Задачи вступительных экзаменов по математике. УдГУ-2001 [О. В. Баранова] (pdf) читать постранично, страница - 3

(-о о ;-2 ) U ( - 2 ,- 1 ) ; 2.4. 5; 2.5.
| + 2тги, л е Z; 2.6. ^ 2 ,^ 4 ,
...;
^ 1 2 ,2 ,...; 3.1.
± i ; 3.2. 13; 3.3. (3; 4) U (4;оо); 3.4. 2; 3.5. ж + 2ят»,
п 6 Z; 3.6. 1 , ^ 3 , ^ 9 , . . . ; -1 , —
—v^, . . . ; 3 , ^ 9 , ^ 3 , . . . ;
- 3, -\ / 9, —
; 4.1. ± f ; 4.2. 10; 4.3. (-о о ;- 4 ) U ( - 4 ;-3 );
4.4. 7; 4.5. f -Ь2тгта, тг £ Z; 4.6. ^3, ^ 9 , v ^ 7 ,... ;
v^36,
3,...

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Специальности: Прикладная математика
и информатика,
прикладная информатика
Устный экзамен
1. Решите уравнение: 8 sin2 х - 2 cos х = 5.
2. Из некоторой точки проведены два луча, образующих с
плоскостью углы, равные 30°, а между собой угол в 60°.
Найдите угол между их проекциями на плоскость.
21

3. Решите уравнение: sin х cos х + 2 = cos х + 2 sin х.
4. Около трапеции A B C D с основаниями A.D и ВС описана
окружность, центр которой лежит на основании AD. Опре­
делите площадь трапеции, если ее диагональ равна 8 см, а
боковая сторона равна б см.
5. Решите неравенство: log0t2(®2 + 2) < log0 2(3a: - 7).
6. Длины двух сторон треугольника равны а и Ь. Найти дли­
ну третьей стороны треугольника, если величина угла, ле­
жащего против этой стороны, в 2 раза больше величины
угла, лежащего против стороны Ь.
7. Решите уравнение: sin2 х + ctg2 х = 1.
8. В шаре с центром в точке О проведен диаметр АВ и две
равные хорды A M и A N , каждая под углом 60° к диа­
метру. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра
M A N О, если отрезок M N виден из центра шара под углом
90°, а радиус шара равен 1см.
9. Найдите отрезок с целыми концами наименьшей длины, ко­
торому принадлежит число log10 50.
10. Два равносторонних треугольника имеют общую сторону,
расстояние между их вершинами, не лежащими на общей
стороне, составляет одну треть стороны. Найдите рассто­
яние между их общей стороной и отрезком, соединяющим
третьи вершины.
11. Решите уравнение: 3 • 2v'*+1 - 8 •

+ 4 = 0.

12. В окружность радиуса R вписан правильный п -угольник,
площадь которого равна 3R 2. Найдите п.
13. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 5.
22

14. Найдите объем конуса, если радиус описанного около него
шара равен Зсм, а образующая конуса наклонена к плос­
кости основания под углом 60°.
15. Решите уравнение: logr _2 9 = 2.
16. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под
углом 45°. Найдите отношение радиусов описанного и впи­
санного в конус шаров.
17. Решите уравнение: tg(x + \ ) -f- tg(z —J) = 1.
18. В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения диа­
гоналей нижнего основания соединена с серединой бокового
ребра отрезком длины 4 см. Этот отрезок образует с осно­
ванием параллелепипеда угол 60° и с боковой гранью угол
45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипе­
да.
19. Решите неравенство: 3* + 3*+3 > 84.
20. Площадь полной поверхности прямоугольного параллеле­
пипеда равна 160 см2. Если увеличить каждое из ребер на
2 см, то полная поверхность увеличится на 136 см2. Найди­
те длину диагонали параллелепипеда.
21. При каких значениях т трехчлен 2х2—2т+5га будет иметь
положительные значения при любых действительных зна­
чениях х?
22. Высота треугольной пирамиды равна Зсм, а боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите
объем пирамиды, если в основании ее лежит треугольник с
углами 45° и 60°.
23. Решите уравнение: x 21gx = 10ж.
23

24. Точка М делит сторону В С параллелограмма ABCD в
отношении 1:3, считая от вершины В. Отрезок AM пе­
ресекает диагональ B D в точке Q. Найдите площадь тре­
угольника BQ M , если площадь параллелограмма ABCD
равна S.
25. Сколько нужно взять членов прогрессии 105,98,91,8 4 ,... ,
чтобы сумма их была равна 0?
26. Основания трапеции равны 5 и 11см, одна из боковых сто­
рон 4см, а сумма углов при нижнем основании равна 90°.
Определите площадь трапеции.
27. Докажите тождество: 4 sin4 or = 4 sin2 а -f cos2 2а.
28. Около круга описана трапеция с углами при основании 45°
и 60°. Найдите отношение площади трапеции к площади
круга.
29. При каком соотношении между числами а и 6 имеет место
равенство log3b_a (3a - b) = 1?
30. Точка М делит пополам сторону В С параллелограмма
ABCD. Отрезок AM пересекает диагональ BD в точке
Q. Найдите площадь параллелограмма, если площадь тре­
угольника BQM равна S.
31. При каком значении к трехчлен х2—2(к+2)х+(2к2-\-Зк+4)
является квадратом двучлена?
32. В правильной четырехугольной пирамиде с ребром, равным
а, все грани равновелики. Найдите объем пирамиды.
з_

33. Решите неравенство: 2 * > 0.
34. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар.
Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно
4 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания
равен 45°. Определите полную поверхность пирамиды.
24

35. Докажите тождество: tg а + 2 ctg 2 а = ctg а.
36. Определите площадь полной поверхности прямой призмы,
у которой в основании лежит равнобедренный треугольник
с углом при вершине а и противоположной стороной а,
если диагональ одной из равных боковых граней наклонена
к плоскости основания под углом /3.
37. Решите уравнение: х2 + 4 — Ь\/х2 — 2 = 0.
38. Основанием пирамиды служит равнобокая трапеция, у ко­
торой боковые стороны равны верхнему