КулЛиб электронная библиотека 

Исследование деформированного состояния образцов из древесины в MSC Patran-Nastran [Виталий Жилкин] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


Настройки текста:



УДК 691.11 : 620.171.1
ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБРАЗЦОВ
ИЗ ДРЕВЕСИНЫ В MSC PATRAN-NASTRAN
В. А. Жилкин
В работе излагаются результаты численных исследований в программном продукте MSC Patran-NastranMarc распределения напряжений в относительно тонких деревянных пластинках с круговыми отверстиями,
загруженных в направлении волокон древесины растягивающими равномерно распределенными усилиями,
приложенными к свободному торцу пластины, и усилиями, передаваемыми через жесткие цилиндрические
пальцы. Пальцы (штампы) имели диаметр, равный диаметру отверстий, и вставлялись в них без натяга.
С исследованным случаем работы деревянных элементов приходится сталкиваться при проекти­ровании соединений на цилиндрических нагелях. Разрушение относительно тонких элементов в нагельных соединениях происходит не только от смятия древесины в отверстии, но часто от раскалывания или выкалывания
древесины между нагелями. Из условия работы древесины на скалывание и раскалывание определяются
расстояния между нагелями вдоль и поперек волокон, а также до торцов соединяемых элементов. Учет
работы дре­весины на скалывание при конструировании стыков на нагелях основывается на весьма условных предпосылках. Расчетные формулы, базирующиеся на законах изменения нормальных и касательных
напряжений по площади контакта между штампом и краем отверстия, зачастую являются приближенными.
Целью данной работы была оценка возможностей программного комплекса MSC Patran-Nastran-Marc при
решении задач анизотропной теории упругости, а также получение приближенных аналитических соотношений для контактных напряжений в зонах контакта нагеля и древесины.
Ключевые слова: МКЭ, MSC.Patran-Nastran-Marc, древесина, нагельные соединения, ортотропные материалы.

1. Растяжение пластин с отверстием

ки» – 11d, ширина образцов принималась равной b = 6d, толщина – t = 2d (рис. 1).
К правому торцу пластины приложено усилие P = 1500 Н, равномерно распределенное по
площади сечения:

Начала декартовой и цилиндрической
систем координат совмещены с центром отверстия на внешней поверхности пластины, лежащей в плоскости xoy.Точкам левого
торца пластины запрещены перемещения
в направлении осей x и z, а точкам, лежащим
в плоскости xoz, запрещены перемещения
и в направлении оси y.
Размеры соснового образца-пластинки назначены с таким расчетом, чтобы расстояния
от отверстия диаметром d = 25 мм до правого
торца вдоль волокон были равны 7d, до «задел-

=
p

P
1500
=
= 0,2 Н/мм2.
b ⋅ t 150 ⋅ 50

(1)

Упругие постоянные древесины образцов
были взяты из справочника [4] (оси 1, 2, 3 соответствуют осям x, y и z соответственно):
E1 = 16 600 Н/мм2; E2 = 1124 Н/мм2;
E3 = 582 Н/мм2; G12 = 1180 Н/мм2;
43

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 70

µ12 =
0,428292 ; µ31 =
0,017881 ; µ 23 =
0,598694 .

G13 = 690 Н/мм2; G23 = 670 Н/мм2; μ12 = 0,4285;
μ21 = 0,029; μ13 = 0,51; μ31 = 0,015; μ23 = 0,68;
μ32 = 0,31.

Вещественные параметры обобщенного
плоского напряженного состояния ортотропной
пластинки для заданных упругих характеристик сосны будут равны [6]:

где Ei – модули упругости (i = 1, 2, 3);
Gij – модули сдвига (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3);
μij – коэффициенты поперечной деформации
(i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3).
В соответствии с теорией упругости анизотропного тела для ортотропного тела должны
выполняться соотношения [6]:

m=:

E1
− 2µ12= 13,211; k=:
G12
n =:

E1
= 3,843;
(3)
E2

2k + m= 4,571.

Распределение напряжений в деревянной
пластинке с круговым отверстием сравнивалось
с распределением напряжений в геометрически
одинаковой изотропной пластинке, для которой
были приняты следующие упругие характеристики: модуль упругости – E = 70 000 Н/мм2, коэффициент Пуассона – μ = 0,32.
Вид конечно-элементных сеток на внешней
поверхности пластин приведен на рисунке 2. По
толщине пластины были разбиты на десять слоев.
Число элементов Hex8 13500. Размеры наиболь-

E1µ 21 = E2µ12 ; E2µ32 = E3µ 23 ; E3µ13 = E1µ31 , (2)
которым табличные данные не удовлетворяли:
E1µ 21 − E2µ12 =−0, 234 ; E2µ32 − E3µ 23 =−47,32 ;
E3µ13 − E1µ31 =
47,82 .
Поэтому три упругие характеристики сосны были найдены из решения уравнений (2)
и приняты равными:

Рис. 1

Рис. 2

44

где θ – угол, отсчитываемый от оси x. В опасном
сечении при θ = π 2 max σθ =3 p (параметр p
определяется соотношением (1)).
В пластине из ортотропного материала напряжения σθ по контуру отверстия в бесконечной пластине изменяются по закону [6]:

шего элемента, находящегося в области «однородного» напряженного состояния, 10×10×5 мм3,
размеры наименьшего элемента, находящегося
в области отверстия, 1,3×2,27×5 мм3.
На рисунках 3, 4, приведены изополя напряжений σ x , τ xy , наблюдаемые на внешних поверхностях пластин (вверху – древесина, внизу –
дуралюмин). Из картин полос следует, что MSC
Patran качественно правильно отображает влияние анизотропии на распределение напряжений.
Распределение напряжений σθ по контуру
отверстия в бесконечной пластине из изотропного материала описывается выражением [5]:

=
σθ p


 − k cos 2 θ + (1 + n ) sin 2 θ  ,
E1

где Eθ определяется по формуле:
1 sin 4 θ  1 2µ12  2
cos 4 θ
2
.
=
+

 sin θ cos θ +

E1
E1 
E2
 G12
В опасном сечении при θ = π 2 max σθ =
= p(1 + n) (см. (3)).

σθ= p (1 − 2cos 2θ ) ,

Рис. 3

Рис. 4

45

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 70

MSC Patran в приложении Results по– анизотропный материал –
зволяет вывести информацию о напряжениях
0,943007
=
k = 4,71 вместо k = n + 1 = 5,571 ,
σθ вдоль контура отверстия: Action>Create;
0,2
Object>Cursor; Method>Scalar, в текстовый
файл и затем ее обработать, например, в MathCAD. что в принципе согласуется с теоретическиНа рисунке 5 приведены полученные та- ми положениями метода конечных элементов
ким путем полярные графики напряжениях σθ (МКЭ) [7]. Кроме того, в численных решенидля изотропного (рис. 5 а) и анизотропного ма- ях практически были «потеряны» сжимающие
териалов (рис. 5 б). Сплошные кривые – чис- напряжения в окрестности полярных углов
ленные решения, пунктирные кривые – точные φ = 0° и φ = 180°: для изотропного материарешения для бесконечных пластин.
ла min σθ =−0,001335 Н/мм2, а должно быть
Из анализа графиков рисунка 5 следует, что min σθ =− p =−0,2 Н/мм2, для анизотропного
численные результаты для изотропного и анизо- материала – min σθ =−0,003377 Н/мм2, а должтропного материалов:
но быть min σθ =− p k =−0,260213 Н/мм2. Вви• качественно соответствуют теоретиче- ду малости величин численных результатов они
ским решениям;
и не отображены на графиках (рис. 5). Для повы• численные решение дают заниженные шения точности численных решений необходизначения коэффициентов концентрации напря- мо увеличивать число КЭ в области отверстий.
жений σθ :
Графики изменения величин напряжений
– изотропный материал –
σ r , σθ , τrθ вдоль контура отверстия в анизотропной пластине приведены на рисунке 6.
0,550053
Графики
распределения
напряжений
=
k = 2,75 вместо 3;
0, 2
σ x =σθ в опасном сечении пластин приведены

Рис. 6

а

б
Рис. 5

46

на рисунке 7. Напряжения определялись в центрах тяжести КЭ. Градиент изменения напряжений σθ вблизи отверстия для пластины из анизотропного материала значительно выше, чем
в пластине из изотропного материала.
Графики перемещения точек контура
в полярной системе координат приведены
на рисунке 8, из которого следует, что поперечный диаметр отверстия уменьшился на
0,00102 мм, а продольный диаметр увеличился на 0,00171 мм.
Формоизменение контура отверстия в сосновой пластине иллюстрируется рисунком 9,
где величины перемещений точек отверстия
увеличены на коэффициент K = 4·103.

Напряжения на большей части толщины
пластины распределяются равномерно (рис. 10).
Небольшие отклонения от равномерности наблюдаются вблизи внешних поверхностей пластины.
2. Растяжение пластин с упругим ядром
в виде стальной трубки
Рассмотрим исследованную ранее прямоугольную пластинку из сосны с круговым отверстием, в которое либо вклеено без натяжения
круговое ядро того же диаметра в виде стальной
трубки, либо трубка просто вставлена в отверстие. Внутренний диаметр трубки d = 9 мм.
К правому торцу пластины приложено усилие P = 15 кН, равномерно распределенное по
площади сечения
p
=

P
15000
=
= 2 Н/мм2.
b ⋅ t 150 ⋅ 50

(4)

2.1. Трубка вклеена в пластину без натяжения
Вставка в отверстие упругого ядра в общем
случае уменьшает концентрацию напряжений
в древесине в опасном сечении пластины. Теоретические исследования подобной задачи для
бесконечной пластины из березовой фанеры
с упругим и жестким ядрами в отверстии показали, что если ядро жесткое, то наибольшим
из трех является напряжение σ r на концах диаметра, параллельного растягивающим усилиям; при отсутствии ядра наибольшим является

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

47

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 70

напряжение σθ на концах диаметра, перпендику- конечной пластине с отверстием. Кружочки
лярного к направлению растягивающих усилий соответствуют численным результатам, полу[6]. В рассматриваемом нами случае напряже- ченным в узлах КЭ сетки; сплошная кривая,
ния σ r на концах диаметра, параллельного рас- проходящая через них, – сплайн аппроксиматягивающим усилиям составили 2,5914 Н/мм2, ция результатов расчета. Крайнее левое знат.е. σr p =
1,2957 (рис. 11). В [6] для жесткого чение напряжений, как это обычно и бывает
ядра эта величина равна 1,237, для упругого в МКЭ, не удовлетворяет граничным условиядра – 0,841. Напряжение σθ на концах диа- ям задачи: на контуре отверстия напряжения
метра, перпендикулярного к направлению рас- должны быть σ r =0 .
тягивающих усилий, в нашем случае составило
Графики нормальных напряжений в опас0,971 Н/мм2: σθ p =
0,4855 . В [6] для жестко- ном сечении пластины из сосны приведены на
го ядра эта величина равна 0,003, для упругого рисунке 13, из которых следует, что в опасном
ядра – 1,684. Таким образом, полученные нами сечении нормальные напряжения σθ =σ x ≤ p ,
результаты вполне могут быть правдоподобны- а напряжения σ r =σ y во всех элементах семи для рассматриваемого ядра.
чения за исключением двух примыкающих
Напряженное состояние трубки подобно к трубке отрицательны и малы по сравнению
напряженному состоянию в изотропной бес- с р: σ y  −0,01 p (сжатие сечения обусловлеконечной пластине с отверстием в зоне отвер- но различием коэффициентов поперечной дестия [5]: максимальные нормальные напряже- формации: сталь – μ = 0,3, сосна – μ12 = 0,428).
ния на контуре отверстия в опасном сечении Всплески в середине графиков соответствуют
σθ _ max =
10,134 Н/мм2, а в сечении, совпада- напряжениям в трубке.
ющем с горизонтальной осью симметрии,
Из приведенных результатов численного
σθ _ min =
−3,74 Н/мм2. В бесконечной изотроп- исследования напряженного состояния пластиной пластине отношение σθ _ max σθ _ min =
3 , ны из сосны следует, что в случае плоского нав рассматриваемом нами случае оно равно пряженного состояния упругое ядро снижает
2,71. На рисунке 12 приведены эпюры напря- величину максимальных напряжений у отвержений σ r в опасных сечениях кольца и в бес- стий в древесине.

Рис. 11

Рис. 12
48

2.2. Стальная трубка свободно вставлена
в отверстие пластины
В этом случае приходится решать контактную задачу о взаимодействии кольца с поверхностью отверстия в древесине.
Изополя напряжений σ x , σ y и τ xy приведены на рисунках 14, 15, 16.
На рисунке 17 приведены полярные графики контактных напряжений вдоль контура
отверстия внешней поверхности сосновой пластины. В отличие от случая вклеенной трубки
здесь упругое ядро не привело к уменьшению
нормальных напряжений в опасном сечении
пластины: напряжения возросли и составили

17,342 Н/мм2. Коэффициент концентрации напряжений  8.6 , в то время как в бесконечной
пластине без упругого ядра он равен 5,571.
В опасном сечении в опасной точке сосновой
пластины напряжения σ r =σ y =−1.423 Н/мм2,
что значительно выше аналогичных напряжений в сосновой пластине с вклеенной трубкой.
3. Растяжение пластин
смещением упругого ядра
Если принять, что жесткость нагеля намного больше жесткости пластин на смятие, то при-

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

49

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 70

ближенно можно считать, что сосновая пластина нагружается поступательным перемещением
нагеля. Зададим внутренним точкам поверхности нагеля перемещения umax = 0,07 мм.
На рисунке 18 приведены изополя перемещений u материала сосны. Из рисунка можно
сделать следующие выводы:
• все точки трубки перемещаются приближенно на одну и ту же заданную величину umax;
• перемещения точек пластины вблизи
оси симметрии в зоне контакта нагеля и пластины составляют 0,069 мм;

• перемещения в сечениях параллельных
оси x и касательных к нагелю составляют 0,7umax;
• перемещения в сечениях отстоящих от
оси x на расстоянии диаметра нагеля составляют 0,5umax.
Таким образом, перемещения точек сосны
в зоне выкалывания составляют
0,5umax ≤ u ≤ 0,7umax .
На рисунке 19 представлены изополя напряжения σ x и τ xy .

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

50

чения скалывания удалось подобрать методом
наименьших квадратов (рис. 23), где а коэффициенты полинома девятого порядка. Результаты
численного расчета в MSC Patran обозначены
на графике символом tau.
Функция η ( ξ ) на рисунке 23 подобна
экспериментальной кривой, полученной ме-

Изополя напряжений τ xy подобны картине
полос в фотоупругом покрытии из материала
ЭД-6М толщиной 1,5 мм (рис. 20), наклеенном
на пластинку из сосны [8], размеры которой подобны принятым в данной работе. Как было
отмечено в [8], результаты фотоупругого исследования хорошо согласовывались с данными
тензометрирования.
Так как в сечениях y = ± d 2 нет узлов,
то было выбрано криволинейное сечение, наиболее близкое к плоскостям скалывания. На
рисунке 21 квадратиками помечены узлы, принятые для дальнейшего расчета. Распределения
напряжений σ y и τ xy в этом криволинейном сечении представлены на рисунке 22.
Массив данных графика τ xy был переброшен в MathCAD и там обработан. Функцию
η ( ξ ) распределения напряжений τ xy вдоль се-

Рис. 20

Рис. 19

Рис. 21

Рис. 22

51

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 70

тодом фотоупругих покрытий [8]. Ординаты
tau =
τск τmax есть отношение численно найденных величин касательных напряжений к
максимальной по модулю величине касательных напряжений, а абсциссы x = x d – относительные величины.
Многочисленные эксперименты по разрушению деревянных элементов на скалы­вание
показали, что древесина разрушается не по ка-

сательным к отверстиям плоскостям, а по более
коротким, хотя и близко к ним расположенным.
На рисунке 24 представлены изополя напряжений σ r , σθ и τrθ в нагеле, а на рисунках
25–26 эпюры контактных напряжений в пластинке из сосны в левой цилиндрической системе координат.
Очень важным с точки зрения построения
теоретического решения задачи является во-

Рис. 23

Рис. 24

Рис. 25

52

прос о распределении сминающих и касательных на­пряжений, возникающих по поверхности контакта между штампом и древесиной.
Поэтому одной из частных задач исследования
было установление эпюр распределения этих
напряжений. На рисунке 25 приведены эпюры
распределения напряжений σ r , τrθ вдоль контура отверстия. Эпюра σ r представляет собой
распределение давления от сминающего штампа в радиальном направлении по контактной

поверхности. Размеры контактной поверхности
определяются углом обхвата φо, величина которого зависит от диаметра отверстия и штампа.
В нашем случае φо = 90°, в работе [8] φо = 144°.
Численные величины контактных напряжений σ r по контуру отверстия описываются
полиномом десятого порядка (рис. 27).
Предложенное в работе [8] выражение для
определения контактных напряжений при смятии древесины в отверстии цилиндрическим

Рис. 26

Рис. 27

53

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 70

штампом:
ϕ

σ r = k σсм_ср  cos ϕ − cos o
2


яния вклеенное упругое ядро снижает величину
максимальных напряжений у отверстия в древесине. В связи с этим при создании нагельных
соединений из древесины нагели целесообразно вклеивать в отверстия.
3. Получены приближенные полиноминальные выражения для оценки контактных напряжений при смятии древесины в отверстии
цилиндрическим штампом.


 cos ϕ ,


P
где σсм_ср =;

Р – сила, приложенная к нагелю;
d – диаметр отверстия;
δ – толщина пластинки (в нашем случае
σсм_ср =

k=

2
π

π
4

Список литературы
1. Коченов В. М. Несущая способность
элементов и соединений деревянных конструкций. М., 1953. 319 с.
2. Донченко В. Г. Нагельные соединения
в автодорожных мостах. М. : Дориздат, 1952. 56 с.
3. СНИП II-25-80. Деревянные конструкции. Расчетные характеристики материалов.
4. Ашкенази Е. К., Ганов Э. В. Анизотропия конструкционных материалов. Л. : Машиностроение, 1980. 247 с.
5. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория
упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
6. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М. : Наука, 1977. 416 с.
7. Жилкин В. А. Введение в метод конечного элемента. Челябинск ; СПб. : Проспект науки ; ЧГАА, 2014. 288 с.
8. Дмитриев П. А., Жилкин В. А., Стрижаков Ю. Д. Исследование смятия древесины в отверстии с помощью оптически чувствительных
покрытий // Известия вузов. Сер. : Строительство и архитектура. 1971. № 2. С. 18–24.

∫ η( ξ )d ξ = −6, 487 Н/мм );


2

π
4

1
ϕo 

1 − cos 2 



2



нашем

случае

1
=
11,657 ) приводит к завышен2
π

1 − cos 
4

ным контактным напряжениям. На рисунке 27
это кривая σ r ( ξ ) . Предложенное выражение
может быть использовано при выполнении
предварительного проектировочного расчета
соединения.

=
k

Выводы
1. Программный комплекс MSC PatranNastran-Marc может с успехом использоваться при решении задач анизотропной теории
упругости.
2. В случае плоского напряженного состо-

Жилкин Виталий Афанасьевич, докт. техн. наук, профессор кафедры информационных технологий и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Челябинская государственная агроинженерная
академия» (ЧГАА).
E-mail: Zhilkin_Vitalii@mail.ru.
* * *

54




MyBook - читай и слушай по одной подписке