КулЛиб электронная библиотека 

Алгебра. 8 класс. Учебник [Аркадий Мерзляк] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


Настройки текста:



1


+—

t ^ X

3

\

Квадраты и кубы натуральных чисел от 1 до 10

п

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-------10

п2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

пъ

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

Степени чисел 2 и 3

п

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2"

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

3"

3

9

27

81

243

729

2187

6561

19 683

59 049

Свойства степени с целым показателем

а та п = а т + "
а т : а" = а т
(а * 0)
(ат )" = а тп
( аЪ)п - а пЬл
( Ь * 0)
Свойства арифметического квадратного корня

Если а й 0, то
Ш 2= а
Для любого действительного а
л / ? = |а|

Если а > 0 и Ъ > 0, то

'fab = 4a%Tb
Если а £ 0 и b > 0, то


_ 4а

Формула корней квадратного уравнения а х 2 + Ьх + с = 0
х

_

~ b ± %!b2



-

4ас

А. Г. Мерзляк

Министерством просвещения
Российской Федерации

Москва
«Просвещение»
2021

УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721
М52
Под р едакц и ей п роф ессора к а ф е д р ы м атем ати ч еско го а н а л и з а
м ехани ко-м атем атического ф аку л ьтета М ГУ и м . М. В. Л ом он осова,
доктора ф и зи ко -м атем ати ч ески х н а у к В. Е . П одольского

М52

М ерзляк, А. Г.
Алгебра : 8 класс : учебник / А. Г. М ерзляк, В. Б. Полонский,
М. С. Якир ; под ред. В. Е. Подольского. — 6-е изд., стереотип. — М. :
Просвещение, 2021. — 255, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-09-080612-1
Учебник предназначен для изучения алгебры в 8 классе общеобразовательных ор­
ганизаций. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая формиро­
вать у школьников познавательный интерес к алгебре.
Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стан­
дарту основного общего образования.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721
У чеб ное и з д а н и е
М ер зл як А ркадий Григорьевич
П о л о н ски й В италий Б орисови ч, Я к и р М ихаил С ем ёнович

Алгебра
8 класс
Учебник
Редактор Н . В. Самсонова. Художественный редактор Е. В . Ч айко
Макет, внешнее оформление Е. В. Чайко
Рисунки А . И . Кры сова. Компьютерная вёрстка О. В . П оповой
Технический редактор С. А . Толмачева
Корректоры О. Ч. К о хановская, А . С. Ц и б у л и н а
Подписано в печать 28.10.20. Формат 70>а21>: 462
2) Разложим числитель данной дроби на множители:
Зх + 15у _ 3(х + Ъу)
Зх
Зх
Следовательно, числитель и знаменатель данной дроби имеют общий
множитель 3, сократив на который получаем:
3(х + Ъу) _ х + 5у
Зх
х
3) Разложив предварительно числитель и знаменатель данной дроби
на множители и сократив на общий множитель у + 2, получаем:
уг + 4у + 4 _ {у + 2)2 _ у + 2 <
у2 + 2у
У(У + 2)
У
11

Из основного свойства дроби следует, что
А





А

и В

-в-

—Каждую из дробей -g- и —
g можно записать в виде выражения


В
Пример 2.
Решение.

Пример

А_


А
В'

А
В’

Сократите дробь
Имеем:
4а - 20 _ 4(а - 5) _ 4(а - 5) _ _ 4
5а - а2 ~ Ф - а) ~ Ф ~ 5)
а

3. Приведите:

1) дробь -2-у к знаменателю \ЪаЬъсА\
Ъосъ
2) дробь —2 _ к знаменателю а 2 - 4В2;
а + 2о
3) дробь £ ~ ^ к знаменателю ЗВ - 2а.
Решение. 1) Поскольку 1:)ab'c' = ЪЬсА ■ЗаЬ^с2, то новый знаменатель
отличается от знаменателя данной дроби множителем ЗаВ2с2. Следователь­
но, числитель и знаменатель данной дроби надо умножить на дополни­
тельный множитель 3аЪг(?. Имеем:
а2 _ а2 • 3ah2c~ _ 3g3fe2c2
5Ьс3 5йс3 • 3ай2с2 15а63с5
о
а
а(а - 2b)
а2 - 2ай
2) Запишем: ~ ь = (в + й ) ( в _ й ) =

3) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на число -1 , пояу™™д -Ь _ (iа - Ь ) ■(-1) _ 6 - а
2а - 36 " (2а - 3¾) • (-1) - Зй - 2а '
Приведите к общему знаменателю дроби:
5п2
1
1
4а2
2)
-----г
и ----г;
3)’

„а*+иЬ
- -Ь’
«•’
а2 - 36
а2 + 6а
Решение. 1) Можно принять за общий знаменатель данных дробей
произведение их знаменателей, равное 54а669. Однако удобнее в качестве
общего знаменателя взять одночлен 18а466, сконструированный таким об­
разом: его коэффициент 18 является наименьшим общим кратным коэфПример 4.
, ,

2тп

1) —5ТГ
и 6—ттг;
9а 2Ь6
а 4й3

on

12

ф ициентов 9 и 6 данных знаменателей, а каждая из переменны х а и b взята
в степени с наибольш им показателем степени из тех, с которыми она вхо­
дит в знаменатели данных дробей.
Поскольку 18а 4Ь6 = 9 а 2Ь6 • 2 а 2, то дополнительны м множителем для

дроби ПгЛк6 является одночлен 2 а 2. Учитывая, что 1 8 а '//’ = 6а'1й3 ■ З й \
9а2Ь6
5пполучаем, что дополнительны м множителем для дроби
6а 463
одночлен Зй3.
2т _ 2т ■2п2 ^ 4а2то
Следовательно,
9а2Ь6 ~ 9а266 • 2а2 18а4*6 ’
Ъп2
5я2 • Зб3
15б3и2
6а463 6а463 • 363
18а 466
2) Здесь за общ ий знаменатель следует принять выражение, равное
произведению знаменателей данных дробей . Имеем:
1

_

a +b

а- b
_
(a + b ) ( a - b )

а- b
а2 - Ь 2 ’

1 _
а +b
_ а +b
a -b
(а - Ь ) { а + Ь) а2 - Ь 2 '
3) Для нахож дения общ его знаменателя рациональных дробей полез­
но предварительно разложить их знаменатели на множители:
а 2 - 36 = (а + 6 )(а - 6),
а 2 + 6а = а (а + 6).
Следовательно, общ им знаменателем данных дробей может служить
выражение а ( а + 6) (а - 6).
4а2
4а2
4а3
4а3
Тогда
а(а + 6)(а - 6)
(а + 6)(а - 6)
а3 ■36а
-36
6
а 2 + 6а

к
а(а + 6)

V -6

6(а - 6)
а(а + 6)(а - 6)

6а - 36
-36а

X2 —1
X -1
Решение. Данная функция определена при
всех значениях лг, кроме 1. Имеем:
Пример 5. П острой те график функции у =

х —- = ^ — 1)(^- + Ц = х + 1, то есть у = х + 1,
х -1
х-1
где х Ф 1.
Следовательно, искомым графиком являются
все точки прямой у = х + 1, за исключением одной
точки, абсцисса которой равна 1 (рис. 2). ■*

13

Пример 6. Д л я к аж д о го з н а ч е н и я а р е ш и т е у р а в н е н и е ( а 2 - 9 ) х = а + 3.
Решение. З а п и ш е м д а н н о е у р а в н е н и е в в и д е (а + 3 ) ( а - 3 ) х = а + 3
и р а с с м о т р и м т р и случая.
1) а = 3.
Т о гд а п о л у ч аем у р а в н е н и е Ох = 6, к о т о р о е н е и м е е т к о р н е й .
2) а = - 3 .

В э т о м случае п о л у ч аем у р а в н е н и е Ох = 0, к о р н е м к о т о р о г о яв л я ется
л ю б о е ч и сл о .
3) а Ф 3 и а Ф - 3 .
а +3
=
1
Т о гд а х = а - 3’
(а + 3)(а - 3)
Ответ: е сл и а = 3, т о у р а в н е н и е н е и м е е т к о р н е й ; е с л и а = - 3 , т о к о р ­
н ем я в л я е т с я л ю б о е ч и сл о ; е с л и а Ф 3 и а Ф - 3 , т о х = —
ч
а - 3

5 11. Какие выражения называют тождественно равными?
2. Что называют тождеством?
3. Сформулируйте основное свойство рациональной дроби.

\ ___

I Упражнения
27.

К аком у и з п р и в е д ё н н ы х в ы р а ж е н и й т о ж д е с т в е н н о р а в н а д р о б ь

28.

12а3 .
2) 4 ’
3) 48а ’
Я в л я е т с я л и то ж д е с т в о м р а в е н с т в о :
3т .
86 ,

1) ^
3)

7 ’
5с3
20с5 ’

За4 ■
4) 12а2 1

4х» __ х^_.
____
4 ) ^ - = - 8т5 .
16х4 ~~ 4 ’
9п
Чптъ
С о к р а т и т е др о б ь:
14а3 .

4а6с _
-Ю л 10 .
1)
3) 20х ’
5)
V)
21а ’
16ай4 ’
5л4 '
8 Ь3с2
24 * У
5 6 т 5я 7
ЗрУ
2)
4
)
6)
8)
126с3 ’
32хт/ '
4 2 т 5л 10
-9 р У
П р е д с т а в ь т е ч а с т н о е в ви д е д р о б и и с о к р а т и т е п ол у ч ен н у ю д р о б ь :
1) 6 а : (1 8 а 5);
2) 1 6 6 ’ : (4 8 Ь*)
3) 35а 86 6 : (-А 9 а 6Ьа).
С о к р а т и т е др о бь:
5с4
16а64 .
12а8
1) — ;
3) 1 П..5 ’
7) - 4 2 а 2 ’
2 1 i/’
Юс5
40а62 ’

2)

29.

30.
31 .

6aJ .
24а'

2)



4)

2т*
~

6)


14

63х5г/4
42 х* у ъ '

8)

-1 3 а 5Ъъ
26а 463 '

32.

33.

У п р о с т и т е вы раж ение:
■а
2 ) - f;
1)
-6 ’
В осста н ов ите равенства:
о _
3


2)
34.

35.

36.

™ =

- - у

_ ____ 4а2с3
156

___= ____ _ З т 4а3

6
к знаменателю 35дА/2;
7 х2у

1) т т к знам енателю Ь ::
У

3)

2)

к знам енателю 2 7 я 4;

П ри ве д и те дробь:

4)

1) 4 к знам енателю V8;
У2

3)

9
к знаменателю 12тпъп 2\
4тп2п

2) -£г к знам енателю 66 3;
эО
С о кр а ти те дробь:
а (х + 2)
7х - 21г/
1)
5)
6(х + 2) ’
5х - 15у ’

4)

11с
к знаменателю 30Ь еГ.
15(76

3)
4)

4(а - 6)2 .
(а - 6)3 ’
с3(с - 4)5
с6(с - 4)3 ’
2а + 2Ь .
7(а + 6) ’

Ък

к знаменателю 2 4р9с.

&р5

У2 - 2 5 .
9) ■
10 + 2г/ ’

6)

4а - 206.
12а6 ’

10)

а2 + 4а + 4
9 а + 18

7)

6х + 1 2 .


П)

с2 - 6с + 9 .
с2 - 9


8)

а - 56
а2 - 5а6’

12)

т 3 +1
от2 - т +1

т ‘ - 5т п
15п - 3 т ’

5)

С о кр а ти те дробь:
1 )

-

2( 6 - а ) ’
Зх - 6г/
4у - 2 х
С о кр а ти те дробь:
З т -З и
1)
1m - In '

2)

38.

4)

-6 ’

п
2п2
ппр
П р и ве д и те дробь:

2)

37.

9а3

3)

7а4 - а36 .

У

-

7

ab3 ’

'

-25
5х2 - х 3 ’
у 2 - \2у + 36
3 6 -г /2
'

х 2 - 49.
6 х + 42 ’

V)

У -У
У - У '

2)

5а + 25b
2с? + Юаб ’

12а2 - 6 а .
3 - 6а ’

8)

7т2 + 7т + 7
-1

3)

4 х - 16у .
16у
1

962 - 1
9б2 + 66 + 1 ’

9)

64Зх2 - 24х

15

39.

Приведите дробь:
П

——
знаменателю 4а + 8;
—— к знамена
2

й+

т
к знаменателю тя2 - 9я2;
2) т -Ъ
п
3) ——— к знаменателю 7у - 14х;
2х - у
—^ , к знаменателю 4 а2 + 12я6 + 9б2;
2 а + 36
х +1
к знаменателю х 3 - 1.
5)
X2 + X + 1
Представьте выражение х —Ъу в виде дроби со знаменателем:
1) 2;
2) х\
3) 4z/3;
4) х 2 - 25г/2.

4)

40.
41.
42.

Приведите дробь - —— к знаменателю:
1 )5 6 -2 0 ;
2 )1 2 -3 6 ;
3) 6 2 - 46;
4) 6 2 - 16.
Представьте данные дроби в виде дробей с одинаковыми знаменателями:
кч х
х
ы 1
1
^ 2х + 1 И Зх - 2 ’
' 8аб И 2а3 ’
2) - -х - и

' 7те3я3
3m2n4 ’
3)
и
2_ .
’ а-Ъ
а2 - Ь 2 ’

43.

6

£Z

За

7) ------ т и
4а - 4
5 - 5а ’
л\ ------3d и ----Зр
оч 7а
с
-—
4)
8) -— г и
яг - я
(т - п ) 2 ’
6 -3
9 - 62
Приведите к общему знаменателю дроби:
еч

1)

15лт2г/2
о\
с
6а4b5

10 А / ’
d
9 ab2 ’


И4

оо V
44.

Q

' З а + 36 И а2 - 62 ;

m +я

„ 2яг-3я.

О
^ о п>
яг - тп
тг - п1

х+1
х1-х у

5) “ 5------

г/ — 1

И

ху-у2

с\ 6а
За
6) ---- — и
а - 26
а +6’
1 + с2
с
7)
с2 - 16
4- с
2т + 9
т
8)
т2 + 5т + 25
т- 5'

Сократите дробь:
т ч (За + 36)2

'

а +Ь '

о\

(б х -1 8 у )2

х2 - 9г/2 ’

ху + х - Ь у - Ь
4 у +4
a2 - ab + 2Ь - 2а
4)
а2 - 4а + 4
3)

16

45 .

g

46.

Сократите дробь:
2m2 - 72п2
-8
a3 + 2a26 + a62
1)
2)
3)
(4m + 24«)2
ab - a - 2b + 2 '
- ab2
Найдите значение дроби, предварительно сократив её:
15а2 + Юаб
если а = -2 , b = 0,4;
1)
ЪаЬ + 2 Ь2
9Ь2 - 4с2
2)
если Ь = —, с = 6;
124гс - 8Ьс2
3)

36л:2 - 12ад + г/2
г/2" - 36л:2
’ ССЛИХ = 1.2, г/ - - 3;

-, если а = -0,1.
а” + а°
Найдите значение выражения:
16л:2 - 4у2
49с2 - 9
1) 6л: - Ъу при х = 2,5, у = -2 ;
при с = -4.
)
49с2 + 42с + 9
Приведите к общему знаменателю дроби:
1) - * £ - - - 1- 5 р -1 5
р -2 7 ’
За +1
а- 2
2)
9а2 - 6а + 1
9а2 - 1 ’
а
а+3
и
3)
а2 - 7 а
г2 - 14а + 49 ’

Зх
4)
х 2 + 2х + 1 ’
х2 - Г х2 -2 х + 1
„2
b
ab
5)
а2 - ab - ас + Ьс ’ 2а - 2b 4а - 4 с '
За
Запишите
в виде дробей с одинаковыми знаменателями:
За
а
а2
1)
За - 2 ’ 9а + 6
9a2b - 4b ’
1
1
1
)
а-Ъ Ь ' а2 + 7ас
а2 + 7ас - 5а6 - ЗЬЬс
4)

Q 47.

2

48.

49.

2
50.
-51.
52.

2

2х у - у 2
■.
Зху + х 2 ’
У
„ „
4а2 - a b
а Е
Найдите значение выражения ^ —^ -2- , если ^ = о.
Найдите значение выражения

Известно, что 2а - 64 = 1. Найдите значение выражения:
8
о\ а2 - 942
2)
1) а - 3 6 ’
0,5а +1,54'
17

.
54 .
55 .

56

Существует ли такое значение а , при котором дробь ~

57

.

58

.

59

.

60

.

6i.

х -3
4) У =
2) У = 3 - х ’
' * х +4 х + 4
П остройте график функции:
х 2 - 8х + 16
Х
1) У =
2) У = х ~ ~ ’
х - 4
Постройте график функции:
х2 -1
2) У =
\х\ —1"
Решите уравнение:
-25
ПО;
1)
=
2)
х +1
х- 5
Решите уравнение:
-16
: 0.
2)
1) х + 4 = - 8;
х- 7

.

63

.

3) у = -

g,

Х+6

й> l x l - 6

1x1-7

Для каждого значения а решите уравнение:
1 ) ах=1;
3) (а - 6)х = а 2 - 12а + 36;
2) а х = а;
4) (а 2 - 4)х - а - 2.
Для каждого значения а решите уравнение:
1) (а + 3)х = 3;
2) (а2 - 9 а )х = а 2 - 18а + 81.
Упражнения для повторения

62

- а*123456- а + 1
+ а2 + а + 1

принимает отрицательное значение?
Постройте график функции:
■2 - 10х + 25 _ 2х2 - 4х .
3) У =
1) У х + 2
х - 5
х

.

" ^ V

если 4т + Ъп - 8 .

Найдите значение выражения

53

\ _____

Упростите выражение:
1) (х + 2)(х - 9) - 3х(3 - 2х);
2) (а + 5)(а - 2) + (а + 4 )(а - 5);
3) (г/ - 8)(2г/ + 1) - (Зг/ + 1)(г/ - 6);
4) (2 х - Зг/)(2х + 3у) + (Зх + 2 у ) ( 3 х - 2у)\
5) (х + I)2 - ( х - 3 )(х + 3);
6) (г /-4 )(г/ + 3 ) - ( г / - 6 ) 2.
Постройте график функции:
1)г/ = 2;
2 ) у = 2х\
3)у = 2х-1.
18

-Зх

2х2 - 2
х2 -1

Q

U-



64 .
65 .

Какое наименьшее значение и при каких значениях а. и b принимает
выражение (а - 2){а + 2) + \Ъ(Ь - а)?
Расстояние от села Вишнёвое до железнодорожной станции на 14 км
меньше расстояния от села Яблоневое до той же станции. Время, за
которое автобус преодолевает расстояние от села Вишнёвое до стан­
ции, составляет 45 мин, а время, за которое легковой автомобиль
проезжает от села Яблоневое до станции, на 5 мин больше, причём
скорость автомобиля на 12 км/ч больше скорости автобуса. Найдите
скорость автобуса и скорость легкового автомобиля.

Готовимся к изучению
новой темы
66. Выполните действия:
1) ^
'

Г

18

+

18

2)
'

3) M - i i ;

— + — ;

16

16

'

32

32

4) 4

-4

] Учимся делать
нестандартные шаги

67 .

На сторонах квадрата записаны четыре натуральных числа. В каждой
вершине квадрата записано число, равное произведению чисел, запи­
санных на сторонах, для которых эта вершина является общей. Сум­
ма чисел, записанных в вершинах, равна 55. Найдите сумму чисел,
записанных на сторонах квадрата.
S 3. Сложение и вычитание рациональных дробей

с одинаковыми знаменателями
Вы знаете правила сложения и вычитания обыкновенных дробей
с одинаковыми знаменателями. Их можно выразить такими равенствами:
a t b a+b а b а-Ь
с с
с ’ с с
с
По таким же правилам складывают и вычитают рациональные дроби
с одинаковыми знаменателями.

Gd Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателя­
ми, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателя­
ми, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй
дроби, а знаменатель оставить тот же.
19

Пример

1. Выполните вычитание:

4
у2 + 2у 12у - 2 5 ,
3)
Зх - 5 ,
2 а -1
г) г/2 - 2 5
г/2 - 2 5 ’
8х2 ’
7* _ 5
з * _ 5 _ 7х - 5 - (Зх - 5) _ 7¾ - 5 - Зх + 5
Решение. 1)
--------^ ~ Sx2
8д:2

1Ч 7 * - 5
8 *2

2а-3
1 - 2а '

_ 4х _ J _
8х2 2 х '

„ г+2у

19» - 25

»2 + 2у - (12у - 25)

2) г/2 - 25

г/2 - 25

У2 - 25

_ у2 - Юг/ + 25 _
у2 -2 5


4

3)

(у - 5)2

2/2 “ 25

_ У~ 5

_ (У + 5) (у - 5)
2а - 3 _

у2 + 2у - 12у + 25 _

4

1 - 2а - 2а - 1

У+5
2а - 3

_

- (2 а -1 )

4 . + 2а -_3 =

2а - 1

2 а -1

4 + 2а - 3 _ 2 а + 1 <
2а- 1
2а - 1 ’
Пример 2. Известно, что ^ = - 3 . Найдите значение выражения
2т + п
т ’
,
Решение. Представим данную дробь в виде суммы целого и дробного
выражений:

2 т + п _ 2т
т
т

п _ ^
т

л
т

Если — = -3 , то — = - i . Следовательно, 2 т + п
т
Ъ
т
Пример 3. Найдите все натуральные значения и, при которых значе2я2 + Зи —15

ние выражения --------—------- является целым числом.
Решение. Представим данную дробь в виде разности целого и дробно­
го выражений:
2п2 + Зп - 15 _ 2п2 | Зп

15 _ оп , з

'5

п
п
п
п
п
Выражение 2п + 3 принимает натуральные значения при любом нату­
ральном п. Поэтому выражение 2п + 3 - — принимает целые значения,
если значения выражения — являются целыми числами. Это возможно
только при следующих натуральных значениях п: 1, 3, 5, 15.
Ответ: п = 1, или п - 3, или п = 5, или п = 15. <
20

1. Как сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?
2. Как вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?

Упражнения
Выполните действия:

1) * + * ;
4)
' 6 6
d
' 3

5)

3

и

3)

а .
26 ’

5)

а -1 2 6 , а + 156
27а f 27а ’

9
1) a + 3

8)



4
£2 -1 6 ’

t
t2 -1 6

m2
25
(т - 5)2 (т - 5)2 ’
Упростите выражение:

1)

' с -9

21

с -9

а2

36

,

(а - 6)2 (а - 6)2 ’
Выполните действия:
а+6
а
1) с - 7
7 -с’


,

8т + 3 _ 2m + 3
10m2
10m2

10a + 66
11a3

.. x 2 - xu

-4г/.
xy
66 - a ,
11a3
2лт/-3х2

б) — r ^ + —S —

лгу

л

a + 3’

3)

72.

6

Упростите выражение:

2)

71.

m - 2л

6)

и

а- 6
26

70.

т+ п
6

5с + 4d , 4tf + 9 с .
cd
' cd ’

7)

d ’

2а - ЗА . 96 - 2а
. +
баб ' баб
Представьте в виде дроби выражение:
76
46 ,

4)
xy
18р 18р’

3) ^ + ^ ;

69.





4)

5л: + 9
л:2 -1

4* + 8
л2 - 1 ’

5)

62
6 + 10

206 + 100
6 + 10

6)

с2
с -7

14с - 49
с -7

3)

3* + 5
л:2 - 4

2 * + 7.
х2 - 4 ’
4 y -4

У -2

У -2

4)

81б2 . а2 .
4) 96 - а а - 96’

1---1-----»
2) -------7Л- П П-ТП

*
+ 4 •
5) 3£ - 6 6 - 3£

2х - 4v
3 ) х - Ъу

6)

4х - 14у
3у - х '

У2
У -1
21

1 - 2у
1-У '



73.

о о \ ____
74.

О

75.

76.

77.

78.

Упростите выражение:
X
2
Злг + 2я л/ - 8л
3) 2т - Зя Зл - 2яг ’
1) y - i + i - y ’
3d
Зс
2 + 49
4) 256-1
2) с - d d - с *
4 ' 14 - 2¾'
Найдите значение выражения:
с2 + Зс + 7 , с + 3
16 при а = 32;
-48
при с = -3.
2)
1) а - 8
с3 - 8
8 - с'
а- 8
Найдите значение выражения:
На
2 + а 1а - 9
5х + 3
6х - 1„ при х = -4,1;
при а = 7.
2)
1) х 2 - 16 16 - х4
Vа2 - 9
Упростите выражение:
3* + ^ - + к2
5л - 1 7л - 8 8л + 7 .
3)
1) 20л
к* - 1 1 - А3
1- Р '
20л
20л
9лг + 2 яг - 9
1 —7т
яг2 - 4 4 - яг2 яг2 - 4
Упростите выражение:
2а2 + 12а 8а - 9 а2 + 14а - 16
____
6а 1
4a-7
-2а- 2 .
2)
1) 16а- 8 + 16а- 8 8 - 1 6 а ’
25- а 2
-25
-25
Представьте в виде дроби выражение:
2лг - 8л
лг2 - 8л
15- 8 а 14- 7 а
3) (л г-2)(л-5) (2 -лг)(5-л)
1)
(а-1 )2 (1 - а)2 ’
3¾2 +12


79.

80.

81.

82.

83.

>

(¾ -

2)3

12¾
(2 - 6)3 ’

Упростите выражение:
- 16л: + 2х + 49 .
У + 36
2)
1)
(х - 7)4 (7 - х)4 ’
(2/-6)(1/ + 2)
( 6 - г / ) ( 2 + г/)'
Докажите
тождество:
До
(а -- У6)2
1 \ (а т+ и6)2
)
)
1.
m (а + 6)2 (а - 6 )2
■2.
4аЬ
4аЬ
’ а2 + Ъ2 а 2 + Ь2
Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значе12х - 25 8х + 10
ние выражения —---- — + —----— не зависит от значения х.
20х - 15 20х - 15
Докалсите, что при всех допустимых значениях переменной у значеПу + 5 9-112/
ние выражения —---- - - —---- - не зависит от значения у.
21//-3 21г/ - 3
а
Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выраже. . . а2 - 6
7а - 4 . За + 6
н и р -------------------- 1------ —j- принимает положительные значения.
(а - 2)4 (а - 2)4 (а - 2)4
22

84.

--85.

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выраже2 - 62 7 - 3 6
76-20
ние ф _
ф _ gj6 + ф _ д^б принимает отрицательные значения.
Представьте данную дробь в миле суммы или разности целого и дроб­
ного выражений:
1) х + 3 .
х

2)

'



- 2а - 5

а -2

86.

Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дроб­
ного выражений:
., 4п -6
q.b~ + 76 + 3

а ’
; 6^7


87.

Известно, что — = 4. Найдите значение выражения:
1)

88.

У.

2)

2х-Ъу

3)

У

ху

Известно, что -г = -2. Найдите значение выражения:
а-Ъ
4а + 56
а- - 2аЬ + Ь3)
2')
а
6
аЪ
Найдите все натуральные значения га, при которых значение выраже­
ния является целым числом:
1)

89.

1)
90.

и+ 6
га

2')

Зга2 - 4га - 14
га

4и + 7
' 2га - 3

3)

Найдите все натуральные значения га, при которых значение выраже­
ния является целым числом:
9га - 4
га2 + 2 я - 8 .
8га- 9 .
з) Зга- 5 '
2)
1)
п
га
I Упражнения для повторения

91.

92.
93.

Из двух сёл, расстояние между которыми 9 км, одновременно на­
встречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через
20 мин. Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один
из них догнал бы другого через 3 ч. Найдите скорость каждого вело­
сипедиста.
Решите уравнение:
1) 1 - 4(х + 1) = 1 ,8 - 1,6зг,
2) 3(0,5дг- 4) + 8,5дг= 1 0 х - 11.
Докажите, что выражение (а + 4) (а - 8) + 4(2а + 9) при всех значениях а принимает неотрицательные значения.
23

I Готовимся к изучению
новой темы
94.

-----

Вместо звёздочки запишите такой одночлен, чтобы выполнялось ра1Т а ™ * = а*Ъ\

2) Ьху» ■* = 1 0 * У ;

3) бх5 • * = 12л:10.

95.

Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы выполнялось ра-

96

Приведите к общему знаменателю дроби.

1 )Н*СТ(в

- Ь) = (а + Ь)(а - 6 )2;

« 4 - 4 =

5>

5



2) 4 ^ и
рУ
pV

6

т+п



У
х + у’

,

4) х - Ч у

■ Учимся делать
нестандартные шаги

97.

-

т-п

36’

г

2) (а + 106) • * = а 3 - ЮОаб2.
5)
6)

У
6р-36

1
-1

1
р2 - 6 р ’

1
а2 + а

\ -----

Может ли чётное число иметь нечётных делителей больше, чем
чётных?
6 4. Сложение и вычитание рациональных дробей
с разными знам енателям и

Применяя основное свойство рациональной дроби, можно сложение
и вычитание дробей с разными знаменателями свести к сложению и вычи­
танию дробей с одинаковыми знаменателями.
А С
Пусть нужно сложить две рациональные дроби
и
.
A

AD

А -D

СВ

Можно записать: - =
^

А С

Тогда в + D - B D + D B -

С

СВ

A D +C B

B D

Здесь в качестве общего знаменателя выбрано выражение, равное
произведению знаменателей данных дробей.
Отметим, что произведение знаменателей данных дробей не всегда
является наиболее удобным общим знаменателем.
Напомним, что при нахождении общего знаменателя обыкновенных
дробей мы находили наименьшее общее кратное знаменателей, расклады­
вая их на простые множители. Аналогично для нахождения общего знаме24

нателя р ац и он ал ьн ы х дробей м ож ет о казаться удобным предварительно
разлож ить зн ам ен ател и н а множ ители.
Пример 1. У п р о сти те вы раж ен и е:
1 )й+1+
ц
' аЬс
а 2с

2) 7т + 7 я

4)

и
7т - 7га ’

5)


25 - Юга + а 2
*

ж

Z- 4

1
За - 15

+_2
2'

„ч Юга+ 14 , 6 _ .
3) Т ^ ^ + 7
га ’
Решение. 1) Общ им знам енателем д ан н ы х дробей явл яется одночлен
а 2Ьс. С л едовател ьн о,
5 + 1 \о
1- п\ь
a b + a + b - ab
а + Ь
ab c
а 2Ьс
а 2Ьс
2) Разлож ив п р едвар и тел ьн о знам енатели д ан н ы х дробей н а множи­
тели, получаем:
\т + п
гаг
га
гаг
\т~п
п
7гаг + 7и 7гаг - 7га 7(гаг + га)
7(гаг - я)
гаг(гаг - га) - га(гаг + га) _ гаг2 - гагга - гагга - га2 _ гаг2 - 2гагга - га2
7(гаг + га) (гаг - га)
7 (гаг2 -га 2)
7(гаг2 V )
6
т.
Юга + 14 ,
3) И м еем: —т---------- ь _

га2 - 49
7 - га

Юга+ 14
(га-7)(га + 7)

\п+7

га- 7

Юга + 14 - 6(га + 7) _ Юга + 14 - 6га- 4 2 =
4га- 2 8
=
4(я - 7)
_
4
(га - 7)(га + 7)
га+ 7 '
(га —7) (га + 7)
(га - 7)(я + 7)
(га - 7) (га + 7)
\ а -5

1
1

1

4)

(5 - а ) 2 3 (а -5 )
(а -5 )2
3(а - 5)
25 - Юа + а2 З а - 1 5
6а - а + 5
3(а - 5)2

5а + 5
3(а - 5)2 '

5) В к а ч е с тве общ его знам енателя д ан н ы х дробей удобно взя ть произ­
веден и е их знам ен ателей . Получаем:
\д г -2

х + 2

\ х -4

х -4
- 2 х - х 2 + 4 х - 2х + 8
( х - 4 ) ( х - 2 )

х (х - 2 ) - ( х + 2)(х - 4)
(х -4 )(х -2 )
8
(х-4)(х-2)

21с2
Пример 2. П р ед ставьте в виде дроби вы раж ение ^
- 3с.
Решение. П р едстави в вы раж ен и е Зс в виде дроби со знам енателем 1,
получаем:
25


Зсх7с 2 _ 21с2 - 21с2 + 6с
21с1 - 3с ■ 21с2
7с- 2 '
7с-2
7 с- 2
’ 7с- 2
1
Заметим, что сумма и разность двух рациональных дробей являются
рациональными дробями.
гч Ь ) 1. Как выполнить сложение и вычитание рациональных дробей с раз­

ными знаменателями?
2. Что является суммой и разностью двух рациональных дробей?
I Упражнения
98.

99.

Выполните действия:
D f + f ;

4 ) 1 - 3;
*
у

7) А + — ;
; Ь2 аЬ4 ’

9N 5Ъ
’ 14
оч т
3) 1Г ~

6.
7’
л.
6’

5) ^ +
4л 6л
с\ С (6 .

04 11
; 5а

1)
’ 8

12

3) —
гг

б) са + —
ср ;

9b
35с5 14с2

2с ,
\ЪаЬ’

9) J I L + - C - '
' абс аблг
Представьте в виде дроби выражение:

6)

ггг

Л

;

4) ^ +
’ 2у 8х
100. Упростите выражение:
5лг - л m - 6 л .
а+7 а- 4.
1) 12 + 9 ’
14лг

х
+
4
26 - 7с 36 + 2с.
у - з.
g\
2)
11х
15 ’
6
Пр ’
Зх - 2 Зг/ —1
а + 6 а-с %
3) X
7) ab
ас
У
6р +1 2р + 8
-1
2
+
Р
8)
4)
Зр
р
р
Р2
лполните сложение или вычитание дробей:
9-56 7 -5 с.
тп-п р - л
4) тпп
ь
С
пр
id + 7 d - 6
6 а + 2 2а + 4
Id
6rf ’
аЪ
а26
b - k р + 10
с2 -16 с - 9
Ър
56 ’
с6
с5 ’
2) f

+f ;

26

9)
10 )

6 + 4 _ 36 - 4 .
k
к2 ’
х-у
у-х2

И ) 2 т - Зл | 7 т - 2 п .
тл­
ел- d с2 - 8 d
12)
cd4
c3d3
7) -Х г°

1+ х2

1 - ab
8)
abc

X -'

1 - ad
acd

.

102 В ыполните действия:

!) I + 3£JI1 ;
X

2) т
' п

3)

+1

X

3
а + 3’

а- 3

т ■
т +п’

5) 2у + 1

4)

Зс - 1 Зс +1 ’
103 П редставьте в виде дроби выражение:
5дг + 4 .
2)
1) a - b Ь
х +2 ’
104 У простите выражение:
У
1) __ 1
------ 1-- ;
4) 2(1/ + 3)
Ь(а - Ъ) а(а - Ь) ’

.

3) Ь - 2

.

2’)

а

+

2х + 2
х ( х - 2) ’
105 Выполните действия:
3

.

3) х - 2

,

1

1) а(а + Ь)

У
Ъ(у + 3) ’

5т + 3

7т + 4

с-а
а(а + Ь)

с+Ь
Ь{а + Ь)'

3) 5(х + 7)

Ь(х + 7) ’

5) 2(т + 1) 3(m + 1) ’

а ( а - 6)

1

.

Ь(а + Ь) ’

6)

i n + 2 _ Ьп + 3
4
8 ,
4) 3(я - 1) 4(и - 1) ’
2 ) Ь Ь(Ь + 2)’
106 Выполните сложение или вычитание дробей:
тп- 1
m +1
За + 1
а
5) Ът - 15 2 т - 1 0 ’
1) а - 2 За - 6 ’
m -Ъп .
т -2п
6
18
6) 6m + 6« 4 т + 4п ’
)
62 + 36 Ь’
а+4 ,
а2 +2
2
с- 1
V) а2 + 2а 2а + 4 ’
3) с +1 с2 + с ’

.

2

rf-1

d .
rf-4 ’
107 Упростите выражение:

.

4) 2d - 8
П

4Й — ! .

b

' Ь- 5

2)

4£> - 20 ’
16
т2 + 8т

— ------------

т

3) 2а - 6

-1
За - 9

8)

Ъх - 4 у
х 2 - 2 ху

3у - х
ху-2у2

■Ь2

4) 2а2 + 2а6
Ь+4
5)
ab - b2

а + Ь’
а 4+ 4 .
а2 - аб ’

4с + 9
с - 4 ^_______

6 ) 4с + 24 ^ с2 + 6с
27

Ъу - 2

а - Ь _ а-Ь
6) Ь
а + Ь'
2
Ь + 2'

1 0 8 . В ы полните действия:
3
х +4 .
1)
х + 3 а:2 - 9 ’
2)

а2 —64

5)

а —8

66

3)

'

4* - У
-.2

+

1

..2

За + 6 , 1 .
а2 - 62 а + 6 ’

тп

гаг2
гаг2 + Югаг + 25

гаг + 5

62
а2 + 62 + 2а6

6

1

962 - 4 36 - 2 ’
1 0 9 . У простите вы раж ение:
1)

4)



У

6) а + 6
3)

1
5а + 3 ’

10а
25а2 - 9

га2

п

4)
га-7 га2 - 14га + 49
1/2-81 у + 9
1 1 0 . П редставьте в виде дроби вы раж ение:
„ 36 + 2а .
4) f + 1;
5)
2)

а

2) - - х ;

36 + 4
6)
6 -2

3) — + — + 2;
и m

7)

6 m - 12f + 1 ;
2гаг

8)

2062 + 5 _ 1о£>.
2 6 -1

У

4) 4 - 1 + 3 ;
р2
р
111. В ы полните действия:
D /z -i;

..
4)

2) - + х - 2 ;

5) Зга

о\

6) 5 —

X
^

1 .

гг

п

3) — - ~ + тп>



у

2б2

9я2 - 2 .
Зга
4 //-1 2
р -2 '

о о Y_
1 1 2 . У простите вы раж ение:

а2 +1
( а + 1.
а2 - 2а + 1 a - 1 ’
а2 + 62 я - 6 .
2)
а2 - 62 а + 6 ’
1)

с+7 ,

28с

3> ^ 7 + i ^ T -

..

1

5а+ 3
2а2 + 6а

6-За.
а2 - 9 ’

5)
6

а2 - 4а + 4

а +4
■4’

) ^

+^

- ^

р —5

р +5

7 )I--f± «
г/

8)

16 - г/2

2 6 -1
46 + 2
28

;

25 - р 2

-_ L _ ;
г/ - 4

46
462 - 1

26 + 1
3 - 66'

1 1 3 . Упростите выражение:
1)
2

771 + 71

я2 +7ГГ
j.«2
ТГГ

4)

) ^ +
х + у 2ху + л2 + у 2 '

5)

6-2
62 + 66 + 9
л2 + Зл

Ь2 - 9 ’

х +3

.г -3 ,
л:

2а_____ аы+т 41 ,
. У+2 у- 2
16
4а2
' -2 - 1 2a2
^-2 +—
a ’’
у - 2 у +2 г / 2 -4
114. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение
выражения не зависит от значения переменной:
х л-7
2 4 -2 а
у) 2х л-1 + 2 х - 1
2)
2л- 4
б-Зл
6л - 1 2 ’
а 2 - 16 2а - 8 а + 4
115. Представьте в виде дроби выражение:
сг
с2 + 9
- с - 3;
1) 1
с-3
а+2
о\

8 т2
- 2 т - 1.
4т - 3

“2 - 62 + 3 а - 6 ;
2) З а + 6

116. Упростите выражение:
146
2) 5с - Ю-29 с +Д0с1 + 2
6 + 7’
117. Упростите выражение и найдите его значение:
1) 6 + 7-

1) — --------- ------------- — , если а = 5;
; 2а - 4 а2 - 4 а + 2

2)
3)

2с + 3 + 2с - 3
2с2 - Зс 2с2 + Зс

16с
4с2 - 9 ’

-0,8;

т2 + 16д2 _ тл-Ап , если т = 3, п = 0,5.
т 2 - 16п2

2т - 8п

118. Найдите значение выражения:
1) 5л - 20

л- 5
если л = 5;
л2 - 8л + 16

1
2у —1

если у = - 2 ;

2у - 1 2у - 4у2
1 1 9 . Докажите тождество:
а + 6 ___ а ,
б2
= 0;
1)
аг - о аz - аб
а

2)

2)

а+3
а+1

а+1
а -1

6 _
2 ,
а2 - 1
а2 - 1

2а2 + 4 _ а - 2 _ а + 1 _ 1
а + 1 а-1
а-1

3 ) а2 - 1

29

1 2 0 . Докажите тождество:
,v

_ 1 ___________ !____ _______ § о ____

1

6а-4b

6а + 46

4б2 - 9а2

1
За - 26 ’

1
- ± = 0.
Зс + 9 Зс
1 2 1 . Найдите разность дробей:
1
62 - 6¾
1
2) 6 + 3 ~ 63 + 27 ’
1)
1 а2 + а + 1
1 2 2 . Упростите выражение:
26-1
9 т 2 - 3тп + п2_ _ 9 т 2 + Эти + »2 .
2 ) 1 - 4б2 - 2 6 + 1
З т -п
Зт + п
1 2 3 . Докажите тождество:
За2 + 2 4
6________ 1 _ 2
- 2а + 4 а + 2 а + 2'
а3 + 8
с+ 2

2) с2 + Зс

TV-

1 2 4 . Упростите выражение:
( а- 6 ( а+6
1 ) ^
/7*
а‘ - Ь2 а2 + аб 62 - аб ’
х1 + 4
1
2)' —л 1-1—2 + -* + 2
- 4 8х - 2 * 3 ’
1
1
3) (а - 5б)2 _ а2 - 25б2 + (а + 5б)2 ’
х2 + 9 х + 18
х+5
ху + 3у - 2 х - 6
у 2'
125 . Докажите тождество:
а+3
а - 3 + 12
1) а2 - За За + 9 9 - а2
4)

а - 3_
За

6- 4
62 - 26 - 24
2
1 2а6 - 4 - 6 + 8а 2 а - 1 '
1 2 6 . Докажите тождество:
1
1
1
( а - 6 ) ( а - с ) ( а - 6 ) ( 6 - с) ( с - а ) ( с - 6 )
1 2 7 . Докажите тождество:
6
с _____ ас_____ _____ аб
(а -6 )(а -с ) (6 -а )(Ь -с ) (с -а )(с -6 )

2) 2а -

=

128 . Упростите выражение:
1

(а -1 )(а -2 )

.

1

(а -2 )(а -3 )

(а - 3)(а - 4)'
30

0.

26
26 + Г

129. Упростите выражение:

1

1

(а - 1)(а - 3)

(а - 3)(а - 5)

1
(а-5 )(а-7 )'

130. Докажите тождество:
4 , 8 , 16
32
1 - а 1 + а 1 + а2 1 + а 4 1 + а8 1 + а16 1 - а32'
131. Докажите тождество:
3 . 3 . 6
12
24
48
1 + а1 1 + а4 1 + а8 1 + а,16 1 - а,32 '
132. Докажите, что если у—- + - — - + - — ^ = 1 то а + ^ + —+ - с + а + с Ь+ с а + с а + о
Ь+ с а + с а + Ь

А

Г ^ Упраж нения для повторения

133. Найдите корень уравнения:
х -1

и 1 +^

= 4;
2) = 3.
' 3
2
134. Решите систему уравнений:
х + у = 8,
2х + 5у = 13,
1)
2)
Ъ х -2 у = 9;
Зх - 5у = -13.
135. За первый день трёхдневной гонки велосипедисты проехали — все2

го маршрута, за второй день — — всего маршрута, а за третий —остав5
шиеся 90 км. Какое расстояние проехали велосипедисты за три дня?
136. (Из болгарского фольклора.) Пятеро братьев хотели разделить
20 овец так, чтобы каждый из них получил нечётное количество овец.
Возможно ли это?
137. Верно ли утверждение, что при любом натуральном п значение выра­
жения (Ъп + 7)2 - (п - I)2 делится нацело на 48?
1Готовим ся к изучению
новой темы

Q 138. Укажите число, обратное числу:
2) 7;

1)

5) 0,12.

3) -Ъ-

139. Найдите произведение:
1) - • — ;
6

20

2>6 -TS:

з)
31

-

2 -.

140. Выполните деление:

1>п р

*1у1 *

(.а + b f

(с - d f ’
Я) (х - У )2

х +у '

235 . Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем или

произведением степеней:
11» :

2 ) к4 ;

X2

3) — ;
У

62

4) Зг;

5)

(2x - y f


-

2

у?

236. Представьте числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64




-

i I _L _L 1

2’ 4



8 ’ 1 6 ’ 3 2 ’ 64 в виде

степени с основанием: 1) 2; 2) - .
237. Представьте в виде степени однозначного натурального числа дробь:
2) 51?
3) бк’'
'
2)
3>
4> ife49’
216’
625’
238. Представьте в виде степени с основанием 10 число:
1) 0,1;
2) 0,01;
3) 0,0001;
4) 0,000001.
1
239. Представьте числа 1, 3, 9, 27, 81 - I I
* ’ а ’ 9*7
а/ 81 В ВИДе степени с основанием: 1) 3; 2)
1)

о

240. Вычислите:
1) 5 '2;
2) 2^;

3) (-9)-*;
4) 0,2"3;

,-3

5) 1-

7) И Г 17;

6) (-1 )-16;

8)

£

9)

\0
10)

->5

241. Найдите значение выражения:
1) 20-2;

3) (-6 )-3;

2) 0,3-

4)

-2

6)

3

242. Вычислите значение выражения:
1) 3-1 - 4 '1;
4)9-0,1^:
2) 2“3 + 6-2;
5) 0,5-2 •4"1;
3) ( j j

+ (-2 ,3 )0 - Б"2;

6) (2-1 - 8 -1 •16)-1.

243. Чему равно значение выражения:
1) 2-2 + 2-’;
3) 0,03° + 0,7°;
2) 3-2 - б"1;
4) (9 •З-з - 12"1)-1?
244. Какое из данных чисел записано в стандартном виде:
1) 12 ■104;
2) 1,2 • 104;
3) 0,12 ■104?
245. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:
1) 3400;
4) 0,000008;
7) 0,86 •103;
2) 15;
5) 0,73;
8) 0,23 •104;
3) 0,0046;
6) 250 •102;
9) 9300 • 105.
246. Запишите числовые значения величин в стандартном виде:
1) скорость света в вакууме равна 300 000 км/с;
2) длина реки Лена, самой протяжённой реки России, равна 4400 км;
3) площадь озера Байкал составляет 32 000 км2;
63

4) расстояние от Земли до Солнца составляет 149,6 млн км;
5) атмосферное давление на высоте 100 км составляет 0,032 Па;
6) диаметр молекулы воды равен 0,00000028 мм.
247. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:
1) 45 000;
3) 0,00024;
5) 0,059 • 108;
2) 260;
4) 0,032;
6) 526 • 10“.
248. Запишите значение выражения в виде натурального числа или деся­
тичной дроби:
1) 1,6 • 103;
2) 5,7 ■106;
3) 2,1 • ЮЛ
4) 1,1 . ЮЛ
249. Запишите значение выражения в виде натурального числа или деся­
тичной дроби:
1) 2,4 • 10*;
2) 4,8 • Ю5;
3) 1,4 • ЮЛ
4) 8,6 • ЮЛ
оо V
250. Докажите, что
251. Найдите значение выражения:
1) ( - 1• Ю-1 + 9» - (-2)3 + ( | ) 2 ■(-1,5)2) (2,5)-2 - (85)°+ f l f ) 3 + 0 ,1 -1.
252. Расположите в порядке убывания:
1)

® ■Ш"»

2) 4Л 43, 4°, 4-2.

253. Расположите в порядке возрастания:
1) 7-2, 72, 7 - \ 7°;

2)

254. Сравните значения выражений:

1) 12° и (-6)°;
2) 0,23 и 0,2Л
3) 46 и 0.25Л

4) З-1 • 7-1 и 21Л
5) 5"1 - 7-1 и 2Л
6)

255. Сравните значения выражений:
1) 3-2 и (-3)»;
3 ) /1>_2

И

Qf-ШЧН)

2) З-1 + 2-1 и 5"1;
256. Представьте в виде дроби выражение:
1) об-1 + а~1Ь;
4) (а + 5)-> . (а + ЪЛ 2) За-1 + аЪ~2;
5) (с '2 - Д-2) : (с + Д); ’
3) т2п!(ггг3- и-8);

6) (х у ~2 + х~2у) ■ ( — -ЗУ + У'
64

257. Представьте в виде дроби выражение:
1) а-12 + а '3*;
3) ( - d~') ■(с - d)~22) т п п + ггг'п\
4) (яг2 + у~2) ■(я? + у 2)-1.
258. Порядок некоторого натурального числа равен 4. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?
259. Десятичная запись некоторого натурального числа состоит из семи
цифр. Чему равен порядок этого числа?
260. Какое число больше:
1) 9,7 • 10й или 1,2 • 1012;
3) 2,34 . 106 или 0,23 • 107;
2) 3,6 • 10"5 или 4,8 • 10"6;
4) 42,7 • 10‘9 или 0,072 • 10"7?
261. Какое число меньше:
1) 6,1 • 1019 или 6,15 • 1018;
2) 1,5 • 10“9 или 0,9 • 10“8?
262. В таблице приведены расстояния от Солнца до планет Солнечной
системы.
П ла н е та

Р а с сто я н и е , км

В ене ра

1 ,0 8 2

108

З е м ля

1 ,4 9 5

108

М арс

2 ,2 8 0

108

М е р к ур и й

5 ,7 9 0

107

Н е птун

4 ,4 9 7

109

С а турн

1 ,4 2 7

109

Уран

2 ,8 7 1

109

Ю пи те р

7 ,7 8 1

108

1) Какая планета находится на наименьшем расстоянии от Солнца,
а какая —на наибольшем?
2) Какая из планет, Марс или Сатурн, находится дальше от Солнца?
3) Составьте таблицу, записав в левом столбце названия планет в по­
рядке увеличения расстояния от них до Солнца, а в правом —расстоя­
ния от них до Солнца, выраженные в миллионах километров.
263. В таблице приведены массы атомов некоторых химических элементов.
1) Масса атома какого из данных элементов наименьшая, а какого —
наибольшая?
2) Масса атома какого из элементов, меди или натрия, больше?
65

Э ле м е н т

Э лем ен т

М а с с а а то м а , кг

М а с са атом а, кг

Азот

2 ,3 2 ■ 1 0 -26

З оло то

3 ,2 7 ■ 1 0 -25

Алю м иний

4 ,4 8 • 1 0 “ 26

М едь

1 ,0 5 ■ 10‘ 25

В одород

1 ,6 6 • ю - 27

Н а тр и й

3 ,8 1 ■ 1 0 -26

Ге ли й

6 ,6 4 • 1 0 -27

О лово

1 ,9 7 ■ 10~25

9 ,2 8 ■ 1 0 '26

Уран

3 ,9 5 •10-25

Ж елезо

3) Составьте таблицу, упорядочив элементы в порядке уменьшения
массы их атомов.
264. В таблице приведены запасы некоторых веществ в минеральных ре­
сурсах мира.
В е щ е ств о

В е щ е с тв о

З а п а с ы ,т

З а п а с ы ,т

А лю м иний

1 ,1 •1 0 9

Н икель

В о ль ф р а м

1 ,3 • 1 0 6

О лово

4 ,7 6 ■ 1 0 6

Ж еле зо

8 ,8 •Ю 10

Р туть

1 ,1 5 ■ 1 0 5

З о л о то

1 ,1 • 1 0 4

Ф о с ф а ты

1 ,9 8 • Ю 10

М а р га н е ц
М едь

6 ,8 •1 0 7

6 ,3 5 ■ 1 0 8

Х ром

4 ,4 ■ 109

2 ,8 • 1 0 1
э
2

Цинк

1 ,1 2 • 108

1) Запасы какого из данных веществ наибольшие, а какого — наи­
меньшие?
2) Запасы какого из веществ, никеля или цинка, больше?
3) Составьте таблицу минеральных ресурсов, разместив вещества
в порядке уменьшения их запасов.
I Упражнения для повторения
265. Масса чугунной болванки 16 кг. Какое наименьшее количество болва­

нок потребуется, чтобы отлить 41 деталь массой 12 кг каждая?
266. В некотором городе на сегодняшний день проживает 88 200 жителей.

Сколько жителей было в этом городе 2 года назад, если ежегодный
прирост населения составлял 5 %?
66

267. Дима ходит из дома на стадион пешком со скоростью 4 к м /ч Если он

поедет на стадион на велосипеде со скоростью 12 к м /ч , то'приедет
на 20 мин раньше, чем обычно. Н а каком расстоянии от дома Димы
находится стадион?
268. Упростите выраж ение
2а2 + 2 а + 1 { За - 3
а2 - 1 а - 1 2а + 2 '
269. Можно ли утверждать, что при любом натуральном я значение выра­
ж ения (5я + 6,5)2 - (2я + 0,5)2 кратно 42?
Готовимся к изучению
новой темы
270. Представьте в виде степени с основанием

1) а 7 • аъ\

2) а7 : а 5;

3) (а7)5

а выражение:
4)

(а3)6 • а4

271. Упростите выражение:

1) -4 т 3п5 ■Ьт4п2\

2) (-2тя7я 2)4;

3) 8 * У

~ х гу -

272. Найдите значение выражения:
1)

З10 ■273 .
99 ’

2)|5l

П о вто р и те содер ж ан и е и. 4 на с. 229.
Учимся делать
нестандартные шаги

\ ___

273. В н екотором доме живут только супружеские пары с маленькими

детьми, причём у каждого мальчика есть сестра и мальчиков больше,
чем девочек. Может ли взрослых быть больше, чем детей?

S 9. Свойства степени с целым показателем
В 7 классе вы изучали свойства степени с натуральным показателем.
Они остаются справедливыми и для степени с любым целым показателем.
0 Теорема 9.1
Для любого а Ф 0 и любых целых т я и л выполняются
равенства:

а т ■а " = а т +
(ат)" = а тп.
67

( 1)
(2)

0

Теорема 9.2

______________
Для лю бых а * 0 и й * 0 и

п

л ю б ого цело го

выполняется

равенство:

(аЬ)"

=

а пЬп.

(3)

Равенство (1) выражает основное свойство степени. Докажем его.
Для натуральных т и п это равенство уже было доказано в курсе
алгебры 7 класса.
Рассмотрим теперь случай, когда т и п — целые отрицательные числа.
Если т и п — целые отрицательные числа, то -т и - п — натуральные
числа. Тогда агт ■а~" = а _т+ -1;

2 ) у-

12

— , если 2 < х < 4,
х
3, если х > 4.

341 . Постройте график функции:

4
--- , если х < -2,
х

2, если - 2 < х < 2,
4

—, если х > 2.
х
342 . Постройте график функции:
9 х-1 8

1 ) 2/ = -

- 2х

оч ..

2) У -

5х2 - 5

10х2 - 40
х 3 - 4х

343 . Постройте график функции у

Упражнения для повторения
344. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных, содержа­

щихся в выражении, его значение не зависит от значений а и Ъ.
а2 - Ь 2 (
а+Ь
Ь Л_ Ь
а + ЪЬ I а2 - 2ab + 62 а2 - b 2 J а ~Ь
83

345 . Решите уравнение:

3
1
5
5* + 25 2х -1 0 л-2 -2 5 '
346 . Цену шкафа снизили на 30 %, а спустя некоторое время повысили на
30 %. Как изменилась, увеличилась или уменьшилась, цена шкафа по
сравнению с первоначальной и на сколько процентов?
347 . (Задача Сунъ-Ц зы1.) Двое мужчин получили монеты, которые они
должны были разделить между собой так, что если бы к монетам, ко­
торые получил первый из них, прибавить половину монет второго,
или к монетам, которые получил второй, прибавить — монет пер­
вого, то в обоих случаях было бы 48 монет. Сколько монет получил
каждый из мужчин?
348 . Если лыжник будет двигаться со скоростью 10 км /ч , то доберётся
в пункт назначения на 1 ч позже запланированного времени прибы­
тия, а если будет двигаться со скоростью 15 к м /ч —то на 1 ч раньше.
С какой скоростью он должен двигаться, чтобы прибыть в пункт
назначения в запланированное время?
Учимся делать
нестандартные шаги

349 . Каждый из трёх учеников написал 100 разных слов. После этого сло­

ва, которые встретились не менее двух раз, вычеркнули. В результате
у одного ученика осталось 45 слов, у второго —68, а у третьего —78.
Докажите, что по крайней мере одно слово записали все трое.

1 Сунь-Цзы —китайский математик, который жил в III или IV в.
84

Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме
1. Решите уравнение — ~ 100 = п
х - 10
А) -10; 10
Б) 10
В) -10
2. Решите уравнение
10 = 0.
ДГ2 - 100
А) -10; 10
Б) 10
В) -10
3. Какое из данных равенств верно?
А) 10“3 = -1000
В) (-2)-3 = - I

Б)НИ

Г) корней нет

Г) корней нет

D р г = -49

4. Как записывают в стандартном виде число 42 000?
А) 4,2 • 103
Б) 4,2 ■104
В) 0,42 • 105
Г) 42 • 103
5. Как записывают в виде десятичной дроби число 6,3 • 10_3?
А) 0,63
Б) 0,063
В) 0,0063
Г) 0,00063
6 . Представьте число ^ в виде степени с основанием 5.
А) 5-2
Б) 52
В) 5-3
Г) 53
7. Чему равно значение выражения (1,7 • 108) • (6 ■10“3)?
А) 1,02 • 105
Б) 1,02 • 106
В) 10,2 ■106
Г) 1,02 • 107
О
тт
ч
9“2 • S-5
8.
Найдите
значение выражения -------- .
v
81 ■27~3
А) 81
Б) ±
В) 27
Г) ±

9. Какая из данных функций не является обратной пропорциональ­
ностью?
А)

у

В)' *у = ■£2х

Б) 2/ = - :

Г)

y =Y

10. На одном из рисунков изображён график функции у = ---. Ука­
жите этот рисунок.

85



-----------------

\

__________________
k

11 . При каком значении k график функции у = — проходит через
точку Л (-3; 0,6)?
А) -1 ,8
Б) -0 ,2
В) -2 ,4
Г) -3 ,6
2* - 1 Зх + 1 4х2 + 8
12 . Решите уравнение — j - —
=

А) 0; 4

Б) - 4; 0

В) - 4

Г) 0

Итоги главы 1
Рациональное выражение
Целые и дробные выражения называют рациональными
выражениями.
Допустимые значения переменных
Допустимыми значениями переменных, входящих в рацио­
нальное выражение, называют все значения переменных,
при которых это выражение имеет смысл.
Тождественно равные выражения
Выражения, соответствующие значения которых равны
при любых допустимых значениях входящих в них пере­
менных, называют тождественно равными.
Тождество
Равенство, которое выполняется при любых допустимых
значениях входящих в него переменных, называют тожде­
ством.
Основное свойство рациональной дроби
Если числитель и знаменатель рациональной дроби умно­
жить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим
дробь, тождественно равную данной.
Сложение и вычитание рациональных дробей
с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми зна­
менателями, нужно сложить их числители, а знаменатель
оставить тот же.
86

Ч то б ы в ы ч е с т ь р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и с о д и н а к о в ы м и з н а ­
м е н а т е л я м и , н у ж н о и з ч и сл и те л я п е р в о й д р о б и в ы ч е с ть
ч и с л и т е л ь в т о р о й д р о б и , а з н а м е н а т е л ь о с та в и ть тот ж е.

Умножение рациональных дробей
П р о и з в е д е н и е м д в у х р а ц и о н а л ь н ы х д р о б е й я в л я е тс я р а ­
ц и о н а л ь н а я д р о б ь , ч и с л и те л ь к отор о й р а в е н п р о и з в е д е ­
н и ю ч и с л и те л е й д а н н ы х д р о б е й , а з н а м е н а т е л ь — п р о и з­
ведению их знам енателей.
Д ел е н и е р а ц и о н а л ь н ы х д р о б е й
Ч а с т н ы м д в у х р а ц и о н а л ь н ы х д р о б е й я в л я е тс я р а ц и о н а л ь ­
н а я д р о б ь , ч и с л и те л ь к отор о й р а в е н п р о и з в е д е н и ю чи сли ­
т е л я д е л и м о г о и з н а м е н а т е л я де л и тел я , а з н а м е н а т е л ь —
п р о и з в е д е н и ю з н а м е н а т е л я д е л и м о го и ч и сл и те л я д е л и ­
те л я .
В о з в е д е н и е р а ц и о н а л ь н о й д р о б и в с те п е н ь
Ч то б ы в о з в е с т и р а ц и о н а л ь н у ю д р о б ь в сте п е н ь , нуж но
в о з в е с т и в эту с т е п е н ь ч и сл и те л ь и з н а м е н а т е л ь . П ер вы й
р е з у л ь т а т з а п и с а т ь к а к чи сли те л ь, а второй — к а к з н а м е ­
натель дроби.
Равносильны е уравнения
Д в а у р а в н е н и я н а з ы в а ю т р а в н о с и л ь н ы м и , е сл и они и м е ­
ю т о д н и и те ж е к о р н и или к а ж д о е и з у р а в н е н и й не и м е е т
корней.
С в о й с тв а у р а в н е н и й
Е сл и к о б е и м ч а с т я м д а н н о го у р а в н е н и я п р и б а в и ть (или и з
о б е и х ч а сте й в ы ч е с ть ) о д н о и то ж е число, то получим
уравн ени е, равн о си льн о е данном у.
Е сли к а к о е -л и б о с л а га е м о е п е ре не сти и з одной части у р а в ­
н е н и я в д р угу ю , и з м е н и в при э т о м е го з н а к на п ро ти во п о ­
л о ж н ы й , то п о л уч и м у р а в н е н и е , р а в н о с и л ь н о е да н н ом у.
Е сл и о б е ч а сти у р а в н е н и я у м н о ж и ть (раздел и ть) на одно
и то ж е о тл и ч н о е от нуля чи сло, то пол учи м ур а в н е н и е , р а в ­
носильное данном у.
Рациональное уравнение
У р а в н е н и е , л е в а я и п р а в а я ч а сти к о то р о го я в л я ю тс я р а ­
ц и о н а л ь н ы м и в ы р а ж е н и я м и , н а з ы в а ю т р а ц и о н а л ьн ы м .

87

X
Степень с целым отрицательным показателем

Для любого числа а, не равного нулю, и натурального чис­
ла и

Степень с показателем, равным нулю

Для любого числа а, не равного нулю, а й = 1.
Стандартный вид числа

Запись числа в виде произведения а ■ 10” , где 1 < а < 10
и и — целое число, называют стандартным видом числа.
Свойства степени с целым показателем

Для любых а * 0 и 6 * 0 и любых целых т и п выполняют­
ся равенства:
ат ■а" - ат*п (основное свойство степени);

(ат)п = атп;
(аЬ)п = апЪп;
ат : а ” = ат п\

Функция обратная пропорциональность
^
Функцию, которую можно задать формулой вида у = —,
где k * 0, называют обратной пропорциональностью.
Свойства функции У = ^
Область определения: все числа, кроме 0.
Область значений: все числа, кроме 0.
График: гипербола.
Нуль функции: не существует.
Свойство графика: начало координат является центром
симметрии гиперболы.

88

Глава м Квадратные корни. Действительные числя
Изучая материал этой главы, вы познакомитесь с функцией
у = х? и её свойствами.
Узнаете о новом действии «извлечение квадратного корня».
Вы убедитесь, что для изучения окружающего мира рациональных
чисел недостаточно.
Вы ознакомитесь с новым математическим понятием —
арифметический квадратный корень, изучите его свойства. На­
учитесь упрощать выражения, содержащие квадратные корни.

5 11. Функция у = х 2 и её график
Обозначим через у площадь квадрата со стороной х. Тогда у = х 2.
С изменением стороны х квадрата будет изменяться и его площадь у.
Понятно, что каждому значению переменной х соответствует един­
ственное значение переменной у. Следовательно, зависимость перемен­
ной у от переменной х является функциональной, а формула у = х~ задаёт
функцию.
Рассмотрим функцию у = хр-, областью определения которой являют­
ся все числа. В таблице приведены некоторые значения аргумента и соот­
ветствующие им значения функции.
X

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

У

9

6,25

4

2,25

1

0,25

0

0,25

1

2,25

4

6,25

9

Отметим на координатной плоско­
сти точки, координаты (яг, у) которых при­
ведены в таблице (рис. 11).
Чем больше точек, координаты кото­
рых удовлетворяют уравнению у = Xs, бу­
дет отмечено, тем меньше полученная фи­
гура (рис. 12) будет отличаться от графика
функции у = х?.
Пара чисел (0; 0) является решением
уравнения у = хР. Следовательно, график
данной функции проходит через начало
координат. Поскольку у = хР и хР > 0, то
89

Рис. 11

]У 1

в

IL




• •
0

X

у > 0, то есть среди отмеченных точек не может быть точек с отрицатель­
ными ординатами.
Область значений функции у =хр- — все неотрицательные числа.
Если бы удалось отметить на координатной плоскости все точки, ко­
ординаты которых удовлетворяют уравнению у = х 2, то получилась бы
фигура - график функции г/ = л:2, которую называют параболой (рис. 13).

Точка с координатами (0; 0) делит параболу на две равные части, ка­
ждую из которых называют ветвью параболы, а саму точку — вершиной
параболы.
Заметим, что если верно равенство у0 = х 2, то верно и равенство
Уй = (-х0)2. Следовательно, если точка А (х 0; у 0) принадлежит параболе
у = х2, то точка В (—
х 0; у 0), симметричная точке А относительно оси орди­
нат, также принадлежит этой параболе. Значит, ось ординат является осью
симметрии параболы у = Xs.
Функцию, обладающую такими свойствами, называют чётной. Эта
функция при противоположных значениях аргумента принимает равные
значения. К чётным функциям также относится, например, функция
У - |х |. Подробнее о чётных функциях вы узнаете в 10 классе.
В таблице приведены свойства функции у - ос1, рассмотренные в этом
параграфе.
О бласть определения

В с е чи сла

О бласть знач ени й

В с е н е о тр и ц а те л ьн ы е чи сла

Граф ик

Парабола

90

Нуль функции (значение аргумента,
при котором значение ф ункции равно 0)

х=0

Значения функции при п ротивополож ны х
значениях аргумента

Значения функции при противопо­
лож н ы х значениях аргумента
равны (функция чётная)

Свойство графика

Ось ординат является осью
симметрии параболы

Пример. Решите графически урав­
нение я? = х + 2.
Решение. В одной системе коорди­
нат построим графики функций у = яг2
и у = х + 2 (рис. 14). Эти графики пересе­
каются в двух точках, абсциссы которых
равны 2 и -1. Следовательно, как при
х = 2, так и при х = -1 значения выраже­
ний х2 и х + 2 равны, то есть числа 2 и -1
являются корнями уравнения ж2 = х + 2.
Проверка это подтверждает. Действитель­
но, 22 = 2 + 2 и (-1)2 = -1 + 2.ч

Рис. 14

Что является областью определения функции у =д^?
Что является областью значений функции у = х 27
При каком значении аргумента значение функции у = х? равно нулю?
Какая фигура является графиком функции у = я?7
Как называют функцию, которая при противоположных значениях
аргумента принимает равные значения?
6. Какая прямая является осью симметрии параболы у = я?7

1.
2.
3.
4.
5.

I Упражнения

350. Функция задана формулой у = х 2. Найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно: —6; 0,8; - 1,2;
150;
2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 49; 0;
2500; 0,04.
351. Не выполняя построения графика функции у = х 2, определите, про­
ходит ли этот график через точку:
1) А (-8; 64);
3) С (0,5; 2,5);
2) В (-9; -81);
4) D (0,1; 0,01).
91

352. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения

графиков функций у = х г и у = 4 х - 4 . Постройте графики данных
функций и отметьте найденные точки.
353. Решите графически уравнение:
1 )* * = * -1 ;
2) х 2 - 2х - 3 = 0;
3)х2= |.
354. Решите графически уравнение:

1) х2 = -4 х - 3;

2) х2 - Зх + 5 = 0;

3) х 2 + ~ = 0.

355. Определите графически количество решений системы уравнений:
у - х 2 =0,
У = Х2,
3)
1)
х ~ у + 6 = 0;
У = 2:
у - х 2 = 0,
4)
2) у = -2-,
' [2х + 5г/ = 10.
356. Определите графически количество решений системы уравнений:
у = х<
У '■
1)
2)
[Зх + 2у = -б;
' [х
| X--З эу
у == -3.
-о.
4, если х < -2,
357. Функция / задана следующим способом: /( х )

х г, если -2 < х < 1,
2х - 1, если х > 1 .
1) Найдите/ ( - 3 ) , / ( - 2 ) , / ( - 1 ) , / ( 1 ) , /( 3 ) ,/( 0 ,5 ) .
2) Постройте график данной функции.
2х + 3, если х < -1,
х 2, если -1 < х < 2,

|

359. Дана функция / (х ):

4, если х > 2.
1) Найдите/( - 4 ) ,/( - 0 ,3 ) ,/( 1 ,9 ) , /( 3 ) , / ( - 1 )
2) Постройте график данной функции.
х 2, если х < 0,

х +1, если х > 0.
1) Найдите/ ( - 7 ) , / ( 0 ) , / ( 2 ) .
2) Постройте график данной функции.
- . 360. Дана функция f ( x ) = \

х ’ если х

^

1) Найдите/ ( - 1 2 ) , / ( - 1х 2,
) , /если
( - 0 , 9х )>, /—
( 31. ) , / (0).
2) Постройте график данной функции.
92

361. Постройте график функции:
..я

1) У = : х

. -.2

+1

2) У =

х 4 - 4х2
х2 - 4

362. Построите график функции у = — .
X
363. Найдите область определения, область значений и нули функции
у = -Л3. Постройте график этой функции.

364. Постройте график уравнения:
1 ) ------- У ~ х2------- = 0 ;
( * -1 )2 +(г,-1)2

2) ^ 1

=

0.

у-х
365. Постройте график уравнения:
____ Х-Г .У _____ = о.
(х + 2)2 + (у - 4)2
366. Задайте с помощью формул функ­
цию, график которой изображён
на рисунке 15.
367. Задайте с помощью формул функ­
цию, график которой изображён
на рисунке 16.
93

Упражнения для повторения
368.

Докажите тождество:
(a + b f _ f _ a _ + ^ ± t ^ _ a ' \ = a + b_
а- Ъ \ а - Ь
а 2 - Ьг а + b)

369. Решите уравнение:
6
х+3 _ х+6
х- 2
х
хг - Чх
370. Докажите, что значение выражения 276 - 97 кратно 48.
371. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км, одновре­

менно навстречу друг другу вышли два туриста и встретились через
3 ч 45 мин. Если бы первый из них вышел на 2 ч раньше второго, то
они встретились бы через 4,5 ч после выхода первого. Найдите ско­
рость каждого туриста.
Готовимся к изучению
новой темы

372. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна: 1) 25 см-;

2) 1600 дм2; 3) 0,04 м2.
373. Решите уравнение:

1 ) ^ = 9;

2)*2= § .

374. При каких значениях а уравнение х 2 = а н е имеет корней?
375. Постройте графики функций г/ = л ^ и г/ = 1 и найдите координаты их

общих точек.
--

.................

Т~ j Учимся делать
нестандартные шаги
376. Натуральные числа х , у , z таковы, что значения выражений х + г/.
у + г, х + z — простые числа. Докажите, что среди чисел X, у, z есть

по крайней мере два числа, равные 1.

5 12. Квадратные

корни .

Арифметический квадратный корень

Рассмотрим квадрат, площадь которого равна 49 квадратным едини­
цам. Пусть длина его стороны равна х единицам. Тогда уравнение х? = 49
можно рассматривать как математическую модель задачи о нахождении сто­
роны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам.
94

Корнями этого уравнения являются числа 7 и —7. Говорят, что числа 7 и -7 являются квадратными корнями из числа 49.
0

О пределение

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат
которого равен а.
Приведём несколько примеров.
Квадратными корнями из числа 9 являются числа 3 и —3. Действи­
тельно, З2 = 9, (-3)2 = 9.
Квадратными корнями из числа — являются числа —и ——. Действи-

Квадратным корнем из числа 0 является только число 0. Действитель­
но, существует лишь одно число, квадрат которого равен нулю, —это число 0.
Поскольку не существует числа, квадрат которого равен отрицатель­
ному числу, то квадратного корня из отрицательного числа не существует.
Полоясителъный корень уравнения х- = 49, число 7, является отве­
том в задаче о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49
квадратным единицам. Это число называют арифметическим квадратным
корнем из числа 49.
0 Определение

\ -----------------------------------Арифметическим квадратным корнем из числа а называ­
ют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначают \[а.
Знак \Г называют знаком квадратного корня или радикалом (от лат.
radix — «корень»).
Запись \[а читают: «квадратный корень из а», опуская при чтении
слово «арифметический».
Выражение, стоящее под радикалом, называют подкоренным выра­
жением. Например, в записи -Jb —5 двучлен b —5 является подкоренным
выражением. Из определения арифметического квадратного корня следу­
ет, что п одкорен ное вы раж ен ие мож ет принимат ь только неот ­
ри цат ельны е значения.
Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа
называют извлечением квадратного корня.
Рассмотрим несколько примеров:
л/9 = 3, так как 3 > 0 и З2 = 9;
95

5 так как - > 0 и
2’

25.
4’

Тб = О, так как О > О и О2 = О.
Вообще, равенство 4а = b вы полняет ся при ус л о в и и , что Ь > О
и Ь2 - а.
Этот вывод можно представить в другой форме: для лю б о го неот ­
ри цат ельного числа а сп равед ли во, что 4 а > О и Ш = а .
Например, 74 > 0 и (7 4 ) = 4, -72 > 0 и (72) = 2, 75,2 > 0 и
(ТбД )2 = 5,2.

Подчеркнём, что к понятию квадратного корня мы пришли, решая
уравнение вида х? = а, где а V' 0. Корни этого уравнения —числа, каждое из
которых является квадратным корнем из числа а.
Поиск корней уравнения х 2 = а проиллюстрируем, решив графически
уравнение х 2 = 4.
В одной системе координат построим графики функций у = х 2 и у = 4
(рис. IV). Точки пересечения этих графиков имеют абсциссы 2 и -2, кото­
рые и являются корнями данного уравнения.
Уравнение У? = а при а < 0 не имеет корней, что подтверждается гра­
фически: графики функций у = х 2 и у = а при а < 0 общих точек не имеют
(рис. 18).

При а = 0 уравнение х 2= а имеет единственный корень х = 0, что то­
же подтверждается графически: графики функций у = х 2 и у = 0 имеют
только одну общую точку (см. рис. 18).
Графический метод также позволяет сделать следующий вывод: если
а > 0, то уравнение = а имеет два корня. Действительно, парабола у = х 2
96

и прямая у

= а,

где а > 0, имеют две общие точки (см. рис. 18). При этом

корнями уравнения х 2 = а являются числа 4а и -4а. Действительно,

(Та)* = а, (-Та)' = а.
Н апример, уравнение х 2 = 5 имеет два корня: 45 и -Т б.
Пример 1. Н айдите значение выражения (-8 Ti)*.
Решение. П рименив правило возведения произведения в степень

и тождество Ш

2 = а , получим:
( - 8 л/2)2 = (—8)2 ■( 4 z f = 64 • 2 = 128.

Пример 2. Решите уравнение: 1) ^ 4 х - 3 = 0; 2) 4 1 + 4 х + 2 = 2.
Решение. 1) Имеем: ^

4 х = 3; 7 х = 6. Тогда х = 62; х = 36.

Ответ: 36.

2) %/l + 7 х + 2 = 2; 1 + 4 х + 2

=

22; 7х+"2 = 3; х + 2 = З2; х = 7.

Ответ: 7. <
Пример 3. Решите уравнение (лг - 5)2 - 16.
Решение, (х - 5)2 = 16;

х - 5 = - 4 или х - 5 = 4;
х = 1 или х = 9.
Ответ: 1; 9.
Пример 4. Решите уравнение (Зх - 1)2 = 2 .
Решение. (Зх - 1 )2 = 2;

Зх - 1 = -7 2

или Зх - 1 = 72;

Зх = 1 - 72

или Зх = 1 + 72;

х =
Ответ:

1-75
3

ИЛИ

i - 7 5 . i + 75
3



3

Пример 5. П ри каких значениях х имеет смысл выражение: 1) 4~ь4\

2)

- jJ —

?

4х -2
97

Решение. 1) Выражение 4-Ъх имеет смысл, если подкоренное вы­
ражение -5 х принимает неотрицательные значения. Подкоренное выра­
жение является произведением двух множителей, один из которых - от­
рицательное число. Следовательно, это произведение будет принимать
неотрицательные значения, если другой множитель х будет принимать
неположительные значения.
Ответ: при х < 0.
2) Данное выражение имеет смысл, если выполняются два условия:
имеет смысл выражение 4 х и знаменатель 4 х - 2 отличен от нуля. Следо­
вательно, должны одновременно выполняться два условия: х > 0 и 4 х - 2 * 0.
Отсюда х > 0 и х Ф 4.
Ответ: п р и х > 0 и х * 4 .
Пример 6.

Решите уравнение:

1) 4 - х + -Ух- 2 = 2;
2) 4 х 2 - 2х + 4 х - 2 = 0;
3) (х + 2)4х - 2 = 0.
Решение. 1) Левая часть данного уравнения имеет смысл, если подко­
ренные выражения - х и х - 2 одновременно принимают неотрицательные
значения. Имеем: —
х > 0, тогда х < 0. Понятно, что при х < 0 выражение
х - 2 принимает только отрицательные значения. Следовательно, левая
часть данного уравнения не имеет смысла.
Ответ: корней нет.
2) Левая часть данного уравнения является суммой двух слагаемых,
каждое из которых может принимать только неотрицательные значения.
Тогда их сумма равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Следо­
вательно, одновременно должны выполняться два условия: 4х- - 2х = 0 И
4 х - 2 = 0. Это означает, что надо найти общие корни полученных уравне­
ний. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений
\4 х 2 - 2 х = 0,
[4 х - 2 = 0.
х(х - 2) = 0, Гх = 0 или х = 2,
х = 2;
[х = 2.
Решением последней системы, как и исходного уравнения, является
число 2.
Ответ: 2.
Имеем:

х 2 - 2х = 0,
х - 2 = 0;

98

3) Используя условие равенства произведения нулю, получаем:
х + 2 = 0 или \jx - 2 = 0;
х = -2 или л: = 2.
Однако при х ——2 выражение 4 х —2 не имеет смысла. Следователь­
но, данное уравнение имеет единственный корень - число 2.

Ответ: 2. ◄
• 1
*1.
2.
3.
4.

Что
Что
Как
Как

называют квадратным корнем из числа а ?
называют арифметическим квадратным корнем из числа а?
обозначают арифметический квадратный корень из числа а?
называют знак 4~ ?

Как читают запись 4а ?
Как называют выражение, стоящее под радикалом?
Какие значения может принимать подкоренное выражение?
Как называют действие нахождения арифметического квадратного
корня из числа?
9. Чему равно значение выражения (4а) для любого неотрицатель­
ного числа а?.
10. Сколько корней имеет уравнение х 2 = а при а >07 Чему они равны?
11. Имеет ли корни уравнение х 2 = а при а = 0; при а Л:
М:
■4 >

15) л/0,0004;
l2> #

16) VO,000025.

380. Найдите значение арифметического квадратного корня:

1) Узб;

4) -Д 04;

7) л/2500;

10) J 5 I ;
V 9

2) Уб4;

5) Уо/49;

8) 710 000;

11) л/0,0009;

3) У Ш ;

6) У Ш ;

9)' V121

12) л/0,0196.

381. Имеет ли смысл выражение:

1) У%

2) -л/2;

3) ^=2;

4) л / Ж

5) (У=2)2?

382. Найдите число, арифметический квадратный корень из которого
равен:

1)4;

2)0;

3)0,8;

4 )2 ^ ;

5)1,6;

6 )-9 .

383. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, приведённой на
форзаце, найдите:

1) л/484;

4) л/5929;

7) л/68,89;

2) л/729;

5) л/5/76;

8) л/67600;

3) л/1156;

6) л/14,44;

9) л/384400.

1) л/841;

3) л/эГбТ;

5) л/72,25;

2) л/1296;

4) л/Ю,24;

6) л/672400.

384. Найдите:

385. Пользуясь микрокалькулятором, найдите значение квадратного корня
(результат округлите до сотых):

1) л/2;

2) л/7;

3) л/34;

4)

лД/8;

5) л/2/439.

386. Пользуясь микрокалькулятором, найдите значение квадратного корня
(результат округлите до сотых):

1) УЗ;

2) л/5Д;

3) л/40;

4)

387. Найдите значение выражения:

/

л/12,56.

г-\2

1)

4) -(л/10)2;

2) ( Д 2 ) 2;

5) (2л/з)2;

8) (|У Й );

6)

9) (-0,3 У!)2.

3) ( - л /IT )2;

388. Вычислите:

1) Ш 2;

3) (зУг)2

2) (-л/21)2 ;

4) М У б)2;

5>

(-#)/

6) ( 1 л ^ б ) 2.
100

389. Найдите значение выражения:
1) л/16 + 9;

5) 574 - л/25;

9) (7Ш )2 - 3 - (Т 8 ) 2;

2) 71б + 79;

6) 7 Ш + Тодн;

Ю) 1 -(7 1 8 )2 - ( 1 Т 2 4 ) 2;

3) л/36 - л/49;

7) 4-л/ООЭ - 2;

U)

4) л/36 • л/49;

8) - 2 ^ 0 Д 6 + 0.7;

12) 74 - 52 - 6 2.

390. Вычислите значение выражения:
1) л/з + л/36;

3) 7 16-7225;

2) л/72 - Тб4;

4) ^л/900 + 0,271600;

5) (2Тб)2 - 3 (7 2 1 )2;

6) 7Ю2 - 4-32.
3
391. Найдите значение выражения:
1) 712 + а, если а = 0,25;
3) 72а - Ь, если а - 34, b = 19.
2) 77 - 36, если b = 2;
392. Найдите значение выражения:
2) 7/и - 3п, если /а = 0,13, п - -0,04.
1) 727 + т , если 7?z = 54;
393. Решите уравнение:
1) 7 х = 9 ;
2) -Jx = 1;
3) 7* -0 ,2 = 0;
4) 7* + 7 = 0.
394. Решите уравнение:
3) 7 * - | = 0.
1 ) 7 * =20;
2 ) 7 * = -1 6 ;
395. Решите уравнение:
3) л2 = 3;
4) яг2 = -25.
1) л2 = 25;
2) х 2 = 0,49;
396. Решите уравнение:
3) л2 = 7;
4) л2 = 3,6.
1) л2 = 100;
2) ж2 = 0,81;
on \
397. Найдите значение выражения:
1) -0 ,0 6 -л/ЮООО+ ^ = - 2 , 5 7 ^ 4 ;
2) Тб4-Тб/25 + 7 2 3 +17;
3) ^ 1

+ 3 ^ - 0 ,6 7 5 0 ¾

4) (1775 )% 7262 - 242;
5) (3 7 § )2 + (8 л /з)2 - 2 (л/24)2;
6) 7144 : л/0Д)4 - 72/56 • 72500.
101

398. Найдите значение выражения:
1) 0,15л/3600 - 0 , 18л/55о+ (107^08)"

2)

95
л/збТ

3)

-8 .

27_ -л/82 + 1 5 2;
169
4

+

• л/й йц] : (ОДл/Тз)'
3

399. При каких значениях х имеет смысл выражение:
1
1) 4х\
5) л/х - 8;
9)
л/(*~8)2 ’
1
10)
6) л/8- x ;
2) 4е * ;

!3)

л/х - 3

1

3) Тх2/

7) л/х2 + 8;

И)

4) л/^х2;

8) л/(х - 8)2;

12) л/х • л/-х;

15) 7 -lx i;

л/х + 3

16) — }
\!\х\

400. При каких значениях у имеет смысл выражение:
1) V2у;

3)

5) 7 = ^ ;

7)

2) 7-3^;

4) 7 = ^ ;

6)7 Г

8)

401. Решите уравнение:

у1Х • V-д:

14) л/Ы;

18

1
Ту - 1’
7у + 1

1) л/бх - 4 = 0;

3) л/бх - 4 = 6;

5) - т —

2) %/эх - 4 = 0;

4) - ¾ = 6;

6) л/х2 - 36 = 8.

л/х + 3

= 9;

у/Х

402. Решите уравнение:
1) 1 ^ - 2 = 0-,

3)

2) л/2х + 3 =11;

4) л /1 3 0 - х 2 = 9.

г = 6;
л/х - 5

403. Решите уравнение:
1) (х + б)2 = 0;
2) ( х + 6 ) 2 = 9;

404. Решите уравнение:
1) (2х - З)2 = 25;

3) ( х + 6 ) 2 = 3;

4) (7 х+ 6)2 = 5.
2) (х - З)2 = 7;

3) ( 2 х - 3)2 = 7.

2 ) 72 + л/з + Vx = 3;

3) ^ 4 - 7 ю + л/х = 2 .

405. Решите уравнение:
1) 7 з + л/2 + х = 4 ;

102

406. Решите уравнение:

1) >/l7 + s f jx - 6 = 5;

2) sjl + n/ sTf sfx = 1.

407. При каких значениях а и b имеет смысл выражение:
1) -Jab;
3) 'Jab-;
5) sj-a2b}

2) \J-ab;

4) •>Ja-b2;

408 . Можно ли утверждать, что при любом значении х имеет смысл выра­

жение:
1) six2 - 4 х + 4;

2) Vx2 - 4х + 5?

409. Докажите, что не существует такого значения х, при котором имеет

смысл выражение sl-x 2 + 6 х -1 2 .
410 . Какое из данных выражений имеет смысл при любом значении х\

1) six2 + 8х +15;

2) slx~ -1 0 х + 27?

411 . Решите уравнение:

1) sfx = -х ;

4) six2 + 2х + V *2 - 4 = 0 ;

2) six + s i x - 1 = 0;

5) ( х - 1)л/х + 1 = 0;

3) six2 - х + six - 1 = 0;

6) (х + l)Vx - 1 = 0.

412 . Решите уравнение:

1) n/ x + лДх = 0;

3) Vx2 - 2х +1 + Vx2 - 1 = 0;

2) sfx + sl^x = 1;

4) (х - 2)Vx - 3 = 0.

413 . При каком значении а уравнение х 2 = а + 1:

1) имеет два корня;
2) имеет один корень;
3) не имеет корней?
414 . Постройте график функции:
1) У = V1* * ;
2) у = \/-х 2 - 4 х - 4 + 2;
3) у = { s l x f .
___________
Постройте
график
функции
у
=
si
2х - 1 - х 2 - 1.
415 .
____
416 .

Для каждого значения а решите уравнение:
1) dslx —1 = 0;

3) a s l x - 1 = а;

2) s j ( a - l ) x = 0;

4) V x - 2 = а.

417 . При каких значениях а уравнение {sfx - l ) ( x - а ) = 0 имеет только

один корень?
103

Упражнения для повторения

Дома на улице пронумерованы подряд числами от 1 до 24. Сколько
раз цифра 1 встречается в нумерации домов?
419 . Упростите выражение:
418 .

420 .

Рабочий получил 4700 р. аванса купюрами по 100 р. и по 500 р. Сколь­
ко было купюр каждого достоинства, если всего была 31 купюра?

нестандартные шаги
421 .

Найдите все трёхзначные натуральные числа п такие, что сумма
цифр числа и в 11 раз меньше самого числа п.

Растут ли в огороде радикалы?

В Древней Греции действие извлечения корня отождествляли с поис­
ком стороны квадрата по его площади, а сам квадратный корень называли
стороной.
В Древней Индии слово «мула» означало «начало», «основание», «ко­
рень дерева». Это же слово стали употреблять и по отношению к стороне
квадрата, исходя, возможно, из такой ассоциации: из стороны квадрата, как
из корня, вырастает сам квадрат. Видимо, поэтому в латинском языке по­
нятия «сторона» и «корень» выражаются одним и тем же словом —radix.
От этого слова произошёл термин « р а д и к а л » . -------------------------Слово radix можно также перевести как «ре­
дис», то есть корнеплод —часть растения — видоиз­
менённый корень, который может являться съедоб­
ным.
В ХШ—XV вв. европейские математики, сокра­
щая слово radix, обозначали квадратный корень зна­
ками R, R, R2. Например, запись л/7 выглядела так:
R 27.
В XVI в. стали использовать знак д/. Проис­
хождение этого символа, по-видимому, связано с ру­
кописным начертанием латинской буквы г.
Рене Декарт
104

В XVII в. выдающийся французский математик Рене Декарт (1596—
1650), соединив знак л/ с горизонтальной чёрточкой, получил символ V”,
который мы и используем сегодня.

S 13. Множество и его элементы
Мы часто говорим, косяк рыб, стая птиц, рой пчёл, коллекция марок,
собрание картин, набор ручек, букет цветов, компания друзей, парк авто­
мобилей, отара овец.
Если в этих парах перемешать первые слова, то может получиться
смешно. Например: букет овец, косяк картин, коллекция друзей и т. д. В то
же время такие словосочетания, как коллекция рыб, коллекция картин,
коллекция ручек, коллекция автомобилей и т. д., вполне приемлемы. Дело
в том, что слово «коллекция» достаточно универсальное. Однако в матема­
тике есть всеобъемлющее слово, которым можно заменить любое из пер­
вых слов в данных парах. Это слово множество.
Приведём ещё несколько примеров множеств:
• множество учеников вашего класса;
• множество планет Солнечной системы;
• множество двузначных чисел;
• множество пар чисел (х; у), являющихся решениями уравнения
ос1Л-у- = 1.
Отдельным важнейшим множествам присвоены общепринятые на­
звания и обозначения:
• множество точек плоскости —геометрическая фигура;
• множество точек, обладающих заданным свойством, —геометри­
ческое место точек (ГМТ);
• множество значений аргумента функции / —область определения
функции/, которую обозначают D (/);
• множество значений функции / — область значений функции /
которую обозначают Е (/);
• множество натуральных чисел, которое обозначают буквой N.
Как правило, множества обозначают прописными латинскими буква­
ми: А, В, С, D и т. д.
Объекты, составляющие данное множество, называют элементами
этого множества. Обычно элементы обозначают строчными латинскими
буквами: a, b, с, d и т. д.
Если элемент а является элементом множества Л. то пишут: о о А (чи­
тают: «а принадлежит множеству Д»). Если элемент b не является элементом
множества А, то пишут: Ъ ¢. А (читают: «6 не принадлежит множеству А»).
Например, 12 е N, -3 £ N, ~ (/);
2) 0 *£> (/):
3 )0 *E( f );
4) - | * £ ( /)•

422.
423.
424.
425.
426.

428. Истинным или ложным является высказывание:

1) I s { 1 ,2 ,3 );
2) 1 г {1};

3) {1) е {1, 2);
4) {1} s {{1}};
107

5 ) 0 62 - 2 6 + 1 ‘ 3 6 - 3 6 - 2 '
435 . Моторная лодка проплыла 36 км по течению реки за 3 ч и 36,8 км
против течения за 4 ч. Какова скорость течения реки?
436 . В коробке лежат 42 карандаша, из них 14 карандашей — красные,
16 карандашей — синие, а остальные — зелёные. Какова вероятность
того, что наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим?
I Учимся делать
нестандартные шаги
437 . Петя и Коля ежедневно записывают по одному числу. В первый день

каждый из мальчиков записал число 1. В каждый последующий день
108

Петя записывает число 1, а Коля —число, равное сумме чисел, запи­
санных мальчиками за предыдущие дни. Может ли в какой-то день
Коля записать число, оканчивающееся на 101?

§ 14. Подмножество. Операции над множествами
Рассмотрим мноясество цифр десятичной системы счисления: А = {О,
1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9}. Выделим из множества А его элементы, являющиеся
чётными цифрами. Получим множество В = {0, 2, 4, 6, 8], все элементы ко­
торого являются элементами множества А.
@ Определение

Множество В называют подмножеством множества А,
если каждый элемент множества В является элементом
множества А.
Это записывают так: В а А или Л э В (читают: «множество В —под­
множество множества А » или «множество А содержит мноясество В»),
Рассмотрим примеры:
• множество учеников вашего класса является подмножеством мно­
жества учеников вашей школы;
• множество млекопитающих является подмножеством множества
позвоночных;
• множество точек луча СВ является
Рис. 19
подмножеством множества точек прямой А В
(рис. 19);
А
С
В
• множество прямоугольников является
подмножеством множества параллелограммов;
• {а} с [а, Ь].
Для иллюстрации соотношений меясду
множествами пользуются схемами, которые на­
зывают диаграммами Эйлера.
На рисунке 20 изображены множество А
(больший круг) и множество В (меньший круг,
содерясащийся в большем). Эта схема означает,
что В с: А (или Л э В).
Если В с Л, то с помощью рисунка 20
можно сделать такие выводы:
1) для того чтобы элемент х принадлежал
множеству А, достаточно, чтобы он принадле­
жал множеству В;
109

2) для того чтобы элемент х принадлежал множеству В , необходимо,
чтобы он принадлежал множеству А.
Например, если А —множество натуральных чисел, кратных 5, а В —
множество натуральных чисел, кратных 10, то очевидно, что В с А. Поэто­
му, для того чтобы натуральное число п было кратным 5 (п е А), достаточ­
но, чтобы оно было кратным 10 (п е В). Для того чтобы натуральное число
п было кратным 10 (п е В), необходимо, чтобы оно было кратным 5 ( n s А).
Из определений подмножества и равенства множеств следует, что
если А с В и В с А, то А = В.
Если в множестве В нет элемента, не принадлежащего множеству Л,
то множество В является подмножеством множества А. В силу этих сообра­
жений пустое множество считают подмножеством любого множества. Дей­
ствительно, пустое множество не содержит ни одного элемента, следова­
тельно, в нём нет элемента, который не принадлежит данному множеству Л.
Поэтому для любого множества Л справедливо утверждение: 0 с Л.
Любое множество Л является подмножеством самого себя, то есть
А с А.
Пример 1. Выпишите все подмножества множества Л = [а, Ь, с].
Решение. Имеем: [а], [Ь], {с}, [а, b }, {6, с}, [а, с), {а, Ь, с}, 0 . Все­
го получили восемь подмножеств. В старших классах будет доказано, что
количество подмножеств я-элементного множества равно 2". ■*
Пусть Л —множество решений уравнения х + у = 5, а В —множест­
во решений уравнения х - у = 3. Тогда множество С решений системы
уравнений
\ х + у = 5,
\х -у =Ъ
состоит из всех элементов, принадлежащих и множеству Л, и множеству В.
В этом случае говорят, что множество С является пересечением множеств
A w В.
0 Определение

\ ________________
Пересечением множеств А и В называют множество, со­
стоящее из всех элементов, принадлежащих и множест­
ву А, и множеству В.

Пересечение множеств Л и В обозначают так: А П В.
Легко убедиться, что решением рассмотренной системы уравнений
является пара (4; 1). Тогда можно записать: Л П В = {(4; 1)}.
110

Если множества А и В не имеют общих элементов, то их пересече­
нием является пустое множество, то есть Л П В = 0 . Также заметим, что
для любого множества А выполняется равенство А П 0 = 0 .
Из определения пересечения двух множеств следует, что если А а В,
т о Л П В = Л , в частности, если В = А, то А Г\ А = А.
Пересечение множеств удобно иллюстрировать с помощью диа­
грамм Эйлера. На рисунке 21 заштрихованная фигура изображает множе­
ство А Г) В.

0 Определение

\ -----------------------------------Областью определения уравнения f ( x ) = g (jc) называют
множество значений переменной лг, при которых имеют
смысл обе части уравнения.

Из определения следует, что областью определения уравнения
/ (х) = g (х ) является множество D (f) f]D (g). Например, областью опре­
деления уравнения

является пересечение множества неотрица­

тельных чисел и множества всех чисел, не равных нулю, то есть множество
положительных чисел.
Для того чтобы решить уравнение (д2 - х) (л2 - 1) = 0, надо решить
каждое из уравнений лг - х = 0 и л 2- 1 = 0.
Имеем: А = {0, 1} —множество корней первого уравнения, В = {-1, 1} —
множество корней второго уравнения. Понятно, что множество С = {-1, 0, 1},
каждый элемент которого принадлежит или множеству А, или множест­
ву В, является множеством корней исходного уравнения. Множество С на­
зывают объединением множеств А и В.

0 Определение

'-----------------------------------Объединением множеств А и В называют множество, со­
стоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы од­
ному из этих множеств: или множеству А, или множе­
ству В.
111

Объединение множеств Л и В обозначают так: A U В.
Если требуется найти объединение множеств решений уравнений, то
говорят, что требуется решить совокупность уравнений.
Совокупность записывают с помощью квадратной скобки. Так, что­
бы решить уравнение (х2 - х)(дг2 - 1) = 0, нужно решить совокупность
уравнений
х 2 - х = О,
х 2 - 1 = 0.
Все её решения образуют множество {-1, 0, 1}.
Заметим, что для любого множества А выполняется равенство
А 110 = А.
Из определения объединения двух множеств следует, что если Л с В,
то A U В = В, в частности, если В = А, то A U А = А.
Объединение множеств удобно иллюстрировать с помощью диа­
грамм Эйлера. На рисунке 22 заштрихованная фигура изображает множе­
ство л и в .

Часто приходится рассматривать пересечение и объединение трёх
и более множеств.
Пересечение множеств Л, В и С —это множество всех элементов, ко­
торые принадлежат и множеству Л, и множеству В, и множеству С (рис. 23).

112

Объединение множеств А, В и С - это множество всех элементов,
принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству А, или
множеству В, или множеству С (рис. 24).
Например, объединение множеств остроугольных, тупоугольных и
прямоугольных треугольников это множество всех треугольников.
Пример 2. Найдите пересечение множеств А и В, если:

1) А — множество ромбов, В —множество прямоугольников;
2) А - множество чётных чисел, В —множество простых чисел.
Решение. 1) Множество А П В состоит из всех четырёхугольников,
которые одновременно являются и ромбами, и прямоугольниками. Следо­
вательно, искомое множество —это множество квадратов.
2) Поскольку множество простых чисел содержит только одно чёт­
ное число (число 2), то А П В = {2}. ■*
Пример 3. Найдите объединение множеств А и В, если:

1) А — множество нечётных натуральных чисел, В —множество чёт­
ных натуральных чисел;
2) А — множество целых выражений, В — множество дробных выра­
жений.
Ответ. 1) A U В —это множество натуральных чисел, то есть A U В = N.
2) A U В —это множество рациональных выражений. <
1.
2.
3.
4.
5.

Какое множество называют подмножеством данного множества?
Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами?
Какое множество является подмножеством любого множества?
Что называют пересечением двух множеств?
Что называют объединением двух множеств?

I Упражнения
438. Назовите несколько подмножеств учащихся вашего класса.
439. Назовите какие-нибудь геометрические фигуры, которые являются

подмножествами: 1) множества точек прямой; 2) множества точек
круга.
440. Пусть А —множество букв слова «координата». Множества букв каких
слов являются подмножествами множества А:
1) нора;
5) нитки;
9)ордината;
2) трактор;
6) корка;
Ю) дорога;
3) картина;
7) дар;
11) корона;
4) крокодил;
8) подарок;
12)кардинал?
113

441

.

.
443 .
444 .
445 .
446 .
447 .
448 .
442

оо V

.
.

Пусть А —множество цифр числа 1958. Является ли множество цифр
числа х подмножеством множества А, если:
1) дг = 98;
3) х = 519;
5 )д := 195 888;
2) х = 9510;
4) х = 5858;
6) х = 91 258?
Пусть А Ф 0 . Какие два разных подмножества всегда имеет множест­
во А?
Найдите пересечение множеств цифр, используемых в записи чисел:
1) 555 288 и 82 223;
2) 470 713 и 400 007.
Пусть А —множество двузначных чисел, В — множество простых чи­
сел. Принадлежит ли множеству А Г) В число: 5, 7, 11, 31, 57, 96?
Найдите множество общих делителей чисел 30 и 45.
Найдите объединение множеств цифр, используемых в записи чисел:
1) 27 288 и 56 383;
2) 55 555 и 777 777.
Запишите все подмножества множества (1, 2}.
Истинным или ложным является высказывание:
1) {а} е {а, Ь};
3) а с [а, Ъ};
2) (а) с {а, 5);
4) {а, Ъ} е {а, 6}?

449 Докажите, что если А с В и В с С, то А с С.
450 Разместите данные множества в такой последовательности, чтобы

каждое следующее множество было подмножеством предыдущего:
1) А —множество прямоугольников, В —мнолсество четырёхугольни­
ков, С —множество квадратов, D —множество параллелограммов;
2) А —множество млекопитающих, В —множество псовых, С —мно­
жество позвоночных, D —множество волков, Е —множество хищных
млекопитающих.
451 Изобразите с помощью диаграмм Эйлера соотношение между множе­
ствами:
1) А —мнолсество неотрицательных чисел; В = {0}; N — множество
натуральных чисел;
2) N — множество натуральных чисел; А — множество натуральных
чисел, кратных 6; В —множество натуральных чисел, кратных 3.
452 Истинным или ложным является высказывание:
1) (а, М П Ы =а3) {а, Ь] П (а ) = {а};
2) {а, Ь} П {а } = {а, Ь};
4) {а, b } П {а } = {6}?
453 Найдите пересечение множеств А и В, если:
1) Л — множество равнобедренных треугольников, В — множество
равносторонних треугольников;
2) А —множество прямоугольных треугольников, В —множество рав­
носторонних треугольников;
3) Л —мнолсество двузначных чисел, В —множество натуральных чи­
сел, кратных 19;
4) Л —мнолсество однозначных чисел, В —множество простых чисел.

.

.

.

114

454 . Какие фигуры могут быть пересечением двух лучей, лежащих на од-

ной прямой?
455 . Какие из следующих утверждений верны:

1) {a, b } U {Ъ} = {а, Ъ};
3) [a, b } U {а } = (а);
2) [а, Ь} и Ш = {й};
4) {a , b) U {6} = {{6 }}?
456 . Найдите объединение множеств А и В, если:
1) А — множество равнобедренных треугольников, В — множество
равносторонних треугольников;
2) А —множество простых чисел, В —множество составных чисел;
3) А —множество простых чисел, В —множество нечётных чисел.
457 . Какие фигуры могут быть объединением двух лучей, лежащих на од­
ной прямой?

------

458 . Опишите на языке «необходимо и достаточно» принадлежность эле­

мента х множествам: \) А и В (рис. 25, а)\ 2) А, В и С (рис. 25, б, в).

459 . Вместо точек поставьте слово «необходимо» или «достаточно», чтобы

образовалось верное утверждение:
1) для того чтобы треугольник был равносторонним....... чтобы два
его угла были равны;
2) для того чтобы четырёхугольник был параллелограммом, ... , что­
бы две его стороны были параллельны;
3) для того чтобы число делилось нацело на 3, ... , чтобы оно дели­
лось нацело на 9;
4) для того чтобы последняя цифра десятичной записи числа была
нулём, ... , чтобы число было кратным 5.
С В Упражнения для повторения

460 . Упростите выражение:
1) 3^

6 * . 0,4 ^

6 -*;

\ -----

2)SS?'
115

461. В саду растёт более 80, но менее 100 деревьев. Каждое третье дерево —
яблоня, а каждое восьмое - груша. Сколько деревьев растёт в саду?
а
,,
2д —3b
462. Известно, что ^ = 3. Найдите значение выражения — - — .

Готовимся к изучению
новой темы

463. Сравните:
1) 2,4578 и 2,4569;
2) -1,9806 и -1,981.
464. Прочитайте периодическую дробь и назовите её период:
1) 0,(5);
2) 1,(32);
3) 8,4(65);
4) 3,424242... .
465. Преобразуйте в десятичную дробь:
5)

42
15'

466. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую
десятичную дробь и определите её период:

V

11

2) 15

оч

3)

9
11 ’

4)
'

33

Г~ *1 Учимся делать
нестандартные шаги

467. Попарно различные числа а, Ь, с удовлетворяют условию а- (Ь + с) =
= 62(с + а). Докажите, что а2(Ь + с) = с2(а + Ь).
5 1 5 . Ч и сл о вы е м н о ж е с т в а
Натуральные числа — это первые числа, которыми начали пользо­
ваться люди. С ними вы познакомились в детстве, когда учились считать
предметы. Все натуральные числа образуют множество натуральных чи­
сел, которое, как вы знаете, обозначают буквой N.
Практические потребности людей привели к возникновению дроб­
ных чисел. Позже появилась необходимость рассматривать величины, для
характеристики которых положительных чисел оказалось недостаточно.
Так возникли отрицательные числа.
Все натуральные числа, противоположные им числа и число нуль об­
разуют множество целых чисел, которое обозначают буквой Z.
Например, -2 е Z, 0 е Z, 5 s Z.
Множество натуральных чисел является подмножеством множества
целых чисел, то есть N a Z.
11в

Целые и дробные (как положительные, так и отрицательные) числа
образуют множество рациональных чисел, которое обозначают буквой Q.
Например, | е Q, -0,2 е Q, 0 е Q, -3 € Q, 15 s Q.
Понятно, что Z с Q. Схема на рисунке 26
показывает, как соотносятся множества N, Z и Q.
Каждое рациональное число можно предста­
вить в виде отношения —, где т
целое число,
п
а п — натуральное. Например, 5 = 1; -3 = — ;
1
53
5,3 = •
0,2
10

С возможностью такого представления связа­
но название «рациональное число»: одним из значений латинского слова
ratio является «отношение».
В 6 классе вы узнали, что каждое рациональное число можно предста­
вить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периоди­
ческой десятичной дроби. Для дроби — такое представление можно полу­
чить, выполнив деление числа т на число п уголком.
Например, ^ = 0,625; ~ = 0,454545....
О

11

5
5
Число —
записано в виде конечной десятичной дроби, а число 1—

О
1
в виде бесконечной периодической десятичной дроби. В записи 0,454545...
цифры 4 и 5 периодически повторяются. Повторяющуюся группу цифр на­
зывают периодом дроби и записывают в круглых скобках. В данном случае
5
5
период дроби равен 45, а дробь — записывают так: — = 0,(45).
Заметим, что любую конечную десятичную дробь и любое целое чис­
ло можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дро­
би. Например,
0,625 = 0,6250000... = 0,625(0);
2 = 2 ,000... = 2 ,( 0 ).
Следовательно, каж дое р ац и он ал ьн ое число мож но п редст а­
вить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Справедливо и такое утверждение: каж дая бесконечная п ерио­
ди ческая десят и чная дроб ь являет ся зап исью некот орого р а ­
ционального числа.
В 9 классе вы научитесь записывать бесконечную периодическую
десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.
117

Сумма и произведение двух натуральных чисел являются натуральны­
ми числами. Однако разность натуральных чисел не всегда обладает таким
свойством. Например, (5 - 7) е N.
Сумма, разность, произведение двух целых чисел являются целыми
числами. Однако частное целых чисел не всегда обладает таким свойством.
5

Например, - г Z.
Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на нуль)
двух рациональных чисел являются рациональными числами.
Итак, действие вычитания натуральных чисел может вывести результат
за пределы множества N , действие деления целых чисел —за пределы множе­
ства Z , однако выполнение любого из четырёх арифметических действий
с рациональными числами не выводит результат за пределы множества Q.
Вы познакомились с новым действием —извлечение квадратного кор­
ня. Возникает естественный вопрос: всегда ли квадратный корень из неот­
рицательного рационального числа является рациональным числом? Ины­
ми словами: может ли действие извлечения квадратного корня из рацио­
нального числа вывести результат за пределы множества Q?
Рассмотрим уравнение х 2 = 2. По­
скольку 2 > 0, то это уравнение имеет два
корня: л/2 и -л/2 (рис. 27). Однако не
сущ ест вует ра ц и о н а льн о го числа,
квадрат которого р а вен 2 (доказа­
тельство этого факта вы можете найти
в разделе «Когда сделаны уроки» в рас­
сказе «Открытие иррациональности»),
то есть числа л/2 и —J2 не являются ра­
циональными. Эти числа являются при­
мерами иррациональных чисел (при­
ставка «ир» означает отрицание).
Следовательно, действие извлечения корня из рационального числа
может вывести результат за пределы множества Q.
Никакое иррациональное число не может быть представлено в виде
дроби —, где т

е

Z, п

е

N , а следовательно, и в виде бесконечной пе­

риодической десятичной дроби.
Иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконеч­
ных непериодических десятичных дробей.
Например, с помощью специальной компьютерной программы мож­
но установить, что
118

л/2 = 1,4142135623730950488016887242097... .
Числа л/2 и -л/2 —это не первые иррациональные числа, с которы­
ми вы встречаетесь. Число 71, равное отношению длины окружности к диа­
метру, также является иррациональным:
л = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937...
Иррациональные числа возникают не только в результате извлече­
ния квадратных корней. Их можно конструировать, строя бесконечные
непериодические десятичные дроби.
Например, число 0,10100100010000100000... (после запятой записыва­
ются последовательно степени числа 10) является иррациональным. Если
предположить, что у рассматриваемой десятичной дроби есть период, со­
стоящий из п цифр, то с некоторого места этот период будет полностью со­
стоять из нулей, то есть начиная с этого места в записи не должна встре­
титься ни одна единица, что противоречит конструкции числа.
Объединение множеств иррациональных и рациональных чисел на­
зывают множеством действительных чисел. Его обозначают буквой R
(первой буквой латинского слова realis —«реальный», «существующий в дей­
ствительности» ).
Теперь цепочку N с Z с Q можно продолжить: JV с Z с Q с R.
В старших классах вы узнаете, что эту цепочку также можно продлить.
Связь между числовыми множествами, рассмотренными в этом пара­
графе, иллюстрирует схема на рисунке 28.

Длину любого отрезка можно выразить действительным числом.
Этот факт позволяет установить связь между множеством R и множеством
119

точек координатной прямой. Точке О, началу отсчёта, поставим в соответ­
ствие число 0. Каждой точке А координатной прямой, отличной от точ­
ки О, поставим в соответствие единственное число, равное длине отрез­
ка ОА, если точка А расположена справа от точки О, и число, противопо­
ложное длине отрезка ОА, если точка А расположена слева от точки О.
Также понятно, что каждое действительное число является соответствую­
щим единственной точке координатной прямой.
Над действительными числами можно выполнять четыре арифмети­
ческих действия: сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деле­
ния на ноль), в результате будем получать действительное число. Действия
сложения и умножения обладают известными вам свойствами.
П е р е м е сти те л ьн о е св о й ств о сл ож ен ия

а
о*
и
о
а

а + Ъ= b + а

П ерем естительное сво й ство умнож ения

(а + Ь) + с = а + (Ь + с)

С оче тательн ое св о й ств о сл ож ен ия

{ab)c = а(Ьс)

С очетательное св о й ств о ум нож ения

a(b + с) = ab + ас

Распределительное свой ство ум нож ения
относительно слож ения

Действительные числа можно сравнивать, используя правила сравне­
ния десятичных дробей, то есть сравнивая цифры в соответствующих раз­
рядах. Например, 7,853126... < 7,853211... .
Любое положительное действительное число больше нуля и любого
отрицательного действительного числа. Любое отрицательное действи­
тельное число меньше нуля. Из двух отрицательных действительных чисел
больше то, у которого модуль меньше.
Если отметить на координатной прямой два действительных числа,
то меньшее из них будет расположено слева от большего.
Находя длину окружности и площадь круга, вы пользовались прибли­
жённым значением числа тс (например, тс = 3,14). Аналогично при реше­
нии практических задач, где нужно выполнить действия с действительны­
ми числами, при необходимости эти числа заменяют их приближёнными
значениями. Например, для числа -J2 можно воспользоваться такими приближёнными равенствами:
« 1,414 или >/2 * 1,415. Первое из них на­
зывают приближённым значением числа V2 по недостатку с точностью до
0,001, второе — приближённым значением числа V2 по избытку с точно­
стью до 0,001. Более подробно о приближённых значениях будет рассказа­
но в 9 классе.
120

В заключение подчеркнём, что из любого неотрицательного действи­
тельного числа можно извлечь квадратный корень и в результате этого дей­
ствия получить действительное число, то есть действие извлечения квад­
ратного корня из неотрицательного действительного числа не выводит ре­
зультат за пределы множества R.
Какие числа образуют множество целых чисел?
2 . Какой буквой обозначают множество целых чисел?
3 . Какие числа образуют множество рациональных чисел?
4 . Какой буквой обозначают множество рациональных чисел?
5 . В виде какого отношения можно представить каждое рациональное
число?
6 . Как связаны между собой рациональные числа и бесконечные пе­
риодические десятичные дроби?
7 . Как называют числа, не являющиеся рациональными?
8 . Объединение каких множеств образует множество действительных
чисел?
9 . Какой буквой обозначают множество действительных чисел?
10 . Как взаимосвязаны числовые множества N, Z, Q и R~>

\ -----

I Упражнения

468 . Какое из данных утверждений неверно:
3) -3 — целое число;
1) - 3 —действительное число;
4) -3 — натуральное число?
2) -3 — рациональное число;
469 . Верно ли утверждение:
7) V7 г Я ,
1) 1 е N ;
4) 1 s К ;
2) 1 6 Z,

5) -2 .3 е N-

8) V U I е Я

3) 1 е Q;

6) -2 ,3 е R;

9) f 6 Л?

470 . Верно ли утверждение:
1) 0 6 N;

4)

7) V9 е Z\

2) 0 е Z,

5) - f г Я

8 ) 79 6 R>

3) 0 е R6) S s Q;
471 . Истинным или ложным является высказывание.
1) любое натуральное число является целым,
2) любое натуральное число является рациональным,
3) любое натуральное число является действительным;
121

4) любое рациональное число является целым;
5) любое действительное число является рациональным;
6) любое рациональное число является действительным;
7) любое иррациональное число является действительным;
8) любое действительное число является рациональным или ирра­
циональным?
472 . Какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональ­
ных чисел, а какие — иррациональных;
1) 0,(3);
2) 0,4(32);
3) 0,20200200020... (количество нулей между соседними двойками по­
следовательно увеличивается на 1)?
473 . Сравните:
1) 6,542... и 6,452... ;
2) -24,064... и -24,165... .
474 . Сравните:
1) 0,234... и 0,225... ;
2) -1,333... и -1,345... .
. 475 . С помощью микрокалькулятора найдите приближённое значение чис­
ла Vs с точностью до 0,01: 1) по недостатку; 2) по избытку.
Q 476 . С помощью микрокалькулятора найдите приближённое значение чис­
ла ч/б с точностью до 0,01: 1) по недостатку; 2) по избытку.

оо \
477 . Укажите какое-нибудь значение а, при котором уравнение х 2 = а:
1) имеет два рациональных корня;
2) имеет два иррациональных корня;
3) не имеет корней.
478 . Сравните числа:
1)

У

и 6,12;

2) 3,(24) и 3,24;
479 . Сравните числа:
1) \ и 0,2;

3) я и 3,(14);

5) 7,(18) и 7,(17).

4) -2,(36) и -2,36;
2) | и 0,77;

3) -1,(645) и -1,(643).

480 . Запишите в порядке убывания числа: 3,(16); к; -1,82... ; -0,08... ;
2,(136).
481 . Запишите в порядке возрастания числа: 1,57; 1,571...; - ; 1,(56);
1,(572).
2
~ Т \ -------482 . Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рацио-

нальных чисел являются рациональными числами.
483 . Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел явля­
ется числом иррациональным.
122

484 . Истинным или ложным является высказывание:

1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом ирра­
циональным;
2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом
иррациональным;
3) произведение любого иррационального числа и любого рацио­
нального числа является числом иррациональным?

Г

Упражнения для повторения

В каждом подъезде на каждом этаже девятиэтажного дома по восемь
квартир. В каком подъезде и на каком этаже находится квартира № 186?
Натуральные числа а и b таковы, что а — чётное число, а Ъ — нечёт­
ное. Значение какого из данных выражений не может быть натураль­
ным числом:
86

4) а



487 . Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение

выражения
2а - 4
• {а - 2)2 а +2
4 -4a-v а1
не зависит от значения а.
488 . В ведре несколько литров воды. Если отлить половину воды, то в нём
останется на 14 л воды меньше, чем помещается. Если долить 4 л, то
2

объём воды составит - того, что помещается в ведре. Сколько лит3
ров воды помещается в ведре?
Готовимся к изучению
новой темы

489 . Найдите значение выражения:

1) |-3 ,5 | - 12,61;

2) 1-9,61 - )-321-

490 . Модуль какого числа равен 6?
491 . Для каких чисел выполняется равенство:

1) \а\ = а\

2 )|а|= -а;

3) \а\ = \-а\;

4 )|а|= -|а|?

492 . Для каких чисел одновременно выполняются оба равенства | а. | —а

и |я | = -а?
493 . Найдите значение каждого из выражений а~,

и при а = 7. Сделайте вывод.
123

\а\ при а ——8

494.

Известно, что а > 0, с < 0. Сравните с нулём значение выражения:
1) аъс \
2) ас>.

Г~~1 Учимся делать
нестандартные шаги
495.

В роте 100 солдат. Каждую ночь на дежурство выходят три солдата.
Можно ли так организовать дежурство, чтобы через некоторое время
каждый солдат побывал на дежурстве с каждым из остальных солдат
ровно один раз?
Когда сделаны уроки
Открытие иррациональности

В § 15, решая графически уравне­
ние х 1 = 2, мы установили, что длина
каждого из отрезков ОА и ОВ равна л/2
(рис. 29). Покажем, что число л/2 —ирра­
циональное.
Предположим, что число V2 ра­
циональное. Тогда его можно предста­
вить в виде несократимой дроби —, где
m a n — натуральные числа. Имеем:

Тогда (V2)2 = ( f j ; 2 =

; от2 = 2п \

Из последнего равенства следует, что число т 2 чётное. А это значит,
что чётным является и число т. Тогда т = 2k, где k — некоторое натураль­
ное число. Имеем: (2k)2 = 2п2\ Ak2 = 2п2\ п2 = 2k2. Отсюда следует, что число
п2, а следовательно, и число п —чётные.
Таким образом, числитель и знаменатель дроби — — чётные числа.
п
Следовательно, эта дробь является сократимой. Получили противоречие.
Этот пример показывает, что существуют отрезки (в нашем случае
это отрезки ОА и ОВ на рис. 29), длины которых не выражаются рацио­
нальными числами, то есть для изм ерения отрезков р а циональны х чи­
сел недостаточно.
Этот факт был открыт в школе великого древнегреческого учёного
Пифагора.
124

Сначала пифагорейцы считали, что для любых
отрезков А В и CD всегда можно найти такой отре­
зок M N, который в каждом из них укладывается це­
лое число раз. Отсюда следовало, что отношение
длин любых двух отрезков выражается отношением
целых чисел, то есть рациональным числом.
Например, на рисунке 30 имеем: А В = 5MN,
CD = 2M N и — =

Отрезок MTV называют общей

мерой отрезков А В и CD.
Если для отрезков существует общая мера, то
их называют соизмеримыми. Например, отрезки
А В и CD (см. рис. 30) являются соизмеримыми.
Итак, древнегреческие учёные считали, что любые два отрезка яв­
ляются соизмеримыми. А из этого следовало, что длину любого отрезка
можно выразить рациональным числом.
Действительно, пусть некоторый отрезок А В выбран в качестве еди­
ничного. Тогда для отрезка А В и любого другого отрезка CD существует
отрезок длиной е, являющийся их общей мерой. Получаем А В = пе,
CD = те, где т и п — некоторые натуральные числа. Отсюда

АВ

_гпе__т
пе

п

Поскольку А В = 1, то CD = —.
Однако сами же пифагорейцы сделали выдающееся открытие. Они
доказали, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, то есть доказа­
ли, что если сторону квадрата взять за единицу, то длину диагонали квадра­
та выразить рациональным числом нельзя.
Для доказательства рассмотрим произвольный квадрат A B C D и при­
мем его сторону за единицу длины. Тогда его площадь равна А В ’ = 1. На
диагонали А С построим квадрат ACEF (рис. 31). Понятно, что площадь

125

квадрата ACEF в 2 раза больше площади квадрата A BCD . Отсюда А С ’ = 2,
то есть Л С = %/2. Следовательно, длина диагонали АС не может быть выра­
жена рациональным числом.
Это открытие изменило один из фундаментальных постулатов древ­
негреческих учёных, заключавшийся в том, что отношение любых двух ве­
личин выражается отношением целых чисел.
Существует легенда о том, что пифагорейцы держали открытие ир­
рациональных чисел в строжайшей тайне, а человека, разгласившего этот
факт, покарали боги: он погиб при кораблекрушении.
Упражнения

1.
2.

\ ----

Докажите, что число л/3 —иррациональное.
Докажите, что если натуральное число п не является квадратом нату­
рального числа, то число
—иррациональное.
S 16. Свойства арифметического
квадратного корня
Легко проверить, что Тб2^= 5, 7 1,42 = 1,4, 7о^ = 0. Может показать­

ся, что при любом значении а выполняется равенство
= а. Однако это
не так. Например, равенство 7(-5)2 = -5 является ошибочным, поскольку
-5 < 0. На самом деле ^/(-5)2 = 5. Также можно убедиться, что, например,
s lp 7 f = 7, ,/(-2,8)2 = 2,8.
Вообще, справедлива следующая теорема.
@ Теорема 16.1
Для любого действительного числа а выполняется ра­
венство
л/о2 = \а\.
Доказательство

Для того чтобы доказать равенство у[а = Ь, надо показать, что b ^ 0
и Ь2 = а.
Имеем: \а\ > 0 при любом а.
Также из определения модуля следует, что |я]2 = а2, м
Следующая теорема обобщает доказанный факт.
126

0 Теорема 16.2

\----------------------------------

(арифметический квадратный корень из степени)

Для любого действительного числа а и любого натурального числа и выполняется равенство
\а "

I.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоре­
мы 16.1. Проведите это доказательство самостоятельно.
0 Теорема 16.3

\ -----------------------------—

(арифметический квадратный корень из произведения)

Для любых действительных чисел а и Ь таких, что а > О
и Ь > 0, выполняется равенство
лJab = 4а ■4b.
Доказательство

Имеем: 4а > 0 и 4b > 0. Тогда 4а ■
4b > 0. Кроме того, ( 4a-4b)~ =
= (4а) ■(4 b ) = ab. Следовательно, выражение 4а ■4b принимает только
неотрицательные значения, и его квадрат равен ab. м
Эту теорему можно обобщить для произведения трёх и более множи­
телей. Например, если а > 0, b > 0 и с > 0, то

4abc = 4(ab)c = 4аЬ -4с =4а ■
4b ■
4с.
0 Теорема 16.4

'ч----------------------------------

(арифметический квадратный корень из дроби)

Для любых действительных чисел а и Ъ таких, что а > 0
и b > 0, выполняется равенство

1а _ 4а
4ь'
Доказательство этой теоремы аналогично
доказательству теоремы 16.3. Проведите это дока­
зательство самостоятельно.
Понятно, что из двух квадратов с площадя­
ми 5, и S2 (рис. 32) большую сторону имеет тот,
у которого площадь больше, то есть если .Vj > ..S’,,,
то
Это очевидное соображение иллюстрирует такое свойство арифметического квад127

ратного корня: дл я л ю б ы х н еот ри ц ат ельн ы х чи сел а { и а 2 таких,
что а , > а г, вы полняет ся н еравен ст во
> ^а2.
Пример 1. Н айдите значение выраж ения:

1) Т Р Т З ? :

2) V U 1;

3) V0.81-225;

Решение. 1) V(~7,3)2 = (-7,3( = 7,3.

2)

= 1,22 = 1,44.

3) VO,81 • 225 = V P T • V225 = 0,9 • 15 = 13,5.
fi 6 _ Vie _ 4
^ \ 49 ~ V49 7 ’
VS.
Vl50
Решение. 1) Заменив произведение корней корнем из произведения,
получаем:
Пример 2. Найдите значение выражения: 1) Vl8 • V2; 2)

Vl8 • V2 = V18-2 = V36 = 6.
2) Заменив частное корней корнем из дроби, получаем:
У24 _ /~24~ _ / Т _ 2
Vl50
V150 V25
5'

Пример 3. Упростите выражение:
1) Vа14;
3) л1т2п2, если от S* 0, п < 0;
2) V9a6, если а < 0;

4) Va36.

Решение. 1) По теореме об арифметическом квадратном корне из
степени имеем:
V ^ = H = j « 7, если а > 0,
[ - а 7, если а < 0.
2) Имеем: V9a6 = 3 • |а 3|. Поскольку по условию а < 0, то аъ < 0. Тогда

V9o« = 3 • | «я31 = -З а3.
3) Имеем: \1т2п2 = |от| • | п \. Поскольку по условию от > 0, то \т\ = от.
Поскольку п /16,9-0,4 = >/169-0,04 = 13 • 0,2 = 2,6. •«
Рис. 33

Пример 5. П о стр о й те граф ик функции
у =^
+X
Решение. Поскольку >/*7 = \х \, то у =
=

|х | + х .
Если х > 0, то у = х + х = 2г.
Если х < 0, то у = —х + х = 0.
\2х, если х > 0,
Следовательно, г/ = 1
[О, если х < 0.
График функции изображён на рисунке 33. ■*

^

1. Какому выражению тождественно равно выражение № ?
2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из
степени.
3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из
произведения.
4. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из
дроби.
5. Известно, что неотрицательные числа а } и а , таковы, что а 1 > аг
Сравните значения выражений ^/а/ и ,/а/.

496. Чему равно значение выражения:
1) л / м 2;

4) з>Д/22;

7) 5,/(-10)4 *;

2) >/(-1,8)2;

5) Тб7;

8)

3) 2>/(-15)2;

6) >/(-2)10;

9) -1 /? . если а = 4,6; -18,6;
2) >/б^, если b = -3 ; 1,2;
129

-

4 , / ( = 1^

:

3) 0,lVc®, если с = -2; 5.

498. Вычислите значение выражения:
1) Д •25;

7) ч/б2 -З4;

13) J 3 — ;
V 36

2) Vl6 -2500;

8) Д 2 • 28;

14) , / 3 - 2 - м ' 16
25’

3) ч/0,64 •36;

9) V 25-64-0,36:

15)

169
3 6 -8 1 ’

16)

121-256
2 5 • 100 ’

4) >/400 ■
1,44;

10) л/0,01 -0,81 •2500;

5) ,/0,09 •0,04;

П ); V юо

6) ч/б,25 •0,16;

12)

' J—;
V 256

499. Чему равно значение выражения:
1) ч/36-81;

5) -у/0,36 ■1,21;

2) ч/900 • 49;

6) Д 2 -Зб;

3) 4/I 6 • 0,25;

7) Д 4 -З2;

4) ч/9 -1,69;

8) ч/26 -52;

9) ч/2,25 ■0,04 ■1600;
1°) ^ 1 3 |;
Г7— 7“

и>Н£:
и >

500. Найдите значение выражения:
4) Д , 009 - Д 000;
1) ч/12 - Д ;
2) ч/32 • Д ;

5) Д 0 0 - Д 1 8 ;

П?

7) Д 4 - ^ | ;

81ЛДД

3) ч/18 • ДО ;
6) Д з • Д • ч/26;
501. Найдите значение выражения:
1) Д 7 • Д ;
3) Д о Д И д ;

9) Д 3 - з • Д 5 - з 3,

2) ч /Ш -Д ;
4) Д 5 - Д о ;
502. Найдите значение выражения:

6) Д - 23 • Д 3 -23.

1)

2)

3) p L ;
V3

V48

Д

■ Д г.
4)
Д а ’

5)

ч/б - - Д

V50

6)
130

5) Л - Д 8:

Д



ч/27 .

4/I47 *

Д -ч/ i i ‘

503. Найдите значение выражения:

2)


3) 7 м ;

л/ГбО

S



4)

Тэ8

.

7242

'

■Л- у/2
7з '

5)

504. При каких значениях о. выполняется равенство;

2) у!а1 = -а?

1) yJa2

505. При каких значениях a w b выполняется равенство;

1) y/ab = у/а ■у[Ь-

2) Тяб = Т^а • уЦ>-

3) 7 ^ = 77 • 7^6?

506. Найдите значение выражения, представив предварительно подкорен-

ное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:
1) 718 - 32;
4) 775 • 48;
7) 72,7-1,2;
5) 7288 • 50;
2) 78 • 98;
8) 780 • 45;
3) 73,6-14,4;

6) 74,5-72;

9) 733 ■297.

507. Найдите значение выражения:

1) 718 - 200;

3) 714,4-0,9;

2) 73,6-0,4;
4) 7 l3 - 52;
508. Найдите значение выражения:

5) 712,5-32;
6) 7108-27.

1) 7 4 12 - 4 0 2;

3) 78,52 - 7 ,5 2;

5)

2 ) 71452 1442;

4) 721.82 -18,22;

6)

1552 - 1342
84
1392 - 862
98, 52

-

.

~

45, 52 '

509. Найдите значение выражения:

1) 7б,82 -3 ,2 2;

2) 798,52 -9 7 ,5 2;

3)

98
V 2282 - 1 6 4 2 '

510. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака

корня:
1) Тб2;
2) -0 ,4 7 с 2;
3) Та®;
4) 7га®.
511. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака
корня:
1) и Т х 2;
2) у[у*;
3) Тй™.
512. Упростите выражение:

1) Тга^, если т > 0;
2) 7 ^ . если и < 0;

5)
6) 70,25б14, если b < 0;

3) .Дбр2, если р ^ 0;

7) 7 8 1*4г/2, если г/ > 0;

4) 7 №

8) 70,01а6бш, если а < 0, Ъ > 0;

, если k < 0;

131

Г11 3,3а4

9) -1,2хУб4х18, если дг < 0;
1ПЧ Уа12А22с36
10)

а 47А "

П) T ~

ь , п

А24

f c ^

’ ecJM a < 0 ;

12) -0,5m5Vl.96m6n8, если га < 0.

' еСЛИЙ 0;

2) Уо,81й?6, если б/ > 0;

6) У25т,4и38, если цг < 0, я < 0;

3) -5У4Х2", если л; < 0;

7) а62Уа4й18с22, если b > 0, с < 0;

4) -ОДУюОг10, если z > 0;

оч

8ш3р 4 1б25Р°р40

144m6

, если яг < 0, k > 0.

T V
514. Какие из данных равенств выполняются при всех действительных

значениях а\
1) Уо2^= а;
2) Уа4" = а2;
3) У Т = а 3;
515. При каких значениях а выполняется равенство:
1) УгТ = а5;

4) л/а8 = а4?

3) Уа2 = (л /а)’ ;

2) Уа*“" = - а 5;
4) л/а2^= (л /Т )2?
516. Постройте график функции:
1) г/ = sfx2 - х , если х < 0;
3) г/ = л/х • Ух;
2) у = 2х + Ух2";

4 )^

517. Постройте график функции:
1) у = Ух2” - 2х, если х > 0;

#

+3-

2) у = У Т • у т .

T V
518. При каком значении х выполняется равенство:

1)Ух2 = х - 4 ;
519. Решите уравнение:

1) Ух2 = х + 8;
Ш9 Упражнения
о

2) У х * = 6 - х ;

2) Ух2” = 6х - 10.

для повторения

520. Найдите значение выражения

а2 - 5 а + 25
. 125 - а3
а2 - 10а + 25 а2 - 25 ) ' 5 + а
при а = 4,5.

\

132

3)2%/х2" = х + 3?

521. Тракторист должен был засеять поле за 8 дней. Однако из-за плохой

погоды он засеивал ежедневно на 3 га меньше нормы и поэтому вы­
полнил работу за 10 дней. Какова площадь поля?
522 . Число а —чётное, а число b —нечётное. Значением какого из данных
выражений обязательно является чётное число:
1) (a + Ь)Ь\

2) у ;

3)

4) “|1 ?

I Учимся делать
нестандартные шаги
523 . На доске записаны 102 последовательных натуральных числа. Можно

ли разбить их на две группы так, чтобы сумма чисел в каждой группе
была простым числом (в каждой группе должно быть не менее двух
чисел)?

S 17. Тождественные преобразования выражений.
содержащих арифметические квадратные корни
Пользуясь теоремой об арифметическом квадратном корне из произ­
ведения, преобразуем выражение х/48. Имеем:
х/48 = х/16-3 = х/16 ■х/3 = 4V3.
Выражение х/48 мы представили в виде произведения рационально­
го числа 4 и иррационального числа х/3. Такое преобразование называют
в ы н е се н и ем м н о ж и т е л я и з-п о д з н а к а корня. В данном случае был
вынесен из-под корня множитель 4.
Рассмотрим выполненное преобразование в обратном порядке:
4х/3 = х/1б ■х/3 = х/16 ■3 = х/48.
Такое преобразование называют в н е с е н и е м м н о ж и т е л я под
зн а к ко р н я. В данном случае был внесён под корень множитель 4.
Пример 1. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) х/150; 2) х/72а8;

3) ,/6“ ; 4) х /^ 5 ; 5) J t f P , если а < 0.
Решение. 1) Представим число, стоящее под знаком корня, в виде
произведения двух чисел, одно из которых является квадратом рациональ­
ного числа:
х/150 = х/25-6 = 5х/б.
2) х/72а8 = х/36а8 ■2 = 6а4х/2.
133

3) Поскольку значение подкоренного выражения должно быть неот­
рицательным, то из условия следует, что Ь > 0. Тогда
^
= % /б ^6=|6171%/б=6177б.
4) Из условия следует, что Ь < 0. Тогда

= ^/634 -н о = I6I7I

= -617%^.

5) Из условия следует, что а 2 > 0. Поскольку значение подкоренного
выражения должно быть неотрицательным, то получаем, что Ь > 0. Тогда
%/а263 = %/а2626 = |а| ■|6| %/б = -abyfb. ■*
Пример 2. Внесите множитель под знак корня: 1) -2%/7; 2) aV?;

3) 3

4

)

с ^.

Решение. 1) -2%/7 = -%/4 • %/7 = -%/28.

2) Если а > 0, то

а%/7 = %/а2 • %/7 = %/7а2; если а < 0, то

а%/7 =

__

= -V//2 • л/7 = -л/7а^.
3) Из условия следует, что b < 0. Тогда 36

= -%/9б2 • Л- —=

9б2 •
4) Из условия следует, что с > 0. Тогда с%/с^ = %/с2^• %/с7" = %/с®". <
Пример 3.

2)

У п рости те

вы раж ени е:

1)

%/54а + %/24а - %/б00а;

(з + 2%/з)(2 -%/з); 3) (7 - 3%Д)2 - (%/Го + %/5)(%/То - %/б).
Решение. 1) Имеем: %/54а + %/24а - %/б00а =%/9 • 6а + %/4 • 6а - %/100 • 6а =

= 3%/ба + 2%/ба - 10%/ба = %/ба(3 + 2 - 10) = %/ба • (-5) = -5%/ба.
2) (з + 2%/з)(2 —%/з) = 6 —3%/3 + 4%/з —2 (%/3)2 = 6 + %/3-6 = %/3.
3) Применив формулы сокращённого умножения (квадрат двучлена
и произведение суммы и разности двух выражений), получаем:
(7-3%/2)2 - (%Яо + %/5)(%Я0- ^ 5 ) = 72 - 2 - 7 -3%/2+(з%/2)2 -

-((% Яо)2 - Ш

2) = 49 - 42%/2 + 1 8 - (10 - 5) = 62 - 42%/2. -«

Пример 4. Разложите на множители выражение: 1) а 2 - 2; 2) b - 4,
если 6 > 0; В) 9с - 6л/бс + 5; 4) а +
5) л/3 + 6; 6) V35 - >/l5.
Решение. 1) Представив данное выражение в виде разности квадра­
тов, получаем:
а2 - 2 = а2 -(%/2)2 = (а-% /1 )(а + %/1).
134

b

{4b)~ - 4 = (Уб - 2)(У б + 2).

2) Поскольку по условию > 0, то 6 - 4 =
3) Применим формулу квадрата разности:
9с - бУбУ + 5 =

Ш

- 2 • зУс ■Тб + (V5)2 = (зУс - Уб)2

+4а =4а{4а+ \).

4) Имеем: а + Уа = ( У а )

5) Уз + 6 = Уз + 2 ■( л/3)2 = Уз (l + 2V3 ).
6) У 3 5 - У Т ! ^ У 5 - У 7 - У 5 - У з = У 5 (У 7 -У з ).< ,
а-Ь
Пример 5. Сократите дробь: 1) 6-1_. 2) 2 - з Д ,
„ n h ■->n
4b + 1
Vi
а - 2yjab + b
если а > U, о > и.
Решение. 1) Разложив числитель данной дроби на множители, полу-

чаем: 6-1

Ш

4Ъ + \

- 1 (У б-1)(7б + 1)

4b +1

\[b + 1

- -4 ь - 1.

-Зл/2 ^ (Уг)2 -Зл/2 _ л /2 (У 2 -з)

2)

Vi

Vi

yg



Vi

3) Поскольку по условию а > 0 и b > 0, то числитель и знаменатель дан­
ной дроби можно разложить на множители и полученную дробь сократить:

а-b _ {4а - 4ь){4а +4b) _ 4а +4b
a-2\[ab +b
{4а - 4bf
4а - 4b

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби означает
преобразовать дробь так, чтобы её знаменатель не содержал квадратного
корня.
Пример 6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

2)

14

5V2- Г

Решение. 1) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на Уз,
получаем:
15 =

2V3

1бУз

_ 15а/ з

гУз-Уз

_ 15л/з _ 5Уз

2 (Уз)2 2 3

2

2) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на выражение
5 V2 + 1 , получаем:
14
5 V i-i

=

1 4 ( 5 ^ + 1)

= 14(5л ^ + 1) =

(5 V i - l H s V i + i )

(5 V i)2 - х

_ 1 4 (5 y i + l) _ 1 4 (5 y i + l)
5 0 -1
49

2 ( 5^

7
135

+ 1 ) _ io V i +_2
7

Пример 7. Докажите тождество
Г

_ ^ +

\yfa + y[b
Решение.

=

\[a-yfb

b -aj ^

я

л/ft

л/а + л/й

у[а + 4 b )
2л/а/П Г

'Jab' +ft

b-aj

л/а + л/й

yfa-yfb

\[a(y[a - 4b) + л/й(л/а + л/ft) + 2л/ой Г
[4a + л/й)(л/а - л/й)
а - л/aft + л/ай + ft + 2л/aft ( C

л/ft (л/g + Vft)^
л/а + л/ft

ЯД _ (a + 2л/ай + й)(л/с - л/й)

a-b

=

a-ft

(л/а + л/й)(л/а-л/й)

= л/S + л/ft. x

Пример 8. Упростите выражение л/12 + 6л/3.
Решение. Представив подкоренное выражение в виде квадрата сум­
мы, получаем:
л Д 1 + б 7 з = \/э + 2 - З л /з+ (л /з)*123 = у/(з + л/з)2 = 3 + л/3. -*

I Упражнения

\ ___

524. Вынесите множитель из-под знака корня:
1) V8;

4) л/54;

7) 7275;

10) л/048;

2) л/12;

5) л/490;

8) л /Щ

11) л/450;

3) л/32;

6) V500;

9) ,Д 7 2 ;

12) ,/36300.

525. Упростите выражение:
1) f 745;

3) ^ л/200;

2) |л/128;

4) -0,05л/4400.

526. Вынесите множитель из-под знака корня:
1) 727;

4) л/125;

7) -2 ^ 0 0 8 ;

10) у л/98;

2) 724;

5) |л/96;

8) | л/63;

11) Юл/ОДЗ;

3) л/20;

6) 0,47250;

9) 0,8л/1250;

12) 0.7V1000.

136

527. Внесите множитель под знак корня:

1) 772;

4) -107l4;

7) -j-732;

10) -0,37И)6;

2) ЗТТЗ;

5) 578;

8) - | 7 М ;

П) 4

3) -2717;

6) 6Та;

9) ^ 7

12)

4

О

9V28

1) 2Тб;

3) -1173;

5) -7ТЗс;

/2(л/50 + л/Ю;

4) 2л/2 ГзлЯв -

2) (V3 - V l2) • >/3;

л/2 + л/32 j .

537. Упростите выражение:
1) л/7(л /7-л/1в);

3) (4 л /3 -л /7 5 + 4 )-З л /3 ;

2) (л/18 +л/72)'л/2;

4) (л/б00 + л/б - л/24) • л/б.

538. Выполните умножение:
1) (2 —л/з)(л/3 + l ) ;

6) (г/ —л/7) (г/ + л/7);

2) (л/2 + л/б)(2л/2 - л/б);

7) (4 л /2 -2 л /з)(2 л /3 + 4 л /2 );

3) (а + л/й) (а - л /й ) ;

8) (/и + л/й) ;

4) (л/Й —-Ус)(л/й + л/с);

9) (Va -л /й ) ;

5) (4 + л / з ) ( 4 - л /з ) ;

10) (2 - З л /З ) ’.

539. Выполните умножение:
1) (л/7 + з ) ( З л /7 - l ) ;

5) (л/б-дт)(л/б +дг);

2) (4л/2-л/з)(2л/2 + б 7 з );

6) (л Я 9 + л /Г 7 )(л /1 9 -л /Г 7 );

3) (л /р - ? )( л /р + ? ) ;

7) (л/б + л/2 f ;

4) (б - л/Тз)(б + л/Гз);

8) (3 - 2л/Гб)2.

540. Чему равно значение выражения:
1) (2 + л/7)2 - 4л/7;

2) (л/6 - л/3 f + 6л/2?

541. Найдите значение выражения:
1) (3 + л/бf - 6л/б;

2) (л/12 - 2л/2f + 8л/б.

542. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
18

з) Гъ'

2) ^

4) - f ;

2) лЯТ:

3)

2)

13 .
4)
л/26

..

й

’ bJb’

7) ^

6) J L ;
8) -Ц *.
л/15
5л/3
yjn
543. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

оо V

5

л/10 ’

5)
дч

л/15
2
Зл/й

544. Разложите на множители выражение:
1) а2 - 3;
2) 4б2 - 2;
138

3) 5 - 6 с 2;
4) а

-

5) те

- п,

6)

16х-

7) а

-

8) 4 те
9)

10) 3 + 2 а/3с + с;

9, е с л и а > 0;
е с л и те

>

25 у, е с л и

24 а

+

П ) 2+ а/2;

0, я

х

>

0;

12) 6л/7- 7;

у >

> 0,

0;

13) а - л/а;

1;

- 284тп

14) а/ й + а/ з Й;
+ 49я , есл и

т

> 0,

п

> 0;

15) л/15 - л/5.

6 + б4Ь + 9;

545. Р а з л о ж и т е н а м н о ж и т е л и в ы р а ж е н и е :
1) 15 - х 2\
6) те + 2 а/ ш я + я , есл и те > 0, я > 0;
2) 4 9 Х 2 - 2;

7) а - 4лУа + 4;
8) 5 + а/5;

> 0, (7 > 0;

9) а/3 р - р ;

4) с - 100, е с л и с > 0;

546.

5) а - 8b4a + 1 6 й2;
С о к р а ти т е дробь:
1)

2)
3)

4)
547.

10) а/12 + а/32.

а2 - 7

5 а/ о - 7 а/й

а + а/7

25а -4 9 й

а/ з

- й.

100а2 - 9 6
10а-f В-\/б

3 -¾ 2 ’

а/2

с- 9
- 3

а/ 6 - -л/3*

а-Ь
4а + а/й

а/35

5-

+ аЛ о



а/1з

а + 2 а/ ой

П)

+ VT ’

а/То

13 - У Г з .

10 )

-1

а/ с

а/1 5 -% /б .

9)

+ b_

4а + а/й
4й2 - 4Йа/с + с

12)

26 - а/с

С о кр а ти те дробь:
1)

2)
3)

а/Го

* -2 5

+ а/5 .

а/ лг

- 5

л/5

а/ о

+2

г- 4

2 3 - а/23 .
А^З

о -З

а/24

- а/28

а/54

- а/63

a/о

+ V3

7) -

8)

548. В ы н е с и т е м н о ж и т е л ь и з-по д з н а к а к о р н я :
1)

а/3 а 2,

е с л и а > 0;

2) Т б й 2/ е с л и

Ъ<

0;

а/ о

- а/ й

а - 2 а/ ой + й



3)

аЯ

га1;

4)

а/ с ^.

139

й - 8 а/й + 16
а/ й

- 4

549. Вынесите множитель из-под знака корня:
1) У18х12;

2) sjy*.

550. Упростите выражение:
1) V98 - V50 + V32;

4)

s fb a - 2 s j2 0 a

+ ЗУ80а;

2) ЗТ8 + VI28 - i Vl62;
О

5) Уа3й - —Уа5й, если а > 0;

3) 0,7У300- 7 ^ + | У Щ

6) Ус®" + 4сл/с^ - 5с2Ус.

а

551. Упростите выражение:
3) У в Д Д - 5 a 3J a + - j a P .
а

1) 0,бУТ2 -ЗУ27 + 0.4V75;
2) 2,5>/28б + |^л/бЗб - 10лУО076;
3

552. Докажите, что:
2) ^Ju + 8 S = У8 + Уб.

1) >/ll + 4V7 = у /7 + 2 ;
553. Упростите выражение:
1) ( 2 Т З - l ) ( T 2 7 + 2 ) ;

4) (7 + 4 У з ) ( 2 - У з ) 2;

2) (V5 - 2)2 - ( з

5) (V6 + 2V5 - 7 б - 2 У б )

+ л/б)2;

3) V n/17 - 4 - л/ТГ7 + 4;

554. Найдите значение выражения:

1) (Зл/2+ l ) (л /8-2);

3) ( 1 0 - 4 У б ) ( 2 + У б )’’;

2) (з - 2л/7 )2 + (з + 2л/7 )2;

4) ( V 9 - 4 ^ + V9 + 4 V 2 ) ’ ,

555. Сократите дробь:
4а + 4Уб.

0, b > 0;
а - 46


6)

556. Сократите дробь:
1)

а- й
У П й -У П а ’

оч 2а + юУ2ай + 25й

„ ,

2) ------ ---------------- ’ если а > 0, й > 0;
3)

а - 2Уа + 4
аУа + 8
140

л:2 - 6г/
х 2 + 6г/ - х^24у
■Ja + Уй
/а3" + Уй3"
пУт - 27
Ут - 3

557. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) - т г Ц
n/2

2)

+

3) - г ^ 15 г - ;
ТТТ-ТТТ ’

Г

4

4)

Т7 +Тз’

5)

19

1
Т Т -Т й ’
Ti + 1

6)
^
V3-1

^ 2Тб-Г

558. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
Тб .
а\
8
9
2 -Т 2
2)
1)
4)
3) ТТ +Л/Т’
Тб- 2’
ТГо - Т2’
2 + Т2
559. Докажите равенство:
1) --- ^

5 - 2ч/б
2

+ --- -—— = 10:
5 + 2л/б

3)

T | ± l _ ^ l I = W 2.

V2 - 1

V2 + 1

- = -8;
зТ2 + 4 3Т 2 - 4
560. Докажите, что значением выражения является рациональное число
6 . 6
~ , Тп
~ - Т5
Тп +Тб
1 3 + 2л/з ^ 3 - 2 Т з ’
; Тп - Тб Тп +Тб'

2)

561. Упростите выражение:
1)
2)
3)
4)

Та - 2

4Та - 4
Т а -2

6)

а + ТТ
Тй
2л/а + 2

ТТ + 1
ТТ - 2

Таг + 3 .
ТТ

7)

Т с - 5 . с -2 5 .
Зс
ТТ

а

ТГ + 4
■Jxy +У

V *-4
* +Т^'

Та

Та + 4

Тб
Той - 6 Тб - Та
562. Упростите выражение:
5)

Та - 3 _ Та - 4 .
Та +1
Та

4)

2)

Та +1
а - Той

5)

3)

Тй + 1 ,
Тай - 6

ТТ

. ТТ

у - гТТ

зТТ

-

Тй

Тй

1 Та

Та - ТйJ Тй

ТТ . ГТТ +ТТ
тт
ТТ - ТТ
тт - т л i тт
х +тт
ТТ +1 _ 4л/Т1_____
ТТ- 1
ТТ-1’
й-64

6

’а- Г

ТТ-3 + 12л/Т"). ТТ +3
ТТ +з ^- 9J - ^- зТТ •

10)

1)

Та +1

Та + Тй

9)

а -1 6 ’

. TL

8) ( Та

1_____ Та + 8
а - зТа

6) •v/T + 3 а + 8л/а
141

5 6 3 . Вынесите множитель из-под знака корня:_____

564.

1) у/-т9;

5) yj45x*yH, если у < 0;

2) yla4b'\ если а Ф 0;

6) л/б4aW \ если а > 0;

3) sj4x6y, если х < 0;

7) yj242mu b'\ если Ь < 0;

4) T m V , если те < 0, и < 0;
8) у]-т2п2р 15, если те > 0, и < 0.
Вынесите множитель из-под знака корня:
1)

4)

2) л/а23624, если 6 * 0 ;

5) ^27х 15г/34, если у < 0;

3) у/49а2Ь, если а < 0;

6) ^-50m 6w6p7, если те > 0, п > 0.

5 6 5 . Внесите множитель под знак корня:

566.

1) сь/З;

4) т4п, если гтг ^ 0;

2) byf-b;

5) ху2у[ху, если х < 0;

3)

6) 2 p j f ;

8) a b 2^ ~ , если а > 0.

Внесите множитель под знак корня:
1) Ил/7, если те > 0;

4) х 4г/^х5г/, если г/ < 0;

2) Зпл/б, если гг < 0;
3) Рл/р3;

6) b a b J - ^ - r , если а < 0, 6 > 0.
V 5о

5 6 7 . Докажите тождество:
Г 8\/а________ \ъ4а
\у [а

+

7

. 8 ^ 4 1

а + 14л/а + 49

gyja + 27 Г л/q - 3
yfa - yfb t a - Зл/а + 9

a - 49

+ 7 ^ - 4 9 = ^ _ 7;
Va + 7

Яч/я + 27 J

=vs.

5 6 8 . Упростите выражение:

1} f vS -VS
\ a + 31, то

6 > VST.

-Узб > ч/зТ,

то есть

2) Имеем: Зч/7 = ч/бЗ, 63 < 65, %/бЗ < %/б5. Следовательно, Зл/7 < %/б5. 4
Пример 3. При каких значениях х выполняется неравенство -Jx < 3?
Решение. Запишем данное неравенство так: %[х < л/9. Поскольку боль­
шее значение функции у = \[х соответствует большему значению аргумен­

та, то можно сделать вывод, что х < 9. Учитывая, что выражение у[х име­
ет смысл только при х ^ 0, получаем, что данное неравенство выполняется
при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < х < 9. ■*
Пример 4. Упростите выражение ^/(л/б - 2)2 + л/(%/5 - З)2.
146

Решение. Так как Тб > 2 и л/б < 3, то Тб - 2 > 0 и л/б - 3 < 0. Отсюда

получаем:

V (V 5 - 2 ) 2 + >/(75-3 f =|7б-2| + |л/5-з| = л/5-2 + 3 - 7 5 = 1.
Ответ: 1. ■«

?

1. Какова область определения функции г/ = 7 г?
2. Какова область значений функции г/ = л/х?
3. Чему равен нуль функции у = л/х?
4. В какой координатной четверти находится график функции у = -Jxl
5. Какая фигура является графиком функции у = л/х?
6. Неотрицательные числа а и Ъ таковы, что а > Ь. Сравните Та и
7. Известно, что л/ё < л/б. Сравните числа а и Ь.

-Jb .

I Упражнения
581. Функция задана формулой у = \[х. Заполните таблицу.
X

0,01

4

1600
9

У

11

1,5

582. Функция задана формулой у = л/х.
1) Чему равно значение функции, если значение аргумента равно:
0,16; 64; 1,44; 3600?
2) При каком значении аргумента значение функции равно: 0,2; 5;
120; -4?
583. Не выполняя построения, определите, через какие из данных точек
проходит график функции у = л[х:
А (36; 6), В (4; -2), С (0,81; 0,9), D (-1; 1), Е (42,25; 6,5).
584. Через какую из данных точек проходит график функции у = %/х:
1) А (16; 4);
2) В (49; -7);
3) С (3,6; 0,6);
4) D (-36; 6)?
585. Сравните числа:
1) 786 и 778;
4)
и 1;
7) T i l и 2ТЙ);
2) л/ф4 и 7^6;

5) -7 и -748;

3) 5 и л/26;

6) ЗТ2

и

2л/3;

147

8) 0,6^Щ и 7 U ;
9) л/75

и

4л/3.

586. Сравните числа:
3) л/33 и 6;
2) 9 и V82;

4) Зл/б и V42:

5) л/30 и 2 л/7;
6) 7 ^

и |л/20.

о ~ ~ \ ----------

587. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения
графика функции у = л/х и прямой:
1) г/ = 1;
2) г/ = 0,8;
3)г/ = -6;
4) у = 500.
588. Запишите в порядке убывания числа: 8; \/б2; 7,9; л/б5; 8,2.
589. Запишите в порядке возрастания числа: л/38; 6,1; 6; л/35; 5,9.
590. Между какими двумя последовательными целыми числами находится
на координатной прямой число;
1) л/2;

4) л/7;

7)

2) л/3;

5) л/ГЗ;

8) -л/П5;

3) л/5;

6) л/098;

9) -л/76,19?

591. Между какими двумя последовательными целыми числами находится
на координатной прямой число:
1) л/б;

3) л/29;

5) -л/86;

2) л/19;

4) ТТбО;

6) - ,/3 0 5 ?

592. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой
между числами:
1) 3 и л/б8;

3) -л/зТ и -2,3;

2) л/7 и л/77;

4 ) -л/42 и 2,8.
593. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой
между числами:
1) л/3 и л/13;
2) л/То и л/90;
3) -л/145 и -V47.
594. При каких значениях х выполняется неравенство:
1) 4 х > 2;

2) л/х < 4;

3) 6 < л/х < 9?

595. При каких значениях х выполняется неравенство;
1) л/х < 8;

2) л/х > 7;

3) 10 < л/х < 20?

596. Решите графически уравнение:
1) л/х = х;

3) л/х = х + 2;

5) л/х = - ;

2 ),/1 = ^ :

4) л/х= 0,5х + 0,5;

6) л/х = 1,5 - 0,5х.

597. Решите графически уравнение:
1) л/х = —
х —1;
2) л/х = 2 - х;
148

3) л/х = - .

598. Упростите выражение:
1) V(l - V2 ) 2•

3) ^ (2 л /5 - з )2;

2) V(V6 - л/7)2;

4) aJ ( V 3 - 2 f + л/(з - л/з f .

599. Упростите выражение:
1) V(V5- 4 ) 2;

О

2) V (V8- З ) 2 - V (T 2 - З ) 2.

600. Решите уравнение л/х = - х 2.



,

, если * < о,

601. дана функция / (х) = •! х
[%/х, если х > 0.
1) Найдите:/ ( - 8 ) , / ( 0 ) , / ( 9 ) .
2) Постройте график данной функции.
602. Дана функция / (х) =

[ х 2, если х < 1,
л/х, если х > 1.

1) Найдите:/ ( - 2 ) , / ( 0 ) , / ( 1 ) , / ( 4 ) .
2) Постройте график данной функции.
603. Найдите область определения, область значений и нули функции
у = •J—X. Постройте график данной функции.
604. Постройте график функции г/:

л/х

605. Упростите выражение:
1) л/в - 2 л/7;

3) Vl2 - бл/3;

2) л/5-2л/б;
4) л/38 - 12л/2.
606. Упростите выражение:
1) л/9 - 4л/б;

2) л/7 - 2л/10;

3) л/37 - 20%/з.

607. Сколько корней имеет уравнение л/х = а - х в зависимости от значе­
ния а?
Упростите
выражение \/(л/а + 1)" - 4%/а + y j { y / a — 2/ + 8 %/а.
608.
609. Упростите выражение л/(л/а - б)" + 24л/а - д/(л/а + б) - 24л/а.
149

Упражнения для повторения
610. В одном контейнере было 90 кг яблок, а в другом —75 кг. После того

как из первого контейнера взяли в 3 раза больше яблок, чем из второ­
го, в первом осталось в 2 раза меньше яблок, чем во втором. Сколько
килограммов яблок взяли из первого контейнера?
611. От пристани против течения реки отплыла моторная лодка, собст­
венная скорость которой равна 12 км /ч . Через 40 мин после отправ­
ления лодки вышел из строя мотор, и лодку течением реки через 2 ч
принесло к пристани. Какова скорость течения реки?
612. Докажите тождество:
. a + 2b
.
а2 - 2ab
_ 2b.
.. ( a -2b _____________ 1
^я2 +2я6 я2 - 4б2 (2b - а)2 ) я2 + 4я6 + 4Ь2 а2 ’
а2 - 9
„ч 7 _2я______ 4я
' Vа + 3 a2 +6a + 9 j а + 1

а2 - 9а _ д
я+3

613. Расстояние между двумя городами легковая машина проезжает за 2 ч,

а грузовая — за 3 ч. Через какое время после начала движения они
встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу из этих
городов?
__ Готовимся к изучению

(

1

4 __

новой темы
614. Решите уравнение:
1) д /

=

0;

О
II

11 II 1

1

^— ■—

а

3) д:2 + 5л: = 0;
4) - З д 2 + 12 = 0;
5) 5 л2 - 6 л : = 0;

%

0;

Ip

=

1—11t o

2) д / - 1

6) 0,2 л:2 + 2 = 0;

8) д2 - 2яг + 1 = 0:
9) 9л2

+

30л: + 25

1 ■

I Учимся делать
нестандартные шаги

Натуральные числа от 1 до 37 записаны в строку так, что сумма любых
первых нескольких чисел делится нацело на следующее за ними чис­
ло. Какое число записано на третьем месте, если на первом месте за­
писано число 37, а на втором — 1?
150

Когда сделаны

уроки

Разность множеств
В § 14 вы изучили некоторые операции над множествами. Ознако­
мимся с ещё одной операцией.
Если из множества Z исключить множество IV, то получим множество
целых неположительных чисел. Оно состоит из всех элементов множе­
ства Z , которые не принадлежат множеству N. Говорят, что множество це­
лых неположительных чисел является разностью множеств Z и N.
0 Определение

Разностью множеств А и В называют множество, состоя­
щее из всех элементов, принадлежащих множеству А,
но не принадлежащих множеству В.
Разность множеств А и В обозначают так: А \В.
Заметим, что для любого множества А выполняется равенство
А \0 = А .
Из определения разности двух множеств следует, что если А с В. то
А \В = 0 , в частности, если В = А, то А \А = 0 .
Разность множеств удобно иллюстрировать с помощью диаграмм
Эйлера. На рисунке 39 заштрихованная фигура изображает множество А \В.
В случае, когда множество В является подмножеством множества А,
разность А \В называют дополнением множества В в множестве А. На ри­
сунке 39, б это множество изображено штриховкой. Например, дополнени­
ем множества нечётных чисел в множестве натуральных чисел является
множество чётных чисел.
Рис. 39

б

а
151

Кубический корень

Вы знаете, что квадрат числа —это частный случай более общего по­
нятия «п-я степень числа». Понятие квадратного корня также можно обоб­
щить, введя определение корня п-й степени. Это будет сделано в 10 классе.
Здесь же коротко ознакомимся с понятием кубический корень.

В

Определение
Кубическим корнем из числа а называют число, куб кото­
рого равен а.

Кубический корень из числа а обозначают %/я.
Например,
%/8 = 2, так как 2s = 8;
%/l25 = 5, так как 53 = 125;
%/0 = 0, так как О3 = 0;
%/^27 = -3, так как (-3)3 = -27.
Если объём куба равен х, то его ребро у можно найти по формуле
у = %/х. Изменение объёма х куба приводит и к изменению его ребра у.
Каждому значению переменной х со­
ответствует единственное значение пере­
менной у. Следовательно, зависимость пе­
ременной у от переменной х является
функциональной, а формула у = %/х зада­
ёт функцию, областью определения и об­
ластью значений которой является мно­
жество R.
График функции у = %/х изображён
на рисунке 40.

Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме
1. Какое из данных утверждений неверно?
А) -5 - целое число
В) -5 - иррациональное число
Б) —5 —рациональное число
Г) —5 —действительное число
2. Какое из чисел является иррациональным?
А) -Я
Б) yjoii
В) / о , 04
Г) ТЗОО
3. Графиком какой из функций является парабола?
А ) у = 2х

Б) у = х 2

В) у = -

х

V) у = —
*

2

4. На каком из рисунков изображён график функции у = Я }

А) Я

Б) - Я

В) 7=2

Г)

Jfz?

6. Вычислите значение выражения 7 7 х - 3 при х = 4.
А) 5
Б) -5
В) 25
Г) -25
7. Чему равно значение выражения 7^6 • 0,81?
А) 6,9
Б) 54
В) 5,4
Г) 0,54
8 . Найдите значение выражения Г-^ТЙ)

А) 2

Б) 4

В) 2,5
153

Г) 0,4

9. Упростите выражение nAv 1 —-J16a + >/64a.
A) \b 4 a

Б) 15а

В) 7Та

Г) 7а

10. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 12
А) л/2

Б) 4л/2

11. Сократите дробь
А)

\[а + \12

Г) 10,/2

О

2%/ia + 2

Б)

•ia - -Ji

В) 6л/2
л

а +2
а-2

В) 1

Г)

>/g - V 2
•Ja + y j i

12. Упростите выражение (2 + ч/б)(2 - л/б) + (V5 + l) ' - V20.
А) 15

Б) 5

В) Ю -,/5

Г) 1 0 + 5,/5

\

Итоги главы 2
Свойства функции у - х г
Область определения: R.
Область значений: множество неотрицательных чисел.
График: парабола.
Нуль функции: х = 0.
Свойство графика: ось ординат является осью симметрии
параболы.
Квадратный корень
Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат
которого равен а.
Арифметический квадратный корень
Арифметическим квадратным корнем из числа а называ­
ют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Равные множества
Два множества А и В называют равными, если они состо­
ят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент
множества А принадлежит множеству В и наоборот —
каждый элемент множества В принадлежит множеству А.
154

\

Подмножество
Множество В называют подмножеством множества А , ес­
ли каждый элемент множества В является элементом
множества А.
Пересечение множеств
Пересечением множеств А и В называют множество, со­
стоящее из всех элементов, принадлежащих и множе­
ству А , и множеству В.
Объединение множеств
Объединением множеств А и В называют множество, со­
стоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одно­
му из этих множеств: или множеству А , или множеству В.
Действительные числа
Множеством действительных чисел называют объедине­
ние множеств рациональных и иррациональных чисел.
Обозначения числовых множеств
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных чисел.
Связь между числовыми множествами
N с. Z с Q a R.
Свойства арифметического квадратного корня
Для любого действительного числа а выполняется равен­
ство 4а* = \а \.
Для любого действительного числа
Для любых действительных чисел
и b > 0, выполняется равенство

а и любого натуральноа и b таких, что а > О

4аЬ = 4а ■4b.
Для любых действительных чисел
и Ь > 0, выполняется равенство

Л

4ьш
155

а и Ъ таких, что а > О

~\

________________________

I

Для л ю б ы х н е о тр и ц а те л ьн ы х чи сел а , и а 2 таки х, что
а , > а2, вы полняется неравенство



Свойства функции у = 4 х
О бласть определения: м нож ество неотрицательны х чисел.
Область значений: м нож ество неотрицательны х чисел.
График: ветвь параболы.
Нуль функции: х = 0.
Б о льш ем у зн а че н и ю ар гум е н та со о тв е тств уе т больш ее
значение функции.

!

156

Глава 3. Квадратные уравнения
Изучив материал этой главы, вы научитесь решать уравне­
ния вида а х 1 + Ъх + с = 0.
Изучите теорему Виета для квадратного уравнения.
Овладеете приёмами решения уравнений, сводящихся к квад­
ратным.

§ 19. Квадратные уравнения.
Решение неполных квадратных у р а в н е н и й
Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида
ах —Ь, где х —переменная, а и b — некоторые числа.
Если а ^ 0, то уравнение а х = b называют уравнением первой сте­
пени.
ляется уравнением первой степени. А вот линейные уравнения 0.Г = 0,
0х= 2 уравнениями первой степени не являются.
Числа a v i b называют коэффициентами уравнения первой степени
ах= Ь.
То, что множество уравнений первой степени является подмноже­
ством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисун­
ке 41.
Рис. 41

Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие перемен­
ную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы ре­
шили уравнения х? = 0 , х ? —1 = 0 , х ? + 5 х = 0 , х- —2х+ 1 = 0 (упражнение
№ 614). Каждое из этих уравнений имеет вид ах~ + Ьх + с = 0.
157

И

О пред еление

\ ______________
Квадратным уравнением назы ваю т уравнение вида
ах? + Ъх + с = 0, где д: — переменная, а, Ь, с — некоторые
числа, причём а Ф 0.

Числа а, Ь и с называют коэффициентами квадратного уравнения.
Число а называют первым или старшим коэффициентом, число Ь — вто­
рым коэффициентом, число с —свободным членом.
Например, квадратное уравнение -2х~ + Ьх + 3 = 0 имеет следующие
коэффициенты: а = -2, Ь = 5, с = 3.
Левая часть квадратного уравнения является многочленом второй
степени. Поэтому квадратное уравнение ещё называют уравнением второй
степени.
Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, назы­
вают приведённым.
Например, х 2 + -J2x - 1 = 0, л 8 - 4 = 0, х 2 + Зх = 0 —это приведённые
квадратные уравнения.
Поскольку в квадратном уравнении ах2 + Ьх + с = 0 старший коэффи­
циент не равен нулю, то неприведённое квадратное уравнение всегда мож­
но преобразовать в приведённое, равносильное данному. Разделив обе час­
ти уравнения а х1 + Ьх + с = 0 на число а , получим приведённое квадратное
уравнение х 2 + —х + —= 0.
Если в квадратном уравнении а х2 + Ьх + с = 0 хотя бы один из коэф­
фициентов Ь или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным
квадратным уравнением.
Существует три вида неполных квадратных уравнений:
1) при Ь = с = 0 имеем: ах? = 0;
2) при с = 0 и Ь Ф 0 имеем: ах? + Ьх = 0;
3) при Ь = 0 и с Ф 0 имеем: ах2 + с = 0.
Решим неполные квадратные уравнения каждого вида.
1. Поскольку а Ф 0, то уравнение а х2 = 0 имеет единственный корень
х = 0.
2. Уравнение ах2 + Ьх = 0 представим в виде х (а х + Ь) = 0. Это уравне­
ние имеет два корня х г и х2, один из которых равен нулю, а другой являет­
ся корнем уравнения первой степени а х + Ь = 0. Отсюда х, = 0 и х„ =

1

-

а

3. Уравнение ах2 + с = 0 представим в виде х 2 = - - . Поскольку с * 0,
то возможны два случая: ——< 0 или — >0. Очевидно, что в первом случае
158

уравнение корней не имеет. Во втором случае уравнение имеет два корня:
= . — и х„ =
Результаты, полученные при решении неполных квадратных уравне­
ний, оформим в виде таблицы.
Коэффициенты уравнения
ах2 + Ьх + с = 0

Неполное квадратное
уравнение

Корни

х, = 0, х9 = - 1
1
а

ъ = о, - -а < о

ах- + с = 0

Корней нет

6 = 0, - - > 0
а

ахР + с = 0

X, = J --- , Ха = - J ---1 v а 1
V а

II

b

* 0,

О

ахР + Ьх = 0

II

х

о

ахР = 0

с

=0

Пример.

-S

Решите уравнение х 2

Решение.

При х > 0 имеем: х 2 -

=0

Гс

=



0.

= 0. Отсюда хР - 4 = 0; х = 2 или

х = -2. Но корень -2 не удовлетворяет условию х > 0.
При х < 0 имеем: х- + — = 0. Отсюда X2 + 4 = 0. Последнее уравнение
г
х
не имеет корней.
Ответ: 2. ■*


1. Какое уравн ени е н азы ваю т линей н ы м ?
2. Какое ура вн е ни е н азы ваю т уравнением первой степени?
3. П риведите п р и м е р л и ней н ого уравнения, являющегося уравнением
первой степени, и п р и м ер л и ней н ого уравнения, которое не являет­
ся ура вн е ни е м первой степени.
4 . Какое ура вн е ни е назы ваю т квадратным?
5. Как н азы ваю т коэф ф ициенты квадратного уравнения
=

ах- + Ьх + с -

0?

6. Какое квадратное уравнение называю т приведённым?
7. Какое квадратное уравнение называю т неполным?
8. Какие сущ ествуют виды неполны х квадратных уравнений? Какие
корни и м е е т уравн ени е каждого вида?
159

I Упражнения

\ -----

616. Укажите среди данных уравнений квадратные и назовите, чему равны

старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член каж­
дого из них:
1 )х = 0 ;
5) х 2 - 4х + 2 = 0;
9) 6 - х 2 + 4 х = 0;
2 ) ^ = 0;
3 ) д^ + х = 0 ;
4) х2 + 1 = 0;

6 ) 3 ^ - ^ + 6 = 0:
7) -2Х2 + 7х - 8 = 0;
8) х* - х - 9 = 0;

10) - х 2- 2х + 3 = 0.

617. Составьте квадратное уравнение, в котором:

1) старший коэффициент равен 6, второй коэффициент равен 7, а сво­
бодный член равен 2;
2) старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен -8,
а свободный член равен ——;
3

3) старший коэффициент равен -0,5, второй коэффициент равен 0,
3

а свободный член равен 2 -;
4) старший коэффициент равен 7,2, второй коэффициент равен -2,
а свободный член равен 0.
618. Составьте квадратное уравнение, в котором:
1) старший коэффициент равен -1, второй коэффициент равен -2,
а свободный член равен 1,6;
2) старший коэффициент и свободный член равны 2, а второй коэф­
фициент равен 0.
619. Представьте данное уравнение в виде ахР + Ьх + с = 0, укажите значе­
ния коэффициентов а, Ъ и с:
1) 6яг(3 - х) = 7 - 2x~
2) х(х + 1) = ( х - 3)(7х + 2);

3) (5х - I)2 = (х + 4)(х - 2);
4) 4х(х + 8) - (х - 6)(х + 6) = 0.

620. Представьте данное уравнение в виде ахР + Ьх + с = 0, укажите значе­

ния коэффициентов а, b и с:
1) х(х + 10) = 8х + 3;
2) (х + 2)2 = 2х2 + 4.
621. Укажите, какие из данных уравнений являются приведёнными, и пре­

образуйте неприведённые уравнения в приведённые:
1) х2 - 5х + 34 = 0;

3 ) | х 2+ х - 5 = 0;

5 ) -х 2 + 8х - 7 = 0;

2) 2x2 + бх + 8 = 0;

4) 16 - 6х + х2 = 0;

6) -0,2x2 + 0,8х+ 1 = 0.

622. Преобразуйте данное квадратное уравнение в приведённое:
1) | х 2- 2 х - 3 = 0;

2 ) - 4 х 2 + 20х - 16 = 0;

160

3 ) З х 2 + х + 2 = 0.

6 2 3 . Какие из чисел 1; 0; -3 ; 2; -1 0 являются корнями уравнения л2 + 9 л -

- 10 = О?
6 2 4 . Докажите, что:

1) число -1 не является корнем уравнения х 2 - 2х + 3 = 0'
2) числа —— и —3 являются корнями уравнения Зл2 + 10х + 3 = 0;
3) числа -%/2 и V2 являются корнями уравнения Зх2 - 6 = 0.
6 2 5 . Докажите, что:

1) число - 5 является корнем уравнения х 2 + Зх - 10 = 0;
2) число 4 не является корнем уравнения —х 2 - 4х = 0
4

6 2 6 . Решите уравнение:

627.
628.

629.

630.
631.

1) 5Х2 - 45 = 0;
3) 2л2 - 1 0 = 0;
5) 64л2 - 9 = 0;
2) л5 + 8л: = 0;
4 ) 2 л^ - 1 0 л = 0;
6) л2 + 16 = 0.
Решите уравнение:
1) л2 + 7л: = 0;
2)2х2 - 1 1 х = 0 ;
3) Зл2 - 6 = 0;
4 ) -8л 2 = 0.
Решите уравнение:
1) (Зл - 1)(л + 4) = -4 ;
2) ( 2 л - I ) 2 - 6 ( 6 - л) = 2л;
3) (л + 2 ) ( л - 3) - (л - 5)(л + 5) = х 2 - л.
Решите уравнение:
1) (Зл - 2 )(3 л + 2) + ( 4 л - 5)2 = 10л + 21;
2) ( 2 л - 1 )(л + 8) - ( л - 1 )(л + 1) = 15л.
Найдите два последовательных натуральных числа, произведение ко­
торых на 36 больше меньшего из них.
Найдите два последовательных натуральных числа, произведение ко­
торых на 80 больше большего из них.

оо \
6 3 2 . Докажите, что числа 2 -л /З и 2 +

л2 - 4л + 1 = 0.
6 3 3 . Решите уравнение:
- 8л
1 )
: л;

S

являются корнями уравнения

= 2.

2)

6 3 4 . Решите уравнение:

л2 +1 л2 + 2 : —
л
1.
0 ;
2)
6
4
'3
6 3 5 . При каком значении т\
1) число 2 является корнем уравнения Л2 + тх - 6 = 0;
2) число - 3 является корнем уравнения 2л2 —7л + т = 0;
1 )

3) число у является корнем уравнения m V + 1 4 л - 3 = 0?
161

636. При каком значении и:
1) число 6 является корнем уравнения х2 - пх + 3 = 0;
2) число 0,5 является корнем уравнения пх1 - 8х + 10 = 0?
637. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители способом
группировки:
1) х 2 - 6х + 8 = 0;
2) л2 + 12х + 20 = 0;
3) х 2+ 2 2 х - 23 = 0.
638. Решите уравнение, выделив в его левой части квадрат двучлена:
1) х2 - 4х + 3 = 0;
2) х 2 + 6х - 7 = 0;
3) х 2+ 8х + 20 = 0.
639. Решите уравнение, разложив его левую часть на мнолсители:
1) х 2 —10х + 9 = 0;
3) х 2 - х - 2 = 0;
2) х2 + 2х - 3 = 0;
4) х 2 + 6х + 5 = 0.
640. Сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше,
чем удвоенное большее из них. Найдите эти числа.
641. Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов кото­
рых равна 1.
642. При каком значении то не является квадратным уравнение:
1) (то - 4)х? + тох + 7 = 0;
2) (то2 + 8то)х2 + (то + 8)х + 1 0 = 0;
3) (то2 -8 1 )х 2 - 6 х + то = 0?
643. Каким числом, положительным или отрицательным, является отлич­
ный от нуля корень неполного квадратного уравнения а х 2 + Ьх = О,
если:
1) а > 0, Ъ > 0;
3) а > 0, b < 0;
2) а < 0, b > 0;
4) а < 0, b < 0?
644. Имеет ли корни неполное квадратное уравнение ох2 + с = 0, если:
1) а > 0, с > 0;
3) а > 0, с < 0;
2) а < 0, с > 0;
4) а < 0, с < 0?

____

645. Каким многочленом можно заменить звёздочку в уравнении
—2дт + 4 + * = 0, чтобы получилось неполное квадратное уравне­
ние, корнями которого являются числа:
1) 0 и 4;
2) -1 и 1?
646. Каким многочленом можно заменить звёздочку в уравнении
х 2 + 5 х —1 + * = 0, чтобы получилось неполное квадратное уравнение,
корнями которого являются числа:
1) 0; -7;
2) -4; 4?
647. Решите уравнение:
1) х 2 - 3|х| = 0;

3) х 2 - — = 0;
X

2) х 2 + |х| —2х = 0;

4)

х2 -

^-=0.

162

648. Решите уравнение:
1) jc®—7|дг| = 0;

= 0
1X1
649. При каком значении а уравнение (а - 2)х2 + (2а - \ ) х + а2 - 4 = 0 яв­
ляется:
1) линейным;
2) приведённым квадратным;
3) неполным неприведённым квадратным;
4) неполным приведённым квадратным?
650. Определите, при каком значении а один из корней квадратного урав­
нения равен 0, и найдите второй корень уравнения:
1) ж* + а х + а - 4 = 0;
В) о*2 + (а + 3)х + я 2 - За = 0.
2) 4т2 + (а - 8)л: + а~ + а = 0;

П
651 .

2) лг2 —6|лг| + х = 0 ;

3)

2х2 -

Упражнения для повторения
Выполните действия:
1)
2)

3 -2 а

1- а 2


! -

6 62

36

+ 26;

3)
4)

652 . Упростите выражение:
1) 10л/3 - 5V48 + 2V75;
2) (Зл/5 - V 2 0 ) ,/5 ;

с+4

с1 - 4с

с1 -1 6
Ь~

56а5
64 1465

72а36
: (27а 26);
с
4а2 - 1 10а + 5
а1 - 9
а+3

3) (б - s fe f;
4) (%/18 - 4/3 ) 4/2 + 0,5%
/24.

653. Какой из графиков, представленных на рисунке 42, является графи­

ком функции:
1) У = х 2;

2) у = 2хг,

3)г/ = | ;

4)у = |?

654. Ученик задумал двузначное число. Если каждую цифру этого числа
увеличить на 2, то полученное число будет на 13 меньше удвоенного
задуманного числа. Какое число было задумано?
163

I Учимся делать
нестандартные шаги
655 .

Печатный автомат получает на входе карточку с числами (а; Ь) и вы­
а +b
. Можно ли с по­
даёт на выходе карточку с числами
’Iа + IЬ
мощью этого автомата из карточки с числами (0,25; 1000) получить
карточку с числами (1,25; 250)?
5 20. Формула корней квадратного уравнения
Зная коэффициенты а и b уравнения первой степени а х = Ь, можно

найти его корень по формуле х = ~Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам а, b и с квадрат­
ного уравнения ах? + Ьх + с = 0 находить его корни.
Имеем:
ах? + Ь х + с = 0.
(1)
Поскольку 0.
1. Если D < 0, то уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) кор­
ней не имеют. Действительно, при любом значении х выражение (2ах + Ь)1
принимает только неотрицательные значения.
Вывод: если D < 0, то квадрат ное уравн ен и е корней не имеет.
2. Если D = 0, то уравнение (3) принимает вид:
(2ах + Ь)2 = 0.
164

Отсюда Чах + b = 0; х = - — .


Вывод: если 0 = 0, т о к в а д р а т н о е уравнение и м е е т один

Ъ

корень х - - — .
В. Если О > 0, то уравнение (3) можно записать в виде
(2 ах + b f = { 4 D ) \
Отсюда 2ах + b = -УЕ> или 2ах + b = УО. Тогда х = —

-6+Уд

^



Вывод: если О > 0, т о к в а д р а т н о е уравнение и м е е т два кор ­
ня х х и дг2:

х _ - 6 -У д х _ гь + Уд
1



Применяют также краткую форму записи:

-б±Уд

Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения
ах? + Ьх + с = 0 .

Полученную формулу можно применять и в случае, когда 0 = 0. Имеем:


-6 ± Уо

6



При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться сле­
дующим алгоритмом:
• найти дискриминант О квадратного уравнения;
• если О < 0, то в ответе записать, что корней нет;
• если О > 0, то воспользоваться формулой корней квадратного урав­
нения.
Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в ви­
де 2k, то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях
облегчает вычисления.
Рассмотрим квадратное уравнение ах? + 2kx + с = 0.
Найдём его дискриминант: D = 4k2 —4ас = -1(k: —ас).
Обозначим выражение k? - ас через D v
Если /), > 0, то по формуле корней квадратного уравнения получаем.
Х

-2к ± ^ /Щ
- 2 k ± 2 jl \

~


?(-Ь * V A )

165

- * ± л/Л
а

, где D l = k- —ас.
1. Решите уравнение:
1) Зх2 - 2 х - 16 = 0;
4) х 2 - 6 х + 11 = 0;
2) -0,5x2 + 2 х - 2 = 0;
5) 5х2 - 16х + 3 = 0.
3) х2 + 5х - 3 = 0;
Решение. 1) В данном уравнении а = 3, b = -2, с = -16.
Дискриминант уравнения D = Ь- —4ас = (-2)2 - 4 • 3 • (-16) = 4 + 192 =
Пример

= 196.

^

2 - Vl96 2 -1 4
с, „
2 + 14 8 „2
Следовательно, хл = ---------= —-— = - 4 х2 = —-— = - = I
1

Ответ:

о

о

о

5

5

-2; 2 | .
О

2) Имеем:
D = 22 - 4 • (-0,5) • (-2) = 4 - 4 = 0.
Следовательно, данное уравнение имеет один корень:
„ -2 + л/0
■2.
-1

Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом.
Умножив обе части уравнения на -2, получаем:
х 2 - 4х + 4 = 0. Отсюда (х - 2)2 = 0; х - 2 = 0; х = 2.
Ответ: 2.
3) D = 52 - 4 • 1 • (-3) = 25 + 12 = 37.
Уравнение имеет два корня: Xj

-5 - л/з7

-5 + >/37
2

Ответ можно записать одним из двух способов: - 5 - V37
либо

-5 + л/з7

-5 ± л/37

4) О = (-6)2 - 4 • 1 • 11 = 36 - 44 = -8 < 0.
Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.
5) Представим данное уравнение в виде 5Х2 + 2 • (-8)х + 3 = 0 и при­
меним формулу корней для уравнения вида а х 2 + %kx + с = 0'
О, = (-8)2 - 5 • 3 = 49;

х1 = L 5l 2 -“ i5.’ *г* - 8+ 7 - Ч
Ответ:

- ; 3. -«
5

166

Пример 2. Решите уравнение:
1) х 2 + бч/х2" - 16 = 0;

2) х 2 - 1 0 (л/х)2 - 2 4 = 0;
3) 9х2 - 8 Х + - Ц - = 1 + -5 -^ .
'

X

-1

X

-1

Решение. 1) Имеем: х 2 + б|х| - 16 = 0.

При х > 0 получаем уравнение х 2 + 6х - 16 = 0, которое имеет корни
-8 и 2, однако корень -8 не удовлетворяет условию х > 0.
При х < 0 получаем уравнение х 2 —6х —16 = 0, которое имеет корни
-2 и 8, однако корень 8 не удовлетворяет условию х < 0.
Ответ: -2; 2.
2) Поскольку Ш
= х при х > 0, то искомые корни должны удовлет­
ворять двум условиям одновременно: х2- 1 0 х - 2 4 = 0 и х > 0 . В таком случае
fx 2 - 10х - 24 = 0,
говорят, что данное уравнение равносильно системе <
х > 0.
Уравнение х 2 - 1 0 х - 24 = 0 имеет корни -2 и 12, но корень -2 не удов­
летворяет условию х > 0.
Ответ: 12.
,
f 9х2 - 8х = 1,
3) Данное уравнение равносильно системе <
Отсюда

19х2 - 8х - 1 = 0,
[х * 1;

Ответ: - А . -«

х = 1 или х = - ~ ,

1

х * 1;

9

Пример 3. При каком значении b имеет единственный корень урав­
нение:
1) Ъ ? - Ь х + 18 = 0;
2) (b + бЭх2 - (Ь - 2)х + 1 = 0?
Решение. 1) Данное уравнение является квадратным. Оно имеет
единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем.
D = Ь2 - 4 • 2 • 18 = Ъ- - 144;
Ь~ - 144 = 0;
Ь = -12 или b = 12.
Ответ: 6 = -12 или 6 = 12.
167

2) При b = - 6 получаем линейное уравнение 8 х + 1 = 0, имеющее один
корень.
При b Ф -6 данное уравнение является квадратным. Оно имеет един­
ственный корень, если его дискриминант равен нулю:
D = (Ь - 2)12 - 4(6 + 6) = b2 - 46 + 4 - 46 - 24 = 62 - 8Ь - 20.
Имеем: 62 - 86 - 20 = 0, отсюда b = -2 или b = 10.
Ответ: b = -2, или b = 10, или b = -6. ◄
1. Значени е какого вы раж ения н азы в аю т д и с к р и м и н а н то м квадратн о­
го уравнения?
2. Как за ви си т количество к о р н е й квадратн ого ура вн е ни я от знака
д и скр и м и н ан та ?
3. З апиш ите ф ормулу корн ей квадратн ого уравнения.
4. К аким ал го р и тм о м уд об н о пользоваться при ре ш е н и и квадратных
уравн ени й ?

Найдите дискриминант и определите количество
1) х 2 + 2х - 4 = 0;
3) 2X2 - 6 * - 3,5 = 0;
2 ) ^ - 3 ^ + 5 = 0:
4) 5д:2 - 2 * + 0,2 = 0.
657. Какое из данных уравнений имеет два корня:
1 ) *2 + 4х + 8 = 0;
3) 4 *3 - 1 2 х + 9 = 0;
2) 3 x 2 - 4 * - 1 = 0;
4) 2 * 2 - 9 * + 1 5 = 0?
658. Какое из данных уравнений не имеет корней:
1) X2 - 6 * + 4 = 0;
3) Зх2 + 4 * - 2 = 0;
2) б *2 - ю * + 6 = 0;
4) 0 ,0 4 *2 - 0 ,4 *+ 1 = 0?
659. Решите уравнение:
1) * 2 - 4 * + 3 = 0;
8) *2 + 7 * + 6 = 0;
2) *2 + 2 * - 3 = 0;
9) -*2 + 6 * + 55 = 0;
3) Xs + 3 * - 4 = 0;
10) г * 2 - 3 * - 2 = 0;

656.

4) X2 _
_ 21 = 0;
5) х 2 + х - 56 = 0;

660

.

6) х2 _ 6д- _ 7 _ 0.
7 ) * 2 _ 8 * + 12 = 0;
Решите уравнение:
1) х 2 - Зх + 2 = 0;

2) *2 + 1 2 * - 13 = 0;
3) х 2 _ у * + 10 = 0.
4) х 2 - х - 72 = 0;

11) 2*2

-

*-6

=

0;

12) З *2 - 4 * - 2 0 = 0
13) Юл34567- 7 * - 3 = 0
14) - 5*2 + 7 * - 2 = 0
5)
6)
7)
8)

2*2 - 5 * + 2 = 0
2*2 - 7 * - 4 = 0
4*2 - 3 * - 1 = 0;
-2*2 + * + 1 5 = 0;
168

корней уравнения:

15) - 6 * 2 - 7 * - 1 = 0
16) З*2- 1 0 *+ 3 = 0
17) -3*2 + 7 * + 6 = 0
18) * 2 - 4 * + 1 = 0 ;
19) 2*2 - * - 4 = 0;
20 )

*

2 - 8*+20

=

0

9) б *2 + 7 * - 5 = 0

10) 18*2 _ 9* _ 5 = о
11 ) * 2 - 6* + 11 = 0
12) -*2 - 8 * + 12 = 0

6 6 1 . При каких значениях переменной:

662.

663.

664 .

665.
666.
667.
Q 668.

Q 669.

1) значения многочленов 6х2 - 2 и 5 - г равны;
2) значение двучлена у —6 равно значению трёхчлена //'' —9у + 3'
3) трёхчлены 4 т 2 + Ат + 2 и 2m2 + Ю т + 8 принимают равные’зна­
чения?
При каких значениях переменной:
1) значение двучлена 4х + 4 равно значению трёхчлена Зх2 + 5 х - 10;
2) значения трёхчленов 10j»2 + Юр + 8 и Зр2 - Юр + 11 равны?
Найдите корни уравнения:
1) ( 2 х - 5 ) ( х + 2 ) = 18;
2) (Ах - З)2 + (Зх - 1)(3х + 1) = 9;
3) ( х + 3 ) 2- ( 2 х - 1)2 = 16;
4) (х - б)2 - 2х(х + 3) = 30 - 12х;
5) (х + 7 ) ( х - 8) - (4х + 1)(х —2) = -21х;
6) ( 2 х - 1)(2х+ 1) - х ( 1 - х ) = 2х(х+ 1).
Решите уравнение:
1) (х - 4)2 = 4х - 11;
2) (х + 5)2 + (х - 7)(х + 7) = 6х - 19;
3) (Зх - 1)(х + 4) = ( 2 х + 3 ) ( х + 3 ) - 1 7 .
Найдите натуральное число, квадрат которого на 42 больше данного
числа.
Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 70 см2,
а одна из сторон на 9 см больше другой.
Произведение двух чисел равно 84. Найдите эти числа, если одно из
них на 8 меньше другого.
Произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 боль­
ше их суммы. Найдите эти числа.
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365.
Найдите эти числа.

6 7 0 . Решите уравнение:

х 2 - 4 _ 2х + 3 _ _ j.
8
3
4х2 + х х 2 + 17 _ 5х - 1
4)
3
9
"
6

1) 2х2 + хл/5 - 15 = 0;

3)

2) х 2 - x ( V 6 - l ) - x / 6 =0;
6 7 1 . Решите уравнение:

1) х 2 + 3xV2 + 4 = 0;

3)

2) х 2 - x(V3 + 2) + 2%/3 = 0;
6 7 2 . При каких значениях а число

a V + 4ох - 5 = 0?
169

1^

4

2х2 + х
3

х +3
4

j

является корнем уравнения

673. При каком значении а число 2 является корнем уравнения
хР - 0,5ах - ЪаР = 0?
674 . От квадратного листа картона отрезали полоску в форме прямоуголь­
ника шириной 3 см и длиной, равной стороне квадрата. Площадь
оставшейся части листа составляет 40 см2. Какой была длина стороны
квадратного листа картона?
675 . От прямоугольного листа бумаги, длина которого равна 18 см, отреза­
ли квадрат, сторона которого равна ширине листа. Площадь остав­
шейся части прямоугольника составляет 72 см2. Какой была ширина
листа бумаги?
676 . Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на
14 см меньше другого, а гипотенуза равна 34 см.
677 . Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 31 см,
а диагональ прямоугольника равна 41 см.
678 . Найдите три последовательных нечётных натуральных числа, если
квадрат первого из них на 33 больше, чем удвоенная сумма второго
и третьего.
679 . Найдите четыре последовательных чётных натуральных числа, если
сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше, чем произведение
второго и четвёртого чисел.
680 . Докажите, что если старший коэффициент и свободный член квадрат­
ного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня.
681 . (Старинная индийская задача.)
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась.
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

❖ Л____

682 . В футбольном турнире было сыграно 36 матчей. Сколько команд уча­

ствовало в турнире, если каждая команда сыграла по одному разу
с каждой из остальных команд?
683. Сколько сторон у многоугольника, если в нём можно провести 90 диа­
гоналей?
684 . Решите уравнение:
1) |х2 + 7 * - 4 | =4;
3) лг|лг| + бдг-5 = 0;
2) 5лг2 —8 |дг| + 3 = 0;

4) х 2 + ~ - 12 = 0;
\х\
170

5) х 2 - 8 л/х2" + 15 = 0;

6) х 2 + 4 у[ х? - 1 2 = 0.

6 8 5 . Решите уравнение:

1) lx2 + 10х - 4| = 2 0 ;

3) ~ - 14х - 15 = 0;
1x1
4) х 2 - вл/х2 - 9 = 0.

2) х\х\ + 1 2 х - 45 = 0;
686 . Решите уравнение:

i) х 2 + 2х +

=

+ 8°;

2) х 2 + 8 (V x )2 - 33 = 0.

6 8 7 . Решите уравнение:

i) 6х2 + 5 х -

_

2) 5х2 - 14(-/х )2 - 3 = 0.

688. При каком значении Ь имеет единственный корень уравнение:

1) 2х2 + 4х - Ь = 0;

2) Зх2 - Ьх + 12 = 0?

6 8 9 . При каком значении Ь имеет единственный корень уравнение:

1) бх2 - 18х + Ь = 0;

2) вх2 + Ьх + 2 = 0?

6 9 0 . Докажите, что при любом значении р имеет два корня уравнение:

1) 4Х2 - р х - 3 = 0;

2) х - + р х + р - 2 = 0.

6 9 1 . Докажите, что при любом значении т не имеет корней уравнение:

1) х 2 + т х + тп~ + 1 = 0;

2) х 2 - 2т х + 2т2 + 9 = 0.

6 9 2 . Докажите, что при любом значении b уравнение х 2 + Ьх - 7 = 0 имеет

два корня.

-----

6 9 3 . Для каждого значения а решите уравнение:

1) х 2 + (За + 1)х + 2а 2 + а = 0;
3) а ¥ - 2 4 а х - 25 = 0;
2) х 2 - (2а + 4 )х + 8а = 0;
4) 3(2а - I):*2 - 2(а + 1 )х + 1 = 0 .
6 9 4 . Для каждого значения а решите уравнение:
1) х 2 - (2а - 5 )х - За2 + 5а = 0;
3) ах - - (а + 1)х + 1 = 0.
2) х2 + (За - 4 )х - 12а = 0;
6 9 5 . При каком значении Ь имеет единственный корень уравнение:
1) Ьх2 - 6х - 7 = 0;
3) (Ь - 4)х2 + (2Ь - 8)х + 1 5 = 0?
2) (Ь + 5)х 2 - (Ь + 6 )х + 3 = 0;
6 9 6 . При каком значении Ь имеет единственный корень уравнение:
1) бх2 + х + 6 = 0;
2) (6 + 3)х2 + ( * + 1 ) х - 2 = 0?
Упражнения для повторения
6 9 7 . Упростите выражение:

(a+b
I a

I t 'j a + b
a + b) а-Ь'

(а 5)

6 9 8 . Найдите значение выражения —г,—
171

при а

Расположите в порядке возрастания числа %/l7, 3\/2 и 4.
Имеется лом сплавов двух сортов, которые содержат 5 % и 45 % ни­
келя соответственно. Сколько металлолома каждого из этих сортов
нужно взять, чтобы получить 120 т сплава с 30-процентным содержа­
нием никеля?
701. В книге недостаёт нескольких листов. На левой странице разворота
стоит номер страницы 24, а на правой —номер 53. Сколько листов не­
достаёт между этими страницами?

699.

700.

Готовимся к изучению
новой темы

Решите уравнение, найдите сумму и произведение его корней и срав­
ните их со вторым коэффициентом и свободным членом уравнения:
1) дс2 — —12 = 0;
2) ^ + 9 ^ + 1 4 = 0 .
703. Заполните таблицу, где а, b и с —коэффициенты квадратного уравне­
ния а х 1 + Ъх + с = 0 , а
и х 2 —его корни.

702.

Уравнение


а

с
а

хх

х2

х 1+ х 2

Х 1Х 2

7х2 - 8 х + 1 = 0
6х2 + 1 3 * - 15 = 0

Учимся делать
нестандартные шаги
704.

Докажите, что из 101 кубика, которые окрашены в произвольные цве­
та, можно выбрать или 11 кубиков одного цвета, или 11 кубиков раз­
ных цветов.
5 2 1 .Теорема Виета

Готовясь к изучению этого параграфа, вы выполнили упражнения
№ 702, 703. Возможно, эти упражнения подсказали вам, каким образом сум­
ма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффи­
циентами.

172

Франсуа Виет (1540— 1603) — француз­
ский математик, по профессии юрист. В 1591 г.
ввёл буквенные обозначения не только для не­
известных величин, но и для коэффициентов
уравнений, благодаря чему стало возможным
выражать свойства уравнений и их корни общи­
ми формулами. Среди своих открытий сам Виет
особенно высоко ценил установление зависи­
мости между корнями и коэффициентами урав­
нений.

0

Теорема 21.1
(теорема Виета)

Если
и х 2 — корни квадратного уравнения а х 2 + Ьх +
+ с = 0, то
Ь

с

X, + х , = ----; Х.Х, =

а
1 ‘ а
Доказательство

Условие теоремы предполагает, что данное квадратное уравнение
имеет корни. Поэтому его дискриминант D не может быть отрицательным.
Пусть D > 0. Применив формулу корней квадратного уравнения, запишем:
-Ь - -Id
1~

Имеем: х, + х 2
Х ,Х

2

-b -Jp


_-Ь -у [5




- ь + -Jd
2~



-Ь + Л 5




'

- b - s [ D - b +У д _
~



Ь,
а'

-Ъ + 4 Р _ (~Ь)г - (л/Д f _ Ъ} - D _ Ь2 - (Ь2 - 4ас)


4а2

4а2

Пусть D = 0. В этом случае считают, что X, = х2 =

f-f)

х,1 + х„2 = 21 2а, 1 = - ас.◄
.
Ъ2 _ 4ас = —
ХЛ - 4а2 4а2 а
173

4а2

£
а

. Имеем:

0

Следствие

'---------------------------------------

Если л:, и х 2 — корни приведённого квадратного уравне­
ния х 2 + Ьх + с = 0, то

x t + х 2 = - Ь,
ar,ar2= с.

Другими словами, сумм а корней приведённого квадрат ного ур а в­
нения равна вт орому коэф ф ициент у, взят ом у с противополож ным
знаком, а произведение корней равно свободному члену.

0

Теорема 21.2
' ------------------------------------(обратная теореме Виета)
^
Если числа ос и В таковы, что а + Р = — и ар = - , то
а
а
эти числа являются корнями квадратного уравнения
а х 2+ Ьх + с = 0.
Доказательство
Рассмотрим квадратное уравнение а х2 + Ьх + с = 0. Преобразуем его
в приведённое:
9
b
с Г,
х 2 + - х + - = 0.
а
а
Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так:
i2 - (а + Р)л: + ар = 0.
(*)
Подставим в левую часть этого уравнения вместо х сначала число а,
затем число р. Получим:

а 2 - (а + Р)а + ар = а 2 - а 2 - ар + ар = 0;
Р2 - (а + Р)Р + ар = р2 - ар - р2 + ар = 0.
Таким образом, числа а и р являются корнями уравнения (*), а следо­
вательно, и корнями квадратного уравнения а х 2 + Ьх + с = 0. л

0

Следствие

"Л_________
Если числа а и р таковы, что а + р = -Ь и ар = с, то эти чис­
ла являются корнями приведённого квадратного уравне­
ния х г + Ьх + с = 0.

Это следствие позволяет решать некоторые квадратные уравнения
устно, не используя формулу корней квадратного уравнения.
Пример 1. Найдите сумму и произведение корней уравнения
3 ^ - 1 5 3 : + 2 = 0.
174

Реш ени е. Выясним, имеет ли данное уравнение корни.
Имеем. D —(—15) - 4 - 3 - 2 = 225 —24 > 0. Следовательно, уравнение
имеет два корня х х и X,.

Тогда по теореме Виета х, + х2 = —

= 5, ххх2 = - . ч

П ри м е р. 2. Найдите коэффициенты b и с уравнения х 2 + Ъх + с = О,
если его корнями являются числа -7 и 4.
Реш ени е. По теореме Виета Ъ = -(-7 + 4) = 3, с = -7 • 4 = -28. ч

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициента, , 4. и 5 оч
6 —"^7 и —
6+
ми, корни которого равны: 1)
2) —
П ри м ер 3.

Реш ени е. 1)

5

Пусть х, = 4 и х2 = ——.

_
. 5 23
Тогда х. + х9 = 4 - - = — , х,х9 = 4

20
" 7 '

По теореме, обратной теореме Виета, числа х х и х,, являются корнями уравнения х 2 -

2S

20

х - — = 0 . Умножив обе части этого уравнения на 7,

получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами:
7Х2 - 23х - 20 = 0.
2) Пусть х, = ^
Тогда х, + х9

— и х2 =
6-V 7

, 6 + л/7

= 6, XjX2 =

6 -л /7

6 + - J l _ 3 6 - 7 _ 29
2
4
4
29

Следовательно, Xj и х 2 являются корнями уравнения х 2 - 6х + — = 0.
Отсюда искомым является такое уравнение: 4Х2 - 24х + 29 = 0. ч
П ри м ер 4.

Известно, что х х и х 2 —корни уравнения 2х2 - Зх - 9 = 0.

U

~

1

,

1

Не решая уравнение, найдите значение выражения — + —
Х2

Реш ени е.

3

3

9

По теореме Виета х, + х2 = - , х,х2 = - - ■

т1 .1
Xj + х2 з
1огда имеем: ---- 1--- = -----------х
х2 хх
х,х2
2
Ответ:

X,

ч
175

Пример 5. Число 4 является корнем уравнения Зх234- 10х + п = 0. Най­
дите второй корень уравнения и значение п.
Решение. Пусть х х и х 2 - корни данного уравнения, причём х , = 4. По
теореме Виета х ; + х2 = -у . Тогда х,2 = — - 4 = - —. Имеем: —= х ,х 2 = - - ,

п = - 8.
о
Ответ: х„ = - - , п = - 8 . ■*
О

Пример 6. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4
больше соответствующих корней уравнения х 2 + 6 х - 14 = 0.
Решение. Пусть х х и х 2 — корни данного уравнения, х ,1 и х 2' — корни
искомого уравнения.
П о условию Xj = Xj + 4, х 2 = х 2 + 4.
П о теореме Виета х , + х 2 = -6 , х ,х 2 = -1 4 .
Тогда имеем:
х[ + х 2 = Xj + 4 + х 2 + 4 = (х, + х 2) + 8 = - 6 + 8 = 2;
х,'х2 = (Xj + 4)( х 2 + 4) = XjX2 + 4(Xj + Х2) + 16 = -1 4 + 4 • (-6 ) + 16 = -22.
Следовательно, по теореме, обратной теорем е Виета, искомым явля­
ется уравнение х 2 - 2х - 22 = 0.
Ответ: х2 - 2х - 22 = 0. +
1. Сформулируйте
2. Сформулируйте
3. Сформулируйте
4. Сформулируйте

Г

теорему Виета.
следствие из теоремы Виета.
теорему, обратную теореме Виета.
следствие из теоремы, обратной теореме Виета.

I Упражнения
705. Чему равна сумма корней уравнения х 2 + 5х - 10 = 0:
1) 5;
2) -5 ;
3) -10;
4) 10?
706. Чему равно произведение корней уравнения X s - 14х + 1 2 = 0:
1) -14;
2) 14;
3) 12;
4) -12?
707. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:
1) х 2 + 6 х - 32 = 0;
3) 2х2 - 6 х + 3 = 0;
2) х2 - 10х + 4 = 0;
4) Юх2 + 42х + 25 = 0.
708. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:
1) х2 - 12х - 18 = 0;
3) Зх2 + 7х + 2 = 0;
2) х2 + 2х - 9 = 0;
4) -4Х2 - 8х + 27 = 0.
709. П рименяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются
ли корнями уравнения:
1 )х 2 - 8 х + 1 2 = 0 числа 2 и 6;
176

.

2) х 2 + x - 56 = 0 числа - 7 и 8;
3) з 3 - 13з + 42 = 0 числа 5 и 8;
4) з^ - 20л: - 99 = 0 числа 9 и 11.

710 Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются

ли корнями уравнения:
1 ) 3^ + 2 3 - 3 = 0 числа 1 и -2;
2) х 2 + 5 з + 6 = 0 числа - 2 и -3.
711 Найдите коэффициенты Ь и с уравнения з3 + Ьх + с = 0, если его кор­
нями являются числа:

.
.

1) - 8 и 6;

2) 4 и 5.

712 Найдите коэффициенты б и с уравнения з 3 + б з + с = 0, если его кор­

.

713

.

нями являются числа:
1) -2 и 0,5;

2) -1 0 и -20.

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни
которого равны:
1) 2 и 5;

3) —0,2 и —10;

5) 0 и 6;

2) -т- и 2;

4)2-73

6) -л/7 и V7.

О

и

2 + л/3;

714 Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни

которого равны:
1) —7 и —8;

.
716.
715

717

.

2) 5 и -0,4;

3) i и §;

2

3

4) 5 - VlO и 5 + -Ло.

Число -2 является корнем уравнения х 1 - 8 з + q = 0. Найдите значе­
ние q и второй корень уравнения.
Число 7 является корнем уравнения з 3 + р з - 42 = 0. Найдите значе­
ние р и второй корень уравнения.
Число - является корнем уравнения 6з2 - Ьх + 4 = 0. Найдите значе­
ние Ь и второй корень уравнения.

. Число -0,2 является корнем уравнения 4х* - 5,6з + т = 0. Найдите
значение т и второй корень уравнения.
719. Известно, что х г и з 2 —корни уравнения 2з2 —7 з —13 = 0. Не решая
уравнение, найдите значение выражения з , з 2 - 4з, - 4з,.
720. Известно, что х 1 и х 2 —корни уравнения аа:2 + 4л: —13 = 0. Не решая
уравнение, найдите значение выражения З з,з2 —з , —з 2.
721. При каком значении Ь корни уравнения х2 + Ьх —17 = 0 являются про­
тивоположными числами? Найдите эти корни.
722. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:
718

1) л3 - 5л: + 4 = 0;
2 ) ^ + 53:+4 = 0:
3 ) з 2 - 4 з - 5 = 0;

4)3^ + 4 3 - 5 = 0:
5) з 3 - 9 з + 20 = 0;
6) 32 - 3 - 2 = 0;
177

7)3^ + 2 3 - 8 = 0:
8 ) 3 ^ - 3 3 - 1 8 = 0.

723. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:
1 ) д * - 1 0 х + 2 4 = 0;
3 ) х 2 - 2 х - 8 = 0;
2) х 2 + 6 х + 8 = 0;
4) х 2 + х - 12 = 0.
724. Какие из данны х уравнений имеют два положительных корня, ка­
кие — два отрицательных, а какие — корни разны х знаков:
1 ) х 2 - 1 2 х + 14 = 0;
4) х 2 + 1 6х + 10 = 0;
2) х 2 + 6 х - 42 = 0;
5) х 2 - 2 4 х + 0,1 = 0;
3) х 2 - 7 х - 30 = 0;
6) х 2 + 2 0 х + 3 = 0?
7 2 5 . Один из корней уравнения х 2 - 1 0 х + с = 0 н а 8 меньше другого. Най­
дите значение с и корни уравнения.
7 2 6 . Корни уравнения х 2 + 2 0 х + а = 0 относятся как 7 : 3. Найдите значе­
ние а и корни уравнения.
7 2 7 . Корни х , и х 2 уравнения х 2 - 7 х + т = 0 удовлетворяют условию
2 х, - 5х2 = 28. Найдите корни уравнения и значение т.
7 2 8 . Корни Xj и х 2 уравнения х 2 + 4 х + п = 0 удовлетворяют условию
3Xj - х 2 = 8. Найдите корни уравнения и значение п.
7 2 9 . Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни урав­
нения:
1) 2х2 - 5 х + 3 = 0;
3) 16х2 - 2 3 х + 7 = 0;
2) 2Х2 + 5 х + 3 = 0;
4) - 8 х 2 - 1 9х + 27 = 0.
7 3 0 . Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни урав­
нения:
1) 7x2 + 1 1 х - 18 = 0;
2) Эх2 - 5 х - 4 = 0.
7 3 1 . Известно, что х , и х 2 - корни уравнения х 2 - Эх + б = 0. Не решая
уравнение, найдите значение выражения:
1 )

^

+ ~

2 ) х * + х|;

3) (х. - х-2)2;

4) Xj3 + х|.

732. Известно, что х х и х 2 — корни уравнения х 2 + 5 х ■ 16 = 0. Не решая
уравнение, найдите значение выражения:
1)

2 2+ х|хр

х х

2)

3) | х „ - х ,| .

+

7 3 3 . Составьте квадратное уравнение, корни которого на
ветствующих корней уравнения х 2 + 8 х - 3 = 0.
7 3 4 . Составьте квадратное уравнение, корни которого на
ветствующих корней уравнения х 2 - 1 2 х + 4 = 0.
7 3 5 . Составьте квадратное уравнение, корни которого в
соответствующих корней уравнения 2Х2 - 14х + 9 = 0.
736 . Составьте квадратное уравнение, корни которого в
соответствующих корней уравнения 2х2 - 15х + 4 = 0.
178

2 меньше соот­
3 больше соот­
3 раза меньше
2 раза больше

Сумма квадратов корней уравнения За-* + а х - 7 = 0 равна — . Найди­
те значение а.
9
738. Корни х х и х 2 уравнения х2 - а х + 8 = 0 удовлетворяют условию
— + — = ~- Найдите значение а.
*2

2

739. Верно ли утверждение:

740.

741.

742.
743.
744.

1) уравнение 7х~ + 4х —а- — I —0 имеет корни разных знаков при
любом значении а;
2) если уравнение х 2 + 6х + а- + 4 —0 имеет корни, то независимо от
значения а они оба отрицательны?
Найдите все целые значения 6, при которых имеет целые корни урав­
нение:
\) х 2 + Ьх + Ъ=
2)3^ + 6 3 :-1 2 = 0.
Найдите все целые значения 6, при которых имеет целые корни урав­
нение:
1) х 2 + Ьх + 8 = 0;
2) х? + Ьх - 18 = 0.
Корни уравнения х 2 + Ь х + с = 0 равны его коэффициентам б ис . Най­
дите б и с .
При каком значении а сумма квадратов корней уравнения Xs - 4х + а =
= 0 равна: 1) 12; 2) 6?
При каком значении а сумма квадратов корней уравнения
а^ + (а - 1)х - 2а = 0 равна 9?
Упражнения для повторения

745.

Покрадите дробь:
4 а -16

1)

а

2 -

1 6 ’

3)

с2 + Юс + 2 5 .
5с + 25


5)

2 - 2х2
6)
4) т2 - 4 т + 4 ’
' 4л:2 - 8 * + 4
746. В саду посадили рядами 48 деревьев с одинаковым количеством де­
ревьев в каждом ряду. Рядов оказалось на 8 меньше, чем деревьев
в каждом из них. Сколько деревьев посадили в каждом ряду и сколь­
ко было рядов?.
747. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения
графиков функций у = х ? я у = х + 2. Начертите графики данных
функций и отметьте найденные точки.
748. В саду 60 % деревьев составляют вишни и сливы, из них 30 % состав­
ляют сливы. Какой процент всех деревьев сада составляют сливы.
1263 - 8Ь2 ,
2 - Зб

179

г

f Готовимся к изучению
новой темы
749

.

Пользуясь методом группировки, разложите на множители многочлен:
1) х 2 - 7а: + 10;
3) а 2 + 8а + 12;
2) у 2 + Ъу - 4;
4) х* - х - 6.
1Учимся делать
нестандартные шаги

750

. Вася задумал три цифры: х, у , z. Петя называет три числа: а , Ь, с.

Вася сообщает Пете значение выражения а х + by + cz. Какие числа
должен назвать Петя, чтобы по полученной информации определить,
какие цифры задумал Вася?

Задание № 5 «Проверьте себя» в тестовой форме
1. Какое из данных уравнений не является квадратным?
А) х 2 = О
Б) х 2 + х = О
В) х 3 + х = О
Г) х 2 + х - 2 = О
2. Решите уравнение 9х - Xs = 0.
А) -3; 0; 3
Б) 0; 3
В) -3; 3
Г) 0; 9
3. Решите уравнение

4.

5.

6.
7.

8.

х2 - х _ х -2

6

3-х

3

2 '
А) 0; 5
Б) 5
В ) VE
Г) -л/б; V5
Какое из данных уравнений не имеет корней?
А) х 2 - 5х - 2 = 0
В )х 2- 2 х + 5 = 0
Б) х 2 - 5х + 2 = 0
Г )х 2 + 2 х - 5 = 0
Сколько корней имеет уравнение бх2 + 13х + 5 = 0?
А) два
В) ни одного
Б) бесконечно много
Г) один
Найдите корни уравнения х 2 + 4х - 21 = 0.
А) 7; -3
Б) -7; 3
В) -7; -3
Г) 3; 7
Чему равна сумма корней уравнения х 2 - 10х - 12 = 0?
А) 10
Б) -10
В) -12
Г)12
Чему равно произведение корней уравнения Зх2 - 16х + 6 = 0?
А) 6

Б) 2

В) -16

Г>Т

9. При каких значениях переменной принимают равные значения

выражения ( З х - 1 )(х + 2) и ( х - 1 2 ) ( х - 4 ) ?
А) -12,5; 2
Б) 12,5; -2
В) -25; 4
Г) 25; -4
10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 3 - %/2
и З + л/2.

А )х 2 + 6 х - 7 = 0
В) х 2 + 6х + 7 = 0
Б ) * 2 - б д :- 7 = 0
Г) х 2 - 6х + 7 = 0
11. Решите уравнение х |х | - 9х - 10 = 0.
-9 - ViT
- 9 - у / П , -9 + V41
В) -1;
А) -1; 10;

2
2
Б) 10;

ViT.-9 + ViT

Г) -1; 10

2


2
12. Число —5 является корнем уравнения 2х2 + 9х + с = 0. Найдите

второй корень уравнения и значение с.
А) х 2 = 0,5, с = - 5
В) х 2 = 9,5, с = 22,5
Б) х 2 = -0,5, с = 5
Г) х 2 = 9,5, с = -22,5

т-181

б 22.

0

Квадратный трёхчлен

Определение

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида
а х г + Ь х + с, где х — переменная, а, Ь и с — некоторые
числа, причём а * 0.

Приведём примеры многочленов, являющихся квадратными трёхчленами:

2х2 - 3 х + 5; л2 + 7*; ** - 5; 3*8.

Заметим, что левая часть квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = О
является квадратным трёхчленом.
0 Определение
Корнем квадратного трёхчлена называют значение пере­
менной, при котором значение квадратного трёхчлена
равно нулю.
Например, число 2 является корнем квадратного трёхчлена х- - 6х + 8.
Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ах2 + Ьх+ с, надо решить
соответствующее квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0.
Число D = Ь2 - 4ас называют дискриминантом квадратного трёх­
члена а х 2 + Ьх + с.

Если D < 0, то квадратный трёхчлен корней не имеет. Если D = 0, то
квадратный трёхчлен имеет один корень, если D > 0 —то два корня.
Рассмотрим квадратный трёхчлен х 2 - Зх + 2. Разложим его на мно­
жители методом группировки. (Подобное упражнение, № 749, вы выпол­
няли во время подготовки к изучению этого параграфа.)
Имеем:
3 ^ - 3 3 :+ 2 = :^ - 3 :- 2 3 :+ 2 = х ( х - 1) - 2(х - 1) = ( х - 1 )(х - 2).
О таком тождественном преобразовании говорят, что квадратный
трёхчлен х3 - Зх + 2 разложили на линейные множители х - 1 и х - 2.
Связь между корнями квадратного трёхчлена и линейными множите­
лями, на которые он раскладывается, устанавливает следующая теорема.
0 Теорема 22.1
Если дискриминант квадратного трёхчлена а х 2 + Ьх + с
положительный, то данный трёхчлен можно разложить
на линейные множители:
а х 2 + Ьх + с = а(х - Ху)(х - х 2),

где T j H i j — корни квадратного трёхчлена.
182

Доказательство

Поскольку числа х ( и х 2 являются корнями квадратного уравнения
ах2 + Ьх+ с = 0, то по теореме Виета .г, + х„ =

х х = -.
а ’ 12 а
Тогда а{х - х ^ х - х2) = «(х2 - (х, + х2)х + х,х2) = а ( х 2 + - Х + - ) =
= ах2 + Ьх + с. ■*
\
а
а)
Замечание. Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю,
то считают, что квадратный трёхчлен имеет два равных корня, то есть
X] = х 2. В этом случае разложение квадратного трёхчлена на линейные мно­
жители имеет следующий вид:
ах2 + Ьх + с = а(х - x t)2.
Й Теорема 22.2
Если дискриминант квадратного трёхчлена отрицатель­
ный, то данный трёхчлен нельзя разложить на линейные
множители.
Доказательство

Предположим, что квадратный трёхчлен а х 2 + Ьх + с можно разло­
жить на линейные множители. Тогда существуют такие числа к, т и п, что
выполняется равенство ах2 + Ьх+ с = к ( х - т ) ( х - п). Отсюда получаем, что
т и п —корни данного квадратного трёхчлена. Следовательно, его дискри­
минант неотрицательный, что противоречит условию. ■*
Пример 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) х 2 - 14х - 32;

2) -х 2 + 17х - 30;

3)Зхг - 7 х + 2 .

Решение. 1) Найдём корни данного трёхчлена:

х2 - 1 4 х -3 2 = 0;
Xj = -2, х2 = 16.
Следовательно, х2 - 1 4 х - 32 = (х + 2 ) (х - 16).
2) Решим уравнение -х 2 + 1 7 х - 30 = 0. Имеем:
х2 - 17х+30 = 0;
Xj = 2, х2 = 15.
Следовательно, -х 2 + 17х - 30 = - (х - 2 )(х - 15).
3) Решим уравнение Зх2 - 7х + 2 = 0. Имеем:
Xj = —, х 2 = 2.
Тогда Зх2 - 7х + 2 = З ^ х - | j ( x - 2) = (Зх- 1)(х- 2). «
183

Ппимер 2. Сократите дробь

д^2 - - •

Решение. Разложим на множители квадратный трёхчлен, являющий­
ся числителем данной дроби. Решив уравнение 6а*123- а - 1=0, получаем:
a1 = - i , а2 = i . Т еперь мож но записать
6 а2 -

а

-1

= бГа + ^ ¥ а - ^ 1 = зГа + Л - 2 f a - i l = (3e + l)(2 a -l)

Тогда получаем:
6а2 - а - 1
9а2 - 1

Ответ:

(Зд + 1)(2а - 1) _ 2 а - 1
(За + 1) (За - 1) З а - 1 '

2 а-1

З а -1

Пример 3, При каком значении т разложение на множители трёхчле­
на 2л2 + 9л + т содержит множитель (л + 5)?
Решение. Поскольку разложение данного трёхчлена на множители
должно содержать множитель (л + 5), то один из корней этого трёхчлена
равен -5.
Тогда имеем:
2 ■(-5)2 + 9 • (-5) + т = 0;
тп = -5.
Ответ: т = - 5. ч

fifcl 1. Какой многочлен называют квадратным трёхчленом?
2. Что называют корнем квадратного трёхчлена?
3. Что называют дискриминантом квадратного трёхчлена?
4. В каком случае квадратный трёхчлен не имеет корней; имеет один
корень? Имеет два корня?
5. В каком случае квадратный трёхчлен можно разложить на линей­
ные множители?
6. По какой формуле квадратный трёхчлен можно разложить на ли­
нейные множители?
7. В каком случае квадратный трёхчлен нельзя разложить на линей­
ные множители?
I Упражнения
751.

\

Найдите корни квадратного трёхчлена:
1) л2 - х - 12;
4) 16л 2 - 24*: + 3;
2) я2 + 2л - 35;
5) 4а2 + 28* + 49;
3) Зл2 - 16л + 5;
6) Зл2 + 21л - 90.
184

752 . М ож но л и р а зл о ж и ть н а
l j x 2 - 1 2 х + 6;
3)
2) Зх2 - 8л: + 6;
4)
753 . Разлож ите н а л и н е й н ы е

754 .

755 .

л и н е й н ы е м нож ители квадратны й трёхчлен2 а 2 - 8 а + 8;
- 6 6 2 + 6 + 12?
м н ож ители квадратны й трёхчлен:

9) ± 6 2 - | б + 1;
D
6
2) х 2 + 8 х + 15;
6) бас2 - 5 х - 1;
10) - 2 х 2 - 0,5х + 1,5;
3) лт* —З лг — 10;
7) 4Х3 + З х - 22;
11) ОДх2 - 2х + 2,5;
4) - х 2 - 5 х - 6;
8) - З а 2 + 8 а + 3;
12) -1 ,2 m 2 + 2,6m - 1.
Р азлож ите н а л и н е й н ы е м нож ители квадратны й трёхчлен:
1) х 2 - 7 х + 12;

5) —х 2 + х + 2;

1) л 2 - З х - 18;

4 )5 х 2 + 8 х - 4 ;

7) —\ х 2 —2 х —3;
4

2) х 2 + 5 х - 14;
3) - х 2 + З х + 4;
С ократите дробь:

5) 2а 2 - З а + 1;
6) 4б 2 - 1 1 6 - 3 ;

8) 0 ,3 т 2 - З т + 7,5;
9) х 2 - 2 х - 2.

х2 + х - 6 .
х +3

3)

х —4
х 2 - 10х + 24 ’
756. С ократите дробь:
х 2 - 6х + 5 .

Зх - 15
х 2 - х - 20 ’

х 2 - Зх + 2 .
4)
6х - 6 ’

2)

2х +12
х 2 + Зх - 18 ’

5)

х 2 - Зх

х 2 + 4х
6)
х 2 + 2х - 8

3)

х 2 + 9х + 14
х 2 + 7х

757 . С ократите дробь:
1

)

4а2 - 9 .
2а2 - 9а - 18

2б2 - 76 + 3 .
4б2 - 46 + 1 ’
758. С ократите дробь:
4х2 + х - 3

х 2 —1

:

2уг + Зг/ - 5 .
У2 - 2г/ + 1 ’

3)

с2 - 5с - 6

4)

т■
’ -1
m2 + 9 т - 10 ’

3)

,2 5а + 4 .
а______
а2 - а - 2 0 ’

4)

3 + 206 - 762
762 —66 —1 '

5)

6)

х 2 -1 6
4л2 - 9л + 2
2 + 9л - 5л2 ’

759 . П ри каком значени и 6 разлож ение на линейны е множители трёхчлена.
1) 2Х2 - 5 х + 6 содерж ит м нож итель (х - 3);
2) -4Х2 + 6 х + 2 содерж и т м нож итель (х + 1);
3) Зх2 - 4 х + 6 содерж ит м нож итель (Зх - 2)?
185

а разложение на линейны е множители трёхчлена:
1) Ъс1 - 7х + а содерж ит м нож итель (х - 4);
2) 4х 2 - а х +6 содерж ит м нож итель (2х + 1 )?
761 . У простите выражение:
1)
9а2 - 4
а- 2 , а- 1 .
2а2 - 5а + 2 За + 2 1 - 2а
7 6 0 . При каком значении

2)

3)

1
6-4 (
6-1
63 6 Л 262 +36 + 1 ~ 62 - 1
с+2
с2 - с - 6

с2 + Зс

- 6с + 9 7 (2с - 6)2 ’

4 т - 6 ^ 4 т ■ 16

т -4
т + 1 т 2 - З т - 4 ,/ 2 т - 3
762 . Докажите, что при всех допустимых значениях а значение выраже­
ния не зависит от значения переменной:
5а + 6 9а - 8 .
25а2 - 36
1)
10а2 - 9а + 2 5а - 2 1 - 2а
4)

,

4
2а+ 1
2а t 1
а +3 '
^ а + 3 а -- 1 а2 + 2 а - 3
763 . П остройте граф ик функции:
,,
_ х 2 - 6х + 5 .
Зх2 - 10х + 3
2) У =
;У ~
х -1

х- 3
х +2
764 . П остройте график функции:
- 2х - 8
х 2 - х - 2 х 2 - х - 30
2) Д
1) у = - х - 4
х +1
х +5
21

765 . Разложите на множители многочлен:
1) х 2 - 6x7/ + 5г/2;
3) Зяг2 - 8ягя - З я 2;
2) а 2 + ЬаЪ — 3662;
4) 4¾2 —5осу + у 2.
766. Разложите на множители многочлен:
1) а 2 - 14а6 + 40б2;
2) 1262 + Ъс - 6с2.
767 . Для каждого значения а реш ите уравнение:
1) (а2 - а - 6 )х = а2 - 9;
2) (а 2 - 8 а + 7)х = 2 а 2 - 13а - 7.
768. Для каждого значения а решите уравнение (а 2 + 7а - 8)х = а 2 + 16а + 64.
I Упражнения для повторения

769 . Сократите дробь:
3 + V3
1)
2)
2%/з

5 -^

3)

•Ло-ьБ'
186

2-Уб.

•Л-s'

4)

4а - 2
2у /о + V2

5)

9а - 62

6)

9а + 6by/а + b2 ’

ял/а - 8
а + 2\/а + 4

770. Какой из графиков, представленных на рисунке 43, является графиком движения пешехода, который шёл с постоянной скоростью?
Определите скорость движения этого пешехода.

Cjj] 771. Смешали 2 л молока жирностью 8 % и 3 л молока жирностью 6 ‘
Какова жирность полученной смеси?
Готовимся к изучению
новой темы
772. Решите уравнение:
1) д5 = 9;

5) у/х = 9;

2) д 2 = -9;
3) ( 4 х + 1)2 = 9;
773. Решите уравнение:
1)

4х - 1
х - 2


rr-Tfir— т-? - .

6) у/х = -9.
3) 5х ~ 3

х +5
х -2’

д+1

2уг - Ъ у - 2 0
-

4) (х - I)2 = 5;

У

4) у - ъ

4д - 2 _ j.

д+2
у+4

( у - 5 ) ( у + 4)

~

С__ Учимся делать
нестандартные шаги
774. Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых

нату
ральные числа. Каких прямоугольников больше: с периметром 1000
или с периметром 1002?
187

§ 23. Р еш ен и е у р а в н е н и и , с в о д я щ и х ся
к к в а д р а тн ы м у р а в н е н и я м

Решите уравнение х4 - 13х2 + 36 = 0.
ос2 = t. Тогда х 4 = t2. Подставив в исходное уравнение
вместо х2 и х4 соответственно t и t2, получим квадратное уравнение с переXX У"*
менной
t.
t2 - \3t + 36 = 0.
Решив это уравнение, находим: = 4, t,, = 9. Поскольку t = х 2, то реше­
ние исходного уравнения сводится к решению двух уравнений:
х 2 = 4 и х 2 = 9.
Отсюда х, = -2, х 2 = 2, х 3 = -3, х 4 = 3.
Ответ можно записать двумя способами: -2; 2; -3; 3 либо ±2; ±3. ■
*
Пример 1.

Решение. Пусть

0

Определение
Уравнение вида а х 4 + Ьх2 + с = 0, где х — переменная,
а, b и с — некоторые числа, причём а Ф 0, называют
биквадратным уравнением.

Заменой х 2 = t биквадратное уравнение сводится к квадратному урав­
нению at2 + bt + с = 0. Такой способ решения уравнений называют методом
замены переменной.
Метод замены переменной можно использовать не только при реше­
нии биквадратных уравнений.
Пример 2. Решите уравнение (2х - I)4 + {2х - I)2 - 2 = 0.
Решение. Выполним замену (2х - I)2 = t. Тогда исходное уравнение

сводится к квадратному уравнению

t2 + t - 2 = 0 .
Отсюда = -2, t2 = 1.
Теперь надо решить следующие два уравнения:
( 2 х - 1)2 = -2 и ( 2 х - 1)2 = 1.
Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем:
2 х - 1 = - 1 или 2 х - 1 = 1.
Отсюда Xj = 0, х,2 = 1.
Ответ: 0; 1. ч
Пример 3. Решите уравнение 6х + b4x +1 = 0.
Решение. Пусть чfx = t. Тогда х =

Отсюда t, = - | , t2 = - | .
188

t2. Получаем: Ы2 + bt + 1 = 0.

Получаем два уравнения:
^ =

4^=4

Поскольку л/х > 0, то эти уравнения корней не имеют, а следовательи
исходное
уравнение корней не имеет.
но,
Ответ: корней нет. <
Пример 4. Решите уравнение х + ^'г = — + 18.

х -6

х -6

Решение. Данное уравнение равносильно системе
Отсюда:

fx2 + 2х = 5х + 18,
[ х - 6 * 0.

х 2 - Зх - 18 = О,

х Ф 6;
[ х = -3 или х = 6,

\х Ф 6;
х = -3 .
Ответ: -3 . •*
1

Пример 5. Решите уравнение
Решение. Имеем:

х + 2‘

5

(х - 2)2

(х - 2)(х + 2)

х +2

=

0;

5(х + 2) - 4(х - 2) - (х - 2)2 _ q
(х - 2)2(х + 2)

Следовательно, данное уравнение равносильно системе
Г5(х + 2) - 4(х - 2) - (х - 2)2 = О,
\ х Ф%
[х * -2 .
[5х +10 - 4 х + 8 - х 2 + 4 х - 4 = 0,
Отсюда: [ х Ф 2,
[х ф -2;
х 2 - 5х - 14 = 0,
■х ф 2,
х * -2;
189

x = 7 или х = -2,

I

х*2,
х*-2;

х = 7.
Ответ: 7. ч
7 * 1 Какое уравнение называют биквадратным?

I Упраж нения

775. Решите уравнение:
1) я* - 5л 2 + 4 = 0;
2) х 4 - бх2 + б = 0;
776. Решите уравнение:
1) X* —29х2 + 100 = 0;
2) х4 - Эх2 + 20 = 0;
777. Решите уравнение:
1)
2)
3)

х 2 - 6х - 7
х - 7
Зх2 - х - 2

0.

1- X
х + 10

х + 10’

х 2 - 14
х +2


х +2’

х2 + Юл; _ 12х + 48
6)
х-8
х -8 ’
778. Решите уравнение:
1)

3) л4 - 2¾2 - 24 = 0;
4) X* + Зх2 - 70 = 0;
7)

х 2 + 4х

9 х + 50

х - 5

х - 5

5) 4Х4 - 9х2 + 2 = 0;
6) Зх4 + а*2 - 3 = 0.
5) 9х 4 - 10х2 +1 = 0;
6) 2х' - 5х2 + 2 = 0.

х 2 - 6х . 15- 2 х
8)
х - 3
х - 3

о


5)

п

х +1

1
*
00
1
- 2 .
I Учимся делать

нестандартные шаги
801 . На экране монитора компьютера записано число 1 . Ежесекундно
компьютер прибавляет к числу, находящемуся на экране, сумму его
цифр. Может ли через некоторое время на экране появиться число
123 456 789?

- j Когда сделаны

уро ки

4-------

Решение уравнений методом замены переменной
В § 23 вы познакомились с решением уравнений методом замены пе­
ременной. Рассмотрим ещё несколько примеров, иллюстрирующих эффек­
тивность этого метода.
193

Пример 1. Реш ите уравнение

л 2 - Зх - 6

8л:

V2 - Зх - 6

= -

2.

8л:
8
г2 - Зх - 6 = t. Тогда
S - 3 — Г Т ПОЛуЧЭеМ ГРа-

Решение. Пусть

£2 + 2t —8 = О,
нение £ ——= -2 . Это уравнение равносильно системе

£ *

0.

Отсюда £, = -4 , £2 = 2.
Т еперь реш ение исходного уравнения сводится к реш ению двух урав%2 - 3% - 6
л:2 - Зл: - 6

-4 ;
=

2.

Решите эти уравнения самостоятельно.
Ответ: -3; -1 ; 2; 6. ■*

Пример 2. Решите уравнение (2л2 + Зл - I ) 2 - Юл2 - 15л + 9 - 0 .
Решение. Преобразуем это уравнение:
(2л2 + Зл - I) 2 - Юл2 - 15л + 5 + 4 = 0;
(2л2 + Зл - I ) 2 - 5(2л2 + Зл - 1) + 4 = 0.
Пусть 2л2 + Зл - 1 = £. Тогда t2 - 5£ + 4 = 0.
Отсюда £, = 1, £2 = 4.
Следовательно, 2л2 + Зл - 1 = 1 или 2л2 + Зл - 1 = 4.
Решив эти два уравнения, получим ответ.

Ответ: -2 ;

2

2

1. ◄

Пример 3. Решите уравнение (2л2 - Зл + 1)(2%2 + 5 л + 1) = 9л2.
Решение. Выполнив проверку, легко убедиться, что число 0 не явля­
ется корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе части данного уравне­
ния на л 2, перейдём к равносильному уравнению:
2л2 - Зх + 1 2л:2 + 5л + 1 _ q
х
х
Отсюда ^2х - 3 + j ^2х + 5 + i j = 9.
Произведём замену: 2л + i - 3 = £. Тогда 2 л + 5 + — = £ + 8. Получаем
уравнение £(£ + 8) = 9. Отсюда £j = 1, t2 = -9 .
С учётом замены получаем два уравнения:
194

1) 2Х + - - 3

=

1;

2) 2л:+ - - 3 = -9 .
'
X
Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

.

Поимер 4. Решите уравнение 7^ г 4Решение. Пусть х л

= t. Тогда { х н— 1 =
х

х 2 + 1± = ( 2 - 2 .

V

Отсюда дг2 + 2 н_— = £2.

хJ

х2



X2
Такая замена позволяет переписать исходное уравнение следующим
образом:

7 1 - 2(£2 - 2 ) = 9 ;
2£2 - 7£ + 5 = 0 .

Отсюда £, = 1, £2 = | .
Следовательно, л: + — = 1 или л: + — = - .
х
х
2
Решите эти уравнения самостоятельно.
Ответ:

2. ■*

Пример 5. Решите уравнение (х2 - 2х + 2)2 + Зх(ха - 2 х + 2) = Юх2.
Решение. С помощью проверки легко убедиться, что число 0 не явля­
ется корнем данного уравнения. Тогда уравнение
(х2 - 2х + 2)2 f 3(х2 -2 .Г + 2) _ 10

х2

х

полученное в результате деления обеих частей исходного уравнения на х 2,
равносильно исходному.
Замена -У ~ 2 х + 2 _ ^ прИВОДИХ к квадратному уравнению
£2 + 3£ - 10 = 0.
Завершите решение самостоятельно.
Ответ: 2 - ^ 2 ; 2 + V2; -1 ; -2 . -«
Может возникнуть вопрос: почему при решении примеров 1—5 мы не
пытались упростить уравнения с помощью тождественных преобразований?
195

Дело в том, что использование тождественных преобразований при­
вело бы к необходимости решать уравнение вида ax'1 + Ьх3 + сх2 + d x + e = 0
(вы можете в этом убедиться самостоятельно). При а Ф 0 такое уравнение
называют уравнением четвёртой степени, при a = 0 u b * 0 —уравнением
третьей степени. Частным случаем этого уравнения, когда b = 0 и d = О,
является биквадратное уравнение. Его вы решать умеете.
В общем случае для решения уравнений третьей и четвёртой степе­
ней необходимо знать формулы нахождения их корней. С историей откры­
тия этих формул вы можете ознакомиться в следующем рассказе.
I Упражнения
Решите уравнение
1 , Зх2 - 9х _ 12 = 3;
Н
о
Зх
91 _____ ______ + -------------2----------- = 1;

’ (х + 1)(х + 2) {х - 1)(х + 4)
3) х(х + 3)(х + 5)(х + 8) = 100;
4) (х + 2)(х + 3)(х + 8)(х + 12) = 4Х2;

6) 2(х* + X + I)2 - 7(х - I)2 = 13(х« - 1);
7) ( х - 6 ) 4 + ( х - 4 ) 4 = 82.
Ответ: 1) -1; 1; 2; 4; 2) -3; 0; ~3±>^ * ; 3) -4 ±>/21; 4)-6;-4; -15±>/l29,
2

5) |; 2 ; 6) 2; 4; —1;

7) 3; 7.

Секретное оружие Сципиона дель Ферро
Вы легко решите каждое из следующих уравнений третьей степени:
х3- 8 = 0, х3+ ха = 0, xs - x = 0.
Все они являются частными случаями уравнения вида ах3 + Ьхг + сх +
+ 7 0 где х —переменная, а, Ь, с и d — некоторые числа, причём а * 0
Вывести формулу его корней —задача сложная. Недаром появление этой
формулы считают выдающимся математическим открытием XVI в.
Первым открыл способ решения уравнения вида х3 + р х = q, где р
и q —положительные числа, итальянский математик Сципион дель Ферро
(1465—1526). Найденную формулу он хранил в секрете. Это было обуслов­
лено тем, что карьера учёного того времени во многом зависела от его вы­
ступлений в публичных математических турнирах. Поэтому было выгодно
(

=

,

.

196

хранить открытия в тайне, рассчитывая использовать их в математических
соревнованиях как «секретное оружие».
После смерти дель Ф ерро его ученик Фиоре, владея секретной фор­
мулой, вызвал на математический поединок талантливого математика-са­
моучку Никколо Тарталыо (1499—1557). За несколько дней до турнира
Тарталья сам вывел формулу корней уравнения третьей степени. Диспут,
на котором Тарталья одержал убедительную победу, состоялся 20 февраля
1535 г.
Впервые секретная формула была опубликована в книге известного
итальянского учёного Джироламо Кардано (1501—1576) «Великое искусст­
во». В этой работе также описан метод решения уравнения четвёртой сте­
пени, открытый Лудовико Феррари (1522—1565).
В XVII-XVIII вв. усилия многих ведущих математиков были сосредо­
точены на поиске формулы для решения уравнений пятой степени. Получе­
нию результата способствовали работы итальянского математика Паоло
Руффини (1765—1822) и норвежского математика Нильса Хенрика Абеля
(1802—1829). Сам результат оказался абсолютно неожиданным: было дока­
зано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить
корни любого уравнения пятой степени и выше через коэффициенты урав­
нения, используя лишь четыре арифметических действия и действие извле­
чения корня.
5 24. Рациональные уравнения как математические
модели реальных ситуаций
В § 7 вы уже познакомились с задачами, в которых рациональные
уравнения служили математическими моделями реальных ситуаций. Те­
перь, когда вы научились решать квадратные уравнения, можно существен­
но расширить класс рассматриваемых задач.
197

Ппимер 1 . Из пункта А выехал велосипедист, а через 45 мин после не­
го в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на
расстоянии 15 км от пункта Л. Найдите скорость велосипедиста и скорость
грузовика, если скорость грузовика на 18 к м /ч больше скорости велосипе-

диета.

Решение. Пусть скорость велосипедиста равна д: к м /ч, тогда скорость

грузовика составляет (х + 18) км /ч. Велосипедист проезжает 15 км за ~

ч,

Поскольку грузовик проехал 15 км на 45 мин,

а грузовик - за ^ +—

то есть на — ч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение
4
15
15
л:+ 18 4
х
Решим это уравнение:
15
15
_ 3.
х х +18
4’
5
х

5
х + 18

1.
4’

20х + 360 - 20* - х2 - 18* _ Q.
4х(х + 18)
fx 2 + 1 8 х - 3 6 0 = 0,
i x * 0 ,

|х * -18.
Решив квадратное уравнение системы, получим х = 12 или х = -30.
Корень -3 0 не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км /ч, а скорость
грузовика составляет 12 + 18 = 30 (км /ч).
Ответ: 12 км /ч, 30 км /ч. ч
Пример 2. Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего
к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 ч их совместной работы
ремонт был завершён. За сколько часов может отремонтировать дорогу
каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется
на 4 ч больше, чем второй?
Решение. Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтиро­
вать дорогу за х ч, тогда второй для этого нужно (х - 4) ч. За 1 ч первая

бригада ремонтирует

х

часть дороги, а вторая-------- - часть дороги. Пер198

вая бригада работала 9 ч и отремонтировала |

дороги, а вторая бригада

работала 2 ч и отремонтировала соответственно ~ ~
в результате была отремонтирована вся дорога, то —+

дороги. Поскольку
-

=1

Полученное уравнение имеет два корня х, = 12 и х 2 = 3 (убедитесь
в этом самостоятельно). Второй корень не удовлетворяет условию задачи,
поскольку тогда вторая бригада должна была бы отремонтировать дорогу за
3 —4 = 1 (ч), что не имеет смысла. Следовательно, первая бригада может
отремонтировать дорогу за 12 ч, а вторая —за 8 ч.
Ответ: 12 ч, 8 ч. ■*
Пример 3. Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как
в раствор добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5 %. Сколь­
ко граммов соли содержал раствор первоначально?
Решение. Пусть исходный раствор содержал х г соли. Тогда его масса

была равна (х + 120) г, а концентрация соли составляла ——— . После то­
го как к раствору добавили 10 г соли, её масса в растворе составила
(х + 10) г, а масса раствора — (х + 130) г. Теперь концентрация соли со­
ставляет - - - - - что на 5 %, то есть на
больше, чем —
. Отсюда
х +130
20
зг + 120
х + 10
х
1
получаем
=
Полученное уравнение имеет два корня: х х - 30 и х 2 = -280 (убедитесь
в этом самостоятельно), из которых второй корень не удовлетворяет усло­
вию задачи.
Следовательно, раствор содержал первоначально 30 г соли.
Ответ: 30 г. ◄
Упражнения

\-------

802. Первые 150 км дороги из города Л в город В автомобиль проехал

с некоторой скоростью, а остальные 240 км —со скоростью на 5 км/ч
большей. Найдите первоначальную скорость автомобиля, если на
весь путь из города Л в город В он потратил 5 ч.
803. Первый мотоциклист проезжает 90 км на 18 мин быстрее второго,
поскольку его скорость на 10 к м /ч больше скорости второго мото
циклиста. Найдите скорость каждого мотоциклиста.
199

804. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км,

805.
806.

807.

808.
809.

810.
811.
812.

813.

выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус двигался со
скоростью на 20 км /ч меньшей, чем автомобиль, и прибыл в пункт
назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорость автомобиля
и скорость автобуса.
Поезд опаздывал на 10 мин. Чтобы прибыть на станцию назначения
вовремя, он за 80 км от этой станции увеличил свою скорость на
16 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
Из села Вишнёвое в село Яблоневое, расстояние между которыми
равно 15 км, всадник проскакал с некоторой скоростью. Возвращался
он со скоростью на 3 км /ч большей и потратил на обратный путь на
15 мин меньше, чем на путь из Вишнёвого в Яблоневое. Найдите пер­
воначальную скорость всадника.
Наборщик должен был за некоторое время набрать 180 страниц. Од­
нако он выполнил эту работу на 5 ч раньше срока, так как набирал на
3 страницы в час больше, чем планировал. Сколько страниц в час он
должен был набирать?
Первый насос перекачивает 90 м3 воды на 1 ч быстрее, чем второй
100 м3. Сколько воды за 1 ч перекачивает каждый насос, если первый
перекачивает за 1 ч на 5 м3 воды больше, чем второй?
Рабочий должен был за определённое время изготовить 72 детали.
Однако ежедневно он изготавливал на 4 детали больше, чем планиро­
вал, и закончил работу на 3 дня раньше срока. За сколько дней он вы­
полнил работу?
Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения, затра­
тив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера,
если скорость течения реки составляет 1 км/ч.
Лодка проплыла 15 км по течению реки и вернулась, затратив на об­
ратный путь на 1 ч больше. Найдите скорость лодки по течению ре­
ки, если скорость течения составляет 2 км/ч.
По течению реки от пристани отплыл плот. Через 4 ч от этой приста­
ни в том же направлении отчалила лодка, догнавшая плот на расстоя­
нии 15 км от пристани. Найдите скорость течения реки, если собст­
венная скорость лодки составляет 12 км/ч.
Катер прошёл 45 км по течению реки и 28 км против течения, потра­
тив на весь путь 4 ч. Найдите скорость течения, если собственная
скорость катера составляет 18 км/ч.
Турист проплыл — всего пути на катере, а остальную часть проехал
на автомобиле. Скорость автомобиля на 20 км /ч больше скорости ка­
тера. На автомобиле он ехал на 1 ч 30 мин меньше, чем плыл на кате200

815.

816.

817.

818.

819.

ре. Найдите скорость автомобиля и скорость катера, если всего
турист преодолел 160 км.
Междугородный автобус должен бьи проехать 72 км. После того как он
проехал 24 км, его задержали на железнодорожном переезде на 12 мин.
Потом он увеличил скорость на 12 км /ч и прибыл в пункт назначения
с опозданием на 4 мин. Найдите первоначальную скорость автобуса.
Группа школьников выехала на экскурсию из города А в город В на
автобусе, а вернулась в город А по железной дороге, затратив на об­
ратный путь на 30 мин больше, чем на путь в город В. Найдите ско­
рость поезда, если она на 20 к м /ч меньше скорости автобуса, длина
шоссе между городами А и В составляет 160 км, а длина железной
дороги — 150 км.
Турист проплыл на байдарке 4 км по озеру и 5 км по течению реки за
то же время, за которое он проплыл бы 6 км против течения. С какой
скоростью турист плыл по озеру, если скорость течения реки равна
2 км /ч?
Теплоход прошёл 16 км по озеру, а затем 18 км по реке, берущей на­
чало из этого озера, за 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей
воде, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.
Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше её числителя. Если
числитель этой дроби увеличить на 4, а знаменатель —на 8, то полу­
ченная дробь будет на ^ больше исходной. Найдите исходную дробь.

820. Числитель обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя. Если чис­

литель этой дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 4, то по­
лученная дробь будет на i меньше исходной. Найдите исходную дробь.
3
821. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное за­
дание за 20 дней. За сколько дней может выполнить это задание каж­
дый из них, работая самостоятельно, если одному из них нужно для
этого на 9 дней больше, чем другому?
822. Одному маляру требуется на 5 ч больше, чем другому, чтобы покра­
сить фасад дома. Когда первый маляр проработал 3 ч, а потом его
сменил второй маляр, проработавший 2 ч, то оказалось, что покраше­
но 40 % фасада. За какое время может покрасить фасад каждый ма­
ляр, работая самостоятельно?
823. В первый день тракторист пахал поле 6 ч. На следующий день к нему
присоединился второй тракторист, и через 8 ч совместной работы
они закончили вспашку. За какое время может вспахать это поле каж­
дый тракторист, работая самостоятельно, если первому для этого
надо на 3 ч меньше, чем второму?
201

824. В раствор, содержащий 20 г соли, добавили 100 г воды, после чего

концентрация соли уменьшилась на 10 %. Сколько граммов воды со­
держал раствор первоначально?
825. Кусок сплава меди и цинка, содержавший 10 кг цинка, сплавили
с 10 кг меди. Полученный сплав содержит на 5 % меди больше, чем ис­
ходный. Сколько килограммов меди содержал исходный кусок сплава?
Ч
826. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани А по течению
реки навстречу ему от пристани В отошёл катер. Найдите скорость
течения реки, если плот и катер встретились на расстоянии 14 км от
пристани А, скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, а расстоя­
ние между пристанями А и В равно 32 км.
827. К бассейну подведены две трубы. Через одну трубу воду наливают
в бассейн, а через другую сливают, причём на слив воды требуется на
1 ч больше, чем на его наполнение. Если же открыть обе трубы одно­
временно, то бассейн наполнится водой за 30 ч. За сколько часов
можно наполнить пустой бассейн водой через первую трубу?
828. Для наполнения бассейна через первую трубу требуется столько же
времени, сколько для наполнения через вторую и третью трубы одно­
временно. Через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч быстрее,
чем через вторую, и на 8 ч быстрее, чем через третью. Сколько вре­
мени требуется для наполнения бассейна через каждую трубу?
829. Автобус должен был проехать расстояние между двумя городами, рав­
ное 400 км, с некоторой скоростью. Проехав 2 ч с запланированной
скоростью, он остановился на 20 мин и, чтобы прибыть в пункт на­
значения вовремя, увеличил скорость движения на 10 км/ч. С какой
скоростью автобус должен был проехать расстояние между городами?
830. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 360 деталей.
Первые 5 дней он ежедневно изготавливал запланированное количе­
ство деталей, а затем ежедневно изготавливал на 4 детали больше,
и уже за день до срока изготовил 372 детали. Сколько деталей еже­
дневно должен был изготавливать рабочий по плану?
831. Чтобы выполнить некоторое производственное задание, одному ра­
бочему требуется на 12 ч меньше, чем другому, и на 4 ч больше, чем
обоим рабочим для совместного выполнения задания. За сколько ча­
сов может выполнить это задание первый рабочий?

_____
Упражнения для повторения

832. Вычислите:

1) (27 ■З^1)2;

2)

3) (109)2 • 1000Л
202

833. Найдите значение выражения а 2 - t-Jba + 2 при a = J 5 - 3 .
834. Постройте график функции у = -Ьс + 4.
1) Чему равен нуль данной функции?
2) Укажите значения х, при которых у > 0.
3) Проходит ли график функции через точку М (-36; 68)?
835. При каком значении k график функции у = - проходит через точку
у4(-%/12; 7 3 )? Постройте этот график.
836. Какое из равенств верно: Л Т з - 2 )2 = 7 з - 2 или y/(V3- 2 ) 2 = 2 - 7 3 ?
Ответ обоснуйте.
837. Упростите выражение:
1) ( i a - 'b - 3) ;

2)

;

3) (0,2ач 62)2 • 4 а5*- 4.

Учимся делать
нестандартные шаги
838. На тарелке лежит 9 кусочков сыра разной массы. Докажите, что мож­
но один из кусочков сыра разрезать на две части так, что полученные
10 кусочков можно будет разложить на две тарелки и при этом масса
сыра на каждой из них будет одинаковой.

Когда сделаны у р о к и
\ ___
Элементы математической логики
В физике, химии, биологии, экономике, социологии и других науках об
истинности утверждений можно судить, основываясь на результатах наблю­
дений и экспериментов. В этом отношении математика —наука иного рода.
Например, то, что сумма углов треугольника равна 180°, невозможно опреде­
лить лабораторным путём. Истинность математических утверждений может
быть доказана только в результате логически безупречных рассуждений.
Науку, которая изучает такие математические доказательства (логиче­
ски безупречные рассуждения), называют математической логикой. Сле­
довательно, математическая логика учит, как надо рассуждать, чтобы полу­
чать верные выводы.
Рассуждая, мы формулируем свои мысли в виде утверждений.
Рассмотрим примеры.
1. Если треугольник равносторонний, то центры его вписанной и
описанной окружностей совпадают.
203

2. Поэзия Марины Цветаевой сложна для восприятия.
3. Число к является рациональным.
4. Юрий Гагарин —первый человек, совершивший полёт в космос.
5. Число п является простым.
Утверждения 1 и 4 являются истинными, утверждение 3 —ложным.
Утверждения 2 и 5 нельзя отнести ни к истинным, ни к ложным.
Любое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить,
что оно истинно или ложно, называют высказыванием.
Следовательно, утверждения 1, 3, 4 являются высказываниями, а ут­
верждения 2 и 5 высказываниями не являются.
Высказывания обозначают прописными буквами латинского алфави­
та: А, В, С, D и т. д.
Например, пишут:
А = {Москва —столица России};
В = {5 > 7 };
С = {число 2 —простое}.
Любое высказывание является или истинным, или ложным. Если вы­
сказывание А истинно, то будем говорить, что ему поставлено в соответ­
ствие число 1, если высказывание А ложно —то число 0.
С помощью логических связок, а именно слов «и», «или», «если...
то», «тогда и только тогда» и т. п., из имеющихся высказываний можно
строить более сложные высказывания.
Например, если даны два высказывания
А = [5 > 3], В = {5 - 3 } ,
то высказывание С = {5 > 3} образовано из высказываний А и В с помо­
щью союза «или».
Примерами сложных высказываний могут также служить теоремы.
Со структурами и видами теорем вы можете ознакомиться в курсе геомет­
рии 8 класса.
Рассмотрим высказывание С = {10 : 5 и 10 : 2}. Оно составлено из
двух высказываний: А = {10 : 5} и В = {10 : 2} с помощью союза «и». Выска­
зывание С называют конъюнкцией высказываний А и В.

0 Определение
Конъюнкцией (или логическим произведением) двух вы­
сказываний А и В называют высказывание, которое
истинно, если каждое из высказываний А и В истинно,
и ложно, если хотя бы одно из них ложно.
Конъюнкцию высказываний А и В обозначают так: А л В (читают:
«А и В» или «А конъюнкция В»),
204

Возвращаясь к рассмотренному выше примеру, можно сказать, что
высказывание С является высказыванием А л В.
Также говорят, что высказывание С получено из высказываний А и В
в результате логической операции конъюнкции.
Понятно, что истинность или ложность высказывания А л В зависит
от истинности или ложности высказываний А и В . Эту зависимость удобно
представить в виде таблицы, которую называют таблицей истинности.
Так, таблица истинности для логической операции конъюнкции имеет та­
кой вид:
А
В
А л В
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Конъюнкция соответствует логической связке «и». Определим ряд
других логических операций, которые соответствуют чаще всего употреб­
ляемым способам образования высказываний в обыденной речи.
0 Определение
Дизъюнкцией (или логической суммой) двух высказыва­
ний А и В называют высказывание, которое истинно,
если хотя бы одно из высказываний А или В истинно,
и ложно, если они оба ложны.
Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают так: A v В (читают:
«А или В» или «А дизъюнкция В»),
Пусть A = (в понедельник первым уроком в расписании является фи­
зика},
В = (в понедельник первым уроком в расписании является матема­
тика}.
Тогда A v В = (в понедельник первым уроком в расписании является
физика или математика}.
Приведём таблицу истинности для дизъюнкции:
Aw В
в
А
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
Многие теоремы имеют такую логическую структуру.
если выполняются некоторые условия, то можно сделать некоторый
вывод.
205

Логическую связку «если... то» употребляют и в других науках, а так­
же в повседневной жизни. Определим соответствующую логическую опе­
рацию.
0 Определение

\-------------------------------------

Импликацией (или логическим следованием) двух выска­
зываний А м В называют такое высказывание А => В
(читают: «если А, то В»), которое ложно при условии, что
высказывание А истинно, а высказывание В ложно,
а во всех остальных случаях оно истинно.
В импликации А => В высказывание А называют условием, а выска­
зывание В —выводом.
Приведём таблицу истинности для импликации:
А=>В
В
А
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
Заметим, что первые две строки этой таблицы полностью соответ­
ствуют нашему бытовому пониманию слова «следует»: если из истины сле­
дует истина, то это правильно (первая строка таблицы); если из истины
следует ложь, то это неправильно (вторая строка таблицы).
Третья и четвёртая строки показывают, что импликация не полно­
стью соответствует логике, которой мы придерживаемся в бытовом разго­
ворном языке. Вряд ли в повседневной жизни мы руководствуемся таким:
«если из лжи следует правда или из лжи следует ложь, то такие высказыва­
ния истинны».
Например, в силу определения импликации каждое из высказываний
(если 2 х 2 = 5, то Волга впадает в Каспийское море)
и
{если 2 х 2 = 5, то Волга впадает в Белое море)
истинно.
Вместе с тем понять целесообразность принятого определения им­
пликации помогает такой пример.
Пусть х - целое число. Утверждение «если х : 10, то х : 5», безуслов­
но, истинно во всех случаях.
Если подставить х = 1, то получим истинное высказывание «если
1 : 10, то 1 : 5», иллюстрирующее четвёртую строку таблицы.
206

Если подставить х - 5, то получим истинное высказывание «если
5 : Ю, то 5 : 5», иллюстрирующее третью строку таблицы.
0 О пределение

\\----------------------------------------

Эквивалентностью (или двойной импликацией) двух вы­
сказываний А и В называют высказывание, которое
истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба
ложны, и ложно, если одно из них истинно, а другое
ложно.
Эквивалентность высказываний А и В обозначают так: А В (чита­
ют: «А эквивалентно В» или «А тогда и только тогда, если В»),
Приведём таблицу истинности для эквивалентности:
А
В
А £
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Рассмотрим два высказывания:
А = {2 = 5} и 5 = (2 >5}.
Эквивалентность Л « В = {2 = 5 тогда и только тогда, если 2 > 5) яв­
ляется истинным высказыванием, так как оба высказывания А и В ложны.
Рассмотрим логическую операцию, соответствующую частице «не»
в обыденной речи.
0 Определение
Отрицанием высказывания А называют высказывание,
которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно,
если высказывание А истинно.
Отрицание высказывания А обозначают так: А (читают: «не «4» или
«неверно, что А»).
Приведём таблицу истинности для отрицания:
А
А
0
1
1
0
Комбинируя между собой логические операции, можно получить ло­
гические выражения. Записи А л В, (A v В) л С, А => В, А В являют­
ся примерами логических выражений.
207

Пример. Составьте таблицу истинности для выражения (А л В) v С.
Решение. Имеем:

И

А

в

с

1
1
1
1
0
0
0
0

1
1
0
0
1
1
0
0

1
0
1
0
1
0
1
0

Определение

АлВ
1
1
0
0
0
0
0
0

(А л B ) v С
1
1
1
0
1
0
1
0

\---------------------------------Высказывания А ч В называют логически эквивалентны­
ми, если они или оба истинны, или оба ложны.

Пишут А = В.
Иными словами: А = В тогда и только тогда, если А В является ис­
тинным высказыванием.
Покажем, например, что А => В = A v В для любых высказываний А
и В. Для этого составим таблицу истинности для выражения A v В и срав­
ним её с таблицей истинности для импликации А => В:
А

В

А =* В

1

1

1

А
0
0

Av В
1
0

1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
Столбики, соответствующие логическим выражениям А => В и A v В,
совпадают. Это означает, что эти высказывания логически эквивалентны.
Логические операции обладают целым рядом свойств. Например,
A v В = В v А.
В этом легко убедиться, сравнив таблицы истинности для выражений
A v В и B v А.
Также несложно установить, что, например,
А л В = В л А,
(А л В) л С = А л (В л Q .
Свойства логических операций позволяют одно истинное высказыва­
ние заменить другим высказыванием, ему логически эквивалентным. Это
позволяет строить общие схемы верных логических рассуждений, что, соб­
ственно, и составляет предмет математической логики.
208

Отметим, что математическая логика, как правило, не занимается вы­
яснением истинности одного отдельно взятого высказывания (например,
определить, впадает ли Волга в Каспийское море, - дело географии, а не
логики). В то же время вопрос об истинности разнообразных логических
выражении занимает важное место в этой науке. Поэтому в математической логике особую роль играют те логические выражения, которые всегда
являются истинными, независимо от истинности высказываний, из кото­
рых они образованы. Такие логические выражения называют тождествен­
но истинными или тавтологиями.
Рассмотрим выражение A v А и составим для него таблицу истинности:
А
А
AvA
1
0
1
0
1
1
Третий столбик таблицы показывает, что выражение A v А является
тавтологией, которую называют законом исключения третьего. Этот за­
кон совершенно понятен с точки зрения повседневного опыта. Он утверж­
дает, что одно из двух высказываний, А или А, истинно.
Подчеркнём, что тавтологии позволяют нам строить истинные вы­
сказывания, поэтому они наиболее интересны для логики.
Интересно отметить, что математическая логика сыграла существен­
ную роль в создании компьютеров.
Наверное, вы слышали, что современные компьютеры в своей рабо­
те основываются не на десятичной системе счисления, к которой мы при­
выкли, а на так называемой двоичной системе счисления, когда каждое чис­
ло кодируется последовательностью нулей и единиц1. Управление работой
компьютера выполняется с помощью команд, которые также кодируются
нулями и единицами. Аппарат математической
Рис. 44
логики оказался необычайно удобен, потому
что каждое логическое высказывание также ха­
------- © -------рактеризуется нулём или единицей: истинному
-0 N
высказыванию ставим в соответствие единиц)’,
М 0ложному высказыванию —нуль.
--------® -------Для реализации операций над высказы­
ваниями в первых компьютерах использова­
лись электрические схемы. Например, для
Рис. 45
операций дизъюнкции и конъюнкции можно
использовать электрические схемы, изобра­
жённые соответственно на рисунках 44 и 45
1 Технически реализовать такое кодирование довольно просто: поданное на
провод напряжение означает единицу, а отсутствие напряжения - нуль.
209

(в современных компьютерах электрические схемы
заменены полупроводниковыми микросхемами).
Какие же электрические схемы соответствуют
другим логическим выражениям, например имплика­
ции? Существуют ли такие схемы вообще? И если су­
ществуют, то как их найти?
Оказывается, для построения электрических
аналогов любых (даже самых сложных) логических
выражений можно обойтись только схемами для
дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.
В заключение отметим, что математик Эмиль
Эмиль Леон Пост
Леон Пост нашёл простые общие условия, позволя­
1897— 1954
ющие дать ответ на вопрос, можно ли произволь­
ную таблицу истинности выразить через набор заданных логических вы­
ражений. С этой чудесной теоремой вы ознакомитесь, если продолжите
изучать математику в университете.

Г

I Упражнения

1

.

2.

3.

4.

\ ___

Какие из данных предложений являются высказываниями:
1) 5 > 5;
2) д: < 5;
3) что больше, sin 30° или cos 45°;
4) если четырёхугольник ABCD —параллелограмм, то А В = CD\
5) число 1 не является ни простым, ни составным;
6) неверно, что 5 —действительное число;
7) все кошки серые?
Даны два высказывания:
А = {5 < 6}, S s { 6 - простое число}.
Определите, истинным или ложным является высказывание:
1) А а В3) А =$ В;
5) Л;
2) A v В;
4) А о В6) В.
Составьте таблицу истинности для логического выражения:
1) A =* В 3) (А л В) => С5) (А л С) =>В.
2) (A v В) л С4) (А => В) л (В v С);
Докажите, что:
1) А =А4) A w (В л С) = (A v В) л (A v С);
2) А л А = А ;
5) Aw В = А л В;
3 ) A w B = B wA ;
■6) (А =>Д)= В => А.
210

Задание № 6 «Проверьте себя» в тестовой форме
1. Найдите корни квадратного трёхчлена 5х2 - х - 6
А) 2; -0,6
Б ) -2; 0,6
В) 1; —1,2
Г )-М 2
2 . Разложите на множители квадратный трёхчлен - х Р - 4 х + 5
А ) ( х - 1 ) ( х + 5)
В)-(х-1)(х+5)
Б) (х + 1 ) ( х - 5)
Г) —(лт+ 1 )(лг-5)
3 . Сократите дробь Л + 7х + 12
х- + х - 6
х+4
х- 4

х+4
Б)
В)’ х + 2
х -2
' х-2
4. Решите уравнение х 4 + l x 1 - 18 = 0.
А)

А) -3; 3

Б) -л/2;

Г)

Х-4
х +2

В) -3; -^2; V2; 3

Г) -72; 3

5. Найдите корни уравнения (хР - 4л:)2 - 2(хР —4жг) —15 = 0.
А) -1; 1; 3; 5
Б) -1; 5
В) 1; 3
Г) 1; 3; 5
6. Решите уравнение х - -Jx - 1 2 = 0.
А) -3; 4
Б) -2; 2
В) 16
у-2 _ 0

Г) 9; 16

у

7. Решите уравнение -------= —— .
г
х- 3
х- 3
А) -2
Б) 3
В) -2; 3
8. Решите уравнение

А )-|;2

- -

-

л:

1 ------------ —
т-2

=

Б)|;-2

л:2 - 2л:
В) - |

Г) -3; 2
.
Г) 2

9 . Из одного города в другой, расстояние между которыми равно

350 км, выехали одновременно грузовой и легковой автомобили.
Скорость грузовика на 20 к м /ч меньше скорости легкового авто­
мобиля, в результате чего грузовик прибыл в пункт назначения на
2 ч позже легкового автомобиля.
Пусть скорость грузового автомобиля равна х км/ч. Какое из
уравнений является математической моделью ситуации, описан­
ной в условии задачи?
350
350
350
350
= 2
= 2
В)
х
X
х + 20
х + 20
350
350
350 , 350
= 2
=2
Г)
х
:х - 20
X
х + 20

2X1

-\
10 . Катер прошёл 30 км по течению реки и вернулся обратно, затра­

тив на весь путь 3 ч 10 мин. Скорость течения реки равна 1 км/ч.
Пусть собственная скорость катера составляет х км/ч. Какое из
уравнений соответствует условию задачи?

ро

°

30
* +1

_ g ]

II

Б)

Зв

*

30 + 30 =
X
+1

*

30 + _ 3 0 _ ■ н
X - 1
+1

п\

X -1

* loo

J2 _ +
А) * + 1 +

Г)

11 . Рабочий должен был за некоторое время изготовить 96 деталей.

Ежедневно он изготавливал на 2 детали больше, чем планировал,
и закончил работу на 3 дня раньше срока.
Пусть рабочий изготавливал ежедневно х деталей. Какое из урав­
нений является математической моделью ситуации, описанной
в условии задачи?
96

96
96
А) —
0
В) — = 2
' х
х-2
' х х-3
96
96 _ 9 6
^ =3
Б)
Г)
*- 2 ' X
X- 3 х
12 . Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое про­
изводственное задание за 10 ч, причём первый из них может вы­
полнить это задание самостоятельно на 15 ч быстрее второго.
Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание
за х ч. Какое из уравнений является математической моделью
ситуации, описанной в условии задачи?
В) ™ + ^ ° - = 1
А) — + 15 ■1
' х 10
х * + 15
15 | 15
10
+ _10
Б)
Г)
*
*-10
* * 15

212

/“

Итоги главы 3
Уравнение первой степени
Уравнение вида ах = Ь, где х — переменная, а и 6 — не­
которые числа, причём а ф О, называют уравнением пер­
вой степени.

Квадратное уравнение
Уравнение вида ах 2+ Ьх + с = 0, где х — переменная, а, 6,
с
некоторые числа, причём а Ф 0, называют квадратным
уравнением.

Приведённое квадратное уравнение
Квадратное уравнение, первый коэффициент которого
равен 1, называют приведённым.
Неполное квадратное уравнение
Если в квадратном уравнении ах 2 + Ъх + с = 0 хотя бы один
из коэффициентов 6 или с равен нулю, то такое уравнение
называют неполным квадратным уравнением.

Решение неполного квадратного уравнения
Коэф ф и ц иен ты
уравнения
ах 2 + Ъх + с = 0

Ъ = с= 0

ах 2 =

0, с = 0

6 = 0, - -

а

< 0

6 = 0, - - > 0

а

Корни

х=0

0

О
II

Ьф

Н еп ол ное квадратное
уравнение

хл- 0, х9 =
1

ах 2 + с

а

К о р н е й н ет

= 0

ах 2 + с =

-

Гс
Г~С
Хл ~ \1 ' Хс, — \
1
V а
V а

0

Дискриминант квадратного уравнения
Для уравнения вида ах 2 + Ъх + с = 0, где а ф 0, его дискри­
минант D — это значение выражения 62 - 4ас.

213

Решение квадратного уравнения
Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня x t
- ъ - J d ---------------------------------------- ь +J d
u v 1 v
— ________ v
' -*2


Теорема Виета
Если
и х 2 — корни квадратного уравнения а х 2 + Ьх + с =
= 0, то

+ *2= ■

X1Л\, -

Теорема, обратная теореме Виета
^
Если числа а и р таковы, что а + Р = - — и ар = —, то эти
числа являются корнями квадратного уравнения а х 2 +
+ Ъх + с = 0.
Квадратный трёхчлен
Многочлен вида а х2 + Ьх + с, где х — переменная, а, Ь
и с — некоторые числа, причём а * 0, называют квадрат­
ным трёхчленом.
Разложение на множители квадратного трёхчлена
с положительным дискриминантом
Если дискриминант квадратного трёхчлена а х г + Ьх + с по­
ложительный, то данный трёхчлен можно разложить на ли­
нейные множители: а х2 + Ьх + с = а(х - лс2), где х х
и х 2 — корни квадратного трёхчлена.
Биквадратное уравнение
Уравнение вида ах4 + Ьх2+ с = 0, где х — переменная, а, Ъ
и с — некоторые числа, причём а ф 0, называют биквад­
ратным уравнением.

214

упражнения для повторения курса алгебры 8 класса
839. Найдите значение выражения:
1)

- т ~ п- , если т = -4 , п = 3;

2)

' т + 2п

а‘ -2а

, если а = -0,8.

4а + 2

840. П ри каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) 7 6 - 1 1 ;

3

6)

х- 1

8+—
х

5

7)

2) х

П)

х - 6’

12)

Xs + 3 ’

6- 1



х
х-2 .

5
2-г/’

8 ) 1x1 + 7 ’

от - 3

9) х2 - 25 ’

13)

4

7
3 + 1.
4-t’

10)

14)

1
(х - 3)(х - 4)
х +8
(х + 8)(х - 3)

1x1 - 5 ’

841. Сократите дробь:
8а2с3

1) 4а3С‘
25оти2

2) 75тл8гг ’

60аъЬс21р .
3) 18а462А 1 ’
42х8г/9

4) 14х6г/3



842. Представьте частное в виде дроби и сократите полученную дро ь.
1) 4 тп2р : (2 8 т 2и р6);
3) -63хг/9 : (-72хл/7).
2) - З О л У : (36* У ) ;
843. Сократите дробь:
1)
2)

Зх - 6г/

Зх
За + 9Ь .
4а + 12й’

3)

а2 - 4 9 .
З а + 21’

4)

12х2 - 4 х .
2 - 6х ’

хг -9

,

6)

ab + c2 + а с -Ь ~ ’

1+64.

7) За+ 12
хЪ -Ъ у + ЪЬ - ху ш
8)

х5г/7 ■■* У
х3г/7

7т2 - 7ст + 7 .
14от3 + 14

ln. a2 + te-fe2 + ас.

У +Ь\
62 + Ьъ ’

х2 -25

844. Найдите значение выражения.
1)

9)

5) х2 + 6х + 9 ’

если х = -0,2, г/ - 0,5;
215



20отп2 - 20от2и + 5от3 .
Ю тя - 5 т 2
х2 - г/г+ хг - Г

12) х2 + г/г- хг - г/2

4а2 - 36
2) 5а2 - 30a + 45 если а = 2;
ON (За + Зй)2
' За2 - Зй2



1
3

и

20л:2 - 140лр + 245р2
, если 2 х - 7 у = -0 ,5 .
\ х - 14у
845. Сократите дробь (п — натуральное число):
■5"
10 0 "
3)
1) 22 л +3 . g2n +l !
2-5"
2%п+\ , jn+l
18"
4)
2)
6-28” ’
' 32"+2 • 2"+3 ’
846. Для каждого значения а реш ите уравнение:
4)

1) {а + 2)х= 7;

5)

41 • 9"
9"+2 + 9" '

3) (а + Ъ)х = а2 + 6а + 9;

2) (а + 6)х = а + 6;
4) (а 2 - 4 ) х = а - 2.
847. Представьте в виде дроби выражение:
X+у
X .
6а2 - 4а _ а 2 + а
1) ^ +
4)
15а
15а


' 22
22
а _ a - й.
8* 5л:.
* -р
ж+ у .
5)
2)
Зг/ З р ’
8
8 ’
8
8 ’
7 л :-2р Зх + 7у
. . 7р - 17 7 2Р.
Юл:- 6
4л:+ 11
6 )Т
+ -5 Й
’ 15р
15р ’
848. Упростите выражение:
Ту
14 .
(За - I)2 ' (а - З)2
1)
5)
4а - 4
Р2 - 4 р2 - 4 ’
4 - 4а
У2 - З у 7р - 25
л:2 -Зл:
л: - 4
2)
6)
25 - р2 25 - р2
(2 - л:)2 (х - 2)2 ’
9р + 5 Юр -1 2 9р - 1
_7_____ й _ .
7)
Зр + 6
"Зр + -6 + Зр
• + 6’
а -2
2- а ’
4) ^ ± 5 + 5л:+ 11
6а _ 4а
8)
3 - х 1 л: - 3
5- а а - 5"
849. Выполните действия:
_5_____ 7__
1) I - » ;
3)
24лл/ 18лл/ ’
* У
5й2 - 8й +1 2й - 1
а2*2
а2й
850. Выполните действия:
2а - 1
За + 2
х +2
1)
2)
а - 4 2(а - 4) ’
Зл: + 9 5л: + 15 ’
4)

216

3)

ш+1
m -Ъ

m+2
-3 ’

*

4) * + г/

2г/2
у2 - * 2

т

5) Ът - 2п

У .
х -у’

7)

З т 2 - Зтя
9 т 2 - 12т + 4я2

За - 3

8) 2

а- 1
2а2 - 4a + 2 ’

m-2

а+3
а - 2 , а + 2.
2x + l
8
2x -1
6)
9)
-2a 5a -1 0
5a ’
-г2 - 6x + 9 x 2 - 9 x 2 + 6x + 9 '
851 . Докажите тождество:
1
1
= 0.
( b - c ) ( c - a ) (a - b)(c - b) ( a - c ) ( b - a )
852 . Запиш ите дробь в виде суммы целого выражения и дроби:
а- 7
а- + 2а - 2 .
j :- + Ъх - 2
2)
1)
3)
а +2 '
х-3
'
853 . И звестно, что — = 4. Найдите значение выражения:
Ъх + 4у
2)
*
X
854 . Найдите все натуральные значения /г, при которых является нату­
ральным числом значение выражения:
12я2 - 5 я + 33
я3 - 6п2 + 54
10 - 4тг.
12 -З я
2)
1)
3)
4) п
п
855 . Выразите переменную х через другие переменные, если:
1)

1) * + ? = !;

2) - + - = 6;
д: а
856 . Докажите тождество:
1
1) а 2 + 1 2 а + 36 3 6 - а 2 а2 - 1 2 а + 36

3) fо + 74 = -а
144
(а2 - 36)2 ’

62
2) ( а - 6 ) ( а - с ) ( Ь - а ) ( Ь - с ) (с - а ) ( с - Ь ) = 1 .
857 . Упростите выражение:
1
.
1
,
1
, ____
а(а + 3) (а + 3)(а + 6) (а + 6)(а + 9) (а + 9)(а + 12)
858 . Докажите, что если а + ^ + - = а Ъ
, ~ , то b = 0 или с = 0.
Докажите, что если а + о - с
а-о-с
859 . Выполните умножение:
5) ^ 4 -34м5;
16а4 9б2 .
1) 9х У .
) 21А5 10а3 ’
’ 16а3
у 24* ’
4 * У 21*62 2Ьаъу
Зя2
т 2я3 7 -5£ Y
6 ) 7а Ч ’ 10г/3а 2 ’ 3 * 46 '
4) 2 6 т 2
^ 25t у т я 2 J ’
13т4
217

8 6 0 . В ы п олни те умнож ение:
,ч 2 ху - у2

'

9

3 6.

3)

г/4 ’

т 2 - 81
т - -64
т 3 - 9т2 т 2 + 8 т'

2 х 2 - 16 л: + 32
х3 + 8
а- - Tab a 2b + 2ab2 .
4)
Зл:2 - 6х + 12 4л:2 - 64
я2 + 2а6 а 3 - 7я2й
8 6 1 . П ред ставьте вы раж ен и е в виде дроби:

2)

3)

10л:2г/5
За463

4)

2а 4Ь4
25л:5

8 6 2 . Вы п олни те деление:
- Юл: + 25 х - 5
1)
л: - 10 ’
-100

2)

а 2 - 1 . а 2 + 2а + 1 .
а- 8
а- 8

3)

ab + b2 . ab + а 2



\3

5)

5л:2 f
4 a2i 3 У
л:2 - 16у 2
25л:2 - 4г/2

х 2 + 8ху + 1 6 у 2
25л:2 + 20ля/ + 4г/2 ’

п2 - За
а 4 - 27а
49а2 - 1 ‘ 49а2 - 14а + 1 ’

7)

т 12 - а 15 . 5аг8 + 5аг4а 5 + 5а10.
2аг10 - 8а14
Заг5 + 6а7

5а2 - 20ab . 30(а - Щ 2
За2 + 62
9а4 - Ь4
8 6 3 . П олагая данные дроби несократи м ы м и , зам ен и те х и у таки м и одно­
членами, чтобы получилось тож дество:
х
у 6я3с2 .
3 6 т 2а4 . у _ 21а
1)
2)
7а263 4с
Ъ ’
w
х
' 35р6
5агр3 '
35 р 6
2с-3

4) с - 1 : ( 2 с - 3 ) ;

8)

8 6 4 . Дано: З х - — = 8. Н айдите значен ие вы раж ен и я 9 х 2 + - i- .
х
xi
8 6 5 . Дано: 4 х 2 +

= 6. Н айдите значен ие вы раж ен и я 2 х - —.

8 6 6 . У простите вы раж ение:

gSk
1)

2)

gfik
■—5ТГ’ Где к и п — целы е числа;

ак+ь . Ьк+з

ак+ъ . bk+2

„ 34+2

„ 24+1

Зч (X" + З у")2 - 12х” у ” .

где k — целое число;
X2" - 9у;,2 п

, где п — целое число.
х 3" + 27у3п
' (хп - 3у ")2 + 12х пу п
8 6 7 . У простите вы раж ение:
а + 4 а - 4 "| 1 6 - а 2 ,

14х - 5 0 .
1)
2) 7 х а- 4 а+4
32а 3 ’
Зх - 9 ’

J

218

3) ^

a- 2

.

32
8 - 4 a 7a + a 2 ’

+ fl

7c

4)

9c
c- 8

5)

a+6

6)

6 , 3 6 + 62
6 + 6 3 6 -6 2

V)

. 9c - 65
c‘.2 - 6 4

- 16c + 64

8c + 64
c- 8

a
a-b

a2
a 2 + ab + 62

a2
a 2 -62

66 62

+
6 - 6 J ' (6 - 6)2 ’

_____
2x

1 —x

X3 + 1

X 2 —X + 1

|

2

2x + 1 . x - 1
4
'х +Г

X —1

868 Докажите, что при всех допустимых значениях а значение выражения
4(2а - З)2

1

Д а-3)2

9-а2

(а + З)2 ) ' {аг - 9)(а2 - 27)

не зависи т о т значения а.
869. У простите вы раж ение:
25
а+
а + 10 .
2) 1 1)
25

2а2

9-а2

-

1

ал -1

870. Решите уравнение:
1)

+ 6 _ 2х +3

2)

-16
х +4

3) 4 4

2х + 5

+

Зх
Зх - 2

5х2 + 8 _ 2х - 1

8:

Зх - 1

4) х 2 - 16 х + 4 4 - х '
871. Для каждого значения а решите уравнение:
1) ^

х+а

= -

= 0;

2)

^

дг-1

=

0.

872. Найдите значение выражения:

1) 2~3 + 4-2;
-2

2)

+ (-1 ,8 ) - 5 "!;

3)
4) 2“3 - б-1 + 3“

873. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней

с отрицательными и нулевыми показателями.
Зх- V *-12
()\ i,o o i°m ^ » r V
2"3а_п616с~22
} 7а°6~3с4 ’
219

874. П редставьте вы раж ение в виде степени с основанием а или произ­

ведения степеней с разны м и основаниями:
9) (а-12)-2;
1) аг1 ■а 10;
10) (а"3)4 : (а"2)5 : ( а '1)-7;
2) а -9 ■а 5;
3) аР • а"4
11) ( т г 3п!*р,УА;
12) (а -'б '2)-3;
4) а"2 : а 3;
13) (дА/"4)5 • (лг2г г 3)3;
5) а 12 : аР\
6) аг 1 : а " 11

Г a 11*-7 N~3
14) I c - V .

7) аг

15) (4г

8) (а 3)-5;
875. Н айдите значение выражения:
1) 11-23 • I I 25;
3) 4“16 : 4“12;
2) З17 • 3“14;

5) (14“10)5 • (14“6)"8;
3 - ! 2 . ( 3 -6 )-3

4) 10“ 15 : 10“ 14 • 10"2;

6)

( З" 3 ) " 4 - ( З " 1 )2 '

876. Найдите значение выражения:

1) 25“3 • 58;

3) 10-10 : 1000-3 • (0,001)"

2) 64"3 : 32“

4)

5)

( - 27 )-1 2 . Э5

6)

8 Г4 • 3“

154 ■б"6
45“3 • З9 ’
(0,125)“8 -16“7
32“2

877. Упростите выражение:

1) | х~ъу ъ - | х 4гг7;

7) ( - 5 а “3* 2с"2)“2 ■(0,1а2*“3с)"3;

2) 0,2 a12Zr9 • 50а“10* 10;

8) 0,1 тгг5п4 ■(0,01те“3и )“2;
9) - 6 i f l “764 - Г | а - 262' 3

3) - 0 ,3 а 10*7 • 5 а“% в;
4) 0,36 агъЪъсъ ■ ^ -2 ^ j a 4* A r 5;

10) - ( 4 а " 1* 3)-2 Л - 1 а3Ь-3

5) 2*7 • (-Ззт2г/3)3;

П)

6) (а 2*9)"3 • (-2 а 4* 10);

12)

878. Упростите выражение:

1) (а“5 - 1)( 4.
1) Н айдите/ ( - 0 , 5 ) , / ( 0 ) , / ( 4 ) , /( 9 ) .

2) Постройте график данной функции.
225

918.

919

.

920

.

921

.

922

.

Решите уравнение:
5) х 2 + 6х - 15 = 0;
1) х2 - 4 х - 32 = 0;
6) Зх2 - х - 5 = 0;
2) х2 - 10х+ 21 = 0;
7) 4х2 + 28х + 49 = 0;
3) бх2 - 5х + 1 = 0;
8) х 2 - 16х + 71 = 0.
4) 8 Х 2 + 2х - 3 = 0;
Решите уравнение:
1) (х - 4)(х + 2) - 2(3х + 1)(х - 3) = х (х + 27);
2) (4х - З)2 + (Зх - 1)(3х + 1) = 9;
3) (х + 4)(х2 + х - 13) - (х + 7НХ2 + 2х - 5) = х + 1
. 2(х2 -9) х + 1 _ х - 41 .
4)
5
2 ~ 4 ’
х2 +5х х + 3 2х2 - 2
8
'
5)
3-------- 2 ~ ~
Дття каждого значения а решите уравнение:
3) й¥ - 10 0, то один корень; если а < 0, то корней нет.
608. 27а +1 при а > 1; 3 при 0 < а < 1. 6 0 9 . 12 при а > 36; 27а при
О < а < 36. 610. 63 кг. 611. 3 км/ч. 613. 1 ч 12 мин. 630. 6; 7. 631. 9; 10.
633. 1) 0; 14; 2) корней нет. 634. 1) 0; | ; 2) -272 ; 272. 640. -3; -2 или 3; 4.
641. -1; 0 или 0; 1. 642. 1) 4; 2) 0; -8; 3) -9; 9. 647. 1) 0; -3; 3; 2) 0; 1; 3) 1;
4) -2; 2. 648. 1) 0; 7; -7; 2) 0; 5; -7; 3) -1,5; 1,5. 649. 1) 2; 2) 3; 3) 0,5; -2; 4) та­
кого значения не существует. 650. 1) а = 4, х 2 = -4; 2) а = 0, дг2 = 2 или

а = -1, х2 = | ; 3) а = 3, х 2 = -2. 654. 35. 661. 1) 1; - | ; 2) 1; 9; 3) 3 ± ^

.

662. 1) 2; - | ; 2 ) - 3 ; 7 .6 6 3 . 1) 4;-3,5; 2) 1; - 7 - ; 3) 2; | ; 4 ) - 3 ± T l5 ;5 ) 3; 6;
э

6)

/

^

2.D

^

3

; 3) корней нет. 665. 7. 666. 38 см.

667. 6 и 14 или -14 и -6. 668. 10; 11. 669. 13; 14. 6 7 0 . 1) Тб; =^ ~ ; 2) -1;

Тб; 3) 6; - | ; 4) -1; | | . 671. 1) -72; -272; 2) 2; 73; 3) 1; | . 672. -20; 4.
673- 1;

674. 8 см. 675. 6 см или 12 см. 676. 16 см, 30 см. 677. 9 см, 40 см.
250

678. 9; 11; 13. 679. 4; 6; 8; 10. 681. 16 обезьян или 48 обезьян. 682. 9 команд.
683. 15 сторон. 684. 1) -8; -7; 0; 1; 2) -1; 1; 0,6; -0,6; 3) -3 + ТЙ ; 4) -2; 2;
5) 3; 5; -3; -5; 6) 2; -2. 685. 1) -12; 2; -2; -8; 2) 3; 3) 15; -7 ± V§4 ; 4) д; _д.
686. 1) -Ю ; 2) 3. 687. 1)

2) 3. 688. 1) 6 = -2; 2) 6 = -12 или 6 = 12.

689. 1) 6 = 13,5; 2) 6 = -8 или 6 = 8. 693. 1 ) х = - 2 а - 1 или х = - а ; 2 ) х = 2а
или ^ = 4; 3) если а

Ф

0, то х = ~

4) если а =^-, то х = | ; е с л и а *

или х = - i ; если а = 0, то корней нет;
то х = | или х =

694. 1) х = За - 5

или х = - а; 2) х = - З а или х = 4; 3) если а = 0, то х = 1; если а * 0,
то х = 1 или х = i . 695. 1) 6 = 0 или 6 = - | ; 2) 6 = -5 или 6 = 2^6 или
6=-2%/б ; 3) 6 = 19. 696. 1 )6 = 0 или 6 = -0,5 или 6 = 0,5; 2) 6 = -3 или 6 = -5.
697.

698. 9. 699. 4, -Л7, Зл/2. 700. 45 т, 75 т. 701. 14 листов. 715.х 2 = 10,

q = -20. 716. х 9 = -6, р = -1. 717. х 2 = 2, 6 = 14. 718. х 2 = 1,6, га = -1,28.
719. -20,5. 720." -7. 725. х , = 1, х , = 9, с = 9. 726. х, = -14, х 2 = -6, а = 84.
727. х , = 9, х 2 = -2, га = -18. 728." х , = 1, х 2 = -5, га = -5. 731^ 1) 1,5; 2) 69.

Указание, х , 2 + х , 2 = (х, + х 2)2 - 2xtx 2; 3) 57; 4) 567. 732. 1) 80; 2) - — ;
3) 789. Указание. |хч- X j| = ^ (х2 - Xj)2. 733.х 2+ 1 2 г + 1 7 = 0. 734.х2 - 18х +
+ 49 = 0. 735. бх2 - 14х + 3 = 0. 736. х 2 - 15х + 8 = 0. 737. а = 2 или а = -2.
738. а = 6 или а — —6. 740. 1) 7; —7; 5; —5; 2) —11; 11; —1; 1; —4; 4.
741. 1) -9; 9; -6; 6; 2) -17; 17; -7; 7; -3; 3. 742. 6 = с = 0 или 6 = 1, с = -2.
743. 1) а = 2; 2) такого значения а не существует. 744. а = 2. 746. 4 ряда по
12 деревьев. 748. 18 %. 757. 1)

6 - 3 . « £+1.
2а- 3
; 2)
26-1 ’ ; с - 2 ’
а- 6

;

гс2 + и + 1.
m +10



6) т ~ ~ - 758. 1)

2) Щ р ; 3) £ ± 1 ; 4)
759. 1) -3;
А —5 ’
У- 1
2) -2; 3) 14 . 760. 1) -4 ; 2) -14. 761. 1) 1; 2) Щ р ; 3)
4) 4.
62
3'
w
765. 1) ( х - у ){х -Ь у )\ 2) (а + 9б)(а - 46); 3) (Зга + га)(га - Зга); 4) (4х - у ) ( х - у ) .
766. 1) (а - 4 6 )(а - 106); 2) (36 - 2с)(4б + Зс). 767. 1) Если а = 3, то х - люa +3.
бое число; если а = -2 , то корней нет; если а * 3 и а * -2, то * - а + g •
5)

х +8 ’

5га + 1 '

х — 1

2) если а = 7, то х — любое число; если а = 1, то корней нет, если а

Ф

7

и а * 1, то х = 2а + 1. 768. Если а = -8, то х - любое число; если а = 1, то
a- 1
251

корней нет; если а * - 8 и а * 1 , т о х = ^ | . 771. 6,8 %. 773. 1) Корней нет;
2) _4; 3) 3; 4) у — любое действительное число, отличное от -4 и от 5.
777. 1) -4; 1; 2) -1; 3) - | ; 4) -2; 10; 5) 7; 6) -6; 7) -5; 10; 8) 5; 9) 2; 8; 10) -2;

9; 11) -3; 2; 12) 4; -0,4. 778. 1) -1; 2) -0,25; 3) 0,5; 6; 4) 8; 5) -3; 6) -3; 12;
7) _ 1; 2 ; 8) _3. 13 783. ]) 6; 2) 5; 3) 7; 4) 6. 784. 1) 10; 2) -7. 785. 1) 3 ± Vl8;
2) -23; 1; 3) -27; -1; 4) 3. 786. 1) 4; 9; 2) 5. 787. 1) -1; 18; 2) -98; 2; 3) -1,5;
4) -2; 5) -3; 4; 6) -3; 7) 2; 8) 9; 9) 1; 10) 9. 788. 1) -60; 50; 2) -3; 3) -9; 24;
4) 2; 5) -20; 2; 6) 15. 789. 1) - | ; 14; 2) -56; 60. 790. 1) -15; 12; 2) -20; 2.
791. 1) -5; 2) корней нет; 3) 3 ^ ; 4) 1. 792. 1) -15; 1; 2) 1,5. 793. 1) —s/3; -УЗ;

3
-3; 3; 2) -6; -4; -1; 1; 3) 0; 3; 4) -1; -3; 1. 794. 1) - | ; 1; 2) 0,5. 795. 1) -1; 7;
2; 4; 2) -6; -2; -4±л/20; 3) -2; 1; 4)

10. 7 9 6 . 1) Если а = 1, то х = 7;
3
если а = 7, то х = 1; если а / 1 и а # 7 , т о х = 1 или х = 7; 2) если а * 1
2

и а / 7 , т о х = а; если «z = 1 или а = 7, то корней нет; 3) если а Ф 2 и а Ф - ,
3

9

то х = За или х = 2; если а = 2 или а = —, то х = 2; 4) если а = 0, то х —лю3
бое число, отличное от -3; если



«Призрачные миры» - интернет-магазин современной литературы в жанре любовного романа, фэнтези, мистики