КулЛиб - Скачать fb2 - Читать онлайн - Отзывы  

Элементы прикладной и строительной механики сельхозмашин. Применение программ MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran 2005. Учебное пособие (pdf)

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


Настройки текста:



В.А. ЖИЛКИН

ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ
И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
СЕЛЬХОЗМАШИН
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММ MATHCAD, SCAD
И MSC.PATRAN-NASTRAN 2005

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
ФГОУ ВПО «Челябинский государственный агроинженерный университет»

В.А. ЖИЛКИН

ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ
И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
СЕЛЬХОЗМАШИН
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММ MATHCAD, SCAD
И MSC.PATRAN-NASTRAN 2005
Учебное пособие
Для студентов специальности 190206
Сельскохозяйственные машины и оборудование

Челябинск 2007
2

УДК 531.8: 631.3

Жилкин В.А. Элементы прикладной и строительной механики сельхозмашин. Применение программ MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran 2005. Учеб. пособие. - Челябинск: ЧГАУ, 2007. - 349.
Пособие соответствует государственному образовательному стандарту дисциплины «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов» инженерной подготовки по специальности 190206 «Сельскохозяйственные машины и оборудование» направления 190200 – «Транспортные машины и транспортно-технологические
комплексы». В нём описываются интерфейсы программных продуктов SCAD и
MSC.Patran-Nastran 2005, изучение которых не предусмотрено учебными планами
подготовки дипломированных специалистов по этой специальности, и излагаются методики создания стержневых, плоских и объёмных расчетных моделей тел и систем
тел.
На примере программ SCAD и MSC.Patran-Nastran 2005 реализуется идея
использования уже на младших курсах на факультетах сельскохозяйственного машиностроения современных проектно-вычислительных комплексов, применяемых в инженерной практике для расчетов и проектирования строительных и машиностроительных конструкций. Приведены инструкции по использованию программ SCAD и
MSC.Patran-Nastran 2005 при решении задач строительной механики стержневых
систем и плоских задач теории упругости.
Учебное пособие предназначено для студентов всех курсов специальности
190206 «Сельскохозяйственные машины и оборудование», аспирантов и инженернотехнических работников АПК.

Рецензенты

Рахимов Р.С. –доктор техн. наук, проф. (ЧГАУ)
Сапожников С.Б. - доктор техн. наук, проф. (ЮУРГУ)

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЧГАУ

ISBN
 Челябинский государственный агроинженерный университет, 2007

3

1. ПРЕДИСЛОВИЕ
Сельскохозяйственной машине, как и всякому инженерному сооружению, при
её постройке должна быть обеспечена способность противостоять внешним усилиям,
которые могут на неё действовать в различных условиях её эксплуатации, без вреда
для её целостности. Обеспечение прочности сельскохозяйственной машины в течение
всего запланированного срока её службы является одной из основных задач проектировщика.
Наряду с этим сельскохозяйственной машине должна быть обеспечена необходимая жёсткость, т.е. способность противостоять действию внешних сил без недопустимых изменений формы элементов её корпуса.
Науку, имеющую своей целью дать конструктору рациональную базу для суждения о том, в какой мере будут обеспечены проектируемому сооружению необходимые прочность и жёсткость, принято называть строительной механикой. Те разделы
строительной механики, в которых рассматриваются прочность и жесткость именно
сельскохозяйственной машины как инженерного сооружения, составляют в своей совокупности строительную механику сельхозмашин, которая должна дать ответ на следующие три основных вопроса:
1) какие усилия могут действовать на данную машину в нормальных условиях
её эксплуатации и при всех тех случайных нагрузках, которым сельхозмашина неизбежно подвергается в процессе её эксплуатации (проблемой внешних сил);
2) какие напряжения и изменения формы вызываются в сельскохозяйственной
машине заданными внешними силами из числа тех, которые могут действовать на неё
по условиям её эксплуатации (проблемой внутренних сил);
3) какие напряжения и деформации сельскохозяйственной машины могут быть
допущены без вреда для её прочности и жёсткости (проблема допускаемых напряжений и перемещений).
Эти задачи строительной механики сельхозмашин в той или иной последовательности приходится рассматривать инженеру-проектировщику в своей практической
деятельности.
Данное пособие рассчитано на студентов младших курсов, и поэтому естественно начать изучение курса строительной механики сельхозмашин с задач, которые наиболее хорошо разработаны, допускают наиболее строгие решения, больше всего по
своей методике подходят к наукам, уже пройденным. Из трёх основных проблем
строительной механики сельскохозяйственных машин такой является проблема внутренних сил. Рассмотрение её в основном и будет предметом нашего курса. В конце
курса будет рассмотрена одна из задач земледельческой механики, относящаяся к первой проблеме и до сих пор не имеющая строгого аналитического решения – проблема
взаимодействия орудий сельхозмашин с почвой.
С точки зрения строительной механики корпус сельскохозяйственных машин
является весьма сложным сооружением. Почти ни одна его часть не несёт строго разграниченных функций, а участвует одновременно в выполнении ряда функций. Чтобы
обеспечить корпусу сельхозмашины при неизбежных случайных аварийных ситуациях
использование скрытых запасов прочности, приходится сознательно идти на использование конструкций, многократно статически неопределимых. Разобраться в полном
объёме всех функций различных частей сельскохозяйственной машины при этих условиях довольно трудно.
Не имея возможности сразу охватить все условия работы конструкции сельхозмашин в целом, начнём изучение этих условий с изучения поведения отдельных схематизированных типичных простейших конструкций, которые можно мысленно выделить из состава корпуса сельскохозяйственной машины. Овладев основными методами
4

расчёта таких схематизированных конструкций, сначала статическими, а потом динамическими, следует научиться выделять для проверочных расчётов из состава заданной реальной сельскохозяйственной машины те типовые схематизированные простейшие детали, расчет которых уже известен; научиться определять внешние силы,
которые на каждую из этих деталей могут действовать, и научиться, наконец, решать
вопрос о том, допустимы или нет получающиеся в данной детали суммарные напряжения, возникающие в результате выполнения машиной всех её функций. Имея навык
таких поверочных расчётов прочности сельхозмашин заданной конструкции, естественно будет поставить перед собою вопрос: каким должен быть алгоритм проектирования конструкции сельскохозяйственных машин, чтобы они, обладая надлежащей жёсткостью и прочностью, были достаточно лёгкими и простыми в исполнении. Но эта
конечная цель не может быть рассмотрена в рамках данного учебного пособия, так как
на первых курсах студенты не имеют достаточных знаний оптимального проектирования конструкций. Попутно с решением иных проблем мы должны накапливать материал и для разрешения этой конечной задачи.
Что касается методов решения отдельных задач, которые будут рассматриваться, то решить все задачи строительной механики сельхозмашин с той строгостью, которая характерна для математической теории упругости или математической теории
пластичности, к сожалению, невозможно. Поэтому в строительной механике сельхозмашин (как и в теории сопротивления материалов) при выводе тех или иных зависимостей используют гипотезы, например, гипотезу плоских сечений в теории изгиба
стержней и аналогичную ей гипотезу прямых нормалей в теории изгиба пластин.
В теории упругости можно уклониться от дачи какого бы то ни было ответа на
вопросы, которые мы не умеем решить точно. Математик может сказать: я этого вопроса решить не могу, используйте решения, которые я знаю. Инженер так рассуждать
не может. На всякий практический вопрос он должен дать ответ если не абсолютно
точный, то хотя бы в максимальной мере гарантирующий от неверных решений.
Строительная механика - не математическая, а инженерная дисциплина. Отсюда отличие её методов от методов теории упругости.
Отдельные выводы теории упругости используются в строительной механике:
• для формулировки тех условий, при соблюдении которых можно относиться с
доверием к расчётным результатам, базирующимся на упомянутых выше гипотезах;
• для оценки точности таких расчётов;
• для освещения отдельных сторон той сложной картины явлений, изучение которой является нашей целью при проектировании корпуса сельхозмашины;
• для приближённого решения частных задач.
В целом строительная механика базируется на выводах теории упругости, но
ставит своей задачей получить для каждого частного вопроса решение, не обязательно
возможно более точное, а лишь достаточно точное для практических целей. Если имеется строгое решение, мы предпочтём его решению приближённому. Но вообще на
всякий вопрос, возникший в процессе изучения строительной механики сельскохозяйственных машин, мы должны дать хотя бы не вполне точный ответ, поскольку решение
этого вопроса необходимо для принятия определённого практического решения. Неточность ответов придётся покрывать вводимым в расчёт коэффициентом безопасности, являющимся по существу коэффициентом нашего незнания или нашей неуверенности в правильности того или иного вывода или положения. В этом отношении
задачи и методы строительной механики сельхозмашин приближаются к задачам и методам теории сопротивления материалов.
Oт теории сопротивления материалов строительная механика отличается не
столько методом решения своих задач, сколько степенью сложности последних. В сопротивлении материалов изучаются простейшие деформации тел простейшей формы.
5

В строительной механике при помощи тех же в сущности методов изучается работа
отдельных типичных частей сооружения и всей их совокупности в целом применительно к определенному классу инженерных сооружений.
В пособии мы часто будем использовать материал книги1 и поэтому перемещения, деформации и напряжения будем обозначать теми же самыми символами.
В настоящее время при проектировании машин и механизмов в конструкторских бюро значительная часть кинематических и прочностных расчетов выполняется
на ЭВМ. Подготовка инженеров-конструкторов сельскохозяйственной техники должна
учитывать это обстоятельство и включать в себя обучение методам компьютерного
проектирования сельскохозяйственных машин и оборудования с использованием тех
систем автоматизированного проектирования (САПР), которые доступны для внедрения в учебный процесс.
Принято считать, что система автоматизированного проектирования машиностроительной продукции состоит из ряда систем:
• CAD-систем (Computers-Aided Design), предназначенных для проектирования
конструкций;
• CAE–систем (Computer-Aided Engineering), предназначенных для инженерных
расчётов;
• CAM-систем (Computers-Aided Manufacturing), предназначенных для проектирования и моделирования технологических процессов обработки материалов;
• PDM-систем (Product Data Management), предназначенных для управления процессом разработки проектов.
Потребность конструкторских бюро, научно-исследовательских организаций и
промышленности в универсальных, быстрых, надежных и удобных для пользователя
программах, реализующих широкий спектр расчетов (статических, динамических, тепловых и др.), послужила импульсом к разработке различными фирмами пакетов прикладных программ конечно-элементного анализа.
Метод конечных элементов (МКЭ) является в настоящее время фактически мировым стандартом для прочностных и других видов расчетов конструкции. Основой
этого служит универсальность МКЭ, позволяющая единым способом рассчитывать
конструкции с разными свойствами материалов. Многовариантность способов моделирования конструкции МКЭ влечет за собой большую вероятность появления скрытых ошибок, то есть ситуаций, когда результат анализа либо недостижим, либо абсурден, либо, что самое опасное и распространенное, правдоподобен, но неверен. Поэтому
применение CAE–систем, в отличие от CAD/CAM-систем, требует от расчетчика профессиональной подготовки в области механики твердого деформируемого тела. Чтобы
с большой вероятностью получить достоверный результат, от пользователя пакета конечно-элементного анализа требуется знание принципов и методов реализации этого
метода, глубокое понимание механики поведения конструкций в используемой области анализа и, наконец, владение методами выявления формальных и фактических ошибок.
Изучение теоретических основ МКЭ предполагает знание хотя бы элементарных
сведений из учебных курсов «Теория упругости» и «Строительная механика машин».
Учебный план подготовки дипломированных специалистов по направлению 190200 –
«Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы», специальность
190206 «Сельскохозяйственные машины и оборудование» не предусматривает изучение основополагающих курсов прочностного расчета элементов машин и механизмов,
таких, как «Теория упругости», «Теория пластичности», «Механика машин», «Теория
колебаний» и т.п. дисциплины. Поэтому молодому специалисту приходится самостоя1

Жилкин В.А. Расчеты на прочность и жесткость элементов сельскохозяйственных машин. Часть I. Теоретические основы проектирования элементов сельхозмашин. Учебное пособие. Челябинский агроинженерный университет. – Челябинск, 2005. -427 с.

6

тельно постигать основы перечисленных дисциплин и осваивать внедренную на предприятии САПР.
Учитывая объективную реальность, кафедра «Сопротивление материалов»
ЧГАУ предлагает осваивать конечно-элементные программы постепенно, начиная с
первого курса, в таких дисциплинах, как «Информатика» и «Теоретическая механика»,
и заканчивая на пятом курсе в дисциплине «Теоретические основы проектирования
сельхозмашин и САПР». На первом курсе студенты знакомятся с интерфейсом программных комплексов и выполняют элементарные расчеты по определению реакций
связи и анализу напряженно-деформированного состояния плоских элементов конструкций. На втором курсе, параллельно с изучением курса «Сопротивление материалов», они могут в рамках факультативных курсов решать плоские и пространственные
задачи теории упругости с помощью конечно-элементных программных комплексов.
В настоящее время кафедра имеет программные продукты APM WinMachine,
SCAD (Structure construction automatic design), MSC.Patran-Nastran 2005,
MSC.Marc 2005, MSC.Adams 2005. Так как на первом курсе изучается только раздел «Статика» курса «Теоретическая механика», то в учебном процессе, при выполнении домашних заданий применяются только программные комплексы SCAD и
MSC.Patran-Nastran 2005.
Во втором семестре по разделу «Статика» студенты выполняют следующие расчетные работы по сборнику заданий для курсовых работ по теоретической механике:
 определение реакций опор и сил в стержнях плоской фермы;
 определение реакций опор твердого тела (плоская система сил);
 определение реакций опор составной конструкции (система двух тел);
 приведение системы сил к простейшему виду;
 определение реакций опор твердого тела (пространственная система сил);
 центр тяжести.
Для лучшего понимания методики расчетов все задания сначала выполняются
вручную с составлением уравнений равновесия, с построением силовых многоугольников и расчетных схем для рассматриваемых элементов конструкции, и только затем
для проверки правильности решения задачи студенты используют программы SCAD и
MSC.Patran-Nastran 2005. Решение уравнений равновесия выполняется в системе MathCAD, рисунки выполняются в графическом редакторе «CorelDraw», текст набирается в
текстовом редакторе «Word». При этом достигаются две положительные цели. Вопервых, студент получает возможность самому проверить результаты своих ручных
расчетов, что повышает его самостоятельность. Во-вторых, он постепенно (на примере
решения простых задач) осваивает программные комплексы, которые в дальнейшем
будут необходимы ему для решения более сложных задач.
Расчеты на ЭВМ выполняются в учебном компьютерном классе как в учебное
время в виде лабораторных работ, так и в специально выделенное время для самостоятельной работы. Для облегчения задачи внедрения САПР в учебный процесс в пособии приводятся некоторые первоначальные сведения о МКЭ и процедуре расчета по
программам SCAD и MSC.Patran-Nastran 2005 на уровне начинающего пользователя.
Затруднением в использовании конечно-элементных программ на первом курсе
является то, что студент еще не знает не только МКЭ, но и курса сопротивления материалов, на основе которых построены эти программы. Однако задерживать внедрение
САПР в учебный процесс, с точки зрения автора, нежелательно. Поэтому вначале студентов знакомят с этими программными комплексами как с некоторыми новыми для
них «калькуляторами», позволяющими вычислять те или иные силовые или геометрические характеристики конструкции.

7

На втором курсе при изучении курса «Сопротивление материалов» студенты
продолжают осваивать эти программы при выполнении курсовых и студенческих научных работ.
Автор благодарит А.В. Клименко, сотрудника фирмы НП ЦВТМ, за помощь и
обсуждение многих разделов представленной работы, рецензентов пособия, взявших
на себя труд прочесть работу и сделать ряд ценных замечаний.
Автор надеется, что учебное пособие будет полезно студентам, аспирантам, инженерам-механикам, разрабатывающим технологические процессы и проектирующим
отдельные узлы сельскохозяйственной техники. Он будет благодарен за отзывы об успехах и неудачах в использовании предлагаемого материала и просит направлять замечания на кафедру сопротивления материалов ЧГАУ по адресу: 454080, Челябинск,
проспект Ленина, 75.
В. Жилкин

8

2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МКЭ КОМПЛЕКСЫ
ДЛЯ ПРОЧНОСТНОГО АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ
2.1. РОЛЬ ЭВМ В ПРОЦЕССЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
В деятельности инженера ничто, пожалуй, не вызывает такого удовлетворения,
как успешное решение задач, возникающих в процессе проектирования. Инженер всегда стремился ускорить и автоматизировать механические операции, чтобы высвободить время для творчества. Потому естественно его обращение к ЭВМ, позволяющим
выполнять стандартные математические операции с исключительно быстро и точно.
Однако новые возможности всегда связаны с дополнительной ответственностью - там,
где появляются пути резкого повышения производительности труда, при неумелом обращении с новой техникой могут быть допущены ошибки, снижающие ее эффективность. Многие трудности, связанные с применением ЭВМ в работе инженера, обусловлены не недостатками компьютера, а неумением правильно выбрать и применить
алгоритм, пригодный для решения данной задачи2.
В работе инженера, проектирующего новое изделие или технологический процесс для удовлетворения нужд потребителей, органически сочетаются наука и искусство. Отличительная черта его работы в том, что он не просто изучает достижения науки
и искусства, а стремится использовать их для нужд практики. Процесс инженерного
творчества начинается обычно с осознания потребности в новом изделии или технологическом процессе. Задача инженера - найти подходящее решение и представить его в
таком виде, чтобы можно было приступить к производству. Этапы процесса проектирования показаны на рис.1.

Рис.1
Проектирование начинается с тщательного изучения возможных решений. Затем собирается информация, позволяющая построить модель разрабатываемого изделия или процесса, чтобы оценить и проверить правильность принятого решения. Необходимость этого этапа обусловлена экономическими соображениями, так как практическая проверка решения почти всегда обходится очень дорого, отнимает много времени и требует слишком больших материальных и энергетических затрат. Как правило,
2

Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практическое руководство. – М.: Мир,1982.-238 с.;
Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Киев: Сталь,
2002. – 600 с.

9

разрабатывается математическая модель или используется сочетание простого прототипа и математической модели. Построив модель, приступают к изучению ее свойств,
стремясь выяснить, в какой мере разрабатываемое изделие соответствует своему назначению. Обычно с первой попытки не удается найти удовлетворительное решение,
однако приобретенный опыт позволяет наметить пути его совершенствования. Этапы
построения модели и изучения ее свойств повторяются до тех пор, пока не появится
уверенность, что найдено наилучшее из возможных решений. Вслед за этим проект передается в производство.
Для процесса проектирования весьма характерна итерационная цикличность,
причем на некоторых этапах приходится выполнять большие объемы вычислений.
Здесь при правильном использовании большую помощь оказывает ЭВМ. Надо только
следить, чтобы на компьютер возлагались рутинные, многократно повторяемые вычисления и не делалось бы попыток решать с его помощью задач, требующих творческого
осмысления абстрактных концепций. Таким образом, использование ЭВМ неэффективно на ранних стадиях проектирования, но может быть очень эффективным на поздних стадиях.
2.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ3
По геометрическим соображениям все объекты, встречающиеся в машинах, механизмах, строительных конструкциях, разделяют на три типа:
• массивное тело (массив) - элемент конструкций, все основные размеры
которого одного и того же порядка; к числу таких тел относятся фундаменты, сферические тела (например, шарики в подшипниках), детали машин
(шестерни, водила планетарных редукторов и т. п.), сплошные опоры мостов
и т. п.;
• оболочка - тело, два размера которого (ширина и длина) во много раз
больше третьего (толщины), а внешние контуры образованы криволинейными поверхностями (например, емкости для хранения жидкости, зерна, трубопроводы и т. д.). Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью. Частным случаем оболочки является пластина - оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость (например, крышка
стола, плиты перекрытий, элементы кабины трактора и т. п.);
• брус (стержень) - тело, один размер (длина) которого во много раз больше
двух других размеров поперечного сечения. Брус можно представить себе
как тело, образованное плоской фигурой, центр тяжести которой движется
вдоль некоторой кривой, причем нормаль к плоской фигуре всегда совпадает
с касательной к этой кривой. В этом случае кривая называется осью бруса, а
плоская фигура — поперечным сечением. Ось бруса - линия, проходящая
через центры тяжести поперечных сечений. Поперечное сечение - сечение
бруса, образованное плоскостью, проведенной перпендикулярно оси стержня. Ось бруса может быть прямолинейной (ось вала, цилиндрическая шпилька и т. п.) и криволинейной. Брусья могут иметь постоянное или переменное
сечения. Среди брусьев различают балки, колонны, стойки и т. п. Эти названия брусьев определяются той ролью, которую они играют в конструкциях.
Например, понятие «балка» употребляется для брусьев, работающих на из3

Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. – М.:Мир, 1984. -428 с.; Строительная механика корабля и теория упругости. В 2 т. – Л.: Судостроение, 1987. Т.1: Постнов В.А., Суслов В.П. Теория упругости и численные методы решения задач строительной механики корабля. - 288с.; Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций/ Горев В.В., Филиппов В.В., Тезиков Н.Ю. – М.: Высш. шк., 2002.- 206 с.

10

гиб, понятия «колонна» и «стойка» - для брусьев, расположенных вертикально и работающих в основном на сжатие, и т. д.
В разделе «Статика» курса «Теоретическая механика» и в курсе «Сопротивление материалов» основное внимание уделяется изучению брусьев, являющихся наиболее распространенными элементами многих конструкций.
Элементы конструкций разрушаются из-за чрезмерно больших внутренних усилий, приходящихся на единицу площади. Усилия, приходящиеся на единицу площади,
называются напряжениями. При проектировании конструкций перед инженеромпроектировщиком стоит задача нахождения распределения напряжений, или поля напряжений. Иногда, чтобы узнать, не нарушаются ли заданные зазоры между деталями
конструкции, инженеру требуется вычислить перемещение лишь в определенных точках системы. Если нагрузки и поведение конструкции зависят от времени, проектировщику необходимо подсчитать полное распределение перемещений, или поле перемещений.
В любом упругом теле, если принять во внимание его молекулярную структуру,
действительное число внутренних связей бесконечно. Это приводит к известным трудностям при получении численных решений. Метод конечных элементов позволяет
преодолеть эти трудности. Он основан на мысленном представлении сплошного тела
(континуума) в виде совокупности отдельных конечных элементов, взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек. В этих точках к каждому конечному элементу прикладываются некоторые фиктивные усилия взаимодействия, характеризующие действие распределенных внутренних напряжений, приложенных вдоль реальных границ стыковки смежных элементов. Если такая идеализация тела (конструкции) возможна, то проблема сводится к расчету системы с конечным числом степеней
свободы.
Замена исходной конструкции совокупностью дискретных элементов подразумевает равенство энергий конструкции и ее дискретной модели. Для некоторых конструкций соблюдение энергетического баланса ведет к получению дискретной модели,
точно описывающей поведение исходной конструкции. Это характерно для конструкций, которые уже состоят из отдельных элементов с дискретным сочленением их между собою. В качестве примера можно привести фермы, рамы, стержневые перекрытия.
Плоская ферма состоит из прямолинейных шарнирно сочлененных между собой
стержней. Каждый стержень работает лишь на растяжение - сжатие. Если за элементы
принять отдельные стержни, то дискретная модель будет точной копией реальной конструкции. В узловых точках вводятся определенные усилия взаимодействия между отдельными стержнями. Для определения этих усилий составляется необходимое число
уравнений равновесия узловых точек.
Плоская пластина произвольного очертания с помощью сечений, параллельных
осям х и у, может быть представлена в виде совокупности прямоугольных и треугольных конечных элементов. Именно эти две формы конечных элементов широко используются при решении плоской задачи теории упругости.
При определении напряженного состояния трехмерных тел идеализация осуществляется уже с помощью объемных конечных элементов - параллелепипедов, тетраэдров и т. п., шарнирно скрепленных в узловых точках. При такой идеализации к каждой
вершине конечного элемента прикладываются по координатным осям три составляющие усилий взаимодействия со смежными элементами.
Если же элементы реальной конструкции имеют вдоль своей границы непрерывные связи со смежными элементами, то при построении дискретной модели мы
вынуждены делать некоторые априорные предположения о характере силового или
кинематического взаимодействия между смежными элементами. В этом случае дискретная модель будет лишь приближенно отражать поведение исходной конструкции.
Очень важно выбрать характер взаимодействия между элементами таковым, чтобы
11

уменьшение размеров конечных элементов привело к получению решения, стремящегося к точному.
Разбиение области на конечные элементы является первой операцией метода
конечных элементов. Эта операция весьма ответственна. Здесь многое зависит от
имеющихся инженерных навыков. Несовершенное разбиение приведёт к значительным
погрешностям расчета, если даже все остальные операции метода выполнены с достаточной точностью.
Использование более мелких конечных элементов хотя, как правило, и повышает точность, но приводит к увеличению общей трудоемкости расчета. В районах области, где ожидается резкое изменение напряжений, деформаций, следует использовать
более мелкую разбивку на элементы. Там же, где ожидаемый результат изменяется по
области сравнительно слабо, можно использовать при дискретизации более крупные
элементы.
Описание методик применения конечно-элементных комплексов SCAD и
MSC.Patran-Nastran 2005 будем иллюстрировать на примерах решения простейших
задач теоретической механики и сопротивления материалов. Одной из таких задач является расчет бруса на прямой поперечный изгиб.
Если мысленно рассечь некоторую нагруженную балку (стержневую систему)
(рис.2, а), находящуюся в равновесии, на две части, одну часть отбросить, а действие
отброшенной части заменить реакциями связи - напряжениями, то оставшаяся часть
балки будет также находиться в равновесии. Инженера интересуют максимальные напряжения в этом сечении. Но непосредственно из уравнений равновесия их нельзя.

Рис.2





На помощь приходят
гипотезы о характере распределения напряжений по сечению бруса, основанные
на многочисленных результатах опытных испытаний брусьев и особенностях их
геометрического строения;
теорема Пуансо: всякую пространственную систему сил (напряжения в сечении
балки) в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей
из одной силы, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения –
центре тяжести поперечного сечения) и равной главному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил
относительно выбранного центра приведения.

Поэтому при расчете стержневых систем инженер прежде всего пытается определить компоненты главного вектора: N - нормальную силу (сила, перпендикулярная
плоскости сечения), Q y , Qz - поперечные силы (силы, лежащие в плоскости сечения),
и компоненты главного момента: M x - крутящий момент, M y , M z - изгибающие моменты (рис.2,б). Графики изменения внутренних усилий вдоль оси бруса называ12

ются эпюрами. Величины N , Q y , Qz , M x , M y , M z на эпюрах в опорных узлах соответствуют опорным реакциям.
В качестве тестовой задачи для рассматриваемых далее конечно-элементных
программ выберем построение эпюр в балке4, изображенной на рис.3, а.
Изображаем расчетную схему балки (рис.3, б). Для этого балку (объект равновесия) отсоединяем от связей, а действие связей заменяем реакциями связей. При определении опорных реакций распределенную нагрузку можно заменить ее равнодействующей Q = 3q . Такая замена возможна только при определении опорных реакций!

Рис.3
Длины участков обозначим соответственно a , b , c , d и e . Длину с первого до
(i + 1) -го участка включительно обозначим L1i (i = 2 ,3 ,4 ) , длину балки - L .
Введём исходные данные.

Определяем опорные реакции.

4

Жилкин В.А. Применение системы MathCAD при решении задач прикладной механики. – Челябинск:
Часть 1. MathCAD, 2000.- 72 с.; Часть 2. Теоретическая механика – статика. -, 2001. – 100 с.

13

Определяем внутренние силовые факторы на каждом из участков, рассматривая
равновесие отсеченной левой части бруса (рис.4, 5).
Например, выражения на первом и втором участках бруса имеют вид, приведенный ниже.
Участок 1. 0 ≤ x < a
∑ Z = 0 ; - P1 + Q 1 = 0 ;

∑M

o

= 0 ; - P1 ⋅ x - M 1 = 0.

Отсюда

Q 1 = P1 ;
Рис.4

M 1 = -P1 ⋅ x.
Верхний индекс у обозначений перерезывающей силы и изгибающего момента не показатель степени, а номер участка.
Участок 2. a ≤ x < L12

∑ Z = 0; - P + Y + Q = 0;
∑ M = 0 ; - P ⋅ x + Y ⋅ (x - a ) - M
2

1

o

A

1

A

2

= 0.

Отсюда

Q (2 ) = P1 − YA ;
Рис.5

M (2 ) = -P1 ⋅ x + YA ⋅ (x - a ).

Аналогично определяются выражения для внутренних силовых факторов и на
остальных участках бруса.
В MathCAD эти вычисления выглядят так:

14

Так как Q = −(dM / dx ) , то в тех сечениях, где Q = 0 , изгибающий момент достигает экстремальных значений. В нашем случае при x = 6.6 Q = 0 , M = 57 ,6 кН.м.
M ( x) :=

−P1 ⋅ x if 0 ≤ x < a
−P1 ⋅ x + YA ⋅ ( x − a) if a ≤ x < L12
−P1 ⋅ x + YA ⋅ ( x − a) − P2 ⋅ ( x − L12) if L12 ≤ x < L13
−P1 ⋅ x + YA ⋅ ( x − a) − P2 ⋅ ( x − L12) + M if L13 ≤ x < L14
−P1 ⋅ x + YA ⋅ ( x − a) − P2 ⋅ ( x − L12) + M −

M ( 2) = −60

q ⋅ ( x − L14)

2

2

if L14 ≤ x ≤ L

M ( 6.6) = 57.6

40

M(x)

10

60

.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9
x

Для определения численных значений внутренних силовых факторов в системе
MathCAD имеется несколько возможностей:

можно набрать функцию с заданным аргументом Q ( 2 ) = −27 , M ( 2 ) = −60 ;
 можно вывести таблицу всех значений

;

15



можно использовать команду Трассировка… (команда находится в меню, вызываемом нажатием правой клавиши мыши; указатель мыши должен совпадать
с одной из точек графика функции); в появившейся панели Трассировка Х-У
указаны координаты выделенной точки графика (в нашем случае для x = 2 ,5 м
y = −46 ,5 м).

2.3. SCAD

5

Проектно-вычислительный комплекс Structure CAD for Windows (SCAD)
реализован как интегрированная система прочностного анализа и проектирования конструкций на основе метода конечных элементов; он позволяет определить напряженнодеформированное состояние конструкций от статических и динамических воздействий,
а также выполнить ряд функций проектирования элементов конструкций.
В основу комплекса положена система функциональных модулей, связанных
между собой единой информационной средой. Эта среда называется проектом и содержит полную информацию о расчетной схеме, представленную во внутренних форматах комплекса. В процессе формирования расчетной схемы проект наполняется информацией и сохраняется на диске в файле (с расширением .SPR). Имя проекта и имя
файла, в котором он сохраняется, задаются при создании новой схемы.
Функциональные модули SCAD делятся на четыре группы: в первую группу
входят модули, обеспечивающие ввод исходных данных в интерактивном графическом
режиме (графический препроцессор) и графический анализ результатов расчета (графический постпроцессор). Модули второй группы служат для выполнения статического и динамического расчета (процессор), а также вычисления расчетных сочетаний
усилий, комбинаций загружений, главных и эквивалентных напряжений, реакций, на5

Вычислительный комплекс SCAD / Карпиловский В.С., Крикунов Э.З., Маляренко А.А. и др. – М.:
Издательство АСВ, 2004. -592 с.

16

грузок на фрагмент схемы, расчет устойчивости (эти модули условно называются расчетными постпроцессорами). Документирование результатов расчета выполняется модулями третьей группы. В четвертую группу включаются проектирующие модули
(проектирующие постпроцессоры), которые служат для подбора арматуры в элементах
железобетонных конструкций, расчета и проектирования узлов металлоконструкций и
др.
Базовая конфигурация комплекса включает высокопроизводительный вычислительный модуль для расчета на статические и динамические нагрузки и воздействия,
развитую библиотеку конечных элементов, графические средства создания расчетных
схем стержневых, пластинчатых, твердотельных и комбинированных конструкций, а
также графические средства отображения и документирования результатов расчетов.
Функциональные возможности могут быть расширены путем подключения расчетных
и проектирующих постпроцессоров.
Все функциональные модули комплекса реализованы в единой графической
среде. Интерфейс, сценарии взаимодействия пользователя с системой, функции контроля исходных данных и анализ результатов полностью типизированы, что обеспечивает минимальное время освоения комплекса и логичную последовательность выполнения операций.
Результаты расчета могут быть представлены в виде схем перемещений и прогибов, эпюр, изолиний и изополей. Одновременно на схему могут выводиться и числовые значения факторов. Для статических и динамических загружений предусмотрена возможность анимации процесса деформирования схемы и записи этого процесса в
формате видеоклипа AVI. Любая графическая информация может выводиться на печать или сохраняться в виде метафайла (WMF).
Модули документирования результатов расчета позволяют сформировать таблицы с исходными данными и результатами в текстовом или графическом формате, а
также экспортировать их в MS Word или MS Excel. Формирование таблиц выполняется с учетом групп узлов и элементов, таблицы можно дополнить комментариями и
включить в них графическую информацию. Таким образом, отчетный документ может
редактироваться средствами Windows и приобретать удобную для конкретного пользователя форму (например, в соответствии с принятым в его фирме стандартом), а экспорт в MS Excel дает возможность последующей нестандартной обработки результатов применительно к конкретным обстоятельствам использования.
2.3.1. Загрузка комплекса SCAD Office
В зависимости от места установки ярлыка SCAD
(в главном меню
или на рабочем столе) возможны два способа запуска системы SCAD.
Первый способ. Найти на рабочем столе ярлык SCAD, подвести к нему
указатель мыши и щелкнуть по левой клавише мыши один или два раза.
Второй способ. Нажать на клавишу Пуск, выбрать в главном меню раздел Все программы и в нём папку SCAD Office. При этом появится всплывающее
меню с названиями функциональных модулей вычислительного комплекса, в котором
выбираем команду SCAD (рис.6).
После загрузки программы появится пока ещё пустое окно (рис.7), на панели
инструментов которого нажмем кнопку Создание нового проекта, что приведет к появлению панели Новый проект (рис.8), в поля ввода которого введем наименование
проекта, например - Эпюры, и название объекта, например - Балка.

17

Рис.8
Из списка Тип схемы выберем Система общего вида и щелкнем по кнопке
Единицы измерения. Появится одноименная панель, в полях ввода которой зададим
единицы измерения геометрических и силовых параметров расчета, а также с помощью кнопок ,
- число значащих цифр после запятой (рис.9).
18

Рис.9
Кнопка
позволяет задать числа в экспоненциальной форме. Щелкнем по
кнопке ОК окна Единицы измерения и по кнопке ОК окна Новый проект. Далее
программа потребует сохранить новый проект в некотором файле. После выполнения
этих операций открывается главное окно конечно-элементного пакета SCAD, интерфейс которого приведен на рис.10.

2.3.2. Создание нового проекта
Создание нового проекта начинается с формирования расчетной схемы. Для
этого устанавливают курсор на раздел Расчетная схема дерева и нажимают левую
кнопку мыши. Управление передается графическому препроцессору, с помощью функций которого и выполняется синтез расчетной схемы. Инструментальная панель препроцессора включает различные функции создания геометрии схемы, назначения граничных условий, нагрузок и др. После старта препроцессора в инструментальной панели активен раздел Управление (рис.11).
Кроме четырех ранее описанных кнопок, на этой панели имеется ещё ряд дополнительных кнопок. При решении данной задачи нам потребуются только две из
них: Выйти в экран управления проектом
, Сохранить образ экрана
.
А пока займемся созданием конечно-элементной модели балки, изображенной
на рис.3.
Активизируем на инструментальной панели раздел Узлы и элементы. Это приведет к появлению кнопок Узлы и Элементы (рис.12, а).
После нажатия на одну из них в разделе раскрывается набор кнопок, управляющих работой с узлами или элементами. Так как ввести элементы, не привязывая их к
узлам, невозможно, то начнем с ввода узлов. Щелкнем по кнопке узлы
, откроется
панель кнопок, используемых при работе с узлами (рис.12, б).
Для создания расчетной схемы балки необходимо ввести узлы, соответствующие правому и левому торцам балки. Для выполнения этой операции воспользуемся
кнопкой Ввод узлов –
и зададим узлы со следующими координатами: ( 0 ,0 ,0 ),
( 9 ,0 ,0 ) м.
Щелкнем по кнопке Ввод узлов. В правом верхнем углу рабочего поля открывается диалоговое окно Ввод узлов (рис.13).
19

Рис.10

Рис.11

20

Рис.12
С помощью функций этого окна
можно ввести один узел или группу
узлов, расположенных на одинаковом
расстоянии друг от друга, т.е. с заданным
шагом повторения. Для ввода одного узла достаточно задать его координаты в
полях левой части окна и нажать кнопку
Добавить.
Для отображения на экране вводимых узлов необходимо активизировать
фильтр
Узлы (в противном случае
они не будут отображаться на экране).
Теперь после каждого нажатия на кнопку
Добавить на экране будет появляться новый узел.
Наличие повторителя позволяет
вводить сразу группу узлов. Для ввода
группы узлов следует:
 в полях ввода левой части окна установить координаты первого узла
группы ( x , y , z );
 активизировать режим Повторить
(щелкнуть левой клавишей мыши

Рис.13





в поле ввода Повторить);
в полях ввода правой части окна ввести значения шага повторения в одном или
нескольких направлениях ( dx , dy , dz );
ввести количество повторений в поле N ;
нажать кнопку Добавить.
21

Так как диалоговое окно занимает часть экрана, то в процессе ввода узлов рабочее поле экрана несколько уменьшается, что исключает попадание новых узлов под
диалоговое окно. После завершения операций ввода следует нажать кнопку Закрыть.
Диалоговое окно закроется и изображение будет вновь занимать все рабочее поле. Нет
ограничений на количество обращений к функции Ввод узлов. Если операцию надо
повторить, следует опять нажать кнопку ввода узлов в инструментальной панели.
Положение и номера введенных узлов показаны на рис.14.

Рис.14
.

Рис.15

22

Активизируем кнопку

Элементы. Откроется набор кнопок, приведенный

на рис.12, с. Щелкаем левой клавишей мыши по кнопке
Добавление стержней и
затем последовательно по узлам 1 и 2 . В результате этих операций узлы 1 и 2 будут
соединены прямой линией
Если на панели Фильтры отображения нажать на кнопку
ментов, то над прямой линией (элементом) появится цифра 1 (рис.15).

Номера эле-

Разобьем стержень на 18 конечных элементов. Щелкнем по кнопке
Разбивка стержня. Появится одноименное окно, в поле ввода которого вводим цифру 18
(рис.16).

Рис.16
Подводим указатель курсора к стержню и щелкаем левой клавишей мыши
(стержень окрасится в красный цвет). Нажимаем в главном меню клавишу
Подтверждение. В результате исходный стержень будет разбит на 18 стержней (рис.17).
Для конечно-элементного расчета балки мы обязаны задать её жесткость. Какую
– пока неважно; при построении эпюр внутренних силовых факторов можно задать
произвольную жесткость.
Физико-механические характеристики элементов расчетной схемы задаются в
разделе «Назначения» (рис.18). Назначение жесткостных характеристик выполняется
в зависимости от вида элементов. Предусмотрены специальные функции для ввода параметров и назначения жесткостей для стержневых, пластинчатых (рис.18) и объёмных
конечных элементов.
Будем считать, что нам задана балка двутаврового профиля № 30 .
Активизируем кнопку
Назначение жесткости стержням. Появится окно Жесткости стержневых элементов, в котором отмечаем способ задания сечения Профили металлопроката (рис.19) и активизируем одноименную вкладку (рис.20).
В окне вкладки появится список профилей по различным стандартам. Выбираем
двутавр с уклоном полок по ГОСТ 8239-89 и щелкаем по знаку . Раскроется список
двутавров, из которого выбираем двутавр № 30 и щелкаем по кнопке ОК (рис.21). Все
вспомогательные окна закроются.

23

Рис.17

Рис.18
Устанавливаем указатель курсора в произвольной точке рабочего окна, нажимаем правую кнопку мыши. Появляется панель Выбор узлов и элементов, на которой выбираем вид курсора – Прямоугольник (рис.22). Выделяем все элементы балки,
щелкаем левой клавишей мыши, выделенные элементы окрашиваются в красный цвет
(рис.23), и подтверждаем наш выбор нажатием на кнопку

.

Для отображения связей на расчетной схеме щелкнем по кнопке фильтра

,

а для отображения общей системы координат – по кнопке фильтра
.
В соответствии с расчетной схемой запретим: перемещение узла 6 (шарнирно
подвижная опора A , рис.3) в направлении осей y и z , повороты вокруг осей x и z ,
в узле 2 (шарнирно неподвижная опора B , рис.3) перемещения в направлении осей
x , y и z и повороты вокруг осей x и z .
24

Рис.19

Рис.20
.

25

Рис.21

Рис.22

Рис.23
Нажимаем кнопку
в разделе Назначение и в появившейся панели Связи задаём направление связей для опоры A (рис.24). Нажимаем на клавишу ОК. В основном рабочем окне (рис.17) щелкаем по узлу 6 и подтверждаем наш выбор, нажимая
клавишу
в разделе Назначение. Вокруг 6 -го узла появится рамка. Аналогичные
операции повторяем для 2 -го узла (рис.24). Расчетная схема примет вид, приведенный
на рис.25.
26

Рис.24

Рис.25
Нагрузка на балку задается в разделе «Загружения» (рис.26). Контроль и фиксация введенной информации о загружении выполняется нажатием на кнопку ОК в
нижней части диалогового окна. При этом, если введенная информация корректна, то
группа окон закрывается, и управление передается главному окну препроцессора. В
противном случае на экран выводятся окна предупреждений, в которых содержится
информация об ошибке и указывается номер загружения, в характеристиках которого
допущена ошибка.
Для отображения величин введенных нагрузок активизируем кнопку фильтра
, для отображения общей системы координат – кнопку фильтра

.

Активизируем кнопку Узловые нагрузки
. Появится панель Узловые
нагрузки, в полях ввода которой задаем направление и величину нагрузки в узлах конечно-элементной сетки и нажимаем клавишу ОК (рис.27).
Для задания распределенной нагрузки активизируем кнопку
Нагрузка на
стержень. Появится панель Задание нагрузок на стержневые элементы, в по-

27

лях ввода которой задаем направление и величину нагрузки и нажимаем клавишу ОК
(рис.28).

Рис.26

Рис.27

28

Рис.28

Рис.29
В результате выполненных операций расчетная схема примет вид, приведенный
на рис.29.
После выполнения всех этих операций переходим в раздел Управление и нажимаем кнопку
Выйти в экран управления проектом. Открывается главное
окно конечно-элементного пакета SCAD (рис.10). В разделе Расчетная схема щелкаем по знаку . Откроется список элементов расчетной схемы (рис.30). Если после
значка
не стоит знак вопроса (за исключением Условия примыкания), можно
приступать к расчету.
Щелкаем по кнопке Линейный и через несколько секунд после выполнения
расчета появится окно с информацией о результатах расчета (рис.31). Нажимаем на
клавишу Выход.

29

Рис.30
Результаты расчета можно посмотреть в разделе Графический анализ. Щелчок по значку
Графический анализ открывает рабочее окно SCAD, имеющее
разделы: Управление, Деформации, Эпюры усилий, Поля напряжений,
Постпроцессоры и Группы, которые позволяют проанализировать напряженное и
деформированное состояние балки (рис.32).
Открываем раздел Эпюры усилий. Активизируем кнопку
Эпюры усилий, в окне Выбор вида усилий выбираем из списка внутренних усилий в поперечных сечениях балки поперечную силу Qz . В окне Установка коэффициента масштабирования эпюр выбираем цифру 2 . В итоге в рабочем поле окна SCAD эпюра Qz примет вид, приведенный на рис. 33.
Выбирая в окне Выбор вида усилий из списка внутренних усилий в поперечных сечениях балки изгибающий момент MY получим эпюру M y (рис.34). В программном продукте SCAD эпюра моментов строится на растянутых волокнах балки.
Для отображения на эпюре величин изгибающего момента в поперечных сечениях
балки надо активизировать фильтр
Оцифровка изополей/изолиний. Значения
выводимых изолиний соответствуют максимальной величине внутреннего силового
фактора на данном элементе. На рис.34 это два одинаковых значения − 6 ,12 , соответствующие точке перелома эпюры моментов.
Полученные величины Q и M y отличаются от найденных стандартным методом сечений в курсе сопротивления материалов и вычисленных в системе MathCAD.
Погрешность численных расчетов зависит от числа элементов, на которые была разделена балка. Увеличение числа элементов в разумных пределах обычно приводит к
уменьшению этой погрешности.

30

Рис.31

Рис.32

31

Рис.33

Рис.34
Величины внутренних усилий можно оценить по информации, получаемой с
помощью фильтра
Информация об элементе. Щелчок по этой кнопке на панели Фильтры отображения приведет к открытию одноименной панели. Выделив
элемент на расчетной схеме балки, получим всю необходимую информацию о данном
элементе. Внешний вид панели для выделенного на рис.34 шестого элемента приведен
на рис.35.
Нажимая на клавишу Эпюры усилий, можно открыть окно, в котором будут
представлены эпюры для всех шести внутренних силовых факторов.
Для документирования исходных данных и результатов расчета SCAD предоставляет генератор таблиц в текстовом формате (результаты его работы отображаются в
указанном текстовом редакторе) или специальную подсистему – Документатор, с
помощью которой таблицы формируются и выводятся на печать в графическом формате или экспортируются в MS Word или MS Excel.
32

Общее управление генерацией таблиц осуществляется в
диалоговом окне Оформление результатов расчета,
которое вызывается из раздела Печать таблиц группы
Результаты в Дереве проекта (рис.10).
Эпюры внутренних силовых факторов можно распечатать, если воспользоваться кнопкой печать раздела
Управление (рис.36, а) или командой Печать из всплывающего меню, открывающегося после нажатия клавиши
Файл главного меню (рис.36, б). Пример распечатки эпюры моментов (рис.34) приведен на рис.37.
2.4. MSС.PATRAN-NASTRAN 20056
MacNeal-Schwendler Software (MSC) - мировой
лидер в области разработки программного обеспечения
автоматизации проектирования на основе конечноэлементного анализа. Основанная более 30 лет назад,
MSC разработала и постоянно развивает уникальную,
всемирно известную систему MSC.NASTRAN, истоком
которой является система NASTRAN, созданная по заказу
NASA при прямом финансировании правительства США.
MSC.NASTRAN - это высоконадежный программный
продукт с более чем с 25-летним опытом развития и сопровождения. Решения, полученные с помощью
MSC.NASTRAN, признаются большинством экспертов в
области конечно-элементного анализа как наилучшие
среди многих других. Решения MSC.NASTRAN обычно
принимаются за стандартные решения при проверке качества других конечно-элементных программ.

Рис.35

Рис.36
6

Рыбников Е.К., Володин С.В., Соболев Р.Ю. Инженерные расчеты механических конструкций в системе MSC/Nastran. – М.: Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2003. ч.I. 130 с.; ч.II. – 174 с.

33

Рис.37
К настоящему времени фирмой выпущен широкий набор программных продуктов конечно-элементного анализа:

34




MSC.NASTRAN - базовая программа;
MSC.PATRAN (дополнение к NASTRAN) - интегрированная среда моделирования, анализа и проектирования на основе современного графического интерфейса;
• MSC.FATIGUE - расчеты долговечности, усталости, трещиностойкости, оптимизация конструкций по критерию долговечности;
• MSC.DYTRAN - анализ высоконелинейных быстротекущих динамических процессов; MSC.NASTRAN for Windows - реализация широких возможностей
MSC.NASTRAN на персональном компьютере в среде Windows;
• MSC.MARC – решение высоконелинейных инженерных задач,
а также другие специализированные программы.
MSC.NASTRAN работает на разнообразных типах компьютеров с различными
операционными системами, от небольших рабочих станций до суперкомпьютеров. Независимо от вычислительной платформы MSC.NASTRAN оптимизирован так, что
расчеты проходят наиболее эффективно и результаты получаются идентичными для
всех систем.
Программа конечно-элементного анализа конструкций MSC.NASTRAN - это
программа общего назначения; она применима при решении широкого спектра инженерных задач (статических задач, динамических процессов, нелинейного поведения
конструкций, задач теплопроводности, а также оптимизации), если сравнивать со специальными программами, ориентированными на определенные типы анализа.
С помощью MSC.NASTRAN решаются следующие задачи:
1. Линейный статический анализ (Linear static analysis).
2. Анализ устойчивости (Buckling analysis).
3. Анализ собственных форм и частот колебаний (Normal mode Analysis).
4. Нелинейная статика (Nonlinear static).
5. Динамический анализ (Dynamic analysis).
6. Решение задач теплопередачи (Heat transfer analysis).
7. Анализ взаимодействия конструкции с жидкостью/газом (Fluid-structural effect
analysis).
8. Анализ чувствительности при проектировании конструкций (Design sensitivity).
9. Задачи оптимизации при проектировании конструкций.
10. Расчет деталей из слоистых композитных материалов.
MSC.Patran – это программный продукт, относящийся к CAE-системам, которые позволяют использовать компьютер для конструирования модели объекта, затем
моделировать поведение объекта в условиях действия комплекса нагрузок при заданных граничных условиях, которые отражают условия работы объекта в сложной конструкции и визуализировать результаты расчета. Конечно-элементный расчет созданной модели выполняется той вычислительной системой, которая используется в данной задаче (это могут быть NASTRAN, MARC, DYTRAN и т.п.).
Модули приложения MSC.Patran осуществляют большие специализированные
задачи, часто вне системы, помогая сопровождать конечно-элементный анализ и интерпретацию результатов. Важной особенностью инфраструктуры MSC.Patran является
интегрированная база данных. Вся информация о модели и её анализе сосредоточена в
базе данных, и таким образом можно всегда сравнивать варианты, изменять их, добавлять и изучать конструктивные изменения объекта.
MSC.Patran имеет открытую архитектуру. Это позволяет обмениваться данными
с различными программными продуктами, включая CAD-системы, конечноэлементные объектные коды других моделирующих программ, базы данных по характеристикам материалов. Базы данных и модели, созданные в одной программной сис35

теме, могут быть просто перенесены в MSC.Patran с минимальными затратами по времени и без потерь данных при конвертировании кодов.
MSC.Patran воспринимает модели объектов, созданных в таких мощных CAEсистемах, как Unigraphics, CATIA, CAD-системах среднего и малого уровня: SolidWorks, SolidEdge, КОМПАС, T-flex, ARIES и др.
2.4.1. Запуск и выход из системы Patran 2005
Запуск системы MSC.Patran можно осуществить, используя
значок на рабочем столе Windows или последовательность: Пуск ►
MSC.Software ► MSC.Patran 2005 ► MSC.Patran 2005 (рис.38).
На экране дисплея появится графическое окно системы MSC.Patran
(рис. 39), в котором доступными будут только две команды главного
меню: File и Help, а также две кнопки панели инструментов:

Значок системы
MSC.Patran

и
.
При старте графическое окно не содержит никакой информации о модели. Выше и ниже этого окна расположены строка меню, панель инструментов, кнопки приложений, командная строка и строка истории сообщений (history). Остальные меню становятся активными только после открытия новой (рис.40) или уже существующей базы
данных (рис.41).
File New – установка новой базы данных (можно открыть старую базу данных
как новую, если необходимо сохранить имя базы и удалить её содержимое). В открывшейся форме New Database задают имя новой базы данных. Если вы попытаетесь задать уже существующее имя, то вас спросят, хотите ли вы перезаписать старую базу
данных и создать новую. В окне «Папка» выберите директорию, в которую запишется
база данных. В поле «Имя файла» введите имя базы данных. MSC.Patran автоматически добавит расширение .db. После нажатия OK должно появиться рабочее окно
MSC.Patran.
File Open – открытие старой базы данных. Открывает существующую базу
данных. В открывшейся форме Open Database (рис.41) дважды нажмите на имя базы
данных.
Меню File отвечает за работу с различными файлами MSC.Patran, управляет
файлами базы данных, импортирует и экспортирует файлы, создает копии файлов,
осуществляет выход из сессии и т.д. Это меню содержит стандартный набор команд,
который имеется во всех пакетах, предназначенных для работы с Windows (рис.42).
Меню Help представлено на рис.43. Используя команду On Help, можно получить справочную информацию о программном продукте (правда, на английском языке)
(рис.44). Система Help содержит описание каждой формы, подформы, опции, каждого
параметра модели.
Помимо простого описания средств и инструментов работы, Help показывает,
как их использовать для проведения анализа. Также в системе находится информация
по кодам анализа, типам элементов, CAD системам, пересекающимся с MSC.Patran и
т.д.
Если при работе с формами у вас возникают какие-то вопросы, нажимайте на
клавишу F1. После этого Help автоматически выведет информацию по данной конкретной форме. Передвигаясь по библиотеке, можно получить любую другую информацию.
Выход из системы MSC.Patran можно осуществить из меню File командой
Quit или одновременным нажатием кнопок Ctrl+Q на клавиатуре. MSC.Patran при
выходе автоматически сохраняет все изменения, внесенные в базу данных.

36

Рис.38

Рис.39

37

Рис.40

Рис.41

38

Рис.44
2.4.2. Интерфейс MSC.Patran
В центре рабочее окно имеет пустое графическое поле, в котором конструируется геометрическая модель объекта (рис.45). В графическом окне отображается вся модель или какая-то ее часть. В верхней части окна отображаются имя базы данных (в
данном
случае
05-07-2005-test_3beam.db),
имя
графического
окна
(default_viewport - область просмотра значения по умолчанию), имя текущей группы
39

(default_group - группа значения по умолчанию) и режим отображения модели (Entity объект).
Графические окна в MSC.Patran можно передвигать и изменять их размер.
Для передвижения графического окна:
• Поместите курсор на заглавную строку окна.
• Нажмите левую кнопку мышки и переместите окно на новое положение.
Для изменения размера графического окна:
• Поместите курсор на границу или в угол окна.
• После появления двухсторонней стрелочки нажмите на мышку и измените размер окна до желаемого размера.
В MSC.Patran нет ограничений на количество создаваемых графических окон.
Выше и ниже графического поля расположены строка меню, панель инструментов, кнопки приложений, командная строка и строка истории сообщений (history).
Справа от графического окна располагаются формы приложений, используемые в процессе создании модели (рис.45).

Рис.45
Строка меню, панель инструментов и кнопки приложений, показанные ниже,
образуют главную панель управления. Работа с ними осуществляется при помощи
ниспадающих меню, нажимаемых кнопок и всевозможных иконок. Также они показывают, что именно MSC.Patran делает сейчас и, в случае прерывания операции, сообщают о причинах прерывания.
2.4.3. Строка меню
Строка меню расположена прямо под заглавной строкой MSC.Patran каждая
часть меню содержит ниспадающее подменю с дополнительными командами (рис.46).
Команды меню File и Help приведены на рис.42 и 43.

40

Рис.46
Меню Group содержит опции по объединению геометрических (точки, кривые,
поверхности, тела) и конечно-элементных (узлы, элементы, MPC) примитивов модели
в группы. Содержимое этих групп можно домоделировать и обрабатывать. Например,
можно объединить в одну группу конечные элементы из различных материалов. Или в
целях просмотра результатов можно создать отдельные группы для отображения полей
температур и напряжений в одной модели одновременно.
Демонстрационные окна Viewport используются для вывода частей модели
или всей модели целиком. Каждое окно предоставляет свой независимый вид стационарной модели, который определяет заданный набор параметров. Меню Viewport используется для создания, редактирования, перемещения и организации демонстрационных окон.
Меню Viewing содержит опции по управлению размером и ориентацией модели в графическом окне. Модель можно вращать, изменять ее размер, положение, тип
проекции, масштабные множители и режущие плоскости (clipping planes). Также по

41

желанию можно менять плоскость обзора, позицию наблюдателя, центр окна и фокальную точку. Изменение вида никак не отражается на самой модели.
По мере построения модели MSC.Patran автоматически изменяет размер графического окна при добавлении примитива, выходящего за пределы текущего поля обзора. Окно изменяется так, чтобы в него попадали все примитивы текущей группы.
По мере построения модели база данных постепенно переполняется геометрическими и конечно-элементными примитивами. Меню Display помогает организовать
их удобное взаимное отображение на экране. В нем определяется, какие примитивы
вывести на экран и как их вывести. Меню Display также содержит дополнительные
визуализационные средства, такие как, отрисовка и стирание примитивов, подсветка и
отображение меток. Средства меню Display никак не влияют на основные операции
MSC.Patran. Они просто повышают степень удобства отображения модели.
В меню Preferences устанавливаются параметры, управляющие процессом построения модели. В нем определяются глобальные параметры, значение которых может быть изменено в отдельных приложениях. Например, при проведении операции
выравнивания можно установить локальное значение параметра Global model tolerance.
Однако вне данного приложения будет использоваться глобальное значение параметра.
Поменять preference можно только внутри формы Preferences.
Меню Tools исполняет необязательные приложения и выполняет операции, на
которые есть лицензия (сюда не включается операции выхода из MSC.Patran). Здесь
также содержатся новые добавленные средства MSC.Patran, которые используются при
условии оплаты поставщику программного продукта их стоимости. Если на какой-то
модуль приложения нет лицензии, то соответствующая опция в меню Tools будет затемнена; это означает, что ее нельзя выбрать.
Меню Insight Control активизируется только после нажатия кнопки приложения Insight, которое позволяет визуализировать сложное трехмерное поведение модели. Это приложение располагает множеством методов отображения результатов. В настоящее время Insight является отдельной возможностью MSC.Patran со своим собственным экраном и своими выходными данными. Чтобы открыть это приложение,
нужно нажать на кнопку Insight. Чтобы выключить его, необходимо нажать на эту
кнопку повторно.
2.4.4. Геометрическое моделирование ферм, балок и рам в системе
MSC.Patran-Nasnran
Для моделирования поведения стержней и балок под действием какой-либо нагрузки используются одномерные элементы (линейные элементы): стержневые и балочные. Стержневые элементы CROD воспринимают осевое растяжение-сжатие и кручение относительно продольной оси. Балочные элементы: СВАR и СВЕАМ, воспринимают также изгиб. В MSC.NASTRAN существует определенное различие между
«простыми» и «сложными» балками. Простые балки моделируются элементами
CBAR, жесткостные характеристики которых не могут варьироваться по длине. Сложные балки моделируются элементами СВЕАМ, которые в дополнение к свойствам элемента CBAR имеют возможность моделировать переменность характеристик по длине
и ряд других геометрических характеристик сечения.
Для решения задач нам потребуются только элементы CROD и CBAR.
Элемент CROD
Одномерный двухузловой элемент CROD, работающий на растяжение-сжатие и
кручение, имеет только две степени свободы в узле ( u - поступательное перемещение
вдоль оси x , ϕ - поворот вокруг оси x ). Внешний вид элемента, нагруженного внут42

ренними усилиями: продольной силой P и моментом T в узловых точках G1 и G2 показан на рис.47. При определении свойств элемента задаются материал и площадь
его поперечного сечения. Все остальные геометрические характеристики вычисляются
автоматически.

Рис.47
При выборе элемента CROD в системе Patran должны быть установлены следующие опции (табл. 2.1):
Таблица 2.1
Action
Dimension
Type
Option(s)
Topologies
(Действие)
(Тип)
(Выбор)
(Топология)
(Измерение)
General Section Standard
Create
1D
Rod
General Section CONROD
Bar 2
Pipe Section
Внешний вид панели свойств элемента Input Properties показан на рис.48.
Опции, заключенные в прямоугольные скобки, задавать не обязательно.

Рис.48
43

Элемент CBAR
Элемент CBAR - элемент общего назначения. Работает на растяжение-сжатие,
кручение и поперечный изгиб в двух перпендикулярных плоскостях. Может обладать
жесткостью по всем шести степеням свободы в каждой узловой точке. Компонентами
перемещений в узловой точке элемента являются три поступательных и три вращательных степени свободы.

Рис.49
Элемент задаётся номерами узловых точек G A (Grid Point A) и G B (Grid Point
В), координатами точки A( X 1 , X 2 , X 3 ) в глобальной системе координат, векторами
r
r
WA (WA 1 ,WA 2 ,WA 3 ) и WB (WB 1 ,WB 2 ,WB 3 ) смещения центров тяжестей поперечных сечений элемента в точках A и B в координатной системе перемещений, узловыми кинематическими условиями PA и PB , используемыми для освобождения от связей между
узловой точкой и некоторыми степенями свободы балки (степени свободы определяr
ются в системе координат элемента), и вектором ориентации V сечения балки относительно остальной модели (рис.49). Ось x элемента автоматически определяется как
направление от G A к G B .
r
Направление V относительно сечения может быть произвольным, но обычно
располагается вдоль одной из главных осей инерции. Поворот сечения вокруг оси x
r
осуществляется заданием компонент вектора V . Плоскость, определяемая осью x эл
r
элемента и вектором ориентации V , называется плоскостью 1 . Ось yэл лежит в этой
плоскости и перпендикулярна x эл . Плоскость 2 перпендикулярна плоскости 1 , ось

z эл определяется как результат векторного произведения осей xэл и yэл . Плоскость 2
содержит оси элемента x эл и z эл .

r
Имеется альтернативный метод определения ориентирующего вектора V с исr
пользованием точки GO ; вектор V направлен от G A к GO (рис.50).
Жесткостные характеристики сечения обычно задаются в системе координат
CBAR.
44

Рис.50

Рис.51
Положительные направления сил и моментов в CBAR соответствуют знакам,
принятым в курсе «Теория упругости»7 (рис.51).
При выборе элемента CBAR в системе MSC.Patran должны быть установлены
следующие опции (табл. 2.2):
Таблица 2.2
Action Dimension Type
Option(s)
Elem Type
Input Data
(Действие) (Измерение) (Тип)
(Выбор)
(Тип элемента) (Вводимые данные)
Материал
Create
1D
Beam
General Section
CBAR
Площадь
Внешний вид панели свойств элемента показан на рис.52. Там же указаны поля
r r
r
ввода координат векторов V , W A и WB , а также кинематических условий PA и PB .
Опции, заключенные в прямоугольные скобки, задавать не обязательно.

7

В.А. Жилкин. Расчеты на прочность и жесткость элементов сельскохозяйственных машин. Часть I.
Теоретические основы проектирования элементов сельхозмашин. Челябинск, ЧГАУ, 2005. – 427 с.

45

Рис.52

Рис.53
r
r
r
На рис.53 приведен вид элемента, соответствующий векторам V , W A , W B , заданным на рис.52.
Для визуализации внешнего вида поперечного сечения элемента необходимо в
меню Display активизировать команду Load/BC/Elem.Props… . Откроется одно-

46

именная панель, на которой в разделе Beam Display следует нажать на клавишу
и из появившегося списка команд выбрать 3D: FullSpan+Offsets (рис.54).

Рис.54

Рис.55

r
Поворот поперечного сечения балки реализуется ориентацией вектора V , коорr
r
r
динаты которого < cos V , x , cos V , y , cos V , z > задаются в строке Bar Orientation

(

)

( )

( )
47

панели Input Properties (рис.52). Примеры задания этого вектора и ориентация сечения элемента CBAR приведены на рис.55.
2.4.4.1. Алгоритм создания конечно-элементной модели фермы
Алгоритм создания конечно-элементной модели, основанной на использовании
элементов CROD, продемонстрируем на примере определения опорных реакций и усилий в стержнях навесной фермы, изображенной вместе с действующими на неё силами
на рис.56.8

Рис.56
Алгоритм создания конечноэлементной модели:
A. Щелкаем левой клавишей мыши по
приложению Geometry (рис.57).
B. В открывшейся одноименной панели
активизируем команды:
Action►Create
Object►Point
Method►XYZ.
C. В поле Point Coordinates List
вводим координаты первого узла и
нажимаем клавишу Apply. Для того
чтобы контролировать положения
введенных точек, активизируем
кнопку
Положение точек.
Операцию повторяем до тех пор, пока не будут введены координаты
всех узлов. На рис.58 приведен вид
графического окна после выполнения описанных операций.
D. На панели Geometry щелкаем по
клавише Point и активизируем опцию Curve. Панель
Geometry
примет вид, изображенный на рис.59.

Рис.57

8

Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.
-448 с.

48

Рис.58
E. Соединяем точки линиями, последовательно
щелкая по стартовой и конечной точкам. В результате получим изображение геометрии фермы (рис.60).
F. Для создания конечных элементов открываем
приложение Elements, что приводит к открытию соответствующей панели (рис.61).
G. Используем команду Object►Mesh Seed для
предварительной разметки конечно-элементной
сетки на геометрической модели фермы. В поле
Number задаем число элементов на кривой (в
нашем случае 1 ). Для визуализации выполняемых действий нажмем на кнопку
. В результате этого действия на геометрии фермы будут
проставлены номера узлов и элементов (рис.55).
H. Переходим к созданию сетки. Активизируем
команду Object►Mesh. Панель Finite Elements примет вид (рис.56).
Рис.59

I. С помощью кнопки Polygon Pick
(полигональный выбор), обычно расположенной слева от графического окна, выделяем
всю ферму. В окне Curve List появится запись Curve 1:11, означающая, что выбраны кривые с 1 по 11 . Нажимаем на кнопку Apply. На изображении фермы
появятся номера элементов и узлов.

Рис.60

49

Рис.62
Так как в узлы сходятся несколько стержней, то в каждом геометрическом узле
будет находиться несколько конечно-элементных узлов. Так, например, в шестую
точку сходятся четыре стержня и поэтому одна геометрическая точка содержит че50

тыре конечно-элементных узла. Для того чтобы удостовериться в этом, активизируем команду Action►Show. Панель Finite Elements изменит вид и будет выглядеть так, как показано на рис.64. Если мы выделим шестой узел, то появится дополнительная панель Show Node Location Information, в которой в табличной
форме выведена информация об узлах, находящихся в шестой геометрической точке. По умолчанию MSC.Patran будет их рассматривать как узлы, относящиеся к
разным областям, а потому они не будут деформироваться совместно. При проведении структурного анализа MSC.Patran они могут улететь в пространство, а
MSC.Patran об этом не проинформирует. В результате либо получится неверный
результат, либо MSC.Patran вообще откажется считать. Поэтому до проведения
анализа необходимо выполнить операцию Equivalence, находящуюся в форме
приложения Finite Elements.

Рис.64
J. Активизируем команду Action►Create► Equivalence. Панель Finite Elements
снова изменит свой внешний вид (рис.65). Щелкнем по кнопке Apply. В графическом окне будут отмечены узлы, для которых выполнена операция Equivalence, а
в информационной панели появится сообщение, о том, что объединено 15 узлов
(рис.65).
K. Задаём граничные условия: силовые и кинематические. Открываем форму приложения Loads/BCs, т.е. щелкаем по кнопке
. Появляется всплывающая панель Loads/Boundary Conditions (рис.66). Вначале зададим кинематические
граничные условия. Для этого в окне New Set Name задаем имя кинематического
условия d1 и щелкаем по кнопке Input Data… Откроется новая всплывающая панель Input Data, в окнах которой задаём граничные условия для крайней нижней
левой точки: запрещаем все три поступательных перемещения u , v , w и два вращательных перемещения относительно осей x и y .

51

Рис.65

Рис.66
52

Щелкаем по кнопке OK. Затем активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель, на которой отмечаем флажок FEM. Щелкаем левой клавишей мыши в графическом окне по узлу 1 . В окне «Select
Nodes» появится информация о том, что выделен этот узел. Затем щелкаем по
кнопкам Add и OK. Панель Select Application Region закроется; на панели
Loads/Boundary Conditions щелкаем по кнопке Apply. В графическом окне
появится условное изображение введенной кинематической связи
,
цифры соответствуют удаленным степеням свободы. Разрешен только поворот
относительно оси z . Аналогичным образом вводим вторую кинематическую
связь d2 для верхнего крайнего левого узла
: запрещены перемещения
u , w и повороты относительно осей x и y . Для оставшихся узлов потребуем
отсутствия перемещений по оси z : w , и поворотов относительно осей x и y
).
(кинематическая связь d3:
Для задания силовых граничных условий активизируем команду
Object►Force. В окне «New Set Name» задаем имя силового условия f1.
Щелкаем по кнопке Input Data… Открывается одноименная панель, в окне которой Force вводим компоненты вектора силы , компоненты вектора момента не вводим. Щелкаем по кнопке OK. Активизируем
кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель. Щелкаем
левой клавишей мыши в графическом окне при нажатой клавише Shift по узлам
12 и 7 . В окне «Select Nodes» появится информация о том, что выделены
эти узлы. Щелкаем по кнопкам Add и OK. Панель Select Application Region
закроется; на панели Loads/Boundary Conditions щелкаем по кнопке Apply.

В графическом окне появится условное изображение введенной силы
,
цифры соответствуют величине силы. Аналогичным образом вводим вторую
силу f2: . Получившаяся конечно-элементная расчетная схема представлена на рис.67.
L. Открываем форму приложения Materials, т.е. щелкаем по кнопке
. Вид одноименной панели приведен на рис.68, на которой задаём имя материала st и,
щелкнув левой клавишей мыши по кнопке Input Properties, его физикомеханические характеристики. Щелкаем по кнопке OK на панели Input Options,
на панели Materials - по кнопке Apply.
M. Открываем форму приложения Properties, т.е. щелкаем по кнопке
. На появившейся панели Element Properties выбираем: объекты 1D, тип элементов –
ROD (рис.69). В окне Property Set Name задаём имя fem и щелкаем левой клавишей мыши по кнопке Input Properties. На появившейся одноименной панели
задаём имя материала: щёлкаем по кнопке
, появляется панель выбора материала Select Material, в окне которой указан заданный нами материал st. Щелчок по
имени материала приводит к появлению записи: m:st в окне Material Name панели Input Properties. В окне Area задаём площадь поперечного сечения стержня:
0.08 м2. Закрываем панели Select Material и Input Properties, щелкая по клавишам Cancel и OK.
53

Рис.67

Рис.68

54

Рис.69
Появляется панель Element Properties, на которой в окне Select Members задаём имена элементов, которым присваиваются установленные нами свойства. Для
задания имен элементов необходимо выделить их в графическом окне (это можно
сделать либо непосредственно при нажатой левой клавише мыши, либо с помощью
инструмента Полигональный выбор (кнопка
)). В окне Select Members
появится сообщение: Curve 1:11. Последовательно щелкаем по клавишам Add (в
окне Application Region появится запись: Curve 1:11) и Apply.
N. Расчет конечно-элементной модели проводится в приложении Analysis, открываемом щелчком по кнопке
. Внешний вид панели Analysis приведен на
рис.70. Раздел Action зависит от принятой расчётной программы. При анализе выбирается только Analysis. Object предназначен для указания, какая часть модели
включена в анализ – целая (Entire Model) или установленная группа элементов
(Current Group). В большинстве случаев выбирается целая модель. Methods – в
этой опции указывается, насколько полно выполняться анализ. Можно указать: Full
Run (полный анализ), Check Run (проверочный запуск), Analysis Deck (проверка текста программы), Model Only (проверка модели). При выборе Full Run выполняется требуемая трансляция и расчётная программа запускается для решения
задачи. Для того чтобы изменить такие параметры Subcase (подблока), как
Output Request (запрос на вывод), необходимо войти в форму Subcase Create,
выбрать Subcase и принять соответствующую форму вывода, т.е. сделать изменение в Output Request. Для того чтобы вывести информацию об усилиях в стержнях фермы, щелкаем в окне Select Result Type панели Output Requests команду Element Force. Затем последовательно нажимаем кнопки OK, Apply, Apply,
чтобы запустить программу. В результате этих действий запустится вычислительная программа Nastran (рис.71).
55

Рис.70

Рис.71
O. После окончания вычислений необходимо результаты расчета сделать доступными
в MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и нажимаем клавишу Apply. Если расчет выполнен правильно, в информационной
56

строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно будет переходить к
анализу результатов расчета.
P. Приложение Results открывается нажатием на клавишу
. В системе
MSC.Patran панель Results (рис.72) позволяет пользователю управлять мощными
графическими возможностями для изображения величин результатов различными
способами. Результаты могут быть масштабированы, скомбинированы, профильтрованы, вырезаны или удалены. Многие опции, использованные при создании изображений, запускаются с помощью кнопок:
- Select Results позволяет выбрать какие результаты будут изображаться
(скалярные, векторные или тензорные) и какие компоненты будут использованы
для изображения векторных и тензорных данных;

Рис.72
- Fringe Attributes позволяет изменить параметры изображения: ширину линий, стиль, масштабный фактор;
57

- Deform Attributes позволяет управлять параметрами изображения деформированной модели;
- Animation Options позволяет управлять атрибутами анимации: количеством
кадров, методами межкадровой интерполяции.
Выберем:
Action►Create;
Object►Fringe;
вариант расчета: A4: Static
Subcase,
тип результата: Stress Tensor,
компоненту тензора: X Component,
результат
деформационного
расчета – отобразить раскраску
на деформированной поверхности.
Нажмем кнопку
- Plot
Options. Действие кнопки зависит
от метода набора опций, в данном
случае она контролирует, в какой
системе координат отображать
компоненты векторов и тензоров,
как осреднять и экстраполировать
результаты. Панель Results примет
вид, приведенный на рис.73; на ней
из списка Domain выберем None и
нажмем клавишу Apply. В графическом окне появится изображение
деформированной фермы с раскрашенными стержнями (цвет раскраски соответствует величине усилия в
стержне фермы; таблица соответствий цветов и усилий приведена в
графическом окне справа) (рис.74).
Такое представление результатов
даёт качественную оценку об усилиях в стержнях. MSC.Patran позволяет получить точную информацию об усилиях в стержнях фермы.

Рис.73

Выберем: Action►Create; Object►Cursor;
вариант расчета: A4: Static Subcase,
тип результата: Bar Forces, Translational ,
Quantity: X Component,
Target Entity: Element.
Нажмем кнопку Apply. Появится новая панель Cursor Data (рис.75). Щелкая левой клавишей мыши по стержням, получим таблицу значений усилий в стержнях
фермы. В графическом окне у элементов фермы так же будут проставлены усилия
(рис.76).

58

Рис.74

Рис.75
59

Рис.76
2.4.4.2. Алгоритм создания конечно-элементной модели фермы
с помощью многоточечных связей (MPC)
В MSC.Patran имеется возможность создания расчетной модели ферм с использованием элемента CROD и многоточечных связей Multi Point Constraint.
(MPC).
Продемонстрируем эту возможность на примере определения опорных реакций
и усилий в стержнях раскосной фермы, изображенной на рис.77.9

Рис.77

9

Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1986. 448 с.

60

В этой задаче нас интересует процесс создания шарниров с помощью многоточечных связей MPC, используемых для описания линейных зависимостей между двумя или более степенями свободы, которые выражаются в форме

∑ RiU i = 0 ,
i

где U i – какая-либо степень свободы в узле или в точке;
Ri – задаваемый пользователем коэффициент.
Чтобы не путать в дальнейшем узлы фермы с узлами конечно-элементной сетки,
первые будем называть шарнирами. Таких шарниров у нас шесть.
Алгоритм создания конечно-элементной модели
1. Открываем приложение Geometry (рис.57).
2. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Point
Method►XYZ
и вводим координаты шарниров. После завершения этой операции меняем опцию
Object►Point на Object►Curve и соединяем построенные точки линиями.
3. Открываем приложение Elements и устанавливаем опцию Object►Mesh Seed,
в поле Number задаем число элементов на кривой: 1 . Активизируем команду Object►Mesh. Выбираем все элементы фермы. В окне Curve List появится запись
Curve 1:9. Далее нажимаем на кнопку Apply. На изображении фермы появятся
номера элементов и узлов (рис.78).

Рис.78
Так как в шарнирах фермы сходятся несколько стержней, то в каждом геометрическом узле находятся несколько конечно-элементных узлов (рис.79).

61

Рис.79
Выполним команду Equivalence, находящуюся в форме приложения Finite
Elements для 1 и 4 шарниров, а узлы, совпадающие с шарнирами 2 , 3 , 5 , 6 ,
исключим из этой операции (номера этих узлов должны быть указаны в окне
Nodes to be excluded). В результате выполнения команды в шарнирах 1 и 4 осталось по одному узлу (рис.80).
4. Задаём граничные условия: силовые и кинематические. Открываем форму приложения Loads/BCs. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Displasement
Type►Nodal
62

Рис.80
и в окне «New Set Name» задаем имя кинематического условия d1 и щелкаем по
кнопке Input Data… . В появившейся панели Input Data задаём граничные условия
для крайней нижней левой точки. Запрещаем все три поступательных перемещения u ,
v , w и два вращательных перемещения относительно осей x и y . Щелкаем по кнопке OK. Затем активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель, на которой отмечаем флажок FEM. Щелкаем левой клавишей мыши в графическом окне по узлу 1 . Затем щелкаем по кнопкам Add и OK. Панель Select Application Region закроется, а на панели Loads/Boundary Conditions щелкаем по
кнопке Apply. В графическом окне появится условное изображение введенной кинематической связи

. Аналогичным образом вводим вторую кинематическую

связь d2 для правой шарнирно подвижной опоры
: запрещены перемещения v ,
w и повороты относительно осей x и y . Для оставшихся узлов потребуем отсутствия
перемещений по оси z : w и поворотов относительно осей x и y (кинематическая
связь d3:
).
Для задания силовых граничных условий активизируем команду Object►Force. В окне New Set Name задаем имя силового условия f1. Щелкаем по
кнопке Input Data… Открывается одноименная панель, в окне которой Force вводим компоненты вектора силы ; компоненты вектора момента не вводим. Щелкаем по кнопке OK. Активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель. Щелкаем левой клавишей мыши в графическом окне по шарниру 2 . Так как в этом шарнире находятся
три узла, то появится окно выбора Selection Choices (рис.81).
Выберем узел с наименьшим номером. На панели Select ApРис.81
plication Region щелкаем по кнопке OK, на панели
Loads/Boundary Conditions - по кнопке Apply. В графическом окне появится условное изображение введенной силы. Аналогичным образом вводим вторую силу f2:
. Получившаяся конечно-элементная расчетная схема представлена на
рис.82.
. Вид од5. Открываем форму приложения Materials, т.е. щелкаем по кнопке
ноименной панели приведен на рис.68, на которой задаём имя материала st и,
щелкнув левой клавишей мыши по кнопке «Input Properties», его физико63

механические характеристики. Щелкаем по кнопке OK на панели Input Options,
на панели Materials щелкаем по кнопке Apply.

Рис.82
6. Открываем форму приложения Properties. На появившейся панели Element
Properties выбираем: объекты 1D, тип элементов – ROD (рис.69). В окне Property Set Name задаём имя sterzhen и щелкаем левой клавишей мыши по кнопке
Input Properties. На появившейся одноименной панели задаём имя материала,
щёлкая по кнопке
. В окне Area задаём произвольную площадь поперечного
сечения стержня: 0.08 м2 (этот параметр для нашего расчета не играет никакой роли). Щелкаем по клавишам Cancel и OK. Снова появляется панель Element
Properties, на которой в окне Select Members задаём имена элементов (Curve
1:9), которым присваиваются установленные нами свойства. Последовательно
щелкаем по клавишам Add (в окне Application Region появится запись Curve
1:9) и Apply.
7. Создаём МРС для шарниров 2 , 3 , 5 , 6 . Открываем приложение Elements и устанавливаем опции
Action ► Create
Object ► МРС
Type ► Explicit.
Щелкаем по клавише Define Terms. Появится одноименная панель (рис.83), на которой таблицы Dependent Terms (зависимые от условий задачи величины, может
быть задана только одна величина), Independent Terms (независимые величины,
могут быть заданы несколько величин) и окно Node List пока пусты, опция Create Dependent – активизирована. В окне DOFs указываем, на какие степени свободы будут наложены связи (в нашем случае при нажатой клавише Shift щелкаем
левой клавишей мыши по UX UY). Для шарнира 2 в окно Node List вводим Node
2 и щелкаем по клавише Apply. Опция Create Dependent автоматически закрывается, а опция Create Independent становится активной. В окно Node List вводим Node 3 и щелкаем по клавишам Apply на панелях Define Terms и Finite
Elements. На панели в окне MPC ID цифра 1 сменится на цифру 2 , на панели
Define Terms таблицы Dependent Terms и Independent Terms снова станут
пустыми, готовыми для ввода новой информации, в окне Node List останется за64

пись Node 3. Щелкаем по клавише Apply. Теперь узел Node 3 стал зависимым. В
окно Node List вводим Node 13 и щелкаем по клавишам Apply, узел 13 станет
зависимым.
Итак, для создания шарнира надо последовательно перебирать узлы, совпадающие с данным шарниром в соответствии с диаграммами, приведенными на рис.83.

Рис.83
8. Расчет конечно-элементной модели, как обычно, проводится в приложения Analysis. Для того чтобы вывести информацию об усилиях в стержнях фермы, щелкаем
в окне Select Result Type панели Output Requests команду Element Force.
Затем последовательно нажимаем кнопки Cancel, Apply, Apply, чтобы запустить
программу. В результате этих действий запустится вычислительная программа
Nastran (рис.71).
9. После окончания вычислений необходимо результаты расчета сделать доступными
в MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и нажимаем клавишу Apply. Если расчет выполнен правильно, то в информационной
65

строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно будет переходить к
анализу результатов расчета.
10. Открываем приложение Results. Выберем:
Action►Create;
Object►Fringe;
вариант расчета: A1: Static Subcase,
тип результата: Bar Forces Translational,
Quantity: X Component,
результат деформационного расчета – отобразить раскраску на деформированной поверхности.
Нажмем кнопку
Plot Options, из списка Domain выберем None и нажмем клавишу Apply. В графическом окне появится изображение деформированной фермы с раскрашенными стержнями (цвет раскраски соответствует величине
усилия в стержне фермы; таблица соответствий цветов и усилий приведена в графическом окне справа) (рис.84).

Рис.84
2.4.4.3. Алгоритм определения внутренних силовых факторов
в поперечных сечениях балок
В качестве примера рассмотрим алгоритм определения внутренних силовых
факторов с использованием элемента CBAR в балке, изображенной на рис.3.
Алгоритм создания конечно-элементной модели балки
A. Щелкаем левой клавишей мыши по приложению Geometry.
B. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
66

Object►Point
Method►XYZ.
C. В поле Point Coordinates List после каждого ввода координат точек границ
участков балки нажимаем клавишу Apply. Для того чтобы контролировать положения введенных точек, активизируем кнопку
«Положение точек». На
рис.85 приведен вид графического окна после выполнения вышеописанных
операций.

Рис.85
D. На панели Geometry щелкаем по клавише Point и активизируем опцию
Curve. Панель Geometry примет вид, изображенный на рис.59.
E. Соединяем точки линиями, последовательно щелкая по стартовой и конечной
точкам. Для визуализации выполняемых действий нажмем на кнопку
. В результате этого действия на расчетной модели балки будут проставлены номера
узлов и элементов (рис.86).
F. Для создания конечных элементов открываем приложение Elements, что приводит к открытию соответствующей панели.
G. Используем команду Object►Mesh Seed для предварительной разметки конечно-элементной сетки на геометрической модели балки. В поле Number задаем число элементов на кривой (в нашем случае для участков 1 и 4 - 10 ; для
участков 2 и 3 - 5 ; для участка 5 - 15 ) (рис.87).
H. Переходим к созданию сетки. Активизируем команду Object►Mesh. Панель
Finite Elements примет вид показанный на рис.63.
I. С помощью кнопки Polygon Pick
(полигональный выбор), обычно расположенной слева от графического окна, выделяем всю балку (тот же эффект
можно получить выделив балку прямоугольником при нажатой левой клавише
мыши). В окне Curve List появится запись Curve 1:5, означающая, что выбраны кривые с 1 по 5 . Далее нажимаем на кнопку Apply. На изображении фермы
появятся номера элементов и узлов.

67

Рис.86

Рис.87
J. Активизируем команду Action►Create► Equivalence. Панель Finite Elements снова изменит свой внешний вид (рис.65). Щелкнем по кнопке Apply. В
графическом окне будут отмечены узлы, для которых выполнена операция
Equivalence, а в информационной панели появится сообщение о том, что объединено 4 узла (рис.88).
K. Задаём граничные условия: силовые и кинематические. Открываем форму приложения Loads/BCs, т.е. щелкаем по кнопке
. Появится всплывающая
панель Loads/Boundary Conditions (рис.66). Вначале зададим кинематические граничные условия. Для этого в окне New Set Name задаем имя кинематического условия d1 и щелкаем по кнопке Input Data… Откроется новая
всплывающая панель Input Data, в окнах которой задаём граничные условия.
Для шарнирно-подвижной опоры А: запрещаем поступательные перемещения
v , w и два вращательных перемещения относительно осей x и y ; для шарнирно неподвижной опоры В запрещаем поступательные перемещения u , v ,
w и два вращательных перемещения относительно осей x и y . На расчетной
68

модели балки в первом случае у опоры А появится изображение опорной связи
с цифрами 2345 , а во втором случае (у опоры В) - изображение опорной связи с
цифрами 12345 (рис.89).

Рис.88

Рис.89
Для оставшихся узлов потребуем отсутствия перемещений по оси z : w ,
и поворотов относительно осей x и y (кинематическая связь d2).
Для задания силовых граничных условий активизируем команду
Object►Force. В окне New Set Name задаем имя силового условия P1. Щелкаем по кнопке Input Data…. Открывается одноименная панель, в окне которой
Force вводим компоненты вектора силы , компоненты вектора момента не вводим. Щелкаем по кнопке OK. Активизируем кнопку
Select Application Region. Появится одноименная панель. Щелкаем левой
69

клавишей мыши в графическом окне по узлу 1 . В окне «Select Nodes» появится информация о том, что эти узлы выделены. Щелкаем по кнопкам Add и
OK. Панель Select Application Region закроется; на панели
Loads/Boundary Conditions щелкаем по кнопке Apply. В графическом окне
появится условное изображение введенной силы, цифры соответствуют величине силы. Аналогичным образом вводим вторую силу P2: , приложенную в узле 3 . К узлу 4 прикладываем сосредоточенный момент: . Распределенную нагрузку q преобразовываем к узловой нагрузке на
пятом участке:
• определяем равнодействующую распределенной нагрузки: Q = 3 q = 60
кН;
• определяем нагрузку на один узел в пределах 5 -го участка: так как на
этом участке 15 элементов, то на каждый элемент приходится
60 / 15 = 4 кН, а каждый элемент имеет два узла, т.е. на каждый узел
элемента приходится по 2 кН ; итак, к крайним узлам 5 -го участка необходимо приложить 2 кН, к остальным узлам - 4 кН, т.к. к ним примыкают два элемента.
В узлах 35 и 49 , как и ранее, задаём узловую нагрузку 2 кН. Для выделения
группы узлов 36 : 49 должна быть открыта панель Select Application
и, при нажатой левой клавише мыши, в граRegion. Щелкаем по кнопке
фическом окне выделяем прямоугольником нужные узлы, как показано на
рис.90, а. Как только вы отпустите левую клавишу мыши, рамка исчезнет, а вокруг каждого из выделенных узлов появится замкнутый контур (рис.90, б). Номера выделенных узлов изменят цвет.

Рис.90
Получившееся загружение расчетной схемы представлена на рис.91.
L. Открываем форму приложения Materials. Вид одноименной панели приведен
на рис.68; на ней задаём имя материала st и, щелкнув левой клавишей мыши по
кнопке Input Properties, его физико-механические характеристики. Щелкаем
по кнопке OK на панели Input Options, а на панели Materials щелкаем по
кнопке Apply.
Открываем форму приложения Properties. На появившейся панели Element
Properties выбираем: объекты 1D, тип элементов – Beam. В окне Property
Set Name задаём имя balka и щелкаем левой клавишей мыши по кнопке Input
Properties (рис.92). На появившейся одноименной панели задаём имя материала: щёлкаем по кнопке
(шаг 1), появляется панель выбора материала Select
Material, в окне которой указан заданный нами материал st. Щелчок по имени
материала (шаг 2) приводит к появлению записи m:st в окне Material Name
панели Input Properties. Нажимаем клавишу Create Section (шаг 3), появятся первая панель типов поперечных сечений балок и две кнопки
и
.
Щелкаем по кнопке
(шаг 4). Появится новая панель типов поперечных се70

чений балок (шаг 5), на которой выбираем сечение – прямоугольник с отверстием (шаг 6) и вверху на правой части панели задаем его размеры (шаг 7). В поле
New Section Name задаем имя «pr» (шаг 8) и нажимаем клавишу OK (шаг 9).
Панель Beam Library закроется, а в окне Section Name панели Input Properties появится новое имя «pr». В окне Bar Orientation задаём ориентацию
поперечного сечения балки: (шаг 10) и, щелкнув по клавише OK (шаг
11), возвращаемся к панели Element Properties, на которой в секции Application Region задаём элементы (путем их выделения в графическом окне), которым присваиваются установленные нами свойства. В окне Select Members
появится сообщение Curve 1:5. Последовательно щелкаем по клавишам Add (в
окне «Application Region» появится запись Curve 1:5) и Apply.

Рис.91
M. Расчет конечно-элементной модели проводится в приложения Analysis.
Для расчета балки выбираем опцию Analysis в разделе Action. Для того чтобы
изменить вычисляемые решателем Nastran параметры, нажимаем клавиши
Subcase (подблока), Output Request (запрос на вывод), открывается панель
Output Request. Для того чтобы вывести информацию об усилиях в балке,
щелкаем в окне Select Result Type панели Output Requests команду Element Force, Applied Loads, Grid Point Force Balance. Нажимаем клавишу
OK. В окне Subcase Name панели Subcase задаём имя «s1»; устанавливаем
указатель мыши на клавише Apply и щелкаем левой клавишей мыши.
N. Нажимаем клавишу Subcase Select на панели Analysis. Откроется одноименная панель (рис.94), на которой выбираем подблок «s1» и нажимаем клавишу OK, а затем клавишу Apply панели Analysis.
O. В результате этих действий запустится вычислительная программа Nastran.
P. После окончания вычислений необходимо результаты расчета сделать доступными в MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и нажимаем клавишу Apply. Если расчет выполнен правильно, в информационной строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно будет переходить к анализу результатов расчета.
71

Рис.92

72

Рис.93

Рис.94
73

Q. Приложение Results открывается нажатием на клавишу
. MSC.Patran
позволяет получить точную информацию о реакциях и внутренних усилиях в
поперечных сечениях бруса. При нажатой клавише
берем:
Action ►Create;
Object ►Freebody;
Metod ►Loads.
Панель Results примет вид, приведенный на рис.95.

- Select Results вы-

Отображение заданной нагрузки на модель
Выберем:
вариант расчета - A3: Static Subcase--(1.3);
тип результата: Applied Loads.
Нажимаем на клавишу
Display Attributes, в нажатом состоянии она приобретает негативное изображение, панель Results примет вид, представленный на
рис.95. В разделе Показать (Show) требуем показать силы и моменты, в разделе
Отображать как (Diplay as) – показать компоненты, в разделе измерения (Dimensions) требуем показать объекты отображения в трехмерном пространстве. Нажимаем
последовательно клавиши Apply,
заданной нагрузкой (рис.96).

и снова Apply. Появится изображение балки с

Отображение реакций связи
Выберем:
вариант расчета - A3: Static Subcase--(1.3);
тип результата: Constraint Forces.
Нажимаем клавишу Apply. Появится изображение балки с реакциями связи
(рис.97), которые в точности совпадают с ранее найденными в MathCAD.

Отображение загружений балки или участка балки,
рассматриваемых как свободные тела
Выберем:
вариант расчета - A3: Static Subcase--(1.3);
тип результата: Freebody Loads.
Нажимаем клавиши Apply. Появится изображение балки с приложенными к ней нагрузками и найденными реакциями связи (рис.98). Так как к 50 узлу,
совпадающему с шарнирно-неподвижной опорой, были приложены силы 2000
и 48000 Н, направленные в разные стороны, то на рис.98 к этому узлу приложена сила величиной 46000 Н.
Можно из балки вырезать некоторый участок и рассмотреть его равновесие,
т.е. в Patran реализован стандартный метод сечений. Активизируем кнопку
Target Entities. Вид панели Results изменится (рис.99). Щелкаем по кнопке
и затем, при нажатой левой клавише мыши, в графическом окне выделяем прямоугольником некоторый участок балки, например, содержащий с 10 -го по 31 -й эле74

мент. Нажимаем клавишу Apply. В результате этих действий в графическом окне
к выделенному участку балки будут приложены все активные силы и реакции связей:
• к левому торцу участка балки поперечная сила Q = 30000 Н и момент
M = 54000 Н.м;
• к правому торцу участка балки поперечная сила Q = 10000 Н и момент
M = 56000 Н.м (рис.99).

Рис.95

75

Рис.96

Рис.97

76

Рис.98
Щелчок по клавише
приведет к появлению панели Freebody Spreadsheet,
на которой представлена таблица узлов, к которым приложены силовые факторы, и
шесть уравнений равновесия: ∑ X = 0 , ∑ Y = 0 , ∑ Z = 0 , ∑ M x = 0 , ∑ M y = 0 ,

∑M

= 0 . Мы выделили участок балки с 10 -го по 31 -й элемент. На рис.100 представлена таблица для этого участка балки. Из таблицы следует, что все шесть уравнений равновесия выполняются.
z

Получение
информации
факторах в узлах модели

о

внутренних

силовых

- Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Cursor;
Metod ►Scalar.
Панель Results примет вид, приведенный на рис.101. Выберем:
вариант расчета – Default, A3: Static Subcase;…;
тип результата: Bar Forces, Rotational;
опцию Quantity: Z Component;
опцию Target Entity: Nodes.
Нажимаем клавиши Apply. Появится панель Cursor Data пока с пустой
таблицей. Выделяем стандартным способом узлы модели балки. Таблица автоматически заполняется значениями внутренних силовых факторов, а в графическом окне у каждого узла будет проставлена величина этого же силового фактора (рис.101).
При нажатой клавише

77

Рис.99
.

78

Рис.100

Построение графиков внутренних силовых факторов

- Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Graph;
Metod ►Y vs X (У в зависимости от Х).
Панель Results примет вид, приведенный на рис.102, а. Выберем:
вариант расчета – Default, A3: Static Subcase;…;
ординату У: Result
тип результата: Bar Forces, Rotational;
опцию Quantity: Z Component;
абсциссу Х: Coordinate.
При нажатой клавише

Щёлкаем по кнопке
Target Entities. Панель Results примет вид,
приведенный на рис.102,б.
В графическом окне выделяем необходимые узлы. Они автоматически перенесутся в окно Select Nodes панели Results. Нажимаем клавишу Apply.
В графическом окне появится эпюра моментов (рис.103), атрибуты которой
задаются на панели Results, если нажата кнопка
(рис.102,в).
По внешнему виду эта эпюра совпадает с ранее построенными эпюрами в программных продуктах MathCAD и SCAD. Точного совпадения не наблюдается ввиду разного числа точек, в которых вычислялась эта физическая величина: в MathCAD – 180 точек, в Patran – 50 точек.

79

Рис.101

80

Рис.102

81

Рис.103

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
3.1. ЗАДАЧИ НА РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ
Рассмотрим задачу о нахождении опорных реакций и внутренних силовых факторов (построить эпюры Q и M , вычислить Qmax и M max ) в трехопорной балке с промежуточным шарниром, изображенной на рис.104.

Рис.104
Если рассматривать эту систему тел как одно твердое тело (аксиома 510), то будем иметь три уравнения равновесия с четырьмя неизвестными: X A , YA , YB , YD (проекции опорных реакций в точках A , B и C ). Тем не менее, эта задача статически определенная. Дело в том, что в равновесии находятся два тела: основная балка ABC и
присоединённая CD , соединенные между собой идеальным шарниром C , и можно
рассматривать равновесие каждого тела в отдельности. Таким образом, число уравнений равновесия будет шесть - по три уравнения для каждого тела.
10

Жилкин В.А. Применение системы MathCAD при решении задач прикладной механики. Часть 2. Теоретическая механика – Статика. Челябинск: ЧГАУ, 2001. – 100 с.

82

Указанный путь решения задачи, конечно, не единственный. Можно, например,
 составить три уравнения равновесия для балки ABC , а остальные три - для системы балок ABC и CD , принимая их за одно твердое тело;
 составить уравнения равновесия для системы балок ABC и CD , принимая их за
одно твердое тело, и уравнение моментов сил, приложенных только к левой
( ABC ) или правой ( CD ) части составной балки, относительно шарнира C .
Целесообразность применения того или иного способа решения задачи зависит
от условий конкретной задачи.
3.1.1. Составная балка
3.1.1.1.Решение задачи в MathCAD
Данная задача решается так же, как и приведённая в разделе 2.3, за исключением того, что теперь надо составить не три, а четыре уравнения равновесия системы сил,
приложенных к балке:
∑ X = 0 ; ∑ M A = 0 ; ∑ M D = 0 ; ∑ M CДля сил справа = 0 .
Первое уравнение удовлетворяется тождественно, так как нет сил, проектирующихся на горизонтальную ось, следовательно, для определения опорных реакций YA ,
YB и YC необходимо совместно решить три оставшихся уравнения равновесия.
Длины участков обозначим соответственно a , b , c , d и e . Длину с первого до
(i + 1) -го участка включительно обозначим L1i (i = 2 ,3 ,4 ) , длину балки - L .
Введём исходные данные.

Определяем опорные реакции.

Определяем внутренние силовые факторы на каждом из участков, рассматривая
равновесие отсеченной левой части бруса.
Определение поперечных сил
83

Максимальное значение поперечной силы Q ( 4 ,9999 ) = 61,248 кН.
Определение изгибающих моментов
Так как в данной задаче выражения для изгибающих моментов на некоторых
участках балки имеют громоздкие выражения, то целесообразно предварительно определить эти выражения для каждого из участков, а только затем воспользоваться стандартной процедурой.

84

Максимальный изгибающий момент M (2 ) = 78 ,75 кН.м.
3.1.1.2.Решение задачи в MSC.Patran-Nastran 2005
Алгоритм создания конечно-элементной модели балки:
A. Щелкаем левой клавишей мыши по приложению Geometry.
B. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Point
Method►XYZ.
C. В поле Point Coordinates List вводим координаты границ участков. После
каждого ввода координат точек границ участков балки нажимаем клавишу Ap85

ply. Для контроля положения введенных точек активизируем кнопку
Положение точек.
D. На панели Geometry щелкаем по клавише Point и активизируем опцию
Curve.
E. Соединяем точки линиями, последовательно щелкая по стартовой и конечной
точкам. Для визуализации выполняемых действий нажмем на кнопку
. В результате этого действия на расчетной модели балки будут проставлены номера
узлов и элементов.
Внимание! Если до сих пор описываемый алгоритм совпадал с рассмотренным в разделе 2.5, то в этом примере он будет иным: мы изменим
последовательность операций при создании конечно-элементной модели
балки.
F. Открываем форму приложения Materials и задаём имя материала st и его физико-механические характеристики. Щелкаем по кнопке OK на панели Input
Options и по кнопке Apply на панели Materials.
G. Открываем форму приложения Properties. На появившейся панели Element
Properties выбираем: объекты 1D, тип элементов Beam. В окне Property Set
Name задаём имя Beam и щелкаем левой клавишей мыши по кнопке Input
Properties. На появившейся одноименной панели задаём имя материала: щёл-

H.
I.

J.
K.

L.

M.

каем по кнопке
, появляется панель выбора материала Select Material, в
окне которой указан заданный материал st. Щелчок левой клавишей мыши по
имени материала приводит к появлению записи m:st в окне Material Name
панели Input Properties. Нажимаем клавишу Create Section и выбираем сечение – сплошное круглое. В поле New Section Name задаем имя «kr» и нажимаем клавишу OK. Панель Beam Library закроется, а в окне Section Name
панели Input Properties появится новое имя «kr». В окне Bar Orientation
задаём ориентацию поперечного сечения балки: и, щелком по клавише
OK, возвращаемся к панели Element Properties, на которой нажимаем клавишу Apply.
Для создания конечных элементов открываем приложение Elements.
Используем команду Object►Mesh Seed для предварительной разметки конечно-элементной сетки на геометрической модели балки. В поле Number задаем число элементов на кривой (в нашем случае участки 1 и 5 - 5 ; участок 2 20 ; участок 3 - 15 ; участок 4 - 10 ).
Переходим к созданию сетки. Активизируем команду Object►Mesh. Панель
Finite Elements примет вид, показанный на рис.105.
Нажимаем клавишу Select Existing Prop… Открывается панель Property
Sets, на которой щелкаем по имени заданных свойств элементов – beam
(рис.105). Панель Property Sets закроется, активной станет панель Element
Properties.
В графическом окне выделяем все элементы балки. В окне Curve List появится
запись Curve 1:5, означающая, что выбраны кривые с 1 по 5 . Далее нажимаем
на кнопку Apply (рис.105).
Активизируем команду Action►Create► Equivalence. Появившаяся измененная панель Finite Elements показана на рис.106. С целью исключения 43 и
44 узлов из операции Equivalence, так как в дальнейшем на их основе будет
создан идеальный шарнир C , щелчком в окне Nodes to be excluded активизируем его, затем в графическом окне выделяем узлы 43 и 44 . В окне Nodes
86

to be excluded появится запись Node 43 44 (рис.106). Щелкнем по кнопке
Apply. В графическом окне будут отмечены узлы, для которых выполнена операция Equivalence, а на информационной панели появится сообщение, о том,
что объединено три узла.

Рис.105
N. Создаём МРС для шарниров 43 и 44 . Устанавливаем опции:
Action ► Create
Object ► МРС
Type ► Explicit
Щелкаем по клавише Define Terms. Появится одноименная панель (рис.107),
на которой таблицы Dependent Terms (зависимые от условий задачи величины; может быть задана только одна величина), Independent Terms (независимые величины; могут быть заданы несколько величин) и окно Node List пока
пусты, опция Create Dependent – активизирована.
O. В графическом окне щелкаем по 43 узлу. Имя узла появляется в окне Node
List панели Define Terms (рис.107).
87

Рис.106

Рис.107
P. В окне DOFs панели Define Terms указываем, на какие степени свободы будут наложены связи (в нашем случае при нажатой клавише Shift щелкаем левой
клавишей мыши по UX, UY и UZ). Щелкаем по клавише Apply. Опция Create
Dependent автоматически закрывается, опция Create Independent становится активной (рис.107).

88

Q. В окно Node List вводим Node 44 и щелкаем по клавишам Apply на панели
Define Terms и панели Finite Elements.
R. Задаём граничные условия: силовые и кинематические. Открываем форму приложения Loads/BCs. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Displasement
Type►Nodal.
В окне «New Set Name» задаем имя кинематического условия d1 и щелкаем
по кнопке Input Data… В появившейся панели Input Data задаём граничные
условия для шарнирно-неподвижной опоры A . Запрещаем все три поступательных перемещения u , v , w и два вращательных перемещения относительно
осей x и y . Щелкаем по кнопке OK. Затем активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель, на которой отмечаем флажок
FEM. Щелкаем левой клавишей мыши в графическом окне по узлу 6 . Затем
щелкаем по кнопкам Add и OK. Панель Select Application Region закроется,
а на панели Loads/Boundary Conditions щелкаем по кнопке Apply. В графическом окне появится условное изображение введенной кинематической связи
. Аналогичным образом вводим вторую и третью кинематические
связи d2 для шарнирно подвижных опор
: запрещены перемещения v , w
и повороты относительно осей x и y .
Для задания силовых граничных условий активизируем команду
Object►Force. В окне «New Set Name» задаем имя силового условия P1.
Щелкаем по кнопке Input Data… Открывается одноименная панель, в окне которой вводим компоненты вектора силы , компоненты вектора
момента не вводим. Щелкаем по кнопке OK. Активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель. Щелкаем левой клавишей
мыши в графическом окне при нажатой клавише Shift по узлам 1 и 60 . На панели Select Application Region щелкаем по кнопке OK, на панели
Loads/Boundary Conditions - по кнопке Apply. В графическом окне появится условное изображение введенных сил.
Аналогичным образом вводим пару сил m с моментом 80 кН.м:
.
Распределенные нагрузки q на втором и четвертом участках преобразуем к узловой нагрузке:
• во внутренних узлах задаём 4 и 2 кН соответственно;
• на границах участков 2 и 1 кН соответственно.
R. Расчет конечно-элементной модели проводится в приложении Analysis.
S. Для расчета балки выбираем опцию Analysis в разделе Action. Для того чтобы
изменить вычисляемые решателем Nastran параметры, нажимаем клавиши
Subcase (подблока), Output Request (запрос на вывод), открывается панель
Output Request. Чтобы вывести информацию об усилиях в балке, щелкаем в
окне Select Result Type панели Output Requests команды: Element Force,
Applied Loads, Grid Point Force Balance. Нажимаем клавишу OK. В окне
Subcase Name панели Subcase задаём имя «s2», устанавливаем указатель
мыши на клавишу Apply и щелкаем левой клавишей.
T. Нажимаем клавишу Subcase Select на панели Analysis. Откроется одноименная панель (рис.94), на которой выбираем подблок «s2» и нажимаем кла89

вишу OK, далее нажимаем клавишу Apply панели Analysis. В результате
этих действий запустится вычислительная программа Nastran .
U. После окончания вычислений необходимо результаты расчета сделать доступными в MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и нажимаем клавишу Apply. Если расчет выполнен правильно, в информационной строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно будет переходить к анализу результатов расчета.
V. Определяем информацию о реакциях и внутренних усилиях в поперечных сечениях бруса. При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Freebody;
Metod ►Loads.

Отображение заданной нагрузки на модели
Выберем:
вариант расчета - A3: Static Subcase--(1.3);
тип результата: Applied Loads.

Рис.108

90

Нажимаем на клавишу
Display Attributes. В разделе Показать (Show)
требуем показать силы и моменты, в разделе Отображать как (Diplay as) –
компоненты, в разделе измерения (Dimensions) - объекты отображения в трехмерном
пространстве. Нажимаем последовательно клавиши Apply,
вится изображение балки с заданной нагрузкой (рис.108,а).

и снова Apply. Поя-

Отображение реакций связи
Выберем:
вариант расчета - A3: Static Subcase--(1.3);
тип результата: Constraint Forces.
Нажимаем клавишу Apply. Появится изображение балки с реакциями связи
(рис.108,б), которые полностью совпадают с ранее найденными в MathCAD.

Отображение деформированной схемы балки
При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default, A3: Static Subcase;
тип результата: Displacements, Translation;
величину: Magnitude;
результаты деформированной модели: Displacements, Translation.
Нажимаем клавишу Apply. Появится изображение деформированной балки
(рис.109).

Рис.109

Отображение напряжений в одном из волокон балки
При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default, A3: Static Subcase;
91

тип результата: Bar Stresses, Bending;
волокно: Position…(At Point C)
величину: X Component;
результаты деформированной модели: Displacements, Translation.
Нажимаем клавишу Apply. Появится изображение деформированной балки c
изополями напряжений (рис.110).

Рис.110
3.1.1.3. Решение задачи в SCAD
Алгоритм решения задачи
A. Создаём новый проект. В окна панели Создание нового проекта вводим:
наименование проекта, название объекта; выбираем: тип схемы и единицы измерения и щелкаем по кнопке ОК. Сохраняем новый проект в некотором файле.
B. В главном окне конечно-элементного пакета SCAD активизируем раздел Расчетная схема.
C. Активизируем раздел Узлы и элементы.
D. Щелкаем по кнопке
Узлы. Воспользовавшись кнопкой
Ввод узлов с
помощью диалогового окна Ввод узлов, зададим узлы со следующими координатами: ( 0 ,0 ,0 ), ( 1 ,0 ,0 ), ( 8 ,0 ,0 ), ( 10 ,0 ,0 ), ( 11 ,0 ,0 ) м. Для отображения на
экране вводимых узлов необходимо активизировать фильтр
ли Фильтры отображения нажимаем кнопку
ных нами узлов представлен на рис.111.
E. Активизируем кнопку

Элементы и кнопку

Узлы. На пане-

номера узлов. Вид введенНомера элементов пане-

ли Фильтры отображения. Щелкаем левой клавишей мыши по кнопке
Добавление стержней и затем последовательно по узлам 1...6 . В результате этих
операций узлы будут соединены прямыми линиями (рис.112).
92

F. Разобьём первый и пятый элементы на 5 элементов каждый, второй – на 20 ,
третий - на 15 , четвертый – на 10 элементов. Создаваемая конечно-элементная
модель балки примет вид, приведённый на рис.113.
G. В разделе «Назначения» задаём жесткость балки. Активизируем кнопку
и
в окно Жесткости стержневых элементов выбираем двутавр № 30 с уклоном
полок по ГОСТ 8239-89.
H. Запретим перемещение узла 2 (шарнирно неподвижная опора A , рис.104) в направлении осей x , y и z и запретим повороты вокруг осей x и z ; для узлов
3 и 5 (шарнирно-подвижные опоры B и D , рис. 104) запретим перемещения в
направлении осей y и z и повороты вокруг осей x и z . Для отображения связей на расчетной схеме щелкнем по кнопке фильтра

, для отображения

общей системы координат – по кнопке фильтра
.
I. Нагрузку на балку задаем в разделе «Загружения» (рис.26). Для отображения
величин введенных нагрузок активизируем кнопку фильтра
. Внешний вид
созданной конечно-элементной модели балки показан на рис.114.
J. Вставляем в четвертый узел шарнир. В разделе «Назначение» нажимаем
кнопку
Вставить шарнир. Появится панель Условия примыкания
стержней (рис.115), на которой освобождаем угловую связь относительно оси
y . В рабочем окне щелкаем по четвертому узлу, который соединяет 50 и 51
элементы. Появится панель Элементы в мишени с просьбой выбрать элемент (рис.116). Выберем 51 элемент и подтвердим наш выбор щелкнув по
кнопке ОК основного меню. В результате этих действий в четвертом узле появится шарнир (рис.117).

K. Выполняем расчет балки и переходим к графическому анализу полученных результатов.
L. В разделе Деформации проверяем правильность деформированной схемы
балки (рис.118). Внешний вид деформированной схемы балки возражений не
вызывает: на опорах перемещения оси балки равны нулю, в шарнире наблюдается излом.
M. Выводим информацию об эпюрах Q и M (рис.119, 120).

93

94

95

3.1.2. Составная рама
Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции (рис.121).

Рис.121

3.1.2.1.Решение задачи в MathCAD
Определение опорных реакций. Отсоединяем раму от связей, действие связей
заменяем реакциями связей. Для полученной расчетной схемы (рис.122) составляем
условия равновесия для системы сил, приложенных к раме. Решив полученную систему уравнений, находим величины опорных реакций: YA , YC , YE , X A , X E .

Рис.122
96

Так как MathCAD не позволяет строить эпюры внутренних силовых факторов
непосредственно в рамах, разобьем раму по шарнирам на три части и для упрощения
составления выражений для внутренних силовых факторов переопределим отрицательные значения реакций, одновременно изменив их направления (рис.123).

XA := 1.65

YA := 20.065

Рис.123

97

YE := 34.7

Построение эпюр. Определение внутренних усилий и построение эпюр этих
усилий для пространственных брусьев с ломаной осью производится методом сечений
в том же порядке, что и для обычных балок. Предварительно выбирают на каждом из
участков бруса естественную систему координат, ось x которой совпадает с продольной осью бруса, а оси y и z проходят через центр тяжести поперечного сечения, совпадающего с началом участка, и расположены в его плоскости.
Положительные направления осей выбираются произвольно. Аналогия между
правилами построения эпюр в раме (брусе с ломаной осью) и в балке будет полной,
если предположить, что наблюдатель всегда находится внутри рамы и повернут лицом
к ее оси.
Поперечные силы, расположенные в рассматриваемом сечении отсеченной
части рамы, положительны, если их направление совпадает с положительным направлением осей y и z .
Продольные силы N считаются положительными при растяжении и отрицательными - при сжатии.
Для изгибающих моментов правила знаков не устанавливают, а их эпюры изображают со стороны сжатых волокон бруса.
Итак, перейдем к определению внутренних усилий на каждом из участков рамы.
Разбиваем раму на части. В нашем случае их будет три. Первую часть рамы рассматриваем как шарнирно-опертую балку, загруженную равномерно распределенной
нагрузкой. Вторая часть рамы представляет Т-образную раму, а третья часть рамы – Гобразную раму.
Определение внутренних силовых факторов для первой части
рамы (рис.124).

Рис.124
Построение эпюры нормальных сил

x := 0 , 0.01 .. H

20
N1 ( x)
0

10

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

Построение эпюры
поперечных сил

Q ( x) := −XA + q ⋅ x

98

Q ( 3) = 1.65

N1( x) := YA

Q ( x) 0.35
0
1.65

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

Построение эпюры изгибающих моментов
2

M ( x) := XA ⋅ x −

q⋅x

M ( 1.5) = 1.237

2

1.24
M ( x) 0.82
0

0.41
0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

Определение внутренних силовых факторов для второй части
рамы (рис.125).

Рис.125

99

Так как в стойке СG участок CF не изгибается, а на участке FG действует
только один изгибающий момент M , то в MathCAD’e эпюры будем строить только на
ригеле (участок BD ), рассматривая его как балку (рис.125, б).
Ln := H + h

x := 0 , 0.02 .. Ln

XB := XA

Построение эпюры нормальных сил на ригеле
N ( x) :=

−XB if 0 ≤ x < L
−XB + P1 ⋅ cos ( α ) if L ≤ x ≤ Ln

2.35
N ( x)
0.35

0

1.65

0

1

2

3

4

x

Построение эпюры поперечных сил
Q( x) :=

YA if 0 ≤ x < L

Q( 0) = 20.065

YA + P1 ⋅ sin ( α ) if L ≤ x < H

Q( 1) = 26.993

YA + P1 ⋅ sin ( α ) − YC if H ≤ x ≤ Ln

Q( 4.5) = −34.7

15.3
Q ( x)
0
34.7

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

Построение эпюры изгибающих моментов
M ( x) :=

−YA ⋅ x if 0 ≤ x < L
−YA ⋅ x − P1 ⋅ sin( α ) ⋅ ( x − L) if L ≤ x < H
−YA ⋅ x − P1 ⋅ sin( α ) ⋅ ( x − L) + M0 + YC ⋅ ( x − H) if H ≤ x ≤ Ln

100

4.5

M ( 3) = −52.051

M ( x) 23.51
0
73.51

0

1

2

3

4

x

Определение внутренних силовых факторов для третьей части
рамы (рис.126).

Рис.126

Участок 1

x1 := 0 , 0.01 .. h

Построение эпюры нормальных сил

XD := 2.35

N( x1) := XD

2.35
N ( x1) 1.57
0

0.78
0

0

0.5

1
x1

101

1.5

Построение эпюры поперечных сил

Q ( x1)

YD := 34.7

Q( x1) := −YD

14.7

0
34.7

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x1

Построение эпюры изгибающих моментов
M( x1) := YD ⋅ x1

M( 1.5) = 52.05

50
M ( x1)
0
0

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

x1

Участок 2

x2 := 0 , 0.01 .. H

Построение эпюры нормальных сил
34.7
N ( x2) 23.13
0

11.57
0

0

1

2

3

x2

Q( x2) := XD + P2

Построение эпюры поперечных сил
17.35
Q ( x2) 13.01
8.68
0
4.34
0

0

0.5

1

1.5
x2

102

2

2.5

3

Построение эпюры изгибающих моментов
M( x2) := −( XD + P2) ⋅ x2 + YD ⋅ h

50
M ( x2)
0
0

0

0.6

1.2

1.8

2.4

3

x2

Используя вычисленную информацию о внутренних силовых факторах для каждой из частей рамы, строим эпюры N , Q и M для заданной рамы (рис.127).
3.1.2.2.Решение задачи в SCAD
Алгоритм решения задачи
A. Создаём новый проект. В окна панели Создание нового проекта вводим:
наименование проекта, название объекта; выбираем: тип схемы и единицы измерения и щелкаем по кнопке ОК. Сохраняем новый проект в некотором файле.
B. В главном окне конечно-элементного пакета SCAD активизируем раздел Расчетная схема.
C. Активизируем раздел Узлы и элементы.
D. Щелкаем по кнопке
Узлы. Воспользовавшись кнопкой
Ввод узлов, с
помощью диалогового окна Ввод узлов зададим узлы со следующими координатами: ( 0 ,0 ,0 ), ( 0 ,3 ,0 ), ( 3 ,3 ,0 ), ( 0 ,3 ,0 ), ( 6 ,0 ,0 ) ( 6 ,3 ,0 ) м. Для отображения
на экране вводимых узлов необходимо активизировать фильтр
панели Фильтры отображения нажимаем кнопку
E. Активизируем кнопку

Элементы и кнопку

Узлы. На

номера узлов.
Номера элементов пане-

ли Фильтры отображения. Щелкаем левой клавишей мыши по кнопке
Добавление стержней и затем последовательно по узлам 1...6 . В результате этих
операций узлы будут соединены прямыми линиями.
F. Разобьём все стержни на 12 элементов.
G. Запретим перемещение узла 1 (шарнирно-неподвижная опора A , рис.122) в направлении осей x y и z , и повороты вокруг осей x и z ; для узлов 4 и 5
(шарнирно-подвижные опоры C и E , рис.104) запретим перемещения в направлении осей y и z и повороты вокруг осей x и z . Для отображения связей
на расчетной схеме щелкнем по кнопке фильтра
системы координат – по кнопке фильтра
расчетная схема.

103

, для отображения общей

. На рис.128 приведена полученная

Рис.127
104

Рис.128
H. В разделе «Назначение» нажимаем кнопку
Вставить шарнир. Появится
панель Условия примыкания стержней (рис.115), на которой освобождаем
угловую связь относительно оси y в первом узле элемента. Выбираем элементы
18 и 48 и подтверждаем наш выбор, щелкнув по кнопке ОК основного меню. В
результате этих действий в соответствующих узлах появится шарнир (рис.128).
I. В разделе «Назначения» задаём жесткость балки. Активизируем кнопку
и
в окне Жесткости стержневых элементов выбираем двутавр № 30 с уклоном
полок по ГОСТ 8239-89.
J. Нагрузку на балку задаем в разделе «Загружения» . Для отображения величин
введенных нагрузок активизируем кнопку фильтра
. Внешний вид созданной конечно-элементной модели балки показан на рис.129.

Рис.129

105

A. Выполняем расчет рамы и переходим к графическому анализу полученных результатов.
B. В разделе Деформации проверяем правильность деформированной схемы рамы (рис.130). Внешний вид деформированной схемы рамы не противоречит
физическим представлениям.
C. Выводим информацию об эпюрах Q и M (рис.131, 132).

Рис.130

Рис.131

Рис.132

106

Рис.133

3.1.2.2.Решение задачи в MSC.Patran-Nastran 2005
Алгоритм создания конечно-элементной модели рамы
A. Щелкаем левой клавишей мыши по приложению Geometry.
B. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Point
Method►XYZ.
C. В поле Point Coordinates List вводим координаты границ участков: [0 0 0 ],
[0 3 0 ] , [3 3 0 ] , [3 0 0 ] , [4.5 3 0 ] , [6 3 0 ] , [6 0 0 ] . Для контроля положения введенных точек активизируем кнопку
«Положение точек».
D. На панели Geometry щелкаем по клавише Point и активизируем опцию
Curve.
E. Соединяем точки линиями, последовательно щелкая по стартовой и конечной
точкам.
F. Открываем форму приложения Materials и задаём имя материала st и его физико-механические характеристики: Elastic Modulus = 2 e 11 , Poisson Ratio
= 0.3 . Щелкаем по кнопке OK на панели Input Options и по кнопке Apply на
панели Materials.
G. Открываем форму приложения Properties. На появившейся панели Element
Properties выбираем: объекты 1D, тип элементов – Beam. В окне Property
Set Name задаём имя Stergen и щелкаем левой клавишей мыши по кнопке Input Properties. На появившейся одноименной панели задаём имя материала:
щёлкаем по кнопке
, появляется панель выбора материала Select Material,
в окне которой указан заданный нами материал st. Щелчок левой клавишей
мыши по имени материала приводит к появлению записи m:st в окне Material
Name панели Input Properties. Нажимаем клавишу Create Section и выбираем сечение – сплошное круглое. В поле New Section Name задаем имя
krug и нажимаем клавишу OK. Панель Beam Library закроется, в окне Section Name панели Input Properties появится новое имя krug. В окне Bar
Orientation задаём ориентацию поперечного сечения балки: и, щелкнув по клавише OK, возвращаемся к панели Element Properties. Так как рама
состоит из вертикальных и горизонтальных стержней, то ориентация поперечного сечения балки у них различна. Поэтому надо отдельно задавать свойства
горизонтальных и вертикальных стержней. Операции по заданию свойств вертикальных стержней те же, что и для горизонтальных стержней, за исключени107

H.
I.

J.
K.

L.
M.
N.

O.

P.

Q.
R.
S.

ем того, что в окне Property Set Name задаём имя Stergen_v, а в окне Bar
Orientation задаём: . Щелкаем по клавише OK и возвращаемся к панели Element Properties, на которой нажимаем клавишу Apply.
Для создания конечных элементов открываем приложение Elements, что приводит к открытию соответствующей панели (рис.54).
Используем команду Object►Mesh Seed для предварительной разметки конечно-элементной сетки на геометрической модели рамы. В поле Number задаем число элементов на кривой (в нашем случае на стойках - 30 элементов; на
ригеле для трехметрового пролета - 30 , для полутораметровых - 15 ).
Переходим к созданию сетки. Активизируем команду Object►Mesh. Появляеися панель Finite Elements (рис.105).
Нажимаем клавишу Select Existing Prop… Открывается панель Property
Sets, на которой для горизонтальных стержней выбираем свойства элементов
Stergen. Панель Property Sets закроется, активной станет панель Element
Properties.
В графическом окне выделяем все горизонтальные стержни рамы и нажимаем
клавишу Apply.
Повторяем только что описанные процедуры для вертикальных стержней, выделяя на панели Property Sets свойства Stergen_v.
Активизируем команду Action►Create► Equivalence. Панель Finite Elements примет вид как на рис.106. Исключаем из операции Equivalence узлы,
совпадающие с шарнирами В и D (рис.121), щелчком в окне Nodes to be excluded активизируем его, затем в графическом окне выделяем узлы 187 , 250
(шарнир В) и 296 , 297 (шарнир D). Щелкнем по кнопке Apply. В графическом
окне будут отмечены узлы, для которых выполнена операция Equivalence, а в
информационной панели появится сообщение о том, что объединено три узла.
Создаём МРС для шарниров В и D. Устанавливаем опции:
Action ► Create
Object ► МРС
Type ► Explicit.
Щелкаем по клавише Define Terms. Появится одноименная панель (рис.107).
В окне DOFs панели Define Terms указываем, на какие степени свободы будут наложены связи (в нашем случае при нажатой клавише Shift щелкаем левой
клавишей мыши по UX и UY). В окно Node List вводим Node 187 . Щелкаем
по клавише Apply. Опция Create Dependent автоматически закрывается, опция Create Independent становится активной (рис.107).
В окно Node List вводим Node 250 и щелкаем по клавишам Apply на панели
Define Terms и панели Finite Elements.
Повторяем операции, описанные в пунктах Р, Q, для узла D.
Задаём граничные условия: силовые и кинематические. Открываем форму приложения Loads/BCs. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Displasement
Type►Nodal.
В окне New Set Name задаем имя кинематического условия d1 и щелкаем по
кнопке Input Data… В появившейся панели Input Data задаём граничные условия для шарнирно-неподвижных опор A и E (рис.121). Запрещаем все три
поступательных перемещения u , v , w и два вращательных перемещения относительно осей x и y . Щелкаем по кнопке OK. Затем активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель, на которой отмечаем
флажок FEM. Щелкаем левой клавишей мыши в графическом окне по узлам,
108

совпадающим с опорами A и E , при нажатой клавише Shift. Затем щелкаем по
кнопкам Add и OK. Панель Select Application Region закроется, на панели
Loads/Boundary Conditions щелкаем по кнопке Apply. Вводим третью кинематическую связь d2 для шарнирно-подвижной опоры C : запрещены перемещения v , w и повороты относительно осей x и y .
Для задания силовых граничных условий активизируем команду
Object►Force. Распределенные нагрузки q на стойке АВ преобразуем к узловой нагрузке: (1100 ⋅ 3 ) / 30 , где число 30 соответствует числу элементов, образующих стойку АВ. В окне New Set Name задаем имя распределенной нагрузки q1. Щелкаем по кнопке Input Data… Открывается одноименная панель,
в окне которой вводим компоненты вектора распределенной нагрузки . Щелкаем по кнопке OK. Активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель. В графическом окне выделяем все узлы
стойки АВ, за исключением двух крайних, в которых нагрузка должна быть
55 Н. На панели Select Application Region щелкаем по кнопке OK, на панели Loads/Boundary Conditions - по кнопке Apply. В графическом окне появится условное изображение введенных сил.
Снова в окне New Set Name задаем имя распределенной нагрузки q2 и
аналогичным образом задаём нагрузку 55 Н в двух крайних узлах стойки АВ:
.
Эти операции повторяем до тех пор пока не будут введены все нагрузки.
На рис.134 представлен вид рамы после введения всех нагрузок.

Рис.134

109

T. Расчет конечно-элементной модели проводится в приложения Analysis. Внешний вид панели Analysis приведен на рис.63.Для расчета рамы выбираем опцию Analysis в разделе Action. Для того чтобы изменить вычисляемые решателем Nastran параметры, нажимаем клавиши Subcase (подблока), Output
Request (запрос на вывод), открывается панель Output Request. Чтобы вывести информацию об усилиях в балке, щелкаем в окне Select Result Type панели Output Requests команды Element Force, Applied Loads, Grid Point
Force Balance. Нажимаем клавишу OK. В окне Subcase Name панели
Subcase задаём имя «s2»; устанавливаем указатель мыши на клавишу Apply
и щелкаем левой клавишей мыши.
U. Нажимаем клавишу Subcase Select на панели Analysis. Откроется одноименная панель (рис.94), на которой выбираем подблок «s2» и нажимаем клавишу OK, затем клавишу Apply панели Analysis. В результате этих действий
запустится вычислительная программа Nastran.
V. После окончания вычислений необходимо результаты расчета сделать доступными в MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и нажимаем клавишу Apply. Если расчет выполнен правильно, в информационной строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно будет переходить к анализу результатов расчета.
W. Определяем информацию о деформированном состоянии конструкции, реакциях и внутренних усилиях в поперечных сечениях рамы.

Отображение деформированной схемы рамы
При нажатой клавише
Select Results выберем (рис.135,а):
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default, A1: Static Subcase;
тип результата: Displacements, Translational;
величину: Magnitude;
результаты деформированной модели: Displacements, Translational.
Клавиши

и

позволяют изменить атрибуты отображения рамы. Напри-

мер, нажатие на клавишу
приводит к появлению панели (рис.135,б), в окнах и
списках которой можно изменить параметры отображения, такие, как спектр, диапазоны отображения перемещений, ширина линии и т.п. После установка параметров отображения щелкаем по клавишам Apply. Появится изображение деформированной рамы c изополями перемещений (рис.136), из которого следует:
 деформированный вид рамы подобен приведенному на рис.130, полученному в
системе SCAD;
 при заданной нагрузке максимальные перемещения наблюдаются на опоре С и
составляют 0.829 м, что, конечно, для реальной рамы неприемлемо!

110

Рис.135

Отображение заданной нагрузки и реакций связей
в шарнирных узлах рамы
При нажатой клавише

Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Freebody;
Metod ►Loads;
вариант расчета – Default;
тип результата: Freebody Loads.

Нажимаем на клавишу
Display Attributes. В разделе Показать (Show)
требуем показать силы и моменты, в разделе Отображать как (Diplay as) –
компоненты, в разделе измерения (Dimensions) - объекты отображения в трехмерном
пространстве. Нажимаем последовательно клавиши Apply,
и снова Apply. Появится изображение рамы с заданной нагрузкой и реакциями в шарнирах (рис.137), которые в точности совпадают с приведенными на рис.123.

111

Рис.136

Рис.137

112

Рис.138

Отображение графиков изменения
вдоль стержней и ригеля

внутренних

усилий

Patran не строит эпюр внутренних усилий, но позволяет получать графики вдоль
прямой линии различных предварительно насчитанных величин (находящихся в базе
данных результатов). Поэтому проиллюстрируем лишь построение эпюры моментов на
ригеле рамы.
При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Graph;
Metod ►Y vs X;
вариант расчета – Default, A1: Static Subcase;
тип результата: Bar Forces, Rotational;
компоненты вектора: Z Component
ось X: Coordinate .
Активизируем кнопку
Target Entities, позволяющую фильтровать результаты расчетов. Панель Results изменит вид (рис.138). В графическом окне Patran
выделим узлы, принадлежащие ригелю. Их номера появятся в окне Select Nodes.
113

Активизируем кнопку
Display Attributes. Панель Results снова изменит вид (рис.138). В окнах этой панели зададим параметры графика: стиль графика и
название осей. Нажимаем клавишу Apply, в графическом окне появится график, приведенный на рис.139, который не противоречит эпюре моментов, приведенной на
рис.127. Аналогичным путем можно вывести графики (эпюры) моментов и вдоль стоек
рамы.

Рис.139

3.2. РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Никакая из современных наук не в состоянии охватить бесконечное многообразие свойств и связей, присущих любому телу или явлению. Поэтому для получения
эффективных результатов каждая из наук вынуждена принимать ряд гипотез, допущений, которые акцентируют одни свойства и отвергают другие. В результате объектом
изучения становится не само реальное тело, а его приближенная модель.
Исходя из основных гипотез (о свойствах материала, об его идеальной упругости и естественной ненапряженности), можно в принципе получить способы для вычисления напряжений и деформаций в любом теле. Однако в подавляющем большинстве случаев для этого необходимо использовать весьма сложный и громоздкий математический аппарат, что иногда приводит к непреодолимым в настоящее время затруднениям. Поэтому для получения относительно простых формул и методов расчета,
пригодных для широкого применения в практике, приходится вводить дополнительные
предположения и допущения.
В курсе сопротивления материалов в теории изгиба брусьев принимаются следующие рабочие гипотезы.
114

1. Сечения, плоские и нормальные к оси бруса до деформации, остаются плоскими
и нормальными к оси бруса и после деформации (гипотеза Якова Бернулли).
Гипотеза будет справедлива, если в поперечных сечениях бруса касательные
напряжения отсутствуют. Поэтому она справедлива только при чистом изгибе
бруса, но применяется и при поперечном изгибе.
2. Продольные волокна бруса не давят друг на друга. При чистом изгибе это предположение является строгим, при поперечном изгибе – приближенным. Из этой
гипотезы следует, что нормальные напряжения в горизонтальных площадках
отсутствуют (если нормалью к таким площадкам является ось z , то напряжения
σ z = 0 ).
Введенные гипотезы позволяют в курсе «Сопротивление материалов» получить
для плоского поперечного изгиба бруса простые формулы для нормальных σ x и касательных τ xy напряжений в поперечных сечениях:

σx =

My
Jy

z;

τ xy =

QS нотс

,
bJ y

(3.1)

где M y - изгибающий момент в поперечном сечении бруса относительно оси y ; J y осевой момент инерции относительно оси y ; z - текущая координата, определяющая
точку поперечного сечения, в которой вычисляются напряжения; Q - поперечная сила
в сечении; S нотс
.о - статический момент отсеченной части площади, лежащей выше или
ниже точки с координатой z , относительно нейтральной оси; b - ширина поперечного
сечения на уровне z .
В соответствии с приведенными формулами нормальные напряжения σ x в поперечных сечениях бруса распределяются по линейному закону, касательные напряжения τ xy – по параболическому.
Французским ученым Сен-Венаном11 в 1855 г. для упрощения решения прочностных задач было выдвинуто положение, носящее название принципа Сен-Венана:
Распределение напряжений и деформаций для внутренних точек тела
при достаточном удалении их от границ тела слабо зависит от характера распределения внешней нагрузки на границах тела.
Таким образом, если на некоторой части поверхности тела изменить закон распределения внешней нагрузки так, что видоизмененная нагрузка будет статически эквивалентна прежней, то такое изменение приведет лишь к изменению напряженного и
деформированного состояния в области тела, прилегающей к нагруженному участку,
то есть - местных напряжений. Напряженное и деформированное состояние тела вдали
от места нагружения при этом почти не изменяется.
Вблизи зон приложения внешней нагрузки формулы сопротивления
материалов применять нельзя!
Примером использования принципа Сен-Венана является задача о растяжении
бруса силами, приложенными к его торцам. В этом случае закон распределения напряжений по сечению бруса на достаточном удалении от торцов не зависит от того,

11

Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности.- М.: Высш. шк., 1990.- 400

с.

115

каким образом распределяется приложенная по торцу сечения нагрузка, лишь бы величина равнодействующей нагрузки и точки ее приложения не изменялись (рис.140).
Принцип Сен-Венана имеет большое значение в решении многих задач прикладной механики. Он позволяет при решении некоторых задач удовлетворять граничным условиям не в каждой точке торцового сечения, а лишь в интегральном смысле, т. е. в смысле удовлетворения условиям статики для тела в целом. Однако следует
иметь в виду, что в некоторых случаях принцип Сен-Венана неприменим. В тонкостенных конструкциях (пластины, оболочки, тонкостенные стержни) могут иметь место случаи, когда статически эквивалентные изменения внешних нагрузок на торцах
тонкостенного стержня приводят к изменениям не местных напряжений и деформаций,
а всего тонкостенного стержня.

Рис.140
Поперечные сечения стержня (бруса, пластины) могут меняться по его длине:
часто в стержне имеются отверстия, врубки, выемки, выточки, уменьшающие рабочую
площадь сечения и носящие название местных ослаблений. Например, стержни клепаной фермы имеют отверстия для постановки заклепок, которыми их прикрепляют к узловым фасонным листам. Полную площадь поперечного сечения стержня называют
площадью брутто F бр . Площадь поперечного сечения в ослабленном месте за вычетом части, приходящейся на ослабление, т. е. рабочую площадь в ослабленном сечении, называют площадью нетто - F нт .
Если стержень растянут или сжат силой, постоянной по его длине, то в поперечных сечениях, где площадь уменьшена, напряжение будет больше, чем в неослабленном месте. В тех случаях, когда на различных участках стержня действуют разные
по величине силы, наибольшее напряжение возникает не обязательно в ослабленном
сечении.
Обычно в ослабленном сечении определяют среднее (номинальное) напряжение, для чего растягивающую или сжимающую силу делят на площадь сечения нетто:
P
σн =
.
(3.2)
Fнт
В действительности в местах ослаблений сечений, вырезов и т. п., а также в
местах, где стыкуются участки стержня с различными сечениями, нормальные напряжения при упругих деформациях распределяются по сечению неравномерно, достигая
в отдельных точках весьма значительных величин. Например, методами теории упру116

гости установлено, что в случае растянутой полосы, имеющей постоянную ширину и
ослабленной посредине круглым отверстием, напряжения по поперечному сечению
m − m , проходящему через центр отверстия, распределяются так, как показано на эпюре напряжений (рис.141, а). Наибольшие напряжения σ max получаются в точках A и
B , расположенных у отверстия. Величина их зависит от отношения диаметра отверстия к ширине полосы. При небольшом диаметре они получаются примерно в три раза
больше средних напряжений, вычисленных для этого сечения по формуле (3.2).

Рис.141
В случае растяжения полосы, ослабленной с боков двумя вырезами, например,
выкружками, наблюдается значительное повышение напряжений у краев этих вырезов
(рис.141, б). Величина наибольших напряжений зависит от формы и глубины вырезов.
Напряжения значительно повышаются также у мест резкого изменения формы и
размеров поперечного сечения (рис.141, в). Неравномерность в распределении напряжений тем больше, чем более резко изменяется сечение.
Явление возрастания напряжений в местах изменения размеров и формы сечений, у краев отверстий и вырезов, в местах повреждения поверхности деформируемого
тела и т. п. называют концентрацией напряжений. Перечисленные факторы, вблизи
которых возникает это явление, называют концентраторами напряжений, или факторами концентраций напряжений. Концентрация напряжений распространяется на
весьма незначительную область сечения и потому напряжения, возникающие в зонах
концентрации, называют местными напряжениями.
Для оценки максимальных напряжений в зоне концентрации вводятся понятия номинального напряжения и коэффициента концентрации.

Номинальным напряжением называется напряжение, вычисленное в сечении
ослабленном концентратором по формуле (3.2).
Коэффициентом концентрации напряжений называется отношение наибольшего местного напряжения в зоне концентрации к номинальному напряжению:

αk =

σ max
σн

(3.3)

Этот коэффициент называется теоретическим коэффициентом концентрации
напряжений в связи с тем, что он определяется для различных концентраторов теоретически, методами теории упругости для однородного идеально упругого материала.
117

Величина теоретического коэффициента концентрации напряжений может достигать
двух, трех и более.
Для реальных материалов коэффициент концентрации напряжений обычно несколько меньше теоретического. Он называется эффективным коэффициентом концентрации напряжений и обозначается через β .
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений определяются опытным путем как отношение предела прочности материала образца без концентратора
напряжений к пределу прочности образца материала с концентратором напряжений
(σ B )k :

β=

σB
(σ B )k

(3.4)

Данные об эффективных коэффициентах концентрации напряжений приводятся
в справочной литературе. При отсутствии данных при расчетах на прочность используются теоретические коэффициенты.
Концентрация напряжений по-разному влияет на работу деталей из пластичных
и хрупких материалов. Если материал достаточно пластичен и имеет площадку текучести, то при достижении наибольшими местными напряжениями предела текучести их
рост временно приостанавливается; в остальных точках сечения напряжения будут
расти, пока всюду не достигнут предела текучести. Таким образом происходит выравнивание напряжений; поэтому при расчетах на прочность пластичных материалов
при статических нагрузках концентрацию напряжений не учитывают и расчет ведут
по номинальным напряжениям.
В случае же хрупких материалов, таких, как закаленная сталь, чугун и другие,
выравнивания напряжений не происходит, и при их росте разрушение начинается в
местах наибольших местных напряжений, когда они достигают предела прочности.
Расчет на прочность хрупких материалов нужно вести по наибольшим местным напряжениям, т. е. с учетом концентрации напряжений.
Определив путем расчета номинальное напряжение и зная коэффициент концентрации напряжений для данного концентратора, находят максимальное напряжение
в месте концентрации по формуле
(3.5)
σ max = βσ н
Это напряжение должно удовлетворять условию прочности.
Серый чугун, являющийся хрупким материалом, нечувствителен к концентрации напряжений, вызванной внешними концентраторами. Это объясняется крупнозернистой структурой чугуна, в котором графитовые включения создают повсеместно
очаги концентрации напряжений, и дополнительные внешние концентраторы не вносят
существенных изменений в распределение напряжений.
При динамических нагрузках выравнивание напряжений не успевает произойти
даже в пластичных материалах, поэтому концентрацию напряжений нужно учитывать.
В случае хрупкого материала (чугун, твердые стали и др.) или хрупкого
состоянии материала (при ударных нагрузках или низких температурах) выравнивания напряжений не происходит и резкое их повышение у
мест концентрации может привести к появлению трещин, а потому
учет концентрации напряжений является обязательным.
При конструировании деталей следует, по возможности, избегать в них резких
изменений поперечных сечений, канавок, отверстий и других концентраторов напряжений. Особенно это важно в случае высокопрочных сталей, подвергающихся закалке,
и в деталях, работающих при динамических нагрузках.
118

МКЭ позволяет решать все вышеперечисленные задачи. В последующих примерах там, где это возможно, сопоставим результаты полученные методами сопротивления материалов и численным методом конечных элементов.
3.2.1. Исследование напряженного состояния балок-стенок
Балкой-стенкой называют короткие балки, у которых отношение длины балки к
её высоте меньше четырех. В общем случае для расчета балок-стенок используют аппарат теории упругости.
Пусть требуется исследовать напряженное состояние балки-стенки, изображенной на рис.142.
3.2.1.1. Определения напряжений в поперечных сечениях
балки-стенки методами сопротивления материалов

Рис.142
Применим методы сопротивления материалов для определения напряжений в
сечениях 1 и 2 балки-стенки и главных напряжений и главных площадок в точке K .
Формулы сопротивления материалов получены для случая, когда начало системы координат xoz находится в нейтральном слое бруса. Примем направление осей x и z
так, как показано на рис.142 . Вычисления проведём в системе MathCAD.
Дано:

L := 100

см

a := 54 см

P := 2000 кг

Решение
Определяем момент инерции
поперечного сечения балки-стенки

h := 50

3

b⋅ h
Jy :=
12

Jy = 1.042 × 10

b h
2
Sно ( z ) := ⋅ 
−z 
2  4

2

Статический момент
отсеченной части площади

119

4

Определяем внутренние силовые
факторы в поперечном сечении
балки-стенки

Q ( x) := P
M ( x) := −P ⋅ x
MK := M ( L1)

z K := 25( 1 − tan ( 30 ⋅ deg) )

MK = −5.8 × 10

4

z K = 10.566

Определяем нормальные
и касательные напряжения
в поперечном сечении
балки-стенки

τ ( x , z ) :=

z :=

x := 0 , 0.5 .. L

M ( x)
⋅z
Jy

σ ( x , z ) :=

Q ( x) ⋅ Sно ( z )
Jy ⋅ b

−h −h
h
,
+ 0.5 ..
2 2
2

Определение напряжений в 1-м сечении балки-стенки

σ ( L , z)

480

60

288
96

48
τ ( L , z) 36

96

0

288
480

24
12

25

15

5

5

15

0

25

25

15

5

z

5

15

25

z

Определение напряжений во 2-м сечении балки-стенки

σ ( 54 , z)

259.2

60

155.52

48

51.84

τ ( 54 , z) 36

51.84

0

155.52
259.2

24
12

25

15

5

5

15

0

25

z

25

15

5

5

15

25

z

В сечении 3 нормальные напряжения σ x ≡ 0 , а касательные напряжения τ xz в
этом сечении такие же, как и в двух предыдущих сечениях.
В сечении 4 , лежащем в нейтральном слое бруса (в нашем случае для балкистенки такого слоя нет), нормальные напряжения σ x ≡ 0 , а касательные напряжения
постоянны: τ xz = 60 кг/см2.

120

Примечание. Здесь и в последующих расчетах выбрана старая техническая система единиц
измерений с целью уменьшения числа значащих цифр выводимых постпроцессором SCAD при
представлении результатов расчета в графической форме.
Определим главные площадки и главные напряжения в точке K . Вначале найдем напряжения σ x и τ xz в поперечном сечении балки-стенки, проходящем через точку K . Точка K находится на расстоянии 25 − 25 ⋅ tg 30 o = 10.566 см от нейтральной
оси. Тогда
σ K := σ ( 29 , 10.566)

σ K = −58.831

τ K := −τ ( 29 , 10.566)

τ K = −49.283

и далее
2

2

 σK
2
σ max :=
+ 
 + τK
2
 2 

 σK
2
σ min :=
− 
 + τK
2
 2 

σ max = 27.978

σ min = −86.81

σK

 σ max − σ K 

τK



α гл := atan 

σK

α гл

deg

= −60.416

Вырежем у точки K малый элемент со сторонами, параллельными координатным осям, и по граням этого элемента приложим найденные напряжения σ K и τ K . Касательное напряжение τ K по направлению совпадает с направлением поперечной силы
в сечении, а она направлена так же, как и заданная сила P . В соответствии с полученными значениями для главных напряжений на этом же рисунке изобразим главные
площадки и действующие по ним главные напряжения (рис.143).

Рис.143

3.2.1.2. Расчет балки-стенки в программном комплексе SCAD
1. Загружаем программный комплекс. После загрузки программы появится пока ещё
пустое окно, на панели инструментов которого нажмем кнопку Создание нового
проекта, что приведет к появлению панели Новый проект, в поля ввода которого
введем наименование проекта Плоская задача и название объекта Балка-стенка.
Из списка Тип схемы выберем Система общего вида и щелкнем по кнопке Единицы измерения. Появится одноименная панель, в полях ввода которой зададим
121

единицы измерения геометрических и силовых параметров расчета. Щелкнем по
кнопке ОК. Далее программа потребует сохранить новый проект в некотором файле. Имя файла будет присвоено не только файлу проекта, но и всем служебным
файлам, а также файлам с результатами расчета. После выполнения этих операций
открывается главное окно конечно-элементного пакета SCAD, содержащее четыре
раздела первого уровня, являющиеся фактически этапами решения задачи: Исходные данные, Расчет, Результаты и Конструирование. Эти разделы содержат ссылки на разделы второго уровня, которые детализируют выполняемые операции, например, Расчетная схема, Линейный расчет или Печать таблиц.
2. Создание нового проекта начнем с формирования расчетной схемы. Для этого установим курсор на раздел Расчетная схема дерева и нажмем левую кнопку мыши. Управление будет передано графическому препроцессору, с помощью функций
которого и выполняется синтез расчетной схемы. После старта препроцессора в инструментальной панели активен раздел Управление.
3. Активизируем на инструментальной панели раздел Схема - создание схем из прототипов и их модификация. Это приведет к появлению панели кнопок (рис.144).

Рис.144
4. Щелкнем по кнопке
Генерация прямоугольной сетки на плоскости. С помощью этой функции может быть создана прямоугольная сетка с переменным или
постоянным шагом, расположенная в плоскости xoy или xoz . Назначение параметров сетки выполняется в диалоговом окне Генерация пластинчатой схемы
(рис.145). Тип схемы и ее положение в пространстве назначаются с помощью кнопок, установленных в верхней части окна. При правильном выборе типа схемы конечным элементам автоматически будет назначен тип и его не придется изменять в
процессе работы со схемой.
5. В разделе Вид схемы выбираем Балка-стенка в плоскости xoz .
6. Щелкаем по клавише Жесткость и на появившейся панели Жесткости пластин
назначаем материал балки-стенки – Сталь обыкновенная и толщину пластины 0 ,01
м.

122

Рис.145
7. Для генерации балки-стенки с габаритными размерами 1 × 0 ,5 м задаём шаг конечно-элементной сетки 0 ,01 м по обоим направлениям, а количество шагов по направлению x - 100 , по направлению y - 50 . После нажатия на кнопку ОК будет
сформирована схема (рис.146, активизирован фильтр Узлы
). Возможен случай,
когда вдоль осей задается переменный шаг сетки. При формировании сетки с разным шагом вводятся величины шагов и количество повторений по каждому направлению. При назначении разного шага сетки следует помнить, что наиболее качественное решение будет получено при соотношении сторон 4-узловых конечных
элементов близким к 1 . Не рекомендуется назначать соотношение более 1 / 5 .
Идеальным в этом смысле является, конечно, квадрат.
8. Связи в узлах расчетной схемы назначаются в диалоговом окне Связи, которое вызывается нажатием на соответствующую кнопку
в разделе Назначение. Так как левый торец балки-стенки защемлён, нажимаем клавишу Установить
всё и щелкаем по кнопке ОК.
123

Рис.146

Рис.147
9. Устанавливаем указатель курсора в произвольной точке рабочего окна, нажимаем
правую кнопку мыши. Появляется панель Выбор узлов и элементов, на которой выбираем вид курсора – Прямоугольник. Выделяем крайние левые узлы балки-стенки, щелкаем левой клавишей мыши, выделенные элементы окрашиваются в
красный цвет (рис.147), и подтверждаем наш выбор нажатием на кнопку

.

10. Нагрузка на пластину задается в разделе Загружения. Для отображения связей на
расчетной схеме щелкнем по кнопке фильтра

. Активизируем кнопку Узло-

вые нагрузки
. Появится панель Ввод узловых нагрузок, в полях ввода
которой задаем направление и величину нагрузки во внутренних узлах конечноэлементной сетки. Загрузим созданную конечно-элементную модель балки-стенки
на свободном торце силой 2 т, приложенной к верхнему левому узлу (рис.148).
124

Рис.148
11. Переходим в раздел Управление и нажимаем кнопку
Выйти в экран
управления проектом. Раскрываем список Специальные исходные данные
(рис.149) и активизируем команду Главные и эквивалентные напряжения. Появляется панель Расчет главных и эквивалентных напряжений, на которой
можем задать тип теории прочности, например, Теория наибольших касательных
напряжений (рис.150).
12. Для заданных характеристик нагружения возможен только линейный расчет. Установим указатель мыши в позицию Линейный и нажмём левую клавишу мыши. Если позиция Линейный имеет вид
(выполнение невозможно), то расчет недоступен. Причиной этого, как правило, является полное или частичное отсутствие
обязательных исходных данных. К ним относятся: нагрузки, жесткостные характеристики, описание расчетной схемы. В тех случаях, когда данные отсутствуют или
заданы не для всех элементов схемы (последнее касается жесткостей), пиктограмма
соответствующей ветви дерева проекта в разделе Расчетная схема содержит вопросительный знак

.

Примечание. Рекомендуется перед выполнением расчета «пройтись»
по дереву проекта и убедиться в том, что все исходные данные, которые необходимо задать для расчета, действительно введены и попали в
проект. В противном случае нужно вернуться к соответствующей операции подготовки данных и ввести недостающую информацию.
После нажатия левой клавиши мыши в позиции Линейный через несколько секунд процессор завершит расчет, и можно будет проанализировать его результаты.
13. Щелчок по кнопке Графический анализ открывает рабочее окно SCAD, имеющее разделы: Управление, Деформации, Эпюры усилий, Поля напряжений,
Постпроцессоры и Группы, которые позволяют проанализировать напряженное и
деформированное состояние пластины.
14. Активизируем раздел Деформации. Это приведет к появлению кнопок, показанных на рис.151. Анимацию и формирование видеоклипов можно выполнять для
полной расчетной схемы или для ее фрагмента. Исключение составляет режим
Крупный план, для которого эти функции не выполняются.
125

15. Щелкнем по кнопке
Совместное отображение исходной и деформированной схемы и установим коэффициент масштабирования перемещений 4 .
На рис.152 представлено деформированное состояние балки-стенки.
16. Активизируем кнопку
Отображение изолиний перемещений и в окне Вид
перемещений выберем из списка направление перемещения вдоль оси z (будут
отображены изолинии поля перемещения w ). В рабочем окне на поверхности балки-стенки появятся изолинии перемещений и панель диапазонов отображения перемещений (рис. 153). Аналогично могут быть выведены изолинии поля перемещений u (в направлении оси x ) (рис. 154).

Рис.149

126

Рис.150

Рис.151
Всякий раз, когда возникает необходимость оценить общую картину распределения того или иного фактора на конструкцию или ее фрагмент, используется цветовое представление результатов расчета. Для отображения результатов
принята по умолчанию 14-цветная шкала, которая расположена в специальном
диалоговом окне (рис. 153-154). Это окно является общим для всех операций
127

отображения результатов. Каждому диапазону результатов соответствуют маркер и цветовое поле. Если маркер включен, на схеме отображаются результаты,
входящие в соответствующий диапазон. Отключив маркеры, можно отказаться
от цветового отображения части результатов, имеющих несущественные для
работы конструкции значения анализируемого фактора. Можно уменьшить число диапазонов, переопределить значение диапазонов. Для того чтобы отобразить на экране сделанные таким образом установки, используется кнопка Применить, расположенная в нижней части окна.

Рис.152

Рис.153

128

Рис.154

Рис.155
Верхние пять кнопок управляют цветовой гаммой шкалы. Левая кнопка
служит для автоматического деления цветовой шкалы на два диапазона, в один из которых попадают значения больше, в другой - меньше величины указанного значения
исследуемого фактора (рис.154). После нажатия этой кнопки появляется диалоговое
окно Значение разделителя (рис.155, а), в выпадающем списке которого вводим цифру 0 , определяющую цветовую границу. Значения, превышающие величину разделителя, будут окрашены в оттенки одного цвета, а значения меньшие его - в оттенки другого цвета (рис.155, б).

129

На рис.155 величины перемещений и изополя перемещения соответствуют нагрузке 2 кН (в 10 раз меньше той, которая соответствует величинам и цветовым полям, приведенным на рис. 153 и 154). Как следует из сопоставления рис. 154 и 155,
уменьшение нагрузки в 10 раз привело к уменьшению величин перемещений в 10 раз.
Этот факт является следствием того, что при решении упругой задачи связь между напряжениями и деформациями линейная (закон Гука).
Настройка цветов выполняется в разделе Настройка цветовой палитры меню Опции (рис.156). На странице Результаты эти цвета определены опциями Цвет
положительных изолиний (изополей) и Цвет отрицательных изолиний
(изополей). Отметим, что понятия «отрицательных» и «положительных» весьма условны, т.к. цветом можно разделить и значения фактора, имеющие один знак.

Рис.156
Вторая кнопка
вверху предназначена для «плавной» настройки цветовой
шкалы. Плавной считается такая настройка шкалы, у которой переход от цвета к цвету
выполняется с плавно меняющейся интенсивностью.
Последние три кнопки вверху предназначены для вызова фиксированных цветовых шкал. Их окраску по умолчанию можно условно отнести к «горячей», «холодной»
и «серой». Смена цветовой гаммы и вывод информации на экран после изменения состояния кнопок выполняются нажатием кнопки Применить.
Предлагаемые цветовые решения шкал не являются обязательными. Пользователь может заменить любой цвет в шкале или даже всю шкалу и запомнить сделанные
изменения для всех последующих сеансов работы. Для этого надо подвести курсор к
цветовому квадрату с заменяемым цветом и дважды нажать левую кнопку мыши. При
этом открывается стандартная цветовая шкала среды Windows. После выбора цвета
следует нажать кнопку ОК. Новый цвет попадет в цветовую шкалу. Для того чтобы за130

помнить новую цветовую гамму, используют кнопку Сохранить. После этой операции новая гамма цветов будет всегда выводиться вместо ранее выбранной.
Для одновременного отключения или включения всех маркеров цветовой шкалы используется кнопка Вкл./Выкл. Этой кнопкой удобно пользоваться в тех случаях,
когда из всего диапазона выбирается только несколько значений. Тогда первым действием следует отключить всю шкалу, а затем включить только нужные маркеры и нажать кнопку Применить.
Цветовая шкала может занимать любое место на экране, ее можно закрыть
(кнопка Закрыть) или вынести за пределы рабочего поля (если у вас большой экран и
окно комплекса занимает не все пространство экрана).
17. Активизируем раздел Поля напряжений инструментальной панели. Это приведет к появлению кнопок, показанных на рис.157.

Рис.157
Для отображения числовых значений силового фактора на изополях и изолиниях используется кнопка
фильтров. Значения могут выводиться в центрах
элементов или в узлах. Для получения значений в узлах необходимо активизировать соответствующую операцию в диалоговом окне Настройка графической
среды (вызывается из одноименного пункта в разделе меню Опции). Вывод изолиний и изополей напряжений выполняется по тем же правилам, что и при анализе
перемещений в пластинчатых элементах. Поле напряжений σ x представлено на
рис.158.
18. Щелкаем по клавише
Эпюры напряжений вдоль секущей и, выбирая последовательно сечения 1 − 4 (протягивая при нажатой левой клавиши мыши её указатель вдоль рассматриваемого сечения), получаем эпюры σ x , σ z и τ xy . На открывшейся панели Эпюры напряжений вдоль прямой, щелкая последовательно по обозначениям напряжений NX , NZ , TXZ , получаем в рабочем окне соответствующие эпюры. В SCAD NX - нормальные напряжения в направлении
131

нормали к выбранному сечению, NZ - нормальные напряжения вдоль сечения,
TXZ - касательное напряжение. Для получения численных значений ординат эпюр
активизируем флажок Отображение значений на графике. Щелчок по выбранной
ординате приводит к появлению поля со значением соответствующей компоненты
тензора напряжений (рис.159-162).

Рис.158
Как следует из приведенных эпюр, только в сечении 2 характер распределения
напряжений в поперечном сечении бруса соответствует распределениям напряжений,
определяемым по формулам сопротивления материалов. Величины максимальных напряжений во втором сечении балки-стенки, определенные по формулам сопротивления
материалов практически соответствуют таковым, приведенным на рис.160. В остальных сечениях результаты вычисления напряжений программой SCAD и по формулам
сопротивления материалов не совпадают. Следовательно, при анализе напряженного
состояния материала балки-стенки в этих зонах нужно пользоваться только соотношениями, полученными в курсах теории упругости и пластичности.
Зависимости для напряжений, приводимые в курсе сопротивления материалов справедливы только для длинных балок, у которых длина, по
крайней мере, в четыре раза больше их высоты, исключая участки приложения сосредоточенных сил и моментов.
В качестве иллюстрации этого положения на рис.163-164 приведены эпюры напряжений для длинной балки (длина/высота=5/1) с прямоугольным поперечным сечением, нагруженной на свободном торце усилием 1 т. Величины максимальных напряжений в первом и втором сечениях балки, определенные по формулам сопротивления материалов:
сечение 1 : max σ x = 750 кг/см2; max τ xy = 75 кг/см2;
сечение 2 : max σ x = 550 кг/см2; max τ xy = 75 кг/см2,
близки к величинам, вычисленным конечно-элементным комплексом SCAD. В соответствии с гипотезами, принятыми в курсе сопротивления материалов, касательные
напряжения в нейтральном слое должны быть максимальными постоянными и равными max τ xy = 75 кг/см2.
132

Рис.159

Рис.160
133

Рис.161

Рис.162
134

Рис.163
Из рис.163-164 следует, что эта гипотеза выполняется на удалении от торцов
балки на расстояние, приблизительно равное характерному размеру балки – её высоте
(что согласуется с принципом Сен-Венана).
При использовании конечно-элементного подхода в перемещениях вычисление
напряжений связано с рядом проблем. Локальный поэлементный подсчет напряжений
приводит к полям напряжений, имеющим разрывы на межэлементных границах
(рис.165). Для получения узловых напряжений в этих случаях прибегают к тому или
иному методу усреднения вкладов напряжений отдельных элементов в их общий узел.
В программе предусмотрено, что для каждого из конечных элементов эти усилия вычисляются в серединах (в центре тяжести) и в точках примыкания к узлам расчетной
схемы. Затем для узла вычисляется среднее арифметическое значение указанных усилий по точкам примыкания всех элементов, сходящихся в узле и определяющих рассматриваемое усилие, при условии, что такие элементы расположены примерно в одной плоскости.

135

Рис.164

136

Рис.165
Само понятие «примерно в одной плоскости» регулируется значением «параметра пологости», который по умолчанию принимается равным 0 ,25 (это есть синус
угла между нормалями к смежным элементам, равного примерно 14 o ), но может быть
заменено пользователем. Именно по указанным среднеарифметическим значениям
строятся изополя или изолинии, эти же значения выдаются на экран при соответствующей настройке режима выдачи результатов. Поэтому на рис.163,164 на свободной
поверхности балки-стенки, где должны быть нулевые напряжения, мы наблюдаем
скачки на эпюрах напряжений.
По поводу сказанного заметим, что осреднение имеет смысл для так называемых регулярных узлов, где не следует ожидать скачкообразного изменения усилий.
Тогда оно дает значение, приближающееся к ожидаемому «плавному» решению. Для
тех случаев, когда в узле ожидается появление скачка значений внутренних усилий,
осреднение значений такой скачок сглаживает, что может привести к недоразумениям.
Если в версии SCAD отсутствует кнопка
Эпюры напряжений вдоль
секущей, при построении эпюр напряжений вдоль выделенного сечения можно воспользоваться одним из следующих методов.
Метод 1. С помощью кнопки
Увеличение изображения панели Визуализация
выделить малый участок балки-стенки в окрестности рассматриваемого сечения. Включить фильтры
Узлы
, Номера узлов
и Оцифровка изополей/ изолиний
. В результате этих действий в рабочем окне SCAD появится картина, представленная на рис.166. В центре элементов выводится величина физического параметра (в данном случае напряжения σ x ), а по углам элемента – номера узлов, которые в дальнейшем используются при выборе величин напряжений. Выписывая величины
напряжений в элементах, примыкающих к рассматриваемому сечению, строят эпюры напряжений
обычным способом или с использованием системы MathCAD (при выборе информации необязательно
делать полную выборку, но она должна содержать не менее пяти значений анализируемой величины).
На рис.167 приведена программа реализующая построение эпюры напряжений σ x по 14 выбранным
значениям напряжений

σx.

Метод 2. В диалоговом окне цветовой шкалы, например, Nx (рис.158), определяем диапазон изменений напряжений в выбранном сечении балки-стенки, например, (− 500 , 500 ) , т.е. изменение
напряжений составит 1000 кг/см2. Предположим, что выбранное сечение должно пересекать не менее
пяти изолиний с шагом 100 кг/см2.

137

Рис.166

0 
 
4 
8 
 
 12 
 16 
 
 20 
 24 
X :=  
 28 
 32 
 
 36 
 40 
 
 44 
 48 
 
 50 

 172.99 


 141.79 
 107.75 


74.13


 43.02 


 15.13 
 −9.77 
Y := 

 −32.33 
 −53.27 



73.17


 −92.52 


 −111.78 
 −131.60 


 −136.76 

x := 0 , 0.5 .. 50
cY := cspline( X , Y)
y ( x) := interp( cY , X , Y , x)

138

xxxx
Эпюра σ
200
100
y(x)

0
100
200

0

10

20

30

40

50

x

Рис.167

Рис.168
Настройка цветовой шкалы выполняется в диалоговом окне Цветовая шкала (рис.168), которое появляется после нажатия кнопки
Установка параметров цветовой шкалы. Значения,
записанные в строках этого окна, соответствуют начальному значению фактора, отнесенному к каждому
цвету. Диапазон значений для каждого цвета определяется интервалом между значениями соседних цветов. Для последнего в списке цвета диапазон определяется между значением в строке и максимальным
значением фактора (указывается в верхней части окна Цветовая шкала). Изменение количества интервалов выполняется выбором из списка Количество интервалов. Так как мы собираемся вывести
десять диапазонов, то задаём одиннадцать интервалов и границы диапазонов (рис.168). Щелкаем по клавише ОК. В результате получим картину изолиний и изополос, представленную на рис.34.
Обратите внимание, что цветовая шкала начинается и заканчивается величинами минимального и максимального значений исследуемого фактора.
Копируем картину изополос и переносим её в графический редактор CorelDraw. Проводим линию, совпадающую с исследуемым сечением балки-стенки. Отмечаем точки пересечения изолиний с
сечением и в этих точках строим отрезки прямых линий длиной пропорциональной величинам напряже-

139

ний изолинии пересекающей сечение в данной точке. Соединяем концы этих отрезков линией. В результате этих действий получаем соответствующую эпюру напряжений (рис.169).

Рис.169

Рис.170
Метод 3. Выходим в экран управления проектом. Выбираем раздел Печать таблиц. Появляется панель, представленная на рис.170 (вид этой панели определяется версией SCAD). В соответствующем окне панели задаём список элементов, попадающих в выбранное сечение (не обязательно всех
элементов), и требуем создать таблицу в MS Excel. В результате появляется таблица напряжений
(рис.171), из которой можно выбрать необходимые вектора и перенести их в MathCAD для последующей обработки (см. рис.167).

140

Рис.171

Рис.172
19. Активизируем раздел Постпроцессоры инструментальной панели. Кнопки раздела Постпроцессоры инструментальной панели приведены на рис.172. В разделе Постпроцессоры инструментальной панели находятся функции анализа результатов работы постпроцессоров подбора арматуры в элементах железобетонных
конструкций, расчета нагрузок от фрагмента схемы и результатов расчета главных
и эквивалентных напряжений для пластинчатых элементов -

.

20. Отображение результатов расчета главных и эквивалентных напряжений выполняется с помощью кнопок инструментальной панели аналогично выводу напряжений
для пластин (рис.173).

141

Рис.173

Рис.174
При определении вида выводимой информации в SCAD приняты следующие
условные обозначения:
o S 1 , S 2 , S 3 - главные нормальные напряжения;
o NE 1 , NE 2 , NE 3 , NE 4 - эквивалентное напряжение (приведенное к эквивалентному растяжению) по 1 − 4 теориям прочности;

142

NS 1 , NS 2 , NS 3 , NS 4 - эквивалентное напряжение (приведенное к эквивалентному сжатию) по 1 − 4 теориям прочности.
На рис.173 приведены изополя и изоуровни главных напряжений σ 1 для
балки-стенки и ориентация главных площадок. Фрагмент этой картины полос, вырезанный в окрестности точки K , приведен на рис.174. Как следует из рис.173 и
174, величины и ориентация главных напряжений в точке K , вычисленные по
формулам сопротивления материалов, в данной задаче близки к аналогичным величинам, полученным в процессе численного расчета методом конечного элемента.
o

3.2.1.3. Расчет балки-стенки
MSC.Patran-Nastran 2005

в

программном

комплексе

A.
B.
C.
D.

Загружаем программный комплекс MSC.Patran-Nastran.
Создаём новую базу данных.
Щелкаем левой клавишей мыши по приложению Geometry.
В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Point
Method►XYZ.
E. В поле Point Coordinates List вводим координаты угловых точек пластины:
[0 0 0 ], [0 0.5 0 ], [1 0.5 0 ] , [1 0 0 ] . Для контроля положения введенных точек активизируем кнопку
Положение точек.
F. На панели Geometry щелкаем по клавише Point и активизируем опцию
Curve.
G. Соединяем точки линиями, последовательно щелкая по стартовой и конечной
точкам.
H. На панели Geometry в разделе Object активизируем опцию Surface, в разделе
Method активизируем опцию Edge. Панель Geometry изменит вид (рис.175),
на ней выбираем опцию 4 Edge.
I. В графическом окне щелкаем левой клавишей мыши по кривым, что приводит к
последовательному заполнению окон Surface Edge n List. После нажатия на
клавишу Apply будет создана пластина. На рис.175 приведены номера узлов,
кривых и пластины.
J. Открываем форму приложения Materials и задаём имя материала – st и его
физико-механические характеристики: Elastic Modulus = 2 e 11 , Poisson Ratio = 0.3 . Щелкаем по кнопке OK на панели Input Options и по кнопке Apply
на панели Materials.
K. Открываем форму приложения Properties. На появившейся панели Element
Properties выбираем: объекты 2D, тип элементов – Shell. В окне Property
Set Name задаём имя plastina и щелкаем левой клавишей мыши по кнопке Input Properties. На появившейся одноименной панели задаём имя материала:
щёлкаем по кнопке
, появляется панель выбора материала Select Material,
в окне которой указан заданный нами материал st. Щелчок левой клавишей
мыши по имени материала приводит к появлению записи m:st в окне Material
Name панели Input Properties. В поле Thickness задаем толщину пластины
1 см и нажимаем последовательно на клавиши OK и Apply (рис.176).

143

Рис.175

Рис.176

144

Рис.177
L. Для создания конечных элементов открываем приложение Elements, что приводит к открытию соответствующей панели (рис.54).
M. Используем команду Object►Mesh Seed для предварительной разметки конечно-элементной сетки на геометрической модели пластины. В поле Number
задаем число элементов вдоль границ пластины (в нашем случае на вертикальных границах - 50 элементов; на горизонтальных - 100 ).
N. Переходим к созданию сетки. Активизируем команду Object►Mesh. Панель
Finite Elements примет вид как на рис.105.
O. Нажимаем клавишу Select Existing Prop… Открывается панель Property
Sets, на которой выбираем свойства элементов – plastina. Панель Property
Sets закроется, активной станет панель Element Properties.
P. В графическом окне устанавливаем курсор мыши на пластину и нажимаем её
левую клавишу. В окне Surface List появится запись Surface 1 (если в окне
Automatic Calculation установлен «флажок», то нажимать на клавишу Apply
не надо). Если всё сделано правильно, в графическом окне появится изображение конечно-элементной сетки (рис.177).
Q. Задаём граничные условия: силовые и кинематические. Открываем форму приложения Loads/BCs. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Displasement
Type►Nodal
145

и в окне New Set Name задаем имя кинематического условия d1 и щелкаем по
кнопке Input Data… В появившейся панели Input Data задаём граничные условия: запрещаем поступательное перемещение w и два вращательных перемещения относительно осей x и y . Щелкаем по кнопке OK. Затем активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель, на которой отмечаем флажок FEM. В графическом окне выделяем все узлы. Затем
щелкаем по кнопкам Add и OK. Панель Select Application Region закроется,
а на панели Loads/Boundary Conditions щелкаем по кнопке Apply. Вводим
вторую кинематическую связь d2 для жесткого защемления левого торца балки:
запрещаем все линейные и угловые перемещения. Далее повторяем все операции, выполненные для связи d1.
Для задания силовых граничных условий активизируем команду
Object►Force. В окне New Set Name задаем имя распределенной нагрузки f.
Щелкаем по кнопке Input Data…. Открывается одноименная панель, в окне которой вводим сосредоточенную силу . Щелкаем по кнопке OK.
Активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель. В графическом окне выделяем крайний правый верхний узел балкистенки. На панели Select Application Region щелкаем по кнопке OK, на панели Loads/Boundary Conditions - по кнопке Apply. В графическом окне
появится условное изображение введенной силы.
R. Расчет конечно-элементной модели проводится в приложении Analysis. Внешний вид панели Analysis приведен на рис.63. Для расчета балки-стенки выбираем опцию Analysis в разделе Action. Нажимаем клавишу Apply панели
Analysis. В результате этих действий запустится вычислительная программа
Nastran.
S. Окончив вычисления необходимо результаты расчета сделать доступными в
MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и
нажимаем клавишу Apply. Если расчет выполнен правильно, в информационной строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно будет переходить к анализу результатов расчета.
T. Определяем информацию о напряженно-деформированном состоянии балкистенки.

Отображение деформированного состояния балки-стенки
При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default, A1: Static Subcase;
тип результата: Displacements, Translational;
величину: Magnitude.
На рис.178 показаны изополя перемещений в направлении осей x - u и y - v .

146

Рис.178

147

Отображение напряженного состояния балки-стенки
При нажатой клавише
Select Results выберем (рис.179, а):
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default A1: Static Subcase;
тип результата: Stress Tensor;
количество (компонента тензора напряжений σ x ): Х.
Нажимаем клавишу Apply. В графическом окне появится изображение изополей поля напряжения σ x при разбивке диапазона изменения этих напряжений на 15
уровней (рис.179, б). Эти установки для поля отображения
называются
Fri_Default_Fringe. Как следует из рисунка рис.179, б, в интересующей нас области
балки-стенки мы имеем всего шесть полос, так как все остальные полосы локализованы в области концентрации напряжений под силой 20000 Н. Для увеличения числа
полос в рассматриваемой области балки-стенки необходимо изменить разбивку диапазона изменения напряжений σ x . С этой целью нажимаем кнопку
. Панель Results
примет вид, показанный на рис.180. Нажимаем на клавишу Range… Откроется панель Set Range, в окне которой пока две записи: Fri_Default_Fringe и standart_range.
Нажмём на клавишу Define Range… . Откроется панель Ranges (рис.181). В окне
New Range Name задаём новое имя диапазонов - 1 , в окнах Start Value и End
Value - границы нового диапазона, в пределах которого изменяются напряжения σ x в
рассматриваемой области балки-стенки. В окне Number of Sub-ranges задаём число
поддиапазонов, на которое будет разбиваться 1 -й диапазон, и щелкаем по клавише
Calculate . В результате диапазон 1 будет разбит на 15 поддиапазонов, граничные и
средние значения которых появятся в таблице значений. Нажимаем клавишу Apply.
Имя диапазона появится в окне панели Set Range. Картина изополос поля напряжений примет вид, приведенный на рис.179, в.
Аналогичным образом выводим изополя напряжений σ y , τ xy , σ 1 , σ 3 (рис.182183).

Отображение графиков изменения внутренних усилий
в сечениях балки-стенки
При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Graph;
Metod ►Y vs X;
вариант расчета – Default, A1: Static Subcase;
тип результата: Stress Tensor;
компоненты тензора (Quantity): X Component;
ось X: Coordinate;
ось абсцисс (Select Coordinate Axis): Coord 0.2.
Активизируем кнопку
Target Entities, позволяющую фильтровать результаты расчетов. Панель Results изменит вид (рис.138). В графическом окне Patran
выделим узлы, принадлежащие сечению 1 . Их номера появятся в окне Select Nodes.
Активизируем кнопку
Display Attributes. Панель Results снова изменит вид (рис.138). В окнах этой панели, в принципе, можно задать параметры графика,
148

но мы этого делать не будем. Нажимаем клавишу Apply и в графическом окне появится график, приведенный на рис.184, который не противоречит эпюре моментов, приведенной на рис.127.

Рис.179

149

Рис.180

150

Рис.181

151

Рис.182

152

Рис.183

153

Рис.184

Рис.185
Для определения главных напряжений в точке К сначала определим положение
сечения, в котором находится точка. Выделим его и увеличим изображение окрестности точки К. У выделенных узлов будут проставлены величины главных напряжений
(рис.188). Зная шаг конечно-элементной сетки, можно найти положение точки К в се154

чении. В рассматриваемом нами случае в окрестности точки К действуют напряжения
σ 1 = 3 ,59 ⋅ 10 6 Па.
Величину этого напряжения σ 1 можно найти и так. Выберем:
Action ►Create;
Object ►Cursor;
Metod ►Scalar;
вариант расчета – Default, A1: Static Subcase;
тип результата: Stress Tensor;
компоненты тензора (Quantity): X Component;
выбираемый объект (Target Entity): Nodes.
Активизируем кнопку
Target Entities. Щелкаем по клавише Apply, появится панель Cursor Data (рис.185). В графическом окне Patran выделим узлы, принадлежащие сечению 1 . Их номера появятся в окне Select Nodes и в таблице, в которой указаны номера узлов и соответствующие им напряжения. В окрестности точки К
находится узел 1487.

Рис.186
MSC.Patran имеет мощное средство графического анализа напряженного состояния в точке. Выберем (рис.186):
Action ►Create, (шаг 1);
155

Object ►Marker, (шаг 2);
Metod ►Tensor, (шаг 3);
вариант расчета – Default, A2: Static Subcase, (шаг 4);
тип результата: Stress Tensor, (шаг 5);
список Show As: Principal, (шаг 6);
выключатели: Max, Min, (шаг 7).
Активизируем кнопку
Display Attributes, (шаг 8). Включаем переключатель Constant, (шаг 9) (рис.186). При необходимости изменяем цвет отображения
главных напряжений, (шаг 10). Назначаем параметры вектора: длину, отображаемый
вид, стиль линии (шаги 11-13), и параметры отображения, вырезаемого малого элемента (шаги 14-16). Включаем выключатель Show Tensor Label, (шаг 17) (рис.186).
Активизируем кнопку
Target Entities (шаг 18). Из списка Target Entity выбираем Nodes (шаг 19). В графическом окне Patran выделяем узел 1487 и щелкаем по
клавише Apply. В графическом окне появится изображение малого элемента, вырезанного главными площадками (рис.187).

Рис.187
156

3.2.2. Расчет штифтовых (заклёпочных) соединений
3.2.2.1. Определение наибольших нормальных напряжений
в поперечном сечении стержня по формулам сопротивления
материалов без учета концентрации напряжений
Стандартный расчет заклёпочных соединений, приводимый в курсе «Сопротивление материалов», проиллюстрируем на примере определения наибольших нормальных напряжений (без учета концентрации напряжений) в поперечном сечении стального стержня фермы, растянутого силой P = 210 кН. Стержень составлен из двух стальных полос сечением 120 × 8 мм и прикреплен к фасонному листу тремя заклепками
диаметром d = 20 мм (рис.189).

Рис.188

Решение
Сечение 1 не ослаблено заклепочными отверстиями. Площадь этого сечения
Fбр = 2 ⋅ 18 ⋅ 0 ,8 = 19 ,2 см2.
Сечение 2 ослаблено одним отверстием. Площадь, приходящаяся на ослабление, F0 = 2 ⋅ 2 ⋅ 0 ,8 = 3 ,2 см2. Площадь сечения 2 :
Fн = Fбр − Fo = 19 ,2 − 3 ,2 = 16 см2.
Сечение 3 − 3 ослаблено двумя отверстиями. Площадь этого сечения
Fн 1 = Fбр − 2 Fo = 19 ,2 − 2 ⋅ 3 ,2 = 12 ,8 см2.
Сила P передается от полосы фасонному листу через три заклепки, каждая из
которых воспринимает P / 3 . В сечении 2 заклепка снимает с полосы и передает листу P / 3 , следовательно, между сечениями 2 и 3 полоса растянута силой, равной
2 P / 3 . В сечении 3 две заклепки передают эту силу листу и потому правее сечения 3
полоса свободна от нагрузки. Усилия в полосе представлены на эпюре.

157

Напряжение в сечении 1
P
210
=
= 109 ⋅ 10 3 кН/м2;
σ 1=
Fбр 19 ,2 ⋅ 10 − 4
напряжение в сечении 2
P
210
σ 2=
=
= 131 ⋅ 10 3 кН/м2;
−4
Fнт 16 ⋅ 10
напряжение в сечении 3
2P
2 ⋅ 210
σ 3=
=
= 109 ⋅ 10 3
−4
3 Fнт 1 3 ⋅ 12 ,8 ⋅ 10
кН/м2.
Наибольшее напряжение возникнет в
сечении 2 , несмотря на то, что это сечение ослаблено одним отверстием, а сечение 3 двумя.
3.2.2.2. Расчет штифтового
соединения по формулам
сопротивления материалов
Пусть требуется исследовать напряженное состояние верхней пластины
штифтового соединения, нагруженной
Рис.189
распределённой нагрузкой интенсивностью q = 0 ,5 т/см. Построить эпюры
нормальных и касательных напряжений в пяти сечениях, изображенных на рис.189.
Размеры соединения, скорее всего, не соответствуют реальным. Они выбраны произвольными, так как нашей целью является не расчет реального соединения, а освоение алгоритма расчета подобных соединений (штифтовых, заклёпочных и т.п.). Стандартная процедура определения наибольших нормальных напряжений, возникающих в
поперечном сечении стержня (без учета концентрации напряжений), описана выше.
Дано:

d := 20 см

b := 40 см

t := 1

q := 0.5

см

т
см

158

3.2.2.3. Расчет штифтового соединения в программном
комплексе SCAD
1. Выполняем первые два шага предыдущего алгоритма расчета балки-стенки и
вводим 4 узла, совпадающие с угловыми точками пластины, и узел, совпадающий с центром окружности (рис.190, а).
2. Щелкаем по кнопке
Генерация узлов по дуге. Появится панель Ввод
узлов по дуге окружности (рис.190, б), на которой задаём число узлов по
дуге окружности - 12 (число кратное 360 o ), и радиус окружности – 0.1 . В разделе Привязка к центру активизируем флажок К узлу и щелкаем по кнопке
ОК. В рабочем окне щёлкаем левой клавишей мыши по пятому узлу (центру окружности) и далее по кнопке
главного меню. В результате этих действий
вокруг пятого узла появятся ещё двенадцать узлов (рис.190, в).
3. Активизируем на инструментальной панели раздел Схема - создание схем из
прототипов и их модификация. Это приведет к появлению панели кнопок,
представленной на рис.144.
4. Нажимаем на кнопку
Генерация сетки произвольной формы на
плоскости. В результате в инструментальной панели станут доступны кнопки
управления режимом триангуляции, изображенные на рис.191 . SCAD позволяет выполнить автоматическое разбиение произвольной замкнутой области на
треугольные конечные элементы. Триангуляция замкнутой области произвольной формы на плоскости является одним из универсальных средств формирования сеток конечных элементов. В комплексе предусмотрена возможность использовать триангуляцию как для создания новой схемы, так и для фрагмента
уже готовой схемы.
5. Для триангуляции заданной области необходимо выполнить следующую последовательных операций:
 нажать кнопку Задание контура
и обвести «резиновой нитью» опорные узлы внешнего контура (под «опорными» понимаются узлы, лежащие в
угловых точках контура); на рис. 192, а приведено промежуточное состояние резиновой нити, на рис.192, б - вид полученного контура;
159

Рис.190

Рис.191
Примечание




при вводе участка контура можно не останавливаться на узлах, лежащих на прямой, соединяющей опорные узлы; они вводятся в контур автоматически;
замыкание контура выполняется двойным щелчком мыши после ввода последнего узла или
указанием на первый узел;
не допускается наличие совпадающих узлов как опорных, так и промежуточных (под совпадающими понимают узлы, имеющие одинаковые координаты);

160








не допускается попадание внутрь контура совпадающих узлов;
не допускается наличие внутри контура узлов, лежащих от контура на расстоянии менее
0 ,15 заданного шага триангуляции, так как это приведет к появлению вырожденных треугольников;
внутренние контуры не должны пересекать или касаться наружного контура и один другого;
не допускается наличие контуров, лежащих вне контура, ограничивающего область триангуляции;
введенный контур можно сохранить, нажав кнопку Сохранение контура
. Если к
моменту сохранения задано несколько контуров, то все они сохраняются под одним именем. Как правило, удобнее сохранять каждый контур отдельно. Для этого после ввода и сохранения контура следует нажать кнопку Отказ и только затем вводить новый контур. Перед выполнением триангуляции необходимо нажатием кнопки Отказ очистить схему от
всех контуров, затем последовательно вызвать контуры из списка, расположенного справа
от кнопки сохранения, и активизировать операцию Генерация сетки конечных элементов

.

 нажать кнопку Указание линий сгущения сетки
и обойти все узлы
внутреннего контура щелкая по ним дважды (за исключением первого узла)
левой клавишей мыши;
 нажать кнопку Генерация сетки конечных элементов
. Появится
панель Автоматическая триангуляция, в окнах которой установить параметры триангуляции – шаг триангуляции 0 ,02 м (рис.193, а); нажать клавишу Жесткости и в окнах открывшейся панели Жесткости пластин указать материал и толщину пластины (рис.193, б);
 после выхода из диалогового окна нажатием кнопки ОК выполняется разбиение заданной области на треугольные конечные элементы (рис.194, а));
для того чтобы более детально исследовать качество созданной конечноэлементной сетки, на панели Визуализация активизировать кнопку Увеличение изображения
и выделить с помощью левой клавиши мыши участок пластины вокруг отверстия (рис.194, б); возврат к исходной расчетной схеме реализуется путём нажатия кнопки Восстановление исходного размера

панели Визуализация.

6. Схема, созданная в результате триангуляции, фактически является самостоятельной
подсхемой, и после завершения триангуляции ее нужно «установить на место», т.е.
присоединить к узлам, на которых выполнялась триангуляция (кнопка
тановка сформированной схемы по месту).

– Ус-

7. Если подсхему предполагается присоединить к другим фрагментам схемы, ее можно сохранить и как самостоятельную схему, воспользовавшись для этого кнопкой
Запись результатов триангуляции. При этом подсхема должна быть записана под новым именем, отличным от имени основной схемы.
8. Окончательная фиксация результатов триангуляции выполняется только после выхода из режима триангуляции (отжата кнопка Формирование треугольной
сетки конечных элементов на плоскости). На экран выводится результирующая расчетная схема. В течение одного «сеанса» можно выполнить триангуляцию только одной области, после чего закрыть режим триангуляции закрывают.
Для триангуляции другой области следует снова активизировать режим триангуляции.
161

Рис.192

Рис.193
162

Рис.194
10.

Связи

в

узлах

расчетной

схемы

назначаются в диалоговом окне Связи,

которое вызывается по нажатию на соответствующую кнопку
в разделе Назначение. Для отображения связей на расчетной схеме щелкнем по кнопке фильтра
. Внешняя нагрузка, приложенная к пластине, уравновешивается реакцией штифта (заклепки). В первом приближении можно считать, что узлы пластины, контактирующие со штифтом, находятся на нижней части полуокружности и неподвижны по
отношению к остальным точкам пластины. В действительности это не так: неподвижной является только одна точка, лежащая на оси симметрии пластины, а остальные
точки могут перемещаться вдоль поверхности штифта, но такую задачу мы пока решить не можем. Поэтому защемляем все точки, лежащие на нижней полуокружности.
Нажимаем на клавишу Установить всё и затем на кнопку ОК. Выделяем указанные

узлы и подтверждаем наш выбор, щелкув по клавише
главного меню.
11. Нагрузку на пластину задаём в разделе Загружения. Активизируем кнопку
Узловые нагрузки
. Появится панель Ввод узловых нагрузок, в полях ввода
которой назначаем направление и величину нагрузки ( − 1 т) в узлах конечноэлементной сетки, расположенных на наиболее удаленном от штифта торце пластины.
Для двух крайних узлов вводим нагрузку ( − 0 ,5 т).
12. Переходим в раздел Управление и нажимаем кнопку
Выйти в экран
управления проектом. Раскрываем список Специальные исходные данные и активизируем команду Главные и эквивалентные напряжения, на появившейся
панели Расчет главных и эквивалентных напряжений задаем тип теории прочности.
13. Щелкаем по кнопке Линейный и после завершения расчета «переходим» в раздел Графический анализ.

163

14. Активизируем раздел Графический анализ, что приводит к открытию рабочего окна SCAD и разделов: Управление, Деформации, Эпюры усилий, Поля
напряжений, Постпроцессоры и Группы.
15. В разделе Деформации щелкнем по кнопке
Совместное отображение исходной и деформированной схемы и устанавливаем коэффициент масштабирования перемещений 4 . На рис.195, а показано деформированное состояние
пластины. Из рисунка следует, что граничные условия, назначенные нами, неточны:
выше оси симметрии штифта изображение деформированной пластины наложилось
на изображение штифта, что противоречит физическим соображениям. Этот расчет
позволяет уточнить расчетную схему пластины. Более корректно граничные условия
можно описать в полярной системе координат. Активизация кнопки Отображение
изополей и изолиний перемещений
позволяет проанализировать поля перемещений в направлении оси x и в направлении оси z (рис.195 б, в).
16. В разделе Поля напряжений инструментальной панели выводим изолинии и
изополя напряжений σ x , σ z и τ xz (рис.196) и распределение напряжений в сечениях
1 − 5 (рис.197-199).
В сечении 1 нормальные напряжения, вычисленные по формулам сопротивления
материалов, σ (1 ) = 500 кг/см2. Численное решение задачи, выполненное программным комплексом SCAD, для этих напряжений даёт величину 504 ,92 кг/см2. Разница
в величинах напряжений σ z , полученных по формулам сопротивления материалов и
численным методом:
504 ,92 − 500
⋅ 100% ≈ 1% .
500
Величины двух других напряжений σ x и τ xz в поперечном сечении 1 по сравнению с величиной напряжения σ z невелики:
10 ,03
5 ,77
⋅ 100% ≈ 2% :
⋅ 100% ≈ 1%
500
500
соответственно от величины напряжения σ z . Поэтому этими напряжениями в курсе
сопротивления материалов пренебрегают.
В остальных сечениях пользоваться формулами сопротивления материалов для вычисления напряжений нельзя.
Так как ранее найденные по формулам сопротивления материалов в сечении 3 (одном из опасных сечений, вдоль которого может произойти разрыв листа) напряжения
σ 3 = 1000 кг/см2 , то средний коэффициент концентрация напряжения
(1987 ,96 + 1423 ,75 ) / 2 ≈ 1,7 .
1000
Величины главных напряжений в точке A сечения 3
2

σ max =
min

2.195 ⋅ 10 3
1987 ,96 − 765 ,7
 1987 ,96 + 765 ,7 
2
± 
+
782
,
78
=
.


2
2
972.665




Направление главной площадки по отношению к оси z определяется углом
2τ xz
1
α = arctg
= 14 ,81o .
σz −σ x
2

164

В сечении 5 (одном из опасных сечений, по которому в хрупких материалах может
произойти скалывание) касательные напряжения существенно превышают допускаемые напряжения на срез (для стали 800 кг/см2).

Рис.195
165

Рис.196

166

Рис.197

167

Рис.198

168

Рис.199
17. Активизируем раздел Постпроцессоры инструментальной панели. На рис.200
приведены изополя и изоуровни главных напряжений σ 1 в пластине и ориентация
главных площадок. Главная площадка, к которой приложено напряжение

σ 1 , ориен-

o

тировочно повернута на угол 14 в направлении по ходу часовой стрелки.
3.2.2.4. Расчет штифтового соединения в программном
комплексе MSC.Patran-Nastran 2005
A.
B.
C.
D.

Загружаем программный комплекс MSC.Patran-Nastran.
Создаём новую базу данных.
Щелкаем левой клавишей мыши по приложению Geometry.
В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Point
Method►XYZ.
E. Существует много способов создания конечно-элементной сетки. На данном
этапе изучения пакета MSC.Patran-Nastran мы не будем расширять число
способов создания пластин, а воспользуемся знакомым – созданием пластин по
4 кромкам ( 4 Edge). В связи с этим заданную в задаче пластину с отверстием
мы должны разбить на области, ограниченные четырьмя кромками. Это разбиение определит число точек, которое необходимо ввести в графическом окне. Разобьём рассчитываемую пластину на подобласти, как показано на рис.201.

169

Рис.200

170

F. В поле Point Coordinates List вводим
[− 0.2 - 0.3 0 ],
координаты
14
точек:
[− 0.2 0 0 ] , [− 0.2 0.3 0 ] , [0.2 0.3 0 ] , [0.2 0 0 ] ,
[0.2 - 0.3 0 ], [0 - 0.3 0 ] , [0 - 0.1 0 ] , [− 0.1 0 0 ],
[0 0.1 0 ], [0.1 0 0 ], [− 0.2 0.7 0 ] , [0 0.7 0 ] ,
[0.2 0.7 0 ] . Для контроля положения вве-

G.
H.
I.

J.

K.

L.

денных точек активизируем кнопку
Положение точек.
На панели Geometry щелкаем по клавише
Point и активизируем опцию Curve.
Соединяем точки линиями, последовательно щелкая по стартовой и конечной точкам.
На панели Geometry в разделе Object активизируем опцию Surface, в разделе
Method активизируем опцию Edge. Панель Geometry изменит вид (рис.175), на
ней выбираем опцию 4 Edge – для областей 1…6 и опцию 3 Edge - для областей 7
и 8.
В графическом окне щелкаем левой клавишей мыши по кривым, что приводит к последовательному заполнению окон Surface
Edge n List. После нажатия на клавишу
Рис.201
Apply создается пластина. Эти операции
повторяем для всех созданных подобластей пластины.
Открываем форму приложения Materials и задаём имя материала – st и его
физико-механические характеристики: Elastic Modulus = 2 e 11 , Poisson Ratio = 0.3 . Щелкаем по кнопке OK на панели Input Options и по кнопке Apply
на панели Materials.
Открываем форму приложения Properties. На появившейся панели Element
Properties выбираем объекты 2D, тип элементов – Shell. В окне Property Set
Name задаём имя plast и щелкаем левой клавишей мыши по кнопке Input
Properties. На появившейся одноименной панели задаём имя материала: щёл-

каем по кнопке
, появляется панель выбора материала Select Material, в
окне которой указан заданный нами материал st. Щелчок левой клавишей мыши по имени материала приводит к появлению записи m:st в окне Material
Name панели Input Properties. В поле Thickness задаем толщину пластины
1 см и нажимаем последовательно на клавиши OK и Apply.
M. Открываем приложение Elements, что приводит к открытию соответствующей
панели (рис.54).
N. Используем команду Object►Mesh Seed для предварительной разметки конечно-элементной сетки на геометрической модели пластины. В поле Number
задаем число элементов вдоль границ пластины (в нашем случае: на 10 мм участках - 10 , на 20 мм – 20 , на 30 мм – 30 , на 40 мм – 40 , на кромках, наклоненных под углом 45 o к вертикальной оси - 28 элементов).
O. Переходим к созданию сетки. Активизируем команду Object►Mesh. Панель
Finite Elements примет вид, как на рис.105 .

171

P. Нажимаем клавишу Select Existing Prop… Открывается панель Property
Sets, на которой выбираем свойства элементов – plast. Панель Property Sets
закроется и активной станет панель Element Properties.
Q. В графическом окне устанавливаем курсор мыши последовательно на каждую
пластину и нажимаем левую клавишу мыши. После обхода всех подобластей в
графическом окне появится изображение конечно-элементной сетки (рис.202).

Рис.202
R. Задаём граничные условия: силовые и кинематические. Открываем форму приложения Loads/BCs. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Displasement
Type►Nodal
и в окне New Set Name задаем имя кинематического условия d1 и щелкаем по
кнопке Input Data… В появившейся панели Input Data задаём граничные условия: запрещаем поступательное перемещение w и два вращательных перемещения относительно осей x и y . Щелкаем по кнопке OK. Затем активизиру172

ем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель, на которой отмечаем флажок FEM. В графическом окне выделяем все узлы. Затем
щелкаем по кнопкам Add и OK. Панель Select Application Region закроется,
на панели Loads/Boundary Conditions щелкаем по кнопке Apply. Вводим
вторую кинематическую связь d2: запрещаем все поступательные перемещения
и два вращательных перемещения относительно осей x и y . В графическом
окне выделяем узлы, лежащие на нижней полуокружности, которые контактируют с заклёпкой, и нажимаем клавишу Apply.
Для задания силовых граничных условий активизируем команду:
Object►Force. В окне New Set Name задаем имя распределенной нагрузки f.
Щелкаем по кнопке Input Data… Открывается одноименная панель, в окне которой вводим сосредоточенную силу . Щелкаем по кнопке OK. Активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель. В графическом окне выделяем крайний правый верхний ряд узлов пластины. На панели Select Application Region щелкаем по кнопке OK, на панели
Loads/Boundary Conditions - по кнопке Apply. В графическом окне появится условное изображение введенной нагрузки.
S. Расчет конечно-элементной модели проводится в приложении Analysis. Выбираем опцию Analysis в разделе Action. В окне Job Name задаём имя расчета.
Нажимаем клавишу Apply панели Analysis. В результате этих действий запустится вычислительная программа Nastran.
T. После окончания вычислений необходимо результаты расчета сделать доступными в MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и нажимаем клавишу Apply. Если расчет выполнен правильно, в информационной строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно будет переходить к анализу результатов расчета.
U. Анализируем информацию о напряженно-деформированном состоянии пластины.

Отображение деформированного состояния пластины
При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default, A1: Static Subcase;
тип результата: Displacements, Translational;
величину: X Component (или Y Component).
На рис 203 показаны изополя перемещений в направлении оси x - u , и в направлении оси y - v .

Отображение напряженного состояния балки-стенки
При нажатой клавише

- Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default A1: Static Subcase;
тип результата: Stress Tensor;
количество (компонента тензора напряжений σ x ): Х.
173

Рис.203
Нажимаем клавишу Apply. В графическом окне появится изображение изополей поля напряжения σ x при разбивке диапазона изменения этих напряжений на 15
уровней (рис.204). Аналогичным образом выводим изополя напряжений σ y , τ xy , τ max ,

σ 1 , σ 3 (рис.204-206).

Рис.204
174

Рис.205

Рис.206

175

3.2.3. Расчет клеевого нахлёсточного соединения

Рис.207
Пусть требуется исследовать напряженное состояние нахлесточного клеевого
соединения (рис.207), изготовленного из алюминиевой полосы с размерами поперечного сечения 25 × 10 мм2, нагруженную растягивающей нагрузкой P = 100 кг. Построить эпюры нормальных и касательных напряжение в четырех сечениях, изображенных
на рис.207.
Методами сопротивления материалов данную задачу решить невозможно.
Различают два предельных случая работы клеевого соединения:
 слой клея тонкий и жесткий, так, что его влиянием на напряженнодеформированное состояние конструкции можно пренебречь;
 слой клея податливый, так, что его влиянием на напряженно-деформированное
состояние конструкции пренебречь нельзя.
Рассмотрим первый случай.
3.2.3.1. Расчет клеевого соединения в программном комплексе
SCAD
1. Загружаем программный комплекс SCAD. Нажимаем кнопку Создание нового проекта. Вводим название проекта Плоская задача и название объекта
Клеевое соединение. Щелкаем по кнопке Единицы измерения и устанавливаем в разделе Линейные размеры – см, в разделе Силы – кг. Щелкаем по кнопке ОК, задаём имя файла Нахлёстка и снова нажимаем клавишу ОК.
Откроется главное окно конечно-элементного пакета SCAD, содержащее дерево проекта.
2. Установим курсор мыши на раздел Расчетная схема дерева и нажмем левую
клавишу мыши. Управление будет передано графическому препроцессору.
3. Активизируем на инструментальной панели раздел Узлы и элементы и щелкаем по кнопке Узлы.
4. Вводим координаты точек A , B, C, D, E, F, G, H, M, N (рис.208).
5. Активизируем на инструментальной панели раздел Схема.
6. Нажимаем на кнопку
плоскости.

Генерация сетки произвольной формы на

176

7. Нажимаем кнопку Задание контура
и обводим «резиновой нитью» опорные узлы внешнего контура A , B, C, E, G, H, M, N (обратите внимание: мы
пропустили точки F , D ); на рис. 208 приведен вид полученного контура.

Рис.208
8. Нажимаем кнопку Указание линий сгущения сетки
опорным узлам E , D и F , G (рис.209).

и щелкаем по

Рис.209
9. Нажимаем кнопку Генерация сетки конечных элементов
. Появится
панель Автоматическая триангуляция, в окнах которой устанавливаем параметры триангуляции – шаг триангуляции 0.1 см; нажимаем клавишу Жесткости и в окнах открывшей панели Жесткости пластин указываем материал и
толщину пластины - 1 см. После выхода из диалогового окна нажатием кнопки
ОК выполняется разбиение заданной области на треугольные конечные элементы
10. Устанавливаем на место схему, созданную в результате триангуляции, нажимая
на кнопку

– Установка сформированной схемы по месту.

11. Отжимаем кнопку
Генерация сетки произвольной формы на плоскости. Вид конечно-элементной сетки приведен на рис.210,а, а её фрагмент в
зоне клеевого шва - на рис.210,б.
12. Связи в узлах расчетной схемы назначаются в диалоговом окне Связи,
которое вызывается нажатием на соответствующую кнопку
в разделе Назначение. Левый торец верхней пластины клеевого соединения защемляем, а
правому торцу нижней пластины разрешаем перемещаться только в направлении оси x .

177

13. Нагрузку на пластину задаём в разделе Загружения. Активизируем кнопку
Узловые нагрузки
. Появится панель Ввод узловых нагрузок, в полях
ввода которой назначаем направление и величину нагрузки ( − 4 кг), которую
прикладываем к узлам правого торца нижней пластины, исключая два крайних
узла. Для них вводим нагрузку ( − 2 кг).

Рис.210
14. Переходим в раздел Управление и нажимаем кнопку
Выйти в экран
управления проектом. Раскрываем список Специальные исходные данные
и активизируем команду Главные и эквивалентные напряжения, на появившейся панели Расчет главных и эквивалентных напряжений задаем тип теории прочности.
15. Щелкаем по кнопке Линейный и после завершения расчета «переходим» в
раздел Графический анализ.
16. В разделе Деформации щелкаем по кнопке
Совместное отображение исходной и деформированной схемы и устанавливаем коэффициент
масштабирования перемещений 2 . На рис.211 показано деформированное состояние пластины.
178

17. Активизируем кнопку
- Отображение изополей и изолиний перемещений. Отображаем поля перемещений в направлении осей x (рис.212) и z
(рис.213).
18. В разделе Поля напряжений инструментальной панели выводим изолинии и
изополя напряжений σ x , σ z и τ xz (рис.214-216) и распределение напряжений в сечениях 1 − 4 (рис.217-219).

Рис.211

Рис.212

Рис.213

179

Рис.214

Рис.215

Рис.216

180

Рис.217
Из рис.217 следует, что верхний лист испытывает внецентренное растяжение-сжатие и в этой зоне можно применить формулы сопротивления материалов.
В сечении 2 (в зоне перехода от толстой части бруса к тонкой) наблюдается
значительная концентрация напряжений. Этот участок является опасным сточки
зрения прочности клеевого соединения.
Эпюры напряжений в клеевом слое приведены на рис.220. Внешний вид
эпюр совпадает с аналитическими решениями, приводимыми в специальной литературе.
19. Активизируем раздел Постпроцессоры инструментальной панели. На
рис.221 приведены изополя и изоуровни главных напряжений σ 1 в пластине.

3.2.3.2. Расчет клеевого соединения в программном комплексе
MSC.Patran-Nastran 2005
A.
B.
C.
D.

Загружаем программный комплекс MSC.Patran-Nastran.
Создаём новую базу данных.
Открываем приложение Geometry.
В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Point
Method►XYZ.
E. Разобьём рассчитываемую пластину на подобласти, как показано на рис.222.
F. В поле Point Coordinates List вводим координаты 12 точек: [0 0 0 ], [0 0.01 0 ] ,
[− 0.5 0.01 0 ] , [− 0.5 0.26 0 ] , [0 0.26 0 ] , [0.4 0.26 0 ] , [0.4 0.01 0 ] , [0.4 0 0 ], [0.9 0 0 ],
[0. - 0.25 0 ] , [0.4 - 0.25 0 ], [0.9 - 0.25 0 ] . Для контроля положения введенных точек активизируем кнопку

Положение точек.
181

Рис.218

Рис.219

182

Рис.220

Рис.221

Рис.222
G. На панели Geometry щелкаем по клавише Point и активизируем опцию
Curve.
H. Соединяем точки линиями, последовательно щелкая по стартовой и конечной
точкам.
183

I. На панели Geometry в разделе Object активизируем опцию Surface, в разделе
Method - опцию Edge. Панель Geometry изменит вид (рис.175), на ней выбираем опцию 4 Edge для областей 1…6 и опцию 3 Edge - для областей 7 и 8.
J. В графическом окне щелкаем левой клавишей мыши по кривым, что приводит к
последовательному заполнению окон Surface Edge n List. После нажатия на
клавишу Apply создается пластина. Эти операции повторяем для всех созданных подобластей пластины.
K. Открываем форму приложения Materials и задаём имя материала – st и его
физико-механические характеристики: Elastic Modulus = 2 e 11 , Poisson Ratio = 0.3 . Щелкаем по кнопке OK на панели Input Options и по кнопке Apply
на панели Materials. Повторяем все вышеописанные операции для материала
клеевого слоя sm: Elastic Modulus = 2e 9 , Poisson Ratio = 0.35 .
L. Открываем форму приложения Properties. На появившейся панели Element
Properties выбираем: объекты 2D, тип элементов – Shell. В окне Property
Set Name задаём имя plast_st и щелкаем левой клавишей мыши по кнопке Input Properties. На появившейся одноименной панели задаём имя материала:

M.
N.

O.
P.

Q.
R.

щёлкаем по кнопке
, появляется панель выбора материала Select Material,
в окне которой указан заданный нами материал st. Щелчок левой клавишей
мыши по имени материала приводит к появлению записи m:st в окне Material
Name панели Input Properties. В поле Thickness задаем толщину пластины
1 см и нажимаем последовательно на клавиши OK и Apply. Повторяем все
описанные операции для элементов клеевого слоя, задав имя свойств plast_sm.
Открываем приложение Elements, что приводит к открытию соответствующей
панели (рис.54).
Используем команду Object►Mesh Seed для предварительной разметки конечно-элементной сетки на геометрической модели пластины. В поле Number
задаем число элементов вдоль границ пластины (в нашем случае: на 10 мм участках - 10 , на 20 мм – 20 , на 30 мм – 30 , на 40 мм – 40 , на кромках, наклоненных под углом 45 o к вертикальной оси - 28 элементов).
Переходим к созданию сетки. Активизируем команду Object►Mesh. Панель
Finite Elements меняет вид (рис.105).
Нажимаем клавишу Select Existing Prop… Открывается панель Property
Sets, на которой выбираем свойства элементов – plast_st. Панель Property
Sets закроется, активной станет панель Element Properties. В графическом
окне устанавливаем курсор мыши последовательно на верхнюю и нижнюю пластины и нажимаем левую клавишу мыши. Щелкаем по клавише Apply. В графическом окне эти области покроются конечно-элементной сеткой. Для клеевого слоя выбираем свойства plast_sm и повторяем операции. После обхода всех
подобластей в графическом окне появится изображение конечно-элементной
сетки (рис.223).
Операцией Equivalence объединяем совпадающие узлы.
Задаём граничные условия: силовые и кинематические. Открываем форму приложения Loads/BCs. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Displasement
Type►Nodal
и в окне New Set Name задаем имя кинематического условия d1 и щелкаем по
кнопке Input Data… В появившейся панели Input Data задаём граничные условия: запрещаем поступательное перемещение w и два вращательных перемещения относительно осей x и y . Щелкаем по кнопке OK. Затем активизиру184

ем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель, на которой отмечаем флажок FEM. В графическом окне выделяем все узлы. Затем
щелкаем по кнопкам Add и OK. Панель Select Application Region закроется,
на панели Loads/Boundary Conditions щелкаем по кнопке Apply. Вводим
вторую кинематическую связь d2: запрещаем все угловые и линейные перемещения для крайних левых узлов модели. В графическом окне выделяем эти узлы
и нажимаем клавишу Apply. Вводим третью кинематическую связь d3: запрещаем семи узлам, наиболее удаленным от средней линии нижней пластины и
отсчитываемым от её правого торца, линейные перемещения в направлении
осей y и z .

Рис.223
Для задания силовых граничных условий активизируем команду:
Object►Force. В окне New Set Name задаем имя распределенной нагрузки f.
Щелкаем по кнопке Input Data… Открывается одноименная панель, в окне которой вводим сосредоточенную силу . Щелкаем по кнопке OK. Активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель. В
графическом окне выделяем крайний правый ряд узлов пластины, за исключением двух крайних узлов. На панели Select Application Region щелкаем по
кнопке OK, на панели Loads/Boundary Conditions - по кнопке Apply. Для
двух крайних узлов назначаем нагрузку и повторяем все описанные
операции.
S. Расчет конечно-элементной модели проводится в приложении Analysis. Выбираем опцию Analysis в разделе Action. В окне Job Name задаём имя расчета.
Нажимаем клавишу Apply панели Analysis. В результате этих действий запустится вычислительная программа Nastran.
T. После окончания вычислений необходимо результаты расчета сделать доступными в MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и нажимаем клавишу Apply. Если расчет выполнен правильно, в информационной строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно будет переходить к анализу результатов расчета.
U. Определяем напряженно-деформированное состояние клеевого соединения.
185

Отображение деформированного состояния
клеевого соединения
При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default, A1: Static Subcase;
тип результата: Displacements, Translational;
величину: X Component (или Y Component).
На рис 224 приведен деформированный вид клеевого соединения, а на рис 225 изополя перемещений в направлении оси x - u , и в направлении оси y - v .

Рис.224

Рис.225

186

Рис.226

187

Рис.227

188

Рис.228

189

Рис.229

190

Отображение напряженного состояния
клеевого соединения
При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default A1: Static Subcase;
тип результата: Stress Tensor;
количество (компонента тензора напряжений σ x ): Х.
Нажимаем клавишу Apply. В графическом окне появится изображение изополей поля напряжения σ x при разбивке диапазона изменения этих напряжений на 15
уровней (рис.226). Аналогичным образом выводим изополя напряжений σ y , τ xy , τ max ,

σ 1 , σ 3 (рис.226-227).
На рис. 228 и 229 приведены эпюры напряжений в сечениях 1 и 4 .

4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ
МЕХАНИКИ
4.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРУЖИН И УПРУГИХ СВЯЗЕЙ
Для перекрестно расположенных балок АВ и СD балка СD является упругой
связью для балки АВ (рис.230 а). Расчетная схема балки АВ приведена на рис.230 б.
Расчетной моделью упругой колонны может служить пружина одинаковой с нею жесткости (рис.230 в, г).

Рис.230

191

4.1.1. Моделирование пружин и упругих связей
в системе MSC.Patran-Nastran
Нуль-элементы
Скалярный элемент связывает две степени свободы либо одну степень свободы
и основание (жесткую плиту). Степень свободы может быть любой из шести степеней
свободы узловой точки или скалярной точки, имеющей один компонент. В отличие от
одно-, двух- и трехмерных элементов скалярный элемент не требует геометрического
описания, поэтому он не имеет и элементной координатной системы (координатной
системы, принадлежащей элементу).
Скалярные элементы обычно используются совместно с обычными конечными
элементами для моделирования тех участков, где физический объект неизвестен, либо
его задание не обязательно. Типовые примеры таких объектов - это демпфер, упругая
связь в соединении, изолирующая прокладка и т.п. Если используются скалярные элементы для связи узловых точек, то рекомендуется, чтобы данные узловые точки совпадали. Если точки не совпадают, то силы, возникающие в узловой точке от действия
скалярных элементов, могут вызвать появление значительных моментов, искажающих
реальное состояние.
Для статических расчетов используются элементы типа линейной пружины
( CELASi , i = 1...4 ) и сосредоточенной массы (MASSi, i = 1...4 ) (табл.4.1).
Таблица 4.1
Названия
и изображения
Примечание
элементов
Не имеющий размерности скалярный двухузловой элеELASi ( i = 1...4 )
мент. Этот элемент подобен простой растягиваемой,
сжимаемой или закручиваемой пружине; он воспринимает силовую или моментную нагрузку. Сила вызывает аксиальные деформации, а момент вызывает угловые деформации. Используется в качестве скалярной пружины в структурном анализе и проводника тепла в задачах теплопередачи
Демпфер
DAMPi ( i = 1...4 )

Не имеющий размерности скалярный двухузловой
элемент. Используется в качестве скалярного демпфера в структурном анализе ( i = 1...4 ) и сосредоточенной тепловой емкости в задачах теплопередачи.

MASSi ( i = 1...4 )

Элемент скалярной массы

Существуют четыре способа определения пружины и массы как скалярных элементов, в которых указываются материал, тип элемента, номера узловых или скалярных точек (для CELAS 1 и CELAS 2 ), номера скалярных точек (для CELAS 3 и
CELAS 4 ), степени свободы, жесткость скалярной пружины K , коэффициент напряжений S ( CELAS 2 ), коэффициент демпфирования GE ( CELAS 2 ).

192

Под жесткостью упругой системы понимают силу, вызывающую перемещение
точки приложения силы на единицу длины. Зная жесткость упругой системы (в отечественной литературе жесткость упругой системы обозначается буквой c ) и перемещение точки приложения силы δ , можно вычислить силу: F = cδ .
Для некоторых упругих систем формулы для вычисления жесткости приведены в
курсах сопротивления материалов и строительной механики:
• жесткость стальной цилиндрической винтовой пружины (с радиусом проволоки r , средним радиусом витков пружины R , количеством витков n )
Gr 4
c=
,
(4.1)
4 R3n
где G - модуль сдвига материала проволоки пружины;
• жесткость центрально растягиваемого стержня длиной L и площадью поперечного сечения A
EA
c=
,
(4.2)
L
где E - модуль упругости материала стержня;
• жесткость шарнирно опертой балки, загруженной в середине пролета длиной
L , сосредоточенной силой F :
48 EJ
c=
,
(4.3)
L3
где J - момент инерции поперечного сечения балки.
В Patran используется коэффициент напряжения S - это податливость p упругой системы, определяемая как величина обратная жесткости:
p=1/ c.
(4.4)
Перемещение точки приложения силы F вычисляется по формуле
(4.5)
δ = pF .
Коэффициент демпфирования GE - коэффициент в выражении силы сопротивления, стоящий перед относительной скоростью движения тела.
В системе MSC.Patran скалярные элементы задаются в приложении Finite
Elements. На рис.231 приведены панели Finite Elements, Elements Properties, Input Properties, всплывающие меню; последовательность появления панелей на
рис.231 обозначена цифрами 1 , 2 , 3 . Как следует из рисунка, можно задать четыре
типа одноузловых скалярных элемента: Mass (масса), Grounded Spring (пружина,
прикрепленная к земле), Grounded Damper (демпфер, прикрепленный к земле),
Grounded Bush (элемент, сочетающий в себе демпфер и пружину, прикреплённую к
земле).
4.1.1.1. Использование элемента Grounded Spring
А. Моделирование растяжения-сжатия стержней
Пусть чугунная колонна высотой 3 м имеет кольцевое поперечное сечение с
наружным диаметром 25 см и внутренним диаметром 20 см. Она нагружена сжимающим усилием 500 кН. Найти внутреннее усилие и абсолютное укорочение колонны.
Колонна воспринимает сжимающую нагрузку. Один торец колонны защемлен, к
другому торцу приложена нагрузка. В зоне упругой работы материала колонны её
можно рассматривать как упругую пружину, один конец которой защемлен, а к другому приложена сжимающая сила 500 кН.
Создадим конечно-элементную модель колонны в системе MSC.Patran.
A. В приложении Geometry активизируем команды:
193

Action ► Create;
Object ► Point ;
Method ► XYZ ,
создаем точку с координатами [0 0 0] и нажимаем на клавишу Apply (рис.232, а).
B. Создаём в этой точке узел в приложении Elements. Активизируем команды:
Action ► Create ;
Object ► Node ;
Method ► Edit.
Подводим указатель мыши к точке и щелкаем левой клавишей. В окне Node Location List появится запись Point 1 (рис.232, б).
C. Переходим к приложению Loads\ Boundary Conditions. Задаем имя геометрическому условию в окне New Set Name и щелкаем по клавише Input Data. На
появившейся панели задаем степени свободы узлу. Оставляем только одну степень
свободы в направлении оси x и щелкаем по кнопке ОК. На главной панели
(рис.232, в) нажимаем клавишу Select Application Region. На открывшейся панели в области геометрического фильтра устанавливаем опцию FEM (рис.233, а). В
графическом окне подводим указатель мыши к точке и щелкаем по ней левой кнопкой. На панели Select Application Region в окне Select Nodes появится запись
Node 1. Последовательно щёлкаем по клавишам Add (запись Node 1 переместится в окно Application Region), OK и на панели Select Application Region - Apply. В графическом окне у точки появится изображение установленных связей
.
Примечание. В данном случае можно было бы и не закреплять узел, так
как мы присоединяем к нему Grounded Spring, который прикрепляется
к земле.
D. Зададим силу F = 500000 Н. На панели Loads\ Boundary Conditions активизируем команды (рис.233, б):
Action ► Create ;
Object ► Force ;
Type ► Edit.
В окне New Set Name задаем имя нагрузки f и щелкаем по клавише Input Data.
На появившейся панели задаем компоненты вектора силы (рис.233,
в). Щелкаем по кнопке ОК. На главной панели (рис.232, в) нажимаем клавишу Select Application Region. На открывшейся панели (рис.233, а) так же, как и при
задании кинематических условий, указываем узел Node 1. Последовательно щёлкаем по клавишам Add (запись Node 1 переместится в окно Application Region),
OK и Apply на панели Select Application Region. В графическом окне у точки
появится изображение заданной силы

.

194

Рис.231

195

Рис.232

Рис.233

196

Рис.234
E. Вычислим геометрические характеристики поперечного сечения колонны, жесткость и податливость пружины. В главном меню MSC.Patran в разделе Tools выбираем команду Beam Library. Появится одноименное окно (рис.234), в котором
щелкаем по кнопке
, что приведет к смене типов поперечных сечений брусьев.
Выбираем трубу и задаём радиусы: наружный - 0.125 , внутренний - 0.1 . Щелкаем
по клавише
. Появится панель Section Display
(рис.235), на которой приведены результаты вычисления всех геометрических характеристик поперечных сечений. Нас интересует только площадь поперечного се197

чения трубы: A = 0.01767146 м2. Учитывая, что модуль упругости чугуна

E = 1.2 ⋅ 10 11 Н/м2, по формулам (3.6) и (3.10) вычисляем жесткость и податливость трубы (пружины):

EA 1.2 ⋅ 10 11 ⋅ 1.767 ⋅ 10 −2
1
c=
=
= 7.068 ⋅ 10 8 ; p = = 1.415 ⋅ 10 − 9 .
L
3
c
F. Задаём свойства элемента Grounded Spring в приложении Elements Properties. Активизируем команды:
Action ► Create ;
Object ► 0D ;
Type ► Grounded Spring.
В окне Property Set Name задаём имя свойствам пружины - Spring и щелкаем
по клавише Input Properties. В появившейся одноименной панели задаём коэффициенты: Spring Constant - 7.068E+008; Stress Coefficient - 1.415E-009 и
степень свободы в направлении оси x . Завершаем операцию последовательным
нажатием на клавиши ОК и Apply (рис.236).

Рис.235
G. Создаем элемент Grounded Spring в приложении Elements. Активизируем команды:
Action ► Create ;
Object ► Element;
Method ► Edit ;
Shape ► Point ;
Topology ► Point.
Нажимаем на клавишу Select Existing Prop… Появится панель Property Sets,
на которой выбираем свойства элемента spring и щелкаем по кнопке Cancel. Под198

водим указатель мыши к точке и щелкаем левой клавишей. В окне Node 1 появится запись Node 1. Нажимать на клавишу Apply не надо, т.к. в окне Auto Execute
установлен флажок (рис.237).

Рис.236

Рис.237

199

Рис.2.38
H. Переходим к расчету упругой системы. Открываем приложение Analysis, т.е.
щелкаем по кнопке

. Появляется одноименная панель (рис.238, а), на кото200

рой в поле Job Name записываем имя выполняемой работы (операции) и щелкаем
по клавише Apply, что приведет к запуску вычислительного блока MSC.Nastran
(рис.238, б). После окончания вычислений устанавливаем опцию Action ► Access Results, при этом вид панели изменится (рис.238, в). Нажимаем клавишу
Apply.
Если
в
информационной
строке
появляется
запись
, это означает, что конечно-элементная модель не противоречива, расчет выполнен и результаты расчета переданы для дальнейшей работы
в систему MSC.Patran (рис.238, г).
I. Анализируем результаты расчета. Щелкаем по кнопке
. Появится одноименная панель (рис.238, д), в окнах которой выделяем расчетный случай - Default, A3:
Static Subcase и результат расчета, подлежащий анализу – Displacements,
Translational. В опции Quantity выбираем X Component и нажимаем клавишу
Apply. В графическом окне у точки появится результат расчета перемещения точки
приложения силы
. Если включить анимацию, то цифры
7.07 − 004 начнут совершать колебательные движения в горизонтальном направлении относительно точки Point 1.

Б.Моделирование упругих связей
Пусть требуется определить прогибы шарнирно опертой балки длиной
L = 1 м, загруженной в середине пролёта сосредоточенной силой P = 10000 Н и
опирающейся на одну упругую шарнирно неподвижную, а другую жесткую шарнирно подвижную опоры. Размеры поперечного сечения балки приведены на
рис.239. Жесткость пружины 30000000 Н/м.

Рис.239
Создадим конечно-элементную модель балки в системе MSC.Patran.
A. В приложении Geometry активизируем команды:
Action ► Create;
Object ► Point ;
Method ► XYZ
и создаем точки с координатами [0 0 0], [1 0 0]. Нажимаем на клавишу Apply.
B. Щелкаем по клавише Point и активизируем опцию Curve. Панель Geometry примет вид, изображенный на рис.52.
C. Соединяем точки линиями, последовательно щелкая по стартовой и конечной точкам.
D. В приложении Materials задаём свойства материала балки: модуль упругости E = 2 e 11 Н/м2, коэффициент Пуассона µ = 0 ,3 . Нажимаем последовательно клавиши ОК и Apply.

201

Рис.240
E. В приложении Elements Properties задаём свойства элемента Grounded Spring
Активизируем команды:
Action ► Create ;
Object ► 0D ;
Type ► Grounded Spring.
В окне Property Set Name задаём имя свойствам пружины - Spring и щелкаем
по клавише Input Properties. В появившейся одноименной панели задаём коэф202

F.
G.

H.
I.

J.

K.

L.

фициент Spring Constant - 30000000 и степень свободы в направлении оси y
(рис.240). Завершаем операцию последовательным нажатием на клавиши ОК и Apply.
Активизируем команды:
Action ► Create ;
Object ► 1D ;
Type ► Beam.
В окне Property Set Name задаём имя свойствам балки - Beam и щелкаем по
клавише Input Properties. В появившейся одноименной панели задаём профиль
поперечного сечения балки и имя (pr), материал и ориентацию поперечного сечения балки. Завершаем операцию последовательным нажатием на клавиши ОК и
Apply (рис.240).
Для создания конечных элементов открываем приложение Elements, что приводит
к открытию соответствующей панели.
Используем команду Object►Mesh Seed для предварительной разметки конечноэлементной сетки на геометрической модели балки. В поле Number задаем число
элементов на кривой (в нашем случае - 10 ).
Переходим к созданию сетки. Активизируем команду Object►Mesh. Панель Finite Elements изменит вид (рис.105).
Нажимаем клавишу Select Existing Prop… Открывается панель Property Sets,
на которой выбираем свойства элементов – Beam. Панель Property Sets закроется, активной станет панель Element Properties.
В графическом окне устанавливаем курсор мыши на кривую и нажимаем её левую
клавишу. В окне Surface List появится запись Curve 1 (если в окне Automatic
Calculation установлен «флажок», нажимать на клавишу Apply не надо). Если мы
всё сделали правильно, в графическом окне появится изображение конечноэлементной сетки.
Создаем элемент Grounded Spring в приложении Elements. Активизируем команды:
Action ► Create ;
Object ► Element;
Method ► Edit ;
Shape ► Point ;
Topology ► Point.
Нажимаем на клавишу Select Existing Prop… Появится панель Property Sets,
на которой выбираем свойства элемента Spring и щелкаем по кнопке Cancel.
Подводим указатель мыши к точке и щелкаем левой клавишей. В окне Node 1 появится запись Node 1.
Переходим к приложению Loads\ Boundary Conditions. Задаем имя геометрическому условию в окне New Set Name и щелкаем по клавише Input Data. На
появившейся панели задаем степени свободы узлу. Оставляем только одну поступательную степень свободы в направлении оси y и одну вращательную вокруг оси
z . Щелкаем по кнопке ОК. Нажимаем клавишу Select Application Region. На
открывшейся панели в области геометрического фильтра устанавливаем опцию
FEM (рис.2.33, а). В графическом окне подводим указатель мыши к точке и щелкаем по ней левой кнопкой. На панели Select Application Region в окне Select
Nodes появится запись Node 1. Последовательно щёлкаем по клавишам Add (запись Node 1 переместится в окно Application Region), OK и Apply на панели
Select Application Region. В графическом окне у точки появится изображение

203

установленных связей
. Аналогичным образом закрепляем правый торец
балки, оставляя степени свободы вдоль оси x и вокруг оси z .
M. Зададим силу F = 10000 Н. На панели Loads\ Boundary Conditions активизируем команды:
Action ► Create ;
Object ► Force ;
Type ► Edit.
В окне New Set Name задаем имя нагрузке – f и щелкаем по клавише Input
Data. На появившейся панели задаем компоненты вектора силы .
Щелкаем по кнопке ОК. На главной панели нажимаем клавишу Select Application Region. На открывшейся панели так же, как и при задании кинематических
условий, указываем номер узла, к которому приложена сила. Последовательно щёлкаем по клавишам Add, OK и Apply на панели Select Application Region. В
графическом окне появится изображение заданной силы.

Рис.241
204

N. Для визуализации созданной расчетной схемы балки в главном меню нажимаем
команду Display и в ниспадающем меню команду Load/BC/Elem.Props… Откроется одноименная панель, на которой в разделе Beam Display щелкаем по клавише 1D:Line и выбираем из открывшегося списка команду 3D:FullSpan+Offsets+Equv.I. В зависимости от того, какая кнопка инструментальной
панели нажата, в графическом окне будет представлено то или иное трехмерное
изображение балки (рис. 241).
O. Переходим к расчету упругой системы. Открываем приложение Analysis. Появляется одноименная панель, на которой в поле Job Name записываем имя выполняемой работы (операции) и щелкаем по клавише Apply, что приведет к запуску
вычислительного блока MSC.Nastran. После окончания вычислений устанавливаем
опцию Action ► Access Results, при этом вид панели изменится. Нажимаем
клавишу Apply. Если в информационной строке появляется запись
, значит, конечно-элементная модель не противоречива,
расчет выполнен и результаты расчета переданы для дальнейшей работы в систему
MSC.Patran.
. Появится одноименP. Анализируем результаты расчета. Щелкаем по кнопке
ная панель, в окнах которой выделяем расчетный случай - Default, A3: Static
Subcase и результат расчета, подлежащий анализу – Displacements, Translational. В опции Quantity выбираем У component и нажимаем клавишу Apply. В
графическом окне появится результат расчета перемещений оси балки (рис.242).
При выборе результата расчета Bar Stresses, Bending и опции Quantity: Х component в графическом окне появится изображение деформированной балки с картиной изополос напряжений σ x (рис.243). Внизу рисунков 242 и 243 приведены табличные значения соответствующих параметров деформированной балки, полученные при активизации команд
Action ► Create,
Object ► Cursor,
Method ► Scalar.
Ввиду симметрии нагрузки опорные реакции равны 5000 Н. Под этой нагрузкой
осадка пружины
5000
δ =
= 1 ,67 ⋅ 10 − 4 м.
30000000
MSC.Patran выдает в первом узле балки эту же величину (рис.242).

4.1.2. Моделирование пружин и упругих связей в системе SCAD
Алгоритм решения задачи
A. Создаём новый проект. В окна панели Создание нового проекта вводим:
наименование проекта, название объекта; выбираем: тип схемы и единицы измерения и щелкаем по кнопке ОК. Сохраняем новый проект в некотором файле.
B. В главном окне конечно-элементного пакета SCAD активизируем раздел Расчетная схема.
C. Активизируем раздел Узлы и элементы.
D. Щелкаем по кнопке
Узлы. Воспользовавшись кнопкой
Ввод узлов с
помощью диалогового окна Ввод узлов, зададим узлы со следующими коор205

динатами: ( 0 ,0 ,0 ), ( 0 ,0 ,0.1 ) ( 1 ,0 ,0 ) м. Для отображения на экране вводимых узлов необходимо активизировать фильтр
бражения нажимаем кнопку
E. Активизируем кнопку

Узлы. На панели Фильтры ото-

номера узлов.

Элементы и кнопку

Номера элементов пане-

ли Фильтры отображения. Щелкаем левой клавишей мыши по кнопке
Добавление стержней и затем последовательно по узлам 1 и 2 . В результате этих
операций узлы будут соединены прямыми линиями.

Рис.242

206

Рис.243
F. Разобьём стержень на 10 элементов.
G. В разделе Назначения задаём жесткость балки. Активизируем кнопку
ив
окно Жесткости стержневых элементов в разделе Способ задания выбираем Численно-параметрическое описание и нажимаем на клавишу
Параметрические сечения (рис.244). Панель Жесткости стержневых
элементов изменит вид. Задаём материал, тип поперечного сечения и его размеры. Нажимаем клавишу ОК.

207

Рис.244

208

H. В рабочем окне выделяем элементы балки и щелкаем по кнопке
ОК главного меню.
I. В разделе «Узлы и элементы» задаём жесткость упругой связи. Нажимаем
кнопку
Специальные элементы и кнопку
Ввод упругой связи. Откроется панель Упругие связи (рис.245), в окне Z которой задаём жесткость пружины и нажимаем клавишу ОК.

Рис.245

Рис.246
J. В рабочем окне щелкаем левой клавишей мыши по узлам 1 и 2 . Подтверждаем
наши действия, нажимая на клавишу
ОК главного меню. В результате в рабочем окне модель балки будет иметь вид, приведённый на рис. 246.
K. Запретим все перемещения узла 2 , узлу 1 разрешим перемещаться в направлении оси z и поворачиваться относительно оси y , узлу 3 разрешим перемещаться в направлении оси x и поворачиваться относительно оси y .
L. Нагрузку на балку задаем в разделе Загружения. Прикладываем к 8 узлу нагрузку 10000 Н.
M. После выполнения всех этих операций переходим в раздел Управление и нажимаем кнопку
Выйти в экран управления проектом. Открывается
главное окно конечно-элементного пакета SCAD. В разделе расчетная схема
щелкаем по знаку . Откроется список элементов расчетной схемы. Если после

209

значка
не стоит знак вопроса (за исключением Условия примыкания),
то можно приступать к расчету.
N. Щелкаем по кнопке Линейный, после выполнения расчета появится окно с
информацией о результатах расчета. Нажимаем на клавишу Выход.
O. Результаты расчета можно посмотреть в разделе Графический анализ. Щелчок по значку
Графический анализ открывает рабочее окно SCAD,
имеющее разделы: Управление, Деформации, Эпюры усилий, Поля напряжений, Постпроцессоры и Группы, которые позволяют проанализировать напряженное и деформированное состояние балки.
P. Открываем раздел Деформации. Нажимаем кнопку
Совместное изображение исходной и деформированной схемы (рис.247, а), затем
кнопку
Ввод значений перемещений в узлах (рис.247,б). Как следует
из рис.247, б, полученные значения перемещений совпадают с ранее найденными в системе MSC.Patran.

Рис.247

4.2 МОДЕЛИРОВАНИЕ МАСС В СИСТЕМЕ
MSC.PATRAN-NASTRAN 2005
Пусть при равномерном спуске груза массой M = 2 т со скоростью V = 5 м/с
произошла неожиданная задержка верхнего конца троса, на котором опускался груз,
из-за защемления троса в обойме блока (рис.248). Пренебрегая массой троса, определить его наибольшее натяжение при последующих колебаниях груза, если коэффициент жесткости троса c = 4 ⋅ 10 5 Н/м.12

12

Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.
-448 с.

210

Из курса теоретической механики известно, что если
начало координат помещено в положение статического равновесия, то перемещение груза описывается выражением13
V
x = x0 cos (kt ) + 0 sin(kt ) ,
k
где x0 , V0 - начальное перемещение и начальная скорость гру-

c
= 44.721 рад/с - круговая частота (частота собстM
k
венных колебаний ν =
= 7.118 1/с).

Так как в рассматриваемом случае x0 = 0 , то амплитуда
V
перемещения груза 0 = 0.112 . Натяжение троса, обусловленk
V
ное колебаниями груза, составит c ⋅ 0 . Полное натяжение троk
са
V
N = Mg + c ⋅ 0 = 1.962 ⋅ 10 4 + 4.472 ⋅ 10 5 = 4.668 ⋅ 10 5 Н.
k
за; k =

Рис.248

Создадим конечно-элементную модель упругой системы в MSC.Patran.
1. В приложении Geometry активизируем команды
Action ► Create ,
Object ► Point ,
Method ► XYZ
и создаем точку с координатами [0 0 0], нажав на клавишу Apply.
2. Создаём в этой точке узел в приложении Finite Elements. Активизируем команды:
Action ► Create ,
Object ► Node ,
Method ► Edit.
Подводим указатель мыши к точке и щелкаем по ней левой клавишей. В окне
Node Location List появится запись Point 1. Нажимать на клавишу Apply не
надо, т.к. в окне Auto Execute установлен флажок.
3. Создаем свойства пружины и массы в приложении Elements Properties. Активизируем команды:
Action ► Create
Object ► 0D
Type ► Mass
Options ► Grounded
В окне Property Set Name задаем имя Massa и щелкаем по клавише Input
Properties. В окнах появившейся одноименной панели задаём массу 2000 кг
и степень свободы UY, в направлении которой перемещается масса (рис.249).

13

Жилкин В.А. Динамика материальной точки. – Челябинский государственный агроинженерный университет.- Челябинск, 2002.- 331 с.

211

Рис.249
Щелкаем по клавише ОК панели Input Properties и клавише Apply панели
Elements Properties.
Скорректируем тип элемента:
Type ► Grounded Spring.
Это приведет к изменению вида панели Input Properties (рис.249). В окне
Property Set Name задаем имя свойств пружины gspring и щелкаем по клавише Input Properties. В открывшейся панели в окне Spring Constant задаём
жесткость пружины 4 ⋅ 10

6

Н/м, в окне Stress Coefficient – податливость

−7

пружины 2.5 ⋅ 10 , указываем степень свободы UY и щелкаем по клавишам:
ОК на панели Input Properties и Apply на панели Elements Properties.
4. Переходим к приложению Loads\ Boundary Conditions. Задаем имя геометрическому условию в окне New Set Name – d и щелкаем по клавише Input
212

Data. На появившейся панели задаем степени свободы узлу. Оставляем только
одну степень свободы в направлении оси y и щелкаем по кнопке ОК. На главной панели нажимаем клавишу Select Application Region. На открывшейся
панели в области геометрического фильтра устанавливаем опцию FEM. В графическом окне подводим указатель мыши к точке и щелкаем по ней левой
кнопкой. На панели Select Application Region в окне Select Nodes появится запись Node 1. Последовательно щёлкаем по клавишам Add (запись Node 1
переместится в окно Application Region), OK и на панели Select Application Region - Apply. В графическом окне у точки появится изображение установленных связей
.
5. Задаём инерционную нагрузку. Активизируем команды:
Action ► Create ,
Object ► Inertial Load,
Type ► Element Uniform .
В окне New Set Name задаем имя инерциальной нагрузке - g и щелкаем по
клавише Input Properties. В окне Trans Accel (линейного ускорения) появившейся панели Input Data записываем (рис.250).
Щелкаем по клавише ОК панели Input Data и клавише Apply панели Loads\
Boundary Conditions. В графическом окне у точки появится изображение ус-

тановленной инерциальной нагрузки

.

Если на панели Loads\ Boundary Conditions
щелкнуть по клавише Select Application Region, появится информация о том, что данная
инерционная нагрузка применяется ко всей модели одновременно.

6. Открываем приложение Finite Elements и активизируем команды:
Action ► Create,
Object ► Node,
Method ► Edit,
Shape ► Point,
Topology ► Point.
Нажимаем на клавишу Select Existing Prop… Появится панель Property
Sets, на которой выбираем свойства элемента massa, в графическом окне подводим указатель мыши к точке и щелкаем по ней левой клавишей. В окне
Node 1 появится запись Node 1. Нажимать на клавишу Apply не надо, если в
окне Auto Execute установлен флажок.
Снова щелкаем по клавише Select Existing Prop… и на появившейся панели
Property Sets выбираем свойства элемента gspring, подводим указатель мыши к точке и щелкаем по ней левой клавишей. В окне Node 1 появится запись
Node 1. В результате наших действий в точке будут установлены два элемента
(рис.251).

213

Рис.250

Рис.251
7. Открываем приложение Analysis и на одноименной панели в поле Job Name
записываем имя выполняемой работы 26-08-05-oszillajtor, щелкаем по клавише Solution Type. Откроется одноименная панель. Вначале рассчитаем частоту свободных колебаний упругой системы, поэтому из списка Solution Type
выбираем Normal Modes и щелкаем по кнопке ОК (рис.252). Панель Solution
Type закрывается и открывается панель Analysis, на которой щелкаем по клавише Apply, что приведет к запуску вычислительного блока MSC.Nastran.
После окончания вычислений устанавливаем опцию Action ► Access Results и нажимаем клавишу Apply.

214

8. Анализируем результаты расчета. Щелкаем
по кнопке
. Появится одноименная панель, в окне Select Result Case которой
появятся результаты расчета: - Default, A1:
Mode 1 Freq.=7.11, что совпадает с ранее
проведенным расчетом.
9. Выполним статический расчет упругой системы. Возвращаемся в приложение Analysis.
Устанавливаем тип расчета Linear Static.
Щелкаем по клавише Subсases и на появившейся одноименной панели - по клавише
Output Requests. Появится панель Output
Requests, в окне Select Result Type которой выбираем Element Forces и щелкаем по
кнопке ОК. Эта панель закроется. На панели
Output Requests в окне Subсase Name
вводим имя расчетного случая – static и щелкаем по клавишам Apply и Cancel. Возвращаемся к панели Analysis. Щелкаем по клавише Subсase Select и на появившейся одноименной панели в окне Subсase for Solution Sequence: 101 выбираем расчетный
случай static и щелкаем по клавише ОК. На
панели Analysis в поле ввода Job Name задаём новое имя численному расчету упругой
системы - 26_08_05_static и щелкаем по
Рис.252
клавише Apply, что приведет к запуску вычислительного блока MSC.Nastran. После окончания вычислений устанавливаем опцию Action ► Access Results и нажимаем клавишу Apply.
10. Анализируем результаты расчета. Открываем приложение Results. Появится
одноименная панель. Активизируем команды:
Action ► Create ;
Object ► Cursor ;
Method ► Scalar.
В окне Select Result Case приводятся результаты расчетов:
. Выбираем - Default, A2: Static Subcase. В окне
Select Cursor Results выбираем Spring Forces. В списке Target Entity
выбираем Elements и щелкаем по клавише
Apply. В графическом окне у точки появится
величина усилия в пружине
, что соответствует статическому нагружению пружины усилием Mg .
11. Выполним динамический расчет упругой системы. Снова возвращаемся к приложению
Loads\ Boundary Conditions. Активизируем команды:
Action ► Create ;
Object ► Initial Velocity;
Method ► Nodal.
215

В окне New Set Name задаем имя начальной скорости - velosity и щелкаем по клавише Input Data (рис.253). В окне Trans Veloc задаем
вектор начальной скорости и щелкаем по клавише ОК. На панели
Loads\ Boundary Conditions нажимаем клавишу Select Application Region, в графическом окне щелкаем по точке, что приводит к появлению записи
Node 1 в окне Select Nodes панели Select Application Region. Последовательно нажимаем кнопки Add, OK и Apply. В графическом окне появится изо-

бражение начальной скорости материальной точки массой 2000 кг.
.
Открываем приложение Analysis. В окне Job Name задаем новое имя
расчету - 26_08_05_dinamica. Щелкаем по клавише Solution Type и задаём
тип расчета Transient Response. Из списка Formulation выбираем команду
Direct и щелкаем по клавише ОК. Нажимаем на клавишу Subcases… . На
открывшейся одноименной панели щелкаем по клавише
Subcase
Parameters… Открывается одноименная панель, на которой нажимаем клавишу Define Time Steps, что приведет к открытию соответствующей панели, в
окне ввода которой задаём число шагов и величину интервала по времени для
одного шага (рис.254).

Рис.253
216

Рис.254

Рис.255
Задаём 100 шагов с интервалом 0.001 с. Последовательно щелкаем по
двум клавишам ОК. На панели Subcases в окне Subcase Name записываем
имя случая нагружения - sila_dinamica и щелкаем по клавишам Apply и Cancel. На панели Analysis нажимаем клавишу Subcase Select… и на открыв217

шейся панели выбираем расчетный случай sila_dinamica. Щелкаем по клавишам ОК на панели Subcase Select и Apply на панели Analysis. На панели
Analysis в поле ввода Job Name задаём новое имя численному расчету упругой системы - 26_08_05_dinamica и щелкаем по клавише Apply, что приведет
к запуску вычислительного блока MSC.Nastran. После окончания вычислений
устанавливаем опцию Action ► Access Results и нажимаем клавишу Apply.
Анализируем результаты расчета. Открываем приложение Results. Активизируем команды:
Action ► Create ;
Object ► Graph ;
Method ► Y vs X.
Отжимаем кнопку Select Cubcases (рис.255), на панели останется только одна
кнопка, а в окне Select Result Cubcase(s) появятся случаи нагружения для
фиксированных моментов времени. Выделим эти результаты.
В окне Select Y Result выделим Spring Forces, установим опции: по оси У Results, по оси X – Global Variable, Variable ► Time. Щелкнем по кнопке
Target Entities и на открывшейся панели в окне Select Nodes введём номер
узла, щелкнув по точке в графическом окне. Последовательно два раза нажимаем клавиши Apply и в демонстрационном окне появится график изменения
внутренней силы в пружине в зависимости от времени (рис.256).
Для определения максимального усилия надо установить опции Object
► Cursor, Target Entity ►Elements, выделить расчетный случай и щелкнуть
по клавише Apply и в графическом окне по точке, выделив элемент. Пролистав
все расчетные случаи, можно найти максимум. Для приведенного примера это
5

будет величина 4.19 ⋅ 10 Н, что достаточно близко к ранее полученному значению динамического усилия. Величина погрешности зависит от величины шага численного расчета.

Рис.256

218

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЗЕМЛЕДЕЛЬЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Теория большинства почвообрабатывающих рабочих органов основывается на
теории взаимодействия трехгранного клина с почвой. Для удобства расчетов и объяснения механизма протекающих процессов зачастую пространственный трехгранный
клин условно расчленяют на три простых, так как деформация почвы, производимая
трехгранным клином, подобна таковой при работе двухгранного клина. Поэтому закономерности, присущие работе двухгранного клина, могут быть, с соответствующими
уточнениями, распространены на случай работы трехгранного клина.
Взаимодействие клина с почвой существенно зависит от механического состава
и состояния почвы, от положения клина относительно поверхности обрабатываемого
поля, от формы и параметров клиновых рабочих органов.
Исследования показывают, что на тяговое сопротивление лаповых рабочих органов влияет угол α установки клина к горизонту. Тяговое сопротивление плоских
клиньев, работающих на глубине до 12 см, имеет при скоростях 6...9 км/ч минимум
при угле α от 20 до 25 o . На энергетический оптимум влияют рабочая скорость, глубина хода и ширина клина. С повышением скорости угол α , обеспечивающий минимум тягового сопротивления, уменьшается.
Вопрос о механизме разрушения пласта под воздействием клиновидных рабочих органов почвообрабатывающих машин обсуждается, по меньшей мере, 100 лет14.
Однако до сих пор он остается нерешенным, так как в настоящее время нет даже приближенной математической модели почв, позволяющей описывать результаты многочисленных экспериментов.
Численные методы решения задач контактного взаимодействия клина с почвой
позволяют с минимальными финансовыми затратами исследовать различные математические модели этого взаимодействия и выбрать наиболее подходящую модель для
описания экспериментальных результатов, полученных в поле.
Далее рассмотрим чисто учебные задачи, которые ни в коей мере не соответствуют реальному взаимодействию клина с почвой, но позволяют проиллюстрировать
последовательность операций при создании конечно–элементной модели и назначении
граничных условий.
При более корректном решении подобных задач их следует рассматривать как
нелинейные упруго-пластические задачи, а для реализации контактного взаимодействия двух тел использовать специальные контактные элементы. Мы этого делать пока
не будем, так как не знаем теоретических основ решения таких задач.
Рассмотрим процедуры создания конечно-элементных моделей взаимодействия
плоского и пространственного клина с упругой средой: E = 37 ,5 МПа и µ = 0 ,35
(угол трения ϕ = 19 ,29 o ), предполагая, что клину задано только горизонтальное перемещение u см. В этом случае, при принятой модели взаимодействия клина и почвы,
изложенной в учебниках по сельскохозяйственным машинам15, перемещение точек
почвы, контактирующих с клином, составят: в горизонтальном направлении – 0.668 ⋅ u
см, в вертикальном направлении - 0 ,58 ⋅ u см.

14

Акад. В. П. Горячкин. Собр. соч. тт. III, IV, VI. Сельхозгиз, 1940; В. А. Желиговский. Основы теории технологического процесса вспашки. Доклады ВАСХНИЛ, в. II, 1947; Г. Н. Синеоков. Экспериментальное определение сопротивления рабочих органов плугов и культиваторов. ВИСХОМ, сб. н.-.и. работ
№ 4. Машгиз, 1949, с.180-234; А. Н. Зеленин. Физические основы теории резания грунтов, 1950; Т. М.
Гологурский. Технологические процессы в почве при ее обработке. Петроград, 1917.
15
Акад. В. А. Желиговский. Элементы теории почвообрабатывающих машин и механической технологии сельскохозяйственных материалов. Тбилиси, 1960. – 146 с.

219

5.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЖЕСТКОГО
ДВУХГРАННОГО КЛИНА С УПРУГОЙ СРЕДОЙ
(ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА)
Так как плоская деформация отличается от плоского напряженного состояния
только упругими характеристиками, то исследуем плоское напряженное состояние
пластины толщиной 5 см под воздействием поступательного перемещения в направлении оси x двухгранного клина с углом при вершине 60 ,255 o . Предположим, что
клин, двигаясь на глубине 21 см, переместился на 1 см в направлении оси x . В соответствии с принципом Сен-Венана размеры пластины выберем так, чтобы границы области не влияли на напряженное состояние в зоне деформирования материала пластины. Расчетная схема пластины приведена на рис.257, на ней указаны области пластины
1 , 2 , 3 , 4 , используемые в дальнейшем для создания конечно-элементной сетки. Размеры пластины заданы в сантиметрах.

Рис.257

5.1.1. Исследование взаимодействия двухгранного клина
с «почвой» в программном комплексе MSC.Patran-Nastran
A.
B.
C.
D.

Загружаем программный комплекс MSC.Patran-Nastran.
Создаём новую базу данных.
Щелкаем левой клавишей мыши по приложению Geometry.
В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Point
Method►XYZ.
E. В поле Point Coordinates List вводим координаты угловых точек пластины:
[0 0 0 ], [0 0.21 0 ], [− 0.12 0.21 0 ], [0.7 0.21 0 ] , [0.7 0 0 ] , [0.7 - 0.48 0 ], [0. - 0.48 0 ] ,
[− 0.48 - 0.48 0 ] , [− 0.48 0 0 ] . Для контроля положения введенных точек активизируем кнопку

«Положение точек».
220

F. На панели Geometry щелкаем по клавише Point и активизируем опцию
Curve.
G. Соединяем точки линиями, последовательно щелкая по стартовой и конечной
точкам.
H. На панели Geometry в разделе Object активизируем опцию Surface, в разделе
Method активизируем опцию Edge. Панель Geometry изменит вид, на ней
для областей пластины 1 , 2 , 3 выбираем опцию 4 Edge, для области 4 - опцию 3 Edge.
I. В графическом окне щелкаем левой клавишей мыши по кривым, что приводит к
последовательному заполнению окон Surface Edge n List. После нажатия на
клавишу Apply будет создана пластина. На рис.258 приведены номера узлов,
кривых и пластины.

Рис.258
J. Открываем форму приложения Materials и задаём имя материала – grunt и
его физико-механические характеристики: Elastic Modulus = 37 ,5 e6 , Poisson
Ratio = 0.35 . Щелкаем по кнопке OK на панели Input Options и по кнопке Apply на панели Materials.
K. Открываем форму приложения Properties. На появившейся панели Element
Properties выбираем: объекты 2D, тип элементов – Shell. В окне Property
Set Name задаём имя massiv и щелкаем левой клавишей мыши по кнопке Input Properties. На появившейся одноименной панели задаём имя материала:
щёлкаем по кнопке
, появляется панель выбора материала Select Material,
в окне которой указан заданный нами материал grunt. Щелчок левой клавишей
мыши по имени материала приводит к появлению записи: m: grunt в окне
221

L.
M.

N.
O.

P.

«Material Name» панели Input Properties. В поле Thickness задаем толщину пластины 5 см и нажимаем последовательно на клавиши OK и Apply.
Для создания конечных элементов открываем приложение Elements.
Используем команду Object►Mesh Seed для предварительной разметки конечно-элементной сетки на геометрической модели пластины. В поле Number
задаем число элементов вдоль границ пластины, соответствующее их длинам в
сантиметрах.
Переходим к созданию сетки. Активизируем команду Object►Mesh.
Нажимаем клавишу Select Existing Prop…. Открывается панель Property
Sets, на которой выбираем свойства элементов – massiv. Панель Property
Sets закроется, активной станет панель Element Properties.
В графическом окне устанавливаем курсор мыши на пластину и нажимаем её
левую клавишу. В окне Surface List появится запись Surface 1 (если в окне
Automatic Calculation установлен «флажок», то нажимать на клавишу Apply
не надо). Выполняем команду Action ► Equivalence. Если всё сделано правильно, в графическом окне появится изображение конечно-элементной сетки
(рис.259).

Рис.259
Q. Задаём граничные условия: силовые и кинематические. Открываем форму приложения Loads/BCs. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Displasement
Type►Nodal
и в окне New Set Name задаем имя кинематического условия d и щелкаем по
кнопке Input Data… В появившейся панели Input Data задаём граничные условия: запрещаем поступательное перемещение w и два вращательных перемещения относительно осей x и y . Щелкаем по кнопке OK. Затем активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель, на которой отмечаем флажок FEM. В графическом окне выделяем все узлы. Затем
щелкаем по кнопкам Add и OK. Панель Select Application Region закроется,
а на панели Loads/Boundary Conditions щелкаем по кнопке Apply. Вводим
вторую кинематическую связь d1 для жесткого защемления торцов пластины.
Вдоль границы EF задаем всем узлам перемещения .
222

R. Расчет конечно-элементной модели проводится в приложении Analysis. Для
расчета пластины выбираем опцию Analysis в разделе Action. Для того чтобы
изменить вычисляемые решателем Nastran параметры, нажимаем клавиши
Subcase (подблока), Output Request (запрос на вывод), открывается панель
Output Request. Для того чтобы вывести информацию об усилиях в отсеченной части пластины щелкаем в окне Select Result Type панели Output Requests команду Element Force, Applied Loads, Grid Point Force Balance.
Нажимаем клавишу OK. В окне Subcase Name панели Subcase задаём имя
«s1»; устанавливаем указатель мыши на клавише Apply и щелкаем левой клавишей мыши.
S. Нажимаем клавишу Subcase Select на панели Analysis. Откроется одноименная панель, на которой выбираем подблок «s1» и нажимаем клавишу OK и
клавишу Apply панели Analysis. В результате этих действий запустится вычислительная программа Nastran.
T. После окончания вычислений необходимо результаты расчета сделать доступными в MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и нажимаем клавишу Apply. Если расчет выполнен правильно, то в информационной строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно
будет переходить к анализу результатов расчета.
U. Определяем информацию о напряженно-деформированном состоянии пластины.

Отображение деформированного состояния пластины
При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default, A1: Static Subcase;
тип результата: Displacements, Translational;
величину: Magnitude , а затем последовательно U и V.
На рис. 260 и 261 показаны изополя модуля вектора перемещения и перемещения в направлении осей x и y соответственно.

Отображение напряженного состояния пластины
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default A1: Static Subcase;
тип результата: Stress Tensor;
количество (компонента тензора напряжений σ x ): Х.
Нажимаем клавишу Apply. В графическом окне появится изображение изополей поля напряжения σ x при разбивке диапазона изменения этих напряжений на 25
уровней. Картина изополос поля напряжений σ x приведена на рис.262. Аналогичным
При нажатой клавише

образом выводим изополя напряжений σ y (рис.262), τ max (рис.262), σ 1 и σ 3 (рис.263).
Из приведённых картин полос следует, что вдоль границы AF пластины после
прохода клина будут наблюдаться углубления, вызванные разрушением материала
223

пластины из-за больших растягивающих напряжений σ x и σ 1 . В зоне острия клина
наблюдаются значительные сжимающие напряжения, что приведет к смятию материала пластины и образованию в этой зоне ядра с механическими характеристиками отличными от исходных механических характеристик материала пластины. Возможное
разрушение пластины произойдет вдоль направления, составляющего с осью x угол
45 o .

Рис.260

224

Рис.261

225

Рис.262

226

Рис.263
Рассмотрим равновесие отсеченной четвертой области пластины. При нажатой
клавише

Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Freebody;
Metod ►Loads.
вариант расчета - A3: Static Subcase--(1.1);
тип результата: Freebody Loads.

227

Активизируем кнопку

Target Entities. Вид панели Results изменится.

Щелкаем по кнопке
и затем, при нажатой левой клавише мыши, в графическом окне выделяем четвертую область пластины. Нажимаем клавишу Apply. В
результате этих действий в графическом окне к выделенной области будут приложены все активные силы и реакции связей (рис.264). Из рисунка следует, что в
верхней части клина действуют растягивающие усилия, чего быть не должно, так
как в действительности связи между клином и «почвой» односторонние. Мы же
при создании модели все связи приняли двухсторонними. Поэтому появление растягивающих усилий является следствием того, что в этой зоне «почва» отошла от
поверхности клина.

Рис.264
Для определения номеров узлов, в которых приложены силы, активизируем раздел Elements и выберем:
Action ►Show;
Object ►Node;
Info ►Location.
Выберем интересующие нас узлы (в окне Node List появятся номера этих узлов) и нажмем клавишу Apply. Появится всплывающая панель (рис.265), содержащая информацию о номерах и координатах узлов. Если на панели Finite Elements
в окне Write to Repot стоит «галочка», то вам будет предложена записать эту информации в файл. Вид этого файла (klin_koordinati.rpt.01) приведен на рис.266. Оставляем в этом файле только интересующую нас информацию и перезаписываем
r
файл, который позднее выведем в MathCAD как вектор координат X .
228

Нас будет интересовать горизонтальное усилие, действующее на клин при его
перемещении на 1 см. На панели Results нажмем на кнопку
Показ электронной таблицы. Появится электронная таблица с информацией о силах, приложенных в узлах (рис.267). Если на этой панели нажать на клавишу Report, то эта
информация будет записана в файл с расширением .dat. На рис.268 интересующая
нас информация в этом файле выделена красными прямоугольниками. Перенесем
эту информацию в MathCAD и вычислим горизонтальное усилие, передаваемое на
клин. Соответствующая программа приведена на рис.269.

Рис.265

***************************************************************************
NODE LOCATION REPORT
***************************************************************************
MSC.Patran 2005 r3
File: F:\Nastran\Термех_статика\Плоский клин.db
Date: 09-Jan-07
Time: 09:40:20
Node Locations
Node ID Coord 1 Value
7455
-0.120000
7456
-0.115000
7463
-0.110000
7470
-0.105000
7477
-0.100000
7483
-0.095000
7491
-0.090000
7498
-0.085000
7505
-0.080000
7512
-0.075000
7523
-0.070000
7530
-0.065000
7539
-0.060000
7549
-0.055000
7559
-0.050000
7569
-0.045000
7579
-0.040000
7591
-0.035000
7603
-0.030000
7620
-0.025000
7635
-0.020000
7652
-0.015000
7666
-0.010000
7678
-0.005000

Coord 2 Value
0.210000
0.201250
0.192500
0.183750
0.175000
0.166250
0.157500
0.148750
0.140000
0.131250
0.122500
0.113750
0.105000
0.096250
0.087500
0.078750
0.070000
0.061250
0.052500
0.043750
0.035000
0.026250
0.017500
0.008750

Coord 3 Value
Reference CID
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular
0.000000
(Global) Rectangular

Рис.266

229

Рис.267

Рис.268

230

Рис.269
Внешний вид полученной эпюры давления почвы на пластину (двухгранный
клин) не противоречит экспериментальным данным16. Полученное горизонтальное
усилие действует на пластину толщиной 5 см. Если принять ширину захвата корпуса плуга 35 см, то на корпус плуга будет действовать усилие 7063 ,6 ⋅ 7 = 49455
Н, что существенно превышает нормативную нагрузку на корпус плуга 8500 Н
для вспашки средних почв с удельным сопротивлением почвы 0 ,9 кг/см2. Это несоответствие обусловлено различием механических характеристик материала модели и почвы – почва не упругий материал!

16

Новиков Ю.Ф. Некоторые вопросы теории деформирования и разрушения пласта под воздействием
двухгранного клина. Почвообрабатывающие машины и динамика агрегатов. Тр. ЧИМЭСХ, вып.46. –
Челябинск, 1969. – с.21-28.
Виноградов В.И., Подскребко М.Д. Влияние скорости на величину нормальных и касательных сил, действующих на поверхности плоского клина. ЦИНТИ АМ. Сб. «Повышение рабочих скоростей тракторов
и сельскохозяйственных машин». М. 1963.

231

5.1.2. Исследование взаимодействия двухгранного клина
с криволинейной поверхностью контакта и «почвы»
в программном комплексе MSC.Patran-Nastran 2005
Преобразуем конечно-элементную модель пластины, рассмотренную в предыдущем параграфе. Удалим четвертую пластину, а вместо нее поместим на это место
пластину, у которой граница EF круговая с радиусом 0.21 м.
В разделе Geometry выберем:
Action ►Delete;
Object ►Any.
Нажимаем на инструментальной панели кнопку
Увеличенный фрагмент
и в графическом окне выделяем четвертую пластину. В окне Geometric Entity List
панели Geometry появится информация о выделенных геометрических объектах
(рис.270). Нажимаем на клавишу Apply и удаляем эти объекты.
Переходим в раздел Elements и повторяем только что описанную процедуру
для удаления элементов (рис.271).
Снова активизируем раздел Geometry и выбираем:
Action►Create
Object►Point
Method►XYZ,
и вводим точку [-0.21 0.21 0]. Далее выбираем:
Action►Create
Object►Curve
Method►2D ArcAngles
и вносим информацию о дуге кривой в окна появившейся панели (рис.272). Нажимаем на клавишу Apply. В графическом окне появится изображение дуги окружности.

Рис.270
232

Рис.271

Рис.272

233

Выбираем:
Action►Create
Object►Surface
Method►Edge
и на изменившейся панели Geometry устанавливаем опцию 3 Edge и в графическом окне последовательно отмечаем границы области. Нажимаем на клавишу
Apply. В результате этих действий будет создана новая четвертая область исходной пластины (рис.273).

Рис.273
Для создания конечно-элементной сетки в четвертой области открываем приложение Elements. Используем команду Object►Mesh Seed для предварительной разметки этой сетки на геометрической модели пластины. В поле Number задаем число
элементов вдоль границ пластины, соответствующее их длинам в сантиметрах.
Переходим к созданию сетки. Активизируем команду Object►Mesh. Нажимаем
клавишу Select Existing Prop… Открывается панель Property Sets, на которой выбираем свойства элементов – massiv. Панель Property Sets закроется, активной станет панель Element Properties. В графическом окне устанавливаем курсор мыши на
пластину и нажимаем её левую клавишу. В окне Surface List появится запись Surface 4 (если в окне Automatic Calculation установлен «флажок», то нажимать на
клавишу Apply не надо). Выполняем команду Action ► Equivalence. Если всё сделано правильно, в графическом окне появится изображение конечно-элементной сетки
(рис.274).

234

Рис.274
Задаём кинематические граничные условия на криволинейной границе. Открываем форму приложения Loads/BCs. В открывшейся одноименной панели активизируем команды:
Action►Create
Object►Displasement
Type►Nodal
и в окне New Set Name задаем имя кинематического условия d1 и щелкаем по кнопке
Input Data… В появившейся панели Input Data задаём вдоль границы EF всем узлам
перемещения . Щелкаем по кнопке OK. Активизируем кнопку Select Application Region. Появится одноименная панель, на которой отмечаем флажок FEM. В графическом окне выделяем все узлы границы EF. Щелкаем по кнопкам
Add и OK. Панель Select Application Region закроется, на панели
Loads/Boundary Conditions щелкаем по кнопке Apply.
Расчет конечно-элементной модели проводится в приложении Analysis. Для
расчета пластины выбираем опцию Analysis в разделе Action. Нажимаем клавиши
Subcase (подблока), Output Request (запрос на вывод), открывается панель Output
Request. Для того чтобы вывести информацию об усилиях в отсеченной части пластины, щелкаем в окне Select Result Type панели Output Requests команду Element Force, Applied Loads, Grid Point Force Balance. Нажимаем клавишу OK. В
окне Subcase Name панели Subcase задаём имя «s1»; устанавливаем указатель
мыши на клавише Apply и щелкаем левой клавишей мыши.
235

Нажимаем клавишу Subcase Select на панели Analysis. Откроется одноименная панель, на которой выбираем подблок «s1» и нажимаем клавишу OK, и клавишу Apply панели Analysis. В результате этих действий запустится вычислительная программа Nastran.
После окончания вычислений необходимо результаты расчета сделать доступными в MSC.Patran. Для этого активизируем команду Action ►Access Results и
нажимаем клавишу Apply. Если расчет выполнен правильно, то в информационной
строке появится сообщение End: Attach Result File, и можно будет переходить к
анализу результатов расчета.
Определяем информацию о напряженно-деформированном состоянии пластины.

Отображение напряженного состояния пластины
При нажатой клавише
Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Quick Plot;
вариант расчета – Default A1: Static Subcase;
тип результата: Stress Tensor;
количество (компонента тензора напряжений σ x ): man principal.
Нажимаем клавишу Apply. В графическом окне появится изображение изополей поля напряжения σ 1 при разбивке диапазона изменения этих напряжений на 25
уровней. Картина изополос поля напряжений σ 1 приведена на рис.275. Аналогичным
образом выводим изополя напряжений σ 3 и τ max (рис.275). Из приведённых картин полос следует, что и при криволинейной границе EF вдоль границы AF пластины после
прохода клина будут наблюдаться углубления, вызванные разрушением материала
пластины из-за больших растягивающих напряжений σ 1 . В этом случае в зоне острия
клина наблюдается локальное напряженное состояние, подобное напряженному состоянию в задаче Буссинеска в окрестности точки приложения силы17. Указать возможное направление разрушения пластины в рассматриваемой её конечно-элементной
модели для данного клина не удается.
Рассмотрим равновесие отсеченной четвертой области пластины. При нажатой клавише

Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Freebody;
Metod ►Loads.
вариант расчета - A3: Static Subcase--(1.1);
тип результата: Freebody Loads.

Активизируем кнопку
Target Entities. В графическом окне выделяем четвертую область пластины. Нажимаем клавишу Apply. В результате этих действий в графическом окне к выделенной области будут приложены все активные силы и реакции
связей (рис.276).
Определим горизонтальное усилие, которое надо приложить к клину, чтобы он переместился на 1 см в направлении оси x . Все вычисления, как и в предыдущем параграфе, выполняем в системе MathCAD (рис.277).
Усилие, деформирующее пласт, в этом случае меньше по сравнению с предыдущим
случаем: 6 ,88 ⋅ 10 3 Н.
17

В.А. Жилкин. Расчеты на прочность и жесткость элементов сельскохозяйственных машин. Часть I.
Теоретические основы проектирования элементов сельхозмашин. Челябинск, ЧГАУ, 2005. – 427 с.

236

Рис.275
237

Рис.276

238

Рис.277

5.1.3. Исследование взаимодействия двухгранного клина
с «почвой», имеющей у вершины клина «трещину»,
в программном комплексе MSC.Patran-Nastran
Для создания конечно-элементной модели пластины с «трещиной» у вершины
клина воспользуемся моделью, рассмотренной в параграфе 5.1.1, в которой удалим
пять элементов вдоль границы AF. После удаления элементов активизируем раздел
Analysis и выполняем расчет новой модели.
Картины изополос полей напряжений σ 1 , σ 3 и τ max приведены на рис.278. Из
картин полос следует, что характер распределения напряжений, практически такой
же, как и в первом случае, только относительно нового концентратора (вершины
«трещины»).
Рассмотрим равновесие отсеченной четвертой области пластины. При нажатой
клавише

Select Results выберем:
Action ►Create;
Object ►Freebody;
Metod ►Loads.
вариант расчета - A3: Static Subcase--(1.1);
тип результата: Freebody Loads.

Активизируем кнопку
Target Entities. В графическом окне выделяем
четвертую область пластины. Нажимаем клавишу Apply. В результате этих действий в графическом окне к выделенной области будут приложены все активные силы и реакции связей (рис.279).
Усилие деформирования почвы составило 5740 Н (рис.280).
5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЖЕСТКОГО
ДВУХГРАННОГО КЛИНА С УПРУГОЙ СРЕДОЙ
(ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА)
Предположим, что клин с углом при вершине 30 o шириной 40 см движется в
«почве» в направлении горизонтальной оси x на глубине 20 см и переместился в этом
направлении на 1 см. Упругие характеристики «почвы» те же, что и в предыдущем
случае. Требуется определить напряженно-деформированное состояние «почвы» в зоне
её взаимодействия с клином. Расчетная схема приведена на рис.281.
Ниже приводится алгоритм создания конечно-элементной модели.
1. Загружаем программный комплекс MSC.Patran-Nastran.
2. Создаём новую базу данных.
239

Рис.278

240

Рис.279

241

Рис.280

Рис.281

Рис.282
242

3. Щелкаем левой клавишей мыши по приложению Geometry.
4. В открывшейся одноименной панели активизируем команды (шаг 1):
Action ► Create
Object ► Solid
Method ► Primitive
В блоке параметров (Block Parameters) задаем исходные размеры почвенной
призмы: вдоль оси x - 1 ,8 м; вдоль оси y - 0 ,8 м; вдоль оси z - 1 ,6 м, в окне
Base Origin Point List задаем координаты точки, от которой будет строиться данная призма.
5. Строим призму размером 1 ,8 × 0 ,2 × 0.6 , отстраиваемую от точки [0 0.6 1] (шаг
2, рис.283).

Рис.283
6. Удаляем призму размером 1 ,8 × 0 ,2 × 0.6 м, отстраиваемую от точки [0 0.6 1]
(шаг 3, рис.284). Активизируем команды:
Action ► Edit
Object ► Solid
Method ► Boolean.
Нажимаем на кнопку
Обрезать и последовательно щелкаем левой клавишей по исходной призме (в окне Target Solid появится запись Solid 1) и
удаляемой призме (в окне Subtracting Solid List появится запись Solid 2).
243

Так как в поле Auto Execute установлен флажок, то удаление Solid 2 произойдет автоматически.

Рис.284

Рис.285
244

7. Создаём призму 0 ,6 × 0 ,2 × 0.4 , отстраиваемую от точки [0 0.6 0.6 ] (шаг 4,
рис.285).
8. Удаляем вновь созданную призму (шаг 5, рис.286).

Рис.286

Рис.287
9. Для создания треугольной призмы нам потребуется точка, совпадающая с вершиной клина [0.946 0.6 1] . Активизируем команды:
Action ► Create
Object ► Point
245

Method ► XYZ.
В окно Point Coordinates List вводим координаты выше указанной точки
(шаг 6, рис.287).
10. Активизируем команды:
Action ► Create
Object ► Curve
Method ► Point.
В графическом окне создаём кривые 1 ,2 ,3 (шаг 7, рис.288).

Рис.288
11. По трём границам (на кривых 1 ,2 ,3 ) создаём плоскость. Активизируем команды:
Action ► Create
Object ► Surface
Method ► Edge.
Устанавливаем опцию 3 Edge. В графическом окне последовательно щелкаем
левой клавишей мыши по указанным кривым (шаг 8, рис.288). По окончании
операций будет создана плоскость 1 .
12. Создаём треугольную призму. Активизируем команды:
Action ► Create
Object ► Solid
Method ► Extrude.
Нажимаем на клавишу
IsoMeshable, в окне Translation Vector определяем вектор перемещения плоскости 1 и щёлкаем левой клавишей мыши в графическом окне по этой плоскости (шаг 9, рис.289).
13. Вырезаем треугольную призму. Активизируем команды:
Action ► Edit
Object ► Solid
Method ► Boolean.
246

Рис.288

Рис.289
247

Рис.290

Нажимаем на кнопку
Обрезать и последовательно щелкаем левой клавишей по исходной призме (в окне Target Solid появится запись Solid 1) и
удаляемой призме (в окне Subtracting Solid List появится запись Solid 2)
(шаг 10, рис.290).
14. Удаляем плоскость 1 . Активизируем команды:
Action ► Delete
Object ► Suface.
В графическом окне щелкаем левой клавишей по плоскости 1 (шаг 11,
рис.291).
15. Задаём материал (шаг 12, рис.292).
16. Задаём свойства модели (шаг 13, рис.293).
17. Создаём конечно-элементную сетку (шаг 14, рис.294, шаг 15, рис.295). Сначала в разделе Mesh Seed вдоль границ, где мы хотели бы иметь определенное
число элементов, задаём число элементов, а затем в разделе Mesh устанавливаем тип элемента и их максимальный размер, задаём свойства элементов. В поле
Automatic Calculation должен стоять флажок. Щелкаем по клавише Apply, в
результате в автоматическом режиме будет создана конечно-элементная сетка.

248

Рис.291

Рис.292

249

Рис.293

Рис.294
250

Рис.295

Рис.296

251

Рис.297

252

Рис.298

253

Рис.299

254

Рис.300

255

Рис.301
18. Закрепляем все грани основной призмы, находящиеся в почве, от всех перемещений.
19. По наклонной грани, взаимодействующей с клином, необходимо задать перемещения . С этой целью сначала на этой грани создадим

256

плоскость (шаг 16, рис.296), а затем этой плоскости зададим указанное выше
перемещение.
20. В разделе Analysis выполняем расчет призмы.
21. В разделе Results анализируем результаты расчета.
На рис.297-301 приведены изополя перемещений и напряжений. На рис.297
приведены изополя модуля вектора перемещения, отображаемые на недеформированной модели, на рис.298 - та же физическая величина, но отображаемая на
деформированной модели. Из рисунков, отображающих напряженное состояние
«почвы», следует, что наиболее напряженные зоны материала «почвы» локализуются на границе наклонной поверхности клина и дна борозды.
5.3. МЕТОДИКА РАБОТЫ С ИНСТРУМЕНТОМ INSIGHT
Возможности приложения Insight (правильное представление) в MSC.Patran
позволяют визуализировать сложное трехмерное поведение модели. В отличие от приложения Results, отображающего отдельные результаты, Insight предназначен для их
совместной оценки. Это приложение располагает множеством методов отображения
результатов.
В настоящее время Insight является отдельной возможностью MSC.Patran со
своим собственным экраном и своими выходными данными. Чтобы открыть это приложение, нужно нажать на кнопку Insight в главном меню MSC.Patran. Чтобы выключить его, необходимо нажать на эту кнопку повторно.
В приложении Insight 13 инструментов:
 Isosurface (изоповерхности - поверхности постоянного значения скалярной величины или координаты).
o Result isosurface можно рассматривать как аналогию к контурному графику
и заливке; это поверхность постоянных значений скалярных результатов в
3D модели.
o Coordinate isosurface - это совокупность до пяти плоскостей, расположенных через равные интервалы между граничными значениями заданного отрезка изменения скалярной величины.
Изоповерхности могут быть определены в одной из трех систем координат: декартовой, цилиндрической или сферической. Другие инструментальные средства могут модифицировать инструментальные средства поверхности. Изоповерхности могут использоваться для отсечения части модели, которая в зависимости от значения, присвоенного изоповерхности, может отображаться как невидимая, прозрачная, каркасная или затененная.










Streamlines (линии тока). Отслеживание траектории из одной или более точек через векторное поле. Траектория строится на основе векторных величин, определенных в узлах.
Stream Surfaces. Поверхности вдоль линий тока векторного поля.
Threshold. Представляет поверхности, обрезающие части модели выше и ниже
контрольного значения, отображая внутреннее поведение модели.
Fringe. Цветная заливка, сходная с возможностью приложения Result.
Contour plot. Это сеточное представление информации, содержащейся в заливке.
Цвет контура показывает расположение постоянных значений скалярных результатов, заключенных в определенном диапазоне. Такое представление можно совмещать с другими возможностями Insight для лучшего понимания трехмерного поведения модели.
Element. Элементы раскрашиваются в соответствии со значениями результатов.
Эта возможность отслеживает разрывы в результатах и усредняет результаты по
центру элемента.
257








Tensor. Отображает символы, соответствующие тензорным величинам.
Vector. Отображает символы, соответствующие векторным величинам.
Marker. Отмасштабированные по цвету символы, представляющие скалярные результаты.
Value. Показывает текстовое отображение скалярных, векторных и тензорных результатов выбранной точки модели.
Deformation. Создает график деформированных форм модели.
Cursor. Присоединяет результаты к мышке на экране.
Алгоритм работы в режиме Insight
1. Открываем приложение Insight, нажав на кнопку Insight в главном меню
MSC.Patran (рис.302).
2. В открывшейся панели выбираем команды (рис.303, шаги1-3):
Action ►Create ;
Tool ►Isosurface ;
Isosurface value ►Coord.
3. Нажимаем клавишу: Coordinate selection (рис.303, шаг 4).
4. В открывшейся панели выбираем координатную ось, перпендикулярную предполагаемому сечению (рис.304, шаг 5), в окне Starting value устанавливаем
значение координаты (уравнение плоскости z = 0.6 ) (рис.304, шаг 6) и нажимаем клавишу OK (рис.304, шаг 7).
5. Нажимаем клавишу Isosurface Attributes (рис.303, шаг 8).
6. В открывшейся панели устанавливаем флажок Clip at Isosurface (рис.304,
шаг 9), из списка Display выбираем команду Free Edge (рис.304, шаг 10) и
нажимаем клавишу OK (рис.304, шаг 11).
7. Нажимаем клавишу Apply (рис.303, шаг 12), в рабочем поле Insight появляется обрезанная указанной плоскостью модель (рис. 305).
8. Из списка Tool выбираем команду Fringe (рис.306, шаг 13) и нажимаем клавишу Results Selection (рис.306, шаг 14). Появится одноименная панель
(рис.306), в верхнем окне которой выбираем случай нагружения (шаг 15), нажимаем клавишу Update Results (шаг 16), в нижнем окне панели Results Selection появляются доступные для визуализации результаты, один из которых и
выбираем (шаг 17). Нажимаем клавишу OK (шаг 18). Появится панель Results
Options, на которой в окне Current Result выбираем результата расчет
(рис.307, шаг 19), и из списка Transform Method – Max Shear (шаг 20). Нажатие на клавишу ОК приведет к появлению исходной панели Insight Imaging
(рис.306).
9. Нажимаем клавишу Fringe Attributes (рис.306, шаг 22).
10. В открывшейся панели Fringe Attributes устанавливаем флажок Edge Display (рис.307, шаг 23), толщину линии (шаг 24) и нажимаем клавишу OK (шаг
25).
11. Из списка Target выбираем команду Isosurfaces (рис.308, шаг 26), в окне
Target Isosurfaces выбираем имя рисунка (шаг 27) и нажимаем клавишу Apply (шаг 28). В результате в окне Insight на исследуемой плоскости появятся
полосы и линии уровня физического параметра модели.
12. Для того чтобы получить несколько сечений модели одновременно, необходимо
после нажатия клавиши Coordinate selection (рис.303) в открывшейся панели
выбрать: координатную ось, перпендикулярную предполагаемым сечениям
(рис.309 б, шаг 5); в окне Starting value установить значение координат начальной (шаг 6_1), а в окне Ending value - значение координат конечной (шаг

258

6_2) плоскостей; задать число плоскостей (шаг 6_3) и нажать клавишу OK
(шаг 7). Появится изображение указанных сечений (рис.309 а).

Рис.302

Рис. 303

259

Рис.304
13. После выполнения пунктов 5-12 на экране дисплея появится изображение указанных сечений с линиями уровня исследуемого физического параметра модели
(рис.310). Диапазон физического параметра, для которого строятся линии уровня, устанавливается в меню Insignt Control (рис.311).

260

Рис.305

Рис.306
261

Рис.307

262

Рис.308

Рис.309

263

Рис.310

Рис.311
264

6. ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
6.1.

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

В зависимости от соотношения размеров поперечного сечения различают два
типа стержней. В стержнях первого типа указанные размеры - величины одного порядка. Ко второму типу относятся стержни, у которых размеры поперечного сечения в одном направлении (толщина стенок) малы по сравнению с размерами в другом направлении (ширина стенок); такие стержни называются тонкостенными. Тонкостенный
стержень характеризуется тем, что все три его измерения - величины разных порядков:
толщина стенки значительно меньше длины контура сечения, а последняя значительно
меньше длины оси стержня.
В сельскохозяйственном машиностроении большое распространение получили
тонкостенные стержни и оболочки. Широкое распространение тонкостенных гнутых
открытых профилей, приводящее к более эффективному использованию металла и
снижению металлоемкости машин, объясняется рядом их преимуществ перед прокатными профилямт:
• возможность получения тонкостенных профилей от 0 ,2 мм и выше;
• возможность изготовления профилей практически любой сложной формы, оптимальных размеров, переменного сечения по длине стержня;
• более высокая точность изготовления формы и размеров профиля и др.
Тонкостенные стержни, как и стержни первого типа, разделяются по геометрическим признакам: стержни с прямолинейной или криволинейной осью и стержни постоянного или переменного сечения. Особенно существенно и принципиально различие между стержнями с открытым профилем (типа швеллера, двутавра и т. п.) и стержнями с закрытым профилем (например, коробчатого сечения). Наиболее своеобразны
свойства тонкостенных стержней с открытым профилем; специфика стержней с закрытым профилем не столь значительна.
Так, например, у двутавровой балки пролетом L = 6 м, шарнирно опертой по
концам и нагруженной равномерно распределенной но всему пролету поперечной нагрузкой, при эксцентриситете приложения этой нагрузки, равном только 1 см, кручение повышает нормальные расчетные напряжения от 3% для двутавра № 16 до 16%
для двутавра №60 . С увеличением эксцентриситета напряжения увеличиваются пропорционально.
Имеет место и противоположное явление, а именно: не увеличение, а уменьшение расчетных напряжений от учета кручения, как, например, у швеллерных прогонов
под кровли промышленных зданий при любом расположении их на кровле, т.е. стенкой
вниз или вверх по скату. Здесь это уменьшение достигает 15 − 20% .
Таким образом, при расчете находящихся в соответствующих условиях элементов металлических конструкции необходимым учитывать явление кручения.
Известно, что при кручении свободного стержня парами сил, приложенных к
торцам (задача Сен-Венана), в его поперечных сечениях возникают только касательные
напряжения и происходит одинаковое по длине стержня искажение первоначально
плоской формы этих сечений (депланация). Так как депланация всех сечений одинакова, то расстояния между ними не изменяются. При этом нормальные напряжения в поперечных сечениях равны нулю - имеем свободное, или чистое кручение
(рис.312).

265

Рис.312
Теория чистого кручения впервые была предложена Кулоном18 (рис.313) в 1784 г. Он нашел правильную формулу для угла закручивания круглого
стержня.
Позднее она была применена Навье19 для призматических стержней прямоугольного сечения. Навье,
пользуясь своей теорией изгиба, исходил из гипотезы
плоских сечений и пришел к ошибочным заключениям,
что угол закручивания при данном крутящем моменте
обратно пропорционален центральному полярному моменту инерции поперечного сечения и что наибольшие
касательные напряжения получаются в точках, наиболее удаленных от центра тяжести сечения. Теория Навье пользовалась всеобщим признанием до середины
XIX столетия, несмотря на то, что она противоречила
Рис.313
общеизвестным опытным фактам.
В 20-х годах XIX столетия Коши впервые доказал, что поперечные сечения некруглых стержней не могут при кручении оставаться плоскими; однако данное им решение задачи о кручении стержня прямоугольного сечения оказалось неправильным.
Вполне строгую теорию кручения призматического стержня любого поперечного сечения дал в 1855 г. Сен-Венан20. Можно считать, что с этого времени ведет начало научная теория чистого кручения. По Сен-Венану, полная деформация при кручении призматического стержня любого поперечного сечения состоит из простого закручивания стержня и из продольных перемещений, переменных по величине и знаку для
различных точек сечения. Эти продольные перемещения и являются причиной искривления первоначально плоской формы поперечного сечения.
18

КУЛОН (Coulomb) Шарль Огюстен (1736 - 1806), французский физик, чл. Парижской АН (1781). Ему
принадлежат работы по технической механике (статика сооружений, теория ветряных мельниц и т. д).
Исследовал кручение волос, шёлковых (1777) и металлических (1784) нитей и сформулировал законы
кручения; изобрёл крутильные весы, которые в дальнейшем применил для измерения электрических и
магнитных сил взаимодействия. В 1781 г. описал опыты по трению скольжения и качения и сформулировал законы сухого трения. В 1785-89 гг. опубликовал семь мемуаров, где дал закон взаимодействия
электрических зарядов и магнитных полюсов (Кулона закон).
19
НАВЬЕ Клод Луи Мари Анри (1785-1836) - французский инженер и ученый, чл. Парижской АН
(1824). Вывел дифференциальные уравнения движения несжимаемой жидкости (уравнения НавьеСтокса), а также уравнения упругости для трехмерного пространства (1821). Автор ряда учебников по
механике, а также курса сопротивления материалов, являвшегося в течение нескольких десятилетий основным руководством для инженеров-строителей и машиностроителей.
20
СЕН-ВЕНАН (Saint-Venant), Барре де Сен-Венан Адемар Жан Клод (1797–1886), французский учёный в области механики. Чл. Парижской АН (1868). Основные труды по теории упругости, сопротивлению материалов, гидравлике, гидродинамике. Ввёл т. н. полуобратный метод решения задач в
теории упругости, сформулировал принцип смягчения граничных условий (Сен-Венана принцип) и построил общую теорию кручения и изгиба призматических стержней (1855). Исследовал соударения упругих стержней. Заложил основы теории пластичности идеально пластичного тела. Изучал также истечение газов из отверстий и движение жидкостей в открытых руслах.

266

Дальнейшее развитие теории чистого кручения заключалось главным образом в
нахождении точных или приближенных способов решения отдельных частных задач.
В 1917 − 1921 гг. Август Феппль выполнил большое количество опытов на чистое кручение прокатных металлических балок с целью определения для различных
профилей действительной жесткости на кручение. Указанными опытами для исследуемых профилей были установлены поправочные коэффициенты α к формуле момента инерции при чистом кручении (см. табл. 6.1):
bδ 3
Jk = α ∑
,
3

(6.1)

где b , δ - высота (ширина) и толщина отдельных прямоугольников, из которых составлен профиль.
Таблица 6.1
Коэффициент α
Профиль
для различных образцов
средний
Уголки
Швеллеры
Тавры
Двутавры
Двутавры широкополочные
Зеты

0,86 – 1,1
0,98 – 1,25
0,92 – 1,25
1,16 – 1,44
1,21 – 1,47
1,13 – 1,20

0,99
1,12
1,15
1,30
1,29
Не установлен

В настоящее время приняты следующие значения коэффициента α :
уголок
1,0;
прокатный двутавр
1,2;
тавровое сечение
1,15
прокатный швеллер
1.12.
Геометрическая жесткость сечения стержня на кручение J k не равна полярному

Сечение

Открытый

Профиль

моменту инерции J ρ . Для некоторых сечений формулы для вычисления момента
инерции и момента сопротивления при чистом кручении приведены в табл.6.2.
Таблица 6.2

267

Wk

Jk

1 2
δ s
3

1 3
δ s
3

Профиль
Составной

Сечение

Wk

Jk

Jk

1 n 3
∑ δ i si
3 1

δ max

Замкнутый

2ωδ min

ω - площадь, ограниченная средней
линией контура

(2ω )2
ds

∫δ
s

Напряжения τ max , угол закручивания ϕ и потенциальная энергия деформаций
U при чистом кручении брусьев любой формы сечения вычисляются по формулам

τ max =

Mk
M dx
M 2 dx
; ϕ=∫ k ; U=∫ k ,
Wk
GJ k
2GJ k
l
l

(6.2)

где M k - крутящий момент; G - модуль сдвига; W k , J k - геометрические характеристики сечения бруса, зависящие при кручении
от формы сечения.

Рис.314

Если же имеются препятствия свободной
депланации одного или нескольких сечений, то
сечения искривляются неодинаково, расстояния
между ними изменяются и при кручении в поперечных сечениях возникают также нормальные напряжения. Такой вид деформации бруса
называют стесненным, или изгибным кручением. Явление стесненного (изгибного) кручения хорошо иллюстрируется на примере дву268

тавровой балки, защемленной одним концом и нагруженной на свободном конце крутящим моментом (рис.314). Защемленное концевое сечение стержня искривляться не
может, остается плоским , следовательно, препятствует свободной депланации смежного с ним сечения. Чем дальше расположено сечение от места защемления, тем свободнее его депланация. Так как депланация всех сечений неодинакова, возникают продольные деформации растяжения и сжатия, при этом в сечениях возникает самоуравновешенная система нормальных напряжений, отражающих эффект «стесненности»
кручения. Эти нормальные напряжения по ширине полок распределены неравномерно
- возникает изгиб полок. При этом верхняя и нижняя полки будут изгибаться в разные
стороны.
Препятствием свободной депланации сечений может служить, например, приварка или защемление конца стержня, приложение переменного по длине стержня крутящего момента, применение стержня переменного сечения и т. п. Стесненное кручение в элементах конструкций, например, рамах сельскохозяйственных машин, встречается часто.
Для обычных стержней сплошного сечения эти эффекты имеют лишь местное
значение; в частности, нормальные напряжения быстро затухают по мере удаления от
места стеснения. Однако в тонкостенных стержнях нормальные напряжения убывают
настолько медленно, что упомянутый эффект перестает носить локальный характер. В
то же время происходят серьёзные изменения в картине распределения касательных
напряжений. Сказанное делает задачу о стесненном кручении тонкостенного стержня
отличной от задачи о свободном кручении. Точное решение задачи о стесненном кручении, удовлетворяющее во всех точках уравнениям теории упругости, не получено
даже для частных случаев нагрузки или закрепления сечений.
Следует отметить, что стеснение осевых деформаций повышает жесткость и
прочность тонкостенного стержня. Для тонкостенных стержней замкнутого профиля
депланация будет существенно меньше, и для них, как правило, можно использовать
обычную теорию кручения и изгиба стержней.
Определяющим для учета влияния тонкостенности профиля является параметр
ν = J min / J k ,
где J min - минимальный момент инерции сечения на изгиб; J k - геометрическая жесткость сечения стержня на кручение.

Рис.315
При малых ν (ν ≤ 3 ) следует использовать обычную теорию изгиба и кручения,
при больших ν - учитывать дополнительные эффекты, связанные с тонкостенностью
стержня. Например, для стержня (рис.315, а) с коробчатым сечением при наличии разреза (открытый профиль)

 δa 3 δa 3  2 3
1 a2
δ 3a
 = δa , J k = 4
J min = 2
+
, ν = ⋅ 2.
4  3
3
2 δ
 12

269

Для замкнутого сечения (рис.315, б)
4 Fk2δ 4 a 4 δ
a 4 (a − 2δ )
2
2

= δa 3 , J k =
=
= δa 3 , ν = ,
12
12
3
S
4a
3
где Fk - площадь ограниченная средней линией сечения; S - длина средней линии сечения. Таким образом, для стержня замкнутого сечения использование рассматриваемых ниже моделей не принесет новых результатов, тогда как для коробчатого сечения
открытого профиля учет тонкостенности необходим уже при δ ≤ 0 ,25 a .
4

J min =



Примечание. Не следует полагать, что для тонкостенных стержней
замкнутого сечения всегда можно использовать обычные модели стержней. Во многих случаях оказывается необходимым учет деформации поперечного сечения, особенно для криволинейных труб (эффект Кармана).

При изучении деформаций тонкостенных стержней необходимо иметь в виду,
что эти деформации, вообще говоря, сопровождаются изменением контура поперечного сечения. Однако учет влияния изменений контура на напряженно-деформированное
состояние стержня связан со значительными трудностями.
Для тонкостенных стержней открытого профиля гипотеза плоских сечений
применима только в том случае, если равнодействующая внешней нагрузки проходит через центр изгиба, точку сечения, относительно которой момент касательных сил, действующих в сечении при поперечном изгибе, равен нулю.
Если равнодействующая внешних сил, действующих на стержень, проходит через центр изгиба, то стержень испытывает только изгиб (без кручения). В противном
случае при изгибе возникает кручение. Аналогично этому при кручении может возникать изгиб. В задаче о чистом кручении в качестве оси поворота сечения (оси кручения) может рассматриваться любая ось, параллельная оси стержня. Расчетные соотношения (значения напряжений, жесткость на кручение и др.) не зависят от выбора центра поворота сечений; перемещения определяются с точностью до движения стержня
как твердого тела. В задачах стесненного кручения, когда стержень закреплен, такой
произвол отсутствует - ось кручения становится вполне определенной.
Теоретическими и экспериментальными исследованиями установлено, что распределение напряжений и деформаций в брусе при поперечном изгибе зависит не
только от величины изгибающего момента, но и от положения плоскости действия
внешних сил (плоскости изгиба). Гипотеза плоских сечений, лежащая в основе элементарной теории изгиба балок, соблюдается только в одном из частных случаев внешней
поперечной нагрузки, а именно: в случае, когда эта нагрузка проходит через так называемый центр изгиба.
В классической теории изгиба отклонение от закона плоских сечений при действии на балку поперечной нагрузки, не проходящей через центр изгиба, впервые обнаружил экспериментальным путем в 1909 г. Бах21. Производя опыты над металлической балкой швеллерного сечения, Бах установил, что поперечная нагрузка, действующая перпендикулярно плоскости симметрии швеллера и проходящая через его
центр тяжести, наряду с деформациями изгиба, вызывает и деформации кручения. Деформации удлинений четырех крайних волокон швеллера при произвольном положении нагрузки не следуют закону плоских сечений. При прохождении поперечной нагрузки через ось стенки швеллера деформации от кручения в опытах Баха оказались
значительно меньше, чем в случае приложения нагрузки в центре тяжести. Обнаружив

21

Bach-Baumann. Elastizitat und Festigkeit, стр. 369-381 и 268-271, Berlin, 1924; VDI, 1909, т. 53, стр.
1710; VDI, 1910, т. 54, стр. 385.

270

опытным путем отклонения от закона плоских сечений, Бах объяснил это отклонение
несимметричностью сечения.
Вопросом изгиба и кручения тонкостенных стержней занимался проф.
С.П. Тимошенко (рис.316) в связи со своей работой по устойчивости плоской формы
изгиба двутавровой балки22. Экспериментальным путем он установил величину жесткости двутавровых балок при чистом кручении и подробно изучил вопрос о кручении,
при котором в поперечных сечениях, наряду с касательными напряжениями, возникают и нормальные. Измеренные в опытах С.П. Тимошенко углы кручения хорошо совпали с теоретическими значениями, вычисленными по его формулам.
После работ Баха и Тимошенко вопрос о кручении тонкостенных балок, сопровождаемом изгибом отдельных элементов, в течение ряда лет в печати не освещался. Начиная с 20-х годов ХХ века теория
тонкостенных стержней получила дальнейшее существенное развитие под влиянием запросов строительной практики и в значительной степени авиастроения с его исключительно строгими требованиями к весовым характеристикам конструкций.
Спустя 12 лет после опытов Баха в
1921 г. появилась работа Майара, посвященная вопросу изгиба и кручения тонкостенных металлических балок23. В этой работе автор, анализируя опыты Баха, отмечает, что отклонение от закона плоских сечений при кручении, сопровождаемом изгибом отдельных элементов, может иметь место и в симметричных профилях. В статьях,
Рис.316
опубликованных в 1922 и 1924 гг., Майар,
кроме результатов экспериментальных исследований, приводит расчетные данные по определению центра изгиба. Эти данные
получены им на основании метода С. П. Тимошенко. Центр изгиба он, как и Тимошенко, определяет как точку пересечения равнодействующих элементарных касательных
напряжений при изгибе балки в главных плоскостях.
В 1927 г. появилась работа С. А. Бернштейна24, в которой автор отмечал значительное отклонение характера распределения нормальных напряжений в поперечных
сечениях поясов ферм открытых мостов от закона плоских сечений и назвал это явление «депланацией».
22

Тимошенко С. П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки// Известия СПб. Политехнического ин-та, Т. IV-V, 1905-1906.
Степан Прокопьевич Тимошенко (1878-1972), в период с 1905 по 1918 гг. и опубликовал более 26
работ в Известиях С.-Петербургского политехнического института, Электротехнического института, Института инженеров путей сообщения, Киевского политехнического института, а также в Вестнике общества технологов. Содержащиеся в представленных статьях результаты были учтены им при написании
двухтомной монографии «Курс теории упругости» (Петроград, 1914 - 1916), учебника «Курс сопротивления материалов» (1911, 1913, 1916, 1918), в книгах «Теория упругости» (1933, русский перевод - 1934,
1937), «Теория пластин и оболочек» (1940, русский перевод - 1948, 1955), «Колебания пластин в инженерном деле» (1928, русский перевод - 1931, 1932, 1934, 1959) и в ряде других книг.
23
Maillart R. Zur Frage der Biegung, Schweizerische Bauzeitung, 1921, N° 18, с. 195 -197.
24
Бернштейн С. А. Опытное исследование работы верхнего пояса открытого моста // Исследование
напряжений и деформаций при статической работе моста, Транспечать, вып. № 60, 1927.

271

Вопросом о нахождении центра изгиба и центра кручения занимался также акад.
Б. Г. Галеркин25.
В период с 1921 по 1926 гг. в иностранной технической литературе были напечатаны работы Циммермана, Зонтага, Эгеншвилера и Вебера. Из них наиболее интересной является работа Вебера26, в которой автор, кроме метода определения центра
изгиба, дает обобщение результатов Тимошенко по кручению двутавровой балки и метод определения дополнительных нормальных напряжений при кручении для двухполочных профилей (двутаврового с разными полками, швеллерного и зетового). Автор
обратил внимание на связь между центром изгиба и центром кручения, т. е. точкой сечения, которая при кручении не перемещается. Он доказал, что обе эти точки при кручении, сопровождаемом изгибом полок профиля, совпадают, и показал на числовых
примерах совпадение найденного им решения с результатами таких же опытов Баха
над швеллерной балкой.
Отклонение от закона плоских сечений при кручении тонкостенных стержней,
сопровождаемом изгибом отдельных элементов, играет существенную роль не только в
вопросах прочности, но также и в вопросах устойчивости. Экспериментальные исследования показывают, что во многих случаях экстремальными формами потери устойчивости, т. е. формами, дающими наименьшее значение для критической силы, являются крутильные или изгибно-крутильные. Стержни коробчатого сечения с открытым профилем, как правило, теряют упругую устойчивость вследствие закручивания,
причем потеря устойчивости происходит при значениях сил, которые значительно
меньше теоретических, полученных по формулам Эйлера.
Вопросом устойчивости тонкостенных авиационных стержней занимался немецкий инженер Вагнер. В 1934 г. он совместно с Претчером опубликовал теоретическую работу, в которой даны формулы для определения критических сил при потере
устойчивости авиационных стержней в форме закручивания27. При выводе своих формул для дополнительных нормальных напряжений от кручения Вагнер пользовался законом, аналогичным закону секториальных площадей, выведенному В.З. Власовым
(рис.317) в 1936 г. для профилей произвольного очертания28. Следует отметить, что
25

Галеркин Б.Г. Сборник Ленинградского института инженеров путей сообщения, 1927.
Weber C. Ubertragung des Drehmoments in Balken mit doppelflanschigem Querschnitt, Z. fur angew.
Math, und Mech., 1926, т. 6, 1924, т 4.
27
Wagner H. und Pretscher W. Verdrehung und Knickung von offenen Profilen, Luftfahrforschung.
1934, т. 11, № 6, с. 174 - 180.
28
Власов В.З., Новый метод расчета призматических балок из тонкостенных профилей на совместное
действие осевой силы, изгиба и кручения //Вестник ВИА РККА им. В. В. Куйбышева, № 20, II, 1936.
Василий Захарович Власов (1906-1958) родился 24 февраля в селе Кареево Тарусского
района Калужской области. В 1924 году он поступил на геодезический факультет Межевого института,
откуда в 1926 году перевелся на инженерно-строительный факультет Московского высшего технического училища (МВТУ). В 1930 году он окончил Высшее инженерно-строительное училище (ВИСУ), которое выделилось из МВТУ, со званием инженера-строителя мостов и конструкций. Тотчас же после
окончания ВИСУ (позднее переименованного в Московское Инженерно-строительное училище - МИСИ) он начал преподавать в Училище строительную механику и тогда же начал вести научную работу
во Всесоюзном институте сооружений (бывший Центральный научно-исследовательский институт промышленных сооружений - ЦНИПС). В МИСИ Василий Захарович преподавал до конца своих дней, а в
ЦНИПСе работал до 1951 года. С 1932 по 1942 год Василий Захарович преподавал в Военноинженерной академии им. В. В. Куйбышева, с 1946 г. руководил отделом строительной механики Института механики АН СССР.
В 1937 году за работу «Строительная механика оболочек» (Москва, Стройиздат, 1936), представленную в МИСИ в качестве кандидатской диссертации, Василию Захаровичу присуждается ученая
степень доктора технических наук.
В 1943 году Власов был избран членом Московского математического общества, в 1953 году членом-корреспондентом АН СССР.
Основные особенности расчета тонкостенных конструкций были известны и до В. З. Власова.
Было установлено, что техническая теория изгиба балок Эйлера - Бернулли неприменима к тонкостенным стержням вследствие искажения сечений при деформации, что не безразличен характер приложе26

272

Вагнер при рассмотрении деформации кручения
считал, что центр кручения при потере устойчивости совпадает с центром изгиба. В действительности же центр кручения, как правило, не
совпадает с центром изгиба. Совпадение получается только в одном частном случае поперечного сечения стержня, а именно, когда центр
изгиба совпадает с центром тяжести сечения; по
этой причине формула Вагнера применима только для стержней, имеющих в сечении две оси
симметрии. По-видимому, впервые на неточность
результатов Вагнера обратил внимание Остенфельд29 (1931 г.), получивший точные решения
для таврового, уголкового и швеллерного сечений.
Для полного исследования задачи о произвольном нагружении тонкостенного стержня
должна быть использована теория оболочек. Но
она не обладает должной простотой, если исключить простейшие случаи нагружения оболочки.
Рис.317
Поэтому, естественно, родилась идея создать достаточно простую техническую теорию тонкостенных стержней, которая могла бы отразить, хотя бы приближенно, отмеченные выше
специфические явления.
Современная теория тонкостенных стержней возникла как частный случай из
более общей теории В.З. Власова, опубликованной сначала в научных журналах30, а
затем в монографии31, и основана на рассмотрении тонкостенного стержня как пространственной системы типа цилиндрической или призматической оболочки с жестким
профилем. Власов ввел новые понятия об обобщенных координатах сечения, испытывающего депланацию, об изгибно-крутящем бимоменте, представляющем собою новую обобщенную продольную силу, соответствующую в смысле виртуальной работы
депланации сечения и принципиально отличающуюся от сил и моментов, рассматриваемых в статике твердого тел. Эта теория оказалась более общей и более плодотворной, чем концепция балочной теории и классического сопротивления материалов, от
которой по существу отправлялись все названные выше предшественники В.З. Власова, начиная с Тимошенко.
Оригинальный метод расчета тонкостенных стержней с жестким закрытым
профилем принадлежит А. А. Уманскому32, который рассмотрел на основе бимомент-

ния к торцам статически равноценных нагрузок и т. п. В книге Власова по тонкостенным стержням постановка задачи и ее решение изложены с максимальной полнотой. Построенная теория позволила дать
исчерпывающее решение задачи об изгибно-крутильной форме потери устойчивости и колебаниях
тонкостенных упругих стержней, а также развить методы расчета стержней с упругими и жесткими связями и методы расчета стержней при поперечных нагрузках.
29
Ostenfeld A. Politecknisk Laezean stats Laboratorum for Bygningsstatik, Meddelelse, Kopenhagen, 1931.
30
Власов В. 3. Расчет ребристых сводов-оболочек и балок из тонкостенных профилей на совместное
действие изгиба и кручения. Проект и стандарт, №№ 8, 9, 10, 1936.
Власов В. З. Кручение и устойчивость тонкостенных открытых профилей. Строительная промышленность, № 6 - 7, 1938.
Власов В. З., Кручение, устойчивость и колебания тонкостенных стержней. Прикл. матем. и механ., т. III, вып. 1, 1939.
31
Власов В. З. Тонкостенные упругие стержни. Стройиздат, 1940 (Второе издание: Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959. – 568 c.)
32
Уманский А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций. М.: Оборонгиз, 1939.- 112 с.

273

ной теории ряд новых задач по расчету плоских спаренных стержневых конструкций,
названных биконструкциями,
Основополагающее значение для создания технической теории прочности, жесткости, устойчивости и колебаний тонкостенных стержней и систем, составленных из
таких стержней, бесспорно имеют работы В. З. Власова (стержни с открытым профилем) и А.А. Уманского (стержни с закрытым профилем).
Главная заслуга в этом направлении принадлежит Власову. Он провел обширные исследования, выходящие далеко за пределы упомянутой теории, хотя и тесно связанные с ней. Власов резко упростил общие уравнения теории цилиндрических оболочек, введя две кинематические гипотезы: об отсутствии сдвигов срединной поверхности и о неизменяемости формы поперечного сечения. При этом оказалось, что депланация в случае стесненного кручения отличается лишь масштабом от депланации, соответствующей свободному кручению того же стержня (этот масштаб меняется от сечения к сечению). В дополнение к упомянутым гипотезам приняты некоторые упрощения, относящиеся к распределению напряжений по толщине стенки (равномерное распределение нормальных напряжений и линейное изменение касательных).
Эти гипотезы позволили достигнуть того уровня простоты теории, который необходим для широкого ее приложения к практическим расчетам. Достаточно сказать,
что при любом виде нагружения основное дифференциальное уравнение задачи не содержит частных производных и оказывается примерно того же уровня сложности, что
и хорошо знакомое инженерам дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом
основании. В этой теории возникли поначалу несколько необычные понятия бимомента, секториального момента инерции и др. Как показала инженерная практика, к этим
понятиям быстро привыкли.
Многочисленные эксперименты неоднократно подтверждали практически приемлемую точность теории В.З. Власова. Книга Д. В. Бычкова и А. К. Мрощинского33
содержит систематическое изложение теории тонкостенных стержней применительно к расчету строительных металлических балок. Книга Д. В. Бычкова34 содержит
методы расчета рам из тонкостенных стержней. Книги Б. Н. Горбунова и А. И. Стрельбицкой35 освещают вопросы приложения теории Власова к расчету тонкостенных вагонных рам.
В настоящее время теория кручения и изгиба тонкостенных стержней приводится в учебной литературе по сопротивлению материалов и строительной механике36.
В середине ХХ века активно обсуждались основы теории Власова и методические вариантов ее построения37. Гипотеза о неизменяемости контура сечения особых
возражений не вызвала. Дело в том, что подкрепляющие элементы типа ребер жесткости, диафрагм и т. п. в самом деле создают условия, близкие к тем, которые утверждаются в этой гипотезе. Значительно больше внимания было уделено гипотезе об отсутствии сдвигов в срединной поверхности. Приближенность этой гипотезы очевидна,
33

Бычков Д. В., Мрощинский А. К. Кручение металлических балок. М.: Стройиздат, 1944. -280 с.
Бычков Д. В. Расчет балочных и рамных систем из тонкостенных элементов. М.: Стройиздат, 1948. –
208 с.
35
Горбунов Б. Н., Стрельбицкая А. И., Приближенные методы расчета вагонных рам из тонкостенных
стержней. М.: Машгиз, 1946.
Горбунов Б. Н. и Стрельбицкая А. И., Теория рам из тонкостенных стержней. М.: Гостехиздат, 1948.
36
Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т.2. М.: Наука, 1965 – 480 с.; Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965. – 865 с.; Курдюмов А.А., Локшин А.З., Иосифов Р.А., Козляков В.В.
Строительная механика корабля и теория упругости. Т.II. Л.: Судостроение, 1968. – 420 с.; Синеговский
И.С. Сопротивление материалов. М.: Колос, 1968. -456 с.; Гастев В.А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Наука, 1977. – 456 с.; Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела Т.
II. – М.: Наука, 1978, 616 с.; Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986 560 с. и др.
37
Пановко Я.Г., Бейлин Е.А. Тонкостенные стержни и системы, составленные из тонкостенных стержней. // Строительная механика в СССР. 1917-1967. М.: Стройиздат, 1969.- с. 75-98.
34

274

так как соответствующие касательные напряжения отличны от нуля и, как следует из
той же теории Власова, достаточно велики. Подобные несоответствия типичны для
всех технических теорий (вспомним отсутствие согласованности гипотезы плоских сечений с фактом существования касательных напряжений при поперечном изгибе балок), однако именно эта гипотеза Власова вызвала наибольшие сомнения, и появились
уточненные варианты теории, не использующие гипотезу отсутствия сдвигов в срединной поверхности. В них достигнуты некоторые уточнения, однако ценой значительного усложнения теории. Главная ценность упомянутых работ в том, что с их помощью удалось отчетливо определить границы применимости теории В. З. Власова.
Наиболее обоснованно исследование точности этой теории выполнено А. Л.
Гольденвейзером38. Исходя из теории оболочек он показал, что гипотеза о недеформируемости контура выполняется достаточно точно даже для коротких стержней, в то же
время гипотеза об отсутствии сдвигов не влечет за собой существенных ошибок лишь
l δ
при условии ≈ 0 и отрицательна при z < 0 . Тогда дуговые координаты точек D1 и D
313

s D 1 := −

δ
δ
h−δ 
h−δ 
−  b −  , s D :=
+ b −  .
2
2
2
2



Вычислим положение центра изгиба в системе MathCAD.
В программе дуговые координаты s D 1 и s D обозначим c D 1 и c D соответственно.
Функцию секториальной координаты можно записать в виде:

Секториально-линейный статического момента
(6.12).

314

J ωz определим по формуле

Секториальный линейный статический момент
cD

J ωz :=

∫ ω (s ) ⋅ z(s ) ⋅ δds ;
o

J ωz = −6.673 × 10 −10 .

cD1

Найдем координату центра изгиба:
J
y1 := ωz ; y1 = −9.038 × 10 −3
Jy
C. Определение главных секториальных координат. Строим эпюру главных секториальных координат, зная, что главная нулевая секториальная точка находится в точке пересечения
средней линии стенки швеллера с осью симметрии
y (рис.349).
h−δ
Для точки 1
; для точки 2
ω1 = y1
2
Рис.349
h−δ 
δ  h−δ
− b − 
; для точек 3 и 4 ω 3 и ω 4
ω 2 = y1
2
2 2

подсчитываем аналогично. Эпюра ω приведена на рис.349.
В системе MathCAD эти построения выглядят так.

315

D. Вычисляем секториальный момент инерции (формула (6.11)):
cD

J ω :=

∫ ω (s )

2

⋅ δ ds ; J ω = 4.031 × 10 −12 .

cD1

E. Секториальный статический момент отсеченной части сечения, необходимый
для определения секториальных касательных напряжений (см. (6.73)), вычисляем по формуле
s

Sω (s ) :=

∫ ω (s ) ⋅ δ ds ;

max (Sω ) = 5.372 × 10 −9 .

cD1

F. Определение силовых факторов, действующих в поперечных сечениях стержня. При M o = const уравнение (6.82) принимает вид

[

]

Bω = − EJ ω k 2 (C 3 chkx + C 4 shkx ) = Achkx + Bshkx ,

316

(6.86)

где A и B - новые константы, подлежащие определению из граничных условий
задачи.
В защемлении, т. е. при x = 0 относительный угол закручивания равен
Mk

нулю:
=
= 0 ; значит, M k = 0 . А так как M o = M k + M ω , то при x = 0
dx GJ k
dB
M o = Mω =
. На свободном конце стержня имеем свободную депланацию сеdx
чения, следовательно, при x = L бимомент B = 0 . Подставив эти условия в
уравнение (86), получим:
M
при x = 0 , Aksh0 + Bkch0 = M o или B = 0 ;
k
M
при x = L , AchkL + BshkL = 0 или A = − BthkL = − o thkL .
k
Подставив полученные значения постоянных A , и B в уравнение (6.86),
получим:
M
Bω == o (shkx − thkLchkx ) ,
(6.87)
k
При x = 0 бимомент достигает наибольшей величины:
M
Bω == − o thkL ,
(6.88)
k
Следовательно, изгибно-крутящий бимомент, значит, и секториальные
нормальные напряжения имеют наибольшее значение у защемления.
Построим эпюры величин Bω , M ω , M k и подсчитаем их максимальные
значения.
Момент инерции при кручении
δ 3 ⋅ (h − δ + 2 ⋅ b − δ )
J K := 1.06 ⋅
; J k = 2.714 × 10 −10 .
3
Силовые факторы, действующие на стержень

317

Таким образом, наибольшая величина бимомента B = 1.965 Нм2, изгибно-крутящего момента M ω = 10 Нм, крутящего момента M k = 9.877 Нм.
G. Определим величины напряжений. Наибольшие секториальные нормальные напряжения возникают в точках 1 , 2 , 3 , 4 защемленного сечения
(рис.349). В этом же сечении действуют и наибольшие секториальные касательные напряжения:
− max B ⋅ ω (s )
− max M ω ⋅ Sω (s )
; τ ω (s ) :=
.
σ ω (s ) :=

Jω ⋅ δ

318

Рассмотренный пример показывает, что при оценке прочности секториальные
нормальные напряжения могут иметь решающее значение: в точках 2 и 4 сечения напряжения достигают 163 МПа. Наибольшие касательные напряжения чистого кручения на свободном конце стержня - 72.88 МПа.
H. Определим угол поворота торцевого сечения стержня. Так как по
(6.87)
M
Bω == o (shkx − thkLchkx ) ,
k
а по (6.75)
d 2θ ( x )
Bω = − EJ ω
,
dx 2
то выражение для угла поворота найдем интегрированием дифференциального уравнения
d 2θ ( x )
Mo
=−
(shkx − thkLchkx ) .
(6.89)
2
dx
kEJ ω
Последовательно интегрируя уравнение (6.89), получим:

M
dθ ( x )
= − 2 o (chkx − thkLshkx ) + C 1 ;
dx
k EJ ω
M
θ ( x ) = − 3 o (shkx − thkLchkx ) + C 1 x + C 2 ,
k EJ ω

(6.90)
(6.91)

где C 1 , C 2 - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий задачи:
dθ (0 )
M
при x = 0
= − 2 o (chk 0 − thkLshk0 ) + C 1 = 0
dx
k EJ ω
M
или C1 = 2 o ;
k EJ ω

319

Mo
(shk0 − thkLchk0 ) + C1 0 + C 2
k EJ ω
M
или C 2 = − 3 o thkL .
k EJ ω

θ (0 ) = −

3

Подставим полученные значения постоянных C1 и C 2 в уравнение (6.91):
M
(6.92)
θ (x ) = 3 o [thkL(chkx − 1) + kx − shkx ],
k EJ ω
При x = L угол поворота достигает величины
M
(6.93)
θ (L) = 3 o [thkL(chkL − 1) + kL − shkL] .
k EJ ω
В рассматриваемом нами случае θ (L) = 0.385 рад или 22 ,054 o .

6.10. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
В КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ ПРОГРАММАХ
Возможности приведенных ниже конечно-элементных программ проиллюстрируем на решении задачи, изложенной в примере 2.
6.10.1.

SCAD Office50

6.10.1.1. Создание расчетной схемы стержня из плоских КЭ
Сначала создаём поперечное сечение стержня. Для ввода узлов открываем раздел Узлы и элементы и нажимаем кнопку
ление группы кнопок режима Узлы.

Узлы, активизируя тем самым появ-

Нажимаем кнопку
Ввод узлов. В результате откроется одноименное диалоговое окно, с помощью которого задаём координаты точек A(0.025 ,0 ,0 ) , B(0 ,0 ,0 ) , C (0 ,0 ,0.05 ) ,
D(0.025 ,0 ,0.05 ) (рис.350).
Активизируем кнопки

Элементы. Подводим ука-

затель мыши к кнопке
Добавление стержней и нажимаем левую клавишу мыши. Соединяем точки A , B , C , D
элементами. Активизируем кнопку
. Появится панель Разбивка стержня, в одном из окон которой указываем число
участков, на которые надо разбить выделенный элемент. Например, элемент, расположенный между узлами A и B , разбиваем на 5 элементов. Щелкаем по клавише ОК, выделяем
элемент AB и подтверждаем наше желание разбить этот элеРис.350

мент на пять частей нажатием на кнопку

50

ОК.

Карпиловский В.С., Криксунов Э.З., Маляренко А.А., Перельмутер А.В., Перельмутер М.А. Вычислительный комплекс SCAD: - М.: Издательство АСВ, 2004.-592 с.
Жилкин В.А. Расчеты на прочность и жесткость элементов сельхозяйственных машин. – Челябинск, Челябинский государственный агроинженерный университет, 2005. – 424 с.

320

Выполняем операцию копирования с порождением новых элементов.
Активизируем режим Элементы
ментов

, нажимаем на кнопку выбора эле-

и выбираем на прототипе элементы, которые должны порождать пла-

стины. В разделе Схема нажатием на кнопку
активизируем режим копирования. В диалоговом окне Копирование схемы (рис.351) назначаем параметры копирования, правила обслуживания копий и нажимаем на кнопку ОК.
После выполнения копирования подтверждаем результаты копирования или
отказываемся от них.
Если при этом произошло копирование и стержней, то их необходимо удалить. Нажимаем на кнопку
Пластины и отключаем этот фильтр (по умолчанию он включен). Оставшиеся на экране дисплея стержни, порожденные узлами,
удаляем: в разделе Узлы и элементы последовательно нажимаем на кнопки
Элементы,

Выбор элементов, выделяем удаляемые стержни и подтвер-

ждаем наше желание их удалить, щелкнув по кнопке
. Активизируем фильтр
Пластины.
Конечно-элементная модель тонкостенной балки и её фрагмент, а также использованные кнопки фильтров приведены на рис.352.

Рис.351
Назначение жесткостей элементам
В разделе Назначения нажимаем на кнопку
Назначение жесткостей
пластинам. Появится панель Жесткости пластин (рис.353), в окнах которой
задаём необходимые параметры пластин: материал, толщину, тип жесткости.
Нажимая правую клавишу мыши в появившемся диалоговом окне Выбор узлов и элементов, выбираем тип курсора (рис.354), щелкаем по клавише ОК, выделяем всю модель балки и подтверждаем наш выбор, нажимая на клавишу
321

.

Рис.352

Назначение опорных связей
В разделе Назначения нажимает на кнопку
Связи в узлах. Появляется
панель Связи, на которой устанавливаем все связи, подтверждаем наш выбор и на модели балки отмечаем закрепляемые узлы. Щелкаем по кнопке
являются изображения закрепленных узлов (рис.355).

322

и на торце балки по-

Рис.353

Загружение расчетной схемы МКЭ
Крутящий

момент

M кр = 10

Н.м

представим

как

пару

сил:

10 ⋅ 100
= 200 Н, каждую из которых разделим на пять узлов, т.е. к каждому уз5
лу приложим сосредоточенную силу величиной 40 Н.
P=

323

В разделе Загружения нажимаем на кнопку
Узловые нагрузки. Появляется одноименная панель (рис.356), в полях ввода которой задаем проекции силовых
факторов на оси координат. Нажимая на клавишу ОК, подтверждаем наш выбор. На
конечно-элементной модели балки отмечаем загружаемые узлы. Щелкаем левой клавишей мыши по кнопке
узлов (рис.357).

. На модели балки появляется изображение загруженных

Подведём указатель мыши к кнопке фильтра
Информация об элементе
и нажмем левую клавишу мыши дважды. Появится одноименная панель. Если щелкнуть левой клавишей мыши по какому-нибудь элементу конечно-элементной модели
стержня, в окнах панели появится информация об этом элементе (рис.358). На рис.358
приведена информация об элементах стенки и полки стержня. В средней части рисунка
представлены увеличенные изображения нижних окон панелей с информацией об ориентации общей и локальной систем координат и номерах узлов. Как следует из рис.358,
в качестве элементов стержня выбран 44 тип конечного элемента (универсальный четырехугольный конечный элемент оболочки, имеющий по шесть степеней свободы в
каждом узле).
Положительные направления усилий (изгибающих моментов M x и M y ; крутящего момента M xy ; сдвигающего напряжения Txy ) для прямоугольных конечных элементов плиты и оболочки приведены на рис.359. На рисунке не показаны нормальные
усилия (мембранные напряжения) N x и N y , действующие вдоль осей x 1 и y1 соответственно и перерезывающие силы Qx и Q y в сечениях ортогональных осям x 1 и y 1 .
Введенных данных достаточно, чтобы выполнить расчет созданной схемы.

324

Рис.358

Рис.359
Линейный расчет
Вернёмся в Дерево

проекта.

Активизируем

инструментальной панели и нажмем кнопку
проектом (Дерево проекта).
325

закладку Управление в

Выйти в экран управления

В группе функций Расчет установим курсор в позицию Линейный и нажмем левую кнопку мыши. После завершения расчета и нажатия на кнопку Выход
управление передается дереву проекта.
Анализ результатов
Устанавливаем курсор в позицию Графический анализ раздела Результаты дерева проектов и нажимаем левую кнопку мыши, что приводит к активизации окна постпроцессора.
Анализ перемещений выполняется с помощью функции раздела Деформации.
Выбираем в списке

загружение, направление перемещения

и нажимаем кнопку функции отображения результатов
Вывод деформированной схемы на фоне исходной. На рис.360 приведен вид деформированной схемы и величины максимальных углов поворота свободного торцевого сечения балки ( 0.37 рад ⇒ 21,2 o ), а, как мы помним, по стандартному расчету тонкостенного стержня на стесненное кручение мы получили величину 22 ,054 o .

Рис.360

Рис.361

Анализ напряжений выполняется с помощью функции раздела Поля напряжений. Выбираем в списке
ния

загружение, компоненту напряже-

и нажимаем кнопку функции отображения результатов

326

Отображе-

ние изополей и изолиний. На рис.361 приведены изополя и диапазоны изополей
напряжений σ y .

Рис.362
Рассмотрим распределение нормальных напряжений вдоль полки. Щелкнув по
кнопке

Фрагментация окном на панели Визуализация, выделяем фрагмент

нижней полки (рис.362, а) и подтверждаем фрагментацию, нажимая на кнопку
Подтверждение фрагментации. Данный фрагмент содержит и элемент стенки,
а поэтому ещё раз выбираем фрагмент элементов принадлежащих только полке
327

(рис.362, б). Нажимаем на кнопку
Построение эпюр напряжений вдоль секущей и на фрагменте схемы указываем эту секущую. В результате появляется панель
Эпюры напряжений вдоль прямой. Элементы управления этого окна включают в
себя:
• список силовых факторов, для которых строятся эпюры;
• маркер Отображать значения на графике, активизация которого означает, что
следует выводить значение фактора в указанных курсором точках эпюры (кроме
значения выводится номер элемента, которому принадлежит указанная точка);
• кнопка Печать – для сохранения эпюр в формате Windows-метафайла (расширение WMF).
Распределение напряжений σ y ( N y ) в полке в соответствии с теорией тонкостенных стержней подчиняется линейному закону. Максимальные напряжения достигают величины 1823 кг/см2 ( 182 ,3 МПа), что несколько превышает ранее полученное
значение 163 МПа для этого параметра.
Вырежем плоский фрагмент стенки (рис.363) и для него построим аналогичные
эпюры в стенке швеллера (рис.364). Из рис.364 следует, что нормальные напряжения
σ y ( N y ) в стенке швеллера распределяются по линейному закону, касательные τ yz ( Txy )
- по параболическому закону, что соответствует теории тонкостенных стержней.

Рис.363

328

Рис.364

Рис.365
329

Определим центр кручения правого торца стержня. Так как SCAD непосредственно не вычисляет этот параметр деформирования стержня, то определим его
косвенным путём. В результате расчета конечно-элементной модели стержня нам известны линейные и угловые перемещения узлов. Для того чтобы получить эти величины, необходимо подвести указатель мыши к кнопке фильтра
Информация об
узле и щелкнуть по ней. Откроется одноименная панель (рис.365). Если теперь щелкнуть левой клавишей мыши по узлу, то в окнах панели появится информация о номере
узла, его координатах и перемещениях. Построив в нескольких узлах вектора перемещений и восстановив к ним перпендикуляры, найдём центр поворота сечения и искомый угол поворота.
Выберем три узла профиля стержня совпадающих с заделкой: A - крайний левый узел на нижней полке швеллера; B - крайний левый узел на верхней полке швеллера; C - узел, совпадающий с точкой пересечения оси симметрии профиля с его стенкой (рис.365).
Приближенное определение центра кручения профиля выполним в графическом
редакторе CorelDraw. В точках A , B , C откладываем компоненты перемещений в
направлении координатных осей. Строим вектора полных перемещений. Их длина в
точках A , B составила 15.155 , что достаточно близко к расчетному значению 15.348
(рис.366). Угол поворота сечения составил 21,5 o против расчетного значения 21,2 o .
Расстояние от средней линии профиля до центра поворота оказалось равным 8 ,88 мм,
расстояние до центра изгиба 9 ,038 мм.

Рис.367

Рис.366

Итак, мы можно сделать вывод: профиль поворачивается относительно центра
изгиба, что согласуется с теорией кручения тонкостенных профилей, а выполненный
расчет напряженно-деформированного состояния тонкостенного профиля достаточно
правдоподобен.

330

6.10.1.2. Модель стержня из объёмных КЭ
Создание расчетной схемы.
Сначала создаём поперечное сечение стержня. Для ввода узлов открываем раздел Узлы и элементы и нажимаем кнопку
группы кнопок режима Узлы.

Узлы, активизируя тем самым появление

Нажимаем кнопку
Ввод узлов. В результате откроется одноименное диалоговое окно (рис.47), с помощью которой задаём координаты точек A(0.025 ,0 ,0 ) ,
B(0 ,0 ,0 ) ,
C (0 ,0 ,0.05 ) ,
D(0.025 ,0 ,0.05 ) ,
E (0.025 ,0 ,0.048 ) ,
F (0.002 ,0 ,0.048 ) ,
D(0.002 ,0 ,0.002 ) , D(0.025 ,0 ,0.002 ) (рис.367).
Переходим в раздел Схема, в котором находится группа кнопок:
.
Подводим указатель мыши к кнопке
Генерация произвольной формы на плоскости и нажимаем левую клавишу мыши. Появляется новая группа кнопок:
.
Активизируем кнопку
Задание контура и затем последовательно нажимаем на каждый из введенных нами узлов. В результате будет создан контур сечения
тонкостенной балки (рис.368,а). Затем нажимаем на кнопку
Генерация треугольной сетки КЭ на плоскости. Появляется панель Автоматическая триангуляция (рис.369), в поле ввода которой вводим шаг триангуляции 0 ,005 и щелкаем
по кнопке ОК. В результате созданный нами контур поперечного сечения стержня покроется конечно-элементной сеткой (рис.368, б).

Рис.368

331

Рис.369
Подводим курсор мыши к кнопке
Установка результатов триангуляции на место в схеме и щелкаем по
ней. Появится панель SCAD, информирующая о том, что установка выполнена успешно (рис.370). Нажимая на клавишу ОК,
закрываем эту панель.
Рис.370

Для выполняем операции копирования с порождением

новых элементов активизируем режим Элементы
элементов

, нажимаем на кнопку выбора

и выбираем на прототипе пластины, которые должны порождать объ-

емные элементы. В разделе Схема нажатием на кнопку
активизируем режим копирования. В диалоговом окне Копирование схемы (рис.351) назначаем параметры
копирования, правила обслуживания копий и нажимаем на кнопку ОК. В результате
появляется конечно-элементная модель тонкостенного стержня, образованная объёмными элементами (рис.371, а). Информацию об этих элементах можно получить, нажав
на панели фильтров кнопку
Информация об элементе (рис.371, б).
Из рис.371, б следует, что модель создана из пространственных изопараметрических шестиузловых конечных элементов, каждый узел которых имеет по три степени
свободы.
Назначение жесткостей элементам
В разделе Назначения нажимает на кнопку
Назначение жесткостей
объёмным элементам. Появится панель Жесткости объёмных элементов
(рис.372), в окнах которой задаём необходимые параметры пластин: материал, тип жесткости.
Нажимаем правую клавишу мыши. В появившемся диалоговом окне Выбор
узлов и элементов выбираем тип курсора (рис.354), щелкаем по клавише ОК, выделяем всю модель балки и подтверждаем наш выбор, нажимая на клавишу
332

.

Рис.371

Рис.372
Назначение опорных связей
В разделе Назначения нажимает на кнопку
Связи в узлах. Появляется
панель Связи, на которой устанавливаем все связи, подтверждаем наш выбор и на мо333

дели балки отмечаем закрепляемые узлы. Щелкаем по кнопке
являются изображения закрепленных узлов (рис.91, а).

, на торце балки по-

Рис.373
Загружение расчетной схемы МКЭ
Так же, как и в предыдущем случае, крутящий момент M кр = 10 Н.м предста~
вим как пару сил P , P ; P = 200 Н. Каждую силу распределим на пять узлов, т.е. к
каждому узлу приложим сосредоточенную силу величиной 40 Н.

(

)

В разделе Загружения нажимает на кнопку
Узловые нагрузки. Появляется одноименная панель, в полях ввода которой задаем проекции силовых факторов
на оси координат. Нажав на клавишу ОК, подтверждаем наш выбор. На конечноэлементной модели балки отмечаем загружаемые узлы. Щелкаем левой клавишей мыши по кнопке
(рис.373, б).

. На модели балки появляется изображение загруженных узлов

Линейный расчет
Вернёмся в Дерево

проекта.

Активизируем

закладку Управление в

инструментальной панели и нажмем кнопку
Выйти в экран управления
проектом (Дерево проекта).
В группе функций Расчет установим курсор в позицию Линейный и нажмем левую кнопку мыши. После завершения расчета и нажатия на кнопку Выход
управление передается дереву проекта.
Анализ результатов
Устанавливаем курсор в позицию Графический анализ раздела Результаты дерева проектов и нажимаем левую кнопку мыши, что приводит к активизации окна постпроцессора.

334

Анализ перемещений выполняется с помощью функции раздела Деформации.
Выбираем в списке
загружение. Вид деформированной схемы
такой же, как и на рис.360, а величины перемещений значительно меньше (рис.374).

Рис.374

Рис.375

335

Анализ напряжений выполняется с помощью функции раздела Поля напряжений. Выбираем в списке

загружение, компоненту напряже-

ния
и нажимаем кнопку функции отображения результатов
Отображение изополей и изолиний. На рис.375 приведены изополя и диапазоны изополей
напряжений σ y . Величина максимальных нормальных напряжений в заделке 154 ,88
МПа достаточно близка к расчетному значению 163 МПа.
6.10.2.

Nastran-Patran 2005. Создание расчетной схемы из плоских КЭ

1. Создаём поперечное сечение стержня. Так как размеры поперечного сечения
стержня малы по сравнению с его длиной, то предварительно изменим установленную по умолчанию точность распознавания геометрических размеров ( 0.001 ). Активизируем раздел Display главного меню и в ниспадающем меню выберем опцию
Geometry… Появится панель Geometric Attributes, в окно Chordal Tolerance
которой вводим число 0.00001 . Открываем раздел Geometry. В открывшейся одноименной панели активизируем команды (шаг 1):
Action ► Create
Object ► Point
Method ► XYZ
и вводим узлы A(0.025 ,0 ,0 ) , B(0 ,0 ,0 ) , C (0 ,0 ,0.05 ) , D(0.05 ,0 ,0.05 ) (рис.376, а).
2. Активизируем команды (шаг 2):
Action ► Create
Object ► Curve
Method ► Point.
Проводим кривые 1 , 2 , 3 (рис.376, б).

Рис.376

336

Рис.377
3. Активизируем команды (шаг 3):
Action ► Create
Object ► Surface
Method ► Extrude.
Строим плоскости 1 , 2 , 3 (рис.377). На панели Geometry в окне Translation
Vector задаём вектор «вытеснения» (extrude) (рис.377,б), определяющий длину
плоскости ( 1 м), образуемую из кривой, и щелкаем последовательно по кривым 1 ,
2 , 3 (рис.376, б). В результате этих действий в графическом окне появятся изображения плоскостей 1 , 2 , 3 (рис.377, а).
4. Задаём материал – сталь (шаг 4).
5. Задаём свойства пластин (указываем материал и толщину пластин) (шаг 5).
6. Создаем конечно-элементную сетку.
6.1. В разделе Elements активизируем команды (шаг 6)
Action ► Create
Object ► Mech Seed
Type ► Uniform
и на гранях пластин задаём число элементов: на полках швеллера - 10 элементов; на стенке швеллера – 20 элементов; вдоль длинных сторон пластин - 400
элементов.
6.2. Активизируем команды (шаг 7)
Action ► Create
Object ► Mech
Type ► Surface.
Нажимаем клавишу Select Existing Prop… Открывается панель Property Sets, на которой выбираем заданные свойства пластин (элементов). В гра337

фическом окне при нажатой клавише Shift последовательно щелкаем по пластинам 1 , 2 , 3 и на панели Finite Elements нажимаем клавишу Apply. В графическом окне появится изображение созданной конечно-элементной сетки
(рис.378, шаг 7)
7. Жестко защемляем левый торец тонкостенной балки (шаг 8).
8. На правом торце балки задаём моментную нагрузку M кр = 10 Н.м в виде системы
распределенных сосредоточенных сил, приложенных к узлам полок швеллера (шаг
9). Так как вдоль полки расположено 10 элементов, то во внутренних узлах прикладываем усилие 10 /( 0.05 * 10 ) = 20 , в крайних узлах - 10 .
9. Выполняем расчет напряженно-деформированного состояния тонкостенной балки
(шаг 10). На рис.379 показаны изополя модуля вектора перемещения. Из рисунка
следует, что стержень закручивается, а величина максимального перемещения равна 1 ,6 см. При решении этой же задачи в программном комплексе SCAD (на более
редкой сетке) величина максимального перемещения составила 1,53 см.

Рис.378

338

Рис.379

Рис.380
На рис.380 и 381 приведены изополя составляющих вектора перемещения в направлении глобальных координатных осей x и y , изображенных на рисунках в левом
нижнем углу графического окна.
Конечно-элементная сетка собрана из пластинчатых элементов QUAD4 –
(Quadrilateral Plate Element) (рис.382). Это наиболее общий элемент для моделирования пластин, оболочек и мембран. QUAD4 позволяет моделировать плоское напряженное состояние, изгиб, поперечный сдвиг в зависимости от данных, задаваемых в
свойствах пластины. Этот элемент соединяется с другими элементами в четырех узлах.
Номера узлов от G 1 до G 4 расположены последовательно по периметру элемента.
Силы и напряжения определяются в координатной системе элемента (в локальной системе координат), которая располагается следующим образом:
– ось x элемента проходит посередине угла 2α , положительное направление от G 1 к
G2 ;
339

– ось y элемента перпендикулярна к оси x и располагается в плоскости узлов G 1 ,
G 2 , G 3 , G 4 , положительное направление от G 1 к G 4 (рис.382).

Рис.381

Рис.382
Изополя напряжений σ x , σ y и τ max приведены на рис. 383-385. На рис.386 приведены величины нормальных напряжений σ z (в глобальной системе координат), возникающих в стенке швеллера в сечении стержня, совпадающем с заделкой. Максимальные напряжения σ z , возникающие в стенке швеллера, составляют 160 МПа
(рис.387).

340

Рис.383

Рис.384

341

Рис.385

Рис.386

342

Рис.387

343

Оглавление
1. Предисловие ………………………………………………………………………
2. Вычислительные МКЭ комплексы для прочностного анализа
конструкций ………………………………………………………………………..
2.1. Роль ЭВМ в процессе проектирования…………………………………….
2.2. Метод конечных элементов…………………………………………………
2.3. SCAD………………………………………………………………………….
2.3.1. Загрузка комплекса SCAD Office………………………………………..
2.3.2. Создание нового проекта………………………………………………...
2.4. MSC. Patran-Nastran 2005……………………………………………………
2.4.1. Запуск и выход из системы Patran 2005 ………………………………..
2.4.2. Интерфейс MSC. Patran………………………………………………….
2.4.3. Строка меню………………………………………………………………
2.4.4. Геометрическое моделирование ферм, балок и рам в системе MSC.
Patran-Nastran……………………………………………………………….
2.4.4.1. Алгоритм создания конечно-элементной модели фермы…………
2.4.4.2. Алгоритм создания конечно-элементной модели фермы
с помощью многоточечных связей (MPC)…………… ……………
2.4.4.3. Алгоритм определения внутренних силовых факторов
в поперечных сечениях балки………………………………………..
3. Примеры решения задач строительной механики………………………
3.1. Задачи на равновесие системы тел…………………………………………
3.1.1. Составная балка………………………………………………………….
3.1.1.1. Решение задачи в MathCAD…………………………………………
3.1.1.2. Решение задачи в MSC. Patran-Nastran 2005……………………….
3.1.1.3. Решение задачи в SCAD……………………………………………..
3.1.2. Составная рама……………………………………………………………
3.1.2.1. Решение задачи в MathCAD…………………………………………
3.1.2.2. Решение задачи в SCAD……………………………………………..
3.1.2.3. Решение задачи в MSC. Patran-Nastran 2005 …………………….. .
3.2. Решение плоских задач теории упругости……………………………….
3.2.1. Исследование напряженного состояния балок-стенок ………………
3.2.1.1. Определение напряжений в поперечных сечениях балки-стенки
методами сопротивления материалов………………………………
3.2.1.2. Расчет балки-стенки в программном комплексе SCAD ……… …
3.2.1.3. Расчет балки-стенки в программном комплексе MSC. PatranNastran 2005 …………………………………………………………..
3.2.2. Расчет штифтовых (заклёпочных) соединений ………………………..
3.2.2.1. Определение наибольших нормальных напряжений в поперечном сечении стержня по формулам сопротивления материалов без
учета концентрации напряжений …………………………………
3.2.2.2. Расчет штифтового соединения по формулам сопротивления материалов ………………………………………………………….
3.2.2.3. Расчет штифтового соединения в программном комплексе SCAD
3.2.2.4. Расчет штифтового соединения в программном комплексе MSC.
Patran-Nastran 2005 …………………………………………………..
3.2.3. Расчет клеевого нахлёсточного соединения …………………………..
3.2.3.1. Расчет клеевого соединения в программном комплексе SCAD ….
3.2.3.2. Расчет клеевого соединения в программном комплексе MSC.
Patran-Nastran 2005 ……………………………………………………

344

4
9
9
10
16
17
19
33
36
39
40
42
48
60
66
82
82
83
84
85
92
96
96
103
107
114
119
119
121
143
157

157
158
159
169
176
176
181

4. Примеры решения задач прикладной механики …………………………
4.1. Моделирование пружин и упругих связей ………………………………..
4.1.1. Моделирование пружин и упругих связей в системе MSC. PatranNastran 2005 …………………………………………………………………
4.1.1.1. Использование элемента Grounded Spring …………………………
4.1.1.2. Моделирование пружин и упругих связей в системе SCAD ……..
4.1.2. Моделирование масс в системе MSC. Patran-Nastran 2005 …………. .
5. Решение задач земледельческой механики……………………………….
5.1. Моделирование взаимодействия жесткого двухгранного клина с упругой средой (плоская задача) ……………………………………………….
5.1.1. Исследование взаимодействия двухгранного клина с «почвой» в программном комплексе MSC. Patran-Nastran ………………………………
5.1.2. Исследование взаимодействия двухгранного клина с криволинейной
поверхностью контакта и «почвы» в программном комплексе MSC.
Patran-Nastran 2005 ………………………………………………………..
5.1.3. Исследование взаимодействия двухгранного клина с «почвой»,
имеющей у вершины клина трещину, в программном комплексе MSC.
Patran-Nastran ………………………………………………………………
5.2. Моделирование взаимодействия жесткого двухгранного клина с упругой средой (пространственная задача) ……………………………………
5.3. Методика работы с инструментом Insight ……………………………….
6. Изгиб и кручение тонкостенных стержней открытого профиля ……
6.1. Краткий исторический обзор ……………………………………………
6.2. Особенности деформирования тонкостенных стержней некруглого сечения ……………………………………………………………………….
6.3. Секториальные координаты и секториальные характеристики сечения..
6.4. Примеры вычисления секториальных характеристик …………………. .
6.5. Стесненное кручение бруса с двутавровым профилем ………………….
6.6. Зависимость между средним касательным и нормальным напряжением
в точке сечения стержня ……………………………………………………
6.7. Усилия в сечении тонкостенного стержня открытого профиля …………
6.8. Напряжения в сечении тонкостенного стержня открытого профиля ……
6.9. Определение углов закручивания тонкостенного стержня ……………...
6.10. Расчет тонкостенных стержней в конечно-элементных программах ..
6.10.1. SCAD Office ……………………………………………………………
6.10.1.1. Создание расчетной схемы стержня из плоских КЭ …………
6.10.1.2. Модель стержня из объёмных КЭ …………………………….
6.10.2. MSC. Patran-Nastran 2005. Создание расчетной схемы из плоских КЭ
Оглавление

345

191
191
192
193
205
210
219
220
220

232

239
239
257
265
265
276
279
284
298
304
305
306
311
320
320
320
331
336
344




«Призрачные миры» - интернет-магазин современной литературы в жанре любовного романа, фэнтези, мистики