 . Решение задач
с помощью уравнений
1. Р асстоян и е м еж ду двум я пристан ям и м оторная лодка
п рош ла за 2 ч по течению , а обратно вернулась за 2,5 ч.
Скорость течен и я реки 2 к м /ч . К акова собственная ско­
рость моторной лодки?
2. Скорость течен и я реки
н ая л од к а двигалась 4 ч,
залось, что по течению
ш е, чем против течен и я.
лодки?

2 к м /ч . По течению м отор­
а против течения — 2 ч. О ка­
она прош ла на 28 км боль­
К акова собственная скорость

3. К уп или нескол ько килограм м ов конф ет по 60 р. за 1 кг
и печенье по 44 р. за 1 к г. П еченья куп и ли на 2 к г боль­
ш е, чем конф ет. З а всю покуп ку зап лати л и 348 р.
С колько к у п и л и конф ет и сколько печенья?
4. Задум ано число. Е сли к нему добавить 80% от 20, то по­
л у чи тся столько ж е, к а к если от 70 отнять 80% от заду­
м анного числа.
5. Н а одной п олке стояло 36 к н и г, а на другой — 40. Когда
со второй п олки сн я л и несколько кн и г, а с первой сняли
столько, скол ько осталось на второй, то на обеих полках
к н и г стало поровну. Сколько к н и г сн яли с каж дой из
полок?
6. В коридоре детского сада стояли велосипеды: двухко­
лесны е и трехколесны е. К огда посчитали рули, то их
оказалось 7. А когда посчитали колеса, то их о к аза­
лось 18. С колько д вухколесны х и сколько трехколесны х
велосипедов в детском саду?
7. М етр тк ан и подорож ал на 15 р ., и поэтому на ту сумму,
которую надо было зап лати ть за 4,5 м этой ткан и ,
теперь м ож но к уп и ть л и ш ь 4 м. С колько стоит теперь
1 м тк ан и ?


Проверь себя!

1. К акое из чисел явл яется корнем уравнения х + 3 = 2 х —9?
А. 10.
Б. 12.
В. 6.

2. Д л я какого из уравнений число 3 я в л я е т с я корнем?
А. х ■0,002 = 0 ,0 6 .
Б. |х |= - 3 .
В. (—лг)2 = 9.
3. К акое из уравнений не им еет корн ей ?
A. х + х = - 1 0 0 .
Б. х ■х = - 1 0 0 .
B. х - 100 = - 1 0 0 .
4. От числа х отн ял и 4, полученную разн ость разделили
пополам и получили столько ж е , к а к если бы от х от­
н ял и 26. К акое из уравнений соответствует этом у усло­
вию?
A. (х - 4) : 2 = 26.
Б. ( х - 4 ) - | = х - 2 6 .
B. (х - 4) : | = х - 26.
5. К акое из уравнений им еет тот ж е корен ь, что и уравне­
ние 2х - 5 = 73?
A. 2л: = 7 3 - 5 .
Б. 2л; = 73 + 5.
B. 2л:- 7 3 = - 5 .
6. Реш ите уравнение 15 - х = 1 - 2 (Зх - 2).
А. - 2 .
Б. - 3 ,6 .
В. - ™ .
7. Реш ите уравнение - 0 ,3 (х —2) = 0 ,5 (—х + 1).
А.

15

Б. - 0 ,5 .

В. 7,5.

8. Корнем какого из уравнений я в л я е т с я любое полож и­
тельное число?
А. х + 2 = 2х.
Б. х = х 2.
В. | х | = х.
9. К акое из уравнений им еет два р азл и ч н ы х по модулю
корня?
А. (х - 2)х = 0.
Б. | х | = 36.
В. 5 (х - 2) = 0.
10.

К акое из уравнений им еет отри ц ател ьн ы й корень?
А. - 2 : х = - 1 0 0 .
Б. 2 - х = - 7 .
В. - х = 3.
Б В Б Б Б А Б В А В

Глава 5. Координаты и графики
0 -2 2 . Множества точек
на координатной прямой
Числовые промежутки
Название
Открытый
луч

Изображение

Запись
на языке алгебры
х > а, х < b

а
ь

Замкнутый
луч

х > а, х ^ b

а
ь

Отрезок

а

Ь

a =¾х < b

Интервал

а

b

а < х 3-,
в) х > - 1 , х < 2 ;
б) х ^ 5, х > 3 \
г) х ^ 1 , х > 1 .

12. Для каждого из числовых промежутков, указанных в
задаче 6, проверьте, содержится ли он в каком-либо из
промежутков, изображенных на рисунке 7. Содержит
ли он какой-либо из этих промежутков?
13. Изобразите на координатной прямой множество точек,
координаты которых удовлетворяют условию:
а) |х | > 1;
в) \ х \ > 2;
б) \х \ < 2;
г) \х \3.
14. Каждый из изображенных на рисунке 8 промежутков
может быть задан неравенством вида \х \ < а при ка­
ком-то а. Найдите эти числа а.
—12

1

1

1

- 2, 5

Ч

14

2, 5

Рис. 8

15. Каждый из изображенных на рисунке 9 промежутков
может быть задан неравенством вида \ х\ > а при ка­
ком-то а. Найдите эти числа а.
- 1 1

-2

2

О

Рис. 9

16. Проверьте, какие из изображенных на рисунке 10 мно­
жеств могут быть заданы условиями вида:
а) |х| = а;
б) |ле| < а;
в) \ х\ > а.
0

-

2

2

1 1
2

3

- 1 1

- 1 1

2
Рис. 10

17. На рисунке 11 изображены числовые промежутки, в ко­
торых содержатся числа х. Изобразите числовые проме­
жутки, в которых содержатся числа —х.
0

1

1

2

-1
Рис. 11

2

-2

-1

0-23. Множества точек
на координатной плоскости

И зображ ение

Запись
на языке
алгебры

И зображ ение

У

У

х =а

~



а *х

0


II

0

1
Т*

V// ^

i1
йо

,

X

//А//,
'///А

шш

у ъ

0

У1
й

У,

Запись
на языке
алгебры

У,,

1 ,

х >а

а < х О
х при х > О
в) У = 0 при х < 0;
а) У = Опри х < 0;
1X |при Х > 1
2 при х 5= 2
г) У = х 3 при X < 1.
б) У = х при х < 2;
Для каждой из этих зависимостей выполните следую­
щие задания:
1) найдите значения у при х = - 2 ; - 1 , 0; 1; 2; 3;
2) проверьте, какие из точек (1; 2), (2; 8), (-3 ; -3 ),
(-1 ; 1), (-2 ; 0), (2; 2) принадлежат рассматриваемому
множеству;
3) найдите такие значения х, при которых у = 0, - 8 , 4
(или покажите, что их нет);
4) постройте эти множества.
4. Три множества точек координатной плоскости заданы
таблицами:
X

0

1

2

3

У

0

1

4

9

X

0

1

2

3

2

4

6

У

0

X

0

У

0

1
2

2

3

4

-3

Выясните, лежат ли они на какой-либо прямой или на
какой-либо параболе.
5. Изобразите на координатной плоскости множество то­
чек, удовлетворяющих условиям:
а) у = -2 х, -1 ^ х ¢, 1;
д) х2 - у2 = О, 1 < У < 3;
i/H2;
б) 2у = х,
е) у = х2,
ж) у = х3,
х\> 1;
в) х + у = 4, 1 < у < 3;
г) у = х12,
-1¾¾¾ 1;
з) у = -\х\,
У \
| х [ при -1 < х < 1
1 при х С -1;

х +1 при х ^ 3
4
при - 2 < х < 3
| х| при х =¾-2.
7. Установите, сколько общих точек имеют график зависи­
мости у = х2 и график:
а) у = -1 ;
г) у = х;
ж) у = 2х - 1.
б) у = 0;
д) у = - х ;
в) у = 1;
е) у = 2х;
8. Найдите все такие числа а, что график у = х 2 и график
у = а имеют две общие точки.

0 -2 6 . Графики вокруг нас
1. На рисунке 15 изображена температурная кривая боль­
ного (по дням). Определите по этой кривой:
а) какая температура была у больного на шестой день
наблюдения;

В

й

2 5 0

'

го го 2 0 0 "

о S

1

150-

/

10 0 -

50 ,

1— 1-4

0 12

3- 4 5 6 7 8 9
Время, мин

Рие. 17

б) на какой день наблюдения температура у больного
была 36°;
в) какова была максимальная температура у больного
за время наблюдения;
г) сколько дней держалась температура 40°.
2. На рисунке 16 изображен график скорости движения
велосипедиста в течение трех минут. С помощью графи­
ка ответьте на следующие вопросы:
а) Какова была его наибольшая скорость за это время?
б) Сколько времени велосипедист двигался с постоян­
ной скоростью?
в) Когда скорость движения велосипедиста возрастала?
Составьте несколько вопросов, на которые можно отве­
тить с помощью этого графика.
3. Мальчик вышел из дома и пошел в школу (по прямой),
но по дороге вспомнил, что забыл тетрадь с домашним
заданием, и вернулся домой. Взяв тетрадь, он снова по­
шел в школу и на этот раз дошел туда без приключений.
На рисунке 17 изображен график расстояния от места
нахождения мальчика до его дома (время дано в ми­
нутах, расстояние — в метрах). С помощью графика от­
ветьте на следующие вопросы:
а) На каком расстоянии от дома мальчик вспомнил о
забытой тетради?

Расстояние

Рис. 18

б) Сколько времени мальчик пробыл дома, вернувшись
за тетрадью?
в) На каком расстоянии от дома мальчика находилась
школа?
г) Когда мальчик шел быстрее всего?
4. Света, Люда, Юра и Женя живут в одном доме, к их
школе от дома идет прямая дорога. Женя направился в
школу, но по дороге решил заглянуть в кинотеатр; Люда
пришла в школу, но, узнав, что первого урока не будет,
вернулась домой; Света знала об этом заранее и потому в
школу не пошла; Юра в школу пошел, а узнав об отмене
урока, остался в школе поливать цветы. На рисун­
ке 18, а—г изображены графики расстояний ребят от их
дома в течение часа (в качестве начала отсчета взято
время 8 ч 30 мин). Укажите,
чьи действия отображены на
каждом из рисунков.
5. Велосипедист едет по пря­
молинейному шоссе. На ри­
сунке 19 изображен график
его расстояния до дома. Рас­
скажите, как проходило его
путешествие.

60
45
30
15

0 1

3
Рис. 19

4
Время,

6. Н а ри сун ке 20 п оказан рост цен
(в р.) на хлеб по полугодиям с лета
1994 г. в течение полутора лет. С по­
м ощ ью гр аф и к а ответьте на вопросы:
а) Н а сколько выросла цена на хлеб
за третье полугодие?
б) В к ак о е полугодие прирост цены
был наибольш им ?
в) Верно л и , что цена на хлеб за
третье полугодие возросла более чем
на 60% ?
0 12 3
Время, полугодие

7. Н а рисунке 21 изображ ены графики
изм енений капиталов двух фирм (А и
В) за два года по кварталам (в услов­
ны х единицах). С помощью графиков
ответьте на вопросы:

Рис. 20

а) К а к а я из ф ирм бы ла богаче в начале рассм атриваемо­
го периода? в конце его?
б) Н а ск о л ьк о вырос к ап и тал каж дой из фирм?
в) Б ы л и л и периоды ум еньш ения кап и тал а у этих
ф ирм ?
г) У к ак о й из ф ирм был больш е к ап и тал в начале треть­
его к в ар т ал а первого года и на сколько?
д) К аков бы л к ап и та л ф ирм ы А , когда кап и тал фир­
мы В бы л равен 300 тыс. уел. ед.?

Капитал, тыс. уел. ед.

8. Д ва м ал ь ч и к а , А ндрей и Борис, ш ли навстречу друг
другу по ш оссе, соединяю щ ем у пункты А и В, вы йдя из
н и х одноврем енно. Н а рисунке 22 изображ ены граф ики
расстоян и й от каж дого из них до пункта А . Ответьте на
следую щ ие вопросы:

■Т Т ' Г
400
1
4 >ирма В
350
300
1/

250
/
"
S
J /1
/
200
Фир1яа А
£—
150 /
I
100
——
50
— 1— — —
2 3
S 6 7
>
Время, квартал
Р ис. 21

S

-

» °

Бс ри С

° я
S 2S 1-

_
_

О

8
Рч



)

20

40

_
5 * ^ ^-— I----- 1------

— — h—------ 1--60 8 0 100 120
ьремя, мин

Рис. 22

а) Кто ш ел из п ун к та А в п у н к т В?
б) Ч ерез сколько времени после н ач ал а пути м ал ьч и ки
встретились?
в) Кто из м альч и ков ш ел бы стрее до м ом ента встречи?
9. По условию задачи 3 постройте гр аф и к р ассто ян и я от
м еста н ахож д ен и я м ал ьч и к а до ш ко л ы .


П роверь себя!

1. П ром еж уток х > 3 и зоб раж ен на:
А. Р ис. 23.
Б. Р и с. 24.
3

х
Рис. 23

3

В. Р и с. 25.
х

Рис. 24

3

х
Рис. 25

2. Н а р исунке 26 изображ ено м нож ество то ч ек , удовлетво­
р яю щ и х условию :

A. - 2 ^ х < 2 .
Б. - 2 ^ у < 2 .
B. - 2 ^ jc sS 1.
3. П р я м а я , п р оход ящ ая через
точку А (1; 3) и п ар ал л ел ь ­
н ая оси абсцисс, задается
уравнением :
A. х = 1.
Б. у = 3.
B. у = х + 3.

Рис. 26

4. Н а п рям ой у = 2 х - 1 л еж и т
точка:
A. (1; 2).
Б. ( -1 ; - 3 ) .
B. (0; 1).
5. Л иф т поднялся с первого
этаж а на третий, постоял без
дви ж ения и поехал на вто­
рой этаж , где и сломался.
График расстояния от места
нахож дения лиф та до перво­
го этаж а изображ ен на:
A. Р и с. 27.
Б. Р ис. 28.
B. Р ис. 29.

Время, с

Рис. 27

Расстояние от 1 этажа

Время, с
Рис. 29

6. Бесконечно много целых чисел содержит промежуток:
А. 1 < х < 75.
Б. | х | < 5 .
В. х > 0,5.
7. Относительно оси абсцисс симметричны графики зави­
симостей:
A. у = 2 и у = -1 .
Б. у = х и у = х2.
B. у = 4 и у = -4 .
8. График зависимости у = х2 является:
Б. Прямой.
А. Параболой.

В. Ломаной.


при X <
9. График зависимости у =
у = 0 пересекаются:
A. В одной точке.
Б. В двух точках.
B. В трех точках.
10. Сколько существует значений а, при которых график
\ 5 при х < 0
зависимости У = [ а при х > 0 симметричен относительно
A.
Б.
B.

начала координат?
Ровно одно.
Бесконечно много.
Не существует.
В А Б Б А В В А Б А

Глава 6. Свойства степени
с натуральным показателем
0 -2 7 . Произведение и частное степеней
а та" = а т*п,

— = ат ~" (т > п, а

ф

а"

0).

П рим ер 1. У простите вы раж ен и е х 3х 5х ‘.
Р е ш е н и е . A sr ' = х 3 +5 +4 = х ,г.
х

®

П рим ер 2. У простите вы раж ен и е — .
х4

хв
Р е ш е н и е . — = х 6 ~4 = х 2.
х4

1. Запиш ите в виде степени:
а) 2 • 2 • 2 • 2;
б) 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3;

в) 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 ■5.

2. Запиш ите в виде произведения:
а) х 3;
б) г/5;
в) г 6.
3. К акое равенство неверно:
а) 22 = 4;
б) 23 = 6;

в) З3 = 9;

4. Запиш ите в виде степени:
ага3; а 2а 4а 3; b7b6b2b; х 3х 6х 7х 4;
353"32;
22262.
5. Упростите: а3Ь2а3;

х 2у 'а 2у х 2;

г) З3 = 27?

y zy y 3y a;

b3yb2y 3;

а 2а 'а 2а 7;

t 5b2y t 4b.

6. Упростите вы раж ение:
а) (-г/)3 г/4;
в) (-г/)2 (-г/)2;
б) (-у ) (-У)2',
г ) у 2 (-г/)3 (-г/).
7. П ри к ак ом значении п вы полняется равенство:
а) а3а 2 = а";
в) х пх 4 = л:8;
б) 64Ь" = Ь7;
г ) t 2nt = t 71

8 . Ч астное степеней зам ените степенью с тем ж е основа­

нием:

У
е) ^

2 19

з)

I 9” '

9. В ы полните деление:
а) а8 : а 6;
в) у ' 7 : у 3;
б) х 12 : х 2;
г) ив : и 2;

д) I I 35 : I I 2;
е) 5 28 : 57.

10. В ы числите:
a) 10 18 : 1 0 16;

11. У простите вы раж ение:
Ц5Ц3 ,
а) и2 ;
в)
б)

.

t 7t \
t 2t ’

5
5”

б) 2 13 : 2 10;

Д)

г)

аа2а5 ,
а3аа2 ’
Ъ3ЪъЪв
Ъ2ЬЬ2Ь3 '

12 В ы числите:
. 2 П2С

а

214 ’
3 43 5 .
б)
з 3з 3 ’

в)

57
5 25 3 ’

г)

6 26 36 .
6 26 26 ’

1012103
10210910 ’
2352 и 26
е)
2 132272 10 ’

Д)

13. П ри к ак о м значен ии х вы полняется равенство:
а) 5 3 : 5 = 5*;

в) 2* : 2 = 25;

д)

= П 8;

б) 10 * : 102 = 1 0 ;

г) З11 : 3" = З2;

е) ^

= 73 ?

14. В ы полните ум нож ение:
а) З х 2 • 7х;
б) b y3 ■( - 2 у 4);
в) 0 ,5 г • 6 г 3г4;
г ) 5f 3 ■414 • f - i i 5 j;

д)

4a63 • 6a4b2;

е)

3х еу ■ 7 х 9;

ж ) 0,2524 ■( - 823)
з)

15. У простите вы раж ен и е:
а) 0,5г/ 3Ь4 • 4 г/52;
в) 0 ,2 5 а 254 • 2 а5;
б)
х 3у 3 . (_ 6 х 2г 5);
г ) b x z 2 • ( - 2 г 3) ■0 , 1 х 4г.

16. Сократите дробь:
а)

27 b4

9Ь3 ’

18г6 .
б)
9г3 ’

в)

6 t 4- 5 t 5

15Г‘

г)

8ив
2и3 4гг4

з
. Уг' •
д) —г >
. л:5г 2
е) -JTZ.Г

24* V _
3 х 5у 4 ’

2 а7 ’

\ и
к) и-'Ьлс 2

а'Ь 3

c 12d 3 .

з)

c3d 12’

и)

17. Упростите вы раж ение:
-1 2 сГп3 .
v 16а17Ьп
а) „ , , . д ;
в) 4 8 d 6a 7 ’
- 8 а 14Ь9 ’
б)

8 a 5b .

ж)

Ж4 ! / 7 ’

- 7 и3о50

д) 4 2 u V i7

- 3 9 x 18y 2S .

е)

г) - 1 3 х 1еу 39'’

125i/2c9
25y9cG

18. Сравните значения вы раж ений:
а) 1013 и 9 • 1012;
в) ( -5 ) 6 и ( -4 ) • ( - 5 ) 5;
б) 6 • 25 и 3 • 23;
г) З 11 и 8 • Зэ.
19. Представьте каж дое из вы раж ен и й в виде степени:
П ример. 6 • 54 - 54.
Р е ш е н и е. 6 • 54 - 54 = 54 (6 - 1) = 5 ‘ • 5 = 55.
а) 211 + 211;
б) З7 + З7 + З7;
20. Вычислите:
414
6 4 - 4 10’

в) 5 • З9 - 2 • З9;
г) 9 • 25 - 25.

б)

81-243
З7 5

в)

1 2 8 -З 9
2 4 3 •2 5

21. Упростите вы раж ение:
а) ^ п + 1д. m —1 *
б)

в)

а 2 • а " + ха 3
а “ ~ 1а°

г)

d n ~ 5d 7 '

22. Вычислите:

+ 2" + 2"
а) 2"+2+ 2"9 +- 12"
-3
>
3 " + 2 + 5 •3"
3"

5" + 1- 5"
в)
5"


б)

Г)

4-. + 1 + 4 ^ 2
4"
2 " + з _ 2« + 1

Д)

2 п * 1 + 2"



3 " +з _ з „ + 1 + 3 „

е)

Зл +2 + Зл + 1

0 - 2 8 . Степень степени,
произведений и дроби
(а"')" = a"'", (aby = а"Ь", = — (Ь ф 0).
\Ь)
Ьп
П р и м е р 1. В озведите в степень (х3;/5)4.
Р е ш е н и е. (x :,i/5) 1 = (х 3)4 (г/5)'1 = х ,2г/20.
П р и м е р 2. В озведите в степень


Решение,

, х‘ I

—г

=

( х 3 )4

(г5)'1

1. В ы п олн и те д ей стви я:
а) (a 3)4, (f2)5, (л 6)8, (о3)7,
б) 6 (й7)4, - 2 (г/5)», - (d 3)'\

(л 9)3, (А11)4;
((—2)4)2, ((- З ) 2)2,

2. У простите в ы р а ж е н и я :
х 2 (х 3)2, (и4)5 и7, ( Л 4)7, (г/бг/3)2 г/4,
(65)8
г/9 f
( r W ) 10 (г2/-)2,
( х ь )2

((- 5 ) 2)2.

(о2л6)3 (г/л)2,

Г t 3*4

3. П ред ставьте х 48 в виде степени с основанием:
а) х 2;
б) х 4;
в) х 12;
г) х 24.
4. П ри к а к о м k верно равенство:
а) (23 • 2)к = 2 16;
в) (72 • 73)5 = 7,!;
б) (3* • З2)2 = З 18;
г) (5* • 5 "+ 4)2 = 5 10?
5. П ред ставьте в виде степени с основанием 3:
92, 274, 8 1 7, 2 4 3 5.
6. В озведите в степень:
(ab)5, ( x y z ) 4, (- t y u f ,
- | s r ) , (|/лл].

(2л)4,

(-3 x i/)3,

7. В ы числите:
59 ■ 22, 1253 • 83, 0 ,2 11 • б11, [ у ] • 75, Щ

(0 ,le d ) 2,

• 212, ( i ) • 254

9. Вычислите:
1005
505 ’

163
43 ’

5504
НО4 ’

, 7 з . 1д3

10. Упростите вы раж ение:
а) и3 (н5и4), ( -c d s)° c7d 5, - ж 5 ( - 3 x y 2f , 5 1 ( - 7 bt'a)2\
б) (a3b2)4 (a3i>5)2, (2x3i/)3 ( 3 * V ) 2, ( - a 3c7)8 (5 a 5c4)3,
(-2w 2z n )2 ( - и г 3)8;
(Зяу)3
x 2y 5 ’

( - 2 s 2i 3 )5
( - 4 s t 9 )3 ’

( a 3 )5 ( d 4 )2
( - a 2d ) 8 ’

5 w 5 ( w 2z 3 )4
(2u>6z )3

f (а3&2)4 V Г gB(t9)6Y
[ a n (63)5 J ’ [ (gf12)4 J '
11. Вычислите:
3 12 - Г 3 4 ! 5

f i 12

ж ) 0,12512 • 237 ;

1253 - 812
157 °

12. Сравните:
а) 210 • 312 и б11;
б) ЗЗ9 и I I 12 • З9;
в) I I 24 и 10012;

г)

З 24 и 2 зв;

д) 930 и (212 • 49)3;
е) 612 ■ 512 и З38.

13. У становите, при к а к и х зн а ч е н и я х х вы п ол н яется р а ­
венство:
а) 3* + 1 = 243, 3Л • 3 = 243, (З г)2 ■3 = 243;
б) 52х = 625, 5 ' • 5:| = 625, (5 '):| ■ 5 = 625.

0 -2 9 . Реш ение

комбинаторных з а д а ч

П р и м ер 1. У Ж е н и есть три свитера (красн ы й , си ний и
черн ы й) и две пары брю к (синие и черны е). С колько у
него и м еется способов одеться?
Р е ш е н и е . В данном случае легко перебрать все во з­
м о ж н ости. Ж е н я м ож ет надеть красны й свитер, тогда
есть два в ар и ан та — надеть синие брю ки и надеть ч е р ­
ны е брю ки. З ап и ш ем : (красн ы й , синие), (красн ы й ,
черны е). Ж е н я м ож ет надеть синий свитер, тогда есть
ещ е две возм ож ности: (синий, синие), (синий, черны е).
Н ак о н ец , есть ещ е две возм ож ности: (черны й, синие),
(черн ы й, черны е). Т ак и м образом, всего ш есть возм о ж ­
ностей.
П одобные р ассу ж д ен и я удобно проводить с помощ ью
схем ы :
к р асн ы й
синий
черны й

/ \ черн ы е

си ние

/ \

синие

черны е

/ \

синие

черны е

Видно, что есть 6 способов соединения свитеров с брю­
к ам и (им соответствую т соединительны е стрелки).
П р и м ер 2. В м агази н е продаю т четы ре сорта сы ра: рос­
си й ск и й , гол лан д ски й , чеддер и сулугуни. С колько
и м еется способов к у п и ть сы р двух сортов?
Р е ш е н и е . Р еш и м эту задачу с помощ ью схем ы , обо­
зн а ч а я сорта первы м и буквам и и х н азван и й и у ч и ты ­
в а я , что сы ры надо брать разны е.
Р
Г
ч
С

Лч

Г Ч С



Р Ч С

Лч

Р Г С

Лч

Р Г Ч

Всего и м еется 12 способов соединения, но при этом
к а ж д ы й способ п о к у п к и п о еч и тан 'д важ д ы : наприм ер,
п арам (Р, Г) и (Г, Р) соответствует один способ. Т аки м
образом , сущ ествует всего ш есть способов п ок уп ки .

1. а) У Светы есть три разных карандаша (красный, си­
ний и зеленый) и две разные ручки (синяя и черная).
Сколько у нее способов сложить пенал (туда надо поло­
жить один карандаш и одну ручку)? Выпишите все эти
способы.
б) В шкафу стоят четыре разные чашки и три разных
блюдца. Сколько имеется способов подать гостю чашку
с блюдцем?
2. а) На выборах выдвинуты кандидатуры Андреева, Бо­
рисова, Васильева и Григорьева. Выбрать надо двоих.
Сколько есть способов это сделать? Выпишите эти спо­
собы.
б) На острове расположены четыре города. Сколько
надо проложить дорог, чтобы из любого города можно
было напрямую проехать в любой другой город?
3. В классе выбирают старосту и ответственного за дежур­
ства. Сколько существует вариантов их выбрать, если в
классе 24 человека?
4. В классе 24 человека. Надо выбрать двоих дежурных.
Сколько есть способов это сделать?
5. Граф Монте-Кристо решил подарить Гайде два разных
драгоценных камня. Сколько существует способов это
сделать, если у него есть изумруды, сапфиры, брилли­
анты и рубины?
6. У Билли Бонса в сундуке лежат мешки с пиастрами,
дублонами, гинеями и луидорами. Джим берет лишь
две монетки. Сколько есть вариантов это сделать?
7. Сколько диагоналей у выпуклого пятнадцатиутольника?
8. Имеется 5 разных сортов хлеба и 8 разных сортов кол­
басы. Сколько существует вариантов приготовления
бутерброда с колбасой?
9. Для приготовления молочного коктейля, кроме моло­
ка, решили использовать один сорт мороженого (из пя­
ти имеющихся), один сорт сока (из четырех имеющих­
ся) и один сорт сиропа (из шести имеющихся). Сколько
есть вариантов приготовления коктейля?
10. Главарь шайки разбойников изобрел специальные знач­
ки — «пляшущие человечки» — для передачи секрет­
ных сообщений. Имеется 23 различных «пляшущих че­
ловечка». Сколько различных записей из 12 знаков
можно составить с их помощью?

11. в классе
12 .
13 .
14 .

15 .

16 .
17 .
18 .

24 человека. С колько сущ ествует способов вы ­
ставить им оценки за контрольную работу (единицы
учи тел ь не ставит)?
С колько сущ ествует пяти зн ач ны х чисел, составленны х
из циф р 3, 6 и 9?
В классе 18 м альч и ков, двоих из них надо послать п е­
реносить стул ья. Сколько сущ ествует вариантов вы бо­
ра, если Ж ен ю и Ж ору вместе посы лать нельзя?
Н а п о л к а х надо расставить 32 разны е к н и ги . П олок
всего три . С колько им еется вариантов определить, на
к ак о й пол ке будет стоять к аж д ая кн и га, если известно,
что зан и м ать все полки необязательно и даж е все к н и ­
ги м ож но поставить на одну полку.
М иледи р еш и л а срезать у герцога Б экингем а две подве­
ски из двенадцати. С колько им еется вариантов это сде­
л ать, если две к р ай н и е подвески н ельзя отрезать одно­
временно?
С колько сущ ествует четы рехзначны х чисел, составлен­
н ы х из нечетны х чисел и не дел ящ и хся на пять?
Света и Л ю да обнаруж или 12 разли ч н ы х ш околадок.
С колько у них вариантов поделить найденное так, что­
бы у к аж д о й бы ла хотя бы одна ш околадка?
С колько м ож но передать сообщ ений (последовательно­
стей зн аков), содерж ащ их не более ш ести знаков и со­
стоящ и х из точек и тире?

0 - 3 0 . Перестановки
П рим ер. А ндрей, Борис и В асилий входят в ком нату по
одному. С колько у них есть способов это сделать?
Р е ш е н и е . П усть первы м войдет А ндрей, но тогда вто­
ры м м ож ет войти Борис или Василий, т. е. имею тся две
возм ож ности. А налогично есть две возм ож ности, если
первы м войдет Борис и если первым войдет В асилий.
Т аки м образом, всего 6 возм ож ностей (3!). И зобразим
возм ож ны е последовательности на схеме.
А
Б
В

/\

Б

В Б

В

/\

/\

А

В

А

Б

В

А

Б

А

В общем случае число перестановок для множества из п
элементов равно
п\ = 1 ■2 ■3 • 4 ■5 • ... • п.
1. Света, Люда и Женя договорились в течение трех дней
по очереди поливать в классе цветы. Сколько у них
есть способов установить порядок дежурства? Перечис­
лите все возможные способы.
2. У Атоса, Портоса и Арамиса на всех имеется одна шпага,
один кинжал и один пистолет. Сколько у них способов
распределить оружие так, чтобы все были вооружены?
3. Четыре лектора должны прочитать по одной лекции.
Сколько имеется вариантов составления расписания?
4. Капитан Жеглов рассматривает фотографии. Всего их
у него 25. Сколько существует различных последова­
тельностей их рассматривания?
5. Сколько существует анаграмм слова «корень»? (Ана­
грамма — это слово, полученное из данного переста­
новкой его букв.)
6. Слова в считалке из шести различных слов произносят
в разном порядке. Сколько существует вариантов это
сделать?
7. У мамы есть один апельсин, одна груша, одно яблоко и
один банан. Она хочет раздать их четверым детям так,
чтобы каждому достался какой-нибудь фрукт. Сколько
имеется вариантов это сделать?
8. Имеется по одной монете достоинством в 1, 5, 10, 50 ко­
пеек. Их надо раздать четырем туристам (каждому по
монете). Сколько существует способов это сделать?
9. В семье растут семь сестер. Для них приобретены семь
пар различных сережек. Сколько имеется способов
распределить серьги так, чтобы никого не обделить?
10. Верно ли, что:
а) 12!= 120 ■10!;

б) 14! = 1 5 !

в) 8! = 4! + 4! ?

15’

11. Упростите:
а) 10 • 10! + 10! - 11!;

б)

13! + 12!
12!



в)

11 ! - 10 !
9!

12. А н я , Б о р я , В ася и Д и м а д ел ят п и р о ж к и . У н и х есть
один п и р о ж о к с м ясом , один с рыбой, один с кап устой
и один с м орковью . С колько сущ ествует способов р а з ­
дел и ть п и р о ж к и (каж д ом у по ш туке) т а к , чтобы А не
не п ри ш л ось есть п и рож ок с м орковью ?
13. И з ц и ф р 1, 2, 3, 4, 5 составляю тся п яти зн ач н ы е чи сла,
в к о то р ы х все ц иф ры разн ы е. С колько т а к и х четн ы х
чисел?
14. С кол ько и м еется ан аграм м слова «алгебра»?
15. К ал и ф -А и ст забы л волш ебное слово «м утабор», однако
пом нит все его бу к вы , его дли н у и то, что в нем встре­
ч а ется сочетание «табор». С колько у него есть в а р и ан ­
тов п оп ы ток произнести заветное слово?
16. Д ел и тся л и число 90! на 19? на 350? на 91? н а 92?



Проверь себя!

1. В ы р аж ен и е ( х 1234)5*равно:
А. х 8.
Б. х 15.

В. х 2.

75 . 7 З

2. В ы ч и с л и т е
А. у .

г— .
79
Б.

76.

В. 7.

3. В ы р аж ен и е 4 12 • 8 5 м ож но представить в виде степени с
основанием 2 следую щ им образом:
А. 239.
Б. 2 17.
В. 2 120.
4. В к л е т к и таб л и ц ы 2 x 2 вписы ваю т н о л и к и и л и к р ести ­
к и . Т аб л и ц у м ож но заполнить:
A. О дним способом.
Б. 144 способами.
B. 16 способами.
5. Е сли ребро куба у м ен ьш и ть в 5 р аз, то объем куба:
A. У м ен ьш и тся в 5 раз.
Б. О станется без и зм ен ен и я.
B. У м ен ьш и тся в 125 раз.

6. П реобразуйте

9 R /j3 5 y J 12

A. A r .

Б.

ad1
*3

d3

B.

7. Д л я чисел a = 3514 и b = 1007 • 4 9 7 • ^
соотнош ение:
A. a < b.

Б. a > b.

B.

4 a 20d '.

j

вы полняется

a = b.

8. И мею тся к расны й, зелены й, си н и й , черн ы й и ж елты й
карандаш и. И х надо раздать п яти м а л ьч и к а м (каждому
по карандаш у). Это м ож но сделать:
А. 120 способами. Б. 55 способами. В. 10! способами.
1018
9. О тнош ение — г---- :
509 -6!
А. Равно 1.
ф — (

Б. М еньш е 1.

В.

Б ольш е 1.

Б А А В В А В А Б

Глава 7. Многочлены
0 -3 1 . Одночлены, многочлены
1. П редставьте одночлен в стандартном виде:
1) а) аааЬЪ;
в) -0 ,4 а & 3 • 2 ,5 а 2Ь;
б) с2 ■3c3ab;
г) 3а3Ь ■0 ,4 • 10а&4.
2) а) х х х х у у у ;
в) —0 ,8 х у 3 ■ 1 2 ,5 х*у2;
б) х 3 ■2 х 2уг;
г) 0 ,3 л: • 0 ,4 у ■ 0 ,5 х 2у 6.
3) а) т п т п т п п ;
в) - 0 , 6 пг2п 3 ■ 5 т 4п 3;
б) т 2 ■ 2п 3а т 3;
г) 0 , 1 т • 0 ,2 п ■0 ,5 т 2п 3.
2. У к аж и те коэф ф ициент одночлена, в ы п и ш и те его от­
дельно:
1) а) 2 а 2;
в) а2Ъ3;
д) - 3 а 2т ■( - 2 ) а2т.
б) - З а 3;
г) - т2п5р ;
2) а) - ^ т 4;
в) - а 3с5;
д) - § Р3 ' 72-

f

б) 0 ,7 л:3;

г) т 6;

3. З ап и ш и те сум м у одночленов в виде м ногочлена:
а) ( - 2 а ) + (-5 6 ) + (Зс);
б) (2 а 2) + ( - З а ) + 1;
в) ( - З а 3) + ( - | б 2 ) + (-4 с );
г) ( -З х ) + ( - 4 х 2) + (З х 3);
д) (2х) + ( - 3 у) + (-5 2 ) + (-4 );
е) ( - 5 а 1) + ( § 6 3j + ( - 8 с 2).

4. З ап и ш и те м ногочлен в виде суммы одночленов:
а) З а 2 - 5а - 4;
г) - З х - 2 у;
б) -7ху - Зх2- 4у2;
д) 5 а 2 - За + 1;
в) 2а - 56;
е) - 7 а б + За2- 56.
5. Зам ен и те сум м у одночленов одним одночленом:

Ъ
с
d
a - b + a - c + a - d = a - ( b + c + d)

О бразец.
- З х 2 + 5 х 2 - 9 х 2 = ( - 3 + 5 - 9) • х 2 = - 7 х 2;
5а6 - Заб - 12а6 = (5 - 3 - 12) • аб = -Ю а б ;
- с + 5 с - 7 с = - 1 - с + 5 - с - 7 - с = (-1 + 5 - 7) • с = -З с .
а) - 7 а 2 + 12а2 - 1 9 а 2;
б) 3cd - 4cd + led-,
в) -т + 3т-9т;

г) - 2 х 3 + 4 х 3 - 12х3;
д) 2ху2- Зху2+ 4ху2;
е) - х + 1 3 х - 1 9 х .

6. П редставьте м ногочлен в стандартном виде:
1) а) З х 2х - Ъху + |х г / 2х 2г/;
б)
в)
2) а)
б)
в)

- 2 а • 56 + Ю а а 6 - 7б3б2;
З а - 56 - 8 а + 76.
З а 3а - 15а6 - 12666;
- З х • 2у - Wxyxy + 2 х 2 • 3 у3;
- 4 х - 5(/ + 6х - 9 у.

7. О пределите степень м ногочлена:
а) 5 а 2а 2 - З а 3 - 1 2 а а 4;
в) -2т3т 2+ 2mmi- 2 3 т 2- 7.
б) - 8 х 3 + 5 х 2х 3 - 2 х + 1;

8. Найдите значение данного многочлена при данных зна­
чениях букв:
1) а) 3у 3 - 2у при у = - 2 ;
б) - 2 х 2 + 3х у - 5у2 при х = - 1 , у = 2;
в) - З а + 5а - 14а + 2а при а = -1 3 ,6 ;
г) - З х 3х2 + 15*:*; + З х х 4 - 1 при * = 2) a)
б)
в)
г)

- 2 х 3 + 3* при х = 2;
Зх2 - 5ху + 2у2 при х = 1, у = - 2 ;
- 7 х + 2х - 13х + 8х при х = 12,4;
- 4 х 4х2 - 12хх + 4х3х 3 + 1 при х = - -i.
О

9. Упростите данный многочлен, выполнив приведение
подобных слагаемых:
1) а) - 2 а + ЗЬ - 8а + 76;
б) Зх2 - 5х у + 7х у - 10х2 + у 2-,
в) 2х 2у - Заб3 - 4 х 2у - 5а63.
2) а) 2а2 - Заб - З а2 + Tab - 4Ь2;
б) -З с + 2d - 4с - 5d;
в) За36 - 4х у 2 - 5х у 2 + 7а 3Ь.
10. Найдите значение многочлена:
а) - З а + 76 - 7а + 26 при а = - 0 ,8 и 6 = - ;
"

1

б) 7х2 - 8ху + у 2 - 2х2 + 8 ху - 3у 2 при х = - 2 и у = -;
в) - 2 х + Зх - 7х + 6х при х = 0,679.
11. Решите уравнение, выполнив приведение подобных
слагаемых в многочлене:
1) а) - З х + 2х - 7х + 9х = 3;
б) 2,5х - 3,5х + 4х = - 2 .
2) а) 2х - 4х + 5х - 8х = 5,5;
б) - 1 ,5 х - 4,5х = 2,4.
12. Запишите числа 75 321, 8974, abc, abed в виде много­
члена, расположенного по убывающим степеням чис­
ла 10, по образцу:
583 = 500 + 80 + 3 = 5 ■100 + 8 • 10 + 3 =
= 5 -_1Р2 + 8 • 101 + 3;
ab = 10а + 6.
13. Докажите, что:
а) х5 делится нацело на 5;
б) хуб делится нацело на 2;
в) аЬО делится нацело на 10.

14. П ри к а к и х зн ач ен и я х а вы полняется утверж дение:
а) 37 а д ел и тся нацело на 5;
б) 2 9 а д ел и тся нацело на 10;
в) 4 5 а д ел и тся нацело на 9;
г) За7 дел и тся нацело на 3;
д) 53 а2 д ел и тся нацело на 4;
е) 3 2 а5 7 д ел и тся нацело на 9?

0 -3 2 . Сл ож ен ие и выч и та ние
о дн о ч ле н о в и м ногочленов
П рочитайте словам и п р ав и л а, записанны е с помощ ью букв:
а + (5 + с) = а + 5 + с
а - ( 5 + с) = а - 5 - с

а - 5 = а + (-5 )
а + 5 = а - (-5 )

Р аск р о й те скоб ки ;
,

О бразец.
З а + (5 - 2а5 + Зс) = З а + 5 + (-2 5 ) + Зс =
= З а + 5 — 2а5 + Зс;
4х - (г/ - 2 х у - 4 а ) = 4 х - у - (—2 ху) - ( - 4 а ) =
= 4 х - у + 2 х у + 4 а.

1) а)
б)
2) а)
б)

5х + ( - 2 у —3 с + 5т);
- З а 2 - ( - 2 а + 4 а 3*б
)- 55);
- 2 а + (-3 5 + 5с - 7 d);
- З а 2 - ( - 5 а - 75 + 952);

в)
г)
в)
г)

(2 а - 5) + (З а12 - 452);
(Зх + у) —(~ 4х2 + 5 у2).
(Зх + у 2) + ( - 4 х 2 + 5 у);
(2а - Ъ2) - ( - З а 2 + 45).

2. Р а с к р о й т е ск о б к и и уп рости те п ол учен н ы й м ногочлен;
1) а) (2 а - Зх) + ( - 1 3 а + 5х);
б) - ( 5 , 2 х — у) + (3 ,2 х - 4у);
в) ( - З х 2 + 6 х - 1) - ( - 2 х 2 + З х - 1);
г) - ( 5 а 2 - 1 0 а + 12) - ( З а 2 + 1 0 а - 7);
д) ( - 2 а + 135) + (2 а - 135).
2) а) ( 1 ,2 а - 3 ,4 5 ) + ( - 3 , 2 а + 0,65);
б) - ( 2 х + у) + (—6 х - Ту);
в) ( - 5 а 2 - 9 а + 1) - ( - 1 3 а 2 - 9 а + 5);
г) - ( 2 х 2 - 3 х у + 7) - ( - 2 х 2 + Тху - 9);
д) ( - З а + 5 ) - ( 5 - З а).

3. Заполните пропуски:
1) а) (2а - 36) + (...) = 0;
б) (Зх - 7у) - (...) = 0;
2) а) (...) + (-4 а + 36) = 0;
б) ( . . . ) - (1 3 * - 2у) = 0;

в)
г)
в)
г)

( - 5 а 2 + 6а - 1) + (...) = 0;
(7а2 - 1 2 а + 4 ) - ( . . . ) = 0.
(...) + (-З а 2 - 2 а + 1) = 0;
(...) - ( - х 2 + 2х - 5) = 0.

4. Найдите значение выражения:
а) (-З а 2 + 2а - 5) + (7 - За + За2) при а = - 4 ,5 ;
б) 2х - у - (- 3 у + 2х) при х = 3,875, у = - 0 ,5 ;
в) - (Зх2 - 2ху - у2) + (2х2 - 7ху + у2) - (-5х(/ + у2)
при х = 13, у = 9.
5. Решите уравнение:
1) а) (2х - 1) + (—х + 5) = 2;
б) (43 - 12х) - (—7х + 33) = - 2 .
2) а) (-З х + 1 ) + ( 7 - 2х) = 16;
б) (2х - 10) - (Зх - 4) = 6.
6. Раскройте скобки:
1) а) (7а - 6) - (-4 а - (6 - За));
б) -1 3 а + (-7 а + (4 - 9 а ) ) .
2) а) (а - 56) + (-7 а - (2а - 56));
б) - 1 4 х - ( 2 х + ( - З х + 1)).
7. Решите уравнение:
а) (-2 х 2 + Зх) - (7х - 2х2) = - 2 ;
б) - (Зх2 - 2х + 1) + (Зх2 - 4х - 8) = 0;
в) -12г/ + (—7г/ —(4 —Зу)) = 0.
8. Составьте уравнение по условию задачи и решите его:
Задумано число а. Если от 15 отнять сумму задуманного
числа и 3, то получится столько же, как если к 11 при­
бавить разность задуманного числа и 9.
9. Докажите, что при любом натуральном значении п дан­
ное выражение делится на указанное число:
1) а) (а - 1) + (5п + 1) на 6;
б) (- 2 п + 4) - (5п + 10) на 7.
2) а) ( - 2 а 2 - За + 5) + (2а2 - 7а + 15) на 10;
б) (5а - 10) - (- 4 а - 10) на 9.
10. Докажите, что разность числа abc и числа, записанного
теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на
99 (пусть а > с ).

П р о в е р ь себя!

1. Чему равно значение выражения -2 у 2 - 4 при у = - 2
А. 2 ^ .
Б. - 3 .
В. -4 ,5 .
2 . Продолжите запись, чтобы равенство оказалось верным:
- (2а - 3) - (-5а + 3) = ....
А. - 2 а - 3 + 5а + 3.
В. - 2 а + 3 - 5а + 3.
Б. - 2 а + 3 + 5а - 3.
3. Заполните пропуск так, чтобы равенство
(-З а + 6) - (...) = - 6 оказалось верным:
А. - З а + 26.
Б. За - 26.
В. - З а - 26.
4. Корнем какого из уравнений является число 3?
А. 8 * - 6х - х = - 3 .
В. -1 2 х + 9 х = 1 2 .
Б. - 7 х + 5х + х = - 3 .
5. Какому из чисел равно значение выражения
- (2а2 - 3) + (-1 + За) - (За - 2а2)
при всех значениях букв?
А. 2.
Б. 4.
В. -2 .
6. Какое из чисел является корнем уравнения
3 - (2х - 5) = 5 + (7 + х)?
А. 4.
Б. 10.
В. - l | .
7. Какую степень имеет многочлен
Зх5 - 4х4 - Зх2х 3 + 4х2х 2 - 2х + 1?
А. 5.
Б. 4.
В. 1.
8 . Если значение выражения —Зх2 + 2х —1 при некото­
ром значении х равно ( ——I, то значение выражения
Зх2 - 2х + 1 при том же значении х равно:
А. - 1
Б. §.
В. 1.
4
4
9. Если при некоторых значениях х и у значение выраже­
ния 2х - 5у равно 2, то чему равно значение выраже­
ния (-З х + 2у) - (-5 х + 7у)?
А. 2.
Б. - 2 .
В. 3.
10. Решите уравнение

А. 1.

(Зх - 2) - (8х - 3) = (4х - 5) - (Юх - 7).
Б. - 1 .
В. -2 .
В Б А Б А В В Б А А

0 -3 3 . Ум ножение о дн о ч ле н а на м ногочлен
г
а

С

в
а
А

Ь

Ь

С

—аб "f ас
S ABCD = а (б + с)
а - ( б + с) = а - б + а • с

&ABCD — а

Ф

D

с

С)

S abcd =
— ас
а - ( 6 - с ) = а- б - а- с

1. Выполните ум нож ение:
б) 5 л:2 ■( - З х + 1).
1) а) - З о б 2 • (2а - 76);
2) а) 10а 3б2 (2a2b - б'1);
б) - 7 х 3 • (-2л:2 + 5).
2. П редставьте в виде многочлена:
1) а) (463 - 362 + 76 - 10) • ( -2 б 2);
в) 5 (а - 6 + 2с);
б) - З с 2 (2с4 - с3 - 8с + 10);
г) - 5 (а - б + 2с).
2) а) 12об • ( - З а 2 + 5б2);
в) 7 • (х - 2у + г);
б) (4тя2 - 7т - 1) • ( - 5 т 3);
г) - 7 • (л: - 2у + г),
3. Заполните пром еж утки и устно сделайте проверку:
1) а) 2 а- (...) = - 6 а 2 + 4а;
б) - 7 а: • (...) = - 7 л;3 + 14л:2 - 21х;
в) За2б • (...) = 9 а 3б - 6 а 262.
2) а) - 5 а ■( ...) = 10а2 - 15а;
б) Зх ■(...) = 9 х 3 - 6 х 2у 2 + 15х;
в) - 4 х у г • ( ...) = - 8 х 2у 2 + 20х у 3.
4. П редставьте в виде м ногочлена:
1) а) 7а + 3 (а - б);
в) 7 х 2 - Зх (х - 5);
б) - 5 а + 2 (2 ,5 а - б);
г) 5 а 2 - 2 а (2,5 - б).
2) а) 2х - 3 (х - у);
в) 2 а 2 - 5 а (а + б);
б) - 4 х + 2 (2х - 5);
г) 1 0х2 + 5х ( - 2 х + 1).
5 П редставьте в виде многочлена:
1) а) 4а (5а —2) + 7а (За —4);

.

6. Р еш ите уравнение:
1) а) Зх - 2 (х - 3) = 7;
2) а) 5х - 3 (х - 3) = 19;

б) 13 (х - 2) + 10 (4 - х) = 23.
б) 13 (х - 3) = 16 (х + 3) - 42.

7. Н ай дите зн ачен ие вы р аж ен и я при а = - 0 ,7 , b = 2:

0 -3 4 . Составление выражений
по условию задач
1. Д л я детского сада к уп и ли 28 м тк ан и двух сортов по
30 р. за 1 м и по 20 р. за 1 м, причем тк ан и первого сор­
та было куп лен о х м. Составьте вы раж ение дл я опреде­
л ен и я стоимости всей тк ан и и упростите его.
2. И м ею тся 25 м онет достоинством 50 к . и 1 р . , причем
монет достоинством 50 к . было а ш тук. Составьте вы ­
раж ен и е д л я определения стоимости всех монет и упрос­
тите его.
3. Д ля детского сада к у п и л и тк ан ь по 40 р. за 1 м и по
20 р. за 1 м, причем тк ан и первого сорта было куплено
а м, а тк ан и второго сорта — на 3 м больш е. Составьте
вы р аж ен и е д л я определения стоимости всей ткан и и
упростите его.
4. С двух турбаз А и В одновременно навстречу друг другу
вы ш л и две группы туристов и встретились через 3 ч.
Скорость одной группы v к м /ч , а другой — на 1 к м /ч
м еньш е. С оставьте вы раж ен и е д л я н ахож дения расстоя­
н и я м еж ду турбазам и и упростите его.
5. Группа туристов вы ш л а с турбазы А со скоростью
v к м /ч и через 4 ч встретила группу туристов, вы ш ед­
ш и х на 1 ч п озж е первой группы с турбазы В. Скорость
второй группы н а 1 к м /ч больш е скорости первой груп ­
пы . П ри встрече оказалось, что первая группа прош ла
больш ее расстояние, чем вторая. Н а сколько ки ло м ет­
ров больш е п рош ла первая группа? Составьте вы р а ж е­
ние и упростите его.
6. Один рабочий работал 5 ч, а другой — 3 ч. О казалось,
что первы й рабочий за один час изготавливал х деталей,
а второй — н а 3 детали в час м еньш е. Н а сколько боль-

ш е д е т а л е й и зг о т о в и л п е р в ы й р а б о ч и й з а 5 ч , ч ем вто­
р о й за 3 ч ? С о став ь те в ы р а ж е н и е и у п р о с т и т е его .
7. Д л и н а п ер в о го зе м е л ь н о г о у ч а с т к а п р я м о у г о л ь н о й ф о р ­
м ы 2 5 0 м , а д л и н а в т о р о го 1 5 0 м . К а к о в а о б щ а я п л о ­
щ а д ь д в у х з е м е л ь н ы х у ч а с т к о в , е с л и ш и р и н а п ервого
а м , а ш и р и н а в т о р о го н а 5 м м е н ь ш е ? Н а с к о л ь к о м 2
п л о щ а д ь п ер в о го у ч а с т к а б о л ь ш е п л о щ а д и в то р о г о ? Со­
ставьте два в ы р аж ен и я и уп рости те и х.

0 -3 5 . Ум нож ение многочлен а на многочлен
1. П р е д с т а в ь т е в в и д е м н о г о ч л е н а с т а н д а р т н о г о в и д а :
д) ( х 2 - 1) - ( х 2 + 3);
1) а) (X - 7) ■(х + 1);
е) ( 2х - 5) (2л: + 5);
б) (2 а - 5) • ( 1 - - 2 а );
ж ) ( 2х - 5) ( 2 х - 5).
в) (З а - 5) • (2 а + 5);
г ) (а - 5 ) • (2 а - 5 - 1 ) ;
2) а) (а + 5) • (а - 4);
д) ( а 2 - 3) ■ ( а 2 + 5);
е) (З а - 5) ( З а + 5);
б) (Зл: - 1) ( 3 - -2 л :);
ж ) (З а + 5) ( З а + 5).
в) (З а + 5) • ( 5 - 2 а );
Г) (х - у ) ■( 2х + у - 3);
3) а) ( с - 7 ) - (с + 2);
д) (л;2 + 1 ) - ( 4 - х 2);
б) (5с + 2) • ( 1 - 2с);
е) ( 5 - х ) (5 + х );
ж ) ( 5 - • х ) (5 - х ).
в) (Зс - 2d) ■( d - с);
Г) (а + 5) • (З а - -5 + 2);

2. П р е д с т а в ь т е в в и д е м н о г о ч л е н а с т а н д а р т н о г о в и д а :
1) а)
б)
в)
2) а)
б)
в)

(5 а + 2 5 - 1 ) - ( - 2 а -3 5 );
( 4 а 35 - 7 а 252) • (а - 5);
( а 2 - 2 а - 3) • (а + 1);
(3 x -5 i/-2 )-(-7 x -l);
(5 х 2у - 4 х у 2) ■(х - у);
( а 2 - а + 3) • ( а - 4 );

г) (х 3 —х 2+ х —1) • ( х + 1);
д) (х + у + г) ( х + у + г).
г) (гаг3 + гаг2 + гаг + 1 ) • (гаг - 1);
д) (а - 5 + с) (а - 5 + с).

3. У п р о с т и т е в ы р а ж е н и е :
1) а)
б)
в)
г)
2) а)
б)
в)
г)

- 5 л: ( х - 2) + ( х - 3) (5л: + 1);
З а (а - 5) - (а + 5) (З а - 5);
(2 а - 5) (З а + 5) + ( З а - 55) ( а - 5);
(5 х 2у - у) ( х - 2 у) - ( х 2 + 2у) ( 5 х - 3 у).
З а (а + 3) + (2 - а ) ( З а - 4 );
7л; (л: - 2 у) - (л: - у) ( 7 х + у);
(3 гаг - 2 га) (2 гаг - Зга) + (Зга — гаг) (2га - гаг);
(2 а - 552) (а + 5) - (5 2 - 2 а ) ( а - 55).

4. Н айдите значение вы раж ен и я при а = 3,6, 6 = - 2 :
1) (2а - Ь) (Ь - За) + (6 а 12 + 62);
2) 2 (З а 2 - Ъ~) - (За - 26) (2а + Ь).
5. П роверьте, верно ли равенство:
1) (а - 3) (а + 5) = (а + 3) (а - 5);
2) (х - 7) (8 - х) = (7 - х) (х - 8);
3) (а - Ь) (а - Ь) = (Ь - а) (Ь - а).
6. Р еш и те уравнение:
1) а) 2 х 2 = ( 2х - 1 ) ( х + 1);
б) (10х + 14) х - (5х - 1) (2х + 3) = 4.
2) а) (Зх - 5) (х + 2) = Зх2;
б) (6х + 2) х - ( 2 х - 1) (Зх + 2) = 3.
7. Н ай дите значение вы р аж ен и я при а = 0,9:
а) (2 а 2 - 4 а - 1) (За + 1) - (З а 2 + а - 5) (2а - 4);
б) (5 а 2 - 8 а - 1) (2а + 1) + (1 - 10а) (а 2 - а - 3).
8. а) И м еется к вад р ат со стороной а см (а > 5) и п р ям о ­
у го л ьн и к , стороны которого таковы : одна на 2 см м ен ь­
ш е стороны к вад рата, а другая на 5 см меньш е стороны
к вад рата. Н а скол ько площ адь квад рата больш е п л о щ а­
ди п рям оугол ьн и ка? Составьте вы раж ение и упростите
его.
б) Одна м аш и н а ш л а со скоростью v к м /ч и бы ла в пути
t ч. Д р у гая ш л а со скоростью на 2 к м /ч больш е, но бы ла
в пути на 1 ч м еньш е. О казалось, что первая м аш ина
п р ош ла больш ий путь, чем вторая. Н а сколько к и лом ет­
ров больш е п рош ла первая м аш ина, чем вторая? Со­
ставьте вы раж ен и е и упростите его.
9. Д о к аж и те, что при любом натуральном значении п зн а­
чение в ы р а ж е н и я дел и тся на 5 нацело:
а) п (п + 14) - (п - 1) (п + 5);
б) {2п + 3) ( З а - 7) - (а + 1) (а - 1).

0 - 3 6 . Квадрат суммы и разности
1 . П редставьте в виде м ногочлена стандартного вида:

1) а) (х + 2)2;
б) (2 а + 36)2;
в) (5 х - 7)2;
г ) (4 а - Ъ)2.

2) а)
б)
в)
г)

(т + 4)2;
(3т + 2 п)2;
(7 т - 2)2;
(8 т - п)2.

3)

а)
б)
в)
г)

(а + 9)2;
(3х + уУ(4 а - 9)2;
(5х - 3у ) 2.

2. У простите
1) а) (7 а б) 12а5
в) (За г) 4 х 2 -

вы раж ение:
I ) *12 + 14а;
+ (6а - Ь)2;
Ь)2 - 9 а 2;
(2х + I ) 2;

2)

a)
б)
в)
г)

(5 a - I ) 2 + 10а;
(4 + 7х)2 - 56х;
6 аЪ + (З а - 2 Ь)2\
4 9 х 2 - (2 - 7х)2.

3. Зам ените данное вы раж ен и е м ногочленом стандартного
вида:
2) а) (З а - 2)2 + (2 а + З)2;
1) а) (5a - I ) 2 + (а + 5)2;
б) (4а - Ь ) 2 - (3 Ь + 4 а)2;
б) (7а - З)2 - (2 - 7 а)2;
в) - 3 • (7 а - 8)2.
в) - 2 • (4а - 9)2;
4. Верно ли равенство:
а) 7а + 5 = 5 + 7а;
б) (7а + 5)2 = (5 + 7а)2;

в) 7а - 5 = 5 - 7а;
г) (7а - 5)2 = (5 - 7 а)2?

5. Заполните пропуски и сделайте проверку:
1) а) 9 а 2 - 6а + 1 = (... - ...) 2;
б) 16*2 + 8 * + 1 = (... + ...) 2;
в) 3 6 а2 + ... + 49Ь2 = (... + ...) 2;
г) 25т2 - 20т п + ... = (... - ...) 2;
д) 9 а 2 - . . . + 4 = (2 - ...) 2.
2) a) 2 5 a2 + 10а + 1 = ( .. . + ...) 2;
б) 4 х 2 ~ 12ху + 9у2 = (... - ...)2;
в) 36m 2 + ... + 1 = (,.. + ...)2;
г ) 9 а 2 - 3 0 а + ... = (... - ...) 2;
д) ... - 10* + ... = (1 - ...) 2.
6. Н айдите значение в ы р а ж е н и я при а = 0 ,8 , 5 = 0 ,6 :
а) (2а - 5Ъ)2 - (2а + 5Ь)2;
б) (З а - Ь)2 + (а + ЗЬ)2.
7. Р еш ите уравнение и сделайте проверку:
1) а) (2х - 5)2 - З х 2 = (х + 2)2 - 3;
б) (2х - 1) (* + 1) - л:2 = (х - З)2 - 10.
2) а) (у + I ) 2 — 4у = —5 + (г/ —2)2;
б) (Зх + 1) (х - 1) - 2 х 2 = (х + 2)2 - 5.
8. В ы числите к вад раты следую щ их чисел по образцу:

Образец.
312 = (30 + I ) 2 = 302 + 2 • 30 • 1 + 1 =
= 900 + 60 + 1 = 961;
782 = (80 - 2)2 = 64 00 + 2 • 80 ■2 + 4 =
= 6400 - 320 + 4 = 6084.

1) а) 612;
2) а) 522;

б) 8 9 2;
б) 6 8 2;

в) 1992.
в) 3012.

9. Д аны вы р а ж е н и я: ( х - 2)2, ( х + 2)2, (2 - х )2, ~ ( х - 2)2,
(—х —2) ’ (2л: - I ) 2, (1 - 2х)2. Значения к ак и х из этих
вы р аж ен и й равн ы при всех зн ачен иях х ? Вы пиш ите
соответствую щ ие равенства.
10. У становите, чем у равно частное:
1) а) (а - 6) : (6 - а);
в) (За - 26)2 : (26 - З а)2;
б) (а + 26) : (26 + а);
г) ( х + 3у ? : (Зг/ + х)2.
2) а) ( т + п) : (п + т );
в) (Зх + 2г/)2 : (2у + Зх)2;
б) (т - 2/г) : (2 п - т);
г ) (7 х - г/)2 : (у - 7х)2.
11. Д о к аж и те, что при лю бы х натуральны х значен иях п
вы раж ен и е дел и тся нацело на данное число:
а) 9 п 2 - (3 п - 2)2 на 4;
б) (3/г + 2)2 - (2п + З)2 на 5.
12. Д о к аж и те, что значение данного вы раж ен и я будет оди­
н ак овы м при всех зн ач ен и ях букв:
а) (З а - 4)2 - За • (З а - 8);
б) (5х + 7)2 - 5х • (5х + 14).
13. Н ай д и те значен ие вы р аж ен и я а 2 + 62, если известно,
что а + 6 = 8, а ■b = 15,84.



П роверь себя!

1. К аком у из м ногочленов равно вы раж ение
- 2 х (8х - 1) - 4 х (1 - 4х)?
А. —6х.
Б. - 2 х .
В. - 3 2 х 2 + 2х.
2. К акой двучлен нуж но поставить вместо пропуска, чтобы
равенство 3а?Ь2 • (...) = —6а9Ь2 + 9а3Ь6 было верным?
А. - 2 а 6 + 364.
Б. 364 - 2 а 7.
В. 363 - 2 а7.
3. К акой и з м ногочленов равен произведению
(2 х - 1) (* - 2)?
А. 2 х 2 + 2.
Б. 2 х 2 - 5х + 2.
В. 2х2 - Зх + 2.
4. К аком у чи сл у равно при а = 0 значение вы раж ен и я
(2а + 1) (8 а - 1) - (4а - 5) (3 - 2а) + 12?
А. - 1 6 .
Б. 16.
В. 26.

5. Какой из многочленов равен квадрату двучлена 3b - 2а?
А. 4 а2 + 9Ь2.
Б. 9Ь2 - 4 а2.
В. 4 а 2 - 12аЪ + 9Ъ2.
6. Какое из вы раж ений достаточно прибавить к вы раж е­
нию 4 9 а2 + 1, чтобы получился квадрат суммы двух
выражений?
А. 14а.
Б. - 7 а .
В. 7а.
7. Корнем какого из уравнений является число 2?
А. ( З х - 5 ) 2 = 1. Б. (4 - Зх)2 = 81.
В. (2х - I ) 2 = 25.
7

8. Найдите значение выражения 16а2 - (4а - I)2 при а = —.
А. 1.

Б. 6.

В. - 6 .

9. Решите уравнение (Зх - 5)2 = 25 + 9х2.
А. - § .
Б. 1.
В. 0.
О

10. Какому из выражений равно произведение
(х - 2) (3 - х)?
А. (х - 2) (х - 3).
В. (2 - х) (х - 3).
Б. (х + 2) (3 + х).
ф —£

Б А Б В В А А Б В В

0 -3 7 . Решение уравнений
1. Решите уравнение:
1) а) 7х + (7х - 3) - (-8 х - 8) = а: + 26;
б) 5х ■(12л: + 7) - 4х ■(15л - 11) = 10 + 29л;
в) (х + 1) • (х + 4 ) - 3 (4х - 7) = ( х - 6)2;
г) (х + 3) • (х - 3) - (2х - 5)2 = - З х - ( х - 2 ) - 27.
2) а) 5г/ —(7 —2у) - (4у + 8) = 2у;
б) 6у ■(13у - 9) - 13у ■(6у - 1) = 24у + 13;

в) (2х - З)2 - (2х + 1) • (2х - 5 ) = 3 х - 14;
г ) ( х + 4) • (х - 4) - (2х - З)2 = - З х ■ (х + 1) - 22.
2. Решите уравнение:

Х>f +f =l;

2) f - f =°’1;

3>f - f =-°’2‘

3. Р еш и те урав н ен и е, введя новую переменную :
а) 2 ,5 • (Юл: + 17) - 18 = - 3 ,5 ■(10х + 17);
б) - 5 ,5 • (2 • (1,4 - х) - 4) + 4 = 4 ,8 ■(5 • (1,4 - х) + 20).

0 -3 8 . Решение задач
с помощью уравнений
1. С оставьте уравн ен и е по условию задачи и реш и те его.
С делайте проверку:
а) От ч и с л а а о тн ял и 2,5 и результат ум н ож и ли н а 2.
П о л учи л и столько ж е , ск ол ьк о п олучили бы, если бы
к чи сл у а п ри бави л и 5, а результат раздели л и бы на 3.
Ч ем у равно число а?
б) Ч исло х у м н о ж и л и на 2 и к результату прибави ли 5.
П ол учи л и столько ж е , скол ько получили бы, если бы к
числу х прибави л и 5, а результат разделили бы на 3.
Ч ем у равно число х?
в) От к в ад р ат а ч и сл а b отн ял и произведение чи сла b и
ч и сл а, н а 2 ед иницы м еньш его Ь. П олучили 10. Ч ем у
равно число Ь1
2. В одном зале к и н отеатра х рядов, а в другом — н а 2 р я ­
да больш е. В к аж д о м ряд у первого зал а 24 места, а в
к аж д ом р яд у второго за л а 26 мест. Всего в двух залах
802 м еста. С колько рядов в каж дом зале?
3. В м ал ен ькую коробку пом ещ ается х к аранд аш ей , а в
больш ую -— н а 6 к аранд аш ей больш е. И звестно, что
в 10 м ал ен ь к и х и 6 больш их коробках пом ещ ается
132 к ар ан д аш а. С колько к аранд аш ей пом ещ ается в од­
ной м ал ен ькой коробке?
4. Скорость м отоц и кл и ста х к м /ч , а скорость велосипеди­
ста на 20 к м /ч м еньш е. И звестно, что за 3 ч м отоц и к­
ли ст проехал такое ж е расстояние, какое велосипедист
проехал за 8 ч. К ако в а скорость м отоциклиста?
5. П ервы й ток арь обрабаты вает в час х деталей, а
второй — на 3 детали в час м еньш е. П ервы й токарь
работал 6 ч, а второй — 5 ч. К концу рабочего дн я
оказалось, что первы й токарь обработал на 36 деталей
больш е, чем второй токарь. Сколько деталей обраба­
ты вает к а ж д ы й ток арь в час?

0 -3 9 . Различные способы решения задач
с помощью уравнений
Один из способов зап и си р еш ен и я зад ач с помощ ью
у р авн ений дан в учебнике (п у н кт 7.6, п ри м ер 1). С ущ е­
ствую т и другие способы зап и си , н ап ри м ер с пом ощ ью
табли ц. Рассм отрим ту ж е зад ачу.
Скорость,
к м /ч

В рем я,
ч

Р ассто ян и е,
км

I турист

X

3

Зд:

II турист

д :+ 1 ,5

3

3 ( х + 1,5)

В озм ож ны й в а р и а н т р еш ен и я урав н ен и я:
З х + 3 • ( х + 1,5) = 22,5,
З х + З х + 4 ,5 = 2 2 ,5 ,
6 л: = 18,
х = 3.
Ответ. 3 к м /ч , 4,5 к м /ч .
Р еш и те задачи , и сп о л ьзу я удобны й д л я
записи:

вас способ

1. Все им ею щ иеся к ар ан д аш и м ож но р а зл о ж и т ь в 15 м а­
л ен ь к и х коробок и л и в 5 больш их. С колько всего к а р а н ­
даш ей им еется, если в одну больш ую к оробк у по м ещ ает­
ся н а 12 к аранд аш ей больш е, чем в одну м ал ен ь к у ю ?*1I
2. Есть 120 кар ан д аш ей . И х р а зл о ж и л и в 5 бол ьш и х и
10 м ал ен ь к и х коробок. И звестно, что в одной больш ой
коробке пом ещ ается на 6 к ар а н д аш е й больш е, чем в од­
ной м ал ен ькой . С колько к ар а н д аш е й п о м ещ ается в одну
больш ую и скол ько в одну м ал ен ьку ю коробку?
3. З а 2 ч мотоциклист проехал такое ж е расстояние, какое
велосипедист проехал за 5 ч. К акова скорость велосипеди­
ста, если она н а 18 к м /ч меньш е скорости м отоциклиста?
4. З а 6 ч один рабочий и зготови л столько ж е деталей ,
ск о л ьк о другой — за 4 ч. С колько д етал ей изготавл и ва'С о в е т : решите задачу двумя способами.
I с п о с о б : обозначить через х число карандашей в маленькой коробке.
II с п о с о б : обозначить через х общее число карандашей.

ет в час каждый рабочий, если первый изготавливает в
час на 2 детали меньше, чем второй?
5. Скорость мотоциклиста на 18 км /ч больше скорости ве­
лосипедиста. Известно, что за 3 ч мотоциклист проехал
на 30 км больше, чем велосипедист за 5 ч. Какова ско­
рость велосипедиста?
6. Сумма двух чисел равна 200. Известно, что 20% одного
числа равны 30% другого числа. Найдите эти числа.
7. Одно число на 60 больше другого. Известно, что если сло­
жить 20% одного числа и 30% другого числа, то получит­
ся 40. Найдите эти числа. (Задача имеет два решения.)

Глава 8. Разложение многочленов
на множители
0 -4 0 . Вынесение общего множителя
за скобки
Пример 1. Вынесите общий множитель многочлена
12ал;3 + 8 а2х 2 за скобки.

Р е ш е н и е , а) Смотрим на коэффициенты: 4 — наи­
больший общий множитель чисел 12 и 8, следовательно,
можно вынести общий множитель 4. б) Смотрим на пере­
менные: первое слагаемое содержит множитель а, вто­
рое — множитель а2; общий множитель а. в) Первое сла­
гаемое содержит множитель х 2, второе — множитель х2;
общий множитель х 2. г) Выносим общие множители и
смотрим, что останется в скобках.
О т в е т . 12ах3 + 8 агх 2 = 4 а х 2 (Зл; + 2а).
сх - су
Пример 2. Сократите дробь
_ ~ •
Р е ш е н и е . Сокращать можно только после того, как
числитель и знаменатель представлены в виде произведе­
ния. а) Вынесем общие множители, б) Сократим числи­
тель и знаменатель дроби на общий множитель:
сх - су _ с( х - у) _ £
dx - ху
d(x -у)
d'

.

1 Разложите число на простые множители:

а) 126;

б) 96;

в) 224.

2. Найдите несколько общих множителей двух чисел:
а) 24 и 36;
б) 27 и 45;
в) 100 и 150.
3.Найдите значение выражения, преобразовав его на
основе распределительного закона;
а) 3 • 99 + 3; б) 7 • 68 + 7 • 32; в) 13 • 123 - 13 • 23.
4. Найдите несколько общих множителей двух одночленов:
а) 15ах и 25ау;
г) 15а53 и 1252х;
б) 16c3d и 18cd2;
д) 14а35 ‘с и 4 7 а 25с3;
в) 1 2 х У и 2 4 * У ;
е) Зх3г/4г5 и 5х 2у3г.
5. Вынесите общий множитель за скобки:
а) За + 35;
в) 16 + 4у;
д) - 2 4 s - 12t;
б) 12с - 4х;
г) 2 1 а + 7 5 ;
е) - 5 4 х + 54у.
6. Вынесите общий множитель за скобки:
а) а х + ау;
в) 5ш + aw;
д) - s r - rt;
б) uz - uzw;
г) - а х - ab;
е) xz + xzw.
7. Вынесите общий множитель за скобки:
а) ах + ay + az;
г) bxs - bxy - bxd;
б) ху - xz - 5х;
д) 2ху - 4 хг - 6xw;
в) 15х + xz - 2ху;
е) -5 а 5 - 15ах + 25ау.
8. Вынесите общий множитель за скобки:
а) а4 + а;
в) х 3 + х5;
д) 9г6 + 18г4;
б) с2 - с;
г) 2у3 - 6у5;
е) 1 6 а5 - 24а4.
9. Вынесите общий множитель за скобки:
а) г2 + Згу;
в) у2 + y7z;
д) а 3с2 + а 2с3;
б) За:3 - бхг;
г) - x 3z3 + х 3;
е) 4а55 + 654с.

.

10 Разложите на множители:

а) а 2 + 4а5 + 452;
б) х 2 - 4ху - Зху;
в) by3 - by4 + by7;

. тели:

г) 16а356 + 8 а653;
д) l l c 4d2 - 121c3d5;
e) - 5 x 6c5 - 25x4c6.

11 Проверьте, верно ли выполнено разложение на множи­

а) 5 х 32 - 15х2г2 = 5х3г (1 - Зг);
б) —4 а353 + 4 а 254 = - 4 а 253 (а + 5);
в) - а ва5 - п5и6 = - а 5а5 (a + v);
г) 14c2d6 + 24c5d5 = 7c2d5 (2d + Зс3).

12. С ократите дробь:
7 (а - Ь)
а)
д)
14а ’
б)
в)

15 л: + 25 у
Ъх
а с - Ьс
сх + су’

5с х - 5 с у
г)
15 с г

abc + a b d .
abed

6abs
е)
2a s + 4 b s ’
a x y + 5a y
ж)
a b z + 5a z ’
з)

be + b d ^

3c + 3 d ’

и)
к)
л)
м)

X3 - X2
ху —х

(а - З)2
ах - З х ’
х у + XW
у 2 + 2y w + w 2 ’

а 5 —2 а л Ь
а 2 - 4аЬ + 4Ь2

13. В ы несите общ ий м н о ж и тел ь за скобки:
а) 4 a 5c2d 4 + 2a 3c4d - 6a 2c3d 7;
б) 1 5 х 2с4г/5 - 1 2 х 3с ‘г/4 - 18 х с3у;
в) - 6 3 ab' c3d + 9ab4c3 - 27a 2b5c d2;
г ) 7 х 2у 3с4 + х 3у ъс4 —4 9 х 3г/5е6.
14. Д о к а ж и т е , что зн а ч е н и е в ы р а ж е н и я :
а) 9 6 + 9 5 д е л и т с я н а 10;
б) 7° + 77 д е л и т с я н а 50;
в) I I 7 - 6 • I I 5 д е л и т с я н а 115;
г ) 54 + 53 + 52 д е л и т с я н а 31;
д) З 7 - З 5 + Зб д е л и т с я н а 11;
е) 28 + 2 6 + 2 5 + 3 • 24 д е л и тс я н а 25.
15. Р а з л о ж и т е н а м н о ж и т е л и :
а) 3 (1 + 2) — t (t + 2);
б) ab ( 5 - 3 ) + a 2 (Ъ - 3);
в) с (с - d) + d (d - с);
г ) k {т - 3 п) - р (3 п - т);
д) 5 (у + 3) - а (у + 3) - х (у + 3);
е) 2 (х - 4) + с (4 - ж) - а (х - 4);
ж ) 2 (a + b - с) + х (a + b - с) - У (а + ь - - с);
з) (х + 2г) ( х - 3у) + (х + 2 z)2;
и) (a - х ) ( a + х 2) + (х - а) х 2;
к ) а ( а 2 + ЗаЬ) - а 3;
л) с3 (d. - 4 )3 + с2 (d - 4 )4;
м) а 5 (Ь - с )7 + а с (с - 5)5;
н) х 3 (2 х - 5у )5 + х г (5г/ - 2 х )4 - х 3 (5 у - - 2 х )3;
о) (а - с)3 (х + у )5 - (а - с)2 (х + у ) 4 + (с - а )6 (х + y f \
п) 5 х 2 + Ю х у + 5 у 2;
р) х 3 + 4 х 2у + 4 х у 2;
с) ( а + 1) с 2 + 6 ( а + 1) с + 9 (а + 1);
т) 2 5 (х - 6 у) а 2 - 10 (х - 6у) а - (6 у - х ).

16. Сократите дробь:
х-у .
2у - 2 х ’

а)

е)

155 - 10а
Зал: - 9ау + 15аг
ж)
12у - 20г - 4 х ’

XZ -ху

б)

ay - a z *

в)

4х2- х 3 ’

х 2 - 4х

з)

(а - 3Ь)2

г)

ЗЪ-а

4а2- 12аЬ + 9Ь2 _

и)



а 2Ь + ас - 4 а 2 _

12а - ЗаЬ - Зс’
х 3 - ж4 + 2л:3 - х 2
2х5+ 2х3- 4 х 4- 2 х 6

т п - (тп)2

Д)

kmn - k

17. Вынесите общий множитель за скобки:
в) 4 2п + 1 + 4" + 2;
а) 3" + 2 - 3";
б) 72" _ 7";
г) 6 ^ 3 - 6,, + 1 - 6".
18. Сократите дробь:
2" +1+ 2"
а)
3
52п+ 5 " _
б)
5" + 1 ’

в)
г)

32л + 2 •3" + 1_
З 3" + 3 2л
З

л+2

5"

-

+



5 - 3"

11• 5 " ' 2 '

19. Вычислите значение выражения:
а)
б)

■Ъх2у

если х - 5у = 2;

х“
Ъх - 15у

9 у 2 - 6 х у + х-

если х - Зу = 2;

х 6у + хуг - аху
В) “ 5--- о" 2 о--’ еСЛИ Х У = 2 ‘
2 а - 2 x z - 22

0 -4 1 . Способ группировки
Пример. Разложите на множители
сх - су + 2dy - 2dx.
Р е ш е н и е , сх - су + 2dy - 2dx =
= (сх - су) + (2dy - 2dx) = с (х - у) + 2d (у - х) =
= с (х - у) - 2d (х - у) = (х - у) (с - 2d).

1. Представьте в виде произведения:
а) (х + у) - г (дг + у);
в) с (с - 2d) - 6 (с - 2d);
б) a (a + 6) + 6 (а + 6);
г) г (2а - 5 Ь ) + х (2а - 56).
2. Заключите два первых слагаемых в скобки и затем вы­
несите общий множитель за скобки:
а) х + z + а (х + z);
г) За - 2b - cd (За - 26);
б) а - За + b (а - За);
д) х - 2а - 2Ь (х - 2а);
в) 2s - 5t - 4с (2s - 5 0 ;
е) 2с - d - Зс (2с - d).
3. Заключите два последних слагаемых в скобки и затем
вынесите общий множитель за скобки:
г) Зх (2х + у) + 2х + у;
а) 2 (а + 36) + а + 36;
д) 2z (2w - За) + 2w - За;
б) с (х + 4г) + х + 4г;
е) 4а (2а - 4Ь) + 2а - 4Ъ.
в) а (а - 4bc) + а - 4Ъс;
4. Разложите на множители:
а) 2 (х - у) + х - у;
б) а + Ъ (а + 2с) + 2с;
в) Зх + 2а - с (Зх + 2а);

г) 2х - z (2х - у) - у;
д) Зс (2а + 56) + 2а + 56;
е) -6 z + 5d (х - 6z) + х.

5. Заключите два первых слагаемых в скобки, вынесите их
общий множитель, а затем представьте все выражение
в виде произведения:
г) 3oz - 6vw + х (z - 2га);
а) 2х + 2а + с (х + а);
д) 2х + 4ху - 3z (1 + 2у);
б) а х + ау + с (х + у);
е) х 2 + ху + г (х + у).
в) 2аЬ - 5ас - с (26 - 5с);
6. Разложите на множители:
r) 4ad - Зс (2а + Зх) + 6dx;
а) Зх + 3у + а (х + у);
д) X3 + х + у (х2 + 1);
б) 5а - с (а - Ь) - 56;
е) а 2 - ab + с (а - 6).
в) ас - 2ad - х (с - 2d);
7. Разложите на множители:
а) xz + ху + 2z + 2у;
б) 2а6 - 2ас + 36 - Зс;
в) бах + Way + 6х + 2Ьу;

г) Зас + 66с + 7ах + 146х;
д) 2ах + 2ху - ап - уп;
е) х 2 + xz + а х + аг.

8. Проверьте, правильно ли выполнено разложение на
множители:
а) 2ах + 2ау + сх + су = (2а + с) (х + у);
б) 2а + 2а6 + Зс + 36с = (а + с) (2 + 36);
в) а 2 + ас - 26с - 2аб = (а - 26) (с + а);
г) За2 - Зас + 26с - 2а6 = (За - 26) (а + с).

9. Заключите два последних слагаемых в скобки, поста­
вив перед ними знак «минус», и затем вынесите общий
множитель за скобки:
а) с (а + 2с) - а - 2с;
г) 3Ъ (За - 5х) - За + 5х;
б) d (2х + 3 у) - 2х - 3 у;
д) х (а - 3 Ъ) + 3 b - а;
в) a (s - t) - s + t;
e) a (2z - 5x) + 5x - 2z.
10.

Проверьте, можно ли вынести за скобки множитель
х + у в каждом из следующих случаев:
а) а (х + у) + х + у;
в) 2d (х + у) + х - у;
б) 5х + Ъу - а х - ау;
г) - х - х (х + у) + у.

11. Разложите на множители:
а) а (2а - Ь) - 2а + Ь;
б) Ь (а - Зс) - 2а + 6с;
в) ас - 2 (d - с) - ad;
г) - 2 x y - 3 z ( y - 2 w ) + Axw;

д)
е)
ж)
з)

ху - xz + z - у;
ab - ас + dc - db;
2 ху - 2zy + 3z - Зх;
Зах - Заг + bz - Ъх.

12. Проверьте, правильно ли выполнено разложение на
множители. Покажите, как его следовало выполнить
в тех случаях, когда оно сделано ошибочно:
а) zw - zv + 2v - 2w = (z - 2) (w - z);
б) az - 2ax + 2bx - bz = (a + b) (z - 2x);
в) 2ac - 6ad + 3xd - cx = (2a - x) (3d - c);
r) x 2 - 2xc + 2cy - xy = (x - c) (y + 2c);
д) 2аз - z2 + bz - 2ab = (z - 2a) (b - z);
е) x 2 - 2y + x - 2xy = (x + 2y) (x - 1).
13. Разложите на множители:
а) a 3 + a 2b + a x + bx;
б) a 6 + a 5 - a4 - a 3;
в) x iy - x 3y2 + 5zy - 5zx;
r) a 4x 4 - a 3x3 + z2 - axz2;
д) a x + ay + bx + by - cx - cy;
е) a 2x - a x 2 + 3x - 3a + ac - cx;
ж) x 4 + x 3 + abx - c2x + ab - c2;
з) a 5 - a 4x - ab + x 5 - a x 4 + bx.
14. Разложите многочлен на множители, заменяя средний
член суммой одночленов:
а) х 2 - 6х + 5;
г) a 2 - 4ab + 362;
б) а 2 + 8а + 12;
д) х 2 + 7ху - 8у2;
в) с2 + 4с - 5;
е) 2х2 - 5ху + 3у2.

15

. Сократите дробь:
ас - 2Ьс + 2b ~ а '
а 2 —4аЬ + 4 Ь2
х 2 + 4х + 3
г)
х 2 + 2х + 1 ’

а х - З х + 3 —а
За
х у - х + у —1 .
б) х у + 2 у - х - 2 ’

а)

в)

0 - 4 2 . Ф о р м у л а разн ости ква д р а то в
а 2 - Ь2 = (а —6) (а + 6)
П ример. Р азл ож ите на м нож ители 4 62 —9с2.
Р е ш е н и е . 4 t 2 - 9 c 2 = (2Ь)2 - (Sc)2 = (2Ъ - Зс) (26 + Зс).

.

1 Представьте вы раж ение в виде квадрата какого-либо
вы ражения:
а) 36;
б) а 6;

в) 4с2;
г) а 262;

д) 81дс2у*;
е) 16а2Ь2с2.

2. К акие и з вы раж ений м ож но разлож ить на м нож ители,
прим енив ф орм улу разности квадратов:
а) Ь2 - 4;
в) а 2 - 0 ,2 5 ;
д) х 2у 2 - 1;
б) 16 + Ь2;
г) 100 - а 2;
е) а 2 + 462?
3. Р а зл о ж и те н а м нож ители:
а) х 2 - 1;

ж ) 1 00 - 962;

б) у 2 - 16;
в) а 2 - с2;
г) 25 - - Ъ2;
д) 1 44 - у 2;

з)
и)
к)

е) 4 с 2 -- 9 ;

м) А а 2 _ 962с2;
Zd

л)

1 - 0 ,2 5 с 2;
а 2Ъ2 - 4;
с Ч 2 - 8 1 х 2;
| х 2з 2 - а 2;

1 а 22 — —c2d 2
н) —
4
25
о) а 4 - ъ2-,
п) х 8 - у6;
р) 4 х 4 - 2 5 у 10;
с) 9 - х 4;
т) 25 - у 22°.

4. С ократите дробь:

а)
б)

а2-

9

а +3’
62 - с 2

6с + 62 ’

а 2 - 4а* + 4 * 2
а2 - 4 * 2
1 6 * 2 - 25
г) 4*г - 5z ’

в)

с2 - 8 Id 2 _
(9d - с)2 ’
144-2 5 а 2
е) 126 - 5а6 '

Д)

5. Выполните умножение:
а) (х - 5) (х + 5);
б) (3 - 2х) (3 + 2х);
в) (t - 4с) (t + 4с);

г) (2и - 3v) (2и + Зо);
д) (2 - хг) (2 + хг);

е)
ж)
з)
и)
к)

(Зс - 5 bd) (3с + 5 bd);
(а2 + 1) (а2 - 1);
(Ь3 - с) (Ь3 + с);
(2а + х2) (2а - х2);
(лс3 - 2у4) (х 3 + 2г/‘)-

6. Представьте выражение в виде многочлена:
а) (х - 1) (х + 1) + х2;
б) а (а - Ь) (а + 6);

в)
г)
д)
е)
ж)
з)

(4 - 3у) (4 + 3у) + 18у2;
х (2х + г) (2х - г) + 4д:г2;
(2Ь - 5с) (2Ь + 5с) + (Ь - с) (Ь + с);
(Зх - у) (Зх + у) + ( х - 2у) (х + 2у);
(х2 + 1) (х2 - 1) + х 4;
(х3 + у) (х3 - у) + (у - 2х3) (у + 2х3).

7. Разложите на множители:
а) 5 * 2 - 125;
е) 81 - (а + 2Ь)2;
б) 64 - 4у2;
ж) (а + 2Ъ)2 - (а - 2Ь)2;
в) а х 2 - ау2;
з) (с + d)2 - (2с + 3d)2;
г ) х 3 - х у 2;
и) а 2" - Ь2т;
д) (л; + у)2 - г2;
к) с4" - d4.
8. Сократите дробь:
а - Ь
Ь2 - а 2 ’
х 2 - 16
б) 16 - 4 х ’
4х2 - 1
в) У ~ 2 х у ’

а)

г)

Д)

е)

2z2 - 8
ab2 - а с 2
с2 - Ьс

ж)

а 4х 4 - 4

2 х + а 2х3 ’
81а2 - Ь2с4
Ь2с2 - 9ab

ау - аху

9. Представьте выражение в виде многочлена:
а) (х + 2) (х - 2) - (х + 4) (х - 4) + (х - 5) (х + 5);
б) (у - 3 ) ( у + 3) + (2у - 1) (2у + 1 ) - ( у + 1 ) ( у - 1);

в)
г)
д)
е)
ж)
з)

(f - 1) (i + 1) (i2 + 1);
(и2 + v2) (и - v) (и + н);
( a + x - z ) ( a + x + z);
(х2 + х + 2) (х2 + х - 2);
(a + b + с2) (Ь + с2 - а);
(с2 + a b - d2) (ab - с2 + d 2).

0 -4 3 . Ф о р м ул ы разн ости и суммы кубов
а 3 - б3 = (а - Ь) (а2 + аЬ + б2)
а 3 + б3 = (а + б) (а 2 - ab + б2)
Пример. Разлож ите на множители с3 - 27d3.
Р е ш е н и е , с3 - 27d3 = с3 - (3d)3= (с —3d) (с2+ 3 cd + 9 d3).
1. Представьте выражение в виде куба каких-либо выражений:
ж) а 6с9г3;
а) 8;
в) х 12;
д) 64х9;
з) 125х3г/6г 15.
б) сг';
г) 27d3;
е) а 3б°;
2. Проверьте справедливость равенства:
а) х 3 - 8у3 = (х - 2у) (х 2 + 4ху + 4);
б) г 3 + Ь3 = (г - б) (г2 + гб + б2);
в) 2 7 а 3 - б3 = (За - б) (9 а2 + Заб + б2);
г ) 8 с 3 + 1 = (8с + 1) (с2 - 8с + 64);
д) 125 - х 6 = (5 - х 2) (25 + 5х + х 2);
е) 64 + у9 = (4 + у3) (16 - 4у3 + у6).
3. Разложите на множители:
а) г 3 - w3;
д) 0,001 + г3;
б) и3 + 27;
е) 2 у + С3;

и) 27а3 - с 3;
к) ЮООх3 + 27г/3;

в) х 3 - | ;

ж ) а 6 + с3;

л) 8а9 + 125х3;

г)

з)

м) 1000а9 - 0,001ш6.

0 ,0 0 8 - I3;

х 9 - у12;

4. Выполните умножение:
а) (а + 4) (а 2 - 4 а + 16);
б) (х + 5) (х 2 - 5х + 25);
в) (а - 26) (а2 + 2а6 + 4б2);
г ) (З х + у) (9х2 - 3ху + г/2);
д) (1 - х 2) (1 + х 2 + х4);
е) (0 ,3 а2 + 10) (0 ,0 9 а4 - За2 + 100).
5. Сократите дробь:
х “ + г3
а)
б)

х ‘- XZ + Z2
и-2

а3 - 8Ъ3 _
2а - 46 ’
3cd + d _
27с3 + l ’

х 3 - ЮООг3 _

х 2 - 100г2 ’
4а2-9

8и3 + 27 '

6. Разложите на множители:
з)
а) а 3Ь:' + с3;
и)
б) d3 -- х 3у3;
к)
в) 8 а 3 + c3t3;
л)
г ) W 3 -- 27гДг3:
м)
д) 5 а 3 + 320;
н)
е) 4 - 32z3;
о)
ж) а 4 -- ab3;

х 1 + 125х;
х 10 - ху3;
т ' яп + т п 13;
а г> (а + 2) + Ъ3 (а + 2);
х 3 (а + Ь) - 8 (а + Ь) уй;
(х - 2у)3 + (х + 2у)3;
(2а - Ь)3 - (2а + Ь)3.

7. Выполните умножение:
а) (х - у ) ( х + у) (х4 + х 2у 2 + у 4);
б) (а - 3Ъ) (а + 3Ъ) (а4 + 9а 2Ь2 + 81Ъ');
в) (2х + I )2 (4х2 - 2х + I)2;
г) (3 + х)2 (9 - Зх + х 2)2.
8

. Упростите выражение:
а)
б)
в)
г)
Д)
е)
ж)
з)

и)

(х + 3у) (х2 - Зху + 9у2) + (х - 3у) (х2 + 3ху + 9у2);
(4а - 3) (16а2 + 12а + 9) - (4а + 3) (16а2 - 12а + 9);
а (а —1) (а + 1) + (3 - а) (9 + За + а 2);
(х + 4) (х2 - 4х + 16) - х (х + 5) (х - 5);
(2х - 1) (4х2 - 2х + 1) (4х2 + 2х + 1) (2х + 1);
(а - Ь) (а2 + ab + 2t>2) + ab2;
(х + у) (х 2 - ху + 3у2) - 2ху2;
(а + 2) (а2 - За + 4) + а 2 + 2а;
Ь2 - аЪ ’

0 -4 4 . Разложение на множители
разными способами
1. Разложите на множители:
а) 2 х 2 - 8;
в) Ы2 - к;
б) 18 - 2у2;
г) Зс2 - Зх2;
2. Разлож ите на множители:
а) 2 а 3 - 2н3;
г) u;4 - w;
б) 3z3 + Зга3;
д) г4 + 8z;
в) п х3 + nz3;
е) х 4 - 16г4;
3. Разлож ите на
а) 2 а2 - 12а +
б) 10х - 5х2 в) 0 ,5 u 2 + 4 uv

д) х 3 - 4х;
е) 3 2 а3 - 2а.
ж ) 81 - ft4.

множители:
18;
г ) - 0 , 9 х 2 - 0,6xi/ - ОДу2;
5;
д) t3 - 812 + 161;
+ 8о2;
е) 4 а 3 + 4 а 2 + и.

4. С о к р а т и т е д р о б ь :
.
2 х г —2
а ) --------------------- :
З х 2+ 6х + 3
8 - 8/ + 2t 2

б) - 1 2 - 3 * »

в)

;

х 2-16ху2
---------—
;
а х - Аау

г)

UW

+ WZ'

и л — UZ

2

3 л 3 — 81
Д)

е)

2 л 2 + 6 л + 18’

Ау2 — 4у + 4
3у 3 + 3

5. Р а з л о ж и т е н а м н о ж и т е л и :
а) л:3 - 4 х 2у + А х у 2;
б) p t 2 + 6p H + 9 р 3;
в) 4 а 3 + 12 а 2Ъ + 9 аЪ2\
г) 9 х 3у - 1 2 х 2у 2 + 4 х у 3-,
д) х 2 ( х - 1) + 4 х ( х - 1) + 4 ( х - 1);
е) 36 (у + 2) + 12у (у + 2);
ж ) 25л:2 ( х 2 - 1) - Ю т ( х 2 - 1) + х 2 - 1;
з) 9 а 2 ( а 2 - Ъ2) + 12аЬ ( а 2 - Ь2) + 4Ь2 ( а 2 - Ъ2).
6. Р а з л о ж и т е н а м н о ж и т е л и :
а) 4 а - 4 - а3 + а 2;
б) 3 Ь3 + ЗЬ2 - ЗЬ - 3;
в) 5 с3 + Ю с2 - 5 c d 2 - 1 0 d 2;
г) 3¾3 + 3ft2 - 3km 2 - 3 m 2;
д) 8л; - 8 - х 4 + х 3;
7. С о к р а т и т е д роб ь:
. ал: - л; + 2а - 2
а 3 - а + 2 а2 - 2 ’
6л:2 - 46 + х 2 - А
б)
6л: + 26 - Зл: - 6 ’
х 2 - Az2 + 2ху + у 2

в) (л: + у)2 + 4г(л: +
г)

у) + 4z2 ’
с2 - 2 с ( а + 26) + (а + 26)2 -

а 2 —с 2 + 4а6 + 462
а 2 (а + 4) + 4 а ( а + 4) + 4а + 1 6 .
Д)
а 8 + 2 а 2 - 16а - 32
86 - 8 - 263 + 262
е) 62 (6 - 2) —26(6 —2) + 6 - 2 ’

е)
ж)
з)
и)
к)

у4 + 2у3 + 27 у + 54;
х 2 - 4 х + 4 - у 2;
у 2 + 10 у + 25 - лс2;
4z2 + 4uz -vu2 - 16;
81 - 9ж2 - 6л:у - у2.

0 -4 5 . Решение уравнений
с помощью разложения на множители
П р и м е р . Р е ш и те у р ав н ен и е х 2 — 5 х = 0.
Р е ш е н и е , х 2 - 5 х = х (х - 5). Н о у р ав н ен и е
х ( х - 5) = 0 «расп ад ается» н а д в а у р ав н ен и я :
х = 0 и х - 5 = 0.
О т в е т . 0; 5.
1. Р еш и те уравн ен и е:
а) 2 х + 4 = 0;
б) 0,5л: - 2 = 0;

в) Зл: = 7;
г) -5 л : + 3 = 0.

2. Я в л я е т с я л и к орн ем у р а в н е н и я (Зл: - 6) (л: + 5) число:
1, 2, 3, 5, - 1 , - 4 , - 5 ?
3. Н ай д и те все ч и с л а, я в л я ю щ и е с я к о р н я м и х о т я бы одно­
го и з урав н ен и й :
а) л: - 3 = 0 и л : + 5 = 0;
в) 0 ,2 л: - 1 = 0 и — х = 3;
б) 2 х - 8 = О и 6 х + 5 = 0;
г ) 2 л: - 0 ,5 = 0 и З х — - 1 .
4. Р еш и те уравн ен и е:
а) (х + 2) ( х - 1) = 0;
б) (г - 5) (2г + 8) = 0;
в) -Зл; (0,6л: - 12) = 0;
г ) (5 - 21) (7 + 5 0 = 0;
Д) (У - 3) (г/ + 4) (Зг/ - 5) = 0;
5. Р еш и те уравнение:
а) х 2 - 4 х = 0;
б) у 2 + 5у = 0;
в) 3 г - г 2 = 0;
г ) Ы - 2 12 = 0;
д) х 3 - З х 2 = 0;
е) 6 у 4 + Зг/5 = 0;
ж ) г 2 - 9 = 0;

е)
ж)
з)
и)
к)
з)
и)
к)
л)
м)
н)
о)

5г (г + 1) (Зг - 17) = 0;
t 4 = О;
(Зл: + 2)2 = 0;
л:2 (л: - 3) ( х + 6) = О;
у 3 (;у - I ) 2 (у + 1) = О.

81 - л:2 = 0;
2 у 2 —2 = 0;
16 - 4у 2 = 0;
х 3 — 4 х = 0;
t 2 - t 4 = 0;
х 2 + 4 л: + 4 = 0;
4 г 2 - 4 г + 1 = 0.

6. П р и дум ай те урав н ен и е, и м ею щ ее ровно
ровно тр и к о р н я ; ровно ч еты р е к о р н я .

два

ко р н я;

7. З а п и ш и т е тако е урав н ен и е, чтобы ч и с л а 2, 5, 7 бы ли его
корням и.

8. Решите уравнение:
а) (х - 3) (х 2 + 4) = 0;

г) (х + 2)2 (х 1 - 1) = 0;

б) (х'1 + 2) (2х - 5) = 0;
в) (х - I)2 (хв + 3) (х2 - 4) = 0;
9. Решите уравнение:
а)
б)
в)
г)
д)

е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)

10.

2 (х - 2) + х (х - 2) = 0;
5 (у + 3) - (у - 1) (у + 3) = 0;
t (f + 3) + г 2 - 9 = 0;
(х - 2) (х + 3) + х 2 - 4 = 0;
2 (г/ — 1) = г/2 — 1;
г + 1 = 3 (г2 - 1);
( и + 2)2 - 1 6 = 0;
(и + З)2 = 9;
х 3 + 2 х 2 + х = 0;
4 у 3 + у = 4 г/2;
у3 - 25у = 3 ( у - 5) у;
5г2 (г + 2) = 4 г 2 - г4.

Решите уравнение относительно х:
д) 100
а) (х + 6) (х - 26) = 0;
е) (х б) (х - За) (х + 2а) = 0;
ж) х3 в) х 2 - 4 а 2 = 0;
з) у3 =
г ) 16 с2 - х 2 = 0;

- (х + а)2 = 0;
6)2 - 4 = 0;
а 2х = 0;
962у.

11. Найдите такое значение а, что число х = 1 будет корнем
данного уравнения:
б) (2х —а) (х + За) = 0.
а) (х - а) (х + а) = 0;


Проверь себя!

1. Упростите (с - 2d) (с + 2d).
A. c2 - d 2.
Б. с2 + 4d2.
2. Выражения 563 + 1512 и 5f2 (f + 3):
A. Равны.
Б. Равны только при t = 0.
B. Никогда не равны.

В. с2 - 4d2.

3. У простите а3 + 2 7 Ъ3 - (а + 3Ь) (а2 - 3Ь + 9Ь2).
А. 2 а 3.
Б. 54Ь3.
В. 0.
„ тт
а(Ъ - 1 ) + 1 - 5
4. Ч ем у равно в ы р а ж е н и е ---- —— -------- !
А. а + 1 - Ь.

Б. а - 1.

В. а + 1.

5.

Корнем уравн ен и я (jc + 4) (Зх - 6) = 0 я в л яе тс я:
A. Т олько число - 4 .
Б. Ч исло 2 и число - 4 .
B. Ч исло - 4 и число i .

6.

В ы раж ение ж3 - 4х:
A. М ож но р азлож и ть на м н ож и тел и , исп ол ьзу я фор­
м улу разности кубов.
Б. М ожно разл о ж и ть на м н ож и тел и , и сп ол ьзу я фор­
м улу разности квадратов.
B. Н ел ьзя р азлож и ть на м н ож и тели .

7. В ы раж ение (у + х)3 - ( х - у)3 м ож ет бы ть представлено
в виде многочлена:
А. 2 х 3 + 2у3.
Б. 2 х 3 + 6 х у 2.
В. 2у 3 + 6х 2у.
q тт
a t- a +t- 1
о. Чему равно в ы р а ж е н и е ---- —— :----- ?
i 2- 1
а+1
at - а + 1
А.
Б.
В. 0.
t + 1'
t +1

9. У простите х 2 (х + 9) + 18* (* + 9) + 81 (* + 9).
A. (* + 9) ( х 2 - 81).
Б. ( х + 9)3.
B. (х + 9) (х + 6)2.
10. В ы раж ен и я Зх (х + 5) и х + 5:
A. Р авн ы при х =
О

Б. Р авн ы всегда.
B. Р авн ы при х = - 5 и х = | .
О

В А В Б Б Б В А Б В

Глава 9. Ч асто та и вероятность
0-46. Частота и вероятность
случайного события

где Т — частота собы тия, п — число появлений этого
собы тия, N — общ ее число эксперим ентов.
В качестве п риближ енного зн ачен ия вероятности слу­
чайного собы тия м ож но брать частоту этого события
при больш ом числе эксперим ентов.

1. З а четверть дом аш нее задание по алгебре было задано
16 раз.
а) Света два р аза не сделала дом аш нее задание. К акова
частота н евы п ол н ен и я дом аш него зад ан и я у Светы за
четверть?
б) Ж е н я не сделал дом аш нее задание девять раз.
К акова частота вы п ол н ен и я дом аш него задан и я у Ж ен и
за четверть?
в) Света не д ел ал а дом аш нее задание с такой ж е часто­
той (см. п. «а») и весь год. С колько раз она не вы полни­
л а его (прим ерно), если за год дом аш нее задание было
задано 64 раза?
2. Стрелок стрел яет по м иш ени. Ч исло попаданий в за в и ­
симости от к оли ч ества вы стрелов приведено в таблице:
К оличество вы стрелов

10

20

30

40

50

60

70

Ч исло попаданий

8

17

25

33

41

49

57

а) О пределите частоту попадания в зависим ости от к о ­
л и чества вы стрелов.
б) П редставьте эту зависим ость граф ически.
в) Б о л ел ьщ и к и стр ел к а закл ю ч и ли пари с его соперни­
к ам и , что, сделав ещ е 30 вы стрелов, стрелок п о р ази т
цель не менее 20 раз. К ак вы считаете, стоило л и со гла­
ш аться соперникам стр ел к а на пари? М огут л и болель­
щ и к и стр ел к а проиграть пари?

3. К лассны й руководитель п одсчитал, что у сем и к л ассн и ­
к а Сидорова частота опозданий за год бы ла примерно
р авн а 0,0 2 9 .
а) С колько раз Сидоров п ри ш ел воврем я за год (бы­
ло 175 учебны х дней)?
б) М ож но ли с уверенностью у тв ер ж д ать, что в течение
лю бы х двух учебны х м есяцев (прим ерно 40 учебных
дней) Сидоров хотя бы р аз, да опоздал?
4. По стати сти ке на 1000 человек в 1995 г. приходилось
88 человек, п олучи вш и х травм ы и л и о тр авл ен и я. Слу­
чай ны м образом вы брали одного чел о века. К ако в а веро­
ятн ость, что у него не было ни травм , ни отравлений?
5. У Лю ды стоят следую щ ие оц ен к и по алгебре: 2, 3, 2, 4,
2, 3. К акое из следую щ их у тверж д ен и й п редставляется
справедливы м ?
а) Ч астота п олучения д вой ки Л ю дой за этот период р ав­
н а 2,67.
б) Ч астота п олучения д вой ки Лю дой за этот период р ав­
н а 0,5.
в) В ероятность того, что следую щ ая о ц ен к а, п олучен­
н ая Л ю дой, будет двойка, рав н а 1.
г) В ероятность того, что следую щ ая о ц ен к а, п олучен­
н ая Лю дой, будет двойка, рав н а 0,5.
6. Т аблица содерж ит данны е о числе N д о ж д л и в ы х дней
летом в одном городе по годам:
Год

1997

1998

1999

2000

2001

2002

N

60

61

59

62

63

61

Год

2003

2004

2005

2006

2007

N

60

60

61

61

60

а) О пределите частоту д ож дл и вы х дней летом каж дого
года.
б) П редставьте граф и ч ески зависим ость частоты летних
д о ж дл и вы х дней от года.
в) О цените вероятность того, что случайно вы бранны й
л етний день о к аж етс я в этом городе дож дл и вы м .
7. Вероятность того, что в книге есть хотя бы одна опечат­
к а , равна 0,99. З а год было издано 3,5 ты сяч и различны х
кн и г. Сколько прим ерно к н и г не содерж ат опечаток?

8. Эксперимент состоит в одновременном подбрасывании
двух монет и записи каждый раз результатов. Ниже
приведена таблица зависимости числа исходов от чис­
ла проведенных экспериментов.
Число
экспери­
ментов

Число появ­
лений пары
«герб, герб»

Число появ­
лений пары
«герб, реш ка»

Число появле­
ний пары
«реш ка, реш ка»

10

2

5

3

20

5

10

5

30

8

14

8

40

11

19

10

50

13

25

12

а) Определите частоты появления каждой пары в зави­
симости от числа экспериментов.
б) Постройте круговые диаграммы частот для каждого
числа экспериментов, ставя в соответствие каждому
исходу сектор круга, угол которого составляет от пол­
ного угла долю, равную частоте.
в) Справедливо ли утверждение, что вероятности вы­
падания каждой пары равны?
г) Объясните заметное несовпадение частот выпадания
пар.
9. Из игральной колоды взяли карты двух мастей от
«двойки» до «десятки». Случайным образом выбирают
две карты и складывают полученные очки.
а) Укажите, какие исходы могут быть у такого экспе­
римента. Сколько всего возможно исходов?
б) Один семиклассник утверждает, что, повторив этот
эксперимент 80 раз, он обнаружил, что частоты всех
исходов равны. Может ли быть, что он говорит правду?
в) Проведите сами 80 таких экспериментов. Составьте
таблицу частот и оцените вероятность того, что в ре­
зультате одного эксперимента будет набрано: больше
12 очков; меньше 12 очков.
10. Атос рассказывал, что лишь три раза в жизни видел
выпадание «двойки» при игре в кости (игра состоит в
том, что бросают два игральных кубика и складывают
полученные очки). Атос играл в кости тысячи раз. Как
вам кажется, естественно или удивительно рассказыва­
емое Атосом?

0 -4 7 . Вероятностная шкала
1. H a вероятностной ш кал е точ кам и
в D Е
С
А
изображ ены следую щ ие собы тия
——— ------------ ------- •
0
1
(рис. 30):
а) вы падание «ш естерки» при одРис. 30
нократном бросании к у б и к а —
точ ка А;
б) вы падание «двойки» при однократном бросании ку­
би ка — точ ка В;
в) вы падание снега в М оскве 1 и ю л я в к ак ой -то год —
точ ка С;
г) обнаруж ение в ваш ей ш коле х о тя бы одного человека
м олож е 70 лет — точ ка D ;
д) наличие в ваш ем классе человека, знаю щ его наи­
зусть 299-ю страницу учебника по алгебре — то ч ка Е.
П роверьте, правильно л и и зображ ены эти собы тия.
2. Н аудачу вы бираю т два последовательны х натуральны х
числа м еньш е 20. Н айдите вероятность следую щ их со­
бы тий и отметьте их на вероятностной ш кал е:
а) сум м а вы бранны х чисел больш е 40;
б) разность вы бранны х чисел — целое число;
в) сумма вы бранны х чисел дел и тся на 2;
г) произведение двух вы бранны х чисел д ел и тся на 2.
3. Д ’А ртаньян вы играл у лорда В интера в к ости , хотя у
него самого вы пало л и ш ь три очка. К ак следует охарак­
теризовать его вы игры ш : к а к м аловероятн ы й ; к а к не­
возм ож ны й; к а к очень вероятны й?
4. О пределите вероятность того, что случайно выбранны й
корень уравнения (х - 1) (х - 2) (х - 3) = 0:
а) о к аж ется целы м числом;
б) о к аж ется числом , больш им десяти.
5. Один ученик седьмого класса считает, что следую щ ие
собы тия явл яю тся достоверны м и:
а) случайно вы бранны й корень произвольного уравне­
н и я явл яется н атуральн ы м числом;
б) случайно вы бранны й граф и к зависим ости вида у = а,
где а — целое число и |а |< 5, я в л я е тс я прям ой;
в) площ адь случайно вы бранной стран и ц ы этой книги
меньш е 300 см2.
П роверьте, всегда ли прав ученик.

6. Из кошелька в темноте вынимали монету. Известно: то,
что будет вытащена рублевая монета, являлось досто­
верным событием. Однако этот же исход при повторной
попытке оказался невозможным. Сколько и каких мо­
нет было в кошельке?
7. Определите вероятность каждого из следующих событий:
а) произвольно выбранный! корень уравнения х 2 - х = О
является корнем уравнения х'1- 4х2 + Зх = 0;
б) случайным образом выбирают три подряд идущих
натуральных числа, меньших 50; среди выбранных чи­
сел нет числа, делящегося на три;
в) в кошельке лежат монеты достоинством в 5, 10 и 25
центов, наудачу выбирают четыре монеты, среди вы­
бранных оказываются одинаковые монеты.
8. В карточной колоде 36 карт четырех мастей. Какое наи­
меньшее число карт надо взять, чтобы вероятность того,
что среди выбранных есть хотя бы одна карта каждой
масти, была равна 1?
9. В ящике лежит пять шариков. Случайным образом
определяют, сколько из них вынуть. Рассматриваются
следующие события: А — вынуто два шарика; В — вы­
нуто больше шариков, чем оставлено; С — оставлено
три шарика; D — и вынуто, и оставлено четное число
шариков; Е — оставлено меньше шариков, чем вынуто.
Определите, какие события равновероятны.


Проверь себя!

1. Следующая таблица показывает, сколько бракованных
деталей было обнаружено в отделе контроля завода в за­
висимости от числа проверенных деталей:
Проверено
деталей
Среди них
бракованных

1000

2000

3000

4000

5000

15

31

44

60

74

Частота появления бракованной детали:
A. Существенно зависит от того, сколько деталей прове­
рено.
Б. Не может быть вычислена ни для одного из рассмат­
риваемых чисел проверяемых деталей.
B. Всегда примерно одинаковая.

2. Ц елесообразно ож идать, что среди 10 000 изготовленных
на том ж е заводе деталей качественны х будет примерно:
А. 150.
Б. 9850.
В. 5000.
3. Н а рисунке 31 изображ ен граф и к зависим ости часто­
ты появл ен и я некоторого р езультата в зависим ости от
числа N эксперим ентов. Этому гр аф и к у соответствует
таблица:

Б.

В.

1V

1000

2000

3000

4000

5000

Ч астота

900

1800

2702

3598

4601

N

1000

2000

3000

4000

5000

Ч астота

500

1007

1509

2002

2511

N

1000

2000

3000

4000

5000

900

1100

2000

2598

3041

Ч астота

4. В газете н апечатаны три п ред лож ения:
A. Победа В. Б елоусова на следую щ их вы борах пред­
ставл яется м аловероятной.
Б. Б о л ел ьщ и к и убеж дены , что «Спартак» будет чем пио­
ном с вероятностью 2 0 0 % .
B. В ероятность рож д ен и я ребенка с серьезны м и заболе­
ван и ям и возросла до 4 5 % .
К акое из них вам п ред ставляется м атем ати ч ески бес­
см ы сленны м ?

5. Р асс м а тр и в а ю тс я два собы тия: X — сл учайно вы б р ан ­
н а я д етал ь (см . зад ач у 1) о к азы в ае тся бракован н ой ,
У — она о к а зы в а е т с я доб рокачественной. Справедливо
сч и тать, что:
A. В ероятн ости собы тий X и У равны .
Б. X вер о ятн ее У.
B. У вер о ятн ее X .
6. В ер оятн ость того, что исследуем ы й в задаче 3 р езу л ь ­
тат будет дости гн ут при одном эк сперим енте, п р и м ер ­
но р ав н а:
А. 0 ,5 .
Б. 0 ,2 5 .
В. 0,93.
7. Н а вероятностной ш к а л е (рис. 32)
точ кой изображ ено событие. Оно
я в л я е тс я :
A. Н ево зм о ж н ы м .
Б. Д остоверны м .
B. М аловероятн ы м .

1— ------------------------ 1
®
1
р ис. 3 2

8. З а четверть Ж е н я п о л учи л ш есть оценок по алгебре.
То, что среди н и х есть одинаковы е, явл яется:
A. Д остоверны м собы тием.
Б. Н ево зм о ж н ы м собы тием.
B. М аловероятны м собы тием.
9. С ледую щ ее собы тие я в л я е т с я невозм ож ны м :
A. С лучайно вы бранное натуральное число, м еньш ее
10, ок азал о сь к орнем у р ав н ен и я х 4 - 2 х 3 + 1 = 0.
Б. С лучайно вы бранны е натурал ьн ы е числа х и у, м е­
н ьш и е 10, о к аза л и с ь та к и м и , что число х у — простое.
B. С лучайно вы бранное натуральное число, м еньш ее
10, ок азал о сь та к и м , что 2" = 258.
10. Н а вероятностной ш к а л е (рис. 33)
и зображ ены два собы тия А и В.
С праведливо утверж дение:
A. Эти соб ы тия равновероятны .
Б. То, что не произойдет собы­
ти е В , равновероятно событию А .
B. То, что не произойдет собы­
тие А , равновероятно том у, что
не произойдет событие В.
(•>— f t

В Б Б Б В А В А В Б

А

В

1

0
Рис. 33

Раздел II. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
Глава 1. Дроби и проценты
П-1. Действия с обыкновенными дробями
(повторение)
Вариант 1
1. Н айдите значение вы р а ж е н и я и сравните с данны м
числом:

в>3т И +т И 1 и8А;
б) 2 § : 1 § - 1 ^ и ^ ;
4

6

6

4

г) 4 : 7 + 3 : 14 и

О

2. Р еш ите уравнение:
б) х ■| 2,5 - 2 ^ | = 0.

Вариант 2
1. Н айдите значение вы р аж ен и я и сравните с данны м
числом:
, , 3 „2

а) 1 г 2 г

,2

„34

1 -и 2 -;

. , 2 , 7 , 11 , _ 2
ц 3
в) 5 Тз + 9 + Тз + 5 9 и 1 1 П ;

г) 4 : 9 + 5 : 18 и | .
2. Р еш ите уравнение:
а) ^ = ( ^ - ^ ) = 05

б)

*-(3^-3,25) = 0.

П-2. Действия с десятичными дробями
(повторение)
Вариант 1
1. Н айдите значение вы раж ен и я:
а) 0 ,6 • 7,1 - 3,1;
в) 0,1 2 3 6 : 0,12;
б) 3 ,6 + 2,4 : 6;
г) 4,5 • 3,76 + 5,5 • 3,76 .

2. Р асп олож и те вы р а ж е н и я в порядке возрастания их зн а­
чений: 3,8 • 0 ,9 ; 3,8; 3,8 ■ 1,1.
3. Р еш ите уравнение:
а) 3,5 • х = 0 ,7 ;

б) 3,5 : х = 0,7.

В ариант 2
1. Н айдите значение вы раж ен и я:
а) 5,4 + 4 ,6 • 2;
в) 1,836 : 1,8;
б) 2 ,8 : 1,4 - 0,4;
г) 5,8 • 2,79 + 4,2 • 2,79.
2. Р асполож ите вы р а ж е н и я в порядке убы вания их зн а­
чений: 5,8; 5,8 • 1,2; 5,8 • 0,95.
3. Р еш ите уравнение:
а) 2 ,5 - х = 0,5;

б) 2,5 : х = 0,5.

П-3. Действия с рациональными числами
(повторение)
Вариант 1
1. Н айдите значение вы р аж ен и я и ответы запиш ите в по­
р яд ке возрастания:
а) - 1 5 , 6 - 5 , 6 ;
в) 0,25 • (-0 ,4 );
б) - 2 4 + 36;
г) - 1 0 : ( - у ) .

2. Р еш ите уравнение:
а) ж + (-2 ,6 ) = 0; б) х : (-3 ,4 ) = 0;

в) х - (-0 ,4 ) = - 1.

Вариант 2
1. Н айдите значение вы раж ен и я и ответы запиш ите в по­
ряд ке убы вания:
а) - 4 6 + 24;
в) 0 ,125 • (-0 ,8 );
б ) -13,7-3,7:
r)-4 :f-|-j.

2. Р еш ите уравнение:
а) - 3 ,2 + х = 0;

б) - 3 ,2 • х = 0;

в) х - ( - 0 , 6 ) = - у .

П-4. Обыкновенные и десятичные дроби
В ар и ан т 1
1. Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных, а
десятичные в виде обыкновенных:
0,8-, i ; -0,079; - ¾ .
2. Найдите значение выражения:
а) 2 ^ +0,3; б ) - 2 , 8 - | ;
в)5 |-2 ,2 ;

г)-0,7-(-§].

3
3. Сравните дроби — и 0,19.
4. Решите уравнение:
а) 3 ^ : х = - 1 ;
б ) - 2 , б - х = 2 |.
В ари ан т 2
1. Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных, а
десятичные в виде обыкновенных:
0,6; lg , -0,037; - i f .
2. Найдите значение выражения:
а) з | + 0 , 4 ; б ) - 3 , 5 - | ; в) 4 ^ - 2 ,2 5 ;

r)-0 ,9 ^ -|j.

4

3. Сравните дроби — и 0,24.
4. Решите уравнение:
а) х : (-2,7) = - 1 ;

б ) 3 ^ - х = -3^.

П-5. Решение задач на движение
В ар и ан т 1
1. Время отправления поезда с одной станции 11 ч 45 мин,
а время прибытия на другую 12 ч 10 мин. Каково
расстояние между станциями, если скорость поезда
64,8 км/ч?

2. За 40 м ин поезд прош ел 66 км . С к ак о й скоростью он
ш ел? О твет д ай те в к и лом етрах в час.

В ариант 2
1. М еж дугородны й автобус отп равл яется в путь в
10 ч 45 м ин и в 11 ч 35 м ин делает остановку. К акое
расстояние прош ел автобус до остановки, если его ско­
рость 6 3 ,6 к м /ч ?
2. За 50 м ин автобус прош ел 55 к м . С к ак о й скоростью он
ш ел? О твет д ай те в к и лом етрах в час.

П-6. Степень с натуральным показателем
В ариант 1
1. З ап и ш и те короче, используя степени:
а) 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5;
в) а а а х х х х ;
б) х ■х ■х • х;
г) 17 17 -17 • ... -1 7 '1 7 .
100 раз

2. В ы числите:
а) З3;
б) 0 ,2 123;

в) ( - 9 ) 2;

г) l ls;

д) - 2 '.

3. С равните, не вы ч и сл яя :

В ариант 2
1. З ап и ш и те короче, исп ол ьзуя степени:
а) 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7;
в) aabbbb-,
б) т ■т ■т ■т ■т;
г) 18 ■18 • 18 • ... • 18 ■18.
36 раз

2. В ы числите:
а) 24;
б) 0 ,3 2;

в) ( - 4 ) 3;

г) О20;

3. С равните, не вы ч и сл яя:

■>(!«>

б) ( - 3 ,4 ) 2 и (3,4)2.

Д)

- З 2.

П-7. Степень с натуральным показателем
В ариант 1
1. Зап и ш и те число в виде степени другого полож ительного
числа:
в) 1;

а) 16;

г) 0 ,2 5 ;

д) 169.

2. З ап и ш и те число в виде степени отрицательного числа:
а) 9;

б) - 2 7 ;

в)

Zb

г) 0 ,008;

д) 121.

В ариант 2
1. Зап и ш и те число в виде степени другого полож ительного
числа:
а) 81;

б)

в) 1;

г) 0,3 6 ;

д) 121.

2. Зап и ш и те число в виде степени отрицательного числа:
а) 16;

б) - 8 ;

в)

г) - 0 ,0 2 7 ;

д) 169.

П-8. Вычисление значений выражений,
содержащих степени
с натуральным показателем
Вариант 1
1. Н айдите значение вы раж ен и я:
а) 0 ,7 2 + 0 ,3 2;
в) 23 • 52;

2. С равните зн ачен ия вы р аж ен и й , вы числив их:
а) З2 + 42 и 52;
в) - 2 ' и ( - 2 ) 4;
б) 102 - 62 и (10 - 6)2;
г) (2 • З)2 и 22 • З2.
В ариант 2
1. Н ай дите значение вы раж ен и я:

2. Сравните зн ач ен и я вы раж ений, вы числив их:
а) 23 ■ З3 и (2 • З)3;
в) - 4 12 и ( - 4 ) 2;
б) 102 - 8 2 и (10 - 8)-;
г) 122 + 52 и 132.

П-9. Нахождение дроби от числа
и числа по дроби
(повторение)
В ариант 1
1. У м астера был кусок проволоки длиной 40 м. Он отре­
зал 0,4 этого к у ск а. К акую длину имеет отрезанны й
кусок?
2

2. — всего сада зан ято клубникой, а это 80 м2. К акова пло­
щ адь всего сада?
3. В классе 30 у ч ащ и х ся, из них 18 девочек. Какую часть
составляет количество девочек от количества всех уча­
щ и х ся класса?
В ариант 2
2

1. Сад им еет площ адь 600 м 2. — сада занято клубникой.
Сколько к вад ратн ы х метров занято клубникой?
2. В классе 18 девочек. Они составляю т 0,6 всего класса.
С колько у ч ащ и х ся в классе?
3. От к у с к а проволоки длиной 40 м отрезали кусок длиной
16 м. К акую часть составляет отрезанны й кусок от пер­
воначального?

П-10. Дроби и проценты
В ариант 1
1. В ы разите дробью:
8% ;

80% ;

0 ,8 % ;

180% .

2. В ы разите в процентах:
4

- 1

3. Сравните:
a) | и 4 2 % ;

б) | и 3 3 % .
о

О

В ариант 2
1. В ы разите дробью:
60% ;

6% ;

0 ,6 % ;

2. В ы разите в процентах:
0,37; 0 ,7 ;
3. Сравните:
а) | и 62% ;

§

160% .
1¾.

б) ^ и 66% .
о

5

П -1 1. Задачи на проценты
В ариант 1
1. У К оли бы ло 30 р. Н а м орож еное он и стр ати л 30%
своих денег. С колько стоит м орож еное?
2. В саду растут плодовы е деревья. 150 из н и х — яблони.
С колько в саду деревьев, если яблони составляю т лиш ь
60% всех деревьев?
3. Токарю нуж но было сделать 120 деталей, но он п еревы ­
п олнил п лан на 1 0 % . С колько деталей сделал токарь?

В ариант 2
1. С колько денег было у м ал ьч и к а, если, к у п и в мороженое
за 9 р., он истрати л 60% первоначальной сум м ы ?
2. В саду 300 плодовы х деревьев, причем 60% всех деревь­
ев составляю т яблони. Сколько яблонь в саду?
3. Е ж ем есяч ны й заработок отца 7500 р ., а м ать получает
н а 30% м еньш е. С колько зараб аты вает м ать?

П-12. Статистические характеристики
В ариант 1
1. О пределите моду, среднее ариф м етическое и разм ах
ряда:
5, 6, 11, 11, - 1 .

2. В таблице п ок азан о, сколько экспортировалось нефти в
зарубеж ны е страны (не члены СНГ) в 1993— 1995 гг.
Год

1993

1994

1995

Объем эксп орта, м лн т

79,9

95,4

96,2

О пределите, ск о л ьк о м иллионов тонн нефти в среднем
эк сп ортировалось еж егодно в этот период.

В ариант 2
1. О пределите м оду, среднее ариф м етическое и р азм ах
ряда:
15, 4, 12, - 3 , 15.
2. В таб л и ц е п о к азан о , скол ько экспортировалось меди
в зар у б еж н ы е стран ы (не член ы СНГ) в 1993— 1995 гг.
Год

1993

1994

1995

О бъем эк сп о р та, ты с. т

165

451

449

О пределите, ск о л ьк о ты сяч тонн меди в среднем эк сп о р ­
ти р о вал ось еж егодно в этот период.

Глава 2. Отношения и пропорции
П-13. Отношения
Вариант 1
И м е ет ся д в а к у с к а в ер евк и : один дл и н ой 1,8 м , а дру го й
д л и н о й 45 см.
а) Во с к о л ь к о р а з п ер в ы й к у со к д л и н н ее второго?
б) К а к у ю ч а ст ь второй к у со к составл яет от первого?
в) Н а с к о л ь к о один к у с о к в ер евк и д л и н н ее другого?

В ариант 2
И м е ет ся д в а к у с к а вер евк и : оди н д л и н о й 60 см , а д р у го й
д л и н о й 2 ,4 м.
а) К а к у ю ч а с т ь п ер в ы й к у с о к с о с та в л я ет от второго?
б) Во с к о л ь к о р а з вто р о й к у с о к д л и н н е е первого?
в) Н а с к о л ь к о оди н к у с о к в е р ев к и к о р о ч е другого ?

П-14. Вычисление отношений
В ариант 1
1. Н ай дите отнош ение чисел и зап и ш и те, что оно п о к азы ­
вает:
а) 2 ,8 к 0,7;
б) 8 к 12.
2. П ридум айте два чи сла, таки е, чтобы их отнош ение р ав­
нялось:
а) 2,5;
б) | .
3. Д аны три числа: 3, 9, 27. Составьте из них два равны х
отнош ения.

Вариант 2
1. Н айдите отнош ение чисел и зап и ш и те, что оно п о к азы ­
вает:
а) 2 ,4 к 0,6;
б) 12 к 16.
2. П ридум айте два ч и сл а, так и е, чтобы их отнош ение р ав­
нялось:
а) | ;

б) 3,5.

3. Д ан ы три числа: 2, 8, 32. Составьте из них два равны х
отнош ения.

П-15. Задачи на нахождение отношений
Вариант 1
В классе 15 девочек и 10 м альч и ков.
а) С колько процентов от численности к л а сс а со ставля­
ют девочки?
б) Во сколько раз девочек больш е, чем м альч и ков?
в) Ч ем у равно отнош ение ч и сл а м ал ьч и ков к числу де­
вочек? Что оно показы вает?
г) П равда л и , что м ал ьч и ков в классе в полтора раза
больш е, чем девочек?

В ариант 2
В классе 12 девочек и 18 м альчиков,
а) С колько процентов от численности кл асса со ставля­
ют м ал ьч и ки ?

б) Во ск о л ьк о раз м ал ьч и ков больш е, чем девочек?
в) Ч ем у равно отнош ение числа девочек к числу м ал ь­
чиков? Ч то оно показы вает?
г) П равда л и , что девочек в классе в полтора раза м ень­
ше, чем м ал ьч и ков ?

П-16. Задачи на нахождение отношений
Вариант 1
Ч еловек, п олучаю щ ий зарп лату 8000 р., истратил за м е­
сяц на п и тан и е 5000 р., а получаю щ ий зарплату 6000 р.
истратил 4000 р. К то из них затрати л больш ую часть за р ­
платы на пи тан и е?

В ариант 2
Ч еловек, получаю щ ий зарп лату 8000 р. истратил за м е­
сяц на к н и ги 600 р ., а получаю щ ий зарплату 6000 р. и ст­
ратил на к н и ги 500 р. Кто из них затратил больш ую часть
зарплаты на к н и ги ?

П-17. Задачи на нахождение отношений
Вариант 1
Т окарь дол ж ен был обработать за смену 60 деталей, но,
применив новы й резец, он сум ел обработать 66 деталей. Н а
сколько процентов он перевы полнил свой план?

В ариант 2
Т ракторист дол ж ен был вспахать за день 4 га зем ли. Но
к кон ц у д н я оказалось, что он вспахал 4,8 га зем ли. Н а
сколько процентов он перевы полнил свой план?

П-18. Решение задач
на деление в данном отношении
Вариант 1
1. О трезок длиной 8 см разделен на две части в отнош ении
2 : 3 . К акова дл и н а к аж д о й части? К акую часть состав­
л яет м ен ьш ая часть от дли н ы всего отрезка?

2. О тнош ение ч и сл а м ал ьч и ков в классе к чи сл у девочек
равно 8 : 5 . С колько в классе уч ен и ко в , если в классе
10 девочек?
Вариант 2
1. О трезок длиной 9 см разделен на две ч асти в отнош ении
3 : 7 . К акова д л и н а к аж д о й части ? К акую часть состав­
л я ет больш ая часть от д л и н ы всего о трезка?
2. О тнош ение ч и сл а м ал ьч и ков в классе к чи сл у девочек
равно 4 : 9. С колько в классе уч ен и ко в , если в классе
8 м альч и ков?

П-19. Зависимости и формулы
В ариант 1
1. К акую сум м у денег (р.) надо за п л а ти ть в кассу, если по­
к у п ать 2,5 к г печенья по р р. за к и л о гр ам м ? Вы числите
при р = 30; р = 42.
2. З а к ак о е врем я t (ч) поезд пройдет расстоян и е 630 км,
если он идет со скоростью v к м /ч ? В ы чи сли те при
v = 60; v = 84.
Вариант 2
1. К акую сум м у денег (р.) надо за п л а ти ть в кассу, если по­
к у п ать р к г печенья по 45 р. за ки л о гр ам м ? В ы числите
при р = 2; р = 0,8.
2. С к ак о й скоростью v (к м /ч ) до л ж ен и д ти поезд, чтобы
расстояние 640 к м преодолеть за t ч? В ы чи сли те при
1 = 8; t = 10.

П-20. Решение задач
на прямую пропорциональность
Вариант 1
1. Велосипедист едет по ш оссе с одной и той ж е скоростью .
О казалось, что за 24 м ин он проехал 4 ,5 к м .
а) З а ск ол ьк о м инут он проедет вдвое больш ее р асстоя­
ние?
б) С колько килом етров он проедет за вр ем я, втрое м ень­
ш ее указан н ого?

2. Д ля ш ко л ы н уж н о к уп и ть лам почки. У паковка, содер­
ж а щ а я 40 л ам п о ч ек, стоит 640 р.
а) С колько л ам п о ч ек м ож но купить на сумму, в 4 раза
меньш ую указан н о й ?
б) С колько денег до л ж н а зап лати ть ш кола, если л ам п о ­
чек требуется в 2,5 р аза больш е, чем в упаковке?

Вариант 2
1. Автобус едет по дороге с одной и той ж е скоростью . О ка­
залось, что 36 км он проехал за 45 мин.
а) С колько к илом етров он проедет за врем я, вдвое боль­
шее ук азанного?
б) З а ск о л ьк о м инут он проедет втрое меньш ее расстоя­
ние?
2. Д л я детского сада нуж но к уп и ть ш околадки. У паковка,
в которой 40 ш околадок, стоит 800 р.
а) С колько ш окол адок м ож но куп и ть на сумму, в 2 раза
меньш ую ?
б) С колько денег придется зап лати ть, если ш околадок
требуется в 3,5 р аза больш е, чем в одной упаковке?

П-21. Решение задач
на обратную пропорциональность
В ариант 1
1. Одно и то ж е расстояние велосипедист проехал за 6 ч, а
м отоциклист — за 2 ч. Во сколько раз скорость мото­
ц и к л и с та больш е скорости велосипедиста?
2. П лощ ади двух прям оугольников одинаковы , но длина
одного из них в 1,5 р аза больш е дли н ы другого. С равни­
те ш ири н у первого прям оугол ьн и ка с ш ириной второго.

В ариант 2
1. По дороге от п оселка до станции велосипедист ехал со
скоростью 12 к м /ч , а пеш еход ш ел со скоростью 4 к м /ч .
Во сколько раз м еньш е времени затратил на дорогу ве­
лосипедист, чем пеш еход?
2. П лощ ади двух прям оугольников одинаковы , но ш и р и ­
н а одного и з н и х в 2,5 р аза больш е ш и ри н ы другого.
С равните д л и н ы первого и второго прям оугольников.

П-22. Решение задач на прямую
и обратную пропорциональность
В ариант 1
Р еш ите задачи, составив нуж н ы е пропорции:
1. З а 2,5 ч рабочие отрем онтировали 300 м ш оссе. За какое
врем я они отремонтирую т оставш иеся 240 м ш оссе, если
и х производительность не и зм ен и тся?
2. Д ва участка шоссе одинаковой дл и н ы в зя л и с ь рем онти­
ровать 2 бригады . П роизводительность первой брига­
ды — 120 м /ч , а второй — 180 м /ч . П ер вая бригада от­
рем онтировала свой участок за 6 ч. З а ск о л ьк о часов от­
рем онтировала свой участок вторая бригада?

В ариант 2
Р еш ите задачи, составив н уж н ы е пропорции:
1. З а 3,5 ч рабочие отрем онтировали 420 м ш оссе. Какой
дли ны участок они отрем онтирую т за оставш иеся 3 ч,
если и х производительность не изм ен и тся?
2. Д ва у ч астка шоссе одинаковой дли н ы взя л и сь ремон­
тировать 2 бригады . П роизводительность первой бри­
гады — 160 м /ч , и она отрем онтировала свой участок
за 6 ч. З а сколько часов отрем онтировала свой учас­
ток вторая бригада, если ее производительность
120 м /ч ?

П-23. Решение задач на прямую
и обратную пропорциональность
В ариант 1
Р еш и те задачи, составив нуж н ы е пропорции:
1. Р асстоян и е от п оселка до стан ц и и пеш еход прош ел
за 2,5 ч, а велосипедист проехал за 50 м и н . К ако ­
ва скорость пеш ехода, если скорость велосипедиста
10,8 к м /ч ?

2. Н а одну и ту ж е сум м у денег м ож но, купить 300 г
к ар а м е л и по цене 48 р. за килограм м или 200 г ш о­
к о лад н ы х конф ет. С колько стоит 1 к г ш околадны х
конф ет?

Вариант 2
Р еш и те за д а ч и , составив нуж ную пропорцию :
1. Р асстоян и е от посел ка до станции велосипедист проехал
за 40 м ин, а пеш еход прош ел за 2,5 ч. К акова скорость
велосипедиста, если скорость пеш ехода 3,6 к м /ч ?
2. Н а одну и ту ж е сум м у денег м ож но куп и ть 400 г к а р а ­
м ели и л и 300 г ш окол адн ы х конф ет по цене 72 р. за к и ­
л ограм м . С колько стоит 1 к г карам ели?

П-24. П ропорции
В ариант 1
1. П роверьте равенство отнош ений и составьте из них про­
порции:
, а Q „ .,
, 2 , 4 5 , 10,
а) 6 : 3, 9 : 4,5;
в) 3 • д , 7 • 21>
б) 0 ,4 : 8, 5 : 100;

г) 9 : 6, 6 : 4.

2. С оставьте какую -нибудь пропорцию , используя данные
числа:
а) 12; 18; 3; 2;
б) 5; 6; 4,2; 3,5;
в) 8; 16; 32.

В ариант 2
1. П роверьте равенство отнош ений и составьте из н и х п ро­
порции:
Л
1 1 С Е
а)\ 8О : 4,
И
: 5,5;
.
в), -2 ; 4— , у5.: 10.
б) 0 ,6 : 5,

12 : 100;

г) 25 : 10,

10 : 4.

2. С оставьте какую -нибудь пропорцию , используя данны е
чи сла:
а) 12; 20; 3; 5;
б) 6; 8; 5,6; 4,2;
в) 9; 18; 36.

П-25. Решение уравнений
В ариант 1
Н ай дите неизвестны й член пропорции:
а) 15 : 10 = х : 40;
r ) x : l | = 6:4;
б) 3,6 : 4,2 = 6 : х;
so
3 1

д)

* : 3,8 6 = 2,5 :

В ариант 2
Н ай дите неизвестны й член пропорции:
а) 20 : х = 4 : 6;
г) l | : 4 = 4 : х;
б) х : 4 ,5 = 0 ,4 : 0,5;

д) 5,8 4 : х = 3 ^ : 3,25.

в) § : i = х : 4;

П-26. Решение задач
с применением пропорций
Вариант 1
Р еш ите задачи, составив пропорции с неизвестн ы м чл е­
ном:
1. В одной коробке 12 кар ан д аш ей . Ч исло к аранд аш ей в
этой коробке относится к числ у к ар ан д аш ей во второй
коробке к а к 2 : 3 . С колько к ар ан д аш ей во второй ко ­
робке?
2. Н а карте отрезок длиной 2 см и зоб раж ает дорогу дли ­
ной 10 км . К ак и м отрезком изоб рази тся дорога длиной
15 км ?

Вариант 2
Р еш и те задачи, составив пропорции с неизвестны м чле­
ном:
1. В первой коробке 24 к ар ан д аш а. Ч исло к ар ан д аш ей во
второй коробке относится к числу к ар ан д аш ей в первой
коробке к а к 4 : 3 . С колько к аранд аш ей во второй к о ­
робке?
2. Н а карте отрезок длиной 4 см изображ ает дорогу длиной
10 км . К аким отрезком изобразится дорога длиной 25 км?

Глава 3. Введение в алгебру
П-27. Буквенные выражения
и числовыеподстановки
Вариант 1
Н айдите зн а ч е н и я вы р а ж е н и я при а = - 3, 6 = - 2:
а+б
2а ’

а) 5 а - 6;

в)

б) 5 (а - 6);

г) W - 2

\

ОТ

д) т ;

1* 1;

е) - 4 а 12.

Вариант 2
Н айдите зн а ч е н и я вы р аж ен и я при х

4, 1/ = -2 :
и2

а) - 2 х - у ;

в)

б) - 2 (* - у);

г) \ х \ - 2 • |г/|;

е) - З х 2.

П-28. Буквенные выражения
и числовые подстановки
Вариант 1
1. С равните зн а ч е н и я вы раж ен и й при х = 1,5 и выпиш ите
их в п оряд ке возрастания:
а) ~ 2 х + 1;

б) х 2 - 4;

в) х ■(х - 2,5);

г)

2. П ридум айте зн ач ен и я переменны х а и Ь, при которых
значение вы р а ж е н и я 2 а - 36 равно 0.
3. П ридум айте зн ач ен и я переменны х, при которы х значе16
ние в ы р а ж е н и я -----не сущ ествует.

а +о

В ариант 2
1. С равните зн а ч е н и я вы раж ен и й при а = 2,5 и вы пиш ите
их в п оряд ке возрастания:
а) - 2 а + 3;

б) а 2 - 8;

в) а • (а - 3,5);

г) —

.

2. П ридум айте зн ач ен и я переменны х а и 6, при которы х
значение в ы р а ж е н и я 36 - 4 а равно 0.

3. П ридум айте зн ач ен и я п ерем енны х, при которы х значе-12
ние в ы р а ж е н и я ------- не сущ ествует.
т +п

П-29. Составление выражений
по условию задачи
В ариант 1
Составьте вы раж ен и е по условию задачи:
1. Д л я к л а сс а к у п и л и х тетрадей по 12 р. за тетрадь и
у тетрадей по 13 р. за тетрадь. С колько рублей зап лати ­
л и за п окупку?
2. От к у ск а м атерии длиной с м 3 р а за о трезал и по а м.
С колько м етров м атери и осталось в к у ск е? Вы числите
п ри а = 3, с = 16.

В ариант 2
Составьте вы раж ен и е по условию задачи:
1. Д л я класса купили а угольников по 9 р. за угольник и
с транспортиров по 4,5 р. за транспортир. Сколько рублей
зап латили за покупку? В ы числите при а = 15, с = 20.
2. От веревки длиной т м 4 р аза отрезал и по п м. Сколько
м етров осталось в к у ск е веревки?

П-30. Преобразование
буквенных выражений
В ариант 1
1. Зам ените вы раж ен и е равн ы м ем у вы р а ж е н и ем , не со­
д ер ж ащ и м скобок:
а) - (7а);
в) х + (-у ) - ( -8 );
д) - 3 • (-26);
б) - ( - 1 2 6 ) ;
г) - 2 х - ( - 5 ) - (-2 х );
е) 2 х ■(-Зх).

2. В ы числите:
а) - ( -3 ,6 ) + 5,1 - 8,7;

б) - 4 • (17 ,3 • (-2 ,5 )).

В ариант 2
1. З ам ен и те к аж д о е и з вы р аж ен и й рав н ы м ем у, не содер­
ж а щ и м скобок:
а) - ( - 4 т)-,
в) а - ( - у ) + ( -9 ) ;
д) - 2 • (-5 * );
б) - (8р);
г) - 3 т - ( - х ) - ( - З т ) ;
е) З х • (-7 х ).

2. Вычислите:
a) - ( - 3 , 8 ) - 9 , 4 + 5,6:

б) - 8 • (18,3 • (-1 ,2 5 )).

П-31. Раскрытие скобок
Вариант 1
1. Р аскройте скобки:
а) а + (-3 6 + 2с);
б) - х - ( - 3 р - 2 у);

в) - ( т - 2 п) + ( - З а + 6);
г) (* - 5) - (7 - х) + (9 - х).

2. Вы числите:
a) - 4 ,5 + ( - 5 ,6 + 4,5):

б) -4 ,5 - ( -5 ,6 - 4,5).

Вариант 2
1. Р аскройте скобки:
а) 6 + ( - 7 т + 2л);
б) - 3 р - (-5л: + 2 у);

в) - (а - 46) + ( - 8 л; + 3г/);
( а - 9 ) - ( 1 3 - а ) + (11- а )

г)

2. Вы числите:
а) - 3 ,8 + ( -1 0 ,2 + 3,8);

б) - 3 , 8 - ( - 1 0 , 2 - 3,8).

П-32. Раскрытие скобок
Вариант 1
1. Раскройте скобки:
а) - а • (6 - 5);
б) 3 • (а - 26 + Зс);
в) 0,5 ■(2а - 46) - (а - 5);

г) - 2 • (-1 ,5 с - 6) + (7 - Зс);

д) 2 • (4 - а) + 8 • (6 - 1).

2. Вычислите 1 1 - - 9 - 1 2 - ^ - - 5 .
оо

оо

Вариант 2
1. Раскройте скобки:
а) —2 • (х —4);
б) а ■(-3 6 + 2с - 7);
в) - 1 ,5 • (2л: - 4у);

г) 3 • (-4л: + 6 ) - ( 1 - 12л:);

д) 2 • (7 - у) + 7 • (л: - 2).

2. Вычислите 1 1 ^ - 7 - 1 3 - ^ - 5 .

П-33. Приведение подобных слагаемых
В ариант 1
1. У простите вы р а ж е н и е:
а) - 2 х + Зх - 5х;
б) (2а - 5) - (7 - 2 а + 4);
в) - 4 • (1 ,5 с - 1) + 3 (с - 5);

г) 2а - 35 - 5 а + 75;
д) 4 • (З х - у) - 5 • (х + у).

2. В ы числите:
а) - 2 • 1,32 + 12 ■ 1,32;

б) 3,56 • 3 ^ - 1,56 ■3 ^ .

В ари а нт 2
1. У простите вы раж ен и е:
а) —З а + 7а - 10а;
г) 7а - 55 - 5 а + 85;
б) (З х - 5) - ( - 2 х + 7);
д) 2 • ( З т - п) - 9 • ( т - 2а).
в) - 2 • (2,5m - 1) + 3 • ( т —4);
2. В ы числите:
а) - 3 • 1,46 + 13 • 1,46;

б) 4,57 • 4 у - 2,57 • 4 у .

П-34. Решение уравнений
В ариант 1
Р еш и те уравнение:
а) - 2 х + 7х = - 1 0 ;
б) - 3 у + (4у - 2) = 0;

в) - (х + 6) + 3 • (х + 2) = 0;
г) 2 - ( г / - 9 ) - 5 - ( г / - 3 , 6) = 27.

В ариант 2
Р еш и те уравнение:
а) - З х + 9х = - 1 2 ;
б) - 5 г/ + (6у - 4) = 0;

в) - 2 • (х - 4) + 4 - (х - 2) = 0;
г ) 3 - 0 / - 6 ) - 1 2 - ( г / - 1 ,5) = 18.

П-35. Составление выражения
по условию задачи
В ариант 1
Составьте в ы р аж ен и е по условию зад ач и и упростите
его:
1. От сум м ы чисел а и 13 отним ите утроенное числ о а.

2

У П ети бы ло 10 монет, из них а монет достоинством
2 р., а остальны е — достоинством 5 р. К акая сумма де­
нег бы ла у П ети? (В ы числите при а = 4.)
Вариант 2

Составьте вы р аж ен и е по условию задачи и упростите
его:
1 . К разности чисел а и 3 прибавьте удвоенное число а.
2. У М аш и бы ло 12 монет, из них т монет достоинством
5 р ., а остал ьн ы е — достоинством 2 р. К а к а я сум м а де­
нег бы л а у М аш и? (В ы числите при т = 4.)

Глава 4. Уравнения
П-36. Корни уравнения
Вариант 1
1. П роверьте, я в л я е т с я л и
а) Зх + 5 = х + 1;
б) х 213= 4;
в) - 2 х + 1 = 7 - х;

число
г) Зх
д) ( х
е) - х

- 2 корнем уравн ен и я:
+ 8 = |х |;
+ 17) (х + 2) = 0;
= 2,5 - 0,5.

2. Н азо в и те х о т я бы один ко р ен ь ур ав н ен и я
(х - 2) • (5 - х) • (х + 9) = 0.
3. К ак о е и з у р ав н ен и й не и м еет корней:
а) | * | = - 3 ;
б) |* |= 1 ;
в ) |* |= 0 ?
Вариант 2
1. П р оверьте, я в л я е т с я л и ч и сл о - 2 к орнем у р ав н ен и я:
а) 5 х + 3 = х - 5;
г) 2 х + 6 = |х |;
б) х 2 + 1 = 5;
д) ( х - 13) (х + 2) = 0;
в) - З х + 4 = 12 - х;
е) - х = 4 ,5 - 2,5.
2. Н азо в и те х о т я бы оди н к о р ен ь у р ав н ен и я
(4 - х) • (х - 3) • (х + 10) = 0.
3. К а к о е и з у р а в н е н и й не и м еет ко р н ей :
а) | * | = 2 ;
б) | * | = 0 ;
в) | * | = - 7 ?

П-37. Решение уравнении
Вариант 1
Р еш ите уравнение:
а) я: - 8 = 16 - х;
б) -16л: = 4;
в) 5л: - 9 = 14 + Зх;
D f

д) 2 ( х - 3) = - 7 ( 1 - х);
е) 1 - 3 (х - 1) = 2 - 7 (1 - х);
ж) | х | = -2 .

= Ю;

Вариант 2
Реш ите уравнение:
а) 15 - х = х - 17;
б) 18х = - 9 ;
в) 8х - 9 = 6х + 12;

д) - 3 (х - 2) = 4 (1 - х);
е) 2 - 6 (х — 1) = 3 —4 (2 - х);
ж ) х *12 = - 9 .

П-38. Решение задач
с помощью уравнений
Вариант 1
Р еш ите задачу, составив уравнение:
1. В одном баке х л воды, а в другом — в 3 р а за больше.
В первы й бак долили 5 л воды, а из второго в ы л и л и 7 л.
Воды в баках стало поровну. В ы ясн и те, ск о л ьк о воды
было в первом баке.
2. К задум анном у числу а п рибавили 16 и п ол учи л и столь­
ко ж е, к а к если бы число а вы ч л и из 24. К ак о е число за­
дум али?
Вариант 2
Реш ите задачу, составив уравнение:
1. В одном пенале у к аранд аш ей , а в другом — в 4 раза
больш е. В первы й пенал добавили 5 к ар а н д аш е й , а из
второго вы нули 7 к аранд аш ей . К аран д аш ей в пеналах
стало поровну. В ы ясните, ск ол ьк о к ар ан д аш ей было в
первом пенале.
2. И з 19 вы чли задум анное число а и п ол учи л и столько
ж е, к а к если бы к 9 п рибавили это число. К ако е число
задум али?

П-39. Решение задач
с помощью уравнений
Вариант 1
Р еш и те за д а ч у с пом ощ ью у равн ен и я, обозначив через х
м ен ьш ую из вел и чи н :
1. А рбуз и д ы н я вм есте весят 13 к г. А рбуз тяж ел ее ды ни
на 3 к г. С к о л ьк о весит д ы н я? С колько весит арбуз?
2. За тетрад ь и альбом вместе зап л ати л и 8 р. О казалось,
что альбом в 3 р аза дорож е тетради. Сколько стоит тет­
радь? С к о л ьк о стоит альбом ?
Вариант 2
Р еш и те за д а ч у с пом ощ ью у равн ен и я, обозначив через х
м ен ьш ую и з вел и чи н :
1. А рбуз и д ы н я вм есте весят 12 к г. А рбуз втрое тяж ел ее
ды н и . С к ол ьк о весит д ы н я? С колько весит арбуз?
2. За тетрад ь и альбом вместе зап лати л и 9 р. О казалось,
что альбом дорож е тетрад и на 3 р. С колько стоит тет­
радь? С к ол ьк о стоит альбом ?

П-40. Решение задач
с помощью уравнений
Вариант 1
1. М астер и у ч ен и к изготовили вместе 62 детали. У ченик
работал 5 ч, а м астер — 7 ч. М астер и зготавливал в час
н а две д е та л и больш е, чем учен и к. С колько деталей в
час д ел ал у ч ен и к ? скол ько м астер?
2. Задум анное число ум нож или на 2,5 и получили столько
ж е, к а к если бы его вы чли из 140. Какое число задумано?
Вариант 2
1. Т у р и сты до обеда бы ли в пути 4 ч, а после обеда — 3 ч.
С корость и х д в и ж е н и я до обеда бы ла на 1 к м /ч больш е,
чем после обеда. К вечеру оказалось, что они прош ли
25 к м . С к а к о й скоростью ш ли туристы до обеда? после
обеда?
2

2. Заду м ан н ое число ум н ож и л и на — и пол учи л и столько
ж е , к а к если бы из него вы чли 70. К акое число за д у ­
м ано?

Глава 5. Координаты и графики
П-41. Множества точек
на координатной прямой
Вариант 1
1.

И зобразите на координатной прям ой м нож ество точек,
координаты которы х удовлетворяю т условию :
а) х > 2,5;
б) 3 < х
6.

2.

З адай те с помощ ью неравенства и л и двойного н еравен­
ства п ром еж утки , изоб раж ен н ы е на ри су н к е 34, а — г.

Рис. 34
3.

К аки е из чисел —3; 2; 3; - 4 л е ж а т на пром еж утке,
и зображ енном на рисунке 35?

4*. К ак и м м ож ет бы ть число а , если
известно, что промежуток | х | < а

--------- ----------------- ►
-3

содержит число - 3 ?

Рис. 35

Вариант 2
1.

И зобразите на координатной прям ой м нож ество точек,
координаты которы х удовлетворяю т условию :
а) х < 4;
б) 1,5 < х < 5.

2.

Задай те с помощ ью неравенства и л и двойного н еравен­
ства п ром еж утки , и зображ енны е н а ри сун ке 36, а — г.

а) ---------->■
б)

■------------------►

1

4

1

4,5

®) ___________ ____________

4

г)
1

Рис. 36
3.

К а к и е из чисел - 2 ; —1; 4; 7 л е ­
ж а т н а п ром еж утке, и зоб раж ен ­
ном н а рисунке 37?

Рис. 37

4*. Каким может быть число а, если известно, что проме­
жуток | лг| > а содержит число -5?

П-42. Множества точек
на координатной плоскости
В ари ант 1
1.

Изобразите на координатной плоскости множество то­
чек, координаты которых удовлетворяют условию:
а) * = 1 ;
б) х < -2;
в) - 3 « г / < 2 .

2.

Опишите на алгебраическом языке прямую, проходя­
щую через точку (-3; 5) и параллельную оси абсцисс.

3*. Изобразите на координатной плоскости и опишите на
алгебраическом языке множество точек, симметрич­
ных относительно оси абсцисс точкам фигуры, задавае­
мой условиями |ж|$ 2; 0 =¾у < 1.
В ари ан т 2
1.

Изобразите на координатной плоскости множество то­
чек, координаты которых удовлетворяют условию:
а) у = —1;
б) у > 4;
в) - 2 < х = £ 3 .

2.

Опишите на алгебраическом языке прямую, проходя­
щую через точку (2; -5 ) и параллельную оси ординат.

3*. Изобразите на координатной плоскости и опишите на
алгебраическом языке множество точек, симметрич­
ных относительно оси ординат точкам фигуры, задава­
емой условиями |г/|< 3, 0 *5 х < 2.

П-43. Графики
В ар и ан т 1
1.

Координаты точек связаны соотношением у = х —3.
а) Заполните таблицу:
X

-3

0

1

3

4

У
б) Используя данные таблицы, постройте график.

2.

Из точек А (-1 ; 3), В (0; 3), С (2; 5) укажите те, кото­
рые принадлежат графику зависимости у - х = 3.
3 *. Изобразите на координатной плоскости множество то­
чек, удовлетворяющих условиям х - у = 0, - l ^ t / ^ 2 .
В ар и ан т 2
1.

Координаты точек связаны соотношением у = - х + 2.
а) Заполните таблицу:
X

-2

0

1

2

4

У
б) Используя данные таблицы, постройте график.
2. Из точек А (-2 ; 2), В (1; 3), С (-1; 5) укажите те, кото­
рые принадлежат графику зависимости у + х = 4.
3 *. Изобразите на координатной плоскости множество то­
чек, удовлетворяющих условиям х + у = 0, - 2 s? х =¾3.

П-44. Графики
В ар и ан т 1
1.
2.
3.

Из точек А (-1; 2), В (2; 4), С (3; 9), D (-2; 3), Е (-3; -9)
выберите те, которые принадлежат параболе у = х2.
Изобразите на координатной плоскости множество то­
чек, удовлетворяющих условию у = х 2, если - 2 4 х < 3 .
Постройте график зависимости у = \ Х0 при х ^ \
у [х2 при х