КулЛиб - Скачать fb2 - Читать онлайн - Отзывы  

Математика, 6 класс, учебник (4-е издание, дополненное) (pdf)

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


Настройки текста:



щи

за
но

ще
то

ав
рс
ки

ми

пр
ав
ам
и

Математика

Таблица простых чисел
79

191

311

439

577

709

857

3

83

193

313

443

587

719

859

5

89

197

317

449

593

727

863

7

97

199

331

457

599

733

877

11

101

211

337

461

13

103

223

347

463

17

107

227

349

467

19

109

229

353

479

23

113

233

359

29

127

239

31

1 31

241

37

137

251

41

1 39

43

881

607

743

883

613

751

887

617

757

907

487

619

761

911

367

491

631

769

919

373

499

641

773

929

379

503

643

787

937

257

383

509

647

797

941

1 49

263

389

521

653

809

947

1 51

269

397

523

659

811

953

53

157

271

401

541

661

821

967

59

163

277

409

547

673

823

971

61

167

281

419

557

677

827

977

67

1 73

283

421

563

683

829

983

71

179

293

431

569

691

839

991

73

181

307

433

571

701

853

997

за

но

щи
ще

47

ки

ми

739

ав

601

то
рс

пр
ав

ам
и

2

Квадраты натуральных чисел
10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

п2

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

пр
ав
ам
и

п

Кубы натуральных чисел
1

2

3

4

5

6

7

и3

1

8

27

64

125

216

343

8

9

10

512

729

1 000

ск
им
и

п

II
cq

2 5 = 32

2 7 = 128

2 9 = 51 2

2 4 = 16

2 6 = 64

28 = 256

2 10 = 1 0 2 4

то
р

II
00

21= 2

со

Степени с основанием 2

но

Ч и сл о

ав

Степени с основанием 10

103

ты сяч а

106

миллион

ю9

м иллиард

ю12

триллион

ю15

квадриллион

ю18

квинтиллион

ю21

секстиллион

ю24

септиллион

ще
щи
за

Н а зв ан и е числа

А лгоритм успеха

A.Г. Мерзляк
B.Б. Полонский
М.С. Якир

то

ь

рс

ки

ми

пр

Математика

ав
ам
и

ро ссийский
учебник

Учебник

ще

Ь

но

ав

класс

щи

Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации

за

4-е издание, дополненное

ш
Москва
Издательский центр
«Вентана-Граф»
2019

УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
М52

Мерзляк, А. Г.
Математика : 6 класс : учебник / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский,
М. С. Якнр : под ред. В. Е. Подольского. —4-е изд., доп. —М. : ВентанаГраф, 2019. —334, [2] с. : ил. — (Российский учебник).
ISBN 978-5-360-10057-7

пр
ав
ам
и

М52

за

щи

ще

но

ав
то

рс
ки

ми

Учебник предназначен для изучения математики в 6 классе общеобразова­
тельных организации. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, по­
зволяющая формировать у школьников познавательный интерес к математике.
Учебник входит в систему «Алгоритм успеха».
Учебник соответствует Федеральном)' государственному образовательному
стандарту основного общего образования и включён в Федеральный пере­
чень.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72

ISBN 978-5-360-10057-7

© Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., 2013
© Издательский центр «Вснтана-Граф», 2013
© Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., 2019,
с изменениями
© Издательский центр «Вентана-Граф», 2019,
с изменениями

От авторов
Д ороги е друзья!

за
щи

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

В этом учебном году, путешествуя по удивительной стране знаний, вы
продолжите изучение математики. Мы надеемся, что учебник, который вы
держите в руках, поможет узнать много нового и интересного.
Ознакомьтесь со структурой этой книги. Она разделена на четыре
главы, каждая из которых состоит из параграфов. Всего в учебнике 47 па­
раграфов, каждый из них начинается с изложения теоретического мате­
риала. Изучая его, особое внимание обращайте на текст, набранный другим
шрифтом. Так в книге выделены слова, означающие математические тер­
мины, правила и наиболее важные математические утверждения. Как пра­
вило, теоретический материал заканчивается примерами решения задач.
Их можно рассматривать как один из возможных образцов оформления ре­
шения.
Для каждого параграфа подобраны задачи для самостоятельного ре­
шения, приступать к которым советуем только после усвоения теоретиче­
ского материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности,
так и трудные задачи. Каждый параграф заканчивается особой задачей, ко­
торую мы назвали «Задача от мудрой совы». Для её решения следует про­
явить изобретательность и смекалку. Кроме того, в рубрике «Когда сделаны
уроки» вы можете узнать о важных математических объектах —числах и фи­
гурах, об истории их возникновения. Надеемся, что это заинтересует вас.
Дерзайте! Желаем успеха!

Э

Условные обозначения

о \ _____
Простые задачи
О О \ ______

Задачи средней сложности

------

пр
ав
ам
и

Сложные задачи
& \-----Задачи высокой сложности
Окончание решения примера

О

Задачи, которые можно решать с помощью компьютера

345

Задания, рекомендуемые для домашней работы

570

Задания, рекомендуемые для устной работы

за

щи

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

<

4

Гла в а 1. Делимость натуральных чисел

пр
ав
а

ми

Изучив материал этой главы, вы узнаете, как, не выполняя
деления, определить, делится ли данное натуральное число наце­
ло на: 2, 3, 5, 9, 10.
Познакомитесь с простыми и составными числами, научи­
тесь раскладывать натуральные числа на простые множители.
Вы узнаете, что называют наибольшим общим делителем
и наименьшим общим кратным нескольких натуральных чисел.

§ 1- Делители и кратные

Ь*

Натуральное число

им
и

Остаток при делении числа 30 на 5 равен 0, так как 30 = 5 • 6. В этом
случае говорят, что число 30 делится нацело на 5. Число 5 называют дели­
телем числа 30, а число 30 —кратным числа 5.
а делится нацело на натуральное число Ь, если
с такое, что справедливо равенство

a = Ь ■с.

а делится нацело на натуральное число Ъ, то
а называют кратным числа Ь, а число Ь — делителем числа а.

Если натуральное число
число

то

^

рс
к

найдётся натуральное число

за

щи

ще

но

ав

Числа 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 также являются делителями числа 30, а чис­
ло 30 является кратным каждого из этих чисел.
Заметим, что число 30 не делится нацело, например, на число 7. По­
этом)' число 7 не является делителем числа 30, а число 30 не кратно числу 7.
Как лучше говорить: «Число а делится нацело на число Ь», «Число b
является делителем числа а», «Число а кратно числу 6», «Число а является
кратным числа 6»? Всё равно, любой выбор будет верным.
Легко записать все делители числа 6. Это числа 1, 2, 3 и 6. А можно
ли перечислить все кратные числа 6? Числа 6 ■1, 6 • 2, 6 • 3, 6 • 4, 6 • 5 и т. д.
кратны числу 6. Получается, что чисел, кратных числу 6, бесконечно мно­
го. Поэтому всех их перечислить нельзя.
Вообще, для лю б ого н ат уральн ого числа а каж дое из чисел
а ■ 1, а • 2, а • 3, а ■4, ... я вляет ся крат ны м числа а.
Н аименьш им делителем любого натурального числа а являет ся
число 1, а наибольш им — само число а.
Среди чисел, кратных а , наибольшего нет, а наименьшее есть —это
само число а.
5

рс

ки

ми

пр
а

ва
ми

Каждое из чисел 21 и 36 делится нацело на 3, и их сумма, число 57,
также делится нацело на 3.
А верно ли утверждение: если каждое из чисел а и b делится на­
цело на число k, то и сумма a + b также делится нацело на число k?
Рассмотрим пример.
Каждое из чисел 4 и 8 не делится нацело на 3, а их сумма, число 12,
делится нацело на 3.
Следовательно, приведённое утверждение неверно. Пример, с помо­
щью которого мы его опровергли, называют контрпримером.
Каждое из чисел 9 и 7 не делится нацело на 5, и их сумма, число 16,
не делится нацело на 5.
Таким образом, если ни число а, ни число b не делятся нацело на
число k, то их сумма a + b может делиться, а может и не делиться
нацело на число k.
Число 35 делится нацело на число 7, а число 17 на число 7 не делит­
ся нацело. Сумма 35 + 17 нацело на число 7 также не делится.
Вообще, если число а делится нацело на число k и число b не де­
лится нацело на число k, то сумма a + b не делится нацело на чис­
ло k.

но

ав

то

1. В како м случае:
1) число b является д ел ител ем числа а;
2) число b к ра тн о числу а ?
2. Какое число является дел ител ем л ю б о го н атур ал ьн о го числа?
3. Какое число является н а и б о л ьш и м д е л и тел е м н атур ал ьн ого числа а ?
4. Какое число является н а и м е н ь ш и м к р а тн ы м н атур ал ьн ого числа а ?
5. Сколько сущ ествует кратн ы х д а н н о го н атур ал ьн ого числа а ?

Вычислите:
1 ) 0,6 + 0,4;
3 )0 ,6 -0 ,4 ;
5)0,62) 0,6 + 0,04;
4) 0,6 - 0,04;
6) 0,6 •
Чему равно частное при делении 54 на 9?
Чему равен делитель, если делимое равно 98,
Чему равно делимое, если делитель равен 24,

за

щи

1.

устно

ще

Решаем

Упражнения

1.

Верно ли утверждение:
1) число 6 является делителем числа 24;
6

4;
0,4;

7) 6 : 4;
8) 0,6 : 4.

а частное - 7?
а частное - 5 ?

2) число 6 кратно числу 24;
3) число 5 является делителем числа 51;
4) число 9 является делителем числа 99;
5) число 18 кратно числу 3;
6) число 28 кратно числу 8?
Какие из чисел 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 30 являются:
1) делителями 24;
3) делителями 20 и 24;
2) кратными 6;
4) делителями 24 и кратными 4?
Чему равняется:
1) наибольший делитель числа 19 735;
2) наименьший делитель числа 19 735;
3) наименьшее кратное числа 19 735?
Запишите все делители числа:
1) 18;
2) 8;
3) 13;
4) 56.
Запишите все делители числа:
1) 30;
2) 12;
3) 23;
4) 72.
Запишите пять чисел, кратных числу:
1) 7;
2) 30;
3) 100;
' 4) 34.

пр
ав
ам
и

2.

3.

.
5.

ми

4

ки

6.

10

оо \

.
12.
13.
14.
15.

Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел:
1) 15 и 20;
2) 7 и 21;
3) 24 и 36;
4) 20 и 21.
Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел:
1 ) 1 2 и 18;
2) 60 и 90;
3) 22 и 35;
4) 9 и 27.
Запишите какое-либо число, кратное каждому из чисел:
1) 3 и 4;
2) 6 и 12;
3) 4 и 6.
Запишите какое-либо число, кратное каждому из чисел:
1) 5 и 9;
2) 8 и 32;
3) 8 и 12.
Запишите:
1) все двузначные числа, кратные 19;
2) все трёхзначные числа, кратные 105.

за

щи

11

ав

.

но

.

ще

8.
9

Запишите четыре числа, кратных числу:
1) 16;
2) 12;
3) 150;
4) 47.
Из чисел 28, 36, 48, 64, 92,100, 108, 110 выпишите те, которые:
1) кратны 4;
2) не кратны 6.
Известно, что сумма натуральных чисел а и b делится нацело на 5.
Верно ли, что:
1) каждое из чисел а и А делится нацело на 5;
2) одно из чисел делится нацело на 5, а другое — нет?
О твет проиллюстрируйте примерами.
Известно, что каждое из чисел а и / ) н е делится нацело на 3. Верно
ли, что их сумма также не делится нацело на 3?

то
рс

7.

О

7

17.

18.
19 .

20.
21 .

22.

Запишите все двузначные числа, кратные 23.
Запишите все значения х, кратные числу 4, при которых верно нера­
венство 18 < х < 36.
Запишите все значения х, кратные числу 6, при которых верно нера­
венство 25 < х < 60.
Запишите все значения х , являющиеся делителями числа 80, при ко­
торых верно неравенство 7 < х < 40.
Запишите все значения х , являющиеся делителями числа 98, при ко­
торых верно неравенство 14 < х < 50.
Найдите число, кратное числам 9 и 11, которое больше 100. Сколько
существует таких чисел?
Найдите число, кратное числам 9 и 12, которое меньше 100. Сколько
существует таких чисел?

------

Верно ли утверждение:
1) если число а кратно 6, то оно кратно 3;
2) если число а кратно 3, то оно кратно 6;
3) если число а кратно числам 3 и 4, то оно кратно 12;
4) если число а кратно числам 4 и 6, то оно кратно 24?
Ответ проиллюстрируйте примерами.
Найдите три натуральных числа, для которых кратным будет число:
1) 65; 2) 121. Укажите все варианты выбора таких трёх чисел.
При делении числа а на 7 получили остаток 4. Какому условию долж­
но удовлетворять число b, чтобы сумма a + b была кратна 7?
При делении числа а на 9 получили остаток 5. Какому условию долж­
но удовлетворять число Ь, чтобы разность а - b была кратна 9?
При каких натуральных значениях п значение выражения \Ъп кратно
числу; 1) 3; 2) 5; 3) 10; 4) 11?
При каких натуральных значениях п значение выражения:
1) Ъп + 2 кратно числу 2;
2) 4п + 3 кратно числу 3?

27.

рс

щи
ще

28.

то

26.

ав

25.

но

24.

ки

ми

23.

пр
ав
ам
и

16.

------

за

29.

30.
31 .

Докажите, что:
1) двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, крат­
но 11;
2) трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами,
кратно 37.
К однозначному числу дописали одну цифру, в результате чего оно
увеличилось в 41 раз. Какую цифру и к какому числу дописали?
В двузначном числе зачеркнули одну цифру, в результате чего оно
уменьшилось в 17 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?
8

'4 f
.

Первая на Руси школа, как написано в «По­
вести временных лет», была открыта в Кие­
ве в 988 г. при князе Владимире Святосла­
виче. В 1701 г. указом императора Петра I
была создана первая в России государствен­
ная светская школа — Школа математиче­
ских и навигацких наук, или, как чаще её на­
зывали, Навигацкая школа. Первоначально
школу возглавил боярин Фёдор Головин,
а затем — выдающийся русский математикпедагог Леонтий Филиппович Магницкий
(1669-1739), проработавший в школе
38 лет —со дня её открытия в 1701 г. до по­
следних дней своей жизни. Перу Л.Ф. Маг­
«Арифметика».
Л.Ф. Магницкий
ницкого принадлежал первый изданный
в России в 1703 г. учебник по математике,
на долгие годы ставший основным учебником российских школ. В Навигацкой школе обучали чтению, письму, арифметике, геометрии,
тригонометрии, черчению, географии, астрономии, навигации и дру­
гим предметам. Через сколько лет после открытия первой на Руси
школы была открыта Навигацкая школа? На сколько лет ваша школа
«младше» Навигацкой школы?
Упростите выражение и вычислите его значение:
1) 0,2а • 506, если а = 4, Ъ = 3,6;
2) 0,4* • 25г/, если х = 2,4, у = 3.
Решите уравнение:
1) 2,48х + 3,52л: = 1,26;
2) 4,63л: + 3,37х = 1,92.
В столовую завезли 146 кг овощей: 6 ящиков помидоров и 8 ящиков
огурцов. Найдите, сколько килограммов огурцов было в каждом ящи­
ке, если помидоров в каждом ящике было 7,8 кг, а масса огурцов во
всех ящиках одинакова.

за

ав

щи
ще

но

.
34 .
35 .
33

то

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

32

Упражнения для п о в т о р е н и я ______

36

.

37

.

Готовимся к изучению
новой темы

Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:
1) 278;
2) 5 093.
Выполните деление с остатком:
1) 429 : 2;
3) 768 : 10;
5) 134 : 5;
2) 5 001 : 2;
4) 9 123 : 10;
6) 2 867 : 5.
9

38.

Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в ви­
де равенства a = bq + г, где а —делимое, b —делитель, q —неполное
частное, г —остаток:
1) 83 : 7;
2) 171 : 17.

Задача от мудрой

Сложите из шести спичек четыре равносторонних треугольника со
стороной, равной длине одной спички.

пр
ав
ам
и

39.

совы

5 2, Признаки делимости на 10. на 5 и на 2

то

рс

ки

ми

Последняя цифра каждого из чисел 90, 210, 1 400 равна нулю. Все эти
числа делятся нацело на 10. Действительно, каждое из них можно предста­
вить в виде произведения двух натуральных чисел, одно из которых рав­
но 10. Имеем: 90 = 9 • 10, 210 = 21 ■10, 1 400 = 140 • 10.
Последняя цифра числа 187 не равна нулю. Это число не делится на­
цело на 10. Действительно, можно записать: 187 = 180 + 7. Число 187 мы
представили в виде суммы двух слагаемых, одно из которых делится наце­
ло на 10, а другое —не делится. Из правила, сформулированного в преды­
дущем параграфе, следует, что такая сумма не делится нацело на 10.
Приведённые примеры иллюстрируют, как по записи натурального
числа можно установить, делится оно нацело на 10 или нет.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это
число делится нацело на 10.

0

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, от­
личной от 0, то это число не делится нацело на 10.

но

ав

0

за

щи

ще

Эти два утверждения называют признаком делимости на 10.
Найдём неполное частное и остаток при делении некоторых нату­
ральных чисел на 10.
Имеем: 173 = 170 + 3 = 10 ■ 17 + 3; 4 258 = 4 250 + 8 = 10 • 425 + 8;
20 005 = 10- 2 000 н- 5.
Эти примеры иллюстрируют следующее: если нат уральное число
разделит ь на 10, то остаток будет равен числу, записанном у по­
следней цифрой этого числа.
С помощью последней цифры числа устанавливают и другие призна­
ки делимости.
Числа 2, 14, 26, 58 делятся нацело на 2. Натуральные числа, которые
нацело делятся на 2, называют чётными.
10

Натуральные числа, которые не делятся нацело на 2, называют не­
чётными. Например, числа 3, 5, 17, 349, 10 001 - нечётные.
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 - нечётными.
А как, не выполняя деления, установить чётность числа? И здесь по­
могает признак делимости.
Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то

ми

®

О

пр
ав
а

это число делится нацело на 2.

Если запись натурального числа оканчивается нечётной цифрой,
то это число не делится нацело на 2.

0

но

ав

то

рс
к

им
и

Отметим, что все нечётные числа при делении на 2 дают в остатке 1.
Например, 53 = 2 • 26 + 1, 121 = 2 - 6 0 + 1.
Заметим, что если чётное число умножить на 5, то получится чис­
ло, последняя цифра которого равна 0. Например, 2 • 5 = 10, 16 ■5 = 80,
28 • 5 = 140. Если же нечётное число умножить на 5, то последняя цифра
полученного произведения будет равна 5. Например, 3 • 5 = 15, 17 - 5 = 85,
29 • 5 = 145.
Итак, последней цифрой числа п • 5, где п —любое натуральное число,
является 0 или 5. Также верно утверждение: если натуральное число оканчи­
вается цифрой 0 или 5, то его можно представить в виде произведения двух
натуральных чисел, одно из которых равно 5, т. е. представить в виде п • 5,
где п —некоторое натуральное число. Например, 15 = 3 • 5, 120 = 24 • 5.
Теперь понятно, как среди натуральных чисел распознавать те, кото­
рые кратны 5.
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, от­

щи

0

ще

это число делится нацело на 5.

за

личной от 0 или 5, то это число не делится нацело на 5.

Например, числа 15, 35, 70, 3 580, 11 445 делятся нацело на 5, а числа
17, 24, 5 553, 172 802 нацело на 5 не делятся.
?

1. Какой цифрой должна оканчиваться запись натурального числа,
чтобы оно делилось нацело на 10?
2. Какие числа называют чётными? Нечётными?
3. Какие цифры называют чётными? Нечётными?
11

4. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело
на 2 или нет?
5. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело
на 5 или нет?

Решаем устно

Верно ли утверждение:
1) число 17 является делителем числа 34;
2) число 5 является делителем числа 35;
3) число 45 является кратным числа 10;
4) число 17 кратно числу 2?
Назовите четыре натуральных числа, для которых делителем являет­
ся число: 1) 2; 2) 7.
Назовите четыре натуральных числа, кратных числу: 1) 5; 2) 11.
Назовите в порядке возрастания все делители числа: 1) 6; 2) 14; 3) 40;
4) 9; 5) 7.

пр
ав
ам
и

1.

___

2.

ск
им

и

3.
4.

__
Упражнения
о \ ______

Ч и с ло

24

Ч ё тн о е
ч и с ло

78

79

96

142

241

495

7 207

Из чисел 34, 467, 435, 860, 648, 5 465, 8 216, 2 405, 1 020, 246 370 вы­
пишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10.
Какие из чисел 68, 395, 760, 943, 1 270, 2 625, 9 042, 7 121, 1 734:
1) не делятся нацело на 2;
2) кратны 10;
3) делятся нацело на 5, но не делятся нацело на 10?

щи
ще

42.

60

но

41.

53

ор

Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного от­
вета или знак «-» в ином случае).

ав
т

40.

за

О О \_______

43.

Верно ли утверждение:
1) сумма двух чётных чисел является чётным числом;
2) сумма двух нечётных чисел является нечётным числом;
3) сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом;
4) если сумма двух чисел является чётным числом, то и слагаемые —
чётные числа;
12

44'

5) произведение двух чётных чисел является чётным числом6 произведение двух нечётных чисел является нечётным числом;
7) произведение чётного и нечётного чисел является нечётным числом?
i f ",!!'™ 6
нечетные значения х, при которых верно неравенство:

45-

Запишите все чётные значения X, при которых верно неравенство:

46.

Найдите все значения х , кратные числу 5, при которых верно нера­
венство:

47.

Найдите все значения х, кратные числу 10, при которых верно нера­
венство:

1) 273 < лг < 290;

2) 2 725 < х < 2 737.
2) 489 < х < 502.

пр
ав
ам

и

1) 134 < х < 160;

1) 38 < х < 75;

51.

52.

53.

ми

ки

1) четырёхзначное число, кратное 2;
2) пятизначное число, кратное 5;
3) шестизначное число, кратное 10.
Цифры в записи числа не могут повторяться.
1) Запишите шесть первых натуральных чисел, кратных 100. Обрати­
те внимание на две последние цифры этих чисел. Сформулируйте
признак делимости на 100.
2) Запишите восемь первых натуральных чисел, кратных 25. Обрати­
те внимание на две последние цифры этих чисел. Сформулируйте
признак делимости на 25.
Найдите наибольшее двузначное число х, при котором значение вы­
ражения х - 32 делится нацело на 5.
Найдите наименьшее трёхзначное число у , при котором значение
выражения 327 + у является числом, кратным 10.

Может ли число, в записи которого все цифры равны 1, делиться на­
цело на число, в записи которого все цифры равны 2?

за
щи

54.

Запишите наибольшее:

рс

50.

ав
то

49.

1) 279 < х < 320;
2) 1 465 < х < 1 510.
Запишите все четырёхзначные числа, кратные числу 5, для записи ко­
торых используют цифры 0, 3, 5, 7 (цифры не могут повторяться).
Найдите все цифры, которые можно дописать справа к числу 793,
чтобы получить число, кратное: 1) 2; 2) 5; 3) 10 (можно дописывать
только одну цифру).

ще
но

48.

2) 3 720 < х < 3 754.

55.

Может ли число, в записи которого все цифры равны 2, делиться на­
цело на число, в записи которого все цифры равны: 1) 1; 2) 5?

56.

1) Сумма двух натуральных чисел является нечётным числом. Чёт­
ным или нечётным числом будет их произведение?
2) Сумма двух натуральных чисел является чётным числом. Обяза­
тельно ли их произведение будет чётным числом?
13

60.

61.

66 .

то

Сумма двух натуральных чисел равна 700. Первое из них оканчивает­
ся цифрой 7. Если её зачеркнуть, то получим второе число. Найдите
эти числа.
Сколько существует двузначных чисел, для записи которых использо­
ваны только: 1) чётные цифры; 2) нечётные цифры?
Можно ли в выражении 1 + 2 + 3 + ...+ 8 + 9 заменить некоторые зна­
ки «+» на знаки «-» так, чтобы значение полученного числового вы­
ражения было равным 18?

за

щи

67.

ав

# "v _
65.

но

64.

ще

63.

рс

ки

ми

62.

и

59.

ва
м

58.

Чётной или нечётной будет сумма семи натуральных чисел, если:
1) четыре слагаемых чётные, а остальные —нечётные; 2) четыре сла­
гаемых нечётные, а остальные —чётные?
Сумма девяти натуральных чисел равна 1 000. Можно ли утверждать,
что их произведение —чётное число? Ответ объясните.
Можно ли разложить 50 яблок на пять кучек, в каждой из которых не­
чётное количество яблок? Ответ объясните.
Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражены на­
туральными числами в сантиметрах, причём одна из них на 1 см длин­
нее другой, и площадь которого равна 12 345 см2?
Известно, что п — натуральное число. Является ли чётным числом
значение выражения:
1 ) 2и;
3) п(п + 1);
5) (2га + 5)(4га - 2)(2п + 7)?
2) 2п + 1;
4) (2 я -1 )(2 л + 3);
В школе работают два ночных охранника — Иван Иванович и Пётр
Петрович. Они дежурят по очереди с вечера до утра следующего дня.
Иван Иванович заступил на дежурство 1 сентября, а Пётр Петро­
вич — 2 сентября. Кто из них заступит на дежурство 18 сентября?
29 сентября? 1 октября? 30 октября? 31 октября? По каким числам —
чётным или нечётным — будет дежурить Иван Иванович в ноябре?
Кто из них будет дежурить в ночь на Новый год?
Верно ли, что из любых трёх натуральных чисел всегда найдутся два
таких, сумма которых делится нацело на 2?
Сколькими нулями оканчивается запись числа, которое равно произ­
ведению:
1) 1 • 2 • 3 • .... 15 ■16;
2) 1 • 2 • 3 • ... • 25 ■26?

пр
а

57.

68.

Упражнения для повторения

Докажите, что:
1) 14 168 кратно 28;
2) 1 878 не кратно 24;

3) 73 является делителем 14 892;
4) 56 не является делителем 5 172.
14

70.

пр

71.

По состоянию на 2015 г. в России было 116 естественнонаучных музеев
и музеев науки, техники и отраслей народного хозяйства. Сколько музе­
ев каждого из этих двух видов, если музеев науки, техники и отраслей
народного хозяйства в 3 раза меньше, чем естественнонаучных музеев"'1
По состоянию на 2015 г. в России бы­
ло 152 государственных природных
заповедника и национальных парка.
Сколько в России природных заповед­
ников и сколько национальных пар­
ков, если заповедников на 58 больше,
чем парков?
Выполните действия:
1) (69 • 0,63 - 10,098 : 5,4 - 20,54) : 0,324;
2) 0,98 • 3,8 - 0,132 : 5,5 - 2,45.

ав
ам
и

69.

Задача от

В клетках таблицы размером 3 X 3 стоят нули.
Разрешается выбрать любой квадрат размером
2 X 2 клетки и увеличить числа во всех его клет­
ках на единицу. Можно ли после нескольких та­
ких операций получить таблицу, изображённую
на рисунке 1?

4

6

5

7

18

9

6

10

7

то

рс
ки

72.

Рис. 1

мудрой с о в ы

ми

(

ав

§ 3. Признаки делимости на 9 и на 3

щи

ще

но

Выполнив деление, можно убедиться, что каждое из чисел 108, 4 869,
98 802 делится нацело на 9. А существует ли другой, более быстрый способ
убедиться в этом?
Иными словами, существует ли признак делимости на 9? Да, он есть.
Отметим, что сумма цифр каждого из этих трёх чисел кратна 9. А вот,
например, ни сами числа 124, 533, 7 253, ни суммы их цифр, соответствен­
но равные 7, 11, 17, не кратны 9. И это не случайно.
Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число де­
лится нацело на 9.

Й

Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не
делится нацело на 9.

за



Аналогично можно определить, делится ли число нацело на 3.
15

0

Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число де­
лится нацело на 3.

В

Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не
делится нацело на 3.

пр
ав
а

ми

Например, число 7 854 делится нацело на 3, так как сумма его цифр,
равная 24, делится нацело на 3. Число 3 749 не делится нацело на 3, так как
сумма его цифр, равная 23, не делится нацело на 3.
1. Как узнать, делится ли число нацело на 9?
2. Как по записи натурального числа определить, кратно оно 3 или нет?
Решаем устно

Буквой п обозначили некоторое чётное число. Чётным или нечёт­
ным является число: 1) п + 1; 2) п + 2?
Какой цифрой оканчивается произведение:
1) 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7;
2) 1 ■3 • 5 - 7 • 9 • 11 • 13?
Какие из чисел 184, 162, 243, 145, 210, 144, 153, 105, 230, 201 делятся
нацело: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10; 4) на 3; 5) на 9?
Какое из чисел 2 045, 4 750, 7 254, 6 225 делится нацело на 3, но не де­
лится на 2?
Какую из цифр 5, 8, 2, 1 надо поставить вместо звёздочки, чтобы чис­
ло 5 6*5 было кратным 9?
Сколько существует двузначных чисел, кратных числу: 1) 5; 2) 9?

им
и

1.

\___

ск

2.
3.

то
р

4.

ав

5.

6.

Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного от­
вета или знак «—» в ином случае).

щи
щ

1^3 73.

ен
о

Упражнения

Число

7 2 63

4 681

2 7 43

6 885

7 227

6 350

7 920

за

Кратно 9

Q

74.

Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного от­
вета или знак «—» в ином случае).

Число

1356

4 813

9 0 75

3 2 72

Кратно 3

16

6 3 90

15 68 4

53 206

75 .

Из чисел 8 937, 6 585, 37 828, 44 292, 9 462, 58 395, 23 646 выпишите
те, которые делятся нацело: 1) на 3; 2) на 9; 3) на 3 и на 2
Из чисел 7 826, 1 215, 4 075, 2 880, 3 921, 9 319, 6 072, 8 142 выпиши­
те те, которые делятся нацело: 1) на 3; 2) на 9; 3) на 9 и на 5.

76 .
00 \-----

82 .
83 .
84 .

пр
ав
ам
и

щи

ще

85 .

ки
ми

81 .

рс

80 .

то

79 .

ав

73 .

Найдите все значения у , кратные:
1) числу 3, при которых верно неравенство 143 < у < 162;
2) числу 9, при которых верно неравенство 92 < у < 128.
Найдите все значения т, кратные:
1) числу 3, при которых верно неравенство 324 < т < 345;
2) числу 9, при которых верно неравенство 423 < т < 480.
Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число,
кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи):
1) 54 84*;
2) 3*6 393;
3) 7 9*8.
Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число,
кратное 9 (рассмотрите все возможные случаи):
1) 62 8*1;
2) 57* 582;
3)7*51.
Запишите:
1) наименьшее число, для записи которого используется только циф­
ра 2 и которое делится нацело на 3;
2) наименьшее трёхзначное число, которое делится нацело на 9.
Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 6 27*, что­
бы полученное число делилось нацело и на 3, и на 5?
Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 21 85*, что­
бы полученное число делилось нацело на 3, но не делилось нацело
на 2?
Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 3 47*, что­
бы полученное число делилось нацело и на 2, и на 3?
Запишите наименьшее:
1) четырёхзначное число, кратное 3;
2) пятизначное число, кратное 9;
3) шестизначное число, кратное 3 и 2;
4) четырёхзначное число, кратное 5 и 9.
Цифры в записи числа не могут повторяться.
Запишите наибольшее четырёхзначное число, которое делится нацело:
1) на 2 и на 3;
3) на 3 и на 10;
2) на 3 и на 5;
4) на 2 и на 9.
Какое наименьшее число надо прибавить к данному, чтобы получить
число, кратное 9:
1) 1 275;
3) 25 718;
5) 10 203 040;
2) 3 333;
4) 987 652;
6) 19 191| 91£ Ш £

но

77 .

за

86 .

87 .

17

Запиш ите, используя по одному разу каждую из ц и ф р 0, 1, 4, 7, наи­
больш ее и наименьш ее четы рёхзначн ы е числа, кратны е 15.

89.

К числу 15 допиш ите слева и справа по одной ц и ф р е так, чтобы полу­
чивш ееся число бы ло к ратно 15. Сколько реш ений им еет задача?
К числу 34 при пиш ите слева и справа по одной ц и ф р е так, чтобы по­
лучивш ееся число бы ло кратно 45. Сколько реш ений им еет задача?
В м есто зв ёзд о ч ек п о с та в ьте т ак и е ц и ф р ы , ч т о б ы ч е т ы р ё х зн а ч ­
ное число * 74* делилось нацело на 18. Н айдите все реш ения.
В м есто зв ёзд о ч ек п о с та в ьте т ак и е ц и ф р ы , ч т о б ы ч е т ы р ё х зн а ч ­
ное число 3 *4* делилось нацело на 9. Н айдите все реш ения.
П апа К арло купил т р и п ак ета к еф и р а, пачку масла за 45 сольдо, не­
сколько буханок хлеба по 24 сольдо, ш есть коробков спичек. Может
ли вся покупка стоить 260 сольдо?

92.
93.

ав
а

91.

пр

90.

ми

88.

__

С начала в ы ч и сл и л и сумму ц и ф р чи сл а, р а в н о го п р о и зв ед ен и ю
1 • 2 • 3 • ... ■999 ■ 1 000. П отом вы числили сумму ц и ф р полученного
числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное чис­
ло. Ч то это за число?
Ром а и Д и м а записы ваю т девятн ад ц ати зн ач н о е чи сло, используя
только ц и ф ры 1, 2 и 4. Первую циф ру пиш ет Рома, вторую — Дима,
третью — снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить
в результате число, к р атн о е 3. М ож ет л и Д и м а пом еш ать ему это
сделать?

ав

то

рс

95.

ки

ми

94.

Упражнения для повторения

97.

за

щи

98.

но

Q

Как изменится — увеличится или уменьш ится — и на сколько девяти­
зн ачное число, последняя ц и ф ра которого 0, а предпоследняя — 5, ес­
ли эти две ц и ф ры пом енять местами?
Река И рты ш на 598 км длиннее реки О би. Н айдите длину каждой из
этих рек, если их общ ая длина равна 7 898 км.
П о маршруту О рёл — Тула — М осква выехал автомобиль. Какое рас­
стояни е между О рлом и Тулой, если оно на 5 км больш е расстоя­
ния между' Тулой и М осквой, а длина всего марш рута составляет
345 км?
Вычислите:
1) 6,29 : 0,85 + (53 - 48,184) : 5,6;
2) 5,33 : 0,65 - (1,9218 - 0,8118) : 3.

ще

96.

99.

18

Готовимся к изучению
новой темы
лей степенью:
1) 7 • 7 • 7 • 7 • 7;

3) а ■а ■а ■а;

2 ) 10

4) х ■х ■х ■х ■х ■х.



10



10;

101. Найдите значение выражения-

ам
и

100. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множите­

,__ Ш
[ № ^ Задача от

м удц о й

пр
ав

1) 25;
3) 0,62;
5) 1,5«;
7) О6;
2) 72;
4) 0,53;
6) 1,23;
8) I 12.
102 . Запишите число 64 в виде степени с основанием: 1) 8; 2) 4; 3) 2.
совы

103. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каж­

Когда сделаны

уро ки

рс

ки

ми

дая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть
между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли со­
ставить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди
играла на своём стадионе и на стадионе соперника?

ав
то

Делится или не делится?

за

щи
ще
н

о

Вы уже знаете признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9 и на 10. Воз­
никает естественный вопрос: существуют ли признаки делимости, напри­
мер, на 4, на 6, на 7, на 8, на 11 и т. д.? Такие признаки существуют. Рас­
смотрим некоторые из них.
Легко установить признак делимости на 6. Поскольку 6 = 2 • 3, то к де­
лимому необходимо одновременно применить признаки делимости на 2
и на 3.
Аналогично можно получить признаки делимости на 15 (15 = 3 - 5 ) ,
на 18 (18 = 2 ■9), на 30 (30 = 3 • 10), на 45 (45 = 5 • 9) и т. п. Признак дели­
мости на 4 объясним на следующих примерах.
1) Рассмотрим число 524. Имеем: 524 = 5 - 100 + 24.
Каждое слагаемое суммы 5 - 100 + 24 делится нацело на 4, следова­
тельно, и само число 524 делится нацело на 4.
2) Рассмотрим число 7 518. Имеем: 7 518 = 75 • 100 + 18.
Здесь первое слагаемое суммы 75 ■100 + 18 делится нацело на 4, а вто­
рое —нет, следовательно, число 7 518 не делится нацело на 4.
Заметим, что любое натуральное число ш можно представить в виде
суммы:
19

за

щи

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

т = п • 100 + а,
где п —натуральное число или 0, а —однозначное или двузначное число
либо 0.
Поскольку число 100 делится нацело на 4, то можно сделать такой вы­
вод: делимость данного числа на 4 зависит только от делимости на 4
числа, записанного его двумя последними цифрами.
Чтобы выяснить, делится или не делится нацело число на 8, приве­
дём такие примеры:
число 13 006 = 13-1 000 + 6 не делится нацело на 8;
число 25 040 = 25- 1 000 + 40 делится нацело на 8;
число 5 122 = 5 • 1 000 + 122 не делится нацело на 8;
число 3 624 = 3 -1 000 + 624 делится нацело на 8.
Поскольку число 1 000 делится нацело на 8, то делимость данного
числа на 8 зависит от делимости на 8 числа, записанного его тремя
последними цифралш.
Записывая число в виде суммы определённым способом, можно уста­
новить и другие признаки делимости.
Так, записав число в виде суммы разрядных слагаемых, можно обос­
новать признаки делимости на 9 и на 3.
Например, рассмотрим число 486, кратное 9. Запишем его в виде сум­
мы разрядных слагаемых:
486 = 4 • 100 + 8 • 10 + 6.
Поскольку 100 = 9 9 + 1 и 1 0 = 9 + 1, то можем записать:
4 - 100 + 8 - 10 + 6 = 4 - (99 + 1) + 8 - ( 9 + 1) + 6.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
4 - ( 9 9 + 1 ) + 8 - ( 9 + 1) + 6 = 4 - 9 9 + 4 + 8- 9 + 8 + 6 =
= ( 4- 99 + 8 - 9 ) + (4 + 8 + 6).
Следовательно, 486 = (4 • 99 + 8 • 9) + (4 + 8 + 6).
Сумма 4 - 9 9 + 8 - 9 , записанная в красных скобках, делится нацело на
9. В зелёных скобках записана сумма цифр числа 486. Она также делится на­
цело на 9. Тогда и само число 486 кратно 9.
Запишем аналогичным образом число 532. Имеем:
532 = 5 • 100 + 3 • 10 + 2 = 5 • (99 + 1) + 3 • (9 + 1) + 2 =
= 5 - 9 9 + 5 + 3- 9 + 3 + 2 = ( 5 - 9 9 + 3 - 9 ) + (5 + 3 +2).
Следовательно, 532 = (5 • 99 + 3 ■9) + (5 + 3 + 2).
Значение выражения, записанного в красных скобках, делится наце­
ло на 9. А сумма цифр числа 532, записанная в зелёных скобках, на 9 не де­
лится. Таким образом, число 532 не кратно 9.
Отметим, что признак делимости на 9 мы смогли получить благодаря
тому, что любое натуральное число п можно представить в виде суммы по
следующей схеме:
20

Число

п

Число, которое делится
нацело на 9

=

-1-

Сумма цифр
числа п

за
щ

ищ

ен

о

ав
то

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

Аналогично можно объяснить признак делимости на 3.
Для того чтобы определить, делится ли число нацело на 11, поступа­
ют так. складывают все цифры числа, стоящие на нечётных местах (считая
справа налево), далее складывают все цифры, стоящие на чётных местах,
затем находят разность полученных сумм. Если эта разность делится наце­
ло на 11, то и само число делится нацело на 11.
На примере числа 638 проиллюстрируем описанные рассуждения.
638 = 6 • 100 + 3 • 10 + 8 = 6 • (99 + 1) + 3 • (11 - 1) + 8 =
= 6 - 9 9 + 3 - 1 1 + ( 6 - 3 + 8).
Значение выражения 6- 99 + 3- 11 делится нацело на 11. Следователь­
но, делится ли нацело число 638 на 11, зависит от того, делится ли нацело
на 11 значение выражения 6 - 3 + 8.
Поскольку 6 —3 + 8 = 11, то число 638 делится нацело на 11.
Существуют признаки делимости и на другие числа (7, 13, 37 и т. п.).
Но они значительно сложнее, чем описанные здесь. Вы можете с ними
ознакомиться, изучая популярную литературу по математике.
Признаки делимости могут быть полезными не только при решении
задач, но и стать основанием для демонстрации числовых фокусов. Опи­
шем один из них.
Фокусник просит одного из зрителей, у которого есть коробок спи­
чек, сосчитать их, потом вытащить из коробка количество спичек, равное
сумме цифр полученного числа. Не сообщая никакой информации, зритель
передаёт фокуснику закрытый коробок. Тот некоторое время трясёт его и,
не открывая, определяет количество спичек в коробке.
Здесь нет ни магии, ни чародейства. Просто фокусник хорошо знает
признак делимости на 9, из которого следует, что разност ь числа и сум ­
мы его циф р всегда делится нацело на 9. А следовательно, в коробке мо­
жет быть 9, 18, 27, 36 или 45 спичек (обычно в коробке больше не бывает).
С учётом этого при определённой тренировке можно по звуку (или по мас­
се коробка) определить количество спичек.
S 4. Простые и составные числа

Число 1 имеет только один делитель — единицу. Любое другое нату­
ральное число а имеет не меньше чем два делителя —единицу и само чис­
ло а. Действительно,
а : 1 = а, а : а = 1.
Число 5 имеет только два делителя —числа 1 и 5. Только два делителя
имеют также, например, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа называют простыми.
21

L,

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два
натуральных делителя: единицу и само это число.

Натуральное число называют составным, если оно имеет больше
двух натуральных делителей.

пр

Gi

ав
ам
и

Число 2 — наименьшее простое число. Заметим, что это единствен­
ное чётное простое число. Действительно, любое другое чётное число име­
ет по крайней мере три делителя: число 1, число 2 и само число.
Простых чисел бесконечно много. С доказательством этого факта вы
можете ознакомиться на с. 26. Наибольшего простого числа не существует.
Числа 6, 15, 49, 1 000 имеют больше двух делителей.

рс

ки

ми

Поскольку число 1 имеет только один делитель, его не относят ни
к простым, ни к составным числам.
Составное число 105 можно разными способами представить в виде
произведения его делителей.
Например, 105 = 15 • 7 = 35 • 3 = 5 • 21 = 3 ■5 • 7.
Последнее произведение отличается от других тем, что все его мно­
жители — простые числа. Говорят, что число 105 разложено на простые
множители.

то

Любое составное число можно представить в виде произведения
простых чисел, т. е. разложить на простые множители.

ав

0

за

щи

ще

но

Например:
10 = 2- 5;
30 = 2 - 3 - 5 ;
81 = 3 - 3 - 3 - 3 ;
18 = 2 • 3 • 3;
80 = 2 • 2 ■2 • 2 • 5;
200 = 2 • 2 ■2 • 5 • 5.
Заметим, что любые два разложения данного числа на простые мно­
жители состоят из одних и тех же множителей и могуч различаться только
порядком их следования.
Обычно произведение одинаковых множителей в разложении числа
на простые множители заменяют степенью. Например:
18 = 2 • З2;
81 = З4;
80 = 24 • 5;
200 = 23 • 52.
При разложении числа на простые множители удобно пользоваться
схемой, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2 940:
1) 2 940 кратно 2, 2 940 : 2 = 1 470;
2) 1 470 кратно 2, 1 470 : 2 = 735;
3) 735 не кратно 2, но кратно 3, 735 : 3 = 245;
4) 245 не кратно 3, но кратно 5, 245 : 5 = 49;
22

пр
ав
ам
и

5) 49 не кратно 5, но кратно 7, 49 : 7 = 76) 7 кратно 7, 7 : 7 = 1.
Следовательно, 2 940 = 2 ■1 470 = 2 • 2 ■735 = 2 • 2 • 3 . 945 = 2 - 2 - 3 - 5 - 49 = 2 - 2 - 3 - 5 - 7 - 7 = 22 - 3 - 5 - 72.
Приведённый ниже «числовой столбик» наглядно демонстрирует, как
работает предложенная схема разложения числа на простые множители:
2 940
1 470
735
245
49
7
1

3.
4.

ав

щи

5.

но

2.

Выполните действия:
1 ) 4,99 + 4,01;
3 )0 ,6 -0 ,2 5 ;
5)6-0 ,0 1 ;
7) 6 : 0,1;
2 ) 4,99 + 4,1;
4 )3 ,4 -3 ,0 4 ;
6) 0,6 • 0,1;
8 )0 ,6 :0 ,0 1 .
Какие из чисел 165, 106, 207, 253, 271, 282, 305, 315, 374, 389 делятся
нацело: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 3; 4) на 9?
Назовите все делители числа: 1) 28; 2) 29; 3) 30; 4) 31.
Число 204 равно произведению чисел 34 и 6. Является ли число 34 де­
лителем числа 204? А число 6?
Чему равно частное чисел 945 и 9? Является ли полученное частное
делителем числа 945?
У Пети было на 156 р. больше, чем у Димы. После того как Петя ку­
пил новую книгу, у него стало на 142 р. меньше, чем у Димы. Сколько
стоила книга?

ще

1.

то

Решаем у с т н о

рс

----- -------- !____

ки

ми

1. Какое натуральное число называют простым?
2. Какое натуральное число называют составным?
3. Почему число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам?
4. Существует ли чётное простое число?
5. Назовите наименьшее простое число.
6. Любое ли составное число можно разложить на простые множители?

за

6.

Упражнения

\ ___

104. Среди чисел 1, 3, 6, 7, 12, 13, 21, 23, 24, 28, 29, 33, 45, 46, 47 укажите:

1) простые; 2) составные.
23

105. Запишите все делители данного числа, подчеркните те из них, кото­

рые являются простыми числами: 1) 21; 2) 30; 3) 48; 4) 54.

1) 12;
2) 42;
107. Разложите
1) 27;
2) 56;

3) 216;
5) 920;
7) 10 850.
4) 450;
6) 2 280;
на простые множители число:
3) 625;
5) 2 772;
7) 1224.
4) 820;
6) 702;

оо \ ____

113.

114.
115.

пр

ми

щи

ще

116.

ки

112.

рс

111.

ав
то

110.

1) все простые числа, которые больше 10 и меньше 25;
2) все составные числа, которые больше 35 и меньше 49.
Запишите:
1) все простые числа, которые больше 22 и меньше 38;
2) все составные числа, которые больше 60 и меньше 78.
Простым или составным числом является произведение:
1) 13 -1;
3) 4 • 7;
5) 43 • 1;
2 ) 14-1;
4 )1 1 -1 3 ;
6)1-111?
Запишите все делители числа, равного произведению:
1)2-2-5;
2)3-5-7.
Запишите все делители числа, равного произведению:
1)2-5-13;
2) 3 • 3 • 3 ■7.
Чему равно частное от деления числа а на число Ь, если:
1 ) а = 2- 2- 2- 3- 3 - 7, 6 = 2- 2- 3 - 7;
2) а = 3 • 5 - 5 • 13 •17 ■19, 6 = 3 • 13 • 19?
Чему равно частное от деления числа а на число 6, если:
1) а = 2 ■3 ■ 5 ■5 • 7• 11 • 13, 6 = 2 • 5 • 13;
2) а = 2 • 2 • 3 • 5 • 23■37, 6 = 2 • 3 ■37?
Запишите все двузначные числа, в разложении которых на простые
множители один из множителей равен: 1) 7; 2) 17; 3) 23.
Запишите все двузначные числа, разложение которых на простые
множители состоит: 1) из двух одинаковых множителей; 2) из трёх
одинаковых множителей.
Сколько существует чисел, которые можно разложить на два двузнач­
ных простых множителя, один из которых на 2 больше другого? Вос­
пользуйтесь таблицей простых чисел.
Найдите все числа, которые можно разложить на два двузначных
простых множителя, разность которых равна 4. Воспользуйтесь таб­
лицей простых чисел.
Задумали простое число. Известно, что следующее за ним натураль­
ное число тоже простое. Какое число задумали?

но

109.

ав
а

108. Запишите:

за

117.

118.
119.

ми

106. Разложите на простые множители число:

24

120 Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом? В случае

утвердительного ответа приведите пример.
Может ли быть простым числом:
1) произведение двух различных чисел;
2) значение площади квадрата, длина стороны которого выражается
натуральным числом?
Ответ обоснуйте.
122 . Может ли сумма двух составных чисел быть простым числом? В слу­
чае утвердительного ответа приведите примеры.
123. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражаются
натуральными числами, а периметр — простым числом (длины сто­
рон и периметр прямоугольника выражены в одних и тех же едини­
цах измерения)? Ответ обоснуйте.
124. Может ли произведение ста различных простых чисел делиться наце­
ло: 1) на 3; 2) на 9?

.

пр
ав
а

ми

121

т \ __
125

Существуют ли три последовательных натуральных числа:
1) каждое из которых является простым;
2) ни одно из которых не является составным?
Ответ обоснуйте.
126. При каком натуральном значении п будет простым числом значение
выражения: 1) 2п\ 2) я *12; 3) п{п + 1)?

то
р

ск

им
и

.

4

Упражнения для повторения

за
щ

I

ищ
ен

о

ав

127. Натуральное число я, которое больше 1 и меньше 100, не делится на­
цело ни на одно из чисел 2, 3, 5 и 7. Верно ли, что число я —простое?
Ответ обоснуйте.
128. Простое число, большее 1 000, поделили на 6. Чему может быть рав­
ным остаток?
129. Найдите все пары простых чисел, разность которых равна 17.
130. Найдите количество делителей числа, равного значению выражения:
1) 24; 2) 23 • З2; 3) 2” • 3"', яг и я —натуральные числа.

131. Решите уравнение:
1) 4 * + 5 * + 4,7 = 16,4;
3) (35,8- * ) : 2,1 = 1,3;
2) 0,7* - 0,4* + 46 = 211;
4) 0,9(283 - *) = 17,01.
132. Запишите пять чисел, кратных: 1) числу 8; 2) числу 18; 3) числу я.
133. При делении нацело числа я на 15 получили число, кратное 6. Делит­
ся ли нацело число я на 10? Ответ обоснуйте.
134. При делении нацело числа я на 6 получили число, кратное 12. Делит­
ся ли нацело число я на 9? Ответ обоснуйте.
25

Готовимся к изучению
новой темы
135. Найдите значение степени:
1
’;
1))3З4;

Z ) 62;
2)

.>/ 5
и
3)

4)
*/ - •

.



6)

1 Г-'.

136. Из чисел 348. 975, 1 026,2 531, 12 120, 43 674, 58 121 выпиш ите те. ко­

Г

Задача от

мудрой со вы

\-----

137. Шахматный конь начинает свой маршрут

Когда сделаны

уроки

\ -----

ки



ми

в левом нижнем углу доски, а заканчивает
его в правом верхнем углу. Может ли конь
при этом побывать на всех полях доски по
одному разу?

пр
ав
ам
и

торые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 3; 3) на 5.

то
рс

Так ли просты эти простые числа?

за

щи

ще

но

ав

В тех случаях, когда с чем-то можно справиться легко, без проблем,
мы говорим «простая задача», «простое дело», «простой маршрут» и т. п.
Вам может показаться, что когда речь идёт о простых числах, то никаких
сложностей не предвидится. Но это совсем не так.
Простые числа поставили перед математиками немало сложных во­
просов, на многие из которых ответ до сих пор не найден. О некоторых
проблемах, связанных с простыми числами, пойдёт речь далее.
Из первой тысячи натуральных чисел 168 чисел являются простыми.
Есть простые числа и во второй, третьей, четвёртой тысячах. Может сло­
житься впечатление, что среди любых 1 000 натуральных чисел, идущих
подряд, встречаются простые. Однако этот вывод ошибочный.
Запишем в столбик 1 000 числовых выражений:
1 • 2 • 3 . . . . . 1 000 ■1 001 + 2;
1 ■2 ■3 . . . . . 1 000 • 1 001 + 3;
1 ■2 ■3 . . . . . 1 000 ■1 001 + 1 000;
1 • 2 • 3 . . . . . 1 000 ■ 1 001 + 1 001.
Значениями этих выражений являются последовательные натураль­
ные числа. Каждое из этих чисел является составным. Д ействительно, пер­
вое число делится нацело на 2, второе — на 3, девятьсот девяносто девя­
тое —на 1 000, тысячное —на 1 001.
26

ав
ам
и

Подобно этому можно сконструировать, например, миллион, миллиард, триллион и т. д. составных чисел, идущих подряд.
Тогда можно предположить, что в натуральном ряду, начиная с неко­
торого места, вообще невозможно встретить простое число. Однако и это
неверно. Исследуя таблицы простых чисел, французский математик Жо­
зеф Луи Франсуа Бертран (1822-1900) выдвинул предположение, что при
п > 1 междУ числами и и 2га содержится хотя бы одно простое число. Пер­
вым доказал этот факт Пафнутий Львович Чебышёв.
\

пр

П .Л. Ч е б ы ш ё в
(1 8 2 1 -1 8 9 4 )

В ы д а ю щ и й с я р усски й м а т е м а т и к и м еха-

ММ

ник. П олож ил

начало развитию

м атем атики, основал

ми

разделов

м н о ги х н овы х

П етер бур гскую

научную ш кол у м а те м а ти к о в и м е ха н и к о в .

т /

рс

'

ки

Г

за

щи

ще

но

ав

то

Ещё древнегреческий учёный Евклид в своей знаменитой книге «На­
чала» доказал, что простых чисел бесконечно много. Он рассуждал пример­
но так. Пусть простых чисел конечное количество, например столько,
сколько их в первой тысяче. Перемножим их и к произведению прибавим
число 1. Получим число и = 2 •3 ■5 •... •997 + 1. Число п больше любого из
простых чисел первой тысячи. Следовательно, оно составное, а потому
должно делиться нацело на некоторое простое число к. В то же время про­
изведение 2 •3 •5 • ... •997 также делится нацело на к. Тогда при делении
числа и на к получим в остатке 1, а это противоречит тому, что число п де­
лится нацело на к.
Как видите, доказательство непростое. Установить, например, что не­
чётных (чётных) чисел бесконечно много, значительно легче. Если в выра­
жение 2ц - 1 по очереди вместо п подставлять все натуральные числа, то
получим последовательность, состоящую из нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, ... .
Итак, выражение 2ц - 1 генерирует все нечётные числа. А существу­
ет ли выражение, при подстановке в которое вместо буквы любого нату­
рального числа получим простое число?
Конечно существует! Вот, например, — . При любом натуральном п

это выражение будет «выдавать» простое число 3.
27

ми

пр
ав
а

ми

Понятно, что такая «формула» простых чисел нас не удовлетворяет.
Хотелось бы иметь выражение, которое дало бы возможность получать псе
простые числа друг за другом. К сожалению, математики до сих пор такого
выражения не нашли.
В мире простых чисел есть много и других нерешённых задач. Напри­
мер, в таблице простых чисел (см. форзац) красным цветом выделены про­
стые числа, отличающиеся на 2. Это, в частности, 3 и 5, 5 и 7, 419 и 421.
Простые числа, образующие такие пары, называют близнецами. Конечно
или бесконечно количество пар близнецов, пока неизвестно.
Остаётся загадкой, сколько существует простых чисел, все цифры ко­
торых единицы. Например, числа 11, 11 111, 11 111 111 111 111 111 111 111
являются простыми.
Конечным или бесконечным является множество простых чисел,
в записи которых не содержится ни одного нуля, до сих пор неизвестно.
Подробнее с понятием множества вы ознакомитесь в параграфе 31.

ки

S 5. Наибольший общий делитель

Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каж­

ав

Й

то
рс

Число 28 имеет такие делители: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Делителями числа 42
являются числа 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Красным цветом выделены числа 1,
2, 7, 14, которые являются общими делителями чисел 28 и 42. Среди об­
щих делителей число 14 является наибольшим.

о

дое из двух данных натуральных чисел, называют наибольшим об­
щим делителем этих чисел.

за
щ

ищ

ен

Наибольший общий делитель чисел а \ \ Ь обозначают так: НОД (я; Ь).
Таким образом, можно записать: НОД (28; 42) = 14.
Легко установить, например, что НОД (10; 25) = 5, НОД (18; 24) = 6,
НОД (7; 12) = 1.
Наибольший общий делитель многозначных чисел удобно находить,
предварительно разложив их на простые множители.
Найдём НОД (455; 770).
Разложим числа 455 и 770 на простые множители:
455
5
770
2
91
7
385
5
13
13
77
7
1
455 = 5 . 7 . 13
11
11
1
770 = 2 • 5 • 7 • 11
28

1) Определить степени, основания которых являются общими про­
стыми делителями данных чисел (в рассматриваемом примере это
основания 2, 3, 5).
2) Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать
степень с меньшим показателем (в рассматриваемом примере это
22, З1, 51).
3) Перемножить выбранные степени.
Полученное произведение является искомым наибольшим общим
делителем (в рассматриваемом примере НОД (180; 840) = 22 ■З1 ■51).

щи
ще

но

ав

&

то

рс
ки
ми

пр
ав
ам
и

Красным цветом выделены все общие простые делители данных чи­
сел: 5 и 7. Наибольшее число, на которое делятся нацело и 455, и 770, рав­
но 5 • 7, т. е. НОД (455; 770) = 5 • 7 = 35.
Рассмотрим ещё один пример: найдём НОД (180; 840). Разложив чис­
ла 180 и 840 на простые множители, получим:
180 = 2 • 2 • 3 ■3 • 5;
840 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7.
Как видим, в разложениях данных чисел некоторые простые множи­
тели повторяются. Число 2 в разложении числа 180 встречается дважды,
а в разложении числа 840 —трижды. При этом число 4, равное 2 • 2, явля­
ется общим делителем данных чисел, а число 8, равное 2 • 2 • 2, не являет­
ся делителем числа 180. Также видно, что число 3 — общий делитель дан­
ных чисел, а число 9, равное 3 • 3, не является делителем числа 840. Ещё
рассматриваемые числа имеют общий делитель —число 5.
Итак, числа 180 и 840 делятся нацело на каждое из чисел 4, 3, 5. Они
также делятся нацело и на их произведение 4 • 3 • 5. Таким образом,
НОД (180; 840) = 4 • 3 • 5 = 60.
Если разложения чисел 180 и 840 на простые множители записать
в виде произведения степеней:
180 = 2 - - 3- - 51;
840 = 23 • З1 • 51 ■7 \
то НОД удобно искать по такому правилу.

за

Рассмотрим ещё один пример. Найдём НОД (585; 616).
Имеем: 585 = З2 ■5 • 13; 616 = 23 ■7 ■11.
Видим, что числа 585 и 616 не имеют общих простых делителей. Их
наибольший общий делитель равен 1, т. е. НОД (585; 616) = 1.
0

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел ра­
вен 1, то их называют взаимно простыми.
Числа 585 и 616 - взаимно простые.
29

Отметим, что любые два простых числа являю т ся взаимно про­
стыми. Например, НОД (17; 43) = 1, НОД (101; 919) = 1.
П р и м е р 1. Найдите НОД (250; 3 000).
Реш ение. Здесь нет необходимости раскладывать

ав
ам
и

данные числа на
простые множители. Число 250 — делитель числа 3 000. Поэтому
НОД (250; 3 000) = 250.
Ответ: 250. ◄
Вообще, если число а — делитель числа Ь, то Н О Д (а; Ь) = а.
Заметим, что можно находить наибольший общий делитель любого
количества натуральных чисел, в частности трёх.
НОД (132; 180; 144).
данные числа на простые множители:
144
180
2
132
2
90
66
2
2
72
33
3
45
3
36
11
11
15
3
18
1
9
5
5
1
3
1
180 = 22 • З2 • 5;
144 =
132 = 21234• 3 • 11;
Итак, НОД (132; 180; 144) = 22 • 3 = 12.

то

рс

ки

ми

пр

П р и м е р 2. Найдите
Реш ение. Разложим

Ответ: 12. ■*

щи

ще

но

ав

1. Какое число н азы в аю т н а и б о л ь ш и м о б щ и м дел и тел е м двух чисел?
2. Как м о ж н о най ти НОД двух н атуральны х чисел, используя их разло­
ж ения на п ро сты е м н о ж и тел и ?
3. К акие числа н азы в аю т в за и м н о п р о сты м и ?
4. Ч е м у равен н а и б о л ьш и й о б щ и й делитель двух чисел, о д н о из кото­
ры х кра тн о др угом у?

за

1.
2.

3.
4.

Какие из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 14, 15, 17, 31, 32, 33 являются
простыми, а какие —составными?
Назовите все простые значения х, при которых будет верным нера­
венство 40 < х < 50.
Назовите все составные значения у , при которых будет верным нера­
венство 15 < у < 25.
Какие одинаковые цифры надо поставить вместо звёздочек, чтобы
было верным равенство 2,* + 4,* = 7,6?
30

.

6

.

Является ли данное разложение на множители разложением на про­
стые множители:
1) 120 = 2 •3 ■4 •5;
2) 567 = 7 •92;
3) 180 = 3 •6 •10 ?
Сколько всего делителей у числа а, если а ■ 3 - 5 - 1 9 ?

Яр

Упражнения

ав
ам
и

г

5

ав
т

ор

ск

5

им

Q

и

пр

138. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1 ) 12 и 18;
3) 6 и 36;
5) 35 и 18;
2) 24 и 30;
4) 48 и 64;
6) 14, 21 и 28.
139. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1 ) 16 и 24;
3 ) 1 0 и 15;
5) 21 и 49;
2) 15 и 60;
4) 45 и 56;
6) 12, 18 и 24.
140. Найдите наибольший общий делитель чисел а и Ь\
1 ) а = 2- 2- 3- 5- 7 - 1 9 и 6 = 2- 3- 3- 7 - 1 1 - 1 3 ;
2) a = 2s ■З2 •73 ■I I 2 • 19 и Ь = 22 •З5 •I I 2 ■193.
141. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 72 и 120;
2) 792 и 1 188;
3) 924 и 396;
4) 116 и 111.
142. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 4 2 и 105;
2) 588 и 252;
3) 680 и 612.
143. Среди данных пар чисел выберите пары взаимно простых чисел:
1 ) 14 и 21;
3 ) 4 2 и 55;
5) 28 и 39;
2) 54 и 65;
4) 14 и 70;
6) 63 и 42.
Для пар чисел, не являющихся взаимно простыми, укажите наиболь­
ший общий делитель.
144. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 12, 14, 33, 25.
145. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 15, 16, 21, 77.

ще
н

146. Запишите все правильные дроби со знаменателем 15, у которых чис­
литель и знаменатель — взаимно простые числа.
147. Запишите все неправильные дроби с числителем 16, у которых чис­
литель и знаменатель —взаимно простые числа.
148. Докажите, что:
1) числа 364 и 495 — взаимно простые;
2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми.
149. Докажите, что:
1) числа 945 и 572 — взаимно простые;
2) числа 1 095 и 738 не являются взаимно простыми.
150. Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа
(цифры в каждом двузначном числе должны быть различными). Из
полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.

за
щи

О

о

оо V

Q

31

151. Напишите три пары составных чисел такие, что в парах числа явля­

ются взаимно простыми.
152. Между учениками 6 класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 руч­

ки. Сколько в этом классе учеников?

7 \__

153. На автомобили погрузили 96 контейнеров с картофелем и 64 контей­

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

нера с капустой. Сколько было автомобилей, если известно, что их не
меньше 20 и на всех автомобилях было одинаковое количество контей­
неров с картофелем и одинаковое количество контейнеров с капустой?
154. Между школьными библиотеками разделили 92 толковых и 138 орфо­
графических словарей русского языка. Сколько было школ, если из­
вестно, что их не менее 25 и все школы получили одинаковые ком­
плекты, состоящие из словарей двух видов?
155. Для новогодних подарков приобрели 96 шоколадок, 72 апельсина
и 84 банана. Какое наибольшее количество одинаковых подарков
можно из них составить, если необходимо использовать все продук­
ты? Сколько в отдельности шоколадок, апельсинов и бананов будет
в каждом подарке?
156. Из 156 жёлтых, 234 белых и 390 красных роз составляли букеты. Ка­
кое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить, ес­
ли необходимо использовать все цветы?

то

Упражнения для повторения

157. Используя цифры 2, 5 и 9 (цифры не могут повторяться), запишите

ав

щи
ще

159.
160.

но

158.

трёхзначное число, которое: 1) кратно 2; 2) кратно 5. Можно ли с по­
мощью этих цифр записать число, кратное 3?
Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 1*8, чтобы
полученное число делилось нацело на 18?
Запишите число 19 в виде суммы трёх простых чисел.
Если к некоторому двузначному числу справа дописать нуль, то дан­
ное число увеличится на 432. Найдите это число.
Найдите числа, которых недостаёт в цепочке вычислений:
1) 38 - а > 1,9 + Ь > 2,24 1С ». 56;

за

161.

2) a - - - - 5
Задача от

4 — ?-*■ 1,6
м удрой совы

32.
\ ____

162. Барон Мюнхгаузен рассказывал, что он разрезал арбуз на четыре час­

ти, а после того, как его съели, осталось пять корок. Может ли такое
быть, если корки не ломать?
32

Когда сделаны

уроки

Решето Эратосфена

11

12

14

15

16

7

!

9

17

а8

19

20

10

23

24

25

26

27

28

29

33

:4

35

з6

37

:8

39

40

42

43

44

45

46

47

i 8

49

q0

51

Е2

53

54

55

56

57

58

59

е0

61

€2

63

е4

65

е6

67

£8

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

£0

81

82

83

£4

85

£6

87

£8

89

90

91

£2

93

94

95

96

97

С

22

31

32

ав

21

но
ще
щи

13

5

1

з0

41

за

3

рс

©

то

X

ки

ми

пр
а

ва
м

и

Когда в каком-то веществе или продукте
хотят отделить мелкие частички от более круп­
ных, то используют решето. Например, после
помола зерна с помощью решета отделяют му­
ку от отрубей.
Древнегреческий математик Эратосфен
придумал, как отделить простые числа в ряду
натуральных чисел. Его метод получил назва­
ние «решето Эратосфена».
Покажем, как из первой сотни натуральных чисел «просеять» про­
стые числа.
Запишем первые сто натуральных чисел в виде таблицы.
Зачеркнём в этой таблице число 1, которое не является простым. Да­
лее обведём число 2, а остальные чётные числа Таблицы зачеркнём.

8

99 1' )0

Первым из оставшихся чисел будет число 3, которое мы тоже обве­
дём. Далее вычеркнем из таблицы все числа, кратные трём, кроме самого
числа 3.

33

ав
ам
и
пр
ми
ки

за

щи

ще

но

ав

то

рс

Первым из оставшихся чисел будет число 5. Далее проделаем такую
же операцию с числами 5 и 7.

На этом шаге просеивание завершено. Все оставшиеся числа в табли­
це являются простыми. Действительно, числа 4, б, 8, 9, 10 оказались вычер34

кнутыми. Если составное число больше 10, но меньше 100, то его можно
представить в виде произведения двух множителей, один из которых мень­
ше 10. Составное число с таким множителем кратно одному из чисел 2, 3,
5, 7, а значит, будет вычеркнуто.
§_6- Наименьшее общее кратное

пр

ав
а

ми

Число 24 кратно каждому из чисел 6 и 4. В этом случае говорят, что
24 является общим кратным чисел 4 и 6.
Запишем числа, кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.......
Запишем числа, кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42.......
Красным цветом выделены общие кратные чисел 4 и 6.

ми

Наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каж­
дое из двух данных натуральных чисел, называют наименьшим об­
щим кратным этих чисел.

за

щи

ще

но

ав

то

рс

ки

Наименьшее общее кратное чисел а и b обозначают так: НОК (а; Ь).
Например, можно записать: НОК (4; 6) = 12.
Несложно убедиться, что, например, НОК (2; 3) = 6, НОК (10; 15) = 30,
НОК (12; 24) = 24.
Чтобы найти НОК двух чисел, например 18 и 30, можно воспользо­
ваться такой схемой: будем последовательно выписывать числа, крат­
ные 30, до тех пор, пока не получим число, кратное 18. Имеем: 30, 60, 90.
Число 90 и является наименьшим общим кратным чисел 18 и 30.
Однако чаще для нахождения НОК используют другой способ.
Рассмотрим разложение на простые множители чисел 18, 30 и чис­
ла 90, которое является их наименьшим общим кратным. Имеем:
18 = 2 • 3 . 3 = 2 -З2;
30 = 2 ■3 • 5;
90 = 2 ■3 . 3 . 5 = 2 ■З2 • 5.
Как видим, число 90, являющееся наименьшим общим кратным чи­
сел 18 и 30, содержит все множители из разложения числа 18 (они выделе­
ны красным цветом) и множитель 5 из разложения числа 30, которого нет
в разложении числа 18.
Рассмотрим ещё один пример. Найдём НОК (84; 90). Имеем:
84 = 2 • 2 • 3 . 7;
90 = 2 • 3 • 3 • 5.
Тогда НОК (84; 90) = 2- 2- 3- 7 - 3 - 5 = 1 260.
Если разложения чисел 84 и 90 на простые множители записать в ви­
де произведения степеней:
35

84 = 22 • 31 ■71;
90 = 21 • 32 • 5 \
то НОК удобно искать по такому правилу.
t;

1) Выбрать степени, основания которых встречаются только в од­

Пример 1. Найдите НОК (250; 3 000).
Решение. В этом случае нет необходимости

пр

ав
ам
и

ном из разложений данных чисел на простые множители (в рассма­
триваемом примере это 71 и 5 1).
2) Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать
степень с большим показателем (в рассматриваемом примере это 22
и З 2).
3) Перемножить выбранные степени.
Полученное произведение является искомым наименьшим общим
кратным (в приведённом примере НОК (84; 90) = 2 2 - 3 2 - 5 1 . 7 1).

рс

ки

ми

раскладывать данные чис­
ла на простые множители. Число 250 — делитель числа 3 000. Поэтому
НОК (250; 3 000) = 3 000.
Ответ; 3 000. ч
Вообще, если число а — делитель числа Ь, то Н О К (а; Ь) = Ь.

то

Пример 2. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8 и 15.
Решение. Имеем: 8 = 23, 15 = 3 ■5, НОК (8; 15) = 23 • 3 • 5 = 8 • 15 =
Ответ: 120. ч

120.

ав

Числа 8 и 15 —взаимно простые. Найти их наименьшее общее крат­
ное можно, воспользовавшись следующим правилом.
Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их про­

но

О

ще

изведению.

щи

Заметим, что можно находить наименьшее общее кратное любого
количества натуральных чисел, в частности трёх.

за

Пример 3. Найдите НОК (18; 24; 30).
Решение. Представим данные числа

в виде произведения степеней
простых чисел:
18 = 2 • 3 ■3 = 21 ■З2;
24 = 2 • 2 • 2 • 3 = 23 • З1;
30 = 21 • З1 - 51.
Тогда НОК (18; 24; 30) = 23 • З2 • 51 = 8 ■9 • 5 = 360.
Ответ: 360. ч
36

и

1. Какое число называют наименьшим общим кратным двух чисел?
2. Как можно найти НОК двух натуральных чисел, используя их разло­
жения на простые множители?
3. Чему равно наименьшее общее кратное двух чисел, одно из кото­
рых является делителем другого?
4. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

3.

ав

то
р

4.

им
и

2.

Назовите какое-либо трёхзначное число, которое:
1) делится нацело на 3, но не делится нацело на 9;
2) делится нацело на 9 и на 2;
3) делится нацело на 9 и на 5;
4) делится нацело на 3 и на 4;
5) делится нацело на 9, а при делении на 10 даёт остаток 7.
Назовите три общих кратных чисел:
1) 2 и 3;
2) 4 и 6;
3) 5 и 10.
Используя цифры 0, 2, 3 и 4, составьте наименьшее и наибольшее че­
тырёхзначные числа, кратные 5. Можно ли утверждать, что получен­
ные числа кратны 15?
В парке посадили каштаны и дубы, причём на каждый каштан прихо­
дилось три дуба. Сколько всего деревьев посадили в парке, если дубов
посадили 24?

ск

1.

пр
ав
ам

Решаем устно

163. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

но

ще

щи

164.

1) 8 и 12;
3) 6 и 12;
5) 24 и 36;
2) 12 и 16;
4) 10 и 21;
6) 6, 8 и 12.
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1 ) 6 и 10;
3)14 и 28;
5) 32 и 48;
2) 9 и 12;
4)
8 и 9;
6) 8, 9 и 15.
Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
чисел а и Ь:
1) a = 23 • 3 • 5 и Ъ = 2 • З2 • 5;
2) а = 24 • 3 • 11 и Ъ = 22 • З3 • 13.
Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
чисел а и Ь:
1) а = 3 ■52и i = 3 ■5 ■7;
2) a = 23 • З2 • 54 и b = 22 • 3s ■52.
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1)56 и 70;
2) 78 и 792;
3) 320 и 720;
4) 252 и 840.

за

165.

166.

167.

37

L.,.! 168.

Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 42 и 63;
2) 120 и 324;
3) 675 и 945;

4) 924 и 396

on \
169.

Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:
П

172.

173.

1

ав

ще

176.

но

175.

то

рс

174.

97

пр
ав
ам
и

171.

о\

ки
ми

170.

4

2) Ш> И 125'
' 12
15 ’
Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:
14 8 7
04 11
24
' 9 6’
' 20
25
Найдите наименьшее общее кратное:
1) первых пяти натуральных чисел;
2) первых пяти нечётных чисел;
3) первых пяти простых чисел.
Найдите наименьшее общее кратное:
1) первых пяти чётных чисел;
2) первых четырёх составных чисел.
Длина шага Чебурашки равна 15 см, а крокодила Гены — 50 см. Какое
наименьшее одинаковое расстояние должен пройти каждый из них,
чтобы они оба сделали по целому числу шагов?
С одного места в одном направлении по велотрек)’ одновременно
стартовали два велосипедиста. Один из них делает круг за 1 мин,
а другой — за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после
начала движения они вновь окажутся в месте старта? Сколько кру­
гов по велотреку при этом сделает каждый из них?
Дима и Петя отправились в поход из одного пункта в одном направле­
нии. Петя делал остановку для отдыха через каждые 2 400 м, а Дима —
через каждые 2 800 м. На каком наименьшем расстоянии от пункта от­
правления места их остановок совпадут?
В ящике лежит меньше 80 мандаринов. Известно, что их можно раз­
делить поровну между двумя, тремя или пятью детьми, но нельзя раз­
делить поровну между четырьмя детьми. Сколько мандаринов лежит
в ящике?

\-----

щи



Саша ходит в бассейн один раз в три дня, Коля — раз в четыре дня,
Петя — раз в пять дней. Мальчики встретились в бассейне во втор­
ник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся в сле­
дующий раз?
178. Готовя подарки к Новому году, члены родительского комитета 6 клас­
са увидели, что имеющиеся конфеты можно разложить поровну по
15 штук или по 20 штук в один подарок. Сколько было конфет, если
известно, что их было больше 600 и меньше 700?

за

177.

38

Упражнения для повторения

______

ав

то

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

179. Если к данному числу прибавить 2, то получен­
ное число будет кратно 5. Чему/равен остаток от
деления данного числа на 5?
180. Белый аист пролетел 48 кЫ со скоростью
40 к м /ч . Сколько взмахов крыльями сделал при
этом аист, если каждую секунду он делает два
взмаха?
181. Для производства 1 т бумаги необходимо исполь­
зовать 6,3 м:! древесины или 1 400 кг макулатуры.
Учащиеся одной школы собрали 2 100 кг макула­
туры. Сколько кубических метров древесины
можно сэкономить, использовав для производ­
ства бумаги собранную школьниками макулатуру?
1 82. Останкинская телебашня в Москве является са­
мой высокой в Европе отдельно стоящей кон­
струкцией. Высота Эйфелевой башни (г. Париж,
Франция) вместе с антенной равна 324 м, что со­
3
ставляет
высоты Останкинской телебашни.
5
Останкинская телебашня состоит из железобе­
тонной основы и металлической части, которая
короче железобетонной основы на 230 м. Како­
ва высота железобетонной основы?

но

Готовимся к изучению
новой темы

за

щи

ще

1 83. 1) В коробке лежит 14 шаров, из которых 5 — синего цвета. Какую
часть всех шаров составляют синие?
2) В коробке лежит 14 шаров, из которых — составляют шары крас­
ного цвета. Сколько красных шаров в коробке?
3) В коробке лежат шары, 6 из которых белого цвета. Сколько всего
шаров в коробке, если белые составляют

~

всех шаров?

12 I9 5 15 374 53 53 72 , ,
1 84. Укажите, какие из дробей — , — , — , — , — . — . ту . туnPJ ‘
вильные; 2) неправильные. Неправильные дроби преобразуйте в сме­
шанные числа.
39

185 . Н ач ер ти те к оорди натн ы й луч, взяв за единичны й такой отрезок, дли­

на которого в 6 р аз больш е сто р о н ы клетки тетради. О тм етьте на лу13
че точки , соответствую щ ие числам: 1 _ ^ 4 ^ 5 6 7 П 1 2
6 ' 6 ’ 6 ’ б ’ б ’ 6 ’ 6 ’ 6 ’ "б" ’
Задача от мудрой совы

пр
ав
ам
и

186 . Н а чудо-дереве садовник вы расти л 85 бананов и 70 апельсинов. Каж­

за

щи

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

ды й ден ь он сры вает два плода, и сразу н а дереве вы растает один но­
вый. Если садовник сры вает два одинаковы х фрукта, то вырастает
апельсин, а если два разн ы х — то банан. К аким окаж ется последний
ф рукт на этом дереве?

40

Итоги главы 1
Делители и кратные
• Н а ту р а л ь н о е ч и сл о а д е л и тся н а ц е л о н а н атур ал ьн ое число Ь,
е сл и н а й д ё тс я н а тур ал ьн о е чи сло с та к о е , что с п р а в е д л и в о р а ­
в е н с т в о a = b • с.

ми

• Е сл и н а т у р а л ь н о е ч и сло а д е л и тся н а ц е л о на н атур ал ьн ое число
Ь, то ч и с л о а н а з ы в а ю т к р а тн ы м чи сла Ъ, чи сло b — дел и тел е м
ч и с л а а.

ав
а

Признак делимости на 10

пр

• Е сл и з а п и с ь н а тур а л ь н о го числа о к а н ч и в а е тся циф рой 0, то это
ч и с л о д е л и т с я н а ц е л о на 10.
• Е сл и з а п и с ь н а тур а л ь н о го чи сла о к а н ч и в а е тся л ю бой циф рой,
отл и ч н о й от 0, то ч и сло не д е л и тся н ац е л о на 10.

Признак делимости на 2

Признак делимости на 5

ск

им

и

• Е сл и з а п и с ь н а т ур а л ь н о го чи сла о к а н ч и в а е тся чётной циф рой,
то это ч и сл о д е л и т ся н а ц е л о на 2.
• Е сл и з а п и с ь н а тур а л ь н о го ч и сл а о к а н ч и в а е тся нечётной циф ­
рой, то э т о ч и сл о не д е л и тся н а ц е л о на 2.

ав

то
р

• Е сл и з а п и с ь н а т ур а л ь н о го чи сла о к а н ч и в а е тся циф рой 0 или 5,
то это ч и с л о д е л и т ся н а ц е л о н а 5.
• Е сл и з а п и с ь н а тур а л ь н о го ч и сл а о к а н ч и в а е тся лю бой циф рой,
отл и ч н о й о т 0 или 5, то это чи сло не д е л и тся н ацел о на 5.

Признак делимости на 9

ищ
е

но

• Е сл и с у м м а ци ф р ч и сл а д е л и тся н а ц е л о н а 9, то и с а м о чи сло д е ­
л и тс я н а ц е л о на 9.
• Е сл и с у м м а ц и ф р ч и сл а не д е л и тся н а ц е л о на 9, то и с а м о число
н е д е л и т с я н а ц е л о на 9.

Признак делимости на 3

за
щ

• Е сл и с у м м а ц и ф р ч и сл а д е л и тся н а ц е л о на 3, то и с а м о число д е ­
л и тс я н а ц е л о на 3.
• Е сл и с у м м а ци ф р ч и сл а не д е л и т ся н ац е л о на 3, то и с а м о число
н е д е л и т ся н а ц е л о на 3.
П р о сто е ч и сло
Н а ту р а л ь н о е ч и сл о н а з ы в а ю т п р о сты м , есл и оно и м е е т то л ьк о
д в а н а т у р а л ь н ы х д е л и т е л я : е д и н и ц у и с а м о это число.
С о с т а в н о е ч и сло
Н а ту р а л ь н о е ч и сл о н а з ы в а ю т с о с т а в н ы м , е сл и оно и м е е т бол ь­
ш е д в у х н а т у р а л ь н ы х д ел ител ей .

41

щи

ще

но

ав

то

рс
к

им
и

пр
ав
ам

и

Разложение на простые множители
Любое составное число можно представить в виде произведе­
ния простых чисел, т. е. разложить на простые множители.
Наибольший общий делитель натуральных чисел
Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело
каждое из данных натуральных чисел, называют наибольшим
общим делителем этих чисел.
Нахождение наибольшего общего делителя натуральных чисел
1) Определить степени, основания которых являются общими
простыми делителями данных чисел.
2) Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями вы­
брать степень с меньшим показателем.
3) Перемножить выбранные степени.
Полученное произведение является искомым наибольшим об­
щим делителем.
Взаимно простые числа
Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел ра­
вен 1, то их называют взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное натуральных чисел
Наименьшее натуральное число, которое делится нацело на
каждое из данных натуральных чисел, называют наименьшим
общим кратным этих чисел.
Нахождение наименьшего общего кратного натуральных чисел
1) Выбрать степени, основания которых встречаются только в
одном из разложений данных чисел на простые множители.
2) Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями вы­
брать степень с большим показателем.
3) Перемножить выбранные степени.
Полученное произведение является искомым наименьшим об­
щим кратным.
Наименьше* общее кратное взаимно простых чисел

за

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их
произведению.

Глава 2. Обыкновенные дроби

пр

ав
а

ми

Изучив материал этой главы, вы расширите и углубите свои
знания об обыкновенных дробях.
Вы научитесь сравнивать дроби с разными знаменателями;
выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями;
решать задачи на нахождение дроби от числа и числа по его дро­
би; преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные; нахо­
дить десятичное приближение обыкновенной дроби.
Вы узнаете, что называют бесконечной периодической де­
сятичной дробью.

S 7. Основное свойство дроби

ки

ми

К Пете в гости пришли два друга. Для них мама испекла торт и разре­
зала его на три равные части (рис. 2), полагая, что каждый мальчик съест
^ торта. Но ребятам показалось, что порции слишком большие, и они раз­

за
щ

ищ
е

но

ав

то

рс

резали каждую порцию на две равные части, разрезав таким образом весь
торт на шесть равных частей (рис. В).

Однако торт был таким вкусным, что мальчики съели по два кусочка.
2

Таким образом, каждый из них съел ^ торта.
1

2

1 2

Получается, что — торта равна ^ торта, т. е. дроби - и — выража­
ют одну и ту же величину. Поэтому эти дроби называют равными и залисы1 2
вают —
=- .
3

6

43

Если бы мальчики разделили свои порции
на три равные части, то каждый из них съел бы
3

1 3

— торта (рис. 4). О дробях — и — также можно
1

3

Теперь понятно, что деление порции тор­
та на четыре, пять, шесть и т. д. равных частей
показывает, что имеют место такие равенства:
1 4
1 5
1 6

= —; —
= —; —
= — ИТ. д.
3

12


3

15
,

3

18

пр
ав
ам
и

сказать, что они равны: —= —.

Таким образом, 1—=2—= 3—= 4— = 5— =6— = ... .
v

3

6

9

12

15

18

1 _ 1 2 _ 1- 3 _
3
3- 2
3- 3

1- 4 = 1- 5 _ 1- 6 _
3- 4 3- 5
3- 6

ми

Эту цепочку равенств можно записать иначе:

1
НУ10 3 '

ки

Записанные равенства показывают, что, умножив числитель и знаме­
натель дроби i на одно и то же натуральное число, мы получим дробь, рав-

рс

3

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же на­
туральное число, то получится равная ей дробь.

ав

¢3

то

Этот пример иллюстрирует следующее свойство.

ще

но

В буквенном виде имеем:

а _ а ■п
b b ■п
а то можно прийти
h'

за

щи

Если последнее равенство записать так: а ■п
b ■п
к следующему выводу.
0

Если числитель и знаменатель дроби разделить на их общий дели­
тель, то получится равная ей дробь.
Эти два утверждения выражают основное свойство дроби.
Пример. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение а,

при котором верно равенство —= —.

Реш ение. Умножим на 2 числитель и знаменатель дроби —. Тогда поа 6
4
лучим —= —, отсюда а = 6.
О

О

Ответ: 6. 4

?

Прочитайте дроби

назовите в каждой из них

числитель и знаменатель.
В школьном саду растёт 14 яблонь и 13 вишен. Какую часть всех де­
ревьев составляют: 1) яблони; 2) вишни?
Когда сгорела половина свечки и ещё 5 см, то высота свечки стала
5 см. Какой была высота свечки первоначально?

2.

3.

ми

1.

__

пр
ав
а

Решаем устно

ми

Сф орм улируйте основное свойство дроби.

%ijisy— ■——■■
1__ Км § Упражнения

ки

о VI___

187. Начертите координатный луч, взяв за единичный отрезок, длина ко­

рс

торого в 20 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче
10 12
точки, соответствующие числам: 1— .— 3, 4— , 5— , 6— , 8— , —
, —,

то

1

20

20 20

20

20

20

20

20

но



3~

ав

20 ’ 20 ’ 20 ’ 20 ’ 10 ’ 10 ’ 10 ’ 10 ’ 10 ’ 10 ’ 5 ’ 5 ’ 5 ’ 4 ’ 4 ’ 4 ’ 2 '

кие из этих чисел изображаются на луче одной и той же точкой? За­
пишите соответствующие равенства.
188. Начертите координатный луч, взяв за единичный отрезок, длина ко­
торого в 18 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче
1

2

ще

точки, соответствующие числам:

1 2 1 5 1 6 1 8 1 2 3 5 8 ^

2

3

3

4

4

6

5

6

7

^

9

2

10

^

щи

18’ 18’ 18’ 18’ 9 ’ 9 ’ 9 ’ 9 ’ 9 ’ 6 ’ 6 ’ 6 ’ 6 ’ 6 ’ 6 ’ 3 ’ 3 ’ 2 ’

за

Какие из этих чисел изображаются на луче одной и той же точкой?
Запишите соответствующие равенства.
^
_
189. Умножьте на 4 числитель и знаменатель каждой из дробей —, —, —,
4 10

, — . Запишите соответствующие равенства.

190. Разделите на 3 числитель и знаменатель каждой из дробей

— , ——. Запишите соответствующие равенства.
36

240

'

45

г

3 J 2 30
9 ’ 33 ’ 45 ’

7

'5

"11

12

194 . Какие из данных равенств неверны:

4) 54

'

ми

3 _ _9_.
4 _ 16.
3) Г ! = 8
4) А = Ь
1) 8 24 ’
* 5 25’
7 90 9
’ 49 7
Каждую из данных дробей замените равной ей дробью, знаменатель
которой равен 42:
1
16
1
3) 14 ’
6) 2 '
2) 7 ’
4)
5) 21 ’
1) 6 ’
'' 3 ’
Каждую из данньк дробей замените равной ей дробью, знаменатель
которой равен 72:
11
5> й ;
D !;
2)|;
33)) 1 ;
4) | ;
6) 8 '
3’
Запишите:
1) число 3 в виде дроби, знаменатель которой равен 6;
2) число 13 в виде дроби, знаменатель которой равен 5;
3) число 1 в виде дроби, знаменатель которой равен 29.
Запишите:
1) число 5 в виде дроби, знаменатель которой равен 8;
2) число 10 в виде дроби, знаменатель которой равен 14;
3) число 16 в виде дроби, знаменатель которой равен 16.

щи

ще

198 .

ав
то

197 .

но

196 .

рс

ки

195 .

пр
ав
ам

тором данная запись будет верной:
^ 1
7.
13 26
104 .
4 )~Т
3 6 18
70
80
10
о\ 2 _ (3 _ __ 28 .
5)
' 5
25
120 12 " 3
б
30 36
30 = _ 10 15
6) 48 8
3) ГГ = 22 =
=

192. Объясните, почему верно равенство:
с,ч 3 33
9) 100 _ 5 ,
1) i =
3) 4 = 1 4 ’
' 240 12’
’ 6 42
193 . Запишите три дроби, равные:
2) | :
3) 7 1) h
4)

и

191 . Укажите пропущенное значение числителя или знаменателя, при ко­

оо V

199. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение а, при кото­

за

ром верно равенство:
9ч Z _ 4 9 .
27 _ 3 .
,, i . _ 5
1 ) ® = А .
^ а 28 ’
^ 45 а ’
* 32 8'
' 6 54 ’
200. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение а, при кото­
ром верно равенство:
56
1)1 -5 = 15
2)
3) 70
4)' —
60 :
12
46

202.

21
60’

3)

36 .
92 '

3)

5

18
45 '

4
З.г -11

36
63

и

X + 3 _ _4_ _
7
2)
65 “ 13 ’
х +4
Решите уравнение:
1>) * QГC 1 = А;
2) х - 5 _
J2
'
23
1)

Я
1
00

201. Решите уравнение:
Ох



пр
ав
ам

Упражнения для повторения

203. Леденец стоит 16 сольдо. У Буратино есть 20 монет по 10 сольдо. Ка­

207.

ми

ще

но

208.

ки

206.

рс

С

то

205.

ав

204.

кое наибольшее количество леденцов может купить Буратино, чтобы
продавцу не нужно было давать ему сдачу?
Число делится нацело на 2, на 5 и на 9. Каким ещё числам кратно это
число?
В среднем сердце человека делает 75 ударов в минуту. Сколько ударов
делает сердце в течение суток? Сколько литров крови оно перекачи­
вает за 1 мин, если сердце перекачивает за сутки 8 640 л крови?
Н ачертите острый угол А В С . Проведите луч BD так, чтобы
угол A B D был прямым, а угол CBD: 1) тупым; 2) острым.
От пристани отправился теплоход со скоростью 18 км/ч. Через 3 ч
после этого от пристани в том же направлении отправился второй
теплоход, который догнал первый через 9 ч после своего выхода.
Найдите скорость второго теплохода.
Из одного города в другой со скоростью 60 км /ч выехал автомобиль.
Через 3 ч из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль.
Они встретились через 7 ч после начала движения первого автомоби­
ля. Найдите скорость второго автомобиля, если расстояние между' го­
родами равно 700 км.
А Б В Г д Е Ж 3 И к
м удрой со вы

\ ___

щи

Задача от

1
2
3

для игры в «Морской бой» постави­
ли корабль в прямоугольник разме­
ром 1 X 3 клетки. Можно ли, сделав
33 выстрела, наверняка в него по­
пасть?

4

за

209. На поле размером 10 X 10 клеток

5
6
7
8
9
10

47

§ 8. Сокращение дробей
Вы знаете, что, разделив числитель и знаменатель дроби - на 2, по,

2

2: 2

1 ц

лучим равную ей дробь, т. е. —= —— = —. В таком случае говорят, что
дробь — сократили на 2.

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отлич­
ный от 1, называют сокращением дроби.
it

пр
ав
а

Ь-.

ми

35 5
35
Например, равенство — = g означает, что дробь — сократили на 7.

12

Дробь — сократить нельзя, поскольку ее числитель и знаменатель не

ки

ми

имеют общих делителей, отличных от 1, т. е. являются взаимно простыми
числами. В таком случае говорят, что ^ —несократимая дробь.

Если дробь ^

то
рс

Go Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые чис­
ла, называют несократимой.
сократить на 2, то получим дробь ^ , т. е. 60
^

30
45

ав

г.
, —
30 можно сократить на 3.
„ ,Имеем:
,
30 = —
10 . Далее,
тт
В свою очередь, дробь


но

10
сократив дробь —
на 5, получим дробь 2—, которая уже является несо15
3
кратимои.
60
Однако если дробь ^ сократить на 2 • 3 • 5 = 30, то несократимую

60 : 30
90 : 30 3
Нам удалось сразу получить несократимую дробь, поскольку 30 =
= НОД (60; 90).

за

щи
ще

, 2 — получим сразу: —
60
дробь

Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя
и знаменателя, то получится несократимая дробь.
Г,

т ,

14 • 9 „. 19 ■ 11 + 19 • 5

.

Пример. Найдите значение выражения: 1) -----2) ——гг— ——-•
15-7

Решение. 1) Имеем: 14-9 =
15- 7

= 2_3
\
48



5-1

Зо • zU — Зо • о

6=ll.

5

5

2) Воспользовавшись распределительным свойством умножения, по­
лучим:
19-11 + 19-5 _ 19-(11 + 5)
38-20 - 3 8 - 8
3 8 -(2 0 -8 ) ~

?

4 2
" 6 " 3 ’4

1. Что называют сокращением дроби?

Решаем

Объясните, почему верно равенство:
п

6,

ми

5)в|?
С колько двенадцаты х частей: 1) в —; 2) в —; 3 )в
4
3
124
1
0, 3 о\
7 23
iA-t, Сколько сотых частей: 1) в —
; 2)' в—
; 3)' в —
; 4) в —
; 5)' в —
?
10
20
25 '
50
200

ки

4.
5.

30 = 5
'з «
6'

Какую часть года составляет: 1) 1 месяц; 2) 2 месяца; 3) 6 месяцев?
Сколько граммов составляет:
1
3) I кг;
4) — кг?
2) ^ кг;
1)
5
Сократимой или несократимой дробью является значение выраже-

рс

3.

2 = _6_,
; 7 21’

4 563 з
103 - 1

И И Я ---- 5-------?

то

2.

устно

ав

1.

пр
ав
ам
и

2. Какую дробь называют несократимой?
3. На какое число надо сократить дробь, чтобы получилась несократи­
мая дробь?

но

Упражнения

ще

210. Сократите дробь:

щи

1)' 11 5- ’

2)

20



3) — •

5) — ;

7) М ;

4) S i;

28 .
84 ’

8 ) S°;

^ 35’
'

39

' 60

6)

9 )1 ^ ;
'

72

180

10) — .

' 25

'

243

за

211. Сократите дробь:

1) 4 ;

3) 6

12



2 )' —
12

;

54
25.
4) 70 ’
11

212. Какие из дробей —

6)iS;
1 60
_7_ _9_
42 ’ 111

42
49

480.

36.
48’
35 ,
105 ’

26.

5) 6 5 ’

9) 720’
10)

12 , —
13 несократимы?

68

36

г

204
306 ’

213 . Найдите среди дробей

несократимые.

214. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и результат,

если возможно, сократите:
1) 0,4;
3) 0,12;
5) 0,16;
2) 0,5;
4) 0,84;
6) 0,59;

7) 0,128;
8) 0,96;

ав
ам
и

оо \___

9) 0,2348;
10) 0,975. ’

215. Найдите среди данных дробей равные между собой:

n i l I 1 11 1®.

56 ’ 2 ’ 10 ’ 14 ’ 32 ’

'

5

81

27

20

35

’ 4 ’ 99 ’ 33 ’ 16 ’ 28 ’





,

„ 24

1

6

8

пр

Запишите соответствующие равенства.

40

,



216. Найдите среди дрооеи — , — , — , —, — равные между собой и за-

ми

пишите соответствующие равенства.
217. Какую часть часа составляют:

2) 10 мин;

3) 36 мин;

ки

1) 4 мин;

4) 54 мин;

5) 72 мин?

218. Какую часть суток составляют:

2) 8 ч;

3) 12 ч;

4) 16 ч;

5) 21 ч?

рс

1) 3 ч;

219. Какую часть развёрнутого угла составляет угол, градусная мера кото­

39

45

39’

45 ’

Выполните действие и сократите результат:
2) 5 3 _ 1 9 .
3 ) 8 |1 + : 38 .
1) — + — ;
; 85 8 5 ’

ще

222 .

но

ав

то

рого равна:
1) 4°;
2) 12°;
3) 27°;
4) 126°;
5) 153°?
220. Какую часть прямого угла составляет угол, градусная мера которого
равна:
5) 54°?
1) 2°;
2) 15°;
3) 36°;
4) 71
221. Выполните действие и сократите результат:
3
,,3 2
6,
on х 17
4) 9 § -5 М .
+ 3 11 •
^ 12 + 12 ’

' 63

63

81 ’

'

63

40

4>31

63

-3^.
56

за

щи

223 . Запишите все правильные несократимые дроби со знаменателем 18.
224. Запишите все неправильные несократимые дроби с числителем 20.
225. Сократите:
4-5 .
2 •3 •4 •5
9 - 1 3 + 9 -2 .
7)
4)
1) 2 5 -6 ’
4 -5 -6 - 7 ’
5 4 - 13

8-13 .
2 7 -1 5 - 7 - 2 7
6 -7 -8 -9 -1 0 .
2 ) 39 •2 ’
5)
8)
9 -1 5 - 9-11
7 -9 - 1 1 1 2 ’
3 -38 .
24- 2 + 6-24
3 -1 6 - 8 -3 .
3 ) 19 ■27 ’
6)
9)
27
60 -7 - 5 -60 '
50

8-3 + 8-23
3-16
17-48
5)
17 -1 6 -9 -1 6 ’
14-5-14-3
6)
21 ■9 + 21 - 3 '
4)

ав
ам
и

T V

226. Сократите:
12-21 .
1) 35 • 15 ’
72 • 11
2)
33 • 30 ’
25■17-44 .
3)
51-8-75 ’

227. Сократите (буквами обозначены натуральные числа):
1 \ 6а .
9бс .
с\ 39тлг
5)
г)Ш ’
91mn ’

4)

45 .
9d ’

6)

95ab
386c '

пр

3)тТ

91 326.
’ 60 ’

228. Дробь ~ сократили на 2 и получили дробь —. Найдите значения x

ми

И у.
229. После сокращения дроби —■ на 3 получили дробь ^ . Найдите значе­

ки

ния а и Ь.

рс

Упражнения для повторения

то

230. Запишите, используя каждую цифру от 0 до 9 только один раз:

ищ
ен

о

ав

1) наименьшее число, кратное 2;
2) наибольшее число, кратное 18.
231. К какому числу надо прибавить 5,7, чтобы произведение полученной
суммы и числа 3,6 было равно 120,6?
232. Из какого числа надо вычесть 3,8, чтобы произведение полученной
разности и числа 5,5 было равно 34,1?
Готовимся к изучению
новой темы

за
щ

233. Расположите в порядке возрастания дроби: Yg ’ Y9 ’ T9 ’

’ Тэ

234. Сравните:
И 10

8

_ _.

1) 2 Y и 21 ’
8.
о\ 8
2) 19 И 9 ’

П
15
15 .
11
Ь) — и
11 ‘
15

3) | и 1;
4)

\

5) 1 и

« 1:

51

7) 2 и | ;
8) ~ 11 3 '

10

19 '

Задача от мудрой совы

ва
ми

235. И з стари нн ой книги выпала часть стра­
ниц, идущих подряд. П ервая выпавш ая
стран иц а им еет ном ер 251, а ном ер п о­
следней записан тем и же циф рам и в дру­
гом порядке. Какой ном ер последней вы ­
павш ей страницы?

пр
а

S 9. Приведение дробей к общему знаменателю.
Сравнение дробей

то
р

мож но привести к общ ем у знаменателю. Имеем:
5jJ! = 10
6 - 2 “ 12'
привели к общему знаменателю 12. Для этого чис­

ав

ного свойства дроби их
3 _ 3j_3 _ _9_. 5 _
4 _ 4 •3 12’ 6
3
5
Д роби — и — мы

ск

им
и

В 5 классе вы научились сравнивать дроби с равны м и знаменателями.
А как сравнивать дроби с разн ы м и знаменателями?
Если научиться зам ен ять такие дроби на равны е им, но с одинако­
выми знаменателями, то реш ен ие н овой задачи сведётся к реш ению уже
знакомой задачи.
3
5
Д роби — и — имею т разн ы е знаменатели. О днако с помощью основ­

за
щ

ищ
е

но

л и тел ь и зн ам ен ател ь п ер во й дроби ум нож или на чи сло 3, к о то р о е н азы ­
ваю т дополнительны м множителем. Ч и сли тель и знам енатель второй
дроби умножили на дополнительны й множ итель 2.
Эти дроби можно привести и к другим общим знаменателям, например:
3 3 -6
18 ,

с.
—= - —- = — (дополнительный множ итель о);
4 4 • 6 24
5 5 -4
20
—= - —т = — (дополнительный множ итель 4).
6 6 • 4 24
Мы привели дроби к общему знаменателю 24.
3 -9
27 5 5 - 6 _ 30
Далее: — =
4 4 ■9 36 ’ 6 6 - 6 36 '
В этом случае общим знаменателем является число 36.
О тметим, что найденные общ ие знаменатели 12, 24, 36 являю тся об3
5
щими кратны ми чисел 4 и 6 — знаменателей дробей — и
4
6'
52

Общий знаменатель двух дробей — это общее кратное их знаменателей.
При приведении дробей к общему знаменателю удобнее приводить
их к наименьшему общему знаменателю, равному наименьшему общему
кратному знаменателей этих дробей.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:
1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей;
2) найти дополнительные множители для каждой из дробей, раз­
делив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её допол­
нительный множитель.
7

11

о

12

пр

ав
а

ми

Gj

Сравним дроби — и — . Для этого приведём их к наименьшему обще7

и

му знаменателю, равному 24. Умножим числитель и знаменатель дроби —
—на дополнительный множи­

им

на дополнительный множитель 3, а дроби

ск

тель 2. Дополнительный множи­
тель обычно пишут над числите­
лем справа (рис. 5) или слева от
него.
11
Поскольку g21 < g22, то -7 < —.

ав
т

ор

1__
1 7

]

- 2

21 //
24’ а

?

I

22
24

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо приве­
сти их к общему знаменателю, а затем применить правило сравне­
ния дробей с одинаковыми знаменателями.

но

Ы

5

Р ис. 5

1

за
щи
ще

Пример. Укажите три числа, каждое из которых больше - , но мень­

ше —. Можно ли найти 100 таких чисел?
5

Решение. Приведём данные дроби к наименьшему общему знамена­

телю:

Ъ_ \ Y7

Т_

35 ’ 5

35 '

Поскольку — < — <
35

35

, то — - одно из искомых чисел. Приведём

35 ’ '

35

°
I
= — . Поданные дроби к другому общему знаменателю: Г = 1 70
70
10 . 13 . 14 ^ 11 и ^13 —еще два искомых числа.
10 . 11 , —
14 и —
<

<

,
то
_
скольку - < ^ <
70

70 70

70

70

53

Если приведём данные дроби к знаменателям 105, 140, 175, 210 и т. Д.,
то сможем найти любое количество чисел, каждое из которых больше



но меньше
_6_ 11
35



; можно найти 100 чисел, каждое из которых боль-

70 ’

1
7

пр
ав
ам
и

Ответ:

1
5

ше —, но меньше —

^ ' 1. Какое число является общим знаменателем двух дробей?

2. Чему равен наименьший общий знаменатель двух дробей?
3. Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю?
4. Как сравнить две дроби с разными знаменателями?
\ __

ми

Решаем устно



16

,

12

ск
и

Андрей тратит на путь от дома до школы 24 мин. Какую часть пути он
проходит: за 6 мин; за 12 мин; за 9 мин; за 16 мин?
10

9

25

Сократите дроби:

3.

Назовите какие-либо три дроби, каждая из которых равна
Среди следующих равенств укажите неверные:

4.

ав
то
р

2.

42

2)

1) 63

15
55

236.

3)



7
8

=

56
72’

4у 12 = 36
'

23

Приведите дроби:
1
2



3
4



4
5

3
4



1
6



7
18

2
4



3
8

1
4



7
25

ще

1)

щи

2)

за

10

\__

но

19 Упражнения

_3 _ .

3)

4)

1
2’
1
5’









9
10

к знаменателю 20;

8
9

к знаменателю 36;

5
32

к
знаменателю 64;
'

63
50

к знаменателю 100.

237. Приведите дробь:
7

1) — к знаменателю 27;

2) — к знаменателю 40;
54

— .

69

7

2 )!

.,3

4

r,

1

1

3 3
— и —.
10 ’ 8 4

6 ) 1 2 И 18;

пр

12 ’

ав
а

ми

3) — к знаменателю 78;
к знаменателю 69;
5)
13
23
12
Ь_
к знаменателю 102;
к знаменателю 144.
4)
6)
17
24
_3_
13
1
и
1
10 10
238. Среди дробей
наиди10 16 ’ 24 ' 18 ’ 28 ’ 12 ’ 3 ’
36 ’
те те, которые можно привести к знаменателю 48. Найденные дроби
приведите к указанному знаменателю.
239. П риведите к наименьшему общему знаменателю дроби:
1
_1_
, , 1 1
ох 5
7
,, 2
11
1}? И 6 ;
3 ) 6 И 18;
3 15 И 12 ’
24 1 18’

240. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:
9
_2_.
10
,, 3
5
сз .

рс

17 .

5 __ _7_.
11

7



ав

242. Сравните дроби:

то

11

1
2
и —;
6
9
3.
4’

7 .

но

2 ) 13 ” 16’

ОО \ _

6

14

21

1_

J_ .
30’

_8_
5) 38

_4_.
19 ’

'
о8_
ь) п и г11г;’
_9_
21



5.

_7_ .
10 ’

8

за
щи
ще

243. Укажите какую-либо дробь, которая меньше



1
—и
4
9
14



20

6)

ки

2
3 .
2) 15 И 10 ’
241. Сравните дроби:
5
7
1) 7 “ 9 ’
2 ) 20 И 3 0 ’

Э)

17 И 34 ’
3
4
и —;
4
13

ми

1} 8 И Т 2 ;

7)

_8_
25
Ъ_

8 ) 12
7)



8)

1
—;
6
.. 7
и
8

_7_.
20’
4
9‘

Т_

11

12

18 ’
_9_
14 ’

10

21

.

и знаменатель кото-

рой равен:
1) 6;
2) 10;
3) 22.
244. Укажите какую-либо дробь, которая больше - и знаменатель которой
равен:
1) 12;
2) 30;
3) 66.
245. Расположите в порядке возрастания числа:
1) 2 - 1 , 1 , 5 ;
'

2)

12

| ,

8



4



6



_5_ _9_
12

20

'

55

2 4 6 . Расположите в порядке убывания числа:
9 ’ 4 ’ 12 ’ 18 ’

45 ’ 9 ’ 10 ’ 18 ’ 15 '



2 4 7 . Лакомка съедает 7 пирожных за 12 мин, а Сладкоежка — 13 пирожных

за 20 мин. У кого аппетит лучше —у Лакомки или у Сладкоежки?
2 4 8 . Головку сыра массой 9 кг разделили на 16 равных кусков, а головку

пр
ав
а

ми

массой 13 кг — на 20 равных кусков. Кусок какой головки сыра, пер­
вой или второй, вы посоветуете съесть мышонку Джерри, который
очень его любит?
2 4 9 . Расстояние между двумя городами легковой автомобиль преодолева­
ет за 4 ч, а грузовой —за 7 ч. Какой автомобиль проедет большее рас­
стояние: легковой за 3 ч или грузовой за 5 ч?
2 5 0 . Теплоход проходит расстояние между двумя пристанями за 9 ч, а ка­
тер — за 6 ч. Сравните расстояния: пройденное теплоходом за 7 ч
и пройденное катером за 5 ч.
3
7

«и

11
28

43
112

1
2

15
42

9
28

23
70

3
14

3
8

5
14

ми

251.

F

1
4

19
56

v

ки

2 5 2 . Какие из дробей --- , — , — , - , — меньше дроби — ?
к

1)
'

1;

— < — <

19

то
рс

2 5 3 . Найдите все натуральные значения х , при которых верно неравенство:
19

2)




3

<



18

6

2 5 4 . Найдите все натуральные значения х , при которых верно неравенство:

1) 11 <
' 23

-£- <

23

1;

9
36
12
5
9 7
11
—, — , — , — можно поставить вместо
6
16 24 24

но

ав

'
1 3
2 5 5 . Какие из дробей —,—,
*
2 8

щи
ще

чтобы было верно неравенство

х,

< х 4ё - ф

13’

Задача о т

11
16 ’

м удро й

7>6 - 3И ;
8 >

2

« !-

4); 2 —13 + 5 13
— ;

. Решите уравнение:

щи

267

ще

2 ) 15

3) 6 +

2 )' I
\—
28 - х

й

7 И

1

'

;

_п
’28

28'

с ов ы

. Из чашки с молоком одну ложку молока переливают в чашку с кофе

и тщательно размешивают. После этого одну ложку смеси перелива­
ют в чашку с молоком. Чего теперь больше: кофе в чашке с молоком
или молока в чашке с кофе?
57

S 10. Сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями

пр
ав
ам
и

В 5 классе вы научились складывать и вычитать дроби с одинаковыми
знаменателями:
а | b a + b а b а-Ь
с с
с ’ с с
с
3
1
А как, например, сложить дроби ^ и —? Ведь эти дроби имеют раз­
ные знаменатели. Однако при сложении (вычитании) дробей разные зна­
менатели для вас уже не препятствие.
L:

Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, на­
до привести их к общему знаменателю, а затем применить прави­
ло сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
3

1

8

6

3

1

8

6

им
и

Найдём сумму —+ —. Наименьший общий знаменатель дробей — и -

Л»

9
24

6

8

:
+

4
24

__

. \з

\4

16

21
48

12

9

+

24

12

4

13
24

20
48



'

. Наименьший общий знаменатель этих дро-

ав

Найдём разность
16
бей равен 48. Тогда:

то
рс
к

равен 24. Каждую из этих дробей заменим на ей равную со знаменателем 24.
Этой заменой мы сложение дробей с разными знаменателями сведём к сло­
жению дробей с одинаковыми знаменателями:

21-20
48

48

'

ен

о

Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются свойства слос с а
+ ^ = + J) ~ пеРеместительное свойство сложения;

щи
щ

а

а
Ь

сЛ
d)

V

а
b

(с , р .
\d q /

за

т + т г 1— = т + -7 + ;!_ — сочетательное свойство сложения

q

Пример 1. Выполните действия:

" 4Ь 2Ь

2>5! - 4

Решение. 1) Напомним правило, которое вы изучили в курсе матема­

тики 5 класса: чтобы сложить два смешанных числа, надо отдельно сло­
жить их целые и дробные части.
58

4» 3 * И = 6 .2 = 6 +, 1
Обратите внимание: если в результате сложения (вычитания) дробей
получается сократимая дробь, то надо выполнить сокращение.

5i-2!
6

9

:5-i _ 2 JL
18
18

пр
ав
ам
и

2)

Видим, что дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вы­
читаемого. Для того чтобы выполнить вычитание, надо сначала «подгото­
вить» уменьшаемое к вычитанию, а затем найти разность.
Запишем: 5 — - 2 — = 4 — - 2 — = 2 —
18

18

18

18

18 '

ми

Ответ: 1) 7 |; 2 ) 2 ± |. «

ки

Пример 2. Один маляр может покрасить стену за б ч, а другой —за
8 ч. Какую часть стены они покрасят за 1 ч, работая вместе?

рс

Решение. Первый маляр за 1 ч красит i стены, а второй — - стены.

Тогда вместе за 1 ч они покрасят:

то

7

о

8

I 44 I х3
6

+8

± +А
24

24

7
стены.
24

!

Сформулируйте правило сложения (вычитания) дробей с разными
знаменателями.
2. Какими свойствами обладает действие сложения дробей?

но

?

ав

Ответ: — стены. ◄

у с тн о

Сколько минут составляют:
1) | ч;
2) | ч;
3) | ч;

щи

1.

ще

Решаем

за

2.

3.

4) | ч?

На прямоугольном участке земли, стороны которого равны 50 м
и 40 м, планируют разбить розарий прямоугольной формы со сторо­
нами 20 м и 15 м. Какую часть площади всего участка займёт розарий?

4
7
Масса 1 л керосина равна —
кг, а 1 л бензина — —
кг. Масса литра

какого топлива, керосина или бензина, больше и на сколько кило­
граммов?
59

4.

Т р и подруги съели то р т. П ер вая подруга съ ела — т о р т а , вто р ая —
торта. Какую часть то р та съела тр етья подруга?

ГШ:

Упражнения

269 . Вычислите:
1) | + | ;
'7
9

4) 20 + 1 ;
'2 1
7’

7) 1 + 1 ;
9 6

2)
' 9

5) И - 1 1 ;
'1 8
12

8)

10
21

6 ) ^ + 1;
'1 6
6

9)

7
9

7)

9
25

37
42

1 )1 + 1;
'4
5

им
8)

5’

Н) 1 + 1 -1 ;
6 4 8
12)

13
18

29
45

8
15

7 .
20 ’

Ю)

9
16

7
24

3.
8’

17 .
24 ’

П) 1 - 1 + 1;
3 6 4

9)

ав
т

60

15 .
28’

11
3 .
2 4 _5
12)
5 15 9 '
24 16 ’
!, предварительно сократив дроби:
28 .
3) “ . + « ■ 350 .
5) « - + “
' 300 40 1000 ’
' 120 32 160 ’

6> И =

2й+ 45;

' 80

3
7

ор

яч 13
9
3) 16 _ 32 ’
1)

14’

ск

' 11

'2 8

4 .
15’

10) 9
14

пр

'1 5
3’
Вычислите:

9.
14’

и

8

ав
ам
и

" ~ с Г \_

с , 45
33
20
15
6) 72 ~ 144
' 24 90 100 ’
64 '
3
4
272 . В одной банке было — л сметаны, а в другой — — л. В какой банке
2) 20 + 2 6 ;

54

ще
но

' 45

было больше сметаны и на сколько литров?

273 . Огсунев поймал рыбу длиной

за
щи

м, а Щ укин — длиной 1— м. Кто из
25
40
них поймал рыбу длиннее и на сколько метров?
И

2

274 . Золушка — ч убирала комнаты, что на — ч больше времени, кото­
рое она затратила на мытьё посуды. Сколько времени заняли у Золуш­
ки уборка и мытьё посуды?
2
2
275. Н а завтрак Винни-Пух съел —
горш очка мёда, что на — горш очка
меньше, чем он съел на обед. Какую часть горш очка мёда Винни-Пух
съел на завтрак и на обед?
60

276 . Найдите сумму:

2)6М*81:

1 ) 5 |

+

6 ^

;

З ) 2 ш

з

|;

+ З ш -

3)1£+1*4тИ|-

2) 7 — - 3 — ;
12
24 ’

3) 12j l . 5 g .

279 . Выполните вычитание:

!) З -i- - —;
2) 8 — - 2 — ;
’ 12 6
' 30
20
280 . Выполните вычитание:
2) б | - з | ;
1) 4 - - - ;
' 16 8
281 . Решите уравнение:

7 i

-

4

H ^

пр

3 )

и

3) 10 — - 8 — ;
24
36 ’

2 ) 8А -х- 4 -;
7

4 >

5 i

4) 9 ; 6

3) * - 3 * = 5 - L .
9
12

ки
м

1) лг + 7 — = 9 — ;
'
15
10 ’
Решите уравнение:
1) 6 ^ + * = 1 0 |;

= 22 -9-’
3) х - 5 — = 7 —
2
)9
^
60
20
. Преобразуйте десятичные дроби в обыкновенные и вычислите:

рс



1) 0,8

то

283

1 Й

2) 6 - + 2 - ;
8
9

278 . Вычислите значение выражения:

!) 8 £ -

+

ав
ам
и

1) 4 ^ + 7]-;
' 9
6
277 . Найдите сумму:

3 ) 7 -| - 3, 18;

2 ) § - 0, 25;

3 ) 0,125 + — ;

2 ) 0,36 + - | ;
'

10

4 ) 4 ,7 5 - 2 - | .
16

О

1) 0,5 + ^ ;

ав

284 . Преобразуйте десятичные дроби в обыкновенные и вычислите:

но

А

А

12

4 ) 3, 2 5 - 2 — .
14

ще

285 . Собственная скорость теплохода составляет 20 £ км/ч, а скорость

течения реки

2-j^ км /ч. Найдите скорость теплохода по течению

щи

реки и его скорость против течения.

за

286 . Скорость катера по течению реки составляет 27 — км/ч, а скорость

течения — 1^ км/ч. Найдите собственную скорость катера и ско­
рость катера против течения реки.

287 . Расшифруйте фамилию выдающегося русского математика, жившего

на рубеже XIX и XX вв., академика Петербургской Академии наук, ви­
це-президента Академии наук СССР, основателя школы математиче­
ской физики, чьё имя носит Математический институт Российской
61

академии наук в Москве. Номер при­
мера соответствует месту, на котором
стоит буква в слове.

4

'

5
6

Буква

К

3

«1
с

СО

О тв е т

12

пр
ав
ам
и

6) 4 - 4 т ;

- Т 7 ;

•HP-

х

л

Е

ми

2>

1

11
12

12
17

в

0

Т

7

19

7

19



ав
то
р

'

ск
и

о о \_
288. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:
! ) 3 + 14 + 4 + А
,, I
13 12 П .
9_
2 ) — + — • 16
'
16 42

17 .
42’

_

+

+

+

+

50

50

40

но

ще

2)

9_
20

_

х+

"

11

.

15



16 = 2 .
45
9’
5

3)

'

17
24

_

за

щи

'8
2 9 0 . Решите уравнение:

1)

15

8
2) X - -

3)

.

б) 9 ^ 28

;

4_
57

_
"

+

3
8

_

35

60

5) 4-

х + __4^ | _ ± = 16.
21

4) 35) б А .

19.
36 '

6> 3| г
62

2

.

3



х - 2 77 = 3
4^--х
21

х + 1-



2
3

_

тт;

6^ l ? + 3 ^ + 5 i + 2 l -



289. Решите уравнение:

1)



5>3it +1tI +2iH

,ч Ао-А-тА^А.
18 81 18 8 1
"

40

6’

= 6
_ 2 .
4



„20

= 3 8Г

■I-

= 1«.
18

.

291 Выполните действия:

3)10^-(3M+4I
4)

3) 12

9 -- 4 32
24
+

2-

пр
ав
а

4) ( м - 1 0 И ) - ( 5 |

2)

293

1 4 -^ --6 27
18

2 0 -7

ми

2> 17f - 6^ + 4l:
292. Выполните действия:

20

. В трёх ящиках было 36 — кг апельсинов. В первом и втором ящиках
было 28 ^ кг апельсинов, а в первом и третьем - 241 кг. Сколько ки­

.

лограммов апельсинов было в каждом ящике?

и

294 На компьютере обрабатывали три задачи в течение 30 мин. На пер-

.

ск

им

14
вую и вторую задачи было затрачено 24— мин, а на вторую и гре19
тью — 18— мин. Сколько минут было затрачено на обработку каж­
дой задачи?

кг молока, — кг
2
15
12
какао и сахар. Сколько килограммов сахара взял кулинар для при­
готовления крема?
4
11
296 Для изготовления 12 кг мороженого взяли 7 — кг воды, 2 — кг мо15
20
лочного жира, 1 -23- кг сахара и фруктовый сироп. Сколько килограм30
мов сиропа взяли для изготовления мороженого?
3
с
297 Длина одной из сторон треугольника равна 12- см, что на 4
24
О
2
больше длины второй стороны и на 3 - см меньше длины третьей.
О
Вычислите периметр треугольника.
298 Периметр треугольника равен 42 см, а длина одной из сторон —
7 см, что на 2 5- см меньше длины второй. Найдите длину третьей
10—
15
6
стороны треугольника.

то
р

295 Для приготовления 6 i кг крема кулинар взял 3

но

за
щи
ще

.

ав

.

.

299

. Филипок потратил -

своих денег на приобретение книги «Занима­

тельная математика», | - на книгу «Занимательная физика», — —на
63

карандаши, а оставшиеся деньги —на конфеты. Какую часть своих де­
нег Филипок потратил на конфеты?
300. Золотов, Серебров, Платинов и Бриллиантов нашли клад. Золотову
1

306.

8b
оА 5b'
кА’
9n ' 12n ’
6у 15у '
Упростите выражение (буквами обозначены натуральные числа):
3) Ц £ _ ! 2 £
9) I i £ + _£_.
’ 1S 7 f ;
69

4) 12^ -

Найдите целую часть числа:

4.

23 .

3) 0 ,8 т •3п\
4) 5 , 2 х - 1,7лг + х + 8.

Пешеход за - ч проходит 1 км. За какое время он пройдёт:
1) 5 км;

.

69
13 '

4)

6 ’

Упростите выражение:
1) 0,2а + 2,46 + 0,8а - 0,46;
2) 0,7т + 1,6т + 0,5т\

5.

6

3)

2) 15 км;

и

2)f;

i ) f ;

пр
ав
ам

3.

3) - км;

4) | км?

Назовите дроби со знаменателем 12, которые больше, чем -

ми

Упражнения

мень-

ки

~сГ\
333. Выполните умножение:
D ^ -5 ;

3)§-2;

2 )^ -3 ;

4> ¥ ' 7:

рс

5) 7

_3 _ .

7 )^ -2 4 :

40 '

6) б - g ;

8) 45

_8_
15 '

то

334. Выполните умножение:

ав

2> 1 г 16;

« S ’*

42-

4 .
7’

4 )^ -5 7 .

22

ю .

335. Найдите произведение:

1) 2 3.

о

7 5’

з) 1 . 2 ’

7 9’

5) 25 '
77 ’

7) — •— ;

13 16 .
6) 24 '
39’

36 34
85 ’ 39 '

ен

1

4\ 1 5 .4 8 .
' 1 6 55 ’

' 11 7 ’

' 9 32’

2) — •— ;

41 2 3 . 4 9 .

2)


4

6

за
щ

ищ

336. Найдите произведение:
п А .!.
3)8.87.

'20

21

' 28

8)

35

15

34

43.

71 63
'6 4

7

90.

81 Л . А

5) 86 '
51 ’
6) 18 '
77’

46’

'

48.
91’

' 100 38'

1) 9;

_5_

•22 •

2)68 i f ;

3) 2-4 •1

Н •2 — ;

4)' 1 9 О
- •1 ;I

2 П •5 —
15

Iго

337. Выполните умножение:
27’

70

9
V 2 T l T4

338. В ы п о л н и те умножение:

1) 9 - - — ;

Ъ 21

3) i f - 6 ± ;
7
8

2)’ 3 —
12 • —
94 ;

4) 3 | . 5 1 ;

5) l M . 5 . 2 2 .
15 8
7’
6) 2 — - - 4 4 27
3’

1) 0 , 4 - | ;

2)

• 0,75;

3) 1 , 5 - f ;

4) 2 ± -2 ,8 .

3) 1,25-f f ;

4) 4,5 - 3 f .

ам
и

339. Н а й д и т е произведение:

2) i f -0,6;

1) 0,8-

341. Н а й д и т е з н ач ен и е выражения:

_3_.
16’

6) 1- - 2 ^
'
25 7

2) П _ 4 _3_
' 18
9 16’

8)

им

4

8

ск
ор

10)И

44 ’

,11

'

12 ‘

Найдите значение выражения:

ав
т

342.

9)

9)11 + ^ 117^12 - 5^ 1;

4) 1 - - - + 1 - ;
' 5 4
8

5) 1 3 | - 3 | - 3 | ;

2- - :
9 190’

7)’ 4 —
-1 — + 1— - — ■
12 11 15 6 4 ’

f + i f

3)

-

и

1)

пр
ав

340. В ы п о л н и те умножение:

1) 1 5 - - 4 - - 3 - ;
9

8
13
,1 9
2 ) |. |6-!
15 21

з) 5 16
^ - i l8 Д 61 + тт
14 ;
4) 5

1

1

5+±

16

8

6

14

о

9

за
щи

ще
н

Какой пучь пройдёт поезд за — ч, если его скорость составляет
66 км/ч?
344. Какое расстояние проедет автомобиль со скоростью 72 км /ч за 2 yj ч?
343.

345.

Сколько стоят 3 - кг бананов, если цена 1 кг бананов составляет
5
2 7 | р.?

346.

1
9
Сколько стоят 6 2- кг конфет, если 1 кг конфет стоит 70— р.?

347.

Выполните умножение:

оо
], И 21 _9__8.
^ 15 ’ 22 ’ 28 " 9 ’

2) 2 - ^ - 3 - - 4 - - - * 2
3
5 35 ’
71

3)

8



7 9

v i r l i 2r 4 l

3’

348. Выполните умножение:

2)

312H

19 40 5
25 57 36 16 ’

r

4)

lft

11

349. Найдите значение степени:

2) :i

1)1 г

3)

1

4)

пр
ав

350. Найдите значение степени:

2) I #

1)

4) I

351. Найдите значение выражения:
1! !

-1 — -2 — ;
48

3) Ч

15

1 11
17

,14
15

4)

2) 1 ^ - 2 ^ - 1 ^ + 2 ^ - ^ - ^ :
22

ск

352. Найдите значение выражения:
1) 4 ! ' 6 - l f | - 3 i ^ + 2 ^ - l | f :

3)

42
13
8
51
, 4 13
1
3
2 )1 ^ -3 ^ -^ 1 -^ 4 2 ^ .^ :
10
5 3 8 ) 84

ор

3

Л ТЕ

и

" Т 8- 2!

им

»

2

ам
и

. . _5_ 4 _9_ 5 .
’ 1 6 ' 5 ' 25 ' 9 ’

2

10

Si

4)

1—

15 '

•—

13
16

-2£-2f;
13

ав
т

19 __7_
24 12

ще

2) 48 •

но

'

3
8

4)
'

I п

п

£20

13

-1' 32 '
353. Найдите значение выражения, используя распределительное свойст­
во умножения:
1 5{ 1 + Н >
3) - . £ _ -L
12

14

15_А + 2 1
I 16 12
2

щи

354. Найдите значение выражения, используя распределительное свойст­
во умножения:
1 1 Г
18 { Н
3) 1
•18;

за

3

2) Г г —-§■—4- •20;

4 ) р + 8].“ .
; I6

9)

25

355. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:
1) 3 — - - - 2 - - - :

8>

2> 7И

4) 3 ^ - • 0,3 - 0 , 3 - 1 ^ + 0 , 3 - l | .

'

14 9

14 9

+7 Н =

Н

72

+1И -

Ч ' Ь

356. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:
1) 4 ! . ^ + ®
9 8 8

9

3) 2 ё ' ^


19 10

2) 3 —• ——1 —■—;

4)' 4 —
• 1—
- 3—
9
14
12

'8 5
8 5
357. Упростите выражение:
,,
1)
'

7
27

1 — •— - 1 — - 1 —

9
28

358. Упростите выражение:
1) - а — Ь ;

3) |f r f - 3 2 c ;

2) Г6 3j x - il l-l» ;

4) I s f a . l ^ . A ,

8

14

15

С 1\

2> f 4

8

6

14

;

18

6+ il*;

5
7

3
4

5
8

5) - m + - m — m;
'

рс
ки

3

ми

359. Упростите выражение:
о
5
1
3> 1 Х + l x ~ f a
1) ^ a + ^ a + ia ;
'

19

3) 20х - ^ у ,

— т ---- п\

4)

'

6

пр
ав
ам
и

'

6> Й С- Ш С- ° ' 4С-

4) i
+
360. Упростите выражение и найдите его значение:

ав
то

1} ! ^ + ! х - 4 'т ' е с л и х = 3 1 :

^ Г о с ~Г ьс - : с, если с = 2,4;

но

3) з | г / - 2 | г / - ^ г / , еслиг/=10.
361. Упростите выражение и найдите его значение:

щи

ще

1) ^ a + |-a--j 1а{ ! * + ё » - £ * >
4)



17

23

21

пр
ав
а

16
4) 1 ^ - 4a + i 2 b - 2 | .

126 - ^ с

2)

й Ь р + ^Ч-1
24

ми

9
6
т - —п
11
7
3 6 4 . Раскройте скобки:
1
3
1) 14- 2 И + 7 П

2>3

1

3 6 5 . Длина прямоугольного параллелепипеда равна 8 — см, что на — см

3
'
®
больше его ширины и в 3 - раза меньше его высоты. Вычислите объ­
ём прямоугольного параллелепипеда.

^

ки
ми

3 6 6 . Одна из сторон прямоугольника равна 3 — м, а соседняя —в 1 — раза

больше. Вычислите площадь прямоугольника.

3 6 7 . Турист шёл пешком 5 ^ ч со скоростью 4 ^ к м /ч и ехал на велоси-

то
рс

3
8
7
1
педе 1— ч со скоростью 1 2 - км/ч. Какое расстояние больше: то, ко­

ав

торое турист преодолел пешком, или то, которое он проехал на вело­
сипеде, и на сколько километров?
3
1
3 6 8 . Мальвина купила 4 — кг апельсинов по цене 7 — сольдо за килограмм

ще
но

и 5 — кг яблок по цене 3 — сольдо. За какие фрукты —апельсины или
4
5
яблоки —Мальвина заплатила больше и на сколько сольдо?
3
3 6 9 . Велосипедист Андрей ехал со скоростью 8 — км /ч, а велосипедист
Богдан — со скоростью в 1 i раза большей. Каким было расстояние

за

щи

между велосипедистами сначала, если Богдан догнал Андрея через
4
3 — ч после того, как они одновременно начали двигаться?

3 7 0 . Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились вело­

сипедист и мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 10— км/ч,
5
®
а мотоциклист —со скоростью в 5 — раза большей. Найдите расстоя­
ние между городами, если велосипедист и мотоциклист встретились
через 3з -1 ч после начала движения.
Э

74

.

3

1

э

9

371 Лодка плыла — ч против течения реки и 1— ч по течению. Какой

путь преодолела лодка за всё время движения, если собственная ско­
рость лодки равна 18 км /ч, а скорость течения — 1— км/ч?

372

. Теплоход шёл 3 ч против течения и 1—3 ч по течению^ реки. На сколь­

ав
ам
и

ко километров меньше прошёл теплоход по течению, чем против те­
чения, если скорость течения составляет 2 — км/ч, а собственная
1
4
скорость теплохода — 2 2 - км/ч?

. Одна швея может выполнить заказ за 4 ч, а другая —за 6 ч. Какую
часть заказа они выполнят за

3

пр

3

373

ч, работая вместе? Хватит ли им 3 ч,

чтобы, работая вместе, выполнить заказ?
374 Один рабочий может выполнить производственное задание за 5 ч,
а другой —за 15 ч. Какую часть задания они выполнят, если будут ра­
ботать вместе 1 i ч? Успеют ли они, работая вместе, выполнить за­

ки

ми

.

дание за 3 ч?

. Выполните умножение (буквами
'

376

2х _3_.
9 ' 4у '

. Не выполняя умножения, сравните
1) 200 ■

13

ще
н

1) 1 000 и 1 000 • | ;

2)

3

1 20

и Щ;
6

5

4) 13д

13
13 7
3) — и

7 3
4 8

. Не выполняя умножения, сравните:

о

377

оч 7 3
’ 8 4

и 200;

18лу 26г
27т

5 т 4т .
4 п Ьп

m 7ab 6с
1 8 ' 35а '

ав
то

375

рс

"❖ \-----

о

20' 8

3) Й и

'

!_ 9
12' 8

'

Упражнения для повторения

. Игорь переложил из одного ящика в другой 2 ^

за
щи
378

кг яблок, после чего

в каждом ящике стало по 20 кг. Сколько килограммов яблок было
в каждом ящике первоначально?

. Запишите все правильные дроби с числителем 3, которые больше - .
380 . Фермер решил посадить кусты смородины. Он мог посадить их или
в четыре ряда, или в шесть. Сколько кустов смородины он решил по­
379

садить, если известно, что их было больше 85, но меньше 100?
75

381 . С одного аэродрома в одном направлении

пр
а

ва
м

и

с интервалом 0,4 ч вылетели два самолё­
та. Первый самолёт летел со скоростью
640 к м /ч, а второй - 720 км /ч. Через сколь­
ко часов после своего вылета второй самолёт
будет впереди первого на расстоянии 24 км?
382. Сколько равносторонних треугольников изо­
бражено на рисунке 9?
383 . Сравните:
а
35
12 и 93;
и 4;
3)
2) —
о
5
384 . Сократите дробь:
2 323.
888 .
1)
3)
Э)
3434’
999’
' 279
1111
324 .
РЛ 121212
4)
°)
2)
191919
111111’
378 '

ми

Щ

рс

ки

Готовимся к изучению
новой темы

385. Запишите в виде десятичной дроби:

1)7%;

2)26%;

3)60%;

4) 180%,

1)6%;

то

386. Запишите в виде обыкновенной дроби:

2)36%;

3) 80 %;

4) 140 %.
7) 1,12;

3) 0,5;

5) 0,467;

2) 0,05;

4) 0,324;

6) 4;

8 ^

-

но

1) 0,12;

ав

387. Запишите в процентах:

ще

Задача от

мудрой совы

за

щи

388. На доске написаны три двузначных числа. Первая слева цифра одного

из них — 5, второго — 6, а третьего — 7. Учитель попросил троих уча­
щихся сложить любые два из этих чисел. Первый учащийся получил
в сумме число 147, второй и третий —разные трёхзначные числа, пер­
вые слева две цифры которых 1 и 2. Какие числа написаны на доске?

S 12. Нахождение дроби от числа
На приусадебном участке растёт 36 деревьев. Из них 7 составляют
9
вишни. Сколько вишен растёт на участке?

I

76

В 5 классе мы решали эту задачу по такой схеме:
1) найдём, сколько деревьев составляет — всех деревьев:
36 : 9 = 4 (дерева);

пр
ав
ам
и

2) найдём, сколько деревьев составляет — всех деревьев:
4 • 7 = 28 (деревьев).
Следовательно, в саду растёт 28 вишен.
у
В таких случаях говорят, что мы нашли — от числа 36, а подобные
задачи называют задачами на нахождение дроби от числа.
Однако найденный ответ (28 деревьев) можно получить другим спо*1

Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.

ки

L'J

ми

собом. Для этого достаточно умножить число 36 на дробь —:
36 • I = ^ - -7 = 4 ■7 = 28.
9
X,
Рассмотренный пример иллюстрирует следующее правило.

Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты
в виде дроби и умножить число на эту дробь.

но

Lj

ав

то

рс

Пример 1. Клубника содержит 6 % сахара. Сколько килограммов саха­
ра содержится в 15 кг клубники?
Решение. Запишем 6 % в виде десятичной дроби: 6 % = 0,06. Тогда:
15 • 0,06 = 0,9 (кг) —сахара содержится в 15 кг клубники.
Ответ: 0,9 кг. ■*
Этот пример иллюстрирует следующее правило.

за
щи

ще

Пример 2. В магазин привезли 480 кг шоколадных конфет и караме­
ли, причём масса карамели составляла 60 % массы шоколадных конфет.
Сколько килограммов шоколадных конфет привезли в магазин?
Решение. Пусть шоколадных конфет было х кг, тогда, учитывая, что
60 % = 0,6, карамели было 0,6х кг. Поскольку массы шоколадных конфет
и карамели вместе составляют 480 кг, то получаем уравнение:
х + 0,6л: = 480.
Решим уравнение: 1,6х= 480;
х = 480 : 1,6;
х = 300.
Следовательно, шоколадных конфет было 300 кг.
Ответ: 300 кг. ■*
77

?

1. Как найти дробь от числа?
2. Как найти проценты от числа?
|ГТ6Т°~~

^•

---------------------------------

Решаем у с т н о

\ -------

.

=

j X

1;

4) 2 х = 1?

3) | * = 1;

Вычислите, используя распределительное свойство умножения:

4
1
30.
15 30,
Трое друзей поймали 5 кг рыбы и поделили её между собой поровну.
Какую часть улова получил каждый из друзей? Сколько килограммов
рыбы досталось каждому?

Х>

3.

I+ П 1 ' 14;

2> и

■24;

3)

им
и

2

2)

1) 7 х = 1;

пр
ав
ам
и

Корнем какого из данных уравнений является число 3 ^ :

Упражнения
389. Найдите:
3
1) — от числа 60;
5

рс
к

~o^v_

3) % от числа ■— ;
'

ав

390. Найдите:
1) 14 % от числа 60;

2) 40 % от числа 32;

20

24
39
4) — от числа — ;
' 65
40

то

2) 0,16 от числа 20;

6

3) 8 '

3
3
5) — от числа 5 —;
6)

от числа 2 ^ .

от числа — ;
16

4) 180% от числа 3 —.

ще

но

391. Сколько градусов содержит угол, который составляет:
2
13
1) — прямого угла;
2) ^ развёрнутого угла?

щи

392. Сколько градусов содержит угол, который составляет:
23
2) у ! развёрнутого угла?
1) — прямого угла;
18

за

393. Миша собрал 91 гриб, из них ~

13

составляли белые. Сколько белых

грибов собрал Миша?
394. Оля испекла 45 пирожков, из них ^ составляли пирожки с вишнями.
Сколько пирожков с вишнями испекла Оля?
395. Магазин продал 480 кг огурцов и помидоров, причём масса огурцов
составляла 85 % массы этих овощей. Сколько килограммов огурцов
продали?
78

396

. Отряд из 120 человек отправился в поход на лодках. В каждую лодку

село 12,5 % отряда. Сколько человек было в каждой лодке? На сколь­
ких лодках отряд отправился в поход?
397 Агрофирма владеет 140 га земли, 16% которой занимает яблоневый
сад. Найдите площадь сада.

.

398

.

399

. Соль составляет —массы раствора. Сколько килограммов соли содер­

400

.

4

Медь составляет — массы сплава. Сколько килограммов меди содер­

.

жится в 18 кг такого раствора?
Продали т порций мороженого, ^ которых составляло эскимо. СоО

ставьте выражение для нахождения количества порций эскимо и вычислите его значение при т = 120.
3

В саду растёт а кустов роз, — которых составляют розовые. Составь­

ми

401

пр
ав
ам
и

жится в 280 кг такого сплава?

те выражение для нахождения количества кустов розовых роз и вы­
числите его значение при а = 210.
402 В дом отдыха привезли 1 440 кг апельсинов и мандаринов. Апельсины

ки

.

рс

составляли 7- массы привезённых фруктов. Сколько килограммов
мандаринов привезли в дом отдыха?

. Построили 192 коттеджа, из них —7

то

403

—двухэтажные, а остальные —

ав

трёхэтажные. Сколько построили трёхэтажных коттеджей?
GO \

. На сколько 3,5 % от числа 32 больше, чем — от числа 0,45?
от числа 5,4 больше, чем 4 § % от числа ®?
405 . На сколько
27
3
406 . Учебники составляют ^ всех книг школьной библиотеки, а учебники
3

но

404

ще

/

щи

по математике

25

всех учебников. Какую часть всех книг, имею­

за

щихся в библиотеке, составляют учебники по математике?

407

. Каштаны составляют —185

всех деревьев, растущих в парке, а дубы —

-5- количества каштанов. Какую часть всех деревьев в парке состав­
ляют дубы?

79

408 .

Трое рабочих изготовили 216 деталей. Первый рабочий изготовил
— этих деталей, второй — ™ . Сколько деталей изготовил третий ра­
бочий?

409. Барон Мюнхгаузен рассказывал, что, посланный с важным донесени­

тий —

ав
ам
и

ем из Москвы в Париж, он проскакал на коне 2 460 км за четыре дня.
3
4
В первый день он преодолел — расстояния, во второй — — , в треСколько километров проскакал барон Мюнхгаузен в чет­

вёртый день?

^

410. Железный Дровосек нарубил 9 — м3 дров. В первый день он нарубил

рс

ки
м

и

пр

2 всего объёма дров, а во второй
°

— 4— остатка. Сколько кубометров
5
9
дров нарубил Железный Дровосек во второй день?
411. За три недели продали 324 коробки конфет. За первую неделю прода­
15 остатка. Сколько коробок
ли — этого количества, за вторую
26
конфет продали за третью неделю?
412. Том Сойер покрасил забор прямоугольной формы, длина которого
1 фута (1 фут = 30,48 см), а высота составляет —
5 длины.
равна 9 —

то

Сколько фунтов краски израсходовал Том, если на 1 квадратный
фут пошло 4 у фунта (1 фунт = 454 г) краски?

ав

413. Для банка заказали новый сейф, имеющий форму прямоугольного па-

но

13 длираллелепипеда. Длина сейфа равна 3 м, ширина составляет —
50
ны, а высота — — ширины. Сколько слитков золота, имеющих фор­
му куба с ребром 6 см, можно положить в этот сейф?

ще

414. Банк «Ломаный грош» получил в июне 200 сольдо прибыли, в июле —

за

щи

0,65 прибыли июня, в августе —
прибыли июля. Сколько сольдо
1.3
составляла прибыль банка за три летних месяца?
415. Акционерное общество «Поле чудес» имело в декабре 1 200 сольдо
убытков, в январе —135% от убытков декабря, в феврале —

убыт­

ков января. Сколько сольдо составили убытки АО «Поле чудес» за три
зимних месяца?
416. В столовую привезли 405 кг овощей: капусту, морковь и картофель.
Морковь составляла 32 % .массы капусты, картофель — 138% массы
капусты. Сколько килограммов капусты привезли в столовую?
80

Q

417. Фёдоров, Иванов и Петров выиграли вместе в лотерею 1 800 р. Выиг­
рыш Иванова составлял 64 % выигрыша Фёдорова, а выигрыш Пет­
рова
76 % выигрыша Фёдорова. Сколько рублей составлял выиг­
рыш каждого из них?
2

418. С поля площадью 1 4 - га собрали урожай сахарной свёклы по 280 ц
урожая. Сколько

пр
ав
ам
и

с каждого гектара. На сахарный завод отвезли ^

центнеров сахара произвёл завод из этой свёклы, если выход сахара
составляет ^ массы переработанной свёклы?

419. С поля площадью 11— га собрали урожай семян подсолнечника по
21 i ц с каждого гектара. На масло переработали

собранной мас­

сы семян. Сколько центнеров масла получили, если его выход состав­

ми

ляет i массы переработанных семян?

----

ки

420. Казак Данила сварил кулеш. Сам съел — казана, казаку Чубу дал - ос­

рс

татка, казаку Белоусу — ^ нового остатка, а казаку Ворону — осталь­

,, 3

ав
то

ное. После обеда казаки никак не могли выяснить, кому из них до­
сталось больше кулеша. Помогите им разобраться.
421. Числа а и b не равны 0. Какое из них больше, если:
2

»

1) — числа а равны — числа о;

0, 2

5

т-

2) — числа а равны - числа Ы

но

422. От шнура длиной 10 м сначала отрезали i его длины, затем —
1

5

на~5

чальной длины, а потом — — того, что осталось. Сколько метров

ще

шнура осталось после этих трёх операций?

щи

423. Докажите, что а % от числа b равны b % от числа а.
424. Известно, что i одного числа равна ^ другого. Какое из этих чисел

за

больше (данные числа отличны от 0)?

425. Контрольную работ)' по математике писали менее 50 шестиклассни­
ков. Оценку «5» получили у учащихся, писавших работу, оценку «4» — учащихся, оценку «3» — — учащихся. Остальные, к сожалению, по­
лучили оценку «2». Сколько учащихся получили оценку «2»?
81

426. Вода при замораживании увеличивает свой объём на — . На какую

часть уменьшится объём льда при превращении его в воду?
427. На футбольный матч «Зенит» — ЦСКА из Москвы приехали 13 авто­

бусов с болельщиками. На стадионе их разделили на две равные груп­
пы. Сколько болельщиков приехало, если yL всех московских болель­

ав
ам
и

щиков не превышает 300, а в каждом автобусе ехало одинаковое коли­
чество пассажиров?
428. В саду растут груши и яблони, всего 100 деревьев. Сколько яблонь
растёт в саду, если 20 % их количества равно 60 % количества груш?

пр

429. Количество отсутствующих в классе учащихся составляло L количе­

ства присутствующих. После того как один ученик вышел из класса,
1

ми

количество отсутствующих составило — количества присутствующих.

ки

Сколько всего учащихся в этом классе?
Упражнения для повторения

рс

430. Сравните:

32

5

ав

-L.il

то

26
17 .
31
19
1 ) 63 И 5 6 ’
2) 1 2 И ^ ;
431. Найдите значение выражения:
2— -2 —
14
35

'

2 003
2 004
2 004 И 2 005 '

4

но

432. Что больше и на сколько: разность чисел 1 ^ и — или их произве­

*

ще

дение?

Задача от мудрой совы

за

щи

433. Черепаха ползёт по плоскости с по­

стоянной скоростью, изменяя направ­
ление движения на 90“ через каждые
15 мин. Докажите, что вернуться в точ­
ку «старта» она сможет только через
целое количество часов после начала
движения.

82

§—13 . Взаимно обратные числа
Если дробь ^ «перевернуть», т. е. поменять местами числитель и знаменатель, то получим дробь 9
Найдём произведение этих дробей: —• —=

9-4

=i

ав
ам
и

9 4

tJ

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно об­
ратными.

пр

Следовательно, числа -у и у —взаимно обратные.

Также говорят, что число у является обратным числу у , а число у —

и

обратным числу —.

им

Приведём примеры пар взаимно обратных чисел.
2,5 и 0,4 —взаимно обратные числа, так как 2,5 • 0,4 = 1.
3
17

2
3
2 3 17
3
г
17 3 17 3
1 по
50
,
, „ „ 50 , 2 50
1,02 и — — взаимно обратные числа, так как 1,02 - — = 1т— •— =
51
э1
100 э1
J_ 50 = 51 50
50 '5 1

50 ’ 51

ор

1

: 1.

ав
т

=

ск

-½ и 5 -----взаимно обратные числа, так как - - 5 - = - -----= 1.

Числом, обратным 1, являет ся само число 1.
Д л я числа О обратного числа не существует.

щи
ще

j

но

Обратным числу у являет ся число —. Действительно, у •у =
_ ab_
Ьа

Поскольку любое натуральное число п можно представить в виде дро­

би у , то можно сделать следующий вывод.

за

Если п — нат уральное число, то обрат ным ем у являет ся чи-

1

ело - .
п
Пример. Найдите число, обратное числу: 1) 7 —; 2) 1.4.
о



_2

Решение. 1) Запишем число 7 у в виде неправильной дроби: 7 - =
h9

9

Тогда обратным числу / — является число ^^ .
83

65

4
2 7
5
2) Имеем: 1,4 = 1 - = 1 - = - . Тогда искомое число - .
10

5

/

2) § • «

65'

1. Какие два числа называют взаимно обратными?
2. Существует ли число, обратное самому себе?
3. Для любого ли числа существует обратное ему число?

пр
ав
а

4. Какое число является обратным числу ^ ?

ми

Ответ: 1)

5

5. Какое число является обратным натуральному числу п!
6. Как найти число, обратное смешанному числу?
Решаем

Найдите произведение:
В(
3 7.
1) 0,25 • 4;
2)
7' 3’

им
и

.

1

устно

3) 2 - - — .
' 9 22

Какое из чисел 0,7; 1-i; 7; i является корнем уравнения lx = 1?

3.

Назовите все дроби, которые больше, чем — , и числитель которых
равен 1.

ав
то

оV

рс
к

2.

Упражнения

434. Являются ли взаимно обратными числа:

о

3) 0,4 и 0,25;

1

5

за
щи

ще
н

2) 0,4 и 2' 2 ’
4) 1,2 и g ,
435. Укажите число, обратное числу:
2 ) 12;

з) 4

5) 1,4 и ^ ;
7
6) 1у и 0,7?
4) 0,16;

436. Укажите число, обратное числу:
2) 6;

3)2§;

4) 0,23;

17 ’

6) 2,3.
6) 3,6.

437. Верно ли, что:

1) для любой правильной дроби обратное число будет неправильной
дробью;
2) для любой неправильной дроби обратное число будет правильной
дробью?
84

438 .

Вычислите наиболее удобным способом:
1

)

12

19

l- U ^
12
21

2) | Зу • 25,8

2_

23 '
Вычислите наиболее удобным способом:
8 4
17' 8 ' l l
1) 6
• 1- ;
2)
11 5
4
о
440 . Найдите число, обратное:
7;
1) сумме чисел 7— и —
439 .

18



пр
ав
ам
и

2|

12

1) сумме чисел 2 y j и 1 ^ 2 ;

ки

22
11
3) произведению чисел —
и —
35
44
441 . Найдите число, обратное:

ми

2) разности чисел— и — •
60
40

рс

2) разности чисел 8 — и 7 —•
4
6

1) Первое число составляет - второго. Во сколько раз второе число
больше первого?
3 второго. Какую часть первого числа
2) Первое число составляет —
составляет второе?

щи
ще

но

442 .

ав
то

3) произведению чисел 1—

«5 Упражнения для повторения

за

443 .

444 .

Найдите среди чисел 1,4; 11;

1,04; 1 у | ; | ; | | ; l | равные.

Расстояние между городами А и 3 равно 63 км. Из города А в город В
выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через 3 ч после отъезда
велосипедиста из города А в город В выехал мотоциклист, который
догнал велосипедиста на расстоянии 42 км от города А. На каком рас­
стоянии от города В будет велосипедист, когда туда приедет мотоци­
клист?
85

Задача о т

Вася и Саша играют в такую игру: они по очереди (Вася первым) ло­
мают шоколадку, имеющую 6 X 8 квадратных долек. За один ход раз­
решается сделать прямолинейный разлом любого куска вдоль углуб­
ления между дольками шоколадки. Проигрывает тот, кто в очередной
раз не сможет этого сделать. Кто из них выиграет?

пр
ав
ам
и

445.

мудрой совы

S 14. Деление дробей

2
Найдём площадь S прямоугольника, стороны которого равны — дм
3
0
и —дм (рис. 10):
5

2 3

Рис. 10

6 , . ,,

= 5 ' 7 = 35 (ДМ_)-

3

ми

г.

В

А как найти одну из сторон прямоугольника,
2

6

моугольника -

5

ДМ г

ки

если соседняя сторона равна - дм, а площадь пря-

рс

35
Понятно, что следует выполнить деление:

2
5

-

ДМ

С

дм

А

D

ав
то

А ■1
35 ' 5'
Однако мы знаем, что «неизвестная» сторона равна — дм. Следова-

за
щи
ще
н

о

_6_. 2
35 ' 5
Заметим, что частное — можно получить в результате умножения де­

лимого — на дробь, обратную делителю у , т. е. на дробь —. Действитель35
лг)
5
2
но.

б 5
35 2

V /1

1&-Х

Имеем:

Г

А - 2 =А

5 = 3

35 ' 5 35 ‘ 2 7'
Вообще, деление дробей можно свести к умножению дробей, пользу­
ясь следующим правилом.
Gj

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на
число, обратное делителю.
86

В буквенном виде это правило записывают так:
а

С

а

d

ь

d - ь

С

пр
ав
ам

и

Обратим внимание, что
, а _ Ь_ „ а
Ъ~ а'
Ь' = 0 .
Н а нуль делит ь нельзя.
Пример 1. Выполните деление: Г) 1 0 : - ; 2) 1 - : 1 - .

7
8
16
Решение. 1) Записав делимое в виде дроби со знаменателем 1 и при­

менив правило деления дробей, получим:
1п - — = — - — = — - =

7

1 ' 7

1 '6

’Х - 7
1- Х3

35
3

п 2
‘S '

им
и

2) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а затем вы­
полним деление по правилу деления дробей:
t 7 . 2 9 _ 15 . 25 _ ’Н •

_ 3 ■2

8 ' 16

6 _Л 1 м

Ь5

5

5

ск

8 '16

Велосипедист проезжает расстояние между сёлами Сол­
нечное и Счастливое за 2 ч, а пешеход проходит это расстояние за 6 ч. Ве­
лосипедист и пешеход одновременно отправились из этих сёл навстречу
друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
Решение. Расстояние между сёлами примем за единицу. За 1 ч велоси1
1
педист проезжает — этого расстояния, а пешеход проходит — расстояния.

ав

то
р

Пример 2.

но

1) -1 +1 - = ^3 + -1 =4 - = ^2 (расстояния) — преодолеют велосипедист
и пешеход за 1 ч вместе.
3
1- 2

ще

2) 1 : §

=

3 1с / \
2 =1’ 5 ( Ч )

время, за которое велосипедист и пеше­

за

щи

ход преодолеют всё расстояние. Таким образом, они встретятся через 1,5 ч.
Ответ: 1,5 ч. 4
1. Сформулируйте правило деления дробей.

2. На какое число делить нельзя?
Решаем устно

1.

Найдите число, обратное числу:
1)

2) 3;

4) 0,5;

3) П
87

5) 0,01;

6) 3,1.

2.

Найдите произведение:
3
1,
1) числа — и числа, обратного

3’

8

2) числа — и числа, обратного 7;
4) числа 1 -j- и числа, обратного \ .
5

3.

5

Сколько килограммов содержится:
,,
1) в -1 т;
5)
2) в s т;

4.

3) в То т;

В 25 Ч:

4) в т д;

6) В 20 ц?

пр
ав
ам
и

3) числа 6 и числа, обратного 18:

За пять дней отремонтировали —дороги. Какую часть дороги отре­

О \

-

____

ки

Ш

Упражнения

то
рс

г

ми

монтировали за 1 день? За сколько дней отремонтируют всю дорогу?
(Производительность труда во все дни одинакова.)

446 . Выполните деление:

1)'

7

3)' —
16

6’

4) ®

2 ) 14 21

ав

' 4

42 .
43 ’

21 .
40 ’

2 . 1.

5)

_9_ . 27.
25 ’ 5 0 ’

7)

6)

45 , 63 .
56 ' 64 ’

8)

5)

27 . _9_.
50 ' 2 5 ’

7) 5 : А ;

6)

63 . 45 .
64 ' 56 ’

14
55

3 '6 ’
65 . 26
98 ' 49

447 . Выполните деление:
8’

_6_ . 18 .
35 ‘ 25 ’

ищ
е

2)

15

но

1)’

4)

21
40

48 .
77 ’
3.
4’

' 8

8)

32

448 . Найдите
На
частное:

за
щ

1) 10

5.

:-

6

I

15 .
16 ’

2) 1 2 :

5 )1 :|;

3) f : 2 ;



6> 7 !

4) у у ; Ю;

#

7)' 1 8- : 2 32
-:
8) 5 | : l | .

449 . Найдите
На
частное:
1) 6 :

)

7.
9’

2) 16:

_4_.

11 ’

3) 1 3 : — ;

5)^:6;

29

4) 1 : 5 ;

7) 2 — : 3 — ;

13
26

8) 2 -

88

:1й-

4 5 0 . Найдите значение выражения:

7) f A + l V s .
1 12

8 ) - + 1 .-1 -

3) 1 ^ . 15 ; 1 19
9 32
36

9)

12

9 ^ 32

8

8

7 (,6

14 J ’

10) 2 - : - - - .
7 6 14 ’

36

5) з | : 1 ± - £ ;

11) 2 — : 1 — - - • - ■
7
7 3
4
11 8 ' 8 ’
6) 3^-: f l i - —
.2, f 3 i - 5 | : 4 i
7п 1 7 3
Найдите
значение выражения:
да

2) f x = 6;

4 5 3 . Решите уравнение:

но

1 )§ * = —•
' 27
18
2)

x = 39;

i i : i - i i . •3 l
35 5
35

4) I 7 - 12 : -L | : 20 .
9 ' 24 ) ' 27

з)зх = 2

9’
4) X : A = 3
'
11 7 ’

ав
то

i > f * = &;

3)



3_

92 '

ми

1) 1 2 : 3I - - 1—: — ;
8
4 32 ’
31 2 _ 8 -] 19
2) 1
35
9
45
Решите уравнение:
9

рс
ки

452.



пр
ав
ам
и

4)

451.

8’

8 j

2) 3-

3)

4x = |

;

4) x : 2 — = 1 — :
15
16

18
6
5) 4 9 :X = 3 5 ;
6) | x = 2.4.

5 )4|

:*

Ф

6) l | x = 5,2.

за

щи
ще

4 5 4 . Найдите скорость поезда, если за — ч он проехал 34 - км.
15
3
4 5 5 . За какое время автобус проедет 63 км, если его скорость составляет
50 2 км /ч?

5

4 5 6 . Сколько стоит 1 кг конфет, если за 2 — кг заплатили 770 р.?

4 5 7 . Какова масса 1 дм3 сплава, если масса 5 i дм3 этого сплава равна
3 §5 кг?

4 5 8 . В двух цистернах 120 т нефти. Сколько тонн нефти в каждой цистер­
не, если в одной из них в 11 раза больше нефти, чем в другой?
89

4 5 9 . В двух контейнерах 90 кг яблок. Сколько килограммов яблок в каж­

дом контейнере, если в одном из них в

раза меньше яблок, чем

в другом?
оо V
.,5

7

■’r 's

3 >2 !' 3 T5

1

2>'| " 2 5 Г

”25 ;

4> 7 Я ’ 6 Н

" 8 5'

4 6 1 . Найдите значение выражения:

1)

2—

48

+

Я

2—

я

:3 ^ -9 -:1 %
4
4

12

1 **
" 19

15

49

12

36

пр
ав
ам
и

4 6 0 . Найдите среднее арифметическое чисел:

ки
ми

4 6 2 . Найдите значение выражения:

, 20

4 63. Решите уравнение:

2ч 7 3

25

ав
то

1)^ 5i14i x - A15 = A.
21’

26

5) 2 ^ : х - 1 ^ = 1^;
3

6

9

„ 13 .

6) 2 -

: 1— ;

7) 27: ( 3 l £ - 2 ^ - x 1= 1

2) 7 l 0 + 2 8X - 8 i F ’
15

но

3) 3 - - 1 — л: ;
'
3
20

1

.25
' 78

рс

' 20

'8

_9_
32

4) - Х + — Х - - Х
' 8
12
6

X - l i

= 1^:
14 '

8) 48 : 3 £ х - 25 = 1

щи
ще

4 6 4 . Решите уравнение:

*

2п х ~г6

за

2 >4 1

* +3 Й = 6 1 Т ;

3) — - — X
’ 18
27

= —



12’

4) 1 Х + \ Х + 1 Х

:1«;
75’

5) 4 ^ : х + 1 - = 3 — ;
2
4
28 ’

6) 3 ,

х

-2А] = 3

13'

4 6 5 . Автомобиль едет со скоростью 80 км/ч. Сколько километров он про­

езжает за 1 мин? Выразите скорость автомобиля в метрах в минуту.
4 6 6 . Пешеход двигается со скоростью 5 км/ч. Выразите его скорость

в метрах в минуту и в метрах в секунду.
90

467. Из села до места рыбалки Иван Петрович пропльи на плот)' 1 0 - км,
5
а возвращался на лодке, которая двигалась со скоростью 4 i км/ч,
5

пр
ав
ам
и

потратив на обратный путь на 1 - ч меньше. Найдите скорость те­
чения реки.
468. Теплоход проходит 40 ^ км по течению реки за 1 ^ ч. На сколько
больше времени уйдёт на обратный путь, если скорость течения рав­
на 3 -| км/ч?
"
3
469. Длина трамвайного маршрута 15— км. На маршруте есть 12 остано­
вок, на каждой из которых трамвай стоит 1^ мин. За какое время
трамвай преодолеет весь маршрут, если его скорость равна 13 ^ км/ч?

ми

О

ки

470. Длина маршрута, который автобус проезжает за — ч, равна 20 —

рс

Автобус движется по маршруту со скоростью 45 км /ч и делает 10 оста­
новок. Сколько времени длится каждая остановка автобуса, если на
каждой остановке он стоит одинаковое время?

то

471. Необходимо расфасовать 3 2 - кг сахара в пакетП по — кг в каждом.

ав

Сколько получится полных пакетов?
472. Для перевязывания одной пачки книг требуется 1^ м верёвки. На

за

щи

ще
н

о

сколько таких пачек хватит 18 м верёвки?
473. Какое наименьшее количество банок ёмкостью 0,3 л необходимо
взять, чтобы разлить в них 5 л варенья?
474. Какое наименьшее количество бидонов ёмкостью 6 - л необходимо
взять, чтобы разлить в них 70 л молока?
475. Мастер Иван Иванович может отремонтировать кабинет математики
за 24 ч, а мастер Пётр Петрович —за 48 ч. За сколько часов, работая
вместе, они отремонтируют этот кабинет?
476. Кот Том съедает жареную индейку за 20 мин, а мышонок Джерри —за
30 мин. За сколько минут Том и Джерри съедят индейку вместе?
477. Первый рабочий может выполнить задание за 30 ч, а второму для это­
го необходимо в 11 раза больше времени, чем первому. За сколько
часов они выполнят это задание, работая вместе? Как)то часть зада­
ния при этом выполнит каждый из них?
91

478 . П ер в ы й тр а к то р и с т м ож ет вспахать поле за 12 дней, второму на это
т р еб у ется в 1 ^ р а за м ен ьш е в р е м е н и , чем первом у, а третьем у —
в 1i

р аза больш е, чем второму. З а сколько дн ей он и вместе могут

вспахать поле? Какую часть поля п р и этом вспаш ет каждый из них?
р аза меньше вре­

пр
ав
а

н ен и е бассейна чер е з вторую трубу потребует в 1 i

ми

479 . Ч е р е з первую трубу бассейн м ож но н аполн ить водой за 10 ч. Н апол­

м ени. З а какое вр ем я н а п о л н и т с я бассей н , если о тк р ы ть одновре­
м енно обе трубы? Какую часть бассейна н апо л н и т при этом каждая
труба?

-------

480 . Д вое рабочих, р або тая вместе, могут вы полнить некоторую работу за

но

ав

то

рс

ки

ми

6 ч. О дин и з них, р або тая сам остоятельно, м ож ет вы полнить эту ра­
боту за 15 ч. З а сколько часов её мож ет вы полнить самостоятельно
другой рабочий?
481 . П ассаж и рски й поезд проходит расстояние между двумя городами за
36 ч. Если о д н о в р ем ен н о и з эти х городов выйдут навстречу друг дру­
гу пассаж и рский и то вар н ы й поезда, то они встретятся через 20 ч по­
сле н ачала движ ения. З а какое время товарн ы й поезд мож ет преодо­
л еть рассто ян и е между городами?
482 . Ч е р е з первую трубу бассейн мож но наполнить водой за 3 ч, а через
вторую — за 6 ч. С начала 2 ч бы ла о ткры та первая труба, затем её за­
к ры л и и откры л и вторую трубу. За сколько часов был наполнен бас­
сейн?
483 . П ервая бригада мож ет вы полнить заказ за 9 дней, а вторая — за
12 дн ей . С начала т р и дня работала п ервая бригада, а затем её зам е­
н ила вторая. За сколько дней был выполнен заказ?
484 . Выполните деление (буквами обозначены натуральные числа):

11m . 22га .
9га ' 27т ’

2а . i b .
21 ' 49 ’

ще
1)

ЪЬаЬ . 21Ь ,
17с 34с ’

.. 51.г . 17т
32г/ ' 16у '

за

щи

4
485 . Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на

5

6

и на — в результате получим натуральные числа.
4

486 . Который сейчас час, если до конца суток осталось — того времени,

5
что уже прошло от начала суток?
487 . Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на
6

8

12

— , на — и на — в результате получим натуральные числа.
92

488. Найдите значение выражения:
1) 1 -

4



2) 8

-

1
2

8

3)

1_1

1+

3

1+ 1+ ;

+ -

1 _1

2

3

1

1_1

2)

3)

2__4

-

1

пр
ав
ам
и

489. Вычислите:
1) 2 + 1+

-

2 -2 --

2

+ -

1_1

Ч

2 + 2__ 4

490. Увеличится или уменьшится значение дроби и во сколько раз, если

ми

к её знаменателю прибавить число, равное этому знаменателю?
491. Лодка проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по тече­

рс

ки

нию реки то же расстояние —за 5 ч. За сколько часов такое же рас­
стояние проплывёт плот по реке?
492. Некоторое расстояние по течению реки катер проходит за 3 ч,
а плот —за 15 ч. За сколько часов катер проходит такое же расстоя­
ние против течения реки?

то

“# \ ___

493. Теплоход проходит некоторое расстояние по течению реки за 2 ч,

ав

а против течения —за 3 ч. За сколько часов это же расстояние про­
плывёт плот?

о

Упражнения для повторения
5

за
щи
ще
н

494. В первый день туристы прошли — намеченного пути, во второй —

30 % пути, а в третий —остальной путь. Какую часть пути прошли ту­
ристы за третий день?
495. Угол А В С - прямой, луч В М проведён так, что А М В С = 120°,
луч В К - биссектриса угла АВС. Вычислите градусную меру уг­
ла М ВК. Сколько решений имеет задача?
Задача о т

м удро й совы

496. В один ряд расположены 1 000 фишек. Любые две фишки, располо­

женные через одну, разрешается поменять местами. Можно ли пере­
ставить фишки в обратном порядке?
93

5 15. Нахождение числа по заданному значению его дроби
Рассмотрим такую задачу. В саду растёт 28 вишен, что составляет
количества всех деревьев, растущих в саду. Сколько всего деревьев ра­
стёт в саду?
В 5 классе мы решали эту задачу по такой схеме:

пр
ав

ам
и

1) найдём, сколько деревьев составляет i количества всех деревьев:
9
28 : 7 = 4 (дерева);
2) найдём, сколько всего деревьев растёт в саду:
4 • 9 = 36 (деревьев).
В этой задаче, зная, что 28 деревьев составляют

®

Т4

\i

= 4 • 9 = 36.

ор

28 : - =

ск

им

и

количества всех
9
деревьев, мы нашли общее количество деревьев в саду. Подобные задачи
называют задачами на нахождение числа по заданному значению его
дроби.
Заметим, что найденный ответ (36 деревьев) молено получить другим
7
способом. Для этого число 28 можно разделить на дробь —:

0

ав
т

Рассмотренный пример иллюстрирует следующее правило.
Чтобы найти число по заданному значению его дроби, можно дан­
ное значение разделить на эту дробь.

за
щи

ще
н

о

Пример. В бочку налили 84 л воды. Каков объём этой бочки, если ока­
залось, что заполнено 70 % её объёма?
Решение. Запишем 70 % в виде десятичной дроби: 70 % = 0,7. Следова­
тельно, 84 л составляет 0,7 объёма всей бочки. Тогда объём бочки равен:
84 : 0,7 = 120 (л).
Ответ: 120 л.
Рассмотренный пример иллюстрирует следующее правило.

Й

Чтобы найти число по его процентам, можно представить процен­
ты в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь.
1. Как найти число по значению его дроби?
2. Как найти число по его процентам?

94

Решаем устно

1.

___

За какое время работник выполнит всю работу, если за 1 ч он вы1

3

полнил: 1) — работы; 2) у работы?

и

Конфеты разложили в коробки по i кг в каждую. Сколько вышло ко8

пр
ав
ам

2.

робок, если конфет было 5 у кг?
3.

Сергей покрасил в субботу у забора. В воскресенье к нему присо­

Упражнения

___
1

1

4 9 7 . Найдите число, если: 1) —; 2)

ми

единились двое друзей, и они с Сергеем докрасили оставшуюся часть,
поделив её поровну между собой. Какую часть забора покрасил каж­
дый из друзей Сергея в воскресенье?

4

12

ки

; 3) 0,4; 4) —; 5) — ; 6)

94

его равня­
ется 48.
4 9 8 . Найдите число, если: 1) у ; 2) 0,2; 3) у ; 4) у ; 5) уу; б) уу его равня­
ется 56.
4 9 9 . Найдите число:

то

рс



4) 0,9 которого равны 81;

2) — которого равны 24;

5)

ав

1) у- которого равны 12;
13

у
-

-

1

которого равны 7 уу;

6) —5 которого равны 5—.

но

3)

9



которого равны 63;

ще

5 0 0 . Найдите число:
15
3) —
которого равны 120;

О

щи

1) — которого равны 40;
5

i

4

4)

2) уу которого равны 4 у ;

8
3
— которого
5

равны 9— .
19

за

5 0 1 . Найдите число, если:

3 ) 3 —% этого числа равны 5;

1) 24% этого числа равны 48;

3

4) 108 % этого чиста равны 86,4.

2) 75 % этого числа равны у ;
5 0 2 . Найдите число, если:
1) 13 % этого числа равны 52;

2) 80 % этого числа равны
95

3
— .

503. В зрительном зале Пермского театра оперы и балета 972 места что
81
составляет — количества мест для зрителей в Большом зале Ново­

пр
ав
ам
и

сибирского театра оперы и балета. Сколько мест для зрителей в Боль­
шом зале Новосибирского театра оперы и балета?

!

Новосибирский театр оперы и балета

им
и

Пермский театр оперы и балета

рс
к

504. Миша прочитал 144 страницы, что составило — количества страниц
в книге. Сколько страниц в книге?
505. Команда шестиклассников выиграла соревнования по футболу. Её
4

лучший бомбардир забил 16 голов, что составляло — всех голов, за­

ще

но

ав

то

битых этой командой. Сколько всего голов забила команда шести­
классников?
506. Чему равно расстояние между двумя городами, если 36 км составляют
15 % этого расстояния?
507. На приобретение книг для школьной библиотеки выделили опреде­
лённую сумму денег, 8 % которой потратили на приобретение слова­
рей. Какую сумму выделили на приобретение книг, если на словари
потратили 1 200 р.?
508. На завтрак Винни-Пух съел — бочонка мёда, а на обед — остальные

за

щи

22 кг. Сколько килограммов мёда было в бочонке?
509. В магазин привезли груши. В первый день продали

Щвсех груш, а во

второй — остальные 128 кг. Сколько килограммов груш продали за
два дня?

510. 1) Одно из двух слагаемых равно 320, что составляет — их суммы.
Найдите второе слагаемое.
2) Найдите разность двух чисел, если вычитаемое равно 49, что со7
ставляет — уменьшаемого.
96

511. 1) Одно из двух слагаемых равно 42, что составляет — второго сла­
гаемого. Найдите их сумму.
2) Найдите разность двух чисел, если уменьшаемое равно 90 и состав9

ляет — вычитаемого.
5
512. В школьном хоре поют 24 девочки, что составляет ^ количества
5

пр
ав
ам
и

мальчиков, поющих в хоре. Сколько всего детей в этом хоре?
7

513. Одна из сторон прямоугольника равна 2 - дм, что составляет — дли8

6

ны соседней стороны. Найдите периметр и площадь прямоугольника.
514. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 45 см, ширина со4
12
ставляет —
длины и —
высоты. Вычислите объём прямоугольного

параллелепипеда.
515. Периметр треугольника равен 56 см. Длина одной из его сторон со14

им
и

5
15
ставляет —
периметра и —
длины другой стороны. Найдите стороО

ск

ны треугольника.
^
516. Периметр прямоугольника равен 15— см, что составляет — длины
3

о

то
р

прямоугольника. Найдите ширину прямоугольника.
517. Ученики б класса посадили возле школы деревья. Фруктовые деревья
составляют уу посаженных деревьев. Вишни составляют -jy фрукто­

ав

вых деревьев. Сколько всего деревьев посадили шестиклассники, ес­
ли вишен посадили 12?
518. На птицеферме разводят кур, уток и индеек. Утки составляют
9

ще

но

0,42 всех птиц, а индейки — — уток. Сколько всего птиц на ферме, есг А -,
28
ли индеек —54.-1
В
детский
санаторий
привезли
апельсины, мандарины и яблоки.
519.

щи

Апельсины составляют — массы всех фруктов, мандарины — — ,

за

а яблоки —остальные 28 кг. Сколько килограммов фруктов привезли
в санаторий?
армии царя Гороха составляли стрелецкие полки,
520. Известно, что
— армии — драгунские полки, а остальные 26 полков — казацкие.
30

Сколько полков было в армии царя Гороха?
521. Пётр, Фёдор и Иван собирали яблоки. Иван собрал 23 % массы
яблок, Пётр —39%, а Фёдор —остальные 190 кг. Сколько килограм­
мов яблок они собрали вместе?
97

522. Сколько килограммов овощей привезли в магазин, если огурцЬ1
составляют 27 % массы овощей, картофель — 42 %, а остальные
496 кг — капуста?
523. Готовясь к олимпиаде по математике, Максим в субботу и воскре-

пр
ав
ам
и

Максим за два дня?
524. Готовясь к олимпиаде по английскому языку, Галина занималась пе-

ки
ми

Сколько всего страниц составляет текст?
525. Рассказывают, что на вопрос, сколько учеников в его школе, великий
древнегреческий учёный Пифагор ответил: «Половина изучает мате­
матику, четверть — музыку, седьмая часть проводит время в молчали­
вых размышлениях, кроме того, есть ещё три женщины». Сколько
учеников было в школе Пифагора?

то
рс

\

Пифагор (ок. 580 — ок. 500 до н. э.)

за
щ

ищ

ен
о

ав

Древнегреческому философу и матема­
тику приписывают систематическое введение
в математику доказательных рассуждений, соз­
дание учений о подобных фигурах, о чётных, не­
чётных, простых и составных числах, учение
о пропорциях, доказательство теоремы, нося­
щей его имя.

526. Найдите число, — которого равны — от числа 280.
13

14

7
3
527. Найдите — числа, — которого составляют 36.
24

8

98

13

528. Буратино потратил — своих денег на покупку учебников, а на по­

купку конфет — — оставшихся денег. После этого у него осталось
35 сольдо. Сколько сольдо было у Буратино сначала?

ав
ам
и

529. Три мышонка нашли головку сыра. Один мышонок съел — головки,


7

9
второй — — остатка, а третий - остальные 1 - кг сыра. Какова была


3

масса головки сыра?
5
530. В первый день в магазине продали — завезённой ткани, во второй —

пр

35 % остатка, а в третий —остальные 52 м. Сколько метров ткани за­
везли в магазин?
с»
3
531. За первый месяц отремонтировали 55 % дороги, за второй — - остат8

им

и

ка, а за третий — остальные 45 км. Сколько километров дороги от­
ремонтировали за три месяца?

*rv

ск

532. Альпинисты в первый день преодолели — высоты горы, во второй -

4

ав
т

ор

— оставшейся высоты, в третий
снова — оставшейся высоты,
3
а в четвёртый — преодолели остальные 800 м и достигли вершины.
Найдите высоту этой горы.
Упражнения для повторения

о

5 33. Найдите значение выражения:

ще
н

— + 1— - —
38 76
9 9 6 19
534. Решите уравнение:

2) 5*

154

3) 4х = ■

= -

за
щи

1;

1 _5__ Н_

2)

36

3--2--1--15 7
7 9'
4) 7х = 20.

535. Найдите координат)'точки А (рис. 11).
Рис. 11

Л
1*1
0

1
а

А

1
0

1
б
99

А
— ь-—----!----5
1
6
В

536 . Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы трёхзначное число
*8 * делилось нацело на 9. Найдите все возможные решения.

г*^

Готовимся к изучению
новой темы

Задача от

пр
а

~%k

ва
ми

537. Из чисел 20, 45, 50, 125, 64, 505 выберите те, разложение которых на
простые множители содержит только числа 2 и 5,
538 . Можно ли несократимую дробь со знаменателем 3 привести к дроби
со знаменателем 10? 100? 1 000? О твет обоснуйте.
м у д р о й с о вы

им
и

539. После того как кусок мыла, имеющий форму прямоугольного парал­
лелепипеда, использовали для стирки семь раз, его длина, ширина
и высота уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося
куска мыла?

ск

S 16. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

то
р

Напомним, что для обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100,
1 000 и т. д. используется «одноэтажная» форма записи — десятичные дро­
би. Например, ^ = 0,7; ^

= 0,23; ^

= 0.019.

ав

Любую десятичную дробь можно преобразовать в обыкновенную
дробь. Например,
0 2 = — = - ' 2 75 = 2 — = 2 - = —
10

5’



100

4

4'

j

но



С помощью основного свойства дроби можно, например, дроби —,
23
преобразовать в десятичные:

ищ
е

50

за
щ

1 = UL

2
2-5
23 _ 23
50
50-2

: ^

=

° .5 ;

46
100

= 0,46.

Чтобы несократимую дробь ^ преобразовать в десятичную, не­
обходимо привести её к одному из знаменателей 10, 100,
1 000 и т. д.

Какой же из этих знаменателей выбрать? Заметим, что при приведе­
нии несократимой дроби к новому знаменателю «старый» знаменатель яв100

ляется делителем нового. Поэтому знаменатель дроби | должен быть дели­
телем одного из чисел 10, 100, 1 000 и т. д.
Например, преобразуем дробь

в десятичную. Числа 10 и 100 не де­

лятся нацело на 40, поэтому они не подходят в качестве знаменателя. А вот

ав
ам
и

число 1 000 делится нацело на 40 (1 000 : 40 = 25). Отсюда — =
=
= 0,075.
40
1000
Однако не каждую обыкновенную дробь можно записать в виде деся­
тичной.
Рассмотрим, например, дробь - . Из признака делимости на 9 следу­
ет, что ни одно из чисел 10, 100, 1 000 и т. д. нацело на 9 не делится. Сле­
преобразовать в десятичную не удастся.

пр

довательно, дробь

Несократимую дробь ^ можно преобразовать в десятичную толь-

то

!0

рс

ки

ми

А как распознавать несократимые дроби, которые можно предста­
вить в виде десятичных?
Заметим, что каждое из чисел 10, 100, 1 000 и т. д. имеет только два
простых делителя: 2 и 5. Действительно, 10 = 2 - 5, 100 = 22 • 52, 1 000 = 23 • 53
и т. д.
Поэтому можно сделать следующий вывод.
0

ав

ко тогда, когда разложение знаменателя Ь на простые множители
не содержит чисел, отличных от 2 и 5.

3

но

Напомним, что обыкновенные дроби можно преобразовать в деся3
тичные и другим способом. Преобразуем, например, дробь у-г в десятич-

щи

ще

ную. Имеем — = 3 : 16. Теперь выполним деление уголком:
16
3 .0 0 0 0 116
1
10,1875
_30

за

J_6

_ 1 40
128
120
112

_80
80.
0
101

Следовательно, — = 0,1875.
16

L

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, можно
её числитель разделить на знаменатель.

Решаем устно

\ ___

ки

3.

Выполните деление:
1 )2 :5 ;
2) 1 : 2;

3) 3 : 4;

4) 8 : 5.

2
4
Тракторист вспахал — поля за — ч. За какое время он вспашет всё по3
5

рс

.

ми

Заполните цепочку вычислений:

1.

2

пр
ав
ам
и

1. В каком случае несократимую дробь можно преобразовать в деся­
тичную?
2. Как преобразовать обыкновенную дробь в десятичную?

Упражнения

ав

О \ _______

то

ле, работая с той же производительностью труда?

5 4 0 . Какие из данны х обы кновенны х дробей можно преобразовать в десятичные:
»

3)

но

5) J L ;
6) — ?
' 125
1 150
Какие из данны х обы кновенны х дробей можно преобразовать в десятичные:
1\ И .
о\ 1*7 #
ох 5 .
4) Л ;
5)
^ 16’
^ 200 ’
12’
6> ш ?
’ 625
' 600
Преобразуйте в десятичную дробь:
1 \ 13 _
3 .
ОХ 9 >
6 )f
5) — ;
4) — ;
20 ’
^ 25’
40 ’
’ 16
' 80
Преобразуйте в десятичную дробь:
1ч 3 .
ох 32 .
, 159.
6> 1 5 )^ ;
4) — ;
8’
12) 1 ¾ 1
3) 2 0 0 ’
' 25’
' 50
Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные и вычислите:

4)

' 400’

щи
ще

541.

2) § ;

за

542.

543.

544.

1) 0,29 + — ;
25

2) 4¾-3,94;

3) 8 ,2 2 -4

О

102

50

4) 15,63 + 1 ^ .

545. Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные и вычислите:
1) ^ - 0,238;

2)И+0’052;

3) 0,35 + 1 - ;
8

4 ) 9 ||- 8 ,6 5 8 .

Упражнения для повторения

пр
ав
ам
и

546. Найдите значение выражения:
0,5 : 1,25 + 1,4 ^ - ^

547. Одна сторона треугольника равна 32 см, вторая составляет 45 % пер­
вой, а третья — Ц- первой. Вычислите периметр треугольника.

548. Сравните:
2) 0,4 и 0,08;

3) 0,075 и 0,1.

ки

1) 6,4 и 6,42;

ми

Готовимся к изучению
новой темы

рс

Задача от мудрой совы

то

549. Каждая грань куба окрашена в белый или чёрный цвет. Докажите, что
найдутся две грани с общим ребром, окрашенные в один цвет.

ав

S 17. Бесконечные периодические десятичные дроби
5

но

Как вы уже знаете, дробь — обратить в десятичную нельзя, т. е. если

ще

5 разделить на 11, то десятичную дробь не получим. А если всё же раз­
делим:

за

щи

5,0000 J J _____
0,4545...
50
44
_60
55
_50
44
_60
55
5
103

Можно записать:

= 0,4545... = 0,(45).

пр
ав
ам
и

Как видим, это деление можно продолжать бесконечно. Частное име­
ет вид 0,4545... . В этой записи точки означают, что цифры 4 и 5, стоящие
рядом, периодически повторяются бесконечно много раз.
Число 0,4545... называют бесконечной периодической десятичной
дробью или периодической дробью.
Полученную периодическую дробь принято записывать так: 0,(45)
и читать: «нуль целых и сорок пять в периоде». Группу цифр (45) называют
периодом дроби 0,(45).

Заметим, что до этого примера мы рассматривали только те десятич­
ные дроби, в записи которых после запятой стоит конечное число цифр.
Их называют конечными десятичными дробями.
Когда говорят, что дробь

_5 _

11

преобразовать в десятичную нельзя,

При делении натурального числа на натуральное число можно по­
лучить один из трёх результатов: натуральное число, конечную де­
сятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную
дробь.

ав

то

рс

0

ки

ми

имеют в виду, что эту дробь нельзя записать в виде конечной десятичной
дроби.
Теперь можно сделать следующий вывод.

7

Пример 1. Преобразуйте дробь — в периодическую дробь.

но

Решение. Выполним деление числа 7 на число 12:
_7,0 0 0 0 0 U l _______
60
10,58333...

ще

_ 1 00

за

щи

96
_40
36
_40
36
_ 40
36
4

Следовательно, ^ = 0,58333... = 0,58(3). (Дробь 0,58(3) читают: «нуль
целых пятьдесят восемь сотых и три в периоде».) 4
104

з

Пример 2 . Сравните — и 0,273, записав предварительно обыкно-

венную дробь — в виде периодической дроби.
Решение. уу = 0,272727.... Сравнивая дроби 0,272727... и 0,273, видим,

ми

что в разрядах единиц, десятых и сотых соответственные цифры одина­
ковые. При этом в разряде тысячных в записи первого числа стоит 2,

1

ми

Число 6,3845 округлите:
1) до тысячных;
3) до десятых;
2) до сотых;
4) до единиц.
Выполните действия:
1) | + 4,6;
2) 4 j -2,75;
3)0,61^.
4

2

то

5

ки

2.

Что может быть результатом деления одного натурального числа на
другое?

рс

1.

*

пр
ав
а

а в записи второго —3. Следовательно, 0,272727... < 0,273, т. е. — < 0,273.

за

щи

ще

но

ав

550. Прочитайте периодическую дробь и назовите её период:
1) 0,(5);
4) 0,(32);
7) 0,444... ;
10) 0,137474... ;
2) 2,4(3);
5) 1,(976);
8) 3,424242...;
11)4,101010...;
3) 0,0(2);
6) 9,0(45);
9) 0,567567...;
12) 2,1231212....
5 5 1 . Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби
частное:
1)1:9;
2)4:11;
3 ) 4 7 :1 2 ;
4)12,4:27.
5 5 2 . Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби
частное:
1)5:6;
2) 19 : 11 ;
3) 86 :1 5;
4)6,32: 18.
5 5 3 . Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую
десятичную дробь и укажите её период:

Д.

13

.

31.

49

4)
5) 54 '
3) 18 ’
2) 30 '
33’
5 5 4 . Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую
десятичную дробь и укажите её период:
1)
2 ) 11
9
■*' 1 9 '
5) — .
4)
12

15

3)TI’
105

36



44

нГ\_

555. Сравните дроби, записав предварительно обыкновенные дроби в ви­

де конечной десятичной дроби или бесконечной периодической де­
сятичной дроби:
.\ 5
387
4 и -5
3) у и 3,14;
4) — и ----- .
2) —
1 7
8
13
1000
556. Сравните дроби, записав предварительно обыкновенные дроби в ви­
де конечной десятичной дроби или бесконечной периодической де­
сятичной дроби:
7
77
11
19
47
П9
1) ~ и 0,269;
3) 12 И i0;
2)? и ш ;
4) IF

4

\О и 0,2;

СП

пр
ав
ам
и

1)

Ш ВВВ9И ВЯ

Упражнения для повторения

557. Найдите значение выражения:

1)

1,25- 0,36 : l | ;

:

5

ск

16

им
и

2 ) - : 0,75 ~ : 1,2
' 8
558. Из двух городов, расстояние между' которыми 108 км, одновременно
навстречу друг другу выехали царь Салтан и царевич Гвидон. Карета
^

царя Салтана двигалась со скоростью 10 км /ч, что составляло

5
-

ско­

то
р

рости, с которой на коне ехал царевич Гвидон. Через сколько часов
после выезда они встретятся?

ав

ф Готовимся к изучению
новой темы

\ ___

но

559. Округлите дроби:

ще

1) 9,486; 12,78; 0,5498; 10,333; 1,89 до десятых;
2) 3,405; 4,326; 82,2048; 0,2349; 0,999 до сотых;
3) 0,6372; 2,2981; 6,55555; 4,6767 до тысячных.

щи

Задача от

м уд ро й с о в ы

за

560. На доске написаны числа 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Разрешается к любым

двум записанным числам прибавить одно и то же натуральное число.
Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, достичь того,
чтобы все записанные числа оказались равными?

106

5 18. Д есятичное приближение обыкновенной дроби

пр
ав
ам
и

Вы умеете округлять десятичные дроби. Например:
0,2415 = 0,2 (округление до десятых);
0,2415 = 0,24 (округление до сотых);
0,2415 = 0,242 (округление до тысячных).
Округлять можно и бесконечные периодические десятичные дроби,
«отсекая» в определённом месте «бесконечный хвост». Например:
0,(6) = 0,6 | 66... = 0,7 (округление до десятых);
1,3(4) = 1,34 | 44... = 1,34 (округление до сотых);

2,(17) = 2,171 | 717... = 2,172 (округление до тысячных).
Преобразуем обыкновенную дробь

в периодическую:



: 0,5777... Округлим полученную периодическую дробь до соты:

то

96

рс

ки

ми

0,5777... = 0,58.Полученное число 0,58 называют десятичным приближе- 26
26 „
нием до сотых дроби —и записывают — = (1,58.
45
45
Понятно, что можно найти и другие десятичные приближения дан­
ной обыкновенной дроби:
26
— = 0,6 (десятичное приближение до десятых);
= 0,578 (десятичное приближение до тысячных) и т. д.

Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до
нужного разряда, надо;
1) выполнить деление числителя на знаменатель до следующего
разряда;
2) полученную конечную десятичную дробь или бесконечную пе­
риодическую десятичную дробь округлить до нужного разряда.

за

?

щи

ще

но

&

ав

Рассмотренные примеры иллюстрируют следующее правило.

Как найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного
разряда?

Решаем
1.

устн о

Прочитайте периодическую дробь и назовите её период:
1) 0,(8);
3) 2,(6);
5)0,1111...;
7) 12,1646464...;
2) 0,(14);
4) 5,7(126);
6) 0,8424242... ;
8) 3,27321321321....
107

2.

Чему равен корень уравнения:
2 _ 1_.
0;
1) 4 Х 2 ’
"2 )' 9 '

4) 6у = 4?

На одной чашке весов лежит арбуз, а на другой - треть такого же ар­
буза и несколько гирь общей массой 6 кг. Весы находятся в равнове­
сии. Какова масса арбуза?

ав
ам
и

3.

3 ) Чу = 3 ;

Упражнения

~сГ\_

561. Найдите десятичное приближение до сотых дроби:

1)

4>2,f;1

Ь 2)Ь

5) 5 -

6) 1 — .
200

пр

562. Найдите десятичное приближение до тысячных дроби:

ми

4>5ll;

щи

ще

566.

но

565.

ав

то

564.

рс

ки

563.

3) —■
2) — ■
1)’ 2 3 ’
5) ‘1;7 ’
6) 3 — .
43’
' 9’
*' “ 16’
625
Найдите десятичное приближение частного до указанного разряда:
1) 36,8 : 7 —до десятых;
5) 2 : 3 —до тысячных;
2) 24,16 : 11 —до десятых;
6) 26,7 : 14 —до сотых;
3) 29 : 6 —до сотых;
7) 52 : 15 —до тысячных;
4) 5 : 13 —до сотых;
8) 10 : 17 —до десятитысячных.
Найдите десятичное приближение частного до указанного разряда:
1) 43,3 : 9 —до десятых;
5) 5 : 9 —до тысячных;
2) 78,32 : 18 —до десятых;
6) 64,45 : 19 —до сотых;
3) 38 : 11 —до сотых;
7) 90 : 22 —до тысячных;
4) 10 : 18 —до сотых;
8) 65 : 23 —до десятитысячных.
В 7 пакетов развесили поровну 16 кг сахара. Сколько килограммов са­
хара в каждом пакете? Ответ запишите в виде десятичного прибли­
жения до сотых.
Среднее расстояние от Солнца до ближайшей к нему планеты Мерку­
рий составляет 57,9 млн км, а до самой отдалённой планеты Нептун —
4504,4 млн км. Во сколько раз Меркурий расположен ближе к Солнцу,
чем Нептун? Ответ запишите в виде десятичного приближения до
единиц.
В 9 банок поровну налили 25 кг мёда. Сколько килограммов мёда на­
лили в каждую банку? Ответ запишите в виде десятичного приближе­
ния до десятых.

за

567.

о о

\_

568. Найдите десятичное приближение до сотых корня уравнения:
4) ! * = 1i
1) 9* = 5 ;
2 ) 8 : * = 125;
3 ) 3* = 4 ;

108

569 . Найдите десятичное приближение до сотых корня уравнения:
1 ) 1 2 * = 7;

2 ) 5 : * = 8;

3) 7 * = 16;

4) —лг = 1 —


8

16

570 . Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные, округлите их до
сотых и выполните вычисления:
2) 4 | - з А + 4,96.

ам
и

1) | + 0,69;

571 . Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные, округлите их до
сотых и выполните вычисления:
2)12^-4,54-5^.

13

19

'

6

Упражнения для повторения 4

Площадь Казанского кремля равна 15 га, что составляет 250 % площа-

ми

572 .

пр
ав

1)4-0,28;

3

ди Тульского кремля. Площадь Тульского кремля составляет — пло28

ще
н

о

ав

то

рс

ки

щади Вологодского кремля. Какова площадь Вологодского кремля?

за
щи

573 . Найдите значение выражения:
• 2, 6 .

Готовимся к изучению
новой темы

574 . Увеличится или уменьшится частное и во сколько раз, если:
1) делимое увеличить в 4 раза;
2) делитель уменьшить в 3 раза;
109

3) делимое увеличить в 6 раз, а делитель —в 2 раза;
4) делимое уменьшить в 10 раз, а делитель увеличить в 5 раз?

г
I

Задача от мудр ой с о в ы

.

Из натурального числа, которое не больше 100, вычли сумму его
цифр. Из полученного числа снова вычли сумму его цифр, и так дела­
ли несколько раз. После 11 таких вычитаний впервые получили 0.
Найдите исходное число.

за
щи

ще
но

ав
то

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

575

110

Итоги главы 2
Основное свойство дроби

за
щ

ищ
е

но

ав
т

ор

ск

им
и

пр

ав
ам
и

• Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то
же натуральное число, то получится равная ей дробь.
• Если числитель и знаменатель дроби разделить на их общий де­
литель, то получится равная ей дробь.
Сокращение дроби
Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отлич­
ный от 1, называют сокращением дроби.
Несократимая дробь
Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые
числа, называют несократимой.
Свойство сокращения дроби
Если сократить дробь на наибольший общий делитель числите­
ля и знаменателя, то получится несократимая дробь.
Общий знаменатель двух дробей
Общий знаменатель двух дробей — это общее кратное их зна­
менателей.
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю,
надо:
1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных
дробей;
2) найти дополнительные множители для каждой из дробей,
разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её до­
полнительный множитель.
Сравнение дробей
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо
привести их к общему знаменателю, а затем применить прави­
ло сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Сложение и вычитание дробей
Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями,
надо привести их к общему знаменателю, а затем применить
правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знамена­
телями.
Умножение дробей
• Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель
умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

111

ав
т

ор

ск

им

и

пр
ав

ам
и

• Произведением двух дробей является дробь, числитель которой
равен произведению числителей, а знаменатель — произведе­
нию знаменателей данных дробей.
Нахождение дроби от числа
Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту
дробь.
Нахождение процентов от числа
Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в
виде дроби и умножить число на эту дробь.
Взаимно обратные числа
Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно
обратными.
Деление дробей
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умно­
жить на число, обратное делителю.
Нахождение числа по заданному значению его дроби
Чтобы найти число по заданному значению его дроби, можно
данное значение разделить на эту дробь.
Нахождение числа по его процентам
Чтобы найти число по его процентам, можно представить про­
центы в виде дроби и разделить значение процентов на эту
дробь.
Преобразование обыкновенной дроби в десятичную
• Чтобы несократимую дробь ~ преобразовать в десятичную,

ft

He­

но

обходимо привести её к одному из знаменателей 1 0 ,1 00,1 000
и т. д.

ще

• Несократимую дробь у

можно преобразовать в десятичную

О

за

щи

только тогда, когда разложение знаменателя b на простые мно­
жители не содержит чисел, отличных от 2 и 5.
• Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, мож­
но её числитель разделить на знаменатель.

Результат деления одного натурального числа на другое

При делении натурального числа на натуральное число можно
получить один из трёх результатов: натуральное число, конеч­
ную десятичную дробь или бесконечную периодическую деся­
тичную дробь.



112

Нахождение десятичного приближения обыкновенной дроби

за

щи
ще

но

ав
т

ор

ск

им
и

пр
ав
ам
и

Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до
нужного разряда, надо:
1) выполнить деление числителя на знаменатель до следующе­
го разряда;
2) полученную конечную десятичную дробь или бесконечную
периодическую десятичную дробь округлить до нужного раз­
ряда.

из

Глава 3. Отношения и

пропорции

S 19. Отношения

пр
ав
а

ми

Изучив материал этой главы, вы узнаете, что называют отно­
шением двух чисел; какое равенство называют пропорцией; что
такое процентное отношение двух чисел; какие связи между вели­
чинами называют прямой и обратной пропорциональными зави­
симостями; как можно найти вероятность случайного события.
Вы познакомитесь со следующими геометрическими фигу­
рами: окружность, круг, цилиндр, конус, сфера, шар. Научитесь
находить длину окружности и площадь круга.

Частное двух чисел а и Ь, отличных от нуля, называют отношением
чисел а и Ъ или отношением числа а к числу Ь.

за
щи
ще

Й

но

ав
то
р

ск

им

и

В русском языке много синонимов. Например, слова
урок и занятие,
думать и мыслить,
учитель и педагог
близки по значению.
Примеров, когда одно и то же понятие имеет разные названия, нема­
ло и в математике.
Вторая степень числа и квадрат числа,
один процент величины и одна сотая величины,
луч и полупрямая —
уже знакомые вам «математические синонимы».
Вот ещё один пример такого рода.

Например:
1 6 : 4 —отношение числа 16 к числу 4;
3 : 7 —отношение числа 3 к числу 7;

2 1
2
1

: ---- отношение числа —
к числу —
;
3 7
3
’ 7
0,2 : 0,11 —отношение числа 0,2 к числу 0,11.
В отношении числа а к числу b числа а и b называют членами отно­
шения, число а —предыдущим членом отношения, а число b — после­

дующим.

Отношение двух натуральных чисел а и b можно записать в виде дро­
би ^ . Также договорились использовать черту дроби и в тех случаях, когда
114

а и b - дробные числа. Например, отношение 0,3 : 1,2 записывают и так03
1,2

'

Таким образом, отношение чисел а и b можно записать двумя спосо­
бами: -г или а : Ъ.
О

ав
а

2

ми

Чаще всего выбор способа записи определяется её компактностью.
5
Например, запись отношения числа
Если а и b — натуральные числа, то, записав их в виде отно-



а

пр

шения -г , на основании основного свойства дроби можно сделать следу­
ющий вывод.

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить
на одно и то же число, не равное нулю.

им

и

В

1, 2-10

2,5-10

=

12

.

25’

но

_

ав
т

1,2

2,5

ор

ск

Это свойство называют основным свойством отношения. Оно оста­
ётся справедливым и в тех случаях, когда члены отношения —дробные
числа.
Например:

за
щи
ще

l | : 0,25 = ^ l | ■4 ) : (0,25 • 4) = 6 : 1.
Эти примеры иллюстрируют следующее: отношение дробных чисел
можно зам енит ь отношением нат уральны х чисел.

Пример 1. Найдите отношение 3,2 м к 16 см.
Решение. Чтобы найти отношение данных величин, необходимо сна­
чала выразить их в одинаковых единицах измерения, а затем выполнить де­
ление. Имеем: 3,2 м : 16 см = 320 см : 16 см = 20.
Ответ: 20. ◄
Пример 2. Замените отношение — : ^ отношением натуральных
чисел.
115

Отношение длины отрезка
CD к длине отрезка А В равно
2 : 5. Это отношение показывает,
что длина отрезка CD составляет

А
С

им
и

2

—длины отрезка АВ.
5

В

D

Отношение чисел а и b показывает, во сколько раз число а боль­
ше числа Ъ или какую часть число а составляет от числа Ь.

ав
то
рс
к

0

пр
ав
ам
и

7
4
Решение. Умножив каждую из дробей — и — на их наименьший об15
9
...
7 4 ( 7
щии знаменатель —число 45, получим: — : —= — 45
•45 = 21:20.
15 9 у 15
Ответ: 21 : 20. ■*
Часто отношение используют тогда, когда необходимо сравнить две
величины. На рисунке 12 изображены два отрезка: А В = 5 см, CD = 2 см.
Отношение длины отрезка А В к длине отрезка CD равно 5 : 2 или 2,5. Это
отношение показывает, что длина отрезка А В в 2,5 раза больше длины от­
резка CD или длина отрезка А В
5
Рис. 12
составляет —длины отрезка CD.

за

щи
ще

но

Приведём ещё примеры использования отношений:
• скорость —отношение длины пройденного пути ко времени, за кото­
рое пройден этот путь;
. цена —отношение стоимости товара к количеству единиц его изме­
рения (килограммов, литров, метров, коробок и др.);
. плотность — отношение массы вещества к его объёму;
• производительность труда —отношение объёма выполненной ра­
боты ко времени, за которое выполняется эта работа.
При составлении планов и географических карт участки земной по­
верхности изображают на бумаге в уменьшенном виде. Важно, чтобы при
этом полученный рисунок давал представление о реальных размерах изо­
бражённой на нём местности. Для этого на карте (плане) указывают отно­
шение, показывающее, во сколько раз длина отрезка на рисунке меньше
длины соответствующего отрезка на местности. Это отношение называют
масштабом карты (плана).
На рисунке 13 изображена карта, масштаб которой равен 1 : 5 000 000.
Это означает, что 1 см на карте соответствует 5 000 000 см на местности,
что составляет 50 км. Чтобы с помощью этой карты определить расстояние
от Салехарда до Надыма, надо измерить расстояние между точками, изоИв

пр
ав
ам
и

бражающими указанные города. Полученную величину (5,8 см) следует умно­
жить на 5 000 000. Тогда искомое расстояние будет 29 000 000 см = 290 км.

Что называют отношением двух чисел?
Как можно записать отношение чисел а и Ы
Назовите в отношении т : п последующий и предыдущий члены.
В чём состоит основное свойство отношения?
Что показывает отношение двух чисел?
Какие вы знаете величины, являющиеся отношением двух других
величин?
7. Объясните, что такое масштаб.

ми

1.
2.
3.
4
5.
6.

1.

устно

ав

Решаем

Чему равно частное чисел:

о

1) 54 и 6;

ще
н

2) 0,4 и 5;

3) и и

5) 8 и п =

4) 6 и 9;

6)3и|?

Во сколько раз:
1) 24 больше, чем 3;
2) 0,2 меньше, чем 1,8?
Какую часть:
1) число 7 составляет от числа 21;
2) число 0,3 составляет от числа 6?
Замените дробь 1234 равной ей дробью:

за
щи

2.

то

рс
ки

.

3.

4.

1) со знаменателем 10, 15. 45:
2) с числителем 12, 15, 36.
117

Упражнения

V

576 . Запишите с помощью знака деления «:» отношение чисел:

' 7 " * 14 ’

ми

пр
ав
ам
и

4) 2 - i и
2) 4 и 28;
1) 7 и 3;
3) 2,1 и 3,4;
577 . Запишите с помощью черты дроби отношение чисел:
4) — и —.
1)13 и 50;
2) 5 и 2;
3) 8 и 4,6;
' 9
3
578 . Найдите отношение:
1) 1,8 : 5,4;
5) 3 дм : 5 см;
9) 360 г : 5,4 кг;
2) 2,4 : 0,08;
6) 8 м : 1 км;
10) 14,4 дм : 160 см;
3) 3,5 : 49;
7) 12 м : 1,8 км:
11) 1 ч : 24 мин;
4) 9,6 : 0,16;
8) 24 кг : 480 г;
12) 78 см2 : 2,6 дм2.
579 . Найдите отношение:
1) 45 к 5;
3) о2 г1 К ,1;1 1
5) 1,8 м к 30 см;

ав
то
р

ск
и

6) 1 кг к 125 г.
2) 4 к 24;
4) 4,8 к 0,12;
580 . В спортивных соревнованиях участвовали 72 школьника, среди кото­
рых было 18 девочек. Во сколько раз всех участников соревнований
было больше, чем девочек? Какую часть всех участников составляли
девочки?
581 . В сплаве, масса которого равна 250 кг, содержится 20 кг меди. Во
сколько раз масса сплава больше, чем масса меди, содержащейся
в нём? Какую часть сплава составляет медь?
582 . Равны ли отношения:
1 4
3) 0,3 : 0,06 и 1
1) 16 : 4 и 0,8 : 0,2;
7 ' 21 ’
4.2- и —
э ■
о\ 34
27
4) —
:

но

2) 85 И « ;



0,7

1,5

583 . Найдите:

за

щи

ще

1) плотность олова, если масса 0,6 м3 олова равна 4,38 т;
2) массу свинцового куба с ребром 2 см, если плотность свинца равна
11 340 кг/м 3.
584 . Массы 0,2 м3 липы, 0,5 м3 ели, 1,2 м3 сосны, 0,8 м3 берёзы, 0,6 м3 ли­
ственницы соответственно равны 106 кг, 225 кг, 624 кг, 520 кг, 396 кг.
Составьте таблицу из двух колонок, в левой из которых расположены
названия данных видов древесины в порядке убывания их плотно­
стей, а в правой —плотность соответствующего вида древесины.
585 . Во сколько раз расстояние на карте меньше расстояния на местно­
сти, если масштаб карты 1 : 200 000?
586 . Во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте,
если масштаб карты 1 : 40 000?
118

.

588

.

589

.

[

.
591.
590

Расстояние между городами Яблоневое и Грушёвое равно 240 км. Ка­
ким будет расстояние между этими городами на карте с масштабом
1 : 600 000?
Расстояние между городами Зеленогорский и Синеозёрный равно
320 км. Каким будет расстояние между этими городами на карте с мас­
штабом 1 : 4 000 000?
Расстояние между двумя городами на местности равно 435 км, а на
карте — 14,5 см. Найдите масштаб карты.
Расстояние между двумя городами на местности равно 120 км, а на
карте — 7,5 см. Найдите масштаб карты.

\___

.

4>'Н-

Замените данное отношение отношением натуральных чисел:

2) А ; 21;

1) 1 :;

'

12

ми

593

.

3) - : — ;

18

'

4

18

Замените отношение дробных чисел отношением натуральных чисел:
!)

.

У

ки

592

2)0,8 :0 ,0 3 ;

У

3) 2 f : 3 ^ ;

рс

00

Расстояние между городами Париж и Тулуза на карте, масштаб кото­
рой 1 : 9 000 000, равно 6,7 см. Вычислите расстояние между этими
городами на местности.

пр
ав
ам
и

587

о

о

4) 3 ± : 3,6.
^

Увеличится или уменьшится отношение и во сколько раз, если:
1) предыдущий член увеличить в 4 раза;
2) последующий член увеличить в 2,4 раза;
3) предыдущий и последующий члены увеличить в 10 раз;
4) последующий член увеличить в 7 раз, а предыдущий уменьшить
в 3 раза;
5) предыдущий член уменьшить в 9 раз, а последующий —в 4,5 раза?
5 9 5 Увеличится или уменьшится отношение и во сколько раз, если:
1) предыдущий член уменьшить в 5 раз;
2) последующий член уменьшить в 6 раз;
3) предыдущий член увеличить в 9 раз, а последующий уменьшить
в 2 раза;
4) последующий и предыдущий члены увеличить соответственно
в 4 и 12 раз?
5 9 6 Размеры участка прямоугольной формы составляют 48 м и 30 м. На­
чертите в тетради план этого участка в масштабе 1 : 600.
5 9 7 На плане, масштаб которого равен 1 : 1 5 000, длина прямоугольного
участка равна 12 см, а ширина —8 см. Сколько тонн семян пшеницы
надо, чтобы засеять этот участок, если на 1 га земли высевают 0,24 т
семян?

за

щи

ще

.

но

ав

то

594

.
.

119

Упражнения для повторения \ ______

ми

пр
ав
ам

и

598. Число 414 кратно числу 18. Найдите:
1) три числа, следующих за 414 и кратных 18;
2) два числа, предыдущих 414 и кратных 18.
599. Петя и Дима, работая вместе, могут прополоть огород за 2,4 ч. Петя
может сделать это самостоятельно за 4 ч. Сколько времени требуется
Диме, чтобы самостоятельно прополоть огород?
600. Найдите значение выражения:

то

рс

ки

601. Витя купил тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все страницы
по порядку от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 35 листов и сло­
жил все 70 чисел, которые на них были написаны. Могла ли получен­
ная сумма быть равной 3 500?

ав

S 20. Пропорции

Если отношения a : b и с : Д равны, то равенство a : b = с : d

ще

Ь

но

Поскольку 3,6 : 0,9 = 4 и 1,2 : 0,3 = 4, то верным является равенство
3,6 : 0,9 = 1,2 : 0,3, которое называют пропорцией (от лат. proportio —
«соизмеримость»).

} называют пропорцией.

щи

равенство

или

за

Записи a : b = с : d и т = 4 читают: «отношение а к b равно отношеb d
нию с к Д» или «а относится к Ь, как с относится к Д».
Числа а и Д называют крайними членами пропорции, а числа b и с —
средними членами пропорции.

120

Средние члены пропорции
Крайние члены пропорции

Средние члены пропорции

пр
ав
ам
и

Крайние члены пропорции

В пропорции 3,6 : 0,9 = 1,2 : 0,3 числа 3,6 и 0,3 - крайние члены, чис­
ла 0,9 и 1,2 — средние члены.
Заметим, например, что отношения 2 : 4 и 3 : 9 не равны, поэтому об­
разовать пропорцию они не могут.
1,5 3
Для пропорции
= — рассмотрим произведение крайних членов

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её
средних членов.

рс
ки

0

ми

1,5 • 4 и произведение средних членов 2 • 3. Эти произведения равны. Та­
кое свойство присуще любой пропорции.

ав
то

Это означает:

если т = 4 , то a d = be
b а

Если а, Ь, с и d — числа, отличные от нуля, и ad= be, то отношения

ще

GJ

но

Это свойство называют основны м свойством пропорции.
Верно и следующее утверждение.

щи

^ и ^ равны и могут образовать пропорцию ^ = у

за

Приведённое свойство даёт возможность устанавливать равенство
двух отнош ений, не находя их значений. Например, чтобы установить, об­
разуют ли отношения 0 ,2 5 :4 - и 1,4 : 40 пропорцию, достаточно прове-

50
рить, равны ли произведения 0,25 • 40 и — ■1,4.
Получаем: 0,25 • 40 = 10; у
0,25 : у = 1,4 : 40.
121

1,4 = 10. Итак, имеем пропорцию

Также отметим, что из равенства a d = be следуют, например
d с а b
и такие пропорции: ^- = - , - = ^-.
Пример 1.

Найдите неизвестный член пропорции 9 : х = 3 : 7.

Решение. Используя основное свойство пропорции, запишем:

3 • х = 9 • 7.
Отсюда .г = ^ 7 = 21.
Пример 2.

пр
ав
ам
и

Ответ: 21. ■*

Сколько стоят 3,2 м ткани, если за 4,2 м этой ткани запла­

тили 630 р.?

3,2

4,2



3,2-630

630

.

то
рс
к

сколько стоит 1 м данной ткани.
х
1огда составим пропорцию:

им
и

Решение. Пусть 3,2 м ткани стоят х р. Запишем кратко условие задачи
в следующем виде:
3.2 м —х р.;
4.2 м —630 р.

X
630
Отношения —- и —— равны, поскольку каждое из них показывает,

3,2-30

Отсюда х =
----- = - - ■= 16 ■30 = 480.
4,2
0,2
Ответ: 480 р. ■*

щи
щ

ен

о

ав

Пример 3. Олово производят из минерала, который называют касси­
теритом. Сколько тонн олова получат из 25 т касситерита, если он содер­
жит 78 % олова?
Решение. Пусть получат х т олова. Взяв массу минерала за 100 %, запи­
шем кратко условие задачи:
25 т - 100%;
х т —78 %.
25
х равны, поскольку каждое из них показывает,
Отношения —
—и —

100

78

сколько тонн составляет 1 %.
25
х .
Тогда составим пропорцию: —
—= —

за

-Отсюда х = ^

100

78

5 =19,5.

Ответ: 19,5 т. ■*

Обратим внимание, что составление пропорций —ещё один способ
решения задач на проценты.
^#1

1. Что называют пропорцией?
2. Как в равенстве m : n = k : р называют числа т и р~> п и k l
122

3. В чём состоит основное свойство пропорции?
4. Как проверить, образуют ли отношения

и £ пропорцию?

~

Решаем у с т н о

ав
ам
и

3.

Сколько получилось пачек творога, если 8 ^ кг творога расфасовали
1

,

2

пр

2.

Найдите отношение:
1) 14 : 7;
3) 0,6 : 0,5;
5) 4 м : 80 см;
2) 7 : 14;
4) 0,5 : 0,6;
6) 1,5 ч : 40 мин.
Равны ли отношения:
1) 9 : 4,5 и 21 : 10,5;
2) 6 : 18 и 8 : 24?
в пачки по — кг?
4

4.

Назовите три дроби, каждая из которых равна: 1) - ; 2) — .

5.

Турист прошёл половину всего пути и ещё 3 км. После этого ему оста­
лось пройти 2 км. Сколько всего километров должен был пройти ту­
рист?

7

ки
м

и

3

рс

Упражнения

ав

то

602. Прочитайте пропорцию, назовите её крайние и средние члены:
1 ) 5 : 3 = 2 0 :1 2 ;
3 ) i f = 4f;
5) х : 9 = 2 : 23;
2) 1 3 : 4 = 39: 12;

63

56

4 ) М = 68.


12

51

8

с .
6

1/

64

=

1 5

'



603. Запишите в виде пропорции утверждение:

но

1 ) 2 относится к 7, как 6 относится к 21;
2) отношение 7,2 к 0,8 равно отношению 0,09 к 0,01;

ще

2

1-

4

20

3) — относится к 1- , как — относится к — .

за

щи

604. Вычислив данные отношения, установите, можно ли из них соста­

вить пропорцию:
1) 2,8 : 0,7 и 152 : 38;

2) — : —
'

11

22

12
17

.
'

Ъ_
34



В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию.
605. Вычислив данные отношения, установите, можно ли из них соста­
вить пропорцию:

1 ) 1 5 : 1 '8 и т Н г

2> 5? : 31 ? и 1т И § -

В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию.
123

606 . Не вычисляя данные отношения, установите, можно ли из них соста­

вить пропорцию:
1) 1,6 : 3,6 и 0,5 : 1,125;

4)М =М
’ 5,1
х

2) — = — ;
*

18

ки

'

ми

пр
ав
а

ми

2) 2 — : — и 1— : — .
' 16 13
50 65
В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию.
607. Не вычисляя данные отношения, установите, можно ли из них соста­
вить пропорцию;
7
2
5
1) 3,8 : 2,7 и 5,7 : 4,6;
2) 3я : 11 —
и —
:■

.
8
3 12
В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию.
608. Решите уравнение:
х_ _
1) 6 : х = 36 : 30;
3) 4,9 : 0,35 = лг: 35;
16 “
108 42
4) JL = J L ;
2) 12 : 7 = 3 : лг,
Ъ '
' 21 14
90
609. Найдите неизвестный член пропорции:
1 ) * :5 = 21 : 15;
3) 4,5 : 0,6 = х : 2,4;

за

щи
щ

ен

о

ав

то
рс

610. Решите с помощью пропорции задачу.
1) Для изготовления 8 одинаковых деталей необходимо 18 кг метал­
ла. Сколько таких деталей можно изготовить из 27 кг металла?
2) За 5 ч турист прошёл 24 км. Какое расстояние он пройдёт за 8 ч
с той же скоростью?
3) Из 140 кг свежих вишен получают 21 кг сушёных. Сколько кило­
граммов сушёных вишен получится из 160 кг свежих? Сколько кило­
граммов свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг су­
шёных?
4) Объём бруска, изготовленного из древесины вишни, равен
800 см3, а его масса —528 г. Какова масса бруска, изготовленного из
этого же материала, если его объём равен 1 500 см3?
5) Из 45 т железной руды выплавляют 25 т железа. Сколько требует­
ся тонн руды, чтобы выплавить 10 т железа?
6) Площадь поля 480 га. Пшеницей засеяли 24 % площади поля.
Сколько гектаров земли засеяли пшеницей?
7) За первый час автомобиль проехал 70 км, что составило 14 % все­
го пути. Сколько километров составляет весь путь?
8) Сплав содержит 12 % цинка. Сколько килограммов цинка содер­
жится в 80 кг сплава?
Q 611. Решите с помощью пропорции задачу.
1) На пошив 14 одинаковых костюмов израсходовали 49 м ткани.
Сколько таких костюмов можно сшить из 84 м ткани?
124

ми

пр

ав
а

ми

2) За 7 ч в бассейн налилось 224 л воды. За какое время в него нальёт­
ся 288 л воды?
3) Из 150 кг картофеля получают 27 кг крахмала. Сколько килограм­
мов крахмала получат из 420 кг картофеля? Сколько килограммов кар­
тофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала?
4) В саду растёт 320 деревьев, из которых 40 % составляют яблони.
Сколько яблонь растёт в саду?
5) Масса соли составляет 24 % массы раствора. Сколько килограммов
раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли?
612. Расстояние между селениями Приречное и Приозёрное на местности
составляет 288 км, а на карте —9,6 см. Какое расстояние между селе­
ниями Кленовое и Калиновое на этой же карте, если расстояние на
местности между ними равно 324 км?
613. Расстояние между сёлами Рябиновка и Ольшанка на местности равно
98 км, а на карте —4,9 см. Расстояние между сёлами Крапивня и Ка­
мышовое на этой же карте равно 7,6 см. Какое расстояние между сё­
лами Крапивня и Камышовое на местности?

ки

оо \___

за

щи

ще

но

ав
то

рс

614. Используя данные числа, составьте пропорцию:
1) 12; 7; 42; 2;
2) 0,2; 1,6; 0,72; 0,09.
615. Составьте все возможные пропорции, которые следуют из равенства
4 - 9 = 18 • 2.
616. Используя пропорцию 2 : 14 = 5 : 35, запишите ещё три пропорции.
617. Найдите отношение а к Ь, если:
16 _ 9
2) Ь а '
618. Найдите отношение а к Ь, если:
а_ _ Ь .
7_ 6
1) 39 8 ’
’ а Ь'
619. Решите уравнение:
2л: - 1 = 1 .
5) %Ъх : 14 = ± : 30;
3)
' 4
5 3’
3
2’
3 .г-1 .
6) 36 : 35 = ^ л:: -j-.
1
4) 4
2)
3,2 ’
X - 0,4 0,4’
620. Решите уравнение:
У - 5 _ 4.
5) - = —
3) б
9 -и . 3
6 2.Г
3’
2
2_ 6 .
24
1
6) 12
= 2 0: j .
4) 5 х + 3
2)
5
4
х +2 5 ’
а

125

621. Ч тобы сварить четы р е п о р ц и и м анной каш и, нужно 220 г манной кру­
пы , 960 г молока и 50 г сахара. С колько необходимо взять продуктов
каждого вида, чтобы свар и ть 18 п о р ц и й каши?
622 . Ч то б ы получи ть 120 кг м ел ьх и о р а, н еобходим о сп лави ть 18 кг нике­
ля, 24 кг цинка, а остальное — медь. С колько килограммов каждого ме­
талла необходимо взять, чтоб ы получить 164 кг мельхиора?

■* Г \ -----

ав
ам
и

624 .

Н аруш ится л и п р о п о р ц и я, если:
1) оба члена одного и з отн о ш ен и й умнож ить на 8;
2) оба член а одного отн о ш ен и я разделить на 2, а оба члена другого
отн ош ен и я умнож ить н а 5;
3) оба средних чл ен а р аздели ть н а 3,6?
Н аруш ится л и п р о п о р ц и я, если:
1) оба член а одного и з отн о ш ен и й разделить на 4;
2) оба край н и х чл ен а умнож ить на 10;
3) один и з её крайних членов и один из средних членов умножить на 6?

пр

----623 .

625 . Д окаж и те, что если ~ = 4 , то:
о а
CL

Ь

b

_

g,

С

d

_

ки

|\

ми

£3

CL

a+b

С

c+d '

то

рс

626 . Д евять кокосов сто ят столько дублонов, сколько кокосов можно ку­
п и ть за 1 дублон. С колько сто ят 15 кокосов?
Упражнения для повторения \ _______
1

3

ав

627 . Во сколько раз число: 1) —; 2) —; 3 )0 ,6 меньше обратного ему числа.-'

щи

ще

но

628 . И з сёл Зар еч н о е и З ао зёр н о е одновременно навстречу друг другу
вы ш ли два мальчика и встретились через 10 мин после начала движе­
ния. Затем мальчики продолж или движ ение в тех ж е направлениях,
и один и з них п риш ёл в Зао зёр н о е через 8 мин после встречи. Ч ерез
сколько минут после своего выхода из Заозёрного второй мальчик
п р и д ёт в Заречное?
629 . Н айд ите зн ачен и е выраж ения:

за

1)

Г*

3 | + 2,5

4 ,6 - 2

2) 4,5 - 1 | - 6,75

v Готовимся к изучению
новой темы

630 . В саду растёт 56 деревьев, из них 14 деревьев составляю т яблони. Ка­
кую часть деревьев сада составляю т яблони?
126

631

. В саду растёт 56 деревьев,

из них 14 деревьев составляют яблони,
а остальные деревья - груши. Какую часть от количества груш состав­
ляет количество яблонь?

Задача от мудрой совы

.

На столе лежат четыре чёрные палочки разной длины, причём сумма
их длин равна 40 см, и пять белых палочек, сумма длин которых так­
же равна 40 см. Можно ли разрезать те и другие палочки так, чтобы
потом расположить их парами, в каждой из которых длины палочек
будут одинаковыми, а цвета разными?

S 21. Процентное отношение

пр
ав
а

ми

632

д в ух

чисел

ки

ми

Всем нам приходилось пить чай из чашек разного размера, при этом
сахар каждый добавляет по своему вкусу, добиваясь привычного ощущения
сладости независимо от ёмкости посуды. Например, если вы каждое утро
выпиваете 250 г чая, в котором растворены три ложки сахара, т. е. 30 г сахара, то отношение 30 , равное ^3 , и будет характеризовать ваш «сахар­

то
рс

ный вкус».
3
Число — показывает, какую часть от массы напитка составляет мас­
са сахара. А если вы захотите выпить 400 г чая, то, чтобы он был привыч3

ав

ного вкуса, в нём должно быть растворено 400 ■— = 48 (г) сахара.
в процентах: ^ = 0,12 = 12 %. Число 12 по­

но

Выразим отношение

щи
ще

казывает, сколько процентов в чае составляет сахар. Это число называют
процентным отношением массы сахара к массе чая.

за

©

Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выражен­
ное в процентах.
Процентное отношение показывает, сколько процентов одно чис­
ло составляет от другого.

Например, если в 6 классе учатся 12 девочек и 20 мальчиков, то про­
центное отношение количества девочек к количеству мальчиков равно
| | ■100 = 60 (%). Оно показывает, что количество девочек составляет 60 %

от количества мальчиков.
127

20

2

А вот число — -100 = 166- (%) показывает, что количество маль2
3

чиков составляет 166^ % от количества девочек.
20

Число -

32

100 = 62,5(%) показывает, какой процент составляет ко-

личество мальчиков от количества учащихся всего класса.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отноше­
ние умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

пр
ав
ам
и

_

При решении задач на процентное отношение, кроме этого правила,
можно использовать пропорции.

ск
и

ми

Пример 1. В парке растёт 400 деревьев, из них 96 —ели. Сколько про­
центов всех деревьев парка составляют ели?
Решение. Пусть ели составляют х%. Запишем кратко условие задачи
в таком виде:
400 деревьев —100 %;
96 деревьев —х%.
400

Отношения

96

равны, поскольку каждое из них показывает,

100

т-

96

400 .

Тогда: — ■
х
100
.

96 • 100
= 24.
400

ав

Ответ: 24 9(

то
р

сколько деревьев приходится на 1 '

ще
н

о

Пример 2. Стоимость товара возросла со 150 р. до 240 р. На сколько
процентов увеличилась стоимость товара?
Решение. Пусть новая стоимость товара составляет х % относительно
начальной стоимости. Тогда кратко условие задачи можно записать так:
150 р. - 100%;
240 р. —х%.

за
щи

_

240

150 . „

Т° ГДа: ~Г = Ш ’

240• 100
150

160.

Получаем 160 - 100 = 60 (%) —составляет увеличение стоимости то­

вара.

Ответ: на 60 %.

?

■*

1.

Что такое процентное отношение двух чисел?
2. Что показывает процентное отношение двух чисел?
3. Сформулируйте правило нахождения процентного отношения двух
чисел.
128

Решаем устно

4.

ав
ам
и

3.

пр

2.

Выразите в процентах:
1) 0,02;
2) 0,2;
3) 2;
4) 0,002.
В магазине было 600 кг капусты. Продали 40 % капусты.
1) Сколько килограммов капусты продали?
2) Сколько процентов всей капусты осталось в магазине?
В коробке лежат 20 шаров, из них восемь шаров белые, а осталь­
ные — синие. Какую часть всех шаров составляют: 1) белые шары;
2) синие шары? Какую часть количество белых шаров составляет от
количества синих? Какую часть количество синих шаров составляет
от количества белых?
У Саши и Димы было по 12 яблок. Сначала Саша отдал Диме 50%
своих яблок, а потом Дима отдал Саше 50 % яблок, которые у него
оказались. У кого из мальчиков яблок стало больше и на сколько?

ми

1.

ки

Упражнения

633. Сколько процентов числа составляет его: 1) половина: 2) четверть;

рс

3) десятая часть; 4) пятая часть?
634. Сколько процентов составляет:

за

щи

ще

но

ав

то

1) число 4 от числа 8;
4) число 45 от числа 300:
2) число 2 от числа 10;
5) число 64 от числа 400;
3) число 12 от числа 48;
6) число 138 от числа 120?
635. Сколько процентов число 40 составляет от числа:
1) 100;
2) 80;
3) 160;
4) 10?
636. 1) Вика прочитала 169 страниц книги, в которой 260 страниц. Сколь­
ко процентов страниц книги прочитала Вика?
2) У Маши было 340 р. За 238 р. она купила подарок маме. Какой про­
цент денег истратила Маша на подарок?
3) Найдите процент содержания олова в руде, если 80 т этой руды со­
держит 6,4 т олова.
4) За каникулы Витя планировал решить 60 задач по математике,
а решил 102 задачи. На сколько процентов Витя выполнил «план по
решению задач»?
5) Определите процент содержания сахара в растворе, если 250 г рас­
твора содержит 115 г сахара.
637. 1) Из 36 учеников 6 класса девять учащихся получили за контрольную
работу по математике оценку «5». Сколько процентов учащихся получили оценку «5»?

О

129

за

щи

ще

но

ав
то

рс
ки

ми

пр
ав
ам
и

2) Найдите процент содержания соли в растворе, если 400 г раствоп,
содержит 34 г соли.
"
3) Посеяли 240 семян, из которых взошло 228. Найдите процент
всхожести семян.
638 . На сколько процентов изменилось значение величины, если она из­
менилась:
1) от 3 кг до 6 кг;
4) от 80 м до 72 м;
2) от 2 м до 3 м;
5) от 100 р. до 115 р.;
3) от 40 к. до 70 к.;
6) от 60 мин до 42 мин?
639 . 1) Цена товара повысилась со 140 р. до 175 р. На сколько процентов
повысилась цена товара?
2) Цена товара снизилась со 175 р. до 140 р. На сколько процентов
снизилась цена товара?
оо \
640 . Известно, что 380 кг руды первого вида содержит 68,4 кг железа,
а 420 кг руды второго вида — 96,6 кг железа. В какой руде, первого
или второго вида, выше процентное содержание железа?
641 . Известно, что 280 г первого раствора содержит 98 г соли, а 220 г вто­
рого раствора —88 г соли. В каком растворе, первом или втором, вы­
ше процентное содержание соли?
642 . По данным на 1 января 2015 г., общая численность населения Россий­
ской Федерации составляла 146,27 млн человек, из них 108,28 млн —
жители городов. Сколько процентов всего населения России состав­
ляет городское население? Ответ округлите до сотых.
643 . Костюм стоил 3 600 р. Сначала его цену повысили на 20%, а потом
новую цену снизили на 10 %. Какой стала цена костюма после этих
изменений? На сколько процентов изменилась начальная цена ко­
стюма?
644 . Шкаф стоил 4 800 р. Сначала его цену снизили на 10 %, а потом но­
вую цену повысили на 25 %. Какой стала цена шкафа после этих изме­
нений? На сколько процентов изменилась начальная цена шкафа?
Q
645 . С 1995 по 2014 г. количество профессиональных театров в России
возросло на 191, и в 2014 г. их было уже 661. На сколько процентов
увеличилось количество профессиональных театров за указанный пе­
риод? Ответ округлите до десятых.
646 . К сплаву массой 600 г, содержавшем)' 20 % меди, добавили 40 г меди.
Каким стало процентное содержание меди в новом сплаве?
647 . Было 300 г 6%-го раствора соли. Через некоторое время 60 г воды ис­
парилось. Каким стало процентное содержание соли в растворе?
648 . К 620 г 40%-го раствора соли долили 180 г воды. Найдите процентное
содержание соли в новом растворе.
130

650 .
651 .
652 .
653 .
654 .

Количество клёнов составляет 40 % от количества дубов, растущих
в парке. Сколько процентов составляет количество дубов от количества клёнов?
На сколько процентов увеличится число при увеличении
в 2,4 раза?
На сколько процентов уменьшится число при уменьшении
в 2,5 раза?
Мальчик купил две книги. Одна книга была на 50 % дороже другой.
На сколько процентов вторая книга дешевле первой?
Число х составляет 1 % от числа у. Как надо изменить число у, чтобы
число х составило от него 2 %?
К числам 100 и 1 000 дописали справа цифру 1. Какое из чисел увели­
чилось на большее количество процентов?

пр
ав
ам
и

649 .

ми

655 . К некоторому числу прибавили 10 % этого числа, а затем вычли 10 %

Упражнения для повторения

рс

&

ки

суммы и получили 990. Найдите это число.

656 . Найдите числа, которых недостаёт в цепочке вычислений:

1

то

.123

+ 4

25

ав

18

657 . Из городов Солнечный и Счастливый одновременно навстречу друг

ще

но

другу отправились пешеход и велосипедист, которые встретились че­
рез 2 ч после начала движения. Через 4 ч после встречи пешеход при­
был в город Счастливый. Сколько времени затратил велосипедист на
путь из Счастливого в Солнечный?
--------

щи

Готовимся к изучению
новой темы

за

658 . Сторона первого квадрата равна 3 см, а второго

6 см. Во сколь­
ко раз:
1) сторона второго квадрата больше стороны первого;
2) периметр второго квадрата больше периметра первого,
3) площадь второго квадрата больше площади первого?
659 . Вычислите значение у по формуле у —0,2х, если: 1) х —5, 2) х —1,—
Найдите, используя данную формулу, значение х, если у = 4.
131

Задача от

.

Из пункта А в 6 ч утра вышел турист. Вечером он дошёл до пункта В
и, переночевав, снова в 6 ч утра отправился в пункт Л. Докажите, что
на маршруте есть такой пункт С, в котором турист оказался в одно
и то же время как в первый, так и во второй день (скорость туриста
на маршруте могла меняться).

Когда сделаны

пр
ав
ам
и

660

м удрой совы

уроки

Как найти «золотую середину»

за

щи

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

Представьте, что из нашей жизни исчезли дробные числа. Как тогда из­
мерять расстояния, находить площадь, объём, массу? Ведь не все величины
можно измерить, пользуясь лишь натуральными числами. Сейчас трудно в это
поверить, но учёные Древней Греции сознательно отказались от дробей.
Сравнивая отрезки А В и CD (рис. 14, а), вы, например, можете ска­
зать, что отрезок А В в 2,5 раза больше отрезка CD. Запрет на дроби не да­
ёт возможности сравнивать отрезки таким образом: ведь числа 2,5 как буд­
то не существует. В Древней Греции поступали так: подбирали такой отре­
зок M N , который целое число раз укладывался как в отрезке АВ, так
и в отрезке CD (рис. 14, б). Из этого делали следующий вывод: длины от­
резков А В и CD относятся как 5 к 2. При этом отношение не считали чис­
лом, а рассматривали как самостоятельный объект.

Недостатки этого подхода очевидны. Вы, конечно, понимаете, что не
для любых отрезков А В и CD легко отыскать такой отрезок MN, который
обладает вышеописанным свойством. В старших классах вы узнаете, что не
для любой пары отрезков существует третий отрезок, который укладывает­
ся в каждом из данных целое число раз. Два отрезка, для которых такого
третьего отрезка не существует, называют несоизмеримыми. В 8 классе вы
132

ав
ам
и

сможете доказать, что если A BC D - квадрат (рис. 15), то отрезки А В и АС
несоизмеримы. Отрезки на рисунке 14 являются соизмеримыми, так как от­
резок, длина которого равна стороне клетки, укладывается в отрезках АВ
и CD целое число раз. Пропорция А В : CD = 5 : 2 означает, что отрез­
ки А В и CD соизмеримы. Напомним, что слово «пропорция» происходит
от латинского proportio, что означает «соизмеримость».
С числами можно выполнять арифметические действия. Если же от­
ношения не считать числами, то всё равно необходимо научиться ими както оперировать. Так в Древней Греции возникло учение об отношениях,
а следовательно, и о пропорциях.
Эту теорию развили довольно глубоко. Например, из пропорции

пр

древнегреческие математики умели получать такие пропорции:

за

щи

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

а + Ь _ с + d . а - b _ с - d . а _ с _ a +b _ с + d
b
d 1 b
d
a-b c - d ’ a-h с-d'
Людей всегда интересовало, что является основой красоты, порядка,
гармонии, почему некоторые предметы, созданные как природой, так
и человеком, привлекают внимание, радуют глаз и даже вызывают восхи­
щение.
Приблизительно сто лет назад был проведён следующий экспери­
мент. Нарисовали десять разных прямоугольников. Каждому опрошенно­
му предложили выбрать среди них один самый приятный для глаз. В этом
«конкурсе красоты» с большим отрывом «победил» прямоугольник, отно­
шение сторон которого приближённо равно 0,618 (рис. 16). И это не слу­
чайно! Ведь ещё в древности с этим отношением люди связывали своё
представление о красоте и гармонии. Греческие скульпторы хорошо знали
о соответствии правильных пропорций человеческого тела этому магиче­
скому числу. И не зря античные зодчие использовали его в своих бес­
смертных творениях. Так, отношение высоты Парфенона, храма в Афи­
нах, построенного в V в. до н. э. (рис. 17), к его длине приближённо рав­
но 0,618.

133

пр
ав
ам
и

Гений эпохи Возрождения Леонардо да Винчи полагал, что среди
многих отношений, которые использует Творец, существует одно-единственное и неповторимое. Именно его он назвал «золотым сечением».
На отрезке А В (рис. 18) точка М от­
Рис. 18
мечена так, что выполняется пропорция
AM МВ
,
- —- = - ■- , т. е. длина большей части отАВ AM
А
М
В
резка относится к длине всего отрезка так,
как длина меньшей части к длине большей
части. Оказывается, что каждое из отношений, входящих в эту пропорцию,
приближённо равно 0,618. Точка М не делит отрезок А В пополам, но
именно её называют «золотой серединой».

ми

5 22. Прямая и обратная
пропорциональные зависимости

Рис. 19

за

щи

ще

но

ав

то

рс

ки

Периметр Р квадрата со стороной, равной а, вычисляют по формуле
Р = 4а. Например, если а = 2 см, то Р = 4 • 2 = 8 (см).
Если изменяется длина стороны квадрата, то изменяется и его пери­
метр. В таких случаях говорят, что периметр и сторона квадрата являются
переменными величинами, причём величина Р (периметра) зависит от
величины а (длины стороны). Эта зависимость наглядно представлена на
рисунке 19.

Заметим, что если увеличить сторону квадрата, например, в 2 раза, то
и его периметр увеличится в 2 раза; если уменьшить сторону квадрата
в 3 раза, то периметр уменьшится в 3 раза и т. п. Понятно, что увеличение
(уменьшение) периметра в несколько раз приводит к соответствующему
увеличению (уменьшению) стороны квадрата.
134

fci

Две переменные величины называют прямо пропорциональными,
если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз
другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Так, величины Р и а прямо пропорциональны. Можно также сказать, что величина Р прямо пропорциональна величине а или зависи­

ав
ам
и

мость между величинами Р и а является прямой пропорциональ­
ностью.

t—

врем я д в и ж е н и я тур и ста , ч

1

п у т ь , п р о й д е н н ы й з а в р е м я Г, км

5

1 ,5

7 ,5

2

2 ,2

3

3 ,4

!
|

1
10

11

15

17

ск

х —

им
и

пр

Приведём пример ещё одной прямой пропорциональной зависи­
мости.
Пусть турист движется со скоростью 5 км/ч. Тогда зависимость прой­
денного пути s от времени t можно задать формулой s = 51. Величины s u t
прямо пропорциональны. Этот факт подтверждает таблица соответствую­
щих значений времени и пути, пройденного туристом.

_

7,5
1,5

_ 10
2

11
2,2

15
3

17
3,4

5

ав
т

5
1

ор

Рассмотрим отношения 5 : 1; 7,5 : 1,5; 10 : 2; 11 : 2,2; 15 : 3; 17 : 3,4. Все
они равны 5, т. е.
Эти равенства иллюстрируют свойство переменных величин, кото­
рые находятся в прямой пропорциональной зависимости.

но

Если две переменные величины прямо пропорциональны, то отно­
шение соответствующих значений этих величин равно одному и то­
му же, постоянному для данных величин, числу.

ищ
е

И

за
щ

В рассмотренных примерах для величин Р и а это число равно 4,
а для величин s и £ равно 5. Следовательно, соответствующие значения ве-

Р

s = 5.

личин Р и а удовлетворяют равенству — = 4, для величин s и t — -

Не всякая зависимость между переменными величинами является
прямой пропорциональностью.
Рассмотрим пример. Пусть путь из одного села в другое велосипедист
проехал за 2 ч, двигаясь со скоростью 7 км/ч, а на обратную дорогу затра­
тил 1 ч, двигаясь со скоростью 14 км/ч. Мы видим, что увеличение скоро­
сти в 2 раза привело к уменьшению затраченного времени также в 2 раза.
135

ав
ам
и

Очевидно, что если бы велосипедист увеличил скорость в 1,5 раза, в 2,5 ра­
за, в 3 раза, в 4 раза, то время движения уменьшилось бы соответственно
в 1,5 раза, в 2,5 раза, в 3 раза, в 4 раза. И наоборот, если бы велосипедист
уменьшил скорость движения в несколько раз, то во столько же раз увели­
чилось бы время движения.
В таких случаях говорят, что скорость и время движения являю т ­
ся обратно пропорциональными величинами или зависимость между
скоростью и временем движения являет ся обратной пропорциональ­
ностью.
Две переменные величины называют обратно пропорциональны­
ми, если при увеличении (уменьшении) одной из этих величин в не­
сколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же
раз.

пр

0

см

1

Ь,

см

24

2

3

4

5

6

8

12

8

6

4 ,8

4

3

24

24

24

24

24

24

но

ав

а,

то

рс

ки

ми

Приведём ещё пример обратной пропорциональной зависимости.
Пусть стороны прямоугольника равны а см и b см, а его площадь —
24 см2. Величины а и Ь обратно пропорциональны. Действительно, если
одну из сторон прямоугольника увеличить (уменьшить) в несколько раз, то,
чтобы площадь его не изменилась, другую сторону надо уменьшить (увели­
чить) во столько же раз.
Сказанное подтверждает следующая таблица.

24

ще

П лощ адь, см 2

щи

Рассмотренный пример иллюстрирует свойство переменных вели­
чин, которые находятся в обратно пропорциональной зависимости.
Если две переменные величины обратно пропорциональны, то про­
изведение соответствующих значений этих величин равно одному
и тому же для данных величин числу.

за

Q

Так, в рассмотренном примере для величин а и Ь имеем: ab = -24.
Отметим, что не всякая зависимость между переменными величина­
ми является прямой или обратной пропорциональностью. Например, пло­
щадь квадрата со стороной 2 см равна 4 см2, а со стороной 6 см —36 см-.
136

Следовательно, при увеличении стороны в 3 раза площадь квадрата увели­
чилась в 9 раз. Таким образом, зависимость между площадью квадрата и его
стороной не является ни прямой пропорциональностью, ни обратной про­
порциональностью.

X

0,4

У

1,6

0.6

пр
ав
ам
и

Пример 1. Заполните таблицу, если величина у прямо пропорцио­
нальна величине х.

2

Решение. Найдём отношение известной пары соответствующих зна­

чений величин х и у. — =

= 4. Чтобы заполнить второй столбец табли­

X

0,4
со
х—
1

0.6

2,4

ав
то

У

рс
ки

ми

цы, умножим 0,6 на 4, а чтобы заполнить третий, разделим 2 на 4. Табли­
ца примет вид:

щи
ще

но

Пример 2. Для перевозки груза необходимо 20 самосвалов грузоподъ­
ёмностью 3 т. Сколько нужно самосвалов грузоподъёмностью 5 т, чтобы пе­
ревезти этот груз?
Решение. Во сколько раз увеличивается грузоподъёмность одного
самосвала, во столько же раз уменьшается их количество при условии, что
масса перевозимого груза не изменяется. Поэтому грузоподъёмность од­
ного самосвала и количество самосвалов являются обратно пропорцио­
нальными величинами. Грузоподъёмность одного самосвала увеличилась

за

в 5 : 3 = — раза. Тогда количество самосвалов должно уменьшиться во
3
г
5
3
столько лее раз, т. е. в | раза. Имеем: 20 : - = 20 ■- = 12 (самосвалов).
Ответ: 12 самосвалов. <

fsfto 1. К а ки е д ве ве л и ч и н ы

н а зы в а ю т п р я м о п р о п о р ц и о н а л ь н ы м и ?
2. Ч е м х а р а к т е р н о о тн о ш е н и е со ответствую щ и х зн а ч е н и и п р я м о п р о ­

п о р ц и о н а л ь н ы х ве л и ч и н ?
3. П р и в е д и т е п р и м е р ы п р я м о п р о п о р ц и о н а л ь н ы х величин.
4. К а к и е д в е в е л и ч и н ы н а з ы в а ю т о б р а т н о п р о п о р ц и о н а л ь н ы м и ?
137

5. Чем характерно произведение соответствующих значений обратно
пропорциональных величин?
6. Приведите примеры обратно пропорциональных величин.
7. Приведите примеры величин, не являющихся ни прямо пропорцио­
нальными, ни обратно пропорциональными.
\ ___

пр
ав
ам
и

Решаем устно
1.

Найдите значение выражения 7 ^ : а, если a = i ; 3; 4,5.

2.

Какую часть числа 8 составляет число 2? Сколько процентов числа 8
составляет число 2?
Сколько процентов число i составляет от чиста, ему обратного?

3.
4.

им
и

Сколько процентов число 10 составляет от числа, являющегося его:
1) квадратом; 2) кубом?


Упражнения

ск

661. За некоторое время поезд прошёл 320 км. Какое расстояние пройдёт

665.

за

о

то
р

щи

ще

664.

ав

663.

но

662.

поезд за то же время, если его скорость:
1) увеличить в 3 раза;
2) уменьшить в 4 раза?
Площадь прямоугольника равна 60 см2. Какой станет его площадь, ес­
ли ширина останется без изменений, а длину:
1) увеличить в 5 раз;
2) уменьшить в 12 раз?
За несколько метров ткани заплатили 540 р. Сколько надо было бы за­
платить за такую ткань, если бы её купили:
1) в 6 раз меньше;
2) в 2 раза больше?
Двое рабочих изготовили за некоторое время 24 детали.
1) Скольким рабочим необходимо работать, чтобы за то же время из­
готовить 48 деталей? 120 деталей?
2) Сколько деталей изготовят эти двое рабочих за время в 3 раза
большее? В 4 раза меньшее?
Дайте ответы на поставленные вопросы, считая, что производитель­
ность труда всех рабочих одинакова.
В таблице приведены соответствующие значения величин х и у. Уста­
новите, являются ли эти величины прямо пропорциональными.
1)

X

2

6

7

9

У

6

18

21

27

2)

138

X

0,4

1,6

2,3

3,1

У

0,8

3,6

4,6

6,2

X

1,2

2,4

6

9

X

1

3
4

5
8

9
16

У

1

2

5

6

У

2
3

1
2

5
12

3
8

пр
ав
ам
и

666. Автомобиль проезжает некоторое расстояние за 10 ч. За какое время
он проедет это же расстояние, если его скорость: 1) увеличится
в 2 раза; 2) уменьшится в 1,2 раза?
667. Длина прямоугольника равна 30 см. Какой станет длина, если при не­
изменной площади ширину прямоугольника: 1) увеличить в 1,5 раза;
2) уменьшить в 3,2 раза?
00 \ ______

0,3

8

3,2

ки

X

ми

668. Заполните таблицу, если величина у прямо пропорциональна вели­
чине х.

9,6

2,7

42

1
j

рс

У

15

ав

X

то

669. Заполните таблицу, если величина у прямо пропорциональна вели­
чине х.

8

1.6

20

но

У

1,2

4

ще

670. За т кг конфет заплатили р р. Пользуясь таблицей, определите цену
1 кг конфет. Заполните таблицу.

щи

т, кг

за

р. р.

3

8

1,2
450

1 080

Задайте формулой зависимость р от т.

139

108

Поезд движется со скоростью 60 к м /ч. Заполните таблицу, в первой
строке которой указано время движения t , а во второй —пройденный
путь s.

t, ч

0,5

2

3,2
90

S, км

!

156

Задайте формулой зависимость s от t.
Пешеход прошёл 24 км. Заполните таблицу, в первой строке которой
указана скорость пешехода, а во второй — время движения.

672 .

V,

240

пр
ав
ам
и

671 .

2,4

5

км/ч

£, ч

4,5

6!

ми

6

5, см2

16

ав

h. см

рс
ки

Задайте формулой зависимость t от v.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен 48 см3. Заполните таб­
лицу, в первой строке которой указана площадь его основания, а во
второй — высота.
9,6

то

673 .

240

8

4,8

Задайте формулой зависимость h от S.
Бригада из 15 рабочих может отремонтировать школу за 46 дней.
Сколько требуется рабочих, чтобы отремонтировать эту школу за
30 дней, если производительность труда всех рабочих одинакова?
675 . Геракл заготовил для 240 коней царя Авгия кормов на 19 дней. На
сколько дней хватит этих кормов, если коней у царя Авгия станет
304, а все кони потребляют одинаковое количество корма?

за
щи

ще

но

674 .

г%
676.

Упражнения для повторения

Найдите число:
1) половина которого равна ]
2) треть которого равна 1_.
2

6



2

2

1

1

3) — которого равны —;
3
3
4) — которого равна —.
4
8



140

677 . Масса Земли составляет 182% массы Меркурия, а масса Сатурна 9 401 % массы Земли. Сколько процентов массы Меркурия составляет
масса Сатурна?
678 . Есть четыре цветка: роза, гвоздика, гладиолус и тюльпан. Сколько
есть способов составить букет из трёх цветков?
м у д р о й совы

пр
ав
ам
и

Задача от

679 . Андрей задумал натуральное число и умножил его на 19. Серёжа за­
черкнул последнюю цифру числа, полученного Андреем, и в резуль­
тате получил 32. Какое число задумал Андрей?

5 23. Деление числа в данном отношении

за
щ

ищ

ен
о

ав

то
рс

ки
ми

Решим такую задачу.
Сплав массой 520 кг состоит из меди и цинка. Масса меди относится
к массе цинка как 8 : 5. Найдите массы меди и цинка, содержащиеся в этом
сплаве.
Решение. Будем считать, что сплав состоит из 8 + 5 = 13 (частей),
имеющих одинаковые массы. Тогда масса одной части равна 520 : 13 = 40 (кг).
Поскольку медь в сплаве составляет 8 частей, а цинк —5 частей, то
масса меди равна 8 • 40 = 320 (кг), а масса цинка равна 5 • 40 = 200 (кг).
Ответ: 320 кг и 200 кг. м
Из решения задачи следует, что число 520 можно представить в виде
суммы Авух слагаемых —320 и 200, отношение которых равно 8 : 5.
В таких случаях говорят, что число 520 разделили в отношении 8 : 5.
Также можно сказать, что число 520 представши! в виде суммы двух слагае­
мых, пропорциональных числам 8 и 5.
Рассмотренную задачу можно решить другим способом.
Пусть масса одной части сплава составляет х кг. Тогда массы меди
и цинка составляют соответственно 8х кг и Ъх кг.
Поскольку' масса всего сплава равна 520 кг, то получаем уравнение
&*г + Ъх = 520.
Отсюда 13х = 520, х = 40. Тогда массы меди и цинка равны соответственно 8 • 40 = 320 (кг) и 5 • 40 = 200 (кг).
Рассмотрим ещё один пример.
Нужно обработать 96 деталей. Первый рабочий обрабатывает за один
час 9 деталей, второй —8 деталей, а третий 7. Каким образом следует рас­
пределить между ними работу, чтобы все трое рабочих обрабатывали дета­
ли одинаковое время?
141

4.

ми

ав

5.

ки

3.

Масса 10 см3 железа равна 78 г. Найдите массу' 5 см3 железа.
Из 100 кг сахарной свёклы можно получить 7 кг сахара. Сколько на­
до килограммов свёклы, чтобы получить: 1) 28 кг сахара; 2) 3,5 кг са­
хара?
Замените данное отношение отношением натуральных чисел:
3) з Х ± .
' 3 9
Смешали 6 кг воды и 4 кг соли. Найдите процентное содержание со­
ли в растворе.
В ящике лежат зелёные и синие шары. Известно, что при выборе лю­
бых двух шаров по крайней мере один из них будет зелёного цвета.
Сколько синих шаров лежит в ящике?

рс

2.

то

1.

пр
ав
а

ми

Решение. Будем считать, что всё задание (96 деталей) состоит из
9 + 8 + 7 = 24 (частей), каждая из которых содержит одинаковое количество
деталей. Тогда одна часть содержит 96 : 24 = 4 (детали). Следовательно, де­
тали между рабочими нужно распределить тазе: первому рабочем)' дать на
обработку 9 • 4 = 36 (деталей), второму — 8 ■4 = 32 (детали), а третьему 7 • 4 = 28 (деталей).
Ответ: 36 деталей, 32 детали, 28 деталей. <
Решая эту задачу, мы число 96 разделили на три слагаемых, пропор­
циональных числам 9, 8 и 7. Также говорят, что число 96 разделили в отно­
шении 9 : 8 : 7 . Отношение 9 : 8 : 7 читают: «девять к восьми и к семи».

X

но

Упражнения
680. Разделите:

за

щи

ще

1) число 138 в отношении 18 : 5;
2) число 70 в отношении 3 : 6 : 8 : 11.
681. Разделите:
1) число 72 в отношении 7 : 11;
2) число 92 в отношении 2 : 3 : 5 .
682. Для изготовления сока берут 12 частей ягод и 17 частей воды (все ча­
сти имеют одинаковую массу). Сколько килограммов ягод необходимо
взять, чтобы получить 232 кг сока?
683. Для царя Гороха изготовили новую корону из сплава, состоящего из
7 частей золота и 5 частей платины (все части имеют одинаковую
массу). Сколько граммов каждого металла взяли, если масса короны
равна 2 кг 460 г?
142

.
685.
684

Периметр треугольника равен 48 см, а его стороны относятся как
7 : 9 : 8 . Найдите стороны треугольника.
Стороны треугольника относятся как 5 : 7 : 11, а сумма наибольшей
и наименьшей сторон равна 80 см. Вычислите периметр треугольника.

686 . Начертите развёрнутый угол А В С и проведите луч BD так, чтобы

градусные меры углов A B D и CBD относились как 5:13.
Начертите угол М К Е , градусная мера которого равна 130°. Между
сторонами этого угла проведите луч КО так, чтобы градусные меры
углов М К О и ЕКО относились как 19:7.
688 . Найдите такие значения х н у , чтобы числа х, у и 24 были соответ­

.

пр
ав
ам
и

687

ственно пропорциональны числам: 1) 3, 5 и 6; 2)

.
.

1 и —.
3
ственно пропорциональны числам о2, —

им
и

689

и
8 36
9
Найдите такие значения а и Ь, чтобы числа а, 10 и b были соответ-

ск

Трое штукатуров работали с одинаковой производительностью труда
и получили за выполненную работу 8 000 р. Сколько рублей получил
каждый штукатур, если первый из них работал 16 ч, второй — 24 ч,
а третий —40 ч?
6 9 1 Для трёх ферм заготовили 540 т сена. Сколько тонн сена требуется
доставить на каждую ферму, если на первой ферме 28 коров, на вто­
рой —42 коровы, а на третьей —65 коров (количество сена для каж­
дой коровы требуется одинаковое)?
690

"❖

\ _____
692

.

ав
т

ор

.

Представьте число 219 в виде суммы трёх слагаемых х, у и z так, что9

бы х : у = 4 : 9, a ^/:2 = 1 5 : 2 - .

.

Сумма четырёх чисел равна 386. Найдите эти числа, если первое от­
носится ко второму как 2 : 5, второе к третьему - как 3 : 4, а третье
к четвёртому —как 6 : 7.

ще
но

693

щи

Упражнения для повторения

.

695

.

за

694

Одна бригада отремонтировала 20 км дороги, а другая — 14 км. На
сколько процентов длины дороги вторая бригада отремонтировала
меньше, чем первая?
Найдите значение выражения:
12
143

Готовимся к изучению
новой темы

Задача от
698 .

пр
ав
ам
и

697 .

Начертите прямую и отметьте на ней произвольную точку О. Найди­
те на прямой все точки, удалённые от точки О на 3 см.
Отметьте на плоскости произвольную точку О. Отметьте четыре точ­
ки, удалённые от точки О на 2 см. Сколько ещё можно отметить та­
ких точек?
м уд ро й совы

На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают и запи­
сывают на этом месте новое число, равное произведению цифр ста­
рого числа, увеличенному на 12. Какое число будет написано на дос­
ке через час?

5 24.

Окруж ность

ки
ми

696 .

и круг

за

щи

ще

но

ав

то

рс

Колесо —одно из самых значительных изобре­
тений человека. Невозможно представить мир без
колеса. Секрет его чудесных возможностей кроется
в свойствах удивительной линии — окружности
(рис. 20).
й совершенной
Недаром древние греки считали окружность
и «самой круглой» фигурой. И в наши дни в некоторых ситуациях, когда хо­
тят дать особую оценку, употребляют слово «круглый», которое считают
синонимом слова «абсолютный»: круглый отличник, круглый сирота и т. д.
Окружность легко начертить с помощью циркуля (рис. 21). Устано­
вим иглу циркуля на бумагу. Тогда другая ножка циркуля при вращении

144

d=2r

но

ав

то

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

опишет окружность. Точку, в которую упирается остриё циркуля, называют
центром окружности. На рисунке 20 точка О — центр окружности.
В се т очки окруж ности удалены от её цент ра на одинаковое
расст ояние.
Именно поэтому любое транспортное
средство на колёсах едет «ровненько»: центр
колеса при вращении находится на одинако­
вом расстоянии от земли (рис. 22).
Отрезок, соединяющий центр окружно­
сти с любой её точкой, называют радиусом. На
рисунке 23 отрезки 0 4 , ОВ, О М — радиусы
окружности.
Все радиусы одной окружности равны между
сунке 23 0/1 = ОВ = ОМ.
Д ли н а радиуса ОА равна 1,5 см. Принято также говорить, что ра д и ­
ус окружности равен 1,5 см.
Радиус окружности обозначают буквой г. Для окружности, изобра­
жённой на рисунке 23, можно записать: г = 1,5 см.
Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называют хор­
дой. На рисунке 24 отрезки А В и M N — хорды. Заметим, что здесь хор­
да А В проходит через центр окружности. Такую хорду называют диамет­
ром окружности.
Диаметр состоит из двух радиусов. Поэтому диаметр в 2 раза больше
радиуса.
Диаметр окружности обозначают буквой d . Можно записать:

за

щи

ще

Точки Л и В , лежащие на окружности (рис. 25), делят её на две час­
ти, выделенные на этом рисунке разным цветом. Каждую из них называют
дугой окружности.

145

им
и

пр
ав
ам
и

Окружность ограничивает часть плоскости (рис. 26). Эту часть плос­
кости вместе с окружностью называют кругом.
Круг имеет центр, радиус, диаметр, хорду — это соответственно
центр, радиус, диаметр, хорда окружности, ограничивающей круг.
На рисунке 27 точка О —центр круга. Точки О, А , В и С принадле­
жат круг)', а точка М не принадлежит. При этом лишь точка М удалена от
центра круга на расстояние, большее радиуса.
Если точка удалена от центра круга па расстояние, меньшее
радиуса круга или равное ему, то эта точка принадлежит кругу.

ав
то
рс
к

Если в круге с центром О (рис. 28) провести два радиуса ОА и ОВ. то
они разделят круг на две части, выделенные на этом рисунке разным
цветом. Каждую из них называют
сектором.

за

щи
ще

но

На рисунке 29 диаметр А В де­
лит круг на две равные части, каждую
из которых называют полукругом.
Пример. С помощью линейки
и циркуля постройте треугольник
А В С со сторонами АС = 2 см, ВС =
= 3 см и А В = 4 см.
Решение. Сначала с помощью
линейки строим отрезок А В длиной
4 см. Третья вершина С треугольника
должна быть удалена от точки А на
2 см, а от точки В —на 3 см. Посколь­
ку все точки, удалённые от точки А на
2 см, лежат на окружности радиуса
2 см с центром А, а все точки, удалён­
ные от точки В на 3 см, —на окруж­
ности радиуса 3 см с центром В, то
точка С будет точкой пересечения
этих окружностей (рис. 30).

146

Рис. 29
А

(

°

1

11

/

то

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

Соединив точку С с точками А и В, получим искомый треугольник
А В С (рис. 31).
Обратим внимание на то, что построенные окружности имеют ещё
одну общую точку С, (рис. 32), которую также можно взять в качестве вер­
шины треугольника. В этом случае мы получим ещё один треугольник
AB C j со сторонами указанной длины, равный треугольнику А В С .■*

Какой отрезок называют хордой окружности?
Какую хорду называют диаметром окружности?
Как связаны между собой диаметр и радиус окружности?
Как называют части, на которые две точки делят окружность?
Как называют окружность и часть плоскости, которую она ограни­
чивает?
8. Как называют части, на которые два радиуса делят круг?
9. Какую фигуру называют полукругом?

ще

но

ав

3.
4.
5.
6.
7.

г ’ -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

щи

Решаем

за

1.

2.

устно

Какое число надо поставить вместо звёздочки, чтобы получилось вер­
ное равенство:
1) 6,4 : 16 = * - 0,6;
2) *■ 0,7= 10-4,4?
Найдите:
о

1) | от 2 р. 40 к.;
9

от 4 м 20 см;
2) —
7

5

3) — от 3 ч 40 мин:
от 5 кг 400 г.
4) —
9
147

3.

В солнечный день кваса продают на 50 % больше, чем в пасмурный.
Во сколько раз в пасмурный день продают кваса меньше, чем в сол­
нечный?
Упражнения

\ ------

о~\

пр
ав
ам
и

699. Укажите радиус, хорду и диаметр окружности с центром В, изобра­

то
рс

ки

ми

жённой на рисунке 33. Сколько радиусов и сколько хорд изображено
на этом рисунке?
700. Какие из точек, обозначенных на рисунке 34:
1) лежат на окружности;
3) не лежат на окружности;
2) принадлежат кругу;
4) не принадлежат кругу?

за
щ

ищ
е

но

ав

701. Найдите диаметр окружности, радиус которой равен:
1) 14 см;
2) 4 см 5 мм;
3) 3,6 дм.
702. Найдите радиус окружности, диаметр которой равен:
1) 8 см;
2) 5 см;
3) 9,2 дм.
703. Начертите окружность радиуса 2 см 5 мм с центром М. Вычислите
диаметр этой окружности.
704. Начертите окружность радиуса 3 см 2 мм с центром К. Вычислите
диаметр этой окружности.
705. Отметьте две произвольные точки А и В, измерьте расстояние меж­
ду ними. Постройте окружность с центром А, проходящую через точ­
ку В, и окружность с центром В, проходящую через точку А. Чему ра­
вен радиус каждой из построенных окружностей? Отметьте точки пе­
ресечения окружностей. Каково расстояние от этих точек до центров
окружностей?
706. Начертите отрезок АВ, длина которого равна 5 см. Постройте окруж­
ность радиуса 3 см с центром А и окружность радиуса 4 см с цент­
ром В. Сколько существует точек пересечения окружностей? Чем)’
равно расстояние от каждой из этих точек до точки А? До точки В?
148

g

707. Н ачертите произвольный отре­

зок А В . Постройте окружность
так, чтобы этот отрезок был её
диаметром.
708. Найдите периметр четырёхуголь­
ника О^АО Д (рис. 35), если радиу­
сы окружностей равны 5 см и 3 см.
709. Начертите три окружности, име­
ющие общий центр, радиусы кото­
рых соответственно равны 2 см,
3 см и 4 см.

ОО \ _____

пр
ав
ам
и

g

710. Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на

714.

ми

за

щи

ще

715.

но

713.

ав
то

рс

712.

ки

711.

окружности точку А. Найдите на окружности точки, удалённые от
точки Л на 4 см.
Начертите окружность и отметьте на ней три точки А, В и С. Сколь­
ко дуг при этом образовалось?
Начертите окружность с центром О, радиус которой равен 3 см. Про­
ведите луч с началом в точке О и отметьте на нём точку'Л, удалённую
от точки О на 5 см. Проведите окружность с центром в точке Л, ра­
диус которой: 1) 2 см; 2) 2 см 5 мм; 3) 1 см 5 мм. Сколько общих точек
имеют окружности в каждом из этих случаев?
Начертите окружность и треугольник так, чтобы стороны треуголь­
ника были хордами окружности.
Начертите окружность, проведите её диаметр А В , отметьте на ок­
ружности точки С и Д Соедините точки С и D с концами диаметра
А В и найдите градусные меры углов АСВ и AD B.
Радиус окружности с центром Л равен 9 см, а радиус окружности
с центром В —2 см. Найдите расстояние между центрами этих окруж­
ностей (рис. 36).

149

716. На рисунке 37 ОС = 6 см, B D —

718.

721 .
' \

-----

то

~

рс

720.

ки

ми

719.

пр
ав
ам
и

717.

= 2,5 см. Найдите длину отрез­
ка ОК.
Начертите произвольный тре­
угольник. Проведите три окруж­
ности так, чтобы стороны тре­
угольника были их диаметрами.
Начертите квадрат со стороной
3 см. Проведите четыре окружно­
сти так, чтобы стороны квадрата
были их диаметрами.
1) Начертите отрезок А В , длина
которого равна 3 см. Найдите точ­
ку, удалённую от каждого из кон­
цов отрезка А В на 2 см. Сколько существует таких точек?
2) Начертите отрезок CD, длина которого равна 3 см 5 мм. Найдите
точку, удалённую от точки С на 2 см 5 мм, а от точки D — на 3 см.
Сколько существует таких точек?
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник со сторонами:
1) 3 см, 3 см и 4 см;
2) 3 см, 4 см и 5 см.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник со сторонами:
1) 5 см, 6 см и 4 см;
2) 2 см, 2 см и 2 см.

722. Установите, можно ли построить треугольник со сторонами:

"# \

ав

1) 2 см, 6 см и 7 см;
Сделайте вывод.

___

2) 2 см, 6 см и 8 см;

3) 2 см, б см и 9 см.

но

723. В круге с центром О отметили точку М. Как разрезать этот круг: 1) на

за

щи
ще

три части; 2) на две части —так, чтобы из них можно было составить
новый круг, в котором отмеченная точка М была бы его центром?
724 . На торте кондитер расположил семь кремовых розочек (рис. 38). Как
тремя прямолинейными разрезами разделить
торт на семь порций, на каждой из которых
была бы одна розочка?
Упражнения для повторения

725 . Вычислите:

1) 72;

3) 1,22;

2) 0,42;

4)

5>1*
12!
150

726. В первый день продали 500 кг яблок, а во второй - 420 кг. На сколь­
ко процентов меньше продали яблок во второй день, чем в первый?
j - 3,6.
727. Вычислите: (б,8 - б | j

Готовимся к изучению
новой темы

\ __

мудрой совы

ки

Задача от

ми

729. Диагональ АС квадрата A B C D увеличи­
ли в 3 раза и построили квадрат A M K N
(рис. 39). Во сколько раз периметр квад­
рата A M K N больше периметра квадра­
та ABCD7

пр
ав
ам
и

728. У командира в подчинении находятся трое солдат. Сколько существу­
ет способов расставить их на три поста?

то

рс

730. Дети собирали в лесу грибы. Выйдя из леса, они построились пара­
ми — мальчик с девочкой, причём в каждой паре у матьчика грибов
или вдвое больше, или вдвое меньше, чем у девочки. Возможно ли,
что все дети вместе собрали 500 грибов?

ав

5 25. Длина о к р у ж н о с т и . Площадь круга

за

щи

ще

но

Как измерить длину окруж­
ности?
Изобретательный ум челове­
ка придумал много способов реше­
ния этой задачи. Естественно, что
захочется «надрезать» окружность,
а потом «распрямить» её в отре­
зок. Так можно измерить, напри­
мер, длину металлического кольца
(рис. 40, а, б).
Однако длину кольца можно
измерить и другим способом: по­
красить его и прокатить по ровной
поверхности, сделав полный обо­
рот. Тогда длина отрезка А В будет
равна длине кольца (рис. 40, в, г).
151

пр
ав
ам
и

ав
то

рс

ки

ми

Длина I окружности зависит от длины её диаметра d , а именно: чем
больше диаметр, тем больше длина окружности (рис. 41).

за

щи

ще

но

Возможно, интуиция вам подскажет, что если диаметр увеличить, на­
пример, в 2 раза, то и длина окружности увеличится в 2 раза; если, например,
диаметр уменьшить в 5 раз, то же самое произойдёт и с длиной окружности.
Математика подтверждает ваши догадки: длина окруж н ости прямо
пропорциональна её диам етру.
Иначе говоря, для всех окруж ностей отнош ение длины окруж ­
н ости к её д и ам етр у явл я ется одним и т е м ж е числом.
Это число обозначают греческой буквой к (читают: «пи»). Итак,
т = к. Отсюда
а

l=nd
Поскольку d = 2г (г —радиус окружности), молено получить ещё одну
формулу для вычисления длины окружности:
152

I = 2кг
Ещё в древности установили, что к и — . Великий древнегреческий
учёный Архимед (III в. до н. э.) показал, что 3 — < к < 3 -

то
рс

ки
ми

пр
ав
а

ми

В XVIII в. математики установили, что число к нельзя представить в ви­
де конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной
дроби. Оно выражается бесконечной непериодической десятичной дро­
бью (такие числа вы подробно будете изучать в курсе алгебры 8 класса).
С помощью современных компьютеров можно вычислить число к с ог­
ромной точностью. Приведём запись числа л с 42 цифрами после запятой:
к = 3,141592653589793238462643383279502884197169... .
В 1992 г. была вычислена 1 011 196 691 цифра числа л после запятой.
Этот факт был занесён в Книгу рекордов Гиннесса. Само число в книге не
приведено, потому что для этого потребовалось бы более тысячи страниц.
При вычислениях мы чаще всего будем использовать десятичное при­
ближение числа л до сотых: л = 3,14.
Площадь круга зависит от его радиуса. Однако эта зависимость уже не
является прямой пропорциональностью.
Установлено, что площадь S круга радиуса г вычисляется по формуле

1.
2.
3.
4.

Какое число обозначают буквой л?
По каким формулам вычисляют длину окружности?
По какой формуле вычисляют площадь круга?
Назовите десятичное приближение числа л до сотых.

ще
но

?

Решаем

устно

Чему равен диаметр окружности, если он на 5,2 см больше радиуса
окружности?
Периметр квадрата равен 15 см. Чему станет равным периметр квад­
рата, если каждую из его сторон:
1) увеличить в 4 раза;
2) уменьшить в 3 раза?
Площадь квадрата равна 36 см2. Какой станет площадь квадрата, если
каждую из его сторон:
1) увеличить в 10 раз;
2) уменьшить в 2 раза?
^
Вычислите значение выражения 0 , 5 если а —2, 10, —.

щи

1.

ав

5 = кт2

за

2.
3.

4.

Il5 3

Упражнения

пр
ав
ам
и

731. Вычислите длину окружности, диаметр которой равен: 1) 3,2 см;
2) 4,5 см.
732. Вычислите длину окружности, радиус которой равен: 1) 6 см;
2) 1,8 м.
733 . Вычислите площадь круга, радиус которого равен: 1) 8 см; 2) 14 дм.
734 . Вычислите площадь круга, диаметр которого равен 18 см.

оо \____

за

щи

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

735 . Вычислите радиус окружности, длина которой равна: 1) 18,84 см;
2) 47,1 дм.
736 . .Найдите радиус круга, площадь которого равна 314 см2.
737 . Проехав 400 м, колесо сделало 150 оборотов. Найдите радиус колеса
в сантиметрах. Ответ округлите до единиц.
738 . Длина окружности равна 100,48 см. Найдите площадь круга, ограни­
ченного этой окружностью.
4 739 . Выполните необходимые измерения и
вычислите площадь закрашенного кольца
(рис. 42).
740 . 1) Радиус первой окружности равен б см,
а радиус второй — 2 см. Во сколько раз
длина первой окружности больше длины
второй?
2) Радиус первой окружности в 4 раза боль­
ше радиуса второй. Во сколько раз длина
первой окружности больше длины второй?
741 . Диаметр обода зеркала оптического теле­
скопа (рефлектора), расположенного в посёлке Научный (Крым), ра­
вен 2,6 м. Диаметр обода зеркала самого большого оптического теле­
скопа в России, находящегося в горах Западного Кавказа (Архыз), ра­
вен 6 м. Найдите отношение длин ободов зеркал этих телескопов.
Ответ округлите до десятых.
7 4 2 . Радиус окружности увеличили на 1 см. На сколько увеличилась при
этом длина окружности?
743 . Как изменится радиус окружности, если длину окружности увеличить
на 9,42 см?
744 . Найдите длину дуги, составляющей 0,6 окружности, радиус которой
равен 3,5 см.
745 . Найдите длину' дуги, составляющей
окружности, радиус которой
равен 36 дм.
154

ми

пр

ав
ам
и

746 . Вычислите длину синей линии, изображённой на рисунке 43.

ки

747 . Найдите площадь круга, если ^ длины окружности этого круга равны

за

щи

ще

но

ав

то

рс

24,8 см (число л округлите до десятых).
748 . На сколько квадратных сантиметров площадь квадрата больше пло­
щади круга (рис. 44), если сторона квадрата равна 8 см?
749 . Начертите прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Проведите диа­
гонали прямоугольника. Приняв точку пересечения диагоналей за
центр окружности, а половину диагонали — за радиус, проведите эту
окружность. Измерьте линейкой диаметр полученной окружности
(в сантиметрах, с точностью до единиц). На сколько квадратных сан­
тиметров площадь круга, ограниченного этой окружностью, больше
площади прямоугольника?
750 . Вычислите площадь закрашенной фигуры, изображённой на рисун­
ке 45.

155

ки

ми

пр
ав
ам
и

751. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 46), если длина сторо­
ны клетки равна 1 см.

\

____

753. Диаметр колеса автомобиля равен 65 см. Автомобиль движется с та­
кой скоростью, что колёса делают шесть оборотов в секунду. Найди­
те скорость автомобиля в километрах в час. О твет округлите до де­
сятых.
754. Диаметр колеса вагона метрополитена равен 78 см. За 2,5 мин колесо
делает 1 000 оборотов. Найдите скорость поезда метро в километрах
в час. Ответ округлите до десятых.
755. Найдите длину дуги, которую описывает часовая стрелка длиной 6 см
за 1 ч.
756. Найдите длину дуги, которую
описывает минутная стрелка
длиной 24 см за 40 мин.

за
щ

ищ
е

Q

но

ав

" ❖

то
рс

752. Пицца, диаметр которой равен 30 см, стоит столько же, сколько две
пиццы диаметром 20 см. В каком случае Дима съест больше пиццы:
если купит одну большую или две маленькие, если все пиццы имеют
одинаковую толщину?

&"4-------

757. Вычислите площадь закрашен­
ной фигуры, изображённой на
рисунке 47.
758. Все вершины квадрата (рис. 48),
диагональ которого равна 6 см,
156

ав
ам
и

лежат на окружности. Вычислите площадь квадрата, не измеряя его
стороны. На сколько площадь квадрата меньше площади круга, огра­
ниченного данной окружностью?
7 59. Докажите, что сумма длин красных дуг равна сумме длин зелёных дуг
(рис. 49).
760. Задача Гиппократа. (Гиппократ Хиосский —древнегреческий гео­
метр (V в. до н. э.).) Докажите, что сумма площадей закрашенных фи­
гур («луночек») равна площади прямоугольника (рис. 50).
Рис. 49

рс

ки

ми

пр

Рис. 50

_1

7 61. Два квадрата со стороной 1 см имеют общий центр (центр квадрата —

то

точка пересечения его диагоналей) (рис. 51). Докажите, что площадь

ав

их общей части больше —.

762. На рисунке 52 проиллюстрирован старинный способ вычисления

за

щи
ще

но

площади круга. Объясните, почему произведение rl приближённо
равно площади круга.

157

гкг

Упражнения для повторения

7 6 3 . Масса сплава меди и серебра равна 7,2 кг. Масса серебра составляет

80 % массы меди. Сколько килограммов меди в сплаве?
7 6 4 . Решите уравнение:

пр
ав
ам

1
1
1
39
2) - Х + - Х + - Х = ---.
3
о
6
40
4
6
8
56
7 6 5 . Цена товара дважды повышалась и каждый раз на 50
цена товара, если сначала она составляла 160 р.?

__________________
Задача от

и

1)1Х+ 1Х+ 1Я= |1;

м у д ро й с о в ы

о.

7 6 6 . В каждую клетку таблицы размером 3 X 3 клет­

то

рс

ки

ми

ки записывают некоторое число. Таблиц)', в ко­
торой все записанные числа различны, а суммы
чисел во всех строках, столбцах и по диагона­
лям одинаковые, называют м аги чески м к вад р а­
том. Например, таблица, изображённая на ри­
сунке 53, является магическим квадратом. Суще­
ствует ли магический квадрат, заполненный
числами, обратными натуральным?

ав

В 2 6 . Цилиндр,

конус,

Какой стала

Рис. 53

8

1

6

3

5

7

4

9

2

шар

за

щи

ще

но

На рисунке 54 изображены хоккейная шайба, консервная банка, боч­
ка. Эти предметы имеют целый ряд характеристик, например: материал, из
которого они изготовлены, масса, форма, размеры, цвет и т. п. Из всех пе­
речисленных качеств математика интересуют лишь форма и размеры. Ма­
тематик скажет: «На рисунке 54 изображены геом етри чески е тела, имею­
щие форму цилиндра».

158

ав

то

рс
ки
ми

пр
ав
ам
и

Представим себе, что прямоугольник
ООхА хА вращается вокруг стороны ОО, (рис. 55).
Тогда в результате вращения образуется фигура,
которую называют цилиндром. При вращении
сторон ОА и 0 ]А ] образуются два равных круга.
Их называют основаниями цилиндра. При вра­
щении стороны Л А , образуется боковая поверх­
ность цилиндра.
Длину отрезка 0 0 ] называют высотой ци­
линдра. Отрезок А А Х называют образующей ци­
линдра.
В курсе математики 5 класса вы узнали, что модели прямоугольного
параллелепипеда и пирамиды можно изготовить с помощью их развёртки.
На рисунке 56 изображена развёртка цилиндра. Она состоит из пря­
моугольника и двух равных кругов. Сторона A D прямоугольника равна дли­
не окружности, ограничивающей основание цилиндра. Сторона АВ равна
высоте цилиндра. Если радиус основания цилиндра равен г, то AD = 2кг.
Площадь прямоугольника A B C D равна площади боковой поверхности ци­
линдра. Имеем: 5’SoK= A D ■А В , где 5бок —площадь боковой поверхности ци­
линдра.
Если высота цилиндра равна h , т. е. А В = h, а радиус его основания
равен г, то площадь боковой поверхности этого цилиндра вычисляют по
формуле

за

щи
ще

но

На рисунке 57 изображены предметы, имеющие форму конуса. Ко­
нус —ещё один пример геометрического тела.

159

за
щи
ще

но

ав
то
р

ск

им

и

ми

пр
ав
а

Представим себе, что прямоугольный тре­
угольник АОВ с прямым углом О вращается вокруг
стороны АО (рис. 58). Тогда образуется фигура, ко­
торую называют конусом.
При вращении стороны ОВ образуется круг.
Его называют основанием конуса. При вращении
стороны А В образуется боковая поверхность кону­
са. Отрезок АО называют высотой конуса, отре­
зок А В —образующей конуса, точку А —вершиной
конуса.
На рисунке 59 изображена развёртка конуса.
Она состоит из сектора и круга. Отрезок А В равен
образующей конуса, длина дуги сектора равна длине
окружности, ограничивающей основание конуса.
О таких предметах, как арбуз, мяч, глобус, го­
ворят, что они имеют форму ш ара (рис. 60).
Представим себе, что полукруг вращается во­
круг диаметра А В (рис. 61). Тогда образуется фигура,
которую называют шаром. При вращении полуокруж­
ности образуется поверхность шара — фигура, кото­
рую называют сферой. Сфера ограничивает шар.

Центр, диаметр, радиус полукруга — это соот­
ветственно центр, диаметр, радиус шара и ограни­
чивающей его сферы.
Наверное, вам приходилось видеть, как для
приготовления пищи нарезают овощи или фрукты.
От направления разреза зависит форма фигуры в се­
чении (рис. 62). Шар примечателен тем, что сече­
нием (разрезом) шара плоскостью всегда является
160

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

круг (рис. 63). Если плоскость сечения проходит через центр шара, то в се­
чении образуется круг, радиус которого равен радиусу шара (рис. 64).
В курсе математики 5 класса вы познакомились с отдельным видом
геометрических тел
многогранниками. Другим видом геометрических
тел являются тела вращ ения. Цилиндр, конус и шар —примеры тел вра­
щения.

за

щи

ще

но

ав

то

2. Объясните, что называют основанием, боковой поверхностью, вы­
сотой, образующей цилиндра.
3. Из каких фигур состоит развёртка цилиндра?
4. По какой формуле вычисляют площадь боковой поверхности ци­
линдра?
5. Как можно получить конус в результате вращения прямоугольного
треугольника?
6. Объясните, что называют основанием, боковой поверхностью, вы­
сотой, образующей, вершиной конуса.
7. Из каких фигур состоит развёртка конуса?
8. Как можно получить шар в результате вращения полукруга?
9. Как называют поверхность шара?
10. Объясните, что называют центром, диаметром, радиусом шара.
11. Какая фигура является сечением шара?
12. Какие тела вращения вы знаете?

1.

Длина окружности равна 18я см. Какой станет длина окружности, ес­
ли радиус данной окружности:
1) уменьшить в 9 раз;
2) увеличить в 5 раз?
161

Найдите площадь круга, если длина его окружности равна 1Од см.
Найдите длину окружности, ограничивающей круг площадью 16л см2
Решите уравнение:
1) Зх + 5х + 7х = 60;
3) 8х + Зх + 1,6 = 1,93;
2) 1 9 х - 1 2 х = 4,9;
4) 14х - 4х - 2,8 = 11,2.

ми

2.
3.
4.

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

пр
ав
а

767. Приведите примеры предметов, имеющих форму: 1) цилиндра; 2) ко­
нуса; 3) шара.
768. На рисунке 65 изображён цилиндр. Укажите: 1) образующую цилинд­
ра; 2) радиус нижнего основания цилиндра; 3) радиус верхнего осно­
вания цилиндра.
769. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а его образующая —8 см. Най­
дите площадь боковой поверхности цилиндра.
770. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, развёртка которо­
го изображена на рисунке 66 (длины отрезков даны в сантиметрах).
771. На рисунке 67 изображён конус. Укажите: 1) вершину конуса; 2) центр
его основания; 3) образующую конуса; 4) радиус основания конуса;
5) высоту конуса.

за

щи

772. Радиус шара равен 6 см. Вычислите площадь сечения шара плоско­
стью, проходящей через центр шара.
773. Длина окружности, ограничивающей сечение шара плоскостью, про­
ходящей через его центр, равна 12,56 см. Чему равен радиус шара?

О О \ ----------

774. Какие наименьшие размеры, выраженные целым числом сантимет­
ров, должен иметь прямоугольный лист бумаги, чтобы им можно бы­
ло обклеить боковую поверхность цилиндра с радиусом основания
5 см и высотой, равной диаметру основания?
162

775.

Диаметр отверстия трубы равен 40 см, а толщина её стенок — 2 см.
Хватит ли 2,5 кг краски, чтобы покрасить снаружи 10 м этой трубы,
если на 1 м2 её поверхности расходуется 200 г краски?

ав
ам
и

Прямоугольник, площадь которого равна 40 см2, вращают вокруг од­
ной из его сторон. Вычислите площадь боковой поверхности образо­
вавшегося цилиндра.

— —— — — ■___________
Упражнения для повторения \ ______

Хватит ли купленной ковровой дорожки для трёх коридоров длиной
22,6 м, 24,7 м и 12,8 м, если купили 2 куска дорожки по 15,8 м и 2 кус­
ка по 14,6 м?
778 . Оля живёт в двенадцатиэтажном доме в квартире № 189. В каком
подъезде и на каком этаже живёт Оля, если в её доме на каждом эта­
же находится по четыре квартиры?
779. Известно, что а и Ъ — различные простые числа. Запишите все дели­
тели числа т , если:
1 ) т = ab;
2 ) т = агЬ\
3 ) m = arb-.
780. В середине XVI в. в Москве проживало 100 000 жителей и она была
самым многолюдным городом Московского государства. После столи­
цы по числу жителей выделялись города Великий Новгород и Псков.
Количество жителей Пскова составляло 20 % от количества жителей
Москвы и 80 % от количества жителей Великого Новгорода. Сколько
людей проживало в середине XVI в. в Великом Новгороде?

ав

то

рс

ки

ми

пр

777 .

но

Готовимся к изучению
новой темы

Пусть столбик, высота которого равна стороне клетки тетради, соот­
ветствует 1 году жизни человека. Нарисуй столбик, высота которого
соответствует количеству твоих полных лет.
782. Изобразите круг, разделите его двумя диаметрами на четыре рав­
ных сектора. Сколько процентов площади круга составляет пло­
щадь одного сектора?

за
щи
ще

781 .

Задача от
783 .

м удрой со вы

Используя только цифры 1, 2, 3, 4, записали два неравных четырёх­
значных числа, у каждого из которых все цифры различны. Может ли
одно из этих чисел делиться нацело на другое:'
163

S 27. Диаграммы
Классный руководитель 6 класса ведёт учёт посещения занятий уча­
щимися. В конце недели его записи выглядели следующим образом.
Д е н ь недели

П онедельни к

В то р н и к

Среда

Ч е тв е р г

П я тн и ц а

3

2

ав
ам
и

--------К о ли ч е с тв о
о тс у тс тв у ю щ и х

5

4

7

но

ав

то

рс

ки

ми

пр

Эти данные можно представить более наглядно в виде столбчатой
диаграммы (рис. 68). Высота столбика показывает количество учащихся,
отсутствовавших в определённый день недели.

за

щи

ще

Однако не только такую информацию можно получить из этой диа­
граммы. Она также даёт возможность отследить, как изменялось количест­
во отсутствовавших в течение всей недели.
Информацию, представленную в таком виде, легко воспринимать,
и поэтому её удобно обрабатывать и анализировать.
Наглядно отображают информацию также круговые диаграммы.
На рисунке 69 представлена круговая диаграмма распределения уча­
щихся некоторой школы по спортивным секциям.
Из диаграммы на рисунке 70 видно, какую часть поверхности Земли
занимает суша, а какую —вода.
В каких случаях удобно представлять информацию в виде столбчатых
диаграмм, а в каких —в виде круговых?
164

пр
ав
ам
и

ав
то

рс

ки
ми

Вам, наверное, неоднократно приходилось слышать выражение «диа­
граммы роста». Если хотят продемонстрировать, как с течением времени
изменяется некоторая величина, то более наглядными являются столбча­
тые диаграммы.
_КВУШвЬ1е диаграммы чаще применяют тогда, когда хотят сопоста­
вить части какой-то величины.
Обратите внимание на разнообразное оформление диаграмм в зада­
чах этого параграфа. Например, столбчатая диаграмма может состоять не
только из вертикальных столбиков, но и из горизонтальных полосок
(рис. 71).

за
щи

ще
н

о

Рис. 71

1 2 .3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1213 14 15 16 17 18
Количество спутников (по данным на 2000 год)

165

1. Какие виды диаграмм вы знаете?
2. В каких случаях используют столбчатые диаграммы, а в каких — кру­
говые?
устно

пр
ав
ам
и

Решаем

Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

2.

Длина прямоугольника равна 48 см. Какой будет его длина на черте­
же, выполненном в масштабе:
1) 1 : 3;
2) 1 : 10;
3) 1 : 5?

3.

Огурцами засадили — огорода, а помидорами —30 % огорода. Каки3
ми овощами, огурцами или помидорами, засадили большую площадь?
Бригада из семи рабочих может отремонтировать школу за 36 дней.
Сколько требуется рабочих, чтобы отремонтировать школу за 12 дней,
если производительность труда всех рабочих одинакова?

то

рс
ки

4.

ми

1.

784. На диаграмме (см. рис. 71) показано количество спутников у планет

за
щ

ищ

ен
о

ав

Солнечной системы. Пользуясь диаграммой, установите:
1) у каких планет наибольшее количество спутников;
2) есть ли планеты, не имеющие спутников;
3) есть ли планеты с одинаковым количеством спутников;
'4) во сколько раз у Юпитера больше спутников, чем у Нептуна;
5) на сколько у Земли меньше спутников, чем у Урана.
785. На диаграмме (рис. 72) приведена выборочная информация о при­
родно-заповедном фонде России. Пользуясь диаграммой, установите:
1) сколько в России биосферных заповедников; зоологических
парков;
2) на сколько больше природных заказников федерального значения,
чем памятников природы федерального значения;
3) на сколько меньше биосферных заповедников, чем национальных
природных парков.
786. Пользуясь диаграммой, на которой приведена информация о площа­
ди наибольших водохранилищ России (рис. 73), установите:
1) у какого из данных водохранилищ самая большая площадь;
2) у какого из данных водохранилищ наименьшая площадь;
166

Рис. 73

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

3) площадь какого водохранилища, Рыбинского или Волгоградского,

за
щи

Куйбышевское
Братское

Рыбинское

Волгоградское
Цимлянское
Красноярское

167

.

Пользуясь диаграммой, на которой изображено процентное содержа­
ние соли в воде некоторых морей (рис. 74), установите:
1) в каком из данных морей самая солёная вода;
2) в каком из данных морей наименее солёная вода;
3) в каком из морей, Средиземном или Красном, вода солонее.

за

щи

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

пр

ав
ам
и

787

168

7 8 8 . На рисунке 75 приведена диаграмма количества пользователей Ин­

то

рс

ки

ми

пр

ав
ам
и

тернета в мире в процентах по отношению к общему количеству на­
селения с 2005 по 2015 г. В течение какого года произошёл наимень­
ший прирост количества пользователей? Наибольший прирост?
7 8 9 . На круговой диаграмме (рис. 76) приведены результаты выборов мэ­
ра Солнечного города (в процентах). Пользуясь диаграммой, устано­
вите:
1) сколько процентов избирателей участвовало в голосовании;
2) на сколько процентов больше избирателей проголосовало за Знай­
ку, чем за Незнайку;
3) сколько процентов избирателей проголосовало против Незнайки.
7 9 0 . На круговой диаграмме (рис. 77) приведено распределение использо­
вания учеником 6 класса Петром Ивановым свободного от учёбы вре­
мени. Установите:
1) сколько процентов свободного времени Пётр проводит на свежем
воздухе;
2) сколько процентов свободного времени он проводит с пользой
для здоровья;
3) во сколько раз больше времени он тратит на просмотр телевизи­
онных программ и игру на компьютере, чем на помощь родителям.
Посоветовали бы вы Петру что-то изменить в распределении свобод­
ного времени?
Рис. 77

Просмотр
телевизионных
программ

за

щи
ще

но

ав

Рис. 76



Голосовали за Знайку




Голосовали за Незнайку
Голосовали против
обоих кандидатов
Не принимали участия
в голосовании



169

Чтение

На диаграмме, изображённой на рисунке 78, представлено распреде­
ление учеников по секциям спортивной школы.
1) Сколько процентов учеников спортивной школы составляют бас­
кетболисты?
2) Сколько легкоатлетов в этой школе, если общее количество уча­
щихся составляет 300 человек?

792.

Учащиеся 6 классов посещают разные спортивные секции. Используя
диаграмму (рис. 79), установите:
1) какую секцию посещает больше всего шестиклассников;
2) какие секции посещает одинаковое количество шестиклассников;

рс
к

им
и

пр
ав
а

ми

791.

80
70

1
1
ИННН1

ще
но

60

ав
то

Рис. 79

50

£

s

за
щи

о

40

*

I

30

1ШЯВШШШЯШ

1


20

M W .ШI
г
1|
1
Секции
О) ш

о Е

е

170

Город

Т е м п е р а т у р а , °С

А стр а ха н ь

1 0 ,5

Город

О м ск

ав
ам
и

3) какую часть количества футболистов составляет количество легкоатлетов;
4) сколько процентов количество гандболистов составляет от коли­
чества баскетболистов.
793. Пользуясь таблицей средних годовых температур воздуха в отдель­
ных городах России, постройте соответствующую столбчатую диа­
грамму.
Т е м п е р а т у р а , °С

пр

2 ,1

4 ,9

П е тр о п а в ло в с к К а м ч а тск и й

1 ,9

И р к утск

1 ,0

Р о с т о в -н а -Д о н у

9 ,9

К расноярск

1 ,6

Р язань

5 ,4

М осква

5 ,8

С а н к т -П е т е р б у р г

5 ,8

рс

ки

ми

В ла д и в о с то к

.

_________________________________

то

794. Пользуясь таблицей развития метрополитена в Санкт-Петербурге, по­

ав

стройте соответствующую столбчатую диаграмму.
К о ли ч е ств о ста н ц и й

Го д

К о л и ч е с тв о ста н ц и й
-

1955

7

1985

48

19

1995

1975

34

2005

58

1980

38

2015

67

за

щи

ще

1965

но

Год

54

______________

795. В таблице приведены высочайшие вершины некоторых горных си­

стем Европы. Окрутлите высоту каждой вершины до сотен метров.
Для изображения высоты 100 м возьмите отрезок, длина которого
равна 1 мм, и постройте столбчатую диаграмму высот приведённых
вершин горных систем.
171

Н а зв а н и е верш ины

Го р н а я с и с те м а

М он б лан

4 807

А н д а л у с с к и е горы

М у ла с е н

3 478

Апеннины

Корно

2 914

Кавказ

Э льбр ус

М а с с и в Р и ла (Б а л к а н ы )

М усала

М а с с и в Та тр ы

Г е р л а х о в с к и -Ш т и т

П иренеи

П и к А н е то

С к а н д и н а в с к и е горы

Г а л ь х ё п и г ге н

пр
ав
а

ми

А льп ы

5 642

ск

им
и

2 925

2 655

3 404

то
р

2 469

796. С помощью таблицы, отражающей увеличение количества пользова­
телей Интернета в мире, постройте соответствующую столбчатую
диаграмму, округлив предварительно количество пользователей до
десятков миллионов и взяв для изображения 10 млн человек отрезок
длиной 1 мм.

ен
о

ав

Q

^ В ы сота , м

щи
щ

Год

2001

К о л и ч е с тв о
п о л ь з о в а т е л е й , м лн

Год

К о л и ч е с тв о
п о л ь з о в а т е л е й , м лн

2009

1 751

2003

785

2011

2 224

2005

1 024

2013

2 705

2007

1 365

2015

3 174

за

495

172

1

797 . В таблице приведена распространённость некоторых химических

элементов в земной коре. Постройте столбчатую диаграмму распро­
странённости приведённых элементов, взяв для изображения 0,1 %
отрезок, длина которого равна 1 мм.
Н а з в а н и е э ле м е н та

7 ,5

К а льц и й

3 ,4

Н а тр и й

2 ,6

М а гн и й

1 ,9

Ти та н

0 ,6

ми

Упражнения для повторения ' ______

ки

4

пр
ав
а

Алю м иний

ми

М а с с а з е м н о й к о р ы , % (с т о ч н о с т ь ю д о д е с я т ы х )

2

то
рс

798 . Максимальная масса белого медведя 800 кг, что составляет — мак-

ав

симальной массы индийского слона или 640 % максимальной массы
льва. Найдите максимальную массу: 1) индийского слона; 2) льва.
799 . В Московском государственном университете имени М.В. Ломоносо­
ва учится около 40 000 студентов. Количество студентов Кембридж­
ского университета (Великобритания) составляет 50 % количества
9

студентов Московского университета или ^ количества студентов

за

щи
ще

но

Гёттингенского университета (Германия). Сколько студентов учится
в Гёттингенском университете?
800 . Используя цифры 4, 5, 6, записали два разных трёхзначных числа.
Может ли произведение этих чисел быть равным числу, записанном)'
с помощью только цифр 0, 2, 3, 5, 6, 8? (В записи чисел цифры не по­
вторяются.)
Задача о т

м у д р о й со в ы

801 . В США дату обычно записывают так: месяц, число и год. Например,

дату рождения А.С. Пушкина американец записал бы так: 5.26.1799.
В Европе же сначала записывают число, потом месяц и год. Сколько
в году дней, дат)' которых нельзя прочитать однозначно, не зная, ка
ким способом она записана?
173

S 28. Случайные события.
Вероятность случайного события

ки

ми

пр
ав
ам
и

Прозвенел школьный звонок, выпал снег, на уроке математики вас
вызвали к доске, чёрный кот перебежал дорогу —всё это события. Каждое
из этих событий в одних и тех же условиях могло произойти, а могло и не
произойти (снег мог не выпасть, звонок не прозвенеть и т. п.). Поэтому
можно говорить, что мы привели примеры случайных событий.
Представьте себе, что выпущено 1 000 000 лотерейных билетов и
разыгрывается один автомобиль. Можно ли, купив один лотерейный билет,
выиграть этот приз? Конечно можно, хотя это событие маловероятно.
А если будут разыгрываться 10 автомобилей? Понятно, что вероятность вы­
игрыша увеличится. Если же представить, что разыгрываются 999 999 авто­
мобилей, то вероятность выигрыша становится очень большой.
Следовательно, вероятности случайных событий —это величины,
которые можно сравнивать. Однако для этого следует договориться, каким
образом количественно оценивать возможность появления того или иного
случайного события.
Приобретя один билет, считают, что вероятность выигрыша при ро­

10

1

1 000 000

100 000

999 999 автомобилей —

то

томобилей —

рс

зыгрыше одного автомобиля равна \ pop Q00 • ПРИ розыгрыше десяти ав­
999 999
1 000 000

. Этими

за

щи

ще

но

ав

дробями мы оцениваем шансы наступления интересующего нас случайного
события. Науку, которая занимается оценками вероятностей случайных со­
бытий, называют теорией вероятностей.
Если представить себе такую фантастическую ситуацию, в которой
каждый лотерейный билет является призовым, то выигрыш гарантирован.
Тогда событие «выигрыш автомобиля» называют достоверным и считают,
что его вероятность равна 1.
Если в лотерее нет ни одного призового билета, то выиграть автомо­
биль невозможно. В этом случае событие «выигрыш автомобиля» называют
невозможным и считают, что его вероятность равна 0.
Вероятность случайного события может быть любым числом
от О до 1.
Понятно, что если бы половина билетов тиража оказалась призовой,
то события «выигрыш» и «невыигрыш» автомобиля стали бы равновероПокупка лотерейного билета, подбрасывание игрального кубика или
монеты, вытягивание экзаменационного билета — это примеры экспери174

ав
ам
и

ментов со случайны ми исходами (результатами).
К такого рода экспериментам можно отнести различ­
ные испытания, опыты, наблюдения, результаты кото­
рых заранее предсказать нельзя.
При бросании игрального кубика (рис. 80) можно
получить один из шести результатов: выпадет 1, 2, 3, 4,
5 или 6 очков. Все эти шесть результатов равновозмож­
ны. Поэтому естественно считать, что, например, веро­
ятность события «выпадение 5 очков» равна _1
6

'

пр

Найдём вероятность того, что при бросании игрального кубика выпа­
дет число, кратное 3. В этом эксперименте из шести равновозможных ис­
ходов есть только два, которые нас устраивают: выпадание 3 или б очков.
Эти два исхода назовём благоприятными.
Вероятность того, что выпадет число, кратное 3, равна - = —.

,

ск

им
и

В примере с лотереей испытание состоит в том, что покупают один
билет. В этом эксперименте существует 1 000 000 равновозможных исхо­
дов: купили билет с номером 1, купили билет с номером 2 и т. д. Если выиг­
рышных билетов 10, то имеем 10 благоприятных исходов. Вероятность вы10

1

ор

игрыша при покупке одного билета равна } — — = ш0 т ■

ав
т

Приведённые примеры иллюстрируют следующее. Если экспери­
мент заканчивает ся одним из п равновозможных исходов, из кото­
р ы х т являю т ся благоприятными для наступления данного собы­
тия, то вероятность этого события равна ^ .

за
щ

ищ
е

но

Пример. В коробке лежат два синих и пять жёлтых шаров. Наугад
вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется:
1) синим; 2) красным?
Решение. 1) Представим себе, что шары пронумерованы числами от 1
до 7. При вынимании шара может произойти семь равновозможных исхо­
дов: вынули шар с номером 1, вынули шар с номером 2 и т. д. Из них благо­
приятных только два (ведь в коробке только два синих шара). Поэтому ис­
2

комая вероятность равна
7'
2) Поскольку в коробке нет красных шаров, то рассматриваемое со­
бытие является невозможным, следовательно, его вероятность равна 0.
Ответ: 1)

2) 0.

■*

Становление и развитие теории вероятностей связаны с трудами та­
ких выдающихся учёных, как Якоб Бернулли (1654-1705), Пьер Лаплас
175

(1749-1827), Рихард Мизес (1883-1953). В XX в. особое значение приобре­
ли работы выдающегося советского математика Андрея Николаевича Кол­
могорова.

А.Н. Колмогоров (1903-1987)

и

пр
ав
ам
и

Академик АН СССР, иностранный член
многих зарубежных академий, лауреат Ленин­
ской, а также ряда престижных математических
премий (П.Л. Чебышёва, Н.И. Лобачевского,
Больцана, Вольфа).
Значительную часть своих творческих сил
посвящал педагогической деятельности. Много
работал с одарённой молодёжью, был одним из
руководителей первых московских олимпиад
и школьного математического кружка при МГУ.
Многие поколения школьников нашей страны
учились по учебникам А.Н. Колмогорова.

то

рс

К а ки е со б ы ти я н азы в аю т случайн ы м и ?
Какая наука зани м ается оц е н ко й вероятности случайны х собы ти й ?
Ч е м у ра вн а веро ятн ость д о сто в ер н о го собы тия?
Ч е м у равн а вероятн ость н е в о зм о ж н о го собы тия?
Как вы ч и сл и ть ве ро ятн ость случайного собы ти я в эксп е р и м ен те
с р а в н о в о зм о ж н ы м и исходам и ?

ав

1.
2.
3.
4.
5.

ки
м

I

_____ I____!-------------------------

В коробке лежат 54 шара, из которых 12 красных, а остальные —зелё­
ные. Какую часть всех шаров составляют красные? Зелёные? Какую
часть от количества зелёных шаров составляют красные?
За четыре одинаковых набора цветных карандашей заплатили 820 р.
Сколько стоят 12 таких наборов?
Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

щи
ще

1.

устно

но

Реш аем

2.

за

3.

176

.
803.

802 Приведите примеры экспериментов, результатами которых являются

ам
и

.
805.

случайные события.
Приведите примеры экспериментов, результатами которых являют­
ся события, по вашему мнению: 1) маловероятные; 2) очень вероятные.

804 Приведите примеры экспериментов, результатами которых являют­

.
.
.
809.

ки

ми

пр
ав

ся: 1) достоверные события; 2) невозможные события.
Какие из следующих событий являются достоверными, а какие невоз­
можными:
1) из корзины, в которой лежат только яблоки, достали персик;
2) в выбранном наугад слове русского языка обнаружили три подряд
идущие буквы «н»;
3) складывая два последовательных натуральных числа, получили не­
чётное число;
4) заглянув в календарь, обнаружили, что в следующем год)' ваш день
рождения выпадет на среду?

рс

806 Все ли равновероятные события имеют вероятность, равную

I;

ще
н

.

за
щи

811

ав

.

810

тами.
Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпа­
дет количество очков, равное: 1) двум; 2) пяти; 3) нечётному числу';
4) числу, которое кратно 6?
Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпа­
дет: 1) чётное число; 2) число, которое не делится нацело на 4; 3) чис­
ло, которое не делится нацело на 3; 4) число, кратное 7?
Чтобы сдать экзамен по математике, нужно выучить 30 билетов. Уче­
ник выучил 25 билетов. Какова вероятность того, что он вытянет би­
лет, ответ на который знает?
Чтобы сдать экзамен по истории, нужно выучить 25 билетов. Ученик
не выучил только один билет. Какова вероятность того, что он вытя­
нет именно этот билет?
В классе учатся 12 девочек и 17 мальчиков. Один учащийся этого
класса опоздал в школу. Какова вероятность того, что это: 1) был
мальчик; 2) была девочка?
В лотерее 20 выигрышных билетов и 480 билетов без выигрыша. Ка­
кова вероятность выиграть в эту лотерею, если купить один билет?

о

о

то

2'
807 Приведите примеры экспериментов с равновероятными результатами.
808 Приведите примеры экспериментов с неравновероятными результа­

.

812

.

813

.

814

177

815 . Три грани кубика покрасили в красный цвет, а остальные три —в си­

ний. Какова вероятность того, что при бросании кубика выпадет
красная грань?
816. Две грани кубика покрасили в чёрный цвет, а остальные — в белый.
Какова вероятность того, что при бросании кубика выпадет: 1) чёр­
ная грань; 2) белая грань?

оо V

пр
ав
ам
и

щи

V

ще
н

о

ав

то
р

ск

им
и

Q

817. Из коробки шахмат случайно выпала одна фигура. Какова вероят­
ность того, что эта фигура:
1) белый король;
6) белая фигура;
2) король;
7) не пешка;
3) конь;
8) не король;
4) белая пешка;
9) не белый ферзь;
5) пешка;
10) не слон и не ферзь?
818. В коробке было 19 карточек, пронумерованных числами от 1 до 19.
Из коробки наугад взяли одну карточку. Какова вероятность того, что
на ней написано число:
1) 12;
8) двузначное;
2) 21;
9) в записи которого есть цифра 9;
3) чётное;
10) в записи которого есть цифра 1;
4) нечётное;
11) в записи которого отсутствует цифра 5;
5) кратное 3;
12) сумма цифр которого делится нацело на 5;
6) кратное 7;
13) при делении которого на 7 остаток равен 5;
7) простое;
14) в записи которого отсутствует цифра 1?
819. В коробке лежат пять красных и три жёлтых шара. Какова вероят­
ность того, что выбранный наугад шар окажется:
1) жёлтым;
2) красным;
3) синим?
820 . В ящике было 45 шаров, из которых 17 —белых. Потеряли два не бе­
лых шара. Какова вероятность того, что взятый наугад один шар бу­
дет белым?

за

821 . Карточки с номерами 1, 2, 3 положили в ряд. Какова вероятность то­
го, что карточки с нечётными номерами окажутся рядом?
822 . В коробке лежат два синих шара и несколько красных. Сколько красных
шаров в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шар:
2
5

4
5

1) окажется синим, равна —; 2) окажется красным, равна —?
823. Грани кубика окрашены в два цвета —синий и жёлтый (каждая грань
в один цвет). Вероятность того, что при бросании кубика выпадет
178

.

r*t

Упражнения для повторения \.

.

пр
ав
ам
и

824

синяя грань, равна ^ . Сколько синих и сколько жёлтых граней у ку­
бика?
В коробке лежат три зелёных и шесть синих шаров. Какое наи­
меньшее количество шаров нужно вынуть наугад, чтобы вероятность
того, что среди вынутых шаров хотя бы один окажется зелёного цве­
та, была равной 1?

Вам уже известно имя выдающего русского математика-педагога Леон­
тия Магницкого, автора первого русского учебника по математике
«Арифметика». Михаил Ломоносов назвал эту книгу' «вратами учёно­
сти». Попробуйте и вы решить задачу из учебника Магницкого.
Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему
двадцать человек работников и спросил, в сколько дней они построят
его двор. Плотник ответил: в тридцать дней. А господину надобно в
пять дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько чело­
век тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в пять дней; и
плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек
ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

то
рс

.

ищ

ен
о

ав

828

ки
ми

Один тракторист может вспахать поле за 18 ч, а другой —за 12 ч. Ка­
нуло часть поля они вспашут вместе, если первый будет работать 5 ч,
а второй —7 ч?
826 . Цену товара сначала увеличили на 50 %, а потом уменьшили на 50 %.
Какой стала цена товара, если сначала она составляла 2 000 р.?
827 . Заполните цепочку вычислений:
825

за
щ

Задача от

829

.

мудрой

совы

Футбольный мяч плотно обтянут сеткой. Из каждого узла сетки выхо­
дит три верёвки. Может ли в этой сетке быть 999 узлов?

179

Итоги главы 3
Отношение
Частное двух чисел а и Ь, отличных от нуля, называют отноше­
нием чисел а и b или отношением числа а к числу Ь.
Основное свойство отношения

пр
ав
ам
и

Отношение не изменится, если его члены умножить или разде­
лить на одно и то же число, не равное нулю.
Пропорция
Если отношения a : b и с : d равны, то равенство a : b = с : d
называют пропорцией.
Основное свойство пропорции

ав

то
р

ск
им
и

Произведение крайних членов пропорции равно произведению
её средних членов.
Процентное отношение двух чисел
Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выра­
женное в процентах.
Правило нахождения процентного отношения двух чисел
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отноше­
ние умножить на 100 и к результату дописать знак процента.
Прямо пропорциональные величины
Две переменные величины называют прямо пропорциональ­
ными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в не­
сколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько
же раз.

но

Свойство прямо пропорциональных величин

за

щи

ще

Если две переменные величины прямо пропорциональны, то от­
ношение соответствующих значений этих величин равно одно­
му и тому же, постоянному для данных величин, числу.
Обратно пропорциональные величины
Две переменные величины называют обратно пропорциональ­
ными, если при увеличении (уменьшении) одной из этих вели­
чин в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во
столько же раз.
Свойство обратно пропорциональных величин
Если две переменные величины обратно пропорциональны, то
произведение соответствующих значений этих величин равно
одному и тому же для данных величин числу.
Число л
Число л: — это отношение длины окружности к её диаметру.
180

пр
ав
ам
и

Длина окружности
I = 2кг, где г — радиус окружности.
Площадь круга
S = кг2, где г — радиус круга.
Площадь боковой поверхности цилиндра
S6oK = 2nrh, где г — радиус основания цилиндра, А — высота
цилиндра.
Вероятность случайного события
Если эксперимент заканчивается одним из п равновозможных
исходов, из которых т являются благоприятными для наступле­
ния данного события, то вероятность этого события равна — .

за

щи

ще

но

ав
то

рс

ки

ми

П

а
181

Глава 4. Рациональные числа и действия над ними

пр
ав
ам
и

Изучив материал этой главы, вы узнаете, какие числа назы­
вают целыми, а какие — рациональными; что такое модуль числа;
какие прямые называют параллельными, а какие — перпендику­
лярными; какие фигуры называют симметричными.
Вы познакомитесь с координатной прямой и координатной
плоскостью, с новым способом решения уравнений.
Вы научитесь сравнивать рациональные числа, выполнять
арифметические действия с рациональными числами, познакоми­
тесь со свойствами этих действий.

S 29. Положительные и отрицательные числа

за

щи

ще

но

ав

то
рс
к

им
и

Окружающий нас мир настолько сложен и разнообразен, что для опи­
сания многих событий и явлений натуральных и дробных чисел недоста­
точно.
Рассмотрим несколько примеров.
Начинающий бизнесмен положил на свой счёт
в банке 50 000 р. Через некоторое время он снял со
счёта эти деньги и взял в кредит (в долг) 20 000 р.
Каким числом теперь оценить остаток на его счёте
в этом банке?
Конечно, можно сказать, что бизнесмен задол­
жал банку 20 000 р. Однако есть и другая оценка: гово­
рят, что на счёте «минус 20 000 р.». Пишут: -20 000 р.
Столбик термометра, изображённого на ри­
сунке 81, указывает на пятую из расположенных ни­
же нуля отметок. В таком случае говорят, что темпе­
ратура равна «минус 5 градусов». Пишут: -5 °С. Так­
же можно сказать, что термометр показывает
«5 градусов ниже нуля» или «5 градусов мороза».
В 1982 г. состоялась первая советская экспеди­
ция на Эверест. Достигнув отметки 8 848 м над уров­
нем моря, альпинисты покорили высочайшую вер­
шину Земли. Если когда-нибудь нашим исследовате­
лям удастся опуститься на дно Марианской впадины,
то в газетах напишут: «Россиянам покорилась отмет­
ка -11 022 м».
182

Числа 20 000, 5, 11 022 —примеры отрицательных чисел. Как ви­
дите, эти числа записывают с помощью знака «-».
Рассмотрим ещё примеры отрицательных чисел: - - - - 2 4 - - 5 - Счи3

9
тают соответственно, «минус одна третья», «минус две целых четыре де­
сятых», «минус пять целых две девятых»).
Натуральные и дробные числа, которые вы изучали раньше, теперь

1. С помощью какого символа обозначают отрицательные числа? По­
ложительные числа?
2. Какое число не относят ни к положительным, ни к отрицательным
числам?
3. О каких двух числах говорят, что они имеют разные знаки? Одина­
ковые знаки?

но

ав

?

то
рс

ки

ми

пр
ав
а

ми

будем называть положительными. Так, 5; — ; 8,3 — примеры положи­
тельных чисел.
17
Число 0 особенное: его не относят ни к положительным, ни
к от рицат ельным числам.
В тех случаях, когда может возникнуть путаница, положительное чис­
ло обозначают с помощью знака «+». Например, информацию «термометр
показывает 1 °С» можно уточнить: «термометр показывает +1 °С».
Отметим, что использовать знак «+» для обозначения положитель­
ных чисел совсем не обязательно. Например, +12 и 12 —это одно и то же
число, записанное разными способами.
Если одно число положительное, а другое отрицательное, то о таких
числах говорят, что они имеют разные знаки. А если оба числа положи­
тельны или оба числа отрицательны, то говорят, что они имеют одина­
ковые знаки.

щи
ще

Решаем устно
1.

за

2.

3.

4.

Андрей простудился, и вечером его температура с 36,6 повысилась
на 2,3°. Но утром ему стало легче, и температура снизилась на 1,8 .
Какой была температура у Андрея: 1) вечером; 2) утром?
Решите уравнение:
1 ) 1дг = 5;
2) Ъх = 5;
3)3.г = | ;
=
Купили 20 кг овощей - картофель и морковь. Картофеля купили
17 кг. Сколько процентов массы овощей составляет: 1) картофель,
2) морковь?
На плоскости отметили пять точек. Сколько можно провести отрез­
ков, концами которых будут эти точки?
183

Упражнения
830.

Какие из. чисел 3; -6;

-2-j ; 4,7; — ; 0;
3
16

-5,2; - 9 |; 10,14;

5.
8'

пр
ав
ам
и

1) являются положительными;
2) являются отрицательными;
3) не являются ни положительными, ни отрицательными?
831. Запишите с помощью знаков «+» и «—
» информацию Гидрометцентра:
1) 18° тепла;
3) 12° ниже нуля;
2) 7° мороза;
4) 16° выше нуля.
832. С помощью положительных и отрицательных чисел запишите высо­
ты и глубины, приведённые в таблице.
Говерла(Карпаты)

Канченджанга (Гималаи)
Эльбрус (Кавказ)

ск
и

Жёлоб Пуэрто-Рико (Атлантический океан)

ми

2 061 м
8 742 м

8 585 м
5 642 м
7 729 м

Гренландское море

5 527 м

ав
то
р

Зондский жёлоб (Индийский океан)

Запишите шесть отрицательных дробей со знаменателем 5.
Запишите четыре отрицательные десятичные дроби с одной цифрой
после запятой.
835. Запишите показания термометров, изо­
бражённых на рисунке 82.
836. Какую температуру будет показывать
термометр, изображённый на рисун­
ке 82, а, если:
1) его столбик опустится на 8 делений;
2) его столбик поднимется на 4 деления;
3) температура повысится на 5 °С;
4) температура понизится на 6 °С;
5) температура понизится на 10 °С?
837. Какую температуру будет показывать
термометр, изображённый на рисун­
ке 82, б, если:

за

щи

ще

но

833.
834.

184

1)
2)
3)
4)

его стол бик поднимется на 2 деления;
его стол б и к опустится на 3 деления;
тем пература п о вы сится на 6 °С;
тем пература по низится на 5 °С?

838. В 10 ч те р м о м е тр показы вал температуру - 2 °С. За два часа темпе­
С. К акой стала температура воз­

ам
и

р атур а воздуха изм енилась на 5
духа?

839. В 20 ч те р м о м е тр показы вал температуру —3 °С. Через тр и часа тем­

пр
ав

пе р а тур а воздуха изм енилась на 4 °С. К акой стала температура воз­
духа?

Упражнения для повторения V

840. В Сан кт-П етер бур ге 342 городских моста, из них 13 мостов — развод­

{ 1,02 : — - 7,26 :

: з ! + 0,4 : 0,36.
70 )

50

5

рс

I,

ки

ми

ные. С к о л ь ко пр о ц е н тов всех мостов составляют разводные мосты?
О т в е т округлите до единиц.
841. Н ай д и те значение выражения:
J у 7 - >€ °

ав
то

Готовимся к изучению
новой темы

щи
ще
н

о

842. К а к о в ы коо р д и н а ты точек А, В, С, D, Е на рисунке 83?

г
0

С
f 1

Рис. 83

1
|

D

А

В

Е

t 1

1
1

2

3

4

1

843. Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 3 см.

за

О тм етьте на нём то чки

А (1); В (2); С

j ; 7 ? f l | j ; £ |^2^j; £(1,5).

844. Н ач е р ти те горизонтальную прямую, отметьте на ней точку О и точки

М, N, К, Р, котор ы е располож ены так:
1) то чка М на 4 клетки правее точки О;
2) то чка JV на 3 клетки левее точки О;
3) точка К на 7 клеток левее точки О;
4) точка Р на 5 клеток правее то чки О.
185

Задача от мудрой совы
845. Двое мальчиков находились в лодке у берега реки. К ним обратилась

пр
ав
ам
и

группа туристов с просьбой помочь переправиться на противополож­
ный берег. В лодке помещаются или два мальчика, или один турист.
Смогут ли мальчики помочь туристам?

§ 30. Координатная прямая

но

ав

то

рс

ки
ми

В курсе математики 5 класса
Рис. 84
вы научились изображать на коор­
динатном луче положительные чис­
I
0
2 2 3 3,5 4
ла и нуль (рис. 84).
3
Понятно, что на этом луче
«нет места» для отрицательных чисел. Этот «недостаток» координатного
луча исправляет координатная прямая.
Рассмотрим горизонтальную прямую и отметим на ней точку О, кото­
рую будем называть началом отсчёта. Точка О изображает число 0. Она
разделяет прямую на два луча ОА и О В (рис. 85). Отметим на луче ОА точ­
ку М , которая будет изображать число 1. На луче ОА можно изобразить все
положительные числа.

за

щи

ще

На луче О В отметим точку N так, что O N = ОМ. Будем считать, что
точка N изображает число —1. Чтобы изобразить число -2 , нужно на луче
О В отметить точку К так, чтобы O K = 2 ON. Действуя аналогично, можно
отметить точки Е и F. которые изображают соответственно числа - 3 и -4 .
Теперь понятно, что на луче ОВ можно изобразить все отрицательные чис­
ла. Например, точка D изображает число -2 ,5 .
Луч ОА задаёт положительное направление на прямой А В , а луч
О В — отрицательное направление. Положительное направление указыва­
ют стрелкой.
&

Прямую, на которой выбрали начало отсчёта, единичный отрезок
и направление, называют координатной прямой.
186

Какую прямую называют координатной?
Какие два направления существуют на координатной прямой?
Какие числа называют неотрицательными?
Какие числа называют неположительными?

пр

1.
2.
3.
4.

ми

?

ав
ам
и

Например, на рисунке 85 изображена координатная прямая с нача­
лом отсчёта в точке О и единичным отрезком ОМ. Точка N изображает
число -1, которое называют координатой точки N и записывают N (-1).
Аналогично записывают О (0), М (1), К (-2), D (-2,5), Е (-3), F (-4).
Часто вместо слов «отметим точку с координатой, равной...» коротко
говорят «отметим число...».
Все положительные числа и нуль называют неотрицательными чис­
лами.
Все отрицательные числа и нуль называют неположительными чис­
лами.

Выполните действия:
1) 0,18 : 0,06;
3) 1,8 : 0,06;

3 ,3 .
5 14
5) 11 4 ’
7) 7 ' 25
9 .3
9 3.
2 ) 0,18:0,6;
4) 1,8 : 0,6;
8) 16 ' 8
6) 16 8'
За 3 ч турист прошёл 9,6 км. Сколько километров он пройдёт с той
же скоростью: 1) за 1,5 ч; 2) за 6 ч?
На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если каждую из
его сторон увеличить в 2 раза?
На сколько процентов уменьшится площадь квадрата, если каждую из
его сторон уменьшить в 2 раза?

щи

ще

4.

ав

3.

но

2.

то

рс

1.

ки

Решаем устно

846. Запишите координаты точек А. В, С, D, Е, F, М, К, изображённых

за

на рисунке 86.
Рис. 86
К МF

Е

D

А
01
а
187

В

С

пр
ав
ам
и

847. Запишите координаты точек А , В , С, £), Е, F, М, К , изображённых
на рисунке 87.
Рис. 87

F

Е

DM

А
0

1

К

В

С

В

с

D

F

К

Е А
5

ки

М

ми

а

0

рс

б

Q

848. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа: 0; 1; 4; -3;

О

849. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа: 0; 1; -2; 7;

то

6; -2; -5; 2,5; -4,5.

ав

5; -4; -2,5; -5,5; -6.

о о \ ___
Q

850. Начертите координатную прямую, взяв за единичный такой отрезок,

но

длина которого в 6 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте

щи
ще

точки А (1), В (-1), С (-0,5), D

-2 4

Ч

21

М

-1

' з

R

851. Начертите координатную прямую, взяв за единичный такой отрезок,
длина которого в 4 раза больше стороны клетки тетради. Отметьте

за

Q

if

точки Л (2), s ( | ) ,

D (-2), £ ( - 1 ) , F (-1,75),

5(0,25), Т (-1,5), N (1,25).
852. Длина единичного отрезка координатной прямой равна 1 см. Чему

равно расстояние между точками:
1) Л (2) и Д (6);
2) С (-3) и D (-1);
188

3) М (-4) и N (2)?

. Длина единичного отрезка координатной прямой равна 5 мм. Чему

О

854.

Q

855.

'

856.

857.

. Q

858.

861.

то

щи
ще
н

862.

ав

860.

о

859.

рс

ки

Q

равно расстояние между точками:
1) С (-5) и О (0);
2) А (-10) и В (-3);
3) D (-2) и Е (2)?
Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки А (-1)
и В (5). Найдите на прямой точку, которая является серединой отрезка А В , и определите её координату.
Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки М (-6)
и С (-2). Найдите на прямой точку N такую, что точка С —середина
отрезка M N , и определите координату точки N.
Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки К (-1)
и F (5). Найдите на прямой точку Е такую, что точка К —середина от­
резка EF, и определите координату точки Е.
Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку В (-4). От­
метьте на этой прямой точку, удалённую от точки В\
1) в положительном направлении на 8 единиц;
2) в отрицательном направлении на 3 единицы.
Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку' К (2). От­
метьте на этой прямой точку, удалённую от точки К:
1) в отрицательном направлении на 2 единицы;
2) в положительном направлении на 4 единицы.
Запишите какие-нибудь три числа, лежащие на координатной прямой:
1) левее числа 2;
3) левее числа -100;
2) правее числа 3,6;
4) правее числа -25.
Запишите какие-нибудь четыре числа, лежащие на координатной пря­
мой между числами -1 и 0.
Запишите какие-нибудь два числа, лежащие на координатной прямой:
1) левее числа -240;
3) между числами -9 и -8;
2) правее числа -0,5;
4) между числами -0,1 и 0,1.
Запишите числа, удалённые на 7 единиц от числа:
1) 80;
2) 4;
3) 0;
4) -3;
5) -12;
6) -7.

пр
ав
ам
и

"

ми

853

❖ \-----

На координатной прямой отметили числа -8 и 12 (рис. 88). Какая из
точек А , В, С или D является началом отсчёта?
864. Найдите координату точки С (рис. 89).

за

863.

Рис. 89

Рис. 88

С

А В С D

-8

12

189

А

В

3

5

~¥V
8 6 5 . На координатной прямой отметили точки А (2) и В (8). Какую коор­

динату должна иметь точка М , чтобы отрезок В М был в 2 раза длин­
нее отрезка AM ? Сколько решений имеет задача?

пр
ав
ам
и

Упражнения для повторения
866 . Начертите две окружности, радиусы которых равны 2 см, так, чтобы

они: 1) имели две общие точки; 2) имели одну общую точку; 3) не име_пи общих точек.
5
8 6 7 . Из некоторого числа вычли — этого числа и получили 480. Найдите
это число.
868. Все учащиеся 6 класса занимаются или в секции тенниса, или в сек­
ции плавания. Некоторые из них занимаются и теннисом, и плава1

1

6

5

им
и

нием: — теннисистов занимаются плаванием, а — пловцов — тенни-

м уд р о й с о вы

то

Задача о т

рс
к

сом. Кого в классе больше —теннисистов или пловцов?
8 6 9 . Число 50 увеличили на 500 %. Во сколько раз полученное число боль­
ше 50?

8 7 0 . На столе стоят семь стаканов —все вверх дном. За один ход разреша­

ав

ется перевернуть любые четыре стакана. Можно ли за несколько хо­
дов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

но

S 31. Числовые множества

за

щи

ще

На рисунке 90 точки М и N изображают числа 4 и -4 соответственно.
Эти точки лежат по разные стороны, но на одинаковом расстоянии от на­
чала отсчёта.
Такое же свойство присуще каждым
Рис. 90
двум точкам, которые изображают пары чиN
М
сел - 1 и | ; -2,6 и 2,6; -100 и 100.
-4---------1-----------* -

Числа -4 и 4; -у- и i ; -2,6 и 2,6; -100
3

-4

0

4

3

и 100 называют противоположными.
Также можно говорить, что, например, число -4 противоположно
числу 4, а число 4 противоположно числу -А.
Число О с ч и т а ю т противоположным самому себе.
190

Выражение ci означает, что записано число, противоположное чис­
лу а.

пр
ав
ам
и

Приписав перед числом знак «—», например к положительному чис­
лу 12, получим противоположное ему число -12. Так же с помощью знака «—» из отрицательного числа —12 можно полечить противоположное ему
число 12, т. е. -(-12) = 12.
Аналогично, например, -(-2,7) = 2,7;
— 5
4'
Вообще,
-(-а) = а

ми

Подчеркнём, что при записи выражения -(-а ) использование скобок
является обязательным. Запись вида — а не имеет смысла.
Каждому натуральному числу соответствует единственное противопо­
ложное ему число:
...,

100,

. ..

-3,

-5,

..., - 100, ...

Все натуральные числа, противоположные им числа и число 0 на­
зывают целыми числами.

ав
то

Й

рс
ки

I I I I I I I I

за

щи
ще

но

1
18
Например, -77, 0, 12 —целые числа, а —; 2,6; - — не являются целы­
ми, их называют дробными числами.
Натуральные числа ещё называют целыми положительными числа­
ми. Числа —1, —2, —3, ... называют целыми отрицательными числами.
Таким образом, объединив натуральные числа с целыми отрицатель­
ными числами и нулём, получаем целые числа:

Целые и дробные числа вместе образуют рациональные числа. На­
пример, 17¾ —10; | ; 0; -2,9; - | ; 5,(34) - рациональные числа.
191

ми

пр
ав
а

ми

Рассмотрим словосочетания: стадо овец (рис. 91, а), букет цветов
(рис. 91, б), косяк рыб (рис. 91, в); коллекция моделей автомобилей, стая
птиц, рой пчёл, собрание картин, набор ручек, компания друзей.

за
щ

ищ

ен

о

ав

то
рс

ки

Из этих словосочетаний можно составить новые, например букет
овец, косяк картин, коллекция друзей. Они получились нелепыми, в то же
время такие словосочетания, как коллекция рыб, коллекция птиц, коллек­
ция картин, коллекция ручек, коллекция моделей автомобилей, имеют
смысл. Дело в том, что слово «коллекция» довольно универсальное. Одна­
ко в математике есть более ёмкое слово, которым можно заменить любое
из первых слов в приведённых парах. Это слово множество.
Множество состоит из элементов. Например, ты являешься элемен­
том множества учеников твоего класса; треугольник —элемент множества
многоугольников; число 2 —элемент множества чётных чисел.
Если а —элемент множества Л, то пишут а е А (читают: «а принад­
лежит множеству Л»). Если элемент b множеству Л не принадлежит, то пи­
шут Ъ е Л (читают: «6 не принадлежит множеству Л»).
Пусть М —множество натуральных делителей числа 6. Это записыва­
ют так: М = {1, 2, 3, 6}. Тогда, например, 2 е М, 5 g М.
Множества бывают конечные и бесконечные. Например, множест­
во парт в классе, множество делителей числа 6, множество песчинок в пус­
тыне Сахара —конечные множества; множество прямоугольников, множе­
ство простых чисел —бесконечные множества.
Если элементами множества являются только числа, то его называют
числовым.

Приведём примеры числовых множеств.
• Множество натуральных чисел. Обозначают буквой N.
• Множество целых чисел. Обозначают буквой Z.
• Множество рациональных чисел. Обозначают буквой Q.
192

О б р ат и т е вним ание: все элем енты множества

N явл яю тся эл ем ен там и множ ества Z. В таких случа­
ях говорят, что м нож ество N является п од м н ож е­
с тв о м м нож ества Z. Записы ваю т N с Z (читают:
«N — подм нож ество Z»).
П о н ятн о , что Z с Q. Вообще, мож но записать

ще

но

ав

то

рс

ки

ми

пр
ав
ам
и

такую цепочку:
N c Z



MyBook - читай и слушай по одной подписке